FISICA II
UCENM
Compilador:
Olga Socorro Alvarado Hernández Ingeniera Industrial
CODIGO: FS-102 NOMBRE: Física II
Requisitos:
FS-101 Física I
Área Académica: Física Horas teóricas semanales: 4, Horas Prácticas: 0 U. V. 4
OBJETIVOS
1. Comprender las aplicaciones de la física a problemas de la vida diaria. 2. Interpretar y conocer principios generales de termodinámica, óptica y electricidad y sus diversas aplicaciones.
Física II
1
CONTENIDO
Introducción
6
Capitulo I
7
Movimiento Oscilatorio
8
1.1 Movimiento armónico simple
9
1.2 Nueva visita al sistema Bloque – Resorte Resorte
16
1.3 Energía del oscilador armónico simple
18
1.4 El péndulo
19
Capitulo II
34
Movimiento Ondulatorio
35
2.1 Variables básicas del movimiento ondulatorio
36
2.2 Dirección del desplazamiento de la partícula
37
2.3 Ondas viajeras unidimensionales
39
2.4 Superposición e Interferencia
42
2.5 La rapidez de las ondas en la cuerda
43
2.6 Reflexión y transmisión
44
2.7 Ecuación Lineal de la onda
46
Capitulo III
59
Ondas Sonoras
60
3.1 Rapidez de las ondas sonoras
61
3.2 Ondas sonoras periódicas
64
Física II
2
CONTENIDO
Introducción
6
Capitulo I
7
Movimiento Oscilatorio
8
1.1 Movimiento armónico simple
9
1.2 Nueva visita al sistema Bloque – Resorte Resorte
16
1.3 Energía del oscilador armónico simple
18
1.4 El péndulo
19
Capitulo II
34
Movimiento Ondulatorio
35
2.1 Variables básicas del movimiento ondulatorio
36
2.2 Dirección del desplazamiento de la partícula
37
2.3 Ondas viajeras unidimensionales
39
2.4 Superposición e Interferencia
42
2.5 La rapidez de las ondas en la cuerda
43
2.6 Reflexión y transmisión
44
2.7 Ecuación Lineal de la onda
46
Capitulo III
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Ondas Sonoras
60
3.1 Rapidez de las ondas sonoras
61
3.2 Ondas sonoras periódicas
64
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3.3 Intensidad de las ondas sonoras periódicas
66
3.4 Niveles sonoros
68
3.5 Ondas Planas y Esféricas
74
3.6 El efecto Doppler
76
Capitulo IV
90
Superposición y Ondas estacionales
91
4.1 Superposición e interferencia de ondas senoidales
92
4.2 Ondas estacionarias
100
4.3 Energía mecánica en ondas estacionarias armónicas unidimensionales
102
4.4 Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos
103
4.5 Resonancia
105
4.6 Ondas estacionarias en columnas de aire
106
4.6 Pulsaciones: Interferencia en el tiempo
109
Capitulo V
123
Temperatura
124
5.1 Temperatura y la ley cero de la termodinámica
125
5.2 Termómetro y la escala Celsius de temperatura
126
5.3 El termómetro de gas a volumen constante y la escala absoluta de temperatura
128
5.4 Expansión térmica de sólidos y líquidos
130
5.5 Descripción macroscópica de un gas ideal
131
Capitulo VI
140
Calor y la primera ley de la termodinámica
141
6.1 Calor y energía interna
142
6.2 Capacidad calorífica y calor específico
143
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3
6.3 Calor latente
146
6.4 Trabajo y calor en procesos termodinámicos
147
6.5 La primera ley de la termodinámica
149
6.6 Aplicaciones de la primera ley de la termodinámica
150
6.7 Mecanismos de transferencia de energía
151
Capitulo VII
162
Electrostática: campo y potencial eléctrico
163
7.1 La Carga Eléctrica
163
7.2 Las cargas eléctricas interaccionan entre sí
165
7.3 La carga eléctrica se conserva
165
7.4 La carga eléctrica está cuantizada
165
7.5 Aislantes, Conductores y Carga por Contacto y por Inducción
166
7.6 Aplicaciones
168
7.7 Ley Coulomb
168
Capitulo VIII
172
Electromagnetismo
173
8.1 Campo Magnético de un imán
174
8.2 Campo Magnético de una corriente
174
8.3 Movimiento de cargas en un campo magnético
175
8.4 Fuerza de Lorentz
178
8.5 Corriente Inducida
179
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4
8.6 Motor de corriente continúa
180
8.7 Ley de ohm
182
Bibliografía
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191
5
INTRODUCCION
La física es la ciencia que estudia la Naturaleza en su sentido más amplio. La física es la ciencia básica que estudia el cosmos, es decir, el todo desde el punto de vista científico. Aunque, aparentemente, la física consiste en buscar o encontrar una matematización de la realidad observable, no es así. Lo que ocurre es que la matemática es el idioma en que se puede expresar con mayor precisión lo que se dice en física. Desde un punto de vista aplicado, el campo de la física es mucho más amplio, ya que se utiliza, por ejemplo, en la explicación de la aparición de propiedades emergentes, más típicas de otras ciencias como Sociología y Biología. Esto hace que la física y sus métodos se puedan aplicar y utilizar en otros campos de la ciencia y se utilicen para cualquier tipo de investigación científica. La física es una de las Ciencias Naturales que más ha contribuido al desarrollo y bienestar del hombre porque gracias a su estudio e investigación ha sido posible encontrar explicación a los diferentes fenómenos de la naturaleza, que se presentan cotidianamente en nuestra vida diaria. Como por ejemplo, algo tan común para algunas personas como puede ser la lluvia, entre muchos otros. A continuación se presenta un libro de trabajo que se ha diseñado como un auxiliar de la enseñanzaaprendizaje en la clase de Física II, con el propósito de definir, aclarar, describir y experimentar problemas de la vida real enfocados a la física. En este compendio se muestra el desarrollo de ocho capítulos enfocados a movimientos ondulatorios, oscilatorios, ondas estacionarias, las leyes de la termodinámica, electroestática y electromagnetismo como herramienta practica para su ampliación de conocimientos. Nuestro mayor deseo es que este esfuerzo sea verdaderamente útil para todos cuanto estudian y practican dicha ciencia.
Física II
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I. CAPITULO MOVIMIENTO OSCILATORIO
ACERTIJO:
Dentro del reloj del bolsillo se encuentra un pequeño disco (llamado péndulo de torsión) que oscila hacia atrás y hacia adelante a intervalos muy precisos y controla los engranes del reloj. Un reloj de péndulo mantiene el tiempo preciso debido, justamente, a su péndulo. El armazón grande de madera provee el espacio necesario para el largo péndulo mientras hace avanzar los engranes del reloj con su balanceo. En cada uno de estos dos artefactos de medición de tiempo de vibración de un componente cuidadosamente conformado es crucial para asegurar la operación. ¿Qué propiedades de los objetos en oscilación hacen que sean tan útiles en los dispositivos de medición medición del tiempo?
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Movimiento Oscilatorio Oscilatorio
Una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posición de equilibrio. Si esta fuerza siempre se dirige a la posición de equilibrio, hay un movimiento repetitivo hacia adelante y hacia atrás, alrededor de esta posición. Dicha posición se llama movimiento periódico, movimiento armónico, armón ico, oscilación o vibración. Los cuatro términos son equivalentes. Es probable que el lector este familiarizado con algunos movimiento periódico, como las oscilaciones de un bloque unido a un resorte, el balanceo de un niño en un columpio en el parque de juegos, el movimiento de un péndulo y las vibraciones de un instrumento musical de cuerda. Además de estos ejemplos cotidianos, numerosos sistemas muestran movimiento oscilatorio. Por ejemplo, las las moléculas de un solido oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio; las ondas electromagnéticas, como las ondas luminosas, de radar y de radio, se caracterizan por campos vectoriales oscilantes eléctricos de corriente alterna, de voltaje, de corriente y de carga eléctrica. La mayor parte de este capitulo se relaciona con el movimiento armónico simple, en el cual un objeto oscila de tal forma que su posición esta especificada por una función sinusoidal del tiempo si perder energía mecánica. En los sistemas mecánicos reales las fuerzas retardadas (friccionantes) siempre están presentes.
El movimiento oscilatorio es un movimiento periódico en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, pequeños desplazamientos darán lugar a la aparición de una fuerza que tenderá a llevar a la partícula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal fuerza se denomina restauradora. En términos de la energía la energía potencial, los potencial, los puntos de equilibrio estable son los mínimos locales de la misma, y el movimiento oscilatorio tiene lugar en un entorno de un mínimo local.
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1.1 Movimiento Armónico Simple
El movimiento armónico simple es el caso más sencillo de movimiento oscilatorio. Se llama así al movimiento descrito por la ecuación
Donde m es la masa de la partícula y k una una constante. Esta es la ecuación de movimiento correspondiente a una partícula con energía potencial o, lo que es lo mismo, sujeta a una fuerza restauradora dada dad a por la ley la ley de Hooke: Es decir, que es proporcional al desplazamiento respecto del punto de equilibrio, y en sentido contrario al mismo. Tal es la fuerza que experimentará por ejemplo una masa sujeta a un muelle (despreciando las fuerzas de fricción). La solución general de la ecuación diferencial del MAS es
Donde A y δ son constantes que se pueden elegir arbitrariamente y
determina la
frecuencia de la oscilación (ν = 2πω).
X | _ _ _ __ |___/_\___/_\___/_\___/_______ t | \_/ \_/ \_/ | Dados dos movimientos ondulatorios, o en general dos ondas, se puede decir que están en fase fase,, en cuadratura o en contrafase contrafase..
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a) Oscilador armónico simple
El oscilador armónico simple es el caso más sencillo, donde únicamente se considera la fuerza recuperadora. Teniendo en cuenta que diferencial
, la ecuación (1) nos da la siguiente ecuación
Donde los puntos indican derivación respecto del tiempo, y es la frecuencia natural de vibración. La solución general a esta ecuación se puede escribir de la forma
Donde Ha y
se obtienen imponiendo las condiciones iníciales.
b) Oscilador armónico amortiguado
Este caso más realista consiste en tener en cuenta el rozamiento del aire, que tiende a amortiguar la oscilación. El modelo más usual consiste en tomar un rozamiento proporcional a la velocidad,
Con lo que la ecuación diferencial, obtenida a partir de la segunda ley de Newton, queda de la forma
Donde tres casos:
. La solución general a esta ecuación depende de la relación entre
c) Oscilador infra amortiguado: Este es el caso
Física II
. La solución es de la forma
10
y
. Tenemos
Donde
.
d) Oscilador crítico: En este caso
. La solución general es
e) Oscilador sobreamortiguado: Por último, tenemos el caso
Donde
. La nueva solución general es
.
f) Oscilador simple forzado Decimos que un oscilador está forzado si sobre él se aplica una fuerza externa. El caso más interesante es cuando la fuerza de forzamiento es también periódica, por ejemplo sinuosidal,
Esta fuerza se convierte en un término inhomogéneo en la ecuación diferencial del movimiento
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Y la solución general es de la forma
g) Oscilador simple resonante
Como vemos, la solución anterior, ec. (12), es singular en el caso que la fuerza de forzamiento tenga la misma frecuencia que la frecuencia natural del oscilador. En este caso, tenemos un oscilador simple resonante, cuya solución es
En este caso, obtenemos una solución secular, es decir, cuya amplitud aumenta en el tiempo hasta hacerse muy grande. Físicamente, esta solución no tiene sentido, ya que tarde o temprano el rozamiento, que siempre existe pero que en este caso despreciamos, entrará en juego impidiendo que la amplitud de oscilación crezca indefinidamente. h) Oscilador amortiguado y forzado
En este caso más general incluimos una fuerza de forzamiento del tipo (10) a un oscilador amortiguado. La ecuación diferencial completa es, pues,
En este caso, la solución general es de la forma hom
Donde
hom
es la solución general del oscilador sin forzar, dada por las ecuaciones(7)-(9) según
la relación entre y Física II
, y además 12
Como vemos, la solución particular, proporcional ha , es la única que importa para tiempos grandes, ya que todas las soluciones de la ecuación homogénea decaen exponencialmente. Así, pues, tenemos un estado estacionario, correspondiente a oscilaciones de amplitud
.
En este caso, la solución es válida para todas las frecuencias de la fuerza de forzamiento. Sin embargo, vemos que la amplitud de respuesta es máxima para una frecuencia: la frecuencia de resonancia,
Aplicaciones Muchos sistemas pueden estudiarse a partir del oscilador armónico: los muelles, los péndulos (en la aproximación de ángulos pequeños), etc. En general, cualquier sistema que oscila al rededor de un punto de equilibrio estable puede estudiarse, en primera aproximación, a partir del oscilador armónico. Esto se hace evidente si se desarrolla por Taylor la energía potencial al rededor del punto de equilibrio estable,
Donde no hay término con derivada primera debido a que estamos en un punto de equilibrio, Comparando este desarrollo con la ecuación (2), podemos realizar la identificación
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.
Al ser un punto de equilibrio estable, la derivada es positiva, restituir la posición de equilibrio.
, y por lo tanto la fuerza(1) tiende a
Régimen de Aplicabilidad En primer lugar, todas las ecuaciones obtenidas no son más que casos particulares de la Segunda ley de Newton, y por lo tanto, todas las consideraciones de aplicabilidad de la segunda ley de newton son, a la vez, aplicables a este caso. Por otra parte, como vemos de la ecuación, el oscilador armónico no es más que la aproximación de quedarse tan solo con el término de segundo orden en el desarrollo de Taylor, por lo que los resultados obtenidos serán válidos si no suponen desplazamientos del equilibrio demasiado grandes, de forma que sea una buena aproximación no tomar en consideración términos de orden superior. Por último, debemos tener en cuenta que, para los casos con amortiguamiento, tomar la fuerza como proporcional a la velocidad es, de nuevo, una aproximación. En este caso, la expresión del rozamiento viscoso es difícil de obtener, y una aproximación como la que utilizamos suele ser útil, tan solo, en régimen laminar, lo que se suele traducir en pedir que la velocidad de la oscilación no sea excesivamente alta. Ejemplo: 1.1 Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a los largo del eje X, su desplazamiento desde el origen varia con el tiempo de acuerdo con la ecuación. X: (4.00 m) cos { ¶t + ¶/4} donde t esta en segundos y los ángulos en los paréntesis están en radianes. a. Determine la amplitud de frecuencia y el periodo del movimiento. Solución Al comparar esta ecuación; la ecuación general para el movimiento armónico simple. Se ve que A: 4.00 m y w: ¶ rad/s; por lo tanto, f: w/2¶: 0.500Hz y t: 1/f: 2.00 s. b. Calcule la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier tiempo t. Solución
V = dx/ DT = - (4.00m) sen { ¶ t + ¶/4} d/dt (¶ t) Física II
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= - (4.00 ¶m/s) sen { ¶ t + ¶/4} a = dv/dt = - (4.00 ¶m/s) sen { ¶ t + ¶/4} d/dt (¶ t)
= - (4.00 ¶ 2m/s 2) cos { ¶ t + ¶/4}
c. Con los resultados del inciso b) determine la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t=1.00 s. Solución Al observar que los ángulos en las funciones trigonométricas están en radianes se obtiene en t= 1.00 s X = (4.00 ¶ 2m/s 2) cos {¶ + ¶/4}
= - (4.00 m) (-0.707) = -0.83 m V = - (4.00 ¶m/s) sen {5¶/4} = = - (4.00 ¶m/s) (-0.707) = 8.89 m/s a = - (4.00 ¶ 2m/s 2) cos {5¶/4} =-
(4.00 ¶ 2m/s 2) (-0.707) = 27.9 m/s 2
d. Determine la rapidez máxima y la aceleración máxima del cuerpo. Solución A partir de las expresiones generales encontradas en el inciso b, se usa el hecho de que los valores máximos de las funciones encontradas seno y coseno son la unidad. En consecuencia v varía entre ± 4.00 ¶m/s y a entre ± 4.00 ¶ 2m/s 2 de modo que: Los mismos resultados se obtienen si se utilizan v máx. = wA y a máx. = w2A donde A= 4.00 m y w=¶ rad/s. E. encuentre el desplazamiento del cuerpo entre Física II
t = 0 y t= 1.00 s
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Solución La coordenada de x en t= 0 es X = - (4.00 m) cos {0 + ¶/4} = (4.00 m) (0.707) =2.83 m En el inciso c, se encontró que la coordenada en x en t = 1.00 s es – 2.83 s m por lo tanto, el desplazamiento entre t = 0 y t = 1.00 s es Δx
= xf - x i = -5.66 m
Debido a que la velocidad de la partícula cambia de signo durante el primer segundo, la magnitud de cambio en x no es la misma que la distancia recorrida en el primer segundo.
1.2 Nueva Visita al Sistema Bloque – resorte
El sistema bloque- resorte se mueve en un movimiento armónico simple sobre una superficie sin fricción, con un periodo. T= 2¶/w = 2¶
√m/k
Ejemplos 1.2
Un objeto con masa de 0.500kg en el extremo de un resorte horizontal se encuentra en movimiento armónico simple (mas) con una constante de resorte k=300n/m. Cuando el objeto se sitúa a 0.012m de su posición de equilibrio, la velocidad es de 0.300m/s. ¿cuál es a) la energía total del objeto en cualquier punto de su movimiento? B) ¿la amplitud de su movimiento? C) ¿la rapidez máxima que alcanza el objeto durante su movimiento?
DATOS m=0.500kg k=300N/m
INCÓGNITAS
x=0.012m v=0.300m/s
A=? V máx.=?
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FÓRMULAS E=1/2mv2+1/2kx2 A=-k/m(x)
E=?
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v=
Solución E=1/2mv2+1/2kx2 E=1/2(0.500)0.300+0 E=0.0441joules A=-k/m(x) A= A=1.8m/s
(-300/0.500)0.012=
v= v= v=(24.49)(0.0391) v= 0.9576m/s2 Un bloque de 3.00kg de masa se une a un resorte con constante k= 150 N/m. Al bloque se le da una velocidad inicial en la dirección negativa de v0= -6.00m/s y un desplazamiento inicial x0= +0.200m. Determine a) la amplitud, b) el ángulo de fase y c) la energía total del movimiento. D) escribe una ecuación para la posición como una función del tiempo. DATOS m=3kg
INCÓGNITAS A=?
k=150N7m
q=?
x=+.200m v=-6.00m/s
E=?
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FÓRMULAS E=1/2mv2+1/2kx2 v= X(t)=A cos[(
)t + q ]
Solución v= A= A= A=0.872m V=dx/dt=-wAsen X=Acos V/x=-wtag -v/xw=tag
(wt+q)=Arctag
(wt+q) (wt+q) (wt+q) (wt+q)
q=Arctag/-W/vx) q=76.7º q=1.34rad E=1/2mv2+1/2kx E=1/2(3)(6)2+1/2(150)(.2)2 E=57Joules
1.3 Energía del oscilador armónico simple
Las energías cinética y potencial para un oscilador armónico simple varían con el tiempo y están dadas por: K: ⅟ 2 mv2 = ⅟ 2 mw2 A2 Sen 2 (wt + ǿ) U: ⅟ 2 kx2 = ⅟ 2 kA2 Cos 2 (wt + ǿ) Estas tres formulas te permitirán analizar una amplia variedad de situaciones que involucran oscilaciones. Asegúrese de reconocer como la masa del bloque y la constante del resorte entra en los cálculos. La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y esta dada por E= ⅟ 2 kA2 La energía potencial del oscilador es un máximo cuando el oscilador esta en sus puntos al retorno, y es cero cuando el oscilador esta en la posición de equilibrio. La energía cinética es cero en los puntos de Física II
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retorno y un máximo en la posición de equilibrio, usted deberá poder determinar la división de energía entre formas potencial y cinética en cualquier tiempo t.
1.4 El Péndulo
Un péndulo simple es una masa puntual colgada con un hilo inextensible y sin masa. Para completar las restricciones, oscila en el vacío y en un plano. La ecuación del sistema será: Amplitud
gr.
rad.
Error
%
0,0
0,0000
0,0000
1,0
0,0175
0,0019
2,0
0,0349
0,0076
5.0
0,0873
0,0476
10,0
0,1745
0,1907
15,0
0,2618
0,4301
20,0
0,3491
0,7669
25,0
0,4363
1,2030
Este sistema no es un verdadero oscilador armónico ya que para que lo fuese, el término de derecha debería ser proporcional al ángulo . Eso significa que las oscilaciones no son perfectamente sinusoidales. Por eso, algunos puristas excluyen el péndulo simple de los osciladores armónicos. Pero si la amplitud de las oscilaciones es suficientemente pequeña, la oscilación será tan próxima a una sinusoide como se desee. Se verá más adelante el error que se comete con oscilaciones un poco más grandes. Si se acepta la aproximación de por , la ecuación resulta:
Esta vez la ecuación y la solución es la misma que en los otros ejemplos de oscilador armónico: Donde
es la amplitud de oscilación y y el período es:
Cuando no se hace la aproximación el período es:
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Se puede calcular el error cometido en función de la amplitud valores.
. En la tabla de arriba figuran algunos
Los pequeños valores del error cuando la amplitud es pequeña justifican que incluyamos este oscilador casi armónico en este artículo. Péndulo físico o compuesto
El péndulo es un objeto real. El péndulo físico, o péndulo compuesto es un cuerpo rígido capaz de oscilar alrededor de un eje fijo. La diferencia con el péndulo simple, que es solo una idealización, el péndulo físico es un objeto real, no puntual. El equivalente de la segunda ley de Newton, para los cuerpos en rotación es:
Donde: Es el ángulo de rotación. Es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación. Es el momento o torque aplicado al objeto. En nuestro caso el momento el igual al peso del objeto (que viene aplicado en el centro de gravedad o centro de masas) multiplicado por el brazo de palanca del peso: . Es la distancia entre el centro de masas y el eje de rotación. La ecuación el sistema es:
El signo menos indica que cuando es positiva, el momento trata de hacerla volver hacia las negativas.
Física II
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Esta ecuación es la misma que la del péndulo simple. El péndulo físico solo puede considerarse como armónico para oscilaciones de pequeña amplitud. Haciendo la misma aproximación que para el péndulo simple, es decir, aproximando el seno por el ángulo, la pulsación es:
Y el período es:
Si no se hace la aproximación, hay que multiplicar el período por la misma serie que en el caso precedente.
Volante de reloj con su muelle en espiral
Un péndulo de torsión está compuesto de un objeto, generalmente simétrico, colgado de una varilla, un hilo metálico o una fina cinta metálica. El principal inconveniente de este péndulo es precisamente el de estar colgado. Esto impidió su utilización en relojes de pulsera o de bolsillo. Para evitar ese inconveniente se inventó el sistema de volante con muelle en espiral. Eso permitió la fabricación de relojes de viaje y de bolsillo y, sobre todo, de cronómetros marinos. En los dos casos, si el volante se separa de la posición de equilibrio un ángulo , el dispositivo elástico ejerce un momento sobre el volante. El signo menos indica que cuando es positiva, el momento tiende a volver el volante hacia su posición de equilibrio. La constante k , no es la misma que Física II
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la de la ecuación de la masa con un resorte. Esta vez las unidades de k son ecuación del sistema es:
. La
Como en los ejemplos anteriores la solución es:
Y el período es:
Esta vez el oscilador es realmente armónico. Independientemente de que se emplee el hilo o la varilla de torsión o el muelle en espiral, el momento sigue siendo proporcional al ángulo, aún para grandes ángulos. La razón es que, incluso para grandes ángulos, la deformación del material elástico es muy pequeña.
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1.5 Preguntas
¿una pelota rebotando es un ejemplo de movimiento armónico simple? ¿el movimiento diario de un estudiante desde su casa a la escuela y de regreso es un movimiento armónico simple? ¿por que si o por que no? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2. ¿el desplazamiento de una partícula oscilante entre t=0 y en un tiempo t posterior es necesariamente igual ala posición de la partícula en el tiempo? Explique: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3. Determine si las siguientes cantidades pueden estar en la misma dirección para un oscilador armónico simple: a. El desplazamiento y la velocidad b. La velocidad y la aceleración c. El desplazamiento y la aceleración 1.
_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4. Describa cualitativamente el movimiento de un sistema masa. Resorte cuando la masa del resorte no es depreciable _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
5. ¿Qué ocurre con el periodo de un péndulo simple si la longitud de este se duplica? ¿que sucede con el periodo si la masa que esta suspendida se duplica? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Física II
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6. Las oscilaciones amortiguadas ocurrirá para cualesquiera de los valores de b y k? explique: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 7. Es posible tener oscilaciones amortiguadas cuando un sistema esta en resonancia? Explique: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 8. Si un reloj de péndulo marchara lentamente ¿como podría ajustar la longitud del péndulo para ponerlo a tiempo? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 9. Un péndulo esta lleno con una esfera llena con agua. ¿Qué ocurriría a la frecuencia de la vibración de este péndulo si la esfera tuviese un agujero que permitiese al agua descargarse lentamente? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
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1.7 Problemas
Sección 1.1 Movimiento Armónico Oscilatorio 1. El desplazamiento de una partícula en t=0.250s esta dado por la expresión x= (4.00 m) cos (3.00¶t+¶), donde x esta en metros y t en segundos. Determine: a. la frecuencia y el periodo de movimiento b. la amplitud del movimiento c. la constante de fase y d. el desplazamiento de la partícula en t=0.250 s
2.
una bola que se deja caer desde una altura de 4.00 m efectúa un choque perfectamente elástico con el suelo, suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, a. demuestre que el movimiento es periódico, b. determine el periodo del movimiento, c. el movimiento es armónico simple? Explique
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3.
una partícula se mueve en un movimiento armónico simple con una frecuencia de 3.00 oscilaciones/s y una amplitud de 5.00 cm. a. ¿A que distancia total se desplaza la partícula durante el ciclo de movimiento? b. ¿cual es su rapidez máxima? c. ¿Dónde ocurre esta? d. Encuentre la aceleración máxima de la partícula e. En que parte de la aceleración ocurre la aceleración máxima
4.
En un motor, pistón oscila con movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento varia de acuerdo a la expresión X= (5.00m) cos (2t + ¶/6) donde x esta en centímetros y t en segundos. En t = 0 encuentre: a. El desplazamiento de la partícula b. Su velocidad c. Aceleración d. Encuentre el periodo y la amplitud del movimiento
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Sección 1.2 Nueva visita al sistema Bloque – Resorte Nota: ignore la masa del resorte en todos los ejercicios de esta sección. 5. Un resorte se extiende 3.90cm cuando cuelga de el una masa de 10.0 g. si una masa de 25.0 g unida a este resorte oscila en un movimiento armónico simple. Calcule el periodo del movimiento.
6.
Un oscilador armónico simple tarda 12.0 s para efectuar cinco vibraciones completas. Encuentre a. el periodo de su movimiento, b. la frecuencia en Hz, c. la frecuencia angular en rad/s
7.
