Un énoncé de TD sur les Nombres Complexes en Terminale S. Chapitres requis : Chap 2 : Les Suites, Chap 5 : Fonction Exponentielle.Description complète
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complexes
Complex from the father of the complex
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Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Calcul vectoriel
Feuille d’exercices n◦ 1 : Nombres complexes
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
(a) z étant un nombre complexe non nul, comparer arg (z ), arg ( z ), arg (¯z ), arg ( z¯). (On accompagne accompagnera ra la réponse d’une illustration illustration graphique) graphique)
−
(b) Détermine Déterminer, r, puis représenter, représenter, l’ensemble l’ensemble des points points M du plan d’affixe z i. ii. iii.
z 2 z i
− ∈ IR. − z −1 = 1. z −2 i
Re(¯z) 3.
2. Forme cartésienne d’un nombre complexe
Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants : (a) z = (b) z = (c) z = (d) z =
1+i 1 i. 2 i 3i . 1 i 3+2i .
− − −
4
(1+i) √ ( 3−i)
3
.
1
−
∈ C, tels que :
3. Forme polaire d’un nombre complexe
Ecrire sous forme polaire les nombres complexes suivants : (a) z =
√2 (1 + i).
(b) z =
3 2
(c) z =
√
− 3 2 3. i
−√ 1+i 3 1 i
2
.
4. Inverse d’un nombre complexe
Déterminer les inverses des nombres complexes suivants :
√2 (1 + i) (b) z = 3 − 2 i (a) z = (c) z =
a 2i
−
4
, où a est un réel non nul.
2
Corrigé
1. Représentation géométrique d’un nombre complexe
(a) z étant un nombre complexe non nul, on peut comparer arg (z ), arg ( z ), arg (¯z ), arg ( z¯) à l’aide de la figure suivante :
−
−
z
- z
z
-z
Clairement :
(b)
arg (¯ z) = arg (z ) [2 π ] arg ( z ) = arg (z ) + π [2 π ] arg ( z¯) = π arg (z ) [2 π ]
− −
− −
i. Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe z
∈ C, tels que :
on cherche z sous la forme : z = x + i y . Par suite : z 2 z i
− −
x+i y 2 x+i y i (x+i y 2) (x+i i y) (x+i y i) (x i y+i) (x+i y 2) (x+i i y) x+i y i 2 x2 +i (x 2+2 y )+y (y 1) 2 x x2 +(y 1)2
− − − − − − − − | −| − − − −
= = = =
Ainsi : 3
z 2 z i
− −
∈ IR :
z z
− 2 ∈ IR ⇔ −i
x2 + i (x
− 2 + 2 y) + y (y − 1) − 2 x ∈ IR x2 + (y − 1)2
soit : x
−2+2y = 0
L’ensemble cherché est donc la droite d’équation x
− 2 + 2 y = 0.
ii. Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe z
∈ C, tels que :
−− z 1 z 2i
= 1.
Soit A le point d’affixe 1 (i.e. A a pour coordonnées (1, 0)), et B le point d’affixe 2 i (i.e. B a pour coordonnées (0, 2)). On a alors : z 1 AM = z 2i BM
− −
Les points M doivent donc être équidistants de A et B : l’ensemble des points cherchés est la médiatrice du segment [AB ].
iii. Déterminons l’ensemble des points M du plan d’affixe z
∈ C, tels que : Re(¯z) 3.
Il suffit de remarquer que :
Re(¯z) = Re(z) L’ensemble des points cherchés est donc l’ensemble des points dont l’abscisse est inférieure ou égale à 3, i.e. l’ensemble des points situés dans la partie gauche du demi-plan ayant pour frontière la droite d’équation x = 3.
4
2. Forme cartésienne d’un nombre complexe
Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants : (a) z =
1+i 1 i.
−
On a : 1+i (1 + i)2 1+2i 1 2i = = = =i 1 i (1 i) (1 + i) 1 i2 2
−
(b) z =
−
2 i 3i .
−
On a :
2
− i = −i (2 − i) = −1 − 2 i = − 1 − 2 i
3i (c) z =
− | −|
3
3
3
3
1 i 3+2i .
−
On a : 1 i (1 i) (3 2 i) 3 = = 3 + 2i (3 + 2 i) (3 2 i)
