Nivelació Nivelación Emblemá Emblemática
Fí sica sica
Introducció Introducción a la f í s ica hasta ísica Cinemá Cinemática Universidad Regional Amazó Amazónica Ikiam 28 de marzo de 2016 a 19 de agosto de 2016 Libro de trabajo: Parte 1
Escrito por Anthony Day Gracias por la ayuda de José Jos é Serrano, Nelson Granja, Edison Salazar, David Lazo y mucho caf é
Km. 7 Ví Ví a a Muyuna – Parroquia Muyuna Tena – Napo – Ecuador T: (06) 3700040
www.ikiam.edu.ec
Información sobre el libro de trabajo El libro de trabajo fue escrito para los estudiantes de la nivelaci ón de la universidad IKIAM en la materia f í s ica para el periodo: 28 de marzo de 2016 a 29 de agosto de 2016. El ísica libro de texto que se sigue es “F í sica sica Universitaria – Sears - Zemansky - 12ava Edici ón – Volumen 1- capí cap í tulos tulos 1 a 8”. Es muy importante que este libro de trabajo sea completado ya que el contenido del mismo será será evaluado en pruebas, laboratorios, proyectos, examen parcial y el examen final. La siguiente lista es una sugerencia para todas las tutor í as: as: ón 1. Tomando Tomando en cuenta cuenta otras otras tareas, tareas, dedicar dedicar un tiempo tiempo fijo para para completa completarr cada secci secció 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
del libro. Leer todas todas las las instruc instruccione cioness y entenderla entenderlas. s. Tomar Tomar mucho mucho cuidad cuidado o en comprende comprenderr los ejemplos. ejemplos. Intentar Intentar los ejercicios ejercicios como un un examen examen adentro adentro este este tiempo. tiempo. ñero. Compa Comparar rar tus tus result resultad ados os con con otro otro compa compañ Intentar Intentar darse darse cuenta cuenta de tus tus errores errores y de sus sus errores. errores. ñero, explicarle como hacer el ejercicio y/o al revé Si ves ves erro errore ress de tu com compa pañ rev és. Corre Corregi girr los los erro errore res. s. Cuan Cuando do las las soluc solucio ione ness sean sean subi subida dass a Canv Canvas as,, comp compar arar ar tus tus resu resulta ltado doss con con las las
soluciones. 10. En caso de tener preguntas interesantes interesantes o que tus respuestas no son las mismas mismas que las mostradas
en
Canvas,
acercarse
al
T écnico
Docente
(contacto:
[email protected])
[email protected]) 11. Aprender Aprender de tus errores y si encuentra encuentrass un error en este libro, se puede ganar ganar puntos extra al mostrarlo a Anthony. 12. Tomar Tomar la prueba de la tutor tutorí í a con confianza en si mismo.
www.ikiam.edu.ec
Información sobre el libro de trabajo El libro de trabajo fue escrito para los estudiantes de la nivelaci ón de la universidad IKIAM en la materia f í s ica para el periodo: 28 de marzo de 2016 a 29 de agosto de 2016. El ísica libro de texto que se sigue es “F í sica sica Universitaria – Sears - Zemansky - 12ava Edici ón – Volumen 1- capí cap í tulos tulos 1 a 8”. Es muy importante que este libro de trabajo sea completado ya que el contenido del mismo será será evaluado en pruebas, laboratorios, proyectos, examen parcial y el examen final. La siguiente lista es una sugerencia para todas las tutor í as: as: ón 1. Tomando Tomando en cuenta cuenta otras otras tareas, tareas, dedicar dedicar un tiempo tiempo fijo para para completa completarr cada secci secció 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
del libro. Leer todas todas las las instruc instruccione cioness y entenderla entenderlas. s. Tomar Tomar mucho mucho cuidad cuidado o en comprende comprenderr los ejemplos. ejemplos. Intentar Intentar los ejercicios ejercicios como un un examen examen adentro adentro este este tiempo. tiempo. ñero. Compa Comparar rar tus tus result resultad ados os con con otro otro compa compañ Intentar Intentar darse darse cuenta cuenta de tus tus errores errores y de sus sus errores. errores. ñero, explicarle como hacer el ejercicio y/o al revé Si ves ves erro errore ress de tu com compa pañ rev és. Corre Corregi girr los los erro errore res. s. Cuan Cuando do las las soluc solucio ione ness sean sean subi subida dass a Canv Canvas as,, comp compar arar ar tus tus resu resulta ltado doss con con las las
soluciones. 10. En caso de tener preguntas interesantes interesantes o que tus respuestas no son las mismas mismas que las mostradas
en
Canvas,
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Planificación por semana Nota: Los proyectos proyectos depender depender án de las necesidades de cada clase. eyen eyenda dade decolores colores Clases
20%
20%
20%
20%
20%
Pruebas
Labs
Proyectos
Parciales
Final
iro iro detra de traao ao
Planifica Planificaciónde ciónde fsica Semana
Mes
dias
1
Mayo
28 a 3
2
2@rdecla 2@rdeclaseenlase eenlasemana Proyec Proyecto to encla en claseseIntroducción Introducción+Metodo +Metodo Recetade eta de pastel. ar cientifico pistade pista dedens densidad.
E!cel"# cel "#sicopara sico para proyecto
Clase Clase-- %nidades( *a *aller deee deeerc rcic icio iosde sde Sistema Internacional Internacional y aora orato torio1/ rio1/ Medid Medida as con,ers con,ersión ión deunida de unidades des )n#lisis imensional
& a 1'
3
2@rdePro 2@rdeProyecto? la ? Prue rueasenlase senlasemana
En Casa
E!cel"# cel "#sico sicopara para proyecto
1. $umerosy eros y %nidades %nidades
Prue Pruea01 a01
2.*ri 2. *rionometray plano plano cartesiano
11) 1)ril
4ectores
4ectores
)cti,idadpa dpara,e a,ectores )cti,idadpa dpara,e a,ectores
3.4e .4ectores
&
18a2& 8a2&
Sumade, ade,e ectores
5ue 5ueo/$om /$omraal aal ,ector
aoratorio oratorio 2/Su 2/ Suma de ,ectores
Prue Pruea02(3 a02(3(& (&
&. Sumade ,ectores tores
6
26 a '1
Multiplicaciónde ,ectores
Multiplicaciónde Multiplicaciónde ,ectores
Proyecto/ ecto/ El ilem ilema de Mario 7art
Pru Pruea06 a06
6. Prod Produ uctopunt topunto o ycru ycru
9
2a8
:
; a1 a16
MR%4
MR%4
8
19a22 9a22
aoratorio&/c o&/ca aidali alire
Pruea0: a0:
Repas Repaso y Recuperacion delaoratorios de laoratorios
;
23 a 2;
repaso
repaso
>eriado
1'
3' a 6
11
9 a 12
Introducción Introducción al mo,imiento imiento endos en dos dimensiones.
educción defórmula de fórmulas s dets( t,( t,( <(R.Ecu <( R.Ecuación dela de la trayectoria ectoria
MR% y MR MR%4
Pruea 08 08
8. MR MR% y MR MR%4
12
13 a1 a 1;
In Introducción al al MC MC%
Introducción al al MC MC%
MC%
Pruea 0; 0;
;. Mo,imientocirc iento circula ularr uniforme0MC% uniforme0M C%
13
2' a 29 29
In Introducción a MC MC%4
Introducción a MC MC%4
MC%4
Pruea 01 01'
1'.Mo,imien 1'. Mo,imiento to circular uniforme uniforme ,ariado ,ariado 0MC%4
1&
2: a 3
Introduc Introduccióna cióna la in#mica
Introducción cción a la in#mica
)plicacionesde )plicacionesde eyesde es de $e=ton
Pru Pruea011
11. eyesde$e=t sde$e=ton on
16
& a 1'
*raao ye yeneria
*raao ye yeneria
Eneria
Eneria
Ener Enera a Mec#nica Mec#nicay y Potencia
EneraMec#n ra Mec#nica icay y Potencia
)ril
Introduc Introduccióna cióna la Eercicios( Eercicios( acti,idad acti,idado o Cinem#tica. Mo,imiento Mo,imiento proyecto ecto deMR% de MR% y Reposo Reposo
9. Mo,imiento Mo,imiento Rectilneo til neo%niforme %niforme 0MR% :. Mo,imiento Mo,imiento aoratorio &/ &/ ca caida lilire a aoratorio &/ &/ ca caida lilire Rectilneo til neo%niforme %niforme 4ariado 0MR%4 aora orator torio io 3/4eloc 3/4elocidad
Prue Pruea09 a09
Mayo
Semanade na deparc parciales
un unio
12. 12. *raa *raao o ? Ener Eneria 19
11 a 1:
5ulio 5ulio 1:
1: a 2&
18
26 a 31
1;
1a:
2'
8 a 1&
21 22
)osto
16 a 21 22 a 28
Pruea 012 Eerciciosde Eercicios dem momento lineal
Casa aierta aierta// entre entree deproy de proyectos016 ectos016 ulio
Introducción Introducción al mom momento lineal
aoratorio oratorio 6/En 6/ Ener eria
aoratorio 6/ Ener Eneria
Eercicios Eercicios dem de momento omento lineal
repaso
Pruea01 a013
repaso
repaso
repaso
repaso
E!amenes>inales nes >inales Recuperación Pasar notas
>eriado Pasar notas
Pasar notas
13.mo .momentolin olineal
Tabla de Contenidos FÍSICA................................................................................................I INFORMACIÓN SOBRE EL LIBRO DE TRABAJO........................................II PLANIFICACIÓN POR SEMANA.............................................................III CAPÍTULO 1: UNIDADES Y MEDIDAS.....................................................1 MEI)S............................................................................................................... 1 Incertidumbre, precisión y exactitud..............................................................2 Las cifras signicativas...................................................................................2 Formato de escritura de tablas para este curso.............................................3 Suma y resta de medidascon cifras signicativas!........................................3 "romedio........................................................................................................ 3 #ultiplicación y división de medidas considerando cifras signicativas.........$ %ransformación de unidades.......................................................................... $ *)RE) 1/.............................................................................................................. 6 -)"BR)*BRIB 1/ E*ERMI$)R -) E$SI) E S-IBS D -F%IBS...............................9 &b'etivos(....................................................................................................... ) *l pie de rey................................................................................................... + olumen y -ensidad(...................................................................................... Los errores(.................................................................................................... *rror absoluto y relativo(................................................................................ /esultados(.....................................................................................................0 PR%E") 01......................................................................................................... 1'
CAPÍTULO 2: TRIGONOMETRÍA Y PLANO CARTESIANO..........................11 *RIGB$BME*R)................................................................................................... 11 Identidades trigonom1tricas(........................................................................ "lano cartesiano........................................................................................... 2 *)RE) 2............................................................................................................. 16
CAPÍTULO 3: VECTORES....................................................................19 *EBR)............................................................................................................... 1; oordenadas para vectores..........................................................................24 . oordenadas polares(...............................................................................24 2. oordenadas rectangulares(.....................................................................2 3. #ódulo 5 ector 6nitario...........................................................................22 $. oordenadas 7eogr8cas(....................................................................... 23 *)RE) 3............................................................................................................. 29
CAPÍTULO 4: SUMA DE VECTORES......................................................30 *EBR)............................................................................................................... 3' 8lculo de propagación de errores...............................................................3$ *)RE) &............................................................................................................. 39 -)"BR)*BRIB 2/.................................................................................................. 3; &b'etivo........................................................................................................ 30 Instrucciones................................................................................................ 30 Introducción................................................................................................. $4 /esultados( $,9 puntos!.............................................................................. $ PR%E") 02(3(&................................................................................................... &1
CAPÍTULO : MULTIPLICACIÓN DE VECTORES......................................42 *EBR)............................................................................................................... &2 . 6n vector multiplicado por un escalar resulta un vector..........................$2
2. *l producto punto entre dos vectores nos resulta un escalar. %ambi1n se lo conoce como producto escalar..................................................................... $2 3. "roducto cru: o vectorial! entre vectores...............................................$$ *)RE) 6/............................................................................................................ &: PR%E") 06......................................................................................................... 62
CAPÍTULO !: CINEM"TICA..................................................................3 elocidad media(.......................................................................................... 93 La velocidad instant8nea es(........................................................................ 93 elocidad promedio...................................................................................... 9$ -eniciones b8sicas de la cinem8tica(.........................................................9$ MB4IMIE$*B REC*I-$EB %$I>BRMEME$*E 0MR%......................................................6& *)RE) 9............................................................................................................. 6; -)"BR)*BRIB 3/ CI$EMH*IC) 1...............................................................................93 Funciones de un l;der(..................................................................................)3 &b'etivos(..................................................................................................... )3 #ateriales(....................................................................................................)3 #onta'e sugerido(......................................................................................... )3 /esultados de las medidas( $,9 puntos!......................................................)$ PR%E") 09......................................................................................................... 99
CAPÍTULO #: M"S CINEM"TICA..........................................................!# MB4IMIE$*B REC*I-$EB %$I>BRMEME$*E 4)RI)B 0MR%4.......................................9: Las ecuaciones
E$AMEN PARCIAL.............................................................................94
Capí tulo 1: Unidades y Medidas Medidas Son cantidades f ís icas que se definen con un n úmero (requerido), una potencia de 10 (opcionalmente, esto se llama notación cientí fica) o un prefijo (opcionalmente) y después una unidad (requerida) (Tabla 1).
Tabla 1: E jemplo de una medida con un número, una potencia de 10, un prefijo y una unidad.
5x102 km 5
102
k
m
Número
Potencia de 10
Prefijo
Unidad
Se puede escribir esta cantidad en otras maneras, por ejemplo: = 500 km
= 500 x 103 m
= 500 000 m
La Tabla 2 tiene algunos prefijos comunes. Tabla 2: Relación entre prefijos y potencias.
Potencia de 10 10-9 10-6 10-3 10-2 103 106 109
Número 0,000000001 0,000001 0,001 0,01 1000 1000000 1000000000
Prefijo nano micro mili centi kilo mega giga
Abreviatura n µ m c k M G
Incertidumbre, precisión y exactitud En f ís ica cuando se mide algo con un instrumento (por ejemplo una regla) es necesario tomar en cuenta la incertidumbre, la precisión y la exactitud. De los incrementos de un instrumento es posible aprender su precisión, por ejemplo, una regla tiene incrementos de 1 mm, que es la cantidad más pequeña que se puede medir con la regla, y por eso cualquier medida de una regla debe tener una precisi ón en milí metros. La incertidumbre o error es la máxima diferencia probable entre el valor real y el valor medido, depende mucho del m étodo usado para medir (por ejemplo, una medición con un reloj de arena tendrá mayor incertidumbre que una medición hecha con un cronómetro). La exactitud de una medición se expresa con el número, el sí m bolo ± y la cantidad más pequeña que puede medir el instrumento utilizado. La relación entre estos términos está escrito en tabla 3 con un ejemplo en la Tabla 3.
Tabla 3: La relación entre exactitud, precisión e incertidumbre de una medici ón de 20 cm hecha con una regla
común.
