Fotoelasticidad

UNIVERSIDAD CARLOS III MADRID

Técnicas experimentales en  ingeniería mecánica:  fotoelasticidad.

Departamento de Ing. Mecánica | JOSÉ LUIS SAN ROMÁN GARCÍA

 ÍNDICE  TEMA 1: FOTOELASTICIDAD FOTOELASTICIDAD 1.1. Elasticidad bidimensional en coordenadas coordenadas cartesianas 1.1.1. Estado de deformación plana 1.1.2. Curvas representativas de un estado elástico plano:  Isostáticas  Isoclinas  Isocromáticas 1.2. Teoría de la Fotoelasticidad  1.2.1. Introducción 1.2.2. Conceptos de óptica 1.2.3. Fundamentos de la fotoelasticidad plana 1.2.4. Análisis de resultados 1.2.5. Determinación del del orden orden de franja 1.2.6. Dificultad de aplicación 1.2.7. El factor humano TEMA 2: INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

AL

ANÁLISIS

TENSIONAL

CON

 PHOTOSTRESS  2.1. Descripción General  2.2. Luz Polarizada-Fundamentos Polarizada-Fundamentos 2.3. Instrumentación en Photostress y Materiales 2.3.1. Polariscopio de reflexión 2.3.2. Materiales de revestimiento 2.4. Análisis de diagramas de Franja Fotoelásticos 2.4.1. Interpretación total de la distribución de deformación 2.4.2. Generación de la franja 2.4.3. Identificación de la franja 2.4.4. Significado cuantitativo de las franjas 2.5. Medida de las direcciones de deformación Principal 

Página 1

EL

MÉTODO

2.5.1. Principio de medida 2.6. Medida de magnitudes de tensión y deformación 2.6.1. Relaciones entre el orden de franja y las magnitudes de deformación y tensión 2.6.2. Medidas en un punto 2.6.2.1.

Compensación Tardy

2.6.2.2.

Medidas de tensión principal en contornos libres usando compensación Tardy

2.6.2.3.

Medida usando el método de compensación de balance nulo

2.7. Métodos de separación de deformación/Tensión principal  2.7.1. Método de incidencia oblicua 2.7.2. Método separador de banda extensométrica

Página - 2 -

1.

FOTOELASTICIDAD.

1.1.

Elasticidad bidimensional en coordenadas cartesianas. 1.1.1. Estado de deformación plana.

Hay numerosos casos en la práctica en los que el sistema de fuerzas exteriores y la l a sujeción a la que este sometido un elemento mecánico hacen que tanto la matriz de tensiones como la matriz de deformación no varíen en los puntos de la pieza pertenecientes a una recta perpendicular   perteneciente a una orientación fija. Esto quiere decir que existe, en estos casos, un plano que suele denominarse plano director tal que los estados tensional y de deformación en los planos de la pieza  paralelos a el son idénticos. Recordemos que considerando un elemento prismático elemental contenido en el plano director  o en uno paralelo a el, las expresiones de la ley de Hooke generalizada se ven simplificadas a las siguientes:

ε  x =

ε  y =

ε  z  =

γ   xy =

1  E 

1  E 

(σ nx − µ σ ny ) (σ ny − µ σ nx )

 µ  (σ nx + µ σ ny )  E 

τ  xy G

=

2(1 + µ )  E 

Página - 3 -

τ  xy

expresiones de las deformaciones en función de las tensiones. Por su parte las tensiones en función de las deformaciones serán:

σ nx =

 E  (ε  + µ  ε  y ) (1 − µ 2 )  x

σ ny =

 E  (ε  + µ  ε  x ) (1 − µ 2 )  y

las tensiones principales pueden calcularse a bien mediante el circulo de Mohr o analíticamente:

σ 1 =

σ 2 =

σ nx + σ ny

2 σ nx + σ ny

2

+

−

tan 2 θ 1 =

(σ nx − σ ny )2 2

(σ nx − σ ny )2 2 2 τ  xy σ nx − σ ny

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+ τ  xy2

+ τ  xy2

existiendo algunas relaciones entre tensiones y deformaciones principales interesantes de recordar: γ  max = ε 1 − ε 2 τ max =

σ 1 − σ 2

2

1.1.2. Curvas representativas de un estado elástico plano. Tanto en el estado de deformación plana como en el de tensión plana es suficiente estudiar las tensiones en una plano paralelo al director. En muchos casos el estudio de ciertas curvas facilita el estudio del estado tensional y permiten deducir algunas particularidades que se pueden representar. La importancia de algunas de estas curvas es que pueden visualizarse mediante métodos ópticos:  _

Isostáticas.

Las líneas isostáticas se definen como las curvas envolventes de las tensiones principales, existiendo por tanto dos familias que corresponden a las dos tensiones principales. Por cada punto  pasan dos isostáticas que son perpendiculares entre si. Las ecuaciones de las isostáticas son: dy dx

=−

σ nx − σ ny

2 τ  xy

2

 σ nx − σ ny    +1 ±   2 τ    xy    

Ecuaciones diferenciales, cuyas integrales son las dos familias de curvas isostáticas. Un borde libre es una isostática y la otra familia le llega ortogonalmente. Estas curvas pueden presentar singularidades si en algún punto las direcciones principales no están determinadas o las tensiones principales son nulas. Se denomina punto singular, circular o isotrópico a aquel en el que se verifica: σ nx = σ ny τ  xy = 0

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o

Ya que cualquier par de direcciones ortogonales son principales.

o

Si todas las tensiones son nulas el punto se denomina neutro.

Alrededor de un punto isotrópico las isostáticas son de dos tipos: a)

Tipo intersectivo: Cada isostática rodea al punto isotrópico y cota a todas las de la otra familia.

  b)

Tipo asintótico:

Las isostáticas van por fuera del punto y hay diversos grupos de curvas que se cortan entre si.

 _

Isoclinas.

Se definen las líneas isoclinas como los lugares geométricos de los puntos en los cuales las tensiones principales son paralelas, o dicho de otra forma, las que unen los puntos de igual inclinación de las tensiones principales. La ecuación de las isoclinas: tan 2 θ  =

2 τ  xy σ nx − σ ny

= k 

Varias propiedades de las líneas isoclinas se desprenden de la propia definición:

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a) si existe un punto isotrópico, por el pasan todas las isoclinas.  b) solo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrópico. c) una isoclina de parámetro θ es idéntica a la de parámetro θ±90º d) si el cuerpo tiene un eje de simetría y esta simétricamente cargado, dicho eje es una isoclina (y una isostática) e) cuando una isoclina corta a un borde libre de esfuerzos cortantes, su parámetro viene dado  por el ángulo de inclinación de la recta tangente al borde de dicho punto de intersección. Las líneas isoclinas son de gran importancia pues como veremos mas adelante se pueden obtener por medios ópticos y a partir de ellas es posible construir gráficamente las isostáticas.

 _

Isocromáticas.

Son las curvas que unen puntos de igual diferencia de tensiones principales y por tanto son curvas en las que la tensión tangencial máxima es constante. σ 1 − σ 2 = k 

τ max =

σ 1 − σ 2

2 En un borde libre, como una de las tensiones principales es nula, el valor de k de la isocromática, da directamente la otra tensión principal.

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1.2.

Teoría de la fotoelasticidad. 1.2.1. Introducción.

