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Virgilio Acosta Clyde L. Cowan JS.J_ Grah
11-
......
curso de
FISleA M00ERNA VIRGILIO ACOSTA ACADEMIA NAVAL DE LOS ESTADOS UNIDOS
CLYDE L. COWAN UNIVERSIDAD CATOllCA DE AMERICA
B.].GRAHAM ACADEMIA NAVAL DE LOS ESTADOS UNIDOS
Traductor y adaptador: I /ü.-\.QUÍN SADA ANAYA Departamento de Física #aía Mecánica y Eléctrica . ~acional, México, D.E
OXFORD UNIVBRSITY PRBSS
Contenido Prefacio
X111
Prólogo a la edición en español Primera parte
Espacio y Tiempo
xv 1
1 Espacio y tiempo 3 1-1 El vacío físico 4 1-2 El espejo del espacio-tiempo 6 7 1-3 La medida del espacio-tiempo 1-4 Materia y espacio-tiempo 8 1-5 Resumen 9 2
Leyes de conservación 11 2-1 Conservación del momento lineal 12 14 2-2 Conservación del momento angular 2-3 Conservación de la energía 16 2-4 Campos 18
3
Relatividad clásica 22 3-1 Límites del "sentido común" 23 24 3-2 Principio clásico de la relatividad 3-3 Invariancia de la conservación del momento lineal 3-4 Invariancia de las leyes de Newton 28
4 El experimento de Michelson-Morley 32 4-1 El conflicto se desarrolla 33 4-2 Las transformaciones de Lorentz 36 4-3 Composición de velocidades de Lorentz
39
5 Consecuencias de las transformaciones de Lorentz 5-1 Contracción de la longitud 44 5-2 Dilatación de los intervalos temporales 46
43
lJ¡ii'
CONTENIDO
5~3
5~4
Interpretación del experimento de Micc.elson~Morley Solución de Einstein al conflicto 51
49
6 Mecánica relativista
55 6~1 Masa y momento 56 6~2 Definición de fuerza 58 6~3 Energía cinética relativista 6-4 Energía total 61 6-5 Revisión esquemática 64
Segunda parte
Partículas y Ondas
59
69
7 El efecto fotoeléctrico 71 7-1 Cuantos de electricidad 72 7-2 Emisión electrónica 72 7-3 Efecto fotoeléctrico 73 8
Rayos X 77 8-1 Roentgen 78 8-2 Rayos X 78 8-3 Difracción de Rayos X 83 8-4 Difracción de Rayos X por l\na red de difracción 8-5 Efecto Compton 86
9 Producción de pares 92 9-1 Interacción de la radiación con la materia 9-2 Producción de pares 93 9-3 Aniquilación de pares 96 9-4 Absorción de fotones 96
85
93
10 Naturaleza ondulatoria de las partículas 100 10-1 El dilema onda-corpúsculo 101 10-2 OndasdedeBroglie 101 10-3 Confirmación experimental de las partículas ondulatorias 104 10-4 Paquetes de ondas 10-5 El principio de incertidumbre 107 10-6 Otra forma del principio de incertidumbre 109 11
El experimento de Rutherford 113 11-1 El modelo nuclear del átomo 114 11-2 Montaje experimental 115 1 1-3 Parámetro de impacto y ángulo de dispersión 11-4 Fórmula de dispersión de Rutherford 119
12 El modelo de Bohr I 12-1 Modelo Planetario
124 125
116
102
-
--
----=
~~=---~-
r=-=--=--=......~-=
CONTENIDO
12-2 12-3 12-4 12-5 12-6
Espectros atómicos 128 El modelo de Bohr-Postulados 129 El modelo de Bohr-Estados de la energía 129 La constante de Rydberg y las series espectrales 133 El modelo de Bohr y el principio de correspondencia 133
13 El modelo de Bohr 11 137 13-1 Atamos hidrogenóideos 138 13-2 Corrección para el movimiento nuclear 140 13-3 El experimento de Franck-Hertz 142 13-4 El experimento de Franck-Hertz - Interpretación Tercera parte: El átomo
144
149
14 La ecuación de Schriidinger I 151 14-1 La radiación del cuerpo negro 152 155 14-2 Funciones de onda 14-3 La ecuación de Schrodinger 156 14-3 (a) Corriente de probabilidad 157 14-4 La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo
160
15 La ecuación de Schriidinger 11 162 15-1 El Hamiltoniano 163 15-2 Operadores 164 15-3 (a) Valores promedio o esperados 165 15-3 El pozo de potencial 167 15-4 Solución de las ecuaciones diferenciales 171 15-5 La partícula en una caja tridimensional 173 16 Algunas aplicaciones de la ecuación de Schriidinger 179 180 16-1 El oscilador armónico clásico 16-2 El oscilador armónico mecano-cuántico 181 188 16-3 El efecto tunel 16-4 Potenciales periódicos y el modelo de Kronig-Penney 199 17 Diferentes modelos de la mecánica 17-1 Modelos de la mecánica 200 17-2 Mecánica clásica 200 17-3 Mecánica relativista 204 17-4 Mecánica cuántica 206 17-5 Dualidad ondulatorio-corpuscular 207 17-6 Principio de incertidumbre 208 18 La teoría de Schriidinger del átomo de hidrógeno 18-1 La ecuación de onda: Separación de variables 18-2 La ecuación azimutal 213
210 211
190
.
ix
=
x
TENIDO
,
La ecuación polar 214 La ecuación radial 214 18-5 La función de onda completa I -~ I -4
215
19 Números cuánticos 1: Momentos magnéticos 218 19-1 El número cuántico orbital I 219 19-2 El número cuántico magnético mI 221 19-2 (a) El operador del momento angular 222 19-3 El momento magnético del átomo de hidrógeno 20
21
Números cuánticos 11 : El efecto Zeeman 229 20-1 Un átomo en un campo magnético externo 20-2 Ei efecto Zeeman normal 232 20-3 El número total de estados 234
225
230
Las funciones de onda del átomo de hidrógeno 238 21-1 Las funciones de onda del átomo de hidrógeno 239 21-2 La distribución de la probabilidad radial 240 21-3 Dependencia de la probabilidad angular 241
22 El spin del electrón 245 22-1 Spín intrínseco 246 22-2 El momento angular de spín 248 22-3 El experimento de Stern-Gerlach 248 22-4 Energía de la interacción spín-
256
24 El principio de exclusión 268 24-1 El principio de exclusión 269 24-2 Atamos de dos electrones 270 24-3 La tabla periódica 271
Cuarta Parte
El núcleo
27 5
25 El núcleo 277 25-1 El átomo nuclear 278 25-2 Las fuerzas nucleares 279 25-3 Algunas propiedades del núcleo 282 25-4 Energía de amarre nuclear 283
251
-
-------~
----=----_.~=--"
-:==-.
-=-----..: -'=.-
-
--
CONTENIOO
26 Modelos del núcleo 286 26-1 Fotodesintegración - Estabilidad nuclear 26-2 Momento angular de spín 289 26-3 ¿Electrones en el núcleo? 290 26-4 El modelo de la gota líquida 291 26-5 El modelo de capas 293 27
287
El neutrón 298 27-1 Descubrimiento del neutrón 299 27-2 Producción de neutrones 301 27-3 Detección de neutrones 302 27-4 Captura neutrónica 302
28 Reacciones nucleares I 305 28-1 Reacciones nucleares 306 28-2 Valor Q de una reacción nuclear 307 28-3 Valor Q y energía de amarre 309 29 Reacciones nucleares 11 312 29-1 Energías cinéticas en los marcos del laboratorio y del centro de masa 29-2 Energía umbral de una reacción endoérgica 315 29-3 Derivación de la ecuación umbral 316 29-4 Probabilidad de la sección transversal 317 30
Radiactividad I 321 30-1 Radiactividad 322 30-2 Constante de desintegración 322 30-3 Vida media y media vida 323 30-4 Curva de crecimiento 325 30-5 Series radiactivas 326 30-6 Fechando por medio del decaimiento reactivo
31
32
Radiactividad II 332 31-1 Decaimiento alfa 333 31-2 Decaimiento del positrón 334 31-3 Decaimiento del electrón 336 31-4 Captura electrónica 336 31-5 Decaimiento gamma 337 31-6 Riesgos radiológicos para la salud Fisión y fusión 341 32-1 Fisión 342 32-2 Fusión 344 32-3 Reactores nucleares
345
33 Detectores de partículas 350 33-1 Propiedades de las partículas
351
339
327
313
•
xi
XII
•
CONTENIDO
33-2 Emulsiones nucleares 351 33-3 Cámaras de trayectorias 353 33-4 Detectores electrónicos 359 34 Aceleradores de partículas 366 34-1 Aceleradores 367 34-2 El generador de Cockcroft-Walton 34-3 El generador Van de Graaff 368 34-4 El ciclotrón 369 34-5 El betatrón 371 34-6 El acelerador lineal 374 35
367
Estado sólido I 378 35-1 Cristales 379 35-1 (a) Los grupos cristalográficos y las redes de Bravais 35-1 (b) Los índices de Miller 385 35-2 Metales 387 35-3 La teoría de las bandas 389
36 Estado sólido II 393 36-{a) Distribución de Maxwell-Boltzmann 36-1 Distribución de Fermi-Dirac 397 36-2 Semiconductores 399 36-3 Transistores 40 I Quinta parte
Partículas elementales
RE In
405
Interacciones de las partículas elementales 38-1 Antipartículas 420 38-2 Clases de interacciones 421 38-3 Interacciones y leyes de conservación.
39 la 39-1 39-2 39-3
381
394
37 Partículas elementales 407 37-1 Cargas y fuerzas 408 37-2 Los números cuánticos de las partículas elementales 38
Al
familia de las partículas elementales Fotones 429 Leptones 430 Hadrones 431
419 424 428
40 Origen de los elementos 444 40-1 El enigma de los elementos 445 40-2 Distribución actual de los elementos 446 40-3 Nucleosíntesis primordial 447 40-4 La formación de elementos en las estrellas 448
410
CONTENIDO
40-5 Las supernovas y el proceso r 453 40-6 Explosiones de los núcleos galácticos 40-7 Resumen 456 41
Origen del universo 458 41-1 Edad del universo 459 42-2 Dimensiones del universo 42-3 El universo en expansión 42-4 Nacimiento del universo
454
461 463 464
Apéndice 467 A.I Transformación del Laplaciano de coordenadas rectangulares a esféricas Tabla 1 Tabla periódica de los elementos 472 Tabla 2 Fórmulas matemáticas útiles 474 Tabla 3 Funciones trigonométricas naturales 476 Tabla 4 Funciones exponenciales 477 Tabla 5 Premios Nobel en Física 478 Tabla 7 Tabla de isótopos 479 Respuestas a los problemas de número impar Indice
504
499
469
. XIII
xv
Prefacio Este libro va más allá del dominio de la física clásica, para explorar tanto el mundo microscópico del átomo, el núcleo y las partículas elementales, como el mundo macroscópico del cosmos. Los capítulos que cubren la mecánica cuántica son más completos de los que usualmente se encuentran en textos a este nivel, puesto que sentimos que este tópico es una porción natural y esencial de la física moderna. Asímismo, el estudio de las partículas elementales se ha ampliado a fin de incluir los conceptos más recientes. Como prerrequisito matemático para seguir este texto se considera haber cursado dos semestres de cálculo elemental, incluyendo rudimentos de cálculo vectorial. A propósito hemos hecho que todos los capítulos de este libro sean cortos y autosuficientes, para producirle una sensación de logro al estudiante y, al mismo tiempo, permitirle al instructor mayor organización y flexibilidad. Si se desea, se pueden reordenar los capítulos u omitir algunos. Eminencias tales como Einstein y Dirac han contribuido tanto al desarrollo de los conceptos de la física, que resulta difícil comprender completamente los frutos que implica su labor. Otros han contribuido, con pasos pequeños pero significativos, a la conquista de grandes ideas. Estas personas y sus contribuciones también forman parte de la física moderna. La biografía breve de un físico notable figura al principio de cada capítulo, para destacar su labor. El papel principal de los ejercicios y de las preguntas que se incluyen al final de cada capítulo es ayudar a desarrollar la habilidad del estudiante en la solución numérica de problemas, y darle elementos al lector para que comprenda la naturaleza de la física y sus principios básicos. También se ha reconocido el impacto que han tenido las computadoras en la física, incluyendo en este libro unos cuantos problemas orientados a la computación. Deseamos agradecer al Comodoro Jack Kineke,USN, por su paciente trabajo en la preparación de los problemas y por sus muchas y útiles sugerencias, así como a Mary Hollywood Wilson por mecanografiar nuestro manuscrito. La cooperación dada a los autores y la atención prestada a nuestro texto original en inglés por el editor, especialmente por Jane Woodbridge y Ann B. Fax, han mejorado el libro y hecho nuestra tarea más placentera.
VIRGILlO ACOSTA ClYOE L. COWAN BJ.GRAHAM
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Primera parte Espacio y Tiempo
La totalidad de los fenómenos físicos es de un carácter tal que no proporciona base alguna para la introducción del concepto de "movimiento absoluto"; o en pocas palabras, más precisas: No existe el movimiento absoluto. ALBERT EINSTEIN
De mis últimos años, 1950
Fue Einstein quien introdujo el verdadero problema al anunciar en 1905 que no existía tal cosa como el reposo absoluto. Después ya nunca lo hubo.
STEPHEN LEACOCK
La teo,,'a de la relatividad de Einstein rechazó la necesidad de conceptos como el movimiento y el tiempo absolutos. Sinembargo, sus teorlas fueron algo más que simples ejercicios de una abstracción matemática, ya que la fuerte evidencia provista por los experimentos de Michelson-Morley
sobre el éter ,luminifero, obligó a los Hsicos a re-pensar todos los conceptos principales de la Hsica, Algunos principios sumamente estimados tuvieron que descartarse, otros tuvieron que alterarse y unos pocos resistieron la prueba presentada a ellos por las nuevas teorlas de la relatividad, 1
1
Espacio y tiempo
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866)
Nativo de Hanover, Alemania, Riernann fue disc{pulo de K. F. Gauss V posteriormente profesor de matemáticas
en la Universidad de Góttingen donde recibió su doctorado (en ((siea).
Riemann extendió la geometrfa de Nikolaí Lobachevsky y János Solya; para desarrollar un sistema no-Euclideano
basado en un postulado que no permite !(neas paralelas. Su teoda de que el espacio no es necesariamente uniforme puso las bases para la geometr(a de Riemann y fue crucíal para las teorras de la ({siea moderna, incluyendo la teoda de la relatividad
de Einstein.
1-1 1-2 1-3 1-4
1-5
EL VACIO FISICO EL ESPEJO DEL ESPACIO-TIEMPO LA MEDIDA DEL ESPACIO-TIEMPO MATERIA Y ESPACIO-TIEMPO RESUMEN 3
1·1
El VACIO FISICO
El mundo natural en que vivimos se nos presenta como una vasta colección de objetos y eventos, todos los cuales están contenidos en un espacio tridimensional. Percibimos estos eventos como si se encadenaran en un secuencia continua en el tiempo: cada evento se ve como el causante de otro, y éste se vuelve a su vez, la causa del siguiente. Algunas veces, en el lenguaje de la física, estas observaciones que hemos hecho se plantean diciendo que el mundo natural está contenido dentro de un continuo tetra-dimensional llamado espacio -tiempo. El propósito de este texto consiste en examinar el mundo natural con cierto detalle y descubrir algunas leyes de la naturaleza que nos ayuden a organizar y describir el espacio-tiempo. Al organizar y definir así el espacio·tiempo. entenderemos mejor el mundo natural. Sin embargo, antes de estudiar directamente los objetos y eventos de la naturaleza. conviene contemplar el espacio-tiempo en sí mismo. El concepto de espacio-tiempo contiene la esencia de las más profundas cuestiones que como físicos intentemos responder. Para la persona común, un vacío es un volumen de espacio que no contiene absolutamen· te nada, ni partículas ni moléculas. Pero ésta no es la forma como los físicos piensan sobre el vacío. Para ilustrar un aspecto de nuestra comprensión 4
del vacío como físicos, efectuaremos un experimento imaginario. Las distintas partes de este experimento se han observado en el laboratorio; de manera que aunque esta secuencia particular de eventos no se haya producido como un solo experimento. en principio así podría hacerse. Empecemos con un vacío absoluto en un recipiente ideal. con paredes perfectamente reflectoras, que son aislantes de la mejor clase imaginab le. No habrá radiación ni partículas detectables, ya que a primera vista parece ser la clase de vacío compuesto de absolutamente nada. El experimento empieza enfocando alguna luz (radiación electromagnética) dentro del vacío, a través de una ventana muy pequeña en una pared del recipiente. Ya que una pequeña cantidad será reflejada de regreso por la ventana, más luz se enfocará continuamente hacia dentro del recipiente. Ahora debemos empezar a iluminar con luz cada vez más azul dentro de la ventana. Pronto observaremos cómo el color de la luz que escapa indica que la temperatura del vacío interior se está elevando. A medida que la temperatura se eleva, la luz que escapa se vuelve más azul. Ya desde ahora, hemos descubierto que un vado puede tener una temperatura. Para ver qué tan "caliente" se puede volver este vado, continuemos enviando más y más radiación dentro del recipiente con mayor rapidez de la que escapa fuera del agujero. En algún instante de este
CAPITULO 1: ESPACIO Y TtEMPO
experimento. un fotón de luz chocará con otro fotón, y aparecerán dos electrones (figura ¡-l). Uno de este par de electrones estará cargado nega-
i-
e e
1, ;-
,a e l
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¡
,
tivamente, y el otro positivamente. El vacío ya no está vacío. El vaeio contiene dos particulas de materia -los dos electrones-o ¿De dónde salieron estos dos electrones? No se encontraban en el haz de luz, aunque la energía total que poseen sí entró con la luz. Los electrones son partículas muy diferentes de los fotones de luz. Los electrones son parte de esa familia de par· ticulas conocida como jermiones. Portan carga eléctrica así como otra carga llamada número /e~ tónico, y tienen una masa que continúa existiendo aun si los electrones son llevados al reposo. Un fotón de luz es muy diferente. Es un bosón y no lleva carga de ninguna especie; y un fotón traído al reposo cesa de existir. Como físicos no proclamamos conocer la respuesta completa al origen de estos electrones. Tendemos a pensar que los electrones están siempre allí, en una especie de estado Uvirtual", y que son traídos a una existencia detectable por la colisión de los fotones de luz. Se piensa en el vacío como en un "estado" del espacio-tiempo que no contie· ne partículas detectables, y de la condición siguiente (o resultante) como en W1 estado que contiene dos electrones. En Otras palabras, decimos que alguna especie de acción aplicada al estado de vacío creó del vacío dos electrones en un "estado corpuscular" .
5
Aunque la probabilidad de que estos electrones lleguen a chocar uno con otro sea pequeña. es posible que lo hagan. Uno es positivo y el otro negativo; son, de alguna profunda manera, totalmente diferentes uno del otro y sin embargo al mismo tiempo muy parecidos. Si llegaran a chocar habría una transición de regreso al estado de vado. Esto es, los dos electrones desaparecerían y los dos fa· tones aparecerían en su lugar. Nos referimos comúnmente a esto como a la aniquilación de materia-antimateria. Podemos preguntar: ¿A dónde fueron? ¿Están presentes aún en una forma no detectable? Mantegamos dos electrones detectables en el recipiente junto con la radiación que enviamos. Supongamos que no chocan por largo tiempo, durante el cual se vierte más radiación a través de la ventana. Un proce~o continuo de colisiones entre fotones producirá más pares de electrones. y las colisiones de los fotones con los electrones calentarán a los electrones y producirán más pares. La radiación sigue incidiendo y la temperatura sigue aumentando hasta que, finalmente, cuando Wl fotón choca con un electrón, se produce un par de muulles positivo-negativo. Otra vez, algo nuevo se encuentra en el vacío en la forma de estos muones, y estos muones son diferentes de los pares de electrones formados previamente. Por una parte,los muones son radiactivos. Si el espacio es calentado continuamente enviando más y más radiación dentro de la ventana
ReciPiente ideal aislado /
,
Vacío
•
Se forman paros de electrones con carga opuesta.
Figura '-1 Después de un flujo continuo de radiación electromagnética dentro de un recipiente vacío aislado, se forman pares de electrones eventualmente.
6
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO y TIEMPO
más rápido de lo que puede escapar, empezarán a aparecer partículas llamadas mesones pi o piones. Otra nueva entidad se encontrará dentro del recipiente en la forma de una fuerza nuclear muy intensa que los mantiene unidos. Los piones son muy diferentes tanto de los muones como de los electrones. Con mayor calentamiento, eventualmente aparecerán pares Protón-antiprotón y neutrón-antineutrón,y así tendremos los materiales de que están hechos todos los núcleos atómicos. Ahora podemos preguntar: ¿De dónde vinieron estas partículas? "De estados virtuale!l en el vacío". es la respuesta de los físicos. A continuación debemos preguntar: ¿Estaba el vacío realmente vacío? Podemos responder que si hemos observado la producción de partículas en el vacío) entonces no estaba vacío. Si la aparición de pares partícula· antipartícula puede ser llamada evidencia de un vacío "detectable", entonces debemos concluir que el vacío estaba atestado con electrones, muones, protones y neutrones así como de otras partículas que aparecen a medida que continúa el calentamiento del espacio. Y podemos razonar que el vacío no sólo tiene un
contiene un denso surtido de todas las partículas conocidas y que estas partículas son detectables con la ayuda de la radiación electromagnética (luz). Por esto decimos que el vacío físico es algo muy real.
1-2
EL ESPEJO OH ESPACIO·TiEMPO
En nuestra discusión del vacío físico, mencionamos los conceptos de materia y antimateria. Con· viene hacer Ul1a pausa e investigar un poco más este fenómeno. Hemos dicho que una partícula es justamente 10 opuesto de su antiparticula, pero que las dos son muy parecidas. Consideremos un objeto situado frente a un espejo plano y suponga· mas que podemos ver el objeto así como su imagen. En apariencia el objeto y su imagen son muy parecidos, pero son inversos el uno de la otra como la mano izquierda lo es de la derecha. La imagen contiene la misma distribución de luz y color que el objeto, pero en sentido inverso. Ahora supongamos que hay un objeto con una distribución de cargas eléctricas sobre él. y supongamos que el espejo es de cobre pulido y está co· nectado a tierra. De nuevo hay una imagen óptica Esoeio de cobre pulido
Cuerpo cargado
, Imagen del cuerpo cargado
Figura 1·2 Un objeto y su imagen óptica son inversos entre sí en la misma forma en que la mano izquierda lo es de la derecha, y por la inducción eléctrica la distribución de carga sobre la imagen tiene los signos cambiados.
CAPITULO 1; ESPACIO Y TIEMPO
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o
invertida del objeto, pero ahora la imagen tiene una distribución de carga semejante a la del objeto, sólo que la distribución está invertida en signo eléctrico. Si hay una concentración de cargas positivas en la parte superior del objeto, habrá una concentración similar de cargas negativas sobre la parte superior de la imagen. En este experimento, el objeto está un poco más cerca de ser igual a su imagen, excepto por la inversión (figura 1.2)_ En último caso, el espacio-tiempo constituye una especie de espejo perfecto -uno que refleja lodos los aspectos de cada partícula fundamental y al har.erlo así también invierte a cada una-o Cada partícula tiene una ·"reflexión" en este espejo perfecto del espacio-tiempo, y cada propiedad de la partícula está fielmente contenida en su imagen, en un sentido inverso. En este caso, importa poco cuál sea llamado el objeto y cuál la imagen. Son exactamente "semejantes" pero están invertidos en todos los sentidos el uno con respecto a la otra. Se puede entonces pensar que la naturaleza está compuesta de un vasto número de partículas y de sus correspondientes antipartículas. Estando con· tenida así, cada una, en el espejo perfecto del espa· cio-tiempo, pueden hallarse muy distantes entre sí, pero ambas están "en» el espejo. ¿Qué pasa cuando un objeto se acerca a su ima· gen y "choca" con ella? Podemos retornar al caso de las imágenes ópticas para trazar una analogía. Si observamos una hoja colgante de la rama de un árbol sobre la superficie de una piscina en calma, vemos la hoja y su imagen. Ahora dejemos que la hoja caiga hacia el agua. La imagen y la hoja "cho· can" cuando la hoja llega a la superficie del agua. Ambas se desvanecen a medida que la hoja se hun· de. En su lugar, una serie de ondas concéntricas se expanden hacia afuera del punto de la colisión. Esta es una analogía pero muy inadecuada. Cuando una partícula y su antipartícula se combi· nan en una colisión, ambas se desvanecen comple· tamente, y se producen algunos fotones de radia· ción electromagnética o, en algunos casos, se for· rna:n piones, que se alejan rápidamente del sitio de la colisión. Podemos preguntar: ¿Dónde está la imagen par· ticular de este electrón part,icular que hay en la punta de mi pluma? ¿Tiene una imagen particular
•
7
correspondiente y única? Un pensamiento adicio· nal nos recuerda que todos los electrones n~gativos son idénticos entre sí. Cualquier electrón positivo puede servir como imagen para un electrón negati· vo y viceversa. Por consiguiente, todas las propiedades físicas de la materia son en algún sentido reflejadas en ~l espacio-tiempo, y estas reflexiones constituyen la antimateria. Sin embargo, debemos hacer a un lado una propiedad en ia cual lo dicho puede que no se mantenga: la propiedad de estar vivos. La propie. dad de la vida aparentemente no es reflejada en el espacio-tiempo, y aunque sea una propiedad per· fectamente evidente de muchos objetos, no se pue· de considerar que la vida esté "en" el espacio·tiem· po en el mismo sentido en que las propiedades fisicas lo están. No existe evidencia de una "antivi~ da" sino únicamente de la ausencia de vida en ca· sos particulares.
1-3
LA MEDIDA DEL ESPACID·TlEMPD
Hemos aprendido, en nuestros estudios anteriores de ciencias naturales, a considerar la naturaleza en sus muchos aspectos diferentes, que diversamente denominamos masa, energía, fuerza, momento, carga eléctrica, etc. Empero, es importante recor· dar que ninguna de estas cualidades es medida nun· ca en un sentido directo. Debemos a'prender que todo cuanto se hace, en último término, al efectuar una observación científica es medir intervalos de espacio e intervalos de tiempo. Todas las otras cantidades se derivan de estas medidas. Los ¡nter· valos espaciales se pueden medir directamente con alguna especie de barra para medir (por ejemplo, con un metro), o pueden ser indicados por alguna especie de escala de resorte (por ejemplo, por las posiciones variables de una aguja de balanza)_ Otro método para efectuar la medición de un intervalo de distancia consiste en considerar el intervalo de tiempo que le toma a un pulso de radia· ción electromagnética salir y regresar después de ser reflejado. Así, notamos que existe una cercana relación entre los intervalos temporales y los espaciales. En forma análoga, las distancias desde un pico a otro de algunas ondas en un medio determi·
10
]-7
PRIMERA PARTE: ESPACIO y TIEMPO
¿Qué se quiere expresar, matemáticamente, con el término "continuo"? Consulte algunos textos sobre análisis en la sección de matemáticas de una biblioteca_
1-8
Discuta la diferencia entre un universo en el cual toda la materia está simplemente incrustada en el espacio-tiempo y otro en que la geometría del espacio-tiempo "produce" la materia.
LECTURA RECOMENDADA
FRISCH, David H., and THORNDlKE, Alao M., Partleulas Elementales, Van Nostrand Reinhold, Nueva York, 1964.
DIRAC, P. A. M., "La evolución de la visión que los físicos tienen de la Naturaleza," Sci. Am., ma~ yo de 1963.
GAMOW, George, «El Universo Evolucionista", ScL Am., septiembre de 1950.
EINSTEIN, Albert, "Sobre la Teoría Generalizada", Sei. Am, abril de 1950.
SCHRODINGER, Erwin, Estructura del Espacio -Tiempo, Cambridge University Press. Londres, 1950.
2 el
Leyes de conservación
IS-
la
Ja
Sir Isaac Newton
l.,
(1642-1727)
d,
Nacido en Lincolnshire, Inglaterra. estudió en el colegio de la Trinidad, Cambridge. Newton tuvo la cátedra
"
Lucasiana de Matemáticas en la
Universidad de Cambridge (1669). En 1687 Principios matemáticos de la filosofía natural, uno de los más grandes
fa
publicó sus
:s,
trabajos de todos los tiempos. Newton, poderosa influencia en el dominio del pensamiento cientffico, desarrolló el cálculo diferencial e integral, las
leyes fundamentales de la mecánica clásica y la teor/a de la gravitación; también efectuó extensas investigaciones en óptica V astronom/a. Presidió la Real Sociedad desde 1703 hasta su muerte.
2-1 2-2 2-3 2-4
CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR CONSERVACION DE LA ENERGIA CAMPOS 11
la " la ( y
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2·1
CONSERVACION OEL MOMENTO LINEAL
Sabemos por nuestros estudios previos que la llegada del siglo XX marcó el principio de una era de progreso sin paralelo en el desarrollo de las ciencias
físicas. Aún aSÍ, aunque la mecánica clásica tiene casi 400 años de antigüedad, un conocimiento de ésta es esencial para comprender claramente los principios básicos de la fisica moderna, por ejemplo, de la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. Examinemos el desarrollo de la física clásica antes de proceder con nuestra discusión de la flSica moderna. La cinemática, el estudie del movimiento, fue desarrollado principalmente por Galileo Galilei (1564.1642) un brillante astrónomo y matemático italiano. En el más básico de los sentidos, la cinemática es justamente un estudio geométrico con la ~dición de un nuevo parámetro-el tiempo. El estudio de las causas del movimiento (la dinámica) fue desarrollado por Sir Isaac Newton (I642-1727) el gran astrónomo, físico y matemático inglés. (Independientemente de Leibnitz, Newton desarrolló el cálculo infinitesimal). La mecánica clásica ha sido útil al resolver una amplia variedad de problemas en ingeniería, astronomía, y física; sin embargo, el desarrollo de la física moderna ha mostrado que la mecánica clásica no es universal en su aplicación. La investiga-
ción del mundo microscópico de los átomos, electrones y protones, etc., ha impulsado el desarrollo de nuevas herramientas de la física moderna: de la relatividad y de la mecánica cuántica. Debemos notar en este punto que como físicos continuamente estamos tratando de establecer un modelo matemático para describir el espacio o universo a nuestro alrededor. Notemos que: Una leoria en la fisica no se considera como una verdad total, sino sólo como un modelo para aplicarse a resolver problemas y encontrar soluciones que estén en cerca· no acuerdo con la evidencia ofrecida por la deter· minación experimental. Las más fundamentales de estas leyes o modelos son las leyes de conservación. Se dividen en dos grupos: las leyes elementales "extrínsecas" sobre la conservación del momento lineal, del momento angular y de la energía; y las leyes "intrínsecas" sobre la conservación del número total de nucleones en una reacción nuclear, la conservación del número de leptones y de bariones, y así sucesiva· mente. Este úJtimo grupo de leyes de conservación será desarrollado y discutido en esta obra a medida que sea necesario. Aquí revisaremos las leyes elementales de conservación con ánimo de establecer una base para el estudio de esta materia. La mecánica clásica ha sido abordada o estudiada ya sea empezando con las leyes de Newton como base o empezando con el principio de conservación del momento lineal. Nosotros abordaremos
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CAPITULO 2: LEYES DE CONSEAVACION
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la mecánica desde el último punto de vista, ya que la conservación del momento lineal es más simple y sus aplicaciones son más generales. Así, supondremos que el principio de conservación del momento lineal es la ley más fundamentaL Al discutir los movimientos relativos de varios cuerpos, podríamos usar las varias velocidades correspondientes: aquellas velocidades de cada uno °e los cuerpos con respecto a cada uno de los otros cuerpos. Este procedimiento pronto se vuelve muy complicado y por lo tanto encontraremos más simple usar, en su lugar, un sistema tridimensional de coordenadas ortogonales para describir un "marco de referencia" común, en el cual se mueven todos los cuerpos (aunque tal vez algunos estén en reposo). Por ortogonal queremos decir que las coordenadas mismas no dependen una de las otras. El marco (x, y, z) de coordenadas lineales mutuamente perpendiculares es un ejemplo muy común. También especificaremos que este marco es un marco "inercial" de referencia. Con lo cual queremos decir que, en él, la mecánica clásica permanece válida. Veremos más tarde que la "mecán.ica clásica" incluye la mecánica de la relatividad especial. Si podemos especificar tal marco de referencia, todos los otros marcos de referencia que se mueven con velocidad lineal constante con respecto al primero también son inerciales. El problema de la existencia de un "marco fundamental de referencia", como aquél en el cual son válidas las leyes de Newton, es un postulado de la mecánica Newtoniana y de la teoría de la gravitación, conocido como principio de Mach*. Inherentemente relacionado al concepto de fuerza, piedra angular de la mecánica, está lo que llamamos masa inercial. La masa inercial representa una medida de la oposición que un cuerpo experimenta para ser acelerado. Sabernos que para una fuerza dada, mientras más grande sea la masa sobre la cual actúa la fuerza, menor es la acelera· ción impartida al cuerpo. Clásicamente, se considera que la masa inercial es una constante ooiversal e independien te de efectos exteriores tales como fuerza, temperatura, o velocidad. "'Ver, por ejemplo, la Endclopedia Británt·ca.
•
13
El momento lineal de una partícula de masa inercial m que se mueve con velocidad v es un vector que se defme por (2-1 )
En términos de vectores unitarios y de componentes, podemos escribir p = imv x
+ jmv y + kmv z
donde 1, j, k son vectores unitarios paralelos a los ejes coordenados x, y, y z respectivamente, y donde v x , V)/ y V z son los componentes correspondientes del vector de velocidad v referidos a los tres ejes ortogonales. El principio de conservación del momento lineal establece que: Para un sistema aislado de particulas, el momento lineal total del sistema permanecerá constante. Por un sistema aislado se entiende un sistema libre de cualquier influencia externa. Para el sistema aislado de la figura 2-1 , mAv -t
+
mavB =
constante
(2-2)
Para un sistema compuesto de muchas partículas, tenemos mAv A + mavB + ... + mNvN -
I
IN
¡:.
nliV¡ =
constante j
(2-3)
,
Ahora derivaremos las tres leyes del movimiento de Newton a partir del principio de la conservación del momento. Para dos partículas aisladas, la diferenciación de la ecuación (2-2) con respecto al tiempo da
dv. -m.dI Ya que a
dv/dt, tenemos (2-4)
Las aceleraciones son así inversamente proporcionales a las masas inerciales, a = F(l/m). dondeF es una constante de proporcionalidad. Por lo tanto, tenemos una definición de fuerza: (2-5)
14
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
z
Cuando la fuerza actúa por un tiempo finito t', tenemos
(2-7)
Figura 2-1 El principio de conservación del momento lineal para un sistema de dos partículas aisladas requiere que mA vA + mB VB = constante a través de toda la interacción de las dos partículas, desde t= _ 00 hasta t = + oo.
Esta es la segunda ley de NewloYL Ahora bien, para dos partículas aisladas interaccionando sólo entre s( por una fuerza (por ejemplo, eléctrica o gravitacional), FA es la fuerza que la partícula B ejerce sobre la A y FB es la fuerza que la partícula A ejerce sobre la B Ó
Esta integral es llamada el impulso de la fuerza F. Vemos que es igual al cambio de momento que resulta de la aplicación de esta fuerza durante el tiempo t'. Cuando una partícula energética efectúa una colisión de corta duración con una segunda partícula, se dice que las fuerzas entre las partículas son fuerzas impulsivas. Aunque las fuerzas impulsivas mismas son en general difíciles de medir, las colisiones pueden ser analizadas a través de la conservación del momento lineal usando la ecuación (2-7). Ya que las fuerzas impulsivas a menudo son grandes cuando se comparan con las fuerzas externas al sistema, y ya que son aplicadas por muy oortos intervalos de tiempo, frecuentemente podemos suponer que las fuerzas externas al sistema son despreciables. Por estas razones, durante una colisión, elástica o inelástica, se puede supoller que el momento se conserva.
2-2 Este es el principio de acción y reacción al que nos referimos como la tercera ley de Newton. Finalmente, para una sola partícula libre, ya que tanto F = O como a = O, Y puesto que sabemos que a : : : : dvjdt concluimos que
CONSERVACION OEL MOMENTO ANGULAR
El momento angular para tl.1a partícula con momento lineal p, localizada por el vector de posición r con respecto a un origen de referencia O, es un vector definido por
l
-,
!v =
constante 1
!L=rxmv=rx p [
Esta es una exposición de la ley de inercia o primera ley de Newton. La segunda ley de Newton puede escribirse como d F= - (mv) dI de la cual obtenemos
F di - d(mv)
(2-6)
(2--8)
como se ilustra en la figura 2-2(a). Debemos notar que el momento angular depende de la elección del lugar del origen de referencia. También, contrariamente a nuestras expectativas, la partícula no necesita tener, con respecto a un sistema dado de coordenadas, ningún tipo de movimiento circula; para poseer momento angular. Podemos reescríbí: el vector de momento angular en térntinos de lO!
CAPITULO 2:
z
LEYES DE CONSERVACION
15
Recordemos que la fuerza puede ser considerada la "causa" del movimiento lineal. En la misma forma el momento de torsión, usualmente denotado por T, puede ser considerado la "causa" del movimiento rotacionaL En la figura 2-2(b) una fuerza F aplicada a una partícula con el vector de posición r desde el origen de referencia produce un momento de torsión.
p
k
1
o~-----'--~-----0Y
~A i
(2-9)
Para desarrollar una relación entre el momento angular y el momento de te .-sión, diferenciamos la ecuación (2-8) con respecto al tier.lpo, obteniendo
x (,) z
dL
dr
dt
dt
x mv
+
d r x - (mv) dI
Ya que drfdt ~ v, (drfdt) x mv ~ O, Y F(dfdt)(mv), La ecuación se puede simplificat a
(2-10) o~=----~-------->y T
x
Ibl
Figura 2-2 (a) 1
1
3)
Una partícula de masa m con momento lineal p dirigido en el sentido negativo del eje Y tendrá un momento angular L = r x p. (b) Una partícula de masa m sobre la cual actúa una fuerza F (en el plano yz) tiene un momento de torsión con respecto al origen igual a T = r x F.
En el movirrñento planetario, la atracción gravi· tacional actúa continuamente sobre un cuerpo. Esta siempre es una fuerza dirigida a lo largo del radio de la trayectoria del cuerpo, dado que el centro del cuerpo es el origen de referencia. "Ya que el vector de posición r y la fuerza F están siempre en la misma dirección, T = r X F = O, Yde la ecuación (2-10) concluimos que el momento angular L de tal sistema debe ser constante. Para un sistema de muchos cuerpos y fuerzas, el momento de torsión resultante es N
TR
=
L
i=l
lf
,1 aele
ar )ir
os
vectores unitarios y de las componentes del momento lineal como
L
i x Px
j
k
y Py
z p:!.
i(YPT - zp y)
+
j(zpx - xp")
+
k(xp, - YPx)
(2-8,)
Ti
~
d -
dt
(NL L),
(2-11 )
i=l
Consideremos un sistema libre de fuerzas externas. Nuestro análisis previo ha mostrado que los momentos de torsión debidos a las fuerzas internas entre cualquier par de partícUlas se cancelan, de acuerdo con la tercera ley de Newton,
16
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
y por lo tamo
ya que dr/dl = v. Si integramos se obtiene
IL:
L =
constant~
(2-12)
WAS =
Esta es una exposición de la conservación del momento angular.
2-3
En la figura 2-3(a), sobre una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria curvilínea AB actúa una fuerza F a medida que recorre el despla· zamiento dr. El trabajo diferencial de la fuerza se define por (2-13)
WAB =
f:
F . dI =
f:
F cos rx dr
=
f BF . dr A
=
fB In -dv • dr
=
dt
A
f'·
(2-14)
InV •
(2-15)
Fe' dr =
f
Fe' dr = constante
ADB
Podemos exponer esto diciendo: Si el trabajo hecho por Fe al mover la partícula desde el punto A hasta el punto B es independiente de la trayectoria tomada, entonces Fe es una fuerza conservativa. Como un ejemplo, revisemos el trabajo hecho por la fuerza gravitacional. La figura 2-4 muestra una partícula de masa m a medida que se mueve desde el punto A hasta el punto B bajo la influencia de la fuerza gravitacional F,.
Supongamos que F es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Entonces W AB
f
ACB
Sí la fuerza F es aplicada a lo largo de la trayectoría AB, entonces el trabajo total hecho es
W.48 =
mv dv
La cantidad K= ~mv2 se define como la energía cinética. Esta es una exposición del principio de trabajo-energia: El trabajo resultante efectuado por todas las fuerzas que actúan sobre la part(eula es igual al cambio correspondiente de la energía cinética. La fuerza Fe en la figura 2-3(b) se llama fUerza conservativa si
CONSERVACION OE LA ENERGIA
dW = F' dr
f'.'·
dv
CA
z
z
VA
Fe F
o,ilE:------------> y
B
v,
x
la)
y
O
x
D
(bl
Figura (2-3)(a) El trabajo hecho por la fuerza F al mover la partícula una distancia dr es dW~F' dr. (b) Para una fuerza conservativa F" el trabajo WAB = I~ F,. dr es independiente de la trayectoria que conecta los puntos A y B
CAPITULO 2:
Ya que F, ~ - jmg, el trabajo hecho por la fuerza es h
WA • =
r
(-jmg)' (1 dx
'
+j
LEYES DE CONSEAVACION
•
17
B puede ser elegida arbitrariamente. Usualmente,B se escoge en el infinito, de manera que UB = O. Por lo tanto,
dy)
Jh'
--i
(2-17)
h'
mg dy = mg(h, - h 2 )
h,
W=mgh
La energla potencial en cualquier punto es entonces definida como el trabajo hecho por una fuerza igual pero opuesta en dirección, usada para mover la partl'cula desde el punto de referencia B hasta la posición dada A. Recordemos el principio del trabajo-energía dado por la ecuación (2-15):
y
Este puede ser reescrito para incluir tanto fuerzas conservativas como no conservativas:
, I
1 .
x
O --:ro ,
WAB (conservativas)
+
WAB (no conservativas) = K. -
Figuro 2-4 El trabajo hecho por la fuerza gravitacional conservativa es independiente de la trayectoria entre los puntosA y B.
KA
(2-18)
De nuestra discusión anterior sabemos que W... (conservativas) = UA
U.
-
Rearreglando los términos de la ecuación (2-18) Ya que el trabajo hecho por la fuerza gravitacional es independiente de cualquier trayectoria que se tome entre M:JS puntosA y B, es una fuerza canser'i'aliva.
La energ{a [XJtencial se define en términos del trabajo hecho por una fuerza conservativa:
U...
~
f:
WA.(no conservativas}
~
(K. - KA) - (UA
o WA • (no conservativas) - (K.
+
- (KA F•• dr
~
U. - U.
U.)
-
U.)
+
(2-19)
UA)
f2-1 e)
(independiente de la trayectoria)
La función eocalar de posición U(x, y, z) es la función de la energía potencial asociada con la fuerza ronservativa Fe_ Las cantidades UA y Un son simplemente los valores de la función U(x, y, z) evaluada en los puntos extremos de la trayectoria. La energía potencial en cualquier punto dado e!ltá de"'ni
Si toda:!! las fuerzas implicadas son conservativas, de forma que W.. . .8 (no conservativas) = 0, obte~ nernos
I KA
+
U.. = K.
+
U. = constante I
(2-20)
E:!!ta e:!! una exposlClCln de la conservación de la energ{a mecánica. En otras palabras podemos decir que cuando todas las fuerzas que actúan sobre una partícula lK:ln conservativas, la energía total en
13
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
cualquier posición es igual a una constante llamada energía mecánica total. Cuando consideramos todas las fuerzas, tanto conservativas como no conservativas, el trabajo he~ cho por las fuerzas no conservativas en la ecuación (2-19) siempre aparecerá como alguna forma de energía. Por ejemplo, si la fuerza no conservativa es una fuerza de fricción, entonces la energía de esta fuerza aparecerá como energía calorífica. El principio de conservación de la energz'a, una exposición generalizada que deducimos de la experiencía, establece que la energfa de un sistema aislado puede ser transformada de una clase de energz'a a otra; sin embargo, la energ{a total en sus varias forrruzs no puede ser creada ni destmida.
2-4
CAMPOS
mecanismo de los campos. Brevemente revisaremos aquí los conceptos de campo. Hay dos categorías de campos: vectoriales y escalares. Defmimos un campo como una región del espacio en la cual podemos hacer una ·medición de una cantidad física. Un campo escalar de posición es definido por una función de posición
"'(x, y, z) = 2x 2
w, Q.~-----
p. m
,
"
3y 2
=
cf¡(2, 1, O)
,----
Os B !leC !ID
La masa m'l crea un campo gravitacional , 9 en el espacio Que rodea a mI
16 ¡OC)
= -
11°C
Existen muchos otros ejemplos de campos escalares, tales como una distribución de densidad, presión y así sucesivamente. En algunos casos se añade una cuarta coordenada -el tiempo- y el campo
.. A
La masa mi crea un campo gravitacional 9 en el espacio Que rodea a m2
+z-
El valor escalar de la temperatura asociado con un punto particular P (x = 2, Y = 1, z = O) es entonces
cf¡(x, y, z)
Una defmición de la física establece que es el estudio de los diferentes tipos de interacciones-gravitacionales, electromagnéticas, débiles y fuertes. Estas interacciones pueden ser estudiadas a través del
-
El campo gravitadonal 9 actúa sobre la masa m2 campo gravitacional g' actúa soEl
bre la masa ml
O
-
Una fuerza W2 m2 9 se ejercerá sobre m'l Una fUerza W, mI g' se ejercerá 50bre mi
Figura 2-5 Interacción gravitacional entre dos masas.
CAPITULO 2: LEYES DE CONSEAVACION
.5C3lar se vuelve una función tanto de la posición .=Qmo del tiempo. Un caso simple se da cuando la :=,mperatura en un punto dado no permanece cons:znte y varía con el tiempo_ Un campo vectorial se define por una función ,ectorial F(x, y, z) que asigna a cada punto en un t32.fCO de referencia dado, un vector. Un buen *mplo de un campo vectorial es el campo gravita:ional de la tierra, en el cual se asigna un vector & a '2da punto en el espacio. La magnitud de g depen:e de un parámetro~la distancia del punto al cen'""" de la tierra. La interacción de los cam}X)s gravitacionales de ~ s masas se ilustra en la figura 2-5. Los campos ""vitacionales a distancias PA, PB, pe, y PD de la n =tlSa m¡ son, respectivamente, &A, gB, &c y gDLlU masa de prueba mz localizada en p' a la distan.:ia r de la masa mt experimenta un campo gravitacianal g producido en ese punto por la masa mt_ El campo actúa sobre m, y le produce una fuerza ala- yavitacional f 2 = m2 g_ Esta siempre es una fuerza )~- ~ctiva dirigida hacia m¡ _ Siguiendo el mismo LIla- "::lálisis, vemos que m2 ejerce una atracción gravinpO -cional f 1 = -mI g sobre mI_ las fuerzas f l y F~ son iguales y opuestas en dirección, de acuerdo con el principio de acción y reacción F 1 = - fz . Como ya expusimos antes, además de las interacciones entre fuerzas gravitacionales, hay otras fuerzas interaccionantes-electromagnéticas, fueres o nucleares, y débiles. Las intensidades relativas le estas interacciones se muestran en la tabla 2-1. Tabla 2·1 Fuerzas de interacción INTENSIDAD INTERACCION
----
RELATIVA
gravitacional débil (nuclear) electromagnética fuerte (nuclear) Aunque las interacciones gravitacionales son las s débiles, la peculiar propiedad que poseen de ;nentar sin ümite a medida que la masa atractiva nenta, hace de la fuerza gravitacional la más ia de la vida cotidiana. Estas fuerzas fueron das por Newton en el siglo XVII para construir
•
19
su teona universal de la gravitación. Las fuerzas electromagnéticas llegaron a ser conocidas de los antiguos, a través de la atracción que la magnetita ejercía sobre materiales magnéticos tales como el hierro, y en la atracción o repulsión de pequeños trozos de materiales por el vidrio o la resina frota~ dos con seda. Augusto Agustino (Sao Agustín) fue el primero en notar la diferencia entre las fuerzas eléctricas y magnéticas en estos ejemplos. Muchos siglos después, Faraday, Maxwell, Lorenlz y otros cuantificaron el concepto de campo electromagné~ lico. El campo nuclear fue descubierto por Rutherford en SllS históricos experimentos con hojas de orO para dispersar partículas a procedentes de fuentes radiactivas. El campo nuclear débil está implicado en el decaimiento ~ de las partículas elementales y de los núcleos atómicos y fue descrito por primera vez en forma cuantitativa por Fermi en su teoría del decaimiento ~ desarrollado en la década de 1930*. Las interacciones gravitacionales y electromagnéticas explican la mayor parte de los fenómenos que tienen lugar en el mundo macroscópico_ Así, estas interacciones fueron las primeras en ser en· tendidas. Por otro lado, se puede pensar en las interacciones fuerte y débil como eo los modelos de trabajo apropiados para los fenómenos del mun· do microscópico. Brevemente, entonces, establecemos de nuevo que la materia de la física se puede definir como el estudio de los diferentes tipos de interacción entre las partículas y de las leyes de conservación. Las leyes elementales de conservación discutidas en este capítulo forman la base de la física teórica. Las leyes intrínsecas de conservación, tales como la conservación de la paridad, la conservación de los nucleones, etc., serán desarrolladas y estudiadas en capítulos posteriores a medida que las necesitemos. Establecemos sin probarlo que cada ley de conservación aparece como el resultado de alguna propiedad de simetría única de un campo o del espacio-tiempo mismo.
*(0:= alfa), (j3 = beta) letras del alfabeto griego.
20
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO y TIEMPO
2-7 PROBLEMAS
2·1
Una partícula de masa mI "" 2.0 kg tiene una velocidad v, = 3 ¡ + 5 j m/seg, y una segunda partícula de masa. m2 "" 6.0 Kg tiene una velocidad V2 =4 i + 2 j rn/seg. ¿Cuál es el momento total del sistema
con respecto al origen cuando t = J.O seg y cuando t = 3.0 seg. 2~8
compuesto de estas dos partículas?
2-2
Un neutrón con una velocidad de 8.0 X 10· ¡ m/seg efectúa una colisión elástica de frente con un núcleo de helio inicialmente en reposo. Determine el momento y la
Un electrón gira en una trayectoria circular de radio 5.3 X 10-1 I m con una velocidad de 2.2 X lO· rn/seg. ¿Cuál es la magnitud del
momento lineal del electrón? ¿Cuál es la magnitud del momento angular? 2-9
velocidad del núcleo de helio después de la colisión. 2·3
Una partícula de masa ·m = 2.0 kg se muevt:, con una velocidad constante de v = 20 i m/seg. Si pasa por el punto P (0.10 m) en el tiempo t = O, encuentre su momento angular
Muestre que para un planeta en órbita alrede-
Un astronauta usa un uniciclo para ejercitarse. Si el astronauta y el uniciclo están "flo· tando" mientras que se ejercita, describa el movimiento resultante. ¿Qué pasa cuando repentinamente detiene la rueda giratoria?
dor del sol bajo la influencia de fuerzas radia· les solamente, el momento angular del planeta se conserva.
2·4
Una partícula
O<
con una velocidad de 6.0 X
5
10 rn/seg hace una colisión elástica con un átomo de carbón inicialmente en reposo. La
partícula
2·10 ¿Qué tanto trabajo se requiere para aoelerar una masa de 0.012 kg. de una velocidad óe 200 rn/seg hasta otra de 380 rn/seg? 2-11 Las estrellas brinarias de igual masa giran al· rededor de su centro de masa. Discuta la conservación del momento, lineal y angular, para este sistema.
es dispersada a un ángulo de 60° con respecto a la dirección original y el átoO<
mo de carbón a un ángulo de 30° al otro lado de la dirección inicial. La masa del átomo de carbón es tres veces la de la partícula a. Encuentre la velocidad del átomo de carbón después de la colisión.
2·5
Una masa de 3.0 kg. con una velocidad de v = 9.6;" + 12 8j' m/seg golpea una pared perpendicular al eje X. Suponga que esta es una colisión perfectamente elástica y determine el impulso dado a la masa como un resultado de la colisión.
2·6
Una '!"Isa de 5.0 kg con una velocidad de v, = 20i m/seg choca con otra masa de. 4.0 kg que viaja a la velocidad de'2 = - 65i rn/seg. Si estas masas permanecen unidas, encuentre la velocidad de la combinaCIón después del
choque. ¿Cuál es el impulso dado a la masa de 5.0 kg?
LECTURA RECOMENDADA
COHEN, l., "Isaac Newton", Sci. Am., diciembre de 1963
FEINBERG, G., Y GOLDHABER, M., "Las leyes de conservación de la Física",Sci. Am., octubre de
1963. FEYMAN, R. P., LEIGHTüN, R. B., y SANDS, L. M., Las lecturas de Feyrnall sobre la F(sica, Addison.Wesley, Reading, Mass., 1963, VoL 1, ca· pítulos 5 y 8. HESSE, H., "Carta de recursos sobre las bases filosóficas de la mecánica clásica", A m. J. Phys. 32. 905 (1964).
CAPITULO 2:
LEYES DE CONSERVAcrON
•
21
L1NDSAY, R. B., Y MARGENAV, H., Fundamentos de [isica, Wiley, ueva York 1936.
University Press, Cambridge, Mass., 1963, páginas 212-220 y 228-236.
McCUS KEY, S. W., Introducción a la dinámica avanzada, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962, capítulo 1.
RABINOWICZ, E., "Carta de recursos sobre la fricción",Am. J. Phys. 31,897 (1963).
MAGIE, W. F., Un libro fuente de la flsica, Harvard
YOUNG, Hugh D., Fundamentos sobre mecánica y calor, McGraw-HiIl, Nueva York, 1964.
3
Relatividad clásica
Galileo Galílei (1564-1642) Nacido en Pisa, Italia, y educado en
la Universidad de Pisa, Galileo construyó una ({sica matemática válida para una tierra en movimiento. Su tratado más famoso, Diálogos referentes a dos nuevas ciencias (1638) contiene un estudio detallado del movimiento. Expresando sus resultados en un lenguaje matemático conciso, sentó el ejemplo para los futuros cient/ficos. Galileo fue sentenciado al
arresto permanente en su hogar cerca de Florencia en 1633 por defender ardientemente (as reorias copernicanas, a fas cuales se oponían vehementemente los lideres de la iglesia.
3-1 3-2 3-3 3-4 22
LIMITES DEL "SENTIDO COMUN" PRINCIPIO CLASICO DE LA RELATIVIDAD INVARIANCIA DE LA CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTON
3·'
LIMITES DEl "SENTIDO l:DMUN"
En el capítulo previo empezamos nuestro estudio de la física, y por lo tanto del mundo físico, consi· derando el efecto que las fuerzas mecánicas tienen sobre los objetos en el universo. Cómo actúan las fuerzas para hacer que los objetos se muevan o para cambiar su estado ele movimiento, es el tema
de una rama de la física llamada mecánica. Todos hemos observado estos fenómenos desde nuestra más temprana niñez; todos hemos experimentado fuerzas y aceleraciones de algunos objetos. Por ejemplo, hemos aprendido a "inclinarnos" hacia el interior de una curva cuando estamos patinando o corriendo. Hemos experimentado un "momento" a medida que nos deslizamos en bicicleta hacia abajo y después hacia arriba de una colina. Hemos observado los efectos de fuerzas generadas contra una superficie: por ejemplo, cuando una roca o pelota golpea una superficie y su vector de momento cambia con rapidez, especialmente si la superficie es una ventana de vidrio. Estos eventos constituyen nuestra experiencia común, y así se vuelven componentes de ]0 que calificamos como nuestro sentido común. Los físicos y otros científicos están tratando de ampliar estas lecciones del sentido común y de aplicarlas a lo muy grande (macroscópico), a lo muy pequeño (microscópico), a lo muy rápido, y a
los objetos muy distantes. Un verdadero progreso en estos imentos se ha obtenido en los siglos recientes, a medida que los científicos aprendieron a codificar la experiencia común en un conjunto de leyes generales que podían expresarse como ecuaciones. Estas ecuaciones se pueden aplicar a la descripción de una vasta porción del universo conocido. Las mediciones que efectuó Tycho Brahe, uno de los primeros astrónomus, dI:: lus movimientos de los planetas a través del firmamento, proveyeron a Johannes Kepler en el siglo XVI con datos suficientes para que pudiera definir las trayectorias de los planetas como órbitas alrededor de un centro de masa común. Después, hacia el fin del siglo XVII, Newtoo desarrolló su teoría de la mecánica usando algunos de los conceptos cínemáticos crea· dos por Galileo, y pudo demostrar que las leyes empíricas del movimiento planetario, fonnuladas por Kepler, tenían su base física en las leyes de la gravitación. Los físicos del siglo XVII se animaron bastante al encontrar que, evidentemente, las mismas leyes de la mecánica que describen la trayectoria de una roca lanzada a través del aire podian describir el movimiento de los planetas alrededor del soL Entonces fueron capaces de ampliar legítimamente sus "sentidos comunes" a grandes distancias. Sin embargo nosotros, como físicos del siglo XX, a medida que abarcamos mayores distancias y 23
24
•
PRIMERA PARTE; ESPACIO Y TIEMPO
masas más grandes, o a medida que consideramos objetos muy pequeños y objetos que viajan a muy altas velocidades, encontramos que nuestros senti· dos comunes ya no son aplicables. ASÍ, descu· brimos que las "leyes" que gobiernan el mundo existente a nuestro alrededor son. en realidad, sólo aproximaciones a un conjunto más grande de leyes que cubren un dominio más amplio de la naturaleza. Encontraremos entonces que este conjunto más grande de leyes está lejos todavía de ser un conjunto verdaderamente universal con el cual des· cribir el vasto universo en todos sus detalles. Pero como nuestros sentidos comunes sí se aplican. con predsión excelente, a una gran porción de la naturaleza, utilizamos un término especial para desjg· nar este dominio de la física: cldsica. La mecánica clásica. como otras ramas de la mecánica que han sido desarrolladas, dependen del tipo de leyes de conservación que establecen que alguna cantidad permanece igual a través del cam· bio en r1 movimiento de un objeto. Por ejemplo, la masa de una pelvta antes y después de haber sido golpeada. El sentido común nos dice que, funda· mentalmen~e, la naturaleza debe ser la misma para el hombre que viaja en un tren que para el hombre que ve pasar al tren por su lado. Una distancia, digamos de 1 m. medida sobre el tren debe ser la misma que una distancia equivalente medida sobre
la tierra, y el reloj en el bolsillo del hombre en el tren debe marcar la misma hora que el reloj del hombre que ve pasar el tren por su lado. Estas son conclusiones del sentido común o del enfoque clá· sico de la naturaleza. Derivemos ahora. de esta foro ma de abordar la naturaleza, un postulado clásico.
3-2 PRINCIPIO CLASICO DE LA RELATIVIOAO La definición del término relatividad proporciona el concepto clásico subyacente en gran parte de l. física, y sin embargo lo encontramos tan simple que parece casi trivial. Por relatividad queremos decir la apariencia que presenta la naturaleza a un observador y su relación con la apariencia que pr~· senta la naturaleza a otro observador. que puede estar en movimiento con respecto al primero. Pare· ce de simple sentido común que el estado de movi· miento relativo de un observador no debería alte· rar las leyes de la naturaleza. Si el estado de movimiento de un observador pudiera cambiar las leyes, deberíamos preguntarnos: ¿existe un conjunto in· finito de leyes, o no existe ninguna ley? Así que expresamos fe en nuestro sentido común y en la estabilidad de la naturaleza, mediante el principio clásico de la relatividad: todas las leyes de la natu· raleza deben ser las misnzas para todos los observa·
M(Xl,Yl,Zl,t 1l (X2.V2,~~.(:l)
v-+
__~~=~~::::===-=-~~
o,J1~:::::
z,
-X-1 .. Xl
/
z,
Figura 3·1 Un punto M, moviéndose en el espacio y en el tiempo, se observa desde un sistema estacionario SI y desde un sistema S2 que se mueve con una velocidad v con respecto a SI.
CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLASICA
dores que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante. Si el movimiento relativo no es constante, entonces es acelerado, y la situación se vuelve más complicada, cayendo dentro del dominio de la relatividad general. Ahora derivaremos el principio clásico de la relatividad en términos más formales. En la figura 3-1 los dos marcos o sistemas de referencia, S 1 Y S2, se mueven uno con respecto al otro. Por simplicidad, están orientados de manera que sus ejes Xi. Y¡. y Z¡ son parelelos, y que el vector de velocidad relativa v es paralelo a los ejes Xl y X2. Se hace también la suposición de que los relojes en SI YS2 marchan a la misma velocidad, y están sincronizados para marcar t = O cuando los orígenes de los dos sistemas coinciden. Así, nos damos cuenta de que no será necesario escribir tI o t 2 ya que el tiempo es el mismo en los dos marcos de referencia y basta escribir t para el tiempo en ambos sistemas. Es importante que entendamos en este context J el tema, aparelltemente trivial, de leer el tiempo .'le marcan los relojes. Descubriremos posteriorAente que tal vez este tema es algo más compli_ado de lo que revela nuestro análisis original. EnlUnces, en la relatividad clásica, un observador 0 1 en el sistema SI ve la misma hora TI en su reloj que la que lee en el reloj perteneciente al observador O 2 en el sistema S2. Recíprocamente, el observador O 2 lee la misma hora en el reloj del observador 0 1 que la que ve T 1 en su propio reloj. La «similitud" del tiempo leído en cualquiera de los dos sistemas es una suposición básica. Al principio esta suposición puede parecer adscrita al simple "sentido común". Deberíamos hacer algunas suposiciones adicionales de sentido común acerca del espacio que SI y 51 ocupan en común. Suponemos que se pueden colocar los vectores unitarios 11 e 12 sobre los ejes Xl y X2, Y que 11 es siempre igual a 12 cualquiera que sea el valor de t o v. Nuestra suposición es que un vector unitario siempre lo es, cualquiera que sea el marco en el cual se ve o se mide, y que un vector unitario siempre permanece siendo un vector unitario. Inicialmente, esta suposición puede parecer de simple sentido común, hasta que examinamos la forma en que. se mide la "longitud" de un vector. Por el momento, eludiremos esta cuestión y descansare-
•
25
mas sobre nuestra f)uposición de sentido común. Para que podamos tratar a los tres ejes igualmente, supongamos que un vector unitario ji yace sob.re el eje y, que], yace sobre el eje h, y que j = j para todos los t sin importar cuál observador esté haciendo la medición. Finalmente, dejemos yacer los vectores unitarios k1 y k: 2 a lo largo de los ejes z 1 y Z2 , respectivamente con las mismas relaciones de igualdad establecidas para los otros vectores unitarios. Ahora consideremos los dos marcos de referencia SI y S2 de la figura 3-1, Y olvidemos los subíndices de los vectores unitarios, ya que los vectores son los mismos en ambos sistemas. Imaginemos ahora que un evento está sucediendo en M, un punto en el espacio yen el tiempo que puede ser observado tanto desde SI como desde S2. Este suceso ocurre en el tiempo t leído en cualquiera de los relojes de los dos sistemas. Por consiguiente, según la figura 3-1, podemos escribir la ecuación vectorial (3-1 ¡
donde (O, O,) es la distancia desde el origen de S 1 hasta el origen de S'l en el tiempo t del suceso. Ya que todos nuestros relojes fueron puestos en marcha cuando los orígenes coincidían, podemos escribir esto como
(O,O,)i
~
vti
(3-2)
Además, los vectores de posición en SI Y 8 1 se pueden escribir, en términos de sus componentes, en esta forma
y "
=
x,i + y,! + z,k
(3-4)
donde (x" y" z, ) son las coordenadas de M en SI en el tiempo t, y (x" y" z,) son las coordenadas del mismo punto ;\1 pero en S1 en el tiempo t. Ahora, la sustitución de las ecuaciones (3.2), (3·3) y (3-4) en la ecuación (3-1) da
x,i + y,! + z,k =
i,
(x,
+
vt)i
+ y,! + z,k
(3-5)
Ya que i, k son ortogonales (u objetos funcional· mente independientes), la ecuación (3-5) se puede
26
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
escribir como tres ecuaciones simultáneas con la adición de otra trivial que se definió al empezar:
x,
=
Xz
+
vt
y, =Yz Z,
(3-6)
Z2
t, = t z
Notamos que sólo los coeficientes en la ecuación (3-5) aparecen en el sistema (3-6). Los componentes vectoriales de cada lado se han cancelado. El sistema (3-6) es el primer ejemplo de una transformación de coordenadas que hemos encontrado_ Examinemos el significado de esta transformación. Le oice al observador en SI como relacionar las coordenadas SI de M a las coordenadas S2 de M que él, el observador SI, mide en ambos sistemas de referencia. Si el observador S2 quiere relacionar las coordenadas en su marco con las coordenadas que mide en el marco SI, entonces se mantiene la misma transformación pero a la inversa. La inversa del sistema (3-6) es
traslaciones lineales debidas a una velocidad vectorial constante v_ Ahora extendemos nuestra teoría de las transformaciones Galileanas para incluir los efectos di· námicos tanto como los estáticos; averiguaremos cómo deben entenderse las velocidades cuando se observan desde diferentes marcos. Imaginemos que nuestro evento en el punto M se enCllentra ahora en movimiento, alejándose de M en el tiempo t. Entonces la velocidad del evento con respecto a SI es VI , donde (3-8)
y la velocidad del evento con respecto a S2 es V
z
dr
= -z
(3-9)
dt
Sustituyendo la ecuación (3-2) en (3-1) y diferenciando con respecto al tiempo t, Y usando las ecuaciones (3-8) y (3-9), obtenemos la ecuación vectorial (3-10)
Xl
=
Xl
Yz = y, Zz
-
-
vt (3-7)
Zl
t z = tI
Los dos sistemas (3-6) y (3-7) de ecuaciones simultáneas representan parte de lo que se conoce .como grupo de transformaciones Galileanas. Si consideramos todas las posibles formas diferentes en que podrían estar relacionad~s entre sí los dos sistemas, incluiríamos los desplazamientos lineales a lo largo de los ejes y y Z, de la misma clase del que hemos descrito a lo largo del eje x. Además, consideraríamos las rotaciones de ángulos variables alrededor de los diferentes ejes y también las reflexiones a través del origen yen cada dirección. Tornadas en conjunto, estas relaciones forman un grupo. Las propiedades del grupo, cuando se exhiben en forma algebráica" representan lo que generalmente llamamos grupo Galileano. Sin embargo, aquí no nos referiremos a rotaciones ni a reflexiones, sino que trataremos de las transformaciones, llamadas mapeos algunas veces, correspondientes a
Recomendamos como ejercicio que la ecuaClQn (3-10) se escriba en su forma de componentes [compárense las ecuaciones (3-5) y (3-6)]. En cualquier caso, o sea, como una ecuación vectorial tal como la dada por la ecuación (3-10) o la misma ecuación como un sistema de ecuaciones simultá· neas en una forma equivalente de componentes, la ecuación (3-10) puede ser llamada composición Galileana (o clásica) de velocidades. La ecuación (3-10) tiene, desde luego, una inversa [compárense las ecuaciones (3-6) y (3-7)],
I v,
VI -
v
I
(3-11 )
Diferenciamos con respecto al tiempo una vez más, recordando que el sistema S2 se mueve con ve· locidad constante v con respecto a SI' La misma respuesta se obtiene de cualquiera de las ecuaciones (3-10) o (3-11), de modo que para ambos observadores dv, dv, (3-12) dI dI
CAPITULO 3:
(3-13)
!as aceleraciones parecen ser las mismas vistas .::s:= uno ti otro marco. Decimos que la aceleraes una invariante con respecto a una transfor~n Galileana. Ya que la masa también es una ..nrrriante en este tipo de transformaciones, el proa de la masa por la aceleración, o fuerza, tam;ZD es una invariante con respecto a una transfor"7'!I::ión Galileana. Hemos estado usando una nueva terminología en páginas anteriores, y debemos advertir que ella es~de algunos nuevos pensamientos y conceptos. ~
leyes de conservación establecieron que ciertas :::.::::nidades tales como la energía o el momento ~necen constantes en "cantidad" total antes .:=~ durante y después de una interacción dada.
