Estruturas de concreto armado ^/
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE Df BRASÍLIA Reitor pró têmpora Roberto A. R. de Aguiar Vi cê-Reitor José Carlos Balthãzar
UriB Diretor Norberto Abreu e Silva Neto Conselho Editorial Norberto Abreu e Silva Neto Presidente do Conselho Denise Imbroisi, José Carlos Córdova Coutinho, José Otávio Nogueira Guimarães, Lúcia Mercês de Avelar, Luís Eduardo de Lacerda Abreu, Maria José M. S. da Silva
FUNDAÇÃO DE EMPREENDIMENTOS CIENTÍFICOS E TECNOLÓGICOS-FINATEC Conselho Superior (01/09/2008 a 01/10/2008): Prof°. António César Pinho Brasil Júnior Prof°. Augusto César Bittencourt Pires Prof°. Fernando Jorge Rodrigues Neves Prof°. Ivan Marques de Toledo Camargo Prof°. José Imana Encinas Prof°. José Maurício Santos Torres Motta Prof°. Marco Aurélio Gonçalves de Oliveira ProP. Marie Togashi Prof°. Milton Luiz Siqueira Profa. Silvia Regina Gobbo Profa. Thérèse Hofmann Gatti Rodrigues da Costa Administrador Judicial Provisório Washington Mala Fernandes
Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
^ edição revisada Brasília, 2008
EDITORA
UnB
EQUIPE EDITORIAL Supervisão editorial Dlval Porto Lomba
Fotografias (Acervo pessoal do autor)
Coordenação editorial Rejane de Meneses
Capitulo l Capitulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Referências Apêndice
Preparação de originais e revisão Sonja Cavalcanti Diagramação Heonir S. Valentim e Raimunda Dias Capa Márcio Duarte, sobre obra de ZèCésar {técnica mista em papelão)
Copyright © 2005 òy Finatec
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Este livro foi aprovado pelo Conselho Superior da FINATEC, no âmbito do seu Programa de Fomento: Auxílio à Publicação - Edital 03/2001-2002.
Impresso no Brasil Direitos exclusivos para esta edição: Editora Universidade de Brasília SCS Q. 02, Bloco C, ne 78, Ed. OK, l» andar 70302-907 - Brasília-DF Tel.: (61) 3035-4211 Fax: (61) 3035-4223 www.editora.unb.br e-mail:
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C639
Clímaco, João Carlos Teatini de Souza Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação / João Carlos Teatini de Souza Clímaco. - 2. ed. revisada. Brasília : Editora Universidade de Brasília : Finatec, 2008. 410 p. ;22cm. ISBN 978-85-230-1223-6 (Editora Universidade de Brasília) ISBN 978-85-85862-37-4 (Finatec) l. Concreto armado - projeto. 2. Concreto armado dimensionamento e verificação, l. Título CDU 624.012.45
À minha esposa, Rosana, e aos filhos, Joana, Júliã e Leonardo. Aos meus pais, Nini e João (In memoriam).
Sumário
PREFACIO
11
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
l .1 Estudo do concreto armado na engenharia estrutural
17
1.2
19
Público-alvo....
1.3 Objetivos
20
1.4 Descrição do conteúdo..
22
1.5 Referências básica e complementar
23
1.6 Descrição das atividades de auto-avaliação
24
1.7 Auto-avaliação.
26
CAPÍTULO 2-BASES DA ASSOCIAÇÃO CONCRETO-AÇO 2.1 Objetivos
31
2.2 Origem do concreto armado...
31
2.3 Formas de associação entre concreto é aço
36
2.4 Histórico do emprego do concreto estrutural
42
2.5 Vantagens e desvantagens do concreto armado
44
2.6 Normas técnicas
46
2.7 Auto-avaliação
54
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
CAPITULO 3-FUNDAMENTOS DO PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 3.1
Objetivos
61
3.2 Classificação das peças estruturais
62
3.3
65
Simbologia
3.4 Análise da edificação
67
3.5 Análise da estrutura
68
3.6 Arranjo ou lançamento estrutural
70
3.7 Síntese estrutural
74
3.8 Segurança estrutural
75
3.9 Valores característicos
81
3.10 Valores de cálculo
89
3.11 Materiais constitutivos
95
3.12 Auto-avaliação
114
CAPÍTULO 4-CÁLCULO DE PILARES ÀCOMPRESSÃO CENTRADA 4.1
Objetivos
4.2
Conceitos preliminares
...119 121
4.3 Pilares curtos e medianamente esbeltos: processo aproximado
135
4.4 Cálculo de pilares à compressão centrada
142
4.5
Prescrições da NBR 6118: 2003
144
4.6
Exemplos
156
4.7 Auto-avaliação
168
Sumário
CAPÍTULO 5 - CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FLEXÃO PURA 5.1
Objetivos
177
5.2
Conceitos preliminares
178
5.3
Modos de ruptura à flexão pura
182
5.4 Dimensionamento das seções à flexão pura no estado limite último ... 184 5.5
Prescrições da NBR 6118: 2003
201
5.6 Cálculo de seções retangulares com armadura dupla......
205
5.7 Cálculo de seções em forma de "T"
209
5.8
Exemplos
216
5.9 Auto-avaliação
222
CAPÍTULO 6- CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE 6.1 Objetivos
233
6.2
Distribuição das tensões tangenciais na seção
234
6.3
Dimensionamento à força cortante pelo modelo da treiiça de Mõrsch.. 242
6.4 Prescrições da NBR6118: 2003
254
6.5 Compatibilízação dos cálculos à flexão e à força cortante
258
6.6
265
Exemplos
6.7 Auto-avaliação....,
277
CAPÍTULO 7 - CÁLCULO DE LAJES MACIÇAS RETANGULARES 7.1 Objetivos.................................................................
285
7.2 Considerações preliminares
287
7.3 Avaliação de cargas nas lajes
293
10
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
7.4 Cálculo de esforços em lajes retangulares
298
7.5 Cargas das lajes nas vigas
309
7.6
Dimensionamento de lajes retangulares.
,
7.7
Detalhamento
316
7.8
Exemplos....
322
7.9 Auto-avaliação.
310
329
CAPÍTULO 8-VERIFICAÇÕES AOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇQ 8.1 Objetivos
343
8.2 Considerações preliminares
345
8.3
348
Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W)
8.4 Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF).......................... 355 8.5
