FisicaGeneral 024 Texto Guia

L U I S A LV LVA R E Z T H O N & H . A . V I L L A V I C E N C I O

FÍSICA GENERAL FMF-024 (2014)

D E PA R TA M E N T O D E C I E N C I A S F Í S I C A S UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO

Copyright © 2014 Luis Alvarez Thon & H.A. Villavicencio

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.en_US.

Contenido 1. Acerca de la Ciencia 1.1. Ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. La medición . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Mediciones astronómicas en la antigüedad 1.4. El método científico . . . . . . . . . . . . 1.5. Teorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Falacias pseudo-científicas . . . . . . . . .

.. . . . . .. . . ..

9 9 10 12 15 17 18

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

21 21 21 23 27 30 32 34 40 48

3. Energía 3.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Tipos de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 55 56

4. Termodinámica 4.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Termómetros y escalas de temperatura . . . . . . . . . . 4.3. Conversión entre la escala Farenheit y la escala Celsius . 4.4. Cero absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Expansión térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Capacidad calorífica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Cambios de estado de la materia . . . . . . . . . . . . . 4.11. Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

63 63 64 64 65 66 67 69 71 71 73 75

. . . . .

79 79 85 87 91 95

2. Movimiento de una partícula 2.1. Los principios o leyes de newton . . . . . 2.2. Primera ley: principio o ley de inercia . . 2.3. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Velocidad y rapidez . . . . . . . . . . . . . 2.5. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . 2.7. Caída libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. La segunda ley de movimiento de Newton 2.9. La tercera ley de movimiento de Newton .

5. Electricidad 5.1. Carga eléctrica . . . . . . . . 5.2. Ley de Coulomb . . . . . . . 5.3. Campo eléctrico . . . . . . . . 5.4. Potencial eléctrico . . . . . . 5.5. Corriente eléctrica y circuitos

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

.. . . . . .. . . .. . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . ..

. .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. .. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

6 luis alvarez thon & h.a. villavicencio

6. Oscilaciones 6.1. Movimiento de un sistema masa-resorte 6.2. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . 6.3. Un M.A.S. es una idealización . . . . . . 6.4. Oscilaciones forzadas y resonancia . . . 7. Ondas 7.1. Pulso de onda . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . 7.3. Formulación matemática de una onda 7.4. Ondas en una cuerda . . . . . . . . . . 7.5. Comportamiento de las ondas . . . . . 7.6. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . 7.7. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . 7.8. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . 8. Reflexión y refracción de la 8.1. Reflexión . . . . . . . . . 8.2. Ley de reflexión . . . . . . 8.3. Refracción . . . . . . . . . 8.4. Espejos . . . . . . . . . . 8.5. Lentes . . . . . . . . . . .

luz . . . . .. .. . . . . . . .

9. El átomo 9.1. Modelos atómicos . . . . . . . 9.2. Cuantización de la energía . . 9.3. Los espectros atómicos . . . . 9.4. Las transiciones electrónicas . 9.5. Mecánica cuántica . . . . . . 9.6. El efecto fotoeléctrico . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

10.El núcleo atómico 10.1. Isótopos . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Los rayos X . . . . . . . . . . . . . 10.3. Radiactividad . . . . . . . . . . . . 10.4. Decaimiento y vida media . . . . . 10.5. Usos prácticos . . . . . . . . . . . . 10.6. Transmutación de los elementos . . 10.7. El uranio . . . . . . . . . . . . . . 10.8. Reacciones nucleares . . . . . . . . 10.9. Equivalencia entre masa y energía Índice alfabético

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

105 105 108 108 109

. . . . . . . .

111 111 112 112 113 114 118 120 123

. . . . .

125 125 126 129 131 138

. . . . . .

143 143 147 148 150 151 154

. . . . . . . . .

155 155 156 157 158 159 160 161 162 164 167

Introducción Esta asignatura está inserta en las ciencias básicas del plan común de estudios de los primeros años de las carreras de la Facultad de Ingenierías. Este curso introductorio de física es donde se sientan las bases de esta ciencia así como sus estructuras conceptuales básicas. Se realiza un barrido sobre diferentes tópicos para que el estudiante valore la capacidad de modelar fenómenos cotidianos mediante modelos físicos simples. La física es el estudio de las reglas de la naturaleza, y si uno conoce estas reglas entonces podrá apreciar mejor la belleza del entorno que nos rodea. La matemática es la herramienta que se utiliza para modelar estas reglas por medio de numerosas ecuaciones. Pero más que ecuaciones, lo que buscamos en este curso es motivar e ilustrar conceptos importantes con ejemplos numéricos concretos. No pretendemos usar matemáticas avanzadas que se necesitarían si construyéramos un puente o si necesitáramos evaluar la trayectoria de un cohete. Sin embargo, cálculos precisos casi nunca son necesarios para entender la esencia de la mayoría de los fenómenos físicos. Debemos recalcar que el objetivo de estos apuntes no es reemplazar los excelentes libros de texto disponibles en la biblioteca, sino que tienen como objetivo guiar al alumno a consultar esos textos. La bibliografía tentativa es la siguiente: “Física para ciencias e ingenierías”, 6a edición, Autor: Raymond A. Serway & John W. Jewet Editorial: Thomson “Física Conceptual”, Autor: Paul G. Hewitt, Adison Wesley.

1

CAPÍTULO

Acerca de la Ciencia 1.1 Ciencia Ciencia, proviene del latín y significa conocimiento 1 . El conocimiento es el objetivo de la ciencia, pero no un conocimiento cualquiera, el conocimiento de la naturaleza. 2 Desde la antigüedad el hombre ha buscado entender las relaciones, las proporciones y ritmos de la naturaleza. Antes que se desarrollara la escritura, hombres en distintas partes del mundo reconocían un patrón, el cambio estacional, viendo como las estaciones se sucedían ordenadamente en un ciclo infinito. Esta observación les permitió poder prepararse, acumular lo necesario, en una etapa inicialmente nómade de la humanidad, cuando cazaban y recolectaban. Eventualmente, una nueva observación, el ver que las semillas eran el origen de las plantas, les permitió cultivar, dando paso a la vida sedentaria, así como también fuertes cambios en la vida social, el paso del nomadismo al sedentarismo es también el paso social de una estructura matriarcal a una patriarcal, así entonces, la ciencia, el conocimiento de la naturaleza, ha afectado desde épocas remotas la vida del hombre, para bien o para mal. Pasaron los milenios y hubo quienes se dieron cuenta que podrían predecir estas estaciones mediante la observación del cielo, reconociendo un nuevo patrón, las estrellas fijas (las estrellas tal como las conocemos ahora) y las estrellas móviles (los planetas). Hace ya miles de años, en Mesopotamia, los sacerdotes de los cultos estelares ya eran capaces de identificar patrones en las estrellas, a los que llamaron constelaciones y mediante estos patrones y la observación del curso del Sol, reconocer el inicio de las estaciones y con ello, poder prepararse para ellas. Estas mismas observaciones llevaron a los sabios griegos a poder, muy posteriormente, unos siglos antes de nuestra era a determinar cosas como la circunferencia y radio de la Tierra, 3 generándose incluso en esa época teorías como el modelo heliocéntrico (el Sol como centro del sistema planetario, no la Tierra). Ya en nuestra era, múltiples corrientes han pasado a través de la ciencia, durante la edad media en Europa por ejemplo, se consideraba pecaminoso tratar de entender la obra divina y se castigaba a quienes contradecían los dichos del texto sagrado, mientras, en medio oriente, los islámicos, guiados por otro texto sagrado hacían grandes avances en las matemáticas y la astronomía, llegando a adelantarse hasta en 600 años a

En latín Scientia , que significa conocimiento. 1

No confundir ciencia con tecnología. La ciencia se ocupa de reunir conocimientos y organizarlos. La tecnología permite al hombre usar esos conocimientos para fines prácticos, y proporciona las herramientas que necesitan los científicos en sus investigaciones. 2

¡Sí! en esa época, hace más de 2000 años se suponía ya que la Tierra tenia una forma que tendía a una esfera. 3

10 física general fmf-024 (2014)

Europa en algunas áreas. Posteriormente, en Europa, diversas corrientes como el renacimiento trajeron un resurgir de la ciencia, una ciencia que aún conservaba las bases de la ciencia clásica de los griegos. 4 Posterior a esta época, han venido tiempos de fuerte racionalismo en que el arte y el estudio de lo divino han quedado relegados. Muchas controversias han surgido de la ciencia, incluso hace unos 100 años, se discutían una serie de teorías, revolucionarias para la época, que no obstante, ahora son aceptadas sin mayores reparos por la mayor parte de la comunidad científica. en resumen: la ciencia ha sido, y es, el deseo del hombre por

entender el mundo que le rodea.

1.2 La medición Tal como sentimos la necesidad de entender las cosas, sentimos la necesidad de medirlas, no es solo reconocer que existen 4 estaciones, se necesita también saber cuanto dura cada una, cada cuanto se completa un ciclo de ellas, así entonces, es necesaria la medición. La primera observación, fue la sucesión de la noche y el día, un ciclo constante y eterno, la segunda medición, fue la observación de la luna, la cual hace un ciclo completo en 28 días, luego vino la medición de las estaciones, las cuales duran cada una aproximadamente 90 días y posteriormente, cuando las mediciones celestes lo permitieron, se llegó a determinar incluso la duración de un año, correspondiente al tiempo que tarda el Sol en volver a un mismo punto en el cielo (respecto a las constelaciones). De esto, queda implícito entonces, que la medición es “respecto a...”, es decir, al no poseer algo en términos absolutos, nos hemos visto en la necesidad de comparar una cosa desconocida con una conocida. Por ejemplo, si queremos saber cuanto dura un día, medimos desde el amanecer de un día, hasta el siguiente amanecer, luego, usamos esta “unidad” como referente para medir el tiempo de un ciclo lunar, que son 28 días, luego, observamos que el Sol alcanza el mismo punto en el cielo cada 13 ciclos lunares, estableciendo con ello el año. Estos referentes pueden parecer triviales, pero fueron de increíble importancia para los pueblos antiguos, que los usaban para determinar cuando sembrar y cosechar y por ende, su vida, su sobrevivencia, dependía de tener claridad al respecto. Luego de medir el tiempo, se hizo necesario medir la distancia, primero, una mano extendida (la unidad de llamaba “palma”), luego, desde la punta de los dedos hasta el codo (la unidad se llamaba “codo”), el hombre comenzó usando aquello que tenía más cercano para medir, su propio cuerpo. Posteriormente han surgido otras unidades, múltiples unidades de hecho y por diferentes motivos. Algunas surgieron por razones tan simples como que las usaban diferentes pueblos que no tenían contacto entre sí,

Para los griegos, la ciencia era el estudio de la naturaleza, del arte y de lo divino. 4

acerca de la ciencia 11

otras, como es más reciente, por rencillas entre diferentes naciones, así por ejemplo, podemos ver que existió hace algunos siglos, un sistema de unidades en Inglaterra y otro en Francia, algo fuertemente relacionado con los conflictos políticos entre estas naciones que en algún momento estuvieron en guerra. En la actualidad, los científicos de diferentes áreas han acordado el uso de un único sistema, llamado Sistema Internacional de Unidades (SI), este, basado en las unidades del sistema francés, es el más ampliamente difundido. En el SI podemos identificar 7 magnitudes fundamentales a medir, las cuales se muestran en la tabla 1.1. Magnitud Longitud (L) Tiempo (T) Masa (M) Intensidad de corriente (I) Temperatura (Θ) Cantidad de sustancia (N) Intensidad lumínica (J)

Nombre SI Metro [m] Segundo [s] Kilogramo [kg] Ampére [A] Kelvin [K] Mol [mol] Candela [cd]

Tabla 1.1: Las 7 unidades básicas del sistema internacional (SI). Ellas, tienen una particularidad, todas, con excepción del kilogramo son basadas en un fenómeno natural.

Aparte de estas unidades existen muchas unidades derivadas. la tabla 1.2 muestra algunas de ellas. Magnitud Superficie Volumen Velocidad Aceleración Número de onda Densidad Velocidad angular Aceleración angular

Nombre SI metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado metro a la menos uno kilogramo por metro cúbico radián por segundo radián por segundo cuadrado

Símbolo m2 m3 m/s m/s2 m−1 kg/m3 rad/s rad/s2

Tabla 1.2: Unidades derivadas de las las 7 unidades del (SI).

Esta unidades unidades pueden llevar Prefijos del Sistema Internacional, divididos en múltiplos y submúltiplos de 1000 (ver tabla 1.3). Magnitud Nombre SI 1024 yotta 21 10 zeta 18 10 exa 15 10 peta 1012 tera 9 10 giga 6 10 mega 3 10 kilo 102 hecto 1 10 deca

Factor Y Z E P T G M k h da

Magnitud Nombre SI 10−1 deci −2 10 centi −3 10 mili −6 10 micro 10−9 nano −12 10 pico −15 10 femto −18 10 atto 10−21 zepto −24 10 yocto

Factor d c m µ

n p f a z y

Tabla 1.3: Prefijos del SI.


en resumen: el ser humano necesita medir para poder establecer

las relaciones que le permitan aprovechar su conocimiento, para esto, ha creado sistemas de unidades que le den una referencia al hacerlo.

1.3 Mediciones astronómicas en la antigüedad Es increíble que hace más de dos mil años, y a pesar de las precarias condiciones técnicas, las personas fueron capaces de efectuar mediciones que incluso hoy en día son un desafío importante.

1.3.1 El tamaño de la Tierra Hace más de dos mil años los griegos ya sabían que la tierra era redonda. En esa época Eratóstenes encontró información de que las ciudades de Siena y Alejandría se encontraban a unos 800 Km de distancia y además en la ciudad de Siena los rayos del sol caían sobre una vara el mediodía del solsticio de verano (el actual 21 de junio) no producía sombra. Clavando una vara en el suelo en Alejandría (el mismo día y a la misma hora), Eratóstenes observó que allí el Sol proyectaba una sombra aproximada de 7.2 grados con la vertical. De esto dedujo que la tierra no era plana. Para efectuar sus cálculos usó geometría elemental y además supuso que el Sol estaba lo bastante lejos de la Tierra como para suponer que sus rayos llegaban a la superficie paralelos entre sí.

Figura 1.1: Eratóstenes nació en Cyrene (Libia) en el año 276 a.C. Fue astrónomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a. C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su traba jo sobre la medición de la tierra.

Figura 1.2: El ingenioso método que usó Eratóstenes para calcular la circunferencia de la tierra. El ángulo que forma la sombra en Alejandría ( α = 7.2 ) es el mismo ángulo subtendido desde el centro de la tierra (ángulos correspondientes entre paralelas). Con este razonamiento geométrico y una simple proporción aritmética es posible calcular la circunferencia de la tierra. ◦

De la figura 1.2 se desprende que si x es la circunferencia de la tierra, entonces por medio de una simple proporción x 360

=

800 km 7.2

⇒

x =

800 km

× 360 = 40000 km

7.2

Este es un resultado muy cercano al real, que es de 40.074 km, a pesar de la probable falta de exactitud de la medida de la distancia entre Siena


y Alejandría.

1.3.2 El tamaño de la luna Cuando observamos un eclipse de Luna, la sombra proyectada por la Tierra sobre la Luna revela la forma esférica de la Tierra y además nos da una idea del tamaño de nuestro planeta comparado con el de la Luna. Aristarco de Samos otro gran filósofo griego, ideó un ingenioso método para medir el tamaño de la Luna y su distancia a la Tierra comparando el tamaño de la sombra de la Tierra con el de la Luna durante un eclipse lunar. Sus observaciones se basan en la figura 1.3 donde por simple observación visual, Aristarco estimó que el diámetro aparente de la sombra de la Tierra era aproximadamente el 2.5 del diámetro lunar. Aristarco se dio cuenta que la suposición anterior no es correcta, es decir el radio de la tierra no es el mismo que el radio de la sombra de la Tierra. La razón es que debido al gran tamaño del Sol comparado con el de la Tierra, la zona más oscura de la sombra (umbra) de la Tierra tiene una forma cónica como se ilustra en la figura 1.4.

Aristarco de Samos (310 a.C.–250 a.C.) fue un astrónomo y matemático griego, nacido en Samos, Grecia. Se le atribuye ser el primer en proponer el modelo heliocéntrico del Sistema Solar, colocando el Sol, y no la Tierra, en el centro del universo conocido. De Aristarco se conserva solamente una obra "Sobre los tamaños y distancias del Sol y de la Luna".

Figura 1.3: Secuencia de un elipse lunar mostrando que el diámetro aparente de la Luna es aproximadamente 2.5 más pequeño que el diámetro de la Tierra.

Figura 1.4: Esquema de eclipse lunar mostrando la formación de un cono, de tal manera que el radio de la tierra no es igual al radio de la sombra.

En realidad una mejor aproximación (aunque todavía tiene deficiencias) es que el radio de la Tierra es 3.5 el radio de la Luna. Puesto que Eratóstenes ya había medido el radio de de la Tierra, esto le permitió a

14 física general fmf-024 (2014) Aristarco obtener un valor que está dentro del 5 % de error.5 Posteriormente Aristarco mejoró su método midiendo ángulos y usando trigonometría, para medir también la distancia Tierra-Sol. Lamentablemente los instrumentos de medición de la época no le permitieron obtener buenos resultados. Pero el problema no está en el método, que es perfectamente correcto, sino en que los resultados son muy sensibles a pequeños errores en las mediciones, especialmente los ángulos que son muy difíciles de medir.

Dadas las condiciones precarias de medición es posible que el valor obtenido haya sido una fortuita cancelación de errores. 5


1.4 El método científico Un método6 es una forma de conseguir algo, el procedimiento, el camino que nos guía a lograr lo que queremos, así entonces el método científico es la forma de conseguir el conocimiento. El conocimiento, puede llegar a volverse algo muy subjetivo, lo que sabe una persona, se puede oponer a lo que sabe otra. Basta mirar las religiones, para ver que todas dicen tener la verdad y que las otras no son ciertas, es decir, lo que es verdadero en una religión, es falso en otra. Así entonces, tener un conocimiento “verdadero” es el reto al que se enfrenta la ciencia, obtener un conocimiento que pueda ser reconocido como cierto, como una ley y no como una simple creencia personal. Antes de nuestra era, Aristóteles, un científico y filósofo griego estudió la caída de los cuerpos, llegando a determinar que la caída de estos, se veía sujeta a una aceleración que dependía de su peso. Pasaron miles de años en que esta conclusión fueron considerada cierta, hasta que Galileo Galilei, llevando a cabo un estudio más acabado que el de Aristóteles, llego a concluir que la aceleración con que cae un cuerpo es constante, independiente de su peso y más aún, logró obtener un valor aproximado de esta. ¿Estaba Aristóteles mintiendo? ¿Merece el puesto que ocupa en la historia de la ciencia o era simplemente un embustero? La respuesta es que no mentía y que si merece su lugar en la historia. ¿Pero, entonces, por que las diferencias al trabajo de Galileo? Simple, el sabio griego no consideró algunas de las variables. Aristóteles simplemente no pensó en el aire, al percibirlo como algo intangible, asumió que este no afectaba la caída de los objetos, por ende, para el, la razón que una piedra cayera con mayor aceleración que una pluma era la diferencia de peso, no considerando la posibilidad de que el aire, ejerciera una resistencia y por ende, que afectara su observación. Galileo, por su parte, si pensó en esa posibilidad, por ende, diseñó un sistema de planos inclinados, por los que hacia rodar cuerpos de diferentes pesos. Si bien su sistema, visto desde la perspectiva actual era muy primitivo, le permitió comprobar que la aceleración (razón de cambio de la velocidad de un cuerpo) era una constante y que esta constante podía ser calculada. Así entonces, si bien ambos hicieron un estudio adecuado para los parámetros de su época, podemos ver que Galileo, al considerar más variables en juego, logró una observación más exacta, es decir, más cercana a la realidad. El método científico7 ha sido ampliamente discutido a lo largo de los siglos, pero podemos decir, en un modo sintético, que es un procedimiento que busca medir los efectos de cada una de las variables en juego y ver la relación que hay entre estas y el fenómeno observado. El resultado, es relativo a la exactitud de la medida, así como también de su precisión, pero también, como se puede ver en la historia, dependiente del paradigma8 reinante de la época, así entonces, hubo una

6

El término es griego y significa el ca-

mino hacia .

Figura 1.5: Aristóteles (384 a. C.-322 a. C.) fue un polímata: filósofo, lógico y científico de la Antigua Grecia cuyas ideas han ejercido una enorme influencia sobre la historia intelectual de Occidente por más de dos milenios.

Figura 1.6: Galileo Galilei (1564-1642) fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico italiano que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el copernicanismo. Ha sido considerado como el padre de la astronomía moderna , el padre de la física moderna y el padre de la ciencia . A Galileo Galilei y Francis Bacon, filósofo inglés, se les atribuye ser los principales fundadores del método científico, método extremadamente eficiente para adquirir, organizar y aplicar nuevos conocimientos. 7

8

La visión que se tiene de la realidad.


época en que el paradigma era que todos los planetas giraban en torno a la Tierra (el Sol y la Luna eran considerados planetas), mientras que posteriormente, el paradigma cambió y se comenzó a creer que la Tierra y los planetas giran en torno al Sol, posteriormente a esto, mucho más recientemente, se observó que a la vez nuestro Sol es una estrella que forma parte de una galaxia y que como parte de ella, también se mueve, por ende, tampoco es el centro. ¿Cual es entonces el centro? He ahí una pregunta para la ciencia y las preguntas y buscar su respuesta son la razón de existir de la ciencia. Podemos llegar a profundizar mucho en los detalles del método científico, pero este, más que un conjunto rígido de normas, es una forma de abordar los problemas, según la rama de la ciencia en que se trabaje, habiendo llegado incluso a ser aplicado en áreas donde la medición es tan difícil como la psicología. Podríamos en un modo simple, decir que el método científico sigue los siguientes pasos: Planteamiento de la pregunta (reconocer una duda o problema) Observación (investigación acerca del problema) Formulación de hipótesis (hacer una proposición educada ) Experimentación Contrastación de la hipótesis y los experimentos Conclusiones (y formular la regla general más sencilla) Queremos advertir, que en otros libros de texto, los pasos pueden “distintos” en el sentido de que dos o más pasos pueden ser resumidos en uno solo, o un paso puede ser dividido en dos pasos. Como complemento, la figura 1.7 puede ser de utilidad. Si queremos confirmar la observación de Aristóteles (tal como lo hizo Galileo), nuestra pregunta sería ¿estaba Aristóteles en lo cierto? Luego, en la etapa de observación podríamos decir, que ciertamente, cuerpos más pesados caen con mayor rapidez, pero también, podemos observar que al agitar una mano, abanicando el aire, sentimos una presión sobre ella, una dificultad para que avance, mayor esta, cuanto más rápido se mueve la mano, entonces nos surge una nueva pregunta ¿Afecta el aire la caída de los objetos? Surge entonces la hipótesis: “Es posible que los cuerpos caigan con igual aceleración, no obstante, que el aire los frene y generen la impresión de que caen con aceleraciones diferentes, nuestro experimento buscará medir, evitando el efecto del roce del aire, para confirmar o rechazar la creencia de Aristóteles.”

Pasamos entonces a la fase experimental, usamos, al igual que Galileo, planos inclinados y cuerpos rodando por él, con una condición, ser lo

Figura 1.7: Diagrama de flujo ilustrando los pasos del método científico.


bastante pesados, para que el aire no los afecte, como afectaría a una pluma o un papel. Los resultados del experimento, una vez analizados, nos indican que todos los cuerpos, independiente de su peso caen con igual aceleración (ver figura 1.8). Es más, podemos incluso calcular su valor aproximado (cerca de 10 m/s2 ). Contrastamos esto con nuestra hipótesis, comprobamos, según los parámetros que hemos medido, que es cierta y que todos caen con igual aceleración y que Aristóteles simplemente no consideró la resistencia del aire. Llegaríamos entonces a nuestra conclusión “Todos los cuerpos caerán con una misma aceleración sin importar su peso, no obstante, la aceleración con que aparentemente caigan puede verse afectada por la resistencia del aire.” Así, entonces, hemos hecho aplicado el método científico para resolver una pregunta. Una de las consideraciones en el método, es que los experimentos sean “repetibles”, es decir, que dos personas, sin relación entre ellas, al realizar el mismo experimento, en iguales condiciones, obtengan los mismos resultados. El poder llegar a tener observaciones idénticas en observadores diferentes es lo que valida el trabajo y se conoce como “ Repetibilidad ”.

Figura 1.8: La famosa demostración de Galileo al arrojar dos objetos, uno pesado y el otro ligero, para comprobar que ambos caían al suelo al mismo tiempo.

en resumen: el método científico busca obtener el conocimiento,

siguiendo un conjunto de pasos ordenados que eliminen las posibles causales de error y que permitan que cualquiera en cualquier momento, pueda obtener los mismos resultados si trabaja en las mismas condiciones.

1.5 Teorías ¿Que pasa cuando una hipótesis se haya probado una y otra vez y no se haya encontrado ninguna contradicción? Entonces esta hipótesis puede transformarse en una ley o principio, que más tarde pueden pasar a ser parte de una teoría . Las teorías son conjuntos de hipótesis que buscan explicar un fenó-

meno, funcionan dentro de ciertos parámetros, un rango de aplicación, con determinadas normas, dentro de estos, la teoría es válida y da un marco creíble que explica el fenómeno, no obstante, cuando se sale de los parámetros contemplados por la teoría, esta deja de cumplirse y sus postulados se hacen inútiles. En la actualidad, al igual como fue en siglos previos, existen múltiples teorías que explican diferentes fenómenos de la física, la química y la biología, entre otras ramas del saber científico. Todas ellas tienen un elemento en común, tarde o temprano serán desechadas, reemplazadas por otras teorías, así ha sido antes, así seguirá siendo. Esto último se debe a que a medida que el conocimiento avanza, van

Las teorías tienden a ser mejoradas y reemplazadas por otras teorías.


apareciendo nuevos enfoques, más amplios, en que la teoría se hace más cercana a la realidad. Para dar un ejemplo más simple, Aristóteles, Galileo, Newton y Einstein forman parte de una cadena, en que la teoría de cada uno reemplazó a la previa, dando un enfoque más amplio, más completo, capaz de explicar de un modo más claro, más preciso y más exacto los fenómenos estudiados por el anterior. Donde Aristóteles vio objetos cayendo, Galileo vio una constante gravitatoria, seguido de él newton vio gravitación universal hasta que Einstein generó un marco mucho más amplio a la gravedad y loo fenómenos asociados a ella. En cada caso, la nueva teoría dejó a la anterior como falsa e incompleta. Nada de esto quita el valioso aporte que hizo cada teoría, sino más bien, demuestra que la visión que el hombre tiene de la naturaleza se vuelve más amplia, más completa. Las falacias9 de una visión son superadas por la siguiente, cada teoría avanza un paso más en la búsqueda del verdadero conocimiento, que es la razón de ser de la ciencia.

1.6 Falacias pseudo-científicas No obstante de lo anterior, existe una serie de falsedades que aún hoy persisten, con bases erradas en teorías anteriores o en interpretaciones erradas de las teorías actuales. Veamos algunos ejemplos de estas mentiras que aún hoy están

ampliamente difundidas. El más claro es el que la gente cree que el cambio estacional se debe a la distancia variable entre la Tierra y el Sol, así como también que el congelamiento de los polos se debe a que existe mayor distancia entre los polos y el Sol que entre el Ecuador y el Sol. Ambas ideas son falsas.

Si bien, la orbita terrestre es elíptica, las imágenes que muestra nuestro planeta dentro del sistema solar son exageradas, de hecho, los focos de la elipse sobre la cual se mueve nuestro planeta se encuentran ambos al interior del sol, por otro lado, la sola variación de la distancia al sol no bastaría para explicar el que entre el hemisferio norte y el sur haya un desfase de 6 meses entre las estaciones. Así mismo, el congelamiento de los polos no es causa de la mayor distancia del sol a los polos que al ecuador, ya que, si lo comparamos con la distancia de la Tierra al Sol, ésta es ínfima. Ambos fenómenos se deben, en realidad al hecho que la Tierra tiene una inclinación de 23 ° 26’ respecto al plano orbital. Esto provoca que la luz no llegue en forma perpendicular siempre a cada hemisferio, sino solo en los solsticios y esto solo en los trópicos (trópico de cáncer en el hemisferio norte y trópico de capricornio en el hemisferio sur). Por ende, el ángulo de incidencia de la luz en cada hemisferio será diferente según la estación del año. Esto, se vincula al fenómeno de reflexión. Así por ejemplo, en el solsticio de invierno del hemisferio sur, el ángulo de

Según el diccionario, una falacia (del latín fal lac˘ıa ) significa: un engaño, fraude o mentira con el que se intenta afectar a alguien. 9


incidencia de la luz es mayor que en cualquier otro momento del año, por lo mismo, la reflexión es mayor (la luz es reflejada por la atmósfera, que actúa como un espejo) por esto es que, al ingresar menor cantidad de luz, las temperaturas bajan. Análogamente sucede con el invierno del hemisferio norte. En el caso de los polos, el ángulo de incidencia es grande prácticamente en todo momento, por ende, la mayor parte de la luz es reflejada por la atmósfera en estas regiones y de ahí que se mantengan congeladas. Otra falacia, que habitualmente se escucha, es que el color rojizo de los atardeceres se debe a los contaminantes atmosféricos, algo que en cierta medida han difundido con un tono alarmante los ecologistas. Para esto, debemos pensar en que dichos contaminantes aparecen solo en la época industrial, no obstante, basta leer a antiguos poetas, previos a esta época y nos encontraremos con románticos comentarios sobre los atardeceres rojizos, ergo, el cielo del atardecer tomaba estos tonos mucho antes que hubiera máquinas que produjeran contaminantes. ¿A que se debe entonces?

Simple, la atmósfera actúa como un prisma, descomponiendo la luz, por ende, en el atardecer, el ángulo es tal que queda proyectada la componente roja sobre la superficie terrestre. Bingo! Hemos destruido una apreciación errónea y hemos entendido un fenómeno totalmente natural y muy hermoso.10 en resumen: las teorías son un conjunto de hipótesis que bus-

can explicar los fenómenos naturales, son eventualmente eventualmente descartadas cuando una teoría nueva, demuestra que estaban erradas y plantea una visión más completa. Eventualmente, restos de alguna teoría desechada quedan dando vueltas entre las personas y generan falacias que se mantienen en la cultura popular.

No es el mejor tema de conversación con su novia mientras mira un romántico atardecer. 10

2

CAPÍTULO

Movimiento de una partícula Cabe aclarar, que en lo siguiente, trabajaremos bajo el concepto de partícula, es decir, de una distribución puntual de la masa (puntual, es decir, sin volumen), esto, porque simplifica el tratamiento matemático, el cual se vuelve eventualmente muy complejo cuando trabajamos con sistema de partículas (cuerpos con volumen). En el capítulo anterior, hemos estudiado la forma en que Aristóteles y Galileo comprendieron el movimiento de los cuerpos; a esto, solo podríamos agregar una cosa. Los experimentos de Galileo plantearon algo novedoso para su época, el concepto de que todo objeto mantendría su movimiento a no ser que se realizara una acción sobre el, lo cual alteraría ese movimiento, la resistencia a esa alteración, la llamó inercia y correspondía a la masa (cantidad de materia) del cuerpo. Posteriormente a Galileo, aparece una figura sorprendente en la historia de la ciencia, en parte por las controversias que generó, pero mayoritariamente, porque se le refiere como el padre de la ciencia como la conocemos hoy en día, nos referimos a Isaac Newton. En 1687, Newton publica su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural), en el cual presenta sus leyes o principios sobre el movimiento de los cuerpos.

Figura Figura 2.1: Sir Isaa Isaacc Newton Newton (1642(16421727) fue un físico y matemático Inglés quien es considerado como uno de los más influyentes de todos los tiempos y como una figura clave en la revolución científica. científica. Su libro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Principios Matemáticos de la Filosofía Natural), publicado en por primera vez en 1687, sentó los fundamentos de la mecánica clásica. Newton también hizo contribucontribuciones fundamentales a la óptica y, en su calidad de matemático, comparte el crédito con Gottfried Leibnitz de haber inventado el cálculo infinitesimal.

2.1 Los princip principios ios o leyes de newton Los principios de Newton son tres: 1. Ley de Inercia Inercia 2. Ley de fuerzas fuerzas 3. Ley de acción acción y reacción. reacción. Estudiaremos estas leyes en detalle durante el curso.

2.2 Primera Primera ley: princip principio io o ley de inercia Este principio, dice literalmente: “Todo objeto continua en su estado de reposo o de movimiento uniforme en linea recta a menos que sea obligado a cambiar este estado por fuerzas que actúan sobre él.”

Figura 2.2: Tapa del libro Philosophiae Naturalis Naturalis Principia Mathematica publicado por Isaac Newton el 5 de julio de 1687. En este libro se recogen sus descubrimientos en mecánica y cálculo matemático. Esta obra marcó un punto de inflexión en la historia de la ciencia y es considerada, por muchos, como la obra científica más importante de la Historia..


Entonces, en ausencia de cualquier acción que se realice sobre él, un cuerpo permanecerá quieto o en un movimiento a rapidez y dirección constante, así ad infinitum . Al igual que como observó Galileo, esto implicará que si un cuerpo se detiene, será por acción de una fuerza, como en el caso de un cuerpo rodante, será la fricción de la superficie por la que se desliza o de un objeto que cae, la resistencia del aire. El cuerpo tendrá a su vez una resistencia al cambio de su régimen de movimiento, la cual será su inercia, la cual es directamente la cantidad de materia en este o masa. Así por ejemplo, si estuviéramos en un espacio totalmente vació, libre de cualquier acción gravitatoria, corrientes de aire o lo que fuera y lanzáramos una piedra, esta viajaría en linea recta, sin detenerse, viajaría por toda la eternidad, siempre a la misma velocidad y en la misma dirección. Igualmente, si la dejáramos quieta, permanecería así, sin importar cuanto tiempo pasara. Mientras no exista una fuerza externa 1 el cuerpo permanecerá inalterado. En el capitulo previo, vimos que la Tierra se mueve en torno al Sol y este se mueve como parte de la vía láctea, todo esto a velocidades ingentes. ¿Por qué entonces, siendo que la propia Tierra gira sobre su eje a gran velocidad, nos es posible observar que las cosas permanezcan quietas, en la superficie de nuestro planeta, mostrando la primera ley de Newton en acción? Existe un concepto con el que debemos familiarizarnos; se llama movimiento relativo.

