Laboratorio de Mecánica de Materiales II Departamento de Ingeniería Mecánica
Fotoelasticidad INTRODUCCIÓN La técnica experimental conocida como fotoelasticidad ha ha servido para determinar niveles de esfuerzo sobre distintos materiales utilizando algunas propiedades ópticas. Es en cierta forma una herramienta alterna al uso de extensometría para conocer niveles de esfuerzo presentes sobre distintos elementos mecánicos. Por otro lado, esta técnica ha servido también para verificar la eficacia de algunos métodos computacionales como el método de elemento finito cuando se analizan problemas de concentración de esfuerzos, ya que por medio de la técnica de fotoelasticidad es es posible obtener imágenes como la mostrada en la fig. 1 en donde los colores indican distintas intensidades de esfuerzo sobre los materiales analizados.
Figura 1.- Patrones de colores obtenidos a través de un experimento de fotoelasticidad. En la figura se aprecia el contacto entre dos dientes de engranes. Los colores representan distintas intensidades de esfuerzo. La principal desventaja que tiene la técnica de fotoelasticidad con respecto a extensometría es que es difícil o imposible realizar análisis de esfuerzos en zonas ocultas debido a que es necesaria la presencia de una fuente de luz. Un problema adicional radica en el hecho de que es necesario contar con cierta experiencia para interpretar los resultados.
POLARIZACIÓN DE LA LUZ La técnica experimental de fotoelasticidad proporciona proporciona información sobre los niveles de esfuerzo presentes en los materiales. Dicha información en general no podría obtenerse a través de extensometría, sobre todo cuando se trata de un análisis de concentración de esfuerzos. Como la técnica requiere la utilización de fuentes luminosas existen algunas consideraciones ópticas que deben discutirse. La luz es un conjunto de ondas electromagnéticas similares a las ondas de radio. Una fuente incandescente emite energía de radiación que se propaga en todas las direcciones y contiene un espectro de ondas de varias frecuencias y longitudes de onda. De todo este espectro, solo una porción entre 400 y 800 nm (15 y 30x10 -6 pulg) es útil en función de los límites de percepción del ojo humano. La vibración asociada con la luz es perpendicular a la dirección de propagación. Una fuente de luz emite un conjunto de ondas conteniendo vibraciones en todos los planos perpendiculares a su dirección de propagación. Con la introducción de un filtro polarizador P (fig. 2) solo una componente de estas vibraciones será transmitida (aquella que es paralela al eje privilegiado del filtro ). ). El haz de luz resultante se conoce como luz polarizada luz polarizada o polarizada o polarizada en un plano debido debido a que la vibración está contenida en un solo plano. Si otro filtro polarizador A es 1
Laboratorio de Mecánica de Materiales II Departamento de Ingeniería Mecánica puesto en la trayectoria de la luz polarizada se producirá una extinción completa de la luz si los ejes de los filtros ( A y P) son perpendiculares entre si.
Figura 2.- Polarización de la luz. El filtro P restringe la vibración a un solo plano. Si el eje del filtro A es perpendicular al eje de P la luz deja de propagarse a la salida de A. La luz se propaga en el vacío a una velocidad C de 3x1010 cm/seg. En otros cuerpos transparentes la velocidad de propagación de la luz V es menor y a la razón C/V se le conoce como índice de refracción . En un cuerpo homogéneo este índice es constante independientemente de la dirección de propagación de la luz, a diferencia materiales cristalinos en los cuales el índice depende de la orientación del material y de la dirección de propagación de la luz. Ciertos materiales (conocidos como materiales birrefringentes), donde destacan algunos plásticos, se comportan ópticamente isotrópicos cuando se encuentran libres de esfuerzos, pero cambian a una condición ópticamente anisotrópica cuando se someten a un estado de esfuerzos. El cambio en el índice de refracción de dichos materiales es una función de la deformación resultante, de manera análoga al cambio de resistencia en una galga extensométrica. Este fenómeno es el principio fundamental a partir del cual funciona el método experimental de fotoelasticidad para determinar esfuerzos sobre los materiales. Cuando un vector de luz polarizada a se propaga a través de un plástico birrefringente con espesor t , donde X y Y son las direcciones de deformaciones principales en el punto bajo consideración, el vector de luz se separa en dos componentes ortogonales que son propagados en los planos X y Y (fig. 3). Si la intensidad de deformación a lo largo de X y Y es ε x y ε y y la velocidad de la luz vibrando en estas direcciones es V x y V y respectivamente, entonces el tiempo necesario para cruzar el material para cada uno de estos vectores será t/V , y el retardo relativo entre ambos rayos será
t t V x − V y = t ( n x − ny )
δ = C
(1)
donde n es el índice de refracción del material birrefringente.
