Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica Ingeniería Civil Mecánica Elasticidad y sus Aplicaciones en Ingeniería
LABORATORIO DE ELASTICIDAD Y SUS APLICACIONES EXPERIENCIA C594: FOTOELASTICIDAD
Profesor:
Renato Galleguillos
Estudiante:
Carlo Sotta Maribil
Fecha de la Experiencia:
25 de Mayo de 2016
Índice Resumen .............................................................................................................................................................................
3
Objetivos .............................................................................................................................................................................
3
Objetivo General ................................................................................................................................................................
3
Objetivos Específicos .........................................................................................................................................................
3
Equipos e Instrumentos Utilizados.......................................................................................................................................
4
Montaje y Desarrollo Experimental.......................................................................................................................................
6
Resultados .......................................................................................................................................................................... 8 Análisis de Resultados ......................................................................................................................................................
12
Conclusiones y Observaciones .......................................................................................................................................... 13 Apéndices ..........................................................................................................................................................................
14
Tablas ............................................................................................................................................................................
14
Marco Teórico y Fórmulas Útiles .......................................................................................................................................
14
Bibliografía ......................................................................................................................................................................
16
Resumen En esta experiencia se realizan tres acciones sobre distintos materiales transparentes de tal forma de analizar el efecto de la tensión mecánica sobre cada probeta desde un punto de vista óptico. En la primera parte, se caracteriza un cierto material mediante un polariscopio, de tal forma que al ser cargado gradual y discretamente, se logren percibir colores sobre la superficie de la probeta en cuestión, que serán guías para la determinación del esfuerzo en ciertos puntos de la probeta. Luego, bajo la calibración anterior, se carga una probeta similar (del mismo material), pero con una geometría distinta y particular, de tal forma que se deben analizar ciertos puntos de tal probeta y determinar a qué esfuerzo están sometidos ciertos puntos. Finalmente se hace un análisis de esfuerzo respecto de la posición de una probeta de un material distinto al anterior y con una geometría variable, mediante una fotografía realizada con una cámara web conectada a un PC, que a su vez está conectado a un medidor de carga propio del polariscopio. Todo lo anterior analizado por un software que genera las gráficas mediante un procesamiento de imagen.
Objetivos Objetivo General -
Conocer el principio fotoelástico y sus ventajas como técnica experimental para determinar la distribución de esfuerzos en un sólido elástico sometido a carga mecánica.
Objetivos Específicos -
Realizar la caracterización del material fotoelástico disponible, usando para ello la máquina de tracción, el polariscopio y una probeta de sección regular.
-
Calcular el factor de concentración de esfuerzos en una probeta con perforación central, midiendo la tensión mecánica máxima en la zona regular y perforada. Para esto se usa la técnica de fotoelasticidad.
-
Describir la distribución de tensión mecánica, en una probeta de sección variable, utilizando la técnica de medición fotoelástica.
-
Medir en una probeta fotoelástica de sección variable la distribución de tensiones. Se debe utilizar la caracterización del material, la celda de carga, una cámara CCD y el programa de análisis suministrado.
Equipos e Instrumentos Utilizados Polariscopio. Fabricante: PHOTOLASTIC INC. Contiene una serie de elementos que se especifican brevemente: -
Fuente de Luz: Donde se genera luz blanca difusa, y es posible filtrarla para simplificar el diagrama fotoelástico.
-
Polarizador Primario: En el eje óptico, polariza la luz blanca en una dirección conocida y arbitraria.
-
Prensa: Permite montar la probeta en mordazas para traccionarla, y mediante una celda de carga, medir la tensión mecánica aplicada.
-
Polarizador Secundario: Permite girar la dirección de la polarización, y llevar de un campo claro a oscuro.
-
Punto de observación y soporte para una cámara web: Lugar donde se puede observar el fenómeno, analizar las líneas y registrar cambios en la probeta. Además es posible colocar una cámara web de tal forma que registre imágenes para su posterior procesamiento.
Imagen 1: Polariscopio.
Módulo de Adquisición de Datos . Marca NATIONAL INSTRUMENTS, modelo NI USB-6009. Contiene 14 Bits de resolución de entrada, y 8 entradas análogas para medidas múltiples.
Imagen 3: Módulo de Adquisición de Datos.
Pie de Metro. Marca MITUTOYO. Hecho en Japón, de acero inoxidable, con división de escala de 0.05 [mm] y rango de indicación de 0 a 300 [mm].