3·3
INVARIANCIA DE LA CDNSERVACIDN DEL MDMENTD LINEAL
En la figura 3-2, ¡as dos partículas de masas m y m' forman un sistema aislado sin fuerzas externas. Sea SI un marco inercial de referencia y 8 2 otro marco que se mueve con respecto a SI con la velocidad constante v_Para el sistema S 1 la ley de la conservación del momento establece que mv 1 donde
VI
+
m'v l'
=
constante
(3·14)
Y V; son las velocidades de m y m' respec-
•
27
tivamente. Así el valor del número dado por la suma mYl + m'Yl ' en el tiempo t permanece inalterable en cualquier tiempo posterior, siempre y cuan· do no aparezcan fuerzas externas. Ahora dejemos que V2 Y v/ sean las velocidades respectivas de las mismas dos partículas con respecto a 8 2 • Sabemos que, de acuerdo con la composición Galileana de velocidades, (3-151
La"sustitución de la ecuación (3.15) en la ecuación (3-14) muestra que m(v
+
v2 )
mV2
+
m'v 2'
o
+
m'(v =
+
v,') = constante
constante - (m
+
m')v
v,
y,
-=-"1l:les interacciones son ejemplos de traslaciones en
tiempo, y las leyes de conservación son exposi!iones acerca de la invariancia de alguna cantidad =ejo estas traslaciones. Por otro lado, en este capí· LUlo hemos discutido la invariancia bajo un cambio ::ompleto de marco espacial. En el caso anterior, ms eventos ocurrieron en un solo marco. En esta sección, ampliamos nuestro campo para incluir la relación entre dos ó más de estos marcos movién· ose entre sí. En los próximos capítulos, conside· raremos con mayor detalle las transformaciones entre dos de estos marcos. En el curso de este proceso ampliaremos nuestra noción del "sentido común".
RELATIVIDAD CLASICA
t
m
~,
~
1"
m'
',l.
v~
---------+X2
~
-'--~?Xl
z,
z,
Figura 3-2 El momento total de las partículas m y m' es invariante en forma cuando se transforma al sistema inercial 8 2 . Finalmente I mV2
+
m'v 2'
=
constante 1
(3-16)
ya que (m + m') v ~ constante. Por lo tanto, comparando las ecuaciones (3-14) y (3·16) vemos que la conservación del momento lineal permanece invariante para todos los sistemas inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante.
28
3-4
-
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTDN
Consideremos de nuevo una partícula de masa m con velocidades VI y V2 vista desde los marcos de referencia SI y S2 respectivamente, donde ves la velocidad constante conque S2 se mueve con respecto aS, (figura 3-3).
v,
y,
t
tIs'
"
I
182
I
v,
\
EJEMPLO 3·1
v~
---------7 x 2
-;.-
0,
X,
z,
z,
F ¡gura 3-3
Una partícula de masa m moviéndose a la velocidad VI en el sistema SI Y a la velocidad V2 = VI - V en el sistema S2 . Recordemos que de acuerdo al principio clásico de la relatividad, la composición Galileana de velo~ cidades es (3-17)
ya que dv/dt, - O, -
mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante. Repitiendo el mismo razonamiento, se puede mostrar que las otras leyes fundamentales de la mecánica -la conservación del momento angular y la conservación de la energía- también permanecen invariantes para todos los marcos inerciales que se mueven entre sí a velocidad constante. Antes de exponer nuestra conclusión, demos una definición útil: Un observador inercial es un observador en reposo con respecto a un marco inercial. Por lo tanto, el principio clásico de la relatividad puede exponerse en esta forma: Todas las leyes de la mecánica permanecen invariantes para todos los observadores inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante.
dV2 dt 2
ó (3-18)
Así, mal - mal Y las dos fuerzas
Una bomba es soltada desde un aeroplano que vuela a una altitud de h = 2000 m con velocidad horizontal constante de v = ISO m/seg (ver figura 3-4). Obtenga las ecuaciones de (a) movimiento, (b) velocidad, y (e) aceleración de la bomba según lo que ve un observador terrestre 01 en un marco de referencia estacionario S 1 (x 1, Y d y según lo que ve el piloto O2 en el marco en movimiento S. (X2' Y2). SOLUCl.ON (a) Ecuaciones de movimiento. La aceleración de la bomba vista por el observador terrestre es simplemente g = 9.80 m/seg 2 (la aceleración de la gravedad). Al ser soltada la bomba por el aeroplano, su velocidad horizontal permanece constante con v ~ 150 m/seg medida por el observador terrestre. Después de t seg., el aeroplano se ha movido desde O 2 hasta =0'2 [figura 3-4(b)], y la bomba se encontrará en A justamente debajo de él. Six1 y y 1 son las coordenadas de la bomba, medidas desdeS 1, el movimiento de la bomba visto por el observador terrestre es ISO, Y, - h - tgt 2 = 2000 - 4.9t 2 Xl -
son las mismas en cada sistema. Hemos mostrado que la segunda ley de la mecánica de Newton es invariante para todos los marcos inerciales que se
El piloto ve
Vu,J =
CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLAS1CA
•
29
II
h
--x,_ {a) La bomba es soltada
(b) La bomba después de t seg
Figura 3-4
Bomba soltada desde un aeroplano vista por un observador estacionario y por el piloto. d2X2
dt'
(b) Velocidad. Diferenciando las anteriores ecuaciones de movimiento, obtenemos para el observador terrestre
dx¡ = dt
v lx
v
dy¡ dt
vI,
-gl
150 m/sec
-
al x
-o
d'y, = a,y = _g dt'
~
-9.8 m/seg'
Estas aceleraciones están de acuerdo con la transformación Galileana.
-9.81 PFlOBLEMAS
Ypara el piloto
dx, - v,. - O dt dy, = dt
V2)'
=
3-1
Una estación de radar fijada a la tierra rastrea dos naves cohete muy rápidas que se aproximan una a la otra a velocidades de 0.60c y 0.8Oc, respectivamente, donde e es la velocidad de la luz. ¿Cuál es la velocidad conque se aproximan entre sí las dos naves según un astronauta situado en una de ellas, de acuerdo con las transformaciones Galileanas? (Ver también el problema 4-15).
3-2
Una partícula es un sistema estacionario Sl tiene una posición dada por
-gt = -9.8t
Estos son los componentes rectangulares de la velocidad medidos por cada observador. (e) Aceleración. Similarmente, los componentes de la aceleración, para 0 1 , d2Xl
dt'
d'YI dt'
x¡ = 301¡
=
al)'
Y parn el piloto O"
= - g _ -9.8 m/seg'
+ 10tt'
donde t 1 se expresa en segundos y x 1 en metros. Encuentre expresiones para la posición, velocidad y ace!.<;:raciór. medidas por un
30
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO y TIEMPO
observador que se mueve en la dirección x positiva a la velocidad de 100 m/seg. Suponga que /1 = /2 = O cuando los sistemas SI y S2 coinciden.
rn/seg. Escriba las expresiones para la posición y para las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración de la pelota, vistas desde los sistemas SI YS,
3-7
Dos puntos A y B están separados dos kilómetros sobre la misma orilla de un río. De dos hombres que están haciendo el viaje redondo de A a B y de regreso a A, el primero rema en un bote a 8.0 km/hr. con respecto al agua, mientras que el segundo camina por la orilla a 8.0 km/hr. Ca) Si la velocidad de la corriente es de 4.0 km/hr. de A a B, ¿Cuál es el tiempo para que cada hombre haga el viaje completo? Cb) ¿Cuál es la velocidad del hombre que camina con respecto al hombre en el bote, en el viaje de A a B?
Un elevador se mueve verticalmente hacia arriba a una velocidad constante de 5.0 m/seg. Cuando el elevador está a 10 m sobre el piso, una persona sobre el piso tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 mlseg. Escriba las t"xpresiones que representan la posición, velocidad y aceleración de la pelota con respecto a la persona en el piso y a la persona en el elevador.
3-8
Un hombre que puede remar en un bote a 5.0 km/hr. en agua tranquila desea cruzar un río de 1.0 km. de ancho que corre a la velocidad de 3.0 km/hr. Ca) ¿A qué ángulo con respecto a la orilla debe dirigir el bote para alcanzar exactamente el punto opuesto del que parte? Cb) Calcule la velocidad del bote con respecto a la orilla. Ce) ¿Cuál es el tiempo requerido para cruzar el río?
En tI = O una pelota es lanzada desde 0 1 en el sistema estacionario SI con una velocidad inicial Vo = 30 m/seg a un ángulo de 60° como se ve en la figura 3-5. Los sistemas SI Y8 2 , coinciden en ti = 0, y el sistema 8 2 en la dirección x 1 positiva a la velocidad de 10
3-9
En la figura 3-6, un río de anchura L fluye con velocidad constante v. El nadador A hace un viaje redondo SRS paralelo a la orilla, y el nadador B hace un viaje redondo STS perpendicular a la orilla. Si la velocidad de cada nadador con respecto al agua es e,
3·3
Pruebe que la conservación del momento angular permanece invariante bajo una transformación Galileana.
34
Dos pelotas de masas mg y mb se mueven paralelamente al eje x en un sistemaS} (Xl, Y l. Z 1) con velocidades Va Y Vb respectivamente. Para una colisión elástica entre estas pelotas,muestre que la energía cinética también se conserva en un segundo sistema S'2 (X2, Y2, Z2) moviéndose con velocidad constante v en la dirección Xl.
3-5
3-6
y,
t S,
I¡S,
I
~ O,
~lOm/Seg
~
x,
o,<---'-----------'''3> x , Figura 3·5
Figura 3-6
CAPITULO 3: RELATIVIDAD CLASICA
muestre que (a) el tiempo del viaje redondo SRSes
(b) el tiempo para el viaje redondo STS e,
•
31
LECTURA RECOMENDADA
ALONSO, M., Y FINN, E. 1., Fúica, AddisonWesley, Reading. Mass., 1968, Vol. 1. Incluye una buena sección sobre la relatividad y problemas relacionados.
BONDl, H., Relatividad y sentido común Doubleday, Nueva York. Una introducción comprensible a la tearia especial
3-10 Dos niños están jugando con pelotas idénticas, cada una de 0.080 kg. de masa, en el
de la relatividad.
pasillo de un aeroplano que viaja a la veloci-
BUCHDAHL, G., "Ciencia y lógica: Algunos pen-
dad de 150 mjseg. Cada niño tira una pelota al otro a velocidades de 20 m/seg con respec-
samientos sobre la segunda ley del movimiento de Newton", Brit. J. Phil.Sci. 2,217 (1951).
to al aeroplano. Determine el momento total y la energía cinética, cuando las pelotas es-
tán en vuelo, según las mide (a) un pasajero en el aeroplano, y (b) un observador en la
DRAKE, S., "Galileo y la lye de inercia", Am 1. Phys. 32, 60 1 (1964).
tierra. Explique si son invariantes el momen· to y la energía cinética.
DURELL, Clement V., Relatividad comprensible, Harper & Row, Nueva York, 1960.
3-11 Un átomo radiactivo emite una partícula Ct: a
EINSTEIN, Albert, e INFELD, Leopold, La evolución de lJl [isica, Simon and Schuster, Nueva York 1938.
la velocidad de 5.0 X 106 rn/seg con respecto al átomo. Si el átomo se mueve en la dirección opuesta a la velocidad de 3.0 x lO' m/seg con respecto al laboratorio, determine la energía cinética y el momento de la partícula Q como ,e observan (a) desde el átomo en movinúento, y (b) por un observador estacionario en el laboratorio.
Lectura de preparación para una introducción a la
relatividad. GALlLEI, Galileo, Diálogos sobre dos nuevas cien-
cias, traducción de H. Crewe, MacMillan, Nueva York,1939.
}.12 Un sistema S2 (X2, Y2) se desplaza con movimiento traslacianal uniforme con respecto al sistema S, (x 1, Y 1) a la velocidad constante de 30 mjseg paralelamente al eje x. Los ejes
LANDAU, L. D., Y RUMER, G. B., ¿Qué es la relatividad: ,Oliver and Boyd, Edimburgo y Londres, 1960. Libro pequeño y accesible, introductorio al tema.
correspondientes en ambos sistemas son paralelos entre sí. Dos pelotas de masas mI = 2.0 kg. Y mí = 3.0 kg. se mueven con res: pecto_ al marco SI con velocidades VI = 3 i l
SEARS, Francis W., y BREHME, RobertW., Introducción a la teon" de la relatividad, AddisonWesley, Reading, Mass, 1968.
+
4j, (rn/seg) y v,' ~ Si, + l2j¡ rn/seg. Calcular (a) las velocidades de las dos pelotas con respecto a S2 ; (b) el momento total lineal con respecto a SI Y a 8 2 , respectivamente; y Ce) la energía cinética total con res-
pecto a los sistemas S, YS2 .
Texto escrito con claridad, ofrece ejemplos y muchos problemas. Teor(a especial de la relatividad, textos selectos. Instituto Americano de Física, Nueva York, 1963. Contiene muchas referencias y algunos excelentes artículos sobre la téoría especial de la relatividad.
4
El experimento de Michelson-Morley
Albert Abraham Michelson
(1852-1931) Oriundo de Strelno, Alemania, Michelson
emigró a los Estados Unidos. En 1869 fue enviado a la Academia Naval
de los E. U. Siendo instructor all/ (1875-7879), efectuó sus primeros
experimentos sobre la velocidad de la luz. En la Escuela Case de Ciencia Aplicada (7883-7889) determinó la velocidad de la luz con gran
exactitud. En 1920 Michelson midió por primera vez el diámetro de una estrella. Por sus instrumentos ópticos de precisión y por las investigaciones que efectuó con ellos, recibió en 1907 el Premio Nobel de f/sica.
4-1 4-2 4-3 32
EL CONFLICTO SE DESARROLLA LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ COMPOSICION DE VELOCIDADES DE LORENTZ
4-1
EL CONFLICTO SE DESARROLLA
En la última parte del siglo X1X, Ma,,-well y Hertz propusieron la concepción de la luz como radiación electromagnética. Desde entonces, los físicos han investigado las muchas propiedades de la luz. Una vez se supo que la luz tenía propiedades ondulatorias, los físicos juzgaron natural proponer un
medio que propagara este movimiento ondulatorio, o sea, algo en lo que viajaran las ondas de luz. Este medio se conoció generalmente como éter ¡timimfero. Para calificarlo como portador de las ondas de luz, era necesario que dicho éter poseyera algunas propiedades muy extrañas. Se postuló que el éter era lUla sustancia más ligera que cualquier ...as o vapor, y al mismo tiempo tenía una rigidez comparable a la del acero. En 1887 ALBERT A. MICHELSON y E. W. ~ORLEY idearon y ejecutaron un experimento para probar la naturaleza del éter luminífero y pa· ra intentar determinar la velocidad de la luz con respecto al éter. Los físicos se dieron cuenta de que si este éter existía, debía llenar todo el espacio y debía ser el sistema de referencia primario y absoluto para la luz. Concluyeron que la tierra debía o estar en reposo o moviéndose con respecto al éter 1 y que consecuentemente el marco de referencia inercial para la luz estaba o en reposo o moviéndose con respecto a la tierra.
Para efectuar tal experimento, se necesitaba un instrumento óptico preciso. El interferómetro* es un instrumento que había sido desarrollado para medir la fase, o las posiciones, de los picos de onda a lo largo de un haz de luz, deduciéndose de estas mediciones la distancia de un pico al siguiente. Con este instrumento también se pueden realizar otras muchas e interesantes mediciones. La figura 4~1 muestra un esquema del interferómetro. Nótese que un espejo sernlplateado M divide el haz incidente de luz en dos haces componentes que viajan después formando un ángulo de 90° entre sí. Se dice que estos dos haces son coherentes porque se originan del mismo haz original, y cada porción de las ondas de luz de un haz tiene una diferencia constante de fase con respecto a las ondas de luz que forman el otro haz. Estos dos haces son a continuación reflejados por los espejos totalmente plateados MI y lvf2 Y luego regresan al observador vía el espejo M. Si los dos haces recorren trayecturias ópticas iguales, llegarán en fase y producirán un campo brillante por interferencia constructiva. Si la trayectoria óptica de un haz es incrementada corriendo el espejo MI Ó el M 2 ligeramente, los haces empiezan a llegar al observador cada vez más fuera de la fase, con una disminución de la intensidad debida a la interferencia destructiva. Si un ·Ver A. A. Michelson, Estudios en óptica, University of Chicago Press (Phoenix Books), Chicago, 1962.
33
34
.
PRIMERA PARlE: ESPACIO '( TIEMPO
z,
Superficie semi-plateada
.-
~ y,
Superficie totalmente plateada
Placa compensadora Superficie totalmente plateada MARCO S2 UNIDO AL INTERFEROMETRO EN REPOSO CON RESPECTO A LA TIERRA
x, MARCO SIEN REPOSO CON ReSPECTO AL ETER O A LAS ESTRELLAS FIJAS
x,
LA TIERRA SE MUEVE CON RESPECTO AL ETER
Figura 4-1 Esquema del interferórnetro de Michelson, usado para determinar la velocidad oe la luz con respecto a la tierra. espejo se mueve a una distancia de 1../4 de su posición original, los dos haces quedan completamente fuera de fase y se interfieren destructivamente hasta producir un campo obscuro. Note que una pieza de vidrio, llamada placa compensadora, se ha introducido en la trayectoria l. Ambos haces de luz viajarán tres veces a través del mismo espesor de crista! antes de llegar al observador. Cuando Michelson y Morley decidieron efectuar un experimento para probar las propiedades del éter, pensaron que un interferómetro serviría sus propósitos. Querian diseñar un experimento que determinara de hecho si existía el éter y si se movía con respecto a la tierra. Como las ondas en la superficie de un río, las ondas de luz debían aparecer moviéndose a diferentes velocidades con respecto a un observador, dependiendo de si las ondas se movían o no a favor de la corriente del éter, en contra o perpendicularmente. Si la tierra se mueve a través del éter (o, lo que es lo mismo, si el éter fluye a través de la tierra) un observador debería poder detectar una diferencia en la velocidad de la
luz en distintas direcciones. Para lograrlo, Michel son y Morley construyeron un gran interferóme· tra, que hicieron flotar sobre una piscina de mero curio. Entonces trataron de observar cambios en la velocidad de la luz a lo largo de la trayectoria 1 con respecto a la 2, a medida que cambiaban la dirección del interferómetro haciéndolo girar en su piscina de mercurio. Una diferencia relativa en la velocidad de la luz sería indicada por cambios en la brillantez de las franjas al fina! del haz. Repitamos el experimento en nuestra imaginación. pero eliminando las muchas dificultades que tuvieron que vencer Michelson y Morley. Construyamos un gran interferómetro con las trayectorias M M¡ (no. 1) = M M 2 (no. 2) = L y hagamos flotar el aparato en mercurio, orientando el eje SM¡ en la dirección en que la tierra viaja con respecto a las estrellas fijas distantes. Elegimos esta orientación como un supuesto razonable de la di· rección en que viajamos a través del éter (si es que ella existe). La ·velocidad de la luz con respecto a! éter es e,
CAPITULO 4; EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
y gracias a las transformaciones Galileanas deducimos que la velocidad de la luz con respecto a la tierra~ a lo largo del brazo del interferómetro paralelo a la velocidad v de la tierra, es
e-v e+v
(deMaM¡) (deM¡ aM)
(4-' )
El tiempo implicado para cada viaje de tma onda de luz será L
e- v (4-2)
De modo que el tiempo para el viaje redondo, MM 1 M. en dirección paralela al movimiento de la tierra, es
L
+
111 = e -
L
2L/e - ---;'--:--",
v c + v 1 - (V/C)2 tiempo para tiempo para MM 1
(4-3)
M 1M
El tiempo para que la luz haga el viaje redondo. M M 2 M. en dirección perpendicular al movimiento
•
35
mos analizado el experimento usando las transfor· maciones Galileanas clásicas, estos tiempos deben ser independientes de nuestro movimiento (del movimiento del observador). Partiendo de las ecuaciones (4-3) Y(4-4),
~ _ (2L/e)/..j 1 - (v/e)2 IJ. (2L/c)/[1 - (v/e)2]
l
..JI -
(v/e)2 (4-5)
Así, 111>11, y las dos porciones del haz coherente deberían producir un patrón de interferencia al juntarse. Cuando Michelson y Morley efectuaron muy cuidadosamente este experimento en lSS7, espera· ban observar un corrimiento de al menos 0.40 de banda. Sin embargo, sus esfuerzos mostraron que, a lo más, el corrimiento era de 0.005 de banda. Por ende. se preguntaron si había, de hecho. un efecto que pudiera ser observado. Desde entonces se han realizado muchos otros experimentos cuidadosos para medir la velocidad relativa de la luz, pero nin· guno ha servido para demostrar la existencia del éter luminífero. El resultado experimental siempre dio
de la tierra, es (4-6)
+ L v2 ..je 2 _ v2 tiempo para tiempo para L
..je 2
_
MM2
2L
M2M
(4--4)
2L/e
-..j I e""'2~""'v2 - '..j""1~('C'v/'C'e )""2 Estas ecuaciones resultan de la composición clásica de velocidades como se muestra en la figura 4-2. Si e es la velocidad de la luz con respecto al éter en el marco de referencia SI, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra (marco de referencia S2) en ambos viajes MM2 y M,M es siempre
En otras palabras, la ecuación (4-6) es la respuesta experimental de la naturaleza a la pregunta de si existe o no el éter, pregunta que Michelson y Morley intentaron responder con su experimento. Un conflicto surge, sin embargo, puesto que -de acuerdo con el análisis Galileano- un observa· dor que efectúa este experimento debería observar que tll > 11, y esto no se observó. Por otro lado, si se rechaza la composición Galileana de velocicla· des, y aceptamos que la velocidad de la luz es la misma para ambos sistemas inercifiles SI Y S2, ten· dremos
2L
111 = e
..je' - v2. Las ecuaciones (4-3) Y (4-4) dan los tiempos de viaje MM¡M y MM,M medidos por nosotros, los observadores terrestres. Notemos que ya que he-
2L t1. = e y por consiguiente
36
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO .- -----.., '-
lac'~Z /
e (velocidad de con 'e'peeto a /
vc
2
------'
~ v2
(Velocidad de la luz con respecto a S2) \
vc
2
e ¡Velocidad de la luz "\on respecto a SI)
v2
(Velocidad de la luz con respecto a S2)
I
/,>~,;L-/- ,'p
M"
M
viaje de M a M 2
viaje de M2 a M
Figura 4-2 Movimiento relativo de la luz de acuerdo con la composición clásica de velocidades, a medida que se refleja entre los espejosM y M 2 "
t" ~ t~ Este resultado concuerda con los resultados de muchos experimentos. Por lo tanto, los resultado~ del experimento de Michelson-Morley forzaron a los físicos a aceptar la invariancia de la velocidad de la luz. De lo cual concluimos que la velocidad de la luz es la misma, sin importar que esta velocidad sea medida por un observador en un sistema estacionario o por un obsenJador en un sistema que se mueve a una velocidad constante con respecto a la fuente de luz. El experimento de Michelson-Morley fue crucial, porque los resultados "negativos" que produjo originaron una revolución en el pensamiento conceptual de la física. Se creó la exigencia por illla visión más profunda de la naturaleza del espacio y del tiempo. El espacio y el tiempo son, después de todo, la estructura dentro de la cual se encuentra "la naturaleza. Tal vez muchos o aun la mayor parte de los eventos observados a nuestro alrededor y que llamamos "naturales" son únicamente manifestaciones de diferentes propiedades del espacio y del tiempo. Como físicos, juntaremos estas propiedades y las estudiaremos bajo el título de "transformaciones". Una pregunta que usualmente formula un físico es: "¿Cómo aparecerá este evento particular si lo veo ocurrir desde algún otro marco de referencia-en alguna situación en que yo pueda estar viajando, acelerando o girando con respecto al laboratorio en que al presente estoy en reposo?" Es difícil, y aun imposible, responder esta pregunta. Buscando respuestas a estos
problemas de transformaciones, los físicos han logrado grandes progresos en las décadas recientes, en su esfuerzo por comprender y definir la física. Las conclusiones, particularmente la invariancia de la velocidad velocidad de la luz, resultantes del experimento de Michelson-Morley, constituyeron la base experimental para la teoría de la relatividad de Einstein*. Los resultados de este experimento y el trabajo de Einstein originaron una tendencia orientada hacia la investigación de las propiedades de transformación de toda la naturaleza. El esfuerzo de los científicos por comprender mejor la naturaleza del espacio y del tiempo todavía se encuentra a la vanguardia de la física. Esta empresa fue firmemente establecida con las ecuaciones de movimiento de Galileo y Newton y empezó a expanderse aún más con las de Lorentz.
4-2 LAS TRANSfORMACIONES OE LORENTZ En este punto nos vemos forzados, en relación con los experimentos que tratan con la luz, a rechazar el uso de las transformaciones Galileanas, excepto como una aproximación a la verdad, y a buscar otras ecuaciones más generales y compatibles. Recordemos que si v/c ~ O (o sea, si v es pequeña), la ecuación *Para una discusión absorbente sobre el eslabón genético entre los experimentos de Michelson y la teoría de Einstein, ver Gerald Holton, "Einstein y el experimento crucial", Am. J. Phys 37, 968 (1969).
CAPITULO 4: EL EXPERIMENTO DE MICHELSON·MüRLEY
(4-5) se vuelve t 11 = tl' Por otro lado, para grandes velocidades (si v le -+ 1), nos vemos forzados a rechazar las transformaciones Galileanas. Sin embargo, aún pueden considerarse como una buena aproximación en el mundo de movimientos más lentos. Considérese la figura 4-3, donde un sistema inercial S 1 está en reposo y un sistema inercial S2 se desplaza con movimiento traslacional uniforme (v = constante). En el tiempo t, = t, = O ambos marcos coinciden, los relojes son perfectos y están sincronizados. En el instante tI = t 2 = Ose emite un pulso de luz desde el origen común de S, Y S2' Sea M un punto hasta el que ha avanzado el haz de luz con coordenadas espacio-temporales (x 1, Y 1, Z 1, tI) Y (X2 ,Y2, Z2, t 2 ) en los sistemasSl y S2' respectivamente. De acuerdo con los resultados del experimento de Michelson-Morley, la velocidad de la luz e debe ser la misma para ambos sistemas inerciales SI y S2' Las distancias'l Y'2 desde sus orígenes respectivos hasta el punto M (el punto alcanzado por el pulso) están dadas por
(4-7)
Por lo tanto, nos vemos forzados a aceptar el hecho de que los dos tiempos de viaje tI Y t 2 (medidos por los observadores 0 1 y O2 ) son diferentes, aunque esto sea contrario a lo que podamos experimentar "de ordinario". De la ecuación (4-7)
x,z + y,z + z ,'
(4-8)
x/ + y/ + z/ y de las condiciones de simetríaYl = Y2 Y Zl -
=2 , la ecuación (4-8) se combina ahora para dar X2'
-
e2 t 2 2
-
X 2 _ 1
e2t 2 1
(4-9)
En este punto, nos desviaremos de nuestra ex· posición para hacer notar que estamos partiendo de un supuesto: Existe un sistema de ecuaciones que interpreta la descripción de una serie de eventoS, vistos desde un marco, en la descripción de la misma serie de eventos vistos desde otro marco. Es
•
37
1
Is' !
M
z, Figura 4-3
El sistema S 2 se mueve a velocidad constante con respecto al sistema estacionario SI. posible pensar en muchos ejemplos en que puede aplicarse tal sistema de ecuaciones. Este método debe funcionar si es que todos los observadores han de ver la misma naturaleza en el mismo universo. El sistema de ecuaciones usado para tal interpretación es llamado una transformación. Podemos pensar de este método simplemente como de una nueva forma de relacionar las coordenadas de un evento, vistas desde un marco, con otro .o:::istema de coordenadas vistas desde otro marco. Esto equivale a decir que no creemos que nuestra elección de coordenadas deba tener efecto sobre lo que observamos está acaeciendo en la naturaleza. Recordemos que en esta discusión estamos sólo considerando marcos de refereIlcia que se mueven a velocidad constante entre sí. El tratamiento de transformaciones entre marcos acelerados los unos con respecto a los otros constituye todo un campo de investigación, que está más allá del alcance de este texto. Este tema constituye el estudio de la llamada relatividad general. Hagamos énfasis en que aquí nos interesan solamente aquellos marcos que se mueven a velocidad constante. Se les conoce como marcos inerciales porque hay una relación especialmente simple entre ciertos vectores (tales como los de momento) vistos desde diferentes marcos. Suponemos que las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un marco inercial con las de otro son ecuaciones lineales de la siguiente forma
38
•
PAlMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
También la expresión v/c se denota usualmente
x, = y(x, - vI,)
por~.
Y2 = y, Z2
=
(4-10)
Zl
ahora la forma
a(t, - bx,)
1, =
en las que "'(,a y b son constantes, que evaluaremos en los próximos párrafos. Varios requisitos debe cumplir el formato de transformaciones' dado por la ecuación (4-10). Deseamos enfatizar que las ecuaciones deben ser lineales en forma, ya que un evento descrito en un sistema sólo debe transfor· marse en un evento en un segundo sistema. (Una transformación de forma cuadrática podría conce· biblemente producir dos solucienes, lo que implicaría que un evento efl un sistema podría interpretarse como dos eventos en un segundo sistema, situación que es imposible). También, para veloci-
dades pequeñas comparadas con e(v/e .... O), las nuevas transformaciones deben reducirse a la forma de las transformaciones Galileanas. La ecua-
ción (4-10) se mantiene igualmente para sistemas coincidentes, o sea,cuando!1 =OYXI = 0, luego x2=Oyl,=O
Ahora sustituyamos la ecuación (4-10) en la ecuación (4-9) para obtener
x,'(y'- a2b'c' -1) + x,I,(-2y'v + 2a'be') + I,'(y'v' - a'e' + e') = O (4-11)
../ v
2 2
a e
_
+
(4-12)
2
e = O
Resolviendo estas ecuaciones para las constantes 'Y, a, y b obtenemos
Y= a -
1
---;===7=0=
-h -
vI
= y(x, -
,
.JI _ P'
VI,)
y, = y, (4-15)
l, -
1, -
(v/c')x,
.JI _ P'
Las transformaciones inversas de la ecuación
(4-15) son
x, - X2 .j + VI, 1 _ P'
=
(
y
X2
+
Vl2
)
y, = y, (4-16)
_1, + (v/c )x, _ y (1 2
ti -
.JI - P'
-
2
+P ,) - x e
Estas ecuaciones se pueden obtener ya sea por manipulaciones algebraicas o, practicamente, interreemplazando v por - "l). Estas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz en ho-
r' -
a'b'e' - 1 = O - 2y'v + 2a'be' = O
I x, _ x 1 -
cambiando los subíndices en la ecuación (4-15) y
Ya que esta expresión es idéntica a cero,
2
La ecuación de transformación (4-10) toma
(4-13)
(v'/e')
nor de H. A_ LORENTZ (I853-I92S), el físico holandés que las enunció en 1890. En 1923 Niels Bohr propuso un principio de correspondencia. Este establece que cualquier teoria nueva en la [¡sica debe reducirse a la bien establecida teoria clásica correspondiente, cuando la nueva teona se aplica a la situación especial en que la tearza menos general se acepta como válida. Es-
tudiemos la ecuación (4-15) para ver si el principie y
~ ~
(4-14)
la expresión l/VI - p2/el , se conoce como factor de Lorentz y usualmente se representa por 'Y.
de correspondencia se mantiene. Cuando (3 = vIc -+O, vemos que la ecuación (4-15) se reduce a:
x,
= Xt - vI,
Yo = Yl Z,
1,
-
z, 1,
CAPITULO 4; EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY
que son las transformaciones Galileanas [ ecuación (3-7) 1- ASÍ, resumimos: Las transformaciones de Lorentz -+ Las transformaciones Galileanas
v cuando (J = e
4-3
-->
O
CDMPDSICIDN DE VELDCIOADES DE LDRENTZ
_ dx, - vdl¡ _ (v,. - v) dI, {J2 {J2
- .JI -
- .JI -
dy, - dy, (4-17)
dZ 2 = dz¡ 2 dl = dI, - (v/e ) dx, _ "'(l=------i=vv"',~,J~e~2)~d:::I", 2 {J2 {J2
.JI -
.JI -
donde VIX = dxJ.!dt l, Así las ecuaciones de transformación de Larentz para la velocidad son
dX 2 dl 2
=-
-
vI V 2 ¡ - (v/e )v" %
(4-18)
dZ v".J¡ - {J2 v2, = -2 dl 2 ¡ - (vle 2)v" átese que ahora, con las transfonnaciones de Lorentz, aun cuando la velocidad v se produce a lo largo del eje x, las componentes y y z de V2 también dependen de VI x. Cuando ~ = vle -+ O, estas ecuaciones toman la forma V2x V2:r
V2z
= v lx = vI:r = vh
-
v 2 (v/e )v 2•
=
v"
-
v2,.JI - {J2 I + (vle 2)v 2•
v" -
v".J¡ - {J2 I + (V/C 2)V2'
+
I
(4-19)
Consideremos una partícula M que se mueve paralela al eje x con una velocidad V2 = v'2 x en el sistema S'2' el cual a su vez se mueve con velocidad v con respecto al sistema inercial SI' De acuerdo con la transformación Galileana, las componentes de velocidad de M medidas en el sistema inercial SI son V1% VI)'
= V2x + v = = v 2 }' = O = V2z = O
V2
+
v
(4-20)
Según las transfonnaciones de Lorentz, las componentes de velocidad son
-
dy, v".J 1 - {J2 V2, = - = dl 2 ¡ - (v/e 2)v¡.
+
V2x
V lx
Vlz
V2%
39
Intercambiando los subíndices 1 y 2 Y reemplazando v por - v obtenemos la transformación inversa de velocidades
Diferenciamos la ecuación (4-15) para obtener
dX 2
•
V
Pero éstas son la composición Galileana de velocidades. De suerte que el principio de correspondencia sí se aplica.
v 2% ¡
+
+
v
v2
2 (vle )v2'
+
_ v2,.JI - {J2 = O .¡ + (vle 2)v 2•
+
v
2 (vle )v2' (4-21 )
v2,.J1 - {J2 = O ¡ + (v/e 2)v2> En particular, si dejamos que mación Galileana da V1JI: =
e
VI}'
=O
v"
=
+
V-z
= e, la transfor~
v
O
Este resultado es incompatible con los datos observados en el experimento de Michelson-Morley. Sin embargo! las transformaciones de Lorentz indican que
40 .
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
-
VI,
- O
VI.
- O
+
I
rentes A(x lA, Y¡ A) Y B(x I B, Y lB) no son simultáneos en el sistema S2.
+
e
V lx
v = e (v/e')e
SOLUCION: La ecuaClOn (4-15) muestra que la transformación de Lorentz para el tiempo es
lo cual sí está de acuerdo con los resultados del experimento de Michelson~Morley.
EJEMPLO 4-1: Muestre que si (XI, YI, ZI, Id y (x" y" z" 1,) son las coordenadas de en evento en SI Y del evento correspondiente en S2, respectivamente, entonces la expresión
Usando esta ecuación en el caso que nos ocupa, obtenemos
y
I'A =
y
(ti - ~
I'B
Y
(ti - ~ Xl.)
X IA )
Por lo tanto, es variante bajo una transformación de coordenadas de Lorentz (o sea dS I ' = ds,') SOLUCION: Diferenciando las expresiones de la ecuación (4-16) dX 1
-
dYI -
dt l
=
PROBLEMAS
=
4-1
Empiece con la transformación de Lorentz, de la ecuación (4-15) Y resuélvala algebraicamente para Xl, Yl, Zl, Y tI mostrando que la transformación inversa de Lorentz, ecuación (4-16), se puede obtener intercambiando los subíndices 1 y 2 de las coordenadas y reemplazando v por -v
4-2
Repita el problema 4-1 para la transformación de velocidades de Lorentz en la ecuación (4-18) Y muestre que las ecuaciones inversas se pueden obtener como en el problema 4-1,
4-3
Use la transformación de velocidades de Lorentz para mostrar que SI" VI x '+ VI y '+ 2 V1 z 2 = e en el sistema inercial SI, entonces Vlx '+ v 2 y '+ Vlz , e, en e1" SIstema inercial 5," (Esto muestra de nuevo que la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas inerciales, de acuerdo con las' transformaciones de Lorentz).
dz, dt,
+ (j3/e) dx, -JI _ 13' evi~
y, + d' z, (dX,-J I +_ v13'dt,), + d' e' (dt, + (j3/e) dX,),
-JI _ 13' lo que se 'implica a
dS 1 2 = dx/
+
dy/
+
- Xl.)
Así, los dos eventos no pueden ser simultáneos en el sistema SI, a menos que Xl..4. = X 1s '
+ v dt 2 -JI _ 13'
donde hemos supuesto que v = constante. Es dente que
ds/
e
dX 2
dy,
dZ I
13 (XI.
= y-
dz/ - e2 dt/
ds/
EJEMPLO 4-2 Muestre que dos eventos que ocurren al mismo tiempo tI (simultáneamente) en dos puntos dife-
CAPITULO 4:
4-4
4-5
4-6
Considere un sistema inercial Sz que se mueve a la velocidad v e con respecto al sistema SI' Un observador en el sistema S2 rastrea una partícula que se mueve con una veloci· dad de componentes rectangulares VZ x =c y v" =e(2. Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la partícula medida (a) por las transformaciones de velocidad de Lorentz, y (b) por una composición Galileana de velocidades. Compare sus resultados. Dos vehículos de propulsión fónica se aproximan uno al otro en direcciones paralelas y opuestas con velocidades de 0.8Oe y 0.7Oe con respecto a un observador en re:eoso a lo largo de la línea de acción. Calcule la velocidad relativa de los dos vehículos (a) medida según la mecánica clásica, y (b) medida según la mecánica relativista. Compare resultados.
EL EXPERIMENTO DE MICHELSON·MORLEY
4-9
•
41
Muestre que la fórmula relativista VI x = (V2x + v)/[l +(v(e 2 )v2x] da (a) v'x < e cuando v < c y v? x < c y (b) v 1 x = e cuandov2x ÓV=C.
4-10 Un evento C\.ue ocurre en el sistema S\ tiene coordenadas Xl = 1.0 x lOS ffi,Yl = O,ZI = 1.0 X lO' m, 1, = 1.0 X lO' seg. ¿Cuáles serían las coordenadas de este evento medidas por un observador inercial unido a S2 y moviéndose a la velocidad relativa de c/2 en la dirección XI? 4-11 Un electrón es proyectado a un ángulo de 37° con respecto al eje x 1 a la velocidad de e/2. Determine la magnitud y dirección de la velocidad de este electrón medida desde un sistema inercial que se mueve a la velocidad de c/2 como se ve en la figura 44.
Cuando un reloj pasa por nuestro costado a la velocidad de v = e(2, marca 12 = Ojustamente cuando nuestro reloj marca tI = O. Use la transformación de Lorentz para determinar la lectura de nuestro reloj cuando el reloj en movimiento marca t2 = 10 seg. Figura 44
4-7
Un hombre en un carro que se mueve a la velocidad de 60 km/hr. lanza una pelota en la misma dirección en que se mueve el carro. Si la velocidad de la pelota con respecto al carro es de W km/hr. calcule la velocidad de la pelota con respecto al piso usando (a) écuaciones relativistas y (b) Galieanas. Compare resultados.
4-8
El capitán de un vehículo espacial que viaja a la velocidad de 0.8Oc con respecto a una estación de radar estacionaria, usa un cañón electrónico para disparar electrones en la misma dirección de viaje a la velocidad de 0.9Oe con respecto al vehículo. Calcule la velocidad de los electrones con respecto a la estación de radar (a) según la mecánica relativista, y (b) según la mecánica clásica.
4-12 Un experimento es iniciado en la tierra (su~ puesta en reposo) en el cual cuando tI = 1.000 seg., se dispara un pulso laser hacia la luna y cuando tl = 2.210 seg., un detector sobre la superficie de la luna marca la llegada del pulso. ¿Cuál será el tiempo de viaje de este pulso medido por un observador que viaja en la misma dirección del pulso a la velocidad de O.soOe?
LECTURA RECOMENDADA
BREHME, Robert W., "Una interpretación geométrica de las Transformaciones de Galileo y Lorentz ", Se bosquej a un método claro y práctico para manipular transformaciones.
42
.
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
FEYNMAN, R. P. LEIGHTON, R. B., Y SANDS, 1.. M. Conferencias Feynman sobre física, AddisonWesley, Reading, Mass., 1964, Vol. 1, Capítulos 15,18 Y20.
1962.Un librú pequeno y conciso, con una buena descripción del interferómetro de Michelson.
MlLLER. D. C.• "Experimentos sobre el movimiento del éter y la determinación del movimiento absoluto de la tierra", Rev. Mod. Phys. S, 203-242 (1933).
FRENCH, A. P., Relatividad especial, Nortnn, Nueva Ynrk, 1968. Libro muy interesante con muchos problemas sobre relatividad. La relación del experimento de Michelson-Morley es muy buena.
RUSH. J. H.• "La velocidad de la luz", Sci.Am., agosto tic 1965.
JAFFE, Bernard, Michelson y la velocidad de la luz, Doubleday (Anchor Books), Nueva York,
SHANKLAND, R. S., "El experimento de Michelson-Morley". SÓ. Am., noviembre de 1964.
1960. Descripción elemental del interferómetro de Michelson, así como una excelente biografía de este famoso científico. MJCHELSON, A. A., "Sobre un método para medir la velocidad de la Luz", Am. J. Sei. 15, 394·395 (1878).
SHANKLAND, R. S., et al., "Nuevo análisis de la observación interforométrica de Dayton C. Miller", Rev. modo Phys. 27, 167 (1955). Un resumen de muchos esfuerzos experimentales efectuados para apoyar (o rechazar) existencia del éter liminífero.
Teona de la relatividad
especia~
textos selectos,
MJCHELSON, A. A., Las ondas de luz y sus usos, University of Chicago Press. Chicago, 1903.
Instituto Americano de Física, Nueva York, 1963. Contiene muchas buenas referencias y artículos excelentes sobre la teoría especial de la relatividad.
MJCHELSON, A. A., Estudios sobre óptica, University oí Chicago Press (Phoenix Books) Chicago,
(Ver también las referencias incluidas al final del Capítulo 3).
5 na
Consecuencias de las transformaciones de Lorentz
v-ito 42
,. , Hendrik Antooo Lorentz (1853-1928)
el-
Nativo de Arnheim. Holanda, Lorentz
recibió su doctorado en física de la Universidad de Leyden en 1875. Fue director de investigaciones del Laboratorio Tey/er en Haarlem
la C. les 1e1
y profesor honorario en Leyden. En
1903 desarrolló las famosas transformaciones de Lorentz, que ayudaron a Einstein en su formulación
,s, ,3.
de la teoría de la relatividad. También estudió Lorentz activamente el electromagnetismo, la gravitación, la termodinámica, la radiación y la teoda cinética. Por su explicación teórica del efecto Zeeman, compartió el Premio Nobel con Pieter
~x-
lel
aeroan en 1902.
5-1 5-2 5-3 5-4
CONTRACCION DE LA LONGITUD DILATACION DE LOS INTERVALOS TEMPORALES INTERPRETACION DEL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY SOLUCION DE EINSTEIN AL CONFLICTO 43
La denaó ner ce
difer macié
ecuac ros ea
ondl (4-H la Ion coord sustra
5-1
longitud como la diferencia entre los dos números que marcan sus extremos:
CONTRACCION OE LA LONGITUO
( &--2)
Consideremos por un momento la longitud de una barra de un metro. Este parecerá a primera vista un
expre
nes p' Exam
ejercicio muy tonto ya que la longitud de una baA
rra de un metro es esa precisamente. Pero aclaremos esta declaración añadiendo que 1 ffi. es la Ion·
8
gitud de la barra vista desde el marco de reposo de la barra, y llamemos al marco 8 2 (ver figura 5-1).
Ya q¡ siemr la sor do de
Si la barra yace paralela al eje x en este marco, la distancia desde el extremo A, en XA2. al extremo
B en
es 1 m. La longitud de la barra en 8 2 se
peero
define entonces como la diferencia entre estos dos números sobre el eje x:
corta. jeto, 1
XB2
Figura 5-1
(&--1 )
Además, estos dos números permanecerán iguales
con el paso del tiempo, ya que 8 2 es el marco de reposo de la barra. Su diferencia L 2 también permanecerá constante en el tiempo.
Anara mi.leJ'l\()~ e~\a J'l\i\\roa1:>aU'd CIlJ'l\1l ()'I>~el~a·
Parece razonable requerir que el valor de L 1 sea constante en el tiempo. Sin embargo, debemos investigar para ver si esto es posible, ya que los dos "I\~\\\e\ll~ ,,"\l.e 11Th '\l. ~ ..\()\ .. \\..~é, ó-e '\l. ó-uete"-c\.
dores situados en el marco S t. Dejemos que el marco 8 2 se mueva con velocidad v en una direc-
están cambiando. Si la longitud de un objeto es
ción paralela al eje x de 8 l , El extremo A yace en
pensamos que la longitud también debe ser cons-
en SI, Y el númeroxAl está cambiando constantemente a medida que se mueve 8 2 . El número XB l' que marca el otro extremo de la barra, también cambiará con el tiempo. Mirando a la barra como observadores en S1 ~ de nuevo defInimos la
tante observada desde cualquier otro marco. Si esto no fuera verdad, el mismo objeto podría enton-
XAl
44
constante en un marco (yen este caso lo es enS2,).
ces parecer rígido a un observador y no rígido ( elástic~)
pecto
~
=.st cou
a otre observador que se mueva con res-
prUnero.
r
.:ado
1
CAPITULO 5: CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
La transformación de Lorentz de valores coordenados provee la solución al problema de mante-
ner constante la longitud de un objeto, visto desde iferentes marcos. Apliquemos esta transfor-
ación a los dos números en el lado derecho de la ecuación (5-2). Obtendremos los siguientes núme:os equivalentes en el marco 8 2 : X,tI
= y(xÁ1
(5-3)
Y(x B ¡
(5-4)
XB2 =
zonde 'Y es el factor de Lorentz [ver ecuación 4-13)], y t, es el instante en que medimos en S, _ longitud de la barra anotando los valores de las .:nordenadas deA y B. ¡Tendremos una sorpresa al ;¡¡straer la ecuación (5-3) de la ecuación (54)! La ~presión para el tiempo se cancela de las expresio=es para la longitud (como dijimos que debía ser). ::'xaminemos lo que nos queda: (5-5)
IL z =
yL¡
I
Ya que v debe siempre ser menor que e) 'Y debe
Longitud observada cuandO·) LIla barra esta en movimiento ( con respecto al observador • S
-
L2
(LOngitUd observada CUandO) la barra está en reposo con X respecto al observador
JI _ p2
Esta ley tiene aplicaciones aún más generales) J'l que puede aplicarse a cualquier objeto_ La ley
es así independiente de la naturaleza del objeto, y '::ebe aplicarse por lo tanto al espacio mismo) sin importar que un objeto esté o no, de hecho, 10cOO",do en el intervalo medido por las coordenadas_
•
45
Albert Einstein propuso q'Je la transformación de Lorentz se considerara una ley fundamental de la naturaleza, que remplazara al grupo Galileano de transformación) cuano la velocidad se vuelve 10 suficientemente grande para ser medida en términos
de e. La declaración de que la longi tud de un objeto depende del estado de movimiento del observador sorprendió tanto a los físicos durante 10s primeros años de este siglo, que muchos de ellos pusieron en duda la validez de los resultados empí-
ricos del experimento de Michelson-Morley. Empero, estos resultados han soportado la prueba del tiempo siendo conflImados por muchos otros experimentos. Con esta nueva percepción resulta interesante para nosotros descubir que Lorentz y un físico
irlandés, G. F. FITZGERALD (1851-1901), pensaron que el acortamiento de un objeto en movi-
miento se debía a alguna especie de fuerza aplicada al objeto por su paso a través de un éter estacio· nario. Muchos esfuerzos se dedicaron por ese entonces a descubrir la naturaleza de tal fuerza. Einstein adoptó el punto de vista, totalmente opuesto, de que esta contracción es una propiedad del espacio misnw. y de que no existe un marco de referencia absoluto, o preferible a todos los otros. Einstein rechazó la idea de que el movimiento absoluto en la naturaleza, excepción hecha de la luz, tuviese significado. A su juicio, el movimiento de la luz en el vacío es absoluto. También creía que la velocidad tenía el mismo valor, llamado e (para la luz), visto desde cualquier marco (sin im-
portar la velocidad del marco). Es importante insistir en este punto: La velocidad de la luz en un vacio es la misma para cualquier observador. Esta declaración incluye tanto al observador que sostiene la fuente de luz como al que viaje a gran velo· cidad con respecto a la fuente.
El tema central del cual debemos percatarnos aquí es que no podemos usar la velocidad de un haz de luz para especificar un marco de referencia preferible. Cuando entendemos este punto y nos damos cuenta de que cada observador considera el universo desde su propio y único marco inercial de referencia (que se mueve con respecto al marco inercial de alguien más), nos damos cuenta de que
tenemos un sistema que hace comprensible el uni-
46
•
PRIMERA PARTE; ESPACIO Y TIEMPO
verso a cada observador en los mismos términos. Aquí se pueden exponer varias conclusiones coro-
larias:
La componente horizontal es paralela a v y según la ecuación (5-5) aparecerá contraída siendo
Lb
1. Para una velocidad relativa pequeña especialmente si v -+ O), L 1 se vuelve esencialmente igual a L 2 como en la mecánica uclásica". (Este es un ejemplo del principio de COrrespondencia de Bohr). 2. La contracción de longitud ocurre s610 para medidas paralelas a la dirección de movimiento relativo. 3. Si el factor de Larentz"l ha de tener un valor real y no imaginario, v debe ser siempre menor que c .
=
L2x .J1 - /3' ~ L,.JI - /3' cos 8,
La longitud de la barra medida por O, será L¡ = ~L¡/ = =
L 1/
.JL/O - /3') cos' 8, + L/ sen' L,.J1 - /3' cos' 8,
8,
La orientación con respecto a S 1 estará dada por
tan 8 1
_ Llz _ - L Ix
-
EJ EMPLO 5-1: Una barra rígida de longitud L, = 1.5 m está en reposo con respecto al sistema S, (figura 5-2). Si la barra ofrece un ángulo de O, = 45° con respecto al eje x" ¿cuál es la longitudL l
+
-
L z sen8z L 2 .JI
- /3' cos 8,
tan 82
.JI _ P'
Reemplazando valores numéricos, obtenemos
L, = 1.08 m
y la orientación 8 1 de la barra con respecto a SI
8, = 78.7°
cuando v = 0.9&?
5-2 DllATACIDN DE lOS INTERVALOS TEMPORALES Imaginemos la clase más simple de "evento" en la naturaleza como una clase de suceso que ocurre en el punto A en el espacio y en el instante t A. Las
coordenadas espaciales de este punto, vistas desde Figura 5-2 SOLUCION: Cuando la longitud de la barra se resuelve en componentes paralelos a los ejes X2 YY2. respectivamente, las longitudes correspondientes medidas por S2 serán
L zx
L,y
=
=
L z cos 8 z L, sen 8,
La componente vertical es perpendicular a v y no experimentará ninguna contracción cuando se ve
desde S, . Por lo tanto,
un marco de referencia dado, pueden ser designa· das por XA. Y A Y zA_ Consideremos también otro evento que tenga lugar en el núsmo punto A l pero en un tiempo diferente t B - Ambos eventos son re-
gistrados en el marco S" en el cual A está en reposo. Llamando al marco en reposo 8 2 como antes, el intervalo de tiempo entre los eventos es
simplemente
I T, =
tB, -
t A,
I
(5-11)
donde hemos usado el subíndice 2 en los tiempos t A y tB del reloj para recordamos que estos tiem· pos fueron leídos en un reloj en reposo en S2_ Consideremos ahora el mismo par de eventos en el mismo punto, pero vistos desde un marco S)
CAPITULO 5: CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
y,
s,
y,
•
47
para el evento B, Y de nuevo 'Y es el factor de Lorentz dado por la ecuación (4-13). El papel x A se esclarece cuando se examinan estas ecuaciones; sirve simplemente para fijar los relojes en S, con respecto al reloj en el punto estacionario en 8 2 . No
s,
afecta las marchas en absoluto.
)x,
r
Figura 5-3 El punto A está en reposo con respecto al sistema 52. Dos eventos ocurren en el punto A en los tiempos (, y t 2 ' de acuerdo con (}2.
Restando la ecuación (5-10) de la ecuación (5-11) obtenemos (5-12)
Usando las ecuaciones (5-8) y (5-9), se reduce a (5-13)
que se mueve paralelamente al eje x de S2 con una
velocidad relativa -v (ver figura 5-3)_ Notamos que esde el punto de vista relativista, estas dos situaciones son equivalentes: S'J, se mueve con respecto a St a la velocidad v, o St se mueve con respecto a 8, con velocidad -v_ Obviamente, el intervalo de tiempo observado desde 8 [ está dado por (5-9)
a
pero los valores coordenados del punto para el primer evento ya no serán para el segundo evento idénticos a lo que fueron en el marco de reposo
n
8,.
•e
El valor de un intervalo temporal en estos marcos no debe depender de los valores coordenados espaciales de x, y, ó z en ninguno de estos marcos. De otra forma, podríamos cambiar la marcha de un reloj simplemente observándolo desde diferentes lugares en el mismo marco_ Así que las coordenadas espaciales que aparecen en la ecuación de transformación de Lorentz (4-15) deben cancelarse, a fm de que esta ecuación pueda usarse para considerar intmJalos de tiempo_ Recordemos que la transformación para los tiempos es
[-
o
o n
o
" 1)
,..s n
lA, para
=
1 (lA,
+
VX A )
c'
(5-10)
el evento A, Y
lB,
= 1
(lB, + V;,A)
(5-11)
Ya que 'Y
> 1, llegamos a otra sorprendente
con·
clusión, a saber que (5-14)
Así, la dilatación relativista del tiempo es intervalo de tiempo medi-) do entre dos eventos que Ti tienen lugar en un punto ( en movimiento con respecto al observador
_ T
,
intervalo de tiempo medi') do entre dos eventos que tienen lugar en un punto ( en reposo con res pecto al observador
.JI _ P'
Según lo cual, ¡un intervalo de tiempo que separa dos eventos sucesivos es mayor en cualquier marco que se mueve con respecto al marco de reposo que en dicho marco de reposo! Como la única forma de que un intervalo de tiempo medido pueda hacerse mayor consiste en frenar el reloj usado para medir el intervalo, esta declaración significa que los relojes en movimiento marchan más despacio que los estacionarios. Nos encontramos diciendo que, para cada ob· servador. su propio reloj en su propio laboratorio camina más rápido que otros relojes que estén en movimiento con respecto a él. Notamos que cada observador puede considerarse a sí mismo en repo· so y a todo lo que se mueve en movimiento con
48
•
PRIMERA PARlE: ESPACIO"( IIEMPO
respecto a él. Este privilegio es establecido para cada observador por el principio de lo relatividad especial.· Cada observador es equivalente a cualquier otro observador. O sea, ¡cada observador tiene el derecho a proclamar que él se encuentra en el centro del universo, y que su marco de reposo es el estacionario en toda la creación! Puede declararlo, pero al mismo tiempo debe reconocer y respetar el derecho de rodo otro observador a hacer lo mismo. Sólo de esta manera pueden las personas entenderse entre sí cuando describen lo que ven en la naturaleza. Hacen esto por medio de las ecuaciones de transformación de Lorentz. Resulta interesante para nosotros especular ahora sobre qué pensamientos podría haber tenido Galileo si hubiera conocido estas ecuaciones cuando insistía en que la tierra se movía alrededor del sol, y no lo inverso. Parecería que el estudio de la naturaleza nos enseña hoy que el camino hacia la más única y significativa individualidad consiste en re· conocer constantemente la completa equivalencia de cualquier otro observador con nosotros mismos. y aquí «equivalencia" significa igualdad en un sentido más profundo que el usual. No expondremos aquÍ las ecuaciones de trans· formación inversas de las dadas, pero sugerimos que el lector lo haga y así pruebe lo que acaba de decirse. Un ejercicio adicional es muy instructivo: usar las inversas de las ecuaciones (5-10) y (5-11) para mostrar cómo se asegura uno de que los relojes en diferentes marcos son realmente relojes equiv.l1entes rigurosamente construidos.
EJEMPLO 5-2:
Una situación típica en que los intervalos de longitud parecen contraídos y los relojes parecen marchar más rápido puede encontrarse en el haz de mesones pi producido por uno de los modernos aceleradores gigantes. En tales máquinas, se aceleran los protones casi desde el leposo hasta ene;gía extremas, haciéndoseles incidir entonces sobre un blanco de meta!. ll~O de los productos de estas colisiones es un haz de mesones pi muy rápidos. Estas son las partículas que producen las fuerzas nucleares que mantienen unidos los núcleos atómicos. En algunos casos, estos mesones pi (o piones) son frenados envi;.índolos a través de una gruesa
pared de concreto o hierro, y entonces son de!"':' nidos en otro blanco. Aquí los piones positivos decaerán en otras partfculas ya que son radiacti· vos. Las partículas hijas son muones y neutrinos. En casos como éste, el tiempo en que el pión se detuvo puede encontrarse por medio de un con· tador colocado justamente antes del último blan· ca. Otro contador puede registrar la aparición del muan de decaimiento, y así se mide el tiempo de vida del pión en reposo. Cuando se registran muo chos de estos casos, se encuentra que el tiempo de vida medio es 2.60 X10-8 seg. En otros casos. los piones rápidos se envían por un largo corredor lleno de aire o dentro de un tubo al vacío. Muchos de ellos decaen ahora en vuelo. Uno puede medir el número de piones que empiezan la jornada por el corredor y el número que llega al otro extremo. La diferencia es justa· mente el número que decayó en la ruta mientras se movían rápidamente. No es raro que tales piones tengan una energía total de 20 veces su masa en reposo, o sea un factor de Lorentz 'Y = 20. La velocidad del pión puede calcularse partiendo de la definición del fae-. tor de Lorentz. Esta velocidad se aproxima bastan· te a la de la luz, c. Si No de tales piones empiezan por un corredor de 100 m con esta velocidad, harán el viaje en 100 m/3.00 X lO· m/scg= 3.33X 10-7 seg si no decaen en el camino. La ecuación de decaimiento para N, el número de piones que sobreviven el viaje, es N ~ No exp(-lt) ~ No exp(-t/T) donde A es la constante de decaimiento y Tes 1:J vida promedio. Así, cuando N se calcula a partir de la razón de decaimiento,
N = No exp[ -(3.33 x 1O-'j2.60 x 1O-·)] = Noexp(-12.8)·~
2.76 x 1O- 6 N o
parecería que menos del 0.00028% de Jos piones alcanzan el extremo del corredor. Sin embargo, esto es incorrecto. El factor de Lo· rentz'Y = 20 debe ser usado para frenar el reloj de los piones. y su vida media en vuelo es entonces
20 X 2.60 X la'· ósea 5.20 X 10-' ,ego N _ No exp[ -(3.33 x 1O-'j5.20 x 10-')] = No exp( -0.642) ~ 0.52N u
CAPITULO 5: CONSeCUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
o sea, que sobrevive el 52%. El mecanismo de tiempo interno de los piones parece marchar mucho más despacio visto desde el laboratorio al extremo del corredor. ¿Cómo "aparece" el laboratorio visto desde el pión? Ciertamente, un obseIVador viajando con el pión diria que el reloj del pión marcha normalmente y que su tiempo de vida medio es de 2.6 X 10-8 seg. Sin embargo, el corredor aparecería contraído por el factor de Lorentz a un veintiavo de su longi~ tud o a sólo 5.00 m. de largo. El viaje, de acuerdo con el pión, tomaría sólo 5 rn/3 XI08 m/seg = 1.66 X 10-8 seg. El número que alcanza el extremo es entonces N = No exp[ -(1.66 x 10- 8 /2.6 x 10- 8 )]
En reposo con res· pecto a las estrellas fijas
1
~ 1
S,
~~
S En ,eposo con respecto a la ':H? tierra y al interferómetro
-1
~
¡
0.52No
De modo que el observador en el laboratorio cuenta el mismo número al extremo del corredor que un observador viajando con el haz de piones. El rrüsmo factor de Lorentz los afecta a ambos, pero en formas complementarias.
49
a S J . El marco de referencia SI está a su vez unido a las estrellas fijas o al "éter". En el tiempo t) = t 2 = O [figura 5·4(a) j, S, coinciden con SI Y un pulso de luz se envía desde 0 1 hacia el espejo M 2 , donde será reflejado pa~a llegar, después de un intervalo, a O2 , Llamemos TI y T, a los tiempos de viaje medidos por los observadores 0 1 y O2 , respectivamente.
= No exp( - 0.642) =
•
I?
Velocidad traslacional t.... !J~ tierra de la i.t' ',-
'-
':' _""-----------4 x, o, -',
la}
5-3 INTERPRETACION OEl EXPERIMENTO OE MICHElSON-MORlEY Las transformaciones de Lorentz pueden usarse para mostrar que la dilatación del tiempo y la con::acción de la longitud son consecuencias directas \a \~"'6.TI.'3..~<:'\'3..
Ibl
Figura 5-4 Evidentemente (ya que e, la velocirlad de la luz, es invariante), la figura 5-4(a) muestra que los tiempos de viaje son 2L c
(5--15)
50
•
PRIMERA PARTE; ESPACIO Y TIEMPO
y
-
+ (v'/4)T.' -'--'--=----'--"--'-"-"-'-2.JL'
e
2L I /c I - (v'/e')
.,-----~~
=
e - v (5-1 6)
e
(5-22)
y las ecuaciones (5-19) y (5-22) dan entonces
De la ecuación (5-16)
L=~T,JI
v' e'
(5-17)
TI = (2L,/e)/[1 - (v'/e')] = L I ( I ) T, 2L,/e L, I - (v'/e') (5-23)
y de la combinación de las ecuaciones (5-15) y
(5-17)
:'T,J~2
E n reposo con respecto a las es-
v' _ -e T, e' 2
trellas fijas.
l ~~' E~ \'
que se simplifica a
"t'
J
T,
SI
.
(5-18)
.JI _ (v'/e')
"
O,
VI S,
S,
et,
(5-19)
o
Ahora, si tI es el tiempo de V1aJe de O, a MI medido por el observador O" la figura 5-5(b) muestra que
~
V(,
-V(,
>
Cl2 -
L1
-
vt 2
(5-21)
Por lo tanto, en base a las ecuaciones (5-20) y ('i-21\
I
~
t
M,'
el2-
o,
O2 '
M,
~x,
x,
L,
Pos;c;ón de (), cuando laluz alcanza Mi
Posición de Mi cuando la
Posición de MI cuando la luz he.
luz lo alcanza
regresado a O:
rbl
Figura 5-5
(5-20)
donde L, es la distancia de M, a O" medida desde S, . Si el tiempo de viaje de M, a O, medido por 0 1 es t 2 entonces
I
L,-------;
k"" ,
e
Xl
M,
c.1
O, ,
L,
v_
.~.~012===t=====~-::,)X,
el mismo resultado, obtenido por aplicación directa de las transformaciones de Lorentz. Consideremos ahora la noción gemela de la contracción de la longitud. Cuando S'2, coincide con SI, se envía un pulso de luz desde el origen común hacia M, , que está a la distancia L, según la mide el observador O, . La luz es reflejada por el espejo Mi y regresa a 0'2,. Como antes, TI Y T'2, son los tiempos respectivos medidos para el viaje redondo de la luz por los observadores O J Y O 2 , respectivamente. Ahora bien, para el viaje redondo O'2,M¡ T, = 2 -
f
,"poso con respecto a la 52 tierra y al ¡nterfer6metro. Velocidad traslacional de la tierra.
De acuerdo con la dilatación del tiempo
T,
1
-=r=~'7 T, (v'/e')
.JI _
con lo cual la ecuación (5-23) toma la forma 1 LI ( 1 ) (v'/e') = L, I ,- (v'/e')
CAPITULO 5: CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
y fmalmente, tenemos
(5-24)
,ue es la fórmula para la contracción de lUd.
Úl
L mpui
=
miento
Para un montaje experimental como el de Michel;on-Morley (figura 4-1) se encontró que los tiempos de viaje redondo para la luz eran, para el viaje Jfll1¡1I1
2L{e t 11 = -1--==~= _ (v 2 {e 2 )
(5-25)
y para el viaje MM2 M t~ =
2L{c
-vr./l==(~v""2{'C'e';;:2)
(5-26)
:ende L = MM ¡ = 111M2 , la distancia de M a los ~pejos es MI y M'2, medida por un observador :=rrestre. Evidentemente, entonces,
:nt~
1
.JI _ (v 2 {e 2 )
Por lo tanto, de acuerdo con el enfoque Galileano, tn
>
llo
Por otro lado, los resultados experimentales dieron __ relación
Se
como explicación posible para este ~ultado experimental que la invariancia de la ve!Deidad de la luz con respecto al movimien to del ~rvador. Como ya hemos visto, esta necesidad ~ rechazar la composición Galileana o clásica de velocidades, fue difícil de aceptar para muchos fi"s.icos, ya que era un principio considerado en ese :lempo como un dogma en la física. De los varios intentos realizados para no violar SllgIrlO
51
las ideas de la física clásica, G. F. Fitzgerald propuso una ingeniosa solución. Sugirió que todos los objetos que se mueven a través del éter experimentan una contracción real a lo largo de la dirección de movimiento y que la longitud contraída, L movimiento está dada por
Iongi-
5-4 SOlUCION OE EINSTEIN Al CONFLICTO
•
L
R
2
1- e2
donde L = Lreposo es la longitud del mismo objeto cuando está en reposo con respecto al éter (el sistema de referencia Si' en el experimento de Michelson-Morley). Por lo tanto, si L se remplaza por Lmovimiento en la ecuación (5-25), t
2L.j 1 - (v {c )/ e _ _ ;=,-2::;L~{c~"" 11 1 - (v 2{e 2) - . j1 _ (.2{e 2) _
2
2
y por lo tanto tU ~ t .1, lo que concuerda con el experimento. La contracción no puede ser detectada por el observador O 2 (el observador terrestre), quien viaja con el objeto, porque su barra de medir también se contrae en la misma razón. La solución de Einstein al problema fue rechazar el principio clásico de composición de velocidades y suponer como resultado válido que la velocidad de la luz es invariante con respecto al movimiento del observador. Esta conclusión condujo, como ya hemos mostrado antes, a las transformaciones de Lorentz y a la conclusión inmediata de la contracción de longitud y de la dilatación del tiempo. Es importante destacar que la contracción de la longitud no es real sino una contracción en la "lon_ gitud medida", la úIÚca longitud que puede ser discutida. No debernos usar las palabras "observar" y "ver" descuidadamente. El acto de "ver' un objeto implica la cantidad fmita de tiempo requeri. da para el tránsito de la luz. Víctor Weisskopf* muestra que un objeto muy distante moviéndose a veiocidades relativistas no aparecerá distorsionado en su forma, pero parecerá haber rotado un poco ·V. F. Weisskopf, "La apariencia visual de objetos Que se mueven rápidamente", Phys, Today 13, 24-27 (septiem. bre de 1960).
