FFI - Fundamentos Físicos de la Informática-1.pdf

Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática

Fundamentos Físicos de la Informática Departamento de Física Aplicada 1

Miguel Angel Cifredo Campos

PRIMERO

Miguel Angel Cifredo Campos macifredo@gmail.com

Temario de Fundamentos Físicos de la Informática Tema 1.- Electrostática Ley de Coulomb. Campo eléctrico de una carga puntual. Potencial y energía potencial. Campo eléctrico y potencial de distribuciones de carga. Ley de Gauss. Campos uniformes. Conductores en equilibrio en el campo electrostático. Condensadores. Dieléctricos. Energía del campo eléctrico. Aplicaciones. Tema 2.- Circuitos de corriente continua Descripción macroscópica de la corriente eléctrica. Intensidad. Ley de Ohm. Resistencia. Asociación de resistencias. Ley de Joule. Fuerza Electromotriz. Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos. Transitorio en un circuito RC. Aplicaciones. Tema 3.- Magnetostática Campo magnético. Fuerza de Lorentz. Aplicaciones. Fuerza sobre conductores. Momento sobre una espira. Ley de Biot-Savart. Ley de Ampère. Campos de interés en magnetismo. Magnetismo en la materia. Aplicaciones. Tema 4.- Campos variables en el tiempo Ley de Faraday-Lenz. Autoinducción e inducción mutua. Energía asociada al campo magnético. Transitorio RL. Ley de Ampère-Maxwell. Ecuaciones de Maxwell. Aplicaciones. Tema 5.- Circuitos de corriente alterna Generador de corriente alterna. Aspectos generales de señales armónicas. Fasores. Estudio de R, L y C en corriente alterna. Impedancia. Potencia en corriente alterna. Leyes Kirchhoff. Resolución de circuitos. Resonancia y filtros. Aplicaciones. Tema 6.- Ondas electromagnéticas Conceptos generales. Ondas armónicas. Interferencia y difracción. Ondas estacionarias. Grupo de ondas. Ancho de banda. Características específicas de las ondas electromagnéticas. Intensidad de ondas electomagnéticas. Generación y recepción de ondas electromagnéticas. Espectro electromagnético. Aplicaciones.


Tema 7.- Semiconductores Naturaleza dual de la radiación y de la materia. Cuantización de la energía. El spin. Principio de exclusión. Estructura cristalina. Bandas de energía. Conducción eléctrica en sólidos. Aislantes, Conductores y semiconductores. Electrones y huecos. Masa efectiva . Semiconductores intrínsecos y extrínsecos. Ecuación de neutralidad de carga. Ley de acción de masas. Cálculo de las densidades de portadores en las bandas. Corrientes de arrastre y difusión. Tema 8.- Dispositivos semiconductores Unión pn en equilibrio. Descripción de las corrientes en la unión PN polarizada. Ecuación del diodo. Diodo rectificador. Diodo LED y fotodiodo. Transistor MOSFET. Otros dispositivos.


Bibliografía •

Apuntes de Física Francisco L. Mesa Ledesma. http://departamento.us.es/dfisap1/mesa/index.htm

•

Física Universitaria Sears, Zemansky, Young y Freedman Adisso-Wesley (Pearson)

•

Física R.A. Serway y J.W. Jewett Edt. Thomson

•

Física D.C. Giancoli Prentice Hall Hispanoamericana

•

Física para la Ciencia y la Tecnología P.A. Tipler y G. Mosca Reverté Publicación

•

Fudamentos Físicos de la Informática y las Comunicaciones Luis Montoto de San Miguel Edt. Thomson





I NGENIERÍA I NFORMÁTICA – I NGENIERÍA DE C OMPUTADORES Fundamentos Físicos de la Informática Curso 2011-12 Test de contenidos físicos

1. Indique cuáles son las unidades de las siguientes magnitudes físicas en el Sistema Internacional: a) Longitud.

h) Velocidad.

ñ) Temperatura.

b) Masa.

i) Aceleración.

o) Voltaje.

c) Tiempo.

j) Fuerza.

p) Carga eléctrica.

d) Frecuencia.

k) Energía.

q) Corriente eléctrica.

e) Área.

l) Trabajo.

r) Campo eléctrico.

f ) Volumen.

m) Calor.

s) Campo magnético.

g) Densidad.

n) Presión.

t) Resistencia eléctrica.

2. Realice las siguientes conversiones de unidades: a) 1,25 µm a m, mm y nm.

e) 0,5 T a G.

b) 0,75 m/s a cm/s y km/h.

f ) 8,3 µC·V a J.

c) 3 cm/s2 a m/s2 y km/h2 .

g) 3,5 N·cm a J.

d) 2,4 GHz a MHz, kHz y Hz.

h) 3 mV/cm a N/C.

~ que forma un ángulo θ con la horizontal, siendo µ 3. Un bloque de masa m es arrastrado por una fuerza F el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo (véase la figura 1). Se supone que el bloque no se levanta, de forma que su base permanece en todo momento apoyada sobre el suelo. a) Calcular la velocidad que adquiere el bloque transcurrido un tiempo t , así como el espacio recorrido durante dicho tiempo. ~ | = 250 N, θ = 30◦ , m = 50 kg, µ = 0,5 y t = 20 s, calcular la energía cinética que adquiere el b) Para |F bloque. c) Para los mismos valores numéricos del apartado anterior, calcular el trabajo realizado por la fuerza ~ y por la fuerza de rozamiento. Comentar los resultados obtenidos en conexión con el resultado del F apartado anterior. 4. Un cañón está situado sobre una plataforma a 20 m de altura y apunta a 45◦ respecto a la horizontal, tal como se indica en la figura 2. Se dispara una bala de 15 kg que sale del cañón a una velocidad de 300 m/s. Calcular: a) El alcance del cañón (distancia horizontal que recorre la bala hasta tocar el suelo) y el tiempo de vuelo de la bala. b) La altura máxima que alcanza la bala sobre el suelo. c) Los valores máximo y mínimo de la energía cinética de la bala durante el vuelo. d) ¿En qué punto de la trayectoria la rapidez de la bala es igual a la de partida? Calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad sobre la bala desde el disparo hasta dicho punto y también durante el vuelo completo de la bala.


Figura 1: Problema 3.

Figura 2: Problema 4.

1 0.75 0.5

y(m)

0.25 0 -0.25 -0.5 -0.75 -1 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x(m) Figura 3: Problema 6. 5. Una piedra de 0,2 kg se usa como proyectil en una honda. El tirador mantiene durante un tiempo la piedra girando de forma que ésta describe un movimiento circular uniforme, completando tres vueltas cada segundo. Si la longitud de la cuerda de la honda es de 75 cm, calcular a) La rapidez con que se mueve la piedra. b) La tensión de la cuerda. c) La altura máxima que alcanzaría la piedra si saliese de la honda en dirección vertical. 6. La figura 3 representa el aspecto instantáneo de una onda sinusoidal que se propaga por una cuerda. A la vista de la figura, a) ¿Cuánto vale la longitud de onda? b) ¿Cuánto vale la amplitud de la onda? c) Si la velocidad de propagación de la onda es de 150 km/h, ¿cuál es la frecuencia de la onda y su periodo? d) Sabiendo además que la onda viaja hacia la derecha, escribir la correspondiente función de onda (suponer que la figura corresponde al instante t = 0).


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cos(α)

W

x + y + 2z = 2 −3x + 2y + 3z = −2

2x + my − 5z = −4

Q SD R m AC19@8/!V9AM0 HKEZ1-AG1oV9H^d#D]1HÛpNPEM2S1?cjDfEC20-HK1?O!H m < Q B\RPqnHK1-25ECc5H^09EC2J,D509D m = 1 < r
f (x) =

 2  eλx − 1     3x2 ,     

1HKN

(2x) , x

1A 1A

x>0

x≤0.

xZ EJ=25ECAMN2d]AM2 P (x) V-HKNUDFH8IV90-HKdF2S1y09HÊGDjV9AMc52S1HKNPEC21?J/NSV-2S1nOHaD5B,1-@ÂC19D51 x = −1/3 b x = −1 < • DF09HK@8V9DzV)DfNUH^NSV-HaDFEGDFU50)Yj|\@KDO!H P (x) H^NeHÊZJ/NSV-2 (0, P (0)) 1-HKD y = x + 3 < • } ~< .yDfEG@8/EGDf0?EGD51nO!HK0-ACcjDOD51?O!HaEGD51n1ACU5/,AMHKNV-H:1y_`/N,@ÂM2NHK1Kw Q DSR (3t2 − 1) cos(4t) Q B\R ez 6 z − cos2 (z) Q @KR 5x3x ln(x) < DfBACH^N\O!2t/,HPECD_`/N\@8ACL5N F (x) V-ACH^NHgO!H^09ACcjD5OD f (x) @825NSV-ACNS/,DiHKNHÊnACNV-HK0-cfDfEC2i@^H^0909DO!2 [2, 5] Wt/,H W DfECECD50 F (2) = 1 b F (3) = 2 b F (4) = 6, F (5) = 3, f (3) = 3 f (4) = −1 ; Q DSR R 5 f (x)dx Q B\R R23 (5f (x) − 7)dx Q @KR R24 F (x)f (x)dx < 2 < .yDfEG@8/EGDf0?EGD51?J09ACd]AV9AMcfD51nO!HaECD1n1ACU5/ACH^NSV-H:1?AMNSV-HÛ09D5EMH:1^w Q DSR R 1HKN (ωt) dt Q B\R R cos2 (ωt) dt Q @KR R 1 dx Q O,R R x1 dx x Q H:R R ue < −3u du 2

3


< nq HK@^250)ODfN,O!2XtS/H ejα = cos(α) + j1HKN (α) b 1-AMHKN,O!2 j = √−1 EGDT/NAGOD5OACd]D5U5ACN,Df09AGD b H:1-@^0-ACB,DHKN_`20-d#D BAMN,L5d]AC@KDFWTJ=25EGDf0?HKE09HK1-/EMV9D5O2]O!H[EGD1?1-ACU5/ACH^NSV-HK1n25J=H^0)D5@ÂM2NHK1y@^25NPNSp,dFHK0-2S1?@^25d]JECHoo2S1^w Q DSR ejπ/4 − 7j3 Q B\R (4 + j)(2 − 5j) Q @KR (3 + 2j)2 4 − 5j

Q O,R ¡e(2+jπ/3) ¢4 < ;< qnH^J09HK1-H^NSV-H[EGD51n1-AMU/ACH^NV9Hv_`/N,@ÂM2NHK1nH^NeHÊZACNV-HK0-cfDfEC2]t/,Ha1-H[AMN\O!AC@KDw Q DSR V (t) = V e−t/τ HKN Q 4 b τ R < Q B\R V (t) = V0 ¡1 + e−t/τ ¢ HKN Q 4 b τ R < 0 Q @KR V (t) = V ¡1 − e−t/τ ¢ HKN Q 4 b τ R < 0 ;\;=< .yDfEG@8/ECH b 1ACNP/,19Df0nECD]@KDfEG@8/EGD5O!209D b HÊZcjD5EM20nO!H[EC21n1-ACU5/ACH^NV9HK1?EC25USDf09AV9d]21^w Q DSR log 32 Q B\R log2 1 Q @KR log55 25+ log 20 Q O,R log 2 − log 0.2 ;!hZ< A log 5 = 0.69897 b @^DfEG@8/,EMH Q 1-ACNP/\1-D50?EGD_`/N,@8ACL5NeEC25UD50-AMV-d]AG@^DOH[EGD]@^D5EC@^/ECDO!250)DRw Q DSR log 625 Q B\R log √5 ;l< qnHK1-25ECc5H^0?EGD51n1-ACU5/ACH^NV9HK1?H:@8/,D@8AC25NH:1^w Q DSR log (x + 6) = 1 + log (x − 3) Q B\R 5x + 5 x 3

=9







Bol 0. Ejercicios de repaso.

1

F.F.I. — curso 2011-2012 — Ejercicios de repaso 1. Encontrar el unitario en la direccio´ n dada por los puntos de coordenadas (3, 2, 0) y (6, 8, 2). Sol.: (3/7, 6/7, 2/7).

2. Encontrar los coe£cientes a,b y c que permiten expresar el vector (−7, −3, 5) como combinaci o´ n lineal en la forma (−7, −3, 5) = a(2, 1, 0) + b(3, 1, 4) + c(5, 2, 1). Sol.: a = 1, b = 2 y c = −3.

3. Demostrar que el módulo del vector suma, ~c = ~a + ~b, veri£ca |~c| = (|~a| 2 + |~b|2 + 2 cos α|~a||~b|)1/2 , siendo α el a´ ngulo que forman ~a y ~b. 4. Encontrar el a´ ngulo formado por los vectores (3, 6, 2) y (8, 6, 0) utilizando dos técnicas diferentes (producto escalar y vectorial). Sol.: α = 31.003o .

5. Utilizando el concepto de producto vectorial, determinar el vector normal (perpendicular y unitario), b n, al triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (4, 5, 2) y (3, 1, 2), as´ı como el a´ rea, S, de dicho triángulo 1 . √ √ Sol.: b n = (8, −2, −7)/ 117 y S =

117/2.

6. Las coordenadas de una part´ıcula móvil de masa m = 2 Kg en función del tiempo son r(t) = (3t, t2 , t3 ) m (t en segundos). Determinar: (a) la velocidad y aceleraci o´ n de la part´ıcula; (b) la fuerza que actúa sobre la misma en el instante t = 1 s; (c) el trabajo realizado por la fuerza entre t = 0 y t = 1 utilizando el hecho de que el trabajo realizado por la fuerza total que actu´ a sobre la part´ıcula es igual al incremento de la energ´ıa cinética de la misma (teorema de fuerza vivas); (d) la potencia promedio ejercida por la fuerza en el intervalo t = 0 a t = 1s. Sol.: (a) ~v (t) = (3, 2t, 3t2 ) m/s, ~a(t) = (0, 2, 6t) m/s2 ; (b) F~ = (0, 4, 12) N; (c) W = 13 J; (d) P = W/∆t = 13 W.

1

Para realizar este punto, debe demostrase que el a´ rea de un triángulo puede expresarse en funcio´ n del módulo del producto vectorial de dos cualquiera de los vectores que unen los vértices del mismo.
















Tema 1.- Electrostática (6 horas) Ley de Coulomb. Campo eléctrico de una carga puntual. Potencial y energía potencial. Campo eléctrico y potencial de distribuciones de carga. Ley de Gauss. Campos uniformes. Conductores en equilibrio en el campo electrostático. Condensadores. Dieléctricos. Energía del campo eléctrico.






Propiedades de la carga eléctrica a) Hay dos tipos de carga eléctrica: positiva y negativa b) La carga se conserva. c) La carga está cuantizada: qe=1,602 x 10-19 C Unidad de carga en el Sistema Internacional (S.I.): Culombio (C)


Interacciones fundamentales en la naturaleza a) Gravitatoria b) Electromagnética c) Nuclear débil d) Nuclear fuerte


Desde el punto de vista electrostático, los materiales se clasifican en: a) Aislantes o dieléctricos: no poseen cargas libres: madera seca, plásticos, cerámicas, vidrio… b) Conductores: poseen cargas eléctricas que pueden moverse libremente: metales, disoluciones iónicas, gases ionizados …


Ley de Coulomb La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une. La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas y es proporcional al producto de las mismas. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen signos opuestos.



Campo eléctrico

Utilidad del concepto campo eléctrico: a)

Simplificación matemática: el campo eléctrico no depende de la carga prueba.

b)

Conceptual: la carga fuente crea el campo eléctrico y el campo eléctrico interactúa con la carga prueba.

Unidades de campo eléctrico en el S.I.: N/C




Reglas para dibujar las líneas de campo a) Parten de las cargas positivas (o del infinito) y terminan en las cargas negativas (o en el infinito). b) Salen radialmente de una carga. c) La densidad de líneas (número de líneas por unidad de área perpendicular a la misma) en un punto es proporcional al módulo del campo eléctrico. d) No se cortan entre sí.




Principio de superposición La interacción entre dos cargas es completamente independiente de la presencia de otras cargas.


Carl Friedrich Gauss


Ley de Gauss El flujo del campo eléctrico debido a una distribución de carga a través de una superficie cerrada S es igual a la carga neta encerrada en el interior de la superficie, Qint, dividida por la permitividad dieléctrica del vacío, ε0.



Campo eléctrico y potencial en un conductor en equilibrio electrostático a) El campo eléctrico es nulo en el interior del conductor. b) El potencial es constante en todo el conductor. c) La carga neta está en la superficie del conductor. d) El campo eléctrico es perpendicular a la superficie del conductor. e) El módulo del campo eléctrico en la superficie viene dado por: E=σ/ε0.


Conductor neutro en un campo eléctrico externo.


Conductor neutro con un hueco en un campo eléctrico externo.


Jaula de Faraday


Generador Van der Graaf



El campo eléctrico cerca de una punta es más intenso. En sus cercanías se puede producir ruptura dieléctrica. ¡Cuidado con las puntas!



Condensadores • Capacidad de un condensador: C = Q/V • C no depende ni de Q ni de V. • C sólo depende de la forma del conductor. • Unidades de C en el S.I.: Faradio (F), 1F=1C/1V 1mF=10-3F 1µF=10-6F 1nF=10-9F 1pF=10-12F


Condensadores

Símbolo de un condensador.

Condensador de placas planas y paralelas.


El condensador plano.


Condensadores.


Condensador variable


Interruptor de capacidades del teclado de un ordenador.


Campo eléctrico en la materia: dieléctricos

Moléculas de un dieléctrico polar en presencia de un campo eléctrico externo E


Campo eléctrico en la materia: dieléctricos

Dieléctrico polarizado por la presencia de un campo eléctrico externo E.


Efecto de la presencia de un dieléctrico en el interior de un condensador sobre el campo eléctrico en la región entre sus placas.


Efecto de la presencia de un dieléctrico en el interior de un condensador sobre el campo eléctrico en la región entre sus placas.





























































Tema 2.- Circuitos de corriente continua (5 horas) Descripción microscópica de la corriente eléctrica. Intensidad. Ley de Ohm. Resistencia. Asociación de resistencias. Ley de Joule. Fuerza Electromotriz. Leyes de Kirchhoff. Resolución de circuitos. Transitorio en un circuito RC.


Flujo de partículas Æ corriente eléctrica. Para que exista un flujo de partículas cargadas, debe haber un campo eléctrico no nulo en el interior del conductor Æ El conductor no está en equilibrio electrostático. a) El campo eléctrico no es nulo en el conductor. b) El potencial no es constante en el conductor. c) El campo eléctrico no tiene porque ser perpendicular a la superficie del conductor.


Flujo de partículas Æ corriente eléctrica. Tipos de corrientes: a) Corriente continua: el flujo de cargas permanece invariable con el tiempo. b) Corriente variable con el tiempo: el flujo de cargas varía con el tiempo. b.1) Corriente alterna: tipo particular de corriente variable en el tiempo en el que el flujo varía de forma armónica.


Intensidad de corriente

dt dQ I= dt

dQ S

Unidades en el S.I.: Amperio (A):

1A=1C/1s


Intensidad de corriente

I = n q vd ⋅ S dt I

vd

S dl=v dt d

n: número de portadores por unidad de volumen q: carga de cada portador Vd: vector velocidad de desplazamiento promedio de los portadores S: Vector superficie


Vector densidad de corriente: J

I = ∫ J ⋅ dS S

J = n q Vd n: número de portadores por unidad de volumen q: carga de cada portador Vd: vector velocidad de desplazamiento promedio de los portadores S: Vector superficie


Código de colores para resistencias


Código de colores para resistencias


Leyes de Kirchhoff • Malla: Es cualquier trayectoria cerrada en un circuito. • Nudo: es un punto en el circuito donde se encuentran tres o más conductores.


Leyes de Kirchhoff Regla de las mallas La suma algebraica de las diferencias de potencial a lo largo de cualquier camino cerrado debe ser nula:

∑V = 0 i

i


Leyes de Kirchhoff Regla de los nudos En cualquier nudo, la suma algebraica de las intensidades que entran o salen debe ser nula.

∑I = 0 i

i


Ejemplo: En el circuito de la figura, calcúlese la diferencia de potencial entre los puntos a y b.


Teorema de superposición La respuesta en cualquier elemento lineal que contenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas para cada una de las fuentes actuando separadamente y con todas las demás fuentes anuladas.

Ib = Ib,1 + Ib,2


Teorema de Thevenin En un circuito de corriente continua que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales, éstos pueden ser considerados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contiene una única fuente de tensión, εTH, de valor igual a la diferencia de potencial que aparece entre los terminales, y una única resistencia, RTH, equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fuentes de fem del circuito.


Teorema de Thevenin


Teorema de Norton En un circuito de corriente continua que contenga resistencias y fuentes de fem del cual salen dos terminales, éstos pueden ser considerados a efectos de cálculo como los terminales de un circuito que contiene un generador de corriente, INR, de valor igual a la intensidad de corriente que aparece entre los terminales en cortocircuito y una resistencia en paralelo, RNR, equivalente a la que aparece entre los terminales cuando se anulan todas las fem del circuito.


Teorema de Norton

INR = εTH/RTH, RNR = RTH



1

Bol. Tema 2 2011-2012

F.F.I. Bolet´ın Tema 2. Curso 2011-2012 1. Al circular una corriente de 500 mA por un cable de cobre de diámetro 1,291 mm se mide una ca´ıda de potencial de 6, 38 mV por cada metro de dicho cable. Teniendo en cuenta que el cobre posee una concentración de portadores n = 8, 47 × 1028 electrones/m3 : (a) determinar la resistencia de un metro de dicho cable, la resistividad, ρ, del cobre y la velocidad de deriva, vd , de los portadores en el cable cuando lo circula una intensidad de 500 mA; (b) comparar el valor de la resistencia de un metro de dicho cable con la resistencia de una bombilla de 100W-220V (la resistencia de la bombilla puede obtenerse de las especificaciones 100W-220V de la misma). A la vista del resultado, concluya si puede despreciarse la resistencia del cable frente a la de la bombilla. Sol.: (a) 12.76 mΩ, ρ = 1, 67 × 10−8 Ω·m y vd = 0.028 mm/s; (b) RBombilla = 484 Ω, como 12.76 mΩ es mucho menor que 484 Ω podemos despreciar la resistencia del cable frente a la de la bombilla. An´ alisis de circuitos y reglas de Kirchhoff

2. Entre los bornes de una pila se mide una tensión de 1.3 V al ser circulada por una intensidad de 400 mA y una tensión de 1.4 V al ser circulada por una intensidad de 200 mA. Determinar el valor nominal de la fuerza electromotriz de la pila y su resistencia interna. Sol.: ε = 1.5 V y r = 0.5 Ω.

3. En las ramas del esquema, determinar la intensidad por la resistencia de 6 Ω y las ca´ıdas de potencial Vab y Vbc . Sol.: I = 2 A, Vab = −2 V, Vbc =84 V.

4. Obtener las corrientes por las ramas del circuito de la figura as´ı como la potencia total suministrada y consumida, verificando el balance. Sol.: 100 mA, 40 mA y 60 mA; Potencia suministrada por la pila 1W y potencia consumida en las resistencias 0.4 + 0.24 + 0.36 = 1 W, igual a la suministrada como era de esperar.

5. En el circuito de la figura calcular: (a) las intensidades por cada una de la ramas; (b) la ca´ıda de tensión VAB por tres caminos diferentes; (c) la potencia suministrada y consumida, verificando su balance. Sol.: (a) 0.3 A, 0.3 A y 0.6 A; (b) VAB = 36 V, independiente del camino; (c) Suministro: P(72V ) = 21.6 W, P(48V ) = 14.4W, Consumo: P(120Ω) = 10.8 W, P(40Ω) = 3.6 W, y P(6Ω) = 21.6 W, Balance (21.6 + 14.4)W = (10.8 + 3.6 + 21.6)W = 36W.

6. En el circuito de la figura determinar las intensidades que atraviesan las bater´ıas as´ı como las ca´ıdas de potencial VAB , VAC y VBD . Sol.: 10 mA, 20 mA y 10 mA; VAB = −80 V, VAC = 20 V y VBD = 140 V. Asociaciones de resistencias

7. Utilizando las reglas para la asociación en serie y en paralelo de resistencias, determinar la resistencia equivalente desde los terminales de la pila en el circuito de la figura. Utilizar dicho resultado para obtener la potencia suministrada por la pila. Sol.: Req. = 20 Ω y P = 112.5 mW.

8. La asociación de resistencias de la figura se denomina puente de Wheastone. (a) Demostrar que si la intensidad que atraviesa la resistencia R es nula entonces se cumple la relación R 1 R4 = R2 R3 (nota: si se verifica dicha relación, se dice que el puente está balanceado y la resistencia R podr´ıa quitarse o


Bol. Tema 2 2011-2012

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sustituirse por otra resistencia para calcular la resistencia equivalente). (b) Para los valores (en kΩ) siguientes: R1 = 5, R2 = 1, R3 = 10, R4 = 2 y R = 2, compruebe si el puente está balanceado y calcule la resistencia equivalente. (c) sea ahora R2 = 4 kΩ, siendo las demás las mismas del apartado (b), calcule nuevamente la resistencia equivalente. Sol.: (b) el puente está balanceado y Req. = 2.5 kΩ; (c) no está balanceado y Req. = 4 kΩ.

9. Demostrar: (a) Si dos resistencias R1 y R2 están en paralelo, entonces se verifica que I1 = IR2 /(R1 + R2 ) y análogamente I2 = IR1 /(R1 + R2 ), donde I es la intensidad total por el paralelo e I1 e I2 las intensidades por R1 y R2 respectivamente 1 . b) Si dos resistencias están en serie, entonces se verifica V1 = V R1 /(R1 + R2 ) y análogamente V2 = V R2 /(R1 + R2 ), donde V es la ca´ıda de tensión total entre los extremos de la asociación, siendo V 1 y V2 las ca´ıdas de tensión en R1 y R2 respectivamente 2 . Circuitos con condensadores

10. Como es sabido, al conectar un circuito serie RC a una fuente de continua, la carga en el condensadores aumenta hasta alcanzar un valor final siguiendo la ley q(t) = Q(1 − e −t/τ ), donde Q es la carga final y τ = RC la constante de tiempo. (a) Partiendo de la expresión para q(t), determinar las expresiones matemáticas para I(t) = dq(t)/dt y V (t) = q(t)/C en el condensador y representarlas gráficamente. (b) Comprobar que para t = 4τ se ha alcanzado el 98% de la carga final y el condensador puede considerase cargado. (c) Comprobar que en t = 0 la diferencia de potencial entre placas del condensador es nula lo que implica que equivale a un cortocircuito en ese instante, y que cuando el está cargado la intensidad por el mismo es nula, lo que implica que equivale a un abierto. 11. Utilizando las conclusiones del apartado (c) del problema anterior, determinar: (a) las intensidades que atraviesan las bater´ıas del circuito en el instante t = 0 de conexión; (b) las intensidades por las bater´ıas cuando el condensador está cargado (estado estacionario) (c) la diferencia de potencial entre placas del condensador calculada por dos caminos diferentes; (d) la carga final del condensador y la energ´ıa acumulada en el mismo. Sol.: (a) 0.5A y 0.7 A; (b) 0.2 A y 0.1 A; (c) Vc =12 V, independiente del camino; (d) 24 µC, siendo positiva la carga en la placa de arriba y UE = 144 µJ.

12. El circuito de la figura está en estado estacionario. Sabiendo que la carga del condensador de 6 µF es de 40 µC con la polaridad indicada, determinar: a) el valor de la intensidad que atraviesa la bater´ıa as´ı como su fuerza electromotriz; b) la carga de cada uno de los condensadores. Sol.: a) I = 4 A, ε = 44 V; b) Q(1µF ) = 4 µC, Q(6µF ) = Q(3µF ) = 40 µC y Q(5µF ) = 50 µC.

1

Esta f´ ormula llamada del divisor de intensidad indica que pasa m´ as intensidad por la resistencia menor, ya que “cuesta”menos y la intensidad busca caminos de menor resistencia. 2 Esta f´ ormula llamada del divisor de tensi´ on indica que la ca´ıda de tensi´ on es proporcional a la resistencia, por tanto cae m´ as tensi´ on en la resistencia mayor, ya que es necesario m´ as trabajo para que la unidad de carga atraviese la resistencia de mayor valor.


3

Bol. Tema 2 2011-2012 Figuras Bol. Tema 2

c 8A

6A 10W

4W 6W

72 V

b

A

40W

20V 10V

150W

10V

60 W 48 V

Prob. 4

a

40 W

120 W

100W

B Prob. 5

Prob.3 A

60V

3kW

110 V 1kW

2 kW

A

B

5kW

1,5 V

25W

C B

24 W 200 W

50 W

144 W

R1 R

4kW D

80V

20V

Prob. 8

48 W Prob. 7

4V

20 W 1m F

40W

R4

R2

Prob. 6

40 W

R3

I

2m F

14V

6W Prob. 11

2W

e

10V

+ 6m F 3mF

4W Prob. 12

5W 5m F

I





































Tema 3.- Magnetostática (5 horas) Campo magnético. Fuerza de Lorentz. Fuerza sobre conductores. Momento sobre una espira. Ley de Biot-Savart. Ley de Ampère. Campos de interés en magnetismo. Magnetismo en la materia. Aplicaciones.


Fuerza magnética sobre cargas en movimiento

Fm = q v × B 1N N⋅ s Unidades de B en el S.I.: Tesla: 1 T = = 1C 1 m/s C ⋅ m Unidades del cgs: gauss: 1 G = 10-4 T.


Fuerza de Lorentz Si sobre una partícula cargada actúan simultáneamente un campo magnético B y un campo eléctrico E, la fuerza total que sufre la partícula será la superposición de esto dos campos:

Ftotal = q (E + v × B )

Fuerza de Lorentz


Fuerza magnética sobre cargas en movimiento

dv Fτ = m = Fuerza tangencial dt v2 = Fuerza normal o centrípeta Fn = m R


Trayectorias de partículas cargadas en presencia de campos magnéticos La fuerza magnética no tiene componente tangencial (Fτ =0 ya que F es perpendicular a v): a) El módulo de la velocidad es constante: v=cte. b) La fuerza magnética no realiza trabajo: WFm=0 c) La fuerza magnética actúa como fuerza normal (centrípeta) y es responsable del cambio de la dirección de v.


Trayectorias de partículas cargadas en presencia de campos magnéticos Si una partícula cargada incide perpendicularmente en un campo magnético uniforme, describe una trayectoria circular:

mv R= qB


Para un movimiento circular uniforme, se tiene que:

v ω = , ω = frecuencia angular R 2π R v 2π T= , T = periodo ⇒ ω = = v R T 1 2π = 2π f f = , f = frecuencia ⇒ ω = T T


Luego, para el caso de una partícula cargada en un campo magnético uniforme se tiene que:

mv R= qB

,

2π R m 1 qB = 2π ⇒ f = = T= v qB T 2π m

ω = 2π f

q ⇒ ω = 2π f = B m (frecuencia de ciclotrón)


Selector de velocidades Consideremos una región del espacio donde hay dos campos uniformes B y E perpendiculares entre sí. Supongamos que Fm=Fe

E qE = qvB ⇒ v = B


Trayectorias general de partículas cargadas en presencia de campos magnéticos.

La componente de v paralela a B permanece constante.


Botella magnética


Cinturones de Van Allen


Aurora boreal


Ejemplo: Determinar la masa de una partícula de carga q=1,6x10-19C que al penetrar en una región con un campo B=400G describe un círculo de radio R=21cm, habiendo sido previamente seleccionada su velocidad con una disposición como se muestra en la figura con E=3,2x105V/m.


Efecto Hall

IB VH = RH h

Voltaje Hall

1 RH = = coeficiente de Hall nq


Efecto Hall

Cuando los portadores son cargas negativas, el campo eléctrico dentro del conductor se invierte y por lo tanto cambia la polaridad del voltaje Hall (VH). ⇒ La determinación de la polaridad de VH sirve para determinar si los portadores son positivos o negativos.


Fuerzas magnéticas sobre conductores. Par de fuerzas sobre una espira de corriente.

M = m×B

M = Momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira. m = momento dipolar magnético o momento magnético de la espira.


m = NIS

m = momento dipolar magnético. N = número de arrollamientos de la espira. S = vector superficie (el sentido de S viene fijado por el sentido de circulación de I) El par de fuerzas tiende a rotar la espira y alinear m con B.


Motor de corriente continua


Como fuentes del campo magnético se tienen: a) Imanes permanentes. b) Corrientes eléctricas → experimentos de Oersted.


Ley de Biot-Savart La ley de Biot-Savart determina cómo una corriente eléctrica crea un campo magnético.

µ0 = permeabilidad del vacío

µ0 = 4π × 10

−7

T⋅m A


Ley de Ampere La ley de Ampere relaciona la circulación de B en una curva cerrada con la intensidad de corriente que atraviesa una superficie cerrada que se apoya en esa curva.

v∫ B ⋅ dl = µ I

0 Γ

Γ

IΓ = ∫

S (Γ)

J ⋅ dS


v∫

Γ1

B ⋅ dl = µ0 ( I1 + I 2 − I 3 )

v∫

Γ2

B ⋅ dl = 0


Ejemplos: a) Calcule el campo magnético producido por un hilo rectilíneo infinito, de radio despreciable. b) Un alambre largo y recto de radio R transporta una corriente I uniformemente distribuida en toda el área transversal del conductor. Determinar el campo magnético dentro y fuera del alambre. c) Calcule el campo magnético en el interior de un solenoide.




Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

µ0 I 1 B1 = 2π R

dF21 = I 2 dl 2 × B1

⇒

F21 µ0 I1I 2 F12 = = L2 L1 2π R


El magnetismo en la materia En función de la interacción de los momentos dipolares magnéticos de los átomos que forman un cuerpo con un campo magnético exterior aplicado, los materiales se clasifican en: a) Paramagnéticos b) Ferromagnéticos c) Diamagnéticos


Materiales paramagnéticos a) Poseen momentos dipolares magnéticos (mdm) en ausencia de campo magnético externo (Bext). b) Los mdm interactúan débilmente entre sí. c) Cuando se aplica Bext, los mdm se alinean en el mismo sentido de Bext. d) A temperaturas ordinarias y campos Bext normales, sólo una pequeña fracción de los mdm se alinea con Bext → B se incrementa muy poco.


Materiales ferromagnéticos a) La interacción entre momentos dipolares magnético (mdm) es mucho mayor en materiales ferromagnéticos que en materiales paramagnéticos. b) Los momentos dipolares magnéticos (mdm) se alinean en la dirección del campo magnético externo (Bext). c) Incluso para campos Bext débiles se produce un elevado grado de alineación entre los mdm (incluso pueden estar alineados en ausencia de Bext). d) Producen un incremento de Bext muy importante.


Materiales diamagnéticos a) Los momentos dipolares magnético (mdm) son mucho más débiles que en el caso de materiales paramagnéticos y ferromagnéticos. b) Los mdm surgen sólo en presencia de un campo externo. c) Los mdm se alinean en sentido contrario al campo Bext. d) El diamagnetismo está presente en todos los materiales pero queda enmascarado para materiales paramagnéticos y ferromagnéticos.


Imanación Cuando se sitúa un material en presencia de un campo magnético externo, Bext, éste tiende a alinear los momentos dipolares magnéticos m con Bext. Se llama imanación, M, a un vector que representa el momento dipolar magnético por unidad de volumen:

dm Μ= dv


dm A ⋅ di di = = M= dv A ⋅ dl dl Unidades de M (S.I.): 1A/1m


Susceptibilidad magnética Supongamos que se sitúa un material en el interior de un solenoide:

B = µ0 nI , n = número de vueltas por unidad de longitud di M = = nI ⇒ B = µ0 M ⇒ B = µ0 M dl El campo total dentro del solenoide es la superposición del campo aplicado, Bap, y del imanación, µ0M.

B = B ap + µ0 M


B = B ap + µ0 M • Materiales paramagnéticos y ferromagnéticos: M // Bap • Materiales diamagnéticos: M y Bap son antiparalelos Para materiales paramagnéticos y diamagnéticos:

M = χm

B ap

µ0

χm = Susceptibilidad magnética (adimensional)


B = B ap + µ0 M = (1 + χ m ) ⋅ B ap = K m ⋅ B ap

Km = 1 + χm

Km = permeabilidad relativa del material.

• Materiales paramagnéticos: χm es un número muy pequeño, positivo, que depende de la temperatura. • Materiales diamagnéticos: χm es un número muy pequeño, negativo, independiente de la temperatura.


Susceptibilidades magnéticas a 20ºC.


Ferromagnetismo • El ferromagnetismo se da en el hierro puro, cobalto, níquel y aleaciones de estos materiales. • La interacción entre momentos dipolares magnético atómicos es muy grande. • A partir de cierta temperatura, conocida como temperatura de Curie la agitación térmica rompe la alineación de los dipolos magnético y el material deja de ser ferromagnético para ser paramagnético.


Dominios magnéticos: regiones en las que los momentos dipolares están alineados unos con otros en ausencia de campo magnético externo.


Ciclo de Histéresis


El área incluida en la curva de histéresis es proporcional a la energía disipada en forma de calor en el proceso de imanación y desimanación: a) Área pequeña: materiales magnéticamente blandos (ejemplo: núcleos de transformadores) b) Área grande: materiales magnéticamente duros (ejemplo: imanes permanentes)



1

Bol. Tema 3 2011-2012

F.F.I. Bolet´ın Tema 3. Curso 2011-2012 Fuerza magn´ etica sobre cargas en movimiento

1. El campo magnético de la tierra en cierto zona del hemisferio norte es de 0.6 G y está dirigido hacia el norte y hacia abajo con una inclinación de 70o respecto de la horizontal. Determinar la magnitud y dirección de la fuerza que experimentará un protón (carga 1.6 × 10 −19 C) si se lanza con una velocidad de 15000 km/s en dirección norte. Sol.: 13.53 × 10−17 N, dirigida hacia el oeste.

~ = 500 ~k mT. Determinar la fuerza que ejerce 2. En cierta zona existe un campo magnético uniforme B sobre un protón cuando su velocidad es: (a) 3 ~i Mm/s; (b) 5 ~j Mm/s; (c) 7 ~k Mm/s; (d) (3 ~i + 4 ~j) Mm/s. Sol.: (a) −0.24 ~j pN; (b) 0.4 ~i pN; (c) 0 N; (d) (0.32 ~i − 0.24 ~j ) pN.

3. Los electrones de un haz monocinético (todos los electrones del haz poseen la misma velocidad) realizan un movimiento rectil´ıneo y uniforme en una zona del espacio donde coexisten un campo eléctrico uniforme ~ = 50 ~j G. Sabiendo que la velocidad de los electrones del haz es 20 ~i y un campo magnético uniforme B ~ existente. Mm/s, determinar el campo eléctrico, E, Sol. Dado que el movimiento es rectil´ıneo y uniforme la fuerza neta debe ser nula, luego la fuerza eléctrica y ~ = −~v × B ~ = −100 ~k kV/m. magnética deben compensarse, por tanto: E

4. Si en el ejercicio anterior se suprime el campo eléctrico y se mantiene el magnético, los electrones del haz describirán órbitas circulares. Sabiendo que la masa del electrón es m e = 9.1 × 10−31 kg, determinar el radio y el periodo de la dichas órbitas y hacer un dibujo de las mismas. Sol. R = 2.275 cm y T ' 7.15 ns.

5. Una part´ıcula con carga q y masa m es acelerada mediante una diferencia de potencial de V 0 voltios (potencial acelerador). Tras el proceso de aceleración, entra en un campo magnético de módulo B perpendicular a su velocidad donde describe una órbita circular. Determinar las expresión del radio de la órbita p en función del potencial acelerador V0 . ¿Dependerá el periodo de rotación del potencial V0 ? Sol. R = de V0 .

(2mV0 /q)/B . El periodo de rotación sólo depende de B y de la razón (m/q), por tanto, no dependerá

6. Un haz de iones de n´ıquel está formado por dos isótopos estables de dicho elemento: 58 Ni y 60 Ni, siendo la carga de cada ión 1.6 × 10−19 C. El haz se obtuvo mediante un potencial acelerador que comunicó a cada ion una energ´ıa cinética de 4 keV (1eV= 1, 6 × 10−19 J). El haz descrito se introduce en un campo magnético uniforme de 100 mT perpendicular al mismo. Sabiendo que la masa de los iones 58 Ni es m1 = 9, 62 × 10−26 kg y que la relación de masas es m2 /m p1 = 60/58, siendo m2 la masa de los iones del isótopo 60 Ni: (a) demostrar que se cumple R2 /R1 = m2 /m1 , donde R1 y R2 son los radios correspondiente al movimiento circular que realiza cada isótopo; (b) calcular la diferencia, R 2 − R1 , entre dichos. Sol. (b) R2 − R1 ' 11.9 mm. Fuerza sobre conductores en un campo magn´ etico uniforme

7. Determinar el módulo de la fuerza que un campo de 0.5 T ejercer´ıa sobre un tramo recto de conductor de 10 cm de longitud circulado por un corriente de 2 A en tres casos: (1) el tramo es perpendicular al


Bol. Tema 3 2011-2012

2

campo; (2) el tramo es paralelo al campo; (3) el tramo forma un ángulo de 30 o con el campo. Sol.: (1) 0.1 N; (2) 0 N; (3) 0.05 N.

8. Una espira conductora filiforme circulada por 1 A tiene forma de triángulo rectángulo y está situada en el plano xy. Uno de sus lados mide 60 cm y se halla sobre el eje x y otro de sus lados mide 80 cm y está sobre el eje y. La intensidad recorre la espira en sentido desde el origen de coordenadas hacia el vértice que se halla en el eje x. En la zona existe un campo magnético uniforme de 2 T en sentido positivo del eje z. Calcular la fuerza magnética sobre cada lado y hacer un dibujo de las mimas. Comprobar que la resultante de las tres fuerzas es nula. Sol.: F~1 = −1.2~j N, F~2 = −1.6~i N y F~3 = 1.6~i + 1.2~j N. La resultante, suma de las tres fuerzas anteriores, es nula. (Nota. Este resultado es válido para cualquier forma de la espira y puede concluirse que la fuerza resultante sobre una espira en un campo uniforme es nula. Esto no implica que la espira no pueda girar pues el momento de las fuerzas puede no ser nulo aunque lo sea la suma de las mismas).