Imagen 2: Pie de Metro.
Montaje y Desarrollo Experimental La experiencia se divide en varias etapas, de las cuales hay una de caracterización y calibración mediante una probeta de cierto material, otra de medición de esfuerzos con base en la calibración anterior, y finalmente una fase de procesamiento de imágenes donde se logra captar la curva de esfuerzo a partir de una posición específica en el material.
Primera Parte: Caracterización del material -
Se selecciona una probeta de sección constante de un cierto material (en este caso de Poliuretano). Se mide su sección transversal con pide de metro. Se fija la probeta en la mordaza superior que pertenece al polariscopio. En la parte inferior de la probeta se introduce un gancho de tal forma que pueda contener distintos pesos. Se procede a cargar la probeta gradualmente con pesos establecidos. Se observa que mediante la carga aumenta, el material cambia de color en distintos puntos, concentrándose más en la perforación. Es necesario oscurecer el polarizador secundario de tal forma de notar de mejor forma los colores. Se debe anotar el (los) color (es) predominante (s) según la carga a la cual está sometida la probeta hasta llegar a 850 gramos, y de forma discreta, o sea, sumándole pesos establecidos. Finalmente se calcula un promedio de carga en el cual el color se repita, es decir, el promedio de esfuerzo necesario para realizar un cambio de color completo.
Imagen 4: Montaje de una probeta de sección constante de policarbonato (no estudiada en la experiencia).
Segunda Parte: Ensayo de Concentradores de Esfuerzos Se debe disponer de una probeta del mismo material que el anterior (Poliuretano de bajo E), pero con una sección en donde exista un orificio en su centro, de tal forma de conocer los esfuerzos que aparecen en ciertos puntos de los alrededores de tal orificio respecto a la calibración de colores de la primera parte de la experiencia. En esta parte se carga la probeta con dos configuraciones: una con 300 [gr] y otra con 500 [gr]. La idea es que determinar el esfuerzo, tanto experimental como teórico, que existe en distintos puntos enumerados de la probeta que se muestran en la Imagen 5, y compararlos.
Imagen 5: Puntos de interés en la probeta (izquierda), y visualización de la probeta sometida a cierta carga (derecha).
Tercera Parte: Análisis de Imágenes -
Se coloca en el polariscopio una probeta de sección variable de otro material (Policarbonato). Se amordaza en la parte superior de igual forma que las veces anteriores. En su parte inferior se coloca la celda de carga que va conectada al DQA (Módulo de Adquisición de Datos), que a su vez va conectada a un PC con un software para procesamiento de imágenes. Se modifica el offset del indicador de carga del polariscopio, de tal forma de determinar el nuevo cero en la medición. Se debe girar el polarizador secundario para oscurecer la imagen y notar los colores al cargar la probeta. Se instala la cámara web en el polariscopio (punto de observación) y se conecta al PC. El software en cuestión es MATLAB, con un cierto programa que se debe ejecutar (FotoelasticidadADQ.m). Se debe ajustar la cámara de tal forma que quede lo más centrado posible el lugar de interés a analizar. Se ingresa al programa el ancho, espesor, y una constante de calibración del material K. Luego se demarca la zona de interés en la fotografía, y el programa procesa la información de tal forma que muestra la curva de esfuerzo en función de la posición de un punto en la zona de interés de máximo esfuerzo.
Imagen 6: Probeta de policarbonato utilizada en la tercera prueba de análisis de imágenes.
Resultados Primera Parte Los colores asociados a cada carga a la cual se somete la probeta de resina son los siguientes:
Carga [gr]
Esfuerzo [MPa]
Color
0
0.000
Amarillo - Gris
50
0.234
Verde Limón
100
0.468
Amarillo Opaco
150
0.703
Amarillo Brillante
200
0.937
Amarillo
250
1.171
Amarillo - Naranja
300
1.405
Mandarina
350
1.639
Naranja
400
1.874
Naranja - Rojo
450
2.108
Vino - Naranja
500
2.342
Vino - Turquesa
550
2.576
Turquesa
600
2.810
Turquesa - Verde
650
3.044
Verde Agua
700
3.279
Amarillo Verdoso
750
3.513
Amarillo - Naranja
800
3.747
Naranjo Claro
850
3.981
Naranjo - Rojo
900
4.215
Vino - Naranja
950
4.450
Vino - Turquesa
1000
4.684
Turquesa
1050
4.918
Turquesa - Verde
Tabla 1: Valores de carga, esfuerzo y color asociado en la probeta.
