FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 1 Une machine fabrique des pièces de forme circulaire en série. A chaque pièce tirée au hasard on associe son diamètre exprimé en millimètres. On définit ainsi une variable aléatoire X. On suppose que X suit la loi normale de moyenne = 32 et d'écart type = 1 Pour contrôler la fabrication, on prélève à intervalles réguliers des échantillons de 20 pièces. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de n = 20 pièces associe la moyenne des diamètres de cet échantillon. On assimile ces échantillons à des échantillons aléatoires a léatoires prélevés avec remise. On suppose que cette variable aléatoire type
'
=
n
=
1
X
suit alors la loi normale de moyenne = 32 et d'écart
.
20
Déterminer l'intervalle [ - h ; + h] tel que la probabilité que X appartienne à cet intervalle soit 0,99. On déterminera, la valeur approchée de h, à 10 2 près.
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 2
Une entreprise produit en grande série des bagues de verrouillage utilisées pour la fabrication de raccords rapides. Ces bagues, en alliages, sont obtenues sur une presse automatique. Plusieurs outillages sont en service suivant les alliages utilisés et les dimensions à obtenir.
On suppose que la variable aléatoire X qui, à toute bague prélevée au hasard dans la fabrication de l'entreprise, associe son diamètre intérieur exprimé en millimètres, suit la loi normale de moyenne = 24,20 et d'écart type = 0,045. 1° La procédure de contrôle est basée sur des prélèvements à intervalles réguliers, d'échantillons de 20 bagues. La production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler un prélèvement de 20 bagues à un prélèvement aléatoire avec remise. On nomme X la variable aléatoire qui à tout prélèvement de 20 bagues associe la moyenne des diamètres intérieurs des 20 bagues. a - Quelle est la loi de probabilité suivie par
X
?
Quels sont les paramètres de cette loi ?
b - Déterminer un intervalle [ Ls1 , Ls2] centré en = 24,20 et tel que la variable aléatoire X prenne une valeur dans cet intervalle avec la probabilité 0,95. (Les nombres Ls1 et Ls2 s'appellent les limites de surveillance). c - Déterminer un intervalle [ Lc1 , Lc2] centré en = 24,20 et tel que la variable aléatoire prenne une valeur dans cet intervalle avec la probabilité 0,99.
X
(Les nombres Lc1 et Lc2 s'appellent les limites de contrôle). 2° La procédure de contrôle prévoit qu'après chaque prélèvement, on mesure les diamètres intérieurs des 20 bagues obtenues ; on calcule leur moyenne x et - si x n'appartient pas à l'intervalle [Lc1 , Lc2] on procède immédiatement aux réglages, - si x appartient à l'un des intervalles [ Lc1 , Ls1] ou [Ls2 , Lc2] on prélève immédiatement un autre échantillon (procédure d'alerte). Sur un prélèvement de 20 bagues, on obtient les mesures suivantes :
diamètre x i i effectif ni diamètre x i i effectif ni
[24,09 ; 24,11]
[24,11 ; 24,13]
[24,13 ; 24,15]
[24,15 ; 24,17]
[24,17 ; 24,19]
1
2
3
4
3
[24,19 ; 24,21]
[24,21 ; 24,33]
[24,23 ; 24,25]
[24,25 ; 24,27]
[24,27 ; 24,29]
2
2
1
1
1
Quelle décision doit-on prendre au vu de ce prélèvement ?
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 3 Un traceur à rouleau dessine, sur chaque plan produit par un cabinet de géomètre, un cartouche ayant la forme d'un rectangle dont la longueur doit mesurer 10 cm. Pour tester le réglage du traceur, on prélève un échantillon aléatoire de 100 cartouches. On porte les mesures effectuées dans le tableau suivant : Mesure x i
9,94
9,96
9,98
10
10,02
10,04
10,06
Effectif ni
13
17
19
28
16
4
3
1°
Donner la moyenne x e et l'écart type e de cet échantillon.
