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2.3 2.3 FÓRM FÓRMUL ULAS AS PARA PARA EL CÁLC CÁLCUL ULO O DE PÉRDIDAS EN TUBERÍAS.
h f
Q2
= f L
D 2gA2
Q2
= f L
D
2 2g π D 4
2.3.1 Pérdidas principales
= f L5 D
La experimentación y observación hacen que la fricción fricción de los fluidos en las tuberías presenten presenten unas características bien definidas: ∗
∗
∗
∗
∗
∗
Cuando el flujo es laminar, la pérdida por fricción fricción es independient independiente e de la rugosidad rugosidad de las paredes de la tubería. Cuando el flujo es turbulento, las pérdidas por fricción aumentan en la medida en que aument aumentan an las imperf imperfecc eccion iones es de la pared pared interna de la tubería. La pérd pérdid ida a por por fric fricci ción ón es dire direct ctam amen ente te proporcional al área de la superficie húmeda. La pérdida por fricc icción ión varía en una prop propor orci ción ón inver inversa sa con con una una pote potenc ncia ia del diámetro interno de la tubería. La pérdida por fricción varía en proporción directa con una potencia de la velocidad. La pérdida por fricción varía en proporción directa con una potencia de la viscosidad cinemática del fluido.
=
f
L V
∗ ∗ ∗
Q2 2 π 4 2 g
( )
linealmente con la longitud al cuadrado con el caudal con la relación relación 1/D5 ; lo que hace variar considerabl considerablement emente e las pérdidas, pérdidas, cuando se cambia bia de diámetr etro. De ahí la importancia de utilizar en los cálculos el diámetro interno de la tubería.
La fórm órmula ula de Haz Hazenen-Will Willia iam ms es una expresión empírica calculada para agua fría a 150 C ; sinembargo se puede utilizar en la práctica para otras temperaturas cercanas a esta, debido a la pequeña variación que tiene la viscosidad cinemática en estos rangos de temperatura. La presentación de la expresión de HazenWilliams tiene varias notaciones; reco recome mend ndán ándo dose se en el mome moment nto o de su utilización, la verificación de sus elementos en cuanto a la parte dimensional.
2
D 2g
Algunas formas de expresión de la ecuación de Hazen-Williams son:
Donde: hf = pérdida pérdida evaluada evaluada en metros metros de columna columna de agua. L = longitud de tubería en metros. V = velocidad media (m/seg.) (m/seg.) D = diámetro interno de la tubería en metros. f = factor de fricción adimensional. La fórmu fórmula la de Darcy Darcy - Weis Weisba bach ch expresar:
Pablo A.Caro Retis
=
Lo importante de esta forma de expresar la ecua ecuaci ción ón es obse observ rvar ar que que las las pérd pérdid idas as cambian:
La fórmula universal es la de Darcy - Weisbach, pues puesto to que que se util utiliz iza a para: para: gase gases, s, líqu líquid idos os,, difere diferente ntess temper temperatur aturas as del fluido fluido,, cualqu cualquier ier clas clase e o tipo tipo de tube tuberí ría, a, cual cualqui quier er form forma a de sección.
h f
2
h=
3
x
10
D
-5
x
4.886
L
x
x
1.85
C
Q 1.85
;
La expresión anterior es muy utilizada para instalacione instalacioness hidráulicas hidráulicas en construcci construcciones, ones, donde:
se puede puede
h= metros de pérdida en columna de agua L= longitud de tubería en metros. Q= Caudal en litros/seg. D= diámetro interno en metros C= constante de fricción de Hazen-Williams que depende del tipo de tubería.
