PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2.000 - CONVOCATORIA: Junio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella,
sólo debe responder
(como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 - Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora y la tabla de distribución normal.
PRUEBA A
1.- En los años 60, la estatura de los españoles varones varones que hacían el Servicio Militar se distribuía según una normal de media 170 cms., con una desviación típica de 9 cms. En la actualidad se ha realizado un muestreo a 36 adultos varones dando una media de 172 cms. Se pide: a) ¿Podemos afirmar, con una confianza del 95% , que esa diferencia es debida al azar? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : µ = µ 0
H 0 : µ = 170 → H 1 : µ ≠ µ 0 H 1 : µ > 170
Para este contraste, la región de rechazo es R.R.=
µ 0
+ z
α
σ
,∞
n Si ∈ R.R. rechazamos la hipótesis nula nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: x = 172; n = 36; µ0 = 170; σ = 9; α = 0, 05; z 0,05 = 1.64
9
36
R.R. = 170 + 1.64
, ∞ = (172.46 , ∞ )
Como 172 ∉ (172.46, ∞ )
no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que
µ = 170 .
La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x − µ 0 estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo que para este σ
n estadístico en este contraste es: R.R.= es: R.R.= ( z α , ∞ ) = (1.64 , ∞ ) . z =
172 − 170 2 = = 1,33 ; como 1.33 ∉ (1.64 , ∞ ) , no rechazamos la hipótesis nula, es 9 9
6 36 decir, aceptamos que µ = 170 .
b) ¿Qué se puede decir si esa media se ha calculado utilizando una muestra de 900 jóvenes?. x = 172; n = 900;
µ0
= 170;
σ
= 9;
α
= 0, 05; z 0,05 = 1.64
El estadístico de prueba sigue siendo, z =
x − µ 0 σ
y la región de rechazo es:
n R.R.= ( z α , ∞ ) = (1.64 , ∞ ) . z =
172 − 170 2 = = 6.67 ; como 6.67 ∈ (1.64 , ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es 9 9
30 900 decir, aceptamos que µ > 170 .
b) ¿Qué se puede decir si esa media se ha calculado utilizando una muestra de 900 jóvenes?. x = 172; n = 900;
µ0
= 170;
σ
= 9;
α
= 0, 05; z 0,05 = 1.64
El estadístico de prueba sigue siendo, z =
x − µ 0 σ
y la región de rechazo es:
n R.R.= ( z α , ∞ ) = (1.64 , ∞ ) . z =
172 − 170 2 = = 6.67 ; como 6.67 ∈ (1.64 , ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es 9 9
30 900 decir, aceptamos que µ > 170 .
2.- El peso de las 100 vacas de una ganadería se distribuye según una normal de media 600 kilogramos y una desviación típica de 50 kilos. Se pide: a) ¿Cuántas vacas pesan más de 570 kilos? X = X = ” Peso de una vaca ”; X ≈ N ( 600, 50 ) La probabilidad de que una vaca pese más de 570 kilos es:
X − 600 570 − 600 > = P ( Z > −0.6 ) = 1 − P ( Z > 0.6 ) = 5 0 5 0 = 1 − 0.2743 = 0.7257
P ( X > 570 ) = P
Quiere decir esto que el 72.57% 72.57% de las vacas pesan más de 570 kilos, es decir, unas 73 vacas de las 100 de la ganadería pesan más de 570 kilos.
b) ¿Cuántas pesan menos de 750 kilos? La probabilidad de que una vaca pese entre 500 y 700 kilos es:
X − 600 750 − 600 ≤ = P ( Z < 3) = 1 − P ( Z > 3 ) = 50 50 = 1 − 0.0014 = 0.9986
P ( X < 750 ) = P
Quiere decir esto que el 99.86% 99.86% de las vacas pesan menos de 750 750 kilos, es decir, las 100 de la ganadería pesan menos de 750 kilos.
c) ¿Cuántas pesan entre 500 y 700 kilos? La probabilidad de que una vaca pese entre 500 y 700 kilos es:
500 − 600 X − 600 700 − 600 < < = P ( −2 < Z < 2 ) = 50 50 50 = 1 − 2· P ( Z > 2 ) = 1 − 2·0.0228 = 0.9544
P ( 500 < X < 700 ) = P
Quiere decir esto que el 95.44% 95.44% de las vacas pesan entre 500 y 700 kilos, es decir, decir, unas 96 vacas de las 100 de la ganadería pesan entre 500 y 700 kilos.
3.- Una agencia de viajes organiza una excursión . El precio del viaje es de 10.000 pesetas, si reúne 30 o menos personas. Si supera los 30 excursionistas hace una rebaja de 100 pesetas a cada uno de los viajeros. Se pide: a) Halla la función que da el precio de la excursión dependiendo del número de personas. Represéntala gráficamente. 10000 si x ≤ 30 precio( x ) = 9900 si x > 30
b) Calcula la función que da el ingreso total que obtiene la agencia en función del número de viajeros. Represéntala gráficamente. 10000 x ingresos( x ) = 9900 x
si x ≤ 30 si x > 30
4.- El precio de un artículo (en miles de pesetas), que ha estado 8 años en el mercado, se expresa en función del tiempo t (en años) según la siguiente función: 3t 2 + 4 si 0 ≤ t ≤ 2 P (t ) = 5t si 2 < t ≤ 8 21 − 2
Se pide: a) Representar la función precio en el intervalo dado.
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función precio. Hayamos la primera derivada de P (t )
6t P '(t ) = 5 − 2
si 0 ≤ t ≤ 2 si 2 < t ≤ 8
Es positiva en el intervalo (0,2) y por tanto P( x) es creciente en ese intervalo, por otra parte, P '( x ) es negativa en el intervalo (2,8) y por tanto P( x) es decreciente en ese intervalo.
c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo?. ¿Cuándo? El precio máximo lo alcanzó al segundo año y fue P (2) = 3·2 2 + 4 = 16 . Obsérvese que la función es continua en x = 2 ya que los límites laterales coinciden, y además que a la derecha de 2 es creciente y que a la izquierda es decreciente, por tanto es un máximo.
5.- Tres estudiantes desean regalar una calculadora gráfica de 8.600 pesetas a un amigo. Deciden reunir esa cantidad de la siguiente forma: Pedro aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos. Juan aporta tres pesetas por cada dos que aporta José. Se pide: a) Plantea el sistema de ecuaciones lineales del problema. P + Ju + Jo = 8600 P = 3( Ju + Jo) 3 Ju = Jo 2
b) Resuelve el sistema por cualquier método que conozcas. P + Ju + Jo = 8600 P − 3 Ju − 3 Jo = 0 2 Ju − 3 Jo = 0
P + Ju + Jo = 8600 P + Ju + Jo = 8600 → −4 Ju − 4 Jo = −8600 → 4 Ju + 4 Jo = 8600 → 2 Ju − 3 Jo = 0 2 Ju − 3 Jo = 0
P + Ju + Jo = 8600
2 Ju + 2 Jo = 4300 → 2 Ju − 3Jo = 0
P + Ju + Jo = 8600
P = 6 4500
2 Ju + 2 Jo = 4300 → Ju = 1290 − 5 Jo = −4300 Jo = 860
PRUEBA B 1.- Para una operación de compraventa de un Supermercado se tiene, entre otras, la siguiente información. Los vendedores afirman que la “caja” media por cliente es de 750 pesetas por operación, con distribución normal. La empresa compradora efectuó un muestreo de tamaño 36 que dio un gasto medio de 722 pesetas y una desviación típica de 56 pesetas. Se pide: a) Para un nivel de significación del 5%, indicar si el muestreo es representativo, en ensayo bilateral de la población de indican los vendedores. Se nos plantea un contraste de hipótesis Bilateral de la forma:
H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ ≠
µ 0
H 0 : µ = 750
→ ≠ H : µ 750 1
Para este contraste, la región de aceptación es R.A.=
Si
− z
α
σ /2
,
µ 0
+ z / 2
n ∈ R.A. aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos.
Datos del problema: x = 722; n = 36; µ0 = 750;
R.A. = 750 − 1.96
56 36
σ
= 56;
, 750 + 1.96
Como 722 ∉ ( 731.7, 768.3 ) µ =
µ0
α
= 0, 05;
α
α
n
σ
/ 2 = 0, 025; z 0,025 = 1.96
56
= ( 731.7 , 768.3) 36
no aceptamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que
750 .
La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x − µ 0 estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo que para este test σ
n
bilateral es: R.R.= ( − zα / 2 , z α / 2 ) = ( −1.96 , 1.96 ) . z =
722 − 750 −28 = = −3 ; como −3 ∉ ( −1.96 , 1.96 ) , no aceptamos la hipótesis nula, es 56 56
6 36 decir, rechazamos que
µ =
750 .
b) En el supuesto de que las 750 pesetas sea el valor mínimo de gasto de los clientes, comprobar la validez de la muestra en ensayo unilateral con el mismo nivel. Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : µ ≥ µ0
H 0 : µ ≥ 750 → H 1 : µ < µ0 H 1 : µ < 750 x = 722; n = 36;
µ0
= 750;
σ
= 56;
α =
0, 05; z 0,05 = 1.64
Para este contraste unilateral la región de rechazo es σ 56 R.R. = µ 0 + z α , ∞ = −∞ , 750 − 1.64 = (−∞ , 734.7 ) n 36 Como 722 ∈ ( −∞ , 734.7 ) µ =
750 .
rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que
2.- En una muestra aleatoria de 300 votantes, 180 se mostraron favorables al partido A. a) Estimar en % y con un nivel de confianza del 99% , entre qué límites se encuentra la proporción de votantes al partido A. Se nos pide hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de votantes del partido A
Este intervalo es pˆ − z
α
Datos del problema: 180 = 0, 6; n = 300; pˆ = 300
pˆ (1 − pˆ ) /2
α
, pˆ + z α / 2
n
= 0, 01; z
α /
pˆ (1 − pˆ )
2
n
= z0,005 = 2,58
0.6(1 − 0.6) 0.6(1 − 0.6) , 0.6 + 2.58 0.6 − 2.58 300 300
= (0.527 , 0.672 )
b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra para que se realice una estimación con un error menor o igual a 0,05?. Datos del apartado: p = 0.6; E = 0.05; α
= 0.05 ⇒ α / 2 = 0.025 ⇒ z
α / 2
= z 0.025 = 1.96
El máximo error que se comete, con un nivel de confianza del 95 % es: pˆ (1 − pˆ ) < E zα / 2 n 1.96
0.6(1 − 0.6) n 0.24 n 0.24
n 0.24 n
<
< 0.05
0.05 1.96
< 0.0255
< ( 0.0255)
0.24
2
369.08 ⇒ n ≥ 370
3.- Una empresa dedicada a la fabricación de luminosos publicitarios anuncia que, como máximo, hay un 1% de luminosos defectuosos. Se selecciona una muestra de 100 rótulos publicitarios y se observa que aparecen 3 defectuosos. Se pide: a) Con un nivel de significación del 5%, ¿podemos aceptar la hipótesis del fabricante? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : p ≤ p0
H 0 : p ≤ 0, 01 → H1 : p > p0 H1 : p > 0, 01 Para este contraste la región de rechazo es
p0 (1 − p0 ) R.R.= p0 + z ,∞ n Si pˆ ∈ R. R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. α
Datos del problema: 3 n = 100; pˆ = = 0, 03; p0 = 0, 01; 100
α
= 0, 05; z0,05 = 1, 64
0, 01 (1 − 0, 01) R.R. = 0, 01 + 1.64 , ∞ = (0, 026 , ∞ ) 100 Como 0, 03 ∉ ( 0.026, ∞ ) rechazamos la hipótesis nula, es decir, no aceptamos que p ≤ 0,01 .
La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el p − p0 y ver si cae en la región de rechazo estadístico de prueba, z = p0 (1 − p0 ) n
( z , ∞ ) = (1, 64 , ∞ ) . α
z =
0, 03 − 0, 01 0,01(1 − 0,01)
= 2.01 ; como 2, 01 ∈ (1, 64 , ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es
100 decir, no aceptamos la hipótesis nula, p ≤ 0,01 .
b) ¿Y con un nivel de confianza del 99%? La región de rechazo para el estadístico de prueba es: ( zα , ∞ ) = ( z 0,01 , ∞ ) = ( 2, 33 , ∞ ) . el estadístico de prueba vale z = 2,01, y como 2, 01 ∉ ( 2,33 , ∞ ) , no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p ≤ 0.01
4.- En un día desapacible, la temperatura (T) en grados centígrados varió con el tiempo t (en horas) según la función T (t ) = t 2 - 9t + 8 para 0 ≤ t ≤ 12 . Se pide: a) ¿Qué temperatura hacía a la dos de la mañana? Nos piden calcular T ( 2 ) = 2 2 − 9·2 + 8 = −6 grados
b) ¿Cuál fue la temperatura máxima? ¿A qué hora se produjo?
Calcular T '(t ) = 2t − 9 y T ''(t ) = 2 > 0 , como la derivada segunda es positiva quiere decir que T no tiene ningún máximo en el interior del intervalo (0,12). Por tanto Hay que evaluar la función en los extremos del intervalo y ver en que punto de ellos se alcanza el máximo.
T (0) = 8 T (12) = 44 La temperatura máxima se alcanzó a las 12 horas y se alcanzaron 44 grados.
c) ¿A qué hora hubo una temperatura de cero grados? t = 1 Hay que resolver la ecuación T (t ) = 0 ⇔ t 2 − 9t + 8 = 0 ⇔ t = 8
d) ¿Cuál fue el intervalo de variación de la temperatura desde las 6 a las 12 horas? T (6) = − 10
La temperatura varió de –10 a 44 grados
T (12) = 44
5.- La Consejería de Sanidad del Gobierno de Canarias dispone de 30 médicos, 48 enfermeras y 240 millones de pesetas para construir centros asistenciales en los barrios de Guanarteme y Escaleritas. Los requerimientos de cada centro vienen dados por la siguiente tabla: Zonas Guanarteme Escaleritas
Médicos 3 2
Enfermeras 3 4
Millones 30 10
Si la autoridades consideran prioritario prestar atención sanitaria al mayor número de personas y, además, si en cada centro de Guanarteme se proporciona asistencia a 1500 personas (de media) y cada centro de Escaleritas puede atender a 600 personas de media, ¿cuántos centros hay que poner en cada barrio? Se trata de maximizar la función, numero de pacientes con asistencia médica. Esta función es: f ( x, y ) = 1500 x + 600 y Con las siguientes restricciones presupuestarias, de personal y de no negatividad de las variables : 30 x + 10 y ≤ 240
Millones Médicos Enfermeras
3 x + 2 y ≤ 30 3 x + 4 y ≤ 48 x ≥ 0; y ≥ 0
Tenemos pues que: ax f ( x, y ) = 1500 x + 600 y s.a.:
30 x + 10 y ≤ 240 3 x + 2 y ≤ 30
30 x + 10 y ≤ 240
3 x + 4 y ≤ 48 x ≥ 0; y ≥ 0
3 x + 4 y ≤ 48
3 + 2 ≤ 30
1500 x + 600 y = 0
Los puntos extremos de la región factible son: (0,12), (4,9), (6,6) y (8,0) Evaluamos la función objetivo en estos puntos y se obtiene: f ( 0,12 ) = 7200 f ( 4,9 ) = 11400 f ( 6, 6 ) = 12600 f ( 8, 0 ) = 12000 Por lo tanto el máximo número de cuidadanos con asistencia médica se tiene cuando se hacen 6 centros en Guanarteme y 6 en Escaleritas.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2.000 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5
PRUEBA A 1.- La probabilidad de que un alumno matriculado en 2º Curso de Bachillerato abandone los estudios es de 0,2. Si en un centro hay 100 alumnos de ese nivel, se pide: a) ¿De qué distribución se trata?. ¿Qué condición debe cumplir para que se pueda aproximar a una continua?. X=”nº de alumnos, de los 100 matriculados, que abandonan los estudios” Se trata de una binomial de parámetros n=100, alumnos, y p=0.2, la probabilidad de que cada una de ellos abandone los estudios, es decir, X ≈ B(100 , 0,2) Las condiciones para que una binomial se pueda aproximar por una normal,
(
)
N n· p , n· p·(1 − p ) , son i) n·p=100·0,2=20>5 ii) n(1-p)=100·0,8=80>5 en este caso se cumplen, por tanto la variable X, se puede aproximar por la variable
(
)
Y ≈ N 100·0.2, 100·0.2·0.8 = N (20, 4 )
b) Hallar la probabilidad de que abandonen menos de 30 alumnos. Y − 20 30 − 20 < = P ( Z < 2.5) = 1 − P (Z > 2.5) = 1 − 0.0062 = 0.9938 4 4
P( X < 30) ≅ P(Y < 30) = P
Observación: Para ser más exactos en la respuesta teniendo en cuenta que una variable binomial es discreta, al aproximarla por una variable continua , se le debe hacer la Corrección de Yates, es decir, P( X < 30) = P( X ≤ 29) ≅ P(Y ≤ 29.5)
Y − 20 29.5 − 20 < = P ( Z < 2.375 ) = 1 − P( Z > 2.375) = 1 − 0.0088 = 0.9912 4 4
P (Y ≤ 29.5) = P
c) Halla la probabilidad de que abandonen entre 10 y 20 alumnos. Nos piden la probabilidad P(10 ≤ X ≤ 20) Sin hacer la Corrección de Yates sería
10 − 20 Y − 20 20 − 20 < < = ( −2, 54 < Z < 0 ) = 4 4 4 = P ( Z < 0 ) − P ( Z < −2.5 ) = P ( Z < 0 ) − P ( Z > 2.5 ) = 0, 5 − 0, 0062 = 0, 4938
P (10 ≤ X ≤ 20) ≅ P(10 ≤ Y ≤ 20) = P
Si hacemos la Corrección de Yates sería
P (10 ≤ X ≤ 20) ≅ P(9.5 ≤ Y ≤ 20.5)
9.5 − 20 Y − 20 20.5 − 20 < > = P ( −2, 625 < Z < 0.125 ) = 4 4 4 = 1 − P ( Z < −2.625 ) − P ( Z > 0.125 ) = 1 − P ( Z > 2.625 ) − P ( Z > 0.125 ) =
P (9.5 ≤ Y ≤ 20.5) = P
= 1 − 0.0044 − 0.4110 = 0.5846 En este caso aplicar la corrección de Yates produce una diferencia de aproximadamente 7 centésimas.
2.- Un sociólogo está estudiando la duración del noviazgo en una extensa área rural. Se tomó una muestra aleatoria formada por 56 familias y se obtuvo que la duración media fue de 3,4 años, con una desviación típica de 1,2 años. a) Halla el intervalo de confianza, para la duración media del noviazgo, de la población de familias en dicha área al nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza para una media muestral es:
x − z
σ
α
/2
n
, x + z α / 2
n
σ
Datos del problema:
n = 56; x = 3, 4;
x − z
σ
α
/2
n
σ
= 1, 2;
, x + z α / 2
α
= 0, 05;
α / 2
= 0, 025; z 0,025 = 1, 96
1, 2 1, 2 , 3, 4 + 1,96 = 3, 4 − 1, 96 = ( 3.085 , 3.714) n 56 56
σ
b) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para estar seguro al nivel confianza del 90% de que el error máximo cometido es del 5%? Datos del problema: σ
= 1, 2; E = 0.05;
zα / 2
⇒
σ
1.968 n
n
< E ⇒ z 0,05
< 0.05 ⇒
α
= 0,1;
1.2
1.968 0.05
n
α / 2
= 0, 05; z 0,05 = 1, 64
< 0.05 ⇒ 1.64
1.2 n
< 0.05 ⇒
< n ⇒ n > 39.36 ⇒
⇒ n > 1549.21 ⇒ n ≥ 1550
3.- Una empresa de bebidas refrescantes sabe que, si x es el precio (en décimas de euros) de una botella de refresco, los beneficios de la empresa (en miles de euros) vienen dados por la expresión b( x) = 10 x - x 2 - 21 . Se pide: a) ¿Entre qué valores de x el beneficio es positivo?
Las raíces de la ecuación b( x) = 0 son 3 y 7, entre ellas la función es positiva.
b) ¿Cuál es el precio de la botella que da el beneficio máximo. Tenemos que derivar e igualar a cero la función de beneficios b( x) = 10 x - x 2 - 21
b ' ( x ) = 10 − 2 x ⇒ b ' ( x ) = 0 ⇒ 10 − 2 x = 0 ⇒ x = 5
b ''( x ) = − 2 , quiere decir que en x = 5 hay un máximo.
c) ¿Cuál es ese beneficio?. Para el precio de 5 décimas de euros (0,5 euros) el beneficio es
b(5) = 10·5 − 52 - 21 = 4 Cuando el precio es 0,5 euros el beneficio es 4000 euros
4.- Hacer un esquema de la gráfica de la función f(x) = x 2 –5x+6 calculando sus máximos y mínimos relativos y los puntos de cortes con los ejes. Halla el área de la región comprendida entre la curva anterior el eje de las abscisas y las rectas x=1 y x=5.
La función f esta definida en todo
¡
. Sus cortes con los ejes se obtienen de: x = 2 Resolver la ecuación f ( x) = 0 ⇔ x 2 - 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 3
i)
ii) Evaluar f (0) = 6 Con lo cual son los puntos (2,0), (3,0) y (0,6). Para estudiar sus máximos y mínimos tenemos que derivar e igualar a cero la función f ( x) = x 2 - 5 x + 6
f ' ( x ) = 2 x − 5 ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇒ 2 x − 5 = 0 ⇒ x = 2.5
f ''( x ) = 2 , quiere decir que en x = 2.5 hay un máximo absoluto. f no tiene máximos ni mínimos relativos. El área de la región comprendida entre la curva, el eje de las abscisas y las rectas x=1 y x=5, se tiene que tener en cuenta que la función es negativa entre 2 y 3. El área se obtiene de la siguiente forma: Area =
∫
2
1
f ( x)dx −
∫
3
2
f ( x )dx +
∫
5
3
f ( x )dx =
2
3
5
x3 x3 x3 x2 x2 x2 = − 5 + 6· x − − 5 + 6· x + − 5 + 6· x = 2 2 2 3 1 3 2 3 3 23 13 33 22 12 32 = − 5 + 6·2 − − 5 + 6·1 − − 5 + 6·3 + 2 2 2 3 3 3 23 53 33 22 52 32 + − 5 + 6·2 + − 5 + 6·5 − − 5 + 6·3 = 2 2 2 3 3 3 =
14 3
−
23 6
−
9 2
+
14 3
+
55 6
−
9 2
=
17 3
= 5.667
5- En un supermercado un cliente compra 12 latas de aceitunas de un total de tres marcas distintas. Si el número de latas de la marca A es igual a 3/2 el número de latas de la marca B, y éste, a su vez, es igual a dos veces el número de latas de la marca C. Se pide: a) ¿En qué parte del programa de matemáticas, que has dado, ubicas este problema? Este problema pertenece al tema de sistemas de ecuaciones lineales, ya que se describen una serie de “relaciones” entre unas cantidades desconocidas. Estas relaciones una vez se plasman como ecuaciones se observa que son lineales.
b) ¿Cuántas latas compró de cada marca? 2 A = 12 A + B + C = 12 3 3 A = 6 3 2 2 A = B ⇒ B = A ⇒ B = A ⇒ B = 4 2 3 3 C = 2 B = 2C 1 1 2 1 1 C = B = · A = A C = A 2 23 3 3 A +
2
A+
1
A = 12
PRUEBA B
1.- El nivel medio de colesterol en sangre de la población adulta entre 50 y 60 años de edad es de 185 mg por cada 100 ml de sangre. La desviación típica es de 25 mg por 100 ml. Si las medidas se distribuyen según una normal, calcula: a) ¿Qué porcentaje de la población tiene niveles superiores a 200 mg? X = ” Nivel de colesterol en sangre en un adulto entre 50 y 60 años”; X ≈ N (185,25 ) La probabilidad de que una persona tenga un nivel de colesterol en sangre superior a 200 es:
X − 185 200 − 185 > = P ( Z > 0.6 ) = 0, 2743 25 25
P ( X > 200 ) = P
Quiere decir esto que el 27.43% de la población adulta entre 50 y 60 años tiene un nivel de colesterol en sangre superior a 200 mg.
b) ¿Qué porcentaje de la población tiene niveles inferiores a 130 mg? X − 185 130 − 185 < = P ( Z < −2.2 ) = P ( Z > 2.2 ) = 0, 0139 25 25
P ( X < 130 ) = P
Quiere decir esto que el 1.39% de la población adulta entre 50 y 60 años tiene un nivel de colesterol en sangre inferior a 130 mg.
c) ¿Qué porcentaje de la población está comprendido entre 130 y 200 mg?.
En el gráfico podemos ver que esa probabilidad es: P (130 < X < 200 ) = 1 − P ( X < 130 ) − P ( X > 200 ) = 1 − 0, 0139 − 0.2743 = 0, 7118
2.- Para hallar la proporción de jóvenes que les gusta el baloncesto se toma una muestra de tamaño 500. El resultado fue que a 350 les gusta ese deporte. Calcula: a) Intervalo de confianza para un nivel de significación de 0,05. Se nos pide hallar un intervalo de confianza al 95% para la proporción de jóvenes que les gusta el baloncesto
Este intervalo es pˆ − z
α
Datos del problema: 350 = 0, 7; n = 500; pˆ = 500
pˆ (1 − pˆ ) /2
α
n
= 0, 05; z
α / 2
, pˆ + z α / 2
pˆ (1 − pˆ ) n
= z0,025 = 1, 96
0.7(1 − 0.7) 0.7(1 − 0.7) , 0.7 + 1.96 0.7 − 1.96 500 500
= (0.66 , 0.74 )
b) Error máximo que se comete. Tomando pˆ como aproximación para la proporción poblacional, con un nivel de confianza del 95% el error máximo que se comete es:
z α / 2
pˆ (1 − pˆ ) n
= 1.96
0.7(1 − 0.7) 500
= 0.04
Es decir, al tomar como proporción en la población p=0.7, con un nivel de confianza del 95% el error máximo que se comete es del 4%.
3.- El estudio de una muestra aleatoria de 100 jóvenes que se presentan a una prueba, para un puesto de trabajo en un ayuntamiento, revela que la media de edad es de 20,2 años. Sabiendo que la variable estudiada se distribuye normalmente en la población, con desviación típica 10, ¿podemos aceptar con un 95% de confianza el valor de 22 años como media de edad de todos los que asisten a la prueba?. Se nos plantea un contraste de hipótesis Bilateral de la forma:
H 0 : µ = µ0
H 0 : µ = 22 → H 1 : µ ≠ µ0 H 1 : µ ≠ 22
Para este contraste, la región de aceptación es R.A.=
Si
µ0
− z
α
σ /2
,
µ 0
+ z / 2
n ∈ R.A. aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos.
Datos del problema: n = 100; x = 20, 2; µ0 = 22;
R.A. =
µ0
−z
σ
α
/2
n
,
µ 0
σ
= 10;
+ z / 2 α
Como 20.2 ∈ ( 20.04, 23.96 )
α
= 0, 05; z
α / 2
α
n
σ
= z0,025 = 1, 96
10 10 , 22 + 1.96 = 22 − 1.96 = ( 20.04, 23.96) n 100 100
σ
aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que
µ =
22 . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x − µ 0 estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo, que para este test σ
n
bilateral es: R.R.= ( − zα / 2 , z α / 2 ) = ( −1.96 , 1.96 ) . z =
20.2 − 22 = − 1.8 ; como −1.8 ∈ ( −1.96, 1.96 ) , aceptamos la hipótesis nula, es decir, 10
100 aceptamos que
µ =
22 .
¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que el intervalo de confianza de la media muestral perteneciera a (20.2-1.78;20.2+1.78) con el mismo nivel de significación? Nos están pidiendo el tamaño muestral para que el error máximo fuera 1.78, con un nivel de confianza del 95% E = zα / 2
σ
n
= 1, 78 ⇔ 1,96
10 n
= 1, 78 ⇔
Por tanto se necesita que n ≥ 122
19, 6 1,78
< n ⇔ 11.01 < n ⇔ n > 121.22
4.- El coste de fabricación de x unidades de lavadoras viene dado por la función C(x)= 50.000 + 1000x, donde C(x) viene dado en pesetas. Se pide: a) Halla el coste de fabricación de 3 lavadoras. C ( x ) = 50000 + 1000 x
C (3) = 50000 + 1000·3 = 53000 pesetas
b) Si el coste de fabricación ha sido de un millón de pesetas, ¿cuántas lavadoras se han fabricado? C ( x ) = 1000000 ⇔ 50000 + 1000 x = 1000000 ⇔ 1000 x = 950000 ⇔ x = 950 lavadoras
c) Si el coste de fabricación es de 40.000 pesetas, ¿Cuántas lavadoras se han fabricado?. Razona la respuesta. C ( x) = 40000 ⇔ 50000 + 1000 x = 40000 ⇔ 1000 x = −10000 ⇔ x = −10 Esto es imposible, no se ha fabricado ninguna lavadora. La función esta definida para x ≥ 0 y el coste mínimo es 50000.
5.- Las necesidades mínimas diarias, de unidades de tres vitaminas A, B y C, en la dieta de un determinado animal, son respectivamente 6,24 y 16. Existen dos tipos de piensos P y Q que pueden suministrar esas vitaminas, cuyos contenidos, en unidades por kilogramo de peso, vienen dados en la siguiente tabla: Unidades de Unidades de Unidades de vitamina A vitamina B vitamina C Pienso P 1 5 2 Pienso Q 1 3 4 El coste de cada kilogramo de pienso tipo P es de 80 pesetas, mientras que el coste de cada kilogramo de pienso tipo Q es de 75 pesetas. ¿Cómo se ha de configurar la dieta de costo global mínimo? Se trata de minimizar la función de coste global del pienso. Esta función es: f ( x, y ) = 80 x + 75 y Con las siguientes restricciones para cubrir el aporte vitamínico y de no negatividad de las variables : x + y ≥ 6 Vitamina A
Vitamina B Vitamina C
5 x + 3 y ≥ 24 2 x + 4 y ≥ 16 x ≥ 0; y ≥ 0
in f ( x, y ) = 80 x + 75 y s.a. : r1 ≡
x+ y ≥ 6
r 3
r2 ≡ 5 x + 3 y ≥ 24 r3 ≡ 2 x + 4 y ≥ 16
r 1
REGION FACTIBLE
x ≥ 0; y ≥ 0
r 2
Los puntos extremos que se obtienen son: x + y = 6
x = 3 ⇒ → f (3,3) = 80·3 + 75·3 = 465 5 x + 3 y = 24 y = 3 5 x + 3 y = 24 x = 4 ⇒ → f (4, 2) = 80·4 + 75·2 = 470 2 x + 4 y = 16 y = 2 x + y = 6
x = 3, 43 . ⇒ → (3, 43 , 2, 28) ∉ R Factible 5 x + 3 y = 24 y = 2, 28 x = 0 → f (0,8) = 80·0 + 75·8 = 600 y = 8 x = 8
→ f (8, 0) = 80·8 + 75·0 = 640
y = 0
El costo mínimo se consigue con 3 kilos de pienso P y 3 kilos de pienso Q.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2000-2.001 - CONVOCATORIA: Junio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene ti ene una puntuación máxima de 2.5
PRUEBA A 1.- El peso de las peras de una cosecha se distribuye según una normal de media 115 gramos y desviación típica igual a 25 gramos. i) ¿Cuál es la probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 120 gramos? X = X = ” Peso de una pera”; X ≈ N (115,25 ) La probabilidad de que una pera elegida al azar pese más de 120 gramos es:
X − 115 120 − 115 > = P ( Z > 0.2 ) = 0, 4207 25 25
P ( X > 120 ) = P
ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de una muestra de 64 peras esté entre 112 y 119 gramos? Sabemos que la variable peso medio, , de de una una muestra de tamaño 64, se distribuye también como una normal con media 115 y desviación típica σ X
=
σ X
n
=
25
=
64
25 8
= 3.125 .
Nos piden calcular:
112 − 115 X − 115 119 −115 < < = P ( −0.96 < Z < 1.28 ) = 3 . 1 2 5 3 . 1 2 5 3 . 1 2 5 = 1 − P ( Z < −0.96 ) − P ( Z > 1.28 ) = 1 − 0.1685 − 0.1003 = 0.7312
P (112 < X < 119 ) = P
2.- En las últimas últi mas elecciones, celebradas hace un año, el 52 por ciento de los votantes de una ciudad estaban a favor del alcalde. Una encuesta, realizada recientemente, indica que, de 350 ciudadanos elegidos al azar, 198 están a favor del alcalde: i) ¿Se puede afirmar, con un nivel de confianza del 90%, que el alcalde gana popularidad?. Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : p = p0
H1 : p > p0
p0 (1 − p0 )
n
Para este contraste la región de rechazo es R.R.= p0 + z α
,∞
Si pˆ ∈ R.R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: 198 p0 = 0.52; n = 350; pˆ = = 0, 566; ; α = 0,1; zα = z 0,11 = 1, 28 350
0, 52 (1 − 0, 52 )
350
R.R. = 0, 52 + 1, 1, 28
, ∞ = ( 0, 553 , ∞ )
Como 0, 56 566 ∈ ( 0.552, ∞ ) rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p > 0,52 por tanto que el alcalde ha aumentado su popularidad. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el p − p0 estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo para este p0 (1 − p0 ) n estadístico, que a un nivel de confianza z =
0, 56 566 − 0, 52 52 0,52 ,52(1 − 0,52 ,52)
α
es, ( z α , ∞ ) = (1, 28 , ∞ ) .
= 1.72 ; como 1, 72 ∈ (1, 28 , ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es
350 decir, aceptamos que p > 0,52 0, 52 por tanto que el alcalde ha aumentado su popularidad.
ii) ¿Se obtiene la misma respuesta que en el apartado anterior si el nivel de confianza es igual a 0.99?. El estadístico de prueba sigue siendo: p − p0 0, 56 566 − 0, 52 52 z = = = 1.72 p0 (1 − p0 ) 0, 52(1 − 0, 52) n
350
la región de rechazo para este estadístico, a un nivel de confianza ( z α , ∞ ) = ( 2, 33 , ∞ ) .
α
= 0.01 es,
Como 1, 72 ∉ ( 2, 33, ∞ ) , no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis nula, p = 0,52 .
3.- En un determinado mapa, un solar urbano está limitado por las gráficas de las funciones f ( x) = x 2 − 2 y g ( x) = 2 x + 1 i) Hacer un dibujo del solar. f ( x ) es una parábola que tiene sus raíces en ± 2 y su mínimo en x= en x=0. 0. g ( x ) es una recta que paso por los puntos (0,1) y (1,3) Los puntos de corte de las dos funciones se obtienen de la ecuación: f ( x ) = g ( x ) ⇔ x 2 − 2 = 2 x + 1 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = −1 o x = 3
ii) Hallar el área del solar si la unidad de medida usada en el mapa es el decámetro. Dicha superficie se obtiene como la integral de la diferencia de las dos funciones, la superior menos la inferior, entre sus puntos de corte. 3
3
x3 2 2 − = − + + = − + + = − + + g ( x ) f ( x ) dx x 2 x 3 dx 2 3 x x 3 x ( ) ( ) = ∫−1 ∫−1 3 2 3 −1 −1 3
3
x 3
x2
( −1)3 2 − + 3 + 3·3 − − + ( −1) + 3·( −1) = 10.667 Dm 2 3 3
( 3)
3
2
Es decir, la superficie del solar es de 1066.7 m 2
iii) Si el valor del metro cuadrado es de 30 euros, ¿Cuánto vale el solar?. Valor = 1066.7 · 30 = 31998 €
4.- Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros cuando han transcurrido t años, siguen la función f (t ) =
2t − 4 t + 2
i) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas. Nos piden el valor de t a partir del cual la función empieza a ser positiva. 2t − 4 f (t ) > 0 ⇔ >0 t + 2 como el denominador es positivo, ya que el tiempo t es mayor que cero por tanto 2t − 4 también es positivo, el signo de , lo determina solo el numerador. t + 2 2t − 4 f (t ) > 0 ⇔ > 0 ⇔ 2t − 4 > 0 ⇔ 2t > 4 ⇔ t > 2 t + 2 A los 2 años deja de tener perdida y empieza a tener beneficios. 2(t + 2) − ( 2t − 4 )·1 8 f '(t ) = = > 0 ∀t 2 2 (t + 2) ( t + 2 )
t+2
ii) ¿Es creciente la ganancia?. Tenemos que hallar la derivada de f y ver si es positiva. f '(t ) =
2(t + 2) − ( 2t − 4 )·1
(t + 2)
2
=
8
( t + 2 )
2
> 0 ∀t
con lo cual la ganancia es una función creciente con el tiempo.