2° Soit X la variable aléatoire qui, à chaque dessin aléatoire aléatoire de cartouche, associe sa longueur. Le traceur est réglé pour une moyenne de X qui serait m = 10 cm et un écart type = 0,03 cm. On note X 100 la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire non exhaustif de taille 100, associe la moyenne des longueurs des 100 cartouches qu'il contient. On admet que X 100 suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart type 0,003. a)
Déterminer le réel positif h tel que P(10 – h X 100 10 + h) = 0,95.
b)
On avait convenu que :
si x e appartient à l'intervalle [10 – h , 10 + h] le traceur est bien réglé,
si x e n'appartient pas à l'intervalle [10 – h , 10 + h] on règle à nouveau le traceur.
Au vu du résultat de la question 1° devra-t-on procéder à un nouveau réglage du traceur ?
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 4 Une machine est chargée de conditionner des paquets de farine. On désigne par M la variable aléatoire qui, à chaque paquet prélevé au hasard, associe sa masse exprimée en grammes ; M suit une loi normale d'écart type constant, = 30, et dont la moyenne m peut être modifiée. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à 955 grammes. Afin de diminuer le nombre de paquets refusés on décide de modifier le réglage de la machine. a) ?
Quelle doit être la valeur de pour que la probabilité d'accepter un paquet soit égale à 0,99
b)
La machine est réglée de telle sorte que = 1025.
Soit X la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 20 paquets, associe la moyenne des masses des 20 paquets. On assimile ces échantillons de 20 paquets à des échantillons prélevés avec remise. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ? Déterminer un intervalle centré en tel que la probabilité que X appartienne à cet intervalle soit 0,95
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 5 Une machine fabrique des pièces cylindriques utilisées dans le secteur des Travaux Publics. A chaque pièce prélevée au hasard dans la production on associe sa longueur, on définit ainsi une variable aléatoire X . Cette variable aléatoire X suit la loi normale no rmale de moyenne = 30 cm et d'écart type = 0,8 cm On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire non exhaustif de 36 pièces, associe la moyenne des longueurs des pièces de cet échantillon. 1°
Quelle est la loi suivie par X ?
2°
Déterminer le réel h tel que : P(30 – h
X
30 + h) = 0,95.
3° Un magasin reçoit une commande de 36 pièces pièces fabriquées par la même machine. On mesure les longueurs de ces 36 pièces ; les résultats sont réunis dans le tableau suivant : longueur [28 ; 28,5[ effectif
[28,5 ; 29[
[29 ; 29,5[
[29,5 ; 30[
[30 ; 30,5[
30,5 ; 31[
[31 ; 31,5[
[31,5 ; 32[
4
6
9
8
5
2
1
1
En faisant l'hypothèse que les valeurs observées sont celles du centre de la classe, calculer la valeur approchée x de la longueur moyenne des pièces pièces de cet échantillon. 4° a) Construire un test d'hypothèse d'hypothèse permettant d'accepter ou de rejeter au seuil de signification 5% l'hypothèse selon laquelle la longueur moyenne des pièces de la fabrication est bien m1 = 30 cm. On devra devra :
choisir une hypothèse nulle H 0 et une hypothèse alternative H 1 ;
déterminer la région critique au seuil de 5 % (en utilisant la question B - 2°) ,
énoncer la règle de décision.
b) Utiliser ce test avec l'échantillon étudié à la question B - 3°, échantillon que l'on assimile à un échantillon prélevé de manière non exhaustive.
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 6 On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout enfant de 10 ans dont le développement physique est régulier, pris au hasard dans une population donnée, associe sa taille. La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 126 cm et d'écart type 4 cm. On observe une population voisine. La variable aléatoire qui, à tout enfant de 10 ans dont le développement physique est régulier, pris au hasard dans cette population, associe sa taille suit une loi normale analogue de même écart type 4 cm, seule la moyenne risque d'être différente. On prélève au hasard dans cette population voisine un échantillon de 50 enfants (assimilé à un échantillon non exhaustif). La taille tai lle moyenne observée est 127,4 cm. Construire un test permettant d'accepter ou de refuser, au risque de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la taille des enfants de 10 ans dont le développement physique est régulier est en moyenne 126 cm dans cette population. Utiliser ce test avec l'échantillon de 50 enfants de l'énoncé.
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 7
Une entreprise fabrique des supports d'auvent utilisés notamment dans la construction de stades. Ces pièces sont réalisées en béton.