Exactitud 20,0 ± 0,1 cm
± 0,1
20,0 Precisión
Incertidumbre
En Tabla 3 se puede ver que es 20,0 (no solo 20) porque la regla com ún tiene incrementos de 1 mm. Este número tiene 3 cifras significativas y puede (no siempre) ser usado para indicar la exactitud, precisión e incertidumbre (Tabla 4).
Las cifras significativas Tabla 4: Medición de 20 cm hecha con una regla com ún (se muestra la cantidad de decimales y cifras
significativas)
Unidad mm
Medida
mm cm m
Decimales
Cifras significativas
0
1
2,00x102
2
3
20,0 0,200
1 3
3 3
200
Formato de escritura de tablas para este curso
Para tener consistencia entre todas sus actividades que requieran tablas, se pide que sigan las instrucciones presentadas a continuación para tener una tabla ordenada y fácil de entender (Tabla 5). Tabla 5: Un ejemplo que muestra como anotar una medida de una regla com ún.
Mal escrito mm cm m 300.0 30 0.3 Usando cifras significativas
Bien escrito mm
cm
300 ± 1 2
3,00 x 10
30,0 ± 0,1 30,0
m 0,300 ± 0,001 0,300
Reglas para llenar las tablas: 1. Etiquetar la tabla con un referencia encima de la tabla ( Tabla 5) 2. Poner las unidades en el tí tulo de la columna y no junto al número. 3. Ubicar la tabla cerca de donde se la menciona y referenciarla (i.e.: No ser í a correcto referirse a la Tabla 1 en la página 1 y poner la Tabla 1 en la página 5).
Suma y resta de medidas(con cifras significativas) La respuesta tiene la misma cantidad de decimales que la medida con el menor cantidad de decimales (Tabla 6). Tabla 6: Ejemplos de sumar y restar medidas
Medidas (cm) 5 + 6 =11 5,12 + 6,9=12,0
5,1 + 6= 11 5,12 + 6,88=12,00
Promedio
Promediode los resulatdos=´ x =
x´ =
1
n
∑ x
n i= 0
i
11+ 11+ 11,5 + 12,0 + 12,00 + 14 =12 6
5,12 + 6,4 =11,5 3 + 5,11 + 6,258 =14
Multiplicación y división de medidas considerando cifras significativas Al multiplicar medidas, la respuesta debe tener la misma cantidad de cifras significativas que la medida con la menor cantidad de cifras significativas ( Tabla 7). Tabla 7: Ejemplos de Multiplicar y dividir medidas
Medidas (cm) 5 ∙ 6 =30
5,0 ∙ 6,0 =3,0 x 10
5,12 ∙ 6,91=35,4
3 ∙ 5,12 ∙ 6,88 =100
1
Transformación de unidades Ejemplo: Se sabe que:
(
)( ) )( )(
Transformar 80 80
(
1 hr =60 min; 1 min=60 seg; 1 km=1000 m
km m a hr s
)
1 hr 1 min 1000 m km =22,2 2´ m ∙ ∙ ∙ hr 60 min 60 seg s 1 km
Este número viene de otroque tiene 1 cifrasignificativa , por lo que
el resultadodebemantener unacifrasignificativa=20
(
3
m s
)( ) 3
K !cm ! m Transformar 0,0052 a 2 2 g kg 0,0052
K !cm g
2
3
3 ( 1000 g )2 ( 1 m)3 ( 1000 )1 ∙ m =5,2 ∙ ∙ ∙ 2 ( 1 kg )2 ( 100 cm )3 ( 1 k )1 kg
5,12 ∙ 6,4 =33 3,0 ∙ 5,11 ∙ 6,258= 96
Tarea 1: Instrucción: Llenar la tabla que est á abajo correctamente y leer el laboratorio 1. Santiago quiere medir el tiempo que un objeto demora en caer una distancia definida. Él realizó el siguiente experimento: a) b) c) d) e)
Colocó dos sensores1, uno al inicio de la caí da y otro al final de la caí da. Los sensores pueden medir tiempo con una presión de 0,001 s. o Se midió la distancia entre los sensores con una regla común. Se colocó un objeto de acero en el sensor superior. Se prendó la máquina para los sensores y dejó caer el objeto. Se anotó el tiempo de caí da que se registra en el lector de los sensores.
Ayudar a Santiago anotar, correctamente 2 , sus resultados y calcular la aceleraci ón hacia abajo. Distancia de caí da: 20 cm Intento
Tiempo de caí da
1
0.204 s
2
0.2 s
3
0.21 s
4
0.208 s
5
1.22
-
Calcular la aceleración del objeto usando la formula (1)
T ít ulo de tabla:
¿ a=
2d
t 2
" ________________________________________________________
Intento Distancia (______) Tiempo de caí da (______) 1 2 3 4 5 - Calcular el promedio de las la aceleraciones
Aceleración (______)
1 Los sensores de oviiento funcionan idiendo el tiepo que se deora una part!cula desde que cru"a el prier sensor #asta que cru"a el segundo sensor. $ste tiepo se uestra en un lector que se conecta a los sensores. %&%' dispone de estos sensores en su laboratorio de f!sica. *eferirse a la Tabla 5 para saber cóo #acerlo correctaente.
Laboratorio 1: Determinar la densidad de sólidos y lí quidos Poner la información pedida abajo (0,5 punto)
Aula:__________ Fecha:__________________ Código de caja:______________________ Miembros:__________________________________________________________________ Lí der:______________________________________________________________________ Es necesario terminar el laboratorio 30 min antes del fin de clase para tomar la prueba 1.
Objetivos: Calcular la densidad de 3 objetos y contestar las preguntas. a) Estudiar los 3 bloques de la caja provista. b) Estudiar 2 cantidades de agua diferentes (20 ml y 45 ml de agua). 1. Medir su masa, solo con una balanza como de la figura 1. 2. Medir sus dimensiones, solo con el pie de rey. 3. Calcular su densidad, solo usar las medidas de parte 1 y 2. 4. Llenar la sección de resultados.
Figura 1: Instrumentos de la caja provista
El pie de rey El pie de rey es una regla con un nonio ( Figura 2). La regla tiene incrementos de 1 mm y el nonio representa 1 mm con 20 incrementos que resultan en incrementos de 0,05 mm. Se dice que la precisión de la regla es 1 mm y si se toma en cuenta la medida del nonio, la precisión mejora a 0,05 mm.
Figura 2: Pie de Rey
Para usar el nonio, primero hay que usar la regla normalmente. Si la primera l í nea del nonio coincide con una lí nea de la regla, esto es la medida con una exactitud de 0,05 mm. Por ejemplo,
24,70 mm ± 0,05 mm . Si la primera lí nea del nonio (lí nea cero) no coincide con la
regla, hay que anotar el valor de la l í nea anterior de la regla, por ejemplo,
24 mm (Figura
3). Para obtener una medida más precisa se usa el nonio. Se puede ver en la Figura 3 que, de la escala del nonio, el número 7 coincide con una lí nea de la regla. Uno puede ver que hay 14 espacios de 0,05 mm detrás esta lí nea. Por eso a la medida de la regla hay que sumar 0,05 mm∙ 14 =0,7 mm .
Línea cero del nonio no coincide con ninguna línea de la regla. Esto indica que la medida es 24 cm solo usando la regla Figura 3: Ejemplo de medición con Pie de Rey
#edida en cm :2,4 cm+ 0,07 cm=2,47 cm± 0,005 cm
Volumen y Densidad: Densidad (p):
$=
m v
m=masa;v =volumen %olumendeunbloque = x ∙ & ∙ ' x & ' =lados del ob(eto 2
%olumen de un cilindro =) r ∙ * r = radio; * = altura
Los errores: La mejor estimación de una magnitud es el punto medio A del intervalo, de tal forma que el valor de la magnitud quede definido por
+ ∈( + − + , + + + )
-onde + esun intervalo de error que pede calculadode muchasmaneras En este experimento el error es del instrumento como el pie de rey
± 0,005 .
Error absoluto y relativo:
Errores absolutos : +± + (unidad )
error relativos : . =
+ | +|
ejemplo: real (o teórico):
3,12 segundos
del experimento:
3,01 y 3,11 segundos
Tabla !: Ejemplos de errores absolutos y relativos
Medidas (s) 3,01
3,11
Errores absolutos (s) 3,01 / 3,12=−0,11 "± 0,11
3,11 / 3,12=−0,01 "± 0,01
Errores relativos (%)
−0,11 3,12
−0,01 3,12
=−0,036 =−3,6 " 3,6 =−0,003=−0,03 " 0,03
Resultados: (6,5 puntos) Llenar las tablas abajo tomando en cuenta la precisi ón del instrumento de medici ón
Instrucción para llenar las tablas: 1. Poner la masa (bloque o agua) en la balanza 2. Poner las pesas en el otro lado de la balanza hasta que la balanza regrese a la posición inicial. 3. Añadir y quitar pesas para deducir la precisión de la balanza. Por ejemplo:
± 1 gr Tabla ": Las masas de los bloques (medidos de la balanza).
Cuerpo
Masa (1) (____)
Masa (2) (____)
Masa promedio (____)
Bloque de madera Bloque de aluminio Bloque de Hierro
Tabla 1#: Los volúmenes para el agua NO INCLUIR el peso del envase (medidos de la balanza).
Agua 20 ml de agua 45 ml de agua
Masa (1) (____)
Masa (2) (____)
Masa promedio (____)
Instrucción para tabla 3, 4, 5 y 6: Medir las dimensiones de las masas con el pie de rey. Tabla 11: Las dimensiones del bloque de madera.
X (____)
Y (____)
Z (____)
Persona 1 Persona 2
Volumen (____)
Promedio
Tabla 12: Las dimensiones del bloque de aluminio.
X (____)
Y (____)
Z (____)
Persona 1 Persona 2 Promedio
Tabla 13: Las dimensiones del bloque de hierro.
Volumen (____)
X (____)
Y (____)
Z (____)
Persona 1
:
Persona 2
Volumen (____)
Promedio Tabla 14: Las dimensiones del vaso de precipitaci ón con 20 ml de agua.
Agua (20 ml)
Radio (____)
Profundidad (____)
Persona 1 Persona 2
Volumen (____)
Promedio Tabla 15: Las dimensiones del vaso de precipitaci ón con 45 ml de agua.
Agua (45 ml)
Radio (____)
(Profundidad) (____)
Persona 1 Persona 2
Volumen (____)
Promedio Tabla 16: Las densidades (incluir un cálculo de densidad, como un ejemplo).
Objeto Bloque de madera Bloque de aluminio Bloque de hierro Agua (de 20 ml) Agua (de 45 ml)
Masa promedio (____)
Volumen (____)
Densidad (____)
Entregar la pr áctica 1 a Anthony y preparar el laboratorio para un examen 35 min antes de acabar la sesión del laboratorio.
Prueba (1) La prueba (1) incluye todos los conceptos anteriores. Será tomada después del laboratorio.
Capí tulo 2: Trigonometrí a y plano cartesiano Trigonometrí a
2
2
x + & =r
B
2
a + b + c =180 0 =
9 0 g ra d o s
b
sin a =
r y
& ( opuesto ) r ( hipotenusa )
cos a = a A
tan a =
C
x
x ( ad&acente ) r ( hipotenusa )
& ( opuesto ) x ( ad&acente)
Figura 4: Triángulo rect ángulo
Identidades trigonométricas: Tabla 17: Algunas identidades trigonométricas
sen ∅ cos ∅
cot ∅=
cos ∅ sen ∅
cot ∅=
ad&acente opuesto
sec ∅=
hipotenusa ad&acente
csc ∅=
hipotenusa opuesto
cot ∅=
1 tan ∅
sec ∅=
1 cos ∅
csc ∅=
1 sen ∅
sen
2
∅
tan ∅=
+cos2 ∅ =1
cot
2
2
2
+ 1=csc2 ∅
tan
∅
2
2
cos2 a =cos a −sin a=2cos a =1−2sin a
sin
1 2
a=
√
1−cos a 2
1 2
a=
∅
+ 1= sec 2 ∅
sin2 a=2sin a cos a
cos
2
√
1 + cos a 2
sin (−a )=−sin a
cos (− a)=−cos a
sin ( a± b )= sin a cos b ± cos a sin b
cos ( a ±b )= cos a cos b ± sin a sin b
sin a + sin b =2sin
1 1 (a + b )cos (a− b ) 2 2
cos a + sin b=2cos
1 1 ( a + b ) cos ( a−b ) 2 2
Plano cartesiano Y
a
b r Ø º
αº
X
,
Figura 5: Triángulo rectángulo en un plan cartesiano
Las flechas del plano cartesiano denotan la direcci ón positiva de los ejes X y Y (Figura 5). Los signos de negativo y de positivo en el plano cartesiano simplemente denotan la dirección, NO es un valor negativo. En la Figura 5, un triángulo es colocado en un plano cartesiano. Todos los lados de este triángulo todaví a tienen magnitudes positivas. El signo negativo es colocado en frente del valor para denotar su dirección, no es negativo. Alfa ( 1 ) es un ángulo que empieza a medirse desde el eje x positivo, girando hacia el eje y positivo hasta llegar a la hipotenusa (r).
a =r ∙ cos 1 b =r ∙ sin 1 Las unidades del siguiente ejemplo se llaman Newtons (N). Estas unidades miden fuerza. As í como hay megabytes (Mb) pueden haber meganewtons (MN).
