Exercício Resolvido: Polinômio de Taylor

Exercícios Resolvidos

Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Aproximação Polinomial de Taylor Contato: Contato:

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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 15/02/2014 - Atualizado em 30/12/2017

Seja p( ) um polinômio qualquer então um polinômio g( ) que se aproxima de p(  ) num ponto  o é: n

g( ) = p ( o ) +



pk ( o )

k = 1

k !

( 

Taylor) − o )k (Fórmula de Taylor)

onde p k é a derivada de ordem k de p e n é o grau de g . Aind Ainda a é poss possív ível el calc calcul ular ar o quão quão dist distan ante te g ( ) está está de ƒ ( ) num intervalo intervalo (fechado (fechado,, aberto ou semi-aberto) usando a inequação a seguir. Erro =

M ( n + 1 ) !

|   − o |n+ 1

Onde n é o grau grau do polinô polinômio mio aproxim aproximado ado e M pode pode ser obtido obtido atravé através s da derivada de maior grau obtida no processo que resultou em g ( ).



Exemplo 1: Aproxime a função ƒ ( ) = 3  por um polinômio de Taylor de grau 2 no ponto  o = 8 e determine o valor dessa aproximação no intervalo 7  9.

≤ ≤

Solução: p( ) =

  ⇒ p(8) = 2 3

p ( ) = p ( ) =

1 3

  ⇒   1

3

2

2

−9

3

p ( 8) =

1 12

1



1

⇒ p (8) = − 144 5

Usando a fórmula para o polinômio de Taylor para n = 2 (grau da função) chegamos ao polinômio de Taylor.

g( ) = p ( 8) + g( ) = 2 +

1 12

p ( 8)



( 

1!

( 

− 8) 1 +

p ( 8) 2!

( 

1

− 8) 2



− 8) − 288 (  − 8)2 (resposta) 1



Para determinar o erro de g (  ) em relação a p (  ) vamos seguir o seguinte passo a passo.

PASSO 1: Encontre pn ( ), sendo  o menor (ou o mais próximo dele) valor do intervalo.  p ( ) =

−

2

− 5 / 3

9

Como o intervalo é [7,9] então o nosso  será 7 mesmo.

⇒ p (7) ≈ − 0.0087 PASSO 2: Encontre o um valor M que seja levemente maior que o  módulo de p (7).  Como p (7) =

− 0.0087 entã então o um valo valorr sati satisf sfat atór ório io para para M seri seria a 0.00871 .

PASSO 3: Do intervalo dado obtenha 

| − o |.

Como o nosso  o é igual a 8, então temos de obter  

| − 8|.

≤  ≤ 9 ⇒ 7 − 8 ≤  − 8 ≤ 9 − 8 ⇒ − 1 ≤  − 8 ≤ 1 ⇒  − 8 ≤ 1 ⇒ |   − 8| ≤ 1 7

PASSO 4: Aplicamos a fórmula para o erro substituindo o valor do grau de g(x) (n = 2 ), o valor de  o e o valor que determinamos para M no PASSO 2. Erro =

0.00871

|   − 8|2+ 1 ( 2 + 1 ) !

Como no PASSO 3 encontramos que   8 1, então podemos substituir esse módulo por 1 obtendo uma medida de erro superior a real.

| − | ≤

Erro =

0.00871

(2 + 1 ) !

⇒ Erro =

12+ 1

0.00871 3!

13

2


⇒ Erro =


0.00871 6

⇒ Erro = 0 .0015 Ou seja, dentro dentro do intervalo intervalo 7 0.0015.

≤  ≤ 9 a função g(x) tem um erro inferior a

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