9. Una bobina cuadrada de 5 cm de lado y de 100 vueltas circulada por una intensidad de 2 A se dispone seg´ un se indica en la figura. La bobina se encuentra en un campo magnético uniforme de 400 ~j mT. Determinar: (a) la fuerza sobre cada lado, y la resultante, comprobando que es nula; (b) el momento de fuerzas que act´ ua sobre la bobina; (c) la posición de equilibrio estable que alcanzar´ıa la bobina y las fuerzas y el momento en dicha posición. √

Sol.: (a) 4 ~k N, −4 ~k N, 2~i N y −2~i N, resultante nula; (b) M = 0.1 3 N·m; (c) posición de equilibrio estable: espira paralela al plano xz, fuerzas: 4 ~k N, −4 ~k N, 4~i N y −4~i N, resultante nula y momento nulo. Campo magn´ etico creado por conductores filiformes y fuerza entre conductores

10. Partiendo de la expresión general del campo magnético creado por un conductor filiforme, rectil´ıneo y de longitud infinita, determinar el valor concreto de dicho campo en cualquier punto de los planos coordenados xz e yz si el conductor está dispuesto sobre el eje z estando su intensidad, I, dirigida en el sentido positivo de dicho eje. ~ = − µ0 I ~i en puntos del plano yz. ~ = µ0 I ~j en puntos del plano xz y B Sol.: B 2πx 2πy

11. Cuatro conductores rectil´ıneos de gran longitud se han colocado paralelos al eje z pasando por los vértices de un cuadrado de 10 cm situado en el plano z = 0, seg´ un se muestra en la figura. Sabiendo que transportan las intensidades indicadas en la figura y el sentido se˜ nalado en la misma, determinar (a) la fuerza por unidad de longitud que ejercen los tres conductores circulados por 2 A sobre el cuarto conductor circulado por 1 A; (b) el valor por el cual deber´ıamos sustituir la intensidad del conductor que pasa por el origen de coordenadas si, manteniendo las otras tres intensidades igual, deseamos conseguir que la fuerza sobre el conductor de 1 A sea nula. Sol.: (a) −(2~i + 2~j) µN/m; (b) deber´ıa ser el doble, esto es, 4 A.

12. Una espira rectangular recorrida por una intensidad de 5 A se encuentra junto a un hilo conductor rectil´ıneo e infinito circulado por una corriente de 20 A, seg´ un se muestra en la figura. Determ´ınese la fuerza neta ejercida sobre la espira (Nota. Téngase en cuenta que las fuerzas sobre los dos lados de la espira perpendiculares al conductor se cancelan pues, por simetr´ıa, serán fuerzas iguales y de sentido contrario, ya que la intensidad va en distinto sentido en cada lado. Luego no es preciso calcularlas para saber la fuerza total). Sol.: Fneta = 7.15 × 10−5 ~i N.


Bol. Tema 3 2011-2012

3

13. Un conductor recto infinitamente largo y circulado por una intensidad I se dobla en la forma indicada en la figura. La porción circular tiene un radio R con su centro a distancia r de la parte recta. Demostrar que si se verifica la relación πr = R entonces el campo magnético en el centro de la porción circular es nulo (Nota. El campo puede calcularse fácilmente por superposición modelando el circuito como la superposición de una espira circular y un conductor recto de longitud infinita y utilizando los resultados conocidos para esos circuitos más sencillos). Bobinados

14. Calcular el valor de la intensidad que debe circular por un solenoide esbelto de 485 espiras/metro si se desea que el campo en su interior sea similar al campo magnético de la tierra (el campo magnético de la tierra es aproximadamente 0.6 G). Sol.: Como B = µ0 nI, siendo n las espiras/metro ⇒ I = 98, 44 mA.

15. Determinar el n´ umero de vueltas que debe poseer una bobina circular plana de 10 cm de radio si se desea que el campo magnético en su centro sea aproximadamente igual al de la tierra (0.6 G) cuando la bobina sea circulada por una intensidad de 500 mA. Sol.: Como B =

N µ0 I , siendo N el n´ umero de espiras y R el radio ⇒ ∼ 19 vueltas. 2R

16. Un solenoide esbelto de n1 vueltas por unidad de longitud está circulado por una intensidad I1 y tiene una sección transversal circular de radio R1 . En su interior, y coaxial con él, se ha colocado un segundo solenoide esbelto de n2 vueltas por unidad de longitud, de sección transversal circular de radio R2 (R2 < R1 ) y circulado por una intensidad I2 . Determinar: (a) el módulo del campo magnético total creado por ambos solenoides a cualquier distancia, r, del eje de los mismos; (b) la magnitud y sentido (respecto del sentido de I1 ) que deber´ıa tener I2 para que, fijada I1 , el campo en el interior del segundo solenoide sea nulo.   |µ0 n1 I1 ± µ0 n2 I2 | si r < R2 Sol.: (a) B(r) = µ0 n1 I1 si R2 < r < R1   0 si r > R1 , donde r es la distancia al eje de los solenoides y el signo + se toma si ambas intensidades circulan en igual sentido y el − en caso contrario; (b) I2 = n1 I1 /n2 y de sentido contrario a I1 . Efecto Hall

17. Por una cinta metálica de 4 cm de anchura y 0.1 cm de espesor circula una corriente de 25 A. La cinta está situada en un campo magnético de 2.5 T normal a la misma. En estas condiciones se mide un valor del potencial Hall de 5 µV. Determinar la velocidad media de los electrones de conducción de la cinta as´ı como la densidad de dichos electrones. Sol.: v = 5 × 10−5 m/s, n = 7.8125 × 1028 m−3 .


4


z

y

B

2A

10 cm

1A

o

60

I x

10 cm

y

2A 2A

Prob. 9

x

Prob. 11

y

20 A

R

5A 10 cm

2 cm

I

r

I Prob. 13

x

5 cm

Prob. 12





























































Tema 4.- Campos variables en el tiempo (6h)

Ley de Faraday-Lenz. Autoinducción e inducción mutua. Energía asociada al campo magnético. Transitorio RL. Ley de Ampère-Maxwell. Ecuaciones de Maxwell.


Ley de Faraday

dφm ε = v∫ E ⋅ dl = − Γ dt Unidades de φm en el S.I.: weber:

φm = ∫ B ⋅ dS SΓ

1Wb = 1T ⋅ 1m 2

El signo menos de la ley de Faraday está relacionado con el sentido de la fem inducida:


Ley de Lenz La fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido que tienden a oponerse a la causa que las produce.


Ejemplo: Veamos que sentido tienen las corrientes inducidas en el siguiente circuito:

Ejemplo:


Una bobina rectangular de N vueltas de anchura a y longitud b, cada una, donde N=80, a=20 cm y b=30 cm, está situada en un campo magnético B=0.8 T dirigido hacia dentro de la página. Como indica la figura, sólo la mitad de la bobina se encuentra en la región del campo magnético. La resistencia R de la bobina es de 30 Ω. Determinar el módulo, dirección y sentido de la corriente inducida al desplazar la bobina con una velocidad de 2 m/s (a) hacia la derecha, (b) hacia arriba, (c) hacia abajo.


La fem inducida puede tener varias causas: a) Movimiento de un circuito o deformación de su área en una región donde hay un campo B constante en el tiempo: fem de movimiento b) Movimiento del agente externo que produce B. Ejemplo: acercamiento de un imán c) Variación de la corriente que pasa por un circuito primario de modo que el flujo interceptado por un circuito secundario próximo varía.


Fem de movimiento Fem de movimiento es toda fem inducida por el movimiento de un conductor a través de un campo magnético.


Fem de movimiento


Fem de movimiento


Corrientes de Foucault o turbillionarias La corrientes de Foucault son corrientes circulares que se establecen a través de un conductor sometido a un campo B de flujo variable.


Corrientes de Foucault o turbillionarias

Reducción de las corrientes de Foucault


Corrientes de Foucault: placas de inducción


Inductancia: autoinducción

φm = L ⋅ I

L = autoinducción de la bobina

El valor de L depende de la forma de la bobina. Unidades S.I.: henrio:

1Wb 1T ⋅ m 2 1H = = 1A 1A


Inductancia: Inductancia mutua Cuando dos circuitos están próximos, el flujo del campo magnético creado por cada uno atraviesa el otro:

φm 2 = φm 2, 2 + φm 2,1 φm2 = flujo total interceptado por el circuito 2. φm2,2 = flujo que atraviesa el circuito 2 debido al campo

magnético creado por la corriente del circuito 2.

φm2,1 = flujo que atraviesa el circuito 2 debido al campo magnético creado por la corriente del circuito 1.


φm 2 = φm 2, 2 + φm 2,1

φm 2,2 = L2 ⋅ I 2

L2 = Autoinducción del circuito 2

φm 2,1 = M 2,1 ⋅ I1

M2,1 = Inducción mutua de los dos circuitos


Energía magnética

•

•

Energía magnética en un inductor:

1 UB = L ⋅ I 2 2

Densidad volumétrica de energía magnética:

U B 1 B2 = uB = v 2 µ0


Ley de Ampère

v∫ B(r ) ⋅dl = µ ∫ Γ

0

S (Γ)

J (r ) ⋅ dS =µ0 ⋅ I Γ

Ley de Ampère-Maxwell

∂E(r, t )   v∫ Γ B(r, t ) ⋅dl = µ0 ∫S ( Γ )  J(r, t ) + ε 0 ∂t  ⋅ dS


Ley de Ampère-Maxwell

v∫ B(r, t ) ⋅dl = µ ∫ [ J(r, t ) + J Γ

J (r , t )

0

S (Γ)

D

(r, t )] ⋅ dS

Corriente de conducción

∂E(r, t ) J D (r , t ) = ε 0 ∂t

Corriente de desplazamiento


Ecuaciones de Maxwell

qint

v∫ E ⋅ dS = ε S

v∫ B ⋅ dS = 0 S

0

=

1

ε0

∫

V

ρ ⋅ dv

Ley de Gauss

Ley de Gauss para el magnetismo

d ∂B ε = v∫ E ⋅ dl = − ∫ B ⋅ dS = − ∫ ⋅ dS Γ S ( Γ ) ∂t dt S ( Γ )

v∫ B ⋅ dl = µ ⋅ ( I + I ) Γ

0

d

Ley de Faraday

∂E   ⋅ dS =µ0 ⋅ ∫  J + ε 0  S (Γ) ∂t   Ley de Ampère-Maxwell



1

Bol. Tema 4 2011-2012

F.F.I. Bolet´ın Tema 4. Curso 2011-2012 Ley de Faraday

1. Una bobina circular de radio r = 20 cm y de N = 500 vueltas se encuentra en un campo magnético uniforme de 250 mT. La bobina está dispuesta de forma que las l´ıneas de campo son paralelas al eje de la misma (esto es, son perpendiculares a las espiras). Si se hace aumentar dicho campo a razón de 50 mT/s manteniendo su dirección inicial, calcular: (a) el valor del módulo del campo magnético en función del tiempo, B(t), tomando como instante inicial el momento en el que comenzó a crecer; (b) el flujo que atraviesa la bobina en función del tiempo as´ı como la fuerza electromotriz (valor absoluto) inducida. Sol.: (a) B(t) = (250 + 50t) mT; (b) Φ = N B(t) πr 2 cos(α), donde α = 0o debido a cómo está colocada la bobina, sustituyendo ⇒ Φ = (15.71 + πt) Wb, ε = −dΦ(t)/dt = −3.1416 V, luego |ε| = 3.1416 V.

2. Si la bobina del problema anterior se dispone ahora de forma que su eje forme 60 o con las l´ıneas de campo, determinar a qué razón debe crecer el campo magnético para que la fuerza electromotriz inducida sea de 1 V (en valor absoluto). Sol.: ε = −

dB 2 dB dΦ = −N πr cos(60o ) = −1 V, despejando ⇒ = 1/(10π) T/s = 31, 8 mT/s. dt dt dt

3. Una espira rectangular de 20 cm de largo por 5 cm de ancho y de resistencia 1,5 Ω entra a velocidad constante de 2 cm/s en una región donde existe un campo magnético uniforme de 1,5 T dirigido hacia el lector, seg´ un muestra la figura. Tomando t = 0 en el instante en que el extremo delantero de la espira entra en la zona de campo magnético, determinar: (a) el flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo durante el intervalo desde t = 0 hasta el instante en que penetra totalmente en la zona de campo; (b) la fuerza electomotriz inducida en la espira durante dicho intervalo de tiempo as´ı como la corriente inducida en la misma, indicando su sentido. (c) Una vez se halla completamente en la región de campo magnético, ¿seguirá aumentando el flujo en la espira? ¿cuánto valdr´ıa, por tanto, en este caso la fuerza electromotriz inducida? Sol.: (a) φ(t) = 1, 5t mWb; (b) ε = 1, 5 mV si 0 ≤ t ≤ 10 s e I = 1 mA en sentido horario; (c) el flujo no var´ıa y no hay fuerza electromotriz inducida.

4. Una barra metálica de longitud l se desplaza a velocidad ~v sobre dos varillas conductoras unidas por una resistencia R en sus extremos, formando el conjunto un circuito en forma de espira rectangular de tama˜ no variable. Dicha espira está inmersa en un campo magnetostático uniforme y perpendicular a la ~ = −B ~k, seg´ misma, B un se muestra en la figura. Calcular el flujo en la espira, la fem inducida y la corriente inducida indicado su sentido. Sol.: flujo hacia afuera del papel Φ = −Blx, donde x es la coordenada de la barra; ε = −d(−Blx)/dt = Bl(dx/dt) = Blv; I = ε/R = Blv/R, en sentido contrario a agujas del reloj.

5. Seg´ un se vio al estudiar el campo magnético, sobre un tramo recto de circuito inmerso en un campo ~ Teniendo esto en cuenta, magnético uniforme se ejerce una fuerza dada por la expresión F~ = I~l × B. calcular la fuerza magnética ejercida sobre la barra móvil del problema anterior as´ı como la fuerza que debemos aplicar a dicha barra para que, junto a la fuerza magnética, se mueva a velocidad constante. ~ = −IlB ~i. Sol.: Teniendo en cuenta el sentido de I en la barra, el vector tramo será ~l = l~j, por tanto, F~ = I~l × B 2 2 ~ ~ Sustituyendo I por la expresión obtenida en el problema anterior F = −(vl B /R) i. Esta fuerza tiende a frenar la barra ya que se opone a su velocidad. De acuerdo con las leyes de Newton, si queremos que la barra se mueva


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a velocidad constante, la fuerza total sobre la misma debe ser nula, por tanto, debemos contrarestar la fuerza magnética aplicando una fuerza, F~apl. , igual en módulo pero de sentido contrario luego: F~apl. = (vl2 B 2 /R) ~i.

~ 6. En la figura se muestra un campo magnético uniforme variable en el tiempo, B(t) = (2 + 0.5t2 ) ~k T (t en segundos). En el seno de dicho campo se ha dispuesto un circuito formado por un conductor en forma de U, que contiene una resistencia R = 10 Ω, y que junto con la barra conductora móvil AC, de longitud l = 1 m, forma una espira rectangular. Si la barra AC está en reposo en la posición y = 1 m, calcular: (a) el flujo magnético a través del circuito; (b) la fem inducida (valor absoluto) en el instante t = 2 segundos y la intensidad inducida en dicho instante indicando su sentido. Sol.: (a) Φ(t) = B(t)ly = (2 + 0.5 t2 ) Wb; (b) 2 V y 200 mA en sentido horario.

7. Repetir los cálculos del problema anterior si la barra AC realiza ahora un movimiento uniformemente acelerado con aceleración de 6 m/s2 y parte del reposo desde y = 0. Sol.: (a) Φ(t) = B(t)ly(t) = (6t2 + 1.5t4 ) Wb; (b) 72 V, y 7.2 A en sentido horario.

8. (*) Un conductor filiforme rectil´ıneo, de longitud infinita y circulado por una intensidad I, está dispuesto junto a una espira rectangular, seg´ un se indica en la figura. Determinar al flujo magnético que atraviesa la espira. Sol.: Como el campo no es uniforme en la espira, es necesario integrar para calcular el flujo. As´ı, el flujo que atraviesa una franja rectangular infinitesimal de la espira de altura c y anchura dr será dΦ = B(r)dS, donde B(r) = µ0 I/(2πr) y dS = c dr, siendo r la distancia de la franja µ al conductor rectil´ıneo. ¶ R R a+b µ0 I a+b µ0 Ic R a+b dr µ0 cI c dr = = ln . Por tanto, Φ = dΦ = r=a 2πr 2π r=a r 2π a

9. Un conductor rectil´ıneo de gran longitud está recorrido por una intensidad alterna I(t) = 2 cos(10 6 t) A. Una bobina rectangular de 20 cm por 10 cm con 50 vueltas se ha colocado coplanaria con dicho conductor a distancia de 1 cm, seg´ un muestra la figura. Utilizando la expresión obtenida en el problema anterior, determinar el valor eficaz 1 de la fuerza electromotriz inducida que se medir´ıa con un volt´ımetro entre los terminales de la bobina. Sol.: ∼ 6, 78 V. Autoinducci´ on e inducci´ on mutua

10. Determinar la fem inducida (valor absoluto) en una bobina de 10 H cuando: (a) la corriente por la bobina es de 25 mA en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 50 mA/s; (b) la corriente es cero en el instante inicial y aumenta con una rapidez de 50 mA/s; (c) la corriente es de 125 mA en el instante inicial y disminuye con una rapidez de 50 mA/s; (d) la corriente es de 125 mA y no var´ıa. Sol.: (a), (b) y (c) se induce una fem de 0.5 V que se opone a la variación de la intensidad; (d) no se induce fem.

11. Dos solenoides esbeltos de igual longitud, l, son coaxiales y poseen un n´ umero total de espiras N 1 y N2 respectivamente. Las áreas de sus secciones transversales son S1 y S2 respectivamente siendo S1 > S2 , seg´ un se muestra en la figura. Determinar: (a) la expresión del coeficiente de autoinducción de los solenoides y (b) los coeficientes de inducción mutua M12 y M21 comprobando que son iguales. 1

En se˜ nales alternas de tensi´ on o de intensidad del tipo X(t) = A0 cos(ωt + φ) √ o X(t) = A0 sen(ωt + φ), donde X(t) representa el voltaje o la intensidad, se denomina magnitud eficaz a Aef = A0 / 2. Los pol´ımetros usados para medir tensiones e intensidades en alterna proporcionan como lectura la magnitud eficaz de la se˜ nal medida.


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Sol.: (a) L1 = µ0 N12 S1 /l y L2 = µ0 N22 S2 /l ; (b) M21 = Φ21 /I1 donde Φ21 = N2 B1 S2 siendo B1 = µ0 I1 N1 /l, luego M21 = µ0 N2 N1 S2 /l, y M12 = Φ12 /I2 donde Φ12 = N1 B2 S2 (nótese que la bobina peque˜ na sólo introduce flujo en una porción de S1 de área S2 ya que B2 es cero fuera de la bobina peque˜ na, por este motivo aparece S2 en vez de S1 en Φ12 ) siendo B2 = µ0 I2 N2 /l, luego M12 = µ0 N1 N2 S2 /l. Por tanto, M21 = M12 = M = µ0 N1 N2 S2 /l.

12. En la figura se muestra un solenoide esbelto de longitud l1 y un total de N1 espiras. Dentro del mismo y coaxial con él se ha dispuesto una bobina corta de radio R2 y un total de N2 espiras. Calcular: (a) el coeficiente de inducción mutua entre ambos bobinados; (b) la fem inducida en la bobina peque˜ na, ε2 (t), si dicha bobina está en abierto 2 y por el solenoide esbelto circula una intensidad I1 (t) = I0 cos(ωt). (c) ¿Cómo se transformar´ıan los resultados de los apartados anteriores si el eje de la bobina peque˜ na formase un ángulo θ con el del solenoide? Sol.: (a) Φ21 = N2 B1 S2 siendo B1 = µ0 N1 l1 , por tanto M = M21 = Φ21 /I1 = µ0 πR22 N1 N2 /l1 ; (b) ε2 (t) = −dΦ2 /dt = −d(L2 I2 + M I1 )/dt = M ωI0 sen(ωt), ya que I2 = 0 por estar abierta la bobina. (c) Los resultados anteriores se multiplican por el factor cos(θ) que aparece al calcular el flujo que atraviesa la bobina interior.

13. En la figura se ha representado un solenoide esbelto de longitud l1 y área de sección transversal S1 , que posee un total de N1 espiras. Por dicho solenoide circula un intensidad I1 (t) = I0 cos(ωt). Rodeando dicho solenoide se ha colocado perpendicularmente al eje del mismo una bobina rectangular de N 2 espiras con sus extremos en abierto (I2 = 0). Calcular: (a) el coeficiente de inducción mutua entre ambos bobinados; (b) la tensión eficaz, V1ef , entre los extremos del solenoide as´ı como la tensión eficaz, V2ef , entre los bornes de la bobina rectangular. Sol.: (a) M = Φ21 /I1 = B1 N2 S1 /I1 = µ0 N1 N2 S1 /l1 , nótese que sólo una porción de área de valor S1 del total de la sección de la bobina rectangular es atravesada por l´ıneas de B1 , por ese motivo aparece S1 en la expresión de Φ21 ; √ (b) ε1 (t) = −d(L1 I1 + M I2 )/dt = LωI0 sen(ωt) y V1ef = L1 ωI1ef , donde I1ef = I0 / 2 y siendo L1 = µ0 N12 S1 /l1 ; ε2 (t) = −d(L2 I2 + M I1 )/dt = M ωI0 sen(ωt) y V2ef = M ωI1ef , en ambos casos se ha tenido en cuenta que I2 = 0 por estar la bobina rectangular en abierto.

14. Al conectar un circuito compuesto por bobinas, resistencias y fuentes de continua, la intensidad en las bobinas no aumenta repentinamente si no que lo hace de forma gradual debido a que se induce en ellas una fuerza electromotriz que trata de oponerse al aumento de la intensidad. As´ı aumenta progresivamente hasta alcanzar un valor final siguiendo en cada bobina la ley I(t) = If (1 − e−t/τ ), donde If es la intensidad final y τ un parámetro con dimensiones de tiempo que depende de la autoinducción de cada bobina y de los restantes elementos del circuito (If y la constante de tiempo τ serán, en general, diferentes en cada bobina del circuito). (a) Partiendo de la expresión anterior para I(t), determinar la expresión matemática para la tensión en la bobina V (t) = LdI(t)/dt y representar gráficamente las funciones I(t) y V (t). (b) Comprobar que para t = 4τ se ha alcanzado el 98% del valor final de la intensidad. (c) Comprobar que en t = 0 la intensidad es nula, lo que implica que equivale a un circuito abierto en ese instante, y que cuando la intensidad alcanza su valor final la tensión es nula, lo que implica que equivale a un cortocicuito 3 . 15. Utilizando las conclusiones del apartado (c) del problema anterior, determinar: (a) la intensidad que 2

Un bobinado en abierto se caracteriza por que no circula ninguna intensidad aunque pueda haber una tensi´ on inducida entre sus extremos. 3 N´ otese que la situaci´ on es la contraria a lo que ocurr´ıa en el caso de un condensador


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atraviesa la bater´ıa del circuito en el instante t = 0 de conexión; (b) las intensidad por la bater´ıa cuando en la bobina se ha alcanzado el valor final de la intensidad (estado estacionario) y la energ´ıa acumulada en la bobina en esa situación. Sol.: (a) I = 0.15 A; (b) 0.25 A y 125 µJ.


5


y barra conductora

y

v B

z

l

x

Probl. 4 y 5

x

z

v

B

R

Probl. 3

b

z B(t)

C

a

y

c

R x

A

I(t)

Probl. 8

Probl. 6 y 7

(1)

10 cm

(2)

N1 20 cm

1cm

Probl. 9

N1

N2

I1

Corte para ver el interior

Prob. 11

N2

40 W

I1

I1

Probl. 13

15V

Probl. 12

30 W

60W

Prob. 15

9mH

































































Tema 5.- Circuitos de corriente alterna (6h)

Generador de corriente alterna. Aspectos generales de señales armónicas. Fasores. Estudio de R, L y C en corriente alterna. Impedancia. Potencia en corriente alterna. Leyes Kirchhoff. Resolución de circuitos. Resonancia y filtros.


CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA 1.- INTRODUCCIÓN Un circuito de corriente alterna consta de una combinación de elementos (resistencias, capacidades y autoinducciones) y un generador que suministra la corriente alterna. Origen de un voltaje alterno Una f.e.m. alterna se produce mediante la rotación de una bobina con velocidad angular ω constante dentro de un campo magnético uniforme producido entre los polos de un imán. El generador de corriente alterna es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. El generador más simple consta de una espira rectangular que gira en un campo magnético uniforme. Cuando la espira gira, el flujo del campo magnético a través de la espira cambia con el tiempo. Se produce una fem. Los extremos de la espira se conectan a dos anillos que giran con la espira, tal como se ve en la figura. Las conexiones al circuito externo se hacen mediante escobillas estacionarias en contacto con los anillos. Si conectamos una bombilla al generador veremos que por el filamento de la bombilla circula una corriente que hace que se ponga incandescente, y emite tanta más luz cuanto mayor sea la velocidad con que gira la espira en el campo magnético.

Recordemos que la fuerza electromotriz que se produce en un conductor viene dada por la fórmula: E = l. v x B Siendo l la longitud del conductor, v la velocidad y

B la Intensidad del campo magnético.

La f.e.m. creada en cada instante dependerá de la posición del conductor en relación al campo magnético, de manera que si la espira gira a una velocidad angular constante la f.e.m. instantánea responderá a la fórmula: E = l . ω . r. B. sen (ω . t) de donde se obtiene la expresión: v=V0 sen(ω t) Expresión del voltaje instantáneo, en un circuito de corriente alterna, la E (f.e.m.) se ha sustituido por la v de voltaje o tensión eléctrica, recuerda que se mide en voltios.

1


v=V0 sen(ω t)

V0

Los términos de la anterior expresión son: v -> valor instantáneo, distinto para cada instante de tiempo varía entre un máximo y un mínimo, y pasando por cero. V0

->

Valor máximo de la onda, es el valor máximo o de pico que puede alcanzar el valor

instantáneo. ω ->velocidad angular o pulsación es la velocidad con que giraría el inducido en rad/s. f-> frecuencia de la onda: se mide en ciclos por segundo (herzios) ω = 2π/T = 2 π f

T-> período de la onda, es el tiempo que tarda en dar una vuelta el inducido en el generador. Se mide en segundos. Tiempo que tardan los electrones en modificar y volver a recuperar el sentido de circulación. T = 1/f El sistema de distribución de energía eléctrica en Europa tiene unificada la frecuencia a 50 Hz, calcula la pulsación ω y el período T. Valor eficaz de la onda. Ya sabemos que el voltaje de las instalaciones eléctricas de nuestras casas es de 220 V, acabamos de describir qué es el valor instantáneo y el valor máximo del voltaje alterno. Podríamos pensar que esos 220 V hacen referencia al valor máximo, veamos que lo que designan es el valor eficaz, éste se define como. Valor eficaz es aquel valor de la f.e.m. que debería tener una corriente continua para producir la misma energía en el mismo tiempo y con la misma resistencia. Matemáticamente se calcula con la fórmula:

Para la onda senoidal toma siempre el valor: Vef =

Vo 2

Acabamos de describir la onda de f.e.m. o voltaje, cuando conectemos el generador de voltaje a un componente circulará una intensidad o corriente con la misma forma de onda que el voltaje, de manera que

2


todas las características de la onda de tensión que hemos descrito sirven para la onda de intensidad o corriente. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE UNA ONDA SENOIDAL Acabamos de ver la representación de una onda senoidal como la gráfica de una función trigonométrica. Cuando a un circuito de C.A. formado por distintos componentes, resistencias, condensadores, bobinas, se le aplica un voltaje alterno de una frecuencia determinada, sobre cada componente del mismo aparecen unos valores de voltaje e intensidad cuya onda también tiene la forma senoidal y la frecuencia del generador, pero con amplitudes y “desfases” que dependen de los valores de los componentes del circuito. El estudio de estos circuitos requiere utilizar una representación de las ondas sencilla, lo haremos de la siguiente manera: Una onda senoidal

a=am sen(ω t) puede representarse por medio de un vector de módulo am que gira

en sentido antihorario con velocidad constante ω .

Ondas senoidales simultáneas En los circuitos que resolveremos más adelante intervienen varias magnitudes relacionadas entre sí que varían con el tiempo. Son ondas senoidales simultáneas, siempre que tengan la misma frecuencia, cosa que se dará en todos los casos, se pueden representar vectorialmente. Si dos ondas senoidales de igual frecuencia alcanzan sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo, se dice que están en fase.

Si sus máximos y mínimos no coinciden las ondas están desfasadas.

3


Tomando como referencia una de las ondas con origen de tiempos en 0. a1 = am1 sen(ω t) El desfase de la segunda onda con respecto a la primera vendrá dada por el valor de un ángulo. De manera que se podrá expresar de la forma: a2 = am2 sen(ω t - φ)

Dos ondas senoidales simultáneas de intensidad tienen la misma frecuencia 50 Hz y valores eficaces de 8 y 4 A. Sabiendo que la segunda tiene un desfase de π/2 de ciclo respeto a la otra, hallar las expresiones del valor instantáneo de cada onda.

Dos ondas senoidales simultáneas de tensión tienen la misma frecuencia 50 Hz y valores eficaces de 6 y 5 A. Sabiendo que la segunda tiene un desfase de 5 ms en adelanto a la otra, hallar las expresiones del valor instantáneo de cada onda.

4


2.- ELEMENTOS LINEALES Son aquellos que cuando se conectan a una fuente de tensión alterna senoidal, provocan una circulación de corriente alterna, también senoidal y de la misma frecuencia. Existen tres tipos de receptores lineales que se diferencian en el desfase que originan entre la tensión que se aplica y la intensidad de corriente producida. •

Resistivos.

•

Inductivos.

•

Capacitivos.

2.1.- Circuito resistivo Sea un circuito compuesto por un generador conectado a una resistencia de valor R, si la tensión instantánea del generador viene dada por la expresión:

v=Vm sen(ω t)

i

R

La intensidad de corriente que circula se obtiene directamente aplicando la ley de Ohm:

i=

v Vm .sen (ωt ) Vm .sen (ωt ) = = i= R R R

La tensión y la intensidad tienen la misma frecuencia y están en fase. Llamando I y V a los valores de Intensidad y voltaje eficaces, dividiendo entre

2 los valores

máximos se deduce que la ley de Ohm se cumple para los valores eficaces.

I =

V R

Representando las magnitudes de manera vectorial, se tiene.

5


2.2.- Circuito inductivo Inductancia o bobina. Componente capaz de almacenar energía eléctrica en forma de energía magnética. Formada por un conductor arrollado en espiral sobre un núcleo de hierro o ferromagnético. Autoinducción de una bobina es el flujo magnético que es capaz de almacenar a una intensidad determinada. L = Φm/ I i

Unidades: [L] = Henrio [Φ m ] = Weber

[I] = A

Sea un circuito formado por un generador conectado a una v = Vm sen(ω t)

bobina ideal, con el voltaje en el generador:

La variación de flujo magnético, produce una f.e.m. ε = Para una autoinducción se cumplirá que: ε = −L

L

dφ dt

di De signo negativo porque se opone al dt

aumento de la corriente. Recordando la ley de Ohm para el circuito:

∑ε

i

= ∑I i .Ri

Como en este circuito no hay resistencia, Vm sen(ω t)-L

De donde

i =−

di =

Vm cos( ωt ) Lω

Vm sen (ωt ).dt L

di =0 dt

y obteniendo la integral:

teniendo en cuenta que sen (ω t-π/2) = -cos (ω t) se tiene que la intensidad

instantánea del circuito es:

i = im sen (ωt −

El valor máximo de la intensidad será:

im =

π 2

)

Vm V se cumple para valores eficaces. I = L.ω L.ω

Una bobina almacena energía eléctrica en forma de energía magnética y la devuelve al circuito, pero con un retraso en la devolución de energía eléctrica que origina un desfase positivo de π/2, la intensidad se retrasa respecto a la tensión.

6


Una bobina introduce en el circuito una resistencia llamada inductancia, reactancia inductiva o impedancia de la bobina, XL = L.ω = L.2. π.f

Se conecta una bobina de 200 mH de autoinducción a un voltaje de 220V y 50Hz. ¿Qué intensidad de corriente circula a través de la bobina? Representar gráficamente los vectores intensidad y voltaje.

2.3.- Circuito capacitivo Un condensador es un componente capaz de almacenar carga eléctrica. Está formado por dos placas o armaduras separadas por un aislante llamado dieléctrico. La capacidad de un condensador es la carga que es capaz de almacenar a un voltaje determinado.

C=

Q V

Unidades: [C] = F (Faradio) [Q] = C (Culombio) [V] = V (Voltio) El Faradio en la practica es muy grande, por lo que la capacidad normalmente se mide en i microfaradios : 1 μ F = 10-6 F. Supongamos

que

conectamos

un

condensador

de

capacidad C a una fuente de tensión senoidal dada por: v = Vm sen(ω t)

C

La intensidad instantánea del circuito viene dada por

i=

dq la carga del condenador q viene dado por la dt

expresión: q = C.V según la definición de la capacidad C. Así la intensidad instantánea vendrá dada por i = C .

du dt

Derivando la expresión del voltaje en función del tiempo se tiene: i = C. ω . Vm cos(ω t) = C. ω . Vm sen(ω t+π/2) Siendo la intensidad máxima im = C. ω . Vm

7


Produce un desfase negativo de π/2. La tensión se retrasa respecto a la intensidad. Introduce en el circuito una resistencia llamada capacitancia, reactancia capacitiva o impedancia del condensador, X c =

1 1 = C.ω C.2.π. f

Calcula la intensidad en un circuito de corriente alterna de 220V de f.e.m. eficaz y frecuencia 50Hz con una resistencia de 8 Ω. ¿Y si sustituimos la resistencia por una bobina de 0,2 H de autoinducción.? ¿Y si es un condensador de 15μF de capacidad.?

3.- IMPEDANCIA A partir de este punto los valores eficaces de Intensidad y Voltaje los designaremos con las letras I y V. Hemos visto que para los distintos tipos de receptores la intensidad eficaz de un circuito viene dada por: I =

V R

I =

V XL

I =

V XC

En los circuitos anteriores había un único componente, si analizamos un circuito con distintos receptores conectados entre si debemos de utilizar la magnitud llamada impedancia del circuito Z. Esta impedancia engloba tanto la resistencia como las reactancias inductiva y capacitiva. La ley de Ohm para un circuito de corriente alterna será: I =

V Z

En un circuito de corriente alterna la impedancia desempeña el mismo papel que la resistencia en los circuitos de corriente continua, es la oposición que ofrece dicho circuito al paso de la corriente eléctrica, de ahí que se mide en ohmios Ω.

8


4.- NÚMEROS COMPLEJOS EN ELECTROTECNIA Un número complejo en su forma binómica está formado por una parte real y una parte imaginaria. a + bj

a y b son números reales −9 = 2 + 3j

2+

2-

j=

−1

− 4 = 2 – 2j

Representación geométrica de los números complejos Los representarse

números trazando

complejos dos

ejes

pueden coordenados

perpendiculares entre si, uno horizontal, llamado eje real, y otro vertical, llamado eje imaginario. El número a + bj lo representamos mediante un vector desde 0 a un punto con la medida de a en el eje real (eje x) y b en el eje imaginario (eje y). A la longitud del vector se le llama módulo y al ángulo que forma con la horizontal complemento. Forma polar de un número complejo Un número complejo se representa en su forma polar indicando el módulo y el argumento:

rφ

donde r = a 2 + b 2 a = r cos φ

y

φ= arctg

b a

b = r sen φ

Números complejos iguales Deben de ser iguales la parte real y la imaginaria. Números complejos conjugados Tienen la misma parte real y la parte imaginaria cambia de signo. Conjugados en forma binómica

a + bj

Conjugados en forma polar

rφ

a – bj r -φ

Números complejos opuestos tienen las dos partes real e imaginaria con distinto signo. Opuestos en forma binómica

a + bj

Opuestos en forma polar

rφ

- a – bj r φ+π

9


Operaciones con números complejos Suma En forma binómica se suman la parte real y la imaginaria:

Producto En forma binómica, se opera como el producto de polinomios teniendo en cuenta que j2 = -1

En forma polar, se multiplican los módulos y se suman los argumentos.

División En forma binómica, debe de convertirse el denominador a número real, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del segundo:

En forma polar, se dividen los módulos y se restan los argumentos.

Utilización de los números complejos en los circuitos de corriente alterna. A la hora de resolver problemas en circuitos de C.A. transformaremos las magnitudes eléctricas, ondas de tensión e intensidad e impedancias a sus “valores complejos” para realizar los cálculos, una vez obtenido el resultado en forma compleja lo podemos transformar a su onda en función del tiempo. Será necesario recordar la siguiente tabla:

10


5- CIRCUITO R-L Sea un circuito donde conectamos un generador de c.a. a una resistencia en serie con una bobina. i

R R

vR

L

vL

v

Empleando las formas complejas de las magnitudes, se tiene que la tensión en el generador se reparte entre la resistencia y la bobina:

v = vR + vL Si tomamos como referencia la intensidad de corriente, y la representamos en el eje real, las tensiones en la resistencia y en la bobina, expresadas en forma compleja son:

vR = R i

vL = jXL i

vL

i

φ

v vR

Sustituyendo estos valores en la expresión inicial se tiene:

v = vR + vL = R i + jXL i = (R + jXL ) i

Recuerda que XL= L.ω

La expresión R + jXL es la impedancia compleja del circuito, cuyo módulo es:

Z = R2 + X L

2

y el argumento φ se calcula por trigonometría:

tg ϕ =

XL R

La intensidad será una onda en fase con la tensión en la resistencia, lo podemos representar como un “fasor” de módulo I =

V Siendo V, I y Z los módulos de las magnitudes y con un desfase φ respecto de la Z

tensión en el generador que vendrá dada por la expresión:

tgϕ =

XL R

Ejercicio: Un circuito RL en serie, constituido por una bobina de 100 mH de autoinducción y una resistencia se conecta a una tensión de 220V, 50Hz, Calcular: a.- la caída de tensión en la bobina y en la resistencia. b.- El ángulo de desfase entre la tensión y la intensidad.

11


6.- CIRCUITO R-C Sea un circuito donde conectamos un generador de c.a. a una resistencia en serie con un i

R R

vR

C

condensador.

vC

v

Empleando las formas complejas de las magnitudes, se tiene que la tensión en el generador se reparte entre la resistencia y el condensador:

v = vR + vC Si tomamos como referencia la intensidad de corriente, y la representamos en el eje real, las tensiones en la resistencia y en el condensador, expresadas en forma compleja son:

i vR = R i

vc = - jXC i

vR φ

vC

v


v = vR + vC = R i - jXc i = (R - jXc ) i

Recuerda que X C =

1 ω.C

La expresión R - jXC es la impedancia compleja del circuito, cuyo módulo es:

Z = R2 + X C

2


tg ϕ =

XC R



tensión en el generador que vendrá dada por la expresión:

tg ϕ =

XC 1 = R R.C.ω

Ejercicio un circuito de corriente alterna, alimentado por un generador de 220V, 50 Hz, está constituido por una resistencia de 25 Ω y un condensador de 100μF de capacidad. Hallar: a.- La impedancia equivalente del circuito. b.- La Intensidad eficaz. c.- La tensión en cada uno de los elementos.

12


7.-

CIRCUITO R-L-C

Sea un circuito donde conectamos un generador de c.a. a una resistencia en serie con una bobina y un condensador. R R

i

vR

L

C

vL

vC

v

Empleando las formas complejas de las magnitudes, se tiene que la tensión en el generador se reparte entre la resistencia y el condensador:

v = v R + v L + vC Si tomamos como referencia la intensidad de corriente, y la representamos en el eje real, las tensiones en la resistencia y en el condensador, expresadas en forma compleja son:

vL

v

vL-vc vR = R i

vL = jXL i

vc = - jXC i

vC

φ

vR

i


v = vR + vL + vc = R i + jXL i - jXc i = [R + j (XL - Xc )] i La expresión Z =

R + j (XL - Xc )es la impedancia compleja del circuito, cuyo módulo es:

R 2 + ( X L − X C )2


tgϕ =

X L − XC R



tensión en el generador que vendrá dada por la expresión anterior, este ángulo puede ser positivo, negativo o valer 0: •

Si XL

> Xc , tg φ > 0, predomina la componente inductiva, tensión adelantada a la intensidad.

•

Si XL

< Xc , tg φ < 0, predomina la componente capacitiva, tensión retrasada a la intensidad.

•

Si

XL = Xc , tg φ = 0, se dice que el circuito está en resonancia y la tensión está en fase con la

intensidad.

13


Ejercicio, un circuito de corriente alterna, alimentado por un generador de 220V, 50 Hz, está constituido por una resistencia de 15 Ω, una bobina L=50 mH y un condensador de 100μF de capacidad. Hallar: a.- La impedancia equivalente del circuito. b.- La Intensidad eficaz y el ángulo de desfase con el voltaje. c.- La tensión en cada uno de los elementos. d.- Representar gráficamente las tensiones y la intensidad

Ejercicio, Un generador de 220 V 50Hz, está conectado a un circuito formado por, una resistencia, una bobina, y un condensador R=10 Ω, L= 0,2H, C=500 μF. Hallar: a.- La impedancia del circuito. b.- La intensidad eficaz. c.- El voltaje en cada uno de los componentes conectados. Resultados: Z=57,35 Ω; I = 3,836 A; VR = 38,36V VL = 241,03V

VC =24,42 V

Ejercicio, La resistencia de un circuito de C.A. es de 20 Ω, su reactancia inductiva es 40 Ω, y su reactancia capacitiva, 30 Ω, Calcular: a.- La impedancia del circuito. b.- La intensidad de corriente que pasará por él al conectarlo a una tensión de 224V. c.- El ángulo de desfase. Resultados: Z=22,4 Ω; I = 10 A; φ=26,57º

14


8.- POTENCIA EN CIRCUITOS C.A. I

8.1.- Potencia en una resistencia. v=Vm sen(ω t)

Vm valor máximo, Vm =

i= Im sen(ω t)

Im valor máximo, Im =

2 .V

v=Vm sen(ω t)

R

2 .I

La potencia instantánea será, p = Vm sen(ω t) Im sen(ω t)= Vm Im sen2(ω t) 2.sen2(ω t) = 1 – cos (2ω t) por trigonometría. La potencia activa P viene dada por la siguiente expresión, físicamente es la potencia que se transforma en otro tipo de energía, calor en la resistencia. Es la expresión del valor medio del producto de

la

onda de voltaje y la de intensidad.

P=

1 T

T

∫V 0

m

I m sen 2 (ωt ) dt

El resultado de la integral definida es T/2 con lo cual la Potencia activa será:

P=

Vm I m = V .I Siendo V e I los valores eficaces del voltaje y la corriente. 2

8.2.- Potencia en una bobina v=Vm sen(ω t)

i


i= Im sen(ω t-π/2)

2 .V


Recordemos que para la bobina:

2 .I v = Vm sen(ω t)

L

v = Vm sen(ω t)

i = −I m cos( ωt ) La potencia instantánea será, p = p.i = -Vm.Im.sen (ω t) . cos(ω t)

Por trigonometría 2. sen (ω t) . cos(ω t) = sen (2ω t)

p = -V.I.sen (2ω t) Si obtenemos el valor medio de la onda obtenida resulta igual a cero, P =

1 T

T

∫V 0

m

I m sen ( 2ωt ) dt

15


de manera que la potencia activa que se transforma en la bobina es cero. P = 0 (Ver gráfico) El sentido físico de la potencia activa, es el de conversión de energía eléctrica en otro tipo de energía, calorífica, mecánica, la bobina es un elemento que capta energía eléctrica en forma de campo magnético en uno semiciclo de la onda y la devuelve en el semiciclo siguiente.

