T 1 =
O1 A + AO2 c
2
=
2 L
+ (v2 / %)T 12
(5-16)
c
e la ecuación (!1Q" L =
c 2
T 1 1 −
v2 c2
=
c 2
T 2
Xue se simpliica a T 1
=
T 2
(5-1)
1 − (v 2 / c 2 )
el mismo resultado, obtenido por aplicación directa de las transormaciones de %orent/. Consideremos a+ora la noción gemela de la con tracción de la longitud. Cuando # ) coincide con # 1, se env0a un pulso de lu/ desde el origen com&n +acia - 1, que esta a la distancia % 1 seg&n la mide el observador ) %a lu/ es relejada por el espejo - 1 y regresa a ) Como antes, :1 y :) son los tiempos respectivos medidos para el viaje redondo de la lu/ por los observadores 1 y ), respectivamente. +ora bien, para el viaje redondo ) -1 ). T 2 = 2 L2 / c
(5-1!)
+ora, si t1 es el tiempo de viaje de ) a -1 medido por el observador 1, la igura ! !(b" muestra que ct 1
= vt 1 + L1
(5-2")
donde %1 es la distancia de 1 a ), medida desde # 1. #i el tiempo de viaje de - 1 a ) medido por 1 es t), entonces ct 2
= L1 − vt 2
(5-21)
Por lo tanto, en base a las ecuaciones (!)" y (!)1" T 1 = t 1 + t 2
=
L1 c −v
+
L2 c+v
=
1 L1 / c 1 − (v / c ) 2
2
(5-22)
y las ecuaciones (!1 D" y (!))" dan entonces T 1 T 2
=
(2 L1 / c)(1 − (v 2 / c 2 )) 2 L2 / c
1 = L1 2 2 L2 1 − (v / c )
(5-23)
e acuerdo con la dilatación del tiempo T 1 T 2
=
1 − (v 2 / c 2 ) 1
con lo cual la ecuación (!)2" toma la orma 1 1 − (v 2 / c 2 )
=
1 L2 1 − (v 2 / c 2 ) L1
y inalmente tenemos L1
= L2
1−
v2 c
2
que es la órmula para la contracción de la longitud. 5-4 SOLUCIÓN DE EINSTEIN AL CONFLICTO Para un montaje e$perimental como el de -ic+elson-orley (igura 61" se encontró que los tiempos de viaje redondo para la lu/ eran, para el viaje -- 1-. t //
=
2 L / c 1 − (c 2 / v 2 )
(5-
25) y para el viaje -- )t &
=
2 L / c 1 − (c 2 / v 2 )
(5-26)
donde % 3 -- 1 3 --) , la distancia de - a los espejos es - 1 y -) medida por un observador terrestre. Evidentemente, entonces,
Por lo tanto, de acuerdo con el enoque >alileano,
Por otro lado, los resultados e$perimentales dieron la relación
#e sugirió como e$plicación posible para este resultado e$perimental que la invariancia de la velocidad de la lu/ con respecto al movimiento del observador. Como ya +emos visto, esta necesidad de rec+a/ar la composición >alileana o clásica de las velocidades, ue di0cil de aceptar para muc+os 0sicos, ya que era un principio considerado en ese tiempo como un dogma en la 0sica. e los varios intentos reali/ados para no violarlas ideas de la 0sica clásica, >. ?. ?it/gerald propuso una ingeniosa solución. #ugirió que todos los objetos que se mueven a trav*s del *ter e$perimentan una contracción real a lo largo de la dirección de movimiento y que la longitud contra0da, % movimiento está dada por Lmovimiento = L 1 −
v2 c2
donde % 3 % reposo es la longitud del mismo objeto cuando está en reposo con respecto al *ter (el sistema de reerencia # 1 en el e$perimento de -ic+elson-orley". Por lo tanto, si % se rempla/a por % movimiento en la ecuación (!)!", t ll
=
2 2 2 L 1 − (v / c ) / c
1 − (v / c ) 2
2
=
2 L / c 1 − (v / c ) 2
2
y por lo tanto t ll t & , lo que concuerda con el e$perimento. %a contracción no puede ser detectada por el observador ) (el observador terrestre", quien viaja con el objeto, porque su barra de medir tambi*n se contrae en la misma ra/ón. %a solución de Einstein al problema ue rec+a/ar el principio clásico de composición de velocidades y suponer como resultado valido que la velocidad de la lu/ es invariante con respecto al movimiento del observador. Esta conclusión condujo, como ya +emos mostrado antes, a las transormaciones de %orent/ y a la conclusión inmediata de la contracción de longitud y de la dilatación del tiempo. Es importante destacar que la contracción de la longitud no es real sino una contracción en la G%ongitud medidaH, la &nica longitud que puede ser discutida. Mo debemos usar las palabras GobservarH y GverH descuidadamente. El acto de GverH un objeto implica la cantidad inita de tiempo requerida para el transito de la lu/. Y0ctor Zeiss[opR muestra que un objeto muy distante movi*ndose s velocidades relativistas no aparecerá distorsionado en su orma, pero parecerá +aber rotado un poco uera de la posición que ocupaba cuando estaba en reposo. %a solución dada por Einstein +a probado ser válida, y muc+a evidencia e$perimental apoya su teor0a. Por lo tanto, de acuerdo con su interpretación'
