estrutura metalica

Estruturas Metálicas EC3 EC 3 – Pa Parr t e 1.1 1.1 / Volu Vol u m e IV IV

Série ESTRUTURAS

joão guerra guerra martins martins

4.ª edição / 2011

Série Estruturas

Estruturas Metálicas

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de Engenharia Civil da Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e actualizado. Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto, completo e claro, entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno de Engenharia Civil. Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à especificidade dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se ao que se pensa omitido. Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos que possam ser endereçados. Ambos se aceitam e agradecem. De notar que este texto tem apenas fins pedagógicos, sem nenhum interesse comercial e de acesso gratuito e livre. Por outro lado, a consulta e estudo da bibliografia que ajudou a criar este texto é indispensável para a consolidação dos conhecimentos aqui contidos, não podendo este documentos de apoio, de qualquer forma, substituir-se à mesma.

João Guerra Martins

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Série Estruturas


ÍNDICE GERAL ÍNDICE GERAL .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ................................... ............I ÍNDICE DE FIGURAS ............................... ..................................................... ............................................. ............................................. ................................ .......... III ÍNDICE DE QUADROS............................................ .................................................................. ............................................. ......................................... .................. V 1. Introdução.................................. ......................................................... ............................................. ............................................ ............................................ .......................... .... 1 1.1. Generalidades...................................................... ............................................................................ ............................................. ...................................... ............... 1 1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas ............................................. ............................................................ ............... 1 1.1.2. Modelos de cálculo........................................... .................................................................. ............................................. ................................. ........... 1 1.1.3. Classificação de secções.......................................... ................................................................. ............................................. .......................... .... 3 1.1.4. Comprimento de encurvadura ............................... ..................................................... ............................................ ............................. ....... 6 2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão ....................... ............................................. .................................. ............ 8 2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos ......................... ................................................ ......................... 12 2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão: encurvadura por compressão e flexo-compressão flexo-compressão (Fórmula de Euler) ............................ ............................ 12 12 2.1.2. Elementos uniformes ............................ .................................................. ............................................. ............................................ ..................... 16 2.1.3. Elementos não uniformes ............................. ................................................... ............................................ .................................... .............. 29 2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção .................................. .................................. 29 29 2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ............................................. ............................ ...... 43 2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ............................................. ............................ ...... 47 2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento segundo o eixo fraco (zz’s) ........................................................ ............................................................................... ...................................... ............... 47 2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas ............................ 48 2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas ........................................... .............................................. ... 50 Kz=Kw ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ .................................... .............. 50 Kw=1 ............................................. .................................................................... .............................................. .............................................. ..................................... .............. 51 Segundo o quadro da página 71 ............................................. ................................................................... .......................................... .................... 51 51 2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas ........................................... .............................................. ... 52 2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas ........................................... .............................................. ... 54 2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída....................... 57 2.2.7. Viga em consola ............................... ...................................................... .............................................. ............................................... ........................ 64

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5

Parte IV / I

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2.4. Flexão composta com compressão ................................................................................ 68 2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral .................................. 72 2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral .............................. 74 2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3 ............................. 82 2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas comparações ................................................................................................................... 101 BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................... 131 ANEXO I – Encurvadura Lateral (incluindo o Anexo F do EC3 de 1993) ........................... 132 ANEXO II – Tabelas .............................................................................................................. 146 ANEXO III – Encurvadura (em inglês) ................................................................................. 149 Types of instability at the sectional level ....................................................................... 156 Instability at the joints/nodes/connections level............................................................. 158 Buckling domains (global, element, sectional and nodes) ............................................. 159 Material properties during the buckling process ................................................................ 161 Structural stability of frames in standard (EC3) ................................................................. 162 Final remarks & recommendations .................................................................................... 162

II

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ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 – Comportamento rígido-plástico ................................................................................ 2 Figura 2 – Comportamento elasto-plástico ................................................................................ 2 Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito ................................................................... 3 Figura 4 – Comportamento de secções à flexão......................................................................... 4 Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços ...................................... 5 Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura ................... 5 Figura 6A – Secções transversais da classe 4 ............................................................................ 6 Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L .............. 7 Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira. .... 9 Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas .......................................................................................................................................... 10 Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos das vigas ........................................................................................................................... 10 Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares ........................................................................ 11 Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler ........................................................................... 13 Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado ........................... 15 Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida, irreal dado que não contém imperfeições......................................................................... 17 Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais. .. 18 Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada ....................... 19 Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler .................................... 19 Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de vigas – esquema ............................................................................................................... 30 Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem .................. 30 Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial segundo o eixo dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura com flexão lateral (deslocamento “u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção (rotação “ϕ”). .................................................................................................................... 31 Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada . 31 Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido .......................................................................................................................................... 31

III

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Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em bambeamento (encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral) ............................ 32 Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte flexo-torsionada................................................................................................................ 32 Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada.. 33 Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis .......................................................................................................................................... 33 Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais .......................................................................................................................................... 34 Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça .. 39 Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitude da esbelteza ... 40 Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento ............ 40 Figura 12 D - Redução entro M cr e λ LT nornalizado................................................................. 40 Figura F.1.1 – Convenção de sinais para a determinação de Zj ............................................. 138

IV

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ÍNDICE DE QUADROS Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo ..................... 7 Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais ................................................................... 12 Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 – Cap. 6.3.1.2) ..................................................................................................................... 20 Quadro 4 – Factores de redução ............................................................................................... 20 Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal ...................... 21 Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral ................................................................................................................................ 35 Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais ............... 36 Quadro 8 – Factores de correcção K c ....................................................................................... 37 Quadro 9 - Valores de N Rk = f y Ai, M i, Rk = f yW i e Δ M i,Ed (EC3). ................................................ 69 Quadro F.1.1 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K – Momentos nos apoios ..................................................................................................... 136 Quadro F.1.2 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K – cargas nos vãos ............................................................................................................... 137 Quadro A1.1 - Factores para o cálculo do momento crítico em tramos de vigas com comprimento L e secção duplamente simétrica (Simões, 2005) .................................... 145 Quadro A2.1 - Centro de Corte e Módulo de Torção............................................................. 147 Quadro A2.2 - Tensões tangenciais e constante de torção em secções correntes (Simões, 2005)............................................................................................................................... 147 Quadro A2.3 - Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2005) ............... 148

V

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1. Introdução 1.1. Generalidades 1.1.1. Estados-limites tipo de análise de estruturas Embora se tenha consciência que os próximos pontos já foram anteriormente abordados, mas atendendo a um eventual estudo desfasado e dada a importância dos conceitos envolvidos, julga-se pertinente a sua reapreciação. Em caso destes princípios estarem ainda presentes, será de ir directamente para o ponto 5.5.2. Devido às propriedades físicas e mecânicas do aço, a pesquisa neste campo conduziu ao desenvolvimento de estruturas metálicas (correntes e em particular porticadas) caracterizadas cada vez mais por elementos lineares de esbelteza considerável. Assim, a verificação da segurança ocupa um papel fundamental no cálculo e dimensionamento das mesmas com o intuito de salvaguardar pessoas e bens através do estudo físico, tanto de fenómenos intrínsecos (tensões, ligações, etc), como extrínsecos (vento, sismo, etc.). Relativamente à verificação da segurança no respeitante a estruturas de aço, o EC3 preconiza os seguintes critérios gerais:

•

– estado associado ao colapso da estrutura com risco da segurança de pessoas e bens. Na generalidade consideram-se os estados limites de resistência, de estabilidade e de perda de equilíbrio (raramente a fadiga em estruturas metálicas de Construção Civil).

•

– devem ser definidos de acordo com as condições particulares de utilização de cada estrutura. Sendo um estado limite, as suas condições específicas de utilização deixam de ser verificadas. Na generalidade das estruturas metálicas consideram-se os estados limites de deformação e de vibração.

1.1.2. Modelos de cálculo Em termos de dimensionamento, deverá prever-se que nenhum estado limite relevante seja excedido. Para tal dever-se-ão considerar todas as situações do projecto onde constem cargas aplicadas importantes para a estabilidade da estrutura, bem como possíveis desvios direccionais ou posicionais das acções consideradas. Jamais as acções destabilizantes poderão ser maiores que as acções estabilizantes, sob risco de colapso e/ou deformação da estrutura.

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5

Parte IV / 1

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Em termos do número de vínculos de uma estrutura temos duas situações:

• Estrutura isostática: Sempre recorrendo a uma Análise Global Elástica, os esforços de uma estrutura isostática devem ser determinados através da aplicação das regras de equilíbrio estático.

• Estrutura hiperestática: O cálculo dos esforços pode ser determinado segundo duas variantes: ¾

Análise global elástica – é baseada na linearidade das relações entre tensão e a deformação do material

em qualquer ponto da estrutura, qualquer que seja a tensão actuante. Existindo uma tensão actuante logo deverá existir uma deformação no material, inter-reagindo em proporcionalidade uma em relação à outra; ¾

Análise global plástica (comportamento rígido-plástico, elasto-plástico ou elasto-plástico perfeito) – é

baseada na plastificação de algumas zonas da estrutura (formação de rótulas plásticas) só podendo ser efectuada se a mesma verificar determinados requisitos relativos à estabilidade global estrutural e do próprio material. No comportamento rígido-plástico (fig. 1) desprezam-se as deformações elásticas do material.

Figura 1 – Comportamento rígido-plástico

No comportamento elasto-plástico (fig. 2) admite-se que a secção se mantém perfeitamente elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto A). No comportamento elasto-plástico perfeito, admite-se que a secção se mantém perfeitamente elástica até se atingir o momento resistente plástico (ponto B), tornando-se a seguir perfeitamente plástica (fig. 3).

fy

A

s t i c a á l p o e l a s t f a s e

fase elástica

Figura 2 – Comportamento elasto-plástico

EC3 – Volume IV

2

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B

fy

fase elastoplástica perfeita

fase elástica

Figura 3 – Comportamento elasto-plástico perfeito

Segundo o EC3, a escolha do tipo de análise a efectuar a uma estrutura (em particular aos elementos estruturais e ligações) depende das condições que se passam a apresentar. Para uma

:

• Aços com ductilidade suficiente, verificando os requisitos estabelecidos no subcapítulo 3.2.2.2 do EC3;

• As secções transversais onde se formem rótulas plásticas devem possuir capacidade de rotação suficiente. No caso de as rotações requeridas não serem calculadas, as secções devem ser da classe 1;

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem ser simétricas em relação ao plano de acção;

• As secções onde se formem rótulas plásticas devem estar contraventadas lateralmente. Para uma

:

• As secções transversais podem ser de qualquer classe. Se forem das classes 1 ou 2, pode ser considerada no seu cálculo orgânico a sua resistência plástica. Se forem das classes 3 ou 4, deve ser considerada a resistência elástica, considerando uma área efectiva reduzida no caso de serem da classe 4 (ver fig. 4 e 5).

• Pode ser considerada a redistribuição de momentos, até ao máximo de 15%, desde que os esforços internos continuem em equilíbrio com os carregamentos actuantes e as secções dos membros onde se considera a redistribuição sejam das classses 1 ou 2.

1.1.3. Classificação de secções Com base nisto, assume assim importante destaque a classificação das secções transversais dos elementos estruturais metálicos a utilizar no processo de cálculo e dimensionamento. EC3 – Volume IV

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Tendo em conta as suas capacidades de rotação e de formação de rótulas plásticas, as secções transversais podem classificar em:

•

– são aquelas secções em que se pode formar uma rótula plástica com a capacidade de rotação requerida por uma análise plástica;

•

– são aquelas secções em que é possível atingir o momento plástico, mas que possuem uma capacidade de rotação limitada;

•

– são aquelas secções em que a tensão da fibra externa mais comprimida do elemento de aço pode atingir o valor da tensão de cedência, mas em que o momento plástico poderá não ser atingido, devido à encurvadura local;

•

– são aquelas secções em que é necessário ter em conta, explicitamente, os efeitos da encurvadura local na determinação da sua resistência à flexão ou compressão. A redução da resistência é efectuada através do cálculo de uma secção efectiva reduzida.

Podemos resumir graficamente (fig. 4) a classificação atrás apresentada relativa ao comportamento à flexão de secções da seguinte forma:

M Mp classe 2 classe 3 classe 4

Me

classe 1

Ø

Figura 4 – Comportamento de secções à flexão

Sendo: ¾ ¾

M e – Momento elástico. M p

– Momento plástico.

No respeitante à máxima distribuição possível de tensões (óptimo rendimento do material), a situação é a traduzida na figura 5, sendo visível que a configuração mais favorável será para EC3 – Volume IV

4

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um aproveitamento do domínio plástico, possível nas classes 1 e 2, e a pior a respeitante à classe 4, em que nem é possível atingir o limite elástico na fibra mais esforçada. fy

fy

fy

fy classe 1 e 2

f < fy

f < fy classe 3

classe 4

Figura 5 – Comportamento de secções à flexão – gráfico de esforços

Segundo a definição da Classe 3, as proporções do elemento de chapa, representadas pela relação b/t, devem ser tais que σcr exceda a resistência limite elástica, ou de plastificação, do material, f y, de modo que a plastificação ocorra antes da encurvadura dos elementos de chapa da secção. O comportamento ideal elasto-plástico de um elemento de chapa perfeito, submetido a compressão uniforme, pode-se representar por um diagrama carga-esbelteza normalizado, em que a carga de rotura normalizada:

E a esbelteza normalizada (também designada por reduzida):

Se podem colocar em ordenadas e abcissas, conforme figura 6.

Figura 6 – Representação adimensional da tensão elasto-plástica de encurvadura EC3 – Volume IV

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No que respeita à classe 4, mais frequente em secções enformadas a frio ou soldadas, admitese a existência de fenómenos de instabilidade local que impedem que se desenvolva toda a capacidade elástica resistente da secção (analisar fig. 3). O EC3 preconiza que a avaliação da resistência seja efectuada com base numa secção efectiva reduzida, descontando, nesta análise, as zonas susceptíveis de instabilizar localmente (fig.6A). No caso de numa peça existirem elementos de classes diferentes, a classe da secção da mesma será sempre dada pela maior classe dos elementos comprimidos (a mais desfavorável).

zona não efectiva

eixo neutro

e

eixo neutro da secção efectiva

M

Secção Transversal Bruta

Secção Transversal Efectiva

Figura 6A – Secções transversais da classe 4

Define-se assim uma área efectiva, havendo a necessidade de deslocar o eixo neutro da peça devido à supressão de parte da massa (zona não efectiva). Este conceito envolve dois aspectos: o cálculo da largura efectiva e a sua localização na secção.

1.1.4. Comprimento de encurvadura No caso genérico da instabilidade de uma estrutura, normalmente estuda-se o comportamento de uma barra comparando-a coma sua congénere articulada nos seus extremos, de secção constante e com uma carga axial também constante aplicada em toda a sua longitude, da qual se conhece bem o seu comportamento. Na prática, salvo raras excepções, não é possível encontrar esta situação teórica que serve de padrão. Além disso, com a variação da carga ao longo da peça (p.e. devido às suas imperfeições de fabrico ou de aplicação no local) esta pode ser de secção transversal variável. Para uma barra isolada, de secção constante e com apoios perfeitos, considera-se o comprimento de encurvadura como o comprimento de uma barra fictícia, bi-rotulada nos extremos, sujeita a uma determinada carga axial, constante ao longo de todo o seu comprimento. De uma forma geral:

• Pórtico de nós fixos: o comprimento de encurvadura é inferior ao comprimento real da EC3 – Volume IV

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peça – sendo, no máximo, o da peça;

• Pórtico de nós móveis: o comprimento de encurvadura é superior ao comprimento real da peça – sendo, no mínimo, o da peça.

0.5

0.7

1.0

1.0

2.0

2.0

Figura 7 – Coeficiente de comprimento de encurvadura de elementos isolados Le/L

Nos tipos de secções transversais normalmente usadas em elementos comprimidos (pilares) laminados a quente, a encurvadura relevante é geralmente a encurvadura por flexão de peça e utiliza-se o termo encurvadura por “varejamento”. Resumindo e associando a análise global material (ou física) com a classificação das secções podemos construir, sinteticamente, a tabela 1. Quadro 1 - Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo

Cálculo do Estado-límite Último - Definição de modelos de cálculo Modelo

Método de análise global (cálculo de esforços Cálculo da resistência da secção da peça internos e momentos)

I

Plástico

Plástico (Classe 1)

II

Elástico

Plástico (Classe 1 e 2)

III

Elástico

Elástico (Classe 3)

IV

Elástico

Elástico com encurvadura (Classe 4)

EC3 – Volume IV

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2. Resistência à encurvadura por compressão e/ou flexão Devido às elevadas tensões resistentes do aço, o cálculo e o dimensionamento de estruturas metálicas correntes, e em particular de estruturas porticadas, tende a ser condicionado pelos fenómenos de (i) instabilidade global, (ii) ao nível do elemento (especialmente dos pilares), (iii) da secção (local) ou (iv) das ligações. A avaliação do comportamento de um pórtico, em termos de estabilidade global, é condicionada pelo facto de ter deslocamentos laterais significativos (nós móveis) ou não (nós fixos). Genericamente, no caso de não existirem deslocamentos globais laterais expressivos da estrutura (pórticos de nós fixos), a verificação da segurança do pórtico em termos de estabilidade passa por verificar a encurvadura por: Varejamento (também designada de encurvadura por flexão, já que a compressão gera flexão segundo o eixo de menor inércia, com um deslocamento lateral perpendicular à acção da força, que é aplicada segundo o eixo longitudinal da peça) das barras comprimidas (em geral dos pilares), no plano do pórtico ou perpendicularmente a este (para fora do plano); Bambeamento, ou a encurvadura lateral (ou flexo-torsional) de barras submetidas a esforços de flexão. Ou seja, estuda-se unicamente possíveis fenómenos de instabilidade local. Em pórticos de nós móveis terá que se verificar a sua estabilidade global, concomitantemente, sem prejuízo que face à mobilidade própria destas estruturas, com deslocamentos laterais não desprezáveis, os efeitos locais serem agravados (a encurvadura local é mais gravosa). A verificação da segurança dos elementos depende essencialmente de uma correcta definição dos comprimentos de encurvadura, no caso de elementos à compressão, e dos comprimentos entre secções contraventadas lateralmente, no caso de elementos submetidos à flexão. A possibilidade de instabilidade de partes da secção terá que ter sido em conta naquelas que se classificam na classe 4, devendo ser removidas do cálculo da sua resistência as porções que potencialmente empenem. Nas secções da classe 3 apenas podemos efectuar um aproveitamento elástico do material. Nas secções da classe 1 e 2 podemos efectuar um aproveitamento plástico do material. Segue-se a apresentação de algumas situações que traduzem problemas de instabilidades por encurvadura, bem como a apresentação de imagens de peças em pós-encurvadura. EC3 – Volume IV

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Figura 7 A – Encurvadura genérica de chapas e de depósitos, como subsidiária a primeira. EC3 – Volume IV

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Figura 7 B – Tipos de encurvadura mais habituais e condicionantes em estruturas porticadas

Figura 7 C – Esmagamento de um pilar por ausência de reforço no prolongamento dos banzos das vigas EC3 – Volume IV

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Figura 7 D – Encurvadura colectiva de pilares

Numa súmula que se antecipa o estudo a efectuar, podemos adiantar: Os aspectos mais destacados da encurvadura de elementos estruturais resumem-se no Quadro 2; A estabilidade de pórticos sem deslocamentos laterais horizontais está controlada pela estabilidade de cada uma das colunas individualmente; A estabilidade de um pórtico com deslocamentos horizontais está controlada pela rigidez à flexão das colunas e das vigas, bem como da rigidez das ligações das vigas-coluna (e de todos os elementos em geral, ainda que mais importante nos elementos citados). A forma mais eficaz de melhorar a resistência à encurvadura é incrementar as dimensões das secções transversais, introduzir reforços ou restrições de apoio adequadas para modificar o modo de encurvadura para valores de energia mais elevados.

EC3 – Volume IV

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Estruturas Metálicas Quadro 2 - Encurvadura de elementos estruturais

2.1. Resistência à encurvadura de elementos comprimidos O comprimento de encurvadura de um elemento uniforme, ou seja, com secção transversal constante, integrado num pórtico, pode ser definido como o comprimento de uma barra fictícia, bi-rotulada, que, para um dado carregamento, instabilizaria em simultâneo o pórtico. Considera-se que na ausência de qualquer esforço o eixo da peça é perfeitamente rectilíneo.

2.1.1. Elementos comprimidos axialmente – Varejamento ou encurvadura por flexão: encurvadura por compressão e flexo-compressão (Fórmula de Euler) Leonhard Euler estabeleceu a carga crítica de encurvadura de uma peça comprimida axialmente (fig. 8A) quando se verificam as seguintes condições.

• As deformações são suficientemente pequenas (teoria das tensões de segunda ordem); • O material cumpre infinitamente a lei de Hooke, bem como as hipóteses de Navier; • O eixo da peça é perfeitamente recto e a carga axial Ν de compressão está exactamente centrada no seu eixo; EC3 – Volume IV

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• Os extremos da peça são perfeitamente articulados e os deslocamentos encontram-se suprimidos na direcção perpendicular à directriz da barra, sendo a sua secção constante em todo o seu desenvolvimento longitudinal;

• A peça encontra-se num estado tensional neutro, sem tenções residuais ou de qualquer outro tipo. N z

f máx. l

y

Z

f=f máx. sen

l x

N Figura 8 A – Encurvadura por flexão - Euler

Tendo em conta as condições de Euler, considera-se a carga crítica de Euler, N E, como: N E =

π 2 E I

l 2

Com:

• NE – carga crítica de Euler • E – módulo de elasticidade • I – momento de inércia da secção ¾

l – comprimento de encurvadura da peça

A barra poderá permanecer recta conservando a sua forma primitiva, ou adoptar uma posição definida pela equação: f = A sen .

π . z

l

Sendo “f”a deformada/excentricidade da barra. À carga axial, NE, corresponde a tensão σE: EC3 – Volume IV

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σ E = Ν E Α Com: ¾

A - Área da secção transversal da barra;

¾ σ E -

Tensão crítica de Euler.

Ao aproximar “N” do valor de “N E” a peça pode permanecer recta, se não existir causa que a demova desta posição, ou iniciar a sua encurvadura, se existir alguma causa que altere o seu equilíbrio (imperfeições da sua forma, excentricidade da carga aplicada, etc.). Quando o esforço axial é acompanhado de uma flexão, N .vmáx , criando-se uma tensão máxima σ máx definida pela expressão: σ máx

=

N N . f máx + A w

Com: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

N - Esforço axial de compressão vmáx - Flecha no centro da coluna A - Área de secção transversal w- Módulo de elasticidade da secção no plano em que se dá a flexão da barra. f máx - Flecha máxima da barra.

Para valores de “N” ligeiramente superiores a “N E”, a flecha máxima “f máx” deduz-se da seguinte expressão: f máx ≅ 0.9 .l . Δ N N E Com:

Δ N = N − N E Na realidade a peça encurvará antes de se atingir “N E”, já que as suposições teóricas são, na prática, impossíveis de cumprir (por exemplo, não há peças com eixo perfeitamente recto, verticalidade absoluta ou carga completamente centradas), dadas as imperfeições existentes. Na figura 8A pode-se observar uma peça que, sujeita a uma flexão “M e=N×e” provocada pela carga “N”, possui já uma deformada inicial que produz também o, consequente, momentoflector com essa excentricidade e o: Meo=N×eo.

EC3 – Volume IV

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Daqui surge uma tensão de flexão máxima σB, Figura 8 B a), que somada a N e à tensão residual σR origina a distribuição de tensões que se apresenta na figura 8 B b). Se σmax é maior que a tensão de cedência (limite elástico), a distribuição final de tensões será parcialmente plástica e uma parte do elemento entraria em cedência por compressão, como se vê na figura 8 B c).

Figura 8 B – Estado de um elemento comprimido parcialmente encurvado

No caso de elementos comprimidos axialmente a capacidade de resistência desta peça deduzse da seguinte expressão (EC3 - Cap 6.3.1.1): Secções de classe 1, 2 ou 3 N b, Rd =

χ × A × f y γ M 1

Secções de classe 4 N b , Rd =

EC3 – Volume IV

χ × Aeff × f y γ M 1

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Com: f y

¾

- Tensão de cedência do aço

¾

A – Área total da secção

¾

Aeff – Área efectiva da secção transversal de classe 4

¾

Aeff

- Área da secção efectiva da peça e A área total da secção.

¾

χ - É o factor de redução para o modo de encurvadura relevante.

¾

γ M 1 - Coeficiente de segurança.

O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).

2.1.2. Elementos uniformes Se considerarmos o elemento uniforme, ou seja, com secção constante ao longo de todo o seu desenvolvimento (secções transversais constantes), sujeito a uma compressão axial também constante, o valor do factor de redução para o modo de encurvadura relevante: χ

Que corresponde à esbelteza adimensional, reduzida ou normalizada: _

λ

E pode-se determinar a partir da expressão: χ =

1

⎡ 2 _ 2 ⎤ φ + ⎢φ − λ ⎥ ⎣ ⎦

0 ,5

Mas com χ ≤ 1 (EC3 - Cap 56.3.1.1). Em que:

¾ ¾

_ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ = 0,5⎢1 + α ⎜ λ − 0,2 ⎟ + λ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ; = factor de imperfeição – ver quadro 1;

α

¾

λ – Coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional.

Este coeficiente de esbelteza normalizada ou adimensional pode ser identificado como:

•

λ =

A f y λ LCr 1 f y LCr 1 - Secções de classe 1, 2 ou 3 = = = N cr λ 1 i π E i λ 1

EC3 – Volume IV

16

Série Estruturas


Aeff f y λ Aeff LCr 1 Aeff f y LCr Aeff / A = = = λ 1 A λ 1 N cr i π A E i

λ =

•

- Secções de classe 4

Em que: ¾

N Cr – Carga crítica elástica (carga critica de Euler) λ 1 = π

¾ ¾

λ = l i

¾ ε

¾

E = 93,3ε f y

= Factor em função do tipo de aço calculado a partir da expressão:

⎛ 235 ⎞ ⎟ ε = ⎜ ⎜ f y ⎟ ⎝ ⎠

0 ,5

, com “fy” em N/mm2.

A relação entre estas grandezas pode ser apreciada na Figura 8C, sendo usado “L E” (comprimento de encurvadura segundo o conceito de carga crítica de Euler, no qual não existem imperfeições).

Figura 8 C – Comportamento perfeito (teórico, segundo Euler) de uma coluna comprimida, irreal dado que não contém imperfeições.

Na realidade, e uma vez que existem imperfeições, ensaios experimentar reais ficam abaixo da linha que traduz a carga crítica de Euler para cada valor da esbelteza normalizada, conforme círculos da Figura 8D. Através do coeficiente de encurvadura, χ , que vem em função de esbelteza adimensional, o Eurocódigo 3 (EC3) minora a resistência do aço em compressão axial (ver quadro 2). O factor de imperfeição ( ) depende da curva de encurvadura da peça, relacionada entre χ e α

λ . EC3 – Volume IV

17

Série Estruturas


Figura 8 D – Comportamento real de uma coluna comprimida, com base em ensaios reais.

Conforme a figura 9A e 9B e o quadro 4. As curvas têm o seguinte significado:

• A

(a defenir)

• A

representa formas quase perfeitas, perfiles I laminados a quente (h/b >

1,2) com banzos delgados (tf <= 40 mm) sem encurvadura perpendicular ao eixo maior; também representa perfis tubulares laminados a quente.

• A

representa formas com imperfeições médias: define o comportamento da

maioria dos perfiles em caixão soldados, de perfis I laminados a quente que encurvam segundo o eixo menor, de perfis I soldados com banzos delgados (tf <= 40 mm) e de perfis I laminados com banzos de espessura média (40 < tf <= 100 mm) que encurvam pelo eixo maior. Respeita também às secções tubulares laminadas a frio, tomando-se a resistência média depois do elemento laminado.

