INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS GENERALISES

MECAMAT 2004

INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS GENERALISES D. Caillerie, R. Chambon Laboratoire “Sols, Solides, Structures” INPG UJF CNRS GRENOBLE

D. Caillerie - Mécanique des milieux continus généralisés

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Objectif : Présenter les caractères généraux des modélisations second gradient, Cosserat, milieu à microstructure Motivation : modélisation des localisations de déformation Les points abordés dans l’exposé (plus ou moins) : • Dérivation de modèles de milieux continus généralisés à partir d’un potentiel élastique. • Introduction de modèles de milieux continus généralisés par le principe des puissances virtuelles. • Identification des modèles second gradient et Cosserat comme cas particuliers de milieux à microstructure. • Dynamique des solides à déformation homogène. • Analyse de la modélisation des efforts intérieurs d’un milieu continu généralisé moments - moments généralisés - auto contrainte. • Modélisation des efforts intérieurs d’un milieu de second gradient, tension membranaire. • Conditions aux limites cinématiques et sthéniques dans les milieux généralisés - Rôle de conditions aux limites. • Termes inertiels - Micro inertie. • Quelques modèles anélastiques de second gradient - Régularisation n° 2


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Localisation de déformations

n° 3


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Un modèle monodimensionel avec adoucissement Barre en traction N'=0 u(0)=0 , u(L)=UL N 1

am

ad 1

εs

u’

n° 4


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Pour UL/L>εS : alternance de morceaux durs (u'<εs) et mous (u'>εs) N 1

am

ad 1

εs s1 x1=0

u’

sn xn xn+1

sN xN

xN+1=L

Solution non unique Lm, Ld, longueurs cumulées des parties dures et molles, ne sont pas déterminées Lm > am L ad+am La réponse globale N=f UL L n’est, elle non plus, pas unique n° 5


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Réponse globale N=

adam UL -ε +ε a Ld Lm L S S d am - ad L L Ld+Lm=L

N 1

am

ad 1

εs

UL L

n° 6


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Bilan de l'étude du modèle avec adoucissement Perte d’unicité (grave) - Impossibilité de définir une longueur “molle” Sensibilité au maillage Cause (partielle) εxu=1 ∇u+∇ut 2 tenseur des déformations (linéarisées) en théorie classique des milieux continus est sans dimension physique. Aucun paramètre homogène à une longueur n’apparaît dans les lois de comportement. Remède (possible) Régulariser et introduire une longueur interne dans le modèle Utiliser une modélisation plus générale de milieux continus : second gradient (fortes variations de la déformation) - Cosserat (rotation de grains ou d'un réseau cristallin) - milieux à microstructure n° 7


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Milieux continus généralisés monodimensionnels Démarche : généraliser l'élasticité linéaire d'une barre en traction simple Energie de déformation : 1

W(u)= 1 2

a(u')2 dx 0

Introduction de termes supplémentaires dans la densité d'énergie w(u)= 1 a(u')2 2 Modèle second gradient élastique w sg(u)= 1 a(u')2+b(u'')2 2 Modèle élastique avec microstructure (E est une microdéformation) wm(u,E)= 1 a(u')2+cE2+bE'2 2 Dimension physique (E est sans dimension) : [ ba ]=[L]2 n° 8


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Formulations variationnelles - modèle classique Minimiser J(v)=W(v)-L(v) avec v(0)=0 1

où :

W(v)= 1 2

u minimise J(v) si :

1

a(v')2 dx L(v)= 0

fv dx+Fv(1) 0

∀u*, u*(0)=0 , J(u)≤J(u+u*) 1

J(u+u*)=W(u+u*)-L(u+u*)=W(u)-L(u)+

1

a(u*')2 dx

au'u*' dx-L(u*)+ 0

0

1

d'où :

∀u*, u*(0)=0 ,

au'u*' dx-L(u*)=0 0

N=au' →

P (u*)=-

1

i

0

Nu*' dx n° 9


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Formulations variationnelles - modèle second gradient Minimiser J(v)=W(v)-L(v) avec v(0)=0 W(v) et L(v) sont généralisés en : 1

W(v)= 1 2

a(v')2+b(v'')2 dx 0

1

L(v)=

fv dx+F1v(1)+M0v'(0)+M1v'(1) 0

u minimise J(v) si : 1

∀u*, u*(0)=0 ,

au'u*'+bu''u*'' dx-L(u*)=0 0

n° 10


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Analyse du modèle second gradient 1

