UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTACIA – UNAD UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingenierías (ECBTI)
SEÑALES Y SISTEMAS
Fase 1. Aprendizaje basado en problemas aplicado a la Unidad 1.
Tutor: OSCAR IVAN VALDERRAMA
Grupo: 203042-35
Presentado por: JOSE JAVIER DIAZ CAICEDO Cc: 16832619
Agosto de 2017
INTRODUCCION Con el desarrollo del presente trabajo colaborativo desarrollaremos las diferentes aplicaciones basadas en la modificación de la variable independiente, es decir, la variable temporal. Estas aplicaciones son comunes en reproductores de audio y video; y muy usados en la compresión de estos archivos. Particularmente, en esta actividad se aplicarán operaciones de desplazamiento, compresión, expansión y la amplificación de señales tanto continuas como discretas, a las que se le determinará la energía de la señal resultante.
OBJETIVOS
Lograr que el estudiante desarrolle las diferentes operaciones sobre la variable temporal de señales analógicas. Desarrollar y aplicar operaciones sobre las variables temporales de las señales discretas. Determinar la respuesta al escalón de sistemas continuos modelados por las diferentes ecuaciones. Estudiar e interpretar los temas de la unidad1 e identificar cada una de las características de las señales y sus diferentes operaciones entre ellas
Problema 1 Luis Armando Erazo 1. Teniendo en cuenta el capítulo de operaciones sobre señales continuas estudiando en el libro de (Ambardar), para la señal de x(t) de la figura obtenga las siguientes señales de forma gráfica (teórica), y posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script de Matlab u octave (Parte Práctica, véase nota aclaratoria al final de esta sección): a. b. c.
3 0.5
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso.
35 ⇒ 5, :15813115 ⇒ 5
Desarrollo: Punto a
Debido a que la señal que:
La señal
tiene simetría par, cumple que
se desplaza cinco unidades a la derecha:
Se invierte en amplitud la señal
5 5
5 5 :
, por lo tanto, se tiene
Punto b Graficamos x (t)
Aplicamos a la señal tiempo:
Por último, Desplazamos
Punto c
la transformación
0,6
5
, que es equivalente a una compresión en
décimas a la derecha la señal
. .
5
(Ítem individual)
0.5
Al igual que el ejercicio anterior, se realiza la transformación , que equivale a una expansión en el tiempo debido a que la variable independiente es multiplicada por un número entre 0 y 1
0.5 0.5 5 0.5 0.55 (0.5 10) Por último, se desplaza la señal
diez unidades a la derecha
%Código comprobación ejercicios a=5 b=5 t= [-1,-1, 0, 1,1]; x= [0, 4, 3, 4,0]; x1= [-2 7]; y1= [0 4.5]; Subplot (4, 1,1) Plot (t, x,’b’,’LineWidth’, 2) Title (‘x (t)’) Axis ([x1 y1]) Grid on; Subplot (4, 1, 2) Plot (t+a,-x,’b’,’LineWidth’, 2) Title ([‘y (t) =-x (-t+’, num2str (a),’)’]) Axis ([x1 -4.5 0]) Grid on; Subplot (4, 1, 3) Plot (1/a*(t+3), x,’b’,’LineWidth’, 2) Title ([‘s (t) =x (‘, num2str (a),’t-3)’]) Axis ([-1 2 y1]) Grid on; Subplot (4, 1, 4) Plot (2*(t+b), x,’b’,’LineWidth’, 2) Title ([‘m (t) =x (0.5t-‘, num2str (b),’)’]) Axis ([[x1(1) +b 2*b+3] y1]) Grid on;
Problema1 José Javier Diaz Caicedo 1 Teniendo en cuenta el capítulo de operaciones sobre señales continuas estudiando en el libro de (Ambardar), para la señal de x(t) de la figura obtenga las siguientes señales de forma gráfica (teórica), y posteriormente verifique sus respuestas diseñando un script de Matlab u octave (Parte Práctica, véase nota aclaratoria al final de esta sección):
3 0.5
d.
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso.
35 ⇒ 5, :16832619 ⇒ 9
Rpta: a.
Debido a que la señal , por lo tanto se tiene que:
cumple que
tiene simetría par,
x(-t)
4 3 2 1 0 -2
Luego, la señal
-1
0
1
2
3
4
se desplaza cinco unidades a la derecha: x(-t+5)=x(-(t-5))
5
6
7
5 5
4 3 2 1 0 -2
-1
0
1
2
Finalmente, se invierte en amplitud la señal
3
4
5
6
7
5 5 :
y(t)=-x(-t+5) 0 -1 -2 -3 -4 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x(t)
4 3 2 1 0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Primero a la señal se le aplica la transformación compresión en tiempo:
1
5
1.5
2
, que es equivalente a una
x(5t) 4 3 2 1 0 -2
-1.5
Finalmente, se desplaza
-1
0,6
-0.5
0
0.5
1
décimas a la derecha la señal
1.5
2
1.5
2
5
s(t)=x(5t-3)=x(5(t-3/5)) 4 3 2 1 0 -2
b.
