POP PO P
squema E ormulario F POPP PO
S E N O I C A R E E C P I O D N Y Í S O R E M Ú N
Números y Operaciones ................. -
Sistema decimal Razones Magnitudes proporcionales Reparto proporcional Regla de tres Divisibilidad Criterios de divisibilidad Números primos MCD y MCM I MCD y MCM II Fracciones I Fracciones II Porcentajes I Porcentajes II
Álgebra ........................................ -
8
Exponentes Polinomios Productos notables División algebraica Factorización Ecuaciones de primer grado Planteamientos I Ecuaciones cuadráticas Planteamientos II Función lineal, cuadrática y aplicaciones
Geometría y Medidas .................... -
3
x
19
Triángulos – Líneas notables Triángulos notables Razones trigonométricas de ángulos agudos Cuadriláteros I Cuadriláteros II Circunferencia I Circunferencia II Polígonos Relaciones métricas Áreas triangulares Áreas cuadrangulares Áreas circulares Relación de áreas
Sistema decimal
Descomposición polinómica abcd = a×103 + b×102 + c×10 + d Conteo de cifras Sea 1, 2, 3, ... abcd...xyz
ncifras
ncifras
La cantidad de cifras utilizadas = (abc...xyz = 1)n – 111...111 Progresión aritmética Suma de términos = último + primero .#términos; #términos = último – primero + 1 2
razón
Razones
Razón aritmética: a – b
Razón geométrica: a
Razones equivalentes: a1 = a2 = a3
a : antecedente b : con secuente
b
b1
•
b2
a1 + a2 + a3 + ... + an b + b + b + ... + b 3 n 1 2
=
b3
k
=
.... = •
an bn
=
k
a1 × a2 × a3 × ... × an b × b × b × ... × b n 1 2 3
Magnitudes proporcionales
Si: A DPB ⇒ A = Constante
Si: A IPB ⇒ A × B = Constan te
Si: A DPB A × C = Constante
B
A IPC
B
Reparto proporcional
Si N se reparte en forma DP a los números a, b y c ∴ P1 + P2 +P3 =N y
P1 P2 P3 = = = Constante. a b c
Si N se reparte en forma IP a los números a; b y c. ∴ P1 + P2 +P3 =N y P1.a = P2.b = P3.c = Constante.
=
k n
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
Regla de tres
DP
=
obreros × tiempo = Constante obra
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
Divisibilidad o
o
n+ n = n o
o
o
o
n – n = n o
o
n.k =n (k ∈ )
o
k
(n)
o
=
n (k ∈ +)
o
N = A+ r
o N = B + r ⇒ N =MCM ( A,B, C ) + r o N = C + r o
o
o
o
o
o
( n + r1 ) (n+ r2) (n + r3) ...( n +rx ) =n +r1 r2 r3 ... rx
Criterios de divisibilidad o
o
Si: abcd = 2 → d = 2 Si:
o
=
8 → 4b + 2c + d = 8
o
Si: abcd = 9 → a +b + c + d = 9 o
o
Si: abcd = 25 → cd = 25 Si:
o
=
=
o
4 → 2c +d = 4 o
o
o
Si:
o
o
Si: abcd = 3 → a + b + c + d =3 o
o
Si: abcd = 5 → d =5
Si: a b c d e =11 → a – b + c – d +e =11
o
– – – +
o
7 → f + 3e + 2d – c – 3b – 2a =7
o
Números Primos Sea "N" descompuesto canónicamente N = Aa × Bb × Cc
#div. N = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
#div. comp. (N) = #div. (N) – #div. primos(N) – 1
MCD y MCM I Si: A = 23 . 54. 32 . 11 B = 25. 53. 36. 7
MCD(A;B) = 23 . 53 . 32 MCM(A;B) = 25 . 54. 36. 7 . 11
Para el MCD
Para el MCM
o
Si A =B =Bk; k ∈ y A > B ∴MCD(A;B) =B
Si A y B son PESI ∴ MCD(A;B) =1
Si MCD(A; B; C) = d
o
∴MCM(A;B) = A
Si M = MCD(A; B) y N = MCD(C; D) MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)
Si A y B son PESI ∴ MCM(A;B) = A x B
∴ MCD(An; Bn; Cn) = dn ; n ≠ 0 A B C d ;n ≠ 0 MCD ; ; = n n n n
Si A =B = Bk; k ∈ y A > B
Si MCM(A; B; C) = P ∴MCM(An; Bn; Cn) =Pn ; n ≠ 0 A B C P ; n ≠ 0 MCM ; ; = n n n n
Si R = MCM(A; B) y T = MCM(C; D) MCM(A; B; C; D) = MCM(R; T)
Relaciones entre el MCD y MCM para dos números
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
MCD y MCM II
Fracciones I S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
abc 1000
abcd – a = a,bcd 999
Fracción propia: Si F = a ⇒ a < b
0,abc =
a,bcd
Fracción impropia: Si F = a ⇒ a > b
Fracción común u ordinaria: Si F = a ⇒ b ≠ 10n;n ∈ Z+
Fracción decimal: Si F= a ⇒ b= 10n;n ∈ Z+
abcd – ab = 990
b
b
b
Fracciones II
Relación parte-todo
Reducción a la unidad Si un caño llena un tanque en 4 horas, en una hora llena la cuarta parte del tanque.