∀u*, u*(0)=0 ,

au'u*'+bu''u*'' dx-L(u*)=0 0

On pose : N=au' M=bu''

et on a :

1

∀u*, u*(0)=0 ,

Nu*'+Mu*'' dx-L(u*)=0 0

Puissances virtuelles du modèle second gradient 1

P (u*)=i

Nu*'+Mu*'' dx 0

1

P (u*)=L(u*)= e

fu* dx+F1u*(1)+M0u*'(0)+M1u*'(1) 0

n° 11


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Formulation forte du modèle second gradient Intégrations par parties (deux successives) 1

∀u*, u*(0)=0 ,

1

Nu*'+Mu*'' dx= 0

fu* dx+F1u*(1)+M0u*'(0)+M1u*'(1) 0

Formulation forte : équilibre :

N-M' '+f=0 conditions aux limites sthèniques :

loi de comportement :

N(1)-M'(1)=F1 M(0)=-M0 , M(1)=M1 N=au' M=bu''

condition aux limites cinématique :

u(0)=0

n° 12


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Poutre de Navier Bernoulli sur lit à ressorts (spirales) Equilibre d'une poutre : T'+f=0 M'-T+m=0 T effort tranchant, M moment fléchissant, m densité linéique d'efforts extérieurs Lois de comportement : de la poutre : des ressorts du lit :

M=-EIu'' m=-kθ=ku'

Modèle de la poutre sur lit : m+M' '+f=0 m=ku' et M=-EIu'' Modèle second gradient : N-M' '+f=0 N=au' M=bu'' n° 13


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Formulations variationnelles - modèle de milieu à microstructure Minimiser J(v,F)=W(v,F)-L(v,F) avec v(0)=0 W(v) et L(v) sont généralisés en : 1

W(v,F)= 1 2

a(v')2+cF2+b(F')2 dx 0

1

L(v,F)=

fv+mF dx+F1v(1)+M0F(0)+M1F(1) 0

u,E minimise J(v,F) si : 1

∀u*, u*(0)=0 ,

au'u*'+cEE*+bE'E*' dx-L(u*,E*)=0 0

n° 14


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Analyse du modèle de milieu à microstructure 1

∀u*,E*, u*(0)=0 ,


On pose : N=au' , T=cE , M=bE' et on a : 1

∀u*,E*, u*(0)=0 ,

Nu*'+TE*+ME*' dx-L(u*,E*)=0 0

Puissances virtuelles du modèle de milieu à microstructure 1

Pi(u*,E*)=-

Nu*'+TE*+ME*' dx 0

1

Pe(u*,E*)=L(u*,E*)=

fu*+mE* dx+F1u*(1)+M0E*(0)+M1E*(1) 0

n° 15


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Formulation forte du modèle de milieu à microstructure Intégrations par parties (deux simultanées) ∀u*, u*(0)=0 , 1 0

Nu*'+TE*+ME*' dx-

1 0

fu*+mE* dx-F1u*(1)-M0E*(0)-M1E*(1)=0

Formulation forte : équilibre (deux équations) :

N'+f=0 , T-M'-m=0 conditions aux limites sthèniques :

loi de comportement :

N(1)=F1 M(0)=-M0 , M(1)=M1 N=au' , T=cE , M=bE'

condition aux limites cinématique :

u(0)=0 n° 16


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Analyse des efforts internes du milieu à microstructure N'+f=0 , T-M'-m=0 Equilibre de la portion x0≤x≤x1 du milieu x1

x1

N'+f dx=0 → N(x1)-N(x0)+ x0

f dx=0 x0

N(x1) est la tension exercée par la partie x≥x1 sur la partie x≤x1 x1

x1

T-M'-m dx=0 → x0

x1

Tdx+M(x1)-M(x0)+ x0

mdx=0 x0

M(x1) est le "moment" exercé par la partie x≥x1 sur la partie x≤x1 Comment interpréter l'effort intérieur T agissant à l'intérieur de la portion x0≤x≤x1 ? Auto contrainte ? n° 17


