1
2
3
4
Es una una cien cienci cia a fund fundam amen enta tall que que estu estudi dia a y escr escrib ibe e el comp compor orta tami mien ento to de los los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas físicas basadas basadas en leyes fundamentale fundamentales, s, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Esta Estass leye leyess físi física cass se expr expres esan an en leng lengua uaje je mate matemá mátitico co,, por por lo que que para para ente entend nder er sin sin inco inconv nven enie ient ntes es el trat tratam amie ient nto o del del form formal alis ismo mo teór teóric ico o de los los fenómenos físicos se debe tener una apropiada formación en matemáticas, en este curso basta un nivel básico de matemáticas.
Magnitudes Físicas Magnitudes escalares: Se denominan así a aquellas magnitudes que se representan por una cantidad y una unidad. Las magnitudes escalares carecen de dirección.
Magnitudes vectoriales: Las magnitudes vectoriales poseen un tamaño (módulo) y una dirección (ángulo que forma con el eje “x” positivo).
En matemáticas, el vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección al mism mismo o tiem tiempo po.. Los Los vect vector ores es se repr repres esen enta tan n norm normal alme ment nte e como como segm segmen ento toss rectil rectilíne íneos os orient orientado ados. s. El vector vector OP del del diag diagra rama ma que que se mues muestr tra a pode podemo moss escribir como el vector A ó A . Los elementos de un vector son:
Origen o punto de aplicación “O”, es el punto de partida del vector. Extremo del vector, el punto “P”. 5
Dirección del vector “ α”, es el ángulo que forma el vector con el eje “x” positivo y se mide positivo en sentido antihorario. Módulo o magnitud del vector , es la longitud o el tamaño del vector y es una magnitud escalar. El módulo del vector A, es: IAI A Línea de acción Módulo o a nitud
P A
dirección
O
NOTA: Se lee: A : Vector “A”;
A
Punto de aplicación
A : Módulo del vector “A”
OPERACIONES CON VECTORES. A) ADICIÓN DE VECTORES: Para ara suma sumarr dos o más más vec vector tores es nece ecesari sario o col coloca ocar los los vect ectore ores uno uno a continuación del otro y el vector resultante se traza del origen del primer vector al extremo del último. S
→
R
→
B
R
A B
→
P
Q
El método anterior se denomina método del triángulo para la suma de dos vectores. El método método del paralelog paralelogramo ramo para la suma de dos vectores se muestra a continuación. B R
A α
A 1
α
B 6
R
A B
Ley de cosenos para la adición de dos vectores: Si: R A B , del triángulo sombreado (1) de la figura anterior.
R2
A2
B2
2 A.B. cos
B) DIFERENCIA DE DOS VECTORES: Negativo de un vector: El vector negativo de cualquier vector tiene la misma longitud que el vector dado pero de dirección opuesta, como muestra la figura.
B
B
( B)
De la figura figura se observa observa que:
B
ó
B ( B) 0
también:
Definición de la diferencia de dos vectores: Para determinar el vector resultante D de la diferencia de dos vectores A y B, se determina le vector negativo B del vector B, luego se grafican los vectores y B uno a continuación del otro.
B α
2
A
A
D
B
B
Ley de cosenos para la diferencia de dos vectores: Del triángulo sombreado (2), para D
D2
A B.
A2 B2 2AB cos 7
D A B A ( B )
α
α
Resultante máxima de dos vectores. El módulo de la resultante de dos vectores cuyos módulos son “A” y “B”, varía entre “A + B” y “A - B” (A > B). Observamos que la resultante máxima sería “A + B”, pero analicemos, ¿para qué ángu ángulo lo “α” entr entre e los los vect vecto ores res ocur ocurrre esto esto? ? Es fácil ácil darno arnoss cuen cuenta ta que que la resu resultltan ante te será será máxi máxima ma cuan cuando do los los vect vector ores es sean sean para parale lelo loss y en la mism misma a dirección, entonces α = 0º.
Rmáxima = A + B Resultante mínima de dos vectores: La menor longitud para la resultante de dos vectores ocurre cuando éstos son paralelos y en direcciones opuestas, es decir, el ángulo que forman los vectores es α = 180º.
Rmínima = A – B VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES: RECTANGULARES: En un plano cartesiano se definen los vectores unitarios rectangulares tienen la dirección “+x” y “+y”, respectivamente y se tiene que:
y , que
y
jˆ ˆi
1 1
ˆ
1
ˆi
ˆ
x
O
ˆi
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR Si la dirección dirección del vector vector es “ ”, los módulos de sus componentes determinamos a partir del triángulo rectángulo sombreado y utilizando las razones trigonométricas. y Ay
A
Ay
jˆ x
α ˆi
Ax 8
A x A
cos A x A. A .cos ;
A y A
sen Ay A.sen
Pero:
A x A y A x.iˆ A y.jˆ A.cos .iˆ A.sen.ˆj
En forma de par ordenado: (A x ; A y ) (A.co .cos ; A.sen )
Conoci Conocidas das los compon component entes es del vector vector se determ determina ina la direcc dirección ión " " por la siguiente relación: tan
Para Para dete determ rmin inar ar el módu módulo lo del del vect vector or dado dadoss los los comp compon onen ente tes, s, apl aplicam icamos os el Teorema de Pitágoras: A A x2 A 2y
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR EN TRES DIMENSIONES z
Az
A ˆ k α
Ax
iˆ
θ
β
Ay
y
ˆj
x
COSENOS DIRECTORES: x
A x A.cos cos
A y A.cos cos
A
A z A.cos cos
A x A y A z A.cos .iˆ A.cos .ˆj A.cos .kˆ
Para hallar el módulo de
:
A 2 A y2 A z2 9
A A
DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN DOS EJES NO RECTANGULARES Dado ado el vect vector or y los los ejes ejes no car carttesia esiano noss “m” “m” y “n” “n” que for forma man n entr entre e sí el ángu ángulo lo (180 (180ºº - θ). Para det determinar las las com componentes del del vec vector en las las direcciones de los ejes “m” y “n”, aplicamos el método del paralelogramo y luego hallamos los módulos por la “Ley de Senos”. n β
A
An
θ
α
θ
An
Am
Se cumple que:
m
A An
Por la Ley de Senos en el triángulo sombreado, se tiene:
Am A n en sen sen Luego:
Am
sen .A sen
y
An
10
sen .A sen
PROBLEMAS 01. 01.
Dos Dos vect vector ores es pose poseen en una una resu resultltan ante te máxi máxima ma de 15 u y una una resu resultltan ante te mínima de 3 u. Determine el módulo del vector componente de menor longitud. A) 3 u D) 8 u
02.
B) 5 u E) 8 u
C) 6 u
B) 3 u C) E) 12
6 3u
Qué Qué ángu ángulo lo debe deben n form formar ar dos dos vect vector ores es de igual igual long longititud ud,, para para que que su resultante también tenga la misma longitud que uno de ellos. A) 30º D) 60º
06. 06.
C) 12 u
Dados Dados dos dos vectore vectoress de igual igual módulo módulo,, se observa observa que que el vector vector resulta resultante nte mide 12 3 u. Determine el módulo de uno de los vectores, sabiendo que forma 30º con el vector resultante. A) 6 D) 8
05. 05.
B) 8 u E) 21 u
Dos Dos vecto vectore ress cuyos cuyos módu módulo loss son 3 u y 5 u, forma forman n entre entre sí un áng ángul ulo o de 60º. ¿Cuál es el módulo de la resultante de dichos vectores? A) 4 u D) 7 u
04.
C) 6 u
Las resu resultlta ante ntes máxi máxima ma y mín mínima ima de dos dos vect vecto ores res mid miden 17 u y 7 u. Determine el módulo del vector resultante cuando dichos vectores forman 90º entre sí. A) 7 u D) 13 u
03. 03.
B) 5 u E) 9 u
B) 37º E) 120º
C) 45º
La resu resultltan ante te de dos dos vecto vectore ress de 6 u y 10 u, u, es 14 u; deter determi mine ne el ángu ángulo lo que forman dichos vectores. A) 30º D) 60º
B) 37º E) 90º 11
C) 45º
07.
B A B ; dete determ rmin ine e el ángu ángulo lo que que form forman an los los
Si se cumple que
vectores
y B.
A) 30º D) 90º 08.
B) 45º E) 180º
Los vect ectore ores A 3; 4 u sí? A) 53º D) 67º
09.
C) 63º
Dados ados los los vvec ecto torres (5; 3) u y B ( 2; 7) u, determine el ángulo que forma el vector resultante con la horizontal. B) 37º E) 60º
C) 45º
Dos vector vectores es de 6 u y 10 u form forman an entre entre sí un ángu ángulo lo de 53º. 53º. Determ Determine ine el el módulo del vector diferencia. B) 6 u E) 12 u
C) 8 u
Determine Determine el módulo módulo del del vector vector result resultante ante en el sistema sistema adjunto adjunto.. A) 3 m B) 4 m C) 5 m D) 6 m E) 7 m
12.
B 3; 3 3 u, ¿qué ángulo forman entre
A) 4 u D) 10 u 11.
B) 60º 60 º E) 73º
A) 30º D) 53º 10.
C) 60º
5m 3m
7m
2m
De los vector vectores es que se muestr muestran an encuen encuentre tre resultante. A) 25 → B) 24 ← C) 1 ← D) 49 → E) 49 ←
u
→
→
B
u
12
8 A 5B
y la dirección del vector
13.
Dados Dados llos os vectores vectores de la figura, figura, determine determine la resultant resultante e mínima. mínima. A) 1 → B) 3 ← C) 4 → D) 3 ← E) 5 ←
14.
2u →
B
→
u u
→
C
En el sistem sistema a vectoria vectoriall de la figura figura,, halle halle el el módulo módulo del del vector vector resultant resultante. e. y 1
A) 0 B) 1 u C) 2 u D) 3 u E) 4 u 15.
x
-1
4 cm cm
El módulo módulo de la result resultant ante e de los vector vectores es que que se muestr muestran, an, es: A) 2 3 cm B) 0 C) 2 cm D) 3 cm E) 4 cm
17.
2
Halle Halle el el módulo módulo de la resultant resultante e de los vectore vectoress que que se muestran. muestran. A) 8 cm B) 2 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 11 cm
16.
1
Se tiene dos vectores
2 cm 2 cm →
C
→
B
y B, donde donde se cumple cumple
A B . Determinar el ángulo que forman ambos vectores.
A) 150º D) 120º
B) 30º E) 53º 13
B 2 A B , siendo
C) 60º
18.
En el cuadrado cuadrado mostrado, mostrado, determine determine el módulo módulo del del vvecto ectorr resultan resultante. te. A) 2 u B) 2 u C) 4 u D) 5 u E) 6 u
19.
2u
Determ Determine ine la expres expresión ión vector vectorial ial de x en términos de A y B. (2(MN) = 3(MP)) A) A B B) (3A B) / 5 3 A 2B / 5 C) 3A 2 A 3B / 5 D) 2A E) (A 4B) / 5
B
20.
M
N
Dados Dados los vecto vectores res dispu dispuest estos os en el siguie siguiente nte paral paralelo elogra gramo, mo, determ determine ine el módulo del vector resultante. A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E)
21. 21.
P
1
1
1
1
1 1 5
1
60°
En el sigu siguie ient nte e sist sistem ema a de vect vector ores es x mA nB. Luego Luego m +n es igual igual a: (G: baricentro). A) 0,5 B) 0,4 C) 1/6 D) 4/3 E) 1/3
G
x
14
22.
Dados Dados los vector vectores es en el siguie siguiente nte rectán rectángul gulo, o, determ determine ine y B. A) B) C) D) E)
23.
(A B) /
( 4 A B) / 6
(A 4B) / 6
( A 3B) / 6
z
10 10 5 7 8 5 7
y
Dado Dadoss los los vect vector ores es vector resultante de A) D)
25.
(A B) / 3
Determine Determine el módulo módulo del vector vector resultant resultante, e, si la arista arista del cubo mide 4 m. A) B) C) D) E)
24. 24.
en términ términos os de
A ( 2; 2;0 ); B ( 0; 2; 2 ) A
y C (2 ;0; 2). Determine Determine el modulo modulo del
B C.
B) E)
3 2
C)
3 2
2 2
Del conj conjunt unto o de vectore vectoress mostrad mostrados, os, hallar hallar el módul módulo o de vector vector resulta resultante nte (la figura es un cubo de arista igual a 2 u) A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
26. 26.
Dado Dadoss los los vect vector ores es de la figu figura ra,, exp expre rese se
en func funció ión n de de los los vect vecto ores res A y
B.
A) B) C) D) E)
(16 A 9B) / 25
20°
( A 3B) / 56
3
(16 A 9B) / 200
17°
4
(16 A 9B) / 40
x
(16 A 9B) / 80 B 15
La cine cinemá mátitica ca se ocup ocupa a de la desc descri ripc pció ión n del del movi movimi mien ento to de los los cuer cuerpo poss o partículas sin tener en cuenta las causas que producen dicho movimiento. Las descripciones modernas del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza. La masa y la fuerza están relacionadas con las causas que producen el movimiento y en cinemática aun no nos importa.
Movimiento y desplazamiento El movimiento es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcurso del tiempo. El móvil de la figura se encuentra en movimiento a lo largo del eje “x”. Sistema de referencia
to
t f t
O
xo
t f t o d
x f x o
x f
En la figura, el desplazamiento (d x f xo ) del móvil es la variación variación de la posición "x" en el intervalo de tiempo t t t o "
El desplazamiento ( s r ) Se defi define ne como como el camb cambio io de posi posici ción ón de una una part partíc ícul ula a en el espa espaci cio. o. Es inde indepe pend ndie ient nte e de la tray trayec ecto tori ria a que que se siga siga para para camb cambia iarr de posi posici ción ón.. Para Para determinarlo se debe conocer la posición inicial ro y final rf de la partícula.
16
r r ro ( x f x o ) ( y f y o )
La distancia es la longitud del desplazamiento que realiza el móvil. La longitud de la trayectoria recorrida “L” es la medida de la longitud de la figura geométrica descrita por el móvil y es una magnitud escalar.
Velocidad
( v)
Es una magnitud vectorial que se define como la variación de la posición de un cuerpo en cada unidad de tiempo.
