UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSO BASICO
JARAND NDIL ILLA LA NU EZ JUAN JUAN NOMBRE: JARA MAURICIO TÍTULO: RESORTES GRUPO: “D” CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL DOCENTE: ING. RENE DELGADO SALGUERO FECHA DE REALIZACIÓN: 23 – 11 – 2015 FECHA DE ENTREGA: 30 – 11 – 2015
~1~
ÍNDICE
ÍNDICE ................................................................................................................................... 2 I. OBJETIVO.......................................................................................................................3 II. FUNDAMENTO TEÓRICO .............................................................................................. 3 2.1. Método estático ........................................................................................................ 3 2.2. Método dinámico ...................................................................................................... 4 III. MATERIALES Y EQUIPO ............................................................................................ 5 IV. PROCEDIMIENTO....................................................................................................... 5 4.1. Método estático ........................................................................................................ 5 4.2. Método dinámico ...................................................................................................... 6 V. CÁLCULOS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS (Análisis de datos) .......................................... 6 5.1. Método estático ........................................................................................................ 6 5.1.1. Gráfica W – x ..................................................................................................... 6 5.1.2. Ajuste de Recta por “Mínimos Cuadrados” ........................................................ 7 5.1.3. Cálculo de la constante de rigidez y su error (ΔK) ............................................. 8 5.2. Método dinámico ...................................................................................................... 9 5.2.1. Constante de rigidez del resorte (masa despreciable del resorte)...................... 9 5.2.2. Constante de rigidez del resorte (masa considerable) ..................................... 11 VI. CUESTIONARIO........................................................................................................ 11 VII. CONCLUSIONES ...................................................................................................... 14 VIII. BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 15
~2~
RESORTES I.
OBJETIVO
Estudiar el comportamiento elástico de un resorte y determinar su constante de restitución o rigidez por los métodos estático y dinámico.
II.
FUNDAMENTO TEÓRICO
2.1.
Método estático
Todos los cuerpos se deforman bajo la acción de una fuerza, unos de manera mucho más notoria que otros. Algunos cuerpos recobran su forma original cuando deja de actuar la fuerza, mientras que otros permanecen más o menos deformados. Un cuerpo elástico es aquel que recobra exactamente su forma original cuando se suprimen las fuerzas que lo han deformado. Un cuerpo plástico es aquel que no recupera su forma original cuando dejan de actuar las fuerzas deformadoras. Muchos cuerpos presentan un comportamiento elástico hasta no sobrepasar cierta deformación máxima que se conoce con el nombre de “Límite de elasticidad”.
En cuerpos elásticos , como ser un resorte es válida la “Ley de Hooke” siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad. El enunciado de la ley de Hooke es el siguiente: “Las fuerzas aplicadas son directamente proporcionales a los alargamientos o elongaciones”
=
En términos matemáticos:
(1)
F =
Fuerza aplicada x = Alargamiento, estiramiento o elongación del resorte k = Constante de rigidez o constante de restitución del resorte Aplicando conocimientos de Resistencia de Materiales, la constante de restitución “k” podría ser determinada por la siguiente ecuación: 4 = 4 3 ; (/)
(2)
G = Aceleración de la gravedad R = Radio del alambre G = Módulo de torsión del material del resorte N = Número de espiras R = Radio del cilindro alrededor del cual está enrollado el resorte Consideremos un resorte construido de un alambre de sección circular enrollado helicoidalmente alrededor de un cilindro imaginario al cual le colgamos un cuerpo de peso “W”. Por la acción de ésta fuerza el resorte sufrirá un alargamiento “x”.
Si aplicamos la Ley de Hooke:
= = ~3~
(3)
En la posición de equilibrio el peso “W” del cuerpo está equilibrado por la fuerza
recuperadora que ejerce el resorte en sentido contrario. (Figura 1) Es decir:
= −
(4)
= −
(5)
Reemplazando (3) en (4) tenemos:
Esto quiere decir que el sentido de la fuerza recuperadora es siempre contrario al alargamiento del resorte.
2.2.