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Milieu de second gradient comme milieu à microstructure Si on impose : E=u' l'énergie de déformation élastique du milieu à microstructure : wm(u,u')= 1 a+c (u')2+bu''2 2 prend la forme de l'énergie de déformation élastique du milieu du second gradient L'identification du milieu élastique de second gradient comme milieu à microstructure peut s'analyser dans le cadre d'une minimisation sous la contrainte E=u'

n° 18


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Minimisation sous contrainte Minimiser J(v,F)=W(v,F)-L(v,F) 1

W(v,F)= 1 2

a(v')2+cF2+b(F')2 dx 0

1

L(v,F)=

fv+mF dx+F1v(1)+M0F(0)+M1F(1) 0

sous la contrainte : F-v'=0 u,E=u' minimise J(v,F) sous la contrainte F-v'=0 si : 1

∀u*,E*, u*(0)=0, E*-v*'=0 ,


multiplicateur de Lagrange 1

∀u*,E*, u*(0)=0 ,

1

au'u*'+cEE*+bE'E*' dx-L(u*,E*)= 0

R(E*-u*')dx 0

n° 19


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1

∀u*,E*, u*(0)=0 ,

(au'+cE)u*'+(cE+R)(E*-u*')+bE'E*' dx-L(u*,E*)=0 0

On pose : N=au'+cE , T=cE+R , M=bE' et on a : 1

∀u*,E*, u*(0)=0 ,

Nu*'+T(E*-u*')+ME*' dx-L(u*,E*)=0 0

La puissance virtuelle de ce milieu de second gradient :

P (u*,E*)=-

1

i

Nu*'+TE*+ME*' dx est analogue à celle d'un milieu à microstructure :

P (u*,E*)=-

1

i

0

0

Nu*'+TE*+ME*' dx=-

1 0

(N+T)u*'+T(E*-u*')+ME*' dx

Si on impose E*=u*' on retrouve :

P (u*)=-

1

i

0

Nu*'+Mu*'' dx n° 20


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Remarques i. Dans le modèle à microstructure T est donné par une loi de comportement : T=cE Dans le modèle second gradient, T qui est un multiplicateur de Lagrange, est, comme R, inconnu et il n'y a pas de loi de comportement sur T ii. Analogie avec les poutres de Navier-Bernoulli Equilibre :

T'+f=0 M'-T+m=0 Loi de comportement :

M=EIθ' Condition de Navier-Bernoulli :

θ=-u' Il n'y a pas de loi de comportement sur l'effort tranchant T qui est le multiplicateur de Lagrange associé à la condition de Navier-Bernoulli

n° 21


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Conclusion intermédiaire - L'enrichissement de la description cinématique : introduction de la dérivée seconde ou d'un champ de déformation micro entraîne - l'enrichissement de la description sthénique : apparition de nouveaux champs décrivant les efforts internes et - la prise en compte de nouvelles conditions aux limites cinématiques et/ou sthéniques - Quelle est l'interprétation mécanique de l'effort intérieur T ? - Les milieux de second gradient sont un cas particulier de milieux à microstructure

n° 22


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Milieux tridimensionnels On peut reprendre pour les milieux tridimensionnels l'approche précédente par enrichissement de l'énergie de déformation des milieux élastiques. Cela donne des résultats analogues. Pour plus de généralité, on peut aussi utiliser le principe des puissances virtuelles développé par P. Germain. Principe des puissances virtuelles : i. Choix de la description de la cinématique et des déformations (degré de dérivation) ii. La puissance virtuelle des efforts intérieurs est une forme linéaire de la cinématique virtuelle iii. La puissance virtuelle des efforts intérieurs est objective (invariante par changement de référentiels)

n° 23


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Milieux de Cauchy (ou de Boltzmann ?) Cinématique virtuelle : champ de vitesse u*, dérivées premières ∂jui∗ de la vitesse Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de Cauchy :

Pi (u*)=B

Objectivité de

Ω

siui∗+σij∂jui∗ dv

Pi (u*) → s=0 , σ symétrique : Pi (u*)=- σijεij(u*) dv B

B

Ω

εij(u*)= 1 (∂jui∗ + ∂iu∗j ) 2

n° 24


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Milieux de Cauchy généralisés ? Cinématique virtuelle : champ de vitesse u* de vitesse de microrotation Ω∗ij (tenseur d'ordre deux antisymétrique), dérivées premières ∂jui∗ de la vitesse Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de Cauchy généralisé :