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hf = Sf L ; siendo L la longitud de tubería J=
expresión
Q
0.54
0.2785
x
C
x
D
2.63
La anterior es aplicaciones para riego, donde:
Algunos valores recomendados de n (tabla 2.2)para diferentes tipos de tubería son:
;
utilizada
en
TABLA 2.2 TIPO DE TUBERÍA PVC Asbesto cemento Concreto
J= pérdida de carga en m/m Q= caudal en m3/seg C= coeficiente de fricción de Hazen-Williams D= diámetro interno de la tubería en metros Catálogos de tuberías presentan expresiones como: h
=
n 0.009 0.011 0.013
En riego por aspersión y tubería de aluminio se ha utilizado la ecuación de Scobey:
0.2083 (100 C)1.85 Q1.85 / D4.866
K
s
h=
donde: h = pérdida de carga en m/100 m Q = caudal en galones por minuto D = diámetro interno en pulgadas C = constante de Hazen- Williams
L
1000
V
1. 9
D
1. 1
donde: h = pérdida de carga en pies Ks= coeficiente L = longitud en pies V = velocidad del flujo en pies/seg. D = diámetro interno de la tubería en pies
Algunos valores recomendados (tabla 2.1) de la constante de Hazen-Williams son:
TABLA 2.1 TUBERÍA Hierro galvanizado Aluminio con acoples PVC y plástico Cobre y latón Asbesto-cemento Concreto
C 120 120 150 130 130 120
El coeficiente Ks varía dentro de los siguientes valores: para una tubería de aluminio de 2” de diámetro nominal Ks = 0.34; Ks = 0.33 para ( 3” ) ; K s = 0.32 para ( 4”, 5” , 6” ) También es utilizada la fórmula de Flamant, adaptada para tuberías de pequeño diámetro, de acero, cobre, hierro galvanizado y PVC.
En estructuras hidráulicas, es especialmente utilizada la fórmula de Manning: R 2/3 V=
h
S
4F ( 4
)1.75 Q1.75
π
D4.75
donde:
1 /2 f
n
h = pérdida de carga en m/m F = coeficiente de fricción de Flamant Q = caudal en m3 / seg D = diámetro interno en metros
donde: V = velocidad del flujo en m/seg R = radio hidráulico ( D/4) Sf = pendiente de fricción n = coeficiente de rugosidad de Manning
Algunos valores recomendados (tabla 2.3) para la constante de Flamant son:
La pérdida por fricción se establece como:
Pablo A.Caro Retis
=
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por un mismo molde. Pero al ser construidas por molde diferente, es conveniente tratar de lograr una mayor precisión en la determinación de su cálculo.
TABLA 2.3 TUBERIA Hierro galvanizado Cobre PVC
F 0.000230 0.000140 0.000100
Si se observa por ejemplo un codo galvanizado, se ve que su molde en la curva es más redondeado que el codo de PVC; produciéndose por lo tanto menos pérdida en el codo de hierro galvanizado.
También mediante la utilización de calculadoras programables se pueden hacer cálculos de pérdidas; (lenguaje BASIC):
Las expresiones teóricas para la pérdida por accesorios utilizan:
5 PRINT”Cálculo de pérdidas hf ”: CLEAR 10 NU=1.007E-06 20 INPUT”Q(lt/seg)”; Q, “Diam(plg)”;D,”Rug E(cm)”;E,”long(m)”;L 30 INPUT”Es agua? S/N”; A$ 40 IF A$=“N” THEN GOSUB 160 45 DM= D*0.0254 50 RR=E/(DM*100): A=PI*DM^2/4:V=Q*1 E-3/A 60 RE=V*DM/UN 65 IF RE<2000 THEN X=64/RE:GOTO 146 ELSE 70 70 G=.01: X=G:GOSUB 140: YA=Y: B=0.25 : X=B: GOSUB 140: YB=Y: PRINT”F min y max”;YA, YB 80 INPUT”Es correcto S/N”; A$ 90 IF A$=“N” THEN 70 100 X=(G+B)/2: GOSUB 140: YP=Y 110 IF ABS(YP)<1E-4 THEN 146 120 IF SGN(YP)=SGN(YA) THEN G=X ELSE B=X 130 GOTO 100 135 REM VALOR DE LA FUNCION 140Y=1/X^0.5+2*LGT(RR/3.71+2.51/(RE*X ^0.5)) 145 RETURN 146HF=X*L/DM*V^2/19.62 150 PRINT”Q(Lt/seg”;Q,”Diam(plg)”;D,”v(m/ s “;V 155PRINT”RE=“;INT(RE),”F=“;X,”Rug(cm)”; E,”Rug rel=“;RR,”hf(m)=“;HF 157 END 160 INPUT”Viscos cin.NU m^2/seg”;NU 170 RETURN
Pérdida en el accesorio =
K a
2
2g
;
donde Ka corresponde a la constante del respectivo accesorio. Para pasar al sistema de longitudes equivalentes, lo que se establece es una comparación con la fórmula de tramos rectos de tubería: que K a = f
h f
Le D
=f
⇒
Le V 2 D
Le
=
2g
K a
de tal forma
;
D f
;
O sea, que
se va a averiguar en qué longitud de tramo recto de tubería se está produciendo la misma pérdida, que en ese momento produce el accesorio. Observando la expresión anterior, se puede decir que cada material, debería tener su propia longitud equivalente, ya que los diámetros internos del accesorio son diferentes, los valores de las imperfecciones en la pared interna de cada material son dierentes y por supuesto tienen molde diferente. También se ha observado que en una instalación donde aparecen una serie de accesorios en distancias relativamente cortas y donde hay una influencia de la turbulencia tanto aguas arriba como aguas abajo, el comportamiento de esta situación se asemeja a un accesorio diferente, necesitándose una evaluación particular en estos casos.