La fotoelasticidad es el estudio de los fenómenos experimentados por las ondas electromagnéticas a su paso por materiales transparentes. Estos fenómenos son de gran complejidad, por lo que la mayoría de las aplicaciones realizadas en análisis experimental de tensiones, se limitan a problemas bidimensionales dentro del dominio elástico. No obstante, existen técnicas que amplían el dominio de actuación de la fotoelasticidad a todo tipo de problemas mecánicos: tridimensionales, en régimen estático o dinámico y en materiales plásticos, viscoelásticos, heterogéneos, anisótropos, etc. La fotoelasticidad permite visualizar directamente el estado de tensiones o deformaciones en que se encuentra la pieza analizada. Para comprender esta técnica es preciso revisar algunos conceptos de óptica que intervienen directamente en ella. 1.2.2. Conceptos de óptica. La luz es una onda electromagnética similar a las ondas de radio. Una fuente incandescente emite energía que se propaga en todas las direcciones y contiene un amplio espectro de ondas vibratorias de diferentes frecuencias o longitudes de onda. Una parte de este espectro, cuyas longitudes de onda están comprendidas entre 400 y 800 nm, quedan comprendidos dentro de los limites de la percepción visual humana, componiendo el espectro de luz visible. La vibración asociada a la luz es perpendicular a su dirección de propagación. Una fuente de luz, emite un tren de ondas cuyas vibraciones se transmiten de forma aleatoria en cualquier  dirección ortogonal a la de la dirección de propagación. Por tanto, una fuente de luz, emite ondas cuyo plano de vibración es cualquier plano perpendicular a la dirección de movimiento. Sin embargo, cuando introducimos un filtro polarizador, solo en una dirección privilegiada ortogonal a la dirección de propagación se transmiten las ondas, dirección que es paralela al eje del filtro. Esta luz, denominada luz polarizada, se caracteriza porque las ondas vibratorias asociadas están contenidas en un plano. Si otro filtro polarizador es interpuesto en el camino de la luz polarizada,   puede conseguirse la extinción completa de la luz, siempre que los ejes de polarización estén situados a 90º.

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Cuando las direcciones de vibración asociadas a la luz son dos y son perpendiculares, se habla de luz polarizada elíptica.

La luz se propaga en el vacío o en el aire, a una velocidad c = 300.000 km/s. En otros cuerpos transparentes, la velocidad de transmisión v es menor, denominándose a la relación c/v, índice de refracción. En un cuerpo homogéneo, este índice es constante, sin embargo, en ciertos materiales plásticos, este índice depende de la dirección de propagación de la luz. Existen materiales que se comportan Página 9

de una manera isotrópica bajo condiciones de no deformación, pero que cuando son sometidos a tensión (y por tanto a deformación), se convierten en ópticamente anisótropos, siendo el cambio en el índice de refracción, función de las deformaciones resultantes. Los fenómenos ópticos de mayor relevancia que intervienen en la fotoelasticidad son: Refracción: cambio de dirección y velocidad que experimenta un rayo de luz al cambiar de medio de propagación. Birrefrigencia o doble refracción: al incidir en un medio birrefringente el rayo de luz se desdobla y se propaga en dos direcciones a diferente velocidad. Los elementos ópticos mas importantes empleados en fotoelasticidad son:  _ polarizador lineal:

lamina transparente que transmite luz polarizada plana.  _ lamina de cuarto de onda (λ/4):

lamina transparente que transmite luz polarizada elíptica con ambos ejes iguales (circular).  _ polariscopio plano:

fuente de luz (blanca o monocromática).  polarizador lineal. analizador (segundo polarizador lineal).  _ polariscopio circular:

fuente de luz.  polarizador lineal.  primera lamina de cuarto de onda. segunda lamina de cuarto de onda. analizador (segundo polarizador lineal).

Página 10

Página 11

1.2.3. Fundamentos de la fotoelasticidad plana. Muchos materiales transparentes no cristalinos, ópticamente isótropos si están libres de tensiones, se convierten en ópticamente anisótropos y muestran características similares a las de los cristales cuando están sometidos a tensiones. Este fenómeno se denomina birrefrigencia accidental o temporal. Por el mismo, una placa delgada de material transparente sometida a un estado tensional plano, se comporta como una lamina birrefrigente de ejes ópticos coincidentes con las direcciones principales de deformación. Cuando una onda de luz polarizada se propaga a través de un medio transparente de espesor t en el que x e y son las direcciones en las que se producen las deformaciones principales en el punto en consideración, la luz emergente es una pareja de ondas polarizadas que se transmiten en las direcciones x e y. Si las deformaciones en estos dos ejes son εx y εy y la velocidad de la luz en estas direcciones es Vx y Vy, respectivamente, el tiempo necesario para cruzar el material cada una de ellas es t/v y el desfase entre las dos:   t  t    δ  = C  −  = t (n x − n y )  V  V    y      x

Siendo n el índice de refracción. La ley de Brewster establece que el cambio en el índice de refracción es proporcional a la diferencia de deformaciones principales: (n x − n y ) = K (ε  x − ε  y ) La constante K es denominada coeficiente de deformación óptica del material. Es adimensional y se obtiene mediante calibración del material. Dependiendo de que se trate de transmisión a través del material o de reflexión (y que por tanto la onda atraviese dos veces el material), el desfase entre las ondas de luz nos lleva a: -

en transmisión: δ  = t  K  ε  x − ε  y

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-

en reflexión: δ  = 2 t  K  ε  x − ε  y )

las ondas emergentes del material se hacen pasar a través de un analizador, de tal manera que solo se transmite una componente de cada una de las ondas, paralela al eje de polarización del analizador. Las ondas resultantes interfieren y la intensidad de la luz resultante es función de: A.

El desfase δ.

B.

El ángulo entre el analizador y la mayor de las direcciones principales. En el caso de un polariscopio plano, la intensidad de la luz emergente sera:  I  = a 2

sin 2 2 ( β  − α ) sin 2

πδ  λ 

la intensidad de la luz se convierte en cero cuando: a)

2(β - α) = n π, es decir cuando la luz que cruza los ejes de polarizador y analizador (siempre a 90º) es paralela a las direcciones de deformación principales. La extinción de la luz en estos puntos, genera un espectro de franjas negras que constituye el mapa de isóclinas, ya que en todos ellos las direcciones principales son  paralelas. Girando solidariamente polarizador y analizador (o lo que es lo mismo, girando únicamente el modelo en un polariscopio plano) aparecen nuevos espectros de franjas negras correspondientes a diferentes ángulos. Dado que por los puntos singulares, circulares o isotrópicos, pasan todas las isóclinas, la franja negra que las ocupa no se mueve.

 b)

π δ/λ = n π, es decir cuando δ = n λ, siendo n un numero natural. El espectro de franjas creado por la extinción de la luz en los puntos que verifican esta condición es el de isocromáticas. Dado que la condición depende de la longitud de onda λ, si la luz empleada es blanca el espectro de franjas es de colores. La razón de ello es que, siendo la luz blanca composición de varias luces monocromáticas, la condición solo se verifica para una de ellas. Esa luz se extingue y desde el analizador se observa su complementaria.