Exemplos
369
8.6 Auto-avaliação...
378
REFERÊNCIAS
385
APÊNDICE A.1 Roteiro para o cálculo de pilares pelo processo aproximado da compressão centrada equivalente
393
A.2 Roteiro para o cálculo de elementos lineares à flexão pura
397
A.3 Roteiro para o cálculo de elementos lineares à força cortante
402
A.4 Roteiro para o cálculo de lajes retangulares maciças
405
Prefácio Está publicação surgiu da necessidade de um textobase para a disciplina Estruturas de Concreto Armado 1, do curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade de Brasília, Editada pela primeira vez em agosto/1993, em forma de apostila, passou por um processo contínuo de revisão e complementação, tendo sempre como objetivos principais a clareza didática, a concisão e o equilíbrio dos aspectos técnicos e científicos dos assuntos tratados. O texto propõe-se, principalmente, a auxiliar os que se iniciam no projeto de estruturas de concreto. O conteúdo é dividido em oito capítulos, cinco deíes com exemplos resolvidos, e, ao final de cada capítulo, consta Uma lista de exercícios propostos de auto-avaliação, importantes para aumentar a habilidade do leitor na matéria. Nos três capítulos iniciais, são introduzidos os fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado. Nos capítulos 4 a 8, apresentam-se os principais procedimentos de cálculo e as disposições normativas para o dimensionamento e a verificação dos elementos estruturais básicos de concreto armado: pilares à compressão centrada, elementos lineares à flexão pura e à força cortante e lajes maciças retangulares de edifícios. Esse ordenamento de conteúdos procura ser compatível com a sequência usual do estudo de peças isoladas na Mecânica dos Sólidos e Resistências dos Materiais: barras sob tração/compressão axial, momentos fletores e forças cortantes. Logo após vem o estudo de placas de concreto, em geral não abordado nas disciplinas básicas. Ao final, consta um Apêndice, com quatro roteiros de consulta rápida para o cálculo de elementos isolados. O trabalho tem por base a norma brasileira NBR6118: 2003- Projeto de estruturas de concreto - procedimento, historicamente conhecida como NB-1, que en-
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
trou em vigor em março de 2004. Sendo relativamente recentes as mudanças introduzidas, algumas com grande impacto em vários aspectos do cálculo e da execução de estruturas de concreto armado, foram incluídos comentários e comparações com a versão anterior da NB-1, de 1978, visando contribuir para um melhor entendimento dessa norma e estimular o seu efetivo cumprimento. Não se teve a pretensão de esgotar nenhum dos assuntos tratados, sendo, portanto, altamente recomendável consultar a bibliografia complementar apresentada. É importante também ressaltar o excelente material didático e informativo hoje disponível nos meios de comunicação, em especial a Internet, de grande utilidade na busca e atualização de conhecimentos. Embora sejam os estudantes de Engenharia Civil e Arquitetura o seu principal público-alvo, espera-se que o trabalho possa também auxiliar o dia-a-dia de profissionais envolvidos nessas áreas. As contribuições e as sugestões porventura encaminhadas pelos leitores serão bem-vindas. Um agradecimento sincero aos colegas do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da Universidade de Brasília que, de diferentes formas, contribuíram para o enriquecimento deste trabalho e, em particular, aos professores Eldon Londe Mello e Marcello da Cunha Moraes, formadores de várias gerações de engenheiros de estruturas e de cujos ensinamentos muito nos beneficiamos, e Guilherme Sales Melo, pelas oportunas sugestões. Cabe, também, agradecer ao saudoso professor Fernando Luiz Lobo Barbosa Carneiro, um "mestre dos mestres", pela honra de ter sido por ele orientado no mestrado. Reitero aqui a gratidão a ele manifestada na minha dissertação, em 1975, "pelo exemplo dado de que o conhecimento é algo tão importante que deve ser transmitido integralmente a quem o deseja receber". Agradeço aos professores Teresa Bardisa Ruiz e Jesus Martin Cordero, da Universidad Nacional de Educación a Distancia- Uned, da Espanha, pelo apoio e a orientação em estágio realizado na instituição, no ano 2000, de grande valia para uma reflexão sobre minhas atividades didáticas no ensino superior, o qual, acredito, necessita de uma urgente reavaliação no Brasil.
Prefácio
Presto uma homenagem a todos os profissionais envolvidos na construção de Brasília, em especial Oscar Niemeyer, Joaquim Cardozo e seus colaboradores anónimos, que deixaram ao mundo um legado de beleza, ousadia e competência: a única cidade construída no século XX agraciada pela Unesco com o diploma de Património da Humanidade. Como registro, as páginas iniciais dos capítulos deste livro trazem fotografias de alguns de seus monumentos. Um tributo aos colegas professores universitários, em especial das instituições públicas, pelo seu esforço muitas vezes pouco reconhecido. O conteúdo deste trabalho-elaboração do texto, fotografias, figuras, digitação, etc.- foi totalmente produzido pelo autor. Esse registro não deve ser entendido como motivo de orgulho, mas de exemplo das condições muitas vezes precárias de nosso trabalho. Agradeço ainda a contribuição dos alunos do curso de Engenharia Civil e do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da UnB. Além de serem a motivação primeira, tiveram participação fundamental como usuários e colaboradores nas incontáveis correções deste texto. Nos meus 31 anos como professor da UnB, devo destacar a aprendizagem constante no convívio com os estudantes, de que pretendo ainda desfrutar por muito tempo. Pela foto da obra de arte da primeira capa - técnica mista em papelão - agradeço ao autor, meu irmão ZèCésar, professor da Faculdade de Artes Visuais da Universidade Federal de Goiás. •Finalmente, meu agradecimento à Editora Universidade de Brasília pela publicação deste livro, em especial ao Heonir Valentim pela dedicação e boa vontade na editoração eletrônica e à Sonja Cavalcanti pela revisão.
Brasília, setembro de 2005
João Carlos Teatini de Souza Clímaco Correio eletrôníco:
[email protected]
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l
Capítuilo 1j INTRODUÇÃO
!
1.1 .Estudo do concreto larmado na engelharia 'estrutural l 1.2 Público-aLvo - \3 /Objetivos ; 1.4 / Descrição do conteúdo 1.5/ Referencias básica e / complem.ejjtar i J .6---Descrição das atiyidades
^de autoíavaliação Autoravaliação
j
Introdução 1.1 ESTUDO DO CONCRETO ARMADO NA ENGENHARIA ESTRUTURAL O ensino da engenharia estrutural nos cursos de graduação em Engenharia Civil compreende, no início, um conjunto de disciplinas básicas, destinadas ao estudo e à análise teórica, em nível crescente de profundidade, de sistemas estruturais. Nessas disciplinas, os materiais constitutivos das peças estruturais são considerados "ideais", ou seja: elásticos, homogéneos e isótropos.
Elásticos:
apresentam resposta linear, isto é, quando submetidos a solicitações, as deformações são proporcionais às tensões.
Homogéneos: apresentam as mesmas propriedades em todos os seus pontos. Isótropos:
apresentam as mesmas propriedades em qualquer direção, no ponto considerado.
No entanto, os materiais das estruturas reais apresentam as características chamadas ideais deforma apenas parcial e, assim mesmo, com limitações. Na atualidade, dois materiais estruturais são predominantes: o concreto e o aço. Nas estruturas das edificações correntes, eles muitas vezes se complementam e, outras vezes, competem entre si, pois estruturas com tipologia e função similares podem ser construídas com qualquer um dos dois materiais, com vantagens e desvantagens para cada um. Ainda nessa fase inicial do curso, estudam-se os materiais, as tecnologias e o planejamento das construções, em cadeiras específicas, geralmente ministra-
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das em paralelo. Pelo seu maior uso, o concreto e o aço são os materiais estruturais mais estudados, assim como se dedica maior tempo às edificações com estruturas de concreto armado. Em uma segunda fase da graduação em Engenharia Civil, vem outro conjunto de disciplinas, de carátertécnico-profíssionafizante, que se dedicam ao estudo dos projetos de estruturas de concreto e metálicas, e, com menor ênfase, de madeira. No caso do projeto de estruturas de concreto, por razões didáticas, o estudo é, em geral, subdividido em disciplinas relativas ao concreto armado e protendido, às estruturas de fundações, de pontes e especiais. A amplitude de conhecimentos envolvidos é grande, sendo também grandes as variações nos conteúdos estudados, em cursos de graduação e de pós-graduação, no Brasil e no exterior. A escola brasileira de ensino do concreto estrutural, historicamente, guardava maior similaridade com a europeia, particularmente a da França, onde estudou a maior parte de nossos primeiros especialistas no tema. Mais recentemente, é também considerável a influência da Inglaterra, da Alemanha, da Espanha e dos Estados Unidos. Vale comentar, ainda, que, na maioria das universidades brasileiras, persiste uma importante lacuna no ensino da engenharia estrutural, na transição da etapa inicial, de cunho mais teórico, para a de projeto, mais prática. Antes de se iniciar essa segunda etapa, seria conveniente haver uma disciplina de caráter mais genérico, que introduzisse os critérios básicos de projeto que direcionam a escolha dos sistemas estruturais disponíveis, de acordo com a natureza das edificações. Nela seriam estudados os diversos sistemas e materiais estruturais e respectivos modelos teóricos de análise, explorando as suas possibilidades, simplificações e [imitações para uso em estruturas reais. Uma das origens dessa lacuna na aprendizagem é a excessiva compartimentação do conhecimento, proveniente de uma falsa ambiguidade entre teoria e prática e da pouca valorização nas universidades do trabalho em equipe. É também digna de nota a ausência de um estudo sistemático da "história da engenharia" e suas conquistas, nos vários campos de conhecimento, importante para a formação ampla do profissional.