a =−460 ;b =0,00052 # : Ejemplo 1 de trigonometr ía
+alcular las incógnitas r , ∅ & 1 a) Transformar lo necesario
b =0,00052 # =520 b) Calcular la hipotenusa
r = √ ( 460 ) + (520 ) 2 694,26 2
2
c) Calcular el ángulo adentro el triangulo tan ∅=
a ( 3puesto ) = 460 b ( +d&acente ) 520
∅
= tan−1 (
∅
460 ) 2 41,50 0 520
d ¿ calcular el 4ngulo1 1 = 90 0 + 41.50 0 2 131,50 0 e ¿ %erificar que + ∙ cos 1 = x & + ∙ sen1 = & x = + ∙ cos 1 =694,26 ∙ cos ( 131,50 0 ) =−460
& = + ∙ sen 1 = 694,26 ∙sen (131,50 0)= 520 : Ejemplo 2 de trigonometr ía
+alcular las incógnitas r , ∅ & 1 . b =470 m; a=1 km a) Transformar lo necesario
a =1 km∙
1000 m =1000 m 1 km
b) Calcular la hipotenusa
r = √ ( 470 ) + (1000 ) 2 1104,94 m
X
2
αº Ø º
2
c) Calcular el ángulo adentro el triángulo
r b
tan ∅= a
a ( 3puesto ) = 1000 b ( +d&acente ) 470
= tan−1 ( 1000 ) 2 64,82 0
Y
∅
,
Figura 6: Ejemplo 2 de un triángulo rectángulo
en un plano cartesiano
470
d) Calcular el ángulo
1
1 =90 0 + 64,82 0 2 25,17 0
e ¿ %erificar que + ∙ cos 1 = x & + ∙ sen 1 = & x = + ∙ cos 1 =1104,94 ∙ cos (25,17 0)=1000 m & = + ∙ sen 1 = 1104,94 ∙sen ( 25,17 0 )= 470 m : Ejemplo 3 de trigonometr ía
+alcular las incógnitas + , 5 & 1 . m a =−56,7 ; ∅=17,5 0 s tan 17,5 0 =
a (3puesto) = b b ( +d&acente ) 56,7
b =56,7 ∙ tan (17,5 0 ) 2 17,88 cos ( 17,5 0 )=
56,7 r
Figura 7: E$em%lo 3
m s
∅
r=
Y
56,7 cos ( 17,5 0 )
2 59,45
m s
1 =180 0 −17,5 0 2 162,5 0 r b αº Ø º
X
a
e ¿ %erificar que + ∙ cos 1 = x & + ∙ sen1 = & x = + ∙ cos 1 = 59,45 ∙ cos ( 162,5 0 ) 2− 56,7
m s
& = + ∙ sen 1 = 59,45 ∙sen ( 162,5 0 ) 2 17,88
m s
: Ejemplo 4 de trigonometr ía
+alcular las incógnitas + , ∅ & 1 . a =−673
cm mm ; r =8897 s s
a
r = 8897 b r
mm 1 cm cm ∙ =889,7 s 10 mm s
b =−√ ( 889,7 )
Ø º
2
−( 673 )2 2 −581.93
X
sen ∅ =
αº
& ( opuesto ) = 673 r ( h&potenusa ) 889,7
= sen−1 (
∅
1 =270 0 − 49,15 0 2 220,85 0
Y ,
Figura 2,4: Ejemplo 4
e ¿ %erificar que + ∙ cos 1 = x & + ∙ sen 1 = & x =r ∙ cos 1 =889,7 ∙ cos ( 220,85 0 )2 −673
673 ) 2 49,15 0 889,7
cm s
& =r∙sen1 = 889,7 ∙ sen ( 220,85 0) 2 −581,93
cm s
cm s
Tarea 2 6alculara,b,r, ∅ & 1 para todaslas todas las preguntas preguntasen en la unidad pedida! pedida ! Todos los ángulos se medirá medir án o calculará calcular án en grados.
Pregunta Pregunta 1 : 7nidad :
m km ; a =−36 ; ∅= 16,44 0 s hr
a
b r
Ø º X
αº
Y
Pregunta Pregunta 2 : 7nidad : ; a =−0,0253 k ; ∅= 17,5 0 Y
r b
αº
X
Ø º a
Pregunta Pregunta 3 : 7nidad : ; b =400 ; a =0,8 k
a
X
αº
Ø º
b r
Y
Pregunta 4 : 7nidad :
m
km
s
hr
; a =583200 2
Y
αº X Ø º
r
b
a
2
; ∅ =87,11 0
Capí tulo 3: Vectores Teorí a Un vector es una cantidad f ís ica que necesita una magnitud y una direcci ón para ser descrita como la velocidad o la fuerza. En cambio, un escalar solo necesita de una magnitud como la hora o la temperatura. El vector es geométricamente representado en el plano X-Y (dos dimensiones) o en el espacio X-Y-Z (tres dimensiones) por una flecha. La direcci ón de la flecha es la dirección del vector y su longitud es proporcional a la magnitud. Solo la longitud y dirección de la flecha son importantes, por eso es posible poner el vector en cualquier lugar del plano X-Y. Y
70 N 70 N X 70 N
70 N 70 N 70 N 70 N
Figura !: &e%resentaci'n del %eso de una %ersona (7# )* %or un +ector
Si P y Q son puntos en un espacio de 2 dimensiones,
P8 denota el vector de P a
Q. Un vector 9 = P8 en el plano X-Y puede ser representado por:
9=( 9 x ^i + 9 & (^ ) unidad =( 8 x − P x ^i + 8 & − P & ^ ( ) unidad ⃗
9 x & 9 & soncompenentes del vector 9 Y
R y
Q
R PQ
Qy-Py
R x
X
P
Qx-Px
Figura ": Representación de las componentes de un vector
Coordenadas para vectores Hay distintas maneras de expresar un vector. Se usarán algunas maneras de expresarlos.
1. Coordenadas polares: : =( mdulo; direccin) La dirección depende del sistema de referencia. El ángulo se mide desde el eje “x” positivo con dirección hacia el eje “y” positivo hasta encontrar al vector. Una fuerza de 50 N en la dirección 240º se verí a así (nótese la orientación de los ejes positivos “x” y “y”): Y
+ r " $ % a d ( r" , , ( $ d" % "&" 'y' E !"#ar "$ "% " & " ' x ' ! o s ( ) (* o
240º
E !"#ar "$ "% " & " ' x ' ! o s ( ) (* o
X . " d ( r / a s ) a " % * " , )o r
X 20º
. "d(r /as)a "% *",)or
50 N
+ r " $ % a d ( r" , , ( $ d " % " & " 'y '
50 N Y
: = ( 50 ; 240 0 )
: =( 50 ; 120 0 )
⃗
⃗
Figura 1#: Ejemplo de coordenadas polares
Y
E !"#ar "$ "% " & " 'x ' ! o s ( ) (* o
+ r " $ %a d ( r" , , ( $ d " % " &" ' y '
X
E !"#ar "$ "% " & " ' x ' ! o s ( ) (* o X
. " d ( r / a s ) a " % * " , )o r
0º
100º
+ r " $ % a d ( r" , , ( $ d " % " &" ' y '
. "d(r /as)a "% *",)or
50 N
50 N Y
: =( 50 ; 300 0 ) ⃗
: =( 50 ; 60 0 ) ⃗
Figura 11: Ejemplo de coordenadas polares
2. Coordenadas rectangulares:
$l vector se epresa en función de sus coponentes -. e utili"an los vectores unitarios (se eplica ás adelante este concepto) i, / y 0. ^ ) unidad : =( : x i^ + : & (^ + : ' k ⃗
Medir o calcular los componentes del vector. Y
240º X
X 20º
50 N
50 N Y
,
: x = : cos ∅ =50cos ( 240 0 ) =−25
: x = : cos ∅ =50cos ( 120 0 )=−25
: & = : sin ∅=50sin ( 240 0 )=−43,3
: & = : sin ∅=50sin ( 120 0 )=43,3
: '= es perpendicular a x e y =0
: '= es perpendicular a x e y =0
: =(− 25 i^ − 43,3 (^ )
: =(−25 i^ + 43,3 (^ )
⃗
⃗
Figura 12: Ejemplo para coordenadas rectangulares Y
X
X 0º
100º
50 N
50 N Y
,
Figura 13: Ejemplo para coordenadas rectangulares
: x = : cos ∅ =50cos ( 300 0 ) =25
: x = : ∙ cos ∅=50 ∙ cos ( 60 0 )=25
: & = : sin ∅=50sin ( 300 0 )=−43,3 kg
: & = : ∙ sin ∅ =50 ∙ sin ( 60 0 )= 43,3 kg
: '= es perpendicular a x e y =0
: '= es perpendicular a x e y =0
- +oponentes son las proyecciones de un vector en un e/e deterinado. 's!, la coponente en ser!a la proyección del vector en el e/e .
: =( 25 i^ −43,3 (^ )
(
⃗
¿ 25 i^ + 43,3 ¿^ ¿ : =¿ ⃗
3. Módulo – Vector Unitario
$l vector se epresa coo una ultiplicación entre el ódulo del vector y su vector unitario. + = + ∙ u +
⃗
Vector unitario
$s un vector cuya agnitud es uno, no tiene unidades. $l nico propósito del vector unitario es de indicar dirección. e obtiene dividiendo un vector en coordenadas rectangulares para su iso ódulo. $l ódulo divide a cada coponente y el vector resultante es el vector unitario. ^ + x i^ + + & (^ + + ' k + u + = = + √ ( + )2+( + )2+( + )2 x & ' ⃗
⃗
La 2igura 13 (nótese la orientación de los e/es positivos) presenta el vector unitario del vector '. $ste vector unitario, a escala, tendrá un ódulo igual a 1. Para calcularlo se transfora el vector en coordenadas rectangulares4 + x =50cos60 0= 25 + & =50sin 60 0 = 43,3
Figura 14: ,ector - su +ector unitario (indicado en ro$o*
+ = ( 25 i^ + 43,3 (^ ) ⃗
$ste vector se lo divide para su ódulo. $s decir, cada coponente será dividida para 5 6. u + = ⃗
( 25 i^ + 43,3 (^ ) 50
6ótese que las unidades se siplifican. $l vector unitario de ' es4 u + =0,5 i^ + 0,866 (^ ⃗
+onociendo el vector unitario de ', se puede epresarlo en función de su ódulo y unitario de la siguiente anera4 + =50 ∙ (0,5 i^ + 0,866 (^ ) ⃗
4. Coordenadas Geográficas:
uy parecidas a las coordenadas polares pero los ángulos se iden utili"ando los cuatro puntos cardinales. Los ángulos siepre se epie"an a edir desde el 6orte o ur en dirección #acia el $ste o el 7este #asta encontrar al vector. : =( : ; direccin [ orteo
En la siguiente figura se pueden observar varios vectores expresados en coordenadas geográficas. Y 3N
Y 3N
N 49º E
N E
N 6 45
49
N 80º 6
45
80
36
X 3E
36
X 3E
55
45 45
55º 6
3
E
6
º E
3
,
Figura 15: Ejemplo para coordenadas geogr á ficas
Cuando el vector está exactamente a 45° medidos desde el norte o sur hacia el este u oeste (ver lado derecho de la Figura 15) el ángulo no se escribe. Por convención solo se escribe NE (Noreste), NO (Noroeste), SE (Sureste), SO (Suroeste).
Hay que tener cuidado con el sistema de referencia, ya que este no siempre es el mismo. En las siguientes figuras se muestran varios vectores expresados en coordenadas geográficas donde el sistema de referencia es distinto al tradicional. N
6
E
E
N
0º
10º
50 N
50 N = 3 50 N : 10º 6
,
Figura 16: Ejemplo para coordenadas geogr á ficas
6 = 3 50 N : N 0º 6
Ejemplo 1: Poner el vector en coordenadas polares, rectangulares y geogr á ficas. N o r )"
N o r )"
N
Ø º
1 2 0 = y A
X Ø º
N 1 2 0 = y A
X Y
Y
Figura 17: Reubicación del vector (paso 1)
1. Poner el comienzo del vector en el centro del sistema de referencia. 2. Cálculos a) Unidades
N o r )"
+ = 0,8 k ∙
+& =−123
N 1 2
6alcular ∅ ,1 & + x
b)
0 -
;º
=
sen ∅ =
y A
Ø º A x
αº
X
Figura 1!: Cálculo de componente en x
== 90 0 −8,84 0= 81,16 0 2
+ = + x + + & 2
800
+ opuesto = & =( 123 ) hipotenusa + 800
= sen−1 (
∅
123 )= 8,84 0 800
1 =360 0 −8,84 0 =351,16 0
Y
2
1000 =800 1 k
2
= + x 2 + (−123 )2
+ x =√ 8002−1232=790,49 c) Escribir las repuestas Polares: + =( 800 ; 351,16 0 ) ⃗
Rectangulares: + = ( 790,49 i^ −123 (^ ) ⃗
Geográficas: + =( 800 ; 81,16 0 E ) ⃗
En la siguiente figura se muestra todo lo calculado en el ejemplo anterior. N
800 N
8<º
- 2 1 N X 15<º
Y
800 N X
7 9 0 <4 9 N
E
Y
Figura 1": Respuestas del ejemplo 1
Polares + =( 800 ; 41 0 )
Rectangulares
+ = ( 790,49 i^ −123 (^ )
⃗
⃗
Geográficas + =( 800 ; 81,16 0 E ) ⃗
Ejemplo 2: Poner el vector + en coordenadas polares, rectangulares y geogr á ficas.
9=5 m ; ∅=35 0; + =6,5
m s2
a P r" g > $ ) a
Y N o r )"
Y N o r )"
Paso
A αº X
Ø º
Ay
A x
X
Ø º
A
Figura 2#: Ejemplo 2 con reubicación del vector A.
Serí a posible calcular el ángulo de vector A como es en la figura “La Pregunta” pero es más f ácil moverlo al centro del sistema de referencia (figura “Paso 1”) para resolverlo. b) Calcular el ángulo
1
∅
+ 1 =90 0
1 =90 0−∅ =90 0−35 0 =55 0 b) Escribir las repuestas Polares: + =( 6,5 ⃗
m s
2
; 55 0 )
Rectangulares: + =( 6,5cos ( 55 0 ) i^ + 6,5sin ( 55 0 ) (^ ) ⃗
m s
= + =( 3,73 i^ + 5,32 (^ ) 2 ⃗
m 2
s
Geográficas: + =( 6,5 ⃗
m s
; [ 90 0 −55 0 ] E )= + =( 6,5 2 ⃗
m 2
s
; 35 0 E )
Tarea 3 Escribir todos los vectores en coordenadas polares, rectangulares, geogr áficas y modulounitario con las unidades pedidas.