Pi (u*)=-

σijεij(u*)+τij Ω∗ij-ωij(u*) dv

B

Ω

ωij(u*)= 1 (∂jui∗ - ∂iu∗j ) 2 σ est symétrique, τ est antisymétrique

n° 25


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Milieux de second gradient Cinématique virtuelle : champ de vitesse u*, dérivées premières ∂jui∗ et secondes ∂jkui∗ de la vitesse Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de second gradient :

Pisg(u*)=-

Ω

σijεij(u*)+χijk∂jkui∗ dv

σ est symétrique, symétrie de χ : χijk=χikj

n° 26


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Milieux de Cosserat Cinématique virtuelle : champs de vitesse u* et de vitesse de microrotation Ω∗ij (tenseur d'ordre deux antisymétrique), dérivées premières de la vitesse ∂jui∗ et de la microrotation ∂kΩij∗ Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de Cosserat :

PiC(u*,Ω*)=-

Ω

σijεij(u*)+τij Ω∗ij-ωij(u*) +χijk∂kΩij∗ dv

ωij(u*)= 1 (∂jui∗ - ∂iu∗j ) 2 σ est symétrique, τ est antisymétrique, symétrie de χ : χijk=-χjik On peut écrire

PiC(u*,Ω*)=-

Ω

σij+τij ∂jui∗+τijΩ∗ij+χijk∂kΩij∗ dv

σ+τ n'est ni symétrique ni antisymétrique n° 27


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Milieux à microstructure Cinématique virtuelle : champs de vitesse u* et de vitesse de microdéformation E* (tenseur d'ordre deux), dérivées premières de la vitesse ∂jui∗ et de la microdéformation ∂kEij∗ Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu à microstructure :

P

i µs(u*,E*)=-

Ω

σijεij(u*)+τij Eij∗ -∂jui∗ +χijk∂kEij∗ dv

σ est symétrique, τ et χ sont quelconques On peut écrire

Piµs(u*,E*)=-

Ω

σij+τij ∂jui∗+τijEij∗ +χijk∂kEij∗ dv

σ+τ n'est ni symétrique ni antisymétrique, σ+τ A=τA

n° 28


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Milieux de second gradient et milieux de Cosserat comme milieux à microstructure

P

i sg(u*)=- Ω

PC(u*,Ω*)=- Ω i

=-

P

Ω

σijεij(u*)+τij Ω∗ij-ωij(u*) +χijk∂kΩij∗ dv

σij+τij ∂jui∗+τijΩ∗ij+χijk∂kΩij∗ dv

i µs(u*,E*)=- Ω

-

Ω




P P P P

i i E*=∇u* → µs= sg , multiplicateurs τ et χijk-χikj i i E*=Ω* → µs= c , multiplicateurs τij+τij et χijk+χjik

Ω*=ω(u*) → Cosserat second gradient

n° 29


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Eléments finis (cf Chambon) La discrétisation par éléments finis de la formulation "normale" d'un problème de second gradient avec :

Pisg(u*)=-

Ω

nécessite des éléments à continuité des problèmes


C1 ce qui, à deux ou trois dimensions, pose

La formulation comme milieu à microstructure contraint avec :

Piµs(u*,E*)=-

Ω


ne nécessite que des éléments à continuité

C0 mais il faut discrétiser E*

n° 30


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Formulation forte des équations d'équilibre du milieu à microstructure Deux intégrations par parties à partir de :

P

i µs(u*,E*)=-

Peµs(u*,E*)= mènent à :

Ω


fiu∗i +gijE∗ij dv+ Ω

Fiui∗+GijE∗ij ds ∂Ω

∂j σij+τij +fi=0 dans Ω ∂kχijk-τij+mij=0 dans Ω σij+τij nj=Fi sur ∂Ω χijknk=Gij sur ∂Ω n° 31


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Analyse des efforts internes du milieu à microstructure Equilibre d'une partie quelconque du milieu

D

D ∂

n

D

D'

Forces

D

∂j σij+τij +fi dv=0 →

D

fi dv+

D

σij+τij nj ds=0

∂

σij+τij nj est la densité surfacique de force exercée par

D' sur D à travers ∂D

n° 32


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"Moments"

