Formulario de matemáticas
Algebra.-
logbb 1
Signos (+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = (-) (+) = -
logb1 0
i 1
b a
b
d c
i4 1
ad x
(a b)2 a2 2ab b2
b b 4ac 2a
2X2
(a b)3 a3 3a2b 3ba2 b3 2
a2 b2 (a b)(b a) 2
2
a b (a b)(a ab b ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) Leyes de los exponentes y radicales
a 1 0
1 a p a
3 2
1
1
2
2
1
1
Ctg
3
1
3 2
2
an am anm mn
a
2
a
n
b
(an )m anm (ab)n anbn Leyes de los logaritmos.
2π
Logaritmo vulgar o de base 10 (Lg) de Briggs Logaritmo natural o de base e (2.71828…) o de Neper (Ln)
logab logalog a log loga logb b
logan nloga
57.3
Perímetro 2L+ 2l
2b + 2h B + b + 2l
Triángulo
Ángulo central = α Ángulo inscrito = 0.5α Ángulo semi inscrito = 0.5α Ángulo Exterior = 0.5 (α - β) Ángulo interno = 0.5 (α + β)
L +i +l
área Lxl
Dd
cosθ
cosθ senθ
Identidades de ángulo doble
cos2a cos2a sen2a 2cos2a 1 1 2sen2a 2tana 1 tan2 a
|
2πr = πd
cos
θ 1 cosθ 2 2 θ 2
a
bh
h(B b) 2 bh
senA
b senB
c
2
Otras identidades Sen Cos = 1 Cos Cosec = 1 Tan Cot = 1
Sen2 θ
senC
Ley de cosenos a2 = b2 + c2 -2bc sen
1 cosθ
Ley de senos
2
Cos2 θ
1 2 1 2
1 2 1 2
Cos2θ Cos2θ
Geometría analítica Coordenadas rectangulares Distancia entre dos puntos.
2 Circunferenci a
cotθ
2
sen
2D + 2 d Romboide Trapecio
senθ
Identidades de ángulo mitad
Áreas y perímetros Figura Rectángulo Rombo
Identidades de cocientes
tan 2a
c = Hipotenusa a y b = catetos
360
csc2θ cot2 1
sen 2a 2 sen a cos a
Ángulos en la circunferencia.
c2 a2 b2
1 rad
sen2θ tan2 1
tanθ
3
Radianes n
Identidades Pitagóricas
2
3
2
1 sen θ
1 3
Sec
csc θ
1 tan θ
sen2θ cos2 1
3
Trigonometría y geometría
a c2 b 2
am a n
b
3
Csc
m
n
n
2
2
c f i aei dhc gbf ceg fha ibd c f
c a2 b 2
a an
a
b e h b e
1
n
am
2
3X3 a d g a d
1 cos θ
60°
Teorema de Pitágoras
n
an
1
Tg
x(ab)m(ab)(xm)(ab)
45°
1
Cos
a b ad bc c d
a ab a(ab)
3
1
30° Sen
ctnθ
cot θ
sec θ
Determinantes
CO h csc CO
1
tanθ
60°
1
CA
Identidades recíprocas 1 1 sen θ cos θ csc θ sec θ
2
3
45°
2
Productos notables y factorización
3
2
1
CA H
cotθ
CA H secθ CA
a b 1 a bi 30°
cosθ
C0
tanθ
Tabla de funciones de ángulos
Solución general de las ecuaciones cuadráticas
C0 H
senθ
n(n 3)
i 5 1
bc
Cateto Adyacente (CA)
2 n = número de lados
i 1
bd
d
N
3
ac
Hipotenusa (H)
Número de diagonales de un polígono regular
2
a c ad cb b d bd
Cateto Opuesto (CO)
i 1
a c ad cb b d bd
c
180 (n 2) n n = número de lados
Unidad imaginaria = 1 = i
Fracciones
Funciones tri gonométricas
β
Números imaginarios y complejos
(+) / (+) = + (-) / (-) = + (+) / (-) = (-) / (+) = -
a
Ángulo interior de un p olígono regular
Πr2
d (y 2 y 1 )2 (x 2 x 1 )2
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D
Pendiente de la línea recta. m
C
Ecuación de la recta bajo la forma pendiente ordenada al origen.
y 2 y1 x2 x1
2
m = pendiente b = ordenada al origen
r
= tan-1 m Ecuación de la recta Reducida o abscisa y ordenada en el origen.