Cabe destacar que los últimos 4 valores son extrapolados para poder calibrar de mejor manera los colores. Luego, el valor de repetición de color es de aproximadamente 500 [gr], o 2.342 [MPa] de diferencia, y se evidencia en la repetición del color Amarillo – Naranja, que se encuentra cuando la probeta se carga con 250 gr. y también con 750 gr.
Segunda Parte Los valores de esfuerzo tanto experimental mediante la calibración anterior, y teórica mediante las ecuaciones de G. Kirsch, que se encuentran en los distintos puntos, mostrados en la imagen 5, con una carga de 300 gr son:
N°
Color (con 300 gr)
σ (exp) [kPa]
σ (teo) [kPa]
Error [%]
1
Turquesa
45.948
41.354
9.999
2
Vino
22.974
22.722
1.099
3
Naranjo
16.082
15.104
6.084
4
Amarillo
9.190
14.261
55.178
5
Amarillo Verdoso
2.297
2.447
6.551
6
Amarillo
9.190
9.888
7.592
7
Naranjo
16.082
9.765
39.280
Tabla 2: Valores de esfuerzo experimental, teórico, y error asociado para distintos puntos de la probeta cargada con 300 gr.
Luego, la gráfica asociada a los esfuerzos en cada punto, tanto experimental como teóricamente, es la siguiente:
Esfuerzo vs. Puntos (300 gr) 50.0 45.0 40.0 ] a P k [ o z r e u f s E
35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Esfuerzo Experimental
Puntos
Esfuerzo Teórico
Gráfico 1: Valores de esfuerzo en los distintos puntos de la probeta para la configuración de carga con 300 gr.
Lo que conlleva a los siguientes valores de concentración de esfuerzos:
Kt' (colores)
Kt' (Kirsch)
Error [%]
2.568
2.311
9.999
Tabla 3: Valores de concentración de esfuerzos para medición por caracterización y por cálculo.
Con la misma idea de análisis de esfuerzos en los mismos puntos de la probeta, pero con una carga de 500 gr, se genera la siguiente tabla de datos:
N°
Color (con 500 gr)
σ (exp) [kPa]
σ (teo) [kPa]
Error [%]
1
Turquesa
45.948
68.923
50.002
2
Amarillo Verdoso
32.164
37.869
17.738
3
Turquesa
25.272
25.173
0.393
4
Naranja
16.082
23.768
47.793
5
Amarillo Opaco
4.595
4.079
11.226
6
Naranja - Rojo
18.379
16.480
10.335
7
Vino - Turquesa
22.974
16.276
29.155
Tabla 4: Valores de esfuerzo experimental, teórico, y error asociado para distintos puntos de la probeta cargada con 500 gr.
De igual forma, la gráfica que representa el esfuerzo asociado a cada punto de interés, tanto experimental como teórico, es la que sigue:
Esfuerzo vs. Puntos (500 gr.) 80.0 70.0 60.0 ] a P k [ o z r e u f s E
50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0
1
2
3
4
5
Puntos
6
7 8 Esfuerzo Experimental Esfuerzo Teórico
Gráfico 2: Valores de esfuerzo en los distintos puntos de la probeta para la configuración de carga con 500 gr.
Luego, las concentraciones de esfuerzos para esta configuración son las siguientes:
Kt' (colores)
Kt' (Kirsch)
Error [%]
1.541
2.311
50.002
Tabla 5: Valores de concentración de esfuerzos para medición por caracterización y por cálculo.
Además, es posible graficar la variación del esfuerzo resultante, angular y radial con respecto al ángulo medido desde la vertical hacia abajo y barriendo en dirección horaria, como se muestra en la Imagen 7:
Esfuerzo Radial, Angular y Resultante vs. Ángulo 0.08 0.06 ] 0.04 a P M [
Esfuerzo Radial
o 0.02
z r e u f s E
Esfuerzo Angular Esfuerzo Resultante
0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
-0.02 -0.04
Ángulo [°] Gráfico 3: Ejemplo de esfuerzos Radial, Angular y Resultante en relación con el ángulo, para el punto 1 con carga de 500 gr.
Tercera Parte La gráfica de esfuerzo en relación con la posición desde un punto específico de la probeta, analizado en la imagen obtenida con la cámara y que es el punto donde hay más angostura, es la siguiente:
Imagen 6: Gráficas del procesamiento de imágenes y fotografía en escala de grises de la probeta traccionada.