Pregunta Pregunta 1 : ( > ) = orte ; unidad =
m 2
s
; + x =23
a !r"g>$)a Y
X N o r )"
Ax Ø º A y
m s
2
; ∅=56,223 0
Pregunta Pregunta 2 : ( > > ) = orte; orte ; unidad= ; + x =−430 ; + & =1,02 k a !r"g>$)a 2
Y
Ax
A y
αº X N o r )"
Ø º
Pregunta 3 : ( ? )= orte ; unidad = a !r"g>$)a 1
m mm cm ; + x =542 ; + & =−223,2 s s s
N o r )" Y
Ax
A
A y
Ø º X
o & o a ? > @ < $ o s " o % * (d " $ d " o * " r " % s (s ) " a d " r " " r " $ , ( a s a % ($ ( , ( o d " % *",)or
Pregunta 4 : ( ? )= orte ; 7nidad =m; + x =−443,111 ∈ !; el4ngulo = 42,7 0
¿ != pulgadas; 1 m=39,3701 ∈! N o r )" Y
a !r"g>$)a 5
Ax 47<1º R
Ay A
X
Capí tulo 4: Suma de vectores Teorí a Imagine una lancha en un rí o. El rí o tiene una velocidad de 550 cm/s en la direcci ón N35ºE y hay un viento de 9000 mm/s en la direcci ón N70ºO. Se sabe que el viento afecta a la lancha pero ¿cómo se puede cuantificar el resultado del efecto combinado de velocidades? Con suma de vectores! Para sumar los vectores 1. Transformar las unidades para que todas sean las mismas. 2. Poner los vectores en coordenadas rectangulares. 3. Sumar las componentes en los ejes “x”, “y” y “z”. 4. Transformar este nuevo vector a coordinadas polares (en caso de ser requerido). con el viento. Ejemplo 1: La lancha en el r ío N r@o
C o r r(" $ )" 5 5 0 , s
("$)o 9 0 0 0 s 70
15º
E r@o
Figura 21: E$em%lo de suma de +ectores
1. Transformar las unidades para que todas sean las mismas.
6orriente=% c =550
cm 1 m m =5,5 ∙ s 100 cm s
%iento =% v = 9000
mm 1 m m =9 ∙ s 100 cm s
Y
Y
" % o , (d a d = 5 < 5 s
*("$)o 9 s
15º
70 Ø º
;
X
X
,
Figura 22: Vectores de velocidad por separado
2. Poner los vectores en coordenadas rectangulares.
% c =( 5,5 ⃗
m , 35 0 E ) s
% v =( 9 ⃗
== 90 0 + 70 0 =160 0
=90 0 − 35 0 =55 0
∅
% c =( 5,5 ⃗
m , 70 0 3 ) s
m , 55 0 ) s
% v =( 9 ⃗
m , 160 0 ) s
% cx=5,5cos55 0 =3,15
% vx= 9cos160 0=−8,46
% c&=5,5sin55 0 = 4,51
% v& = 9sin160 0 =3,08
% c =( 3,15 i^ + 4,51 (^ ) m / s
⃗
% v =( −8,46 i^ + 3,08 (^ ) m / s
⃗
3. Sumar las componentes en los ejes “x”, “y” y “z”.
% c + % v =( [ 3,15 −8,46 ] ^i +[ 4,51 + 3,08 ] (^ ) ⃗
⃗
% c + % v = 9 =(−5,30 i^ + 7,58 (^ ) ⃗
⃗
⃗
m s
m s
4. Transformar este nuevo vector a coordenadas polares (solo en caso de ser requerido).
2
2
9 = 9x + 9&
Y
2
9= √ (−5,30 ) +(7,58 ) = 9,25 2
R x = - 5 <1 s
tan ∅=
R y = D 7 < 5 8 s R =
∅
;º
m s
5,3 opuesto = ad&acente 7,58
= tan−1 (
Ø º
2
X
5,3 )=34,96 0 7,58
== 90 0 + 34,96 0 =125 0 9=( 9,25 ⃗
m ; 125 0 ) s
,
Figura 23: Respuestas del ejemplo 1 de suma de vectores
Ejemplo 2: Una part íc ula est á afectada por 2 aceleraciones.
Sumar los vectores y escribirlos en coordenadas polares y rectangulares.
r =5 m ; ∅=32 0; + 1=3
m s
2
Y
; + 2= 6,3
m s
2
Sumar las aceleraciones! Y
A2 X
Ø º
A2
r A
A
Figura 25: /aso 1 %ara el e$em%lo 2 de suma de +ectores
G F
X
Ø º
Paso 1: Poner r
todos
los
Figura 24: La %regunta %ara el e$em%lo 2 de suma de +ectores
vectores en la mitad
90 0 = @ + ∅ Y
@ =90 0 −∅ =90 0 −32 0=58 0 ADA2=R
180 0 = ∅ + A
A2
R y
A =180 0 −32 =148 0
R
+ 1=( 3 ⃗
A
m 2
s
X
R x
+ 2=( 6,3 ⃗
; 58 0 ) m 2
s
; 148 0 )
m + 1 + + 2=( 3cos58 0 + 6,3cos148 0 ^i +3sin58 0 + 6,3sin148 0 ^ ( ) 2 s ⃗
⃗
m + 1 + + 2= 9 =(−3,75 i^ + 5,88 (^ ) 2 s ⃗
⃗
tan ∅=
⃗
9 & 9 x
= 5,88 3,75
( )
=atan 5,88 = 57,46 0
∅
3,75
9 = √ 3,75 + 5,88 = 6,99 2
2
m s
2
Figura 26: Respuesta del ejemplo 2 de suma de vectores
9=( 6,99 ⃗
m 2
s
; 57,46 0 )
Ejemplo 3: El movimiento de una part íc ula
Esto fue medido con una regla común (tomar en cuenta la precisión de este instrumento) 4 pero sus ángulos son exactos. Encontrar su desplazamiento total 5 y expresarlo en coordenadas polares. Y
H b d A
B
C a
X
,
,
Figura 27: Ejemplo 3 de suma de vectores
+ =7,350 m a =61 0
5 =9,400 m b =53 0
6 =14,900 m c =67 0
-=11,300 m d =68 0
1. Escribir los vectores en coordenadas polares + = (7,350 m ; 61 0 ) ⃗
⃗5 =( 9,40 m ; (360 0−53 0 )) " ⃗5 =( 9,400 m ; 307 0 ) 6 =( 14,9 m; ( 90 0 −67 0 )) " 6 = ( 14,900 m ; 23 0 ) ⃗
⃗
- =( 11,3 m; ( 68 0 + 90 0 ) ) " -= (11,300 m; 158 0 ) ⃗
⃗
2. Transformar los vector a coordenadas rectangulares y sumarlos
+ + 5 +6 + - = 9 7,350cos ( 61 ) + 9,400 cos ( 307 0 ) + 14,900 cos ( 23 0 )+ 11,300 cos ( 158 0 ) i^ +¿
¿ ¿¿
7,350sin ( 61 )+ 9,400 sin ( 307 0 ) + 14,900sin ( 23 0 )+ 11,300 sin (158 0 ) ^ ( ¿ m 3.563 + 5.657 + 13.716 −10.477 i^
9 =¿ ⃗
+ 6.429−7.507 + 5.822 + 4.233 (^ ¿ m 3 %nforación sobre esto se encuentra en la página - de este Libro de Traba/o. 5 $l despla"aiento es un vector que va desde la posición inicial #asta la posición final que tuvo una part!cula sin toar en cuenta el caino que toó. e estudiará esto ás adelante durante el curso.
9 =( 12.459 i^ + 8.976 ^ ( ) m ⃗
3. Transformar en coordenadas polares. tan ∅=
8.976 8.976 =35,772 0 " ∅= atan 12.459 12.459
9 = √ 12.459 + 8.976 =15,356 m 2
2
9=( 15,356 m; 35,772 0 )
Cálculo de propagación de errores
$l e/eplo anterior describe una situación donde se toaron ediciones, estas ediciones fueron #ec#as con un instruento que posee una precisión definida. La edida ás peque8a que la regla puede edir es 1 il!etro (,1 etros) entonces #ay que toar en cuenta que toda edida tiene un error (o incertidubre). $ste error tiende a ser peque8o cuando el aparato usado para edir la cantidad es ás eacto. e denota el error usando la cantidad edida y epresando que 9podr!a variar: entre ás o enos la precisión del aparato de edición utili"ado. Para presentar un resultado, incluyendo los valores de errores y propagación de los isos (en este caso se suan cantidades con error, por lo que el error tabi;n se sua) se procede as!4
[ 3,5634 ± 0,001 ] + [ 5,6571 ± 0,001 ] + [ 13,7155 ± 0,001 ]−[ 10,4772 ± 0,001] 3,5634 + 5,6571 + 13,7155 − 10,4772 =12,4588 m 0,001 + 0,001 + 0,001 + 0,001= 0,004 m
9 x =12.4588 ± 0,004 m
[6.4285 ± 0,001 ]−[ 7.5072 ± 0,001 ]+[ 5.8219 ± 0,001]+[ 4.2331 ± 0,001] 6.4285 −7.5072 + 5.8219 + 4.2331 =¿ 0,001 + 0,001 + 0,001 + 0,001= 0,004 m
9 & =12.4588 ± 0,004 m 6onincertidumbre : 9=( 12.4588 ± 0,004 ^i + 8.9762 ± 0,004 (^ ) m ⃗
3 ejemplos resueltos de propagación de errores
E(emplo 1: B =4,52 ∓ 0,02 cm,x =2,0 ∓ 0,2 cm, & =3,0 ∓ 0,6 cm ! 6alcular '= x + & − B & suincertidumbre ! ' = x + & − B=2,0 +3,0 − 4,52=0,52 " 0,5 cm - ' = - x + - & + -B =0,2 + 0,6 + 0,02 =0,82 " 0,8 cm
' =0,5 ∓ 0,8 cm E(emplo 2 : el radiode uncirculo es x =3,00 ∓ 0,20 cm!
6alcularla circunferencia & suincertidumbre ! 6 =2 )x =2 ∙ 3,141 ∙ 3,00=18,8596 " 18,6 cm - c =2 ) - x =2 ∙ 3,141 ∙ 0,20 =1,257 " 1,26 cm 6 =18,6 ∓ 1,26 cm" 18,6 ∓ 1,3 cm
E(emplo 3 : x =2,0 ∓ 0,2 cm, & =3,0 ∓ 0,6 cm ! 6alcular '= x −2 & & suincertidumbre ' = x −2 & =2,0 − 2 (3,0 ) =−4,0 cm - C = - x + 2 - & =0,2 + 2 ( 0,6 )= 0,2+ 1,2 =1,4 cm ' =−4,0 ∓ 1,4 cm
Tarea 4 Pregunta 1
+ = (10000 mm ; 252 0 ) ; 5= ( 2,3 i^ − 0,83 (^ ) m; 6 =( 22,5 cm;< 47 0 E) ⃗
⃗
⃗
Resuelve + + 5 + 6 . Sumar los vectores y ponerlos en coordenadas polares, rectangulares y módulo-unitario.
Pregunta 2
Dos puertos A y B se encuentran separados una distancia de 750,00 m. El r í o fluye de Oeste a Este con una rapidez constante igual a 2,30 m/s. Un bote que quiere cruzar desde el puerto A hacia B posee una rapidez constante igual a 4,20 m/s. ¿En qu é dirección relativa al norte (ángulo
),
debe apuntar la velocidad del bote para que se mueva en l í nea recta
directamente hacia el Norte desde A hacia B?
Pregunta 3
Tres cuerdas horizontales tiras de una piedra grande enterrada en el suelo, produciendo los vectores de fuerza A(120 N; 35°), B(45 N; 115°) y C(55 N; 244°) (Recuerden que N representa Newtons). Encontrar la magnitud y direcci ón de una cuarta fuerza aplicada a la piedra que haga que la suma vectorial de las 4 fuerzas sea cero.
Pregunta 4
Una partí cula está afectada por 2 aceleraciones. Sumar los vectores de aceleraci ón y escribirlos en coordenadas polares y rectangulares. La posici ón de la partí cula está dada por el vector r, que es 5 m.
+ 1=2,5
m s
2
; + 2=78,125
Y
A 2
X
Ø º r
A
m s
2
Laboratorio 2: Un juego de puntos del piso a coordenadas Poner la información pedida abajo (0,5 punto)
Aula:_______ Fecha:___________ Número de jugo de puntos:________________________ Miembros:__________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________
Objetivo Convertir los puntos marcados que están en el piso a coordinadas polares y coordinadas (ver el ejemplo en la figura 4,7).
y
2
4
5
1
x
Figura 4,7: Ejemplo de como usar un sistema de referencia para graficar puntos.
Instrucciones -Escoger un sistema de referencia lógica. -
Encontrar su manera de convertir los puntos marcados en el piso a
-
coordinados. Leer la introducción con mucho
-
cuidado. Contestar las preguntas
Figura 2!: Ejemplo de ser creativo para medir ángulos
Introducción La medición es un proceso de cuantificar una experiencia del mundo exterior; son técnicas por medio de las cuales se asigna un n úmero a una propiedad f ís ica como resultado de compararla con otra similar, tomada como patr ón, la cual se adopta como unidad. Lord Kelvin, cientí fico escocés del siglo XIX, dijo: “Cuando uno puede medir aquello de lo que se está hablando y expresarlo en números, sabes algo acerca de ello, pero cuando no puedo medirlo, cuando no puede ser expresado en números, su conocimiento es escaso e insatisfactorio; podrá ser un principio del conocimiento, pero dif íc ilmente ha avanzado su conocimiento a la etapa de una ciencia”. Cuando se mide una cantidad f í sica, no se debe esperar que el valor obtenido sea exactamente igual al “valor verdadero”. Al hacer mediciones y se informe de sus resultados, se debe tener siempre en cuenta que, las medidas no son simples n úmeros exactos, sino que consiste en intervalos, dentro de los cuales se tiene confianza de que se encuentra el valor esperado. En general, es necesario dar indicaciones claras de qu é tan cerca está el resultado obtenido del “valor verdadero”; es decir algunas ideas de la exactitud o confiabilidad de las mediciones; esto se alcanza incluyendo en el resultado una estimaci ón de su error. Por ejemplo, al medir la velocidad del sonido en el aire a la temperatura ambiente y dar el resultado final como: (339±2)(m/s) Se entiende, que se cree que la velocidad del sonido est é en alguna parte dentro del intervalo que va desde 337 hasta 341(m/s). En realidad, la expresión anterior es una afirmación de la probabilidad; no significa que se est é seguro que el valor se encuentre entre los lí mites indicados, sino que las mediciones señalan que hay cierta probabilidad de que est é ahí . En este experimento se usa una cinta métrica común para describir puntos en el piso y expresarlos como coordenadas. Al medir los puntos del piso del aula, habr á una propagación de error debido a que la precisión del instrumento y la percepción humana tienen sus lí mites. Por eso, es imposible concluir que el resultado es exacto (cerca del valor verdadero) aunque parece que no haya errores.
Resultados: (4,5 puntos) Llenar las tablas6 de abajo tomando en cuenta la precisi ón de cada instrumento (4,5 puntos)
Coordenadas polares
Coordenadas rectangulares Ángulo
Lí nea
Longitud (______)
(
1 ¿
X (______)
Y (______)
Z (______)
(______) 1a2 2a3 3a4 4a5 5a6 6a1 Total
Calcular la propagación de errores.
Entregar la practica 2 a Anthony, limpiar el laboratorio y preparase para una examen de comprensión del laboratorio.
Prueba (2,3,4) La prueba (2,3,4) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en 2,3 y4.