Velocidad media
( vm )
Es la medida del desplazamient desplazamiento o de un móvil en un intervalo intervalo de tiempo y viene dada por la siguiente ecuación:
vm
t
d t
t tf t0 intervalo de tiem o
zamien to to Donde: x f x 0 d despla za t o : tiempo inicial; t f : tiempo final
La unidad de la velocidad en el S. I. es (m/s).
Velocidad instantánea
(v)
La velocidad de un móvil en realidad no permanece constante ni varía uniformemente, en forma general y si deseamos conocer la velocidad que posee en un determinado punto de su trayectoria o un instante dado, el intervalo de tiempo t se hace muy pequeño o tiende a cero y la velocidad será instantánea. Matemáticamente tenemos: v L im
t 0
dx dt
En una gráfica posición en función del tiempo, la pendiente de la curva en cualquier instante “t” es la velocidad instantánea para el instante “t”.
17
Rapidez media (v m) Se define la rapidez media como la longitud de la trayectoria que recorre un móvil en cada unidad de tiempo. vm
L long longititud ud de tray trayec ecto tori ria a inte interv rval alo o de tie tiempo mpo
Si un móvil realiza algún movimiento, la longitud de la trayectoria tendrá un valor (siempre positivo), pero el desplazamiento depende de la posición inicial y final del móvil, esto indica que el desplazamiento puede ser positivo, negativo o nulo.
Acelera Ace leración ción y aceleración aceleración media ( a ) Si la velocidad de un móvil varía, esto debe entenderse tanto en dirección como en módulo, existe una magnitud que verifica la variación de la velocidad por unidad de tiempo y la denominamos “aceleración”. La aceleración media, es la magnitud vectorial que mide la variación de la velocidad v de un móvil en un determinado intervalo de tiempo t .
v vo t to
a
Donde v o : velocidad v f : velocidad final inicial : ntervalo de iempo La unidad de la aceleración en el S. I. es el m/s 2 .
Aceleración instantánea ( a ) Si la variación de la velocidad de un móvil no es constante, entonces la aceleración de dicho móvil no es constante. La aceleración instantánea de un móvil es la variación de la velocidad en un determinado instante o cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero.
dv d 2x a Lim dt dt 2 t 0 t
En una gráfica de la velocidad en función del tiempo, la pendiente de la curva en cualquier instante “t” es la aceleración instantánea para “t”. 18
El caso especial del movimiento de una partícula se analiza cuando se desplaza en una trayectoria rectilínea y con rapidez constante. Si la dirección del movimiento se mantiene constante, también la velocidad permanece constante y no existe aceleración, el móvil realiza desplazamientos iguales en iguales intervalos intervalos de tiempo. tiempo. El módulo de la velocidad velocidad o la rapidez rapidez en el movimiento movimiento rectilíneo rectilíneo uniforme uniforme indica la tasa de distancia distancia recorrida recorrida por unidad de tiempo. tiempo. Por ejemplo un móvil que posee rapidez constante de 4 m/s, recorre 4 m cada segundo, 8 m en 2 segundos, 12 m en 3 segundos, etc. 1s 4 m/s
1s
1s
4 m/ s 4m
1s
4 m/s 4m
4 m/s 4m
1s 4 m/s
4m
4 m/s 4m
La velocidad instantánea y la velocidad media son iguales, por lo tanto la ecuación de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme es:
v
t
d distanci ncia t tiempo
v
v d
A) Tiempo de encuentro (t e) Consideremos dos móviles separadas una distancia “d s” que se desplazan por la misma vía rectilínea con rapideces constantes “ v 1” y “v 2” y hacia el encuentro. El tiempo de encuentro “t e” transcurre igual para ambos móviles hasta que éstos se encuentran o se cruzan o colisionan. te 1
v1
te P ds
te
ds v1 v 2 19
v2
2
B) Tiempo de alcance (t a ) Determinaremos el tiempo que tarda un móvil de mayor rapidez en alcanzar a otro que posee menor rapidez y que se mueve en la misma dirección. El tiempo “ta ” que tarda el móvil (1) de la figura en alcanzar al móvil (2), se denomina tiempo de alcance y se determina con la siguiente ecuación:
1
ta
v1
2
v2
P ta
ds
ta
ds 1 v2
Para que el móvil (1) alcance al móvil (2), debe cumplir que v1 v2 .
OBSERVACIÓN: Para el tiempo de encuentro encuentro,, las velocidades velocidades se suman y para el tiempo de alcance, se restan. Cuando las velocidades tienen direcciones opuestas se suman y cuando tienen la misma dirección se restan.
20
PROBLEMAS 01.
Un ciem ciempié piéss tiene tiene una una longit longitud ud de 20 20 cm y se mueve mueve en en línea línea rect recta a a razón razón de 4 cm/s. ¿Cuánto tiempo tardará en cruzar un pequeño túnel de 60 cm de longitud? A) 5 s D) 20 s
02.
B) 15 s E) 24 s
C) 16 s
Una partíc partícula ula que que reali realiza za M. R. R. U. en en dos dos segun segundos dos avanz avanza a x 6)m y en tres segundos, avanza (x 9)m. Determine la distancia “x” y la distancia que recorre la partícula en diez segundos. A) (0; 5) m D) (4; 20) m
B) (2; 10) m E) (0; 30) m
C) (2; 15) m
03. 03.
La seño señori rita ta Patty Patty tarda tarda 10 s en ir de “P” “P” hacia hacia “Q” con rapi rapide dezz const constan ante te “v”. Determine el tiempo que tarda en ir de “P” hasta “R”. A) 13 s B) 14 s C) 15 s 190 m Q 76 m R P D) 16 s E) 18 s
04.
Un tren tren de 200 200 m de largo largo tard tarda a 18 s para para pasar pasar dela delante nte de de una estac estación ión,, ¿cuál es la longitud de la estación, si la rapidez del tren es de 72 km/h? A) 80 m D) 200 m
05. 05.
C) 180 m
Dos Dos autos autos viaja viajan n en la misma misma direcc direcció ión n con rapid rapidec eces es const constan ante tess de 70 km/h y 90 km/h. En cierto instante, el menos rápido está ubicado 70 km delante del más rápido; el tiempo que tarda el más rápido en alcanzar al más lento, es: A) 1,5 h D) 4,5 h
06.
B) 160 m E) 210 m
B) 2,5 h E) 5,5 h
C) 3,5 h
Un atle atleta ta con con velo veloccida idad con consta stante nte, cubr cubre e cie cierta rta dis distan tancia cia en 10 s. Si aumentara su rapidez en 2 m/s esta misma distancia será cubierta en 6 s. Determine la rapidez “v” del atleta. A) 2 m/s D) 5 m/s
B) 3 m/s E) 6 m/s
C) 4 m/s 21
07. 07.
Dos Dos trene treness de 50 m y 70 m de long longititud ud,, respe respect ctiv ivam amen ente te,, viaj viajan an en vías vías paralelas. Si van uno al encuentro del otro con rapideces constantes V y 2V, resp respe ectiv ctivam amen ente te y emp emplea lean 4 s para para cruz cruza arse rse compl omple etame tamen nte; te; determine V (considere M. R. U. para los trenes) A) 10 m/s D) 40 m/s
08.
x
B
B) 90 m/s E) 120 m/s
C) 100 m/s
Un alu alumn mno o de 1,8 1,8 m de esta estatu tura ra se muev mueve e desc descri ribi bien endo do un M. R. U. a razón de 2 m/s y pasa por debajo de un foco que se ubica a 3,6 m del piso. Determine la rapidez con la que crece la sombra del alumno. A) 2 m/s D) 8 m/s
11.
50 m A
Un auto auto que desc descri ribe be un M. R. U. se alej aleja a perp perpen endi dicu cula larm rmen ente te de una una pared con una rapidez de 20 m/s, si luego de 0,5 s de haber tocado la bocina el conductor escucha el eco de sonido producido por la bocina; dete etermin rmine e a qué qué dis distan tancia cia se enc encuent uentrra el aut auto del mur muro cuan cuand do el s) conductor escucha el eco. ( v sonido 340 m / s) A) 80 m/s D) 110 m/s
10. 10.
C) 30 m/s
Sixto Sixto viaja viaja en bicicl bicicleta eta con con velocid velocidad ad consta constante nte de 5 m/s hacia hacia la dere derecha cha,, tal tal como como se mues muestr tra. a. Si lueg luego o de 30 s a part partir ir del del inst instan ante te most mostra rado do equidista de dos señoritas ubicadas en los puntos “A” y “B”, determine la distancia que separa a las señoritas. A) 50 m B) 75 m C) 100 m D) 150 m E) 200 m
09. 09.
B) 20 m/s E) 120 m/s
B) 4 m/s E) 10 m/s
C) 6 m/s
Un tren de 64 m de longitud que que realiza M. R. U.; se mantiene completamente en el interior de un túnel de 160 m de longitud, durante 12 s. Determine la rapidez del tren. A) 3,5 s D) 5 s
B) 4 s E) 8 s
C) 4,5 s 22
12. 12.
Dos Dos part partíc ícul ulas as que reali realiza zan n M. R. U. sigue siguen n tray trayec ecto tori rias as que forma forman n 60º 60º entre sí y cuya intersección es P, una de ellas con una rapidez de 4 m/s y la otra, con 8 m/s. Si en un determinado instante se encuentran a 4 m y 16 m dir dirigié igiénd ndo ose a P; det determi ermin ne la dista istanc ncia ia de sepa separraci ación entr ntre las las partículas, luego de 3 s. A) 4 m D) 10 m
13.
C) 8 m
Dos auto autoss que se se desplaz desplazan an por vías vías para paralel lelas as y hacia hacia el encue encuentr ntro o están están separadas 70 m, poseen rapideces constantes de 3 m/s y “v”. Si al cabo de 10 s los autos se encuentran separados 30 m por segunda vez; determine la rapidez “v”. A) 6 m/s D) 10 m/s
14. 14.
B) 6 m E) 12 m
B) 7 m/s E) 11 m/s
C) 9 m/s
Si la par partí tícu cula la se desp despla laza za reali realiza zand ndo o M. R. U. y de A hasta hasta B tarda tarda 10 s; determine la rapidez con la que se desplaza si 1 2A 2; AC 15m. A) 0,5 m/s B) 1 m/s C) 2 m/s D) 2,5 m/s E) 3 m/s
D
y A3
C A2
B v A1
x A
15.
Un auto auto se diri dirige ge a un muro muro reali realizan zando do M. R. U. U. en forma forma perpe perpendi ndicul cular. ar. Si Si luego de 0,5 s de haberse tocado la bocina, el conductor escucha el eco del sonido originado por la bocina y a 80 m del muro; ¿con qué rapidez se mueve el auto? ( vSONIDO 340m / s) A) 10 m/s D) 20 m/s
B) 15 m/s E) 22 m/s
C) 18 m/s
23
Para un móvil que se desplaza por una trayectoria rectilínea, si la rapidez varía uniformemente, existe aceleración que permanece constante en módulo y dirección. En el M. R. U. V., la velocidad varía uniformemente en módulo (rapidez), pero su dirección permanece constante y la aceleración siempre tendrá dirección paralela a la velocidad. a
a
Movimiento acelerado
Movimiento desacelerado
La aceleración es la variación de la rapidez en cada unidad de tiempo y en el movimiento rectilíneo uniformemente variado la aceleración media y la aceleración instantánea son iguales.
vo v a t to
Ecuaciones del M. R. U. V.: Para el movimiento rectilíneo uniformemente variado se tiene las siguientes ecuaciones. v0
v f a d
t v f v0 a. t ………………………………….. (1) v f 2 v0 2 2a.d ……………………………… ……………………………… (2) 1 d v 0 .t a.t 2 ………………………………. (3) 2 v v d ( 0 f ).t ……………………………….. ……………………………….. (4) 2 1 d n v 0 a (2 n 1 ) ………………………….. (5) 2
Donde: v0: velocidad inicial; v f : velocidad velocidad final; final; d: distanci distancia a 24
t: tiempo tiempo;; a: aceleraci aceleración; ón; n: n-ésimo n-ésimo tiempo tiempo.. dn: distancia distancia que recorre el móvil en el n-ésimo tiempo.
Análisis del M .R. U. V. Para un móvil que parte del reposo y posee aceleración constante a = 6 m/s 2, realizamos el análisis del movimiento para cada segundo de su movimiento. 6 m/s
vo = 0 d1 3m
12 m/s d 2 9 m
18 m/s
24 m/s
d 3 15 m
d 4 21m
1k
3k
5k
7k
1s
1s
1s
1s
d1 d d d dn 2 3 4 ... 1 3 5 7 2n 1
PROBLEMAS 25
01.
Un autom automóvi óvill que desarr desarroll olla a un movimi movimient ento o rectilín rectilíneo, eo, en 10 10 s increme incrementa nta unifor uniformem mement ente e su rapide rapidezz de 12,5 m/s a 72,5 72,5 m/s. Hallar Hallar la aceler aceleraci ación ón que experimenta dicho automóvil. A) 12 m/s 2 D) 3,5 m/s 2
02. 02.
B) 84 m E) 120 m
C) 96 m
B) 28 m E) 40 m
C) 30 m
Un cuerp cuerpo o desa desarr rrol olla la un MRUV MRUV dismi disminu nuye yend ndo o su rapid rapidez ez.. Si en el últi último mo segu segund ndo o de su movi movimi mien ento to reco recorr rre e 3 m; dete determ rmin ine e su reco recorr rrid ido o en los los últimos 3 s de su movimiento. A) 9 m D) 36 m
06. 06.
C) 10 m; 18 m
Un móvi móvill que que parte parte del del reposo reposo con con M. R. U. U. V. reco recorre rre 20 m en los los prime primeros ros “2t” segundos. Determine la distancia que recorre en el tercer “t” segundo. A) 25 m D) 36 m
05. 05.
B) 6 m; 80 m E) 18 m; 50 m
El auto auto del del direct director or parte parte del del reposo reposo con con acelerac aceleración ión const constante, ante, recorriend recorriendo o 8 m en los primeros “t” segundos. Determine la distancia que recorre en los siguientes “3t” segundos. A) 72 m D) 108 m
04.
C) 6 m/s 2
Un auto auto inici inicia a su movimi movimien ento to incre increme ment ntan ando do su rapid rapidez ez a razón razón de 4 m/s m/s en cada segundo; determine su recorrido en el tercer y quinto segundo de su movimiento. A) 6 m; 14 m D) 14 m; 12 m
03.