• A

representa formas com muitas imperfeições: os perfis U, L e T estão nesta

categoria, bem como as secções em caixão soldadas, as tubulares laminadas a frio e calculadas com a resistência plástica da chapa antes de laminar. Ainda podem caber nesta classe os perfis H laminados a quente de chapas grossas (h/b <= 1,2 e tf <= 100 mm) que encurvam pelo eixo menor e alguns perfis I soldados (tf <= 40 mm), que encurvam pelo eixo menor e tf > 40 mm e que encurvam pelo eixo maior.

• A

representa formas com o máximo de imperfeições: aplica-se a perfis I

laminados a quente com chapas muito grossas (tf > 100 mm) e secções I soldadas muito grossas (tf > 40 mm), que encurvam pelo eixo menor.

EC3 – Volume IV

18

Série Estruturas


Figura 9A – Relação entre o factor de encurvadura e a esbelteza normalizada

Importa fazer notar que as curvas de encurvadura fixaram-se para elementos articulados carregados axialmente num extremo, se as condições forem diversas corrigir o comprimento de encurvadura.

1,0 EULER 0,8

0,6

d

c

b

Curvas de Encurvadura (Eurocódigo)

a

0,4

0,2

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

Figura 9B – Curvas de encurvadura e contraste com a curva de Euler

Assim, o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura e pode ser obtido através do quadro 3. EC3 – Volume IV

19

Série Estruturas


Quadro 3 – Factores de imperfeição – curvas europeias de encurvadura à compressão (EC3 – Cap. 6.3.1.2) Factores de imperfeição α Curva de encurvadura Factor de imperfeição α

a0 0,13

a 0,21

b 0,34

c 0,49

d 0,76

O factor de redução da encurvadura poderá ser obtido directamente ou por interpolação através dos valores do quadro 4, em função da curva de encurvadura e da esbelteza normalizada. Quadro 4 – Factores de redução Factores de redução χ _

λ

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

Curva de encurvadura a 1,0000 0,9775 0,9528 0,9243 0,8900 0,8477 0,7957 0,7339 0,6656 0,5960 0,5300 0,4703 0,4179 0,3724 0,3332 0,2994 0,2702 0,2449 0,2229 0,2036 0,1867 0,1717 0,1585 0,1467 0,1362 0,1267 0,1182 0,1105 0,1036

b 1,0000 0,9641 0,9261 0,8842 0,8371 0,7837 0,7245 0,6612 0,5970 0,5352 0,4781 0,4269 0,3817 0,3422 0,3079 0,2781 0,2521 0,2294 0,2095 0,1920 0,1765 0,1628 0,1506 0,1397 0,1299 0,1211 0,1132 0,1060 0,0994

c 1,0000 0,9491 0,8973 0,8430 0,7854 0,7247 0,6622 0,5998 0,5399 0,4842 0,4338 0,3888 0,3492 0,3145 0,2842 0,2577 0,2345 0,2141 0,1962 0,1803 0,1662 0,1537 0,1425 0,1325 0,1234 0,1153 0,1079 0,1012 0,0951

d 1,0000 0,9235 0,8504 0,7793 0,7100 0,6431 0,5797 0,5208 0,4671 0,4189 0,3762 0,3385 0,3055 0,2766 0,2512 0,2289 0,2093 0,1920 0,1766 0,1630 0,1508 0,1399 0,1302 0,1214 0,1134 0,1062 0,0997 0,0937 0,0882

Poderemos saber, assim, de uma forma expedita a percentagem da secção que é aproveitada mediante os esforços aplicados.

EC3 – Volume IV

20

Série Estruturas


Em termos do EC3, quando ocorre a encurvadura por flexão (varejamento) de uma peça, a curva de encurvadura apropriada pode ser determinada através do quadro 5. Quadro 5 - Escolha da curva de encurvadura em função da secção transversal

Quando se tratem de secções que não estejam classificadas neste quadro, deverão ser consideradas de forma análoga às nele classificadas. As curvas de encurvadura apresentadas EC3 – Volume IV

21

Série Estruturas


neste quadro tipificam um comportamento padronizado que reflecte a relação entre a esbelteza da peça e o seu próprio comprimento de encurvadura. A tabela 5 ajuda a seleccionar a curva de encurvadura conveniente em função do tipo de secção, seus limites dimensionais e o eixo pelo qual pode ocorrer a encurvadura. Em secções tubulares conformadas a quente, f yb é a resistência plástica à tracção e f ya é a resistência média plástica. Se a secção em estudo não é idêntica às descritas, deve classificar-se analogamente.

2.1.2.1. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 sem contraventamento Dados:

• •

fy = 235 (MPa ou N/mm 2) ε =

235 / f y = 1

Verifique a resistência para N x,Ed= 2800 kN admitindo um pilar com 10m de vão encastrado na base, não contraventado, logo com possibilidade de encurvar livremente.

EC3 – Volume IV

22

Série Estruturas


Não existem contraventamos, nem segundo o eixo dos yy’s (eixo forte), nem segundo o eixo fraco (que corresponde a o eixo do zz’s). - Perfil HEA 500. - NxEd= 2800 kN. - S235 (fy=235 MPa) λ =

l 0 l 2 × 10 ⇒ λ z = 0 = = 276 i i z 2,74 ×10− 2

A esbelteza “ λ z” corresponde ao eixo fraco (zz’s), bem como “iz” corresponde ao raio de giração segundo este eixo (zz’s). O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.

ε =

235 235 = =1 fy 235

λ 1 = 93,3 × ε = 93,3 × 1 = 93,3

EC3 – Volume IV

23

Série Estruturas


Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada: λ =

λ λ 1

=

276 = 2,94 93,9

Para escolher a curva de encurvadura europeia: h 500 = = 1,67 ≥ 1,2 b 300

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “b”. Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução): 1º) Pelo gráfico:

χ ≈ 0.10

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “b”. EC3 – Volume IV

24

Série Estruturas


2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos: χ ≈ 0,103

3º) Através da utilização da expressão: χ =

1 φ + φ 2 − λ 2

, mas χ ≤1

Em que: _ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ = 0,5⎢1 + α ⎜ λ − 0,2 ⎟ + λ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Sendo “α” factor de imperfeição. Aplicação das fórmulas apresentadas: χ =

1 φ + φ 2 − λ 2

=

1 = 0,103 ≤ 1, Ok ! 5,29 + 5,292 − 2,942

Pois: _ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ = 0,5⎢1 + α ⎜ λ − 0,2 ⎟ + λ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

φ = 0,5 1 + 0,34(2,94 − 0,2 ) + 2,942

= 5,29

Já que:

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3): N b , Rd =

χ × A × f y γ M 1

0,103× 197,5 × 10−4 × 235 × 103 = = 478kN 1

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 2800 kN.

EC3 – Volume IV

25

Série Estruturas


2.1.2.2. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento total segundo o eixo fraco (zz’s) Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado segundo o eixo fraco (zz´s). Neste exercício contraventamos o eixo dos zz’s (eixo fraco), só podendo existir encurvadura segundo o eixo forte (que corresponde a o eixo do yy’s). - Perfil HEA 500. - NxEd= 2800 kN. - S235 (fy=235 MPa) λ =

l 0 l 2 × 10 ⇒ λ y = 0 = = 95,23 i i y 21× 10− 2

A esbelteza “ λ y” corresponde ao eixo forte (yy’s), bem como “iy” corresponde ao raio de giração segundo este eixo (yy’s). O valor “iz” retira-se da tabela de fabricante.

ε =

235 235 = =1 fy 235

λ 1 = 93,3 × ε = 93,3 × 1 = 93,3

Sendo que “ λ ” corresponde a esbelteza normalizada. EC3 – Volume IV

26

Série Estruturas


λ =

λ λ 1

=

95,53 = 1,01 93,9

Para escolher a curva de encurvadura europeia temos a mesma relação que a anterior: h/b>1,2.

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia “a”. Métodos para calcular o valor de χ (factor de redução): 1º) Pelo gráfico:

χ ≈ 0.67

A azul destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”. 2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos: EC3 – Volume IV

27

Série Estruturas

Estruturas Metálicas χ ≈ 0,67

3º) Através da utilização da expressão: 1

χ =

2

φ + φ

− λ 2

, mas χ ≤1

Em que: _ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ = 0,5⎢1 + α ⎜ λ − 0,2 ⎟ + λ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Sendo “α” factor de imperfeição. Aplicação das fórmulas apresentadas: χ =

1

=

φ + φ 2 − λ 2

1 = 0,67 ≤ 1, Ok ! 2 2 1,084 + 1,084 − 1,01

Pois: _ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ = 0,5⎢1 + α ⎜ λ − 0,2 ⎟ + λ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

[

φ = 0,5 1 + 0,21(1,01 − 0,2) + 1,012

] = 1,084

Já que:

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3): N b, Rd =

χ × A × f y γ M 1

0,67 × 197,5 × 10−4 × 235 × 103 = = 3091kN 1

Ou seja, este perfil com contraventamento verifica um esforço axial de 2800 kN.

2.1.2.3. Exemplo da resistência à compressão de perfil HEA 500 com contraventamento parcial segundo o eixo fraco (zz’s) Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo o pilar contraventado, parcialmente, segundo o eixo fraco (zz´s): EC3 – Volume IV

28

Série Estruturas


A meio da sua altura, por espias ao solo; A meio e no seu topo, por espias ao solo. A solução seria idêntica ao exercício 2.1.2.1., mas em que: A meio da sua altura, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de: l 0 = 2 × 5 = 10m

• Uma vez que a partir de meio do pilar este pode varejar livremente, estando simplesmente apoiado nas espias a meio do seu vão mas livre acima destas. A meio e no seu topo, por espias ao solo, corresponde um comprimento de encurvadura de: l 0 = 1× 5 = 5m

• Uma vez que até meio do pilar e a partir de meio deste, o mesmo só pode varejar entre os pontos de contraventamento (ligação às espias), estando simplesmente apoiado nas mesmas.

2.1.3. Elementos não uniformes Para os elementos cuja secção transversal pode variar ao longo do seu comprimento (não uniformes), a resistência à encurvadura pode ser determinada através de uma análise de segunda ordem, a qual deve incluir uma imperfeição inicial. Deste modo, considera-se a peça já deformada (devido às imperfeições) antes da aplicação de qualquer esforço, ou seja, o seu eixo não é perfeitamente recto.

2.2. Bambeamento ou encurvadura lateral de vigas por flexo-torção Suponha-se uma viga nas condições da figura 10. Esta viga é suportada em dois apoios que impedem os deslocamentos e as rotações no plano da secção e submetida a uma flexão constante provocada por dois momentos flectores “M” aplicados nos seus extremos. Assim, a parte superior da viga encontra-se comprimida e, ao mesmo tempo, a parte inferior permanece traccionada. Esta compressão na zona superior pode provocar, quando o momento-flector alcança um determinado valor, Momento Crítico - “M Cr ”, um fenómeno de instabilidade denominado bambeamento (ou encurvadura lateral ou, ainda, encurvadura por flexo-torção), que consiste em deformações transversais acompanhadas de rotações que as diferentes secções da viga sofrem. A peça instabiliza quando a sua zona comprimida atinge tensões que ultrapassam a sua capacidade resistente flexo-torsora, fugindo lateralmente da sua posição de equilíbrio e EC3 – Volume IV

29

Série Estruturas


sofrendo torção (dado o banzo comprimido tender a deslocar a secção lateralmente – para fora do seu eixo longitudinal inicial, enquanto o traccionado a tenta manter na sua posição inicial). Para efeitos de cálculo, o comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as duas extremidades impedidas de se deslocarem lateralmente, pode, pelo lado da segurança, ser considerado igual ao seu comprimento nominal. Por outro lado, poderá também ser determinado através de esquema informativo do Eurocódigo 3, conforme volume anterior sobre este assunto.

Figura 10 – Encurvadura lateral (flexão segundo o eixo fraco acompanhada de torção) de vigas – esquema

compressões

M yy

h

tracções Figura 11 A - Encurvadura lateral de vigas – diagramas de tensões de 1.ª ordem EC3 – Volume IV

30

Série Estruturas


Figura 11 B - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte seccional da flexão inicial segundo o eixo dos yy’s (deslocamento “v”) a que se segue o fenómeno de encurvadura com flexão lateral (deslocamento “u”) segundo o eixo fraco (eixo dos zz’s) e torção (rotação “ ϕ”).

Figura 11 C - Encurvadura lateral de vigas – esquema em corte da secção flexo-torsionada

Figura 11 D – Exemplos de encurvadura por flexão com empenamento do banzo comprimido EC3 – Volume IV

31

Série Estruturas


Figura 11 E - Encurvadura lateral de vigas – esquema em alçado de uma consola em bambeamento (encurvadura por flexo-torção ou encurvadura lateral)

Figura 11 F - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta e da secção em corte flexotorsionada EC3 – Volume IV

32

Série Estruturas


Figura 11 G - Encurvadura lateral de vigas – esquema da barra em planta flexo-torsionada

Figura 11 H - Encurvadura de coluna e encurvadura de viga e grandezas físicas relacionáveis

EC3 – Volume IV

33

Série Estruturas


Figura 11 I – Redução do comprimento de encurvadura por inclusão de travamentos pontuais

Tendo em conta que a viga não está contraventada lateralmente (senão não se daria o fenómeno de bambeamento ou encurvadura lateral), o valor de cálculo do momento resistente à encurvadura lateral é dado pela expressão: f y

M b, Rd = χ LT W y

Método Geral:

¾

Wy = Wpl,y em secções de classes 1 e 2

¾

Wy = Wel,y em secções de classe 3

¾

Wy = Weff,y em secções de classe 4

¾

χ LT =

γ M 1

Factor de redução para a encurvadura lateral correspondente à esbelteza

normalizada λ LT . O factor de redução para a encurvadura lateral: χ LT

Pode ser determinado a partir da expressão: χ LT =

1 2

φ LT + φ LT

− λ LT 2

Mas com χ ≤ 1 .

EC3 – Volume IV

34

Série Estruturas


Em que:

⎡ ⎛ _ ⎞ − 2 ⎤ φ LT = 0,5⎢1 + α LT .⎜ λ LT − 0,2 ⎟ + λ LT ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦, W y f y M cr

Correspondente à esbelteza normalizada: λ LT =

E “Mcr ” é o momento elástico crítico relativo à encurvadura lateral de uma viga. No caso desta viga ser de secção transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, nas condições padrão de restrições nos apoios, submetida a uma carga no eixo da sua alma e a um momento uniforme, este momento elástico crítico é dado por: M

E CR

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎛ π 2 EI w ⎞ π 2 = C1 GIT EI z ⎜1 + 2 ⎟ = C1 2 GIT EI z ⎜1 + 2 ⎟ = C1 L L GI L L GI T ⎠ T ⎠ ⎝ ⎝ π

π 2 EI z

L2

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎜ GI T + L2 ⎟ ⎝ ⎠

Ou: M

E CR

= C1 = C 1

= C1

π 2 EI z

π 2 EI z

L2 π 2 EI z

L2

L2

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎜ GIT + L2 ⎟ = C1 ⎝ ⎠

π 2 EI z π 2 EI z

L2

L2

π 2 EI w ⎞ L2 ⎛ ⎜ GI T + L2 ⎟ π 2 EI z ⎝ ⎠

π 2 EI w ⎞ L2 ⎛ ⎜ GI T + L2 ⎟ π 2 EI z ⎝ ⎠

GIT L2 I w + π 2 EI z I z

Com “C1=1”. Sendo “C 1” uma constante que pode ser obtida no Anexo I deste texto e depende de várias condições (apoio, carregamento, etc.) e “ αLT” é o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura, conforme Quadro 6. Quadro 6 - Valores recomendados dos factores de imperfeição para as curvas de encurvadura lateral

Em geral, com o parâmetro de imperfeição “

LT”

α

igual a 0,21 relativamente a secções

laminadas, e igual a 0,49 quando se tratar de secções soldadas.

EC3 – Volume IV

35

Série Estruturas


As curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais para este método alternativo apresentam-se no quadro 7. Quadro 7 - Curvas de encurvadura lateral recomendadas para secções transversais

Secção Secções I ou H laminadas Secções I ou H soldadas Outras secções

Limites

Curva da encurvadura

h/b≤2

a

h/b>2

b

h/b≤2

c

h/b>2

d

-

d

Como método alternativo aplicável a secções laminadas ou soldadas equivalentes: χ LT =

1 2

φ LT + φ LT

− β λ LT 2

Com:

⎧ χ LT ≤ 1 ⎪ ⎨ χ ≤ 1 ⎪ LT λ 2 LT ⎩ φ LT

= 0,5 1 + α LT ( λ LT − λ LT ,o )+ β λ LT 2

Em que λ LT ,0 e β são parâmetros a definir pelos Anexos Nacionais do EC3, sendo recomendados actualmente os seguintes valores limites: ¾

⎧λ LT ,0 ≤ 0,4 ; ⎨ β ≥ 0 , 75 ⎩

¾

α LT

é o factor de imperfeição dependente da curva de encurvadura;

¾

λ LT

é o coeficiente de esbelteza normalizada, obtido da mesma forma

que no método geral; ¾

M cr é o momento crítico elástico.

Para este tipo de secções (laminadas ou soldadas equivalentes) temos um valor mais favorável para o valor inicial da esbelteza normalizada que corresponde ao começo da instabilidade elástica (0,4 em vez de 0,2). EC3 – Volume IV

36

Série Estruturas


De acordo com esta segunda metodologia, a forma do diagrama de momentos flectores ao longo do elemento, entre secções contraventadas, pode ser tida em conta modificando o coeficiente de redução χLT para: χ LT ,mod

=

χ LT

f

, mas χ LT ,mod ≤ 1.0

Os valores de f serão definidos nos Anexos Nacionais do EC3; actualmente, no EC3-1-1 é proposta a seguinte expressão para o cálculo deste factor:

f = 1 − 0.5(1 − K c ) 1 − 2.0(λ LT − 0.8) 2 , mas f ≤ 1.0 Sendo k c um factor de correcção, definido de acordo com o quadro 8. Quadro 8 – Factores de correcção K c

A verificação da encurvadura lateral, segundo o método alternativo proposto no EC3-1-1, pode ser dispensada se for verificada pelo menos uma das seguintes condições: EC3 – Volume IV

37

Série Estruturas

λ LT

¾


≤ 0.4 ou M Ed / M cr ≤ 0.16

Considerando-se: _

_

λ = λ LT χ = χ LT

Os valores do factor de redução para a encurvadura lateral (correspondente à esbelteza normalizada) pode ser obtido através do quadro 4 tendo em conta que:

• Para secções laminadas com α = 0,21 - curva a; • Para secções soldadas com

α = 0,49

- curva c.

Para consulta do quadro 4, que determina o valor do factor de redução, é necessário calcular o valor da esbelteza normalizada a partir da expressão:

⎛ 235 ⎞ ⎟ λ 1 = 93,9 .⎜ ⎜ f y ⎟ ⎝ ⎠

Em que:

0 ,5

ou

λ 1

= 93,9 .ε 0,5

⎛ 235 ⎞ ⎟ ε = ⎜ ⎜ f y ⎟ ⎝ ⎠

Sendo:

f y em N mm 2

0, 5

Analogamente, λ LT pode-se calcular também pela expressão:

•

λ LT =

W y f y , Secções de classe 1, 2 ou 3 M cr

•

λ LT =

W y ,eff f y = , Secções de classe 4 M cr

Também pode ser relacionado por: _

•

λ LT = (λ LT λ 1 ). β w0 ,5

Com: λ 1 = π . ( E f y )

0, 5

¾ ¾ ¾ ¾

ε = (235 β w

f y )0,5

= 93,9 .ε

(com

f y

em N/mm2)

= 1 para secções transversais das classes 1 e 2

β w =W el . y

EC3 – Volume IV

W pl . y

Para secções transversais da classe 3 38

Série Estruturas

¾


β w =W eff . y

W pl . y

Para secções transversais da classe 4

Esta expressão é equivalente à apresentada neste subcapítulo para cálculo de λ (encurvadura por varejamento ou flexão). Por outro lado, o valor da esbelteza normal para a encurvadura lateral, relativo a todas as secções transversais, pode ser aproximado por: λ LT = (π 2 . E .W pl . y

0 ,5

M cr )

A informação necessária para o cálculo directo de M Cr ou de λ LT encontra-se em bibliografia da especialidade. Há, no entanto e conforme figuras 12A a 12C, duas situações possíveis:

• Quando a λ ≤ λ 1 (ou

λ LT ≤ 4

laminadas ou soldadas equivalentes ou λ LT ≤ 2 em geral)

não é necessário considerar a encurvadura lateral, dada a rotura ser plástica (por razões de colapso do material e não de geometria da peça);

• Uma viga perfeitamente contraventada não necessita de ser verificada relativamente à encurvadura lateral. Inclui-se neste caso uma viga que suporte uma laje, dado que esta última dá-lhe estabilidade suficiente desde que impeça os movimentos do banzo comprimido da viga (de notar que no caso de momentos negativos, situação normal nos apoios de continuidade, o travamento deverá ser efectuado no banzo inferior, por exemplo através de varões oblíquos que partem da base da alma para as madres ou laje).

Figura 12 A – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado o tipo de colapso da peça EC3 – Volume IV

39

Série Estruturas


Figura 12 B – Redução entre a tensão e a esbelteza, relacionado a magnitud e da esbelteza

Figura 12 C – Resultados experimentais da curva de encurvadura por bambeamento

Figura 12 D - Redução entro M cr e λ LT nornalizado EC3 – Volume IV

40

Série Estruturas


Diga-se que, em geral e para casos de flexão em vigas com secções I e H laminadas, o factor λ LT

pode ser determinado pela expressão (expressão F.20 do antigo Anexo F do EC3 de

1993): λ LT =

0,9 L / i z

⎡ 1 ⎛ L / i ⎞2 ⎤ (C 1 )0,5 ⎢1 + ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎥ ⎢ 20 ⎝ h / t f ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

0 , 25

Também o factor C1 (Quadro F.1.2. do antigo Anexo F do EC3 de 1993) varia pouco, para cargas distribuídas (e mesmo concentradas), independentemente das condições de apoio da viga (segundo o eixo dos yy’s e dos zz’s), podendo tomar-se o valor unitário (C 1=1), em geral e para as situações correntes. De notar que este factor é colocado sob raiz quadrada na fórmula de λ LT, o que ainda mais faz tender para 1 a sua dispersão em torno deste valor. Por outro lado, considerar C 1=1 é, em geral, conservativo, portanto seguro (verificar tabela F.1.1 e F.1.2 do antigo Anexo F do EC3 de 1993). Contudo, no caso de trechos de barras sem carregamentos, e com variação de momentos significativa, esta simplificação, embora possa ser aplicada, por ser igualmente segura, é um tanto menos económica (consultar-se a tabela respectiva F.1.2 do antigo – 1993 – Anexo F do EC3). No que trata ao momento crítico de uma secção, de que atrás se apresentou a sua fórmula genérica:

M

E CR

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎛ π 2 EI w ⎞ π 2 = C1 GIT EI z ⎜1 + 2 ⎟ = C1 L2 GIT EI z ⎜1 + L2 GI ⎟ = C1 L L GI T ⎠ T ⎠ ⎝ ⎝ π

π 2 EI z

L2

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎜ GI T + L2 ⎟ ⎝ ⎠

Estamos em presença de uma grandeza extremamente importante na aferição da estabilidade da peça, verificando-se que este momento crítico de um elemento submetido a flexão depende de diversos factores, como sejam (Simões, 2005):

• Carregamento (forma do diagrama de momentos flectores); • Condições de apoio; • Ponto de aplicação da carga em relação ao centro de corte da secção; • Comprimento do elemento entre secções lateralmente contraventadas; • Rigidez de flexão lateral; • Rigidez de torção; EC3 – Volume IV

41

Série Estruturas


• Rigidez de empenamento. De facto, a resistência de um elemento à encurvadura lateral depende, principalment,e do valor do momento crítico. Sendo complexa e pouco exequível a dedução de uma expressão exacta para avaliação do momento crítico em cada caso, adoptam-se, em geral, fórmulas aproximadas. Por outro lado, o comportamento de elementos à flexão, no que respeita aos fenómenos de encurvadura lateral, é análogo ao verificado em elementos à compressão, tendo em conta a analogia entre Ncr e Mcr, do que:

• A capacidade resistente de elementos pouco esbeltos (muito estáveis) é condicionada pelo valor do momento plástico da sua secção transversal (Mpl);

• A capacidade resistente de elementos muito esbeltos (pouco estáveis) é condicionada pelo valor do momento crítico associado à encurvadura lateral (Mcr); • A capacidade resistente de elementos de esbelteza intermédia é condicionada pelos valores de Mpl e Mcr (interacção entre fenómenos de plasticidade e instabilidade eslasticidade). O comportamento de uma peça em relação à encurvadura lateral pode ser melhorado de várias formas, tais como (Simões, 2005):

• Aumentando a rigidez de flexão lateral e/ou torção, aumentando a secção ou passando de perfis menos estáveis, ou mais esbeltos (tipo IPE) para outros mais estáveis, ou menos esbeltos (tipo HEA ou HEB) ou ainda para secções tubulares (quadradas, rectangulares ou circulares);

• Contraventando lateralmente a parte comprimida da secção (banzo comprimido no caso de secções em I ou H) passível de instabilizar. Comummente, a segunda solução é mais económica, embora por vezes não seja viável. Os componentes de contraventamento devem ligar a zona comprimida das secções a pontos com deslocamento lateral nulo ou muito atenuado, como apoios exteriores ou zonas traccionadas de perfis adjacentes. Sendo habitual considerar-se estes elementos para resistir a uma percentagem não inferior a 1% da força máxima de compressão que se pode desenvolver no elemento a contraventar, o valor de 2.5% será mais recomendável. Como é óbvio, não é necessário verificar a encurvadura lateral no dimensionamento de elementos à flexão (Simões, 2005):

EC3 – Volume IV

42

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• Secções em I ou H flectidas em torno do eixo de menor inércia (a secção jamais poderá instabilizar segundo o eixo forte);

• Viga contraventada lateralmente por meio de elementos metálicos ou por uma laje em betão (neste último caso para momentos positivos);

• Secções com elevada rigidez de flexão lateral com torção, como as secções fechadas ocas (secções com momento crítico muito elevado). O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês).

2.2.1. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 sem contraventamento lateral Dados:

•

fy = 235 (MPa ou N/mm 2).

•

Verifique a resistência para uma viga com 10m de vão, simplesmente apoiada, com carga distribuída e momento máximo a meio vão de M y,Ed= 600 kNm, não contraventada, logo com impossibilidade de encurvar livremente. - Perfil HEA 500, sendo da Classe 1 em flexão pura, conforme tabela acima. EC3 – Volume IV

43

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- My,Ed= 600 kNm. - S235 (fy=235 MPa) ε =

235 235 = =1 fy 235

λ 1 = 93,3 × ε = 93,3 × 1 = 93,3

Sendo que “ λ LT ” corresponde a esbelteza normalizada: λ LT =

W y ,eff f y M cr

Ou: λ LT = (λ LT / λ 1 ) β w0 , 5

= (λ LT / 93,3) × 10,5

Calculando a esbelteza de forma aproximada por: λ LT =

0,9 L / i z

⎡ 1 ⎛ L / i ⎞ 2 ⎤ (C 1 )0,5 ⎢1 + ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎥ ⎢ 20 ⎝ h / t f ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

0 , 25

=

0,9 × 10 / (7,24 × 10−2 )

⎡ 1 ⎛ 10 / (7,24 × 10− 2 ) ⎞2 ⎤ ⎟⎟ ⎥ 1× ⎢1 + ⎜⎜ 20 0 , 5 / 0 , 023 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦

0, 25

=

124 = 119,6 1,037

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C 1=1,132. Temos: 0, 5

λ LT = (λ LT / λ 1 ) β w

= (λ LT / 93,3) ×10,5 = 119,6 / 93,3 = 1,28

Para escolher a curva de encurvadura europeia (em flexão lateral): h 500 = = 1,67 < 2 b 300 Secção Secções I ou H laminadas

Limites

Curva da encurvadura

h/b≤2

a

h/b>2

b

Esta secção pertence à curva de encurvadura europeia (em flexão lateral) “a”.

