Recopilación de información sobre las técnicas de estudio y presentación del proceso del estudio práctico.
Descripción: martial art
Cargas electricas
Descripción completa
trabajo trata de los distintos campos que ocupa las ciencias sociales
trabajo trata de los distintos campos que ocupa las ciencias sociales
Full description
Estudio de Las Emociones. Una Perspectiva Transversal
Descripción: necesidades de epp
Descripción completa
Al comienzo de mis palabras, siento una gran necesidad de romper un muro de acero que nos ha estado separando de la sabiduría de la Cabalá desde la destrucción del Templo hasta nuestra gener…Descripción completa
Descripción completa
Estudio de Impacto Vial para habilitación Urbana Residencial
Descripción completa
Full description
SENA ADMINISTACION EN RECURSOS HUMANOS FORMACIÓN VIRTUAL COMPLEMENTARIA ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #2Descripción completa
Estudio de Caso Aplicando Las Normas de Contratacion de PersonalDescripción completa
TITULO “Estudio analítico para hallar un modelo matemático que optimiza un perfil de ojiva balístico (región subsónica, sónica y supersónica)” Por Alfredo R. Garasini
RESUMEN “Partiendo de una función de disipación tipo “Frandtl”, con el auxilio del cálculo variacional se obtiene una expresión que dados el radio (calibre) y la longitud de la ojiva, se permite determinar la curva (perfil de ojiva) que hace mínima la resistencia del aire al avance del proyectil”
NOMENCLATURA ρ : densidad del aire C (W ) : coeficiente de arrastre .
x : velocidad en el eje “x” .
y : velocidad en el eje “y” ds : elemento del área anular F: fuerza resistente del aire
ξ : función subintegral t: variable tiempo r: radio de la ojiva h: longitud de la ojiva
Página 2 de 15
INTRODUCCION Hipótesis a emplear
1- Admitimos que la ojiva es un paraboloide de revolución. 2- Empleamos una función de disipación tipo “Frandtl”. 3- La densidad del aire es constante. 4- El coeficiente de arrastre (drag) es constante. 5- La fuerza de disipación o resistencia del aire es una funcional.
A continuación el dibujo muestra un paraboloide elemental, esto es:
Entonces la función de disipación que obra sobre la superficie elemental “ds”, es:
F =
(1)
1
∫ 2 ρ C 0
(W )
.
x dS
dS = 2π ydy
Donde:
Por consecuencia tenemos que:
F =
1
∫2
.
ρ C (W ) x 2 2 yπ dy
Página 3 de 15
O bien.
(3)
.
∫
F = π ρ C ( w ) x 2 ydy
En virtud de las hipótesis (3) y (4) resulta así mismo:
(4)
.
∫
F = ρπ C ( w) x 2 ydy
Como dγ=γ́ dt (la componente de la velocidad sobre el eje “ γ”) la integral (4) se convierte en otra equivalente tal que:
t 2
(5)
∫
.
.
F = ρπ C ( w) x y y dt 2
t 1
Fijamos los límites de integración por ejemplo t 1 y t 2 (luego serán O y t). Ahora bien, por la estructura de la función integral, estaríamos en presencia de un problema de extremos, por lo tanto formulamos la hipótesis de que la fuerza “F” de la resistencia del aire es una funcional, esto significa: t 2
(6)
∫
.
.
O =δ F = ρπ C ( w )δ x y y dt 2
t 1
Es decir intentamos hallar una función que haga máxima o mínima al valor “F” (en este caso es mínimo, pues como se advierte se cumple la condición de Legendre)
Página 4 de 15
DESARROLLO Una vez establecidos estas bases podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, resulta el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
⎧ ⎛ ∂ζ ⎞ ∂ζ d ⎟− ⎪(7) ⎜ =0 . ⎪ dt ⎜⎜ ∂ y ⎟⎟ ∂ y ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ d ⎛ d ζ ⎞ ⎪(8) ⎜ . ⎟ = 0 ⎜ ⎟ ⎪⎩ dt ⎝ d x ⎠ . 2 .