52
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
fuera de la posición que ocupaba cuando estaba en reposo. La solución dada por Einstein ha probado ser válida, y mucha evidencia experimental apoya su teoría. Por lo tanto, de acuerdo con su interpretación: 1. Las transformaciones Galileanas deben rechazarse y considerarse como una aproximación inválida cuando v /c -+ 1.
2. Deben considerarse válidas las transformaciones de Lorentz (de acuerdo con los resultados del experimento de Michelson-Morley). 3. El postulado de la existencia del "éter" se rechaza como innecesario. 4. Se rechazan los conceptos de un espacio y un tiempo absolutos. El espacio y el tiempo se consideran dependientes del marco de referencia o, en otras palabras, son relativos. En 1905 Einstein dio un paso más adelante y estableció el principio especial de la relatividad en la siguiente forma: Todas las leyes de la [{Sica deben ser iguales para todos los marcos inerciales que se mueven entre s{ con movimiento· traslacional uniforme (velocidad constante). Nos damos cuenta de que esto implica que las leyes d~ la dinámica permanecerán invariantes o tendrán la misma forma cuando son referidas a diferentes marcos inerciales de referencia. Este principio puede considerarse como el punto de partida de la teoría especial de la relatividad. Hemos visto que los metros son más largos y los relojes andan más rápido cuando son vistos desde sus propios marcos de reposo. Estas declaraciones deben ser rectificadas de dos fOImas. En una, serán ampliamente generalizadas yen la otra restringidas severamente. Primero generalizamos estableciendo que los '''obsefvadores'' usados en los varios marcos de referencia no necesitan ser personas, ni animales u otros seres v~vjentes. Los efectos que se han encontrado aquí afectan a cualquier objeto en la natura· leza, desde los más grandes hasta los más peque('los. De alguna forma, toda partícula tiene dentro jt: sí la "barra para medir" y el "reloj" de los que lcmos estado hablando. Tal vez la propiedad llamada longitud y la llamada tiempo-propiedades
que decrecen o se dilatan a medida que experimentamos el movimiento~son realmente una propiedad del espacio (o espacio-tiempo) mismo, en el cual se encuentra toda la naturaleza observable. Ahora restrinjamos esta declaración muy severa· mente. Se ha escogido a S2 para representar en general cualquier marco que se mueve con respecto a SI. Siempre se ha supuesto que el vector de velo· cidad relativa v es constante en la dirección y en el tiempo. Los resultados no se mantienen necesariamente cuando la velocidad está cambiando; en tal caso, no debe haber aceleración. ¡El movimiento debe ser constante y líneal! Esta condición raramente se encuentra, si alguna vez, en el mundo real. Puede ser casi encontrada en pequeñas regiones del espacio por cortos intervalos de tiempo, así que la teoría solamente constituye una aproximación. Toma el título de teoría restringido o espe· cial de la relatividad. El mundo real contiene desde luego, aceleraciones y trayectorias curvas, y casi en cualquier parte se encuentran fuerzas cambiantes. El problema de obtener una sola descripción unificada del mundo real, con sus muchas clases de fuerzas, sus aceleraciones, y su variedad de partícu· las, sigue siendo un problema insoluto aún hoy. Es el problema que estudia la relatividad general.
PROBLEMAS 5·1
Una barra n'gida, de 1 m de largo, es medida por dos observadores, uno en reposo con res· pecto a la barra y el segundo moviéndose con respecto al primero a lo largo de la longitud de la barra. ¿A qué velocidad debe mo· verse el observador para observar la barra contraída a 0.999 m y O.SOO m?
5-2
Determine las dimensiones y forma de una placa de 1 m cuadrado que se mueve alejándose de un observador en línea rect.a a lo largo de su base, a la velocidad relativa de 0.80e. Compare el área de la placa cuando está en reposo con el área medida cuando está en movimiento.
S·3
Una barra de 1 m que se mueve paralelamen te a su longitud es medida cuando su
CAPITULO 5: CONSECUENCIAS DE LAS TRANSFORMAC.IONES DE LOREN
velocidad es 0.98c. ¿Cuál es la longitud de esta barra comparad2. con su longitud de reposo?
rz .
53
trional, a 20 años luz de distancia y aproxi· mándose a la tierra a la velocidad de O.8OC. Suponga que la tierra es un sistema inercial
estacionario y calcule (a) el tiempo reque5-4
j·5
Una estación de radar situada en la tierra observa una nave espacial A. que viaja a la velocidad de O.8OC. perseguida por una se· gunda nave B, situada a 10,000 m de la pri· mera, y que se desplaza a la velocidad de O.98c. ¿Cuánto tiempo le lleva a la nave B alcanzar a la nave A según el reloj de B? ¿Según la estación de radar? Un péndulo "segundero" necesita dos segun· dos para completar un ciclo (l seg. para osci·
rido para que el objeto alcance la tierra se·
gún el astrónomo; (b) el tiempo según un astrónomo que viaja con el objeto; y (c) la distancia a la tierra según el astrónomo que viaja con el objeto.
5-11 Una barra rígida hace un ángulo 8 2 = 37° con respecto al eje Xl. ¿A qué velocidad de· be moverse la barra paralelamente al eje Xl para que parezcan formar un ángulo 0 1 =
45°?
lar en cada dirección). ¿Cuál será el período de este péndulo medido por un observador
que viaja a la velocidad de 0.8Oc?
5-12 Muestre que el volumen de un cubo que se mueve a la velocidad v en la dirección parale·
la a uno de los bordes es 5·6
¿Qué tan rápido tendrá que viajar una nave para que un intervalo de 1 año medido por un observador en la nave sea de 2 años medido por un observador terrestre estacionario?
V = Va
H
2
1 - 2c
donde V o es el volumen en reposo.
5-7
a
5·8
Un pasajero viaja en un tren que se mueve a
la velocidad de O.7Sc. Cuando el tren pasa
5-13 Un astrónomo dispara un laser pulsante, y
frente a la plataforma de una estación, un dependiente levanta un reloj y después lo de· ja. Si el pasajero observa que el dependiente sostuvo el reloj durante 8.0 seg, ¿qué tanto tiempo piensa el dependiente haberlo sostenido?
1.3 seg. después el pulso llega a la luna situada a una distancia de 3.9 X 10' m Un observador que viaja en la misma dirección del pulso ve los dos eventos (o sea, el disparo y
la llegada a la luna) como un solo evento·. ¿Cuál es la velocidad de este observador?
La vida media de un mesón pi cargado, medio da en reposo es de 2.6 X 10-8 seg. Si la partícula viaja a la velocidad de 0.98c con res-
LECTURA RECOMENDADA
pecto a la tierra, ¿cuál será su vida media medida por un observador terrestre?
ERBER, T., Y MALCHlST, R. J., "Transformación de la aceleración en la relatividad especial." Am. J. Phys. 27,607 (19S Q).
La distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de lOs años luz. Suponiendo que el tiempo de vida de una persona es de 70 años, ¿ a qué velocidad debe viajar para lle· gar a la estrella en su tiempo de vida?
FEYNMAN, R. P., LEIGHTON, R. B., Y SANDS, L. M., Conferencias Feynman sobre [{sica, Addison·Wesley, Reading, Mass., 1963, VoL 1, Capítulos 15, 18 Y 20.
5-10 Un astrónomo confinado a la tierra observa un objeto brillante en el hemisferio septen-
FRENCH, A. P., Relatividad especial, Norton, Nueva York, 1968.
)·9
54
~
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
Libro muy interesante con muchos problelilas sobre relatividad. Un buen capítulo discute los relojes en movimiento y otros temas.
GOLD, T., "La flecha del tiempo," Am. J. Phys. 30,137 (1963).
dades relativistas," Am. J. Phys. 33,534 (1965). SEARS, F. W., "La longitud de una barra en movi· miento." Am. J. Phys. 33,266 (1963).
Teor(a especial de la relatividad, textos selectos, Instituto Americano de Física, Nueva York,
LIEBER, L. H., La teoria de Úl reÚltividad de Einstein, Rolt, Rinehart & Winston, Nueva York, 1945. Una introducción muy elemental a la teon'a especial de la relatividad. LOWRY, E. S., "La paradoja del reloj." Am. J. Phys. 31, 59 (1963).
scon,
G.. Y VlNER. M., "La apariencia geométrica de grandes objetos que se mueven a veloci-
1963. Contiene buenas referencias y varios t;xcelentes aro tículos sobre la teoría especial de la relatividad.
WEISSKOPF, F. F., "La apariencia visual de obje. tos que se mueven rápidamente",Phys. Today 13, 24·27 (Septiembre de 1960). El artículo está incluído en los Textos Selectos anteriores. Corrige algunas malas interpretaciones de los físicos en lo que respecta a objetos que se mueven a velocidades relativistas.
6
Mecánica relativista
Albert Einstein
(1879-1955)
Nacido en Ulm, Alemania, Einstein estudió en la Universidad de Zurich.
De 1914 a 1933 enseñó en la Universidad de Berl/n y sirvió como director de/Instituto Kaiser Guillermo. Después de ser expulsado
de la Alemania Nazi en 1933, continuó sus investigaciones en e/Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, E. U. Autor de más de 300 estudios cientlficos y varios libros, Einstein es considerado el '"sico más sobresaliente del siglo veinte. Por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico y sus muchas y profundas contribuciones a la
flsica teórica se le concedió el Premio Nabal en 1921.
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5
MASA Y MOMENTO DEFINICION DE FUERZA ENERGIA CINETICA RELATIVISTA ENERGIA TOTAL REVISION ESQUEMATICA 55
6-1 MASA Y MOMENTO Los postulados de Einstein sobre la relatividad forzaron a los físicos a revaluar sus conceptos de la mecánica. Las expresiones clásicas para el momen· to y la energía deben ahora ser remplazadas con expresiones relativistas antes de ser convertidas en leyes de conservación del momento y de conservación de la energía. En cierto sentido, la facilidad con que las expresiones relativistas encajan en las leyes de conservación es un tributo a la gran gene· calidad de estas leyes de la física. De acuerdo con la mecánica clásica, el momento lineal de un cuerpo con masa inercial m y velocidad v se define por la ecuación p = rnv (6-1 ) En el Capítulo 2 aprendimos que la ley de conser-
vación del momento lineal para un sistema aislado de partículas se presentó como la ley más fundamental de la física. Para un sistema aislado de partículas mI> m'2," _ m n sobre el cual no actúan fuerzas, el sistema evolucionará en el espacio yen el tiempo de tal forma que
m,v 1 + m 2 v2 - constante
+ ... +
mnvn
(6-2)
Esta ley de conservación expresada por la ecuación 56
(6-2) es una consecuencia de la homogeneidad del espacio en el cual parece estar ubicada toda la na· turaleza. Cuando se observa una colisión desde di· ferentes marcos de referencia en movimiento, no hay razón para esperar que el espacio se vuelva súbitamente no homogéneo. Ahora debemos averi·' guar cómo se mantiene la ecuación (6-2) bajo las transformaciones de Lorentz, para sistemas coor· denados en movimiento. Anticipando las compli· caciones que pueden aparecer con respecto a la masa cuando se efectúan las transformaciones de Lorentz, asignaremos el símbolo mo a la masa. La masa nlo es la masa' medida para un cuerpo en reposo en nuestro marco de referencia y se conoce como masa de reposo del cuerpo. Considere dos esferas idénticas y perfectamente elásticas cada una. con masa de reposo mo en un sistema en movimiento S2 (figura 6-1). En este sistema en movimiento S2' las esferas A y B se mueven a las velocidades respectivas VA,
= V
vB , =
-V
(&--;l)
tales que las esferas tendrán una colisión de frente. Recordando la ecuación para la transformación de velocidades, la transformación de Lorentz se usa para relacionar estas do~ formas de ver el mismo evento. La transformación de velocidades de Lorentz muestra que las velocidades de estas dos esferas, vistas por el observador 0 1 , son
CAPITULO 6: MECANICA RELATIVISTA
y,
•
57
y,
r
Antes de la colisión
¡
¡
«A '?"
l~
v ..........
3> x, ->x,o, ~1\L~::::::===========~ (,)
y,
y,
t
Colisión!
II
A
VA~
B
(4lit;
vS 2
la
o,
(b)
y,
'i'I ,
Después de la colisión
! I
o,
o,
x,
(e)
Figura 6-1 (a) El observador O 2 ve dos esferas aproximarse entre sí a velocidades iguales. (b) Aquí el observador O2 ve dos esferas justamente en el momento del impacto, en que vA2 = vB2 = O. Las esferas están momentáneamente en reposo, por lo que respecta al observador O 2 • (e) El observador O 2 verá las esferas rebotar con velocidades iguales pero opuestas_
VA, -
va ,
V'h
1
+
v
+
{J(vA,¡e)
vS:z.
+v
= 1 + {J(vB,je)
-
V+ v 1 + {J(V¡e)
(6-4)
-
-V+v 1 - {J(Vje)
(6-5)
masa total permanecerá constante a través de toda la colisión y cuando chocan mAlvA!
nde {i = v/c. Si la suma de las masas visla desde S 1 es M, esta
en la cual
+
mBlvB!
=
Mv
(&-6) (6-7)
Así. mientras que el observador O2 ve las dos roa· sas instantáneamente en reposo, el observador 01
58
•
PRIMERA PARTE; ESPACIO Y TIEMPO
las ve moviéndose juntas a la velocidad v. Se des· prende de las ecuaciones (6-6) Y(6-7) que
M(v - Da) mB,(VB, - VA) = M(v - VA)
mA1(vA1 -
DBI )
=
(6-8)
Usando ¡as ecuaciones de trarn;formación (6-4) Y (6-5) Y simplificando, la razón de la ecuación (6-8) da m A , = 1 + P(Y{c) (6-9) m B, I - p(Y{e) Ahora, de la ecuación (6-4)
La masa oe un cuerpo no es. en general, una cons-
tante ni la misma para todos los observadores, sino que es una cantidad que
1. depende del marco de referencia desde el cual es observado el cuerpo, y 2. es menor que o igual a mo cuando el cuerpo está en reposo en el marco de referencia desde el cual el cuerpo es observado. Las propiedades del factor de Lorentz'Y hacen que la masa se vuelva muy grande y tienda fmalmente a infinito, a medida que la velocidad relativa se apro-
xima a c.
I _ VA,2 = I _ (V + V)2 2 2 e e [1 + p(Y{e)]2
De acuerdo con la fórmula de la masa, la expresión relativista para el momento lineal es
lo cual puede re arreglarse algebráicamente para dar
2 2 I - VA,2 = .JI - p .Jl - (V {e ) e2 [1 + P( V{e)]
J
y similarmente, de la ecuación (6-5)
JI
VB,' = e2
.JI -
2 2 2 p .J1 - (y {e ) [1 - p(Y{e)]
Los factores [I + fJ(VjeJl y [I - ~ (Yje)] puede" ahora extraerse de estas expresiones y sustituirse en la ecuación (6-9). Esto nos dará la razón de las dos masas vistas desde S 1 en la forma
m A, _ .JI - (vB,2(e 2) (v A,2{e 2) m B, -
(6-10)
.JI -
Así, la masa vista desde un marco de referencia en movimiento no es m o sino que es inversamente proporcional al factor de Lorentz 'Y = I{JI= (v 2 je 2 ). Note que 'Y es siempre mayor que I pero se aproxima a la unidad a medida que la velocidad se vuelve muy pequeña comparada con la velocidad de la luz c. Esto nos permite escribir la expre· sión general
mAl
1p
2
~
~1 -
¿-
=
-
VB ,
2
-- = 2
e
roo
o simplemente (6-11 )
= mv = ymov
1
(6-12)
y la conservación del momento lineal para un sistema aislado es:
,
:L: miv¡ =
= constante
(6-13)
i=l
6-2 DEFINICION DE FUERZA Aunque las leyes de la mecánica clásica no son lo suficientemente universales para incluir efectos relativistas, la forma de la segunda ley de Newton, F
= -d
dI
= -d
(p)
dI
(mv)
(6-14)
es generalmente aplicable, incluso a la mecánica relativista. Después de diferenciar la ecuación (6-14) toma la forma
dv dI
dm dI
F=m-+v-
(6-15)
donde m es ahora igual a 'Y"'oPara una fuerza que actúa en la dirección x positiva. podemos escribir F =
•
el. (mv ) dI
•
=
el. [
mov. ] dl.JI _ v~je2
CAPITULO 6: MECANICA RELATIVISTA
Diferenciando obtenemos
F x
.h _
dv;x (v//e') dI
+
59
problema, supongamos que la fuerza y el desplazamiento están en la misma dirección. La energía cinética, o sea el trabajo neto hecho sobre la partícula, es
mo
=
•
mo(v//e') dv x [1 - (v/ /e')],/2 dI
(6-16)
que se puede simplificar a
Con la ecuación (6.1 Sal toma la forma F
= x
mo dv;x / [1 _ (v//e')]3 ' dI
f.' [1 -
(6-150)
KE
=
o
ó (6-15b)
ande ax es la aceleración observada en el laboramrio.
dr ~ v dI, m = mo/.Jl - (v'/e'), y v'dv=vdv
F
~
v' R
m
que integrado da
KE
m e' o
=
.JI - (v'/e') o finalmente
d [ mo ] mo dv dI .JI _ (v'/e') v = .JI _ (v'/e 2 ) dI
.-ótese que m = mo/y1 - (v'/c') y dv/dt=a., que es la aceleración centripeta. Por lo tanto, podemos escribir en magnitud
"
o v dv o [1 - (v'/e')]3 /'
f.
=
:J EMPLO 6-1: Determine la fuerza relativista
SOLUCIONo En este caso, la magnitud de la velo· cidad permanece constante y
dv 'dr (v'/e')]3 /' dI
Ya que
KE ue actúa sobre un cuerpo que se mueve con movi:mento circular uniforme.
mo
IKE =
(m - mo)e'l
(6-17)
Aunque trazada para el caso especial en que la fuerza tenga la misma dirección del desplazamiento, esta expresión general es aplicable a cualquier caso.
m-
donde R es el radio del círculo. Así, la segunda ley de Newton cubre el caso del movimiento circular :elativista.
6-3 ENERGIA CINETICA RELATIVISTA Cuando la velocidad de una partícula se aproxima 2: valores relativistas, la expresión para la energía cinética clásica debe ser cambiada a una forma relativista. A fm de encontrar ~na expresión para la energía cinética relativista, calcularemos el trabajo hecho para aumentar la velocidad de una partícula desde O hasta un valor final v. Para simplificar el
Fácilmente podemos reducir esta expresión de la energía cinética relativista a la forma clásica, KE = Y2mov2, cuando v%. c. Para mostrar esto, expandemos la ecuación (6-17) por medio de la expansión binomial
(1
+
x)m = 1
+
+
mx
+
m(m - 1) x' 2!
m(m - 1)'" (m - n
+
+ ...
1) X'
n! Entonces la energía cinética toma la forma
+ ...
60
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
ó KE = m oe
2 {[
1
+ (-
D(- ~:)
+ -H -!) (_ 2!
+
m(m -
V2)2
+ ...
c2
l)"~ ~m - n + 1) ( _ ~:y
+ ...
J 1}
ó
SIC en que está escrito es suficientemente matemático en la forma para no resultar demasiado difícil de seguir a llil estudiante de física. Los comentarios que siguen a la comilla única en algunos términos, son para descripción y no desempeñan parte en la computación. En la expresión anterior expandida para la ener· gía cinética, note que el enésimo término T n comparado con el (n-l)-ésimo término T n - 1 es
T" (" Tn - 1 = n
!) (v
2
e2
)
Esta relación se usa en el siguiente programa BASIC para evaluar y comparar la expansión de la energía cinética relativista con la energía cinética clásica.
KE =
A medida que (v/e) --> O, las potencias mayores de
v/e pueden despreciarse, y entonces
(1
2
1 2 v ) = ",!1JJoV KE = moc 2 - ~ 2 e2
lo cual viene a comprobar el principio de corres· pendencia.
EJEMPLO 6-2: Aunque el programa siguiente de computador está hecho para estudiantes con algunos antecedentes en programación, el lenguaje BA10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
En el programa, F = v/e es la razón de una velocidad cualquiera a la velocidad de la luz, y N es el número de términos a ser usado en la expansión. Cuando se calcula un gran número de términos en la expansión, un término individual puede llegar a ser tan pequeño que sume una cantidad insignifi· cante a los cálculos. La proposición número 100 es llila orden que despreciará los términos demasiado pequeños. El programa determina la energía cinética para un electrón, pero la proposición número 10 puede ser cambiada para introducir cualquier masa que se desee.
LET MO = 9.1091E-31 LET C ~ 2.99793E + 8 PRINT·V/C."REL KE-JOULES .....CL KE..JOULES."% ·"DIFF··...NO. TERMS" 'F = V/C AND N = NUMBER OF TERMS IN READ F.N THE EXPANSION LET V = F,C LET S ~ O 'INITIALlZE SERIES SUM LET S1 ~ 1 'INITIALlZE THE EVALUATION OF EACH TERM FOR I ~ 1 TO N 'BEGIN LOOP FOR CALCULATION LET Sl = SJ.(I-.5)/I)·F12 'CALCULATES EACH TER M IF Sl < 1E-30 THEN 130 'TERM IS TOO SMALL-GO OUT OF THE LOOP LET S = S + S1 'SUMMATION OF SERIES NEXT I L=T K1 MO·C12·S 'RELATIVISTIC KE IN TERMS OF SERIES EXPANSION LET K2 (MO·V12)/2 'CLASSICAL KE PRINT F.K1.K2.100·(Kl-K2)/K2.N
CAPITULO 6: MECANICA RELATIVISTA
160 170 180 190 200 210 220 230 240
•
61
IF I > 100 THEN 190 ' A MEANS OF SKIPPING A SPACE BETWEEN DATA GO TO 40 DATA .95.2.. 95.5..95.10..95.20..95.100..95.1000 PRINT PRINT GO TO 40 OATA .999.100..95.100..80.100.. 50.100..10.100..01.1 00 DATA .001.100.1E-6.100 END
(a) Para ver el efecto de la expansión, deje que F(= V/Cl= 0.95 y eónalo para R = 2,5,10,20,100, 1000 términos (ver enunciado de datos 160). V/C 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95
REL KE-JOULES 6.19493 E-14 1.0767 E-13 1.44292 E-13 1.7'0079 E-13 1.8032 E-13 1.80321 E-13
% DIFF 67.6875 191.447 290.576 360.379 388.098 388.102
CL KE-JOULES 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14 3.69433 E-14
NO. TERMS 2 5 10 20 lOO 1000
(b) A continuación compare las energías cinéticas en función de la velocidad. Deje que R lo para F = 0.999,0.95, 0.80, 0.50, 0.10,0.01,0.0001. 0.999 7.87098 E-13 0.95 1.8032 E-13 0.8 5.45792 E-14 0.5 1.26651 E-14 0.1 4.1244 E-16 0.01 4.09375 E-18 0.001 4.09344 E-20 0.000001 4.09344 E-26 OUT CF DATA IN 40
6-4
~NERGIA TOTAL
IK , + V,
=
K2
K2 - K , = (m2 -
2 m , )c = (óm) e2
100 100 100 100 100 100 100 100
1
(6-18)
.-\sí, un cambio en la velocidad (o en la energía cinética) producirá un cambio en la masa ()Jn = mi'
Para W1 cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas conservativas, la conservación de la energía
+
V2
~constante I
(6-'9)
donde K es la energía cinética en un punto dado y Ves la energía potencial en el mismo punto. De las ecuaciones (6-18) Y(6-19), concluimos que
ó
I ÓKE
100 Ycórra·
(válida tanto en la mecaruca clásica como en la relativista) muestra que
Conforme a la ecuación (6·17), si un cuerpo que se mueve a la velocidad VI aumenta su velocidad a V2' el trabajo neto requerido, o el cambio en la energía :mética, será
m'2 -
1826.68 388.098 108.333 23.7604 0.756303 7.50202 E-3 7.4002 E-5 9.40984 E-7
4.08526 E-14 3.69433 E-14 2.6198 E-14 1.02336 E-14 4.09344 E-16 4.09344 E-18 4.09344 E-20 4.09344 E-26
=
=
V, - V2
=
(Óm)e 2
V,
ó
V2
e
(6-20)
2
Así, .--' ','
caro
L
en a masa = cambio en la KE _ cambio en la PE
b', 10
2
C
2 C
62
•
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
Ya que la energía de reposo se define como F o = moc'2, la energía total se defmirá como (6-21)
y ya que E = moe'
+
(m - mo)e',
o, de la ecuación (6-26) K- pe
(6-27)
Las partículas de altas velocidades para las cuales son útiles las ecuaciones (6-27) Y(6-26) se encuentran en la región relativista extrema. Otta telación intetesante que implica la enetgl'E.
(6-22)
Advierta que esta defmición de la energía total en relatividad no incluye la energía potencial. La equivalencia entre la masa y la energ{a [ex-
presada por la ecuación (6-22)) es una de las eansecuencli2s nuis importantes de Id teorla especial de la relatividad. Ahora se transfonna en el principio de conservación de la masa~nergía, que para un sistema aislado se puede exponer en la forma
L: (energía de reposo + energía cinética + energía potencial) = constante
(6-23)
total se obtiene diferenciando la ecuación (6-2-lEsta es pe' dE E dp ó
I~~
pe' -= me'
~
v
(6-28)
Ahora l si el cuerpo se está moviendo a la velocidad de la luz l o sea, si v = c, entonces dE =c dp, Ó
E = pe
+ constante
Para p = O, E = E o , Ypor lo tanto Esta fue una consecuencia del principio de conservación del momento lineal dado por la ecuación
(6-2) Y de la definición de fuerza encontrada en la ecuación (6-14). Otra relación útil que incluye la energ{a total E puede obtenerse directamente de la fórmula de la masa mo = m"J I - (02/C2). Multiplicando ambos lados de esta ecuación por c'2 elevando al cuadrado y simplificando l obtenemos (6-24)
Ya que p = m"v también puede escribirse como l
E
2
2
Eo + p
2 2 C
E-Eo=pe
(6-291
Pero la ecuación (6.25) muestra que
E' - Eo' = p'e' y estas· dos ecuaciones dan
E+Eo=pe
(6-30)
Comparando las ecuaciones (6-29) y (6-30) vemos que E o = O ó mo = O. En otras palabras, si un cuerpo se está moviendo a la velocidad de la luz, su masa de reposo y su energía de reposo deben ser cero. La conclusión recíproca también debe ser
(6-25)
verdad: Si una entidad no tiene masa de reposo ni energía de reposo, debe viajar a la velocidad de la
Si el cuerpo está moviéndose a muy alta velocidad, entonces E o' es despreciable comparado con p' c 2
luz. Aunque no tiene sentido desde el punto de
I
=
1
y E
~
pe
(6-26)
A altas velocidades, E o también es pequeña comparada con K y la ecuación (6·21) muestra que
E""K
vista clásico que un cuerpo tenga una masa igual a cero, es la descripción relativista correcta de un
fotón y de un neutrino. R. Y_ Pound y G. A_ Rebka, Jr., efectuaron en 1960 un experimento valiéndose del efecto Mossbauer y encontraron que la masa de un fotón
moviéndose a la velocidad de la luz (la única a que
CAPITULO 6: MECANICA RELATIVISTA
¡>uede viajar) está dada por m = hv/e', de acuerdo
E ~
lII,e
2
~
SOLUCION: El Electrón volt (eV) es una unidad ..:onveniente de energía definida como la energía cinética ganada por un cuerpo que contiene una carga electrónica a medida que es acelerado a tra"';s de una diferencia de potencial de 1 V. Ya que carga absoluta del electrón es q = 1.60 Xl OJ 9
roulombs(C), tenemos qV = (1.60 =
1.60
J
13
0.511 MeV
Ya que hay una equivalencia entre la masa y la energía, a menudo resulta conveniente expresar la unidad atómica de masa y su energía equivalente a Mev, en forma intercambiable. Así, aunque difiensiona1mente es inconsistente, escribimos
11
uam = 1.66 x 10-'7 kg (= 931 MeV)
I
Entonces, para el electrón X
X
10- 19 C)(l V) 10- 19 J = 1 eV
=
111,
~onde
el potencial acelerador es 1 V. Algunos múljplos convenientes del electrón-volt son 6
1 MeV = 10 eV 1 BeV = 10 9 eV
0.511 MeV ~ 0.00055 uam 931 MeV/uam
y las masas de reposo del neutrón y del protón son 1.675 x 10- 27 kg
mil = I11 p
1.672
=
X
10-
27
kg
(neutrón) (protón)
Por un procedimiento similar obtenemos
::n
el uso moderno, el término Bev está dando ;>aso al término europeo "GeV". Las magnitudes ;5z ambas son las mismas. A menos que se especifi~ que de otro modo, la energía de una partícula está
dada como energía cinética. Así, un electrón de 1.0 MeV tiene una energía cinética de 1.0 mev, y :lO una energía total de 1.0 MeV. La unidad atómica de masa (uam) se defme co:no un doceavo de la masa del átomo de carbono ""utro C-12 (el isótopo más común del carbono), ~'
MeV)
I
x ( 1.6 x 10 =
63
(9.11 x 10- 31 )(3.00 x 108 )2 x
mn la ecuación teórica E = hv = mc2 .
EJEMPLO 6-3: Calcule la masa de un protér:, un ceutrón, y un electrón en unidades atóI1l1ca.i ~e masa, y calcule la energía equivalente de la rn'''' en reposo de estas partículas_
•
energía de reposo del neutrón = 939.6 MeV = 1.00867 uam energía de reposo del protón = 938.3 MeV = 1.00783 uam Un resumen de estos resultados es el siguiente*:
MASA DE REPOSO (uam).
ENERGIA DE REPOSO
(MeV).
Unidad
es
atómica
1 uarn = 1.660 X 10-' 7 kg.
de masa
1
1.660
la energía de reposo, correspondiente a 1 uam. es
electrón
0.00055
neutrón
1.00867
9.109 x lO-31 1.675 x 10- 27
939.6
1.00729
10- 27
938.3
Eo
=
m oc 2
~
(1.66 x 10- 27 )(3.00 x 108 )2
~
14.9
IEa -
X
10 11 J
14.9 x 10-1 1 J = 931 MeV
La masa de reposo de electrón es me 10- 31 kg, Y su energía de reposo es
=
I 9.11 X
protón
X
1.673 x
lO-27
931 0.511
EJEMPLO 6-4: La velocidad de un electrón en un campo eléctrico uniforme cambia de VI = 0.98c a v2 = 0.99c. ·Para valores recientes, ver B. N. Taylor, D. N. Langen~ berg, y W. H. Parker, "Las constantes fundamentales," Sci. A m., octubre de 1970, págs. 62·73.
64
•
PRIMERA PARTE:
ESPACIO Y
TI EMPO
(a) Calcule el cambio en la masa. (b)Cakule el trabajo hecho sobre el electrón para cambiar su velocidad.
(c)Calcule el potencial acelerador en voUs. SOLUCION
(a) Evidentemente, las dos masas serán 1110
111 1 =
-J 1 -
=
0.98 2
5.0m o
y 1112
-J
=
1110
1 - 0.99 2
= 7.1m o
La tabla 6·1 sumariza esquemáticamente las racterÍsticas de la teoría de la relatividad espec· Representa un esquema lógico, pero no está ne sariamente en orden cronológico de desarrollo rt siquiera en el único orden lógico. Por ejemplo, le. ley de conservación del momento lineal es la ley más general en la física, pero las leyes de Newton que desarrollan las ideas de fuerza, fueron las pri· meras en ser formuladas. También, los físicos teó· ricos pueden arguir que el experimento de Michel· son-Morley debería seguir los principios de la rela· tividad especial porque fundamenta las ideas presentadas en la relatividad especiaL
donde mo = 9 JI X 10-31 kg. es la masa de reposo del electrón. El cambio de masa será 11m ~ m 2
-
mi
(7.1 - 5.0)m o _ 19.1 x 10- 31 kg
(b)Puesto que el trabajo hecho será el cambio de energía cinética, I1K = K 2 = L.1
x 0.511
~
K_ q
_ 1.07
Determine la energía total de un protón que viaja a 0.80Oc
6-2
¿A qué velocidad deberá viajar un electrón para tener una masa igual al doble de su masa de reposo? ¿Cuál es la energía total de} electrón a esta velocidad?
6-3
¿Cuál es el momento de un electrón que lle· va una velocidad de 0.98Oc?
6.4
Muestre que la energía total y la energía de la masa de reposo se pueden relacionar por
6-5
Con referencia al problema 6-4, encuentre r en términos de E o y de E.
6-6
Encuentre la masa y momento de un protón de LOO Bev.
6-7
(a)
1.07MeV
(c)K=qVy
v=
6-1
(tim)c 2 ~ 2.1m oc 2
KI
-
PROBLEMAS
L07 x 1.6 x 10- 13 1.5 x 10 19 X
lO' V
6-5 REVISION ESQUEMATlCA Cuando los físicos comprendieron las implicaciones de los dos postulados de la teoría de la relatividad de Einstein, L
2.
Las leyes físicas de la naturaleza son las mismas en todos los marcos inerciales de referencia, y La velocidad de la luz es la misma en todos los marcos inerciales de referencia,
los conceptos de la mecánica Newtoniana, aunque habían sido ampliamente útiles, tuvieron que ceder el paso a la mecánica relativista.
El acelerador lineal del Centro Stanford produce electrones altamente. relativistas de 20.0 GeV. Determine la velocidad, el momento, y la longitud de onda de estos electrones. (Sugeren· cia: vea el problema 6-4 y resuelva pa· ra v usando la expansión binomial).
Tabla 6.1
Resumen esquemático de la teoría especial de la relatividad EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY (base experimental fundamental)
t TRANSFORMACIONES DE LORENTZ (compatibles con el experimento M-M) CONTRACCION DE
(a)
LA LONGITUD
L~Lo.Jl-fJ2 (b)
PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL (invarianza de las leyes físicas
DlLATACION DEL TIEMPO
para observadores inerciales)
CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL (la ley más general de la física) mv constante
FORMULA DE LA MASA
m = ~"m,-",o=
FUERZA o
F
..Ji _ fJ2
~
d - (mo) dI
ENERGIA CINETfCA K ~ j F' dr = (m - mole 2
ENERGIA DE LA MASA DE REPOSO
Eo
m oc 2
=
t ENERGIA TOTAL
E=Eo +K=mc 2
PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA MASA-ENERGIA L(energía de reposo energía cinética energía potencial) ;:;: constante
+
+
(IEsI
m =
65
66
.
PRIMERA PARTE: ESPACIO Y TIEMPO
(h)
de una distancia de 3.200 m (cerca de 3 kilómetros. ¿Cuál será la longitud de la trayectoria de los electrones medida
nes en el mismo laboratorio. (b) Calcule la velocidad del centro de masa (cm) de este sistema en el laboratorio. (c) Haga los mismos cálculos que en (a) para el marco cm.
por un observador que se mueve jUt:lto con los electrones:
6-15 Un protón y un electrón tienen cada uno
Los electrones son acelerados a través
una energía cinética de 10.0 meV. (a) Calcu6-8
Determine la velocidad y el momento de una
le sus momentos y velocidades siguiendo un
partícula de masa de reposo mo cuando su ejergía cinética es igual a dos veces su ener-
enfoque clásico. (b) Haga lo mismo con un enfoque relativista. (c) ¿Qué conclusiones obtiene de la comparación de los resultados de ambos cálculos?
gía de repos". 6-9
Calcule el trabajo requerido para acelerar un electrón (a) d
6-10 El observador de un laboratorio ve cómo un protón que se mueve a O.SOOC hace una colisión de frente con un segundo protón, que viaja en dirección opuesta a 0.60Oc. (a) De-
6-16 (a)
¿Cuál es la velocidad mínima que debe tener una partícula para que su energía total se pueda escribir como E = pe con un error en su energía cinética no mayor del 1%.
(b)
¿Cuáles son los valores del momento y de la energía cinética de un protón que se mueve a esta velocidad?
6-17 (a)
Calcule la máxima velocidad que deba
termine la energía cinética y el momento del
sistema medidos por el observador del labo· ratorio. (b) Determine la energía cinética y el momento del sistema medidos por un observador que se mueve con el primer protón.
6-11 Una unidad para medir el momento, usada a menudo es 1.00 mevfc. Encuentre su valor numérico en unidades KMS (kilogramos por metro sobre segundo). 6-12 Para un protón, determine la energía total cuando tiene un momento de (a) 2.00 BeV/e y (b) 1.00MeV/e.
(b)
tener una partícula para que su energía cinética se pueda escribir como K = ~mov2 con un error no mayor del 1%. Bajo estas circunstancias, calcule el momento y la energía cinética de un electrón.
6-18 En un proceso de decaimiento (3 -, tiene lugar la reacción
on l
---+ ¡pi
+ _lPO +
ji
donde n es un neutrón en reposo, p es un protón, y Ji es un antineutrino cuya masa de reposo es cero. Calcule la energía cinética
total de los productos del decaimiento (pro6-13 Muestre que la razón de la energía cinética
relativista K = 1m - moje' a la expresión aproximada K' = Y2nz ov2 está dada por K/K' =1+3/4~'.
tón + electrón + antineutrino). (Sugerencia: use el principio de conservación de la masa-
energía). 6-19 (a)
6-14 Un protón A deja un acelerador lineal con una velocidad de 0.80üe con respecto al mar· ca del laboratorio y choca con un prot6n B en reposo en el mismo marco. (a) Calcule el momento y la energía cinética de los proto-
Empezando con la ecuación E = y'E5 + p2 e 2 = E o + K, muestre que el momento lineal de una partícula se puede
(b)
escribir como p = ( y'2EoK + K')le Pruebe que esta expresión se reduce a p = mov cuando ~ -+ O.
CAPITULO 6: MECANICA RELATIVISTA
(c)
Pruebe que la expresión se reduce a p = E/c = K/c cuando~' -+ L
5-2.0 Pruebe que cuando una partícula se mueve perpendicularmente a un campo magnético B, describirá un círculo cuyo radio está dado por R = (V 2EoK + K')/qcB, donde q es la carga eléctrica de la partícula.
5-21 El momento de un protón que se mueve en una trayectoria ~ircular y perpendicular a un campo magnético de 1.00 T tiene una magni· tud constante de 2.40 X 10-". Kg-rn/seg. Calcule (a) el radio del círculo, y (b) la energía cinética del protón.
5-22 Un electrón se mueve en una trayectoria ciIcular cuyo radio es 0.600 m. con velocidad constante y perpendicular a un campo magnético de 0.0300T (Wb/m'). En términos de su masa de reposo, encontrar (a) su masa relativista, (b) su energía cinética, (c) su energía total, (d) su momento lineal, y (e) su momento angular.
23 Muestre que la densidad de un cubo que se mueve a la velocidad v en una dirección paralela a uno de los bordes es l p = V ;c[1:----:(-:"/-:c)""'] 1110
o
donde V o es el volumen de reposo y mo es la masa de reposo. LECTURA RECOMENDADA
BERTOZZI, W., "Velocidad y energía cinética de electrones relativistas", Am. 1. Phys. 32, 551 (1964).
•
67
EINSTEIN, A., El significado de la relatividad, Princeton University Press, Princeton, NJ., 1956.
FEYNMAN, R.P., LEIGHTON, R.B., y SANDS, L.M., Conferencias Feynman sobre fúica, Addison·Wesley, Reading, Mass., 1963, Vol. 1. Capítulos 15, 16 Y 17. FRENCH, A.P., Relatividad especial, Norton, Nue· va York, 1966. GOOD, R.R., Conceptos básicos sobre relatividad, Van Nostrand-Reinhold, Nueva York, 1968, Capítulos 1,2 Y 3. Una presentación buena y clara de la teoría especial de la relatividad. Excelente corno lectura complementaria para cualquier estudiante de física moderna.
Introducción a la teoría especial de Kacser, C., la relatividad, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1967, pp. 148·156. LEWlS, G.N., Y TOLMAN, R.C., Phi!. Mag. 18, 510 (1909). Un artículo original sobre la teoría de la relatividad. MOLLER, C., La teona de la relatividad, Oxford University Press, Londres, 1952. Un estudio muy amplio sobre las teorías especial y
general de la relatividad. SHANKLAND, R. S., "Conversaciones con Einstein",Am. J. Phys. 31,47 (1963). Teoría de la relatividad especial, textos selectos.
Teoria de la relatividad especial, textos selectos. Instituto Americano de Física, Nueva York, 1963.
Segunda parte Partículas y Ondas
El efecto Compton: juego fotoelÉ:ctrico de billar.
MAX BORN
El incansable universo, 1936
Este titulo de una sección del libro de Born describe suscinta mente el efecto Compton. En el experimento de Compton se mostró que los fotones de luz no sólu tienen un carácter ondulatorio, sino que también se comportan come particulas cuando son despedidos por los electrones De Broglie razonó que si la luz conocida como fenólYleno
ondulatorio exhibía caracter(sticas corpusculares, ¿por qué no podrla ser verdad lo contrario? Y sugirió que pa ,!cu-
1", tales como los electrones, pocHan exhibir (aractensticas ondulatorias. Los experimentos de Davisson-Germer indicaron que los electrones dispersados por cristales sr!
comportaban como si fueran difractados, una calacterística de los fenómenos ondulatorios. 69
7
El efecto fotoeléctrico
"' · ... .--. . :t.,/,>;r;> : -_.{~ "
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Robert Andrews Millikan
(1868-1953) Nativo de Morrison, IlIinois, E.V.,
Míllikan estudió en el Colegio Oberlin y recibió su doctorado de la Universidad de Columbia en 1895. De 1921 a 1945 fue el director del Laboratorio Norrnan Bridge de Ffs;ca en e/Instituto de Tecnologta de California. Sus primeras
investigaciones cubrieron los campos de los rayos x y la libre expansión
de los gases. En 1910 aisló el electrón y midió su carga eléctrica,
al mismo tiempo que trataba de verificar las ecuaciones fotoeléctricas
de Einstein. Por su estudio de la carga eléctrica elemental y del efecto fotoeléctrico, se le
concedió el Premio Nobel en 1923.
7·' 7-2 7-3
CUANTOS DE ELECTR ICIDAD EMISION ELECTRONICA EFECTO FOTOELECTRICO 71
7-1 CUANTDS DE ElECTRICIDAD "La ciencia avanza sobre dos pies, a saber, la teoría y el experimento·. El trabajo de R. A. MlLLlKAN sobre la unidad eléctrica fundamental y el efecto fotoeléctrico ilustra este avance en una dirección experimental. Weber, en 1871, YStoney, en 1881, respectivamente, habían desarrollado teóricamente el concepto y el valor numérico para la carga eléctrica fundamental, la carga del electrón. En 1897 Thomson y Zeeman pudieron determinar la razón de la carga a la masa del electrón. pero el experimento de la gota de aceite de Millikan constituyó la primera medición directa de una carga aislada. Introduciendo una gota de aceite cargada en el ca m po e té e trico existente entre dos placas, MiUikan pudo observar los efectos conjuntos de las fuerzas eléctricas y gravitacionales sobre las gotas. Después de muchas y esmeradas observaciones fue capaz de mostrar cómo aunque las velocidades para distint3s gotas en el campo eléctrico no siempre eran las mismas, siempre eran múltiplos enteros del mismo valor. Este hecho experimental fue atribuido a la cuantización de la carga r~cugida por las gotas individuales de aceite. El valor de la carga en el electrón, e = 1.602 X 10-19 e, puede deducirse "Tomado del discurso de r-,·liUik3i1 al r·:dbir el premio Nobel. en mayo de 1924.
72
de las constantes físicas y de las ecuaciones de movimiento implicadas. El descubrimiento del electrón de Anderson (ver referencias bibliográficas al final del capitulo) ofrece una buena presentación del experimento de la gota de aceite y de las cantidades físicas usadas, así como un análisis de datos típicos.
7-2 EMISIDN ElECTRDNICA Se ha encontrado que los electrones pueden ser extraídos de los metales por los siguientes mecanismos: 1. emisión termoiónica (el efecto Edison): los electrones son emitidos por la superficie calentada de un metal. 2. emisión secundaria: partículas energéticas, incidentes sobre algunos materiales, liberan aún otros electrones de la superficie 3. emisión de campo: un campo eléctrico intenso extrae electrones de la superficie de un metal 4. efecto fotoeléctrico: luz incidente sobre un metal expulsa electrones de la superficie. El efecto fotoeléctrico fue accidentalmente descubierto por Hertz en 1887 cuando se encontraba investigando las ondas electromagnéticas predichas por la teoría de Maxwell del campo electromagnético. Después de la publicación de este descubri-
CAPITULO 7:
=liento, numerosos investigadores empezaron a es::J.diar dicho efecto. La figura 7-1(a) es un esquema .:r un efecto fotoeléctrico experimental típico. El ;rincipal entre los primeros experimentadores fue i'HILIPP LENARD*, cuyos trabajos mostraron lo liguiente: :_ Cuando luz de frecuencia v~ 10 Hz incide sobre una placa K metálica limpia de un metal, como el tungsteno o el zinc, partículas cargadas negativamente son emitidas por el metal y viajan hacia el electrodo positivo P. .:. Esta emisión ocurre cuando el tubo es altamente evacuado, de manera que los portadores de la carga no son iones gaseosos. 3_ Un campo magnético aplicado en la región enlre K y P desvía los portadores cargados como si fueran negativos. -_ La razón medida de la carga a la masa e1m para los portadores cargados fue: 15
1.60 X 10- 19 C = 1.76 9.10 x 10 31 kg
X
10- 11 Cjkg
que coincide con el valor encontrado por :\1illikan y Thomson para el electrón. La anterior evidencia experimental identificó a portadores como fotoelectrones.
Le03.rd, usando radiación monocromática de insidad constante, graficó el número de electro-zs emitidos por el metal (la corriente fotoeléctri.=! i ) que llegaban a P contra el potencial acelerap . r entre K y P para obtener una serie de curvas mo las de la figura 7 -l(b J. La co"iell!e de satu--=-~ió}/ ip (max) para una intensidad J dada es alean~a cuando todos los electrones emitidos por la r;¡erficie del metal llegan a P. Note que cuando V = O, hay todavía una corriente fotoeléctrica ipo. que significa que algunos de los electrones de.zn haber sido emitidos con una velocidad finita. ~ potencial de frenado suministra una indicación ~ la energía cinética de los electrones emitidos. El tencial entre K y P puede hacerse negativo (V =
-:tilipp Lenard (Alemania), discípulo de Hertz, recibió 1905 el premio Nobel por sus estudios sobre los rayos
5.
~icos,
EL EFECTO FOTOELECTRICO
•
73
- V o) hasta que sólo los electrones más energéticos puedan llegar a P. En este punto (7-1 )
con Vo definido como el potencial de frenado (o de corte). y K(max)es la energía cinética máxima de los electrones emitidos. Cuando la intensidad de la radiación incidente es aumentada, la corriente de saturación ip(max) aumenta (se emiten más electrones) pero ninguno de los electrones es más energético ya que el potencial de frenado permanece igual. El potencial de frenado es independiente de la intensidad de la luz incidente. Cuando se usa luz incidente de diferente frecuencia pero de la misma intensidad, el número de electrones emitidos en cada caso es el mismo, pero los electrones más energéticos son los emitidos por la luz de mayor frecuencia. Esto se ilustra en la figura 7-1(c), en que la corriente de saturación de· pende de la intensidad y no de la frecuencia, pero el potencial de frenado se hace mayor (más negativo) a medida que aumenta la frecuencia incidente.
7-3 EFECTO FOTOELECTRICO Se espera que a mayor intensidad de la luz incidente, sea mayor el número de electrones emitidos por la superficie de un metal. Sin embargo, la teoría clásica es inadecuada para la explicación de otros aspectos del fenómeno fotoeléctrico. La teoría clásica predice que a mayor intensidad de la radiación incidente, más energéticos serán los electrones emitidos por el metaL También, si la intensidad de la radiación incidente es muy débil, se espera clásicamente que pase cierto tiempo hasta que el metal almacene suficiente energía para expulsar electrones. Sin embargo, los experimentos han mostrado que la energía cinética de los fotoelectrones no depende de la intensidad SirIO que aumenta al aumentar la frecuencia incidente, y que no hay demora apreciable para que los electrones sean expulsados aun para luz de intensidad muy débiL
74
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
Luz monocromática incidente Electrones Placa de metal pulida
/ expulsados Corriente fotoeléctrica
'0:---oI'---~--!----\ (dirección convencional 1--=0 o + \ de la corriente)
\K
~o
p
\~,------------~j
A
f-------{v}-------I
(,)
;¡ , .3 ._0
> /2 > /1 __- - - - - - - /2 >/,
__- - - - - - - 13
Corriente de saturación
.-----.,...-- "
'r
;
- r---Vo~ \ Potencial de frenado
Corriente de saturación> V (volts)
+
(b)
V (volts)
+
(e)
Figura 7-1 (a) Esquema del experimento fotoeléctrico. (b) Corriente fotoeléctrica contra el potencial acelerador V para luz monocromática incidente de longitud de onda A. (c) Corriente fotoeléctrica contra potencial acelerador para mostrar la dependencia de la frecuencia.
En 1905, usando los nuevos conceptos de la mecánica cuántica. Einstein supuso que la radiación incidente consistía de paquetes de energía localizada E = hv que viajan con la velocidad de la luz. Desarrolló correctamente la teoría del cfccto fotoeléctrico. Cuando los fotones caen sobre una superficie metálica, puede pasar lo siguiente: 1. Los fotones pueden ser reflejados de acuerdo con las leyes de la óptica. 2. Los fotones pueden desaparecer, cediendo toda su energía para expulsar los electrones.
En la figura 7-I(c), la corriente fotoeléctrica se grafica de nuevo contra el potencial, pero esto se hace para diferentes fuentes de frecuencia crecien te. Note que con la frecuencia creciente se requieré un potencial de frenado aún rrutyor para reducir 1:: corriente fotoeléctrica a cero. De una gráfica coro la de la figura 7-I(c) se pueden obtener datos pa_ graficar K max (= eVo) contra la frecuencia inc:dente v como se ve en la figura 7·2 para tres dife rentes metales. Dos características interesantes se pueden observar en la gráfica de la figura 7-2. Pri"" ro, la relación entre K mnx y v es lineal. y segun
CAPITULO 7: EL EFECTO fOTOELECTRICO
•
75
K"",.=eVo=hv-r/Ji
I
12 ---
I
ar-- - -.J
4¡ !
I
Figura 7-2 Energía cinética máxima de los fotoelectrones Kmax (= eVo) contra la frecuencia de la radiación incidente. ?é1ra distintos metales las rectas no son las mismas 3unque son paralelas. La ecuación lineal de las recias graficadas en la figura 7-2 se conoce como la ecuación fotoeléctrica de Einstein: = eVo = hv -
4> I
~~J
(7-2)
La pendiente h de la línea es la constante de
S<
n·
llO
c. fe· S<
¡e.
Jo
i'lanck, y la intersección '" es llamada función de :rabajo. La función de trabajo es la cantidad mínirr.a de energía requerida para extraer un electrón ";e la superficie del metal y depende del metal usado. la ecuación 7-2 aclara porqué cada recta de la 5gura 7-2 es paralela a las otras (cada una tiene la ;pisma pendiente h) Y porqué están separadas (cauna tiene su propia función de trabajo", caractenstica). Cuando Kmox = O. v = Vo. es lafrecuenda umbral. Esta es la frecuencia mínima de la luz mcidente que empezará a extraer a los electrones . la superficie del metal. Esto da ahora a partir de la ecuación 7-2 (7-3)
lo que resulta conveniente para determinar la función de trabajo. La ecuación (7-2) se puede escribir ahora en la forma (7-4)
Para una frecuencia v < Vo ó una longitud de onda Ao > c/vo (longitud de onda umbral), no hay suficiente energía incidente para remover electrones de la superficie del metal y no se puede observar ningún efecto fotoeléctrico. Una extrapolación de las rectas hasta intersectar el eje de la energía dará la función de trabajo'" directamente de la gráfica. En 1914 Miltikan produjo la primera prueba exper\mental directa de la ecuación desarrollada por Einstein, la ecuación (7-2), y al mismo tiempo efectuó la primera determinación fotoeléctrica directa de la co,iStante h de Planck. El valor aceptado de la constante de Planck es
h = 6.625
X
10- 34 J-seg
El siguiente es un breve resumen del efecto toeléctrico:
fo~
1. El número de electrones liberados es proporcio-
76
.
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
nal a la intensidad de las radiaciones incidentes. 2. La energía cinética máxima de los fotoelectrones depende de la frecuencia, no de la intensidad de la luz incidente. 3. K max está relacionada linealmente con v a tra-
7~5
5.0 mW (A = 3250 A) expulsa electrones de una superficie de cesio que tiene un poten·
cial de frenado de L91 V. (a) ¿Cuál es la función de trabajo en electrón·yolts para el cesio? (b) ¿Cuál será el potencial de frenado
vés de la ecuación (7-2). 4. El potencial de frenado Vo depende de la función de trabajo 4>. ). Existe una frecuencia umbral Vo por debajo de la cual no ocurre el efecto fotoeléctrico. 6. La emisión empieza, sin demora observable de tiempo, en v ~ Vo aun para luz incidente de intensidad muy baja.
La radiación de un laser de helio-cadmio de
cuando la radiación incidente sea de 10.0
mW?
7·6
En un experimento se recolectaron los siguientes datos sobre potenciales de frenado
de los fotoelectrones producidos por promi· nentes longitudes de onda del espectro del mercurio:
PROBLEMAS
7-1
7·2
Si la función de trabajo para el zinc es 4.3 eV, ¿cuál es la energía cinética máxima de los electrones expulsados de una superficie pulida de zinc por la línea ultravioleta de 2537-A del mercurio? El níquel tiene una función de trabajo de 5.0 eV. (a) ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones expulsados de una su· perficie de níquel por una fuente de luz ultravioleta de LO mW a 2000 A ? (b) ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelec~ trones expulsados por una fuente laser de
argón de 15 W a una longitud de onda de 4658 A? 7-3
Se requiere una longitud de onda máxima de 5450 A para expulsar fotoelectrones de un metal de sodio. (a) Determine la máxima velocidad de los electrones expulsados por una
luz de longitud de onda igual a 2000 A. (b) ¿Cuál es el potencial de frenado para los fotoelectrones expulsados del soelio por luz de longitud de onda de 2000 A? 7-4
El potencial de frenado para los electrones expulsados de una superficie de zinc es de
2.42 V para la Mea ultravioleta del mercurio de 1849 A. ¿Cuál es el potencial de frenado para la línea de 2537;\ del mercurio?
LONGITUD DE ONDA (A)
POTENCIAL DE FRENADO (V)
5460 4920 4360 4050 3690 3130
0.40 0.60 0.90 1.20 1.50 2.1 O
Use estos datos para hacer una gráfica, y en base a ella determine los valores para la constante de Planck y la función de trabajo del metal usado en este experimento. LECTURA RECOMENDADA
ANDERSON, David L., El descubrimiellto del electrón, Van Nostrand Reinhold, Nueva York, 1964. Una relación muy interesante y comprensible del desarrollo del concepto atómico de la electricidad. IvIELISSINOS, Adrian, Los experimentos en la físi-
ca ",adema, Academia, Nueva York, 1966. Proporciona datos típicos y describe claramente el experimento de la gota de aceite de Millikan y el efecto fotoeléctrico.
MlLLlKAN, R.A., Discursos Nobel, Elsevier, Nue· va York, 1965. Breve biografía y discurso NobeI de Millikan sobre
el electrón y el efecto fotoeléctrico. MORRISON,
.
Philip, y MORRISON, Emily, "Heinrich Hertz". Sci. Am., diciembre de 1957.
8 e 1<
Rayos X
,a
,1 o O
Arthur Holly Compton
i-
(1892-1962)
D
,-
Comptan nació en Wooster, Dhio, E. V" titulándose en la Universidad de Princeton en 1916. Dirigió el
Proyecto Atómico Metalúrgico de 1942 a 1945 en la Universidad de Chicago y fue Rector de la Universidad
de Washington en Sto Louis (1945-1953). En 1923, suponiendo que los electrones ten tan momento, explicó correctamente el cambio en la longitud de onda de los ravas X dispersados por la materia. Por su descubrimiento del efecto Comptan recibió en 1927, junto con C. T. R. Wilson, el Premio Nabel de física.
a
e n
'/ -,
:1 L
,,1 ,1
-e
,,
8-1 8-2 8-3 8-4 8-5
ROENTGEN RAYOS X DIFRACCION DE RAYOS X DIFRACCION DE RAYOS X POR UNA RED DE DIFRACCION EFECTO COMPTON 77
8·1 ROENTGEN En un experimento diseñado para estudiar los rayos catódicos, el profesor WILHELM ROENTGEN cubrió cuidadosamente un tubo de descarga con cartulina negra. Cuando oscureció el cuarto e hizo pasar una descarga a través del tubo, Roentgen se sorprendió a! ver un débil resplandor a través del cuarto en la vecindad de una mesa de trabajo. Co-
mo sabía que los rayos catódicos sólo pueden viajar unos cuantos centímetros en el aire, repitió el procedimiento encontrando de nuevo el mismo resplandor. Encendió un cerillo y descubrió que la fuente de la misteriosa luz era la fluorescencia de una pequeña pantalla de platinocianuro de bario sobre la mesa. Se dió cuenta de que estaba presenciando un nuevo fenómeno de radiación. Después de ulteriores observaciones, denominó rayos x a esta nueva radiación y resumió sus propiedades: l. Hay muchas substancias bastante transparentes a los rayos x. 2. Los rayos x no pueden ser reflejados ni refractados y no muestran efectos de interferencia. Es· tos fenómenos estaban presentes pero eran de~ masiado sutiles para que Roentgen los observar2 en aquel tiempo). 3. Las placas fotográficas pueden ser veladas por los rayos x .
4. Los rayos x no pueden ser desviados nl por campos eléctricos ni por campos magnéticos. 5. Los cuerpos electrificados, postiva o negativa· mente, son descargados por los rayos x. 6. Los rayos x provocan fluorescencia en muchas substancias. Los descubrimientos de los rayos x en noviembre de 1865, Y de la radiactividad natura! poco des· pués-radiaciones que penetraban fácilmente la materia-abrieron una nueva era en la física, un período poco usual de crecimiento y actividad. El tiem· po para los rayos x estaba maduro: Los físicos no habrían estado preparados para este descubrimien· to algwlOs años antes, y sin embargo, parece poco probable que en este período de gran actividad científica hubiera pasado mucho tiempo antes de que alguien más hubiera dado con el mismo even·
too
8·2 RAYOS X Los rayos x de Roentgen eran radiaciones electro· magnéticas de muy corta lon¡:itud de onda produ. cidas por la colisión de electrones de alta velocidad sobre las paredes de vidrio del tubo de cristal. Ver la tabla 8·1 para comparar la longitud de on· da de los rayos x con el resto del espectro electromagnético. La figura 8·l(a) muestra un moderno y típico tubo de rayos x, en el cual
--
'""
.....
-
.
-
,~
'-'
'-'
Tabla 8-1 NOMBRE
RANGO DE LONGITUD RANGO DE DE ONDA (m) ENERGIAS (1) 13
4
X
X
10-
{ l
X
10-
5
X
10-'
4
X
10- 17
X
10- 7
5
X
lO-l'
rayos gamma 2
X
{4
visible
{ 7
X
10- 7
2.8
X
Hertzianas cortas, televisión, radar
X
10-'
4X 1QI
radio micropulsaciones 11
5.7
radiois6topos
contador Geiger, emulsiones fotográficas, contadores de cristal
X
efecto Bremsstrahlung, transiciones fotografía, cámara de ionizaelectrónicas para las capas atómicas ción cercanas al núcleo transiciones electrónicas
fotografía, fluorescencia
transiciones electrónicas en las capas atómicas exteriores
ojo, fotografía, foto celdas
vibración y rotación de moleéulas y álomos
bolómetro, termopila, fotoconductor
10- 19
infrarrojo { 3.5 {
METQDO DE DETECCION
10- 14
rayos X ultravioleta
FUENTE
10- 13
{ 5
11
Espectro electromagnético
n
10- 22
~ ~
-1
e
r O ~
5
X
10- 27
circuito eléctrico oscilante
resonancia eléctrica
m
r
m
{ 2 x lO'
{
"nm
10- 29
Ix lO'
t x 2 X 10- 33
5 x 10 10
4
-1
desconocida X
10- 36
8Yer James Heirtzler, "Las ondas electromagnéticas más largas", Sci. Am., marzo de 1962, p.128.
receptores magnéticos
O
"O-1
O m
r
m O -1 ~
O
O ..,¡
80
•
SEGUNDA PARTE: PAATlCULAS y ONDAS
Cámara de
Al circuito registrador
ionización "'-
Mesa de cristal
Electrones de ,alta velocidad /
Alto voltaje
~
~
)Y /
Rendijas, colimantes
/ ' / ' _-
d.--
Rayos X
t-_-------~--C2tal
Escudo de plomo
lal
' l -
+z
Electrón incidente
,K, ,, ,, ,, ,,
Núcleo pesado
esencialmente en reposo
)-, Rayos Xde
Bremsstrahl ung,.hv
""...
-
K
'--O~
Electrón desviado por el campo de Coulomb del núcleo
lb)
Figura 8·' (a) Esquema del espectrómetro de cristal de Bragg para la investigación del espectro de los rayos x. (b) Bremsstrahlung" producida por la aceleración de un electrón en un campo coulombiano.
Jos electrones terrnoiánicos producidos en el cátodo son acelerados a altas velocidades a través de una diferencia de potencial y después detenidos al chocar contra un blanco de metal. Cuando estos electrones interaccionan con el campo coulombiano, como se ye en la figura 8-1(b), son desacelera*Bremsstrahlung se traduce como radiación de desaceleración (del alemán Bremsung, desaceleración y Strahlung, radiación). N. del T.
dos y la radiación producida es la predicha por teoría electromagnética clásica para una carga ae,r Jerada. A medida que el electrón incidente frena pierde energía cinética, la energía perdida es usafu para crear un fotón con una energía dada por (8--
en donde se ha despreciado la energía cinética d pesado electrón en retroceso. La radiación producida por la aceleración de una partícula cargada ~
CAPITULO 8: RAYOS X
•
81
N 101-:-
~x
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1
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e
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'-_L'__ 1.._ 10 20
o
..1_--;0.
30
40
Voltaje del tubo (kV)
Ibl 25 kV
a
o
0.2
b
0.4
e 0.6
la)
Figura 8-2 (a) El espectro de rayos x de la plata muestra los espectros BremsstTaWung y característico, y la dependencia del límite de la longitud de onda más corta del potencial acelerador a través del tubo. (b) Simple relación lineal entre la frecuencia de corte máxima y el voltaje del tubo.
da Bremsstrah/ung (palabra alemana que sig=-ifica "radiación por frena miento"). La ~msstrahhUlg también es producida en Jos gran-
:es aceleradores,
en donde las partículas cargadas
"'" aceleradas a altas velocidades. Hay diferencia ~
la forma como abordan el problema de la 3remsstrahlung la teoría electromagnética y la me-inica cuántica: la teoría electromagnética predice ":na radiación continua de cada colisión. mientras ~ el electrón es desacelerado. pero la mecánica
depende del material que actúa como blanco. Aunque la intensidad del espectro Bremsstrahlung con-
tinuo para un potencial dado depende de las características físicas del blanco, los agudos saltos de longitud de onda en los puntos a, b. c, y d de la figura son independientes del material del blanco. La figura 8-2 (b) muestra que cuando la frecuencia de corte máxima v max se gráfica contra el potencial acelerador V. existe una simple relación lineal entre estos
:uántica predice la creación de un solo fotón de ~ergía
hv que es. en general,
uif~rente
para cada
.:olisión. El espectro continuo de rayos x de la -_ura 8-2(a) es producido por la BremsstraWung_
Iv t ~ V
'(C)1 -_-o _ =
=
----
ÁmmV
constante
I1
-----
(8-2)
_
A emás de este espectro continuo. esta figura
::lllestra un espectro caracterizado por líneas agu-
:±!S, superpuesto sobre el espectro continuo. y que
La teoría clásica no previó este corte bien defi· rudo, que la evidencia experimental muestra tan
82
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
claramente. La trayectoria del electrón incidente de alta velocidad cambia, cuando se dispersa por el campo coulombiano de los átomos del material que hace las veces de blanco. De acuerdo con la hipótesis cuántica de Planck, la radiación de los electrones acelerados debe desprenderse en cuantos de valor hv. Sin embargo, la energía máxima de cualquiera de los cuantos no puede ser mayor que la energía del electrón incidente más energético, hVmal(
=
Kmal(
= eV
,~"-"lii1',
o
" ..
x-
.~\.~~~,'t. ,,,,',?1~ ,
.,'.
"'..!~
-
Nol
N
«
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•
~r
IN,
JM'I l' o
M
L, L, L,
rr
L L
(8-3)
EK
donde K max es la máxima energía cinética que un electrón puede alcanzar, Ó'
K, K, K,
(8-4)
Ko
I
donde V es el potencial acelerador a través del tubo de rayos x. El potencial acelerador es del orden de varios miles de volís, pero cerca del 98% de la energía cedida por los electrones cuando cho· can con el blanco se transforma en energía calorífica, y la temperatura del blanco se eleva. Debido a que las frecuencias de corte son bien definidas, y a que las longitudes de onda pueden determinarse con exactitud, los espectros de rayos x constituyen un buen método experimental para determinar el valor de la constante h de Planck. El espectro característico de líneas agudas es una función del material del blanco, aunque su intensidad para un blanco dado depende del potellcial acelerador. Los electrones en un átomo están ordenados en capas alrededor del núcleo. Los electranes más cercanos al núcleo, los más fuertemente ligados, están en la capa K. Aquellos en la siguiente posición de mayor enlace están en la capa L, y después en la capa M, luego en la N, y así sucesivamente. Cuando electrones incidentes altamente energéticos botan un electrón de la capa K, un electrón en la capa L cede energía en la forma de un rayo x cuando pasa a llenar la vacante dejada en la capa K. Esta radiación, característica del material del blanco, se denomina línea Ka. El electrón de la capa M que llena la vacante en la capa K cede energía en la forma de otro rayo x llamado línea K{3- Estas transiciones de las capas L, M, N, etc. a
,
K
Figura 8-3
Transiciones electrónicas para las capas cercanas al núcleo, que dan lugar a los espectros característi cos de lo s rayos x. la capa K dan lugar a la serie de líneas Ka' K{3, K')', etc., llamadas la serie K. Cuando los electrones in~ cidentes desalojan electrones de la capa L y- los huecos son llenados por electrones de las restantes capas M, PI. 0, estas transiciones dan lugar a la serie L, la primera línea de la cual es La. La no~ menclatura para estas transiciones se ilustra en la figura 8-3, A medida que aumenta el voltaje acelerador en el tubo de rayos x, los electrones incidentes producen un espectro continuo de Bremsstrahlung hasta que, a cierto voltaje "crítico", los electrones adquieren suficiente energía para desalojar electro~ nes de las capas interiores, o sea, de las capas K, L, o M. Sólo cuando sea alcanzado el potencial crítico V, serán suficientemente energéticos los electrones incidentes para que ocurran las transiciones K. Así (ll-5)
•
CAPITULO 8: RAYOS X
:onde Ek es la energía necesaria para liberar del .r:omo un electrón K. Los rayos x asociados con la !Erie K más energética son llamados "rayos x du· :DS" Y los asociados con las series menos energéti==s L, M, N, son llamados "rayos x suaves". Los :::yos x duros son más penetrantes.