Capítulo l - Introdução
Como consequência da lacuna mencionada, parte considerável dos estudantes de Engenharia Civil sente, nessa transição, uma insegurança que leva, com frequência, a questionamentos sobre a utilidade dos conhecimentos adquiridos quanto à sua aplicação no projeto e na execução de estruturas. Hoje, essa situação é, paradoxalmente, agravada pela disponibilidade ampla de programas computacionais de cálculo estrutural, ferramentas de extrema utilidade nas mãos de bons profissionais, mas inconvenientes e perigosas se usadas por pessoas com qualificação inadequada. O estudo das estruturas de concreto ocupa parte significativa da segunda etapa dos currículos dos cursos de Engenharia Civil e, como mencionado, sua subdivisão em diversas disciplinas deve-se apenas a questões didáticas e práticas. Nesse sentido, deve-se sempre ter claro que a estrutura é apenas um subsistema da edificação- um sistema global bem mais complexo. Em uma edificação convencional, residencial ou comercial, por exemplo, podem ser distinguidos vários subsistemas, além do estrutural: instalações (hidráulica e saneamento, elétrica, telefonia, condicionamento ambiental, etc.), elevadores, vedações, fachadas, acabamentos, manutenção, etc. Assim, é essencial que a eficiência da estrutura seja analisada, sempre, em estreita relação com os demais subsistemas.
O bom desempenho de uma edificação, como um conjunto, não existe como condição isolada, mas é o resultado da boa integração e do trabalho em equipe, nas diversas etapas da vida útil da edificação: planejamento, projeto, execução, utilização e manutenção.
1.2 PUBLICO-ALVO Esta publicação é destinada, principalmente, aos estudantes que se iniciam na atividade, e por que não dizer, na "arte" de projetar estruturas de concreto. O trabalho se fundamentou na busca constante da clareza didática, concisão e simplicidade, tentando equilibrares aspectos científicos, técnicos e práticos da matéria.
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Tentou-se também, sempre que possível, introduzir tópicos de interesse à execução, utilização e manutenção de estruturas de concreto que satisfaçam os requisitos de qualidade e durabilidade. Espera-se que, de alguma forma, o texto possa também ser útil no dia-a-dia dos profissionais que militam na área e, ainda, àqueles que, por necessidade eventual, curiosidade ou desafio, desejem ampliar seus conhecimentos sobre as estruturas de concreto.
1.3 OBJETIVOS O objetivo geral deste trabalho é apresentar os conceitos fundamentais do projeto de estruturas de concreto armado e rever as propriedades dos materiais constituintes de interesse para o projeto e a durabilidade das edificações. São apresentados os procedimentos para o dimensionamento, a verificação e as disposições normativas de peças estruturais elementares: pilares à compressão centrada, vigas à flexão pura e à força cortante e lajes maciças retangulares de edifícios. Entende-se por cálculo ou dimensionamento de uma estrutura de concreto como o conjunto de atividades de projeto que conduz à determinação das dimensões das peças e respectivas armaduras de aço, bem como ao detalhamento da disposição dessas armaduras, no interior das peças e em suas ligações, a fim de suportar as ações atuantes na edificação. Esse processo deve atender às disposições das normas técnicas pertinentes, para que a estrutura tenha uma garantia adequada de segurança à ruptura e um bom desempenho sob as condições previstas de utilização e ambientais.
Normas técnicas são documentos que estabelecem as regras e as disposições convencionais que visam garantir a qualidade na fabricação de um produto, a racionalização da produção e a transferência de tecnologias, nos diversos aspectos relativos à segurança, à funcionalidade, à manutenção e à preservação do meio ambiente.
Capitulo l - Introdução
No que se refere, especificamente, ao estudo dos métodos e das disposições normativas relativas ao projeto de estruturas de concreto armado, pretende-se que esta publicação possa contribuir para os seguintes objetivos específicos: a) Entender os fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado e das diversas etapas envolvidas na definição da estrutura de uma edificação, a partir da análise de seu projeto de arquitetura. b) Entender os fundamentos do lançamento ou arranjo estrutural, etapa do projeto em que se define a disposição das peças estruturais, em conformidade com os projetos de arquitetura e instalações, a fim de suportar as ações na edificação, em todo o seu trajeto até as fundações, atendendo aos requisitos essenciais de viabilidade do processo de cálculo. c) Efetuar uma revisão das propriedades do concreto e do aço - materiais constitutivos das estruturas de concreto armado - relevantes para o projeto estrutural. d) Identificar os requisitos essenciais de projeto que contribuem para uma execução correta e os principais parâmetros relativos à durabilidade e à vida útil de uma edificação. e) Dominar os procedimentos para dimensionamento e verificação de pilares à compressão centrada; vigas à flexão pura e à força cortante e lajes maciças retangulares de edifícios. Pretende-se, ainda, que o leitor deste texto tenha sempre presente, como fator essencial na garantia de qualidade de uma edificação, a indissociabilidade dos condicionantes do projeto estrutural: segurança, funcionalidade, durabilidade e economia.
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1.4 DESCRIÇÃO DO CONTEÚDO O conteúdo do texto está dividido em oito capítulos e um apêndice, abaixo listados: Capítulo 1 - Introdução. Capítulo 2 - Bases da associação concreío-aço. Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado. Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada. Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura. Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante. Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares. Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço. Apêndice - Roteiros para o cálculo de elementos estruturais básicos de concreto armado, segundo a norma NBR 6118:2003.
Os Capítulos 1, 2 e 3 têm um caráter mais dissertativo e pretendem, de forma bastante resumida, suprira lacuna na transiçãoteoria-prática, mencionada no item 1.1. O Capítulo 1 tem por objetivo contextualizar o trabalho no estudo da engenharia estrutural e apresentar seu conteúdo. O Capítulo 2 apresenta uma descrição geral e sucinta das bases da associação entre o concreto e o aço para constituir o material estrutural concreto armado e um resumo histórico de seu emprego, com as principais vantagens e desvantagens. É feita, também, uma apresentação das normas técnicas pertinentes mais utilizadas. O Capítulo 3 discute as etapas que levam à definição da estrutura de uma edificação, introduz os conceitos e os parâmetros envolvidos na segurança estrutural e apresenta as principais propriedades dos materiais (aço e concreto) de interesse para o projeto de estruturas de concreto armado.