Es importante recalcar que se trata de una fuerza externa, ya que las fuerzas internas, como las que se generan entre los átomos y las moléculas, no alteraran el estado del cuerpo. 1

Veamos un ejemplo:

Imagínese viajando en un bus y que este, se desplaza a una velocidad constante. Usted, lleva en su mano el interesante libro que sus profesores de física han hecho para usted con mucho cariño, pero tiene sueño y su apunte se cae al piso del bus. ¿Que pasó? Cae justamente a su lado, si bien, el bus se mueve, el libro no ha sido desplazado hacia la parte posterior del bus mientras cae, sino que cae a su lado ¿Como se explica eso? Simple, tanto el bus, como usted y el libro se están moviendo a la misma velocidad, esa velocidad la puede notar mirando por la ventana, al ver el desplazamiento, si bien, todo lo que va dentro del autobús, mantiene su posición relativa. Visto, desde el interior del bus, el libro solo se movió verticalmente, al caer, no obstante, si alguien lo viera, desde algún punto en la carretera, vería que el libro no solo se mueve en la vertical, sino, que se mueve también con la misma velocidad y dirección que el bus. Así entonces nos hallamos ante dos posibles observaciones, ambas ciertas, en una el libro solo tiene movimiento en la vertical, en la otra, tiene movimiento en la vertical y la horizontal. Todo dependerá del punto de referencia que se haya tomado. Si usáramos un sistema cartesiano para referir el fenómeno2 podemos decir, que el observador desde el interior del bus (usted) ve solo velocidad en el eje y mientras que el observador en la carretera medirá velocidades en los ejes x e y . Estas serán llamadas velocidades relativas, pues dependerán netamente del punto desde donde

Un sistema de coordenadas con ejes perpendiculares a los que llamaremos x e y , siendo x la horizontal e y la vertical en este caso. 2

movimiento de una partícula 23

se hace la observación.

2.3 Fuerzas Refiriéndonos la la primera ley de Newton (ley de inercia), esta puede ser formulada de forma equivalente como: Un objeto en reposo permanece en reposo y un objeto en movimiento permanece en movimiento con la misma velocidad y dirección a menos que actúe sobre el objeto una fuerza neta .

De aquí surge la pregunta ¿qué es una fuerza?. La respuesta más simple es que una fuerza en un empujón o tirón . El origen de las fuerzas puede ser gravitacional, eléctrica, magnética o simplemente un esfuerzo muscular. ¿Pero que significa exactamente fuerza neta? Una fuerza neta es una fuerza no balanceada. En la figura 2.3 se ilustra el caso de una fuerza neta nula (fuerza balanceada). Una fuerza (la gravedad ejercida por la tierra) ejerce una fuerza hacia abajo. La otra fuerza, ejercida por la mesa sobre el libro (también conocida como fuerza normal ), empuja hacia arriba. El resultado es que la fuerza neta sobre el libro es nula. En este caso las dos fuerzas son iguales en magnitud pero en direcciones opuestas; ellas están balanceadas. El libro está en equilibrio, no hay fuerzas netas y el libro mantiene su estado de movimiento (reposo). Ahora consideremos un libro deslizándose sobre una mesa hacia la derecha (ver figura 2.4). Quizás, en algún momento anterior se le ha dado un empujón desde la posición de reposo. Pero no importando como llegó el libro a deslizarse hacia la derecha, lo importante es que ahora no hay ninguna fuerza empujando hacia la derecha.3 Las dos fuerzas actuando verticalmente se anulan tal como en el caso anterior. Mientras el libro se mueve hacia la derecha, la fricción actúa hacia la izquierda haciendo que el movimiento del libro se más lento. Hay una fuerza no balanceada (fuerza neta distinta de cero). El libro no está en equilibrio y en consecuencia acelera.4 En este caso, la fuerza no balanceada se dirige en la dirección opuesta al movimiento del libro.

Figura 2.3: El libro está en equilibrio. La fuerza neta actuando sobre el libro es nula, entonces el libro mantiene su estado de movimiento (reposo). No se necesita ninguna fuerza para mantener un objeto moviéndose hacia la derecha. 3

Las fuerzas no balanceadas causan aceleraciones, un concepto que veremos más adelante. 4

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades (Si),

se mide en newtons (N), en reconocimiento a Isaac Newton. El newton se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s2 a un objeto de 1 kg de masa.

2.3.1 Equilibrio Resumiendo la sección anterior, diremos que un cuerpo está en equilibrio mecánico si la fuerza neta actuando sobre el cuerpo es cero. Otra forma de ver esto, es decir que la suma de las fuerzas es cero. En la figura  g , está en equilibrio con 2.5 el bloque está en reposo porque el peso, F  , la fuerza ejercida por la cuerda hacia arriba. En este caso la tensión, T

Figura 2.4: El libro está en equilibrio. La fuerza neta actuando sobre el libro es nula, entonces el libro mantiene su estado de movimiento (reposo).


usamos la notación vectorial para decir que la suma de las fuerzas es cero  +  T F g = 0

Notar que el signo del vector va implícito, es decir, una de las dos fuerzas debe tener signo contrario. Aquí hemos introducido anticipadamente el concepto de vector en una dimensión. Un vector tiene magnitud y dirección. En el caso unidimensional, la dirección está dada generalmente por el signo del vector. Podemos adoptar la convención de que todas las fuerzas hacia la derecha (o arriba) tienen signo positivo y todas hacia la izquierda (o abajo) tienen signo negativo. Entonces la expresión vectorial  +  T F g = 0

se puede interpretar como T − F g = 0

donde los símbolos (sin flecha), F g y T son escalares (números) positivos. Finalmente, podemos generalizar si tenemos N fuerzas actuando sobre un cuerpo, la condición de equilibrio se escribe: N

 1 +  F F 2 + . . .  F n =



 i = 0 F

i=1

2.3.2 Vectores en una dimensión En la sección introdujimos el concepto de vector en una dimensión cuando definimos que la fuerza neta sobre un cuerpo debe ser nula para lograr el equilibrio. Las reglas para sumar vectores (tales como fuerzas) en una dimensión son muy simples. Podemos adoptar la convención que los vectores que apuntan hacia la derecha tienen signo positivo y los vectores que apuntan hacia la la izquierda tienen signo positivo. Lo mismo para vectores en la dirección vertical; vectores hacia arriba tienen signo positivo y vectores hacia abajo tienen signo negativo. La figura 2.6 ilustra un ejemplo simple.

Nos vamos a encontrar frecuentemente con los términos " centro de masa " y "centro de gravedad ". Aquí los consideraremos como sinónimos. El centro de masa sirve para representar el punto único de un objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuesta del sistema a las fuerzas. En otras palabras, el centro de masa es el punto donde se concentraría toda la masa de un objeto.

Figura 2.5: El bloque está en equilibrio. La fuerza neta actuando sobre el bloque es nula, entonces el libro mantiene su estado de movimiento (reposo).


Figura 2.6: Un ejemplo simple de suma de vectores en una dimensión, con la convención de signos.


EJEMPLO 2.1

Un tablón uniforme de 40.0 N de peso soporta a dos niños que pesan uno 80 N y el otro 65 N, como se muestra en la figura. El soporte (llamado punto de apoyo) está debajo del centro de gravedad del tablón. Solución: En la figura hemos representado a n como la fuerza normal que equilibra los pesos de los niños y del tablón. Suponemos que el centro de gravedad está en el centro del tablón porque hemos señalado que el tablón es uniforme. El equilibrio de fuerzas se expresa como, F y = 0 , es decir n − 80 N − 65 N − 40 N = 0



y despejando n , tenemos n = 185 N

Notar que a los pesos del los niños y el tablón les asignamos el signo negativo (hacia abajo). Por otro lado, el signo de n resultó ser positivo (hacia arriba).

EJEMPLO 2.2: Análisis de un sistema de dos cuerpos

La figura muestra dos cuerpos, uno encima del otro. Hacer un análisis de fuerzas sobre cada uno de los cuerpos. Solución: Hemos dividido la figura en dos partes. Al medio hemos aislado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m1 . La masa m 1 está en reposo y por lo tanto las fuerza neta que actúan sobre ella debe ser nula. En notación vectorial escribimos esto como  1 + P  1 = 0 N

y usando la convención de signos N 1 − P 1 = 0

⇒

N 1 = P 1

 1 ), la fuerza normal que ejerce el suelo Por otro lado, las fuerzas que actúan sobre m2 son el peso de m1 (P  2 ) y el peso de m 2 ( P  2 ). En notación vectorial sobre m1 (N  2 + P  1 + P  2 = 0 N

equivalentemente N 2 − P 1 − P 2 = 0

⇒

N 2 = P 1 + P 2


Para ambos casos, el hecho de que la suma de fuerzas de cero indica que se trata de un sistema que esta quieto o moviéndose a una velocidad constante (recordemos que todo dependerá del sistema de referencia que hayamos elegido).

2.4 Velocidad y rapidez Los antiguos griegos estudiaron los fenómenos físicos, pero sin usar las herramientas de la matemática para expresar sus ideas. Nuevamente fue Galileo Galilei quien introdujo el concepto de velocidad. Lo que hizo fue tomar el tiempo que un objeto se demoraba en recorrer una distancia y así relacionó la distancia recorrida por un cuerpo en un segundo. De esta manera, Galileo desarrolló el concepto de la velocidad como una variación de la distancia recorrida en una unidad de tiempo (un segundo). En la vida diaria estamos acostumbrados a usar la palabra rapidez como sinónimos de velocidad. En física hay una clara distinción entre ellas y, por el momento, nosotros vamos a adoptar la palabra rapidez . Galileo se planteó la pregunta: ¿Cual es la diferencia entre dos cuerpos idénticos viajando a diferente rapidez? Bueno, casi todos sabemos que un objeto que se está moviendo más rápidamente que el otro (el que tiene mayor rapidez) va a llegar más lejos que el objeto que se está moviendo más lentamente en la misma cantidad de tiempo. Es decir el objeto que se mueve más rápidamente llegará antes a un punto que el objeto más lento. ¿Pero qué es rapidez?

Sea lo que sea rapidez, ésta implica tomar en consideración distancia y tiempo. "más rápido" significa ya sea "más lejos" (mayor distancia) o "más pronto" (menos tiempo). Duplicando la rapidez significaría duplicar la distancia recorrida en una cantidad de tiempo dada. Duplicar la rapidez también significaría reducir a la mitad el tempo requerido para recorrer una distancia dada. Entonces Galileo llegó a las siguientes conclusiones después de efectuar sus experimentos: Rapidez (v) es directamente proporcional a la distancia ( d) cuando el tiempo es constante: v ∝ d ( t constante) Rapidez es inversamente proporcional al tiempo cuando la distancia es constante: v ∝ 1/t ( d constante) Así la rapidez se define como: distancia tiempo

Rapidez ≡ y matemáticamente:5

d t

v =

La unidad de rapidez en el SI es

Notar que usamos el símbolo “ v ” para rapidez. 5

 m s

, pero también es muy usada

  km h

.


2.4.1 Distancia y desplazamiento En la sección anterior hemos definido rapidez en función de la distancia recorrida. Para ponernos de acuerdo con el lenguaje de la física, debemos hacer distinción entre los términos distancia y desplazamiento. Al parecer son la misma cosa, pero tienen distinta definición y significado: Distancia es una cantidad escalar (número) y se refiere a "cuanto camino o distancia total ha recorrido un objeto" durante su movimiento. Desplazamiento es una cantidad vectorial (tiene dirección y magnitud) y se refiere a "cuan distante del lugar de partida se encuentra un objeto"; es el cambio absoluto de la posición del objeto.

Figura 2.7: El desplazamiento es el vector (azul) que va desde (a) hasta (b).

La figura 2.7 ilustra el caso de ir del punto (a) hasta el puto (b). Hay 3 posibles rutas (i), (ii) y (iii). En cada una de ellas la distancia recorrida es distinta. El desplazamiento es la flecha (vector) que une los puntos (a) y (b). EJEMPLO 2.3

Usar el diagrama para determinar el desplazamiento resultante y la distancia recorrida por el velociraptor durante los tres minutos. Solución: La distancia recorrida es 420 m, y el desplazamiento es 140 m hacia la derecha.

2.4.2 Rapidez promedio y rapidez instantánea Para calcular a rapidez de un objeto debemos saber cuan lejos ha ido y cuanto tiempo le tomó en llegar. "Más lejos " y "más pronto" corresponde to "más veloz". Supongamos que usted manejó su auto desde Santiago a Valparaiso. La distancia por carretera es aproximadamente 115 km. Si el viaje dura una hora y media, ¿cual es la rapidez? Simple 115 km km ≈ v = 77 1.5 h h Esta es la respuesta que nos da la ecuación, pero ¿cuan correcta es esta respuesta? ¿Realmente la rapidez del auto fue de 77 km/h? Es poco probable porque el auto puede haberse detenido o disminuido o aumentado la rapidez en ciertas zonas del trayecto. Entonces, el número que calculamos arriba no es la rapidez del auto, es la rapidez media del trayecto. En algunos libros de texto se enfatiza esto poniendo una barra sobre el símbolo de rapidez (v ) v =

∆d ∆t


Donde el símbolo “delta” indica un cambio. Por el contrario, el “velocímetro” 6 del auto muestra la rapidez instantánea, es decir, la rapidez determinada en un pequeño intervalo de tiempo. Idealmente este intervalo debería ser lo más pequeño posible. Simbólicamente se escribe7 vinst =

∆d ∆t

(con ∆t lo más chico posible)

Donde el símbolo ∆ significa un cambio.

Figura 2.8: El “velocímetro” de un automóvil mide la rapidez instantánea. Una palabra más científica sería “rapidómetro”. En lenguaje matemático riguroso escribimos 6

7

2.4.3 Velocidad En física velocidad y rapidez tienen significados diferentes. Velocidad es una cantidad vectorial y tal como la fuerza tiene magnitud y dirección, la velocidad también. Imagine que una persona se mueve rápidamente una paso hacia delante y un paso atrás, siempre volviendo a la posición original de partida. Puede que esta parezca una actividad estúpida, lo cierto es que el resultado sería que la velocidad es cero. ¿Porqué? la razón es que la persona siempre vuelve a la posición original, y el movimiento nunca daría lugar a un cambio de posición. Por lo tanto la velocidad resultaría ser cero. Como dijimos, velocidad es una cantidad vectorial y como tal, la velocidad tiene dirección. Cuando evaluamos la velocidad de un objeto, debemos tener en cuenta su dirección. 8 No es suficiente decir que un ob jeto tiene una velocidad de 55 km/h, uno debe informar la dirección para describir complemente la velocidad del objeto. La velocidad se define como el desplazamiento (un vector) por unidad de tiempo o cambio de la posición en la unidad de tiempo. Velocidad ≡

v = l´ım

∆t→0

∆d ∆t

Por ejemplo: norte, sur, derecha izquierda, arriba, abajo, etc. 8

desplazamiento tiempo

Este desplazamiento, al ser un vector, tiene una magnitud y dirección, así que podríamos definir la velocidad, v , por medio de la ecuación v =

d ∆t

Al igual que en el caso de la rapidez, haremos la distinción entre velocidad media o promedio, y la velocidad instantánea. Como hemos definido velocidad como un vector, entonces la velocidad permanecerá constante si la magnitud y la dirección de ésta no cambian. Como ejemplo, tenemos la velocidad de la Luna alrededor de la tierra. Si bien es cierto que la rapidez (magnitud de la velocidad) de la Luna permanece constante, su dirección cambia y por lo tanto podemos decir que la velocidad de la luna no es constante. EJEMPLO 2.4: Diferencia entre velocidad y rapidez Una persona camina 4 metros hacia el Este, 2 metros hacia el Sur, 4 metros hacia el Oeste, y finalmente 2 metros hacia el Norte. La persona se demoró 24 segundos en el recorrido. Determinar la rapidez promedio y


la velocidad promedio. Solución: La persona caminó una distancia de 12 metros en 24 segundos, entonces la rapidez media es v =

12 m 24 s

= 0.5

m s

Ahora si hacemos la cuenta, el desplazamiento es 0 metros, por lo tanto la velocidad promedio es 0 m/s. Recordar que el desplazamiento se refiere a un cambio en la posición y la velocidad se está basada en este cambio de posición. EJEMPLO 2.5

Usar el diagrama para determinar la rapidez y velocidad promedio del velociraptor durante los tres minutos. Solución: La rapidez media es 420 m/3 min = 140 m/min, y la velocidad media es 140 m/3 min = 46.7 m/min hacia la derecha.

2.5 Aceleración Se puede cambiar la velocidad de algo si se cambia su rapidez, si se cambia su dirección o si se cambian las dos. Por ejemplo la Luna cambia su velocidad en todo momento pero su rapidez permanece constante. Un auto en una curva cambia su velocidad. Cuando se pisa el freno de un auto, este cambia su rapidez y por lo tanto su velocidad. ¿Qué tan rápido cambia la velocidad de un objeto?

En el fondo estamos preguntando “¿cual es la velocidad con que cambia la velocidad?” Eso se llama aceleración y puede expresarse como: Aceleración ≡

cambio de velocidad tiempo

y por supuesto que aceleración es un vector. la unidad de aceleración en el SI es [m /s2 ] y se deriva de [(m/s/s],

indicando que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad en el tiempo.9 Como ejemplo, si un automóvil aumenta su velocidad de 30 a 35 kilómetros por hora en un segundo, y en el siguiente segundo a 40 kilómetros por hora, a 45 en el siguiente y así sucesivamente. Cambiamos la velocidad en 5 kilómetros por hora cada segundo. Este cambio de velocidad es

La aceleración es “la velocidad con que cambia la velocidad”. 9


lo que entendemos por aceleración. Aceleración =

cambio de velocidad 5 km/h = 1s tiempo

Si convertimos kilómetros en metros y horas a segundos, tendremos que la aceleración será 5000 m/3600 s m Aceleración = = 1.38 2 1s s La aceleración media se define como10 a =

∆v = v f − vi , significa velocidad final menos velocidad inicial. 10

∆v ∆t

Tal como en el caso de la velocidad, la aceleración también es un vector, y podemos reescribir la ecuación anterior como a =

v ∆ ∆t

A veces, en programas deportivos de la televisión, oímos que los anunciadores dicen que una persona está acelerando si esa persona se está moviendo rápidamente. Pero aceleración no tiene nada que ver con ir rápido o lento. Una persona se puede mover muy rápido pero aun así puede tener aceleración nula. Aceleración tiene que ver con cambio de velocidad. Si un objeto no está cambiando su velocidad, entonces el objeto no está acelerando. EJEMPLO 2.6 Un auto en USA se dice que va desde “cero hasta sesenta, en seis punto siete segundos”. (a) ¿Cual es la aceleración en m /s2 ? Solución: Bueno sabemos que en USA se usan millas para las distancia, así que “cero hasta sesenta” debería significar “desde cero hasta sesenta millas por hora”, así que nosotros vamos a convertir todo en unidades SI: 60 mi 1069 m × v = = 26.8 m/s h 1 mi Entonces la aceleración media es a =

∆v ∆t

=

26.8 m/s

− 0 m/s = 4.0 m

6.7 s

s2

La respuesta está incompleta porque no hemos especificado la dirección. La respuesta completa es hacia adelante (el auto está acelerando).

4.0 m/s2

(b) El conductor mantiene el pie en el acelerador. ¿Cuantos segundos adicionales le tomaría al conductor para alcanzar 36.0 m/s, asumiendo que la aceleración no ha cambiado? Solución: ∆v 36.0 m/s − 26.8 m/s ∆t = = = 2.3 s a 4.0 m/s2 (c) Si el auto se mueve a una rapidez de 35.8 m/s. ¿Cual sería la aceleración si le tomara 5.0 s para detenerse?


Solución: Aquí la velocidad final es cero, por lo tanto a =

∆v ∆t

=

0 m/s

− 35.8 m/s = −7.16 m 5.0 s

s2

El signo menos indica que el auto está desacelerando. Por lo tanto la respuesta correcta es 7.16 m/s2 hacia atrás.

2.6 Resumen de ecuaciones Hasta el momento hemos definido dos conceptos: velocidad y aceleración. Tomemos por ejemplo el módulo de la velocidad (rapidez) 11 donde es conveniente expresar el desplazamiento adoptando un sistema de coordenadas en una dimensión (ver figura 2.9), de tal forma que ∆x se escribe en función de una coordenada inicial (x0 ) y una coordenada final (x). Lo mismo podemos hacer con el tiempo, definimos un tiempo inicial, t0 , y un tiempo final, t . Así la expresión de la velocidad se escribe 12

11

Vamos a sustituir el símbolo ” d” por .

∆x

Recordemos que habíamos usado el símbolo “ d” para el desplazamiento. 12

Figura 2.9: Sistema de coordenadas en una dimensión. Si el auto viaja hacia la derecha, ∆x > 0, la velocidad es positiva. Cuando el auto viaja hacia la izquierda, ∆x < 0 , la velocidad en negativa.

v =

∆x ∆t

=

x − x0 t − t0

Establecer un sistema de coordenadas tiene la conveniencia de que valor de la velocidad puede tener dos signos, positivo (hacia la derecha) y negativo (hacia la izquierda) De la ecuación anterior podemos “despejar” x x = x 0 + v (t − t0 )

Solo para simplificar las ecuaciones, partimos cuando el reloj marca cero, es decir t 0 = 0 x = x 0 + vt

Podemos hacer un análisis similar para la aceleración a =

∆v ∆t

=

v − v0 t − t0

y de aquí obtener la velocidad final v v = v 0 + a(t − t0 )


Igualmente, podemos partir cuando t 0 = 0 v = v 0 + at

Cuando la aceleración es constante, la velocidad cambiará uniformemente desde un valor inicial hasta un valor final y el promedio de la velocidad estará entre medio de esos dos valores. Entonces, la velocidad promedio (o velocidad media) será simplemente la media aritmética de los dos valores v =

1 2

(v0 + v )

()

Si sustituimos v = v 0 + at en ( ), obtenemos v =

1 2

1

(v0 + v0 + at) = v 0 + at 2

v = v 0 +

1 2

()

at

Por otro lado si sustituimos () en x = x 0 + vt x = x 0 + ( v0 +

1 2

at)t = x 0 + v0 t +

x = x 0 + v0 t +

1 2

1 2

at2

at2

Finalmente, para aceleración constante, podemos combinar las ecuaciones anteriores para obtener una ecuación donde no aparece el tiempo v 2 = v 02 + 2a(x − x0 )


2.7 Caída libre 2.7.1 Aceleración de gravedad Un objeto en caída libre es un objeto que cae solamente bajo la influencia de la gravedad. Hay dos características del movimiento de un objeto en caída libre: Los objetos en caída libre no encuentran resistencia del aire. Todos los objetos en caída libre (en la tierra) aceleran hacia abajo a razón de de 9.8 m/s/s. El símbolo en física para la aceleración de gravedad es g . El valor numérico de la aceleración de gravedad más aceptado es 9.8 m/s/s, aunque hay pequeñas variaciones en este valor numérico (en el segundo decimal) los cuales dependen principalmente de la altura. Ocasionalmente usaremos el valor de 10 m/s/s para facilitar los cálculos.

Figura 2.10: Un objeto en caída libre. La única fuerza actuando es la fuerza de gravedad.

Figura 2.11: Un objeto en caída libre donde se han registrado el tiempo y velocidad en algunos puntos de la trayectoria.

Si pudiéramos registrar la velocidad y tiempo de un objeto en caída libre notaríamos que hay un patrón. Por ejemplo, de la figura 2.11 podemos


tomar las velocidades para calcular la aceleración media ( a = ∆v /∆t) en cada intervalo de segundo. Veamos, en el primer segundo 9.8 m/s − 0 m/s a = = 9.8 m/s2 1s−0s Similarmente entre 1s y 2s 19.6 m/s − 9.8 m/s a = = 9.8 m/s2 2s−1s y así sucesivamente comprobamos que la aceleración permanece constante. Observar además que la velocidad del objeto está cambiando a razón de 9.8 m/s cada segundo.

2.7.2 Ecuaciones de caída libre Sabemos que el movimiento de caída libre tiene una aceleración constante dada por g . Podemos utilizar la ecuaciones de la sección 2.6 para utilizarlas en el movimiento de caída libre: v = v 0 + gt x = x 0 + v0 t +

1 2

gt2

v 2 = v 02 + 2g (x − x0 )

Estas dos ecuaciones pueden ser simplificadas aún más si consideramos que el cuerpo parte del reposo (v0 = 0 ) y colocamos el origen del sistema de coordenadas en la posición de partida ( x0 = 0 ) v = gt x =

1 2

gt2

v 2 = 2 gx

2.7.3 El signo de g A veces es confuso constatar que diferentes libros de texto usan diferentes signos para la aceleración de gravedad en las ecuaciones. Estamos acostumbrados a adoptar un sistema de coordenadas donde el desplazamiento hacia la derecha tiene signo positivo (eje x positivo). En el caso de la caída libre lo normal sería que un desplazamiento hacia arriba tenga signo positivo (eje y positivo). Pero la gravedad apunta hacia abajo, así que los cuerpos tendrán aceleración negativa, de tal forma que las ecuaciones anteriores se escriben: v = v 0 − gt 1

x = x 0 + v0 t − gt2 2

v 2 = v 02 − 2g (x − x0 )

La figura 2.12 puede ser de ayuda para elegir el signo correcto.


Figura 2.12: Diagrama mostrando la forma de las ecuaciones de movimiento de acuerdo al sistema de coordenadas elegido.

EJEMPLO 2.7 Un gato baja de una cornisa y llega al piso en 1/2 segundo. (a) a) ¿Cuál es su rapidez al llegar al suelo? b) ¿Cuál es su rapidez promedio durante el 1/2 segundo? c) ¿Qué altura tiene la cornisa sobre el piso? Solución: (a) La rapidez: v = gt = 10 m/s2 × 0.5 s = 5 m/s (b) La rapidez media: v = (vinic + vfinal )/2 = (0 m/s + 5 m/s)/2 = 2.5 m/s (c) La altura: h = 12 gt2 = 12 × 10 m/s2 × (0.5 s)2 = 1.25 m

Notar que hemos usado un sistema de coordenadas con la dirección positiva hacia abajo y hemos puesto el origen de coordenadas en la posición de la cornisa. EJEMPLO 2.8: Abajo es negativo Una pelota de golf se deja caer a partir del reposo desde la azotea de un edificio muy alto, Despreciando la resistencia del aire, calcular la velocidad de la pelota después de 1.0 s, 2.0 s y .3.0 s Solución: Ahora vamos a considerar mirar hacia abajo y elegir un sistema de coordenadas con dirección positiva hacia arriba y el origen que esté en la azotea ( y0 = 0 en t 0 = 0 ), entonces v =

la posición está dada por y =

−gt = −(9.8 m/s2 )t

− 12 gt2 = − 12 × (9.8 m/s2 )t2

donde el tiempo está en segundos, la distancia en metros y la velocidad en metros por segundo. Para t = 1.0 s: v = y =

−(9.8 m/s2 ) × 1.0 s = −9.8 m/s

− 12 × (9.8 m/s2 ) × (1.0 s)2 = −4.9 m


Similarmente para t = 2.0 s,v =

−19.6 m/s y y = −19.6 m, y para t = 3.0 s, v = −29.6 m/s y y = −44.1 m.

Los signos menos de v indican que la dirección de la velocidad es hacia abajo y los signos menos de y indican un desplazamiento en la dirección negativa. EJEMPLO 2.9 Un niño se ubica frente a un pozo de 40 m de profundidad, desde el borde del pozo deja caer una piedra (sin darle impulso). a) ¿Cuanto tarda la piedra en llegar al fondo del pozo? b) ¿Que velocidad lleva la piedra al llegar al fondo del pozo? c) ¿Cuanto tiempo pasa desde que el niño suelta la piedra y escucha que toca fondo? (considerando que la velocidad del sonido sea 340 m/s. Solución: Vamos a considerar la dirección positiva hacia arriba ( g = −10.0 m/s2 ). (a) Para determinar el tiempo de caída, dado que el niño no impulsa la roca, su velocidad inicial será 0 m/s. El fondo del poso, de acuerdo al sistema de coordenadas elegido estará a y = −40 m (considerando que el niño está en el origen del sistema de coordenadas). Por lo tanto de y =

− 12 gt2 ⇒ −40 = − 12 (10.0 m/s2 )t2

y despejando el tiempo t =

 × 2

40

10

= 2.83 s

(b) Teniendo el tiempo de caída podemos calcular la velocidad usando v =

−gt = −(10.0 m/s2 ) × 2.83 s = 28.3 m/s

(c) Finalmente, para saber cuanto tardó el niño en escuchar el eco de la piedra que cayó, debemos sumar el tiempo de caída al tiempo que tarda el sonido en viajar esos 40 metros. El sonido viaja a 340 m/s por lo tanto el tiempo que el sonido se demora en recorrer esos 40 m es t =

40 m 340m/s

= 0.12 s

Así el niño escuchará a la piedra tocar fondo después de 2.83 s + 0.12 s = 2.95 s . EJEMPLO 2.10 Un niño se para en el techo de un edificio de 60 m de altura y deja caer una pelota, sin darle ningún impulso. a) ¿Cuanto tardará la pelota en llegar a la mitad del edificio? b) ¿Cuanto tardará la pelota en recorrer la segunda mitad? Solución: Aquí tenemos dos alternativas para el sistema de coordenadas. Podemos poner el origen en la azotea, lo cual significa que todas las distancias hacia abajo tienen signo negativo. La otra alternativa es que el origen esté en el suelo, lo cual significa que todas las distancias son positivas hacia arriba. Aquí vamos a elegir esta última alternativa. (a) La mitad del edificio está a 30 m sobre el suelo, mientras que el niño se encuentra a 60 m sobre el suelo. Utilizamos la ecuación y = y 0 − 12 gt2 con y = 30 y y 0 = 60 30 = 60

− 12 × 10t2 ⇒

t =

√

6 s = 2.45 s

(b) Calcularemos el tiempo total en caer del edificio y le restaremos el tiempo de la primera mitad. Usamos


y = y 0 − 12 gt 2

con y 0 = 60 y y = 0 0 = 60

− 12 10t2 ⇒

t =

√

12 s = 3.46 s

Por lo tanto el tiempo para recorrer la segunda mitad del edificio será t = 3.46 s − 2.45 s = 1.01 s

Es importante observar, que aunque el recorrido fue igual, el tiempo de caída en el segundo tramo fue menor, esto debido a que la pelota va aumentando su velocidad de caída a medida que desciende, producto de la aceleración de gravedad. EJEMPLO 2.11

Una piedra lanzada desde el techo de un edificio adquiere una velocidad inicial de 20.0 m/s en línea recta hacia arriba. El edificio tiene 50 mde altura. Determinar (a) El tiempo necesario para que la piedra alcance su máxima altura. (b) La altura máxima. (c) El tiempo necesario para que la piedra regrese hasta el techo del edificio. (d) La velocidad de la piedra en ese instante. (e) La velocidad y posición de la piedra en t = 5.00 s. (f) La velocidad y el tiempo cuando la piedra llega al suelo. Solución: (a) La altura máxima se encuentra observando que la velocidad final es cero. Ponemosv = 0 en v = v 0 − gt 0 = 20.0 m/s

− (9.8 m/s2 )t ⇒

t =

20.0 m/s 9.8 m/s2

= 2.04 s

(b) Con el tiempo encontrado en (a) podemos encontrar la altura 1

y = v 0 t − gt 2 2

ymax = (20.0 m/s)( 2.04 s)2 −

1 2

(9.8 m/s2 )(2.04 s)2 = 20.4 m

(c) Cuando la piedra regresa hasta el techo y = 0 1

y = v 0 t − gt 2 2

0 = (20.0 m/s)t

− 12 (9.8 m/s2 )t2

Al factorizar esta ecuación, tenemos t(20.0 − 4.90t) = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones. Una es cuando t = 0 , correspondiente al tiempo cuando la piedra inicia su movimiento. La otra solución es la que buscamos y corresponde a t = 4.08 s.


(d) En ese instante (a los t = 4.08 s) la piedra regresa al punto de partida, pero con una velocidad en dirección opuesta a la velocidad inicial. En efecto, la ecuación siguiente nos permite obtener la velocidad final v = v 0 − gt v = 20.0 m/s − (9.8 m/s2 )( 4.08 s) = 20.0 m/s − 40.0 m/s =

−20.0 m/s

es un valor con signo negativo, lo cual indica que la piedra está descendiendo. (e) A los t = 5.00 s la piedra tendrá una velocidad v = 20.0 m/s − (9.8 m/s2 )( 5.00 s) =

−29.0 m/s

y la posición y = v 0 t − 12 gt2 y = 20.0 m/s)( 5.00 s) −

1 2

(9.8 m/s2 )(5.00 s)2 = −22.5 m

Es decir la piedra está a una distancia de 22.5 m desde el techo hacia abajo. (e) Primero calculamos el tiempo en llegar al suelo. Esto se calcula en forma similar a la parte (c) con y = v 0 t − 12 gt 2 y poniendo y = −50 m. −50 = (20.0 m/s)t − 1 (9.8 m/s2 )t2 2

esto resulta en una ecuación de segundo grado 4.9t2

− 20t − 50 = 0

cuyas soluciones son t =

−1.75 s

y

t = 5.83 s

El valor −1.75 s no tiene sentido físico, así que la piedra llega al suelo después de t = 5.83 s . Con este tiempo calculamos la velocidad de llegada al suelo v = 20.0 m/s − (9.8 m/s2 )( 5.83 s) ==

−37.1 m/s


2.8 La segunda ley de movimiento de Newton En la primera ley de Newton vimos que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, entonces el estado de movimiento del objeto permanece inalterado. Es decir la aceleración es cero y por lo tanto el objeto permanece en reposo o permanece con velocidad constante (ver figura 2.13). Figura 2.13: Diagrama de la primera ley de Newton.

La segunda ley de Newton es aplicable a objetos donde las fuerza sobre ellos no está balanceada, es decir se aplica una fuerza neta (ver figura 2.14). La segunda ley dice que la aceleración de un objeto es dependiente de la fuerza que actúa sobre el objeto y de la masa del objeto. La aceleración será mayor cuando la fuerza sea mayor o la masa sea menor. Si aplicamos una misma fuerza a dos objetos de distinta masa, el objeto más liviano tendrá mayor aceleración. Este hecho fue formulado por Newton de la siguiente manera: La aceleración de un objeto, la cual es producida por una fuerza neta, es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa del objeto.

Esto se expresa matemáticamente como a =

F neta m

es decir F neta = ma

La unidad de fuerza, el Newton (N) ya la habíamos introducido

en forma preliminar. Ahora estamos en condiciones de ser más rigurosos, ya que tenemos la segunda ley de Newton formulada. Un Newton es la cantidad de fuerza requerida para acelerar un cuerpo de 1 kg a 1 m/s2 . 1 N = 1 kg.

m s2

La fuerza causa la aceleración.


Figura 2.14: Diagrama de la segunda ley de Newton. Si la fuerza neta sobre un objeto es distinta de cero, entonces el cuerpo acelera.

2.8.1 ¿Qué es una fuerza? Habíamos definido fuerza como un empujón o tirón . Ahora podemos decir que: Una fuerza es una interacción que causa aceleración.13 La fuerza es una cantidad vectorial asociada con una interacción. Cuando varias fuerzas actúan sobre un cuerpo o sistema, lo que interesa es la fuerza neta externa.