-
2.165 g/cm' ::-::::c~~~----:-:---: 9.705 x 10 23 g/molécula
=
2.24 x 10 22 moléculas/cm'
•
83
En realidad, si cada molécula de sal contiene dos átomos (uno de Na y uno de CI), el número de átomos por centímetro cúbico es
3-3 DIFRACCION DE RAYOS X
2N = 4.48 x 10 22 átomos/cm'
.:..os primeros intentos de Roentgen para verificar
!3:perimentalmente la naturaleza ondulatoria de :bs rayos x fueron infructuosos. La longitud de :::Dda desusualínente corta de los rayos x hacía que DS efectos de interferencia y difracción fueran =uy difíciles de observar. Los primeros experí-
""ntos indicaron que la longitud de onda de los :
10·'cm. Van Laue sugirió que el arreglo regular
:e
los átomos en los cristales podía usarse como =.a especie de red de difracción para los rayos x. y
Si hay n átomos a lo largo de uno de los bordes de un cubo de sal de 1 cm. de lado, entonces /13 =
4.48
X
10 22 átomos/cm 3
y
n = 3.55 x lO' átomos/cm
Así. la distancia entre los átomos es 1
d = - = 2.82 x 10
_ 8
cm = 2.82
A
11
Este cálculo para la distancia media entre los átomos de una simple estructura cúbica de sal se resu-
me por medio de la fórmula
'" 1914 recibió el premio Nobel por establecer el 2Iácter ondulatorio de los rayos x al difractados
?,r medio de cristales. W. H. Bragg y su hijo ::..awrence Bragg. recibieron el premio Nobel al si· _ 'ente año por perfeccionar los conceptos de van 2ue sobre la difracción de rayos x por cristales. Como un ejemplo. consideremos un simple cris-
:!l cúbico tal oomo un grano de sal (NaCI), oon un ?'So molecular de 58.46 y una densidad de 2.165 ~ cm'. Esto significa que una de las moléculas ::1 grano de sal tendrá una masa de
'/-
d=-J~
Van Laue reconoció que la simetría de un cristal se debe a una unidad de tamaño molecular o ató-
mioo que está arreglada en un orden regular repetitivo. Las capas de unidades están separadas por distancias uniformes sucesivas. que son del orden
de la longitud de onda de los rayos (8-6)
Estas discon·
tinuidades espaciadas regularmente forman la base de una red de difracción. similar a la usada para la una red tridimensional. También. a diferencia de la red bidimensional. la tridimensional no difractará a la luz monocromática que incida sobre ella, a cual-
= 9.705 x 10'23 g/molécula 3>nde N A es el número de Avogadro. El número
--' moléculas pur unidad de volumen toma la foro
N=~ m
X.
luz visible, con la diferencia de que el cristal forma
_ __---=5..c8"'""'.4~5-"g"-'/g=---m-o-l--c--6.023 X 10 23 moléculas/g-mol
=
(8-8)
(8-7)
quier ángulo arbitrario. El haz difractado de rayos x se verá reforzado constructivamente s610 cuando
una longitud de onda A encuentre planos de átomos separados 003 distancia d y los encuentre a un cierto ángulo B.
84
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
Bragg USÓ esta idea para analizar los patrones de difracción de los rayos x reflejados por los planos del cristal. La figura 8-4 muestra un haz incidente a llll ángulo 8 con respecto a un plano rico en átomos, de llll cristal. Cuando los rayos 1 y 2 son reflejados por los puntos P y Q, respectivamente, la diferencia de trayectoria entre los rayos es
o=
RQ
+
QS
~
Io ~
2d sen
eI
Nótese que en la reflexión de Bragg, los ángulos 8 de incidencia y reflexión son los ángulos que los rayos incidente y reflejado hacen con los planos de cristal y no con la normal como se acostumbre en óptica. Este ángulo 8 es llamado también ángulo rasante. Así, las condiciones para refuerzo, conoci· das como leyes de reflexión de Bragg, son
2RQ
Ya que
RQ
PQ sen d sen
1. El ángulo de incidencia debe ser igual al ángulo de reflexión. 2. 8 ~ 2d sen = nA para n = 1,2,3,... donde n es el orden de reflexión. L-~_
e
e
e
esto da
j
I
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
-ti .
• Ecuación
Figura 8-4
ae Bnlgg
nA
=
2dsen6
.
Vista exagerada de las reflexiones de Bragg por varios planos en un crlStaL
CAPITULO 8: RAYOS X
La figura 84 muestra que hay muchos planos den tro del cristal, por los cuales los rayos proce· rientes de varios ángulos de incidencia podrían ser reflejados para interferir constructivamente. De· ?,ndiendo del plano escogido, algunos planos con:endrán más átomos que actúen como agentes re· :lectores que otros. En general, los rayos reflejados por estos planos serán los de mayor intensidad. Un patrón de difracción puede asímismo, obtenerse con rayos x incidentes sobre una muestra "anulada de cristaL Cada fragmento de cristal den:ro de los gránulos contiene planos atómicos, que :eflejarán los rayos x incidentes sobre ellos a un ,;"gulo dado. Ya que los fragmentos pueden estar orientados a cualquier ángulo azimutal alrededor de los rayos x incidentes, habrá algunos que refle~ jarán luz de una longitud de onda dada a un áogulo particular, para formar un patrón circular alrede· ·or del haz incidente. Aquellos orientados apropiarlamente a otros ángulos diferentes formarán otros círculos concén tricos. Los patrones de difracción resultantes son llamados patrones de Laue. De la figura 8-5, la condición para que ocurra un máxi:no es
nJ. = 2d sen
nde
e
e es el ángulo identificado en la figura y es
Ce hecho el ángulo de incidencia para algunos de los fragmentos granulados. Muchas de las propieda-
-:es físicas de los cristales pueden ahora ser investigadas con gran exactitud, con técnicas de rayos x.
85
8·4 DIFRACCION OE RAYOS X POR UNA REO OE DIFRACCIDN Debido a que la longitud de onda de los rayos x es tan corta y a que estos son tan penetrantes, los esfuerzos iniciales para difractar los rayos x t:on una red de difracción ranurada no tuvieron mucho éxito. No era posible mecánicamente construir redes ranuradas con un espaciamiento entre ranuras del orden de I 1\., longitud de onda típica de los rayos x. También la mayor parte de los espejos no reflejan bien los rayos x ya que estos son tan pene· trantes. Sin embargo, en 1925 Compton y Doan lograron medir la longitud de onda de los rayos x usando una red de difracción ranurada ordinaria, a ángulos rasantes muy pequeños (del orden de 0.001 rad). Cuando los rayos I y 2 en la figura 8-6 son difractados por la superficie de la red ranurada,la diferencia de trayectoria entre los rayos es b -
CS - AD
- dcos
e-
dcos(O
+ 4»
(8-10)
Entonces, para que estos rayos interfieran constructivamente,
dcos 0- dcos(O
+
= nI
(8-11 )
donde 11 es el orden de la difracción. Escrita en términos de una aproximación para pequeños áogulos, cos x ~ 1 - x'f2 + ... ,
Tubo de rayos x Pel ículas
Haz de rayos x
Rendijas Colinantas Rayos x dispersados hacia atrái
•
\ Muestra de cristal granulado
Figura 8-5 Patrón de rayos x de Laue, a partir de fragmentos de-. cristal granulado.
86
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
A
B'
Figura 8-6 Difracción de rayos x incidentes a ángulos rasantes sobre una red de difracción ranurada. la ecuación (8-11) toma la forma
(8-12)
Resulta interesante saber que, cuando las longitudes de onda de los rayos x fueron medidas por primera vez por medio de la red ranurada, se en· contraron valores mayores que los que daba la difracción a partir de cristales. Después de examinar las ecuaciones se encontró que el número de Avogadro en la ecuación (8-8) no era preciso, debido a un error en el valor aceptado de la carga electrónica que se usaba en la determinación de NA'
8-5 EFECTO COMPTON los primeros experimentos mostraron que cuando los rayos x eran dispersados, los rayos x secundarios implicados eran menos penetrantes que los rayos x primarios_ Al principio se pensó que estos rayos x secundarios consistían de la radiación fluorescente* característica del elemento radiante_ Aunque la fluorescencia es característica de los ele· mentas más pesados, experimentos ulteriores mas· traron una diferencia en la penetración de los rayos x secundarios de los elementos más ligeros, tales como el carbón, de los cuales no puede aparecer ninguna radiación fluorescente del tipo obser· *F1uorescentes: Se dice de las substancias que transfor~ man la luz que reciben, en radiaciones luminosas de mayor longitud de onda, N. del T.
vado. Esto condujo a la especulación, por parte de algunos físicos, de que se había encontrado una nueva radiación, a la que se denominó radiación "J". Sin embargo, después de un cuidadoso análisis espectroscópico, esta idea de la radiación J no pu· do sostenerse. Una cuidadosa evidencia experimental determinó las siguientes propiedades de los rayos x secundarios del proceso dispersor: 1. La radiación dispersada consiste de dos longi.
tudes de onda, la original «o y una longitud de onda adicional As que tiene casi el mismá valor que Ao. 2. A, es siempre mayor que AO. 3. A, depende de 8 el ángulo de dispersión y no del medio dispersor. Siguiendo un análisis matemático de esta situación hecho por G. E. M. JAUNCEY, en 1923 A. H. COMPTON propuso audazmente que los fotones de rayos x tienen momento, en la misma forma en que lo tiene una partícula, y que el proceso dispersor es una colisión elástica entre un fotón y un electrón. El cambio en la longitud de onda de los fotones de rayos x, debido a la dispersión elástica con los electrones, se conoce como efecto Chmpton_ Según la ecuación (6-34), la energía de un fa. tón, partícula de masa cero, es E = pe, pero la energía de un fotón es también E = hv, donde v es la frecuencia. Así, el momento del fotón es p
hv c
,
h (8-13)
é
CAPITULO 8: RAYOS X
•
1i7
Linea Ka: del molibdeno
Fotón de rayos x dispersado
V
he
A,
E.=X, h
Fotón de rayos x Incidente
Ea
e
Ps=~
he
Dispersado a
8=
45
Q
/
=-
Aa
,
!
h
p,~-
~
AO
~()
O
___\e _
. ,=r
Electrón en reposo
"--<--fA
-H
_t_
E=mc 2
, I
-~~mv
Electrón
Antes de la colisión
dlspersa~
",
Después de la colisión
Dispersado a
e=
90°
__l~ __
"Dispersado a 8 = 135
0
~I_Longitud de onda,
Figura
A
8~7
Dispersión Compton de un fotón por un electrón en reposo. Las gráficas de la derecha muestran el corrimiento en la radiación Ka:. proveniente del molibdeno, dispersada por el carbón.
El fotón de rayos x de la figura 8-7 es dispersado elásticamente por un electrón libre estacionario. la conservación del momento para este evento se puede escribir como Po = P, cas
e + Pe cos l'
(eje horizontal) Eo energía del fotón incidente, hvo
+
y p~.
senO
=
Pe: sen Y (eje vertical)
(8-15)
donde Ps es el momento del fotón dispersado y Pe el momento del electrón dispersado. De la conservación de la energía
(8-14)
moc 2
Es
masa de reposo del elec(rón
energía del fotón dispersado, hv s
+
moc
2
+K[
energía total del electrón dispersado
(8-16)
VJ
(8-17)
ó
K
=
Eo - E, - h(vo -
813
•
SEGUNDA PARTE; PARTlCULAS y ONDAS
Luego ponemos la ecuación (8-14) en la forma Po - Ps
COs
O = Pe
COS Y
elevando el cuadrado y sumando esta ecuación a la
ecuación (8-15), obtenemos Po 2 - 2POp!; Ya que Ea
COS
0+ p!;' - Pe ,
hvO = POc Y Es ecuación (8-17) toma la forma =
=
hvs
=
K = (Po - p,)e
(8-18)
Psc, la (8-19)
Para un electrón
E 2 = (m oc
E = K
+
2
? + p/c 2
(8-20)
m oc 2
Eliminando E de las ecuaciones (8-20) se obtiene
K'
-
e'
+ 2K111 o
=
p/
3. En 1925 Botbe y Geiger mostraron que el fotón dispersado Es = hvs y ei electrón en retroceso aparecen simultáneamente. 4. En 1927 Bless comprobó experimentahnente 1, energía del electrón en retroceso. La figura 8-7 muestra que la longitud de onda dispersada asíconw la incidente se detectan al án· gulo (). Algunos fotones son dispersados por elec· trones que no son libres sino que están ligados al átomo. Así, la masa mo en la ecuación (8-23) debe ser remplazada por la masa de todo el átomo que retrocede. El gran valor de esta masa, comparada con la del electrón, hará mny pequeña a t:.A, y 1" longitudes de onda de lo fotones dispersados serán casi las mismas de los fotones incidentes. Un cálculo para dispersión por un protón mostrará que éste es el caso_
PROBLEMAS
(8-21 )
Usando K de la ecuación (8-19) y Pe de la ecuación (8-18) y multiplicando todo por h, la ecuación (8-21) toma la forma h h h ---=-(1-cosO) Ps Po moc
8-1
Para comprender la dificultad de Roentgen para observar efectos de interferencia con los. rayos x, diseñe un arreglo de doble rendija de Young que produzca bandas separadas 10 sobre una pantalla distante. Suponga que los rayos x incidentes tienen una longitud de on· da A = 5 _oA. Díscuta algunas de las dificulta· des que se podrían encontrar al tratar de construir tal dispositivo.
8-2
Compare la energía de la línea Ka del tungs·
(8-22)
Cuando h/p, se remplaza por la longitud de onda dispersada A, y hipo por Aa, esta ecuación toma una forma más útil:
- cos
,u
~
A.(1 - cos O)
~
tena (W-74) a 0.0210A con la línea pulsante de un laser infrarrojo de ca, a 10.6/1.
(8-23)
I
donde Ac = h/moe = 0_024 A se define como la longitud de onda Compton (para el electrón)_ Los resultados experimentales que fundamentan la ecuación (8-23) como explicación del corrimíento en los rayos x dispersados, pueden reseñarse brevemente: L En 1923 Compton confirmó los resultados de la ecuación (8-23) experimentalmente. 2. A finales de 1923 Bothe y Wilson observaron los electrones en retroceso.
8-3
La línea Ka del tulio (Tm-269) tiene una
longitud de onda de 0.246A. Compare la energía de este fotón Ka con la energía de la masa de reposo de un electrón. 8-4
De la figura 8-2(a), determine el potencial acelerador para la curva que termina en el punto c.
8-5
Determine el voltaje aplicado a un tubo de
rayos x que dará un límíte de 1.0A a las longitudes de onda corta.
•
,
CAPITULO B: RAYOS X
•> 1
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•
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89
K.
I I
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K, 1
I
I
I
I
I
I
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'.~_-..;':-~_L___
3
4
--.l
5
---l.-.
6
7
--'7
!
8
9
Frecuencia (x 10
18
Hz) )
Figura 8.s
S-6
(a)
(b)
¿Cuál es el rayo X más energético emi· tido cuando un blanco de metal es bombardeado por electrones de 40 KeV? ¿Cuál es la máxima frecuencia de los rayos x producidos por electrones ace· lerados a través de una diferencia de
potencial de 20.000V? S-7
8-10 Encuentre los ángulos rasantes sobre la cara de un cristal de cloruro de potasio (KCI), d = 2.82 A, que corresponden a los máximos de primero y segundo orden de la reflexión de Bragg, para rayos x de longitud de onda A = 0.58 A.
8-11 Los cristales de NiO con un pesos molecular M = 74.69 Yuna densidad p = 7.45 gm/cm'
De la figura 8·2(a), determine la maXIma
tienen una estructura cúbica simple como lo
energía cinética de los electrones que producen espectros de rayos x que terminen en los puntos a, b, e, y d.
del NaCI. Determine el ángulo a que debe estar orientado un cristal de Niü con respec-
to a un rayo x incidente cuya longitud de onda es A = 2.o0A para producir una reflexión de Bragg de primer orden.
La gráfica de la figura 8-8 representa un es-
pectro de rayos x de un metal hipotético. Si
8-12 Los electrones acelerados a través de una di-
la energía requerida para desalojar un electrón de la capa K es 20.0 KeV, determine de
ferencia de potencial de 35.0 kV producen
esta gráfica (a) la energía requerida para desalojar un electrón de la capa L, Y (b) la máxima energía cinética de los electrones incidentes sobre este blanco.
tal de calcita (CaCO,). Si el espaciaIlÚento es de 3.03 A entre los planos de la calcita,
rayos x que son analizados por un espectrómetro de cristal de Bragg usando un cris-
¿cuál es el ángulo más pequeño entre el haz
incidente y el plano de cristal para el cual se S.9
Una reflexión de Bragg de primer orden ocurre cuando un rayo x monocromático inci-
dente, a un ángulo de 30°, es reflejado por un terrón de sal (NaCI). Determine la longitud de onda del rayo x incidente.
encontrará un intenso haz reflejado.
8-13 Rayos x de longitud de onda J.oA inciden sobre una red de difracción ranurada a un
ángulo de
e=
0.0010 rad como se muestra
90
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
en la figura 8-7, Y se observa un máximo a
un ángulo de 8 = 0.0020 rad. ¿Cuántas líneas por milímetro debe tner la red de difracción? ¿Por qué deben ser muy pequeños los ángulos rasantes de incidencia a que se usan las redes de difracción?
8-14 Un haz de radiación
K~
del potasio de
~ =
3.44 A incide sobre una red de difracción con 200 líneas/mm a un ángulo de 20' con respecto a su superficie. ¿Cuál es el ángulo entre los haces de primer y segundo orden? 8-15 Complete las manipulaciones algebráicas ne-
cesarias para llegar a la ecuación (8-22).
8-19 ¿Cuál es la diferencia entre los fotones dispersados por electrones y los dispersados po: protones? ¿Cuál sería el corrimiento en Ion-gitud de onda de un rayo 'Y de 0.00200 A dispersado por un protón a un ángulo d:,
9ff'? ¿Qué dificultades experimentales implicaría la medición de la longitud de ond, del fotón dispersado?
~
8-20 Use el programa BASIC (o el suyo propio para mostrar la diferencia en longitud de on· da (D) entre el fotón incidente y el que re· sulta de ..lila dispersión Comptan. En el programa, MO es el agente dLspersor, L en h. longitud de onda incidente en angstroms, } A es el ángulo de dispersión en grados.
8-16 Rayos x de longitud de onda 0.040 A. son 10 20 30 40 50 60 70 71 72 80 99
LET H ~ 6.6256E-34 LET e ~ 2.99793E +8 PRINT ··LAMBDA. ANGLE. MO-··. INPUT LAMO LET A1 ~0.0174533·A LET D~H'«1-COS(A1))/(MO'C))'1E+10 PRINT "'DELTA L ~ "; D; "ANGSTROMS; L-PRIME PRINT "DELTA L/L~"; D/L PRINT GO TO 30 END
dispersados por un bloque de carbón. Deter-
(a)
mine (a) el momento d" un fotón dispersado a un ángulo de 3ff', Y (b) la energía cinética
(b)
persados son detectados a un ángulo de 60°.
Calcular Ca) la longitud de onda de los fotones dispersados, y (b) el ángulo a que es dispersado el electrón.
"; D +.
Para un rayo ·x incidente de longituG de onda L = 1.0 A. dispersado por un mine el corrimiento en longitud de onda para los siguientes ángulos de dis· persión A = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°. Para un ángulo de dispersión A = 90'. Y una longitud de onda incidente de L = 1.0 A determine el corrimiento en longitud de onda para protones dispersados por un electrón [MO = 9.l091E ~ 31 (kg)] , por un protón [MO ~
1.6725E - 27 (kg) j, y por un átomo de carbón [MO = 19.920E - 27 (Kg)].
8-18 En un experimento de dispersión, fotones incidentes de 0.200 Mev producen fotones dispersados a un angula de 6(f con respecto al haz incidente. 1, Cuál es la energía en MeV de los fotones dispersados y de los electrones en retroceso? Muestre si la energía se ha conservado.
~
electrónMO = 9.l091E-3l (kg), deter·
del electrón en retroceso.
8-17 Cuando fotones de longitud de onda 0_024 A. inciden sobre un blanco, los fotones dis-
_~
(c)
Para dispersión por uri electrón libre MO = 9.1091 E-31 (kg) a un ángulo de 0 90 , determine el corrimiento en longitud de onda cuando la radiación inci·
3
.3
CAPITULO B: RAYOS X
s· )1
n·
A
dente consiste de Rayos x duros (L = 0.01 1\), rayos ultravioleta (L = 1.800 A), luz visible (L = 6000 A), y radiación infrarroja (L = 100,000 1\).
1< n-
I,
•
91
COMPTON, A. H., "Mediciones de la longitud de onda de rayos x dispersados", phys. Rev. 21, 715 (1923). COMPTON, A. H., "El espectro de los rayos x dispersados", Phys. Rev. 22,409 (1923).
LECTURA RECOMENDADA
COMPTON, A. H., Y DüAN, R. L., Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. 11, 598 (1925).
ALONSO, M_, Y FINN, E. J., Frsica fundamental .=a la universidad, Vol. 111. Addison-Wesley, ~ading, Mass., 1968, págs. 176-178. [na presentación muy clara de los espectros de .:2yos x.
GUNST, S. B., y PAGE, LA., Phys. Rev. 93, 970 (1953).
1,
3EISER, A., Perspectivas de la física moderna,
Y
~cGraw-Hill,
MAGIE, W. F., Un libro fuente de la f(sica, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1963, pág. 600.
l) 1-
,. )-
Nueva York, 1968, págs. 59-73. .J\.5cute con lucidez la producción de rayos x y el ~-ecto Comptan. .3RAGG, W. L., Frac. Cambridge Phi/. Soc_ 17,43 1912). :;:;l.AGG, W. L., Nature 90., 410 (1912).
l
r·
,.
,s·
e r.
r·
E =
o 7
, "
i-
MüSELEY, H. G. J., Phi/o Mag. 26, 1024 (1913). RICHTMYER, F. K. Phys. Rev. 27,715 (1923) . THüMSüN, 1. J., Y THüMSüN, G. P., Conducción de la electricidad a través de los gases, Dover, Nueva York, 1928, pág. 321.
9
Producción de pares
ear' David Anderson (1905-
Oriundo de la ciudad de Nueva York, Anderson recibió su Doctorado en F{sica en 1930 en e/Instituto de TecnoJogta de California, donde actualmente es profesor. En 1933
descubrió una parttCula de masa intermedia que supuso era la predicha por Yukawa_ De hecho, era la partícula hija (mesón mu, muón, leptón) de la partlcula de Yukawa (mesón pi). Muy activo en la investigación de rayos X, rayos gamma y rayos cósmicos, Anderson ha recibido las medallas Cresson V Ericsson. En 1936 se les concedió a Anderson va V. F. Hess el Premio Nobel por sus trabajos.
:r
'" 9-' 9-2 9-3 9-4 92
INTERACCION DE LA RADIACION CON LA MATERIA PRODUCCION DE PARES ANIQUILACION DE PARES ABSORCION DE FOTONES
K = hv - 4>
",1 INTERACCION OE LA RAOIACION CON MATERIA :... los capítulos anteriores, la interacción de la :riiación con la materia se estudió por medio de la .....msstrahlung, el efecto Compton, y el efecto foléctrico. Recuérdese que la bremsstrahlung es la iacián producida cuando un electrón energético :s. desacelerado a medida que interacciona con la =meria para crear fotones, cuyas energías están ~das por hv = K 1 - K 2 (9-1) de K 1 - K 2 representa la pérdida de energía .:;::}ética del electrón en cada una de muchas eolines_ Otro ejemplo de la interacción de la radia•TI con la materia es el efecto Comptan, en el :cal un fotón de energía hvo interacciona con un *ctrón libre. El fotón incideote desaparece, y se .:rea un seglilldo fotón de energía hvs < hvo. La :r::ergía del electrón en retroceso es o
K = hv o - hv,
:::.n el efecto fotoeléctrico,
(9-2)
un fotón de energía hv =teracciona can un electrón ligado. El fotón desa;:arece y el electrón es expulsado del átomo. La ~ergía cinética máxima de los electrones liberados
..
donde
19-31
es la energía que ata el electrón al átomo. Estos efectos sugieren la interesante pregunta de si la energía total de los fotones se puede convertir en masa de reposo.
9-2 PROOUCCION OE PARES En un artículo publicado en 1928, P.A.M. Dirac notó que había dos veces más soluciones para la ecuación relativista del electrón que las esperadas. Declaró que la mitad de éstas deberían referirse a estados electrónicos con valores negativos de la energía. Debido a que la teoría cuántica permite que tengan lugar transiciones discontinuas, los estados negativos de la energía no pueden ser ignora· dos como si fueran soluciones sin sentido. Dirac asoció la solución no "'deseadan con un electrón de carga + e y lo denominó positrón. El enigmático positrón permaneció como una hipótesis teórica hasta 1932, año en que Cad David Anderson encontró trazas de partículas similares a la mostrada en la figura 9-1. Anderson no se había propuesto encantra:: el positrón de Dirac. El y Millikan habían construido una cámara de nubes dentro de un intenso campo magnético para estudiar los rayos cósmicos, y las huellas de los positrones aparecie· ron en la cámara. En realidad los positrones ya 93
94 .
SEGUNDA PARTE: PAATICULAS y ONDAS
habían sido "vistos" por otros, pero fue Anderson quien los identificó correctamente por primera vez.
En muchas fotografías de la cámara de nu· bes, Anderson observó rastros típicos de partículas cargadas tales como los electrones, sólo que la trayectoria se curvaba en la dirección <'equivocada" en la presencia de un campo magnético. Podían identificarse como "partículas semejantes a los electrones" por el tipo de rastro de condensación que dejaban en la cámara. Las partículas alfa tie· nen dos cargas y son sumamente masivas comparadas con los electrones, y por estas razones dejan un rastro corto y grueso, comparado con el largo y delgado que producen los electrones. Para determinar la dirección de viaje de las partículas, se colocó una placa de plomo en la cámara. La figura 9·] muestra el rastro de una partícula en una cámara de nubes situada en un campo magnético. Note que el radio de curvatura de la trayectoria es menor en la porción superior de la cámara de nubes. A medida que la partícula pasa a través de la placa de plomo pierde algo de momento, y así se reduce su radio de curvatura en el campo magnético. Esto da la dirección en que viaja la partícula, y cono· El radio de curvatura de la trayectoria es menor aquí.
ciendo la dirección del campo magnético podemos saber el signo de la carga de la partícula. El elec· tron y el positrón tienen cargas de igual magnitud, pero la carga del positrón es positiva mientras que la del electrón es negativa. El positrón es la anti(X1rticula del electrón, es un antielectrón. Los positrones son {armados en la producción de pares de electrones por rayos 'Y. En este caso, la energía de un fotón se transforma en energía de reposo y cinética. La producción de pares no ocu, rre en el vacío, porque la energía y el momento de un solo fotón no pueden conservarse simultánea· mente produciendo dos electrones, a menos que el fotón pase cerca de un núcleo pesado. El núcleo toma algo del momento y de la energía en la inter· acción. Para que ocurra esta interacción [mostrada en la figura 9·2 (a)], la energía, el momento, y la carga eléctrica deben conservarse. A medida que lUl fotón de nergía E = hv interacciona con un núcleo, se forma un par electrón·positrón. Por 12. conservación de la energía, la energía mínima del fotón incidente es
Dirección de viaje
F1aca de plomo
Cámara de nubes
Rastro del positrón
Figura 9-1 Esquema de la trayectoria del positrón en una cámara de nubes situada en un campo magnético de intensidad B. En base a la dirección del campo magnético, el tipo de rastros dejados, y la disminución en el radio de curvatura, Anderson pudo identificar al positr6n.
CAPITULO 9: PRODUCCION DE PARES
"
Núcleo masivo en reposo
1.
e '.
,
p=!!..
e
, e
(a)
l·
/ "
,} )
, a "
-'
-.
B
~
..
~
Campo magnético uniforme
(b)
Figura 9·2 (a) La producción de pares ocurre en la vecindad de un núcleo pesado, el momento y la energía se conservan. (b) En un campo magnético. el electrón y el positrón tienen trayectorias de curvatura opuesta.
)
hVm;n = .J.
Este es un fotón de rayos 'Y altamente energético. La figura 9.2(b) muestra un par electrón.positrón formado en la presencia de un campo magnético uniforme. En este caso, las partículas se mueven en trayectorias circulares opuestas de acuerdo al signo de su carga. En general, para fotoneS 'Y incidentes de energía mayor que 1.02 MeV.
1.02 MeV
longitud de onda de este fotón es Izv m ;" = -
Ize
=
1.02 MeV
Jornal:
Amu = 0,0122 A hv
+
M oc 2
(m o-e'
energía del energ(a de fotón reposo incidente del núcleo
+
K-)
ener.gía total del electrón
+
(m o+e'
+
K+)
energía total del positrón
+
(Moc'
+
K n)
energía total del núcleo
la energía en exceso apareciendo ahora como ~ ""ergías cinéticas K - Y K + del electrón y del . rón, respectivamente. y con K n , como la ener·
(9-5)
gía cinética del núcleo. Ya que el- núcleo es sumamente masivo y tiene una velocidad mucho menor que la de los ligeros electrón y positrón, K n ::::: O.
96
•
SEGUNDA PARTE; PARTICULAS y ONDAS
La ecuación (9·S) se escribe entonces como hv = (m o - e 2
+
K-)
+
(m o + e 2
+
K+) (9-6)
De la figura 9-2(b),la intensidad B del campo magnético es conocida y el radio r de las trayectorias circulares se puede medir. El momento de una de las partículas del par electr6n~positrón se determi~ na entonces de p = mv
= eBr
(9-7)
donde e es la carga del electrón o del positrón. Por lo tanto, la energía total de una partícula, de la ecuación (6-25), es E =
,jE o2 +
E = ,/(moc 2)2
+
to igual a cero, antes de la aniquilación. El momento se conserva cuando se crean dos fotones de momento igual en magnitud y opuesto en direcció¡:
[figura 9-3(b)] en la aniquilación de las dos partículas. Para un electrón y un positrón esencialmente en reposo antes de la interacción,
ó
2hc 2m oC 2 = 2 J1Vmlll . =-1
(9-10
m..
p2 C 2
(9-8)
la energía de una de las partículas, ya sea el electrón ó el positrón, está dada por
I
de fotones. De nuevo, igual que en la producción de pares, el momento debe conservarse. Sucede algunas veces que las. dos partículas están esencialmente en reposo y por lo tanto tienen un momen·
(eBr)2 c 21
(9-9)
de la cual Amax = 0.0244 A, es la máxima longitud de onda del fotón creado_ Para partículas qu= tienen Wla energía cinética inicial antes de la colisión,la ecuación (9-10) toma la forma
I
(m o-e2
+
K-)
+
(m o+c 2
+
K+) - 2h"
El positrón es una antipartícula del electrón. En
1955 Cbamberlain, Segré e Ypsilantis observaron la producción de pares para la combinación pro~
tón-antiprotón en la Universidad de California; en el mismo año también fueron verificados experi~ mentalmente pares de neutr6n-antineutrón. Las antipartículas serán discutidas en detalle en los ca~
pílulos 37, 38 Y 39.
I
(9-11
. -" ¡:+
o
Posltro
+
\
, Atomo de positronio Antes
9-3 ANlllUllACION DE PARES También ocurre el efecto inverso de la producción de pares; se conoce como aniquilación de pares. En
la aniquilación de pares, al juntarse una partícula y su antipartícula se convierten completamente en energía radiante. Cuando se forma un positrón, tienc una vida muy corta. Después de perder la ma~ yor parte de su energía cinética en colisíones, forma una especie de átomo con un electrón. A este átomo se le llama positronio [figura 9-3(a)]. y existe hasta que el electrón y el positrón se aniquilan mutuamente. la energía total, incluyendo la masa de reposo del par electrón-positrón, es cambiada en energía
Fotones creados Después
Figura 9-3 Los fotones son creados por la aniquilación de un par electrón-positrón en colisión.
9-4 ABSORCION DE FOTONES En términos de los fotones, la intensidad de 11 radiación electromagnética se defme como
CAPITULO 9: PRODUCCION DE PARES
=:ensidad =
•
97
donde J.l actúa como constante de proporciona-
) número de fotones -.----,.:::'~-:.::-.::.::.;.::,:;:=~- ( area .1 a la proyeccIón IX tIempo
lidad. Esta se integra para dar
x cec:n.:.er:;g"í.:.a
N = Noe-P'
(9-13)
fotón ~
Donde No es el flujo incidente y /l aparece como el coeficiente de absorción. Ya que para una frecuencia dada de la radiación, el flujo es directamente
nde el flujo de fotones es N =
número de fotones área .L a la propagación x tiempo
-,----,---:~.==-=--=.::...::.::..::=;=~==
proporcional a la intensidad, la intensidad de la radiación transmitida torna la forma
partir de estas defmiciones, la intensidad es (9-14) (9-12)
La intensidad de la radiación en
donde Jo = N.hv. El coeficiente de absorción /l depende tanto del
haz se redu'" tanto por dispersión del haz como por absor::Wn. Un coeficiente de absorción J.l se usa como ::edida de la capacidad del medio para atenuar el ~ de radiación. La figura 9-4(a) muestra un flujo incidente de - anes sobre un material absorbente de espesor =x y coeficiente de absorción /l. El cambio de flujo W1
material absorbente como de la frecuenda v de la radiación incidente. Los procesos ya mencionados
--el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, y la producción de pares- son los principales por su
efectividad para absorber la radiación. El coeficiente de absorción efectivo total es un resultado de estos tres efectos:
~
un haz, al pasar a través de un material de esper dx es negativo y proporcional al espesor del orbente y a! flujo origina!. El cambio en el flujo .:s entonces
J1 tota l =J.lCompton +~otoel~ctrico
+ J1 producción de pares (9-15)
\ Total
\,
Material con coeficiente
de absorción JI.
\
Efecto
fotoeléctrico
Flujo OO;foto•.
Flujo incidente¡ de fotoneslNo
nes
No
+
dN
Producción
de pares
dN""-p.Nd)( N=Noe-1U'
I j-dX 0.1
1.0
10
Energía de los fotones, hv(MeV)
~
12
lb)
Figura 94 , . (a) Flujo de fotones absorbidos al pasar a traves de .~n matenal cuyo coeficiente de absorción es 11. (b) Coeficientes de absorclOn para fotones 'Y
en el plomo.
98
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
La gráfica de la figura 9-4(b) muestra el efecto de cada proceso individual como una función de la energía incidente. Para fotones de energía menor
que 1.0 MeV, el proceso de absorción se debe principalmente al efecto fotoeléctrico, aunque el efecto Compton contribuye un poco. La producción de pares, de acuerdo con la ecuación (9-4), empieza a 1.02 MeV, y predomina cada vez más a altas energías.
diculares al campo magnético del electrón y el positrón son de 2.00 cm. y 1.50 cm., respectivamente. ¿Cuál es la energía en MeV del fotón incidente? 9-7
Un electrón y un positrón, cada uno viajando a 0.80c. en direcciones opuestas, chocan y se aniquilan en forma de radiación. Calcule (a) la longitud de onda de de Broglie del electrón, (b) la longitud de onda de los fotones formados, y (c) el momento de cada uno de los fotones.
9-S
La radiación de los lasers de CO2 (A =
PROBLEMAS
9-1
Muestre que el radio de curvatura de un positrón, que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme, se reduce cuan·do el positrón pasa a través de una placa de plomo.
9-2
¿Cuál es la energía y la longitud de onda de W1 fotón que esc~samente alcanza a crear un par protón·antiprotón?
9-3
Determine la energía cinética total del electrón y del positrón formados por producción de pares por un rayo "1 de longitud de onda 0.00247 Á.
9-4
¿Cuál es el momento de los fotones creados en la aniquilación de un protón y de un antiprotón, cada tmO con energía cinética original de 1.00 Mev?
9·5
9-6
Un fotón crea un par electrón-positrón, cada illlO con energía cinética de 0.500 Mev. Compare la longitud de onda del fotón incidente con la longitud de onda de de Broglie de una de las partículas producidas*_ Un fotón entra a una cámara de nubes locali· zada en un campo magnético de 0.0300 teslas para producir un par electrón-positrón. Los radios de las trayectorias curvas perpen-
"La longitud de onda de de BrogJie asociada con una partícula está dada por A= h/p, donde p es el momento de la partícula. Ver ecuacIón (8-13) y capítulo 10.
10.61') alcanza valores típicos de 100 W fcm z nonnalmente a una superficie. (a) ¿Cuál es el flujo de fotones, o sea, el número de fotones incidentes sobre un área unitaria en la unidad de tiempo? (b) ¿Cuál sería el flujo de fotones de rayos "1 de longitudes de onda igual a 5.00 x 10-3 A que produciría la misma intensidad? 9·9
El coeficiente de absorción de rayos 'Y de baja-energía en el plomo es 1.50cm- 1 . ¿Qué espesor de plomo se requiere para reducir la intensidad de los rayos "1 (a) a la mitad de la intensidad original y (b) a 0.0100 de su intensidad original?
9-10 Para rayos 'Y de una longitud de onda dada, el coeficiente de absorción para el plomo es 0.900cm- 1 y para el aluminio 0.2S0cm-1 . Para la absorción de estos rayos 'Y, qué espesor de aluminio tendrá la misma absorción que 1.00cm de plomo. 9-11 ¿Por qué mecanismo será absorbido un fotón de 12 Mev en una pieza de metal? Explique.
9-12 Se registran datos para la intensidad de los rayos x "duros" a medida que penetran varios espesores de cobre. De los datos dados, haga una gráfica y determine (a) el coeficiente de absorción para el cobre, y (b) el espesor de cobre que transmitirá el 37% de los rayos incidentes.
CAPITULO 9; PRODUCCION DE PARES
ESPESOR
(cm)
LECTURA RECOMENDADA
0.90 0.80 0.74 0.70 0.68 0.67 0.64 0.57 0.50
ALONSO, M., Y FINN, E. L, Fis/ca fundamental para la universidad, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1968, Vol. Ill, págs. 32, 383. ANDERSON, C. D., Ciencia 76, 238 (1932).
13 Un Iaser de rubí (A = 6983 A) produce un pulso de 50.0 J a la razón de 96 pulsos/mino ¿Cuántos fotones hay en un solo pulso? Suponga que la producción de pares puede ocurrir sin la presencia de un núcleo pesado y muestre que,
hV)2 (--;: ~ p_
99
RELATIVA //10
0.10 0.20 0.30 0.35 0.38 0.40 0.45 0.50 0.62
~14
•
2
+
p+2
+ 2p_p+
cos(e
+ q,)
(ver figura 9-5). Entonces muestre que esta ecuación conduce a hv < E+ + E_, que contradice la conservación de la energía.
ANDERSON, CARL D., en Lecturas Nobel, Elsevier, Nueva York, 1965. Breve biografía y discurso Nobel de Anderson sobre la producción y propiedades de los positrones. ANDERSON, DAVID L., Descubrimiento del electrón, Van Nostrand Reinhold, Nueva York, 1964_ COWAN, C. L., «La absorción de la radiación
garnma",Phys. Rev. 74, 12, 1841-1845 (1948). FRISCH, DAVID H. Y THORNDlKE, ALAN M., Partículas elementales, Van Nostrand Reinhold, Nueva York, 1964. Interesante discusión bien escrita y presentada so· bre las partículas y antipartículas. HOUSTON, W. C., Fronteras de la física nuclear, American Education Pub., Columbus, Ohio, 1964. Una presentación elemental de las partículas elementales. La fotografía de la página 28 es una buena ilustración del problema de la aniquilación de pares. MEYERHOF, W. E., Elementos de fiSica nuclear,
Figura 9-5
McGraw-Hill, Nueva York, 1967, págs. 100-104. Una descripción más avanzada de la producción y aniquilación de pares, en base a la teoría de Dirac.
10
Naturaleza ondulatoria de las partículas
Príncipe Louis Víctor de Broglie (1892· 1 Nacido en Oieppe; Francia, de Broglie
obtuvo su doctorado en ciencias en la Soborna en 1924. Alli trabajó como instructor y después sirvió como director de/Instituto Henri Poincaré. En 1924 planteó la tesis de que la materia y la radiación tienen tanto propiedades ondulatorias como
corpusculares. En 1926 su hipótesis fue incorporada a un formalismo
matemático llamado mecánica ondulatoria. Desde entonces, de Broglie ha hecho grandes esfuerzos por encontrar
una interpretación causal (opuesta a la probabil/iticaJ de la mecánica ondulatoria. Por su descubrimiento del carácter ondulatorio de los electrones,
se le concedió el Premio Nobel de f¡'sica en 1929.
10-1 10-2 10-3
lOA lD-5 10-6 100
EL DI LEMA ONDA-CORPUSCULO ONDAS DE BROGLlE CONFIRMACION EXPERIMENTAL DE LAS PARTICULAS ONDULATORIAS PAQUETES DE ONDAS EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE OTRA FORMA DEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
10·1 EL DILEMA DNDA-CDRPUSCULD Desde el tiempo de los filósofos de la antigüedad hasta Isaac Newton, los científicos pensaron que la luz consistía de corpúsculos en rápido movimiento. En 1801, cuando los experimentos sobre interferencia de Thomas Young establecieron la teoría ondulatoria de la luz sobre una firme base experil:I.ental. pareció que los físicos podrían rechazarla iiea de una estructura atómica de la luz, Sin embargo, las teorías atómicas empezaron a responder cada vez más los interrogantes sobre las propiedades físicas de los sólidos, líquidos, y gases. A fmes 'el siglo XIX, los experimentos de J. J. Thomson y H. A. Lorentz sentaron el concepto del corpúsculo de electricidad, el electrón. Finalmente, en 1900 se completó el ciclo cuando una ley sobre la radiación del cuerpo negro fue establecida después de ue Max Planck postuló que una fuente de luz no emite radiación continuamente. sino tln cantidades iguales y fmitas llamadas cuantos. En 1923 el dilema corpuscular"ndulatorio se perfiló de nuevo cuando Arthur Compton descubrió que los cuan(Os de rayos x tienen momento así como energía. Por ende, la luz parecía tener dos series distintas ';e propiedades, que estaban en conflicto entre sí. Finalmente, en 1924 Louis de Broglie entregó su tesis para obtener su grado de doctor, Recherches sur la 1ñéorie des Quanta, en la cual
sugería que, ya que la luz tenía mucho de corpus· cular, se podía esperar que las partículas, en particular los electrones, por la simetría de la naturale# za mostraran propiedades ondulatorias. En 1927 sus ideas fueron verificadas independientemente por G. P. Thomson, y por C. J. Davisson y L. G. Germer, quienes mostraron que los electrones, a semejanza de la luz, podían ser difractados.
10·2 ONDAS DE DE BROGUE Planck había relacionado la energía de los corpúsculos de luz (fotones) y la frecuencia de la Juz por E ~ hv 00-') donde v es la frecuencia del rotón y la energía E es la misma expresión encontrada en la teoría especial de la relatividad, ó sea E = E o + K donde, para el caso del fotón,Eo = moc 2 = OY la energía total E = K es enteramente cinética. Sin embargo, la frecuencia no tenía lugar real en una teoría puramente corpuscular. De Broglie razonó que de· bían existir ondas de alguna clase asociadas con estos fotones, para explicar fenómenos tan puramente ondulatorios como la interferencia. Compton había mostrado que las ondas de luz tienen un momento, que usualmente sólo se asociaba a las partículas. La expresión de la energía de un fetén también puede tomar la forma 101
102
.
SEGUNDA PARTE: PAATICULAS y ONDAS
E
=
nJC
2
=
(10-2)
pC
donde p es el momento asociado con el fotón. Combinando las ecuaciones (lO-l) y (lO-2), obtenemos
I
,
hv P = .-
h ~ '0
e
I
i
(10-3)
A.
que relaciona el carácter ondulatorio de los fotones, la longitud de onda i\ y la frecuencia v, con el carácter corpuscular, el momento p. Entonces de Broglie propuso una idea sorpren· dente: Si las ondas de luz pueden tener una naturaleza corpuscular, las partículas, tales como los electrones, pueden poseer características ondulatorias. Así. un electrón puede tener un momento
.p
=
I h
=
mv
~
I
(10-4)
..~/'J
donde m es la masa relativista. Esta expresión adjudica al electrón el carácter ondulatorio de la frecuencia v. Aplicando la ecuación fotónica (10·3) a la ecuación corpuscular (104), la longitud de onda del electrón toma la forma
-,~ /. = mv
I
(10-5)
La longitud de onda puede escribirse en términos del momento como
A=
~
p
donde p = Ahora
,=~~
{l/cW& - Et,
/, =
de la ecuación (6·25).
h
--..",,;~
Eo'
(1Ie)JE' -
=..=-0="'--'
-
(l/el,,; (me')' - (m o"')'
que toma la forma l.
=
- 111 0 " /
/¡ --_._~-
[1/1::'-'( v'/e')] -1
y se simplifica a
hJ 1 -
=
l.
(v'le')
h 111 V
Aunque el trabajo original de de Broglie trató sola· mente el problema del electrón. las ecuaciones sor. válidas para todas las partículas materiales. Un2 pelota oficial de béisbol de la Liga Americana, de masa 0.14 kg (5 02), al ser lanzada adquiere un, velocidad de cerca de 40 mlseg. La longitud de onda de de Broglie asociada con esta pelota es
J.
= ..!!.... = mov
Á) 6.63 x 10- 34 x (10 10 m 0.14 x 40
= 1.2
X
10-" Á
longitud de onda tan pequeña que no podría ser detectada. Un electrón que viaje con la misma ve· locidad tendrá una longitud de onda
A=
..!!.... »loV
= _ 6.63
9.1
X
X
10-
10- 31
34 .
x 40
X
(1010 Á \
m)
= 1.8 x lO' Á
que puede medirse fácilmente en el laboratorio.
1 0-3 CONFIRMACION' EXPERIMENTAL OE LAS PARTICULAS ONOULATORIAS La idea de Louis de Broglie de darles características ondulatorias a las partículas dio una ingeniosa y original solución al problema. Esta idea era tan novedosa que. de no ser por la rápida confrrmación experimental que tuvo. hubiera pasado mucho tiempo antes de que fuera aceptada por los físicos. En 1925 se inició en los Laboratorios BeU Telephone de los Estados Unidos una serie de experimentos sobre la emisión secundaria de electrones. dirigidos por C. J. Davisson y C. H. lIunsman y después por Davisson y L. H. Germer. En estos experimentos, un haz de electrones incidente sobre un cristal de níquel hacía que otros electrones (secundarios) fueran reemitidos por el cristaL Cuando uno de los blancos de níquel se ~ubrió accidentalmente con una capa de óxido. se le calentó con el propósito de remover este óxido. Los experimen-
CAPITULO 10: NATURALEZA ONOULATORIA DE LAS PARTICULAS
Cañón .'.c"ón;co
103
---------- /
Detector de electrones
,.
.
/
II
Gráfica polar de la intensidad de los electrones
,,
Blanco de cristal
,n
-(---;---7-:.i:'."c.","o"n.O:'''d''.''54'''' .::vo-+--"o/
de Ni, d =0.91 Á.
\\
"le
" le
Potencial acelerador
Figum 10-1
Difracción de electrones por un mono cristal de níquel. :ns efectuados con este cristal dieron después re· JOItados experimentales muy diferentes. El calen=nento prolongado había cambiado el blanco po_mstalino en un solo gran monocrista1. Los ~ctrones aún eran emitidos a todos los ángulos, ~ro en ciertos ángulos se detectaban más electro=es que antes. Un haz de electrones de 54-eV producía un in.:remento en el número de electrones emitido a un i:lgulo de'" = 50° (figura 10-1). Para los electro=< K = 54 X 1.6 X 10-19 J, Y p ~ ·../zmoK
ce lo
cual la hipótesis de de Broglie predice para bs electrones libres una longitud de onda de J.
=
h p
6.63 ~2 x 9.11 x 10
31
X
10- 34 x 54 x 1.60 x 10
19
= 1.67 Á
e es la longitud de onda de de BrogUe asociada. .-\hora, sobre la base de una onda difractada por bs planos de Bragg dentro del cristal, una difrac.ón de primer orden (n = 1) por un cristal de níquel con un espaciamiento d = 0.91 Á dará una longitud de onda
A = 2d Stn e = 2 x 0.91 x sen 65° = 1.65 Á
que es la longitud de onda de una onda difractada. Esta es una buena comparación y proporciona una fuerte evidencia de que, en verdad, los electrones tienen un carácter ondulatorio así como corpuscu· lar .
Casi al mismo tiempo que se efectuaban los los anteriores experimentos, G. P. Thomson y algunos de sus estudiantes hacían un experimento diferen· te que los llevaría a la misma conclusión. En la misma forma como se habían hecho los experimentos de difracción de rayos x de van Laue. Thomson dispersó electrones óe alta energía por medio de hojas de metal muy delgadas, de material policristalino con los ejes de los cristales orientados al azar. El montaje experimental se muestra en la figura 10-2. En su experimento envió un haz colimado de electrones (con una energía de 104 ev) a través de una hoja de 10-5 cm de espesor. Pudo así obtener una serie de anillos de difracción cuyos ángulos de difracción () 1, (}2) (j 3) etc.) verificaban la bien conocida ecuación para difracción por transmisión, nA = 2d sen O (n = 1,2,3, ... ), donde es el ángulo que el haz difractado forma con la dirección del haz incidente. Entre otras interesantes verificaciones experimentales de la naturaleza ondulatoria de las partículas figuran las siguientes:
e
104
•
SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS
Hoja de oro delgada ~_::_~~~::::.':-
~
~-
Patrón de difracción
Electrones de 30,300 V
Figura 10-2 Patrón de difracción producido haciendo pasar electrones de alta velocidad a través de una delgada hoja de oro.
L En Alemania, Rupp midió la longitud de onda de los electrones d.irectamente por la difracción de un haz de electrones incidente sobre una red de difracción óptica a un ángulo de incidencia rasante. 2. En 193J 1 J ahnsan demostró los efectos de difracción de haces de hidrógeno diractados por
ondas exhibirán simultáneamente sus caracteríJticas ondulatorias y corpusculares en un solo experimento. Una descripción completa de la radiaciÓI. o de los electrones requiere en cualquier caso qle se usen ambos caracteres -ondulatorio y corpuscular- pero cada uno en su propia esfera df aplicación.
cristales. 3. En un impresionante experimento (I938), Eastermann, Frisch, y Stern produjeron efectos de difracción COl1 un haz de moléculas de helio incidente sobre cristales de LiF.
Los experimentos anteriores presentan evidencia concluyente de la naturaleza ondulatoria de las partículas, pero surgen otras cuestiones. Por ejemplo, ya que tanto los fotones como los electrones exhiben característkas corpusculares y ondulatorias, parecería que realmente no hay que hacer distinción alguna entre las partículas y las ondas. Sin embargo, la naturalt>'~a onduhttoria de los fotones aún no explica satis:'actoriamente experimentos como la dispersión Compton o el efecto fotoeléc· trico, y partículas como los electrones no p'Jeden viajar a la velocidad de la luz. Niels Bolu sugirió el principio de complementareidad para resolver las aparentes contradicciones ondulatorio-corpusculares. Su principio de complementareidad establece que ni las partículas ni las
10-4 PAQUETES DE ONDAS El campo eléctrico asociado con una bolita de médula de saúco cargada, no está localizado solamente en la bolita, sino que se extiende a través de~ espacio. Este campo eléctrico y la partícula carga· da no pueden ser separados como entidades dife· rentes; son dos aspectos de la misma cantidad. Ee la misma forma, una entidad de materia -una par· tícula- será representada por ondas. Por el mismo hecho de ser representada por una onda. la partícula ha perdido algunos aspectos de ser locali· zada. Tal sistema de ondas formará una envolvente que se propaga con una velocidad diferente de 12 velocidad d~ cualquiera de las ondas componentes. Esta envolvente de ondas. que representa un punto material, es llamada paquete de ondas (o grupo de ondas). Para representar un punto material (una par· tícula) se requiere una combinación de muchas an· das individuales. Como una forma de abordar los
CAPITULO 10: NATURALEZA ONDULATORIA DE LAS PARTICULAS
;:aquetes de ondas, consideremos un paquete ?1esto por dos ondas.
o/ 1 O/, -
COill-
A cos(w,/
~
ule
lén·
:a-
(~:k')xJ
;W'}
e'
2
vph
=
,
VA
=
Eh
-
-
lf·
Ii· t, 1, :s. lo
le r· n·
d;. -
-h dp p'
(10-11)
dE
-
pc 2 dp E
(10-12)
dE elv = - -
=
y de v = E/h
h p
11
I Pplt i
=
VI,
Eh
2 dv -l, dl.
Vg =
ro
2¡¡ x k
k
(10-7)
.:ande W = 27TV es la frecuencia angular y k = 27T/X ~ la constante de propagación. En la ecuación 0-6), v y X son, respectivamente, la frecuencia y blgitud de onda asociadas de de Broglie. A continuación, el significado de las ondas de .:e Broglie se adara aún más cuando se muestra ~ la velocidad de una partícula es igual a la velond de grupo de las ondas de de Broglie. La velo3!ad de la partícula se puede deterrrtinar a partir
~
pc 2 E
(10-14)
,
v
21T
ro x
(10-13)
me
(10-6)
mI;
dp
Sustituyendo las ecuaciones (10-11) y (10-13) para dA y dv en la ecuación (10-10) obtenemos
¡I Vg
y
1-- .
pe'
ó =
~n 10
de "A=h/p,
k')xJ
figura 10·3(a) muestra dos ondas que se han ~mado para producir una onda resultante. Note -:,'e la adición de estas dos ondas ha producido :ulsos o grupos de ondas. Cada onda se propagará =un su propia velocidad (su velocidad de fase), pe . los grupos de ondas formados se moverán con a velocidad diferente (la velocidad de grupo). Ya -:._e las W R y las k: s son aproximadamente _aales, las velocidades de fase de O/, y 0/2 son _roximadamente iguales. De las ecuaciones (10-1) _ (lO-3), la velocidad de fase toma la forma
(10-10)
d(lf}c)
g
:..2
elf·
que también se puede escribir en la forma elv
AR~2ACOS[(W'
e!
(10-91
dk
V=---~
~.
ll~
dw
vg =
O/, + O/,
.:un una amplitud resultante.
;.
(10-8)
dp
teoría ondulatoria como
A cos(w,/
~ARCOS[(W':w,} (s-
dE
=--
105
Y la velocidad de grupo se define a partir de la
:onde Wl ......, 6h = W y k 1 '"'-' k 2 = k. Por el :rincipio de superposición, estas dos ondas se pue~n añadir para dar una onda resultante,
o/
v
•
=
l:
Vemos que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de la partícula, o sea que las ondas de de Broglie se mueven junto con la partícula. Cuando se reescribe la ecuación (10-10), reemplazando v porvph/A, la velocidad de grupo se vuelve v ~ d(vph/i) g
d(1/I.)
que puede tomar la forma (10-1S)
! (,)
", MMN'WWW\N\N\N""MMMMMN'oNV
'" IJII\fIAFWVlJMIV'\NV1I\MMNli/\
""1/\1'--
'" '" ".
O
,,-
? j
~
lÍ E.jJ"
• " í:
(b)
106
Figura 10-3 (a) La suma de dos ondas de frecuencias casi iguales produce grupos de ondas (o pulsos). (b) Un grupo de ondas agudamente definido resultante -~o:> la superposición de muchas ondas diferentes.
CAPITULO 10: NATURALEZA ONDULATORiA DE LAS PARTICULAS
:onde se ha relacionado la velocidad de grupo a la ~locidad de fase. Note que si las ondas no se en.:uentran en un medio dispersivo, o sea, si v ph = ::onstante, entonces Vg = v ph . ¿Qué decir sobre la velocidad de grupo de los - tones? Para un fotón, E = pe, y la ecuación 10-14) torna la forma
peZ
Ee
E
E
107
mueve con la velocidad vg = v. De las ecuaciones (lO-lO) y (10-11), todavía es posible escribir la velocidad de grupo en otra forma diferente Vg =
I
dv dp
(10-1B)
.1 - -
De la figura 10-4 Yde la ecuación (10-16) In M v = - - h-
v~--=--
9
•
~t
~p
~p ~x =
h Av M
9
ó
:::Sre es, ahora, un resultado esperado: la velocidad 2 grupo para los fotones es igual a la velocidad del
2nón. La figura I 0-3(b) muestra un caso más ideal, en .=1 cual un gran número de ondas ¡J; 1,1/12, .. lj; n se '""' añadido. El paquete de ondas está defmido ~n agudeza, y su tamaño .ó.x se ha reducido consi.:erablemente.
(10-17)
Si va a medirse la frecuencia de la onda, el menor tiempo de medición será el tiempo requerido para que una longitud de onda completa pase un punto de referencia. Este tiempo, relacionado a la frecuencia, es.ó.t;;<: 1/6.v, el tiempo de paso para un ciclo completo. Ahora, de (10-18)
La ecuación (10-18) toma la forma
I~PAX;;;hl
'0·5 EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
:n
1927 el físico alemán Werner Heisenberg pro:;eso una interesante adición al significado de los ~nceptos ondulatorio-corpusculares. Este es el -:rincipio de incertidumbre o de indeterminación y ~presa un límite fundamental a la determinación .s:nultánea de ciertos pares de variables, tales como --:: posición y el momento. La figura 10-4 represen:::! una partícula que se mueve con una velocidad v, JXalizada dentro de un paquete de ondas que se
(10-19)
que es una de las expresiones del principio de incertidumbre de Heisenberg. Esto ocasiona un impacto considerable sobre nuestras ideas acerca de las mediciones. Este límite fundamental ~h) implica no sólo que hay un límite a la precisión de una medición, sino que mientras más exactamente se localiza una partícula en su posición, mayor será la incertidumbre en la medición de su momento y viceversa.
Partícula (en alguna parte dentro del paquete)
Figura 10-4 Una partícula en movimiento es representada por un paquete de ondas que se mueve con la velocidad vg'
'\o'a
•
SEGUNOA PA.R1"E: PAR"í\CULAS'< ONDA.S.
El principio de incertidumbre. que es una , natural, no destruye la ley de causalidad que daba por sentada en el mundo macroscópico. relatividad especial, que ya discutimos, está basa_ sólidamente sobre la distinción absoluta entre ce:: sa y efecto. Un mejor nombre para el principio el de principo de indetenninación. En este respe: to, la mecánica clásica de Newton y Gallieo esdeteFministica. (Si conocemos la fuerza que actúa so 002 partícula y las condiciones iniciales -posici# y momento- podemos predecir el movimiensubsiguiente de la partícula con precisión ah", luta). El mundo microscópico es esencialmente deterministico. El problema de la incertidumbre es una cons: cuencia lógica del comportamiento dual de la teria. Se puede lograr una intuición más profun de la naturaleza del principio de incertidumbre medio de un experimento idealizado, el llama' "microscopio de Heisenberg" que se muestra en figura 1O-S_ En la figura 10-5, un mkroscopio imaginario gran poder resolutivo se usa para tratar de mea simultáneamente la posición y el momento Lin de un electrón. La óptica "geométrica muestra q
El momento en la ecuación (10-19) debe ser en realidad la componente del momento en la dirección x, y más apropiadamente se escribe (10-20)
Pares de variables tales como Px Yx. en las cuales la incertidumbre en una de ellas fija un límite a la eXactitud de la medición de la otra. son llamadas variables conjugadas. No hay límite en la precisión de la medición de las componentes del momento a lo largo de los ejes y y z (!>{Jy y b,pJ y de la posición a 10 largo de la dirección x. Debido al pequeñn valor de h. esta incertidumbre no es relevante en el mundo microscópico. Esta incertidumbre no tiene nada que ver con la incertidumbre natural que aparece en el rnoodo macroscópico, a saber, con la interacción que aparece entre el instrumento de medición y la magnitud que estamos tratando de medir. Por ejemplo, si tratamos de medir la temperatura de un cuerpo. necesitamos un termómetro; pero cuando éste se coloca en contacto con el objeto, modificamos la temperatura que deseamos medir, y así sucesiva~ mente.
~ •
I
:
ti
ó'Px = psenO
•
Microscopio
VI I I I I I
p=~
I
I
y-c.le:,.!', Objetivo I~
h p-"fo.
.\~ I,.!j • "
.~~V;
~Q---C>-------
~
Fotón incidente sobre el electrón en movimiento
I
.\ "
~-------------
//lI\~
'\
X~
La dispersión Compton desvía
al electrón y envía un fotón al microscopio
Figura 10-5 Microscopio de Heisenberg. Se efectúa un intento para medir simultáneamente la posición y el momento lineal en la dirección x.
CAPITULO 10: NATURALEZA ONDULATORIA DE LAS PARTICULAS
""
,
~der
resolutivo de un microscopio permite una .=.,.~rtidumbre en la medición de la posición de tu
~
l.
-"---
de () es el ángulo indicado en la figura 10-5. ·...""Qndo la distancia es menor que 6.x, los dos punse verán como uno sólo, y por lo tanto ó.x e "t?resenta la menor incertidumbre en la posición _ electrón que estamos tratando de medir con el =i.croscopio. De la ecuación (10-21), mientras más -z,queña es la longitud de onda A. de la luz incidencon que el objeto se ilumina, menor será Li.x y ::nsecuentemente se podrá fijar con más precisión _ ?Osición del electrón. Sin embargo, el fotón incidente interaccionará el electrón a través del efecto Compton. Para ·er ver al electrón, el fotón dispersado debe en=·al microscopio dentro del ángulo 28. Enton, el momento (figura 10-5) del fotón tiene una ~rtidumbre en la dirección x de /ipx :::::: p sen O
,
i. ) 2 sen O
hJ.
J¡
J_ 2
2
>~ =
2
es el principio de incertidumbre. Un desarrollo ,.-is sofisticado mostrará que I
.:ende ñ =
t'.Px t'.x '" J¡
1
6.6
10- 34
X
10
10 X
109
10- 24 kg-m/seg
El momento de esta molécula moviéndose a 2000 m/seg (velocidad termal a la- temperatura ambiente), es 2
P:<: = mv
X
10- 27
2
X
10 3
X
_ 4 x 10- 24 kg-m/seg dará una incertidumbre fraccional 24
6.6 X 104 x 10 24
t'.px Px
=
1.7
Así, el momento de esta molécula no puede ser
especificado con una precisión mayor que el 170% de su valor originaL Sin embargo, una bala de 50 gm disparada con una velocidad de 1000 m/seg, cuya posición se conoce dentro de 1.0 mm, tiene una incertidumbre en el momento de
> 6.6 x lO-J'
A
(10-22)
Inde p ~ hit.. es el momento del fotón incidente. - f acuerdo con la conservación del momento ti:E2.l, la ecuación (10-22) también debe dar la mini__ incertidumbre en el momento del electrón en ~ oceso. Por lo tanto, para el electrón en retroce. las ecuaciones (10-21) y (10-22) muestran que t'.px t'.x > (p sen e) (
¿, 6.6
(10-21)
2 sen O
J¡
t'.x
/ipx ¿,
•
up
10
x =
= 6.6 X lO-JI kg-m/seg
3
Con un momento de Px
~
0.050 x 1000 = 50 kg-m/seg
La incertidumbre fraccional es
6.6
X
10 50
31
~ 1.3
X
10- 32
El número es tan pequeño que ningún aparato real de laboratorio se verá afectado por éL
10-6
OTRA FORMA DEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
(10-23)
h/2" es llamada "h barra".
Otra relación de incertidumbre entre la energía y el tiempo se deriva también de la ecuación (10-18),
.111 /1t >
~ ~MPLO
10-1: Suponga que la incertidumbre en _ posición de una molécula de hidrógeno, cuya );.~ es cerca de 2 X 10-27 kg, es del orden de su -="::metro, alrededor de lO-10 m. La incertidumbre ~ el momento es
ó
110
•
SEGUNDA PARTE: PART1CULA$ y ONDAS
10-2 ¿Qué velocidad tendrá un electrón con
que toma la forma
Un2
longitud de onda asociada de 2.00 A?
¡-"'-E-"'-{-¡;;-/¡]
110-24)
Así como el momento y el desplazamiento no pueden ser determinados simultáneamente con precisión infinita, así tampoco la energía E y el tiempo t (que son otro par de variables conjugadas) se pueden determinar simultáneamente con precisión infinita. Mientras más precisos seamos en nuestra medición del tiempo (o sea, a menor .6.t), menos precisos seremos en la determinación de)a energía. De nuevo, una derivación más sofisticada de la ecuación (J 0-24) dará
IL "'E !1t > _Ii
110-25)
10-3 Determine el momento y la energía para (al un fotón de rayos X, Y (b) un electrón, cad, uno con longitud de onda de 1.00 A. IDA Un acelerador Van de Graaff acelera los núcleos desnudos de los átomos de litio a través de una diferencia de potencial de S.OOOA X 106 V. iCuáJes son la velocidad y la longitud de on da de estos núcleos?
10-5 (a)
(b)
EJEMPLO 10-2: El tiempo de vida de tm estado excitado de un átomo es alrededor de 10-8 seg. (Un estado excitado de un átomo es aquel en que la energía es mayor que la del estado usual de nu'nima energía ó estado base). La mínima incertidumbre en la determinación de la energía del esta-
¿Cuál es la masa relativista de un electrón con una longitud de onda dE
0.0420 A? De E = /tc¡¡' = /11C 2 , se puede calcular una masa efectiva para un fotón m* : : : "1M:. ¿Cuál es la masa efectiva de u:: fotón con longitud de onda de 0.042C A?
10-6 Si un acelerador le da a un electrón una enero gía cinética de 0.511 Mev, ¿cuál es su longi-
tud de onda de de Broglie?
do excitado es, de la ecuación (10-25), 10-7 En la figura JO-l, si el potencial ,celerador es de IDOV, ¿a qué ángulo ocurrirá el pice para los electrones dispersados?
"'E ;:, ~ = 6.6 x 10- 3. -
2rr x 10- 8
"'1
;:, 1.0
X
10- 2 • J = 6.5
X
10-' eV
Esta se conoce como anchura de La ellergio del estado excitado. Desde luego, muchas propiedades de los sistemas microscópicos pueden ser conocidos con certi-
dumbre absoluta. Una de ellas, el signo de la carga eléctrica del electrón. Podemos estar absolutamente ciertos, con mediciones, de que una partícula tiene una carga positiva ó negativa.
10-8 Un haz de neutrones producidos por ·UIl! reacción nuclear incide sobre un cristal cor.
un espaciamiento de 1.50 A entre plano,Determine la velocidad de estos neutrones s:: una reflexión de Bragg de primer orden tien:lugar a un ángulo de 30°. 10-9 (a)
PROBLEMAS /1/. -
10-1 ¿Cuál es la longitud de onda asociada con (a) un electTÓn de 100..,V? (b) una pelota de golf (1.65 02) con una velocidad de 60
m/seg?
Una red de difracción óptica (figur;; 10-6) fue usada por Rupp para mostra: la difracción de los electrones. Para' gulas de incidencia rasantes, o sea, pera () muy pequeno, muestre que
d(~22 + 7.0)
/1
=
l. 2. 3..
donde d es el espaciamiento de la red ~
'" es el ángulo de difracción (ve: sección 10-4).