1. %as transormaciones >alileanas deben rec+a/arse y considerarse como una apro$imación inválida cuando v/c '1 ). eben considerarse válidas las transormaciones de %orent/ (de acuerdo con los resultados del e$perimento de -ic+elson-orley". 2. El postulado de la e$istencia del G*terH se rec+a/a como innecesario. 6. #e rec+a/an los conceptos de un espacio y un tiempo absolutos. El espacio y el tiempo se consideran dependientes del marco de reerencia o, en otras palabras, son relativos. En 1D! Einstein dio un paso más adelante y estableció el principio especial de la relatividad en la siguiente orma' :odas las leyes de la 0sica deben ser iguales para todos los marcos inerciales que se mueven entre s0 con movimiento (traslacional uniorme (velocidad constante". Mos damos cuenta de que esto implica que las leyes de la dinámica permanecerán invariantes o tendrán la misma orma cuando son reeridas a dierentes marcos inerciales de reerencia. Este principio puede considerarse como el punto de partida de la teor0a especial de la relatividad. emos visto que los metros son más largos y los relojes andan más rápido cuando son vistos desde sus propios marcos de reposo. Estas declaraciones deben ser rectiicadas de dos ormas. En una, serán ampliamente generali/adas y en la otra restringidas severamente. Primero generali/amos estableciendo que los GobservadoresH usados en los varios marcos de reerencia no necesitan ser personas, ni animales u otros seres vivientes. %os eectos que se +an encontrado aqu0 aectan a cualquier objeto en la naturale/a, desde los más grandes +asta los más pequeños. e alguna orma, toda part0cula tiene dentro de s0 la Gbarra para medirH y el GrelojH de los que +emos estado +ablando. :al ve/ la propiedad llamada longitud y la llamada tiempo \ propiedades que decrecen o se dilatan a medida que e$perimentamos el movimiento \ son realmente una propiedad del espacio (o espacio \ tiempo" mismo, en el cual se encuentra toda la naturale/a observable. +ora restrinjamos esta declaración muy severamente. #e +a escogido a # ) para representar en general cualquier marco que se mueve con respecto a # 1 . #iempre se +a supuesto que el vector de velocidad relativa v es constante en la dirección y en el tiempo. %os resultados no se mantienen necesariamente cuando la velocidad está cambiando] en tal caso, no debe +aber aceleración. 9El movimiento debe ser constante y lineal; Esta condición raramente se encuentra, si alguna ve/, en el mundo real. Puede ser casi encontrada en pequeñas regiones del espacio por cortos intervalos de tiempo, as0 que la teor0a solamente constituye una apro$imación. :oma el t0tulo de teor0a restringida o especial de la relatividad. El mundo real contiene desde luego. aceleraciones y trayectorias curvas, y casi en cualquier parte se encuentran uer/as cambiantes. El problema de obtener una sola descripción uniicada del mundo real, con sus muc+as clases de uer/as, sus aceleraciones, y su variedad de part0culas, sigue siendo un problema insoluto a&n +oy. Es el problema que estudia la relatividad general. PRO+LEMAS