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Utilizando luz monocromática, el espectro de isocromáticas es de franjas negras, al igual que el de isóclinas. Añadiendo a un polariscopio plano filtros de cuarto de onda en la dirección de propagación de la luz, la imagen observada no esta influenciada por la dirección de las deformaciones principales. La intensidad de luz emergente es:  I  = a

2

sin 2

πδ  λ 

es decir, no aparecen las isóclinas, solo aparecen las isocromáticas. El numero n es conocido como orden de franja y expresa el tamaño del desfase. La longitud de onda de la luz visible es: λ  = 575nm

una vez conocido el orden de franja, la diferencia entre las deformaciones principales es: ε  x − ε  y =

δ  δ  = N  = N  f  2 t k  2 t k 

Donde f es el valor de franja que contiene todas los constantes y n es el valor de la medida. 1.2.4. Análisis de resultados. La simple observación de un espectro fotoelástico permite tener una idea intuitiva del estado tensional en que se encuentra la pieza ensayada. Así, las zonas en donde las isocromáticas son finas y apretadas indican fuertes gradientes de tensiones y se asocian con valores elevados de las mismas. Por el contrario, isocromáticas gruesas y de variación suave indican áreas menos solicitadas. Un análisis en profundidad de los espectros de isóclinas e isocromáticas conduce a la solución completa del problema elástico. Permite la obtención en todo punto de las tensiones y direcciones  principales. Las direcciones principales se determinan mediante la obtención de las lineas isostáticas a partir  de las isóclinas. Una vez obtenido el espectro de isóclinas de diferentes ángulos (en un polariscopio  plano y mediante el giro solidario de polarizador y analizador), se determinan las lineas centrales   para, a continuación, hallar las isostáticas mediante una integración gráfica o numérica de las

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isóclinas. En cuanto a las isocromáticas, en cada franja se tiene:

ε  x − ε  y = σ 1 − σ 2 =

δ 

2 t  k   E 

(1 + µ )

=  N 

δ 

2 t  k 

(ε  x − ε  y ) =

=  N   f 

 E 

 N  f 

(1 + µ )

la determinación de los parámetros n (orden de franja) y f (factor de franja) permite asignar a cada franja de isocromática el nivel que le corresponde.

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1.2.5. Determinación del orden de franja n. Si se trabaja con luz blanca, las isocromáticas son de colores y a cada color le corresponde un valor de n: COLOR

ORDEN DE FRANJA: N

negro........................................................................................................................................ 0 gris...................................................................................................................................... 0.28 b  lanco ................................................................................................................................. 0.45 amarillo pálido ................................................................................................................... 0.60 naranja ................................................................................................................................ 0.80 rojo ..................................................................................................................................... 0.90 p  urpura .................................................................................................................................... 1 azul ..................................................................................................................................... 1.08 azul/verde ........................................................................................................................... 1.22 verde/amarillo .................................................................................................................... 1.39 naranja ................................................................................................................................ 1.63 rosa/rojo ............................................................................................................................. 1.82 p  urpura .................................................................................................................................... 2 con luz monocromática el espectro de isocromáticas aparece en blanco y negro, correspondiendo valores de n enteros a las franjas negras en la configuración de polariscopio plano y de polariscopio circular en campo oscuro, y a las franjas blancas en configuración de polariscopio circular en campo iluminado. Como las franjas siguen un orden consecutivo, conociendo n en una de ellas, automáticamente  podrá conocerse el orden de franja en todas las demás. La franja mas fácil de localizar es la de orden cero (ε1-ε2=0), puesto que se encuentra en puntos singulares (fácilmente identificables mediante las isóclinas o porque las isocromáticas tienden a envolverlos) y en zonas neutras libres de tensiones (por ejemplo en aristas a 45º libres de fuerzas exteriores). 1.2.6. Dificultad de aplicación. Es un hecho que, en general, la aplicación de un recubrimiento fotoelástico es más difícil que la instalación de galgas extensométricas. La galga se puede adquirir terminada y el instalador sólo necesita pegarla a la superficie de prueba. En fotoelasticidad, el instalador debe fabricar primero una capa fotoelástica de materiales no elaborados y con el mismo contorno que la superficie de la   pieza donde se va a trabajar antes de poder unirlo a la superficie de ésta. Y, mientras que los medidores extensométricos pueden ser instalados en poco tiempo y en relativamente pequeños espacios, los recubrimientos fotoelásticos se deben instalar sobre superficies más amplias. Pero los recubrimientos fotoelásticos no sólo requieren más trabajo en su aplicación si no que además, el  proceso para ello puede ser tan duro como aprender a montar en bicicleta sin las pequeñas ruedas Página 15

de ayuda. Afortunadamente, cuando se ha conseguido la primera vez resulta ser una técnica fácil y una vez dominada, no se olvida. 1.2.7. El factor humano. Quizás la mayor ventaja de los galgas extensométricas es su capacidad para permitir que el ingeniero obtenga directamente un valor numérico para la tensión medida cuando se conecta a un instrumento adecuado. Esta capacidad es, sin duda, la que ha dado a este método su popularidad como instrumento para medir tensiones en un ámbito experimental. Pero esta capacidad puede convertirse, en ocasiones, en su mayor debilidad cuando los valores no son interpretados correctamente (lo cual ocurre con demasiada frecuencia): ¿la tensión que indica es la tensión  principal? ¿es una dirección importante? ¿se esconde algún gradiente de tensión en la malla de la galga? Y ¿es esa tensión importante la causante de un fallo del material o es debido a otra tensión menor? El recubrimiento fotoelástico proporciona al ingeniero un número infinito de datos de tensiones ópticas que deben ser analizados y comprendidos conjuntamente como un todo antes de poder  llegar a valores numéricos en un punto cualquiera. Es un hecho que el esfuerzo que requiere obtener un profundo entendimiento del estado tensional y deformacional en un área relativamente grande mediante métodos fotoelásticos siempre será mayor que el esfuerzo necesario para hacer un amplio número de suposiciones basadas en las medidas obtenidas a través del método de las galgas o indicadores en un único punto. Pero el analista que quiera tener éxito siempre deberá hacer un esfuerzo adicional para que no exista ninguna duda. Tanto las galgas como el método fotoelástico son herramientas muy potentes para medir  tensiones superficiales en una amplia gama de componentes estructurales. Se pueden encontrar  múltiples aplicaciones de ambas técnicas en cualquier laboratorio dedicado a la medida de tensiones. Teniendo en cuenta todas las consideraciones anteriores, el analista estará mejor   preparado para hacer una correcta elección para cada aplicación en concreto.