Más generalmente, una fuerza es una interacción que causa un cambio. 13

Para que una fuerza acelere un objeto, la fuerza debe venir desde fuera del objeto (fuerza externa).

2.8.2 Fuerzas de fricción Cuando un objeto está en movimiento ya sea sobre una superficie o en un medio viscoso tal como el aire o el agua, hay una resistencia al movimiento porque el objeto interactúa con los alrededores. 14 A esta resistencia la llamamos fuerza de fricción. Si aplicamos una fuerza para deslizar un bloque sobre una superficie, comprobaremos que existe resistencia al avance, es decir aparece una fuerza de fricción o roce, que suele reducir la fuerza neta y la aceleración que resulta. Esta resistencia se debe a que las superficies en contacto tienen irregularidades. La razón es que a nivel microscópico (ver figura 2.15) existen superficies de contacto que no son lisas, y que son la causa del roce. La figura 2.15 muestra que la fuerza de fricción o roce está en dirección opuesta a la fuerza aplicada. La fuerza neta será entonces  neta = F  − F  roce F

La dirección de la fuerza de fricción siempre es la opuesta al movi-

miento. En la figura 2.15 el peso del bloque está balanceado con la fuerza normal que ejerce el suelo sobre el bloque. La fricción no aparece hasta

14

Hay una fuerza neta externa.

Figura 2.15: Superficies de contacto microscópicas causan la fricción.


que tratamos de mover el bloque. Esa fricción va a depender del material de las dos superficies y de cuanto se oprima el bloque contra la otra superficie. Otro ejemplo se muestra en la figura 2.16 donde la acción de caminar sin (caerse) involucra una fuerza de roce. El píe ejerce una fuerza hacia atrás y para que exista equilibrio, el camino ejerce una fuerza de roce de igual magnitud pero en dirección contraria. Si aplicamos una fuerza para mover un bloque sobre una superficie y el bloque no se mueve, quiere decir que la fuerza de roce es igual a la fuerza aplicada. Si incrementamos las fuerza y el bloque no se mueve, entonces la fuerza de roce habrá aumentado para igualar la fuerza aplicada. En algún momento la fuerza de roce “cederá”, romperemos la adherencia y la caja resbalará. La experiencia nos dice que una vez que el bloque está en movimiento nos costará menos deslizar el bloque posteriormente. O sea, la fricción en el deslizamiento es algo menor que la fricción que se acumula antes de que haya deslizamiento. En la figura 2.17 se muestra un ejemplo donde la fuerza aplicada se debe incrementar hasta 99 N para que el bloque empiece a deslizar. Posteriormente todo es más fácil, la fuerza de roce disminuye e incluso podemos reducir la fuerza aplicada para mantener el movimiento (Fig. 2.18).

Figura 2.16: Superficies de contacto microscópicas causan la fricción.

Figura 2.17: Se incrementa la fuerza aplicada hasta vencer la fuerza de fricción estática.

En física se hace la diferencia entre fricción estática y fricción de deslizamiento o cinética.15 La fricción dinámica es típicamente menor que la fricción estática. La figura 2.18 ilustra humorísticamente este hecho. Si la fuerza de fricción (cinética) de un bloque que se desliza sobre el suelo es 50 N a baja rapidez, será también, con mucha aproximación, de

Figura 2.18: Una vez en movimiento se requiere una fuerza menor para mantener el movimiento, debido a que el roce disminuye. Roce estático y roce cinético. 15


50 N a mayor rapidez. Esta es una manifestación del caso general donde la fricción no depende de la rapidez. Un automóvil que frena y patina, tiene la aproximadamente la misma fricción independiente de su velocidad. Un caso menos intuitivo es que la fricción no depende del área de contacto. Un ejemplo son los neumáticos de algunos vehículos. Neumáticos más anchos no proporcionan más fricción que los angostos (ver figura 2.19). El beneficio de un neumático ancho es repartir el peso del vehículo sobre más superficie, para reducir el calentamiento y el desgaste. ¿Cuantos neumáticos necesita un camión para obtener un mejor frenado? Da lo mismo. la fricción entre un camión y el pavimento es igual sin importar el número de neumáticos. El efecto de una mayor cantidad de neumáticos es repartir la carga sobre más pavimento y de esa forma reducir la presión en cada neumático (Fig. 2.20). Para terminar esta sección, hay que dejar en claro que la fricción es un fenómeno muy complejo, el cual no puede ser representado mediante un modelo simple. Casi cualquier afirmación que digamos acerca de fricción puede ser contradicha con algún contraejemplo. Por ejemplo, parece seguro afirmar que superficies rugosas experimentan más fricción. Pero si dos placas de metal plano son progresivamente pulimentadas y suavizadas, nos encontraremos en un punto donde ¡la resistencia al movimiento relativo se incrementa!. De hecho, en el caso ideal, donde se han eliminado todas impurezas entre las placas para hacerlas más suaves y planas, las dos superficies se adherirán; eso se llama “soldadura en frío”.

2.8.3 Masa y peso la masa de un objeto es una propiedad fundamental del objeto;

es una medida numérica de su inercia; es una medida fundamental de la cantidad de materia en el objeto. Es difícil definir masa porque inevitablemente tenemos que definirla en función de otra cosa que también se define en función de masa (definición circular). En la vida diaria usamos el término peso en forma indistinguible del término masa . Sin embargo, el peso de un objeto es la fuerza de gravedad sobre el objeto y puede ser definido como la masa multiplicado por la aceleración de gravedad (segunda ley de Newton) Peso = masa × aceleracion de gravedad Puesto que el peso es una fuerza, su unidad en el sistema SI en el Newton. La masa es una propiedad fundamental. Si un cuerpo tiene una masa de 1 kg en la Tierra, este tendrá una masa de 1 kg en la Luna, pero el cuerpo pesará seis veces más en la tierra que en la Luna. La razón es que en la Luna la aceleración de gravedad es aproximadamente seis veces menor que en la Tierra.

La fricción no depende de la rapidez.

Figura 2.19: La fricción de estos dos neumáticos no depende del área de contacto. No importa el ancho, la fricción será la misma.

Figura 2.20: La mayor cantidad de neumáticos tiene el propósito de repartir la carga, pero eso no aumenta la fricción.


2.8.4 La segunda ley y la gravedad Como vimos en una sección anterior, el movimiento de caída libre es un tipo especial movimiento donde la aceleración es constante ( g ). Los objetos en caída libre, no encuentran una fuerza de resistencia (roce o fricción) debida al aire significativa. Los objetos caen con la misma aceleración, no importando sus masas. Por ejemplo consideremos un elefante de 1000 kg y un ratón de 1 kg, ambos en caída libre (ver figura 2.21). El elefante al ser más pesado va a experimentar una mayor fuerza de gravedad que el ratón. Decimos entonces que el elefante es más pesado. Esto lo sabemos por la segunda ley de Newton porque el peso del elefante (P el ) y el ratón ( P r ) se calculan de la siguiente manera P e = M e g = 1000 kg × 10 m/s2 = 10000 N P r = m r g = 1 kg × 10 m/s2 = 10 N

y P r son las fuerzas netas que sienten ambos. Si bien la fuerza de gravedad (peso) sobre el elefante es mayor que la del ratón, ambos están acelerando en la misma proporción: P e

10000 N 1000 kg

=

10 N 1 kg

Figura 2.21: En caída libre siempre los cuerpos experimentan la misma aceleración..

= g

EJEMPLO 2.12 El cohete V-2 usado por los alemanes en 1945, pesaba alrededor de 12 toneladas ( m = 12000 kg) completamente cargado con combustible y 3 toneladas ( 3000 kg) vacío. El motor del cohete creaba un empuje de 240000 N. Usando g = 10.0 m/s2 , calcular: (a) La aceleración del V-2 en el momento de lanzarlo (b) La aceleración justo antes que se le acabara el combustible. Solución: Supongamos que la dirección hacia arriba es positiva y la dirección hacia abajo negativa. Con esta convención podemos trabajar con números en vez de vectores. En el momento de lanzamiento hay dos fuerza actuando sobre el cohete: un empuje de +240000 N y el peso del cohete completamente cargado mg = 12000 kg × (−10.0 m/s2 ) =

−120000 N

La fuerza neta hacia arriba es entonces +240000 N + (−120000 N) = +120000 N

y la aceleración inicial, se calcula por la segunda ley de Newton a =

120000 N 12000 kg

= 10.0 m/s2 = 1 g

Entonces el cohete parte subiendo con la misma aceleración que una piedra en caída libre. A medida que el combustible va disminuyendo, la masa del cohete decrece pero la fuerza no, entonces esperamos que la aceleración aumente. El peso en este caso es mg = 3000 kg × (−10.0 m/s2 ) =

−30000 N


así que la fuerza neta es ahora +240000 N + (−30000 N) = +210000 N

obteniéndose una aceleración a =

210000 N 3000 kg

= 70.0 m/s2 = 7 g

El hecho de que la aceleración se incremente a medida que el combustible se gasta es muy importante para los vuelos espaciales tripulados. El cuerpo de un astronauta ante una aceleración de of 7 g experimentará una fuerza de hasta 8 veces su peso (¡la gravedad también contribuye!), creando un exceso de estrés (3-4 g es probablemente el límite sin trajes especiales). Es difícil controlar el empuje de un cohete, pero un cohete con varias etapas puede superar la primera etapa antes de que a se incremente demasiado, y continuar con un motor más pequeño. EJEMPLO 2.13 Una cuerda es usada para tirar un balde de 2.89 kg de agua desde un pozo profundo. (a) ¿Cual es la aceleración del balde cuando la tensión en la cuerda es 30.2 N? (b) Si se parte del reposo, , ¿cuales la rapidez del balde después de experimentar esta fuerza durante 2.16 s? Solución: (a) Imaginemos primero cual sería la tensión si el balde estuviera colgado con velocidad constante o detenido. En ambos casos la aceleración sería cero. Por lo tanto la fuerza neta sería cero. Eso quiere decir que la tensión de la cuerda sería igual al peso del balde. En este caso el balde está acelerando pues la tensión es mayor que el peso. En efecto, la fuerza neta sobre el balde es: F neta = T − P = 30.2 N − 2.89 kg × 9.8 m/s2 = 1.878 N

esto no da una aceleración a =

1.878 N 2.89 kg

= 0.65 m/s2

(b) Después de partir del reposo y al cabo de 2.16 s acelerando a 0.65 m/s2 el balde tendrá una velocidad v = v 0 + at = 0 + 0.65 m/s2 × (2.16 s)2 = 1.4 m/s

EJEMPLO 2.14 Momentos antes de hacer un salto desde un avión, una persona de 82.5 kg experimenta una resistencia del aire de 118 N. Determinar la aceleración en ese instante. Solución: En ese instante la persona experimenta una fuerza neta dada por la diferencia entre su peso (hacia abajo) y el empuje (hacia arriba) F neta = 82.5 kg × 9.8 m/s2 − 118 N = 690.5 N

esto no da una aceleración de a =

690.5 N 82.5 kg

= 8.37 m/s2

EJEMPLO 2.15 Una pelota de béisbol de masa 0.145 kg llega al guante de un jugador a una velocidad de 38.2 m/s. El jugador


ejerce una fuerza para detener la pelota y su mano retrocede 0.135 m. Determinar la aceleración y la fuerza aplicada a la pelota. Solución: Esta es una buena ocasión para usar la ecuación que relaciona la velocidad y la aceleración sin involucrar el tiempo v 2 = v 02 + 2a∆x

en nuestro caso ∆x = 0.135 m, la velocidad final es cero, v = 0 , entonces de 0 = v 02 + 2a∆x

obtenemos

m/s) − 2v∆0x = (238.2 × 0.135 m 2

a =

y la fuerza

2

= 5404.6 m/s2

F = 0.145 kg × 5404.6 m/s2 = 784 N

2.8.5 La resistencia del aire Ya se que un objeto se desplace horizontalmente o cayendo, siempre hay una resistencia al avance debido a la fuerza de resistencia del aire. 16 Esto hace que la fuerza neta sobre un objeto se vea disminuida. En el caso de caída libre, a medida que un cuerpo cae, su velocidad aumenta a medida que transcurre el tiempo. Eso se puede ver fácilmente mediante la expresión

16

Es una fuerza de roce o fricción.

v = v 0 + gt

mientras mayor sea el tiempo de caída, mayor será la rapidez, v . En teoría la velocidad puede aumentar sin disminuir. En la realidad, la resistencia del aire se hace cada vez mayor mientras mayor sea la velocidad. La fuerza neta sobre un objeto de masa m , en caída es F neta = mg − R

donde R es la resistencia del aire y apunta hacia arriba (en dirección contraria a la gravedad). La aceleración es a =

F neta mg − R R = = g − m m m

Se ve que la aceleración es siempre menor que g. ¿Hasta cuando aumenta la resistencia del aire?

Hasta que la aceleración sea cero, es decir hasta cuando la resistencia sea igual al peso del objeto. Entonces estamos en la situación donde la aceleración es cero. Esto significa que la velocidad es constante. En conclusión, se llega a un punto donde el objeto que cae deja de aumentar su velocidad y sigue cayendo con velocidad constante. Al terminarse la aceleración se dice que el objeto alcanzó su rapidez terminal. La figura 2.22 ilustra esto.

Rapidez terminal.


Figura 2.22: A medida que el objeto cae, la resistencia R aumenta y la aceleración disminuye de acuerdo a a = g − R/m. La velocidad terminal se logra cuando a = 0, es decir cuando la resistencia equilibra al peso.


2.9 La tercera ley de movimiento de Newton La tercera ley de Newton puede ser formulada de diferentes maneras equivalentes y con diferentes grados de sofisticación: Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre un segundo objeto, el segundo objeto ejerce una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta sobre el primero. Para cada acción hay una reacción igual y opuesta. “No puedes tocar sin ser tocado” Las fuerzas ocurren siempre en pares. Si el objeto A ejerce una fuerza  sobre el objeto B, entonces el objeto B ejerce una fuerza, igual y F  , sobre el objeto A. opuesta, −F Si dos cuerpos interactúan, la fuerza ejercida sobre el cuerpo 1 por el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el cuerpo 2 sobre el cuerpo 1:  12 = F

−F  21

En resumen, ninguna fuerza existe sin la otra; las fuerzas se dan en pares, una es la acción y la otra la reacción. Es importante recalcar que la interacción es entre dos cuerpos y el par de fuerzas de acción y reacción forma una interacción entre los dos cuerpos. Podemos observar una gran variedad de fuerzas de acción-reacción en la naturaleza. Considere la propulsión de un pez a través del agua. Un pez usa sus aletas para empujar el agua hacia atrás. Esto resultará que el agua acelerará el agua. Puesto que las fuerza resultan de interacciones mutuas, el agua debe también empujar el pez hacia adelante, haciendo que el pez avance a través del agua. la magnitud de la fuerza sobre el agua iguala a la fuerza sobre el pez; la dirección de la fuerza sobre el agua (hacia atrás) es opuesta a la dirección de la fuerza sobre el pez (hacia adelante). La figura 2.16 también ilustra que en la acción de caminar, el píe ejerce una fuerza hacia atrás y por ende aparece una fuerza de ro ce (reacción)de igual magnitud pero en dirección contraria. También aparece un par de fuerzas cuando un cohete se eleva, pues el cohete empuja los gases calientes hacia atrás, y a su vez los gases empujan al cohete adelante (ver figura 2.23). Si usted trata de empujar un gran camión usando patines, usted se moverá en la dirección contraria (ver figura 2.24). Cuando usted empuja el camión su cuerpo aplica una fuerza al camión y el camión a su vez aplica una fuerza sobre usted. Puesto que el camión es muchísimo más pesado que usted, este no se mueve (mucho), pero usted se mueve hacia atrás lejos porque usted acelera más. En ecuaciones esto se puede ver fácilmente. Suponga que la masa de usted es m y la masa del camión es M (mucho más grande). Si la magnitud de la fuerza aplicada es F , entonces las aceleraciones del camión a c y la de usted a p serán

Figura 2.23: El cohete empuja los gases calientes hacia atrás. Los gases empu jan al cohete adelante. Esa es la fuerza de empuje.

Figura 2.24: Al empujar un camión usted sentirá una fuerza en dirección opuesta y acelerará mucho más que el camión, pues el camión es muchísimo más pesado.


donde se ha usado la misma fuerza, y se ve claramente que la aceleración a p es mayor que a c porque m < M . Un ejemplo parecido son dos patinadores donde la fuerza de roce con el suelo es pequeña (ver figura 2.25). Aquí los dos cuerpos tienen masa parecida así que las aceleraciones de ambos cuerpos serán parecidas. Es importante recordar que para que haya movimiento, la segunda ley nos dice que la fuerza neta aplicada debe ser externa al sistema o cuerpo. Si uno quiere empujar un auto al cual se le ha agotado la batería, ¿por uno qué no lo puede empujar sentado cómodamente en el interior y empujando contra el tablero?, ¿por qué un libro que descansa sobre una mesa nunca acelera “espontáneamente” como respuesta a los miles de miles de millones de fuerzas interatómicas dentro de él? Las dos preguntas se pueden responder fácilmente: porque en ambos casos las fuerzas son internas .

Figura Figura 2.25: 2.25: El cuerpo cuerpo A empuja empuja al cuerpo B con una fuerza. El cuerpo B reacciona con una fuerza de igual magnitud pero en dirección contraria. Ambos cuerpos al ser de masa parecida acelerarán con una aceleración parecida.

Pregunta: si las fuerzas de acción y de reacción son iguales en magni-

tud y dirección opuesta, ¿por qué no se anulan? Esta supuesta paradoja aparece, porque se olvida que la tercera ley se aplica a dos cuerpos. Las fuerzas son interacciones entre cosas distintas. La única manera que dos fuerzas iguales y opuestas se anulen es que sean aplicadas a un solo cuerpo u objeto. Un buen ejemplo que aclara lo anterior es el siguiente: un burro que se rehúsa a empujar un carro. El burro razona, "de acuerdo a la tercera ley de Newton Newton,, cualqu cualquier ier fue fuerza rza que yo ejerza ejerza sobr sobre el carro, arro, el carro arro ejercerá un fuerza igual y opuesta sobre mi, de tal manera que la fuerza neta será cero y no habrá ninguna posibilidad de acelerar el carro " (ver

figura 2.26-a). ¿Que hay de malo con este razonamiento?

 . Analicemos la figura 2.26-b, donde la fuerza ejercida por el burro es F  , la reacción Las otras fuerzas que actúan sobre el carro son su peso P  n , y la fuerza horizontal ejercida por el vertical de soporte del suelo F pavimento f  r (fuerza de fricción). 17 La figura 2.26 muestra el diagrama de cuerpo libre del carro con el fin de analizar las fuerzas que actúan sobre el. Ya que el carro no acelera verticalmente, la suma de las fuerza verticales deben sumar cero. En cuanto a las fuerzas horizontales, el carro acelerará hacia la derecha si F es más grande que f r .   es ejercida sobre el burro En la figura 2.26-d, la fuerza de reacción F  no tiene efecto en el movimiento del carro, pero sí y no sobre el carro. F

Esto se llama diagrama de cuerpo libre. 17


afecta el movimiento del burro. Si el burro acelera hacia la derecha, debe  pav (hacia la derecha) ejercida por el pavimento sobre haber una fuerza F   . las patas del burro, y esta fuerza debe ser mayor que F Figura 2.26: Ilustración de la tercera ley mediante un ejemplo.

Recordar que en la segunda ley de Newton la fuerza neta sobre un cuerpo es la que importa, y esta fuerza neta determina si el cuerpo acelera o no. En contraste, la tercera ley relaciona las fuerza que dos diferentes cuerpos ejercen uno sobre el otro. La tercera ley por si sola no dice nada acerca del movimiento de cualquiera de los cuerpos.

EJEMPLO 2.16: Un ejemplo para discutir

Un naufrago decide soplar la vela para mover la balsa como se muestra en la figura. Si usted argumenta que el soplido es muy débil, entonces una situación equivalente sería colocar un ventilador sobre la balsa, para soplar aire hacia la vela. ¿Usted cree que el naufrago logrará su propósito? Solución: ...


EJEMPLO 2.17: Otro problemita para pensar

Un marino está parado sobre un carro metálico (sin fricción con el suelo) y decide usar la tercera ley de Newton de movimiento para propulsarse a si mismo utilizando un magneto, tal como se muestra en la figura. ¿Tendrá éxito? Explique. Solución: ...

EJEMPLO 2.18

bloque

Un hombre de 70 kg empuja un bloque de 35 kg con una fuerza horizontal de 280 N. El hombre y el bloque están sobre una superficie sin fricción. Esta fuerza causa que el bloque acelere. Sin embargo debido a la tercera ley de Newton, el bloque empujará al hombre con una fuerza igual y opuesta de 280 N, lo cual sugiere que la fuerza neta sobre el bloque es cero y por lo tanto la caja no acelerará. ¿Acelerará o no el bloque? ¿Hay alguna contradicción aquí con la tercera ley de Newton? Solución: No hay contradicciones con la tercera ley de Newton. El bloque acelerará puesto que hay una única fuerza horizontal actuando sobre el, es decir la fuerza de 280 N que el hombre ejerce. El bloque ejerce una fuerza de −280 N sobre el hombre. Calculemos las aceleraciones del hombre y del ab = ah =

280 N 35 kg

= 8 m/s2

− 280 N = −4 m/s2 70 kg

No hay contradicciones con la tercera ley de Newton puesto que la fuerza de reacción que actúa sobre el hombre es igual y opuesta a la fuerza de acción del hombre sobre el bloque. EJEMPLO 2.19

Un hombre de 70 kg, sobre una superficie con fricción, empuja un bloque de 35 kg, que está sobre una superficie sin fricción, con una fuerza horizontal de +280 N. Determinar las fuerza netas sobre el bloque y el hombre y después encontrar la aceleración de ambos. Solución: El hombre empuja con una fuerza de +280 N y por lo tanto el bloque empujará al hombre con una fuerza de − 280 N. El hombre está parado sobre una superficie rugosa, entonces el también sentirá una fuerza de fricción de +280 N. Como resultado el hombre no se moverá, pero el bloque sí acelerará 280 N = 8 m/s2 ab = 35 kg Esto es porque la caja se desliza sobre una superficie sin fricción.

3

CAPÍTULO

Energía Hasta aquí hemos estudiado las tres leyes de Newton donde la fuerza ha jugado un papel central como la cantidad que determina el movimiento. En este capítulo veremos que podemos estudiar el movimiento de traslación usando un nuevo concepto llamado energía. Este es un concepto muy útil en todas las áreas de la ciencia. ¿Pero qué es energía?

Es algo difícil de definir en forma precisa. Pero veamos con un ejemplo. Cuando usted levanta un objeto y lo mantiene en el aire usted se cansa, aunque usted no está haciendo ningún movimiento. Esta simple observación implica que los músculos requieren energía para funcionar y proveer una fuerza. En la vida cotidiana racionalizamos energía en términos de combustibles, electricidad, alimentos, etc. Pero estos términos no definen la energía; solo podemos decir que ellos proporcionan algo que se llama energía, la cual provee una fuerza para realizar un movimiento. La energía total de un cuerpo o sistema puede estar presente en varias formas, que individualmente se transforman en el tiempo, pero que en circunstancias bastante generales, la suma de ellas siempre permanece constante. Una ventaja adicional es que energía es una cantidad escalar, lo cual facilita las cosas en comparación a cantidades vectoriales tales como velocidad y aceleración.

Aristóteles fue el primero en usar la palabra "energeia" en un libro. El significado actual diverge significativamente del significado original dado por Aristóteles. La palabra "energeia" se traduce como "actividad" o "trabajando". “Energeia” significa literalmente “contener trabajo” (en+ergon).

3.1 Trabajo En física la palabra trabajo tiene tiene una significado diferente al que le damos en la vida diaria. En física trabajo tiene un significado muy específico para describir lo que se logra cuando una fuerza actúa sobre un objeto, y este se mueve a lo largo de una distancia. Cuando una fuerza actúa sobre un objeto para causar un desplazamiento del objeto, se dice que se ha realizado trabajo sobre el objeto. Hay tres ingredientes en el trabajo: fuerza, desplazamiento y causa. Para que una fuerza haga trabajo sobre un objeto debe haber un desplazamiento, y la fuerza debe causar el movimiento. Supongamos que aplicamos una fuerza constante, si el movimiento es en una línea recta en dirección de la fuerza, el trabajo realizado sobre un objeto se define como el producto de la magnitud del desplazamiento por la fuerza.

Trabajo= fuerza × distancia

Definición de trabajo.


Figura 3.1: Trabajo efectuado por una fuerza.

W = F × d

Usamos la letra W para trabajo, porque viene del inglés “work”. La unidad de trabajo es el Joule y se define como [1 J] = [ 1 N.m] ¿Qué pasa si la fuerza no es paralela al desplazamiento?

Esta situación está esquematizada en la figura 3.2 donde tenemos tres casos donde la fuerza aplicada forma un ángulo θ con la dirección de desplazamiento. Mientras mayor sea θ menor será el trabajo efectuado, porque ahora el trabajo es W = F cos θ × d

El valor de la expresión F cos θ es menor que F , lo cual significa que el trabajo realizado será menor cuando la fuerza forme un ángulo con la horizontal. La expresión F cos θ es la componente de la fuerza paralela al desplazamiento (ver figura 3.3). Entonces solo la componente horizontal de la fuerza causa un desplazamiento horizontal.

Figura 3.2: El trabajo efectuado por una fuerza disminuye si ésta forma un ángulo con la horizontal.

Ahora estamos en condiciones de definir energía más formalmente:

Un sistema posee energía si tiene la habilidad de efectuar trabajo.

Figura 3.3: La componente horizontal de la fuerza es la que importa.

EJEMPLO 3.1: Definición de trabajo ¿En cual de las siguientes situaciones se efectúa trabajo? (a) Un profesor aplica una fuerza sobre la pared y se cansa. (b) Un libro cae hasta el suelo desde una mesa (c) Un cohete acelera a través del espacio. (d) Un mesero sostiene una bandeja llena de comida sobre su cabeza y se desplaza a través de la habitación con velocidad constante. (e) La Tierra ejerce una fuerza sobre la Luna.

energía 55

3.2 Potencia En la sección anterior definimos trabajo cuando una fuerza causaba un desplazamiento. Pero trabajo no tiene ninguna relación con el tiempo que la fuerza actúa para causar el desplazamiento. Algunas veces el trabajo se efectúa muy rápidamente y otras veces el trabajo es hecho bastante lento. Por ejemplo, si tenemos que subir una carga por las escaleras, hacemos el mismo trabajo si lo hacemos en forma lenta o rápida. Si lo hacemos en forma más rápida nos cansamos más. ¿Porqué? Para explicar esto tenemos que definir una cantidad que represente la velocidad con que se efectúa el trabajo. esta velocidad se llama potencia: Potencia=

trabajo efectuado intervalo de tiempo P =

W ∆t

La unidad de potencia es el Watt, 1 W = 1 J/s. Una unidad de potencia muy común es el caballo de fuerza (hp), que es equivalente a aproximadamente 750 Watts. Por ejemplo, supongamos que un motor de 40 hp puede acelerar un auto de 0 km/h a 60 km/h en 16 segundos. Si existiera otro motor con una potencia cuatro veces superior, entonces ese motor podría hacer el mismo trabajo en un cuarto del tiempo. Es decir, un motor de 160 hp podría acelerar el mismo auto desde 0 km/h a 60 km/h en 4 segundos. En resumen la ecuación P = W /∆t sugiere que un motor más poderoso puede hacer el mismo trabajo en menos tiempo. Tomando nuevamente la definición de potencia Potencia

=

trabajo efectuado fuerza × distancia = intervalo de tiempo intervalo de tiempo

= fuerza ×

distancia = fuerza × velocidad intervalo de tiempo

vemos que la potencia también se puede definir como la fuerza multiplicada por la velocidad: P = F .v


3.3 Tipos de energía La energía puede existir en muchas formas diferentes. Hay básicamente dos tipos de energía. La energía asociada con el movimiento es llamada energía cinética. La energía asociada con la posición es llamada energía potencial.

3.3.1 Energía potencial Un objeto puede almacenar energía debido a su posición con respecto a algún otro objeto. A esta energía se le llama energía potencial (EP) porque en su estado almacenado tiene el potencial de efectuar trabajo. Podemos distinguir varias formas energía potencial: Energía potencial gravitacional: montaña rusa, molino de

agua, central hidroeléctrica. Energía potencial electromagnética: energía potencial eléc-

trica, energía potencial magnética, energía potencial química, energía potencial elástica (resorte). Energía potencial nuclear fuerte: energía nuclear, armas

nucleares. Energía potencial nuclear débil: decaimiento radioactivo.

En este curso vamos a trabajar con energía potencial gravitacional. La energía potencial gravitacional es la energía almacenada

en un objeto como el resultado de su posición vertical o altura. Para elevar un objeto en contra de la gravedad de la Tierra se requiere efectuar un trabajo y la fuerza involucrada es el peso del objeto. El trabajo para elevar un objeto hasta una altura h, se define como energía potencial gravitacional (E P ) Energía potencial gravitacional= peso × altura E P = mg × h

La altura h es la distancia arriba de un nivel de referencia, por ejemplo el suelo, o el piso de un edificio. Por ejemplo, la figura 3.4 ilustra un columpio donde la altura se mide a partir del suelo. En la figura del medio, al energía potencial es mínima con respecto a las otras dos posiciones. El nivel de referencia puede cambiar, por ejemplo, podríamos colocarlo justo cuando el columpio está en posición vertical. En ese punto la altura sería cero y por lo tanto la energía potencial sería cero. ¿Si el nivel de referencia puede cambiar, entonces tenemos alguna ambigüedad en la definición?

energía 57

Figura 3.4: Tres posiciones de la trayectoria de un columpio. A mayor altura mayor es la energía potencial gravitacional E P = mgh .

No, la energía potencial solo tiene importancia solo cuando cambia, cuando efectúa trabajo o se transforma en energía de alguna otra forma. En el caso de la figura 3.4, la diferencia de energía potencial entre el punto más alto y el punto más bajo, es la misma, no importando desde donde se mida la altura. En el caso de la figura 3.5 tenemos tres trayectorias por las que podemos elevar una pelota de 1 kg hasta una altura de 3 m. La esfera pesa 10 N: En el caso (a), la energía potencial de la esfera es igual a ( W = 10 N × 3 m = 30 J), porque se debe aplicar una fuerza de 10 N, para desplazar la pelota desde el suelo hasta una altura de 3 m. En el caso (b) el recorrido son 5 m, pero como tenemos un plano inclinado, la fuerza aplicada debe ser de solo 6 N y el trabajo es W = 6 N × 5 m = 30 J. En el caso (c) se sube con 10 N por escalones de 1 m. No se efectúa trabajo (si no se tiene en cuenta la fricción) para moverla horizontalmente. En resumen, la esfera de la figura 3.5 ganó 30 J de energía y ahora su energía potencial con respecto al suelo es de 30 J.

Figura 3.5: El trabajo realizado para subir la esfera de 1 kg una distancia de 3 m, en contra de la gravedad es 30 J, en los tres casos.


3.3.2 Energía cinética La energía cinética es la energía del movimiento. Un objeto que tiene movimiento, no importando la dirección, tiene energía cinética. Hay muchas forma de energía cinética Energía mecánica (movimiento de sistemas macroscópicos): máquinas, energía eólica, energía de las olas, sonido. Energía térmica (movimiento de partículas de materia): energía geotérmica. Energía eléctrica (movimiento de cargas): corriente domiciliaria, luz. Radiación electromagnética: radio, microondas, infrarrojo, luz, ultravioleta, rayos-X, rayos gama, energía solar. Para hacer las cosas simples nos enfocaremos en la energía cinética traslacional. La cantidad de energía cinética traslacional ( E c ) que un objeto posea depende de dos variables: la masa (m) y la rapidez ( v) del objeto. La energía cinética se define como Energía cinética=

1

× masa × rapidez 2 2

E c =

1 2

mv 2

Esta ecuación revela que la energía cinética de un objeto es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad. Esto significa que si la velocidad se dobla, la energía cinética aumenta en un factor de cuatro. Si la velocidad se triplica la energía cinética aumenta en un factor de nueve.

3.3.3 Energía mecánica (energía total) La energía mecánica es cuando consideramos la suma de las energía cinética y potencial de un sistema. 1 Entonces, la energía total mecánica (E T ) se define como E T = E c + E P E T =

1 2

Recordemos que esta es una simplificación y estamos dejando de lado muchas otras forma de energía, las cuales ahora consideraremos que son nulas. 1

mv 2 + mgh

Un objeto que posee energía mecánica es capaz de efectuar trabajo. De hecho, a veces, la energía mecánica se define como la habilidad de efectuar trabajo. Es la energía mecánica la que permite que un objeto aplique una fuerza a otro objeto para causar su movimiento. En la figura 3.6 se ilustra un ejemplo de una máquina de demolición, donde se muestra el proceso de conversión de energía potencial en energía cinética. Esta energía mecánica puede proveer de una fuerza para causar un desplazamiento, es decir se efectúa trabajo sobre las paredes de la torre.

Un sistema tiene energía si tiene la habilidad de efectuar trabajo.

energía 59

3.3.4 Conservación de la energía Un objeto en movimiento rectilíneo puede sufrir transformaciones de energía cinética, pues su velocidad puede variar. Así mismo la energía potencial de un objeto en caída libre disminuye a medida que el cuerpo cae, pero a la vez su energía cinética aumenta. Son estos cambios de energía los interesantes pues nos permiten comprender los procesos naturales. La figura 3.7 ilustra como las energías cinética y potencial cambian a medida que un esquiador se desliza hacia abajo. La energía total (mecánica) es la suma de las energías potencial y cinética. Al inicio la energía cinética es cero y la energía potencial 50000 J. A medida que el esquiador avanza su velocidad varía y por lo tanto ahora la energía cinética no es cero. La energía potencial disminuye salvo cuando el esquiador ha saltado hacia arriba. Notar que la suma de las energías es 50000 J, en todo momento.

Figura 3.6: Proceso por el cual la energía mecánica es usada para efectuar trabajo. Primero la bola tiene energía potencial, la cual se va convirtiendo en energía cinética. Finalmente la bola aplica una fuerza para causar que las paredes de la torre se desplacen.

Figura 3.7: La energía total del esquiador es constante.

El hecho de que la energía total no varíe en ningún punto de la trayectoria es un caso particular de un hecho qué siempre se cumple y se llama ley de la conservación de la energía. La energía no se puede crear ni destruir; se puede transformar de una forma a otra, pero la cantidad total de energía nunca cambia.

Los gráficos de barras son una herramienta muy útil para enten-

der la ley de conservación de la energía. En una situación inicial y final, la energía se puede desglosar como

Conservación de la energía.