5-1 Ina barra r0gida, de 1 m de largo, es medida por dos observadores, uno en reposo con respecto a la barra y el segundo movindose con respecto al primero a lo largo de la longitud de la barra. V qu* velocidad debe moverse el observador para observar la barra contra0da a .DDD m y .! mW 5-2 etermine las dimensiones y orma de una placa de 1m cuadrado que se mueve alejándose de un observador en l0nea recta a lo largo de su base, a la velocidad relativa de . c . Compare el área de la placa cuando está en reposo con el área medida cuando está en movimiento. 5-3 Ina barra de 1 m que se mueve paralelamente a su longitud es medida cuando su velocidad es .D c. Cuál es la longitud de esta barra comparada con su longitud de reposoW 5-4 Ina estación de radar situada en la tierra observa una nave espacial , que viaja a la velocidad de . c , perseguida por una segunda nave 8, situada a 1. m de la primera. y que se despla/a a la velocidad de .D c VCuánto tiempo le lleva a la nave 8 alcan/ar a la nave seg&n el reloj de 8W V#eg&n la estación de radarW 5-5 In p*ndulo GsegunderoH necesita dos segundos para completar un ciclo (1 seg. para oscilar en cada dirección". VCuál será el per0odo de este p*ndulo medido por un observador que viaja a la velocidad de . c W 5-6 VXu* tan rápido tendr0a que viajar una nave para que un intervalo de 1 año medido por un observador en la nave sea de ) años medido por un observador terrestre estacionarioW 5-, In pasajero viaja en un tren que se mueve a la velocidad de .N! c . Cuando el tren pasa rente a la plataorma de una estación, un dependiente levanta un reloj y despu*s lo deja. #i el pasajero observa que el dependiente sostuvo el reloj durante . seg. Vqu* tanto tiempo piensa el dependiente +aberlo sostenidoW 5- %a vida media de un mesón p0 cargado, medida en reposo es de ).QR1 seg. #i la part0cula viaja a la velocidad de .D c con respecto a la tierra, Vcuál será su vida media medida por un observador terrestreW 5-! %a distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de 1 años lu/. #uponiendo que el tiempo de vida de una persona es de N años, Va qu* velocidad debe viajar para llegar a la estrella en su tiempo de vidaW 5-1" In astrónomo coninado a la tierra observa un objeto brillante en el +emiserio septentrional, a ) años lu/ de distancia y apro$imándose a la tierra a la velocidad de . c . #uponga que la tierra es un sistema inercial estacionario y calcule (*) el tiempo requerido para que el objeto alcance la tierra seg&n el astrónomo] () el tiempo seg&n un astrónomo que viaja con el objeto] y (.) la distancia a la tierra seg&n el astrónomo que viaja con el objeto. 5-11 Ina barra r0gida +ace un ángulo J 3 2N^ con respecto al eje $ ) . V qu* velocidad debe moverse la barra paralelamente al eje $ 1 para que pare/can ormar un ángulo J 136!KW 5-12 -uestre que el volumen de un cubo que se mueve a la velocidad y en la dirección paralela a uno de los bordes es
V = V 0 1 −
v
2
c
2
donde Y es el volumen en reposo. 5-13 In astrónomo dispara un láser pulsante, y 1.2 seg. despu*s el pulso llega a la luna situada a una distancia de 2DR1 m. In observador que viaja en la misma dirección del pulso ve los dos eventos (o sea, el disparo y la llegada a la luna" como un solo evento. VCuál es la velocidad de este observadorW
CAPITULO 6 MEC/NICA RELATIVISTA 601 MASA % MOMENTO %os postulados de Einstein sobre la relatividad or/aron a los 0sicos a revaluar sus conceptos de la mecánica. %as e$presiones clásicas para el momento y la energ0a deben a+ora ser rempla/adas con e$presiones relativistas antes de ser convertidas en leyes de conservación del momento y de conservación de la energ0a. En cierto sentido, la acilidad con que las e$presiones relativistas encajan en las leyes de conservación es un tributo a la gran generalidad de estas leyes de la 0sica. e acuerdo con la mecánica clásica, el momento lineal de un cuerpo con masa inercial m y velocidad v se deine por la ecuación p = mv
(6-1)
En el Cap0tulo ) aprendimos que la ley de conservación del momento lineal para un sistema aislado de part0culas se presentó como la ley más undamental de la 0sica. Para un sistema aislado de part0culas m 1, m),. . . mn sobre el cual no act&an uer/as, el sistema evolucionará en el espacio y en el tiempo de tal orma que
∑m v
1 1
1
= m1v1 + m2v2 + ...