Capítulo 1 - Introdução
Os 'Capítulos-4, 5, '6, 7 e 8 têm caráter mais.prátíco, descrevendo os procedimentos para o dimensionamento e a verificação das peças elementares de concreto armado. De início, considera-se a atuação isolada das solicitações-força norma'I, -momento Hetor -e 'força cortante. Posteriormente, analisam-se as disposi'çSes -de cálculo referentes 'â atuação conjunta -"dos dois últimos. 1O cálculo de SB'ções à flexão composta, resultante da combinação de força'normal e momento 'fletor, porsua(complexidadee-extensão escapa aos objetivos do presente texto. O -Apêndice, '-Roteiros -para -o cálculo de 'elementos -estruturais ^básicos -de concreto armado, segundo a norma NBR 6118:2003", incluído ao final do texto, tem o objetivo de servir a consultas rápidas, resumindo os conteúdos dos Capítulos 4, '5,'6,7,-no-'que'se refere às-etapas "de-dimensionamento'das peças isoladas.
1.5 REFERÊNCIAS BÁSICA E COMPLEMENTAR Pela natureza própria deste material de aprendizagem, referido às disciplinas de estruturas de concreto armado do curso de Engenharia Civil da UnB, e pelos temas e objetivos definidos, não se teve a pretensão de esgotar nenhum dos assuntos tratados. Dessa forma, após o último capítulo deste texto, apresentam-se vários títulos de interesse, que podem ser subdivididos em referências básica e complementar. Na qualidade de referência básica, estão referenciadas as normas técnicas da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), em especial a NBR 6118: 2003 - Projeto de estruturas de concreto - procedimento. Historicamente conhecida como NB-1, a última versão dessa norma, editada em março/2003, é indispensável ao acompanhamento deste texto, sendo constantes as citações de itens ou artigos nela contidos. Cada vez que for mencionado no texto um item da NBR 6118, ou das demais normas citadas, é altamente recomendável a leitura desse item, para conhecimento do enunciado completo e das disposições normativas adicionais, sendo esse conteúdo considerado parte integrante do assunto em questão. Nas referências de itens da
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norma no texto, será usada a convenção NBR 6118 -v xx,xx.xx(xx.xx.xx = numeração do item respectivo da norma). No âmbito técnico-científico, a pluralidade bibliográfica é sempre desejável. Dessa forma, são referenciadas várias publicações, de utilidade para o aprofundamento dos temas abordados. Entre esses títulos complementares, pela propriedade na conjugação dos aspectos didático e técnico-científico, merecem destaque: Fundamentos do projeto estrutural e Técnicas de armar as estruturas de concreto, livros de autoria do professor Péricles Brasiliense Fusco (Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - EPUSP), e o Curso de concreto, em especial o volume l, do engenheiro José Carlos Sussekind (ex-professor da PUC-Rio e projetista de grande parte das obras recentes do arquiteto Oscar Niemeyer).
1.6 DESCRIÇÃO DAS ATIVIDADES DE AUTO-AVALIAÇÃO A aplicação constante dos conhecimentos apreendidos é essencial a um processo de aprendizagem motivado e dinâmico. Dessa forma, o texto contém atividadês de auto-avaliação, em cada capítulo, com o objetívo de repassar e consolidar os conteúdos, buscando aplicá-los a situações práticas.
Essas atividades estão divididas em dois tipos: ^ exercícios resolvidos sobre o conteúdo exposto, em geral ao final de cada capítulo, com uma discussão resumida dos aspectos mais relevantes ou sujeitos a dúvidas; ^ lista de questões e exercícios propostos, no final de cada capítulo, no sentido de motivar a auto-avaliação. Após os enunciados, são apresentados comentários e sugestões para auxiliar sua resposta.
Cabe ressaltar que a maioria dos exercícios relativos ao dimensionamento ou à verificação de peças estruturais de concreto armado não apresenta, com
Capítulo 1 - Introdução
frequência, uma resposta única. Um aspecto importante do projeto estrutural é que diferentes arranjos das peças podem ser satisfatórios em uma mesma edificação. Além disso, para um mesmo arranjo de lajes, vigas e pilares, podem também ser viáveis peças estruturais com seções de concreto de dimensões diferentes, o que conduz a áreas das armaduras de aço também diferentes. E, no caso extremo, para peças com seções de concreto iguais, com iguais solicitações e mesmas condições de agressividade ambiental e, portanto, mesmas áreas calculadas de armadura, podem ser escolhidas, entre as opções comercialmente disponíveis, conjuntos de barras com diâmetros diferentes. Dessa forma, diversas soluções podem ser tecnicamente viáveis para um mesmo problema, e as respostas não devem ser encaradas como únicas, podendo haver algumas mais convenientes, em função das condições impostas nos enunciados. O estudo das estruturas de concreto armado, assim como nas demais áreas da Engenharia Civil e outras ciências, dá-se pelo acúmulo e encadeamento de conhecimentos, o que exige do estudante rotina e dedicação. O tempo requerido de estudo varia de pessoa para pessoa, envolvendo diversos fatores, como a base e o conhecimento acumulados, a motivação e a identificação com o tema. No entanto, um aspecto é consensual entre os especialistas em educação: para o sucesso no processo de aprendizagem, respeitadas as características e as metodologias particulares de estudo, é essencial o estabelecimento de rotinas, com períodos regulares de estudo, em função do tempo disponível e dos graus de dificuldade envolvidos. Vale ressaltar que, ainda segundo os especialistas, períodos de tempo menores de dedicação mas com uma maior frequência têm eficiência mais alta que os períodos concentrados com maior espaçamento. Em resumo, o estudo apenas nas vésperas de provas pode até conduzir à aprovação, mas não a uma aprendizagem de qualidade.
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1.7 AUTO-AVALIAÇÃO
1.7.1 Enunciados 1. Quais são os quatro fatores principais para garantir um projeto estrutural adequado a uma edificação? 2. Qual é o significado do termo "lançamento" da estrutura de uma edificação? 3. Qual é o significado do termo "dimensionamento" de uma estrutura de concreto armado? 4. Citar três razões pelas quais é quase impossível haver uma única solução para problemas envolvendo o cálculo de estruturas de concreto armado.
1.7.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Segurança, funcionalidade, durabilidade e economia. Deve-se ressaltar que tais condições são indissociáveis, ou seja, uma falha séria em qualquer delas pode comprometer todo o projeto. 2. Significa definir o arranjo ou a disposição das peças estruturais, em conformidade com o projeto de arquitetura, a fim de suportar as ações em uma edificação, em todo o seu trajeto até as fundações. Cabe ainda lembrar que a estrutura é apenas um subsistema da edificação, um sistema global bem mais complexo e, dessa forma, a interação da estrutura com os demais componentes da edificação é uma condição fundamental para o bom lançamento estrutural. 3. Significa calcularas dimensões das peças da estrutura, as áreas das armaduras de aço das seções mais solicitadas, e fazer o seu detalhamento, isto é, o desenho das barras no interior das peças bem como nas ligações entre elas. 4. As principais razões para haver, quase sempre, mais de uma solução para problemas sobre o cálculo de estruturas de concreto armado são:
Capítulo 1 - Introdução
a) Diferentes arranjos estruturais podem ser viáveis para o projeto estrutural de uma mesma edificação. b) Em um mesmo arranjo estrutural podem ser utilizadas peças com dimensões diferentes e, consequentemente, com áreas de aço diferentes. c) Para uma determinada área de aço, podem ser escolhidas barras comerciais com diâmetros diferentes. Para ficar mais claro, vale a pena analisar a Tabela 4.4, no final do Capítulo 4, que fornece as áreas de seção de barras da armadura para as bitolas padronizadas pela norma brasileira NBR 7480: 1996 - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado. A Tabela 4.4 fornece, diretamente, a soma das áreas das barras, A , expressas em cm2, para grupos de até dez barras ou fios.