¿En qué año la ganancia supera los 100.000 euros?. Como la función f mide las ganancias o perdidas en cientos de miles de euros nos piden calcular el valor de t tal que 2t − 4 f (t ) > 1 ⇔ > 1 ⇔ 2t − 4 > t + 2 ⇔ t > 6 t + 2 A partir de los 6 años la ganancia supera los 100000 euros.
iii) ¿Existe límite para la ganancia?. En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?. 2t 4 lim f (t ) = lim t →∞
t →∞
2t − 4 t + 2
= lim t t →∞
t
−
+
t = lim t →∞ 2
t t Si existe límite y está en 200000 euros.
2−
4
t = 2 − 0 = 2 2 1+ 0 1+ t
5.- Carla compra tres pantalones, dos blusas y un sombrero por 135 euros. Nuria adquiere un pantalón, tres blusas y un sombrero por 100 euros Por su parte, Paula compra dos pantalones, tres blusas y dos sombreros por 155 euros. Si se supone que los artículos de un mismo tipo cuestan lo mismo, determinar el precio de cada una de las prendas. 3 P + 2 B + S = 135
P + 3B + S = 100
P + 3B + S = 100 ⇒ 3P + 2B + S = 135 ⇒
2 P + 3B + 2S = 155
P + 3B + S = 100
⇒
2 P + 3B + 2 S = 155 P = 25
− 3 B = −45 ⇒ B = 15 − 2S = −60 S = 30
P + 3B + S = 100
− 3B = −45 ⇒ − 7 B − 2 S = −165
PRUEBA B 1.- Se sabe que el consumo semanal de refrescos (en litros) entre los jóvenes de una ciudad es una variable normal con desviación típica igual a 0.6 litros. Se pregunta a 100 jóvenes sobre su consumo semanal de refrescos y se obtiene una media muestral de 1.5 litros. i) Hallar el intervalo de confianza de nivel 0.95 para la media de consumo semanal de refrescos de la población de jóvenes. Datos del problema: σ = 0.6; n = 100; x = 1,5;
X − z
α
σ /2
n
, X + z α / 2
α
= 0, 05; z
α /
2
= z0,025 = 1,96
0, 6 0, 6 ,1,5 + 1,96 = 1,5 − 1, 96 = (1,38 , 1, 62 ) n 100 100
σ
ii) Si se acepta un error de 0.1 litros y se toma un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño de la muestra de jóvenes que habría que considerar?. Datos del problema: σ = 0, 6; E = 0,1;
zα / 2
⇒
σ
1,548 n
n
α
= 0, 01; α / 2 = 0.005; z / 2 = z 0,005 = 2, 58
< E ⇒ z 0,005
< 0.1 ⇒
1,548 0,1
⇒ n > 239, 63 ≅ 240
α
0, 6 n
< 0,1 ⇒ 2,58
0, 6 n
< 0,1 ⇒
< n ⇒ n > 15, 48 ⇒
2.- Se sabe que la edad (en años) de los aspirantes a un puesto de trabajo en un determinado organismo oficial es una variable normal con desviación típica igual a 5. Se observa una muestra de 125 personas que se presentan a una prueba para optar a un puesto de trabajo en el citado organismo, obteniéndose una edad media igual a 22.3 años: i) ¿Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que es igual a 21 la edad media de los que optan a un puesto de trabajo en el organismo oficial? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : µ = µ 0
H 0 : µ = 21 → H 1 : µ ≠ µ 0 H 1 : µ ≠ 21
Para este contraste, la región de rechazo es R.A.=
Si
µ0
− z
α
σ /2
, µ 0 + z α / 2
n ∈ R.A. aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos.
Datos del problema: x = 22,3; n = 125;
µ0
5
125
R.A. = 21 − 1.96
= 21;
σ
= 5;
, 21 + 1.96
α
= 0, 05;
α
n
σ
0, 025; z 0,025 = 1.96 /2 =
= ( 20,12 , 21,87 ) 125 5
Como 22,3 ∉ ( 20,12 , 21,87 ) rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que µ =
21 .
La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x − µ 0 estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de aceptación que es: σ
n
R.A.= ( − zα , z α ) = ( −1,96 , 1,96 ) . z =
22,3 − 21 = 2,9 ; como 2, 9 ∉ ( −1,96 , 1, 96 ) , rechazamos la hipótesis nula, es decir, 5
125 rechazamos que µ = 21 . Nota: también se daría por valida un contraste unilateral por la derecha.
ii) ¿Se puede afirmar, si el nivel de significación es del 1%, que dicha edad media es menor o igual que 22? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : µ ≤ µ 0
H 0 : µ ≤ 22 → H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ > 22
Para este contraste, la región de rechazo es R.R.=
µ 0
+ z
α
σ
,∞
n Si ∈ R. R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema:
x = 22,3; n = 125;
R.R. = 22 + 2.33
= 22;
µ0
σ
= 5;
α
= 0, 01; z 0,01 = 2,33
5 3125
, ∞ = ( 23.04 , ∞ )
Como 22, 3 ∉ ( 23, 04 , ∞ ) no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que µ =
22 . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el x − µ 0 estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo que es: σ
n R.R.= ( z α , ∞ ) = ( 2,33 , ∞ ) . z =
22,3 − 22 = 0.67 ; 5
como 0, 67 ∉ ( 2.33, ∞ ) ,
125 decir, aceptamos que µ = 22 .
no rechazamos la hipótesis nula, es
3.- En una empresa que fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 10% de estos son defectuosos. Si se compra un paquete de 300 microcircuitos procedentes de la fábrica, determinar: i) Número esperado de microcircuitos no defectuosos. X = ”nº de microcircuitos NO defectuosos en un paquete de 300” La probabilidad de que un microcircuito sea no defectuoso es p=0,9 X ≈ B (300, 0,9) Para una variable binomial de parámetros n y p, su valor medio esperado es n·p=300·0,9=270.
ii) Probabilidad de que se encuentre más de 27 microcircuitos defectuosos. X = ”nº de microcircuitos defectuosos en un paquete de 300” La probabilidad de que un microcircuito sea no defectuoso es p=0,1 X ≈ B(300, 0,1) Se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal ya que: i) n· p > 5; 300·0,1 = 30 > 5 ii) n·(1 − p) > 5; 300·(1 − 0,1) = 270 > 5 La variable X se puede aproximar por una
(
normal,
)
Y ≈ N n· p , n· p·(1 − p ) = N ( 30, 5,196 ) Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates Y − 30 27,5 − 30 > P ( X > 27 ) ≅ P (Y > 27,5 ) = P = 5,196 5,196
= P ( Z > −0, 48 ) = 1 − P ( Z > 0, 48 ) = 1 − 0, 3156 = 0, 6844 Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates P ( X > 27 ) ≅ P (Y > 27 ) = P ( Z > −0,58 ) = 0, 719
iii) Probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 20 y 30. Nos piden calcular P ( 20 ≤ X ≤ 30 ) . Aplicando la Corrección de Yates sería
19, 5 − 30
P ( 20 ≤ X ≤ 30 ) ≅ P (19,5 < Y < 30,5 ) = P
Y − 30 5,196
<
30,5 − 30
= = P ( −2, 02 < Z < 0, 09 ) = 1 − P ( Z > 2, 02 ) − P ( Z > 0, 09 ) = = 1 − 0, 0217 − 0, 4641 = 0,5142 5,196
<
5,196
Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates
20 − 30
P ( 20 ≤ X ≤ 30 ) ≅ P ( 20 < Y < 30 ) = P
Y − 30
<
30 − 30
= 5,196 5,196 5,196 = P ( −1, 92 < Z < 0 ) = 1 − P ( Z > 1,92 ) − P ( Z > 0 ) = = 1 − 0, 0217 − 0,5 = 0, 4783
<
4.- El número de personas que acuden a una exposición en un día viene dado por la función f (t ) = 12t − 2t 2 , siendo "t " el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. Si el horario de exposición es de 15 a 21 horas: i) ¿A qué hora es máximo el número de personas que acuden a la exposición?. ¿Cuál es el número?. f (t ) = 12t − 2t 2 , 0 ≤ t ≤ 6 Tenemos que resolver la ecuación f '(t ) = 0 ⇔ 12 − 4t = 0 ⇔ t = 3 Como f ''(t ) = − 2 < 0 , f (t ) tiene un máximo en t = 3 , es decir, a las 15+3=18 horas. f (3) = 12·3 − 2·32 = 18 , es el número máximo de visitantes.
ii) ¿Cuántas personas visitan la exposición al día?. El número de visitas es: 6
t2
3 t
∫ (12t − 2t )dt = 12 2 − 2 3 2
6
= 6t − 2 2
0
0
3 t
6
63
= 6·6 − 2 3 = 216 −144 = 72 personas
3 0
2
5.- Una empresa piensa invertir hasta 3600 millones de pesetas en una urbanización para construir viviendas de cuatro dormitorios (tipo A), cuyo costo unitario es de 40 millones de pesetas, y viviendas de dos dormitorios (tipo B) que cuestan cada una 30 millones de pesetas. Las normativa vigente limita el número total de viviendas a 100 de las que, como máximo, 80 pueden ser de dos dormitorios. Si la empresa obtiene un beneficio de 4 millones de pesetas por la venta de cada vivienda tipo A y de 3 millones de pesetas por la venta de cada vivienda tipo B, determinar cuántas viviendas de cada tipo debe construir para maximizar los beneficios. Se trata de maximizar la función de beneficios de la urbanización. Esta función es: f ( x, y ) = 4 x + 3 y Con las siguientes restricciones de presupuesto, limitaciones por normativa y de no negatividad de las variables : 40 x + 30 y ≤ 3600 Presupuesto x + y ≤ 100
Nº total Tipo B
y ≤ 80 x ≥ 0; y ≥ 0
Max f ( x, y) = 4 x + 3 y s.a. : r1 ≡ 40 x + 30 y ≤ 3600 r2 ≡ r3 ≡
x + y ≤ 100 y ≤ 80 x ≥ 0; y ≥ 0
r 1 r 2 r 3
Los puntos extremos que se obtienen son: x + y = 100
x = 60 ⇒ → f (60, 40) = 4·60 + 3·40 = 360 40 x + 30 y = 3600 y = 40 (0,80) → f (0,80) = 4·0 + 3·80 = 240 (20,80) → f (60, 40) = 4·20 + 3·80 = 320 (90, 0) → f (90, 0) = 4·90 + 3·0 = 360
El beneficio máximo se consigue construyendo o bien 60 tipo A y 40 tipo B o bien construyendo 90 del tipo A y ninguna del tipo B.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2000-2.001 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5
PRUEBA A 1.- Un estudio indica que la proporción de individuos que enferman después de suministrarles una determinada vacuna es del 5%. Se toma una muestra de 400 individuos vacunados. Determinar: i) El número esperado de individuos que no enfermaran. X = ”nº de individuos que enferman después de vacunarlos, en una muestra de 400” La probabilidad de que un individuo enferme después de vacunarlo es p=0,05 X ≈ B(400, 0,05) Para una variable binomial de parámetros n y p, su valor medio esperado es n·p=400·0,05=20. Es decir, se espera que enfermen 20, por lo tanto se esperan que no enfermen 380 individuos, ( n·(1- p)=400·(1-0,05)=400·0,95=380 ).
ii) La probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como mínimo igual a 24 Se dan las condiciones para aproximar la variable binomial X , por una normal. i) n· p = 400·0, 05 = 20 > 5 ii) n·(1 − p) > 5; 400·(1 − 0, 05) = 380 > 5 La variable X se puede aproximar por una normal,
(
)
Y ≈ N n· p, n· p·(1 − p ) = N ( 20, 4.359 ) Nos piden calcular la probabilidad de que el numero de individuos que enferman sea como mínimo 24. Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates, se tiene 23,5 − 20 P ( X ≥ 24 ) ≅ P (Y ≥ 23,5 ) = P Y ≥ = P ( Z > 0,8 ) = 0, 2119 4,359 Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates 24 − 20 P ( X ≥ 24 ) ≅ P (Y ≥ 24 ) = P Y ≥ = P ( Z > 0,92 ) = 0,1788 4,359
iii) La probabilidad de que el número de individuos que NO enferman sea como mínimo igual a 372. Nos piden calcular la probabilidad de que el número de individuos que enferman sea como máximo 400-372=28. Con lo cual, aplicando la Corrección de Yates, se tiene 28,5 − 20 P ( X ≤ 28) ≅ P (Y ≤ 28,5) = P Y ≤ = P ( Z <1,95) =1 − P ( Z >1,95) =1 −0,0256 =0,9744 4,359 Si no se hubiese aplicado la Corrección de Yates 28 − 20 P ( X ≤ 28) ≅ P (Y ≤ 28) = P Y ≤ = P ( Z <1,84) =1 − P ( Z > 1,84 ) =1 −0,0329 =0,9671 4,359
2.- El sueldo, en miles de euros de los empleados de una multinacional, es una variable normal de media y desviación típica 0,3. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 empleados para los que se obtiene un sueldo medio de 2,23. Se pide: i) Determinar un intervalo de confianza para de nivel de confianza igual a 0,9. El intervalo de confianza para una media muestral es:
x − z
α
σ
/2
n
, x + z / 2 α
n
σ
Datos del problema: n = 36; x = 2, 23;
x − z
α
σ
/2
n
σ
= 0, 3;
, x + z / 2 α
α
= 0,1;
α
/ 2 = 0, 05; z 0,05 = 1, 64
0,3 0,3 2, 23 1, 64 , 2, 23 1, 64 = − + = (2,15 , 2,31 ) n 36 36
σ
ii) Hallar la longitud del intervalo de confianza si el nivel de confianza es igual a 0,99. n = 36; x = 2, 23;
σ
= 0, 3;
α
= 0, 01;
α
/ 2 = 0, 005; z 0,005 = 2,58
La longitud del intervalo de confianza es: 0,3 σ 2 z / 2 2 2,58 = = 2 ( 0,129 ) = 0, 258 n 36 α
3.- Se quiere construir el marco de una valla publicitaria rectangular de 12 metros cuadrados. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 1,5 euros, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta dos euros. Determinar: i) Las dimensiones de la valla para que el coste sea mínimo. Se trata de minimizar la función C ( x, y ) = 1,5(2 x) + 2(2 y) con la condición x· y = 12 x· y = 12 ⇒ y =
x y
12
x Tenemos pues que maximizar la función 12 48 f ( x ) = 3x + 4 = 3x + x x Derivamos e igualamos a cero 48 48 f '( x) = 0 ⇔ 3 − 2 = 0 ⇔ 2 = 3 ⇔ 48 = 3 x 2 ⇔ x 2 = 16 ⇔ x = ±4 x Obviamente solo nos sirve la solución x = 4 , y en ese punto es un mínimo ya que la segunda 48 derivada de f , f ''( x ) = 3 , evaluada en x = 4 , es positiva. x 12 12 = =3 con lo cual y = x 4 Solución óptima ( x,y) = (4,3)
ii) ¿Cuanto cuesta el marco? C (4,3) = 3·4 + 4·3 = 24
4.- Una zona está delimitada en un determinado mapa por las funciones y = x 2 e y = 2 x . Si x e y están expresados en decámetros: i) Representar gráficamente la zona.
ii) Hallar el área de la zona. Dicha área se obtiene como la integral de la diferencia de las dos funciones, la superior menos la inferior, entre sus puntos de corte. Los puntos de corte de igualar las dos funciones y resolver la ecuación que se obtiene: x 2 = 2 x ⇔ x 2 − 2 x = 0 ⇔ x = 0 o x = 2 2
∫ ( x 0
2
− 2 x ) dx =
x 3 3
−2
x2
2
23
4
= − 2 2 = = 1,333 Dm2 2 0 3 3
Es decir, la superficie de la zona son 133.3 m 2
5.- En un edificio viven 82 personas en edad de trabajar clasificada en tres grupos parados , de baja por enfermedad y activos. Entre esas personas, el número de parados duplica el número que están de baja por enfermedad, mientras que el número de activos es igual a 9 veces al número de los que están de baja más 10. ¿Cuántas personas están en paro? ¿Cuántas de baja? ¿Cuántas activas? A + P + B = 82
9 B + 10 + 2 B + B = 100 B=6 P = 2 B P = 2B ⇒ ⇒ P = 12 A = 9 B + 10 A = 9 B + 10 A = 64
PRUEBA B 1.- Los gastos mensuales, en euros, en actividades de ocio de las personas que viven en una determinada ciudad siguen una normal de media desconocida y desviación típica igual a 25. i) Se toma una muestra de 225 personas y se obtiene que la media muestral de gastos en actividades de ocio es igual a 95. Hallar un intervalo de confianza, de nivel de confianza igual a 0,95, para la media de los gastos mensuales en actividades de ocio. El intervalo de confianza para una media muestral es:
x − z
σ
α
/2
n
, x + z / 2 α
n
σ
Datos del problema:
n = 225; x = 95;
x − z
σ
α
/2
n
σ
= 25;
, x + z / 2 α
α
= 0, 05;
α
/ 2 = 0, 025; z 0,025 = 1, 96
25 25 , 95 + 1, 96 = 95 − 1, 96 = ( 91.73 , 98.27 ) n 225 225
σ
ii) Si se toma un nivel de confianza del 99% ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar la media de gastos mensuales en actividades de ocio con un error menor de 1 euro?. σ
= 25; E = 1; z
α
⇒
σ
/2
64,5 n
n
α
= 0, 01;
< E ⇒ z 0,05
25 n
α
/ 2 = 0, 005; z 0,005 = 2,58
< 1 ⇒ 2,58
25 n
< 1⇒
< 1 ⇒ 64, 5 < n ⇒ n > 4160, 25 ⇒ n ≥ 4161
2.- Se afirma que el 18% de los hogares de una ciudad tienen televisión de pago. Después de una campaña publicitaria se estima que dicho porcentaje ha aumentado y para corroborarlo se hace una encuesta eligiendo una muestra de 121 hogares, resultando que en 28 de ellos había televisión de pago. i) ¿Se puede afirmar, tomando α = 0,01 , que la proporción de hogares que tienen televisión de pago ha aumentado después de la campaña publicitaria? Se nos plantea un contraste del tipo:
H 0 : p = p0
H 0 : p = 0,18
H1 : p > p0
H1 : p > 0,18
→
p0 (1 − p0 ) + ,∞ Para este contraste la región de rechazo es R.R.= p0 z n Si pˆ ∈ R.R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. α
Datos del problema: 28 = 0.231; p0 = 0,18; n = 121; pˆ = 121
α
= 0, 01; z = z0,01 = 2,33 α
0,18 (1 − 0,18 ) R.R. = 0,18 + 2,33 , ∞ = (0, 261 , ∞ ) 121 Como 0, 231 ∉ ( 0, 261 , ∞ ) no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p = 0,18 . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el p − p0 y ver si cae en la región de rechazo para este estadístico de prueba, z = p0 (1 − p0 ) n estadístico, que a un nivel de confianza z =
0, 231 − 0,18 0,18 (1 − 0,18 )
α
= 0,01 , es ( z , ∞ ) = ( 2,33, ∞ ) . α
= 1, 46 ;
121 como 1, 46 ∉ ( 2,33, ∞ ) , no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos la hipótesis nula, p = 0,18 .
ii) Responder al apartado anterior si
α
= 0,1
El estadístico de prueba sigue siendo z =
0, 231 − 0,18
= 1, 46 y la región de rechazo
0,18 (1 − 0,18 ) 121
para este estadístico, a un nivel de confianza α = 0,1 , es ( z , ∞ ) = (1, 28 , ∞ ) . α
Como 1, 46 ∈ (1, 28 , ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es decir, no aceptamos la hipótesis nula, p = 0,18 .
3.- El peso de la piñas tropicales cultivadas en una determinada finca es una variable normal de media 1,4 kg y una desviación típica de 0,6 kg. Si en la presente cosecha se han recogido un total de 325000 kg de piña tropical, determinar: i) La cantidad de piña tropical que pesa más de 1,6 kg. X = ”Peso de una piña tropical” X ≈ N (1,4 , 0,6) Nos piden la probabilidad, P( X > 1, 6) , primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N (0,1).
X − 1, 4
P ( X > 1, 6) = P
0, 6
>
1, 6 − 1, 4 0, 6
= P ( Z > 0.33 ) = 0,3707
Por tanto el 37,07% del peso de la cosecha será de piñas de más de 1,6 kg, en este caso, 37,07 325000 = 325000·0,3707 = 120477 kg 100
ii) La probabilidad de que una piña tropical recogida en la finca pese entre 1,3 y 1,5 kg. 1,3 − 1, 4
P (1,3 < X < 1, 5) = P
<
X − 1, 4
<
1,5 − 1, 4
= 0, 6 0, 6 0, 6 = P ( −0,17 < Z < 0,17 ) = 1 − P ( Z < −0,17 ) − P ( Z > 0,17 ) =
= 1 − 2· P ( Z > 0,17 ) = 1 − 2·0, 4325 = 0.135
iii) La cantidad de kg de la cosecha de piñas tropicales difiere 0,5 del peso medio. 0,9 − 1, 4
P (1, 4 − 0, 5 < X < 1, 4 + 0,5) = P(0, 9 < X < 1,9) = P
0, 6
<
X − 1, 4 0, 6
<
1,9 − 1, 4 0, 6
=
= P ( −0,83 < Z < 0,83 ) = 1 − P ( Z < −0,83 ) − P ( Z > 0,83 ) = = 1 − 2· P ( Z > 0,83 ) = 1 − 2·0, 2033 = 0.5934 Por tanto el 59,34% del peso de la cosecha será de piñas de más de entre 0,9 y 1,9 kg, en este caso, 59,34 325000 = 325000·0,5934 = 192855 Kg 100
4.- Se estima que las ganancias de una empresa (en decenas de miles de euros) para los próximos 10 años, sigue la función: 2t − 2 t + 1 0 ≤ t ≤ 4 g (t ) = t + 2 4 < t ≤ 10 t + 1
i) ¿Cuándo es creciente la ganancia? Tenemos que hallar la derivada de la función g (t ) y ver cuando es positiva.
2 ( t + 1) − ( 2t − 2 )·1 4 = 2 2 ( t + 1) ( t + 1) g '(t ) = 1·( t + 1) − ( t + 2 )·1 = −1 2 2 t 1 t 1 + + ( ) ( )
0 ≤ t ≤ 4 4 < t ≤ 10
Cono se ve claramente g '(t ) es positiva aumentando durante los 4 primeros años.
para
0 ≤ t ≤ 4 , por
tanto la ganancia va
ii) ¿Cuándo es máxima la ganancia?. Justificar la respuesta
Tendríamos que resolver la ecuación g '(t ) = 0 y estudiar el signo de la segunda derivada en los puntos que se obtengan. Y de esta forma obtendríamos los máximos que tuviera la función, pero serían máximos donde la función fuese derivable. En este caso g '(t ) = 0 no tiene ninguna solución. Ahora bien si miramos la gráfica de la función
Podemos observar que en x=4 tiene un máximo, lo cual se reafirma con que a la derecha del 4 es creciente y a la izquierda del 4 es decreciente. iii) Si en la función anterior se cambia 4 < t ≤ 10 por 4 < t ¿a que valor se aproxima la
ganancia cuando t crece?. Justificar la respuesta. Tenemos que calcular el limite cuando t tiende a infinito de la función de ganancias t 2 2 + 1+ t + 2 t = 1 + 0 = 1 = lim t t = lim lim g (t ) = lim t →∞ t →∞ t + 1 t →∞ t 1 t →∞ 1 1 + 0 + 1+ t t t con el paso de muchos años las ganancias se estabilizan en 10000 euros.
5.- El número total de unidades de dos productos ( A y B ) que un comercio puede vender es, como máximo, igual a 120. Dispone de 85 unidades del producto A, con un beneficio unitario de 3 euros, y de 75 unidades del tipo B, con un beneficio de 4,5 euros. Determinar las cantidades de cada una de los productos A y B que el comercio debe vender par maximizar sus beneficios globales. Se trata de maximizar la función de beneficios globales. Esta función es: f ( x, y ) = 3x + 4, 5 y siendo x el número de unidades que se venden de A e y el número de unidades que se venden de B Con las siguientes restricciones siguientes: x + y ≤ 120 x ≤ 85 y ≤ 75 x ≥ 0; y ≥ 0 ax f ( x, y ) = 3x + 4, 5 y s.a. : r1 ≡ x + y ≤ 120 r2 ≡
x ≤ 85
r3 ≡
y ≤ 75
x ≥ 0; y ≥ 0
Los puntos extremos que se obtienen son: x + y = 120
x = 85 ⇒ → f (85, 35) = 3·85 + 4, 5·35 = 412, 5 x = 85 y = 35 x + y = 120 x = 45 ⇒ → f (45, 75) = 3·45 + 4, 5·75 = 472, 5 y = 75 y 75 = x = 0
→ f (0, 75) = 0·45 + 4, 5·75 = 337,5
y = 75 x = 85
→ f (85, 0) = 3·85 + 4, 5·0 = 255
y = 0
El beneficio máximo se obtiene vendiendo 45 unidades de A y 75 unidades de B.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2.001-2.002 - CONVOCATORIA: Junio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- Un profesor afirma que el porcentaje de alumnos de bachillerato de su centro que fuman no sobrepasa el 15%. Si en una muestra de 60 de esos alumnos se observó que 12 fuman: i) ¿Es aceptable la afirmación del profesor con un nivel de significación de 0.01? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : p ≤ p0
H 0 : p ≤ 0,15
H1 : p > p0
H1 : p > 0,15
→
p0 (1 − p0 ) Para este contraste la región de rechazo es R.R.= p0 + z ,∞ n Si pˆ ∈ R.R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. α
Datos del problema: 12 n = 60; pˆ = = 0, 2; p 0 = 0,15; 60
α
0,15 (1 − 0,15 )
60
R.R. = 0,15 + 2, 33
= 0, 01; z 0,01 = 2,33
, ∞ = (0, 2574 , ∞ )
Como 0, 2 ∉ ( 0.2574, ∞ ) no rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p ≤ 0,15 . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el p − p0 y ver si cae en la región de rechazo, que para este estadístico de prueba, z = p0 (1 − p0 ) n estadístico es: ( z α , ∞ ) = ( 2,33, ∞ ) . z =
0, 2 − 0,15 0,15(1 − 0,15)
= 1,084 ; como 1, 084 ∉ ( 2,33, ∞ ) , no rechazamos la hipótesis nula, es
60 decir, aceptamos la hipótesis nula, p ≤ 0,15 .
ii) ¿La afirmación del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 90%? n = 60; pˆ =
12 60
= 0, 2; p0 = 0,15;
α
= 0,1; z0,1 = 1, 28
El estadístico de prueba sigue siendo z =
p − p0 p0 (1 − p0 ) n
=
0, 2 − 0,15 0,15(1 − 0,15)
= 1,084
60
y la región de rechazo es ( z α , ∞ ) = (1, 28 , ∞ ) . como 1, 084 ∉ (1, 28 , ∞ ) , tampoco rechazamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que p ≤ 0,15 .
2.- Un laboratorio farmacéutico afirma que el número de horas que un medicamento de fabricación propia tarda en curar una determinada enfermedad sigue una variable normal con desviación típica igual a 8. Se toma una muestra de 100 enfermos a los que se les suministra el medicamento y se observa que la media de horas que tardan en curarse es igual a 32. i) Encontrar un intervalo de confianza, con nivel de confianza del 99%, para la media del número de horas que tarda en curar el medicamento. Datos del problema: σ = 8; n = 100; x = 32;
X − z
α
ii)
σ /2
n
, X + z α / 2
α
= 0, 01; z
α / 2
= z0,005 = 2,58
8 8 32 2,58 , 32 2,58 = − + = (29,936 , 34, 064 ) n 100 100
σ
Si el nivel de significación es igual a 0.05, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar para estimar el valor de la media con un error menor de 3 horas? Datos del problema: σ
= 8; n = 100; x = 32;
zα / 2
⇒
σ
15, 68 n
n
α =
< E ⇒ z 0,025
< 3⇒
15, 68
⇒ n > 27,31 ≅ 28
3
0, 05; zα / 2 = z0,025 = 1,96
8 n
< 3 ⇒ 1, 96
8 n
<2⇒
< n ⇒ n > 5, 2266 ⇒
3.- Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los próximos 5 años, vienen dados por la función: t − 6 2
b(t ) =
t + 4
, si 0 ≤ t ≤ 5
siendo t el tiempo en años. i)
¿Cuándo la empresa deja de tener pérdidas? Nos preguntan a partir de que valor de “t” se tendrá que b(t ) > 0 t − 6 2
En
b(t ) =
t + 4
, si 0 ≤ t ≤ 5 , el denominador es siempre positivo, con lo cual se
reduce a estudiar cuando t 2 − 6 > 0 ⇔ t 2 > 6 ⇔ t > definida para 0 ≤ t ≤ 5 .
ii)
6 = 2, 45 ; ya que la función está
¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que los beneficios sean iguales a 125000 euros? Los función de beneficios mide en cientos de miles, 125000€ es 1,25 veces 100000 euros.
t = 4 = 1, 25 ⇔ t 2 − 6 = 1, 25t + 5 ⇔ t 2 − 1, 25 t −11 → t + 4 t = −2,75
t 2 − 6
t = -2,75 se descarta ya que 0 ≤ t ≤ 5 .
iii)
¿Para qué valores la derivada de la función beneficio es positiva? Justificar la respuesta. b '(t ) =
2t ( t + 4 ) − ( t 2 − 6 )1
( t + 4)
2
=
t 2 + 8t + 6
( t + 4)
2
En esta expresión el denominador es siempre positivo, y el numerador también ya que no tiene raíces reales, y el término independiente es positivo. En consecuencia la función es siempre creciente.
4.- El propietario de un edificio tiene alquilados los 52 pisos del mismo a 266 euros al mes cada uno. Por cada 7 euros que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y, por tanto, queda el correspondiente piso sin alquilar. i)
¿Cuál es el alquiler que más beneficios producirá al propietario? La función de beneficios es numero de pisos alquilados por alquiler de cada piso b( x ) = (52 − x )(266 + 7 x) , derivamos e igualamos a cero para obtener el máximo. b '( x ) = − (266 + 7 x) + (52 − x)7 = −14 x + 98 b '( x ) = 0 ⇒ −14 x + 98 = 0 ⇒ x = 7 b ''( x ) = −14 ⇒ x = 7 es un máximo. El alquiler más beneficioso es cuando tiene 7 pisos desalquilados y por tanto cobra 266+7·7=315 € por cada uno de los que están alquilados.
ii)
¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario por el alquiler de los pisos? b(7) = (52 − 7)(266 + 7·7) = 45·315 = 14175 euros
5.- Un museo tiene tres salas de exposiciones: A, B y C. Los precios de las entradas son, respectivamente, 2, 4 y 7 euros. Un determinado día entraron a las tres salas un total de 210 personas, siendo la recaudación conjunta igual a 810 euros. Teniendo en cuenta que la novena parte de los visitantes de la sala A es igual a la séptima parte de los visitantes de la sala B, determinar el número de visitantes de cada sala. Justificar la respuesta. 2 A + 4 B + 7C = 810 2 A + 4 B + 7C = 810 A + B + C = 210 A + B + C = 210 A B 7 A − 9B = 0 = 9 7 Resolviéndose por cualquier método se tiene que A = 90; B = 70; C = 50.
Prueba B 1.- Se sabe que 2 de cada 8 habitantes de una ciudad utiliza el transporte público para ir a su trabajo. Se hace una encuesta a 140 de esos ciudadanos. Determinar: i) Número esperado de ciudadanos que no van a su trabajo en transporte público. Datos del problema: 2 p = = 0.25; n = 140 8 Tenemos pues que la variable: X = ”nº de ciudadanos que va a su trabajo en transporte público en una muestra de 400” Sigue una distribución binomial de parámetros n = 140, p = 0.25; X ≈ B(140,0.25) El valor esperado en una variable binomial es n· p = 140·0.25 = 35 , en consecuencia, el nº esperado de ciudadanos que No van a su trabajo en transporte público es 140 − 35 = 105 .
ii) Probabilidad de que el número de ciudadanos que van al trabajo en transporte público esté entre 30 y 45. X : B (140,0.25) Como n· p = 140·0, 25 = 35 > 5 y n·(1 − p) = 140·(1 − 0, 25) = 105 > 5 , la variable X se puede aproximar por una variable normal Y .
(
)
(
)
Y ≈ N n· p , n· p (1 − p ) = N 140·0.25, 140·0.25·0.75 = N (35, 5.12 ) Si no se hace Corrección por continuidad
29,5 − 35 Y − 35 45,5 − 35 ≤ ≤ = 5.12 5.12 5.12 = P ( −1.07 ≤ Z ≤ 2.05 ) = 1 − P ( Z ≤ −1.07 ) − P ( Z ≥ 2.05 ) =
P ( 30 ≤ X ≤ 45 ) ≅ P(29,5 < Y < 45,5) = P
= 1 − P ( Z ≥ 1.07 ) − P ( Z ≥ 1.95 ) = 1 − 0.1423 − 0.0202 = 0.8375 Si no se hace Corrección por continuidad 30 − 35 Y − 35 45 − 35 P ( 30 ≤ X ≤ 45) ≅ P(30 < Y < 45) = P ≤ ≤ = P ( −0.97 ≤ Z ≤ 1.95 ) = 5.12 5.12 5.12
= 1 − P ( Z ≤ −0.97 ) − P ( Z ≥ 1.95 ) = 1 − 0.1660 − 0.0256 = 0.8084
2.- En una muestra de 600 personas de una ciudad se observa que 30 son inmigrantes. i) Determinar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para el porcentaje de inmigrantes en la ciudad. Datos del problema: 30 p = = 0.05; n = 600 600 Nivel de confianza = 1 − α = 0.95 ⇒ α = 0.05 ⇒ α / 2 = 0.025 El intervalo de confianza para una proporción es:
p (1 − p ) p (1 − p ) , p + z / 2 p − z / 2 = n n 0.05·0.95 0.05·0.95 , 0.05 −1.96 = 0.05 − 1.96 600 600 α
ii)
α
= (0.0325 , 0.0674 )
Si se quiere estimar el porcentaje de inmigrantes con un error máximo de 0.02, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría que considerar si se usa un nivel de significación del 1%? Datos del apartado: p = 0.05; E = 0.02;
α
= 0.01 ⇒ α / 2 = 0.005 ⇒ z
α /
zα / 2 2.58
p (1 − p ) n n n
0.0475 n 0.0475 n
<
0.02 2.58
< ( 0.0775 )
0.00006 n > 791.667 ⇒ n ≥ 792
< 0.02
< 0.0775
0.0475
= z 0.005 = 2.58
< E
0.05(1 − 0.05) 0.0475
2
2
3.- El equipo directivo afirma que la media del recorrido que hacen los alumnos que asisten a un centro de bachillerato es, a lo sumo, igual a dos kilómetros y medio con una desviación típica igual a 0.5 km. Se toma una muestra de 81 alumnos y se obtiene para ellos un recorrido medio de 2.6 km. i) ¿Se puede aceptar con un nivel de significación igual a 0.05 la afirmación del equipo directivo? Se nos plantea un contraste de hipótesis unilateral de la forma:
H 0 : µ ≤ µ 0
H 0 : µ ≤ 2.5 → H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ > 2.5
Para este contraste la región de rechazo es R.R.=
µ 0
+ z
σ
α
,∞
n Si ∈ R. R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: x = 2.6; µ0 = 2.5; σ = 0.5; α = 0, 05; z 0,05 = 1.64
0.5
81
R.R. = 2.5 + 1.64
, ∞ = ( 2.591 , ∞ )
Como 2.6 ∈ ( 0.2574, ∞ ) µ ≥
rechazamos la hipotesis nula, es decir aceptamos que
2.5 .
