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MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES
ANNALES
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ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides, 23 juin 1997 Exercice : On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux axes x1 , x2 , x3 d’un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dans la direction x1 , tandis que les faces en direction x2 sont libres, et que les faces en direction x 3 restent bloquées. 1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseu tenseurr des contraintes et du tenseur des déformations dans le repère (x1 ,x2 ,x3 ), et écrire les relations contrainte–déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope, avec un module d’Young E et un coefficient de Poisson ν. On est en défo déformat rmations ions planes planes sel selon on l’a l’axe xe x3 , si bien bien qu quee le less composantes 13, 23, 33 du tenseur de déformation sont nulles, ainsi que les termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surface normale à l’axe x l’axe x 2 est libre, les composantes composantes 12, 22, 23 du tenseu tenseurr de contrain contrainte te sont nulles. En fait, il n’y a pas de cisaillement dans le système pour raison de symétrie. Ceci conduit aux formes simples :
σ11 0
σ ∼ =
0 0
0 0
0 0
σ33
∼ε =
ε11
0
0 0
ε22
Les relations contrainte–déformation sont :
− − − = − νσ + σ
E ε22 = νσ11 νσ33 11
La condition ε 33 = 0 permet d’écrire :
33
−
−
−
−
−
Les trois contraintes principales sont σ 3 = 0 < σ2 = νσ11 < σ1 = σ11 . La trace du tenseur de contrainte, son déviateur et le deuxième invariant de celui-ci s’écrivent respectivement I 1 = σ11 + σ22 + σ33 = ( 1 + ν)σ11
∼s = σ
− I 3 I ∼ = σ3 1
= J =
E ε11 = σ11 νσ33 E ε33
0
0 0 0
2. Définir la valeur de la contrainte σ11 pour laquelle le matériau atteindra la limite du domaine d’élasticité, pour chacun des cas suivants : – critère de Tr Tresca, esca, f (σ ∼ ) = maxi (σi ) min j (σ j ) σ y – critère de von Mises, f (σ ∼ ) = J σ y – critère de Drucker–Prager, f (σ ∼ ) = J +( σ y α I 1 )/(1 α) , en distinguant σ ici le cas où la contr contrainte ainte 11 est en traction ou en compression. On rappelle que I 1 désigne la trace du tenseur de contraintes, et que, si ∼s est le dév déviat iateur eur associé associé au ten tenseu seurr de con contra trainte inte,, J est défini par 0.5 J = s∼ ) = (( 3/2) ∼s : : s
11
−
2 ν 0 0
3 s : : s s = σ11 2∼ ∼
−−
| | 1 − ν + ν
Ceci conduit aux résultats suivants : – pour le critère critère de Tresca Tresca : f (σ ∼ ) = σ11
−
0 0 1 ν 0 0 2 ν 1
| |−σ
σ11 =
y
2
±σ
y
– pour le critère critère de von Mises Mises :
σ33 = νσ11 f (σ ∼ ) = σ11
2
| | 1 − ν + ν − σ
y
σ11 =
± √ 1 −σ ν + ν y
2
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ENSMP 1ère année, Mécanique des matériaux solides, 23 juin 1997 Exercice : On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux axes x1 , x2 , x3 d’un repère orthonormé. Il est chargé uniformément dans la direction x1 , tandis que les faces en direction x2 sont libres, et que les faces en direction x 3 restent bloquées. 1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseu tenseurr des contraintes et du tenseur des déformations dans le repère (x1 ,x2 ,x3 ), et écrire les relations contrainte–déformation lorsque le comportement est élastique et isotrope, avec un module d’Young E et un coefficient de Poisson ν. On est en défo déformat rmations ions planes planes sel selon on l’a l’axe xe x3 , si bien bien qu quee le less composantes 13, 23, 33 du tenseur de déformation sont nulles, ainsi que les termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surface normale à l’axe x l’axe x 2 est libre, les composantes composantes 12, 22, 23 du tenseu tenseurr de contrain contrainte te sont nulles. En fait, il n’y a pas de cisaillement dans le système pour raison de symétrie. Ceci conduit aux formes simples :