8.3.- Potencia en un condensador Como las ondas de intensidad y voltaje están desfasadas 90º igual que en la bobina, la potencia activa que transforma el condensador es cero. Adjuntaremos una explicación tomada de www.tuveras.com

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8.4.- Potencia en un circuito de C.A. con cualquier tipo de carga. Acabamos de ver qué ocurre con la potencia al conectar a un generador una resistencia, una bobina o un condensador, ya hemos analizado circuitos que combinan diferentes componentes, veamos qué ocurre con la potencia. Debe de quedar claro que el único componente que convierte energía activa es la resistencia. En cualquier circuito al que conectemos una impedancia Z (resistiva, inductiva o capacitiva) tenemos que la corriente estará desfasada un ángulo φ respecto del voltaje.

v=Vm sen(ω t)


i= Im sen(ω t -φ)


2 .V

I

v=Vm sen(ω t)

Z

2 .I

Gráficamente lo hemos representado mediante vectores:

v φ

i La potencia instantánea será p = v. i = Vm sen(ω t) Im sen(ω t -φ) Por trigonometría: sen(ω t -φ) = sen(ω t) . cos φ – cos (ω t). sen φ De manera que la potencia instantánea será: p = Vm Im [sen2(ω t) . cos φ- sen(ω t) cos (ω t). sen φ] Si obtenemos el valor medio de esta onda, lo que nos da la potencia activa, nos resultan operaciones a las descritas anteriormente, con lo que resulta la potencia activa P en cualquier circuito de C.A. P=V.I.cos φ Al cos φ se le acostumbra a llamar factor de potencia y es un dato muy característico de cualquier circuito de C.A. o cualquier máquina que lleve asociada a la misma un circuito, como un motor eléctrico o una máquina de refrigeración. Si bien hemos dicho que la potencia activa, es la “potencia real” en un circuito de C.A. porque es la que realmente se convierte en otra energía, se acostumbra a hablar de dos términos de potencia más. Potencia aparente, es el producto de los valores eficaces de voltaje e intensidad. S = V.I Potencia reactiva, nos da idea de la cantidad de energía que el circuito almacena en forma de campo magnético o campo eléctrico (en el caso del condensador). La potencia reactiva viene dada por la fórmula Q = V.I.sen φ, puede ser positiva en caso de que sea potencia inductiva o negativa en caso de que sea potencia capacitiva.

17


La representación de las tres potencias de manera vectorial constituye el llamado Triángulo de potencias de un circuito, que es equivalente al triángulo formado por los voltajes.

Ejercicio, Calcular potencias aparente, activa y reactiva de los circuitos realizados en los últimos ejercicios. Representar el triángulo de potencias en los tres casos.

18


El estudio de la corriente armónica I(t)=I0cos(ωt+δ) es importante debido a: •

Relevancia tecnológica: – La corriente alterna se genera fácilmente. – Transporte con pocas pérdidas (alta tensión). – Fácil aplicación en motores eléctricos. – Se conserva la forma armónica con elementos lineales (resistencias, condensadores, bobinas…)

•

Relevancia matemática: – Cualquier función periodica puede expresarse como la suma de sus armónicos (teorema de Fourier).


Generador de corriente alterna


Estudio de resistencias, bobinas y condensadores en corriente alterna

V (t ) = R ⋅ I (t ) ⇓

V = R ⋅ I

dV (t ) I (t ) = C ⋅ dt ⇓ 1 V =−j ⋅I ωC

dI (t ) V (t ) = L ⋅ dt ⇓ V = jω L ⋅ I


•

Condensador:

1 ⋅I V =−j ωC

⇒

V = − jX C ⋅ I 1 XC = ωC

•

Bobina:

V = jω L ⋅ I

⇒

V = jX L ⋅ I

X L = ωL


Impedancia

V = Z ⋅ I • Resistencia:

Z = Impedancia del elemento

Z=R

• Condensador: Z = − jX C • Bobina:

Z = jX L

1 XC = ωC

XC=Reactancia capacitiva

X L = ωL

XL=Reactancia inductiva


Transformadores

N1 V2 = V1 N2


Ejemplo: El el circuito de la figura, determine la intensidades fasoriales y las instantáneas.


Ejemplo: El el circuito de la figura, comprobar que la potencia media suministrada por la fuente es igual a la suma de las potencias medias consumidas por las resistencias.






"!$#%'&)(+*-,%/.10324"57698:;!=9@A@BC9@D<

EGFIHJFLKNMPODQKROJFTS;QPKNKCUFIH'VWFXM)YVZFLKNHJM D[ \^]_a`)bN_cbNdfeIg'hIdji bN_ckNlnmnmhog'b"kChIdpdplbN_q breLmnq bNdp_/eskChI_ci lipq b"bN_ut'_/ewvJhIv'ln_/ex`lndfeL_/g'hobN_at'_ykeLzT{JhszjeL`_c|NqplkCh t'_'l~}hIdpzXb$e7eLdpleIkNlI_oqfbZzT{JhIdWeLmg'bNmctIhtcbTeLqpdfelbCifee7mevJhIv'ln_/egce7mnt'`PeLdemeeL{/eLdplkNlI_g'bt'_/e}bNz ln_cgtckNlgcesbN_amewzTlipzjeg'beIkNtcbNd g'hokChI_amewmbNg'b7DeLdfeIgceP4_amerc`t'dfexifb/ewd bN{'d bCi bN_qfeIg'hst'_/ewvJhIvcl~_De g'b N bCip{'lndfeIikNlnd kNt'meLd bCig'bxdfeIglh R Ptcbx`lndfeae)bNmhkNlgceIg=eL_'`t'meLdkChI_cipqWeL_q b ω dfeIg/LiWZbN_1tc_keLzT{Jh zjeL`_c|Nq hipqfLqplkChwt'_'l~}hId zXbjg'bTzXgt'mh B {JbNdp{JbN_cglkNt'meIdeLmbbXg'bX`lnd h'7hIzjeL_cg'hwkChIzXh t = 0 bNmzXhIzXbN_q h bN_xbNmtcb mejglnd bCkCkNlI_x_chIdpzjeLm4eTmeXvJhIv'ln_/eT}hIdpzjeTt'_sL_'`t'mh δ kChI_wmejglnd bCkCkNlI_sg'bNm¡keLzT{Jh L_c`t'mhjln_'lkNleLm¢Z g'bNq bNdpzTln_/eLd£ ¤ bZmDctIh' Φ(t) tcbeLqpdfelbCiWe me vJhIv'ln_/eRTme^}tcbNdp¥¦eRbNmbCkNqpd hIzXhIqpdpln¥§ln_cgtckNlgceGbN_me zTlipzje ε(t) ¨ bNm¡IeLmhId§zj;ªlnzXh7rbNmIeLmhId^bZ/keL¥Tg'b ε(t) ipl¡mejvJhIv'ln_/eqplbN_cbT«¬¬tcbNmnqfeIi^g'b kNzg'bdfeIglh7`lndfe"e7®¬ d bN© PhImntckNlhI_cbCi¯{JhIdi bN`t'_cgchXiplbN_cg'hXbNmAkeLzT{JhX zjeL`_c|NqplkCh 0.5 ^ °/QY±²4³´;µ Φ(t) = N BπR2 cos(ωt + δ) ¶ ε(t) = N BπR2 ω ·¹¸fº (ωt + δ) » ³¼µ ε½?¾¹¿ZÀ ' 9, 87 ¶ εÁÂ~À ' 6.98 ÃÄ Å M)ÆZQPKCFIÆ Ç?\RÈv'q bN_cbNdrmhi"}eIifhId bCireIi hkNleIg'hiweÉmeIiripln`t'lbN_q bCiri bNÊ/eLmbCiweLdpzXI_'lkeIir1bZª{'d bCifeLdpmhirbN_Ë}hIdpzjeav'ln_cIzTlke yzXgt'mhPIeLdp`t'zXbC_q h'£ 8 cos(ωt) 6 cos(ωt + π/3) 4 cos(ωt + 2π/3) 2 cos(ωt − 3π/4) 2 cos(ωt + π) 8 sin(ωt + π/3) °/QY±² 8 = 86 0Ì;Í 3 + 3√3j = 66 60Ì;Í −2 + 2√3j = 46 120Ì;Í −√2 − √2j = 26 − 135Ì;Í −2 = 26 180Ì¯¶ 4√3 − 4j = 86 − 30Ì¦Ä ÎA\^4_ckChI_qpdfeLd¯meIi¯i bNÊ/eLmbCieLdpzXI_'lkeIig'b}d bCkNtcbN_ckNleXeL_'`t'meLd ω eIifhPkNleIgceIiemhiÏ}eIi hId bCi i ln`t'lbZ_q bCi£9«ÐÑ −3j √ √ (1 + j) (−1 − j) ( 3 + j) (2 − 12j) √ °/QY±² 2 cos(ωt) Í 7 cos(ωt+π) Í 3 cos(ωt−π/2) Í 2 cos(ωt+π/4) Í √2 cos(ωt−3π/4) Í 2 cos(ωt+π/6) ¶ 4 cos(ωt−π/3) Ä Ò$\^4_t'__tcg'hxg'bjt'_/ed bCgkChI_ckNt'dpd bN_ukNt/eLqpd hwdfeLzjeIikChIzXhxi bXln_cglkewbN_mec`t'dfew$eIiln_q bN_ciplgceIg'bCitcb d bCkChIdpd bN_Óqpd bCi g'bTbNmnmeIi i hI_A£ I (t) = 2 cos(ωt) Ô I (t) = 4 cos(ωt + π/3) Ô b I (t) = 8 cos(ωt + 2π/3) Ô Õ eLdpqplbN_cg'hg'b tcb P I (t) = 01 cg'bReIkNtcbNd g'hjkChI_rmem2bN"g'b Ö§lnd kf'chL×g'b^mhi¯_tcg'hi3'7t'qplnmnln¥¦eL_cg'hjmeq |CkN_'lkeXg'b }+eIi hId bCi'g'bNq bNdpzTln_/eLdmeiln_q bN_ciplgceIg I (t) 4 √ √ √ °/QY±² Ie = 2 Í Ie = (2 + 2√3j) Í Ie = (−4 + 4 3j) ¸ Ie4 = −(Ie1 + Ie2 + Ie3 ) = −6 3j Í)ØÚÙP¸fÛ¦Ü I4 (t) =6 3 cos(ωt − π/2) 1 2 3 Ý Ä Þ ßà FIOJM)HJS¦UM á?\RâÏeLmkNt'meLdmerlnzT{JbCgceL_ckNlesg'bt'_/exeIi hkNleIkNlI_utcbkChI_ci lipq b7bN_abNmã{/eLdfeLmbNmhsg'bt'_/ervJhIv'ln_/exg'b «rzXäåkChI_ t'_ÉkChI_cg'bN_ciWeIg'hIdg'b7«®¬ µ=iplme}d bCkNtcbN_ckNlexeL_'`t'meLdg'bjqpdfeLv/e;phxbCigcb 103 dfeIg/Lisælãi bjlnzT{JhI_cb7bN_qpd bmhi bZªqpd bNzXhig'bRmeeIi hkNleIkNlI_xt'_/eXq bN_ciplI_sbZ/keL¥ Vçèé = 36 ê /g'bNq bNdpzTln_/eLd§meXln_q bN_ciplgceIgxbZ/keL¥PtcbGeLqpdfe)bCiWeLdpëe meXeIi hkNleIkNlI_Aì_cglkeLd¯qfeLzv'l|N_wbNmAIeLmhIdg'b^meG}d bCkNtcbN_ckNle f ä¥;Zcg'b^qpdfeLv/e;h' °/QY±² Z = (12j|| − 4j) = −6j Ω » IÁÂnÀ = VÁÂ~À /|Z| = 36/6 = 6 Ý » f = ω/(2π) = 159.15 í9î;Ä ïA\Ræl4bN_qpd bGmhi^bZªqpd bNzXhi^g'bGme"eIi hkNleIkNlI_ÓbN_Ói bNdplbg'bg'hi^bNmbNzXbZ_q hi^meq bN_ciplI_obCi V (t) = 4√2 cos(105 t + kNt/eL_cg'homexln_q bN_ciplgceIgytcbkNlnd kNt'mesIeLmb I(t) = 2 cos(105 t) z Ô 4g'bNq bNdpzTln_/eLdXmexlnzT{JbCgceL_ckNleÓg'b"me π/4) ê eIi hkNleIkNlI_Te meÏ}ðd bCkNtcbN_ckNleg'b9qpdfeLv/e;pheIipëkChIzXhmhi$eLmhId bCig'b9mhig'hibNmbNzXbN_q hiPtcbkChI_cipqplnqpt'PbN_meeIi hkNleIkNlI_A °/QY±² Z = (2 + 2j) ñ Ω ÍØòÙ)¸fÛ;ÜR·¸¯óô ´ ó ´ õ ¸Ù)º ´ ô¸W·¹öò·ó¹¸WºP÷ ö ´ R = 2 ñ Ω ¸fºj·¹¸fôöÚ¸÷ Ü¦ºXÙ)º ´ ¼ Ü ¼ öÚº ´ ó ´ ØJøLÙ)¸ jωL = 2j ñ Ω ·¹öÚ¸Wº õ Ü ω = 105 ô ´;õù ·WÍIúÜ¦ôó ´ º;óÜPÍ L = 20 û^í¯Ä


«

ü \^4_meReIi hkNleIkNlI_"bN_7i bNdplbg'bt'_/e^vJhIv'ln_/eg'b ¬ zXät'_kChI_cg'bN_ciWeIg'hIdÏg'b ÓkNlnd kNt'meRt'_kChIdpdplbN_q bg'b ifeIg'hIµdbCig'b ¬ ê 'bN_ckChI_qpdfeLdme eLmhIdbZ/keL¥ 0.5 Ô DæeLv'lbN_cg'hPtcb^meTq bN_ciplI_wbZ/keL¥Ptcb ifb§zTlg'bRbN_wbNm$kChI_cg'bN_c12.5 }d bCkNtcbN_ckNleg'b§qpdfeLv/e;ph f ä¥;ãeIipë?kChIzXhTmeq bN_ciplI_bZ/keL¥RbN_"meGvJhIv'ln_/eG7bN_qpd b§mhi bZªqpd bNzXhi¯g'b§meeIi hkNleIkNlI_ kChIzT{'mbNqfe9âãhIzT{'d hIv/eLd4Ptcbme¯q bN_ciplI_GbZ/keL¥ãq hIqfeLm_chbNimeipt'zjeg'bmeIiq bN_ciplhI_cbCi¡bZ/keIkCbCig'bmhig'hi¡bNmbNzXbN_q hi 7bZª{'mnlkeLd¯{JhIdtc| °/QY±² V ÁÂ~À = IÁÂ~À /(ωC) Í õ ¸W·¹ú¸ý ´ º õ Ü ω = 4 × 103 ô ´¦õù ·9¶ f = 636.62 í9î» V ÁÂ~À = ωLIÁÂ~À = 20V » VÁÂ~À = |Z|IÁÂ~À = C, ´¦õ ÜTøLÙ)¸§Ø ´ ·ó¹¸WºP·¹öÚÜ;º)¸W·ÏL,öÚºP·ó ´ º;óÿº)¸ ´ ·ã¸fº7ØòÜ;· õ Ü;·ã¸WØÚ¸Wû§¸fº;óÜ;· |XL − XC |IÁÂ~À = |40 − 20|0.5 = 10 Ã 6= 10 + 20 ÃÄcþ ¸W·óÿ¦º¸fº ´ ·¹¸¦ÍIØ ´´ û´ úPØÚöÚó¹Ù õGõ ¸ÏØ ´ ó¹¸WºP·ö´ ¦º·Ù)û ´G³ ´ ó¹¸fº·ö¦ºó¹Üó ´ Ø µ ·¸WôÿØ ´ ´ ·¹Ù)û ´ ´õ ´ ¸ÏØ ´ ´ · ´ û§ú)Øòõ ö óÙ õ õ ¸W· õ ´ ¸ÏØ ´ ·ó´ ¸fºP·¹öÚÜ;º)¸W·¡¸Wº ØòÜ;·¸fØò¸fû§¸Wº;ó¹ÜL·fÄ Û¦Ù Ø'Ü÷ Ù)ôô¸ã÷fÜ¦ºGØÚÜL· ØÚÜ;ô¹¸Z·¸ ÷ ÷f¸W·WÍøLÙ)¸¯·Ü;ºú)ôÜ¦úÜ;ô÷föÚÜ¦º Øò¸W· Ø · û§ú)ØÚöÚóÙ ¸W· ¸ Ø ·4·¸ Øò¸W·WÄ H)Y¢UÆZUÆOJFTS;UKCSJUVZQÆ dWeIg/Li {'mnlkeL_cg'hÓmeIijmbNPbCi A\^4mkNlnd kNt'lnq hg'bmesc`t'dfehI{JbNdfeeot'_/es}d bCkNtcbN_ckNleeL_'`t'meLd 4 Ö§lnd kf'chL×g'bNq bNdpzTln_/eLdmeIiln_q bN_ciplgceIg'bCi{JhIdmeIidfeLzjeIibZ{cd bCi bNω_qfeL=dm10 hi¯/3 }eIifhId bCi¯ln_q bN_c¤ i lng/ÔeIgwbN_rt'_xgleL`dfeLzje Râ eLmnkNt'meLdmelnzT{JbCgceL_ckNlexq hIqfeLmlipqferg'bCi g'bjmhiGq bNdpzTln_/eLmbCiGot'qplnmnln¥¦eLdpmew{/eLdfewkeLmkNt'meLdGmerl~_q bN_ciplgceIgÉtcb kN© lnd kNt'meGkChI_7meRzTli zjekNhIzT{DeLdfeLd kChI_"bNmJd bCiptcm~qWeIg'hGhIv'qfbZ_clngchbN_"bNm?eL{/eLdpqfeIg'hTeL_q bNdplhId ãÈv'q bN_cbNdÏmhiãIeLmhId bCi g'b L C °/QY±²³´;µ I (t) = 4 cos(104 t/3) Ý Í I (t) = 2√5 cos(104 t/3 − 0.464) Ý Í I (t) = 2 cos(104 t/3 + π/2) Ý Ä ³¼µ Z = 7.5 Ω Í 1 3 Ý õ 2 ¼ õ ´ ³ µ I1 (t) = 4 cos(104 t/3) ÷ Ü;öÚº÷ ö ¸ ÷ Ü;º¸WØ'Ü ó¹¸Wº)ö Ü ºLó¹¸Z·fÄ ÷ L = 0.9 û^íÍ C = 20 µ Ä A\^4_abNmÏkNlnd kNt'lnq hog'bmec`t'dfexi bjztcbCi qpdfeL_ameIilnzT{JbCgceL_ckNleIiXg'bmhibNmbNzXbN_q hiXerme}d bCkNtcbN_ckNlexg'bqpdfeLv/e;ph g'b ä¥) ¤ ]ifeL_/g'hmeIi}Idpzt'meIi§g'bTeIi hkNleIkNlI_Óg'blnzT{JbCgceL_ckNleIi$keLmnkNt'meLd^melnzT{JbCgceL_ckNle"bCt'lnIeLmbN_q bg'b meoeIifhkZleIkNlI_ lipqfesg'bCi g'b"mhiTq bNdpzTln_/eLmbCi Ô g'bmew}ðtcbN_q bP9tcifeL_cgchobNm d bCi t'mnqfeIg'hÓhIv'q bN_'lg'h'Ïg'bNq bNdpzTln_/eLd meln_qfbZ_/iplgceIg? I(t) 4Ptcb7eLqpdfe¦lbCiferme}tcbN_q b © Èv'qfbZ_/bZdmhieLmhId bCig'bjmervJhIv'ln_/eIiGomhiGkChI_cg'bN_ciWeIg'hId bCi t'qplnmnln¥¦eIg'hi °/QY±²4³´;µ Z = 12 + 12j Ω » I(t) = √2 cos(2π × 103 t − π/4) Ý » ³¼µ 1.91 û§í 0.796 û^íÍ 13.26 µ¶ 5.31 µ¡Ä [!?\RæeLv'lbN_cg'hjPtcb§me}d bCkNtcbN_ckNleXeL_'`t'meLdg'bNm$kNlnd kNt'lnq hXg'b§mec`t'dfeTbCi 103 dfeIg/Licg'bNq bNdpzTln_/eLd£ ¤ ãmeIi ln_q bN_cipl~Ð gceIg'bCiÏ{JhIdãmeIiãdfeLzjeIiãXd bN{'d bCifbN_qfeLdÏmhi}+eIi hId bCiln_q bN_ci lgceIg"bN_7t'_"gleL`dfeLzje 9meIiÏkeLëgceIi g'bq bN_ciplI_ V (t) ¨ meX{JhIqfbZ_/kZle{'d hIzXbCglh eIkNqplne)ipt'zTln_'lipqpdfeIgce{JhIdmeX}ðtcbN_q b¨$© mekChI_cipt'zTlgcebN_xmeXd bCipli Vq bNAB _ckN(t) le BC PbNdpl~/keL_cg'hXi tln`t/eLmgceIg? °/QY±²4³´;µ I (t) = √2 cos(103 t − π/4) Ý Í I (t) = √2 cos(103 t + 3π/4) Ý ¸ I (t) = 2√2 cos(103 t − π/4) Ý » ³¼µ V (t)1= 4√2 cos(103 t + π/4) ÃÍ V 2(t) = 8 cos(103 t + π) Ã» ³ ÷ µ" Ù)û§3öÚº)ö~·ó¹ôÜ P = 8I cos(0 − π/4)/2 = 4 # ¶ AB CB ε 1 √ ÷ Ü;ºP·¹Ù)û§Ü P = 4I 2 /2 = 4 #uÍP·öò¸fº õ Ü I = 2 Ä R

1

1

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-

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3jW

0o V

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I1

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+

2 mH

A

I3(t)

6W

12jW

+

5jW

Prob. 9

I2 +e2= 16 0oV

I1

I2

I3

-30jW

-12jW

B

Prob. 8 C

Prob. 6

A

I2 6W

I1

I4(t)

I1(t)

B

250 mF

e1= 8

Prob. 10 B

+

0V

1kW

-

I3

o

50nF

100 mH

2 kW

Prob. 11

a I(t) Ve =220 V

5W

+

0.01 H

125 mF

b

Prob. 12

A

400 mH B






































Tema 6.-Ondas electromagnéticas (7h)

Conceptos generales. Ondas armónicas. Interferencia y difracción. Ondas estacionarias. Grupo de ondas. Ancho de banda. Características específicas de las ondas electromagnéticas. Intensidad de ondas electromagnéticas. Generación y recepción de ondas electromagnéticas. Espectro electromagnético. Aplicaciones.


Nociones generales de ondas Las ondas transportan energía y momento a través del espacio sin transportar materia.


Ejemplo: Ondas en una cuerda

Un punto concreto de la cuerda oscila, pero no se traslada.

Tipo de ondas


•

Según la dirección relativa de la perturbación y el desplazamiento ondulatorio.

•

Según la naturaleza: Ondas electromagnéticas (OEM) y ondas mecánicas.


Conceptos Básicos •

Foco: recinto donde se produce la perturbación inicial.

•

Superficie / Frente de onda: lugar geométrico de los puntos que han sido alcanzados simultáneamente por la perturbación.

•

Velocidad de Fase: velocidad con que se propaga las superficies de las ondas.


Ondas esféricas y planas


Ecuación de ondas


Principio de superposición La ecuación de ondas es lineal: Si en un instante de tiempo coinciden en una determinada región dos perturbaciones ondulatorias, la perturbación ondulatoria resultante es igual a la suma de las perturbaciones coincidentes.

Si u1(x,t) y u2(x,t) son soluciones de la ecuación de ondas

u(x,t) = αu1(x,t) + βu2(x,t) es solución de la ecuación de ondas


Intensidad de una onda Se define la intensidad de una onda como la energía que fluye por unidad de tiempo a través de una superficie de área unidad perpendicularmente a la dirección de propagación.

Pm I= Ar

2

Unidades: W/m

Para un foco puntual:

Pm I= 4π R 2

Ondas armónicas


u(x,t) = A cos(ωt – kx - ϕ) A: Amplitud ω: Frecuencia angular ω = 2π/T = 2πf = vk, T: periodo, f: frecuencia k: Número de onda k = 2π/λ, λ: longitud de onda v = λ/T = λf


Interferencia (I)

•

Focos coherentes

•

Focos incoherentes


Interferencia (II)

Experimento de doble rendija de Young.


Interferencia (III)


Ondas estacionarias (I) Una onda estacionaria se forma por la superposición de dos ondas viajeras de misma amplitud y frecuencia que se mueven con la misma velocidad pero en sentidos opuestos a través de un medio.

u1 ( x, t ) = A cos(ω t − kx ) u2 ( x, t ) = A cos(ω t + kx ) u( x, t ) = u1 ( x, t ) + u2 ( x, t )

u( x, t ) = 2 A(cos ω t )(cos kx )


Ondas estacionarias (II)


Ondas estacionarias (III)


Grupos de Ondas

• • • •

Velocidad de fase Dispersión ω(k) Velocidad de grupo Ancho de banda


Ondas Electromagnéticas • • • • • •

Posibilidad de propagación en el vacío. Desarrollo de las antenas: permiten transmisión y recepción con muy poca energía. Posibilidad de guiar estas ondas: línea bifilar, cable coaxial, guías de ondas metálicas, fibras ópticas… Uso de portadores de alta frecuencias: grandes anchos de banda. Facilidad de tratamiento de las señales electromagnéticas. Fácil integración de los equipos de generación/recepción con la circuitería electrónica.


Ondas Electromagnéticas


Ondas Planas


Ondas planas armónicas

E0 B0 = c


Intensidad de la onda


Intensidad de la onda


Intensidad de la onda: Vector de Poynting • •

Dirección y sentido: propagación de la energía. Módulo: intensidad instantánea

Espectro Electromagnético

c λ= f



Fuentes de las ondas electromagnéticas



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Índice general 1. Corriente Continua

3

2. Medida de señales en el osciloscopio.

10

3. Corriente Alterna

19

4. Tratamiento de Errores

31

4.1. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.2. Clasificación de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.3. Estimación de errores en las medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3.1. Medida directa de una magnitud física.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3.2. Medida indirecta de una magnitud física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.4. Presentación de resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.5. Recta de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

4.6. Realización de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.7. Memorias de las prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2


Práctica 1

Corriente Continua Conceptos implicados Corriente eléctrica, diferencia de potencial, ley de Ohm, fuerza electromotriz, asociación de resistencias, leyes de Kirchhoff.

Principios físicos

Corriente eléctrica. Es el movimiento de cargas en un conductor debido al empuje de un campo eléctrico aplicado. La corriente eléctrica se mide por su intensidad, I , definida como la carga que atraviesa la sección del conductor por unidad de tiempo. La unidad de I en el sistema internacional es el amperio (A). La intensidad se mide con el amperímetro. Diferencia de potencial. El campo eléctrico que da lugar al movimiento de cargas en un circuito tiene asociado una diferencia de potencial. Así, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del circuito será el trabajo por unidad de carga realizado por el campo entre esos puntos. La unidad del potencial en el sistema internacional es el voltio (V). La diferencia de potencial entre dos puntos, también llamada caída de potencial o tensión, se mide con el voltímetro. Ley de Ohm. Esta ley es básica para el análisis de circuitos. De acuerdo con dicha ley, la relación que existe entre la diferencia de potencial, V , medida en los extremos de un conductor y la intensidad que pasa por él es lineal: V = I R, donde el parámetro R, denominado resistencia, indica la “resistencia” que ofrece el conductor al paso de la corriente. La resistencia de una determinada muestra depende del tipo de material utilizado, de su geometría así como de la temperatura de trabajo. La unidad de la resistencia en el sistema internacional es el ohmio (Ω). Batería (o pila). Es un elemento capaz de transformar energía química en energía eléctrica. Las baterías son capaces de mantener una diferencia de potencial constante entre sus bornes dando lugar así al campo que ha de mover las cargas a lo largo del circuito. La diferencia de potencial entre los bornes de una batería se denomina su fuerza electromotriz (fem) y se mide en voltios. Dicha fem será pues la energía que la batería comunica a la unidad de carga para recorrer el circuito. Las baterías reales tiene ciertas pérdidas en su interior que pueden modelarse mediante una resistencia interna. Leyes de Kirchhoff . Un circuito es una interconexión de distintos elementos. En esta práctica nos limitaremos a interconectar resistencias y baterías. Las corrientes y tensiones en un circuito 3


Práctica – 1.

4

Corriente Continua

pueden ser determinadas mediante las siguientes dos leyes de Kirchhoff: (1) Ley de las mallas: la suma de caídas de potencial a lo largo de cualquier camino cerrado (malla) del circuito es nula. (2) Ley de los nudos: la corriente total que entra en cualquier nudo (punto del circuito al cual llegan y salen varias intensidades) es igual a la que sale del mismo. Objetivos 1. Verificación de la ley de Ohm 2. Verificación de las reglas de asociación de resistencias 3. Comprobación de las leyes de Kirchhoff 4. (*) 1 Medida de la curva característica intensidad frente a tensión en un diodo

MONTAJE Y REALIZACIÓN

I. Verificación de la ley de Ohm En este apartado tomaremos varios valores de la tensión e intensidad en una resistencia y verificaremos que se cumple la ley de Ohm. Calcularemos igualmente el valor experimental de la resistencia utilizada. 1. De entre las resistencias que le han proporcionado elija una de 510 Ω. Para ello deduzca qué colores corresponden a dicha resistencia de acuerdo con el código de colores. Una vez elegida, mídala con el polímetro para comprobar que no se ha equivocado. 2. Monte el circuito mostrado en la Fig.1.1, donde se muestra la resistencia R = 510 Ω conectada

V R

e A Figura 1.1: Montaje para medir la tensión e intensidad en una resistencia.

a un fuente de tensión continua. El voltímetro medirá la tensión, V , entre los extremos de la resistencia. Mediante un amperímetro conectado en serie se medrirá la intensidad, I (en mA), que atraviesa la resistencia. 3. Variando el control de amplitud del generador desde aproximadamente 7 V hasta valores cercanos a 1 V (no use valores mayores de 7 V para evitar que se caliente en exceso la resistencia), tome nota en una tabla de 10 pares de valores de V e I con sus correspondientes unidades. 1 Los objetivos señalados con un asterisco, tanto en esta como en las restantes prácticas, sólo se realizarán si el tiempo asignado a cada sesión lo permite.


Práctica – 1.

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Corriente Continua

Tratamiento de las medidas y resultados (A realizar fuera del laboratorio) (Aviso. La realización de los puntos que se detallan a continuación para este primer objetivo, así como para los siguientes, requieren cierto tiempo y por ello deben realizarse fuera del laboratorio. Todos estos puntos deberán formar parte de la memoria de prácticas que se debe presentar posteriormente.)

1. Represente en una gráfica los puntos correspondientes a los valores experimentales de V (eje y) frente a los de I (eje x). No olvide indicar claramente las unidades en los ejes (Aviso: no una los puntos experimentales mediante segmentos). 2. Mediante la técnica de mínimos cuadrados (regresión lineal, ver Sección 4.5) determine el valor numérico (junto con sus unidades) de la pendiente de la recta que se ajusta a la nube de puntos. En la memoria de prácticas no presente los cálculos intermedios que conducen a este resultado. De hecho se puede usar cualquier software adecuado para ello. 3. Calcule el valor del coeficiente de correlación, r , (ver Sección 4.5) para verificar la bondad del ajuste. Si dicho coeficiente es próximo a la unidad, ello es indicativo de que existe una relación lineal entre los valores de V e I tal como indica la ley de Ohm. Comente sus propios resultados. 4. A partir del valor de la pendiente de la recta de ajuste (junto con sus unidades) obtenga el valor experimental de la resistencia utilizada con sus unidades. Compare el valor experimental obtenido con el valor nominal de la misma, indicando el porcentaje de diferencia entre los mismos. Se espera que ambos valores sean similares. Comente sus propios resultados. Recuerde que los aparatos de medida siempre introducen imprecisiones y además los valores nominales de fábrica se dan siempre con cierto margen de error. Por tanto, discrepancias de hasta un 10% pueden considerarse normales.

II. Verificación de la reglas de asociación de resistencias En este punto calcularemos experimentalmente el valor de la resistencia equivalente a la asociación de dos resistencia conectadas tanto en serie como en paralelo. Por definición, el valor de la resistencia equivalente, R equiv , de cualquier asociación (serie, paralelo u otras) se define como el cociente entre la tensión, V , entre los extremos de la asociación dividida por la intensidad, I , que circula por la misma: R equiv =

V . I

Una vez calculados dichos valores experimentales, los compararemos con los obtenidos teóricamente mediante las reglas de asociación de resistencias para cada caso.


Práctica – 1.

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Corriente Continua

1. A SOCIACIÓN EN SERIE Tome una resistencia de 330 Ω y otra de 510 Ω, y anote sus valores. Monte el circuito serie de la Fig. 1.2. Fije un valor de aproximadamente 4 V o menor para la tensión entre los extremos de la asociación y anote el valor de dicha tensión indicado por el voltímetro junto con su error asociado a la sensibilidad del voltímetro (ver Apartado 4.3). Anote también el valor de la intensidad, indicado por el amperímetro, junto con su error dado por su sensibilidad. No es necesario tomar más parejas de medidas.

A

R2

R1

Requiv

V Figura 1.2: Asociación en serie de dos resistencias

2. A SOCIACIÓN EN PARALELO Utilizando las mismas resistencias del apartado anterior, monte el circuito paralelo de la Fig. 1.3. Fije un valor de aproximadamente 4 V o menor para la tensión entre los extremos de la asociación y anote nuevamente la tensión e intensidad con sus correspondientes errores asociados (como hizo en el apartado anterior). Recuerde que no son necesarias más medidas.

R2

A

R1

Requiv

V Figura 1.3: Asociación en paralelo de dos resistencias


Práctica – 1.

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Corriente Continua

Tratamiento de las medidas y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)

1. A partir de los valores experimentales de V e I , calcule el valor experimental de la resistencia equivalente, R equiv. = V /I , de ambas asociaciones junto con su correspondiente error. Para calcular el error absoluto en el cociente V /I , parta del hecho de que el error relativo en el cociente es la suma de los errores relativos del numerador y denominador, según se expuso en la ecuación (4.22) de la Sección 4.3.2. No olvide redondear adecuadamente los resultados de acuerdo con lo expuesto en Sección 4.4. 2. Para ambas asociaciones, calcule el valor teórico de la resistencia equivalente utilizando la fórmula correspondiente y compare con el valor experimental señalando su porcentaje de diferencia. Ambos valores deben ser similares, lo que nos indicará que se verifican las reglas para la asociación de resistencias en serie y paralelo. Comente sus propios resultados.

III. Comprobación de las leyes de Kirchhoff En este punto comprobaremos que se cumplen las dos leyes de Kirchhoff midiendo las tensiones en una malla y las intensidades en un nudo de un circuito. 1. Monte el circuito de la Fig.1.4. Puede usar otras resistencias diferentes si no dispone de las indicadas o si así se lo indicase el profesor. Los puntos A, E y F deben unirse con el punto N mediante el uso de tres cables (no usando las conexiones internas de la regleta), a fin de facilitar la posterior colocación del amperímetro, como veremos más adelante.

C

D (= A)

I1 E

I

100 W

510 W

A

N

B

F

I2

1kW

Figura 1.4: Circuito para verificar las leyes de Kirchhoff. Los puntos D y A son eléctricamente equivalentes al estar unidos por un cable, esto es, VD A = 0V.

2. Mida las diferencias potencial V AB , VBC y VC D con ayuda del voltímetro. Apunte las valores obtenidos con su signo correspondiente. (Aviso: asegúrese de conectar el voltímetro con la polaridad adecuada de forma que mida las tensiones que se piden, en caso contrario obtendría el signo de la tensión incorrectamente). 3. Tome ahora nota de las intensidades. Para medir la intensidad I que llega al nudo N sustituya el cable A → N por el amperímetro. Para medir I 1 , coloque de nuevo el cable A → N y sustituya ahora el cable N → E por el amperímetro. Finalmente, para medir I 2 coloque de nuevo el cable N → E y sustituya el cable N → F por el amperímetro.


Práctica – 1.

8

Corriente Continua

Tratamiento de las medidas y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) 1. Compruebe la ley de las mallas verificando que la suma algebraica de las tensiones de la malla es nula: V AB + VBC + VC D + VD A = 0. (Tenga en cuenta que la tensión no medida, VD A , es nula, según se explica en el pie de la figura). 2. Compruebe la validez de la ley de los nudos verificando que la intensidad total entrante en el nudo N es igual a la intensidad total saliente del mismo: I = I 1 + I 2 .

(*) IV.

Curva característica del diodo

En este punto estudiaremos la relación existente entre la intensidad y la tensión en un diodo. Contrariamente a las resistencias, los diodos son elementos no lineales, es decir, no hay una relación de proporcionalidad entre la intensidad y la tensión, por tanto, el comportamiento de un diodo no responde a la ley de Ohm. 1. Monte el circuito mostrado en la Fig.1.5, donde se muestra un diodo en serie con una resisten-

e

I

A

B

A

R

V Vd Figura 1.5: Montaje para medir la tensión e intensidad en un diodo en polarización directa.

cia conectados a una fuente de tensión continua. La resistencia R la elegiremos con un valor valor entre 100 y 510 Ω. El voltímetro medirá la tensión entre los extremos del diodo, V AB = Vd , mientras que el amperímetro medirá la intensidad, I (en mA), que circula por el mismo. 2. Variando el control de amplitud del generador, tome nota en una tabla de al menos 10 pares de valores de I y Vd dentro de un rango de 0 a 0,8 V para la tensión en el diodo Vd (por ejemplo, para Vd = 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,55, 0,6, 0,65, 0,7, 0,72, 0,74, 0,76, 0,78 V; no es necesario que sus valores experimentales coincidan exactamente con los anteriores, es suficiente con que sean aproximados). Las medidas realizadas corresponden a polarización directa del diodo. 3. Invierta ahora las conexiones en el diodo respecto al caso anterior (diodo en polarización inversa). En esta situación de polarización inversa, anote en una tabla 6 pares de valores (I ,Vd ) en un rango de 0 a 2 V para la tensión en el diodo.


Práctica – 1.

Corriente Continua

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Tratamiento de las medidas y resultados. (A realizar fuera del laboratorio)

1. Represente en una gráfica los puntos correspondientes a los valores experimentales de I (eje y) frente a los de Vd (eje x desde −0,8 V hasta 0,8 V). Use papel milimetrado o un programa de software, según indicación del profesor. A mano alzada (o bien mediante software), una convenientemente los puntos mediante una curva. 2. Compruebe que los valores de la intensidad en polarización inversa son muy inferiores a los de polarización directa. Indique el orden de magnitud de la diferencia. 3. A la vista de lo anterior, deduzca cuál podría ser el modelo aproximado más sencillo para un diodo e indique cómo sería la característica I frente a Vd en dicho modelo. Comente sus propios resultados.


Práctica 2

Medida de señales en el osciloscopio. Conceptos Implicados Señales periódicas. Osciloscopio. Relaciones instantáneas entre intensidad y tensión en un condensador y en una bobina. Impedancia. Característica I /V en un diodo.

Principios físicos Señales periódicas. Son aquellas que se repiten en el tiempo. Se denomina periodo al tiempo empleado en repetirse y frecuencia al número de veces que se repite en la unidad de tiempo. Transitorios. En circuitos de corriente continua que contengan, además de resistencias, condensadores o bobinas los valores finales de las magnitudes circuitales, intensidades y tensiones, no se establecen de forma instantánea al cerrar el circuito. Se produce un regimen transitorio donde las corrientes y voltajes en el circuito varían hasta alcanzar los valores finales en el llamado estado estacionario. La existencia de transitorios se debe a los procesos de carga o descarga en el caso de los condensadores o a la aparición de una fuerza electromotriz inducida en el caso de las bobinas. Rectificación. La rectificación consiste en aprovechar las características no lineales del diodo para conseguir señales continuas (o al menos tensiones no negativas) a partir de una señal de tipo armónico. Los rectificadores son esenciales pues partiendo de la tensión alterna suministrada por la red eléctrica permiten disponer de señales de continua necesarias para multitud de aparatos de uso cotidiano.

Objetivos 1. Familiarizase con el uso del osciloscopio y del generador de señales midiendo distintas señales periódicas. 2. Visualizar en el osciloscopio las curvas correspondientes a los procesos de carga y descarga de un condensador en un circuito RC serie. Determinación de la constante de tiempo en el transitorio de carga. 3. Visualizar el rectificado de una señal armónica mediante un circuito formado por un diodo y una resistencia (rectificador de media onda). 10


Práctica – 2.

Medida de señales en el osciloscopio.

11

4. (*) 1 Visualizar en el osciloscopio las curvas correspondientes a los procesos instauración/anulación de la intensidad en un circuito RL serie. Medición de la constante de tiempo en el proceso de subida (instauración). MONTAJE y REALIZACIÓN

I.

Medida de una señal armónica

1. Conecte la salida de 50 Ω del generador de señales periódicas al osciloscipio usando el cable adecuado. Seleccione en la fuente la forma de señal sinusoidal (armónica) y sintonice la frecuencia según indicaciones del profesor. Tome nota de la frecuencia que indica el generador. 2. Visualice la señal en la pantalla del osciloscopio y mida el voltaje pico a pico (Vpp , que es el doble de la amplitud) y el periodo de la señal usando la cuadrícula de la pantalla y sabiendo los voltios por división en el eje vertical y el tiempo por división en el eje horizontal. Tome nota de los valores medidos así como de sus errores absolutos. Nota. Las medidas realizadas mediante la cuadrícula están todas afectadas por un error absoluto de ±0,1 divisiones (la mitad de la sensibilidad de la cuadrícula). Según esto, una medida de Vpp que dé 3,3cuadros, siendo la escala vertical de 2V/cuadro, deberá anotarse como Vpp = 3,3(±0,1) cuadros × 2V/cuadro = 6,6(±0,2) V. .

3. Repita nuevamente la medidas del periodo y del Vpp mediante el uso de los cursores verticales y horizontales, respectivamente, que proporciona el menu de cursores del osciloscopio. Tome nota de los valores medidos. Apunte también el valor de la frecuencia, 1/∆t , que proporciona la información de los cursores verticales. 4. Utilizando el botón de measure, apunte los valores que proporciona de forma automática para la frecuencia, periodo y Vpp el osciloscopio 5. Cambie en el generador el tipo se señal a cuadrada y luego a triangular con el fin simplemente de visualizarlas.

Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) Presente adecuadamente (sin olvidar sus unidades y errores absolutos) las medidas para el Vpp , periodo y frecuencia obtenidas anteriormente mediante el uso de la cuadrícula y los cursores. Compare las anteriores medidas con las que también obtuvo de forma automática mediante el botón measure.

1 Los objetivos señalados con un asterisco sólo se realizarán si el tiempo asignado a la sesión lo permite.


Práctica – 2.