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Figura 3.- Polariscopio plano. La ley de Brewster establece que el cambio relativo en el índice de refracción es proporcional a la diferencia entre las deformaciones principales sobre el material en el punto en cuestión . Esta ley puede escribirse como
(n
x
− ny ) = K ( ε x − ε y )
(2)
donde la constante K es llamada coeficiente óptico de deformación y define una propiedad física del material. Esta es una constante típicamente adimensional (usualmente establecida mediante calibración) y puede ser considerada en forma análoga al factor de galga para extensometría. Combinando las Ecs. (1) y (2) se tiene que
δ
= qtK ( ε x − ε y )
(3)
donde q es una constante que depende del tipo de polariscopio utilizado. El valor de la constante es q=1 en un polariscopio de transmisión (fig. 4a) y q=2 en un polariscopio de reflexión (fig. 4b), debido a que en este último caso la luz debe pasar dos veces a través del material fotoelástico, el cual es colocado sobre la superficie de algún elemento que se desee analizar (fig. 5).
(b) (a) Figura 4.- Tipos de polariscopios. (a) Transmisión.- La luz polarizada es transmitida a través del objeto analizado. (b) Reflexión.- La luz polarizada es reflejada sobre el objeto analizado.
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Figura 5.- Recubrimiento fotoelástico para analizar niveles de esfuerzo utilizando un polariscopio de reflexión. En base a lo anterior, la relación básica para medición de deformación utilizando la técnica de fotoelasticidad es
ε x
− ε y =
δ
(4)
qtK
Debido al retardo relativo δ , las dos ondas dejan de estar en fase cuando emergen del material fotoelástico. El filtro analizador A transmitirá únicamente un componente de cada una de dichas ondas (aquellos componentes paralelos a A) como se muestra en la fig. 3. Estas componentes interfieren entre si y la luz resultante estará en función de
• •
El retardo δ. El ángulo entre el analizador y la dirección de deformaciones principales (β-α).
En el caso de un polariscopio plano (fig. 3), la intensidad de la luz que emerge del analizador A es
I
=a
2
sin
2
( β − α ) sin
2
πδ λ
(5)
La intensidad de luz es cero cuando β-α=0 o cuando los filtros de polarización cruzados son paralelos a la dirección de las deformaciones principales. Por tal motivo un polariscopio plano es utilizado para medir las direcciones principales de deformación . Si se agregan filtros ópticos de un cuarto de onda (fig. 6) en la dirección de propagación de la luz, se produce luz polarizada circularmente y la imagen observada no está influenciada por la dirección de las deformaciones principales. La intensidad de la luz obtenida mediante este polarizador es
I
=a
2
sin
2
πδ λ
(6)
En un polariscopio circular, la intensidad de luz es cero cuando δ=0, δ=1λ, δ=2λ …, o en general cuando δ =N λ (donde N es 1,2,3, etc.). A este número N se le conoce como orden de franja y expresa el tamaño de δ . La longitud de onda usualmente utilizada es λ=22.7x10-6 pulg (575 nm). El retardo o señal fotoelástica es descrito por N . Por ejemplo: si N=2 entonces el retardo (δ ) es 2 franjas, o bien δ =2 λ , que es igual a δ =45.4x10-6 pulg (1150 nm).