La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando x − µ 0 el estadístico de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo que para este σ
n estadístico es es: R.R.= ( z α , ∞ ) = (1.64, ∞ ) . z =
2.6 − 2.5 0.1 = = 1,8 ; como 1.8 ∈ (1.64, ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es 0.5 0.5
9 81 decir aceptamos que µ ≥ 2.5 .
ii)
¿La respuesta al apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 99%? x = 2.6;
µ0
= 2.5;
σ
= 0.5;
α
= 0, 01; z 0,01 = 2.33
El estadístico de prueba sigue valiendo lo mismo: x − µ 0 2.6 − 2.5 0.1 z = = = = 1,8 σ 0.5 0.5 n
81
9
Lo que varía es la R.R. que ahora es R.R. = ( z α , ∞ ) = ( 2.33 , ∞ ) Como 1.8 ∉ ( 2.33, ∞ ) , aceptamos la hipótesis nula.
4.- Se sabe que el número de delfines que existirán en los próximos años en una reserva natural marítima, viene dado por la función n(t ) =
15000t + 4000 2t + 2
, siendo
t
el número de
años transcurridos. Se pide: i) Determinar el número de delfines que habrá dentro de 9 años. n(t ) =
15000t + 4000 2t + 2
Nos piden calcular n ( 9 ) =
ii)
15000·9 + 4000 2·9 + 2
= 6950 delfines.
¿Cuántos años han de pasar hasta que haya 7250 delfines? Tenemos que resolver la ecuación n(t ) = 7250 ⇔
15000t + 4000 2t + 2
= 7250 ⇔ 15000t + 4000 = 14500 t +14500 ⇔
⇔ 500t = 10500 ⇔ t =
iii)
10500 500
= 11 años
Determinar el valor hacia el que tenderá en el futuro el número de delfines de la reserva. lim n(t ) = lim t →∞
t →∞
15000t + 4000 2t + 2
=
15000 2
= 7500 delfines
5.- Dada la región definida por las desigualdades 2 x + 2 y ≤ 10, − x + 2 y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 : i) Representarla gráficamente.
− x + 2 y = 4
f ( x) = 4 x + 5 y
2 x + 2 y = 10
ii) Determinar el punto de la región anterior en el que se maximiza z = 4 x + 5 y . Los puntos extremos de la región son (0,2) (2,3) y (5,1), al querer maximizar desplazamos la función objetivo en la dirección (4,5). Los puntos extremos son: x = 0
→ f (0, 2) = 4·0 + 5·2 = 10
y = 2 x = 5
→ f (5, 0) = 4·5 + 5·0 = 20
y = 0
2 x + 2 y = 10
x = 2 → → f (2, 3) = 4·2 + 5·3 = 23 − x + 2 y = 4 y = 3 con lo cual el máximo lo alcanza en el punto (2,3).
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2.001-2.002 - CONVOCATORIA: SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 años y se encontró que 120 iban al teatro regularmente: Datos del problema: Tamaño muestral n = 325 Proporción muestral de personas que van regularmente al teatro: pˆ
=
120 325
= 0.369
a) Hallar, con un nivel de confianza del 94%, un intervalo para estimar la proporción de los ciudadanos que van al teatro regularmente. Nivel de confianza
= 1 − α = 0,94 ⇒ α = 0,06
El intervalo de confianza para una proporción es:
pˆ ± z
pˆ (1 − pˆ )
α / 2
0.369(1 − 0.369) 0.233 z = ± = ± 0.369 0.369 1.89 = (0.318, 0.420) 0,0 3 325 325
n
b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza la experiencia para conseguir una cota de error del 0.01. ¿Cuál sería el tamaño de la muestra? El término del error es, z α / 2
pˆ (1 − pˆ )
z α / 2
n n 0,233
1,89
n
0, 233 n
<
< 0, 01
0, 01 1,89
n
, queremos que sea menor que 0,01, por tanto
0,233
< 0,01
0,369·(1 − 0,369)
1,89
pˆ (1 − pˆ )
< 0, 01
n 0,233 n 0,233 n n=
< 0,0053
< 0,00532 < 0,000028
0,233 0,000028
= 8321, 43 ≅ 8322
2.- Una fábrica de coches lanza al mercado el modelo “Mathe” del que se sabe que sus pesos siguen una distribución normal de media 3.100 kilos y una desviación típica de 130 kilos. Datos del problema: X = ”Peso de un coche modelo Mathe” X ≈ N (3100,130)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al comprar un coche Mathe, pese más de 3.130 kilos? Nos piden la probabilidad, P( X > 3130) , primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N(0,1). P ( X
X − 3100 3130 − 3100 > 3130) = P > = P ( Z > 0.23) = 0, 4090 130 130
b) ¿Qué distribución seguirá la media de las muestras de tamaño 100 de coches Mathe? La media, X , de una muestra de tamaño n, de normales independientes de media
, en nuestro caso es: n 130 ≈ N 3100, ⇒ X ≈ N ( 3100,13) 100
típica σ, sigue una distribución, N µ , X
µ y desviación
σ
c) ¿Cuál será la probabilidad de que al comprar un coche pese más de 2900 kilos y menos de 3500? Nos piden la probabilidad, P(2900 < X < 3500) , primero tipificaremos y luego buscamos la probabilidad correspondiente en la N(0,1). P (2900 < X
2900 − 3100 X − 3100 3500 − 3100 < 3500) = P < > = 130 130 130 = P ( −1, 54 < Z < 3, 08) = 1 − P ( Z > 3, 08) − P ( Z < −1,54) = = 1 − P ( Z > 3, 08) − P ( Z > 1,54) = 1 − 0, 001 − 0, 0618 = 0,9381
3.- Una empresa fabrica, entre otros, un tipo de artículo que vende a 520 € la unidad. Los costes de producción que tiene la empresa en la fabricación de dicho artículo vienen dados por la fórmula C ( x ) = x2 + 20 x + 40000 , en donde x representa las unidades producidas. Sabiendo que el beneficio que obtiene la empresa, con este artículo, es la diferencia de los ingresos menos el coste, se pide: a) Expresar, en función de las unidades de fabricación, el beneficio que obtiene la empresa con dicho artículo. Representar gráficamente dicho beneficio. La función de beneficos es ingresos menos gastos, es decir,
B ( x ) = 520· x − C ( x ) = 520 x − ( x 2
+ 20 x + 40000) = − x 2 + 500 x − 40000
b) ¿Cuántas unidades de dicho artículo se deben producir para que el beneficio sea máximo? En el gráfico, al ser una parábola, su máximo lo alcanza en el punto medio de sus dos raíces, no obstante, vamos a calcularlo. Derivamos la función de beneficios e igualamos a cero
f '( x) = −2 x + 500; f '( x) = 0;
− 2 x + 500 = 0 ⇒ x = 250
f ''( x ) = − 2 < 0 , por tanto, x = 250 es un máximo
4.- La entrada de un túnel tiene una superficie limitada por las rectas x = −4 , x = 4 y la 1
parábola y = − x 2 + 16 . Se pide: 2
a) Dibujar la superficie de la boca del túnel.
b) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de 20 metros de altura? No ya que la altura máxima del túnel es de 16 metros.
c) ¿Podría pasar por el túnel un vehículo de ocho metros de ancho y 9 metros de alto? Si el vehículo tiene forma rectangular de 8x9 metros, en los extremos, el túnel solo tiene 8 16 metros de altura, − + 16 = 8 , y por tanto NO pasaría por el túnel. 2
d) Calcular la superficie de la boca del túnel. La superficie de la boca del túnel es exactamente el area que hay bajo curva entre los puntos –4 y 4. Esto es la integral de la de la curva entre –4 y 4.
x 2 1 − + = − 16 dx ∫−4 2 2 4
x3 3
4
64 64 128 + 16 x = − + 64 − − 64 = − + 128 = 106, 67 6 6 6 −4
5.- Se tiene la función objetivo f ( x, y ) = 3x + 4 y y las restricciones: x ≥ 0;
y ≥ 0; x ≤ y ;
x+ y ≥ 2
Se pide: a) Representar la región de posibles soluciones.
Región Factible f ( x ) = 3 x + 4 y
y
=x
f ( x) = 3 x + 4 y
y
= 2− x
+y=2
b) Hallar el punto de la región donde la función objetivo se minimiza. La región sólo tiene dos puntos extremos, el (0,2) y el (1,1), al querer minimizar desplazamos la función objetivo en la dirección (-3,-4). La función objetivo evaluada en los dos puntos extremos da: f (0, 2) = 3·0 + 4·2
=8
f (1,1) = 3·1 + 4·1 = 7 con lo cual el mínimo lo alcanza en el punto (1,1)
c) ¿Puede alcanzar la función objetivo el máximo en esa región? No ya que la región es no acotada en la dirección del gradiente, (3,4).
Prueba B 1.- Se quiere hacer una encuesta entre los jóvenes para ver lo que se gastan los sábados. Suponiendo que dicho gasto es una variable normal, se pide: a) Hallar el tamaño de la muestra suponiendo que la desviación típica es igual a 10,75, el nivel de significación es del 3% y el error máximo admitido es de 2 euros. Datos del problema: σ
= 10, 75; σ
zα / 2
⇒
< E ⇒ z 0,015
n
23, 3275 n
E = 2;
< 2⇒
α
10, 75 n
23,3275 2
= 0, 03; α / 2 = 0.015; z / 2 = 2,17 α
< 2 ⇒ 2,17
<
n
⇒
n
10, 75 n
< 2⇒
> 11, 6638 ⇒
⇒ n > 136, 043 ≅ 137 b) Si el nivel de confianza aumenta ¿como afecta al tamaño de la muestra? Justifica la respuesta tomando como nivel de confianza el 99%. Si se aumenta el nivel de confianza, se tiene que aumentar el tamaño muestral para seguir cometiendo el mismo error máximo. Datos del problema:
σ
= 10, 75;
E = 2;
α
= 0, 01;
α / 2
= 0, 005;
z 0,005 , se obtiene interpolando entre los puntos (2,57 , 0,00508) y (2,58 , 0,00494). O bien, aunque es algo menos preciso, tomar el mas próximo a 0,005, que en este caso es 2,58.
zα / 2
⇒
σ
n
27, 735 n
< E ⇒ z 0,005
<2⇒
10, 75
27, 735
⇒ n > 192, 308 ≅ 193
2
n
<
< 2 ⇒ 2,58
n
⇒
n
10, 75 n
< 2⇒
> 11,8675 ⇒
2.- Se realizan 100 lanzamientos de una moneda, correctamente fabricada, y se observa que sólo en 36 ocasiones ha salido cruz: a) Con un nivel de confianza del 99%, ¿el resultado anterior permite rechazar la hipótesis de que la probabilidad de obtener cruz es de
1
?
2 Se nos plantea un contraste de hipótesis de la forma:
= p0 H1 : p ≠ p0 H 0 : p
Para este contraste la región de aceptación es:
p0 (1 − p0 ) p0 (1 − p0 ) R.A.= p0 − z / 2 , p0 + z / 2 n n Si pˆ ∈ R.A. aceptamos la hipótesis nula y caso contrario la rechazamos. α
Datos del problema: 36 n = 100; pˆ = = 0,36; p0 100
α
= 0, 5;
α
= 0, 01;
α / 2
= 0, 005;
z0,005
= 2,58
0,5 (1 − 0,5 ) 0, 5 (1 − 0,5 ) = (0,371 , 0, 629 ) R.A. = 0,5 − 2,58 , 0,5 + 2,58 100 100 Como 0, 36 ∉ ( 0.371, 0.629 ) rechazamos la hipotesis nula. b) ¿Qué conclusión podemos sacar si se obtienen 42 cruces en 100 lanzamientos? Datos del problema: 42 n = 100; pˆ = = 0, 42; p0 100
= 0,5;
α
= 0, 01;
α / 2
= 0, 005;
0,5 (1 − 0,5 ) 0, 5 (1 − 0,5 ) R.A. = 0,5 − 2,58 , 0,5 + 2,58 100 100 Como 0, 42 ∈ ( 0.371, 0.629 ) aceptamos la hipótesis nula.
z 0,005
= 2, 58
= (0,371 , 0, 629 )
3.- La estatura de los estudiantes de 2º de bachillerato en la Comunidad Autónoma de Canarias sigue una normal N (170,15) . Se pide: a) Si consideramos muestras de 144 estudiantes ¿cuál es la distribución de la variable media muestral? La media, X ,de una muestra de tamaño
n
,
desviación típica σ, sigue una distribución, N µ , X
15 ≈ N 170, ⇒ 144
X
de normales independientes de media
µ y
, en nuestro caso es: n
σ
≈ N (170,1.25)
b) Calcular la probabilidad de que, en una muestra de 144 estudiantes, la estatura media sea mayor que 180 centímetros. P ( X
X − 170 172 − 170 > 180) = P > = P ( Z > 1, 6 ) = 0, 0548 1, 25 1, 25
c) Calcular a partir de qué valor se encuentra el 15% de las estaturas medias superiores. Tenemos que encontrar un valor x0 de manera que P ( X
> x0 ) = 0,85
X − 170 x0 − 170 > x0 ) = 0,15 ⇒ P > = 0,15 ⇒ 1, 25 1, 25 x − 170 x0 − 170 x0 − 170 0,15 z ⇒ P Z > 0 = ⇒ = ⇒ = 1, 04 ⇒ 0,15 1, 25 1, 25 1, 25 ⇒ x0 = 170 + 1, 04·1, 25 = 171.3
P ( X
4.- En una potabilizadora se pueden producir P ( x ) toneladas de agua potable si se emplean un número x de trabajadores. Si la producción de las toneladas de agua viene dada por la fórmula P ( x ) = x ( 60 − x ) , se pide: a) ¿Cuántos trabajadores tienen que contratar para que la potabilizadora produzca lo máximo posible? Tenemos que derivar e igualar a cero la función de producción P ( x ) = − x
2
+ 60 x
P ' ( x ) = −2 x + 60 ⇒ P ' ( x ) = 0 ⇒ − 2 x + 60 = 0 ⇒ x = 30 P ''( x ) = −2 , quiere decir que en x = 30 hay un máximo.
b) Hacer la gráfica de la producción y averiguar a partir de cuántos trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.
A partir de 60 trabajadores la empresa tiene que dejar de producir.
5.- Una empresa compra 5.400 barriles de petróleo de tres tipos. El tipo A lo compra a 27 € el barril, el petróleo del tipo B a 28 € y el del tipo C a 31 €, el barril. El precio total asciende a 156.000 €. Si el primer suministrador vende a la empresa el 30% del total, se pide: a) Plantear las ecuaciones que correspondan al enunciado. A + B + C = 5400 A + B + C = 5400 27 A + 28 B + 31C = 15600 ⇒ 27 A + 28 B + 31C = 15600 30 A = 1620 A = 5400 100 b) ¿Cuál es la cantidad de petróleo de cada tipo comprado?
27 A + 28 B + 31C = 15600 ⇒ A = 1620 A + B + C = 5400
⇒
⇒ 28 B + 31C = 15600 − 43740
B + C
= 3780 − 28 B − 28C = −105840 ⇒ ⇒ 28 B + 31C = 112260 28 B + 31C = 112260
⇒ 3C = 112260 − 105840 = 6420 ⇒ B
B + C = 5400 − 1620
= 3780 − C ⇒
B
= 1640
C = 2140
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2.002-2.003 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- Para hacer un estudio sobre el precio/día de una habitación doble en hoteles de cuatro estrellas en Canarias, se elige una muestra de 64 de estos hoteles y se obtiene un precio/día medio de 56 € con una desviación típica de 6 €. Se pide: a) Determinar el intervalo de confianza para el precio/día medio de una habitación doble en un hotel de cuatro estrellas en Canarias con un nivel de confianza del 97%. b) Hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de 2€, con un nivel de significación del 1%.
Solución
σ σ ,x + z x − z . Sustituyendo: n n 2 2 56 − 2,17 6 , 56 + 2,17 6 = 54,3725, 57,6275 ] [ 64 64 2 σ σ < 2 ; es decir n > z , con z = 2,575 , σ = 6 . Por tanto: b) z n 2 2 2 2 2 2 σ 6 n >z = 2, 575 2 = 59,675625 2 2 a) Intervalo de confianza
α
α
α
α
α
α
2.- Los servicios de deportes de una ciudad afirman que, al menos, el 25% de los jóvenes, con edades entre los 14 y los 20 años, practica algún tipo de deporte. Sin embargo, el concejal responsable afirma que la proporción de practicantes es menor. Para tratar de comprobarlo, encargó una encuesta realizada a 450 jóvenes con edades entre los 14 y 20 años, resultando que 345 no practicaban ningún deporte a) ¿Se puede aceptar la afirmación del concejal si se toma un nivel de significación del 6%? b) ¿Se daría la misma respuesta si el estudio se hace con un nivel de confianza del 99%?
Solución a) El contraste que se debe plantear es:
H 0 : p ≥ p0 H1 : p < p0 Región crítica:
pˆ − p0 < z1−
α
p0 (1 − p0 ) n
con pˆ =
105 450
= 0,233 , z0,94 = −1,555 y p0 = 0,25 . Sustituyendo: −0, 017 = 0, 233 − 0, 25 ≥ −1, 555
0,25(0,75) 450
= −0,031741
Por ello, no se rechaza H 0 . b) Si α = 0,01 , zα
= 2,32
−0, 017 = 0, 233 − 0, 25 ≥ −2, 32
y
0,25(0,75) 450
= −0,047356 . Por tanto, la
conclusión es la misma.
3.- Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próximos años seguirán la fórmula
g (t ) =
64000 + 5000t 5t + 5
, en donde la variable
t = 1, 2,3,4, 5,.... representa
el tiempo en años medido a partir del presente. . a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto. b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la respuesta. c) ¿Se estabilizan las ganancias cuando t crece? ¿Hacia qué valor? Razonar la respuesta.
Solución a) g (t ) = b)
64000 + 5000t
g ' (t ) =
, g (1) = 6900 miles de euros, g (5) =
5t + 5 5000 ( 5t + 5) − 5 ( 64000 + 5000t ) 2
(5t + 5 )
=
−295000 2 (5t + 5)
8900 3
= 2966, 66
miles de euros.
Es decir, cuando t > 0 ,
g '(t ) < 0 . Por
ello g (t ) decrece cuando t > 0 aumenta. c) lim g ( t ) = lim t →∞
t →∞
64000 + 5000t 5t + 5
= 1000
4.- Una parcela de terreno (cuyo perímetro está expresado en metros) está determinada por las inecuaciones y ≤ 32 e y
≥
x2 2
. Se pide:
a) Dibujar la parcela. b) Calcular el precio de la parcela si se vende a 300 € el metro cuadrado. c) Si se quiere hacer un intercambio con otra parcela cuadrada con la misma superficie ¿cuántos metros de lado tendría el nuevo terreno?
Solución a)
a)
8 x 2 1 3 1024 b) Área = ∫ 32 − dx = 32 x − x = . 2 6 3 −8 −8 8
c) Lado =
Precio=102400 €
1024
= 18.47 metros 3 5.- Durante una hora, una agencia de viajes vende un total de 30 billetes de avión con destino a las islas de La Palma, Gran Canaria y Lanzarote. Sabiendo que los billetes para Gran Canaria representan el doble de los emitidos para las otras dos islas, y que los correspondientes a Lanzarote son la mitad de los emitidos para La Palma más cuatro: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar el número de billetes para cada una de las tres islas. Solución a)
y 3 y 30 ⇒ y = 20 + = = y + + = x y z 30 2 2 3 x y = 2 ( x + z ) x + z = 10 =6⇒ x =4 2 x x z = + 4 z = + 4 z=6 2 2 b) La solución del sistema es: x = 4, y = 20, z = 6
Prueba B 1.- El 25% de las viviendas de una determinada región tienen conexión a INTERNET. Se eligen 80 viviendas de esa región y se pide: a) Probabilidad de que al menos 20 viviendas estén conectadas a INTERNET. b) Número esperado de viviendas no conectadas a INTERNET. c) Probabilidad de que el número de viviendas que están conectadas a Internet esté entre 10 y 30.
Solución X = ”nº de viviendas con internet en una muestra de 80” X ≈ B (80, 0.25) n = 80, p = 0, 25, np = 20, npq = 15 = 3,8729 X ' ≈ N ( 20, 3.87 ) a) P ( X ≥ 20) ≅ P ( X ' ≥ 20) = P (Z ≥ 0) = 0, 5 b) n º = 60 c) P (10 <
= 0,9902 15
10
X < 30) = 1 − 2P Z ≥
2.- La publicidad de una marca de un producto lácteo afirma que su duración es de, como máximo, 15 días después de la fecha de su fabricación. Elegida una muestra de 64 unidades de ese producto se observa que el tiempo medio de duración ha sido de 16 días con una desviación típica de 2 días: a) ¿Se puede decir que la publicidad es correcta con un nivel de significación del 5%? b) ¿ Se concluiría lo mismo si la desviación típica fuera igual a 4 y el nivel de confianza igual al 99%?
Solución a) Si µ 0
= 15 , el contraste que se ha de plantear es: H 0 : µ ≤ µ0 H 0 : µ ≤ 15 → H1 : µ > µ 0 H 1 : µ > 15
La región crítica es:
x − µ 0 > z
α
σ
n
. Sustituyendo: 1 = 16 − 15 > 1, 645
2 8
= 0,41125 .
Por tanto, se
rechaza la hipótesis nula. La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico de prueba,
z =
x − µ 0 σ
y ver si cae en la región de rechazo, que para este test unilateral es:
n R.R.= ( z , ∞ ) = (1.64 , ∞ ) . α
z =
16 − 15 2
= 4;
como 4 ∈ (1.64, ∞ ) , rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos µ = 15 .
64 b) Si α = 0,01 , entonces
4
z = 2,32 y 1 = 16 − 15 ≤ 2, 32 = 1,16 . En este caso, no se rechaza la α
8
hipótesis nula.
3.- En un estudio sobre la longevidad de los habitantes de una comunidad se contabilizan 121 personas para las que se obtiene una media de 79,5 años de vida. a) Si se maneja una desviación típica igual a 3,5 años y un nivel de significación del 3%, construir el intervalo de confianza para la longevidad media de los habitantes de la comunidad.
b) Con la misma desviación típica del apartado anterior y con un nivel de confianza del 99%, ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea igual a 1 años?
Solución
σ σ ,x + z x − z . Sustituyendo: n n 2 2 79, 5 − 2,17 3, 5 , 79,5 + 2,17 3,5 = 78,8095, 80,1904 ] [ 121 121 2 σ σ < 0,5 ; es decir n > z b) z , con z = 2,575 , σ = 3,5 . Por tanto: 0,5 n 2 2 2 2 σ n > z = 324,900625 ≅ 325 0,5 2 a) Intervalo de confianza
α
α
α
α
α
α
4.- El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un determinado mes, varía con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente:
t + 8 4 P (t ) = 2 − t + 2t + 5 4
si 0 ≤ t ≤ 4 si 4
Se pide: a) ¿Cuál es el precio inicial del artículo? b) Dibujar la gráfica de P (t ) entre el día 1 y el 10. c) ¿En qué periodo de tiempo aumenta el precio? d) ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene?
Solución a) P (0) = 8 € b)
c) En los 4 primeros días. P '(t ) = d) El cuarto día. P (4) = 9 .
1 4
5.- Un veterinario desea dar a sus animales una dieta que contenga un mínimo de 30 unidades de pienso tipo A y 20 unidades de pienso tipo B. En el mercado se encuentran dos productos (P 1 y P2 ) que se elaboran con dichos piensos. Cada bolsa de P 1, que cuesta 2,5 €, contiene 4 unidades de A y 2 unidades de B, mientras que cada bolsa de P 2 , cuyo costo es de 3,25 €, contiene 5 unidades de A y 5 unidades de B.¿Qué cantidad de P 1 y P2 deberá comprar para que la dieta sea de coste mínimo?
Solución = cantidad de P 2 (bolsas) que ha de Sean p1 = cantidad de P 1 (bolsas) que ha de comprar y p2 comprar. El problema que se habrá de plantear es:
min 2,5 p1 + 3, 5 p2
s.a : 4 p1 + 5 p2 ≥ 30 2 p1 + 5 p2 ≥ 20 p1 ≥ 0, p2 ≥ 0
La solución óptima es
p1 = 5, p2 = 2 . z = 19 .
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 2002-2.003 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5
PRUEBA A
1. En una piscifactoría, se inició un cultivo con 90 ejemplares, de los cuales 64 llegaron a la edad adulta. De los que llegaron a la edad adulta, el peso medio fue de 3,1 kilos con una desviación típica de medio kilo. a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 90%. El intervalo de confianza para una proporción es
pˆ (1 − pˆ )
pˆ − zα / 2
n
, pˆ + z α / 2
Datos del problema: 64 = 0, 71; α = 0,1; zα / 2 n = 90; pˆ = 90
0.71(1 − 0.71)
0.71 − 1.64
90
pˆ (1 − pˆ )
n
= z0,05 = 1, 64 0.71(1 − 0.71)
, 0.71 + 1.64
90
= (0.6315 , 0.7884 )
b) Obtener un intervalo de confianza para el peso medio que alcanzan los ejemplares que llegan a la edad adulta, con un nivel de confianza del 95%. El intervalo de confianza para una media muestral es:
x − z
σ
α
/2
n
, x
+ z / 2 α
n
σ
Datos del problema: n = 64; x
x − z
α
σ /2
= 3,1; , x
σ
+ z / 2 α
= 0,1;
α
= 0, 05;
α / 2
= 3,1 − 1,96 n
σ
= 0, 025;
0, 5
z 0,025
, 3,1 + 1,96
= 1,96 = ± 3,1 0.1225 ( ) = (2.975,3.225) 64
0,5
n 64 2. Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las bombillas sigue una normal de media 500 horas y desviación típica de 40 horas. a) Calcular la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure más de 450 horas. X = ” Duración de una bombilla”; X ≈ N (500, 40 )
La probabilidad de que una bombilla dure más de 450 horas es: X − 500 450 − 500 > 450 ) = P > = P (Z > −1.25 ) = 1 − P (Z > 1.25 ) = 1 − 0.1056 = 0.8944 40 40
P ( X
b) Calcular la probabilidad de que si se eligen 25 bombillas al azar la duración media sea mayor que 510 horas. La media, X , de la duración de 25 bombillas sigue una normal de media 500 y desviación típica 40 = 8 , es decir, X ≈ N (500, 8 ) 25 P ( X
X − 500 514 − 500 > 514 ) = P > = P (Z > 1.75 ) = 0.0401 8 8
c) Para verificar lo que nos dice el fabricante en cuanto a la media de la duración, se hizo una prueba con 49 bombillas obteniéndose una media muestral de 492 horas. ¿Podemos aceptar que la media de duración es de 500 horas, con un nivel de confianza del 90%? Se nos plantea un contraste de hipótesis:
= µ0 H 0 : µ = 500 → H : µ ≠ 500 H1 : µ ≠ µ 0 1 H 0 : µ
Para este contraste, la región de aceptación es R.A.= µ0 − zα / 2
σ
, µ 0
+ z / 2
n Si x ∈ R.A. aceptamos la hipótesis nula y en caso contrario la rechazamos. Datos del problema: x = 492; n = 49; µ 0
R.A. = 500 − 1.64
= 500;
40 49
σ
= 40;
, 500 + 1.64
α
= 0,1;
= 0, 05;
α/2
z 0,05
α
n
σ
= 1.64
= (492.62, 509.37 ) 49
40
Como 492 ∈ (492.62, 509.37 ) aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que µ = 500 La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico x − µ 0 de prueba, z = y ver si cae en la región de aceptación que para este test bilateral es: σ
n R.A.= ( − zα / 2 , z α / 2 ) = ( −1.64 , 1.64 ) ;
z =
492 − 500 40
= −1.4 ;
49 como
−1.4 ∈ ( −1.64 , 1.64 ) , aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que
µ
= 500 .
3. Una empresa tiene dos fábricas, los gastos, en cientos de euros, de cada fabrica en función del número de trabajadores se obtienen según las funciones: 2 f ( x ) = 2 x + 12 x − 14; x ≥ 2
g ( x ) = x + 18 x + 2; x ≥ 2 a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son h( x ) = 48 x . ¿Con que número de trabajadores maximiza el beneficio la primera fábrica? Beneficios = Ingresos - Gastos 2
b( x ) = h( x ) − f ( x ) = 48x − (2x 2 b '( x ) = −4 x + 36
+ 12 x − 14) = −2 x2 + 36 x + 14
b '( x ) = 0 ⇔ x = 9 b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, ¿con que número de trabajadores se consigue? x = −2 f ( x) = g ( x ) ⇔ 2 x 2 + 12 x − 14 = x 2 + 18 x + 2 ⇔ x 2 − 6 x − 16 = 0 ⇔ x = 8
4. Se quiere pintar la parte frontal de una pista de patinar, que tiene la forma:
La curva interior está descrita por la parábola
f ( x ) =
x 2 9
a)
¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar en esta parte frontal? b) Si se pinta también la parte trasera que es igual a la frontal, y cada metro cuadrado lleva 0,25 litros de pintura, que cuesta a 5 euros el litro ¿cuanto cuesta la pintura?
1m
3m
1.5m
a) La superficie a pintar es el área bajo la parábola entre los puntos –3 y 3 junto con los dos rectángulos laterales de 1,5 x 1
S
3
= 2(1,5 × 1) + ∫ −3
1 9
2
x dx
=3+
1 x 3 9 3
b) Precio = 2 × 5 × 0.25 × 5 = 12.5
3
= 3 + (1 + 1) = 5 −3
5. Se tienen que empaquetar 1500 unidades de un artículo en cajas de 5, 10 y 25 unidades, de manera que haya el triple de cajas de 5 unidades que de 10 unidades y que en total haya 90 cajas. ¿cuántas cajas tiene que haber de cada tipo? 5 A + 10 B + 25C A = 3B A + B + C
= 90
A + B + C
= 1500 A + B + C = 90 A + B + C = 90 → A − 3B = 0 → − 4 B − C = −90 5 A + 10 B + 25C = 1500 5 B + 20C = 1050
= 90 A = 10 A + B + C = 90 → − 20 B − 5C = −450 → − 20 B −15C = −1350 → B = 30 20 B + 80C = 4200 75C = 3750 C = 50
PRUEBA B 1.-Una de las pruebas de acceso a la universidad para personas mayores de 25 años consiste en un test con 100 preguntas, cada una de las cuales dos posibles respuestas, siendo sólo una de ellas correcta. Para superar esta prueba debe obtenerse, al menos, 60 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, es decir, elige de forma aleatoria una de los dos respuestas posibles de cada una de las 100 preguntas: a) ¿Cuál será el numero esperado de respuestas correctas? Sea la variable, X=”nº de respuestas correctas en las 100 preguntas”, como la probabilidad de responder correctamente una pregunta si se contesta al azar es p=0.5, se tiene que: X ≈ B (100,0.5) Para una variable binomial, B(n,p), su valor medio esperado es n·p, en este caso 100·0.5 = 50. b) ¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba? Nos piden calcular, P ( X ≥ 60 ) , hacerlo directamente supondría los 41 casos del 60 hasta 100, o bien por el complementario supondría los 60 casos del 0 hasta 59. En ambos casos el cálculo a realizar es muy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar una binomial por una
(
normal X ' ≈ N n· p , n· p·(1 − p )
>5 n(1 − p ) > 5
)
>5 por tanto se puede utilizar la aproximación. 100(1 − 0.5) = 50 > 5 X se distribuye aproximadamente igual que X ' ≈ N (50,5 ) . X '− 50 > 59.5 − 50 = P z > 1.9 = 0.0287 P ( X ≥ 60 ) ≅ P ( X ' ≥ 59.5 ) = P ) ( 5 5 n· p
en este caso
100·0.5 = 50
Si no se hace corrección por continuidad X '− 50 > 60 − 50 = P z > 2 = 0.0228 P ( X ≥ 60 ) ≅ P ( X ' ≥ 60 ) = P ) ( 5 5 2.-En una gran ciudad española la altura de sus habitantes tiene una desviación típica de 8 cm. Se pide: a) Si la altura media de dichos habitantes fuera 175 cm., ¿cuál sería la probabilidad de que la altura media de una muestra de 100 individuos tomada al azar fuera superior a 176 cm? La media, X , de la altura de 100 individuos sigue una normal de media 175 y desviación típica 8 = 0.8 , es decir, X ≈ N (175,0.8) 100 P ( X
X − 175 176 − 175 > 176 ) = P > = P (Z > 1.25 ) = 0.1056 0.8 0.8
b) Si se considera una muestra aleatoria de 100 individuos de esta ciudad se obtiene una altura media de 178 cm. Determina un intervalo de confianza del 95% para la altura media de los habitantes de esta ciudad. El intervalo de confianza para una media muestral es:
x − z
α
Datos del problema:
σ /2
n
, x
+ z / 2 α
n
σ
n = 100; x
x − z
α
σ /2
n
= 178; , x
= 8;
σ
+ z / 2
α
= 0, 05;
α / 2
= 178 − 1,96 n
σ
α
= 0, 025;
8 100
z 0,025
, 178 + 1,96
= 1, 96 = (178 ±1.56 ) = (176.43,179.56 ) 100 8
3.Según la ley electoral de cierto país, para obtener representación parlamentaria un partido político ha de conseguir, en las elecciones correspondientes, al menos el 5% de los votos. Próximas a celebrarse tales elecciones, una encuesta realizada sobre 1000 ciudadanos elegidos al azar revela que 36 de ellos votarán al partido A. a) ¿Puede aceptarse, con un nivel de significación del 5% que A tendrá representación parlamentaria?
≥ p0 H 0 : p ≥ 0, 05 → < H1 : p p0 H1 : p < 0, 05 H 0 : p
Para este contraste la región de rechazo es
R.R.=
0 , p0
− z
p0 (1 − p0 )
α
n
Si pˆ ∈ R.R. rechazamos la hipótesis nula y en caso contrario la aceptamos. Datos del problema: 36 = 0, 036; p0 = 0, 05; α = 0, 05; z 0,05 = 1, 64 n = 1000; pˆ = 1000
R.R. = 0
, 0.05 − 1.64
0, 05 (1 − 0, 05 ) 1000
= (0 , 0.03869 )
Como 0, 036 ∈ (0 , 0.03869 ) rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que p ≥ 0,05 . La resolución de este contraste se podía haber hecho de forma equivalente utilizando el estadístico p − p0 de prueba, z = y ver si cae en la región de rechazo para este estadístico en este p0 (1 − p0 ) n contraste, que a un nivel de significación α =0.05, es, R.R.= ( −∞ , − z α ) = ( −∞ , z =
0, 036 − 0, 05 0,05(1 − 0,05)
− 1.64 ) .
= −2.031 ;
1000 Como
−2.031 ∈ ( −∞ , − 1.64 ) , rechazamos la hipótesis nula, es decir, rechazamos que
b) ¿y con un nivel de significación del 1%? 0, 036 − 0, 05 El estadístico sigue siendo z = 0,05(1 − 0,05) La región de rechazo para R.R.= ( −∞ , − z α ) = ( −∞ , − 2.33) . Como
p ≥ 0,05 .