Análisis de Resultados Primera Parte En la Tabla 1, es posible notar que la variación de colores se logra obtener luego de aumentar en cierta cantidad la carga, por ejemplo, pasar del color amarillo al naranjo equivale a cargar con 300 gr más la probeta aproximadamente. Además, es necesario aumentar la cantidad de valores de carga para mejorar la calibración de colores (extrapolando).
Segunda Parte En las Tablas 2 y 4 se aprecian los valores de esfuerzo experimental, sacados de la Tabla 1 siendo la guía para esta parte de la experiencia, y los esfuerzos teóricos, calculados con las ecuaciones de la solución de G. Kirsch argumentada en el marco teórico, para los puntos de interés (Imagen 5) sobre la probeta de poliuretano perforada usada en esta experiencia. En los Gráficos 1 y 2 se logra visualizar la diferencia de esfuerzo, experimental y teórico, en cada punto antes mencionado. Además se puede divisar la cantidad de esfuerzo a la cual está sometido cada punto del material, lo que genera una idea de qué puntos podrían ser los más críticos. Las Tablas 3 y 5 muestran los valores de concentración de esfuerzos, donde el lugar donde existe mayor solicitación es el punto 1 (al borde del orificio). Además se muestra una comparación porcentual entre las concentraciones de esfuerzos calculados por lo métodos utilizados en la experiencia. Además, la Gráfica 3, muestra la variación de los esfuerzos radial, angular y completo respecto del ángulo visto desde la vertical inferior y en sentido horario. El punto de mayor interés es el máximo valor de esfuerzo, que se indica para este caso, cuando el ángulo es 90° y 270°, lo que significa que el punto analizado para obtener esta gráfica es el punto 1 (aquel que está en el borde de la perforación).
Tercera Parte En la Imagen 6 se logra ver la variación del esfuerzo axial al cual la probeta está sometida mediante la mordaza del polariscopio y la celda de carga, en función de la posición, determinando la posición “cero” como el punto medio de la zona más angosta de la probeta, pues la idea es analizar qué sucede a medida que se avanza (hacia arriba) en el material. Además es posible notar un gráfico de intensidad de grises versus la posición, lo que viene a ser una aclaración gráfica de la fotografía de la misma imagen. Lo anterior denota la repetición cíclica de colores (en este caso grises) respecto a la posición de la probeta.
Conclusiones y Observaciones El objetivo general se cumple, pues es posible conocer el fenómeno fotoelástico sobre ciertos materiales y su importancia al querer analizar con mayor detalle el efecto que se genera al cargar un material, sobre distintos puntos de este. Para la primera parte, fue necesaria una extrapolación (como se ve en la Tabla 1), pues así la caracterización y calibración de los esfuerzos con base en los colores se hace más fina y genera un mejor resultado con menos error, por lo que uno de los objetivos se cumple. En la segunda parte de la experiencia, es posible notar en la Tabla 2, con carga de 300 gr, hay ciertos valores de esfuerzo bastante desviados de la realidad, suponiendo que la experiencia arroja valores reales. Lo anterior es notorio c uando se analizan los puntos 4 y 7, siendo el de mayor error porcentual (55.2% aprox.), el punto más al borde de la probeta, es decir, el punto 4. En la Tabla 4, con carga de 500 gr, existe una similitud, pero los puntos 1, 2, 4 y 7 son los que tiene mayor error, siendo el mayor en este caso el punto 1 (50%), aquel justo en el borde de la perforación. En ambas cargas, los errores por sobre el 15% son considerados grandes e incluso groseros, por lo que no sería posible validar el modelo teórico en estos puntos. Se recomendaría volver a realizar el experimento bajo normas más estrictas para no caer en posibles errores de medición y/o calibración, o buscar otra fuente teórica para calcular los esfuerzos necesarios para el caso. Caso contrario pasa con los puntos restantes en cada configuración, ya que sus errores son menores a un 15%, siendo validado el modelo teórico de Kirsch usado en esta experiencia. Todo lo anterior es fácil verlo en los Gráficos 1 y 2, donde las diferencias grandes y casi nulas se logran ver en los puntos antes mencionados para ambos casos de carga. Es posible asumir que tal error puede