Una masa de 0.500 kg unida a un resorte con 8.00N/m de constante de fuerza vibra en un movimiento armónico simple con una amplitud de 10.0cm. calcule a. El valor máximo de su rapidez y aceleración b. La rapidez y aceleración cuando la masa esta a 6.00 cm de la posición del equilibrio c. El tiempo que tarda la mesa en moverse de x = 0 a x =8.00 cm
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8.
Una masa de 7.00 kg cuelga del extremo inferior de un resorte vertical fijo a una viga holgada. La masa se pone a oscilar verticalmente con un periodo de 2.60 s. encuentre la constante de fuerza del resorte.
9.
Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2.00 rad/s. el sistema resorte partícula esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto a la caja del elevador) conforme la caja desciende a una rapidez constante de 1.50 m/s. la caja se detiene repentinamente. a. ¿con que amplitud oscila la partícula? b. ¿Cuál es la ecuación del movimiento del movimiento de la partícula?(elija la dirección hacia arriba como positiva)
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Sección 1.3 Energía de un oscilador armónico simple Nota: ignore la masa del resorte en todos los problemas 10. Una masa de 200 g esta unida a un resorte y sometida a movimiento armónico simple con un periodo de 0.250 s. si la energía total del sistema es 2.00 J. encuentre: a. La constante de fuerza de resorte b. La amplitud del movimiento
11. Un sistema masa- resorte oscila con una amplitud de 3.5 cm. Si la constante del resorte es de 250 N/m y la masa es de 0.500 kg, determine: a. La energía mecánica del sistema b. La rapidez máxima de la masa c. La aceleración máxima
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12. Un bloque de 1.50 kg en reposo sobre una mesa s une a un resorte horizontal con una constante de fuerza de 19.6 N/m. Al principio el resorte no esta extendido. Se aplica una fuerza constante horizontal de 20.0 N al objeto causando que el resorte se extienda. a. Determine la rapidez del bloque cuando después de que se ha movido 0.300 m a partir del equilibrio si la superficie entre el bloque y la mesa no presenta fricción b. Conteste el inciso a si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la mesa es de 0.200
13. Una partícula ejecuta un movimiento armónico simple con una amplitud de 3.00 cm ¿A que desplazamiento desde el punto medio de su movimiento su rapidez es igual a la mitad de su rapidez máxima?
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Sección 1.4 El Péndulo 14. un hombre ingresa a una torre alta para determinar su altura. El nota que un gran péndulo se extiende desde el techo casi hasta el piso y que su periodo es de 12.0 s. Determine: a. ¿Cuan alta es la torre? b. Si este péndulo se lleva a la luna, donde la aceleración de caída libre es de 1.67 m/s2, ¿Cuál es su periodo allí?
15. El desplazamiento angular de un péndulo se representa por la ecuación Ѳ= (0.320 rad) cos wt, donde el Ѳ esta en radianes y w= 4.43 rad/s. Determine el periodo y la longitud del péndulo.
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16. Una partícula de masa m se desliza sin fricción en el interior de un tazón hemisférico de radio R. demuestre que si parte del reposo con un pequeño desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, la partícula efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia angular igual a la de un péndulo simple de longitud R., es decir v = √ g/R
17. Un péndulo físico en la forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2.20 kg y el pivote se localiza 0.350 m del centro de masa, determine el momento de inercia del péndulo.
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18. Un péndulo de torsión se forma al unir un alambre al centro de un metro es de 2.00 kg. Si el periodo resultante es de 3.00 min ¿Cuál es la consultante de torsión para el alambre?
19. Un volante de reloj tiene un periodo de oscilación de 0.250 s. la rueda se construye de modo que 20.0 g de masa se concentren alrededor de una orilla de 0.500cm de radio. Cuales son: a. El momento de inercia del volante b. La constante de torsión del resorte unido.
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CAPITULO II MOVIMIENTO ONDULATORIO
ACERTIJO:
Un simple sismógrafo se puede construir con una pluma suspendida con un resorte que dibuja una línea sobre una tira de papel enrollada suavemente. El papel esta montado sobre una estructura conectada a la tierra. Durante un terremoto, la pluma permanece casi estacionaria mientras el papel se sacude a bajo. ¿Como unas pocas líneas trazadas sobre un pedazo de papel le permitirán al científico de una estación sismográfica determinar la distancia al origen del terremoto?
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Movimiento Ondulatorio
La mayor parte de nosotros ha experimentado con las ondas cuando en nuestra niñez lanzábamos una pequeña piedra a un estanque. En el punto donde la piedra golpeaba la superficie del agua se creaban ondas por el impacto. Estas ondas se mueven alejándose del punto de creación en círculos que se expanden hasta que finalmente alcanza la orilla. Si usted tuviera que examinar con cuidado el movimiento de una hoja flotando sobre la perturbación, vería que esta se mueve hasta arriba, hacia abajo y lateralmente alrededor de su posición original, pero que no efectúa ningún desplazamiento neto alejándose o acercándose al punto donde la piedra golpeo el agua. Las moléculas de agua exactamente debajo de la hoja, así como todas las moléculas de agua en la superficie del estanque, se comportan de la misma manera. Es decir la onda de agua se mueve de un lugar a otro, pero sin embargo no se transporta agua con ella. El mundo esta lleno de ondas y los dos tipos principales son las ondas mecánicas y electromagnéticas. Ya se han mencionado ejemplos de ondas mecánicas: ondas sonoras, ondas en el agua y ondas en “granos”. En cada caso un medio físico se esta perturbando: moléculas de aire, moléculas de agua y los
tallos de las plantas de nuestras plantas. Las ondas electromagnéticas son una clase especial de ondas que no necesitan un medio para propagarse, y algunos ejemplos son la luz visible, las ondas de radio, las señales de televisión y los rayos X. El concepto de onda es abstracto, cuando se observa lo que se denomina una onda en el agua, lo que se ve es un reacomodo en la superficie del agua. Sin el agua no habrá onda. Proceso por el que se propaga energía de un lugar a otro sin transferencia de materia, mediante ondas mecánicas o electromagnéticas. Las ondas se clasifican según la dirección de los desplazamientos de las partículas en relación a la dirección del movimiento de la propia onda. Tres características físicas son importantes en la descripción de las ondas: la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de la onda.
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2.1 Variables básicas del Movimiento Ondulatorio
Imagine que flota en una balsa en un gran lago. Se mueve lentamente hacia arriba y hacia abajo conforme las olas pasan. Al observar el lago, usted puede ver las olas individuales que se aproximan. Al punto que el desplazamiento del agua se eleva de su nivel normal al más alto se le llama cresta de la onda. La distancia de una cresta a otra se denomina longitud de la onda λ (letra griega lambda). Mas generalmente, la longitud de onda es la distancia mínima entre dos puntos idénticos cualesquiera (tales como las crestas) en ondas contiguas.
Si usted cuenta el número de segundos entre las llegadas de dos ondas adyacentes esta midiendo el periodo T de las ondas. En general el periodo es el tiempo requerido por dos puntos idénticos (tales como las crestas) de ondas adyacentes a pasar por un punto.
Esta misma información se da mas a menudo por la inversa del periodo, la que se llama Frecuencia f. en general, la frecuencia de una onda periódica es el numero de crestas (o valles, o cualquier otro punto en la onda) que pasa por un punto dado en un intervalo de tiempo unitario. El máximo desplazamiento de una partícula del medio se le llama amplitud A de la onda. Para nuestra onda de agua, esta representa la distancia más alta de una molecular de agua por encima de la superficie de agua no perturbada cuando la ola le pasa. Las ondas viajan a una rapidez específica, la cual depende de las propiedades del medio perturbado. Por ejemplo, las ondas sonoras viajan por el aire a temperatura ambiente a una rapidez aproximada de 343m/s (781mi/h), en tanto que la rapidez del sonido en caso todos los sólidos son mayores que 343 m/s.
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2.2 Dirección del desplazamiento de partículas
En la polarización, las características transmitidas por una onda se «filtran» en una dirección de desplazamiento entre todas las direcciones aleatorias inicialmente posibles. Este fenómeno presenta particular interés en el caso de la luz, donde la polarización del campo electromagnético que se transmite permite aprovechar con fines específicos la energía asociada. Polarización de ondas En las ondas mecánicas, se llama vector polarización al que define el desplazamiento instantáneo de las partículas del medio sometidas a la oscilación ondulatoria. Este vector puede apuntar, en principio, en cualquier dirección para cada partícula. En las ondas longitudinales, entendidas como aquellas en que las partículas vibran en la dirección de desplazamiento de la onda, el vector polarización es colineal con la dirección de propagación. En las ondas transversales, donde las partículas del medio oscilan en dirección perpendicular a la del movimiento de la onda, el vector polarización está siempre contenido en un plano normal a la dirección de propagación. Estas consideraciones sobre la polarización son extensibles también a las ondas electromagnéticas, como en la luz.
El desplazamiento instantáneo de las partículas del medio sometidas a un movimiento de oscilación según una onda mecánica adopta inicialmente cualquier dirección y se expresa por medio del vector de polarización. Formas de polarización Dentro de las ondas transversales, el movimiento de la vector polarización tiene lugar en un plano perpendicular a la propagación de la onda. Para precisar con mayor exactitud la naturaleza de este movimiento, se consideran dos situaciones típicas: Cuando el vector polarización se mantiene en un plano que contiene la dirección de propagación, las partículas del medio oscilan en una recta cuya dirección no varía de un punto a otro. En tal caso, se dice que la onda está linealmente polarizada.
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Si el vector polarización describe una curva compleja dentro del plano perpendicular a la dirección de propagación, la oscilación de las partículas puede apreciarse como una superposición de vibraciones no colineales. Entonces, se dice que la onda no está polarizada Un caso interesante de esta situación se produce cuando la onda está polarizada circularmente. En las ondas electromagnéticas, la propagación de la onda no se acompaña de la vibración de las partículas del medio. Una onda de estas características está formada por la propagación de un campo eléctrico y otro magnético que varían con el tiempo en planos mutuamente perpendiculares y normales también a la dirección de propagación. Por convenio, se toma uno cualquiera de los vectores de ambos campos como vector polarización; normalmente se elige el campo eléctrico. En condiciones normales, en estas ondas no existe ningún desplazamiento específico del vector polarización, que presenta un movimiento aleatorio. Por tanto, las ondas electromagnéticas comunes, como la luz en estado natural, no están polarizadas.
En la luz natural, el vector campo eléctrico que se desplaza con la onda varía continuamente dentro de un plano perpendicular a la dirección de propagación según direcciones aleatorias. Polarización por absorción Aunque las ondas electromagnéticas en estado natural, como la luz, no están polarizadas, es posible obtener formas concretas de polarización mediante la aplicación de diversos procedimientos. Uno de los más habituales consiste en interponer en la trayectoria del haz electromagnético un elemento polarizador. Los polarizadores más habituales están constituidos por largas cadenas de hidrocarburos (u otras sustancias) que se distinguen porque transmiten la luz de forma que, a la salida de las mismas, queda polarizada en la dirección perpendicular a estas cadenas. En este tipo de polarización, la componente del campo eléctrico (elegido como vector de polarización) paralela a las cadenas de hidrocarburos induce en ellas corrientes eléctricas que provocan la absorción de la energía de esta componente. Como resultado, en la salida sólo se conserva la parte de la energía de la componente perpendicular de dicho campo eléctrico. Este fenómeno se conoce como polarización por absorción. Física II
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Polarización por reflexión Cuando la luz natural incide sobre una superficie plana de separación entre dos medios, por ejemplo, el aire y el vidrio, experimenta un fenómeno conjugado de reflexión y refracción (o transmisión) parciales. En los casos en que el rayo reflejado en esta superficie y el refractado tengan direcciones perpendiculares entre sí, la luz reflejada se polariza en su totalidad en la dirección perpendicular al plano de incidencia. Este fenómeno fue observado por primera vez por el físico escocés David Brewster (17811868).Teniendo en cuenta la ley de Snell (ver t50), se obtiene que: Donde n1 es el índice de refracción del primer medio, n2 el del segundo y a p el ángulo de polarización (que coincide con el de incidencia). De ello se deduce que:
Esta expresión recibe el nombre de ley de Brewster de la polarización.
Al reflejarse en un plano, la luz se polariza linealmente en la perpendicular al plano de incidencia. En el caso concreto de que el rayo reflejado y el refractado sean perpendiculares, la polarización es total.
2.3 Ondas Viajeras Unidimensionales
El máximo desplazamiento, se llama la amplitud de onda. Y m La función de onda y representa la coordenada Y de cualquier punto P . En cualquier tiempo t . Además si t es fija, la función de onda y como función de x define una curva que representa la forma real del pulso en ese instante. Esto es equivalente a una "instantánea" de la onda en ese momento.
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Cuando una perturbación, en el estado físico de un sistema en un punto, se propaga conservando la forma de la perturbación, entonces, el proceso de propagación se llama onda . Si la forma de la perturbación se modifica a lo largo de la propagación, el proceso se llama difusión . Los elementos básicos de la propagación ondulatoria son: Se emite la perturbación en el estado del canal, se propaga transportando energía en forma de información. No se propaga materia . Emisión
Propagación
Recepción
Antena F
Canal C
Receptor
Fuente emisora.
Medio transmisor.
La perturbación recibida es Introduce una perturbación en C La perturbación se propaga a través absorbida (señal) de él. Representación de Ondas:
La perturbación puede representarse por una variable escalar (onda escalar) o vectorial (onda vectorial). La presión p en un gas (sonido).
Escalar Onda
Transversal
La deformación de una cuerda.
Longitudinal
La deformación de un resorte.
Vectorial
Modelo Matemático unidimensional: Describe la propagación a través del canal, es decir, el valor de la perturbación en cada punto p del canal y en cada instante. El estado del canal estará dado por una fu nción onda .
1) Perturbación en x1 y en t Þ p(x;t) = Ψ(x;t)
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Ψ(x;t) es la función de onda.
La gráfica muestra la representación en el instante to (foto). La función fuente o función antena, corresponde a la fuente o antena emisora, que es un dispositivo que introduce una perturbación en un punto de un canal, por ej. En xo. La perturbación en ese punto será una función controlada por una antena (función antena). 2) Perturbación en x = 0 y en función de t: p(t) = f(t)
Se demuestra que si f(t) es la función antena, entonces, la función de onda es f(t ± x/v) para la onda que se propaga con velocidad v por los x. p(x;t) = Ψ(x;t) = f(t - x/v) + f(t + x/v) t
=
0
t
>
0
La velocidad de una onda en la materia depende de la elasticidad y densidad del medio. En una onda transversal a lo largo de una cuerda tensa, por ejemplo, la velocidad depende de la tensión de la cuerda y de su densidad lineal o masa por unidad de longitud. La velocidad puede duplicarse cuadruplicando la tensión, o reducirse a la mitad cuadruplicando la densidad lineal. La velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío (entre ellas la luz) es constante y su valor es de aproximadamente 300.000 km/s. Al atravesar un medio material esta velocidad varía sin superar nunca su valor en el vacío. Comportamiento de las Ondas:
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Cuando dos ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante en ese punto es la suma de los desplazamientos individuales producidos por cada una de las ondas. Si los desplazamientos van en el mismo sentido, ambas ondas se refuerzan; si van en sentido opuesto, se debilitan mutuamente. Este fenómeno se conoce como interferencia. Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido opuesto a través de un medio se forman ondas estacionarias. Por ejemplo, si se ata a una pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondas se reflejan en la pared y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexión es perfectamente eficiente, la onda reflejada estará media longitud de onda retrasada con respecto a la onda inicial. Se producirá interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento resultante en cualquier punto y momento será la suma de los desplazamientos correspondientes a la onda incidente y la onda reflejada. En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada, no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos, las dos ondas están en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles; en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud de onda. Entre los nodos (que no avanzan a través de la cuerda), la cuerda vibra transversalmente. Las ondas estacionarias aparecen también en las cuerdas de los instrumentos musicales. Por ejemplo, una cuerda de violín vibra como un todo (con nodos en los extremos), por mitades (con un nodo adicional en el centro), por tercios. Todas estas vibraciones se producen de forma simultánea; la vibración de la cuerda como un todo produce el tono fundamental y las restantes vibraciones generan los diferentes armónicos. En mecánica cuántica, la estructura del átomo se explica por analogía con un sistema de ondas estacionarias. Gran parte de los avances de la física moderna se basan en elaboraciones de la teoría de las ondas y el movimiento ondulatorio. 2.4 Superposición e Interferencia
Principio de superposición
Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales. Las ondas que obedecen este principio son conocidas como ondas lin eales Y se caracterizan por tener amplitudes de onda pequeñas.
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Las ondas que violan el principio de superposición se denominan ondas no lin eales y se caracterizan por sus grandes amplitudes. Una consecuencia del principio de superposición es que dos ondas viajeras pueden pasar una a través de otra sin destruirse o ni siquiera alterarse. De igual modo, cuando las ondas sonoras de dos fuentes se mueven por el aire, también se atraviesan una a la otra. El sonido resultante que uno escucha en un punto determinado es producto de ambas perturbaciones. Interferencia
Combinación de ondas independientes en la misma región del espacio para producir una onda resultante. Efecto que se produce cuando dos o más ondas se solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (intensidad o tamaño) de la onda resultante depende de las frecuencias, fases relativas (posiciones relativas de crestas y valles) y amplitudes de las ondas iníciales. Interferencia constructiva
Se produce en los puntos en que dos ondas de la misma frecuencia que se soplan o entrecruzan están en fase; es decir, cuando las crestas y los valles de ambas ondas coinciden. En ese caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forman una onda cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes individuales de las ondas originales. Interferencia destructiva
Se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas una respecto a la otra; es decir, cuando la cresta de una onda coincide con el valle de otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente. Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no están exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser más complejo.
2.5 La rapidez de las ondas en las cuerdas
Una onda armónica tiene forma senoidal. La frecuencia de una onda armónica es igual al número de veces que una cresta (o cualquier otro punto en la onda) pasa por un punto fijo cada segundo.
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2.6 Reflexión y Transmisión
Distintas propiedades mecánicas, ópticas, etc., en parte se refleja y en parte se transmite. La velocidad de propagación de las ondas cambia al pasar de un medio a otro, pero no cambia la frecuencia angular w.
Supongamos un movimiento ondulatorio se propaga a lo largo de dos cuerdas, la cuerda de la izquierda tiene una densidad lineal m1 y la cuerda de la derecha tiene una densidad lineal m2.
El movimiento ondulatorio transversal se propaga en ellas con velocidades respectivamente de
Siendo T la tensión de las cuerdas.
Ondas incidente, reflejada y trasmitida
Situamos el origen en el punto de unión de las cuerdas. A la izquierda del origen tenemos una onda armónica incidente cuyo número de onda es k 1 tal que k 1v1=w, que se propaga de izquierda a derecha. Y i=Y 0i sen (k 1 x-w t)
Y una onda reflejada que se propaga con la misma velocidad de derecha a izquierda Y r =Y 0r sen (k 1 x+w t)
En la segunda cuerda, tenemos una onda transmitida que se propaga de izquierda a derecha y cuyo número de onda es k 2 tal que k 2v2=w. Y t =Y 0t sen (k 2 x-w t)
A la izquierda del origen tenemos la superposición de dos movimientos ondulatorios, el incidente más el reflejado, Y 1=Y i+Y r
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A la derecha del origen solamente tenemos movimiento ondulatorio correspondiente a la onda transmitida, Y 2=Y t
Relación entre las amplitudes de la onda incidente, reflejada y trasmitida
En el punto de discontinuidad o de unión de ambas cuerdas, el origen, x=0, el desplazamiento vale Y 1=Y 2 , es decir Y 0i sen (-w t)+Y 0r sen (w t)=Y 0t sen (-w t)
Simplificando -Y 0i+Y 0r =-Y 0t
Al estudiar las ondas transversales en una cuerda obtuvimos la expresión de la fuerza vertical F y en cualquier punto de la cuerda.
En el origen se debe de cumplir que
Derivando y simplificando se obtiene, k 1 (Y 0i+Y 0r )=k 2Y 0t Desde el punto de vista matemático decimos, que en el punto de discontinuidad situado en el origen, la función que describe el movimiento ondulatorio debe ser continua y también lo debe ser su derivada primera. Una situación análoga la encontraremos en Mecánica Cuántica al estudiar el
escalón de potencial. Tenemos dos ecuaciones, que nos permiten relacionar Y 0r y Y incidente Y 0i
0t en
función de la amplitud de la onda
Expresando el número de onda k 1 y k 2 en términos de las velocidades de propagación respectivas v1 y v2
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2.7 Ecuación Lineal de la Onda
En el caso del movimiento armónico simple (MAS) se estableció su ecuación característica,
d2 y dt
2 0
2
y,
En donde "y" es el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio; y, w0 es la frecuencia angular de oscilación. Generalmente, cuando se hace el análisis "dinámico" sobre el movimiento de un objeto se llega a una expresión de la forma indicada en la ecuación 21, podemos señalar que el objeto tendrá un movimiento armónico simple. La ecuación 21 es la relación entre la aceleración y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio de un objeto. Ahora procederemos a determinar la ecuación propia de un movimiento ondulatorio de una perturbación que se desplaza con rapidez de propagación v, sin distorsión, en una dimensión. Para fijar ideas, consideremos que las ondas son producidas en una cuerda, de tal manera que la variable "y" representa el "desplazamiento" de cada elemento de la cuerda respecto a su posición de equilibrio. Si se tratara de una onda armónica (ec. 11), el movimiento de cada elemento de la cuerda en el tiempo correspondería a un movimiento armónico simple, por lo que deberíamos de esperar que la ecuación de la onda involucrara a la aceleración de cada elemento de la cuerda de acuerdo a la ecuación 21, esto es:
2
y
t
2
2
y,
En donde la segunda derivada es "parcial" porque solo se deriva respecto al tiempo, permaneciendo x constante. Además, si consideramos la forma de la cuerda en un tiempo "fijo", esperaríamos una relación de la forma de la cuerda o concavidad con sus características de posición, esto significa que: 2
y
x
2
k 2 y,
En donde la segunda derivada es "parcial" respecto a la posición, permaneciendo t constante. De las dos ecuaciones anteriores tenemos la relación entre el espacio y el tiempo de la variable "y", dada por:
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2
y
t
2
2
2
y
x2
k
.
Utilizando la relación 10 para la rapidez de propagación, la ecuación de onda queda como:
2
t
y 2
2
v
2
y
x2
.
Esta relación representa la forma general de la ecuación de onda en una dimensión, en un medio sin dispersión. Las soluciones de la ecuación de onda son de la forma indicada en la ecuación y x, t
f 1 x vt
f 2 x
vt .
Es decir ondas que se propagan a la derecha o a la izquierda, y no solo ondas armónicas. Para mostrar que las funciones de la forma y x, t
f x vt ,
Son soluciones de la ecuación de onda, consideremos que y x, t
f u ,
Siendo u x, t
x vt .
Entonces, al tomar las derivadas de y(x,t) utilizando la regla de la cadena tenemos:
y x, t t
df u du
y x, t t
v
u t
df u . du
Para la segunda derivada queda:
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2
y x, t t
2
y x, t t
2
2
2
y x, t t2
t
v
v2
v
df u du
d df u du du
d 2 f u du 2
u t
.
Procediendo de manera análoga para las derivadas de la variable "y" respecto a la posición obtenemos:
2
y x, t
d2 f u
x2
du 2
.
Entonces, de las dos últimas relaciones tenemos la ecuación de onda:
2
t
y 2
2
v2
y
x2
.
Si en el análisis de un sistema en una dimensión se llega a una relación de la forma indicada en la ecuación, podemos señalar que se tienen ondas viajando sin dispersión en el medio.
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2.8 Preguntas
1) ¿Por qué se considera a un pulso de onda que viaja por una cuerda una onda transversal? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2) ¿como podría usted establecer una onda longitudinal en un resorte extendido? ¿seria posible establecer una onda transversal en un resorte? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 3) Al viajar por una cuerda tensada, ¿un pulso de onda siempre se interviene en la reflexión, Explique. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 4) Si usted sacudiera periódicamente el extremo de una cuerda tensada tres veces cada segundo ¿Cuál seria el periodo de las ondas senoidales que se establecerían en la cuerda? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 5) Una fuente de vibraciones genera una onda senoidal en una cuerda sometida a tensión constante. Si la tensión entregada a la cuerda se duplica. ¿en que factor cambia la amplitud? ¿la rapidez de onda cambia en estas circunstancias? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
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6) Considere una onda que viaja por una cuerda tensada. ¿Cuál es la diferencia, si es que hay, entre la rapidez de la onda y la rapidez de una pequeña sección de la cuerda? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 7) Si una larga cuerda se cuelga de un techo y se transmiten ondas hacia arriba desde el extremo inferior, estas no ascienden ha rapidez constante. Explique ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 8) ¿Qué ocurre con la longitud en una cuerda cuando se duplica la frecuencia? Suponga que la tensión de la cuerda permanece igual. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 9) ¿en que difieren las ondas transversales de las longitudinales? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 10) Cuando dos ondas interfieren ¿la amplitud de la onda resultante puede ser mayor que de cualquiera de las ondas originales? ¿en que condiciones? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
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2.9 Problemas
Sección 2.3 Ondas unidimensionales 1. En t = 0, un pulso de onda transversal en un alambre se describe por medio de la función Y = 6 / x 2 + 3 , donde x y y están en metros, escriba la función y(x, t) que represente esta onda si esta viaja en la dirección x positiva a una rapidez de 4.5 m/s.
2. Una onda que se mueva a lo largo del eje x esta descrita por y(x, t) = 5.00 ℮ - ( x +5.00t)2 donde x esta en metros y t esta en segundos. Determine a. la dirección del movimiento de la onda, b. la rapidez de la onda.
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3. Una estación sismográfica recibe ondas S y P, de un terremoto, con una diferencia de tiempo de 17.3 s, suponga que las ondas han viajado en la misma trayectoria a rapidez de 4.5 km/s y 7.80 km/s respectivamente. Encuentre la distancia de la estación sismográfica al epicentro del terremoto.