= −2.031
1000 este estadístico
en
este
contraste,
con
−2.031 ∉ ( −∞ , − 2.33) , aceptamos la hipótesis nula, es decir, aceptamos que
α =0.01,
p ≥ 0,05 .
es,
4.- Un almacén de frutas para atender a sus clientes, debe tener almacenados un mínimo de 10 toneladas de naranjas y 20 toneladas de manzanas. El numero de toneladas de manzanas no debe ser inferior a la mitad del numero de toneladas de naranjas. Si la capacidad total del almacén es de 80 toneladas, el gastos de almacenaje de una tonelada de naranjas es de 30 euros y el de una tonelada de manzanas es de 9 euros, a) ¿Cuántas toneladas habrá que almacenar para que el gasto sea mínimo? b) ¿Y máximo?
Min f ( x, y ) = 30 x + 9 y x + y ≤ 90
s.a. : x + y ≤ 90 x − 2 y ≤ 0 y ≥ 20 x − 2 y ≥ 0
y ≥ 20
La función objetivo es f ( x, y) = 30 x + 9 y Los puntos extremos de la región factible son (0, 20 ) → f (0, 20 ) = 9 * 20 = 180
(0,90 ) → f (0, 90 ) = 9*90 = 810 ( 40, 20 ) → f (40, 20 ) = 30 * 40 + 9 * 20 =1380 (60, 30 ) → f (60, 30 ) = 30*60 + 9*30 = 2070 Por tanto el máximo se alcanza en el punto ( x, y ) = ( 60,30 ) con un gasto de 2070€. El mínimo se alcanza en el punto ( x, y ) = ( 0, 20 ) con un gasto de 180€.
5.-El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es
de venta de una de ellas está en función de la producción total es 50 a) b) c) d)
1 4
x 2
+ 5 x + 25
x
euros por cada unidad.
4
Haya el precio de venta si se producen 12 unidades. Haya los ingresos de producir 12 unidades. Haya los beneficios de producir 12 unidades. Haya el número de unidades que deben venderse diariamente par a el beneficio sea máximo. 12 a) 50 - = 47 4 b) 47*12=564 c) x 1 1 b( x ) = 50 - x − x 2 + 5 x + 25 = − x 2 + 45 x − 25 4 4 2 1 b(12) = − 122 2
+ 45 *12 x − 25 = 443
d) b( x ) = −
1
x2
+ 45x − 25
2 b '( x ) = − x + 45 b '( x ) = 0 ⇔ x b(45) = 987.5
= 45
y el precio
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO 2003- 2004 MATERIA:
CONVOCATORIA:
Matemáticas Aplicadas a las CC SS
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las re untas tiene una untuación máxima de 2.5 PRUEBA A 1. Se hizo una encuesta aleatoria entre 130 estudiantes universitarios, de los cuales 85 eran mujeres, sobre el número de horas que estudian diariamente fuera del aula, obteniéndose una media de 3,4 horas. a) Si la desviación típica es de 1,1 horas, obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la media del número de horas que estudian diariamente fuera del aula los estudiantes universitarios. b) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para la proporción de mujeres entre los estudiantes universitarios. Solución
⎡
a) ⎢ x − zα
σ
, x + z α
⎤ ⎡ 1.1 1.1 ⎤ , 3.4 + 2.33 ⎥ = ⎢3.4 − 2.33 ⎥ = [3.175, 3.625 ] n ⎦⎥ ⎣ 130 130 ⎦
σ
n 2 2 ⎣⎢ ⎡ pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ⎤ ⎥= b) ⎢ pˆ − zα , pˆ + z α n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.6538 (1 − 0.6538 ) 0.6538 (1 − 0.6538 ) ⎤ ⎢ 0.6538 −1.645 ⎥ = [0.5852, 0.7224 ] , 0.6538 −1.645 130 130 ⎢⎣ ⎥⎦ 2. Hace diez años, se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 40% de los estudiantes universitarios eran fumadores. Para ver si actualmente se mantienen las mismas conclusiones, se tomó una muestra de 78 estudiantes entre los que 38 eran fumadores. a) Con un nivel de significación del 10%, ¿Se acepta que el porcentaje de fumadores entre los universitarios es menor o igual que el 40%? b) Se amplió la encuesta hasta 120 personas, y se obtuvo que 54 eran fumadores. Con un nivel de significación del 5%, ¿se tomaría la misma decisión que en el apartado anterior? Solución Contraste: H 0 : p ≤ 0.4 = p0
H1 : p > 0.4
⎧⎪ ⎫ p0 (1 − p0 ) ⎫ 0.4 (1 − 0.4 ) ⎪ ⎪ ⎪⎧ a) Región crítica: ⎨ pˆ > p0 + zα ⎬ = ⎨ pˆ > 0.4 + 1.28 ⎬ = { pˆ > 0.471} . n 78 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
Como pˆ =
38 78
=
0.48717 se rechaza H 0 .
⎧⎪ b) Región crítica: ⎨ pˆ > p0 ⎪⎩ Como pˆ =
54
=
120
+
zα
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
⎧⎪ 0.4 (1 − 0.4 ) ⎫ ⎪ ⎬ = ⎨ pˆ > 0.4 + 1.645 ⎬ = { pˆ 120 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭
n
}.
> 0.473
0.45 no se rechaza H 0 .
3. En una pared azul de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran las 2 2 funciones f ( x) = − x + 3 x + 4 y g ( x) = 2 x − 3 x + 4 , ambas definidas en metros. a) ¿Cuántos metros cuadrados hay que pintar de blanco? b) Si la pared tiene 23 metros de longitud y se quiere repetir esa figura dejando 5 metros entre figura y figura, ¿cuánto costaría pintar las figuras, si cada metro cuadrado de blanco cuesta 2 euros? Solución a) Ambas funciones son parábolas, la primera con vértice en x = 1,5 y raíces en x = -1 y x = 4 y la segunda con vértice en x = 0,75 y no tiene raíces reales. Para obtener los puntos de intersección igualamos ambas funciones ⎧ x = 0 2 2 2 − x + 3 x + 4 = 2 x − 3 x + 4 ⇒ − 3x + 6 x = 0 ⇒ ⎨ ⎩ x = 2
Los puntos de intersección son (0,4) y (2,6)
a) Para calcular el área que encierran tenemos que resolver la integral rea =
∫
2
0
2
− x + 3x + 4 −
( 2 x2
− 3x + 4
)
dx =
∫
2
0
2
−3 x + 6 x
dx = ( − x3
+3x
2
) ⎤⎦
2 0
2
= 4m
b) La figura habrá que repetirla 4 veces, entre los metros 0 y 2, 7 y 9, 14 y 16, 21 y 23 Costo = 4 × 4 × 2 = 32 € 4. Se dispone de una barra de hierro de 10 metros para construir una portería, de manera que la portería tenga la máxima superficie interior posible. a) ¿Qué longitud deben tener los postes y el larguero? b) ¿Qué superficie máxima interior tiene la portería?
Solución Si x e y, son, respectivamente, las longitudes de los postes y del larguero de la portería,
y x
se debe verificar que x. y sea máximo con la condición de que 2 x + y = 10 . Despejando y = 10 − 2 x , debe hacerse máxima A( x ) = (10 − 2 x ) x . Como A '( x)
= 10 − 4 x =
0⇒x
=
2.5 , siendo
A ''( x ) = −4 < 0 , tenemos que las dimensiones que hacen máxima la superficie son: x = 2.5, y = 5 La superficie máxima es 12.5 metros cuadrados. 5. Juan, Pedro y Luis, corren a la vez en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre 2 kilómetros y Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar la suma de las distancias recorridas por los tres, fue de 45 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorrió cada uno? Solución x = “Distancia que recorre Juan” y = “Distancia que recorre Pedro” z = “Distancia que recorre Luis”
⎫ −2 x + y = 0 ⎫ x + y + z = 45 ⎫ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ z = y ⎬ ⇒ 3 y − 4 z = 0 ⎬ ⇒ 3 y − 4 z = 0 ⎬ ⇒ 4 ⎪ x + y + z = 45 ⎪ −2 x + y = 0 ⎪ ⎭ ⎭ x + y + z = 45⎪ ⎭ x + y + z = 45 ⎫ x + y + z = 45 ⎫ x + y + z = 45 ⎫ x = 10 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 y − 4 z = 0 ⎬ ⇒ 3 y − 4 z = 0 ⎬ ⇒ 3 y − 4 z = 0 ⎬ ⇒ y = 20 ⎬ ⎪ ⎪ −2 x + y =0 ⎭ 3 y + 2 z = 90 ⎪ 6 z = 90 ⎪ ⎭ ⎭ z = 15 ⎭ y
=
2x
PRUEBA B 1. En un centro comercial se sabe que el 35% de los clientes pagan con tarjeta. a) Si en una caja han pagado 120 clientes, ¿cuál es el número esperado de clientes que no han pagado con tarjeta? b) Si en una caja han pagado 200 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pagado con tarjeta entre 60 y 85 clientes? c) Si en una caja han pagado 400 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 260 no lo hayan hecho con tarjeta? Solución a) X =”nº de clientes que pagan con tarjeta en una muestra de 120 clientes” X ≈ B(120,0.35) Nº esperado de clientes que si han pagado con tarjeta = n·p=120·0,35=42 Nº esperado de clientes que NO han pagado con tarjeta = 120 – 42 = 78 b) Vamos a ver si se dan las condiciones para aproximar una binomial por una normal
(
X ' ≈ N n·p , n·p ·(1 − p )
)
200·0.35 = 70 > 5 ⎫ ⎫ ⎬ en este caso ⎬ por tanto se puede utilizar la aproximación. n(1 − p ) > 5⎭ 200·(1 − 0.35) = 130 > 5 ⎭ n·p
>
5
La probabilidad que nos piden sobre X se puede aproximar por una probabilidad calculada sobre
(
X ' ≈ N 70, 200·0.35·0.65
) = N (70, 6.74 ) .
⎛ 60 − 70 X '− 70 85 − 70 ⎞ ≤ ≤ ⎟ = P ( −1.48 ≤ Z ≤ 2.22 ) = 0.9174 6.74 6.74 ⎠ ⎝ 6.74 c) Lo que se pregunta es equivalente a que menos de 140 hallan pagado con tarjeta. X ≈ B(400,0.35) Æ X ' ≈ N (140,9.53 )
P ( 60 ≤ X
p ( X
≤
85 ) ≅ P ( 60 ≤ X ' ≤ 85 ) = P ⎜
)
< 140 ≅
p ( X ' < 140 ) = p ( Z < 0 ) = 0.5
2. En un país se sabe que la altura de la población se distribuye según una normal cuya desviación típica es igual a10 centímetros. a) Si dicha media fuera de 170 centímetros, calcular la probabilidad de que la media muestral, de una muestra de 64 personas, difiera menos de un centímetro de la media de la población. b) ¿Cuál es el tamaño muestral que se debe tomar para estimar la media de la altura de la población con un error menor de 2 centímetros y con un nivel de confianza del 95%. c) Y si, en el apartado anterior, aumentamos el nivel de confianza al 99%, ¿qué tamaño muestral se necesitará? Solución
⎛
⎞ ⎟ . En este caso, X ∼ N (170,1.125 ) y n⎠ ⎝ X = ”Altura de una persona” X ∼ N (170,10 )
a) X ∼ N ⎜ µ ,
σ
X = ”Media de la altura de una muestra de 64 personas” ⎛ 10 ⎞ ⎛ σ ⎞ X ∼ N ⎜ µ , ⎟ = N (170,1.25 ) ⎟ ; X ∼ N ⎜170, n 64 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Piden calcular
P (169 < X b) zα 2
c) zα 2
)
< 171 =
⎛ 169 − 170
P⎜
⎝
<
X − 170
1.25
10 ⎞ ⎛ = 1.96 < 2 ⇒ n > ⎜1.96 ⎟ 2 ⎠ n n ⎝
1.25
⎟ = P ( −0.8 < Z < 0.8 ) = 0.5762 ⎠
2
10 ⎞ ⎛ = 2.57 < 2 ⇒ n > ⎜ 2.57 ⎟ 2 ⎠ n n ⎝ 10
σ
171 − 170 ⎞
1.25
10
σ
<
= 96.04 ≅ 97 2
= 165.12 ≅ 166
3. En una máquina, en la que se ha roto el indicador de la longitud de las piezas que esta fabricando, se sabe que la desviación típica de la longitud de las piezas que produce es de 0,2 cm. Un trabajador cree que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud media igual a 5 cm. a) Si se toma una muestra de 16 piezas y se obtiene una media de 5,12 cm., con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina estaba regulada para fabricar piezas de una longitud mayor? b) Si la media muestral del apartado anterior se hubiese obtenido de una muestra de tamaño 36 y el nivel de significación fuera del 1%, ¿aceptaríamos la hipótesis del trabajador frente a la hipótesis de que la máquina está regulada para fabricar piezas de una longitud mayor? Solución El contraste que hay que plantear es: H 0 : µ ≤ 5 = µ 0
H 1 : µ > 5 a) x
=
5.12; n = 16; µ0
⎧
Región crítica: ⎨ x
⎩
b) x
=
5.12; n = 16;
⎧
=
5; σ
> µ 0 +
zα
µ0 =
5;
0.2; α = 0, 05; z 0,05
=
⎫ ⎧ ⎬ = ⎨x n⎭ ⎩
σ
σ =
0.2;
⎫ ⎧ ⎬ = ⎨x n⎭ ⎩
σ
> 5 + 1.645
α = 0, 01;
= 1.645
0.2 ⎫
⎬ = { x > 5.08225} . Se rechaza H 0 .
16 ⎭
z 0,01
=
2.33
0.2 ⎫
⎬ = { x > 5.078} . Se rechaza H 0 . 36 ⎩ ⎭ 4. Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes, dependiendo del número de horas que lleva abierto, es C (h) = −h 2 + 8h . El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y sigue la función g ( h) = 300 − 25h a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes? b) ¿Cuánto gasta el último cliente? c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora? Región crítica: ⎨ x
> µ 0 +
zα
> 5 + 2.33
Solución a) Derivamos la función que representa el nº de clientes e igualamos a cero y se obtiene h = 4 luego como abre a las 9, es a las 13 horas b) Como el comercio cierra después de 8 horas de abierto, g (8) = 200 es el gasto del último cliente c) La recaudación en la cuarta hora es (nº de clientes) por (gasto por cliente), es decir, C (4)·g ( 4 ) = ( −42 + 8·4)(300 − 25·4) = 16·200 = 3200
La recaudación en la cuarta hora es C (5)·g ( 5 ) = (−52 + 8·5)(300 − 25·5)
= 15·175 =
2625
Luego se recauda más en la cuarta hora. 5. Una tienda de café recibe 700 kilos de café natural y 800 kilos de café torrefacto. Envasa paquetes de un kilo con dos tipos de mezcla: el tipo A con medio kilo de café natural y medio kilo de café torrefacto, y el tipo B con un cuarto kilo de natural, y tres cuartos kilos de torrefacto. La ganancia por cada kilo de mezcla del tipo A es de un euro, y por cada kilo del tipo B es de dos euros. Determinar los paquetes de cada tipo de mezcla que deben prepararse para obtener la ganancia máxima. Solución
Modelo de Programación lineal:
max a + 2b s.a :
a 2 a
+
b
≤
4 3b
700
≤ 800 4 a ≥ 0, b ≥ 0 +
2
La función objetivo es f (a, b) = a + 2b Los puntos extremos de la región factible son ( 0, 0 ) → f ( 0, 0 ) = 1·0 + 2·0 = 0 3200 ⎛ 3200 ⎞ ⎛ 3200 ⎞ ⎜ 0, ⎟ → f ⎜ 0, ⎟ = 1·0 + 2· 3 ⎠ 3 ⎠ 3 ⎝ ⎝
= 2133.3
(1300, 200 ) → f (1300, 200 ) = 1·1300 + 2·200 =1700 ⎛ 3200 ⎞ ⎟ con una ganancia de 2133.3 euros. 3 ⎠ ⎝
Por tanto el máximo se alcanza en el punto ( a, b) = ⎜ 0,
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO 2003- 2004 MATERIA:
CONVOCATORIA:
Matemáticas Aplicadas a las CC SS
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las re untas tiene una untuación máxima de 2.5 Prueba A 1. Se supone que el tiempo de reacción de un conductor, ante un obstáculo imprevisto, sigue una distribución normal con desviación típica 0,05 segundos. a) Si se quiere conseguir que el error de estimación de la media no supere los 0,01 segundos, con un nivel de confianza del 99 %, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción? b) Se toma una muestra de 100 tiempos de reacción y se obtiene una media muestral igual a 0,03 segundos. Determinar el correspondiente intervalo de confianza cuyo nivel de confianza es igual a 0,96. Solución
a) zα
σ
2
<
n
E ⇒ 2.58
0.05 ⎞ ⎛ < 0.01 ⇒ n > ⎜ 2.58 ⎟ 0.01 ⎠ n ⎝
0.05
b) Intervalo de confianza: n = 100; x = 0, 03; σ = 0, 05; α
⎡ ⎢ x − zα ⎢⎣ 2
σ
n
, x + z α 2
2
= 0, 04; α / 2 = 0, 02;
= 166.41 ≅ 167
z 0,02
= 2, 05
⎤ ⎡ 0.05 0.05 ⎤ , 0.03 + 2.05 ⎥ = ⎢0.03 − 2.05 ⎥ = [0.019725, 0.040275 ] n ⎥⎦ ⎣ 100 100 ⎦
σ
2. Los responsables de educación de una comunidad trabajan con la hipótesis de que, al menos, el 78% de los padres son favorables a la introducción de la segunda lengua extranjera en el primer curso de Primaria. Encuestados 1024 padres elegidos al azar, 776 están a favor. a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de trabajo con un nivel de significación del 10%? b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 0,01? Solución Contraste: H 0 : p ≥ 0.78 = p0
H1 : p < 0.78
⎧⎪ p0 (1 − p0 ) ⎫ 0.78 (1 − 0.78 ) ⎫ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ˆ ˆ a) Región crítica: ⎨ p < p0 − z1−α ⎬ = ⎨ p < 0.78 − 1.28 ⎬ = { pˆ < 0.7634} . n 1024 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ Como pˆ
=
776 1024
=
0.7578 se rechaza H 0 .
⎧⎪
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
b) Región crítica: ⎨ pˆ < p0 − z1−α
n
⎩⎪
Como pˆ
=
776
=
1024
⎧⎪ 0.78 (1 − 0.78 ) ⎫ ⎪ ˆ < − p 0 . 7 8 2. 2 . 3 3 ⎨ ⎬ = { pˆ < 0.7498} . 1024 ⎭⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎬=
0.7578 , no se rechaza H 0 .
3. El número de flexiones por minuto que es capaz de hacer una persona que empieza su entrenamiento en un gimnasio, viene dado por la función: 36 x + 8 f ( x) = +2 siendo x = “días “días de entrenam entrenamient iento” o” y f ( x) = “número de flexiones”. a) ¿Es f ( x) una función creciente? ¿Por qué?? b) ¿Cuántos ¿Cuántos días de entrenamie entrenamiento nto son necesarios necesarios para para hacer 28 flexiones flexiones por por minuto? minuto? c) ¿Hacia qué valor se aproxima el número de flexiones cuando crece el número de días de entrenamiento? Solución a) Tenemos Tenemos que estudiar estudiar el signo signo de la derivada derivada de f ( x) .
f '( x) =
36 ( x + 2 ) − 36 x − 8
( x + 2 )
2
=
64
( x + 2)
2
>0.
Por tanto, la función es creciente.
b) Tenemos Tenemos que resolver resolver la ecuación ecuación f ( x) = 28 36 x + 8 = 28 ⇒ 36 x + 8 = 28 x + 56 ⇒ 8 x = 48 ⇒ x = 6 x + 2 36 x + 8 c) lim = 36 flexiones x →∞ x + 2 4. Una hoja de papel debe contener 18 centímetros cuadrados de texto impreso. Si los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm. cada uno y los márgenes laterales 1cm., ¿cuáles son las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo? Solución Si x e y, son, respectivamente, el ancho y el largo de la hoja, se debe verificar que A ( x, y ) = x.y sea mínimo con la condición de que ( x − 2 ) ( y − 4 ) = 18 . Despejando x = A '( y ) =
18 y − 4
18 ( y − 4 ) − 18 y
( y − 4 )
2
+2,
⎛ 18
debe hacerse mínima A( y ) = ⎜
+2 =0⇒
⎝ y − 4
2( y − 4)
2
− 72 = 0 ⇒
⎞
+ 2⎟
⎠
y
=
18 y y−4
2 y 2 − 16 y − 40 4 0 = 0 ⇒ y = 10 ,
+ 2y
. Como siendo
A ''(10) > 0 , tenemos que las dimensiones dimensiones que hacen mínimo el gasto de papel son: x = 5, y = 10 . Otra forma de resolverlo puede ser: Siendo x el ancho del texto e y el alto del texto, el folio debe tener dimensiones ( x+2) de ancho por y+4) de alto. ( y Se quiere minimizar la función f ( x, y ) = ( x + 2 ) ( y + 4 ) sujeto a la condición x·y = 18 Despejando “y” en la condición se tiene que y =
18 x
⎛ 18 ⎞ 4x Lo sustituimos en la función y queda f ( x) = ( x + 2) ⎜ + 4 ⎟ = ⎝ x ⎠ Min
2
+ 26 x + 36
x
y que tenemos que
4 x 2 + 26 x + 36
x Derivando e igualando cero se obtiene 4 x 2 − 36 f '( x ) = = 0 ⇒ x = ±3 ⇒ x = 3 x 2 Haciendo la derivada segunda 72 72 f ''( x ) = 3 ⇒ f ''(3) = > 0 Luego es un mínimo 27 x x
llevándolo a la condición se obtiene que y =
18
=
3
6
Las dimensiones de la hoja serán 5 por 10
5. Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches en los que utiliza un mismo modelo de ruedas. Se sabe que, en los 280 juguetes que va a fabricar, se necesitan 945 ruedas. Si se van a producir 10 bicicletas menos que triciclos. a) ¿Cuántos coches, bicicletas y triciclos se fabricarán? b) Si las bicicletas bicic letas se venden a 65€, los triciclos a 75€ y los coches a 90€, ¿cuál es el valor total de los juguetes producidos? Solución a) El sistema de ecuaciones es: b + t + c = 280
2b + 3t + 4c b = t − 10 t + c = 280 ⎫ b+t
b+ ⎫ ⎪ ⎪ 2b + 3t + 4c = 945 ⎬ ⇒ t + 2c = 38 385 ⎬ ⇒ ⎪ b = t − 10 ⎪ b−t = −10 ⎭ ⎭ b
+
t
+c =
280
La solución es b = 55, t = 65, c = 160 b) El valor es 55·65+65· 55·65+65·75+160· 75+160·90=22850€ 90=22850€
=
945
+c =
280 ⎫
⎪ t + 2c = 38 385 ⎬ ⇒ ⎪ − 2t − c = −290 ⎭
b
+
t
+c =
280⎫
b = 55⎫
⎪ t + 2 c = 38 385 ⎬ ⇒ t = 65 3c = 480 ⎪ ⎭ c = 160
⎪ ⎬ ⎪ ⎭
Prueba B 1. El Director de Recursos Humanos de una compañía afirma que la edad de sus empleados tiene una media de 40 años y una varianza de 25 años. Si se pregunta la edad a 36 empleados elegidos al azar y se observa que la media de las edades de esta muestra es de 41,3 años: a) ¿Se puede aceptar la hipótesis de que la edad media de los empleados es de 40 años, frente a que la edad media es mayor de 40 años, con un nivel de significación del 5 %? b) Construir un intervalo de confianza para la media de edad, con un nivel de confianza del 80%. Solución El contraste que hay que plantear es: H 0 : µ ≤ 40 = µ 0
H 1 : µ > 40 a) Región de aceptación:
⎧ ⎨ x ⎩
zα
≤ µ 0 +
Como x
=
5 ⎫
⎧ ⎬ = ⎨x 36 ⎭ ⎩
40 + 1.645
≤
≤ 40 +1.645
5 ⎫
⎬ = { x ≤ 41.37083} .
36 ⎭
41.3 , se acepta H 0 .
b) n = 36; x
⎡ ⎢ x − zα 2 ⎣⎢
⎫ ⎧ ⎬ = ⎨x n⎭ ⎩
σ
σ
n
=
41.3;
, x + z α 2
σ = 5; α =
0, 2;
α / 2 = 0,1;
z 0,1
= 1, 28
⎤ ⎡ 5 5 ⎤ , 41.35 + 1.28 ⎥ = ⎢ 41.35 − 1.28 ⎥ = [ 40.283, 42.416] n ⎦⎥ ⎣ 36 36 ⎦
σ
2. Se sabe que el 40% de las mujeres embarazadas dan a luz antes de la fecha prevista. En un hospital, han dado a luz 125 mujeres en una semana. a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres a las que se les retrasó el parto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 45 y 60 mujeres se les haya adelantado el parto? c) Si hubiese habido 61 partos adelantados y si el nivel de significación fuera igual a 0.02, ¿esto haría rechazar la hipótesis de que el 40% de las mujeres dan a luz antes de la fecha prevista? Solución a) X =”nº =”nº de embarazadas que se les adelanta el parto en una muestra de 125” X ≈ B(125,0.4) Nº esperado esperado de embarazadas embarazadas que se les adelanta adelanta el parto parto = n·p =125·0,4=50 Nº esperado esperado de embarazadas embarazadas que se les retrasa retrasa el parto parto = 125 – 50 = 75 b) Vamos a ver si se dan las condiciones para aproximar nuestra binomial por una normal
(
X ' ≈ N n· p, n· p·(1 − p)
)
125·0.4 = 50 > 5 ⎫ ⎫ en este caso ⎬ ⎬ por tanto se puede utilizar la aproximación. n(1 − p) > 5⎭ 125·(1 − 0.4) = 75 > 5⎭ n·p > 5
La probabilidad que nos piden sobre X se puede aproximar por una probabilidad calculada sobre
(
X ' ≈ N 50, 125·0.4·0.6 p ( 45 ≤ X
≤
) = N (50,
⎛ 45 − 50
60 ) = p ⎜
⎝
(
≤
30
= p −0.91 ≤
Z
Z ≤
30
) = N ( 50, 5.47 ) .
60 − 50 ⎞
⎟=
30 ⎠
)
≤ 1.82 =
p (Z
)
≤ 1.82 −
p ( Z < −0.91 ) = 0.9556
c) El contraste que se ha de plantear es: H 0 : p = 0.4 = p0 H1 : p ≠ 0.4
− 0.1814 = 0.7842
La proporción muestral es pˆ =
⎡ p0 (1 − p0 ) ⎢ p0 − zα , p0 + z α n ⎢⎣ 2 2
61 125
=
0,488 y la región de aceptación:
p0 (1 − p0 ) ⎤ n
⎡ 0.4 (1 − 0.4 ) 0.4 (1 − 0.4 ) ⎤ ⎥ = ⎢0.4 − 2.33 , 0.4 + 2.33 ⎥= 125 125 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦
[ 0.2979,0.5021] Como 0.488 ∈ [0.2979,0.5021] , se acepta H 0 . 3. Se ha extraído una muestra de 145 alumnos de una escuela de bellas artes, a los que se les ha propuesto un test de habilidad, obteniéndose una media muestral de 84 puntos. Si la desviación típica es igual a 14 puntos: a) Construir un intervalo de confianza para la media, con un nivel de confianza del 95%. b) Con un nivel de confianza del 95%, ¿qué tamaño muestral deberíamos tomar si se quiere estimar la media con error menor que 2 puntos? Solución a) Intervalo de confianza: n = 145; x = 84; σ = 14; α = 0, 05; α / 2 = 0, 025; z 0,025 = 1,96
⎡ ⎢ x − zα 2 ⎣⎢ b) zα 2
σ
n
,x
+
z α 2
⎤ ⎡ 14 14 ⎤ , 84 +1.96 ⎥ = ⎢84 − 1.96 ⎥ = [81.721, 86.279 ] n ⎦⎥ ⎣ 145 145 ⎦
σ
14 ⎞ ⎛ < E ⇒ 1.96 < 2 ⇒ n > ⎜1.96 ⎟ 2 ⎠ n n ⎝
σ
14
2
= 188.238 ≅ 189
4. La producción de una empresa (en unidades de un determinado producto), en función del número de trabajadores, “ x”, es p ( x ) = 800 x − 5 x 2 ; 0 ≤ x ≤ 120 . El precio de venta de cada unidad, en
función de la producción, es h( p ) = 400 −
p
100 a) ¿Con que número de trabajadores se alcanza la producción máxima? b) Si hay 50 trabajadores, ¿cuál es el precio de venta de cada unidad producida? c) Que número de trabajadores es necesario para que el precio de venta de cada unidad sea 205. d) ¿Cuáles serían los ingresos con 100 trabajadores? Solución a) Tenemos que derivar la función de producción e igualar a cero p '( x ) = 800 − 10 x = 0 ⇒ x = 80 p ''( x ) = −10 ⇒ x = 80 es un máximo b) p (50) = 800·50 − 5·50 2 = 27500 Con 50 trabajadores se producen 27500 unidades y el precio de venta de estas unidades será: 27500 = 125 h(27500) = 400 − 100 p c) Si h( p ) = 400 − = 205 , entonces se habrán producido p = 19500 unidades. 100 Esto hace que 800 x − 5 x 2 = 19500 ; es decir: 0≤ x ≤120 ⎧ x = 30 5 x 2 − 800 x + 19500 = 0 ⇒ ⎨ x = 30 trabajadores. ⇒ = x 130 ⎩
d) p (100) = 800·100 − 5·100 2 = 30000 30000 h(30000) = 400 − = 100 100 Ingresos = (unidades producidas) x (precio de venta) = 30000 x 100 =3000000 5. Una empresa de productos de papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y de 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para fabricar una del primer tipo se necesitan 0,20 metros cuadrados de cartón y 30 centímetros de cinta de goma. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 metros cuadrados de cartón y 27 centímetros de cinta de goma. Si las carpetas se venden a 1,4 euros (tamaño folio)y a 1,1 euros (tamaño cuartilla) la unidad a) ¿Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para maximizar el beneficio que se obtiene con su venta? b) Determinar ese beneficio máximo. Solución Modelo de Programación lineal: x = ”nº de folios” y = ”nº cuartillas”
Max 1.4 x + 1.1 y s.a. 0.2 x + 0.15 y ≤ 270 0.3 x + 0.27 y ≤ 432 x, y ≥ 0
La función objetivo es f ( x, y ) = 1.4 x + 1.1y Los puntos extremos de la región factible son
( 0, 0 ) → f ( 0, 0 ) = 0 (1350, 0 ) → f (1350, 0 ) = 1.4·1350 = 1890 ( 0,1600 ) → f ( 0,1600 ) = 1.1·1600 = 1760 ( 900, 600 ) → f (900, 600 ) = 1.4·900 +1.1·600 =1920 Por tanto el máximo se alcanza en el punto ( x, y ) = ( 900, 600 ) con una ganancia de 1920 euros.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador del transporte público. Se toma para ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 euros. Si la desviación típica es igual a 250 euros: a) Con un nivel de confianza del 90%, determinar el intervalo de confianza para el sueldo medio de un trabajador de la construcción b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de 10€, hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%. Solución ⎡
a) ⎢ x − zα
⎣⎢
σ
n
2
b) z α 2
, x + z α
⎤ ⎡ 250 250 ⎤ , 1480 + 1.645 ⎥ = ⎢1480 − 1.645 ⎥ = [1463.55,1496.45] n ⎦⎥ ⎣ 625 625 ⎦
σ
2
250 ⎞ ⎛ = 2.58 < 10 , ⎜ 2.58 ⎟ 10 ⎠ n n ⎝ 250
σ
2
< n ⇒ n > 4160,25
2.- Una marca de nueces afirma que como máximo el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca? b) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar la proporción de nueces vacías con un error menor del 1% y con un nivel de confianza del 95 %? Solución a) Tenemos que resolver el siguiente contraste: H 0 : p ≤ 0, 06 = p0 ⎫ 21 = 0, 07; α = 0, 01; z 0,01 = 2.33 ⎬ n = 300; pˆ = H1 : p > 0, 06 300 ⎭ a) Región crítica:
⎧⎪ ⎨ pˆ > p0 ⎪⎩
+
zα
Como pˆ =
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪ n 21
300
= 0.07
⎧⎪ ⎬ = ⎨ pˆ ⎪⎭ ⎪⎩
>
0.06 + 2.33
0.06 (1 − 0.06 ) ⎫ ⎪
< 0.0919 se acepta H 0 .
300
⎬ = { pˆ ⎪⎭
> 0.0919} .
z α b)
pˆ (1 − pˆ ) n
2
< 0, 01
⇒ 1.96
0.07(1 − 0.07) n
< 0.01
⇒
2
⎛ 1.96 ⎞ ⇒ n>⎜ ⎟ 0.07(1 − 0.07) ⇒ n > 2500.88 ⇒ n ≥ 2501 ⎝ 0.01 ⎠
3.- Se espera que, en los próximos diez años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa, vengan dadas por la función P (t ) = −2t 2 + 20t + 5 . a) Determinar cuándo las ganancias son iguales a 5 millones de euros. b) Determinar en qué años decrecen las ganancias ¿Cuándo son máximas? c) ¿Cuáles son las ganancias acumuladas durante los cinco primeros años? Solución a) P (t ) = −2t 2 + 20t + 5 = 5 cuando t = 0 y t = 10 . b) P′(t ) = −4t + 20 = 0 ⇒ t = 5 y P ′′(5) = −4 < 0 . Por tanto las ganancias son máximas cuando t = 5 y decrecen entre los años 5 y 10. 5
⎛ 2 ⎤ c) Ganancias acumuladas = ∫ P (t )dt = ∫ ( −2t + 20t + 5 )dt = ⎜ − t 3 + 10t 2 + 5t ⎥ 0 0 ⎝ 3 ⎦0 5
5
2
=
515 3
4.-Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) ¿Qué medidas debe tener la caja? b) ¿Qué volumen tendrá? Solución a) X=Ancho; Largo=2X Y=Alto Volumen = Ancho · Largo · Alto X + 2 X + Y = 1 ⇒ Y = 1 − 3 X
Maximizar X·2X·Y sabiendo que: Max f ( x ) = 2 x 2 (1 − 3 x) f '( x ) = 4 x − 18 x; Ancho =
4 18
f '( x ) = 0 ⇒ 4 x − 18 x = 0 ⇒ x =
; ⇒ Largo =
8 18
; Alto =
18
⇒ y = 1 − 3x =
6 18
6
; 18 4 8 6
b) Volumen = Ancho · Largo · Alto =
4
18 18 18
=
8 243
=
0.0329 metros cúbicos
5.- La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si, dentro de 10 años, la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar la edad de cada uno de ellos. Solución J = 2 ( P + L ) P = L + 3 J + 10 = P + 10 + L + 10 + 11
J − 2 P − 2 L = 0 ;
P − L = 3 J − P − L = 21
;
J = 42, P = 12, L = 9
Prueba B 1.- El 70% de los alumnos de instituto tiene teléfono móvil. a) Si un instituto tiene 1400 alumnos ¿cuantos se espera que tengan teléfono móvil? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 150 alumnos, haya más de 100 con teléfono móvil? c) ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 200 alumnos, haya como máximo 140 con teléfono móvil? Solución a) Sea la variable, X=”nº de alumnos con teléfono móvil en un instituto de 1400 alumnos” X ≈ B (1400,0.7) Para una variable binomial, B(n,p), su valor medio esperado es n·p, en este caso 1400·0.7 = 980. b) X=”nº de alumnos con teléfono móvil en una muestra de 150 alumnos” X ≈ B (150,0.7) Nos piden calcular, P ( X > 100 ) , hacerlo directamente supondría los 50 casos del 101 hasta 150, o bien por el complementario supondría los 101 casos del 0 hasta 100. En ambos casos el cálculo a realizar es muy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar
(
una binomial por una normal X ' ≈ N n· p , n· p ·(1 − p )
)
150·0.7 = 105 > 5 ⎫ ⎫ ⎬ en este caso ⎬ por tanto se puede utilizar la aproximación. n(1 − p ) > 5⎭ 150(1 − 0.3) = 45 > 5 ⎭ n· p > 5
⎛ X '− 105 100.5 − 105 ⎞ > ⎟ = P ( z > −0.8 ) = 0.7881 5.61 5.61 ⎝ ⎠
P ( X > 100 ) ≅ P ( X ' > 100.5 ) = P ⎜
Si no se hace corrección por continuidad
⎛ X '− 105 100 − 105 ⎞ > ⎟ = P ( z > −0.89 ) = 0.8133 5.61 5.61 ⎝ ⎠
P ( X > 100 ) ≅ P ( X ' > 100 ) = P ⎜
c) Ahora X ≈ B (200,0.7) . También en este caso se puede utilizar la aproximación por
(
)
X ′ ≈ N 140, 42 . Entonces: P ( X ′ ≤ 140 ) = 0.5
2.- Un informe de la Asociación de Compañías Aéreas indica que el precio medio del billete de avión entre Canarias y la Península Ibérica es, como máximo, de 120 € con una desviación típica de 40 €. Se toma una muestra de 100 viajeros Canarias - Península Ibérica y se obtiene que la media de los precios de sus billetes es de 128 €. a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 0.1, la afirmación de partida? b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación fuera igual a 1%? Solución El contraste que hay que plantear es: H 0 : µ ≤ 120 = µ 0 H 1 : µ > 120
⎧
a) Región crítica: ⎨ x > µ 0 + zα
⎩
40 ⎫ ⎫ ⎧ ⎬ = ⎨ x > 120 + 1.28 ⎬ = { x > 125.12} . n⎭ ⎩ 100 ⎭
σ
Como x = 128 > 125.12 , se rechaza H 0 .