Método dinámico
La constante de rigidez “K” del resorte también puede determinarse por el método dinámico
que se basa en el estudio del movimiento oscilatorio del resorte. Consideremos un resorte de cuyo extremo inferior cuelga una masa “M”. Si el sistema masa– resorte es apartado de su posición de equi librio una cierta distancia “x” de modo de no
sobrepasar el límite de elasticidad y luego es liberado, el resorte describirá un movimiento oscilatorio en dirección de su propio eje y alrededor de su posición de equilibrio. (Figura 2) Para estirar el resorte la distancia “x” se ha tenido que aplicar una fuerza externa:
= En ese mismo instante, el resorte también ejerce una fuerza recuperadora “F r ” en sentido contrario:
= − Cuando se suelta la masa ”M” desaparece la fuerza “F” aplicada quedando la masa únicamente bajo la influencia de “F r ”. Por la Segunda Ley de Newton la masa adquiere una aceleración “a” en la dirección del eje del resorte.
= = −
(6)
La aceleración “a” en todo instan te es contraria a la elongación del resorte y directamente
proporcional a ésta, es decir, cuando la masa se encuentra por debajo de su posición de equilibrio la aceleración apunta hacia arriba y viceversa. Por tratarse de un movimiento armónico simple se verifica:
= 2
(7)
= 2
(8)
Siendo la frecuencia angular:
Donde:
T = Período de oscilación ~4~
Reemplazando (8) en (7) tenemos: 4 2
= 2
(9)
Igualando (9) y (6) obtenemos: 4 2
= 2
(10)
Midiendo el período de oscilación y la masa “M” se llega a determinar la constante “K”.
En el análisis anterior no se ha tomado en cuenta la masa del resorte, por lo tanto la ecuación (10) sólo es válida si la masa del resorte es despreciable en comparación a la masa oscilante. En caso contrario, si admitimos que la aceleración de los distintos puntos que conforman el resorte varía linealmente desde el extremo fijo hasta el extremo móvil, el sistema se comporta como si la masa oscilante fuera M 1 y estuviese colocada en el extremo del resorte. Por lo tanto, efectuando un análisis de resistencia de materiales que no corresponde a este nivel, se tiene:
1 = + 2 4 2 1
= 2 4 2 + 2 = 2 III.
(11)
MATERIALES Y EQUIPO
Prensa Resorte Platillo Balanza Regla graduada en mm.
IV.
PROCEDIMIENTO
4.1.
Método estático
Cronómetro Juego de pesas Cilindro de metal Cinta adhesiva Hilo
Se desea verificar si efectivamente los alargamientos que sufre el resorte son directamente proporcionales a las fuerzas (Pesos) aplicadas para luego determinar la constante de restitución del resorte.
Colocar el resorte en el soporte fijo y colgar el platillo de su extremo inferior. Si el resorte está torcido o sus espiras muy juntas, colocar una carga inicial de modo de ~5~
separarlas y vencer la compresión irregular a la que podría estar sometido. Tomar como punto de referencia para las elongaciones (estiramientos) el punto más bajo del platillo. Determinar en la balanza la masa de los cuerpos a ser colgados en el resorte, = convertir las masas a pesos con: Colgar los cuerpos uno después del otro y determinar sus respectivos alargamientos con respecto al punto de referencia elegido.
Nota.- Siempre que se determine el alargamiento ocasionado por una carga, retirar la carga y verificar si el resorte recobra su forma original, esto con el fin de no sobrepasar el límite de elasticidad y producir deformaciones permanentes.
4.2.
Método dinámico El docente asignará un error porcentual prefijado que no se debe sobrepasar al
determinar la constante “K” del resorte. Determinar en la balanza la masa “M” del cuerpo oscilante.
Mediante propagación inversa de errores, determinar el error relativo que se debe cometer en la medida del período (E rT) para no sobrepasar el error antes prefijado. Colgar el cuerpo oscilante en el resorte, dejar oscilar el sistema 10 veces, medir el tiempo de las 10 oscilaciones t’ 10. Repetir el procedimiento tres veces y sacar un promedio.
Determinar el período aproximado T’ de la siguiente manera:
′ = 10
′
10
Calcular el número de oscilaciones que debe efectuar el resorte para no sobrepasar el error antes prefijado, utilizar la fórmula:
≥ ′ Donde “e” es el error que comete el cronometrista al activar y desactivar el
cronómetro (e = 0,2 segundos). Medir el tiempo T n para las “n” oscilaciones calculadas. Repetir el mismo procedimiento cinco veces, sacar un promedio y determinar el período de oscilación del sistema.
=
Medir en la balanza la masa del resorte.
V.
CÁLCULOS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS (Análisis de datos)
5.1.