σ11 0
σ ∼ =
0 0
0 0
0 0
σ33
∼ε =
ε11
0
0 0
ε22
Les relations contrainte–déformation sont :
− − − = − νσ + σ
E ε22 = νσ11 νσ33 11
La condition ε 33 = 0 permet d’écrire :
33
−
−
−
−
−
Les trois contraintes principales sont σ 3 = 0 < σ2 = νσ11 < σ1 = σ11 . La trace du tenseur de contrainte, son déviateur et le deuxième invariant de celui-ci s’écrivent respectivement I 1 = σ11 + σ22 + σ33 = ( 1 + ν)σ11
∼s = σ
− I 3 I ∼ = σ3 1
= J =
E ε11 = σ11 νσ33 E ε33
0
0 0 0
2. Définir la valeur de la contrainte σ11 pour laquelle le matériau atteindra la limite du domaine d’élasticité, pour chacun des cas suivants : – critère de Tr Tresca, esca, f (σ ∼ ) = maxi (σi ) min j (σ j ) σ y – critère de von Mises, f (σ ∼ ) = J σ y – critère de Drucker–Prager, f (σ ∼ ) = J +( σ y α I 1 )/(1 α) , en distinguant σ ici le cas où la contr contrainte ainte 11 est en traction ou en compression. On rappelle que I 1 désigne la trace du tenseur de contraintes, et que, si ∼s est le dév déviat iateur eur associé associé au ten tenseu seurr de con contra trainte inte,, J est défini par 0.5 J = s∼ ) = (( 3/2) ∼s : : s
11
−
2 ν 0 0
3 s : : s s = σ11 2∼ ∼
−−
| | 1 − ν + ν
Ceci conduit aux résultats suivants : – pour le critère critère de Tresca Tresca : f (σ ∼ ) = σ11
−
0 0 1 ν 0 0 2 ν 1
| |−σ
σ11 =
y
2
±σ
y
– pour le critère critère de von Mises Mises :
σ33 = νσ11 f (σ ∼ ) = σ11
2
| | 1 − ν + ν − σ
y
σ11 =
± √ 1 −σ ν + ν y
2
78 – pour le critère de Drucker–P Drucker–Prager rager : f (σ ∼ ) = (1 donc :
(1
On a donc :
− α) J − α I − σ 1
2
y
∂ ∂ = ∂σ ∂σ 1 ∼
− α)|σ | 1 − ν + ν + ασ (1 + ν) = σ σ √ σ = (1 − α) 1 − ν + ν ± α(1 + ν) 11
11
11
y
Dans cette dernière expression le signe (+) correspond à la traction, le signe ( ) à la compression.
−
3. On su supp ppos osee qu quee le ma maté téri riau au su suit it un unee lo loii de co compo mport rtem emen ent t viscoplastiquee à seuil, qui s’écri viscoplastiqu s’écritt sous chargement chargement uniaxial de tracti traction on simple,, en intr simple introduisa oduisant nt deux coeffi coefficients cients supplémentair supplémentaires es K et n pour caractériser la viscosité du matériau, et en posant < x > >= = max( x, 0) :
σ
σ y
−
1 0 0 0 0 0
0 0 0
n
K
n+1
K
vp ∼ε˙ =
n
f
K
j
vp
0 = ˙∼εe33 + ˙∼ε33 1
ε∼˙ 11 = σ ˙ 11 E ∼ 1 σ˙ 33 E
− ν E σ∼˙
ν σ˙ − E
ε˙ 11 =
1
2
− ν σ˙ E
σ11
σ y
K
σ11
11
11 + (1
n
− − − − −
33 +
σ y
n
K
ν)
σ11
σ y
n
K
= 0 : On suppose que la mise encharge est instantanée, si bien que, à t = ∂ f ∂σ ∼
3
−
vp
donc :
| − σ | et la
d’où il vient :
e ∼ε˙ 11 = ˙∼ε11 + ˙∼ε11
0 =
qu’il faut appliquer avec le critère de Tresca : f (σ) = maxi, j σi n+1
0 0 0 0 0 1
On a :
∂Φ ∂ f vp ∼ε˙ = ∂ f ∂σ ∼ f
0 0 0
∂ + ∂σ3
4. Calcul Calculer er alors l’évolution l’évolution du systèm systèmee (contr (contrainte, ainte, déformation, déformation, déformation viscoplastique) dans les deux cas suivants : – on bloque la contrainte σ11 à la valeur maximale atteinte σm ; – on bloque la déformation t otale ε11 à la valeur maximale atteinte atteinte ε m .