2.3.2 Pérdidas por accesorios Aquí las pérdidas se producen en gran proporción por turbulencia y poco por fricción. Casi que daría lo mismo una pérdida en el accesorio en PVC, Cobre, ó Hierro galvanizado; si su construcción fuera elaborada
Pablo A.Caro Retis
V
Hasta donde sea posible es conveniente efectuar los diseños con ayudas más precisas, que tengan en cuenta las discusiones anteriores.
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APLICACIÓN 1 1- Darcy - Weisbach: Entre 2 sitios A y B a lo largo de una tubería agrícola de PVC RDE 41 de diámetro nominal 3” ; separados una longitud equivalente de 420 m. y estando el punto B 8 m. por encima de A; Se establece que debe mantenerse una presión en B equivalente a 15 m. en columna de agua. Para un caudal de 10 lt/seg de agua a 20 0 C Qué presión debe registrarse en A?
h f = f
L V2 D 2g
Para la determinación de f : a) Diagrama de Moody: V = 0.01/5.62 x 10 -3 =1.78 m/seg VxD 1.78 x 0.0846 R e = = =1.5 x 105 6 υ 1.007 x 10 ε = 0.00015 = 0.000018 ⇒ f = 0.016 D 8.46
B 8m A Fig. 2.8 : Aplicación 1
b) Como se está en el rango establecido por Blassius:
Solución.⇒
f =
Observando un catálogo de PVC, se encuentra lo siguiente:
0.316 0.25 R e
=
0.016
c) Aplicando la fórmula explícita:
Diámetro nominal: 3” Diámetro exterior : 3.5” Espesor de la tubería : 0.085”
f =
1.325
ε 5.74 ln + 3.7 D R e 0.9
Diámetro interno = 3.5 - ( 2 x 0.085 )= 3.33” = 0.0846 m.
= 0.017
2
Area = 0.7854 x (0.0846)2 = 0.00562 m2 d) Utilizando el programa:
Viscosidad cinemática (200 C)= 1.007 x 10-6 (m2/seg) Rugosidad = 0.00015 cm.
f = 0.017 Como se puede observar, por cualquiera de los métodos para calcular f su valor corresponde aproximadamente a 0.016.
Aplicando la ecuación de Energía entre A y B: ZA 0+
+
PA γ
PA γ
+
VA
2
2g
−
hf = ZB +
PB γ
+
VB
2
2g
; VA
=
VB
- h f = 8 + 15 ;
h f = 0.016x
El cálculo de la presión en A se limita entonces al cálculo de la pérdida por fricción entre A y B . Se desarrollará este cálculo utilizando varias expresiones:
Pablo A.Caro Retis
Entonces aplicando Darcy - Weisbach: 420 0.0846
x
1.78 2 19.62
= 12.83 m
Por lo tanto la presión en A debe ser: hA = 23+12.83 = 35.83 m
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2) Hazen - Williams: h=
3 x 10 D
-5
Para la instalación que aparece en la figura 2.9; la única elevación corresponde a una ducha que está colocada 2.0 m sobre la cota del punto A . Para el funcionamiento de la ducha, se requiere una presión equivalente a 10 m en columna de agua, en el sitio del mezclador (D) . Se pide calcular la presión en A.
1.85 x Lx Q
4.886
1.85 xC
Q = 10 lt/seg L = 420 m D = 0.0846 m
Solución.-
C = 150 (PVC)
h = 14.64 m ⇒ h
A
El cálculo de la presión en A involucra basicamente la diferencia de nivel entre la ducha y el punto A; así como las pérdidas en los tramos rectos de tubería y accesorios instalados en la ruta, ya que la diferencia de cargas de velocidad entre los dos sitios es despreciable.