B) 8 m/s 2 E) 3 m/s2
B) 18 m E) 48 m
C) 27 m
Un cami camión ón que que descr describ ibe e M. R. U. con con 10 m/s pasa pasa por el cost costad ado o de un auto automó móvi vill dete deteni nido do,, lueg luego o de 5 s el auto automo movi vililist sta a deci decide de alca alcanz nzar ar al camión camión,, entonc entonces es inicia inicia su movimi movimient ento o con aceler aceleraci ación ón consta constante nte de 8 2 m/s ; luego de cuántos segundos desde que partió logra su objetivo. A) 2 s D) 4 s
B) 2,5 s E) 5 s
C) 3 s
26
07.
Un joven joven empieza empieza a deslizar deslizar por por un un tobogán tobogán con una aceler aceleració ación n constan constante te 2 de módu módulo lo 0,8 0,8 m/s m/s , el desc descen enso so dura dura 3 s. Dete Determ rmine ine la long longititud ud del del tobogán. A) 3,2 m D) 3,8 m
08.
B) 4 m/s 2 E) 7,5 m/s 2
C) 4,5 m/s2
B) 0,8 m/s2 E) 6 m/s2
C) 2 m/s 2
Un tren tren de de 100 m de longi longitud tud que que reali realiza za M. R. R. U. V. V. comien comienza za a ingres ingresar ar a un túnel con una rapidez de 10 m/s. Si cuando ha ingresado la mitad, pres presen enta ta una una rapi rapide dezz de 20 m/s; m/s; dete determ rmin ine e la rapi rapide dezz con con que que sald saldrá rá completamente del túnel de 200 m de longitud. A) 10 13m/ s D) 40 m/s
12.
C) 6 m/s m /s
Si un móvi móvill trip triplilica ca su rapid rapidez ez en 10 s y adem además ás la suma suma de su rapi rapide dezz inicial y final es 16 m/s. Determine el módulo de su aceleración, si el móvil describe un M. R. U. V. A) 0,5 m/s 2 D) 4 m/s 2
11.
B) 5 m/s E) 10 m/s
Un móvil móvil con con M. R. R. U. V. entr entre e el cuart cuarto o y sexto sexto segun segundo do de su movim movimien iento to recorre 30 m más que entre el segundo y el cuarto segundo. Determine el valor de su aceleración. A) 10/3 m/s2 D) 5 m/s 2
10. 10.
C) 3,6 m
Un móvil con M. R. U. V. pasa por A y recorre 20 m y 24 m respectivamente en dos segundos consecutivos. Determine la rapidez del móvil 3 s antes de pasar por A. A) 4 m/s D) 8 m/s
09.
B) 3,4 m E) 4,0 m
B) 10 19m/ s E) 50 m/s
C) 30 m/s
Consid Considera erando ndo que que dos autos autos pasan pasan simu simultá ltánea neamen mente te por dos punt puntos, os, con con desaceleraciones constantes e iguales en módulo. Si uno de ellos recorre el doble de la distancia que el otro, hasta detenerse; determine la relación de las rapideces que poseían cuando pasaron por los puntos mencionados. A) 2 D) 4
B) 2 E) 3 / 2
C)
27
3
13. 13.
Un auto auto recor recorre re la dist distan anci cia a entr entre e dos dos punt puntos os con rapid rapidez ez de 6 m/s m/s la primera mitad y la segunda mitad con 4 m/s. La velocidad media del auto en m/s, será: A) 4,5 D) 5,2
14. 14.
B) 8vo E) 15 vo
C) 9 no
B) 55,5 E) 72,5
C) 62,5
Una Una part partíc ícul ula a inic inicia ia su movi movimi mien ento to desd desde e el reposo reposo expe experi rime ment ntan ando do un MRUV, recorriendo 5 m en los primeros “t” segundos de su movimiento. Determine el recorrido para los “2t” segundos siguientes. A) 15 m D) 50 m
18.
C) 3
Un auto auto part parte e del repo reposo so con MRUV MRUV y al cabo cabo de un tiempo tiempo “t” adqu adquie iere re una rapidez “v”. Si luego recorre 500 m en 10 s y adquiere una rapidez “3v”, calcule la distancia recorrida (en m), en los “t” segundos iniciales. A) 42,5 D) 65,5
17. 17.
B) 2 E) 5
Un móvil móvil part parte e desde desde el reposo reposo con con MRUV MRUV y una acele acelerac ración ión const constant ante e de 2 4 m/s . ¿En qué segundo de su movimiento movimiento recorrió recorrió 26 m? A) 7mo D) 10mo
16. 16.
C) 5
Un cam camió ión n de 10 m de long longititud ud ingr ingres esa a a un túnel túnel de 220 220 m de largo largo con con una rapidez de 8 m/s y tarda 10 s en atravesarlo. Si el camión realiza un MRUV, determine el módulo de la aceleración del camión, en m/s 2. A) 1 D) 4
15.
B) 4,8 E) 5,4
B) 25 m E) 60 m
C) 40 m
La ecuaci ecuación ón del del movimi movimient ento o de dos móvile móviless M y N son: son: M: N:
x
= 4t 2 + 5t - 1 (m) y = 3t2 + 5t + 8 (m),
¿Qué velocidad tiene M cuando se encuentra con N? A) -5 m/s D) 24 m/s
B) -10 m/s E) 29m/s
C) 11m/s
28
Un cuerpo al ser soltado en la superficie de la tierra describe una trayectoria vertical y dirigida hacia el centro de la tierra. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba con cierta rapidez, disminuye su rapidez hasta reducirse a cero, luego regresa regresa hacia la tierra aumentando aumentando su rapidez. rapidez. Los cuerpos cuerpos al caer hacia la tierra aceleran debido a la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre ellos y todos los cuerpos poseen la misma aceleración si no se considera la fuerza de resi resist sten enci cia a del del aire, ire, en esta estass cond condic icio ione ness deci decimo moss que que el cuer cuerpo po real realiz iza a movimiento de caída libre. El valor promedio de la aceleración de la gravedad para la superficie de la tierra se considera: (g = 9,81 m/s 2 ) Debe entenderse también que la gravedad en los polos es mayor que en la zona ecuatorial, debido a la forma de la tierra. C
v=0 vf B
f v 0 g.t 2 2 f v0 2g.h
D hmáx
t
h A
1 h v0 .t g.t 2 2
v0 E
Nivel de referencia
29
(1) (2) (3)
Las ecuaci ecuacione oness obteni obtenidas das para para el movimi movimient ento o de caída caída libre libre son ecuaci ecuacione oness vectoriales y se debe tener en cuenta lo siguiente:
(+) h
v 0 (+) Nivel de
(-) h
Punto de lanzamiento
v 0 (-)
Tiempo de vuelo ( t v ). Se denomina así al tiempo que un cuerpo permanece en el aire hasta regresar al punt punto o de lanz lanzam amie ient nto. o. Sola Solame ment nte e exis existe te tiem tiempo po de vuel vuelo o para para los los cuer cuerpo poss lanzados verticalmente hacia arriba y v vf . tv
2v 0 g ,
v0
El tiempo que tarda un cuerpo en subir es igual al tiempo que tarda en bajar la misma altura. El tiempo que tarda en subir hasta lograr la altura máxima es igual al tiempo que tarda en regresar al punto de lanzamiento. El tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida.
Altura máxima h ax ) Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez “v 0”, éste logra una altura máxima cuando su velocidad se reduce a cero ( vf 0 ). h max
v 02 , 2g
v0
Relación entre la altura máxima y el tiempo de vuelo. Para que un cuerpo logre la altura altura máxima debe transcur transcurrir rir la mitad del tiempo de vuelo. 2 1 h max g. t v 8 30
Análisis del movimiento de caída libre de un cuerpo, considerando g = 10 m/s2 Para un cuerpo que se suelta o se deja caer, la rapidez inicial es cero (v 0 = 0) y el cuerpo al descender aumenta su rapidez en 10 m/s cada segundo, mientras que la distancia que recorre en el primer segundo es la mitad de la aceleración de la gravedad y en los siguientes segundos recorre 10 m más que en el segundo anterior. v=0 1s 1s
1s
v=0
10 m/s
5m
20 m/s
15 m
1s 10 m/s
20 m/s 30 m/s
25 m
1s
1s
30 m/s 1s
35 m
1s
40 m/s 40 m/s 1s
45 m
1s 50 m/s
50 m/s
31
PROBLEMAS (Considere: g = 10 m/s 2) 01.
Un cuerp cuerpo o se lanza lanza vertic verticalm alment ente e hacia hacia abajo abajo con con una rapid rapidez ez de 10 m/s, m/s, luego de qué tiempo su rapidez será de 60 m/s. A) 4 s D) 8 s
02.
B) 25 m/s E) 40 m/s
C) 30 m/s
B) 40 m E) 125 m
C) 60 m
Un cuerp cuerpo o es lanzad lanzado o vertica verticalme lmente nte hacia hacia arrib arriba a desde desde el piso. piso. Determi Determine ne la rapidez de lanzamiento, si en el quinto segundo de su movimiento sube 5 m hasta alcanzar su altura máxima. A) 20 m/s D) 50 m/s
06.
C) 75 m
Se suel suelta ta un objet objeto o desde desde lo alto alto de de una torr torre. e. Si lleg llega a al piso piso al cabo cabo de de 5 segundos segundos,, determine determine la altura altura de la torre. torre. A) 20 m D) 80 m
05.
B) 45 m E) 125 m
Una pied piedra ra se encue encuentr ntra a a 80 m del piso piso y se deja deja caer caer librem librement ente. e. ¿Con ¿Con qué rapidez impactará contra el piso? A) 20 m/s D) 35 m/s
04.
C) 7 s
Un cuerp cuerpo o se suelta suelta desde desde cier cierta ta altur altura, a, determ determina inarr la altura altura recor recorrid rida a en 3 segundos de iniciado su movimiento. A) 25 m D) 100 m
03.
B) 5 s E) 9 s
B) 30 m/s E) 60 m/s
C) 40 m/s
Se lanz lanza a un cuer cuerp po vert vertic ical alme men nte haci acia abaj bajo, comp compro rob bándo ándosse que que desciende 75 m en 3 s. ¿Cuál fue la rapidez inicial de lanzamiento? A) 5 m/s D) 12 m/s
B) 8 m/s E) 15 m/s
C) 10 m/s 32
07.
Un atle atleta ta que que corre corre a razón razón de de 3 m/s, m/s, es golpe golpeada ada por por una una piedr piedra a que cae cae libremente desde una azotea que está a 45 m de altura. ¿A qué distancia del lugar del accidente se encontraba el atleta cuando la piedra empieza a caer? A) 3 m D) 7,5 m
08. 08.
B) 35 m E) 60 m
C) 45 m
B) 50 m E) 100 m
C) 60 m
De un glob globo o aero aerost stát átic ico o asci ascien ende de vert vertic ical alme ment nte e a razó razón n de 20 m/s, m/s, se suelta una esferita que impacta en el suelo luego de 6 s. Desde qué altura se soltó la esferita. A) 30 m D) 60 m
12. 12.
C) 45 m/s
Se lanza lanza un cuerpo cuerpo con 30 m/s m/s vert vertic ical alme ment nte e haci hacia a arri arriba ba,, dete determ rmin ine e su recorrido en los primeros 4 s. A) 45 m D) 70 m
11. 11.
B) 40 m/s E) 60 m/s
En el el instante instante en que que se abandona abandona la la canica canica “A”; se lanza lanza “B” verticalme verticalmente nte hacia arriba. Si éstas impactan presentando la misma rapidez; determine el recorrido de “B” y si “A” recorrió 20 m. A) 25 m D) 55 m
10. 10.
C) 6 m
Un cuer cuerpo po es lanza lanzado do verti vertica calm lmen ente te hacia hacia arriba arriba desde desde el piso piso y cuan cuando do faltan 2 s para alcanzar su altura máxima se encuentran a 60 m del piso; determine la rapidez de lanzamiento. A) 30 m/s D) 50 m/s
09.
B) 4,5 m E) 9 m
B) 40 m E) 80 m
C) 50 m
Un cuer cuerpo po es deja dejado do caer caer libr librem emen ente te y a 100 m de él por por debaj debajo o y en la mism misma a vert vertic ical al otro otro cuer cuerpo po es lanz lanzad ado o vert vertic ical alme ment nte e con con 20 m/s m/s haci hacia a arriba. Determine la altura que cae el cuerpo soltado hasta colisionar con el otro. A) 25 m D) 125
B) 50 m E) 180 m
C) 100 m 33
13.
Desde Desde el el mismo mismo nivel, nivel, dos cuerpos cuerpos se se lanzan lanzan simultánea simultáneamente mente hacia hacia arriba arriba con rapideces de 10 m/s y 20 m/s. Determine la separación de los cuerpos al cabo de tres segundos. A) 20 m D) 45 m
14.
C) 70 m/s
B) 36 m E) 48 m
C) 42 m
Un obj objeto eto lan lanzado zado haci hacia a arri arrib ba desd esde el sue suelo real realiz iza a dos pasad asada as consecutivas por un punto situado a 120 m de altura, con un intervalo de 10 s. Determine la rapidez de lanzamiento. A) 30 m/s D) 70 m/s
17. 17.
B) 60 m/s E) 100 m/s
Una Una pied piedra ra se arro arroja ja vert vertic ical alme ment nte e haci hacia a abaj abajo o desd desde e la azot azotea ea de un edificio, pasa por una ventana que está 17 m más abajo con una rapidez de 22 m/s y llega al piso 2 s después de haber sido arrojada. La altura del edificio, es: A) 30 m D) 44 m
16.
C) 40 m
Una esfera esfera es soltad soltada a desde desde cierta cierta altura altura,, recorrien recorriendo do en el tercer tercer segundo segundo de su caída libre la quinta parte de todo su recorrido. Determine la rapidez con la cual impacta contra el piso. A) 50 m/s D) 80 m/s
15. 15.
B) 30 m E) 60 m
B) 40 m/s E) 90 m/s
C) 60 m/s
Dos Dos esfe esfera rass son son lanz lanzad adas as hacia hacia arrib arriba a y simult simultán ánea eame ment nte e en la misma misma vertical. Una de ellas con 10 m/s y el otro que se halla a 40 m debajo, se lanza con una rapidez de 30 m/s. Determine la altura a la cual chocan dichas esferas. A) 10 m/s D) 40 m/s
B) 20 m/s E) 50 m/s
C) 30 m/s 34
18.