II.

12


Transitorios RC

(se adjunta estudio teórico al final del documento) 1. Siguiendo las indicaciones del profesor, monte el circuito serie RC de la Fig.2.1 usando el generador en modo de señales cuadradas. Tome nota de los valores nominales de la R y C utilizadas y mídalos también usando el polímetro para confirmar dichos valores.

VR (t) R

e(t)

I(t) C

VC (t)

Figura 2.1: Circuito serie RC conectado a un generador de señales cuadradas para el estudio del proceso de carga y descarga de un condensador.

2. Calcule numéricamente el valor de la constante de tiempo τ = RC usando los valores nominales de R y C . 3. Visualize en el canal 1 del osiloscopio la señal del generador y en el canal 2 la tensión en el condensador. Ajuste el periodo de la señal de forma que pueda ver en canal 2 el transitorio de carga y descarga completo. 4. Tome nota del valor máximo (Vpp ) de la señal del generador (canal 1) y calcule el 63 % de su valor (Vτ = 0,63Vpp ). De acuerdo con la teoría, se tarda un tiempo τ = RC en alcanzar dicho valor. 5. Para visualizar mejor la señal del canal 2, suprima el canal 1, amplíe en la pantalla el flanco de subida de la señal del canal 2 y fije el nivel más bajo de la misma en la parte inferior de la pantalla. Usando ahora los cursores del osciloscopio, mida el tiempo que emplea su señal en alcanzar el valor Vτ . Anote el valor experimental así obtenido para τ en el proceso de carga. Nota. Aunque no se realice en esta práctica, es interesante indicar que la medida de la constante de tiempo puede llevarse a cabo también en el transitorio de descarga.

Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) Evaluación de la tensión en el transitorio de subida del condensador para t = τ y t = 4τ.

Sustituya t = τ en la expresión (2.3) para el transitorio de subida del estudio teórico adjunto y demuestre que para dicho valor de tiempo la tensión en el condensador ha alcanzado aproximadamente el 63 % de su valor final. De igual forma, compruebe que para t = 4τ la señal alcanza aproximadamente el 98 % de su valor final. Comparación de los valores experimentales y nominales Compare el valor obtenido para τ en el proceso de carga con el que se obtuvo haciendo uso de los valores nominales de R y C . Indique el porcentaje de diferencia.


Práctica – 2.

13


III. Rectificador de media onda En este apartado veremos cómo un sencillo circuito formado por una resistencia en serie y un diodo es capaz de rectificar una señal armónica eliminando las partes de voltaje negativa de la misma. Debido a ello se denomina rectificador de “media onda”.

S

1. Monte el circuito de la Fig.2.2 consistente en un diodo en serie con una resistencia conectados a un generador de señales sinusoidales. Fije una señal de frecuencia entre 50 y 1000 Hz.

VR(t)

Figura 2.2: Montaje para ver la rectificación de media onda.

2. Conecte la tensión del generador al canal 1 y la tensión en la resistencia al canal 2. Elija la misma escala vertical (voltios/división) para poder comparar ambas señales y superpóngalas en la pantalla. Haga un dibujo aproximado de lo que ve en pantalla. Tenga en cuenta la pequeña diferencia entre los valores máximos de ambas señales y estime aproximadamente su valor usando la cuadrícula de pantalla. Nota. Aunque no lo estudiaremos en esta práctica, es interesante indicar que es posible una rectificación de onda completa mediante el uso de más diodos e incluso hacer una señal prácticamente constante mediante el uso además de condensadores.

Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) Muestre un dibujo con las formas de las señales que obtuvo en el laboratorio. Utilizando lo que aprendió sobre el diodo en la primera práctica, explique la forma de la señal rectificada. Trate también de justificar la pequeña diferencia entre los valores máximos antes medida.


Práctica – 2.

14


(*) IV. Transitorios RL (se adjunta estudio teórico al final del documento) 1. Monte el circuito serie RL de la Fig.2.3 utilizando el generador de señales cuadradas. Tome nota de los valores nominales de R y L.

VL (t) L

e(t)

I(t) R

VR (t)

Figura 2.3: Circuito serie RL conectado a un generador de señales cuadradas para el estudio del transitorio de subida y bajada.

2. Calcule numéricamente el valor de la constante de tiempo τ = L/R usando los valores nominales de R y L. 3. Visualice en el canal 1 la señal del generador y en el canal 2 la tensión en la resistencia, que es proporcional a la intensidad en el circuito. Ajuste el periodo de la señal de forma que pueda ver los transitorios de subida y bajada completos. 4. Tome nota del valor máximo (Vpp ) de la señal del generador (canal 1) y calcule el 63 % de su valor (Vτ = 0,63Vpp ). De acuerdo con la teoría, se tarda un tiempo τ = L/R en alcanzar dicho valor. 5. Para optimizar la visualización de la señal del canal 2, suprima el canal 1, amplíe en la pantalla el flanco de subida de la señal del canal 2 y fije el nivel más bajo de la misma en la parte inferior de la pantalla. Usando ahora los cursores del osciloscopio, mida el tiempo que emplea su señal en alcanzar el valor Vτ . Anote el valor experimental así obtenido para τ en el proceso de subida. Nota. Al igual que se indicó al estudiar el circuito RC , la medida de la constante de tiempo puede llevarse igualmente a cabo en el transitorio de bajada, aunque no lo realizaremos en esta práctica.

Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) Evaluación de la expresión correspondiente al proceso subida para t = τ

Utilizando la expresión (2.11), demuestre que para t = τ la intensidad ha alcanzado aproximadamente el 63 % de su valor final.

Comparación de los valores para la constante de tiempo Compare el valor experimental obtenido para τ con el calculado haciendo uso de los valores nominales de R y L. Indique el porcentaje de diferencia.


Práctica – 2.

15


APÉNDICE. Uso de señales cuadradas para la visualización de los transitorios En la práctica los cuatro transitorios antes descritos puede visualizarse en el osciloscopio utilizando una señal periodica cuadrada conectada el circuito correspondiente. Cuando la señal pasa de cero a un cierto valor V0 es como si en ese momento conectásemos una batería de fuerza electromotriz E = V0 y cuando la señal cae a 0 voltios es como si sustituyésemos la fuente por un cortocircuito en dicho instante. Transitorios de carga y descarga en un circuito RC serie Transitorio de carga En la Fig.2.4(a) se representa el circuito empleado para estudiar la carga del condensador a través de la resistencia en serie R empleando una fuente de continua. Para estudiar la evolución del circuito desde

VR(t)

VR(t) I(t)

R

e

C

I(t)

R VC (t)

C

(a)

VC (t)

(b )

Figura 2.4: (a) Circuito serie RC conectado a una fuente de continua en proceso de carga. (b) Circuito RC para la descarga de un condensador.

t = 0, momento en que conectamos la fuente, en adelante debemos resolver la siguiente ecuación de Kirchhoff para la malla: E = VR (t ) + VC (t ) (2.1) donde la tensión en la resistencia será VR (t ) = R I (t ), siendo la intensidad a su vez I (t ) = d q(t )/d t (q(t ) es la carga en el condensador) ya que la intensidad representa la cantidad de carga por unidad de tiempo que está circulando y por tanto llegando al condensador. Teniendo en cuenta que la carga en el condensador puede escribirse como q(t ) = CVC (t ), podemos expresar pues VR (t ) en función del VC (t ), quedando la ecuación (2.1) como sigue E = RC

dVC (t ) + VC (t ) . dt

(2.2)

La solución matemática a la ecuación (2.2) que cumple además con el requerimiento de que el voltaje inicial en el condensador fuese nulo (ya que suponemos que estaba descargado en t = 0) es VC (t ) = E (1 − e −t /τ ) y por tanto q(t ) = CVC (t ) = Q(1 − e −t /τ )

(2.3)

donde τ = RC se denomina constante de tiempo y siendo Q = C E . Por su parte la intensidad en el circuito la obtenemos sustituyendo en I (t ) = C dVC (t )/d t : I (t ) =

E −t /τ e . R

(2.4)

Vemos pues que la tensión y la carga aumentan de acuerdo con una ley exponencial hasta sus valores finales, E y Q = C E respectivamente, mientras que la intensidad disminuye desde un valor inicial E /R


Práctica – 2.

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hacia cero. Para una valor de t = 4τ puede comprobarse que la tensión y la carga en el condensador han alcanzado el 98 % de sus valores finales y podemos considerar que se ha alcanzado el estacionario. La intensidad, por su parte, disminuye en un 98 % del valor inicial durante dicho intervalo. Transitorio de descarga En la Fig.2.4(b) se representa el circuito empleado para estudiar la descarga del condensador inicialmente cargado a través de la resistencia en serie R. En este caso para estudiar la evolución del circuito desde t = 0, momento en que cerramos el circuito, en adelante debemos resolver la siguiente ecuación de Kirchhoff para la malla: 0 = VR (t ) + VC (t ) (2.5) donde la tensión en la resistencia será ahora VR (t ) = R I (t ), siendo I (t ) = d q(t )/d t . Dado que q(t ) = CVC (t ), podemos expresar VR (t ) en función del VC (t ) quedando la ecuación (2.5) como sigue: 0 = RC

dVC (t ) + VC (t ) . dt

(2.6)

La solución matemática a la ecuación (2.6) que cumple con el requerimiento de que la carga inicial en el condensador fuese Q y, por tanto, el voltaje inicial V0 = Q/C es VC (t ) = V0 e −t /τ y por tanto q(t ) = CVC (t ) = Q e −t /τ .

(2.7)

Por su parte la intensidad en el circuito la obtenemos sustituyendo en I (t ) = C dVC (t )/d t : I (t ) = −

V0 −t /τ e . R

(2.8)

El signo menos de la intensidad indica que va al contrario del dibujo, es decir, la carga pasa de la placa positiva hacia la negativa. Vemos pues que la tensión en el condensador, su carga y la intensidad en el circuito disminuyen de acuerdo con una ley exponencial hasta anularse finalmente. Nuevamente se puede comprobar que para una valor de t = 4τ las citadas magnitudes han disminuido en un 98 % desde sus correspondientes valores iniciales. Si partimos de un condensador inicialmente cargado con una fuente de fuerza electromotiz E entonces V0 = E en la ecuaciones (2.7) y (2.8). Gráficas VC (t ) e I (t ) en los procesos carga y de descarga estudiados Finalmente, en la Fig2.5(a) y (b) se muestran respectivamente las curvas para la tensión e intensidad en los procesos estudiados de carga y descarga correspondientes a los circuitos de las Fig.2.4(a) y (b).

e

V0

VC (t)

eR

V0

I(t)

VC (t) R

I(t) t

t (a)

(b)

Figura 2.5: (a) Gráficas para la tensión en el condensador y la intensidad en el proceso de carga. (b) Gráficas para la tensión en el condensador y la intensidad en el proceso de descarga.


Práctica – 2.

17


Transitorios en un circuito RL serie Transitorio de subida En la Fig.2.6(a) se muestra el circuito empleado para estudiar el transitorio de subida en un circuito RL. Estudiaremos cómo evoluciona la intensidad al conectar la fuente de continua. Para estudiar

VL (t)

e

VL (t)

I(t)

L

I(t) R

L R

VR (t)

(a)

VR(t)

( b)

Figura 2.6: (a) Circuito RL conectado a una fuente de continua para estudio del transitorio de subida de la intensidad. (b) Circuito RL para estudio del transitorio de bajada de la intensidad.

la evolución del circuito desde t = 0, momento en que conectamos la fuente, debemos resolver la ecuación de Kirchhoff correspondiente a este caso: E = VL (t ) + VR (t ) ,

(2.9)

donde VR (t ) = R I (t ) y siendo VL (t ) = Ld I (t )/d t de acuerdo con la ley de Faraday. Empleando estas expresiones para las tensiones en función de la intensidad, la ecuación (2.9) queda como sigue: E =L

d I (t ) + R I (t ) . dt

(2.10)

La solución matemática de la ecuación (2.10) que cumple además con el requerimiento de que inicialmente la intensidad sea nula es E I (t ) = (1 − e −t /τ ) , (2.11) R donde τ = L/R se denomina constante de tiempo. Por su parte, la tensión en la bobina la obtenemos sustituyendo en VL (t ) = Ld I (t )/d t VL (t ) = E e −t /τ . (2.12) Vemos pues que la intensidad en el circuito aumenta de acuerdo con una ley exponencial hasta sus valor final, E /R, mientras que la tensión inducida en la bobina disminuye desde una valor inicial E hasta hacerse nula. Para una valor de t = 4τ puede comprobarse que la intensidad ha alcanzado el 98 % de su valor final y podemos considerar que se ha alcanzado el estado estacionario. La tensión en la bobina, por su parte, disminuye en un 98 % de su valor inicial durante dicho intervalo.


Práctica – 2.

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Transitorio de bajada En la Fig.2.6(b) se muestra el circuito empleado para estudiar el transitorio de bajada en un circuito RL. Estudiaremos cómo disminuye la intensidad al desconectar la batería y sustituirla en el mismo instante, t = 0, por un cortocircuito. 2 Para dicho estudio debemos resolver la ecuación de la malla que en este caso sería 0 = VL (t ) + VR (t ) ,

(2.13)

donde nuevamente VR (t ) = R I (t ) y VL (t ) = Ld I (t )/d t . Sustituyendo en la ecuación (2.13) obtenemos la ecuación para la intensidad d I (t ) + R I (t ) . (2.14) 0=L dt La solución matemática a la ecuación (2.14) que cumple con el requerimiento de que la intensidad fuese inicialmente I 0 (se supone que I 0 se estableció previamente mediante el proceso anterior descrito en el transitorio de subida) es I (t ) = I 0 e −t /τ . (2.15) Por su parte la tensión en la bobina podemos obtenerla sustituyendo en VL (t ) = Ld I (t )/d t o bien considerando que VL (t ) = −VR (t ) de acuerdo con (2.13), luego VL (t ) = −R I 0 e −t /τ .

(2.16)

El signo menos de la tensión en la bobina indica que el potencial a la salida de la misma es mayor que a la entrada (siguiendo el sentido dado por la intensidad), es decir, que dicha tensión tiende a reforzar a la intensidad intentando que ésta no disminuya (de acuerdo con la ley de Faraday, se opone a la variación de la intensidad, esto es, a su disminución en este caso). Vemos pues que la intensidad en el circuito y la tensión inducida en la bobina disminuyen de acuerdo con una ley exponencial hasta anularse finalmente. Puede comprobarse que para t = 4τ las citadas magnitudes han disminuido en un 98 % desde sus correspondientes valores iniciales. Gráficas I (t ) y VL (t ) en los transitorios de subida y bajada estudiados Finalmente, en la Fig2.7(a) y (b) se muestran respectivamente las curvas para intensidad y la tensión inducida en la bobina en los procesos antes descritos correspondientes a los circuitos de la Fig.2.6(a) y (b).

eR I(t)

e

I0

I(t) R I0

VL (t)

VL (t) t

t (a)

(b)

Figura 2.7: (a) Gráficas para la intensidad y tensión en la bobina en el transitorio de subida. (b) Gráficas para la intensidad y tensión en la bobina el proceso de bajada.

2 Según se indica al final del estudio, veremos que dicha conmutación puede llevar a cabo fácilmente mediante el uso de una señal cuadrada periódica.


Práctica 3

Corriente Alterna Conceptos Implicados Señales alternas. Impedancia. Fasores . Resonancia.

Principios físicos Los circuitos en regimen de corriente alterna compuestos por elementos lineales (R,L y C ) pueden analizarse utilizando las reglas de Kirchhoff de forma similar a los circuitos de corriente continua compuestos sólo por resistencias gracias a la técnica de fasores y al concepto de impedancia (véase apéndice teórico que se adjunta al final de la práctica).

Objetivos 1. Medida, a diferentes frecuencias, de la impedancia de una resistencia, de una bobina y de un condensador mediante el uso de los polímetros. 2. Medida experimental de la impedancia de una asociación RC serie mediante el uso del osciloscopio. Verificación de las regla de asociación de impedancias en serie. Realización de un diagrama de fasores mediante medidas realizadas con el voltímetro. 3. Medida aproximada de la frecuencia de resonancia en un circuito RLC serie usando el osciloscopio.

19


Práctica – 3.

20

Corriente Alterna

MONTAJE Y REALIZACIÓN

I.

Estudio de impedancias elementales

En este apartado mediremos, usando los polímetros, el módulo de la impedancia de una resistencia, un condensador y una bobina a dos frecuencias diferentes. Veremos cómo varía con la frecuencia y determinaremos experimentalmente los valores de R, C y L usados. 1. Monte el circuito de la Fig.3.1 colocando una resistencia en el lugar indicado por Z y fije una señal sinusoidal de 1 kHz en el generador. Anote el valor nominal de R.

Z

V

Vef.

Ief. A Figura 3.1: Circuito para determinar el modulo de la impedancia de un elemento.

2. Variando el mando de amplitud del generador tome nota de 2 parejas de valores eficaces Ve e I e (con sus respectivas unidades) mediante los polímetros. Usando dichas medidas, calcule el módulo de la impedancia |Z | = Ve /I e para cada pareja. Compruebe que los dos valores obtenidos son similares y asigne la media como valor experimental de |Z | a dicha frecuencia (no olvide sus unidades). 3. Cambie ahora a una frecuencia de 2 kHz y repita el proceso descrito en el apartado anterior para obtener |Z | a esta nueva frecuencia. 4. Sustituya ahora la resistencia por un condensador, anote su valor nominal y repita todo el proceso anterior a fin de determinar experimentalmente |Z | en un condensador para las dos mismas frecuencias (1 kHz y 2 kHz). 5. Finalmente, sustituya el condensador por una bobina, anote su valor nominal y repita nuevamente el proceso anterior.

Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) 1. Compruebe en cada uno de los casos anteriores (R, C y L) si el valor experimental de |Z | varía con la frecuencia y justifique dicha variación a la vista de la expresión teórica correspondiente. 2. Partiendo de los valores experimentales de |Z | para 1 kHz, determine los valores de R, C y L. Calcule el porcentaje de diferencia de dichos valores experimentales respecto de los valores nominales correspondientes.


Práctica – 3.

21

Corriente Alterna

II. Estudio de un circuito RC serie En este punto obtendremos el valor experimental para la impedancia de un circuito serie RC usando el osciloscopio y verificaremos que el resultado obtenido coincide con lo que predice la ley de asociación de impedancias. Completaremos el estudio con el diagrama de fasores obtenido mediante medidas realizadas con el voltímetro. 1. Monte el circuito RC serie de la Fig.3.2 utilizando R = 1 kΩ y C = 100 nF y fije en el generador una señal sinusoidal de 1 kHz (el profesor puede indicarle otros valores diferentes para R, C y la frecuencia).

C R Figura 3.2: Circuito RC serie.

2. Conecte el canal 1 del osciloscopio para medir la tensión total entre los extremos de la asociación RC y el canal 2 para medir la tensión en R. 3. Mediante el botón measure del osciloscopio mida la tensión pico a pico (Vpp ) de ambas señales y tome nota de dichos valores con sus unidades. 4. Calcule el valor pico a pico de la intensidad en el circuito dividiendo Vpp en la resistencia (canal 2) entre el valor nominal de R (ley de Ohm) y anote el valor obtenido con sus unidades. 5. Utilizando los cursores verticales (para medir tiempos) mida el retraso temporal, ∆t , del canal 2 respecto del canal 1 y apúntelo con sus unidades (caso de que el canal 2 se adelante al canal 1 asigne signo negativo a dicho retraso).1 De esta forma obtenemos también el retraso (o adelanto) de la intensidad respecto de la tensión total, ∆t , ya que la intensidad está en fase con la tensión en la resistencia (ley de Ohm). 6. Retire del circuito las sondas del osciloscopio y mida con el voltímetro la tensión eficaz entre los extremos de la asociación RC , Ve , y las tensiones eficaces en R (VR,e ) y y C (VC ,e ).

1 Un retraso temporal negativo indica realmente un adelanto en tiempo.


Práctica – 3.

Corriente Alterna

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Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) Obtención del valor experimental de la impedancia 1. Calcule el módulo de la impedancia, |Z |, como el cociente entre los valores pico a pico de la tensión total y de la intensidad. 2. Calcule el ángulo de la impedancia, φZ , como la diferencia de fase entre la tensión total y la intensidad, φZ = φV − φI (note que φZ es el retraso en radianes de la intensidad respecto de la tensión). Para ello utilice la igualdad φV − φI = ω∆t , donde ∆t es el retraso (o adelanto) en tiempo de la intensidad respecto de la tensión antes medido. 3. Finalmente exprese la impedancia como un número complejo escrito en forma binómica: Z = |Z | cos(φZ ) + j |Z | sen(φZ ) (no olvide el signo en el retraso angular caso de que sea negativo). Comparación con el valor teórico de la impedancia de la asociación 1. Calcule el valor teórico de la impedancia serie, Z = R − j /(ωC ), usando los valores nominales de los elementos anotados anteriormente. 2. Compare los valores de la parte real e imaginaria de Z obtenidos experimentalmente con los calculados teóricamente e indique los porcentajes de diferencia respecto de los valores teóricos. Si son similares, ello es un indicativo de que se verifica la ley de asociación de impedancias. Comente sus propios resultados. Diagrama de fasores 1. Represente los fasores VeR y VeC usando como módulos los valores eficaces medidos VR,e y VC ,e respectivamente y suponiendo (como predice la teoría) que en C hay un adelanto de 90o de la intensidad respecto de la tensión y en R igualdad de fase. N OTA: El uso de los valores eficaces en vez de los valores máximos como módulo de los fasores p simplemente escala el dibujo en un factor 2.

Dibuje el fasor para la tensión total, Ve , como suma de los anteriores (regla del paralelogramo) y calcule matemáticamente su módulo.

Compare el valor medido para Ve con el valor calculado indicando el porcentaje de diferencia.

2. A la vista del diagrama de fasores, explique por qué los valores eficaces medidos para las tensiones NO verifican la ecuación de la malla; esto es, por qué Ve 6= VR,e + VC ,e .


Práctica – 3.

Corriente Alterna

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III. Resonancia en un circuito RLC serie En este punto mediremos mediante el osciloscopio la frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie y lo comparemos con el valor que predice la teoría. Además llevaremos a cabo el estudio de la curva de resonancia. 1. Calcule el valor teórico de la frecuencia de resonancia del circuito RLC serie representado en la Fig. 3.3 con R = 100 Ω, L = 1 mH y C = 1 nF (el profesor puede indicarle otros valores si lo p considera oportuno). Para ello utilice la expresión f r = 1/(2π LC ). Tome nota del valor calculado.

2. Sintonice en el generador una señal sinusoidal de frecuencia algo menor a la frecuencia calculada (unos 20 kHz menor si ha usado los valores indicados antes para los elementos) y de 15 V pico a pico (use el osciloscopio para medir dicha tensión). No varíe la amplitud fijada en el generador durante el resto de la práctica.

Figura 3.3: Circuito RLC serie para el estudio de la resonancia.

3. Monte ahora el circuito RLC de la Fig.3.3 utilizando los citados valores R = 100 Ω, L = 1 mH y C = 1 nF (o, en su caso, los que le indicó el profesor). 4. Conecte el canal 1 del osciloscopio para medir la tensión en R y varíe la frecuencia del generador hasta que observe un máximo para el valor pico a pico, Vpp (utilice el botón measure para observar el valor de Vpp en canal 1). Anote la frecuencia indicada por el generador a la que observa dicho máximo ( f r ) y el correspondiente valor de Vpp . (Note que la frecuencia anterior será la de resonancia dado que un máximo en la tensión en la resistencia se corresponde con un máximo de la intensidad en el circuito pues son proporcionales como indica la ley de Ohm). 5. En una tabla de dos columnas, tome nota de los valores de la tensión pico a pico en la resistencia para las siguientes frecuencias (en kHz): 60, 80, 100, 120, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 200, 220, 240, 260, 280 y 300.


Práctica – 3.

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Corriente Alterna

Tratamiento de datos y resultados. (A realizar fuera del laboratorio) Comparación entre los valores experimental y teórico de la frecuencia de resonancia 1. Compare los valores teórico y experimental para la frecuencia de resonancia indicando el porcentaje de diferencia del valor experimental respecto del teórico. Representación gráfica de la curva de resonancia (Aviso. Salvo indicación del profesor, para llevar a cabo este punto se recomienda usar un programa para representación de funciones, por ejemplo el Zgrapher que es de libre distribución.) 1. Represente en una gráfica mediante puntos los valores de la tabla del voltaje pico a pico en la resistencia (Vpp en el eje Y ) frente a los valores de la frecuencia (en kHz) ( f en el eje X ) (no una los puntos representados entre sí mediante segmentos rectos). 2. Demuestre que la expresión teórica para el valor de la tensión pico a pico en la resistencia en función de la frecuencia puede escribirse como R µ (R + R g )2 + 2π f L −

Vpp ( f ) = Vg s

1 2π f C

¶2

donde Vg es la tensión proporcionada por el generador y R g es la resistencia interna del mismo. 3. En la gráfica del punto 1, superponga la curva teórica correspondiente a la representación de la anterior función Vpp ( f ), tomando Vg = 15 V (la tensión que debió ser fijada en el generador), R g = 50 Ω y los valores de R, L y C usados en el laboratorio (se recomienda usar los valores de las variables en el S.I.).


Práctica – 3.

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Corriente Alterna

APÉNDICE. Nociones básicas sobre corriente alterna En circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores conectados a un generador de corriente alterna, las diferentes tensiones e intensidades en el circuito son sinusoidales (o armónicas), es decir, de la forma V (t ) = V0 cos(ωt + φv ) e I (t ) = I 0 cos(ωt + φi ) respectivamente, siendo ω = 2π f la frecuencia angular (radianes/segundo) y f la frecuencia (Hz). En otras palabras, cualquier señal en el circuito es de la forma genérica A(t ) = A 0 cos(ωt + φ) , y, dado que ω es la misma para todas las señales, cada señal quedará completamente descrita por dos parámetros: su amplitud A 0 y su fase φ. Ï CONCEPTO de FASOR La técnica de los fasores se basa en asignar un número complejo a cada señal armónica. Tiene por objeto facilitar el estudio de sistemas físicos donde las magnitudes varíen de forma armónica. En esencia, consiste en asignar a cada señal un número complejo (con su parte real e imaginaria) que contenga la doble información, amplitud y fase, que describe a la señal. Es importante señalar que previamente a asignar los fasores escribiremos siempre las señales usando el coseno (de seno a coseno se pasa fácilmente restando π/2 al ángulo: sen(α) = cos(α − π/2)). En la Fig.3.4 se muestra en el plano complejo cómo se lleva a cabo la asignación del fasor a la señal armónica genérica antes mencionada: Imag

A

b

A=a+jb

A0 f a

Real

e asociado a la señal A(t) = A 0 cos(ωt + φ). Figura 3.4: Asignación del número complejo o fasor, A,

El fasor Ae asociado a A(t ), puede describirse dando su módulo y fase: Ae = A 0 ∠φ ,

denominándose representación módulo–argumento def fasor (en el campo complejo los ángulos se denominan argumentos), o bien se puede expresar en la forma Ae = a + j b ,

denominada forma binómica. Ambas formas contienen idéntica información pudiéndose pasar fácilmente de una a la otra según se deduce fácilmente en la Fig.3.4: a = A 0 cos(φ) p A0 = a 2 + b 2

b = A 0 sen(φ) φ = arctan(b/a) .

Existe una tercera representación denominada exponencial y que se basa en el uso de la identidad de Euler para la exponencial compleja, según la cual: e j φ = cos φ + j sen φ. Utilizando las expresiones ya


Práctica – 3.

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Corriente Alterna

vistas junto con la identidad de Euler se tiene que Ae = a + b j

= A 0 cos φ + j A 0 sen(φ) = A 0 (cos φ + j sen φ) = A0e j φ .

e La expresión obtenida A 0 e j φ es la representación exponencial del fasor A.

Tras llevar a cabo un análisis que permitiera obtener los fasores en un circuito en régimen de alterna, la determinación de las correspondientes señales instantáneas (en función del tiempo) sería inmediata, pues la amplitud y fase determinan totalmente a cualquier señal armónica A(t ), según vimos anteriormente. Es usual llevar a cabo las derivadas de señales armónicas. El resultado es también una señal armónica y tendrá su correspondiente fasor asociado. Así, si A(t) = A 0 cos(ωt + φ), entonces d A(t) = −ωA 0 sen(ωt + φ) = ωA 0 cos(ωt + φ + π/2) = B 0 cos(ωt + γ) dt por tanto, el fasor Be asociado a la derivada tiene como módulo B 0 = ωA 0 y como fase γ = φ + π/2. Utilizando ahora la representación exponencial es inmediato demostrar la relación siguiente: Be = j ω Ae .

Ï IMPEDANCIA En el análisis de circuitos de corriente alterna que contengan resistencias (R), bobinas (L) y condensadores (C ) se debe partir de las relaciones entre la tensión, V (t ), y la intensidad, I (t ), en dichos elementos: V (t ) = R I (t )

d I (t ) dt d I (t ) = C V (t ) dt

V (t ) = L

Resistencia Bobina Condensador

La relación anterior en las resistencia no es más que la Ley de Ohm; por su parte, en la bobina pone de manifiesto el fenómeno de autoinducción de acuerdo con la Ley de Faraday; por último, la relación en el condensador surge de la expresión para la carga en el mismo Q(t ) = CV (t ) junto con la definición general de intensidad instantánea, I (t ) = dQ(t )/d t . En regimen armónico, tanto las funciones como las derivadas que aparecen en las relaciones anteriores serán funciones armónicas. Si tomamos fasores en dichas expresiones y utilizamos la expresión ya vista para el fasor asociado a la derivada, las relaciones temporales entre tensión e intensidad se transforman en sus correspondientes relaciones fasoriales Ve / Ie: V˜ = R I˜ V˜ = j ωL I˜ 1 I˜ V˜ = − j ωC

Resistencia

Bobina Condensador.

A la vista de lo anterior, de forma general la relación entre el fasor tensión e intensidad puede escribirse como V˜ = Z I˜ ,


Práctica – 3.

Corriente Alterna

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donde Z es, en general, un número complejo (NO un fasor) denominado impedancia que relaciona los fasores tensión, Ve , e intensidad, Ie, en un elemento R, L o C . Las unidades de la impedancia en el S.I. serán voltio/amperio=ohmio, Ω.

La definición de impedancia Z = Ve / Ie se generaliza también para cualquier asociación que contenga R, L y C , siendo Ve e Ie los fasores asociados a la tensión entre los extremos de la asociación y a la intensidad que la circula, respectivamente. Finalmente, es interesante relacionar los módulos y fases de los fasores Ve e Ie con el módulo y fase de la impedancia. Así, teniendo en cuenta la propiedad del cociente entre números complejos según la cual el módulo de un cociente es el cociente de los módulos y el argumento del cociente es la diferencia de argumentos (fases) entre numerador y denominador, se tiene que V0 Ve y φZ = φV − φI , ⇒ |Z | = Z= I0 Ie

donde |Z | es el módulo de Z , φV y φI son las fases de los fasores tensión e intensidad, respectivamente, y φZ el argumento de la impedancia. Esta propiedad se empleará en los ejemplos que se detallan más adelante.

Como comentario final, cabe resaltar que la similitud formal existente entre la ley de Ohm (válida sólo para resistencias) y la ecuación Ve = Z Ie (válida para R, L y C y sus asociaciones) en el dominio fasorial para circuitos de alterna, reducirá el análisis de estos últimos a términos formalmente idénticos a los correspondientes al análisis de circuitos en corriente continua con resistencias y baterías mediante las reglas de Kirchhoff, salvo el hecho de que las magnitudes serán ahora, en general, números complejos. Ï ORIGEN DE FASES Las señales de tensión e intensidad en un circuito de corriente alterna tienen todas la misma frecuencia que la marcada por el generador, diferenciándose tan sólo en la amplitud y fase. Siempre es posible elegir fase 0 radianes en una de la señales del circuito, lo que equivale a elegir el origen de tiempos, t = 0, cuando dicha señal está en un máximo (de esta forma la señal de fase cero será de la forma A(t ) = A 0 cos(ωt + 0) = A 0 cos(ωt ), que en t = 0 se encuentra en un máximo). La fase del resto de las señales queda entonces condicionada a la elección realizada ya que dependerá del retraso o adelanto respecto a la elegida como origen de fase. En la práctica, lo normal es elegir fase 0 en la señal suministrada por el generador que será pues de la forma V (t ) = V0 cos(ωt ). Ï VALORES EFICACES Al medir mediante polímetros señales de intensidad o tensión en régimen alterno (posición AC en el aparato), la lectura del polímetro proporciona la denominada magnitud eficaz de la señal. En concreto, si la señal instantánea (de tensión o intensidad) es de la forma A(t ) = A 0 cos(ωt +φ), su valor eficaz sería p Ae = A0/ 2 . Note que el valor eficaz no da información sobre la fase de la señal medida. Los valores eficaces tiep nen especialmente significado cuando se estudia la potencia en CA, apareciendo el factor 1/ 2 tras realizar determinados promedios de potencia. Ï EJEMPLO de ANÁLISIS de CIRCUITOS UTILIZANDO TÉCNICA FASORIAL Como se mencionó anteriormente, el análisis de circuitos en régimen de corriente alterna se puede llevar a cabo de forma muy simple utilizando la técnica de fasores. A continuación, se analizarán dos circuitos utilizando la técnica de fasores. El análisis pondrá de manifiesto cómo dicha técnica permite


Práctica – 3.

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Corriente Alterna

en gran medida trasladar el formalismo de corriente continua para resolver las ecuaciones circuitales que resultan de aplicar las reglas de Kirchhoff en circuitos en régimen armónico. Ï Ï Análisis de un circuito serie En el dominio fasorial, la ley de Kirchhoff para el circuito serie de la Fig.3.5 se escribe como sigue: Z1

V1

I

Z2

V

V2

Figura 3.5:

V˜ = V˜1 + V˜2 = Z1 I˜ + Z2 I˜ V˜ = (Z1 + Z2 ) I˜ = Z I˜

(3.1)

siendo, por tanto, Z = Z1 + Z2 la impedancia total del circuito. Conocido el fasor V˜ del generador, el fasor I˜ puede calcularse como V˜ I˜ = , Z ˜ ˜ y consecuentemente determinar también V1 = I Z1 y V˜2 = I˜Z2 a partir del valor de I˜ antes obtenido. Si se desea la relación entre los valores eficaces de la tensión del generador y la intensidad, basta p recordar que dichos valores eficaces son los módulos de los fasores divididos por 2. Así, partiendo p de la igualdad vista más arriba V0 = |Z |I 0, dividiendo ambos miembros por 2 se obtiene Ve = |Z |I e , donde |Z | = |Z1 + Z2 | es el módulo de la impedancia total de la asociación serie.

En la Fig.3.6 se ha representado el diagrama fasorial correspondiente a los fasores tensión V˜ , V˜1 y V˜2 . A la vista de este diagrama puede concluirse también la siguiente relación para los valores eficaces de las tensiones representadas: q 2 2 Ve = Ve,1 + Ve,2 + 2Ve,1Ve,2 cos(φ1 − φ2 ) .

(nótese que esta expresión sería válida también con los valores máximos V0,i , ya que son proporcionales a los eficaces). Como nota final de interés, cabe indicar que en el anterior diagrama fasorial puede verse cómo se verifica la ecuación de Kirchhoff: V˜ = V˜1 + V˜2 (regla del paralelogramo para la suma de vectores válida también para la suma de fasores). En el caso particular de que los elementos del circuito serie fuesen una resistencia (R) y un condensador (C ), la impedancia total de la asociación sería r −j 1 , siendo su módulo: |Z | = R 2 + 2 2 . Z =R+ ωC ω C

por tanto, se tiene (véase más arriba el apartado relativo la impedancia) r µ ¶ 1 1 2 Ve = I e |Z | = I e R + 2 2 , y φV − φI = φZ = − arctan . ω C ωRC


Práctica – 3.

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Corriente Alterna

~ V ~ V1

f

f1

~ V2

f2

Figura 3.6: Diagrama fasorial de tensiones

I2

I1

I Z1

V

Z2

Figura 3.7:

Ï ÏAnálisis de un circuito paralelo Utilizando la técnica fasorial en el circuito paralelo de la Fig.3.7, la ley de Kirchhoff para los nudos conduce a I˜ = I˜1 + I˜2 . Al estar en paralelo, las tensiones en los dos dispositivos serán idénticas V˜1 = V˜2 = V˜ . En este caso, conocido el fasor V˜ del generador, puede calcularse I˜ como sigue: µ ¶ ˜ V˜ 1 V 1 V˜ + = V˜ + = , I˜ = I˜1 + I˜2 = Z1 Z2 Z1 Z2 Z donde Z −1 = Z1−1 + Z2−1 , siendo Z la impedancia total de la asociación paralelo. Nótese que la expresión obtenida es formalmente igual a la correspondiente a la asociación en serie de resistencias vista en corriente continua. Para los valores eficaces se tendría nuevamente la siguiente relación: Ve = |Z |I e , y del diagrama fasorial para intensidades, Fig.3.8, se obtiene además la relación q 2 2 I e = I e,1 + I e,2 + 2I e,1 I e,2 cos(φ1 − φ2 ) En el caso particular de que los elementos del circuito paralelo fuesen una resistencia (R) y un condensador (C ), la impedancia total de la asociación verificaría: 1 1 = + j ωC , Z R


Práctica – 3.

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Corriente Alterna

I

I1

f

f1 f2

I2

Figura 3.8: Diagrama fasorial de intensidades

y por tanto, operando se obtiene que Z=

R 1 + j ωRC

por tanto, en este caso Ve = |Z | I e = p

R . , siendo su módulo: |Z | = p 1 + (ωRC )2 R Ie

1 + (ωRC )2

, y φV − φI = φZ = − arctan(ωRC ) .


Práctica 4

Tratamiento de Errores Las medidas de las diferentes magnitudes físicas que intervienen en una experiencia dada, ya se hayan obtenido de forma directa o a través de su relación mediante una fórmula con otras magnitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisión limitada que todo instrumento de medida tiene, así como a otros factores de distinta naturaleza que más adelante consideraremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exacto de ninguna magnitud. Por tanto, cualquier resultado numérico obtenido experimentalmente debe presentarse siempre acompañado de un número que indique cuánto puede alejarse este resultado del valor exacto.

4.1. Error absoluto y error relativo En general, se define como error absoluto de una medida a la diferencia existente entre el valor exacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemos saber el valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto así definido. El objetivo de la teoría de errores es la estimación de la incertidumbre asociada a un resultado dado. A esta incertidumbre se le denomina también error absoluto, y es esta segunda definición la que nosotros utilizaremos. El resultado experimental para una magnitud m lo expresaremos como sigue: m(±∆m)

(4.1)

siendo ∆m el error absoluto. El doble signo ± se coloca porque el error puede producirse por exceso o por defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm. al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. Por ello, se define como error relativo al cociente: ∆m m

(4.2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando la incertidumbre en porcentaje de la medida realizada.

4.2. Clasificación de los errores Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sistemáticos y errores casuales. 31


Práctica – 4.

Tratamiento de Errores

32

1. Errores sistemáticos. Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de un experimento, y que afectan a los resultados finales siempre en el mismo sentido. Se pueden distinguir varias fuentes de errores sistemáticos: Errores de calibración (o errores de cero) de los aparatos de medida. Es el caso, por ejemplo, del error que se comete cuando la aguja de un aparato analógico de medida (amperímetro, balanza, ...) no marca cero en la posición de reposo. Este tipo de errores también pueden aparecer en los aparatos electrónicos digitales como consecuencia de una mala calibración interna. Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instrumentos de medida bajo condiciones de trabajo (presión, temperatura, humedad, frecuencia de la red, etc.) diferentes de las recomendadas. Fórmulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pretender obtener demasíadas cifras significativas en los resultados extraídos de un modelo o de una fórmula aproximados. Por ejemplo, si se quiere medir la aceleración de la gravedad con más de tres cifras significativas no se puede usar la fórmula g = 4π2 L/T 2 (péndulo simple) porque ésta es una aproximación que supone una serie de condiciones ideales, a saber: • La cuerda no tiene masa (en la práctica sí la tiene, entrando en juego el momento de inercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del péndulo). • El extremo de suspensión del hilo es puntiforme (en realidad el péndulo oscila alrededor de un eje de grosor finito). • El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento con el aire, y esto ocasiona que las oscilaciones vayan decreciendo en amplitud y que el periodo de oscilación no sea constante). • Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo (por mucho cuidado que se ponga, existen siempre pequeñas oscilaciones laterales y rotaciones adicionales de la masa en suspensión. • La amplitud de oscilación debe ser pequeña (la fórmula anterior es tanto mejor cuanto mas próxima a cero sea la amplitud de oscilación). Por definición, una medida es tanto más exacta cuanto menores son los errores sistemáticos. 2. Errores casuales o aleatorios. Como el propio nombre indica, no existe una causa predeterminada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en un sentido como en otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de errores se someten a estudios estadísticos. Existen varias fuentes de errores casuales: El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno, provoca errores cuya evaluación es sólo posible a partir de un estudio estadístico hecho con medidas repetitivas. Falta de definición en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en las distintas medidas realizadas. Por ejemplo, el diámetro de una esfera metálica real no es una cantidad definida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mide el valor de varios diámetros encontrará valores numéricos diferentes. Errores de precisión, debidos a que el aparato de medida tiene una sensibilidad dada. Se define la sensibilidad como la unidad más pequeña que puede detectar un aparato de medida. Errores de apreciación, debidos a posibles defectos (visuales, auditivos, etc.) del observador, o también a la estimación a ojo que se hace de una cierta fracción de la más pequeña división de la escala de lectura de los aparatos de medida.


Práctica – 4.

33


Por definición, una medida es tanto más precisa cuanto más pequeños son los errores casuales.

4.3.

Estimación de errores en las medidas

La teoría de los errores casuales proporciona un método matemático para calcular con buena aproximación cuánto puede alejarse del valor verdadero, el valor medido experimentalmente para una magnitud física dada. Debido al carácter aleatorio de los errores casuales, distribuyéndose éstos al azar por exceso o por defecto, se puede estudiar su influencia mediante técnicas estadísticas. No ocurre así con los errores sistemáticos, los cuales afectan en un sentido dado al resultado, sin tener, por tanto, carácter aleatorio. Las normas para estimar errores absolutos que a continuación expondremos sólo sirven para errores casuales, y presuponen que los errores sistemáticos han sido cuidadosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisa cuando, una vez eliminados gran parte de los errores sistemáticos, consigamos errores casuales muy pequeños, y esto permitirá escribir el resultado final con bastantes cifras significativas. El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como resultado experimental m de una medida y como error absoluto ∆m de la misma. Distinguiremos dos situaciones: medida directa y medida indirecta.

4.3.1.

