DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE FÍSICA GENERAL Y QUÍMICA
DEPARTAMENTO D DE E ELECTRICIDAD Y Y M MAGNETISMO SEMESTRE 2012-2 SEGUNDO E EX AM A MEN F FIN AL A L . S SOL UCIÓN.
INSTRUCCIONES: El tiempo máximo para la resolución del examen es de
2.5 horas.
No se permite la consulta de documento alguno. Cada problema tiene un valor de 2.0 punto. Resolver Resolver cinco de los los seis problem problemas as propuestos. Buena suerte.
1. En la figura se muestra una superficie plana muy grande paralela al plano “xz” que cruza el eje de las “y” nC nC , en punto C (0,-4,0) [m] y tiene una distribución de carga σ 2 2 , una línea cargada con λ 5 m m recta y muy larga paralela al eje “z”, sobre el plano “yz” que toca el punto D (0,6,0) [m] y una esfera nC conductora con radio R e 1 [m] , centro en el punto F (8,6,0) [m] y una distribución de carga σ e 4 2 . m Determine: a) El vector campo eléctrico total en el punto A (0,0,0) [m]. b) La diferencia d iferencia de potencial total entre los puntos A y B, es decir, VAB. c) El cambio en la energía potencial de un protón que parte del punto A hacia el punto M y de este punto hacia el punto B. d) El potencial en el punto F, considerando exclusivamente la carga de la esfera conductora. Resolución.
1 a)
EA
E Ae
E Ae E Aλ E A sup
qe
1
2 Ae
4 πε 0 r
ˆAe ; r
qe
σA e 4 10 9 4π 12 50.24 10 9 C ;
8ˆi 6 jˆ ˆi 2.71 j N 3 . 62 C 10 2 10 1 2 λ 5 10 9 ˆ N 9 ˆAλ 18 10 j 15 jˆ E Aλ r 4 πε 0 r Aλ 6 C σσ 2 10 9 ˆ N ˆAσ E Aσ r j 112.99 jˆ 12 2ε 0 28.85 10 C N E A 3.62ˆi 130.7 jˆ C 1. b) VAB VAB / e VAB / λ VAB / σ 1 1 1 1 9 10 9 50.24 10 9 VA B / e kq e 7.71 V r r 10 73 Ae Be
E Ae
9 10 9
50.24 10 9
VA B / λ k 2λ Ln
VA B / σ
r B λ r A λ
3
9 10 9 25 10 9 Ln 62.38 V 6
2 10 9 7 4 338.98 V; r B σ r A σ 2ε 2 8.85 10 12 σ
VA B
409.07 V
1. c) VBA
WBA qe
1. d) VC kq e
1
WBA q e VBA 1.6 10 19 409.07 654.51 10 19 J
ΔU p
;
9 10 9
r e
50.24 10 9 1
452.16 V
2. En la siguiente conexión de capacitores, C1= 1 [µF], C2= 2 [µF], C3= 3 [µF], C4= 4 [µF], C5= 5 [µF] y C6= 6 [µF], se sabe que la carga almacenada en el -6 capacitor 6 es q6 = 6010 [C]. Determine: a) La capacitancia equivalente entre los puntos e y f , es decir, Ceq/ef b) La energía almacenada por el capacitor C5. c) La diferencia de potencial o voltaje entre los puntos b -6 y f , es decir, V bf si q6 = 6010 [C]. d) Obtener la diferencia de potencial o voltaje entre los puntos a y f , es decir, Vaf , si el capacitor C4 falla generando un circuito abierto entre sus terminales y se sabe que V bf =37.5 [V]. Resolución. 2. a) Ceqef.. C2 y C3 en serie C eq1=(2*3)/(2+3)=1.2 [µF]. C5 y C6 en paralelo Ceq2=5+6=11 [µF]. C4 y Ceq1 en serie Ceq3=(4*1.2)/(4+1.2)=0.92 [µF]. Ceq3 y Ceq2 en paralelo Ceqef =0.92+11=11.92 [µF].
1
b) U 5 C 5 Vef 2 ; 2
1
U5
2
5 10 10
q4
C4
2
C 56
;
V be
V bf Vef V be
q6 Vef
;
Vef
q6 C6
60 10 6 6 10 10
10 [V] ;
250 10 6 J
6
c) V bf;
C6
q 56 Vef
;
q 56 C 56 Vef 11 10 6 10 110 10 6 [C]
q 4 q 56 ;
V be
q4 C4
110 10 6 4 10 6
27.5 [V]
10 27.5 37.5 [V]
d) Vaf . Al quedar C 4 en circuito abierto C 1, C2 y C3 quedan en serie. Sacando el equivalente 23, C eq 23 = (C2*C3)/(C2+C3)=1.2 [µF] C 23
q1 C1
q 23 V bf
;
q 23
C 23 V bf 1.2 10 6 37.5 45 10 6 [C]
q 23
Vaf
q1 Vab
;
Vab
q1 C1
45 10 6 1 10 6
Vab V bf 45 37.5 82.5 [V]
45 [V]
3. A partir del circuito mostrado y considerando que el foco funciona con sus valores nominales (Pf =1 [W] y Vf =5[V]), obtenga: a) El valor del resistor R. b) La corriente eléctrica a través de la resistencia R 1= 22 []. c) La diferencia de potencial entre los puntos a y d, es decir, Vad. d) La energía eléctrica total entregada por la fuente de fem ε en 1 hora.