Perpendicularidad m 2 = - 1/m 1
2
1 2
x2 y2 1 a2 b2
D2 E2 4F h2 k 2 F
b 2x 2 a2 y 2 a2 b2
Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor paralelo al eje de las y´s. x2 y2 1 b 2 a2
La parábola.
x y 1 a b
Angulo entre dos rectas.
Ecuación de la elipse concentro en el origen y eje mayor paralelo al eje de las x´s.
E
D = - 2h E = - 2k F = h2 + k2 – r2
y mx b
Paralelismo m1 = m2
,
X
2p
m m1 tg θ 2 1 m1m2
f(x,y)
Forma general de la recta.
p
Ax By C 0 A
a
x rx 2 x 1 1r
Distancia de un punto a u na recta.
A
x
2 2 y y 2 y 1 2
B
1
k
A 2 B2
B
Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices
2
A B
x1 1 x2 A 2 x3 x1
y1 y2 y3 y1
A B 2
A
2
A B
C
y 2
2
0
A B
2
p(x,y) r
La línea recta. Y X
(a,0)
X
1
x h2 y k 2 b2
a2
1
Forma general de la ecuación de la elipse.
Directriz Y = K - P Foco F(K + P , h) F(K – P, h) LR = |4P|
(0,b)
b2
Elipse con centro en (h,k) y eje mayor paralelo al eje de las y´s.
x h2 4p(y k)
C(h,k)
a2
Ecuación de la parábola con vértice en V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje y.
X
2b 2 a
Elipse con centro en (h,k) y eje mayor paralelo al eje de las x´s.
x h2 y k 2
y k 2 4p(x h) Directriz x = h - P Focos F(h + p, K) F(h - p,k) LR = |4P|
La circunferencia.
Y = mx + b
LR
Lado recto.
Ecuación de la parábola con vértice en V(h,k) y eje de simetría paralelo al eje x.
2
B
x 2
a 0 e
A2 B2 C
p
a 0 e (Eje mayor paralelo al eje de las y´s). a y 0 e y
Directriz Y = - P Foco F(0,P) LR = |4P|
A2 B2
sen w
Punto medio r =1 Trisección r= 2 y r= ½
x2 4px
A
cos w
a 0 e
x
Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría en el eje y´s.
q
Directrices (Eje mayor paralelo al eje de las x´s .)
x
Directriz x = - P Foco F(p,0) LR = |4P|
x cos w + y sen w – p = 0 cosw senw p k
Punto Medio.
1
y 2 4px
Forma Normal
c a2 b2 a a c ae e
Ecuación de una parábola con vértice en el origen y eje de simetría en el eje x´s
A2 B2
y ry 2 y 1 1r
x
X
B
Ax 0 By 0 C
d
x
b
C
m
A
Excentricidad.
Y’
Y’
C
Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada.
B
a2 x 2 b2 y 2 a2b 2
v(h,k) p
Ax2 Cy2 Dx Ey F 0 A = b2 C = a2 D = -2b2 h E = -2a 2 k
Ecuación de la circunferencias con centro en el origen y radio r.
Forma general.
x2 + y2 = r2
y 2 Dx Ey F 0 Horizontal X 2 Dx Ey F 0 Vertical
La Hipérbola Y
Ecuación de la circunferencias con centro en C(h,k) y radio r. Ecuación de la recta conocido punto y pendiente.
Ecuación de la recta conocidos dos puntos.
4ph C(h,k)
La Elipse.
(x – h) 2 + (y – k) 2 = r2 Forma general de la ecuación de la circunferencia.
y y1 mx x1
D = -4p E = -2k F =
k2 +
b
X
a X
v1
LR f 1
2
2 x y Dx Ey F 0
C(h,k) c b
a
v2
f 2 Y
y y1
y2
y1
x2
x1
x
x1
c
Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x´s
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2
2
x y 1 a2 b2 V(a,0) V´(-a,0) F (c,0) F(-c,0) LET = 2a LEC = 2b LR = 2b2 /a e=c/a Excentricidad
e
Asíntotas bx y a Restricciones c a c2 = a2 + b2 Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las y´s
y2 2
a
x2 2
b
d uv udv vdu dx
Grafica de funciones.
d u dx v
Ceros de una función gado par Máximo = igual al grado Mínimo = cero
d dx d dx d dx d dx d dx
Segundo grado Lugar geométrico = Parábola ax2 + bx + c = 0 Vertical a>0 a<0
d
b
e dx
d
csc2u
dx
u
tg u secu
u
dx
u
dx
d dx
u
d
ctg u csc u
u
2
2
u
dx
b 4ac 2a
dx d
b b2 Vértice , c -
dx
4a
d
dx
1 d u dx
u
v
vu
dx
u
dx
d
sen u -1
d
v
u ln u
Lugar geométrico = Parábola cubica a>0 a<0
1 a2 b2 V(h + a, k) V(h - a, k) F(h + c, k) V(h - c, k)
d
cos u -1
dx
Asíntotas, Si
P(x) Q(x)
p(x) de grado
b(x h) y k a Hipérbola con centro fuera del origen y focos paralelos al eje de las y´s.
