Terminale S
TD - Maths
TD - COMPLEXES 1 I
Exer Exercic cices es d’ap d’appl plic icat atio ion n ⋆ 5 min
Exercice I.1.
π i Soit z = 4 e 6 . Donner une écriture exponentielle de z ,
−z , z
2
et 1/z . ⋆ 5 min
Exercice I.2.
√ Soit z = 2 − i 3. Déterminer une forme algébrique de z
2
et 1/z .
⋆ 15 min √ Donner la forme de trigonométrique puis exponentielle de : 1 − i ; 6 3 + 6i ; −11i.
Exercice I.3.
⋆ 5 min
Exercice I.4.
Soit z =
2
( 1 + 3i) . Calculer z . (2 i)4
−
| |
−
⋆ 5 min
Exercice I.5.
5 Résoudre dans C l’équation z + + = 2. z
⋆ ⋆ 15 min
Exercice I.6.
√ 2 √ Soit z = 3+1
√ −
+ 3 1 i . 4 Calculer z 2 , déterminer un argument de z 2 , puis en déduire un argument de z .
⋆ ⋆ 10 min
Exercice I.7.
Calculer (1 + i) + (1 − i) . 10
10
Exercice I.8.
Simplifier Simplifier le nombre nombre
√ 1+i 3 1−i
⋆ ⋆ 15 min
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. ⋆ ⋆ 15 min
Exercice I.9.
√ On donne les complexes : z = −1 + i 3 et z = 1 + i. 1
2
z 1 . z 2 5π 5π et de sin . 12 12
Écrire la forme trigonométrique de z 1 , z 2 puis de Z = En déduire les valeurs exactes de cos
⋆ ⋆ 15 min
Exercice I.10.
Soit z un un nombre complexe de module 1 : |z | = 1.
1 + z + z + z + z 2 Démontrer que le nombre u = est un réel. z ⋆ 10 min
Exercice I.11. 1. Identifier
a, b et c tels que, pour tout z
6z + 5 = (z (z + 1)(az 1)(az + bz + c + c)). ∈ C : z − 4z + 6z 6z + 5 = 0. 2. En déduire les solutions dans C de l’équation : z − 4z + 6z 4
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Terminale S
II
TD - Maths
Exerci Exercices ces d’en d’entraîne traînemen mentt ⋆ ⋆ 30 min
Exercice II.1.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O; i, j) j ), A et A’ sont les points d’affixe 1 1 e t 1, M 0 est le point d’affixe z 0 = 1 + i. On pose pour tout z non nul : f ( . 1 et f (z ) = z + + 2 z tels que f ( f (z ) = z . 1. Déterminer l’ensemble des complexes z tels ′ 2. Calculer 1/z 0 , l’affixe du point N 0 . Trouver une construction géométrique du point M 0 d’affixe f ( f (z 0), à partir des points M 0 et N 0. est de module 1, alors f ( f (z ) est réel. 3. Montrer que si z est 4. En déduire que si M est un point du cercle de centre O , de rayon 1, d’affixe z , alors le point M ′ , d’affixe f ( f (z ), est sur le segment [AA′ ] .
−
⋆ ⋆ ⋆ 45 min
Exercice II.2.
iz
−4
À tout complexe z distinct distinct de 4, on associe : Z = . z − 4 On note A le point d’affixe 4 , B le point d’affixe −4i et on considère l’ensemble E des points M du plan, distincts de A, tels que Z soit soit un nombre réel. Le but de cet exercice est de caractériser cet ensemble par deux méthodes différentes. exprimer X puis puis Y en fonction de x et y . x + iy i y et Z = X + + iY , , exprimer 1. a. En posant z = x + b. Écrire une équation cartésienne de E, puis caractériser E. 2.
iz 4 z + + 4i est réel, si et seulement si, le nombre est imaginaire pur. z 4 z 4 b. Déterminer les affixes des vecteurs AM et BM . En déduire que M appartient à (E) si, et seulement si, les vecteurs AM et BM sont a. Vérifier
que
− −
−
−−−→ −−−→
−−−→ −−−→
orthogonaux. Conclure. ⋆ ⋆ ⋆ 45 min
Exercice II.3.
) d’unité graphique 5 cm. Le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O; i, j) j 1+i On pose z 0 = 2 et, pour tout entier naturel n, z n+1 = z n . 2 On note A n le point du plan d’affixe z n . 1. Calculer z 1 , z 2 , z 3 , z 4 et vérifier que z 4 est nombre réel. Placer les points A1 , A2 , A3 et A4 sur une figure. 2. Pour tout entier naturel on pose un = z n . Justifier que la suite (un )n∈N est suite géomé1 n trique, puis établir que, pour tout entier naturel n, un = . 2 3. À partir de quel rang n 0 tous les points A n , appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0, 1 ? z n+1 z n = i. 4. a. Établir que, pour tout entier naturel n, z n+1 En déduire la nature du triangle OAnAn+1 . b. Pour tout entier naturel n on pose ℓ n la longueur de la ligne brisée A 0 A1 A2 . . . An−1 An . On a ainsi : ℓ n = A 0 A1 + A + A1A2 + . + . . . + A + An−1 An . Exprimer ℓn en fonction de n. Quelle est est la limite de la suite (ℓn )n∈N ?
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√
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Terminale S
III
TD - Maths
Exerci Exercices ces d’appr d’approfo ofondi ndisse ssemen mentt ⋆ ⋆ ⋆ 45 min
Exercice III.1.
2π i On considère le nombre complexe a = e 5 . a + a a2 + a3 + a4 = 0. 1. Démontrer que 1 + a + 3 4 2. Montrer que a = a 2 , puis a = a . ( a + a + a))2 + (a (a + a + a)) 1 = 0. 3. En déduire que (a 2 2x 1 = 0. 4. Résoudre dans R l’équation : 4x + 2x 2π . + a et en déduire la valeur de cos 5. Calculer a + a 5
−
−
⋆ ⋆ ⋆ 60 min
Exercice III.2. 1. Soit
l’équation (E) : z 3 = 1. = r eiθ , montrer que : a. En utilisant la forme exponentielle z = r (E )
⇐⇒
r = 1 θ = k = k
2π , k 3
∈Z
b. En
déduire que (E) admet exactement trois solutions dans C, dont on donnera la forme exponentielle. 8 2. S’inspirer de la méthode ci-dessus pour résoudre l’équation z = 1. 3. Soit n un nombre entier naturel non nul, et a un nombre complexe quelconque. Soit l’équation (E’) : z n = a . a. Montrer que :
| | ⇐⇒ r =
(E ′ )
θ =
b. Terminer
n
a
θ0 2π + k , k n n
∈Z
la résolution de (E’). 4 c. Résoudre l’équation de z = 16i.
Exercice III.3.
⋆ ⋆ ⋆ ⋆ 20 min
n−1
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Simplifier
kπ e n , puis en déduire les sommes : i
k=0
n−1
C n =
cos
k=0
kπ n
et
S n =
n−1
sin
k =0
kπ . n ⋆ ⋆ ⋆ 25 min
Exercice III.4. n
Déterminer selon la valeur de n ∈ N , la valeur de la somme S n = ∗
k =0
Exercice III.5.
Soit z un un nombre complexe tel que : z + + |z | = 2 + 8i. Calculer |z |2 . © 2014
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ik . ⋆ ⋆ ⋆ 20 min
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