Se suel suelta ta una cani canica ca desde desde una una altura altura “h”. “h”. Si desc descien iende de la primer primera a cuarta cuarta parte de “h” en 2 s, determine lo que demora para recorrer el resto de la trayectoria hasta llegar al piso. A) 1 s D) 4 s
19. 19.
B) 2 s E) 5 s
C) 3 s
Desd Desde e una deter determi mina nada da altur altura a “h” “h” se deja deja caer caer un cuer cuerpo po.. Si la prime primera ra mitad lo recorre en “t” segundos y la segunda mitad en “t - n” segundos. Determine el valor de “n”. A) ( 2 2 ) t s D) (t 2 ) s
B) E)
C)
2 t/ 2 s ( 3 1)t s
35
( 2 1)t s
GRÁFICOS DEL M. R. U. A)
POSI POSICI CIÓN ÓN VERS VERSUS US TIEM TIEMPO PO (x - t). t). x
x
x0
α
0
I.
t
t
La gráfic gráfica a es es una una línea línea recta recta y la ecuaci ecuación ón de la posici posición ón vien viene e dada dada por la siguiente ecuación:
x x o v.t
II.
La pendie pendiente nte de la recta recta es igual igual a la veloci velocidad dad del móvil. móvil.
v B)
an
VELO VELOCI CIDA DAD D VERS VERSUS US TIEM TIEMPO PO (v - t). t). Velocidad v ÁREA Tiempo 0
I. II.
t
La gráfic gráfica a en una LÍNEA LÍNEA RECTA RECTA HORIZO HORIZONTA NTAL L PARALE PARALELA LA al eje del tiempo. El área área bajo bajo la recta recta es igual igual a la la dist distanc ancia ia que recorr recorre e el el móvi móvil.l.
d ÁREA 36
GRÁFICOS M. R. U. V. A)
POSI POSICI CIÓN ÓN VERS VERSUS US TIEM TIEMPO PO (x - t). t).
La gráfica de la posición en función del tiempo (x - t) en el M. R. U. V. es una PARÁBOLA. La ecuación general de la posición en función del tiempo y su correspondiente, son: Posición x
1 2 xo vo .t a.t 2
xo
P Tiempo t
t1
0
OBSERVACIÓN: Para un móvil que se desplaza a lo largo de una línea recta con aceleración o desaceleración constante, se tienen las siguientes gráficas. Posición
Posición
xo
xo 0
0
Tiempo Movimiento acelerado
B)
Tiempo Movimiento desacelerado
VELO VELOCI CIDA DAD D VERS VERSUS US TIEM TIEMPO PO (v - t). t). Velocidad
v
vo
α
REA Tiempo
0
t 37
I.
La gráfic gráfica a de la veloci velocidad dad den funció función n del tiempo tiempo es una LÍNEA LÍNEA RECTA RECTA cuya ecuación, es:
v v o a.t
II.
La pendie pendiente nte de la recta recta repres represent enta a la aceler aceleraci ación ón consta constante nte del móvil. móvil.
a tan
III. III.
El área área bajo bajo la recta recta es igual igual al al despl desplazam azamien iento to ue ue reali realiza za el el móvil móvil..
d ÁREA OBSERVACIONES: I.
Si la pendie pendiente nte de la recta recta es positi positiva, va, al móvil móvil posee posee aceler aceleraci ación ón positi positiva. va.
II.
Si la recta recta pose posee e pend pendien iente te nega negativ tiva, a, la la acel acelera eració ción n del del móvil móvil es negati negativa. va.
C)
ACEL ACELER ERAC ACIÓ IÓN N VERS VERSUS US TIEM TIEMPO PO (a - t). t).
En el M. R. U. V., la aceleración del móvil permanece constante. La gráfica de la aceleración constante, es: Aceleración
a REA Tiempo
0
t
El área debajo de la recta en la gráfica de ACELERACIÓN en función del TIEMPO (a - t), representa la variación de la velocidad ( v ). ÁREA v v f v o
38
PROBLEMAS 01. 01. El gráf gráfic ico o repr repres esen enta ta el movi movimie mient nto o rect rectililín íneo eo de un móvi móvil.l. Dete Determ rmin ine e la distancia que recorre en 10 s. A) 10 m B) 15 m C) 20 m D) 25 m E) 30 m
x (m) 8
2 0
t (s)
3
02. Dada la gráfica de la posición de un móvil que viaja a lo largo del eje “x”, en función del tiempo. En qué instante el móvil pasa por el origen. A) 2 s B) 3 s C) 2,5 s D) 3,5 s E) 4 s
x (m)
4 0
t (s)
5
-6
03. La gráfica muestra el movimiento de dos partículas a lo largo de una vía rectilínea. ¿En qué instante alcanzará el móvil “A” al móvil “B”?. A) 5 s B) 6 s C) 7 s D) 8 s E) 10 s
x (m)
B
16 12
A
0
t (s)
4
04. El gráfico posición – tiempo, muestra el movimiento de dos cuerpos A y B. determine el instante en que los cuerpos se cruzan y a que distancia del origen de coordenadas lo hacen. x (m)
A) 10 s y 30 m B) 15 s y 40 m C) 8 s y 20 m D) 5 s y 15 m E) 2 s y 8 m
B
80
A 8
0 -120
39
16
t (s)
05. La gráfica gráfica x versus t, corresponde corresponde al movimiento movimiento de un móvil que se desplaza en línea recta. Determine la alternativa que indique correctamente la verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados. I. Durante los primeros 4 s se acerca al origen. II.La longitud de la trayector trayectoria ia del móvil, durante durante los 12 s, es 14 m. III. En el interval intervalo o de 4 s a 12 s, la aceleración aceleración del móvil móvil es cero. cero. A) VVV B) VVF C) VFF D) FFF E) VFV
x (m) 8 6 0
t (s) 12
4
06. La gráfica x – t representa el movimiento de una partícula, con aceleración constante, si v 0 = 1 m/s en t = 0, cuál será su rapidez en t = 4 s. x (m)
A) 2 m/s B) 3 m/s C) 5 m/s D) 6 m/s E) 10 m/s
12
0
4
t (s)
07. Cuál es la relación entre los módulos de la aceleración y desaceleración de un móvil cuyo movimiento se muestra en la siguiente gráfica. v (m/s)
A) 1 B) 2 C) 3/2 D) 2/3 E) 1/2
v t (s)
0
6
10
08. 08. La La gráf gráfic ica a mues muestr tra a el movi movimi mien ento to rect rectililín íneo eo de una una part partíc ícul ula. a. Hall Hallar ar la distancia recorrida durante el primer minuto. A) 960 m B) 940 m C) 920 m D) 900 m E) 850 m
v (m/s) 4
1 0
6 40
t (s)
09. Un auto se mueve en línea recta describiendo el gráfico “v – t”. Determinar el valor de “v” si hasta el instante mostrado el móvil se encuentra a 75 m del punto de partida. v (m/s)
A) 5 m/s B) 8 m/s C) 12 m/s D) 16 m/s E) 20 m/s
v 0
10
t (s)
15
10. Si el móvil se mueve sobre el eje “X” en la gráfica (v – t). Halle la velocidad media y la rapidez media (en m/s) durante los 10 segundos. A) 2 y 3 B) 5 y 7 C) 50 y 70 D) 4 y 6 E) 10 y 7
v (m/s) 10 0
4
8
10
t (s)
-10
11. En el gráfico (a - t) de un móvil que se mueve en el eje “x”, determine la velocidad en t = 4 s, si en t = 0 su velocidad es v 0 = 12 m/s hacia la izquierda. a (m/s )
A) 4 m/s B) 12 m/s C) 30 m/s D) 28 m/s E) 44 m/s
8
0
4
t (s)
12. En la gráfica posición – tiempo se representa el movimiento rectilíneo de una partícula. Determine la velocidad instantánea de la partícula en los instantes t = 8 s y t = 20 s, respectivamente. A) (-3 y 6) m/s B) (3 y -6) m/s C) (-3 y -6) m/s D) (4 y 6) m/s E) (-4 y 6) m/s
48
x (m)
24 t (s) 0
16
41
20
13. La gráfica posición – tiempo corresponde a una partícula que se desplaza a lo largo del eje “x”. Determine la velocidad media (en m/s) en los intervalos de tiempo (a) de 4 s a 10 s, (b) de 0 a 12 s. A) 5 y 0 B) -5 y 0 C) 5 y 5 D) -5 y 5 E) -5 y 2,5
x (m)
20 10
t (s) 0
4
10
12
-10
14. Si el gráfico muestra el MRUV de una partícula, determine la su posición en t = 6 s. x (m)
A) 4 m B) 6 m C) 8 m D) 12 m E) 14 m
16
t (s) 0
4
8
15. 15. La La gráf gráfic ica a (v - t) repr repres esen enta ta el movi movimi mien ento to rect rectililín íneo eo de una una part partíc ícul ula. a. Determine la aceleración instantánea que posee en el instante 3t/4? A) 1 m/s2 B) 3 m/s 2 C) 2 m/s 2 D) 0,5 ms2 E) 3 / 3 m/s2
emicircunferencia
v (m/s)
0
t
t (s)
16. La gráfica (v - t) representa el movimiento de una partícula cuyo recorrido total es 12 π m. ¿Cuál es su rapidez en el instante 3t/4? v (m/s)
A) 2 m/s B) 3 m/s C) 4 m/s D) 5 m/s E) 6 m/s
Semicircunferencias t (s) t
0
42
2t
17. La gráfica (a - t) corresponde a un móvil que se mueve en línea recta. Si v 0 = 4 m/s en t = 0, ¿qué distancia recorre en los primeros 4 s? A) 62 m B) 72 m C) 76 m D) 84 m E) 96 m
a (m/s ) 10 t (s) 0
2
4
18. Se indica la gráfica de la aceleración versus el tiempo de un móvil que se desplaza sobre una línea recta. Determine la rapidez del móvil para t = 4 s, si para t = 1 s la velocidad era de 3 m/s a la izquierda. A) 37 m/s B) 40 m/s C) 43 m/s D) 50 m/s E) 83 m/s
a (m/s ) 60
0
2
5
43
t (s)
Si lanz lanza amos mos un cuerp uerpo o horiz orizo onta ntalme lmente nte desd desde e la azot zotea de un edifi difici cio o, obse observ rvam amos os que que el cuer cuerpo po desc descri ribe be una una tray trayec ecto tori ria a curv curvililín ínea ea haci hacia a abaj abajo o (parábola). Este tipo de movimiento que realizan los cuerpos está compuesto por dos tipos de movimiento, en este caso por uno horizontal (eje x) con rapidez constante y otro vertical (eje y) de caída libre. v oy
vx C
B
v oy
vy 0
vox
D
vx
vx
v oy
vo
v ox
g
E
v ox
A
vx v ox
v oy
Ecuaciones del Movimiento de Proyectiles: y
y
C
β
B
x
h máx
h α
A
0
x
x
En el eje “x” (Movimien (Movimiento to rectilíneo rectilíneo uniforme uniforme v=const.)
v ox
En el eje “y” (caída libre) vy
v0 y .t
v o . cos α
v 0x
vx
voy
v o .sen
2 2 .h v 2y voy
44
t
v oy .t
1 .t 2
Velocidad del proyectil v). De la figura anterior extraemos la velocidad del proyectil en la posición B, en el instante “t”. Se observa que la velocidad forma el ángulo “ β” con la horizontal. v
v x .i v y .ˆj
v v x2 v y 2
B
β
v
tan β
β
v v
Tiempo de vuelo ( t v ) Es el tiempo que permanece en movimiento el proyectil hasta lograr el mismo plano horizontal de lanzamiento. 2v 0y 2v o .sen tv g g
Altura máxima ( h max ) La velocidad vertical se reduce a cero ( v y 0) y la altura altura que que logra logra el proyectil proyectil se hace máxima. h max
v 0 y 2 v 0 2 . sen2 2g 2g
Cuando el proyectil logra la altura máxima, su velocidad es horizontal y es la mínima rapidez que puede adquirir durante el movimiento.
Alcance Horizontal (D) Es la dist distan anci cia a hori horizo zont ntal al que que se desp despla laza za un proy proyec ectitill hast hasta a logr lograr ar el plan plano o hori horizo zont ntal al de lanz lanzam amie ient nto. o. El tiem tiempo po que que empl emplea ea el móvi móvill para para el alca alcanc nce e horizontal es igual al tiempo de vuelo. 45
h máx
D α
v 02 . s e n( 2 ) g
Alcance horizontal = D
Alcance Horizontal Máximo (Dmáx) D m ax
0
g
El alcance horizontal máximo se obtiene cuando el ángulo de lanzamiento es 45º.