D D

∂kχijk-τij+mij dv=0 → -

∂k σik+τik xj+fixj dv=0 →-

D

σij dv+

D

mij dv-

D

D

D

τij dv+

σij+τij dv+

fixj dv+

D

∂

D

mij dv+

D

fixj dv+

χijknk ds-

D

∂

D

∂

D

∂

χijknk ds=0 σik+τik nkxj ds=0

σik+τik nkxj ds=0

D' sur D à travers ∂D σijdv agissant à l'intérieur de D ? Auto D

χijknj est la densité surfacique de "moment" exercé par Interprétation de l'effort interne

contrainte ? Ce terme n'apparaît pas dans les efforts internes d'un milieu de Cosserat car, l'écriture de l'équilibre en moment est limitée à la partie antisymétrique des équations précédentes. n° 33


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Formulation forte des équations d'équilibre du milieu de second gradient

Pisg(u*)=- Ω σijεij(u*)+χijk∂jkui∗ dv ;Pesg(u*)=

fiu∗i dv+ Ω

Fiui∗+Gi∂nui∗ ds ∂Ω

Deux intégrations par parties successives donnent :

P

∂j σij-∂kχijk ui∗ dv-

i sg(u*)=

Ce qui donne :

Ω

σij-∂kχijk njui∗+χijknk∂jui∗ ds ∂Ω

∂j σij-∂kχijk +fi=0 dans Ω

L'identification des termes de bord est moins aisée en raison de la présence de dérivées de u∗ Remarque : sur ∂Ω, on ne peut imposer, indépendamment l'un de l'autre, que u∗ et sa dérivée normale ∂nu∗ n° 34


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Interprétation mécanique des efforts internes à un milieu à microstructure (cf Eringen) Solide indéformable : solide dont les transformations sont définies par une translation φ(t) et une rotation R(t) : xi=φi(t)+Rij(t)Xj X variable lagrangienne d'où, en dérivant : vi=xi=φi+RijXj Xi=R-1 ij xj-φj =Rji xj-φj → vi=φi-RikRjkφj+RikRjkxj vi=Vi+RikRjkxj RikRjk=δij → RikRjk+RikRjk=0 vi=Vi+ωijxj où ωij=RikRjk ωi=- 1 εijkωjk → v=V+ω∧x 2 n° 35


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Solide à déformation homogène : milieu continu à déformation homogène, c’està-dire milieu dont la position des points matériels est donnée par une translation φ(t) et une transformation linéaire G(t) : xi=φi(t)+Gij(t)Xj X variable lagrangienne d'où, en dérivant : vi=φi+GijXj -1 -1 Xi=G-1 ij xj-φj → vi=φi-GikGkjφj+GikGkj xj vi=Vi+Eijxj Solide indéformable : Gij=Rij et Eij=ωij

n° 36


Cinétique des solides à déformation homogène Masse totale et centre de gravité : mtot= ρ dv et Mij=1 xiG=m1 tot 2 Ω

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Ω

ρxi dv

Conservation de la masse : mtot=0 et ∀x∈Ω , ρ+ρdivv=0 Vitesse du centre de gravité : viG= d xiG=m1 d ρxi dv =m1 ρxi dv=m1 tot dt Ω tot Ω tot dt viG=m1 ρ(Vi+Eijxj) dv=Vi+EijxG j tot Ω

Ω

ρvi dv

Champ de vitesse du solide à déformation homogène : vi=viG+Eij xj-xG j Champ d'accélération du solide à déformation homogène : G =γG+ E +E E x -xG γi=γiG+Eij xj-xG +E v -v ij j j ij ij jk j j j i n° 37


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Puissances virtuelles d'un solide à déformation homogène Le solide à déformation homogène peut être vu comme un milieu continu particulier dont l'équation du mouvement s'écrit : ∀wi,

Ω

ργiwi dv=-

Ω

σij∂jwi dv+

Ω

fiwi dv+

∂Ω

Fiwi ds

Pour un champ de vitesse virtuelle de solide à déformation homogène : wi=Wi+ηijxj la puissance virtuelle des efforts extérieurs s'écrit :

Pe(W,η)= =

Ω

fidv+

fi Wi+ηijxj dv+ Ω ∂Ω

Fi Wi+ηijxj ds ∂Ω

Fids Wi+

Ω

fixjdv+

∂Ω

Fixjds ηij

Pe(W,η)=RiWi+Mijηij n° 38


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la puissance virtuelle des efforts extérieurs s'écrit :