Medida directa de una magnitud física.-

El procedimiento no será el mismo si se hace una sola medida de la magnitud física que si se hacen varias. Una sola medida En principio, cualquier medida experimental debe ser repetida varias veces. Cuando se observe que el resultado obtenido es siempre idénticamente el mismo, y sólo en ese caso, estará justificado el quedarse con una sola medida. Dicha medida m 1 será el valor experimental obtenido para m. Como error absoluto, ∆m, se adoptará la mitad de la sensibilidad (S/2) del aparato de medida si éste es analógico, y la propia sensibilidad (S), si es digital (Sensibilidad (S): es la unidad más pequeña que el aparato puede apreciar en la escala utilizada). En cuanto al resultado medido m 1 hay que decir que en el caso de aparatos analógicos (con aguja, con diales, con niveles de mercurio, ...) existe la posibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo de medida) quede en el espacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso, puede adoptarse como valor de la medida el de la marca más cercana a la posición de la aguja, o bien, si se prefiere, cuantificar a ojo esa fracción de unidad que no aparece ya en la escala. Con los aparatos digitales no puede darse esta posibilidad. Resumiendo, en los casos en que se realice una sola medida de valor m 1 , nuestro resultado será: m 1 (±S/2) m 1 (±S)

analógicos

(4.3)

digitales

(4.4)

Ejemplos: Supongamos que un amperímetro analógico (medidor de intensidad de corriente) tiene una escala de lectura que aprecia hasta décimas de amperio (sensibilidad: S = 0,1A), y al hacer una medida la aguja se queda a la mitad de camino entre 0.6 A y 0.7 A. En ese caso, se podrá tomar como valor experimental m1 = 0,65A y como error absoluto 0,1/2 = 0,05A . Se dirá que la intensidad de corriente es de 0,65(±0,05)A.. Supongamos que un cronómetro digital que mide hasta milésimas de segundo


Práctica – 4.

34


(sensibilidad: S = 1 ms.) estima el período de oscilación de un péndulo en 882 milisegundos; entonces m 1 = 882 ms. y el error absoluto 1 ms., y el resultado se dará como 882(±1)ms.

Varias medidas Analicemos ahora la situación más habitual que corresponde al caso en que se realizan varias medidas de una magnitud física. La caracterización de los errores casuales se hace en este caso mediante la ayuda de la Estadística. La filosofía del método parte del hecho de que el valor exacto de la magnitud es inaccesible, y el proceso de medida es un proceso aleatorio que viene gobernado por una distribución de probabilidad normal o gaussiana cuya representación gráfica (campana de Gauss) es

La forma funcional de esta distribución es

¶ µ (x − µ)2 1 P (x) = p exp 2σ2 σ 2π

(4.5)

Obsérvese que x = µ es el valor más probable al realizar una medida ya que para ese valor la distribución de probabilidad presenta un máximo. El parámetro σ nos da una medida de la anchura de la campana. La probabilidad de que al realizar una medida obtengamos un valor comprendido en un intervalo cualquiera viene dada por el área que hay bajo la curva gaussiana en ese intervalo. Así, por ejemplo, la probabilidad de que el valor de una medida caiga dentro del intervalo µ±σ es del 68,30 %, dentro del intervalo µ±2σ es del 95,45 %, y dentro del intervalo µ±3σ es del 99,73 %. El área total bajo la campana es lógicamente 1, ya que la probabilidad de encontrar el valor de una medida entre −∞ y +∞ es del 100 %. La justificación del estudio estadístico radica en la suposición de que el valor más probable µ del proceso aleatorio coincide precisamente con el valor verdadero de la magnitud física, y por ello nuestro objetivo será determinar con la mayor precisión posible el valor de µ, y asimismo dar una expresión para el margen de error en nuestra estimación de µ. Obsérvese que si los errores sistemáticos (de carácter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados, no coincidirían µ y el valor verdadero de la magnitud física. Para determinar con exactitud µ habría que hacer infinitas medidas. Sin embargo, en el laboratorio realizaremos un número finito n de medidas que nos darán los valores m 1 , m 2 , m 3 , . . . , m n . Sobre ese conjunto finito de medidas, la Estadística nos permite definir y calcular una serie de estadísticos (ciertas cantidades de interés estadístico), a saber: Valor medio o media aritmética de los n valores m i (i = 1, . . . , n): m=

n 1X mi n i =1

(4.6)


Práctica – 4.

35


Desviación de la medida m i respecto de la media: (4.7)

hi = mi − m

También se puede hacer una extensión del concepto a desviación respecto de un parámetro a cualquiera: h i ,a = m i − a (4.8) Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy representativo de un conjunto de medidas es precisamente el ser el parámetro respecto del cual es mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, matemáticamente ! Ã ! Ã n n d X d2 X 2 2 (h i ,a ) (h i ,a ) =0 ; >0 (4.9) d a i =1 d a 2 i =1 a=m

a=m

Error cuadrático medio o desviación típica de las n medidas:

s=

sP

n 2 i =1 h i

n −1

(4.10)

El valor de s nos da una idea de la dispersión de las medidas m i respecto de la media m. Error cuadrático de la media o desviación estándar de las n medidas: sP n 2 s i =1 h i sm = p = n(n − 1) n

(4.11)

El valor de s m es muy importante porque nos informa de cómo de parecido es el valor medio m de nuestras n medidas al valor mas probable µ del proceso aleatorio global (recuérdese nuestra hipótesis de partida de que µ es a todos los efectos el valor verdadero de la magnitud física). De hecho, puede demostrarse que la probabilidad de que m esté dentro del intervalo µ ± 3s m es del 99,73 % (distribución gaussiana de los valores medios). Como conclusión podemos decir que m nos da una estimación de µ, y que cuanto menor sea la desviación estándar s m tanto más se parece realmente m a µ. Evidentemente, la desviación estándar decrece a medida que el número n de medidas es mayor. Hay que señalar que muchas de las consideraciones estadísticas que se han hecho sólo son estrictamente ciertas cuando n es grande (por ejemplo, n > 30). No obstante, nosotros nos conformaremos con un número inferior de medidas, por ejemplo, 10. Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder será la siguiente: se realizará un cierto número (por ejemplo, 10) de medidas de una magnitud física, se calculará el valor medio y la desviación estándar de todas ellas mediante las ecuaciones (6) y (11), se considerará como valor experimental m el valor medio y como error absoluto el triple de la desviación estándar. Es decir, daremos como resultado final: m(±3s m ) (4.12)

Ejemplo: Supongamos que se desea medir con un cronómetro digital que mide hasta milisegundos el período de un péndulo. Se realizan 10 medidas de dicho período, y se obtienen los siguientes valores en milisegundos (ms): 902, 850, 915, 930, 888, 875, 889, 902, 902 y 890. A continuación, se procede a calcular el valor medio mediante (6) obteniéndose 894,3 ms, y la desviación estándar mediante (11)


Práctica – 4.

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obteniéndose 6,9 ms. Tomamos como valor experimental el valor medio y como error absoluto el triple de la desviación estándar. El resultado se expresaría como 894(±21) ms, donde se han hecho ciertos redondeos de acuerdo con las normas que daremos más adelante en lo que concierne a presentación de resultados.

En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta esté especialmente alejada de todas las demás, en ese caso puede descartarse dicha medida y sustituirse por una nueva, ya que lo más probable es que se haya tomado mal esa lectura concreta. Estas medidas incorrectas dan lugar a los denominados puntos experimentales erróneos, los cuales deben ser indicados en las representaciones gráficas. Como norma, si la desviación de una medida dudosa, h i = m i − m, es mayor o igual que cuatro veces la desviación promedio, se puede rechazar la medida dudosa. Cuando se observa una fuerte dispersión en las medidas tomadas para una magnitud dada, se puede aumentar el número de medidas para así reducir la desviación estándar.

4.3.2.

Medida indirecta de una magnitud física

Cuando se utiliza una fórmula para calcular el valor de una magnitud física a partir de otras magnitudes que se han medido directamente y de constantes físicas, decimos que estamos haciendo una medida indirecta. Es de suma importancia para este caso saber cómo se propagan los errores de las magnitudes medidas directamente hacia la que se está obteniendo indirectamente. Dicho de otra forma, hay que ser capaces de dar una expresión para el error absoluto de la magnitud medida indirectamente en función de los errores absolutos de las magnitudes medidas directamente. El tratamiento riguroso de la teoría de propagación de errores se fundamenta en el cálculo diferencial. En algunas ocasiones, una magnitud física es medida indirectamente a partir de otra única magnitud (función de una sola variable), pero, en general, es medida a partir de varias magnitudes cada una de las cuales viene afectada por un margen de error (función de varias variables). Función de una sola variable La primera situación que nos podemos encontrar es el caso de una magnitud y que va a ser medida indirectamente mediante una fórmula a partir de otra única magnitud x que ha sido medida directamente y que tiene un error absoluto ∆x: y = f (x)

(4.13)

Como valor experimental de y adoptaremos el que resulta de evaluar (4.13) para el valor experimental de x. Por otra parte, el cálculo diferencial nos asegura que siempre que el error no sea demasiado grande y podamos aproximar ∆x ∼ d x, podemos obtener de forma aproximada el error absoluto en y como sigue: ¯ ¯ ¯ d f (x) ¯ ¯ ∆x ¯ (4.14) ∆y = ¯ dx ¯ donde se supone supone que ∆y ∼ d y y estando la derivada que aparece evaluada en el valor experimental de x. Hay que destacar que (4.14) es válida tanto si el valor experimental de x y su error absoluto ∆x fueron calculados por procedimientos estadísticos (ecuación (4.12)) como si fueron calculados por procedimientos no estadísticos (ecuaciones (4.3) y (4.4)). En consecuencia, el resultado para y con su error vendrá dado por ¯ ¯ ¯ d f (x) ¯ ¯ ∆x . (4.15) y ± ∆y = f (x) ± ¯¯ dx ¯


Práctica – 4.

37


Como caso particular de interés, el estudio anterior conduce a que el error relativo en una magnitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente en el caso en que ambas magnitudes sean directa o inversamente proporcionales. Así si y = ax o bien y = a/x, siendo a una constante (sin error), partiendo de (4.14) tras realizar la correspondiente derivada y dividiendo ambos miembros por y, se tiene que ∆y ∆x = . (4.16) y x Un problema que puede surgir (en casos excepcionales) cuando se utiliza (4.14) para el cálculo del error absoluto de una medida indirecta es que d f /d x sea cero para el valor experimental de x. Aparentemente, esto nos llevaría a que ∆y = 0, pero esto no es cierto. Hay que tener en cuenta que (4.14) es lo que se denomina una aproximación de primer orden del error. En el caso comentado habría que recurrir a la aproximación de segundo orden: ∆y = |d 2 f /d x 2 |∆x 2 que evidentemente nos daría un error muy pequeño pero distinto de cero. Función de varias variables Consideremos ahora el caso de que en la fórmula de la magnitud indirecta y aparezcan varias magnitudes medidas directamente, por ejemplo: y = f (x, z, t )

(4.17)

De nuevo, se toma como valor experimental de y el que resulte de evaluar (4.17) para los valores experimentales de x, z y t . En cuanto al error absoluto de y, hay que distinguir ahora entre la posibilidad de que todas las magnitudes medidas directamente lo hayan sido mediante procedimientos estadísticos y la posibilidad de que una o varias de ellas hayan sido medidas mediante procedimientos no estadísticos. Todas las variables obtenidas por procedimientos estadísticos En el supuesto de que todas las variables hayan sido medidas mediante procedimientos estadísticos (ecuación (4.12) o rectas de mínimos cuadrados), se puede demostrar que la desviación estándar asociada a y viene dada en función de las desviaciones estándar de sus variables por: s µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 ∂f ∂f ∂f 2 2 sx + sz + s2 sy = (4.18) t ∂x ∂z ∂t donde ∂ f /∂x es la derivada parcial de la función f con respecto a x, y así sucesivamente. Todas las derivadas parciales se evalúan en los valores experimentales de x, z y t . Por tanto, en esta situación particular escribiremos como resultado: f (x, z, t )(±3s y )

(4.19)

Alguna (o todas) las variables procedentes de una sola medida En estos casos usaremos como error absoluto en las variables que proceden de una sola medida el relacionado con la sensibilidad S del aparato utilizado, de acuerdo con (4.3) y (4.4), y como error absoluto para las variables estadísticas el triple de su desviación estándar, de acuerdo con (4.12). Una vez asignados los errores absolutos, nuevamente el cálculo diferencial (de funciones de varias variables en este caso) nos permite obtener la siguiente aproximación para el error absoluto ∆y en función de los errores absolutos de las variables directas: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯∂f ¯ ¯∂f ¯ ¯∂f ¯ (4.20) ∆y = ¯¯ ¯¯ ∆x + ¯¯ ¯¯ ∆z + ¯¯ ¯¯ ∆t ∂x ∂z ∂t


Práctica – 4.

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y como resultado escribiremos f (x, z, t ) (± ∆y) .

(4.21)

En el supuesto de que aparezcan constantes físicas en la fórmula, se elegirán con un número suficiente de decimales para que su precisión sea tal que podamos suponer que su error absoluto sea cero. Como ejemplo de especial interés, el estudio anterior conduce a que el error relativo en una magnitud indirecta, z, obtenida como cociente o producto de dos magnitudes de medida directa (no estadísticas), x e z, tiene como error relativo la suma de los errores relativos de las dos variables directas. Así si y = axz o y = ax/z, donde a es una constante sin error, tras realizar la derivadas parciales y dividiendo ambos miembros por y en (4.20) se tiene ∆y ∆x ∆z = + . y x z

(4.22)

Finalmente, como caso más trivial pero de interés, si la magnitud indirecta se obtiene como suma de las magnitudes directas, y = x +z +t , la ecuación (4.20) nos indica que el error absoluto será la suma de los errores absolutos, ∆y = ∆x + ∆z + ∆t . En definitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomará como valor experimental de la misma el que resulte de evaluar la fórmula para los valores experimentales previamente obtenidos de cada una de sus variables, y como error absoluto el que corresponda según los casos de (4.14), (4.18) o (4.20).

Ejemplo: Supongamos que se ha medido una magnitud física x obteniéndose un valor experimental 0,442(±0,003) y que tenemos interés en medir indirectamente otra magnitud física que es precisamente y = x 2 . En primer lugar, el valor experimental de y es y = (0,442)2 = 0,195. El error absoluto de y se calcula de acuerdo con (15): ∆y = |2x|∆x = 2 · 0,442 · 0,003 = 0,003. Por tanto, el valor experimental de y es 0,195(±0,003).

Ejemplo: Supongamos que se ha medido de forma directa la tensión e intensidad en una resistencia obteniéndose V = 10,0(±0,1) V e I = 2,50(±0,05) A. Determinaremos el valor de R = V /I (ley de Ohm) con su error. Dado que se trata de un cociente, el error relativo en R será la suma de los errores relativos en V e I (véase (4.22). Luego

por tanto

∆R 0,1 0,05 = + = 0,03 R 10 2,50

(4.23)

µ ¶ 10,0 10,0 R= ±0,03 × = 4,00(±0,12)Ω 2,50 2,50

(4.24)

Ejemplo: Se han medido mediante procedimientos estadísticos la longitud L de un péndulo obteniéndose 1,453(±0,001)m y para el periodo T del mismo 2,42(±0,01)s, y se desea calcular la aceleración


Práctica – 4.

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de la gravedad g a partir de la fórmula aproximada g=

4π2 L . T2

(4.25)

En primer lugar, se estima el valor experimental indirecto de g sustituyendo en (4.25) los valores experimentales de L y T : g=

4 · (3,1416)2 · 1,453 = 9,79 ms−2 . (2,42)2

(4.26)

A continuación, hay que evaluar el error absoluto de g . Dado que L y T fueron obtenidas por procedimientos estadísticos usaremos (4.18). Los valores de las desviaciones estándar son conocidos y están implícitos en los errores absolutos que se han dado (recuérdese que ∆m = 3s m ), por tanto: sL =

∆L 0,001 = = 0,0003m 3 3

y aplicando (4.18): sg =

s

µ

4π2 T2

¶2

(0,0003)2 +

sT = µ

∆T 0,01 = = 0,003s. 3 3

4π2 L

−2 T3

¶2

(0,003)2

(4.27)

(4.28)

y sustituyendo los valores de L y T se obtiene s g = 0,024ms−2 . En consecuencia, ∆g = 3s g = 0,07 ms−2 , y el resultado de la medida indirecta de g es 9,79(±0,07) ms−2 . Como nota final, puede comprobarse que no es necesario tomar más cifras de la constante π para poder considerarla como una constante sin error, ya que si se tomasen más cifras el resultado final de g sólo se vería afectado en cifras no significativas (por debajo del margen de error).

Ejemplo: Supongamos que nuevamente deseamos obtener el valor de la gravedad de acuerdo con (4.25), habiendo sido en este caso L y/o T obtenidas mediante una sola medida. En este caso, tras asignar los errores absolutos, según corresponda (a partir de la sensibilidad S o de la desviación estándar, dependiendo de cómo se obtuvo la medida), aplicando (4.20) se obtiene: ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¯ ∂g ¯ ¯ ∂g ¯ ¯ ∆T = 4π ∆L + 4π2 L 2 ∆T ∆g = ¯¯ ¯¯ ∆L + ¯¯ ¯ 2 ∂L ∂T T T3

(4.29)

y sustituyendo los valores de L , T , ∆L y ∆T del ejemplo anterior, se obtiene ∆g = 0,09 ms−2. Por tanto, el resultado de la medida indirecta de g en este segundo caso es 9,79(±0,09) ms−2 .

4.4.

Presentación de resultados numéricos

Cualquier valor experimental m de una magnitud física debe expresarse con un determinado número de cifras, que viene limitado por el valor del error absoluto. El número de cifras que hay desde la primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra que venga afectada por el error absoluto, ambas inclusive, es el número de cifras significativas (N s ) del resultado. Es evidente que no tiene sentido escribir cifras no significativas de un resultado. Además, el convenio de sólo escribir las cifras significativas de un resultado nos hace tener información inmediata sobre su error absoluto por el mero hecho de verlo escrito.


Práctica – 4.

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Ejemplo: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de 14,7 m sabemos que se ha medido con una precisión de decímetros y que, por ello, nos dan 3 cifras significativas. Si la precisión de la medida hubiese sido de centímetros, entonces nos habrían dicho 14,70 m (4 cifras significativas).

El expresar un resultado en una u otra unidad no cambia su número de cifras significativas. Por eso, los ceros a la izquierda de un número no son cifras significativas y sólo se utilizan para situar el lugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse usando notación científica (potencias de 10).

Ejemplo: Decir que una masa es de 2,342 g o decir que es de 0,002342 kg, no cambia el número de cifras significativas que en ambos casos es N s = 4. En notación científica se escribiría 2,342×10−3 kg

Los ceros al final de una medida pueden ser o no ser cifras significativas.

Ejemplo: Si nos dicen que en España hay 40000000 de personas puede que los haya exactamente, en cuyo caso el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede que se haya redondeado a un número entero de millones, en cuyo caso sólo el cuatro y el primer cero son cifras significativas. Para esta última situación, lo más aconsejable para evitar ambigüedades sería entonces haber escrito 40×106 o’ 40 millones.

Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga el resultado con más cifras de las significativas. De acuerdo a los antes expuesto, será el error absoluto de la medida el que nos determine las cifras significativas con que debemos presentar el resultado. Así, tras obtener el error absoluto, será necesario llevar a cabo un redondeo en el valor de la medida para conservar sólo cifras significativas. A este fin, utilizaremos la técnica de redondeo. En concreto, supongamos que el error nos indica que debemos conservar cifras hasta una dada; si la cifra siguiente a ella es cinco o mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si es menor que cinco, entonces no se modifica la última cifra conservada. Finalmente, hay que especificar cómo se aplica el redondeo a la propia expresión del error absoluto. Debido al significado de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto, éste mismo no debe expresarse nunca con más de dos cifras. Por convenio, el error absoluto se expresará con dos cifras si la primera de ellas es un 1, o, si siendo un 2, no llega a 5 la segunda. En los demás casos, el error absoluto deberá expresarse con una sola cifra obtenida mediante redondeo.

Ejemplos: Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente. INCORRECTO

CORRECTO

5,619(±0,126) 8,4(±0,06) 345,233(±0,18) 2,023(±0,0261)

5,62(±0,13) 8,40(±0,06) 345,23(±0,18) 2,02(±0,03)


Práctica – 4.


41

Aunque la determinación precisa del error y, por tanto, del número de cifras significativas en una magnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo mediante la técnica de transmisión de errores 4.3.2, podemos no obstante estimar el número de cifras significativas en algunos casos sin necesidad de obtener previamente el error. Así, en cálculos que implican multiplicación, división y extracción de raíces de números, el resultado final no puede tener más cifras significativas que los datos con menor número de ellas. En cálculos de sumas y restas de números, el resultado final no tiene más cifras significativas después de la coma decimal que las de los datos con menor número de ellas después de la coma decimal. En el caso de restas entre números muy parecidos suele ocurrir que el resultado tiene muchas menos cifras significativas que cada uno de ellos.

Ejemplo: Tras medir los tres lados de un paralelepípedo se han obtenido los siguientes resultados: a = 12,3 (±0,1) cm, b = 8,5 (±0,1) cm y c = 0,3 (±0,1) cm. Deseamos estimar el número de cifras significativas para su volumen obtenido como V = abc . De acuerdo con lo expuesto, el resultado final del volumen tendrá sólo una cifra significativa, ya que la medida con menos cifras significativas, c , posee una sola. Podemos verificar que lo anterior es cierto calculando el posible valor máximo y mínimo para el volumen: Vmín. = (12,2)(8,4)(0,2) = 20,496 cm3 y Vmáx = (12,4)(8,6)(0,4) = 42,656 cm3 . Como es posible comprobar, la primera cifra del volumen es distinta en cada caso, luego está afectada de error (es incierta), y por lo tanto el resultado deberá redondearse a una sola cifra: V = (12,3)(8,5)(0,3) = 31, 365 cm3 que tras el redondeo resulta a una cifra queda V = 0,00003 m3 o V = 3 × 10−5 m3 .

Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas constantes con un número mayor o, al menos, igual de cifras significativas que el que corresponda a la medida con más cifras significativas. De esta forma evitamos que las constantes introduzcan errores adicionales (podemos entonces considerarlas como exactas).

Ejemplo: Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radio r y altura h , siendo r = 4,5(±0,1) cm y h = 55,7(±0,1) cm. El volumen es πr 2 h . La constante π debe tomarse como mínimo con 3 cifras significativas para no ser causa de errores adicionales. El volumen se obtiene con dos cifras significativas, al igual que la medida con menos cifras significativas, r .

La importancia de conocer los errores absolutos de las medidas de las magnitudes físicas a la hora de obtener conclusiones científicas queda de manifiesto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Supongamos que se desea determinar si la temperatura T tiene algún efecto sobre la resistencia eléctrica de una bobina de alambre de cobre. Se miden dos valores de la resistencia R para dos temperaturas distintas y se obtiene: T1 = 20o C R 1 = 4,024 Ω o T2 = 30 C R 2 = 4,030 Ω Sin los errores absolutos para cada valor de la resistencia no podemos sacar conclusiones científicas. Si el error de cada medida es de 0.002, entonces podemos concluir que la resistencia eléctrica aumenta con la temperatura T . En cambio, si el error fuese de 0,008 entonces no tenemos bases para llegar a la misma conclusión.


Práctica – 4.

4.5.

42


Recta de mínimos cuadrados

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes con la máxima precisión posible, sino que es, fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre dos o más magnitudes que están variando en manera correlacionada. Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudes x e y. La ley que gobierna el fenómeno relaciona una magnitud x con la otra y de tal manera que durante una serie de experiencias se determinan los valores de una de ellas (y) que corresponden a los distintos valores de la otra (x). Si se han hecho n pares de medidas: (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ) ,

(4.30)

nos preguntamos si es posible conocer la relación funcional entre las magnitudes x e y. Dicha relación puede ser formulada, diciendo que una de ellas es función de la otra, como y = y(x) .

(4.31)

En otros términos, se pretende encontrar la curva de mejor ajuste para el conjunto de valores experimentales (4.30). El problema así formulado es muy complicado debido al hecho de que existen infinitas funciones a las que pertenecen los n puntos dados en (4.30). No obstante, en la práctica, el problema al que nos enfrentamos es de naturaleza más simple, ya que la forma de la función y(x) es casi siempre conocida de antemano, de acuerdo con una determinada teoría o modelo. Por tanto, en primer lugar, elegiríamos el tipo de comportamiento funcional que convenga a nuestro problema. Por ejemplo, podría ser alguno de los siguientes, dependiendo del fenómeno estudiado: y = ax + b , y = b + a/x , y = ax 2 + bx + c , y = a exp(bx) , . . .

(4.32)

Una vez elegida la forma de y(x) adecuada, sólo quedaría determinar los valores de los parámetros a, b, c, etc. que aparezcan en y(x), de forma que la función se “ajuste” lo mejor posible con la nube de puntos experimentales. Aunque el concepto de mejor ajuste no es unívoco, esto es, pude haber diferentes criterios sobre qué considerar como mejor ajuste, elegiremos el denominado ajuste de acuerdo al método de los mínimos cuadrados. A continuación, explicaremos esta técnica para el caso de dependencia lineal, y(x) = ax + b. Es decir, vamos a definir la recta de mejor ajuste en el sentido de mínimos cuadrados, también denominada recta de regresión. Las ideas básicas de la técnica que desarrollaremos pueden ser utilizadas para ajustar por mínimos cuadrados cualquier otro tipo de función. En cualquier caso, el ajuste tipo recta de mínimos cuadrados será el único que empleemos en las prácticas que llevaremos a cabo durante el curso. Supongamos, pues, que la función elegida para el ajuste sea la siguiente recta: y = ax + b ,

(4.33)

donde a sería la pendiente y b la ordenada en el origen. El objetivo será determinar a y b para que (4.33) sea la recta que mejor se ajuste a la colección de datos experimentales (4.30) según el criterio que veremos a continuación. Comenzaremos por definir el residuo de cada punto de (4.30) con respecto a la recta (4.33) como la siguiente cantidad: r i = y i − y(x i ) = y i − (ax i + b)

(i = 1, . . . , n) ,

(4.34)

cantidad que puede ser positiva o negativa según el punto experimental (x i , y i ) en cuestión esté por encima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular de que el punto estuviese sobre la propia recta su residuo sería nulo.


Práctica – 4.

43


En principio el valor de los residuos dependerá de la recta elegida (determinada por los valores concretos elegidos para a y b). El criterio de ajuste por mínimos cuadrados que utilizaremos consistirá en elegir la recta de forma que la suma de los cuadrados de los residuos sea mínima. Esto es, hemos de determinar a y b de forma que n X

i =1

r i2 =

n X

(y i − ax i − b)2

(4.35)

i =1

P sea mínima. La suma anterior puede verse como una función de dos variables, ni=1 r i2 = f (a, b), ya que, para un conjunto dado de datos experimentales, el resultado de dicha suma dependerá sólo de los valores elegidos de a y b, que actúan ahora como variables de la función. En este sentido, para determinar los valores de a y b que hacen mínima a f (a, b) puede utilizarse la técnica de cálculo de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Así, exigiendo que las derivadas parciales de la función f (a, b) con respecto a los variables a y b, esto es (∂ f /∂a) y (∂ f /∂b), sean nulas se obtiene finalmente que F E − DC nC − DE b= , (4.36) a= 2 nF − D nF − D 2

siendo

C=

n X

i =1

xi y i ; D =

n X

i =1

xi ; E =

n X

i =1

yi ; F =

n X

i =1

x i2 .

(4.37)

Puede demostrarse que la recta de mínimos cuadrados tiene la propiedad de que pasa por el punto medio de los valores experimentales (x, y). La pendiente a y la ordenada en el origen b de la recta de mínimos cuadrados son en muchas ocasiones magnitudes físicas que se quieren medir. Por ello, es importante establecer qué error absoluto vamos a considerar para dichos parámetros así calculados. Se puede demostrar que la desviación estándar de a y b viene dada por

sa sb

= =

s s

n

Pn

2 i =1 r i

(n − 2)(nF − D 2 ) P F ni=1 r i2 (n − 2)(nF − D 2 )

(4.38) (4.39)

Por tanto, como vimos en su momento (4.12), tomaremos como error absoluto de la pendiente y de la ordenada en el origen de una recta de mínimos cuadrados al triple de sus desviaciones estándar respectivas: a(±3s a ) (4.40) b(±3s b )

(4.41)

Conviene señalar que, en algunas ocasiones, esta banda de error para a y para b resulta ser excesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola cifra significativa de los resultados. Cuando ello ocurra, es aceptable adoptar un criterio de error más suave (por ejemplo, las propias desviaciones estándar en lugar del triple de las mismas). La recta de regresión obtenida nos permitirá, si lo deseamos, estimar el valor de la magnitud y para valores de x distintos a los inicialmente medidos. Se puede demostrar el valor obtenido, y o , utilizando la recta de regresión para un cierto valor, x o (no medido), viene afectado por una desviación estándar sP · ¸ n r 2 D − 2x o D + nx o i =1 i , (4.42) syo = (n − 2) nF − D 2


Práctica – 4.

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y como error absoluto del valor de y o estimado adoptaremos el triple de su desviación estándar: y(±3s y o ) .

(4.43)

Existe un parámetro muy importante denominado coeficiente de correlación lineal r de las variables x e y, que nos permite determinar la bondad del ajuste de la recta de mínimos cuadrados. Una de las formas de expresarlo es nC − DE r=p (4.44) (nF − D 2 )(nG − E 2 ) P siendo G = ni=1 y i2 . El coeficiente de correlación puede ser positivo o negativo y su valor absoluto, |r |, varía entre 0 y 1; el ajuste es tanto mejor cuanto más próximo esté |r | de la unidad. Un valor de |r | próximo a cero indica que no hay mucha correlación lineal entre los datos, y que posiblemente haya que buscar una correlación más complicada (es decir, la nube de puntos experimentales se ajustaría mejor con una función distinta de una recta). Muchas calculadoras así como programas para representación gráfica de funciones traen incorporadas como utilidad estadística el cálculo de rectas de regresión, proporcionando todos los parámetros del ajuste para los pares de valores (x i , y i ) que se utilicen como datos. Finalmente, cabe indicar que el estudio anterior llevado a cabo para la recta de mejor ajuste, tiene un doble interés: por un lado, la dependencia tipo recta es muy frecuente entre magnitudes físicas y, por otro lado, muchas otras dependencias más complicadas pueden reducirse a una dependencia tipo recta mediante un cambio de variables adecuado. A continuación se exponen algunos ejemplos

función inicial

cambio

forma lineal

y = ax 2 p y=a x y = Aexp(−x) y = Ax n

x2 = z p x =z ln(y) = z ; ln(A) = b ln(y) = z ; ln(A) = b; ln(x) = t

y = az y = az z = −x + b z = b + nt

4.6. Realización de gráficas Las representaciones gráficas son una herramienta imprescindible para la física experimental. Con el fin de que la gráficas aporten toda la información necesaria de la forma más adecuada deben seguirse ciertas normas de carácter general: Las gráficas podrán realizarse manualmente o bien haciendo uso de algún software gráfico. Caso de hacerse manualmente deberá utilizarse papel milimetrado. Los datos experimentales siempre deben aparecer nítidamente en la gráfica. Se presentaran como un conjunto de puntos. En este sentido, no deben unirse dichos puntos entre sí mediante segmentos formando una extraña línea quebrada (debe controlarse esta opción en los programas de software gráfico). la recta de regresión se dibujará sobre la nube de puntos experimentales en una única gráfica. Los intervalos de valores considerados en los ejes deben ser tales que la recta representada se visualice convenientemente en la gráfica ocupando la mayor área posible y no aparezca concentrada en una fracción de ella (es decir, evitar que la gráfica quede en una esquina y el resto de papel vacío).


Práctica – 4.


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Debe especificarse siempre sobre los ejes horizontal y vertical cuáles son las magnitudes allí representadas, así como las unidades físicas a que corresponden.

4.7. Memorias de las prácticas La realización de un trabajo experimental en el laboratorio irá siempre acompañada de la posterior presentación de una Memoria de la Práctica. Cada pareja de prácticas presentará una Memoria de cada Práctica realizada. La presentación de las Memorias deberá estar dentro de los márgenes de claridad y limpieza exigibles a un alumno de enseñanzas superiores. La utilización de ordenadores e impresoras para la elaboración de las Memorias es la opción más recomendable, no obstante, pueden realizarse manualmente si el alumno no dispusiese de medios adecuados. La presentación extremadamente cuidada será un factor positivo a tener en cuenta, pero en ningún caso la excusa para descuidar el contenido escrito de las Memorias. Un esquema general (aunque flexible) del contenido de una Memoria es el que sigue: 1. Una primera página con título, autores y fecha de realización de la Práctica en el laboratorio. 2. Una breve introducción para marcar los objetivos de la Práctica. 3. Una descripción del montaje experimental utilizado en el laboratorio: aparatos, técnicas de medida, etc. 4. Presentación de resultados: tablas, gráficas, etc. Los resultados deberán venir acompañados de sus correspondientes errores, cuando así se especifique. No olvidar nunca presentar los resultados con sus unidades correspondientes, en otro caso carecerían de significado. 5. Interpretación de los resultados y conclusiones. Comentarios sobre cualquier aspecto del trabajo experimental, detalles acerca del desarrollo del experimento, posibles fuentes de errores sistemáticos no eliminadas, sugerencias, etc. 6. Un último punto que se debe añadir a la práctica y de fundamental importancia concierne a la confrontación de los resultados obtenidos mediante las rectas de mínimos cuadrados con los resultados predichos por la teoría correspondiente. Una memoria de prácticas sin estos comentarios se considerará incompleta y se puntuará en consecuencia.


Práctica – 4.

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RESUMEN: Estimación de Errores en las Medidas 1. Medidas directas a) Una única medida Valor verdadero: el medido, m Error cometido: Aparatos analógicos, la sensibilidad S del aparato ⇒ m ± S. En aparatos digitales, S/2 ⇒ m ± S/2.

b) Varias medidas

Valor verdadero: el valor medio, m ¯ ± 3s m . Error cometido: El triple de la desviación standard media, s m ⇒ m 2. Medidas Indirectas: y = f (x, z, t , . . .) a) Medidas obtenidas de una sola medición Valor experimental de y: el que resulta de evaluar la función y para los valores obtenidos directamente de x, z, t , . . . Error cometido: aproximamos mediante técnicas de cálculo diferencial µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂f ∂f ∂f d y ≡ ∆y = ∆x + ∆z + ∆t + · · · , ∂x ∂z ∂t los ∆x, ∆z, ∆t , . . . se obtendrán de las sensibilidades de los aparatos de medidas. b) Medidas obtenidas por técnicas estadísticas Valor verdadero: x z t

x¯ ± 3s x¯ z¯ ± 3s z¯ t¯ ± 3s t¯

−→ −→ −→

¯ z, ¯ t¯, . . .). y por tanto valor experimental y = f (x,

Error absoluto cometido en y, ±s y¯ , se obtiene de técnicas estadísticas: sy =

s µ

∂f ∂x

¶2

s x2 +

µ

∂f ∂z

3. Recta de Mínimos Cuadrados: y = ax + b Error cometido en a y b, es suficiente con a ± s a¯ , b ± s b¯ .

¶2

s z2 +

µ

∂f ∂t

¶2

s2 t

Buen ajuste si valor absoluto coeficiente de correlación, |r |, próximo a la unidad.


ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INFORMÁTICA I. I. – TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA

PRÁCTICAS DE LABORATORIO

Práctica 1 – CORRIENTE CONTINUA

o o

Miguel Ángel Cifredo Campos


Índice de contenido:

 Objetivos. 

Conceptos implicados.



Principios físicos.

 Material de medidas utilizado.

 Prácticas de laboratorio. 1. Verificación de la ley de Ohm. 2. Verificación de las reglas de asociación de las resistencias. 3. Comprobación de las leyes de Kirchhoff. 4. Curva característica del diodo.

 Hoja de Datos de laboratorio.


Práctica 1 – Corriente Continua

Objetivos. Conceptos implicados: Corriente eléctrica, diferencia de potencial, ley de Ohm, fuerza electromotriz, asociación de resistencias, leyes de Kirchhoff. Principios físicos: 

Corriente eléctrica. Es el movimiento de cargas en un conductor debido al empuje de un campo eléctrico aplicado. La corriente eléctrica se mide por su intensidad, I, definida como la carga que atraviesa la sección del conductor por unidad de tiempo. La unidad de I en el sistema internacional es el amperio (A). La intensidad se mide con el amperímetro.



Diferencia de potencial. El campo eléctrico que da lugar al movimiento de cargas en un circuito tiene asociado una diferencia de potencial. Así, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del circuito será el trabajo por unidad de carga realizado por el campo entre esos puntos. La unidad del potencial en el sistema internacional es el voltio (V). La diferencia de potencial entre dos puntos, también llamada caída de potencial o tensión, se mide con el voltímetro.



Ley de Ohm. Esta ley es básica para el análisis de circuitos. De acuerdo con dicha ley, la relación que existe entre la diferencia de potencial, V, medida en los extremos de un conductor y la intensidad que pasa por él es lineal: V = I·R, donde el parámetro R, denominado resistencia, indica la “resistencia” que ofrece el conductor al paso de la corriente. La resistencia de una determinada muestra depende del tipo de material utilizado, de su geometría así como de la temperatura de trabajo. La unidad de la resistencia en el sistema internacional es el ohmio (Ω).



Batería (o pila). Es un elemento capaz de transformar energía química en energía eléctrica. Las baterías son capaces de mantener una diferencia de potencial constante entre sus bornes dando lugar así al campo que ha de mover las cargas a lo largo del circuito. La diferencia de potencial entre los bornes de una batería se denomina su fuerza electromotriz (fem) y se mide en voltios. Dicha fem será pues la energía que la batería comunica a la unidad de carga para recorrer el circuito. Las baterías reales tienen ciertas pérdidas en su interior que pueden modelarse mediante una resistencia interna.



Leyes de Kirchhoff. Un circuito es una interconexión de distintos elementos. En esta práctica nos limitaremos a interconectar resistencias y baterías. Las corrientes y tensiones en un circuito pueden ser determinadas mediante las siguientes dos leyes de Kirchhoff: (1) Ley de las mallas: la suma de caídas de potencial a lo largo de cualquier camino cerrado (malla) del circuito es nula. (2) Ley de los nudos: la corriente total que entra en cualquier nudo (punto del circuito al cual llegan y salen varias intensidades) es igual a la que sale del mismo.

1



Material de medidas utilizado.

Multímetro digital de mano: ISO-TECH IDM 99II Multimeter

Medida

Valor

Gama de tensión DC

400,0 mV → 1.000 V

Precisión de tensión DC

±0,25%

Gama de tensión AC

400,0 mV → 750 V

Precisión de tensión AC

±1,3%

Frecuencia máxima de tensión AC

1 kHz

Rango de corriente DC

40,00 mA → 10 A

Precisión de corriente DC

±0,7%

Rango de corriente AC

40,00 mA → 10 A

Precisión de corriente AC

±2,0%

Frecuencia máxima de corriente AC

1 kHz

Rango de resistencia

400,0 Ω → 40 MΩ

Precisión de resistencia

±0,7%

Gama de capacitancia

4.000 nF → 40 mF

Precisión de capacitancia

±0,2%

Frecuencia

4.000 Hz → 40 MHz

Precisión de frecuencia

±0,01%

Medida

Valor

Número de salidas

1

Rango de tensión

0 - 30V

Tensión de alimentación

100/120/220/240V 50/60Hz, Switchable

Voltaje de entrada nominal

110 - 120; 220 - 240 V

Tensión de salida 1

0-30V

Peso

5kg

Ancho

145mm

Corriente de salida 1

0-3A

Profundidad

128mm

Pantalla

Single

Alto

285mm

Tipo de medidor

LED

Fuente de alimentación de banco: Laboratory DC Power Supply IPS303DD

2



PRÁCTICAS DE LABORATORIO 1.- Verificación de la Ley de Ohm. En este apartado tomaremos varios valores de la tensión e intensidad en una resistencia y verificaremos que se cumple la ley de Ohm. Calcularemos igualmente el valor experimental de la resistencia utilizada. 1. De entre las resistencias que le han proporcionado elija una de 510 Ω. Para ello deduzca qué colores corresponden a dicha resistencia de acuerdo con el código de colores. Una vez elegida, mídala con el polímetro para comprobar que no se ha equivocado. 2. Monte el circuito mostrado en la Fig.1.1, donde se muestra la resistencia R = 510 Ω conectada. a un fuente de tensión continua. El voltímetro medirá la tensión, V, entre los extremos de la resistencia. Mediante un amperímetro conectado en serie se medirá la intensidad, I (en mA), que atraviesa la resistencia. 3. Variando el control de amplitud del generador desde aproximadamente 7 V hasta valores cercanos a 1 V (no use valores mayores de 7 V para evitar que se caliente en exceso la resistencia), tome nota en una tabla de 10 pares de valores de V e I con sus correspondientes unidades.

Resultado experimental: Tabla de 10 pares de valores de V e I: Toma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V 6’88 (± 0’01) 5’93 (± 0’01) 5’39 (± 0’01) 4’91 (± 0’01) 3’91 (± 0’01) 3’43 (± 0’01) 2’90 (± 0’01) 2’37 (± 0’01) 1’40 (± 0’01) 0’89 (± 0’01)

mA 13’71 (± 0’01) 11’79 (± 0’01) 10’72 (± 0’01) 9’77 (± 0’01) 7’78 (± 0’01) 6’81 (± 0’01) 5’75 (± 0’01) 4’71 (± 0’01) 2’79 (± 0’01) 1’77 (± 0’01)

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Práctica 1 – Corriente Continua Interpretación: 1. Representación en una gráfica los puntos correspondientes a los valores experimentales de V (eje y) frente a los de I (eje x).

2. Mediante la técnica de mínimos cuadrados (regresión lineal) se determina el valor numérico de la pendiente de la recta que se ajusta a la nube de puntos. El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales a través de la ecuación lineal: y = a·x + b Para ello determinados los valores a y b como sigue:

donde n es el número de medidas. La recta de mínimos cuadrados resultante viene definida como: y(x) = 0’1986·x + (-0’0112541) Luego el valor de la pendiente es de: 0’1986

4


Práctica 1 – Corriente Continua 3. Calculamos el valor del coeficiente de correlación, r , para verificar la bondad del ajuste. Si dicho coeficiente es próximo a la unidad, ello es indicativo de que existe una relación lineal entre los valores de V e I tal como indica la ley de Ohm. Una vez ajustada la recta de regresión a la nube de observaciones es importante disponer de una medida que mida la bondad del ajuste realizado y que permita decidir si el ajuste lineal es suficiente. Como medida de bondad del ajuste dadas dos variables aleatorias cualesquiera X e Y, y como medida de la relación lineal que hay entre ambas variables es el coeficiente de correlación definido por:

El coeficiente de correlación r es de: 0’999999923814. Conclusión: Como el coeficiente de correlación r arroja un resultado próximo a 1, lo que definimos como correlación positiva correcta, podemos afirmar que se cumple la ley de Ohm.