Resolución. Resolución. 3 a) La corriente en el foco.
I f
Pf Vf
1 W 5 [ V]
0.2[A]
LVK en la malla del foco ε RI f Vf ; R
ε Vf I f
10 5 0.2
25 Ω
b) Reduciendo a su mínima expresión en el lado izquierdo del circuito
ε
IT
I 32
Vcd
I 22
Vab
R T R T 22
10 V 18 10.26 [ V]
3.59 V 32.48 [V ] 1.15 V 22 [ V]
0.35[A] ;
0.11 [A] ;
Vab
Vcd
10.26 0.35 3.59[V]
10.48 0.11 1.15[V]
0.05 [A]
c) Va Vd 10.48 0.11 12 0.11 2.47[V] d) I T 0.35 0.2 0.55[A] Uε
10 0.553600 19800[J ]
4. La figura muestra un conductor recto y muy largo paralelo al eje “y” que pasa por el punto B (-4,0,0) [cm] y una bobina cuadrada de N b 20 vueltas, lado l =4 [cm], coincidente con el plano “xy”, por la cual fluye una corriente i b=0.2 [A]. Obtenga: a) El vector campo magnético producido por la bobina cuadrada en el origen, punto O (0,0,0) [cm]. b) La magnitud y sentido de la corriente en el conductor recto y muy largo para que el campo total en el origen sea nulo. c) La fuerza magnética total sobre la bobina si i C 20 [A] hacia la derecha. d) El flujo magnético a través de la bobina, debido sólo a la corriente del conductor recto, i C 20 [A] .
Resolución. 4. 2 N 2 μ 0 i b ˆ 220 1.414 4 π 10 7 0.2 ˆ ˆ T a) B O b k k 1.13 10 4 k 2 π π 4 10 2BOb πr μ i iC i C 22.6 [A] circula hacia la derecha b) B C 0 C B Ob μ0 2 πr
μ 0i C
c) FT F1 F3 i b N
2πr 1
d
d) d BdA
μ 0i C i 2 πr 3
0 iC
2 r
dr
FT 0 iC
2
2.133105 ˆi N
n
r 3 r 1
1.7578 10 7 [ wb]
5.-Una bobina cuadrada de lado l = 5 [cm] y 10 vueltas está ubicada en una región donde existen líneas de 2 flujo magnético que responde a la siguiente ecuación = (0.2 t + 5) [Wb], en la cual t esta en segundos. Determine: a) El flujo magnético y su rapidez de variación en t=4 [s]. b) La magnitud de la diferencia de potencial inducida entre los puntos a y
b, es decir, Vab en t=4 [s]. ¿Cuál es el punto de mayor potencial? c) La corriente inducida a través de un resistor externo R = 50 [] que se conecta entre los puntos a y b, sabiendo que el enrollamiento de alambre tiene resistencia r b = 0.2 []. d) La energía en forma de calor que disipa la bobina en 2 [min].
Resolución.
a) En el instante t= 4[s]
5 0.242 5 8.2 [ Wb] dφ d0.2t 2 5 Wb 0.22t 0.4t dt dt s
φ 0.2 t 2
En el instante t= 4[s] dφ Wb 0.44 1.6 dt s b) En el instante t= 4[s] Vab
εi
N
dφ dt
10
d 10t 2
20
dt
100.4t 44 16 [V]
Como el flujo aumenta la corriente debe fluir en sentido contrario a las manecillas del reloj a través de la bobina y salir por la terminal a de acuerdo al principio de Lenz. Por lo tanto la terminal a está a mayor potencial que la terminal b. Entonces Vab 16 [V] c) La corriente inducida Vab 16 0.319 [A] i R r b 50 0.2 d) U Pt r b i t 0.20.319 2 60 2.44J 2
2
6.- Con la ayuda de la curva de magnetización para el material ferromagnético de la figura determine: a) La magnitud del vector intensidad magnética en el material. b) La magnitud del vector campo magnético en el material. c) La reluctancia del núcleo. d) El flujo magnético a través del material.
Resolución: a)
H dl I
NI
N
Hl m NI ;
H
NI lm
A 2000 0.24 m
200(2.4)
b) De la curva de magnetización: B 1.2 [T] c)
R R
l μA
; μ
Wb 600 10 6 H Am B
0.24 6
4
600 10 (4 10 )
106 H 1
d) 4 Φ BA 1.2(4 10 ) 480[μWb]