-
CAPITULO 10: NATURALEZA ONDULATORIA DE LAS PARTICULAS
(b)
¿A qué ángulo a electrones de 100-eV incidentes a un ángulo 8 = 10-3 rad sobre una red con un espaciamiento de 5.00 X 10-'; m, producirán un máximo de difracción?
~ r- ---1 01
\ J i ' d
(b)
•
111
Calcule el porcentaje de incertidumbre en el momento para el mismo caso.
10-15 La velocidad de una partícula nuclear (protón o neutrón) que marcha en la dirección x se mide con una exactitud de 10--6 m/seg. Determine el límite de exactitud con que puede localizarse su posición: (a) a lo largo del eje x, y (b) a lo largo del eje y. Resuelva el mismo problema siendo la partícula un positrón.
Figura 10-6 -10 (a)
(b)
Para una partícula que se desplaza a una velocidad v relativista, muestre que v ph = c 2 jv. Para una partícula que se mueve a una velocidad v' no relativista, muestre que v. = v' /2_
- 1 Muestre que la velocidad de grupo de una
partícula se puede expresar en la forma
1 dE v =-g fl dk
10-16 Una partícula que se mueve a lo largo del eje x tiene una incertidumbre en su posición igual a su longitud de onda de de Broglie. Encuentre el porcentaje de incertidumbre en su velocidad. 10-17 La incertidumbre en la posición de un elec· trón que se mueve en línea recta es de 10 A. Calcule la incertidumbre en (a) su momento (b) su velocidad, y (c) su energía cinética. 10-18 (a)
donde E es la energía total y k es la constante de propagación. Empiece con la definición de velocidad de grupo, v. = dEjdp Y muestre que Vg =
v
dv dk
+ k-
donde k = 21f/A es la constante de propagación y ves la velocidad de fase. -: 3 De la ecuación (10-10), pruebe que
v
g
. ~ (a)
=
-v
ph
d(ln J_) d(ln p)
Calcule la mínima incertidumbre en la determinación de la velocidad de un camión cuya masa es de 2000 kg si se requiere determinar la posición de su centro de masa dentro de un intervalo de 2.00 A.
(b)
El tiempo de vida de un estado excitado en un átomo es alrededor de 10" seg. Calcule la dispersión de la energía de los fotones emitidos (an· chura de la energía). Si los fotones emitidos pertenecen al espectro visible (A - 4000A), calcule la anchura de la energía en angstroms.
LECTURA RECOMENDADA
BOHM, D., QlUsalidad y azar en la física moderna, Harper, Torchbooks, Harper & Row, Nueva York, 1961. Un penetrante estudio fJ.!osófico de los principios básicos de la mecánica cuántica. CHR1STY, R. W., y PYTTE, A., La estructura de la mateTia, W. A. Benjamín, Menlo Park, Calif., 1965, págs. 314-320.
112
.
SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS
Contiene una explicación muy clara del principio de incertidumbre, a un nivel elemental.
Am.
HEISENBERG, W., Física y filosofía, Harper & Row, Nueva York, 1961. Un libro excelente, debe ser leído por quien est.á interesado en la filosofía de la física.
GAMOW, G., El señor Tompkins en la tierra de las maravillas. Carndridge University Press, Londres, 1965. Un libro fascinante para cualquier interesado en la ciencia.
PLANK MAX. La filosofía de la física, Norton. Nueva York, 1963. El capítulo 2 es particulannente interesante parz aquellos que desean conocer la relación entre el principio de incertidumbre y la ley de causalidad.
DARROW, K. K., "La teoría marzo de 1952.
cu~ntica", Sci.
11 &
El experimento de Rutherford
ti
n.
"el
Sir Ernest Rutherford
d.
(1871·1937)
Nativo de Nueva Zelandia Rutherford l
trabajó bajo la dirección de J. J.
Thomson en el Colegio Trinidad. Fue profesor investigador en la
Universidad de McGill (1898-1907),
director del laboratorio de fisiea en la Universidad de Victoria (1907-1919), y director del Laboratorio Cavendish (1919-1937).
Arguyendo que el átomo consiste de un pequeño núcleo central
cargado positivamente, balanceado por una nube de electrones negativos que gira alrededor del núcleo,
estableció el modelo nuclear del átomo. Por su trabajo, Rutherford
recibió el Premio Nobel de qu(mica en 1908.
11-1 11-2 11-3 11-4
ELMODELO NUCLEAR DELATOMO EL MONTAJE EXPERIMENTAL PARAMETRO DE IMPACTO Y ANGULO DE DISPERSION FORMULA DE DISPERSION DE RUTHERFORD
Repasemos el experimento de Rutherford, pare.
11-1 EL MODELO NUCLEAR DEL ATDMD Para 1898 Sir J. J. Thomson había descubierto el electrón y entonces propuso un modelo físico del átomo conocido como "pudín de ciruela~'. El átomo, como él lo describía, era un pudio de ciruela positivo en el cual estaban incrustadas pasas de electrones negativos, distribuidos de tal fanna que hicieran neutral el conjunto.
En 1911 el profesor Emest Rutherford (1871-1937), quien había sido discípulo de Thomson, y dos de sus estudiantes, Hans Geiger y Emes! Marsden, efectuaron cierto número de experimen-
tos sobre la dispersión de partículas" por una delgada hoja de oro. Como resultado de estos famosos experimentos, se descartó la idea del modelo "pudín de ciruela" a favor del modelo aceptado ahora generalmente. En este modelo, se dice que el átomo consiste de un núcleo muy pequeño (dimensiones del orden de 10-14 m), en el cual se concentran
efectuar un estudio detallado del átomo. Rutherford propuso que una delgada boja de oro (2 = 79) fuese bombardeada con partículas" de al!> velocidad procedentes de una fuente de Po-214 Un estudio de los ángulos de dispersión o defl,_ xión de las partículas a qUe pasaran a través de la hoja, debería dar detalles de los átomos blancos que actuaban como dispersores. Una partícu.l.! a es simplemente un núcleo de helio y consiste d!dos protones y dos neutrones. En aquel tiempo n~ se conocía la existencia del neutrón, pero Ruthe;
ford y Thomas Royds habían determinado previo mente (en 1909) que la carga de la partícula" e. de 2e. Rutherford efectuó un estudio teórico del ángt: lo e de dispersión de los modelos propuestos por < :el y por Thomson, y luego se llevó a cabo una ce paración con los resultados experirnentales_ 1. _ figura 11-1 compara los modelos de Rutherford p Thomson y muestra el campo eléctrico esperad ~ 1
"
toda la carga positiva y la mayor parte de la masa,
asociado con cada uno de ellos. Una partícula que penetre W1 átomo como el del modelo
y de una nube de electrones cargados negativa-
Thomson [figuras lI-l(a) y lI-l(c)] sólo ex
mente que rodea al núcleo. Ya que las dimensiones del átomo son del orden de JO- 10 m, la mayor
mentará pequefias dcOt:xiones, ya que el cam
parte del espacio dentro del átomo está vacío; y para átomos neutrales, la carga de los electrones
alrededor del núcleo es igual a la carga positiva del núcleo.
eléctrico dentro de tal átomo sería débil, espe .
-2
mente cuando se compara con el del modelo Rutherford. En el modelo de Rutherford, el ca¡¡; :;'ig. po eléctrico para la misma distancia al núcleo nt mucho más fuerte, porque toda la carga positi ~a :1 1:::
114
a
CAPITULO 11: EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORO
(a)
E
Modelo de Rutherford
E
t
Modelo de Thomson
I
A
I
r-
R
== radio del átomo
=
,
.-e-
,. 1, le le r-
art
, o
o~-----------"
11-
"
\A
~ ',,---
I-R--j
-
(d)
(e)
Figura 11-1 Ca) la deflexión esperada de la partícula a es pequeña porque el campo eléctrico dentro del átomo es pequeño. (b) La carga positiva está concentrada en un pequeño volumen del núcleo, y la deflexión de la partícula a es mayor. Ce) El campo eléctrico aumenta linealmente hasta una superficie donde es un máximo. Para r > R, disminuye de acuerdo con E = k(Ze/r 2 ). (d) El campo eléctrico disminuye con la distancia al núcleo de acuerdo con .E = k (Ze/r 2 ). En r = R, es el mismo que para el modelo de Thomson, pero para r < R, se vuelve mayor. .:el átomo, + Ze, está concentrada en el pequeño ""Iumen del núcleo, y por lo tanto el ángulo e de ::5spersión será mucho mayor que para el modelo '" Thornson [figuras ll-l(b) y 11-1 (d)].
•
x:
\ Modelo de Rutherford
o~-------
i-R-j
lt ri-
lllo
115
Modelo de Thomson (bl
t
•
1·2 MONTAJE EXPERIMENTAL .::-.eiger había efectuado muchas veces el experidento de enviar un haz de partículas a a través de a delgada hoja de metal anotando la dispersión .:e las partículas. Sin embargo, fue casi corno una ':ea tardía que Rutherford y Geiger sugirieron a
Marsden que estudiara las dispersiones para ángulos mayores, aun hasta 90°. Cuando se encontró que las partículas a eran dispersadas hacia atrás, Rutherford exclamó: «Es tan sorprendente como si un artillero disparara a un hoja de papel y por una u otra razón el proyectil regresara". La figura 11·2 muestra el experimento de dis· persión de partículas" de Rutherford. El polonia 214 es una fuente monoenergética de partículas a de 7.68 Mev. La delgada hoja de oro (1 = 6 X 104 m) permite que la mayor parte de las partículas pasen a través de ella sin experimentar ninguna desviación. Sin embargo, algunas son dispersadas a través de varios ángulos f:) para producir centelleos que pueden ser observados y contados
116 •
SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS
Microscopio amplificador para observar los centelleos sobre la pantalla de Zns Part.·culas o: de 7.68 Mev
Colimadores de plomo
\
/
Fuente blindada de Po-208 4 Hojadeoro.t=6X10 m
Partículas
Pantalla de ZnS
a: dispersadas
Figura 11-2 Diagnma esquemático de partículas a: dispersadas por los átomos dentro de una delgada hoja de oro. por medio de un microscopio amplificador. El experimento consiste en contar el número de partículas por unidad de tiempo que son desviadas cOn
ángulos de dispersión entre r/J y r/J
+ I!.r/J y comparar
estos resultados con los valores esperados de los
modelos de Rutherford y Thomson. El áJ>gulo pro-
F = _1_ 22e' 47[6 0 ,.2
(11-1
Coulomb, sigue una ley de cuadrado inverso, y la trayectoria debe ser la hipérbola ACB con el nú· cleo N en el foco de la hipérbola. Para una colisión
Rutherford, y atrajo la aceptación del modelo nuclear del átomo propuesto por Rutherford.
de frente. es evidente que el parámetro de impacto b = O. El eje de la hipérbola será Nz, y Nx y Ny son direcciones asimptóticas. que pasan a través de N paralelamente a la dirección de viaje cuando la partícula a se encuentra muy lejos del núcleo ant~ y después de la interacción. El parámetro de impacto b no debe confundirse con la distancia D de máximo acercamiento. Para determinar la distancia de maximo acercamiento. considere una partícula a:: a una gran distancia deÍ núcleo pero aproximándose a una colición de frente con una energía cinética Ka:- En el punto P de la
11-3 PARAMETRO OE IMPACTO Y ANGULO OE DISPERSION
ne momentáneamente a la partícula o: que se aproo xima, y toda su energía cinética se transforma en energía potencial. Así que podemos escribir
medio de deflexión predicho por ambos modelos era alrededor de 10. pero la gran diferencia entre
los dos modelos radicaba en la dellexión predicha para ángulos de dispersión muy grandes. Por ejem-
plo, de acuerdo con el modelo de Thomson sólo \IDa de cada 10 3500 partículas a experimentará Ulla de flexión de 4> ~ 900 • pero los resultados experimentales mostraron que una de cada 8000 partículas fue desviada a través de 4> ~ 900. Esta cifra concordaba estrechamente con el modelo de
figura 1I-3(a), la fuerza repulsiva del núcleo detie·
Las figuras 11-3(a) y 11-3(b) muestran una partícula '" dispersada por un núcleo. E7 parámetro de
I
2Ze 2
41teo
D
=----
impacto b en cada figura es la distancia mínima
que la partícula (X se aproximaría al núcleo si no existieran fuerzas entre ellos. La repulsión electros-
y la distancia de máximo acercamiento es
tática de Coulomb entre la partícula", y el núcleo de oro localizado en N harán que la partícula Cl 'iga la trayectoria A CB. La fuerza repulsiva de
~ D
_
I----¿Ze 2
- 41teo K.
'
I
(11-2)
CAPITULO 11: EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD
•
117
.... .--'/
---{o b
y
¡b
l
-
Colisión de
frente
p
(--()--,--,
- --------V~-,
¿
O
- --c,L/_'~
F
I
/
,¡
(,)
1)
z
a F
o"
'
, v e a
lb)
Figura 11-3 (a) El parámetro de impacto b es la distancia por la cual la partícula Q' erraría el núcleo si no hubiera fuerzas implicadas. El ánculo ep de dispersión depende del parámetro de impacto. (b) Dispersión de partículas Q' por un núcleo de carga +Ze. Las coordenadas polares que localizan a la partícula
aenMsonry8
ep, supondremos
Si la colisión no es "de frente", la distancia de =riximo acercamiento será NC como se ve en la :!gura 11-3(b), Nótese también de la figura 11-3(b)
Al derivar la relación entre b y lo siguiente:
~e,
aproximadamente,
l. La partícula o: y el núcleo son cargas puntu;iles.
b - NC sen(1f
2, La dispersión es debida a las fuerzas electrostáticas repulsivas de Coulomb entre la partícula o: y la carga positiva (Ze) del núcleo,
~
1»
= NC
cos
~
(11-3)
?ara una colisión de frente, b = Ol Y de la ecuación
11-3), rp = 180 , que es un resultado esperado, 0
3, El núcleo de oro (masa -
197 u a m) es lo
suficientemente masivo comparado con la partí-
118
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
cula a (masa - 4 u a m) como para que pueda ignorarse su retroceso.
4. Las partículas a no penetran la región nuclear y las irltensas fuerzas nucleares de interacción no están implicadas.
Si p¡ y P2 en la figura 11-3(b) son los momentos lineales de la partícula a cuando está lejos del núcleo antes y después de la interacción, respecti-
~ f'~oo Feos (1T - '" -
2p¡ sen '" 2
'"
2p¡ sen - = 2 ~
y entonces PI = P2. La partícula a se mueve bajo la acción de una fuerza central F = (1/41TEo) (2Z
e /r
2
)
dirigida a lo largo del radio vector_ Por lo
tanto, el momento angular se conserva ya que de acuerdo con las leyes de Newton r X F = dL/dt = O, ya que r y F se alinean en la misma dirección. Por lo tanto, L = bp¡ = b'P2 Y b = b' También,
de la segunda ley de Newton, óp = P2 - p¡ =
f'~oo ,~o
i
(
F sen O +
f.oo F dt
(11-5)
'2"
-"') -dt
2 dO
dO (11-<1)
2
())
mv 1 b = mV8r
(11-9)
donde vo = w r es la componente transversal de la velocidad, y entonces
j
(11-10)
I
Cuando F Y w de las ecuaciones (ll-!) y (11-10) se sustituyen en la ecuación (i 1-8), obtenemos 2p¡ sen
2
1
'~.-. -1- -2zé -2- sr e n ( 0+ 8=0 4neo r vIb
f.
2
1 <
que, después de integrar da 2PI serl '" -
2
(
=
2Ze
4rreOvIb
[
-cos ( O 2
__~__~
•l
-
_
p,
Figura 11-4
De la ecuación (11-4), los momentos lineales PI y P2 tienen igual magnitud, pero Áp "" 'O ya que P. y P2 tienen diferentes direcciones.
y el vector Áp está dirigido a lo largo del eje N, como se puede ver comparando las figuras 11-3(b) Y 11-4. Ya que el impulso total $:;' F dt está dirigido a lo largo del eje Nz, una ecuación escalar que combina las ecuaciones Ol-S) y (11-6) es
í
1!.
2
~
•
partícula a. De nuevo, de 1a conservación del momento angular
= (11--6)
(11-7)
donde dO /dt = w es la velocidad angular de la
Y de la figura 11-4, lópl = 2PI sen-
dt
'~'-' -senO+-dO F ( "')
8=0
(11-4)
o)
ó, cambiando variables,
vamente, podemos escribir
2
2
t=O
Usando el hecho de que Ka de esta ecuación
4Ze 41TB o"¡b
= mVI 2 /2,
, '" CQS-
2
obtenernm
(11-11)
que nos da la relación entre el parámetro de impacto b y el ángulo de dispersión "'. La figura 11-5 muestra de manera mas realista
cómo son dispersadas 1.. partículas el por los nú· cleos en una hoja de oro_ La mayor parte de las
~ CAPITULO 11: EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD
Partículas
I
11-4 FORMULA DE DISPERSION DE RUTHERFORD
-¡gura 11·5 Partículas el dispersadas por los núcleos en una hoJa de oro.
;¡artículas pasan sin desviarse; sólo aquellas que ;asan cerca de un núcleo son desviadas. El ángulo de dispersión r/J depende de b; y, romo se ve por la ecuación (11-11) y la figura JI-3(a), mientras más pequeño sea b, mayor será r/J d ángulo de dispersión. La ecuación (l1-11) tam:.ién se puede poner en términos de la distancia D de máximo acercamiento a partir de la ecuación 11-2),
b
(11-12)
No hay forma de comprobar la ecuación (11-12) contra los resultados experimentales, porque es im· posible medir directamente el parámetro de impac· to b. En un experimento real, lo que se mide es el número de partículas dN con ángulos de dispersión entre r/J y r/J + dr/J o dentro del ángulo sólido dU = dS/r 2 . La figura 11-6 muestra que dS = 2",2 sen r/J dr/J es el área de la pantalla sobre la que chocan las partículas IX. Por lo tanto, el ángulo sólido en el cual quedan encerradas estas dN partículas es dQ ~ 2rr sen r/J dr/J. Todas las partículas IX que se aproximan al núcleo con un parámetro de impacto ~ b serán dispersadas a través de un ángulo> cIJ. El área alrededor de cada núcleo en la figura 11-7(a) con un radio igual al parámetro de impacto b es llamada sección transversal integral. Esta área es (11-13)
La figura 11-7(b) muestra una porción agrandada de una hoja de oro con un área superficial A y un espesor t tan delgado (t = 6.0 X JO-'7 m) que las secciones transversales individuales a de los diferentes núcleos no se superponen. Cuando un número N o de partículas IX se dirige perpendicularmente hacia A, aquellas que interactúan con núcleos diferentes (todos con la misma sección
o
s
119
./"Hoja de oro
Núcleo./"
a incidentes
•
•
Hoja de oro rsen!p
r
Figura 11-6 Area de la pantalla golpeada por aquellas partículas IX con ángulos de dispersión entre cIJ y cfJ+ dcfJ. Las partículas se encuentran dentro del ángulo sólido drt = dS/r 2 = 2n sen if¡ dcIJ visto desde el punto Oen la hoja de oro.
120
•
SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS
Hoja de oro
La secci6n transversal para el núcleo es
a=1rb 2
n núcleos por unidad de volumen El área efectiva de dispersión es n(At)
1,)
Ibl
Figura 11-7 La fracción de partículas" dispersadas es transversal) experimentarán una "dispersión única". Si n es el número de núcleos por unidad de volumen, la hoja de oro contendrá n(At) núcleos, y por lo tanto el área de blanco T presentada por estos núcleos con el fm de tener ángulos de dispersión mayores que cp y parámetros de impacto menores que b será
T
~
na(At)
(11-14)
Ya que A es el área de blanco total, la fracción de partículas a: que sufren dispersiones mayores que las dadas por será
f
área blanco ofrecida por los núcleos en la hoja área blanco total = n(At) =
r~
a)
(N/No) ~ n(At)u/A' y
f
=
~
r
~ nat_
= n¡¡ID' eot'
4
No
J!
(11-16,
2
Esta ecuación aún no es una fórmula práctica que pueda ser verificada experimentalmente. Par2 calcular el número de partículas por ángulo sólido unitario, dn = 27T sen cp dcp, diferenciamos. la ecuación (11-16) con respecto a y dividimo, por'dS1 para obtener
df
dN
dr!
Nodr!
n¡¡ID' eot(1)12) ese'(1)12) dg
-
8¡¡ sen 1>
d1>
El signo menos implica que df y d = 2 sen (12) cos(12), tene· mos
A df
ó 1
I
= nat
~
dr! n¡¡b't
I
-
dN No dr!
(11-15)
Esta razón también es dada por f = N/N o, donde N es el número de partículas que experimentan la dispersión y No es el número total dirigido contra el blanco. La combinación de las ecuaciones (11-12) y (11-15) da ahora
-
nD 2 t 16 sen' 1>/2 ,
Ya que dn = dS/r' , podemos escribir
y fmalmente,
dN
dN
No dr!
No dSlr'
(11-171
CAPITULO 11: EL EXPERIMENTO DE RUTHERFORD
I ddN S
=
-cc_N",o,,-n_D-o'_t~
16r' sen4 "'j2
(11-1B)
.:)le es el número de partículas a por unidad de
irea que golpean la pantalla dentro de un anillo de i::eadS = 2rrr2 sen q,dq,. La ecuación (11-18) cono:ida como fórmula de dispersión de Rutherford, :~e verificada experimentalmente, y por esto debe creditarse a Rutherford, corno el descubridor del :.ücleo. La verificación experimental de la fórmula ~ dispersión de Rutherford muestra que si 10 6 de "::s partículas incidentes tienen ángulos de disper· Íón ;;;. 10°, entonces sólo cerca de 230 son desvia:as a través de un ángulo ifJ ~ 90°. El número de núcleos por unidad de volumen :;:uede calcularse de
(11-19)
=.JEMPLD11-1 (a) La energía cinética de las partículas a en el ~perimento de Geiger-Marsden era Ka = 7.68 M.ev. Calcule la distancia D de máximo acercamien-
a un núcleo de oro (Z = 79). A la distancia de máximo acercamiento, la Ka de 51 partículaO:' se tranforma en la energía del sistema. ror lo tanto a partir de la ecuación (11-2)
D)
(b) Continuando con el experimento de Geiger -Marsden y considerando que el material de la hoja es oro, calcule el parámetro de impacto necesario para producir ángulos ifJ ~ 90°. Cuando se usan el valor de D anterior y ifJ = 90° , la ecuación (11-12) da 2.96
10- 14
X
90°
--"--'-_::.c._ cot -
b = -D cot'" 2 2
2
2
que da
b = 1.48
X
10- 14 m
(c) ¿Cuál es la sección transversal correspondiente en este caso?
De la ecuación (11-13), la sección transversal es =
71b' _ 71(1.48 x 10- 14) ' 6.87 X 10-'8 m'
La sección transversal se mide a menudo en términos de una unidad llamada bam, donde 1 bam = 1 X 10-'28 m' . Por lo tanto, en este cálculo u = 6.87 bams. (d) ¿Qué fracción de partículas '" es desviada un ángulo de 90° o mayor si el espesor de la hoja es t ~ 6.00 X 10-'7 m? Para el oro (p = 1.93 X 104 kgjm 3 , M = 197 kgjkg-mol), a partir de la ecuación (11-19) el número de núcleos por unidad de volumen es
NA 1.93 X 104 x 6.02 X ID'· - -----:-::-:c---n = pM 197 _ 5.91 x 10 28 átomos/m 3
2Ze'
2 x 79 x (1.60 x 10- 19 )2 -----.,,-_:_c_-:-c-:--:-::---;cc----'-~::_::_:c-c-::----'-':_::__:_c_--::-c~~_= 4 x 3.14 x 8.85 x 10 l ' x 7.68 MeV (1.60 x 10 13 JjMeV) = 2.96 x 10- 14 m
"El estudiante interesado debe leer una descripción com;:Ieta de este experimento en H. Geiger y E. Marsden, ""Deflexión de partículas alfa a través de ángulos grandes", ?hi!. Mag. 25, 605 (I913).
121
El radio del núcleo de oro debe tener una magnitud del orden de lO-1 4 m Ó menor. lo que viene siendo cerca de 104 veces menor que el radio del átomo .
(J
:'.Dnde p (kgjm 3 ) es la densidad del material de la .::Dja, N A es el número de Avogadro = 6.02 X _0 26 átomosjkg-mol, y M(kgjkg-mol) es el peso I:ómico. En su verificación experimental, Geiger y }larsden usaron diferentes materiales. que variaban :i:sde el carbón hasta el oro* .
•
Ahora, de la ecuación (11-15),
f
=
!!.. No
= nut
'22
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULA$ y ONDAS
calcule n y D Y luego use la ecuaciór:
ó, sustituyendo los valores calculados,
f
=
~
= 5.91
No
10 28 x 6.87 X 10- 28 x 6.00 X 10- 7 = 2.44 X' lO-s
(11-16)].
X
lo que significa que aproximadamente sólo dos de
cada 100.000 partículas a experimentan desviaciones ~ 90° . La conclusión es que una hoia de oro
11-5 Si un blanco de sodio (Z = 11, A = 23 dispersa 1.00 X lO' partículas a en una dirección dada, (a) ¿cuántas serán dispersack a través del mismo ángulo si el blanco d!
de este espesor es relativamente transparente a las
sodio se remplaza
partículas a.
79, A = 197) del mismo espesor? (b) ¿cuántas serán dispersadas en la misma dirección s: el espesor del blanco de sodio se reduce a 11 mitad de su valor original? La densidad de: sodio es 0.93 X lO' kg/m3 .
PROBLEMAS Paro
1.93 x 104 kgJm 3 M = 197 kg/kg·mol
Z ~ 79
11-1 ¿Cuál es la velocidad de una partícula a con una energía cinética de 7.68 MeV? 11-2 (a)
(b)
Si la distancia de máximo acercamiento de una partícula.a dirigida contra un núcleo de oro es de 3.00 X lO-1 3 m, calcule la energía cinética en MeV de la partícula a. ¿Cuál es la energía potencial del sistema a la distancia de máximo acercamiento?
11-3 Use los datos del problema 11-2 y (a) determine el parámetro de impacto necesario para producir un ángulo de dispersión lP > 60°;
(b) calcule la sección trasversal correspondiente en bams, y (c) encuentre la fracCión de partículas Q que serán dispersadas a través
de un ángulo;;;' 60° por una hoja de oro de espesor 3.00 X 10"" m.
poI
una hü}3 de
OIO
(Z =
11-6 Para una hoja dada, encuentre la razón de la! partículas dispersadas entre 60° y 90° respecto a aquellas dispersadas por 90° e más. Suponga que la energía cinética de la!
oo.
partículas a es la misma en ambos casos.
11-7 El número de partículas a dispersadas a tr.. vés de un ángulo mayor o igual a 10° po¡ una hoja dada es de 1.00 X 10· partículas seg. (a) ¿Cuántas partículas a por segund serán dispersadas por un ángulo de 30° o mayor? (b) ¿Cuántas partículas por segunde tendrán ángulos de dispersión entre 10° Y 30°? (c) ¿Cuántas partículas por segunde tendrán ángulos de dispersión entre 100 y 30° si el espesor de la hoja es el del incisc (b)? 11-8 ¿Qué fracción de partículas a de 7.68 Mer dirigidas contra una hoja de oro de 5.0011 d, espesor serán dispersadas a través de un ángula menor que 10°?
11-4 (a)
Para partículas a de 7.68 MeV dirigidas contra una hoja de oro de 3.00 X 10-'7 m de espesor, encuentre la fracción de partículas
cuyos ángulos de dispersión están entre <1>. = 10° Y <1>2 = Q
12° . (b)
10
,
tes, deternñne la razón de los protones a par· ticulas Q de la misma energía que serán dis-
persadas por una hoja de oro por ángul", mayores que 90° .
Si el número total de partículas a dirigidas contra la hoja de oro es 1.00 X 6
11-9 Para números iguales de partículas inciden-
¿cuántas serán dispersadas entre
los ángulos de 10° y 12°? [Sugerencia: Para los datos anotados en (a),
11-10 Se ha encontrado experimentalmente qUf el radio de un núcleo está dado satisfactoriamente por R = RoA 1!, , donde Ro = 13 X 10-1 s rn. (a) Calcule (en MeV) 1<
CAPITULO 11; EL EXPERIMENTO DE RUTHERFOAD
altura de la barrera de potencial electrostático en la superficie de un núcleo de oro para una partícula a que se le aproxima. (b) Haga el mismo cálculo para un protón.
3 li-
=
(b)
(c)
_1·11 Usando los datos del problema 11·10, grafi· que la energía potencial de Coulomb con· tra r> la distancia de la partícula a que se acerca al núcleo de oro, desde la superficie del núcleo hasta el infInito (a) cuando se aproxima una partícula Cl, y (b) cuando se trata de un protón. (d)
k
.1·12 La anchura de la barrera de energía potencial de un núcleo para una partícula cargada que se le aproxima está dada por D - R > donde D es la distancia de máximo acercamiento y R = (1.3 X 1O-15 m) A U3. (a) En el caso del núcleo de oro, calcule la anchu· ra de la barrera de poteocial para una par· tícula a que se acerca con una energía de 7.68 MeV cuando aún está lejos del núcleo. (b) ¿Cuál será la energía cinética en MeV de la partícula c< cuando su distancia al ceno tro del núcleo es 3.20 X 10'14 m? (Supon· ga una colisión de frente). 1·13 Una partícula Cl de 8.00 MeVes dispersada a un ángulo de 45° por un núcleo de oro_ (a) Calcule el parámetro de impacto b. (b) Si la hoja de oro tiene un espesor de 0.40011, ¿qué fracción de partículas Cl es dispersada a un ángulo mayor de 45°? (e) ¿Qué fracción es dispersada a un ángulo menor de 45°?
.l~
:.:.J
¿Qué fracción de deuterones de 5.00 MeV serán dispersados entre . = 10° Y . + d = 12° cUahdo inciden sobre una hoja de oro de 6.00 X 10" m de espesor?
_1·15 (a)
=
En el caso de partículas Cl con K = 7.7 MeV que se aproximan a una hoja de oro cuyo espesor es t = 4.0 X 10" ro, calcule la fracción de partículas a por ángulo sólido unitario (esteradión) cuando el ángulo de dispersión es = 45° .
.
123
¿Cuál será la fracción correspondiente a un ángulo sólido de drl = 47f X 10"""'2 esteradiones si
= 45° Y si el número total de partículas dirigidas oontra la pantalla es No = LO X 106? [Sugerencia: Haga uso de la relación r = R tan y entonces aplique la ecuación (11·18).] ¿Cuántas partículas golpearán la pantalla dentro de un anillo de ra· dio interno r y radio externo r + dr, doode dr ~ 1.0 mm? LECTURA RECOMENDADA
BADASH, L., Ruther[ord y Boltwood, 07rtas so· bre la radiactividad, Yale University Press, New Haven y Londres, 1969. GElGER, H., Y MARSDEN, E., Proc. Roy. Soc. A. 82,495 (1909). GEIGER, H., Y MARSDEN, B., Phi/. Mag 25, 604 (1913). HüfSTADER, R., El núcleo atómico" SCL Am., julio 1956. KAPITZA, P. L., "Recuerdos de Lord Ruther· ford", Lecturas selectas de la Sociedad Real" Aca· demica, Londres, 1967, p. 119. MELlSSINüS, A., Los experimentos en la [isica moderna, Academic, Jueva York, 1966. El capítulo 6, describe un moderno montaje experimental para estudiar el experimento de Rutherford.
RUTHERfüRD, E.,H/il. Mag. 5,576 (1911) RUTHERFüRD, E.,Phil. Mag. 21,669 (1911). RUTHERFüRD, E., CHADWICK, J., y ELLlS, C. D., Radiaciones de sustancias radiactivas, Cambridge University Press, Londres, 1930.
I
12
El modelo de Bohr 1
Niels Henrik David Bohr (1885-1962)
Nacido en Copenhague, Bahr obtuvo su doctorado en la Universidad de Copenhague en 1911. En el Laboratorio de Cavendish, en Cambridge, trabajó bajo la dirección de J. J. Thomson, yen la Universidad de Victoria con Ernest Rutherford. En 1920 tomó la dirección dellnstítuto de Flsica Teárica de su ciudad natal. Por sus estudios de la estructura de los átomos y de su radiación recibió el Premio Nobel en 1922. Interesado en las aplicaciones pacíficas de la
energía atómica, Bahr organizó la primera conferencia de Atomos para la Paz que se reunió en Ginebra
en 1955.
12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12·6 124
MODELO PLANETARIO ESPECTROS ATOMICOS EL MODELO DE BOHR-POSTULADOS EL MODELO DE BOHR-ESTADOS DE LA ENERGIA EL CONSTANTE DE RYDBERG Y LAS SERIES ESPECTRALES EL MODELO DE BOHR y EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA
=
núcleo. Consideramos que este modelo es dinámico. Si se supone un modelo estático, todos los electrones que rodean al núcleo se verían atraídos hacia ésle debido a la fuerza de Coulomb enlre el núcleo y los electrones. y el átomo pronto sufriría un colapso. En el modelo planelario dinámico el núcleo está esencialmente en reposo. con los electrones girando alrededor en órbitas circulares y elípticas. Consideremos la estructura atómica más simple,
·1 EL MOOELO PLANETARIO acuerdo con el modelo de Rutherford, el áloconsiste de un núcleo muy pequeño pero masi(dimensiones del orden de lO- 1 4 m) que Ueva carga + Ze. Alrededor de esla región cenlral sin localizados los electrones Z del átomo neu. El diámelro de un álamo es alrededor de o¡ o m, o sea 10,000 veces mayor que el del
Núcleo (protón)
+e Orbita circular
Figura 12-1 El modelo planetario del átomo de hidrógeno. Un electrón de masa m gira alrededor del núcleo con movimiento circular uniforme. La fuerza motora es la atracción electrostática F de Coulomb entre el núcleo (protón) y el electrón. 125
I 126
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
el átomo de hidrógeno, con este modelo en mente. La figura 12-1 muestra la situación más simple con un protón (de carga +e) en el centro y un electrón (de masa m y carga - e) girando alrededor del núcleo con movimiento circular uniforme. En esta primera aproximación el movimiento del protón,
con una masa 1836 veces mayor que l. del elec-
1 e'
v=
El signo menos indica que el sistema es de atracción y no de repulsión, y~ que el electrón es traído por el núcleo positivo. La energía total de este sistema es
trón. se despreciará. La fuerza motora F es provista por la atracción electrostática ""!re el protón y el electrón. Esta es U\la
fuerza central cuya magnitud está dada por
1 e2 F=-41<"0 r 2
(' 2-1)
donde r es el radio de la trayectoria circular del electrón. De acuerdo con la segunda ley de Newtoo,
1
e2
-- 41rt o
,2
v2
= m -
(12-2)
T
donde Q, = .'/r es la aceleración centrípeta (figura 12-2)_ De la ecuación (12-2), la energía cinética del electrón se puede obtener de
K
1
e'
= tm.' = - - -
('2-3)
r suponiendo un punto de vista clásico. La energía potencial del sistema es 87tBo
('2....
4m:o r
1 81t80
e' r
(12-.
donde el signo menos indica que se trata de U!: sistema cerrado. La energía de enlace de un electrón se defin< como la núnima energía requerida para remover al electrón completamente del átomo o, en otras pa· labras, para ionizar el átomo~ Con trabajos experimentales se ha encontrado que la energía de enlace
del átomo de hidrógeno es 13.6 eVo Cuando este V>lar se sustituye por E en la ecuación (12-5), se pll<. de encontrar el radio r: . r 1 = 0.53 x
10-10
m = 0.53 Á
Este valor de rl se llama radio de Bohr y concuer· da con los valores obtenidos con otras técnicas ex-
perin1entales. La velocidad lineal v está relacionada a la freo cuencia de revolución del electrón en su órbita por v Electrón -e
Núcleo (protón)
Figura 12-2 En el modelo planetario del átomo, el electrón describiría una espiral decreciente alrededor del núcleo hasta que ocurriera el colapso.
CAPITULO 12: EL MODELO DE BOHA I
v
~
ror = 2rrfr
(12~)
_emplazando este valor en la ecuación (12-3), te:Emos 1 e2 m(2rrfr)2 = - - -
.:e la cual obtenemos f=-l
2n:
J
2
e 41teomr 3
(12-7)
;:ara el número de revoluciones por segWldo efec"",das por un electrón en una órbita. Usando el mor de r ya encontrado y los valores conocidos de e y m para el electrón obtenemos f = 7 X lO' S 'I'g-l. Valor que también coneuerda ,,",nJos obte,;ctos por otros métodos. Sin embargo, a pesar de estos logros iniciales, físicos encontraron que este modelo planetario 2nía que ser a~andonado ya que, de acuerdo con _ eleetrodinámica clásica,
3646 (límite de la
127
1. Una carga acelerada debe radiar energía electromagnética continuamente y 2. La frecuencia de la radiación emitida debe ser igual a la frecuencia de revolución.
Por lo tanto. de acuerdo con este modelo, la energía total del átomo deberia disminuir (hacerse más negativa), nñentras que la frecuencia de rotación [ecuación (12-7)] debe aumentar continuamente. Un simple cálculo muestra que sólo se requieren lO'; seg para que el átomo sufra un colapso. De acuerdo con este modelo, el espectro óptico del Iúdrógeno (así como los espectros de otros elementos) es continuo, y todos los átomos deben desplomarse en corto tiempo. Ambas conclusiones, desde luego, contradicen a la evidencia experimental. Los átomos se han mostrado renuentes a desaparecer; aún más, los espectros ópticos de los gases muestran sólo frecuencias discretas ("líneas") y no una distribución continua de frecuencia. El modelo
planetario pronto fue abandonado.
S8(i8)\ 4101]" le viO 18
4340
'1)\)-
Ar.r-~ 4861 Azul
Porción visible del espectro del
6563 Rojo
hidr6geno-serie de Balmer
Prisma
v
Tubo de descarga con hidrógeno a baja presión
Figura 12-3 Esqueilla de un ~pectrógrafo de prisma. Luz procedente de un tubo de descarga con hidrógeno a baja presi6n es refractada a través de un prisma
para producir un espectro de líneas.
•
128
.
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
un fondo blanco. Las posICIones de estas líneas obscuras corresponden a las longitudes de onda de
12·2 ESPECTROS ATOMICOS
2
las blancas líneas espectrales del hidrógeno. El gas La luz de una descarga eléctrica a través de un tubo que contiene un gas monoatómico a baja presión, exhibe una serie de líneas características cuando se analiza por medio de un espectrómetro de prisma como el de la figura 12·3. Estas líneas, características del gas usado en el tubo, son llamadas el espectro de lineas del gas. Al espectro visible del hidrógeno mostrado en la figura 12-3 se le lla· ma serie de Ealmer en honor a J. J. Balmer quien lo descubrió en 1885. Si se usa gas de nitrógeno en el tubo de descarga, el espectro es un arreglo regu· lar de líneas espaciadas muy estrechamente, conocido como espectro de bandas. El espectro de bandas es característico de la molécula N1. y es evidentemente de un origen diferente al de los espectros lineales. La luz blanca de una fuente incandescente tal como un foco de luz da un espectro continuo y contiene un continuo de longitudes de onda. Cuando la luz de un espectro continuo se hace pasar a través de un gas monoatómico tal como el hidrógeno, se produce un espectro de absorción. Un espectrógrafo muestra entonces Hneas obscuras contra
en este caso absorbe la radiación incidente corres·
pondiente a estas longitudes de onda. El espectroscopista sueco J. R. Rydberg (l854-1919) encontró una fórmula empírica,
!
=
A
R
(l- _...!-) 22
11
para
2
11 _
3, 4, 5, .
(12-8)
de la cual podían calcularse las longitudes de onda de la serie de Balmer. La constante de Rydberg R tiene un valor de R = 1.0973731 X 10"" A-' para n = 3, A = 6563 A, que se identifica con la línea Ha roja; para n = 4, A = 4681 A, la línea Hjl azul; y para valores crecientes de n, las longitudes de onda se juntan cada vez más, y las intensidades se vuelven cada vez más débiles hasta que se alcanza el límite de la serie en n == , A = 3645 A. AdernZ
de la serie de Balmer, la tabla 12-1 muestra otra; series encontradas en las regiones ultravioleta e infrarroja .
• Tabla 12-1 Series espectrales para el hidrógeno Serie
Lyman
Región
Ecuación
Límite de la serie
espectral
de la serie
(n =
ultravioleta
~
1.
= R
(.!. - .!.) n 12
2
::1)'
A
n = 2, 3, 4, . ..
Balmer
visible
~= n
Paschen
infrarrojo
R
liO ;En
(;2 - :2)
3645.1
A
<•.
= 3, 4, 5, ...
(.!. - .!.)
~ = R 32 n 2 1. n = 4, 5, 6, .. _
8201.4 Á
:'1 (
Brackett
infrarrojo
~=
..t
R
(.!.4 - n.!.) 2
2
14,580 Á
n = 5, 6, 7, . .. Pfund
infrarrojo
~
).
= R
(.!.52 - .!.) n2
22,782
A
.",
n=6,7,8, ... ~7.
CAPITULO 12: EL MODELO DE eOHR I
"
"",:g
3)
• •1; e e a
"1-
'2-3 EL MOOELO OE BOHR-POSTULAOOS ~Is
_-_'_1_2-1_~_-_"_f¡_l,
I_L_ _'_"_"'_-
129
'_'_=_ _I,_2_,_3,_._.....J.J
Bohr recibió su doctorado en 1911 en
penhague, y el mismo año viajó a Inglaterra para '5ludiar bajo la dirección tanto de J. J. Thomson ::nmo de Ernest Rutherford. A partir de la descrip:iln que hacía Rutherford del átomo, era evidente - a Bohr que el átomo tenía que consistir de un -deo pesado alrededor del cual, y a cierta distan~, girarían los electrones. Entonces Bahr propuso :n notable conjunto de postulados como base para nuevo modelo del átomo. Leon Cooper lo ex;¡-esa bien cuando declara: "Había una cierta pIe-=:1ción al sostener 10 que era contrario a la elec:o:Ddinámica de Maxwell y a la mecánica de ~wton, pero Bohr erajoven"*_ El modelo del átomo de Bohr, aunque haya siremplazado por los más poderosos modelos . ticos de Heisenberg, Schródinger, Dirac y os, sigue siendo una forma pictórica satisfactapara introducir el concepto de estados estacio·os. El modelo de Bohr dio la primera explica. satisfactoria de la estructura atómica. y fue jarado durante los siguientes diez años por So=erfeld, Wilson, y otros. Debido a la dificuitad ~--z encontraron para hacerlo compatible con los ~ vos descubrimientos experimentales en espec-· copia, fue remplazado entre 1924 y 1926 por ~ modelo mecano-cuántico. Para corregir las fallas del modelo planetario del mo, Bohr basó su modelo del átomo de hidró~o en los siguientes postulados: El electrón gira alrededor del protón en el átomo de hidrógeno con movimiento circular uni· Íorme, debido a la fuerza de Coulomb y de acuerdo con las leyes de Newton. :... Las únicas órbitas permitidas son aquellas en ue el momento angular del electrón orbitante es múltiplo entero de h/27r = Ji Los momentos angulares de las únicas órbitas permitidas están dados por ~ Lean Cooper ,. Una introducción al significado y es• ::tura de lafúica, Harper & Row, Nueva York, 1968, p.
(12-9)
donde h es la constante de Planck y h = 1.05 X 10-34 J -seg. 3. Cuando un electrón está en una órbita permitida, el átomo no radia energía. (La teoría electromagnética clásica predice que cuaJquier carga acelerada radiará energía electromagnética). 4. Si el electrón salta desde una órbita inicial de energía E¡ a una órbita fmal de energía Ef(E, > Ef), se emite un fotón de frecuencia
I v E¡-~ El I~
(12-10)
--,
En la figura 12-4, si un electrón salta de la órbita II = 5 a la órbita n = 4, un fotón de frecuencia v = (Es - E.)/h es emitido. (Esto explica las frecuencias discretas obtenidas en el espectro de emisión). Por otro lado, si un fotón de energía Jzv = Es - E 4 incide sobre el átomo, puede ser absorbido, y un electrón saltará desde e en la órbita n = 4 hasta D en la órbita tI = 5. Este es el mecanismo responsable por el espectro de absorción.
12-4 EL MOOELO OE BOHR - ESTAOOS OE LA ENERGIA El punto de partida del modelo de Bohr (figura 12-5) es el mismo que el del modelo planetario. El primer postulado del modelo de Bohr, la aplicación de la Ley de Coulomb y de la segunda ley de Newton, da la energía total del sistema como aparece en la ecuación (12-5) del modelo planetario
E = -
1 e2 -8m,o r
Ahora con la aplicación del segundo postulado y la ecuación (12-9) se produce una notable divergencia con respecto a la física clásica. En la física clásica, el espectro de valores del momento angular L es continuo, o sea, todos los valores de L son posibles; pero la ecuación (12-9)
n=5 Fotón emitido
n = 4 B
n=3
r¡
tJ
'=
Fotón
1
ab~orbido
e
Figura 12-4 Cuando un electrón está en una de las órbitas permitidas no radiará energía electromagnética a pesar de su aceleración centrípeta, en contradicción con la electrodinámica clásica. significa que los valores del momento angular L deben ahora escogerse de lID espectro discreto de valores. Así, el momento angular está cuantizado y los valores "permitidos" fJ, Th, 3fJ, ... y h debe ser considerada como una unidad natural de momento angular. Esta situación es similar a la cuantizaci6n de la carga eléctrica en la física clásica. De acuerdo con el tercer postulado, cuando el átomo está en cualquiera de los estados cuantizados designados por el momento angular en la ecuación 12-9, no radiará energía como era de esperarse en la teoría electromagnética clásica. Estos estados, u órbitas uno-radiantes", son llamados estados estacionarios. El estado de menor energía es aquel dermido por n = 1, Y es llamado estado base o T1JJrma/, en el cual el átomo se encuentra la mayor parte del tiempo. Los estados donde Il = 2,3,4,.. son los estados excitados, porque entonces el átomo tiene más energía que en el estado base. En el modelo de Bohr, no se explica la aseveración de 130
que, cuando se encuentra en un estado estaciona· rio, el átomo no radia energía electromagnética. Esto se toma simplemente como un postulado. Es imposible mostrar experimentalmente que el electrón se mueve en W1 órbita circular alrededor del núcleo. Sin embargo, estas dificultades se remue· ven, cuando el átomo de hidrógeno se analiza en términos de la mecánica cuántica ondulatoria. Coroo ya se declaró antes, el modelo de Bohr tiene sus límites, pero es un buen modelo mecánico pan introducir los estados de la energía y otros conceptos físicos. Ahora, de la ecuación (12-9), nlí v=-
mr
y de la ecuación (12-3) la energía cinética toma 1, forma
CAPITULO 12: EL MODELO DE BOHR I
•
131
F
+8
I J
Figura 12-5 El átomo consiste de un electrón de masa m y carga -e, que gira ahededor de un protón de masaM~ m y carga +e.
iin.almente,
IE 11 -
= E" =
J, 2, 3, ... (12-11)
:;=e da los radios de las órbitas "no radiantes". ::na el estado base, n = 1 Y (12-12)
-
n;e
4
32" "o
2
2 (--\)
f¡
11
I I
(12-14)
donde el signo negativo indica que se trata de un sístema cerrado. Así, una segunda consecuencia es que la energia está cuantizada. Los únicos valores permitidos de la energía son aquellos dados por la ecuación (12-14) donde n toma los valores n =
1,2,3, _. _Usando los valores m = 9.11 X 10- 31 kg Y e = 1.60 X 10-19 e para la masa y la carga dei electrón, podemos evaluar la ecuación (12-14) para
dar es llamado el radio de Bahr. Este resultado ::oo.cuerda con el radio del átomo obtenido previa=nte de la ecuación (12-5) usando el modelo pla~lario.
De la ecuación (l2-11) (12-13)
"':.~
muestra que los radios de las órbitas de los sados estacionarios también están cuantizados y ~ están dados por 4r 1 ,9r1 y así sucesivamen? Estos radios son proporcionales al cuadrado del ·mero entero n llamado número cuántico prill~l. Ahora, si r en la ecuación (I 2-5) se remplaza
'l.
'" la ecuación (12-11), obtenemos
= _ 13.6 eV
E "
n2
para n = 1,2,3, ... (12-15)
El estado de menor energía o estado base corresponde a n = 1, Y su energía esE! = - 13.6 evo La figura 12-6 es un diagrama de TÚveles de energía que representa las energías permitidas para
el átomo de hidrógeno. Note que todos los estados desde n = 1 hasta n = = son estados ligados, ya que tienen energías negativas. Cuando n aumenta y re aproxima a n = c:o, los estados de energía se aproximan entre sí cada vez más, hasta que la diferencia de energía entre dos estados consecutivos se hace tan pequeña que la distribución da un espectro prácticamente continuo, de acuerdo con el mo-
132
•
SEGUNDA PARTE; PARTlCULAS y ONDAS
.. ==:::;:::¡=t===:¡=C:::;:::¡:::t========== ,...-m~
n=oo n=5 n=4 n=3
--rl++-----,-,--J-+---:''::'-:c'c---------
-------
E. leV) O
-0.54 -0.84
-1.5'
Estados excitados
Paschen
n=2
...+-J-CH--'--'--'---'-------------
-3.40
Salmer
2·!
\he 30h
le -:,L.!-L,- ' - ' c , - - - - - - - - - - - - - - - - -13.6 (Estado base)
~ne
Lyman
Figura 12·6 Diagrama para los niveles de energía del átomo de hidrógeno. CUal
delo planetario clásico y con el principio de corres· fM)ndencia. Por arriba de la línea dada por n = oo.
BE = E, = 13.6 eV
. tó
los estados de energía tienen energías positivas, E > O, Y el espectro de los estados es conliouo. El sistema es entonces abierto, lo que significa que el electrón es libre.
Este resultado (confirmado experimentalmente) fue usado en la ecuación (12-5) del modelo planeo tario del átomo para obtener el radio de Bohr" ~ 0.53 Á.
De la ecuación (12.14), se puede ver fácilmente que si el átomo está en su estado base. se necesitan 13.6 eV para liberar al electrón del átomo. Por lo tanto, la energía de enlace (BE) o energía de ioni-
ciones.
!.ación para el átomo de hidrógeno en su estado Jase es
Oid,
, fir En relación con el diagrama de niveles de enero iD e: gía (figura 12-6), son importantes algunas defmi· La energía de excitación E e es la energía que
debe ser surrúnistrada al átomo para elevar al elec· Irón desde el estado base hasta un estado excitado.
~ote ~spec
CAPITULO 12: EL MODELO DE BOHR I
Por ejemplo, E e = -3.40 -(-13.6) = 10.2 eVes la ~ergía de excitación para el estado n = 2 (primer "'tado excitado). La energia de ionización Ejes la energía que :ebemos suministrar para liberar al electrón del llomo cuando el electrón está en el estado base. ::"identemente, en la figura 12-6,Ei = 13.6 eVo la energía de enlace (BE), también llamada de marre, para un estado dado, es la energía que :Che ser suministrada al átomo para desalojar un ~ctrón
cuando el electrón se encuentra en un es-
_do excitado cualquiera. Por ejemplo, la BE para ,¡ estado n = 2 es de 3.40 eVo Si el átomo está en ~ estado base, la BE para ese estado es igual a la ",ergía de ionización (13.6 eV)o Cuando hablamos :e la BE sin mencionar el estado, se entiende que _ BE Y la energía de ionización tienen el mismo 12.lor númerico con resoecto a esto hemos dicho :.ue la BE para el átomo de hidrógeno es de 13.6 ,V.
• ·5 LA CONSTANTE OE RYOBERG y LAS SERIES ESPECTRALES ..:!J:lora bien, de acuerdo con el cuarto postulado de ;,Qhr, si un electrón salta de un estado inicial energía E¡) a otro estado de menor energía n f ~ergía E ), la frecuencia del fotón emitido es, a r ::mír de la fórmula de Bohr (ecuación 12-10),
v = Eí
E¡
-
=
Eí
h
e)
-
Er
2nn
::!.aIldo introducimos las expresiones de la energía .::!das por la ecuación (12-14), la frecuencia del Dón errñtido toma la forma
e·
v
=
~ 1= 641f~::eo2 (n>
- n~2)
(12-16)
•
133
por n y n f por 1, esta ecuación toma la misma forma que la ecuación empírica para la serie de Lyrnan; o si n f = 2, toma la forma de la serie de Balmer, y así sucesivamente. Por lo tanto, de esta comparación encontramos que
(12-18)
es el valor teórico de la constante de Rydberg. la ecuación (12-17) se puede escribir ahora como (12-19)
Si remplazamos los valores numéricos correctos en la ecuación (12-18), el cálculo de la constante de Rydberg R = 1.0974 X lO' m- 1 está de acuerdo con el valor experimental dado en ~a sección 12-2. Una ecuación sumamente práctica para la energía de los fotones liberada en una transición entre los estados estacionarios ni y n f se puede obtener de las ecuaciones (12-10) y (12-15), cuando se remplazan los valores numéricos de las constantes implicadas: E¡ - E f
~
13.6
(_1_ - J..) eV n/ n/
(12-20)
El diagrama de niveles de energía de la figura 12-6 representa las transiciones posibles de los estados n = 2,3,4,... al estado base n = I(serie de Lyrnan), la serie de Balmer para transiciones a n = 2 desde n = 3,4,5,... la serie de Paschen para transiciones a n = 3 desde n = 4,5,6,... Y así sucesivamente. las transiciones entre estados con energía negativa dan lugar a los espectros lineales, mientras que las transiciones entre estados con energía positiva E > O y estados con E < O dan por resultado un espectro continuo.
- fmalmente, la longitud de onda del fotón emili:r-
es
ti·
12-6 EL MODELO OE BOHR y EL PRINCIPIO OE CORRESPONOENCIA
le
c· ).
_- te que esta ecuación es similar a las de las series ",?,ctrales dadas en la tabla 12-1. Si ni se remplaza
Una hermosa aplicación del principio de correspondencia (recuérdese la sección 4-2) se puede ha·
134
•
SEGUNDA PARTE: PARTlCULAS y ONDAS
cer comparando la frecuencia de los fotones emiti·
ecuación (12-21). Para tln = 2,3,4,... obtenemos
dos cuando aplicamos el modelo de Bohr al mundo
armónicos de la frecuencia fundamentaL La conclusión es que cuando aplicamos el
macroscópico (grandes números cuánticos) con la frecuencia de revolución del modelo clásico planetario. De acuerdo con la teoría electromagnética
clásica, la última debe ser igual a la frecuencia de las ondas electromagnéticas radiadas. Según la teoría clásica. la frecuencia orbital
[ecuación (12-7) l es
~
f=
2n
J
m~
delo de Bohr (diseñado especialmente para el mundo microscópico) encontramos resultados idént~ ces a los obtenidos con los métodos clásicos. Est1 es la filosofía básica del principio de correspondencia.
PROBLEMAS
e'
4neomr3
pero los radiós de las órbitas estacionarias, de acuerdo con el modelo de Bohr [ecuación
(12-11)], están dados por n 2 ñ2 r = 4ne =,-"o-,=,-,me 2
n
l2-l Suponga que el modelo planetario describ< el movimiento del electrón en el átomo d: hidrógeno. Si el radio de la órbita del electrón es de 0.53 A, calcule (a) la frecllencil: angular del electrón, (b) su velocidad lineal (e) su energía cinética en electrón volts, (a la energía potencial del átomo en electró
r
Remplazando ésta en la expresión para la frecuen· cia obtenemos
J=
4
2
me 64n3eo 2ñ 3 n3
(12-21 )
volts, y (e) su energía total en electrón volt~ ¿Cuál es la energía núnima en electrón vol necesaria para ionizar el átomo (energía
~
enlace)?
Ahora, según el modelo de Bohr, la frecuencia del fotón emitido en una transición de ni a nf es
v = 64::;':<0'
(;;> - ;1~2)
que puede tomar la forma
12-2 Encontrando la razón de la fuerza de atracción gravitacional entre un electrón y ur.
protón y la fuerza de atracción de Coulollt entre las mismas dos partículas. muestre q1.e la fuerza gravitacional puede oespreciarse e;¡
el estudio del átomo de hidrógeno. (Si sólo estuvieran implicadas las fuerzas gravite-cionales, ¡el radio de la primera órbita d=
Bohr sería TI = 1 X 102 • millas! )_ Cuando ni y n f son muy grandes y al mismo tiempo cercanos entre sí, se pueden hacer las siguientes sustituciones:
ni - n¡ ni
+
=
dn
11¡ :: 2n; -
211
Ilf2n.2 ~ - ,,4
,
Sustituyendo éstas en la ecuación anterior, la fre· cuencia da me 4 2.6.11 - -v = 64rr3ñ3Eo 2
113
si en esta ecuación hacemos t:Yz = 1, vemos que resulta idéntica a la frecuencia clásica dada por la
12-3 En el modelo planetario del átomo, el radic de la órbita es 0.53 A y la velocidad lineal es aproximadamente 2.2 X 10· m/seg. Encuen· tre (a) la aceleración centrípeta, (b) la fuem. centrípeta, y (c) la fuerza de atracción elec· trostática entre el electrón y el protón. (d Compare las fuerzas calculadas en las partes (b) y (c). ¿Cuál es su conclusión? 12-4 (a)
Encuentre la longitud de onda en angstroms de las primeras tres
línea~
. de la serie de Lyman del hidrógeno. (b) De la figura 12-6, determine la longl.
CAPITULO 12; EL MODELO DE BOHR I
tud de onda en angstroms de la línea
Ha· 12·5 Los espectroscopistas a menudo identifican los'espectros de acuerdo con 16s números de onda defInidos porv = 1/1\ (no debe confundirse con la frecuencia v). (a) ¿Cuál es el significado físico del número de onda? (b) Calcule los números de onda en centímetros recíprocos (cm-l ) para las partes (a) y (b) del problema 12-4.
.
.Ir
I~uestre que los niveles de energía del átomo de hidrógeno se pueden describir por En = (- 27Cf>c/n 2 )R. donde R es la constante de Rydberg.
12·7 La luz de un tubo de descarga de hidrógeno usada por un espectroscopio incide normal-
mente sobre una red de difracción de 15.000 líneas/plg. Si el espectro de primer orden de la serie de Balmer muestra la línea Ha: difractada a un ángulo 8 = 23°, calcule (a) la longitud de onda de la línea Ha (línea roja en la serie de Balmer) , y (b) la constante de Rydberg en metros recíprocos (m-l ).
e ~
,. '.
12·9 La razón
n
,.
a = v,/c, donde
es la velocidad lineal del electrón en la órbita K(n = 1) del átomo de hidrógeno de Rohr, es llamada la constante de la estructura fIna. (a) Muestre que a = e 2 / 41T€ohc. (b) Sustituyendo los valores numéricos, muestre que o: = 1/137. (c) Muestre que los niveles de energía se pueden escribir como En = -a 2 mc2 /2n 2 . VI
135
12-10 Un electrón en un átomo de hidrógeno efectúa una transición desde n = 5 hasta n = 1, el estado base. (a) Encuentre la energía y el momento del fotón emitido. (b) Encuentre la velocidad y el momento del electrón en retroceso. 12-11 El tiempo de vida de un estado excitado es alrededor de 10-· seg. Calcule cuantas revoluciones efectuará un electrón en el estado excitado n = 4 antes de regresar al estado base . 12-12 Calcule las primeras tres longitudes de onda
para la serie de Paschen del hidrógeno. En que región del espectro yacen las Líneas de la serie de Paschen.
~a) (b) (e)
12·8 En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, las órbitas n = 1,2,3,... Son representadas simbólicamente por las letras K, L. M•... etc. Para los electrones en cada una de las órbitas
K, L, Y M, calcule (a) los radios, (b) las frecuencias de revolución, (e) las velocidades lineales, (d) los momentos angulares, y (e) la energía total del sistema. (1) Para cada órbita, calcule la razón v/c y decida si el tratamiento clásico está justificado.
•
12-14 (a)
(b) (e)
(d)
Para un electron que gira en la primera órbita (n = 1) alrededor de un protón, determine la frecuencia de revolución. ¿Cuál es el valor en amperes de la corriente equivalente? Calcule la densidad de flujo magnético B (en teslas = Wb/m 2 ) en el centro de esta trayectoria circular. ¿Cómo está alineada la densidad de flujo con respecto al momento angular orbital?
Indique gráfIcamente, por medio de un diagrama de niveles de energía, la energía de excitación Ee , la energía de enlace BE, y la energía de ionización E i para un estado cualquiera. Para cualquier n dada, muestre que Ei=E. +BE. Encuentre la energía de excitación para n = 4 en el átomo de hidrógeno. Encuentre la BE para el electrón en el mismo estado n = 4, y verifique la parte (b) numéricamen te.
136
•
SEGUNO APARTE: PAATICULAS y ONDAS
12-15 En el átomo de hidrógeno, un electrón experimenta una transición de un estado cuya energía de enlace es 0.54 eV a otro estado, cuya energía de excitación es 10.2 eVo (a) ¿Cuáles son los números cuánticos de estos estados? (b) Calcule la longitud de onda del fotón emitido. (e) ¿A qué serie pertenece esta línea?
12-16 Calcule la energía mínima que debe suministrarse a un átomo de hidrógeno para que pueda emitir la línea H"( de la serie de Balmer. ¿Cuántas líneas espectrales posibles puden esperarse si el electrón cae finalmente al estado base? 12-17 Encuentre la longitud de onda de de Broglie de un electrón en la órbita n = 3 del átomo de hidrógeno. En que región del espectro quedaría clasificado un fotón de la misma longitud de onda. 12-18 En la colisión inelástica de un electrón de masa m con un átomo estacionario de hidrógeno de masa M, el átomo es excitado a un nivel cuya energía es E sobre el estado base. (a) Pruebe que la energía cinética mínima del electrón debe ser K = [(m + M) jM)E. (b) Encuentre la energía cinética mínima de un electrón que efectúa una colisión inelástica con un átomo de hidrógeno en reposo y eleva al átomo desde el estado base (n = 1) hasta el segundo estado excitado (n = 3 ). (e) Resuelva el mismo problema, si la partícula incidente es un fotón. 12-19 Un fotón de energía 12.1 eVabsorbido por un átomo de hidrógeno, originalmente en el estado base, eleva al átomo a un estado
excitado. ¿Cuál es el número cuántico d-e este estado?
LECTVRA RECOMENDADA
BALMER, Johan J., "Las series espectrales del hidrógeno" en W. F. MAGIE, Vn líbro fuente de {o [{síca, Harvard University Press, Cambridge, Mass.. 1963, págs. 360-365. BANET, L., "La evolución de la serie de Balmer"_ Am. J. Phys. 34,496 (1966). BOHR, A., et al., "Papeles dados en la sesión conmemorativa Niels Bohr", Phys. Today. octubre de 1963. BOHR, Niels, Teor{a de los espectros y de la estructura atómica, segunda edición, Cambridge Uni· versity Press, Londres, 1924. Excelente para aquellos interesados en los aspectos culturales de la física. Contiene la interpretación de Bohr sobre el desarrollo de su teoria de la estructura atómica. GAMOW, G., Treinta años que estremecieron a la
[(sica. Doubleday, Carden City, Nueva York, 1963. HERZBERG, G., Espectros atómicos y estructura
atómica, Dover, Nueva York, 1946. WHITE, H. E.) Introducción a los espectros atómi-
cos, McCraw-llilI, Nueva York, 1934. YOUNG, H. D., Fundamentos de óptica y [{sica moderna, McGraw-llilI, Nueva York, 1967, Vol. 1, págs. 155-173.
13
El modelo de Bohr II
,r ..
-',
James Franck 11882-1964)
I
Originario de Hamburgo, Alemania, Franck estudió en las universidades de Ber/ln, California y Haifa. Dirigió el
Instituto Kaiser Guillermo ye/lnstituto de F(sica de la Universidad de Gotingen; fue profesor de la Universidad Jahns Hapkins V de la de Chicaga.
Estableció el principio de la constancia de las distancias entre átomos por los saltos de los electrones y descubrió la transmisión de energla en sistemas de átomos en fluorescencia. Por su descubrimiento de las leyes que gobiernan el impacto
de un electrón en un átomo, Franck y G. Hertz recibieron el Premio Nobel en 1925.
'-
Gustav Ludwig Hertz (1887-
)
Nativo de Hamburgo, Alemania,
,
./
;
\1
Hertz recibió su doctorado en flsica de la Universidad de Berlln. Ha trabajado en el laboratorio Phillips de lámparas incandescentes, fue director de Investigaciones de la Siemens, y dirigió el instituto de física en Leipzig, Alemania. En 1935 él Y J. Franck, bombardeando átomos de vapor de mercurio con electrones, proporcionaron una evidencia temprana e independiente de los niveles de energla discretos en los átomos, confirmando la teorla de Bohr de los espectros atómicos. Recibió, con Franck, el Premio Nabel de f/sica en 1925.
13-1 13-2 13-3 13-4
ATOMOS HIDROGENOIDEOS CORRECCION PARA EL MOVIMIENTO NUCLEAR EL EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ EL EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ-INTERPRETACION 137
la segunda ecuación básica es la misma ecuaciéli del momento angular utilizada cuando la teoría . Rohr se aplioó al átomo de hidrógeno,
13·1 ATOMOS HIDROGENOIDEOS Como hemos visto, la teoría de Rohr es Jinútada, y hasta ahora sólo la hemos aplicado al átomo de hidrógeno. Sin embargo, la utilidad de la teoría de Bohr se puede extender, considerando los átomos hidrogenoideos. Estos son átomos con cargas nucleares Ze' pero en los que s610 un electrón gira
alrededor del núcleo. Incluyen átomos como el helio ionizado una vez He (en el cual Z = 2), el litio ionizado dos veces ti2 • (Z = 3), etc. La ecuación de la fundamental segunda ley de Newton en este caso es (H-l)
Tabla 13-1
E• =
La tabla 13-1 da una lista de ecuaciones úr
para el hidrógeno y para los átomos hidrogen deos que pueden ser comparadas. Note que dond. quiera que e 2 aparece para el átomo de hidrógen simplemente se le remplaza por Ze 2 para los á mos hidrogenoideos. Para el mismo valor del número cuántico n,
radio de la órbita electrónica en
Hidrogenoideos
4nE on 2/í2
me'
me'
)
- zl3·6eV n
E•
1
=
;:= 138
U.1
átomo bid
genoideo es menor que el del correspondiente en átomo de hidrógeno por un factor l/Z . Los nive de energía para la misma n se hact"n más negati
Comparación del hidrógeno y de los atomos hidrogelloideos según la teoría de Bohr.
Hidrógeno
'n =
L=mur~nli
CAPITULO 13: EL MODELO DE BOHA 11
n~5 n=4
=::::;:::¡=:==
n= 3
--..,.-++------
n~2
...,.++-1-----
n~l~~~----
n= 8 n=7 n= 6
Es
=
139
--0.85 eV
----..,....+-1-- E6 = ~1.51 eV
n = 5
---,.+H-- Es
=
-2.08 eV
n = 4
----.++-+-1-- E
4
=
-3.40 eV
n= 3
--.-+-+++-f--
E3
=
-6.04 eV
n = 2 _--"Ll.J..,.JU--7,_ _ E2
=
-13.6 eV
Serie de Lyman Hidrógeno
=====:::;::::¡::==
•
Serie de Pickering Helio ionizado una vez (He+)
Figura 13-1 Comparación de los niveles de energía del H y del He+.
