EVALUACION NUMERICA PARA LA RESPUESTA DINAMICA
k ˆ =
m
(∆t )
2
+
c 2
pˆ i
∆t
m 2m c = pi − − ⋅ u i − − k − ⋅ ui (∆t ) 2∆t (∆t )
La solución analítica a la ecuación de movimiento para sistemas de un grado de libertad usualmente no es posible obtenerla, debido a que la fuerza aplicada p(t) o la aceleración del suelo varían aleatoriamente en el tiempo o porque el sistema tiene un comportamiento inelástico. Problemas como estos pueden ser resueltos utilizando métodos numéricos de integración (en cada instante de tiempo) de la ecuación diferencial.
u i +1 =
METODO DE LAS DIFERENCIAS CENTRADAS
u i +1
− u i− ∆t
u i +1
& u& i =
1
2
− 2u i + u i − ∆t
1
2
m⋅
∆t
2
+ u i−
1
+c⋅
u i +1 − u i −1
∆t
2
(1)
+ k ⋅ u i = pi
1
& u& = 0
2
& u& 0
2
p 0
2
⋅ ui
(3)
=p
+ c ⋅ u& − k ⋅ u 0
0
0
m
El método de las diferencias centradas converge si se cumple la siguiente condición:
T n
<
1
π
Ejemplo Se escogerá un problema cualquiera 1.0 Condiciones iniciales m = 0.2533 k = 10 c = 0.1592
O bien,
u0 ˆ ⋅ u = p ˆi k i +1
(∆t )
0
& + c ⋅ u&0 + k ⋅ u 0 m ⋅ u& 0
(2)
m m 2m c c + ⋅ u i + = pi − − ⋅ u i − − k − 2 2 ∆ t ∆ t ∆ ∆ ∆ ( ) ( ) ( t t t ) 2
(5)
0
∆t
En esta ecuación se asume que ui y ui-1 son conocidos, debido a que corresponden a iteraciones anteriores (lo que queremos determinar es ui+1). Agrupando términos:
1
= u − ∆t (u& ) +
Sustituyendo Sustituyendo estos valores en la ecuación de movimiento: u i +1 − 2u i
k ˆ
Despejando de la ecuación de movimiento, obtenemos ü0:
Este método está basado en una aproximación de la diferencia finita del tiempo obteniendo un desplazamiento. Tomando como constante ∆ti = ∆t, la diferencia central. Las expresiones para calcular la velocidad y la aceleración en un instante i son: u&i =
pˆ i
Si reemplazamos (1) i=0 podremos obtener la velocidad y la aceleración inicial. Luego, resolviendo para u1 en la ecuación (1) y reemplazando en la ecuación (2) obtenemos u-1. u −1
Donde,
2
Luego, el desplazamiento ui+1 se obtiene como:
INTRODUCCION
2
1
2
(4) & 1.1 u& = 0
p 0
− cu& − ku 0
m
0
=0
=0
u&0
=0
= u − ∆t (u& ) +
1.2 u −1
1.3
0
k ˆ =
0
m
(∆t )
2
c
+
2
∆t
(∆t )
y aceleración para la iteración siguiente (i+1) a partir de los datos de la iteración actual (i).
2
2
& =0 u& 0
Volviendo a la ecuación (1) y reformulando la ecuación para utilizarla en la iteración y usando las siguientes cantidades incre mentales, tenemos:
= 26.13
∆u i = u i + − u i ∆u&i = u&i + − u&i ∆u&&i = u&&i + − u&&i ∆ pi = pi + − pi 1
1.4
a=
m
(∆t )
1.5 b = k −
2
c
−
∆t
2
2m
(∆t )
2
= 24.53
1
=
pˆ i k ˆ
=
1
∆u&i = (∆t ) ⋅ u&&i + (γ ∆t ) ⋅ ∆u&&i
= −40.66
∆u i = (∆t ) ⋅ u&i +
= p i − a ⋅ u i − − b ⋅ u i = p i − 24.53 ⋅ u i − + 40.66 ⋅ u i
2.2 u i +1
1
Las ecuaciones anteriores pueden se pueden escribir como:
2.0 Cálculo para cada instante de tiempo (paso) 2.1 pˆ i
1
(∆t ) 2
& u& i + β (∆t )
2
∆u&&i
La segunda de estas ecuaciones se puede resolver por:
1
pˆ i
∆u&&i =
26.13
1
β (∆ t )
∆u i −
2
1
β ⋅ ∆ t
u&i −
1 2β
& u& i
Reemplazando en la ecuación anterior:
Esto debe hacerse para i=0, 1, 2, …, n.