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Capítulo 2 BASES DA ASSOCIAÇÃO
2.1 Qbjetivos 2.2'XOrigem do concreto// armado /' 2.3 Formas de associação,^ entre concreto e aço/ 2.4 Histórico do emprego do concreto estrutural 2.5 Vantagens e 'desvantagens _ do concreto armado ^2.6 Normas-técnicas "2.7 Aúto^avaí.iaçãò~~
Bases da associação concreto-aço 2.1 OBJETIVOS Os objetivos deste capítulo são: a) Estabelecer as principais diferenças entre o concreto armado e o pretendido. b) Conhecer a evolução histórica do uso do concreto armado. c) Identificar as principais vantagens e desvantagens do concreto armado. d) Introduziras normas técnicas, com um resumo de sua evolução e uma relação das normas brasileiras de emprego mais frequente, para o projeto e a execução de estruturas de concreto armado.
2.2 ORIGEM DO CONCRETO ARMADO Nas construções da Antiguidade, os materiais estruturais mais empregados foram, nesta ordem: a pedra e a madeira e, mais tarde, as ligas metálicas. O emprego da pedra e da madeira data de, pelo menos, 3 mil anos e o das ligas, principalmente o ferro fundido, vem de alguns séculos.
Um material de construção com finalidade estrutural deve apresentar, como qualidades essenciais: resistência, durabilidade e disponibilidade.
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Jo.io C.-irlor. To.nttnl do Souzci Clim.ico
Os primeiros materiais utilizados apresentavam como principais características:
a) Pedra
Resistência elevada à compressão e baixa à tração; alta durabilidade; dificuldades de transporte e moldagem. b) Madeira Durabilidade e resistências variáveis, em função de vários fatores, como o tipo e a direção de aplicação das cargas em relação às fibras, proteção a condições ambientais adversas, eíc. Em geral, parte substancial das madeiras tem resistências à compressão e à tração deficientes para fins estruturais e a maioria das que apresentam resistência satisfatória exigem custos elevados de manutenção. Há que se ressaltar, ainda, as limitações impostas pelas questões ecológicas e a necessidade de mão-de-obra especializada. c) Ligas metálicas Resistências elevadas à tração e à compressão, mas com problemas sérios de durabilidade em vista da corrosão, com exigência de proteção em face de condições adversas. Das ligas mais utilizadas, inicialmente, a de maior emprego foi o ferro fundido. Com o aperfeiçoamento da tecnologia e dos processos industriais de laminação de perfis, o aço sucedeu o ferro fundido, destacandose como material estrutural de grande viabilidade, principalmente a partir da metade do século XIX, com a Revolução Industrial.
Um grande avanço ocorreu com o desenvolvimento dos chamados materiais "aglomerantes", que endurecem em contato com a água e tornaram possível a fabricação de uma "pedra artificial", denominada "concreto" ou "betão", com a adição de materiais inertes, para aumentar o volume, dar estabilidade físicoquímica e reduzir custos. Os romanos já utilizavam um tipo de concreto, usando como aglomerantes a ca/e a pozolana, de extração natural ou como subprodutos de outros materiais. As primeiras regras conhecidas de dosagem de materiais para concreto são atribuídas a Leonardo da Vinci, mas o uso se propagou, prin-
Capitulo 2 - Bases da associação concreto-aço
cipalmente, a partir do estabelecimento de um processo de fabricação industrial do cimento Portland, por Joseph Apsdin, na Inglaterra, em 1824, que passou a ser reproduzido em todo o mundo.
Concreto = Aglomerante + Água + Agregado Miúdo + Agregado Graúdo pasta
^ argamassa
Dessa forma, tem-se o material estrutural "concreto" ou "concreto simples". Como material estrutural, as principais características do concreto simples são; ( • boa resistência à compressão; •
baixa resistência à tração (1/5 a 1/15 da resistência à compressão);
•
facilidades no transporte e na moldagem, podendo ser fundido nas dimensões e nas formas desejadas;
•
meio predominantemente alcalino (pH = 12 a 13,5), o que inibe a corrosão do açodas armaduras;
•
durabilidade elevada, semelhante à da pedra natural;
•
emprego limitado a pequenas construções, em peças em que predominam tensões de compressão não muito elevadas: sapatas de fundação e pisos sobre terrenos compactados, peças pré-moldadas, arcos, pedestais, estacas, tubos, blocos, etc.
Desde seus primórdios, o concreto foi ampliando o seu emprego na construção. No entanto, era necessário superar a sua resistência deficiente à tração, particularmente nas peças submetidas à flexão. Daí surgiu o concreto armado: da busca de um material estrutural em que se associasse a essa pedra artificial um material com resistência satisfatória à tração, denominado armadura. Essa
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
2.3 FORMAS DE ASSOCIAÇÃO ENTRE CONCRETO E AÇO 2.3.1 Concreto armado
Conceito: é o material estrutural constituído pela associação do concreto simples com uma armadura passiva, ambos resistindo solidariamente aos esforços a que a peça estiver submetida.
As barras de aço incorporadas à peça de concreto são denominadas armadura passiva quando seu objetivo é apenas resistir às tensões provenientes das ações atuantes, sem introduzir nenhum esforço adicional à peça. Ou seja, as armaduras em peças de concreto armado só trabalham se houver solicitação. Por exemplo, enquanto uma viga estiver escorada e, portanto, sem atuação de cargas externas, as barras de aço não sofrem tensão, a menos daquelas originadas peio processo de endurecimento do concreto. A solidariedade entre os materiais é uma propriedade garantida peia aderência entre o aço e o concreto. O que assegura a existência do material "concreto armado" é não haver deslizamento ou escorregamento relativo entre ambos quando a peça for solicitada. Portanto, a solidariedade é uma condição básica para que o conjunto se comporte como uma peça monolítica; ou seja, é indispensável a aderência eficiente entre os materiais. A aderência é, portanto, a propriedade que garante o cumprimento das leis básicas que regem os sistemas estruturais elásticos, estudados na Teoria das Estruturas. Entre elas, por exemplo, "as seções transversais das peças permanecem planas quando a carga cresce de zero até a sua ruptura", conhecida como hipótese de Bernoulli. Ou: "as tensões normais na seção são diretamente proporcionais às distâncias das fibras à linha neutra" - Lei de Navier. Essas leis regem o comportamento elástico da estrutura, em que os materiais apresentam as tensões proporcionais às deformações, como expressa a Lei de Hooke.