-1.5
-1
-0.5
. .
0
0.5
1
(ítem individual) x(t)
4 3 2 1 0
-2
0
2
4
6
8
0.5
10
Al igual que el ejercicio anterior, se realiza la transformación , que equivale a una expansión en el tiempo debido a que la variable independiente es multiplicada por un número entre 0 y 1
x(0.5t) 4 3 2 1 0
-2
0
2
4
6
8
0. 5 0.5 9 0.5 . (0.5 18) Finalmente, se desplaza la señal
dieciocho unidades a la derecha
10
x(0.5t) 4 3 2 1 0
-2
0
2
4
6
8
10
Script en MATLAB® para verificar los anteriores resultados Clc; Clear all; Close all; a=5 b=9 t= [-1,-1, 0, 1,1]; x= [0, 4, 3, 4,0]; X 1= [-2 7]; y1= [0 4.5]; Subplot (4, 1,1) Plot (t, x,'b','LineWidth', 2) Title (‘x (t)') Axis ([x1 y1]) Grid on; Subplot (4, 1, 2) Plot (t+a,-x,'b','LineWidth', 2) Title ([‘y (t) =-x (-t+', num2str (a),')']) Axis ([x1 -4.5 0]) Grid on; Subplot (4, 1, 3) Plot (1/a*(t+3), x,'b','LineWidth', 2) Title ([‘s (t) =x (', num2str (a),'t-3)']) Axis ([-1 2 y1]) Grid on; Subplot (4, 1, 4) Plot (2*(t+b), x,'b','LineWidth', 2) Title ([‘m (t) =x (0.5t-', num2str (b),')']) Axis ([[x1(1) +b 2*b+3] y1]) Grid on; Resultados obtenidos con el script de MATLAB®
x(t) 4 3 2 1 0 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4
5
6
7
y(t)=-x(-t+5) 0 -1 -2 -3 -4 -2
-1
0
1
2
3
s(t)=x(5t-3) 4 3 2 1 0 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
m(t)=x(0.5t-9) 4 3 2 1 0
8
10
12
14
16
18
20
Problema 2 Luis armando Erazo 2. Teniendo en cuenta el capítulo de operaciones sobre señales discretas estudiando en el libro de (Ambardar), y que dibuje las siguientes señales y determine su energía, :
{2,4,5̌,1}
a. b. c.
3 . 3
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso.
5, 5
Desarrollo de la actividad Punto a
Desplazamos 5 unidades hacia la derecha
[] ∑=|| |2| |4| |5| |1| 46
Por lo tanto
Punto b
Señal x[n]
Reflejamos la señal con respecto al eje vertical
Desplazamos 5 unidades a la izquierda
Finalmente, la señal anterior es diezmada, es decir, la señal se comprime por un valor de 3, particularmente en la señal anterior la muestra y al comprimirlas en 3 aparecerían en, y
4 5
Punto c
[] ∑−=−|| |1| |2| 5 ∙ 3 5∙ 3
a. Grafica
de
x[n]
Invertimos la señal
la señal invertida se desplazará 3 unidades hacia la derecha
Por último, la amplitud de la señal se amplifica por 5, es decir, que cada valor de cada una de las muestras se multiplica por 5.
[] ∑=|| || || || ||
Problema2 José Javier Diaz Caicedo
2 Teniendo en cuenta el capítulo de operaciones sobre señales discretas estudiando en el libro de (Ambardar), y que dibuje las siguientes señales y determine su energía, a. b. c.
{2,4,5̌,1} 3 . 3
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=3, o b=3 según sea el caso.
b.
5, 9
x[n]
4
2
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
Se aplica un desplazamiento de 5 unidades hacia la derecha y[n]=x[n-5]
4
2
0 -3
-2
-1
0
1
2
[] ∑=|| |2| |4| |5| |1| 46
c.