deberse a la poca exactitud de la percepción de los colores en cierto punto, pues es sumamente difícil determinar exactamente el(los) color(es) que predomina(n), sobretodo sabiendo que los puntos son muy específicos y pequeños. De todas formas, tal error es posible asociarlo a la calibración que se hace en la primera parte de la experiencia, o también a la poca exactitud de captación del color en un punto específico, que vendría siendo la opción más viable por la dificultad respecto de la calibración, en donde la óptica falla menos. Concluyendo, en esta parte existe una clara predominancia de análisis con la carga de 300 gr, esto se debe a que a mayor carga, existe mayor distorsión en aquella zona de la probeta con menor medida, es decir, se genera una mayor deformación en el espesor , lo que va generando mayor error si se aumenta la carga. Para la tercera y última parte, se observa que a medida que la distancia aumenta , siendo el punto de origen el centro del lugar más angosto de la probeta y aumentando hacia donde existe mayor cantidad de material, el esfuerzo disminuye , pues tal como en el proceso anterior, el esfuerzo aumenta donde existe menos área transversal respecto al resto del material. Lo anterior tiene lógica, pues el lugar más vulnerable de un material (suponiendo que es homogéneo) es donde tiene menos superficie transversal, de ahí radica la idea de que se calcule un valor de esfuerzo admisible, que ojalá no se supere, en aquellos lugares de este tipo. Además, es posible ver en la fotografía en escala de grises de la Imagen 6, que la repetición de colores va disminuyendo su trecho a medida que aumenta la distancia antes instaurada, lo que verifica lo anterior sobre el esfuerzo versus la posición.
Apéndices Tablas Las medidas utilizadas de la probeta de poliuretano perforada son las siguientes: Medida
Ancho [mm]
Espesor [mm]
Área [mm2]
Radio [mm]
---
30.5
7
213.5
3.5
Tabla 6: Medidas de la probeta de poliuretano perforada.
Las medidas y valores necesarios para el análisis de imágenes de la probeta de policarbonato de sección irregular son: Medida
Ancho [mm]
Espesor [mm]
Constante de Calibración [MPa]
Carga de Tracción [N]
---
18
5.45
1.315
974.16
Tabla 7: Medidas y valores necesarios de la probeta de policarbonato de sección variable.
Marco Teórico y Fórmulas Útiles Concentración de Esfuerzos Es un efecto localizado producto de alguna singularidad geométrica que altera la distribución de esfuerzos. Para indicar en aumento de la concentración de esfuerzo de define el factor de concentración como:
Kt = σmáxσ Donde:
σmax:: esfuerzo máximo medido σ: esfuerzo nominal en la zona de singularidad
En el caso particular de una probeta con una perforación circular pasante en una placa de sección rectangular constante se tiene:
Kt′ = σσmáx
Donde el esfuerzo en la zona perforada se calcula como
σ = e(d−P 2a) Donde:
P: carga aplicada a la probeta e: espesor de la probeta d: ancho de la probeta a: radio de la perforación
Cálculo de Esfuerzos La distribución de esfuerzos y los esfuerzos asociados a una probeta con una cierta geometría, en donde existe una perforación es la siguiente:
Imagen 7: Distribución de esfuerzo para una probeta con perforación en su centro.
El valor del esfuerzo en cualquier punto en la vecindad de la perforación puede calcularse con las siguientes ecuaciones:
r
1 2
a r
2
2
1 3a 4a cos 2 r r 4
4
2
2
1 2
a r
2
2
3a 1 cos 2 r
(r , )
4
4
2
r
2
Esfuerzo en sección variable En una probeta de sección variable, como la que se muestra en la figura, se tiene que la tensión varía en función de la longitud. En este caso particular se tiene máxima tensión en y = 0, y una disminución paulatina a medida que se recorre el eje central.
Imagen 8: Forma y valores de la probeta de sección variable.
Donde el esfuerzo depende del valor de y, y se describe como:
σ = Fuerza ∗
1 Espesor∗ 2∗ 40 − 31√ 1 − 109y
Bibliografía -
Guía de Fotoelasticidad . Renato Galleguillos. Guía para el Laboratorio de Fotoelasticidad, de la asignatura de
Elasticidad y sus Aplicaciones en Ingeniería, para la carrera de Ingeniería Civil Mecánica. USACh. Visto en 2016. -
Módulo de Adquisición de Datos (DAQ) . National Instruments. PDF con las especificaciones técnicas del
instrumento (en inglés): http://www.ni.com/pdf/manuals/375296a.pdf . Visto en 2016.