Ec i + E P i = E cf + E Pf

      inicial

final

Esta relación puede ser representada por un gráfico de barras, donde se usa una barra representar cada término de la energía total. Por ejemplo en la figura 3.8 se ilustra una esfera cayendo. En los cuatro puntos señalados de su trayectoria, la energía total es la misma, pero la energía potencial y la energía cinética varían en cada punto. En la figura 3.9 se representa la situación en los cuatro punto de la trayectoria. La altura de cada barra es arbitraria porque lo que importa es la suma de las altura de cada barra. Observar que el gráfico revela que no hay energía cinética en el estado inicial, además no hay energía potencial en el estado final.

Finalmente, en la figura 3.10 muestra un ciclo completo, (a)-(b)-(c)(d)-(e)-(f)-(g)-(h), de un péndulo oscilando. En todo momento la energía total permanece constante. Por supuesto que estamos suponiendo el casi ideal donde el aire no ofrece resistencia. En ese caso el péndulo oscilaría para siempre. Si la resistencia de aire es considerada, entonces ésta efectúa un trabajo sobre el sistema, hasta que el péndulo se detiene completamente.

Figura 3.8: Cuatro punto de la trayectoria de una esfera que se deja caer.

Figura 3.9: Los gráfico de barras en los cuatro puntos considerados, demuestran que la suma de las energía cinética y potencial es constante.

energía 61

Figura 3.10: Se muestra un ciclo completo de oscilación de un péndulo. Durante el ciclo los valores de la energía potencial y energía cinética varían, pero la energía total permanece constante.


EJEMPLO 3.2 ¿Cuando NO se conserva la energía mecánica? Solución: Cuando hay una fuerza externa. Por ejemplo la fuerza de roce o la resistencia del aire. Cuando actúa una fuerza de roce, ésta tiene dirección opuesta al desplazamiento y por lo tanto el trabajo hecho por esta fuerza es negativo. EJEMPLO 3.3 Un objeto que pesa 10 N es dejado caer desde una altura de 4 metros sobre el suelo. ¿Cual es la energía mecánica respecto del suelo, cuando ha caído 1 metro? (La respuesta debería ser inmediata). EJEMPLO 3.4 Durante un cierto intervalo de tiempo, un objeto de 20 N cae libremente una distancia de 10 m. ¿Cuanta energía cinética gana el objeto durante este intervalo de tiempo? Solución: La cantidad total de energía mecánica se conserva en situaciones de caída libre (no hay fuerzas externas haciendo trabajo). Entonces la pérdida de energía potencial es transformada en energía cinética. El objeto pierde una energía potencial dada por E Perd = mg ∆h = 20 N × 10 m=200

J

Recordar que mg es igual a 20 N. Por lo tanto la energía cinética ganada es 200 J. Notar que no fue necesario saber cual era la velocidad del objeto a los 10 m. EJEMPLO 3.5: Caso de estudio

Un esquiador se desliza hacia abajo sobre un cerro sin fricción de 100 m de altura, y luego asciende a otro cerro de 90 m. como se muestra en la figura. ¿Cual es la rapidez del esquiador cuando llega al segundo cerro? Solución: Si la energía mecánica ha de conservarse, entonces la energía total en el punto A es la misma que en e punto B. En el punto A la energía cinética es cero ( vA = 0 ) y la energía total está toda en forma de energía potencial E A =

1 2

2 + mg × 100 = 100 mg mvA

En el punto B, la energía total es: E B =

1 2

2 + mg × 90 mvB

Como la energía se conserva tenemos que debe cumplirse que E A = E B 100mg =

1 2

2 + 90mg mvB

10mg =

1 2

2 mvB

Observemos que la masa se cancela en ambos lados de la ecuación. Finalmente despejamos v B vB =

 × × 2

g

10 =

√

2

× 10 × 10 = 14.1 m/s

4

CAPÍTULO

Termodinámica La termodinámica se puede definir como la rama de la física que estudia la energía, la transformación entre sus distintas manifestaciones, como el calor, y su capacidad para producir un trabajo (energía mecánica).

4.1 Temperatura Temperatura es un concepto difícil de definir sin recurrir a ecuaciones. Tenemos que ser cuidadosos al definir temperatura y no confundirla con calor.. Calor es una forma de energía. Temperatura es algo diferente. En calor vez de dar una definición rigurosa, podríamos preguntarnos: ¿cuan caliente está un objeto?. La respuesta a esta pregunta es una medida de la temperatura. Mientras más caliente está un objeto, mayor será su temperatura. En consecuencia nos gustaría dar una definición informal por el momento ... Temperatura es una medida de cuán caliente o frío está un objeto. ¿No le gustó la definición?

Temperatura es en realidad una medida de actividad molecular. En termodinámica clásica (este curso) las cantidades son definidas en términos de observables observables MACROSCÓPICOS MACROSCÓPICOS solamente.1 Un a definición conveniente de temperatura es que es una medida de la energía cinética traslacional promedio asociada con el movimiento desordenado de átomos y moléculas. Por ejemplo la figura 4.1 muestra el movimiento de las partículas que pueden moverse libres en un gas. La mayor rapidez de las partículas es una medida de una mayor temperatura.

Por ejemplo: volumen, presión, temperatura, densidad, concentración, etc. Estas variables variables pueden ser descritas como promedios de variables microscópicas, tales como la masa y la velocidad de las moléculas en un gas. Estos detalles se estudian la teoría cinética de los gases.. gases 1

Figura 4.1: La energía cinética traslacional promedio de un gas es una medida de la temperatura.


4.2 Termómetros y escalas de temperatura Un termómetro es un dispositivo que mide la temperatura de las cosas. Usted puede usar un termómetro para medir la temperatura del interior o exterior de la casa, dentro de un horno o incluso la temperatura del cuerpo. Los termómetros que se usan hoy en día son diferentes a los usados hace siglos. Usualmente hay una esfera en la base del termómetro adosada a con un tubo largo de vidrio más delgado (Fig. 4.2). Dentro hay una sustancia (por ejemplo mercurio) que se dilata con la temperatura. Los primeros termómetros usaban agua, pero como el agua se congela no había ninguna manera de medir temperaturas bajo el punto de congelación del agua. Si se reemplaza el agua por alcohol es posible medir temperaturas bajo cero.2 Los termómetros miden temperatura en Fahrenheit, Celsius y otra escala llamada Kelvin. La escala Fahrenheit es principalmente usada en EE.UU, y en la mayor parte del mundo se usa la escala Celsius. La escala Kelvin es usada por científicos.

Figura 4.2: Un termómetro común y corriente consiste en una columna de mercurio que se dilata o contrae de acuerdo a la temperatura. El etanol se congela a aproximadamente -114 C y hierve a 78 C. 2

°

°

4.3 Conversión entre la escala Farenheit y la escala Celsius En las escalas más usadas, generalmente se eligen dos puntos para establecer una relación lineal entre la temperatura un la altura del mercurio (u otra sustancia) dentro del la columna de vidrio. Se toman los puntos de congelación y ebullición del agua como referencia de 0 °C y 100°C respectivamente en la escala Celsius. En la escala Fahrenheit estos puntos son 32 °F y 212 °F respectivamente. Para convertir una escala en otra, suponemos que hay una relación lineal entre ellas. Por ejemplo: T F = aT C + b

y con los puntos de referencia3 32°F 212°F

←→ 0°C ←→ 100°C

se obtiene que a = 9 /5 y b = 32 , por lo tanto: T F =

9 5

T C + 32

Figura 4.3: Comparación de la escalas Celsius y Farenheit A una presión de 1 atm. 3

termodinámica 65

4.4 Cero absoluto Respecto a las escalas de temperatura, uno se puede preguntar si existen límites para la temperatura más baja o más alta. Por lo que se conoce, no existe un límite para la temperatura alta. Por ejemplo, en las estrellas más calientes se han medido temperaturas de 109 °C. Por otro lado, hay un límite inferior para la temperatura en la naturaleza. Podemos llegar cerca de esta temperatura mínima, pero nunca alcanzarla. El punto cero del la escala Kelvin es conocido como el cero absoluto y es el punto más bajo de temperatura que se puede alcanzar. El concepto de un mínimo de temperatura absoluta fue promovido por el físico Escocés William Thomson4 en 1848. Usando este cero absoluto, podemos definir la escala fundamental o absoluta de temperatura, eligiendo la temperatura del punto triple del agua como 273.16 K.5 La conversión entre Kelvin y grados Celsius es: T C = T K − 273.15 °C

4

También conocido como Lord Kelvin

El punto triple del agua es la temperatura en que el hielo, agua y vapor coexisten y corresponde a 0.01 C. 5

°

No hay números negativos en la escala Kelvin. En ella, los grados se calibran en divisiones con el mismo tamaño que los de la escala Celsius. La figura siguiente hace una comparación de las tres escalas de temperatura que hemos revisado. Figura 4.4: Comparación de las tres escalas de temperaturas más usadas.


4.5 Calor Un sistema termodinámico es una parte del universo que queremos estudiar. Para esto necesitamos aislar el sistema, en el laboratorio o en teoría. El sistema termodinámico lo estudiamos desde el punto de vista MACROSCÓPICO. Es decir, el detalle de sus características MICROSCÓPICAS (Ej: la posición y la velocidad de las partículas en cada instante) es inaccesible y donde solo son accesibles sus características estadísticas.

El término calor está íntimamente relacionado con el concepto de temperatura, y a veces se le denomina energía térmica. Sin embargo, calor no es una nueva forma de energía, sino se define como transferencia de energía a través de la frontera de un sistema. Esta transferencia de energía es debido a la diferencia de temperaturas entre el sistema y el entorno. La dirección del calor va desde la temperatura más alta hacia la temperatura más baja.

Calor es transferencia de energía debido a la diferencia de temperaturas.

Figura 4.5: La dirección del flujo de calor.

Consideremos una taza muy caliente de café. Par efectos de discusión diremos que la taza está a 80°C y que el entorno (la habitación) tiene una temperatura de 26°C. ¿Qué pasará en esta situación? La respuesta la sabemos: la taza se enfriará gradualmente a medida que pase el tiempo. A 80 °C, usted no se atrevería a beber el café, pero después de un tiempo la taza se habrá enfriado. El café se enfría de 80 °C a cerca de 26°C. Entonces, ¿que estuvo pasando durante todo ese tiempo

Figura 4.6: En el proceso de trasferencia de calor, el objeto más caliente se enfría y el objeto más frío se calienta.

termodinámica 67

hasta que el café se enfrió?. La respuesta es que el café y la taza están transfiriendo calor a la habitación. Esta transferencia ocurre desde el café caliente al entorno más frío (figura 4.6). El hecho de que el café disminuya su temperatura es signo de que la energía cinética de las partículas está decreciendo. El café y la taza pierden energía. La energía perdida por el café y la taza es transferida al entorno. Esta transferencia de energía se llama calor.

Calor es la transferencia de energía.

¿Hasta cuando dura el proceso de transferencia de energía?

Hasta que, tanto la taza como la habitación (o el hielo derretido y la habitación), estén a la misma temperatura. Decimos entonces que ambos objetos está en equilibrio térmico.

Equilibrio térmico.

en resumen:

Un objeto disminuye su temperatura al transferir energía en la forma de calor al entorno. Un objeto incrementa su temperatura al ganar energía en forma de calor desde los alrededores. Ambos procesos funcionan de la misma manera: se transfiere energía del objeto de mayor temperatura al objeto de menor temperatura. Podemos redefinir el concepto de temperatura y decir que mientras más alta sea la temperatura de un objeto, más alta será la tendencia de trasferir calor. convención de signos: Usualmente calor se designa con la letra Q.

Si Q > 0 el calor se retira del medio y se deposita en el sistema. Si Q < 0 el calor se retira del sistema y se deposita en el entorno.

4.6 Energía interna Es conveniente aclarar que el término calor no es lo mismo que energía interna. Energía interna está relacionada con la energía de los componentes microscópicos (átomos, moléculas) de una sustancia. La figura 4.8 ilustra los componentes microscópicos de la energía interna. En algunos libros de texto aparece el término energía térmica. Este término se refiere al movimiento al azar de las partículas y está asociado a la temperatura. La energía interna incluye las siguientes energías: Energía cinética de traslación, energía cinética de rotación. Energía potencial de vibración asociada con fuerzas entre átomos en moléculas. Energía potencial eléctrica asociada con fuerza entre moléculas.

Figura 4.7: Convención de signos para el calor Q .


Figura 4.8: Componentes microscópicos de la energía interna.

Todos los materiales poseen internamente una gran cantidad de energía. Con la famosa ecuación E = mc 2 podemos calcular la inmensa energía contenida en los núcleos atómicos. Como se ve en la figura 4.8, la energía interna puede ser bastante compleja aun en la sustancia más simple. En este curso nos ocuparemos de los cambios de energía interna, lo cual es sinónimo de cambio de temperatura.

termodinámica 69

4.7 Expansión térmica Cuando la temperatura de una sustancia es incrementada, sus moléculas o átomos se agitan y se mueven más rápidamente, y en promedio, están más aparte unos de los otros. El resultado es que la sustancia se expande. Solo con algunas excepciones,6 todas las formas de la materia (solidos, líquidos, gases y plasmas) se expanden cuando son calentadas, y se contraen cuando son enfriadas. Si la expansión térmica es pequeña relativa a las dimensiones iniciales del objeto, el cambio en alguna dimensión es proporcional al cambio de temperatura. Si un objeto tiene longitud inicial Li a lo largo de alguna dirección a una temperatura y que la longitud se incrementa en ∆L cuando la temperatura cambia en ∆T . Entonces definimos el coeficiente lineal promedio de expansión como α

Figura 4.9: Los enlaces entre los átomos de un sólido pueden ser modelados imaginando resortes entre átomos vecinos. Cuando una sustancia se contrae al aumentar la temperatura se dice que tiene expansión térmica negativa . Un ejemplo es el tungstato de zirconio (ZrW2O8). Este compuesto se contrae continuamente en el rango de temperatura de 0.3 a 1050 K. 6

≡ ∆L∆/T Li

esta es una ley experimental y el valor de α depende de cada material. Además α es constante para pequeños cambios en la temperatura. Despejando ∆L ∆L = αL i ∆T

si suponemos que Lf es la longitud final, T i la temperatura inicial y T f la temperatura final, podemos escribir la ecuación anterior como: Figura 4.10: Un termómetro común y corriente se vale de la expansión térmica del mercurio.

Lf − Li = αL i (T f − T i )

Coeficientes de expansión lineal y volumétrico promedio para algunos materiales cerca de temperatura ambiente Lineal Volumétrico −1 Material (α) [ C ] Material (β ) [ C−1 ] 24 × 10−6 Aluminio Alcohol etílico 1.12 × 10−4 19 × 10−6 1.24 × 10−4 Latón y bronce Benceno 17 × 10−6 1.5 × 10−4 Cobre Acetona 9 × 10−6 4.85 × 10−4 Vidrio (ordinario) Glicerina 3.2 × 10−6 1.82 × 10−4 Vidrio (Pyrex) Mercurio 29 × 10−6 9.0 × 10−4 Plomo Trementina 11 × 10−6 9.6 × 10−4 Acero Gasolina Invar (aleación Ni-Fe) 0.9 × 10−6 Aire a 0 °C 3.67 × 10−3 12 × 10−6 3.665 × 10−3 Concreto Helio °

°

Tabla 4.1: Coeficientes de expansión lineal y volumétrico para algunos materiales. Notar que para estos materiales α o β es siempre positivo. La calcita (CaCO 3 ) es un caso especial porque se expande a lo largo de una dirección (α > 0 ) y se contrae a lo largo de otra (α < 0 ).


EJEMPLO 4.1

El acero es usado para construir los rieles de los ferrocarriles, no obstante, estos deben ubicarse con una cierta separación, debido a que la dilatación térmica puede hacer que se presionen entre si, deformándose. Calculemos el largo final de un riel de 250 m, si su temperatura sube desde -10 °C hasta 30 °C. La dilatación será ∆L = αL 0 ∆T

Si miramos la tabla 4.1 para el acero α = 11 × 10−6 °C−1 . Por otro lado L0 = 250 m y ∆T = 30 °C-(-10 °C)=40 °C. Entonces ∆L = αL 0 ∆T

= 11 × 10−6 °C−1 × 250 m × 40 °C = 0.11 m = 11 cm

Vemos que el riel se ha dilatado 11 cm y el largo actual es 250 m + 0.11 m = 250.11 m. Aunque la temperatura inicial de −10 °C pueda parecer exagerada, aun un estiramiento inferior a 11 centímetros, podría provocar que las lineas férreas se doblen y provocar accidentes.

termodinámica 71

4.8 Capacidad calorífica Cuando se añade energía a un sistema y no hay cambios en la energía cinética o energía potencial del sistema, la temperatura del sistema usualmente aumenta. Si el sistema es una sustancia, encontramos que la cantidad de energía requerida para aumentar la temperatura de una masa dada de esa sustancia varía de una sustancia a otra. Por ejemplo la cantidad de energía para elevar la temperatura de 1 kg de agua es en 1°C es 4186 J, pero la energía requerida para incrementar en 1°C la temperatura de 1 kg de cobre es 387 J. La capacidad calorífica de una muestra de una sustancia se define como la cantidad de energía necesaria para incrementar la temperatura de esa muestra en 1°C.7 Entonces si una cantidad de energía Q produce un cambio de temperatura ∆T en una sustancia

No todas las sustancias absorben o liberan energía en la misma forma.

Si una sustancia tiene masa m y se requiere una cantidad de energía para incrementar su temperatura en 1 C, entonces si la masa se duplica, se requerirá el doble de energía. 7

°

Q ≡ C ∆T

donde C es la capacidad calorífica de la sustancia.

4.9 Calor específico Como la capacidad calorífica depende de la masa de la sustancia, es conveniente definir el calor específico de una sustancia mediante 8 c≡

Q m∆T

de aquí se desprende que el calor transferido transferido entre una muestra de masa m de una sustancia y el entorno es Q = mc ∆T

El calor específico definido de esta manera la convierte en una cantidad intensiva. El calor específico es una medida de cuan sensible es térmicamente es una sustancia cuando se añade energía.

Notar que el calor específico es igual a la capacidad calorífica por unidad de masa. c = C /m. 8


4.9.1 La gran capacidad calorífica del agua Si nos fijamos en la tabla anterior, el agua tiene un calor específico muy alto (4186 J/kg.°C) en comparación con las otras sustancias. Este alto calor específico hace que el agua sea un gran regulador de las temperaturas en la tierra. Pasa lo mismo con el agua de nuestro cuerpo, esta nos ayuda a regular la temperatura nuestra temperatura. El gran calor específico de agua hace que el agua sea un gran enfriador. Una pequeña cantidad de agua es capaz de absorber una gran cantidad de calor, con un aumento de temperatura relativamente pequeño. ¿Se acuerdan de los “guateros”?

Figura 4.11: La gran capacidad calorífica del agua, es usada para almacenar energía.

También el agua se enfría con mucha lentitud. Este hecho se aprovecha para llenar los “guateros” con agua caliente. EJEMPLO 4.2: Comparación de calores específicos Tenemos hierro, vidrio y agua, 1 kg de cada uno, y las tres muestras están a energía, ¿como se ordenarían las muestras de acuerdo a su temperatura?

10◦ C.

Si agregamos

100 J

de

Solución: Las tres muestras están inicialmente a T = 10◦ C y al agregar una energía Q = 100 J, la temperatura de estas subirá. La muestra con mayor calor específico se “calentará menos”, es decir el aumento de temperatura será menor. En nuestro caso el agua tiene el calor específico más alto ( 4186 J/kg.°C) y por lo tanto será la sustancia que tendrá una menor variación en su temperatura. El hierro tiene el calor específico más bajo (448 J/kg.°C), entonces será la sustancia que tenga una mayor variación de temperatura. El vidrio está en medio con un calor específico igual a 837 J/kg.°C.

termodinámica 73

4.10 Cambios de estado de la materia Los tres estados de la materia en la naturaleza son: sólido, líquido y gaseoso. la materia puede pasar de un estado a otro añadiendo o extrayendo calor de un sistema. La temperatura y la presión influencian el estado en que la materia se presente. Una sustancia puede pasar de un estado a otro mediante el cambio de temperatura. La figura 4.12 se muestra los nombres que reciben los diferentes cambios de estado. Figura 4.12: Cambios de estado de la materia.

Generalmente si transferimos energía a una sustancia esta experimentará un cambio de temperatura. Sin embargo, hay situaciones en que al añadir energía a la sustancia no se produce un cambio de temperatura. Esto ocurre cuando hay un cambio de fase, es decir la materia pasa de un estado a otro. Diferentes sustancias se comportan en forma diferente al experimentar un cambio de fase. Unas necesitarán más energía que otras para pasar de un estado a otros. 9 también la energía necesaria para efectuar el el cambio de fase dependerá de la cantidad de masa, m , de la sustancia. Se ha encontrado experimentalmente que en un cambio de fase, la cantidad L≡

Durante un cambio de fase la temperatura no varía. Esto tiene que ver con las estructura molecular de cada sustancia. 9

Q m

es una propiedad térmica característica de una sustancia. La cantidad L se llama calor latente. De esto se define que la cantidad de energía para efectuar el cambio de fase de una masa m es 10 Q = mL

Por supuesto que el calor necesario para fundir una sustancia no es el mismo para vaporizarla. De esta forma se define el calor latente de fusión Q = mL f

y el calor latente de vaporización Q = mL v

Se usa a veces Q = ±mL. El signo positivo es cuando entra calor al sistema. El signo negativo es cuando el sistema pierde calor. 10


Un trozo de hielo de 100 g a -20 °C se calienta, se derrite, se calienta hasta el punto de ebullición, se vaporiza y se calienta hasta 150 °C. La energía total necesaria para llegar a los 150 °C se puede esquematizar mirando la figura siguiente. El hielo pasa por varias etapas hasta llegar a una temperatura de 150°C. Lo interesante está en los puntos B y D, que corresponden a la fusión del hielo y a la vaporización del agua respectivamente. En estos dos puntos, los 100 g de agua ganan calor, pero su temperatura no aumenta hasta que el hielo esté convertido totalmente en agua (B) o el agua esté totalmente convertida en vapor (D).

El calor ganado en cada etapa es: QA = 1.0 kcal QB = 8.0 kcal QC = 10.0 kcal QD = 54.0 kcal QC = 2.4 kcal

El calor total es la suma de los calores en cada etapa: Qtotal = Q A + QB + QC + QD + QE = 75.4 kcal

termodinámica 75

4.11 Transferencia de calor El calor, no fluye libremente de un cuerpo a otro, se encuentra con restricciones al hacerlo, que dependen no solo del equilibrio térmico, sino también del material constituyente. Retomemos el ejemplo del hombre de nieve del otro lado de una pared. Ahí, la pared separa al hombre de nieve del fuego, razón por la cual este no se derretirá de forma inmediata. La pared puede no ser un buen aislante, sino, solo ejercer una resistencia al flujo de calor. En este caso podremos observar las siguientes variables que condicionan la conducción del calor a través de la pared. En las secciones anteriores anticipamos que el calor puede transferirse de lugares más calientes a lugares más fríos. Al final dos cuerpos en contacto térmico llegarán a una temperatura común de equilibrio. Esta igualación de temperaturas se lleva a cabo de tres maneras: por conducción, convección y radiación .

4.11.1 Convección El aire es un pobre conductor del calor, pero la energía térmica puede ser transferida fácilmente a través del aire, agua y otros fluidos porque el aire y el agua pueden fluir. En general la transferencia de energía térmica (calor) mediante el movimiento de un fluido se llama convección.11 Si en un día de verano usted abre una ventana, entrará una masa de aire tibio que aumentará la temperatura de la habitación.

4.11.2 Radiación La radiación térmica es un concepto menos intuitivo de entender. Todos los objetos continuamente radian energía en la forma de ondas electromagnéticas (lo veremos en otro capítulo) producidas por vibraciones térmicas de las moléculas. Es probable que usted esté familiarizado con la radiación electromagnética en la forma de brillo anaranjado del quemador de una estufa eléctrica, un calentador eléctrico o las bobinas de un tostador.

4.11.3 Conducción La conducción se puede ver como un intercambio de energía cinética entre moléculas o electrones que chocan. Si usted toma una varilla metálica y la pone al fuego, pronto la varilla se calentará en un extremos y después de un rato, el calor será conducido al otro extremo de la varilla y usted se quemará. A la transmisión de calor de esta manera se le llama conducción. Conducción de calor implica una transferencia de calor desde un lugar a otro en ausencia de flujo de material (sin convección). No hay nada físico o material moviéndose desde el agua caliente al agua fría. Sólo se transfiere energía. Vamos a revisar un caso interesante cuando la conducción es a través de la pared de un objeto. La taza de cerámica consiste de una pared de

Es bien conocido el dicho “el calor sube”. 11


partículas. Estas partículas pueden moverse levemente de su posición de equilibrio. Las partículas calientes del café golpean la pared y transmiten su energía cinética a a las partículas de la pared (la pared se calienta). A la vez, las partícula de la pared vibran y transmiten esta energía a las partículas vecinas. Este proceso continua hasta que las partículas exteriores reciben energía cinética de las partículas de la pared exterior de la taza.

¿De que factores depende esta transferencia de energía?

Por supuesto que depende del grosor de la pared de la taza. También depende de la diferencia de temperaturas y del tamaño de la superficie de la pared. Se puede establecer experimentalmente una ecuación que modela esta transferencia de energía. Supongamos que tenemos dos medios con temperaturas T 1 y T 2 . Por ejemplo el interior de una casa (T 1 ) y el exterior de la casa ( T 2 ). Suponemos que adentro de la casa la temperatura es mayor. Si consideramos la transferencia de calor a través de una ventana de área A y grosor d , ecuación que relaciona la tasa de transferencia de calor a estas variables es tasa =

k.A.(T 1 − T 2 ) d

Factores para la transferencia de calor: Grosor de la pared Superficie (área) de la pared Tipo de material de la pared Diferencia de temperaturas

[J/s]

donde k es el coeficiente de transferencia de calor o conductividad térmica del material de la ventana. Notar que la tasa de transferencia tiene unidades de potencia (W). Metales Aluminio Cobre Oro Hierro Plomo Plata

(W/m.°C)

238 397 314 79.5 34.7 427

Conductividades térmicas No metales (W/m.°C) Asbesto 0.08 Concreto 0.8 Diamante 2300 Vidrio 0.8 Hielo 2 Caucho 0.2 Agua 0.6 Madera 0.08

Gases Aire Helio Hidrógeno Nitrógeno Oxígeno

(W/m.°C)

0.0234 0.138 0.172 0.0234 0.0238

termodinámica 77

EJEMPLO 4.3 Calcular la transferencia de calor en un día frío a través de una ventana rectangular de 1.2 m de ancho y 1.8 m de alto, con grosor de 6.2 mm, un coeficiente k=0.27 W/m/◦ C. la temperatura adentro es 21 °C y la temperatura exterior es -4 °C. Solución: A = (1.2 m)•(1.8 m) = 2.16 m2 T 1 − T 2 = 21 °C − (−4 °C) = 25 °C d = 6.2 mm = 0.0062 m

Con estos datos se obtiene tasa =

0.27 W/m

× 2.16 m2 × °C × 25 °C = 2532 J/s 0.0062 m

5

CAPÍTULO

Electricidad En tiempos modernos, estamos acostumbrados a tratar con el término electricidad. Las fuerzas eléctricas son las que sostienen el mundo material. Estas fuerzas enlazan los electrones y núcleos para formar átomos, a su vez los átomos son enlazados a otros átomos para formar moléculas. Empezaremos este capítulo con el concepto de electrostática. El ob jetivo de la electrostática es estudiar las fuerzas y otros efectos que se producen entre los cuerpos que poseen carga eléctrica en reposo, además de los campos eléctricos que no cambian en el tiempo.

5.1 Carga eléctrica ¿Qué es la carga eléctrica?

Ese es un misterio que permaneció que viene de la época de los griegos. Incluso uno podría decir que todavía es un misterio hoy en día. El entendimiento moderno de electricidad comenzó en el siglo 18 con los trabajos de Benjamin Franklin, quien fue el primer científico de renombre del Nuevo Mundo. Se le atribuye a Franklin el uso de las palabras negativa y positiva para referirse al estado de carga eléctrica de un objeto. Lo que podemos decir es que hay dos tipos de carga, las cuales se designan como positiva (+) y negativa (-). Cuando frotamos una varilla de vidrio contra un pedazo de seda, la varilla de vidrio queda “electrificada” o “cargada” y llamamos a esa carga positiva. Ahora si frotamos una varilla de goma contra un pedazo de piel, entonces la varilla queda con carga negativa (Fig. 1.1).

También se puede comprobar experimentalmente (Figura 5.3) que cargas iguales se repelen y cargas distintas se atraen.

La raíz de las palabras electricidad, electrónico, y electrostático es la palabra griega “ elektron ” , que significa “ámbar”. Ámbar es una resina fosilizada; los griegos usaban pedazos de ámbar en la joyería. Ellos notaron que cuando el ámbar era frotado con tela, este atraía pequeños pedazos de pasto seco u hojas. El ámbar podía levantar estos objetos desde el suelo venciendo la fuerza de gravedad. Parecía natural atribuir este comportamiento al ámbar, así que que cualquier cosa que se comportara similarmente se le comparaba con ámbar. En el siglo 16 el médico y físico William Gilbert estudió este comportamiento y llamó a tales objetos “electrics”.

Figura 5.1: Benjamin Franklin (1706 1790) fue un político, científico e inventor estadounidense. Es considerado uno de los Padres Fundadores de los Estados Unidos. Una de sus contribuciones a la ciencia fue su estudio de los fenómenos eléctricos. Presentó la teoría del fluido único (esta afirmaba que cualquier fenómeno eléctrico era causado por un fluido eléctrico, la "electricidad positiva", mientras que la ausencia del mismo podía considerarse "electricidad negativa") para explicar los dos tipos de electricidad atmosférica a partir de la observación del comportamiento de las varillas de ámbar, o del conductor eléctrico, entre otros.

Figura 5.2: La varilla de goma queda cargada negativamente al ser frotada con piel. La varilla de vidrio queda cargada positivamente al ser frotada con seda.


Figura 5.3: Comprobación de que cargas iguales se atraen y cargas distintas se repelen.

5.1.1 Origen la carga eléctrica La materia está constituida de átomos. 1 Cada átomo consiste de un núcleo, que contiene protones y neutrones, y este núcleo está rodeado por un cierto número de electrones. La figura 5.4 muestra esquemáticamente un átomo de Litio (Li). En el lado izquierdo está el átomo de litio neutro (carga cero), que consiste en un núcleo de tres protones (+) y cuatro neutrones (carga cero), y tres electrones (-) moviéndose alrededor del núcleo. En el medio está el mismo átomo con un electrón de menos, por lo tanto, el ion litio (Li + ) tendrá una carga neta de +1e. En el lado derecho se ha agregado un electrón al átomo y tendremos el ion (Li− ) con una carga en exceso de −1e.

La fuerza de repulsión o atracción entre dos cuerpos cargados dependerá de la “cantidad neta de carga” que posean. Por carga neta se entiende la carga en exceso (positiva o negativa) que un cuerpo posee comparado con el mismo cuerpo neutro.

5.1.2 Cuantización de la carga Los experimentos demuestran además que la carga está cuantizada. Esto quiere decir que la carga viene en múltiplos enteros de una carga

Más adelante volveremos a revisar la estructura atómica con más detalle. 1

Figura 5.4: Esquema de un átomo de litio neutro Li y los iones Li y Li + . Los electrones no tienen trayectorias definidas así que las curvas azules en la figura sólo tienen carácter esquemático. Sea positivo, done un electrón. −

electricidad 81

Figura 5.5: Un cuerpo neutro posee la misma cantidad de cargas negativas que positivas. En un cuerpo con una carga neta, alguno de los dos tipos de cargas está en exceso.

elemental (e). Por ejemplo si un cuerpo tiene una carga neta Q , entonces necesariamente se cumple que Q = N e

donde N = 1,2,3, · · · es un número entero y e es la carga fundamental, que tiene un valor de 1.602 × 10−19 C. Donde la unidad de carga es llamada Coulomb (C). Esto quiere decir que no puede haber una carga más pequeña que 1.602 × 10−19 C.

Coulomb (C) es la unidad de carga.

Notar que la unidad de carga eléctrica (1 Coulomb) es una cantidad extremadamente grande, ya que son necesarios 6 × 1018 electrones para completar una carga de − 1.0 C. Por ejemplo, si dos cargas de un Coulomb cada una están separadas un metro, entonces aplicando la ley de Coulomb, la fuerza de repulsión es aproximadamente 9 × 109 N. ¡Esto es alrededor de un millón de toneladas!. Para darse una idea del tamaño de las partículas que constituyen un átomo, se muestran en la tabla, las masas de los electrones, protones y neutrones junto con sus respectivas cargas. Partícula electrón protón neutrón

Masa (kg) 9.11

−31

× 10 1.673 × 10 1.675 × 10

−27 −27

Carga (C) −19

−1.602 × 10 +1.602 × 10

−19

(−e) (+ e)

0

5.1.3 Ley de conservación de la carga Esta ley establece que la carga neta de un sistema aislado permanece constante. Si un sistema parte con un número igual de cargas positivas y negativas, no se puede hacer nada para crear un exceso de carga negativa o positiva en el sistema a menos que traigamos una carga desde afuera del sistema (o quitar alguna carga del sistema). De la misma forma, si algún sistema parte con una cierta carga neta (+ o -), por ejemplo +100 e, el sistema tendrá siempre +100e, a menos que se le permita al sistema interactuar con el exterior.

5.1.4 Tipos de materiales Las fuerzas entre dos objetos cargados pueden ser muy grandes. La mayoría de los objetos son eléctricamente neutros; tienen igual cantidad

Tabla 5.1: Masas y cargas de las partículas que forman un átomo.


de cargas positivas que negativas. Los metales son buenos conductores de carga eléctrica, mientras que los plásticos, madera, y goma no lo son (se les llama aislantes). La carga no fluye muy fácilmente en los aislantes comparado con los metales. Los materiales están divididos en tres categorías, dependiendo cuan fácilmente permitan el flujo de carga (ej. electrones) a los largo de ellos. Estos son:

Tipos de materiales.

Conductores - por ejemplo los metales. Semiconductores - el silicio es un buen ejemplo. Aisladores - por ejemplo: goma, madera, plástico. Si un conductor está cargado negativamente (exceso de electrones), los electrones tienen la libertad de moverse libremente, y como cargas de igual signo se repelen, entonces los electrones van a tender a alejarse entre si. En consecuencia, los electrones se van a distribuir por todo el conductor para estar, en lo posible, lo más espaciados entre ellos.

Respecto al agua hay que tener cuidado en afirmar que es conductora. Estrictamente el agua (H 2 O) no es conductora. En agua de la llave no es pura, sino que lleva disueltos gases (CO 2 ) o sales minerales (cloruros, sulfatos, nitratos, calcio, magnesio, hierro, etc), y eso hace que sea conductora.