OBSEVACIONES: Si dos proyectiles A y B son disparados con la misma rapidez “v o” y con ángulos de elevación “ α” y “ β”, complementarios. Los alcances horizontales logrados por los proyectiles son iguales, porque se cumple que:
D A DB Relación entre la altura máxima y el tiempo de vuelo.
m ax
1 g .t v 8
2
Relación entre la altura máxima y el alcance horizontal. ta n
4h ax D
Ecuación de la trayectoria. El movi movimi mien ento to para parabó bólilico co se real realiz iza a en un plan plano o cart cartes esia iano no,, por por lo que que es necesario expresar la ecuación de la parábola “y” en función del desplazamiento horizontal “x”. t a n .x t a n . 46
x D
PROBLEMAS (Considere g = 10 m/s 2 ) 01. Un proyectil disparado con un determinado ángulo de elevación, asciende hasta una altura de 80 m. Determine el tiempo de vuelo del proyectil A) 4 s D) 10 s
B) 6 s E) 12 s
C) 8 s
02. Un proyectil es lanzado formando 37º con la horizontal. Si la altura máxima que logra es 30 m, determine el alcance horizontal de dicho proyectil. A) 40 m D) 120 m
B) 60 m E) 160 m
C) 80 m
03. Si el alca lcance nce hori orizon zontal tal máxi máximo mo de una bal bala que rea realiza liza movi movimi mie ento nto parabólico es 1000 m. Determine la altura máxima que logra ascender. A) 250 m D) 1000 m
B) 400 m E) 4000 m
C) 500 m
04. ¿Cuál es el tiempo de vuelo de un proyectil que se dispara con una rapidez de 50 m/s y un ángulo de elevación elevación de 37º? A) 4 s D) 10 s
B) 6 s E) 12 s
C) 8 s
05. 05. Un Un proy proyec ectitill es disp dispar arad ado o con con una una rapi rapide dezz de 125 125 m/s m/s y un ángu ángulo lo de elevación de 74º. ¿Cuál es el alcance horizontal que logra? A) 720 m D) 920 m
B) 840 m E) 980 m
C) 860 m
06. Desde la parte superior de una torre de 80 m de altura se lanza un proyectil horizontalmente con una rapidez “v 0 ” llegando a aterrizar a 30 m del pie de la torre. Determine la rapidez “v 0 ”. A) 6 m/s D) 10 m/s
B) 7,5 m/s E) 15 m/s
C) 8 m/s 47
07. Un pro proyect yectilil es dis dispara parad do con una rapi rapid dez de 50 m/s m/s y un ángu ngulo de elevación de 53º. Determine la relación entre la altura máxima y el alcance horizontal. A) 1/3 D) 4/3
B) 2/3 E) 1
C) 1/2
08. La altura que asciende un proyectil hasta que su velocidad sea horizontal, es “H”. La distancia horizontal máxima es: A) 2H D) 5H
B) 3H E) H/4
C) 4H
09. Una bala disparada disparada con una rapidez de 400 m/s, ¿cuántos metros metros de alcance alcance horizontal máximo logrará? A) 4 km D) 16 km
B) 8 km E) 20 km
C) 12 km
10. Desde la azotea de un edificio de 75 m de altura, se lanza un proyectil con una velocidad de 20 m/s formando 30º con la horizontal. ¿Al cabo de cuántos segundos impactará contra el piso? A) 3 s D) 6 s
B) 4 s E) 7 s
C) 5 s
11. Desde un punto ubicado a 45 m del piso, una esfera es lanzada horizontalmente con 40 m/s: Determine la rapidez con que impacta contra el piso. A) 30 m/s
B) 40 m/s
30 3 m / s D) 30
E) 50 m/s
C) 3 0 2 m / s
12. Un proyectil se dispara con una rapidez de 50 m/s y un ángulo de elevación de 53°; ¿al cabo de cuántos segundos la velocidad del proyectil tendrá un ángulo de elevación de 45°? A) 1 s D) 4 s
B) 2 s E) 5 s
C) 3 s 48
13. Desde tierra se dispara un proyectil con una rapidez de 25 m/s y un ángulo de elevación α = 53º. ¿Cuál es el desplazamiento horizontal del proyectil al cabo de 3 s? A) 30 m D) 75 m
B) 45 m E) 90 m
C) 60 m
14. Si el proyectil de la figura choca elásticamente en la superficie horizontal, ¿a cuántos metros del primero vuelve a impactar? A) 10 m B) 12 m C) 16 m D) 20 m E) 24 m
6 m/s 20 m
15. Se lanza un dardo con una rapidez “v”, si luego de 3,4 s impacta perpendicularmente sobre el plano inclinado, determine “v”. (tan α =12/5) A) 10 m/s B) 17 m/s C) 24 m/s D) 26 m/s E) 34 m/s
v α
45º
16. Determine la rapidez de lanzamiento de la pelota, de modo que pase por el centro del aro cuando su rapidez sea mínima. A) 5 m/s B) 10 m/s C) 15 m/s D) 20 m/s E) 25 m/s
vo
7,2 m
53º
17. Un proyectil lanzado desde el suelo con un ángulo de elevación “ θ” pasa rasante por la parte superior de dos mástiles de 40 m de altura y separados 60 m. Determine el alcance horizontal del proyectil, si dicho proyectil pasa por el segundo poste 2 s después de pasar por el primero. A) 120 m D) 200 m
B) 140 m E) 240 m
C) 180 m 49
18. Determine la rapidez de lanzamiento, si el proyectil logra ingresar libremente en el canal estrecho. A) 10 m/s B) 14 m/s C) 18 m/s D) 20 m/s E) 24 m/s
45º
vo
1,4 m 53º
19. Una esfera lanzada con un ángulo de elevación de 40º logra un alcance horizontal de 50 m. Determine el alcance horizontal que lograría si fuera lanzada con un ángulo de elevación de 50º y la rapidez de lanzamiento no varía. A) 10 m D) 50 m
B) 20 m E) 60 m
C) 40 m
20. Se lanza una esfera en A con una rapidez de 5 m/s e impacta en B sobre el plano inclinado; determine la distancia AB. A) 4 m B) 5 m C) 6 m D) 7 m E) 8 m
A
37º
37º
50
B
Un móvi móvill que que real realiz iza a movi movimi mien ento to circ circul ular ar unif unifor orme me pose posee e velo veloci cida dad d angu angula lar r constante, también permanece constante la rapidez tangencial, pero la velocidad tangencial no es constante porque su dirección varía. En el M. C. U. la aceleración angular y la aceleración tangencial, son nulos.
Velocidad angular ( ) El módulo de la velocidad angular (rapidez angular), es igual al desplazamiento angular “θ” “θ ” que realiza el m óvil en cada unidad de tiempo “t”.
t
Velocidad tangencial ( v ) La magnitud de la velocidad instantánea (rapidez instantánea) se determina del cociente de la longitud de la trayectoria que recorre entre el tiempo que tarda en recorrerla. L v t 51
Aceleración centrípeta (ac ) La aceleración centrípeta hace que la velocidad cambie solamente en dirección, mientras la rapidez tangencial permanece constante.
v2 ac r Relaciones importantes: I.
Rela Re laci ción ón entr entree la rapi rapide dezz angu angula larr y tang tangen enci cial al..
v II.. II
.r
Rela Re laci ción ón entr entree la ac acel eler erac ació ión n centrípeta y rapidez angular. 2
ac
.r y
ac .v
Periodo (T) El móvil que realiza M. C. U. pasa por un determinado punto cada cierto tiempo. El tiempo que demora el móvil en completar una vuelta se denomina periodo. T
2
Frecuencia (f) Es el número de vueltas o revoluciones que ejecuta un móvil por unidad de tiempo. f
n t
n: número de vueltas o revoluciones o ciclos t: tiempo que tarda en realizar las “n” vueltas. La frecuencia es la inversa del periodo: f
1 T
ó
T
1
52
y
f
2
Poleas concéntricas Las partículas de un disco que realiza movimiento circular respecto a su centro, describen trayectorias circulares concéntricas. En la figura se muestra dos puntos A y B que describen trayectorias circulares. En un intervalo de tiempo “t”, A y B se desplazan desplazan hacia hacia A’ y B’, respectivamen respectivamente, te, recorriendo recorriendo el mismo ángulo central “θ”.
El recorrido angular de los puntos A y B son iguales; además sabemos que el recor recor rido rido an a ngular “θ” es e s igual igual a “ω.t” “ω.t”
R A
B’
A’
R B
A
B
θ
vA B
vB
Poleas tangenciales En la siguiente figura se puede ver que dos puntos tangentes a las ruedas (1) y (2) se desplazan la misma longitud de arco L 1 y L2, en el mismo tiempo “t”. v2 v1 r1
L1 θ1
(1)
L2
r2 θ2
L1 L2 (2)
Entonces, v1 v2
n 1.r 1 n2 .r 2
y
En la ecuación anterior, n 1 y n 2 son los números de vuelta que realizan las poleas (1) y (2), respectivamente, en un determinado tiempo “t”.
53
PROBLEMAS 01. Determine la aceleración centrípeta (en m/s 2 ) de un punto ubicado a 0,5 m del centro de una polea que gira con velocidad angular constante de 4 rad/s. A) 8 D) 24
B) 12 E) 36
C) 18
02. Un punto de un disco que gira con MCU tiene una rapidez tangencial de 9 m/s y una velocidad angular de 3 rad/s. Determine la aceleración radial de dicho punto en m/s2 . A) 18 D) 27
B) 21 E) 36
C) 24
03. Un punto de una polea gira a razón de 60 RPM. Determine el número de vueltas que realiza en 10 s. A) 1 D) 8
B) 5 E) 10
C) 6
04. Una partícula que realiza MCU gira con un periodo de π/6 segundos. Si el radio de giro es tres metros, ¿cuál es su rapidez tangencial en m/s? A) 1 D) 24
B) 6 E) 36
C) 12
05. Si la polea de mayor radio de la figura, realiza 24 vueltas en “t” segundos con MCU; determine el número de vueltas que realiza la polea de menor radio en el tiempo “t”. A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 32
3r
4r
06. Una partícula partícula con MCU posee posee una velocidad velocidad tangencial tangencial de 36 m/s. Si el radio radio de la trayectoria es 12 m, ¿cuál es el módulo de su velocidad angular? A) 2 rad/s D) 6 rad/s
B) 3 rad/s E) 12 rad/s
C) 4 rad/s 54
07. El disco de la figura realiza MCU. Determine la rapidez tangencial del punto A, si B gira a razón de 12 cm/s. A
A) 9 cm/s B) 12 cm/s C) 15 cm/s D) 16 cm/s E) 20 cm/s
4 cm O
3 cm B
08. Los puntos periféricos de un disco que gira uniformemente, se mueven a 50 cm/s. Si los puntos que se encuentran a 2 cm de la periferia giran a 30 cm/s, ¿cuál es el diámetro del disco? A) 5 cm D) 18 cm
B) 8 cm E) 20 cm
C) 10 cm
09. Dos cuerpos cuerpos A y B parten simultáne simultáneament amente e de las posiciones posiciones mostrada mostradass en la figura, si giran con velocidades constantes de π/10 rad/s y π/15 rad/s respectivamente, calcular el instante en que se cruzan por tercera vez. A) 10 s B) 20 s C) 30 s D) 40 s E) 50 s
A
B
10. Una polea de radio “R” realiza M. C. U. Determine la aceleración centrípeta de un punto del perímetro (en m/s 2 ), sabiendo que un punto ubicado a una distancia “r” del centro tiene una aceleración centrípeta de 8 m/s 2. (R = 2r) A) 8 D) 24
B) 12 E) 32
C) 16
11. Un punto ubicado en el extremo de un disco que realiza M. C. U., tiene una aceleraci aceleración ón centrípet centrípeta a “a c”, ¿cuál es la velocidad tangencial de un punto ubicado a 2r/3 del centro? (r = radio del disco) 2 a .r 3 c D) 2 a c .r 9
A)
1 a .r 3 c E) 4 a c .r 9
B)
C)
55
4 a .r 3 c
12. Se tiene “n” discos cuyos radios son “r, 2r, 3r, …, n.r” y que giran tangen tangencia cialme lmente nte con rapide rapidezz consta constante nte.. Si la veloci velocidad dad angula angularr del disco disco menor radio es “ω”, determine la aceleraci ón centrípeta en el extremo del disco mayor radio. A) n. 2 .r r / n2 D) 2.r /
B) E)
2 2
C) n2 . 2.r
.r / n
.r
13. Tres discos tangentes cuyos radios son R, R/2 y R/3 realizan MCU. Cuando el de R/2 gira 8 vueltas, ¿cuántas vueltas menos que el disco mayor realiza el menor? A) 4 D) 10
B) 6 E) 12
C) 8
14. 14. Se tien tiene e dos dos pole poleas as “A” “A” y “B” “B” que que gira giran n tang tangen enci cial alme ment nte e con con M. C. U., U., sabiendo que el punto “P” del disco “A” tiene una velocidad tangencial “v”, determine la aceleración centrípeta de un punto ubicado en el extremo del disco “B”. A) 4 v2 / 3R B) v 2 / 3R B R 2 C) 3v / 3R A R 2/ D) v R P E) 4 v2 / 9R 15. Se tiene “n” poleas cuyos radios son: r, 2r, 3r, …, nr, acopladas sobre el mismo eje que gira con MCU. Si la aceleraci aceleración ón centrípet centrípeta a del punto periférico periférico de la polea menor es “a c ”, determine la aceleración centrípeta de un punto periférico de la rueda mayor. A) ac/n D) a c/(2n)
B) n.a c E) n 2.a c
C) n.ac/2
16. Las poleas concéntricas de la figura realizan MCU. Determine la velocidad tangencial del punto B, si el bloque desciende a razón de 7 m/s. 5r
A) 2 m/s B) 7 m/s C) 8 m/s D) 10 m/s E) 14 m/s
O r
56
Masa (m) La masa es la propiedad del cuerpo que determina el efecto de una fuerza aplic plicad ada a sobr sobre e él. él. Cuan Cuando do se qui quiere ere camb cambia iarr el esta estad do de rep reposo oso o de movi movimi mien ento to de un cuer cuerpo po,, éste éste se resi resist ste e al camb cambio io y es cono conoci cida da como como la propiedad de inercia de la materia. Por lo tanto, la masa es una propiedad del cuerpo y es una magnitud escalar, es independiente del medio que la rodea y del método usado para medirla, para un cuerpo determinado tiene el mismo valor en cualquier lugar del universo.
Masa inercial La masa es el término que se usa para cuantificar la inercia. Como mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento o de reposo, se le llama masa inercial, y está determinada por la razón entre la fuerza neta sobre el cuerpo y su aceleración.
Peso (w) Es peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra atrae al cuerpo. Un cuerpo cuando es abandonado en un lugar del espacio donde existe campo gravitacional creado por la tierra, el cuerpo caerá hacia la Tierra con una aceleración igual a la aceleración gravitacional. En la superficie de la Luna, un cuerpo no posee el mismo peso que en la superficie de la Tierra. El peso de un cuerpo depende de su masa masa como como tamb tambié ién n del del valo valorr de la acel aceler erac ació ión n grav gravititac acio iona nal.l. Un mism mismo o cuerpo pesa más en la superficie terrestre que en la superficie lunar, puesto que la aceleración gravitacional en la superficie de la luna es aproximadamente la sexta parte de la gravedad en la superficie de la Tierra. Para un cuerpo cuya masa “m” es conocida, su peso es el producto de su masa y la aceleración gravitacional “g”. w m.g
Peso :
El pes peso es una una magn magnititud ud vect ectoria oriall que posee osee la mis misma dire direccció ción que que la aceleración gravitacional en ese lugar. El peso está siempre dirigido hacia el centro de la tierra. El peso y la masa de un cuerpo son dos magnitudes distintas. 57
Fuerza (F ) En la vida cotidiana se considera fuerza a una sensación común asociada a la acción de empujar, jalar, atraer, etc. o con la dificultad para mover o levantar un cuerpo. En Física se identifica una fuerza por el efecto que produce. Uno de los efectos de una fuerza es cambiar el estado de reposo o de movimiento del cuerpo, más concretamente, una fuerza cambia la velocidad de un objeto, es decir produce una aceleración. Cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo y no se produce movimiento, entonces puede cambiar su forma, aún si el cuerpo es muy rígido. La deformación puede o no ser permanente. Entonces los efectos de la fuerza neta son dos: cambiar el estado de movimiento de un cuerpo o producir una deformación, o ambas cosas. Normalmente sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas, entonces el cuerpo acelerará cuando el efecto de la fuerza neta que actúa sobre él no es cero.