∆u&i = METODO DE NEWMARK En 1959, N. M. Newmark desarrolló una serie de métodos numéricos basados en las siguientes ecuaciones: u&i +1
= u&i + [(1 − γ )∆t ]⋅ u&&i + (γ ∆t )⋅ u&&i +
u i +1
= u i + (∆t ) ⋅ u&i + (0.5 − β )(∆t ) ⋅ u&&i + β (∆t ) ⋅ u&&i +
1
(1)
2
2
1
1
1
2
6
≤β ≤
γ ∆u i β ⋅ ∆t
−
γ γ u&i + ∆t ⋅ 1 − β 2β
⋅ u&&i
Luego, sustituimos en la ecuación incremental de movimiento: & & m∆u& i + c∆u i + k ∆u i
= ∆p i
Aplicando el mismo procedimiento que para el método de diferencias centradas, podemos e scribir:
(2)
Los parámetros β y χ definen la variación de la aceleración sobre un intervalo de tiempo ∆t (paso) y determina la estabilidad y precisión características del método. La selección típica de estos parámetros es:
γ =
2
1 4
Estos valores garantizan una respuesta satisfactoria incluso la precisión del método es satisfactoria. Las dos ecuaciones combinadas con las ecuaciones de equilibrio permiten calcular, al término de cada paso, el desplazamiento, velocidad
ˆ ⋅u k i
= pˆ i
Donde, ˆ = k + k
γ 1 c+ m 2 β ∆t β (∆t )
1 1 γ ∆ pˆ i = ∆ p i + m + c ⋅ u&i + 2β ∆ t β β
γ −1 ⋅ c ⋅ u&&i 2β
m + ∆t ⋅
En el paso siguiente el desplazamiento incremental se calcula como:
∆ pˆ i
∆u i =
El método de Newmark es estable si se cumple que:
∆t
≤
1
π
2
⋅
T n
∆ pˆ i = ∆ p i + au&i + bu&&i = ∆ p i + 10.45u&i + 0.5066u&&i
2.2
∆u i =
2.3
∆u&i =
2.4
∆u&&i =
1
γ − 2 β
Puede verse que si α=1/2 y β=1/4 entonces:
∆t
2.1
ˆ k
Una vez conocidos el desplazamiento, la velocidad y la aceleración para la iteración i, se calculan estos valores para l a iteración i+1.
T n
2.0 Cálculo para cada instante de tiempo (paso)
u i +1
2.5 u&i +1
<∞
& u& i +1
∆ pˆ i k ˆ 2
∆t
=
∆ pˆ i 114.5
∆u i − 2u&i = 20∆u i − 2u&i
4
(∆t )
2
& & & & (∆u i − ∆t ⋅ u&i )− 2u& i = 400( ∆u i − 0.1 ⋅ u i ) − 2u i
= u i + ∆u i = u&i + ∆u&i = u&&i + ∆u&&i
Esto debe hacerse para i=0, 1, 2, …, n. Ejemplo
α=1/2 y β=1/4 1.0 Condiciones iniciales m = 0.2533 k = 10 c = 0.1592 u0
1.1 u 0
=
− c ⋅ u& − k ⋅ u
p 0
0
0
m
1.2
∆t = 0.1
1.3
k ˆ = k +
1.4
a=
4
∆t
2
∆t
c+
4
(∆t )
2
m = 114.5
m + 2c = 10.45
1.5 b = 2m = 0.5066
=0
=0
u&0
=0
p0
=0