= 23 + 14.64 = 37.64m
3) Una expresión menos utilizada para tuberías como la ecuación de Manning: 2 n S f = ; 4/3 R V
2
V
= 1.78m/seg;
n
= .009
El cálculo de pérdida en los respectivos accesorios, se hace utilizando el criterio de longitudes equivalentes; donde la expresión para el cálculo de pérdida es la ecuación de Darcy - Weisbach, incluyendo los diámetros internos reales de tuberías.
Donde R(radio hidráulico)=D/4= 0.02115 Sf = 0.043877 hf = Sf x L = 0.043877 x 420 = 18.42m
TABLA 2.4 Información general en la aplicación TRAMO CAUDAL DIAMETR0 LONGITUD (Lt/seg) (Plg) (m) A-B 1.39 1 20 B -C 0.78 3/4 15 C-D 0.32 1/2 18
4) Utilizando la expresión de Scobey, tratando de utilizar los coeficientes usados en tubería de aluminio con acoples: KS = 0.33 L = 1377 pies D = 0.2775 pies V = 5.84 pies/seg hf =
0.33 x 137 7 x 5.84 1000 x 0.2775
Los accesorios correspondientes a cada tramo son:
1.9
1.1
=
16.18 m
5) Aunque para este diámetro ya no es muy recomendable la ecuación de Flamant, se tiene: h
x (4 / π )1.75
= 4 x 0.0001 = 0.024
x
0.01 1.75 / 0.0846
4.7
hf = 0.024 * 420 = 10.1 m
A - B : 1 codo PVC 900x1” 1 llave de compuerta de 1” 1 Tee reducida 1”x3/4”
⇒
B - C : 1 llave de compuerta de 3/4” 1 Tee reducida 3/4”x 1/2”
Nota.- Como se puede apreciar, hay ligera variación en el cálculo de la pérdida utilizando diferentes ecuaciones; Para esta aplicación se recomienda la utilización de Darcy Weisbach o Hazen-Williams.
C - D : 1 llave de compuerta de 1/2” 2 codos PVC 900 x 1/2”
APLICACIÓN 2
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D 0.32 lt/seg
A 1.39 lt/seg 1”
1/2” C
0.78 lt/seg 3/4”
B
Fig. 2.9 : Aplicación 2
TRAMO
DIA
CAUDAL (lt/seg)
LONGITUD(m) accesorios
tubería
total
PERDIDA (m)
D
10.00
C-D
1/2”
0.32
18
1.8+4.16
23.96
2.60
12.60+2.00
B-C
3/4”
0.78
15
0.82 9.53*
15.82
2.37 0.30*
17.27
2.81+1.17 7.84*
23.98
3.10 0.36*
20.73
A-B
1”
1.39
20
Observaciones:
•
1. La columna final correspondiente a
presión expresa el valor de esta en el punto considerado, de tal forma que si el tramo evaluado es C-D ; estará representando la presión en C. 2.
•
•
Como el punto C se encuentra 2.0 m por debajo del nivel D entonces se suma este valor a la presión obtenida anteriormente. 3. En el análisis de los puntos B y C se
establece lo siguiente: •
PRESION final(m)
Por una ruta a un punto como B o C llega un caudal y sale otro diferente; el restante continua por otra ruta.
El accesorio corresponde a una tee reducida. Se toma la longitud equivalente correspondiente al diámetro mayor en la tabla de reducciones. Se calcula la pérdida utilizando el caudal que cruza el accesorio. Por ejemplo en el tramo B-C la longitud equivalente Le = 9.53 m corresponde a una Tee reducida de ¾” x ½” pero la pérdida se calcula utilizando el caudal que cruza el accesorio, en este caso Q = 0.32 lt/seg.
5. Es de anotar que el proceso utilizado es basicamente la aplicación de la ecuación de la energía.
APLICACIÓN 3
Pablo A.Caro Retis
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Por el punto A circula un caudal de 5 pie3/s de agua en una tubería de 5” de diámetro. El agua descarga radialmente en todas direcciones entre placas circulares de 24” de diámetro y una separación de 1” con descarga al aire. Despreciando la fricción; determínese la presión absoluta en el sitio B en psi.