= cons tan te
(6-2)
Esta ley de conservación e$presada por la ecuación (Q)" es una consecuencia de la +omogeneidad del espacio en el cual parece estar ubicada toda la naturale/a. Cuando se observa una colisión desde dierentes marcos de reerencia en movimiento, no +ay ra/ón para esperar que el espacio se vuelva s&bitamente no +omog*neo. +ora debemos averiguar cómo se mantiene la ecuación (Q)" bajo tal transormaciones de %orent/, para sistemas coordenados en movimiento. nticipando las complicaciones que pueden aparecer con respecto a la masa cuando se eect&an las transormaciones del %orent/, asignaremos el s0mbolo m a la masa. %a masa m es la masa medida para un cuerpo en reposo en nuestro marco de reerencia y se conoce7 como masa de reposo del cuerpo. Considere dos eseras id*nticas y perectamente j elásticas cada una, con masa de reposo m en un j sistema en movimiento # ) (igura Q1". En este sistema en movimiento #), las eseras y 8 mueven a las velocidades respectivas v A2
= V
(6-
3) v B2
= −V
:ales que las eseras tendrán una colisión de rente. Becordando la ecuación para la transormación de velocidades, la transormación de %orent/ se usa para relacionar estas dos ormas de ver el mismo evento. %a transormación de velocidades de %orent/ muestra que las velocidades de estas dos eseras, vistas por el observador 1, son
(a"
(b"
(c" F&'* 6-1 (a" El observador ) ve dos eseras apro$imarse entre s0 a velocidades iguales, (b" qu0 el observador ) ve dos eseras justamente en e; momento del impacto, en que v A2 = vB 2 = 0 . %as eseras están momentáneamente en reposo, por lo que respecta al observador ). (c" El observador ) verá las eseras rebotar con velocidades iguales pero opuestas.
v A
=
v B1
=
1
onde
β 3
v A
2
+v
1 + β (V / c )
+v
=
V
+v
1 + β ( V / c )
− V + v 1 + β ( V / c ) 1 − β (V / c ) v B2
=
(6-4)
(6-5)
vSc.
#i la suma de las masas vista desde # 1 es -, esta masa total permanecerá constante a trav*s de toda la colisión y cuando c+ocan m A1 v A1
+ m B v B = Mv 1
1
(6-
6) M = m A1
+ m B
1
(6-,)
s0, mientras que el observador ) ve las dos masas instantáneamente en reposo, el observador 1 %as ve movi*ndose juntas a la velocidad v. #e desprende de las ecuaciones (QQ" y (QN" que
−v
m A1 v A1
= M v − v
B1
B1
(6-
)
m A1 ( v B1
− v A = M ( v − v A 1
1
Isando las ecuaciones de transormación (Q6" y (Q!" y simpliicando, la ra/ón de la ecuación (Q" da m A1 m B1
=
1 + β (V / c )
(6-
1 − β (V / c)
!) +ora, de la ecuación (Q6" 1−
2
v A
1
c
2
( v + c)2 =1− 2 2 c [1 + β (V / c ) ]
lo cual puede rearreglarse algebraicamente para dar 1−
v B c
1 − β 2 1 − (V 2 / c 2 )
2
1
2
=
[1 + β (V / c ) ]
%os actores [1 + β (V / c ) ] y [1 − β (V / c ) ] pueden +ora e$traerse de estas e$presiones y sustituirse i la ecuación (QD". Esto nos dará la ra/ón de las 2! masas vistas desde #1 en la orma m A
1
m B
1
(v = 1 − (v 1−
) /c )
2
/ c2
2
2
B1
A1
(6-
1") s0, la masa vista desde un marco de reerencia en movimiento no es m sino que es inversamente proporcional al actor de %orent/ r = 1 / 1 − ( v 2 / c 2 ) . Mote que y es siempre mayor que 1 pero apro$ima a la unidad a medida que la velocidad vuelve muy pequeña comparada con la velocidad de la lu/ c. Esto nos permite escribir la e$presión general m A
1
1−
v A
1
c
2
2
=m
B1
1−
vB
1
c
2
2
= m0
simplemente m = ym0
(6-11)
%a masa de un cuerpo no es, en general, una constante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que
1" epende del marco de reerencia desde el cual es observado el cuerpo, y )" Es menor que o igual a m cuando el cuerpo está en reposo en el marco de reerencia desde el cual el cuerpo es observado. %as propiedades del actor de %orent/ y +acen que la masa se vuelva muy grande y tienda inalmente a ininito, a medida que la velocidad relativa se apro$ima a c. e acuerdo con la órmula de la masa, la e$presión relativista para el momento lineal es p
= mv = ym0v
y la conservación del momento lineal para un sistema aislado es' n
∑
n
mi vi
i =1
= ∑ yi movi = cons tan te
(6-
i =1
13) DEFINICIÓN DE FUERZA unque las leyes de la mecánica clásica no son lo suicientemente universales para incluir eectos relativistas, la orma de la segunda ley de Me_ton, F =
d d t
d
( p ) =
d
(6-14)
(mv )