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
A Figura 2.1, a seguir, mostra um trecho longitudinal de uma viga de concreto armado e a respectiva seção transversal retanguiar, com as armaduras longitudinal e transversal. Estando o trecho submetido à flexão pura, sendo o momento fletor M igual nas duas extremidades, a armadura longitudinal inferior, chamada de flexão ou principal, será tracionada. A armadura superior da viga estará comprimida, podendo ou não ser considerada no cálculo, pois o concreto tem boa resistência à compressão. Mesmo não sendo considerada, ela é necessária como armadura de montagem, denominada portaestribos. Por sua vez, os estribos constituem a armadura transversal e têm dupla finalidade: resistir às tensões de tração provenientes do cisalhamento (por atuação da força cortante ou do momento torçor- não existentes no caso da flexão pura) e, também, como armadura de montagem, para manter a posição das barras longitudinais quando da concretagem da peça. Na viga da Figura 2.1, a flexão pura provoca a rotação de cada seção em relação à sua linha neutra. As seções transversais aã e bb assumem a posições a'a'e b'b'e, como resultado, tem-se a curvatura do eixo neutro da peça. Ensaios de laboratório mostram que as seções permanecem planas, confirmando a hipótese citada. Para que isso ocorra, a aderência entre a armadura e o concreto deve garantira compatibilidade de deformações, ou seja, que a uma mesma distância do eixo da peça as fibras longitudinais de concreto têm deformação igual à das barras de aço no mesmo nível. Essa hipótese é utilizada, por exemplo, para determinar a posição da linha neutra da seção transversal, na qual as tensões normais são nulas. Corte longitudinal de trecho de peça sob flexão pura b1 b
Seção transversa! '
t
M
x
linha ( neutra ( ~J
v&jff
\o neutro
\
\
armadura de tração
/
tração 1 estribo I ,
a'
\= \
armadura
a
b b'
Deformações longitudinais encurtamento
* -}
/v l
rotação da seção sob açao do
/ ^ Seção da peça 1 sem carga a' alongan enla
Figura 2.1 —Viga de concreto armado submetida à flexão pura
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O papel da aderência nas peças de concreto pode ser mais bem entendido por meio de uma analogia com o comportamento de vigas compostas por peças de madeira, conforme apresentado por Fusco (1976) e mostrado na Figura 2.2. Supondo que as duas vigotas de madeira da Figura 2.2 (a) estejam apenas superpostas, sem nenhuma ligação efetiva, o modelo pode ser uma analogia para uma viga em que o concreto e o aço não tenham aderência adequada. É o que ocorre, por exemplo, se as barras de aço da armadura de uma viga forem untadas com óleo ou outro material que reduza a aderência. Nesse caso, a peça executada não pode ser considerada propriamente como de concreto armado e sim como composta por dois materiais - concreto e aço - trabalhando, do ponto de vista estrutural, sem solidariedade. As hipóteses citadas da Teoria das Estruturas, que serão usadas nos capítulos seguintes deste trabalho, perdem a sua validade, pelo menos parcialmente, ficando prejudicadas como sustentação teórica para a análise do comportamento da peça. Na Figura 2.2 (b), supondo haver ligação eficiente entre as vigotas de madeira, por colagem ou dispositivo mecânico, como, por exemplo, por meio de rebites, o conjunto se comporta sob flexão como se fosse uma peça única. É uma analogia para o que ocorre em elementos de concreto armado, em que exista aderência eficiente entre concreto e aço.
deslizamento
\
a) sem aderência entre as partes
ligação mecânica
P
b) com aderência
Figura 2.2 -Analogias da aderência concreto-aço com vigas compostas de madeira
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
2.3.2 Concreto pretendido
Conceito: material estrutural constituído pela associação do concreto simples com uma armadura ativa, resistindo solidariamente aos esforços a que a peça estiver submetida.
Deve-se notar que essa definição, com exceção da denominação "ativa" para a armadura, é a mesma do concreto armado. Nas peças de concreto pretendido, a armadura, constituída por cabos ou cordoalhas, é submetida a uma força de tração, aplicada por meio de macacos hidráulicos, antes de ser aplicado o carregamento previsto. Ao serem retirados os macacos, estando as cordoalhas firmemente ligadas a um sistema de ancoragem, serão induzidas tensões de compressão na peça, antes de ela receber as cargas previstas. Daí o nome "pretensão" ou "pretensão". Portanto, essa armadura é ativa, pois atua para reduzir, ou até mesmo eliminar, as tensões de tração que serão produzidas no concreto quando for aplicado o carregamento definitivo. A Figura 2.3 mostra um esquema simples de protensão, em uma viga de seção transversal retangular, com um cabo de protensão ou cordoalha, coincidente com o eixo da peça. Na Figura 2.3 (a), uma força axial de protensãoP é aplicada à viga sem carga. Na Figura 2.3 (b), após se retirar o(s) macaco(s), é induzida uma força de compressão na peça, por meio do sistema de ancoragem. À direita da figura, vê-se um esquema das tensões prévias de compressão no concreto, uniformes por ser o cabo axial. Após a peça ser submetida à carga prevista, que neste caso se supõe uniformemente distribuída, vai ocorrer a superposição das tensões em virtude da protensão com as tensões da flexão, com distribuição linear na altura da seção, conforme a LeideNavier.AFigura2.3 mostra, mais à direita, o diagrama de superposição de tensões, em que se pode ver que a protensão reduziu as tensões de tração nas fibras inferiores e aumentou as de compressão nas superiores. Se, nas fibras inferiores, as tensões tornam-se de compressão ou são anu-
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ladas, tem-se a protensao completa. Quando se admite, ainda, alguma tração nessas fibras, tem-se a protensao parcial.
ci) Protensao do cabo:
Seção a-a ancoragem
cabo
b) Compressão prévia:
Superposição de tensões em serviço: compressão a
c) Flexão sob carga:
I
l 1l l l l M l l I i l 1I 1
Figura 2.3 - Efeito da protensao de uma viga de seção retangular com cabo axial
Obviamente, a eficiência do processo aumenta com o(s) cabo(s) de protensao posicionado(s) excentricamente em relação ao eixo da peça, de modo que se apliquem tensões de compressão mais altas nas fibras mais tracionadas, no caso as inferiores. Existem diferentes métodos de pretensão, em função de como e quando se materializa a aderência entre a armadura ativa e o concreto, podendo-se ter dois tipos de concreto protendido: com aderência inicial ou com aderência posterior, No concreto protendido com aderência inicial, o concreto é lançado nas formas, em gerai metálicas, com os cabos já tracionados, ficando estes em contato
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