Sección 2.4 Superposición e Interferencia 4. Dos ondas senoidales en una cuerda se definen mediante las funciones Y 1 = (2.00 cm) Sen (20.0x -32.0 t) Y 2 = (2.00 cm) Sen (25.0x -40.0 t) Donde y y x se miden en centímetros y t en segundos. a. ¿Cual es la diferencia de fase en estas dos ondas e el punto x=5.00 cm en t=2.00 s? b. ¿ cual es el valor de x positiva mas cercano al origen para el cual las dos fases difieren en ±¶ en t = 2.00 s ? ( es decir donde las dos ondas suman cero)
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5. Dos ondas en una cuerda se describen por medio de las funciones de onda Y 1 = 3.00 Cos (4.0x -1.6 t) Y 2 = 4.00 Sen (5.0x – 2 .0 t) Donde y y x están dados en centímetros y t en segundos. Encuentre la superposición de las ondas Y 1 + Y 2 en los puntos a. X= 1.00, t = 1.00, b. x= 1.00 y t =0.500, c. X=0.500 y t = 0 (recuerde que los argumentos de las funciones trigonométricas están en radianes)
Sección 2.5 La rapidez de las ondas en las cuerdas 6. Un cordón de teléfono tiene 4.00 m de largo y una masa de 0.200 kg. Se produce un pulso de onda transversal al jalar un extremo de l tenso cordón. El pulso hace cuatro viajes hacia abajo y hacia atrás a lo largo del cordón en 0.800 s¿ cual es la tensión del cordón?
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7. Se deben de producir ondas transversales a una rapidez de 50.0 m/s en una cuerda tensa. Se usa una cuerda de 5.00 m de longitud y una masa total de 0.060 kg. ¿Cuál es la tensión requerida?
8. Una cuerda de piano que tiene una masa de por unidad de longitud igual a 5.00 x 10-3 kg/m se somete a una tensión de 1350 N. encuentre la rapidez a la cual viaja una onda en esta cuerda.
9. Un astronauta sobre la luna desea medir el valor local de g midiendo el tiempo de pulsos que viajan por un alambre que tiene una gran masa suspendida de el. Suponga que el alambre tiene 4.00g de masa y 1.60m de largo y que la masa suspendida de el tiene 3.00 kg. Un pulso tarda36.1 ms para recorrer la longitud del alambre. calcule g luna a partir de estos datos. (puede ignorar la masa del alambre cuando calcule la tensión de el)
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10. En un alambre tenso de cobre cuyo diámetro es de 1.50 mm viajan pulsos transversales a una rapidez de 200 m/s. ¿Cuál es la tensión en el alambre? ( la densidad del cobre es de 8.92 g/cm3 )
11. En un alambre sometido a una tensión de 6.00 N viajan ondas transversales a una rapidez de 20.0 m/s ¿Qué tensión se requiere para producir una rapidez de onda 30.0 m/s en la misma cuerda?
12. Un alambre de acero de 30.0 m y un alambre de cobre de 20.0 m, ambos con diámetros de 1.00 mm, se conectan extremo con extremo y se estiran hasta una tensión de 150 N. ¿Cuánto tarda una onda transversal en viajar por la longitud total de los dos alambres?
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Sección 2.6 Reflexión y Transmisión 13. Una serie de pulsos, cada uno de amplitud 0.150m, son enviados por una cuerda que esta fija a un poste por un extremo. Los pulsos se reflejan en el poste y viajan hacia atrás por la cuerda sin perder amplitud. ¿Cuál es el desplazamiento en un punto de la cuerda donde dos pulsos se cruzan? a. si la cuerda esta unida rígidamente al poste? b. si el extremo en el que ocurre la reflexión es libre de deslizarse hacia arriba y hacia abajo?
Sección 2.7 Ondas Senoidales 14. Para cierta onda transversal, la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1.20m, y ocho crestas pasan por un punto dado a lo largo de la dirección de propagación cada 12.0 segundos. Calcule la rapidez de la onda
15. Una onda senoidal viaja por una cuerda. El oscilador que genera la onda hace 40.0 vibraciones en 30.0s, además un máximo dado viaja a 245 cm a lo largo de la cuerda en 10.0s ¿Cuál es la longitud de la onda?
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16. Cuando un alambre particular vibra con una frecuencia de 4.00 Hz, se produce una onda transversal de 60.0 cm de longitud de onda. Determine la rapidez de los pulsos de onda a lo largo del alambre.
17. Una onda transversal que viaja por un alambre tenso tiene una amplitud de 0.200mm, una frecuencia de 500 Hz y viaja a una rapidez de 196m/s. a. escriba una ecuación en unidades del SI de la forma y= Asen(kx-wt) para esta onda; b. la masa por unidad de longitud de este alambre es 4.10 g/m. calcule la tensión en el alambre.
18. Una onda en una cuerda se describe mediante la función dada y = (0.100m) sen (0.50x -20 t) a. Muestre que una particula en la cuerda en x = 2.00 m ejecuta un movimiento armonico simple b. Determine la frecuencia de oscilación de este punto es particular.
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Sección 2.7 Rapidez de la transferencia de energía por ondas senoidales en cuerdas 19. Una cuerda tensada tiene una masa de 0.180 kg y una longitud de 3.60m. ¿Qué potencia debe proporcionarse a la cuerda para generar ondas senoidales con una amplitud de 0.100m y una longitud de onda de 0.500m, y para que viaje a una rapidez de 30m/s?
20. Se encuentra que un segmento de 6.00m de una cuerda larga contiene cuatro ondas completas y tiene una masa de 180 g. la cuerda esta vibrando senoidalmente con una frecuencia de 50.0 Hz y un desplazamiento de pico a valle de 15.0 cm(la distancia de pico a valle es la distancia vertical desde el desplazamiento positivo mas lejano al desplazamiento negativo mas lejano)a. escriba la función que describe esta onda viajera en la dirección positiva x. b. determine la potencia suministrada a la cuerda
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CAPITULO III ONDAS SONORAS
ACERTIJO:
Se puede calcular la distancia a la esta una tormenta que se aproxima escuchando cuidadosamente el sonido del trueno. ¿A que se debe esto?¿por que el sonido que sigue el relámpago algunas veces es un tronido agudo, corto y otras veces es largo y estruendoso?
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Ondas Sonoras
Existen dos tipos de ondas sonoras dependiendo de cómo se desplacen las partículas por el medio: Ondas Longitudinales: Cuando el movimiento de las partículas es paralelo a la dirección de propagación. Ondas transversales: Cuando el movimiento de las partículas es perpendicular a la dirección de propagación Las ondas sonoras se desplazan en todas las direcciones constituyendo "frentes de onda" que corresponderían con las superficies "equipotenciales" de las ondas. Dependiendo como sean estos podremos clasificar a las ondas sonoras como: Ondas Planas: Las superficies que contienen los puntos que tienen los mismos valores de amplitud son planos perpendiculares a la dirección de propagación. Se producen cuando la propagación de la onda solo se realiza en una dirección. Ondas Esféricas: Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas que se desplazan incrementado su radio y se producen cuando el sonido se propaga en todas las direcciones con igual intensidad. Por ser cada vez mayor la superficie que contiene la excitación, se atenúan con el cuadrado de la distancia, convirtiéndose cuando el radio es suficientemente grande a efectos prácticos, en ondas planas. Ondas cilíndricas: Cuando la fuente de sonido esta constituida por una recta, los frentes de onda se desplazan alejándose de ella formando superficies de cilindro cuyo radio se va incrementando, por lo que la superficie que contiene la excitación va en aumento y sufren una atenuación que es inversamente proporcional a la distancia, lo mismo que en las ondas esféricas que, cuando se encuentran muy lejos de la fuente, se comportan como ondas planas. Ondas progresivas: Cuando los frentes de onda viajan libremente transfiriendo energía. Ondas estacionarias: Cuando una onda se encuentra limitada en un recinto, de forma que no existe transferencia neta de energía en ninguna dirección. Características de las Ondas Sonoras Amplitud: Es la diferencia entre los valores máximos y mínimos del movimiento ondulatorio en un punto. Representa la variación de presión existente en ese punto.
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Frecuencia: Es el número de veces que un fenómeno (periódico) se repite a sí mismo por segundo. Es la inversa del periodo de repetición (T). Se mide en Hertzios (Hz), que representa la cantidad de oscilaciones por segundo. Velocidad: Es la velocidad a la que viaja la onda sonora. Depende del medio donde se propaga y de la temperatura. Suponiendo que el aire es una gas ideal la temperatura (Tº) se puede calcular como.
En el aire se toma 343 m/seg. Variando para otros materiales. Longitud de onda: Es la distancia perpendicular entre dos frentes de onda que tienen la misma fase. Esta longitud es la misma que la recorrida por la onda en un ciclo completo de vibración. Se denomina con la letra griega lambda y se relaciona con la frecuencia (en Hz) y con la velocidad del sonido (en m/s):
3.1 Rapidez de las Ondas Sonoras
Cuando una onda longitudinal se propaga a través de un fluido, el centro de masa de cada elemento oscilará con aceleración, debido a que las fuerzas aplicadas longitudinalmente que actúan a ambos lados del elemento (ejercidas por las porciones de fluido que están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnitud diferente. Aplicando la segunda ley de Newton,
se debe reiterar que la aceleración es la del centro de masa del elemento. Como la presión es
, se obtiene,
donde situación de equilibrio a la presión
corresponde a la densidad volumétrica del fluido en la
.
Aplicando la ley de Hooke, Física II
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se obtiene,
donde las derivadas son evaluadas en (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elemento tanto como queramos).Por tanto la velocidad con que se propagan las ondas longitudinales en un fluido según la ecuación diferencial de onda generalizada es igual a,
siendo
la densidad volumétrica del fluido en su estado de equilibrio.
Este tipo de ondas son de gran aplicación ya que son las que están asociadas con las ondas sonoras. Si están en el rango de frecuencias audibles (16 Hz a 20.000 Hz) se les denomina sonido. Es necesario insistir que a través de los sólidos también se propagan estas ondas longitudinales. Sin embargo, si se está haciendo referencia a barras, las ondas longitudinales se calculan con la expresión,
La diferencia radica en que para las barras sólidas su parte lateral se expande y comprime levemente cuando las ondas longitudinales se propagan a través de ellas. Esto no se aplica a materiales "extensos" (materiales no en la forma de barras) ya que el movimiento lateral de cualquier elemento es impedido por el material circundante. En otras palabras, la rapidez de las ondas longitudinales en un volumen de materia está dada por la ecuación . Como dato piense en que la velocidad de la onda longitudinal en una barra de plomo es del orden de 1200 m/s mientras que esta en un medio "ilimitado " (material extenso y no como barra) de plomo es del orden de 1960 m/s. Ondas Sonoras en gases La propagación de una onda longitudinal con frecuencias en el rango audible (16 hz a 20.000 hz) a través de un gas es un proceso adiabático. La razón de esto es que debido a la baja conductividad térmica de los gases (ver tablas 2 y 3), en los intervalos de tiempo tan cortos en los que se realizan estos procesos ondulatorios a esas frecuencias, el sistema no alcanza a intercambiar energía en forma de
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calor (o si lo hace, es en cantidades totalmente despreciables) , es decir, las compresiones y expansiones en los gases ha estas frecuencias son adiabáticas
Para calcular la rapidez de las ondas longitudinales en un fluido se emplea la ecuación . Si se considera que el fluido es un gas ideal y por ser el proceso ondulatorio adiabático, se cumplira que,
aquí, es la presión del gas, su volumen, es la relación entre las capacidades caloríficas del gas a presión y volumen constantes, y cte significa constante. Por lo tanto,
dividiendo por
se obtiene,
de esta forma se concluye que la velocidad de propagación del sonido en un gas ideal se calcula mediante la siguiente ecuación,
Una expresión más útil se puede obtener sabiendo que en un gas ideal,
donde es la constante de los gases, es la masa molecular y combinar las dos últimas ecuaciones se obtiene,
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es la temperatura absoluta. Al
3.2 Ondas Sonoras Periódicas
Uno puede producir una onda sonora periódica unidimensional mediante un émbolo vibratorio en un extremo de un tubo largo y estrecho que contenga gas. Las regiones más oscuras de la figura representan regiones donde el gas se comprime, por lo que en ellas la densidad y la presión están arriba de sus valores de equilibrio. Introdujimos el concepto de propagación de las ondas mediante una única perturbación en un medio. En realidad, la mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio, y no sólo una. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y son todas de la misma forma, estamos en presencia de una onda periódica, y el número de perturbaciones por segundo se denomina frecuencia de la onda. Se expresa en Hertz (Hz), es decir ciclos por segundo (un ciclo es todo lo que sucede durante una perturbación completa). En el caso de las ondas sonoras la frecuencia está entre 20 Hz y 20000 Hz. Las ondas acústicas de menos de 20 Hz se denominan infrasonidos, y los de más de 20000 Hz se llaman ultrasonidos. Por lo general, ni unos ni otros son audibles por el ser humano. Algunos animales (por ejemplo el perro) pueden escuchar sonidos de muy baja frecuencia, tales como los creados por las ondas sísmicas durante un terremoto. Por esta razón los animales se muestran inquietos en los instantes previos a los terremotos: pueden escuchar la señal de advertencia que resulta inaudible para el ser humano. En forma similar, algunos animales escuchan ultrasonidos. El murciélago es un caso notable, ya que escucha sonidos de más de 100000 Hz, que le permite orientarse por medio de señales acústicas según el principio del sonar (semejante al conocido radar). Ondas aperiódicas
Aun cuando muchos sonidos son aproximadamente periódicos, como los sonidos producidos por los instrumentos musicales de altura determinada (guitarra, flauta, piano), la vasta mayoría de los sonidos naturales son aperiódicos, es decir que las sucesivas perturbaciones no se producen a intervalos regulares y no mantienen constante su forma de onda. Esto es lo que técnicamente se denomina ruido. Las ondas aperiódicas en general no producen sensación de altura. Algunos ejemplos son el ruido urbano, las consonantes, el ruido del mar y del mar, y el sonido de muchos instrumentos de percusión tales como los tambores o los platillos.
Espectro
El concepto de espectro es de importancia capital en Acústica. Cuando introdujimos el concepto de frecuencia, dijimos que las ondas periódicas tienen asociada una frecuencia. Sin embargo, esto es sólo parte de la verdad, ya que por lo general dichas ondas contienen varias frecuencias a la vez. Esto se Física II
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debe a un notable teorema matemático denominado Teorema de Fourier (en honor a su descubridor, el matemático francés Fourier), que afirma que cualquier forma de onda periódica puede descomponerse en una serie de ondas de una forma particular denominada onda senoidal (o senoide, o sinusoide), cada una de las cuales tiene una frecuencia que es múltiplo de la frecuencia de la onda original (frecuencia fundamental). Así, cuando escuchamos un sonido de 100 Hz, realmente estamos escuchando ondas senoidales de frecuencias 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, etc. Estas ondas senoidales se denominan armónicos del sonido original, y en muchos instrumentos musicales (como la guitarra) son claramente audibles. ¿Qué sucede con un sonido original cuya forma de onda ya es senoidal? Cuando uno intenta aplicar el teorema de Fourier a una senoide, el resultado es que tiene un solo armónico , de la misma frecuencia que la senoide original, por supuesto. (Nótese que el Teorema de Fourier no dice que todas las formas de ondas deban tener varios armónicos, sino más bien que cualquier forma de onda puede obtenerse por superposición de cierta cantidad de senoides, cantidad que puede reducirse a una sola, que es lo que ocurre con las ondas senoidales.) El hecho de que cada onda senoidal tiene una única frecuencia ha llevado a llamar también tonos puros a las ondas senoidales. La descripción de las ondas senoidales que componen un sonido dado se denomina espectro del sonido. El espectro es importante debido a varias razones. Primero porque permite una descripción de las ondas sonoras que está íntimamente vinculada con el efecto de diferentes dispositivos y modificadores físicos del sonido. En otras palabras, si se conoce el espectro de un sonido dado, es posible determinar cómo se verá afectado por las propiedades absorbentes de una alfombra, por ejemplo. No puede decirse lo mismo en el caso en que se conozca sólo la forma de onda. En segundo lugar, el espectro es importante porque la percepción auditiva del sonido es de naturaleza predominantemente espectral. En efecto, antes de llevar a cabo ningún otro procesamiento de la señal acústica, el oído descompone el sonido recibido en sus componentes frecuenciales, es decir en las ondas senoidales que, según el teorema de Fourier, conforman ese sonido. Por ese motivo, con algo de práctica es posible por ejemplo reconocer las notas de un acorde. ¿Qué puede decirse del espectro de los sonidos aperiódicos? El teorema de Fourier puede extenderse al caso de sonidos aperiódicos. Éstos pueden ser tan simples como los sonidos de una campana o tan complejos como el así llamado ruido blanco (un ruido similar al que capta una emisora de FM en ausencia de señal o de portadora). En el primer caso, el espectro es discreto, vale decir un conjunto de frecuencias claramente diferenciadas, aunque no serán ya múltiplos de ninguna frecuencia. Podemos tener, por ejemplo, 100 Hz, 143,3 Hz, 227,1 Hz, 631,02 Hz. En el segundo caso, tenemos ¡todas las frecuencias! Esto es lo que se denomina un espectro continuo.
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Cualidades del sonido
- Intensidad: Sensación asociada a la forma en la que recibe el sonido el ser humano. Los sonidos pueden clasificarse en fuertes o débiles, según su intensidad sea elevada o baja. El oído humano puede detectar sonidos cuando la I es de al menos 10-12 W/m2. Sonidos con intensidad igual o superior a 1W/m2 son audibles, pero provocan dolor en los oídos.
- Tono o altura: de un sonido indica si este es alto (agudo, muchas vibraciones por segundo) como el de un violín o bajo (grave, pocas vibraciones por segundo) como el de un tambor. Cuanto más baja sea la frecuencia más bajo será el tono y viceversa.
- Timbre: Permite distinguir entre dos sonidos en los que la intensidad y la frecuencia son iguales, pero que han sido emitidos por focos distintos. Normalmente, los sonidos no son puros, es decir, las ondas no son perfectamente sinusoidales sino que el resultado de varios movimientos periódicos superpuestos a la onda fundamental, que se denominan armónicos o sobretonos. Así, cada sonido procedente de un instrumento musical o persona es una onda compuesta y tiene unas características especificas que lo diferencian de las demás. El timbre depende de la forma de la onda
3.3 Intensidad de las Ondas Sonoras Periódicas
¿Por qué algunos sonidos son más intensos que otros? Hay muchas razones, pero la causa principal es atribuible a la amplitud. La amplitud de un sonido es el máximo exceso de presión (o presión sonora) en cada ciclo. En el caso del ruido o de los sonidos aperiódicos, la amplitud puede estar cambiando continuamente. En este caso se acostumbra a obtener algún tipo de promedio. Existen varios enfoques para el análisis de la sonoridad, que pueden hallarse en otro documento que acompaña al presente sobre Niveles sonoros. Como el rango de intensidades del oído humano es muy amplio 10-12 W/m2, para la medida de la intensidad suele utilizarse una escala logarítmica que se llama ESCALA DE NIVEL DE INTENSIDAD
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Se define nivel de intensidad de una onda sonora como β = 10 log
I I 0
. Se mide en decibelios dB. I;
intensidad de la onda sonora. I0; nivel de referencia de la intensidad, umbral 10-12 W/m2. Si I= 10-12 W/m2 Si I= 1 W/m2
β = 0 dB umbral de audición. β = 120 dB umbral del dolor.
Nivel de intensidad (dB)
Intensidad (w/m )
Sonido
0
10-12
Umbral de audición
10
10-11
Susurro de las hojas
20
10-10
Cuchicheo a 1 metro de distancia
30
10-9
Casa tranquila
40
10-8
Casa normal, oficina tranquila
50
10-7
Oficina normal
60
10-6
Conversación normal
70
10-5
Oficina ruidosa, calle animada
80
10-4
Trafico intenso, comedor escolar
90
10-3
Ferrocarril subterráneo
100
10-2
Taller de maquinaria, discoteca
110
102
Taller, avión despegando
120
103
Avión a reacción (30 m de distancia)
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normal,
trafico
Llamamos sensación sonora a un factor subjetivo que involucra los procesos fisiológicos y psicológicos que tienen lugar en el oído y en el cerebro. Es lo que nos lleva a clasificar los sonidos en débiles, fuertes desagradables…. Depende de la intensidad y de la frecuencia. Por ejemplo, una señal de
1000Hz con nivel de intensidad de 40 dB provoca la misma sensación sonora que un sonido de 100 Hz con 62 dB.
3.4 Niveles Sonoros
Presión Sonora
En primer lugar tenemos la presión atmosférica, es decir la presión del aire ambiental en ausencia de sonido. Se mide en una unidad SI (Sistema Internacional) denominada Pascal (1 Pascal es igual a una fuerza de 1 newton actuando sobre una superficie de 1 metro cuadrado, y se abrevia 1 Pa). Esta presión es de alrededor de 100.000 Pa (el valor normalizado es de 101.325 Pa). Podemos luego definir la presión sonora como la diferencia entre la presión instantánea debida al sonido y la presión atmosférica, y, naturalmente, también se mide en Pa. Sin embargo, la presión sonora tiene en general valores muchísimo menores que el correspondiente a la presión atmosférica. Por ejemplo, los sonidos más intensos que pueden soportarse sin experimentar un dolor auditivo agudo corresponden a unos 20 Pa, mientras que los apenas audibles están cerca de 20 mPa (mPa es la abreviatura de micropascal, es decir una millonésima parte de un pascal). Esta situación es muy similar a las pequeñas ondulaciones que se forman sobre la superficie de una profunda piscina. Otra diferencia importante es que la presión atmosférica cambia muy lentamente, mientras que la presión sonora lo hace muy rápido, alternando entre valores positivos (presión instantánea mayor que la atmosférica) y negativos (presión instantánea menor que la atmosférica) a razón de entre 20 y 20.000 veces por segundo. Esta magnitud se denomina frecuencia y se expresa en ciclos por segundo o hertz (Hz). Para reducir la cantidad de dígitos, las frecuencias mayores que 1.000 Hz se expresan habitualmente en kilohertz (kHz). Física II
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Nivel de Presión Sonora
El hecho de que la relación entre la presión sonora del sonido más intenso (cuando la sensación de sonido pasa a ser de dolor auditivo) y la del sonido más débil sea de alrededor de 1.000.000 ha llevado a adoptar una escala comprimida denominada escala logarítmica. Llamando Pref (presión de referencia a la presión de un tono apenas audible (es decir 20 mPa) y P a la presión sonora, podemos definir el nivel de presión sonora (NPS) Lp como Lp = 20 log (P / Pref) ,
donde log significa el logaritmo decimal (en base 10). La unidad utilizada para expresar el nivel de presión sonora es el decibel, abreviado dB. El nivel de presión sonora de los sonidos audibles varía entre 0 dB y 120 dB. Los sonidos de más de 120 dB pueden causar daños auditivos inmediatos e irreversibles, además de ser bastante dolorosos para la mayoría de las personas.
Nivel Sonoro con Ponderación A
El nivel de presión sonora tiene la ventaja de ser una medida objetiva y bastante cómoda de la intensidad del sonido, pero tiene la desventaja de que está lejos de representar con precisión lo que realmente se percibe. Esto se debe a que la sensibilidad del oído depende fuertemente de la frecuencia. En efecto, mientras que un sonido de 1 kHz y 0 dB ya es audible, es necesario llegar a los 37 dB para poder escuchar un tono de 100 Hz, y lo mismo es válido para sonidos de más de 16 kHz. Cuando esta dependencia de la frecuencia de la sensación de sonoridad fue descubierta y medida (por Fletcher y Munson, en 1933, ver gráfica), se pensaba que utilizando una red de filtrado (o ponderación de frecuencia) adecuada sería posible medir esa sensación en forma objetiva. Esta red de filtrado tendría que atenuar las bajas y las muy altas frecuencias, dejando las medias casi inalteradas. En otras palabras, tendría que intercalar unos controles de graves y agudos al mínimo antes de realizar la medición.
Física II
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Curvas de Fletcher y Munson Había sin embargo algunas dificultades para implementar tal instrumento o sistema de medición. El más obvio era que el oído se comporta de diferente manera con respecto a la dependencia de la frecuencia para diferentes niveles físicos del sonido . Por ejemplo, a muy bajos niveles, sólo los sonidos de frecuencias medias son audibles, mientras que a altos niveles, todas las frecuencias se escuchan más o menos con la misma sonoridad. Por lo tanto parecía razonable diseñar tres redes de ponderación de frecuencia correspondientes a niveles de alrededor de 40 dB, 70 dB y 100 dB, llamadas A, B y C respectivamente. La red de ponderación A (también denominada a veces red de compensación A) se aplicaría a los sonidos de bajo nivel, la red B a los de nivel medio y la C a los de nivel elevado (ver figura). El resultado de una medición efectuada con la red de ponderación A se expresa en decibeles A, abreviados dBA o algunas veces dB(A), y análogamente para las otras.