< Toar en cuenta el forato sugerido en la página 3 ba/o el t!tulo4 2orato de escritura de tablas para este curso
Capí tulo 5: Multiplicación de vectores Teorí a Hay 3 tipos de multiplicación de vectores: 1. Un vector multiplicado por un escalar => resulta en un vector 2. El producto punto (o escalar) entre dos vectores => resulta en un número con unidad 3. Producto cruz (o vectorial) entre vectores => resulta en un vector
1. Un vector multiplicado por un escalar resulta un vector.
n + = n + x + n + & + n + ' Ejemplos:
^) 1) + =( 2 i^ + (^ + 3 k ^) 3) −3 ∙ + =(−6 i^ −3 (^ − 9 k ⃗
⃗
2) 4)
^) 2 ∙ + =( 4 i^ + 2 (^ + 6 k 1 ^) ∙ + =(i^ + 0,5 (^ + 1,5 k 2 ⃗
⃗
2. El producto punto entre dos vectores nos resulta un escalar. Tambi én se lo conoce como producto escalar. El producto punto es la multiplicación de la proyección de un vector sobre otro vector o sobre su lí nea de acción. Hay dos maneras de calcularlo: a
En función de las componentes de ambos vectores:
+ ∙ 5= + x ∙ 5 x + + & ∙ 5 & + + ' ∙ 5 ' En función de los módulos de los dos vectores y el ángulo que forman entre ellos:
+ ∙ 5=| +||5|cos = ⃗
⃗
== el 4nguloentre vectores & es menorque180 0 Recordando, los módulos de ambos vectores se calculan con las siguientes expresiones:
| +|=√ + x 2 + + & 2 + + '2
|5|= √ 5 x2 + 5 & 2 + 5 '2
b
a Ø º a , o s 3 Ø º Figura 2": /roducto %unto
Ejemplos:
^ ) m; ⃗5 =(−1,5 i^ + 3 (^ + 1 k ^ ) m 1 ¿ + =( 2 i^ + (^ + 3 k ⃗
+ ∙ 5= +x ∙ 5x + +&∙ 5& + +' ∙ 5' + ∙ ⃗ 5= 2 ∙ (−1,5 )+ 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1 =3 m
2
⃗
5 =( 2 s ; 111 0) 2 ¿ + =( 5 m; 30 0 ) ; ⃗ −1
⃗
+ ∙ ⃗ 5=| +||5|cos = =5 ∙ 2 ∙ cos ( 111 0− 30 0 )=10 ∙ cos ( 81 0 )=1,56 ⃗
y
m s
y
B = 3 2 s J 3 - :
B = 3 2 s J 3 - :
A =35 : 10
A =35 : 10
º
º
Ø º 10º Ø º
Ø º
10º
x
= º - 1 0 º = 8 º A ! > $ ) o B = A I, o s 3 8 º x B = 5 I, o s 3 8 º x 2 3 s = 0 I , o s 3 8 º s = <5 s
غ
x
= º - 1 0 º = 8 º
B ! > $ ) o A = B I , o s 38 º x A = 2 3 s I, o s 3 8 º x 5 = 0 I , o s 3 8 º s = <5 s
Figura 3#: Ejemplo 2 del producto punto
3 ¿ + =2 ;5 =3,3 m; el 4ngulo entre ellos es22 grados
+ ∙ ⃗ 5=| +||5|cos = =2 ∙ 3,3 ∙ cos ( 22 0 )= 6.6 ∙ cos ( 22 0 ) =6,12 !m
Ángulo entre dos vectores
'l igualar abas epresiones para encontrar el producto punto entre dos vectores y despe/ar el coseno del ángulo que foran estos vectores se puede obtener una epresión uy til para encontrar el ángulo = entre dos vectores cualesquiera4 cos = =
+ x ∙ 5 x + + & ∙ 5 & + + ' ∙ 5 '
| +|∙|5|
= La fórula resulta el coseno del ángulo que foran dos vectores. Para encontrar el ángulo solo #ace falta #acer la función inversa del coseno.
3. Producto cruz (o vectorial) entre vectores El producto cruz entre vectores resulta un vector perpendicular al plano que forman los dos vectores que se multiplican. En otras palabras, el vector
+ x 5 será perpendicular a
+ y 5 simultáneamente. Se define con las siguientes expresiones: En función del vector unitario de AxB (la dirección que sea perpendicular a ambos vectores que se multiplican a la vez), el m ódulo de ambos vectores y el ángulo que forman los dos vectores que se multiplican:
+ x 5=n⃗ ∙| +|∙|5|∙ sin = ⃗
⃗
n =vector unitario queindica ladireccin perpendicular a + & 5 (no ha& unidades) ⃗
| +| & |5|= mdulosde los vectores que semultiplican == Dnguloque formanlos dosvectores que semultiplican O en función de las componentes de ambos vectores que se multiplican:
|
i^ + x ⃗ 5= + x 5 x ⃗
(^ + & 5 &
|
^ k + ' 5 '
Esta última f órmula requiere de conocimiento en matrices y determinantes para su resolución, en clase se explicará un poco más a detalle cómo resolver esta matriz. Al resolverla queda la siguiente f órmula que es la que se usa para encontrar el vector
+ x ⃗ 5 :
+ x 5=( ( + & 5 ' − + ' 5 & ) ^i−( + x 5 '− 5 x + ' ) ^ ( + ( + x 5 & − + & 5 x ) ^k ) unidad+∙unidad5 ⃗
⃗
La f órmula anterior es la más práctica de usar. Es mucho más f ácil encontrar las componentes de dos vectores que el ángulo que forman ambos 8.
> e puede encontrar el ángulo entre dos vectores con la fórula descrita en la página 5- ba/o el t!tulo4 ?ngulo entre dos vectores.
E x ! %(, a , ( $ , o L $ b
K r " a = a I b s ($ 3 Ø º b s($ 3غ $ I a I b s ($ 3 Ø º Ø º a
a $ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r (o
(s)a 1H
$ 3 * " , ) o r > $ ( )a r ( o
b
E x ! % (, a , ( $ a % )" r $ a ) ( * a
a b
Ø º
(s)a 1H b s($ 3غ
K r " a = a I b s ($ 3 Ø º
Ø º a
a $ 3 * " , ) o r > $ ( ) a r (o
(s ) a 1 H
Figura 31: Producto cruz
Ejemplos:
5 =(2 s 1 ¿ + =(5 m ; 30 0 ) ; ⃗
−1
⃗
; 111 0 ) ; ⃗n =1 k^ por lareglade la mano derecha
calcular + x 5
^ ) ∙ 5 m∙ 2 s ∙ sin ( 111 0 − 30 0 ) + x ⃗ 5=( + 1 k −1
⃗
^ ) ∙ 10 + x ⃗ 5=( + 1 k ⃗
m ∙ sin ( 81 0 ) s
^) + x ⃗ 5=( [ 1 ∙ 10 ∙ sin ( 81 0 ) ] k ⃗
^) + x ⃗ 5=( 9,88 k ⃗
m s
m s
2 ¿ + =( 5 m; 30 0 ) ; ⃗ 5 =( 2 s
−1
⃗
; 111 0 ) ; n⃗ =−1 k^ porlaregladelamanoderecha
calcular 5 x +
⃗5 x + =( −1 k ^ ) ∙ 5 m∙ 2 s−1 ∙ sin (111 0−30 0 ) ⃗
⃗5 x + =( −1 k ^ ) ∙ 10 m ∙ sin (81 0 ) ⃗
s
⃗5 x + =( [−1 ∙ 10 ∙ sin ( 81 0 )] ^k ) m ⃗
s
^) 5 x + =( −9,88 k ⃗
⃗
m s
^ ) m ; ⃗5 =(−1,5 i^ + 3 (^ + 1 k ^ ) m 3 ¿ + =( 2 i^ + (^ + 3 k ⃗
calcular + x 5
+ x ⃗5=( ( + & 5 ' − + ' 5 & ) ^i−( + x 5 '− 5 x + ' ) ^ ( + ( + x 5 & − + & 5 x ) ^k ) unidad+∙unidad5 ⃗
+ x ⃗5=( ( 1 ∙ 1−3 ∙ 3 ) i^ − ( 2 ∙ 1−(−1,5 ) ∙ 3 ) ^ ( + ( 2 ∙ 3−1 ∙ (−1,5 ) ) ^k ) m∙ m ⃗
^ )m + x ⃗ 5=( ( −8 ) i^ −( 6,5 ) (^ + ( 7,5 ) k
2
⃗
^ )m + x ⃗ 5=( −8 i^ −6,5 (^ + 7,5 k
2
⃗
calcular el 4ngulo entre + & 5 + ∙ ⃗ 5= + x ∙ 5 x + + & ∙ 5 & + + ' ∙ 5 '
+ ∙ 5=| +||5|cos = ⃗
⃗
+ x ∙ 5 x + + & ∙ 5 & + + ' ∙ 5 ' =| +||5|cos = −1
== cos (
+ x ∙ 5 x + + & ∙ 5 & + + ' ∙ 5 '
| +||5|
2 ∙−1,5 + 1 ∙ 3 + 3 ∙ 1
−1
== cos (
)
√ 2 +1 +3 ∙ √ (−1,5 ) + 3 +1 2
2
2
2
2
)=cos−1 2
3
√ 14 ∙ √ 12,25
=76,76 0
calcular el vectorunitario de + x 5 ⃗
⃗
(−8 i^ − 6,5 (^ +7,5 k ^ ) m (−8 i^ −6,5 (^ + 7,5 k ^ ) m + x ⃗ 5 = = n= ⃗ 2 | +||5|sin ∅ √ 14 m∙ √ 12,25 m ∙ sin (76,76 0) 12,75 m 2
⃗
n =( ⃗
−8 ^ i−
12,75
6,5 ^ 7,5 ^ ( + k ) 12,75 12,75
^) ⃗ n =(−0,63 ^i −0,51 (^ + 0,59 k
2
Tarea 5: Pregunta 1
¿Qué denota un vector unitario? (No requiere explicación) a) La magnitud (o módulo) y dirección de un vector b) Solo la dirección c) Solo la magnitud (o módulo)
Pregunta 2
¿Es un vector unitario el siguiente vector descrito por
% : Justifique.
% =( cos ( 82,4326 0 ) i^ − sin ( 15,2211 0 ) ^ ( + tan ( 43,7081 0 ) ^k ) ⃗
Pregunta 3
Qué ángulo forma con respecto al eje +Z el producto
+ = ( 26,50 i^ ) m ⃗
5 =(−13,20 ^ ( ) m ⃗
+ x 5 entre:
Pregunta 4
+ = ( 0,11 i^ + 17,80 (^ ) m ⃗
^)m ⃗5 =( 18,20 i^ −21,00 (^ + 1,20 k c =2,00 d =−2,00 Calcular:
a¿c +
b¿d 5
Escoge las respuestas que son correctas:
c) el vector
c + tiene la misma magnitud y diferente dirección que el vector + .
d) el vector
c + tiene diferente magnitud y la misma dirección que el vector + .
e) el vector
c + tiene diferente magnitud y dirección que el vector + .
f) el vector
d 5 tiene la misma magnitud y diferente dirección que el vector
g) el vector
d 5 tiene diferente magnitud y la misma dirección que el vector 5 .
h) el vector
d⃗ 5 tiene diferente magnitud y dirección que el vector
⃗
⃗
⃗5
.
5 .
Pregunta 5
^)m + =( 2,10 i^ + 2,80 (^ −3,00 k ⃗
⃗5 =(−2,30 i^ + 6,00 (^ + 2,80 k ^ ) m a) Calcular + ∙ 5
b) ¿Cuál es el ángulo que se forma entre los vectores + & 5 ?
Pregunta 6
Se tienen los vectores
^ )m + =( 15,00 i^ − 8,00 (^ −6,60 k ⃗
⃗5 =( 9,00 i^ −3,30 (^ + 4,40 k ^ ) m a) Calcular + x 5
b) Calcular el ángulo entre + & 5
c) Calcular el vector unitario usando está formula9: + x ⃗ 5=n⃗ ∙| +|∙|5|∙ sin =
@ ugerencia4 e puede despe/ar el unitario
n ⃗
de esa fórula.
Pregunta 7
Se tienen los vectores
+ = (−6,60 ^i + 2,20 (^ ) km ⃗
⃗5 =(−1,10 ⃗i+ q (^ −1,00 k ^ ) km ¿cuánto debe valer “q” para que ambos vectores sean perpendiculares (es decir, formen 90 °)?
Pregunta 8
Encuentre un vector que sea perpendicular a los dos siguientes vectores:
+ = ( 5,50 i^ − 2,10 (^ ) ⃗
⃗5 =( 2,30 i^ + 22,00 (^ + 1,13 k ^ ) m
Pregunta 9
⃗5 =( 11,11 ^i + 4,30 (^ ) m
Suponga que el vector
vector + . Se conoce que + ∙ 5= 17,75 ⃗
⃗
forma un ángulo de 22 grados con un
m . Calcule el módulo del vector + . s
Prueba (5) La prueba (5) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en 5.
Capí tulo 6: Cinemática La cinemática estudia el movimiento de las partí culas y encuentra f órmulas para describir esos movimientos. La cinemática no estudia qué provoca el movimiento. En este tema se usan cantidades escalares y vectores. Generalmente se usan vectores para describir aceleración, velocidad y desplazamiento. Por ejemplo, metros (m) y metros por segundo(m/s). Se deben identificar 3 elementos en cada problema de cinemática. 1. La partí cula (el cuerpo que mueve) 2. El sistema de referencia (los ejes x, y y/o tiempo (t)) 3. El sentido del movimiento (la dirección que la partí cula mueve) La Figura 32 muestra como estos tres elementos aparecen en gráficos. Y
Y
0s
0 <2 s
0 <4 s
25
0 < s
20 4
5
3
0
x
5 X
5
0
0
5
0
X
0
0 <2
0 <4
0 <
0 <8
M (" ! o 3 s
Figura 32: Gr á ficas posición en x vs tiempo
De estos gráficos es posible calcular algunos tipos de velocidades:
Velocidad media: v med =
x 2− x 1 ⃗
⃗
t 2−t 1
⃗
= x
t
El cambio en desplazamiento divido para el cambio en tiempo. Toma en cuenta un intervalo de tiempo (i.e.: la velocidad media entre 0,2 y 0,6 segundos)
La velocidad instantánea es:
x dx = dt t " 0 t
v x = lm
La velocidad instantánea es el lí mite de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero; es igual a la tasa instant ánea de cambio de posición con el tiempo. En resumen, es la velocidad de una partí c ula en un instante (i.e.: la velocidad a los 0,4 segundos).
Velocidad promedio
Promediode los resultados=´ x = v promedio =´v =
1
n
∑ x
n i= 0
i
v1+v2 + v3 F n
Definiciones básicas de la cinemática: Movimiento: Es el cambio de posición de una partí cula, con respecto a un sistema de
referencia, en un determinado intervalo de tiempo. Reposo: Un cuerpo está en reposo cuando no cambia su posici ón con respecto a un sistema
de referencia. Posición ( ⃗r ): Es el lugar f ís ico en el que se encuentra un cuerpo con respecto a un sistema
de referencia. Distancia desde el origen ( r ): Es el módulo del vector posición. Desplazamiento ( ⃗ r ): Es la variación de posición (resta de la posición final menos la
inicial) sin importar el camino seguido o el tiempo empleado, tiene una relaci ón estrecha con el movimiento de un cuerpo. Trayectoria: Es la lí nea que une las diferentes posiciones que a medida que pasa el tiempo
va ocupando un punto en el espacio o, de otra forma, es el camino que sigue el objeto dentro de un movimiento. Velocidad ( v⃗ ): Desplazamiento que recorre un móvil por cada unidad de tiempo. Rapidez ( v ): Es el módulo de la velocidad en un instante.
Existen algunos tipos de movimiento. Se empezará describiendo el más sencillo de todos.
