Formulas basicas de integracion

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA MATEMATICA II INTEGRAL INDEFINIDA OBJETIVO: Aprender el concepto de antiderivada e integral indefinida y  resolver integrales usando las formulas básicas.

Función primitiva e integral indefinida En el estudio del cálculo diferencial en matemática I hemos estudiado el problema siguiente: dada una

una función f(x) obtener su derivada es decir f´(x) en esta unidad consideremos el problema inverso: dada una función f(x) se desea el hallar una función F(x) cuya derivada sea igual a f(x) es decir F´(x) = f(x) . Definición.- Si en todos los puntosdel intervalo [a, b] se verifica la ecuación: F´(x) = f(x) A la función F(x) se le llama primitiva de la función f(x). Y a la expresión: F´(x) = f(x) sele conoce como la antiderivada en el intervalo [a, b]  problema sabemos cómo hallar su derivada, este problema lo estudia el cálculo diferencial..

La antiderivada  o primitiva de una función f( x)  x) es otra función F( x)+C,  x)+C, donde C es una constante. Si al derivar F( x)+C  x)+C nos da como respuesta f( x)  x) Es decir F ’( x)  x) = f( x).  x). A la función F( x)  x) se le llama una antiderivada de la una función f( x).  x). Ejemplo: ¿Qué se derivó para que la derivada sea y´= 4? Podemos intuir que esta derivada se puede obtener de enésimas funciones:  = 4x = 4x+5 = 4x-2

     = F(x) +c

Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia f amilia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen  pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las gráficas para los diferentes valores de la constante C: C =0, C=5, C=-2, C=12, C=15, C=8. Veamos el gráfico

Entonces de lo expuesto se puede afirmar que: la funcion F( x)=4x+C es la antiderivada de y´= 4. Entonces encontrar la antiderivada es hallar todas las funciones posibles que dieron origen a la derivada en cuestión y asimismo poder encontrar una antiderivada general como hemos visto en el ejemplo.

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRACION Al proceso de hallar las antiderivadas se le llama integración y a la familia de funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante los símbolos ∫ o signo de la integral , dx indica la variable respecto a la cual se lleva el  proceso de integración, integración , los símbolos siguientes , y en el cuadro va siempre van juntos: la función f(x) que se debe integrar así: .

∫ 

∫  

Donde f(x) es la derivada de la función función desconocida llamada integrando y la respuesta es una familia de funciones así: = F(x) + c

∫  

A la constante C se le llama constante de de integración.

Propiedades:

    ∫      ∫ 

 = (F(x) +c)´= F(x) 1. (  = f(x)dx 2. d( 3. Linealidad en las integrales:

   =∫    ∫  . ∫

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION A continuación se presenta un conjunto de reglas para encontrar la integral indefinida de una función.

1. Integral de una funcion constante F(x)=K  donde k es un número real recordemos que: y = F(x). = kx+c . Ejemplos: 1.  = -9x+c

2.

3. Integral de la función exponencial (base e) Es la misma función exponencial

∫ dx = +c si u = f(x) ∫ dx = +c  ∫    = 5   + c

∫   2.

∫  ∫   =     ∫   = 

3. Podemos ver que si la función F(x) es una constante la integral es inmediata y se multiplica la constante por x y se suma la contante c.

2. Integral de una potencia     = ∫   + c y si u = f(x)

   ∫  = 

Nota: cuando la potencia esta en el denominador:  ∫   = ∫   =   + c , n  Ejemplos:

     ∫  =  + c =   + c    ∫  =   + c  =   + c      ∫   = ∫   =   +c  = -  +c ∫   = -  + c

1. Integral de una constante multiplicada por una potencia 

∫   = k ∫   = k   + c    Ejemplo: ∫    = 5  +c = 5  +c  ∫    = 10+c 2. Integral de la potencia cuando n = 1

∫   = ln||+c

Si u = f(x) ∫   = ln||+c Ejemplos: 1.

 dx = ln |  | + c ∫ 

∫    = ln|| + c

Las siguientes integrales son inmediatas y se asume que u = f(x)    4. ∫   = arctg(  + c

5.

 ∫  = arctg() + c ∫  =     + c    ln ∫  =   + c ∫  = ln  + c

  6. ∫  du =  + c  7. Ejemplo: ∫  dx =  + c

∫

u = 6x u´= 6  dx =    + c

 

Problemas de Aplicación

  ∫  2. ∫   3. ∫  4. ∫       5. ∫       8.    6. ∫  dx 7. ∫ ∫   √  √       9. ∫   √  10. ∫         11. ∫ (   )  12. ∫       14.   13. ∫ ∫    √ √   15. ∫ dx    16. ∫    √   17. ∫       18. ∫  ∫  1.

Tacna 13 de noviembredel 2014 Docente: Ing. Luis Nina Ponce