Primera Ley de Newton (Ley de la Inercia) “Un cuer uerpo en repo reposo so perm perman anec ece erá en repo repos so y uno uno en movi movimi mien entto continuará en movimiento con velocidad constante, a menos que actúe una fuer fuerza za neta neta F sobr obre el cuerpo que que altere su estado de repos poso o de movimiento” .
En otros términos se enuncia de la siguiente forma: si la suma de fuerzas que actúa sobre un cuerpo es cero, su aceleración es cero. Esto significa que la partícula se encuentra en equilibrio de traslación, y se cumple la condición:
F 0 a 0 F 0 Fx 0 a x 0 y y
Inerci cia a, porque La primera Ley de Newton se conoce también como Ley de Iner define un sistem sistema a de refere referencia ncia inerci inercial al . Un sistema de referencia inercial es aquel en el cual si sobre un cuerpo no actúa fuerza alguna, éste se mueve con velocidad constante. En este sistema de referencia se cumple la primera Ley de Newton.
58
Segunda Ley de Newton Cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, el cuerpo se mueve con una aceleración en la dirección de la fuerza. Experimentalmente se demuestra que para un cuerpo de masa “m”, si aumenta el valor de la fuerza que sobre él, su aceleración aumenta proporcionalmente; por ejemplo si “F” aumenta a “2F”, la aceleración “a” aumenta a “2ª”. Por otra parte, si la fuerza aplicada no varía, pero se aumenta el valor de la masa, la aceleración del cuerpo disminuye proporcionalmente al aumento de masa, por ejemplo si “m” aumenta a “2m”, la 1 2
aceleración “a” disminuye a “ a ”.
a1
a2 F1 = 10 N
2 kg
F2 = 20 N
2 kg
(A)
(B)
La aceleración del bloque (B) es mayor que la aceleración del bloque (A), porque actúa mayor fuerza.
a4
a3 F 3 = 10 N
2 kg
F4 = 10 N
1 kg
(C)
(D)
La aceleración aceleración del bloque bloque (D) es mayor que la aceleració aceleración n del bloque (C), porque porque la masa del bloque (D) es menor que la masa del bloque (C). La Segu Segund nda a Ley de Newto ewton n se enu enuncia ncia basá asándo ndose en esto estoss res result ultado ados experimentales, resumiendo esas observaciones en el siguiente enunciado:
“La acel aceler erac ació ión n de un cuer cuerpo po es dire direct ctam amen ente te prop propor orci cion onal al a la fuer fuerza za resu result ltan ante te que actú actúa a sobr sobre e el cuer cuerpo po e inve invers rsam amen ente te propo proporc rcio iona nall a su masa.”
59
Matemáticamente en términos de la fuerza resultante
F, se expresa,
Fx m. a x F m. a y y
F m.a
Esta ecuación es muy sencilla y completa, encierra razonamientos físicos muy profundos, producto de la experiencia, se conoce como la ecuación fundamental de movimiento . Permite describir el movimiento y la mayor parte de los fenómenos de la Mecánica Clásica, (excepto los cambios de opinión de una mujer que se rigen por una fuerza de voluntad o se producen por motivos de fuerza mayor, son aleatorios, caóticos e impredecibles).
Tercera Ley de Newton (Ley de Acción y Reacción) Cada vez que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro cuerpo, este reacciona ejerciendo una fuerza sobre el primero. Las fuerzas en cada cuerpo son de igual magnitud, y actúan en la misma línea de acción, pero son de sentido contrario. Esto significa que no es posible que exista una fuerza aislada, es decir, no existe un cuerpo aislado en la naturaleza, cualquier fuerza individual es un aspecto de una interacción mutua entre dos cuerpos, que puede ser por contacto directo o por acción a distancia. Esta propiedad de las fuerzas fue demostrada experimentalmente y expresada por Newton en su Tercera Ley de Movimiento, que se enuncia como sigue:
“Si dos cuerpos interactúan, la fuerza que el cuerpo (A) ejerce sobre el cuerpo (B), es igual y opuesta a la fuerza que el cuerpo (B) ejerce sobre el cuerpo (A)”.
Facción Freacción Fuerza de reacción normal ( RN )
Si un cuerpo se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, el bloque ejerce una fuerza de acción sobre la superficie y ésta ejerce otra fuerza (fuerza de reacción), pero la reacción es perpendicular a la superficie en contacto y se le denomina fuerza de reacción normal . 60
Fuerza de rozamiento o fuerza de fricción Fuerza de rozamiento estático (f e) Consideremos una superficie áspera y sobre un bloque que se encuentra aún en reposo a pesar de la acción de la fuerza externa “F”. De la fuerza de rozamiento y reacción normal, hallamos la fuerza de reacción resultante “R”. La fuerza de reacción “R” no siempre actúa perpendicularmente a la superficie de contacto, solamente si las superficies en contacto son lisos o carecen de rozamiento. R
RN
Está en reposo
θ
F
e
.g
θ
Si el bloque está a punto de resbalar, el ángulo “ θ” toma su valor m áximo para la posición mostrada, y relacionando las componentes de la reacción, tenemos: f e tan RN
Luego, f e tan .R N
De dond donde e e tan ; “ µe ” se denom denomin ina a coef coefic icie ient nte e de roza rozami mien ento to está estátitico co máximo. La ecuación de la fuerza de rozamiento estático máximo, es: f e
e.R N
Fuerza de rozamiento cinético (f k) Cuando un cuerpo es arrojado sobre cualquier superficie o cuando un objeto se mueve a través de un medio viscoso como agua o aire, después de cierto tiempo se detiene, porque experimenta una resistencia a su movimiento debido a la interacción del cuerpo con el medio que lo rodea. Esa resistencia cambia la velo veloci cida dad d del del cuer cuerpo po,, por por lo tanto anto se mide mide con con una una fuer fuerza za.. Una Una fuer fuerza za de fuerza za de roza rozami mien ento to ciné cinéti tico co o de resistencia de esa naturaleza se llama fuer 61
fricción fricción cinética, cinética, y se presenta entre dos superficies ásperas en contacto y
cuando uno de ellos se mueve respecto al otro. Análogamente al a fuerza de fricción estática, la ecuación de la fuerza de rozamiento cinético, se tiene: f c c
c.R N
: Coeficiente de rozamiento cinético.
Momento de una fuerza o torca ( MF ó
)
En la figura se muestran dos fuerzas aplicadas en un punto periférico de un disco cuyo eje de rotación pasa por su centro. F R
R
Figura (a)
Figura (b)
F
La fuerza que actúa sobre el disco de la figura (a) no produce giro sobre éste, más si la fuerza es intensa el disco se trasladará en la dirección de la fuerza. Es evidente que el disco de la figura (b) tenderá a girar porque la fuerza que actúa moment nto o de fuer fuerza za o torc torca, a, es el sobre él es perpendicular a su radio. El mome efec efecto to de giro giro que produ produce cen n los los cuer cuerpos pos sobre sobre otro otro cuer cuerpo po. Para ello la fuerza debe estar aplicada a una distancia perpendicular del centro de giro. Ahora definamos el momento de una fuerza “F” cuyo brazo de palanca es “r”. F
α
d r = d.senα
MF F.r F.d.sen
O
62
Es la parte de la física que estudia los cuerpos en equilibrio. Sobre un cuerpo en equilibrio actúan fuerzas y momentos cuyas resultantes son nulas, de tal forma que permanece en reposo o en movimiento rectilíneo con aceleración nula. El objeto de la estática es determinar la fuerza resultante y el momento resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo para poder establecer sus condiciones de equilibrio.
Condiciones de equilibrio: Primera condición de equilibrio o condición de equilibrio de traslación. La resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula (Primera Ley de Newton). x 0 F0 F Fy 0
ax 0 ay 0
Segunda condición de equilibrio o condición de equilibrio de rotación. El momento resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, respecto a un determinado punto, debe ser nula.
M 0 PROBLEMAS 01. Las esferas tienen masas de 5 kg cada una y se encuentran en reposo. Determine la masa del bloque. (Desprecie todo tipo de rozamiento y g = 10 m/s2 ) A) 2 kg B) 4 kg C) 6 kg D) 8 kg E) 10 kg 63
02. La barra de la figura pesa12 N y se encuentra en equilibrio apoyada en una pared vertical y el plano inclinado, completamente lisos. Si la reacción en el apoyo A es de 5 N. Halle la reacción en el apoyo B. A
A) 10 N B) 12 N C) 13 N D) 5 N E) 14 N
B
03. El sist istema ema most mostra rad do se enc encuent uentra ra en equil quilib ibri rio. o. Si la pole olea es ide ideal, al, determine la deformación del resorte. (k = 2000 N/m; g = 10 m/s 2) A) 5 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 15 cm E) 20 cm
5 kg
04. La esfera homogénea de 6 kg se encuentra en reposo tal como se muestra. Determine el módulo de la reacción de la pared vertical sobre la esfera lisa. (g = 10 m/s 2 ) A) 40 N B) 50 N C) 60 N D) 80 N E) 100 N
A B 53º
05. Si el bloque se encuentra en equilibrio, determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s 2 ) A) 6 3 N B) 12 N 12 2 N C) 12 D) 24 N E) 0 3 N
60º
12 kg
64
06. 06. El El sist sistem ema a most mostra rado do se encu encuen entr tra a en repo reposo so.. Dete Determ rmin ine e la lect lectur ura a del del dinamómetr dinamómetro o y la reacción reacción del piso liso sobre el bloque de 20 N de peso. 2 (g = 10 m/s ) A) 14 N; 20 N B) 12 N; 11 N C) 10 N; 10 N D) 8 N; 20 N E) 6 N; 11 N
1,5 kg
37º
07. Si el bloque liso de 9 kg se encuentra en reposo, determine el módulo de la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s 2 ) A) 50 N 30 3 N B) 30 C) 50 3 N 100 3 N D) 10 E) 150 N
30º 30º
08. Si el bloque desliza con velocidad constante, determine el coeficiente de rozamiento cinético entre las superficies. A) 1/2 B) 3/4 C) 4/5 D) 2/3 E) 3/5
v μk
37º
09. Determine la fuerza de tensión en la cuerda, si los bloques se dejan en libertad en la posición mostrada. (m = 2 kg; g = 10 m/s 2 ) A) 16 N B) 20 N C) 21 N D) 22 N E) 24 N
4m
m
65
μs = 0,3 μk = 0,1
10. Calcular el valor mínimo de la fuerza horizontal “F” de manera que el bloque se 55 N de peso se mantenga en equilibrio. El coeficiente de rozamiento estático en el plano inclinado es 0,5. A) 16 N B) 15 N C) 14 N D) 12 N E) 10 N
37º
11. Si el bloque de 2 kg inicialmente está en reposo, determine el módulo de la fuerza de rozamiento y el módulo de la reacción de la superficie, luego de aplicarse la fuerza indicada. (g = 10 m/s 2 ) 30 5 N A) 40 N; 30 30 5 N B) 30 N; 30 C) 30 N; 30 N D) 20 N; 0 3 N E) 45 N; 50 N
μ
,4,8
F = 50 N 53°
12. Cuál debe ser el mínimo valor de la fuerza F que se debe ejercer al bloque de 5 kg para que esté a punto de deslizar. (g = 10 m/s 2) A) 20 N B) 30 N C) 40 N D) 50 N E) 60 N
μ
,75 ,60
F
7°
13. Para los sistemas mostrados, determine el momento de la fuerza F respecto al punto O. 2m
F 10 2N 2N
0m m
F = 50 N
O
A) +20 N.m; -600 - 600 N.m C) +45 N.m; -60 N.m 600 N.m E) 5 2 N.m; 600
7°
O
60N.m B) 20 2 N.m; 60N. D) +20 N.m; 0
66
14. La barra homogénea homogénea de 20 N se encuentra encuentra en equilibrio, equilibrio, determine determine el módulo de la reacción en la articulación. A) 10 N 10 5 N B) 10 C) 15 N D) 20 N 20 5 N E) 20
45º
15. Si Si F = 6 N y la barra de 1 kg es homog mogénea, determin mine el mom momento resultante sobre la barra respecto de la articulación e indique el sentido de rotación de la barra. (g = 10 m/s 2 ) A) +2 N.m; horario B) -2 N.m; no rota C) +2 N.m; antihorario D) +12 N.m; antihorario E) -12 N.m; horario
F 2m
16. Si la barra de 4 kg se mantiene horizontal; determine el módulo de la tensión en la cuerda (1). (g = 10 m/s 2) A) 20 N B) 40 N C) 50 N D) 60 N E) 80 N
(1)
C. G. L
L
L
17. 17. La La barr barra a de 15 kg se encu encuen entr tra a en repo reposo so.. Dete Determ rmin ine e el módu módulo lo de la 2 reacción reacción en P. (Radio (Radio de la polea = 5 cm; g = 10 m/s ) A) 20 N B) 30 N C) 35 N D) 40 N E) 50 N
30 cm
G 0 m
67
P
18. Si se desprecia el peso de la barra, para el equilibrio se cumple que: (W: peso) A) B) C) D) E)
WP WQ 2 WP 3W Q 3WP 5W Q 3WP 4 WQ 4 WP 3WQ
37º 53º P Q
19. El sistema que se muestra se encuentra en equilibrio. Determine la reacción que ejerce la varilla rígida al rodillo de masa despreciable. (m barra = 15 kg; AB = 1/2 BC; g = 10 m/s 2 )
A) 15 N B) 20 N C) 30 N D) 50 N E) 60 N
C C. G. B
20. El centro centro de gravedad gravedad de la barra se ubica debajo del bloque pequeño. pequeño. A qué distancia distancia máxima de B debemos ubicar ubicar el bloque bloque de tal manera que la barra barra permanezca horizontal. (m barra = 2 m bloque) A) 0,5 m B) 1 m C) 1,5 m D) 2 m E) 2,5 m
,5 m
21. Si la esfera de 12 kg de la figura permanece en reposo en la posición mostrada, determine la fuerza mínima “F” que actúa sobre ella. (g = 10 m/s 2) A) 60 N B) 72 N C) 84 N D) 90 N E) 108 N
7º
F
68
22. La barr arra de 7 m de long longititu ud se encu ncuentr entra a en rep reposo oso apoy apoyad ada a en dos dos superficies lisas. ¿A qué distancia de A se ubica su centro de gravedad? A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 6 m
5°
3°
37°
69
Dinámica lineal De la Segunda Ley de Newton:
Fx m. a x F m. a y y
F m.a
Dinámica del movimiento circular Una Una part partíc ícu ula que que se muev mueve e sobr sobre e una una tray trayec ecto tori ria a circ circul ular ar de radi radio o “r” “r” con con rapidez constante, se encuentra sometida a una aceleración radial de magnitud v2/r. Por la segunda ley de Newton, sobre la partícula actúa una fuerza en la dirección de la aceleración centrípeta “ a c”, hacia el centro de la circunferencia, cuya magnitud es:
Fc m.ac
v2 Fc m. r
Por ser proporcional a la aceleración centrípeta, la fuerza Fc se llama fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es la resultante de las fuerzas radiales, éstas se consideran positivas si actúan hacia el centro y negativa, si se oponen al centro de la trayectoria. Su efecto es cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo. Se puede sentir esta fuerza cuando se hace girar a un objeto atado a una cuerda, ya que se nota el tirón del objeto.