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Curvas de ponderación A, B y C Por supuesto, para completar una medición era necesaria una suerte de recursividad. Primero había que obtener un valor aproximado para decidir cuál de las tres redes había que utilizar, y luego realizar la medición con la ponderación adecuada. La segunda dificultad importante proviene del hecho de que las curvas de Fletcher y Munson (al igual que las finalmente normalizadas por la ISO, Organización Internacional de Normalización) son sólo promedios estadísticos, con una desviación estándar (una medida de la dispersión estadística) bastante grande. Esto significa que los valores obtenidos son aplicables a poblaciones no a individuos específicos. Más aún, son aplicables a poblaciones jóvenes y otológicamente normales, ya que las mediciones se realizaron con personas de dichas características. La tercera dificultad tiene que ver con el hecho de que las curvas de Fletcher y Munson fueron obtenidas para tonos puros, es decir sonidos de una sola frecuencia, los cuales son muy raros en la Naturaleza. La mayoría de los sonidos de la vida diaria, tales como el ruido ambiente, la música o la palabra, contienen muchas frecuencias simultáneamente. Esta ha sido tal vez la razón principal por la cual la intención original detrás de las ponderaciones A, B y C fue un fracaso. Estudios posteriores mostraron que el nivel de sonoridad, es decir la magnitud expresada en una unidad llamada fon que corresponde al nivel de presión sonora (en decibeles sin ponderación) de un tono de 1 kHz igualmente sonoro, no constituía una auténtica escala. Por ejemplo, un sonido de 80 fon no es el doble de sonoro que uno de 40 fon. Se creó así una nueva unidad, el son, que podía medirse usando un analizador de espectro (instrumento de medición capaz de separar y medir las frecuencias que componen un sonido o ruido) y algunos cálculos ulteriores. Esta escala, denominada simplemente como sonoridad, está mejor correlacionada con la sensación subjetiva de sonoridad, y por ello la ISO Física II
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normalizó el procedimiento (en realidad dos procedimientos diferentes según los datos disponibles) bajo la Norma Internacional ISO 532. En la actualidad existen inclusive instrumentos capaces de realizar automáticamente la medición y los cálculos requeridos para entregar en forma directa la medida de la sonoridad en son. Ponderación A y Efectos del Ruido
Desde luego, lo anterior no responde la pregunta de cuán molesto o perturbador resultará un ruido dado. Es simplemente una escala para la sensación de sonoridad. Varios estudios han enfocado esta cuestión, y existen algunas escalas, como la escala noy que cuantifica la ruidosidad bajo ciertas suposiciones, y por supuesto, en función del contenido de frecuencias del ruido a evaluar. Podemos apreciar, por lo tanto, que no hay disponible en la actualidad ninguna escala que sea capaz de dar cuenta exitosamente de la molestia que ocasionará un ruido a través de mediciones objetivas, simplemente porque la molestia es una reacción muy personal y dependiente del contexto. ¿Por qué, entonces, ha sobrevivido y se ha vuelto tan popular y difundida la escala de ponderación A? Es una buena pregunta. La razón principal es que diversos estudios han mostrado una buena correlación entre el nivel sonoro A y el daño auditivo, así como con la interferencia a la palabra. Sin otra información disponible, el nivel sonoro con ponderación A es la mejor medida única disponible para evaluar y justipreciar problemas de ruido y para tomar decisiones en consecuencia. También exhibe una buena correlación, según han revelado diversos estudios, con la disposición de las personas afectadas por contaminación acústica a protestar en distintos niveles. Es interesante observar que a pesar de que la escala de decibeles A fue originalmente concebida para medir sonidos de bajo nivel, ha demostrado ser más adecuada para medir daño auditivo, resultado de la exposición a ruidos de nivel elevado. Ignoro cómo se descubrió esta relación, pero probablemente se pueda atribuir a la carencia de otros instrumentos de medición, a la suerte accidental, o al uso consciente de todos los tipos de instrumentos disponibles para superar las circunstanciales fronteras del conocimiento. Con respecto a su utilización en cuestiones legales, por ejemplo en la mayoría de las ordenanzas y leyes sobre ruido, es porque proporciona una medida objetiva del sonido de alguna manera relacionada con efectos deletéreos para la salud y la tranquilidad, así como la interferencia con diversas actividades. No depende en el juicio subjetivo de la policía ni del agresor ni del agredido acústicamente. Cualquiera en posesión del instrumental adecuado puede medirlo y decir si excede o no un dado límite de aceptabilidad legal o reglamentario. Esto es importante, aún cuando no sea la panacea. Probablemente en el futuro irán surgiendo mediciones más perfeccionadas y ajustadas a diferentes situaciones. La tabla de decibeles (dB) a continuación compara algunos sonidos comunes y muestra cómo se clasifican desde el punto de vista del daño potencial para la audición. El ruido comienza a dañar la audición a niveles de alrededor de 70 dBA. Para el oído, un incremento de 10 dB implica duplicar la sonoridad. Física II
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Niveles Sonoros y Respuesta Humana Nivel de sonora [dB]
Sonidos característicos
Zona de lanzamiento (sin protección auditiva) Operación en Sirena antiaérea
de
pista
cohetes de
jets
Trueno (60
Martillo Concierto de Rock
neumático
Camión Petardos
recolector
m)
Camión pesado Tránsito urbano
(15
m)
Reloj Despertador Secador de cabello
(0,5
m)
Restaurante Tránsito por Oficina de negocios Aire Conversación normal
Física II
Efecto
180
Pérdida auditiva irreversible
140
Dolorosamente fuerte
130
Despegue de jets Bocina de auto (1 m)
Tránsito (30 m)
presión
de
120
Maximo esfuerzo vocal
110
Extremadamente fuerte
100
Muy fuerte
90
Muy molesto Daño auditivo (8 Hrs)
80
Molesto
ruidoso autopista 70 acondicionado
vehículos
livianos
Difícil uso del teléfono
60
Intrusivo
50
Silencio
73
Líving Dormitorio Oficina tranquila
40
Biblioteca Susurro a 5 m
30
Estudio de radiodifusión
20
Muy silencioso
10
Apenas audible
0
Umbral auditivo
3.5 Ondas Planas y Esféricas
Onda Plana
El frente El frente de onda de una onda plana viajando en el espacio.
La parte La parte real de una onda plana viajando hacia arriba. En la física la física de propagación de propagación de ondas (especialmente ondas (especialmente ondas electromagnéticas), electromagnéticas), una onda plana o también llamada onda monodimensional, es una onda de frecuencia de frecuencia constante cuyos frentes de onda (superficies con fase constante) son planos paralelos de amplitud contante normales al vector velocidad velocidad de fase. Es fase. Es decir, son aquellas ondas que se propagan en una sola dirección a lo largo del espacio, como por ejemplo las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de ondas son planos y paralelos.
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Por extensión, el término es también utilizado para describir ondas que son aproximadamente planas en una región localizada del espacio. Por ejemplo, una fuente de ondas electromagnéticas como una antena produce antena produce un campo que es aproximadamente plano en una u na región de campo lejano. Es decir que, a una distancia muy alejada de la fuente, las ondas emitidas son aproximadamente planas y pueden considerarse como tal. Expresión Matemática de la Onda Plana Matemáticamente, una onda plana es una solución de la ecuación la ecuación de onda de la siguiente forma:
dónde i es la unidad la unidad imaginaria, k es es el vector de onda, ω es la frecuencia angular y a es la amplitud compleja. La compleja. La solución física es usualmente encontrada tomando la parte real de la expresión. Esta es la solución para una ecuación de onda escalar en un medio homogéneo. Para ecuaciones de onda vectoriales, vectoriales, como las que describen a la radiación electromagnética o las ondas en un medio elástico, la solución para un medio homogéneo es similar: multiplicado por un vector constante a. (Por ejemplo, en en electromagnetismo a es típicamente el vector para el campo eléctrico, campo magnético, o magnético, o el potencial el potencial vectorial). vectorial). Una onda transversal es aquella en que el vector el vector amplitud es ortogonal es ortogonal a k (por (por ejemplo, para ondas para ondas electromagnéticas en un medio isotrópico) medio isotrópico),, mientras que una onda longitudinal es aquella en que el vector amplitud es paralelo a k (por (por ejemplo en ondas acústicas propagándose en un gas o fluido). f luido). En esta ecuación, la función ω(k ) es la relación de dispersión del medio, con el radio ω/|k | dando la k dando magnitud de la velocidad de fase y d ω/ ω/d k dando la velocidad la velocidad de grupo. Para grupo. Para el electromagnetismo en
un medio isotrópico con índice con índice de refracción n, la velocidad de fase es c/n (la cual iguala a la velocidad la velocidad de grupo solamente si el índice no depende de la frecuencia).
Onda Esférica En física, física, las ondas esféricas son ondas ondas tridimensionales que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. Se llaman ondas esféricas porque sus frentes sus frentes de ondas son esferas son esferas concéntricas, cuyo centro coincide con la posición de la fuente de la perturbación en todas las direcciones. Las ondas Las ondas sonoras es una onda esférica tridimensional cuando se propaga a través del del aire en reposo. También la luz la luz se propaga en forma de ondas esféricas a través del aire, el vacío o el agua.
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Si tomamos un fenómeno ondulatorio que se propaga en un medio un medio isótropo la ecuación de ondas, dada la simetría simetría esférica del problema, la variación el amplitud de campo se puede escribir en coordenadas esféricas simplemente como:
Donde r es es la distancia al centro emisor de la onda, ν es la frecuencia y longitud de onda λ y c = ν·λ es la velocidad de propagación de la onda. La solución de la ecuación diferencial anterior, a grandes distancias de la fuente emisora se puede escribir como:
Donde son dos constantes de integración. Puede verse que la intensidad asociada al flujo de energía a través de un superficie perpendicular a la dirección de propagación viene tiene una variación según la ley la ley de la inversa del cuadrado:
3.6 El Efecto Doppler
Efecto Doppler, llamado así por Christian Christian Andreas Doppler, consiste Doppler, consiste en la variación de la longitud la longitud de onda de cualquier tipo de onda de onda emitida o recibida por un objeto en movimiento. Doppler propuso este efecto en 1842 en 1842 en una monografía titulada Über das farbige Licht der Doppelsterne und einige andere Gestirne des Himmels ("Sobre el color de la luz en estrellas binarias y otros astros"). En el programa de televisión "BRAINIAC" de España, han realizado un curioso experimento utilizando un tren a vapor para demostrar como se produce el Efecto Doppler: EFECTO Doppler: EFECTO DOPPLER BRAINIAC Su hipótesis fue investigada en 1845 en 1845 para para el caso de ondas sonoras so noras por el científico holandés Christoph holandés Christoph Hendrik Diederik Buys Ballot, Ballot, confirmando que el tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja. Hippolyte Fizeau descubrió independientemente el mismo fenómeno en el caso de ondas electromagnéticas en en 1848. En Francia este efecto se conoce como "Efecto Doppler-Fizeau".
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Un micrófono inmóvil registra las sirenas de los policías en movimiento en diversos tonos dependiendo de su dirección relativa. En el caso del espectro visible de la radiación electromagnética, si el objeto se aleja, su luz se desplaza a longitudes de onda más largas, desplazándose hacia el rojo. Si el objeto se acerca, su luz presenta una longitud de onda más corta, desplazándose hacia el azul. Esta desviación hacia el rojo o el azul es muy leve incluso para velocidades elevadas, como las velocidades relativas entre estrellas o entre galaxias, y el ojo humano no puede captarlo, solamente medirlo indirectamente utilizando instrumentos de precisión como espectrómetros. Si el objeto emisor se moviera a fracciones significativas de la velocidad de la luz, entonces sí seria apreciable de forma directa la variación de longitud de onda. Sin embargo hay ejemplos cotidianos de efecto Doppler en los que la velocidad a la que se mueve el objeto que emite las ondas es comparable a la velocidad de propagación de esas ondas. La velocidad de una ambulancia (50 km/h) es insignificante respecto a la velocidad del sonido al nivel del mar (unos 1.235 km/h), por eso se aprecia claramente el cambio del sonido de la sirena desde un tono más agudo a uno más grave, justo en el momento en que el vehículo pasa al lado del observador. Algebra del efecto doppler:
Imaginemos que un observador O se mueve hacia una fuente S que se encuentra en reposo. El medio es aire y se encuentra en reposo. El observador O comienza a desplazarse hacia la fuente con una velocidad vo. La fuente de sonido emite un sonido de velocidad v, frecuencia f y longitud de onda λ . Por lo tanto, la velocidad de las ondas respecto del observador no será la v del aire, sino la siguiente: . Sin embargo, no debemos olvidar que como el medio no cambia, la longitud de onda será la misma, por lo tanto si:
Pero como mencionamos en la primera explicación de este efecto, el observador al acercarse a la fuente oirá un sonido más agudo, esto implica que su frecuencia es mayor. A esta frecuencia mayor captada por el observador se la denomina frecuencia aparente y la simbolizaremos con f'. Física II
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El observador escuchará un sonido de mayor frecuencia debido a que Analicemos el caso contrario: Cuando el observador se aleje de la fuente, la velocidad v' será v' = v − vo y de manera análoga podemos deducir que . En este caso la frecuencia aparente percibida por el observador será menor que la frecuencia real emitida por la fuente, lo que genera que el observador perciba un sonido de menor altura o más grave. De estas dos situaciones concluimos que cuando un observador se mueve con respecto a una fuente en reposo, la frecuencia aparente percibida por el observador es:
Ahora consideraremos el caso donde el observador se encuentra en reposo y la fuente se mueve. Cuando la fuente se desplace hacia el observador, los frentes de onda estarán más cerca uno del otro. En consecuencia, el observador percibe sonidos con una menor longitud de onda. Esta diferencia de longitud de onda puede expresarse como:
Por tanto, la longitud de onda percibida será:
Como
podemos deducir que:
Haciendo un razonamiento análogo para el caso contrario (fuente alajándose), podemos concluir que la frecuencia percibida por un observador en reposo con una fuente en movimiento será:
Cuando la fuente se acerque al observador se pondrá un (-) en el denominador, y cuando la fuente se aleje se lo reemplazará por un (+). Física II
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Al terminar de leer lo anteriormente expuesto surge la siguiente pregunta: ¿Qué pasará si la fuente y el observador se mueven al mismo tiempo?. En este caso particular se aplica la siguiente fórmula, que no es más que una combinación de las dos:
Los signos y deben ser respetados de la siguiente manera. Si en el numerador se suma, en el denominador debe restarse y viceversa. Ejemplo:
Un observador se mueve con una velocidad de 42 m/s hacia un trompetista en reposo emitiendo la nota La a 440 Hz. ¿Qué frecuencia percibirá el observador? (Dato: ). Resolución: Si el observador se acerca hacia la fuente, esto implica que la velocidad con que percibirá cada frente de onda será mayor, por lo tanto la frecuencia aparente será mayor a la real. Para que esto ocurra debemos aplicar el signo (+) en la ecuación.
En este caso particularmente, el trompetista toca la nota La a 440 Hz, sin embargo el observador percibe una nota que vibra a una frecuencia de 493,88 Hz, que es la frecuencia perteneciente a la nota Si. Musicalmente hablando, el observador percibe el sonido un tono más arriba del que se emite realmente. La variable no remite el valor exacto, sino que la aproximación al efecto doppler original, como lo vimos más arriba. el efecto doppler es una onda sonora.
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3.7 Ondas de choque
En la mecánica de fluidos, una parte de la mecánica, una onda de choque es una onda de presión fuerte que a través de explosiones u otros fenómenos produce diferencias de presión extremas. La onda de presión camina como onda de frente por el medio.
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3.7 Preguntas
1) ¿Por qué las ondas sonoras se caracterizan por ser longitudinales? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2) Si un reloj de alarma se pone en un buen vacio y después se activa no se escucha ningún sonido. Explique ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 3) Un radar de sonido es un dispositivo que determina la posición de un objeto que transmite un pulso de sonido ultrasónico al exterior y mide cuanto tiempo le toma a la onda sonora regresar después de reflejarse desde el objeto. Normalmente estos dispositivos no pueden en realidad detectar un objeto que este a menos de medio metro del sensor. ¿a que se debió esto? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 4) Si la distancia desde la fuente puntual se triplica, ¿en que factor disminuye la intensidad? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 5) Explique como se utiliza el efecto Doppler con microondas para determinar la rapidez de un automóvil ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 6) De los siguientes sonidos ¿Cuál es el que es mas probablemente tiene un nivel sonoro de 60dB: un concierto de rock, voltear una pagina de este texto, una conversación normal, los aplausos del publico en un juego de futbol? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Física II
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7) Calcule el nivel de decibeles de cada uno de los sonidos de la pregunta 6 ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 8) Un sistema de estrellas binarias se compone de dos estrellas que giran alrededor de su centro de masa común. Si observamos que la luz que nos llega de una de estas estrellas cuando efectua una revolución completa, ¿Qué es lo que el efecto Doppler predice que ocurrirá a esta luz? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 9) ¿Por qué la intensidad de un eco es menor que la del sonido original? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 10) ¿Por qué después de una tormenta de nieve todo queda silencioso? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 11) Una amiga sentada en su auto a lo lejos en un camino le saluda y ambos tocan la bocina al mismo tiempo, ¿Qué tan lejos debe de estar su auto para que usted pueda medir la rapidez del sonido con dos cifras significativas al medir el tiempo que le toma al sonido llegar a usted? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
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3.8 Problemas
12) Suponga que usted escucha un trueno 16.2 s después de ver el relámpago asociado con el. La rapidez de las ondas sonoras en el aire es de 343 m/s y la rapidez de la luz en el aire es de 3.00x 108 m/s. ¿a que distancia se encuentra usted del rayo?
13) Calcule la rapidez del sonido en mercurio, el cual tiene un modulo volumétrico de aproximadamente 2.80 x 1010 N/m2 y una densidad de 13600 kg/ m3
14) Un florero cae por un balcón que esta a 20.0m de altura de la acera y se aproxima a la cabeza de un hombre de 1.75m de altura que se encuentra parado abajo. ¿a que altura de la banqueta puede estar el florero después de la cual seria demasiado tarde para que el hombre escuche a tiempo un grito de aviso? Suponga que el hombre necesita 0.300s para reaccionar el aviso
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15) Usted observa que esta construyendo un muelle en una costa distante de un brazo de mar cuando ocurre una explosión. Escucha el sonido en el agua 4.50 s de que este lo alcance a través del aire. ¿Qué tan lejos esta el brazo de mar?
16) Un avión vuela horizontalmente a una rapidez constante durante la búsqueda de un bote a la deriva. Cuando el avión esta exactamente sobre el bote, la tripulación de este hace sonar una bocina. En el momento en el que el detector de sonidos del avión percibe la señal de auxilio de la bocina, el avión a recorrido una distancia igual a la mitad de la altura sobre el océano. Si el sonido tarda 2.00s en llegar al avión , determine: a. la rapidez de este; b. su altura, considere la rapidez del sonido igual a 343 m/s
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En estos ejercicios utilice estos datos a menos de que especifique otra cosa: la densidad de equilibrio del aire es P=1.20 kg/m3; la rapidez del sonido en el aire es v= 343 m/s; las variaciones de la presión Δ p se miden en relación con la presión atmosférica 1.03x105 Pa. 17) Una onda sonora en el aire tiene una amplitud de presión igual a 4.00 x10-3 Pa. Calcule la amplitud de desplazamiento de la onda a una frecuencia de 10.0 kHz.
18) Escriba una expresión que describa las variaciones de la presión como una función de posición y del tiempo para una onda sonora senoidal en el aire si λ =0.100m y ΔP máx. =0.200Pa
19) Una aspiradora tiene un nivel sonoro medido de 70.0 dB a. ¿Cuál es la intensidad de este sonido en watts por metro cuadrado?, b. ¿Cuál es la amplitud de la presión del sonido?
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20) La intensidad de una onda sonora a una distancia fija de un altavoz que vibra a 1.00 KHZ es de 0.600W/m2 a. Determine la intensidad si la frecuencia aumenta a 2.50 KHz mientras se mantiene una amplitud de desplazamiento constante b. Calcule la intensidad si la frecuencia se reduce a 0.500 KHz y la amplitud de desplazamiento se duplica
21. En el auditorio cerrado se ofrece un espectáculo sobre hielo para familias. Los patinadores realizan un espectáculo musical con un nivel de sonido de 80.0 dB. Esto es demasiado fuerte para su bebe, quien por consiguiente grita a un nivel de 75.0 dB. a. ¿Cuál es la intensidad de sonido total que la rodea? b. ¿Cuál es el nivel de sonido combinado?
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22. Un experimento requiere una intensidad sonora de 1.20 W/m2 a una distancia de 4.00m de un altavoz. ¿Qué salida de potencia se requiere?, suponga que los altavoces radian igual sonido en todas las direcciones
23. Un taladro operado continuamente en una construcción se comporta como una fuente puntual de ondas sonoras esféricas. Un supervisor de construcción se para 50.0m a rumbo al norte de esta fuente sonora y comienza a caminar rumbo al oeste. ¿Qué distancia se tiene que caminar con el fin de que la amplitud de la función de onda decaiga en un factor de 2.00?
24. El nivel sonoro a una distancia de 3.00m de una fuente es de 120dB, ¿ a que distancia el nivel sonoro será a.100 dB y b. 10.0 dB?
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25. Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez constante de 40.0 m/s. el silbato del tren suena a una frecuencia característica de 320Hz. a. ¿Qué cambio en la frecuencia detecta una plataforma conforme el tren pasa? b. ¿Qué longitud de onda detecta una persona conforme el tren se aproxima?
26. A pesar de estar parado en un crucero usted escucha una frecuencia de 560Hz proveniente de la sirena de un carro de policía que se acerca. Después de que este vehículo pasa la frecuencia observada de la sirena es de 480 Hz. Determine la rapidez del carro de acuerdo con estas observaciones.
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27. Un tren se mueve paralelo a una autopista a una rapidez constante de 20.0m/s. un auto viaja en la misma dirección que la del tren a una rapidez de 40 m/s. la bocina del auto suena a una frecuencia de 320 Hz. a. Cuando el carro esta detrás del tren, ¿Qué frecuencia del silbato del tren percibe el ocupante del auto? b. Cuando el carro esta delante del tren, ¿Qué frecuencia de la bocina del carro percibe el pasajero del tren justo después que el carro rebasa?
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CAPITULO IV SUPERPOSICION Y ONDAS ESTACIONARIAS
ACERTIJO:
Una bocina de un sistema estero opera aun si los alambres que la conectan con el amplificador están invertidos es decir, en vez de – y – en vez de +(o rojo por negro y negro por rojo). Sin embargo el manual dice que para un mejor desempeño usted debe de ser cuidadoso para conectar las dos bocinas apropiadamente, de modo que estén en fase. ¿Por que esta es una consideración importante para el sonido que se escucha?
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Superposición e Interferencia de Ondas
Es el efecto que se produce cuando dos o más ondas se solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (intensidad o tamaño) de la onda resultante depende de las frecuencias, fases relativas (posiciones relativas de crestas y valles) y amplitudes de las ondas iníciales. Por ejemplo, la interferencia constructiva se produce en los puntos en que dos ondas de la misma frecuencia que se solapan o entrecruzan están en fase; es decir, cuando las crestas y los valles de ambas ondas coinciden. En ese caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forman una onda cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes individuales de las ondas originales. La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas una respecto a la otra; es decir, cuando la cresta de una onda coincide con el valle de otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente. Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no están exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser más complejo. La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que pueden interferir entre sí. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones que se ven a veces en las burbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz de distintas longitudes de onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de la burbuja interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie exterior. En algunas de las longitudes de onda, la interferencia es constructiva, y en otras destructivas. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la luz reflejada por la burbuja de jabón aparece coloreada. El fenómeno de la interferencia entre ondas de luz visible se utiliza en holografía e interferometría. La interferencia puede producirse con toda clase de ondas, no sólo ondas de luz. Las ondas de radio interfieren entre sí cuando rebotan en los edificios de las ciudades, con lo que la señal se distorsiona. Cuando se construye una sala de conciertos hay que tener en cuenta la interferencia entre ondas de sonido, para que una interferencia destructiva no haga que en algunas zonas de la sala no puedan oírse los sonidos emitidos desde el escenario. Arrojando objetos al agua estancada se puede observar la interferencia de ondas de agua, que es constructiva en algunos puntos y destructiva en otros.
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Interferencia de fuentes puntuales
Este diagrama de interferencias se formó moviendo dos varillas rítmicamente arriba y abajo en una bandeja de agua. Se pueden observar efectos similares al meter y sacar del agua dos dedos u observando a dos patos nadando en un estanque cerca uno de otro. Las ondas procedentes de una de las fuentes puntuales (la varilla, el dedo o el pato) interfieren con las que proceden de la otra fuente. Si dos crestas llegan juntas a un punto, se superponen para formar una cresta muy alta; si dos valles llegan juntos, se superponen para formar un valle muy profundo (interferencia constructiva). Los anillos brillantes y oscuros son zonas de interferencia constructiva. Si la cresta de una fuente llega a un punto a la vez que el valle de la otra, se anulan mutuamente (interferencia destructiva). Las líneas oscuras radiales son zonas de interferencia destructiva.
4.1Interferencia de Ondas
Cuando dos pulsos que avanzan por una cuerda se encuentran, sus amplitudes se suman formando un pulso resultante. Si los pulsos son idénticos pero avanzan por lados opuestos de la cuerda, la suma de las amplitudes es cero y la cuerda aparecerá plana durante un momento ( A). Esto se conoce como interferencia destructiva. Cuando dos pulsos idénticos se desplazan por el mismo lado, la suma de amplitudes es el doble de la de un único pulso ( B). Esto se llama interferencia constructiva.
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Interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas
Consideremos dos fuentes puntuales S1 y S2 que oscilan en fase con la misma frecuencia angular w , y que emiten ondas armónicas.
Cuando emite solamente S1 el punto P describe el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) de amplitud A1 y frecuencia angular w . y1=A1·sen(kr 1-w t ) Cuando emite solamente S2 el punto P describe el M.A.S. de amplitud A2 y frecuencia angular w . y2=A2·sen(kr 2-w t )
Cuando emiten simultáneamente S1 y S2. El punto P describe un M.A.S. que es la composición de dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia. Los casos más importantes son aquellos en los que los M.A.S. están en fase y en oposición de fase.
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En fase o interferencia constructiva.
Dos M.A.S están en fase cuando la diferencia de fase kr 2-kr 1 es un múltiplo entero de 2p .Teniendo en cuenta que k=2p /l kr 2-kr 1 =2n p
r 2-r 1 =nλ
La amplitud resultante es la suma de amplitudes A=A1+A2
En oposición de fase o interferencia destructiva.
Dos M.A.S están en oposición de fase cuando la diferencia de fase kr 2-kr 1 es un múltiplo entero de p .Teniendo en cuenta que k=2p /l kr 2-kr 1 =(2n+1)p
r 2-r 1 =(n+½)λ
La amplitud resultante es la diferencia de amplitudes. Si ambas son iguales, el punto P no se mueve.
Amplitud resultante
En el caso general, es necesario sumar vectorialmente las amplitudes para obtener la resultante.
La amplitud es máxima A=A1+A2 cuando kr 2-kr 1=2nπ La amplitud es mínima A=A1-A2 cuando kr 2-kr 1=(2n+1)π Si la separación d de las fuentes S1 y S 2 es pequeña comparada con la distancia desde las fuentes hasta la pantalla, podemos despreciar la pequeña diferencia entre r 1 y r 2 y suponer que las amplitudes A1 y A2 son prácticamente iguales. Podemos escribir Física II
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Máximos y mínimos de intensidad
En la figura, vemos la amplitud debida a la interferencia de las ondas emitidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d , tal como se vería en una cubeta de ondas cuando nos situamos cerca de las fuentes.
En la figura, vemos la intensidad debida a la interferencia de las ondas producidas por dos fuentes sincrónicas separadas una distancia d , codificada en escala de grises. El color negro indica mínimo de intensidad y el color blanco máximo de intensidad.
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Las curvas que describen los máximos (en color azul) y mínimos (en color rojo) de intensidad es el lugar geométrico de los puntos ( x, y) cuya ecuación = f ( x) vamos a determinar
El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de caminos es Δ es r 2-r 1=Δ.
r 2 es la distancia de la fuente S2 al punto P y r 1 es la distancia de la fuente S1 al punto P.
Δ=2nπ,
si
la
interferencia
es
constructiva (máximo de intensidad) Δ=(2n+1)π/2, si la interferencia es destructiva (mínimo de intensidad)
Si las coordenadas del punto P son ( x, y), y (0, ±d /2) son las posiciones de las fuentes, la ecuación de la curva r 2-r 1=Δ. es
Elevando al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz cuadrada
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Elevando al cuadrado ambos miembros otra vez, obtenemos
que es la ecuación de una hipérbola Si la pantalla se encuentra a una distancia x de las fuentes. Las posiciones de los máximos y los mínimos se calculan despejando y de la ecuación de la hipérbola
El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ= λ/2, El segundo máximo, se produce cuando Δ= λ El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3 λ/2
y así, sucesivamente.
Como podemos apreciar en la figura, la hipérbola se aproxima a una recta, su asíntota, cuando nos alejamos una distancia no demasiado grande de las fuentes.