?Jr un valor de 1/Z2. En particular, para el helio ionizado una vez He+(Z = 2). la energía del estado ""-se esE, =_(13.6/1 2 )22 =-54.4eV.Paran= 1~ el nivel de energía para el He+ es E'2 = 13.6/22 )22 = - 13.6 eV, que coincide con el E, = - 13.6 eV del estado base del hidrógeno. Tam. ién, para el He, E 4 = - (13.6/42 )22 = - 3.40 ¿V, que coincide con el estado n = 2, del hidrógeiJo,E 2 = - 3AOeV. Por lo tanto, una transición de n = 2 a n = 1 en el hidrógeno libera un fotón de la
misma longitud de onda que una transición de n = 4 a n = 2 en el He+. Estas transiciones se ilustran en la figura 13·1. Muchas líneas de la serie Lyman del hidrógeno (transiciones a n = 1) coinciden con algunas de las líneas de la serie Pickering (transiciones a n = 2) del He-+; esta fue una fuente de confusión para los primeros espectroscopistas. La constante de Rydberg R, Y por lo tanto el número de onda k = l/A., sonZ2 veces mayores en el He+ que en el H para cualquier transición dada (ni -+ n,).
140
.
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
+
L = Munr n
13-2 CORRECCION PARA El MOVIMIENTO NUCLEAR
y estas dos ecuaciones dan
r. (M ~ m) r
(13-5)
ro ~ (M: m) r
(13-6)
=
'. Núcleo
f!-;------Jtm \_
Masa reducida,
I------r~
¡J =
mm:~
(13-7'
Electrón ~
-l
'. ~ (M~m)' '" ~ (M ~ m)' Figura 13-2 El electrón y el núcleo giran alrededor de su centro de masa comun. La aplicación del segundo postulado de Bohr pro-
porciona ahora el momento angular con respecto al centro de masa como
mwr/ = nn
(13-8
'n 'e
Al sustituir las expresiones para y dadas po: las ecuaciones (13-5) y (13-6) en la ecuacióc (13-8) dan
II'úJr
2
~
(13-~
nlí I
donde 1'-
De la definición de centro de masa, (13--4)
+
L = Mwr n 2
(13-3)
I---r" -J
nn
donde un = wr n y u e = w'p. son las veloddadei lineales respecuvas del núcleo y del electrón. l..é: ecuación (13-7) se puede escribir
Hasta ahora, en la teoría de Bohr se ha supuesto que el núcleo masivo está esencialmente en reposo y que el electrón gira alrededor de él. Una imagen más realista del átomo de hidrógeno, mostrada en la figura 13-2, sitúa al electrón de masa m y al protón de masa M girando ambos alrededor de su centro de masa común c. Si re Y'n son las distancias respectivas del electrón y del núcleo a su centro de masa. La figura 13-2 muestra que
v"
mUere =
mM m+M
(13-1G,¡
es llamada la masa reducida. la ecuación (13-9) es similar a la ecuaClOn (12-9), L = mvr = nh, que fue desarrollada ignorando el movimiento del núcleo. Esta similitud esmás evidente si suponemos un estado estacionario y escribimos L = mwr 2 = nn (13-11) ya que v= WI'. La ecuación básica (13-9) es ahora idéntica a 1, ecuación (12-9), excepto que la masa del electrón se ha remplazado por la masa reducida J.1. Se puede ver fácilmente que la ecuación (13-11) es sólo un, aproximación, ya que M > m y l' = mM/Cm + M ~m.
La energía potencial del sistema es
1 é v= - --4nEo r
y la energía cinética es
K =
tmv/ + úJ2
= _
(mr
2'
2
tMv n 2
+
Mr 2) o
que después de ciertas simplificaciones se puede escribir en la forma
I
K =
tl'úJ 2 r 2
(13-12)
Ahora, aplicando la segunda ley de N"wton al movimiento del electrón, podemos escribir
'-
CAPITUL013; ELMODELDDEBOHRlt
e2
V 2 m~
-
--2 41[E o r
•
141
(13-16)
r.
usando la ecuación (13-5),
e2 r2
1 41TEO
Así, la longitud de onda del fotón es
mM (m
+
2
M)
ror (13-17)
e'
1
---
(13-13)
4neo r 2
con la constante de Rydberg dada ahora evidentemente por
::¡, la ecuación (13-9), podemos concluir que
1 4nBo
I
IR L
e' = Jl (nfz)2 Jir 2 r
p.
J-lf4 = c:--~--o;3
64n
/í3 E/
j
(13-18)
c
r2
La longitud de onda se escribe ahora más correctamente en la forma
kls radios de las órbitas estacionarias son
4neon21í2 ----
(13-14)
/-le'
!_R(l }. -
fJ
nf 2
-
1)
n/
(13-19)
La razón de R¡l a la constante de Rydberg
"'" se identifica con la ecuación (12-ll), donde m
=- :emplazada por J.1.
R(recuérdese la ecuación 12-18), con corrección para el movimiento nuclear, es
Combinando las ecuaciones (13-l2) y (13-13)
l' m
:enemos la energía cinética
K=
8rr60 r
~
energía total, cinética más potencial, toma la =a E
~
e'
1
----8nBo r
cuando r = rn de la ecuación (13-14) se susti-5 t
1 < 1 1 + m/M ---
(13-20)
Una comparación de los niveles de energía con y sin correcciones para el movimiento nuclear dados por las ecuaciones (13-15) Y (12-14), respectivamente, muestra que para el mismo valor de n, los niveles de energía calculados con las correcciones son menos negativos que los niveles correspondientes sin correcciones; o sea,
En (con corrección) > En (sin corrección)
,
E=
(13-15)
Aplicando la fónnula de Bohr para uua transi.:::éL entre un estado inicial de energía E i y un =
E f ) obtenemos la fre.:::Ef!cia del fotón emitido en la forma v = =- = E i
A
E¡
-
Consecuentemente, los niveles de energía con las correcciones están ligeramente desplazados en la dirección positiva, como se muestra en la figura 13-3. Una comparación de las ecuaciones (13-19) y (l2-l9) también muestra que
[~ (con corrección) ]
<
[~ (sin corrección) ]
h
::uando se usa la expresión para la energía dada • 110:
-
la ecuación (13-15) obtenemos
Esto significa que cuando se toman en cuenta las correcciones anteriores, las longitudes de onda cal-
142 .
SEGUNDA. PARTE: PARTICULAS y ONOA.S_
culadas de los fotones emitidos son ligeramente mayores. Un nuevo cálculo de la constante de Rydberg da ahora
R
~
1.0973731
R p = 1.0967758
X X
m
107 m -1 (sin corrección) 7
10 m-
1
(con corrección)
E_
~-
É,
É,
E,
n=5 n=4
E,
E,
n=3
E,
E,
y un neutrón. Ya que la masa del neutrón es apeo nas ligeramente distinta de la del protón. la mas::reducida del deuterio es I'D = 1
+
m/2M
(13--21
lo que hace a I'D > 1'. Ya que la constante de Rydberg es d.iIectamente proporcional a la masa reducida, es evidente que la constante de Rydberg para el deuterio es ligeramente mayor que para el hidrógeno; o sea, RJ'D > R¡;- Esta pequeña discre· pancia jugó un importante papel en el descubrimiento del deuterio (hidrógeno pesado) por el físico estadounidense H. C. Urey. Este descubrimiento le mereció el premio Nobel de química en 1934.
------n ~ 2 - - - - = E, 13-3 EL EXPERIMENTO DE FRANCKHERTZ -INTERPRETACION
El
------E,
n=l-------
(a) Sin corrección
(b) Con corrección
Figura 13-3 Niveles de energía del átomo de hidrógeno con y sin correcciones para el movimiento nuclear. Los niveles de energía en (a) están hechos a escala. pero las diferencias mostradas en (h) se han exagerado para que puedan apreciarse. El átomo de deuterio in, un isótopo del hidrógeno. tiene un núcleo compuesto de un protón
Una demostración directa e impresionante de 12 existencia de los estados estacionarios discretos postulados por la teoría del átomo de Bohr fue proporcionada. por primera vez, por un experi· mento diseñado por James Franck (1882-1964) j Gustav Hectz (1887). Para una mejor comprensión de las conclusiones de este experimento. revisemos brevemente la excitación y ionización de los átomos en los niveles uópticos". En un átomo pesado tal como el mercur" 2g~Hg.los electrones en las capas interiores del átomo son difíciles de desalojar, debido a la fuerte atracción electrostática del núcleo. Tienen energías de enlace típicas en el rango de unos pocos KeV. Los electrones exteriores (de valencia) están par· cialmente resguardados del núcleo por los electr~ nes de las capas interiores que actúan como panta· lla. Así. la energía de enlace de estos electrones ~ sólo de unos pocos eVo En el experimento de Franck-Hert7.. sólo están implicados los electrones. exteriores de valencia, y el nivel de energía corres· pondiente a uno de estos electrones se muestra en la figura 13-4. Estos niveles de energía se llaman usualmente niveles ópticos, porque cualquier transición entre estos niveles involucra fotones con longitudes de onda en la región visible o casi visible del espectro.
CAPITULO 13: EL MODELO DE eDHR 11
----------E,
4mM
AK _
- , - - - - r - - - EH = -5.54 eV
+
(m
K
M)2
=4m K (21
111 E" G _-J~ra
•
A=~=2536A E.
L-
E
= G
-10.42 eV
13-4
h..les ópticos de energía para el electrón de va~"Cia de12g~Hg
En la figura 13-4, la energía del electrón de rlrocia en el estado base (G) es Ea = - 10.42 eVo ~ otros niveles de energía, H , I. etc., son estados :riiados. El primer estado excitado (H) tiene una :;:ergía EH = - 5.44 eV.I es el segundo estado =::itado, J es el tercer estado excitado, y así suce:ln.mente. La energía requerida para elevar al elec.!l desde el estado base hasta el primer estado ~tado H (línea 1 en la figura 13-4) es
-5.44 - (-10.42) eV 4.88 eV es llamada primer poteneinl de excitación del :::iZJ"curio. Si por alguna razón se eleva el átomo de curio al primer estado excitado, el electrón [erá en un tiempo muy corto (alrededor de 10-' ~ al estado base (línea 2). En esta transición será :::::itido un fotón (3) de energíaEe = 4.88 eVy de ~tud de onda "1.- = helEe = 2536 1\.. De la mis-- figura 13-4, la energía de ionización es 10.42
•
(13-22)
M
13)
--
= 4.88 eV
143
Considere el caso de un haz de electrones lentos que viajan a través de vapor de mercurio a baja presión. Si la enerfÚa cinética de los electrones es menor de 4.88 eV, la colisión será elástica; o sea, la energía cinética translacional será conservada. Los electrones perderán algo de energía cinética de acuerdo con la expresión*.
J----------E,
H
•
donde m es la masa del electrón, M la masa del átomo de mercurio, y K = Y7mtf' es la energía cinética del electrón incidente. Esta pérdida bJ{ de energía cinética es muy pequeña, ya que m <{ M. la energía f:j[( es transferida al átomo de mercurio y aparece como su energía de retroceso, representada esquemáticamente por
P
+
electrón lento K I < 4.88 eV
A
-+
átomo en reposo
A'
+
átomo con algo de 8nerg(a de retroceso ,li.K
P
K2
electrón, más lento = K 1 - li.K
Ya que t:J( es tan pequeña, el electrón experimentará muchas colisiones a lo largo de una trayectoria en zigzag antes de llegar al reposo (figura 13-5). Sin embargo, si la energía cinética del electrón es mayor que EH - Ea = 4.88 eV, puede ocurrir lUla colisión inelástica, en la cual parte de la ener· gía cinética se transfiera al átomo en forma de energía interna, elevando al electrón desde el estado base al primer estado excitado, EH' La energía cinética del electrón después de la colisión inelástica es K 2 = K, -
(EH - E G) = K, - 4.88 eV
La situación se representa esquemáticamente en la forma .Vec D. Halliday y Ro- Resnick. Física
e ingeniería" Wiley, Nue'Va
!JaTa
estudidntes de ciencia
York, 1960, Cap. 10 •
144
.
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
Atomo de Hg en retroceso (M)
(a) Antes
(b) Después
o o o
o
o
~
El electrón se vuelve muy lento (térmico)
Figura 13-5
Colisiones elásticas de electrones de energíaK¡ < 4.88 eV con un átomo de mercurio en reposo. La energía de retroceso de un átomo es 6.K = K ¡ - K 2 , donde K 2 < K 1 es la energía cinética de un electrón después de la colisión. El electrón describe una trayectoria en zigzag en el vapor de mercurio.
f3 K 1 > EH - E G K1 >
o 4.88
eV
+ A --+ A* + f3 átomo en repo- átomo excitado K 2 = K 1 - (EH so y en el estado base hv A + fotón emitido estado base
L
J. ~ 2536
A
13-4 Un segundo proceso tiene lugar inmediatamente después de la colisión (la vida de un estado excitado es cerca de 10--8 seg). El átomo excitado A * regresará al estado base con la emisión de un fotón de energía EH-Ea = 4_88 eV (ver figura 13-4) y longitud de onda A = 2536 Á_ Si K 1, la energía del electrón incidente, es apenas ligeramente mayor que 4.88 eV, entonces K 2 < 4.88 eV, y ya no pueden tener lugar más colisiones inelásticas. Cualesquiera otras colisiones serán elásticas. Si K ¡ > 4.88 eV, entonces K 2 > 4.88 eV y pueden tener lugar otras colisiones inelásticas.
~ EG )
EL EXPERIMENTO DE FRANCKHERTZ-INTERPRETACI DN
Los mecanismos discutidos atrás fueron verificadO'J experimentahnente por Franck y Hertz en 19I1 usando el arreglo experimental mostrado esquenrlticamente en la figura 13-6(a). El tubo T de lt figura contiene vapor de mercurio a baja presión ~ a una temperatura de 150" aproximadamente . .E. tubo contiene un filamento F, alimentado por 11 batería e, una rejilla G, Y una placa P. Entre e:. fIlamento y la rejilla existe un potencial aceleradm Va que puede variarse entre O y 60 V. Entre la placa P y la rejilla G hay un pequeño potencia:
F
:: L q
CAPITULO 13: EL MODELO DE BOHA 11
;:?tardador V, (alrededor de 0.5 V). Finalmente, ::n electrómetro D muy sensible en serie con la :faca mide la corriente de placa que es cerca de _0-" A.
Z""d'r&
-.e.:curio
1
P i
G
T
Vr
-; '" -
®f--~B T
+---+-1----l
I
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•
"O
ee • 8 ~
o
---c---'---------"------L--:.
10
15 20 25 30 35 Potencial acelerador, Va (V)
•
145
Cuando el potencial acelerador Va es aumentado, la corriente de placa aumenta como se ve en la figura 13-6 (b) _ A medida que Va es incrementado, la corriente de placa aumenta en cualquier tubo electrónico, con la excepción de que ocurre una merma significativa en la corriente de placa cada vez que el potencial acelerador aumentado aproximadamente 5 V. Algunos de los electrones con energías ligeramente mayores que 4.88 eV experimentarán colisiones inelásticas y quedarán con tan poca energía que no podrán alcanzar la placa, debido a la presencia del potencial retardador. Si Va es incrementado por 5 V adicionales, algunos de los electrones que quedaron casi sin energía cinética experimentarán otra colisión inelástica y no alcanzarán la placa. Esto explica el segundo valle a un potencial aproximadamente 5 V mayor que para el primer valle. Por lo tanto, este segundo valle corresponde a aquellos electrones que han experimentado dos colisiones inelásticas; el tercer valle corresponde a tres colisiones inelásticas, y así sucesivamente. Cada vez que hay una colisión inelástica, los átomos de mercurio serán excitados y regresarán al estado base por la emisión de fotones. Usando técnicas espectroscópicas, se encontró que la longitud de onda de la radiación procedente del tubo era de 2536 A, correspondiente a transiciones del primer estado excitado del mercurio al estado base. Este resultado, junto con el hecho de que la diferencia en energía entre dos valles consecutivos es cerca de 4.9 V, muestra de forma muy convincente la existencia de niveles de energía discretos en el átomo de mercurio. También es posible, usando voltajes diferentes y una mejor resolución, medir la excitación de otros niveles de energía atómica. Es perfectamente comprensible que a Franck y Hertz se les concediera el premio Nobel de física (i 925) por este trabajo.
lb}
;;gula 13-6
r
a) Montaje experimental para el experimento de ?:anck-Hertz. (b) Corriente·de placa contra el vol~e acelerador en el experimento de Franck-Hertz. :.z separación entre dos picos consecutivos cuales:;mera es alrededor de 4.9 V.
PROBLEMAS
13-1 Sin tomar en cuenta las correcciones debidas al movimiento del núcleo, (a) calcule para el el valor de la helio ionizado· una vez constante de Rydberg, e (b) los niveles de
He
146
•
SEGUNDA PARTE: PARTICULAS y ONDAS
energía para n = 1,2,3, etc_, (c) Dibuje un diagrama de niveles de energía para el He+ junto a otro del hidrógeno_ ¿Qué concluye usted de la comparación de estos diagramas?
13-9 Para el átomo de positronio (ver capítulo 9), calcule (a) la masa reducida, (b) la constante de Rydberg, y (c) algunas líneas de la serie de Balmer y el1ímite de la serie.
13-2 Repita los cálculos del problema 13-1 usando litio doblemente ionizado L¡2 +. 13-3 Aplique la teoría de Bohr al He y calcule para cada 9rbita n = 1,2,3, (a) el radio, (b) la frecuencia de revolución, (c) la velocidad lineal del electrón, (d) la energía total del electrón, (e) el momento angular, y (l) la razón v/e, y decida si puede usarse o no el tratamiento clásico.
13·10 Cuando se usa gas de hidrógeno en el experimento de Franck-Hertz, figura 13-6(a), la primera y segunda líneas de Lyrnan aparecen cuando la energía de los electrones incidentes excede la energía cuántica de la segunda línea de Lyrnan, pero es menor que la de la tercera. ¿Cuál es el potencia! acelerador de los electrones que producirán las primeras tres líneas de la serie de Lyman?
13-4 Repita el problema 13-3 usando Li 2 +.
13-11
13-5 (a)
(b)
Calcule el primero y segundo potenciales de excitación para el helio ionizado una vez He. Qué longitudes de onda serán emitidas cuando el He regrese al estado base desde estos estados excitados.
"\
13-6 El tritio ¡ H, un isótnpo del hidrógeno con un núcleo de un protón y dos neutrones, e stá mezclado con hidrógeno ordinario. ¿Cuál es la resolución del instrumento espectroscópico que separará apenas las líneas Ha observadas? 13-7 Determine la longitud de onda de las primeras dos líneas del helio ionizado una vez, que corresponden a las primeras dos líneas de la serie de Balmer. 13-8 Un tubo como el de la figura 13-6(a) contiene gas de hidrógeno en lugar de vapor de mercurio. Suponga que sólo están implicados los primeros potenciales de excitación y determine (a) el potencial acelerador de los electrones antes de que pueda observarse el primer valle en la corriente de placa, e (h) la longitud de onda de la luz producida por el tubo.
¿Cuánta energía se requiere para liberar completamente un electrón del helio ionizado una vez, si el electrón se encuentra originalmente en el estado base? ¿Si el electrón está en el estado n = 3?
LECTURA RECOMENDADA
BORN, M., Problemas de Dinámica atómica, M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1926.
DIRAC, P. A. M., "La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación", Proc. Roy. Soco 114,243 (1927). DIRAC, P. A. M., "La teoría cuántica de los electrones", Proe. Roy. Soco 117,610 (1928). FOOTE, P. D., MEGGERS, W. F., y MOHLER, F. L., Astrophys. J. 55, 145 (1922). Un estudio detallado de los potenciales de ionización para el sodio y el potasio. FRANCK, B. J., Y HERTZ, G., Verhandl. Deut. Physik Ces. 16, SI2 (J914).En alemán, no existe traducción disponible en inglés. MELIS SINOS, A., Los experimentos en la fisica moderna. Academic, Nueva York, 1966, págs. 8-18.
CAPITULO 13: El MODELO DE BOHA 1I
?AULING, L., YWILSON, E. B.,lntroducción a lo. --..ecánica cuántica. McGraw-Hill. Nueva York, 34. .AULING, L., y GOUDSMIT, S., La estructura de 7S espectros lineales, Mcgraw-Hill, Nueva York, _ 35.
.
147
SOMMERFELD, A.,Ann, Physik 51,1 (l916). En alemán, no hay traducción al inglés. SOMMERFELD, A., Mecánica ondulo.toria, Methuen, London, 1930. WILSON, W., PhiL Mag. 29, 795 (i 915).
Tercera parte
El átomo
Fue realmente lo más increíble que jamás me haya ocurrido en mi vida. Casi tan increíble como si ustedes dispararan un proyectil de 15 pulgadas contra una hoja de papel y regresando les pegara.
ERNE5T RUTHERFORD Antecedentes de la ciencia moderna, 1940
Esta cita es un comentario de Rutherford a 105 resultados de 105 experimentos de Marsden sobre la dispersión de partlculas cr por núcleos de oro. El análisis de Rutherford de las causas de tan poco usuales dispersiones condujo a su "descubrimiento" del núcleo del átomo. No pasó mucho tiempo antes de que Bohr postulase el modelo del átomo "moderno". La ecuación de Schr6dinger y la mecánica cuántica refinaron aún más el modelo del átomo hasta al-
canzar
105
conceptos que usamos hoy. 149
14
La ecuación de Schrodinger 1
Erwin SchrOdinger (1887-1961)
Nacido en Viena V educado en la Universidad de Viena, Schr6dinger sucedió él Max Planck como profesor en
la Universidad de Berlin 11927-19331. De 1940 a 1955 fue profesor en el
Instituto de Estudios A vanzados en Dublin_ A principios de 1920
mostró que la mecánica ondulatoria y la mecánica matricial de Heisenberg son equivalentes. Sus hallazgos colocaron la teoná cuántica sobre una nueva base y constituyeron los fundamentos sobre los que se
construyó/a teoria atómica. En 1933 recibió el Premio Nobel junto con P. A. M. Dirac por su trabajo sobre
la mecánica ondulatoria V la estructura atómica.
14-1 14-2 14-3 14-3(a) 14-4
LA RADIACION DEL CUERPO NEGRO FUNCIONES DE ONDA LA ECUACION DE SCHRÓDINGER CORRIENTE DE PROBABILIDAD LA ECUACION DE SCHRÓDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO 151
14-1 LA RAOIACION DEL CUERPO NEGRO Hemos visto que la descripción del movimiento de un cuerpo, dada por la mecánica clásica, es inade· cuada .cuando la velocidad de un cuerpo se aproxima a la velocidad de la luz. Para este caso, las limitaciones de la mecánica clásica nos llevan a adoptar la mecánica relativista. Otra limitación de la mecánica clásica aparece cuando estudiamos materiales de dimensiones muy pequeñas-dentro del mundo microscópico de la estructura atómica y nuclear y de las partículas elementales. Es aquí donde la exitosa mecánica cuántica, y su versión moderna, la teoría cuántica del campo, se hacen cargo a partir de enfoques clásicos. Podemos rastrear el origen de los conceptos cuánticos hasta alrededor de 1900, cuando existía un enigma no explicado, relativo a las longitudes de onda del espectro de la luz emitida por los cuerpos sólidos calentados. A pesar de los intentos de notables físicos de aquel tiempo, la sola teoría clásica no pod ía explicar adecuadamente la forma de la curva de la potencia radiada por un cuerpo negro como función de la longitud de onda. El concepto idealizado de cuerpo negro, un cuerpo teórico que absorbe toda la luz de cualquier longitud de onda que incide sobre él, fue concebido para simplificar el problema. Este concepto hace a un lado los parámetros que dependen de la clase parti152
cular de sólido que emite la luz. Una aproximación experimental consiste en usar un pequeño agujero en la pared de una cavidad que se calienta (figur, 14-1). La luz emitida a través de este agujero e, casi igual a la que sería emitida por un cuerpo negro ideal, calentado. Como sabemos que la luz tiene carácter ondulatorio, es razonable suponer que la luz en el cuerpo negro sea emitida por osciladores armónicos. Pode· mas construir cuidadosamente un modelo que pero mita a estos "osciladores" tener cualquier frecuen· cia y que a la luz que hay dentro de la cavidad del cuerpo negro parezca como ondas estacionarias ex· tendiendose de pared a pared. Este modelo condu~ a la ley de distribución de Rayleigh-Jeans. De acuerdo con la ley de Rayleigh-Jeans, el
"
1.
_ 8rrkT d), ),4
(14-1
donde px es la densidad de energía por unidad de longitud de la radiación, en un pequeño rango d). de longitudes de onda centrado en la longitud de onda particular A, T es la temperatura absoluta, y k es la constante de Boltzman _Se encontró que esta ley describía el espectro de la radiación del cuerpo negro muy bien para grandes valores de A; pero se puede ver que con longitudes de onda muy cortas, ~
1.
CAPITULO 14: LA ECUACION DE SCHRODINGER 1
•
153
Radiación atrapada dentro de la cavidad
Radiación incidente
Orificio de entrada 1
1
, ,
Figura 14-1 El pequeño orificio de entrada a una cavidad de forma irregular actúa como un cuerpo negro porque absorbe la mayor parte de la radiación que incide sobre él. El orificio mismo es el cuerpo negro.
)
)
1-
,1
x,-
,
le ).
• ¡.
:o particular si las longitudes de onda son arbitraria· zente cortas. la densidad de energía PA se vuelve y grande y se aproxima al infinito. Esto obvia~nte no sucede, ya que sólo una cantidad fija y - °ta de energía es radiada por unidad de tiempo _ r el cuerpo negro, que sólo contiene una canti· "d fija y finita de energía_ En esta encrucijada en el desarrollo de la ría, Max Planck hiw las siguientesTadicales sursiciones: Los osciladores en el cuerpo negro no emiten luz continuamente sino sólo en el proceso de cambio de sus amplitudes; una transición de una amplitud mayor a otra más pequeña da por resultado la emisión de luz, mientras que una transición a una amplitud mayor constituye el proceso de absorción de luz por el oscilador. .:. Un oscilador puede emitir energía al campo de radiación u absorberla de él en unidades de energía llamados cuantos cuya magnitud es hv. donde h es una constante (ahora llamada de Planck) y v es la frecuencia del oscilador. ::sras suposiciones condujeron a Planck a la si-
guiente ley de distribución de la energía*: p, dJ.
(14-2)
donde el .= 2nc 2 h y c 2 = hcjk son constantes (ver figura 14-2). Aquí el término exponencial en el denominador hace que la densidad de energía tienda a cero para longitudes de onda extremadamente cortas. Esta es la distribución que se observa en las mediciones de laboratorio de los espectros del cuerpo negro. La suposición de Planck de que la radiación interacciona con la materia a través de unidades o cuantos de energía !Iv y no por una absorción continua, füe usada por Einstein en 1905 para explicar con éxito el efecto fotoeléctrico. Se ha mostrado que la luz, de la que ya hemos apuntado que despliega muchas propiedades ondulatorias como la difracción y la interferencia, tiene también propiedades corpusculares, al mostrar que -La ley de distribución de energía de Planck fue presen· tada el 19 de octubre de 1900 ante la Sociedad Física de
Berlín.
154
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
su energía es transportada en pequeños y discretos paquetes de energía hv. La teoría especial de la relatividad nos obliga ahora a asociar una masa efectiva hv/c2 y un momento p = h/"A = hvlc con cada fotón. Experimentos adicionales con haces de luz muy débiles en intentos por trabajar con fotones aislados, y con haces muy estrechos para investigar la cuestión de posibles dispersiones laterales de un fotón a medida que viaja en un haz, vinieron a comprobar el modelo del fotón. Se encontró que un fotón no se dispersa, sino que permanece pequeño en dimensiones laterales todo el tiempo. Es· tos experimentos fueron coronados por el descubrimiento de A. H. Compton (ver capítulo 8) de que los fotones de rayos x son dispersados por los electrones como si fueran pequeñas partículas elásticas de masa efectiva hv/c 2 y un momento hv/c. La naturaleza dual de la luz fue verificada por observaciones experimentales, e incorporada dentro de una teoría física tan moderna como la electrodinámica cuántica. Podemos preguntarnos, si un paquete de enero gía radiante (un fotón) tiene algunas propiedades típicas de una partícula material, cuando una partícula (tal como un electrón) se mueve, ¿no tendrá también propiedades asociadas con una "'frecuen· cia" y, por lo tanto, con una longitud de onda? La ~
respuesta a esta pregunta es afirmativa, como probó en 1927 con el experimento de Daviss Cermer (Capítulo 10), en el cual se encontró patrón de difracción cuando una corriente de r( dos electrones caía sobre la superficie de un cris Este concepto se desarrolló entre los físicos en primeras décadas del siglo veinte, especialme después del éxito de la teoría de Bohr, que apliC!ba las suposiciones de Planck a los niveles de engía de los átomos y conducía a misterios aún ~ profundos. Por ejemplo los niveles de energía . helio neutro no podían obtenerse con la teoría Bohr, mientras que los del hidrógeno ajustab perfectamente. El concepto de de Broglíe de una longitud onda A = h/p asociada con un electrón de mame:. to p probó sr.r de utilidad inmediata, al discutir I estados de la energía y el momento de los electrcnes en los átomos. Proporcionó una formulacidel problema, en el cual los estados fijos y defir.idos de la energía en un átomo están asociados caL las longitudes de onda de de Broglie de los electro-. nes en el átomo. En estos estados la onda del elettrón es "estática" o "estacionaria" en su distribución alrededor del núcleo. Posteriormente, le. experimentos verificaron las longitudes de onda d= de Broglie para protones, neutrones y átomos.
\
j
\
~
Ley de Planck
.~
i:'
\ \
\
•c • •
\ \
~
\
"O
."~•c o
\ Ley de Rayleigh-Jeans \ \ \
PtJntos experimentales
o
,,
,,
....
"", Longitud de onda
Figura 14-2 La gráfica indica cómo concuerda con el experimento
la ley de distribución de la energía de PI.ock, basada sobre la idea de osciladores cuantizados.
CAPITULO 14: LA ECUACtON DE SCHROOINGER I
le
".
•
\...l"ora asociamos una onda de de Broglie a cual~ier partícula u objeto material. La dualidad ondulatorio·corpuscular exhibida _ r las partículas y la radiación no representa un ::onfiicto, como se supuso originalmente: ahora .:oncebimos ambas formas de comportamiento li.Jlplemente como manifestaciones de la materia. :..os cuantos descritos por Planck representan uni· :::!des discretas de energía, dadas por la ecuación 10·1) en la forma E = hv .=ntonces, improbable como era para muchos en .uel tiempo, Bohr propuso que los niveles de .::.ergía de toda la materia son de esta misma foro :=3. En el caso particular de un fotón, hay una da electromagnética asociada, para la cual la amo ~ \Ud del campo electromagnético está dada por _a función -VE (x, t). El campo electromagnético ~ la fuente de información acerca de cantidades :!:i concretas como el momento lineal y la energía :r un fotón. En general, para cualquier partícula _da, ya se:a un fotón o un electrón, hay un campo ~terial asociado cuya amplitud está dada por una =:.nción 'Ir (x, t), conocida como función de onda. - campo material es también la fuente de .mfor· ~ción de cantidades tales como el momento ti221 Y la energía de partículas, tales como los elec_ nes o las partículas a. La frecuencia y longitud 2 onda asociadas con el campo material son de ter..i!ladas a partir de v = EJh Y A = hJp respectiva· =ente.
intensidad de una onda es proporcional al cua::ado de la amplitud de la onda. De aquí que la I::.ensidad del campo Jruiterial asociado a una par· rola sea proporcional al cuadrado de la amplitud • ~", t) dei campo material. Ya que la función de da puede ser compleja (puede contener números :nmplejos de la forma a + ib donde i = -J- 1), la "ensidad es proporcional a :::.....!
1'I'(x, t JI 2
= '1"'1'
- la cual '1'* es el complejo conjugado de '1'.
114·31
155
¿Cuál es el significado físico de la [unción de onda? ¿Qué característica del carácter corpuscular de la materia puede ser medida por la función de onda? Se encontrará que la función de onda es una cantidad física, tanto como lo es el campo eléctrico o el magnético. La función de onda debe describir algo acerca de la localización de la partícula en el universo espacio-tiempo, ya que es más probable que la partícula esté localizada en aquellos lugares en que la intensidad es grande. Max Born le ha dado el siguiente significado: La función de onda tiene una interpretación probabilística y ¡,¡, P es proporciona: a la probabilidad por unidad de longitud de encontrar a la partícula en un punto y en un instante dados. La probabilidad de encontrar a la partícula dentro de un elemento de longitud dx es
'1'*'1' dx
(14-4)
Más precisamente, esta expresión es normalizada en la forma
(14-5)
ya que la probabilidad de encontrar a la partícula en aiguna parte es 1 (esto representa certidumbre). En el caso más general, '1' = '!'(x, y, z, t) y '1'*'!' dx dy dz es la probabilidad de encontrar una partícula en un elemento de volumen dv = dx dy dz y
r~ r~ r~ '1'*'1' dv -
'+2 FUNCIONES OE ONOA
•
1
Debido a la relación de incertidumbre, Jos principios deterrninísticos de la mecánica clásica deben ser abandonados. O sea, no podemos predecir exactamente el movimiento subsiguiente de la partícula, porque la posición y la velocidad de la partícula no pueden ser medidas simultáneamente con precisión absoluta. Por lo tanto, en la mecánica cuántica no podemos hablar de la trayectoria de una partícula. Lo único que podemos hacer es evaluar la probabilidad por unidad de volumen de encontrar una part ícula en una posición dada y en un tiempo dado.
156
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
(14-6)
En esta ecuación, mo es la masa de reposo, K
=
p2/2mo es la energía cinética clásica, y p es el momento lineal de la partícula. Note que ésta es tuta forma no relativista de la energía, y que no se ha incluido la energía de reposo E o = fnoc2 . La velocidad de grupo del paquete de ondas, a partir de la ecuación (10-9), es v. = d w/dk, donde w = 21rv es la frecuencia angular y k ~ 21r/},. es la constante de propagación. En las ecuaciones (10-8) y (10-9), también se mostró que dw dE v =--=9 dk dp Cuando la energía E se expresa por medio de la ecuación (14-6), la velocidad de grupo toma la forma
~; = 1p(2::
0
+
V) ~o =
=
v
Así, desde el punto de vista de Schrodinger, la velocidad de grupo sigue siendo igual a la velocidad de la partícula. Incidentalmente, debemos recordar que en el capítulo 10 también se mostró que para un fotón la velocidad de grupo es igual a la veloci· dad e de la luz. La velocidad de fase de una partícula libre resultará diferente cuando se compare el enfoque de Scluódinger con el de de Broglie. De la teoría de de Broglie. , ¡, E E v ph =/.V=--(de Broglie) p h P
_-_=_ mv
v
pero de la expresión de Schr6dinger para la energía
E p
hE ph
(Scluódínger)
ERWIN SCHRÓDINGER abordó la dualidad corpuscular ondulatoria de la naturaleza adoptando ¡as relaciones de de Broglie y Planck, },. = h/p Y v = E/h, y definiendo la energía total de la partícula per
v. =
.
/_v = - - = .-
-
V ph
14-3 LA ECUACIDN DE SCHRODINGER y
-
p
2ln o
donde la función V de la energía potencial se hecho igual a cero, que es el caso de una partíc libre. La ecuación de "onda·material" unidimensio: que relaciona la teoría de de BrogUe y la funci· de onda.
\_ 11' 8''I'(x, t) 2m ex'
I
+
I
V'I'(x, t) _ ih 8'1'(x, t) 1
..
at
.
(14--
es conocida como ecuación de Schr6dinger. Au:r que Schr6dingerdesarrolló esta ecuaciÓn a par de una intuición del carácter ondulatorio de la ~ teria, no es derivable a partir de primeros prin . pios. Esta ecuación, como la segunda ley e Newton, es en sí un primer principio. Esta fOfIm particular de la ecuación es conocida como ecuo-ción de Schrodinger dependiente del tiempo, debido a que la energía potencial es lo suficientemem: general para ser ftutción tanto de la posición COtD:' del tiempe. Finalmente, ciertos requisitos deben fijarse pm que la función de onda constituya tuta herramienu útil en la descripción del mundo físico. L Debe ser consistente con las siguientes relaciones:
2
lE =
L
2m
+
V
2. Debe ser lienal en '!' (X, t); o sea, si '!' 1 (x, t) '!', (x, t), ... , '!' n (x, t) son soluciones de la ecua· ción de Schr6dinger, entonces
CAPITULO 14;
'!'(x, t)
f
,
¿
\l. J dv = -
donde al, a2, "', a n son constantes, también debe ser una solución. La función o'l'(x, t)/ox también debe ser lineal. - La función "IJf(x, t), así como su derivada o'l'(x, t)/ox, deben ser de buen comportamiento; o sea, deben ser de valor único, finitas, y continuas. Cuandox---+ ± 00, entonces lJr(x, t) debe tender a .:ero : lim '!'(x, t) ..... O
dv
157
(14-2a)
Ya que el tiempo es un parámetro, podemos intercambiar el orden de integración y diferenciación
f
\l' J dv = -
'On 1925 WERNER HEISENBERG desarrolló modelo matemático de álgebra matricial para rz::::rr los mismos problemas mecano-cuánticos que ~tuación de Schródinger. El enfoque era nuevo 5fícil y pasó cierto tiempo antes de que los =os se dieran cuenta de que ambas formas de ,dar el problema eran equivalentes, aunque es-oran expresadas en lenguajes matemáticos di·
fA' dS
<14-3,)
(14-4a)
,
¡
Js
J. dS
~ _.!!.... fp dv
dq dt
-~O
q =
3(a) CORRIENTE DE PROBABILIDAD -..wos dicho que '1'*'1' es la probabilidad por uni- de volumen o densidad de probabilidad de enTar una partícula en un punto y en un instante s. Podemos justificar esta aserción consideran:1 movimiento de una partícula y haciendo una . gía con la electrodinámica clásica. El princide la conservación de la carga nos dice que la ---tidad neta de carga eléctrica existente en el uni, debe permanecer inalterada (conservarse) mera que sean los procesos que ocurran en el ... so. ?artiendo de la ecuación de continuidad para .:::=:;Kls variables en el tiempo (14-1al
Yultiplicando ambos lados por dv = d x d y d z ~grando en todo el espacio
(14-5a)
dt
Si no existen cargas ni 'corrientes en el infinito, la integral superficial se desvanece, además sabe· mos que f p dv= q, así que
o bien
op ot
p dv
Ahora podemos utilizar el teorema de la divergencia dado por
~tes.
\I'J=--
:t f
Para cambiar la primera integral de volumen a una integral de superficie, obteniendo
x ..... ±oc
[f
f ~~
•
a,'!',
i=1
11
LA ECUACION DE SCHROOINGER I
f
p dv = con,{ante
(14-6a)
que es la ley de conservación de la carga. Si consideramos ahora la ecuación de Schr6dinger dependiente del tiempo (14-7), en una sola dimensión para simplificar los cálculos; h2 2m
2
0 '1' --+ 2 ox
V'I' = ih 0'1'
at
(14-7,)
y obtenemos su complejo conjugado cambiando W por \}1* y remplazando i por ·i, tendremos 2
0 2 '1'* 2m ox 2
- -h-
+
0'1'* V'-Jr*= - i h - -
at
(14-8a)
Multiplicando (14-7a) por '1'* y (14-8a) por '1', obtenemos 2
...!t. '1'* 0
'1' ox 2
+
'I'*V'I' = ih'l'* 0'1'
(14-9a)
h2 0 2 '1'* 0'1'* '1'-+ '1' V'I'* = - ih'l'-2 2m ox at
(14-10a)
2m
at
Restando (14-10.) de (14-9a) nos dá
a' '1' _ '1' a''I'*) - ~('I'* ax' 2m ax' = ih ('1'* a'l' + '1' a,¡,*\ at
at
)
Recordando la definición de derivada de un producto y simplificando, obtenemos
__h_(",* 2im
a''I'2 _", a''I'*) ax ax'
=
-ª-('1'*'1') al
tos a y b (ver figura 14-I(a). Si aquella ecuaciÓli (14-3a), nos daba la razón de cambio de la carga. flujo de carga hacia adentro o hacia afuera de cr cierto volumen, esta ecuación (14-12a), nos dará .... razón de cambio o flujo de probabilidad o corrí"", te de probabilidad en la región comprendida en~ los puntos a y b _ Puesto que nuestra densidad ~ probabilidad se refiere a una partícula, vamos al't~ ra a considerar una partícula libre de energía E ::momento p, que describiremos por medio de
función de onda i(kx-.K t)
o bien
'I'=Ae
a' '1' ~('I'* 2m ax'
-ª-('1'* '1') at
cuyo complejo conjugado es
"'*
(14-11a)
Integrando entre los puntos a y b
~ 2m
f· -ª--ax ('1'* a",ax - '1' a"'*) ax a f· '1'*'" = -
at •
-j
a'1'
dx
o bien
f·
a", _ '" a",*] b -at a • "'*'1' dx _ ~[",* 2m ax ax a (14-12a)
Para interpretar esta ecuación usaremos las analogías que podamos establecer con la electrodiná-
mica clásica. Comparando con la ecuación (l4-3a), si en esta ecuación la in tegral nos dah a la carga total dentro de un volumen dado, la integral en la ecuación (l4-12a) nos dará la probabilidad total que existe en la región comprendida entre los puo·
.
. k
- - = ¡kAe
E
I( x - - t)
h
ax
alJf*
-- =
ax
-ikAe
=
-i(kX-.!...-t)
h
ik'l' = -ik""
Sustituyendo ahora en el segundo miembro de
ecuación (1 4-1 2a) obtenemos
-ª--i· at "'*'1'
dx =
a
=
=
~[",* ik'" + '1' ik'l'J· 2m Ja
[~ 2ik "'*'1'] 2m a
b
[~
r
"'*"'dx
Figura 14-1(a) La integral nos da la probabilidad total entre los puntosa y b.
h
= A *e
Sa--~::>'" a
(hX-...!... t)
en estas ecuaciones k = ..j2m.Elft. Buscamos ahora las parciales que aparecen en segundo miembro de la ecuación (l4-12a); ésrz, son:
dx
•
h
:h "'*'"J:
CAPITULO 14:
LA ECUACION DE SCHRODINGER I
•
159
EJ EMPLO 14-1: Calcule la corriente de probabili-
kh- m
2rrh
2rrmA
dad correspondiente a la función de onda
=v
lo tanto
il -,-
lb
"
donde ,2 = x 2 + y2 + Z2 . Examine S para grandes valores de r e interprete el resultado_
",* '" dx
a
(14-13al
SOLUCION: Extendiendo la ecuación (14-14a) a tres dimensiones, para este caso toma la forma
?na interpretar este resultado recordemos que
::eoría electromagnética nos dice que pv = corriente = razón de flujo de la carga ":e p es la densidad de carga eléctrica y v es la :idad de flujo de las cargas. Por analogía con producto, podemos decir que el flujo de pro·dad o corriente de probabilidad para una parlo libre puede tomar la forma ; : [ik"'*'"
= ~
+ ik"'*'"]
= [v",*",]
S nos representa la com"ente de probabi-
. En el caso general S quedará definida por
ya que \lJ no depende del tiempo. Para encontrar el gradiente, evaluaremos primero las derivadas que
implica
~~_il_ (e¡he) ~ xe'he(;kr-l) 3x 3x r r3 En la misma forma obtenemos a>J;/ily y il>J;/ilz, sustituyendo sus expresiones respectivas en la del gradiente, y multiplicando por la función correspondiente, obtenemos
./.'" * u"'- ~I i kr 4A
5 = _ _
~no
~ ["'* 2m
il", _ '" il"'*] ilx ilx
_
r
1 ) (: : lX+JY
+
kz)
(14-140)
menos se necesita para concordar con la
. ·ón (14-13a)_ ?JI 10 tanto, así como la ecuación (14-5a) nos ~sa
./.
En forma similar encontramos
una forma general de la ley de conserva-
rle la carga, podemos expresar la conservación 2: probabilidad en la forma -
il
at
lb a
",* '" dx =
Sa - S b
La sustitución de estos resultados en la expresión para la corriente de probabilidad da
(1.t:l-15al
[r
J
(2ikr)
S = - ih - 2m
r3
nos dice que la razón de cambio de la probabi- en la región comprendida entre los puntos a - es igual a la diferencia entre la corriente de - _bilidad que entra y sale de la misma región_ ~-ra ecuación resulta interesante para el caso de
Hemos definido a S como un flujo o corriente de probabilidad, corriente que estaba caracterizada
'culas que no son libres, es decir aquellas que
por la aparición de v en la expresión de S. El resul-
sujetas a alguna fuerza, 0, en otras palabras, llas para las cuales la función de la energía cial V (x,t) es distinta de cero y depende -... del tiempo como del espacio.
tado que hemos obtenido viene a confirmar tal interpretación. Vemos que cuando, -+ 00, S -+0,10 cual resulta bastante lógico, ya que nuestra expresión inicial para 'l' corresponde a la amplitud de
~
~
kh
~
l?
=r--=r--
mr
2
r2
160
o
TERCERA PARTE: EL ATQMQ
una onda esférica, y en el infInito la corriente de probabilidad para tal onda al abarcar una superficie infinita debe naturalmente reducirse a cero.
n2 [p2 --- 2 'P(x, 1)] 2m ñ
+
V'P(x, t) =
14-4
in [- i 1!' 'I'(x, r -
"
cancelando el factor común 'l' y simplificando, tenemos
LA ECUACIDN DE SCHRiiDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPD
2
Empezaremos mostrando que para un campo-material una función de onda de la forma
I 'I'(x, 1) =
A exp[ -(i/ñ)(EI - p,,)]
I
(14-8)
es una solución de la ecuación de Schrodinger (14-7) independiente del tiempo y que representa la descripción mecano-cuántica de una partícula libre con una energía total E y un momento lineal p. Ya que la partícula es libre, tanto E como p son constantes; están relacionados por p2 E = -
2m
+
E=L+ V 2m
lo que prueba que la ecuación (14-8) es una sob ción de la ecuación de Schródinger dependien~ del tiempo.y representa la descripción matemálj de una partícula libre. Ahora consideraremos de nuevo la ecuaci(14-8), Y la escribiremos en la siguiente forma, \f = (Aeipxl")(e-iEl/")
en la cual se han reparado las variables x y t. Si parte espacial es J/¡(x) ~ Ae'pxl '
V = constante
de acuerdo con el punto de vista de Scrhódinger dado por la ecuación (14-6). En el caso no relativista, la masa de reposo m de la partícula libre es una constante y la energía potencial también _Para una partícula que no es libre en un campo conservativo, V = V (x) es independiente del tiempo y p es una variable, pero la energía total E es una constante. la segunda derivada de la ecuación (14-8) con respecto a la posición es o2'1'(X, 1) = _ p2 m( ) 2 2 T X. t ox ñ
o'l'(x, t) = _ i E 'I'(x 1) 01 ñ'
'P(x, 1) ~ J/¡(x)e-'E
02'P(X, 1)
dx 2
2
d J/¡(x) ~ e _'''l' 2
=
--~
obtenemos
+
V'I'(x, t) =
in
(14-1_
dx
la diferenciación con respecto al tiempo da o'l'(x, t)
(14-"
Sustituyendo las ecuaciones (14-13), (14-14) _ (14-15) en la ecuación (14-7) obtenemos
(14-10) 2
_n
2
d J/¡(x) e-'''/' 2m dx 2
+ =
,_2 02u.(x, 1) 2m 01 2
(14-1:
Diferenciando ahora dos veces con respecto a posición, obtenemos
01
Remplazando las ecuaciones (14-9) y 14-10) en la ecuación (14-7) dependiente del tiempo,
__n_'
(14-1:
la ecuación (14-11) se puede escribir en la for
(14-9)
y la diferenciación con respecto al tiempo da
(14-¡O
VIjJ(x)e-iL'l'
in ( -~ EIjJ(x)e-iE<¡i
o'l'(X t) 01'
Finalmente, cancelando el factor común e-¡El/~ simplificando llegamos a
CAPITULO 14: -----------
h
2
2m
d2if¡(X) dx
2
+
--,
Vif¡(x) ~ Eif¡(x)
I
I
14-5 Muestre si \jI(x, t) (14-16)
~
.
161
A sen (kx - wt) es o no
una solución de la ecuación de Schrodinger_
.
14-6 ¿Son \jI¡(x, t) = A¡e- iW1 ' cos k,x, y
) .=o
es la ecuación de Schr6dinger independiente
- tiempo o de "estado estacionario".
Algunas veces resulta más conveniente escribir
_
l~
1<=
+
'1'(x,t)
sen k 2 x, cada una soluciones de la ecuación de Shrodinger? = A2e-u..V 2t
14-7 Muestre que para una partícula libre 'P(x,
2m (E _ V)if¡ = O h2
t) ~ Acos (kX - ~ t) +
::... esta ecuación, if¡(x) también es llamada función onda. V (x) es la función de potencial, no COfim:te al tiempo en forma explícita, y E, la energía ~l de la partícula es una constante. 2'
PROBLEMAS -1 Una función
de onda if¡(x) = A n sen (2mrx/L) es defInida solamente dentro de la región O ~ x -< L. Use la condición de nor-
~ Determine la constante A
n
nrrx L
~ t)
,c:-=-
ecuación de Schr6dinger. 14-8 Para un electrón con una longitud de onda
de de Broglie de 1.0 A, determine (a) la velocidad de grupo, (b) la velocidad de fase (de Broglie), y (c) la velocidad de fase (schr6dinger).
LECTURA RECOMENDADA
para la función
BEISER, Arthur, El mundo de la física, MacGraw-Hill, Nueva York, 1960, págs. 195-208_
-
BüRN, Max, La física en mi generación, Springer-
de onda
'P(x, t ) = A. sen- e
iAsen(kx -
donde k = V2mE/h es una solución de la
malización para evaluar la constante A n .
¡Eor/A
Verlag, Nueva York, 1969. Una colección de ensayos muy comprensibles que nos dan una intuición de la naturaleza de la física así como de su autor, Max Bom.
definida dentro de la región O -< x :( L.
,=
LA ECUAC10N DE SCHRQ01NGER I
-3 Para la función de onda en el problema 14-2, la probabilidad de encontrar a la partícula dentro del rango (a, b) (O"';;a < b "';;L) es \jI* \ji dx. (a) Determine la probabilidad
f:
de encontrar la partícula dentro de las
DlRAC, P. A. M., "La evolución de la visión que los físicos tienen de la naturaleza". Sci.Am., mayo
de 1963.
di~
mensiones x =0 a x = L14. (b) ¿Cuál es el promedio de la probabilidad por unidad de longitud?
EISENBERG, Werner, Los principios físicos de la teoria cuántica, Dover, Nueva York, 1930. SPOSITO, GARRISON, Una introducción a la me-
----l Pruebe que
\ji (x, t)=Ae(i/!iJ(PxX.E'¡
es unll
solución de la ecuación de Schr6dinger. ¿Es 'Ir + \}1* también una solución?
cánica cuántica, Wiley, Nueva York, 1970. Una descripción muy clara de la mecánica cuántica a un nivel intermedio.
15
La ecuación de Schrodinger II
, ~ '.t'" - .~.>"\- .. ,
Max Born (1882-1970)
Nativo de 8reslau" Prusia" Born enseñó en las universidades de Gottingen" Cambridge" y Edimburgo. Sus investigaciones contribuyeron al desarrollo de la mecánica cuántica" de la cristalografia de la estructura atómica, y de la teona cinética de los fluidos; fue co·parttcipe en la formulación de la teona de las moléculas de Born-Oppenheimer. Al discutir las responsabilidades poltticas de los cientificos" Born ha condenado el uso bélico del conocimiento científico. Junto con Walter Bothe" recibió en 1954 el Premio Nobel por su interpretación estadística de las funciones de onda.
-. i.
15-1 EL HAMILTONIANO 15-2 OPERADORES 15·2(a) VALORES PROMEDIO O ESPERADOS 15-3 ELPOZODEPOTENCIAL 15-4 SOLUCION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 15·5 LA PARTICULA EN UNA CAJA TRIDIMENSIONAL 162
pendiente del tiempo de la ecuación de onda de
-1 EL HAMILTONIANO
Sclu6dinger. Trae a la mente la visión de una onda estacionaria de alguna especie. Si, para un caso par-
_ manera de recapitulación, recordemos que llega-
ticular, esta ecuación tiene una solución ¡J; = ¡J;(x),
a una fanna de la ecuación de Schródinger,
podemos sospechar que la onda es reflejada adelan· te y hacia atrás, de alguna forma, para producir una onda estacionaria. La partícula (que, después de todo, es descrita por la función) debe estar re· botando elásticamente entre dos paredes. Es posible, desde luego, tener un sistema de ondas estacionarias en que la amplitud decaiga con el tiempo. En tales casos es mejor usar la ecuación
::::Jación (14-16), que no contenía explícitamente __ dependencia del tiempo,
2
d2ifJ + -h- -2
2m dx
~
VifJ = EifJ
(15-1)
,de ifJ = ¡J; (x) es la función de onda, V = V(x) la energía potencial, y E es la energía total. La =::::!ación es aplicable solamente a campos canser~os. o sea, aquellos en que la energía total
E = tmv
2
+
V = constante
general (14-7)
h 2 ilo/(x, 1) ( x, t ) T -+ V'" 2 2m ax
--
=
.,a_o/:c..("--x,-,ICé)
ltl -
at
(15-4)
(15-2)
pero con la función de onda separada como en la tIna constante del movimiento. Cuando la ener=- cinética se expresa en términos del momento p,
en función de la velocidad v, la ecuación :),,2) se puede escribir ilO
p2
~-+
2m
V= E = constante
1
(15-3)
1
== la mecánica clásica la función H(p, x) es llama-:. el Hamiltoniano del sistema. Ya que en la ecua-
=áJ (15-1) sólo aparecen funciones de la posición, :1 llamada forma de "estado estacionario" o inde-
ecuación (14-13), o/ex, 1) ~ ifJ(x)e-i"f h
(15-5)
Si la partícula se mueve en un campo conservativo de fuerzas, entonces la función del potencial V =
V(x) es independiente del tiempo, la energía total H = (p2/2m) + V = E es una constante, y debe usarse la ecuación (15-1). En el caso particular de una partícula libre, V(x) es una constante que puede tomarse arbitrariamente como cero. La frecuencia y longitud de onda de la onda asociada
están dadas por las ecuaciones v = Elh YA = hlp· 163
164
.
TERCERA PARTE; EL ATOMO
-h' - (a'Ij¡ - + -a'Ij¡ + a'Ij¡) +
15-2 OPERADORES
2m
ax'
a y'
az'
VIj¡ = EIj¡
(15-l1
las formas de la ecuación de onda que hemos descrito hasta ahora pueden ser transfonnadas convenientemente a la forma de operadores_ Un operador, en general, es una expresión que actúa sobre una función dentro de cierto dominio para producir nuevos valores que ocupen un rango dado. Por
donde Ij¡ = Ij¡(x, y, z,), V= V(x,y, z),yelop"", dar Hamiltoniano tridimensional es
ejemplo, el número 2, actuando como multiplicadar, transforma todo valor en el dominio de una
Comparemos ahora las ecuaciones (15-3) (15-6). Son las IJÚsmas siempre y cuando aro lados de la ecuación (15-3) sean interpreta·
función en dos veces ese valor en el rango. Entonces resulta correcto decir que 2 es un operador aritmético. El operador diferencial djdx aplicado a una función f(x) en el sentido usual transforma todo valor de f(x) en el valor de su derivada (djdx) f(x) = j'(x). Ahora, inspeccionando la ecuación
(1 &---6)
la expreslon completa dentro del paréntesis del miembro del lado izquierdo se puede definir como un operador
IH=
(15-7)
a') iJ z 2
+~
I
(15-.
en la ecuación (15-3), se define como el opera -
ERj d
IIP= -:-1
mos escribirla en la forma
(_!::.. ~ + v) Ij¡ = EIj¡ II 2m dx'
+
a'
iJy'
como operadores, operando cada uno sobre la fu!, ción de onda ¡JI-y si el momento p, como apare_
independiente del tiempo (15-1) vemos que pode-
1
+
IH = _ h' (a' 2m ax'
(15-- -
dx
En vista del operador tridimensional más geIlt rallH, dado en la ecuación (15-10), debemos un operador de derivada parcial para represen~ una componente particular del momento p, y ~
=
cribir (15-12:
las otras dos componentes del operador del
In<>-
mento son Uamado el operador Hamiltoniano debido a su similitud con la función Hamiltoniana de la mecá-
nica clásica [ver ecuación (15-3)]. Entonces la ecuación independiente del tiempo (15-6) se escribe (15-8)
La función ¡f; no se puede cancelar de esta ecuación, ya que IH no es un multiplicador escalar simple, mientras que E es el valor de una energía. la
ecuación (15-8) se debe interpretar en la forma: (operador IH) actuando sobre la función Ij¡ = (energía total) multiplicando l. función Ij¡ En el caso tridimensional, la ecuación (15-1) puede escribirse en la forma
y
h
a
!P- = - . i DZ
-1
Regresando por ahora a la ecuación de Schrodinge: (15-4), unidimensional, dependiente del tiempo podemos, por medio de simples manipulacionOl algebráicas, escribir
h 2 iJ 2 'i' 2m ax
h iJ'i' i or
---+ 2
L (_!::.. 2m ax Pero IH =
2
+
-Jj' j2m(a'
v) 'i' ~
_~
a'i'
(15-1'
i at
la x 2) + V es el operad
Hamiltoniano, por lo tanto en una forma más abre· viada la ecuación de Scirr6dinger dependiente del tiempo se puede escribir
Es ci<
ne
CAPITULO 15: LA ECUACION DE SCHRODINGER II
.,
OH'!'
-
-"-a'!' -
al
(15-15)
la comparaClon de las ecuaciones (15-8) y _5-15) sugiere que ahora podemos definir un ope(
;:roor de energía en la forma
(15-16)
"
·-i que, en forma de operador, la ecuaClOn de Sduodinger dependiente del tiempo se puede es:;:¡nir como
l"H'!'
= lE'!'
I
(15-17)
y semejante a la fonua independiente del tiem, ecuación (15-8). De nuevo, la función '1'(x,t) no puede cancelaren la ecuación (15-17), ya que el significado de _ ecuación es
(operadorlH) actuando sobre la función '1' = (operador lE) actuando sobre la función '1' de ni IH ni lE son multiplicadores escalares sims.
Si la ecuación general (15-15) describe una par"::ula libre que no experimenta fuerzas en ninguna
•
;:me. entonces la energía total E puede tener cual.,...ier valor. Esto da por resultado un mínimo infio de soluciones posibles '1',( x, y, z. t) de la a> ción de onda. Una situación física indepenote del tiempo puede ser representada por una 2rtícula libre contenida en algún recipiente finito paredes rígidas; entonces debemos usar la ecua-n (15-8), IH,p = E,p, donde ,p(x. y. z) es una • ción que depende solamente de la posición. En !51e caso, sólo se permiten ciertos valores particude la energía Ej. que corresponden a solucio· =stas son simbolizadas por sistemas de ondas esta.:imarias, en las que cada longitud de onda y fre·
:oencia corresponden a una diferente solución 1/J¡, :.2S soluciones permitidas 1}J i son llamadas {unciopropias O caracteristicas, y las energías corres-
165
pondientes son llamadas energias propias o características.
15-2(a) VALORES PROMEDIO O ESPERADOS Se ha dicho que la ecuación de Schr6dinger es, en la mecánica cuántica, lo que la segunda ley de Newton en la mecánica clásica, Una de las diferencias entre las dos mecánicas, es que en la clásica sí podemos conocer con exactitud y simultáneamente la posición y el momento de una partícula, mientras que en la cuántica el principio de incerti· dumbre limita nuestro conocimiento de cantidades como éstas a las que hemos llamado variables conjugadas. La mecánica cuántica sólo nos permite conocer la función w*'IT, la posición y el momento más probables de una partícula en un cierto instante, o bien, cuáles son los valores más probables de cualesquier par de variables conjugadas en un :instante dado. Esto nos obliga a buscar los valores más pro· bables de las cantidades dinámicas observables eOIl las que tratamos usualmente, valores que coinciden con los que en matemáticas conocemos como valores promedio o esperados. También es posible encontrar los valores esperados de los operadores correspondientes a algunas cantidades dinámicas. Si hacemos esto y luego sustituimos estos valores, en lugar de las cantidades correspondientes en las ecuaciones de la mecánica clásica, estamos efectuando lUla transición de la mecánica clásica a la cuántica y empleando tácitamente el teorema de Ehrenfest. el cual nos permite hacer esto, sirviendo como eslabón entre las dos mecánicas, y constituyendo así, una aplicación más del principio de correspondencia. La fórmula clave para obtener los valores esperados de cualquier cantidad dinámica o de su operador correspondiente es
...:!:'eS
..,. particulares ,p.cx. y. z) de la ecuación de onda.
•
=
A
=
f
",*b',,,,dr
!15-lal
donde lA es una cantidad ti operador arbitrario, y di' cambia a dJ en caso de tratarse de una densidad por unidad de longitud. Ei orden de los términos en el integrando debe ser el que ?parece en la ccua-
166
•
TERCERA PARTE: EL ATOM0
ción, si se está tratando de obtener el valor esperado de un operador diferencial, aunque puede alterarse si la cantidad cuyo promedio se busca no tiene operadores diferenciales. El producto '1'*'1' actúa como una función de distribución o factor de peso siempre y cuando'V esté normalizada. O sea, si se cumple la ecuación
Por lo tanto: (IP )' = x
es el operador correspondiente a p2 x _ El valor perado de la energía cinética, de acuerdo con ecuación (15-la) se puede poner en la forma K =
Por ejemplo, el valor esperado de la posición de una partícula descrita por la función de onda 'V(x, t), en una dimensión, es
f~ '1'* x 'V dx
x =
f.L if¡ * (- Jf... ~) if¡ dx 2m 3x 2
o
.h' eLif¡* 2m
= _
Jo
f
~
hf~ a'V = -. '1'* ~- dx l -ca ax (15-3a)
'V*IPx 'V dx -
"""2,;JoeL (- 1. ,ff jI h
~
f~~V(X' t) w*'V dx
(15-4al
(i
ntrx)
'enI:"
/2 sen nrrx) lb:
ax',jI
K
=
L
n27T2h2f L 2 nrrx 3 sen - - dx mL o L 2
_ nnh [nn _ J_ sen 2n1l x] L mL' 2L 4 L o
si además esta partícula está describiendo un movimiento armónico simple, el valor esperado de su energía potencial V(x,t) puede escribirse
VI,;:, t) =
dx
ax'
2
K = -
(15-2a)
si el momento de esta partícula es p x' su valor esperado será, usando la ecuación (15-12)
=
a'if¡
Sustituyendo los valores de if¡* y if¡, obtenemos
-~
Px
(~--ª--)' = ----h'~2 i 3x 3x
mnh2 nn mL' 2 Por lo tanto
ya que V(x, t) es una cantidad algebráica.
EJEMPLO 15-1: Calcule el valor esperado de la energía cinética de una partícula que se encuentra dentro de una caja de longitud L, y cuya función de onda es
( .jf L
if¡n x) = 1
-
I1rrx sen--
L
SOLUCION: Sabemos que la energía cinética se puede expresar en la forma
,
K=~
2m ya que aquí interviene necesitamos buscar su operador correspondiente_ De la ecuación (15-12)
p;
IP
= x
~ i
--ª3x
Ya que K depende de 11, y n sólo puede tomar lO! valores 1,2,3, ... Concluimos que la energía cinética está cuantetizada en valores discretos.
EJEMPLO 15-2: Derive con respecto al tiempo valor esperado del momento, y use la ecuación de Schrodinger para encontrar la ecuación cuántica correspondiente a la segunda ley de Newton. SOLUCIONo Derivando la ecuación (15-3a)
~f~ --ª-- (W* aW) dx i _~at ax ~f~ aw* aw dx + ~f~ w· aw i _~ al ax i _ro axat
dP. = dt =
dx
(15-58)
CAPITULO 15: LA ECUACION DE SCHRODINGER 11
:)e
la ecuación (14-7) obtenemos
a'l'
at
~
a' 'l' ax 2
- -ih-
2m
V'l'
h
conjugado complejo de esta ecuación es
a'l'* --
ih
ar
J.-
2m
h
V'l'*
Sustituyendo en la ecuación (15-5a) obtenemos
+
f
oo (
V'l'*
a'l'
~
3x
-IX)
~
-
'l'* - a ox
ir
=
-~foo
--ª- Ca'l'* a'l'
2m _<>:l0x
L3x
ox
167
el caso de una partícula atrapada en un pozo de potencial infInitamente profundo_ Imagine que este pozo tiene un potencial cero·a lo largo de un intervalo finito del eje x y un potencial infinito en todo el resto del eje ever fIgura 15-1). Podemos visualizar esta situación como describiendo una partícula que se mueve a lo largo del eje x dentro de una caja con paredes infinitamente duras y perfectamente rígidas en las cuales la partícula rebota elásticamente. En términos de las condiciones fronterizas im· puestas por el problema, la función del potencial es
(V'l') ) dx
V=O paraO
sencillo comprobar que esta ecuación puede toTEr la forma
~Px
•
V = oc para x
~
(15-18)
L
2
_ 'l'* a 'l'1 dx 2 ax
J
Pozo de potencial
av 'l' dx 'l'* -ox 2 =_ ~ [a'l'* a'l' _ 'l'* a 'l'J2m ax ax ax 2 __ av 'l'* -- 'l' dx
f
oo
V=oo .1.
-
f
oo
3x
-00
~O,
X~±<>O
'l' (x, t) -------->
Figura 15-1
O
lo tanto, la cantidad entre paréntesis se desvaJUe, y de acuerdo con nuestra defInición (I5-la) _ integral del lado derecho es igual al valor espe'0 de la derivada espacial de la energía potencial, ésta es igual al valor esperado de la fuerza, así '::T
av ax
--Q{i1:",,"-"",,)..--O
según nuestro requisito número 5
lim
•
m
,
-
-=F
Una partícula de masa m está restringida a moverse en una dirección en un pozo de potencial. La partícula efectúa choques perfectamente elásticos contra las paredes del potencialinfinito. En la forma en que se ha planteado el problema, hay certidumbre de que la partícula esté dentro de la caja, y no existe ninguna posibilidad de que se encuentre afuera. Esto fija las condiciones sobre la función de onda I I < 01 l1/1eX ) =opara{: > L: I I
.;;:e es una de las formas del teorema de Ehrenfest.
5-3 EL POZO POTENCIAL y
:nmo una aplicación sencilla de la ecuaClOD de 3ci:uodinger de estado estacionario, consideremos
f:
1/1*1/1 dx
1
(15-19)
168
•
TERCERA PARTE; EL ATDMD
No se sabe con exactitud donde se halla la partícula en cualquier momento dentro de la caja, así que no se usarán datos dependientes del tiempo. Recordando la ecuación de SchrOdinger (l 5-1) independiente del tiempo, y haciendo V = O de acuerdo con las condiciones (l 5-18) obtenemos
La segunda condición fronteriza, "'(x) = O para.>: =L,da O = 2iA sen aL
ó, ya que A
*' O,
,
senaL=O ó
h2 d 2 - - - -2 "'(x) = E"'(x) 2m dx
aL
= nrr
y
que se puede escribir en la forma
I
d2"'(X) dx 2
+
a 2'" = O
mr a -. - para n L (15-20)
=
1, 2, 3, . _.