4. A partir del valor de la pendiente de la recta de ajuste obtenemos el valor experimental de la resistencia utilizada y comparamos el valor experimental obtenido con el valor nominal de la misma, indicando el porcentaje de diferencia entre los mismos. La pendiente de la recta es 0,4986 [V/mA], cercano al valor teórico de la resistencia utilizada (510 Ω), según la Ley de Ohm (R=V/I) , por tanto pasamos los miliAmperios a Amperios 0′4986

V 1V 1 mA ∙ ∙ = 498′6 Ω mA 1V 0 001 A

El valor teórico de la resistencia es 510 Ω, pero su valor real es 501 Ω (medida por el voltímetro). El porcentaje de diferencia entre los mismos es de 0’0099 %

Nota: La obtención de la ecuación de la recta de regresión, el cálculo del coeficiente de correlación y el dibujo de las gráficas han sido realizadas con el programa: Zgrapher v1.4.

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2.- Verificación de las reglas de asociación de resistencias. En este punto calcularemos experimentalmente el valor de la resistencia equivalente a la asociación de dos resistencias conectadas tanto en serie como en paralelo. Por definición, el valor de la resistencia equivalente, Requiv, de cualquier asociación (serie, paralelo u otras) se define como el cociente entre la tensión, V , entre los extremos de la asociación dividida por la intensidad, I , que circula por la misma:

Una vez calculados dichos valores experimentales, los compararemos con los obtenidos teóricamente mediante las reglas de asociación de resistencias para cada caso.

Material utilizado para el montaje de los circuitos propuestos: Este experimento consta de dos partes, y montajes diferentes. Para este experimento se usaron resistencias con los siguientes valores según el fabricante:

R1 = 510 Ω (valor real 501 Ω)

Regleta de prototipo

R2 = 330 Ω (valor real 325 Ω)

Cables para interconexionado

Conclusión:  Tras realizar los dos experimentos propuestos se verifican las reglas de asociación de resistencias. 6


Práctica 1 – Corriente Continua 1. ASOCIACIÓN EN SERIE Tome una resistencia de 330 Ω y otra de 510 Ω, y anote sus valores. Monte el circuito serie de la Fig. 1.2. Fije un valor de aproximadamente 4 V o menor para la tensión entre los extremos de la asociación y anote el valor de dicha tensión indicado por el voltímetro junto con su error asociado a la sensibilidad del voltímetro. Anote también el valor de la intensidad, indicado por el amperímetro, junto con su error dado por su sensibilidad.

Resultado experimental: Para este montaje se han conectado dos resistencias en serie a una fuente de tensión, también se ha colocado un amperímetro y un voltímetro como se indica en la figura para poder realizar las mediciones necesarias y calcular la resistencia equivalente. Al realizar una medición del voltaje y la intensidad se obtuvieron los siguientes resultados: V = 3’90 (± 0’001) V I = 4’71 (± 0’01) mA Teniendo en cuenta la ley de Ohm se puede calcular la resistencia equivalente. =

= 849 26 (±4ʹ 25) Ω

Imágenes tomadas durante la realización experimental.

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Práctica 1 – Corriente Continua 2. ASOCIACIÓN EN PARALELO Utilizando las mismas resistencias del apartado anterior, monte el circuito paralelo de la Fig. 1.3. Fije un valor de aproximadamente 4 V o menor para la tensión entre los extremos de la asociación y anote nuevamente la tensión e intensidad con sus correspondientes errores asociados.

Resultado experimental: Para este montaje se han conectado dos resistencias en paralelo a una fuente de tensión, también se ha colocado un amperímetro y un voltímetro como se indica en la figura para poder realizar las mediciones necesarias y calcular la resistencia equivalente. Al realizar una medición del voltaje y la intensidad se obtuvieron los siguientes resultados: V = 3’818 (± 0’001) V I = 19’36 (± 0’01) mA Teniendo en cuenta la ley de Ohm se puede calcular la resistencia equivalente. =

= 197 21 (±1ʹ 05) Ω


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3.- Comprobación de las leyes de Kirchhoff. En este punto comprobaremos que se cumplen las dos leyes de Kirchhoff midiendo las tensiones en una malla y las intensidades en un nudo de un circuito. 1. Monte el circuito de la Fig.1.4. Puede usar otras resistencias diferentes si no dispone de las indicadas o si así se lo indicase el profesor. Los puntos A, E y F deben unirse con el punto N mediante el uso de tres cables (no usando las conexiones internas de la regleta), a fin de facilitar la posterior colocación del amperímetro.

Figura 1.4: Circuito para verificar las leyes de Kirchhoff. Los puntos D y A son eléctricamente equivalentes al estar unidos por un cable, esto es, VDA = 0 V.

2. Mida las diferencias potencial VAB, VBC y VCD con ayuda del voltímetro. Apunte los valores obtenidos con su signo correspondiente. (Aviso: asegúrese de conectar el voltímetro con la polaridad adecuada de forma que mida las tensiones que se piden, en caso contrario obtendría el signo de la tensión incorrectamente). 3. Tome ahora nota de las intensidades. Para medir la intensidad I que llega al nudo N sustituya el cable A→N por el amperímetro. Para medir I1, coloque de nuevo el cable A→N y sustituya ahora el cable N→E por el amperímetro. Finalmente, para medir I2 coloque de nuevo el cable N→E y sustituya el cable N→F por el amperímetro. Resultado experimental: El circuito a realizar consiste en un conjunto de dos resistencias en paralelo asociadas con una tercera en serie todas ellas conectadas a una fuente de tensión.

Imagen tomada durante la realización experimental.

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Práctica 1 – Corriente Continua El objetivo de este experimento es realizar una comprobación de las dos leyes de Kirchhoff midiendo las tensiones en una malla y las intensidades en un nudo de un circuito. Las leyes de Kirchhoff son las siguientes: Ley de las corrientes: En cualquier nodo, la suma de la corriente que entra en ese nodo es igual a la suma de la corriente que sale. De igual forma, la suma algebraica de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero

Ley de tensiones: En toda malla la suma de todas las caídas de tensión es igual a la tensión total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a 0.

Fijada la fuente de tensión en 4’00 ± 0’01 V, en primer lugar se midió las diferencias de potencial de los siguientes puntos: A-B, B-C y C-D. Estas son las mediciones obtenidas del voltímetro: VAB = 3’025 (± 0’001) V VBC = 0’896 (± 0’001) V VCD = 3’924 (± 0’001) V Por último, se midieron las intensidades, obteniendo los siguientes valores: I = 8’92 (± 0’01) mA I1 = 5’95 (± 0’01) mA I2 = 3’03 (± 0’01) mA Interpretación: Con los resultados anteriores podemos hacer uso de las leyes de Kirchhoff y realizar su comprobación. En primer lugar realizamos la comprobación de la Ley de las Tensiones, esto es, Σ VK = -VAB – VBC + VCD = -3’025 ± 0’001 V – 0’896 ± 0’001 V + 3’924 ± 0’001 V = 0 V  Dado que el sumatorio de todas las diferencias de potencial en la malla suma 0 la ley de las tensiones de Kirchhoff queda comprobada. Ahora comprobaremos la Ley de las Corrientes, esto es, Σ IK = I – I1 – I2 = 8’92 ± 0’01 mA – 5’95 ± 0’01 mA – 3’03 ± 0’01 mA = 0 mA  Al igual que con la ley de las tensiones, se verifica la ley de las corrientes de Kirchhoff. 10



4.- Curva característica del diodo. En este punto estudiaremos la relación existente entre la intensidad y la tensión en un diodo. Contrariamente a las resistencias, los diodos son elementos no lineales, es decir, no hay una relación de proporcionalidad entre la intensidad y la tensión, por tanto, el comportamiento de un diodo no responde a la ley de Ohm. 1. Monte el circuito mostrado en la Fig.1.5, donde se muestra un diodo en serie con una resistencia conectados a una fuente de tensión continua. La resistencia R la elegiremos con un valor entre 100 y 510 Ω. El voltímetro medirá la tensión entre los extremos del diodo, VAB =Vd , mientras que el amperímetro medirá la intensidad, I (mA), que circula por el mismo.

Figura 1.5: Montaje para medir la tensión e intensidad en un diodo en polarización directa.

Conectamos un diodo en serie con una resistencia conectados a una fuente de tensión continua, como muestra la figura 1.5:


11


Práctica 1 – Corriente Continua 2. Variando el control de amplitud del generador, tome nota en una tabla de al menos 10 pares de valores de I y Vd dentro de un rango de 0 a 0’8 V para la tensión en el diodo Vd. Las medidas realizadas corresponden a polarización directa del diodo. La siguiente tabla de valores muestra la toma de datos obtenidas en el laboratorio: Toma #

V

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0’098 (± 0’001) 0’202 (± 0’001) 0’298 (± 0’001) 0’403 (± 0’001) 0’506 (± 0’001) 0’548 (± 0’001) 0’594 (± 0’001) 0’650 (± 0’001) 0’700 (± 0’001)

0’00000 0’00001 (± 0’00001) 0’00001 (± 0’00001) 0’00001 (± 0’00001) 0’00002 (± 0’00001) 0’00020 (± 0’00001) 0’00048 (± 0’00001) 0’00123 (± 0’00001) 0’00393 (± 0’00001) 0’01151 (± 0’00001)

3. Invierta ahora las conexiones en el diodo respecto al caso anterior (diodo en polarización inversa). En esta situación de polarización inversa, anote en una tabla seis pares de valores I y Vd en un rango de 0 a 2V para la tensión en el diodo. La siguiente tabla de valores muestra la toma de datos obtenidas en el laboratorio: Toma #

V

A

1 2 3 4 5 6

0 0’500 (± 0’001) 0’950 (± 0’001) 1’200 (± 0’001) 1’755 (± 0’001) 2’000 (± 0’001)

0’00000 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001)

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Práctica 1 – Corriente Continua Resultado experimental: Representamos en una gráfica los puntos correspondientes a los valores experimentales de I (eje y) frente a los de Vd (eje x desde −0’8V hasta +0’8V). Obteniendo así la curva tensión frente a la intensidad del diodo: y=A

0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,000 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

x=V

Como se puede observar en la gráfica, en el intervalo de 0 a 0’7 voltios, la intensidad comienza a crecer casi al final del intervalo, por lo tanto para que el diodo deje pasar la corriente hay que suministrarle una tensión determinada.

Compararemos los valores de la intensidad con el diodo en polarización inversa respecto a los valores de polarización directa: Valores en polarización directa Toma # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V

A

0 0’098 (± 0’001) 0’202 (± 0’001) 0’298 (± 0’001) 0’403 (± 0’001) 0’506 (± 0’001) 0’548 (± 0’001) 0’594 (± 0’001) 0’650 (± 0’001) 0’700 (± 0’001)

0’00000 0’00001 (± 0’00001) 0’00001 (± 0’00001) 0’00001 (± 0’00001) 0’00002 (± 0’00001) 0’00020 (± 0’00001) 0’00048 (± 0’00001) 0’00123 (± 0’00001) 0’00393 (± 0’00001) 0’01151 (± 0’00001)

Valores en polarización inversa Toma # 1 2 3 4 5 6

V

A

0 0’500 (± 0’001) 0’950 (± 0’001) 1’200 (± 0’001) 1’755 (± 0’001) 2’000 (± 0’001)

0’00000 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001) 0’00000 (± 0’00001)

Como se puede observar, la intensidad que pasa por el diodo con polarización inversa es casi nula si tenemos en cuenta el error relativo, puesto que el diodo en polarización inversa no deja pasar la corriente.

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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA PRÁCTICAS DE LABORATORIO

Práctica 2 – MEDIDA DE SEÑALES EN EL OSCILOSCOPIO

o o




 Objetivos. 







Objetivos


 Prácticas de laboratorio. 1. Medida de una señal armónica. 2. Transitorio RC. 3. Rectificador de media onda. 4. Transitorio RL.



Práctica 2 – Medida de Señales en el osciloscopio

Objetivos. Conceptos implicados: Señales periódicas. Osciloscopio. Relaciones instantáneas entre intensidad y tensión en un condensador y en una bobina. Impedancia. Característica I/V en un diodo. Principios físicos: 

Señales periódicas. Son aquellas que se repiten en el tiempo. Se denomina periodo al tiempo empleado en repetirse y frecuencia al número de veces que se repite en la unidad de tiempo.



Transitorios. En circuitos de corriente continua que contengan, además de resistencias, condensadores o bobinas los valores finales de las magnitudes circuitales, intensidades y tensiones, no se establecen de forma instantánea al cerrar el circuito. Se produce un régimen transitorio donde las corrientes y voltajes en el circuito varían hasta alcanzar los valores finales en el llamado estado estacionario. La existencia de transitorios se debe a los procesos de carga o descarga en el caso de los condensadores o a la aparición de una fuerza electromotriz inducida en el caso de las bobinas.



Rectificación. La rectificación consiste en aprovechar las características no lineales del diodo para conseguir señales continuas (o al menos tensiones no negativas) a partir de una señal de tipo armónico. Los rectificadores son esenciales pues partiendo de la tensión alterna suministrada por la red eléctrica permiten disponer de señales de continua necesarias para multitud de aparatos de uso cotidiano.

Objetivos:

 Familiarizase con el uso del osciloscopio y del generador de señales midiendo distintas señales periódicas.  Visualizar en el osciloscopio las curvas correspondientes a los procesos de carga y descarga de un condensador en un circuito RC serie. Determinación de la constante de tiempo en el transitorio de carga.  Visualizar el rectificado de una señal armónica mediante un circuito formado por un diodo y una resistencia (rectificador demedia onda).  Visualizar en el osciloscopio las curvas correspondientes a los procesos instauración/anulación de la intensidad en un circuito RL serie. Medición de la constante de tiempo en el proceso de subida (instauración).

1



Material de medidas utilizado. Generador de Funciones: ISO-TECH synthetsized Function Generator GFG 2120

Medida

Valor

AM Modulation Depth

100%

AM Modulation Frequency

400Hz

Amplitude

10Vp-p

Digital Amplitude & Offset

No

Digital Frequency

Yes

Frequency Range

0.1Hz – 10 MHz (Sine)

Impedance

50Ω ± 10%

Int/Ext AM up to 100%

Yes

Internal Lin/Log Sweep

Yes

Variable Sweep

Yes


Medida

Valor

Número de salidas

1

Rango de tensión

0 - 30V


100/120/220/240V 50/60Hz, Switchable

Voltaje de entrada nominal 110 - 120; 220 - 240 V Tensión de salida 1

0-30V

Peso

5kg

Ancho

145mm


0-3A

Profundidad

128mm

Pantalla

Single

Alto

285mm

Tipo de medidor

LED

2



Osciloscopio digital: Digital Storage Oscilloscope ATTEN ADS1022C+

Medida

Valor

2 channels Bandwidth Screen.

25 MHz Compact design saves space and allows a comfortable outdoor work. 5.7” Color LCD screen (320x234) Clear and stable waveform display. 500 MS/s 50 GS/s 32K Advanced start functions: frontal, video, pulse length, pulse delay Built-in USB-host, USB-slot for PC connection Digital filter and recorder functions. "Good/bad" mode 32 automatic measurements Pointer measurement modes: manual, tracking and automatic 5 mathematic functions: adding, subtraction, multiplying, division, FFT if memory length = 1K, digital filters (HF, LF, linear, elimination). Frame waveform registering mode (up to 2500 frames, recording and replaying)

Sampling rate Equivalent sampling rate Internal memory Functions Connection Recorder functions Modes Measure Pointers Math functions

WaveForm

Componentes:

Condensador C = 10nF

Resistencia R = 1 kΩ


Diodo

Solenoide L = 10mH

Cables para interconexionado 3



PRÁCTICAS DE LABORATORIO 1.- Medida de una señal armónica. 1. Conecte la salida de 50Ω del generador de señales periódicas al osciloscopio usando el cable adecuado. Seleccione en la fuente la forma de señal sinusoidal (armónica) y sintonice la frecuencia según indicaciones del profesor. Tome nota de la frecuencia que indica el generador. 2. Visualice la señal en la pantalla del osciloscopio y mida el voltaje pico a pico (Vpp, que es el doble de la amplitud) y el periodo de la señal usando la cuadrícula de la pantalla y sabiendo los voltios por división en el eje vertical y el tiempo por división en el eje horizontal. Tome nota de los valores medidos así como de sus errores absolutos. Nota. Las medidas realizadas mediante la cuadrícula están todas afectadas por un error absoluto de ±0’1 divisiones (la mitad de la sensibilidad de la cuadrícula). Según esto, una medida de Vpp que dé 3’3 cuadros, siendo la escala vertical de 2 V/cuadro, deberá anotarse como un Vpp = 3’3 (±0’1) cuadros × 2 V/cuadro = 6,6 (±0’2) V. 3. Repita nuevamente la medidas del periodo y del Vpp mediante el uso de los cursores verticales y horizontales, respectivamente, que proporciona el menú de cursores del osciloscopio. Tome nota de los valores medidos. Apunte también el valor de la frecuencia, 1/Δt , que proporciona la información de los cursores verticales. 4. Utilizando el botón de measure, apunte los valores que proporciona de forma automática para la frecuencia, periodo y Vpp el osciloscopio 5. Cambie en el generador el tipo se señal a cuadrada y luego a triangular con el fin simplemente de visualizarlas.

4


Práctica 2 – Medida de Señales en el osciloscopio Resultado experimental: Imágenes tomadas durante la realización experimental:

Apartados 1 a 4.

Apartado 5. Conectada la salida de 50Ω del generador de señales periódicas al osciloscopio usando el cable adecuado, se procede a seleccionar en la fuente la forma de señal sinusoidal (armónica) y se sintoniza la frecuencia indicada por el profesor. Se visualiza la señal en la pantalla del osciloscopio y se mide el voltaje pico a pico tomándose los valores mostrados en la siguiente tabla, así como los obtenidos con la opción Measure: Tabla de valores obtenidos: Frecuencia = Cuadrícula: Cursores: Measure:

200 KHz Vpp (± Δ Vpp) = Vpp = Vpp =

5’04 V 5’08 V 5’04 V

T (± Δ T)= T=ΔT= T=

5’00 µs 5’00 µs 5’00 µs

F = 1/ Δ T = F=

200 KHz 200’0 KHz

5



2.- Transitorios RC. 1. Siguiendo las indicaciones del profesor, monte el circuito serie RC de la Fig.2.1 usando el generador en modo de señales cuadradas. Tome nota de los valores nominales de la R y C utilizadas y mídalos también usando el polímetro para confirmar dichos valores.

Figura 2.1: Circuito serie RC conectado a un generador de señales cuadradas para el estudio del proceso de carga y descarga de un condensador. 2. Calcule numéricamente el valor de la constante de tiempo т = RC usando los valores nominales de R y C. 3. Visualice en el canal 1 del osciloscopio la señal del generador y en el canal 2 la tensión en el condensador. Ajuste el periodo de la señal de forma que pueda ver en canal 2 el transitorio de carga y descarga completo. 4. Tome nota del valor máximo (Vpp) de la señal del generador (canal 1) y calcule el 63% de su valor (Vт = 0,63Vpp). De acuerdo con la teoría, se tarda un tiempo т = RC en alcanzar dicho valor. 5. Para visualizar mejor la señal del canal 2, suprima el canal 1, amplíe en la pantalla el flanco de subida de la señal del canal 2 y fije el nivel más bajo de la misma en la parte inferior de la pantalla. Usando ahora los cursores del osciloscopio, mida el tiempo que emplea su señal en alcanzar el valor Vт. Anote el valor experimental así obtenido para т en el proceso de carga.

6


Práctica 2 – Medida de Señales en el osciloscopio Resultado experimental: Tras la evaluación de la tensión en el transitorio de subida del condensador para t = т y t = 4 т, se sustituye t = т en la expresión (2.3) para el transitorio de subida y se demuestra que para dicho valor de tiempo la tensión en el condensador ha alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final. De igual forma, se ha comprobado que para t = 4 т la señal alcanza aproximadamente el 98% de su valor final. Se comparan los valores experimentales y nominales, comparando el valor obtenido para т en el proceso de carga con el que se obtuvo haciendo uso de los valores nominales de R y C. Se procede a montar el circuito de la figura utilizando el generador de señales y se toma nota de los valores nominales de R y C utilizados tal como se muestran en la tabla de valores obtenidos. En el canal 1 se visualiza la señal del generador y en canal 2 la tensión en el condensador, ajustamos el período de la señal y mostramos en el canal 2 la carga y descarga completa del condensador. Sustituimos t = T y vemos que para ese valor de tiempo el condensador ha alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final. Calculamos el 63% del valor máximo de la señal suministrada por el generador indicado por el osciloscopio. Posteriormente quitamos el canal 1 y ampliamos en pantalla el flanco de subida de la señal del canal 2. Usando los cursores medimos el tiempo que tarda la señal en llegar al valor 63% antes calculado.


Valores obtenidos: Valores nominales: R = 1 KΩ C = 10 nF. Vpp = 6’00 V  63% Vpp = 3’78 V Cursor: т = Δ T = 10 µs

7



III. Rectificador de media onda. En este apartado veremos cómo un sencillo circuito formado por una resistencia en serie y un diodo es capaz de rectificar una señal armónica eliminando las partes de voltaje negativa de la misma. Debido a ello se denomina rectificador de “media onda”. 1. Monte el circuito de la Fig.2.2 consistente en un diodo en serie con una resistencia conectados a un generador de señales sinusoidales. Fije una señal de frecuencia entre 50 y 1000 Hz.

Figura 2.2: Montaje para ver la rectificación demedia onda. 2. Conecte la tensión del generador al canal 1 y la tensión en la resistencia al canal 2. Elija la misma escala vertical (voltios/división) para poder comparar ambas señales y superpóngalas en la pantalla. Haga un dibujo aproximado de lo que ve en pantalla. Tenga en cuenta la pequeña diferencia entre los valores

8


Práctica 2 – Medida de Señales en el osciloscopio Resultado experimental: Dibujo de las señales en pantalla (señal original y rectificada):

Valores obtenidos: Valor aproximado diferencia entre señales Δ V = 640 mV

f = 50’0 Hz

Imágenes tomadas durante la realización experimental

9



4.- Transitorios RL. 1. Monte el circuito serie RL de la Fig.2.3 utilizando el generador de señales cuadradas. Tome nota de los valores nominales de R y L.

Figura 2.3: Circuito serie RL conectado a un generador de señales cuadradas para el estudio del transitorio de subida y bajada. 2. Calcule numéricamente el valor de la constante de tiempo т = L/R usando los valores nominales de R y L. 3. Visualice en el canal 1 la señal del generador y en el canal 2 la tensión en la resistencia, que es proporcional a la intensidad en el circuito. Ajuste el periodo de la señal de forma que pueda ver los transitorios de subida y bajada completos. 4. Tome nota del valor máximo (Vpp) de la señal del generador (canal 1) y calcule el 63% de su valor (Vт = 0’63 Vpp). De acuerdo con la teoría, se tarda un tiempo т = L/R en alcanzar dicho valor. 5. Para optimizar la visualización de la señal del canal 2, suprima el canal 1, amplíe en la pantalla el flanco de subida de la señal del canal 2 y fije el nivel más bajo de la misma en la parte inferior de la pantalla. Usando ahora los cursores del osciloscopio, mida el tiempo que emplea su señal en alcanzar el valor V т. Anote el valor experimental así obtenido para т en el proceso de subida.

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Práctica 2 – Medida de Señales en el osciloscopio Resultado experimental:

Imágenes tomadas durante la realización experimental

Se procede a evaluar la expresión correspondiente al proceso subida para t = т utilizando la expresión (2.11), demostrándose que para t = т la intensidad ha alcanzado aproximadamente el 63% de su valor final. Así mismo se han comparado los valores para la constante de tiempo comparando el valor experimental obtenido para т con el calculado haciendo uso de los valores nominales de R y L.

Valores obtenidos: Valores nominales: R = 1000 Ω, L = 0’01 H Vpp = 2’48 V  63% Vpp = 1’56 V Cursor: т = Δ T = 11’60 µs

10 KHz.

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FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INFORMÁTICA PRÁCTICAS DE LABORATORIO

Práctica 3 – CORRIENTE ALTERNA

o o




 Objetivos. 







Objetivos


 Prácticas de laboratorio. 1. Estudio de impedancias elementales. 2. Estudio de un circuito RC serie. 3. Resonancia en un circuito RLC serie.



Práctica 3 – Corriente Alterna

Objetivos. Conceptos implicados:    

Señales alternas. Impedancia. Fasores. Resonancia.

Principios físicos: Los circuitos en régimen de corriente alterna compuestos por elementos lineales (R, L y C) pueden analizarse utilizando las reglas de Kirchhoff de forma similar a los circuitos de corriente continua compuestos sólo por resistencias gracias a la técnica de fasores y al concepto de impedancia.

Objetivos:

1. Medida, a diferentes frecuencias, de la impedancia de una resistencia, de una bobina y de un condensador mediante el uso de los polímetros. 2. Medida experimental de la impedancia de una asociación RC serie mediante el uso del osciloscopio. Verificación de las regla de asociación de impedancias en serie. Realización de un diagrama de fasores mediante medidas realizadas con el voltímetro. 3. Medida aproximada de la frecuencia de resonancia en un circuito RLC serie usando el osciloscopio.

1



Material de medidas utilizado. Generador de Funciones: ISO-TECH synthetsized Function Generator GFG 2120

Medida

Valor

AM Modulation Depth

100%

AM Modulation Frequency

400Hz

Amplitude

10Vp-p

Digital Amplitude & Offset

No

Digital Frequency

Yes

Frequency Range

0.1Hz – 10 MHz (Sine)

Impedance

50Ω ± 10%

Int/Ext AM up to 100%

Yes

Internal Lin/Log Sweep

Yes

Variable Sweep

Yes


Medida

Valor

Número de salidas

1

Rango de tensión

0 - 30V


100/120/220/240V 50/60Hz, Switchable

Voltaje de entrada nominal 110 - 120; 220 - 240 V Tensión de salida 1

0-30V

Peso

5kg

Ancho

145mm


0-3A

Profundidad

128mm

Pantalla

Single

Alto

285mm

Tipo de medidor

LED

2



Osciloscopio digital: Digital Storage Oscilloscope ATTEN ADS1022C+

Medida

Valor

2 channels Bandwidth Screen.

25 MHz Compact design saves space and allows a comfortable outdoor work. 5.7” Color LCD screen (320x234) Clear and stable waveform display. 500 MS/s 50 GS/s 32K Advanced start functions: frontal, video, pulse length, pulse delay Built-in USB-host, USB-slot for PC connection Digital filter and recorder functions. "Good/bad" mode 32 automatic measurements Pointer measurement modes: manual, tracking and automatic 5 mathematic functions: adding, subtraction, multiplying, division, FFT if memory length = 1K, digital filters (HF, LF, linear, elimination). Frame waveform registering mode (up to 2500 frames, recording and replaying)

Sampling rate Equivalent sampling rate Internal memory Functions Connection Recorder functions Modes Measure Pointers Math functions

WaveForm

Componentes:

Condensador C = 1 µF


Resistencia R = 1 kΩ

Bobina L = 100 mH

Cables para interconexionado 3



PRÁCTICAS DE LABORATORIO 1.- Estudio de impedancias elementales. En este apartado mediremos, usando los polímetros, el módulo de la impedancia de una resistencia, un condensador y una bobina a dos frecuencias diferentes. Veremos cómo varía con la frecuencia y determinaremos experimentalmente los valores de R, C y L usados. 1. Monte el circuito de la Fig.3.1 colocando una resistencia en el lugar indicado por Z y fije una señal sinusoidal de 1 kHz en el generador. Anote el valor nominal de R.

Figura 3.1: Circuito para determinar el módulo de la impedancia de un elemento.

2. Variando el mando de amplitud del generador tome nota de 2 parejas de valores eficaces Ve e Ie mediante los polímetros. Usando dichas medidas, calcule el módulo de la impedancia |Z| = Ve/Ie para cada pareja. Compruebe que los dos valores obtenidos son similares y asigne la media como valor experimental de |Z| a dicha frecuencia. 3. Cambie ahora a una frecuencia de 2 kHz y repita el proceso descrito en el apartado anterior para obtener |Z| a esta nueva frecuencia. 4. Sustituya ahora la resistencia por un condensador, anote su valor nominal y repita todo el proceso anterior a fin de determinar experimentalmente |Z| en un condensador para las dos mismas frecuencias (1 kHz y 2 kHz). 5. Finalmente, sustituya el condensador por una bobina, anote su valor nominal y repita nuevamente el proceso anterior.

4


Práctica 3 – Corriente Alterna Resultado experimental: Se procede al montaje del circuito de la Figura 3.1 colocando donde se indica Z los diferentes componentes (resistencia, condensador y bobina) intercambiándolos y tomando valores de voltaje e intensidad para frecuencias de 1KHz y 2 KHz respectivamente. Se realiza tabla de valores calculando voltaje eficaz (Vef) e intensidad eficaz (Ief) variando la amplitud y la frecuencia de la señal. A continuación se muestran algunas de las imágenes tomadas durante la realización experimental con la toma de datos (1KHz y 2 KHz):

Tomando valores experimentales de |Z| de 1 kHz y posteriormente de 2 kHz, se han determinado los valores de R (resistencia), C (condensador) y L (bobina) como se muestra en la tabla adjunta: R=1KΩ 1 KHz Voltaje 1’576 V 3’057 V Intensidad 1’53 mA 3’12 mA

0’989 V 1 mA

2 KHz 3’029 V 3’12 mA

C = 1 µF 1 KHz Voltaje 0’584 V 2’886 V Intensidad 3’67 mA 18’9 mA

2 KHz 0’854 V 2’464 V 10’85 mA 32’19 mA

L = 100 mH 1 KHz Voltaje 0’611 V 2’086 V Intensidad 1’10 mA 3’66 mA

0’617 V 0’55 mA

2 KHz 2’088 V 1’88 mA 5


Práctica 3 – Corriente Alterna Tratamiento de datos y resultados. 1. Compruebe en cada uno de los casos anteriores (R, C y L) si el valor experimental de |Z| varía con la frecuencia y justifique dicha variación a la vista de la expresión teórica correspondiente. Se comprueba en cada uno de los casos (resistencia, condensador y bobina) si el valor experimental de |Z| varía con la frecuencia. Con la resistencia, la impedancia no varía, es decir, es independiente de la frecuencia, porque | |= y el resultado solo depende del valor fijo de la resistencia y la tensión. √

Con el condensador, vemos que la impedancia disminuye al aumentar la frecuencia de la señal. Lo calcularíamos como | | =

Con la bobina la impedancia aumenta a medida que aumentamos la frecuencia y los calcularíamos como | | = ( )

Los valores obtenidos de |Z| en el caso de la resistencia son prácticamente iguales al variar la frecuencia de 1KHz a 2KHz, para una resistencia utilizada de 1KΩ. Pero en el caso de la bobina de 100mH y del condensador de 100nF si hay variaciones en sus módulos de impedancia al variar la frecuencia. Esto puede ser causado porque al cambiar los datos a sus fasores equivalentes se producen variaciones, menos en el caso de la resistencia k su paso a fasor es el mismo por lo que no varía. En la tabla adjunta de ilustra la obtención de las equivalentes impedancias: Componente Resistencia Condensador Bobina

Impedancia ZR = I x R ZC = 1 / ω C ZL = ω L

2. Partiendo de los valores experimentales de |Z| para 1 kHz, determine los valores de R, C y L. Calcule el porcentaje de diferencia de dichos valores experimentales respecto de los valores nominales correspondientes. Se calcula el porcentaje de diferencia de dichos valores experimentales respecto de los valores nominales correspondientes. R = Vef/Ief  1’248/0’00125 = 998’4 Ω Valor nominal = 1000 Ω Valor experimental = 998’4 Ω Porcentaje variación = -0’16 % C = 1/ωZC  1/1000*155’92 = 6’413 µF Valor nominal = 1 µF Valor experimental = 6’413 µF Porcentaje variación = +541’3 % L = ω ZL  630’46/1000 = 0’63046 H Valor nominar = 0’1 H Valor experimental = 0’63046 H Porcentaje variación = +530’46 % 6



2.- Estudio de un circuito RC serie. En este punto obtendremos el valor experimental para la impedancia de un circuito serie RC usando el osciloscopio y verificaremos que el resultado obtenido coincide con lo que predice la ley de asociación de impedancias. Completaremos el estudio con el diagrama de fasores obtenido mediante medidas realizadas con el voltímetro. 1. Monte el circuito RC serie de la Fig.3.2 utilizando R = 1 kΩ y C = 100 nF y fije en el generador una señal sinusoidal de 1 kHz.

Figura 3.2: Circuito RC serie.

2. Conecte el canal 1 del osciloscopio para medir la tensión total entre los extremos de la asociación RC y el canal 2 para medir la tensión en R. 3. Mediante el botón measure del osciloscopio mida la tensión pico a pico (Vpp) de ambas señales y tome nota de dichos valores con sus unidades. 4. Calcule el valor pico a pico de la intensidad en el circuito dividiendo Vpp en la resistencia (canal 2) entre el valor nominal de R (ley de Ohm) y anote el valor obtenido con sus unidades. 5. Utilizando los cursores verticales (para medir tiempos) mida el retraso temporal, Δt, del canal 2 respecto del canal 1 y apúntelo con sus unidades (caso de que el canal 2 se adelante al canal 1 asigne signo negativo a dicho retraso). (1Un retraso temporal negativo indica realmente un adelanto en tiempo) De esta forma obtenemos también el retraso (o adelanto) de la intensidad respecto de la tensión total, Δt, ya que la intensidad está en fase con la tensión en la resistencia (ley de Ohm). 6. Retire del circuito las sondas del osciloscopio y mida con el voltímetro la tensión eficaz entre los extremos de la asociación RC, Ve, y las tensiones eficaces en R (VR,e) y C (VC,e).

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Práctica 3 – Corriente Alterna Resultado experimental:

Se procede al montaje del circuito RC de la Figura 3.2 (R = 1 kΩ, C = 100 nF) y fijamos una señal sinusoidal de 1 kHz. A continuación se muestra algunas de las imágenes tomadas durante el resultado experimental:

Conectamos el canal 1 del osciloscopio para medir la tensión entre C y R y el canal 2 para medir la tensión en R. Ahora medimos con la función measure del osciloscopio los valores pico de ambas señales (Vpp). Canal 1 Vpp = 1’70 V Canal 2 Vpp = 0’90 V Para determinar el valor pico (Vpp) de la intensidad dividimos el valor pico del canal 2 entre la ( ) ( ) = resistencia = 1 7 El siguiente paso consiste en medir el retrase temporal del canal 2 con respecto del canal 1 mediante los cursores del osciloscopio. El retraso tiene un valor de -160 µs lo que quiere decir que la señal del canal 2 se adelanta a la señal del canal 1 160 µs. Retiramos del circuito las sondas del osciloscopio y medimos la tensión eficaz total, en la resistencia y en el condensador. Vef (RC) = 0’617 V Vef (R) = 0’205 V Vef (C) = 0’525 V 8


Práctica 3 – Corriente Alterna Tratamiento de datos y resultados.

Obtención del valor experimental de la impedancia. Cálculo del módulo de la impedancia, |Z|, como el cociente entre los valores pico a pico de la tensión total y de la intensidad. | |=

( ) 1 70 = = 1 88 Ω ( ) 0 90

Cálculo del ángulo de la impedancia, ⱷZ, como la diferencia de fase entre la tensión total y la intensidad, ⱷZ = ⱷV − ⱷZI (note que ⱷZ es el retraso en radianes de la intensidad respecto de la tensión). Para ello utilice la igualdad ⱷV − ⱷI = ω Δt , donde Δt es el retraso (o adelanto) en tiempo de la intensidad respecto de la tensión antes medido. ⱷZ = ω Δt = 1000 ( -160 x 10-6) = -0’16 rad/s Finalmente se expresa la impedancia como un número complejo escrito en forma binómica: Z = |Z|cos(ⱷZ)+ j |Z|sen(ⱷZ). Z = 1975’6 (0’9) + 1975’6(-0’16) j

Comparación con el valor teórico de la impedancia de la asociación. Cálculo del valor teórico de la impedancia serie Z = R – j ZC usando los valores nominales de los elementos: ZC = 1 / ω C = 0’0001 Ω Z = R – J ZC = 1000 – 0’0001 j Comparación de los valores de la parte real e imaginaria de Z obtenidos experimentalmente con los calculados teóricamente e indicación de los porcentajes de diferencia respecto de los valores teóricos : Los valores, experimental y teórico, son similares, por lo que se verifica la ley de asociación de impedancias.

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Práctica 3 – Corriente Alterna Diagrama de fasores. Representación de los fasores y usando como módulos los valores eficaces medidos VR,e y VC,e respectivamente y suponiendo teóricamente que en el condensador hay un adelanto de 90° de la intensidad respecto de la tensión y en la resistencia igualdad de fase.

El porcentaje de diferencia del modulo de V calculado con los módulos de y respecto al medido en el laboratorio es sufre aproximadamente un 0’98% de diferencia. Se dibuja el fasor para la tensión total, , como suma de los anteriores (regla del paralelogramo) y se calcula matemáticamente de su módulo. Asimismo, se compara el valor medido para Ve con el valor calculado indicando el porcentaje de diferencia. Los valores eficaces medidos para las tensiones no verifican la ecuación de la malla, Ve ≠ VR,e+ VC,e porque los valores están en desfase por la tanto sus módulos no pueden sumarse, y hay que hacer uso del teorema de Pitágoras.

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3.- Resonancia en un circuito RLC serie. En este punto mediremos mediante el osciloscopio la frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie y lo comparemos con el valor que predice la teoría. Además llevaremos a cabo el estudio de la curva de resonancia. 1. Calcule el valor teórico de la frecuencia de resonancia del circuito RLC serie representado en la Figura 3.3 con R = 100Ω, L = 1mH y C = 1nF (el profesor puede indicarle otros valores si lo considera oportuno). Para ello utilice la expresión = √

2. Sintonice en el generador una señal sinusoidal de frecuencia algo menor a la frecuencia calculada (unos 20kHz menor si ha usado los valores indicados antes para los elementos) y de 15V pico a pico (use el osciloscopio para medir dicha tensión). No varíe la amplitud fijada en el generador durante el resto de la práctica.

Figura 3.3: Circuito RLC serie para el estudio de la resonancia.

3. Monte ahora el circuito RLC de la Fig.3.3 utilizando los citados valores R = 100Ω, L = 1mH y C = 1nF. 4. Conecte el canal 1 del osciloscopio para medir la tensión en R y varíe la frecuencia del generador hasta que observe un máximo para el valor pico a pico, Vpp (utilice el botón measure para observar el valor de Vpp en canal 1). Anote la frecuencia indicada por el generador a la que observa dicho máximo (fr) y el correspondiente valor de Vpp. (Note que la frecuencia anterior será la de resonancia dado que un máximo en la tensión en la resistencia se corresponde con un máximo de la intensidad en el circuito pues son proporcionales como indica la ley de Ohm). 5. En una tabla de dos columnas, tome nota de los valores de la tensión pico a pico en la resistencia para las siguientes frecuencias (en kHz): 60, 80, 100, 120, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 200, 220, 240, 260, 280 y 300.

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Práctica 3 – Corriente Alterna Resultado experimental:

En este punto mediremos mediante el osciloscopio la frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie y lo comparemos con el valor que predice la teoría. Además llevaremos a cabo el estudio de la curva de resonancia.

Calculamos el valor teórico de la frecuencia de resonancia del circuito RLC serie con R = 100Ω , L = 1 mH y C = 1 nF. Para ello utilizamos la expresión = √

=

1 2 √

=

1 2 √0.001 ∙ 0.0000000001

= 159 15963

Fijamos una señal sinusoidal de 139 kHz de frecuencia y 15’2 V como valor pico (Vpp). Ahora montamos el circuito RLC, cuyos componentes tienen los mismos valores nominales que los componentes anteriormente nombrados. Conectamos el canal 1 del osciloscopio para medir la tensión en R y variamos la frecuencia del generador para obtener el valor pico de la tensión (Vpp). El circuito entra en resonancia con los valores: Frecuencia fr = 166’1 KHz Vpp(fr) = 9’6V Nota: a esta frecuencia se le denomina frecuencia de resonancia.

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Práctica 3 – Corriente Alterna A continuación se muestra la tabla de resultados obtenidos de los valores de la tensión pico a pico en la resistencia en las siguientes frecuencias:

f(kHz) 60 80 100 120 140 145 150 155 160 165

Vpp 0’668 1’01 1’48 2’22 4’01 4’80 5’84 7’12 8’56 9’60

f(kHz) 170 175 180 200 220 240 260 280 300

Vpp 9’28 8’32 7’20 4’16 2’96 2’24 1’76 1’46 1’31

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Práctica 3 – Corriente Alterna Tratamiento de datos y resultados. Comparación entre los valores experimental y teórico de la frecuencia de resonancia. Comparación de los valores teórico y experimental para la frecuencia de resonancia indicando el porcentaje de diferencia del valor experimental respecto del teórico. Valor teórico: 159’15963 kHz Valor experimental: 166’1 kHz Diferencia porcentual: 4’36 % Representación gráfica de la curva de resonancia. Representación gráfica mediante puntos los valores de la tabla del voltaje pico a pico en la resistencia (Vpp en el eje Y) frente a los valores de la frecuencia (en kHz) (f en el eje X).

Como se puede observar en la gráfica de puntos, en torno al valor de la frecuencia de resonancia existe un máximo en la tensión. Al superponer la curva resultante de la expresión: ( )= +

+ 2

−2

1

Se observa que la grafica es casi coincidente con los puntos tomados en el laboratorio, por lo que se demuestra que la expresión teórica para el valor de la tensión pico a pico en el resistencia en función de la frecuencia, donde Vg es la tensión proporcionada por el generador y Rg es la resistencia interna del mismo, es válida.

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Fundamentos F´ısicos de la Informática I. T. I SISTEMAS. Convocatoria Ordinaria Junio. Curso 99–00. ´ CUESTIONES TEORICAS 5 CUESTIONES= 3(a elegir entre las 6 primeras) + 2(a elegir entre las 4 últimas). 1. Escriba la ley fundamental que proporciona la fuerza entre dos cargas puntuales en Electrostática. Hágase un dibujo que permita reconocer las magnitudes implicadas en dicha ley. Aplicación: Determinar la fuerza, F, ejercida por una carga q situada en el punto (a; 0; 0) sobre una carga Q situada en (0; a; 0).

v B

2. Escribir la expresión de la fuerza que actúa sobre una carga puntual q con velocidad en el seno de un campo electromagnético. ¿Cómo se denomina dicha fuerza? Aplicación: Una part´ıcula de carga q se encuentra en un campo magnético uniforme = B 0 x . Encontrar la fuerza existente sobre la part´ıcula al pasar por el punto (0; a; 0) si la velocidad en dicho punto es (dos casos): a) = v 0 x ; b) = v0 ( x + y ).

v

e

e

e

v

e

3. Escribir la expresión matemática de la ley de Biot y Savart, ilustrándola con un dibujo que permita reconocer las magnitudes f´ısicas implicadas. Aplicación: Calcular el campo magnético en el centro de una espira circular de radio R circulada por una intensidad I (nota: no es necesario calcular el campo en cualquier punto del eje). 4. Expresión matemática de la fuerza electromotriz inducida en un circuito en función de la variación de la intensidad que lo recorre. ¿Cómo se denomina dicho fenómeno? Aplicación: La tensión eficaz entre los extremos de una bobina es de 2 V al ser circulada por una corriente alterna de intensidad eficaz 200 mA y frecuencia angular ! = 1000 rad/s. Determinar el coeficiente L de dicho bobinado. 5. Enunciar la ley de Ampère-Maxwell y escribir su expresión matemática. Aplicación: Calcular la densidad de corriente de desplazamiento en el interior de un condensador ideal de placas plano paralelas con distancia entre las mismas d si la tensión entre placas es V (t) = V 0 e t= , siendo V0 y constantes.