ZB
⇒
Solución.-
PB
Lo más importante de esta 24”
Q
VB
=
AC
=
VC
C
0
2
VC
=
2g
2
2g
2π r Be = 6.28 x 6" x 1" = 37.68 plg
=
3 5 pie /seg 2 0.26 pie
=
AB
2π r Ce
5”
Q
=
=
=
AC
2
= 19 pies/seg
6.28 x 12" x 1" = 75.36plg
3 5 pie /seg 2 0.52 pie
=
2
9.62 pies/seg
Calculando las respectivas cargas de velocidad con el fin de reemplazarlas en la ecuación de energía:
5”
VB
2
19
A
9.62
5.6 pies
2 1.44 pies
=
2g
6”
=
2x32.2
2
VC
2
=
2g
*B
+
=
γ
VB
γ
AB
PC
ZC ;
=
=
2 x 32.2
Entonces:
C
24”
PB
VC
=
2g
γ
Fig. 2.10: Aplicación 3 ⇒
2
PB
=
-
VB
2
2g
1.44 - 5.6
=-
4.17 pies
γ
aplicación es entender la sección transversal por donde se va desplazando el agua. Inicialmente avanza por una tubería y la sección corresponde a ( π D 2 4 ) ; cuando se reparte radialmente, entonces la sección transversal corresponde a ( 2π re ) donde e se refiere a la separación entre placas.
PB
=
ZB
+
γ
+
2 VB 2g
= ZC +
PC γ
+
- 260 lb/pie
2
3
- 1.88 Psi
=
Correspondiente a la presión manométrica Presión absoluta al nivel del mar: = 14.7-1.88 = 12.82 Psi
Estableciendo la ecuación de energía entre B y C: PB
- 4.17 pies x 62.4 lb/pie
=
2 Vc 2g
APLICACIÓN 4 Un aspersor tipo cañón con un alcance de 45 metros, necesita una presión equivalente a 35 metros en columna de agua, en el manómetro colocado cerca de la boquilla, para suministrar un caudal de 10 lt/seg. El
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aspersor está colocado 1.8 m. sobre el piso. Qué presión debe tenerse en un sitio de la tubería a 250 m. de distancia del aspersor en línea recta; si el terreno asciende en una pendiente del 5.5% desde el sitio mencionado hasta donde está colocado el aspersor?
A
0.7854
x 4.49 x 10
=
V
=
Q
0.01
=
A
3.52x10
-3
-3
=
3.52x10
=
-3
m
2
2.84 m/seg
Solución.-
Siendo esta una velocidad razonable para tuberías en aplicaciones de riego.
Básicamente se plantea la ecuación de energía desde el punto de interés hasta el manómetro de la boquilla.
Es de anotar que solo hay un cambio de dirección efectuado por un codo de 2.5” donde está instalado el aspersor y se puede reemplazar por una longitud equivalente de 4.24 metros para radio corto según tabla.
Z
i
+
Pi
+
γ
Vi
2 - ht
2g
=ZM +
PM
+
VM
γ
2
Bajo el criterio de longitudes equivalentes y utilizando la ecuación de Hazen-Williams:
2g
Ecuación que puede simplificarse:
Z
i
+
P i γ
- ht
=Z
M
+
ht
P M γ
=
-5 1.85 3x10 xLxQ 4.886 1.85 D xC
Para: L = 250+1.8+4.24 = 256 m.
Debido a la poca importancia que tiene la diferencia entre cargas de velocidad de los dos puntos.
Q = 10 lt/seg
Estableciendo como nivel de referencia el punto más bajo, entonces ZM corresponde a la diferencia de nivel entre los dos puntos.
D = 0.06698 m
ZM = 12.5 m. ( correspondiente al 5.5% en 250 m.) + 1.8 m = 14.3 m
Entonces ht = 27.93 m
C = 150
Reemplazando en la ecuación ( 1 ) : ⇒
Pi γ
= h t + 14.3 + 35
(1)
Pi γ
La ecuación anterior plantea básicamente el cálculo de las pérdidas entre los dos puntos en consideración. Utilizando tubería de PVC RDE 26 de diámetro nominal 2.5” ( diámetro interno real = 0.06698 m según catálogo ).
A
=
π D
2
4
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43
14.3
=
35
+
+
27 .93
=
77 .23 m