Métodos para calcular o valor de χ LT (factor de redução): EC3 – Volume IV

44

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1º) Pelo gráfico:

χ LT LT ≈ 0.48

A vermelho destaca-se a determinação do valor do coeficiente de redução χ através do valor da esbelteza normalizada e da curva de encurvadura “a”. 2º) Pelo Quadro 4 – Factores de redução – interpolando temos: χ LT

≈ 0,48

3º) Através da utilização util ização da expressão: χ LT =

1 φ LT +

2 φ LT

−

2 λ LT

, mas com χ ≤ 1 .

Em que:

⎡ ⎛ _ ⎞ − 2 ⎤ φ LT = 0,5⎢1 + α LT .⎜ λ LT − 0,2 ⎟ + λ LT ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Sendo “αLT” o factor de imperfeição. Aplicação das fórmulas apresentadas: χ LT =

1 2

φ LT + φ LT

− λ LT 2

=

1 = 0,484 ≤ 1, Ok ! 2 2 1,43 + 1,43 − 1,28

Pois:

EC3 – Volume IV

45

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⎡ ⎣

⎛ _ ⎝

⎞ − 2 ⎤ + λ LT ⎥ ⎠ ⎦

φ LT = 0,5⎢1 + α LT .⎜ λ LT − 0,2 ⎟

φ LT = 0,5 1 + 0,21(1,28 − 0,2) + 1,28

2

= 1,43

Como o perfil em causa é de classe 1, utilizamos a seguinte fórmula de resistência à encurvadura (para as secções transversais das classes 1,2 e 3): N b , Rd =

χ LT × W y × f y γ M 1

=

χ LT × W y , pl × f y γ M 1

0,484 × 3949 × 10−6 × 235 × 103 = = 449kNm 1

Ou seja, este perfil sem contraventamento não verifica um esforço axial de 600 kNm, segundo esta metodologia. Se optasse-mos por determinar a esbelteza normalizada através da expressão: λ LT =

W y ,eff f y M cr

Aproximadamente: M

E CR

⎛ π 2 EI w ⎞ = C1 GIT EI z ⎜1 + 2 ⎟ L ⎝ L GI T ⎠ π

⎛ π 2 × 210 E 6 × 5643 E − 9 ⎞ =1 80, 8 E 6 × 309, 3 E − 8 × 210 E6 ×10370 E − 8 ⎜1 + 2 ⎟ 10 ⎝ 10 × 80, 8 E 6 × 309, 3 E − 8 ⎠ π

=

π

10

5437107 × (1, 47 ) =

π

10

7984096 = 887 kNm

Se quiséssemos ser rigorosos (Quadro F.1.2 do Anexo I deste texto), teríamos: C 1=1,132 (de notar que se utilizou um valor conservativo para “C 1”, mas tal foi o critério utilizado nos 2 métodos, não surgindo daí conflito numérico). Do que: W y , pl f y 3949 ×10−6 × 235 × 103 928 = = = 1,05 = 1,025 λ LT = M cr 887 887 O que surge como um valor inferior ao calculado pelo outro processo e do qual surgiria um momento resistente superior ( ≈ 613kNm, para χ LT LT ≈ 0.65) e satisfatório. De reparar que esta disparidade não é de estranhar, dado a forma como chegamos ao factor de redução ( χ LT LT) é bastante diferente.

EC3 – Volume IV

46

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De reparar que se aproveitássemos o método alternativo, aplicável a secções laminadas ou soldadas equivalentes, surgiria: φ LT

= 0,5 1 + α LT ( λ LT − λ LT ,o )+ β λ LT 2

Em que são recomendados actualmente os seguintes valores limites:

⎧λ LT ,0 ≤ 0,4 ⎨ ⎩ β ≥ 0,75

•

Então, por exemplo, com:

⎧λ LT ,0 = 0,4 ⎨ ⎩ β = 0,86

• Teríamos:

φ LT = 0,5 1 + α LT ( λ LT − λ LT , o ) + β λ LT

2

χ LT =

1 2

φ LT + φ LT

− λ LT 2

=

= 0,5 1 + 0,21(1,28 − 0,4) + 0,86 × (1,28)2 = 1,3 1 = 0,65 ≤ 1, Ok ! 2 2 1,3 + 1,3 − 1,28

Ou seja, o momento crítico elástico em consideração corresponde à viga ser de secção transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, o que é caso, pelo que é correcto utilizar o método alternativo. É normal que, por processos diferentes mas igualmente legítimos e normativos, se chegue a variações que podem chegar a 20 a 30%.

2.2.2. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento contraventamento parcial Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada a um terço do vão, segundo o eixo fraco (zz´s). O raciocínio seria o mesmo, contudo o comprimento de encurvadura (L Cr ) cairia para 10m×(2/3), dado o travamento ser a 1/3, restando 2/3 do vão sem contraventamento. contraventamento.

2.2.3. Exemplo da resistência à flexão de perfil HEA 500 com contraventamento segundo o eixo fraco (zz’s) Verifique a resistência para a situação anterior, mas admitindo a viga contraventada segundo o eixo fraco (zz´s), em toda a sua extensão. Neste caso estaríamos na presença de χ LT LT ≈ 1, ou seja, não haveria possibilidade de encurvadura lateral (ou bambeamento). bambeamento). EC3 – Volume IV

47

Série Estruturas


2.2.4. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas compostas Averiguar a estabilidade lateral de uma viga de ponte grua formada por uma secção de 750 x 222 x 222 (IPE) com um perfil em Ou de 400 x 110 x 71,8 unido ao banzo superior, com aço S235. Os pontos de encastramento efectivo lateral e contraventamento estão a intervalos de 10 m e o momento de rotura de cálculo é 2000 kNm. Propriedades das secções: Secções em U

Secções em I

Secções compostas:

EC3 – Volume IV

48

Série Estruturas

Para calcular


é necessário calcular antes o momento elástico crítico Mcr.

Então, para um valor de kw = 1,0 e k = 1:

(Note-se que C2 não faz falta)

Já que o eixo neutro plástico (PNA) está na viga, o módulo plástico pode-se calcular deste modo:

EC3 – Volume IV

49

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Área abaixo do diagrama (Ver diagrama) = Área abaixo do PNA - Área abaixo da linha central

Portanto:

Modulo plástico da viga carril:

Sendo:

1 Aplicando a curva (a) 5.5.2 do Eurocódigo 3

Que supera o valor de “Msd” de 2000 kN. Adopta-se esta secção.

2.2.5. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas Kz=Kw

EC3 – Volume IV

50

Série Estruturas


Kw=1

⎧C 1 = 1,35 ⎪ ⎨C 2 = 0,59 Segundo o quadro da página 71 ⎪C = 0,411 ⎩ 3 0.5 ⎡ ⎡⎛ Kz ⎞ 2 Iw ( Kz × l )2 ( Kz × l )2 × G × i ⎤ ⎤ 2 2 t + + (C 2 zg − C 3 zj ) ⎥ ⎥ π × E × Iz ⎢ ⎢⎜ ⎟ × + 2 M cr = C 1 × × Iz Iz H × E × Iz ⎢ Kw ⎦⎥ ⎥⎥ ( Kz × l ) 2 ⎢ ⎣⎢⎝ ⎠ ⎢⎣− (C 2 zj − C 3 zj ) ⎥⎦ 0.5 ⎡ ⎡ 2 2340,6 × 1012 ⎤ ⎤ ⎢ ⎢1 × + ⎥ ⎥ 4 29954 10 × ⎢⎢ ⎥ ⎥ 2 4 ⎢ ⎢ 12000 × 81000 × 686,6 × 10 ⎥ ⎥ 2 3 4 +⎥ ⎥ π × 210 × 10 × 29954 × 10 ⎢ ⎢+ 2 3 4 M cr = 1,35 × × π 210 10 29954 10 × × × × ⎢⎢ ⎥ ⎥ 12000 2 2 ⎢ ⎢ + (0,59 − 0,411 × 236,2) ⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎥ ⎦ ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣− (0,59 − 0,411× 236,2) ⎥⎦

= 16974,7 KNm Ou, pela expressão genérica:

M

E CR

2 2 ⎛ π 2 EI w ⎞ ⎛ π 2 EI w ⎞ π 2 EI w ⎞ π π EI z ⎛ = C1 GIT EI z ⎜1 + 2 ⎟ = C1 L2 GIT EI z ⎜1 + L2GI ⎟ = C1 L2 ⎜ GI T + L2 ⎟ L L GI ⎝ ⎠ T ⎠ T ⎠ ⎝ ⎝

π

⎛ π 2 210 × 10 6 × 2340,6 × 1012 I w ⎞ ⎟ M = 81 × 10 × 686,6 × 10 × 210 × 10 × 29954 × 10 ⎜⎜1 + 2 4 ⎟ 4 ⎝ 12000 × 81000 × 686,6 × 10 ⎠ E CR

π

6

4

3

4

M E CR = 12150,7 M cr = α m × M E CR = 1,35 × 12150,7 = 16403,4 KNm W pl , y f y 10438 × 10 −6 × 235 × 10 3 = = 0,39 λ LT = M CR 16403,4 2

φ LT

= 0,5 1 + α LT (λ LT − 0,2) + λ LT

φ LT

= 0,5 1 + 0,21(0,39 − 0,2 ) + 0,39 2 = 0,60

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas

χ LT

=

χ LT

=


1 φ LT + φ LT

2

− β λ LT

2

1 = 0,95 2 2 0,6 + 0,6 − 0,39

M d , Rd = χ LT W PL,Y

f y γ M 1

235 × 10 3 = 0.95 × 8225 × 10 × = 1836,23 1 −6

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas Uma viga de 9,8 m de vão está carregada por vigas transversais situadas a 4,3 m e 6,6 m do extremo esquerdo. Ambos extremos da viga, e os dois pontos onde incide a carga, podem considerar-se totalmente restringidos lateralmente à torção. A composição de momentos na viga é: ¾

A - Extremo esquerdo: M = 130 kNm

¾

B - Ponto 1ª da viga: M = 260 kNm

¾

C - Ponto 2ª viga: M = 208 kNm

¾

D - Extremo direito: M = 0 kNm

Verificar se uma secção de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço S235 satisfaz. Todos os momentos correspondem a carga de rotura. A viga e o diagrama de momentos:

EC3 – Volume IV

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Há que comprovar a estabilidade lateral dos segmentos AB, BC e CD. Propriedades da secção:

Segundo a tabela F.1, notando que k = 1

Aplicando a curva (a), tabela 5.5.2 do Eurocódigo 3

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


Já que a resistência à encurvadura é maior do que o momento aplicado em cada segmento, adopte-se a secção 500 x 200 x 90, 7 IPE.

2.2.6. Exemplo de verificação de bambeamento em vigas Comprovar a capacidade de uma peça de 500 x 200 x 90,7 (IPE) de aço Fe360 para suportar uma sobrecarrega de 24 kN repartida uniformemente num vão de 6 m. EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


Os extremos estão unidos pela alma aos banzos dos pilares, mediante eixos duplos, simplesmente apoiada.

Com os extremos restringidos deste modo, é razoável supor que a viga trabalha como se estivesse simplesmente apoiada, num plano vertical e com restrição total contra a flexão lateral e a torção nestes pontos. Para simplificar este primeiro problema, presume-se que a carga incide à altura do centro de corte (que coincide com o centróide ou centro de gravidade). Pode incluir-se carga no banzo superior para o cálculo de λ LT. Classificação da secção:

→ A secção escolhida é da classe 1.

EC3 – Volume IV

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Segundo a Tabela F.1.2, para carga repartida e vendo que não há restrição presente aos extremos e que k = 1,0:

Sendo:

Para um vão de 6m, simplesmente apoiado:

Como o momento de resistência supera este valor, a secção verifica. Adopte-se: 500 x 200 x 90,7 (IPE).

EC3 – Volume IV

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2.2.7. Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída A viga representada na figura abaixo é simplesmente apoiada. Para um carregamento constituído por uma carga uniformemente distribuída de 25 kN/m, (já majorada), seleccione a viga económica e segura utilizando um perfil HEA, em aço S355 (E = 210 GPa e G = 81 GPa), segundo o EC3-1-1, 2010 (versão portuguesa). Despreze-se a restrição à flexão vertical (em torno de y), à flexão lateral (em torno de z) e ao empenamento nas secções fora dos apoios. Considere, no entanto, que o tipo de ligação utilizada impede a rotação das secções de apoio em torno do eixo da viga (eixo x), nos apoios.

Viga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída i) Diagrama de esforços Para o carregamento indicado, considerado a verificação do estado limite último de resistência, obtém-se os diagramas de esforços indicados na figura abaixo. Como a viga não é restringida lateralmente, o seu dimensionamento é condicionado pela verificação da resistência das secções mais esforçadas, mas também pela possibilidade de encurvar, bem como pela verificação do estado limite de deformação.

Diagramas de esforços EC3 – Volume IV

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Analisando os diagramas de esforços, verificam-se MEd = 200.0 kNm e VEd = 100.0 kN, dado a secção se meio vão ser a mais esforçada e com igual possibilidade de encurvar. Na verificação da estabilidade da viga considera-se a possibilidade de não ser contraventada lateralmente nas secções de aplicação das cargas. ii) Pré-dimensionamento à flexão – efectuando um pré-dimensionamento à flexão, admitindo uma secção de classe 1 ou 2, obtém-se a seguinte solução:

M Ed = 200.0 ≤ W pl , y × 355 × 103 / 1.0 ⇒ W pl , y ≥ 563.4 ×10 −6 m 3 = 563.4cm3 HEA 240 (Wpl,y = 744.6 cm3 ).

iii) Verificação da classe da secção (Quadro 5.2 do EC3-1-1)

Secção de Classe1: Alma à flexão, c 164 = = 21.9 < 72ε = 72 × 0.81 = 58.3 t 7.5

OK!

Banzo à compressão,

c 240 / 2 − 7.5 / 2 − 21 = = 7.9 < 9ε = 9 × 0.81 = 7.3 t 12

KO!

Secção de Classe 2: Banzo à compressão, c 240 / 2 − 7.5 / 2 − 21 = = 7.9 < 10ε = 10 × 0.81 = 8.1 t 12

OK!

Secção de Classe 2: Banzo à compressão, c 240 / 2 − 7.5 / 2 − 21 = = 7.9 < 10ε = 10 × 0.81 = 8.1 t 12

EC3 – Volume IV

OK!

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Série Estruturas


Logo, conforme os cálculos, a secção HEA 240 submetida a flexão, em aço S355, é de classe 2.

iv) Verificação do esforço transverso

Sendo a área de corte da secção HEA 240 dada por por Av = 25.18 cm2, vem: 25.18 × 10 −4 × 355 × 10 3 / 3 V Ed = 100.0kN < V c , Rd = V pl , Rd = = 516.1kN 1 .0 Como hw / t w = 206 / 7.5 = 27.5 < 72ε / η = 72 × 0.81 / 1 = 58.3 (tomando conservativamente η = 1), não é necessário verificar a encurvadura por esforço transverso. Logo a secção HEA 240 verifica a segurança em relação ao esforço transverso.

v) Interacção flexão – esforço transverso

Como

V Ed = 100.0kN < 50%V pl , Rd = 258.1kN

, não é necessário reduzir o momento resistente

por causa do esforço transverso.

vi) Verificação do estado limite de deformação

A seguir verifica-se o estado limite imposto para a deformação vertical máxima, para uma viga simplesmente apoiada com o carregamento em análise, o deslocamento máximo, a meio vão, é dado por (para carga uniformemente distribuída): δ máx

5 pl 4 = 384 EI

Sendo “EI” a rigidez de flexão da secção transversal da viga. Para a secção HEA 220, o deslocamento máximo é dado por: δ máx

5 pl 4 5 × 100 × 8 4 L = = = = > = 26.7 mm 0 . 327 m 327 mm 384 EI 384 × 210 × 10 6 × 7763 × 10 −8 300

EC3 – Volume IV

59

Série Estruturas


Logo insuficiente. Passando à secção HEA 500, obtém-se: δ máx

5 pl 4 5 × 100 × 8 4 L = = = 0 . 0292 m = 29 . 2 mm > = 26.7mm 384 EI 384 × 210 × 10 6 × 86970 × 10 −8 300

Também insuficiente. Passando à secção HEA 550, obtém-se: δ máx

5 pl 4 5 × 100 × 8 4 L = = = 0 . 0227 m = 22 . 7 mm < = 26.7mm 384 EI 384 × 210 × 10 6 × 111900 × 10 −8 300

Logo a solução é a secção HEA 550 com

W pl , y = 4622cm 3

e A = 83.72cm2 .

vii) Encurvadura lateral (sem contraventamentos intermédios)

Considerando um perfil da série HEA, tendo em conta o efeito da encurvadura lateral, agravado pelo facto do elemento não ter qualquer elemento de contraventamento lateral, adopta-se a secção HEA 550. As principais características geométricas desta secção são: Wpl,y = 4622 cm3 , Iy = 111900 cm4 , Iz = 10820 cm4 , IT = 351.50 cm4 e IW = 7189 ×10–3 cm6 . As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G = 81 GPa. De acordo com os dados fornecidos, as condições de apoio da viga em análise são semelhantes às do “caso padrão”, considerado no estudo da encurvadura lateral. Sendo o carregamento constituído por uma carga uniformemente distribuída, aplicada no banzo superior, o momento crítico pode ser obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto): 0.5 ⎧⎡⎛ ⎞ 2 ⎫ 2 ⎤ π EI z ⎪ k z I W ( k z L ) GI T 2 ⎢⎜ ⎟⎟ + + (C 2 z g − C 3 z j ) ⎥ − (C 2 z g − C 3 z j )⎪⎬ M cr = C 1 2 ⎨ ⎜ 2 π EI z (k z L) ⎪⎢⎣⎝ k w ⎠ I z ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ 2

Sendo L = 8.00 m, considerando kz = kw = 1.0, C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (obtidos no Anexo 1 deste texto): z g = ( z a − z s )

EC3 – Volume IV

60

Série Estruturas


Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em relação ao centro de gravidade da secção:

⎡⎛ 540 ⎞ ⎛ 540 ⎞⎤ z g = ⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟⎥ = 0 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y, sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos iguais).

⎧⎡⎛ 1 ⎞ 2 7189 × 10 −15 (1 × 8) 2 81 × 10 6 × 351.50 × 10 −8 ⎤ 0.5 ⎫ ⎪⎢⎜ ⎟ ⎪ + 2 6 −8 ⎥ π 2 210 × 10 6 × 10820 × 10 −8 ⎪⎢⎝ 1 ⎠ 10820 × 10 −8 π 210 × 10 × 10820 × 10 ⎥ ⎪⎬ M cr = 1.12 ⎨⎢ 2 2 ⎥ ⎪ (1 × 8) ⎪⎣+ (0.45 × 0 − 0.525 × 0) ⎦ ⎪− (0.45 × 0 − 0.525 × 0) ⎪ ⎩ ⎭ M cr = 1118.7 kNm ⎛ W y f y ⎞ ⎟⎟ λ LT = ⎜⎜ ⎝ M cr ⎠

0.5

Wy = Wp,y em secções de classe 1 e 2; Wpl,y = 4622 ×10– 6 m3.

⎛ W y f y ⎞ ⎟⎟ λ LT = ⎜⎜ M ⎝ cr ⎠

0.5

⎛ 4622 × 10 −6 × 355 × 10 3 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 1118 . 7 ⎝ ⎠

0.5

= 1.21

Sendo α LT = 0.21 (curva a) - secção laminada em H, com h / b = 540/300 = 1.8 < 2

φ LT

= 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT 2

φ LT = 0.5 1 + 0.21(1.21 − 0.2) + 1.212

χ LT

χ LT

=

=

= 1.34

1 φ LT + (φ LT

2

− λ LT 2 ) 0.5

1 = 0.52 1.34 + (1.34 2 − 1.212 ) 0.5

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por: 355 × 10 3 M b , Rd = 0.52 × 4622 × 10 × = 853.2kNm > M Ed = 200.0kNm 1.0 −6

EC3 – Volume IV

61

Série Estruturas


A classe da secção HEA 550 é obtida com base na verificação das seguintes condições (Quadro 5.2 do EC3-1-1): c 438 = = 35.0 < 72ε = 72 × 0.81 = 58.3 t 12 . 5 • Alma à flexão,

(Classe 1)

c 300 / 2 − 12.5 / 2 − 27 = = 4.9 < 9ε = 9 × 0.81 = 7.3 t 24 • Banzo à compressão,

(Classe 1)

Secção HEA 550 é de classe 1. viii) Encurvadura lateral (com contraventamentos intermédios)

Se a viga for contraventada lateralmente a meio vão (através de uma viga secundária ou outro dispositivo que impeça os deslocamentos laterais do banzo comprimido e, consequentemente, as rotações dessas secções em torno do eixo da viga) o comportamento em relação à encurvadura lateral é beneficiado. O problema agora consiste em avaliar a resistência à encurvadura lateral do troço de viga com 4.00m de comprimento, submetido a um diagrama de momentos flectores constante (MEd = 200.0 kNm), como se ilustra na abaixo. O momento crítico da viga não é agravado pelo facto de a carga ser aplicada no banzo superior, pois são aplicadas em secções assumidas como lateralmente contraventadas.

Viga contraventada lateralmente a meio vão

EC3 – Volume IV

62

Série Estruturas


Para o perfil HEA 550 em aço S 355, as principais características geométricas desta secção são: Wpl,y = 3949 cm3 , Iy = 86970 cm4 , Iz = 10370 cm4 , IT = 309.30 cm4 e IW = 5643×10–3 cm6 . As características mecânicas do material são definidas por: fy = 355 MPa , E = 210 GPa e G = 81 GPa. O momento crítico obtido através da expressão (Anexo 1 deste texto): 0.5 2 ⎧⎡ ⎫ 2 ⎤ π EI z ⎪ ⎛ k z ⎞ I W ( k z L ) GI T ⎪ 2 ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ M cr = C 1 + + ( C z − C z ) − ( C z − C z ) ⎨ 2 g 3 j 2 g 3 j ⎬ π 2 EI z (k z L) 2 ⎪⎢⎣⎜⎝ k w ⎠⎟ I z ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ 2

Sendo L = 4.00 m, considerando kz = kw = 1.0 , C1 = 1.12, C2 = 0.45 e C3 = 0.525 (Anexo 1 deste texto); z g = ( z a − z s ) Onde “za” e “zs” são as coordenadas do ponto de aplicação da carga e do centro de corte, em relação ao centro de gravidade da secção:

⎡⎛ 540 ⎞ ⎛ 540 ⎞⎤ z g = ⎢⎜ ⎟−⎜ ⎟⎥ = 0 2 2 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ Em que “zj” é um parâmetro que traduz o grau de assimetria da secção em relação ao eixo y, sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica (como a secção I ou H de banzos iguais).

⎧⎡⎛ 1 ⎞ 2 5643 × 10 −15 (1 × 4) 2 81 × 10 6 × 309.3 × 10 −8 ⎤ 0.5 ⎫ ⎪⎢⎜ ⎟ + 2 ⎥ ⎪ π 2 210 × 10 6 × 10370 × 10 −8 ⎪⎢⎝ 1 ⎠ 10370 × 10 −8 π 210 × 10 6 × 10370 × 10 −8 ⎥ ⎪ M cr = 1.12 ⎨⎢ ⎬ 2 ⎥ (1 × 4) 2 + ( 0 . 45 × 0 − 0 . 525 × 0 ) ⎪⎣ ⎦ ⎪ ⎪− (0.45 × 0 − 0.525 × 0) ⎪ ⎩ ⎭ M cr = 2054.7kNm

⎛ W y f y ⎞ ⎟⎟ λ LT = ⎜⎜ M ⎝ cr ⎠

0.5

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 3949 ×10– 6 m3.

⎛ W y f y ⎞ ⎟⎟ λ LT = ⎜⎜ M ⎝ cr ⎠

0.5

⎛ 3949 × 10 −6 × 355 × 10 3 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2054 . 7 ⎝ ⎠

0.5

= 0.83

Sendo α LT = 0.21 (curva a) ; secção laminada em H, com h / b = 490/300 = 1.6 < 2 EC3 – Volume IV

63

Série Estruturas


φ LT

= 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT 2

φ LT = 0.5 1 + 0.21(0.83 − 0.2) + 0.832 χ LT

χ LT

=

=

= 0.91

1 φ LT + (φ LT

2

− λ LT 2 ) 0.5

1 = 0.78 2 2 0 .5 0.91 + (0.91 − 0.83 )

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por: 355 × 10 3 = 1093.5kNm > M Ed = 200.0kNm M b, Rd = 0.78 × 3949 × 10 × 1.0 −6

Logo o perfil HEA 500 em aço S 355 é a solução. A secção submetida a flexão pertence à classe 1.

2.2.7. Viga em consola Dimensione a viga em consola ilustrada na figura abaixo, utilizando uma secção IPE em aço S355 (E = 210 GPa e G = 81 GPa), para o carregamento indicado, aplicado no banzo superior do perfil. Verifique o estado limite último de resistência ( γ = 1.50) e o estado limite de deformação (γ = 1.00), considerando um deslocamento máximo admissível de L/200.

Viga em consola com uma carga uniformemente distribuida EC3 – Volume IV

64

Série Estruturas


i) Flexão e esforço transverso

Diagramas de esforços

Majorando as cargas com γ = 1.50, a viga fica submetida a um esforço transverso, com VA = 62.50×1.5 = 93.8 kN e VB = 0.0 kN e a um momento flector, com MA = 78.13 ×1.5 = 117.2 kNm e MB = 0.0 kN . Por conseguinte os esforços de dimensionamento são: VEd = 93.8 kN e MEd = 117.2 kN .

Como se trata de uma viga em consola procede-se ao pré-dimensionamento da secção de forma a limitar a deformação máxima na secção de extremidade (estado limite de deformação), considerando uma carga dada por p Ed = 1.00 × 25 = 25kN / m . Com base na fórmula de cálculo do deslocamento elástico na secção de extremidade de uma consola submetida a uma carga uniformemente distribuída, obtém-se: δ máx

p Ed L4 L 25 × 2.5 4 2.5 = δ B = = ≤ = = 0.0125m = 12.5mm 8 EI 8 × 210 × 10 6 I 200 200

⇒ I ≥ 4.6503 × 10 −5 m 4 = 4650.3cm 4 EC3 – Volume IV

65

Série Estruturas


Consultando uma tabela de perfis da série IPE, obtém-se a secção IPE 270 com Iy = 5790 cm4. Admitindo que a secção anterior pertence à classe 1 ou 2, o seu momento flector resistente é dado por: M c , Rd = W pl , y f y / γ MO = 484.0 × 10 −6 × 355 × 10 3 / 1.0 = 171.8kNm

,

Sendo a resistência à flexão verificada através da condição: M c , Rd = 171.8kNm > M Ed = 117.2kNm Sendo a área de corte dada por Av = 22.14 cm2, a resistência da secção ao esforço transverso é verificada através da seguinte condição: V Ed = 93.8kN < V pl , Rd =

Av f y γ MO

22.14 × 10 −4 × 355 × 10 3 = = 453.8kN 3 1.0 × 3

Para a alma não reforçada, considerando conservativamente η = 1, vem: hw 249.6 ε 0.81 = = 37.8 < 72 = 72 × = 58.3 η t w 6.6 1.0 Logo, segundo 6.2.6 (6) do EC3-1-1, é dispensada a verificação da encurvadura da alma por esforço transverso. A interacção entre o momento flector e o esforço transverso (segundo 6.2.8 do EC3-1-1) deve ser verificada na secção de encastramento. Como nessa secção: V Ed = 93.8kN < 0.50 × V pl , Rd = 0.50 × 453.8 = 226.9kN Não é necessário reduzir o momento flector resistente da secção.