Cuando objetos con distinta carga se tocan, puede ocurrir conducción. La conducción es la transferencia de carga eléctrica por contacto directo. Como ya se mencionó anteriormente la conducción es mejor en conductores que en aisladores. La figura 5.6 ilustra un ejemplo.

EJEMPLO 5.1

Una de estas esferas aisladas es de cobre y la otra de goma. Ambas esferas tienen un exceso de cargas negativas. Identificar la esfera de cobre y la esfera de goma. Solución: ...

electricidad 83

Figura 5.6: La conducción es mucho mejor entre conductores que en los aisladores. Aquí tenemos cuatros casos de esferas conductoras idénticas pero de distinta carga.

EJEMPLO 5.2 Suponga que una esfera conductora es cargada positivamente mediante algún método. La carga está inicialmente depositada en el lado izquierdo de la esfera. Debido a que la esfera es conductora, la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de la esfera. ¿Cómo explica que la carga se distribuya uniformemente? (a) Los átomos cargados en la zona izquierda se mueven a través de la superficie de la esfera. (b) La carga positiva en exceso se mueve desde el lado izquierdo al resto de la esfera. (c) Los electrones en exceso del resto de la esfera son atraídos hacia la región de carga positiva.

5.1.5 Modos de cargar un objeto Hay tres maneras de cargar un objeto. Estas son: 1. Por fricción: esto es útil para cargar aisladores. 2. Por conducción: es útil para cargar metales y otros conductores. Si un objeto cargado toca a un conductor, una cantidad de carga será transferida entre el objeto y el conductor, de tal manera que el conductor quedará cargado con el mismo signo que la carga del objeto. 3. Por inducción: también es útil para cargar metales y otros conductores. La figura de abajo muestra un ejemplo de como cargar una esfera metálica por el método de inducción:


Figura 5.7: (a) Una esfera conductora y aislada. (b) Se acerca una barra cargada negativamente y las cargas en la esfera se polarizan, pero la esfera sigue siendo neutra. (c) Se conecta un cable a tierra y las cargas negativas fluyen hacia la tierra. (d) Se desconecta el cable y la esfera queda cargada positivamente y la tierra negativamente. (d) Se ale ja la barra y las cargas positivas en la esfera se distribuyen uniformemente en su superficie.

electricidad 85

5.2 Ley de Coulomb Charles Coulomb, con su balanza de torsión, se las arregló para medir las magnitudes de las fuerzas eléctricas entre dos objetos cargados. El descubrió que la fuerza entre dos cargas depende de dos cosas : La cantidad de carga en exceso de los dos objetos (Fig. 5.9). La distancia entre los dos objetos (Fig. 5.10).

Figura 5.8: Charles-Augustin de Coulomb (1736–1806) fue un físico e ingeniero francés. La mayor aportación de Coulomb a la ciencia fue en el campo de la electrostática y el magnetismo, en 1777 inventó la balanza de torsión con la cual, midió con exactitud la fuerza entre las cargas eléctricas. Con este invento, Coulomb pudo establecer el principio, conocido ahora como Ley de Coulomb: la fuerza entre las cargas eléctricas es proporcional al producto de las cargas individuales e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

La figura 5.9 ilustra cinco casos donde la distancia entre las cargas es constante. En cada caso, mientras mayor sea el producto de las cargas, mayor será la fuerza entre ellas, y mientras menor sea el producto de las cargas, menor será la fuerza entre ellas. Decimos entonces, que la fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas. Eso se escribe como F ∝ q 1 q 2

Por otro lado en la figura 5.10 mantenemos las cargas constantes y variamos la distancia entre ellas. Se ve que a mayor distancia menor será la fuerza, y a menor distancia mayor será la fuerza. Decimos que la fuerza es inversamente proporcional a la distancia entre las cargas es decir F ∝ 1/R2

Figura 5.9: La fuerza electrostática entre dos objetos cargados es proporcional al producto de la cargas, F ∝ q1 q2 .


Si juntamos las dos expresiones anteriores anteriores, podemos formu-

lar la ley de Coulomb:

Figura 5.10: La fuerza electrostática entre dos objetos cargados es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas, F ∝ 1/R2 .

La fuerza electrostática entre dos objetos cargados es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas.

F = k e

q 1 q 2 R2

donde k e es llamada la constante de Coulomb: ke = 8.9875 × 109 N.m2 /C2

pregunta: ¿Quién descubrió la ley de Coulomb?

respuesta:

¡Sorpresa! NO fue Charles Coulomb; ¡fue Henry Cavendish!. Henry Cavendish (1731–1810) fue un científico brillante, pero también era muy retraído, solitario, misógino y excéntrico. También fue el primero en determinar el valor de la constante de gravitación universal (G). El descubrió que el agua es un compuesto molecular y no un elemento (como se pensaba). El también determinó la ley de fuerzas para cargas eléctricas (F = kq 1 q 2 /R2 ). Sin embargo, Cavendish raramente publicaba sus hallazgos. Así que años más tarde, fue Coulomb quien recibió todos los créditos al descubrir la ley de fuerza eléctrica.

electricidad 87

5.3 Campo eléctrico La presencia de una carga eléctrica produce una fuerza sobre todas las otras cargas presentes. La fuerza eléctrica produce una “acción a distancia”; los objetos cargados pueden influenciar a otros sin tocarlos. Viendo la figura 5.11, la ley de Coulomb nos permite calcular la fuerza ejercida por la carga q 2 sobre la q 1 . Si acercamos la carga q 2 hacia q 1 entonces la magnitud de la fuerza sobre q 1 se incrementará. Sin embargo, este cambio no ocurre instantáneamente (ninguna señal se puede propagar más rápidamente que la luz). La cargas ejercen una fuerza sobre las otras mediante perturbaciones que ellas generan en el espacio que las rodean. Estas perturbaciones se llaman campos eléctricos. Cada objeto cargado genera un campo eléctrico que influencia el espacio alrededor.

Figura 5.11: La presencia de una carga produce perturbaciones a su alrededor.

Figura 5.12: Una carga de prueba pequeña q0 en presencia del campo eléctrico generado por la carga Q mucho más grande. Esta carga pequeña “siente” la presencia de un campo eléctrico  , y por lo tanto una fuerza F  = q 0 E  . E

 generado por una carga Q puede ser medido poEl campo eléctrico E niendo una carga de prueba q 0 en alguna posición (ver figura 5.12). La carga de prueba “sentirá” una fuerza eléctrica de magnitud F = k e q 0 Q/r2 .  a una distancia r Entonces se define la magnitud del campo eléctrico E de la carga Q como E ≡

F q 0

o en forma vectorial   ≡ F E q 0

Puesto que la fuerza entre las dos cargas Q y q 0 es F = ke q 0 Q/r2 , entonces la magnitud del campo eléctrico producido por la carga Q es E = k e

Q r2

Ya sabemos que existe una fuerza eléctrica entre dos objetos cargados. Por ejemplo la figura 5.13 muestra una carga de prueba pequeña q en las cercanías de una carga grande +Q la cual crea un campo eléctrico. Una fuerza eléctrica F actuará sobre la carga q . Si ahora colocamos una carga de prueba 3 q en el mismo lugar, la fuerza eléctrica será tres veces mayor.


Figura 5.13: Pequeñas cargas de prueba son colocadas en las cercanías de grandes cargas +Q, −Q las cuales generan campos eléctricos. En consecuencia las cargas de prueba sentirán una fuerza proporcional a la magnitud de sus cargas.

electricidad 89

5.3.1 Lineas de fuerza de cargas puntuales Para representar la naturaleza vectorial del campo eléctrico, es conveniente tratar de visualizarlo mediante lineas de fuerza de campo eléctrico. En vez de dibujar una infinidad de flechas de vectores en el espacio que rodea a la carga, es quizás más útil dibujar un patrón de algunas líneas que parten de la carga y se extienden hasta el infinito. Estas líneas, también llamadas lineas de campo eléctrico, apuntan en la dirección que aceleraría una carga de prueba positiva colocada en esa línea.

Es decir, las líneas se alejan desde una carga positiva y se acercan hacia una carga negativa. Un diagrama como el anterior podría incluir un infinito número de líneas, pero por razones de visualización se limita el número de ellas.

Figura 5.14: Líneas de fuerza para los dos tipos de cargas puntuales.

Hay dos reglas para las líneas de campo:

1. La dirección del campo eléctrico es, en todas partes, tangente a las líneas de campo y van en el sentido de las flechas en las líneas. 2. La magnitud del campo es proporcional al número de líneas de campo por unidad de área que pasan a través de una pequeña superficie normal a las líneas. En el caso de las cargas puntuales, la magnitud del campo eléctrico es mayor cerca de la carga (hay mayor densidad de líneas). La figura 5.15 muestra un ejemplo donde un campo eléctrico penetra dos superficies. La magnitud del campo eléctrico es mayor en la superficie A (hay mayor densidad de líneas por unidad de área atravesando la superficie) que en la B . En la figura 5.16 se muestra una carga puntual y donde se ve que magnitud del campo eléctrico disminuye con la distancia y también se ve que la cantidad de líneas de campo que atraviesan la misma área disminuye. Las lineas de campo correspondientes a dos cargas puntuales idénticas se muestran en la figura 5.17. A la izquierda se muestran dos cargas positivas y a la derecha una carga positiva y otra negativa:

Figura 5.15: La densidad de líneas es una indicación de la magnitud del campo eléctrico.


Figura 5.16: La magnitud del campo eléctrico disminuye en la proporción 1/r2 con la distancia r . La densidad de líneas que atraviesan una misma área también disminuye .

Figura 5.17: Líneas de campo de dos cargas puntuales.

Finalmente la figura 5.18 muestra una carga puntual y las líneas de campo eléctrico en presencia de tres conductores. Los conductores (neutros) se polarizan y como consecuencia se producen lineas de campo eléctrico debido a los conductores. Figura 5.18: Líneas de campo de una carga puntual en presencia de tres conductores. La configuración produce además una polarización electrostática en los conductores, los que a su vez generan campos eléctricos.

electricidad 91

5.4 Potencial eléctrico Hasta el momento hemos aprendido que: La carga existe. Las cargas ejercen fuerzas entre ellas. La fuerza aparentemente se ejerce a través de cualquier distancia. La fuerza se ejerce sin que haya contacto; es “una misteriosa fuerza a distancia”. Para tratar de explicar y hacer que este tipo de fuerza sea matemáticamente formal, se creó el concepto de campo eléctrico. Pero , ¿acaso el concepto de campo no es complicado?. Recordemos que

el campo eléctrico es un vector, y los vectores pueden ser complicados y difíciles de manejar matemáticamente. Así que los científicos inventaron algo que sea conceptualmente y matemáticamente más simple. ¿Recuerda las líneas de campo eléctrico? ¿Acaso estas líneas no se parecen al flujo de algo? Las líneas de campo “fluyen” desde las cargas positivas a las cargas negativas (ver por ejemplo las figuras 5.14 y 5.17). La tabla de abajo ilustra varios ejemplos de flujo: El flujo de ... Agua en un río El viento (gases atmosféricos) Calor (energía interna) Sustancias disueltas

es causado por una diferencia en ... altura presión atmosférica temperatura concentración

¿Entonces, qué es lo que causa el flujo de líneas de campo eléctrico?

El flujo de lineas de campo eléctrico (cargas de prueba) es causado por una diferencia de energía potencial eléctrica . Una partícula en un campo eléctrico tiene una energía, que llamamos naturalmente, energía potencial eléctrica . La palabra “potencial” nos dice que esa energía depende de la posición de la partícula. Si la partícula tiene una cierta carga, entonces definimos potencial eléctrico Potencial eléctrico =

energía potencial eléctrica carga

La unidad de medida del potencial eléctrico (voltaje) es el volt joule 1 volt = 1 coulomb no confundir energía potencial eléctrica con potencial eléctrico.

La energía potencial eléctrica se mide en joules mientras que le potencial eléctrico se mide en volt=joule/coulomb.

Figura 5.19: Una pila de 1.5 volt cede 1.5 joules de energía por cada coulomb de carga que pasa por ella.


Otra manera de ver lo anterior es recordando que en el capítulo 3 de energía, vimos que un objeto tiene energía potencial gravitacional debido a su ubicación en el campo gravitacional de la Tierra. De manera análoga, una carga tiene energía potencial eléctrica en virtud de su lugar en un campo eléctrico. Así como se requiere trabajo para levantar un objeto masivo contra el campo gravitacional de la Tierra, se requiere trabajo para mover una partícula cargada contra el campo eléctrico.

5.4.1 Potencial producido por una carga puntual En la sección 5.3 que la magnitud del eléctrico de una carga puntual está dada por E = k e rQ . Pero debemos recordar que el campo eléctrico es una cantidad vectorial. El potencial es una escalar (número) que puede ser negativo o positivo. Para una carga puntual la expresión para e potencial es: 2

V = k e

Q r

La diferencia con el campo eléctrico está en la dependencia de 1 /r en vez de 1/r2 .

5.4.2 Potencial eléctrico en circuitos Ahora vamos a ver la utilidad del concepto de potencial eléctrico. En realidad el voltaje es como una “presión eléctrica ” que puede producir un flujo de carga, o corriente. La corriente se mide en ampere, cuyo símbolo es A. Por otra parte, el alambre o material impide este flujo en cierta medida. A este impedimento se le llama resistencia. El circuito de la figura 5.20 tiene una batería, la cual invierte energía (química) para mover carga desde el terminal negativo (potencial bajo) hasta el terminal positivo (potencial alto). Este movimiento de cargas se hace en el circuito interno de la batería. Si la batería se mantiene conectada entonces habrá un flujo constante de carga a través del circuito interno y las cargas saldrán por el terminal positivo hacia el circuito externo para pasar a través de la ampolleta. En el filamento de la ampolleta las cargas (electrones) pierden energía (esa energía se convierte en calor y luz). El final del viaje es cuando las cargas alcanzan el borne negativo. A este flujo de cargas lo llamaremos corriente eléctrica .

Corriente es el flujo de carga.

Figura 5.20: Al conectar la ampolleta, la batería gastará energía química para mover (dentro de la batería) cargas desde un potencial bajo (borne negativo) a uno más alto (borne positivo). Una vez que estas cargas hayan llegado al borne positivo (potencial alto), circularán a través de circuito externo (alambre y ampolleta) hasta el borne negativo (potencial bajo).

electricidad 93

5.4.3 Diferencia de potencial ¿Cuando se establece una corriente eléctrica en un circuito?

Cuando existe una diferencia de potencial , se hace posible que la carga fluya a través del circuito externo (alambre). Este movimiento de carga es natural y no requiere energía. Podemos hacer una analogía con el caso gravitacional. Para elevar un objeto se necesita hacer un traba jo contra las fuerza de gravedad, es decir hay que aumentar la energía potencial gravitacional. Para que el objeto vuelva a bajar no se necesita invertir energía, pues el proceso es espontáneo (ver figura 5.21).

Figura 5.21: Analogía gravitacional: Se necesita energía para elevar un objeto. Para que el objeto caiga no es necesario invertir energía; el proceso es espontáneo.

Los cargas (electrones) no fluirán si ambos bornes de la batería tienen el mismo potencial; las cargas fluirán desde un punto a otro solamente si existe una diferencia de potencial (voltaje) entre esos dos puntos. Un voltaje alto resulta en una mayor tasa de flujo de carga. Como ya mencionamos anteriormente este flujo se llama corriente. La figura 5.22 muestra una analogía con el caso gravitacional. Una persona no se deslizará si no hay una diferencia de altura; la persona se deslizará solamente si existe una diferencia de alturas (diferencia de energía potencial gravitatoria) entre dos puntos. A mayor diferencia de altura resultará en una mayor rapidez de deslizamiento.


Figura 5.22: Otra analogía con el caso gravitacional. Mayor diferencia de alturas es análogo a mayor diferencia de potencial.

electricidad 95

5.5 Corriente eléctrica y circuitos En las secciones anteriores ya nos adelantamos en definir un circuito eléctrico. Si conectamos una pila a una ampolleta por medio de alambres conductores, entonces en el momento que la ampolleta se enciende y permanece encendida, es evidencia que se ha establecido un circuito eléctrico.

5.5.1 Circuitos Un circuito eléctrico es simplemente una trayectoria cerrada por la cual la cargas fluyen continuamente. Cuando la ampolleta se enciende, la carga se está moviendo a través de las celdas electroquímicas de la batería, los alambres y el filamento de la ampolleta. Se dice que hay una corriente (un flujo de carga dentro del circuito), y la razón por la que se establece una corriente es que la batería establece una diferencia de potencial. El circuito eléctrico consiste en dos partes distintas: el circuito interno y el circuito externo . La parte del circuito que contiene las celdas electroquímicas de la batería es el circuito interno. La parte del circuito donde la carga fluye hacia afuera de la batería, hacia los alambres y la ampolleta es el circuito externo. En esta sección nos ocuparemos del flujo de carga a través del circuito externo. Una manera simplificada de representar un circuito es mediante el diagrama de la figura 5.23. La corriente o flujo de carga se representa por la letra I , la diferencia de potencial (batería) se representa por el símbolo V y la resistencia (ampolleta) por R . En las secciones siguientes vamos a detallar estos conceptos.

Circuito eléctrico.

Figura 5.23: A la derecha, representación esquemática del circuito real de la izquierda.


5.5.2 Corriente Corriente, es una cantidad física que da cuenta de la velocidad con que pasa una cierta cantidad de carga (tasa de flujo de carga) por un punto del circuito (Fig. 5.24). Matemáticamente se escribe Corriente =

carga tiempo

El símbolo de corriente es I , y se mide en amperes (A) Q I = ∆t

1[ A]

Figura 5.24: Corriente es la velocidad con que pasa una carga a través de la sección de un alambre (tasa de flujo de carga). Si una pequeña sección de un alambre pudiera ser aislada y se pudiera medir la carga Q que pasa por esa sección en un tiempo ∆t, entonces la corriente es Q /∆t.

  ≡ 1

C s

EJEMPLO 5.3 Supongamos que por un trozo de alambre de 2 mm de largo pasa una carga de 20 C en un tiempo de 40 s, entonces la corriente que pasa es 20 C I = = 0.5 A 40 s Si por otro trozo de alambre de 1 mm de largo pasan 2 C de carga en 0.5 s, la corriente será I =

2C 0.5 s

= 4 A

En este segundo caso la corriente resultó ser mucho mayor. Notar que el largo del trozo de alambre no tiene ninguna importancia.

5.5.3 Resistencia Una batería o una pila establece una corriente en un circuito. Esta corriente no solo depende de la diferencia de potencial sino también de la resistencia eléctrica que ofrece el alambre (conductor) al paso de la carga. En efecto, un electrón que viaja a través de los alambres de un circuito encuentra impedimento al flujo de carga. Para un electrón, el viaje desde un borne a otro borne no es una ruta directa; es mas bien un camino en zigzag, resultado de innumerables colisiones con átomos fijos del material conductor. El flujo de carga a través de los alambres es usualmente comparado con el flujo de agua a través de tuberías. La resistencia al flujo de carga en un circuito eléctrico es análogo a la fuerza de fricción entre el agua y las paredes del tubo. Es esta la resistencia que impide el flujo de agua y reduce tanto el flujo como la velocidad. Al igual que la resistencia al flujo de agua, la resistencia al flujo de carga dentro del alambre de un circuito eléctrico es afectado por variables claramente identificables: La longitud total de los alambres afectará la resistencia. Mientras más largo el alambre habrá mayor resistencia. Esto tiene sentido, porque después de todo, si la resistencia es el resultado de colisiones de las

electricidad 97

cargas (electrones) con los átomos del conductor. Entonces es más probable que haya más colisiones en un alambre más largo. Más colisiones significan más resistencia. El área transversal (grosor) de los alambres afectará la resistencia. Alambres más gruesos tiene una área seccional más grande. Pasará más agua por una tubería más ancha que por una tubería más angosta. Podemos decir que hay una menor resistencia en una tubería más ancha. De la misma manera un alambre más grueso ofrecerá menos resistencia al paso de carga eléctrica. El material del alambre es otra variable que afectará la resistencia. No todos los materiales están hechos de la misma manera, así que cada material tendrá una habilidad diferente de conducción eléctrica. Algunos materiales son mejores conductores que otros y ofrecen menos resistencia al flujo de carga. La plata es uno de los mejores conductores, pero no es muy usado debido a su alto costo. El cobre y el aluminio están entre los conductores más baratos con una habilidad de conducción. La “habilidad de conducción” de un material es indicada por medio de su resistividad .2 La resistividad de un material depende de la estructura electrónica del material y de su temperatura. Para la gran mayoría de los materiales, la resistividad aumenta al aumentar la temperatura. La tabla 5.2 lista los valores de resistividad de algunos materiales a la temperatura de 20°C. Esta tabla muestra un enorme intervalo de resistividades, desde valores muy reducidos para buenos conductores, como el cobre y la plata, hasta valores muy elevados para los buenos aislantes como el vidrio y el hule. Un conductor ideal debería tener una resistividad igual a cero, y un aislador ideal una resistividad infinita.

Resistividad no es lo mismo que resistencia (ver más adelante). 2

Tabla 5.2: Resistividades ( ρ) de algunos materiales. Todos los valores están a 20 C. Los elementos de la tabla se consideran libres de impurezas. La unidad de resistividad es [ohm.m] °


Tal como muestra la tabla 5.2, la resistividad es una propiedad del material. En la práctica, es más conveniente trabajar con el concepto de resistencia (R). Resistencia es una cantidad numérica que puede ser medida y expresada matemáticamente. La unidas estándar en el sistema SI es el ohm, representado por la letra griega omega ( Ω). Un aparato eléctrico con una resistencia de 5 Ω es representado como R = 5 Ω. La ecuación que representa la dependencia de la resistencia ( R) de un conductor cilíndrico (alambre) es R = ρ

L A

donde L representa el largo de alambre (en metros), A representa el área transversal del alambre (en metros cuadrados), y ρ representa la resistividad del material (en ohm •metro). Esta ecuación muestra que la resistencia es proporcional a la longitud del alambre e inversamente proporcional al área transversal del alambre. La ecuación R = ρL /A nos dice si se duplica la longitud de un alambre, su resistencia se duplica. Si se duplica su área de sección transversal, su resistencia disminuye a la mitad. La figura 5.25 ilustra lo anterior. Figura 5.25: Variación de la resistencia con respecto a la geometría del conductor, manteniendo la resistividad ρ constante.

En el caso de un circuito simple que alimente una ampolleta, la resistencia de los alambres conductores es muy baja. En cambio la resistencia del filamento de la ampolleta es muy alta, pues el diámetro del filamento es muy pequeño.

5.5.4 ¿Las pilas recargables son recargables? ¿Qué?

Esta pregunta puede parecer extraña, pero tiene mucho sentido si ponemos atención a los conceptos. Supongamos por un momento que una pila o batería es “recargable”; con esto suponemos que podemos conectar la pila a una cargador de pilas para reemplazar la carga que la pila a perdido

electricidad 99

Figura 5.26: Para el alambre conductor L el área A en la ecuación R = ρ A es grande en comparación al área A del filamento. En consecuencia la resistencia del filamento es mucho más grande.

a consecuencia del uso en el circuito. Si la pila (compuesta internamente por celdas electroquímicas) fuera recargable esto tendría consecuencias: Primero, si la pila es recargable, entonces esta debe suministrar carga dentro del circuito eléctrico. Es decir la carga suministrada debe pasar por la ampolleta, pero como la carga es consumida allí, eso quiere decir que la carga que entra en la ampolleta no es la misma que sale. Con esta consideración sería razonable pensar que la carga suministrada por la pila está siendo usada por el circuito, y cuando la ampolleta ya no se encienda, sería natural pensar que la pila ha perdido toda su carga. En ese caso tendríamos que recargar la pila. Segundo, si las pilas fueran una fuente de cargas en un circuito, tendríamos que aceptar que las cargas se mueven a una gran rapidez. Esto es razonable, porque después de todo uno observa que la luz se enciende casi instantáneamente después de apretar el interruptor. Por otro lado, una casa no es alimentada por una batería o pila, sino por una central eléctrica. Uno debería suponer que la compañía eléctrica debe suministrar una cantidad incontable de electrones (carga) a los hogares. Estos electrones viajan a casi la velocidad de la luz cuando un aparato eléctrico es encendido. ¿Qué hay de malo con el razonamiento anterior?

No hay nada de malo con el razonamiento lógico. Lo malo está en la hipótesis de que una pila es la fuente de carga eléctrica en el circuito y que las pilas deben ser cargadas cuando están “agotadas”. Esto lleva a conclusiones completamente equivocadas. La verdad:

Una pila (celda electroquímica) suministra la energía necesaria para mover una carga desde un potencial bajo a un potencial alto (ver sección 5.4). La carga que fluye a través de un circuito se origina en los alambres del circuito.. Los alambres están hechos de átomos, y estos átomos tienen electrones, los cuales son los responsables de transportar la carga (ver sección 5.4). En realidad la carga se mueve muy lentamente (en promedio, alrededor de 1 metro por hora) en un circuito. Tan pronto como se enciende el

La carga se origina en los alambres del circuito.

La carga se mueve muy lentamente.


interruptor, la carga localizada en todo el circuito empieza a moverse. Los electrones que “iluminan” la ampolleta no necesitan viajar desde la batería hasta el filamento. Los electrones que iluminan la ampolleta (después de apretar el interruptor) son los electrones que se encuentran en el mismo filamento. Los electrones se mueven de manera análoga, que cuando se abre la llave del agua. Cuando se abre la llave, es el agua que se encuentra justo cerca de la llave la que emerge. Uno no tiene que esperar que el agua que está afuera llegue a la salida de la llave, pues la cañería ya está llena de agua y al abrir la llave toda el agua se mueve al mismo tiempo.

Figura 5.27: Los electrones que “iluminan” la ampolleta no provienen de la fuente de voltaje sino que ellos están en el filamento. La fuente de voltaje sólo les manda impulsos de energía.

Una aparato eléctrico (ampolleta, radio, calentador, etc) transforma la energía eléctrica de las cargas en movimiento en otras formas de energía, tales como luz o energía térmica. Luego, la cantidad de energía que poseen las cargas al salir de un aparato eléctrico en menor que la que poseían al momento de entrar al aparato. A una batería o pila “agotada”, en realidad, le sobra carga, tiene mucha carga, lo que le falta es energía. Una batería o pila opera internamente por medio de una serie de reactivos químicos. Estos químicos sufren una reacción de oxidación-reducción la cual produce energía. Esta reacción química es capaz de “bombear” carga a través del circuito interno de la batería desde el borne a potencial bajo al borne a potencial alto, y así establecer una diferencia de potencial. Cuando una batería ya no funciona, significa que los elementos químicos han sido consumidos al punto que la batería ya no tiene la habilidad de mover carga entre los bornes. Las baterías “recargables” son aquellas donde se puede revertir el proceso de oxidación-reducción . Al colocar una batería en un “recargador”, la energía eléctrica domiciliaria se usa para conducir la reacción química en la dirección contraria y transformar los productos de la reacción química de vuelta a reactantes químicos. Este proceso inverso requiere energía; es el recargador el que la suministra. En este sentido podríamos decir que las baterías son “reversibles” o “re-energizables”.

Figura 5.28: Falso, falso, falso ... no existen la pilas recargables.

electricidad 101

5.5.5 La ley de Ohm Ahora hemos visto los conceptos de corriente, potencial y resistencia. Estas cantidades están relacionadas mediante una ecuación, llamada ley de Ohm . Ohm descubrió que la corriente en un circuito es directamente proporcional al voltaje impreso a través del circuito, y es inversamente proporcional a la resistencia del circuito. Es decir: voltaje resistencia Matemáticamente, la ley de Ohm se expresa mediante cualquiera de las ecuaciones equivalentes: Corriente =

I =

V ; R

V = I R ;

R =

V I

Esta ley indica que una diferencia de potencial de 1 volt establecida a través de un circuito cuya resistencia es 1 ohm, producirá una corriente de 1 ampere. Si en vez de 1 volt aplicamos 12 volts, la corriente será de I = 12 V/1 Ω = 12 A. La ley de Ohm indica las dos variables que afectan la corriente en un circuito. Mientras más grande sea el voltaje (diferencia de potencial), mayor será la corriente. Por otro lado a mayor resistencia menor será la corriente. La tabla siguiente ilustra esto con algunos valores numéricos Voltaje Resistencia Corriente 1.5 V 3Ω 0.50 A 3.0 V 3Ω 1.00 A 4.5 V 3Ω 1.50 A 1.5 V 6Ω 0.25 A 3.0 V 6Ω 0.50 A 4.5 V 6Ω 0.75 A 4.5 V 9Ω 0.50 A La filas 1, 2 y 3 ilustran que al doblar y triplicar el voltaje tiene como consecuencia doblar y triplicar la corriente en el circuito. Al comparar las filas 1 y 4 o las filas 2 y 5 se ilustra que al doblar la resistencia, al corriente se reduce a la mitad.

Figura 5.29: Georg Simon Ohm (17891854) fue un físico y matemático alemán. Ohm empezó a investigar con celdas electroquímicas (inventadas por el científico italiano Alessandro Volta). Ohm descubrió que existe una relación de proporcionalidad directa entre la diferencia de potencial aplicada y la corriente eléctrica resultante.


EJEMPLO 5.4

El diagrama muestra un par de circuitos conectado a una fuente de voltaje, una resistencia (ampolleta). En cada caso se muestra la corriente que circula por el circuito. ¿Cuál circuito tiene la mayor resistencia? Solución: Calculamos la resistencia en cada caso V V 6V 6V RA = RB = = = 6 Ω = = 3 Ω I I 1A 2A es decir, el circuito A tiene mayor resistencia.

EJEMPLO 5.5 ¿Qué factores pueden causar la disminución de la corriente a través de un circuito eléctrico? a) Disminución del voltaje b) Disminución de la resistencia c) Aumento del voltaje d) Aumento de la resistencia EJEMPLO 5.6 Usted ha sido advertido de no tocar aparatos eléctricos o enchufes cuando sus manos está mojadas. Ese tipo de contacto es más peligroso cuando las manos están mojadas que secas, porque las manos mojadas causan que ... a) el voltaje del circuito sea mayor b) el voltaje del circuito sea menor c) su resistencia sea mayor d) su resistencia sea menor e) la corriente a través de usted sea menor EJEMPLO 5.7 Si la resistencia de un circuito se triplicara, entonces la corriente a través del circuito ... a) disminuiría a un tercio b. tres veces mayor c) no cambiaría d) ¡no tiene sentido! No hay manera de hacer esa predicción. EJEMPLO 5.8 Si el voltaje en un circuito se cuadruplica, entonces la corriente a través del circuito sería ... a) disminuye a un cuarto b. es cuatro veces mayor c) no cambiaría d) ¡no tiene sentido! No hay manera de hacer esa predicción.

5.5.6 Conexión de resistencias en serie: En el circuito de la figura tenemos dos resistencias conectadas

en serie, donde la corriente I es la misma que pasa por ambas resistencias.

Figura 5.30: Circuito en serie. Las am-

electricidad 103

La diferencia de potencial aplicada a través de las resistencias se dividirá entre las resistencias: ∆V = V 1 + V 2

En una conexión en serie la diferencia de potencial se divide en cada resistencia, pero la corriente es la misma.

aplicando V = I R: ∆V = I R1 +

IR2 = I (R1 + R2 )

vemos que podemos definir una resistencia equivalente Req = R 1 + R2

y podemos reemplazar el circuito anterior por uno equivalente La generalización para varias resistencias en serie es Figura 5.31: Resistencia equivalente en un circuito en serie.

Req = R 1 + R2 + R3 + · · ·

en paralelo: En el circuito de la figura tenemos dos resistencias conec-

tadas en paralelo, donde ambas están a la misma diferencia de potencial. Además la corriente I de bifurca en I 1 y I 2 y como la carga debe conservarse I = I 1 + I 2

En una conexión en paralelo, la diferencia de potencial es la misma en cada resistencia, pero la corriente se divide.

De la expresión I = V /R obtenemos I = I 1 + I 2 =

∆V

R1

+

∆V

R2

= ∆V



1

R1

+

1

R1

donde R eq es la resistencia equivalente del circuito 1

Req

=

1

R1

+



=

∆V

Req

1

R1

La generalización para varias resistencias en paralelo es 1

Req

=

1

R1

+

1

R1

+

1

R3

+···

5.5.7 Caída de potencial en un circuito Un diagrama de potencial eléctrico es una manera conveniente para representar las diferencias de potencial en diferentes puntos de un circuito. La figura 5.33(izquierda) muestra un circuito simple con una fuente de voltaje de 12 V y tres resistencias en serie. Cuando la carga ha atravesado todo el circuito externo habrá perdido 12 V de potencial eléctrico. Esta pérdida en potencial eléctrico se llama caída de potencial. Esta caída de potencial ocurre porque la energía eléctrica de la carga es transformada en otras formas de energía (térmica, luz, mecánica, etc) cuando pasa por las resistencias. Por cada resistencia en la figura 5.33, ocurre una pérdida de potencial ( ∆V < 0 ) y la la suma de estos voltajes debe ser 12 V 12 V = 3 V+7V+2V

El diagrama de la derecha ilustra lo anterior.

Figura 5.32: Circuito en paralelo. Las ampolletas son las resistencias.

El voltaje de la batería es igual a la suma de las caídas de potencial en cada resistencia.


Figura 5.33: Diagrama de caída de potencial en un circuito simple.

6

CAPÍTULO

Oscilaciones Oscilación es la variación repetitiva (en el tiempo), 1 de alguna medida alrededor de un valor central (punto de equilibrio) o entre dos o mas estados. En este capítulo vamos a considerar el caso más simple de oscilación: el movimiento armónico simple (M.A.S.). Por otro lado el concepto de M.A.S. es fundamental para entender el concepto de ondas.

Una vibración u oscilación es un vaivén en el tiempo, también llamado movimiento periódico. 1

6.1 Movimiento de un sistema masa-resorte Este es un ejemplo típico de M.A.S. En este caso, cuando el resorte se estira una cantidad x, existe una fuerza restauradora que se opone al movimiento. Esta es una ley como conocida y se llama ley de Hooke, donde la fuerza restauradora es directamente proporcional al estiramiento x, el cual se mide desde la posición de equilibrio (posición de reposo). La Figura 6.2 ilustra cuatro posiciones distintas de la masa conectada al resorte. La posiciones extremas son cuando la masa se detiene completamente (v = 0) y la fuerza sobre la masa es máxima porque el estiramiento/compresión (x) es máximo. En la posición de equilibrio es cuando la masa tiene su velocidad máxima y la fuerza es cero pues el estiramiento es cero.

Figura 6.1: Movimiento oscilatorio en una silla mecedora.

Figura 6.2: Un objeto y un resorte sobre una superficie son fricción. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento x desde la posición de equilibrio.

Supongamos que pudiéramos colocar un detector del movimiento de la masa en el resorte. La idea es que en todo momento pudiéramos registrar la posición (x) de la masa. Entonces podríamos confeccionar un gráfico de la posición (x) versus el tiempo ( t). En figura 6.3 se ha registrado el movimiento de la masa hasta los 14 s, además se han identificado algunos puntos para ayudar a la discusión.