Movimiento rectilí neo uniformemente (MRU) Es un movimiento en lí nea recta con velocidad constante. Si se toma la definición de
velocidad media:
v med = ⃗
x 2− x 1 ⃗
⃗
t 2−t 1
=
⃗ x t
Pero se conoce que la velocidad es constante ( % med =% ¿ . Despejando el desplazamiento, se obtiene la única f órmula que describe este tipo de movimiento:
x = ⃗v ∙ t
Esta f órmula tiene una versión escalar10:
x= v ∙ t Ejemplo 1 de MRU:
Un automóvil se desplaza con una rapidez de 50 km/hr. Calcule la distancia que recorrerá en 11,38 segundos.
v =50
1 hr 1000 m km m =13,89 ;t =12 se g ∙ ∙ hr 3600 seg 1 km seg
x = v t =13,89
m ∙ 12 se g = 166,67 m seg
Ejemplo 2 de MRU:
¿Cuántos segundos demorará un automóvil en recorrer 3360 m si se mueve con una rapidez constante de 77 km/hr?
x =3360 m∙ v =77 t =
1 km =3,360 km 1000 m
km hr
3600 seg x 3,360 km = =0,0436 hr ∙ =157,09 seg v km 1 hr 77 hr
Ejemplo 3 de MRU:
Dos carros parten desde un mismo punto pero una hora aparte. El primer carro se desplaza hacia el norte a 85 km por hora, y despu és de 1 hr el segundo carro parte hacia el norte a 105 km por hora: Calcular la distancia que los separa despu és de 2,5 hr. ¿Medido desde la partida de los carros, cu ándo se encuentran los dos? ¿Medidos desde el punto de partida de los carros, a qué distancia se encuentran los carros? Calcular la distancia que los separa despu é s de 2,5 hr.
x 1= v ∙ t = 85
km ∙ 2,5 hr =212,5 km hr
x 2= v ∙ t = 105
km ∙ 1,5 hr =157,5 km hr
212,5 km−157,5 km=55 km ∴ los carros tiene 55 km de separacin
¿Medido desde la partida del segundo auto, cu ándo se encuentran los dos?
x1= venta(a + v ∙ t = 85
km ∙ 1 hr + 85 t =85 + 85 t hr
1 6ótese que en esta fórula, ya no se #abla de despla"aiento en ( x ) sino de distancia en ( x ¿ . 'deás ya no se #abla de velocidad ( v⃗ ) sino de rapide" ( v ).
x 2= v ∙ t = 105 t ; 85 + 85 t =105 t 85= 105 t −85 t 85= 20 t
t =
85 = 4,25 hr 20
Los autos se encuentran 4,25 horas despu és de que el segundo carro empieza a moverse. ¿Medidos desde el punto de partida de los carros, a qu é distancia se encuentran los carros?
x 1=85 + 85 t = 85 + 85 ∙ 4,25= 446,25 km
x 2=105 t =105 ∙ 4,25= 446,25 km Los autos se encuentran a 446,25 km medidos desde el punto de partida de ambos. Ejemplo 4 de MRU:
Una persona corrió 350 m recto en 2 min, luego se devolvi ó y trotó 75 m hacia el punto de partida en 1 minuto con rapidez constante. ¿Cuál es la rapidez promedio del atleta al recorrer ambas distancias? ¿Cuál es la rapidez media del atleta al recorrer los 425 metros?
t 1 =2 min;x 1=350 m v 1=
x1 t 1
= 350 m =125 m 2 min
min
t 2 =1 min;x 2=−75 m v 1=
x1 t 1
= −75 m =−75 m
125
v prom =
1 min
min
m m + 75 min min m =100 min 2
x inicial=0 m x final= 350 m −75 m=275 m
vm=
x x final− x inicial 275 −0 m = = = 91,67 3 −0 t t final−t inicial min
Ejemplo 5 de MRU:
Calcular: a) La velocidad media de todo el recorrido para cada persona.
v media tot ( p+) =
xtot
− = 30 m 15 m = 0,375 m 40 s −0 s t tot s
x 15 m −(−30 ) m =1,125 m v media tot ( p5)= tot = 40 s −0 s t tot s b) Las velocidades medias para cada uno de los tramos de cada persona.
v media 1( p+) = v media 2( p+) = v media 3( p+ )= v media 4 ( p+)=
v media 5( p+ )=
v media 1( p5)= v media 2( p5)=
x1 −45 m−15 m m = =−6 10 s −0 s t 1 s x2 t 2 x3 t 3 x4 t 4
t 1 x 2
v media 4 ( p5)= v media 5( p5) =
−15 m−(−45 ) m m =6 15 s −10 s s
=
−15 m −(−15 ) m m =0 20 s −15 s s
=
45 m−(−15) m m =4 s 35 s −20 s
Figura 33: Grá fico de movimiento
x5 30 m− 45 m m = =−3 t 5 40 s− 35 s s
x 1
v media 3( p5) =
=
t 2
=
30 m−(−30 m ) m =6 s 10 s −0 s
m−30 m m =0 s 25 s −10 s
= 30
x3
− m− 30 m m = 30 =−12 t 3 s 30 s − 25 s
x4 t 4 x5 t 5
=
−15 m −(−30) m m =3 s 35 s −30 s
=
15 m−(−15 m ) =6 m 40 s −35 s s
c) ¿En qué momento ambas personas se encuentran en reposo al mismo tiempo? Entre 15 y 20 min
d) ¿Qué persona alcanza la mayor rapidez y en qu é intervalo?
Persona B en intervalo 25 a 30 min.
Ejemplo 6 de MRU:
Dos personas empiezan a caminar desde el mismo punto y tiempo con las velocidades mostradas en la Figura 34. Después de 20 min, ¿cuánta distancia hay entre ellos? y
A = 3 2 <5 s < 5 0 º
x B = 3 <5 s < 1 2 0 º
Figura 34: Ejemplo 6
Multiplicar ambos vectores por el tiempo transcurrido (20 minutos) para encontrar la posición de cada persona (componentes Ax, Ay y Bx, By). La hipotenusa del tri ángulo rectángulo de la Figura 35 será la distancia recta entre A y B después de los 20 minutos. y
t =20 min∙
A = 2 < 5 s x 2 0 ($ 50º Ay - By
x
120º
+ x =2,5 5 x = 1,5
m ∙ cos ( 320 0 ) ∙ 1200 s =1379 m s
Bx - Ax
Figura 35: Tri0ngulo rect0ngulo %ara encontrar distancia entre -
+ & =2,5
5 & =1,5 9 x =5 x − + x =( 1379 m ) −(−2598 m) =3977 m 9 & = + & − 5 & =( 1500 m )−(−1157 m ) =2657 m 2
m ∙ cos ( 150 0 ) ∙ 1200 s =−2598 m s
B = < 5 s x 2 0 ($
H (s ) a $ , (a " $ ) r" A y B
9 = √ 9 x + 9 &
60 min =1200 seg 1h
2
9= √ ( 3977 m)2 +(2657 m )2=4783 m
m ∙ sin ( 150 0 ) ∙ 1200 s=1500 m s
m ∙ sin ( 320 0 ) ∙ 1200 s =−1157 m s
Tarea 6 Pregunta 1
Una partí cula ubicada en una posición inicial x 1= 0 se mueve en dirección Oeste con una velocidad constante de 2,5 m/s durante 5,5 segundos. Luego disminuye instantáneamente su velocidad a 1,7 m/s durante 10 segundos y finalmente se dirige al Este con una rapidez de 15 m/s en 4,35 s. Grafique x(t) y v(t).
Pregunta 2
¿Qué magnitud permanece constante en un movimiento rectil í neo uniforme (MRU)? a) Velocidad. b) Posición. c) Aceleración. d) Tiempo.
Pregunta 3
En un movimiento rectilí neo uniforme, con una rapidez, la gr áfica posición-tiempo puede tener la forma: a) De parábola. b) Recta inclinada. c) Recta horizontal. d) No se puede representar.
Pregunta 4
¿Cuál de las siguientes ecuaciones describe a un movimiento rectilí neo y uniforme:
a ¿ x ( t )=3 t 2 2
b ¿ x ( t )=20 − 2 t
c ¿ x (t )=1 + 4 t
d ¿ x ( t )=24
Pregunta 5
El motor de una lancha se mueve con una velocidad descrita por el vector A, pero la lancha se mueve con una velocidad de (2,83 m/s, 148,02º) por la corriente del r í o ¿Cuál es la velocidad del rí o? ¿Cuánto tiempo en minutos demorará cruzar el rí o, desde A hasta B?
Pregunta 6
Dos personas empiezan a caminar del mismo punto y tiempo con los vectores de la figura. Después de 4 segundos ellos tienen una distancia de 100 m entre ellos ¿Cu ál es la rapidez de la persona B en m/s?
Laboratorio 3: Cinemática 1 Poner la información pedida abajo (0,5 punto)
Aula: _______Fecha:___________ Código de caja:________________________________ Lí der:__________________________Miembros:___________________________________ ___________________________________________________________________________
Funciones de un lí der: - Encontrar un espacio en el laboratorio para hacer la pr áctica. - Apoyar a sus miembros cuando ellos necesiten. - Manejar el tiempo. - Entregar la práctica. - Asegúrese de que las cajas sean devueltas en buen estado.
Objetivos: 1. Encontrar la velocidad del carrito con intensidad mí nima, media y máxima. 2. Calcular la distancia requerida y tiempo que demora para que: el carrito con intensidad máxima supere el carrito con intensidad en la mitad y m í nima con una distancia de ventaja dada. el carrito con intensidad en la mitad para superar el carrito con intensidad m í nima con una distancia de ventaja dada. 3. Llenar el cuestionario.
Materiales: Las cajas “Mechanics 1” y “Linear Movement, with Timer 2-1”
Montaje sugerido:
jemplo de un montaje para realizar la pr áctica. Figura 36: E
[Intensidad mí nima] [Intensidad en la mitad]
[Intensidad máxima]
Resultados de las medidas: (4,5 puntos) Montar el equipo para tener una distancia fija y medir el tiempo que demora el carrito en moverse de un lado a otro lado con las intensidades m í nima, en la mitad y máxima. Hacer esto de nuevo con otra distancia.
Intensidad
Distancia 1
Tiempo
Mí nima Prueba 1 Prueba 2 Promedio
x (_____)
t (______)
Velocidad media
x / t
Intensidad
Distancia 1
Tiempo
mitad Prueba 1 Prueba 2 Promedio
x (_____)
t (______)
Intensidad
Distancia 1
Tiempo
Máxima Prueba 1 Prueba 2 Promedio
x (_____)
t (______)
Intensidad
Distancia 2
Tiempo
Mí nima Prueba 1 Prueba 2 Promedio
x (_____)
t (______)
Intensidad
Distancia 2
Tiempo
mitad Prueba 1 Prueba 2 Promedio
x (_____)
t (______)
Intensidad
Distancia 2
Tiempo
Máxima Prueba 1 Prueba 2 Promedio
x (_____)
t (______)
Velocidad media
x / t
Velocidad media
x / t
Velocidad media
x / t
Velocidad media
x / t
Velocidad media
x / t
1. Hacer un gráfico de x(t) para cualquier juego de datos de las tablas anteriores. (2 pts)
2. (2,5 pts) Calcular el tiempo necesario para que el carrito A, con nivel de velocidad máxima se encuentre con un carrito B que se mueve a menor velocidad. La distancia dada es la ventaja que recibe el carrito B. Calcular tambi én la distancia que se moverá el carrito A hasta alcanzar al carrito B. Mostrar cálculos en una hoja aparte. Carrito B: velocidad mí nima
Distancia de ventaja (cm)
Distancia de A hasta alcanzar a B (cm)
Tiempo
5 10 15 Carrito B: velocidad a la mitad Distancia de ventaja (cm)
Distancia de A hasta alcanzar a B (cm)
Tiempo
5 10 15 Carrito B: velocidad má xima Distancia de ventaja (cm) 5 10 15
Distancia de A hasta alcanzar a B (cm)
Tiempo
H (s ) a $ , (a d " %a * " $ ) a & a a d ( s )a $ , ( a ! a r a a % , a $ # a r a % , a r r () o K s % " $ ) o
Poner un ejemplo de un calculo aqu í (0,5 pts)
Prueba (6) La prueba (6) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en el capí tulo 6.
Capí tulo 7: Más Cinemática Aasta este punto se #a eplorado el oviiento ás sencillo que puede darse. in ebargo, no siepre la velocidad de una part!cula será constante. Bna variación de velocidad indica la presencia de aceleración. La aceleración es el cabio de velocidad en un intervalo de tiepo. ⃗ v v f − v i
⃗
usando análisis dimensional es posible encontrar las unidades G G G − T T T G m cm ¿ = = 2 " 2 " 2 ( estas sonunidades de aceleracin) T −T T T s s
Estoes aceleracin media : a m= ⃗
⃗ v v − v G = = f
i
⃗
t
⃗
t f −t i
+celeracininstant4nea es : a⃗ = lim am= lim ⃗
t "0
t "0
T 2
⃗v d ⃗v = t dt
Movimiento rectilí neo uniformemente variado (MRUV) Es un movimiento en lí nea recta en el cual la velocidad de la part í cula cambia de manera uniforme. Al cambiar de manera uniforme, la aceleraci ón media (en un intervalo de tiempo) y la aceleración instantánea (en un instante) son las mismas. Es por esto que de aqu í en adelante, solo se hablará de aceleración. Es posible reorganizar la ecuación de la aceleración media de la siguiente manera: ⃗ a=
v f −v i ⃗
⃗
t
Y despejar la velocidad final:
a t = v f − v i ⃗ ⃗
⃗
Así se obtiene la primera ecuación que describe el MRUV:
Ecuacin 1: v f =v i + a⃗ t ⃗
⃗
En una gráfica velocidad vs tiempo, el área que se forma entre la gráfica y el eje del tiempo representa el desplazamiento realizado por la part í cula. Si se tiene una partí cula que se mueve con una velocidad que aumenta uniformemente con el tiempo ( Figura 37) el área que se forma entre la gráfica y el eje del tiempo puede ser calculada como el área de un trapecio. " %o , ( d a d * s M ( " ! o
0 = 9 8 4 s B
7
3
d
5
a d ( , o % " C
-( 2 I
4 ( = 1 2
) I 3 - (
) I (
0
2
1
4
5
(
7
8
9
0
) M (" ! o 3 s
Figura 37: Gr á fica v(t) de una part íc ula con aceleraci ón positiva constante
t ( v − v ) ⃗ x = v t + 2 f
i
⃗
⃗
i
⃗
Reemplazando la Ecuación 1 y un poco de simplificación matemática resultará en la segunda ecuación que describe el MRUV.