Despejamos el cociente y/x en la ecuación de la hipérbola
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La pendiente de la asíntota se calcula en el límite cuando x→∞
Empleando la relación trigonométrica
Con esta aproximación, la diferencia de caminos r 2-r 1=Δ≈d ·senθ . Esta última relación, nos permite determinar las direcciones θ para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva. El primer máximo, se produce cuando Δ=0, para el ángulo θ =0 El primer mínimo, se produce cuando Δ= λ/2, para el ángulo d ·senθ = λ/2 El segundo máximo, se produce para Δ= λ, para el ángulo d ·senθ = λ El segundo mínimo, se produce para Δ=3 λ/2, para el ángulo d ·senθ = 3 λ/2
Si la pantalla está a una distancia x de las fuentes, la posición y de los máximos y mínimos de intensidad se calcula mediante al relación y= x·tanθ
En la mayor parte de los experimentos, incluso en la cubeta de ondas es difícil apreciar la parte curva de las hipérbolas, lo podemos comprobar al final de la página en la simulación de la cubeta de ondas. En un experimento de óptica, la distancia entre las fuentes d =2·10-4 m, la longitud de onda λ=6·10-7 m, y la distancia a la pantalla x=2 m. Ejemplo
La separación entre las fuentes es d =100 La longitud de onda es λ=50
1. La posición de la pantalla se encuentra en x=100,
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Determinar las posiciones y de los máximos y mínimos de intensidad a lo largo de la pantalla. Utilizamos la fórmula
El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ= λ/2=25, y=28.7 El segundo máximo, se produce cuando Δ= λ=50, y=62.9 El segundo mínimo, se produce cuando Δ=3 λ/2=75, y=119.4
2. Se aleja la pantalla de las fuentes en la posición x=200 El primer máximo, se produce cuando Δ=0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ= λ/2=25, y=53.1 El segundo máximo, se produce cuando Δ= λ=50, y=118.1
Si suponemos que la hipérbola en esta posición se aproxima a una recta, su asíntota Calculamos las direcciones mediante la fórmula d ·senθ =Δ y las posiciones mediante la expresión, y= x·tanθ El primer máximo, se produce cuando Δ=0, θ =0, y=0 El primer mínimo, se produce cuando Δ= λ/2=25, θ =14.5º, y=51.6 El segundo máximo, se produce cuando Δ= λ=50, θ =30º, y=115.5 Como vemos, aunque la pantalla sigue estando cerca de las fuentes la aproximación d ·senθ =Δ, da buenos resultados.
Intensidad
Las condiciones de interferencia son Interferencia constructiva, r 2-r 1=nl . Interferencia destructiva, r 2-r 1=(n+½)l Las direcciones q para las cuales la interferencia es constructiva o destructiva se calculan Interferencia constructiva, d·senq ≈nl . Interferencia es destructiva, d·senq ≈(n+½)l
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Las posiciones y sobre la pantalla situada a una distancia x de las fuentes, que registran interferencia constructiva y destructiva se calculan mediante y=x·tgq . Si el ángulo q es pequeño podemos hacer la aproximación, senq ≈tgq =y/x La intensidad de un movimiento ondulatorio es proporcional al cuadrado de la amplitud,
I es la intensidad resultante en el punto P cuando las dos fuentes emiten simultáneamente, e I 0 es la intensidad en el punto P debido a una sola de las fuentes.
En la interferencia constructiva, d·senq =nl y la intensidad I=2 I 0. En la interferencia destructiva, d·senq =(n+½)l y la intensidad I=0. En la figura, se muestra la gráfica de la intensidad, el máximo es 4 I 0. y el mínimo 0.
4.2 Ondas Estacionarias
Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentido opuesto a través de un medio. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Física II
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Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana, determinados, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble, triple, ..). Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje. Onda Completa
Se considera que una onda es completa cuando ha finalizado su recorrido, lo que podemos considerar como dos movimientos;
Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle. Viceversa. Ondas de ransmisión en líneas de ondas de radio: En transmisión de ondas de radio, las ondas estacionarias en las líneas de transmisión son sumamente peligrosas para la integridad física de los componentes. Un aparato, el ROE-metro, mide el porcentaje de la onda incidente que es reflejada. En el caso ideal en que se estableciera una onda estacionaria en la línea de transmisión, el transmisor terminaría por destruirse. Una ROE (Relación de Onda Estacionaria) de 1,5 equivale a una reflexión de 4% de la onda incidente, y se admite que es el máximo que un transmisor de 100 Watts a transistores puede soportar sin sufrir daños. En cambio, los transmisores a válvulas son menos sensibles a las ondas estacionarias. Ondas sonoras estacionarias: Es un fenómeno relacionado con la reflexión del sonido. Dependiendo como coincidan las fases de la onda incidente y de la reflejada, se producirá una modificaciones del sonido (aumenta la amplitud o disminuye), por lo que el sonido resultante puede resultar desagradable. Cuando la longitud de la onda estacionaria es igual a una de las dimensiones de una sala (largo, alto o ancho), se dice que la sala está en resonancia. El efecto es aún más desagradable si cabe. Hay puntos donde no llega ningún sonido (interferencia destructiva) y otros donde la amplitud se dobla (interferencia constructiva) . Gráficamente, si viésemos la onda veríamos que la sinusoide ha desaparecido y la onda ha adquirido forma de dientes de sierra. Las ondas estacionarias también se llaman eigentonos o modos de la sala.
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4.3 Energía mecánica en ondas estacionarias armónicas unidimensionales
Las densidades de energía cinética y de energía potencial de un elemento de un medio material en el cual se presentan ondas se calculan mediante las expresiones:
es de anotar que la onda estacionaria no satisface la ecuación de onda de orden 1, tanto no cumple que
, por
como en el caso de ondas viajeras.
Si se consideran ondas estacionarias armónicas como por ejemplo las que se presentan en una cuerdas con sus extremos fijos, la elongación es igual a,
por tanto
como,
y
, se concluye que,
, por lo tanto,
Potencia en una onda estacionaria armónica (la cuerda): La potencia sería:
Física II
102
Puesto que cero,
, la potencia promedio en una onda estacionaria en un período p es
Tal y como era de esperarse, ya que la ondas viajeras que la componen transportan igual energía pero en sentidos opuestos. 4.4 ondas estacionarias en una cuerda fija, en ambos extremos
Energía cinética: La densidad de energía cinética en un medio material con nodos en sus extremos en el cual se presenta una onda estacionaria es, Para el caso de una cuerda se tiene,
siendo
el área de su sección transversal y
su densidad lineal.
Energía potencial: La densidad de energía potencial en un medio material con nodos en sus extremos en el cual se presenta una onda estacionaria es,
como,
y
, se concluye que,
, por lo tanto,
en el caso de la cuerda,
Física II
103
Se debe observar que si se toma un elemento de cuerda dx, la energía cinética de la partícula que lo representa, (es decir, su centro de masa) no es igual a la energía potencial como si lo es en el caso de una onda viajera. Para los elementos cuyos centros de masa están ubicados en un nodo la energía cinética es nula siendo su energía toda potencial. Sucede lo opuesto para los elementos cuyos centros de masa están ubicados en los vientres.
Energía contenida en toda la cuerda: La energía cinética contenida en toda la cuerda de longitud es,
con
como,
, (n=1,2,3....). Por tanto,
y para la cuerda con extremos fijos las frecuencias naturales cumplen que
,
Realizando cálculos análogos al de la energía cinética, se obtiene para la energía potencial contenida en una cuerda con extremos fijos,
Física II
104
La energía mecánica contenida en toda la cuerda es,
Es decir la energía mecánica contenida en la cuerda permanece constante (obviamente en ausencia de fuerzas disipativas). Aquí, n son los números naturales, es la longitud de la cuerda, An la amplitud de las ondas viajeras que componen la onda estacionaria, la densidad de la cuerda. Es decir, cada armónico posee su energía propia. Si se disminuye el tamaño del medio material (menor ) mayor serán las separaciones entre las energías propias de los armónicos. Algo interesante es que cada onda estacionaria (cada armónico) tiene su propia energía mecánica, la cual entre otros, es proporcional al cuadrado del número correspondiente al armónico (cuadrado de los números naturales): algo así como una cuantización de la energía. Cuando una cuerda oscila con una superposición de armónicos, su energía mecánica será.
4.5 Resonancia
La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse.
Física II
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Una forma de poner de manifiesto este fenómeno consiste en tomar dos diapasones capaces de emitir un sonido de la misma frecuencia y colocados próximos el uno del otro, cuando hacemos vibrar uno, el otro emite, de manera espontánea, el mismo sonido, debido a que las ondas sonoras generadas por el primero presionan a través del aire al segundo. La frecuencia natural de resonancia de un sólido rígido se determina según las leyes de la dinámica de los pequeños movimientos. Según ésta, dado un sólido rígido, es posible determinar la posición de equilibrio estable de éste, aplicando para ello el criterio de Sylvester a la función potencial (que comprende los potenciales gravitatorios, elásticos,...). Una vez determinada la posición de equilibrio estable, a la matriz del hessiano empleado para ello en el criterio de Sylvester se le llamará matriz de rigidez[K], y, si se define la matriz de masas [M] como aquella que tiene por elementos aii el doble de los coeficientes de los cuadrados de las coordenadas generalizadas que aparecen en la energía cinética del sistema en el equilibrio, y aji=aij como los coeficientes de los elementos de la energía cinética que comparten dos coordenadas generalizadas, entonces el determinante de [K]-w^2*[M] igualado a cero nos permite despejar las frecuencias naturales del sistema.
4.6 Ondas Estacionarias en Columnas de aire
Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido. Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.
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El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota. El órgano de la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1979 tiene 10500 tubos controlados por la acción mecánica de 5 teclados y un pedalero. El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en un chorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aire interacciona con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene.
Tubos abiertos
Si un tubo es abierto, el aire vibra con su máxima amplitud en los extremos. En la figura, se representan los tres primeros modos de vibración.
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Como la distancia entre dos nodos o entre dos vientres es media longitud de onda. Si la longitud del tubo es L, tenemos que L=l /2 , L=l , L=3l / 2, ... en general L=nl / 2, n=1, 2, 3... es un número entero
Considerando que l =v s /f (velocidad del sonido dividido la frecuencia) Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula
Tubos cerrados
Si el tubo es cerrado se origina un vientre en el extremo por donde penetra el aire y un nodo en el extremo cerrado. Como la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es l / 4. La longitud L del tubo es en las figuras representadas es L=l / 4 , L=3l / 4 , L=5l / 4... En general L=(2n+1) l / 4; con n=0, 1, 2, 3, ... Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula Física II
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4.7 Pulsaciones e Interferencias en el tiempo
Se considera ahora otro tipo de interferencia, el que resulta de la superposición de dos ondas que viajan en la misma dirección pero de frecuencias ligeramente diferentes. Si desde un punto determinado se observan las dos ondas se encuentra que están periódicamente en fase y fuera de fase, es decir, hay una alternancia en el tiempo entre interferencia constructiva y la destructiva. Las pulsaciones pueden definirse como la variación periódica en intensidad en un punto dado, debido a la superposición de dos ondas que tienen frecuencias ligeramente diferentes. El número de pulsaciones que se dan por segundo, o frecuencia de pulsación, es igual a la diferencia de frecuencia entre las dos ondas que se superponen. Consideremos dos ondas de igual amplitud que viajan por un medio en la misma dirección y sentido, pero de frecuencias ligeramente diferentes, w1 y w2. El desplazamiento que cada onda produciría en un punto se puede representar así y Aplicamos el principio de superposición y obtenemos
ayudándonos de la identidad trigonométrica
y sustituyendo a = w1-k 1x y b = w2-k 2x, y se encuentra
con
y
En la gráfica superior podemos observar dos ondas de igual amplitud que viajan por un mismo medio en la misma dirección y sentido pero con frecuencias diferentes. Física II
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En la gráfica inferior se representa la suma de las ondas. En los puntos donde las ondas están en fase, se observa que la amplitud de la onda resultante (suma de las dos) es el doble que la amplitud de cada onda. En cambio en los puntos en contrafase, la amplitud de la resultante se hace cero. Naturalmente, este resultado es válido cualquiera que sean los valores de w1, w2, k 1, k 2, pero su descripción como una pulsación sólo tiene significado si Dw << w y Dk << k pues entonces el fenómeno puede describirse de una forma más conveniente reescribiendo la expresión anterior en la forma
con
en la que se aprecia una onda armónica "simple" cuya frecuencia y número de onda son los valores medios de los de las ondas que se combinan, pero cuya amplitud está modulada con una frecuencia y número de onda mucho menores, de modo que en cada longitud de onda de la onda moduladora están contenidas muchas longitudes de onda de la onda modulada en amplitud. La velocidad de fase de la onda modulada es
en tanto que la onda moduladora viaja con una velocidad dada por
que recibe el nombre de velocidad de grupo. La oscilación que se produce en un punto cualquiera del medio (p.e. x = cte) recorrido por las ondas vendrá descrita por
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donde hemos prescindido de las constantes de fase kx y (Dk/2)x por ser irrelevantes. Así, la oscilación resultante en cada punto consiste en una oscilación armónica, de frecuencia w = (w1 + w2)/2, cuya amplitud pulsa o fluctúa con una frecuencia
El fenómeno recibe el nombre de pulsaciones o batidos y la frecuencia w p es la frecuencia de las pulsaciones.
Física II
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4.8 Preguntas
1. ¿el fenómeno de interferencia de ondas se aplica solo a ondas senoidales? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2. Cuándo dos ondas interfieren constructiva o destructivamente, ¿hay alguna ganancia o perdida de energía? explique ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 3. ¿Qué es común a todos los puntos (diferente de los nodos) en una cuerda en la que se sostiene una onda estacionaria? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 4. ¿Qué limita la amplitud del movimiento de un sistema vibrante real que es excitado en una de sus frecuencias resonantes? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 5. Explique porque su voz suena mejor cuando canta en la regadera ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 6. Explique como un instrumento musical, como un piano, puede afinarse recurriendo al fenómeno de pulsaciones ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Física II
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___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 7. ¿Por qué el sonido de una cuerda de guitarra vibrando es mas fuerte cuando esta puesta en el instrumento que si se le permitiera vibrar en el aire desconectada del instrumento? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 8. Para mantener los animales lejos de sus automóviles, algunas personas colocan tubos delgados cortos sobre las defensas delanteras. Los tubos producen un chillido de alta frecuencia cuando los autos están en movimiento. ¿Cómo crean este sonido? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 9. Si usted moja sus dedos y los mueve suavemente alrededor del borde de una copa de cristal, se escucha un sonido de alta frecuencia. ¿a que se debe esto?¿ como podría usted producir varias notas musicales con un conjunto de copas de cristal, cada una de las cuales contiene cantidades de agua en diferentes proporciones? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 10. A pesar de mantener la mano razonablemente fija, uno a menudo tira café cuando lleva una taza de un lugar a otro, analice la resonancia como una posible causa de dificultad, e idee un medio para resolver este problema. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Física II
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4.9 Problemas
Sección 4.1 Superposición e Interferencia de ondas senoidales 11. Una onda secuencial se describe por la ecuación Y1 = (0.0800m) sen (2¶ (0.100x -80.0 t) Donde Y1 y x están dados en metros y t en segundos. Escriba una expresión para una onda que tiene la misma frecuencia, longitud y amplitud de onda como Y1, pero que cuando la suma a Y1, da una resultante como amplitud de 8cm.
12. Dos ondas están viajando en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada. Las ondas están a 90.0º fuera de fase. Cada onda tiene una amplitud de 4.00 cm. Encuentre la amplitud de la onda resultante.
13. Dos ondas senoidales idénticas con longitudes de onda de 3.00 m viajan en la misma dirección a una rapidez de 2.00m/s. la segunda onda se origina en el mismo punto que la primera, pero en un tiempo posterior. Determine el mínimo intervalo de tiempo, posible entre los dos momentos de Física II
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inicio de las dos ondas si la amplitud de la onda resultante es la misma que la de las dos ondas iniciales.
14. Un diapasón genera ondas sonoras con frecuencia de 246 Hz. Las ondas viajan en direcciones opuestas a lo largo de un pasillo, se reflejan en las paredes y regresan, el corredor mide 47.0m de largo , y el diapasón se localiza a 14.0m de un extremo. ¿Cuál es la diferencia de la fase entre las ondas reflejadas cuando se encuentran? La rapidez del sonido en el aire es de 343 m/s
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Sección 4.2 ondas estacionarias 15. Dos ondas senoidales que se propongan en direcciones opuestas interfieren para producir una onda estacionaria descrita por la ecuación. Y= (1.50m) sen (0.400x) cos (200t) donde x esta dado en metros y t en segundos. Determine la longitud de onda, la frecuencia y la rapidez de las ondas que interfieren.
16. Dos altavoces son excitados por un oscilador común a 800Hz y en fase uno con respecto al otro a una distancia de 1.25m. localice los puntos a lo largo de la línea que une a los dos altavoces donde se puede esperar un mínimo relativo. (use v = 343 m/s)
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Sección 4.3 Ondas estacionarias en una cuerda fija en ambos extremos 17. Un alambre de 2.0m de largo y una masa de 0.100kg esta fijo en ambos extremos. La tensión en el alambre se mantiene en 20.0N¿Cuáles son las frecuencias de los primeros tres modos de vibración permitidos? Si se observa un nodo en un punto a 0.400m desde un extremo, ¿en que modo y con que frecuencia esta vibrando este?
18. Una onda estacionaria se establece en una cuerda de 120cm de largo fija en ambos extremos. La cuerda vibra en cuatro segmentos cuando se excita a 120 Hz. a. Determine la longitud de onda b. ¿Cuál es la frecuencia fundamental de la cuerda?
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19. Una cuerda de guitarra de 60 cm bajo tensión de 50.0 N tiene una masa por unidad de longitud de 0.100g/cm. ¿ cual es la frecuencia de resonancia mas alta de la cuerda que puede escuchar una persona capaz de oir frecuencias hasta 20000Hz.?
20. Un alambre estirado vibra con su primer modo normal a una frecuencia de 400 Hz, ¿Cuál seria la frecuencia fundamental si el alambre tuviera la mitad de largo, con el doble de diámetro y con una tensión cuatro veces superior?
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Sección 4.6 Resonancia 21. Las cadenas de las que se suspende un columpio para niños son de 2.00 de largo. ¿con que frecuencia deberá un hermano mayor empujar para hacer el columpio tenga amplitud mas grande?
22. Las vibraciones de una onda estacionarias se establecen en una copa de cristal con cuatro nodos y cuatro antinodos igualmente espaciados alrededor de una circunferencia de 20. Cm de su borde. Si se mueven ondas transversales alrededor del vidrio a 900 m/s, ¿con que frecuencia un cantante de opera debe producir un armonico alto para romper el vidrio con una vibración resonante?
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Sección 4.7 ondas estacionarias en columnas de aire 23. Calcule la longitud de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hz si esta. A. cerrado en un extremo y b. abierto en ambos extremos.
24. La frecuencia fundamental de un tubo abierto de órgano corresponde al Do medio central(261.6 Hz en la escala musical cromática) la tercera resonancia de un tubo de órgano cerrado tiene la misma frecuencia. ¿cuales son las longitudes de los dos tubos?
25. Cuando un tubo de metal esta cortado en dos partes la frecuencia de resonancia mas baja en uno de los pedazos es de 256 Hz, y en el otro es de 440Hz. A. ¿Qué frecuencia de resonancia se habría producido por la longitud original del tubo?,b. ¿Qué longitud tenia el tubo original?
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26. El tubo mas largo en un órgano que tiene registro obturador a menudo esta a 4.88m¿Cuál es la frecuencia fundamental( a 0.00º C) si el extremo no excitado del tubo esta a. cerradoy b. abierto? C. ¿Cuáles son las frecuencias a 20.0ºC?
Sección 4.7 Pulsaciones e Interferencias de tiempo 27. En ciertos intervalos el teclado de un piano, mas de una cuerda se afina a la misma nota para proporcionar intensidad adicional. Por ejemplo la nota a 110Hz tienen dos cuerdas que vibran en esta frecuencia. Si una cuerda se afloja desliga de su tensión normal de 600N a 540 N, ¿Qué frecuencia de pulsación se escuchara cuando el macillo golpea las dos cuerdas simultáneamente?
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28. Mientras intenta afinar una nota Do a 523 Hz, una afinadora de pianos escucha dos pulsaciones por segundo entre el oscilador de referencia y la cuerda. a. ¿Cuáles son las posibles frecuencias de la cuerda? b. Cuando ella ajusta ligeramente la cuerda, escucha 3 pulsaciones/s cual es la ahora la frecuencia de la cuerda, c. Ahora en que porcentaje la afinadora cambio la tensión en la cuerda para colocar un tono.
29. Un estudiante sostiene un diapasón que oscila a 256 Hz, camina hacia una pared a rapidez constante de 1.33 m/s. a. ¿Qué frecuencia de pulsación observa entre el diapasón y su eco? b. ¿Qué tan rápido debe de alejarse de la pared caminando para observar una frecuencia de pulsación de 5.00 Hz.
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CAPITULO V TEMPERATURA
ACERTIJO:
Después de que sacudo esta botella de champaña, el corcho salto y el líquido salpico por todas partes. Contrario a la creencia común, agitar una botella de champaña antes de abrirla no incrementa la presión del bióxido de carbono CO2 en su interior. De hecho si usted conoce el truco, podrá abrir una botella de champaña que se ha agitado vigorosamente sin derramar una sola gota. ¿Cuál es el secreto? ¿y por que la presión dentro de la botella no es mayor después que la botella se agita?
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Temperatura
La temperatura es una magnitud referida a las nociones comunes de calor o frío, por lo general un objeto más "caliente" tendrá una temperatura mayor. Físicamente es una magnitud escalar dada por una función creciente del grado de agitación de las partículas de los materiales. A mayor agitación, mayor temperatura. Así, en la escala microscópica, la temperatura se define como el promedio de la energía de los movimientos de una partícula individual por grado de libertad. En el caso de un sólido, los movimientos en cuestión resultan ser las vibraciones de las partículas en sus sitios dentro del sólido. En el caso de un gas ideal monoatómico se trata de los movimientos traslacionales de sus partículas (para los gases multiatómicos los movimientos rotacional y vibracional deben tomarse en cuenta también). Multitud de propiedades fisicoquímicas de los materiales o las sustancias varían en función de la temperatura a la que se encuentren, como por ejemplo su estado (gaseoso, líquido, sólido, plasma...), su volumen, la solubilidad, la presión de vapor o la conductividad eléctrica. Así mismo es uno de los factores que influyen en la velocidad a la que tienen lugar las reacciones químicas. La temperatura se mide con termómetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a una multitud de escalas que dan lugar a las unidades de medición de la temperatura. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura es el kelvin. Sin embargo, fuera del ámbito científico el uso de otras escalas de temperatura es común el uso de la escala Celsius (o centígrada), y, en los países anglosajones, la escala Fahrenheit. También existe la escala Rankine (°R) que establece su punto de referencia en el mismo punto de la escala Kelvin, es la escala utilizada en el Sistema Inglés Absoluto. Una diferencia de temperatura de un kelvin equivale a una diferencia de un grado centígrado La temperatura es una propiedad física que se refiere a las nociones comunes de frío o calor, sin embargo su significado formal en termodinámica es más complejo, a menudo el calor o el frío percibido por las personas tiene más que ver con la sensación térmica (ver más abajo), que con la temperatura real. Fundamentalmente, la temperatura es una propiedad que poseen los sistemas físicos a nivel macroscópico, la cual tiene una causa a nivel microscópico, que es la energía promedio por partícula. Al contrario de otras cantidades termodinámicas como el calor o la entropía, cuyas definiciones microscópicas son válidas muy lejos del equilibrio térmico, la temperatura sólo puede ser medida en el equilibrio, precisamente porque se define como un promedio. A medida que un sistema recibe calor, su temperatura se incrementa, e igualmente, a medida que pierde calor, su temperatura disminuye. Cuando no existe diferencia de temperatura entre dos sistemas, no habrá transferencia de calor entre ellos. Y cuando exista una diferencia de temperaturas, el calor tenderá a moverse del sistema con mayor temperatura al sistema con menor temperatura, hasta que se alcance el equilibrio térmico. Esta transferencia de calor puede darse a través de la conducción, convección o de la radiación o a través de combinaciones de ellas. Física II
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La temperatura está relacionada con la energía interna y con la entalpía de un sistema: a mayores temperaturas mayores serán la energía interna y la entalpía del sistema. La temperatura es una propiedad intensiva, es decir que no depende del tamaño del sistema, sino que es una propiedad que le es inherente, ni en la cantidad de material de éste.
5.1 Temperatura y La Ley Cero de la Termodinámica
La ley cero, conocida con el nombre de la ley del equilibrio térmico fue enunciada en un principio por Maxwel y llevada a ley por Fowler y dice: “Dos sistemas en equilibrio térmico con un tercero, están en equilibrio térmico entre sí”.
El equilibrio térmico debe entenderse como el estado en el cual los sistemas equilibrados tienen la misma temperatura. Esta ley es de gran importancia porque permitió definir a la temperatura como una propiedad termodinámica y no en función de las propiedades de una sustancia. La aplicación de la ley cero constituye un método para medir la temperatura de cualquier sistema escogiendo una propiedad del mismo que varíe con la temperatura con suficiente rapidez y que sea de fácil medición, llamada propiedad termométrica. En el termómetro de vidrio esta propiedad es la altura alcanzada por el mercurio en el capilar de vidrio debido a la expansión térmica que sufre el mercurio por efecto de la temperatura. Cuando se alcanza el equilibrio térmico, ambos sistemas tienen la misma temperatura. El Principio Cero de la Termodinámica establece que si un sistema A está en equilibrio térmico con otro sistema B, y este sistema B está en equilibrio térmico con otro sistema C, entonces los sistemas A y C están en equilibrio térmico. Permite construir instrumentos para poder medir la temperatura de un sistema. Deducción del principio cero a partir del segundo principio
El principio cero de hecho puede deducirse del segundo principio de la termodinámica de una manera muy sencilla. Sea inicialmente un sistema aislado Σ formado por dos subsistemas Σ 1 y Σ2 sea E la energía total y E 1 y E 2 = E - E 1 las energía de los dos subsistemas. Funcionalmente se tiene que S ( E ) = S ( E 1)+S ( E 2), si admitimos como única variable independiente y derivamos: E 1 De donde se sigue que: Si aplicamos el anterior principio a un sistema formado Σ AB por dos partes Σ A y Σ B deducimos que T A = T B. Haciendo lo mismo con un sistema Σ BC formado por Σ B y ΣC llegamos a T B = T C , y por tanto, T A =
T B = T C Física II
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5.2 Termómetros y la escala Celsius de temperatura Escala Empírica de Temperaturas:
El principio anterior permite establecer la llamada "escala empírica de temperaturas" . Para establecerla se debe tener: o
o
o
Un cuerpo Termométrico: es
decir un cuerpo en que alguna propiedad varíe en forma contínua y medible con la temperatura. Un punto de partida: un origen, facilmente reproducible, desde donde partirá nuestra escala (en buenas cuentas el cero). Una unidad: es decir la magnitud que queremos asociar a un grado de temperatura.