A verificação da classe da secção, segundo 5.5 do EC3-1-1, é efectuada com base nas seguintes condições: Alma do perfil à flexão, c / t = 219.6 / 6.6 = 33.3 < 72ε = 72 × 0.81 = 58.3 Banzo comprimido do perfil,

EC3 – Volume IV

66

Série Estruturas


c 135 / 2 − 6.6 / 2 − 15 = = 4.8 < 9ε = 9 × 0.81 = 7.3 t 10.2 Como ambas as partes da secção são de classe 1, a secção é globalmente de classe 1, sendo válida a hipótese considerada na verificação da flexão.

ii) Encurvadura lateral

A secção pré-dimensionada (IPE 270) possui as seguintes propriedades geométricas: Iz = 419.9 cm4 , IT = 15.94 cm4 , IW = 70.6 ×10–3 cm6 , Wpl,y = 484.4 cm3 . Para o material utilizado, as principais propriedades mecânicas são: E = 210 GPa , G = 81 GPa e fy = 355 MPa . De acordo com Anexo 1 deste texto: EI z GI T M cr = 27 L

⎡ EI z GI T 1.4(ε − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ + 10 ( K − 2 ) L ⎢⎣ 1 + 1.96(ε − 0.1) 2 ⎥⎦

⎡ 1.3(ε − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ 2 ⎢⎣ 1 + 1.69(ε − 0.1) ⎥⎦

Onde: π 2 EI W

× 210 × 10 6 × 70.6 × 10 −5 K = = = 1.35 GI T L2 81 × 10 6 × 15.94 × 10 −8 × 2.5 2 ε =

π

2

2 y Q K 2 × (270 / 2) 1.35 = = 0.43 π h π 270

⎡ 1.4(0.43 − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ ⎢⎣ 1 + 1.96(0.43 − 0.1) 2 ⎥⎦ 210 × 10 6 × 419.9 × 10 −8 × 81 × 10 6 × 15.94 × 10 −8 ⎡ 1.3(0.43 − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ + 10(1.35 − 2) 2 2.5 ⎢⎣ 1 + 1.69(0.43 − 0.1) ⎥⎦

210 × 10 6 × 419.9 × 10 −8 × 81 × 10 6 × 15.94 × 10 −8 M cr = 27 2.5

M cr = 1632.4kNm

⎛ W y f y ⎞ ⎟⎟ λ LT = ⎜⎜ ⎝ M cr ⎠

0.5

Wy = Wpl,y em secções de classe 1 ; Wpl,y = 484 ×10– 6 m3.

⎛ W y f y ⎞ ⎟⎟ λ LT = ⎜⎜ M ⎝ cr ⎠ EC3 – Volume IV

0.5

⎛ 484 × 10 −6 × 355 × 10 3 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ 1632 . 4 ⎝ ⎠

0.5

= 0.32 67

Série Estruturas


Sendo α LT = 0.21 (secção laminada em I, com h / b ≤ 2); φ LT

= 0.5 1 + α LT (λ LT − 0.2) + λ LT 2

φ LT = 0.5 1 + 0.21(0.32 − 0.2) + 0.32 2

χ LT

χ LT

=

=

= 0.56

1 φ LT + (φ LT

2

− λ LT 2 ) 0.5

1 = 0.98 0.56 + (0.56 2 − 0.32 2 ) 0.5

O momento resistente à encurvadura lateral é dado por: 355 × 10 3 M b , Rd = 0.98 × 484.4 × 10 × = 168.5kNm 1.0 −6

Como: M b , Rd = 168.5kNm > M Ed = 117.2kNm É verificada a segurança em relação à encurvadura lateral, sendo a solução constituída por um perfil IPE 270 em aço S 355.

2.4. Flexão composta com compressão O Eurocódigo 3, parte 1-1 (EC3-1-1), apresenta expressões gerais para a flexão composta com compressão, em que fenómenos de instabilidade sejam potencialmente condicionantes. Essas expressões, a seguir reproduzidas, correspondem fundamentalmente a expressões de interacção linearizadas em que cada termo estabelece a percentagem de utilização correspondente a cada um dos esforços relevantes (esforço axial, momento flector segundo a maior inércia e segundo a menor inércia).

Onde: ¾

N Ed , M y,Ed e M z,Ed são os valores de cálculo do esforço axial de compressão e dos momentos flectores máximos solicitantes em torno de y e z, respectivamente;

EC3 – Volume IV

68

Série Estruturas


¾ Δ M y,Ed e Δ M z , Ed são

os momentos devidos à variação do centro de gravidade em

secções de classe 4; ¾ χ y

e χ z são os factores de redução devido à encurvadura por flexão (compressão

simples) em torno de y e de z, respectivamente, avaliados de acordo com a cláusula 6.3.1 do EC3-1-1; ¾ χ LT é

o factor de redução devido à encurvadura lateral ou encurvadura por flexo-

torção (flexão pura), avaliado de acordo com a cláusula 6.3.2 do EC3-1-1 ( χ LT = 1.0 para elementos não susceptíveis de encurvar lateralmente); ¾

kyy, kyz, kzy e kzz são factores de interacção dependentes dos fenómenos de instabilidade e de plasticidade envolvidos, obtidos de acordo com o Anexo A do EC3-1-1 (Método 1) ou com o Anexo B (Método 2).

Os valores de N Rk = f y Ai, M i, Rk = f yW i e Δ M i,Ed são avaliados de acordo com a tabela 9 (EC3), dependendo da classe da secção transversal do elemento em análise. A 1ª fórmula (em cima) traduz o efeito introduzido pelo momento na encurvadura em torno do eixo yy, enquanto que a 2ª fórmula (em baixo) representa o mesmo efeito mas agora em torno do eixo zz. Na realidade, o aumento do esforço axial de compressão amplifica os momentos de 2ª ordem em torno dos eixos “ yy” e “ zz”, resultando num comportamento em conjunto das instabilidades dos diferentes eixos. Quadro 9 - Valores de N Rk = f y Ai, M i, Rk = f yW i e Δ M i,Ed (EC3).

No EC3-1-1 são apresentados dois métodos para o cálculo dos factores de interacção kyy, kyz, kzy e kzz:

• O Método 1, desenvolvido por um grupo de investigadores Franco-Belga; • O Método 2, desenvolvido por um grupo de investigadores Austro-Alemão. EC3 – Volume IV

69

Série Estruturas


O EC3 estabelece ainda que nos Anexos Nacionais do Eurocódigo 3 poderão ser dadas indicações acerca do método a adoptar. Em elementos não susceptíveis de sofrer deformações de torção , assume-se que não existe o risco de ocorrer encurvadura lateral, sendo a estabilidade do elemento assegurada pela verificação da encurvadura por flexão em torno de “ y” e em torno de “ z”. Este procedimento consiste na aplicação da equações (1a) (encurvadura por flexão em torno de “ y”) e (1b) (encurvadura por flexão em torno de “z”), respectivamente, considerando χ LT = 1.0 e calculando os coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1, como pelo Método 2) para a situação de elementos não susceptíveis de sofrer deformações de torção. Em elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção assume-se que a encurvadura lateral é mais condicionante. Neste caso, devem aplicar-se as Equações (1a) e (1b), considerando χ LT avaliado de acordo com 6.3.2 do EC3-1-1 e calculando os coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz (quer seja pelo Método 1, como pelo Método 2) para a situação de elementos susceptíveis de sofrer deformações de torção. Uma explicação pormenorizada do procedimento para a determinação da resistência da flexão composta por compressão, a avaliação da susceptibilidade a deformações de torção e ainda a determinação dos coeficientes de interacção kyy, kyz, kzy e kzz poderá ser consultada em “Simões, R. Manual de dimensionamento de estruturas metálicas, CMM Press, 2005”. O procedimento de cálculo dos factores de redução χ y e χ z não sofreu alterações, face à versão inicial do EC3 (1993). Para perfis das classes 1 e 2 os valores de Δ M y, Ed e Δ Mz, Ed são iguais a zero. NRk , M y, Rk e M z, Rk são definidos de acordo com as expressões: NRk = A × fy , My,Rk =Wpl,y × fy , Mz,Rk =Wpl,z × fy Para valores reduzidos de esforço axial, a resistência à encurvadura dos elementos é similar à da secção à tracção, tornando-se assim necessária essa verificação. A nova proposta do Eurocódigo 3 refere que devem ser feitas as seguintes verificações:

EC3 – Volume IV

70

Série Estruturas


Em que os factores “n” e “a” são dados por:

Os factores de interacção kyy ,kzy ,kyz e kzz , utilizados podem ser calculados de acordo com os dois métodos, que seguem as abordagens propostas pelos diferentes grupos de trabalho, tal como descrito anteriormente:

• A proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000) denominada por “método 1” encontrase no anexo A da parte 1-1do EC3;

• A proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001) denominada por “método 2 “encontra-se no anexo B da parte 1-1 do Eurocódigo 3.

O “método” 2 é uma abordagem do nível 1, ou seja, trata-se de um procedimento simples, de cálculo dos factores de interacção, para casos mais comuns. O “ método” 1 trata-se de uma abordagem do nível 2, baseando-se numa análise mais precisa e compreensiva. Abordagens do nível 3 consistem em análises numéricas não lineares usando programas de elementos finitos. A versão inicial do EC3 (1993) também possuía duas fórmulas verificativas, mas efectuava uma distinção clara entre a encurvadura de viga-coluna (aqui designada de flexo-torsional) e de viga (aqui designada de lateral ou lateral-torsional). k ⋅ M k ⋅ M N Sd + y y , Sd + z z, Sd ≤ 1 A ⋅ f y wy ⋅ f y wz ⋅ f y

Encurvadura flexo-torsional (flexural – torsional buckling) →

χ min

Encurvadura lateral (lateral – torsional buckling)

→

γ M1

γ M 1

k ⋅ M y , Sd k z ⋅ M z, Sd N Sd + LT + ≤1 A ⋅ f y w y ⋅ f y wz ⋅ f y

χ z

EC3 – Volume IV

γ M 1

γ M 1

χ LT

γ M 1

γ M 1

71

Série Estruturas


2.4.1. Flexão composta com compressão sem encurvadura lateral No caso de não existir possibilidade de encurvadura lateral a metodologia dos dois métodos é a seguir exposta. O Anexo III aborda o problema da encurvadura com mais profundidade (em inglês). As fórmulas de estabilidade são apresentadas nos pontos 6.3.1. e 6.3.3. do EC3, sendo os três principais parâmetros:

• O comprimento de encurvadura, L cr; • O momento máximo de flexão, M max; • O factor equivalente “C m” que caracteriza a forma de distribuição do momento flector. Método 1 Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção para perfis das classes 1 e 2, através do “método 1” (proposta Franco-Belga, Villette et al., 2000), encontram-se descritos no Anexo A da nova proposta do Eurocódigo 3. Esta proposta foi desenvolvida com os objectivos de criar uma fórmula que fosse compreensível, onde todos os seus componentes tivessem significado físico, consistente com as outras fórmulas que se encontram nos regulamentos existentes, e conservativa e precisa em comparação com os resultados numéricos e experimentais disponíveis. São admitidas as condições gerais correspondentes a flexão composta com momentos segundo yy e/ou zz ( My,Ed e/ou Mz,Ed ) e com esforço axial NEd , bem como a possibilidade de encurvadura por compressão (encurvadura por flexão) e a verificação de diferentes secções (I, H e tubulares). Segundo o “método 1” deve-se determinar os factores de interacção através das expressões:

EC3 – Volume IV

72

Série Estruturas


Nestas expressões dos factores de interacção é possível reconhecer os conceitos familiares de factor de momento equivalente “cmi” (segundo o eixo yy e zz), e de factor de amplificação k , devido aos efeitos de 2ª ordem.

Em que:

Para se simplificar o cálculo do coeficiente de momento equivalente “ cm”, foram propostas várias fórmulas aproximadas. Estas fórmulas, geralmente, têm em conta apenas a variação do diagrama de momentos de primeira ordem. Os coeficientes μ y e μ z são dados pelas expressões:

EC3 – Volume IV

73

Série Estruturas


Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por meio de calibração numérica e representam a interacção elasto-plástica, entre os momentos de 1ª ordem e o esforço axial. Acresce que este coeficientes (cyy, cyz, czy e czz) dependem das esbeltezas adimensionais, sendo que os elementos mais esbeltos não conseguem desenvolver a mesma interacção entre esforço axial e momento flector, que os menos esbeltos. De facto, devido aos efeitos de instabilidade, o comportamento pode variar significativamente em função do tipo da secção. Estes coeficientes também dependem do factor de momento equivalente “ cmi”, dado que o elemento não desenvolve a mesma resistência elasto-plástica para diferentes tipos de carregamento. A metodologia deste método de cálculo é baseada na teoria elástica de 2ª ordem no plano, e foi estendida para 3D. O formato teórico mantém-se o máximo possível, de forma a que os coeficientes dêem explicitamente uma ideia do significado físico. Quando não foi possível manter esse formato teórico, foram usados resultados de análises numéricas por elementos finitos para calibrar localmente alguns destes factores.

Método 2 Tal como referido anteriormente, o “método 2”, preconizado na parte 1-1 do Eurocódigo 3 de 2010, corresponde à proposta Austro-Alemã (Greiner, 2001). Os objectivos essenciais desta proposta foram desenvolver fórmulas simples e de fácil aplicação no dimensionamento de vigas-coluna, e a obtenção de uma boa precisão e adequada economia na avaliação das capacidades resistentes dos casos mais comuns. Os procedimentos para a determinação dos factores de interacção através do “ método 2” encontram-se descritos no anexo B da nova proposta do Eurocódigo (2010, em português ). Os casos analisados no desenvolvimento desta proposta incluem: secções em I e secções tubulares rectangulares; secções duplamente simétricas; e flexão composta com flexão plana. Os restantes casos de secções simétricas apenas numa direcção e para a flexão desviada com compressão são tratados nesta análise de forma mais conservativa e não tão precisa.

2.4.2. Flexão composta com compressão e com encurvadura lateral Em relação às expressões para o caso em que não existe encurvadura lateral, as principais diferenças são a introdução do factor de redução à encurvadura lateral “ χ LT”, e o cálculo dos factores de interacção kyy , kzy , kyz e kzz . As expressões a usar na verificação da segurança, no caso de existir encurvadura lateral, já foram apresentadas:

EC3 – Volume IV

74

Série Estruturas


Os dois métodos propostos, para a verificação da segurança de vigas-coluna, de acordo com o Eurocódigo 3, têm em consideração a possibilidade de existir encurvadura lateral, e para isso propõem diferentes formulações, para ter em consideração este fenómeno de encurvadura no cálculo dos factores de interacção. Estas formulações, de acordo com o “ método 1” e “método 2”, são resumidamente apresentadas nos pontos seguintes.

Método 1 Na proposta Franco-Belga (Villette et al., 2000), a filosofia geral foi mantida em relação ao proposto para o caso de não existir encurvadura lateral. Os factores de interacção modificados, para ter em conta a encurvadura lateral, são o kyy e kzy, onde é agora introduzido o factor “cmLT” (coeficiente de momento equivalente para a encurvadura lateral). Os restantes factores de interacção, kyz e kzz, mantém o significado anteriormente exposto.

O coeficiente de momento equivalente cmy é calculado de acordo com a expressão:

O factor “cmLT” é calculado de acordo com a seguinte expressão:

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


O cálculo do coeficiente de momento equivalente, segundo o eixo zz (cmz) é feito da mesma forma que para o caso em que não existe encurvadura lateral, ou seja, através da fórmula:

O coeficiente “aLT” permite uma transição suave entre as respostas para secções abertas e tubulares, e é calculado de acordo com a expressão:

Para perfis das classes 1 e 2 “ ε y” é dado pela expressão:

Os coeficientes cyy, cyz, czy e czz foram obtidos por calibração numérica. Os factores constantes no Anexo A do EC3 são apresentados a seguir, para o Método 1.

EC3 – Volume IV

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EC3 – Volume IV


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EC3 – Volume IV


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Método 2 No “método 2” (proposta Austro-Alemã) a única diferença que existe, entre os casos em que há e não há encurvadura latera,l é o procedimento de determinação do factor de interacção kzy, que é efectuado, para o caso de haver encurvadura lateral, de acordo com a expressão: EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


Em que “cmLT” é o factor de momento uniforme equivalente, correspondente à encurvadura lateral, e que se determina através do diagrama de momentos em torno do eixo yy, ou seja é igual ao “cmy”. Os factores constantes no Anexo B do EC3 são:

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas

EC3 – Volume IV


81

Série Estruturas


2.4.3. Exemplos de aplicação pela versão 2010 (portuguesa) do EC3 Seguem-se exemplos baseados em “Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background documentation and design guidelines, ECCS, 2006”.

2.4.3.1. Exemplo Prático 1 - comportamento plano. Este primeiro exemplo trata de comportamento plano, sem possibilidade de encurvadura para fora do plano do eixo da peça. A viga-coluna é submetida à compressão e a momento de flexão triangular no eixo principal. O elemento tem, pois, os deslocamentos de flexão e torção laterais impedidos.

Características da secção Transversal (IPE 200) Comprimento de encurvadura

L = 3,5m

Dimensões dos banzos e alma

bf = 100mm = 0,1m

hw = 183mm = 0,183m

tf = 8,5mm = 0,0085m

tw = 5,6mm = 0,0056m

Área

A = 28,48cm2 = 2,848·10-3m2

Inércias

Iy = 1943cm4 = 19,43·10-6m4 Iz = 142,4cm4 = 1,424·10-6m4

Módulos de flexão plásticos

W pl,y = 220,6cm3 = 220,6·10-6m3 W pl,z = 44,6cm3 = 44,6·10-6m3

Módulos de flexão elásticos

Wel,y = 194,3cm3 = 194,3·10-6m3 Wel,z = 28,5cm3 = 28,5·10-6m3

Raios de giração

iy = 8,26cm = 82,6·10-3m iz = 220,24cm = 22,4·10-3m

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


Inércia torsional (torção uniforme, Saint-Venant) It = 6,98cm4 = 69800·10-12m4 e de empenamento (torção não uniforme)

Iw = 12,988·103cm6 = 12988·10-12m6

Solicitações Esforço axial de compressão

NEd = 210 KN

Momentos de flexão, eixo forte (yy’s)

My,Ed,direito = 0 KN.m

My,Ed,esquerdo = 43 KN.m

Propriedades dos Materiais Módulos Elásticos

E = 210000x106 N/m2

Características do aço

Fy = 235x106 N/m2

Factores parciais de segurança

γ Mo = 1,0

G = 8070x106 N/m2

γ M1 = 1,0

Definições das curvas de Flexão:

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21 • O perfil IPE200 feito de S235 é Classe 1 em compressão, e por conseguinte também Classe 1 em compressão e flexão. Classificação das Secções Transversais: - Alma em compressão combinada com flexão: c d 183 × 10−3 m = = = 32,7 t t w 5,6 × 10−3 m Limite da Classe: ε = 33

⇒ Alma em compressão é Classe 1. - Parte do banzo em compressão: c 0,5(b − t w − 2r ) 0,5(100 × 10−3 m − 2,12 × 10−3 m) = = = 4,1 t t f 8,5 ×10−3 m Limite da Classe: ε = 9

⇒ Banzo é da Classe 1. Logo temos Classe 1 na classificação da secção transversal. EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


Verificação de acordo com o Método 1

• Verificação de Estabilidade: - Factor de redução para a compressão e flexão: 2

N cr , y =

π EI y

=

L2

Af y = N cr , y

N × 19,43 × 10−6 m 4 2 m = 328kN (3,5m2 )2

π × 210000 × 106

2,848 × 10−3 m2 × 235 × 106

N m 2 = 0,451

λ y

=

φ y

= 0,5[1 + α y (λ y − 0,2) + λ y 2 ] = 0,5[1 + 0,21(0,451 − 0,2) + 0,4512 ] = 0,628

χ y

=

3287 × 103 N

1 φ y

+

φ y

2

− λ y 2

=

1 = 0,939 ≤ 1 2 2 0,628 + 0,628 − 0,451

- Termos auxiliares: N Ed 210 × 103 N 1− N cr , y 3287 × 103 N = 0,996 μ y = = 3 N Ed 210 × 10 N 1 − χ y 1 − 0,939 N cr , y 3287 × 103 N 1−

M pl , y 220,6 × 10− 6 m3 W y = = = 1,135 ≤ 1,5 M el , y 194,3 × 10− 6 m3 - Factor Cm0: A fórmula dos momentos flectores linearmente distribuídos é usada aqui. ϕ y

=

M y, Ed , direito 0 = =0 M y , Ed ,esquerdo 43 × 103 Nm

C my ,0 = 0,79 + 0,21ϕ y + 0,36(ϕ y − 0,33)

N Ed N cr , y

210 × 103 N = 0,79 + 0,21× 0 + 0,36(0 − 0,33) = 0,782 3287 × 103 N Sendo que C my=0, porque a torção por flexão lateral não é susceptível de ocorrer. EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


- Resistência axial elástico-plástica: N c , Rk = A × f y = 2,848 × 10− 3 × 235 × 10−3

N = 669kN m2

⎡ ⎤ ⎢⎛ 1,6 2 ⎥ 2 2 ⎞ N Ed ⎜ ⎟ ⎢ C yy = 1 + ( w y − 1) ⎜ 2 − C my λ y − C my λ y ⎟ − b LT ⎥ N ⎢⎝ w y ⎥ ⎠ c , Rk ⎢⎣ ⎥⎦ γ M 1 ⎡ ⎤ 3 ⎢⎛ ⎥ 1,6 1,6 2 2 2 ⎞ 210 × 10 N ⎢ = 1 + (1,135 − 1) ⎜ 2 − 0,782 × 0,451 − 0,782 × 0,451 ⎟ − 0⎥ 3 1,135 ⎢⎝ 1,135 ⎠ 669 × 10 N ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 1,0 W el , y 194,3 × 10− 6 m3 = 1,061 ≥ = = 0,881 W pl , y 220,6 × 10−6 m3 Sendo bLT = 0 porque a torção por flexão lateral é impedida, de modo que αLT = 0.

⎡ ⎤ ⎢⎛ 1,6 2 ⎥ 2 2 ⎞ N Ed ⎜ ⎟ C yy = 1 + ( w y − 1) ⎢⎜ 2 − C my λ y − C my λ y ⎟ − b LT ⎥ N ⎢⎝ w y ⎥ ⎠ c , Rk ⎢⎣ ⎥⎦ γ M 1 ⎡ ⎤ 3 ⎢⎛ ⎥ 1,6 1,6 2 2 2 ⎞ 210 × 10 N = 1 + (1,135 − 1) ⎢⎜ 2 − 0,782 × 0,451 − 0,782 × 0,451 ⎟ − 0⎥ 3 669 × 10 N 1 , 135 1 , 135 ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 1,0 W el , y 194,3 × 10− 6 m3 = 1,061 ≥ = = 0,881 W pl , y 220,6 × 10−6 m3 - Verificação: M pl , y, Rk = W pl , y f y = 220,6 × 10−3 m3 × 235 × 10− 6

N = 51,8kNm m2

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ C my M y , Ed , direito N Ed ⎢ ⎥ + μ y ⎢ N ⎞ M pl , y , Rk ⎥⎥ N Ed χ y c , Rk ⎢ ⎛ ⎜1 − ⎟C γ M 1 ⎢⎣ ⎜⎝ N cr , y ⎠⎟ yy γ M 1 ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 3 210 × 103 N 0 , 782 × 43 × 10 Nm ⎥ = 0,985 ≤ 1 = + 0,996⎢ 3 3 3 ⎢ ⎛ 210 × 10 N ⎞ 669 × 10 N 51,8 × 10 Nm ⎥ 0,939 ⎜⎜1 − ⎟ 1 , 061 ⎢ ⎥ 3 ⎟ 1,0 3287 × 10 N 1 , 0 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


⇒ Satisfatório. • Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9) É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado: M y , Ed , direito − M y , Ed ,esquerdo 43 × 103 Nm − 0 = = 12,3 KN V y , Ed = L 3,5m AVy = A − 2bt f + (t w + 2r )t f

= 2,848 × 10−3 m 2 − 2 × 0,1m × 0,0085m + (0,0056 m + 2 × 0,012m) = 1,40 × 10−3 m 2 ≥ hwt w = 0,183m × 5,6 × 10−3 m = 1,02 × 10−3 m 2 6 N × 235 10 A f 1,02 × 10 m m 2 = 139 KN V pl , y , Rd = Vy y = 1,0 3 γ M 0 3

−3

2

V y , Ed = 12,3 KN ≤ 0,5 xV pl , y , Rd = 0,5 × 139 KN = 69,5 KN

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em conta (Vsd < 50% Vrd). N Ed 210 × 103 N n= = = 0,314 ≥ 0,25 N c, Rk 669 × 103 N γ M 0 1,0 N Ed × γ M 0 210 × 103 N × 1,0 nw = = = 0,872 ≥ 0,5 hw × t w × f y 0,183m × 5,6 × 10−3 m × 235 × 106 N m2

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente precisa de ser tido em conta. ( A − 2b f t f ) 2,848 × 10−3 m 2 − 2 × 0,1m × 8,5 × 10−3 m α = = = 0,403 ≤ 0,5 A 2,848 × 10−3 m 2 1 − n M pl , y , Rk 1 − 0,314 51,8 × 103 Nm M N , pl , y , Rd = = = 44,7 KN .m 1 − 0,5α γ M 0 1 − 0,5 × 0,403 1,0 M pl , y , Rk 51,8 × 103 Nm ≤ = = 51,8 x103 Nm γ M 0 1,0 M y , Ed , direito 43 × 103 Nm = = 0,965 ≤ 1 M N , pl , y , Rd 44,7 × 103 Nm

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


⇒ Satisfatório. De notar que só a extremidade direita tem de ser verificada, uma vez que possui uma solicitação superior à da extremidade esquerda (M y,Ed = 0).