Entonces, la energía dada por la ecuación {l5-21 toma la siguiente forma, para cada valor de n
donde
n = 1, 2, 3, ... (1!>-21)
(15-22
La ecuación (15-20) describe la situación de la partícula dentro de la caja. Esta ecuación tiene la soludón (1 !>-22)
que representa la superposición de dos ondas en la caja, cada una viajando en una dirección diferente a lo largo del eje x. Esta es justamente la condición necesaria para que haya ondas estacionarias si se tomajunto con las condiciones fronterizas apropiadas (paredes reflectoras). Es útil verificar que la ecuación (15-22) es una solución de la ecuación (l5-20) de Schródinger. Las condiciones fronterizas dadas por la ecuación (l 5-19), se pueden usar ahora para evaluar las constantes A y B de la ecuación (15-22). Para "'(x) = Oen x = O, la ecuación toma la forma O~A+B
La partícula sólo puede tener aquellos valor",
de la energía dados por la ecuación (l5-23). Exp,,samas esto diciendo que la energía está cuan/iza en valores o niveles discretos y que la partíc puede estar en cualquiera de los estados discret disponibles a ella. Desde luego, sólo puede t011lE: tul valor a la vez en cualquier tiempo dado. Pan tomar otro valor de la energía, debe recibir o perder algo de su energía. En cualquier caso, la cantidad recibida o perdida debe ser justamente la suf>. ciente para colocar a la partícula en otro de l~ estados posibles. Note también que la partícula no puede tene llila energía igual a cero. El valor mínimo posibl!dado por la ecuación (15-23) se obtiene cuando = 1,0
<15-2!
y
A = -B
Entonces "'(x) = A(e i= - e-¡=) o, por la encuación de Euler,
"'(x)
~
2iA sen ax
y los otros valores de la energía son 4E" 9E I 168, ,... correspondientes a n = 2,3,4,... Sin emba.. go. para que este valor mínimo El sea apreciable. mente diferente de cero. el producto mL2 debe.se: pequeño y del orden de h2 . Ya que h = 6.625 X 1O-S 4 J -seg, la magnitud del denominador debe se: muy pequeña. El valor El dado por la ecuació"
CAPITULO 15; LA ECUACION DE SCHROOINGER 1I
r
15.24) es llamado energía del punto cero. En :tras palabras, la partícula no puede tener una ~ergía igual a cero. Esta conclusión contradice a ..... mecánica clásica porque es un resultado del prin~o de incertidumbre. Es posible ver claramente ~ razón: ya que la partícula está limitada por un ?>tencial infmito, su posición es conocida dentro ::r una incertidumbre 6x - L; por lo tanto, de erdo con el principio de Heisenberg, la incertirobre en su momento debe ser ~ ~ fJ/L. De !l:Uerdo con este principio la energía nunca puede ~ cero. porque esto implicaría que t!.p = O. El momento lineal conjugado de cualquiera de b valores permitidos En se obtiene escribiendo
E•
=
p/
-
, , , > >
•
, ,
así el momento también está cuantizado en valoJ:S discretos permitidos. Se ve, de nuevo, que las ::mensiones de la caja deben ser muy pequeñas. El sudiante debe verificar que las dimensiones del .-::lo derecho de la ecuación (15·23) son las de .:r:ergía, y las del lado derecho de la ecuación :5·25) son las del momento lineal. La expresión para la función de onda ifi es
1
La integración da
4A'
r
=
sent~ x) dx
2A' [x -
..!.:... sen (2m, X)JL L
2nn
o
=
2A'L
Ya que esto debe ser igual a l. la evaluación de la constante daA = 1/.J2L, Y entonces las funciones características normalizadas son
"'.(x) =
1
.J2L sen (mrx) L
II "'.(x) =
i
J2L (lmx) L
. 2
sen
(15-27)
Así, para el caso de nuestra partícula en un pozo de potencial infinitamente profundo (en una caj a con paredes perfectamente rígidas y reflecto· ras). la probabilidad de encontrarla dentro del pe. quefto intervalo dado por Xl = a y X2 = b, donde el intervalo yace completamente dentro de la caja, es
bJjJ*ljJ dx Jb L2 sen (I1n) L dx J a
=
2
a
X
(15-28)
",; que
(n: x)
!Jl densidad de probabilidad es
=
r·
,.
•
=
Los resultados del problema de la partícula en una caja se resumen en la tabla 15·1.
",. = _ 2iA sen
x
foL 4A' sen' (11: x) dx
(15-25)
'.
,
I/J*(x)"'(x) dx =
169
ó
2m
n-l. 2. 3, . . .
f.
L
•
4A ' sen
'(I1IJ) -
L
x
(15-26)
-Sando la condición de normalización dada por la ",,",ción (14-5), que nos expresa la certidumbre de ",--" la partícula esté en alguna parte dentro de la
.::!ja, escribimos
La figura 15·2 muestra algunas gráficas de la densi· dad de probabilidad (la probabilidad por unidad de longitud). para n = 1.2,3 •... Para la función característica con n = 1, la probabilidad de encontrar a !Jl partícu!Jl en x = L/2 es mayor que para cual· quier otra posición. Note, sin embargo, que para la función característica con n = 2, la proba· bilidad de encontrar a la particula en x = L/2 es cero. Para la energía E., es imposible para la par· tícula estar en x = L/2.
EJEMPLO 15·3N: El siguiente programa de como putadora, escrito en lenguaje BASIC, está diseñado
170
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
Tabla 15-1 n
Función característica, ¡J¡n
JI- L JJIsenL 2
i
sen
2
nx
i
3
i
4
4nx i -VIsenT
n
2
31[x
L
2 L
2 21lX
2
2
L
3nx
L
L
2 2 4:nx -sen --
L
JIseny 2
L
-sen -
12
i
21[X
-sen -
I senT 2
Valor característico, En
-sen -
21[x
2
Densidad de probabilidad, ",.",
2 L
mcx
L
2 n1[X
-sen -
L
,p,'
1
A
1 I1
O
-~~-- -.---.~~-->x
O
1\
I
\1
1_~~L.!"-_~-->
x
Figura 15·2
Densidades de probabilidad para las tres primeras funciones de onda de una partícula en una caja rígida.
para evaluar por la regla de Simpson' la integral aproximada por
h J(x) dx = - {J(a) • 3
f.
b
+
2J(a
+
4f[a
+
4J(a
+ h)
+ 2h) + ... + (2n - I)h] + J(b)}
Este programa se usará para evaluar la integral de la ecuación (15-28), la funciónj(x) se identifica ·Ver, lvan Sokolnikoff y R. M. Redheffer. Matemáticas para Jo. física y Jo. ingenieda moderna, McGnw-lúll. Nueva York, 1958, págs. 71 5-720.
en el programa como FNF(X). las entradas inclu· yen la anchura del poro (que en realidad está nor· malizada de forma que cualquier valor sirve), el número cuántico asociado con la energía de la par· tícula, y los límites de integración. En la decla· ración 30, bajo A y B están las fracciones de 1, anchura total del pozo. Por ejemplo, para integrar desde X A = 0.49L a O.slL, A Y B entran como 0.49 y 0.51, respectivamente. El programa calcula la probabilidad de encontrar la partícula dentro de los límites y la probabilidad por unidad de longi. tud para varios números cuánticos. El programa BASIC se da en la página siguiente:
CAPITULO 15: LA ECUACION DESCHROOINGER 1I
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 999
•
171
PRINT"INFINITE P.0TENTIAL WELL ¡¡JF WIOTH X ~ O Tlll X ~ "; INPUT L PRINT"QUANTUM NUMBER.N ~ ": INPUT N PRINT"L1MITS ¡¡JF INTEGRATI¡¡{N. A T¡¡J B -": INPUT A.B LET A A·L LET B = B·L LET H = (B-A)/(20'N) OEF FNF(X) = (2/LHSIN(N.3.14159,X/L)t2 LET R = O F¡¡JR K = 1 T0 (20·N - 1) LET R ~ R + ((3 - (-l)lK».FNF(A + K·H) NEXT K LET S = H'(R + FNF(A) + FNF(B»/3 PRINT"PRlllBABILlTY ¡¡JF FINOING THE PARTICLE WITHIN" PRINT"X(A) ~ ":(A/L):"L ANO X(B) ~ "(B/L):"L IS";S PRINT"PR.0B/UNIT LENGTH ~ "; S'L/(B - A) PRINT G.0 T¡¡J 20 ENO
PRINT0UTS F¡¡JR X(A) ~ 0.49L. X(B) ~ 0.51 L F.0R QUANTUM NUMBERS N = 1 ANO N = 2 INFINITE P0'TENTIAL WELL QF WIOTH X ~ O T.0 X = QUANTUM NUMBER. N = ?1 L1MI,S .0F INTEGRATI0'N. A Tl/i B - '.49..51 PRl/iBABILlTY ¡¡{F FINOING THE PARTICLE WITHIN X(A) ~ 0.49 L ANO X(B) = 0.51 L IS 3.99868E-2 PR0'B/UNIT LENGTH ~ 1.99934
?4E-1O
QUANTUM NUMBER.N ~ ?2 L1MITS 0'F INTEGRATI0'N. A Tl/i B -? .49..51 PR0'BABILlTY .0F FINOING THE PARTICLE WITHIN X(A) ~ 0.49 L ANO X(B) = 0.51 L IS 5.25963E-5 PR¡¡JB/UNIT LENGTH ~ 2.62981 E-3
Tabla 15-2
, , "
Número cuántico N 1 2 3 4 5 25 26 99 100
Probabilidad por unidad de longitud 1.9993 0.0026 1.9941 0.0105 1.9836 1.6366 0.3891 0.9899 1.0000
La tabla 15-2 muestra las probabilidades por unidad de longitud para el intervalo que va de x A = 0.49 L a xB = 0.51 L, como funciones de los números cuánticos. Compare estos valores con la
figura 15-2.
15-4 SOLUCIONES OE lAS ECUACIONES DIFERENCIALES En esta sección abordaremos la solución de varias ecuaciones diferenciales que normalmente consti·
172
•
TERCERA PARTE; EL ATDMD
tuyen una fuente de problemas para el estudiante medio, el cual rara vez se molesta en verificar la solución paso a paso. La primera de éstas es la ecuación (15-20) que ya hemos establecido anteriormente
formas que se utilizan frecuentemente. Para ella notamos que las raíces de la ecuación dadas pOi (15-33) son complejas y que por lo tanto podemo, suponer que son de la forma general
(15-29)
"12 = r - is
y
'Yl=r+is
entonces, la sustitución en (15-31) da
" =
=
VJ2
y
donde 2
,
e (r-is)x
de donde
2mE
(15-30)
2
h
+
VJ = Ae Cr + ís)x
Supondremos una solución de la forma ljJ = e Yx
= e rx (Ae íSX (15-31 )
Diferenciando obtenemos
+ Be- iSx )
Pero, usando la ecuación de Euler cos sx
e±isx =
y
Becr~is)x
+
i sen sx
o
nuestra solución toma la forma
donde las primeras indican diferenciación con respecto ax. Sustituyendo en (15-29) obtenemos
VJ = e rx (A cos sx
+
iA sen sx
+ B cos sx - e Cx [(A
+ B)
- i B sen sx)
cos sx
de donde
+i
(A - B) sen sx]
pero, ya que en nuestro caso r = o y s =
Según el método usual la ecuación (15-31) será una solución de la ecuación (15-29) si 'Y es una solución de la ecuación cuadrática
ljJ = [(A
+ B)
Esta ecuación es conocida como ecuación caracter{stica o auxiliar de (15-29). Sus raices son 'Y = ± (Xi
(15-33)
+ i(A
- B) sen
«xl
haciendo ahora
a= A (15-32)
cos"x
O':
+B
b=i(A-B)
y
Nuestra solución general toma la forma ljJ = cos
"X + b
sen
"X
(15-35)
Aún podemos darle otra forma a nuestra solución general. Para ello, notamos las siguientes relacione& trigonómetricas (ver figura 15-3)
Sustituyendo estas dos raíces en la ecuación (15-31) obtenemos las funciones
8
y
b
que son soluciones de la ecuación (15-29). La solución general será
IjJ(x) = A e'''x
+
B e-'''x
1! a
(15-34)
que coincide con la que antes llamamos ecuación (15-22). Resulta útil poner esta ecuación en otras
Figura 15-3
Figura auxiliar para cambiar de forma la ecuación (15-35).
CAPITULO 15: LA ECUACION DE SCHRODINGER JI
]e la figura anterior. obtenemos
a lCn 8 = i'~~=;";
Va' +
b
eos 8 - F~~':"; + b'
y
va'
b'
+ + cos
b'
va' b+ b' sen O/x) 8 sen O/x) =
v
cosO/x
O para O < x < a, O < y (x,y,z) = O
=
e (sen 8
e sen (O/x + 8)
cos O/x (15-36)
Esto nos da las condiciones de la función de onda
¡Jin (x,y, z) = O
es otra de las formas más comunes de la solu.2m general. Aquí
b'
a A + B tan8=-= itA - B) b
y
< b, (15-39)
~..:e
e = Va' +
173
remos la degeneración de los niveles de energía. Ya que nuestra partícula está imposibilitada para salir de la caja, las condiciones fronterizas de la energía potencial son
.hora podemos poner >J¡ en la forma
-=Va2+b'( a Va' +
•
X';; O, Y .;; O, z .;; O
para ( x
(1S-40J
además
a ecuación diferencial que aparece muy a medo, y que veremos en el próximo capítulo en ~!ación con el efecto túnel, es la siguiente:
d'¡Ji - O/'>J¡ = O dx'
~-
(15-37)
.::ocediendo como al principio de esta sección, en.::::lIramOS que para este caso nuestra ecuación .=xiliar es
~a,y ~b,z ~c
J:
rr
>J¡* >J¡ dv = 1
Resulta lógico utilizar en este caso la ecuación (15-9) en la forma
a' >J¡ ax'
---::---'o;n"-+
a' >J¡ " ay'
a' '/'n Y'_ +
+
az'
a 2 lj¡
_ n
o
donde
el = 2rnE
rr
.:e- donde
(15-41)
(15-421
')'=±a
--'"" aquí que nuestra solución general tome ahora la
.rzma (15-38)
:i=:ltimos que la molestia de encontrar estas solunes vale la pena, pues en esta forma el estu.:::mte entra con mucho mayor confianza a los ca. los posteriores.
Intentaremos resolver esta ecuación usando el método de separación de variables, así que supondremos una solución de la forma
>J¡n(x,y,z) = >J¡(x) >J¡(y) >J¡(z)
tomando ¡as derivadas de la ecuación (15-43) indicadas por la ecuación (l5.41) >J¡~ (x) = ¡Ji(y»/J(z) ¡Ji" (x) >J¡~ (y) = >J¡(x) >J¡(z) >J¡" (y)
;·5 LA PARTICULA DE UNA CAJA TRIDIMENSIONAL __ esta sección estableceremos la ecuación de ~b&:t\,&e't
\l4'-4"\U\~
\)anku\a ~\:ta:'P'a_c.a en una
..,' tridimensional de lados a, b y e, y estudia-
(15-43)
>J¡~ (z) -
(15-44)
¡Ji (x) >J¡ (y) ¡Ji" (z)
donde las primas indican la derivada de la función respectiva con respecto a su argumento que está entre paréntesis, es decir ,"()= V'n X
"'>Ion2
aX
174
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
etc. Sustituyendo las ecuaciones (15-44) en la ecuación (15-41) y multiplicando por
1 ;Jin
-=
;Ji(x) ;Ji(y) ;Ji(Z)
obtenemos
K sen
;Ji" (X) +;Ji,,--"-,,,-(y-'.) -1/1 (X) 1/1 (y)
+ 1/1" (z) + o? 1/1 (Z)
=
O
(lS-45)
Según la base del método de separación de varia~ bies, cada una de las fracciones de la ecuación an~ terior es función de solamente una variable y la suma de los tres es igual al negativo de la constante ci la cual se conoce generalmente como constante de separación. Podemos darle a esta constante la forma que más nos convenga; en este caso nos con~ viene que sea
ci
De igual modo obtenemos la solución de las otra:! dos ecuaciones y si las sustituimos en la ecuació:. (15-43) obtenemos
=
2mE a?x + ely + a? = ..=c~_ tl
(1S-46)
Z
Esto nos permite igualar separadamente cada fracción de la ecuación (15-45) al negativo de su cons~ tante correspondiente en la misma dirección; en esta forma obtenemos las siguientes ecuaciones
1/1 (x) 1/1" (y) 1/1 (y) 1/1" (Z) 1/I(Z)
",2 y
_
",'
z
(lS-47b)
(lS-47cJ
Cada una de estas ecuaciones puede ser resuelta por el método empleado en la sección 15-3. Por ejemplo la solución de la primera es 1/I(x) - 2iA sen "'xX - el sen Q:.x-X la aplicación de las condiciones fronterizas pon dientes a la dirección x nos da
Con esto, nuestra ecuación anterior toma la forma sen
= -
1 2m p2n = (p2x
+ p'y + p') (, 5-4' z
ya que V = Oen el interior de la caja. Así como obtuvimos la ecuación (I5-25) para e.. caso de una dimensión se pueden obtener otras d~ ecuaciones semejantes para el caso tridimensional El conjunto de éstas sería
py = OS-50
corres~
x
el
11S-4E
Si elevamos estas cantidades al cuadrado y las sus~ tituimos en la ecuación (15-49) obtenemos
" '"x = n a-
1/1 (x) =
b
n 1rz
sen -z c
(lS-47al
x
_
ny1rY
donde K = el el C3 • Esta ecuación constituye h solución general de la ecuación (15-41), que andábamos buscando. Además, debido a la forma qlJ' tiene y a que está implícitamente constituida por soluciones de la forma dada por la ecuaciór: (15-22), la cual nos representa la superposición d, dos ondas viajando en direcciones opuestas a 1(1 largo del mismo eje, y ya que en esta ecuación la:: variables espaciales están separadas del tiempo, lo que nos da por resultado una amplitud variable eú el interior de la caja, pero fija para cada punto esta ecuación nos representa la amplitud de las o . das estacionarias tridimensionales del interior de h. caja. Los valores permitidos de la energía están dadOi por
En
=_0:2
sen
expresión que nos da los valores característicos de la energía o niveles de energía de la partícula atra· pada en la caja. Estos eigenvalores de la energí2 (como también se les llama) corresponden, cada WlO, a una eigenfunción o función característica.
CAPITULO 15: LA ECUACION DE SCHRODINGER 11
"n
3
~"da
cada una para un valor particular de n, por la '<:Uación (15-48). Entre 1.. varias posibilidades de mación que nos ofrece esta ecuación. el caso más :::nportante ocurre cuando buscamos los niveles de ~ergía de una caja cúbica, es decir. cuando todos lados son iguales, a = b = e = L. Entonces ?nemas 2 2 1T
h
En = 2mL2 (1l~ l,
1f2 h2
-"---"-~
n 11;
"
o
2mL'
,.
11'
(15-52)
=
1,2,3, ...
ciones de los números cuánticos f1 x ' l1 y , 12%,(00 En depende de 11 2 pero no es igual _ esta). Esto significa que puede haber varios esta· s, que aunque tengan la misma energía estarán zacterizados por distintas combinaciones de los ~meros cuánticos I1 x ' ll y ' Il z • Pero ya que la fun.:JÓn de onda no depende de 11 2 , ésta sí será difeJ51te para cada combinación de estos números, .:.illdose así la posibilidad de que cada nivel de :Iergía esté descrito por varias distintas funciones ::e onda. Cuando ocurre este tipo de situación, es .:ecir, cuando varios estados con la misma energía -leren en otros aspectos, por ejemplo en su fun'n de onda, estos estados se llaman degenerados, ~tendiéndose la degeneración con respecto a la :!!:ergía. ::J orden de degeneración se designa comúnmente r la letra g, y es igual al número de distintas :ombinaciones de números cuánticos que dan el .:::ismo valor para la energía, o, en otras palabras, ~ igual también al número de distintas funciones :e onda que describen estados con la misma ener;:~. Ya que la variación de cualquiera de los nú.=.eros cuánticos es independiente de la variación :~ los otros dos, las funciones de onda resultantes :;aa cada combinación son independientes entre ". Por lo anterior se deduce que cada nivel de ~ergía puede constar de varios estados cuánticos .. tintos entre sí, descritos cada uno por su fun35n de onda particular. A tales niveles de energía
175
(los que constan de varios estados) se les llama degenerados, y sus estados correspondientes son los estados degenerados. Tomemos corno ejemplo el nivel caracterizado por los números cuánticos n x = 1, n y = 1, I1 z = 2, números que pueden combinarse en tres formas diferentes que designaremos por medio de la nota· ción (1,1,2), (1, 2, 1),(2,1,1). Estas tres formas corresponden a tres distintos estados, todos con la misma energía, ya que
n; .
::e aquí se origina la posibilidad de que 11 y por lo ::::'1to En tengan el mismo valor para varias combi· ~tre sí, ya que
,.
n;)
.:onde 2 = + 1l~ + Recordemos que ;¡restros números cuánticos pueden variar cada :::no independientemente de los otros en la forma Il x ,ll y ,n z
)
+ n~ +
•
n2
=
+
n 2x
n 2y
+
=
n z2
6
siempre, pero cada uno con su función de onda particular y distinta de las otras, estas serían, usan· do la ecuación (15-48) con a = b = e = L.
=K
I/J 112
sen
.¡; !JI = K sen
rry
rrx L
L
2rry
rrx
sen --sen L
L 2rrx
= K sen --sen L
1/12lJ
2rrz
sen - - sen L
rry
sen
L
rrz L
(15-53:
rrz L
Para este caso el orden de degeneración esg = 3, e sea, que el nivel es triplemente degenerado. Es instructivo encontrar la diferencia de energía entre dos niveles consecutivos cualesquiera de h partícula en una caja cúbica. Usando la ecuación (15-52) tenemos 2
En
y
=
-
!J.E = En+1 - En =
1T r? --"--'-'--c(11
2mL'
(2"
+ 1)
+ 1);
(15-54)
de aquí vernos que si estamos tratando con una caja muy pequeña, es decir, si L"""* 0, bE -OJ; 00, y la separación entre los niveles es muy grande, el espectro de energías en este caso es discreto. Pero si L """* 00, AE -7 0, Yentonces el espectro de energías tiende a ser continuo. De la ecuación (15-42) tenemos
h'
En = - (a' 2m x
+ a' + a;) "j
Igualando esta ecuación con la (15-52) obtenemos
(:('x + (:(' + (:('z y
= L2 rr' (11'x
+ ,,' + 11') z y
176
.
TERCERA PARTE: EL ATOMO
de donde "x =
"z
L
~
L
(15-55)
Si cambiamos estas ecuaciones con las dadas por (15-50), con a = b = e ~ L, vemos que (15-56)
también de las ecuaciones (15-50) n x 1T11
h
nadas espaciales x, Y • .Y z, tenemos ahora coorde.nadas de momento PX ' PY ' y p Z ' Un espacio triSmensional cuyos ejes corresponden a Px ' Py , y P; respectivamente, se conoce como espacio del momento(ver figura 15-4) cada punto en este espaci: estará localizado por un conjunto de tres coordenadas (P x' p v ,pz), las cuales representarán un est: do posible de la partícula; cualquier punto de es~ espacio es accesible a la partícula. Ya que cualesquiera dos estados consecutivos C'(.\orresponden a valores de n que difieren sólo en UIll. unidad, la separación entre dos puntos canSo..... cutivos de este espacio es, a partir de la ecuaciÓI. (15-57) h h Px2 - PX ! - lL nx + 1) - 2L n x
e
h
2L con fórmulas semejantes para las direcciones y y.: Por esta razón se dice que cada punto en el espaci: de momento yace en el centro de un cubo, cuy volumen está dado por h3
8L'
--- --~-.,¡~--,-t p
2L
-,
-"-'
)
Px =
)L--------------=--
Figura 15-4 Espacio del momento
Q:x h
CAPITULO 15: LA ECUACION DE SCHAÓDINGER 11
:odas estas disgresiones nos permitirán calcular
::lis adelante, en el capítulo 35, el número posible ~ estados electrónicos disponibles a una partícula =t
este espacio del momento.
PROBLEMAS
h = 1.054 X 10- 34 J·seg. ··1 Para el problema del pozo de potencial en la sección 15-3, suponga que la partícula es un electrón confinado dentro de una dimensión de L = 2.0 Á. Determine para esta partícula
15·6 (a)
NUMERO CUANTICO, N
El, Y (c) la longitud de onda de un fotón con energía !1E. E2
-
":·2 Para un electrón confmarlo dentro de una dimensión de L = 2.0 Á, calcule (a) el valor más pequeño del momento angular, y (b) el porcentaje de incertidumbre en el momento de un electrón dentro de la caja. ·-3 Si la partícula en el poro de potencial es un gramo de arena, con una masa de 1.0 X 10--'7 ~g confinada dentro de una dimensión de L
1.0 non, determine (a) la energía más pequeña El en electrón volts, y (b) la dife· rencia de energía entre El y la siguiente energía más elevada E 2 (M = E 2 - El). Compare este valor con el del problema 15·1. =
Para un pozo de potencial infmito, use la ecuación (15-27) para determinar la probabilidad de encontrar un electrón en las situaciones dadas abajo.
cia en energía entre la energía más pequeña El, Y la siguiente energía más elevada E'l, =
177
15-5 Use el programa BASIC del ejemplo 15·1 para evaluar la probabilidad y la probabili· dad por unidad de longitud de encontrar una partícula de energía E 3 en intervalos de 0.1 aL desde X = O a X = L. Compare ahora los resultados de la probabilidad y de la pro· babilidad por unidad de longitud para los in· tervalos X A = 0.30L aXB = 0.36L Y de X A = 0.499L a X B = 0.501. ¿Por qué es mayor en el último caso la probabilidad por unidad de longitud?
(a) la más pequeña energía posible El que puede tomar en electrón volts, (b) la ,liferen·
M
•
INTERVALO
1 1 2 2
(b)
O
~
iL
~
O
~
iL
~
tL lL tL lL
Encuentre la probabilidad por unidad de longitud correspondiente a los puntos medios de los intervalos para los números cuánticos dados.
15·7 Calcule el valor esperado del momento de una partícula que se halla dentro de una caja de longitud L, si su función de onda es n7rX
L
LECTURA RECOMENDADA ~-4
Encuentre un valor aproximado de n para (a) un electrón que se mueve a una velocidad de 6
7.3 X 10 rn/seg dentro de una caja de longi· tud L = 5.0 A, (b) una molécula de oxígeno (m = 5.3 X 10-26 kg) que se mueve a la velocidad de 460 rn/seg. dentro de una caja de 10.000 A de longitud, y (c) una partícula de 1.0 X 10-'; kg de masa que se mueve a la velocidad de 0.001 Orn/seg dentro de una ca· ja de 1.0 non de longitud.
BORN,
Max., La Física en mi generación,
Springer·Verlag, Nueva York, 1956. Ver en particular la pág. 140, "Interpretación de la mecánica-cuántica" . FONG, Peter, Elementos de Mecánica cuántica,
Addison·Wesley, Reading, Mass., 1962. La mecánica cuántica se ha desarrollado paralelamente a la clásica para mostrar que es una exten-
178
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
sión natural y para enfatizar el aspecto físico de la mecánica cuántica y no la abstracción matemática.
PLANCK, M., Autobiografía científica, Philosopbical library, Nueva York, 1949, págs. 4346. SCHRODINGER, E., Colección de articulas sobre mecánica ondulatoria, Blaclde, Glasgow, 1928. Una interesante relación de los primeros trabajos de Schrodinger sobre macánica cuántica. SCHRODINGER, E., ¿Qué es la vida? y otros ensayos cientificos, Doubleday, Carden City, Nueva York, 1956.Todo estudiante de física debería leer estos estimulantes ensayos.
SCHRODINGER, E., et al., Cartas sobre mecánitr ondulatoria, M. L. Klein (Ed.), Pbilosophicz. library, Nueva York, 1967. Un conjunto de cartas personales muy bien sele.: donadas escritas por estos físicos sobresalientes. relativas al nacimiento de la mecánica cuántica. SHERWlN, Cbalmers W., Introducción a la mecrn/ca cuántica, Holt, Rinehart & Winston, Num York, 1959. Un texto comprensible y popular dirigido al ni.. de subgraduados_ Muchos problemas son resuelt por métodos numéricos, para alcanzar una prensión básica sin matemáticas avanzadas.
COI:;
16
Algunas aplicaciones de la ecuación de Schrodinger
Werner Karl Heisenberg
(1901·
)
Nacido en Würzburg, Alemania,
Heisenberg estudió en la Universidad de Munich bajo la dirección de
Arnold Sommerfeld. Trabajó tres años en Copenhague con Niels Bahr, y después fue director de/Instituto
Max Planck de ({sica en G6ttingen. Se le considera el fundador de la
mecánica cuántica (1925). En 1927 Heisenberg desarrolló el principio de incertidumbre, el cual implica que mientras más pequeño sea el espacio ocupado por un electrón, mayor debe ser su energfa. Por su predicción de dos formas alotrópicas del hidrógeno y la formulación matricial
de la mecánica cuántica, recibió el Premio Nobel en 1932.
16-1 16-2 16-3 16-4
EL OSCILADOR ARMONICO CLASICO EL OSCI LADO R ARMONICO MECANO-CUANTICO EL EFECTO TUNEL POTENCIALES PERIODICOS y EL MODELO DE KRONIGPENNEY 179
-kx
F =
(16-'
16-1 EL OSCILAOOR ARMONICO CLASICO donde k es una constante y F es la magnitud de "'vector siempre dirigido hacia el punto fijo O. Cuando aplicamos la segunda ley de Newton,= ecuación toma la forma
La mecánica clásica es un caso especial de la más general mecánica cuántica. Un ejemplo simple pero sorprendente del contraste entre las dos "mecánicas" es provisto por el tratamiento del movimiento del oscilador armónico. El problema del oscilador armónico idealizado es uno de los pocos casos que pueden ser tratados por completo con la ecuación de Schr6dinger, y suministra un valioso primer método de aproximación para problemas más complejos, como el tratamiento de la energía de vibración de las moléculas. (Hablando estrictamente, el único problema que puede ser tratado con exacti· tud por la mecánica cuántica es el problema de la partícula libre). Como una breve revisión del tratamiento clásico de un oscilador simple, considere la partícula de masa m de la figura 16-1. Esta ejecutará un movimiento armónico simple cuando al ser desplazada la distancia x de O actúe sobre ella una fuerza restauradora
d'x m-- = -kx dt' que también se puede escribir como
d'x d mdx- - I dI dt'
-kx dx
La integración da
It mv' + tkx'
= constante = E
I (16-,
El primer término es la energía cinética de la p<:: tícula K =
tmv'
(16-<'
y el segundo es la energía potencial
o F = -k)( (Fuerza restauradora) --+-----------f-I----<
A
M
I
x
L----I Figura 16-1 Oscilador armónico lineal 18~
(16--:
1
L----
>x
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES OE LA ECUAC10N DE SCHAOOINGER
v ~ -l:kx'
(16-5)
te forma que la energía mecánica total del sistema ~
una constante
IK + V ~ E
= constante
I
(16-6)
Para cualquier valor fmito, la partícula oscilará en·
:re dos puntos, digamos A en x = L Y A' en x = 1. Ya que E puede tener cualquier valor depen5endo de x y v, el espectro de los valores permi":dos para E es continuo. Si defmirnos
w ~tonces
,
k
(16-7)
=-
m
la ecuación (l6-2) se puede escribir como
d'x
-
dt'
+ m'x
= O
+
Be -
ieH
(16-9)
:.os valores de las constantes A y B se pueden .:eterminar a partir de los valores iniciales de la _ sición y la velocidad. La relación de Euler nos :ermite escribir la solución como
x = ecos
úJl
+
D sen rol
(16-10)
- ta es una ecuación de movimiento, que nos da la :osición de la partícula como una función del ::empo. La velocidad de la partícula en cualquier - "mnte es
dx
v = - = -Cw senwl dI
+
Dw cos
rol (16-11)
Jejemos que la partícula se encuentre en x = L en tiempo r = O Y que en este instante tenga una Iocidad v = O. Con estas condiciones iniciales, las =aciones (16-10) y (16-11) dan e = L yD = o. .2 Íorma final de estas dos ecuaciones es X(I) = L cos mI
V(I) - -Lm sen
(16-12)
mI
181
y la energía total es
E
=
-l:mL'm'
sen'
mI
+ -l:kI3 cos'
mI (16-14)
La velocidad máxima se da cuando la partícula cruza el origen x = OY es v max = wL. En el origen la energía potencial es cero, y la energía total es
I E ~ -l:mv~" =
-l:mm' L'/
(16-15)
Sin embargo, cuando la partícula se encuentra en A o en A', la velocidad es v = O, Y por lo tanto, la energía cinética también es nula, así que la ener· gía total se debe sólo a la energía potencial; de donde
IE =
-l:kx~..
=
-l:kL' I
(16-16)
(16-8)
=Sta es similar en la forma a la ecuación de onda 15·14) y, como esa expresión, tiene una solución x = Ae iwt
•
(16-13)
16·2 EL OSCILAOOR ARMONICO MEeANO-CUANTICO El tratamiento del mismo sistema con los métodos de la mecánica ondulatoria implica la solución de la ecuación de Schrtidinger al ser a plicada al sistema. Por lo tanto, debemos plantear la ecuación que describa el mismo oscilador armónico que tra· tamos clásicamente Sin embargo, debemos damos cuenta de que la función de onda no está locali· zada en ningún punto del eje x y, por lo tanto, no se puede defmir una posición cierta para la partícula en cualquier instante dado. El producto ¡J;*¡J; da la densidad de probabilidad de encontrar la par· tícula en cualquier pequeño intervalo dx a lo largo del eje x. De aquí que, no se pueda usar, para plantear el problema, una ecuación de fuerzas que sean funciones de la posición como se hizo para el oscilador clásico usando la ecuación (16-1 l. De hecho, el concepto de fuerza pierde su relevancia en la mecánica cuántica; sin embargo. los conceptos de energía y momento siguen prevalenciendo. Por las mismas razones. no debemos esperar encontmr resultados que den la posición de la partícula como función del tiempo, como los da para el oscilador clásico la ecuación (16-12), ni para la velo· cidad como función del tiempo como los da la ecuación (16-1 3l.
182
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
Sin embargo, la enerf5;a del sistema sí puede ser considerada, ya que esta cantidad aparece en tér· minos de la energía potencial como una función de x en ambos tratamientos. En el caso clásico, la energía potencial dada por la ecuación (16-5) re· sulta de la aplicación de las leyes de Newton a la ecuación de la fuerza. Sin embargo, en el tratamiento mecano-cuántico, la función de la energía ¡x>tendal
v=
tkx 2
y encontrar las energías correspondientes
sean los valores característicos. El procedimien ~ bosquejado aquí se puede extender a cualquier P..':mero de dimensiones. Cuando la forma de nuestro pozo de poten . es la energía potencial asociada con el osciladCK armónico clásico, V = *-kx 2 , la ecuación 8 Schr6dinger toma la forma
kx 2 - l j ¡ - Eif¡
h 2 d2lj¡ 2m dx
(16-17)
es una condición inicial y primaria impuesta sobre el sistema mecánico. Entonces, esta condición esta· blece el problema al defInir a V (x). Recordemos que, en el caso clásico, la ecuación (16·16) fija un desplazamiento máximo L(= x max ) para la partícula e iguala la energía total a la energía potencial de la partícula en este desplazamiento máximo. Esto no puede usarse para deftnir x max en términos de la energía total y así, a menos que se impongan nuevas condiciones so· bre V(x), debe extenderse en su forma defInida por la ecuación (16-17) tanto a x = - = como a x = + oo. Sin embargo, no serviría tener una función de onda lj¡ que permanece fInita en el infmito, porque no podría ser normalizada para dar la probabilidad de encontrar la partícula en regiones finitas del espacio. Por lo anterior, imponemos a la función de onda la condición de que debe desvanecerse a distancias infinitas del origen. Nuestra visión ya no es ahora la de una partícu· la ligz....i :l a un punto por una fuerza elástica proporcional al desplazamiento. Ahora pensamos en un siste.. na de ondas contenido en una especie de bo· tella o "pozo" de energía potendal, cuya forma está dada por la ecuación (16-17). Podemos discutir las probabilidades de encontrar a la partícula en varias regiones en/y alrededor del pozo, y pregun· tamos sobre su energía en todas las circunstancias posibles cuando se encuentra en el pozo. Como para cualquier sistema de ondas que se encuentre ti· mitado por todos lados por algún medio, no es sorprendente encontrar que éste también toma la forma de ondas estacionarias dentro del pozo. Así, el problema es encontrar soluciones I/In que sean funciones características que representen los varios sistemas posibles de ondas estacionarias,
En qtr
- - - -2 +
{16-1¿
2
Es interesante notar que esta ecuación de onda y problema de su solución eran bien conocidos d! los matemáticos antes de que los físicos lo apli~ ran a sistemas físicos reales. Para encontrar su sok.. ción, pondremos primero esta ecuación en la fOfma d2lj¡
+ 2m (E _ kX')
dx 2
2
f¡2
ljJ = O
(16-1S
que también puede escribirse como d'lj¡
dx 2
+ (2mE
mk -x f¡'
f¡2
2) lj¡
= O
Con el fin de simplifIcar los cálculos posteriores conveniente introducir las cantidades
~ =
2E f¡w
mk
y
(16-2
f¡2
de forma que
mw
2E
2Em
f¡w
f¡'
así, nuestra ecuación toma la forma d2lj¡
- -2 + dx
(,,~
-
,,2 X2) lj¡ = O
(16-21
Ahora hacemos un cambio de variable introduciendo
que es una cantidad sin dimensiones ya que a se mide en m· z , como el estudiante puede verificar. Utilizando la regla de la cadena
:o
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUAC10N DE SCHRODINGER
•
183
este requisito la segunda exponencial es inadmisible pues tiende al infinito cuando ~.... ±~, por lo tanto la desechamos y sólo nos resta
>/J. = Sustituyendo en (16-21 N) encontramos (16-22)
_. rmalmente, esta ecuación se resolvería presupo"¡endo una solución en forma de serie de poten~s, pero la función de onda está restringida por el zquisito número 5 a tender a cero cuando x, O en $:e caso ~ 4 ± 00, Esto nos sugiere el empleo del "todo conocido como expansión asintótica de a función, según lo cual buscaremos laJorma de ... para grandes valores, tanto positivos como zgativos de ~. Ya que P depende E, para cual'er energía fInita 11 e~ despreciable en compara~n de ~, nuestra ecuación se reduce a (16-24)
a es de la misma forma que la ecuación (15-37) 21 capítulo anterior y por lo tanto es satisfecha r una ecuación de la forma (16-25)
'Jerivando con respecto de
d'>/J -'0-,,de
~
= (4 a' <'
<
obtenemos
ya que A es una constante arbitraria, no fijada aún por las condiciones de normalización, podemos por conveniencia hacerla igual a l. Con esto nuestra expansión asintótica para la función de onda es .1.
= e
--2(16-27)
Esta ecuación nos da el comportamiento asintótico de 1/1. es decir, para grandes valores de t, pero también nos interesa definir t/J para pequenos valores de ~ positivos y negativos, Para esto asociamos a nuestra solución asintótica con una nueva función, que deberá tener el comportamiento adecua· do en las regiones cercanas y regular el comportamiento de 1/100 en las regiones lejanas. Así se prueba tentativamente como solución general la función
>/J = >/J.H(~) = e
e 2
Hm
(16-281
Para abreviar la discusión siguiente en lugar de H
(O escribiremos simplemente H. Derivando la ecuación (16-28) con respecto de contramos
d~
Y
d'>/J -= d~2
~
dos veces en-
e
~HJ ;-2-
d>/J = [dH _
nmos
d~
[d'H dH ]~' ---2~_+~2H-H e--'d~'
d~
sustituyendo ahora la función y su derivados en la ecuación (16-22) llegamos a
,
o=±....L [
lo tanto nuestra solución toma la forma
+ 8e-'-
d' H _ d~2
2t
dH dI;
+
eH ~2
t'
(16-26)
o de nuevo el requisito número 5 vuelve a enpara modificar esta ecuación; de acuerdo con
nI
~'
~.
+ 2 a) eOP
tituyendo en la ecuación (16-24) y despre· .::ando el segundo término entre paréntesis encon-
donde
e
A;-'-
e HJ ;-2~2
+ PH;"""2 - ~2H;-2- =
o
Cancelando el factor exponencial común y simplificando obtenemos fmalmente
184
.
TERCERA PARTE:
2~
d'H _ d~'
dH d~
EL ATQMO
+ (~ -
1) H = O
(16-29)
Esta es la famosa ecuación diferencial de Hermite. El método usual para resolver esta ecuación consiste en suponer una solución en forma de serie de potencias, aquí usaremos
~
Co
+Cl~ +C2~2
+c 3
e + ...
(16-30)
Buscaremos ahora las derivadas que implica la ecuación (16-29) dH = e d~ 1 -
2~
+ 2e 2<;e + 3e 3<;,2 + ...
dH = d~
-
2e,~
-
Esta fórmula nos permite calcular los coeficientes es, ... en términos de los coeficientes c{¡ y Cl que son arbitrarios y deben ser determinado~ a partir de las condiciones iniciales. Por lo tanto nuestra serie (16-30) consistirá en realidad de dO! series, una de potencias pares (si el mínimo subíndice m es par) y otra de potencias nones (si el mínimo subíndice m es non). Esto esti de acuerdo con la teoría de las ecuaciones diferenciales, según la cual una ecuación diferencial re segundo orden debe tener una solución que contenga dos constantes, en este caso Co y CI, qtr deben determinarse de las condiciones fronterizai.. Sabemos que si una serie tiene una suma finiu. es convergente y divergente si no la tiene. La coCovergencia de nuestra serie (16-30) es determinad! por los coeficientes dados por la ecuación (16-31 y si estos son positivos la serie divergirá para grandes valores de ~. Los coeficientes de la ecuación son positivos si C2, C3, C4,
4e 4<;,3
+
4c,~' - 6C3~3
~ m=O
también
2m
+
1
JI
>~
ó bien, si
-
-
~ (m
m=O
m> +
l)(m
+
2)Cm+2~m
además (~- 1)H ~
~
m=O
1) - 2m] cmH m ~ O
+ 1 -~ + 1)(m + 2)
~
2m
cm
{16-31}
n
"(16-32
de aquí ~ =
para que H (~) sea una solución de la ecuación (16-29) la ecuación anterior debe desvanecerse para cualquier valor de ~ y esto requiere que el coeficiente total de cada potencia de ~ sea igual a cero, lo cual nos permite derivar la siguiente relación ae recurrencia. c m+ 2 ~ (m
~-l
2
+ l)Cm + 2) C m + 2
+ [w -
2
para que esto no ocurra, es decir, para que la serie no se vuelva divergente es necesario que la temu· nemas a una cierta potencia máxima dada por
(~- I)Cm~m,
sustituyendo estas tres ecuaciones en la ecuación (16-29)
lo {(m
~-1
2n
+
1 =
(16-33
De aquí los valores permitidos o característicos de la energía total quedan dados por El! = (n
+ -}) hw
= (n
+ +)hll ( 16-34)
donde úJ = 2m! y n = O, 1, 2, 3, ... Este espectro de valores de la energía es discreto, y distinto en esto del espectro continuo permitido por la mecánica clásica. La diferencia entre los niveles de energía de este espectro es hv.
oc
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHRODINGER
¿En qué sentido entonces, puede la mecánica .:!!sica considerarse como un caso particular de la =rcánica cuántica? La respuesta se encuentra al :nnsiderar la aplicación particular. Supongamos .?lr ejemplo, que estamos manipulando un artilumecánico tal como un címbalo, o un diapasón, la colunma de aire de un tubo de órgano. La ~cuencia puede encontrarse entonces en alguna ~e de la región que va de IODO a 10.000 Hz, y la -ergía del sistema vibrante puede ser de varios 'rlios. La separación entre los niveles permitidos :e la energía sigue siendo hv, y ya que h es aIre· 2'O.0r de 6.63 X 10-34 J-seg. la separación entre :¡f-,--eles estará en el rango de 10-3 oJ. Comparada :JO. la energía total implicada, la separación entre ~ niveles de energía es tan pequeña que puede marse efectivamente c'Jmo cero, de manera que espectro de valores permitidos parece ser con:::lUO.
Sin embargo, para las dimensiones atómicas y deares,las frecuencias pueden exceder fácilmen12 '? a 10 Hz, y la energía del sistema puede ser -24 J o menor. En estos casos, la separación ~tre niveles (hv ~ 6.63 X 10-34 X 10 1 2 ~ 6.63 X J"2 2 J) se vuelve muy pronunciada y el espectro 2" los niveles permitidos de energía es notable:=Ente discreto. Debe recordarse que tales especs discretos de energía se obtienen solamente =ando el sistema mecano-cuántico está limitado alguna forma. Una partícula "libre" aquella que se halla en ningún campo de fuerza y está bajo influencia de funciones de energía potencial .:oo:stantes, puede tomar cualquier valor de la ener~ y por esto tiene un espectro de energía verda~ ..?ramente continuo. Otro resultado sorprendente del oscilador meca:xo-cuántico es que no puede tener una energía pal a cero. La ecuación (16-33) no permite que E ~e a cero como su menor valor. Esto fija la .::.e-rgía del punto cero igual a "hhv. Una situación :&iililar se discutió en el capítulo 15: ver la explica::::IÍn que se da en conexión con la ecuación .5-23). -..!estra relación de recurrencia dada por la ecua".;" (16-31) puede utilizarse para calcular Jos polimios de Hermite a que se reduce nuestra serie 6-30) cuando la cortamos utilizando la condi-
•
185
ción dada por la ecuación (16-32). Para este fin, es decir, para calcularlos, introducimos ~ = 2n + 1 en la ecuación (16-31) y hacemos m = (m - 2) conservando la misma letra como índice a pesar del cambio, lo cual es de uso común en el manejo de series; así tenemos e
-
(m-2)+2 -
2 (m - 2) - I - 2n - 1 e [(m - 2) + 1] [(m - 2) + 2] m-2
despejando a e m-2
m (m - 1) e 2(n-m +2) m
(16-35)
aquí debe cumplirse m ~ n para estar de acuerdo con la ecuación (I6-32). En este caso cm viene siendo el coeficiente de la potencia más alta del polinomio y ya que la constante de nonnalización de la función de onda aún no se ha determinado, la experiencia acumulada en matemáticas nos muestra que resulta conveniente expresarlo en la forma (16-36)
sustituyendo esta ecuación en la (16-35) y prosiguiendo en forma iterativa para el resto de los coeficientes obtenemos 2n -2
n (n - 1) 1!
Cn~4
~
(16-37)
2n- 4 n (n -I)(n -2)(n -3) 2!
Sustituyendo todas estas ecuaciones en la ecuación de nuestra serie original (16-30) llegamos a Hnm = (2Ü n -
+
n (n -1) I!
(2Ü
n 2 -
+
n (n - I)(n - 2) (n - 3) (2 Ün-4
2' a este polinomio hay que agregarle CI ~ si n es impar y Co si n es par. Si dejamos que n tome los valores 11 = O, 1,2,3, ... etc., obtenernos los polinomios de Hermite*
·Ver por ejemplo, M. R. Spiegel, Manual de fórmulas y McGraw~Hill, Nueva York, 1968, pág.
tablas matemáticas, 151.
186
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
m~ H, m = H m~ Ho
2
potencial para el oscilador. Los puntosA y Al ,B. B ' , etc.. representan aquellos puntos en que energía potencial es igual a la energía total perm:tida para ese valor del número cuántico n. Un osci-
l 2~
4e - 2
H 3 m = 8e -
lador clásico según la ecuación (16-16) no ser' encontrado fuera de estos puntos. En el caso meCéno-cuántico, la densidad de probabilidad tiene va.. lores finitos más allá de estos límites, y así exist!una probabilidad, pequeña pero finita, de enCOfr trar la partícula en regiones exteriores al pozo rl!potencial.
12~
_ (-I)ne" d
n
(e-<')
d~n
donde ~ = x"¡¡;La tabla 16-1, da una lista de los valores característicos En de la energía y de las funciones características correspondientes 1/1 n para diferentes valores de n
EJEMPLO 16-1: Calcúlese el valor esperado de energía cinética del oscilador armónico cuántia:: para el estado n = O.
La probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partícula en una región cualquiera del eje x está dada por 1/1*1/1 o, en notación más usual, Ni' . Los valores de esta densidad de probabilidad para unos pocos valores de las energías permitidas se grafican en la figura 16-2 junto con la función de la energía potencial V (x), que fija el pozo de Tabla 16-'
SOLUCION: Utilizando las funciones característi-
cas normalizadas, que aparecen en la tabla 16-: para facilitar los cálculos, ya que son indepeúdientes del tiempo, tenemos
t/Jo
)"2 -_ (y'--; ~ y'"
Valores y funciones cararterísticas del oscilador armónico
n
VALORES CARAcrERlsncOS DE LA ENERGIA, EN
o
Ea =
t hv
2
E2 =
1: hv
n
En = (n
FUNCIONES CARAcrERISTICAS NORMALIZADAS, t/JN
1
+
'112 =
t)hv
'IIfl =
donde Q'
=
f¡
-
h
y
H.+ 1 = 2mHn - 2nHn_1
e
e 2
[
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHRÓDINGER
f
,•
, , , , ,
HoCU ~ 1. lA energía cinética está dada por
K
p2
(a)"4 e- ~: 2m (ñY~ ~)2
=foo
_1
1T
-00
1
2m
( ~)"4
De la ecuación (l5-la)
K ~
f
oo
~oo
.p~ _1_ 2m
i
~)
2
ñ
2
ax
cambiamos ahora de variable recordando que
ox
o
d~
o~
dx
a
~
-
pero
e _~:
d~
ya
2(
oOe
e- ~:
-00
~2)
e-'
=
L (e- ~:) d~ oe
e
~2 - e--2~2 e--2-
así que. cambiando los límites de integración
K =
2 f~
ñ a
mY1T
:!riemás
- y-¡; dx
fOO
2mY1T
:::)a-
o
o~
1T
(~
y
187
la sustitución de todas estas cantidades nos da
ya que
K=
.
~2 (~2 ~2 e--2e--2- - ~2e-'
o
dx
o
-----;>
Desplazamiento x
Figura 16-2
Diagrama de niveles de energía y curva· de energía potencial para el oscilador armónico. Se bosquejan las densidades de probabilidad asociadas con cada energíaEo,E t , etc., para los primeros cuatro estados.
) d~
188
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
Estas integrales son bastante conocidas y se pue~ den encontrar en las tablas ya citadas, de modo que 2
-h"
4m
pero de la tabla 16-1
,,= la sustitución da
K
= hv _ 4
Eo 2
donde hemos hecho uso de la ecuación (i 6-34). Se sugiere que el estudiante encuentre el valor espera· do de la energía potencial.
16-3 EL EFECTO TUNEL En la figura 16~2 se ilustró que la función de onda penetra una corta distancia "dentro" del pozo de potencial en cada caso, dando una probabilidad fInita de encontrar la partícula más allá de los límites clásicos impuestos por la pared. La función de densidad de probabilidad dentro del pozo de potencial puede ser considerada como el resultado de un sistema de ondas estacionarias en la función 1J; correspondiente a cada nivel permitido de energía.
Ya que una onda estacionaria es el resultado ót dos trenes de ondas que viajan en direccion opuestas entre fronteras reflectoras, podemos coosiderar que la función de onda en cualquiera de ~ paredes consiste de una onda incidente y otra reflejada. En este caso, la onda penetra un poco deútra de la pared, y así la reflexión tiene lugar a em profundidad finita, así como en la superficie de h pared misma. Suponga, ahora, que la pared en la región de h: función de onda penetrante es muy delgada; e:. otras palabras, la función de la energía potencial SO!" dobla y tiende a cero rápidamente justo después
o Región Il, = V, y
, Onda incidente +reflejada
v
O
"' Onda transmitida
i
E
,b=========;J!.-_...1.._+=======,,-> x
l----r-----t
Figura 16-3 Un haz de partículas de energía cinética E incide sobre una barrera de potencial V> E de anchura OA = t.
,
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHROOINGEA
, ,l-
!
•
, l-
,• i-
Región Ill,x>O, donde la energía potencial es = !lejemos ahora que el tren de ondas incida sobre la :arrera desde la izquierda. La barrera se ha cons;:ruido de tal forma que es delgada, comparada con . . . profundidad de penetración de la onda dentro ::e ella, y por lo tanto debe haber una onda de :tnplitud finita en la región III a la derecha. Hemos desarrollado esta situación a partir del :3$0 de uno de los niveles de energía indicados :2.fa el oscilador armónico de la figura 16-2. Note ':'le allí la energía total del nivel (digamos E,) es nor que la altura de la barrera, que hicimos do~ !:ir en x con un valor un poco mayor que en el ?Jfito B como lo indica la línea punteada allí. La ~rgía potencial en el máximo de la barrera es J:2Yor que la energía total de la partícula en ese - el; sin embargo, decimos que la función de onda :ene una amplitud finita más allá de la barrera. :Sto implica que la probabilidad de encontrar la ::atícula fuera de la barrera es finita, aun cuando energía total es menor que la altura de la ba=rra. Nos vemos forzados a dibujar una amplitud :::uta para la función de onda en la 3a. región :Dma se ve en la figura 16-3. Asignando la nota~n 1/1 1, 1/12, ¡JI3 a las respectivas funciones de ;:,nda en las regiones 1, 1I, y IlI, como se indica en ..:! figura, las correspondientes ecuaciones de 5chr6dinger son ~gión
-h' I - -d'"" --
"gión 11
2m
dx'
-
-h'-d'''', -+ 2m
dx'
E"',
V, = O
ya que
v"', = E"',
(16-38)
ya que VIl = V
~ .. 111 -h' d''''3 .t;.fl.!lon - - 2- = E,I, 'Y 3 ya que VIII = O -
2m
~arreglando
dx
región JI
d'"" _
P'''',
= O
región III
d'·I. ~'I'_3 dx'
a'""
=
dx'
+
189
(16-391
O
Las soluciones de estas ecuaciones son región 1 región II región III
"'1 -
Aei;u
"', _ Fe- P'
"'3 - Ce
iu
+
Be-i;u
+ eel' + De-iv:
(16-401
donde las constantes A, B, etc., son las amplitudes de las componentes correspondientes de cada onda. Se pueden identificar como sigue: A es la amplitud de la onda que incide desde la izquierda sobre la barrera, B es la amplitud de la onda reflejada en la región 1, F es la amplitud de la onda que penetra la barrera en la región H, es la amplitud de la onda reflejada (por la superficie en A) en la región H, e es la amplitud de la onda transmitida a la región lll,y D es la amplitud de una (no existente) onda reflejada en la región lll.
e
Debe notarse que hemos dibujado la función de onda a través de las tres regiones de la figura 16·3, de manera que es continua y de valor único en todos los puntos del eje x. Estas condiciones que imponemos son razonables, y hacen posible resolver explícitamente para las varias amplitudes en términos de la energía de la partícula, la altura de la barrera y su espesor. Ya que la densidad de probabilidad asociada con una función de onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de esa función, podemos definir el coeficiente de transmisión de la barrera como
estas ecuaciones y definiendo las
:z...ll.tidades a2
•
(16-41 )
= 2m E
h'
y
fJ'
- ecuaciones toman la forma
=
2m(V - E)
h'
y un coeficiente de reflexión para la superficie de la barrera en x = Oen la forma
I R ~ IBI'I
_-_y~' I
_1
(16-42)
190
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
Si la barrera es alta comparada con la energía total de la partícula o ancha comparada con la longitud de onda de la función de onda, entonces el coefi· ciente de transmisión toma la forma
I: T", ,
16
~ (1 V
_E)V
e-(2,¡.)J2m(V-E)
II
(16-43)
,
donde t es el espesor físico de la barrera. Hemos alcanzado la notable conclusión de que si rula partícula con energía E sobre una delgada barrera de energía de una altura mayor que E,hay una probabilidad finita de que una partícula pene· tre la barrera. Este fenómeno, llamado efecto túnel es un resultado de la mecánica cuántica que no está permitido en el tratamiento clásico. Entre los primeros éxitos de la teoría cuántica en la física nuclear está la aplicación del efecto túnel del decaimiento radiactivo a efectuada por Gamow en 1928 y por Candan y Gumey en 1929. lDs nucleones en el núcleo de, digamos, el uranio, consisten de neutrones y protones. Estas partículas forman grupos de corta vida, consistentes de dos protones con dos neutrones (partículas a) dentro del núcleo. Se puede calcular sobre la base del efecto lúnel que una de tales partículas ", al inci· dir desde el interior sobre la barrera de fuerzas nucleares que mantiene unido al núcleo, tiene alre· dedor de una oportunidad. en 1038 de penetrar la barrera y escapar del núcleo. Este escape consti· tuye lo que llamamos decaimiento radiactivo a. El núcleo tiene un diámetro de aproximadamente 10-14 m, y la partícula a: se mueve dentro de él con una velocidad de 107 m/seg. de manera que efectúa cerca de 1021 colisiones/seg. dentro de la barrera. kí hay 1038 colisiones 10 colisiones/seg
---:7."---"'===;''= 21
o sea
10 17
seg penetración 9
que se necesitan cerca de 3 X 10 años para que una partícula" tenga una probabilidad de escapar. Además, esto nos permite comprender la larga vida media radiactiva del uranio, que es alrededor de u.' billón de años. La altura de la barrera nuclear del polonio es algo menor que la del uranio, y una partícula a
tiene una oportwtidad en 1017 de escapar del nú· cleo por el proceso de colisión. Tomando la razón de colisiones como 102 I /seg, el tiempo probable de escape de este isótopo del polonia para UnE: partícula a es del orden de 10'" seg. El efecto túnel mecano-cuántico en el decaimiento a exhibe diferencias extremas en los tiempos de vida radiac· tivos (variendo de millones de años a milisegundos) para variaciones muy pequeñas en la altura de la barrera de potencial.
EJEMPLO 16·2: El problema de la barrera de patencial es una buena aproximación al problema de un electrón atrapado dentro pero cerca de la super· ficie de un metal. Calcule la probabilidad de transo misión, es decir, de que un electrón de l.0 eY penetre una barrera de potencial de 4.0 eV cuando la anchura de la barrera es de 2.0 Á. SOLUCION: De la ecuación (i 6-43), el coefi· ciente de transmisión es*:
ev)
ev)
"
T", 16 (1.0 (1 _ 1.0 4.0 eV 4.0 eV 2 x 2
x exp [
X 10-10
=
m
--c-:c::---==-=-1.05 x 10 J-seg
.J2(9.1 x 10
34
31
kg)(4 - 1)(1.6 x
10- 19
J)
'" 0.084 Así, sólo alrededor de ocho electrones de 1.0 eV de cada cien, penetran la barrera,
16-4 POTENCIALES PERIOOICOS y EL MOOELO OE KRONIG-PENNEY La elevada conductividad de los metales es un2
consecuencia de la gran cantidad de electrones U· bres que contienen. Sin embargo, a pesar de su gran movilidad, sólo unos pocos tienen energías suficientes para vencer la energía que en el capi· tulo 711amamos función de trabajo, también conoci· *Recuérdese que exp(x) es otra forma de indicar la exponencial eX •
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHROOINGER
,. O
, , , :.
, '.
)
____ como trabajo de extracción. En otras palabras, .y una especie de "barrera" que les impide. en la yor parte de los casos, abandonar el metal. Al contrarse rodeados por todos lados por esta ba~a, podemos suponer que se encuentran efectiente dentro de un pozo de potenciaL Pero en interior, es decir. en el interior del metal, este o no es tan simple como el que vimos en el calUlo 15. Para darnos una idea de como es este pozo sea, de la forma que tiene el potencial en el ii:.erior del metal, notemos, en primer lugar que, - general. la estructura de la mayor parte de los ·dos, y en especial de los metales, es de forma =sralina y que los átomos de un cristal están arre· ~dos en forma periódica, geométrica y regular. esta manera, la casi infinita cadena de átomos un metal da lugar a un potencial de forma pe. • .ca den tra del cual se mueven los electrones llamamos libres, aunque no lo sean del todo. Para convencernos de que este potencial interior realmente periódico recordemos la forma de la rgía potencial de un electrón en la cercanía de protón. Esta se puede apreciar en la figura 64). La forma particular se debe a que la enero _ 't potencial es proporcional a lfr .
"
V
2 2
~ Q
,
o
-'
~protón
,
, 164 ~ergía potencial de Coulomb de un electrón en cercanía de un protón. -gura
::na energía
potencial es de signo negativo y está :'da por la fórmula (124)
V=
---c'-_
411"Eo
e' r
•
191
(16-44)
el signo menos nos indica que el electrón se encuentra ligado al protón por una fuerza atractiva, formando con este lo que antes llamamos un sistema cerrado. En otras palabras. el electrón se en~ cuentra atrapado dentro de Jo que podríamos llamar un pozo de energía potencial, producido por la atracción electrostática entre las dos partículas. Los metales alcalinos se caracterizan por tener un solo electrón en la última capa exterior adyacente a las capas internas, las que sí cuentan con su dotación completa de electrones. Los electrones de las capas interiores actúan como una especie de pantalla, escudando al electrón exterior del campo electrostático nuclear en proporción directa al número de electrones que llenan las capas internas, de tal forma, que para el electrón exterior el nú· cIeo tiene una sóla carga efectiva de signo positivo, siendo contrarrestadas las demás por los otros electrones. Esto nos permite simplificar la situación, suponiendo que tenemos un solo electrón en la cercanía de un protón. Por lo tanto, la energía potencial del electrón en el campo del protón será semejante a la que ya vimos antes. La estructura cristalina de un metal compuesto de este tipo de átomos, ordenados uno tras otro, producirá un potencial periódico de la forma representada en la figura (i 6·5), en la cual vemos un corte transversal de un potencial que en realidad es tridimensional, pero que por simplificar los cálculos se ha reducido a una sola dimensión. Cuando, como aquí lo hacemos. tomamos en cuenta la periodicidad que este potencial impone al movimiento del electrón, aparece un cierto número de característi~ cas que nos permiten explicar varios fenómenos que ocurren en el interior del metal, por ejemplo, a que se debe que algunos sólidos sean buenos conducto~ res, otros aislantes y otros semiconductores. Sin embargo, nuestro modelo de energía potencial de la figura (16-5) no es adecuado para trabajar. pues los cálculos se vuelven muy complicados, lo cual nos obliga a utilizar un modelo aproximado que se asemeje lo más posible a nuestro caso reaL Este se muestra en la figura (16-6) y se conoce como modelo unidimensional de Kronig Penney.
192
.
TERC¿RA PARTE;
EL ATOMO
V (X)
f--a-, or------------------------30-
x
( Figura 16-5 Energía potencial del electrón dentro de la estructura periódica de un cristal.
donde 2 = a aquí que
La periodicidad del potencial afecta nuestras funciones de onda de tal forma que, además de constar del factor normal que corresponde a la amplitud constante, asumen otro factor que modula la amplitud de la onda de acuerdo con el pen"odo del potencial. De aquí que las funciones de onda se puedan escribir como y,(x) = eikXu(x)
las ecuaciones (16-45) Y(16-46) constituyen la expresión matemática del teorema de Bloch y Iz: funciones u (x) se conocen como funciones dt Blocl1. El teorema de Bloch establece que la amp tud modulante u(x)de la función de onda se repi'~ con perfodo l. Para probarlo, partiremos de ecuación (16-45), según esta
( 16-45)
1)
el período del potenciaL l),
(16-c
donde las u (x) deben cumplir con la condición u(x) = u(x -
+ b, es
(16-46)
V(x)
1
Il
VI = O
VII = Vo
lB
VIII
~
-!
O
I O
a
a +b
Figura 16-6 Serie periódica de pozos de potencial que constituyen el modelo de Kronig Penney.
:>
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHRODINGER
d 2 >J¡ dx2 d 2 >J¡
>J¡(x - 1) = eih(X-')U(X-1) ::r donde
>J¡(x -
+
-=--.é..!l,,-I
-=-.c:llllU
1) = e'kxe-'hlu(x - 1)
dx 2
= O
.2, JJ
VIII
•
193
a
+ o:' .1.'+'IlI
= O
a+b
:::: e- ih1 eihx u (x)
De la ecuación (16-45) tenemos, para la región 1 >J¡, (x) = e'kx u¡(x)
= e-'h' >J¡(x)
tomando derivadas
:le aquí que
>J¡(x) = e'h' >J¡(x - 1)
d>J¡¡ -=
(16-48)
-ikx
mu1tipli-camas ambos miembros por e
obte-
dx
d'>J¡¡ dx' (16-49'
:ero e- 'kx >J¡(x) = u(x) lo cual nos prueba su ca.:!cter periódico. Ahora que ya tenemos las herra=:ientas necesarias para atacar nuestro problema, maremos tres regiones
O
''''gión 1 _
,
V, = O
a
'gión III
+
a
b
<
x
<
VII
1
+
a
=
VIlI = O
Asignando la notación >J¡" >J¡ 11 Y >J¡ 111 a las res~ctivas funciones de onda en las regiones l, JI Y de la figura 16-6, las correspondientes ecuacioJieS
de Schrodinger son
~gión
tI'
1
2m
2 11' d >J¡u dx 2 2m 11' d 2 1/JIlI egión ffi2m dx'
+
. [d'U¡ e'RX -dx 2
+
d-U 2ik - Ik, U ] dx
¡
d2 UI dx'
dUI
2ik - - - (k2 -(,')u = O dx 1
-- +
d;U~1 + d2Um dx'
+
2ik duu _ (e dx
P') U u
= 0(16-53'
2ik dUm _ (k' _ ,,')u = O dx m
Estas ecuaciones pueden ser resueltas por el método llamado de los operadores diferenciales. La aplicación de este método nos da 1
(x)
= Aei(O:-h)x
+
Be-i(Q+k)x
= Ce'
VD >J¡u - E >J¡u (16-50)
¡hacemos
2mE 11'
] 1
sustituyendo en la primera de las ecuaciones 16-50 y procediendo en forma similar para las otras dos, llegamos a
U
d' >J¡, dx2 = E >J¡¡
_'gión II
=
X
Vo
+ i ku
y
mas e-'kx >J¡(x) = e-'k(X-1> >J¡(x - 1)
. [dU' e thx -----&.dx
La última de las ecuaciones (16-54) debe su forma a dos razones: 1a., a la necesidad de eliminar dos nuevas constantes que aparecerían inevitabkmente si la escribiéramos en su forma normal, y 2a., a que en el estudio del teorema de Bloch, en la ecuación
(I 6-46) vimos que y
2m(E- VD) 11' (16-51)
.mestras ecuaciones se transforman en
O
u(x) = u(x - 1) En otras palabras. nuestra función tercera región es de la forma
"m (x) 116-520)
= u 1 (x -
ne
onda en la
1)
esto se debe también a que los valores de x en la tercera región corresponden a x - i de los valores
194
.
TERCERA PARTE: EL ATOMO
de x en la primera región, debido a que cualquier punto de la región III está adelantado en e con respecto al punto correspondiente de la región I.
Las discontinuidades del potencial imponen ciertas condiciones fronterizas que deben satisfacer las ecuaciones 16-54, estas son
du¡ dUn = dx dx
u I = un'
la expansión de este deterJIÚnante resulta
cosk(a
+
b) = cOSOla 012
enx=a,Y
dun
un = uHI'
dUIlI
-
dx
Aplicando estas condiciones a las ecuaciones
16-54, obtenemos
+
Be-i(a"-k)o
=
Cei(/l-k)a
+ (01 - k)Aei(OI-h)a - (01
+
A
+
B
+ k)De-i(~+h)a
+
(~
+
sen Ola sen ~b
(16-S-
to de átomos que dan lugar al potencial periódi
(16-57) nos da
+ b)
De-i(fj -k)(a-tb)
k)B = (~- k) Cei(~-·)(a+.)