Soit la variable aléatoire Y qui à chaque support tiré au hasard dans la production associe sa charge de rupture à la traction exprimée en kg/cm 2 . A la suite d'une étude statistique on suppose que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 42 kg/cm 2 et d'écart type 1,5 kg/cm 2 . Dans l'objectif d'obtenir des résultats plus satisfaisants, l'entreprise teste la charge de rupture de nouveaux supports. Pour cela on décide de construire un test unilatéral au seuil 0,05.
On choisit comme hypothèse nulle H 0 : = 42 kg/cm 2 et comme hypothèse alternative H 1 : > 42 kg/cm
2
est la variable aléatoire, qui à tout échantillon de trente six pièces, associe la charge de rupture moyenne. Z
On assimile tout tirage de 36 pièces à un prélèvement, au hasard et avec remise. 2
On donne : sous l'hypothèse H 0 , Z suit la loi normale de moyenne = 42 kg/cm et d'écart type 1
1 ,5
= 0,25.
36
a) Déterminer le réel positif h tel que P( Z 42 + h) = 0,95. b) Au seuil = 0,05, déterminer la région critique. c) Énoncer la règle de décision du test. d) L'entreprise a réalisé un échantillon de 36 pièces et on a relevé une charge moyenne de rupture 2
de 42,8 kg/cm . Au vu de cet échantillon, au seuil = 0,05 peut on accepter ou refuser l'hypothèse H 0 ?
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 8 Une entreprise d'imprimerie compose les différents tomes d'une encyclopédie des sciences et des techniques. Dans cet exercice tous les échantillons éc hantillons sont assimilés à des échantillons non exhaustifs. 1. On note X1 la variable aléatoire qui, à toute page du premier tome choisie au hasard, associe le nombre de fautes d'impression de la page. Sur un échantillon aléatoire de 48 pages, le nombre de fautes est le suivant : 8
4
6
1
4
6
7
5
3
4
4
9
1
9
1
2
5
1
9
6
4
6
3
2
5
5
3
4
3
6
4
5
3
4
4
1
7
7
4
1
5
3
2
2
1
1
7
3
Calculer la moyenne m1 et l'écart type s1 de cet échantillon. On admet, dans la suite de cet exercice, qu'une estimation ponctuelle de la moyenne
1
de la
variable X 1 est 4,17 et qu'une estimation ponctuelle de l'écart type 1 de X 1 est 2,29. 2. On note X 2 la variable aléatoire qui, à toute page du premier tome choisie au hasard, associe le nombre de fautes d'impression de la page. Sur un échantillon aléatoire de 64 pages de ce deuxième tome on a obtenu une moyenne la moyenne m2 de 3,31 fautes d'impression et un écart type s2 de 1,63. En déduire une estimation ponctuelle de la moyenne
2
de la variable X 2 et une
estimation ponctuelle de l'écart type 2 de X 2 . 3. On se propose de construire un test d'hypothèse pour observer l'évolution dans la qualité du travail d'impression. a) On note
X 1 la
variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 48 pages du premier tome,
associe le nombre moyen de fautes d'impression de l'échantillon et X 2 la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 64 pages du deuxième tome, associe le nombre moyen de fautes d'impression de l'échantillon. Quelles sont les lois de probabilité des variables X 1 et X 2 ? On ne demande pas les valeurs des paramètres qui sont d'ailleurs inconnus.
b) On note D la variable aléatoire telle que D = X 1 – X 2 . 2
On admet que D suit la loi normale
N( 1 – 2 ,
1
48
2
2
64
).
On prendra pour valeurs de s1 et s2 les valeurs estimées aux questions 1. et 2. 2. On pose pour hypothèse H 0 : 1 = 2 et pour hypothèse H 1 : 1 2 .
Calculer, sous l'hypothèse H0, les nombres h et k tels que : P( – – h < D < h) = 0,99 et P( – – k < D < k ) = 0,95 .