Método estático
5.1.1. Gráfica W – x ~6~
x 0.0400 0.1050 0.1710 0.1950 0.2230 0.2410 0.2520 0.2640 0.2730 0.2800
F=W 0.4890 0.9780 1.4670 1.6626 1.8582 1.9560 2.0538 2.1027 2.1516 2.2005
5.1.2. Ajuste de Recta por “Mínimos Cuadrados” N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ʃ
X 0.0400 0.1050 0.1710 0.1950 0.2230 0.2410 0.2520 0.2640 0.2730 0.2800 2.0440
Y 0.4890 0.9780 1.4670 1.6626 1.8582 1.9560 2.0538 2.1027 2.1516 2.2005 16.9194 ~7~
XY 0.0196 0.1027 0.2509 0.3242 0.4144 0.4714 0.5176 0.5551 0.5874 0.6161 3.8593
X2 0.0016 0.0110 0.0292 0.0380 0.0497 0.0581 0.0635 0.0697 0.0745 0.0784 0.4738
x 0.0400 0.1050 0.1710 0.1950 0.2230 0.2410 0.2520 0.2640 0.2730 0.2800
y 0.5156 0.9807 1.4530 1.6247 1.8250 1.9538 2.0325 2.1184 2.1828 2.2329
− = 2 − 2 = 4,0097 0,5601
= ,
= − = 2,294 10
= ,
Entonces la ecuación de la recta ajustada será:
= , + , La constante de de rigidez del resorte será:
= , Donde K es la pendiente de la recta. 5.1.3. Cálculo de la constante de rigidez y su error (ΔK)
= = Aplicando logaritmos:
ln = ln + ln − ln
~8~
Diferenciando:
5.2.
∆ = ∆ + ∆ + ∆ = + + = − 1 = 0,0001 10 − 1 = 0,000033 = ± ∆ = 0,173 ± 0,000033 = = , = − 1 = 0,001 10 − 1 = 0,00033 = ± ∆ = 0,2044 ± 0,00033 = = , = 0,00019 + 0,004 + 0,00163 = , = ∆ ∆ = ∗ ∆ = 0,0416 = ± ∆ = , ± ,
Método dinámico
5.2.1. Constante de rigidez del resorte (masa despreciable del resorte) 4 2
4 ∗ 2 ∗ 0,22 = 1,13 2
= 2
= , El error prefijado por el docente:
∗ = 1,5%
∗ = 0,015 2 = 4 2
~9~
ln = ln 4 + 2ln − 2ln
= − 2 ∆ = ∆ + 2 ∆ = + 2 ≤ ∗ + 2 ≤ ∗ ∗ ≤ ′ ∗ = 2′ = , Ahora experimentalmente se tiene:
= ± ∆ = 1,13 ± 0,01 0,01 = = ∆ = , 1,13 4 2 = 2 ln = ln 4 + 2ln − 2ln = − 2 ∆ = ∆ + 2 ∆ = 1 = 0,0001 − 10 − 1 ∆ = 0,000033 = ± ∆ = 0,22 ± 0,000033 = ∆ = , = + 2 = 0,00015 + 2 ∗ 0,00883 = 0,017 = , ± , ~ 10 ~
El error cometido al medir la constante de rigidez del resorte “K” fue de 0,115 N/m y es mayor al error prefijado por el docente. Esto fue así porque el error relativo del período del experimento era mucho menor, era de milésima de segundo y como nuestro instrumento de medición solo apreciaba hasta una centésima de segundo, tuvimos que poner de error 0,01 y no así 0,004. Esto fue lo que hizo que el error fuera más que el prefijado. 5.2.2. Constante de rigidez del resorte (masa considerable)
=
4 2 +
2
2
4 ∗ 2 ∗ 0,22 + 0,0515 = 1,13 2 ln = l n 4 + 2 l n + ln +
= , − 2 ln 2
∆ = 2 ∆ + ∆ + 1 ∆ + 2 2 + 2 = + 2 + 12 = 0,0179 = ∆
∗ = ∆
∆ = ,
= , ± , En este caso el error cometido al medir la constante de elongación del resorte fue de 0,149 N/m y también es mayor al prefijado. Lo mismo, se debió al error del período que obtuvimos en el experimento al cambiar de 0,004 a 0,01 hizo variar no por mucho los cálculos. Sin embargo, el error no sobrepasa mucho el error prefijado. El más confiable es el dinámico pero considerando la masa del resorte ya que nos permite tener un resultado más próximo al real. En los demás casos, despreciamos la masa del resorte y esto nos va hacer variar nuestro resultado obtenido experimentalmente. Es por eso, que en todos los casos no se logró obtener una constante que se repita, los resultados estuvieron próximos unos a otros.