-
~2
que estamos estudiando. Nuestra definición de : implica que si E < Vo , es decir si la energía de..: electrón es menor que la altura de la barrera, entonees (3 se convierte en una cantidad imagina~ Para evitar la aparición de este tipo de cantidach en la ecuación (16-57) es necesario hacer ~ = i~. la sustitución de esta relación en la ecuaci· ...
cos k(a
Cej(fj -k)(o+b)
=
+ (01 - k)A - (01
De-i({j-tk)O
k) Be-i(OI+h) =
(~ - k)Cei(~-.)a - (~
+
201~
cos~b
Esta es la ecuación que nos permitirá conocer lz características de los niveles de energía del conju::.~
dx
enx=a+b.
Aei(a-k)a
su~
mente laboriosa, y la larga serie de desarrollos _ que da lugar hacen prohibitivo que se pongan ¡xx escrito, pero no implica más que el uso de los rritodos usuales de expansión, y el uso de la ecua cita.. de Euler. Si hacemos todo esto llegamos a la ec~ cióo
k)De-i(~+.)(a+.)
Usando las relaciones [cos i x = cosh x] y [sen ¡x = i senh x,] llegamos a cos k(a
(16-55)
Este sistema de cuatro ecuaciones simultáneas, lineales y homogéneas tiene una solución no trivial solamente si la matriz de los coeficientes es singular, o sea, si su determinante es igual a cero. De aquí que debamos tener, después de simplificar los términos del determinante
(16-56)
= cos Ola cos i~ob a2 _ a 2 ~o O" . sen aa sen lpo=+ 2. I OI~o
+ b) +
= cos Ola cosh ~ob ~~ _ 012 ~ n sen Ola senh ~ob o
_1 a..,o
(l.-SE:
Para examinar las características de las zon2$. permiticas de la energía, recordemos que los máximos valores que puede tomar el coseno de un ángula son + 1 y-l. Entonces las zonas permitid2:! de la energía deben yacer entre
,
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHRODINGER
- 1 .;; cos aa cosh
+
x
(j5 -
a?
~ob
sen (la senh (job
2a~o
~
1
(16-59)
:sra ecuación aún resulta muy complicada para erpretarla de manera que, para simplificar un 'XJCO, tomaremos de nuevo la ecuación 16-58, y la .sudiaremos a la luz del caso límite que ocurre =ando la barrera de potencial tiene al infinito, V o - oc y su anchura tiende a cero b -+ O. En este caso
,-
~ob --->
+ b)
I
--->
cos ka = cos x + A
ka = cos aa
+
-
{~5
a')b 2a
L
•
~
que
~5 =-~'
I
•
(j~ -
a.'l
-
2a ~¿
2a
r
a'
E«Vo
y
b (aa ) -
mVo
ah2 m Voah
h
2
I
aa
A
aa
I
(16-61)
seo x c:. <:::::::: x
(16-62)
Si cuando Vo -+ 00, b -+ o, la opacidad A de la barrera de potencial permanece finita, ya que el producto Vob permanece finito. Una opacidad finita significa que el electrón tiene una buena probabilidad de atravesar la barrera que lo circunda, y pasar a otro nivel de energía cercano, semejante al que se encontraba. Esto es posible debido a que los átomos del cristal se hallan muy próximos los unos a los otros, de modo que todos y cada uno de los electrones comparten entre sí, aunque no simul táneamente, los niveles semejantes de todos y cada uno de los otros átomos que forman el material. Cada uno de estos niveles, de igual energía, están tan próximos entre sí, que dan lugar efectivamente a la formación de bandas permitidas de energía,las
·onces nuestra ecuación toma la forma
~
x
se muestra en la figura (16-17). Es obvio que ahora también debe cumplirse -1~cosx+A
~ob ---> ~ob
sen x
La gráfica del miembro derecho de esta ecuación
coska
senh
y
195
donde A = m Vo abj'ñ? se conoce como opacidad de la barrera de potencial. Sustituyendo estas cantidades, y haciendo 0Ul = x. la ecuación 16-60 se transforma en
J
cos k(a
•
cosx
+A
sen x -x-
I
Figura 16-7 Gráfica de las ronas prohibidas. y permitidas de la energía, indicadas estas últimas por las bandas oscuras.
196
•
TERCERA PARTE: ELATOMO
cuales se indican por medio de líneas oscuras en la figura (16-7), y que están separadas unas de otras, o sea, unos niveles de otros, por medio de bandas prohibidas, las cuales no son otra cosa que la unión de las barreras semejantes entre sí. Si hacemos (la = fm, se puede observar por la figura, que cada valor de n marca el fin de una banda permitida y el principio de una prohibida y que a medida que aumenta n, es decir, a medida que aumenta la energía, las bandas prohibidas se hacen cada vez más estrechas, mientras que las bandas permitidas se ensanchan, de manera que para grandes energías el espectro es prácticamente continuo. En cambio, si la opacidad tiende al infinito, la situación equivale a la de un conjunto de átomos aislados, o bien, a la de los electrones correspondientes separados por barreras impenetrables, o, lo que es lo mismo, atrapados dentro de pozos infinitos de potenciaL Pero si A --"" 00, entonces, para evitar una indeterminación debemos tener sen x = O, de manera que nuestra ecuación 16-61 se reduce a cos ka
=
cos x
ó
ka
=
Ola
=
=
2mE
n 2 1f2
h'
a'
de aquí
En
n 2 1f2 h2 2ma 2
n = 1, 2,3, ...
fórmula que nos da, como ya sabemos, un espectro discreto de niveles de energía para cada átomo. Cuando E> Vo , las zonas permitidas de la energía están dadas por la ecuación - 1
~
cos
Ola
,x' + 2(J(~
cos {3b ~'
sen o:.a sen (3b
<
1
.1.
PROBLEMAS
16-1 Un péndulo en la primera aproximación ~ un oscilador armónico. Determine la energ" cuántica del punto cero para un péndulo ~ 10m de longitud en el campo gravitacioItt... de la tierra. 16·2 Use una tabla de integrales y muestre que b. función característica I/Jo de la tabla 16-~ está normalizada. 16-3 Use la tabla 16-1 y encuentre la expresió;: para la función característica 1/J4(X) para oscilador armónico. 16A ¿Cuál es la frecuencia de vibración de
n1f
de donde 012
energía semejantes en sus aspectos cualitativos los de la figura 16·7, razón por la cual poderrn. tomar las características de esta figura como acpliamente generales.
(16-63)
Cualquier potencial de tipo periódico da lugar a 1:-¡ ! nrmaci6n dI" b
Ui.
electrón con una energía de punto cero d.= 15 eV? ¿Cuál es el siguiente valor perrnitid~ de la energía para este electrón.?
,
16-5 Cuando electrones de 1.0 eV inciden sobr= una barrera de potencial de 8.0 eV (tal co¡oc; la función de trabajo de un metal), ¿qu:fracción de electrones penetrará la barrera s:: ésta tiene 5.0 A de ancho? 16-6 Una partícula de energía cinética E incidzsobre un pozo de potencial con V> E C01TlC' se muestra en la figura 16-8. (a) Establezca las ecuaciones deSchródinger para las regiones l y 11 \ encuentre 1<1 expresión para b fllnciór:. de onda en cada región. (b) Use las condiciones fronterizas y la definición de función de onda para determinar las constantes de las funcione5 de onda [Si ()(' = (2mjh' lE y ~' ~ 2m( V - E) /h' , entonces la constant, asociada con ei3x debe ser cero].
/;
CAPITULO 16: ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACION DE SCHRODINGER
.'::1
.
197
~
~
•e
_____"c-
f
I l _J~----",r----",~ w _
11
O
Figura 16-8
(c)
Si A es la amplitud de la función de onda incidente y B es la amplitud de la función de onda reflejada, muestre que el coeficiente de reflexión es igual a uno, o sea,
¿Qué significa esto físicamente?
=-
~
Los electrones están atrapados a 3.0 A dentro de la superficie de una placa de metal: ¿Cuál es la probabilidad de que los electrones escapen de la placa si la barrera de potencial es de 8.0 eV y la energía de los electrones es (a) 1.0 eV, (b) 4.0 eV, y (c) 7.0 eV? La ecuación 1643 es válida solamente cuando la barrera es alta o ancha. La ecuación exacta para el coeficiente de transmisión es
T = {I
(a)
(b)
,
+ senh 2 ,j(2mVt 2 /h 2 )[1 -
(E/V)]}-I 4(E/V)[1 - (E/V)]
Muestre que cuando t o V son grandes, esta ecuación se reduce a la ecuación (I6-43). Resuelva el problema 16·6 usando la ecuación exacta para T y compare los resultados.
- 9 Una partícula a está atrapada en un núcleo cuyo radio es'o = lA X 10-1 S IJL ¿Cuál es la probabilidad de que una partícula Q' escape del núcleo si su energía es (a) 2.0 MeV, o (b) 1.0 MeV? La barrera de potencial en la superficie del núcleo es 4.0 MeV.
16-10 Para el oscilador armónico clásico, la pro· babilidad P de encontrar la partícula en una longitud dx es proporcional al tiempo que estuvo en dx, o sea, a dx/v. (a) Muestre que P es proporcional a dx/ ..; 2m(E \7kx 2 ). (b) Muestre que la constante de proporcionalidad A en la integral = 1 es igual a K 2 m2 /rr. Para el oscilador armó· nico clásico cuales son los límites a y b ?
LECTURA RECOMENDADA
EStBERG, R. M., Fundamentos de física moderna, Wiley, Nueva York, 1967. Un libro bien escrito apropiado para un enfoque intermedio de la física moderna. HARRIS, Louis, y LOEB, Arlhur L.,Jntrodllccíón a lo mecánica ondulatoria, McGraw·Hill, Nueva York,1963. Un texto algo suplementario, pero bien hecho. Hay varios problemas prácticos discutidos con de· talle. KIITEL, Charles, I"troducción a la física del estado sólido, 3a. ed. Wiley, Nueva York, 1968. PAULlNG, Linus, y WILSON, E. Bright, Introducción a la mecánica cuántica, McGraw-Hill, Nue· va York, 1935. Una referencia excelente sobre los fundamentos de la mecánica cuántica.
198
.
TERCERA PARTE: EL ATOMO
PLANCK, M., La filosofía de la física, Norton, Nueva York, 1936. En capítulo 2 ("La causalidad en la naturaleza"), el Dr. Planck hace un análisis exhaustivo del principio de incertidumbre de Heisenberg y del principio de causalidad. SHERWIN, Chalmers W., Introducción a la mecánica cuántica, Holt. Rinehart & Winston. Nueva York, 1959. El capítulo 3 da una solución para la ecuación de la amplitud del oscilador armónico usando méto-
dos numéricos.
SIDNEY, Borowitz., Fundomentals of Quantwr MeciuJnics. W. A. Benjamin Inc., Nueva York. R. de L. KRONIG, y W. G. PENNEY, Proe. Ro. Soe., Londres, Al30, 499 (1930).
SILVA, ANDRADE E., Y LOCHAK, G., OJantCll. P. MODre (Trad), McGraw-Hill, Nueva York, 19 , Un estudio brillante, claro, y preciso de los prin<>pios de la mecánica cuántica. Prefacio escrito JXX de Broglie.
17
Diferentes modelos de la , . mecamca
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•
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Jo'
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Originarío de Bristol, Inglaterra, Dírac
se doctoró en (¡sica en la Universidad
_i/,
nombrado Profesor Lucasiano de Matemáticas en 1932. Ha sido profesor
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;i;', 1p./Í'
(1902-
"j. /,),1
;._,,1'1./
.
\
Paul Adrien Maurice Dirac
~
I
.....
de Cambridge en 7926, donde fue
visitante en la Universidad de
Wisconsín yen la de Princeton. En 1928 Dirac extendió la mecánica ondulatoria
al estudio de partículas de alta velocidad combinándola con la teoriá relativista. Consecuentemente, predijo la existencia del positrón. Por udescubrir nuevas y fecundas formas de la teoda atómica", él y Erwin Schrodinger recIbieron el Premio
Nabe! de f(sica en 1933.
17-1 17-2 17·3 17·4 17·5 17·6
MODELOS DE LA MECANICA MECANICA CLASICA MECANICA RELATIVISTA MECANICA CUANTICA DUALIDAD ONDULATORIO·CORPUSCULAR PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 199
17-1
MODELOS DE LA MECANICA
Hagamos una pausa en este punto, y revisemos los varios modelos básicos del illillldo físico a los que nos referimos corno "mecánica". En este capítulo haremos un resumen breve dejando las pruebas detalladas y los ejemplos para los respectivos capítulos donde cada modelo fue desarrollado. Aquí sólo se presentan los resultados principales de cada uno. de manera que podamos compararlos con los diferentes enfoques. Debemos darnos cuenta de que estos modelos no son puntos de vista competitivos, ni concepciones de la naturaleza díferentes y exclusivas que deban ser probadas de forma que algún día sólo una sea aceptada y las demás rechazadas. Los modelos que los físicos han desarrollado son, de hecho, diferentes aproximaciones a la realidad de la naturaleza, aplicables en diferentes circunstancias. Aún no hay un número de apro~ ximaciones suficiente para describir todo cuanto observamos en la naturaleza, ni tampoco una sola teoría unificada que pueda usarse para describir cualquier situación. El progreso de la física consiste en encontrar nuevas aproximaciones para cubrir nuevas observaciones y en desarrollar generalizaciones que reunan tales aproximaciones dentro de varias teorías. Estas aproximaciones matemáticas, junto con los conceptos que las ligan a una parte de la naturaleza, se llaman rnade/os. 200
Los modelos que estudiamos en este texto pueden ser llamados (1) el Newtoniano o mecánie< clásica, (2) la mecánica especial relativista, y (3) h. mecánica cuántica u ondulatoria.
17-2 MECANICA CLASICA La mecánica clásica o Newtoniana fue, históricamente, el primer sistema de mecánica desarr~ llado dentro de lo que ahora llamamos física. BaS2da en las observaciones del movimiento de lO! objetos ordinarios en el mundo cotidiano, lE mecánica clásica tuvo éxito al desarrollar UM. descripción general del movimiento de estos objetos y de sus interacciones. Estos objetos no eran TI: muy grandes, como lo son las galaxias, ni mu~ pequeños, como los átomos. Cuando se hallabaL en movimiento no viajaban a velocidades demasiado grandes, sino pequeñas comparadas con la df la luz. En general, la mecánica clásica describe coéxito el movimiento de estos objetos. La mecánica clásica, en su forma más elemental puede considerarse basada en las tres leyes del m~ VÍmiento, de Newton: La ley de la inercia establece que un cuerpo libre se encuentra en reposo o moviéndose a velocidad constante. La ley de la fuerza establece que la fuerza F actuante sobre una partícula de masa m es igual ~
CAPITULO 17: MODELOS DE LA MECANICA
razón de cambio en el tiempo del momento p = d
F = - (mv) dt
(17-1)
La ley de la acción y la reacción establece que =mdo un cuerpo A ejerce una fuerza FA sobre un po B, por cualquier medio, B a su vez ejerce fuerza igual y opuesta F B sobre A. de modo (17-2)
,•
La ley de la inercia define la condición de equi'0 para un cuerpo e implica la conservación del :¡¡:-mento. Ambas leyes, ésta y la de la acción y "ción, pueden ser derivadas de la ley de la fuer· ecuación (17 -1), Y así deducimos que la segun_ leyes la más fundamental de la mecánica clá· . De manera alterna puede considerarse la con· :ación del momento como la más básica*. Con-"'re una agrupación de n partículas que se mue· libremente no sujetas a fuerzas externas. Des, sin embargo, que haya un número arbitrario .- grande de fuerzas actuante entre las par-- las. y dejemos que sus masas y velocidades E!1l mI. m2, ... m n y VI, V2 , ... Vn . La ley de la Jtl:.ServaciÓn del momento establece que el moto total del grupo está compuesto de la suma orial de los momentos de las partículas, y que so:J suma permanece constante aunque los motos de las partículas individuales puedan caro· . Esto es,
•
,
~ m¡v¡ -
.,
mIv I
+
n1 2 V2
+ ... +
mnvn
=
= constante
,
,
--:...a razón para esto es que en modelos más sofISticados, .:r=:no el
mecano~uántico,el
concepto de fuerza pierde su mientras que la conservación del momento lixal es como un dogma en la física y prevalece en todos .es modelos aceptados.
~\llncia,
201
va es llamada "fuerza", y la segunda y tercera ley
de Newtan se siguen como una consecuencia lógi· ca. El principio de conservación en la ecuación (17-3), tomado con su consecuencia, la ecuación (17-1), sirve para definir la noción de fuerza_ Sin embargo, el concepto de fuerza pierde mucho de su relevancia, en ambos mundos el microscópico de la mecánica cuántica y el macroscópico de la teoría general de la relatividad (que n"o estudiaremos en este texto). Para estudiar el movimiento clásico de una partícula, su masa m se toma como una constante y la ecuación (17-1) se expande como F
~
d dv - (mv) = m dt dt
~
d'r
mdI'
(17-4)
El vector r es el vector de posición de la partícula con respecto al origen de un sistema de coordenadas inercial arbitrario: por ejemplo
r=ix+jy+kz
(17-5)
El sistema no necesita ser cartesiano-puede ser un sistema de coordenadas esféricas o cilíndricas o cualquier otro de tres coordenadas espaciales ortogonales. La ecuación de movimiento que da la posición como una función del tiempo t se obtiene inte· granda la ecuación (I 7-4), lo que da r = r(t, e, ...• c 6 )
(17-6)
donde las seis c's son constantes de integración. La evaluación de estas constantes está basada entonees sobre la suposición fundamental de que en algún tiempo inicial, cuando t = lo, tanto la posición de la partícula,
(17-3)
.-\sí, si el momento de una de las partículas .:r:nbia, el momento de al menos otra partícula bién debe cambiar para preservar constante la l:::J1a en la ecuación (17-3). La interacción entre sas partículas causante de dicha acción coperati·
•
(17-7)
como su velocidad Vo
=
• d
1-- Xo
dt
• d
• d
dI
dI
+ J - Yo + k -
Zo
(17-8)
se conocen simultáneamente y con precisión absoluta. La posibilidad teórica de obtener este conocimiento es incuestionable; su adquisición está basada solamente en nuestra habilidad para realizar la medición .
202
•
TERCERA PARTE: EL ATOMo
Nuestra ecuación (17-6) de movimiento se ha obtenido, en este caso, con respecto a algún marco particular de referencia con el cual hemos elegido empezar. Si la ecuación correspondiente se ha de evaluar con respecto a otro sistema de coordenadas, podemos empezar de nuevo en la derivación o usar para obtenerla una ··transformación de coordenadas". La transformación es simplemente un
Este conjunto de ecuaciones define la trans!OI· mación Galileana de ejes Cartesianos. Tiene conwepartidas cuando se aplica a otros sistemas coor&~ nadas, tales como las coordenadas esféricas o cilír:-
dricas. La situación se ha simplificado tornando la vel<;. cidad relativa v a lo largo del eje X tanto de S: como de S,. &to tiene el efecto de igualar lo! valores numéricos de las coordenadas y y z e:.
conjunto de relaciones entre las coordenadas del primer sistema de referencia y aquéllas del segundo. En la mecánica clásica, esta es la transformación Galileana, llamada así en honor a Galileo. Refiriéndonos, por ejemplo, a la figura 17-1,
ambos sistemas, como se indica en la ecuació~ 17-9. La igualdad de 1, y t,-el valor deltiem¡x: en cualquier instante y en cualquier lugar leído el.
vemos que
movimiento relativo y se toma como una
indica un sistema de coordenadas inercial arbitrario y S,(x" h, z" 1,) es un segundo sistema inercial que se mueve con respecto a SI con velocidad constante v. Entonces las coordenadas en SI de un evento E(x l. y 1, Z l. t d que tiene lugar en. un punto P están relacionadas a las coordenadas en S2 del mismo evento E
(X"
y"
SI (Xl. Y .. Zl. tI)
los relojes ya sea de S,
Ó
S2 es independiente
ción fundamental. De la ecuación (17-9), se encuentra que la 00rrespondiente transformación Galileana de vel" cidades es
z" t,) en el misnw p.unto P por X, =
X2
+
(17-1C
Vil
y, =y, (17-9)
z,
=
1,
= t2
supo~
Z2
donde la velocidad de la partícula en el punto F medida en S, es VI
z, z,
r "k
= iv)x
E (xl.
+
jv 1 )'
+
kV1z;
y,.z,. 11)
Elx2.Y2.Z2.t2)
, J
5,
vt,
y,
y,
x,
Figura 17-1 las coordenadas del evento E(x l • YI.
ZI. td que ocurre en el punto P están relacionadas a las coordenadas en 8 2 del mismo evento E(X2. Y2. Z2. 12 ) a través de las transformaciones Galileanas. Los vectores unitarios l,i, y k son los mismos en ambos sistemas, ya que los ejes (x, y, z) en S, y S, son paralelos.
(17-11
CAPITULO 17: MODELOS DE LA MECANICA
la velocidad de la misma partícula en el mismo :tlJlto P y en el mismo tiempo ti = (2 medida en es
composición clásica o Galileana de velocidades ~ dada entonces por :.2
=
V2
+
vi
(17-13)
~
fmalmente, las aceleraciones de la partícula mc3"das desde los dos sistemas coordenados son (17-14)
Ya que en la mecánica clásica la masa m es una ::Jr/!!tante universal, de la ecuación (17-14) obtene-
=
mal = ma 2
,. las leyes de Newton son invariantes en ambos Jisternas S, Y S2 _ Por lo tanto, también el sisterna S: es inercial.
,
z
/
/ A (tI)
---
Trayectoria ligel"amente ....... ,.. diferente ............. D
------- --
__ - ; /
y
/.o;----r----~,-L--------;>
M
Trayectoria real
c'" x
Figura 17-2 El principio de Hamilton establece que si A CB es la trayectoria real seguida por una partícula viajando entre los puntos A y B. YADB es cualquier "trayecto.ria ligeramente diferente que conecta los mismos puntos, la integral (K - V)/d/ tiene el mismo valor para ambas trayectorias. O, en otras palabras 8I = O. lo que significa que J:~ (X - V)/dl tiene un "valor estacionario" J puede ser un mínimo o un máximo. H
sn
203
Es importante recordar que la transformación es una operación con varias representaciones. una de ellas dada por el sistema de ecuaciones (17-9). Consecuencia inmediata de la transformación Galileana es el principio clásico de la relatividad, el cual establece que las leyes de lo mecánica son invariantes en forma para todos los marcos inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros, con una velocidad relotiva constante y pequeña comparada con la velocidad de la luz en el vacio. Se ha descrito a la mecánica clásica como basada en el concepto de fuerzas que actúan sobre masas (leyes de Newton) o, como una alternativa, basada en el principio de conservación del momento. Otros puntos de partida se emplean en varias aproximaciones a la mecánica clásica, y desde luego todas deben dar los mismos resultados al aplicarse a cualquier problema dado. Cada uno provee un concepto algo diferente de la naturaleza básica del universo físico, y ofrece ventajas particulares en la aplicación a problemas reales. Una aproximación
(17-12)
Iv,
•
204
•
TERCERA PARTE: EL ATOMO
muy importante a la mecánica clásica -que no trataremos con detalle en este texto, pero usada am· pliamente en la dinámica clásica avanzada y adaptable tanto a la mecánica relativista como a la cuántica- se basa en el principio de Hamilton. Este principio considera una situación dinámica en la cual, por ejemplo, (figura 17-2) una partícula viaja entre los puntos A y B en un tiempo t = t 2 - tI, bajo la influencia de fuerzas. La energía cinética K y la energía potencial V se definen como funciones de la posición y del tiempo a lo largo de la trayectoria. El principio de Hamilton establece que las integrales f¡ (K - V) dt de las diferentes funciones (K - V) sobre el tiempo t = t2 - t, son las mismas cuando se toman a lo largo de cualquier trayectoria real A CE o cualquier trayectoria ligeramente diferente (v.gr., ADB). La cantidad L = K - Ves llamada la función Lagrangiana o el potencial cinético. Se dice que la integral temporal entre dos puntos a lo largo de una trayectoria dinámica tiene un valor estacionario con respecto a la misma integral tomada sobre cualesquiera otras trayectorias permitidas (o diversas). El valor de la integral a lo largo de una trayectoria dada es un mínimo, comparado con su valor a los largo de cualquier otra trayectoria, en muchos casos de interés. Todas las leyes de la dinámica clásica pueden ser derivadas del principio de Hamilton, y éste provee un sistema de mecánica basado en energias en lugar de cantidades vectoriales tales como las fuerzas o los momentos. Ya que la energía (en sus muchas formas) parece ser la "'esencia" primaria de la cual está formado todo el universo físico, tal vez una aproximación HamiltoDiana a la mecánica sea la más fundamental.
general de la relatividad. Esta complicación se e\· aquí requiriendo que las masas sean de tamafa' ordinario y que cualesquiera velocidades impli das, aunque muy grandes, sean constantes o ca:::-bien de manera muy uniforme. Estos son los lím· tes de la teoría especial de la relatividad. Un resultado experimental primario, el experr mento de Michelson-Morley, suministró muchos' los motivos para el desarrollo de esta teoría. U suposición básica se desprende de la consideraci· de este resultado: que la velocidad de un paque:. de luz en un vacío (e) es la misma para todos 1 observadores inerciales· > aun cuando éstos pued~ estar moviéndose relativamente entre sí con velo dades constantes arbitrarias. Ya que todas L observaciones de los eventos naturales son, en úlnmo caso, llevadas a cabo en alguna forma a trayél; del uso de campos electromagnéticos, debe emplearse una transformación de coordenadas fund=mentalmente diferente de la GaWeana, dada por ecuación (17-9). Ahora debemos usar la transfrxmación de Lorentz. Cuando se aplica a los sisteITl2!. representados en la figura 17-1, las ecuaciones C= transformación de Lorentz. sonó
, IXI -
t
YI -
y(x,
Cuando una situación dinámica implica cuerpos moviéndose con velocidades que se acercan a la velocidad de la luz, la aproximación que debe usar· se es llamada mecánica relativista. Si hay grandes aceleraciones involucradas, o si hay masas extremadamente grandes como se encuentran en las estrellas neutrónicas, debemos trabajar en uno de los sistemas de la mecánica relacionados con la teoría
VI,)
y, (17-1:
donde 'Y es el factor de Lorentz l Y - ---¡=~~
JI -
17-3 MECANICA RELATiVISTA
+
(17-1<
(v'je')
La razón de la velocidad relativa v a la velocidad de
la luz c a menudo se indica por el símbolo
fi
=
V
e
(17-11
El estudiante debe mostrar que a medida que v se vuelve muy pequeña comparada con c la ecuació ·Un observador inercial es un observador en reposo respecto a un marco inercial.
COl"<.
a ;ip y
CAPITULO 17: MODELOS DE LA MECANICA
- -15) se reduce a la ecuación (17 -9) de la trans_rmación Galileana. la transformación de re TI t z o re lativista de velocidades corresJ[Ddiente a la ecuación (17-15) está dada por
I VI I
'
VI}'
~
1
-
I v"J~ {3' , 1
+ +
+
v {3(v,,/c)
V 2x
I (17-18)
{3(v,,/c)
•
205
ra todos los marcos inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante arbitraria. La ley de conservación del momento, dada por la ecuación (17-3), es válida así como está formulada tanto en la mecánica relativista como en la clásica. Este hecho lo recomienda como punto de partida en un modelo de la naturaleza. Esta ley, al tornarse en conjunto con la transformación de Lorentz, resulta en una definición de la masa que también depende de la velocidad relativa,
,
D):;::
í-
Ss o-
-
v"J 1 - {3' 1 + {3(v,)c) I
I
- as, también, se reducen a sus aproximaciones -'lileanas dadas por la ecuación (17 -1 O) cuando
{3 = v/c
->
0_
Una consecuencia de la transformación de :rrentz es que la diferencia entre los valores de coordenadas (digamos, una longitud a lo largo eje x) depende de la velocidad relativa entre ese -~ particular y el observador que mide la longitud. .:sro se ve en la primera de las ecuaciones (17-15), -"nde'Y es un factor común para cualesquiera dos clores de x I y así multiplica cualquier longitud a largo del eje x _Se encuentra fácilmente que la de transformación para longitudes espaciales es
(17-20)
(17-21)
(17-22)
igual a la segunda ley de Newton, excepto que rn es ahora una función de v de acuerdo con la ecuación (17-21)_ Ahora la ecuación (17 -22) puede usarse para definir relativísticamente a la energía cinética como
f' o
-;!¡
~ YT,I
I
d F = - (mv) dI
K =
I TI
ymo
donde mo, la masa de reposo, se toma como la masa medida por un observador en reposo relativo. En el menor valor posible de nI para cualquier ob-· jeto_ La fuerza se define en la mecánica relativista ~ igual que en la mecánica clásica
(17-19)
que el valor de 'Y es siempre mayor que la uni::!ri, L 1 es siempre menor que L 2 , Y así hablamos .:e con tracción de la longitud. Una consecuencia similar se deduce de la última ::r las ecuaciones (17 -15)_ El intervalo temporal :::tre dos valores de tI también es afectado por la 1I:-Iocidad relativa. La ley de transformación resul::::.:J.te para intervalos temporales es
nI =
F· ds =
f'
-d (mv) ds =
o dt
f"
V
d(mv)
o (17-23)
donde la energía cinética es el trabajo hecho por F sobre el cuerpo para cambiar su velocidad de Oa v. En la ecuación (17-23), hemos supuesto que F actúa paralelamente a v, pero el resultado que vamos a obtener también es válido para movimiento curvilíneo. La forma relativista para la energía cinética a partir de esta ecuación es (17-24)
_ así decimos que se agrandan o dilatan. Ahora podemos extender la definición del prin,:¡pio de la relatividad clásica declarando que las
Cuando v/c --).0, ésta se reduce a la expresión clá-
LJ'es de la naturaleza son invariantes en forma pa-
sica
206
.
TERCERA PARTE: EL ATOMQ
(17-25)
donde p = mo v es el momento clásico. La energía total se defme entonces por la ecuación
lE = Ea + K
=
";p2 C2
+
E
a2 ~
[!*(x)if¡(x) = (17-26)
donde 117-27)
es la energza de reposo y
Ip
=
mv = ymov
I
tícula o sistema de partículas tales como un áw.mo. En el presente no se da un significado físi más profundo" ¡J¡(x), pero el producto
I
----,
L energía de rayos + L energía Cinétical + L energía potencial = constante i
roo
if¡*(x)if¡(x) dx = 1
Si la función de onda 1'(x, t) depende de posición y del tiempo, verifica la ecuacián Scl1ro"dinger dependiente del tiempo.
-h- a 'P(x,2 2
(17-29)
(17-30
es real y representa la probabilidad por unidad c.:longitud (o por unidad de volumen, si se define el tres dimensiones) de encontrar la partícula en t::: punto cualquiera. La certidumbre de encontrar partícula en alguna parte, por la así llamada con6 ción de normalización, se expresa por
(17-281
es el momento relativista. El principio de la conservación del momento y la anterior defInición de energía conducen al principio de conservación de la masa energza, el cual establece que, para un sis· tema aislador,
1if¡(x)~J
2
t)
ax
2m
+
V'P(x, t)
_ ih a'P(x, t)
at (17-3:
17-4 MECANICA CUANTICA La mecánica cuántica, un acercamiento enteramente diferente a la mecánica, es especialmente aplicable a sistemas de dimensiones atómicas o me· nares. Aquí, nuestro ejemplo es de la teoría cuántica no relativiSta de Schrodinger. Una formulación algebráica matricial igualmente exitosa, diferente en forma pero básicamente equivalente al tratamiento de Schródinger, fue desarrollada por Heisenberg. Desde luego, da los mismos resultados. Un tratamiento relativista de la mecánica cuántica fue iniciado por P. A. M. Dirac y condujo a una nueva y más amplia visión de la naturaleza, incluyendo el concepto de antimateria. No se tratará en profundidad el tema. por estar más allá del alcance de este texto. Se defme una función de onda compleja ¡J¡(x), que brota de los conceptos de la naturaleza ondulatoria de la materia y debida a de Broglie, para describir el estado físico completo de una par-
y el producto 1'*1' = /1'1' representa la proba!»lidad por unidad de longitud de encontrar a la ~ tícula en un punto y en un tiempo dados. CuanÓl la ecuación describe un estado estacionario, en e.. cual '1' y V no son funciones del tiempo, la ecU!ción (17-32) se reduce a la forma independief8. del tiempo 2
_!'.:.. d if¡(x) + 2m dx 2
V(x)if¡(x) = E .. if¡(X)
I
(17-r!
DefIniendo la energía total en la forma 2
E=K+V~L+v
(17-'Y-
2m
y el operador Hamiltoniano como h2 d 2 IIH = - - - -2 2m dx
+
V(x)
(17-3;
ia ecuación de Schr6dinger independiente dellierr,po (17-33) se puede escribir como
J
CAPITULO 17; MODELOS DE LA MECANICA
I!H"'(x) ~ E"'(x) I
(17-36)
Para llegar a resultados consistentes con las ob.'acianes físicas, se imponen varios requisitos ionales a las funciones de onda 1/1(x):
,
Debe ser de buen comportamiento, o sea, de nlor único y continua en todas partes. - Si 1/1 1 (x), 1/1, (x), ... 1/1 "(x) son soluciones de la ecuación (i 7 -36), entonces la combinación lineal. .. 1/1(x) = 0,1/1, (x) + o, ",,(x) + ... + 'J n 1/1 n (x) debe ser una solución. =-- La función de onda 1/1(x) debe aproximarse a cero cuando x -+ ± oo.
17 - 5
DUALIDAD DNDULATDRIDCDRPUSCULAR
lJ1 i = \JI i w¡
COS
(w¡f -
+OO
f
-00
",,*(x)"',(x) dx = 1
(17-37)
como .una condición de ortogonalidad que ga~ .....¡jza la no interferencia de los trenes de ondas %:E representan los diferentes estados,
En el caso más simple, hay un solo valor único :2 la energía E¡ asociado con cada solución 1/J¡" ~os son los eigenvalores correspondientes, y el ~ctro constituye los estados cuantizados de la !!!ilgío permitidos en el sistema.
k ¡x)
(17-39)
= 21TV¡ es la frecuencia angular y k¡ =
2n/\ es la constante de propagación de la iesima onda componente. la partícula se considera Hlocalizada" en la región de máxima interferencia de las ondas. La frecuencia y la longitud de onda en el = hiPo centro del paquete son v = E/h La velocidad de grupo del paquete como un todo está dada por
y"
v9 =
dE dp
(17--40)
y es igual a la velocidad de la partícula represen-
tada por el paquete, la cual se encuentra diferenciando la ecuación (i 7-34),
(p' + v) ~ v
dE = .'!.. dp dp 2m
- -31),
207
En la mecánica cuántica, una partícula de masa m, momento p = mv, y energía total E = (p'/2m) + V, se representa por un paquete de ondas. Cualquier paquete de ondas puede ser considerado simplemente como la superposición (o el resultado de la interferencia) de un número infinito de ondas viajeras, cuyas amplitudes pueden representarse así:
donde Para el bosquejo de una forma típica de abordar problemas mecano-cuánticos, consideremos un sencillo de estado-estacionario, en el cual la =ícula (o sistema de partículas) está contenida tm de límites que fijan las "condiciones fronte~" sobre la solución de la ecuación. La función la energía potencial V(x) es determinada explí=t:mlente e insertada en el operador Harniltoniano - La solución de la ecuación da entonces una . de funciones 1/1 1, 1/12,"" I/I n que son soluciodiscreta - (funciones características), defmiencada una un estado diferente del sistema. Cada ~unción satisface, separadamente, la condi~ de normalización dada por la ecuación
•
(17--41)
donde V = constante para una Hpartícula libre". En forma natural surge la pregunta: "¿Estamos tratando, fundamentalmente, con una partícula descrita por una masa, una energía, y un momento, o con una onda descrita por una amplitud, una frecuencia, y una longitud de onda? " La naturaleza dual de la onda-corpúsculo es sólo aparente. Los dos caracteres no aparecen simultáneamente en ninguna observación de la naturaleza. El que un sistema aparezca como ondulatorio o corpuscula'( depende de los medios usados para observarlo y de las cuestiones planteadas en la medición. La cuestión de la dualidad es suscitada, principalmente, por la naturaleza simplista de nuestro tratamiento matemático y se vuelve mucho menos aparente en la más sofisticada teoría cuántica, hoy en boga.
208 .
TERCERA PARTE: EL ATOMQ
ticas que forman el paquete tienen una extens"' efect.iva en la frecuencia de .c1v = .c1E/h. La partí la está en alguna parte dentro de la región.c1x de.. paquete, y la incertidumbre en el momento es
17-6 EL PRINCIPIO OE INCERTIDUMBRE Otra característica del mundo microscópico, relacionada estrechamente con el problema de la dualidad, es el principio de incertidumbre de Heisenberg. Este principio establece que hay pares de variables, referentes a un sistema microscópico, que no pueden ser conocidas simultáneamente con precisión infinita. Considérese, por ejemplo, un electrón. Su posición x y su momento p se conocen sólo con cierta precisión. Si 6.x es la incertidumbre en la posición y ti¡; la incertidumbre en el momento
/!'p = /!,
(~) J,
=
- h /!'J,
(17_'_
J_'
Esta incertidumbre es intrínseca a la propia w, turaleza de los sistemas que estamos discutiendo. representa un límite último a lo que es conoci acerca de ellos. No tiene nada que ver con cuabquiera dificultades técnicas encontradas en la ce trucción real de instrumentos de medición nr precisos.
(17--42)
PROBLEMAS
donde h es la constante de Planck. Si sucede que la posición x es perfectamente conocida, entonces se deduce que no sabemos nada sobre la magnitud de P. y viceversa. La misma relación se mantiene para la energía y el tiempo relativos a cualquier evento o estados dados como una consecuencia de la ecua· ción (17-42),
I/!'E I!.t G h I
17-1 En un sistema inercial SI. una masa de: kg ~e mueve con una velocidad Vi = S.Oi3.Oj rn/seg y choca de frente con una de 3.0 kg que se mueve con una velocidad = -Ioi - 6.Oj".
(17--43)
El principio de incertidumbre brota del hecho de que nos vemos forzados a representar una partícula por un paquete de ondas (ver figura 17-3), en el cual el infinito número de ondas monocromá-
17-2 Una estación de radar observa dos naves. con velocidad VI = (0.54c)i + (o.72c)f y segunda con una velocidad Vz = (0.54
I------------tu-----------{
I
Figura 17-3 La región de máxima interferencia de un paquete viajero de ondas repre-
senta una partícula en movimiento.
CAPITULO 17: MODELOS DE LA MECANICA
~
~
•
209
¿Cuál es la velocidad de la primera nave medida por la segunda?
electrón-voUs de energía se requieren para que el electrón alcance esta masa?
_-·3 El laureado Nobel Emest Laurence propuso planes para un ciclotrón con un imán de 4000 toneladas, en el cual los iones pudieran ser acelerados a través de un potencial de 100 MeY. (a) ¿Cuál será la masa relativista de un protón acelerado a través de este potencial? (b) ¿Cuál será la masa relativista del imán, medida por un observador en el protón?
17-9 Determine la longitud de onda asociada con un electrón que se desplaza a (a) 0.80c, y (b) 0.90c.
- -4 Determine la longitud de onda de un cuanto
de luz, cuya "masa efectiva" es igual a la masa de reposo de (a) un electrón, y (b) un protón. ...-·5 Una partícula de masa de reposo mo que viaja con una velocidad (0.90 c)i hace coli· sión completamente inelástica con otra partícula idéntica. (a) Determine la velocidad de las masas combinadas a medida que se alejan juntas. (b) ¿Cuál es el cambio en la energía cinética?
-·6 Muestre que la función ljJ(x) = Ax exp[ -
(.j mk/2h)x 2 ]
podría ser una solución de la ecuación de Schr6dinger para un oscilador armónico de masa m con un'a constante de resorte k.
_-·7 Un laser pulsante de rubí con una salida de 2.0 GW (gigawats) produce un pulso con una duración de 10 pseg. ¿Cuál es la incertidumbre relativa en la medición de la energía del láser? - -8 ¿Cuál es la velocidad de un electrón con una masa relativista igual a 1.1mo? ¿Cuántos
LECTURA RECOMENDADA
BEISER, Arthur, El mundo de la [fsica, McGrawHill, Nueva York, 1960. Un pequeño libro con ensayos interesantes sobre conceptos fundamentales de la física. BüRN, MAX., Problemas sobre dinámica atómica,
M.I.T. Press, Cambridge, Mass., 1929. Todo estudiante serio de física debería al menos leer este excelente libro, ya que contiene la serie completa de lecturas dadas por el PraL Bom en M. 1. T., 1925-1926. GURNEY. R. W., Mecánica cuántica elemental,
University of Nebraska Press, Lincoln, Neb., 1934. Un libro muy bien escrito, en el cual se ha enfatizado el tratamiento de la mecánica cuántica por métodos gráficos. KOMPANEYETS, A. S., Conceptos básicos de la mecánica cuántica, Van Nostrand Reinhold, Nueva York,1934. Traducido del ruso por el PraL L. F. Landavitz, Yeshiva University, y escrito a un nivel muy elemental. este libro contiene una forma muy precisa de abordar el tema de la mecánica ondulatoria, enfatizando el significado físico de sus principios básicos. YOURGRAW, W., y MANDELSTON, W. B.,Principios variacionales de la dinámica y la teoría cuántica, Saunders, Filadelfia, 1968. Presentación muy clara del principio variacional y de sus numerosas aplicaciones a los campos de la mecánica clásica, relativista, y cuántica.
18
La teoría de Schródinger del átomo de hidrógeno
A,,,,,1d J. w. So.. onerfeld 11868-19511 Nocido ""
/(ooigsbi!rg.AI~... ,,~.
$ommer"~d esludió
.... I~ U"i~ad
tk KiitúlIsbtny. Dt 1906 ~ 1940 fue prolesorde f,"siCiI '~"¡Cd "" l. Utlivt!fiidad do Mur.en. Auror y rolWfor XI"'o del atoma do Boll, Y • l. _fm=p,~. E"tro "" mucl>os 00""= ""in In medoJl.. do Plorrcl< (19311. Lor,,"'z (19391. y O"",¡,d 11948)
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"",.ll:i
mu. "ludio, lu Itenia. motemí'ICllS <1, del.I"'·_ Lo filu,. 1~·1 e. un> feprcltnl.ción • ...,uemS· ti", dtl "0"'" . ";.110 d:ilic.ln"nle. Un protón pesado (mos:l = 1836m,J K en b ",n...nál del ampo .lrld_. Coto"'"", d<1 sistema. )\ollOlln. deunpeióol está <:mUido ... el pvtóII ...... nlt .. qw es .... p"',.;....... ....,.. los d<>I porliCllb• ..,.... alrededor do "" ornUO do< ...... 00.... de$pb7ado ... POCO. r....... del ...." .. del pru<6n. Sin ~.-...,. _i ...,...-~"""
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11·2 LA ECUACION AZIMUTAL
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11-3 LA ECUACtON POLAR
eaw:ión que ckw:nl>c el o:>rnp:>n.olllieD'D "'CUla. di4 en .... 01 ...
01 .. tudio de Iu• .,.m6n;COJ "fféliM, con \IJI,I ~ de oolucio como polinomioJ noeiod<>. de ~lIOnd,c· .. pu.. ntod". PO'
[P.R,(CO<~ iD> det>llu de 1.. ""temático. 110 ,. dileutiri:l, '~~p1D 1'"" iodic:a. qUf: son (""don.. del 01)1, t Y doptodtll de dna panm/lIia., "', y l. Y. que m, ~ puOIk 'DmaJ ...1oR. OfltnOf pooi'i. .... nept;- y ~"'. de las psopedoda a:)II(lOtidas de ... po!inoriOf de ul"...m aplicadas al sisu ..... dibujado "' lo f'cur' 11-1.
""'"'an'''
pos beaaaó600(II-I6).- IOb.......e w»dt>l el ... 1<10 J <:IIOIldo es ip>aI o ""J'Of que el ...... ab>oluto ... "'•. &0 impooc las eDllditioov:> pan
liluati6n .. C>lpre>a dicicDoTS
-.o<1v4rkor
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dioItla . . . . I dada . . lOdos- Cuab, ton(lOS" cstaelo •• tIIt-. Si, po.- otro _ , estir. pr
""mt70 coJrtriC'o ""'I"<"ko-.
18-4 LA ECUACION RADIAL la ecu.soi<\n de ond. rellanle (1 S-9) e. la «:ua<: ,.,;..1. que .,peQf'SCI ol romportami
o.
Lazwrr-c L.",-,)·. Los de,alIes
de las _Iefllju:a
de ..1.1 d:aae
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............ 1I~"",", cu:iotico ~
el oumero tuiIItico o.-bital. tia ........... de la fituaci6n pr... omb ha...
a'epWI'oa
1_0.1.2.3, ...
donde "
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eualq..... ent.... pooitilo diSlinlo do
lDll JI .. ol numero cuiOfio:> orbital de Id 01. . ecuaciones. El IIOrrb.. de nUmero aooinrko fO'.J O (Jfinciptl/ te . . . al nu........ n. los ptOpio~ de lo> polÍllOII\Í(Is de latUC'''. la, ... luciuncs • la
o.
m,_O,±I,±2,... ,±1
c,;,,,,ción (18.18) IJobido • que I debe se, nt:Ij'Or O igual qUf: 01 .... 10, Jbsoluto de m" li I ~ O. .i 1- l.
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..llnEru cu:inlico lotal ,,- 1.2.3._ JllÍJlR[D ...... tico Dlbital O, 1, 2, _,(lO - l) "u~ro OI:inlico mapilito M, - O. " 1, " 2, _ •
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Solamente en este ca>o id.,.lindo '" ha .upue." • un, función d. potcnciil c<>ulumbi.no puro, sin el m""","'o 1np'Ia, intrinseco del eleO' mago ..tiros. El núme,o total de rolucioncs indepon. :ionte. (f0<1orizabl<.) • l. eeullción oom¡>lew de Sdvódinger p.r> un valor dado de" c<
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FU~ClON
{13--20)
DE ONDA COMPLETA
La ecuación de onda oompl
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iInmo de hid"'s
""ten."" nonnal.i:t.ando primem c.d. una de 1.. :n. e=cioncs componente" en .1 intervalo rde· _le par> c.da coordenad,. y multipliClindob'
bgo en Lo ruin:> fo,"'" en q ... 'SI.n faetorV.>.d>.,
en la etuoción (18-7). Cu.ndu la ecUiltión de ond. "",,[unte completa os .«""Ita pa'" su. funcione• c'....Clori.lic..... cnCUoOntr. 4"" ",da un' está c.a,"elerizad. por Wl' am(>IiJud oscibnte. El ",pacío .!rededor del ofill"" esci dividido por .uporfió.. rKJdJle. en c un' de'" cu.le< U. fu" d<: J¡, nscilatión e. opuesta. la de ""upe,ficie, noda!e< e, (n _ 1J. Cu.ando 'e . . k"l.n lo. "Iore, ca"'ete',úieo, de U. CB",~i. p.ra un ronjunlo ,,'pee","'" de nu,,""'. """"I;ro" se <1lcueOlra que 0610 pe,m."= el "u_ "-"'0 cu'nt;ro 'ot.l n, Esto e, una upr<.ión ción del gOleml en ..le mooelo, 'lIamente ,;mpbf,
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Fig"" 111.2 bter2i. po!""c;,,1 ele(!t<"litie> del electrón (JI el 'Iomo de hidró!O V'" _ (.'1_ "'o el. Cu.lnoo 1::<0. lo, úniro. . . lore5 l'C"ible' d. l•• nCfgi' ..,in cu.ntiudo. romo se mu..tr. en el diollum, de ni,,,I.. d. "n"'Jia, E > O el eleclrón nO <'1;1. ligado, puede ten", ""oIquier nlo' pO,i';..,. y nO ..l.
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111.-2 M..... ", q..... x .. co. I\'~ ,') ..."xJ. y O dejJ O - -(l x') II)"/ú". la .C~ (111.-1 2) .. "..,sfornu en (I-x',
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18-4 M""",e q... (~l e,.., - , .113 .....' tI_ donde I - 2. YId, '" O; y (\1) 8,.., -, fJ} ... '='.don
~h",". q...
las """""'OS ,.,..,... es_ I""iones de b ecux;,;. radi.d (111.-9).-.... nimdo q... loo o:lkwa ~<'fiuia>o do ""
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PROBLEMAS
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111.-1 la> funcionos; do ....... _Iiad:n [«MXióQ (l1l.-7)J pan .!c"_de .... cst'OO'
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Números cuánticos 1: Momentos magnéticos
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Pf..cr....a6 ... /(ieI. A ............. ~ id '" doctondo . . ,. Uni-.idM1" 8.m.... 1879. Fw {Jtr}~ (Ir r'~a reóricI ffl {, Uni...ruthd de J(;'¡ (l885'I889) r ptn""ior""",!~",
,. de 8erl,'" 1189fJ.
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,.Ji«i6n del 0lkJ,. ~ ~4QánrQ f'b, al daunDIh> de",~'"
...,..-. <:on b
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-ponegro._."'-~
"""'" d ".",*,,·0 df:
/l¡""""'" """'0.
rdlé .. '918. ~ NobIt/.
El NUMERO CUANTICO ORBITAL EL NUMERO CUANTICO MAGNETICO El OPERADOR DEL MOMENTO ANGULAR ELMOMENTQ MAGNETlCO OEL AlOMO DE HIDROGENO
n.
I
~i-l
El NUMERO CUANTlCO ORBITAL
&1 el último c.pitulo .plic.m<>< l. ecuación de S:n":k\jn~c[
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,níli", de un modelo ,jmplific.do
• 1 ;'omo de hidr~nu. Uno de lo. primero. re_ .Jos fue un. 'erie de tr., e,u.dono> de ond, adependien'e. en l. cull! cad. ecu.ción conteni. _ fuoció<> de «>lamente un, de 1.. """rdcnad.. lo un ,;stom> do coordon.d .. "f¿ricu pulare•. Sepdo, por> ,,,01101 ligador (en lo< C"oJ", la enor· • tOlal .d.., ¡>Ol .n.. .". Cün lo. número. c";nlico> de la teori. de kh, del 'tomo d< hidrógeno. Fin.lmenle, SO de'i.,) Orla upr""ón par' lo:< valore< I"'rmilidol de 1.0 .....gia. o c.vaclefiuiro. de l. onorgí., del COmo I;pJo, la que daba
dedor dntic>s del,iSl<""31Ó' miro. Ahor. deb descubl;r 1.. rondicio<1e. del momento ."gul., en los re'ul..du. meco",,· cuántico> . B,u puede h.rrr", f;cilmm"', puf i"'pee6ón diroct' de la e",,,cj6n de onda "diol (t 8.9), 1, cml deé< o'enci.l por V (r l ..,
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* la te"';. d< Bohr lecuación {I2-14)J-
RocoorJo quo, en l. too,,-, de EIohr, el eketró<> «>
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32 EL HUMERO CUAHTlCO MAGNETICa.M,
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Se pucM """, ..., q....qni "' .. b conJl.n· lo m".1 "';""'0 cu:inlÍ<;<1 rrtLgnétiro, '1 Y' vi""," ''''0'.'' 1, ocua.:ión (1~·)5). D< 1" ccuKiu""1 (19-12) ~ (19.13). e. evidonle q"" 1., r"nc~"'.'
""r,,,,••ri".::1I uociad.. CO
"te""i,· obt."""
los ",lo.~••
';"'lO
E.t.a UptriflCl 101 .." - ' ,.,..... - . lo ..... ponon": del "",,,,ntlo.,.,t. .. bita!.
222
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TE~CER"
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!L_ñ..
"TOMO
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11'_141
E,u mi,ma propiedad ya .. enconlró prelÓa_ monte en la ecuación ( 19.14)_ Un. d< 1.. mucha. limil.cione, de la teoría de Ilohr e. que no reconocía «lado< d< mo""mo angular igual a ce,o. 01,. limiueión es que .., el ualamienlo de Bahr 1> cuanlizac>On L e. puslul._ d• ., mientras q"" en la formulación d< Scilródingr, se obliene 00100 um con..cuenO. d< lo ecu>. El ángulo IlOla, del ....ClO' dol mo"",n lo angul., tOI;¡) eUá rcsuingid" .hora 1 aquello< \'110"'$ que $1li.facen la condioón 119.15)
8to", nIlJW""" 1.. (;gUfas 19-1 y 19.2. F.. jnt..e..nl. notar qoc 1'1" valore, muy alto, del mnde comparado COn 1, la cantiC¡ón (l9-14) se ,<:
con el IDOrn:nlo .ngubr 10lil, y tlespectro d. "'¡Of<> permilido. do L tiende, wu di>tribu . continua; ,in embargo, tu condicioo .. sobre siguen rn>nteni<'ndo... los Vilo.., máximos do son jo J. !':tu grando.1 y !m,1 máxlmo, la ecuad,.,., (19-15) toma Jo fom..
, -±,-±II'il---1T
'J
,oda.
y ""nd.l""nle ""o posibles 1.. n'''n~ OOncs mtre O y .. del vector del rr>ome, e:n la ""cónico cuinlica, h.. """ unidad rliwril momelllo angular.
*
El OPERADOR DEl MOMENTO ANGlIlAR
En l. "'""ión .ntofior dofinirno< el rr>on-.:nto .ttf,t> lar do un. pi1l ícul.a pof ""dio de la eeu.ción
q"" podo""" poner en la fon"" 1'9--'"1
Aquí. b difo,onci. enlre 10< ••!ure, .ucesivo. de lo. momenlo. ""gul.re. . . poq"e,1a, cumpar:>
l = r X (l P. -l-
]p,
-l- kP.) 1l~---2.
" remplaz.""" .hora cid. compone"lc del _ menlo lille.l por .... operador mee'" en el operado, de~ IDO""'nlo angubr 1.
L=~rX(i..!.-l-j , h
"
~-
:,) ". "
TX V
,igu'endo la deítlticKin d< prodUCIO l'ectori.al est. ecu.ción también .. puede escribir como
Flgural!J-l El momenlo .ngular orbital l hene u,,, co"'(>Onenl< cu.ntinda Lz O "'a¡;"<'lico <"
)
, ,
.•,
.• ~
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CA~ITU~O
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~U"E~OS <""NTICO>'.,
..OM ...TOS "'''GNUICOS
223
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"L_ , Figur. 19-2 El ,-octor d<1 memo r<>p«'o a una dirección ~ <1>.<1•. ÜJ.ndo I = 1 ¡romo en (bll. 1> ctl.n.l del m<:>m
,• .
""'qlle «uación no pu
=le. SO"
", ," (0 •
<,
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"9_4>'
As,' oomo l. función de onda ... """",. '" si d< ,;gnifíCJclo físic<>, y <1, lupr de <>10 '" c ...lú. '" dcn.d 1...1'. "mro«> IL !J<&;< • nunca on la pru:ctic.> ~. la "",cinie>. cu2nt;_ ca, dno_
U""",
l.;
L;
L;,
do:> del 0""..<101 del mom:nl0 angular .u'lilujudo cad. ulla de b. compono"t<•• Ie".d.. al cu.dr3do ¡>O, 'u 0"",,<10' =m"pondicnl~. por. ooleo« lL' ~L', +IL', +Il',
...,..... do coordenada< .docuado.1 ¡>roblo.... quo n\>'- ,,,,... do, bo, ••1dol :il<>ao.) do hidrO>~ .......
mo< In ,.~.... .,,'...... n
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El MOMENTO MAliNfTlCO OEl AlOMO DE HlDROGENO
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..., y .. E»llep......
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Dlltiplicanodo esta ec:uaci6II P'" 4> Y r=4a..oo
•
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... rceungulam lomo" forma
AfIo.., • par'li' do la c"",
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•
(19-4) 01<:.. 40 .1 cuadrado. y la> fUIlci
+ 1)
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cancten"."""'"
.z aq..¡ ' ' ' 101 q... loo nIo... l.' ..Un daob po. tr'1 (1 + 1) es dttiJ poi" 1>. eaoaá6ft
donde.~. o
'oaoro..... =.J('. ~ . . . de ......m .. dMilir b apoaállkl ............ 1Il>pIok_ obd. por I. .~ (19-20) ... ,~ b .1 ...,.".,,1O...,..a.-. dada por lo _ ó61(I9-I')I.
q,c.1I.' 1OII(b/)1I.'
,
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(1~'1
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.lccu6n ..,. ~li""'" r'" i@ual./¡Jf(f .¡. Il. ~ lo «u>ción (19.11). Lo del _ _n'" dI. ,..- ....~';rIrO -.so ""'" el "omo de hidró--
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I.llillo". C'U2ndo \Id dipolo magnétiro " '" ... Ioc. <1l 01 ca""", mopOtico uUmo 8.." upni...,nl. y. mom
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qur lo nrp .k'
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ca".. "". """''''''10 dip<>!ar n\O{lJl'!licu ,ieoo dire<:ción optoI$Il 11. del """"'''10 IIl@\lW. La """bd Y'~ico ql>< .por
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9,27 " 10-" J (M'blm')-' l't-~l)
es wuo uruJ :uociMloo "",," tampos mopit..... dipo adiciom..... dtbKIo al po d< $ " . .II'Opios ejes. do II"QM" q...
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8,.,"
-.pilico ulnno ~.'
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PROB~EMAS
• Cuál ~. ~l Ylllot do Lo .........~ } dol ""'..... n. tu '''luIM do .... ~lrClm .. en "" de ho~.. o en el "1M 3p! .:Ea el nl.so y! (1..1 _xi6n 3p li8I\P...... J.I_ l. y .....¡r,a •••• I_I).
'10"'"
·2 .I'utdc ~n<'Olltrlf" "" ~IoClrón~.. ~1"ladO 2 r. F.>lpliq.....
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~.J Un cI«lró" el du I 1f1V1!> do 1S.OOO V} .... lo ¡."n];le ei,,,,"I"~n ¡"lulo
",.10 I un e.mpo n"g¡>('lio:J <1< 0.20 Wb/rn'. o.l~,min< ~I ""'.......10 dipol., ""pilleo producido P'" ~I ~lreln'in eircul... ~.
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IItI "'0.....110 1ll¡uW dt .... deCIr<. 3d cakWado po< lo lC<>t'il do Ikoh. Y po< la Icor•• lit Scbrü«lqor. IliclCfmiM ..
s
\JI< Loo ocuaciun.. B - ,,~r.R y1.,..J/c1 t l)h - 21f1mR' pul'> Ilcl~,min.' el campo:> "'"I'''!lioo p,od ... ldo po:>r un tltmÚfl .n 1. prinoc," "rbil' do ~oI". Cu,ilel lo oor,ien1< ereeH .. produc!
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IU Clkule el .drnrro et4alico Ofbillll runh) un ~ItClmn m 11 pri...... órbllo Ile !k>ndo" - O.H !I y T, ~ 2.2)( 100m/ooS; (b) ~n in"'olO de " ig~al ~ 1.0 "'1 "">111'· do en d exl .. mo un nt01uloro
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19·9 Un pl'Olón Ile oioj. ~n blSUIo 'oClu ~ "" campo n..... ~li"" uni(urtllO .~)'I md"". ci6n "'"I"ilica e$ do 0.0063 \\'bl..,t. (.) .:C\dl n el ""'....,,'0 ,..br Ofbjl:al (.ti....o aWllioo 1} asociMo <'011 .1 (b)
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19.11 El ..... mutadO< do .dd"_enlaf o;i(\n ri6lb e" o¡>eDdort-'''u
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LECTUIIJI flECOAfENQAD..
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19·JZ Culnl"ocl)o .."".1 euad .. d" <1<1 "1.. " ...." dd momenlu "'llullr 'ul,1 ti """".. r. (0,>11 cualqu........ l~.
Ylllurn Ilel ...........,10 10 dipoUt .....pllico"
......., .. Ó<' , ...., .. , I.tr.,;,.
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19.10 Oblenp "'" "1'......dO... l.K } l... ya,m· pno
tn" ClI"M.
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proI6n! DIl........ lo _'itnl~ ot.e1'" ! •• Le ~h;m
M "~ •• I¡,;". po.. , ,. N.... V..,_,
ALO~SO.
_"'.,,¡.,..
N.. fim. IIni ... ,¡dad ... 1.. IIobon•. Lo Ibb.... 19SK, c.p;tu~> ~ U1 esludio nlU} (o')rllpl" ... de l. fili". "Ó,lOi,,",' un nivei ligl,~".i u,u,i'" lu. I,'xl",
inlo,n.:di"•.
I'¡,IUII. L, N,'lo< s"b,,· "~·('¡,,i(~ ",;",;"" (J,'i· ",¡¡;Iy uf (:hk~r,u hOll. Chicago, ¡ ~6¡. Cont,",," '!tíoul", ,"",knlol ,,,bre k>, principio, I";,k,,, de la ""dll;o. "uj"lic•.
r.lr\TIIEW5, P. T.. /,w"<1¡¡rdl,,, " i. ",/'e"",,,"
""huiro. MoG,.w.H;lI, Nucv. yo,l<, 1963. C,,¡,!O pVl 00"'1'101001 mt.""omo ~o SchrWi"so: ,101 :!IO"1O do h;~rógc"u. E"fal;'... ,'1 "'l":i:ln!na. l
FEYN~1AN.
L, .11 ..
R. p.. UilGIITON. R. 11 .. Y SA~llS,
I."..wrus <1<' F")'"",a" sobre [isic",
¡\
.Wdoy. l(o¡dilLg. M:II$ .. ¡9<>$, Voll, 1 y 11. U" ¡,xl<> 't:"'~"ru u" ¡"i"<'I'Ond•. ¡\p,u~"'uo P"''' h> dc l. fi$i<', groou:>du o 110 g,,,,¡u,\ll'. 'l\><1u f',icu " (",,,,,,, 011 'u hibl;o· 'oc•. IlHSH':~bRG,
W.. I"s ¡¡rlncipi"l [(¡¡ms ,i<- la "'''rr~ l)Q>or Nuc,·. y",I<, 1O,lO, blC hbm P'""'I\l' un rclu a 1", <',(u~i:",(o' de> r.sic•.
",,"n'h'.,
",",,11...
S,\XON, 1). 5 .. MecJ~if"IJ d"""·IIr.¡ Iloldon./)¡y. S~" J'1'lldICO, 1964, C¡pltolo 9, "<"'''1' d"",,~''''" lo ()I\dul>t(>ri. , u.o. ni<'ol "uor"",dio. El ",pillllo ~ e"~ """'POi(>.
"",¡;.:i"'o.
",,1"'' 11<' b.",.,,,.
51'051'1'0, G" IIII'O':""XK)/l 1) la ",,,,¡,,i,o ,.,.;". Ii,o, W;ky, NIl." Yorl<, 1970, El ",pítulo 4 w¡'I'O el ,hu",,, d, hidro...,,,,, 'Iti Illuy b.. n p,ucolOdo, ¡;nrOli~, ollrJl.mioolu ''''_
¡",.dl;';", "" "i",1 ;"'0''''''<.1.,.
20 Números cuánticos ll:
El efecto Zccman
........... n81liS-19431
., •
Nl
"","'a
id , de UydM l" Amnn_
1" .. 1908.".~d~_ ,., IrlUilUto "" FisJu di A .........."" En 1896._,,~.. h~n. dlu:ubri6" "«ro _ 1Jfw ... nomtx~. el aJ:l1 ••~ _ aundo ..., "VO 611.... dII """
luer:,. ~ '" un
c_
~'ICO'"
U3"'¡'.. _ttt»e6piam.J,o. l."". flfp«fr»l ><1 .."..~ Y OUf~_nr •
." dobr•. Pu, ,u'¡"""lpCitN'd
"" nr. ~mpo. r«ibiIJ ¡limo «In H.
A.
Lc,..u.1 "'emie N(JlH/ M 1902,
2().1 20·2 20-3
UN ATOMO EN UN CAMPO MAGNETICO EXTERNO EL EFECTO ZEEMAN NORMAL EL NUMERO TOTAL De ESTADOS.
20·1 UN AlOMO fM UN CAMPO MAGNETICO
EXTERND 1 'H 'llTER ZfiE.'olAN. U'abopnllo
I;q
1ft
IA:ydm. I'>i~ 1bjI>I. - . . ..,.a.......pi. óplic:a Y """ i"'...... a~ .....",.JevI. mron1l6 <1"" las br~"'u'"lin"" .n..nILas midc1"......... CIIIO'O ~m loe robnba (ni'" k.. pvlol de un pode. d.<""illlí... H. A. LORENTZ ..,.li1O nipid••
",..,,,,,,h.b...
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n"nlO o"" "'\Iit,do d...d" 01 PU"IO do "¡,u de.u 10\\'" 0IcC1,,",k. "" l. lIl'w'" y p,odijo que I~ lu~ ... 1, 11'" •• 0";011011.<10 dobod. ni., 1"',I.rit.>dl. Oboc, ... "du l. n."", ,Indo un. dir(<<:ión l""l"'''di. oul .. 01 «en.". """"nl'ó q... 10$ boId.. oJ< 1.. li""•• "lab.n po>larliados paralela.... nl".1 ...n.po> y l. p.n< "'''".. P. I'IKI.........,. ....1.. 101 tn las u!otlieu "P/'<.~ "' .... tk f~Jn.,,,=. """'n. '" .n..,.,1ro1 q... 1> ""Y'" pan" de 10$ ek".,m"" dab.n pal."n.. mucho mi:1 oomplcj<>S
"''''P'>.
,ripir,.
loo."'"
lwin> '" '.UicolO'. la .. po•..,;oo ... rJl· ........eia "'1I'C J:lO li"ca, componenle1. 'u Inlc:'" lu" y "" b iIItm.iIo..... ~1aaONdOl.. El: 1912 F. 'ASCHEl'';) E. lIACK _ _ d d"OIO 1.ee -.ómalo PO'" doblo.... Y lri,*", ""canos iado en un polrOO "",mal ro"lL O" campos ma:pll!.i.;:uo; ..... l"IO"SOS. (F.llo 1"11Óf1 """ ....1 '" lbma ......1 ,,1t "/i'<"1IJ lN"",n ","'''raI./. 1:'"" oroe.." 11 ""In",ondel, O" le,mlno. d. 1> "mi. ~uj"lio."" lo UI,"elU" ~h\",k:. y do.u inle,,,,,d,,n ron "I:ll!l'éIlOOl.xl..n....
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v,,, N,"tr.nc! ROi"¡'"W. N,."" Y"r\:, 1964. PÓf;l. 150·152. Un, prolt,,"eión n,"y e!cm""I.1 ~"I .rOel" 7.o
21
Las funciones de oncla elel átomo de hidrógeno
Ji .....1d Cl.yton Urov 11893·
N.cirio'l> Wllkorlon. Indl...., E.U.. Lhy ff"¡b~ su PII. O. df l. Uni~id~dtJ callforni. '" 7923. F~ IJI'()f.or d. quimic. "" 1M Univeroilff o"."" r."",., 1...¡;v.citJn rh i>6ropos. I()U'~ctro'
.Iudi. Kti._m••1oriffn *1 101., V l. fftFllCfllF' .t6mi", V nlJClHr. En 1934 '«ibid.1 I'r.mirJ /'JoM1 do q¡¡(mic. po,,/ dfscllbrimi.nto
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de/ MU/ldo.
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LAS FUNCIONES DE ONDA DEL ATOMO DE HIDAOGENQ LA OISTRISUCION DE LA PROBABILIDAD RADIAL
DEPENDENCIA DE LA PROBABILIDAD ANGULAR
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.\ lAS FUNCIONES DE ONOA DEL ATOMO OE HIOROGENO
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