σij = ami anj σmn – tenseur d’ordre quelconque T ijk
′
= ail a jm akn T lmn
T ijk
= ali amj ank T lmn
(3 indices)
′
(r´eciproque)
Op´ erations vectorielles et tensorielles Op´erations sur les vecteurs de base ei et les dyades de base ei e j d’une base orthonorm´ee ¯ ¯ ¯ d’orientation directe : ei e j ¯ ¯ ei e j ¯ ¯ ei e j : ek el ¯ ¯ ¯ ¯ ei e j ek ¯ ¯ ¯ ei e j ek ¯ ¯ ¯ ei e j ek el ¯ ¯ ¯ ¯ ei e j ek ¯ ¯ ¯ ei e j ek ¯ ¯ ¯
· ×
· ·
×
·
×
= δij = ǫijk ek ¯ = (e j ek )(ei el ) = δ jk δil ¯ ¯ ¯ ¯ = ei (e j ek ) = δ jk ei ¯ ¯ ¯ ¯ = (ei e j ) ek = δij ek ¯ ¯ ¯ ¯ = ei (e j ek ) el = δ jk ei el ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ei (e j ek ) = ǫ jkl ei el ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (ei e j ) ek = ǫijl el ek ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
D´ eterminant d’un tenseur d’ordre 2 : det(T ) = ǫijk T i1 T j 2 T k3 = ǫijk T 1i T 2 j T 3k ¯
ou encore
det (T ) = ¯
1 6
ǫijk ǫlmn T il T jm T kn
1
3
CALCUL TENSORIEL
Op´ erations sur les vecteurs :
– expression d’un vecteur en termes de ses composantes : u = ui ei ¯ ¯ – addition de deux vecteurs : – produit scalaire de deux vecteurs :
u + v = (ui + vi ) ei ¯ ¯ ¯ u v = ui vi ¯ ¯
·
– produit vectoriel de deux vecteurs :
u v = ǫijk u j vk ei ¯ ¯ ¯ – produit tensoriel ou dyadique de deux vecteurs :
×
u v = ui v j ei e j ¯¯ ¯ ¯ – produit mixte de trois vecteurs : u (v ¯ ¯
= ( u × v) · w = ǫ · × w) ¯ ¯ ¯ ¯
ijk
ui v j wk
Op´ erations sur les tenseurs :
– expression d’un tenseur en termes de composantes : T = T ij ei e j ¯ ¯ ¯ T T = T ji ei e j ¯ ¯ ¯ – addition de deux tenseurs : S + T = (S ij + T ij ) ei e j ¯ ¯ ¯ ¯ – produit scalaire ou deux points de deux tenseurs : S : T = S ij T ji ¯ ¯ – produit tensoriel de deux tenseurs : S T = S ij T jk ei ek ¯ ¯ ¯ ¯ – produit vectoriel d’un tenseur et d’un vecteur :
·
T u = T ij u j ei ¯ ¯ ¯
·
Parties sym´ etrique et antisym´ etrique d’un tenseur Tout tenseur T peut se d´ecomposer en la somme d’un tenseur sym´etrique antisym´etrique¯ A : ¯ T = S + A ¯ ¯ ¯ avec 1 S = T + T T 2 ¯ ¯ ¯ 1 A = T T T 2 ¯ ¯ ¯ etrique A peut ˆetre associ´e un vecteur Propri´ et´e : A tout tenseur antisym´ ¯ tel que : 1 ai = ǫijk Akj et Aij = ǫijk ak 2
−
−
S et d’un tenseur ¯
a, et invers´ement, ¯
1
4
CALCUL TENSORIEL
Parties sph´ erique et d´ eviatoire d’un tenseur Tout tenseur T peut se d´ecomposer de la mani`ere suivante : ¯ T = T s δ + T d ¯ ¯ ¯ o` u T s est la partie sph´erique de T : ¯ et T d sa partie d´eviatoire : ¯
1 T s = tr T 3 ¯ T d = T ¯ ¯
s
− T ¯δ
Remarque :
tr T d = 0 ¯ Le tenseur δ = δij ei e j est le tenseur unit´e ¯ Invariants scalaires Invariant d’un vecteur :