direto com o concreto no seu processo de endurecimento. Após o concreto atingir a resistência necessária para absorver as tensões de compressão, podem ser liberados os dispositivos externos de reação, contra os quais foi aplicada a força dos macacos, sendo então transferida a compressão ao concreto. No concreto pretendido com aderência posterior, antes da concretagem, posicionam-se no interior das formas bainhas metálicas ou de plástico, por onde se introduzem os cabos, ainda sem tensão. Quando o concreto tiver alcançado resistência suficiente, procede-se à protensão dos cabos, com os macacos reagindo diretamente sobre as superfícies de concreto. Após a protensão, faz-se a injeção de uma nata ou calda de cimento no interior da bainha, sob pressão, através de dutos específicos. Essa nata deve ser bastante fluida para garantir o preenchimento correto da bainha e a boa aderência entre a armadura e o concreto. Recentemente, na década de 1990, ganhou destaque um sistema de protensão que usa cordoalhas de aço previamente "engraxadas", que correm dentro de tubos plásticos, sem aderência, portanto, entre os cabos de protensão e o concreto. Dessa forma, a transmissão de esforços dos cabos à peça de concreto é feita, exclusivamente, por meio dos dispositivos de ancoragem, na extremidade das cordoalhas. Esse sistema vem sendo bastante difundido, principalmente em lajes pretendidas, pela maior simplicidade na execução, em razão do menor peso dos macacos e de ser dispensada a injeção da nata de cimento, uma das principais causas de problemas na execução de estruturas pretendidas. Deve-se ressaltar, aind.a, qye os sistemas de protensão necessitam de armaduras passiva.?, com barras convencionais. Essas armaduras são indispensáveis para garantir uma resistência mínima à estrutura, independentemente da pretensão, bem como para melhorar a distribuição de tensões em zonas específicas, como, por exemplo, as regiões de ancoragem. Pode-s,e concluir do expostQ que o, cgncr^to protendido. é, do ponto de vista tecnológico, um processo mais sofisticado, implicando, para obras comuns,
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maiores custos nas etapas de projeto e execução. A redução das tensões de tração em regiões predeterminadas permite viabilizar estruturas com maiores vãos e/ou maiores cargas. Atécnica construtiva mais adequada a cada caso, concreto armado ou pretendido, vai depender de uma análise de viabilidade técnico-econômica que leve em conta a natureza da edificação, os carregamentos e as condições ambientais previstos, o prazo de execução, os recursos disponíveis, etc. 2.4 HISTÓRICO DO EMPREGO DO CONCRETO ESTRUTURAL Curiosamente, os primeiros registros históricos de uso do concreto com algum tipo de armadura com função estrutural não foram creditados a engenheiros. Estes passaram a atuar apenas depois dos primeiros relatos de sucesso do material, no sentido de desenvolver seu grande potencial na construção em larga escala e, com o conhecimento teórico e técnico, buscar o emprego racional e científico do material. Algumas pequenas divergências persistem quanto a datas e/ou autores do invento, especialmente se originadas de países diferentes. Na relação seguinte, apresenta-se de forma sucinta, pela ordem cronológica do evento, o nome do responsável principal e a descoberta: •
1849-Lambot: barco de concreto com rede metálica (França);
•
1849- Monier: vasos de concreto com armadura (França);
•
1852 - Coignet: primeiros elementos de construção - vigotas e pequenas lajes (França); 1867/78 — Monier: registro de diversas patentes de elementos para a construção de vasos, tubos e depósitos (França);
•
1871 - Brannon: estacas de fundação de concreto com armadura (Inglaterra);
•
1873 - Hyatt: colunas com armaduras vertical e helicoidal (USA);
•
1880 - Hennebique: primeira laje de concreto com armadura constituída por barras de aço de seção circular, semelhante às atuais (França);
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
1892- Hennebique: patente do primeiro tipo de viga com armadura transversal constituída de estribos (França); 1897-Rabut: primeiro curso sobre o concreto armado (França); 1902 - Mõrsch: primeira edição de um livro de sua coleção sobre concreto armado, considerada até hoje como a mais importante referência histórica no aspecto técníco-científico. Publicou resultados de inúmeros ensaios de laboratórios e desenvolveu modelos de cálculo, alguns até hoje utilizados (Alemanha); 1902/08 - Wayss e Freytag: publicação de vários trabalhos experimentais, associados em firma especializada, até hoje existente (Alemanha); 1907-Koenen: propõe a compressão prévia em peças de concreto, princípio básico do concreto pretendido (Alemanha); 1928 - Freyssinet: patente do primeiro sistema de protensão, tornando possível o uso em grande escala da técnica (França).
No Brasil, o uso do concreto armado desenvolveu-se rapidamente no início do século XX, sendo marcantes os seguintes eventos: •
1908 - Hennebique: primeira ponte de concreto armado (Rio);
•
1912-RiedIinger; primeira firma de engenharia a construir edificações com estruturas de concreto armado;
•
1913 — Wayss e Freytag: encampam a firma de Riedlínger, transformada em uma filial.
Entre alguns eventos notáveis no Brasil, merecem destaque: •
1908 - conclusão da construção do Edifício A Noite, no Rio de Janeiro, que durante muitos anos foi record mundial em altura de edifícios com estrutura de concreto armado;
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•
1908-construção de ponte em Santa Catarina por Emílio Baumgart;
-
1955-1960 - construção de Brasília, com projetos principais de arquitetura/ urbanismo de autoria dos arquitetos Oscar Niemeyer e Lúcio Costa, entre outros. As edificações/monumentos de Brasília, hoje Património Histórico da Humanidade, com estruturas em concreto armado e pretendido extremamente arrojadas e esbeltas, marcaram o desenvolvimento mundial desse tipo de solução construtiva, com destaque para os projetos estruturais do engenheiro Joaquim Cardozo.
Entre inúmeros engenheiros e pesquisadores que tiveram participação relevante na história do desenvolvimento da pesquisa e do projeto de estruturas de concreto armado e pretendido no Brasil, devem-se ressaltar os nomes de Emílio H. Baumgart, AriTorres, António A. Noronha, Paulo Fragoso, Jayme Ferreira da Silva Jr., Telêmaco Van Langendonck, Fernando L. Lobo B. Carneiro, Joaquim Cardozo e Aderson Moreira da Rocha. 2.5 VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO ARMADQ Além daquelas já citadas, podem-se acrescentar outras vantagens na emprego do concreto armado em estruturas das mais .diversas natu.rezas, valendo ser mencionadas: a) Facilmente adaptável às formas, por s.er Iança,dp em estado.. se.miflu.idQ, g que abre enormes possibilidades p,ara a, concepção arqujtetôniça, Qs adjíivps, plastificantes e fluidificantes, usados para aumentar a trabaínajb/l/dac/e ,e a fluidez do concreto, possibilitam o uso do concreto bombeado, que permite lançaj" g concreto em mangueiras sob pres.sfp, em granei63-. a)tuja_s, c,pm redução significativa dos custos e prazos das tarefas de transporte e lançamento. b) Economia nas construções pela possibilidade de obtenção de materiais nas proximidades da obra. Vale observar que toda cidade de porte médio py granate tem, hoje, uma ou majs fábricas de cimento, nc- ,se,y entorno,
Capítulo 1 - Bases da associação concreto-aço
c) Facilidade e rapidez na construção com o uso de peças pré-moldadas, estruturais ou não, e de tecnologias avançadas para a execução de formas e escoramentos. d) Durabilidade elevada. Os custos de manutenção das estruturas de concreto são baixos, quanto atendidos os requisitos das normas técnicas pertinentes. No entanto, deve-se ressaltar que a manutenção preventiva é essencial, especialmente em edificações com exposição contínua a agentes agressivos (ambiente marinho, poluição atmosférica, umidade excessiva, etc.) ou com emprego do concreto aparente (sem argamassa de revestimento). e) Boa resistência a choques, vibrações e altas temperaturas. f}
A resistência à compressão do concreto aumenta com a idade.
g) Uso de concretos de alta resistência ou alto desempenho. O grande impulso na indústria de aditivos para concreto, em especial com o advento da sílica ativa ou microssflica, permitiu obter concretos com elevadas resistências à compressão, acima de 100 MPa. As vantagens no uso desses concretos são enormes, principalmente nas peças comprimidas, com economia na redução de dimensões e armaduras, além do aumento da durabilidade. No entanto, o comportamento de peças estruturais com concretos de resistências muito elevadas, superiores a 50 MPa, não é ainda plenamente conhecido, sendo este um campo muito promissor para a pesquisa.
