Examen 2 VC

Universidad Nacional Mayor de San Marcos (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA) F a c ul t a dd eCi e nc i a sFí s i c a s

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica de Fluidos Asignatura: Variable Compleja Ciclo: 201!0 "ocente: Mg# Milton Angelino Ayc$o %lores

&'amen (arcial 2

 x 3 (1 + i ) − y 3 (1 − i )  si z  ≠ 0   f ( z ) =  x2 + y 2  0  si z  = 0  1. Consid Consider eremo emoss la la fun funi! i!n n a) Anali"ar la on#inuidad de f en "$%.

&) Es f deriva&le en "$%. 'e umlen las ondiiones de Cau*+ Riemann en "$% -. Enon# Enon#rar rar una una funi!n funi!n anal anal#i #ia a f(") #ales #ales /ue /ue Im(  f '''( z )) = 120 xy + 24 x  #ales /ue  f ''(1) = 24 + 12i ,  f '(i ) = 9 + 4i +  f (0) = i . Asimismo *allar el valor de  f (i ) .

0. Cal Calu ular lar los los llimi imi#es #es,, si eis eis#en #en22

a.

lim  z →i

lim

&.

 z → 2i

 z 5 − 2iz 4 − (1 + i ) z 3 − (2 − 2i) z 2 + (4 + i) z − 2i  z 4 − 2iz 3 − 2iz − 1

.

Re 4 ( z − 2i) − Im( z 2 − 2 zi )3 ( z − 2i)

2

.

3. Consideremos  f ( z ) = u + iv una una fun funi! i!n n anal anal# #i ia. a. Demo Demos# s#ra rarr /ue /ue las las euaiones de Cau*+ Riemman en oordenadas olares, vienen dadas or2

∂u ∂v = − r  ∂θ ∂r

∂u 1 ∂ v = ∂r r  ∂θ 

Usar es#as euaione euaioness ara *allar *allar una funi!n funi!n  f ( r , θ )   anal#ia #ales /ue Re(  f '(r ,θ )) = 12r 2 cos 2θ

+

6 r cos θ  + 2  on  f  (0) = 0 .

u ( x, y ) =

 xy

( x 2 + y 2 ) 2 . 4. Consid Consider eremo emoss la la fun funi! i!n n a. Demue Demues#r s#re e /ue /ue u es arm!n arm!nia ia.. &. 5all 5allar ar la fun funi!n i!n arm! arm!nia nia on6u7a on6u7ada da v. v. . Er Eres esar ar ssii es osi osi&l &le e  f = u + iv  en #8rminos de ".

Ciudad Universitaria, febrero del 2!"