v¯ 2 = v v i
i
Invariants d’un tenseur : I T = tr T = T ii ¯ II T = tr T 2 = T ij T ji ¯ III T = tr T 3 = T ij T jk T ki ¯ A partir de ces invariants, on peut d´efinir d’autres invariants, par exemple : I 1T = I T 1 2 I 2T = (I 2 T 1 3 I 3T = (I 6 T
− II ) − 3I · II T
T
T
+ 2III T ) = det T ¯
1
5
CALCUL TENSORIEL
Op´ erations diff´ erentielles en coordonn´ ees cart´ esiennes orthonorm´ ees
– op´erateur nabla :
∇¯ = ¯e ∂x∂ i
– op´erateur laplacien : ∆=
∇¯
2
=
i
∂ 2 ∂ 2 = = ∂x i ∂x i ∂x 2i ¯
∇¯ · ∇
– gradient d’un champ scalaire :
∇¯ f = ¯e
i
∂f ∂x i
– laplacien d’un champ scalaire :
2
∇¯ · ∇¯ f = ∂ ∂xf 2 i
– gradient d’un champ vectoriel :
∇¯ u¯ ∇¯ u¯ T
– divergence d’un champ vectoriel :
∂u j ∂x i ∂u i ∂x j
= =
∇¯ · u¯ = ∂u ∂x
ei e j ¯ ¯ ei e j ¯ ¯ i i
– rotationnel d’un champ vectoriel :
∇¯ × u¯ = ǫ
ijk
∂u k ei ∂x j ¯
– laplacien d’un champ vectoriel : ∂ 2 u j u= e j ∂x 2i ¯ ¯¯
∇¯ · ∇ – divergence d’un champ tensoriel :
∇¯ · T ¯ = ∂T ∂x
ij i
e j ¯
1
6
CALCUL TENSORIEL
Syst` eme de coordonn´ ees-composantes cylindriques 3
r=
ez
¯
eθ ¯
e3
er
¯
e1
2
+ x2 2
x1 = r cos θ
x
x2 = r sin θ
2
x1
z = x3
¯
z e2 ¯ r
1
θ = arctan
P
O
x
x3 = z
2
θ
¯
1
“Vecteur” position : x = r cos θ e1 + r sin θ e2 + z e3 = r er + z ez ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Vecteurs de base : ∂ x er = ¯ / ∂r ¯ ∂ x eθ = ¯ / ∂θ ¯ ∂ x ez = ¯ / ∂z ¯ D´eriv´ees des vecteurs de base :
∂ x ∂ x ∂r¯ = ∂r¯ = cos θ ¯e + sin θ ¯e ∂ x¯ = 1 ∂ x¯ = − sin θ e + cos θ e ¯ ¯ ∂ ∂θx r∂ x∂θ ∂z¯ = ∂z¯ = ¯e 1
2
1
2
3
∂ er ¯ =0 ∂r ¯ ∂ er ¯ = eθ ∂θ ¯ ∂ er ¯ =0 ∂z ¯
∂ eθ ¯ =0 ∂r ¯ ∂ eθ ¯ = er ∂θ ¯ ∂ eθ ¯ =0 ∂z ¯
∂ ez ¯ =0 ∂r ¯ ∂ ez ¯ =0 ∂θ ¯ ∂ ez ¯ =0 ∂z ¯
−
Matrice de changement de base (cart´esien [aij (r,θ,z)] = cyl
→ cylindrique)
Acar
cos θ = − sin θ 0
sin θ 0 cos θ 0 0 1
Op´ erations diff´ erentielles en coordonn´ ees cylindriques :
– op´erateur nabla :
∇¯ = ¯e
r
∂ 1 ∂ ∂ + eθ + ez ∂r ¯ r ∂θ ¯ ∂z
– gradient d’un champ scalaire :
∇¯ f = ¯e
r
∂f 1 ∂f ∂f + eθ + ez ∂r ¯ r ∂θ ¯ ∂z
1
8
CALCUL TENSORIEL
Syst` eme de coordonn´ ees-composantes sph´ eriques r=
3
¯
φ
O θ
+ x2 2 + x3 2
x1 = r sin φ cos θ
2
2
2
x2 = r sin φ sin θ
3
P eφ r
2
1
eθ
e3
1
√x + x φ = arctan x x
er
¯
¯
x
θ = arctan
¯
2
x3 = r cos φ
x1
2
e2
¯
e1
¯
1
“Vecteur” position : x = r sin φ cos θ e1 + r sin φ sin θ e2 + r cos φ e3 = r er ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Vecteurs de base : ∂ x er = ¯ / ∂r ¯ ∂ x eφ = ¯ / ∂φ ¯ ∂ x eθ = ¯ / ∂θ ¯
∂ x ∂ x ∂r¯ = ∂r¯ = sin φ cos θ ¯e + sin φ sin θ ¯e + cos φ ¯e ∂ x¯ = 1 ∂ x¯ = cos φ cos θ e + cos φ sin θ e − sin φ e ¯ ¯ ¯ ∂ ∂φx r ∂φ1 ∂ x ∂θ¯ = r sin φ ∂θ¯ = − sin θ ¯e + cos θ ¯e 1