es generalmente aplicable, incluso a la mecánica relativista. espu*s de dierenciar la ecuación (Q16" toma la orma F = m
dv dt
+
dm
(6-15)
dt
donde m es a+ora igual γ m . 0
Para una uer/a que act&a en la dirección $ positiva, podemos escribir d
( mv x ) = F = dt dt 1 − v x2 / c 2 d
m0v x
ierenciando obtenemos F X
=
m0
dv x
1 − (v 2 x / c 2 )
dt
+
/ c2 )
dvx
(v 2 x / c 2 )]
dt
m0 (v
[1
−
2
x
!/ 2
Xue se simpliica a F X
=
m0
[1
−
dv x
(v x / c ) ] 2
2
!/ 2
dt
(6-15*)
L F x
= γ 2m0 a x
(6-15)
donde a$ es la aceleración observada en el laboratorio. EJEMPLO 6-1' etermine la uer/a relativista que act&a sobre un cuerpo que se mueve con movimiento circular uniorme. #%IC@LM' En este caso, la magnitud de la velocidad permanece constante y F =
dt d
m0
1 − (v / c ) 2
2
v
m0
=
dv
1 − (v / c ) dt 2
2
Mótese que m = m0 / 1 − (c 2 / v 2 ) y dvSdt 3 a B que es la aceleración centr0peta. Por lo tanto, podemos escribir en magnitud F = ma R
=m
v2 R
donde B es el radio del c0rculo. s0, la segunda ley de Me_ton cubre el caso del movimiento circular relativista. 6-3 ENERG1A CINET1CA RELATIVISTA Cuando la velocidad de una part0cula se apro$ima a valores relativistas, la e$presión para la energ0a cin*tica clásica debe ser cambiada a una orma relativista. in de encontrar una e$presión para la energ0a cin*tica relativista, calcularemos el trabajo +ec+o para aumentar la velocidad de una part0cula desde +asta un valor inal v. Para simpliicar el problema, supongamos que la uer/a y el despla/amiento están en la misma dirección. %a energ0a cin*tica, o sea el trabajo neto +ec+o sobre la part0cula, es K =
(6-16)
r
∫ F ⋅ dr 0
Con la ecuación (Q1!a" toma la orma m0
r
K
dr 3 v dt,
= ∫ 0
[1 − (v
m = m0 / 1 − (v 2 / c 2 ) ,
2
/c
dv 2
)]
!/ 2
dt
⋅ dr
y v ⋅ dv = vdv
que integrado da K =
o inalmente
m0c
2
1 − (v / c ) 2
2
− m0c 2
K = (m − m0 )c
2
(6-1,)
unque tra/ada para el caso especial en que la uer/a tenga la misma dilección del despla/amiento, esta e$presión general es aplicable a cualquier caso. ?ácilmente podemos reducir esta e$presión de la energ0a cin*tica relativista a la orma clásica, K =
1
2
2 m0 v , cuando v = c. Para mostrar esto, e$pandemos la ecuación (Q
1N" por medio de la e$pansión binomial (1 + x)
m
= 1 + mx +
m(m − 1) 2
x
+ ... +
2
m(m − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n + 1) n
x
n
+ ....
Entonces la energ0a cin*tica toma la orma K = m0c
2
ó
v 2 −1 / 2 1 − 2 − 1 c
1 ! n 1 v 2 − 2 − 2 v 2 2 2 − 1 v 2 − + ... + m(m − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (m − n + 1) + − + K = m0c 1 + − ⋅ − 2 ... c 2 c 2 2 c 2 n L
1v 2 ! v % + % + ... − 1 K = m0c 1 + 2 2c " c 2 % v ! v = m0c 2 2 + % 2c " c 2
medida que (vSc" F, las potencias mayores de vSc pueden despreciarse, y entonces K = m0c
2
1v 2 1 2 = m0v 2 2c 2
%o cual viene a comprobar el principio de correspondencia EJEMPLO 6-2: unque el programa siguiente de computador esta +ec+o para estudiantes con algunos antecedentes en programación, el lenguaje 8#@C en que está escrito es suicientemente matemático en la orma para no resultar demasiado di0cil de seguir a un estudiante de 0sica. %os comentarios que siguen a la comilla &nica en algunos t*rminos, son para la descripción y no desempeñan parte en la computación. En la e$presión anterior e$pandida para la energ0a cin*tica, note que nsimo t*rmino :n comparado con el (n1" esimo t*rmino : n1 es T n T n −1
n − 1 / 2 v 2 = n c 2
Esta relación se usa en el siguiente programa 8#@C para evaluar y comparar la e$pansión de energ0a cin*tica relativista con la energ0a cin*tica clásica. En el programa, ?3YSC es la ra/ón de una velocidad cualquiera a la velocidad de la lu/, el M es el n&mero de t*rminos a ser usados en la e$pansión. Cuando se calcula un gran n&mero de t*rminos en la e$pansión, un t*rmino individual puede llegar a ser tan pequeño que sume una cantidad insigniicante a los cálculos. %a proposición n&mero 1 es una orden que despreciará los t*rminos demasiado pequeños. El programa determinan la energ0a cin*tica para un electrón, pero la proposición 1 es una orden que despreciará los t*rmino demasiado pequeños. El programa determina la energ0a cin*tica pera un electrón, pero la proposición n&mero 1 puede ser cambiada para introducir cualquier masa que se desee.