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2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS TENSIONAL CON EL MÉTODO PhotoStress®  ® 

2.1. Descripción General PhotoStress es una técnica de pleno campo usada extensamente en deformaciones superficiales medidas con precisión para determinar las tensiones en un elemento o estructura durante ensayos estáticos o dinámicos. Con el método PhotoStress, primero se vincula al elemento a ensayar un revestimiento especial de plástico sensible a la deformación. Luego, cuando son aplicadas las cargas de ensayo o de servicio al elemento, la protección es iluminada con luz polarizada de un polariscopio de reflexión. Cuando se observa a través del polariscopio, el revestimiento muestra las deformaciones en un diagrama informativo coloreado que inmediatamente revela la distribución global de deformación y las áreas de puntos altamente deformadas. Con un transductor óptico (compensador) adosado al   polariscopio, el análisis tensional cuantitativo se puede realizar rápida y fácilmente. Se pueden hacer grabaciones permanentes de la distribución global de deformación por fotografía o por  videograbación. Con PhotoStress se puede... • • • • • • • •

Identificar instantáneamente áreas críticas, regiones sobretensionadas o subtensionadas al máximo de luminancia Medir de forma precisa tensiones de pico y determinar concentraciones de tensión alrededor de agujeros, entallas, chaflanes, y otras áreas de fallo potencial Optimizar la distribución de tensión en elementos y estructuras para mínimo peso y máxima fiabilidad Medir tensiones y direcciones principales en cualquier punto del elemento revestido Ensayar repetidamente bajo combinaciones de carga alternante sin repetir el revestimiento (protección) del elemento Realizar medidas de tensión en el laboratorio o “a cielo abierto” –sin verse afectadas por la humedad o el tiempo Identificar y medir tensiones de montaje y tensiones residuales Detectar deformación (rendimiento), y observar la redistribución de deformaciones en el rango  plástico de deformación

Los revestimientos PhotoStress se pueden aplicar a la superficie de cualquier elemento de ensayo sin tener en cuenta su forma, tamaño, o composición del material. Para formas complejas a revestir (Fig.1), plástico líquido es fundido en un molde de placa plana y es dejado polimerizar  Página 17

  parcialmente. Todavía en un estado flexible, el revestimiento es desplazado del molde y conformado manualmente a los contornos del elemento de ensayo. Cuando está totalmente solidificado, el revestimiento de plástico se adapta en su lugar con un cemento especial reflectante, y el elemento está entonces preparado para será ensayado. Para superficies planas, láminas planas  premanufacturadas se cortan a medida y se adaptan directamente al elemento de ensayo.

Figura 2.1. Aplicación de recubrimiento fotoelástico a la carcasa de una bomba de agua.

PhotoStress tiene una historia establecida de aplicaciones con éxito virtualmente en cada campo de fabricación y construcción donde se emplea el análisis tensional, incluyendo: automoción –  maquinaria FARM – industria aeronáutica y aerospacial – construcción de edificios – motores –  recipientes de presión – construcción de barcos –equipo de oficina – puentes – herramientas –  muchos más, muchos otros.

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2.2. Instrumentación en Photostress y Materiales 2.2.1.

Polariscopios de reflexión

Para el análisis PhotoStress, se utiliza un polariscopio de reflexión para observar y medir las deformaciones superficiales en el elemento de ensayo revestido fotoelásticamente (Fig. 2).

Figura 2.2. Representación esquemática de un polariscopio por reflexión.

2.2.2. Materiales de revestimiento La elección de los materiales de revestimiento de PhotoStress y su propia aplicación al elemento de ensayo es lo más esencial en el éxito en el análisis de PhotoStress. Está disponible un amplío rango de materiales de revestimiento, tanto en la forma de placa plana como en líquido   para aplicación a metales, hormigón, plásticos, goma, y la mayoría de otros materiales. Los revestimientos son composiciones cuidadosas de resinas mezcladas que suministran propiedades fotoelásticas conocidas y repetibles, y se proveen con instrucciones detalladas de aplicación y manejo. Además, están disponibles equipos de aplicación diseñados, que contienen lo que se requiere para la instalación correcta del revestimiento PhotoStress en el elemento de ensayo.

2.3.

Análisis de diagramas de Franja Fotoelásticos

PhotoStress ofrece la capacidad para los siguientes tipos de análisis y de medida: 1. Interpretación

de diagramas de franja permitiendo la evaluación de magnitudes y Página 19

gradientes de deformación/tensión. 2. Medidas cuantitativas: Las direcciones de deformaciones y tensiones principales en todos los puntos del revestimiento fotoelástico. La magnitud y signo del esfuerzo tangencial a lo largo de los contornos libres (sin carga), y en todas las regiones donde el estado de tensión es uniaxial. En el estado de tensión biaxial, la magnitud y signo de la diferencia de deformaciones y tensiones principales en cualquier punto elegido en la superficie revestida del objeto de ensayo.

2.3.1.

Interpretación total de la distribución de deformación

Además de su capacidad de obtener medidas de deformación precisas en los puntos de ensayo preseleccionados, PhotoStress provee otra capacidad igualmente importante al analista de tensión. Esta es la facilidad para el reconocimiento inmediato de magnitudes nominales de deformación (y tensión), gradientes de deformación, y distribución global de deformación –  incluyendo la identificación de áreas sobretensionadas o subtensionadas. Este atributo apreciable extremadamente de PhotoStress descrito como interpretación total , es única en los métodos fotoelásticos de análisis tensional. Su aplicación correcta depende sólo del reconocimiento de ordenes de franja por colores, y un entendimiento de la relación entre el orden de franja y la magnitud de deformación. Cuando un objeto de ensayo revestido fotoelásticamente está sometido a cargas, las tensiones resultantes causan deformaciones que existen en general a través del elemento y sobre su superficie. Las tensiones y deformaciones superficiales son típicamente las mayores, y unas de las de más importancia. Ya que el revestimiento fotoelástico está íntima y uniformemente unido a la superficie del elemento, las deformaciones en el elemento se transmiten consecutivamente al revestimiento. Las deformaciones en el revestimiento producen efectos ópticos α que aparecen como líneas isocromáticas cuando son vistas con un polariscopio de reflexión. El diagrama de franjas fotoelástico contiene mucha información y se lo revela al ingeniero de diseño. Si, por ejemplo, un elemento está siendo analizado a tensión como resultado de fallos en servicio, el diagrama fotoelástico global sugerirá medidas correctoras para prevenir los fallos –con frecuencia envuelven cambio de material y ahorro de peso. A causa del dibujo total generado de distribución de tensión, se puede decir que la zona de sobretensión (tensión excesiva) responsable Página 20

de los fallos está rodeada por un área de tensión cercana a cero; y un cambio tenue de forma redistribuirá las tensiones hasta eliminar la concentración de tensión, mientras se fuerza al material de subtensión al aceptar parte de la carga. De forma similar, en el análisis tensional en prototipos con propósitos de desarrollo de  productos, el diagrama fotoelástico puede apuntar el camino en las modificaciones de diseño para conseguir el mínimo peso, el elemento adecuado funcionalmente, es decir, el diseño óptimo. Además, la observación total de la distribución de tensión muestra fácilmente los efectos de los modos de variación de carga, como también el significado relativo de cargas individuales y/o las direcciones de carga. Estos ejemplos son meramente indicativos de las muchas formas en las cuales los diagramas de franja totales en elementos revestidos fotoelásticamente aclaran al analista de tensión entendido y proveen un nivel de comprensión que no se puede obtener de medidas de deformación “a ciegas” en un punto.