PROBLEMAS (Considere g = 10 m/s 2 ) 01. 01.
Un cohe cohete te de 200 kg ascien asciende de verti vertica calm lmen ente te con una acele acelera raci ción ón de 25 2 m/s ; determine la fuerza de propulsión del cohete. Desprecie la fuerza de resistencia del aire. A) 2000 N D) 7000 N
B) 3000 N E) 8000 N
C) 5000 N 70
02.
Un bloque bloque 5 kg se se despla desplaza za horizon horizontalmen talmente te con una aceler aceleració ación n de 4 m/s m/s 2 por acción de una fuerza horizontal F = 30 N. Determine la fuerza de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie. A) 10 N D) 20 N
03.
B) 12 N E) 25 N
Determine Determine la fuerz fuerza a de contacto contacto entre los bloques bloques lisos lisos de la figura figura.. A) 4 N B) 8 N C) 12 N D) 16 N E) 20 N
04. 04.
F = 25 N 37º 3 kg
2 kg kg
F = 40 N
8 kg
A una una barra barra homog homogéne énea a de 2 kg, se se le aplic aplica a simult simultáne áneame amente nte dos dos fuerza fuerzass en los extremos, como indica la figura. Determine el módulo de la tensión que soporta la barra en la parte central, despreciar la fricción. F2 = 70 N
A) 15 N D) 55 N 06.
2 kg kg
En el siste sistema ma de la figura figura,, si todas todas las las supe superf rfic icie iess son lisas lisas,, deter determi mine ne la fuerza de reacción de la pared vertical del bloque de 8 kg sobre el bloque de 2 kg. A) 8 N B) 16 N C) 20 N D) 32 N E) 40 N
05.
C) 15 N
F1 = 80 N
B) 25 N E) 75 N
C) 45 N
Una person persona a de 72 72 kg desc descien iende de con con una aceler aceleraci ación ón de 8 m/s 2 abrasada de un tubo vertical, vertical, determin determine e el valor de la fuerza de rozamiento rozamiento cinético cinético entre el cuerpo de la persona y el tubo. A) 72 N D) 144 N
B) 80 N E) 720 N
C) 100 N 71
07.
Si el plano inclinado carece de fricción, ¿cuál es el módulo de la aceleración del bloque? A) 2 m/s2 Liso B) 3 m/s2 C) 4 m/s2 D) 5 m/s 2 30º E) 6 m/s2
08.
La fuer fuerza za “F” hace hace desc descend ender er la caja caja de 100 100 kg con con acelera aceleració ción n consta constante nte de 1 m/s 2 haci hacia a abaj abajo. o. Dete Determ rmin ine e el módu módulo lo de “F”. “F”. Cons Consid ider ere e pole poleas as ideales. A) 250 N B) 300 N C) 400 N D) 450 N E) 500 N
09.
F
Determine Determine la tensi tensión ón en la cuerda cuerda que que une los bloques bloques de de la la figura. figura. F = 120 N
A) 48 N B) 50 N C) 54 N D) 64 N E) 72 N 10.
6 kg
kg
Si el dina dinamóm mómetr etro o indica indica 60 N; N; determ determine ine el módu módulo lo de la acel acelera eració ción n del bloque. (m = 10 kg) A) 2 m/s2 B) 3 m/s2 C) 4 m/s 2 D) 5 m/s 2 E) 6 m/s2
11.
00,,54
m
Si el sist sistema ema es deja dejado do en liber libertad tad,, determi determine ne el módulo módulo de la la aceler aceleraci ación ón de bloque A. (m A = 4 kg; mB = 5 kg) 2
A) 2 m/s B) 4 m/s2 C) 5 m/s 2 D) 6 m/s 2 E) 8 m/s2
μ
7/20 7/10
A
B 72
12. 12.
Del Del tech techo o de un bus bus que que se despla desplaza za horiz horizon onta talm lmen ente te con con acel aceler erac ació ión n constante de 69 m / s 2 , se suspende una esfera de 2 kg. Halle la tensión en la cuerda que sujeta a la esfera. A) 18 N D) 32 N
13. 13.
C) 26 N
Det Determi ermine ne el módulo módulo de la reacc reacció ión n entr entre e los los bloqu bloques es A y B. Consi Conside dere re superficies lisas. (m A = 2 kg; mB = 3 kg; m C = 5 kg) A) 4 N B) 5 N C) 6 N D) 7 N E) 8 N
14. 14.
B) 20 N E) 36 N
F=8N
C
B
A
El bloqu bloque e de la figur figura a se encue encuent ntra ra en movim movimie ient nto o inmi inminen nente te resp respec ecto to al móvil, cuando éste adquiere una aceleración “a”. Determine el módulo de la aceleración “a” si el coeficiente de rozamiento estático máximo entre el bloque y el móvil es 2/5. A) 4 m/s2 B) 5 m/s2 C) 6 m/s 2 D) 7 m/s 2 E) 8 m/s2
15.
En la la figura figura el bloq bloque ue B desci desciend ende e con rapid rapidez ez const constant ante e de 4 m/s. ¿Cuá ¿Cuáll es el valor del coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y la superficie horizontal? A) 0,20 B) 0,25 C) 0,40 D) 0,50 E) 0,80
8 kg
k
73
16.
Si el el sistema sistema es aban abandon donado ado,, determ determine ine el módulo módulo de de la aceler aceleraci ación ón de los los bloques. No existe rozamiento. (m A = mB = 5 kg) A) 1 m/s2 B) 2 m/s2 C) 3 m/s 2 B D) 4 m/s 2 A 2 E) 5 m/s 37º
17.
En el el sistema sistema mostr mostrado ado,, determi determine ne el módul módulo o de la reacc reacció ión n del piso piso sobr sobre e el bloque de 7 kg. Desprecie los efectos del rozamiento. A) 20 N B) 30 N F = 96 N C) 80 N 5 kg 7 kg D) 90 N 53° E) 100 N
18.
Consid Considera erando ndo polea poleass ideales ideales y superf superfici icies es lisas, lisas, deter determin mine e la tensión tensión en la cuerda (1) cuando el sistema se deja en libertad en la posición mostrada. (m A = mB = 2 kg) A) 4 N B) 6 N C) 8 N D) 12 N E) 16 N
19.
B
Una esfera de 4 kg gira en torno al punto “O” sobre una superficie horizontal lisa y barre un arco de 5 rad en cada segundo. Determine el módulo de la tensión en la cuerda (en N) que sujeta la esfera (Radio de la trayectoria = 40 cm). A) 60 D) 50
20.
(1)
B) 40 E) 100`
C) 80
Determ Determine ine el módu módulo lo de la tensi tensión ón en la cuer cuerda, da, cuand cuando o la esfera esfera de de 4 kg pasa por las posiciones A, B y C respectivamente. (v A = 10 m/s; vB = 8 m/s; vC = 7 m/s) C
A) (240; 128; 50) N B) (320; 140; 32) N C) (240; 180; 36) N D) (228; 140; 320) N E) (240; 180; 64) N
B 2m A 74
21.
Si la la cuerda cuerda de de 0,5 0,5 m que sosti sostiene ene a la esfer esfera a soport soporta a una tens tensión ión de de 50 N, determine la rapidez angular de la esfera. A) 1,5 rad/s B) 2,5 rad/s C) 5 rad/s D) 10 rad/s E) 20 rad/s 4 kg
22.
La esfe esfera ra de 2 kg de la la figur figura a se mantie mantiene ne en la posici posición ón mostr mostrada ada sobr sobre e la superf superfici icie e lisa, lisa, cuando cuando el móvil móvil se despl desplaza aza con aceler aceleraci ación ón consta constante nte.. Determine la fuerza de reacción que ejerce la superficie sobre la esfera. A) 10 N B) 20 N C) 30 N D) 40 N E) 50 N
23. 23.
a
¿Con ¿Con qué rapid rapidez ez angula angularr debe debe estar estar girand girando o la esfer esfera a sobr sobre e el tabl tabler ero o horizontal liso; de tal manera que el bloque unido a la esfera mediante una cuerda que pasa por un agujero liso, no pierda el equilibrio? A) 2 rad/s B) 3 rad/s C) 4 rad/s D) 5 rad/s E) 8 rad/s
24.
60°
F
40 cm m m
La esfe esfera ra de de 2 kg kg se encu encuent entra ra atad atada a a una una cuer cuerda da de de 1 m de longit longitud. ud. Si 1,5 2 m / s; dete su rapidez en A es de 1,5 determ rmin ine e el módu módulo lo de la fuer fuerza za resultante en A. A) 5 N B) 10 N C) 15 N D) 20 N E) 25 N
37º A
75
El pr prob oble lema ma fu fund ndam ament ental al de la Me Mecá cáni nica ca es de desc scri ribi birr có cómo mo se mo move verá rán n lo loss cuerpos si se conocen las fuerzas aplicadas sobre él. La forma de hacerlo es aplicando la segunda Ley de Newton, pero si la fuerza no es constante, es decir la aceleración no es constante, no es fácil determinar la velocidad ni la posición del cuerpo. Los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las Leyes de Newton, por lo que no se requiere ningún principio físico nuevo. Con el uso de estas dos magnitudes físicas, se tiene un método alternativo para describir el movimiento, especialmente útil cuando la fuerza no es constante, ya que en este caso la aceleración no es constante y no se pueden usar las ecuaciones de la cinemática anteriormente estudiadas. Ejemplos de fuerzas variables son aquellas que varían con la posición, comunes en la naturaleza, como la fuerza gravitacional o las fuerzas elásticas.
Trabajo realizado por una fuerza constante. Si la fuerza “F” que actúa sobre una partícula es constante, el movimiento se realiza en línea recta en la dirección de la fuerza. Si la partícula se desplaza una distancia “d” por efecto de la fuerza “F” , entonces se dice que la fuerza ha realizado trabajo W sobre la partícula de masa m , que en este caso particular se define como:
m A
F
WF F.d d
B
El trabajo es una magnitud escalar cuya unidad en el sistema internacional de unidades (SI) es el joule (J). 1 joule 1(Newton ).(metro) 76
Una fuerza que tiene dirección perpendicular al desplazamiento del cuerpo, no realiza trabajo sobre él. F m WF 0
B
d
A
Si la fuerza constante no actúa en la dirección del movimiento, el trabajo que se real re aliz iza a es de debi bido do a la co comp mpon onen ente te de la fu fuer erza za en la di dire recc cció ión n pa para rale lela la al movimiento, como se ve en la figura. La componente de la fuerza, perpendicular al desplazamiento, no realiza trabajo sobre el cuerpo. F
WF F// .d WF (F . cos )d
α
m
F// F .cos
B
d
A
WF F.d.cos
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento La fuerza de rozamiento siempre está opuesta al desplazamiento de un cuerpo ( α = 180º), por lo que el trabajo que realiza es siempre negativo. El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento es energía perdida. m f c
WF f c.d
A
d
B
Trabajo neto El trabajo neto realizado por las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en el desplazamiento “d” es igual a la suma algebraica de los trabajos que realizan las fuerzas sobre dicho cuerpo o se determina como el trabajo realizado por la fuerza resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en el desplazamiento “d”, esto es: 77
WNeto W1 W2 W3 ... WNeto F1.d F2. d F3 .d ... (F1 F2 F3 ...).d WNeto FR .d
Trabajo mecánico, producto escalar de la fuerza y el desplazamiento. Si se tienen las componentes de una fuerza y del desplazamiento del cuerpo, el trabajo se determina como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.
Fy
F
B
Fx dy
d A
F
dx
F.d F x , F y . d x , d y WF F x . d x F y . d y
Trabajo en una gráfica fuerza versus desplazamiento (F - v) fuerza ver versus sus des despla plazam zamien iento to, el ár área bajo la curva En to tod da grá ráfifica ca fuerza representa el trabajo realizado por la fuerza en dicho desplazamiento. F (N)
W = ÁREA x (m) x1
x2
78
Ejemplo 01. Dada la fuerza que actúa sobre un cuerpo y que depende del desplazamiento según la ecuación F = (10 + 2x) N; determine el trabajo que realiza cuando el cuerpo se desplaza de x = 2 m a x = 5 m.
Solución: Con lo Con loss da dato toss de dell pr prob oble lema ma es ne nece cesa sari rio o gr graf afic icar ar l a fu fuer erza za en fu func nció ión n de dell desplazamiento. La gráfica es una línea recta por lo que es necesario solamente dos puntos. Para x = 2 m, en F = 10 + 2x = 10 +2(2) = 14 Para x = 5 m, en F = 10 + 2x = 10 +2(5) = 20 Desplazamiento Fuerza 20
x (m) F (N)
2 14
5 20
F (N)
14 W = ÁREA 0
2
5
x (m)
El trabajo realizado por la fuerza cuando el bloque se desplaza de x = 2 m a x = 5 m es igual al área sombreada. Para determinar el área debemos recordar que el área del trapecio es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura. (b = 14; B = 20; h = 3) Luego: b B 14 20 W .h .3 (17).3 51 J 2 2
79
La potencia mecánica es el trabajo mecánico que realiza una fuerza en cada unidad de tiempo. La potencia media se define como el trabajo que realiza una fuerza en un determin determi nado tie ti em po “Δt”
P
W trabajo t tiempo
La unidad de la potencia en el SI es el watt (W). 1watt ( W)
1 Joule 1 J segundo s
La po pote tenc ncia ia su sumi mini nist stra rada da po porr un una a fu fuer erza za co cons nsta tant nte e “ F ” que actúa sobre un cuerpo que se desplaza con velocidad constante “ v ”, es:
P F.v
La ecuación anterior es el producto escalar de los vectores fuerza y velocidad . La ecuación de la potencia en términos de las componentes de la fuerza y de la velocidad es:
P Fx .v x Fy .v y
80
La energía de un sistema se manifiesta en la capacidad que posee para realizar trabajo. La energía de la materia se debe a su movimiento o a su posición en relación con las fuerzas que actúan sobre ella.