⎧
b) Región crítica: ⎨ x > µ 0 + zα
40 ⎫ ⎫ ⎧ ⎬ = ⎨ x > 120 + 2.33 ⎬ = { x > 129.32} . n⎭ ⎩ 100 ⎭
σ
⎩
Como x = 128 < 129.32 , no se rechaza H 0 .
3.- Un fabricante de pilas alcalinas afirma que la desviación típica de la duración de sus pilas es de 80 horas. a) Si, para una muestra de 50 pilas, la duración media es de 500 horas, determinar el intervalo de confianza, con α = 0.1 , para la duración media poblacional. b) Si la duración de las pilas siguiera una normal de media 500 horas y desviación típica 80 horas, ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de 9 pilas sea mayor de 520 horas? Solución ⎡
⎤ ⎥ ; α = 0,1; α / 2 = 0.05; z 0,05 n n ⎣ ⎦ 2 2 ⎡ 80 80 ⎤ Sustituyendo: ⎢500 − 1, 64 ,500 − 1, 64 ⎥ = [481.44, 518.55 ] 50 50 ⎦ ⎣
a) Intervalo de confianza ⎢ x − zα
σ
σ
, x + z α
= 1, 64
La duración media de las pilas es un valor de este intervalo con un nivel de confianza del 90%. ⎛ 80 ⎞ b) n=9; X ≈ N ⎜ 500, ⎟ = N ( 500, 26.66 ) 9⎠ ⎝
⎛ X − 500
P ( X > 520 ) = P ⎜
⎝ 26.66
>
520 − 500 ⎞ 26.66
⎟ = P ( Z > 0.75 ) = 0.2266 ⎠
4.- Una empresa quiere producir c(t ) = 200 + 10t unidades de un producto que quiere vender a p(t ) = 200 − 2t euros cada unidad, siendo t el número de días transcurridos desde el inicio de la producción. a) Hallar, dependiendo de t , la función beneficio B (t ) . b) Determinar el intervalo de decrecimiento para B(t ) hasta que su valor sea cero. c) Hallar el beneficio acumulado durante los 90 primeros días. Solución a) B ( t ) = p (t )c (t ) = ( 200 − 2t )( 200 + 10t ) = 40000 +1600 t − 20t 2 b) B ' ( t ) = 1600t − 40t . B ' ( t ) = 0 ⇒ t = 40 . El máximo se alcanza para t = 40 . El intervalo de decrecimiento es [ 40,100] c) Beneficio acumulado =
90
∫ ( 40000 + 1600t − 20t )dt = 3600000 + 6480000 −4860000 = 2220000 € 0
2
5.- En una pastelería fabrican dos tipos de trufas, las normales y las amargas. Cada trufa normal lleva 20 gr. de cacao, 20 gr. de nata y 20 gr. de azúcar y se vende a 0’75 euros. Cada trufa amarga lleva 100 gr. de cacao, 20 gr. de nata y 10 gr. de azúcar y se vende a 2 euros. En la pastelería disponen de 30 kgr. de cacao, 8 kgr. de nata, y 7 kgr. de azúcar. Determinar cuántas trufas de cada tipo deben fabricarse para maximizar las ganancias. Solución max 0.75x + 2 y s.a : 20x+100y ≤ 30000 20x+20y ≤ 8000 20x+10y ≤ 7000 x ≥ 0, y ≥ 0
f(125,275)=0.75*125+2*275=643.75, Sol óptima (125,275). Beneficio máximo 643.75€ f(300,100)=0.75*300+2*100=425 f(0,300)=0.75*0+2*300=600 f(350,0)=0.75*350+2*0=262.5
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. / L.O.C.E. CURSO 2.004-2.005 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 PRUEBA A 1.-Se tomó una muestra de 120 jóvenes de los cuales 72 tenían teléfono móvil. a) Hallar un intervalo, al 98% de confianza, para la proporción de jóvenes que tienen teléfono móvil. b) En dicha muestra, entre los que disponían de teléfono móvil, 50 lo tenían con tarjeta prepago. Entre los jóvenes que tienen teléfono móvil, hallar un intervalo, con el 90% de confianza, para la proporción de los que lo tienen con tarjeta prepago. Solución a) n = 120; pˆ =
72
=
120
0.6; α = 0, 02; α / 2 = 0, 01; z 0,01 = 2, 33
⎡ pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ⎤ ⎢ pˆ − z α ⎥= , pˆ + z α n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.6 (1 − 0.6 ) 0.6 (1 − 0.6 ) ⎤ ⎥ = [0.495, 0.704 ] = ⎢0, 6 − 2,33 , 0, 6 + 2, 33 120 120 ⎢⎣ ⎥⎦ b) n = 72; pˆ =
50 72
=
0, 694; α = 0,1; α / 2 = 0, 05; z 0,05 = 1, 64
⎡ pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ⎤ ⎢ pˆ − z α ⎥= , pˆ + z α n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.694 (1 − 0.694 ) 0.694 (1 − 0.694 ) ⎤ ⎥ = [0.605, 0.783 ] = ⎢0, 694 − 1, 64 , 0, 694 + 1, 64 72 72 ⎢⎣ ⎥⎦
2.- Se supone que, como máximo, el 25% de los habitantes de una ciudad tienen ordenador personal. Para contrastar esta hipótesis, se elige una muestra de 400 de dichos habitantes y se detecta que 115 tienen ordenador personal. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida? b) ¿Se daría la misma respuesta si se toma un nivel de significación igual a 0,1? Solución Contraste: H 0 : p ≤ 0.25 = p0 H1 : p > 0.25 a) Región crítica:
⎧⎪ p0 (1 − p0 ) ⎫ 0.25 (1 − 0.25 ) ⎫ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎨ pˆ > p0 + zα ⎬ = ⎨ pˆ > 0.25 + 2.33 ⎬ = { pˆ > 0.3004459 } . n 400 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ Como pˆ =
115
= 0.2875
400 b) Región crítica:
no se rechaza H 0 .
⎧⎪ p0 (1 − p0 ) ⎫ 0.25 (1 − 0.25 ) ⎫ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ⎨ pˆ > p0 + zα ⎬ = ⎨ pˆ > 0.25 + 1.28 ⎬ = { pˆ > 0.2777128} . n 400 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ Como pˆ =
115 400
= 0.2875
se rechaza H 0 .
3.- Se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 25 y 175 km/hora, el consumo en litros de gasolina de un vehículo cada 100 km, realizados a la velocidad constante de x km/hora, se puede aproximar por la función C ( x) = 7.5 − 0.05 x + 0.00025 x 2 . a) ¿A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? ¿Cuál es dicho consumo mínimo? b) Haga un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C ( x ) en el intervalo [25,175]. Determine las velocidades que corresponden a consumo máximo. Solución a) C '( x ) = - 0, 05 + 0, 0005 x C '( x ) = 0 ⇒ -0, 05 + 0, 0005 x = 0 ⇒ x =
0.05
= 100 0.0005 C ''( x ) = 0, 0005 > 0 por lo que en x=100 hay un mínimo
C (100) = 7.5 − 0.05·100 + 0.00025·100 2 = 5 litros es el consumo mínimo. b) C ( x) es creciente cuando C '( x ) > 0 ⇔ −0.05 + 0.005 x > 0 ⇔ x > 100 , es decir, x ∈ (100,175] C ( x ) es decreciente cuando C '( x ) < 0 ⇔ −0.05 + 0.005 x < 0 ⇔ x < 100 , x ∈ [25,100) Al no tener máximos relativos en el intervalo [25,175] el máximo hay que buscarlo en los extremos del intervalo: C (25) = 7.5 − 0.05·25 + 0.00025·25 2 = 6.40625 C (175) = 7.5 − 0.05·175 + 0.00025·175 2 = 6.40625
4.- Una gran empresa alquila coches por semana a 400 clientes por un precio de 350€ cada coche. Si por cada 20€ que aumenta el precio de alquiler pierde 10 clientes, ¿qué precio puede poner para que la ganancia sea máxima? Solución Ganancia (G) = nº de clientes (c) x precio ( p). Entonces, la función a maximizar es: G ( x ) = ( 400 − 10 x )( 350 + 20 x ) = 80000 +1000 x − 200 x 2 G′ ( x ) = 4500 − 400 x = 0 ⇒ x = 11.25 ; G′ (11.25 ) < 0 ; G′′ (11.25 ) = −400 < 0 . Por tanto, la ganancia máxima tiene lugar cuando p = 575 . (Nota: Hubiese sido más coherente para la interpretación, que el máximo se alcanzase en un valor natural)
5.- En una competición escolar participan 1500 niños de tres categorías, alevines, infantiles y juveniles. Se sabe que los juveniles son el doble de los alevines y que, sumados los alevines e infantiles, hay 100 menos que juveniles. ¿Cuántos hay de cada categoría? Solución x = alevines; y = infantiles; z = juveniles; x + y + z = 1500 ⎫
⎪ 3 x + y = 2500 ⎫ 3 x + y = 1500 ⎫ ⎬ ⎬ ⎬ 4 x = 1600 ⇒ x = 400 − + = − − = x y 100 x y 100 ⎭ ⎭ y = z − 100 ⎪ z = 2·400 = 800 ⎭
z = 2 x x +
y = 400 − 100 = 300
PRUEBA B 1.- El 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide: a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos. b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80. c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110. Solución a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos =510
⎛
b) X ∼ Bi(600, 0.15) ∼ N (90, 8.746) , p ( X ≥ 80 ) = p ⎜ Z > −
⎝
⎛
10
⎝
76.5
c) p ( 80 < X < 110 ) = p ⎜ −
⎞ ⎟ = p ( Z > −1.14 ) = 0.8729 76.5 ⎠ 10
⎞ ⎟ = p ( −1.14 < Z < 2.28 ) = 0.9887 − 0.1271 = 0.8616 76.5 ⎠ 20
2.- Un productor vende paquetes de carbón para barbacoa con peso medio teórico de, cómo mínimo, 20 kgr. Para contrastar esto se toma una muestra de 9 paquetes, obteniéndose una media de 19,3 kgr. Si se supone que el peso de los paquetes sigue una distribución normal con desviación típica de 1 kgr: a) Determinar si se puede aceptar la hipótesis con α = 0.05 . b) Con un nivel de confianza del 90%, ¿qué tamaño muestral es necesario para estimar el peso medio con un error menor de 0,2 kgr.? Solución a) El contraste que se ha de plantear es: H 0 : µ ≥ 20 = µ 0 ⎫
⎬ ⎭
H 1 : µ < 20 α =
0, 05; z 0,05 = 1, 64
La región crítica es: x < µ 0 − z α
σ
=
n
20 − 1, 64
1 9
= 19.453 .Como
19.3<19.453, se rechaza la
hipótesis nula. 2
b) z α 2
⎛ σ ⎞ < 0.2 ; es decir n > ⎜ z α ⎟ , con 0.2 n ⎝ 2 ⎠
σ
α =
0, 05; α / 2 = 0.025; z 0,025 = 1,96 ,
σ = 1 .
Por tanto:
⎛ σ ⎞ n > ⎜ z α ⎟ ⎝ 2 0.2 ⎠
2
1 ⎞ ⎛ = ⎜1.64 ⎟ 0.2 ⎠ ⎝
2
= 67.7 ,
luego el tamaño muestral debe ser de al menos 68 unidades.
3.- En una muestra de 900 páginas escritas por alumnos de bachillerato, 351 tenían algún tipo de falta de ortografía. a) Determinar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0,95, para la proporción de páginas con faltas de ortografía. b) Si α = 0.1 , ¿se podría rechazar la hipótesis de que, como máximo, el 38% de las páginas escritas por los alumnos de bachillerato tienen algún tipo de faltas de ortografía? Solución a) pˆ =
351 900
= 0.39
⎡ pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ⎤ ⎡ 0.24 0.24 ⎤ ⎢ pˆ − zα ⎥ = ⎢0.39 − 1.96 , pˆ + z α , 0.39 + 1.96 ⎥ = [0.357, 0.423 ] n n 900 900 ⎢⎣ ⎥ ⎦ 2 2 ⎦ ⎣ b) Contraste: H 0 : p ≤ 0.38 = p0 H1 : p > 0.38
Región crítica:
⎧⎪ p0 (1 − p0 ) ⎫ 0.38 (1 − 0.38 ) ⎫ ⎪ ⎧⎪ ⎪ ˆ ˆ ⎨ p > p0 + zα ⎬ = ⎨ p > 0.38 + 1.28 ⎬ = { pˆ > 0.4007} . n 900 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ No se rechaza H 0 ya que pˆ = 0.39 < 0.4007 .
4.- La velocidad (en metros por segundo) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros, viene dada en función de los metros recorridos, x , por la función f ( x ) = 0.00055 x(300 − x ) . Deducir de forma razonada: a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima?¿Cuál es esa velocidad máxima? b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando?¿Y disminuyendo? c) ¿A qué velocidad llega a la meta? Solución a) f '( x) =0,165 - 0,0011x f '( x) = 0 ⇒ 0,165 - 0, 0011x = 0 ⇒ x =
0.165
= 150 0.0011 f ''( x) = 0, 0011 > 0 por lo que en x=150 hay un máximo f (150) = 0.00055·150(300 − 150) = 12.375 m/s
b) f ( x) es creciente cuando f '( x) > 0 ⇔ 0.165 + 0.0011 x > 0 ⇔ x > 150 , Entre 0 y 150 va aumentando y entre 150 y 200 va disminuyendo ya que f '( x) < 0 c) f (200) = 0.00055·200(300 − 200) = 11 m/s
5.- Para exponer y vender, un comerciante quiere adquirir dos tipos de lavadoras, L1 y L2 . Las del tipo L1 cuestan 400€ y, las del tipo L2 , 500€. Sólo dispone de sitio en su almacén y expositor para 30 lavadoras y de la cantidad de 13000€ para realizar la compra. Si, en la venta posterior, gana el 25% del precio de compra de L1 y el 22% del precio de compra de L2 , ¿cuántas lavadoras de cada tipo debe adquirir para obtener posteriormente el máximo beneficio?
Solución El problema que debe plantear es: max100 L1 + 110L2 s.a : 400 L1 + 500L2 ≤ 13000 L1 + L2 ≤ 30 L1 ≥ 0, L2 ≥ 0
Puntos extremos: (0,26), (20,10), (30,0) y (0,0) Solución óptima: (20,10), Valor óptimo =3100.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.005-2.006 - CONVOCATORIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- Hace diez años la proporción poblacional de personas que leían el periódico LA CIUDAD era del 35 %. Para comprobar si dicha proporción se mantiene tomamos una muestra de 225 personas de las cuales sólo 65 leen LA CIUDAD. a) Si α = 0.05 , ¿podemos aceptar que la proporción de personas que leen dicho periódico sigue siendo del 35%, frente a que ha disminuido? Contraste: H 0 : p ≥ 0.35 = p0 ⎫ 65 = 0, 288; α = 0, 05; z 0,05 = 1.64 ⎬ n = 225; pˆ = H1 : p < 0.35 225 ⎭
⎧⎪ a) Región crítica: ⎨ pˆ < p0 ⎩⎪ Como pˆ
−
zα
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
⎬ ⎭⎪
n
=
⎧⎪ 0.35·0.65 ⎫ ⎪ ˆ p < 0.35 − 1.64 ⎨ ⎬ = { pˆ < 0.297} . 225 ⎪⎩ ⎪⎭
0.288 < 0.297 se rechaza H 0 .
=
b) ¿Se concluiría lo mismo si el nivel de significación es del 1%? z 0,01 = 2.33
⎧⎪ Región crítica: ⎨ pˆ < p0 ⎪⎩
−
zα
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
⎬ ⎪⎭
n
=
⎧⎪ 0.35·0.65 ⎫ ⎪ ˆ < 0.35 − 2.33 p ⎨ ⎬ = { pˆ < 0.275} . 225 ⎪⎭ ⎩⎪
Como pˆ = 0.288 > 0.275 se acepta H 0 .
2.-El número de pulsaciones por minuto de los habitantes de una región sigue una variable N ( µ ,10 ) . Se toma una muestra de tamaño 121 de esos habitantes y se obtiene un número medio de pulsaciones por minuto igual a 70. a) Hallar un intervalo de confianza para
⎡ ⎢ x − zα ⎢⎣ 2
σ
n
,x
+
z α
⎤ ⎥= n ⎥⎦
σ
2
µ
con
⎡ 10 10 ⎤ − − 70 2.33 , 70 2.33 ⎢ ⎥ = [70 ± 2.11] = [ 67.88,72.11] 121 121 ⎦ ⎣
b) Con la muestra anterior, ¿cuánto valdría pulsaciones por minuto? zα / 2
σ
n
=
E ⇒ zα / 2
=
E n σ
α = 0.02
=
2 121 10
=
α
2.2 ⇒ z α / 2
para estimar
=
2.2 ⇒
α
2
=
µ
con un error inferior a 2
0.0139 ⇒ α = 0.0278
3.- Para cerrar una vidriera se ha de colocar un cristal cuya superficie está limitada por las funciones 2 y = 2 e y = − ( x − 2 ) + 6 . a) Dibujar el cristal.
b) Si se mide en decímetros, ¿qué superficie tiene? 4
∫ [−( x − 2) 0
2
x 3
+ 6 − 2]dx = −
3
4
+ 2x
2
=− 0
64 3
+ 32 = 10.66 dm
2
4.- La función f ( x ) , en cientos de miles de euros, da las ganancias de una empresa en función del tiempo transcurrido, x en años, desde su creación: ⎧1 ⎪⎪ 2 x si f ( x ) = ⎨ ⎪ x + 3
⎪⎩ x + 1
0≤x si
x
≤
>
3
3
a) ¿Cuántos euros gana la empresa al año y medio de su creación? ¿Y al cuarto año? € b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dichas ganancias. Intervalo de crecimiento [ 0,3] . Intervalo de decrecimiento ]3, ∞[ c) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? Razona la respuesta. x + 3 Como lim = 1 , a medida que el tiempo aumenta las ganancias se aproximan a 1 x →∞ x + 1 (decreciendo). 5.- Un agricultor compra semillas de garbanzos 1,30 € el kilo, de alubias a 1,20 € el kilo y de lentejas a 0,80 € el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 €. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcular qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre. x + y + z = 45 ⎫ x = 10 ⎫ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ 1.3 x1.2 y + 0.8 z = 43 ⎬ ⇒ 1.3 x1.2 y + 0.8 z = 43 ⎬ ⇒ y = 5 ⎬ ⎪ z = 30 ⎪ − 2x − 2 y + z = 0 ⎭ z = 2( x + y) ⎪ ⎭ ⎭ x + y + z
=
45
Prueba B 1.-Un estudio realizado por una compañía de seguros de automóviles establece que una de cada cinco personas accidentadas es mujer. Si se contabilizan, por término medio, 169 accidentes cada fin de semana: a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de mujeres accidentadas supere el 24%?
⎛
p·(1 − p ) ⎞
⎝
n
pˆ ∼ N ⎜ p , ⎜ P ( pˆ
⎛
⎟;
pˆ ∼ N ⎜ 0.2, ⎜
⎟ ⎠
⎛ pˆ − 0.2 ⎝ 0.0307
⎟ 169 ⎟⎠
⎝
=
N ( 0.2, 0.0307 )
0.24 − 0.2 ⎞
⎟ = P ( Z > 1.3) = 0.0968 0.0307 ⎠ b) ¿Cuál es la probabilidad de que, en un fin de semana, la proporción de hombres accidentados supere el 85%? >
0.24 ) = P ⎜
0.2·0.8 ⎞
⎛
p·(1 − p ) ⎞
⎝
n
pˆ ∼ N ⎜ p , ⎜ P ( pˆ
>
⎛
⎟;
pˆ ∼ N ⎜ 0.8, ⎜
⎟ ⎠
⎛ pˆ − 0.8 ⎝ 0.0307
⎟ 169 ⎟⎠
⎝
=
N ( 0.8, 0.0307 )
0.85 − 0.8 ⎞
⎟ = P ( Z > 1.63 ) = 0.0516 0.0307 ⎠ c) ¿cuál es, por término medio, el número esperado de hombres accidentados cada fin de semana? “ X ” = “nº de hombres accidentados por semana, con 169 accidentes por semana” >
0.85 ) = P ⎜
0.8·0.2 ⎞
>
X ∼ B (169, 0.8) ⇒ E[ X ] = n·p
= 169·0.8 = 135.2
hombres accidentados.
2.- Se trabaja con la hipótesis de que uno de cada diez varones manifiesta algún tipo de daltonismo. a) Elegidos 400 varones, se detectan 50 daltónicos. Con un nivel de significación del 10%, ¿se puede aceptar la hipótesis de partida? Contraste: H 0 : p = 0.1 = p0 ⎫ H1 : p
≠
⎬ ⎭
0.1
⎧⎪ Región crítica: ⎨ pˆ − p0 ⎪⎩ Como pˆ
=
50
=
400
>
zα / 2
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪ n
0.125 , pˆ − 0.1
=
⎬ ⎪⎭
=
⎧⎪ 0.1·0.9 ⎫ ⎪ ˆ p − 0.1 > 1.28 ⎨ ⎬ = { pˆ − 0.1 400 ⎪⎭ ⎩⎪
0.125 − 0.1
= 0.025 > 0.0192
>
se rechaza H 0 .
b) Sobre la muestra estudiada en a), ¿se obtendría la misma conclusión si zα / 2 = z 0,01 = 2.33
α =
0.02 ?
Región crítica:.
⎧⎪ ⎨ pˆ − p0 ⎪⎩ Como pˆ
=
>
zα / 2
50 400
=
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪ n
⎪⎧ ⎬ = ⎨ pˆ − 0.1 ⎪⎭ ⎪⎩
0.125 , pˆ − 0.1
=
>
2.33
0.125 − 0.1
0.1·0.9 ⎫ ⎪
⎬ = { pˆ − 0.1
400 ⎪ ⎭
= 0.025 < 0.03495
}.
> 0.03495
se acepta H 0 .
0.0192} .
3.- El número de horas semanales que los jóvenes, con edades entre 14 y 18 años, dedican semanalmente a ver la televisión, es una variable N ( µ , 2 ) . Encuestados 256 de estos jóvenes, la media de horas semanales dedicadas a ver la televisión resultó igual a 6. a) Construir un intervalo de confianza, al 99%, para µ . a) Intervalo de confianza: zα / 2
⎡ ⎢ x − zα ⎢⎣ 2
σ
n
,x
+
z α
=
z 0,005
=
2.57
⎤ ⎡ 2 2 ⎤ , 6 − 2.57 ⎥ = ⎢6 − 2.57 ⎥ = [5.678,6.321] n ⎥⎦ ⎣ 256 256 ⎦
σ
2
b) Si α = 0.05 , ¿cuál es el tamaño de la muestra que se necesita encuestar para que el error máximo de la estimación de µ sea de 0.5 horas? zα 2
2 ⎞ ⎛ < E ⇒ 1.96 < 0.5 ⇒ n > ⎜1.96 ⎟ 0.5 ⎠ n n ⎝ 2
σ
2
= 61.46
⇒ n ≥ 62
4.- Los beneficios (en miles de euros) por la venta de un producto en función de la inversión realizada en promoción ( en miles de euros) vienen dados por: 0 ≤ x ≤3 ⎧⎪5 x + 15, B ( x ) = ⎨ 2 3 < x ≤8 ⎪⎩− ( x − 3) + 30 a) ¿Es continua esta función? ¿Es derivable? Representarla gráficamente. El único punto en el que pudiera presentar discontinuidad es en x = 3, ya que cada uno de los trozos la función es un polinomio que siempre es continua y derivable. ⎫ ⎪ lim− B(x ) = lim− 5x + 15 = 30 ⎪ ⎪ ⎪ lim+ B(x ) = lim+ − (x − 3) + 30 = 30 ⎪ ⎬ ; por lo que B es continua en x = 3 x →3 x → 3 ⎪ ⎪ ⎪ B (3) = 30 ⎪ ⎪ ⎭ x →3
x → 3
2
⎧5
0 ≤ x ≤ 3
B ' ( x ) = ⎨
⎩−2 ( x − 3) 3 < x ≤ 8
lim− B '(x ) = lim− 5 = 5
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ; por lo que B no es derivable en x = 3 lim+ B '(x ) = lim+ − 2(x − 3) = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ x →3 x → 3 x →3
x → 3
b) ¿Cuándo crece y decrece la función beneficio? Crece entre 0 y 3000 y decrece entre 3000 y 8000€
c) ¿Cuándo se obtienen los beneficios mínimo y máximo? Mínimo con 8000€ de inversión y máximo con 3000€ de inversión 5.- Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kilos de avellanas y 420 kilos de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación: La caja A tiene 6 kilos de avellanas y 3 de almendras y las vende a 80 euros. La caja B tiene 10 kilos de avellanas y 1 de almendras y las vende a 90 euros. a) Representar la región factible.
ax f ( x, y ) = 80 x + 90 y 6 x + 10 y ≤ 1800 ⎫
⎪
3 x + y ≤ 420 ⎬ x ≥ 0, y ≥ 0 ⎪ ⎭
b) ¿Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo? f (100,120) = 80·100 + 90·120 = 18800 f (0,180) = 80·0 + 90·180 = 16200 f (140, 0) = 80·140 + 90·0 = 11200
, luego hay que hacer 100 tipo A y 120 tipo B
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.005-2.006 - CONVOCATORIA: Septiembre MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- Es conocido que el número de horas diarias que duermen los estudiantes de bachillerato de una región es una variable N ( µ ,1.5 ) . a) Si para una muestra de 400 estudiantes se ha obtenido una media muestral igual a 8 horas dedicadas a dormir, establecer un intervalo de confianza del 95% para µ . b) Si se admite que µ = 8 y se toma una muestra de 36 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de horas dedicadas a dormir sea menor o igual que 7.5.
Solución ⎡
a) ⎢ x − zα
⎣⎢
σ
n
2
, x + z α 2
⎤ ⎡ 1.5 1.5 ⎤ , 8 + 1.96 ⎥ = ⎢8 − 1.96 ⎥ = [7.853, 8.147 ] n ⎦⎥ ⎣ 400 400 ⎦
σ
⎛ 1.5 ⎞ ⎟ = N (8, 0.25 ) ; ⎝ 6 ⎠
p ( X ≤ 7.5 ) = p ( Z ≤ −2 ) = 0.0227
b) X ∼ N ⎜ 8,
2.- Hace 10 años, el consumo medio mensual de electricidad por vivienda en Canarias era de 320 Kw. En el año 2005 se ha tomado una muestra aleatoria de 25 viviendas y se ha obtenido un consumo medio mensual de 370 Kw con una desviación típica de 80 Kw a) Con un nivel de significación del 10%, ¿se acepta que el consumo medio ha aumentado,? b) Para estimar el consumo medio con un error menor de 6 Kw y con un nivel de confianza del 90%, ¿que número de viviendas es necesario considerar?
Solución El contraste que hay que plantear es: H 0 : µ ≤ 320 = µ 0 H 1 : µ > 320
⎧
a) Región crítica: ⎨ x > µ 0 + zα
⎩
b) zα 2
80 ⎫ ⎫ ⎧ x 320 1.28 = > + ⎬ ⎨ ⎬ = { x > 340.48} . Se rechaza H 0 . n⎭ ⎩ 25 ⎭
σ
80 ⎞ ⎛ < E ⇒ 1.645 < 6 ⇒ n > ⎜1.645 ⎟ 6 ⎠ n n ⎝
σ
80
2
=
481.071 , es decir, n > 482
3.- Sea S ( x ) la función que nos da el número de solicitudes para comprar acciones de una determinada empresa en función de los días, x, que dichas acciones llevan en el mercado bursátil: S ( x ) = − x 2 + 45 x + 900 Calcular: a) El periodo en que dichas solicitudes aumentan.
b) ¿Alcanza algún máximo o mínimo la función? Razona la respuesta. a) ¿Cuántos días transcurren para que no haya solicitudes de compra?
Solución 1250 1000 750 500 250
10
20
a) y b) S ′( x ) = −2 x + 45 = 0 , x =
45 2
30
40
50
60
45 ⎛ 45 ⎞ . Por = −2 < 0 . Tiene un máximo relativo en x = ⎟ 2 ⎝ 2⎠
, S ′′ ⎜
tanto, las solicitudes aumentan hasta x =
45 2
y disminuyen a partir de este valor.
c) Si S ( x ) = − x 2 + 45 x + 900 = 0 , entonces x =
−45 ±
2025 + 3600 −2
=
−45 ± 75 −2
.
La respuesta es 60 días.
4.- Unos jóvenes quieren pintar una parte de un mural que está limitada por la curva y =
− x
2
2
+ 32
y
por el eje OX. Si se mide en decímetros, se pide: a) Representar la zona a pintar. b) Si cada spray cuesta 2 euros y sirve para pintar medio metro cuadrado, ¿Cuánto gastarán en pintura?
Solución a) Si y =
− x
2
2
+ 32 = 0 , entonces x = ±8 .
⎛ − x 2 c) El área a pintar es A = ∫ ⎜ 2 −8 ⎝ 8
Esto son
341.33
= 3.41
m
2
⎞ ⎛ − x3 + 32 ⎟dx = ⎜ ⎠ ⎝ 6
8
⎞⎤ + 32 x ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ −8
=
1024 3
=
2
341.33 dm .
2
Por tanto, como cada spray da para 0.5 m , el número de spray que
100 3.41 = 6.82 . Por tanto se necesitan 7 sprays y gastarán 14 euros. se necesita es 0.5
5.- En una tienda hay un total de 150 teléfonos móviles de tres tipos: A, B y C. Si el número de los del tipo C duplica la suma de los de los otros dos tipos y el número de los de tipo A es igual a la quinta parte de los de tipo C: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar el número de de teléfonos móviles de cada tipo que hay en la tienda.
Solución a) Sistema A + B + C = 150 2( A + B ) = C A =
C 5
C = 100 Solución
A = 20 C = 30
Prueba B
1. El 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Si en un instituto hay 800 alumnos a) ¿Cuántos se espera que tengan consola de videojuegos? La variable X = ”nº de jovenes, de 800, que tienen viedeoconsola”, sigue una distribución binomial de parámetros n = 800 y p = 0.6 El valor medio esperado en una variable en este caso B (n, p ) es “n·p”,
E [ X ] = 800·0.6 = 480 b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola de videojuegos? Nos piden calcular, P ( X > 500 ) , hacerlo directamente supondría los 300 casos del 501 hasta 800, o bien por el complementario supondría los 501 casos del 0 hasta 500. En ambos casos el cálculo a realizar es muy grande. Vamos a comprobar si se dan las condiciones para aproximar
(
una binomial por una normal X ' ≈ N n·p , n·p ·(1 − p )
)
800·0.6 = 480 > 5 ⎫ ⎫ ⎬ en este caso ⎬ por tanto se puede utilizar la aproximación n(1 − p ) > 5⎭ 800(1 − 0.6) = 320 > 5 ⎭ n·p > 5
de X por X ' ≈ N ( 480,13.85 ) .
⎛ X '− 480 ⎝ 13.85
P ( X > 500 ) ≅ P ( X ' > 500.5 ) = P ⎜
>
500.5 − 480 ⎞
⎟ = P ( z > 1.48 ) = 0.0694 ⎠
13.85
Si no se hace corrección por continuidad
⎛ X '− 480 ⎝ 13.85
P ( X > 500 ) ≅ P ( X ' > 500 ) = P ⎜
>
500 − 480 ⎞ 13.85
⎟ = P ( z > 1.44 ) = 0.0749 ⎠
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el nº de jóvenes con consola de videojuegos este entre 470 y 500 (ambos inclusive)? ⎛ 469.5 − 480 X '− 480 500.5 − 480 ⎞ P ( 470 ≤ X ≤ 500 ) ≅ P ( 469.5 ≤ X ' ≤ 500.5 ) = P ⎜ ≤ ≤ ⎟= 13.85 13.85 ⎝ 13.85 ⎠ = P ( −0.76 ≤ =
z ≤ 1.48 ) = P ( z ≤ 1.48 ) − P ( z ≤ −0.76 ) =
0.9306 − 0.2236 = 0.707
Si no se hace corrección por continuidad
⎛ 470 − 480 ⎝ 13.85
P ( 470 ≤ X ≤ 500 ) ≅ P ( 470 ≤ X ' ≤ 500 ) = P ⎜ = P ( −0.72 ≤ =
≤
X ' − 480 13.85
≤
500 − 480 ⎞ 13.85
⎟= ⎠
z ≤ 1.44 ) = P ( z ≤ 1.44 ) − P ( z ≤ −0.72 ) =
0.9251 − 0.2358 = 0.6893
2.- Queremos estimar la proporción poblacional de estudiantes que abandonan la carrera de medicina a lo largo de los tres primeros años. Para ello tomamos una muestra de 225 estudiantes que comenzaron dichos estudios, comprobando que 32 de ellos han abandonado. Se pide: a) Estimar la proporción de abandonos durante los tres primeros años en la población de estudiantes de medicina con una confianza del 95%.
n = 225; pˆ =
32 225
=
α = 0, 5; α / 2 = 0, 025;
0,142;
z 0,025 = 1,96
⎡ pˆ (1 − pˆ ) pˆ (1 − pˆ ) ⎤ ⎢ pˆ − zα ⎥= , pˆ + z α n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.142 (1 − 0.142 ) 0.142 (1 − 0.142 ) ⎤ , 0,142 −1,96 ⎥= = ⎢0,142 − 1,96 225 225 ⎢⎣ ⎥⎦ = [ 0.142 ± 0.045 ] = [0.097, 0.187 ]
b) Suponiendo que aún no se ha tomado la muestra y que queremos hacer la estimación cometiendo un error menor del 3%, con un nivel de confianza del 95% ¿de que tamaño debería ser dicha muestra? zα 2
p (1 − p ) n
<
E Como nos dice el enunciado del apartado, no tenemos información muestral,
acotamos p(1- p) por 0.25 y se tiene
zα 2
2
2
⎛ z α / 2 ⎞ ⎛ 1.96 ⎞ ⎜ 0.25 = ⎜ ⎟ 0.25 = 1067.11 ⎟ n ⎝ 0.03 ⎠ ⎝ E ⎠
0.25
Por lo tanto hace falta un muestra de al menos 1068 unidades.