L’existence du potentiel viscoplastique fournit l’équation :
K
laquelle la déforma laquelle déformation tion viscoplastique viscoplastique est néglig négligeable, eable, jusqu’à un état de contrainte tel que σ11 > σ y . Quelle est la direction de l’écoulement viscoplastiqu viscop lastiquee ?
forme : Φ =
0 0 0
En posant : σ 1 > σ 2 > σ 3 le critère prendra la forme : f (σ ∼ ) = σ1 d’où : 1 0 0 n f (σ ∼) 0 0 0 ε∼˙ vp = K 0 0 1
On généralise cette loi aux chargements tridimensionnels en utilisant le critèree de Tresca. critèr Tresca. On effect effectue ue une mise en char charge ge rapide au cours de
0 0 0 1 0 0
∂ + ∂σ2
| −σ |
y
2
ε˙ vp =
εs =
1
− ν σ
E
s
79 - si on bloque la contrainte à la valeur σm , on a σs = σm , et σ ∼˙ 11 = 0 : t
ε11
Dans ce cas on a :
n
Z σ − σ = ε + (1 − ν) dt s
=
1
m
E
m + (1
J (σ ∼) =
K
0
− ν σ
y
− ν)
σm
−σ
y
K
n
t
Nous remarquons que l’évolution de la déformation est linéaire avec le temps. - si on bloque la déformation à la valeur εm , on a εs = εm , et ˙ε11 = 0, si bien que : σ11 σ y n 1 σ˙ 11 + +0 1 + ν K
−
L’exposant n est en général plus grand que 1. L’évolution de σ 11 est donc décrite par une fonction puissance :
σ11 = σ y + K (
σs
−σ ) −
y 1 n
K
Avec :
σs =
E (n 1) t + (1 + ν)K
−
=
2(σ211 + σ233
5. Dans le cas où on choisit au contraire le critère de von Mises pour effectuer l’extension tridimensionnelle du modèle viscoplastique, et en supposant toujours que l’on effectue une mise en charge rapide, la contrainte atteinte étant telle que l’on se trouve hors du domaine d’élasticité : – donner l’ expression du tenseur vitesse de déformation viscoplastique à la fin de la mise en charge, – en supposant que la contrainte σ11 est maintenue constante, montrer que la contrainte σ33 tend asymptotiquement vers une limite que l’on calculera. Quelles sont alors les composantes de la vitesse de déformation viscoplastique ?