Verificação de acordo com o Método 2 • Verificação da Estabilidade: - Factor de redução para a compressão e flexão: E = π f y

λ 1 = π

N m 2 = 93,9 N 235 × 106 2 m

210000 × 106

Lcr 1 3,5m 1 = = 0,451 i y λ 1 82,6 × 10−3 m 93,9

λ y

=

φ y

= 0,5[1 + α y (λ y − 0,2) + λ y 2 ] = 0,5[1 + 0,21(0,451 − 0,2) + 0,4512 ] = 0,628

χ y

=

1 φ y

+

φ y

2

− λ y 2

=

1 = 0,939 ≤ 1 2 2 0,628 + 0,628 − 0,451

- Momento Uniforme Equivalente Cm: ϕ y

=

M y , Ed , direito 0 = =0 M y, Ed ,esquerdo 43 × 103 Nm

C my = 0,6 + 0,4ϕ y = 0,6 + 0,4 × 0 = 0,6 ≥ 0,4 - Factores de Interacção:

N c , Rk = Af y = 2,848 × 10 −3 × 235 × 10 −3 N Ed n y = = N c , Rk χ y

λ y

γ M 1

N = 669 KN m2

210 × 10 3 N = 0,334 669 × 10 3 N 0,939 1,0

≤ 1 : K yy = C my [1 + (λ y − 0,2)n y ] = 0,600[1 + (0,451 − 0,2 )0,334 ] = 0,650 EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


- Verificação: M pl , y, Rk = W pl , y f y = 220,6 × 10−3 m3 × 235 × 10−6 M N Ed n y = + k yy y , Ed = N c, Rk M pl , y, Rk χ y

γ M 1

γ M 1

N = 51,8kNm m2

210 × 103 N 43 × 103 Nm + 0,650 = 0,874 ≤ 1 669 × 103 N 51,8 × 103 Nm 0,939 1,0 1,0

⇒ Satisfatório. • Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9): É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado: M y , Ed , direito − M y , Ed ,esquerdo 43 × 103 Nm − 0 V y , Ed = = = 12,3kN L 3,5m AVy = A − 2bt f + (t w + 2r )t f

= 2,848 × 10−3 m 2 − 2 × 0,1m × 0,0085m + (0,0056 m + 2 × 0,012m) = 1,40 × 10−3 m 2 ≥ hwt w = 0,183m × 5,6 × 10−3 m = 1,02 × 10−3 m 2 6 N 235 × 10 A f 1,02 × 10 m m 2 = 139kN V pl , y , Rd = Vy y = 1,0 3 γ M 0 3

−3

2

V y , Ed = 12,3 KN ≤ 0,5 xV pl , y , Rd = 0,5 × 139 KN = 69,5kN

⇒ O efeito do corte na redução do momento de resistente plástico não precisa de ser tido em conta (Vsd < 50% Vrd). N Ed 210 × 103 N n= = = 0,314 ≥ 0,25 N c , Rk 669 × 103 N γ M 0 1,0 N Ed × γ M 0 210 × 103 N × 1,0 = = 0,872 ≥ 0,5 nw = hw × t w × f y 0,183m × 5,6 × 10−3 m × 235 × 106 N m2

⇒ O efeito da força axial sobre o momento de resistente plástico precisa de ser tido em conta.

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


( A − 2b f t f ) 2,848 × 10−3 m 2 − 2 × 0,1m × 8,5 × 10−3 m = = 0,403 ≤ 0,5 α = A 2,848 × 10−3 m 2 1 − n M pl , y , Rk 1 − 0,314 51,8 × 103 Nm M N , pl , y , Rd = = = 44,7kNm 1 − 0,5α γ M 0 1 − 0,5 × 0,403 1,0 M pl , y , Rk 51,8 × 103 Nm ≤ = = 51,8 × 103 Nm γ M 0 1,0 M y , Ed ,direito 43 × 103 Nm = = 0,965 ≤ 1 M N , pl , y , Rd 44,7 × 103 Nm

⇒ Satisfatório. Só a extremidade direita final tem de ser verificada porque tem um momento superior face à extremidade esquerda M y,Ed = 0.

2.4.3.2. Exemplo Prático 2 - comportamento espacial com encurvadura lateral Este segundo exemplo trata de comportamento espacial. A viga-coluna é submetida à compressão e forças transversas causando uma significativa flexão. A flexão lateral e a torção não estão impedidas, podendo ocorrer.

Características da secção Transversal (IPE 500) Comprimento de encurvadura

L = 3,5m LLT = 3,5m

Dimensões dos banzos e alma

EC3 – Volume IV

bf = 200mm = 0,2m

hw = 468mm = 0,468m

tf = 16mm = 0,016m

tw = 10,2mm = 0,0102m

89

Série Estruturas


Área

A = 115,5cm2 = 11,55·10-3m2

Inércias

Iy = 48199cm4 = 481,99·10-6m4 Iz = 2142cm4 = 21,42·10-6m4 W pl,y = 2194cm3 = 2194·10-6m3

Módulos de flexão plásticos

W pl,z = 335,9cm3 = 335,9·10-6m3 Wel,y = 1927,9cm3 = 1927,9·10-6m3

Módulos de flexão elásticos

Wel,z = 214,2cm3 = 214,2·10-6m3 iy = 20,43cm = 204,3·10-3m

Raios de giração

iz = 4,31cm = 43,1·10-3m Inércia torsional (torção uniforme, Saint- It = 89,2871cm4 = 892871·10-12m4 Venant) e de empenamento (torção não uniforme)

Iw = 1249·103cm6 = 1,249·10-6m6

Solicitações Forças de Compressão

NEd = 800 KN

Distribuição do momento de flexão, eixo forte

My,Ed,direito = 350 KN.m

Distribuição do momento de flexão, eixo fraco

Mz,Ed = 0 KN.m

My,Ed,esquerdo = 0 KN.m

Propriedades dos Materiais Módulos Elásticos

E = 210000x106 N/m2

Características do rendimento forte

Fy = 235x106 N/m2

Factores parciais de segurança

γ Mo = 1,0

G = 80770x106 N/m2

γ M1 = 1,0

Definições das curvas de Flexão:

• Factor de Imperfeição para eixo forte: α y = 0,21 • Factor de Imperfeição para eixo fraco: α z = 0,34 Factor de imperfeição na flexão lateral com torção: EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


•

α LT = 0,34 se o “caso geral” for escolhido;

•

α LT

= 0,49, se for escolhido o caso de “secções laminadas ou as secções equivalentes

soldadas”. Classificação da Secção Transversal: - Alma em compressão composta com flexão: c d 426 × 10−3 m = = = 41,8 t t w 10,2 × 10−3 m Se considerarmos uma distribuição plástica: 0,5 N Ed 0,5 × 800 × 103 m −3 α c = 0,5d + = 0,5 × 426 × 10 m + = 379,8 × 10−3 m N t w f y 10,2 × 10−3 m × 235 × 106 2 m Deste modo α = 0,892 > 0,5 Classe 2 quando combinando flexão e compressão: 456ε 456 × 1 = = 43,0 13α − 1 13 × 0,892 − 1

⇒ Alma em compressão combinada com flexão é da Classe 2. - Banzo em compressão: c 0,5(b − t w − 2r ) 0,5(200 × 10−3 m − 10,2 × 10−3 m − 2,12 × 10−3 m) = = = 4,6 t t f 16 × 10−3 m Limite da Classe 1: 9 ε = 9

⇒ Banzo é da Classe 1. ⇒ Secção transversal é da Classe 1.


• Verificação de Estabilidade: - Factor de redução para a compressão e flexão:

EC3 – Volume IV

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Série Estruturas


2

N cr , y =

λ y

=

π EI

=

L2

11,552 × 10−3 m 2 × 235 × 106

Af y = N cr , y

81549 × 103 N

2

N cr , z =

π EI

=

L2

Af y = N cr , z

N × 481,99 × 10−6 m 4 2 m = 81549kN (3,5m 2 ) 2

π 2 × 210000 × 106

N m 2 = 0,182 ≤ 0,200 → χ = 1,000 y

N × 21,42 × 10− 6 m 4 2 m = 3624 KN (3,5m 2 ) 2

π 2 × 210000 × 106

11,55 × 10−3 m 2 × 235 × 106

N m 2 = 0,865

λ y

=

φ z

= 0,5[1 + α z (λ z − 0,2) + λ z 2 ] = 0,5[1 + 0,34(0,865 − 0,2) + 0,8652 ] = 0,988

χ z

=

3624 × 103 N

1 φ z

+

φ z

2

− λ z 2

=

1 = 0,683 ≤ 1 0,988 + 0,9882 − 0,8652

- Termos Auxiliares: N Ed 800 × 103 N 1− N cr , y 81549 × 103 N = 1,000 μ y = = 3 N Ed 800 × 10 N 1 − χ y 1−1 N cr , y 81549 × 103 N 1−

M pl , y 2194 × 10− 6 m3 W y = = = 1,138 ≤ 1,5 M el , y 1927,9 × 10− 6 m3 N Ed 800 × 103 N 1− N cr , z 3624 × 103 N = 0,918 μ z = = 3 N 1 − χ y Ed 1 − 0,683 800 × 10 N N cr , z 3624 × 103 N 1−

M pl , z 335,9 × 10− 6 m3 W z = = = 1,568 ≤ 1,5 → W z = 1,5 M el , z 214,2 × 10−6 m3 - Factor Cm0:

EC3 – Volume IV

92

Série Estruturas


Assume-se aqui que o momento de flexão no eixo maior é quase linear, assim, a fórmula da flexão com momento linear é usada. ϕ y

=

M y , Ed ,esquerdo 0 = =0 M y , Ed , direito 350 × 103 Nm

C my ,0 = 0,79 + 0,21ϕ y + 0,36(ϕ y − 0,33)

N Ed N cr , y

800 × 103 N = 0,79 + 0,21× 0 + 0,36(0 − 0,33) = 0,789 81549 × 103 N - Resistência à flexão lateral com torção: Porque It = 892871×10 -12 m4 < I y = 481,99×10-6 m4, a forma da secção transversal é tal que o elemento pode ser propenso a flexão lateral com torção. As condições de apoio asseguram que o comprimento de encurvadura é igual ao comprimento da barra L LT = L.

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎜⎜ GI t + 2 ⎟⎟ M cr ,0 = 2 L LT L LT ⎠ ⎝ N π 2 × 210000 × 106 2 21,42 × 10 − 6 m 4 m × (3,5m)2 = ⎛ N ⎞ = 1014 π 2 × 210000 × 106 2 1,249 × 10 − 6 m6 ⎟ ⎜ m ⎜ 80770 × 106 N 2 892871× 10−12 m 4 + ⎟ 2 m (3,5m) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ π 2 EI z

λ 0

=

W pl , y f y = M cr ,0

2194 x10−6 m3 × 235 × 106 1014 × 103 Nm

N m 2 = 0,713

π 2 EI w ⎞ A ⎛ 11,552 × 10−3 m2 ⎜ GI + 2 ⎟⎟ = N cr ,T = × −6 4 −6 4 × + × I y + I z ⎜⎝ t L LT 481 , 99 10 m 21 , 42 10 m ⎠

N ⎛ ⎞ π 2 × 210000 × 106 2 1,249 × 10− 6 m6 ⎟ ⎜ N m ⎟ = 6503 KN × ⎜ 80770 × 106 2 892871 × 10−12 m 4 + m (3,5m)2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ Com C1 = 2,15 (determinado pelas tabelas fornecidas no Anexo I deste documento). EC3 – Volume IV

93

Série Estruturas


λ o. lim

⎛ N ⎞⎛ N ⎞ = 0,2 C 1 4 ⎜⎜1 − Ed ⎟⎟⎜⎜1 − Ed ⎟⎟ ⎝ N cr , z ⎠⎝ N cr ,T ⎠

⎛ 800 × 103 N ⎞⎛ 800 × 103 N ⎞ ⎟⎟⎜⎜1 − ⎟⎟ = 0,267 0,2 2,15 4 ⎜⎜1 − 3 3 3624 × 10 N 6503 × 10 N ⎠ ⎝ ⎠⎝ λ o

= 0,713 ≥ λ o. lim = 0,267 ⇒ A flexão lateral com torção tem de ser tida em conta. I t 892871 × 10−12 m 4 α LT = 1 − =1− = 0,998 ≥ 0 I y 481,99 × 10−12 m4 M y , Ed , direito A 350 × 103 Nm 11,552 × 10−3 m 2 ε y = = = 2,621 N Ed W el , y 800 × 103 N 1927,9 × 10−6 m3

C my = C my ,0 + (1 − C my ,0 )

2 K LT = C my

α LT ε y

1 + ε y α LT

α LT

⎛ N Ed ⎞⎛ N Ed ⎞ ⎜1 − ⎟⎜ ⎟ ⎜ N cr , z ⎟⎜1 − N cr ,T ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= 0,789 + (1 − 0,789)

= 0,9192

0,998 2,621 = 0,919 1 + 2,621 × 0,998

0,998 = 1,020 ≥ 1 3 3 ⎛ 800 × 10 N ⎞⎛ 800 × 10 N ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟⎜⎜1 − ⎟⎟ 3 3 3624 × 10 N 6503 × 10 N ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎜⎜ GI t + 2 ⎟⎟ M cr = C 1 2 L LT L LT ⎠ ⎝ N π 2 × 210000 × 106 2 21,42 × 10− 6 m 4 m x (3,5m)2 = 21,5 ⎛ = 2179 KN .m − 6 6 ⎞ 2 6 N π × 210000 × 10 1 , 249 × 10 m ⎜ ⎟ m2 ⎜ 80770 × 106 N 2 892871 ×10−12 m 4 + ⎟ 2 m (3,5m ) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ π 2 EI z

λ LT =

W pl , y f y = M cr

2194 × 10− 6 m3 × 235 × 106 2179 × 103 Nm

N m 2 = 0,486

O “caso geral” é o método escolhido aqui. 2

φ LT = 0,5[1 + α LT (λ LT − 0,2) + λ LT χ LT =

EC3 – Volume IV

] = 0,5[1 + 0,34(0,486 − 0,2) + 0,4862 ] = 0,667

1 2

φ LT + φ LT

− λ LT 2

=

1 = 0,890 ≤ 1 0,667 + 0,6672 − 0,4862 94

Série Estruturas


Com Kc = 0,653 (valores obtidos pelo Anexo I deste documento). f = 1 − 0,5(1 − k c )[1 − 2(λ LT − 0,8)2 ] = 1 − 0,5(1 − 0,653)[1 − 2(0,486 − 0,8)2 ] = 0,861 ≤ 1,0 χ LT , mod

=

χ LT

f

=

0,890 = 1,034 → χ LT , mod = 1,000 0,861

- Resistência à compressão elástico-plástica: N c , Rk = Af y = 11,552 × 10−3 × 235 x10−3 λ max

N = 2714 KN m2

= λ z = 0,865

Sendo bLT = 0 porque M Z,Ed = 0.

⎡ ⎤ ⎢⎛ 1,6 2 ⎥ 1 , 6 2 2 ⎞ N Ed C yy = 1 + ( w y − 1) ⎢⎜⎜ 2 − C my λ max − C my λ max ⎟⎟ − b LT ⎥ N w w ⎢⎝ ⎥ y y ⎠ c , Rk ⎢⎣ ⎥⎦ γ M 1 ⎡ ⎤ 3 ⎢⎛ 1,6 ⎥ 1,6 2 2 2 ⎞ 800 × 10 N = 1 + (1,138 − 1) ⎢⎜ 2 − − 0⎥ 0,919 × 0,865 − 0,919 × 0,865 ⎟ 3 2714 × 10 N 1 , 138 1 , 138 ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 1,0 W el , y 1927,9 × 10− 6 m3 = 1,061 ≥ = = 0,879 W pl , y 2194 × 10− 6 m3 Sendo dLT = 0 porque M Z,Ed = 0.

⎡ ⎤ 2 2 ⎢⎛ ⎥ C my λ max ⎞⎟ N Ed ⎜ ⎢ C zy = 1 + ( w y − 1) 2 − 14 − d LT ⎥ 5 ⎜ ⎟ N w y ⎠ c , Rk ⎢⎝ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ γ M 1 ⎡ ⎤ ⎢⎛ ⎥ 0,9192 × 0,8652 ⎞ 800 ×103 N ⎟⎟ = 1 + (1,138 − 1) ⎢⎜⎜ 2 − 14 − 0⎥ 3 2714 × 10 N 1,1385 ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ 1,0 w y W el , y 1,138 1927,9 × 10−6 m3 = 0,459 = 0,893 ≥ 0,6 = 0,6 w z W pl , y 1,5 2194 × 10−6 m3 - Verificação: M pl , y , Rk = W pl , y f y = 2194 × 10−3 m3 × 235 × 10− 6 EC3 – Volume IV

N = 516 KN .m m2 95

Série Estruturas


⎡ ⎤ ⎢ ⎥ C M N Ed ⎢ ⎥ my y , Ed , direito + μ y ⎢ ⎥ N c , Rk ⎛ ⎞ M N pl , y , Rk χ y ⎢ ⎜1 − Ed ⎟C yy ⎥ γ M 1 ⎜ ⎟ ⎢⎣ ⎝ N cr , y ⎠ γ M 1 ⎥ ⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 3 800 × 103 N 0 , 919 × 350 × 10 Nm ⎥ = + 1⎢ 3 3 3 ⎢ 2714 × 10 N ⎛ 800 × 10 N ⎞ 516 × 10 Nm ⎥ 1 ⎜ ⎟ 1 − 1 , 033 ⎢⎜ ⎥ 3 ⎟ 1,0 1,0 ⎣ ⎝ 81549 × 10 N ⎠ ⎦ = 0,936 ≤ 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ w C M N Ed k ⎥ my y , Ed , direito + μ z ⎢⎢0,6 y LT N c , Rk χ LT , mod ⎛ N Ed ⎞ M pl , y , Rk ⎥ w z χ z ⎢ ⎥ ⎜1 − ⎟C zy ⎜ ⎟ γ M 1 γ M 1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ N cr , z ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 800 × 103 N 1,138 1,020 0,919 × 350 × 103 Nm ⎢ ⎥ = + 0,918 0,6 3 3 3 ⎢ 2714 × 10 N 1,5 1,000 ⎛ 800 × 10 N ⎞ 516 × 10 Nm ⎥ 1 ⎜⎜1 − ⎟ 0 , 893 ⎢ ⎥ 3 ⎟ 1,0 81549 × 10 N 1 , 0 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ = 0,777 ≤ 1 ⇒ Satisfatório. • Verificação da Secção Transversal (EN 1993-1-1, 6.2.9): É necessário verificar a resistência da secção transversal ao total de esforços com significado: A força máxima de corte nas extremidades do elementos é V y,Ed = 106,4 KN, na extremidade esquerda. AVy = A − 2bt f + (t w + 2r )t f = 11,55 × 10−3 m2 − 2 × 0,2m × 0,016m + (0,0102 m + 2 × 0,021m)

= 5,99 × 10−3 m 2 ≥ hwt w = 0,468m × 10,2 ×10−3 m = 4,77 × 10−3 m 2 6 N 235 × 10 2 AVy f y 4,77 × 10 m m V pl , y , Rd = = = 648 KN 1,0 3 γ M 0 3

−3

2

V y , Ed = 152,5 KN ≤ 0,5 xV pl , y , Rd = 0,5 × 648 KN = 324 KN

⇒ O efeito do corte sobre o momento resistente plástico não precisa de ser tido em conta (Vsd < 50% Vrd). EC3 – Volume IV

96

Série Estruturas


N Ed 800 × 103 N n= = = 0,295 ≥ 0,25 N c , Rk 2714 × 103 N γ M 0 1,0 N Ed γ M 0 800 × 103 N × 1,0 nw = = = 0,713 ≥ 0,5 hwt w f y 0,468m × 10,2 × 10− 3 m × 235 × 106 N m2

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico precisa de ser tido em conta. ( A − 2b f t f ) 11,552 × 10−3 m 2 − 2 × 0,2m × 0,016m α = = = 0,446 ≤ 0,5 A 11,552 × 10−3 m 2 1 − n M pl , y , Rk 1 − 0,295 516 × 103 Nm M N , pl , y , Rd = = = 468 KN .m 1 − 0,5α γ M 0 1 − 0,5 × 0,446 1,0 M pl , y , Rk 516 × 103 Nm ≤ = = 516 x103 Nm γ M 0 1,0 M y , Ed , direito 350 × 103 Nm = = 0,748 ≤ 1 M N , pl , y , Rd 468 × 103 Nm

⇒ Satisfatório.


• Verificação da Estabilidade: - Factor de redução para a compressão e flexão:

λ 1 = π

E = π f y

N m 2 = 93,9 N 235 × 106 2 m

210000 × 106

λ y

=

Lcr 1 3,5m 1 = = 0,182 ≤ 0,200 → χ y = 1,000 −3 i y λ 1 204,3 × 10 m 93,9

λ z

=

Lcr 1 3,5m 1 = = 0,866 −3 i y λ 1 43,1× 10 m 93,9

EC3 – Volume IV

97

Série Estruturas


φ z

= 0,5[1 + α z (λ z − 0,2) + λ z 2 ] = 0,5[1 + 0,34(0,866 − 0,2) + 0,8662 ] = 0,988

χ z

=

1 φ z

+

φ z

2

− λ z 2

=

1 = 0,683 ≤ 1 0,988 + 0,9882 − 0,8662

- Momento Uniforme Equivalente Cm: ϕ y

=

M y, Ed , direito 0 = =0 M y , Ed ,esquerdo 350 × 103 Nm

M s = M y, Ed , mid − span = 129,06 KN .m M h = M y, Ed , direito = 350 KN .m α s

=

M s 129,06 = = 0,369 M h 350

0 ≤ α s = 0,369 ≤ 1 C my = 0,2 + 0,8α s = 0,2 + 0,8 × 0,369 = 0,495 ≥ 0,4 C m. LT = C my = 0,495 - Resistência à flexão lateral com torção: k p =

0,9

⎡ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎢1 + 1 ⎜ λ z ⎟ ⎢ 20 ⎜ h ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ ⎢⎣ ⎝ t f ⎠

2 0 , 25

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

=

0,9

⎡ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ 1 81 , 3 ⎟ ⎢1 + ⎜ ⎢ 20 ⎜ 0,5m ⎟ ⎜ 0,016m ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎣

2 0, 25

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

= 0,837

Com Kc=0,653 (valores obtidos pelas tabelas do Anexo I). _

_

λ LT = K c × K p × λ z

= 0,653 × 0,837 × 0,866 = 0,473

O factor de torção lateral λ LT também pode ser calculado da forma habitual, utilizando M cr . β = 0,75

EC3 – Volume IV

98

Série Estruturas

Estruturas Metálicas 2

φ LT = 0,5[1 + α LT (λ LT − 0,4) + λ LT

]

= 0,5[1 + 0,49(0,473 − 0,4) + 0,4732 ] = 0,602 χ LT =

1 2

φ LT + φ LT

− β λ LT 2

=

1 = 0,959 ≤ 1 0,602 + 0,6022 − 0,75 × 0,4732

f = 1 − 0,5(1 − k c )[1 − 2(λ LT − 0,8) 2 ] = 1 − 0,5(1 − 0,653)[1 − 2(0,473 − 0,8)2 ] = 0,864 ≤ 1,0 χ LT , mod

=

χ LT

f

=

0,959 = 1,110 → χ LT , mod = 1,000 0,864

- Factores de Interacção: N c , Rk = Af y = 11,552 × 10−3 × 235 × 10−3 N Ed n y = = N c , Rk χ y

γ M 1

N Ed n z = = N c , Rk χ z

λ y

γ M 1

N = 2714 KN m2

800 × 103 N = 0,295 2714 × 103 N 1,000 1,0 800 × 103 N = 0,432 2714 × 103 N 0,683 1,0

≤ 1 : K yy = C my [1 + (λ y − 0,2 )n y ] = 0,495[1 + (0,182 − 0,2 )0,295] = 0,492

0,4 ≤ λ z ≤ 1 : k LT = 1 −

0,1λ z n z 0,1 × 0,866 × 0,432 = 1− = 0,847 C mLT − 0,25 0,495 − 0,25

- Verificação: M pl , y , Rk = W pl , y f y = 2194 × 10− 6 m3 × 235 × 106 N Ed + k N c , Rk yy

χ y

γ M 1

M y , Ed = M pl , y , Rk

χ LT , mod

EC3 – Volume IV

γ M 1

N = 516kNm m2

800 × 103 N 350 × 103 Nm + 0,492 = 0,628 ≤ 1 2714 × 103 N 516 × 103 Nm 1,000 1,000 1,0 1,0

99

Série Estruturas

N Ed + k N Rk LT

χ z

γ M 1


M y , Ed = M pl , y , Rk

χ LT , mod

γ M 1

800 ×103 N 350 × 103 Nm + 0,847 = 1,006 ≥ 1 2714 × 103 N 516 × 103 Nm 0,683 1,000 1,0 1,0

⇒ Não Satisfatório • Secção transversal de verificação (EN 1993-1-1, 6.2.9) O máximo de corte nas extremidades do elemento é V y,Ed = 106,4 KN, na extremidade esquerda. AVy = A − 2bt f + (t w + 2r )t f

= 11,55 × 10−3 m 2 − 2 × 0,2m × 0,016m + (0,0102m + 2 × 0,021m) = 5,99 × 10−3 m 2 ≥ hwt w = 0,468m × 10,2 x10−3 m = 4,77 x10−3 m 2 6 N × 235 10 A f 4,77 × 10 m m 2 = 648 KN V pl , y, Rd = Vy y = 1,0 3 γ M 0 3

−3

2

V y, Ed = 152,5 KN ≤ 0,5 × V pl , y , Rd = 0,5 × 648 KN = 324 KN

⇒ O efeito do corte sobre o momento plástico de resistência não necessita de ser tomado em consideração. N Ed 800 × 103 N = = 0,295 ≥ 0,25 n= N c, Rk 2714 × 103 N γ M 0 1,0 N Ed γ M 0 800 × 103 N × 1,0 = = 0,713 ≥ 0,5 nw = hwt w f y 0,468m × 10,2 × 10−3 m × 235 × 106 N m2

⇒ O efeito da força axial sobre o momento resistente plástico necessita de ser tomado em consideração. ( A − 2b f t f ) 11,552 × 10−3 m2 − 2 × 0,2m × 80,016m α = = = 0,446 ≤ 0,5 A 11,552 × 10−3 m 2 1 − n M pl , y , Rk 1 − 0,295 516 × 103 Nm = = 468 KN .m M N , pl , y, Rd = 1 − 0,5α γ M 0 1 − 0,5 × 0,446 1,0 M pl , y , Rk 516 × 103 Nm ≤ = = 516 x103 Nm γ M 0 1,0 EC3 – Volume IV

100

Série Estruturas


M y, Ed , direito 350 × 103 Nm = = 0,748 ≤ 1 M N , pl , y , Rd 468 × 103 Nm

⇒ Satisfatório.

2.4.4. Exemplos de aplicação pela versão original (1993) do EC3 e algumas comparações Seguem-se alguns exemplos utilizando a versão inicial do EC3, de 1993, em que a encurvadura lateral é mais fácil de verificar, embora com valores mais conservativos e menos económicos. Em certos exemplos também é incluída a resolução pela versão actual do EC3 (2010), para comparação. Contudo, a solução pela versão actual do EC3 (2010) precisa de revisão, podendo existir erros. Os exemplos foram retirados da versão espanhola do ESDEP.

2.4.4.1. Exemplo de momento simples e esforço axial, sendo o momento segundo z (menor inércia) Mostre que quando o perfil da figura é usado como pilar de uma estrutura com uma altura de 4 m., sujeito a um esforço axial Nsd=250 kN pode ser, sem prejuízo da sua estabilidade, sujeito a um momento segundo o eixo de menor inércia (zz) no valor de 6kNm (constante ao longo de todo o pilar). Este pilar tem os seus extremos simplesmente apoiados sem possibilidade de ocorrência de translação (nós fixos). Nsd y

z

Mz.Sd

y z

Dados: ¾

HEA160

EC3 – Volume IV

101

Série Estruturas


¾

Altura útil da alma, d = 104 mm

¾

Altura, h = 152 mm

¾

Largura do banzo, b = 160mm

¾

Espessura do banzo,

¾

Raio de giração, iy = 6,75 cm

¾

Raio de giração, iz = 3,98 cm

¾

Espessura da alma, tw = 6 mm

t f

= 9 mm

wel . y = 220 cm 3

¾

Módulo de flexão elástica,

¾

3 w = 76 , 9 cm el . z Módulo de flexão elástica,

¾ ¾ ¾

Módulo de flexão plástica,

w pl . y = 245cm3

Módulo de flexão plástica,

w pl . z = 118cm3

F e 360

(com a tensão de cedência

f y = 235 MP a ).

Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993

Nota: O comprimento de encurvadura de um elemento comprimido, com as duas extremidades

impedidas

de

se

deslocarem

lateralmente

(ver

esquema),

pode,

conservativamente, ser considerado igual ao seu comprimento nominal. Devemos calcular em primeira instância a classe do perfil. Calculando separadamente as classes da alma e do banzo. A classe da peça será a mais alta existente entre estas duas (em termos numéricos das classes). Tendo em conta a sua tensão de cedência fy=235 MPa para S235: ε =

235 235 = =1 f y 235

Quanto à classe da alma, uma vez que está sujeita à compressão, temos: d/tw Com: EC3 – Volume IV

102

Série Estruturas


¾

d = altura útil entre banzos

¾

tw = espessura da alma

Assim: ¾

104 mm 6 mm = 17,33 mm

Logo: ¾

17,33 mm ≤ 33 ⋅ ε , com ε = 1 , (já calculado)

Assumindo que, conforme calculado: ¾

d / t w ≤ 33 . ε , sabemos que a alma da peça é da classe 1.

Analogamente, para o banzo vem: c/tf Com: ¾

c = metade da largura do banzo

¾

tf = espessura do banzo

¾

80 mm/9 mm = 8,88 mm

¾

8,88 mm ≤ 10 . ε , com ε = 1 (já calculado)

Assim:

Assumindo que, conforme calculado: ¾

c / t f ≤ 10 . ε , sabemos que os banzos da peça são da classe 1.

Finalmente sabemos que a peça pertence à classe 1. Para a classe 1 a área efectiva tem o mesmo valor que a área total da peça (não existem partes da secção capazes de instabilizá-la localmente). A esbelteza para o modo de encurvadura apropriado ( λ 1 ) é dada por: λ 1 = 93,9 . ε

Logo: λ 1 = 93 ,9 .ε × 1 =

EC3 – Volume IV

93 ,9

103

Série Estruturas


Dos dados iniciais do problema depreendemos que o raio de giração da peça relativamente ao eixo z (iz) é menor que o mesmo relativamente ao eixo y, ou seja, iz < iy. O factor de redução para o modo de encurvadura relevante, χ , tomará o menor valor dos factores de redução

χ y χ z e .

Portanto χ min será igual ao menor valor de

χ y χ z e .

Os elementos com secções transversais da classe 1 sujeitos a uma compressão devem satisfazer a seguinte condição: N Sd K z . M z.Sd + ≤1 ( χ min . A . f y γ M 1 ) (w pl . z . f y ) γ M 1 Com: ¾

f y

= Tensão de cedência

¾

γ M 1

¾

Kz = Coeficiente de rigidez

¾

M z.Sd = Momento-flector actuante w pl . z

¾

= Coeficiente de segurança

= Módulo de flexão plástico

Vamos calcular as incógnitas em falta para analisarmos a relação anterior e fazer as verificações necessárias. _

Por definição sabemos que a esbelteza normalizada para o eixo z, λ z , é igual a: λ

λ =

λ 1

Em que λ é a esbelteza para o modo de encurvadura apropriado) e: λ = ¾

l i z (sendo l o comprimento da peça e i o seu raio de giração segundo o eixo de menor inércia z-z)

Assim virá: λ = _

λ z

4000 = 100,5 39,8

=

100 ,5 0 ,5 ×1 =1 ,0703 93 ,9 EC3 – Volume IV

104

Série Estruturas


Através da consulta podemos seleccionar a curva de encurvadura de secção transversal da nossa peça, do seguinte modo: Tratando-se de um perfil laminado, calculamos a razão entre h b (dados iniciais do problema). Com

¾

um resultado de 0,95, verificamos que

0,95 ≤ 1,2 , sendo abrangido no limite h b ≤ 1,2 .

Seguidamente verificamos que a espessura do banzo “tf” dada inicialmente é de 9 mm, e logo, fica abrangido nos limites t f < 100mm. Tendo em conta que pretendemos a curva de encurvadura relativa ao eixo dos z-z, sabemos então que é a curva c. _

Para cálculo do factor de redução χ para a encurvadura, sabendo que a esbelteza calculada λ z é 1,0703 e que a nossa curva de encurvadura é a “c” podemos calcular directamente ou interpolando o valor correcto para χ . No nosso caso concreto χ =0.5 (Quadro 4 – Factores de redução). Como se assume o momento constante ao longo de toda a peça, o nosso coeficiente de redução

é igual a 1. Tendo em conta o quadro 6 (cap. 5.5.6.1, EC3, 1993),

situa-se nos

β limites entre − 1 ≤ ≤ 1, e logo, o coeficiente de equivalência a momentos uniformes M ψ será

igual a 1,8 − 0,7 . Então vem: β M ψ = 1,8 − 0,7 .

= 1,8 − 0,7 ×1 = 1,1

Falta-nos verificar os valores de cálculo dos coeficientes

z

e K z .

O primeiro pode ser calculado da seguinte forma: μ z

_ ⎡w − w ⎤ = λ z (2 . β Mz − 4) + ⎢ pl . z el . z ⎥ ≤ 0,90 ⎣ wel . z ⎦

Com: ¾

wel . z = Módulo de flexão elástico

¾

β MZ =

Factor de momento uniforme equivalente correspondente à encurvadura

por varejamento (compressão). ¾

w pl . z

= Módulo de flexão plástico

EC3 – Volume IV

105

Série Estruturas


Substituindo os valores já calculados na expressão, vem: 118 − 76 ,9 ⎤ = 1 ,0703 . (2 ×1 ,1 − 4 )) + ⎡⎢ ≤ 0 ,90 ⎣ 76 ,9 ⎥⎦ μ z = − 1 ,392 ≤ 0 ,90 μ z

Pelo que verifica! O segundo pode ser calculado através da expressão: K z = 1 −

. N Sd ≤ 1,5 χ Z . A . f y z

Com: ¾

A = área do perfil utilizado (m2)

¾

fy = tensão de cedência do

F e 360 ( P a )

NSd = esforço axial na peça (N)

¾

Substituindo os valores já calculados na expressão, vem:

−1 ,392 × 250 × 10 3 ≤ 1 ,5 K z = 1 − 0 ,5 (38 ,8 × 10 − 4 ) 235 × 10 6 K z = 1 ,763 ≤ 1 ,5 Não verifica! Neste caso vamos utilizar o valor máximo de: K z = 1,5

¾

Verificação de todos os dados na expressão: N Sd K z M . z.Sd + ≤1 ( χ min . A . f y γ M 1 ) (w pl . z . f y γ M 1 ) Vem: 250 ×103 1,5 × 6 × 103 + ≤1 0,5 × 38,8 ×10 −4 × 235 ×10 6 118 × 10 −6 × 235 ×106 1 1

0 ,8728

≤ 1

Verifica!

EC3 – Volume IV

106

Série Estruturas


Conclusão final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços pretendidos.

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010.

Classificação da secção:

σ compressão

σ tracção

I A

i=

σ compressão

=

=

N ed M zed ⎛ − h ⎞ + ×⎜ ⎟ A I z ⎝ 2 × 10 −3 ⎠

N ed M zed ⎛ h ⎞ + ×⎜ ⎟ A I z ⎝ 2 × 10 −3 ⎠ I 38.8 ⇔ I = 23847 cm4

⇔ 3.98 =

6 250 ⎛ − 152 ⎞ + × ⎜ ⎟ 38.8 × 10 −4 23847 × 10 −8 ⎝ 2 × 10 −3 ⎠

=

= -191.23 MPa σ tracção

=

6 250 152 ⎞ + × ⎛ ⎜ ⎟ −4 −8 38.8 × 10 23847 × 10 ⎝ 2 × 10 −3 ⎠ = 191.21 MPa

α =

σ comp σ comp

+ σ tracção

191.23 = 191.23 + 191.21 = 0.50

→ Para a alma do perfil em flexão composta:

C b − 3t 160 − 3 × 9 = = = 22.17 ≤ 72ε T T 6 C 36ε 36 × 1 = = = 72 T α 0.50 22.17 ≤ 72

Classe 1

→ Banzo Comprimido:

⎛ 160 − 6 − 15.2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ = 6.86 9 EC3 – Volume IV

107

Série Estruturas


C ≤ 9ε = 9 T 6.86 ≤ 9

Classe 1

Logo é classe 1 ii) Verificação da resistência da secção transversal Cap. 6.1 do EC3, 2010. Npl , Rd =

fyA

⎧γ M 0 = 1 ⎪ ⎨γ M 1 = 1 ⎪γ = 1 ⎩ M 2

λ M 0

235 × 10 3 ) × (38.8 × 10 −4 ) ( Npl , Rd = 1

= 911.8 KN

Ned = 250 KN ≤ 0.25 Npl,Rd ≤ 911.8 × 0.25 ≤ 227.95

kN KO

0.5 × hw × Tw × Ned = 250 KN ≤

fy γ M 0

235 × 10 3 ≤ 0.5 × (152 × 10 − 3 × 9 × 10 ) × (6 × 10 ) × 1 −3

−3

≤ 88.125

−3

kN KO

É necessário verificar a resistência à flexão: Mplz, Rd = Wpla z ×

fy γ 0

235 × 10 3 Mplz , Rd = (118 × 10 ) × 1 −6

= 27.73 kNm iii) Verificação da estabilidade do elemento N RK = A × fy = (38.8 × 10 −4 ) × (235 × 10 3 ) = 911.8kN Mz RK = Wpla z × fy = (118 × 10 −6 ) × (235 × 10 3 ) = 27.73 kNm

EC3 – Volume IV

108

Série Estruturas


λ z

=

L E , Z 1 4 1 × = × = 1.07 −2 λ 1 (3.98 × 10 ) 93.9 × 1 i z

Com λ 1 da página 63 do Eurocódigo 3, 2010. b 152 = = 0.95 ≤ 1.2 h 160 α = 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1)

1 + α × (1.07 − 0.2) + 1.07 2 = 1.29

φ = 0.5 × χ Z

=

λ y α

1

1 = 0.50 2 2 2 φ + φ − λ = 1.29 + 1.29 − 1.07 2

=

L E , y 1 4 1 × = × = 0.63 λ 1 (6.75 × 10 − 2 ) 93.9 × 1 i y

= 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1) φ = 0.5 × χ y

=

1 + α × (0.63 − 0.2) + 0.632 = 0.77

1

1 = 0.82 2 2 2 φ + φ 2 − λ + − 0.77 0.63 = 0.77

Cálculo do momento crítico:

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎟⎟ M = GI T EI z ⎜⎜1 + 2 L ⎝ L GI T ⎠ E CR

E CR

M =

π

4

6

81 × 10 × 84599,9 × 10

−12

π

⎛ π 2 210 × 10 6 × 13862 × 10 −10 I w ⎞ ⎟ × 210 × 10 × 23847 × 10 ⎜⎜1 + 2 6 −12 ⎟ × × × × 4 81 10 84599 , 9 10 ⎝ ⎠ 6

−8

M E CR = 2399,72 M cr = α m × M E CR = 1,35 × 2399,72 = 3239,63 0.5

λ LT

⎡Wz × fy ⎤ ⎡ (118 × 10 −6 ) × (235 × 10 3 )⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3239.63 ⎦ ⎣ M CR ⎦ = ⎣

0.5

= 0.093

Sendo α LT = 0.49 (Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando: considerando: λ LT , 0 φ LT

EC3 – Volume IV

= 0.4 e β = 0.73, obtém-se:

= 0.5 × 1 + α LT ×

λ LT

− λ LT , 0 ) + β × λ LT 2 = 0.43 109

Série Estruturas


χ LT

χ LT

=

1

= φ LT

+

φ LT

2

− β × λ LT 2

1 2

0.43 + 0.43 − 0.73 × 0.093

= 1.17

2

2

f = 1 − 0.5 × (1 − Kc ) × 1 − 2.0 × (λ LT − 0.8) , Com f ≤ 1 Kc = 0.86 (Segundo quadro 6.6 EC3) f = 1 − 0.5 × (1 − 0.85) × [1 − 2.0 × (0.093 − 0.8)2 ] = 0.999 OK χ LT , mod

=

χ LT

f

=

1.17 = 1.17 0.999

Cm LT = 0.6 + 0.4Ψ ≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3) = 0.6 + 0.4 × 0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK Cmy = 0.9 Cmz = 0.9

⎡ ⎤ ⎢ N Ed ⎥ ⎢ ⎥ k zz = C mz × 1 + (2λ z − 0.6) × N ⎢ ⎥ χ z × RK ⎢⎣ γ M 1 ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 250 ⎥ = 1.23 k zz = 0.9 × ⎢1 + (2 × 0.63 − 0.6) × ⎢ 911.8 ⎥ 0.50 × ⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ k yz = 0.6 × k zz ⇔ 0.6 × 1.23 = 0.74 N Ed χ y × N RK γ M 1

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + Δ M M z , Ed ⎟ + k yz × ⎜⎜ z , Ed ⎟ ≤1 M z , RK ⎜⎜ ⎟⎟ γ M 1 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎜ 6 +0 ⎟ 250 ⎟= + 0.74 × ⎜ ⎜ 27.73 ⎟ 0.82 × 911.8 ⎜ ⎟ 1 ⎝ 1 ⎠ 0.49 ≤ 1 OK Δ M z , Ed

: Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7)

EC3 – Volume IV

110

Série Estruturas


N Ed χ z × N RK γ M 1

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ M + Δ M z , Ed ⎟ + k zz × ⎜⎜ z , Ed ⎟ ≤1 M z , RK ⎜⎜ ⎟⎟ γ M 1 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎜6 +0⎟ 250 ⎟ = 0.81 ≤ 1 OK + 1.23 × ⎜ 0.50 × 911.8 ⎜ 27.73 ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝ 1 ⎠ Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1, 2010.

2.4.4.2. Exemplo de compressão com momento simples e esforço axial, sendo o momento segundo y (maior inércia) Mostre que a secção do problema anterior pode também suportar um momento-flector de 15 kNm segundo o eixo de maior inércia (yy), assumindo que este momento produz uma flexão ao longo do comprimento da peça. NSd z

y

My.Sd

z

y


Mantêm-se as restantes condições do exemplo anterior. _

Considera-se a peça da classe 1, conforme o exemplo visto e, analogamente, λ y = 93,9. EC3 – Volume IV

111

Série Estruturas

Estruturas Metálicas _

Deve-se proceder de novo ao cálculo da esbelteza normalizada

λ y , desta feita segundo o eixo

dos yy, uma vez que o momento-flector actua neste mesmo eixo. λ = λ =

¾

λ λ 1

l 4000 = i z 67,5

λ 1 = 93,9 (já calculado)

Assim virá: _

λ y

=

4000 0,5 × 1 = 0,633 67,5 93,5

A curva de encurvadura da secção transversal será a “b” (cálculo conforme o exemplo anterior). _

Com a designação do tipo de curva de encurvadura e com o valor de λ y já calculado, com recurso ao quadro respectivo (), calculamos o valor de

χ y

= 0,8204

(Quadro 4 – Factores de

redução). Assumindo novamente momento-flector constante ao longo de toda a peça, o nosso coeficiente de redução

será igual à unidade.

Deste modo, recuperamos a expressão β M .Y = 1,8 − 0,7 . , uma vez que intervalo − 1 ≤

se situa no

≤ 1.

Chegaremos ao valor de β M .Y = 1,1 . Considerando, conforme se afirmou no início deste exemplo, a peça pertencer à classe 1, vamos verificar os valores de

y

e de

K y

(subcapítulo 5.5.6.1. do EC3, 1993) para esta

situação. μ y

_

⎛ w − w ⎞ = λ y . (2 . β M .Y − 4) + ⎜⎜ pl . y el , y ⎟⎟ ≤ 0 ,90 ⎝ wel . y ⎠ _

Substituindo os valores vem: EC3 – Volume IV

112

Série Estruturas


μ y

245 − 220 ⎞ = 0 ,6333 . (2 × 1 ,1 − 4) + ⎛ ⎜ ⎟ ≤ 0 ,90 ⎝ 220 ⎠

E logo: y

= − 1,025 ≤ 0,90

Verifica! K y = 1 −

. N Sd ≤ 1,5 χ z . A . f y z

Substituindo os valores vem:

− 1 ,025 × 250 ×10 3 K y = 1 − 0 ,5 . (38 ,8 ×10 −4 ) 235 ×106

≤ 1 ,5

E logo: K y = 1,562 ≤ 1,5 Não verifica! K = 1,5 Neste caso vamos utilizar y (valor máximo) Verificação de todos os dados na expressão: K y . M y .Sd N Sd + ≤1 ( χ min . . A . f y γ M 1 ) (w pl . y . f y γ M 1 ) Substituindo vem: 250 ×103 1,5 . (15 ×103 ) + ≤1 0,8204 . (38,8 ×10 −4 ). (235 × 106 ) (118 × 10 −6 ). (235 ×106 ) 1 1 0 ,8114 ≤ 1 Verifica! Como a peça está submetida a um esforço axial NSd e a um momento flector My.Sd em torno do eixo dos yy, é necessário verificar se existe ou não a possibilidade de ocorrer a encurvadura lateral, ou seja, o bambeamento, dado que sendo a flexão segundo este eixo, yy, de maior inércia, esta pode instabilizar lateralmente. Se a flexão fosse segundo zz, eixo de menor inércia (exemplo anterior), não seria necessário este estudo, pois que a

EC3 – Volume IV

113

Série Estruturas


instabilidade/encurvadura nunca se daria pelo eixo de maior inércia, yy, mais resistente/estável que zz. Neste caso concreto, o esforço axial vai gerar um efeito negativo, ajudando a ocorrência de encurvadura lateral. K LT . M y .Sd N Sd + χ z . A . f y γ M 1 χ LT . M pl . y . f y γ M 1

≤ 1

Considerando o cálculo já efectuado de λ 1 = 93,9 e de β w = 1,0 , consultando o Anexo F (capítulo 6) sabemos que para secções I ou H, a esbelteza relativa à encurvadura lateral virá segundo a expressão:

λ LT

=

0,9 L i

z

2 ⎡ ⎛ L ⎞ ⎤ ⎢ 1 ⎜ i ⎟ ⎥ (c1 )0,5 .⎢1 + .⎜ z ⎟ ⎥ ⎢ 20 ⎜ h t ⎟ ⎥ ⎝ f ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢

0 , 25

Com c1 derivado das condições de fronteira da barra em questão (ANEXO F ou outra bibliografia). Sabemos ainda que: K LT = 1 − ¾ LT

¾

μ LT . N Sd χ z . A . f y

≤1 (subcapítulo 5.5.6.1, EC3, 1993)

= 0,15 . λ z . β M . LT − 0,15 ≤ 0,9

χ LT = ¾

1

⎛ 2 _ 2 ⎞ φ LT + ⎜⎜ φ LT − λ LT ⎟⎟ ⎝ ⎠

0,5

(subcapítulo 5.5.6.1, 1993)

≤1 (subcapítulo 5.5.4, 1993)

Com:

¾

_ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ L = 0,5 . ⎢1 + α LT . ⎜ λ LT − 0,2 ⎟ + λ LT ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ _

λ z ¾

=

l z i z . λ 1

(subcapítulo 5.5.2.1, 1993)

Como estamos em presença de uma secção laminada a quente, α LT = 0,21 , através do ANEXO F retiramos a expressão relativa a: EC3 – Volume IV

114

Série Estruturas


0 ,9 L iz

λ LT =

(c1 )0 ,5

⎡ 1 ⎛ L i ⎞ 2 ⎤ . ⎢1 + . ⎜⎜ z ⎟⎟ ⎥ ⎢ 20 ⎝ h t f ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

0 ,25

Substituindo vem: λ LT =

0 ,9 × 4000 39 ,8

⎡ 1 ⎛ 4000 39 ,8 ⎞ 2 ⎤ 0 ,5 ⎟⎟ ⎥ 1 ,0 . ⎢1+ .⎜⎜ ⎢⎣ 20 ⎝ 152 9 ⎠ ⎥⎦

0 ,25

λ LT = 70,11

Podemos então calcular: _

λ LT

= (λ LT

_

0 ,5 λ 1 ) . β W

λ LT = (70 ,11

93 ,9 ) .(1)0 ,5

_

λ LT = 0 ,746

Ainda: _ _ 2 ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ φ LT = 0,5 ⎢1 + α LT . ⎜ λ LT − 0,2 ⎟ + λ LT ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ φ LT = 0,5 [1 + 0,21. (0,746 − 0,2) + 0,746 2 ] φ LT = 0,836

Podemos verificar o valor da expressão: χ LT =

1

⎛ ⎝

_

⎞ ⎠

0 ,5

≤1

2 2 ⎟⎟ φ LT + ⎜⎜ φ LT − λ LT

1 ≤1 2 2 0, 5 0,836 + (0,836 − 0,746 ) χ LT = 0,824 ≤ 1 χ LT =

Verifica! Calculando:

EC3 – Volume IV

115

Série Estruturas


l z iz . λ 1 4000 λ z = 39 ,8 × 93 ,9 λ z = 1 ,07 λ z

E sabendo que mais uma vez:

=

β M . LT = β M ψ = 1,8 − 0,7 = 1,1

Vem: _

μ LT = 0 ,15 . λ . β M . LT − 0 ,15 ≤ 0 ,9 μ LT = 0 ,15 ×1 ,07 ×1 ,1 − 0 ,15 ≤ 0 ,9 μ LT = 0 ,026

≤ 0 ,9

Verifica! Calculando: K LT = 1 −

. N Sd ≤ 1 ,0 χ z . A . f y z

0 ,026 × 250 ×103 K LT = 1 − 0 ,5 . (38 ,8 ×10 −4 ). (235 ×106 ) K LT = 0 ,014 ≤ 1 ,0 Sendo que χ z foi calculado para o exemplo atrás. Verifica! Finalmente podemos verificar a condição: K LT . M y .Sd N Sd + χ z . A . f y γ M 1 χ LT . M pl . y . f y γ M 1

≤ 1

Substituindo vem: 250 ×103 0,014 . (15 × 103 ) + ≤ 1,0 0,5 . (38,8 ×10 −4 ). (235 ×106 ) 0,824 . (245 × 10 −6 ). (235 × 10 6 ) 1 1

0,55 ≤ 1,0 EC3 – Volume IV

116

Série Estruturas


Verifica! Conclusão Final: Podemos manter a peça escolhida com a mesma secção para os esforços pretendidos.

Resolução segundo o novo Eurocódigo, 2010

i) Classificação da secção σ compressão

σ tracção

I A

i=

σ compressão

=

=

N ed M yed ⎛ − h ⎞ + ×⎜ −3 ⎟ A I y × 2 10 ⎝ ⎠

N ed M yed ⎛ h ⎞ + ×⎜ ⎟ A I y ⎝ 2 × 10 −3 ⎠ I ⇔ I = 1767.83 cm4 38.8

⇔ 6.75 = =

15 250 − 152 ⎞ + × ⎛ ⎜ ⎟ −4 −8 38.8 × 10 1767.83 × 10 ⎝ 2 × 10 −3 ⎠ = -644.86 MPa

σ tracção

=

250 15 152 ⎞ + × ⎛ ⎜ ⎟ −4 −8 38.8 × 10 1767.83 × 10 ⎝ 2 × 10 −3 ⎠ = 644.86 MPa

α =

σ comp σ comp

+ σ tracção

=

644.86 = 0.50 644.86 + 644.86

→ Para a alma do perfil em flexão composta

C b − 3t 160 − 3 × 9 = = = 22.17 ≤ 72ε T T 6 C 36ε 36 × 1 = = = 72 T α 0.50 22.17 ≤ 72 OK.

Classe 1

→ Banzo Comprimido

⎛ 160 − 6 − 15.2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠ = 6.86 9 EC3 – Volume IV

117

Série Estruturas


C ≤ 9ε = 9 T 6.86 ≤ 9

Classe 1

Logo é classe 1 ii) Verificação da resistência da secção transversal Npl , Rd =

fyA λ M 0

Cap. 6.1 do EC3, 2010.

⎧γ M 0 = 1 ⎪γ = ⎨ M 1 1 ⎪γ = 1 ⎩ M 2 235 × 10 3 ) × (38.8 × 10 −4 ) ( Npl , Rd = = 911.8 KN 1

Ned = 250 KN ≤ 6.25 Npl,Rd

× 0.25 ≤ 227.95 kN, KO! ≤ 911.8

Ned = 250 KN ≤ 0.5 × hw × Tw ×

fy γ M 0

235 × 10 3 ≤ 0.5 × (152 × 10 − 3 × 9 × 10 ) × (6 × 10 ) × 1 −3

−3

≤ 88.125

−3

kN KO

É necessário verificar a resistência à flexão: Mply, Rd = Wpla y ×

fy γ 0

235 × 10 3 Mply, Rd = (245 × 10 ) × 1 −6

= 57.56 kNm iii) Verificação da estabilidade do elemento. N RK = A × fy = 38.8 × 10 −4 × 235 × 10 3 = 911.8kN My RK = Wpla y × fy = (245 × 10 −6 ) × (235 × 10 3 ) = 57.58 kNm EC3 – Volume IV

118

Série Estruturas


λ z

=

L E , Z 1 4 1 × = × = 1.07 −2 λ 1 (3.98 × 10 ) 93.9 × 1 i z

Sendo λ 1 lido na página 63 do Eurocódigo 3, 2010. b 152 = = 0.95 ≤ 1.2 h 160 α

= 0.49 Curva C (Quadro 6.2 do EC3-1-1). 1 + α × (1.07 − 0.2) + 1.07 2 = 1.29

φ = 0.5 × χ Z

=

=

2

φ + φ 2

λ y

α

1

=

− λ

1 = 0.50 2 2 1.29 + 1.29 − 1.07

L E , y 1 4 1 × = × = 0.63 λ 1 (6.75 × 10 − 2 ) 93.9 × 1 i y

= 0.34 Curva b (Quadro 6.2 do EC3-1-1). φ = 0.5 × χ y

[1 + α × (0.63 − 0.2) + 0.632 ] = 0.77

1

=

φ + φ 2

2

=

− λ

1 = 0.82 2 2 0.77 + 0.77 − 0.63

Cálculo do momento crítico:

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎟⎟ M = GI T EI z ⎜⎜1 + 2 L L GI T ⎠ ⎝ E CR

E CR

M =

π

4

6

81 × 10 × 84599,9 × 10

−12

π

⎛ π 2 210 × 10 6 × 13862 × 10 −10 I w ⎞ ⎟ × 210 × 10 × 23847 × 10 ⎜⎜1 + 2 6 −12 ⎟ ⎝ 4 × 81 × 10 × 84599,9 × 10 ⎠ 6

−8

M E CR = 2399,72 M cr = α m × M E CR = 1,35 × 2399,72 = 3239,63 0.5

λ LT

⎡Wy × fy ⎤ ⎡ (245 × 10 −6 ) × (235 × 10 3 )⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3239.63 ⎦ ⎣ M CR ⎦ = ⎣

0.5

= 0.133

Sendo α LT = 0.49 (Secções laminadas em I com h/b ≤ 1.2 (curva c) e considerando λ LT , 0

= 0.4 e β = 0.73, obtém-se: φ LT

EC3 – Volume IV

= 0.5 × 1 + α LT ×

λ LT

− λ LT , 0 ) + β × λ LT 2 = 0.44 119

Série Estruturas


χ LT

χ LT

=

1

= φ LT

+

φ LT

2

− β × λ LT 2

1 2

0.44 + 0.44 − 0.73 × 0.133

= 1.16

2

2

f = 1 − 0.5 × (1 − Kc ) × 1 − 2.0 × (λ LT − 0.8) , Com f ≤ 1 Kc = 0.86 (Segundo quadro6.6 EC3) f = 1 − 0.5 × (1 − 0.85) × 1 − 2.0 × (0.133 − 0.8)2 = 0.992 OK χ LT , mod

=

χ LT

f

=

1.16 = 1.17 0.992

Cm LT = 0.6 + 0.4Ψ ≥ 0.4, com Ψ = 3/6 = 0.5 (Pág. 80 EC3 – Quadro B.3) = 0.6 + 0.4 × 0.5 = 0.8 ≥ 0.4 OK Cmy = 0.9 Cmz = 0.9

⎡ ⎤ ⎢ N Ed ⎥ ⎥ k zz = C mz × ⎢1 + (2λ z − 0.6) × N RK ⎥ ⎢ χ z × ⎢⎣ γ M 1 ⎥⎦ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 250 ⎥ = 1.23 k zz = 0.9 × ⎢1 + (2 × 0.63 − 0.6) × ⎢ 911.8 ⎥ 0.50 × ⎢ ⎥ 1 ⎥⎦ ⎣⎢ k yz = 0.6 × k zz ⇔ 0.6 × 1.23 = 0.74 N Ed χ y × N RK γ M 1

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + Δ M M y , Ed ⎟ + k yz × ⎜⎜ y , Ed ⎟ ≤1 M y , RK ⎜⎜ ⎟⎟ γ M 1 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎜ 15 + 0 ⎟ 250 ⎟ = 0.53 ≤ 1 OK + 0.74 × ⎜ ⎜ 57.58 ⎟ 0.82 × 911.8 ⎜ ⎟ 1 ⎝ 1 ⎠

Δ M z , Ed : Momentos relativos a secções de classe4, (Quadro 6.7) EC3 – Volume IV

120

Série Estruturas


N Ed χ z × N RK γ M 1

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + Δ M M y , Ed ⎟ + k zz × ⎜⎜ y , Ed ⎟ ≤1 M y , RK ⎜⎜ ⎟⎟ γ M 1 ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎜ 15 + 0 ⎟ 250 ⎟ = 0.87 ≤ 1 OK + 1.23 × ⎜ ⎜ 57.58 ⎟ 0.50 × 911.8 ⎜ ⎟ 1 ⎝ 1 ⎠ Uma vez verificadas as duas condições anteriores, conclui-se que o perfil HEA160 verifica a segurança em relação aos esforços actuantes, de acordo com o EC3-1-1 de 2010.