b
Porcentaje I
N=100% N
a%N ± b%N = (a ± b)%N
2 descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único de: a + b – a.b % 100
2 aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un aumento único de: a + b + a.b % 100
Porcentaje II
Pv = Pc + G Pv = Pc – P Pv = Pf – D Las ganancias o las pérdidas generalmente son porcentajes del precio de costo. Los descuentos o las rebajas siempre son porcentajes del precio fijado o de lista.
Interés simple
I = C × r × T M = C + I
(r y T deben tener las mismas unidades)
S E N O I C A R E P O Y S O R E M Ú N
Exponentes Definiciones
x n = x. x .x ...x n veces
x0 = 1, x ≠ 0
Teoremas xn.xm = xn+m
A R B E G L Á
xn xm
=
x –n =
x n – m , x ≠ 0 n
n
–
1 x ; n y x
=
y x
n
x
n
n
a.n b
=
n
a
n
n
b
a
=
=
x
mn n
m
a a.b
a b
p
m
a b c
x
xd
e
x f
=
ac.e
x(
bc+d) e+f
(x.y)n = xn.yn; (xa.yb)n = xan.ybn n
=
n m
x
(xm)n = xm.n
n m
n
x = x xa y n b y y n
n
am/n = am
=
x a.n ; y ≠ 0 yb.n
x a = x b ⇒ a = b; ∀x
x a = y a ⇒ x = y; ∀x ≠ 0
x x = y y ⇒ x = y; ∀x ≠ 0;1
≠ 0,1
Polinomios
[F(x) ± G(x)]° se toma el grado mayor entre GA(F) y GA(G) o
OPERACIONES CON GRADOS
F(x) se restan los GA(F) – GA(G) G(x) [F(x).G(x)]° se suman los GA(F) + GA(G) F(x)
n
o
se multiplica el valor de n × GA[F(x)]
POLINOMIOS
∑coef = P(1)
#términos = GA + 1; para todo polinomio completo
T.I. = P(o)
GA = GR(x) + GR(y); para todo monomio de 2 variables P(x;y) = 6x 8 y5 + 3x4y6 – 8x 5 y 8 + 10xy 9
13
10
13
10
⇒ GR(x)
= 8 ⇒ GR(y) = 9 ⇒ GA = 13
Polinomio ordenado: P(x) = axm + bxn + cxp + d; m > n > p > 0 decreciente
Polinomio completo: P(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + .... + an
3 2 2 + y3 Polinomio homogéneo: P(x; y) = 3x + 5x y – 8xy GA = 3 = 3 = 3 = 3 Polinomios idénticos: P(x) = ax2 + bx + c P(x) ≡ Q(x) Q(x) = 2x2 + 3x + 4 ⇒ a = 2; b = 3; c = 4
Polinomio nulo: P(x) = ax2 + bx + c (P(x) ≡ 0)
⇒
a = 0; b = 0 c = 0
A R B E G L Á
Productos notables Binomio al cuadrado 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Identidad Legendre 2. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2) Binomio cubo 3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) A R 3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) (a – b) B
E G L Á
Diferencia de cuadrados 4. (a + b)(a – b) = a2 – b2 (am + bn)(am – bn) = a2m – b2n Suma y diferencia de cubos 5. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 Multiplicación de 2 binomios con 1 término en común 6. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b Multiplicación de 3 binomios con 1 término en común 7. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + a.b.c. Trinomio al cuadrado 8. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
Trinomio al cubo 9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) – 3abc Igualdades condicionales Si: a + b + c = 0 Se verifican: • a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc) • a3 + b3 + c3 = 3abc → importante • (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)
División algebraica Identidad fundamental D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) Grados Grados[Q(x)] = Grado[D(x)] – Grado[d(x)] Máx Grado[R(x)] = Grado[d(x)] – 1. Clasificación División Exacta: R(x) = 0
División Inexacta: R(x) ≠ 0
Teoma del resto Si P(x) es dividido por x – b, entonces el resto de la división es P(b). Es decir R(x) = P(b)
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Factorización I. Factor común P(a; b) = ab + ac P(a; b) = a(b + c) 2 factores primos II. Por agrupación P(x; y; z) = x2 + xy + xz + yz + x + y = x(x + y) + z(x + y) + (x + y) = (x + y) (x + z + 1)