Punto de Partida:
Toda escala debe tener un punto de partida. A nivel mundial existen dos escalas empíricas de temperatura en amplio uso. Estas son la escala Centígrado y la escala Fahrenheit. La primera se usa en casi todo el mundo y la segunda principalmente en Estados Unidos. Antes de la escala Centígrado existió la escala Celsius, que es prima hermana y difiere solo en el punto de partida. La escala Centígrado usa el punto triple del agua como punto de partida. El punto triple del agua es la temperatura donde coexisten en equilibrio la fase sólida (hielo), líquida y gaseosa (vapor de agua). Este equivale a 273,16ºK de temperatura absoluta. La escala Celsius usaba como punto de partida la temperatura de fusión del hielo a una atmósfera de presión. Esto equivale a 273,15ºK. En el caso de la escala Fahrenheit , su punto de partida es diferente. Actualmente está referida a la escala Centígrado. Actualmente se define como 32ºF al punto de fusión del hielo a una atmósfera de presión. Antiguamente el 0ºF correspondía a la temperatura de fusión de una mezcla frigorífica. La idea original del Doctor Fahrenheit era tener un 0º que correspondiera a la temperatura más baja alcanzable. Unidad de Medida:
En el caso de la escala Centígrado la unidad de medida corresponde a 1/100 entre el punto triple del agua y la temperatura de ebullición del agua a 1 atmósfera de presión. Para la escala Fahrenheit su unidad de medida se define como 5/9 de 1ºC. Antiguamente el 100ºF correspondía a la temperatura media del cuerpo humano (reflejo de la formación médica de su creador). Así alguien tiene fiebre cuando está sobre 100ºF!
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En lo recién visto se constata de que la escala Fahrenheit tiene puntos de referencia pocos precisos, a diferencia de la escala Centígrado . Esto hace que actualmente la escala Fahrenheit tenga su referencia real en la Centígrado. Para pasar de grados Centígrado a grados Fahrenheit, usar la siguiente conversión: ºF = 9/5·ºC + 32º Para pasar de grados Fahrenheit a grados Centígrado, usar la siguiente conversión: ºC = (ºF - 32º)·5/9
Puntos Termométricos:
En la práctica se necesita de una serie de puntos de referencia fácilmente replicables para poder calibrar diferentes tipos de termómetros en diferentes rangos de temperatura. Algunos puntos de referencia importantes son:
Física II
Producto Puro
Temperatura a 1 atm.
Solidificación agua
0ºC
Ebullición Agua
100ºC
Ebullición Clorobenzeno
132ºC
Ebullición Naftalina
217,96ºC
Fusión de Estaño
231,9ºC
Fusión del Plomo
327,3ºC
Ebullición del Mercurio
356,95ºC
Fusión del Zinc
419,4ºC
Ebullición del Azufre
444,6ºC
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Solidificación Antimonio
630,5ºC
Fusión Aluminio
658ºC
Solidificación aleación Ag y 779ºC Cu (72% Ag, 28% Cu) Ebullición Zinc
907ºC
Fusión Plata
960ºC
Fusión Cobre
1083ºC
Fusión Níquel
1455ºC
Fusión Fierro
1530ºC
Fusión Platino
1773ºC
5.3 El termómetro de gas a volumen constante y la escala absoluta de temperatura
El termómetro de gas ideal Entre todos los posibles termómetros hay uno que tiene características especiales. Se trata del termómetro de gas. Se encuentra experimentalmente que todos los gases, a baja presión y lejos de la región de la línea de condensación, se comportan de la misma manera en lo que se refiere al efecto de la temperatura (siempre y cuando no tengan lugar reacciones químicas). Si se usa como propiedad termométrica el producto pV de la presión por el volumen de una masa fija de gas, se encuentra que cuando se usan diferentes gases aparecen solamente diferencias muy pequeñas entre las temperaturas indicadas (en la práctica no se suele usar el producto pV: o se mantiene constante V y se usa p como propiedad termométrica, o viceversa). Por ejemplo, un termómetro de hidrógeno y uno de nitrógeno a (aproximadamente) 1atm de presión, calibrados de la manera antes relatada, concuerdan entre sí dentro de un margen de 0,02 °C en todo el intervalo de 0 a 100 ˚C. Esto es ciertamente útil del punto de vista práctico, pero la verdadera importancia del termómetro de gas se debe a que se puede demostrar que las mediciones que con él se efectúan, cuando se las extrapola al límite de muy bajas presiones, dan una realización experimental ex perimental de la temperatura termodinámica absoluta definida en base b ase a la Segunda Ley. La escala de temperatura de un gas ideal se puede definir por el límite (p-->0)del cociente (pV)/(pV)r =T/Tr , donde (pV) y (pV)r se refieren a la misma masa de gas a dos diferentes Física II
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temperaturas, T y Tr , una de las cuales ha sido elegida arbitrariamente como punto fijo o punto de referencia. El primer miembro de la ecuación contiene variables que se pueden medir directamente y da un cociente numérico bien definido. Por lo tanto, si asignamos un número a qr, queda determinado el valor de la temperatura T. Luego todas las temperaturas de la escala quedan determinadas asignando un único número. Es conveniente desarrollar algo más las consecuencias de la ecuación anterior y obtener una ecuación de estado para un gas ideal. Se encuentra experimentalmente que, a temperatura constante, el producto ( pV) es (en el límite p-->0) proporcional a la masa m del gas. Podemos entonces definir una constante K como: K= límite (p-->0) (pV)r /mTr , y en dicho límite podemos escribir : pV= mT. Aquí, si expresamos m en unidades de masa (por ej. gramos), K tiene un valor diferente para cada gas. Podemos conseguir que la constante que figura en la la ecuación anterior sea la misma para todos los gases (esto es, sea una constante universal) definiendo una nueva unidad de masa llamada el mol. Por definición, 1 mol de un gas es aquella masa del gas que tiene el mismo valor de (pV) que el que tienen 32000 g de oxígeno ordinario, a la misma temperatura y para p-->0. La ecuación de estado de un gas ideal se puede entonces escribir finalmente en la forma conocida pVnR = T , donde n es el número de moles del gas y R es la constante universal de los gases. Obsérvese que el valor de R depende de las unidades usadas para p y V, y del particular valor que se asignó a Tr. Es usual elegir Tr = 273, 16 K (grados Kelvin, o absolutos) como la temperatura a la cual el hielo, el agua líquida y el vapor de agua están en equilibrio entre sí (el punto triple del agua, que por definición corresponde a 0,01˚C). Cuerpo Termométrico:
Para la escala empírica el cuerpo termométrico que se define es el termómetro a gas perfecto a volumen constante constante . Este termómetro se basa en medir la presión de un volumen fijo de un gas a medida que varía su temperatura. Parece curioso emplear (de verdad) un termómetro basado en un gas ideal. Sin embargo existen una serie de buenas razones que sustentan esta elección. En particular: Alto coeficiente de dilatación de los gases: un
gas tiene un coeficiente de dilatación del orden de 1/273 por ºC de aumento de temperatura. Por lo tanto se pueden tener señales significativas para variaciones pequeñas de temperatura. Comportamiento real de los gases: los gases reales de bajo peso molecular tienen un comportamiento muy similar a un gas perfecto para presiones no muy elevadas y un amplio rango de temperaturas. La base física del termómetro de gas a volumen constante es que la presión es una función que crece linealmente con la temperatura. Si bien desde el punto de vista teórico el termómetro de gas es el mejor, no es tan sencillo definirlo así en la práctica. Así que el patrón secundario que normalmente se emplea es el termómetro de resistencia de platino. Física II
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Escala Absoluta de Temperaturas:
La escala absoluta de temperaturas parte de la existencia del 0º absoluto. Veremos que la existencia de una escala absoluta de temperaturas es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinámica. Por el momento basta recordar los siguientes puntos básicos: Existen dos unidades básicas para medir temperatura en forma absoluta: el grado Kelvin [K] y el grado Rankine [R]. En magnitud 1ºK = 1ºC y 1ºR = 1ºF. El 0ºK = -273,16ºC Es la temperatura más baja posible.
5.4 Expansión térmica térmica de sólidos sólidos y líquidos
Nuestro estudio del termómetro líquido aprovecha uno de los cambios más conocidos que ocurren en una sustancia: conforme aumenta su temperatura aumenta su volumen. (En algunas sustancias ocurre al revés, pero en la mayoría no). Este fenómeno es conocido como Expansión Térmica, y desempeña un papel muy importante en las aplicaciones de la ingeniería. Por ejemplo, las uniones de expansión térmica deben incluirse en puentes y en algunas otras estructuras para compensar los cambios en las dimensiones con las variaciones de temperatura. La expansión térmica total de un cuerpo es una consecuencia del cambio en la separación promedio entre sus átomos o moléculas constituyentes. Por ejemplo a temperaturas ordinarias los átomos vibran en torno de sus posiciones de equilibrio con una amplitud de aproximadamente 10 a la -11 m y a una frecuencia cercana a 10 a la 13 Hz. El esparciamiento promedio entre los átomos es casi de 10 a la -10m. A medida que la temperatura aumenta, el átomo vibra con amplitudes más grandes y se incrementa la separación promedio entre ellos. En consecuencia el sólido se expande.
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5.5 Descripción macroscópica de un gas ideal
Las propiedades tales como masa m, volumen v, presión P y temperatura, se relacionan en una ecuación que se le llama Ecuación de Estado. La ecuación de estado, es muy complicada. Sin embargo, si el gas se mantiene a una presión muy baja (o densidad baja), se encuentra que la ecuación de estado será bastante simple. Dicho gas de baja densidad se conoce comúnmente como gas ideal. La mayor parte de los gases a temperatura ambiente y a presión atmosférica se comportan casi como gases ideales. La cantidad de gas se expresa comúnmente por conveniencia es en función al número de moles, n. Una mol de cualquier sustancia es aquella masa de la sustancia que contiene un número de avogrado, Na=6.02 x 10 a la 23, de moléculas. n(número de moles)=m(masa en gramos)/M(masa Molar) M es una cantidad llamada masa molar de la sustancia, expresada usualmente en gramos por mol. Ejemplo: la masa molar del oxígeno diatómico: es de 32 g. Un gas ideal que se confina a un recipiente cilíndrico, cuyo volumen puede variarse por medio de un émbolo móvil. Suponemos también que el cilindro no tiene fugas, por lo que la masa (o el número de moles) del gas permanece constante. Para un sistema de este tipo, los experimentos brindan la siguiente información: 1) El gas se mantiene a una temperatura constante, su presión es inversamente proporcional al volumen (ley de Boyle). 2) cuando la presión del gas se mantiene constante el volumen es directamente proporcional a la temperatura (la ley de Charles y de Gay Lussac). Y estas observaciones se resumen en la ecuación de estado para un gas ideal: PV=nRT
. Esta es la expresión conocida como la ley del gas ideal, R es una constante universal que es la misma para todos los gases, y T es la temperatura absoluta en Kelvin. Experimentos en diversos gases muestran que cuando la temperatura se acerca a cero, la cantidad PV/nT se aproxima al mismo valor R en todos los gases. Por eso R se conoce como la constante universal de los gases. R=8.31 J/(mol)(K) R=0.0821 (L)(atm)/(mol)(K) Utilizando el valor de R encontramos que el volumen ocupado por 1 mol de cualquier gas a presión atmosférica y a 0° C (273 K) es 22.4 L. La ley de gas ideal se expresa con frecuencia en términos del número total de moléculas: N. PV=nRT=(N/Na)(RT) n=N/Na Se definió un gas ideal como aquel que obedece a la ecuación de estado PV= n RT, bajo cualquier condición. No existen gas ideales, sin embargo es muy útil el concepto de gas ideal, en vista que los Física II
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gases reales a bajas presiones se comportan como gases Es común llamar cantidades como P, V, y T las variables termodinámicas del sistema.
ideales.
Si pudiéramos llenar al bulbo de un termómetro de gas (ideal) a volumen constante, un gas ideal, de veríamos, desacuerdo con la ecuación pV=nRT, que podemos definir la temperatura en términos de sus lecturas de presión; esto es:
(gas ideal).
Aquí es la presión del gas en el punto triple del agua, en el que la temperatura es por definición 273.16 K. En la practica, debemos llenar nuestro termómetro con un gas real y medir la temperatura extrapolando a la densidad cero, usando la ecuación: (gas real).
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5.6 Problemas
1. Convierta lo siguiente a temperaturas equivalentes en las escalas Celsius y Kelvin: a. la temperatura corporal huma normal, 98.6 ºF; b. la temperatura del aire en en un dia de frio, -5.00ºF
2. En un termómetro de gas a volumen constante , la presión a 20.0 ºC es 0.980 atm. A. ¿Cuál es la presión a 45.0º? b.¿cual es la temperatura si la presión es de 0.500amt?
3. Existe una temperatura cuyo valor numérico es el mismo tanto en la escala Celsius como en la Fahrenheit. ¿Cuál es esta temperatura?
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4. El nitrógeno liquido tiene un punto de ebullición de -195.81 ºC a presión atmosférica. Exprese esta temperatura en a. ºF y b. K
5. La diferencia de temperatura entre el interior y el exterior de un motor de automóvil es de 450ºC. Exprese esta diferencia de temperatura en a. ºF y b. Kelvin
6. El punto de fusión del oro es de 1064 ºC, y el putno de ebullición es de 2660ºC a. exprese estas temperaturas en kelvins, b. calcule la diferencia entre estas temperaturas en grados Celsius y en kelvin
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7. Un alambre telefónico de cobre prácticamente no tiene comba entre los postes separados 35.0m en un dia invernal cuando la temperatura es de -20.0 ºC¿Cuánto mas largo es el alambre en un dia de verano cuando Tc = 35.0ººC?
8. Las secciones de concreto de cierta autopista se diseñan para tener longitud de 25.0m las secciones se vacian y se fraguan a 10.0ºC¿Qué espaciamento minimo debe dejar el ingeniero entre las secciones para eliminar el pandeo si el concreto va a alcanzar una temperatura de 50.0ºC?
9. Un tubo de aluminio mide 3.000 m de largo a 20.0ºC¿Cuál es la longitud a. 100.0 ºC y b. 0.0 ºC?
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10. El puente de New rriver Gorge en Virginia Occidentak es un arco de acero de 518m de largi ¿Cuánto cambia esta longitud entre temperaturas extremas de -20.0 ºC y 35.0ºC?
11. Un hoyo cuadrado de 8.00cm de longitud en cada lado se corta en una lamina de cobre. A. calcule el cambio en el area de este hoyo si la temperatura de la lamina aunmenta en 50.0k, b. ¿el resultado representa un aumento o una disminución en el area del hoy?
12. El elemento activo de cierto laser es una barra de vidrio de 30.0cm dse largo por 1.50 cm de diámetro. Si la temperatura de la barra aumenta en 65. ºC, . encuentre el aumento en a. su longitud, b. su diámetro, c. su volumen
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13. Una barra de acero se somete a una fuerza de estiramiento de 500N. su area de sección transversal es 2.00 cm2 . encuentre el cambio de la temperatura que alargaría la barra en la misma cantidad que lo hace la fuerza de 500N
14. A 20.0ºC, un anillo de aluminio tiene un diámetro interior de 5.0000 cm, y una barra de laton tiene un diámetro de 5.0500 cm a. a que temperatura debe clantarse el anillo para que apenas se deslice sobre la barra?b. ¿ a que temperatura común se deben calentar ambos para que el anillo apenas se deslice sobre la barra?¿ este ultimo proceso funcionaria?
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15. Un matraz de 8.00L y una temperatura dee 20.0ºC contiene un gas a una presión de 9.00atm. a. Determine el numero de moles de gas en el matraz b. ¿Cuántas moléculas de gas hay en el matraz?
16. Si nueve gramos de agua se ponen dentro de una olla de presión de 2.00L y se calientan hasta 500ºC¿Cuál es la presión dentro del recipiente, sino hay fuga de gas?
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17. La llanta de un automóvil se infla usando aire originalmente a 10.0ºC y presión atmosférica normal. Durante el proceso del aire se comprime hasta 28.0% de su volumen original y su temperatura aumenta a 40.0ºC a. ¿Cuál es la presión de la llanta? b. Después que el carro se maneja a lata rapidez , la temperatura del aire dentro de la llanta se eleva a 85.0º y su volumen interior aumenta en 2%¿ cual es la nueva presión absoluta de la llanta en pascales.
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CAPITULO VI CALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
ACERTIJO:
Morder un pedazo de pizza caliente puede ser una experiencia placentera o una muy dolorosa, dependiendo de cómo se haga. Comer la corteza normalmente no causa problemas, pero si se llena la boca con queso caliente puede quemarse el paladar. ¿Por qué hay tanta diferencia si su boca toca la certeza o el queso, cuando ambos están en la misma temperatura?
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CALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA
La termodinámica es la rama de la física que estudia los procesos donde hay transferencia de energía en forma de calor y de trabajo. Cuando dos cuerpos a diferentes temperaturas se ponen en contacto térmico entre sí, la temperatura del cuerpo más cálido disminuye y la del más frío aumenta. Si permanecen en contacto térmico durante cierto tiempo, finalmente alcanzan una temperatura común de equilibrio, de valor comprendido entre las temperaturas iniciales. En este proceso se produjo una transferencia de calor del cuerpo más cálido al más frío. La pregunta que surge es ¿cuáles son las características de esa transferencia de calor? En el próximo capítulo intentaremos dar una respuesta a esa pregunta, ya que en este debemos aprender a conocer la capacidad de absorber o liberar calor de los cuerpos, las diferentes formas de calor, el trabajo termodinámico, la energía interna de los cuerpos y como se relacionan entre sí esas variables a través de la primera ley de la termodinámica.
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6.1 Calor y Energía interna
Para comenzar es importante hacer una distinción fundamental entre energía interna y calor. La energía interna es toda a aquella energía de un sistema que esta asociada con sus componentes microscópicos , atomos y moléculas, cuando se visualiza desde un marco de referencia en reposo con respecto al objeto. La ultima parte de esta oración asegura que cualquier energía cinetica volumétrica del sistema debida a su movimiento a través del espacio no esta incluida en la energía interna.-. la energía interna incluye energía cinetica de traslación, rotación y vibración de moléculas, energía potencial en moléculas y energía potencial en moléculas. El calor se define como la transferencia de energía a través de las fronteras de un sistema debido a diferencias de temperatura entre el sistema y sus alredeodres. Cuando usted calienta una sustancia, le esta transfiriendo energía al ponerla en contacto con un ambiente que tiene una temperatura mas alta. Tradicionalmente, la cantidad de energía térmica intercambiada se mide en calorías, que es la cantidad de energía que hay que suministrar a un gramo de agua para elevar su temperatura de 14.5 a 15.5 grados celsius. El múltiplo más utilizado es la kilocaloría (kcal):
De aquí se puede deducir el concepto calor específico de una sustancia, que se define como la energía necesaria para elevar la temperatura de un gramo de dicha sustancia un grado celsius , o bien el concepto capacidad calorífica, análogo al anterior pero para una masa de un mol de sustancia (en este caso es necesario conocer la estructura química de la misma). Joule, tras múltiples experimentaciones en las que el movimiento de unas palas, impulsadas.por un juego de pesas, se movían en el interior de un recipiente con agua, estableció el equivalente mecánico del calor , determinando el incremento de temperatura que se producía en el fluido como consecuencia de los rozamientos producidos por la agitación de las palas:
El joule (J) es la unidad de energía en el Sistema Internacional de Unidades, (S.I.). El BTU, (o unidad térmica británica) es una medida para el calor muy usada en Estados Unidos y en muchos otros países de América. Se define como la cantidad de calor que se debe agregar a una libra de agua para aumentar su temperatura en un grado Fahrenheit , y equivale a 252 calorías Física II
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6.2 capacidad calorífico y calor especifico
Capacidad calorífica Como regla general, y salvo algunas excepciones puntuales, la temperatura de un cuerpo aumenta cuando se le aporta energía en forma de calor. El cociente entre la energía calorífica Q de un cuerpo y el incremento de temperatura T obtenido recibe el nombre de capacidad calorífica del cuerpo, que se expresa como:
La capacidad calorífica es un valor característico de los cuerpos, y está relacionado con otra magnitud fundamental de la calorimetría, el calor específico.
Para elevar la temperatura de 1 g de agua en 1 ºC es necesario aportar una cantidad de calor igual a una caloría. Por tanto, la capacidad calorífica de 1 g de agua es igual a 1 cal/K. Calor específico El valor de la capacidad calorífica por unidad de masa se conoce como calor específico. En términos matemáticos, esta relación se expresa como:
donde c es el calor específico del cuerpo, m su masa, C la capacidad calorífica, Q el calor aportado y DT el incremento de temperatura. El calor específico es característico para cada sustancia y, en el Sistema Internacional, se mide en julios por kilogramo y kelvin (J/(kg·K)). A título de ejemplo, el calor específico del agua es igual a:
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Del estudio del calor específico del agua se obtuvo, históricamente, el valor del equivalente mecánico del calor, ya que:
Calorimetría La determinación del calor específico de los cuerpos constituye uno de los fines primordiales de la calorimetría. El procedimiento más habitual para medir calores específicos consiste en sumergir una cantidad del cuerpo sometido a medición en un baño de agua de temperatura conocida. Suponiendo que el sistema está aislado, cuando se alcance el equilibrio térmico se cumplirá que el calor cedido por el cuerpo será igual al absorbido por el agua, o a la inversa.
Método de medida de calores específicos. Al sumergir un cuerpo en agua de temperatura conocida, cuando se alcanza el equilibrio térmico, el calor cedido por el cuerpo es igual al absorbido por el agua. Como la energía calorífica cedida ha de ser igual a la absorbida, se cumple que:
siendo m la masa del cuerpo sumergido, c su calor específico, T la temperatura inicial del cuerpo, ma la masa de agua, ca el calor específico del agua, Ta la temperatura inicial del agua y Tf la temperatura final de equilibrio. Todos los valores de la anterior expresión son conocidos, excepto el calor específico del cuerpo, que puede por tanto deducirse y calcularse de la misma. Calor específico de los gases
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En el caso de los gases, ha de distinguirse entre calor específico a volumen constante (cv) y a presión constante (c p). Por el primer principio de la termodinámica, y dado que el calentamiento de un gas a volumen constante no produce trabajo, se tiene que:
En el caso particular de gases diluidos, la vinculación entre el calor específico a presión y a volumen constante sigue la llamada relación de J. R. Mayer (1814-1878):
siendo Nm el número de moles por unidad de masa y R la constante universal de los gases perfectos. Tabla de calores específicos
Poder calorífico Se llama poder calorífico al calor que se libera en el proceso de combustión de un cuerpo, llamado combustible. El poder calorífico se mide como la cantidad de calorías o kilocalorías que se desprenden en la combustión de 1 kg de masa del material combustible.
Tabla de poderes caloríficos
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6.3 Calor latente
Calor latente o calor de cambio de estado, es la energía absorbida por las sustancias al cambiar de estado, de sólido a líquido (calor latente de fusión) o de líquido a gaseoso (calor latente de vaporización). Al cambiar de gaseoso a líquido y de líquido a sólido se devuelve la misma cantidad de energía. Latente en latín
quiere decir escondido , y se llama así porque, al no cambiar la temperatura durante el cambio de estado, a pesar de añadir calor, éste se quedaba escondido . La idea proviene de la época en la que se creía que el calor era una substancia fluida denominada Flogisto. Por el contrario, el calor que se aplica cuando la sustancia no cambia de estado, aumenta la temperatura y se llama calor sensible. Cuando se aplica calor al hielo, va subiendo su temperatura hasta que llega a 0°C (temperatura de cambio de estado), a partir de entonces, aun cuando se le siga aplicando calor, la temperatura no cambia hasta que se haya fundido del todo. Esto se debe a que el calor se emplea en la fusión del hielo. Una vez fundido el hielo la temperatura volverá a subir hasta llegar a 100°C; desde ese momento se mantendrá estable hasta que se evapore todo el agua. Esta cualidad se utiliza en la cocina, en refrigeración, en bombas de calor y es el principio por el que el sudor enfría el cuerpo. Calor latente de algunas sustancias: El agua tiene calor latente de vaporización más alto ya que, para romper los puentes de hidrógeno que enlazan las moléculas, es necesario suministrar mucha energía y el segundo más alto de fusión. Y el amoniaco al revés. Agua: de fusión: 334 J/g (80 cal/g); de vaporización: 2272 J/g (540 cal/g). Amoníaco: de fusión: 180 cal/gramo; de vaporización: 1369 J/g (327 cal/g). Una de las ventajas del elevado calor de vaporización del agua es que permite a determinados organismos disminuir su temperatura corporal. Esta refrigeración es debida a que, para evaporarse, el
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agua de la piel (por ejemplo, el sudor) absorbe energía en forma de calor del cuerpo, lo que hace disminuir la temperatura superficial.
6.4 trabajo y calor en procesos termodinámicos
La termodinámica trata fundamentalmente de las transformaciones del calor en trabajo mecánico y de las transformaciones opuestas del trabajo mecánico en calor. A los términos clásicos de energía cinética y potencial mecánica, se agregan términos relativos a la energía térmica. Además se ve que existe una equivalencia entre calor y trabajo. Ya en los comienzos del Siglo XVI se ve la necesidad de construir maquinas termicas. Hasta esa fecha las fuentes de energia mecanica motriz de que disponia el hombre eran muy limitadas. Se circunscribian a energia muscular (hombre y animales), energia hidraulica (molinos hidraulicos) y energia eolica (navegacion y molinos de viento). Se llego a la necesidad de disponer de carbon mineral,para ser usado en la industria de los metales, explotando los yacimientos de carbon mineral que se conocian desde la antiguedad pero que casi no se usaban pues era mas sencillo usar la madera. Sin embargo la explotacion del carbon implica la necesidad imperiosa de poder bombear el agua que normalmente abunda en estas minas. Sin una fuente adecuada de energia mecanica la profundidad maxima a explotar en una mina queda muy limitada. Despues de variados intentos se llego a la construccion de la Maquina de Savery a inicios del Siglo XVII. El principio de funcionamiento de la misma se ilustra a continuacion. Es un hito historico pues se trata de la primera maquina a vapor practica. Es cierto que solo sirve para bombear agua y que su eficiencia es muy baja, pero permitia bombear agua desde las minas de carbon. Con el combustible al lado de la maquina, el tema de la eficiencia pierde importancia. Thomas Savery (1650-1715),tuvo la idea de producir vapor en un recipiente separado 1,llamado la caldera y empujaba a el agua por medio del vapor,este vapor llenaba al tanque 2 y a la columna 5.En ese momento se cierra la valvula 3 , el tanque 2 es enfriado por medio de agua fria,proveniente de 6 y el vapor condensa creando un vacio en el tanque 2.