2.3.2. Generación de la franja Comenzando con el elemento de ensayo sin carga, y aplicando la carga, o las cargas, en incrementos, las franjas aparecerán primero en los puntos de tensión más alta (Fig. 3). Cuando la carga es aumentada y aparecen nuevas franjas, las primeras franjas son empujadas hacia las áreas de menor tensión. Con cargas mayores se generan franjas adicionales y en las regiones de alta tensión y se mueven hacia las regiones de cero o de tensión baja hasta que se alcanza la máxima carga. A las franjas se les puede asignar números ordinales (primera, segunda, tercera, etc.) cuando aparezcan, y retendrán sus identidades individuales (“ordenes”) a través de la secuencia de carga.  No sólo son franjas ordenadas en el sentido de numeración en serie, sino que además son metódicas  –es decir, son continuas, nunca se cruzan o se unen con otras, y siempre mantienen sus posiciones respectivas en la secuencia ordenada. Cuando se observa con un polariscopio de reflexión, el diagrama de franja fotoelástico aparece como una serie de bandas sucesivas y contiguas de diferentes colores (isocromáticas) en las cuales cada banda representa un grado diferente de birrefrigencia (doble refracción), un orden de franja (y nivel de deformación), en cualquier lugar a lo largo de esa banda. Con un entendimiento de la secuencia invariante en la cual aparecen los colores, el diagrama de franja fotoelástica se puede leer como un mapa fotográfico para visualizar la distribución de tensión sobre la superficie del elemento de ensayo revestido. El efecto fotoelástico es causado por la interferencia constructiva y destructiva entre los rayos de luz que han experimentado el retardo (deceleración) relativo, o cambio de fase, en el revestimiento fotoelástico tensionado. Al usar luz monocromática, la magnitud del retardo relativo Página 21

a lo largo de cualquier franja es múltiplo integral de la longitud de onda ( λ, 2λ, 3λ, etc.), los rayos están 180º desfasados, y existe anulación mutua, causando la extinción de la luz y produciendo una   banda negra. Por otro lado, cuando el retardo relativo es un múltiplo impar de λ/2 (λ/2, 3λ/2, 5λ/2,etc.), los rayos están perfectamente en fase y se combinan para causar máxima luminosidad. Magnitudes intermedias de retardo relativo producen intensidades de luz intermedias. Sin embargo, ya que la intensidad de luz es una función en seno-cuadrado del retardo relativo, el diagrama fotoelástico resultante aparece compuesto de luz alternativa y franjas oscuras.

Figura 2.3. Franjas generadas en un espécimen sometido a flexión. (a) carga baja. (b) carga elevada.

La luz blanca, generalmente usada para la interpretación total de diagramas de franja en ensayos PhotoStress, está compuesta por todas las longitudes de onda del espectro visible. Por  tanto, el retardo relativo que causa la extinción de una longitud de onda (color) no extingue en general a otras. Cuando, con el aumento de la birrefrigencia, cada color del espectro se extingue   por tunos de acuerdo a su longitud de onda (empezando con violeta, la longitud de onda más   pequeña), el observador ve el color complementario. Estos colores complementarios hacen al Página 22

diagrama de franja visible en luz blanca. La secuencia de color completa se da en la tabla 1, incluyendo, para cada color, el retardo relativo y el orden de franja numérico.

2.3.3. Identificación de la franja Cuando se observa un elemento de ensayo revestido con PhotoStress sin carga, el revestimiento aparecerá uniformemente negro. Según se aplica gradualmente la carga, la región con mayor tensión empieza a tomar color – primero gris, luego blanco; y cuando el violeta se extingue para producir naranja; y el verde, para dar rojo. El siguiente color que desaparece con el aumento carga es el amarillo, dejando un color morado; y este continua con la extinción del naranja, produciendo una franja azul profundo. La franja morada, que se distingue fácilmente de la roja y azul en cada lado, y que es muy sensible a un pequeño cambio en el nivel de deformación, se distingue como “color de paso”. A causa de esta distinción y resolución, el color de paso morado se selecciona para marcar el incremento en retardo relativo igual a un orden de franja de la unidad ( N  = 1). Recurrir  subsecuentemente a un color de paso con retardo relativo mayor significa la presencia de ordenes de franja integrales mayores ( N=2, N=3, etc.). Al continuar aumentando la carga en el elemento de ensayo y produciendo retardo relativo adicional, la luz roja se extingue del espectro de luz blanca, y el color de la banda es azul verde. Con una carga todavía mayor, el retardo relativo alcanza el nivel donde corresponde el doble de la longitud de onda de violeta, extinguiéndose este color por segunda vez y comenzando el ciclo de  banda otra vez. Sin embargo, el color rojo intenso en el final (borde) del espectro de luz blanca además tiene el doble de longitud de onda de violeta, y por tanto experimenta su primera extinción simultáneamente con la segunda extinción de violeta. El resultado es que el color de banda es la combinación de dos colores complementarios, amarillo y verde. Cuando la carga y el retardo relativo continua aumentando, el ciclo de color de banda se repite, pero los colores no son exactamente los mismos que en el primer ciclo a causa de la extinción simultánea de dos o más colores.

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TABLA 1 Características de franja isocromática Deceleración relativa Aproximada

Número de orden  N 

Color  Negro Gris Blanco Amarillo pálido  Naranja Rojo apagado Morado (color de  paso) Azul profundo Verde-azul Verde-amarillo  Naranja Rojo rosa Morado (color de  paso) Verde Verde-amarillo Rojo Rojo/verde transición Verde Rosa Rosa/verde transición Verde

nm 0 160 260 345 460 520 570 620 700 800 935 1050 1150

in x10

-

0 6  10 14 18 20 22.7  24 28 32 37  42 45.4

0 0.28 0.45 0.60 0.80 0.90 1.00 1.08 1.22 1.39 1.63 1.82 2.00

1350 1440 1520 1730

53

1800 2100 2300

71 90.8

3.10 3.65 4.00

2400

95

4.15

57  60 68

83

2.35 2.50 2.65 3.00

Con cada ciclo de color completo sucesivo el efecto de las extinciones simultáneas complejas, cada vez más, causa que los colores de banda se conviertan en más pálidos y menos distintivos. A causa de este efecto, los ordenes de franja por encima de 4 o 5 no se distinguen por el Página 24

color en luz blanca. Aunque los ordenes de franja mayores de 3 raramente se encuentran (o se necesitan) en análisis de tensión con revestimientos fotoelásticos. A causa de la extinción múltiple simultánea de los colores, el color de paso de segundo orden es más pálido que el primero, y cae en el área de transición entre las bandas roja y verde. En ordenes de franja de 3 y 4 el color de paso no es visible distintamente como una banda morada,  pero la transición bien definida entre rojo y verde en cada caso tiene la misma función y representa el orden de franja integral. Una simple viga voladiza, que se muestra en la figura 4 provee los medios para entender la identificación de banda. La viga está revestida en un lado con plástico fotoelástico y abrazado (revestido en el lado superior) al extremo de un banco de ajustador o mesa de trabajo manual. Está colgado un peso, usando un hilo o cable, en el extremo libre de la viga. Cuando se observa con el  polariscopio (operación de luz circular), el retardo aumenta proporcionalmente a la deformación.

Figura 2.4. Análisis fotoelástico sobre una viga en voladizo.

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Las bandas están relacionadas con el aumento de la magnitud de deformación como se resume en la tabla. Para este ejemplo [ver ec. (8)]: t = 0.100 (2.54 mm)



 K = 0.15

 f = 757 µin/in/franja

λ  = 22.7E-6 in (575 nm)



(µm/m/franja)

Número de Orden N 

Deformación (εx-εy) = Nf 

0 (franja negra)

0

1 (rojo-azul)

757 µin/in (  µ m/m) (1 f )

2 (1º rojo-verde)

1514 µin/in (  µ m/m) (2 f )

3 (2º rojo-verde)

2271 µin/in (  µ m/m) (3 f )

2.3.4.