P (W,η)=i

Ω

σijηijdv=-

Ω

σijdv ηij

Pi(W,η)=-Σijηij la puissance virtuelle des quantités d'accélération s'écrit :

P (W,η)= a

Ω

ργi Wi+ηijxj dv=

Ω

ργidv Wi+

Ω

ργixjdv ηij

or le champ d'accélération du solide à déformation homogène est : γi=γiG+ Eij+EijEjk xj-xG j d'où : a (W,η)=mtotγiGWi+mtotγiGxG j ηij+ Eij+EijEjk Jklηij

P

J est le tenseur d'inertie au centre de gravité : Jij=

Ω

ρ xi-xiG xj-xG j dv n° 39


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Equations du mouvement d'un solide à déformation homogène L'égalité des puissances virtuelles :

P donne :

Pa

Pi

Pe

∀W,η , (W,η)= (W,η)+ (W,η) a (W,η)=mtotγiGWi+mtotγiGxG j ηij+ Eij+EijEjk Jklηij

Pi(W,η)=-Σijηij

Pe(W,η)=RiWi+Mijηij mtotγiG=Ri mtotγiGxG j + Eij+EijEjk Jkl=-Σij+Mij

n° 40


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Cas d'un solide indéformable η est antisymétrique, M est antisymétrique et vaut : Mij=1 (fixj-fjxi)dv+ (Fixj-Fjxi)ds 2 Ω ∂Ω Le vecteur associé au tenseur antisymétrique fjxk-fkxj vaut - 1 εijk fjxk-fkxj , 2 c'est-à-dire x∧f Dans le cas d'un solide à déformation homogène, le tenseur M, qui n'a pas de symétrie particulière, est un moment généralisé. Dans les équations du mouvement d'un solide à déformation homogène : mtotγiG=Ri mtotγiGxG j + Eij+EijEjk Jkl=-Σij+Mij interviennent la force résultante R et le moment résultant M des efforts extérieurs mais aussi une "auto contrainte" Σ qui est un tenseur d'ordre deux. Σ est symétrique, de ce fait il n'apparaît pas dans le cas des solides indéformables. n° 41


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Elastoplasticité et second gradient Elastoplasticité classique : f(σ,κ)≤0 σ=A(ε-εp) εp=λg(σ,κ) κ=λk(σ,κ) λ≥0 λf(σ,κ)=0 si f(σ,κ)=0, f≤0 et λf=0 Loi incrémentale (cas f(σ,κ)=0) : f=∂σf.σ+∂κf.κ=n.σ-λh h supposé positif (écrouissage positif) → détermination de λ

n° 42


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Un modèle d'élastoplasticité second gradient : f(σ,κ,∇2xκ)≤0 σ=A(ε-εp) εp=λg(σ,κ) κ=λk(σ,κ) λ≥0 λf(σ,κ)=0 si f(σ,κ)=0, f≤0 et λf=0 Loi incrémentale (cas f(σ,κ)=0) : f=∂σf.σ+∂κf.κ+∂∇2xκf.∇2xκ ∇2xκ=h∇2xλ+λ∇2xh+∇xλ∇xh Détermination de λ = résolution d'inéquations aux dérivées partielles conditions aux limites ? Variante avec ∇2xεp même combat n° 43


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Un autre modèle d'élastoplasticité second gradient : f(σ,χ,κ)≤0 σ=A(ε-εp) et χ=B(∇2x u-dp) εp=λg(σ,κ) et dp=λg(σ,χ,κ) κ=λk(σ,χ,κ) λ≥0 λf(σ,χ,κ)=0 si f(σ,χ,κ)=0, f≤0 et λf=0 Loi incrémentale (cas f(σ,χ,κ)=0) : f=∂σf.σ+∂χf.χ+∂κf.κ=n.σ+m.χ-λh

n° 44


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Régularisation Problème monodimensionel avec adoucissement (cf Chambon) M

N 1

am

ad 1

εs

u’

u’’

Alternance de morceaux durs (u'<εs) et mous (u'>εs) Intégration séparées dans les morceaux durs et mous - solutions en eωx ou en eiωx Raccordement des solutions dures et molles - Attention aux continuités → longueurs des morceaux durs et mous fixées → longueur de la localisation Somme des longueurs dures et molles = longueur totale → nombre fini de solutions n° 45

INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS GENERALISES

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