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El agua del tanque 4 era aspirada y se llenaba al tanque 2, por ultimo,se abria la valvula 3 dejando que el vapor bajo presion empuje el agua del tanque y la suba por la columna 5,comenzando de nuevo el ciclo. Se puede realizar el sistema de Savery en el laboratorio como se muestra a
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Continuación: En el sistema experimentado hay un frasco A con dos salidas, en una de ellas hay una válvula y en la otra se conecta a otro frasco B que posee otras tres salidas, una a un termómetro ,otra esta conectada a un frasco que simula la mina con agua C y la tercera a un frasco D que recoge el agua de la mina, inicialmente, en la fase 1, se hace que el agua hierva en A, la válvula 1 a la mina esta cerrada ,la válvula 2 esta abierta, el vapor de agua empuja al agua al tanque D. En la fase 2,cuando el frasco esta lleno de vapor ,las válvula 2 se cierra y la válvula 1 a la mina es abierta, En la fase 3 ,el vapor del frasco se enfría y condensa generándose un vacio que succiona el agua de la mina, en la fase 4 cuando el frasco B esta lleno de agua se cierra la válvula 1 de la mina y se abren la otra válvula y se comienza otra vez el ciclo. Observe el lector las operaciones realizadas por esta maquinase calienta agua en la caldera A, luego se realiza un trabajo mecanico,al empujar el vapor al agua a una determinada altura al recipiente D, se enfría al vapor y por efecto del vacio se aspira agua a una determinada altura de C a B,comenzando de nuevo el cicl o , una determinada cantidad de calor se transfirió al agua, de una fuente a alta temperatura, en este caso la llamase realizo un trabajo mecánico y nuevamente se transfirió calor del vapor a alta temperatura al medio mas frio, este proceso caracteriza a las maquinas térmicas. Lo expuesto en el ultimo párrafo, se representa esquemáticamente en el siguiente dibujo, una maquina térmica es un sistema que absorbe energía térmica Q h de una fuente a alta temperatura Ts,realiza un trabajo W y expele energía térmica Q c ,a un sumidero a baja temperatura Tb.
6.5 la primera ley de la termodinámica
También conocido como principio de conservación de la energía para la termodinámica, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema o bien éste intercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará. Visto de otra forma, esta ley permite definir el calor como la energía necesaria que debe intercambiar el sistema para compensar las diferencias entre trabajo y energía interna. Fue propuesta por Antoine Lavoisier. La ecuación general de la conservación de la energía es la siguiente: E entra − E sale = Δ E sistema
Que aplicada a la termodinámica teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico, queda de la forma: Física II
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6.6 Aplicaciones de la primera ley de la termodinámica Sistemas cerrados:
Un sistema cerrado es uno que no tiene entrada ni salida de masa, también es conocido como masa de control. El sistema cerrado tiene interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, así como puede realizar trabajo de frontera. La ecuación general para un sistema cerrado (despreciando energía cinética y potencial) es: Q − W = ΔU
Donde Q es la cantidad total de transferencia de calor hacia o desde el sistema (positiva cuando entra al sistema y negativa cuando sale de éste), W es el trabajo total (negativo cuando entra al sistema y positivo cuando sale de éste) e incluye trabajo eléctrico, mecánico y de frontera; y U es la energía interna del sistema.
Sistemas abiertos
Un sistema abierto es aquel que tiene entrada y/o salida de masa, así como interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, también puede realizar trabajo de frontera. La ecuación general para un sistema abierto es:
O igualmente: Q − W + ∑ minθin − ∑ mout θout = Δ E sistema in
out
Donde in representa todas las entradas de masa al sistema; out representa todas las salidas de masa desde el sistema; y θ es la energía por unidad de masa del flujo y comprende entalpía, energía potencial y energía cinética, Física II
.
150
La energía del sistema es Sistemas abiertos en estado estacionario
El balance de energía se simplifica considerablemente para sistemas en estado estacionario (también conocido como estado estable). En estado estacionario se tiene Δ E sistema = 0, por lo que el balance de energía queda:
Sistema Aislado
Es aquel sistema en el cual no hay intercambio ni de masa ni de energía con el exterior.
6.7 Mecanismos de transferencia de energía
La conducción de calor es un mecanismo de transferencia de energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de materia y que tiende a igualar la temperatura dentro de un cuerpo y entre diferentes cuerpos en contacto por medio de ondas La conducción del calor es muy reducida en el espacio ultra alto vacío y es nula en el espacio vacio ideal, espacio sin energía. El principal parámetro dependiente del material que regula la conducción de calor en los materiales es la conductividad térmica, una propiedad física que mide la capacidad de conducción de calor o capacidad de una substancia de transferir el movimiento cinético de sus moléculas a sus propias moléculas adyacentes o a otras substancias con las que está en contacto. La inversa de la conductividad térmica es la resistividad térmica, que es la capacidad de los materiales para oponerse al paso del calor. Ley de Fourier Los mecanismos de transferencia de energía térmica son de tres tipos: Conducción Convección Radiación La transferencia de energía o calor entre dos cuerpos diferentes por conducción o convección requieren el contacto directo de las moléculas de diferentes cuerpos, y se diferencian en que en la primera no existe movimiento macroscópico de materia mientras que en la segunda sí hay movimiento Física II
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macroscópico. Para la materia ordinaria la conducción y la convección son los mecanismos principales en la "materia fría", ya que la transferencia de energía térmica por radiación sólo representa una parte minúscula de la energía transferida. La transferencia de energía por radiación aumenta con la potencia cuarta de la temperatura (T 4), siendo sólo una parte importante a partir de temperaturas superiores a varios miles de Kelvin.
Ley de Fourier. Es la forma de transmitir el calor en cuerpos sólidos; se calienta un cuerpo, las moléculas que reciben directamente el calor aumentan su vibración y chocan con las que las rodean; estas a su vez hacen lo mismo con sus vecinas hasta que todas las moléculas del cuerpo se agitan, por esta razón, si el extremo de una varilla metálica se calienta con una flama, transcurre cierto tiempo hasta que el calor llega al otro extremo. El calor no se transmite con la misma facilidad por todos los cuerpos. Existen los denominados "buenos conductores del calor", que son aquellos materiales que permiten el paso del calor a través de ellos. Los "malos conductores o aislantes" son los que oponen mucha resistencia al paso del calor. La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier. Establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada, es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección.
donde Q x es la tasa de flujo de calor que atraviesa el área A en la dirección x, la constante de proporcionalidad λ se llama conductividad térmica, T es la temperatura y t el tiempo. La conductividad térmica es una propiedad intrínseca de los materiales que valora la capacidad de conducir el calor a través de ellos. El valor de la conductividad varía en función de la temperatura a la que se encuentra la substancia, por lo que suelen hacerse las mediciones a 300 K con el objeto de poder comparar unos elementos con otros. Es elevada en metales y en general en cuerpos continuos, y es baja en los gases (a pesar de que en ellos la transferencia puede hacerse a través de electrones libres) y en materiales iónicos y covalentes, siendo muy baja en algunos materiales especiales como la fibra de vidrio, que se denominan por eso aislantes Física II
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térmicos. Para que exista conducción térmica hace falta una sustancia, de ahí que es nula en el vacío ideal, y muy baja en ambientes donde se ha practicado un vacío elevado. En algunos procesos industriales se trabaja para incrementar la conducción de calor, bien utilizando materiales de alta conductividad o configuraciones con un elevado área de contacto. En otros, el efecto buscado es justo el contrario, y se desea minimizar el efecto de la conducción, para lo que se emplean materiales de baja conductividad térmica, vacíos intermedios, y se disponen en configuraciones con poca área de contacto. Coeficientes λ para distintos materiales
Material λ
Material
λ
Acero
47-58
Corcho
0,04-0,30 Mercurio 83,7
Agua
0,58
Estaño
64,0
Aire
0,02
Fibra de vidrio
0,03-0,07 Níquel
52,3
Alcohol 0,16
Glicerina
0,29
Oro
308,2
Alpaca
Hierro
1,7
Parafina 0,21
Aluminio 209,3
Ladrillo
0,80
Plata
Amianto 0,04
Ladrillo refractario 0,47-1,05 Plomo
35,0
Bronce
116-186
Latón
81-116
0,6-1,0
Cinc
106-140
Litio
301,2
Cobre
372,1-385,2 Madera
29,1
Material λ
Mica
Vidrio
0,35
406,1-418,7
0,13
La tabla que se muestra a la derecha de este texto se refiere a la capacidad de ciertos materiales para transmitir el calor. El coeficiente de conductividad térmica (λ) representa la cantidad de calor necesario por m2, para que atravesando durante la unidad de tiempo, 1 m2 de material homogéneo obtenga una diferencia de 1 °C de temperatura entre las dos caras. La conductividad térmica se expresa en unidades de W/m·K (J/s · m · °C).
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La conductividad térmica tambien puede expresarse en unidades de British thermal units por hora por pie por grado Fahrenheit (Btu/h·ft·ºF). Estas unidades pueden transformarse a W/m·K empleando el siguiente factor de conversión: 1 Btu/h·ft·ºF = 1,731 W/m·K.--Enalcahe (discusión) 05:22 13 mar 2008 (UTC) Es un mecanismo molecular de transferencia de calor que ocurre por la excitación de las moléculas. se presenta en todos los estados de la materia pero predomina en los sólidos.
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6.8 Problemas
1. el calor específico del agua es casi dos veces la del alcohol etílico. Si a masas iguales de alcohol y agua en recipientes independientes se le suministra la misma cantidad de energía. Compare el aumento de temperatura de los dos líquidos. ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 2. Brinde una razón por la cual las regiones costeras tienden a tener climas mas moderados que las regiones de tierra adentro ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
3. De un horno a 200ºC se saca un pequeño crisol y se sumerge en una tina llena de agua a temperatura ambiente (este proceso se denomina templado) ¿Cuál es la temperatura de equilibrio final aproximada? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 4. ¿Cuál es el principal problema que surge al medir calores específicos si una muestra con una temperatura superior a los 100ºC se pone en agua? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 5. En una audaz demostración en clase, un maestro mete sus dedos humedecidos en plomo fundido (327ºC) y los saca rápidamente, sin quemarse. ¿Cómo se explica esto? (este es un experimento peligroso que no debe intentarse) ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
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6. Que es incorrecto en este enunciado: “dados dos cuerpos cualesquiera, el que tiene temperatura mas alta contiene mas calor”
___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 7. ¿Por qué es posible sostener un cerillo encendido, aun cuando se este quemando, a unos cuantos milímetros de las puntas de los dedos? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 8. ¿Por qué es mas confortable sostener una taza de te caliente por el alza, en lugar de colocar sus manos alrededor de la taza misma? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 9. ¿Por qué es necesario almacenar nitrógeno liquido u oxigeno líquido en recipientes equipados con aislamientos de estireno o con una pared doble en la que se ha hecho vacio? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
10. ¿Por qué las cortinas gruesas de las ventanas contribuyen a mantener un lugar caliente en invierno y frio en el verano? ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________
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6.9 Problemas 11. El
agua en la parte superior de las Cataratas del Niágara tiene una temperatura de 10.0ºC. el elemento cae a una distancia total de 50.0m. suponiendo que toda su energía potencial se emplea para calentar el agua en el fondo de las Cataratas.
12. La
temperatura de una barra de plata aumenta a 10.0ºC cuando absorbe 1.23kJ de energía por calor. La masa de la barra es de 525g. determine el calor especifico de la plata.
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13. Una
muestra de cobre de 50.0g esta a 25ºC. si se le añaden 1200 J de energía, ¿Cuál es su temperatura final?
14. Una
herradura de hierro de 1.50kg inicialmente a 600ºC se sumerge en una cubeta que contiene 20.0kg de agua a 25.0ºC, ¿Cuál es la temperatura final? (ignore la capacidad calorífica del recipiente y suponga que hierve una cantidad despreciable de agua)
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15. Una
taza de aluminio con 200g de masa contiene 800g de agua en equilibrio térmico a 80.0ºC. la combinación de taza y agua se enfría de manera uniforme de modo que la temperatura disminuye a una rapidez de 1.50ºC/min ¿ a que rapidez se remueve por calor la energía? Exprese su respuesta en watts
16. ¿Cuánta
energía se requiere para cambiar un cubo de hielo de 40.0g de hielo a -10.0ºC a vapor de
110ºC?
17. Una
bala de plomo de 3.00g se dispara a una rapidez de 240m/s de un gran bloque de hielo a 0ºC, en el que se incrusta. ¿Qué cantidad de hielo se derrite?
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18. Si 90.0g de plomo fundido a 327.3ºC se vierten en un molde de 300g hecho de hierro inicialmente a
20.0ºC, ¿Cuál es la temperatura final del sistema?
3
19. Un recipiente contiene un gas a una presión de 1.50atm y un volumen de 4.00m
¿Cuál es el trabajo efectuado por el gas si, a. se expande a presión constante hasta el doble de su volumen inicial?, b. se comprime a presión constante hasta un cuarto de su volumen inicial
20. Una
muestra de helio se comporta como un gas ideal conforme se le agrega energía por calor a presión constante de 273k a 373 k. si el gas realiza 20.0J de trabajo. ¿ cual es la masa del helio?
21. Un gas se comprime a presión constante de 0.800atm de 9.00L a 2.00L. en el proceso salen 400J de
energía de gas por calor; a. ¿Cuál es el trabajo efectuado por el gas?, b. ¿Cuál es el cambio en su energía interna?
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22. Un
sistema termodinámico se somete a un proceso en el cual su energía interna disminuye 500 J. si al mismo tiempo se hacen 220J de trabajo sobre el sistema. ¿Cuál es la energía transferida a o desde el por calor?
23. Un
mol de gas ideal realiza 3000J de trabajo sobre los alrededores conforme se expande isotérmicamente hasta una presión final de 1.00 atm y un volumen de 25.0L. determine, a. el volumen inicial y, b. la temperatura del gas
24. ¿Cuánto
trabajo efectúa cuando 1.00 mol de agua a 100ºC hierve y se convierte en 1.00 mol de vapor a 100ºC y 1.00 atm de presión? Suponiendo que el vapor es un gas ideal, determine el cambio en la energía interna del vapor conforme se vaporiza.
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CAPITULO VII Electrostática: campo y potencial eléctrico
ACERTIJO:
Estais en un cuarto con tres interruptores. Cada interruptor enciende una de tres bombillas. Estas bombillas están en un cuarto diferente. Sólo pode ir ir una vez al cuarto de las bombillas y os tendréis que quedar ahí. No hay visibilidad directa entre el cuarto de las bombillas y el de los interruptores. Tenéis que adivinar a que bombilla corresponde cada uno de los interruptores, con ese único paseo.
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Electroestática
La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de cargas estáticas, esto es, el campo electrostático de un cuerpo cargado. Históricamente la electrostática fue la rama del electromagnetismo que primero se desarrolló. Con la postulación de la Ley de Coulomb fue descrita y utilizada en experimentos de laboratorios a partir del siglo XVII, y ya en la segunda mitad del siglo XIX las leyes de Maxwell concluyeron definitivamente su estudio y explicación permitiendo demostrar cómo las leyes de la electrostática y las leyes que gobernaban los fenómenos magnéticos pueden ser estudiados en el mismo marco teórico denominado electromagnetismo. La existencia del fenómeno electrostático es bien conocido desde la antigüedad, existen numerosos ejemplos ilustrativos que hoy forma parte de la enseñanza moderna; como el de comprobar como ciertos materiales se cargan de electricidad por simple frotadura y atraen, por ejemplo, pequeños trozos de papel o pelo a un globo que previamente se ha frotado con un paño.
7.1 La Carga Eléctrica
Las primeras observaciones sobre los fenómenos eléctricos fueron realizadas por los antiguos griegos que ya sabían que el ámbar frotado con lana adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Se dice que el ámbar está electrizado, o que tiene carga eléctrica, o que está cargado eléctricamente. Términos que derivan del vocablo griego elektron, que significa ámbar. La carga eléctrica, representada por q, es una cualidad de algunas partículas con propiedades que forman parte de las bases en las que se asienta la física moderna y que se analizan a continuación: 1.1. Existe en dos variedades de carga eléctrica: positiva y negativa Alrededor de 1750, el científico y estadista norteamericano Benjamín Franklin (1706S1790) introdujo el convenio de que el vidrio recibía carga positiva (+) cuando se frotaba con un paño de seda, adquiriendo ésta carga negativa (S). Con el conocimiento actual de la estructura de la materia, sabemos que son los electrones los portadores de una de las dos variedades de carga y los protones los de la otra variedad; ambos con la misma carga pero con signos opuestos. En el átomo neutro, el número de protones (en el núcleo) es igual al número de electrones (en la corteza), y puesto que la materia está formada por átomos, será eléctricamente neutra en circunstancias normales, con una carga eléctrica neta nula. Dicha materia puede adquirir carga neta no nula dependiendo de si se le agrega electrones o si se le quita electrones (a esta ganancia o pérdida de electrones se denomina ionización). Observar que normalmente entran en juego los electrones: se requiere poca energía para agregar o quitar electrones Física II
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de la corteza del átomo, mientras que acceder al núcleo para agregar o quitar protones requiere muchísima energía. Cuando el vidrio se frota con el paño de seda, se transfieren electrones del vidrio a la seda a través de las superficies en contacto, resultando la seda con más electrones que protones y el vidrio con menos electrones que protones. Para ser consecuentes con el convenio de Franklin de que la carga neta del vidrio es positiva y la de la seda negativa, debemos asignar carga positiva al protón y carga negativa al electrón, siendo por tanto el signo de las cargas un mero convenio arbitrario. La carga eléctrica la representaremos con el símbolo q, que engloba un valor numérico, un signo y unas determinadas unidades. Es un escalar con signo. El campo eléctrico (en unidades de voltios por metro) se define como la fuerza (en newtons) por unidad de carga (en coulombs). De esta definición y de la ley de Coulomb, se desprende que la magnitud de un campo eléctrico E creado por una carga puntual Q es:
La ley de Gauss
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica total encerrada dentro de la superficie. La constante de proporcionalidad es la permitividad del vacío. Matemáticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuación integral:
Alternativamente, en forma diferencial, la ecuación es La ecuación de Poisson
La definición del potencial electrostático, combinada con la forma diferencial de la ley de Gauss, provee una relación entre el potencial Φ y la densidad de carga ρ:
Esta relación es una forma de la ecuación de Poisson. Ecuación de Laplace
En ausencia de carga eléctrica, la ecuación es que es la ecuación de Laplace Física II
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7.2 Las cargas eléctricas interaccionan entre sí
Aunque los fenómenos eléctricos se conocían desde la antigüedad, fue en 1730 cuando el francés Charles Du Fay demostró que los cuerpos cargados interaccionan entre sí. A esta fuerza a distancia entre cargas eléctricas estacionarias se denomina fuerza eléctrica, Fe, que puede ser de atracción o de repulsión, dependiendo de los signos relativos de las cargas que interaccionan: Fe atractiva: qi Aqj < 0 (dos cargas con signos opuestos) Fe repulsiva: qi Aqj > 0 (dos cargas con el mismo signo) Además de la fuerza eléctrica entre cargas eléctricas hay otras fuerzas que dependen de su movimiento relativo y que son el origen de los fenómenos magnéticos que se tratarán en unidades posteriores.
7.3 La carga eléctrica se conserva
La carga eléctrica neta en un sistema aislado permanece constante, en el sentido de que la carga neta total no puede ser creada ni destruida y entendiendo por sistema aislado aquél cuyos límites no pueden ser atravesados por la materia. En el interior del sistema puede existir transferencia de carga entre los cuerpos que forman dicho sistema. Es un principio de conservación que se cumple en todas las observaciones realizadas y constituye una de las bases de las ecuaciones de los campos eléctricos y magnéticos. Además la carga neta de un sistema es un invariante relativista (a diferencia de la masa, longitud, energía, etc), es decir, observadores en distintos sistemas de referencia miden la misma cantidad de carga neta, así como tampoco influye el movimiento de los portadores de carga, existiendo pruebas experimentales, tales como la neutralidad eléctrica en átomos y moléculas en los cuales los movimientos de sus portadores de carga (electrones y protones) no influyen en dicha neutralidad. 7.4 La carga eléctrica está cuantizada
La cantidad más pequeña de carga eléctrica es la de un electrón (o de un protón). Como la carga neta de un cuerpo se debe a un defecto o a un exceso de electrones, dicha carga neta es un múltiplo entero del valor absoluto de la carga de un electrón, e: q neta = ±n |e| Los hechos de que las cantidades de carga del electrón y del protón sean exactamente iguales con signos opuestos y de que la carga de un cuerpo está cuantizada están apoyados por numerosas pruebas experimentales. Durante el siglo XIX y principios del XX se realizaron muchos trabajos experimentales para determinar la carga del electrón y su masa. Se pueden destacar a Michael Faraday (1833) con la electrólisis; a J.J. Thomson con la medida directa del cociente e/m en 1897 a partir del estudio de las descargas eléctricas en gases y a Millikan en 1909 que con el famoso experimento de la gota de aceite determinó con precisión aceptable el valor y signo de e. La unidad natural de carga es el electrón. Sin embargo, en el SI es el culombio, C, de tal forma que: qe S . S1,602A10S19 C qp+ . +1,602A10S19 C Física II
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El culombio se define en el SI a partir del amperio a través de la expresión de tal forma i q t = dd que 1 culombio es la cantidad de carga que atraviesa la sección de un conductor por el que circula una corriente de 1 amperio en un intervalo de 1 segundo. Como el culombio es una unidad de carga normalmente demasiado grande en electrostática, en su lugar se usa el microculombio (1 :C = 10S6 C), el nanoculombio (1 nC = 10S9 C) y el picoculombio (1 pC = 10S12 C), de acuerdo con las experiencias que se manejan en electrostática. Cargas Puntuales y Distribuciones Continuas de Carga Electrica Cuando se trabaja con partículas cargadas, como electrones, protones, iones, etc., se puede considerar a dichas cargas como puntuales (carga concentrada en un punto geométrico del espacio). Pero también se pueden considerar puntuales aquellas para las que calculamos magnitudes eléctricas a distancias mucho mayores que las dimensiones del cuerpo con carga neta. La carga de un electrón (o un protón) es tan pequeña (y el número de Avogadro tan grande) que su cuantización no se pone de manifiesto a nivel macroscópico: Así, un cuerpo con una carga neta de S100 nC contiene unos 6,24A1011 electrones en exceso. Podemos, por tanto, considerar que las cargas netas macroscópicas están distribuidas de forma continua (están muy cerca unas de otras en comparación con las demás distancias de interés) y manejar elementos diferenciales de carga, dq, siempre que se cumpla e n dq n q Dicha carga neta puede estar repartida a lo largo de una dimensión (densidad lineal de carga), en dos dimensiones (densidad superficial de carga) o en tres dimensiones (densidad volúmica de carga). 7.5 Aislantes, Conductores y Carga por Contacto y por Inducción
Una vez que un cuerpo ha adquirido carga eléctrica neta, lo que suceda después depende de si el material es aislante o dieléctrico como el vidrio, plástico, madera, ebonita, etc. o conductor como los metales. Aislantes La diferencia está en la movilidad de los portadores de carga: los aislantes ideales no permiten la movilidad de portadores de carga, por lo que la carga neta de un aislante permanece en la zona en la que se colocó inicialmente. Conductores La evolución de la carga neta en un material conductor es completamente diferente porque éstos permiten la movilidad de la carga eléctrica por todo el cuerpo. En un período de tiempo muy pequeño, la carga neta suministrada al conductor se moverá hacia la superficie del mismo, si inicialmente no estaba allí, debido a las fuerzas eléctricas repulsivas entre cargas del mismo signo y se distribuirá por toda la superficie, cesando el movimiento de las cargas, sean positivas o negativas. Es decir, en un conductor cargado en equilibrio electrostático (el equilibrio electrostático implica que las cargas tienen que estar en reposo), la carga neta se distribuye por la superficie, quedando eléctricamente neutro el interior del cuerpo.
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A lo largo de la unidad se profundizará más sobre la distribución de carga libre en conductores en equilibrio electrostático. Carga por contacto Es posible comunicar carga eléctrica a cualquier sólido frotándolo con otra substancia. El frotamiento sirve sólo para establecer un buen contacto entre muchos puntos de las superficies, pasando electrones de una a la otra. Así, al frotar una barra de ebonita con piel, la ebonita adquiere carga neta negativa que permanece localizada por ser un material aislante. Esta carga se detecta al hacer contacto con la esfera del electroscopio, formado por dos láminas delgadas unidas a una varilla que termina en esfera, todo ello metálico y dentro de un recipiente aislante para que las corrientes de aire no afecten a las láminas. Antes del contacto las láminas cuelgan juntas verticalmente. Después del contacto, parte de la carga negativa de la ebonita se transfiere a la esfera y se propagan por la varilla y las láminas, separándose éstas en virtud de la repulsión entre cargas del mismo signo. Carga por inducción En el procedimiento anterior se ha cargado el electroscopio por contacto, pasando parte de la carga eléctrica de la ebonita al electroscopio. Hay otro procedimiento para cargar un metal con la barra de ebonita sin hacer contacto en el cual el metal adquiere carga neta de signo opuesto a la de la ebonita sin perder ésta carga. Este método se denomina carga por inducción o inducción electrostática. Para ello analicemos el proceso de carga por inducción en una esfera metálica. Tengamos en cuenta que en el modelo clásico de la conducción eléctrica, un metal se describe como una disposición regular tridimensional de iones con un gran número de electrones libres formando una nube electrónica con libertad de movimiento por todo el material. Cuando se le aproxima una barra de ebonita cargada negativamente provoca, por repulsión, que parte de la nube electrónica de la esfera se desplace a la superficie de la misma opuesta a la barra, existiendo un exceso de carga negativa en dicha zona. Esto origina una pérdida de carga negativa (queda un exceso de carga positiva) en la superficie de la esfera próxima a la barra (b). Tales excesos de carga se denominan cargas inducidas. Obsérvese que no existió transferencia de carga de la barra de ebonita a la esfera y que ésta sigue siendo eléctricamente neutra. Las cargas inducidas permanecerán mientras mantengamos cerca la barra cargada. En (c) se conecta a tierra (que significa poner en contacto el conductor con el suelo mediante un hilo metálico, la piel húmeda de una persona, etc., pues la propia Tierra constituye un conductor que para muchos propósitos puede considerarse como infinitamente grande), pasando los electrones de la esfera a la Tierra. En (d) se ha eliminado la conexión a tierra y en (e) se aparta la barra de ebonita con lo que resulta una esfera metálica cargada por inducción con carga neta positiva (defecto de electrones) distribuida uniformemente por la superficie de la misma.