Significado cuantitativo de las franjas

Las bandas fotoelásticas tienen comportamientos característicos los cuales son de mucha ayuda en la interpretación de los diagramas de franja. Por ejemplo, las franjas son normalmente   bandas continuas, formando o bien mallas cerradas o líneas curvas. Las bandas de orden cero negras son normalmente manchas aisladas, líneas o áreas rodeadas por bandas adyacentes o de orden mayor. Las bandas nunca se intersecan, o de otra manera pierden sus identidades, y entonces el orden de franja y el nivel de deformación son uniformes en cada punto en una banda. Además, las franjas siempre existen en una secuencia continua en número y color. En otras palabras, si se identifican las franjas primera y tercera, la franja de segundo orden debe estar entre ellas. La Página 26

secuencia de color en cualquier dirección establece si el orden de franja y el nivel de deformación aumenta o disminuye en esa dirección. Las características de las franjas fotoelásticas son las mismas en aquellas de contornos de nivel constante en un mapa topográfico en color. Como resultado, se puede considerar cualquier  diagrama fotoelástico, y ser visualizado, como un mapa topográfico de la diferencia (sin considerar  el signo) entre las deformaciones o tensiones principales sobre la superficie del elemento de ensayo. En otras palabras, las magnitudes de los niveles de deformación, como se indica con los ordenes de franja, corresponden directamente a niveles de altitud constante en un mapa topográfico. Y el diagrama de franja representa picos y valles, mesetas y colinas – representados respecto “del nivel del mar” por las franjas de orden cero. Si hay una franja de orden cero en el campo de visualización, será normalmente obvio por  su color negro. Asumiendo que el elemento de ensayo revestido tenga una esquina cuadrada libre o una proyección destacada, la tensión siempre será cero, y la banda de orden cero (mancha) existirá en la esquina, independientemente de la magnitud de la carga, pero disminuyendo en tamaño lentamente según aumenta la carga. Cuando no hay banda de orden cero evidente, la banda de   primer orden se puede con frecuencia reconocer a causa de los colores brillantes adyacentes al color de paso morado. Como alternativa, cuando el objeto de ensayo se pueda cargar de forma incremental desde un estado inicial de tensión nula, la franja de orden cero inicial que cubre el revestimiento completo se puede seguir normalmente a través del proceso de carga según retrocede hacia puntos sin tensión, y a regiones donde la diferencia en tensiones principales es cero. Una vez que se ha identificado una banda, se pueden asignar los ordenes a las otras bandas, asegurándose de que la dirección del orden de franja que está aumentando, corresponda a la secuencia de color correcta –por ejemplo, amarillo-rojo-verde, etc. Con este proceso el observador   puede localizar rápidamente los ordenes de franja más altos y, en general, las regiones que han sufrido la mayor deformación. Áreas de franjas finas espaciadas muy finas, normalmente atraerán la atención del observador, ya que regiones con pendiente fuerte de deformación significan altas deformaciones también. El analista de tensión advertirá algunas grandes áreas donde el diagrama es casi uniformemente negro o gris, usualmente indicando una región sobretensionada significativamente. Con frecuencia, el proceso de localizar los ordenes de franja más altos guiarán al observador a uno o más puntos críticos en un contorno libre. Cuando esto ocurre, el analista de tensión sabe que la tensión principal distinta de cero en tal punto es tangente al contorno, y su magnitud se puede obtener directamente multiplicando el orden de franja por una constante. El signo de la tensión, positivo o negativo para tracción o compresión, se puede determinar además muy fácilmente en un contorno libre con el polariscopio de reflexión. Página 27

2.4. Medida de las direcciones de deformación principal 2.4.1. Principio de medida Las direcciones de deformación principal se miden siempre con referencia a una línea establecida, eje o plano. Por tanto, el paso inicial en la determinación de la dirección de las deformaciones principales (o tensiones) será seleccionado en una referencia conveniente. En la mayoría de los casos, la dirección de referencia se sugiere inmediatamente, como un eje de simetría del elemento de ensayo o estructura; en otros casos, será suficiente una línea vertical u horizontal. Cuando un haz plano polarizado de luz atraviesa un revestimiento fotoelástico en un elemento sujeto a tensión, se descompone en ondas propagándose a distintas velocidades a lo largo de la dirección de las deformaciones principales. Después de emerger del plástico, estas dos ondas se pondrán fuera de fase con otra y no se recombinarán en una única vibración paralela a la que entra en el plástico. Sin embargo, en puntos donde la dirección de las tensiones principales es  paralela al eje del filtro de polarización, el haz no se verá afectado y la vibración emergente será   paralela a la vibración entrante. Un filtro analizador  A con su eje perpendicular al filtro de  polarización P producirá la extinción de las vibraciones en estos puntos (ver Fig. 5).

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Figura 2.5. Direcciones principales detectadas mediante rotación de los ejes del polarizador / analizador hasta conseguir la extinción total de la luz en el punto de ensayo.

Observando el elemento tensionado a través de un polariscopio de reflexión (Fig. 6), aparecen línea negras (o incluso áreas). Estas líneas se llaman isoclinas . En cada punto de una isoclina, las direcciones de las deformaciones principales son paralelas a la dirección de  polarización de  A y P . Con respecto al eje de referencia elegido, la medida de las direcciones en un  punto es simplemente efectuada por la rotación de  A y P  juntos hasta que aparece una isoclina negra en el punto donde se van a medir las direcciones. Cuando se requieren las direcciones de deformación sobre un área completa, las isoclinas se graban normalmente con fotografía o trazando directamente en el revestimiento.

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Figura 2.6. Ejemplos de polariscopios de reflexión. Determinación de isoclinas.

Si las isoclina son estrechas y agudas, significa que las direcciones de εx y εy varían rápidamente de una localización a la siguiente. Isoclinas formando líneas negras amplias indican que las direcciones de εx y εy varían lentamente en esa región. Cuando esto ocurre, el contorno que rodea a la isoclina completamente se debería marcar (no meramente el centro). En el caso de un espécimen a tracción con sección transversal constante, se verá una isoclina que cubre el área completamente cuando los ejes de polarización coinciden con los ejes del espécimen, ya que la dirección de εx es la misma en cada punto. Al rotar el polarizador y el analizador se conectan entre sí (en incrementos angulares  pequeños y uniformes) sobre el rango de 0 a 90º, la familia completa de isoclinas se generarán. Un ejemplo de este procedimiento se muestra fotográficamente en la figura 7, para un anillo sometido a compresión diametralmente. Las isoclinas se pueden combinar en una única ilustración trazando desde las fotografías a una porción de papel, como se ilustra en la figura 8a(para sólo la mitad del anillo, ya que el diagrama es simétrico). Luego, si se desea, la familia de isoclinas se puede usar    para construir un diagrama isostático, como el de la figura 8b. Las líneas isostáticas tienen la  propiedad de ser en todo punto tangentes a las direcciones de tensión principal, y por tanto ilustran el “flujo” de tensión a través del objeto de ensayo.

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Figura 2.7. Franjas de isoclinas correspondientes a un anillo cargado diametralmente con incrementos de 15º.