3.- Se afirma que, al menos, el 35% de los jóvenes oyen música habitualmente en un aparato que reproduce ficheros en formato MP3. Se realiza una encuesta a 900 de esos jóvenes y resulta que 300 no utilizan tales aparatos a) Si α = 0.05 , ¿se puede aceptar la afirmación anterior? Contraste: H 0 : p ≥ 0, 35 = p0 ⎫ 300 = 0,333; α = 0, 05; z 0,05 = 1.64 ⎬ n = 900; pˆ = H1 : p < 0.35 900 ⎭
⎧⎪ a) Región crítica: ⎨ pˆ < p0 ⎪⎩ Como pˆ
=
−
zα
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪
⎬ ⎪⎭
n
=
0.333 > 0.323 se acepta H 0 .
b) ¿Se obtiene la misma conclusión si α = 0.1 ?
⎧⎪ Región crítica: ⎨ pˆ < p0 ⎪⎩ Como pˆ
=
⎫ 0.35·0.65 ⎪ ⎪⎧ ˆ p 0.35 1.64 < − ⎨ ⎬ = { pˆ < 0.323} . 900 ⎪⎭ ⎩⎪
−
zα
z 0,1 = 1.28
p0 (1 − p0 ) ⎫ ⎪ n
⎫ 0.35·0.65 ⎪ ⎪⎧ ⎬ = ⎨ pˆ < 0.35 − 1.28 ⎬ = { pˆ < 0.329} . 900 ⎪ ⎭ ⎪⎭ ⎪⎩
0.333 > 0.329 también se acepta H 0 .
4.- El precio “ p” de compra de un articulo esta en función del nº de unidades “ x” que se compran p ( x ) = 300 −
. El numero de unidades que se compran depende del nº del día del año “ d ” ( “d ” 200 2 va desde 1 a 365) x( d ) = d − 300d + 25000 a) ¿A cuánto asciende la factura del día 74 del año?
2
El día 74 el pedido es de x(74) = 74 − 300·74 + 25000 = 8276 unidades con lo cual el precio 8276 será p (8276) = 300 − = 258.65 200 Por tanto la factura del día 74 asciende a: 8276·258.65 = 2140587,4 € b) ¿Qué día se paga el mayor precio? ¿Cuál es? El precio en función del día del año es d 2 − 300d + 25000 2 p ( x (d )) = 300 − = 175 + 1.5d − 0.005 d 200 Para obtener el máximo derivamos e igualamos a cero p '(d ) = 1.5 − 0.01d ; p '(d ) = 0 ⇒ 1.5 − 0.01d = 0 ⇒ d = 150 el máximo precio se alcanza el día 150.(Nota: es un máximo ya que p ''(d ) = −0.01 < 0 ) Y el precio máximo es p( x(150))=287.5 También se puede razonar diciendo que el precio es claramente una función decreciente en “ x” ya que es una recta de pendiente negativa, y el mayor precio se alcanzará en el día que menos unidades se pidan. El mínimo de ( d ) se obtiene derivando e igualando a cero x '(d ) = 2d − 300; x '(d ) = 0 ⇒ 2d − 300 = 0 ⇒ d = 150 ⇒ p( x(150))=287.5 b) ¿Qué día se paga el menor precio? ¿Cuál es? Por lo dicho anteriormente, el menor precio se pagará el día que más unidades se pidan. Como ( d ) no tiene máximo relativo, el máximo se alcanzará en uno de los extremos del intervalo
x(1) = 12 − 300·1 + 25000 = 24701 x(365) = 1652 − 300·165 + 25000 = 48725 Por lo que el precio mínimo es p (48725) = 56.375 5.- Para seguir una dieta de adelgazamiento, se recomienda un preparado dietético, mezclando dos productos A y B, con las siguientes condiciones: (1) La cantidad de producto B no debe superar a la cantidad de producto A. (2) La cantidad de mezcla ingerida no debe superar los 200 gramos. (3) La cantidad de producto A no debe superar los 150 gramos. Si, en cada gramo, el producto A contiene 0.4 grs. de vitaminas y el producto B contiene 0.3 gramos de vitaminas a) Representar la región factible.
ax f ( x, y ) = 0.4 x + 0.3 y
⎫ ⎪ x + y ≤ 200 ⎬ ⎪ x ≤ 150 ⎭ x − y ≤ 0
f (100,100) = 0.4·100 + 0.3·100 = 70 f (150, 0) = 0.4·150 + 0.3·0 = 60 f (150, 50) = 0.4·150 + 0.3·50 = 75
b)
¿Cuántos gramos de cada producto hay que incluir en la mezcla para maximizar su contenido vitamínico? 150A ,50B
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.006-2.007 - CONVOCATORIA: MATEMÁTI CAS APLICADAS A L AS CIENCIAS SOCIAL ES
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- En el año 1990 el 25% de los partos fueron de madres de más de 30 años. Este año se ha tomado una muestra de 120 partos de los cuales 34 fueron de madres de más de 30 años. a) Con una significación del 10%, ¿se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 30 años sigue siendo como mucho del 25%, frente a que ha aumentado? H 0 : p ≤ 0.25⎫ 34 ˆ= = 0,283; α = 0,1; z0,1 = 1.28 ⎬ n = 120; p H1 : p > 0.25⎭ 120 a) Región de rechazo: ⎧⎪ p0 (1− p0 ) ⎫⎪ ⎧⎪ 0.25·0.75 ⎫⎪ ˆ ˆ ˆ > 0.3} p p z p 0.25 1.28 < − = > + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = {p 0 α n 120 ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ˆ = 0.283 < 0.3 se aceptaH 0 . Como p b) Obtener un intervalo de confianza de la proporción de partos de madres de más de 30 años al 90% de confianza ˆ= n = 120; p
34 = 0,283; 120
α
= 0,1;
α
2
= 0,05; z0,05 = 1,64
⎡ ˆ (1− p ˆ) ˆ (1− p ˆ) ⎤ p p ˆ − zα ˆ + zα ⎢p ⎥= ,p n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.283(1− 0.283) 0.283(1− 0.283) ⎤ ⎥= , 0,283+ 1,64 = ⎢0,283− 1,64 120 120 ⎢⎣ ⎥⎦ = [ 0.283± 0.067] = [0.216,0.35]
2.- Se tomó una muestra de 64 turismos de gasolina y se observo que el consumo medio fue de 9.36 litros cada 100 kilómetros con una desviación típica de 1.4 litros. Se pide: a) Obtener un intervalo de confianza del consumo medio en los turismos de gasolina al 96% de confianza.
⎡ ⎡ 1.4 1.4 ⎤ σ σ ⎤ , x + zα , 9.36 + 2.05 ⎢ x − zα ⎥ = ⎢9.36 − 2.05 ⎥ = [9.36 ± 0.358] = [ 9.002, 9.718 ] n n 64 64 ⎦ ⎥⎦ ⎣ 2 2 ⎣⎢ b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra si, con la misma confianza, queremos que el error máximo cometido en la estimación sea de un cuarto de litro? 2
2
⎛ z ·σ ⎞ ⎛ 2.05·1.4 ⎞ n ≥ ⎜ α / 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 131.79 ⇒ n ≥ 132 E 0.25 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
3.- El consumo de un motor, en un trabajo de 6 horas, viene dado por la expresión c( t) = −t2 + 8t + 20 , siendo t el tiempo en horas, 0 ≤ t ≤ 6. a) ¿Que momento es el de mayor consumo? ¿Cuánto es el consumo máximo? 35 30 25 20 15 10 5
1
2
3
4
5
6
c ' (t) = 0 ⇒ −2t + 8 = 0 ⇒ t = 4 c(4) = −42 + 8·4 + 20 = 36 litros por hora b) ¿Cuánto consume en total el motor en las 6 horas quedura el trabajo? 6
t3 2 2 ∫0 ( −t + 8t + 20) dx = − 3 + 4t + 20t = 192 0 4.- Se dispone de una tabla de 4 metros de larga para hacer los tres lados del bastidor de una puerta rectangular de ventilación. a) Que medidas debemos darle a los lados del bastidor para que la ventilación sea máxima. Max x·y con la restricción 2x + y = 4 y 2x + y = 4 ⇒ y = 4 − 2x 6
Max x·( 4 − 2x) = Max 4x − 2x2
( 4x − 2x2 )
'
= 4 − 4x
4 − 4x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 4 − 2·1⇒ y = 2 b) ¿Que superficie de ventilación se ha conseguido? S = x·y = 1·2 = 2 m2 5.- Una aseguradora tiene tres tarifas: una para adulto, otra para niño y otra para anciano. Se sabe que una familia de 3 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 215 €, una segunda familia de 4 adultos, 1 niño y 2 ancianos paga 260 €, una tercera familia de 2 adultos, 2 niños y 1 anciano paga 190 €. a) ¿Cuánto paga cada niño, adulto y anciano?
3x + 2y + z = 215⎫ x = 25⎫ ⎪ ⎪ 4x + y + 2z = 260⎬ ⇒ y = 40⎬ 2x + 2y + z = 190⎪⎭ z = 60⎪⎭ b) ¿Cuánto pagará una familia de 5 adultos 3 niños y 2 ancianos? 5·25+ 3·40+ 2·60 = 315
Prueba B 1.- En un periódico se lee la siguiente información: “Se ha tomado una muestra aleatoria de 36 unidades de consumo mensual en teléfono móvil y el intervalo de confianza al 95%, para el consumo medio, ha sido [18,22] “ a) ¿Cuánto fue el consumo medio muestral en teléfono móvil? La media muestral sabemos que es el punto medio del intervalo de confianza 18 + 22 = 20 2 b) ¿Cuánto fue la desviación típica ? 2·6 σ σ x + zα = 22 ⇒ 20 + 1.96 = 22 ⇒ σ = = 6.12 1.96 n 36 2 c) ¿Cuál sería el intervalo de confianza al 90% de confianza para el consumo medio? ⎡ 6.12 6.12⎤ σ σ ⎤ ⎡ x z , x z , 20 + 1.64 − + ⎢ ⎥ = ⎢ 20− 1.64 α α ⎥ = [20 ± 1.6728] = [18.3272,21.6728] n n 36 36 ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ 2 2 2.- Se quiere estimar la media del consumo, en litros, de leche por persona al mes. Sabiendo que dicho consumo sigue una normal con desviación típica de 6 litros. a) ¿Qué tamaño muestral se necesita para estimar el consumo medio con un error menor de 1 litro y con un nivel de confianza del 96%? 2
2
⎛ z ·σ ⎞ ⎛ 2.05·6⎞ n ≥ ⎜ α / 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 151.29 ⇒ n ≥ 152 ⎝ E ⎠ ⎝ 1 ⎠ b) Si la media del consumo mensual de leche por persona fuese igual a 21 litros, hallar la probabilidad de que la media de una muestra de 16 personas sea mayor que 22 litros. ⎛ σ ⎞ ⎛ 6 ⎞ X16 ≈ N ⎜ µ , ⎟ = N ⎜ 21, ⎟ = N ( 21,1.5) n⎠ 16 ⎠ ⎝ ⎝ p( X16 > 22) = p( Z > 0.66) = 0.2546 3.- Dos estudiantes quieren contrastar si el consumo medio en teléfono móvil entre los estudiantes es como máximo de 10 euros frente a si es mayor. El primero, en una muestra de 36 estudiantes, obtuvo una media de 10.4 euros con una desviación típica de 2 euros. El segundo obtuvo, en una muestra de 49 estudiantes, una media de 10.39 con una desviación típica de 2 euros. a) ¿Qué decisión toma el primero con un nivel de significación del 10%? H0 : µ ≤ 10⎫ ⎧ ⎧ σ ⎫ 2 ⎫ ⎬ Región de Rechazo: ⎨ x > µ 0 + zα ⎬ = ⎨ x > 10 + 1.28 ⎬ = { x > 10.42} H1 : µ > 10⎭ n⎭ ⎩ 36 ⎭ ⎩ 10.4 < 10.42 ⇒ Se acepta H0 .
b) ¿Qué decisión toma el segundo con un nivel de significación del 10%?
H0 : µ ≤ 10⎫ ⎧ ⎧ σ ⎫ 2 ⎫ ⎬ = ⎨ x > 10 + 1.28 ⎬ = { x > 10.36} ⎬ Región de Rechazo: ⎨ x > µ 0 + zα H1 : µ > 10⎭ n⎭ ⎩ 49 ⎭ ⎩ 10.39 > 10.36 ⇒ Se rechaza H0 .
4.- El precio de un artículo, que ha estado los últimos 6 años en el mercado, en función del tiempo t (en años) ha seguido la siguiente función: ⎧3t2 + 4 si 0 ≤ t ≤ 2 P (t) = ⎨ ⎩−2t + 20 si 2 < t ≤ 6 a) Representar la función precio en los últimos 6 años. 15 12. 5 10 7. 5 5 2. 5
1
2
3
4
5
6
b) Estudiar cuando ha sido creciente y cuando decreciente el precio del artículo. ⎧6t si 0 ≤ t ≤ 2 Si t ∈ (0,2); P '(t) = 6t > 0 ⇒ P(t) es creciente ⎫ ⇒ P '(t) = ⎨ ⎬ − 2 si 2 < t ≤ 6 Si t ∈ (2,6); P '(t) = −2 > 0 ⇒ P(t) es decreciente⎭ ⎩ c) ¿Cuál fue el precio máximo que alcanzó el artículo? ¿Cuál es el precio actual? P (2) = 16 P (6) = −2·6 + 20 = 8
5.- Una fábrica de tabletas de chocolate tiene almacenados 600 kilos de chocolate y 400 kilos de almendras. L a fábrica produce dos tipos de tabletas A y B. Las del tipo A llevan 300gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 2 euros y las del tipo B llevan 200gr de chocolate y 100gr de almendras y se venden a 1,5 euros. a) ¿Cuál es la cantidad óptima que debe fabricar de cada tipo, para que los ingresos sean máximos?
Max 2x+ 1.5y sa . .:300x+ 200y ≤ 600000 100x + 100y ≤ 400000 f (2000,0) = 2·2000+ 1.5·0 = 4000 f (0,3000) = 2·0+ 1.5·3000 = 4500
b) Con la producción óptima, ¿cuánto sobra de chocolate y de almendras? Chocolate que se consume =300·0+200·3000=600000 luego se gasta todo el chocolate. Almendras que se consume=100·0+100·3000=300000, luego sobran 100000 gramos (100 kilos) de almendras.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2.006-2.007 - CONVOCATORIA: MATEMÁTI CAS APLICADAS A L AS CIENCIAS SOCIAL ES
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 Prueba A 1.- El departamento de extranjería detecta, en un control realizado a 169 inmigrantes, que 60 no tienen permiso de residencia. a) Con un nivel de confianza del 99%, construir un intervalo de confianza para la proporción de inmigrantes que tienen permiso de residencia. b) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de inmigrantes que carecen de permiso de residencia es, a lo sumo, del 25%?
Solución
a) El intervalo de confianza es:
⎡ ˆ(1− p ˆ) ˆ(1− p ˆ) ⎤ p p ˆ ˆ , − + p z p z ⎢ ⎥ n n ⎦ 2 2 ⎣ α
ˆ= Como p
α
109 = 0.6449 , z = 2.575, el intervalo es igual a: 169 2 α
⎡109 6540 109 6540 ⎤ 2.575 , 2.575 − + = [ 0.55011, 0.73968] ⎢ 3 3 ⎥ 169 169 169 169 ⎣ ⎦ b) Tenemos que resolver el siguiente contraste: H 0 : p ≤ 0.25 = p0 ⎫ 60 ˆ 169; = = = 0.355; α = 0.05; z0.05 = 1.645 n p ⎬ H1 : p > 0.25 169 ⎭ Región crítica: ⎧⎪ p0 (1− p0 ) ⎫ 0.25(1− 0.25) ⎫⎪ ⎪ ⎧⎪ ˆ ˆ ˆ > 30479} . p p z p 0.25 1.645 > + = > + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = {p 0 α n 169 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ˆ > 0.30479 , no se acepta H 0 . Como p
2.- Con una desviación típica de 5 €, el precio medio de un menú en 64 restaurantes de una determinada región es de 20 €. a) Hallar un intervalo de confianza, de nivel igual a 0.95, para la media del precio de un menú en los restaurantes de la región citada. b) ¿Cuántos restaurantes se deben considerar para estimar la media del precio de un menú con una confianza del 99% y un error menor de 1 €?
Solución
a) Como x = 20,σ = 5, n = 64,α = 0.05, z
α /2
= 1.96 , el intervalo de confianza es
⎡ 5 5 ⎤ σ σ ⎤ ⎡ , , 20+ 1.96 x − z x + z ⎢ ⎥ = ⎢ 20 − 1.96 α α ⎥ = [18.775, 21.225] 6 4 6 4 n n ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ 2 2 2 5 5⎞ σ ⎛ b) zα < E ⇒ 2.575 < 1, ⎜ 2.575 ⎟ < n ⇒ n > 165.76 ⇒ n ≥ 166 1⎠ n n ⎝ 2
3.- El nivel nivel de las emisiones siones de gase gases s contaminante nantes, s, en tonel toneladas adas,, en una gran indus industri tria a durante durante las 10 horas de actividad, viene dado por la expresión n( t) =
t tiempo en horas, horas, ( 20− 2t) , siendo t el tiem 8
0 ≤ t ≤ 10 . a) ¿Cuál es el nivel máximo?¿Cuándo se produce? ¿En qué intervalos aumenta o disminuye dicho nivel? b) ¿En ¿En qué momen omentos tos el nivel nivel es de de cuatro cuatro tonelad toneladas as? ?
Solución
20− 2t 1 t existe un máxim áximo. − 2 = 0, entonces t = 5. Como n′′ ( 5) = − , en t = 5 existe 8 8 2 25 El nivel máximo es n( 5) = toneladas. El nivel aumenta en el intervalo ]0,5[ y di disminuye 4 en el intervalo ]5,10 ,10[ . a) Si n′ ( t) =
20 ± 400 − 256 20 ± 12 t . = ( 20− 2t) , entonces 2t2 − 20t + 32 = 0, es decir t = 8 4 4 Por tanto, tanto, t = 2 y t = 8.
b) Si 4 =
2
4.- Se quiere regar una parcela de jardín limitada por y = ( x − 3) e y = x + 3. Si se mide en metros y cada metro cuadrado cuadrado debe debe recibi recibirr 12 li l itros de agua agua, a) Represe epresenta nta la la parcel parcela. a. b) ¿Cuántos litros de agua hay que utilizar?
Solución a)
b) Si x2 − 6x + 9 = x + 3, entonces x2 − 7x + 6 = 0 . Por ello, x =
7 ± 49 − 24 ; es deci decirr x = 1 y 2
x = 6. L a supe superfi rficie cie de la parcel parcela a es 6
⎛ x3 5x2 ⎤ 125 2 S = ∫ x+ 3− ( x− 3) dx = ∫ ( − x + 7x − 6) dx = ⎜ − + − 6x⎥ = m 3 2 6 ⎝ ⎦1 1 1 125 L a canti cantida dad d de agua agua nece necesari saria a es igua igual a ·12 = 250 litros. 6 6
(
2
)
6
2
rci o tie tiene un tota totall de 270 unidades unidades de productos productos de de tres tipos: tipos: A, A, B y C. C. De Del tipo tipo A 5.- Un comercio tien tiene e 30 uni unida dade des s menos enos que de de la la total totalidad dad de B más más C y del tipo tipo C tien tiene e el 35% de la sum suma de A más B. ¿Cuá ¿Cuántos ntos productos de cada cada tipo tipo hay hay en el el comerci comercio? o?
Solución
El sistema es: A + B + C = 270 B + C − 30 = A , C = 0.35( A + B) L a sol soluc uciión es A = 120 , B = 80 , C = 70
Prueba B 1. Cinco de cada veinte aparatos electrónicos de un determinado tipo, tienen alguna avería dentro del del peri periodo odo de garantí garantía a de 2 años. Un U n comerci rcio ven vende de 120 120 de esos esos aparatos: aparatos: a) ¿Cuál ¿Cuál es el número esperado esperado de aparatos que se se averiarán averiarán en el periodo periodo de garantía? garantía? b) Hall allar la la probabi probabillidad dad de que el número de aparatos paratos averi averiad ados os esté esté entre 25 y 40. c) Hallar la probabilidad de que el número de aparatos no averiados sea inferior a 80.
Solución
a) Núm Número esperado 120
5 = 30 20
1⎞ ⎛ b) El El número de aparatos paratos averi averiad ados, os, X, es una variable Bi ⎜ 120, ⎟ 4⎠ ⎝ ⎛ 3 10 ⎞ 1⎞ ⎛ Como n > 30 , np > 5 y n(1− p) > 5, X ∼ Bi ⎜ 120, ⎟ ∼ N ⎜ 30, ⎟ = N ( 30, 4.7434) 4⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎠ 10 ⎞ ⎛ −5 0.8531) = 0.8357 p( 25 < X < 40) = p⎜ 30 , np > 5 y n(1− p) > 5, Y ∼ Bi ⎜ 120, ⎟ ∼ N ⎜ 90, ⎟ = N ( 90, 4.7434) 4⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎠ p(Y < 80) = p( Z < −2.11) = 0.0174
2.- Se afirma afi rma que el precio precio med mediio de la la compra en un hipe hiperme rmercad rcado, o, durante los comi comienzos enzos de mes, es, es, a lo sumo, de 155 € con una desviación típica de 20 €. Para contrastar lo anterior, se elige una muestra uestra de 81 81 compras compras y se obtien obtiene e que que el precio precio med mediio es igua igual a 165€. 165€. Suponi Suponien endo do que el precio precio de la compra sigue una distribución normal: a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la hipótesis inicial? b) A parti partirr de los los datos muestrales y con una confi confianza anza del 90%, 90%, ¿cuál ¿cuál es el error máxim áximo al estimar el precio medio de la compra?
Solución
Si X representa el precio precio de la la compra, X ∼ N ( µ ,20 ,20) El contraste que que hay que plan plantea tear es: es: H 0 : µ ≤ 155 = µ 0 H1 : µ > 155
20 ⎫ σ ⎫ ⎧ ⎧ a) Región crítica: ⎨ x > µ 0 + zα omo x = 165, se ⎬ = ⎨ x > 155+ 2.32 ⎬ = { x > 160.15} . Como 81⎭ n⎭ ⎩ ⎩ rechaza H 0 . z ·σ 20 b) Error = 2 = 1.645 = 3.65 9 n α
3.- En un barri rrio de una una gran ciuda ciudad se inspeccionan cci onan 121 vivi vivien enda das s detecta detectando ndo que que 22 están están deshabitada bitadas. s. a) Obtener un intervalo de confianza para la proporción de viviendas habitadas en dicho barrio con un nivel de confianza del 90% . b) Con un nivel de significación del 5% ,¿se puede aceptar la hipótesis de que la proporción de viviendas deshabitadas en el barrio es, a lo sumo, del 15%?
Solución ˆ= a) p
99 9 α = = 0.8181, α = 0.1⇒ = 0.05 ⇒ z = z0.05 = 1.645 121 11 2 2 α
⎡ 2 9 18 ⎤ · ⎢ ⎥ ⎡ ˆ (1− p ˆ) ˆ (1− p ˆ) ⎤ p p 1 1 1 1 1 2 1 ⎥ = [ 0.7604,0.8757] ˆ− z ˆ+ z ⎢p ⎥ = ⎢0.8181− 1.645 ,p , 0.8181+ 1.645 n n 1 2 1 1 2 1 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ b) Planteamos el siguiente contraste: H 0 : p ≤ 0.15 = p0 ⎫ 2 ˆ = = 0.1818; α = 0.05; z0.05 = 1.645 ⎬ n = 121; p H1 : p > 0.15 11 ⎭ Región crítica: ⎧ 18 ⎫ ⎫ ⎪⎪ ⎪ p0 (1− p0 ) ⎪ ⎪⎧ 121 ⎪ = { p ˆ ˆ 0 . 1 5 1 . 6 4 5 p > p + z = p > + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ˆ > 0.20767} . 0 α 1 2 1 n ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ˆ < 0.20767, se acepta Como p acepta H 0 . α
α
4.- L os benef neficios cios (en millones de euros) gene generados rados por el funciona uncionam miento de una industri ndustria a vie vienen nen 2t 1+ t2 a) ¿Cuándo los beneficios son de un millón de euros? b) ¿Cuándo los beneficios son máximos? ¿Cuándo crecen y cuando decrecen? c) ¿Qué ¿Qué ocurre ocurre cuando pasan pasan muchos años?
dados en función del tiempo (en años) por: b( t) =
Solución
2t 2± 4− 4 = 1, t2 − 2t + 1= 0 , t = =1 2 1+ t 2 2(1+ t2 ) − 4t2 2 − 2t2 b) b′ ( t) = áximo ya ya que: = = 0, t = 1 es un máxim 2 2 2 2 (1+ t ) (1+ t )
a) Si
2
b′′ ( t) =
−4t (1+ t2 ) − 4t (1+ t2 )( ) ( 2 − 2t2 ) 2 2
(1+ t )
< 0 cuando t = 1.
L os benef neficios cios crecen entre entre 0 y 1 y decrece decrecen n a parti partirr de 1.
2t c) lim = 0, es decir cuando pasan muchos años los beneficios tienden a cero. t→∞ 1+ t2
5.- Dos compuestos medicinales tienen dos principios activos A y B. Por cada píldora, el primer compuesto tiene 2 unidades de A y 6 de B, mientras que el segundo compuesto tiene 4 unidades de A y 4 unidades de B. Durante un periodo de tiempo, un paciente debe recibir un mínimo de 16 unidades tipo A y un mínimo de 24 unidades tipo B. Si el coste de cada píldora del primer compuesto es de 0,50 € y el coste de cada píldora del segundo compuesto es de 0,90 €: a) Representar la región factible b) Calcular el número óptimo de píldoras de cada compuesto que debe recibir el paciente para minimizar los costos.
Solución
Se plantea el siguiente problema: min 0.5x1 + 0.9x2 . : 2x1 + 4x2 ≥ 16 sa 6x1 + 4x2 ≥ 24 x1, x2 ≥ 0 Región factible no acotada.
Vértices: (8,0), (0,6) y (2,3). Solución óptima: (2,3). Valor óptimo: 3.7
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L .O.G.S.E. CURSO 2007 - 2008
CONVOCATORIA:
MATERI A: MATEM ATI CAS APL ICADAS A L AS CC. SS.
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A 1.- Se afirma que “por lo menos el 60% de los estudiantes almuerzan en el comedor de la Facultad”. Para contrastarlo se toma unamuestra de 441 estudiantes resultando que 220 almuerzan en dicho comedor. a) Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación inicial? b) Construir un intervalo de confianza, de nivel 0.95, para la proporción poblacional de estudiantes que almuerzan en el comedor de la Facultad. Solución a) Planteamos el contraste: H 0 : p ≥ 0.6 = p0 ⎫ 220 ˆ= = 0.4988; ⎬ n = 441; p H1 : p < 0.6 441 ⎭
α
= 0.01; z1− = −2.33 α
Región crítica:
⎧⎪ p0 (1− p0 ) ⎫ 0.6(1− 0.6) ⎪⎫ ⎪ ⎪⎧ ˆ ˆ ˆ < 0.5456} . p p z p 0.6 2.33 < + = < − ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = {p 0 1− n 441 ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ ˆ < 0.5456, no se acepta H 0 . Como p α
b) El intervalo de confianza es:
⎡ ˆ(1− p ˆ) ˆ(1− p ˆ) ⎤ p p ˆ ˆ , p − z p + z ⎢ ⎥ n n ⎦ 2 2 ⎣ α
ˆ = 0.4988, z Como p
α
α
= 1.96, el intervalo es igual a:
2
⎡ 0.4988(1− 0.4988) 0.4988(1− 0.4988) ⎤ ⎢ 0.4988− 1.96 ⎥ = [ 0.4521, 0.5455] ,0.4988+ 1.96 441 441 ⎢⎣ ⎥⎦ 2.- Una encuesta, realizada sobre una muestra de los jóvenes de una ciudad, para determinar el gasto mensual medio (expresado en euros) en teléfono móvil, concluyó con el intervalo de confianza al 95%: [10.794, 13.206] . a) ¿Cuál es el gasto mensual medio muestral? b) ¿Cuál es el correspondiente intervalo de confianza al 99%? c) Si, aproximando con cuatro cifras decimales, la desviación típica del gasto mensual es de 7.9989 euros, ¿cuál es el tamaño de la muestra encuestada?
Solución 10.794+ 13.206 = 12 euros. 2 1.206 σ σ b) Tenemos que 1.206 = 1.96 . Por tanto, = = 0.6153. Por tanto, el intervalo de confianza al n n 1.96 99% es: [12± 2.575× 0.6153] = [10.4156, 13.5844] a) El gasto mensual medio muestral es
2
c) Como
⎛ 7.9989⎞ = 0.6153, n = ⎜ ⎟ = 169 n ⎝ 0.6153⎠
σ
3.- El precio en euros, P, de un producto depende del número de días, x, transcurridos desde que dicho producto sepuso en venta. La función que relaciona x y P es: x2 P ( x) = − + 20x+ 375 3 a) Determinar si la función tiene máximo y/o mínimo. Razonar la respuesta. b) Si el producto se retira del mercado porque el precio es nulo, ¿cuándo ocurre esto? c) Estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función. Solución 2x 2 + 20 = 0, x = 30 . Como P ''( 30) = − , en x = 30 hay un máximo. No hay mínimo. 3 3 2 x −20± 400+ 500 −20± 30 b) Si P ( x) = − + 20x+ 375 = 0, x = , x = 75 . A los 75 días se retira del = 2 2 3 − − 3 3 mercado. c) P ( x) crece en el intervalo [0,30) y decrece en ( 30, ∞ ) a) P '( x) = −
4.- Una alfombra de flores lleva 21 rosas por cada 4 decímetros cuadrados de superficie. Se quiere rellenar de rosas una parte de la alfombra cuya gráfica está limitada por las funciones y = − x2 + 4x+ 3 e y = 3. Si se mide en metros: a) Representar la parte de la alfombra. b) Calcular el área de la parte de la alfombra. c) Si cada rosa cuesta 0,3€, ¿Cuánto cuesta rellenar esa parte de la alfombra? Solución a)
b) Los puntos de corte son ( 0,3) y ( 4,3) . La superficie es 4
4
⎛ x3 ⎤ 64 32 2 3200 2 2 = m= S = ∫ ( − x + 4x)dx = ⎜ − + 2x2 ⎥ = 32 − dm 3 3 3 3 ⎝ ⎦0 0 3200 El número de rosas necesarias es 3 21= 5600. El coste es 5600× 0.3= 1680 € 4 5.- En un hotel hay un total de 240 turistas ingleses, alemanes y franceses. Si los franceses son la tercera parte de la suma dealemanes e ingleses y el 200% de los ingleses igualan a la suma dealemanes y franceses: a) Plantear el correspondiente sistema deecuaciones. b) Determinar cuántos turistas de cada nacionalidad hay en el hotel. Solución i + a + f = 240⎫ i = 80 ⎪ + i a ⎪ f= ⎬ ⇒ a = 100 3 ⎪ f = 60 2i = a + f ⎪⎭
PRUEBA B 1.- En un IES hay 650 estudiantes. Su altura, medida en metros, sigue una variable normal de media 1.65 y de desviación típica 0.1. a) ¿Cuántos estudiantes se espera que midan más de 1.75 metros? b) Si el 97.72% de los estudiantes no sobrepasan una determinada altura, ¿cuál es esa altura? c) Si se han de elegir los 200 estudiantes cuya altura esté más próxima a la media (por exceso o por defecto), ¿cuál es el intervalo de alturas que se debe fijar? Solución X ∼ N(1.65,0.1) 0.1⎞ ⎛ = P ( Z > 1) = 0.1587. Por tanto, miden más de 1.7 metros 0.1⎟⎠ ⎝ 650× 0.1587 = 103.15 ≅ 103 estudiantes h − 1.65⎞ h − 1.65 ⎛ = 0.9772. Entonces b) P ( X ≤ h) = P ⎜ Z ≤ = 2 . Es decir, h = 1.85metros. ⎟ 0.1 0.1 ⎝ ⎠ a⎞ a ⎞ 200 a ⎞ ⎛ −a ⎛ ⎛ c) P ( −a ≤ X − 1.65 ≤ a) = P ⎜ 1 2 . Por tanto, ≤ Z≤ = − P Z > = P Z > = 0.3461 y ⎜ ⎜ 0.1⎟⎠ 0.1⎟⎠ 650 0.1⎟⎠ ⎝ 0.1 ⎝ ⎝ a)
P ( X > 1.75) = P ⎜ Z >
a = 0.395; es decir: a = 0.0395. El intervalo de alturas es [1.6105, 1.6895] . 0.1
2.- Para estimar el gasto medio por comensal en un restaurante, se toma una muestra de 81 personas resultando que el gasto medio muestral es de 27.50 euros. Si la desviación típica es de 5.30 euros. Con una confianza del 98%: a) Construir un intervalo de confianza para la media poblacional de dicho gasto. b) Hallar el tamaño de la muestra para que la estimación de dicho gasto se haga con un error menor de 1 euro. Solución ⎡ 5.3 5.3 ⎤ σ σ ⎤ ⎡ ,x+ z , 27.5+ 2.33 a) ⎢ x − z = [27.5± 1.37] = [ 26.1278, 28.8721] ⎥ = ⎢ 27.5− 2.33 ⎥ 81 81⎦ n n ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ 2 2 El gasto medio por comensal es un valor del intervalo [ 26.12, 28.87 ] , con un nivel de confianza del 98%. α
α
2
2
⎛ z · σ ⎞ ⎛ 2,33· 5.3⎞ b) n ≥ ⎜ / 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 152.49 ⇒ n ≥ 153 1 E ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Hace falta un tamaño muestral de al menos 153 comensales para estimar la media con un error menor de 1 euro con un nivel de confianza del 98%. α
3.- Se afirma que la proporción de personas que contratan un determinado servicio telefónico es, como mínimo, del 23%. Sin embargo, la compañía telefónica sospecha que actualmente dicha proporción ha variado. Para comprobarlo hace una encuesta a 500 clientes potenciales entre los que sólo 98 piensan contratar dicho servicio. a) Con un nivel de significación del 5%, determinar si es aceptable la afirmación inicial. b) Con los datos muestrales y con un nivel del 95%, determinar el intervalo de confianza para la proporción poblacional de personas que piensan contratar el servicio en cuestión.
Solución a) Planteamos el contraste: H 0 : p ≥ 0.23 = p0 ⎫ 98 ˆ= = 0.196; α = 0.05; z1− = −1.645 ⎬ n = 500; p H1 : p < 0.23 500 ⎭ Región crítica: ⎧⎪ p0 (1− p0 ) ⎫ 0.23(1− 0.23) ⎫⎪ ⎪ ⎧⎪ ˆ ˆ ˆ < 0.199} . p p z p < + = < − 0.23 1.645 ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ = {p 0 1− n 500 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ˆ < 0.199, no se acepta H 0 . Como p b) El intervalo de confianza es: ⎡ ˆ(1− p ˆ) ˆ(1− p ˆ) ⎤ p p ˆ− z ˆ+ z ,p ⎢p ⎥ n n 2 2 ⎣ ⎦ α
α
α
α
ˆ = 0.196, z = 1.96, el intervalo es igual a: Como p α
2
⎡ 0.196(1− 0.196) 0.196(1− 0.196) ⎤ ⎢ 0.196− 1.96 ⎥ = [0.1612, 0.2308] . ,0.196+ 1.96 500 500 ⎢⎣ ⎥⎦ 4.- Los gastos de mantenimiento de la maquinaria de una determinada empresa, G ( x) (en miles de euros), vienen dados en función del tiempo, x en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento. La expresión de G ( x) es:
⎧ 2x ⎪⎪− 15 + 3, si 0 ≤ x ≤ 15 G ( x) = ⎨ ⎪ 6x− 60 , si x > 15 ⎩⎪ x+ 15 a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) ¿Qué sucede a medida que transcurre el tiempo? c) ¿Alcanza la función algún máximo o mínimo? Razona la respuesta. Solución a)
⎧ 2 ⎪− 15, si 0 < x < 15 ⎪ G '( x) = ⎨ 150 ⎪ , si x > 15 2 ⎪⎩ ( x+ 15) La función decrece en el intervalo [0,15) y crece en el intervalo (15, ∞ ) . b) limG ( x) = 6. x→∞
c) Tiene un mínimo en x = 15 (siguiendo a)). 5.- En un almacén de electrodomésticos hay neveras y lavadoras, pudiéndose almacenar hasta un total de180. Para atender adecuadamente la demanda de los clientes, deben existir al menos 30 lavadoras y el número de neveras debe ser, al menos, igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de cada nevera es de 450 euros y
de cada lavadora es de 375 euros, a) Formular el correspondiente problema b) Representar la región factible. c) ¿Cuántas unidades de cada electrodoméstico se han de almacenar minimizando los costos totales? Solución min 450x1 + 375x2 sa . : x1 + x2 ≤ 180 x1 − x2 ≥ 20 x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0
Vértices: ( 50,30) , (150,30) y (100,80) con valores objetivos iguales a 33750, 78750 y 75000, respectivamente. El mínimo se alcanza en ( 50,30) .