x[n]
4
2
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Se refleja la señal con respecto al eje vertical, aunque en algunos libros recomiendan primero desplazar, en el desarrollo particular primero se invertirá la señal teniendo en cuenta en operaciones posteriores que primero se realizó la inversión x[-n]
4
2
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Como la señal se reflejó, se debe factorizar el signo menos, ya que primero se invirtió la señala: , cualquiera de las dos operaciones sobre la variable independiente es válida, es decir: Para , primero se desplaza la señal 5 unidades hacia la derecha y luego se invierte o su equivalente , en la cual a la señal invertida, se desplaza 5 unidades hacia la izquierda
5 5
5
5
x[-n-5]=x[-(n+5)]
4
2
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Finalmente, la señal anterior es diezmada, es decir, la señal se comprime por un valor de 3, particularmente en la señal anterior la muestra y al comprimirlas en 3 aparecerían en, y , pero teniendo en cuenta que una señal discreta solo está definida para valores discretos de n, sencillamente, estas muestras se quitan. Por otro lado, las muestras y , al ser comprimidas en 3, estas aparecerán en y respectivamente
4 5 3 6 1 2
z[n]=x[-3n-5]
4
2
0 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
− [] =− || |1| |2| 5 d.
∙ 3 9∙ 3 x[n]
4 2 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
A continuación, primero se invierte la señal x[-n]
4 2 0 -3
-2
-1
0
1
Luego, se factoriza el signo menos que indica que se realizará la siguiente operación sobre la señal invertida , por lo tanto, la señal invertida se desplazará 3 unidades hacia la derecha
3 3 x[-n+3]=x[-(n-3)]
4 2 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Finalmente, la amplitud de la señal se amplifica por 9, es decir, que cada valor de cada una de las muestras se multiplica por 9.
6
z[n]=9x[-n+3]=9x[-(n-3)] 40 30 20 10 0 -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
[] =|| |9| |45| |36| |18| 3726 Problema 3 Luis armando Erazo 3 Usando como guía los ejemplos 4.9 de las páginas 83 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Respuesta al impulso en sistemas analógicos) y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al escalón del siguiente sistema: (Ítem grupal)
̈ 10̇
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=3. Nota: Tenga en cuenta que la respuesta al escalón es la integral de la respuesta al impulso.
̈ 10̇ 5 10 5 0 0 −±√ − 1 Desarrollo de la actividad
Calculamos respuesta al impulso, primeramente.
Ecuación característica
Calculo de las raíces Hacemos uso de la forma cuadradita donde:
Reemplazamos en (1)
−− − −− √ 2√ 5 5 9.47 2√ 5 5 0.52 −+ − −+√ ℎ −. −. ℎ0 0 ℎ ̇0 1 ℎ0 0 1 ℎ ̇ 9.47−. 0.52−. ℎ0 9.47 0.52 1 1 2 Raíz 1 Raíz 2
La respuesta natural es Por lo tanto
0.11 0.11
ℎ 0.11−. 0.11−. ∫ 0.11−. 0.11−. 0.011−. 0.21−. 0.011−. 0.21−. Por lo tanto, la respuesta al impulso está dada por:
Teniendo en cuenta que la respuesta al escalón es la integral de la respuesta al impulso.
Por lo tanto
Problema3 José Javier Diaz Caicedo
3Usando como guía los ejemplos 4.9 de las páginas 83 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Respuesta al impulso en sistemas analógicos) y la tabla 4.1 que caracteriza los tipos de salida de los sistemas LTI analógicos, determine la respuesta al escalón del siguiente sistema:
̈ 10̇
(Ítem grupal)
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=3. Nota: Tenga en cuenta que la respuesta al escalón es la integral de la respuesta al impulso.
5 ̈ 10̇ 5 10 5 0 0.53, 9.47 ℎ −. −. ℎ0 0 ℎ′ 0 1 ℎ0 0 ℎ0 0.53 9.47 1 0.112, 0.112 ℎ 0.112−. 0.112−. ∫−∞ ℎ ∫−∞ 0.112−. 0.112−. ∫0.112−. 0.112−. 0.211−. 0.012−.—0.211−, 0.012−. −. 0.012 −. 0. 2 11 0.199 Por lo tanto:
La ecuación característica de la ecuación diferencial es Cuyas raíces son
De donde se obtiene que la respuesta natural del sistema ante una entrada impulso unitario es Con
y
, se obtiene
Del anterior sistema de ecuaciones se obtiene que Entonces
Teniendo en cuenta que la respuesta al escalón es la integral de la respuesta al impulso
Finalmente, la respuesta al escalón es
CONCLUSIONES Al sumar un valor a la variable temporal, la señal sea discreta o continua, sufre un desplazamiento de atraso de dicho valor, de manera análoga, si se le resta el valor, la señal se adelanta.
Bibliografía
Ambardar, A. (s.f.). Procesamiento de señales analógicas y digitales. Michigan Technological University: segunda edicion. Señales Analógicas. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 8). Mexico City: Cengage Learning. Objeto Virtual de información Unidad 1_1. (2016). Valderrama F, Curso de Señales y Sistemas. Duitama: Universidad Nacional Abierta y a Distancia