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III. Identidades a2 – b2 = (a + b) (a – b) a2m – b2n = (am + bn) (am – bn) a3 ± b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3m ± b3n = (am ± bn)(a2m – ambn + b2n) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 IV. Criterio de las aspas P(x) = Ax 2n + Bxnym + Cy2m a1 x n c1ym a2xn c2ym Luego: P(x) = (a1xn + c1ym)(a2xn + c2ym)
Ejemplo: Factoriza P(x): x2 – 2x – 35 = 0 x –7 x +5 P(x) = (x – 7)(x + 5) 2 factores primos
En general: Si: P(x) = axa(x – a)b(x – b)g → # factores primos = 3 = x; (x – a); (x – b) → # factores totales = (a + 1)(b + 1)(g + 1) → # factores algebraicos = (a + 1) (b + 1) (g + 1) – 1
Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de primer grado: ax + b = 0; a ≠ 0 Es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignados a sus incógnitas, llamadas soluciones o raíces. Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones I. Ecuación compatible Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución, es decir admite solución; esta a su vez podrá ser: 1. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de soluciones. (a ≠ 0) 2. Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones; también se dice que la solución x ∈ . a = 0 ∧ b = 0 II. Ecuación incompatible Es aquella que no admite solución; también se dice que la solución x ∈ ∅; frecuentemente se le da el nombre de ecuación absurda o ecuación inconsistente. a = 0 ∧ b ≠ 0 Ecuación compatible determinada: {r} Ecuación compatible indeterminada: C.S. = Ecuación incompatible: C.S. = { } [C.S = ∅]
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Planteamientos I Definición El planteamiento de una ecuación consiste en traducir un problema dado en forma de enunciado, a un lenguaje simbólico; es decir, al interpretar correctamente el enunciado dado se podrá transformar este en una ecuación de una o más incógnitas. lenguaje escrito
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lenguaje matemático
"x" excede a "y" en 10
x – y = 10
El exceso de "p" sobre "q" es 20
p – q = 20
"x" es a "y" como 5 es a 8
x=5 y 8
"x" es dos veces "y"
x = 2y
"x" es dos veces más que "y"
El cubo de un número aumentado en 17 .
x3 + 17
La suma al cubo de un número aumentado en 6.
(x + 6)3
Un número disminuido en sus tres octavos.
x – 3 x 8
El triple de un número aumentado en 42.
3x + 45
x = y + 2y ⇒ x = 3y
Problemas sobre ecuaciones Si bien no existe una regla general para resolver este tipo de problemas, te vamos a proporcionar algunos pasos que te van a ayudar a su solución: Lee detenidamente el problema, hasta familiarizarte con él. Haz un esquema, si es necesario, para aclarar la situación. Haz una lista de datos conocidos y otra de los que se quiere hallar. Representa el término desconocido por medio de una variable, generalmente "x". Expresa la situación descrita en el problema en lenguaje matemático. Resuelve la ecuación.
Ecuaciones cuadráticas 1. Sea la forma general: ax2 + bx + c = 0 ∧ a ≠ 0.
Suma de raíces:
– ba
Producto de raíces:
Suma de las inversas:
Raíces simétricas:
c a – b c b = 0
Raíces recíprocas:
a = c
Raíz nula:
c = 0
Reconstrucción de ecuación de 2do. grado donde x1 ∧ x2 son raíces. x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
También: x2 – Sx + P = 0 Donde: S = suma de raíces P = producto de raíces
2. Naturaleza de las raíces: La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática depende del valor de su discriminante, así:
Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.
Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales. (Solución única)
Sí ∆ < 0: Las raíces son complejas y conjugadas. Donde ∆ = b2 – 4ac es el discriminante.