⃗
1 2
Ecuacin 2: x =v i t + ⃗ a t 2 ⃗
Hasta ahora se tienen dos ecuaciones que dependen del intervalo de tiempo. Sin embargo, de no disponer de información del intervalo de tiempo, ya no se podr í an utilizar estas dos ecuaciones. Es por esto que se deben generar otras que no dependan del tiempo. Se despeja el tiempo de la ecuación 1 y reemplazar en la ecuación 2:
t =
v f − v i ⃗
⃗
a
v − v 1 v −v 1 ⃗ + ⃗a x= v t + ⃗a t = v f
2
i
⃗
i
⃗
2
i
f
⃗
⃗
a
2
2
i
⃗
⃗
a
v i v f −v i2 1 v f 2−2 v f v i + vi2 = + a 2 a a2 ⃗ ⃗
⃗ ⃗
v i v f − v i2 v f 2−2 v f vi + v i2 2 v i v f −2 v i2 +v f 2−2 v f v i+ v i2 v f 2 −v i2 + = = x= 2a 2a 2a a
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
Con esto se obtiene la tercera ecuación que describe al MRUV: 2
2
Ecuacin 3 : v f = v i + 2 a x
Las tres ecuaciones descritas dependen de la aceleraci ón. Hay que generar una que no dependa de esta y con eso se cubren todos los escenarios posibles de falta de datos. Para esto, se despeja la aceleración de la ecuación 1 y se la reemplaza en la ecuación 2:
a=
v f −v i ⃗
⃗
t
1 1 v −v ⃗ x = v t + ⃗a t = v t + t 2 2 t f
2
⃗
i
i
⃗
2
i
⃗
⃗
v +v ⃗ ) t x= v t + 0,5 t v −0,5 t v =( v + 0,5 v −0,5 v ) t =( 2 f
⃗
i
f
⃗
i
⃗
⃗
i
⃗
f
⃗
i
Con esto se obtiene la última ecuación que describe el MRUV:
⃗
Ecuacin 4 : x =(
v f + vi ⃗
⃗
2
) t
Las ecuaciones que describen al MRUV:
v f = v i+ ⃗a t ⃗
⃗
1 ⃗ x= v t + ⃗a t 2
2
i
⃗
2
2
v f = v i + 2 a x
v +v ⃗ ) t x =( 2 f
i
⃗
⃗
Información extra y ejemplos de MRUV En nuestra tierra gravedad es:
g 2 9,8
m 2
s
A veces, la aceleración se expresa en términos de la gravedad Ejemplo 1 de MRUV:
a =1,5 g =1,5 ∙ 9,8
m
m
s
s
=14,7 2
2
Ejemplo 2 de MRUV:
Expresar la aceleracinde 888 888
m 2
s = 90,61 g a= m 9,8 2 s
m entHrminosde la gravedad s2
i
⃗
⃗
Mach es una manera de medir rapideces en t érminos de la rapidez del sonido. Muy utilizada en aviación. Si un avión vuela con Mach 5 significa que vuela a 5 veces la velocidad del sonido.
#ach= # =
v v sonido
v
=
340,29
m s
Ejemplo 3 de MRUV:
m m v = #ach 2,5= 2,5 ∙ 340,29 = 850,725 s s Ejemplo 4 de MRUV:
m Expresar larapide' 88354 entHrminos de #ach s m s =259,64 # v= m 340,29 s 88354
Nota: la velocidad de sonido cambia dependiendo de la temperatura, humedad etc. Ejemplo 5 de MRUV:
Un piloto de un avión caza de combate quiere acelerar desde el reposo, con aceleración constante de 4,5g, para alcanzar la rapidez Mach 3,5 tan r ápido como sea posible. Sin embargo, pruebas hechas en pilotos demuestran que un piloto se desmayará si se somete a una aceleración de 4,5g por más de 6 segundos. Utilice el valor de
del sonido y
9,8
m s
2
por gravedad
a) ¿Se desmaya el piloto en esta maniobra?
v i= 0 ; v f = #ach 3 =340 ∙ 3,5=1190 ⃗
⃗
v f = v i+ ⃗a t ⃗
⃗
1190
m m = 0 + 44,1 2 t s s
m s t = =26,98 s m 44,1 2 s 1190
∴ si , se desma&a el piloto
m m ; a= 4,5 g =4,5 ∙ 9,8= 44,1 2 s s
340
m s
para la rapidez
b) ¿Cuál es la mayor rapidez que puede alcanzar con una aceleraci ón de 4,5g antes de que se desmaye?
v f = v i+ ⃗a t ⃗
⃗
v f =0 + 44,1 ⃗
m 2
s
∙ 6 =264,6
m s
Ejemplo 6 de MRUV:
Un auto con un conductor irresponsable, empieza a frenar cuando pasa por un semáforo en rojo. Al pasar el semáforo lo hace con una rapidez de 115 kph por el carril derecho. Más adelante, a 70 metros del semáforo está un niño cruzando la calle y se cae. Si el efecto de los frenos del auto equivalen a una desaceleraci ón de magnitud 57 m/s 2. ¿El niño es o no golpeado por el auto?
km 1000 m 1 h m = 31,94 v i=115 ∙ ∙ h s 1 km 3600 s v f =0 ; a =−57 2
m 2
s
2
v f = v i + 2 a x 114 x =1020,45
x=
1020,45 =68,03 m 114
El auto se detiene a 68,03 metros del sem á foro, el niño estaba a 70 metros. Afortunadamente, el niño no es golpeado. Ejemplo 7 de MRUV:
Una persona se encuentra dentro de un ascensor de un edificio. Inicialmente el elevador se encuentra en reposo en la planta baja. El elevador empieza a subir hasta el piso 6, el cual está a una altura h del punto inicial. El elevador arranca con una aceleraci ón constante igual a 0.25 m/s 2 durante un
t 1=4,5 s . Posteriormente el elevador se mueve con
velocidad constante durante un intervalo de tiempo
t 2=3 t 1 . Finalmente el elevador
frena con una desaceleración constante de igual magnitud que la aceleraci ón inicial durante un intervalo de tiempo
t 3= t 1 . Encuentre la altura h a la que se encuentra el sexto piso. y
t 1=4,5 s = t 3
4 s 3
<25
d
t 2=3 t 1=3 ∙ 4,5=13,5 s a =0,25
m
a d ( , o % " *
4 <5
8
4 <5 s
1 <5 s M (" ! o 3 s
El área bajo la gr á fica velocidad vs tiempo resulta el desplazamiento. 1 1 x = 4reas 1 + 2 + 3 = v 1 t + v 1 t + v 1 t 2 2
1 x
2
s
m v 1= v 0 + a t 1=0 + 0,25 ∙ 4,5 =1,125 s
2
2 2 <5 4<5 s
1 2
1 2
x= ∙ 1,125 ∙ 4,5 + 1,125 ∙ 13,5 + ∙ 1,125 ∙ 4,5 =20,25 m Ejemplo 8 de MRUV:
Un malabarista arroja un pino de juego de bolos verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 8,20 m/s. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que el pino regresa a la mano del malabarista?
x =0 ;
v i = 8,20 ⃗
m ; s
a =g =−9,8
m s2
1 ⃗ x= v t + ⃗a t 2
2
i
⃗
La aceleración de la gravedad es negativa en este caso porque tiene sentido contrario a la velocidad con la que el pino fue lanzado inicialmente. El desplazamiento es cero en este caso porque el pino termin ó su movimiento en la misma posici ón en donde lo comenz ó 2
0 =8,20 ∙ t + 0,5 ∙− 9,8 ∙ t 2
4,9 t =8,20 t 2
4,9 t 8,20 t = 4,9 t 4,9 t
t =1,67 s Ejemplo 9 de MRUV:
Usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio alto. La pelota salió la mano con rapidez ascendente de 14 m/s; despu és, la pelota está en caí da libre. Obtener: a) La posición y velocidad de la pelota 1,5 s despu és de soltarla.
v i=14
m m ; a= g =−9,8 2 s s
;
t 1=1,5 s
1 ⃗ x = v t + ⃗a t =14 ∙ 1,5 + 0,5 ∙− 9,8 ∙ 1,5 = 9,975 m 2 2
2
i
⃗
b) La velocidad cuando la pelota está 5 m sobre el punto de partida.
x =+ 5 m 2
2
2
v f = v i + 2 a x =14 + 2 ∙ −9,8 ∙ 5 =98 v f =√ 98 =9,90
m s
c) La altura máxima alcanzada.
m s
v f =0 2
2
v f = v i + 2 a x 0
2
=14 2 + 2 ∙ −9,8 ∙ x
19,6 x =392
x=
392 =20 m 19,6
Ejemplo 10 de MRUV:
Dos niños están corriendo hacia si mismos. Ellos est án 20 metros aparte y uno tiene una velocidad inicial de 0,5 m/s y aumenta su velocidad 0,5 m/s cada segundo o el otro tiene una velocidad constante de 1,75 m/s. ¿Despu és de cuánto tiempo se chocan?
Niño 1: MRUV
Niño 2: MRU
x i=0 m se tomar á a este ni ño como sistema de referencia.
x = v t
2
i
⃗
m m ⃗ x = x − x ; v =0,5 ; a= 0,5 s s i
tomando en cuenta la
referencia del niño 1
1 ⃗ x= v t + ⃗a t 2 f
x i=20 m
i
x f − x i= 0,5 t +
1 ( 0,5 ) t 2 2
2
m ⃗ x = x − x ; v =0,5 s f
i
i
x f − x i=−0,5 t x f − 20=−0,5 t x f =−0,5 t + 20
2
x f = 0,5 t + 0,25 t
Los nios se cocan cuando sus %osiciones inales son las mismas. Entonces al igualar ambas e%resiones de %osici'n inal de los dos nios se %uede encontrar el tiem%o en que se cocan: 2
0,5 t + 0,25 t =−0,5 t + 20 2
0,25 t + t −20= 0
x =
−b ± √ b2− 4 ac 2a
(−1 ) ± √ 12 −4 ( 0,25 )(−20 ) t = 2 ( 0,25 ) , t =
−1 ± √ 1 + 20 −1 + √ 21 = 0,5
t =7,17 s
0,5
Tarea 7
" %o , ( d a d d " % O a ) o 3) 0
Pregunta 1
El Gato: Un gato camina en lí nea recta en
9 8 4 s B
lo que llamaremos eje x con la direcci ón positiva a la derecha. Usted, que es un f í sico observador, efectúa mediciones del movimiento del gato y
d a d ( , o % " C
elabora una gráfica de la velocidad del felino en función del tiempo. Determine:
7
, 3
5 4 1 2 0
2
1
4
5
7
8
9
0
M (" ! o 3 s
a) Determine la velocidad del gato en t=4.0 s
b) ¿Qué aceleración tiene el gato en t=3.0 s?
c) ¿Qué distancia cubre el gato durante los primeros 4.5 segundos?
d) Dibuje gráficas claras de la aceleración del gato en función del tiempo, suponiendo que el gato partió del origen.
Pregunta 2
En el servicio de tenis más rápido medido, la pelota sale de la raqueta a 80 m/s. En el servicio una pelota de tenis normalmente est á 35,0 ms (milisegundos) en contacto con la raqueta y parte del reposo. Suponga aceleración constante. a) ¿Cuál era la aceleración de la pelota durante este servicio?
b) ¿Qué distancia recorrió la pelota durante el servicio?
Pregunta 3
Una pelota se lanza hacia arriba con una rapidez de +15 m/s. Recordando que la pelota está afectada por la aceleración de la gravedad ( gravedad =−9.8 m / s 2 ), ¿qué tan alto llega la pelota, medido desde que se solt ó, antes de empezar a caer? (Sugerencia: cuando la aceleración está en sentido contrario al movimiento, se toma como negativa) Justifique.
Pregunta 4
Mientras vas manejando por una autopista a 45 m/s hacia el Este, puedes ver un policí a ubicado 75 m delante a ti, moviéndose en tu misma dirección (como indica la figura) con una rapidez constante de 28 m/s, la cual es el l í mite permitido. Empiezas a desacelerar en ese instante a 1,2 m/s 2. Si asumes que el policí a te multará solo en caso de que lo rebases. ¿Crees que logres desacelerar lo suficiente para no ser multado? Justifica tu respuesta.
50
Para pregunta 5, 6 y 7 ¿Cobrar o no cobrar el seguro de accidentes? Recientemente ha sido contratado como investigador para la compañí a de seguros IKIAMSalud. Su primer caso, un accidente entre un auto peque ño y un camión de transporte. Le llega a usted la carpeta del caso y encuentra la siguiente carta de su jefe: Querido nuevo/a inspector/a: A las 7:30 am, una conductora asegurada por nuestra compa ñí a (póliza no. 375) chocó con un camión de entrega en un pequeño callejón en la calle Los Sauces. Aunque el l í mite de velocidad en el callejón es de 20 km/h, el choque parece algo severo. Por favor, determine si la cl áusula 513-6 de la póliza puede ser aplicada. Nótese que se requiere de una evidencia fundamentada para aplicar esta cl áusula. Aunque no recuerdo su nombre, me han dicho cosas buenas sobre la calidad y detalle de su trabajo. Saludos Cordiales, Hugo Jefe P.S.: Como es su primer dí a de trabajo, he adjuntado la cláusula 513-6 a esta carta. Cl áusula 513-6: En el evento de que uno de nuestros asegurados sea encontrado responsable criminalmente1 o por negligencia 2 en su habilidad para conducir, la compa ñí a de seguro asumir á solo el 50% de los costos de reparaci ón y se reserva el derecho de incrementar la prima por un periodo subsecuente de 5 años. Para que la compañí a desembolse los costos de reparaci ón es necesario que el asegurado d é acceso a cualquier archivo mé dico relacionado al accidente. 1
El término criminalmente se refiere a conducción irresponsable o manejar bajo la influencia de
substancias ilí citas como alcohol, cannabis o coca í na. 2
El término negligencia se refiere al incumplimiento flagrante del Código de Seguridad en Autopistas
como cruzar más de dos tramos de una autopista en menos de 100 m o manejar 30 km/h m ás que el lí mite de velocidad establecido. Relato de un testigo: “Vi al auto entrar al callejón. No se qué tan r á pido iba. El camión iba en reversa porque estaba saliendo de un garaje de carga que estaba en el callej ón. Escuché un gran estruendo, pareció que el conductor ni siquiera vio al camión salir y no tuvo tiempo de frenar.”
Escena del accidente: • • • •
Colisión a 90° entre el auto y el camión El frente del auto está aplastado 45 cm El lado derecho del camión está aplastado 5 cm No hay marcas de deslizamiento
Reporte médico de la conductora:
J
Presión sanguí nea:
J
Golpes en la frente y antebrazo, laceraciones por cinturón de seguridad en el cuello y pecho
J
Toxicologí a: Opio: negativo, Cocaí na: negativo, Alcohol: negativo
105/65
Ritmo cardiaco: 103
Comentarios del doctor: “El cinturón de seguridad le salvó la vida. El golpe fue muy fuerte. De mi experiencia, heridas de esa magnitud se dan cuando un cuerpo recibe aceleraciones de 20g (20 gravedades) mientras usa el cinturón”.