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L .O.G.S.E. CURSO 2007 - 2008
CONVOCATORIA:
MATERI A: MATEM ATI CAS APL ICADAS A L AS CC. SS.
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A 1.- Para una muestra de 25 personas, el consumo medio diario de agua es de 115 litros con una desviación típica de 18 litros. a) Obtener un intervalo de confianza al 98% de confianza para el consumo medio diario de agua por persona. b) Con un nivel de confianza del 99%, ¿cuál es el tamaño muestral necesario para estimar el consumo medio diario de agua por persona con un error menor de 5 litros? Solución ⎡ 18 18 ⎤ σ σ ⎤ ⎡ a) ⎢ x − z ,x+ z , 115+ 2.33 ⎥ = ⎢115− 2.33 ⎥ = [115± 8.38] = [ 106.612, 123.388 ] 25 25 n n ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎥ 2 2 ⎦ El consumo medio de agua por persona al día es un valor del intervalo [ 106.62, 123.38] , con un nivel de confianza del 98%. 2 2 ⎛ z / 2· σ ⎞ ⎛ 2.575·18⎞ b) n ≥ ⎜ ⎟ = 85.9329 ⇒ n ≥ 86 ⎟ =⎜ 5 ⎠ ⎝ E ⎠ ⎝ Hace falta un tamaño muestral de al menos 86 unidades para estimar la media con un error menor de 5 litros con un nivel de confianza del 99%. α
α
α
2.- Con un nivel de confianza igual a 0.95, a partir de un estudio muestral, el intervalo de confianza de la proporción de habitantes de una comunidad que tienen ordenador portátil es [ 0.1804, 0.2196] . a) ¿Cuál es la proporción muestral de habitantes de esa comunidad que tienen ordenador portátil? ¿Cuál es el tamaño de la muestra? b) ¿Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporción, con una confianza del 95%, con un error máximo de 0.01? Solución ˆ= a) La proporción muestral es el punto medio del intervalo, es decir p Como 0.0196 = z
α
2
ˆ (1− p ˆ) p n
, al ser z = 1.96, n = 1600 α
2
0.1804+ 0.2196 = 0.2 . 2
ˆ (1− p ˆ) p
b) Como 0.01≥ z
α
n
2
2
(1.96) 0.16 , debe deberí ría a ser ser n ≥ = 6146.56 ⇒ n ≥ 6147 2 0.01 ( )
3.- Una parcela está rodeada por dos carreteras cuyo trazado viene dado por las funciones f (x) = − x2 + 9x − 8 y g(x) = 2x− 2 . Siendo x en decámetros. etros. a) Representar la parcela. b) ¿Qué superficie tiene la parcela? a) Si el 70% de la superficie de la parcela se vende como suelo urbano a 500€ el metro cuadrado, el 20% se tien tiene e que donar donar al ayuntamiento ento y el resto se vende vende como suelo suelo rústi rústico co a 45€ el metro cuadrado, ¿cuál es el valor de la parcela? Solución
b) Puntos de corte; f (x) = g(x)
⎧x = 1 − x2 + 9x − 8 = 2x − 2⇒ − x2 + 7x− 6= 0⇒ ⎨ 1 ⎩ x2 = 6 6
6
∫1 ( − x2 + 9x − 8) − ( 2x − 2) dx = ∫1 ( − x2 + 7x− 6)dx = 6
⎡ x3 ⎤ ⎛ 13 ⎞ 63 62 12 x2 − + − = − + − − − + − 6 ⎟ = 20.83Dm2 = 2083m2 7 6 7 3 6 7 x ⎜ ⎢ 3 ⎥ 2 3 2 2 ⎣ ⎦1 ⎝ 3 ⎠ 70 10 c) 2083· 500 + ·20 ·2083· 45 = 822785 euros 100 100
4.- Se quiere diseñar un panel, con forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mida 5 metros. a) ¿Cuál ¿Cuáles es deben ser ser las l as dim dimensiones ensiones de los otros otros lados lados para que su ár área sea máxim áxima. b) Si el pane panell se fabrica fabri ca con chapa chapa que que cuesta cuesta 10 10 euros euros el metro cuadrado, ¿cuánto costará? Solución a)
5
x y
Por el teorema teorema de Pitágoras tenemos que: que: x2 + y2 = 25 ⇒ y2 = 25 − x2 ⇒ y = 25 − x2 Y qu queremos maximiz imiza ar el área
x· y = Max x· y = Max x· 25 − x2 2 ' −2x 25 − 2x2 = x· 25 − x2 = 25 − x2 + x 2 25 − x2 25 − x2
Max
(
)
L os puntos puntos extr extrem emos se obtien obtienen en al res resol olver: ver: 25 − 2x2 25 − x2 y=
= 0 ⇔ 25 − 2x2 = 0 ⇔ x1 =
25 − x2 ⇒ y =
A rea máxim áxima =
25 25 (descartada) y x2 = − 2 2
25 25 = 2 2 25 25 25 · 2 2 = 2 = 25 = 6.25m2 2 2 4 25 −
b) 6.25·10 =62.5 euros 5.- En un domicilio se pagaron 3 facturas (agua, luz y teléfono) por un total de 140 €. De agua se pagó la tercera parte que de luz y la factura del teléfono fue el 45% del total. a) Plantea antear el correspond correspondiiente ente siste sistem ma deecuaciones ciones.. b) ¿Cuánto ¿Cuánto se pagó en cada factura? Solución
⎫ A + L + T = 140⎪ ⎪ A = 19.25⎫ L ⎪ ⎪ A= ⎬ ⇒ L = 57.75⎬ 3 ⎪ T = 63 ⎪ ⎭ 45 ⎪ 140 ⎪ T = 100 ⎭
PRUEBA B 1.- L a empresa de transportes urgentes ”El ”El Rápi ápido” afi afirma en su publ publiicida cidad d que, que, al menos menos el 70% de sus envíos, llegan al día siguiente a su destino. Para contrastar la calidad de este servicio, la asociación de consumidores selecciona aleatoriamente 100 envíos observando que 39 no llegaron al día siguiente a su destino. a) Con una significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la empresa? b) ¿Se concluiría lo mismo con un nivel de significación del 8%? Solución H 0 : p ≥ 0.7⎫ a) ⎬ H1 : p < 0.7⎭
ˆ= n = 100; p
61 = 0, 61; 100
⎪⎧
ˆ < p0 − z Región de rechazo: ⎨ p
= 0, 01; z0,01 = 2.33
⎫ p0 (1− p0 ) ⎪
α
⎩⎪
α
0.7· 0.3 ⎪⎫ ⎪⎧ ˆ ˆ < 0.593} p = < − 0 . 7 2 . 3 3 ⎬ ⎨ ⎬ = {p 1 0 0 ⎪⎭ ⎭⎪ ⎪⎩
n
ˆ = 0.61 se acepta H 0 , con un nivel de significación del 1%. Como p
⎫ ⎪⎧ p0 (1− p0 ) ⎪ 0.7· 0.3 ⎪⎫ ⎪⎧ ˆ < p0 − z ˆ ˆ < 0.635} b) Región de rechazo: ⎨ p = < − p 0 . 7 1. 1 . 4 1 ⎬ ⎨ ⎬ = {p n 1 0 0 ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ˆ = 0.61 se rechazaH 0 , con un nivel de significación del 8%. Como p α
2.- Una nueva compañía telefónica desea estimar el número de viviendas de la ciudad que contrarían su serv serviicio. cio. Una U na vez reali realizada una encues encuesta ta en 400 vivi vi vien enda das, s, la l a empresa se encontró encontró con que en 140 vivi vivien enda das s si contratarían su servicio. a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de viviendas de la ciudad que contratarían su servicio con una confianza del 97%? b) ¿Qué ¿Qué tamaño año mue muestral stral serí sería a nece necesari sario o para para esti estim mar la la propor proporci ción ón de vivi vi vien enda das s que contratarían contratarían su servicio, con un error menor del 2% y con una confianza del 95%? Solución ˆ= a) n = 400; p
140 = 0,35; 400
α
= 0, 03;
α
2
= 0, 015; z0,015 = 2.17
⎡ ˆ (1− p ˆ) ˆ (1− p ˆ) ⎤ p p ˆ− z ˆ+ z ⎢p ⎥= ,p n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.35(1− 0.35) 0.35(1− 0.35) ⎤ , 0,35+ 2.17 = ⎢0,35− 2.17 ⎥= 4 0 0 4 0 0 ⎢⎣ ⎥⎦ = [ 0.35± 0.0517] = [ 0.298, 0.401] α
α
L a proporción proporción de de vivi vivien enda das s de la ciuda ciudad que que contrata contrataría rí an su servici rvi cio o es es un valor valor del inte i ntervalo rvalo [ 0.298 0.298, 0.401 0.401] con una confianza del 97%. ˆ (1− p ˆ) p
2
2
⎛z ⎞ ˆ ⎛ 1.96 ⎞ b) E < 0.02 ⇒ z < 0.02 ⇒ ⎜ /2 ⎟ p (1− pˆ) < n ⇒ n > ⎜ ⎟ 0.65· 0.35 ⇒ n ≥ 2185 0 . 0 2 0 . 0 2 n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 Se necesi necesitarí taría a encuestar ncuestar al menos enos a 2185 2185 vivi vivien enda das s para para esti estim mar la la propor proporci ción ón de vivi vi vien enda das s quecontratarían contratarían el servicio con un error menor del 2% con una confianza del 95%. α
α
3.- Tras un estudio realizado para 25 estudiantes universitarios, se concluyó, con un nivel de confianza del 95%, que la media de horas a la semana dedicadas al estudio era un valor del intervalo [32,40] . a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana dedicadas al estudio? b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 99%? c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, [34,38] ), ¿qué nivel de confianza tendremos en este intervalo? Solución a) La media muestral es el punto medio del intervalo de confianza por tanto X = 36 . b) El extremo inferior del intervalo de confianza al 95% tiene la expresión: 5 σ σ x− z = 32 ⇒ 36− 1.96 = 32⇒ σ = 4 ⇒ σ = 10.2 1.96 n 25 2 Con lo cual, el intervalo de confianza al 99% será: ⎡ 10.2 10.2⎤ σ σ ⎤ ⎡ , , 36 + 2.57 x − z x + z = [36 ± 5.24] = [ 30.76, 41.24 ] ⎢ ⎥ = ⎢36− 2.57 ⎥ 25 25 ⎦ n n ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ 2 2 c) El extremo inferior del intervalo de confianza tiene la expresión: σ α 10.2 2 = 34 ⇒ 36− z = 34 ⇒ z = x− z 5 ⇒ z = 0.98 ⇒ = 0.1635 ⇒ α = 0.327 ⇒ 1− α = 0.673 10.2 2 n 25 2 2 2 2 α
α
α
α
α
α
α
Tendríamos un 67.3% de confianza de que la media de horas a la semana dedicadas al estudio en el intervalo [34,38] 4.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C ( x) en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la expresión: C ( x) = 10x2 − 1850x + 25000
El precio de venta de cada juguete es de 50€. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios? Solución a) I (x) = 50x 2 2 b) B(x) = I (x) − C (x) = 50x − 10x + 1850x − 25000 = −10x + 1900x − 25000
c) B '(x) = −20x + 1900; B '( x) = 0; − 20x+ 1900 = 0 ⇒ x = 95 . Como B ''( 95) = − 20 < 0, en x = 95 hay un máximo. Los beneficios máximos son B(95) = −10·952 + 1900·95 − 25000 = 65250 € 5.- Un servicio técnico tiene en su cartera de clientes tanto a empresas como a particulares. Para el presente año ha de conseguir como clientes al menos a 20 empresas y a un número de clientes particulares que, como mínimo debe ser el doble que el número de empresas. Además tiene un límite global de 90 clientes anuales. Si cada empresa le produce 280 € de ingresos anuales y cada particular 170 € anuales:
a) Plantear el problema que maximiza los ingresos anuales y representar gráficamente el conjunto de soluciones posibles. b) ¿Qué solución le proporcionaría los mayores ingresos anuales? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos? Solución a)
Max 280x + 170y
. : sa
x + y ≤ 90
−2x + y ≥ 0 x ≥ 20 y≥ 0
b) f (20,40) = 12400 f (20,70) = 17500 f (30,60) = 18600
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L .O.G.S.E. CURSO 2008 - 2009
CONVOCATORIA:
MATERI A: MATEM ATI CAS APL ICADAS A L AS CC. SS.
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A 1.- Hace 4 años el gasto medio en material escolar de un niño de primaria al comienzo del curso era de 210 euros. Este año, para 60 niños, se obtuvo un gasto medio de 225 euros con una desviación típica de 20 euros. a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta que el gasto medio actual sigue siendo de 210 euros? b) Obtener un intervalo de confianza para el gasto medio con una confianza del 90%. Solución: a) Planteamos el contraste: H 0 : µ = 210⎫ α ⎬ n = 60 X = 225; α = 0.05; = 0.025; z /2 = z0.025 = 1.96 2 H1 : µ ≠ 210⎭ Región de aceptación: 20 20 ⎫ σ σ ⎫ ⎧ ⎧ ≤ X ≤ µ 0 + zα /2 ≤ X ≤ 210 + 1.96 ⎨ µ0 − zα /2 ⎬ = ⎨210 − 1.96 ⎬ = {204.94 ≤ X ≤ 215.06} . 60 60 n n⎭ ⎩ ⎩ ⎭ Como X = 225∉ [ 204.94 , 215.06] se rechaza H 0 . b) Intervalo deconfianza: α
α =
0.1;
α
2
= 0,05; z
α /2
= z0,05 = 1.64
⎡ 20 20 ⎤ σ σ ⎤ ⎡ − + , ,225+ 1.64 X z X z ⎢ ⎥ = ⎢ 225− 1.64 ⎥ = [220.76 , 229.23] 60 60 n n ⎦ 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ α
α
2.- Se cree que, como mínimo, el 45% de los conductores suspendería un examen teórico. Se les hizo un examen teórico a 200 conductores de los cuales 70 suspendieron. a) Con un nivel de significación del 2%, ¿se acepta que, como mínimo, el 45% de los conductores suspendería un examen teórico? b) Usando la información del estudio muestral anterior, ¿qué número de conductores sería necesario examinar para, con una confianza del 90%, obtener un intervalo de confianza de amplitud 0.04? Solución: a) H 0 : p ≥ 0.45⎫ ⎬ H1 : p < 0.45⎭
ˆ= n = 200; p
70 = 0.35; 200
α =
0.02; z = z0.02 = 2.05 α
⎧⎪ p (1− p0 ) ⎫⎪ ⎪⎧ 0.45× 0.55⎪⎫ ˆ < p0 − zα 0 ˆ ˆ < 0.377} Región de rechazo: ⎨ p = < − 0.45 2.05 p ⎬ ⎨ ⎬ = {p 200 n ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩⎪ ˆ = 0.35 se rechazaH 0 , con un nivel de significación del 2%. Como p b) α =
0,1⇒
zα 2
α
= 0,05⇒ z /2 = z0,05 = 1.64 2 2 2 ˆ·(1− p ˆ) 1.64 ⎞ p ⎛ z /2 ⎞ ˆ ⎛ ˆ) ⇒ n > ⎜ < E ⇒ n> ⎜ ⎟ p·(1− p ⎟ 0.35× 0.65 = 1529.71⇒ n ≥ 1530 0.02 n E ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ α
α
3.- El rendimiento de dos trabajadores, en metros por hora, marcando una zanja, viene dado por las funciones f (x) = − x2 + 19x + 66 y g(x) = − x2 + 5x + 150, respectivamente, para 0 ≤ x ≤ 8 , siendo x el tiempo transcurrido desde el comienzo de la jornada.. a) ¿Qué trabajador comienza el día con mayor rendimiento? b) ¿Cuándo es máximo el rendimiento del primer trabajador? c) ¿Cuándo están rindiendo igual los dos trabajadores? d) ¿Cuántos metros marca, en su jornada de 8 horas, el segundo trabajador? Solución: 160 140 120 100 80 60 40 20
1
2
3
4
5
6
7
8
a) f (0) = 66 es el rendimiento del primer trabajador al comienzo del día g(0) = 150 es el rendimiento del segundo trabajador al comienzo del día, que es mayor que el primero. b) f '(x) = −2x + 19;
f '(x) = 0 ⇒ − 2x + 19 = 0 ⇒ x = 9.5 ∉ [0,8]
Como la función es creciente en (−∞,8], el máximo lo alcanza al final de jornada, es decir en x =8 c) f (x) = g(x) ⇒ − x2 + 19x + 66 = −x2 + 5x + 150 ⇒ x = 6 es decir, a la sexta hora están rindiendo igual los dos trabajadores. d) 8
x3 x2 ∫0 g(x)dx =∫0 − x + 5x + 150 dx = − 3 + 5 2 + 150x 0 = 8
8
2
83 82 = − + 5 + 150·8 − [ 0] = 1189.33m 3 2 4.- La tasa de producción anual, en miles de toneladas, de una cantera de piedra, sigue la función
si 0 ≤ x ≤ 10 ⎧50+ 3x f (x) = ⎨ ⎩−2x+ 100 si x > 10
siendo x el número de años desde su apertura. a) Representar la función. b)¿En qué momento es máxima la tasa de producción? c) ¿Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas? d) ¿Al cabo decuántos años se extingue la cantera? Solución: a) 80
60
40
20
10
20
30
40
50
b) x =10 años ⎧ 50 + 3x = 62 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 años c) ⎨ ⎩ −2x + 100 = 62 ⇒ −2x = −38 ⇒ x = 19 años d) x =50 5.- Una empresa ha gastado 6560€ en comprar 90 cestas de navidad de tres tipos, que cuestan a 60, 80 y 120€, respectivamente. Las cestas más caras son un 10% de las cestas compradas. a) Plantear el correspondiente sistema. b) ¿Cuántas cestas de cada tipo compró la empresa? Solución: El sistema es:
⎫ ⎪ A + B + C = 90 A + B + C = 90 ⎫ A + B + 9 = 90 ⎫ A = 50⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 60A + 80B + 120C = 6560⎬ ⇒ 60A + 80B + 120C = 6560⎬ ⇒ 60A + 80B + 120·9 = 6560⎬ ⇒ B = 31⎬ ⎪ C =9 ⎪ C =9 ⎪ C=9 ⎪ 10 ⎭ ⎭ ⎭ ⎪ ·90 C= 100 ⎭
PRUEBA B 1.- El 62% de los estudiantes universitarios son mujeres. Si se toma una muestra aleatoria de 150 estudiantes. a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como mínimo, 100 sean mujeres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 85 y menos de 95 mujeres? Solución: X=”nº de mujeres en 160 estudiantes universitarios”; X ≈ Bi (150,0.62)
a) Número esperado n· p = 150·0.62 = 93 b) Como n > 30, np > 5 y n(1− p) > 5, X ≈ Bi (150,0.62) ; X ' ≈ N ( 93, 150× 0.62× 0.38) = N ( 93,5.94) 100− 93⎞ ⎛ ⎟ = P ( Z > 1.18) = 0.1190 5.94 ⎝ ⎠ c) Como n > 30, np > 5 y n(1− p) > 5, X ≈ Bi (150,0.62) ; X ' ≈ N ( 93, 150× 0.62× 0.38) = N ( 93,5.94) P ( X > 100) ≅ P ( X ' > 100) = P ⎜ Z >
95− 93⎞ ⎛ 85− 93
P ( 85 < X < 95) ≅ P ( 85 < X ' < 95) = P ⎜
2.- En una muestra aleatoria de 80 vehículos, 56 son de gasolina. a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de vehículos de gasolina, con un nivel de confianza del 98%. b) Usando la información inicial, ¿cuál sería el tamaño muestral para estimar la proporción de vehículos de gasolina, con un error menor del 4% y con una confianza del 94%? Solución: a) El intervalo de confianza es: ⎡ ˆ(1− p ˆ) ˆ(1− p ˆ) ⎤ p p ˆ ˆ , − + p z p z ⎢ ⎥ n n ⎦ 2 2 ⎣ 56 α ˆ= Como p = 0.7 , α = 0.02; = 0.01; z /2 = z0.01 = 2.33, el intervalo es igual a: 80 2 ⎡ 0.7× 0.3 0.7× 0.3⎤ 0.7 2.33 ,0.7 2.33 − + ⎢ ⎥ = [0.5806, 0.8193] 80 80 ⎣ ⎦ α
α
α
b) α =
0,06 ⇒
α
2
= 0,03⇒ z /2 = z0,03 = 1.88 α
2
zα 2
2
ˆ·(1− p ˆ) 1.88 ⎞ p ⎛z ⎞ ˆ ˆ) ⇒ n > ⎛⎜ ·(1− p < E ⇒ n > ⎜ α /2 ⎟ p ⎟ 0.7× 0.3 = 463.89 ⇒ n ≥ 464 0.04 n E ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.- La pulgada es una unidad de longitud antropométrica que equivale a la longitud media de la primera falange del pulgar. Hace 150 años se estableció que esta medida era de 2,54 cm, y que la desviación típica de la longitud de la primera falange era de 0.2cm. Sin embargo, en 2008, para una muestra de 36 personas, se obtuvo una media de la longitud de la primera falange del pulgar de 2,63cm. a) A partir de la información muestral y con una significación del 4%, ¿se sigue aceptando que la
longitud media de la primera falange del pulgar es 2.54 cm. frente a que ha aumentado? b) Obtener un intervalo de confianza al 98% para la longitud media de la primera falange del pulgar. Solución: a) X=”Longitud de la primera falange”, X ≈ N ( µ ,0.2) El contraste que hay que plantear es: a) H 0 : µ = 2.54 = µ 0 ⎫ X = 2.61; α = 0,04; ; z0,04 = 1.75 ⎬ H1 : µ > 2.54 ⎭ 0.2 ⎫ σ ⎫ ⎧ ⎧ Región de Rechazo: ⎨ x > µ 0 + zα ⎬ = ⎨ x > 2.54+ 1.75 ⎬ = { x > 2.59} 36 ⎭ n⎭ ⎩ ⎩ Como X = 2.63, se rechaza H 0 . b)
α =
0,02;
α
2
= 0.01; z0,01 = 2.33
⎡ 0.2 0.2 ⎤ σ σ ⎤ ⎡ , , 2.63+ 2.33 − + = [2.63± 0.077] = [ 2.552,2.707] x z x z ⎢ ⎥ = ⎢ 2.63− 2.33 α α ⎥ 36 36 ⎦ n n ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ 2 2 4.- Debido a un chaparrón, el caudal de agua que entra a un depósito de recogida de agua sigue la función f (t) = −t2 + 20t ( t expresado en minutos y f (t) en litros por minuto) a) ¿Cuánto tiempo está entrando agua al depósito? b) ¿Cuándo es máximo el caudal que entra? ¿Cuánto es ese caudal máximo? c) ¿Cuántos litros se han recogido tras el chaparrón? Solución: ⎧t = 0 a) Dejará de entrar aguacuando f (t) = 0; −t2 + 20t = 0⇒ ⎨ 1 ⎩t2 = 20 Durante 20 minutos estuvo entrando agua al depósito. b) f '(t) = 0 ⇔ −2t + 20 = 0 ⇔ t = 10 , f ''(t) = −2 < 0, luego a los 10 minutos es cuando más aguaestá entrando. f (10) = −102 + 20·10 = 100 litros por minuto c) 20
∫0
20
⎡ t3 203 202 t2 ⎤ 20 20 20 t t dt − + = − + = − + = 1333.33 litros ( ) ⎢ 3 ⎥ 2 3 2 ⎣ ⎦0 2
5.- En una pastelería se preparan dos tipos de roscones. Para cada unidad del primero se necesitan 5 huevos y 1.5 kilos de harina y para cada unidad del segundo son necesarios 8 huevos y 4 kilos de harina. Hay que fabricar al menos 16 unidades del tipo A. Los del tipo A se venden a 10€ y los del tipo B a 14€. Se disponen de 400 huevos y 160 kilos de harina y se quiere determinar el número de roscones de cada tipo que se han de producir para maximizar los ingresos. a) Plantear el problema y representar la región factible. b) ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos? c) Con la producción que maximiza los ingresos, ¿se gasta toda la harina? a) Max 10x + 14y . : 5x + 8y ≤ 400 sa 1.5x + 4y ≤ 160 x ≥ 16 x, y ≥ 0
b) f (40,25) = 10× 40 + 14 × 25 = 750 f (16,34) = 160 + 14× 34 = 636 f (80,0) = 10× 80 + 14× 0 = 800 c) Se gastaron 80× 1.5 =120 kilos de harina; es decir, sobraron 40 kilos.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L .O.G.S.E. CURSO 2008 - 2009
CONVOCATORIA:
MATERI A: MATEM ATI CAS APL ICADAS A L AS CC. SS.
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A 1.- Se afirma que el peso medio de los alumnos de secundaria es, como máximo, de 65 kilos con una desviación típica de 2.5 kilos. Se toma una muestra de 110 alumnos de secundaria y se obtiene un peso medio de 68 kilos. a) ¿Se puede aceptar la afirmación anterior con un nivel de significación del 10 %? b) ¿Se concluye lo mismo si el nivel de significación es igual a 0.01? Solución Contraste: H 0 : µ ≤ µ 0 ⎫ H 0 : µ ≤ 65⎫ ⎬ ⎬ H1 : µ > µ 0 ⎭ H1 : µ > 65⎭ a) Región Crítica z = 1.28, α
x > µ 0 + z
α
σ
n
= 65.305
Estadístico x = 68, 68 > 65.305 Se rechaza H0 b) Región Crítica z = 2.33, α
x > µ 0 + z
α
σ
n
= 65.55
Estadístico x = 68, 68 > 66.45 Se rechaza H0 2.- Una empresa de productos ecológicos desea estimar el número de familias de la ciudad que comprarían sus productos. Para ello realiza una encuesta en 625 familias entre las que 200 respondieron afirmativamente. a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa con una confianza del 97%? b) Usando la información que suministra la encuesta, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar
la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa, con un error menor que el 2% y con una confianza del 95%? Solución ˆ= a) n = 625; p
200 = 0.32; 625
α
= 0,03;
α
2
= 0,015; z0,015 = 2.17
⎡ ˆ (1− p ˆ) ˆ (1− p ˆ) ⎤ p p ˆ − zα ˆ + zα ⎢p ⎥= ,p n n ⎢⎣ ⎥⎦ 2 2 ⎡ 0.32(1− 0.32) 0.32(1− 0.32) ⎤ , 0.32+ 2.17 ⎥= = ⎢0.32− 2.17 625 625 ⎢⎣ ⎥⎦ = [0.2795,0.3605] La proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos es un valor del intervalo [0.2795,0.3605] con unaconfianza del 97%. 2 2 ˆ (1− p ˆ) p 1.96 ⎞ ⎛ z /2 ⎞ ˆ ⎛ ˆ) < n ⇒ n > ⎜ b) E < 0.01⇒ z < 0.01⇒ ⎜ ⎟ 0.68·0.32 ⇒ n ≥ 2090 ⎟ p(1− p n 0.02 0.02 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 Se necesitaría encuestar al menos a 2090 viviendas para estimar la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos con un error menor del 2% con una confianza del 95%. α
α
2
3.- En un jardín hay una superficie limitada por las curvas y = ( x − 2) e y = − x2 + 4 , donde x está expresado en metros. a) Representar la superficie. b) ¿Cuánto mide? c) Si se recubre con grava, con una altura de 10 centímetros, ¿cuántos metros cúbicos de grava son necesarios para recubrir la superficie? Solución
∫
2
0
(− x2 + 4) − (x − 2)2 dx =
8 = 2.6666 m2 3
Se necesitan 0.26666 m3 de grava.
4.- En un estudio realizado en un periodo de 10 años ( 0 ≤ t ≤ 10 ), el nivel de contaminación de CO2 que 2 produce la circulación de vehículos viene dado por la expresión C (t) = − t2 + 4t + 50 . Calcular: 5 a) El momento en el que el nivel de contaminación es máximo.
b) ¿Cuál es el nivel máximo? ¿Cuál es el nivel mínimo y cuándo se alcanza? c) De los diez años, ¿cuál ha sido el periodo de crecimiento? Solución 4 −4 a) C′(t) = − t + 4 = 0 ⇒ t = 5 C′′(t) = < 0 ⇒ máximo 5 5 b) C(5) = 60 es el nivel máximo. El nivel mínimo es C (0) = C(10) = 50 y se alcanza, obviamente, al comienzo y al final del periodo en estudio. c) El periodo de crecimiento es en los 5 primeros años. De (0,5) C’(t)>0 creciente y de (5,10) C’(t)<0 decreciente 5.- El dueño de un bar ha comprado refrescos, cervezas y vinos por un importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es de 80 € menos que el de los refrescos y cerveza juntos. De impuestos ha pagado un 5% por los refrescos, un 20% por la cerveza y un 30% por el vino, lo que hace un total de 103 € de impuestos. a) Plantear el correspondiente sistema b) ¿Cuánto ha pagado, sin impuestos, por cada tipo de bebida? c) ¿Cuánto ha pagado, con impuestos, por cada tipo de bebida? Solución: a) Si x=importe (sin impuestos) de los refrescos, y=importe (sin impuestos) de las cervezas, z =importe (sin impuestos) de los vinos, el sistema es: x+ y + z = 500 ⎫ ⎪ x+ y − z = 80 ⎬ 5x + 20y + 30z = 10300⎪⎭ b) Por cada bebida ha pagado (sin impuestos), x = 120 y = 170 z = 210 . c) Por cada bebida ha pagado (con impuestos), 126 (refrescos), 204(cervezas) y 273(vinos).
PRUEBA B 1.- Los datos históricos indican que la proporción de personas que compran leche de la marca A es del 38%. El responsable de ventas de una cadena de grandes almacenes sospecha que dicha proporción ha aumentado y, para contrástarlo, toma una muestra de 1044 clientes de los que 429 compran leche de dicha marca. a) Con una significación del 4%, ¿es la información muestral suficiente para rechazar que la proporción sigue siendo del 38% e inclinarnos por que dicha proporción ha aumentado? b) ¿Cuál es la conclusión con una significación del 1%? Solución: a) H 0 : p = 0.38⎫ ⎬ H1 : p > 0.38⎭
ˆ= n = 1044; p
429 = 0.4109; 1044
α =
0.04; z = z0,04 = 1.75 α
⎧⎪ p (1− p0 ) ⎫⎪ ⎪⎧ 0.38× 0.62 ⎪⎫ ˆ > p0 − zα 0 ˆ > 0.38+ 1.75 ˆ > 0.4063} Región de rechazo: ⎨ p ⎬ = ⎨p ⎬ = {p n 1044 ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ ˆ = 0.4109 se rechazaH 0 , y le damos la razón al responsable de ventas, con un nivel de Como p significación del 4%. b) H 0 : p = 0.38⎫ 429 ˆ= = 0,4109; α = 0,01; z = z0,01 = 2.33 ⎬ n = 1044; p H1 : p > 0.38⎭ 1044 α
⎧⎪ p0 (1− p0 ) ⎫⎪ ⎪⎧ 0.38× 0.62 ⎪⎫ ˆ ˆ > 0.38+ 2.33 ˆ > 0.415} Región de rechazo: ⎨ p > p0 − zα ⎬= ⎨p ⎬ = {p n 1044 ⎪⎭ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎪⎩ ˆ = 0.4109 se aceptaH 0 , y no le damos la razón al responsable de ventas, con un nivel de Como p significación del 4%. 2.- Para estimar el gasto medio en libros y material escolar por alumno de secundaria en la enseñanza pública se toma una muestra de 121 de estos alumnos, resultando que dicho gasto medio es de 286 euros con una desviación típica de 65 euros. Se pide: a) Estimar el gasto medio poblacional con una confianza del 95%. b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra para, con una confianza del 99%, cometer un error menor de 10 euros en dicha estimación. Solución a) Intervalo de confianza: α =
0.05;
α
2
= 0.025; z /2 = z0.025 = 1.96 α
⎡ 65 65 ⎤ σ σ ⎤ ⎡ − + = − + X z , X z 286 1.96 ,286 1.96 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = [274.42 , 297.58] n n 121 121 ⎣ ⎦ 2 2 ⎣ ⎦ b) α
α =
0.01;
α
α
2
= 0.005; z /2 = z0.005 = 2.57 α
2
2
⎛ z ·σ ⎞ ⎛ 2.575× 65⎞ n ≥ ⎜ α /2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 280.14 ⇒ n ≥ 281 E 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.- Se sabe que 8 de cada 10 profesores universitarios tienen ordenador portátil. Si tomamos 300 de estos profesores, calcular la probabilidad de que tengan ordenador portátil: a) Más de 250. b) Menos de 230. c) Más de 220 y menos de 255. Solución: X=”nº de profesores con portátil en 300 profesores”; X ≈ Bi ( 300,0.8) Como n > 30 , np > 5 y n(1− p) > 5, X ≈ Bi ( 300,0.8) ; X ' ≈ N ( 300× 0.8, 300× 0.8× 0.2) = N ( 240, 6.928) 250− 240 ⎞ ⎛ a) P ( X > 250) ≅ P ( X ' > 250) = P ⎜ Z > = P ( Z > 1.44) = 0.0749 6.928 ⎟⎠ ⎝ 230 − 240 ⎞ ⎛ b) P ( X < 230) ≅ P ( X ' < 230) = P ⎜ Z < = P ( Z < −1.44) = 0.0749 6.928 ⎟⎠ ⎝ c) ⎛ 220 − 240 Z 255− 240⎞ P 2.88 Z 2.16 P ( 220 < X < 255) ≅ P ( 220 < X ' < 255) = P ⎜ < < = (− < < )= 6.928 ⎟⎠ ⎝ 6.928 = 0.9846 − 0.002 = 0.9826 4.- El número de miles de afiliados a un partido político, A(x), en función de los años, x, transcurridos desde su creación en el año 2000, viene dada por: A(x) = x3 − 8x2 + 13x + 294 a) ¿Cuántos afiliados había en el año 2000? b) Calcular los máximos y mínimos de la función. c) ¿En qué años decrece el número de afiliados? Solución: a) A(0) = 294 b) A'(x) = 3x2 − 16x + 13 ⎧x=1 ⎪ 2 A'(x) = 0 ⇒ 3x − 16x + 13 = 0 ⇒ ⎨ 13 ⎪⎩ x = 3 A''(x) = 6x − 16 ⎧ A''(1) = −10 ⇒ En x = 1 hay un máximo ⎪ 13 ⎨ ⎛ 13 ⎞ A '' 10 En x hay un mínimo = ⇒ = ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝ 3 ⎠ 3 c) El número de afiliados decrece entre el año 2001 y el primer cuatrimestre de 2004. 5.- Una fábrica produce dos tipos de televisores: A y B. Para fabricarlos se necesita un tiempo de producción en máquinas y un acabado a mano que realizan los operarios. La venta del modelo A, que necesita 2 horas en las máquinas y media hora de trabajo a mano, produce un beneficio de 60 euros. La venta del modelo B, que necesita 3 horas en las máquinas y un cuarto de hora de trabajo a mano, origina un beneficio de 55 euros.