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Figura 2.8. (a) Franjas de isoclinas. (b) Líneas isostáticas construidas partiendo de las isoclinas. 2.5. Medida de Magnitudes de Tensión y Deformación 2.5.1. Relaciones entre orden de franja y magnitudes de deformación y tensión Los ordenes de franja observados en revestimientos fotoelásticos son proporcionales a la diferencia entre las deformaciones principales en el revestimiento (y en la superficie del elemento de ensayo). Está simple relación lineal se expresa como sigue (se repite aquí la ecuación 8 por  conveniencia):

ε  x − ε  y =  Nf 

(8)

Donde: εx, εy = deformaciones principales;  N = orden de franja  f = λ/(2tK ) (valor de franja del revestimiento) λ = longitud de onda (en luz blanca, 22.7E-6 in o 575 nm) t  = espesor del revestimiento  K = coeficiente óptico deformación del revestimiento La ecuación (8) además se puede escribir en términos de deformación tangencial, γ xy:

γ   xy = Nf 

(9)

Página 32

Donde:

γ xy = deformación tangencial máxima (en el plano de la superficie del

elemento) en cualquier punto. El significado de lo anterior es que la diferencia en las deformaciones principales o en la máxima deformación tangencial en la superficie del elemento de ensayo, se puede obtener  simplemente reconociendo el orden de banda y multiplicando por el valor de banda del revestimiento. Los ingenieros y diseñadores trabajan con frecuencia con tensión más que con deformación; y debido a este propósito, las ecuaciones (8) y (9) se pueden transformar introduciendo la ley de Hooke para un estado de tensión biaxial en los materiales isotrópicos mecánicamente: σ  x =

σ  y =

 E 

1 −ν 2

 E 

1 − ν 2

(ε  x + νε  y )

(10)

(ε  y + νε  x )

(11)

y,

σ  x − σ  y =

 E 

1 + ν 

(ε 

 x

− ε  y )

∗

(12 )

substituyendo la ec. (8) en la ec. (2),

σ  x − σ  y = donde:

 E 

 Nf 

1 +ν 

(13)

σx, σy = tensiones principales en la superficie del elemento de ensayo  E = módulo elástico del elemento de

ν 

ensayo = coeficiente de Poisson del elemento de ensayo

Y sabiendo que la tensión tangencial máxima, ιMAX, en el plano de la superficie en cualquier punto es (σx - σy)/2,

1    E    τ MAX  =   Nf  2  1 + ν  

(14) Página 33

Las ecuaciones (8) y (13), que son las relaciones principales usadas en análisis de tensión de revestimientos fotoelásticos, dan sólo la diferencia en deformaciones y tensiones principales, no las cantidades individuales. Para determinar las magnitudes individuales y los signos tanto de las deformaciones como de las tensiones principales generalmente se requiere, para estados de tensión   biaxial, una segunda medida, tal como la suma de las deformaciones principales. Hay muchos casos, sin embargo, cuando estas ecuaciones proveen toda la información necesaria para el análisis de tensión. Por ejemplo, cuando la relación de tensiones principales se puede deducir de otras consideraciones – una flecha uniforme a torsión ( σx / σy = -1), un recipiente de presión de pared delgada (σx / σy = 2), etc. – esta relación se puede combinar con la ecuación (13) para resolver las tensiones principales individuales. Y, cuando se sabe que el estado de tensión es uniaxial, σx o σy son cero, sólo hay una tensión principal distinta de cero en el plano de la superficie del elemento de ensayo, y esto se puede obtener directamente de la ecuación (6). Por ejemplo, sí σy = 0,

σ  x =

 E 

 Nf 

1 + ν 

(15)

Los casos en los cuales una de las tensiones superficiales principales son cero incluyen todos los elementos rectos de sección transversal uniforme a tracción axial o a compresión (y a flexión), a distancia de los puntos de aplicación de la carga. Incluso para elementos inclinados suavemente, también cargados, el estado tensional es aproximadamente uniaxial, y la ecuación (15) se puede aplicar frecuentemente como una buena aproximación. Un tipo de caso mucho más importante desde el punto de vista del análisis de tensión práctico envuelve todos los puntos en los contornos y en los extremos libres del elemento de ensayo. Considérese, por ejemplo, un agujero sin carga que penetra al elemento de ensayo. En cada  punto del extremo del agujero, los ejes principales son normales y tangenciales, respectivamente, al extremo. Como la tensión normal principal en el extremo es necesariamente cero, el estado de tensión es uniaxial, y la única tensión principal distinta de cero es en el lugar tangente al extremo del agujero. Hay muchos otros casos, tales como bridas proyectantes y nervios, y objetos “bidimensionales” en general, en los cuales el estado de tensión en el extremo sin carga es siempre uniaxial. Para tales casos, la única tensión principal distinta de cero, que es tangente al extremo, se  puede determinar directamente del orden de franja observado sustituyendo en la ecuación (15); o, en efecto, multiplicando el orden de franja por una constante. La figura 9 muestra una porción de la superficie de un elemento de máquina metálica a la cual se le ha aplicado un revestimiento fotoelástico. Como se indica, el revestimiento se ha dispuesto para unir de forma precisa el borde del agujero con el del nervio. El estado de tensión uniaxial en los puntos a y b se demuestra por los diagramas de cuerpo libre aumentados de Página 34

elementos de material eliminado de los bordes para examinarlos. Con el elemento en carga en servicio normal, y revisando el revestimiento con el polariscopio de reflexión; se observa un orden de franja de dos en el punto a, y aproximadamente ¾ en el punto b. El calibrado previo ha establecido un valor de franja de 1100 µε por franja para este revestimiento. Por tanto, la tensión en el punto a en la región más crítica se puede calcular directamente de la ecuación (15) asumiendo (para acero) que E/ (1+ ν) = 23.5E6 psi o 162 GPa: σx = 23.5 x 106 x 1100 x 10 -6 x 2 =51 700 psi o, σx = 162 x 109 x 1100 x 10 -6 x 2 = 356 MPa

Y de forma similar, la tensión en el borde del nervio es aproximadamente de 19-400 psi, o 134 MPa. Resumiendo, la diferencia entre deformaciones principales se puede determinar de al ecuación (8), y la diferencia entre tensiones principales de la ecuación (13), en cualquier punto en una superficie revestida fotoelásticamente. En punto donde el estado de tensión es uniaxial, la ecuación (15) da directamente la tensión principal. En cada caso, el resultado se obtiene multiplicando el orden de franja observado por una constante. Queda, sólo identificar el orden de franja en el punto de medida. Se siguen los técnicas para desarrollar esto de forma precisa y  positiva con el polariscopio de reflexión.

Figura 2.9. Porción de la superficie de un elemento de máquina metálica a la cual se le ha aplicado un revestimiento fotoelástico Página 35

2.5.2. Medidas en un punto Se ha mostrado que en el primer paso de medida, uno observa el área completa y asigna a cada franja su orden (  N = 1, 2, 3, etc.). En cada punto de una franja,  N  es entonces conocido y por  tanto: εx - εy = Nf  En general, el punto de interés en la estructura caerá entre franjas, y será necesario establecer el “orden fraccional” o fracción de una franja. La técnica usada se llama “compensación”. Se usan dos métodos básicos: 1. Compensación tardía usando el analizador rotatorio incorporado al polariscopio modelo 031. 2. Compensación de balance nulo usando los accesorios modulares de la serie 030, modelos 232 o 632, o el polariscopio modelo 040. 2.5.2.1. Compensación tardía La compensación tardía es un método relativamente rápido y simple. Sin embargo, el método requiere un operador con experiencia si las medidas se van a hacer a toda prueba. El  principio del método es el siguiente: Cuando el polarizador y el analizador están alineados con la dirección de las deformaciones/tensiones principales, y las placas de cuarto de onda están a 45º, una rotación α del analizador en el sentido de las agujas del reloj, desplazará a una franja a la posición donde el orden fraccional r es α /180. El analizador (de esfera) se gradúa en centenas de franja de 0 a 180 (ver Fig. 10). El analizador es rotado en el sentido de las agujas del reloj hasta que llega a una franja en el punto seleccionado de medida (rojo en un lado, verde en el otro). El orden de franja fraccional r  es entonces leído directamente del analizador dial. Si el orden de franja más bajo se mueve al punto (franja n), la lectura total será:  N = n + r 

y, εx = ε1, εy = ε2

donde: ε1, ε2 = deformaciones principales máxima y mínima, respectivamente. Si el orden de franja más alto se mueve al punto (franja n+1), la lectura total será: Página 36