6-4 ENERGIA TOTAL Conorme a la ecuación (Q1N", si un cuerpo que se mueve a la velocidad v 1aumenta su velocidad a v ), el trabajo neto requerido, o el cambio en la energ0a cin*tica, será
∆ K = (m2 − m0 )c 2 − (m1 − m0 )c 2 L
∆ K = (m2 − m1 )c 2 = (∆m)c 2
(6-1)
s0, un cambio en la velocidad (o en la energ0a cin*tica" producirá un cambio en la masa ∆m = m2 − m1 Para un cuerpo que se mueve en un campo de uer/as conservativas, la conservación de la energ0a (válida tanto en la mecánica clásica, como en la relativa" muestra que K 1 + V 1
= K 2 + V 2 = cons tan te
donde es la energ0a cin*tica en un punto dado y Yes la energ0a potencial tael mismo punto. e la; ecuaciones (Q@8" y(QlD", concluimos que K 2 − K 1
= V 2 − V 1 = (∆m)c 2
ó
∆m =
K 2
− K 1 = V 2 − V 1
c
2
c
(6-2")
2
s0, ,ambio en la masa =
cambio en la + c
2
=
cambio en la c
2
+ K
(6-21)
< ya que E 3 mc)`(mm"c),
- mc2
(6-22)
dvierta que esta deinición de la energ0a total en relatividad no incluye la energ0a potencial. %a equivalencia entre la masa y la energ0a 5e$presada por la ecuación (Q))"7 es una de las consecuencias más importantes de la teor0a especial de la relatividad. +ora se transorma en el principio de conservación de la masaenerg0a, que para un sistema aislado se puede e$poner en la orma energ0a de reposo ` energ0a cin*tica ` energ0a potencial3 constante energa potencial - constante ) ∑ ( energa de reposo energa cintica
(6-23)
Esta ue una consecuencia del principio de conservación del momento lineal dado por la ecuación (Q)" y de la deinición de uer/a encontrada en la ecuación (Q16". tra relación &til que incluye la energ0a total E puede obtenerse directamente de la órmula de la m0 = m 1 − (v 2 / c 2 ). .-ultiplicando ambos lados de esta ecuación por c ) elevando al cuadrado y simpliicando, obtenemos m 2c 2
= m02 c 2 + m 2v 2c 2
(6-24)
(6-25)
= 02 + p 2c 2
#i el cuerpo está movi*ndose a muy alta velocidad, entonces E ) es despreciable comparado con p ) c) y E3pc altas velocidades, E tambi*n es pequeña comparada con y la ecuación (Q)1" muestra que o, de la ecuación (Q)Q" K ≅ pc
%as part0culas de altas velocidades para las cuales son &tiles las ecuaciones (Q)N" y (Q)Q" se encuentran en la región relativista e$ trenas. tra relación interesante que implica la energ0a total se obtiene dierenciando la ecuación (Q)!" Esta es d dp
=
pc 2
L d dp
=
pc 2 mc 2
=v
(6-2)
+ora, si el cuerpo se está moviendo a la velocidad de la lu/, o sea, s0 v3c, entonces d = cdp ó = pc + cons tan te
Para
p
= 0 = 0 , por lo tanto − 0
= pc
(6-2!)