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Planteamientos II Problema Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años. Calcula la suma de las edades actuales. Solución: "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías"
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"Cuando yo tenía la edad que tú tienes
Aplicando el criterio de las sumas en aspa: x = 2k 2y = 3x ⇒ x = 2 ⇒ y = 3k y 3 Reemplazamos en el cuadro:
"Cuando tengas la edad que tengo la suma de nuestras edades será 63 años"
suma = 63 Del cuadro: 5k + 4k = 63 ⇒ k = 7 Luego las edades actuales son: Yo: 4(7) = 28 años Tú: 3(7) = 21 años Rpta: la suma de las edades actuales es: 28 + 21 = 49 años
Función lineal, cuadrática y aplicaciones Función lineal Es la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una línea recta. y = f(x) = mx + b Dominio: Rango: m: pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación) b: intercepto con el eje Y (ordenada en el origen)
Si m > 0, la recta sube hacia la derecha (creciente)
Si m < 0, la recta baja hacia la derecha (decreciente)
Para hallar el intercepto con el eje X debemos hacer: f(x) = 0 Función constante Si: m = 0 → f(x) = b Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0; b)
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Función de identidad Si: m = 1, b = 0 → f(x) = x. Su gráfica es una recta que biseca, al I y III cuadrante
Función cuadrática Es la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una parábola. f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0 Dominio: El vértice de la parábola es el punto: V = (h, k). Donde: h = – b 2a A R B E G L Á
4ac – b2 k= 4a
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
Dom: R Ran = [k, +∞[ Mínimo valor de la función: k
Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
Dom: R Ran = ] –∞, k] Máximo valor de la función: k
k = f(h)
Triángulos – Líneas notables Propiedades
Propiedades adicionales
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Propiedades asociadas a las líneas notables
3. Ángulo formado por las bisectrices exteriores.
1. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior. x = 90 –
x=
b
2
S A 2. Ángulo formado por las bisectrices D I interiores. D E M Y b A Í x = 90 + 2 R T E M O E G
Triángulos rectángulos notables
2
4. Ángulo formado por una bisectriz y una altura que parten en un mismo vértice.
Triángulos notables
b
a – b x= 2
Triángulos rectángulos notables
Triángulos rectángulos aproximados
Razones trigonométricas de ángulos agudos
Senα =
CO H
=
a c
C.A b = H c CO a Tanα = = CA b
Cosα =
De aqui se deduce: Propiedad
Tanα =
Senα ; Cosα
Razones trigonométricas recípocras Sen a.Csca = 1 Cosa.Seca = 1 Tana.Cota = 1 Razones trigonométricas complementarias Sen a = Cosb → a + b = 90° Tana = Cotb → a + b = 90° Sec a = Cscb → a + b = 90° No olvides que: a <
90° y b < 90°
CA b = CO a H c Secα = = CA b H c Cscα = = CO a Cotα =
Cotα =
Cosα Senα
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Cuadriláteros I
S A D I D E M Y A Í R T E Trapecio escaleno M O E G
Cuadriláteros II Propiedades: Trapecios
M=
Trapecio rectángulo
a+b 2
α + β = 180° θ + γ = 180°
Trapezoide Trapecio isósceles
α + β + θ + γ = 360°
Circunferencia I
Circunferencia II
Ángulos en la circunferencia
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Ángulos en la circunferencia Se cumple: L = qr 0 < q < 2p
q:
Radianes
Polígonos Convexos
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
No convexos
Equiángulos
#D = n(n – 3) 2 S e = 360°
Equiláteros
Regulares
s i = 180°(n – 2)
e
= 360° n
= 180°(n – 2) n c = 360° n i
#DM = n(n – 1) 2
Relaciones métricas ayb c h m, n
1. c2 = a2 + b2 2. h2 = m.n 3. ch = ab
: : : :
Catetos Hipotenusa Altura Proyecciones de los catetos
4. a2 = mc, b2 = nc 5. 12 + 12 = 12 a b h
Áreas triangulares
Relación de áreas triangulares
Para triángulos semejantes:
A B
=
a2 x2
b2 = y2
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Áreas cuadrangulares
S A D I D Relación de áreas cuadrangulares E M Y Para todo cuadrilátero: A Í R T E M O E G
X=
A TOT 2
A × C = B × D
Para trapecios:
A 2 = BC
x=
A T 2
Para paralelogramos:
x = y +z
x=
A TOT 2
Observación:
Áreas circulares
A = πR 2
R 2θ π ASC(PQ) = –A∆POQ 360°
S A D I D E M Y A Í R T E M O E G
Relación de áreas circulares:
π R 2θ A = 360
S A D I D E M π Y A = π(R 2 – r 2) ó A = (PQ)2 4 A Í R T E M O Áreas E Propiedades G
A. A = B
C.
circulares B.
Impreso en los talleres gráficos de: EDICIONES E IMPRESIONES PAZ S.A.C Av. Elemer Faucett 282, San Miguel Lima – Perú