−σ
11 σ33
2
−σ
11 σ33 )
−
0
0 0
−σ − σ
0 0
11
33
2σ33
0
−σ
11
Les vitesses des déformations viscoplastiques :
σ211 +σ233 σ11 σ33
ε˙ vp 11 =
−
−
σ211 + σ233
∂ J (σ ∼ ) = 3s∼ = 2 J (σ ∂σ ∼ ∼) 2σ11 σ33
1
1 1 n
E εm 1 ν
−
2
K
ε˙ vp 33 =
n
−σ
y
2σ11
−σ −σ 33
2(σ211 + σ233
σ211 +σ233 σ11 σ33
−
2
K
11 σ33 )
n
−σ
y
2σ33
−σ + σ − σ
2(σ211
11
2 33
11 σ33 )
˙ 11 = 0. La déformation dans la La contrainte σ 11 reste constante, donc σ direction 3 reste bloquée, on a : vp
ε˙ 33 = ˙εe33 + ε˙ 33 = 0
0 =
1 E
σ211 +σ233 σ11 σ33
σ˙ 33 +
−
2
K
n
−σ
y
2σ33
−σ + σ − σ
2(σ211
11
2 33
11 σ33 )
On remarque que, hors de la zone élastique :
σ211 +σ233 σ11 σ33
−
2
K
n
−σ
y
1
2(σ211 + σ233
> 0
−σ
11 σ33 )
∀σ
33
80 On suppose que σ 33 a une valeur assymtotique, la condition nécessaire est ˙ 33 = 0. On obtient donc : donc σ 2σ33 ou :
σ33 =
−σ
11 = 0
σ 11 2
=
σ m 2
σm
σm
˙ 33 = 0. Si σ33 < 2 , Il est simple de vérifier que si σ33 = 2 , on a σ ˙ 33 > 0, ceci montre que σ33 augmente jusqu’à la valeur on obtient σ assymtotiquei σ 33 = σ2m . Cette valeur est ensuite impossible d’augmenter (car ˙σ33 = 0),ni diminuer(carsi σ33 diminue, on obtientà nouveau ˙σ33 > 0, ceci est impossible).
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Cylindre en torsion On considère un barreau prismatique d’axe x3 , de section circulaire (rayon R), et de longueur L dans le repère orthonormé ( x1 , x2 , x3 ). Il est “suffisamment long” pour que les contraintes et les déformations soient indépendantes de x 3 .
Les équations d’équilibre sont bien vérifiées, en l’absence de forces de volumes. Sur un point courant de la section latérale, le vecteur contrainte reste une seule composante de cisaillement :
Résolution en élasticité
τ =
Le matériau est supposé élastique isotrope, de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν . Le barreau est encastré dans sa partie inférieure (plan ( x3 = 0)), et il subit un champ de déplacement u, pour lequel la composante selon 3 est nulle, et : u1 =
−α x x
2 3
u2 = α x1 x3
;
1. Calculer les composantes du tenseur de déformation.
2
− α x2
1
α x1
2
2
1
ε13 = (u1 3 + u3 1 ) =
ε23 = (u2 3 + u3 2 ) =
2
Les autres composantes du tenseur de déformation sont nulles. 2. Calculer les composantes du tenseur des contraintes.
σ13 = 2 µε13 = µα x2
−
σ213 + σ223 = µα x12 + x22 = µαr
Le problème est indépendent selon x 3 , le vecteur contrainte de la section supérieure reste inchangé par rapport à celui d’une section latérale. 4. Calculer la force résultante sur la section supérieure, ainsi que le moment M autour de l’axe x 3 . En déduire que les champs obtenus sont bien la solution d’un problème de torsion autour de l’axe x 3 . Quelle est la signification physique de α ? La force résultante sur la section supérieure est alors un moment de torsion qui vaut : M =
Z
( x1 σ23 x2 σ13 )dS = 2π
S
−
Z 0
R
1
τr 2 dr = π µR4 α 2
α représente l’angle de torsion unitaire, c’est-à-dire, pour une longueur d’unité, la section supérieure tourne d’un angle α par rapport à la section inférieure.
Résolution en plasticité
On suppose que le matériau est élastique–parfaitement plastique, avec une limite d’élasticité en traction simple σ y .
σ23 = 2 µε23 = µα x1 Les autres composantes du tenseur de contraintes sont nulles. 3. Montrer que les équations d’équilibre sont vérifiées, en l’absence de forces de volume ; calculer le vecteur contrainte sur un point courant de la section latérale, et sur un point courant de la section supérieure.
1. En supposant que σ 13 et σ 23 sont les deux seules composantes non nulles du tenseur de contraintes, montrer que, pour le critère de von Mises comme pour celui de Tresca, on aura en régime plastique :
σ213 + σ223 = τ y2