B

6. Escribir la expresión del campo y del vector de Poynting de una onda electromagnética armónica plana cuyo campo eléctrico es (x; t) = E0 cos(kx !t + ) y . Hágase un dibujo de dicha onda. Aplicación: Si en la onda anterior E 0 = 310 3 V/m, determinar B 0 y la intensidad de dicha onda (Datos: c = 310 8 m/s, 0 = 4 10 7 H/m).

E

ê

7. Escribir la ecuación fundamental del efecto fotoeléctrico explicando el significado f´ısico de las magnitudes que aparecen en la misma. Aplicación: ¿Cuál es la velocidad máxima con que pueden emitirse electrones al irradiar con una radiación de frecuencia un metal cuyo trabajo de extracción es ? (Datos: m e =masa del electrón; h= constante de Planck). 8. ¿Qué significa f´ısicamente la expresión j (x; t)j 2 dx, si (x; t) es la función de onda asociada a una part´ıcula? Aplicación ¿En qué valores de x es máxima la densidad de probabilidad de encontrar a una part´ıcula confinada en un pozo monodimensional de potencial de paredes infinitas y anchura a si la part´ıcula está en el estado n = 4?. Escr´ıbase la expresión matemática de 4 (x) y hágase un dibujo de la función densidad de probabilidad indicando dichos valores de x. 9. Enuncie de forma sucinta las hipótesis básicas relativas a los electrones de conducción en los metales según los modelos de Drude y Sommerfeld. Aplicación ¿Cuál ser´ıa a T=0 K la energ´ıa de un sistema de 9 electrones de conducción confinados en un pozo tridimensional de acuerdo con los modelos de Drude y de Sommerfeld? ( Nota: las energ´ıas de los estados cuánticos para un electrón en un pozo de potencial tridimensional de paredes infinitas son E n1 ;n2 ;n3 = E0 (n21 + n22 + n23 ), siendo E0 = h2 =(8me a2 ) y n1 ; n2 ; n3 1. 10. Representar el esquema de bandas para un conductor, un semiconductor y un aislante, indicando las diferencias fundamentales entre dichos esquemas. Ind´ıquese también la posición del nivel de Fermi en los tres casos.


Fundamentos F´ısicos de la Informática I. T. I SISTEMAS. Convocatoria Ordinaria Junio. Curso 99–00. PROBLEMAS 1. En el circuito de la figura determinar: a) la impedancia equivalente desde los terminales A y B; b) los valores de la capacidad, C , del condensador y del coeficiente de autoinducción, L, de la bobina; c) las intensidades fasoriales, Ie1 , Ie2 e Ie3 , as´ı como sus correspondientes expresiones temporales i 1 (t), i2 (t) e i3 (t). Represéntense Ie1 , Ie2 e Ie3 en un diagrama fasorial; d) la potencia media consumida en las resistencias y la potencia activa suministrada por el generador; e) el fasor VeCD , su expresión temporal v CD (t) y la tensión eficaz, Ve , que se medir´ıa en la resistencia de 4 .

16 Ω

I1

C

-4j Ω

A

48 0o (V) ω = 104 rad/s

+

-

8j Ω B

I3

4Ω I2

D

2. El ancho de la banda prohibida de cierto semiconductor es de 1.1 eV: a) Determinar la conductividad intr´ınseca de este semiconductor a T = 350 K, sabiendo que su resistividad intr´ınseca a T= 300 K es de 230000 cm. b) Se añaden ahora a este semiconductor 10 15 a´ tomos de impurezas donadoras por cm 3 ; si la concentración intr´ınseca a la temperatura de trabajo (300 K) es n i = 1:5 1010 cm 3 , y suponiendo ionización total de las impurezas, determinar: b.1) las concentraciones de portadores en las bandas de valencia y conducción (indicando si se trata de un semiconductor tipo p o n), as´ı como la conductividad de la muestra; b.2) la velocidad de arrastre (o deriva) de los portadores en la muestra al estar sometidos al campo eléctrico correspondiente a aplicar una tensión de 10 V entre los extremos de una barrita de 1 cm de longitud realizada con este material. Calcular también la intensidad que circula la barrita si la sección transversal de la misma es de 0.1 cm 2 ; b.3) la posición del nivel de Fermi, E F , respecto del valor correspondiente al caso intr´ınseco, EF;i (EF;i es el valor que se obtendr´ıa si n = p = n i ). DATOS (300 K): n = 1300 cm2 /Vs, p = 500 cm2 /Vs.








Fundamentos F´ısicos de Inform´ atica para Ingenier´ıa T´ ecnica de Sistemas Examen final, 20 de junio 2003. Teor´ıa Contestar s´ olamente a 3 de las 4 preguntas Todas las preguntas tienen el mismo valor. Es necesario alcanzar una puntuación m´ınima de 4 puntos sobre 10 en teor´ıa y problemas. No se puede contestar en color rojo ni con lápiz. 1. Explicar los conceptos de potencial y energ´ıa potencial electrostáticos, as´ı como las relaciones integrales y diferenciales con el campo y la fuerza electrostáticos respectivamente. Aplicaci´ on. Si el potencial electrostático es V = xyz donde (x, y, z) vienen dadas en metros y ~ en cualquier punto del espacio; b) La fuerza V en voltios, calcular: a) El campo electrostático E −5 electrostática sobre una carga q = 10 C situada en P1 = (1, 2, 3); c) El trabajo necesario para llevar dicha carga desde el punto P1 hasta el P2 = (2, 4, 6). 2. Deducir la fórmula que relaciona las derivadas del campo magnético y el campo eléctrico utilizando la ley de Faraday, para una OEM que se propaga en la dirección positiva del eje X, con el campo eléctrico paralelo al eje Y y el magnético paralelo al eje Z. Utilizar dicha fórmula para deducir la relación entre las fases y las amplitudes de los campos eléctrico y magnético de una onda electromagnética armónica plana. ~ = −B0 cos(k z + ω t)~ey , con B0 = 3 × 10−9 T, obtener: a) La amplitud del Aplicaci´ on. Si B ~ en función de k y ω; c) El vector de Poynting y la intensidad de la onda campo eléctrico; b) E electromagnética. Datos: c = 3 × 108 m/s, µ0 = 4π × 10−7 N/A2 . 3. Enunciar los postulados del modelo atómico de Bohr y deducir la expresión matemática que proporciona los radios de las órbitas permitidas en el átomo de hidrógeno. Aplicaci´ on. Obtener el valor numérico, expresado en ˚ A para el radio de la órbita correspondiente al primer estado excitado. Datos: h ¯ = 1,05×10−34 J·s, ² = 8,84×10−12 C2 /N · m2 ), e = 1,6×10−19 C, me = 9,1 × 10−31 kg. 4. Obtener razonadamente los niveles energéticos permitidos para una part´ıcula de masa m en un pozo de potencial infinito monodimensional de anchura a sabiendo que el vector de onda vale k = nπ/a con n = 1, 2, . . . , y dibujar un esquema con dichos niveles. Aplicaci´ on. a) Calcular la energ´ıa del estado fundamental a T = 0 K para un gas cuántico de 10 electrones, utilizando la expresión de la energ´ıa correspondiente al pozo tridimensional para un cubo de lado a. ¿Cuál ser´ıa el resultado para un gas clásico? b) Definir y relacionar con el cálculo realizado en el apartado anterior, los conceptos de energ´ıa de Fermi a T = 0 K, distribución de Fermi-Dirac a T = 0 K, y estados degenerados.


Fundamentos Físicos de la Informática Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas. Primera Convocatoria Ordinaria. 20 Junio 2003 PROBLEMAS Observaciones: 1) Es necesario alcanzar una nota mínima de 4 puntos sobre 10 en TEORIA y PROBLEMAS, para poder hacer la nota media. 2) No se corregirá lo que esté escrito a lápiz. 3) Todos los problemas se puntúan igual. NOTA: ELEGIR Y CONTESTAR A DOS DE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS Problema 1. Se considera la distribución de corriente correspondiente al cable coaxial de la Figura 1: corrientes I de sentidos contrarios circulan por un conductor cilíndrico de radio R1 y por una corona cilíndrica coaxial de radio interno R2 y radio externo R3 Se considera que la densidad de corriente es uniforme en cada conductor. Razonadamente determinar: a) El campo magnético B (vector) en los puntos de las regiones del espacio definidas por: R1R3 . b) El campo magnético B (vector) en los puntos de las regiones del espacio definidas por: r
Problema 2. En el circuito de la Figura 3 calcular: a) Los valores fasoriales y temporales de las intensidades de corriente indicadas (tomar ω para la frecuencia en generadores). b) Las potencias generadas en las fuentes y consumidas en las resistencias: indíquese el significado de sus signos y hágase el balance de potencia. c) La d.d.p. entre a y b. d) Dibújese el diagrama fasorial de intensidades. e) El equivalente Thevenin del circuito entre los terminales a y b

Problema 3. Se sabe que cierto semiconductor tiene una densidad d=2.33 g·cm-3 y una masa atómica A=28.09. El semiconductor se impurifica en una proporción de 2 átomos de boro por cada 106 átomos de dicho semiconductor. a) Sabiendo que el semiconductor puro contiene un solo tipo de átomos del grupo IV de la tabla periódica, explicar qué tipo de semiconductor se genera con el dopado y dibuja un esquema a nivel atómico y un diagrama de bandas. b) Sabiendo que la concentración de átomos de semiconductor vale 5·1028 m-3 calcular razonadamente la concentración de impurezas así como las concentraciones n y p de electrones y huecos. c) Calcular la d.d.p. que caerá entre los extremos de una muestra de dicho material de 3 mm de longitud y sección rectangular de 50µm x 100µm al ser atravesada por una corriente de 1µA. d) Si la concentración de dopado hubiese sido de 3.7·1015 m-3, determínense los porcentajes de portadores, provenientes de ionización de impurezas y de generación térmica, tanto para electrones como para huecos. Hacer un diagrama de bandas explicativo. e) En relación con el apartado b), demostrar que la concentración de átomos de semiconductor vale 5·1028 m-3. Datos: ni = 1016 m-3; µn = µp = 0.2 m2(Vs)-1; NAvogadro=6.023·1023; se supone ionización total de impurezas.


Fundamentos F´ısicos de Inform´ atica para Ingenier´ıa T´ ecnica de Sistemas. Examen final, 17 de junio de 2004. Teor´ıa. Contestar solamente a dos de las siguientes preguntas. Todas las preguntas tienen el mismo valor. Es necesario alcanzar una puntuación m´ınima de 4 puntos sobre 10 en teor´ıa y en problemas. Expresar todas las magnitudes con sus unidades correspondientes. No se puede contestar en color rojo ni con lápiz. 1. Escribir las ecuaciones de Maxwell y explicar cada una de ellas. Razonar cómo a partir de estas ecuaciones se puede inferir la existencia de ondas electromagnéticas en el vac´ıo. (Nota: NO hay que encontrar la ecuación de ondas). ~ = Aplicaci´ on. El campo eléctrico de una OEM armónica plana tiene la siguiente expresión: E ~ en Eo cos(ky + ωt) eˆz , con Eo = 5 V/m. Calcular: a) La amplitud del campo magnético; b) B función de k y ω; c) El vector de Poynting (instantáneo) y la intensidad promedio de la OEM. Datos: µo = 4π × 10−7 N/A2 , c=3 · 108 m/s. 2. a) Enunciar los postulados de Bohr. b) Obtener el valor de la energ´ıa de las órbitas permitidas del átomo de hidrógeno. c) Usando los resultados del apartado (b), calcular los valores posibles del inverso de la longitud de onda (1/λ) de la radiación emitida por el hidrógeno. d) Usando (b), explicar el significado de las series del espectro de emisión del hidrógeno. e) Explicar con palabras cuál es el significado del resultado obtenido en (b) y en qué se diferencia de la f´ısica clásica. Aplicaci´ on. Un fotón es emitido cuando un átomo de hidrógeno experimenta una transición desde n = 3 a n = 1. Determinar: a) Su energ´ıa en eV; b) su frecuencia en Hz; c) su cantidad de movimiento o momento en kg·m/s y d) su longitud de onda en ˚ A. Datos: Energ´ıa de Bohr E0 = 13,6 eV, h = 6,63 × 10−34 J · s, c = 3 × 108 m/s, 1 eV = 1,6 × 10−19 J, me = 9,1 × 10−31 Kg. 3. Considerar en tres dimensiones un gas cuántico de 16 electrones a T=0 K y contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Explicar y obtener el estado fundamental del gas, calculando la energ´ıa del sistema en unidades E0 (E0 = h2 /8ma2 ). b) ¿Por qué razón no se agrupan todos los electrones en el nivel energético accesible menor? c) ¿Por qué está prohibido el nivel energético E=0? d) Explicar los conceptos de degeneración de estados y de energ´ıa de Fermi. ¿Cuál es la energ´ıa de Fermi y qué niveles están degenerados en el apartado (a)?


Fundamentos F´ısicos de Inform´ atica para Ingenier´ıa T´ ecnica de Sistemas. Examen final, 17 de junio de 2004. Problemas. Contestar solamente a 2 de los 3 problemas. Todas las preguntas tienen el mismo valor. Es necesario alcanzar una puntuación m´ınima de 4 puntos sobre 10 en teor´ıa y en problemas. No se puede contestar en color rojo ni con lápiz. Exprese todas las magnitudes con sus unidades. 1.-Considerando el circuito de la figura: a) Calcular las intensidades fasoriales y temporales. b) Dibujar el diagrama fasorial de intensidades. c) Calcular la potencia suministrada por las fuentes y la potencia consumida en el circuito comprobando que coinciden. d) Calcular la carga almacenada en el condensador en t=0 s. e) Calcular el equivalente Thevenin entre A y B, as´ı como la corriente instantánea que circular´ıa por un elemento de impedancia -j Ω conectado entre dichos terminales. 2.- Dos hilos conductores paralelos, infinitos y rectos están situados en el plano XY. El conductor 1 coincide con el eje Y y transporta una intensidad I1 =1 A en el sentido positivo de dicho eje. El conductor 2 está situado en x=a=0.1 m y transporta una intensidad I2 =2I1 en sentido opuesto. Calcular: a) El campo magnético en todos los puntos del plano XY. b) La fuerza magnética sobre un electrón situado en un punto del plano XY equidistante de los dos conductores y cuya velocidad es b1) ~v1 = v0~ex , b2) ~v2 = v0~ey y b3) ~v3 = v0~ex , con v0 = 105 m/s. c) La fuerza magnética debida al conductor 1 sobre un segmento de longitud l=0.5 m del conductor 2. d) Sin hacer cálculos matemáticos deducir el sentido de la corriente inducida sobre una espira rectangular situada en el plano XY, con dos lados paralelos y dos perpendiculares a dichos ejes, colocada equidistante entre los dos conductores y que se mueve hacia el conductor 2. Nota: exprese todas las magnitudes con sus unidades y en forma vectorial en su caso. Datos: µ0 = 4π · 10−7 Tm/A, e=1.6·10−19 C. 3.- La conductividad del silicio intr´ınseco a 300 K es σ = 4,32 × 10−6 (Ω · cm)−1 . a) Calcular las densidades de portadores n y p a 300 K. Datos: µn = 1300 cm2 /(V ·s); µp = 500 cm2 /(V ·s). b) Sabiendo que la conductividad a 310 K es doble respecto a su valor a 300 K, calcular la anchura de la banda prohibida. c) Se dopa el semiconductor con átomos de arsénico, cuya concentración es de 5 · 1010 cm−3 . Indicar qué tipo de semiconductor de genera. d) Calcular en este caso, los valores de n y p a 300 K, indicando los porcentajes de ellos provenientes de la ionización de impurezas y de generación térmica. Dibujar un diagrama de bandas explicativo. Utilizar que ni = 1,5 · 1010 cm−3 y suponer ionización total. e) Determinar la conductividad del semiconductor dopado a 300 K. f) Calcular la diferencia entre los niveles de Fermi del semiconductor dopado y del semiconductor intr´ınseco a 300 K. Datos: e=1,6·10−19 , kB = 8,62 · 10−5 eV/K.



Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria Ordinaria, junio de 2005 PROBLEMAS 1. Dos cargas puntuales q = +0,5 mC y Q = −250 µC están situadas en los puntos (1, 2, 5) y (4, 2, 9) (coordenadas en metros) respectivamente. Calcular: a) calcular la fuerza que q ejerce sobre Q; b) el flujo del campo creado por ambas cargas a través de una superficie esférica centrada en Q y de radio 4 m (dejar este resultado expresado en términos de 0 ). (Dato: K = 9 × 109 Nm2 C−2 ) 2. Un solenoide esbelto de longitud l, a´rea de sección transversal S y con un total de N 1 vueltas, está circulado un intensidad I1 (t) = I0 cos(ωt). Rodeando a dicho solenoide se ha colocado, perpendicularmente al eje del mismo, una bobina rectangular de N2 espiras. Calcular: a) el coeficiente de inducción mutua, M , entre ambos bobinados; b) el voltaje eficaz, V 2,ef , que medir´ıa un volt´ımetro entre los bornes de la bobina rectangular.

N2 I1(t)

I1(t)

V2,ef e Ie1 e Ie2 ; b) la potencia promedio suministrada 3. En el circuito de la figura, calcular: a) los fasores I, por la fuente y la consumida en la resistencia.

6W +

30 0o V

-

I

I2

I1 -5jW

3jW

4. Un haz de 10 µW de potencia está formado por fotones de 6 eV. Dicho haz incide sobre un metal cuyo trabajo de extracción es φ = 2,5 eV, originando la emisión de electrones por efecto fotoeléctrico con un rendimiento ρ = 0,048 (n´ umero de electrones emitidos/n´ umero de fotones incidentes). Calcular: a) la energ´ıa cinética máxima de los electrones emitidos; b) el n´ umero de electrones emitidos por segundo. 5. Una muestra de silicio a 300 K (ni = 1,5 × 1010 cm−3 ) posee una concentración de impurezas de 1014 a´tomos de boro por cm−3 . Indicar si se trata de un semiconductor tipo N o P y determinar: a) las concentraciones n y p asumiendo ionización total de impurezas; b) la posición del nivel de Fermi respecto al caso intr´ınseco (expresar este resultado en términos de k B T ).


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria Ordinaria, junio de 2005 TEOR´ IA Contestar s´ olo a 2 preguntas = 1 (a elegir entre 1 y 2) + 1 (a elegir entre 3 y 4) 1. Condensadores. Explicar en qué consiste un condensador, definir su capacidad y deducir la expresión de la misma para el caso del condensador de placas paralelas. Deducir la fórmula para la energ´ıa almacenada en cualquier condensador. Utilizando la fórmula obtenida, deducir la expresión para la energ´ıa almacenada en un condensador de placas paralelas en función del campo eléctrico existente entre las mismas y obtener también la expresión de la energ´ıa por unidad de volumen (densidad de energ´ıa electrostática) entre las placas de dicho condensador. 2. Efecto Hall. Explicar detalladamente en qué consiste el efecto Hall y qué permite conocer sobre los portadores de corriente. Deducir la expresión de la tensión Hall, V H . Finalmente, en las dos experiencias del dibujo se ha representado el campo magnético aplicado, el signo de los portadores de corriente y la intensidad; representar en cada caso las siguientes magnitudes restantes: el vector velocidad, v, de los portadores de corriente, la carga acumulada (con su signo) en los laterales horizontales de las muestras, la fuerza magnética, F m , y la fuerza eléctrica debida al campo Hall, Fe , que act´ uan sobre los portadores de corriente.

I

B

caso 1

I

B

caso 2

3. Bandas de energ´ıa. Explicar la formación de bandas de energ´ıa en un cristal a partir de los orbitales atómicos correspondientes a los a´tomos que forman el cristal (modelo de enlace fuerte). Hacer un dibujo que muestre el desdoblamiento de los niveles de energ´ıa atómicos en el carbono (Z=6) en función de la distancia entre a´tomos para dar lugar a las bandas de energ´ıa en el diamante (carbono cristalizado), indicando el n´ umero de estados en las bandas que se forman. Por u ´ltimo, clasifique los elementos en conductores, aislantes y semiconductores en función de la ocupación de sus bandas, haga un dibujo que ilustre las bandas en cada caso y explique por qué puede o no tener lugar la conducción eléctrica. 4. Pozo de potencial monodimensional. Resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, ~2 d2 ψ(x) + Ep (x)ψ(x) = Eψ(x) , − 2m dx2 para un electrón en un pozo de energ´ıa potencial monodimensional de fondo plano de anchura a y paredes infinitas. Determinar los estados estacionarios, Ψn (x, t), junto con sus correspondientes valores para la energ´ıa En . Dibujar la función densidad de probabilidad para los dos primeros estados n = 1 y n = 2. Determinar cuál ser´ıa la energ´ıa m´ınima que tendr´ıa un total de 5 electrones en dicho pozo (téngase en cuenta el spin al llenar los estados). Si el pozo tuviese N electrones, ¿cuánto valdr´ıa la energ´ıa correspondiente al estado ocupado de mayor energ´ıa a 0 K?, ¿cuál ser´ıa, en ese caso, la energ´ıa correspondiente al nivel de Fermi?


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera convocatoria ordinaria, diciembre de 2005 TEOR´ IA 1. Enunciar las leyes de Coulomb y de Gauss para el campo eléctrico y escribir sus correspondientes expresiones matemáticas. Realizar, en cada caso, un dibujo donde se muestren las magnitudes implicadas en la ley en cuestión. Aplicaci´ on. 1-. Obtener la fuerza que dos cargas de igual valor pero distinto signo, +q y −q, situadas en los puntos (−a, 0, 0) y (a, 0, 0) respectivamente, ejercen sobre una carga +Q situada en el punto (0, b, 0). 2-. Determinar también flujo del campo creado por las dos cargas +q y −q en un esfera de centro el origen de coordenadas y radio a/2 y en una esfera de igual centro pero de radio 2a. Hacer un dibujo aproximado de cómo ser´ıan las l´ıneas de campo. 2. Explicar qué es un condensador y definir el concepto de capacidad del mismo (indicar la unidad de la capacidad en sistema internacional). Aplicaci´ on. Determinar la expresión de la capacidad de un condensador de placas paralelas de a´rea S y separadas una distancia d, sabiendo que el campo eléctrico entre sus placas es uniforme y de módulo E = σ/0 , siendo σ la densidad superficial de carga sobre la placa positiva (la placa negativa poseerá −σ). 3. ¿Qué es un semiconductor intr´ınseco?. ¿Cómo es su estructura de bandas?. ¿En qué consiste el proceso conocido como dopaje de un semiconductor?. ¿Cuándo se dice que un semiconductor dopado es de tipo N y cuándo de tipo P?.


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera convocatoria ordinaria, diciembre de 2005 PROBLEMAS 1. En el circuito de la figura se muestran las impedancias de los elementos a la frecuencia de trabajo de 1 kHz. Determinar: a) la intensidades, Ii (t), por las tres ramas del circuito y representar un diagrama para los fasores asociados a dichas intensidades; b) la diferencia de potencial V AB (t); c) la potencia media suministrada por el generador y consumida en el circuito. (Nota: el valor indicado en la figura para la tensión de la fuente es el máximo, no el eficaz)

4jW

o

8 0 V

+

2W

A

I2(t)

I3(t)

I1(t)

2jW

-4jW

B

2. En la figura se muestra un solenoide esbelto de longitud l1 , radio R1 y un total de N1 espiras. Dentro del mismo y coaxial con él se ha colocado una bobina corta de radio R2 y un total de N2 espiras. Calcular: a) el coeficiente de autoinducción del solenoide esbelto; b) el coeficiente de inducción mutua entra ambos bobinados; c) el valor eficaz de la tensión inducida en la bobina peque˜ na, ε 2ef. , cuando por el solenoide esbelto circula una intensidad I1 (t) = I0 cos(ωt) estando la bobina peque˜ na abierta (I2 = 0).

N1 N2

I1

Corte para ver el interior

3. El silicio es un semiconductor cuya concentración intr´ınseca de portadores a T=300 K es de n i = 1,5 × 1010 cm−3 . Parte I . Una muestra de Si se dopa de forma que n = 7,5 × 109 cm−3 a 300 K. Indicar si el semiconductor es tipo N o P y, asumiendo ionización total de impurezas, calcular p y la concentración de impurezas a˜ nadidas. Parte II . Una segunda muestra de Si se dopa ahora con una concentración de impurezas donadoras Nd = 1,5 × 1013 cm−3 de forma que tras el dopado todas las impurezas están ionizadas a 300 K y la conductividad de la muestra a dicha temperatura es σ = 0,312 (Ω· m)−1 . Sabiendo que la movilidad de los huecos es µp = 500 cm2 /V·s, calcular la movilidad de los electrones y la conductividad intr´ınseca del Si a 300 K. Nota: si el dopado es lo suficientemente alto, puede aproximarse σ ' σ n y validar posteriormente la aproximación utilizando los resultados obtenidos.



Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria Ordinaria, junio de 2006 Parte correspondiente al PRIMER PARCIAL 1. Explicar el concepto de capacidad de un condensador y obtener la expresión de la misma para un condensador plano de placas paralelas de a´rea S separadas una distancia d suponiendo que el campo en su interior puede considerase uniforme y de valor σ/0 (σ es la densidad superficial de carga). Como aplicación calcular la capacidad y la carga acumulada si S = 100 cm 2 sabiendo que el campo vale 1 kV/m cuando la tensión entre placas es de 5 V. (Dato: 0 = 8, 854 × 10−12 F/m) 2. a) Obtener la expresión para el periodo de rotación de una part´ıcula de carga q y masa m en el seno de un campo magnetostático uniforme de módulo B y que es perpendicular a la velocidad de la part´ıcula. ¿Qué puede decirse de dicho periodo en lo que respecta a la velocidad de la part´ıcula? Haga un dibujo de la trayectoria, indicando en qué sentido se recorre, donde además se muestre la fuerza centr´ıpeta y el vector campo magnético, e indique también el signo de la carga (elija el que desee para el dibujo) Nota: En todo movimiento circular Fc = mv 2 /R, donde R es el radio, Fc es la fuerza centr´ıpeta y v la velocidad. Se entiende por periodo de rotaci´ on el tiempo empleado en dar una vuelta.

b) Suponga ahora que la velocidad de la part´ıcula fuese paralela al campo magnético, ¿qué fuerza actuar´ıa sobre la part´ıcula en este caso?, ¿qué tipo de movimiento realizar´ıa la part´ıcula?

3. Un solenoide esbelto de longitud l, a´rea de sección transversal S 1 y con un total de N1 vueltas, está circulado por una intensidad I1 (t) = I0 cos(ωt). Rodeando a dicho solenoide se ha colocado, perpendicularmente al eje del mismo, una bobina cuadrada de a´rea S2 y con N2 espiras. Calcular: a) el coeficiente de autoinducción, L1 , del solenoide esbelto y el de inducción mutua, M , entre ambos bobinados; b) los voltajes eficaces V1,ef , entre los extremos del solenoide y V2,ef , entre los bornes de la bobina rectangular.

N2 I1(t)

I1(t)

V2,ef 4. El circuito de la figura opera a una frecuencia angular de 103 rad·s−1 . Determinar: a) los fasores Ie1 , Ie2 e Ie3 y representarlos en un diagrama; b) las correspondientes expresiones temporal I i (t) de los fasores obtenidos; c) la potencia promedio suministrada por la fuente y la consumida en las resistencias (verifique el balance suministro/consumo); d) los valores de L y C utilizados.

I1 40

2W

I2

-8j W

I3

4j W 4W


Fundamentos F´ısicos de la Inform´ atica Ingenier´ıa Técnica en Informática de Sistemas Segundo parcial. Curso 2005-06. Sevilla, 13 de junio de 2006 Pregunta a) Indicar, clara, concisa y brevemente en qué consiste el efecto fotoeléctrico b) ¿Cómo explica la Teor´ıa de Einstein del efecto fotoeléctrico el hecho de que exista una frecuencia umbral en la radiación de manera que por debajo de ella no se produce emisión de electrones? Pregunta Explicar, utilizando la teor´ıa de bandas, la existencia de sólidos conductores, semiconductores y aislantes. Distinguir el comportamiento de cada uno de ellos a temperaturas T=0 K y T > 0 K. Problema El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana tiene la expresión E(x, t) = 3 × 10−3 cos(kx − 2π × 108 t)ˆ y V/m, donde las longitudes están en metros y el tiempo en segundos. Determinar: a) La longitud de onda, frecuencia, periodo y n´ umero de onda. b) El campo magnético, B y la dirección de propagación de la onda. c) El vector de Poynting, S, y la intensidad de onda, I. d) La potencia que llega a una superficie de 2 m2 si la onda incide sobre ésta perpendicularmente. Repetir el cálculo si ahora la onda incide con un ángulo de 30 grados respecto a la perpendicular a la superficie. Datos: 1/4π²0 = 9 × 109 N·m2 /C2 , µ0 = 4π × 10−7 T·m/A, c = 3 × 108 m/s. Problema En el silicio a 300 K, la concentración intr´ınseca de portadores es ni = 1,5 × 1016 m−3 y las movilidades de los electrones y los huecos son µn = 0,13 m2 /V·s y µp = 0,05 m2 /V · s. Una muestra de este material, a 300 K, se dopa con impurezas aceptoras de manera que la concentración de estas impurezas es Na = 1020 m−3 , y todas están ionizadas. a) Calcular la concentración de electrones n y huecos p en el semiconductor dopado, indicando el porcentaje de portadores de origen térmico y el porcentaje procedente de las impurezas. b) Calcular la conductividad del silicio dopado y compararla con la conductividad intr´ınseca a la misma temperatura (300 K). c) Suponiendo que m∗n /m∗p = 0,6, que el origen de energ´ıas se toma al final de la banda de valencia (Ev = 0), y que la anchura de banda prohibida es de 1,1 eV, determinar la energ´ıa del nivel de Fermi a 300 K en el caso del silicio intr´ınseco y del dopado. d) Calcular la temperatura a la que tendr´ıa que estar el silicio intr´ınseco para que su conductividad fuera igual a la del silicio dopado a la temperatura de 300 K, calculada en el apartado b).


Fundamentos F´ısicos de la Informática (F.F.I) 1o Curso de I.T.I Sistemas Convocatoria Extraordinaria. Febrero de 2007 Curso 2006/07 Primera Parte (elegir 3 cuestiones) 1. Una carga eléctrica puntual positiva q1 = +5 mC se encuentran en el eje y en el punto de coordenadas (0, 3) (coordenadas en metros). Determinar: a) el campo eléctrico (vector) que crea en los puntos del eje x (dichos puntos tienen obviamente coordenadas de la forma (x, 0)); b) la fuerza (vector) ejercida sobre una carga Q = +1 µC situada en el punto (4, 0). (Dato. K = 9 × 109 N·m2 / C2 )

2. Utilizando la expresión para la fuerza que actúa sobre una part´ıcula cargada que se mueve en un campo magnético determinar: a) la fuerza (vector) sobre un proto´ n (carga del protón 1, 6 × 10−19 C) en un campo magnético uniforme B = (3, 5, 3) T si su velocidad es (40, 0, 40) Mm/s; b) la fuerza (vector) en el mismo campo si la velocidad del protón fuese (6, 10, 6) Mm/s. (Nota. El prefijo M, mega, indica 106 )

3. Explicar brevemente la ley de Faraday y escribir su expresi o´ n matemática. Utilizando dicha ley, calcular la fuerza electromotriz inducida entre los extremos de una bobina circular de radio R y con N vueltas que se halla en un campo magnético uniforme y variable en el tiempo de mo´ dulo B(t) = (B0 + βt) (B0 y β constantes) y que forma un a´ ngulo α con la normal a la bobina. 4. En el circuito de la figura determinar: a) las intensidades en cada rama mediante las reglas de Kirchhoff; b) la diferencia de potencial entre A y B; c) la potencia suministrada por la bater´ıa.

A

I1

5W

10 W

60V

B

6W

20 W

I3

I2

5. Una onda armónica de 1 cm de amplitud se propaga en una cuerda a 5 m/s. Sabiendo que su longitud de onda es de 50 cm, calcular: a) el periodo, la frecuencia y el n u´ mero de onda; b) la función de onda correspondiente (expresión matemática de la onda) sabiendo que se propaga en el sentido positivo del eje x. (Nota. Dejar el número π indicado, no sustituir por 3,1416)

Segunda Parte (elegir dos cuestiones) 1. Explicar (brevemente), utilizando la teor´ıa de bandas, la existencia de so´ lidos conductores, semiconductores y aislantes. Distinguir el comportamiento de cada uno de ellos a temperaturas T=0 K y T 300 K. 2. Un haz de fotones de 10 µW ( 1 µ W = 10−6 W) de potencia incide sobre un metal produciendo emisi o´ n de electrones por efecto fotoeléctrico. La energ´ıa máxima de los electrones emitidos es 3.5 eV, siendo el trabajo de extracción del metal 2.5 eV (función trabajo). Determinar: a) La energ´ıa (en eV), longitud de onda (en metros) y frecuencia (en Hz) de los fotones del haz (en eV); b) el rendimiento del proceso (n u´ mero de electrones emitidos/número de fotones incidentes), en %, sabiendo que el n u´ mero de electrones emitidos por segundo es 5 × 1011 .


3. En el silicio a 300 K, la concentracio´ n intr´ınseca de portadores es ni = 1,5 × 1016 m−3 , la anchura de banda prohibida es Eg = 1,1 eV y las movilidades de los electrones y los huecos son µ n = 0,13 m2 /V·s y µp = 0,05 m2 /V · s. Una muestra de este material, a 300 K, se dopa con impurezas donadoras de manera que la concentraci o´ n de estas impurezas es Nd = 1020 m−3 , y todas están ionizadas. Calcular: a) la concentracio´ n de electrones n y huecos p en el semiconductor dopado, indicando el porcentaje de portadores de origen t e´ rmico y el porcentaje procedente de las impurezas; b) la conductividad del silicio dopado y compararla con la conductividad intr´ınseca a la misma temperatura (300 K).


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria Ordinaria, junio de 2007 Parte correspondiente al PRIMER PARCIAL 1. Cuesti´ on. Explique la ley de Joule para la potencia, P , disipada en una resistencia, R, indicando claramente qué energ´ıas entran en juego, y deduzca la expresión P = V I, donde V es la diferencia de potencial entre los extremos de la resistencia e I la intensidad que la circula (es usual escribir la expresión anterior alternativamente como P = I 2 R tras aplicar la ley de Ohm, V = IR). Ejercicio. En el circuito de la figura determinar: a) las intensidades en cada rama mediante las reglas de Kirchhoff; b) la diferencia de potencial entre A y B por dos caminos distintos; c) la potencia suministrada por cada bater´ıa y consumida en cada resistencia, verificando el balance global.

A 8W

3W

4W

22V 2W

B

20V

2. Cuesti´ on. Partiendo de la expresión Fm = qv × B para la fuerza sobre una carga en un campo magnético, obtener la expresión F = I l × B para la fuerza sobre un tramo recto de conductor de longitud l, circulado por una intensidad I e inmerso en un campo magnético uniforme B. [Nota . Recuérdese que la intensidad que atraviesa un conductor de sección transversal S puede escribirse como I = qnvS, donde q es la carga de los portadores, n la concentración de los mismos y v su velocidad de deriva (o arrastre)]

Ejercicio. Una espira cuadrada dispuesta sobre el plano z = 0 tiene por vértices los puntos (0, 0, 0) (2, 0, 0) (2, 2, 0) y (0, 2, 0) (coordenadas en metros) y está recorrida por una intensidad I = 5 A dirigida desde el vértice (0, 0, 0) hacia el (2, 0, 0). Dicha espira se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme de valor B = (0, 3, 0) T. Determinar: a) la fuerza ejercida sobre cada lado de la espira as´ı como la fuerza total resultante ejercida sobre la espira; b) el momento magnético dipolar, m, de la espira; a la vista del resultado obtenido para m, ¿se encuentra la bobina en la posición de equilibrio? ¿cuál ser´ıa el valor de m en la posición de equilibrio? [Nota. Tanto las fuerzas pedidas como los momentos magnéticos dipolares son magnitudes vectoriales, los resultados deberán ser pues vectores]

3. Cuesti´ on. Enunciado, expresión matemática y breve explicación de la ley de Faraday. Complete lo anterior con un dibujo donde aparezcan las magnitudes f´ısicas implicadas en dicha ley. Ejercicio. Una bobina circular de radio r = 20 cm y de N = 500 vueltas se encuentra en un campo magnético uniforme de 250 mT. La bobina está dispuesta de forma que las l´ıneas de campo son paralelas al eje de la misma (esto es, son perpendiculares a las espiras). Si partiendo del valor inicial antes citado (B=250 mT en t = 0) se hace aumentar el módulo del campo a razón de 50 mT/s manteniendo la dirección del campo constante, calcular: a) el flujo que atraviesa la bobina en función del tiempo as´ı como el valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida. b) Si la bobina se dispone ahora de forma que su eje forme 60o con las l´ıneas de campo, determinar a qué razón debe crecer el campo magnético para que el valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida sea de 1 V.


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria Ordinaria, junio de 2007 Parte correspondiente al SEGUNDO PARCIAL 1. Cuesti´ on. Partiendo de la relación I(t) = CdV (t)/dt, existente entre la intensidad y la tensión en un condensador, y asumiendo que V (t) = V0 cos(ωt), calcular I(t) as´ı como los fasores Ie y Ve y, a partir de los mismos, determinar la expresión para la impedancia, Z, de un condensador. Ejercicio. En el circuito de la figura se muestran las impedancias de los elementos a la frecuencia de trabajo de la fuente ε(t) = 8 cos(103 t) V. Determinar: a) La impedancia equivalente vista desde los terminales del generador; b) el fasor Ie asociado a la intensidad por el generador, su expresión temporal, I(t), as´ı como la potencia media (activa) suministrada por el generador y la consumida en la resistencia.

4W -12j W

3j W

2. Cuesti´ on Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje x viene representada de forma general por la función y(x, t) = A cos(kx − ωt + φ), donde ω = vk y siendo v la velocidad de propagación. Explique qué se entiende por longitud de onda y por periodo en este tipo de ondas y obtenga de forma razonada las expresiones λ = 2π/k para la longitud de onda y T = 2π/ω para el perio∂2y 1 ∂2y do. Finalmente, compruebe que la función anterior y(x, t) verifica la ecuación de ondas: = . ∂x2 v 2 ∂t2 Ejercicio. El campo eléctrico de una onda electromagnética armónica plana oscila en la dirección b V/m. a) Calcular la longitud de y y tiene la expresión E(x, t) = 3 × 10−3 cos(kx − 2π × 108 t) y onda, frecuencia, periodo y n´ umero de onda. b) Determinar el campo magnético, B(x, t), y el vector de Poynting S(x, t) indicando las unidades en cada caso, y completar con un dibujo esquemático de la onda donde aparezcan E, B y S indicando además claramente los ejes de coordenadas. (Datos. c = 3 × 108 m/ s, µ0 = 4π10−7 H/ m)

3. Cuesti´ on. Explicar la formación de bandas de energ´ıa en un cristal a partir de los orbitales atómicos correspondientes a los a´tomos que forman el cristal (modelo de enlace fuerte). Finalmente, clasifique los elementos en conductores, aislantes y semiconductores en función de su estructura de bandas (haga un dibujo que ilustre las bandas en cada caso) y explique por qué puede o no tener lugar la conducción eléctrica (en el caso de los semiconductores distinga el comportamiento a T = 0 K y a T > 0 K). Ejercicio. La concentración intr´ınseca del silicio a T = 300 K, es ni = 1,5 × 1010 cm−3 . a) Una primera muestra de Si se dopa de forma que la concentración del electrones en la banda de conducción pasa a ser n = 7,5 × 109 cm−3 a 300 K. Indicar si el semiconductor obtenido es de tipo N o P y, consecuentemente, indique también qué tipo de impurezas se han a˜ nadido. Asumiendo ionización total de dichas impurezas, calcular p y la concentración de impurezas a˜ nadidas. b) Una segunda muestra de Si se dopa ahora con una concentración de impurezas donadoras N d = 1,5 × 1013 cm−3 de forma que tras el dopado todas las impurezas están ionizadas a 300 K y la conductividad de la muestra a dicha temperatura es σ = 3,12 × 10−3 (Ω· cm)−1 . Sabiendo que la movilidad de los huecos es µp = 500 cm2 / V·s, calcular la movilidad de los electrones, µn , y la conductividad intr´ınseca σi del Si a 300 K. (Dato. e = 1,6 × 10−19 C)










Fundamentos F´ısicos de la informática I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria, 23 de junio de 2008 Parte correspondiente al PRIMER PARCIAL

1. Dos cargas de igual valor, q, que pueden considerarse puntuales se encuentran fijas en los puntos de coordenadas (a, 0) y (−a, 0) respectivamente. Determinar: a) el modulo de la fuerza que cada una ejerce sobre la otra indicando si la fuerza es atractiva o repulsiva; b) la fuerza (vector) que ejercen sobre una tercera carga Q en dos casos: (b.1) Q situada en el punto (0, 0) y (b.2) Q situada en el √ punto (0, a 3); c) la diferencia de potencial VA − VB entre el origen de coordenadas (punto A) y √ el (0, a 3) (punto B) as´ı como el trabajo que realiza el campo sobre Q cuando se traslada entre los citados puntos A y B. 2. Explique cómo es posible mediante el efecto Hall saber la polaridad (signo) de lo portadores de corriente en un muestra. Para ello plantee lo que ocurrir´ıa para un mismo sentido de la intensidad de corriente, I, si los portadores fuesen positivos frente a lo que ocurrir´ıa si fuesen negativos. La explicación debe incluir un dibujo, para cada caso, en el que se muestren claramente el sentido de la corriente, el sentido del campo magnético impuesto, el sentido del campo de Hall, EH , as´ı como la fuerza magnética y eléctrica sobre los portadores de corriente. 3. Ley de Faraday. a) Enunciado y expresión matemática junto con una breve explicacio´ n de la misma. ¿Qué aplicación industrial de máxima importancia se basa en esta ley? b) Como ejemplo determine el valor eficaz de la fuerza electromotriz inducida entre los extremos de un solenoide esbelto cuya a´ rea transversal es S = 100 cm2 y con N√= 500 vueltas, cuando es ~ = 2 2 × 10−4 cos(103 t) n circulado por una intensidad tal que el campo en su interior es B b T, siendo n b el vector unitario en la direccio´ n axial del solenoide. 4. El circuito representado opera a una frecuencia angular ω = 10 3 rad/s. Determinar: a) Los fasores intensidad, Iei , representarlos en un diagrama fasorial y, obtener las correspondientes expresiones temporales Ii (t); b) la potencia promedio suministrada por el generador y la consumida en la resistencia. c) el valor de la capacidad del condensador y de los coeficientes de autoinducci o´ n de las bobinas. d) Si se sustituye ahora el generador de alterna por una bater´ıa de continua de 5 V, determinar la intensidad en cada rama del circuito una vez alcanzado el regimen de continua.