Figura 6.3: Gráfico de posición vs tiempo.

Una característica importante del gráfico es su forma. La curva nos recuerda a la función trigonométrica y = sin (x). Otra característica es que el gráfico es periódico, es decir se repite a intervalos de tiempo regular. un ciclo completo de vibración sería cuando la masa parte

del punto A (posición de equilibrio) hasta su máxima elongación (B), y luego llega hasta la posición de reposo (C), y continua hasta su máxima compresión (D), y finalmente de vuelta a la posición de reposo (E). Tomando en cuenta el eje del tiempo podemos calcular el periodo (el tiempo que se demora la masa en efectuar un ciclo completo), Desde que la masa está en el punto A se demoró 2.3 en llegar al punto E. Puesto que el movimiento es periódico, entonces a la masa le toma 2.3 s en efectuar otro ciclo. La tabla de abajo es otra forma de registrar el movimiento de la masa hasta los 14 s. Al inspeccionar la tabla podemos concluir que el movimiento de la masa es regular y periódico Ciclo

Letras

1 2 3 4 5 6

A-E E-I I-M M-Q Q-U U-Y

Tiempo (inicial-final) 0.0 s - 2.3 s 2.3 s - 4.6 s 4.6 s - 7.0 s 7.0 s - 9.3 s 9.3 s - 11.6 s 116.s - 13.9 s

Tiempo del ciclo 2.3 s 2.3 s 2.3 s 2.3 s 2.3 s 2.3 s

Matemáticamente, una fuerza restauradora, tal como en un sistema masa-resorte se escribe F =

−kx

donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte2 y el signo menos es para indicar que la fuerza es restauradora (se opone a la dirección del desplazamiento desde la posición de equilibrio). Es posible aplicar la segunda ley de Newton a este sistema y obtener una ecuación que nos dice donde va a estar la masa en cualquier momento. La posición x de la masa, depende del tiempo, es decir, en tiempos diferentes la masa tendrá una posición diferente. Esto se puede expresar matemáticamente como: x(t) = A sin(ωt + φ)

La constante del resorte tiene que ver con cuan “duro” o “blando” sea un resorte. 2

oscilaciones 107

La ecuación anterior representa el movimiento oscilatorio o vibratorio del sistema masa-resorte; es un movimiento de “ir y venir”, el cual es representado por una curva llamada sinusoide. La figura 6.4 ilustra la idea.

Figura 6.4: Representación gráfica de un M.A.S. (a) Posición versus tiempo. (b) Velocidad versus tiempo. (c) Aceleración versus tiempo. Notar que en cualquier tiempo la velocidad está desfasada en 90 con la posición y la aceleración está desfasada 180 con respecto a la posición. °

°

El movimiento masa-resorte es un caso especial de un movimiento armónico simple (M.A.S.) En la ecuación y la gráfica anteriores, el símbolo ω se llama frecuencia angular y está relacionada con la masa y la constante del resorte de la siguiente manera ω =

Movimiento armónico.



k m

Otras tres cantidades importantes son el periodo, T , el tiempo que demora el sistema en efectuar un ciclo (ir y volver), la frecuencia, f , el número de ciclos por unidad de tiempo, y la amplitud, A, que es el estiramiento máximo del resorte. La relación entre el periodo y la frecuencia es T =

1

f

La unidad de frecuencia es el hertz (Hz) y equivale a ciclos/s o s−1 . En cambio la frecuencia angular ω se refiere a la cantidad de ángulo (radianes) en la unidad de tiempo (rad/s). Otro sistema masa-resorte es el mostrado en la figura 6.5. El movimiento también es un M.A.S., pero el desplazamiento de la masa es en dirección vertical.

Figura 6.5: Un sistema masa-resorte vertical también es un M.A.S,


6.2 El péndulo simple Este es otro caso de movimiento oscilatorio y consiste de una masa m suspendida por una cuerda liviana de largo L, la cual está fija en el extremo superior. El movimiento ocurre en un plano vertical y está dirigido por la fuerza de gravedad (Fig. 6.6). Recordemos que en caso del sistema masa-resorte había una fuerza restauradora ejercida por el resorte. En el caso del péndulo, la fuerza restauradora la ejerce la gravedad (Fig. 6.7). Este movimiento también es un M.A.S., la ecuación resultante tiene la misma forma que el sistema masa-resorte. En este caso lo que nos interesa el el ángulo θ que forma la cuerda con la vertical

Figura 6.6: Esquema de un péndulo simple.

θ (t) = θ 0 sin(ωt + φ)

con θ 0 la amplitud máxima y ω =



g L

y

T = 2 π



L g

El periodo y frecuencia de un péndulo simple dependen sólo de la longitud de la cuerda y de la aceleración de gravedad.

6.3 Un M.A.S. es una idealización El M.A.S. que hemos visto es una idealización, pues estamos considerando que el movimiento es perpetuo y no hay fuerza externas que influyan. Sin embargo en sistemas reales este no es el caso y existen fuerzas no conservativas tales como fricción que retardan el movimiento. Esto tiene como consecuencia que la energía mecánica no se conserva. En este sentido el gráfico de la figura 6.3 no es realista. En realidad, a medida que pasa el tiempo, la masa acoplada al resorte es amortiguada debido al roce. Un gráfico más realista sería el mostrado en la figura 6.8 donde se ve claramente que la amplitud de vibración disminuye con el tiempo.

Figura 6.7: El péndulo simple oscila alrededor de la posición de equilibrio. La fuerza restauradora es mg sin θ y es tangente a la trayectoria.

Figura 6.8: Gráfico de posición vs tiempo, donde se muestra el movimiento amortiguado de la masa acoplada al resorte.

En la práctica, sabemos que a medida que pase el tiempo la amplitud de la oscilación de un péndulo disminuye hasta este se detiene completamente. Cuando el movimiento de un oscilador es reducido por una fuerza externa, se dice dice que el oscilador es amortiguado. La figura 6.9 ilustra tres grados de amortiguamiento de un sistema masa-resorte.

oscilaciones 109

Figura 6.9: Esquema del desplazamiento versus tiempo para el sistema masa-resorte para: (a) levemente amortiguado - masa en aire; (b) sobreamortiguado - masa en aceite grueso; (c) críticamente amortiguado - masa en agua.

En este tipo de movimiento existe una fuerza retardadora que hace el movimiento amortiguado. Esta fuerza es proporcional a la velocidad con que mueve el objeto (masa).3

Es una fuerza similar a la resistencia del aire cuando un cuerpo está en caída libre. 3

6.4 Oscilaciones forzadas y resonancia Una persona oscilando en un columpio sin que sea empujado es un ejemplo de una oscilación libre. Sin embargo si alguien empuja el columpio periódicamente, el columpio tiene oscilaciones forzadas (dirigidas). Existen dos frecuencias angulares que están asociadas con una oscilación forzada: 1. La frecuencia angular natural, ω0 , del sistema, es decir la frecuencia a la que oscilaría si se le dejara oscilar libremente después de sacarlo del equilibrio.

Resonancia es cuando la frecuencia natural de un sistema es cercana a la frecuencia de la fuerza que causa el movimiento forzado ( ω ≈ ω0 ).

2. La frecuencia angular, ω, de la fuerza externa causante la oscilación forzada. No vamos a dar una ecuación de movimiento de una oscilación forzada, sino que vamos a ver un caso especial cuando la frecuencia natural de oscilación es cercana a la frecuencia de la fuerza externa, es decir ω ≈ ω0 . Cuando esto sucede se dice que ocurre resonancia, es decir. Los efectos de resonancia son caracterizados por oscilaciones o vibraciones de gran amplitud. En el caso del oscilador amortiguado, existe una fuerza externa que hace que el sistema pierda energía, por lo tanto la amplitud disminuye en el tiempo. En el caso de la resonancia, se transfiere energía al sistema bajo condiciones favorables, y esa es la explicación de las grandes amplitudes. Todas las estructuras mecánicas tiene una o más frecuencias angulares naturales, y si la estructura es sujeta una gran fuerza externa que tenga una frecuencia que coincida con esas frecuencias angulares, el resultado es que las oscilaciones de la estructura la pueden destruir. Un caso dramático es el del puente Tacoma Narrows en 1940, que se encuentra en la figura

Figura 6.10: En 1940 vientos turbulentos ocasionaron vibraciones torsionales en el puente “Tacoma Narrows”, causando que el puente oscilara a una frecuencia cercana a la frecuencia natural de la estructura del puente. Una vez que se hubo establecido esta resonancia, el puente colapsó en un par de horas.


6.10.Un viento de apenas 65 km/h logró activar un modo de torsión nunca antes observado y que causó el colapso del puente.

7

CAPÍTULO

Ondas El concepto de onda es abstracto, pero es algo que está en todas partes. Aunque tal vez no lo percibamos, encontramos ondas todos los días. Ondas de sonido, ondas de luz visible, ondas de radio, microondas, ondas en el agua, ondas en un terremoto y ondas en una cuerda son sólo unos pocos ejemplos. Hay dos tipos principales de ondas, ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. En el caso de ondas mecánicas, se necesita un medio físico para que la onda se propague. En cambio las ondas electromagnéticas no requieren un medio para propagarse; algunos ejemplos de ondas electromagnéticas son luz visible, ondas de radio, señales de televisión y rayos X. En esta parte del curso estudiaremos ondas mecánicas. Una onda mecánica se puede interpretar como la propagación de una perturbación a través de un medio. Cuando observamos una onda en el agua, lo que vemos es una reorganización de la superficie del agua. Sin el agua no habría onda. Una onda viajando a través de una cuerda no existiría sin la cuerda. Las ondas de sonido no podrían viajar desde un punto a otro so no hubiera moléculas de aire entre los dos puntos. Las ondas transportan energía y momentum a través del espacio sin transportar masa. Por ejemplo, cuando una onda en el agua se mueve a través de una laguna, las moléculas de agua oscilan para arriba y para abajo, pero ellas no cruzan la laguna junto con la onda. Ondas en el agua, ondas en la cuerda de una guitarra y ondas de sonido involucran una oscilación. Lo mismo se puede decir acerca de la “ola” en los estadios. En el estadio, los fanáticos no se mueven de sus asientos y caminan a través del estadio. En un estadio cada fanático se pone de pie y luego se vuelve a sentar. La perturbación se mueve a través del estadio, pero los fanáticos no son transportados.

Figura 7.1: Ondas en el agua causadas por la caída de una gota de agua.

7.1 Pulso de onda Un pulso de onda es una onda corta sin repetición de las oscilaciones. Por ejemplo creamos un pulso en una cuerda (Fig. 7.2-a) cuando la agitamos rápidamente y se éste se propagará a través de la cuerda. Si repetimos la generación de pulsos uno tras otro entonces crearíamos una onda viajera (Fig. 7.2-b), la cual es una perturbación periódica. 1

1

Una onda periódica.


Figura 7.2: (a) Generación de un pulso y una onda. (b) la continua generación de pulsos crea una onda.

7.2 Tipos de ondas La ondas se clasifican en dos tipos: ondas transversales y ondas longitudinales. Una onda viajera o pulso que causa que los elementos del medio perturbado se muevan perpendicular a la dirección de propagación se llama onda transversal. Por ejemplo en la figura 7.3 se muestra un punto que sube y baja pero que no viaja con la onda se propaga. Otro de pulso es el generado en un resorte largo que se comprime (Fig. 7.4). El extremo izquierdo del resorte es empujado brevemente hacia la derecha y luego tirado brevemente hacia la izquierda. Este movimiento crea una compresión súbita de una región de las espiras del resorte. La región comprimida viaja a lo largo del resorte y hacia la derecha. La región comprimida es seguida por una región donde las espiras están extendidas. Si se generan pulsos sucesivos, entonces creamos una onda longitudinal.

Figura 7.3: Generación de una onda mediante la sucesiva generación de pulsos.

Figura 7.4: Un pulso longitudinal a lo largo de un resorte estirado. El desplazamiento de las espiras es paralelo a la dirección de propagación.

7.3 Formulación matemática de una onda Aquí vamos a considerar un tipo especial de onda, llamada onda sinusoidal u onda armónica. Este es un tipo de onda que es periódica y es el punto de partida que nos permitirá entender ondas que son más comple jas. En todo caso, cualquier onda, por muy compleja que sea, es posible modelarla y estudiarla como una superposición de ondas armónicas. Si generamos pulsos consecutivos en una cuerda, con una frecuencia constante (Fig. 7.2), entonces la onda generada (tren de ondas) será armónica y la forma de la onda será sinusoidal. Una onda sinusoidal se caracteriza por tener una longitud de onda, λ, una frecuencia f , un periodo T y una amplitud A. En la figura 7.5 se muestra la longitud de onda y la amplitud. Los puntos de máxima amplitud se llaman crestas y los de mínima amplitud (negativos) se llaman valles. La mínima distancia entre dos puntos idénticos y adyacentes se llama longitud de onda, λ (por ejemplo la distancia entre una cresta y la próxima). El periodo,T ,

ondas 113

es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación. También puede ser definido como el tiempo que tarda la onda en ir de un punto de máxima/mínima amplitud al siguiente. Figura 7.5: Elementos que componen una onda.

Tal como definimos en el M.A.S., la frecuencia f y la frecuencia ω angular de la onda f ≡

1

ω = 2 πf =

T

2π

T

y la rapidez de la onda Rapidez de la onda=longitud de la onda × frecuencia v =

λ = f λ T

Figura 7.6: Si la longitud de onda es 1 m, y por donde está el pez pasa una onda por segundo, la rapidez de la onda es 1 m/s.

Finalmente el número de onda k k =

2π

λ

(m−1 )

Con estos datos podemos definir la forma de la onda sinusoidal y (x, t) = A sin (kx − ωt )

La función de onda dada anteriormente asume que el desplazamiento vertical es cero en x = 0 y en t = 0 .

7.4 Ondas en una cuerda El movimiento ondulatorio en una cuerda puede ser descrito por medio de una onda armónica. Mientras la onda viaja a lo largo del eje x, los

Ecuación de una onda armónica.


puntos de la cuerda oscilan para arriba y para abajo en la dirección y . La velocidad de estos puntos tienen dirección vertical (hacia arriba y hacia abajo).2 Si nos referimos a la figura 7.7, las flechas representan la velocidad de los puntos en la cuerda moviéndose en dirección vertical. Vemos que los puntos que tienen velocidad máxima son aquellos que tienen amplitud cero. Lo más interesante de las ondas en una cuerda es cuando se generan ondas estacionarias (ver sección 7.6 más adelante)

No es la misma velocidad con que la onda se mueve a lo largo de la cuerda. 2

Figura 7.7: Esquema de una onda en una cuerda. Las flechas representan la velocidad de los puntos en la cuerda moviéndose en dirección vertical.

7.5 Comportamiento de las ondas Cuando una onda viaja a través de un medio, es posible que la onda encuentre un obstáculo o quizás la onda pase a otro medio. Es sabido que una onda de sonido se puede reflejar y producir un eco. Una onda de sonido viaja a través del aire, se refleja en la montaña y vuelve al punto donde se originó. Por otro lado, una onda también puede sufrir refracción, difracción o interferencia .

7.5.1 Reflexión Una onda o pulso, puede sufrir reflexión. Consideremos un pulso la que viaja por una cuerda que se encuentra fija al otro extremo. El pulso se reflejará y pueden suceder dos cosas (Fig. 7.8): el pulso reflejado tiene signo contrario (pulso en una cuerda) o puede tener el mismo signo (onda de sonido). Figura 7.8: Reflexión de un pulso en un extremo fijo.

Si el extremo no está completamente fijo y pudiera vibrar, una porción de la energía transportada por el pulso es transmitida a este extremo. Las características de una onda reflejada son:

ondas 115

La rapidez del pulso reflejado es la misma que la del pulso incidente. La longitud de onda del pulso reflejado es la misma que del pulso incidente. La amplitud del pulso reflejado es la misma que la del pulso incidente.

7.5.2 Refracción La reflexión implica un cambio de dirección de las ondas cuando se topan con una barrera. La refracción también implica un cambio de dirección, pero este cambio de dirección se experimenta cuando las ondas pasan desde un medio a otro. En la refracción las ondas pueden cambiar su velocidad y su longitud de onda. En general, la rapidez de una onda depende del medio por donde se propague. Entonces si el medio (y sus propiedades) cambian, también cambiará la rapidez. Por ejemplo, las ondas en el agua varían significativamente su rapidez dependiendo de la profundidad; a mayor profundidad mayor será la rapidez. Entonces si las ondas de agua pasan de un lugar más profundo a un lugar menos profundo, su rapidez disminuirá. Recordemos que la rapidez está relacionada con la longitud de onda mediante v = f λ, entonces una disminución de la rapidez significará una disminución de la longitud de onda (ver Fig. 7.9). las ondas de sonido también experimentan refracción. Esto suce-

de especialmente cuando el sonido se propaga a través de aire a distintas temperaturas. El sonido viaja más rápidamente cuando el aire está a mayor temperatura. Cuando el aire cerca de la superficie está muy caliente, las ondas sonoras se desvían hacia arriba donde está el aire más frío (ver Fig. 7.10). Cuando hay gradientes de temperatura (variaciones de temperatura entre dos zonas), tal como sucede entre puntos distantes algunos cientos de metros, o que se encuentran a diferentes alturas, el camino que sigue el sonido es curvilíneo en lugar de recto. Esta es la razón por la cual nuestra percepción se confunde al intentar determinar auditivamente por dónde está pasando un avión.

7.5.3 Difracción En el caso de ondas sonoras, en general, un obstáculo no impide su avance. La onda rodea los obstáculos, pues cada molécula del aire se comporta como una nueva fuente de sonido. Esto permite oír aunque no veamos la fuente sonora original. A esta propiedad de las ondas se le llama difracción. Un ejemplo es la figura 7.11, donde una onda de sonido llega a una abertura (puerta) y es capaz de cruzarla. El sonido que se escucha a la derecha varía de intensidad dependiendo de dónde uno esté. Directamente frente a la abertura, la intensidad es máxima. ¿Cuál es la diferencia con reflexión y refracción?

Figura 7.9: Refracción de ondas en el agua. Al pasar a un medio menos profundo, las ondas en el agua disminuyen su rapidez y su longitud de onda.


Figura 7.10: Las ondas sonoras se desvían en el aire, cuando este tiene distintas temperaturas.

Figura 7.11: Difracción de ondas de sonido. Estas ondas pueden “curvarse” y difundirse aunque no se esté directamente ante la fuente de sonido.

ondas 117

La reflexión implica un cambio de dirección cuando la onda se encuentra con una barrera; la refracción implica un cambio de dirección cuando la onda pasa de un medio a otro; y difracción implica un cambio de dirección de las ondas cuando estas pasan a través de una abertura o alrededor de una barrera. El agua tiene el mismo comportamiento que las ondas de sonido de la figura 7.11. El agua es capaz de pasar a través de aperturas, además de doblar esquinas y de rodear obstáculos.

7.5.4 Interferencia Los objetos materiales no pueden ocupar el mismo lugar en espacio a la vez, no importando cuan pequeños sean estos objetos. De la misma manera dos músicos no pueden ocupar el mismo espacio a la vez, pero dos notas musicales sí lo pueden hacer. En general dos ondas pueden existir al mismo tiempo y en el mismo espacio. Cuando más de una onda ocupa el mismo espacio en el mismo tiempo, en cada punto del espacio se suman los desplazamientos. Eso se llama principio de superposición. En la figura 7.12 se ilustra el principio de superposición. En los dos casos se suman las amplitudes de cada onda para dar lugar a otra onda. Dependiendo si las ondas están en fase o no, el resultado puede ser una interferencia constructiva o interferencia destructiva. Cuando la cresta de una onda se traslapa exactamente con el valle de otra onda se produce la anulación completa de la onda (interferencia destructiva).

Principio de superposición.

Figura 7.12: Interferencia de ondas.

También podemos ilustrar lo mismo de otro punto de vista. Si dos pulsos vienen en dirección contraria, estos interferirán en forma constructiva cuando se encuentren (Fig. 7.13) Figura 7.13: Interferencia de dos pulsos de onda.

Por otro lado si los pulsos tienen desplazamientos de distinto signo (hacia arriba y hacia abajo), ocurre una interferencia destructiva cuando los pulsos se encuentran (Fig. 7.14 ). Una forma usual de explicar el concepto de interferencia es mediante ondas en el agua. Cuando dos objetos vibratorios tocan la superficie del


Figura 7.14: Interferencia de dos pulsos de onda.

agua. En la figura 7.15 se han añadido dibujado dos frentes de onda. Los puntos rojos es donde dos crestas o dos valles se suman para obtener una interferencia constructiva. Los puntos negros es donde un valle y una cresta se suman destructivamente.

Figura 7.15: Esquema de interferencia de ondas en el agua.

7.6 Ondas estacionarias Una onda mecánica es una perturbación (creada por un objeto vibrante) y que subsecuentemente viaja a través de un medio desde un lugar a otro, transportando energía. El mecanismo por el cual una onda mecánica se propaga a través de un medio implica una interacción de partículas; una partícula aplica un “empujón” o un “tirón” a su vecina adyacente, causando un desplazamiento del vecino desde la posición de equilibrio o reposo. Da la impresión de que una onda se mueve a través de un medio y que una cresta viaja a través de un medio (ver figura). De hecho, se observa toda la forma sinusoidal moviéndose a través del medio. Esta forma sinusoidal continua moviéndose ininterrumpidamente hasta que se encuentra con otra onda o algún obstáculo; eso es una onda viajera. Figura 7.16: Onda viajera. Da la impresión que las crestas de la onda se movieran hacia la derecha. Esto es solo aparente, pues sabemos que las ondas no transportan materia.

Las ondas viajeras son observadas cuando la onda no está confinada a algún espacio a lo largo del medio (por ejemplo ondas en el océano).

ondas 119

Una onda confinada podría ser una onda en una cuerda, la cual está fija en un extremo. Cuando la onda llega al extremo puede ocurrir reflexión (ver figura 7.8). Esta onda reflejada puede interferir con la onda incidente, y esta interferencia puede producir una nueva forma en el medio de propagación, que podría ser totalmente diferente a la onda sinusoidal original. Esta nueva forma está formada por dos ondas viajeras, la incidente y la reflejada. Sin embargo ninguna de las dos ondas viajeras son fácilmente observadas debido a que ellas se interfieren. Bajo ciertas condiciones especiales, la onda resultante de la interferencia parece no avanzar (estacionaria) y solo se observa un movimiento vertical. Figura 7.17: Onda estacionaria formada por la superposición de una onda incidente y una onda reflejada. Los puntos en la horizontal son los “nodos”, los cuales permanecen estacionarios.

La figura 7.17 ilustra una onda estacionaria. Se han superpuesto varias ondas tomadas en tiempos diferentes (color diferente). Notar que el punto A se mueve desde un desplazamiento máximo positivo hasta un mínimo negativo a medida que pasa el tiempo. Este movimiento es persistente en el tiempo. Observar también, que el punto B nunca se mueve. Tales puntos se conocen como nodos. Los nodos son las regiones de desplazamiento mínimo o cero, cuya energía es mínima o cero. El patrón de movimiento observado en la figura 7.17 es uno de muchas posibilidades. Las ondas estacionarias se forman en las cuerdas de los instrumentos musicales, por ejemplo, cuando se puntean (con una uña), se tocan (con un arco) o se percuten (en un piano). Se forman en el aire de los tubos de un órgano, de las trompetas o de los clarinetes, y en el aire de una botella, cuando se sopla sobre la boca de éste. Se pueden formar ondas estacionarias en una tina llena de agua o en una taza de café, al moverla hacia adelante y atrás con la frecuencia adecuada. Se pueden producir con vibraciones tanto transversales como longitudinales.


7.7 Ondas electromagnéticas Son aquellas ondas que no necesitan un medio material para propagarse, es decir pueden viajar a través del vacío en el espacio exterior. Incluyen, entre otras, la luz visible y las ondas de radio, televisión y telefonía. Las ondas electromagnéticas son producidas por cargas eléctricas vibrantes y como consecuencia están compuestas de dos componentes, un campo eléctrico y un campo magnético. En vez de discutir la naturaleza precisa de las ondas electromagnéticas nos vamos a concentrar en sus propiedades. Las ondas electromagnéticas existen con un enorme rango de frecuencias. Este rango de frecuencias continuo se llama espectro electromagnético. Este espectro se divide en regiones específicas para resaltar como cada región interactúa o afecta a la materia (ver figura 7.18). Se puede observar que mientras mayor sea la longitud de onda menor es la frecuencia. La energía de una onda electromagnética es directamente proporcional a la frecuencia, es decir, las ondas tienen mayor energía si tienen mayor frecuencia.

Una onda con mayor frecuencia tiene mayor energía.

Figura 7.18: Espectro electromagnético.

Existe una región muy angosta en el espectro llamada región de luz visible; esa es la luz que podemos ver. El espectro visible para el ojo humano se muestra en la figura 7.19. A la radiación electromagnética en este rango de longitudes de onda se le llama luz visible o simplemente luz. No hay límites exactos en el espectro visible; un típico ojo humano responderá a longitudes de onda desde 400 a 700 nm aunque algunas personas pueden ser capaces de percibir longitudes de onda desde 380 a 780 nm. Cada longitud de onda dentro del espectro visible representa un color particular. Es decir, cuando luz de una determinada longitud de onda llega a la retina del ojo, ese es el color que percibimos (Fig. 7.20). Isaac Newton mostró que la luz a través de un prisma se separa en

ondas 121

Figura 7.19: Espectro de luz visible.

Figura 7.20: Cada color está asociado a una longitud de onda.


sus diferentes longitudes de onda y entonces serán visibles los diferentes colores que componen la luz (Fig. 7.21). Esta separación de la luz visible en sus diferentes colores se llama dispersión. Cada color tiene asociado una longitud de onda, y la luz de diferente longitud de onda se “doblará” (cambiará de dirección o se refracta) de forma diferente. Por esta razón la luz se dispersa cuando pasa a través del prisma. Cuando un haz de luz blanca procedente del sol atraviesa un prisma, la luz con menor longitud de onda será más desviada que luz con una mayor longitud de onda. De acuerdo a la figura 7.19 la luz roja es la que tiene la mayor longitud de onda y la luz violeta es la que tiene la menor longitud de onda, por lo tanto la luz violeta (azul) es la que tendrá mayor dispersión. El color azul del cielo es causado por la dispersión de la luz solar, debido a que la luz choca con las moléculas de la atmósfera. Esta dispersión o esparcimiento, llamado “Rayleigh scattering”, es más efectiva para las longitudes de onda más cortas (la zona “azul” del espectro visible). En consecuencia la luz esparcida hacia abajo a ángulos grandes con respecto a la dirección de la luz del sol es predominantemente azul.

Figura 7.21: La luz visible (luz blanca) se descompone en sus diferentes colores al pasar por un prisma.

Algunas aplicaciones importantes de la ondas electromagnéti-

cas son: Radiografías: Los rayos X son una forma de radiación electromagnética con longitudes de onda en el rango de 10 a 0.1 nanómetros, correspondiendo a frecuencias en el rango de 30 to 3000 PHz (petahertz; 1 PHz = 10 15 Hz). Una radiografía es la creación de imágenes al exponer una placa fotográfica u otro receptor a los rayos X. Los rayos X pueden penetrar los objetos sólidos, pero son debilitados en su camino, dependiendo de la composición de los objetos. La imagen resultante revela la estructura interna del objeto. Horno microondas: Las microondas tienen longitudes de onda en el rango de 30 cm (frecuencia = 1 GHz) a 1 mm (300 GHz). Un horno microondas funciona con emisión de radiación microondas, usualmente a una frecuencia 2450 MHz ( λ = 12.24 cm), a través de la comida. Las moléculas de agua, grasa y azúcar en la comida absorben energía del haz de microondas. El efecto del haz de microondas sobre la comida es que las moléculas que la componen empiezan a rotar. Este movimiento de rotación hace que las moléculas golpeen otras moléculas, las cuales se ponen en movimiento. Como consecuencia las moléculas adquieren energía cinética traslacional, lo cual es sinónimo de temperatura. Infrarrojo (IR): Nosotros no podemos ver la IR, pero la podemos sentir como energía calórica3. El sol es la mayor fuente natural de radiación infrarroja y menos del 50 % de la radiación solar es IR. Aplicaciones prácticas de IR son principalmente en transformaciones de calor sin

Figura 7.22: Los rayos X pueden revelar la estructura interna de los objetos.

Figura 7.23: La radiación de microondas hace que las moléculas de la comida empiecen a rotar y a golpearse entre ellas. Como consecuencia, las moléculas adquieren energía cinética traslacional; temperatura.

Es por eso que la radiación infrarro ja se la conoce también como radiación térmica. 3

ondas 123

contacto, tales como el secado y procesamiento de materiales, en el campo médico y en las instalaciones spa . Otras aplicaciones son las cámaras IR, visores de visión nocturna, controles remotos IR y puertos para computadores y celulares.

7.8 Efecto Doppler Suponer que hay un insecto en el centro de una laguna. El insecto produce periódicamente movimientos con sus patas para producir perturbaciones que viajan a través del agua. Estas perturbaciones se muestran como círculos concéntricos en la figura 7.25 (izquierda). Un observador en el punto A verá que las ondas llegarán a la orilla a la misma frecuencia que se observaría en el punto B. Si el insecto produce perturbaciones a una frecuencia de 2 por segundo, entonces cada observador en B, mediría una frecuencia de 2 por segundo (2 Hz). En la figura 7.25 (derecha) el insecto se está moviendo hacia la derecha produciendo perturbaciones de 2 por segundo. Puesto que el insecto se mueve hacia la derecha, cada perturbación consecutiva se origina a una distancia más cercana a un observador en B y más lejana a una observador en A. Como consecuencia las perturbaciones llegarán a B con mayor frecuencia. Por otro lado a cada perturbación consecutiva le tomará más tiempo en llegar al punto A. Por lo tanto, en el punto en A se observará una menor frecuencia. El efecto neto del movimiento del insecto (fuente de ondas) es que el observador en B medirá una frecuencia mayor a 2 perturbaciones por segundo. Este fenómeno se llama efecto Doppler.

Figura 7.24: Efecto Doppler, la longitud de onda delante del pato es menor.

Figura 7.25: Patrón de ondas generado por un insecto en reposo (izquierda) y en movimiento (derecha).

El efecto Doppler puede ser observado en cualquier tipo de onda (ondas en el agua, ondas de sonido, ondas de luz, etc). Nosotros estamos más familiarizados con el efecto Doppler en ondas de sonido. Quizás usted recuerde que el sonido de un auto policial o ambulancia que se acerca a uno, es muy agudo (una medida de la frecuencia de la sirena); y entonces después que el vehículo a pasado el sonido se siente más grave. Eso es el efecto Doppler, un cambio aparente de la frecuencia de una onda de sonido producida por una fuente (sirena) en movimiento. El efecto Doppler es de inmensa utilidad para los astrónomos, quienes


usan la información acerca del corrimiento en la frecuencia de las ondas electromagnéticas producida por estrellas en movimiento en nuestra galaxia y más allá. La creencia de que el universo se está expandiendo se basa en parte por las observaciones de las ondas electromagnéticas emitidas por estrellas en galaxias distantes. Figura 7.26: Efecto Doppler en autos. Un micrófono detectará una mayor frecuencia del auto que se aproxima.

8

CAPÍTULO

Reflexión y refracción de la luz La capacidad de la visión de los humanos y otros animales es el resultado de una compleja interacción de la luz, los ojos y el cerebro. Nosotros podemos ver porque la luz desde un objeto puede moverse a través del espacio y llegar hasta nuestros ojos. Una vez que la luz alcanza nuestros ojos, las señales son enviadas a nuestro cerebro, y nuestro cerebro descifra la información para detectar la apariencia, ubicación, y movimiento de los objetos que estamos mirando. El complejo proceso, no sería posible si no fuera por la presencia de luz. Sin luz, no habría visión.

8.1 Reflexión Algunos objetos pueden generar su propia luz, mientras que otros ob jetos (objetos iluminados) son capaces de reflejar la luz hasta nuestros ojos. El sol es un ejemplo de un objeto que genera su propia luz, mientras que la luna es un objeto iluminado. Sin luz no podríamos ver la luna; sin luz, no habría visión. Figura 8.1: Reflexión de una haz de luz láser en un espejo.

Un ejemplo sencillo es el mostrado en la figura 8.1, donde un rayo láser se hace incidir sobre un espejo plano. La presencia del haz de luz no puede ser detectada mientras viaja hacia el espejo. Es más, el rayo de luz tampoco puede ser detectado después que se refleja en el espejo. Los únicos puntos donde se puede detectar la presencia de luz es en los puntos donde el rayo choca con el espejo y con la pared. En estos dos puntos, una porción de la luz, se refleja y viaja hasta nuestros ojos. Pero entre el láser y el espejo, y entre el espejo y la pared la luz no puede ser detectada, porque no hay nada (ningún objeto) que sea capaz de reflejar


luz. ¿Los objetos reflejan la misma luz que incide sobre ellos?

Sólo reflejan parte de la luz que les llega, la parte que produce su color. Recordemos que el color está asociado a una determinada longitud de onda. Por ejemplo, cuando la luz incide sobre un objeto, el ob jeto no emite luz sino que la refleja. Normalmente solo una parte de la luz incidente es reflejada. Parte de la luz que no es reflejada es absorbida por el cuerpo. Cuando una onda de luz de una única frecuencia (color) incide sobre un objeto, pueden ocurrir varias cosas. La luz podría ser absorbida por el objeto, lo cual significa que su energía se convierte en calor. La luz podría ser reflejada por el objeto. La luz podría ser transmitida por el objeto (objeto transparente), es decir la luz pasa hasta el lado opuesto del objeto. Sin embargo es poco frecuente que sólo ondas de una frecuencia (color) incidan sobre un objeto. Lo usual que el haz de luz consista de varias frecuencias (colores). Cuando esto ocurre, los objetos tienen la tendencia a absorber, reflejar o transmitir selectivamente ciertas frecuencias. Por ejemplo, un objeto podría reflejar el verde y absorber todas las otras frecuencias de luz visible. Otro objeto podría trasmitir selectivamente luz azul y absorber todas las otras frecuencias de luz visible. La manera como la luz visible interactúa con un objeto depende de la luz y de la naturaleza atómica de los objetos. Si el objeto es transparente, la luz pasa hasta el lado opuesto del objeto. Tales frecuencias se dicen que son transmitidas. Ya hemos mencionado que el color de un objeto que vemos, se debe a como el objeto interactúa con la luz y a como la luz es reflejada o transmitida a nuestros ojos. El color de un objeto “no está dentro” del objeto sino que el color está en la luz que brilla y llega hasta nuestros ojos.