2.4.4.3. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial

Demonstrar que a secção do problema anterior pode resistir, sem risco, uma compressão N Sd de 250 kN e, ao mesmo tempo, momentos no eixo maior e menor de M y.Sd = 10 kNm e Mz.Sd = 2,7 kNm, supondo que ambos momentos produzem uma só curva de flexão, sendo a altura de 4 m, como anteriormente.


Devem cumprir-se as condições de 5.5.4.(1) e 5.5.4.(2) do EC3, 1993.

EC3 – Volume IV

121

Série Estruturas


Comprovar também a resistência da secção, conforme EC3 (1993) em 5.4.8.

Cumpre as condições de encurvadura e resistência local, pelo que se aceita esta secção.

Resolução segundo o novo Eurocódigo,, 2010

My,sd=10KNm MZ,sd=2,7KNm EC3 – Volume IV

122

Série Estruturas


M y , Ed M N Ed + K yy + K yZ Z , Ed ≤ 1,0 χ y N Rk χ LT M y , RK M Z , Rk γ M 1

γ M 1

γ M 1

M y , Ed M N Ed + K Zy + K ZZ Z , Ed ≤ 1,0 χ Z N Rk χ LT M y , RK M Z , Rk γ M 1

γ M 1

γ M 1

N Rk = Af y = 38,8 × 10 −4 × 235 × 10 3 = 911,8 KN M y , Rk = W pl y f y = 245 × 10 −6 × 235 × 10 3 = 57,58 M Z , Rk = W pl Z f y = 76,9 × 10 −6 × 235 × 10 3 = 18,07 Encurvadura em torno de y.

=

λ y

L E , y 1 4,00 1 = = 0,63 i y λ 1 6,75 × 10 −2 93,9 × 1 b 152 = = 0,95 ≤ 1,2 h 160

Curva b.

(

φ = 0,5 1 + α λ y

− 0,2 ) + λ y

2

[

φ = 0,5 1 + 0,34(0,63 − 0,2) + 0,63 2 χ y

χ y

=

] = 0,77

1

=

φ + φ 2

− λ y

2

1 0,77 + 0,77 2 − 0,63 2

= 0,82

Encurvadura em torno de z. λ z

=

L E , z 1 4,00 1 = = 1,07 2 i z λ 1 3,98 ×10 − 93,9 ×1 Curva c - α = 0,49

(

φ = 0,5 1 + α λ y

− 0,2 ) + λ y

[

2

φ = 0,5 1 + 0,49(1,07 − 0,2) + 1,07 2 χ y

EC3 – Volume IV

=

] = 1,29

1 φ + φ 2

− λ y

2

123

Série Estruturas


=

χ y

1 = 0,50 2 2 1,29 + 1,29 − 1,08

3

1 n 1 I T = ∑ hi T i = ((104 − 9) × 6 3 ) + 2 × 160 × 9 3 = 84599,9mm 4 3 i =1 3 t f h 2 b 3 9 × (104 − 9 )2 × 160 3 I w = = = 13862 ∗ 10 6 mm 6 24 24

⎛ π 2 EI w ⎞ ⎟⎟ M = GI T EI z ⎜⎜1 + 2 L ⎝ L GI T ⎠ E CR

E CR

M =

π

4

6

81 × 10 × 84599,9 × 10

−12

π

⎛ π 2 210 × 10 6 × 13862 × 10 −10 I w ⎞ ⎟ × 210 × 10 × 23847 × 10 ⎜⎜1 + 2 6 −12 ⎟ 4 81 10 84599 , 9 10 × × × × ⎝ ⎠ −8

6

M E CR = 2399,72 M cr = α m × M E CR = 1,35 × 2399,72 = 3239,63 W pl , y f y 245 × 10 −6 × 230 × 10 3 λ LT = = = 0,13 M CR 3239,63 φ LT φ LT

= 0,5 1 + α LT (λ LT − λ LT 0 ) + β λ LT

2

= 0,5[1 + 0,49(0,13 − 0,4) + 0,75 × 0,13 2 ] = 0,82 χ LT

χ LT

=

1

=

− β λ LT

2

0,82 + 0,82 − 0,75 × 0,13

2

φ LT + φ LT

2

1 2

= 0,61

CmLT=0,8 Cmy=Cmz=0,9

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎢ N Ed ⎥⎥ N Ed ⎥⎥ ⎢ ⎢ K yy = C my 1 + (λ y − 0,2) ≤ C my 1 + 0,8 χ y N RK ⎥ χ y N RK ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ γ M 1 ⎦ γ M 1 ⎦ ⎣ ⎣ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 250 250 K yy = 0,9 ⎢1 + (0,63 − 0,2 ) ≤ 0,9⎢1 + 0,8 ⎥ ⎥ × × 0 , 82 911 , 8 0 , 82 911 , 8 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ K yy = 1,03 ≤ 1,14

EC3 – Volume IV

124

Série Estruturas


Considera-se 1,03.

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ N Ed ⎥ N ED ⎢ ⎥ ⎥ > C mz 1 + 1,4 k zz = C mz × ⎢1 + (2λ z − 0.6) × χ y N RK ⎥ N ⎥ ⎢ ⎢ χ z × RK ⎢ ⎥ ⎢⎣ γ M 1 ⎥⎦ γ M 1 ⎦ ⎣ ⎡ 250 ⎤ 250 ⎤ ⎡ k zz = 0,9 × ⎢1 + (2 × 1,07 − 0.6) × > 0 , 9 1 + 1 , 4 ⎢ 0,5 × 911,8 ⎥⎦ 0,82 × 911,8 ⎥⎦ ⎣ ⎣ k zz = 1,66 > 1,32 Considera-se 1,32.

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ N Ed ⎥ ⎢ N Ed ⎥ 0,1λ z 0,1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ K zy = 1 − < 1− χ χ N N ( ) ( ) C C − − 0,25 z RK ⎥ ⎢ 0,25 z RK ⎥ ⎢ mLT mLT ⎢⎣ ⎥ ⎢ γ M 1 ⎦ ⎣ γ M 1 ⎥⎦ ⎡ 0,1 × 1,07 250 ⎤ ⎡ 0,1 250 ⎤ K zy = ⎢1 − 1 < − (0,8 − 0,25) 0,5 × 911,8 ⎥ ⎢ (0,8 − 0,25) 0,5 × 911,8 ⎥ ⎣

⎦ ⎣

⎦

K zy = 0,89 < 0,9 Considera-se 0,9. K yz = 0,6 K zz = 0,6 × 1,23 = 0,738 M y , Ed M N Ed + K yy + K yZ Z , Ed ≤ 1,0 χ y N Rk χ LT M y , RK M Z , Rk γ M 1

γ M 1

γ M 1

250 10 2,7 + 1,03 + 0,738 ≤ 1,0 0,82 × 911,8 0,61 × 57,58 18,07 1 1 1

0,738 ≤ 1,0 O.K. M y , Ed M N Ed + K Zy + K ZZ Z , Ed ≤ 1,0 χ Z N Rk χ LT M y , RK M Z , Rk γ M 1

γ M 1

γ M 1

250 10 2,7 + 0,9 + 01,32 ≤ 1,0 0,50 × 911,8 0,61 × 57,58 18,07 1 1 1

0.99 < 1,0 O.K. Verifica a segurança, segundo a formulação do método 2. EC3 – Volume IV

125

Série Estruturas


2.4.4.4. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial Demonstrar que a secção do problema anterior pode resistir, sem risco a uma compressão N sd de 250 kN e, ao mesmo tempo, momentos no maior eixo e menor de M y.Sd = 20 kNm e M z.Sd = 7 kNm. Resolução segundo o antigo Eurocódigo, 1993

Devem cumprir-se as condições de 5.5.4. (1) e 5.5.4. (2) do EC3, 1993, sendo provável que a resistência da secção seja mais crítica que no problema anterior. Ver 5.5.4. (1) do Eurocódigo 3, 1993, para os seguintes cálculos.

EC3 – Volume IV

126

Série Estruturas


Comprovar a encurvadura lateral por torção.

Notar que: Ψ = -1, K = 1 Pois ambos os extremos são basculantes (permitem rotações livres).

EC3 – Volume IV

127

Série Estruturas


Aplicar a curva “a” de secção laminada.

Cumpre as condições de encurvadura geral e resistência local. Aceita-se esta secção.

2.4.4.5. Exemplo de compressão com momento duplo (flexão desviada) e esforço axial, com várias formas de apoio Um pilar de 7,2 m de altura, articulado na base, com vigas que transmitem cargas ao eixo forte e ao eixo fraco. Verificar se é seguro uma compressão N sd = 250 kNm e momentos de M y.Sd = 15 kNm e M z.Sd = 2,7 kNm.

EC3 – Volume IV

128

Série Estruturas



Temos que estudar a possibilidade de que a secção se esgote pelo seu eixo forte (yy’s) e/ou pelo seu eixo fraco (zz’s). Estudar a resistência do pilar (ver 5.5.1 e 5.5.1.2 do Eurocódigo 3, 1993). Aplicando as curvas de encurvadura (b) e (c), das tabelas 5.5.3 e 5.5.1 do Eurocódigo 3, vem:

Comprovar a encurvadura lateral por torção. EC3 – Volume IV

129

Série Estruturas


Ver tabela F1.1 e F2.1.(4) para os seguintes cálculos.

Aplicar a curva (a) (Ver 5.5.2(4) do Eurocódigo 3, 1993).

Cumpre as condições de encurvadura geral e resistência local. A secção é aceitável.

Pelo acima exposto constate-se uma maior simplicidade do EC3 de 1993.

EC3 – Volume IV

130

Série Estruturas


BIBLIOGRAFIA • • Estruturas de Acero – Calculo, Norma Basica y Eurocodigo”, Arguelles Alvarez, Arguelles Bustillo, Arriaga Martitegni, Atienza Recles. • Curso Basico de Calculo y Diseño de Estruturas Metálicas en Ordenador – Adaptado al Eurocódigo 3 y al LRFD (AISC). • Jaime Marco Garcia, Fundamentos para el Calculo y Diseño de Estruturas Metálicas de Acero Laminado – Comportamiento del Material y Esfuerzos. • Norma Europeia EN 1993-1-1: 2010, Eurocódigo 3: Projecto de Estruturas de Aço (D.N.A.). • “Projecto de Estruturas Metálicas, Parte I – Análise, Concepção e Dimensionamento de Estruturas Metálicas”, FCTUC. • ESDEP, Intoduction to Concise Eurocode 3. • R. Narayanan, V. Lawless. F. J. Naji, J. C. Taylor, The Steel Construction Institute, 1993. • Dubas, P. and Gheri, E. - Behaviour and design of steel plates structures. Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1994. • ECCS - Technical Committee 8 - Structural Stability, Technical Working Group 8.3 Plates Structures, 1986. • Simões, Rui A.D. – Manual de Dimensionamento de Estruturas Metálicas – Eurocódigo 3: Projecto de Estruturas Metálicas Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios – Edição 2005, CMM, Associação Portuguesa de Construção Metálica e Mista. • Rules for Member Stability in EN 1993-1-1: Background documentation and design guidelines, ECCS, 2006. •

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5

Parte IV / 131

Série Estruturas


ANEXO I – Encurvadura Lateral (incluindo o Anexo F do EC3 de 1993)

EC3 – Volume IV

132

Série Estruturas


ANEXO F (Informativo) ENV 1993-1-1: 1993

Encurvadura lateral

(1) Momento elástico crítico relativo à encurvadura lateral de uma viga de secção transversal uniforme e simétrica, de banzos iguais, nas condições padrão de restrições nos apoios, submetida a uma carga no eixo da sua alma e a um momento uniforme, é dado por: M cr =

π 2 . E . I z

L2

⎡ I w L2 .G . I t ⎤ .⎢ + 2 ⎥ ⎣ I z π . E . I z ⎦

0, 5

(F1)

Com: G= ¾

E 2 (1 + v )

¾

G e E – Módulos de elasticidade Longitudinal e Transversal

¾

It – Constante de enfunamento

¾

Iw – constante de empenamento

¾

Iz – momento de inércia relativo ao eixo zz (eixo de menor inércia)

¾

L – comprimento entre secções da viga contraventadas lateralmente

(2) As condições padrão de restrição em cada apoio são:

• Restrição ao movimento lateral; • Restrição respeitante à rotação segundo o eixo axial; • Livre de flectir no plano •

(1) No caso de uma viga com secção transversal uniforme simétrica relativamente ao eixo menor, com flexão sobre o eixo maior, o momento crítico elástico para a encurvadura lateral (bambeamento) é dado pela seguinte expressão: EC3 – Volume IV

133

Série Estruturas


0,5 2 ⎧⎡ ⎫ 2 ⎤ π . E . I z ⎪ ⎛ K ⎞ I w ( K . L ) . G . I t ⎪ 2 ⎜ ⎟⎟ . + 2 M cr = C 1 + (C 2 z g − C 3 z j ) ⎥ − (C 2 z g − C 3 z j ) ⎬ 2 ⎨ ⎢⎜ π . E . I z ( K . L) ⎪ ⎢⎣⎝ K w ⎠ I z ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ (F.2) 2

Na qual C1, C2 e C3 são factores dependentes das condições dos apoios e da forma do diagrama dos momentos flectores K e Kw são factores efectivos de comprimento, dependentes das condições de

¾

apoio nas extremidades. Z g = Z a − Z s

¾ ¾

Z j = Z s − 0 ,5 ∫ A ( y 2 + z 2 ). Z .dA / I y

¾

Za é a coordenada do ponto de aplicação da carga em relação ao centro de gravidade da secção Zs é a coordenada do centro de corte em relação ao centro de gravidade da

¾

secção Zj é o parâmetro que traduz o grau de simetria da secção em relação ao eixo y

¾

sendo nulo em vigas de secção duplamente simétrica e toma valores maiores o banzo comprimido de maior momento de inércia em torno de z. Nota: Ver F.1.2 (7) e (8) para os sinais convencionais e F.1.4 (2) para as aproximações de Zj. (2) Os factores efectivos de comprimento, K e Kw, variam de 0,5, para encastramento completo, a 1,0, para somente apoiado, com 0,7 para um apoio encastrado e o outro apoiado. (3) O factor K refere-se à rotação no plano e é análogo ao quociente entre l/L para a peça comprimida. (4) Caso geral, o factor Kw refere-se ao enfunamento. Excepto nos casos em que não forem tomadas medidas para evitar enfunamento, Kw deverá ser igual a 1,0. (5) Os valores C1, C2 e C3 serão dados pelas tabelas F.1.1 e F.1.2 para os diferentes casos de tipos de cargas, mediante a forma do diagrama de esforços sobre o comprimento L, entre os apoios. Os valores dados correspondem aos vários valores de K. (6) Para os casos de K=1,0, o valor de C1 para qualquer valor do momento no apoio, como o indicado no quadro F.1.1, é dado aproximadamente por: C 1 =1,88 −1,40.ψ + 0,52 .ψ 2 com C 1 ≤ 2,70

(F.3)

(7) O sinal convencionado para a determinação de Z j, ver fig. F 1.1., é: EC3 – Volume IV

134

Série Estruturas


¾

Z é positivo para o banzo comprimido;

¾

Z é positivo quando o banzo que tiver maior valor de Iz estiver comprimido no ponto de maior momento.

(8) O sinal convencionado para a determinação de Zg é: A carga gravítica Zg é positiva para cargas aplicadas no centro de corte. Em casos gerais, Zg é positivo para cargas activas aplicadas “towards” na direcção do centro de corte.

(1) Para secções transversais duplas e simétricas, Zg = 0, assim: 0,5 2 ⎧⎡ ⎫ 2 ⎤ π . E . I z ⎪ ⎛ K ⎞ I w ( K . L ) . G . I t ⎪ 2 ⎜ ⎟ ( ) ⎢ ⎥ + + − M cr = C 1 . C z C z ⎨ 2 g 2 g ⎬ π 2 . E . I z ( K . L )2 ⎪⎢⎣⎜⎝ K w ⎠⎟ I z ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ 2

(F.4)

(2) Para os momentos nos apoios, C2 = 0 e para cargas transversais aplicadas no centro de corte Zg = 0 . Para estes casos: 2 2 π . E . I z ⎡⎛ K ⎞ I w ( K . L ) . G . I t ⎤ ⎢⎜ ⎟ . + ⎥ M cr = C 1 π 2 . E . I z ⎥ ( K . L )2 ⎢⎣⎜⎝ K w ⎠⎟ I z ⎦ 2

0, 5

(F.5)

Quando K = Kw = 1,0 (sem fixação no apoio): M cr = C 1

π 2 . E . I z

L2

EC3 – Volume IV

⎡ I w L2 .G . I t ⎤ ⎢ I x + π 2 . E I . z ⎥⎦ ⎣

0 ,5

(F.6)

135

Série Estruturas


Quadro F.1.1 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K – Momentos nos apoios Carregamentos e condições de apoio

Diagrama de momentos

Valor de K

Valor dos factores C1

M

M

EC3 – Volume IV

C2

C3

= + 1

1,0 0.7 0,5

1,000 1,000 1,000

1,000 1,113 1,144

= + 3/4

1,0 0.7 0,5

1,141 1,270 1,305

0,998 1,565 2,283

= + 1/2

1,0 0.7 0,5

1,323 1,473 1,514

0,992 1,556 2,271

= + 1/4

1,0 0.7 0,5

1,563 1,739 1,788

0,977 1,531 2,235

= 0

1,0 0.7 0,5

1,789 2,092 2,150

0,939 1,473 2,150

= - 1/4

1,0 0.7 0,5

2,281 2,538 2,609

0,855 1,340 1,957

= - 1/2

1,0 0.7 0,5

2,704 3,009 3,093

0,676 1,059 1,546

= - 3/4

1,0 0.7 0,5

2,927 3,009 3,093

0,366 0,575 0,837

= - 1

1,0 0.7 0,5

2,752 3,063 3,149

0,000 0,000 0,000

136

Série Estruturas


Quadro F.1.2 – Valores dos factores C1, C2 e C3 e valores correspondentes do factor K – cargas nos vãos Tipo de cargas e condições de apoio

Diagrama de momentos

W

W

F

F

F L/4

Valor de K

Valor dos factores

C1

C2

C3

1,0 0,5

1,132 0,972

0,459 0,304

0,525 0,980

1,0 0,5

1,285 0,712

1,562 0,652

0,753 1,070

1,0 0,5

1,365 1,070

0,553 0,432

1,730 3,050

1,0 0,5

1,565 0,938

1,267 0,715

2,640 4,800

1,0 0,5

1,046 1,010

0,430 0,410

1,120 1,890

F L/4

L/4

L/4

EC3 – Volume IV

137

Série Estruturas

Estruturas Metálicas Figura F.1.1 – Convenção de sinais para a determinação de Zj

Z (compressão) Centro de corte

Zs Y Centro de gravidade

(tracção)

Z

Centro de corte (compressão)

Zs Y Centro de gravidade (tracção)

(1) Para uma secção em I com banzos diferentes: I w = β f . (1 − β f ). I z . h g 2

(F.7)

Com: EC3 – Volume IV

138

Série Estruturas


β f = ¾ ¾

I fe I fc + I ft

Ifc é o momento de inércia da área de compressão do banzo sobre o eixo de menor secção

¾

Ift é o momento de inércia da área de tensão do banzo sobre o eixo de menor secção

¾

hg é a distância entre o centro de corte e os banzos

(2) Pode, no entanto, usar-se as seguintes aproximações para Zj: β f 〉 0 ,5 :

Z j = 0 ,8 . (2 β f − 1). h g 2

Quando:

(F. 8)

β f 〈

0,5 : Z j =1,0 . (2 β f − 1). h g 2

Quando:

(F. 9)

Para secções com rebordos nos banzos comprimidos (rigidizadores) Z j = 0,8 . 2 β f − 1 . (1 + h L h ). h g 2

quando

Z j =1,0. 2β f − 1 .(1 + h L h ) h g 2

quando

β f 〉 0,5

(F.10)

β f 〈 0,5

(F.11)

Em que hL é o comprimento do rebordo.

_

(1) O valor da esbelteza normalizada para a encurvadura lateral, λ LT , é dado por: _

λ LT = (λ LT λ 1 ). β w0, 5

(F.12)

Com: λ 1 = π . ( E f y )

0 ,5

¾ ¾ ¾

ε = (235 β w

f y )0,5

= 93,9 .ε

(com

f y

em N/mm2)

= 1 para secções transversais das classes 1 e 2

EC3 – Volume IV

139

Série Estruturas

¾ ¾


β w =W el . y

W pl . y


β w = W eff . y

W pl . y


(2) O valor da esbelteza normal para a encurvadura lateral relativo a todas as secções transversais, é dado por: λ LT = (π 2 . E .W pl . y

0 ,5

M cr )

(F.13)

(1) Para os casos em que Zg = 0 (o momento no apoio ou a carga transversal aplicada no centro de corte) e K = Kw = 1,0 (sem fixação no apoio), o valor de λ LT , pode ser obtido através da expressão:

λ LT =

⎡ w pl . y 2 ⎤ L ⎢ ⎥ I . I ⎣⎢ z w ⎦⎥

0 , 25

⎡ L 2 G . I t ⎤ (C 1 ) . ⎢ 1+ 2 ⎥ ⎣ π . E . I w ⎦

0, 25

0, 5

(F.14)

Ou também pela expressão equivalente: λ LT =

L i LT

⎡ ( L a LT )2 ⎤ (C 1 ) . ⎢ 1+ ⎥ 25,66 ⎦ ⎣

0 , 25

0, 5

(F.15)

0, 5 Com: α LT = ( I w I t )

(2) Para uma secção plana I ou H (sem rebordos): Iw = Iz . hg2/4 Com:

(F.16)

h g = h − t f

(3) Para uma secção transversal duplamente simétrica, o valor de iLT é dado por: 0 , 25

i LT = ( I z . I w W pl . y 2 )

(F.17)

Ou com uma aproximação, por: i LT = [ I z ( A − 0,5 . t w . h g )]0,5 EC3 – Volume IV

(F.18) 140

Série Estruturas


(4) Para secções I ou H laminadas, conforme “Reference Standard 2”, pode ser usada a seguinte aproximação pelo lado da segurança: λ LT =

L i LT

⎡ 1 0 ,5 (C 1 ) . ⎢ 1+ ⎢ 20 ⎣

2 ⎡ L i LT ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ h t ⎢⎣ f ⎥⎦ ⎥⎦

0 , 25

(F.19)

Ou: λ LT =

0,9 L i z

⎡ 1 0 ,5 (C 1 ) . ⎢ 1+ ⎢ 20 ⎣

2 ⎡ L iz ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ h t ⎢⎣ f ⎥⎦ ⎥⎦

0, 25

(F.20)

(5) Para qualquer secção I ou H com banzos iguais pode ser usada a seguinte aproximação pelo lado da segurança: λ LT =

L i z

⎡ 1 0 ,5 (C 1 ) . ⎢ 1+ ⎢ 20 ⎣

⎡ L iz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ h t f ⎥⎦

2 0, 25

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

(F.21)

(6) Nos casos com K < 0,1 e/ou Kw < 1,0 pode-se usar:

λ LT =

⎡ w pl . y 2 ⎤ K L ⎢ ⎥ I I ⎣⎢ z w ⎦⎥

0, 25

⎡ ⎡ K ⎤ 2 ( KL )2 .G . I ⎤ 0 ,5 t (C 1 ) ⎢ ⎢ ⎥ + 2 ⎥ π K . E . I ⎢⎣ ⎣ w ⎦ w ⎥ ⎦

0 , 25

(F.22)

Ou: λ LT =

kL i LT

⎡ ⎡ K ⎤ 2 (kL a )2 0 ,5 LT (C 1 ) ⎢ ⎢ ⎥ + 25,66 ⎢⎣ ⎣ K w ⎦

⎤ ⎥ ⎥⎦

0 , 25

(F.23)

Ou para secções padrão I ou H laminadas:

EC3 – Volume IV

141

Série Estruturas

λ LT =


KL i LT 2 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ K 1 KL i 0, 5 LT (C 1 ) . ⎢⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣ K w ⎦ 20 ⎢⎣ h t f ⎦⎥ ⎥ ⎣ ⎦

0, 25

(F.24)

Ou: λ LT =

0,9 KL i z

⎡ ⎡ K ⎤ 2 1 0, 5 (C 1 ) ⎢ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎣ K w ⎦ 20 ⎣

2 ⎡ KL i z ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ h t ⎢⎣ f ⎥⎦ ⎥⎦

0 , 25

(F.25)

Ou para qualquer secção I ou H com banzos iguais: λ LT =

K L i z

⎡ ⎡ K ⎤ 2 1 0, 5 (C 1 ) ⎢ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎣ K w ⎦ 20 ⎣

2 0 , 25

⎡ KL i z ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ h t ⎣⎢ f ⎦⎥ ⎥⎦

(F.26)

(7) Salvo caso especial em que sejam tomadas precauções para prevenir o enfunamento, Kw deve tomar o valor de 1,0. (8) No caso de cargas transversais aplicadas em cima do centro de corte (zg>0,0) ou debaixo do centro de corte (zg < 0,0), pode-se usar:

λ LT

⎡ w pl . y 2 ⎤ kL ⎢ ⎥ I I ⎣⎢ z w ⎦⎥

0 , 25

0, 5 0 ,5 ⎧⎡ 2 0,5 ⎫ 2 ⎤ ⎡ I ⎤ ( KL ) .G . I t 0 ,5 ⎪ ⎡ K ⎤ 2 I z (C 1 ) ⎨ ⎢⎢ ⎥ + 2 + (C 2 z g ) ⎥ − C 2 z g ⎢ z ⎥ ⎪⎬ π . E . I w I w ⎥⎦ ⎣ I w ⎦ ⎪ ⎪ ⎢⎣⎣ K w ⎦ ⎭ ⎩

(F.27)