ENERGIA CINÉTICA (Ec) Es la energía asociada al movimiento de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. La energía cinética depende tanto de la rapidez y la masa del cuerpo. Los cuerpos que viajan a altas velocidades poseen mayor energía cinética que los cuerpos que se desplazan a velocidades menores, de igual modo los cuerpos de mayor masa poseen mayor energía que los de menor masa, si ambos poseen la misma rapidez. 1 E c mv 2
m: masa del móvil v: módulo de la velocidad del móvil o rapidez.
ENERGÍA POTENCIAL (E P) Es la energía relacionada a la posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia y de las fuerzas que actúan sobre él.
Energía Potencial Gravitacional (E pg) Un cuerpo posee energía potencial gravitacional debido a su posición (altura) respecto a un sistema de referencia. El cuerpo tendrá mayor energía potencial cuando la altura sea mayor, y para menor altura, la energía potencial será menor. La única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la fuerza de atracción gravitacional que ejerce la Tierra sobre él. m
E pg
h Nivel de referencia 81
m.g.h
m: masa del cuerpo g: aceleración de la gravedad h: altura a la que se encuentra el cuerpo con respecto al nivel de referencia (N. R.)
Energía Potencial Elástica (Epe ) Es la energía que adquieren los cuerpos elásticos cuando sufren una deformación. Los resortes estirados o comprimidos adquieren energía potencial elástica y ésta es directamente proporcional a la constante de rigidez del resorte y al cuadrado de su deformación. Resorte sin deformar x
Resorte estirado
Epe
Frestauradora
1
kx 2
Ley de Hooke Un resorte el ser deformado (estirado o comprimido) por una fuerza externa trata de recuperar su longitud original. La fuerza que ejerce el resorte para restaurar su forma es opuesta a la fuerza externa y al desplazamiento producido por ésta al de defo form rmar arlo lo,, po porr lo qu que e titien ene e si sign gno o ne nega gatitivo vo.. La fu fuer erza za re rest stau aura rado dora ra es dire di rect ctam amen ente te pr prop opor orci cion onal al a la co cons nsta tant nte e de ri rigi gide dezz “ k” del resorte y a su deformación “x”. Frestauradora k .x k = = constante de restitución del resorte (N/m). x = = deformación (estiramiento o compresión) del resorte.
ENERGÍA MECÁNICA (E) Consideremos un cuerpo que desciende por un plano inclinado sin rozamiento, en un determinado instante, éste posee velocidad y se halla a una determinada altura respecto al pie del plano inclinado (nivel de referencia); en ese instante el bloq bl oque ue po pose see e en ener ergí gía a ci ciné nétitica ca de debi bido do a su mo movi vimi mien ento to y co con n re resp spec ecto to a su posición, posee energía potencial gravitacional. La energía total del cuerpo en cualquier instante es denominada energía mecánica.
E
ecánica
Ecinética Epotencial 82
Principio de Conservación de la Energía Mecánica “La “L a en ener ergí gía a no se cr crea ea ni se de dest stru ruye ye,, só sólo lo se tr tran ansf sfor orma ma”. ”. La ene energí rgía a
mecánica de un sistema permanece constante, si sobre él no actúan fuerzas disipativas (rozamiento, fuerzas de resistencia, etc).
E final E inicial Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica Al actuar una fuerza resultante sobre un cuerpo hace que la rapidez del cuerpo incr in cre eme ment nte e y si la fue uerrza titie ene co comp mpon one ent nte e ver erttic ica al, el cue uerrpo ta tamb mbié ién n experimentará un desplazamiento vertical. La variación de la rapidez del cuerpo implica la variación de la energía cinética y la variación de la posición vertical, la variación de la energía potencial. El trabajo que desarrolla la fuerza resultante es igual a la variación de la energía cinética y energía potencial del cuerpo; en forma general el trabajo es igual a la variación de la energía mecánica del cuerpo. W E E final E inicial
Luego: W 12 m( vf 2 v 2o ) mg (h f h o )
(i) Si h f h o h 0 W 12 m (v f 2 v o2 )
La ecuación representa el teorema del trabajo y la energía cinética. (ii) (i i) Si v = co cons nst. t. (v f 2 v 2o 0 ) , se obtie obtiene ne la expr expresión esión del teor teorema ema del traba trabajo jo y la energía potencial. W mg (h f h o )
83
PROBLEMAS 01. Determine la alternativa correcta: A) La fuerza de rozamiento estático realiza trabajo negativo sobre un cuerpo. B) El trabajo trabajo realiza realizado do por la fuerza fuerza de reacc reacción ión normal normal es positivo. positivo. C) El tr trab abaj ajo o re real aliz izad ado o po porr la fu fuer erza za de ro roza zami mien ento to ci ciné nétitico co es en ener ergí gía a perdida en forma de calor. D) Solamente realizan trabajo las fuerzas perpendiculares al desplazamiento. E) El trabajo trabajo neto sobre sobre un cuerpo cuerpo que se des despla plaza za con rap rapide idezz con consta stante nte,, es positivo. 02. Indique la alternativa incorrecta: A) El trabajo realizado sobre un cuerpo para elevarlo una determinada altura, se convierte en energía potencial del cuerpo. B) Todo cuerpo cuerpo en movimient movimiento o posee energía energía cinéti cinética. ca. C) La en ener ergí gía a po pote tenc ncia iall el elás ástitica ca es la qu que e al alma mace cena na un re reso sort rte e al se ser r deformado. D) Se deja deja caer un cuerpo cuerpo y a una deter determin minada ada altura altura del suelo suelo el cuerpo cuerpo posee energía cinética y energía potencial. E) Un cuerpo cuerpo lan lanzad zado o ver vertic ticalm alment ente e hac hacia ia arr arriba iba y que realiza realiza caída lib libre, re, posee mayor energía mecánica en el punto más alto de su trayectoria. 03. Determine la alternativa correcta: A) La energía cinética de un cuerpo que asciende en caída libre, aumenta. B) Par Para a un cuerpo cuerpo que realiza realiza movimien movimiento to par parabó abólic lico, o, la energía energía pot potenc encial ial es igual a la energía mecánica en el punto más alto de la trayectoria. C) La fuerza fuerza de roz rozami amient ento o est estáti ático co sobre un cuerpo cuerpo depende depende de la fuerza fuerza externa aplicada al cuerpo. D) Un cuerpo cuerpo en mov movimi imient ento o par parabó abólic lico o pos posee ee energía energía cin cinéti ética ca nula en el punto más alto de su trayectoria. E) Si la ra rapi pide dezz de un cu cuer erpo po se dupli duplica ca,, su en ener ergí gía a ci ciné nétitica ca tambié también n se duplica. 04. Sobre un bloque que descansa sobre una superficie horizontal lisa se aplica una fuerza horizontal horizontal “F” que realiza realiza 12 J de trabajo en un desplazamien desplazamiento to de 3 m. Determine la cantidad de trabajo que desarrolla “F” sobre el bloque en un desplazamiento de 10 m. A) 24 J D) 40 J
B) 30 J E) 45 J
C) 36 J 84
05. Un turista arrastra horizontalmente una maleta con una fuerza de 15 N. Si desarrolla 60 J de trabajo mecánico en un desplazamiento de 5 m, determine el ángulo que forma la fuerza con la horizontal. A) 30º D) 53º
B) 37º E) 60º
C) 45º
06. Un duende desliza una caja de oro de 4 kg por una superficie horizontal áspera a rapidez constante. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre la superficie y la caja es 0,3; determine la cantidad de trabajo que desarrolla el duende en un desplazamiento de 5 m. g = 10 m/s 2. A) 40 J D) 72 J
B) 50 J E) 84 J
C) 60 J
07. Determine Determine la canti cantid dad de traba trabajo jo desar desarrolla rollado do por la hormi hormiga ga para trasladar trasladar a su presa de 1 kg, un tramo de 5 m a rapidez constante. (g = 10 m/s 2 ) A) 10 J B) 15 J C) 20 J D) 25 J E) 30 J 30° 08. La fuerza F aplicada sobre el bloque liso produce un MRUV con a = 0,2 m/s 2. Determine el trabajo total realizado sobre el bloque de 500 kg, luego de recorrer 20 m. (g = 10 m/s 2) A) -2 kJ B) -1 kJ F C) 1 kJ α D) 2 kJ E) 4 kJ 09. La energía mecánica de un cuerpo que posee una rapidez v = 5 m/s es de 85 J. Si su masa es 2 kg, la altura a la que se encuentra respecto al nivel de referencia, es: (g = 10 m/s 2 ) A) 1 m D) 4 m
B) 2 m E) 5 m
C) 3 m
10. Un cuerpo de 2,5 kg es soltado desde una altura de 50 m, determine la energía potencial del cuerpo al cabo de 3 s, respecto al piso. Considere que el cuerpo realiza caída libre. (g = 10 m/s 2 ) A) 75 J D) 145 J
B) 100 J E) 175 J
C) 125 J 85
11. Determine Determine el trabajo realizado realizado por la fuerza de fricción para detener el bloque que se muestra. A) -80 J v B) -120 J v= 0 μ = 0,5 C) -130 J 4 kg 4 kg D) -100 J E) -50 J 5m 12. El cuerpo de masa M que se muestra se abandona en A. La rapidez que tendrá al pasar por B, será: (g = 10 m/s 2 ) A) 5 m/s B) 6 m/s C) 8 m/s D) 10 m/s E) 12 m/s
A 7,2 m B
13. Una pequeña esfera lisa de 2 kg se suelta en la posición A. Determine la reacción normal sobre la esfera cuando pasa por la posición B. (H = R; g = 10 m/s 2) A) 20 N B) 40 N C) 80 N D) 100 N E) 120 N
H
B
14. Un cajón de 2 kg se acerca a un resorte de constante de rigidez k = 800 N/m, con rapidez de 4 m/s. Determine la máxima compresión que experimenta el resorte. A) 0,1 m B) 0,15 m Liso k C) 0,2 m D) 0,25 m E) 0,4 m 15. Sobre un bloque de masa “m” actúa una fuerza horizontal que varía con la posición como se indica en la gráfica. Determine el trabajo desarrollado por la fuerza desde x = 0 hasta x = 4 m. A) 240 J B) 160 J C) 80 J D) 120 J E) 360 J
F (N) 80 x (m) 0
2 86
4
16. El gráfico muestra la variación de una fuerza horizontal que actúa sobre un cuerpo en función de la posición “x”. Calcule el trabajo realizado desde x = 0 hasta x = 10 m. A) 50 J F (N) 20 B) 75 J C) 80 J D) 100 J x (m) E) 200 J 0
10
17. Sobre un bloque se aplica una fuerza horizontal: F = (2 + 5.x) N, donde “x” está expresada en metros. Halle el trabajo que realiza “F” en los primeros 4 m. A) 30 J D) 48 J
B) 38 J E) 50 J
C) 40 J
18. Sobre un bloque se aplica una fuerza horizontal: F = (6x 2 + x) N, donde “x” está expresada en metros. Halle el trabajo que realiza “F” en los primeros 2 m. A) 12 J D) 26 J
B) 18 J E) 32 J
C) 24 J
19. Sobre un bloque se aplica una fuerza horizontal: F = (3x 2 + 2.x) N, donde “x” está expresada en metros. Halle el trabajo que realiza “F” en los primeros 4 m. A) 40 J D) 80 J
B) 48 J E) 120 J
C) 60 J
20. En el extremo libre del resorte horizontal comprimido en 25 cm se coloca un bloque de 2kg y luego se abandona. Determine el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento sobre el bloque, durante el ascenso, si logra subir hasta “B”. No existe rozamiento en la superficie horizontal. ( k = 800 N/m y g = 10 m/s2 ) A) -5 J B B) -8 J v C) -10 J 1m k D) -12 J E) -15 J 21. La figura muestra el instante en que la esfera de 5 kg es abandonada. Determine la cantidad de trabajo neto que se realiza sobre la esfera desde A hasta B. Considere que el viento ejerce una fuerza constante de módulo 10 N. (g = 10 m/s 2 ) 87
A) -120 J B) -80 J C) 40 J D) 80 J E) 120 J
m
B
22. La esfera soltada en A sale horizontalmente por B. Si no existe rozamiento, determine “H”. (g = 10 m/s 2) A) 4,8 m B) 5,2 m C) 5,4 m D) 6,2 m E) 6,4 m
A
B
H 5m m
23. La esfera de 2 kg de la figura se abandona en la posición “A” y pasa por “B” con una rapidez de 10 m / s. Halle el traba trabajo jo que reali realiza za la fuerz fuerza a gravit gravitacio acional nal 2 en AB. (g = 10 m/s ) A) 5 J B) 10 J A C) 12 J B D) 16 J E) 20 J 24. Un cuerpo de 2 kg es lanzado horizontalmente desde la azotea de un edificio de 30 m de altura. Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitacional, en 2 s. (g = 10 m/s 2 ) A) 200 J D) 500 J
B) 400 J E) 600 J
C) 450 J
25. Desde cierta altura un cuerpo de 2kg es lanzado horizontalmente con una rapidez de 3 m/s. Determine el trabajo realizado por la fuerza gravitacional en los primeros 2 segundos de movimiento. (g = 10 m/s 2) A) 40 J D) 600 J
B) 200 J E) 900 J
C) 400 J
26. Un bloque de 4 kg es lanzado sobre una superficie horizontal áspera, con una rapidez de 10 m/s. Debido al rozamiento el bloque se detiene al cabo de 5 s. Determine la potencia perdida por acción del rozamiento. A) 20 W D) 80 W
B) 40 W E) 100 W
C) 50 W 88