I1

50 W

I3

100

I2 50 j W

-25 j W


Fundamentos F´ısicos de la informática I.T.I. Sistemas. Primera Convocatoria, 23 de junio de 2008 Parte correspondiente al SEGUNDO PARCIAL

1. El campo eléctrico asociado a cierta onda electromagnética de la banda de microondas es de la b mV/ m (distancias en metros y tiempo en segundos). Determinar: forma E(t) = 3 cos(kx−2π109 t) y a) su frecuencia, longitud de onda y nu´ mero de onda; b) el campo magnético (vector) de dicha onda, el vector de Poynting y la intensidad promedio de la onda, completando lo anterior con un dibujo donde se muestren los vectores campo magnético, campo eléctrico y el vector de Poynting (detalle claramente los ejes de coordenadas). c) Determine la energ´ıa de los fotones asociados a esta onda, expresando el resultado en eV, e indique si esta radiacio´ n es capaz de producir efecto fotoeléctrico en el sodio cuya función trabajo de extracción es φ = 2, 3 eV. (Datos. µ0 = 4π × 10−7 F/m; c = 3 × 108 m/s; h = 6, 63 × 10−34 J·s = 4, 144 × 10−15 eV·s)

2. Considere una part´ıcula cuántica confinada en un segmento de longitud a (part´ıcula en un pozo monodimensional de potencial) en el que se halla libre de fuerzas o, lo que es lo mismo, la energ´ıa potencial es constante en el segmento. Los posibles estados estacionarios de la part´ıcula resultan entonces de resolver la ecuación de Schrödinger en el interior del segmento donde la energ´ıa potencial es constante (se elige cero por comodidad), luego: −

~2 d2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2

0 ≤ x ≤ a,

donde E ser´ıa la energ´ıa del estado. Por otra parte, ψ(x) = 0 fuera del pozo, ya que no es posible detectar fuera la part´ıcula. a) Resuelva la ecuación anterior imponiendo que la solucio´ n debe ser continua en los extremos del segmento, esto es, ψ(x) = 0 en x = 0 y x = a, ya que ψ(x) es cero fuera, y obtenga los posibles soluciones ψn (x) as´ı como la energ´ıa, En , correspondiente a cada estado. b) Dibuje la funcio´ n densidad de probabilidad para n = 3. Suponga ahora que repitiésemos N veces (siendo N un número significativamente elevado) un mismo experimento para detectar la posici o´ n de una part´ıcula sabiendo con seguridad que se encuentra en el estado ψ3 (x), ¿cuántas veces la detectar´ıamos en el intervalo (a/3, a)? 3. Justifique la existencia de conductores, aislantes y semiconductores utilizando la teor´ıa de bandas. La explicación debe incluir un dibujo que ilustre las bandas en cada caso (en el caso de los semiconductores distinga el comportamiento a T = 0 K y a T > 0 K). 4. A 300 K la conductividad intr´ınseca del Si es 4, 32 × 10−4 (Ωm)−1 y su concentración intr´ınseca ni = 1, 5 × 1016 m−3 . Si se dopa una muestra de Si con una concentracio´ n de impurezas donadoras de 1, 5 × 1019 m−3 , la conductividad de la muestra dopada pasa a valer 3120 × 10−4 (Ωm)−1 a 300 K. Asumiendo ionización total de impurezas, determinar: a) las concentraciones de portadores n y p tras el dopado indicando si se trata de un semiconductor tipo-N o tipo-P; b) las movilidades µ n y µp en el Si a 300 K. c) la temperatura a que deber´ıa estar una muestra intr´ınseca para que tuviera la misma conductividad que posee la muestra dopada a 300 K (Dato. Eg = 1, 1 eV en el Si).



Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera Convocatoria. Diciembre de 2008 Parte correspondiente al primer parcial 1. Dos cargas puntuales, q1 = +5 mC y q2 = −5 mC, se encuentran situadas en los puntos de coordenadas (en metros) (−4, 0) y (4, 0) respectivamente. (a) Realizar un dibujo aproximado de las l´ıneas del campo electrostático que crean en el plano xy. (b) Calcular la fuerza (vector) que se ejercer´ıa sobre una tercera carga Q = +25 µC que se colocase en el punto (0,3) m. (Dato. k = 1/(4π0 ) = 9 × 109 Nm2 /C2 .)

2. En una región donde existe un campo magnético uniforme de (200, 0, 0) mT se dispone en el plano y = 0 una bobina cuadrada de 50 cm de lado y 20 vueltas circulada por una intensidad I = 1 A, seg´ un se indica en la figura. Determinar: (a) la fuerza sobre cada lado de la bobina as´ı como la resultante de ~ , sobre la bobina. dichas fuerzas; (b) el momento dipolar magnético, m, ~ y el momento de fuerzas, M Complete con un dibujo de la bobina donde se muestren las fuerzas sobre los lados y el vector m. ~

y

B x

z

I

3. Ley de Faraday: (a) Breve explicación de la misma y expresión matemática correspondiente. (b) Como aplicación, determinar (en valor absoluto) la fuerza electromotriz inducida que se medir´ıa entre los extremos de una bobina cuadrada de 50 cm de lado y de 400 vueltas cuyo eje forma un ańgulo de 60o con un campo magnético uniforme cuyo módulo aumenta a razón de 40 mT/s sin cambiar su dirección. 4. En el circuito de corriente alterna de la figura la fuerza electromotriz suministrada por el generador es ε(t) = 100 cos(ωt) V, siendo las impedancias de los elementos a la frecuencia angular de trabajo, ω, las indicadas en la figura. Determinar: (a) el valor de dicha frecuencia angular de trabajo y de la autoinducción, L, de la bobina sabiendo que la capacidad del condensador es de 20 µF; (b) el fasor Ie asociado a la intensidad que circula por el generador, su expresión temporal, I(t), y la potencia media suministrada por dicho generador. (Nota. En el caso de no saber determinar ω en el primer apartado, déjela indicada como ω en la expresión temporal I(t) del segundo apartado.)

I 100

50 W 25 j W

- 50 j W


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera Convocatoria. Diciembre de 2008 Parte correspondiente al segundo parcial 1. Una onda electromagnética de longitud de onda 2 mm se propaga en el sentido positivo del eje x y su campo eléctrico oscila en la dirección del eje y siendo su amplitud de 3 V/m. Determinar: (a) las expresiones correspondientes de los campos eléctrico y magnético de la onda, completando el apartado con un dibujo sencillo de la onda (indique claramente los ejes de coordenadas); (b) la intensidad promedio de la onda (indicando claramente sus unidades) as´ı como la potencia promedio que se recibe en una superficie circular de 2 metros de radio perpendicular a la dirección de propagación. (Datos. µ0 = 4π × 10−7 F/m; c = 3 × 108 m/s.)

2. Tras resolver la ecuación de Shrödinger para determinar los estados estacionarios de una part´ıcula confinada en un segmento de longitud a (pozo monodimensional) dentro del cual sephalla libre de fuerzas, se obtiene que las correspondientes funciones de onda son de la forma ψ n (x) = ( 2/a) sen(kn x) en el interior del pozo (0 ≤ x ≤ a) y ψn (x) = 0 fuera del mismo (x ≤ 0 o´ x ≥ a), ya que la probabilidad de detectar la part´ıcula en el exterior es nula. Partiendo de lo anterior, determinar: (a) los valores permitidos de kn sabiendo que ψn (x) debe ser continua en los extremos del pozo (x = 0 y x = a); (b) la energ´ıa de cada uno de los estados, En , sabiendo que ψn (x) verifica la ecuación de Schrödinger dentro del pozo para energ´ıa potencial constante (tomamos cero por comodidad) ya que está libre de fuerzas, esto es: ~2 d2 ψn (x) − = En ψn (x) 0 ≤ x ≤ a. 2m dx2 (c) Dibuje la función densidad de probabilidad para n = 2, esto es |ψ2 (x)|2 . Suponga ahora que la part´ıcula se encuentra en dicho estado, a la vista del dibujo, ¿qué probabilidad (en porcentaje) hay de detectar la part´ıcula en el intervalo (a/4, a)? y ¿qué probabilidad en el intervalo (0, a/4)? (justifique las respuestas). 3. (a) Explique qué se entiende por bandas de energ´ıa en los elementos en forma cristalina. (b) ¿Es posible que los electrones de una banda totalmente llena contribuyan a la conducción eléctrica?, ¿y los de una banda que posee estados desocupados? (justifique las respuestas). (c) Considere ahora el esquema de bandas de un semiconductor a T = 0 K y el correspondiente a T > 0 K. Realice un dibujo para cada caso y, de acuerdo con lo expuesto en el apartado (b), justifique la posibilidad o no de conducción eléctrica en los semiconductores. 4. La concentración intr´ınseca del silicio a T = 300 K, es ni = 1,5 × 1010 cm−3 . Se realizan ahora dos experiencias diferentes con dos muestras de silicio como se detalla a continuación. (a) La primera muestra se dopa de forma que la concentración del electrones en la banda de conducción pasa a ser n = 7,5 × 109 cm−3 a 300 K. Indicar si el semiconductor obtenido es de tipo N o P y, consecuentemente, indique también qué tipo de impurezas se han a˜ nadido. Asumiendo ionización total de dichas impurezas, calcular p y la concentración de impurezas a˜ nadidas. (b) La segunda muestra se dopa con una concentración de impurezas donadoras N d = 1,5×1013 cm−3 de forma que tras el dopado todas las impurezas están ionizadas y la conductividad de la muestra a 300 K es σ = 3,12 × 10−3 (Ω· cm)−1 . Sabiendo que la movilidad de los huecos es µp = 500 cm2 / V·s, calcular la movilidad de los electrones, µn , y la conductividad intr´ınseca σi del Si a 300 K. (Dato. e = 1,6 × 10−19 C)













Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Convocatoria Extraordinaria. Febrero de 2009 Primera Parte. Dos ejercicios: (uno a elegir entre 1 y 2) + (ejercicio 3 obligatorio) 1. Dos cargas puntuales, q1 = √ +16 µC y q2 = −2 µC, se encuentran situadas en los puntos de coordenadas (en cent´ımetros) (− 3, 0) y (0, 0), respectivamente. Calcular: (a) la fuerza total ejercida por ambas cargas sobre una tercera carga Q = +1 µC situada en el punto (0, 1) (en cent´ımetros) y completar el apartado con un dibujo de la fuerza debida a cada carga y de la fuerza total; (b) el trabajo que realiza la fuerza total ejercida por q1 y q2 sobre la carga Q cuando dicha carga realiza un recorrido desde el punto (0, 1) (en cm) hasta el infinito a lo largo del eje y. 2. La figura muestra un solenoide esbelto de longitud l1 , con sección circular de radio R1 y que posee un total de N1 espiras. Rodeando dicho solenoide se ha colocado una bobina circular corta de radio R2 (R2 > R1 ) y con N2 espiras perpendicular al eje del solenoide. Sabiendo que, al ser circulado por I1 , el campo en el interior del solenoide es axial, uniforme y de módulo B1 = µ0 N1 I/l1 , calcular: (a) el coeficiente de autoinducción, L1 , del solenoide as´ı como el coeficiente de inducción mutua, M , entre ambos bobinados; (b) la fuerza electromotriz inducida en el solenoide y la inducida en la bobina corta cuando la corriente por el solenoide es I1 = I0 cos(ωt) y la bobina corta tiene sus extremos desconectados (esto es, I2 = 0).

I1

N2

N1

I1

3. (Obligatorio) El circuito de la figura consta de una fuente de tensión alterna ε(t) = 200 cos(10 4 t) V conectada a una asociación de elementos cuyas impedancias se detallan a la frecuencia de trabajo. Determinar: (a) los fasores asociados a las intensidades, Iei , as´ı como sus correspondientes expresiones temporales, Ii (t), y representar los fasores obtenidos en un diagrama; (b) la potencia promedio suministrada por el generador; (c) los valores de L y C utilizados. 200 W

I1

e= 200

0

o

+ V

I3 50 j W

-

I2 - 40 j W


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Convocatoria Extraordinaria. Febrero de 2009 Segunda Parte. Dos ejercicios: (uno a elegir entre 1 y 2) + (ejercicio 3 obligatorio) 1. Una onda electromagnética de longitud de onda 30 cm se propaga en el sentido positivo del eje x y su campo eléctrico oscila en la dirección del eje y siendo su amplitud de 6 V/m. Determinar: (a) las expresiones correspondientes de los campos eléctrico y magnético de la onda, completando el apartado con un dibujo sencillo de la onda (indique claramente los ejes de coordenadas); (b) la potencia promedio que se atraviesa una superficie circular de 20 cm de radio perpendicular a la dirección de propagación. (Datos. µ0 = 4π × 10−7 F/m; c = 3 × 108 m/s.)

2. (a) Explique qué se entiende por bandas de energ´ıa en los elementos en forma cristalina. (b) ¿Es posible que los electrones de una banda totalmente llena contribuyan a la conducción eléctrica?, ¿y los de una banda que posee estados desocupados? (justifique las respuestas). (c) Considere ahora el esquema de bandas de un semiconductor a T = 0 K y el correspondiente al mismo semiconductor a T > 0 K. Realice un dibujo para cada caso y, de acuerdo con lo expuesto en el apartado (b), justifique la posibilidad o no de conducción eléctrica en los semiconductores. 3. (Obligatorio) A 300 K la concentración intr´ınseca del Si es ni = 1, 5 × 1016 m−3 siendo las movilidades de electrones y huecos µn = 0, 13 m2 /(V·s) y µp = 0, 05 m2 /(V·s), respectivamente. Determinar: (a) la conductividad intr´ınseca del Si a 300 K; (b) la conductividad a 300 K de una muestra de Si dopada con una concentración de impurezas aceptoras de 1, 5 × 10 16 m−3 , indicando además si se trata de un semiconductor tipo-N o tipo-P (asuma que todas las impurezas están ionizadas); (c) la conductividad del Si intr´ınseco a 350 K sabiendo que Eg = 1, 1 eV en el Si. (Constantes. e = 1, 6 × 10−19 C, kB = 8,625 × 10−5 eV/K. )



Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera Convocatoria. Curso 2009-10 Parte correspondiente al Primer Parcial Tres ejercicios: (dos a elegir entre 1, 2 y 3) + (ejercicio 4 obligatorio) (NOTA: Los puntos (a) y (b) de las preguntas 1,2 y 3 no están relacionados y pueden resolverse de forma independiente.)

1. (a) Un sistema está formado por una carga puntual q1 = +80 µC situada en el origen de coordenadas y una segunda carga puntual q2 = −25 µC situada en el punto de coordenadas (40, 50) cm. Determinar la fuerza (vector) que ejercen sobre tercera carga Q = +2 µC situada en el punto (40, 0) cm. Completar con un dibujo del sistema que incluya la fuerza ejercida por cada carga sobre Q y la fuerza total resultante (Dato. k = 1/(4πε0 ) = 9 × 109 Nm2 /C 2 .) ~ = (−1, 2, −3) kV/m. Eligiendo potencial cero en el (b) Considere un campo electrostático uniforme E origen de coordenadas y calculando la diferencia de potencial VA − VB entre un punto genérico (x, y, z) (punto A) y el origen de coordenadas (punto B) determinar la función potencial V (x, y, z). Comprobar ~ que el gradiente de la función obtenida, V (x, y, z), cambiado de signo, da como resultado el campo E. 2. (a) Una part´ıcula con carga eléctrica q = +1 µC realiza un movimiento a velocidad constante de ~ uniforme 10 km/s en el sentido positivo del eje x en una región donde existe un campo electrostático, E, y un campo magnetostático uniforme de 500 mT dirigido en sentido positivo del eje y. Determinar la fuerza magnética sobre la carga y deducir del resultado la fuerza ejercida por el campo eléctrico y ~ (vector), para que el movimiento de la part´ıcula sea el descrito. Haga un el valor de dicho campo, E ~ E ~ y ~v , indicando los ejes de coordenadas. dibujo que incluya los vectores B, (b) Partiendo de la expresión matemática de la ley de Biot-Savart, calcule razonadamente el campo magnético en el centro de una espira circular de radio R por la que circula una intensidad I. Complete con un dibujo aproximado de las l´ıneas del campo magnético creado por la espira. 3. (a) (a.1) Obtenga razonadamente la expresión del coeficiente de autoinducción de un solenoide esbelto de longitud l, con N vueltas y a´rea transversal S. (a.2) Partiendo de la expresión obtenida junto con la correspondiente al campo magnético en el interior del solenoide, exprese la energ´ıa magnética almacenada en el mismo (Um = LI 2 /2) en función del campo en su interior y, de dicho resultado, defina el concepto de densidad de energ´ıa magnética. (b) Sabiendo que entre los extremos de una bobina se mide una tensión VL = 1 mV cuando circula una intensidad que disminuye a razón de 50 mA/s, deducir el valor del coeficiente de autoinducción de la misma. Usando el valor calculado de L, determinar la intensidad alterna, I(t), que circular´ıa si la tensión entre sus extremos fuese VL (t) = 2 cos(103 t) V. 4. Obligatorio En la figura se muestra un circuito alimentado por una generador que suministra una fuerza electromotriz ε(t) = 80 cos(104 t) V. Determinar: (a) las intensidades fasoriales indicadas en la figura, representarlas un diagrama y escribir las expresiones instantáneas, I i (t), de las mismas; (b) la potencia suministrada por el generador.

I3

I2 I1

5 mF 80

4 mH

40 W

Recuerde que olvidar las unidades en los resultados resta puntos


Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera Convocatoria. Curso 2009-10 Parte correspondiente al Segundo Parcial (NOTA: Los puntos (a) y (b) de las tres preguntas pueden resolverse de forma independiente.)

1. (a) La amplitud del campo magnético de una onda electromagnética de longitud de onda 30 cm es de 10−10 T. Si su campo eléctrico oscila en la dirección z y la onda se propaga en el sentido positivo del ~ t) y B(y, ~ eje y, determinar la intensidad de la onda, I, y los campos E(y, t). Completar con dibujo de la onda que incluya a los campos calculados junto con el vector velocidad de propagación, ~c, indicando los ejes. (Dato. c = 3 × 108 m/s, µ0 = 4π × 10−7 H/m. ) (b) Como es sabido, en una cuerda tensa de longitud l con los extremos fijos las longitudes de onda de las posibles ondas estacionarias verifican λn = 2l/n. Partiendo de lo anterior, si la cuerda mide 3 m y se sabe que las frecuencias de dos de las posibles ondas estacionarias de o´rdenes consecutivos, n y n + 1, son 252 Hz y 336 Hz respectivamente, determinar la velocidad de propagación de las ondas en dicha cuerda y los o´rdenes n y n + 1. 2. (a) Un haz de intensidad I= 1 µW/cm2 formado por fotones de rayos X de 10 keV incide perpendicularmente sobre una superficie de 3,2 cm2 . Determinar la longitud de onda de dichos fotones as´ı como el n´ umero de fotones por unidad de tiempo que se reciben en dicha superficie.(Dato. h = 6, 63 × 10−34 J·s = 4, 144 × 10−15 eV·s)

(b) Un electrón (carga −e y masa me ) parte del reposo y es acelerado mediante una diferencia de potencial de V0 voltios. Asumiendo que tras el proceso de aceleración la energ´ıa potencial se ha transformado en cinética, determinar en función de V0 las expresiones correspondientes a la velocidad final alcanzada por el electrón y a la longitud de onda de De Broglie del electrón correspondiente a dicha velocidad. (Nota. No sustituya e y me por sus valores concretos en las expresiones obtenidas) 3. (a) Explique en qué consiste el proceso de dopado de un semiconductor indicando cómo debemos llevar a cabo dicho proceso para conseguir una muestra de Si tipo N y una muestra tipo P. La explicación anterior debe indicar cómo se ven afectadas las concentraciones de portadores n y p en las bandas en ambos procesos de dopado. (b) A 300 K la concentración intr´ınseca del Si es ni = 1, 5 × 1016 m−3 siendo las movilidades de electrones y huecos µn = 0, 13 m2 /(V·s) y µp = 0, 05 m2 /(V·s), respectivamente. Determinar a 300 K, la conductividad intr´ınseca del Si y la conductividad de una muestra de Si dopada con 1, 5 × 10 16 a´tomos de Boro (Grupo III) por metro c´ ubico, indicando además si se trata de un semiconductor tipo-N o tipo-P (asuma que todas las impurezas están ionizadas) (Constantes. e = 1, 6 × 10−19 C, kB = 8,625 × 10−5 eV/K. )




Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera Convocatoria. Curso 2010-11 Parte correspondiente al Primer Parcial 1. Un sistema está formado por una carga puntual q1 = +125 µC situada en el origen de coordenadas y una segunda carga puntual q2 = −64 µC situada en el punto de coordenadas (30, 0) cm. (a) Determinar la fuerza (vector) que ejercen sobre una tercera carga Q = +1 µC situada en el punto (30, 40) cm. Completar el apartado con un dibujo del sistema que incluya la fuerza ejercida por cada carga sobre Q y la fuerza total resultante. (b) Calcular el trabajo que debemos realizar si trasladamos la carga Q desde el punto (50, 0) cm hasta situarla en el punto (30, 40) cm. Empleando ese mismo trabajo ¿hasta qué altura del suelo podr´ıamos levantar un peso de 1 kg? (Dato. k = 1/(4πε0 ) = 9 × 109 Nm2 /C 2 , g = 9, 8 m/s2 .)

2. (a) Entre los extremos de la asociación en serie de dos resistencias R 1 y R2 hay una tensión V . Deducir las expresiones correspondientes a la ca´ıda de potencial en cada una de las resistencias, V 1 y V2 , en función de los valores de V , R1 y R2 . A la vista del resultado obtenido, si V1 fuese un 60 % mayor que V2 siendo R1 = 32 Ω, ¿cuánto valdr´ıa R2 ? (b) A una asociación en paralelo de dos resistencias R1 y R2 llega una intensidad total I. Deducir las expresiones correspondientes a la intensidad que circula por cada resistencia, I 1 e I2 , en función de los valores de I, R1 y R2 . En el caso particular en el que I1 fuese un 40 % mayor que I2 siendo R1 = 200 Ω, ¿cuánto valdr´ıa R2 ? 3. (a) Deduzca la expresión del coeficiente de autoinducción de un solenoide esbelto de longitud l, con N vueltas y a´rea transversal S. (b) Partiendo de la expresión obtenida para dicho coeficiente junto con la correspondiente al campo magnético en el interior del solenoide esbelto (B = µ 0 N I/l), exprese la energ´ıa magnética almacenada en el mismo (Um = LI 2 /2) en función del campo en su interior y, de dicho resultado, obtenga la expresión para la densidad de energ´ıa magnética. 4. Sea un circuito R-L-C serie, con R = 80 Ω, L = 4 mH y C = 2, 5 µF, conectado a un generador que suministra una fuerza electromotriz alterna de valor eficaz 10 V y de frecuencia angular 5000 rad/s. (a) Calcular las tensiones eficaces entre los extremos de cada elemento y la potencia suministrada por la fuente. (b) Manteniendo fija la tensión eficaz del generador a 10 V, determinar la frecuencia angular, ω, que debemos fijar ahora en el generador para que la tensión eficaz en R sea máxima y calcular dicho valor máximo.



Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.T.I. Sistemas. Tercera Convocatoria. Curso 2010-11 Parte correspondiente al Segundo Parcial (NOTA: Los puntos (a) y (b) de las dos primeras preguntas pueden resolverse de forma independiente.)

1. (a) Realice un dibujo de una onda electromagnética armónica plana eligiendo los ejes y dirección de propagación que desee y escriba las expresiones completas de los campos eléctrico y magnético de acuerdo con la elección realizada. (b) Partiendo de las expresiones para las densidades de energ´ıa eléctrica y magnética, demuestre que una onda electromagnética transporta igual densidad de energ´ıa eléctrica que magnética. 2. (a) Se dispone de un haz de rayos X de intensidad I= 1 µW/cm2 . Sabiendo que cada fotón de dicho haz posee una energ´ıa de 10 keV, determinar la longitud de onda asociada a dichos fotones y el n´ umero de fotones que se reciben por minuto en una superficie de 2 cm2 perpendicular a dicho haz. (b) Determinar el valor del potencial acelerador, V0 , que debemos emplear para que un electrón inicialmente en reposo adquiera una velocidad tal que su longitud de onda de De Broglie sea de 1 ˚ A. (Constantes. h = 6, 63 × 10−34 J·s = 4, 144 × 10−15 eV·s; c = 3 × 108 m/s; e = 1, 6 × 10−19 C; me = 9, 1 × 10−31 kg.)

3. Indique cuáles de las afirmaciones que se exponen considera verdaderas y cuáles falsas. Para las que considere falsas, y sólo para las que considere falsas, explique brevemente por qué. 1. A temperatura de 0 K la estructura de bandas de un semiconductor intr´ınseco es similar a la de un conductor. 2. La conducción eléctrica en un semiconductor intr´ınseco es el proceso que tiene lugar cuando los electrones de la banda de valencia pasan a la de conducción debido a la agitación térmica (generando as´ı huecos en la banda de valencia), y por ello sólo puede tener lugar a temperaturas mayores de 0 K. 3. Los electrones de una banda de energ´ıa cuyos estados están todos ocupados contribuyen significativamente a la conductividad eléctrica dado el elevado n´ umero de estados existentes en una banda. 4. La conductividad de un semiconductor intr´ınseco aumenta al aumentar la temperatura, pues el n´ umero de portadores crece con la temperatura, pese a que la mayor agitación térmica dificulta el movimiento de los mismos. 4. A 300 K la concentración intr´ınseca del Si es ni = 1, 5 × 1010 cm−3 y las movilidades de los electrones y los huecos son µn = 1300 cm2 /(V·s) y µp = 500 cm2 /(V·s) respectivamente. Si a 300 K se dispone de una muestra de silicio en forma de barrita de sección transversal de a´rea 1 cm 2 dopada con una concentración de impurezas aceptoras de 1, 5 × 1014 cm−3 y asumiendo la ionización total de las mismas, ¿cuánto valdrá la corriente que circulará por la muestra al aplicar un campo de 1 V/cm?, ¿qué velocidad de arrastre (o deriva) tendrán los portadores mayoritarios?

























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Fundamentos F´ısicos de la Inform´ atica Grados en Ingenier´ıa de Software e Ingenier´ıa de Computadores. Primera Convocatoria curso 2010-11. Viernes 11 de febrero de 2011 1. (2.5 puntos) Considere el sistema formado por dos cargas que pueden considerarse puntuales: q 1 = +2 µC, situada en el punto de coordenadas (0;-3) cm, y q2 = −2 µC, situada en el punto (0; 3) cm. (a) Calcular el módulo de la fuerza que cada una ejerce sobre la otra indicando si es atractiva o repulsiva. (b) Obtener el campo eléctrico (vector) que generan en un punto cualquiera del eje x (puntos de coordenadas (x; 0) as´ı como fuerza que ejercen sobre una carga Q = +250 nC situada en el punto (4; 0) cm. Complete este apartado con un dibujo aproximado de las l´ıneas de campo en el plano de trabajo xy. (c) Determinar el potencial en los puntos del eje x. A la vista de dicho resultado, ¿qué pude decirse del eje x? (d) ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico total a través de una superficie esférica de centro el origen de coordenadas y radio 4 cm? ¿con qué valor contribuye a dicho flujo el campo creado por cada una de las cargas? (Dato. k = 1/(4 π ²0 ) = 9 × 109 Nm2 /C2 ). 2. (1.5 punto) En la figura, razonar cuál es el sentido de la corriente inducida en la resistencia R cuando: (a) la corriente i disminuye hasta hacerse cero; (b) el circuito se mueve paralelamente al cable con corriente y (c) el circuito de se mueve perpendicularmente al cable con corriente y alejándose.

3. (2.5 puntos) En el circuito representado en la figura la fuerza electromotriz suministrada por el generador es ²(t) = 70 cos(103 t) V, siendo las impedancias de los elementos las indicadas en dicha figura. Determinar: (a) los fasores I˜i y las expresiones temporales, Ii (t), y representar los fasores obtenidos en un diagrama de fasores; (b) la potencia media suministrada por el generador y las disipadas en las resistencias, verificando el balance ; (c) los valores de L y C utilizados; (d) Si se sustituye la fuente de alterna por una de continua de fuerza electromotriz ² = 15 V, calcule le intensidad de corriente que pasa por esa fuente justo después de la conexión de la misma y cuando se ha alcanzado el estado estacionario tras un tiempo muy largo.

4. (1.5 puntos) Una onda electromagnética (OEM) plana se propaga en el vac´ıo. Sabiendo que su frecuencia es de 98, 4 MHz y su amplitud de campo eléctrico es de 20 mV/m, calcular: (a) la amplitud del campo magnético; (b) la intensidad de onda (potencia media por unidad de a´rea). Datos: ² 0 = 8, 85 × 10−12 F/m , c = 3 × 108 m/s, µ0 = 4π × 10−7 H/m. 5. (2 puntos) Una muestra de semiconductor tipo n tiene una resistividad de 5 Ω · cm a una temperatura de 300 K. Determinar las concentraciones de electrones y de huecos, indicando el porcentaje de origen térmico y el porcentaje que proviene de la ionización de impurezas. Datos: µn = 1600 cm2 /V · s, µp = 600 cm2 /V · s, ni = 1, 4 × 1010 cm−3 .














Segunda Convocatoria. Fundamentos F´ısicos de la Inform´ atica. Grado en Ingenier´ıa Informática. Ingenier´ıa de Computadores, Ingenier´ıa de Software y Tecnolog´ıas Informáticas Curso 2010-11. Viernes 9 de septiembre de 2011 1. (2 puntos) (a) Con el fin de medir la resistencia eléctrica de los zapatos, el ANSI (American National Standards Institute) especifica el circuito indicado en la figura (la resistencia del cuerpo de la persona se considera despreciable). Deducir una expresión de la resistencia de los zapatos en función de la tensión V del volt´ımetro. (b) La resistencia medida para un zapato es 0.5 MΩ. En la región donde se ha efectuado la medida hay un campo magnético perpendicular al plano del dibujo y entrante en el mismo de valor B = 0,1 T. Si el cable que sostiene el hombre (correspondiente a la resitencia de 1 MΩ) tiene una longitud de 75 cm, indique la dirección y magnitud de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre dicho cable. A efectos prácticos, ¿se podr´ıa despreciar esta fuerza respecto al peso del cable? 2. (2 puntos) En el circuito de la figura, la fuerza electromotriz suministrada por el generador de corriente alterna es ε(t) = 4 cos(100πt) V (con t en segundos). (a) Determinar el valor eficaz de la intensidad que circula por el generador, as´ı como el desfase entre dicha intensidad y la fuerza electromotriz, indicando claramente cuál de ellas está adelantada respecto a la otra. (b) Calcular la potencia promedio suministrada por el generador. Sin realizar ning´ un cálculo adicional, indicar de forma razonada cuál es la potencia consumida en cada elemento del circuito. 3. (2 puntos) Una muestra de silicio a 300 K se dopa con 1014 átomos de boro (3 electrones de valencia) por cm3 . Suponiendo ionización total de las impurezas, calcular la longitud que debe tener una barrita de dicha muestra de sección 1 cm2 para que su resistencia sea 1 kΩ. Nota: Se considerará incorrecto cualquier cálculo que utilice una aproximaci´ on no justificada. Elegir cuatro de las siguientes cinco cuestiones 4. (1 punto) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lado a, como se indica en la figura. Calcular el campo eléctrico en la posición de la carga q y determinar la fuerza resultante sobre esta carga. 5. (1 punto) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lado a, como se indica en la figura. Si la carga q se deja libre, y su masa es m, determinar la velocidad máxima que adquirir´ıa y dónde alcanzar´ıa esta velocidad. 6. (1 punto) Si el campo eléctrico es nulo en una región del espacio, ¿podemos afirmar que también es nulo el potencial eléctrico? ¿El trabajo necesario para mover una carga en esa región será positivo, negativo o nulo? Justificar las respuestas. 7. (1 punto) Una espira circular es recorrida por una intensidad I que aumenta con el tiempo y, en sus proximidades, se coloca otra espira igual, paralela a la anterior y coaxial con ella. En función del sentido de la intensidad que recorre la primera espira, indicar el sentido de la intensidad inducida en la segunda espira, realizando un dibujo ilustrativo. Justificar razonadamente todas las respuestas. 8. (1 punto) Una onda plana armónica, cuyo campo magnético tiene una amplitud de 3,3 × 10−6 T, incide perpendicularmente durante 10 minutos sobre una pared rectangular de 20 m de largo y 5 m de ancho. Calcular la cantidad de energ´ıa que incide durante esos 10 minutos.

~ Datos: K = 1/4π0 = 9 × 109 N·m2 /C2 , µ0 = 4π × 10−7 T·m/A, c = 3 × 108 m/s. Para el silicio a 300 K ni = 1,5 × 1010 cm−3 , µn = 1300 cm2 /(V · s), µp = 500 cm2 /(V · s), e = 1,6 × 10−19 C.

















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Apellidos, Nombre: Fundamentos F´ısicos de la Inform´ atica. Grado en Ingenier´ıa Inform´ atica - Ingenier´ıa del Software. Primera convocatoria oficial curso 2011-2012 (07/02/2012).

Al realizar el examen tenga en cuenta lo siguiente: Ponga su nombre en TODAS las hojas. No se corregirán las hojas que no lleven nombre. Esta hoja también debe entregarse. No se corregirá ning´ un examen (o parte de él) que esté escrito a lápiz. Escriba correctamente, evitando en particular el uso de abreviaturas incorrectas. Esto no es un teléfono m´ ovil. Responda de forma clara y concisa. Recuerde hacer los esquemas pertinentes y no olvide las unidades y, en su caso, el carácter vectorial de las magnitudes. Constantes f´ısicas: K =

1 4πε0

= 9×109 Nm2 /C2 , c = 3×108 m/s, ε0 = 8,854×10−12 F/m, µ0 = 4π×10−7 H/m. PARTE I: TEMAS 1, 2 y 3.

1. (0,75 puntos) Un condensador de capacidad C tiene carga Q. Si se duplica su carga, ¿cu´ anto valdrá su capacidad? Razonar la respuesta. 2. (0,75 puntos) ¿Puede un campo magnetostático cambiar la energ´ıa cinética de una part´ıcula cargada? Razonar la respuesta. 3. (1,5 puntos) Se dispone de dos bombillas idénticas. Al conectar una de ellas a una bater´ıa de 12 V, se observa que consume una potencia de 50 W. Si se conectan ambas bombillas en serie a dicha bater´ıa, ¿cu´ anta potencia consumirá cada una de ellas? ¿Y si se conectan en paralelo? 4. (4 puntos) Dos cargas iguales positivas, cada una de valor +q, est´ an fijas en los puntos (−a,0) y (a,0), respectivamente. a) Obtener la expresión del campo eléctrico y del potencial creado en un punto cualquiera del eje y. b) Determinar el trabajo que debemos realizar para desplazar una carga negativa −Q desde el origen de coordenadas hasta el punto (0,b). c) Aproxime las expresiones del campo y el potencial obtenidas en el apartado (a) para puntos lejanos de las cargas, esto es, para y ≫ a. Compare los resultados obtenidos con los correspondientes a una carga de valor +2 q situada en el punto medio entre las cargas, realizando los comentarios oportunos. 5. (3 puntos) Dos hilos conductores rectil´ıneos, que se pueden considerar infinitos, son paralelos al eje z y se encuentran separados una distancia D1 = 20 cm (véase dibujo). Por los hilos pasan sendas corrientes de intensidades I1 = 2 A e I2 = 3 A en sentidos opuestos, tal y como indica el dibujo. ~ creado por estas corrientes en el punto P situado sobre el eje a) Calcule el vector campo magnético, B, x a una distancia D2 = 15 cm a la derecha del conductor recorrido por I2 (véase el dibujo). b) ¿Existe alg´ un punto del eje x en el cual el campo magnético sea nulo? En caso afirmativo, calcule su posición. c) Supongamos ahora que a los dos conductores se a˜ nade un tercer conductor rectil´ıneo infinito paralelo a los anteriores y que pasa por el punto P . La corriente en este conductor lleva el mismo sentido que la corriente I2 y vale I3 = 4 A. Calcule el vector fuerza magnética por unidad de longitud que sufre este tercer conductor.

y I2

I1 D1

P

x

D2

IMPORTANTE: ¡Sigue por la otra cara!


PARTE II: TEMAS 4, 5 y 6. 6. (3 puntos) Una espira cuadrada de lado l = 10 cm y resistencia R = 5 Ω se introduce a velocidad ~v = 2 m/s~i ~ = 0,25 T ~k, tal como se muestra en en la zona x > 0, en la que existe un campo magnético uniforme de B la figura. a) Tomando t = 0 en el momento en que la espira comienza a entrar, determinar para cualquier instante el flujo magnético que la atraviesa y la fuerza electromotriz inducida en la misma, as´ı como la corriente inducida (indicando razonadamente su sentido). b) Mantenemos ahora fija la espira dentro de la zona de campo magnético y hacemos que el campo magnético aumente su módulo en 5 mT/s partiendo del valor inicial de 0,25 T. Determinar de nuevo el flujo, la fuerza electromotriz inducida y la intensidad (indicando razonadamente su sentido).

7. (4 puntos) Por una asociaci´ on en serie R-L circula una corriente alterna de frecuencia 955 Hz. La resistencia utilizada es de 80 Ω. Utilizando un pol´ımetro se mide un voltaje eficaz de 8 V en la resistencia y de 6 V en la bobina. a) Obtener el valor eficaz de la intensidad, la potencia media consumida en la asociaci´ on y el valor del coeficiente de autoinducci´ on de la bobina. ¿Cuánto vale la potencia media consumida en la bobina? b) Eligiendo fase cero para la intensidad, obtener los fasores correspondientes a los voltajes en la resistencia y en la bobina. A partir de estos fasores, determinar el fasor asociado al voltaje entre los extremos de la asociaci´ on y el valor eficaz de dicho voltaje.√Representar los tres fasores voltaje en un diagrama. (Nota: Para facilitar los resultados, deje el factor 2 indicado, no opere con él).

8. (3 puntos) Una onda electromagnética armónica plana que se propaga en el vac´ıo tiene frecuencia 1,5 GHz y la amplitud de su campo magnético es 4 nT. a) Calcule la longitud de onda, la amplitud de su campo eléctrico y la intensidad promedio de la onda. ~ y B, ~ en funci´ b) Escriba la expresión completa de los vectores campo eléctrico y magnético, E on de la posición y del tiempo. Elija para ello los ejes de coordenadas de la forma que crea más conveniente y realice un dibujo esquem´ atico de la onda. c) Se dispone de una placa fotosensible con una superficie plana de 10 cm2 situada perpendicularmente a la direcci´ on de propagación. ¿Cuál es la potencia media que incide sobre dicha placa? Si la placa absorbe el 50 % de la energ´ıa incidente, ¿cu´ anta energ´ıa habr´ a absorbido en una hora?













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2

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3

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2

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3

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1

2

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R1=20 kW C=5mF R3=30 kW R2=40 kW e1=1V

y

a=12 cm x

e3=3V e2=2V

I2 =5A

I1 =15A

d=2 cm Problema 5

R4=45 kW R5=90 kW Problema 4

b=8 cm









Fundamentos F´ısicos de la inform´ atica I.I. Tecnolog´ıas Informáticas. Curso 2011-12. Examem Priemra Convocatoria. 21 de junio de 2012. 1. (2 puntos) Dos cargas de igual valor y signo, q1 y q2 , se encuentran sobre el eje x en los puntos (-a/2,0) y (a/2,0) respectivamente. (a) Determinar la fuerza (vector) que ejercen sobre una tercera carga q 3 , de igual valor y signo que ellas, situada en la parte positiva del eje y en una posición tal que las tres cargas forman un triángulo equilátero de lado a. (b) Obtener el valor del trabajo que debemos realizar (trabajo externo) para desplazar q 3 desde el punto indicado en el apartado anterior hasta el punto medio entre q 1 y q2 (origen de coordenadas). 2. (2 puntos) Un protón (q = 1, 6 × 10−19 C, mp = 1, 67 × 10−27 kg) entra a velocidad v = 2 Mm/s dirigida en sentido positivo del eje x en una zona donde existen un campo magnético uniforme de 50 mT en sentido positivo del eje z y un campo eléctrico uniforme. (a) Determinar el valor del campo eléctrico, su dirección y sentido para que el electrón realize un movimiento rectil´ıneo uniforme. (b) Si sólo existiese el campo magnético el protón realizar´ıa un trayectoria circular. Hacer un dibujo de la misma indicando la fuerza que act´ ua sobre el protón y calcular tiempo empleado en girar 60o 3. (2 puntos) Una espira rectangular de a´rea S que se mueve a velocidad constante hacia la derecha penetra en un campo magnético de módulo B dirigido hacia el lector seg´ un se indica en la figura. Llamemos: t = 0 al instante en el que comienza a entrar en la zona de campo; t = t1 al instante en que acaba de entrar del todo, t = t2 al instante en que comienza a salir y t = t3 al instante en que acaba de salir por completo. (a) Hacer una gráfica del valor del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo, Φ(t). (b) A la vista del comportamiento obtenido para el flujo, indicar utilizando la ley de Lenz el sentido de la intensidad inducida en los intervalos de tiempo antes indicados.

B zona de campo 4. (4 puntos) En el circuito de la figura la tensión en el generador es E(t) = 5 cos(10 4 t) V. (a) Determinar la impedancia ZAB desde los terminales A-B. (b) Obtener los fasores intensidad en cada rama, Iei , y sus correspondientes expresiones instantáneas Ii (t). Representar los fasores obtenidos en un diagrama. (c) Calcular la potencia media consumida en el circuito. (d) Se sustituye ahora el generador de alterna por una fuente de continua de 5V, determinar la intensidad que circula por la fuente en el instante inicial de conexión (t = 0) y una vez alcanzado el estado estacionario. ¿Qué energ´ıas se almacenan en la bobina y en el condensador en estado estacionario?

A 2,5mH

I1 5

I3

I2

50 W

2 mF B No se corregir´ a ning´ un examen realizado a l´ apiz










Enlaces de interés

Complementos de física: http://departamento.us.es/dfisap1/cf/index.htm Fundamentos Físicos de Informática: http://departamento.us.es/dfisap1/ffi/index.htm Vídeos de ondas: http://www.youtube.com/watch?v=4BoeATJk7dg&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=aKZxZpuqTUs&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=CRKyxTTkG7E&feature=related

FFI - Fundamentos Físicos de la Informática-1.pdf

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