Ou em alternativa: λ LT

kL i LT 0 ,5 ⎧⎡ 2 0 ,5 ⎫ 2 2 ⎤ 2 C z ⎪⎡ ⎤ ( ) ⎡ 2 C z ⎤ (C 1 )0,5 ⎨⎢⎢ K ⎥ + kL a LT + ⎢ 2 g ⎥ ⎥ − 2 g ⎪⎬ 25,66 h g ⎪ ⎢⎣ h g ⎥⎦ ⎥⎦ ⎪⎢⎣⎣ K w ⎦ ⎭ ⎩

(F.28)

Ou para secções padrão I ou H laminadas:

EC3 – Volume IV

142

Série Estruturas

λ LT


kL i LT 0, 5 ⎧⎡ 2 2 0, 5 ⎫ 2 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 2C z ⎤ 2C z ⎪⎡ ⎤ (C 1 )0,5 ⎨⎢⎢ K ⎥ + 1 + ⎢ kL i LT ⎥ + ⎢ 2 g ⎥ ⎥ − 2 g ⎪⎬ h g ⎪ ⎪⎢⎣⎣ K w ⎦ 20 ⎢⎣ h t f ⎥⎦ ⎢⎣ h g ⎥⎦ ⎥⎦ ⎭ ⎩

(F.29)

Ou em alternativa: λ LT

0,9 kL i Z 0, 5 ⎧⎡ 2 2 0, 5 ⎫ 2 2C z 1 ⎡ kL i Z ⎤ ⎡ 2C 2 z g ⎤ ⎤⎥ 0 ,5 ⎪ ⎡ K ⎤ ⎢ (C 1 ) ⎨ ⎢ ⎥ + + ⎢ − 2 g ⎪⎬ ⎥ +⎢ ⎥ h g ⎪ ⎪⎢⎣⎣ K w ⎦ 20 ⎢⎣ h t f ⎥⎦ ⎢⎣ h g ⎥⎦ ⎥⎦ ⎭ ⎩

(F.30)

Ou para qualquer secção I ou H com banzos iguais: λ LT

kL i Z 0, 5 ⎧⎡ 2 2 0, 5 ⎫ 2 2C z ⎪ 1 ⎡ kL i Z ⎤ ⎡ 2C 2 z g ⎤ ⎤⎥ 0 ,5 ⎪ ⎡ K ⎤ ⎢ (C 1 ) ⎨ ⎢ ⎥ + + ⎢ − 2 g ⎬ ⎥ +⎢ ⎥ h g ⎪ ⎪⎢⎣⎣ K w ⎦ 20 ⎣⎢ h t f ⎦⎥ ⎣⎢ h g ⎦⎥ ⎥⎦ ⎭ ⎩

(F.31)

Em termos genéricos, o valor crítico do momento segundo o eixo dos “yy’s” M y designado como momento crítico, M cr , é, para o “caso padrão” (momento crítico de uma viga simplesmente apoiada com uma secção transversal simétrica - secção em I ou H - submetida a momento flector constante) (Simões, 2005):

⎛ π 2 EI W ⎞ ⎟⎟ M cr = GI T EI z ⎜⎜1 + 2 L L GI T ⎠ ⎝ π

(A.1)

Sendo Iz o momento de inércia da secção em relação ao eixo z (eixo de menor inércia), I T a constante de torção uniforme, I W a constante de empenamento, L o comprimento entre secções da viga contraventadas lateralmente e E e G os módulos de elasticidade longitudinal e transversal, respectivamente. Esta expressão (A.1), embora deduzida para um elemento com secção I ou H, é válida para elementos com outras secções duplamente simétricas. A constante de torção uniforme I T (geralmente designada por inércia ou constante de torção) e a constante de empenamento I w para as secções mais correntes costumam estar tabeladas pelos fabricantes. No Anexo I são apresentadas estas grandezas para alguns tipos de secções (Simões, 2005). Interessa referir que o nível de aplicação do carregamento também tem uma influência directa no momento crítico de uma viga. De facto, uma carga descendente aplicada abaixo do centro EC3 – Volume IV

143

Série Estruturas


de corte (que é coincidente com o centro de gravidade, no caso de secções em I ou H duplamente simétricas) tem um efeito estabilizador, sendo que uma carga aplicada acima desse ponto tem um efeito instabilizador. O momento crítico de secções não contraventadas lateralmente, de vigas com secção transversal duplamente simétrica (caso de secções em I ou H) e carregamentos aplicados no centro de corte (que em secções duplamente simétricas coincide com o centro de gravidade), para diversos géneros de carregamento, pode ser estimado multiplicando o momento crítico para uma situação “padrão” ( M Cr dado pela expressão A.1) por um factor αm: M cr = α m M cr

(A.2)

Valores de αm podem ser encontrados no quadro A1.1. Em vigas em consola submetidas a uma carga pontual na extremidade ,ou a uma carga linearmente distribuída ao longo do seu vão, o momento crítico pode ser estimado através das expressões A.3 e A.4, respectivamente (Simões, 2005). EI z GI T M cr = 11 L

⎡ EI z GI T 1.2ε ⎤ + + K − 1 4 ( 2 ) ⎢ ⎥ L 1 + 1.44ε 2 ⎦ ⎣

EI z GI T M cr = 27 L

⎡ 1.2(ε − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ 2 ⎢⎣ 1 + 1.44(ε − 0.1) ⎥⎦

⎡ EI z GI T 1.4(ε − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ + 10 ( K − 2 ) L ⎢⎣ 1 + 1.96(ε − 0.1) 2 ⎥⎦

(A.3)

⎡ 1.3(ε − 0.1) ⎤ ⎢1 + ⎥ 2 ⎢⎣ 1 + 1.69(ε − 0.1) ⎥⎦

(A.4) 2 y Q K π 2 EI W Os parâmetros “ ε” e “K” são dados por: ε = e K = , sendo “h” a altura h π GI T L2 total da secção e a restante simbologia definida anteriormente, onde “y Q” é a distância entre o ponto de aplicação das cargas e o centro de gravidade (neste caso coincidente com o centro de corte). No caso de um tramo em consola, na extremidade de uma viga contínua, as condições de restrição na secção de apoio são distintas das verificadas num encastramento perfeito. Deste modo, na secção do apoio da viga num tramo em consola de uma viga contínua, submetido a uma carga pontual na extremidade ou a uma carga linearmente distribuída ao longo do seu vão, o momento crítico pode ser estimado através das expressões A.5 e A.6, respectivamente (Simões, 2005). EC3 – Volume IV

144

Série Estruturas

M cr = 6

EI z GI T L


⎡ ⎤ EI z GI T 1.5(ε − 0.1) ⎢1 + ⎥ + − 1 . 5 ( K 2 ) L ⎢⎣ 1 + 2.25(ε − 0.1) 2 ⎥⎦

⎡ 3(ε − 0.3) ⎤ ⎢1 + ⎥ 2 ⎢⎣ 1 + 9(ε − 0.3) ⎥⎦

(A.5) EI z GI T M cr = 15 L

⎡ ⎤ EI z GI T 1.8(ε − 0.3) ⎢1 + ⎥ + 4 ( K − 2 ) L ⎢⎣ 1 + 3.24(ε − 0.3) 2 ⎥⎦

⎡ 2.8(ε − 0.4) ⎤ ⎢1 + ⎥ 2 ⎢⎣ 1 + 7.84(ε − 0.4) ⎥⎦

(A.6) Quadro A1.1 - Factores para o cálculo do momento crítico em t ramos de vigas com comprimento L e secção duplamente simétrica (Simões, 2005)

EC3 – Volume IV

145

Série Estruturas


Os momentos críticos acima expostos podem ser estimado através da fórmula F.2, aplicável a elementos submetidos a flexão em torno do eixo de maior inércia, constituídos por secções simétricas em relação ao eixo de menor inércia, com as diversas condições de apoio e diversos tipos de carregamento colocados nas tabelas respectivas.

ANEXO II – Tabelas

EC3 – Volume IV

146

Série Estruturas


Quadro A2.1 - Centro de Corte e Módulo de Torção

Quadro A2.2 - Tensões tangenciais e constante de torção em secções correntes (Simões, 2005)

EC3 – Volume IV

147

Série Estruturas


Quadro A2.3 - Constante de empenamento em secções correntes (Simões, 2005)

EC3 – Volume IV

148

Série Estruturas


ANEXO III – Encurvadura (em inglês)

EC3 – Volume IV

149

Série Estruturas

Estruturas Metálicas Flexural buckling

This kind of buckling usual occurs in any compression member that experiences a deflection originated by bending or flexure. Flexural buckling take place about the axis with the largest slenderness ratio and the smallest radius of gyration (Figure 6.1(a)). Is the type of buckling that happen where axial compression force is dominant. At the critical load, the stable equilibrium of the straight column is at its limit and there exists a slightly deflected configuration of the column, which can also satisfy equilibrium. For this configuration, the bending moment at any cross section is given, for a pin–ended strut. The critical load for a pin–ended column was calculated by Leonhard Euler in 1744. Historically speaking, it is the first solution given to a stability problem.

Figure 6.1.

Buckling modes at element level: a)+d) flexural; b)+e) torsional; c)+f) flexural–torsional buckling or lateral buckling (Almeida, 2007 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.18]).

EC3 – Volume IV

150

Série Estruturas


The same procedure may be used for cases with other boundary conditions. The critical load given above does not take into account the effect of shear forces. Thus, owing to the action of the shear forces, the critical load is reduced when compared to Euler's load. In the case of solid columns, the influence of shear can generally be neglected. However, in the case of laced or battened compression members, this effect may become of practical importance and should be considered. Note that these phenomena only can be characterized like instability if we are in presence of one pure compression. If there is also a bending or flexion applied at the weak axis, the compression generates a second order effect but not buckling itself. In fact, the moment of flexion in the weak axis produce a deflexion that associated with the compression induce a second moment in the same weak axis, but that deflexion already was there, before the compression, and is not direct cause of the compression but just increase in it presence. Therefore, the deflexion by the moment is a 1.ª order phenomenon and is enlargement, by the compression, is a 2.ª order phenomenon and no buckling occurs, being the collapse by resistance.

Figure 6.2.

Buckling modes for non-braced and braced compression (Höglund, 2008 [ Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.45]).

Braces constrained against flexural buckling use buckling stiffeners, being make a representative illustration between buckling modes for non-braced and braced compression in Figure 6.2.

EC3 – Volume IV

151

Série Estruturas


Torsional buckling

Torsional buckling of columns can arise when a section under compression is very weak in torsion, and leads to the column rotating about the force axis.

Figure 6.3.

Torsional buckling modes in a cruciform section.

Typically, this form of buckling happens in compression members that are doubly symmetric and have especially slender cross–sectional elements. Being certain that almost never can occur in rolled sections, is characterized by a rotation about the longitudinal axis (Figure 6.1(b), Figure 6.2 and Figure 6.3). Flexural–torsional buckling and/or lateral–torsional buckling

Flexural–torsional buckling and/or lateral buckling is the simultaneous bending and twisting of a member (Figure 6.1(c)) when instability arrives, inducing buckling coupled deformations in the lateral and torsional directions.

EC3 – Volume IV

152

Série Estruturas Figure 6.4.

Estruturas Metálicas Column (flexural and flexural-torsional) and beam (lateral-torsional) buckling differences.

Lateral-torsional buckling is similar to the flexural buckling or flexural-torsional buckling of a column subjected to axial loading, the difference is more in the kind of action that produce the phenomena rather in the effect. However, there is one key difference: (i) for a column, the axial load causing buckling remains constant along the length; (ii) but, for a beam, usually the lateral-torsional buckling causing bending moment varies along the unbraced length. In the first case, (i) flexural–torsional buckling , we have action compression alone or associated with bending (column and beam–column, being that in compression members is most common in case of cross-section with just one axis of symmetry) and in the second, (ii)

lateral–torsional buckling , just bending moment. The first edition of the standard EC3 verifyed this phemomena by using double sectional check, where clear was separate flexural– torsional buckling from lateral–torsional buckling: k y ⋅ M y, Sd k z ⋅ M z, Sd N Sd + + ≤1 A ⋅ f y wy ⋅ f y wz ⋅ f y

flexural – torsional buckling →

χ min

γ M 1

γ M1

γ M 1

(Eq. 6.1)

lateral – torsional buckling →

k LT ⋅ M y , Sd k z ⋅ M z, Sd N Sd + + ≤1 A ⋅ f y wy ⋅ f y wz ⋅ f y

χ z

γ M 1

χ LT

γ M1

γ M 1

Note that in first expression the buckling reduction factor, χ , was the lower between local “y” and “z” axes, while in second expression we have just the weak axes buckling reduction factor, χ z, and lateral-torsional effect, LT, was introduce for moment about the strong axes (the one that may buckles laterally when bending). Therefore, we can separate the phenomena genesis in pure bending (beam), in pure compression (column) or both together (beam–column): →

Pure bending – when a beam is bent about its strong axis, it normally deflects only in that plane. However, if the beam does not have sufficient lateral stiffness or lateral supports to ensure that this occurs, then it may buckle out of the plane of loading;

→

Pure compression – when we are talking about compression members, this type of buckling only occurs in that one which has unsymmetrical cross section with one axis of symmetry. This mostly occurs in channels, structural tees, double–angle shapes, and equal–leg single angles;

→

Combined bending and compression – the add of both above situation, but the effects itself are similar depending the relative values of the types of deflexions (flexural and torsional) of the magnitude of each force.

EC3 – Volume IV

153

Série Estruturas


Looking to the straight elastic beam case, there is no out–of–plane displacements until the applied moment reaches its critical value. When this happen the beam buckles, by deflecting laterally and twisting (lateral buckling), therefore, involves lateral bending and torsion. We can identify the simplest case as the one of a doubly symmetric simply supported beam, loaded in its stiffer principal plane by equal moments. The expression was established, for the first time in 1899, by Prandtl. When a beam is loaded in flexure, the load bearing side (generally the top) carries the load in compression. Because this moment induces web compression, it generates instability in this zone and the weak axes may not have enough rigidity to oppose to lateral deflexion, so a bending appear in the weak axis. Also, because because the other web is in traction, this portion of the beam resist to this lateral lateral displacement and the torsion occurs occurs (Figure 6.5(a)). Indeed: Indeed: →

Lateral deflection – the lateral bending bending of the section creates restoring restoring forces that oppose the movement movement because the section wants to remain straight. These restoring forces are not large enough to stop the section from deflecting laterally, but together with the lateral component of the tensile forces, they determine the buckling resistance of the beam;

→

Torsional effect – in addition to the lateral movement of the section the forces within the flanges cause the section to twist about its longitudinal axis (Figure 6.5(b)). The twisting is resisted by the torsional stiffness of the section. The torsional stiffness of a section is dominated by the flange thickness. That is why a section with thicker flanges has a larger bending strength than the same depth of section with thinner

(a) Figure 6.5.

(b) Lateral forces induced by in–plane compression and traction forces in flexural–torsional buckling or lateral buckling

Resuming, the applied vertical load (or ends moments) results in compression and tension in the flanges of the section. The compression flange tries to deflect laterally away from its

EC3 – Volume IV

154

Série Estruturas


original position, whereas the tension flange tries to keep the member straight. The transverse section, itself, can have some distortion along the principal axes of the beam because of that. The magnitude of lateral buckling mainly depends: →

Location of the applied load;

→

The shape diagram of the applied bending moment;

→

End support conditions.

The following factors affect the t he slenderness ( λ i = L/(Ii/A)½) of a section: →

Length of the beam, flexural stiffness, cross-sectional area (directly visible in classic slenderness formula);

→

Lateral bending stiffness of the flanges flanges and torsional stiffness of the section section (not so obviously).

Beams are subject to combined bending and torsion, and lateral torsional buckling in the construction stage. Lateral–torsional buckling is fundamentally similar to the flexural– torsional buckling and, even, flexural buckling of a column subjected to axial loading, being the similarity founded in the fact that all they are a bifurcation–buckling type phenomenon. Indeed, lateral–torsional buckling and/or flexural–torsional buckling are an important limit state that must be considered, being the most complex of all the three we have seen. The lateral instability of a beam just may happen if it suffers a flexion in turn of strong axes, in case of unbrace compressed zone (unbraced compressed flange). In fact, the compressed flange tends to buckle, swaying laterally, while traction zone (traction flange) tends to stabilize, restricting the lateral displacement. This is a case of bifurcation buckling, where the fundamental path is the flexion in turn of strong axes (displacement “w”) and the instability mode involves both flexion in turn of weak axes (displacement “v” at compressed zone) and torsion in turn of longitudinal axes (rotation “ϕ” induced by restriction of traction zone), as can be seen in Figure 6.6 (Reis & Camotin, 2001 [Erro! A origem da referência não foi encontrada. , p.265-266]).

EC3 – Volume IV

155

Série Estruturas

Figure 6.6.


Lateral instability of beams – equilibrium path (Reis & Camotin, 2001 [ Erro! A origem da referência não foi encontrada., encontrada., p.266]).

Types of instability at the sectional level At sectional level, structure is said to buckle when some of the parts, or points, of the cross sectional suffer a relative displacement form another one. This is more frequent in sections of thin wall (thin–walled structures), under any kind of efforts (except pure traction, as is obvious). In Figure 6.7 is show the difference between a local and global mode of buckling, being that we can also see the column failure as an element buckling situation (in an isolated point of view).

Figure 6.7.

Buckling in double modes of a stiffened plate (Nguyen, 2000 [Erro! [ Erro! A origem da referência não foi encontrada., encontrada., p.177]).

The elevated slenderness of the different elements (plates) that constitute the cross section leads to that can take place local buckling phenomena, which should be considered explicitly in the design of this this kind of sections. sections. Beyond that, the resistance post–buckling post–buckling of slender elements is normally stable, what make it possible consider the backup of post–buckling

EC3 – Volume IV

156

Série Estruturas


resistance in the dimensioning of this kind of form sections in order to obtain an economical solution. Two main effects may take place: 9

Local Torsion effect

- The cross sectional slenderness implies a rigidity of twisting usually very

low. Most of the sections produced by the cold forming process are mono–symmetric or even asymmetric, and where the centre–cut does not coincide with the centre of gravity of the section, and thus the consideration second torsion moments is need, that arising from the eccentricity between the axis loads of action and the canter–cut. Thus, typically, this type of elements needs to be restricted to the twisting, either continuously or at regular intervals along its entire length; 9

Local Distortion effect

- Sections prevented/restrained from cross warp, laterally deflect or

twist may still suffer a way of buckling usually designated by distortion buckling. This mode of buckling can occur in compress of bending members.

As the resulted of the two effects above identify, there are two main ways a compression section can buckle, or become unstable: (i) local plate; (ii) distortional. In addition is possible the consideration of a third mode, a mixed of the two before, namely the coupled model. Local Plate Mode (LPM)

Local Plate Mode (LPM) is show at Figure 6.8 and is characterized by that fact that interior nodes of the cross section do not move from initial position. Distortional Mode (DM)

By the contraire, in Distortional Mode (DM), as is show at Figure 6.8, the interior nodes of the cross section may move from it initial position.

EC3 – Volume IV

157

Série Estruturas

Figure 6.8.


Buckling modes at section level of Local Plate Mode type (LPM) and buckling modes at section level of Distortional Mode type (DM)

Local Plate Mode (LPM) and Distortional Mode (DM) normally just happen in short span members with significant load. Coupled Mode

This model is a combination the booth two before, (LPM) plus (DM), as show in Figure 6.9.

Figure 6.9.

(a) Coupled model; (b) Web coupled configuration; (c) Local plate model; (d) Distortional model; (e) Web coupled

model resultant from (c) LPM and (d) DM (Nagahama, 2003 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p. 121-123])

Very complete and understandable interpretations of all the above cases can be found from many authors (as Nagahama, 2003, [ Erro! A origem da referência não foi encontrada. ], among many) and available in many web sites (CUFSM - Schafer, 2009 [ Erro! A origem da

referência não foi encontrada.]) with useful computer programs associated. Instability at the joints/nodes/connections level

EC3 – Volume IV

158

Série Estruturas


The joints/nodes/connections of a structure are also important locations of possible instability, and not only a place where undesirable displacement or rotations may occur. In fact, these important structural components may suffer many kind of instability, namely due to be propensity to several kind of imperfections, complex behaviour and incorrect design. Also, geometrical imperfections due to joint angle deviations, from the right angle of the joint with respect to the centre-lines of the two members of the frame, influences significantly the buckling strength of the frame. This effects may decreasing, or not, the strength of such structures (Avraam & Raftoyiannis, 2009 [ Erro! A origem da referência não foi

encontrada.Erro! A origem da referência não foi encontrada. ]). Buckling domains (global, element, sectional and nodes) In the Figure 6.10 is represented, in a simpler way, some of the phenomena above identified, making correspond them to exemplar given section in function of the value of the spam (development of the slenderness of the piece with increase of this value), in a merely illustrative approach. It must be refer that, as would could not be of other way, the greatness of the spam is important but not unique factor, being equally limitative the value of the load (the force of compression that this load generate), what means, the tension that the load go to induced in the section in analysis.

EC3 – Volume IV

159

Série Estruturas

Figure 6.10.


Buckling phenomena in relations with transversal section, stress and spam deep (including possible simulating

with 7 freedom displacement stiffness matrixes) (adapted fro m Varma, 2008 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.])

In the blue letter arise the effects that can be, most minimum, misled through the use, in automatic calculation, of a matrix of classical stiffness increased to 7 freedom displacements, being the 6 first the trivial of a bar stiffness matrix in the space and the 7.º corresponding to the warping effects of the section. The Local Plate Model (LPM) and the Distortional Mode (DM) cannot be represented in a matrix of stiffness whose freedom displacements do not permit that points of the section change the relative location vary among themselves. This kind of effects may be captured using nonlinear geometric shells (Nandini & Kalyanaraman, 2010 [ Erro! A origem da referência não foi encontrada. ]; among others) or GBT (Silvestre, 2005 [Erro! A origem da referência não foi encontrada. ]; Basaglia et al, 2009 [Erro! A origem da referência não foi encontrada. ]; Camotin et al, 2010 [ Erro! A

origem da referência não foi encontrada. ]; among others), but assuming the price of numerous DOF, although some more developments being able of reduce this number (Gonçalves, 2010 [ Erro! A origem da referência não foi encontrada. ]). Note that in the case of stable sections to distortion, this zone of the graphic (where sectional distortion occurs) would be a potential plastic behaviour, given the small value of the

EC3 – Volume IV

160

Série Estruturas


slenderness for the length of the spam. Rather, as the size of it will grow, it would change the behaviour to elastic–plastic range and, finally, just elastic. Another attention to some important facts that comes from Figure 6.11: →

Local Plate buckling only involves rotation of internal folds;

→

Distortional buckling booths involves rotation and translation of internal folds;

→

Lateral–Torsional buckling involves “rigid–body” translation with rigid deformation of the cross section without distortion.

Figure 6.11.

Buckling phenomena illustration in a member: (left) flexural–torsional; (centre) local–plate; (right) distortional (Silvestre & Camotin, 2003 [Erro! A origem da referência não foi encontrada.])

Nevertheless, these are pure mode situations, once in practice many mixed and/or complex types may occur (as show in an assorted example at Figure 6.12), being almost infinite the possible combination.

Figure 6.12.

Buckling modes in partial restrained profiles (Vrcelj, Z. & Bradford, 2006 [Erro! A origem da referência não foi encontrada., p.228])

Material properties during the buckling process The material properties during the buckling process have a crucial importance. In fact, and in a concise and comparative way, we can say that: → Elastic buckling

takes place in a process where the critical state is initiates in an elastic material

range. This means that the instability occurs before plasticity and the structure only reaches plastic deformations after has already experienced buckling phenomena. This may occurs in very slender frames and thin-walled shells; EC3 – Volume IV

161

Série Estruturas → Plastic buckling , by the

Estruturas Metálicas contrary, it is initiates with plastic deformations. In this case, plasticity occurs

before the instability, what means prior to the structure reaches a buckling load (plastic deformations has already started, even the collapse can take place without any visible buckling). This maybe the case of robust frames or thick shells; → Elastic-plastic buckling occurs when plasticity and instability happen almost at the

same (or very near)

load level. It can be exemplify by moderate slender frames or thin shells.

Therefore, the conscience of the limits of linear (material) buckling must be present when use this kind of analysis.

Structural stability of frames in standard (EC3) It is known that the effects of deformed geometry of the structure (second order effects) may be of the major importance in it response to the applied loads, especially in structures of significant slenderness, as the metallic one. In fact, in this type of thinness structures, many times the deformability and the stability are the constraints of the design, overshadow crosssectional resistance. Therefore, if the influence of the deformation is significant to the structure behaviour, these effects has to be taken into account, being correspondently verify in: (i) the structural stability and (ii) internal forces enlargement (increase of the action effects). When stability verification must be done, at global and/or local level, not only the second order effects should be considered, as the imperfections have to be included. For this, three types of methods are provides by EC3: →

1. Second order effects and the imperfections integrated in the global analysis;

→

2. Just in part the second order effects and the imperfections are account by the global analysis, being the remain unconsidered effect checked according to the relevant criteria of subsection 6.3 of EC3;

→

3. When in presence of basic cases, an individual stability check of equivalent members may be done, using appropriate buckling lengths according to the global buckling mode of the structure, according to subsection 6.3 of EC3.

This work is concerned with the purpose of an appropriated and simply methodology that uses first option.

Final remarks & recommendations In a description of the behaviour of a solid, subjected to a load action, two typical stages can be differentiated (Yang & Kuo, 1994 [ Erro! A origem da referência não foi encontrada. , p.219]): EC3 – Volume IV

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Série Estruturas →


Pre-buckling stage, that corresponds to small deformations and neglected changes in geometry (sometimes this stage may have measurable displacements, but always small deformations);

→

Buckling stage, when large deformations take place, and not in a parallel direction of the pre-buckling stage (what just could correspond to material nonlinear response).

In fact, it just can be say that in pre-buckling stage the deformations are small if we admit that possible plastifications are, also, small. However, even with mild or large plastification that do not represent, necessarily, buckling stage. Actually, we can have large plastifications in pre-buckling stage, but what we must assume is that nonlinear behaviour of all kind may be present (geometric and, manly, material). Once a simultaneous nonlinear geometric and material analysis is a continuum incremental and iterative process, where the passage between pre-buckling stage and buckling stage is slow and multi-parameter course of action (depending of the ductility properties of the structural system), with many plasticifications, consequent redistributions of internal stress and geometric changes, that approach can be classify as a natural and realistic consequence of a complete step-by-step load-displacement path approach. So, in the context of this chapter it only make sense an approach in the elastic range,

once the kind of the formulations that will be introduce aim to try to anticipate the final moment when, abruptly and severely, the structure undergoes from a pre-buckling stage to a buckling stage . In spite of that, many concepts that will be presented are quite applicable in a nonlinear geometric and material context, because suddenly and brutally instability

behaviour also may happen in real structures. With the above and vital notification in mind, the frontier between the pre-buckling and buckling stage as a close relation with the beginning of stability loss, which can be, or not, recuperated as the load increase (or still stable). This also demarks the difference between the linear and nonlinear buckling: →

In linear buckling, we can estimate the maximum load that can be supported preceding the structural instability or collapse, but the “P- ∆” & “P-δ” effects, support deforming and yielding effects are not significant in the loading range up to buckling. In addition, because imperfections and full nonlinearities (especially material one) are not included, the eigenvalue buckling load factors are, therefore, overestimated. However, a linear buckling analysis can give an accurate assessment of structure and member resistance;

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In nonlinear buckling a detailed structural geometrically nonlinear analyses should be carried out, including material and boundary nonlinearity if required. In fact, in this case, the tangent stiffness matrix of the structure is automatically updated between loading increments, what turns the analysis able to

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estrutura metalica

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