2
1
a b V(h , k + a) V(h , k - a) F(h , k + c) V(h , k - c) Asíntotas a(xh) y k b Forma general ax2 - cy2 + cx + dy + e = 0
d
1u
d
tg u -1
dx
dx
u
1
d
1 u2
dx
dx
2
1
d 2
1 u dx
n=m y
asíntota horizontal en
ctg u -1
dx
bn
d
n < m eje x es l a asíntota horizontal asíntota oblicua en
a2 ) c 1
x
2
a2 dx
arc sen
2
a x
2
u
x
x a
ln x x 2 a2 c
dx
1 x a c ln 2a x a
x 2 a2
x 1 arc sec c a a
dx x2 a2
Métodos de integración Por sustitución
u
udu F(u) 1
an
n>m
2
x
dx
x
u
“n” y Q(x) de grado “m” d
Asíntotas
x - h 2
1
1
dx
c
x 2 a2 2 2a2 x 2 a2 2a3 Arc tan a c
u
Derivadas de funciones inversas dx
2
xdx
dx
d
1 a(n - 1)(ax b) n -1
x 2 a2 2 ln(x
u
u
v 1
2
n
1 x acttg c a a
x a
u
logae d
logau
dx
ax b dx
d
u
1
ax b a ln ax b c
u
a ln a
lnu
d
u
e
c
2
Funciones racionales
y - k 2
u
a dx
ax3 + bx2 + cx + c = 0
Hipérbola con centro fuera del origen y focos paralelos al eje de las x´s
2
d
2
sec u
d
dx
y - k2
ctg u
d
sen u
sec u
dx
ax
dx
Horizontal
2a
1
sen u du cos u c cos u du sen u c tg u du ln cos u c ctg u du ln sen u c sec u du ln sec u tg u c csc u du ln csc u cotu c sec u du tg u c csc u du cot u c sec u tg u du sec u c csc u cot u du csc u c
u
Tercer grado
Asíntotas ax y b
x - h2
tgu
d
cosu
c
lna
b dx a e
Derivadas de fu nciones exponenciales y logarítmicas
d
x
cos u du
csc u
dx
Solución general
V(0,a) V(0,-a) F(0,c) F(0,-c) LET = 2a LEC = 2b LR = 2b2 /a e=c/a
v
sen u du
d
1
ax
2
ax
1 dx eax c a
e
vdu udv
Derivadas de fu nciones trigonométricas
Ceros de una función gado impar Máximo = igual al grado Mínimo = uno
ay2 + by + c = 0 a>0 a<0
ax
ax
Primer grado Y = mx + b Lugar geométrico = línea recta m = pendiente b = ordenada al origen si m > 0 si m < 0
a2 b 2 a
c a
A = b2 C = -a2 D = -2b2h E = 2a2k F = b2h2 – a2k2 – a2b2
P(x)
d
Q(x)
dx
sec u -1
dx
d
2 1 u dx
1
2
u u
csec u -1
u
u dv d
1
dx
1
u
2
u
Por partes
u d
1
dx
uv
vdu
Sustitución trigonométrica Para integrales que contienen a2 u 2
u
u a sen
θ
a
Derivadas inmediatas d c0 dx
dx
n
a u
Reglas generales de integración
adx
d x1 dx d
2
n1
a2 u2
xn1
x
n 1
cx dx c n 1 c
x nx
n
d n u nun1du dx
1 dx ln x c x
u
a cos θ
ax c
x dx n 1 c n 1 n
2
Para integrales que contienen a2 u2 u
a tan
θ
a2 u 2
u
a 2 u 2 a sec θ a
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Para integrales que co ntienen
Percentiles:
u2 a2
D1
u
u a
2
a tan θ
u 2 a2
a
Fracciones parciales Factores lineales N(x) (x a)(x b)(x ..)
A xa
B x b
... ..
n
(x a)
A
B
x a (x b)
N(x) ax 2 bx c N(x) (ax2 bx c)n
2
C 3
(x c)
x ..
...