 N = -[(n+1)-r ]

y,

εx = ε1, εy = ε2

Figura 2.10. Compensación tardía: polarizador y analizador alineados con las direcciones  principales. Girar el analizador en la dirección de las agujas del reloj. En cada caso: εx - εy = Nf 

y, σ  x − σ  y =  Nf 

 E 

1 + υ 

2.5.2.2. Medidas de tensión principal en contornos libres usando compensación tardía El signo y magnitud de la tensiones principales en un campo uniaxial, y además en un campo uniaxial, y además en un extremo libre o contorno libre, se pueden determinar directamente desde que una de las tensiones sea cero. El procedimiento es el siguiente:

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1. Alinear el eje εx del analizador (Fig. 10) con la dirección del borde. 2. Identificar las franjas n y n+1 en cada lado del punto. 3. Girar el analizador en la dirección de las agujas del reloj. Si la franja más baja de orden n se desplaza hacia el punto de medida, el signo de la tensión es positiva y la lectura total será  N = [(n+1)-r ]. En cualquier caso la tensión será:

σ 

=  Nf 

 E 

1 + υ 

donde: σ = tensión, si es positivo; compresión, si es negativo.

2.5.2.3. Medida usando el método de compensación de balance-nulo La compensación de balance-nulo opera sobre el principio de introducir en el trayecto de luz del polariscopio una birrefrigencia calibrada variable de signo contrario al inducido en el revestimiento fotoelástico por el campo de deformación. Cuando la birrefrigencia variable de signo contrario se ajusta de forma precisa a la magnitud de la birrefrigencia inducida por deformación, ocurre una cancelación total, y la birrefrigencia neta en el trayecto de luz será cero. La condición de   birrefrigencia neta cero se reconoce fácil porque produce una franja negra en el diagrama isocromático donde, antes de introducir la birrefrigencia compensadora, existía una franja de color  (Fig. 11). El dispositivo para sintetizar una birrefrigencia variable calibrada se conoce como compensador de balance-nulo.

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Figura 2.11. La franja inicialmente coloreada se convierte en negra mediante el compensador de  balance-nulo.

La forma en la cual un compensador de balance nulo opera se ilustra esquemáticamente en la figura 12 por analogía con el balance común “knife-edge”. La birrefrigencia inducida por  deformación (o “señal” óptica) se representa para una masa desconocida en el recipiente de la izquierda de la balanza, donde produce un momento en el sentido contrario al de las agujas del reloj, moviendo el puntero desde el centro hacia la izquierda. Masas conocidas se pueden situar en el recipiente de la derecha (introduciendo un momento en el sentido de las agujas del reloj) hasta que el puntero vuelve al centro de nuevo. Cuando el puntero está centrado, la suma de las masas calibradas conocidas iguala a la masa desconocida. La operación del compensador pone en paralelo el balance – esto es, compensar la birrefrigencia se añade al trayecto de luz hasta que exactamente se compensa la birrefrigencia inducida en el revestimiento por el campo de deformación en la superficie del elemento revestido.

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Figura 2.12. Principio del método de compensación mediante balance-nulo.

2.6. Métodos de Separación de deformación/tensión principal En las secciones anteriores, se ha mostrado cómo medir diferencias de deformación  principal y luego calcular las siguientes tensiones: La magnitud de la diferencia de las tensiones principales σx - σy; • La tensión tangencial máxima ιMAX = (σx - σy)/2; • Los valores por separado de la tensión principal distinta de cero en bordes y contornos libres donde normalmente ocurren las tensiones máximas ya que en esos puntos la otra tensión principal es cero. •

Para obtener los valores individuales de las tensiones principales en puntos no localizados en contornos libres se requieren medidas adicionales. Hay dos técnicas disponibles; el método de incidencia oblicua, y el método separador de galga extensométrica. El de incidencia oblicua es el más difícil de usar, y está restringido a medidas en localizaciones a las que permiten el acceso mecánico del adaptador de incidencia oblicua. La técnica de incidencia oblicua se debe usar en revestimientos PhotoStress de módulo medio y bajo, ya que el método separador de galga extensométrica es únicamente aplicable a revestimientos de módulo alto.

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2.6.1. Método de incidencia oblicua El término incidencia oblicua significa que la luz del polarizador atraviesa el revestimiento fotoelástico bajo un cierto ángulo, y la birrefrigencia medida de la deformación principal secundaria en el plano perpendicular al trayecto de luz. Entonces, una lectura de incidencia oblicua ( N o), combinada con la lectura de incidencia normal ( N  N  ),  provee la información necesaria para determinar los valores por separado de σx y σy en otros puntos que en contornos libres. La figura 13 muestra el trayecto de luz emergiendo desde el polarizador, reflejado por el espejo de incidencia oblicua, atravesando el revestimiento fotoelástico, reflejado hacia el espejo, y finalmente de vuelta al analizador.

Figura 2.13. Método de incidencia oblicua.

En incidencia normal  N  N  , la medida es:  N  Nλ = δ NORMAL = 2tK( εx-εy)

En incidencia oblicua:  N Oλ = δOBLICUA = 2tK(Aεx- Bεy)

Los coeficientes  A y B dependen del coeficiente de Poisson del revestimiento, y del ángulo θ utilizado. Resolviendo estas ecuaciones en términos de εx y εy: ε  x =  f (1.5 N O − N  N ) ε  y =  f (1.5 N O − 2 N  N )

(16) (17)

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(16) y (17) para revestimientos de alto módulo Los valores numéricos de 1, 1.5, y 2 son coeficientes derivados del desarrollo de las ecuaciones para medidas de incidencia oblicua. Una vez que se han determinado las deformaciones principales, se calculan las tensiones  principales.

σ  x = σ  y =

 E  2

1−υ   E 

1−υ 2

(ε  x +υε  y ) (ε  y +υε  x )

Donde  E  y  ν son el módulo de elasticidad y el de Poisson, respectivamente, del elemento de ensayo. 2.6.2. Método separador de galga extensométrica Si se puede determinar la suma de las deformaciones principales en el mismo punto donde se mide la diferencia de deformaciones principales. Luego los valores de deformación principal por  separado son obtenidos simplemente resolviendo ecuaciones simultáneamente. La galga separador PhotoStress está basada en este principio fundamental de la mecánica. Como se muestra en la figura 14, la placa de galga consiste en dos elementos perpendiculares conectados en serie. La deformación indicada de la galga entonces corresponde a ( εx + εy)/2 sin tener en cuenta la orientación de la galga en la superficie del elemento revestido. Representando la señal de salida con el símbolo S G por conveniencia en la manipulación algebraica,

Figura 2.14. Galga separadora. Página 42