Figura 8.2: La figura ilustra los dos casos extremos de reflexión y absorción. El cuadrado de la izquierda refleja todos los colores que lo iluminan. Es blanco bajo la luz solar. Cuando se le ilumina con luz azul, es azul. El cuadrado de la derecha absorbe todos los colores que lo iluminan. Bajo la luz solar, es más cálido que el cuadrado blanco.

Supongamos que hacemos incidir un rayo de luz blanca sobre

un objeto, y el objeto absorbe solo luz roja. ¿Que color es el que se observa?

Si solo absorbe luz roja quiere decir que refleja el resto de las longitudes de onda. Una manera práctica de averiguar esto es mediante la rueda de colores mostrada en la figura 8.3. Por cada color único absorbido se muestra un color opuesto, el cual corresponde al color que veremos. Si solo se absorbe luz roja, entonces veremos el color verde.

8.2 Ley de reflexión Cuando se ve un objeto, la luz viaja desde ese objeto hasta nuestros ojos en linea recta. Esto que parece trivial decirlo, pero esto es consecuencia del principio de Fermat. La idea de este principio es que entre todas

Figura 8.3: Rueda de colores complementarios.

reflexión y refracción de la luz 127

las trayectorias posibles que podría seguir la luz para ir de un punto a otro, toma la que requiere el tiempo mínimo . Supongamos que deseamos determinar la localización de la imagen de un objeto al reflejarse en un espejo. La figura 8.4 ilustra varias trayectorias que podría seguir la luz reflejada en el objeto hasta llegar a nuestros ojos. Figura 8.4: Posibles trayectorias que podría seguir la luz hasta llegar al observador.

¿Cuál es la trayectoria correcta?

La respuesta está en el principio de Fermat, la trayectoria es aquella que tome el tiempo mínimo. Si nos fijamos en la figura 8.5, se ha indicado un punto “imagen” que está a la misma distancia del espejo que el punto “objeto”, es decir, la distancia imagen es igual a la distancia objeto. Según el principio de Fermat, la trayectoria que toma el tiempo mínimo para ir desde el observador hasta el punto imagen es una línea recta. Figura 8.5: Posibles trayectorias que podría seguir la luz hasta llegar al observador.

Ahora bien, los dos triángulos mostrados son iguales (congruentes) de tal manera que mediante consideraciones geométricas se puede demostrar que el ángulo incidente es igual al ángulo de reflexión. Esto se ilustra en la figura 8.6. Ángulo de incidencia = Ángulo de reflexión


θi = θ r

Figura 8.6: Ley de reflexión.

La idea de que el ángulo de incidencia sea igual al ángulo de reflexión, también es aplicable al caso de partículas que rebotan en una pared impenetrable. Por ejemplo en una mesa de pool el choque de la bola blanca en una banda hará que el ángulo de rebote sea igual al ángulo de incidencia (Fig. 8.7). Figura 8.7: Ley de reflexión en una mesa de pool.


8.3 Refracción Puesto que la luz es una onda, esta también sufre el fenómeno de refracción que describimos en la sección 7.5.2. La figura 7.9 mostraba ondas en el agua pasando de un lugar profundo a uno menos profundo. El resultado es que la onda cambia de dirección. El mismo comportamiento tiene la luz al pasar de desde el aire hacia un vidrio; hay un cambio en la rapidez y la longitud de onda al cruzar la frontera aire-vidrio, la rapidez y longitud de onda disminuyen, pero la frecuencia no cambia. Lo más importante es, sin embargo, el cambio de dirección al traspasar la frontera. Este “doblamiento” de la trayectoria se conoce como refracción. La onda transmitida experimenta esta refracción. Como se ve en la figura 8.8, cada frente de onda se “dobla” al cruzar la frontera. Una vez que el frente de onda ha traspasado la frontera, viaja en línea recta. Entonces tal como muestra la figura 8.9 hay un rayo incidente que forma un ángulo con la normal (ángulo incidente), y hay un rayo refractado, el cual forma otro ángulo con la normal (ángulo de refracción). Figura 8.9: Refracción. Figura 8.8: Refracción de la luz a pasar desde el aire hacia el vidrio. Las luz en el vidrio disminuye su rapidez y su longitud de onda.

La luz viaja en el vacío a la velocidad de 300.000 km/s. La rapidez en el aire es un poco menor, pero en el agua la rapidez es un 75 % del valor en el vacío. ¿De qué depende la velocidad de la luz en diferentes medios?

La cantidad en que difiere la velocidad de la luz en distintos medios y en el vacío se expresa por el índice de refracción n , del material: Rapidez de la luz en el vacío n = Rapidez de la luz en el material Por ejemplo, la rapidez de la luz en un diamante es 125.000 km/s, y entonces el índice de refracción del diamante es 300000 km/s n = = 2.4 125000 km/s En general, la rapidez de la luz en cualquier material es menor que en el vacío. De hecho la luz viaja a su máxima rapidez en el vacío. De acuerdo a la definición y a la tabla 8.1, queda claro que el índice de refracción es un número sin dimensiones mayor que la unidad porque la rapidez en el material es siempre es menor que la rapidez en el vacío. Además, n es igual a la unidad para el vacío.


Sustancia

Índice de refracción

Sólidos a 20°

Circonio cúbico Diamante (C) Fluorita (CaF2 ) Cuarzo fundido Fosfato de galio Vidrio, sin plomo Vidrio, con plomo Hielo Poliestireno Cloruro de sodio

Sustancia

Índice de refracción

Líquidos a 20 °

2.20 2.419 1.434 1.458 3.50 1.52 1.66 1.309 1.49 1.544

Benceno Disulfuro de carbono Tetracloruro de carbono Alcohol etílico Glicerina Agua Gases a 0 °C,

Tabla 8.1: Índices de refracción (todos los valores son para luz cuya longitud de onda sea de 589 nm en el vacío).

1.501 1.628 1.461 1.361 1.473 1.333

1 atm

Aire Dióxido de carbono

1.000293 1.00045

Un ejemplo muy común de refracción, es cuando introducimos un ob jeto recto dentro de un envase de vidrio y que está lleno de agua. El aire tiene un índice de refracción cercano a 1.0003 mientras que el del agua es 1.33. Si una persona mira el objeto recto (un lápiz, por ejemplo) que ha sido colocado inclinado, parcialmente dentro del agua, el objeto aparece doblado en la superficie del agua (ver figura 8.10). Si analizamos específicamente el punto X, los rayos que parten (se reflejan) de ahí cambian de dirección al salir del agua y llegan hasta nuestro ojo. Entonces nuestro ojo interpreta (erróneamente) que el rayo viene desde el punto Y. 1

Para ser más precisos, para cualquier ángulo de vista, Y debería estar verticalmente sobre X, y el lápiz debería aparecer más corto que lo mostrado en la figura. 1

Figura 8.10: Debido a la refracción, un objeto sumergido parece estar más cerca de la superficie que lo que realmente está.


8.4 Espejos La reflexión especular se produce cuando un rayo de luz incide sobre una superficie pulida (espejo) cambia su dirección sin cambiar el medio por donde se propaga decimos que el rayo de luz se refleja.

8.4.1 Espejos planos Cuando un rayo de luz incide sobre un espejo plano, el rayo de luz se refleja en el espejo. Ya sabemos por la ley de reflexión que el ángulo de incidencia es igual al ángulo reflexión (ver figura 8.6). Para la formación de una imagen en un espejo plano, podemos seguir el procedimiento mostrado en la figura 8.11: 1. En (a) se dibuja la imagen del objeto en P, al otro lado del espejo (en P’) y a una misma distancia del objeto al espejo. Esto se denota con s (distancia objeto-espejo) y s  (distancia espejo-imagen), que en este caso s = s  . 2. En (b), para un observador la imagen parece venir desde atrás del espejo en el punto P’, y se dibuja una linea desde la imagen en P’ hasta el ojo del observador 3. En (c) se dibuja un rayo incidente desde el objeto (punto P) hasta el espejo. El rayo incidente se refleja en el espejo de acuerdo a la ley de reflexión. En el punto P’ se localiza la imagen virtual. La imagen virtual es aquella que se forma cuando, tras pasar por el sistema óptico, los rayos divergen. Para nuestro sentido de la vista los rayos parecen venir desde un punto por el que no han pasado realmente (punto P’). La imagen se percibe en el lugar donde convergen las prolongaciones de esos rayos divergentes.

El procedimiento anterior se hizo para un objeto puntual. Si imaginamos que si colocamos una vela frente a un espejo plano, los rayos de luz parten de la llama en todas direcciones. La figura 8.12 muestra la construcción de la imagen con solo dos puntos (los extremos). Cuando

Imagen virtual.

Figura 8.11: Procedimiento para la construcción de imágenes en un espe jo plano.


esos rayos llegan al espejo, son reflejados en ángulos iguales a sus ángulos de incidencia. Figura 8.12: Procedimiento para la construcción de imágenes en un espe jo plano.

Este procedimiento es especialmente útil para explicar p orqué solo una porción de la imagen de un objeto puede verse. En la figura 8.12 el espejo no es lo suficientemente alto para que el ojo pueda ver la parte de abajo de la imagen. El punto más bajo de la imagen que el ojo puede ver es el punto más bajo del espejo. Si el ojo trata de ver puntos que están más abajo de la imagen, no hay suficiente espejo para que la luz se refleje. La porción que no puede verse está encerrada en un círculo en resumen, las características de espejos planos son

La imagen del objeto es virtual. El tamaño de la imagen es la misma del objeto. Simetría del objeto con respecto al plano del objeto. La imagen se ubica a la misma distancia que el objeto ( s = s  ). El ángulo de incidencia es el mismo que el reflejado (ley de reflexión).

Figura 8.13: Solo una parte del objeto puede ser vista.


8.4.2 Espejos cóncavos Un espejo cóncavo se puede imaginar como una tajada de una esfera (ver figura 8.14). Existe una línea que pasa a través del centro de la esfera y que toca al espejo en su centro. Esta línea se conoce como eje principal (eje óptico). El punto C, en en centro de la esfera se conoce como centro de curvatura. El punto donde el eje principal y el espejo se juntan se llama vértice y se denota con la letra A. El vértice es el centro geométrico del espejo. A mitad de camino entre el centro de curvatura y el vértice se ubica el punto focal (F). La distancia entre el vértice hasta el centro de curvatura se conoce como el radio de curvatura (representado por R). Finalmente las distancia desde el espejo hasta el punto focal se llama distancia focal (representado por f). Todos los detalles se muestran en la figura 8.15. Figura 8.14: Formación de un espejo cóncavo.

Figura 8.15: Espejo cóncavo.

Una característica importante de un espejo cóncavo es que si los rayos llegan en forma paralela al eje principal, entonces estos se reflejarán en el espejo y convergerán en el foco (Fig. 8.16). Debido a que el sol está a


una distancia muy gran de la tierra, los rayos llegan casi paralelos a la superficie de la tierra. Si la luz del sol llega a un espejo cóncavo, la luz se reflejaría en el espejo y se concentraría en el punto focal; ¡tendríamos un horno solar.! Figura 8.16: Los rayos reflejados convergen al punto focal en un espejo cóncavo.

Hay tres casos posibles de como se refleja un objeto en un espejo

cóncavo. Eso depende donde se coloque el objeto, es decir, entre el foco y el espejo, entre el foco y el centro de curvatura, y a una distancia mayor que el radio de curvatura. la figura 8.17 ilustra el último caso, caso de un espejo cóncavo a una distancia mayor de el radio de curvatura. El resultado es que la imagen es real, invertida y más pequeña. La imagen real es aquella que se forma cuando tras pasar por el sistema óptico, los rayos de luz son convergentes. Esta imagen no la podemos percibir directamente con nuestro sentido de la vista, pero puede registrarse colocando una pantalla en el lugar donde convergen los rayos. Notar que se necesitan trazar solo tres rayos para obtener la imagen: 1. Un rayo paralelo al eje principal y que pase por el punto focal. 2. Un rayo a pase por el punto focal se refleja paralelo al eje. 3. Un rayo que incida sobre el vértice del espejo se reflejará con un ángulo igual en el lado opuesto del eje principal. La figura 8.18 muestra el caso cuando el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco. La imagen resultante es real, invertida y mas pequeña. En la figura 8.19 el objeto se encuentra entre el vértice y el punto focal. La imagen resultante es virtual, más grande y derecha. Notar que la imagen se encuentra al otro lado del espejo.


Figura 8.17: Formación de una imagen real e invertida en el caso de que la distancia objeto ( s) sea mayor que el radio de curvatura ( s > R ).

Figura 8.18: Formación de una imagen real e invertida en el caso de que el ob jeto se encuentre entre el centro de curvatura y el punto focal.

Figura 8.19: Formación de una imagen virtual, derecha y más grande en el caso de que el objeto se encuentre a una distancia del espejo menor a la distancia focal.


8.4.3 Espejos convexos En la sección anterior, se mostró que los espejos cóncavos pueden producir imágenes reales y virtuales., dependiendo donde se coloque el objeto. Aquí vamos a usar un procedimiento con el fin de investigar como los espejos convexos reflejan la luz y producen imágenes. La figura 8.20 muestra un espejo convexo. Siguiendo la misma notación que usamos para los espejos cóncavos, ahora podemos notar que el centro de curvatura y el punto focal están localizados al otro lado del esp ejo (lado opuesto del objeto). En este caso se dice que el espejo tiene una distancia focal negativa ( f < 0 ). Figura 8.20: Espejo convexo.

Un espejo convexo es un espejo divergente debido a que la luz incidente proveniente del mismo punto se reflejará en el espejo y divergirá. la figura 8.21 muestra cuatro rayos incidentes que se originan en un punto y llegan al espejo convexo. Estos cuatro rayos se reflejan de acuerdo a la ley de reflexión .Después de la reflexión, los rayos divergen; en consecuencia ellos nunca se intersectan en el lado donde se encuentra el objeto. Por esta razón los espejos convexos producen imágenes virtuales, las cuales están localizadas detrás del espejo. Si un observador mira a lo largo de una línea, un rayo de luz se refleja desde el espejo hasta el ojo del observador. Entonces la tarea de determinar la localización de la imagen de un objeto consiste en determinar el lugar donde se intersectan los rayos reflejados. La figura 8.22 muestra un objeto enfrente de un espejo convexo. Solo se han dibujado dos líneas para determinar la posición de la imagen virtual.. Las reglas para determinar la imagen en un espejo convexo se pueden resumir en dos: 1. Cualquier rayo incidente que viaje paralelo al eje principal en su camino hacia el espejo, se reflejará de tal manera que su extensión pasará a través del punto focal. 2. Cualquier rayo incidente que viaje hacia un espejo convexo tal que su extensión pase a través del punto focal se reflejará y viajará paralelo al eje principal.

Figura 8.21: Los rayos reflejados en un espejo convexo divergen.


Figura 8.22: Los rayos reflejados en un espejo convexo divergen.

Un espejo convexo siempre produce una imagen más pequeña de un objeto. Los espejos convexos son usados por ejemplo en los espejos laterales de vehículos porque de esa manera se incrementa el campo visual, es decir, el espejo convexo forma imágenes de vehículos que están situados sobre una gran área. Figura 8.23: Los objetos en un espejo convexo aparecen más pequeños de lo que son.


8.5 Lentes Una lente es un pedazo de vidrio u otro material transparente. Si la lente tiene la forma apropiada, es posible que luz paralela incidente pueda converger a un punto o también aparecer que diverge desde ese punto. La lente usa la refracción de la luz en su superficie curva, para formar imágenes de rayos divergentes. Las lentes esféricas tienen superficies definidas por dos esferas (Fig. 8.24). Figura 8.24: Formación de lentes por medio de superficies esféricas.

Las lentes pueden ser convergentes o divergentes (Fig. 8.25). La lentes convergentes son más gruesas en el centro que en los extremos; se representan esquemáticamente con una línea con dos puntas de flecha en los extremos. Las lentes divergentes son más delgadas en la parte central que en los extremos; se representan esquemáticamente por una línea recta acabada en dos puntas de flecha invertidas. Figura 8.25: Tipos de lentes.

En una lente simétrica como la de la figura 8.24, existe una línea que pasa por el centro de la lente. esta línea imaginaria se llama eje principal. Una lente también tiene un eje imaginario vertical que bisecta la lente simétrica en dos partes. Los rayos de luz que inciden en la lente y que viajan en forma paralela al eje principal pueden converger o divergir. Si la luz converge (lente convergente), entonces el punto donde converge se llama punto focal de la lente. Si los rayos de luz divergen (lente divergente), entonces los rayos pueden se prolongados hacia atrás hasta que


ellos se intersectan en un punto. Esta intersección se conoce como punto focal de la lente divergente. El punto focal se denota con la letra F. Notar que cada lente tiene dos puntos focales, uno a cada lado de la lente. A diferencia de los espejos, las lentes permiten que la luz pase a través de las dos caras, dependiendo de donde venga el rayo de luz. La distancia desde la lente al punto focal se llama distancia focal (abreviado por f ). Técnicamente una lente no tiene centro de curvatura (al menos no tiene importancia aquí). Sin embargo una lente tiene un punto imaginario conocido como punto 2F. Este punto que yace sobre el eje principal está a una distancia 2f de la lente (Fig. 8.26). Figura 8.26: Anatomía de una lente convergente.

8.5.1 Refracción por una lente convergente La figura 8.27 muestra el comportamiento de dos rayos incidentes y paralelos al eje principal . Notar que los rayos convergen a un punto; el punto focal de lente. Ahora supongamos que los rayos de luz parten del punto focal hacia la lente (Fig. 8.28). Estos rayos se refractarán al entrar en la lente y se refractarán cuando salgan de la lente. Estos rayos saldrán en forma paralela al eje principal. Se puede hacer la generalización Con estos dos ejemplos se puede hacer la siguiente generalización para lentes convergentes: Cualquier rayo incidente que viaje paralelo al eje principal de una lente convergente se refractará a través de la lente y viajará a través del punto focal al otro lado de la lente. Cualquier rayo incidente que viaje a través del punto focal en su viaje hacia la lente se refractará a través de la lente y emergerá paralelo al eje principal.

Figura 8.27: Los rayos incidentes que viajan paralelos al eje principal se refractarán a través de la lente y convergerán a un punto.


8.5.2 Refracción por una lente divergente La figura 8.29 muestra el comportamiento de dos rayos incidente acercándose al lente en forma paralela al eje principal. Al entrar al lente, el rayo se refractará y saldrá, pero debido a la forma del lente bicóncavo, esto rayos refractados no convergen a ningún punto (divergen). Por esta razón una lente bicóncava nunca producirá una imagen real. la lentes bicóncavas producen imágenes virtuales. Si los rayos refractados se extienden hacia atrás, detrás de la lente, se observa que estos rayos con-



vergen a un punto focal. Sed dice que se una lente divergente tiene una distancia focal negativa. Ahora supongamos que los rayos viajan hacia la lente en dirección al punto focal de la derecha (Fig. 8.30). Esto rayos se refractarán y saldrán en forma paralela el eje principal . Con lo anterior, podemos establecer dos reglas para lentes divergentes: Cualquier rayo incidente que viaja paralelo al eje principal de una lente divergente se refractarán a través de la lene y emergerá pasando por el punto focal (es decir, en una dirección tal que su extensión pasará a través del punto focal).


Cualquier rayo incidente que viaja hacia el punto focal en su camino hacia la lente se refractará y viajará paralelo al eje principal.

8.5.3 Lentes delgadas La reglas que vimos anteriormente no son las únicas, porque los rayos considerados no son los únicos. Hay una cantidad infinita de rayos que llegan a la lente y se refractan en una variedad de maneras. hay un rayo en especial, el cual pasa por el centro de la lente, por la intersección entre el eje principal y el eje vertical. Este rayo se refracta en la lente y también cuando sale. El efecto neto es que esta doble refracción no afecta la dirección inicial. Esto es válido para lentes delgadas donde le rayo refractado tiene la misma dirección que el rayo incidente. Figura 8.31: En una lente delgada los rayos que pasan justo por el centro de la lente salen de la lente sin refractarse..

8.5.4 Formación de imagen por una lente divergente Las lentes divergentes crean imágenes virtuales puesto que los rayos refractados no convergen a un punto. En una lente divergente la imagen se localiza en el lado del objeto donde los rayos refractados se intersectan si se extienden hacia atrás. La figura 8.32 nuestra algunos rayos incidentes emanando del objeto. Cada rayo incidente se refracta en la lente y puede ser detectado por diferentes observadores. La localización donde los rayos rayos refractados se intersectan, es la localización de la imagen. Estos rayos refractados (línea punteada) en realidad no existen, es por eso que se llama imagen virtual. Para el observador la luz parece venir desde ese punto.


Figura 8.32: En una lente divergente, la imagen formada es siempre divergente.

8.5.5 Formación de imagen por una lente convergente Hay varios casos que podemos considerar para la formación de la imagen en una lente convergente, dependiendo donde esté localizado el objeto. Hay tres casos donde la imagen formada es real: el caso de un objeto localizado más allá del punto 2F; el caso cuando el objeto está localizado en el punto 2F; y el caso cuando el objeto está localizado entre 2F y F. El caso más interesante es cuando el objeto está localizado entre el punto F y el espejo. La figura 8.34 muestra la imagen virtual formada por una lente convergente.

Figura 8.33: La lupa es un instrumento óptico que consta de una lente convergente de corta distancia focal, que desvía la luz incidente de modo que se forma una imagen virtual ampliada del objeto Figura 8.34: En una lente divergente, la imagen formada es siempre divergente.

9

CAPÍTULO

El átomo En el capítulo 5 sobre electricidad, introdujimos el concepto de átomo para explicar cómo está constituida la materia. Dijimos que cada átomo consiste de un núcleo, que contiene protones y neutrones, y este núcleo está rodeado por un cierto número de electrones. Sin embargo es interesante hacer un poco de historia y constatar que el concepto de átomo, tal como lo conocemos hoy en día, tiene una larga historia.

9.1 Modelos atómicos 9.1.1 En la antigua Grecia y Edad Media Desde la antigüedad, algunas de las grandes mentes que ha tenido la humanidad, se han cuestionado sobre la composición de la materia, ya en la antigua Grecia, muchos filósofos se preguntaron cual sería la base de la sustancia física. Algunas de las grandes mentes que conoció la antigüedad se cuestionaron sobre esto, pensando que la materia estaba formada por 4 características esenciales, las cuales se expresaban, combinándose por pares para formar los 4 elementos (Fuego, Tierra, Aire y Agua), que serían, según su presencia en la materia, la base de esta. Así entonces, definieron que existiría una unidad fundamental llamada el átomo, habiendo átomos de distintas clases según las cantidades de los 4 elementos que tuvieran en forma particular. Así, existirían átomos para el metal, la piedra, la madera, etc, variando solo en su proporción relativa de cada átomo. En aquellos tiempos, se la ciencia comprendía el estudio de tres cosas: el arte o sentido de la belleza, la religión o causa divina de las cosas y el estudio de la naturaleza. Así entonces, todas las teorías de los sabios griegos giraban como una mezcla de estas tres lineas de estudio. Esta concepción, presocrática de hecho, se mantuvo por muchos siglos, ampliándose o modificándose según los nuevos estudios, en el medioevo, una nueva forma de científicos/místicos aparece, conocidos en la actualidad como alquimistas, los cuales, en sus estudios buscaban la transmutación de plomo en oro. Tanto en un sentido práctico como filosófico (la purificación del propio hombre), ellos, amplían la variedad de elementos a analizar, comprendiendo que existen tanto elementos simples como compuestos, pero aún así, sin avanzar mayormente en la verdadera naturaleza del átomo. No es sino hasta la era industrial, cuando se comienza un estudio en torno al tema, que es más coincidente con la concepción actual de la


ciencia.

9.1.2 Modelo atómico de Dalton John Dalton, fue un químico, matemático y meteorólogo. Tal vez lo más conocido sobre el, sea que fue el primero en investigar a profundidad la ceguera al color, conocida comúnmente como daltonismo. Dalton postulo en 1808 que los átomos son unidades indivisibles, diferentes entre si según su tipo, estos átomos, pueden combinarse entre sí para formar compuestos, pero lo hacen en proporciones determinadas, y que la variación de la proporción de los átomos da origen a sustancias diferentes aunque se trate de los mismos átomos (Ley de las proporciones múltiples, estequiometría), pero, no obstante a esta combinación, los átomos no pierden su naturaleza, es decir, siguen siendo ellos mismos, aunque combinados, así como también, permanecen indivisibles. Lo importante de este modelo, es que indica que aunque hay una relativamente pequeña cantidad de elementos, la combinación de estos en diferentes proporciones genera la gran multitud de compuestos existentes.

9.1.3 Modelo atómico de Thomson Joseph J. Thomson fue un matemático y físico británico, realizó muchos avances en la ciencia que aún hoy en día son de importancia, entre ellos, fue el descubridor del electrón. En el año 1904, Thomson postula que el átomo esta formado por una determinada cantidad de electrones (con carga eléctrica negativa) y que estos estarían suspendidos en una masa de carga positiva. A este modelo, se le conoce coloquialmente como "el budín de pasas" ya que plantea a los electrones como elementos suspendidos en una masa de carga positiva, cual confites en un pastel (la analogía criolla, seria un pan de pascua).

Figura 9.1: John Dalton (1766-1844)

Figura 9.2: Joseph J. Thomson (18561940)

Si bien este modelo fue aceptado por un tiempo, no tomó en cuenta ciertas consideraciones que posteriormente serían la causa de que uno de los discípulos de Thomson lo derribara e impusiera un modelo más acorde a lo experimentalmente observado.

Figura 9.3: Modelo atómico de Thomson.

el átomo 145

9.1.4 Modelo atómico de Rutherford Ernest Rutherford, fue un científico británico de gran renombre en su época, especializado en radiación. Fue el maestro del danés Niels Bohr y del tristemente célebre Robert Oppenheimer (Director de los experimentos que llevaron a cabo la creación de la primera bomba atómica, usada contra Japón). En 1908 recibió el premio Nobel de Química (sí... era un físico, no obstante recibió el premio Nobel de Química, cosa que ni el mismo entendía, en vista que no sentía ningún particular aprecio a esta rama de la ciencia). Rutherford experimentó, lanzando partículas radioactivas de carga positiva (partículas α) sobre una lámina muy delgada de oro, poniendo en distintas posiciones alrededor de esta, placas sensibles que generarían luminiscencia al ser impactadas por las partículas alfa reflejadas por los átomos de dicha lámina (Fig. 9.5).

Según el modelo de Thomson, la carga positiva se encuentra distribuida a través de toda la extensión del átomo (modelo del “budín de pasas”), entonces la probabilidad de que una partícula α sea repelida y desviada por una carga positiva en el núcleo es muy escasa, o sea que el resultado esperado es que las partículas pasen a través del átomo sin desviarse. El resultado real del experimento es que, no solo hubo reflexión de partículas que chocaban contra los átomos de la lámina de oro, sino que además, muchas de las partículas pasaban a través de ella en linea recta (Fig. 9.7). Este último hecho, derribaba el modelo atómico de su propio maestro, Thomson, dejando entonces la necesidad de crear un nuevo modelo. El modelo de Rutherford, habla de que existen dos zonas en el átomo, un núcleo, cargado positivamente y una corteza de electrones orbitando cargada negativamente, entre ambos, existe un gran espacio vació (grande, en relación a los tamaños de dichas partículas, aunque muy pequeño desde nuestro punto de vista), este modelo, explica entonces que cuando las partículas que el lanzaba chocaban con el núcleo, estas eran reflejadas, mientras que el resto, si no tocaba ningún núcleo, seguiría en linea recta, atravesando la lámina de oro, cosa que su experimento demostraba.

Figura 9.4: Ernest Rutherford (18711937)

Figura 9.5: Experimento de Rutherford. La mayoría de las partículas alfa pasan a través de la lámina de oro sin desviarse. Esto da cuenta de un gran espacio vacío dentro del átomo.

Figura 9.6: Modelo atómico de Rutherford.


Sumado a esto, explica que el núcleo aunque, con una carga de igual magnitud a la de la corteza pero de signo positivo, concentraría la mayor parte de la masa del átomo. Lo importante de este modelo, es que establece la existencia de un núcleo atómico , además de que la mayor parte del espacio ocupado por un átomo está vacío.

Figura 9.7: El resultado esperado según Thomson era que las partículas α (cargadas positivamente) cruzarían el átomo prácticamente sin desviarse. En el experimento algunas pocas partículas sufrían gran desviación. Eso da cuenta que todas la carga positiva dentro del átomo se concentra en una zona muy pequeña, el núcleo.

9.1.5 Modelo atómico de Bohr Como a estas alturas será notorio, fue costumbre en su época que el discípulo derribara el modelo de su maestro. Así lo hizo Niels Bohr, un Danés, discípulo de Rutherford, que planteó un modelo que sustituiría al de su maestro, pero no solo eso, sino que además, se trata del modelo que está mas estereotípicamente implantado en la cultura popular. Bohr, en 1913, define que el átomo esta formado p or un núcleo de carga positiva, pero que este además está rodeado de electrones los cuales se mueven en orbitas alrededor del núcleo. La novedad del modelo de Bohr es que introduce un nuevo concepto a las corrientes científicas de la época; la cuantización. Bohr habla entonces de ciertas “posiciones” permitidas, en las cuales los electrones se pueden mover, llamadas orbitales. Se debe considerar que el modelo atómico de Bohr fue hecho sobre la base del átomo de hidrógeno, el más simple de todos los elementos, que posee solo un electrón orbitando a su núcleo (ver figura 9.9).

Figura 9.8: Niels Bohr (1885-1962)

Figura 9.9: Átomo de hidrógeno según la teoría de Bohr.

el átomo 147

Las orbitas debían ser circulares en torno al núcleo, buscando los electrones tener la menor energía p osible dentro de sus espacios "cuantizados", partiendo de la base que el momentum angular (cantidad de movimiento giratorio) de estos también estaría cuantizado. Cuando hablamos de cuantización, nos referimos a que la cantidad de energía no queda definida en forma libre, como un continuo en que cualquier espacio puede ser ocupado, sino, en zonas definidas por cifras precisas, fuera de las cuales no es posible que este presente un electrón. Bohr supuso que esta relación está vinculada a la constante de Planck, ante lo cual definió una serie de parámetros que vincularían la posición del orbital dentro esta corteza de electrones.

En el modelo de Bohr los electrones giran en planos como lo hacen los planetas. Posteriormente se hicieron correcciones para decir que los electrones se mueven en “capas” y en “nubes”. Todavía se utiliza “órbita” solo para fines pedagógicos . Los electrones no son sólo cuerpos como los planetas, sino más bien se comportan como ondas concentradas en determinadas partes del átomo.

9.2 Cuantización de la energía De acuerdo a la hipótesis de Planck, toda la radiación electromagnética está cuantizada y ocurre en “paquetes” de energía los cuales llamamos fotones. La energía de este fotón depende de la longitud de onda o frecuencia de la radiación electromagnética. Por ejemplo, un fotón de luz azul de longitud de onda λ = 450 nm tendrá siempre una energía de 2.76 eV. La luz azul ocurre en pedazos o paquetes de 2.76 eV. No podemos tener la mitad de fotón de luz azul. La frecuencia que puede tener un fotón no está limitada y está disponible en un continuo, tal como lo muestra el espectro electromagnético (Fig. 9.11). La energía de un fotón se calcula multiplicando la frecuencia ( f ) por la constante de Planck (h = 6.62606957×10−34 m2 kg/s) E fotón = constante

Figura 9.10: La radiación electromagnética ocurre en “paquetes de energía llamados fotones.

de Planck × frecuencia

E fotón = hf

Figura 9.11: La energía de un fotón es directamente proporcional a su frecuencia. Un fotón de radiación ultravioleta tiene más energía que un fotón infrarrojo.


9.3 Los espectros atómicos El modelo de Bohr plantea que en un átomo, los electrones solo pueden ser encontrados en ciertos estados de energía discretos. Estos niveles de energía están asociados con las órbitas o “capas” de electrones en un átomo. Cuando un electrón absorbe radiación electromagnética (fotón), entonces es posible que el electrón pase a una órbita con mayor energía (Fig. 9.12). Para que esto ocurra la energía del fotón deber ser igual a la diferencia de energías entre los dos niveles.

Antes de Rutherford, los químicos (espectroscopistas) usaban un aparato llamado espectroscopio para visualizar las transiciones electrónicas entre diferentes niveles de energía en un átomo. Básicamente, el aparato consiste de una gas encerrado donde ocurren descargas, la luz irradiada pasa por una rendija y luego por un prisma, donde la luz se descompone, para luego ser detectada en una pantalla (Fig. 9.13).

Figura 9.12: La absorción de un fotón permite que el electrón pase a un nivel más alto en energía; el electrón está “excitado”.

Figura 9.13: Espectrógrafo: las descargas dentro de un tubo con gas son la fuente de luz que se refracta en un prisma. En la pantalla, vemos las líneas del espectro visible del gas.

El espectro obtenido representa una característica única del elemento (gas) y es equivalente a obtener su huella digital (Fig. 9.14). El átomo de hidrógeno es el más ligero y sencillo. Las lineas espectrales no pueden ser explicadas por el modelo de Rutherford. La única forma de explicar el espectro era mediante una fórmula empírica, la fórmula de

el átomo 149

Figura 9.14: La líneas espectrales son características de un elemento. Las líneas siempre ocurren con en el mismo. Esto es equivalente a tener una huella digital del elemento atómico..

Rydberg. La figura 9.15 ilustra la emisión de un fotón cuando un electrón vuelve a un nivel de energía más bajo. Este fotón es registrado como una línea en la pantalla de un espectrógrafo.

Desde hacía tiempo se sabía que el hidrógeno, el elemento más ligero, tiene un espectro mucho más ordenado que los demás elementos (en la figura 9.16 se muestra una porción del espectro para H, Ag y Ne).

Una secuencia importante de líneas en el espectro del hidrógeno se inicia con una línea en la región del rojo, seguida por una en el azul, y después varias líneas en el violeta, y muchas en el ultravioleta. El espacio entre las líneas sucesivas se vuelve menor y menor, desde la primera en el rojo hasta la última en el ultravioleta, hasta que las líneas están tan cercanas que parecen fundirse. Un maestro de escuela suizo, J. J. Balmer, fue quien

Figura 9.15: La emisión de un fotón permite que el electrón pase a un nivel más bajo. La energía liberada es igual a la diferencia de energía entre niveles.

Figura 9.16: Una porción de las líneas de emisión para el hidrógeno, mercurio y neón. Cada línea (una imagen de la rejilla en un espectroscopio) representa la luz de una frecuencia específica emitida.


primero en 1884 expresó las longitudes de onda de esas líneas en una sola ecuación matemática. Sin embargo, no pudo explicar por qué su fórmula funcionaba tan bien. Creía que para otros elementos, las series podrían seguir una fórmula parecida, y que podrían predecir líneas que todavía no habían sido observadas.