Pero la ecuación (Q)!" muestra que 2
− 02 = p 2c 2
y estas dos ecuaciones dan + 0
= pc
(6-3")
Comparando las ecuaciones (Q)D" y (Q2" vemos que E 3 ó m 3 . En otras palabras, si un cuerpo se est* moviendo a la velocidad de la lu/, su masa de reposo y su energ0a de reposo deben ser cero. %a conclusión rec0proca tambi*n debe ser verdad' #i una entidad no tiene nasa de reposo ni energ0a de reposo, debe viajar a la velocidad de la lu/. unque no tiene sentido desde el punto de vista clásico que un cuerpo tenga una masa igual a cero, es la descripción relativista correcta de un otón y de un neutrino. B. Y. Pound y >. . Beb[a, r., eectuaron en 1DQ un e$perimento vali*ndose del eecto -ossbauer y encontraron que la masa de un otón movi*ndose a la velocidad de la lu/ (la &nica a que puede viajar está dada por m 3 +vSc ), de acuerdo con la ecuación teórica E 3 +v3mc ). EJEMPLO 6-3: Calcule la masa de un protón, un neutrón, y un electrón en unidades atómicas de masa, y calcule la energ0a equivalente de la masa en reposo de estas part0culas. SOLUCION: El Electrón volt (eY" es una unidad conveniente de energ0a deinida como la energ0a cin*tica ganada por un cuerpo que contiene una carga electrónica a medida que es acelerado a tras de una dierencia de potncia1 de 1 Y.
donde el potencial acelerador es 1 Y. lgunos m<iplos convenientes del electrónvolt son
En el uso moderno, el t*rmino 8ev está dando paso al t*rmino europeo G>eYH. %as magnitudes de ambas son las mismas. menos que se especiique de otro modo, la energ0a de una part0cula está dada como energ0a cin*tica. s0, un electrón de 1. -eY tiene una energ0a cin*tica de 1. mev, y no una energ0a total de 1. -eY.
%a unidad atómica de masa (uam" se deine como un doceavo de la masa del átomo de carbono neutro C1) (el isótopo más com&n del carbono", y es
%a energ0a de reposo, correspondiente a 1 uam, es
%a masa de reposo de electrón es m e3 D.11R121 [g, y su energ0a de reposo es = me c
2
1 MeV = (.11*10−!1 )(!.00 *10" ) 2 * 1. *101! !
Entonces, para el electrón
y las masas de reposo del neutrón y del protón son
Por un procedimiento similar obtenemos energ0a de reposo del neutrón 3 D2D.Q -eY 3 1.QN uam energ0a de reposo del protón 3 D2.2 -eY 3 l.N2uam In resumen de estos resultados es el siguienteR'
EJEMPLO 6-4: %a velocidad de un electrón en un campo el*ctrico uniorme cambia de v1 3 .Dc a v) 3 .DDc. (a" Calcule el cambio en la masa. (b" Calcule el trabajo +ec+o sobre el electrón para cambiar su velocidad. (c" Calcule el potencial acelerador en volts. SOLUCION (a" Evidentemente, las dos masas serán
<
donde rn3 D.11R121[g. es la masa de reposo del electrón. El cambio de masa será
(b" Puesto que el trabajo +ec+o será el cambio de energ0a cin*tica,
(c" 3qY y
6-5 REVISION ESUEM/TICA Cuando los 0sicos comprendieron las implicaciones de los dos postulados de la teor0a de la relatividad de Einstein, 1" %as leyes 0sicas de la naturale/a son las mismas en todos los marcos inerciales de reerencia, y
)" %a velocidad de la lu/ es la misma en todos los marcos inerciales de reerencia, los conceptos de la mecánica Me_toniana, aunque +ab0an sido ampliamente &tiles, tuvieron que ceder el paso a la mecánica relativista. %a tabla Q1 sumari/a esquemáticamente las caracter0sticas de la teor0a de la relatividad especial. Bepresenta un esquema lógico, pero no está necesariamente en orden cronológico de desarrollo ni siquiera en el nico orden lógico. Por ejemplo, la ley de conservación del momento lineal es la ley más general en la 0sica, pero las leyes de Me_ton que desarrollan las ideas de uer/a, ueron las primeras en ser ormuladas. :ambi*n, los 0sicos teóricos pueden arguir que el e$perimento de -ic+elson-orley deber0a seguir los principios de la relatividad especial porque undamenta las ideas presentadas en la relatividad especial. PRO+LEMAS 6-1 etermine la energ0a total de un protón que viaja a. c. 6-2 V qu* velocidad deberá viajar un electrón para tener una masa igual al doble de su masa de reposoW VCuál es la energ0a total del electrón a esta velocidadW 6-3 VCuál es el momento de un electrón que lleva una velocidad de .DcW 6-4 -uestre que la energ0a total y la energ0a de la masa de reposo se pueden relacionar por
6-5 Con reerencia al problema Q6, encuentre y en t*rminos de E y de E. 6-6 Encuentre la masa y momento de un protón de 1. 8ev. 6-, (*) El acelerador lineal del Centro #tanord produce electrones altamente relativistas de ). >eY. etermine la velocidad, el momento, y la longitud de onda de estos electrones. (#ugerencia' vea el problema Q6 y resuelva para v usando la e$pansión binomial". () %os electrones son acelerados a trav*s de una distancia de 2.) m (cerca de 2 [ilómetro. VCul será la longitud de la trayectoria de los electrones medida por un observador que se mueve junto con los electrones' 6- etermine la velocidad y el momento de una part0cula de masa de reposo m cuando su energ0a cin*tica es igual a do, veces su energ0a de reposo. 6-! Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrón (*) desde el reposo +asta 6. mSseg' () desde el reposo +asta .c] y (.) desde .Dc +asta .DDDc. 6-1" El observador de un laboratorio ve cómo un protón que se mueve a .!c +ace una colisión de rente con un segundo protón, que viaja en dirección opuesta a .Qc. (*) etermine la energ0a cin*tica y el momento del sistema medidos por el observador del laboratorio. () etermine la energ0a cin*tica y el momento del sistema medidos por un observador que se mueve con el primer protón.