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7.6 Aplicaciones
La electricidad estática se usa habitualmente en xerografía donde un pigmento de polvo (tinta seca o toner) se fija en las áreas cargadas previamente haciendo visible la imagen impresa. En electrónica, la electricidad estática causa numerosos daños a los componentes por lo que los operarios han de tomar medidas para descargar la electricidad estática que pudieran haber adquirido. Esto puede ocurrir a una persona por frotamiento de las suelas de los zapatos (de materiales como la goma) contra suelos de tela o alfombras. En aviación, al aterrizar un avión por seguridad se debe proceder a su descarga. En los automóviles también puede ocurrir la electrificación al circular a gran velocidad en aire seco (el aire húmedo conduce mejor las cargas), por lo que también necesitan medidas de seguridad para evitar las chispas eléctricas. Se piensa que la explosión de un cohete en el 2003 en Brasil se debió a chispas originadas por electricidad estática. 7.7 Ley Coulomb
La ecuación fundamental de la electrostática es la ley de Coulomb, que describe la fuerza entre dos cargas puntuales Q1 y Q2. Dentro de un medio homogéneo como es el aire, la relación se expresa como:
donde F es la fuerza, es una constante característica del medio, llamada la « permitividad ». En el caso del vacío, se denota como 0. La permitividad del aire es solo un 0,5‰ superior a la del vacío, por lo que a menudo se usan indistintamente. Las cargas del mismo signo se repelen entre sí, mientras que las cargas de signo opuesto se atraen entre sí. La fuerza es proporcional al producto de las cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas.La acción a distancia se efectúa por medio del campo eléctrico existente en el punto en el cual está situado cada carga.
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7.8 Problemas
1) Calcular la fuerza que produce una carga de 10 μ C sobre otra de 20 μ C,cuando esta última se
encuentra ubicada, respecto de la primera, a: a) 1 cm. b) 2 cm. c) 0,1 cm.
2) Una bola de médula de sauco, A, tiene una carga de 40 μ C y está suspendida a 6 cm de otra bola, B, que ejerce una fuerza de 500 N sobre la carga A, ¿cuál es la carga de la bola B ?.
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3) Una bola de médula de sauco, A, tiene una masa de 0,102 g y una carga de 0,1 μ C. A está ubicada a 50 cm de otra bola, B,de 0,04 μ C.
a) ¿qué fuerza ejerce B sobre A?. b) ¿cuál será la aceleración de A en el instante en que se suelta? (no tener en cuenta la aceleración de la gravedad).
4) Un
electróforo se puede descargar y cargar repetidas veces produciendo chispas. ¿De dónde se obtiene la energía que produce las chispas 5) En
los vértices de un cuadrado imaginario de 0,1 cm de lado hay cargas de 30, -10,40 y 0 C. Encuentre la fuerza resultante sobre el vértice de -10 C.
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carga de un electrón es de -1,6.10-13 μ C y se mueve en torno a un protón de carga igual y positiva. La masa del electrón es de 9.10-28 g y esta a una distancia de 0,5.10-8 cm. Se pide encontrar: 6) La
a) La fuerza centrípeta que opera sobre el electrón. b) La velocidad del electrón. c) La frecuencia de revolución (frecuencia del electrón).
ión Na+ del cloruro de sodio tiene una carga positiva de 1,6.1013 μ C. El ión Cl- posee la misma carga que el Na+, (obviamente con signo contrario). La distancia que los separa es de 10-8 cm. Calcule la fuerza de atracción. 7) El
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CAPITULO VIII ELECTROMAGNETISMO
ACERTIJO:
Para empezar, supongamos cuatro elementos: La aguja de la brújula; El magnetismo; El campo magnético de la Tierra; El norte. La aguja de la brújula siempre es atraída por medio del magnetismo hacia el norte por el campo magnético de la Tierra. De esos elementos podemos afirmar: La aguja siempre es atraída por el campo magnético; El magnetismo es la fuerza por la cual la aguja es atraída y por la cual el campo magnético atrae a la aguja; El campo magnético siempre atraerá a la aguja; El objetivo de la aguja siempre será el norte. Luego, podemos redefinir los cuatro elementos: El objeto atraído (La aguja), La fuerza de atracción (El magnetismo), El objeto atrayente (El campo magnético), El objetivo (El norte). En la vida pasa algo muy similar a lo que pasa con la aguja, el magnetismo, el campo magnético y el norte:El ser humano siempre es atraído por medio de una “FUERZA” hacia su felicidad por “ALGO”; El ser humano siempre será atraído por “ALGO” que le hace feliz, así como la aguja siempre será atraída por el campo magnético que la lleva al norte., Hay una “FUERZA” que atrae al ser humano
hacia su felicidad, así como hay el magnetismo que atrae a la aguja de la brújula hacia el norte, Hay “ALGO” que atrae al ser humano, así como hay el campo magnético que atrae a la aguja. El ser humano siempre buscará la felicidad, así como la aguja de la brújula siempre buscará el norte.Si unificamos e igualamos los puntos análogos, podemos decir: Ser humano = aguja de la brújula, “FUERZA” = magnetismo, “ALGO” = campo magnético de la Tierra, Felicidad = norte
La pregunta es: ¿Qué es ese “ALGO” que atrae al ser humano, y cuál es esa “FUERZA” por medio de la cual ese “ALGO” atrae al ser humano?
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ELECTROMAGNETISMO
El electromagnetismo es una rama de la Física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría, cuyos fundamentos fueron sentados por Michael Faraday y formulados por primera vez de modo completo por James Clerk Maxwell. La formulación consiste en cuatro ecuaciones diferenciales vectoriales que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales (corriente eléctrica, polarización eléctrica y polarización magnética), conocidas como ecuaciones de Maxwell. El electromagnetismo es una teoría de campos; es decir, las explicaciones y predicciones que provee se basan en magnitudes físicas vectoriales dependientes de la posición en el espacio y del tiempo. El electromagnetismo describe los fenómenos físicos macroscópicos en los cuales intervienen cargas eléctricas en reposo y en movimiento, usando para ello campos eléctricos y magnéticos y sus efectos sobre las sustancias sólidas, líquidas y gaseosas. Por ser una teoría macroscópica, es decir, aplicable sólo a un número muy grande de partículas y a distancias grandes respecto de las dimensiones de éstas, el Electromagnetismo no describe los fenómenos atómicos y moleculares, para los que es necesario usar la Mecánica Cuántica.
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8.1 Campo Magnético de un imán
Cabe destacar que, a diferencia del campo eléctrico, en el campo magnético no existen monopolos magnéticos, sólo dipolos magnéticos, lo que significa que las líneas de campo magnético son cerradas, esto es, el número neto de líneas de campo que entran en una superficie es igual al número de líneas de campo que salen de la misma superficie. Un claro ejemplo de esta propiedad viene representado por las líneas de campo de un imán, donde se puede ver que el mismo número de líneas de campo que salen del polo norte vuelve a entrar por el polo sur, desde donde vuelven por el interior del imán hasta el norte. Como se puede ver en el dibujo, independientemente de que la carga en movimiento sea positiva o negativa, en el punto A nunca aparece campo magnético; sin embargo, en los puntos B y C el campo magnético invierte su sentido dependiendo de si la carga es positiva o negativa. El sentido del campo magnético viene dado por la regla de la mano derecha, siendo las pautas a seguir las siguientes: En primer lugar se imagina un vector qv, en la misma dirección de la trayectoria de la carga en movimiento. El sentido de este vector depende del signo de la carga, esto es, si la carga es positiva y se mueve hacia la derecha, el vector +qv estará orientado hacia la derecha. No obstante, si la carga es negativa y se mueve hacia la derecha, el vector es -qv va hacia la izquierda. A continuación, vamos señalando con los cuatro dedos de la mano derecha (índice, medio, anular y meñique), desde el primer vector qv hasta el segundo vector Ur, por el camino más corto o, lo que es lo mismo, el camino que forme el ángulo menor entre los dos vectores. El pulgar extendido indicará en ese punto el sentido del campo magnético.
8.2 Campo Magnetico de una corriente
El campo magnético es una propiedad de espacio por la cual una carga eléctrica puntual de valor q que se desplaza a una velocidad , sufre los efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al campo, llamada inducción magnética (o según algunos autores, Densidad de flujo magnético ). Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente igualdad.
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(Nótese que tanto F como v y B son magnitudes vectoriales y el producto cruz es un producto vectorial que tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B). La existencia de un campo magnético se pone en evidencia por la propiedad localizada en el espacio de orientar un magnetómetro (laminilla de acero imantado que puede girar libremente). La aguja de una brújula, que pone en evidencia la existencia del campo magnético terrestre, puede ser considerada un magnetómetro. Un campo magnético tiene dos fuentes que lo originan. Una de ellas es una corriente eléctrica de convección, que da lugar a un campo magnético estático. Por otro lado una corriente de desplazamiento origina un campo magnético variante en el tiempo, incluso aunque aquella sea estacionaria. La relación entre el campo magnético y una corriente eléctrica está dada por la ley de Ampère. El caso más general, que incluye a la corriente de desplazamiento, lo da la ley de Ampère-Maxwell.
8.3 Movimiento de cargas en un campo magnético
En este apartado, vamos a practicar con las fuerzas que ejercen un campo magnético y un campo eléctrico sobre partículas cargadas en movimiento. El campo eléctrico está creado por las dos placas de un condensador plano-paralelo que distan d y tienen una longitud L, su sentido es de la placa positiva (color rojo) a la negativa (color azul). El campo magnético es perpendicular al plano de la página, es positivo cuando apunta hacia dentro (color azul claro) y es negativo cuando apunta hacia fuera (color rosa). Desviación nula de la partícula
Una carga eléctrica se mueve con velocidad v0 desconocida a lo largo del eje horizontal X. Buscaremos las intensidades y los sentidos de los campos eléctrico y magnético que hacen que la partícula se mueva a lo largo del eje X sin desviarse. El campo eléctrico ejerce una fuerza Fe=q·E El campo magnético ejerce una fuerza Fm=q·v´B. Las partículas no se desvían si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.
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Por tanto, no se desviarán aquellas partículas cuya velocidad sea igual cociente E/B. En la figura, se muestran algunas configuraciones del campo eléctrico y magnético sobre cargas positivas o negativas que producen fuerzas en sentido contrario.
Movimiento bajo la acción del campo eléctrico
Cuando eliminamos el campo magnético, la partícula está bajo la acción de la fuerza eléctrica en la región del condensador. Como la fuerza eléctrica constante tiene dirección del eje Y, y la partícula se mueve inicialmente a lo largo del eje X, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán semejantes a las del tiro parabólico (movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad)
Si L es la longitud del condensador, la desviación vertical y de la partícula al salir de sus placas será Física II
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Puede ocurrir que la partícula choque con las placas del condensador. La posición x de impacto se calcula poniendo y=d /2, siendo d la distancia entre las placas del condensador.
Movimiento bajo la acción de un campo magnético
En esta región, la partícula experimenta una fuerza debida al campo magnético, cuya dirección y sentido viene dada por el producto vectorial Fm=q·v´B, y cuyo módulo es F m=q·vB. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos el radio de la circunferencia que describe.
La partícula cargada describe un arco de una circunferencia hasta que choca con alguna de las placas del condensador.
Si d es la separación entre las placas. El punto de impacto x, tal como se aprecia en la figura, se calcula del siguiente modo r-d /2=r ·cosθ x=r ·senθ
Si el radio r es suficientemente grande, la partícula saldría entre las placas del condensador. Su desviación y se calcularía del siguiente modo
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y=r L=r ·senθ
r ·cosθ
Ejemplo:
Datos de la partícula carga q=1.6·10-19 C masa m=1.67·10-27 kg campo eléctrico E =2000 N/C velocidad de la partícula 2·105 m/s Observamos que para B=-100 gauss=-100·10-4 T, la partícula no se desvía. Su velocidad es
2. Suprimimos el campo magnético, la desviación que experimenta la partícula debido a la acción del campo eléctrico al final del condensador es
3. Suprimimos el campo eléctrico y restauramos el campo magnético B=-100 gauss El radio de la órbita circular que describe la partícula es
La posición x de la partícula al chocar con la placa inferior es 20.87-5=20.87·cosθ , x=20.87·senθ =13.56 cm
θ =40.5º
8.4 Fuerza de Lorentz
En física, la fuerza de Lorentz es la fuerza ejercida por el campo electromagnético que recibe una partícula cargada o una corriente eléctrica.
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La fuerza magnética que se ejercen dos partículas en movimiento no satisface el principio de acciónreacción o tercera ley de Newton, es decir, la fuerza ejercida por la primera partícula sobre la segunda no es igual a la fuerza ejercida por la segunda partícula sobre la primera. Esto se puede comprobar por cálculo directo considerando dos cargas puntuales. La fuerza de la partícula 1 sobre la partícula 2 es:
Donde los
son los vectores de posición respectivos,
cargas respectivas, d la distancia entre las dos partículas y fuerza de de la partícula 2 sobre la 1 es:
Empleando la identidad en el plano formado por
y
las velocidades lineales respectivas, qi las los campos magnéticos. Análogamente la
puede verse que la primera fuerza está que la segunda fuerza está en el plano formado por y .
8.5 Corriente Inducida
La inducción electromagnética es el fenómeno que origina la producción de una fuerza electromotriz (f.e.m. o voltaje) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magnético variable, o bien en un medio móvil respecto a un campo magnético estático. Es así que, cuando dicho cuerpo es un conductor, se produce una corriente inducida. Este fenómeno fue descubierto por Michael Faraday quién lo expresó indicando que la magnitud del voltaje inducido es proporcional a la variación del flujo magnético ( Ley de Faraday). Por otra parte, Heinrich Lenz comprobó que la corriente debida a la f.e.m. inducida se opone al cambio de flujo magnético, de forma tal que la corriente tiende a mantener el flujo. Esto es válido tanto para el caso en que la intensidad del flujo varíe, o que el cuerpo conductor se mueva respecto de él. Matemáticamente se puede expresar como:
donde: = Fuerza electromotriz en voltios Φ = Flujo magnético en weber
t = Tiempo en segundos
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y el signo − es debido a la Ley de Lenz. La inducción electromagnética es el principio fundamental sobre el cual operan transformadores, generadores, motores eléctricos, la vitrocerámica de inducción y la mayoría de las demás máquinas eléctricas. De forma más general, las ecuaciones que describen el fenómeno son:
8.6 Motor de corriente continúa
El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotorio. En la actualidad existen nuevas aplicaciones con motores eléctricos que no producen movimiento rotatorio, sino que con algunas modificaciones, ejercen tracción sobre un riel. Estos motores se conocen como motores lineales. Esta máquina de corriente continua es una de las más versátiles en la industria. Su fácil control de posición, par y velocidad la han convertido en una de las mejores opciones en aplicaciones de control y automatización de procesos. Pero con la llegada de la electrónica han caído en desuso pues los motores de corriente alterna del tipo asíncrono, pueden ser controlados de igual forma a precios más accesibles para el consumidor medio de la industria. A pesar de esto el uso de motores de corriente continua continúa y se usan en muchas aplicaciones de potencia (trenes y tranvías) o de precisión (máquinas, micromotores, etc.) La principal característica del motor de corriente continua es la posibilidad de regular la velocidad desde vacío a plena carga. Una máquina de corriente continua (generador o motor) se compone principalmente de dos partes, un estator que da soporte mecánico al aparato y tiene un hueco en el centro generalmente de forma cilíndrica. En el estator además se encuentran los polos, que pueden ser de imanes permanentes o devanados con hilo de cobre sobre núcleo de hierro. El rotor es generalmente de forma cilíndrica, también devanado y con núcleo, al que llega la corriente mediante dos escobillas. También se construyen motores de CC con el rotor de imanes permanentes para aplicaciones especiales. Principio de funcionamiento
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Según la segunda Ley de Lorentz, un Lorentz, un conductor por el que pasa una corriente eléctrica que causa un campo magnético a su alrededor tiende a ser expulsado si se le quiere introducir en otro campo magnético.
F: Fuerza en Newtons en Newtons I: Intensidad que recorre el conductor en Amperios en Amperios l: Longitud del conductor en metros B: Inducción en Teslas en Teslas
Vale la pena agregar en el caso de las direcciones de la inducción magnética, la fuerza en la que se moverá el conductor como también el sentido de circulación de la corriente, se pueden definir con la Regla la Regla de la Mano Derecha de Fleming. Fuerza contraelectromotriz inducida en un motor
Es la tensión que se crea en los conductores de un motor como consecuencia del corte de las líneas de fuerza, es el efecto generador La polaridad de la tensión en los generadores es inversa a la aplicada en bornes del motor. Las fuertes puntas de corriente de un motor en el arranque son debidas a que con máquina parada no hay fuerza contraelectromotriz y el bobinado se comporta como una resistencia pura del circuito. Número de escobillas
Las escobillas Las escobillas deben poner en cortocircuito todas las bobinas situadas en la zona neutra. Si la máquina tiene dos polos, tenemos también dos zonas neutras En consecuencia, el número total de escobillas ha de ser igual al número de polos de la máquina. En cuanto a su posición, será coincidente con las líneas neutras de los polos. El sentido de giro de un motor de corriente continua depende del sentido relativo de las corrientes circulantes por los devanados inductor e inducido. La inversión del sentido de giro del motor de corriente continua se consigue invirtiendo el sentido del campo magnético o de la corriente del inducido. Si se permuta la polaridad en ambos bobinados, el eje del motor gira en el mismo sentido. Los cambios de polaridad de los bobinados, tanto en el inductor como en el inducido se realizarán en la caja de bornes de la máquina. Física II
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Reversibilidad: Los motores y los generadores de corriente continua están constituidos esencialmente por los mismos elementos, diferenciándose únicamente única mente en la forma de utilización. Por reversibilidad entre el motor y el generador se entiende que si se hace girar al rotor, se produce en el devanado inducido una fuerza electromotriz capaz de transformarse en energía en el circuito de carga. En cambio, si se aplica una tensión una tensión continua al devanado inducido del generador a través del colector de delgas, delgas, el comportamiento de la máquina ahora es de motor, capaz de transformar la fuerza contraelectromotriz en energía mecánica. 8.7 Ley de ohm
Circuito mostrando la Ley de Ohm: Una fuente eléctrica con una diferencia de potencial V , produce una corriente una corriente eléctrica I cuando cuando pasa a través de la resistencia la resistencia R La ley de Ohm, define una propiedad específica de ciertos materiales por la que se cumple la relación: I es lineal; esto es si R es Un conductor cumple la ley de Ohm sólo si su curva V - I independiente de V y y de I .
Sin embargo, la relación
sigue siendo la definición general de la resistencia de un conductor, independientemente de si éste cumple o no con la ley de Ohm. La intensidad La intensidad de la corriente la corriente eléctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada e inversamente proporcional a la resistencia la resistencia del mismo, según expresa la fórmula siguiente:
En donde, empleando unidades del Sistema del Sistema internacional: = Intensidad en amperios en amperios (A) I = V = = Diferencia de potencial en voltios en voltios (V) en ohmios (Ω). R = Resistencia en ohmios En un conductor recorrido por una corriente eléctrica , el cociente entre la diferencia de potencial aplicada a los extremos del conductor del conductor y la intensidad la intensidad de la corriente que por él circula, es una cantidad constante , que depende del conductor, del conductor, denominada denominada resistencia. resistencia. La ley enunciada verifica la relación entre voltaje y corriente en un resistor. Física II
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8.8 Problemas
1) Un electrón penetra en un campo magnético uniforme de 10-2 T con una velocidad de 4000 Km/s perpendicular al campo. Calcular la fuerza que actúa sobre él y el radio de la orbita que describe. Datos: masa y carga del electrón: 9,1 10-31 Kg y 1,6 10-19 C
2) Calcular el campo en un punto a 2,5 Cm de un largo conductor que transporta una corriente de 2 A Datos: o = 4 10-7 Tm/A
3) Dos cables paralelos de 60 cm están separados 2,5 cm. ¿Con qué fuerza se atraen si por ellos circula una corriente de 2 A en el mismo sentido.
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4) Un electrón penetra perpendicularmente a las líneas de fuerza de un campo magnético uniforme de 6·10-5 T. , con una velocidad de 1,5·106 m/s. Calcular el radio de la trayectoria. Datos: e= -1,6·10-19 C, me= 9,1·10-31kg.
5) Determinar la fuerza que actúa sobre un electrón situado en un campo B = -2·10-2 k (T) cuando su v i velocidad es =2·102 Dato: e= -1,6·10-19 C -19 F = – 6,4·10 j N
6) Un electrón penetra en un campo eléctrico uniforme E = 100 i V/m con una v =2·106 j m/s. Se desea Calcular el campo magnético que superpuesto al eléctrico permita al e- mantener su dirección y sentido del movimiento. B = -5·10-5k T
7) Dos láminas planas infinitas conductoras de espesor uniforme t1 y t2, respectivamente, se colocan paralelamente una a la otra con sus cargas adyacentes separadas por una distancia L. La primera lámina tiene una carga total por unidad deárea (suma de las densidades superficiales de carga en Física II
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cada lado) igual a q1, mientras que en la segunda es q2. Usando argumentos de simetría y la ley de Gauss, demostrar: a) las densidades superficiales de cargas sobre las caras adyacentes son iguales y opuestas; b) las densidades superficiales de carga en las caras exteriores de ambas láminas son iguales; c) los módulos de los campos y el valor de las densidades de carga son independientes de los espesores t1 y t2 y de la separación L. Obténgase explícitamente las densidades superficiales de carga y los campos en función de q1 y q2 y aplíquense estos resultados al caso especial q1 = -q2 = q.
8) Sobre una esfera conductora de radio a, cargada con una carga q, se coloca un estrato dieléctrico isótropo y esférico, concéntrico con la esfera conductora y de radios a y b (a
9) Un dieléctrico de permitividad no uniforme å=å0 eax llena el espacio comprendido entre las placas de un condensador plano-paralelo, una de las cuales, coincidente con el plano YZ está a tierra, mientras que la otra, separada una distancia d en el sentido positivo del eje X, se encuentra a un Física II
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potencial V. Calcular: a) el campo eléctrico de manera directa; b) el potencial, a partir de la ecuación diferencial que verifica, resolviendo el correspondiente problema de contorno y comprobar que su gradiente coincide con el campo calculado en a); c) la densidad superficial de carga en las placas del condensador, a partir de la capacidad equivalente; d) las cargas de polarización, comprobando la neutralidad eléctrica de la totalidad de ellas; e) la fuerza neta, por unidad de superficie, ejercida sobre las placas del condensador.
10) Se desea medir la permitividad de un líquido dieléctrico llenando con el mismo un depósito que tiene forma de condensador cilíndrico, con el fondo de material aislante y las paredes conductoras, de manera que éstas se conectan a una fuente de potencial a través de un medidor de corriente. Los radios de los cilindros que forman el depósito valen 10 cm y 27.2 cm. Si la velocidad de llenado del depósito es de 1 cm/s y la diferencia de potencial de la fuente es de 1000 V, la corriente entre la batería y el depósito es de 45 x 10-9A. a). Calcúlese la permitividad del líquido. b). Si en lugar de un medidor de corriente cuya sensibilidad alcanza hasta el nanoamperio, se dispusiese de un medidor menos sensible, incapaz de medir por debajo de 1x10-3 A, ¿ cuál debería ser la mínima velocidad de llenado del depósito para poder medir la permitividad del líquido sabiendo que su campo de ruptura es 10 MV/m ?
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11) Un solenoide de gran longitud que tiene 100 espiras por metro y un radio de 5 cm dispone de dos orificios A y B, situados en el plano de la figura, que representa la sección correspondiente a un corte transversal perpendicular al eje del solenoide en su parte central. Ambos orificios están separados un ángulo de 90º. Un protón con velocidad de 100 m/s penetra en el solenoide a través de A, en dirección perpendicular al eje del solenoide. Se desea que el campo magnético del solenoide obligue al protón a salir a través del orificio B , en dirección perpendicular al eje del solenoide. a) ¿ Cúal debe ser la corriente en el solenoide ? b) ¿ Cómo será la energía cinética del protón cuando sale del solenoide en relación con la que tenía cuando entró en el mismo ?
12) Un cilindro de radio a y longitud 2L se admite que está imanado uniformemente con imanación M en la dirección de su longitud. 1) Calcular el valor del potencial 01234567 0 5 10 15 20 25 30 V cm magnético escalar en un punto del eje del cilindro. 2) Calcular los campo H y B en un punto del eje a partir de: a) los polos magnéticos, b)las corrientes de imanación.
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13) Un largo tubo cilíndrico de un material magnéticamente lineal de permeabilidad µ tiene radios interior y exterior R1 y R2 respectivamente. Si en el eje del tubo hay un hilo recto, indefinido, recorrido por una corriente I, hallar: a) los campos B y H en las distintas regiones del espacio, b) las corrientes de imanación en el tubo, utilizando dichas corrientes para comprobar el valor obtenido del campo magnético de B.
14) Un circuito magnético está formado por un núcleo ferromagnético en forma de toroide de sección 2 cm2 y longitud 50 cm y un entrehierro de 1mm, rodeado de 200 espiras recorridas por una corriente de 2A. Determinar los campos en el entrehierro si la curva de primera imanación del material ferromagnético corresponde con la siguiente tabla B(T) 0 0.10 0.25 0.60 0.90 1.10 1.18 H(A/m) 0 200 400 600 800 1200 1600
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15) Una esfera ferromagnética de radio a está uniformemente imanada. La curva de desimanación del material ferromagnético que constituye la esfera está representada en la gráfica de la figura. Utilizando el valor del campo desimanador de la esfera, hallar: a) el punto de trabajo del imán, b) el valor de la imanación de la esfera, la densidad de polos magnéticos y las corrientes de imanación.
16) Un solenoide muy largo de radio a, que tiene n espiras por metro, está recorrido por una corriente i=kt. En su parte central, se sitúan dos anillos coaxiales con el solenoide, de radios R1=a/2 y R2=2a, teniendo ambos la misma sección. Calcúlese la relación que debe haber entre las resistividades de los materiales que forman los anillos para que disipen la misma potencia eléctrica
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17) Un anillo circular hecho con hilo de diámetro d, resistividad ñ y densidad de masa , cae libremente desde una gran altura en un campo magnético cuya componente vertical es Bz = Bo ( 1 + kz ), donde k es constante. El anillo tiene un diámetro D y se mantiene siempre paralelo al plano x-y. a) Explicar cualitativamente el movimiento del anillo; b) Despreciando la resistencia del aire, calcular la velocidad final del anillo en su caída.
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