Énoncer la règle de décision relative à ce test successivement lorsque l'on choisit un seuil de signification de 1 % puis de 5 %. Peut-on conclure au vu des échantillons donnés dans les questions 1. et 2. que la différence des moyennes est significative au seuil de risque de 1 % ? au seuil de 5 %
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 9 La société « T.D.M. » fabrique des appareils en grande série. A une date t1, on procède à l'analyse de la production. production. Un échantillon (E1) de 100 profilés a donné le relevé statistique suivant : Hauteur x (mm) [11,6;11,7[ [11,7;11,8[ [11,8;11,9[ [11,9;12[ [12;12,1[ [12,1;12,2[ [12,2;12,3[ [12,3;12,4[
1
Nbre de pièces
4
9
38
33
10
3
2
1° a) Grâce au tableau précédent, précédent, calculer la moyenne x 1, et l'écart type s 1 de l'échantillon (E1). Pour les calculs on utilisera les centres des intervalles. b) Donner une estimation ponctuelle ponctuelle m 1 de la moyenne 1 et une estimation ponctuelle l'écart type 1 de la production à la date t 1. ˆ
s1
ˆ ˆ
de
2° On procède à une nouvelle analyse de la production à une date t 2 Sur un échantillon (E2) de 100 profilés, on a obtenu les résultats suivants : .
moyenne de (E 2) = 11,96 mm, écart type type de de (E2) = 0,125 mm. On se propose ensuite de construire un test d'hypothèse pour observer l'évolution dans la qualité de fabrication des profilés entre les dates t 1 et t 2 .
a) On note
X 1
la variable aléatoire prenant pour valeur val eur la hauteur moyenne des profilés dans
des échantillons aléatoires d'effectif 100 prélevés dans la production à la date t 1. On note X 2 la variable aléatoire prenant pour valeur la hauteur moyenne des profilés dans des échantillons aléatoires d'effectif 100 prélevés dans la production à la date t 2 . Les échantillons de 100 profilés sont assimilés à des échantillons prélevés avec remise. Donner une estimation ponctuelle m 2 de la moyenne 2 et une estimation ponctuelle l'écart type 2 de la production à la date t 2. ˆ
b)
On note
Y
la variable aléatoire telle que :
On admet que
Y
Y
suit la loi normale N( 2 – 1 ;
s2 ˆ
de
= X 1 X 2 . s1
ˆ ˆ
2
s2
ˆ ˆ
100
2
).
On pose pour hypothèse nulle H 0 : 1 = 2 et pour hypothèse alternative H 1 : Calculer, sous l'hypothèse H 0 , le nombre h tel que P(- h <
Y
1 2.
< h) = 0,95.
Peut-on conclure, au seuil de risque ri sque de 5%, que la différence des moyennes observées entre les dates t 1 et t 2 est significative ?
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation PB 10 Une entreprise fabriquant un certain objet en grande quantité effectue un contrôle de sa fabrication sur un échantillon de 200 objets assimilé à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. On constate que 60 objets sont de première qualité, les autres de qualité courante. 1° Dans la production de l’entreprise le poucentage p d’objets de première qualité est inconnu. On suppose que la variable aléatoire F qui, à tout échantillon de taille n = 200 prélevé au hasard et avec remise dans cette production, associe le pourcentage d’objets de première qualité, suit la
loi normale N( p p,
p(1 p) n
).
Déterminer un intervalle de confiance de p avec le coefficient de confiance 0,95. 2° En vue d’améliorer la qualité des objets produits, on procède à certaines modifications de la fabrication. Soit p’ p’ le nouveau pourcentage d’objets de première qualité ainsi obtenus. On prélève un échantillonde 300 objets on observe que 120 sont de première qualité. On fait encore l’hypothèse que la variable aléatoire F ’ F ’ qui, à tout échantillon de taille 300 prélevé au hasard dans la production, associe le pourcentage d’objets de première qualité, suit la loi
normale N( p p,
p(1 p) n
).
a) En supposant que les variables aléatoires aléatoires F et F ’ sont indépendantes, indiquer quelle loi suit la variable F - F ’. ’. b) Construire un test unilatéral permettant permettant de décider si, au seuil 5% , les modifications apportées ont amélioré significativement le pourcentage d’objets de qualité supérieure. Utiliser ce test avec les deux échantillons de l’énoncé.
c)
Reprendre le b) avec le seuil 1 %.
FC ITII : Module de Statistique inférentielle – inférentielle – Échantillonnage et estimation