9.4 Las transiciones electrónicas En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, cada nivel de energía de un electrón, está asociado a un número entero (1,2,3,....). Este número se llama número cuántico. En la figura 9.17 se muestran algunas transiciones electrónicas con las respectivas longitudes de onda asociadas. Por ejemplo, en la serie de Balmer, la transición desde el nivel n = 6 hasta el nivel n = 2 involucra la emisión de un fotón con una longitud de onda de 410 nm. Las series de Lyman, de Balmer y de Paschen son transiciones que fueron obtenidas experimentalmente, mucho antes del desarrollo de la teoría atómica. Figura 9.17: Algunas transiciones electrónicas para el átomo de hidrógeno.

El gran éxito de la teoría de Bohr es que logró predecir las transiciones de energía del átomo de hidrógeno. Bohr dedujo una ecuación que le permitió obtener los niveles de energía cuantizados para el átomo de hidrógeno. Si asociamos en número cuántico n al nivel de energía E n , entonces E n =

− 13.6 n2

[eV]

De la ecuación anterior se obtienen las diferencias entre niveles de energía. En efecto, si asociamos los números cuánticos n1 y n2 a los niveles de

Figura 9.18: La energía del fotón emitido es igual a la diferencia de energía entre los niveles.

el átomo 151

energía E 1 y E 2 respectivamente, entonces la diferencia de energía entre los niveles es ∆E =

−13.6



1

n21

1

− n2 2



[eV]

Para que haya una transición debe cumplirse que la energía del fotón absorbido/emitido debe coincidir con esta diferencia de energía E fotón = hf = −13.6



1

n21

1

− n2 2



Si bien los modelos atómicos como el de Dalton y Thomson dan una idea prosaica de lo que es un átomo, sirvieron de base para que, a medida que la ciencia avanzaba en ideas y en equipamiento, fueran surgiendo más claras teorías sobre la composición de la materia. Los modelos atómicos de Rutherford y Bohr, si bien errados, de acuerdo a las teorías actuales, tuvieron un fuerte impacto, porque estos explicaban un fenómeno llamado "lineas de emisión", es decir, la emisión de luz de parte de átomos irradiados, cosa que antes de ellos no se había podido explicar, solo cuantificar su efecto. La ciencia busca poder explicar lo que se observa, así entonces, estos últimos dos modelos permitían tener una cercanía mayor entre lo observado y lo supuesto. No obstante, ambos tenían fallas fundamentales que llegaban a contradecir la teoría del electromagnetismo. Fundamentalmente, todos sabemos que dos cargas opuestas se atraen, una carga eléctrica negativa, será irremediablemente atraída por una negativa, tenderán estas a juntarse y a neutralizarse posterior a su contacto, esto era el problema que contenían ambos modelos, inevitablemente los electrones caerían sobre el núcleo, neutralizándolo y con ello, acabando con toda estructura en el universo, cosa que de hecho, no sucede. Así entonces, los modelos eran errados, pese a lo cual, fueron la base para modelos posteriores.

9.5 Mecánica cuántica La idea de que el electrón se mueve en círculos alrededor del núcleo funciona muy bien para el átomo de hidrógeno. Los físicos se dieron cuenta que esta idea tenía muchos problemas y los físicos tuvieron que desechar este modelo. Hubo un físico francés llamado Louis de Broglie, que en 1924 vino con una idea radical. El propuso que una partícula como el electrón tiene propiedades de una onda. Supuso que una onda está asociada con toda partícula, y que la longitud de una onda de materia tiene una relación inversa con la cantidad de movimiento de la partícula. Estas ondas de materia de de Broglie se comportan igual que las demás ondas: pueden reflejarse, refractarse, difractarse e interferir entre sí. Aprovechando la idea de la interferencia, demostró de Broglie que los valores discretos de las órbitas de Bohr son una consecuencia natural de las ondas electrónicas estacionarias. ¿A quién se le podría ocurrir que una partícula material también pueda ser una onda?

Figura 9.19: Louis de Broglie (18921987).


La idea era revolucionaria y extraña, pero mediante esa suposición, de Broglie logró explicar la teoría de Bohr, es decir de Broglie explicó que los valores discretos de las órbitas de Bohr son una consecuencia natural de las ondas electrónicas estacionarias. En aquella época se empezó a aceptar que el electrón se comportaba como una onda o una partícula de acuerdo al experimento que se realizara. Esta dualidad onda-partícula, postula que todas las partículas presentan propiedades de onda y partícula. De acuerdo con la física clásica existen diferencias entre onda y partícula. Una partícula ocupa un lugar en el espacio y tiene masa mientras que una onda se extiende en el espacio caracterizándose por tener una velocidad definida y masa nula Aunque el concepto de “órbitas” resulta ser bastante útil, tuvo que ser desechado. Hoy en día en vez de órbitas se prefiere hablar de que los electrones están en niveles de energía. La regla es: órbita mayor = energía mayor. Una vez que la idea de que las partículas materiales tienen propiedades ondulatorias fue aceptada por la comunidad científica, un físico llamado Erwin Schrödinger, formuló una ecuación que describe cómo varían las ondas de materia bajo la influencia de fuerzas externas. Puesto que las cosas a nivel atómico no funcionan como en el mundo macroscópico. Esta ecuación juega el mismo rol que la segunda ecuación de Newton (F = ma ). Lamentablemente, en la ecuación de Schrödinger, las ondas de materia son entidades matemáticas que no son observables directamente, todo se vuelve bastante abstracto. En la ecuación de onda de Schrödinger tenemos ondas de materia, y como toda onda, tiene una amplitud. ¿Donde está el electrón?

no se puede saber . En la teoría de Newton se puede establecer en

forma exacta la posición de una partícula si se conocen las condiciones iniciales. Por ejemplo, si lanzamos una piedra con una velocidad inicial y con un cierto ángulo, entonces mediante las ecuaciones de movimiento, podremos saber en forma exacta donde se encuentra la piedra en un instante posterior. Es por eso que se dice que la teoría de Newton es determinista. en contraste, en la teoría de Schrödinger no es posible determinar la posición exacta de un electrón (recordemos que es una onda). Lo único que podemos saber es la probabilidad de encontrar un electrón en una cierta región del espacio. Si bien es cierto que no es posible encontrar un electrón en una posición exacta, experimentalmente hay una probabilidad finita de encontrar a un electrón en determinada región en cualquier instante. Esta probabilidad es un número entre 0 y 1, donde 0 indica nunca (probabilidad cero) y 1 equivale a siempre (certeza). Por ejemplo, si la probabilidad de encontrar a un electrón dentro de cierto radio es 0.4, eso quiere decir que las probabilidades son de 40 % de que el electrón se encuentre allí. La figura 9.22 muestra un ejemplo de una nube electrónica, donde en las regiones más oscuras es más probable encontrar un electrón. Es costumbre, sobre todo en química, tratar de imaginar la localización de un electrón en cierta región del espacio. Se dibujan regiones llamadas

Figura 9.20: partícula.

La dualidad onda-

Figura 9.21: Erwin Schrödinger (18871961) fue un físico austríaco, nacionalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger.

el átomo 153

nubes electrónicas (o regiones de probabilidad). Se usa muy a menudo el término orbital para representar las nubes estas nubes electrónicas (Fig. 9.23). Figura 9.22: Distribución de probabilidades de una nube electrónica.

Figura 9.23: Orbitales atómicos.

Hay que tener cuidado. Un orbital atómico es una función matemática que describe el comportamiento de un electrón en un átomo. Esta función es una solución de la ecuación de Schrödinger y es usada para calcular la probabilidad de encontrar un electrón en una región específica alrededor del núcleo.


9.6 El efecto fotoeléctrico Se ha determinado experimentalmente que cuando la luz incide sobre la superficie de un metal, la superficie emite electrones (Fig. 9.25). Este fenómeno se llama efecto fotoeléctrico y ahora se usa en las celdas solares, en los exposímetros de las cámaras y para captar el sonido de la pista sonora en las películas. La explicación de este fenómeno era un misterio para los científicos, pues si la luz se considera como una onda, entonces se originan una serie de contradicciones al tratar de explicar este efecto. Hasta que Einstein llegó a la respuesta en 1905. El se imaginó que la luz Einstein que la luz tiene propiedades cuánticas , y además consideró que la luz es una granizada de partículas, es decir la luz tiene un comportamiento de partícula. Son estas partículas de luz (fotones) las responsable de impartir energía cinética a los electrones y expulsarlos de la superficie del metal. Hay dos factores principales de los cuales depende el efecto fotoeléctrico: El efecto fotoeléctrico depende de la intensidad de la luz incidente (más luz expulsa más electrones).

La cantidad de fotones en un rayo de luz controla el brillo de todo el rayo, mientras que la frecuencia de la luz controla la energía de cada fotón individual.

El efecto fotoeléctrico depende de la frecuencia de la luz incidente (la luz de alta frecuencia expulsa más electrones que luz de menor frecuencia).

Figura 9.24: Albert Einstein (18791955).

Figura 9.25: Efecto fotoeléctrico.

10

CAPÍTULO

El núcleo atómico En el capítulo sobre el átomo nos ocupamos principalmente del electrón. Nuestra mirada ahora se enfoca en el núcleo atómico, compuesto de protones y neutrones. La radiactividad fue descubierta al final de siglo 19. En las próximas décadas se entendieron mejor los procesos de radiactividad tales como la fisión y fusión nucleares. En la segunda mitad del siglo 20 se desarrollaron las aplicaciones prácticas tales como las plantas nucleares y las armas nucleares. En el capítulo 5 mencionamos que el núcleo de un átomo está formado por protones y neutrones (denominados nucleones). Estas partículas se mantienen unidas debido a una gran fuerza, denominada interacción nuclear fuerte, que le da la estabilidad al núcleo. Si no existiera esta fuerza el núcleo se desintegraría debido a la repulsión entre los protones.

Figura 10.1: Explosión nuclear. Número atómico, Z , es la cantidad de protones en el núcleo.

10.1 Isótopos La cantidad de protones en el núcleo (número atómico, Z ), determina el elemento químico al que pertenece. Los núcleos atómicos no necesariamente tienen el mismo número de neutrones. No todos los átomos tienen la misma cantidad de protones que de neutrones. Un ejemplo conocido es el hidrógeno que tiene un protón, pero que no tiene neutrón. En este sentido, se denominan isótopos a los átomos de un mismo elemento, cuyos núcleos tienen una cantidad diferente de neutrones, y por lo tanto, difieren en masa atómica. Una notación para distinguir los diferentes isótopos es añadir subíndices y superíndices al símbolo del elemento, y así proveer información importante. Figura 10.2: Simbología para describir isótopos.

La mayoría de los elementos químicos tienen más de un isótopo. Un isótopo del carbono, conocido como carbono-14 ( 14 C),1 tiene ocho neutrones. Los átomos de 14 C son inestables; a la larga estos átomos decaen en átomos de carbono-12 (12C) los cuales tiene seis neutrones. Otros ejemplos de átomos inestables incluyen al hidrógeno-3 ( 3 H), también conocido como tritio, el cual tiene un núcleo consistente en un protón y dos

Figura 10.3: Diferencia entre los isótopos de 614 C y 612 C. El isótopo carbono14 tiene dos neutrones extra. En muchos casos se omite en número atómico Z , así en ves de utilizar la notación 614 C escribimos simplemente 14 C. 1


neutrones. Figura 10.4: Los tres isótopos del hidrógeno: 11 H, 12 H (deuterio) y 13 H (tritio)..

El berilio-7 (7 Be) tiene un núcleo con cuatro protones y tres neutrones, y el (10 Be) tiene un núcleo de cuatro protones y seis neutrones. En algunos casos los isótopos más comunes también resultan ser radiactivos. En la tabla periódica, los elementos actínidos (Fig. 10.5) con número atómico entre Z = 89 hasta Z = 103 son radiactivos. Todos los núcleos que tienen más de 82 protones son inestables. En este ambiente inestable se llevan a cabo las emisiones alfa y beta. Aquí se incluyen además el polonio (Z = 84 ), astato (Z = 85 ), radón (Z = 86 ), francio (Z = 87 ) y el radio (Z = 88 ).

Figura 10.5: Elementos actínidos de la tabla periódica.

10.2 Los rayos X El espectro electromagnético cubre una gran variedad de radiación electromagnética, desde las ondas de radio hasta la radiación gama. Los rayos X ocupan un lugar especial. Estos fueron descubiertos en 1895 por Wilhelm Conrad Roentgen, un físico alemán. El encontró que los rayos X atraviesan materiales sólidos, pueden ionizar el aire, no tienen refracción en el vidrio y no los desvía un campo magnético. Por este descubrimiento ganó el primer premio Nobel en física (1901). Los rayos X pueden penetrar a través de la carne de la mano, pero son absorbidos por los huesos. Esta propiedad, de que los rayos X pueden penetrar la carne mejor que los huesos, fue puesta inmediatamente en uso por la comunidad médica y la radiología (el uso de rayos X para el diagnóstico médico) se convirtió rápidamente en una herramienta de diagnóstico estándar en medicina.

el núcleo atómico

157

Figura 10.6: Los rayos X penetran los tejidos de los organismos vivos.

10.3 Radiactividad Los núcleos de las mayoría de las sustancias mas comunes son estables. Ellos mantienen su identidad y permanecen inalterables indefinidamente. Sin embargo, algunos núcleos atómicos cambian con el tiempo; son inestables . Al desintegrarse (decaimiento radiactivo) los núcleos atómicos, estos emiten fotones de alta energía, además de una variedad de partículas subatómicas. La radiactividad es en general un término que se refiere a todos los tipos de radiación como consecuencia de la desintegración de átomos inestables. Existen tres tipos de decaimiento radiactivo : radiación α,

radiación β y radiación γ :

10.3.1 Radiación α

Figura 10.7: Radiación: cuando un núcleo se desintegra (decae radiactivamente), este cambia a un estado de menor energía y emite una partícula (algunas veces más de una), un rayo gama, o ambos.

Las partículas alfa (α) son núcleos de helio-4 (4 He++ ) viajando a grandes velocidades. Los núcleos de 4 He consisten de dos propones y dos neutrones. Una partícula alfa tiene una carga eléctrica positiva porque no hay electrones rodeándola. Así se dice que todas las partículas alfa son iones. Estas partículas tiene una masa significativa, entonces si ellas logran una gran velocidad, ellas adquieren una considerable cantidad de energía cinética. La mayoría de las partículas alfa pueden se bloqueadas por barreras delgadas.

10.3.2 Radiación β Las partículas beta son electrones o positrones de alta velocidad. (un positrón es antimateria, igual que un electrón pero con carga positiva). Un electrón es una partícula beta y se denota β − , y un positrón que posee carga positiva se denota β + . Todas las partículas beta tienen masa.

10.3.3 Radiación γ A medida que la longitud de onda se hace cada vez más corta en el espectro electromagnético, su poder de penetración se incrementa. El límite aproximado donde terminan los rayos X y comienzan los rayos gama es a los 0.01 nm (10−11 m). Los rayos gama pueden, en teoría, ser más y más cortos sin límite. Los rayos gama son los más energéticos de

Figura 10.8: Comparación de los rayos γ con otros tipos de radiación (la figura no está a escala).


todos los campos electromagnéticos. Los rayos gama de corta longitud de onda pueden penetrar algunos centímetros de plomo sólido o concreto. Estos rayos pueden ser incluso mas dañinos para los organismos vivos que los rayos X. Los rayos gama se originan en materiales radiactivos. La figura 10.8 muestra una comparación (no a escala) de la radiación gama con los rayos X y la luz visible. A menor menor longitud de onda mayor energía, y a mayor longitud de onda menor energía. Finalmente la figura 10.9 muestra el grado de penetración que tienen las radiaciones alfa, beta y gama. Figura 10.9: Las partículas alfa son las que menos penetran y pueden ser detenidas por unas cuantas hojas de papel. Las partículas beta atraviesan el papel con facilidad, pero no una lámina de aluminio. Los rayos gamma penetran en varios centímetros de plomo macizo.

los neutrinos son una clase de partícula totalmente diferente.

Ellos no tienen carga ni masa (no tienen masa en reposo, es una propiedad de las partículas viajando cerca de la velocidad de la luz). Estas partículas tienen un poder de penetración tremendo. La Tierra está constantemente bombardeada por neutrinos desde el espacio. Estos neutrinos tienen su origen en el interior del Sol y en estrellas distantes. La mayoría de los neutrinos pasan a través del planeta sin ser afectados. Se necesitan equipos muy sofisticados para detectarlos. Los detectores de neutrinos son colocados muy profundamente bajo tierra para bloquear todas las otras formas de radiación y así asegurase de que el equipo esté detectando neutrinos.

10.4 Decaimiento y vida media Las sustancias radiactivas pierden gradualmente su “potencia” a medida que pasa el tiempo. Los núcleos inestables decaen uno por uno. Algunas veces un núcleo inestable decae y se convierte en un núcleo estable (que no emite radiación) en un solo paso. En otros casos, un núcleo inestable cambia a otro núcleo inestable, el cual más tarde decae y se convierte en uno estable. Supongamos que tenemos una gran cantidad de núcleos radiactivos, y que medimos el periodo de tiempo que se requiere para que cada uno de los núcleos decaiga y entonces tomamos un promedio de todos los

el núcleo atómico

resultados. El tiempo de decaimiento promedio es llamado vida promedio y se simboliza con la letra griega “tau” ( τ ). Por otro lado, si tenemos una muestra inicial de un isótopo radiactivo, entonces el tiempo que le toma a la muestra en decaer o desintegrarse a la mitad se llama vida media. Este tiempo es característico para cada elemento y se representa por el símbolo t 1/2 . Una gráfica de decaimiento radiactivo siempre tiene una forma característica: empieza con un cierto valor y decrecen hasta cero. Algunas curvas de decaimiento decrecen rápidamente, y otras decrecen lentamente, pero la forma característica siempre es la misma y puede ser definida en términos de la vida media t1/2 . Supongamos que la intensidad de la radiación de una muestra se mide en t = 0. Después que ha pasado un tiempo t1/2 , la intensidad de la radiación decrece hasta la mitad. Después de otro lapso de tiempo t1/2 (tiempo total transcurrid 2t1/2 ), la intensidad baja hasta un cuarto del valor original. Si dejamos pasar otro tiempo de vida media t 1/2 (tiempo total transcurrido 3t1/2 ), la intensidad baja a un octavo del valor original. La figura 10.10 ilustra un ejemplo para el elemento radio 226 (226 88 Ra) cuya vida media es de 1620 años. Eso quiere decir que la mitad de cualquier muestra dada de radio 226 se convertirá en otros elementos cuando pasen 1620 años. A los 3240 años la intensidad de la radiación será de solo una cuarta parte de la original.

159

Vida media: una muestra radiactiva tiene la mitad de la radiactividad que tenía al principio.

Figura 10.10: Cada 1620 años la cantidad de sustancia radiactiva disminuye a la mitad.

10.5 Usos prácticos La radiactividad tienen numerosas aplicaciones de b eneficio en ciencia, industria y medicina. La aplicación más conocida es el reactor nuclear de fisión, el cual es usado para generar electricidad a gran escala. Los isótopos radiactivos son usados en medicina para ayudar al diagnóstico de enfermedades, localizar tumores dentro del cuerpo, medir tasas de metabolismo, y examinar la estructura de los órganos internos. Dosis


controladas de radiación son usadas para intentar destruir células cancerosas. En la industria, la radiación puede ser usada para medir las dimensiones de delgadísimas láminas de metal o plástico, para destruir bacterias y virus que puedan contaminar la comida consumida o manejada por personas, y para examinar equipaje con rayos X. Otras aplicaciones incluyen la irradiación de comida, equipaje y correo para proteger al publico de contra ataques biológicos. Los geólogos y biólogos usan fechamiento radiactivo para estimar la edad de fósiles y utensilios arqueológicos. El elemento más usado para este propósito es el carbono.2 Cuando un objeto es creado o un espécimen está vivo, se cree que existe una cierta proporción de átomos de 14 C entre la totalidad de átomos de carbono (toda cosa viviente el la Tierra contiene algo de carbono 14). Estos átomos de 14 C gradualmente decaen (decaimiento beta) a átomos de 12 C. Al medir la intensidad de la radiación y determinar la proporción de 14 C en las muestras, los antropólogos pueden tener una idea de la fecha de muerte de un espécimen.

El fechamiento por carbono-14 ha revelado que los dinosaurios desaparecieron casi completamente en un corto períodos de tiempo hace alrededor de 65 millones de años. La razón habría sido la caída de un gran meteorito o cometa en el golfo de México en ese tiempo. Se aprovecha el hecho de que las vidas medias de los elementos radiactivos no varían de acuerdo a las condiciones externas durante largos periodos de tiempo. 2

10.6 Transmutación de los elementos Cuando un núcleo emite una partícula alfa o una beta se forma un elemento distinto. A este cambio de un elemento químico en otro se le llama transmutación. Esta transmutación puede ocurrir en forma natural o artificial mediante experimentos. El uranio-238 es radiactivo y contiene 92 protones y 146 neutrones (92p+146n=238). Cuando este elemento se descompone, expulsa una partícula alfa y en el núcleo quedan dos protones menos y dos neutrones menos3 . Así que ahora quedan 90 protones y 144 neutrones. Este nuevo núcleo ya no es uranio, sino el núcleo de un elemento diferente: el torio. Esta reacción se expresa usando la notación de isótopos

234 Es resultado de la reacción nuclear es que el 238 92 U se transformó en 90 Th (torio-234) y una partícula alfa ( 42 He++ ). El torio-234 es radiactivo e inestable, y también se descompone, pero de una manera diferente; al decaer emite una partícula beta. 4 La reacción nuclear es la siguiente:

Aparte de la partícula beta, se produce el núcleo de protactinio Podemos observar que ahora el núcleo posee 91 protones (Z =

Pa. 91, un 234 91

Recordar que una partícula alfa es un núcleo de helio formado por dos protones y dos neutrones. 3

Una partícula beta es un electrón formado en el núcleo y no uno que pertenezca a la nube de electrones alrededor del núcleo. 4

el núcleo atómico 161

protón adicional) y 143 neutrones (un neutrón menos). Esto que puede parecer extraño, se puede explicar suponiendo que cuando se emite una partícula beta (electrón en este caso), un neutrón se transforma en protón (Fig. 10.11).

10.7 El uranio

Figura Figura 10 10.11 .11:: Un neutró neutrón n puede puede ser imaginado (¡pero no es cierto!) como compuesto de un electrón y un protón (la suma de las cargas es cero). Así cuando se emite una partícula beta (electrón), también se genera un protón.

El uranio (U) es un elemento metálico de color gris-plateado que es miembro de la serie de los actínidos (ver figura 10.5). Es el combustible básico para los reactores nucleares, pero también es usado en la fabricación de armas nucleares. El uranio que aparece en la tabla periódica tiene número atómico Z = 92, lo cual significa que hay 92 protones y 92 electrones en la estructura atómica. Como mencionamos anteriormente, el U-238 tiene 146 neutrones en el núcleo, pero el número de neutrones puede variar de 141 a 146. Ya que el uranio es radiactivo, está constantemente emitiendo partículas y transformándose en otros elementos. El uranio decae en una forma ya bien conocida (serie de decaimiento). El U-238 y el U-235 son los isótopos más conocidos del uranio. El uranio contiene contiene naturalmen naturalmente te todos los tres isótopos, U-238 (99.28 (99.28 %), U-235 (0.72%) y U-234 (0.0057%). La figura 10.12 del U-238 hasta llegar al plomo-206 estable. Figura 10.12: Cadena de decaimiento del U-238.

162 física general fmf-024 (2014) (2014)

10.8 Reacciones nucleares Una reacción nuclear ocurre cuando hay un cambio en la identidad o característica de un núcleo atómico. Este cambio puede ser inducido p or el bombardeo de un partícula con alta energía. Esta partícula puede ser una partícula alfa, un fotón de radiación gama, un neutrón, un protón o un ion pesado. La energía de esta partícula debe tener energía suficiente para aproximarse al núcleo cargado positivamente.. Una reacción nuclear típica involucra dos partículas que reaccionan, un núcleo pesado (el blanco) y una partícula que colisiona; como resultado se producen dos partículas, un núcleo pesado y una partícula más liviana que sale disparada.

10.8.1 Fisión nuclear La reacción nuclear más comúnmente usada para la generación de energía es la fisión la fisión nuclear. nuclear. La fisión nuclear es la división del núcleo atómico en partes (núcleos más livianos que el núcleo inicial y neutrones) por medio de la captura de un neutrón (Fig. 10.13). La fisión nuclear produce calor, porque si se suman todas las masas de los productos no se obtiene la masa inicial. Esa pérdida de masa es el calor y la radiación electromagnética producida durante la fisión, y se produce una gran cantidad de energía. La fisión produce neutrones los cuales pueden ser capturados por otros átomos para continuar la reacción (reacción e cadena) produciéndose más neutrones en cada paso (Fig. 10.14). Cuando una reacción alcanza una masa critica, la reacción continúa continúa en forma autosostenible (no es necesario seguir bombardeando con neutrones de forma externa). Si se generan demasiados neutrones, la reacción puede ser descontrolada y puede ocurrir una explosión. Para prevenir esto, se introducen unas varillas controladoras, las cuales absorben los neutrones extra. El uranium-235 es el combustible más común usado en la fisión. Figura 10.13: Fisión nuclear.

En el núcleo hay dos fuerzas luchando para mantener el equilibrio. Una es la fuerza nuclear fuerte que mantiene a los nucleones (protones y neutrones) juntos y la otra es la repulsión entre los protones. En la

el núcleo atómico 163

Figura 10.14: Fisión nuclear: reacción en cadena.

mayoría de los núcleos conocidos, predominan las fuerza nuclear fuerte . En los elementos radiactivos radiactivos la fuerza nuclear fuerte es menos dominante. un caso especial es el uranio donde el dominio de la fuerza nuclear fuerte es más débil que en otros elementos radiactivos. Ocurre que el uranio es muy sensible a las deformaciones, y si un protón impacta a un núcleo de uranio, la deformación del núcleo provoca que las fuerzas eléctricas de repulsión se vean incrementadas superando a la fuerza nuclear fuerte, entonces el núcleo se parte.

10.8.2 Fusión nuclear La fusión nuclear es otro método para producir energía nuclear. Por ejemplo, cuando dos elementos livianos como el tritio y el deuterio, son forzados a fundirse y formar helio y un neutrón. Para que suceda esta reacción de fusión, los núcleos de deuterio y tritio deben chocar a muy alta rapidez, para vencer la repulsión eléctrica mutua. Esta es la misma reacción que consume al sol y produce luz y calor. A diferencia de la fisión, la fusión produce menos energía, pero los componentes son mas abundantes y más baratos que el uranio. Al producirse la fisión se produce energía, y la mayor parte de esa energía es en forma de energía cinética de los fragmentos producidos. En especial los neutrones producidos pueden ser detenidos y capturados, la energía de fusión se convierte en calor.

La ffusió usión n que que ocurre ocurre en el el sol sol se llama llama fusión termonuclear, termonuclear, porque p orque las rapideces necesarias para alcanzar la fusión son equivalentes a la alta temperatura del sol.


Figura 10.15: La fusión nuclear es lo contrario de la fisión nuclear.

10.9 Equivalencia entre masa y energía Todos conocemos la famosa ecuación de Einstein

E = mc2 Esta ecuación nos da la equivalencia entre masa y energía y representa uno de las cualidades más asombrosas de la naturaleza. Ya hemos comprobado (centrales nucleares y bombas atómicas) que los átomos contienen una gran cantidad de energía. Para explicar en forma simple la ecuación de Einstein, podemos imaginarnos que la masa es “energía concentrada”, entonces si multiplicamos la masa por la velocidad de la luz, obtendremos una cifra grande, es decir, gran cantidad de energía. Mientras más pesado sea un átomo (Z grande), entonces mayor es la energía que contiene.

Apéndice A Exactitud y precisión Ahora abordaremos dos términos muy comunes pero raras veces debidamente usados, estos son exactitud y precisión, ambos términos muy importantes en la ciencia. El ejemplo más clásico, es lanzar dardos en un tablero. Si lanzamos dardos que caen cerca del centro (máxima puntuación, o en este caso, el valor verdadero, para fines científicos) estaríamos hablando de una medición exacta, esto es, que el valor de la medición es cercano al valor real.

Medida exacta imprecisa En la figura 10.16, podemos ver que todos los puntos están cercanos al centro, no obstante, no están reunidos, sino que dispersos en forma aleatoria en torno a este. Aquí entra en juego nuestro segundo término, la precisión. Cuando hablamos de precisión, hacemos referencia a cuan agrupados estén los datos, mientras más dispersos, menor será la precisión, como se ve en la figura precedente, que es una medición exacta pero poco precisa.

Figura 10.16: Medida exacta imprecisa .

Medida precisa inexacta Luego, podríamos enfocarnos en la precisión. En la figura 10.17 vemos que todos los puntos se encuentran cercanos entre si, agrupados y por ende con una dispersión baja, no obstante, muy alejados del valor central (real), este sería un ejemplo de una medición precisa pero poco exacta.

Figura 10.17: Medida precisa inexacta.

Medida precisa exacta La figura 10.18 nos presenta un caso ideal para un científico experimental. En este caso, los puntos están agrupados, con una dispersión muy baja y todos en el centro (valor real); este sería el caso de una medición precisa y exacta.

Medida imprecisa inexacta

Figura 10.18: Medida precisa exacta.

Este último caso que presenta la figura 10.19 sería una medición imprecisa e inexacta, sería el peor escenario, es decir, sería una medición carente de cualquier valor.

Tratamiento del error De los dos conceptos, precisión y exactitud, proviene el tratamiento del error de las mediciones. Podemos clasificar los errores en dos tipos fun-

Figura 10.19: Medida imprecisa inexacta.


damentales, errores sistemáticos y errores aleatorios. Los errores sistemáticos, afectan la exactitud de las mediciones

y es posible corregirlos mediante el uso de patrones primarios, 5 es decir, de elementos que sean usados como un referente de medición y contra los cuales se contrasta, para poder corregir. Las balanzas por ejemplo, son calibradas mediante patrones de masa, que son pesas de una masa exacta y hechas de un material que es altamente resistente a factores ambientales, por ende, es poco probable que su masa se vea alterada, así entonces, son usados para calibrar las balanzas. Calibración es el proceso mediante el cual se mejora la exactitud de una medida. Los errores aleatorios, pueden tener múltiples causas, es difícil

trabajar con ellos y usualmente se busca reducir el número de variables para poder reducir este tipo de error. Corrientes de aire, distracciones, problemas de visión, etc. son solo algunos de los posibles causantes de este tipo de error el cual afecta directamente la precisión de la medida, es decir, provoca que los datos resulten más dispersos. Para poder reducir el efecto de los errores, el científico experimental usa una serie de herramientas que le permiten determinar la validez de sus datos y por ende, tener una certeza del rango en el cual estos son válidos. Técnicas como la regresión lineal, la t de student , el ji cuadrado y otros son las que usan, dependiendo de las necesidades y tipo de parámetro medido, las más usadas en ciencia. ¿Por que se realiza esto?

Simple, porque la validez del estudio queda comprometida, por ejemplo, si en una empresa farmacéutica, comete un error en la preparación de un medicamento, esto puede traer graves consecuencias en la salud de quienes lo consuman, por ende, se establecen rigurosos controles de calidad, se aplican análisis a los productos y los resultados de estos análisis son tratados mediante diferentes técnicas estadísticas para p oder concluir que la calidad del producto es la óptima para su comercialización. en resumen: exactitud y precisión son los dos parámetros funda-

mentales a considerar en una medición, son los que caracterizan los valores obtenidos, poniéndolos en un contexto que permita juzgar la calidad de estos.

Estos errores se repiten constantemente a lo largo del experimento. Son errores en el sentido de una equivocación, no de una incerteza. 5

Índice alfabético ángulo de refracción, 129

efecto Doppler, 123

átomo, 80, 143

efecto fotoeléctrico, 154

índice de refracción, 129

eje principal, 138

lente convergente, 138

electricidad, 79

lente divergente, 138

electrostática, 79

lentes, 138

energía, 53

lentes delgadas, 140

energía cinética, 56

ley de Coulomb, 85

energía potencial, 56

ley de Inercia, 21

energía potencial eléctrica, 91

ley de la conservación de la

aceleración, 30 aceleración de gravedad, 34 aisladores, 82 Aristóteles, 15 Aristarco de Samos, 13

equilibrio mecánico, 23

Kelvin, 64

energía, 59

Eratóstenes, 12

ley de Ohm, 101

caída de potencial, 103

errores aleatorios, 166

lineas de campo, 89

caída libre, 34

errores sistemáticos, 166

lineas de fuerza, 89

calor, 63

escalar, 28

luz visible, 120

calor específico, 71

espectro electromagnético, 120

calor latente, 73

espejo divergente, 136

método científico, 15

cambios de estado, 73

espejos cóncavos, 133

masa atómica, 155

capacidad calorífica, 71

espejos convexos, 136

medición, 10

carga de prueba, 87

espejos planos, 131

medición exacta, 165

carga eléctrica, 79

expansión térmica, 69

medida exacta imprecisa, 165

carga fundamental, 81 Celsius, 64 centro de gravedad, 24 centro de masa, 24 cero absoluto, 65 ciencia, 9 circuito eléctrico, 95 circuito externo, 95 circuito interno, 95 conducción, 75, 83 conductividad térmica, 76 conductores, 82 conservación de la carga, 81 convección, 75 cuantización de la carga, 80,

medida imprecisa inexacta, 21, Fahrenheit, 64 falacias, 18

medida precisa exacta, 165

fisión nuclear, 155, 162

medida precisa inexacta, 165

fotón, 147

modelo atómico de Bohr, 146

fricción, 83

modelo atómico de Dalton, 144

fricción de deslizamiento, 42

modelo atómico de Rutherford,

fricción estática, 42

modelo atómico de Thomson, 144

fuerza neta, 23

modelo heliocéntrico, 9

fuerza normal, 23

movimiento amortiguado, 108

fuerza nuclear fuerte, 163

movimiento armónico simple,

fuerza retardadora, 109 fusión nuclear, 155, 163

Galileo, 15

decaimiento, 158

145

fuerza de fricción, 41

146

Dalton, 144

165

M.A.S., 105 movimiento relativo, 22 núcleo, 143 núcleo atómico, 80, 155 número cuántico, 150

hipótesis, 16

neutrón, 80, 143 Newton, 21

desintegración, 157 desplazamiento, 28

imagen real, 134

nivele de energía, 152

deuterio, 163

imagen virtual, 131

nodo, 119

diagrama de cuerpo libre, 49

inducción, 83

nube electrónica, 153

diferencia de energía potencial

inercia, 43 interacción nuclear fuerte, 155

onda, 105

diferencia de potencial, 93

eléctrica, 91

interferencia, 117

onda estacionaria, 118

difracción, 115

interferencia constructiva, 117

onda viajera, 118

dispersión, 122

interferencia destructiva, 117

ondas electromagnéticas, 111,

dualidad onda-partícula, 152

isótopo, 155

120

FisicaGeneral 024 Texto Guia

Recommend Documents