Pregunta 5
¿Qué datos del movimiento de la conductora se pueden extraer de la situaci ón? (Sugerencia: tomar como partí cula a la conductora y extraer datos del movimiento de ella)
Pregunta 6
¿La conductora tiene derecho a que la aseguradora cubra todos los gastos de reparación o solo el 50%? Justifique su decisi ón con cálculos con los datos obtenidos en la pregunta 3
Pregunta 7
Si la conductora, con la velocidad que llevaba, se daba cuenta del cami ón y empezaba a frenar cuando estaba a 30 metros de impactarlo, ¿lograba frenar a tiempo o no? El efecto de los frenos del auto producen una aceleración de frenado de módulo 10g. Justifique su respuesta
Laboratorio 4: Cinemática 2 La confusión en el departamento de f ís ica: Una cuestión de gravedad Los investigadores del departamento de f í sica de IKIAM recientemente crearon una polémica en todo el mundo cuando informaron que hab í an medido el valor de la aceleraci ón de la gravedad "g" y resultó ser 15 m/s 2 en lugar del valor generalmente aceptado de 9,8 m/s 2. Estos resultados fueron establecidos utilizando un aparato con el que obtuvieron medidas de tiempos que tarda una pequeña bola en caer a través de diversas distancias. El profesor de f ís ica les pide que investiguen esta afirmación utilizando el mismo aparato ( Figura 38) y que en un informe detallado se discuta el problema, las medidas realizadas, el an álisis y sus conclusiones. También se debe proporcionar recomendaciones sobre c ómo mejorar la técnica y el aparato, de forma que se obtenga un resultado m ás preciso para un futuro experimento. Deben terminar hasta la sección de resultados y entregar el laboratorio despu és de 2 horas. Luego, se dedicarán otras 2 horas de clase al resto del an álisis de resultados. A continuación, seguir los siguientes pasos.
Objetivo de la práctica Probar de manera estadí stica que el valor de la gravedad obtenido por los cient í ficos de IKIAM es erróneo.
El lí der de cada grupo debe: • • • • •
Ser responsable de las cajas de los materiales. Dar tareas a sus compañeros. Ser el medio de comunicación entre los compañeros. Encontrar soluciones a posibles problemas que ocurran junto con su equipo. Entregar la práctica 10 min antes de acabar la sesión del laboratorio.
Instrucciones: 1 2 3
Hacer la instalación como la Figura 38. Colocar la bola de acero en la pinza Poner el sensor debajo de la pinza para que el objeto caiga a través de la luz del
sensor. 4 Medir la altura que caerá la bola de acero (desde el punto de partida hasta el sensor). 5 Resetear el “Timer 2-1”. 6 Soltar la bola de acero de la pinza. 7 Anotar el tiempo del timer 2-1 y la altura y repetir el experimento 19 veces más. 8 Repetir el proceso para una moneda de cinco centavos con otra altura de ca í da. 9 Entregar el reporte a Anthony 10 minutos antes de acabar la sesión del laboratorio. 10 Salir del laboratorio 5 minutos de antes de acabar la sesión del laboratorio.
Figura 3!: Instalación de la pr áctica de MRUV
Reporte del experimento de MCUV Información del grupo (0,25 puntos)
Fecha de la práctica: ___________ de ____________ de 2016 Nombres: _________________________________________________________________ Grupo del laboratorio: ______________ Grupo del aula: ______________
Introducción La gravedad es una fuerza fundamental producto de la interacci ón entre dos cuerpos. La fuerza de atracción entre los cuerpos resulta de una aceleraci ón del uno hacia el otro. Esta aceleración depende de las masas que tienen los cuerpos y la distancia entre sus centroides, como son mostrados en las f órmulas 1 y 2.
: =ma,FF (1) : =
I m1 m2 r
2
! F F (2 )
Donde: : =fuer'a,m 1=masa 1, m2= masa 2, a =aceleracin,r = distanciaentre lasmasas
& I =6.67384 x 10−11 m3 k g−1 s−2 Como G es tan pequeño y el radio del mundo es tan grande, la masa de un cuerpo no es suficientemente grande para acelerar a la Tierra hacia él. Sin embargo, la masa de la Tierra es suficientemente grande para acelerar un cuerpo hacia su centro. Usando las formulas 1 y 2 se puede apreciar que un cuerpo cerca del planeta Tierra cae hacia su centroide con una aceleración de 9,8 ms-2. En lenguaje cotidiano, se dice que la gravedad es 9,8 ms-2. A veces la teorí a y la realidad tienen resultados muy diferentes por otros factores como resistencia de aire y/o condiciones del ambiente. En el experimento que fue hecho por los investigadores de Ikiam, fue encontrado que el valor de gravedad es 15 ms-2 en vez del valor generalmente aceptado de 9,8 ms-2. Este experimento intentará replicar, en el mismo aparato que los investigadores Ikiam usaron, el valor que se obtuvo, es decir 15 ms-2 o algo diferente. Adem ás, los posibles errores se explorarán para tratar de averiguar que salió mal en el experimento anterior.
Recopilación de datos (2 puntos)
Apreciación de la cinta métrica: _____________________________________________ Apreciación del “Timer 2-1”: _______________________________________________ Altura 1:__________ (
)11
Bola de acero Intento
Tiempo para altura 1 (
Moneda de 5 centavos )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 Poner las unidades utili"adas para cada edición o cálculos entre los par;ntesis coo este
Altura 2: _________(
) (Altura 1 y 2 dos no pueden ser las mismas distancias)
Bola de acero Intento
Tiempo para altura 2 (
Moneda de 5 centavos )
1 2 3 4 5
Resultados (2 puntos)
Encontrar una manera general de calcular el valor de la aceleraci ón de la gravedad solo con los variables distancia, tiempo, velocidad y aceleración.
Un ejemplo de cálculo ilustrando la descripción anterior:
Intento
Altura de ( ) Aceleración para la bola de acero)
Aceleración para la moneda de 5
a(
centavos
)
a(
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Cada columna de esta tabla representa una poblaci ón de datos.
Conceptos para análisis estadí stico Para esta sección se presentarán algunos conceptos de estad í stica y luego una serie de instrucciones para utilizarlos en esta pr áctica. No hace falta entenderlos a profundidad. Sin embargo, es mejor empezar a usarlos para que en futuros semestres no les tome de sorpresa y tengan bases de estadí stica.
Desviación Est ándar
En probabilidad y estadí stica, la desviación estándar de una variable aleatoria representa qué tan lejos está el valor obtenido del valor promedio. En este experimento la desviación estándar es el error aleatorio. Se calcula con la siguiente f órmula:
J =
√
n
´ ) ( > − > ∑ =
2
i
i 1
n −1
> i =la variable
n = poblacin ( cu4ntas veces secalcul la gravedad) ´ = promedio de los datos para la muestra > La desviación estándar ayuda a representar el promedio de una variable con un rango aceptable. Al final, el promedio queda representado así :
´ ± J Promedio= > Prueba T de Student:
Es una prueba estadí s tica para comparar si una población (lista de datos) es consistente con otra o con un valor definido. En esta pr áctica se usa para combinar grupos de variables que fueron medidos o calculados de diferentes maneras pero que son estadí sticamente consistentes, conformando un grupo fuerte de datos que puede ser usado como prueba para refutar una medida de otro estudio. Un grupo de datos consistente es el que bordea un valor dentro de un rango definido (esto denota bajos errores y desviaciones estándar pequeñas). Existen algunos tipos de prueba T, los más comunes son:
Prueba T de una muestra:
Comprueba si una población (lista de datos) es consistente con un valor definido. En este caso, la aceleración de la gravedad medida en un experimento anterior fue de 15 ms-2, esta serí a la media del valor definido para usar esta prueba.
´ − 0 > T = J √ n 0= media de valor definido ( 15
m s
2
enel caso deesta pr4ctica )
Prueba T de dos muestras:
Compara si dos poblaciones (listas de datos) son consistentes. Para esta prueba se requiere calcular la gran desviación estándar de ambas poblaciones.
T =
´ 1− > ´ 2 > J 1,2 ∙
√n
1 1
+
1
n2
J 1,2= gran desviacinest4ndar =
√
( n −1 ) J +( n −1 ) J 2 1
1
2
2 2
n1 + n 2−2
La prueba T asue la distribución noral de la 2igura -@4
Figura 3": Distribución normal
Esto significa que la distribución de resultados (en este caso, las gravedades calculadas) tiene esta forma, una forma de distribución normal. En el caso de este experimento, la región de aceptación podrí a ser entre 8 m/s 2 a 11 m/s2. Esto significa que hay 95% probabilidad que cuando la bola de acero cruce el sensor, la aceleraci ón resultará entre 8 m/s2 y 11 m/s 2. Los valores que salgan de este rango se consideran no consistentes. Esto indica que ese valor puede contener un error (por ejemplo, para medir el tiempo de ca í da de la moneda de 5 ctvs. se usó un reloj de arena en lugar del Timer).
El valor crí tico: Después de calcular T (sea para una o dos muestras), hay que comparar este valor con el valor crí tico de una tabla de distribución normal. El valor crí tico es el lí mite que define si las poblaciones son consistentes (estadí sticamente iguales) o no (estadí sticamente diferentes). Si el valor absoluto de T es menor que el valor crí tico, las poblaciones (o la población con el valor definido en estudios anteriores) son consistentes y en este caso se pueden
combinar como una sola. Es decir, unir las dos listas de gravedades como una sola. Esto significarí a que las gravedades obtenidas son consistentes (bordean un valor definido o tienen una desviación estándar pequeña). Si el valor absoluto de T es mayor que el valor crí tico, las poblaciones son estadí sticamente diferentes y no se pueden combinar como una sola. Es decir, que los datos son inconsistentes (una o las dos poblaciones tienen valores diferentes o desviaciones estándar grandes). Grados de libertad (Degrees of freedom)
Es el número de datos que son libres de variar. Este valor se usa mucho en estad í stica para encontrar valores en tablas como la Tabla 1.
-of = gradosdelibertad ( unamuestra )=n −1
( dos muestras)= n1+ n2−2 Tabla 1!: Valores cr ít icos
DoF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
valor crí tico 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.16 2.145
DoF 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
valor crí tico 2.131 2.12 2.11 2.101 2.093 2.086 2.08 2.074 2.069 2.064 2.06 2.056 2.052 2.048
DoF 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 42 44
valor crí tico 2.045 2.042 2.04 2.037 2.035 2.032 2.03 2.028 2.026 2.024 2.023 2.021 2.018 2.015
DoF 46 48 50 60 70 80 90 100 120 150 200 300 500
Página web para hacer la prueba T de Student: http://www.mathportal.org/calculators/statistics-calculator/t-test-calculator.php
valor crí tico 2.013 2.011 2.009 2 1.994 1.99 1.987 1.984 1.98 1.976 1.972 1.968 1.965 1.96
Cuestionario sobre la sección: (2 puntos)
¿Cómo cambia la desviación estándar con más muestras (n)?
¿Cómo cambia “T” con más muestras (n)?
¿Cómo cambia “T” con una desviación estándar mayor?
¿Cómo cambia el valor crí tico con más muestras (n)?
¿Cómo cambia el valor crí tico con una desviación estándar mayor?
Resultados – Análisis estadí stico (2 puntos)
Hacer: Prueba T de dos muestras para gravedades calculadas con la Altura 1 (bola de acero vs 5 centavos) y llenar la siguiente tabla con los resultados obtenidos usando la p ágina web sugerida: Resumen Media
Bola de acero
5 ctvs Escribir el error aleatorio
Varianza Desv. Est.
( x´ ± J )
para la bola de acero:____________ 5 ctvs:____________
n T Dof Valor crí tico
¿Los datos son o no son diferentes estadí sticamente?
(Si
o
No)_________________________ ¿Se pueden combinar las gravedades calculadas? (Si o No)___________________________ Hacer: Prueba T de dos muestras para gravedades calculadas con la Altura 2 (bola de acero vs 5 centavos) y llenar la siguiente tabla con los resultados obtenidos usando la p ágina web sugerida: Resumen
Bola de acero
5 ctvs
Media Varianza Desv. Est. n T Dof Valor crí tico Escribir
el
error
aleatorio
( x´ ± J )
para
la
bola
de
acero:____________
5
ctvs:____________ ¿Los datos son o no son diferentes estadí sticamente? (Si o No)_________________________ ¿Se pueden combinar las gravedades calculadas? (Si o No)___________________________
Si en el Paso 1 y Paso 3, las dos listas de gravedades (con la bola de acero y los 5 ctvs.) pueden ser combinadas, crear una lista de gravedades calculadas con altura 1 y otra con la altura 2 y hacer una prueba T entre las dos nuevas listas (se sugiere usar la p ágina web). Llenar la siguiente tabla: Resumen Media
Altura 1 (bola de acero y 5 ctvs)
Altura 2 (bola de acero y 5 ctvs)
Varianza Desv. Est. n T Dof Valor crí tico Escribir
el
error
aleatorio
( x´ ± J )
para
la
bola
de
acero:____________
5
ctvs:____________ ¿Los datos son o no son diferentes estadí sticamente? (Si o No)_________________________ ¿Se pueden combinar las gravedades calculadas? (Si o No)___________________________ Si en el Paso 5, las dos listas de gravedades (con la altura 1 y 2) pueden ser combinadas, crear una nueva lista combinando todas las gravedades calculadas y hacer una prueba T de una muestra entre la nueva lista y el valor de 15 ms-2 (se sugiere usar la p ágina web). Llenar la siguiente tabla: Resumen 0
Todas las alturas y objetos 15 ms-2
Media Varianza Desv. Est.. n T Dof Valor crí tico Escribir el error aleatorio
( x´ ± J ) : _____________________________
¿Los datos son o no son diferentes estadí sticamente que el valor de 15 ms -2? (Si o No)______
Errores y limitaciones (175 %untos* Errores absolutos y error relativos: ejemplo:
real (o teórico):
3,12 segundos
del experimento:
3,01 y 3,11 segundos
Medidas
Errores absolutos
Errores relativos
3,01 s
3,01 – 3,12 = -0,11
-0,11 / 3,12 = -0,036 = -3,6 %
3,11
3,11 – 3,12 = -0,01
-0,01 / 3,12 = -0,003 = -0,03%
Tomar los promedios de la sección “Resultados – Análisis estadí stico” y calcular su error absoluto y relativo.
Errores de calibración de los aparatos de medida.
Limitaciones de la practica.
F órmulas o modelos aproximados.
(por ejemplo: g = 4
²L/T² (péndulo simple), ya que ésta es una aproximación que supone
π
una serie de condiciones ideales: se supone que la cuerda no tiene masa (la cual se desprecia totalmente), las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo, la amplitud de oscilaci ón deber ser pequeña, el roce con el aire es nulo (en la realidad, ¡nunca se puede reducir a cero el rozamiento con el aire!)
Errores casuales o aleatorios.
Escriban una conclusión y mué strenla al t é cnico docente. De ser una muy buena conclusi ón n ganar puntos extra! 12 podr ía
Fin del laboratorio
Prueba (7) La prueba (7) incluye todos los conceptos anteriores pero con la énfasis en el capí tulo 7.
1 $l t;cnico docente epleará estos puntos etra de la anera en que ás beneficio represente para el estudiante y dependiendo del progreso ostrado durante el seestre. Los puntos etra no podrán ser utili"ados en el eaen parcial o final.