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Figura 6.- Polariscopio circular. Una vez que δ =N λ es conocido, la diferencia entre deformaciones principales es obtenida a partir de la Ec. (4) como
ε x
− ε y =
δ qtK
= N
λ qtK
(7)
MAGNITUDES DE ESFUERZO Y DEFORMACIÓN Los órdenes de franja observados en experimentos de fotoelasticidad son proporcionales a la diferencia entre las deformaciones principales presentes en el material fotoelástico (y en la superficie de la pieza de prueba si se trata de un recubrimiento fotoelástico). Esta relación es la misma que se estableció en la Ec. (7). La Ec. (7) puede escribirse en términos de la deformación de corte γxy como
γ xy
=
δ qtK
= N
λ qtK
(8)
En algunas ocasiones los ingenieros y diseñadores trabajan con frecuencia con esfuerzo en lugar de deformaciones. En este sentido, las Ecs. (7) y (8) pueden ser transformadas utilizando la ley de Hooke para esfuerzos biaxiales en materiales isotrópicos. De tal manera que se tiene
σ x
=
σ y
=
E 1
−ν
2
E 1
−ν
2
(ε
x
−νε y )
(9)
(ε
y
−νε x )
(10)
y
σ x
−σ y =
E 1
+ν
(ε
x
−ε y )
(11)
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Laboratorio de Mecánica de Materiales II Departamento de Ingeniería Mecánica Si se utiliza un polariscopio de transmisión q=1 , de tal manera que sustituyendo la Ec. (7) en la Ec. (11) se tiene
σ x
− σ y =
N λ tK 1 + ν E
(12)
donde
• • •
σ , los esfuerzos principales sobre el material fotoelástico. x σ y son
E es el módulo de elasticidad del material fotoelástico. ν es la razón de Poisson del material fotoelástico.
El esfuerzo cortante máximo τmax está dado por (σx-σy)/2, de tal manera que
τ max
=
1 2
E λ (1 +ν ) tK
N
(13)
si se define una constante C como la constante óptica de esfuerzo a partir de la expresión
C =
E λ
(1 +ν ) K
(14)
la Ec. (13) puede escribirse entonces como
τ max
=
CN 2t
(15)
donde
• • •
C es una constante óptica de esfuerzo. N es el orden de franja obtenido experimentalmente (birrefringencia observada expresada en unidades de franja). t es el espesor del modelo hecho con material fotoelástico.
Si se utiliza un polariscopio de reflexión q=2 , de tal manera que sustituyendo la Ec. (7) en la Ec. (11) se tiene
σ x
− σ y =
N λ 2tK 1 + ν E
(16)
donde
•
σ , x σ y son los esfuerzos principales sobre la superficie de la pieza de prueba
(recubierta de material fotoelástico).
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• •
E es el módulo de elasticidad del material del cual está hecha la pieza (fig. 5). Debe notarse la diferencia con el otro tipo de polariscopio, pues en este caso el material de la pieza será el que se encuentre sometido a un estado de esfuerzo). ν es la razón de Poisson del material de la pieza (fig. 5).
El esfuerzo cortante máximo τmax está dado por (σx-σy)/2, de tal manera que
τ max
=
1 2
E λ (1 +ν ) 2tK
N
(17)
Si se define al valor de franja (f) como
f =
λ 2tK
(18)
entonces la Ec. (17) puede escribirse como
τ max
E 1 = Nf 2 1 + ν
(19)
Las Ecs. (15) y (19) sirven para calcular la intensidad máxima de esfuerzo cortante τmax utilizando polariscopios de transmisión y de reflexión respectivamente. En la práctica de laboratorio se hará uso de un polariscopio de transmisión, razón por la cual se considerará que q=1 y el esfuerzo cortante τmax será determinado utilizando la Ec. (15).
Referencias Rally, James W., Riley, William F. Experimental Stress Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, USA. 1991. Measurements Group. Introduction to the stress analysis by the PhotoStress® Method. Measurements Group, Inc. Raleigh, North Carolina, USA. Technical Note TN-702-1. Measurements Group. 080 Series Teaching Measurements Group, Inc. Raleigh, North Carolina, USA.
polariscope user’s manual.
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