Ax b
ax2 bx c
x
x
Ax b (ax2 bx c)2
x
n 1
i
E(x) μ np
i
N
Varianza de la población: σ2
..
f (M μ) i
2
f(x)
N
Probabilidad Probabilidad complementaria:
P(A) 1 P(Ac )
Probabilidad condicional:
_
x x
P(A/B)
2
P(B/A)
i
2
σ
N
s2
P(A B)
_ x n -1
Distribuciones continúas de probabilidad. Conversión a la distribución normal estándar:
P(B) P(A B) P(A)
P(AB) P(B)P(A/B)
2
P(AB) P(A)P(B/A)
Mediana: Si el número de datos es im par: Es el dato que se encuentra en el centro de los datos cuando estos s on acomodados en orden de mayor a menor. Si el número de datos es par: Es el promedio de los datos que se encuentra en el centro de los datos cuando estos son acomodados en orden de mayor a menor. Cuartiles: n
100 50 n 100 75 Q 3 n 100 Q 2
σ
Función de densidad de pr obabilidad exponencial:
Ley multiplicativa para eventos independientes:
s s 2
1 μ
e x/μ _
Desviación estándar de x :
P(AB) P(A)P(B)
Población finita: 2
Coeficiente de variación:
xi x
Regla de conteo para combinaciones:
s
Covarianza de la muestra:
(x
_
i
N N! PnN n! n n)! (N
_
x )(y i y ) n 1
Coeficiente de correlación del producto de Pearson (datos de una muestra): s xy s x sy
f M x i
Población infinita:
σ σ _ x n _
p
:
_
E( p) p _
Desviación estándar de p:
Distribuciones d iscretas de probabilidad
Población finita:
Cantidad de resultados experimentales con exactamente “x” éxitos en “n” intentos:
σ _ x
N n p(1 p) N1 n
Población infinita: n n! x x ! x! n
Datos agrupados Medidas de centro Media de la muestra: _
x
N n σ N1 n
Valor esperado de
_
rxy
σ _
P(A 1 )P(B/A 1 ) P(A 2 )P(B/A 2 ) ..... P(A n )P(B/A n )
N N! CNn n n!(N n)!
Valor de z:
s xy
P(A i )P(B/A i )
Regla de conteo para combinaciones:
Desviación tándar 100 CV Media
zi
Teorema de Bayes: P(A i /B)
Deciles: 10 n 100 20 n .D2 100 . . 90 n Q 9 100
x μ
f(x)
Desviación estándar muestra:
x!
r N r x n x f(x) N n
Ley multiplicativa:
i
μeμ
Función de pr obabilidad Hipergeométrica:
z
x
Función de probabilidad de Poisson:
i
RICQ 3 Q 1 Medidas de desviación Varianza de la población:
Varianza de la distribución de probabilidad binomial:
var(x) σ2 np(1 p)
P(AB)P(A)P(A)P(AB)
Rango intercuartil:
Desviación estándar de la población:
D1
2
i
Moda: Xi qué más se repite.
Q 1
i
f M μ
i
N
25
i
Promedio de la población:
Varianza de la muestra:
n Media de la población μ
Valor esperado de la d istribución de probabilidad binomial:
f (M x)
Ley aditiva:
Probabilidad y estadística Datos no agrupados Medidas de centro o t endencia central. Media de la muestra: _
s
Si el resultado de la división es entero, se promedia el dato correspondiente a la posición obtenida con el inmediato superior.
ax 2 bx c Ax b
2
Observaciones: Sí el resultado de la división no es entero, se redondea a la posición inmediata superior.
C
Factores cuadráticos N(x)
_
n 100 27 .D27 n 100 . 66 D 66 n 100 . 97 n Q 97 100
u a sec θ 2
Varianza de la muestra:
1
σ _ x
Función d probabilidad binomial:
i
n f(x) p x (1 p) (n x) x
n
p(1p) n
Estimación por intervalos Error muestral al estimar µ
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x μ
Estimación por intervalo de una media de la población, cuando se conoce algún parámetro de la población, caso de muestra grande (n≥30): σ
x z a/2
n
Estimación por intervalo de una media de la población, cuando no se conoce ningún parámetro de la población, caso de muestra pequeña (n≤30): σ
x t a/2
n
Tamaño de la muestra para una estimación del intervalo de una media de la población: n
(za/2)2 σ2 E2
Estimación del intervalo de una proporción poblacional:
_
p za/2
_
p(1 p) n
Tamaño de la muestra para una estimación del intervalo de una proporción poblacional:
n
(za/2)2 p(1 p) E2
Prueba de hipótesis.
H0 : μ μ0 H0 : μ μ H0 : μ μ H0 : μ μ H0 : μ μ H0 : μ μ Estadístico de prueba. _
z
x μ σ n
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