Siendo (9): ζ
= x y y
Operamos: 2 2 ⎧ d ⎛ . ⎞ . . ⎪(10) ⎜⎜ x y ⎟⎟ − x y = 0 dt ⎝ ⎪ ⎠ ⎨ . 2 ⎛ d ⎪(11) ⎜ x y y. ⎞⎟ = 0 ⎜ ⎟ ⎪ dt ⎝ ⎠ ⎩
.
.
(12) x y y
.
= a o x =
a .
y y
Llevamos a ésta última a la expresión (10) :
(13)
⎛ 2 ⎞ d ⎜ a a2 . ⎟ y ⎟ − . y = 0 . ⎜ dt ⎜ 2 2 ⎟ 2 2 ⎝ y y ⎠ y y
Página 5 de 15
Queda:
⎛
⎞ 1 . ⎟ y ⎟ − . . y = 0 ⎜ . . dt ⎜ 2 ⎟ y y 2 y y ⎝ ⎠ d ⎜ 1
Hacemos: (el simple artificio)
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ . d ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ y −⎜ . . ⎟ = 0 ⎜ . . ⎟ dt ⎜ 2 ⎟ ⎜ y y 2 ⎟ y y y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Llamamos: ϕ =
1 .
.
, que resulte la ecuación diferencial ordinaria:
y y 2
d ϕ dt
ϕ dy =0 . y dt
−
Eliminamos el tiempo; y separamos las variables:
ϕ
y
d ϕ
dy
∫ ϕ = ∫ y y 0
ϕ 0
Tendremos:
ϕ = b 2 y O bien:
1 .
= b 2 y
2
y y O bien:
1 b2
.
= y 2 y 2
Página 6 de 15
Extraemos la raíz cuadrada:
1 (14)
.
= y y
b
Separaremos variables e integramos nuevamente, por la naturaleza del problema los límites de integración podrán ser:
1
t
y
0
0
dt = ∫ ydy ∫ b de ahí que:
1
(15)
1
t = y 2 b 2
Por otra parte teniendo en cuenta la (12) y en virtud de la (14) resulta:
.
1
=a
(16)
x
O bien:
x = ab = c
Evidentemente: (17)
x = ct
b
Ahora resta por eliminar el tiempo entre las relaciones (15) y (17) esto es:
1 2
y 2 =
1 1 . x b c
Página 7 de 15
Por último:
y 2 =
2 bc
x
Despejamos “y”:
y =
2 bc
x
Llamamos:
(18)
κ =
2 bc
Obtenemos:
(19)
y = k x
Si aplicamos las condiciones de contorno para un proyectil, el valor de la constante “ κ ” r puede ser: κ = h
Por lo que resulta definitivamente:
y = r (20)
x h
Página 8 de 15
BREVE COMENTARIO Cabe señalar que la constante “ κ ” (relación 18) contiene la velocidad “c” que ahora actúa como parámetro, notemos entonces que la misma figura en el denominador, lo cual nos informa que en cuanto mayor es dicha velocidad, menor debe ser la ordenada “y”, o sea: “ cuanto mayor es la velocidad , más aguzada debe ser la ojiva de un proyectil“.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 1- Ecuaciones diferenciales y Cálculo Variacional. Autor: L. Elsgoltz. 2- Cálculo Infinitesimal (cálculo de extremales). Autor: J. Rey Pastor. 3- Tratado de Balística. Autor: Dr. L. Hanert. 4- Tabla de Coeficientes de arrastre. Autor: Pranndtl.
Página 9 de 15
TABLA DE VALORES CORRESPONDIENTE AL MODELO MATEMÁTICO (FfLA.) ( perfil de ojiva) X
NOTA Es importante comentar que este trabajo contiene una segunda parte que se va a publicar (sin cargo también) oportunamente. Este consiste en una curiosa relación matemática que puede ser de capital significación para la fabricación de municiones, pues la misma relaciona el “Factor de Estabilización de un proyectil” con el calibre, la longitud del cuerpo y la altura de la ojiva. Esta expresión ha sido verificada para 17 proyectiles de distintos calibres.