VI.
CUESTIONARIO 1) En la gráfica W – x, ¿cuál es el significado del área debajo de la recta? R.- El área debajo de la recta representa el trabajo realizado por la fuerza al estirar el 1 resorte. Para calcular el trabajo realizado durante el experimento se tiene: = 2 2 2) Hacer un bosquejo de la gráfica W – x de un resorte para el cual se sobrepasa el límite de elasticidad hasta producirse la rotura. Explicar. ~ 11 ~
F
El resorte llegará a un máximo valor de elongación en el cual si es sobrepasado el resorte se romperá y hasta ese punto la gráfica sería así: Á =
1 2 2
X 3) ¿Qué es el límite de fluencia y el límite de resistencia de un material? R.- Límite de fluencia: es la deformación irrecuperable de un objeto, a partir de la cual sólo se recuperará la parte de su deformación correspondiente a la deformación elástica, quedando una deformación irreversible. Este fenómeno se sitúa justo encima del límite elástico, y se produce un alargamiento muy rápido sin que varíe la tensión aplicada. Límite de resistencia: La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. 4) Efectuar el análisis teórico pertinente para determinar la constante de rigidez equivalente a los sistemas de resortes mostrados en las figuras a) y b).
1 + 2 + 3 = −1 − 2 − 3 = = 1 + 2 + 3 4 2 = 2 4 2 1 + 2 + 3 = 2
= −1 + 2 + 3 = = 1 + 2 + 3 4 2 = 2 4 2 1 + 2 + 3 = 2
~ 12 ~
En los dos casos tienen la misma forma de obtener la constante de rigidez. 5) Cuál es el significado de: a) Oscilación: Es cuando a un sistema que se encontraba en equilibrio se lo mueve respecto a su posición inicial. La característica más fácilmente reconocible del movimiento oscilatorio es que resulta periódico, es decir, se repite a sí mismo. b) Período: Es el tiempo que emplea un objeto en realizar una oscilación completa. c) Frecuencia angular: Es el número de ciclos que se efectúan en la unidad de 2 tiempo. = 6) Deducir la expresión de la energía potencial elástica para un resorte estirado. F
1
Á = = 2
= 12
F = Kx
Á =
= 12 2
1 2 2
X 7) Para la oscilación de un resorte, construir las siguientes gráficas: a) Elongación – tiempo
~ 13 ~
b) Velocidad – tiempo
c) Aceleración – tiempo
VII.
CONCLUSIONES
Una vez terminado el experimento, logramos evidenciar las características del movimiento oscilatorio y estudiar las características del resorte. Con ambos experimentos se tuvo el objetivo de encontrar el valor de la constante de rigidez del resorte, por el método estático y dinámico. Aplicamos todos nuestros conocimientos para hacer un experimento con un mínimo error de medida, utilizando el método de la propagación inversa de errores. Además, el experimento nos sirvió para analizar y observar los fenómenos que ocurren en el movimiento oscilatorio de un resorte. Lo estudiamos de dos maneras, la primera sin oscilamiento solo aumentando la masa y midiendo la elongación del mismo. El segundo, fue haciendo oscilar unas 50 veces para que el error al medir la constante de rigidez sea mínimo. Pero este último lo hicimos de dos formas, uno considerando la masa del resorte y el otro despreciando a la misma. ~ 14 ~
En todos los casos, nos ayudaron a comprender más a fondo lo que realmente significa un movimiento armónico simple con la intervención de un resorte. Vimos como la deformación del resorte es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo oscilante. Finalmente, este experimento nos permitió comprobar el cumplimiento de las leyes de la física que se refieren al estudio del movimiento armónico simple con la intervención del resorte. Demostramos que en realidad se cumplen las ecuaciones físicas para este tipo de experimentos y con todo esto, una vez más, experimentamos lo que realmente sucede en la realidad y plasmamos la teoría con la práctica.
VIII.
BIBLIOGRAFÍA LABORATORIO DE FISICA BASICA I FISICA EXPERIMENTAL MECANICA
~ 15 ~
ING. RENE DELGADO SALGUERO ING. MANUEL R. SORIA