6-11 Ina unidad para medir el momento, usada a menudo es 1. mevSc. Encuentre su valor num*rico en unidades -# ([ilogramos por metro sobre segundo". 6-12 Para un protón, determine la energ0a total cuando tiene un momento de (*) ). 8eYSc y (b" 1. -eYSc. 6-13 -uestre que la ra/ón de la energ0a cin*tica relativista ?C 3 (m O m Sc)" a la e$presión apro$imada 3 1S)m v) está dada por S 3 1 ` 2S6 ). 6-14 In protón deja un acelerador lineal con una velocidad de . con respecto al marco del laboratorio y c+oca con un protón 8 en reposo en el mismo marco. (*) calcule el momento y la energ0a cin*tica de los protones en el mismo laboratorio. () Calcule la velocidad del centro de masa (cm" de este sistema en el laboratorio. (.) aga lo, mismo, cálculos que en (a" para el marco cm. 6-15 In protón y un electrón tienen cada uno una energ0a cin*tica de 1. meY. (*) Calcule sus momentos y velocidades siguiendo un enoque clásico. () aga lo mismo con un enoque relativista. (.) VXu* conclusiones obtiene de la comparación de los resultados de ambos cálculosW 6-16 (*) VCuál es la velocidad m0nima que debe tener una part0cula para que su energ0a total pueda escribir como E 3 pc con un error en su energ0a cin*tica no mayor del 1U. () VCuáles son los valores del momento y de la energ0a cin*tica de un protón que se mueve a esta velocidadW 6-1, (*) Calcule la má$ima velocidad que deba tener una part0cula para que su energ0a cin*tica se puede escribir como 31S)mv) con un error no mayor del 1U. () 8ajo estas circunstancias, calcule el momento y la energ0a cin*tica de un electrón. 6-1
En un proceso de decaimiento , tiene lugar la reacción
donde n es un neutrón en reposo, p es un protón y es un antineutrón cuya masa de reposo es cero. Calcule la energ0a cin*tica total de los productos del decaimiento (protón ` electrón ` antineutrino". (#ugerencia' use el principio de conservación de la masaenerg0a". 6-1! (*) empe/ando con la ecuación
= 02
+ p 2c 2 = 0 + K muestre que el
movimiento lineal de una particula se puede escribir como p = (2 0 + K 2 ) / c () Pruebe que esta e$presión se reduce a p 3 m v cuando F (.) Pruebe que la e$presión se reduce a p3 ESc 3 Sc cuando F
6-2" Pruebe que cuando una part0cula se mueve perpendicularmente a un campo magn*tico 8, describirá un c0rculo cuyo radio está dado por 2 R = ( 2 0 K + K / "cB donde q es la carga el*ctrica de la part0cula. 6-21 El momento de un protón que se mueve en una trayectoria circular y perpendicular a un campo magn*tico de 1. : tiene una magnitud constante de ).6R1)) gmSseg. Calcule (*) el radio del c0rculo, y () la energ0a cin*tica del protón. 6-22 In electrón se mueve en una trayectoria circular cuyo radio es .Qm. con velocidad constante y perpendicular a un campo magn*tico de .2: (ZbSm)". En t*rminos de su masa de reposo, encontrar (*) su masa relativista, () su energ0a cin*tica, (.) su energ0a total, () su momento lineal, y () su momento angular. 6-23 -uestre que la densidad de un cubo que se mueve a la velocidad o en una dirección paralela a uno de los bordes es
donde Y es el volumen de reposo y m es la masa de reposo.
T** 601 Besumen esquemático de la teor0a especial de la relatividad