Se dispone de un total de 300 horas de trabajo en máquinas y 60 horas de trabajo a mano. Entre los dos tipos de televisores han de fabricarse por lo menos 90. ¿Qué cantidad de televisores de cada tipo ha de producirse para que el beneficio seamáximo? Solución:
Max 60x + 55y sa . : 2x + 3y ≤ 300 0.5x + 0.25y ≤ 60 x + y ≥ 90 x, y ≥ 0
f (0,90) = 60× 0 + 55× 90 = 4950 f (0,100) = 60× 0+ 55× 100 = 5500 f (90,0) = 60× 90+ 55× 0 = 5400 f (120,0) = 120× 60·+55·× 0 = 7200 f (105,30) = 60·×105+ 55× 30 = 7950 Para maximizar los beneficios se deben fabricar 30 televisores del tipo A y 105 televisores del tipo B.
1
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL : MATERIAS DE MODALI DAD CURSO 2009 - 2010
CONVOCATORIA:
MATERI A: MATEM ATI CAS APL ICADAS A L AS CC. SS. - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas. - Cada una de las preguntas tiene unaPRUEBA puntuaciónA máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A 1.- Se quiere estimar el tiempo medio que emplean los estudiantes en llegar desde su domicilio al instituto. Encuestados 60 alumnos se obtuvo un tiempo medio de 23 minutos con una desviación típica de 7 minutos. a) Obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio con una confianza del 90%. b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1.5 minutos con una confianza del 98%. Solución a) n 60; X 23; 7;
0.1;
2
0,05; z /2 z0,05 1.64
7 7 ,X z , 23 1.64 X z 23 1.64 21.51, 24.48 n n 60 60 2 2 b)
0.02;
2
0.01; z
2
/2
z0.01 2.33 2
z · 2.33 7 n /2 118.22 n 119 E 1.5
2.- Se sabe que aprueban el 65% de las personas que se presentan por primera vez al examen para obtener el carnet deconducir. Si un día se van a presentar 180 personas por primera vez: a) ¿Cuántos se espera que suspendan? b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben al menos 110? c) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mínimo 100 y como máximo 115? Solución: X=”nº de aprobados en 180 presentados”; X Bi 180,0.65 Número esperado de aprobados= E[ X ] n· p 180·0.65 117 Número esperado de suspensos=180-117=63 b) Como n 180 30, np 117 5 y n1 p 63 5 . Una probabilidad sobre X se puede aproximar por una probabilidad sobre X’ 1
2 X Bi 180,0.65 ; X ' N 180 0.65, 180 0.65 0.35 N 117,6.4
109.5 117 P X 110 P X ' 109.5 P Z P Z 1.17 1 0.121 0.879 6.4 110 117 P X 110 P X ' 110 P Z P Z 1.09 1 0.1379 0.8621 6.4 c) 115 117 100 117 Z P 100 X 115 P 100 X ' 115 P P 2.65 Z 0.31 6.4 6.4 0.3783 0.004 0.3743 115.5 117 99.5 117 Z P 100 X 115 P 99.5 X ' 115.5 P P 2.73 Z 0.23 6.4 6.4 0.4090 0.0032 0.4058
3.- Un taller artesanal está especializado en la producción de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricación, C(x) en euros, están relacionados con el número de juguetes fabricados, x, a través de la x2 siguiente expresión: C( x) 20x 250. 10 El precio de venta de cada juguete es de 80€. a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos. b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación. c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios? Solución a) I ( x) 80x b) x2 x2 B( x) I ( x) C( x) 80x 20x 250 60x 250 10 10 c) 1 1 2x 60 x 60 10 5 1 B '( x) 0 x 60 0 x 300 5 3002 B(300) 60·300 250 8750€ 10 B '(x)
4.- Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión ( f (x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años ):
2
3 15.5 1.1x si 0 x 5 f ( x) 5x 45 si x 5 x 2 a) Estudiar la continuidad de la función f (x). b) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina. c) Justificar que, si tiene más de 5 años, revelará menos de 10 fotografías por minuto. d) Por muy vieja que sea la máquina, ¿cuántas fotografías revelará por minuto? Solución a) Si x (0,5) , f (x) es continua pues se trata de un polinomio. Si x (5, ) , f (x) es continua pues se trata de un cociente de polinomios, y en ese intervalo no se anula el denominador. En x 5 lim f (x) lim15.5 1.1x 10 x5 x5 5x 45 lim f (x) lim 10 f (x) es continua en x 5 x5 x5 x 2 f (5) 10 b) 1.1 si 0 x 5 f '( x) 35 si x 5 x 2 2 Si x(0,5) , f '( x) es negativa, luego f es decreciente. Si x(0,5) , f '( x) es negativa ya que el numerador es negativo y el denominador positivo, luego f es decreciente. c) A los 5 años revela 10 y como es decreciente, pasados los 5 años revelará menos de 10. d) 5x 45 lim f ( x) lim 5 fotografías por minuto x x x 2 5.- Entre canarios, peninsulares y extranjeros, hay un total de 250 trabajadores en una empresa. Si el número de extranjeros se triplica habría 330 trabajadores en la empresa y si se duplica el número de canarios y se reduce a la mitad el número de peninsulares, habría 325. a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuantos trabajadores hay de cada grupo? c) Si se incrementara un 15% el número de canarios y se redujera un 10% el número de extranjeros, ¿cuántos trabajadores habría en la empresa? Solución a) y b) C P E 250 C P E 250 C 120 2E 80 C P 3E 330 E 40 3 P P 90 2C E 325 P E 175 2 2 15 10 c) 120+ 120 90 40 40 264 trabajadores. 100 100 3
4
PRUEBA B 1.- Los salarios netos que reciben los trabajadores de una región siguen una variable normal de media igual a 950 euros y desviación típica igual a 125. a) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea de, al menos, 800 euros? b) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea mayor que 700 euros y, como máximo, igual a 1100? c) Si se seleccionan 675 trabajadores, ¿cuántos se espera que tengan un salario neto de, al menos, 1000 euros? Solución: X Salario neto que reciben los trabajadores. X N 950,125 a) p X 800 p Z 1.2 0.8849 b) p 700 X 1100 p 2 Z 1.2 0.8849 0.0228 0.8621 c) Como p X 1000 p Z 0.4 0.3446 y 675 0.3446 232.605, aproximadamente 233 trabajadores tienen un salario neto de, al menos, 1000 euros. 2.- En una muestra de 576 estudiantes universitarios, 400 van a clase en transporte público. a) Con una confianza del 98%, determinar un intervalo de confianza para la proporción de universitarios que van a clase en transporte público. b) A partir de los datos recogidos para la muestra, ¿se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la proporción de universitarios que van a clase en transporte público es, al menos, igual a 2/3? Solución: a) El intervalo de confianza es: ˆ(1 p ˆ) p ˆ z ˆ z ,p p n 2 2
ˆ(1 p ˆ) p n
400 0.6944, 0.02; 0.01; z /2 z0.01 2.33, el intervalo es igual a: 576 2 0.6944 0.3056 0.6944 0.3056 0.6944 2.33 ,0.6944 2.33 0.64967, 0.73912 576 576
ˆ Como p
b) Contraste H 0 : p 2/ 3 p0 H1 : p 2/ 3
ˆ 0.6944; n 576; p
0.05; z z0.05 1.645
p0 1 p0 2 2 ˆ ˆ 1.645 p ˆ 0.634355 Región de rechazo: p p0 z p n 3 35 ˆ 0.6944 no se rechazaH 0 , con un nivel de significación del 5%. Como p
3.- Tras un estudio realizado para 49 televidentes menores de 16 años, se concluyó, con un nivel de confianza del 99%, que la media dehoras ala semana dedicadas a ver programas de animación era un valor del intervalo 9,11 . a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana que los televidentes menores de 16 años dedican a ver programas de animación? b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 95%? 4
5 c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, 9.5, 10.5 ), ¿qué nivel de confianza tendremos en este intervalo? Solución a) El intervalo de confianza es X z ,X z 9,11 . n n 2 2 Por tanto, la media es el punto medio del intervalo, es decir, X 10 .
b) Si z 2.575, n 49 y z
2
2
n
1, entonces 2.72 . Por tanto si 0.05, z 1.96 y
2
2.72 2.72 X z , X z ,10 1.96 10 1.96 9.2384,10.7616 . 7 7 n n 2 2 2.72 c) Si z 0.5, z 1.29, 0.1, 0.2 7 2 2 2
4.- Si t es el tiempo, expresado en años, c t es la función que mide los costos, en cientos de miles de euros, de una determinada empresa: t2 2, si 0 t 2 c t t 4 1 , si t 2 t a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. b) ¿Cuándo los costos son máximos? ¿Cuál es el valor máximo del costo? c) ¿Cuál es el costo cuando transcurren los años indefinidamente? Solución a) 2t, si 0 t 2 c t 5 , si t 2 t 1 2 Por tanto c t es creciente en 0,2 y decreciente para t 2. b) Los costos son máximos en t 2 y valen 600000 euros. t 4 c) Como lim 1, cuando transcurren los años indefinidamente los costos se aproximan a t t 1 100000 euros. 5.- Un agricultor tiene 10000 euros para invertir en su invernadero. L os tomates son más seguros, pero menos rentables (14%), las flores son más delicadas, pero tienen más rentabilidad (20%). Decide invertir, como mucho, 6000 euros en flores y, como mínimo, 2000 euros en tomates. Además, por la dedicación que requiere cada cultivo, decide que lo invertido en flores sea por lo menos lo invertido en tomates. Calcular cuánto debe invertir en cada cultivo para que el beneficio sea máximo . Plantear el correspondiente problema y calcular dicho beneficio. Solución
5
6 max 0.14x 0.2y s. a : x y 10000 x 2000 y 6000 y x x, y 0 Región factible:
Los vértices de la región factible son: A(2000,2000); B(2000,6000) ; C(4000,6000) y D(5000,5000) y la solución es 4000 euros en tomates y 6000 euros en flores y el beneficio es de 1760 euros
6
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE GENERAL : MATERIAS DE MODALI DAD CURSO 2009 - 2010
CONVOCATORIA:
MATERI A: MATEM ATI CAS APLICADAS A L AS CC. SS.
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B) y, dentro de ella, sólo debe responder (como máximo) a cuatro de las cinco preguntas.
PRUEBA A
- Cada una de las re untas tiene una untuación máxima de 2.5 untos.
PRUEBA A 1.- A un servicio de urgencias de un hospital llegan pacientes de tres procedencias distintas: remitidos por centros de salud (47%), por iniciativa propia (32%) y afectados por accidentes y trasladados directamente por ambulancias (21%). Los pacientes que presentan dolencias graves son el 10%, el 4% y el 25%, respectivamente. Si se elige aleatoriamente un paciente que llega a dicho servicio: a) Hallar la probabilidad de que no tenga una dolencia grave. b) Si se le detecta una dolencia grave, determinar la probabilidad de que haya acudido por iniciativa propia. Solución Sean A El paciente es remitido por un centro de salud B El paciente acude por iniciativa propia C El paciente es un afectado por accidente y trasladado directamente en ambulancia DG El paciente tiene una dolencia grave Evidentemente p A 0.47, p B 0.32 p C 0.21 p DG / A 0.1, p DG / B 0.04 y p D G/ C 0.25.
a) p DG p DG / A p A p DG / B p B p DG / C p C 0.47 0.1 0.32 0.04 0.210.25 0.1123
p DGc 0.8877
b) p B /DG
p DG / B p B p DG
0.0128 0.11398 0.1123
2.- Para una muestra de 625 jóvenes menores de 19 años se obtuvo una media muestral de 178 miligramos de colesterol por decilitro de sangre, con una desviación típica de 45 miligramos de colesterol por decilitro de sangre. a) Si se afirma que el índice de colesterol medio en sangre, para jóvenes menores de 19 años, es como máximo 170 miligramos por decilitro, ¿los datos anteriores permitirían aceptar dicha afirmación con una significación del 1%? b) Determinar un intervalo de confianza del 95% para la media del colesterol por decilitro de sangre en la población de jóvenes menores de19 años. Solución a) El contraste que hay que plantear es:
H 0 : 170 0 H1 : 170
X 178;
0,01; ; z0,01 2.33
45 Región de Rechazo: x 0 z x 1.70 2.33 x 174.194 n 625 Como X 178 , se rechaza H0 . b) 0.05;
0.025; z /2 z0.005 1.96 2 Intervalo de confianza:
45 45 ,X z ,178 1.96 X z 178 1.96 174.472, 181.528 n n 625 625 2 2
3.- Supongamos que N x mide, sobre una escala en milímetros, el nivel del agua en un pantano en función del número de días, x, transcurridos en el año: x3 36x2 324x, si 0 x 21 N x 189, si x 21 a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) ¿En algún momento el nivel es mayor que 863? c) ¿Presenta la función alguna discontinuidad? Solución a) Si f x x3 36x2 324x, f x 3x2 72x 324 3 x 6 x 18 0, x 6, x 18 f x 6x 72 , f 6 0 (máximo), f 18 0 (mínimo)
Intervalos de crecimiento 0,6 y 18,21 . Intervalo de decrecimiento 6,18 . Para x 21 la función es constante. 2
b) f x x x 18 0 . f 6 864. Por tanto, si x 6 el nivel es mayor que 863. c) Como f 21 189 , N x es continua. t2 2 4.- La función g t 2 controla las ganancias, en decenas de millones de euros, de una empresa en t 1 función del tiempo t 0(expresado en años).
a) ¿Cuándo las ganancias son máximas? b) ¿Cuándo las ganancias decrecen? c) ¿Cuántos millones de euros valen las ganancias cuando el tiempo crece indefinidamente? Solución
a) g t
2t t2 1 2t t2 2
t
2
1
2
2t
t
2
1
2
0 si t 0. Por tanto, las ganancias son máximas cuando
t 0.
b) Las ganancias decrecen en 0, . t2 2 c) lim 2 1. Por tanto, las ganancias tienden a 10 millones de euros cuando el tiempo crece t t 1
indefinidamente.
5.- En una boda hay 350 invitados entre familiares de la novia, familiares del novio (no hay familiares de ambos) y amigos. Por cada once familiares hay tres amigos. Los familiares de la novia superan en 25 a los familiares del novio. a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuántos familiares de la novia, familiares del novio y amigos hay en la boda? Solución x familiares de la novia y familiares del novio z amigos
Sistema:
x y z 350 z 3 x y 11 x y 25
x 150, y 125, z 75
PRUEBA B 1.- Una entidad bancaria concede tres tipos de créditos: para vivienda, para industria y personales. Se sabe que el 30% de los créditos que concede son para vivienda, el 50% para industria y el 20% restante son personales. Han resultado impagados el 5% de los créditos para vivienda, el 7% de los créditos para industria y el 12% de los créditos para consumo. Se pide: a) Representar la situación mediante un diagrama en árbol. b) Seleccionado un crédito al azar, calcular la probabilidad de que se pague. c) Un determinado crédito ha resultado impagado. Calcular la probabilidad de que sea un crédito de vivienda. Solución a) Imp P(Imp|V ) 0.05
V P(Pag |V ) 0.95
P(V ) 0.3
P(Imp |I ) 0.07
W
P(I ) 0.5
Pag Imp
I P(Pag| I ) 0.93
P(Per) 0.2
P(Imp| Per) 0.12
Pag
Imp
Per
P (Pag | Per) 0.88
Pag
b) P(Pag) P(Pag |V )·P(V ) P( Pag | I )·P( I ) P( Pag | Per)·P( Per) 0.95·0.3 0.93·0.5 0.88·0.2 0.926 c) P (V | IMP )
P IMP |V ·P V P (IMP )
0.05·0.3 0.2027 0.074
2.- En su propaganda, un fabricante asegura que las bombillas que fabrica tienen una duración media de al menos 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se tomó una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas. a) Plantear el contraste, para decidir si se acepta la información del fabricante. b) ¿Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?
c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, ¿se aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%? Solución a) Contraste: H 0 : 0 H 0 : 1600 H1 : 0 H1 : 1600 b) n 100; X 1570; 120; 0.04; z z0.04 1.75 120 Región Crítica x 0 z 1600 1.75 1579 100 n Como X 1570 1579 Se rechaza H0 c) n 40; X 1570; 120; 0.04; z z0.04 1.75 120 Región Crítica x 0 z 1600 1.75 1566.8 40 n Como X 1570 1566.8 Se acepta H0
3.- En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados 800 alumnos. Se seleccionó una muestra aleatoria del 15% de los alumnos, y se les preguntó si utilizaban la cafetería del instituto. Contestaron negativamente un total de 24 alumnos. a) Con una confianza del 99%., estima en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto. b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es el error máximo cometido con la estimación que nos da la muestra? c) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 6% con una confianza del 99%? Solución: a) El intervalo de confianza para la proporción poblacional, p, de portadores es: ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ) p p ˆ ˆ p z , p z n n 2 2
15 24 ˆ 0.2, 0.01; 0.005; z /2 z0.005 2.57, 800 120; p 100 120 2 el intervalo es igual a: 0.2 0.8 0.2 0.8 0.2 2.57 ,0.2 2.57 0.2 0.0938 0.1061,0.2938 120 120 b) El error máximo es 0.0938, es decir del 9.38%
n
c)
z 2
0,01
2 ˆ·(1 p ˆ) p n
0,005 z
/2
z0,005 2.57 2
2
2.57 z ˆ ˆ) n E n /2 p ·(1 p 0.2 0.8 293.55 n 294 E 0.06
4.- El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa, viene dado por la función: 2500t , donde t es el tiempo transcurrido en días desde que se inició el contagio. f (t) 2 t 25 a) ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos? ¿Cuántos son éstos? b) ¿Sería correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo? Justifícalo razonadamente. c) ¿Cuál es la tasa de cambio (nota: tasa de cambio = derivada) del número de personas afectadas correspondiente al décimo día? Solución a) f '(t)
2500(t2 25) 2500t(2t)
t
2
f '(t) 0
25
2
2500t2 62500
t2 25
2
2500t2 62500
t2 25
2
t 5 0 2500t2 62500 0 1 t2 5 (Se descarta)
b) 2500t 0 ya que es un cociente de polinomios y el grado del numerador es t t t2 25 menor que el grado del denominador. lim f (t) lim
c) f '(t)
2500t2 62500
t
2
25
2
;
f '(10)
2500·102 62500
10
2
25
2
12
5.- Una empresa tiene que contratar personal. Por cada joven contratado recibe una ayuda mensual de 200 euros y por cada adulto pagará 350 euros a la seguridad social. Tiene que contratar como mínimo 10 adultos. En total no puede contratar más de 100 trabajadores y el número de jóvenes tiene que ser como máximo el triple de adultos. ¿Cuántos jóvenes y cuántos adultos debe contratar para que su gasto mensual sea mínimo? Solución Min 350A 200J s.a : J A 100 J 3A A 30 J , A 0
f (25,75) 350 25 200 75 6250 f (10,30) 350 10 200 30 2500 f (100,30) 350 100 200 30 35000
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD
CURSO 2009 - 2010
CONVOCATORIA:
MATERIA: MATEMATI CAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B). - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos.
PRUEBA A 1.- Los responsables de Asuntos Sociales afirman que el porcentaje de personas mayores de 65 años dependientes es, como máximo, del 20 %. Si en una muestra de 225 personas mayores de 65 años hay 54 que son dependientes. a) ¿Se puede aceptar tal afirmación con un nivel de significación del 3%? b) ¿Y con un nivel designificación del 10%?
Solución: a) H 0 : p 0.2 54 ˆ 0.24; 0.03; z z0.03 1.88 n 225; p H1 : p 0.2 225 p 1 p0 0.2 0.8 ˆ p0 z 0 ˆ ˆ 0.25013 Región de rechazo: p p 0.2 1.88 p n 225 ˆ 0.24 no se rechazaH 0 , con un nivel de significación del 3%. Como p b) 0.1, z0.1 1.28
p0 1 p0 0.2 0.8 ˆ ˆ 0.2 1.28 ˆ 0.23413 Región de rechazo: p p0 z p p n 225 ˆ 0.24 se rechazaH 0 , con un nivel de significación del 10%. Como p
2.- Se sabe que el 65% de los accidentes de tráfico que se producen durante la noche de los sábados se deben a la ingesta excesiva de alcohol, el 25% sedeben a la imprudencia del conductor y el resto a otras causas, (fallo mecánico…etc.). En estos accidentes, el resultado es nefasto el 30% de las veces en el primer caso, el 20% en el segundo y el 5% en el tercero. a) Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes no tenga resultado nefasto. b) Si se produce un accidente sin resultado nefasto, calcular la probabilidad de que la causa de dicho accidente sea la ingesta excesiva de alcohol.
Solución
Sean A El accidente se debe a la ingesta de alcohol B El accidente se debe a imprudencia del conductor C El accidente se debe a otras causas RN El accidente tiene resultado nefasto. Evidentemente p A 0.65,
p B 0.25 pC 0.1 p RN / A 0.3, p RN / B 0.2 y p RN / C 0.05.
a) p RN p RN / A p A p RN / B p B p RN / C p C 0.65 0.3 0.25 0.2 0.1 0.05 0.24 p RN c 0.75
b) p A /RN
c
p RN c / A p A p RN
c
0.7·0.65 0.6066 0.75
3.- A un niño, que nació a comienzos del 2010, su padrino le ingresó en el banco 3000 euros que van a convertirse en una cantidad que varía con el tiempo, t (en años desde el nacimiento), según la función t C t 30001.2 a) Demostrar razonadamente quela función es creciente. b) ¿Cuánto dinero habrá a comienzos de 2020? ¿Y cuando el recién nacido cumpla 18 años? c) ¿Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6000 euros?
Solución t
a) C t 30001.2 ln1.2 . Esta derivada es positiva para cualquier t ya que ln1.2 0. Por tanto, la función es creciente. 10 18 b) C 10 30001.2 18575.21 euros, C 18 30001.2 79869.99 euros.
ln2 3.8 ln1.2 4.- En un barco se transportan 400 vehículos (coches, camiones y motos). Por cada dos motos hay cinco camiones. Los coches representan las 9/7 partes de los otros vehículos. a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco? t
c) C t 30001.2 6000, t
Solución
x coches y camiones z motos
Sistema:
x y z 400 y 5 z 2 9 x y z 7
Resultado: x 225, y 125, z 50
PRUEBA B 1.- Una compañía aérea afirma que al menos el 60% de sus aviones llegan a su destino a la hora prevista. Para contrastarlo se han observado 200 vuelos de dicha compañía aérea, de los cuales 106 llegan a la hora prevista. a) Con un nivel de significación del 5% ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía? b) Si sólo se hubiesen observado 100 vuelos, de los cuales 53 llegaron a la hora prevista, tomando un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía?
Solución: a) H 0 : p 0.6 106 ˆ 0.53 p n 200 H1 : p 0.6 200 Nivel de significación = 0.05 z z0.05 1.645
Región de aceptación: 0.6·0.4 p0(1 p0) , 0.6 1.645 , 0.5430, p0 z 200 n ˆ 0.53 0.5430, , se rechaza H 0 Como p
Por lo tanto se rechaza la afirmación de la compañía aérea. Es decir, los vuelos que llegan puntuales son menos del 60%. b) H 0 : p 0.6 n 100 H1 : p 0.6
ˆ p
53 0.53 100
Nivel de significación = 0.05
z z0.05 1.645
Región de aceptación: p0(1 p0) 0.6·0.4 , 0.6 1.645 , p z 0 0.5194, 100 n ˆ 0.53 0.5194, se acepta H0 Como p
2.- La duración deun tipo de pilas tiene una distribución normal de media 9 horas y de desviación típica 1.2 horas. a) Se toma una muestra aleatoria de 16 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media sea menos de 8.5 horas? b) Se toma una muestra aleatoria de 80 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 45 pilas duren más de 9 horas?
Solución: a) La duración de una pila es: X
N , N 9,1.2
La duración media de16 pilas es: X16
1.2 N , N 9, N 9,0.3 16 n
X 9 8.5 9 P X16 8.5 P 16 P Z 1.66 0.0485 0.3 0.3 b) Que una pila dure más de 9 horas tiene probabilidad 0.5, para cualquier pila. W =nº de pilas de duran más de 9 horas en 80 pilas; W 0,1,2,...,80 W
B(80,0.5)
Se pide: P W 45 Como n· p 80·0.5 40 5 y n·(1 p) 80·(1 0.5) 40 5 . Una probabilidad sobre W se puede aproximar por una probabilidad sobre W ' N (n· p, n· p·(1 p)) N 40,4.472 Entonces: W ' 40 45 40 P(Z 1.12) 0.1314 P W 45 P W ' 45 P 4.472 4.472
3.- Se quiere fabricar una caja con tapa, que tenga el máximo volumen y que sea el doble de larga que de ancha. Se dispone de 30 m2 de chapa. a) Plantear la función a maximizar b) Plantear la condición a la que está sujeta la función a maximizar. c) ¿Qué medidas de ancho, largo y alto debe tener la caja?
Solución: a) Los lados de la caja son: x (ancho), 2x (largo), y (alto) La función a maximizar es (ancho) (largo) (alto): x·2x· y 2x2 y b) La condición a la que está sujeta la función es la superficie total sea de 30 m2 La superficie de la base de la caja es: x(2x) 2x2 La superficie de la tapa de la caja es: x(2x) 2x2 La superficie de los cuatro laterales es: 2( xy) 2(2x· y) 6xy Que la superficie total sea 30 m2 es: 4x2 6xy 30 c) Se quiere entonces: Max 2x2 y sa . : 4x2 6xy 30
30 4x2 Despejando en la restricción y ; sustituyendo en la función a maximizar 6x 2 4 2 30 4x es: g( x) 2x 10x x3 3 6x g '( x) 10 4x2 g '(x) 0 10 4x2 0 x
5 2
5 5 5 es un máximo. g ''( x) 8x g'' 8 0 x 2 2 2
x
5 Ancho 2
2x 2
5 10 Largo 2
30 4x2 10 2 Alto y 6x 3 5
4.- Una empresa debe tener, como máximo, 140 trabajadores de dos tipos: transportistas y empleados de almacén. Por cada transportista debe haber como máximo 4 empleados de almacén y estos últimos deben ser, a lo sumo, 80. Por cada transportista, la empresa recibe una subvención de 1200€ y, por cada empleado de almacén, una subvención de 1800€. a) ¿Se cumplen las condiciones anteriores con 30 transportistas y 70 empleados de almacén? b) ¿Cuál es el número óptimo de transportistas y empleados de almacén para obtener la mayor subvención posible?
Solución a) Si b) Max 1200x 1800y s.a :
x y 140 y 4x y 80 x, y 0
f (60,80) 1200 60 1800 80 216000 f (20,80) 1200 20 1800 80 168000 f (140,0) 1200 140 1800 0 168000
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD FASE ESPECÍFICA: MATERIAS DE MODALIDAD
CURSO 2009 - 2010 CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMÁTI CAS APLICADAS A LAS CC SS
- Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B). - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos. PRUEBA A 1.- Un nuevo operador telefónico quiere lanzar en la ciudad una nueva línea de ADSL. Realiza una encuesta entre 520 familias de la ciudad, de las cuales 150 contestan que se cambiarían al nuevo operador. a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias que cambiaría de operador, con una confianza del 97%? b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de familias que se cambiarían de operador, con un error menor del 2% y una confianza del 95%?
Solución: 150 0.288 ; 0.03 Z Z0.015 2.17 2 520 ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ) p p 0.288·0.712 0.288·0.712 ˆ Z , p Z ,0.288 2.17 p 0.288 2.17 2 2 n n 520 520 0.288 0.043,0.288 0.043 0.245,0.331
ˆ a) n 520 ; p
La proporción de familias que se cambiaría está entre el 24.5% y el 33.1% p·(1 p) 0.05, , Z0.025 1.96 2 n 0.288·0.711 1.962·0.288·0.712 1.96 0.02, n 1969.35 n 1970 n 0.022 Por lo tanto son necesarias, al menos, 1970 familias. b) E Z
2.- En una piscifactoría, dedicada a la cría de salmones, se elige una muestra de 50 ejemplares adultos para la que el peso medio muestral es de 3500 gr con una desviación típica de 750 gr. a) Calcular el intervalo de confianza para el peso medio de los salmones adultos con un nivel de confianza del 97%. b) Con un nivel de confianza del 98%, determinar el número mínimo de salmones que se han de elegir para estimar el peso medio con un error menor de 100gr.
Solución: 750 750 X z , X z 3500 2.17 , 3500 2.17 2 2 a) n n 50 50 3500 230.16 3269.84, 3730.16 750 750 E Z Z 2.33 2.33 100 n 2.33 b) 100 n n 2 2 n 305.376 n 306
2
3.- La producción (en toneladas) del plátano en Canarias depende de la climatología de las islas, según la función P (t) (32 t)(t 1)2 , t 10, siendo t la temperatura en grados. a) ¿Cuál es la temperatura óptima para la producción máxima del plátano en Canarias y qué producción se obtiene? b) ¿A qué temperatura no hay cosecha? c) Con temperaturas entre 15 y 25 grados, ¿a qué temperatura es mínima la producción?
Solución: a) P (t) t3 30t2 63t 32 P '(t) 3t2 60t 63 t 21 P '(t) 0 3t2 60t 63 0 t 1(Se descarta) P ''(t) 6t 60 P ''(21) 6·21 60 66 0 P(t) tiene un máximo en t 21 Si t =21 P(21)=5324 toneladas. b)
P (t) (32 t)(t 1)2 t 1(se descarta) P (t) 0 t 32 A 32 grados la producción es cero.
c) Al no tener algún mínimo local en el intervalo, el mínimo se alcanza en algún extremo del intervalo. P (15) (32 15)(15 1)2 1792, la producción es menor a 15 grados. P (25) (32 25)(25 1)2 4732
4.- Una agencia de viajes vende un total de 450 billetes de avión para viajar a las Islas Canarias, a la Península y al extranjero. L os billetes a la Península son la mitad del resto y por cada tres billetes para las Islas se vendeuno para el extranjero. a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes ha vendido la agencia para cada uno de los tres destinos. b) Resolver el problema.
Solución: a) I P E 450 I E P 2 E 1 I 3 b) I P E 450 I 225 I P E 450 P 150 I E P I E 2P 0 I 3E P 150 2 3E I 0 450 P E 75 E 1 E 4 I 3
PRUEBA B 1.- Hemos tomado una muestra aleatoria de 80 conejos en un criadero industrial. Se ha encontrado que 21 de ellos presentaban una enfermedad que, probablemente, adquirían a través del pienso con que se les alimentaba. Sabemos que la población de conejos en el criadero es de 12000 unidades. a) Determinar, con una confianza del 92%, entre qué valores se encuentra el número de conejos enfermos. b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué número de conejos será necesario estudiar para estimar la proporción de conejos enfermos con un error menor del 7% y con una confianza del 92%?
Solución: a) El intervalo de confianza para la proporción poblacional, p , de enfermos es: ˆ(1 p ˆ) ˆ(1 p ˆ) p p ˆ z ˆ z ,p p n n 2 2 21 ˆ Como p 0.2625, 0.08; 0.04; z /2 z0.04 1.75, el intervalo es igual a: 80 2 0.2625 0.7375 0.2625 0.7375 0.2625 1.75 ,0.2625 1.75 80 80 0.2625 0.086 0.1764,0.3485 Luego con una confianza del 92%, el número de conejos enfermos es un valor del intervalo: 12000·0.1764,12000·0.3485 [2116.8,4182] [2116,4182] b)
Solución: 0.08;
z 2
0.04; z /2 z0.04 1.75 2 2 ˆ·(1 p ˆ) p z /2 ˆ ˆ) E n p·(1 p n E 2
1.75 n 0.2625 0.7375 120.996 n 121 0.07
2.- Los precios de un producto se distribuyen según una normal de desviación típica 15. Se ha tomado una muestra de los precios de dicho producto en 9 comercios elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes precios: 195, 208, 238, 212, 199, 206, 225, 201,215 a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el precio medio es como máximo de 200€? b) Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el precio medio de este producto
Solución: a)
H0 : 200 n 9; X 211; 15, 0.05; z0.05 1.64 H1 : 200 Región de rechazo: 15 z , 200 1.96 , 209.8, 0
n
9
Como X 211 209.8, , se rechaza H 0 con un nivel de significación del 5%.
b) n 9; X 211; 15, 0.1;
2
0.05; z0.05 1.64
15 15 X z , X z 211 1.64 , 211 1.64 202.8, 219.2 n n 9 9 2 2
3.- Un granjero tiene un cerdo de 150 kg., cuya alimentación le supone un gasto de 36 u.m./día (u.m. unidades monetarias). El cerdo engorda 3 kg/día. En este momento podría venderlo a 120 u.m./kg, pero está bajando el precio por kilo a razón de 2u.m. por día. a) En cuanto venderá el cerdo si espera 14 días. b) ¿Cuánto tiempo deberá esperar el granjero para vender el cerdo, con objeto de obtener el máximo beneficio?
Solución: a) I (x) 150 3x120 2x 6x2 60x 18000 I (14) 150 314120 214 17664 b)
I '( x) 12x 60 I '( x) 0 12x 60 0 x 5 días
4.- Una factoría fabrica dos tipos de artículos A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas M1 y M2. El artículo A necesita 1 hora de la máquina M1 y 2 horas de la máquina M2. El artículo B necesita 1 hora de cada una de las máquinas. Las máquinas M1 y M2 están en funcionamiento a lo sumo 40 y 50 horas a la semana, respectivamente. Hay que fabricar al menos 2 unidades de B. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 200€ y por cada uno de B 90€. a) ¿Cuántas unidades de A y B deben fabricarse semanalmente para obtener el máximo beneficio? b) Para obtener el máximo beneficio, ¿las dos máquinas han trabajado el máximo de horas semanales?
Solución a)
Max 200A 90B sa . : A B 40 2A B 50 B2 A, B 0
f (10,30) 200 10 90 30 4700 f (24,2) 200 24 90 2 4980 f (0,40) 200 0 90 40 3600 b) No, la máquina 1 sólo ha trabajado 24 de las 40 que esta disponible a la semana. No, la máquina 2 sólo ha trabajado 2 de las 50 que esta disponible a la semana.
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.E CURSO 2010 - 2011
CONVOCATORIA:
MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumno debe elegir sólo una de las pruebas (A o B). - Cada una de las preguntas tiene una puntuación máxima de 2.5 puntos. PRUEBA A 1. En una gran empresa el 55% son hombres. Entre los hombres, son fijos el 30% y el resto temporales. Entre las mujeres, son fijas el 60% y el resto temporales. a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado. b) ¿Qué proporción de fijos y temporales tiene la empresa? c) Construir el árbol de probabilidades ramificando primero por tipo de contrato y luego por sexo. 2. En 169 poblaciones distintas en el territorio nacional, se ha encuestado a agentes inmobiliarios sobre el precio de la vivienda, resultando que el precio medio por metro cuadrado es de 1764 euros, con una desviación típica de 258 euros. a) Estimar el precio medio poblacional con un 97% de confianza. b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor de 30 euros, con una confianza del 97%? 3. El nivel de audiencia de un canal de televisión, que retransmite un partido durante dos horas, sigue la función: −1 y = f ( x ) = x 2 − 60 x − 7200 ) ( 180 Donde x = tiempo en minutos desde el comienzo de retransmisión, f ( x) = porcentaje de personas que conectan con el canal. a) ¿Qué porcentaje de personas están viendo este canal nada más empezar la retransmisión? ¿Y transcurrida una hora y media? b) Calcular el momento de máxima audiencia. Determinar el porcentaje de personas que ven dicho canal en ese momento. c) Si en el momento de máxima audiencia estaban viendo la televisión 3 millones de personas, ¿cuántas estaban viendo este canal? 4. El costo de los tres objetos A, B y C es el 150% del costo conjunto de A y B y el doble del costo conjunto de A y C. Si C cuesta el doble que A: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones b) ¿Cuánto cuesta cada objeto?