As desvantagens mais marcantes do concreto armado como material estrutural são: a) Peso próprio elevado (massa específica = 2.500 kg/m3). Aobtenção de concretos leves para fim estrutural é tecnicamente viável, com a substituição da brita comum, no todo ou em parte, por agregados leves, como, por exemplo, a argila expandida. A redução da massa específica pode ser significativa, chegando para o concreto estrutural a valores da ordem de até 1.600 kg/m3. No entanto, esses agregados resultam em aumento apreciável de custos, para emprego em
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obras convencionais, além de ser necessário avaliar melhor os aspectos de durabilidade, pois esses concretos tendem a ser, também, mais porosos. b) Fissuração inerente à baixa resistência à tração. Atendência à fissuração se inicia na moldagem das peças, pela retração do concreto, característica intrínseca à sua composição, e persiste durante toda a vida útil da estrutura, pelas condições ambientais e de utilização, movimentação térmica, etc. c) Consumo elevado de formas e escoramento e execução lenta, quando utilizados processos convencionais de montagem de formas e concretagem. As normas técnicas determinam prazos mínimos para a retirada de formas e respectivos escoramentos, para as diferentes peças estruturais, O uso de agentes aditivos para concreto, com diversas finalidades, deve ter acompanhamento técnico adequado. d) Dificuldade em adaptações posteriores. Alterações significativas na edificação exigem revisão do projeto estrutural, o que implica, muitas vezes, a necessidade de reforço da estrutura. e) O concreto não é um material inerte e interage com o ambiente. As condições de agressividade ambiental vão determinar, em cada caso, a espessura da camada de concreto de cobrimento e proteção das armaduras.
2.6 NORMAS TÉCNICAS. 2.6.1
Generalidades
A massifícação e o constante aumento do emprego do concreto estrutural resultaram na necessidade de se estabelecer padrões de procedimento, dando origem às normas e aos regulamentos técnicos. As primeiras normas e instruções técnicas foram elaboradas na Alemanha (1904), França (1906) e Suíça (1909). O objetivo das normas é uniformizar, em uma determinada região ou país, os procedimentos para projeto, controle dos materiais e execução, no sentido de
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
estabelecer padrões aceitáveis de segurança, funcionalidade e durabilidade para as edificações. As normas também buscam fornecer métodos de cálculo que tornem mais simples o trabalho dos profissionais, definindo os (imites de sua aplicação. No Brasil, existem dois organismos responsáveis peia normalização, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), entidade privada que é o Fórum Nacional de Normalização, e o Instituto Brasileiro de Metrologia (Inmetro), entidade governamental. O conteúdo das normas brasileiras é de responsabilidade dos Comités Brasileiros (CB) e dos Organismos de Normalização Setorial (ONS). As normas são elaboradas por Comissões de Estudo (CE), formadas por representantes dos vários setores envolvidos: produtores, consumidores e neutros (universidades, laboratórios e outros). Os projetos das normas brasileiras são elaborados no âmbito dos CB e ONS e circulam para consulta pública entre os associados da ABNT e demais interessados. No caso do projeto e da execução de edificações com estruturas de concreto armado e pretendido, as normas da ABNT são divididas nas seguintes categorias: Classificação (CB), Especificação (EB), Método de Ensaio (MB), Procedimento (NB), Padronização (PB), Simbologia (SB) e Terminologia (TB). As normas de cada categoria são identificadas pelos respectivos prefixos (CB, EB, etc.), acompanhados por números de ordem e pelo ano da edição em vigor. Toda norma está sujeita a revisões periódicas regulares, em intervalos preestabelecidos. Após cada revisão, mantém-se o número de ordem da norma, mudando-se na identificação o ano da edição vigente. Por exemplo, a norma brasileira para o projeío de estruturas de concreto armado foi identificada pela ABNT como NB-1, com as edições subsequentes NB-1/40, NB-1/60, NB1/78 e, recentemente, a NB-1/2003. O Inmetro registra as normas, independentemente das categorias citadas, pelo prefixo NBR, acompanhado de um número de ordem diferente daquele da ABNT. As duas notações são usadas na prática; a NB-1 é identificada pelo Inmetro como NBR 6118. Esta última notação será usada neste texto.
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Apresenta-se, a seguir, uma relação de alguns títulos de normas relativas a estruturas de concreto, em diversos aspectos: projeto, execução, ensaios de materiais componentes e controle tecnológico, com os respectivos números de ordem, da ABNT e do Inmetro, e o ano da edição em vigor. As normas consideradas mais importantes para o uso do presente texto são apresentadas em itálico.
Normas - procedimentos •
NBR 6118:2003 (NB-1) Projeto de estruturas de concreto-procedimento
•
NBR 7187:2003 (NB-2) Projeto de pontes de concreto armado e pretendido procedimento
•
NBR 6120:1978 (NB-5) Cargas para o cálculo de estruturas de edificações
•
NBR 6122:1996 Projeto e execução de fundações
•
NBR 6123:1987 Forças devidas ao vento em edificações
•
NBR 7188:1982 (NB-6) Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre
•
NBR 7189: 1983 (NB-7) Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias
•
NBR 7191: 1951 (NB-16) Execução de desenhos para obras de concreto simples ou armado
•
NBR 8681: 2003 (NB-862) Ações e segurança nas estruturas
•
NBR 9062:1985 (NB-949) Projeto e execução de estruturas de concreto prémoldado
•
NBR 12654:1992 Controle tecnológico de materiais componentes do concreto
?
NBR 12655:1996 (NB-1418) Preparo, controle e recebimento de concreto
•
NBR 14931:2003 Execução de estruturas de concreto-procedimento
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
Classificação •
NBR 8953: 1992 (CB-130) Concreto para fins estruturais; classificação por grupos de resistência
Especificações •
NBR 5732:1991 (EB-1) Cimento Portland comum
•
NBR 5733:1991 (EB-2) Cimento Portland de alta resistência inicial
•
NBR 7480: 1996 (EB-3) Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado
•
NBR 7211:1982 (EB-4) Agregados para concreto
Métodos de ensaio •
NBR 5739:1994 (MB-3) Ensaio de compressão de corpos de prova cilíndricos de concreto
•
NBR 7222:1994 (MB-212) Argamassa e concreto-determinação da resistência à tração por compressão diametral de corpos de prova cilíndricos
•
NBR8522:1984 Concreto-determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação
•
NBR 9607:1986 (NB-1029) Provas de carga em estruturas de concreto armado e protendido
•
NBR 12142:1992 Concreto-determinação da resistência à tração na flexão em corpos-de-prova prismáticos
Simbologia •
NBR 7808:1982 (SB-75) Símbolos gráficos para o projeto de estruturas
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•
NBR 12519:1991 Símbolos gráficos de elementos, símbolos qualificativos e outros símbolos de aplicação geral
2.6.2 A norma brasileira para o projeto de estruturas de concreto: NBR 6118 (NB-1) A primeira redação desta norma foi aprovada pela ABNT em 1940, com o título Cálculo e execução de obras de concreto armado, tendo como base a Norma para execução e cálculo de concreto armado, editada pela Associação Brasileira do Concreto, em 1931, e adotada pela Associação Brasileira de Cimento Portland.em 1937. A redação de 1940 sofreu modificações, em 1943 e em 1949/ 1950, que foram consolidadas na edição da NB-1/1960, que vigorou até 1978, sendo levemente modificada em 1980. A edição da NB-1/78 introduziu grandes mudanças à sistemática de cálculo, principalmente com a adoção do método de cálculo dos estados limites, uma concepção inovadora para o dimensionamento e a verificação de segurança, proposta pelo Comité Europeu do Concreto (CEB), em 1972. Introduziu, também, um maior rigor na verificação do comportamento da estrutura quanto aos estados limites de utilização ou de serviço, em especial no que se refere à verificação da fissuração e à estimativa de flechas. Alguns procedimentos da NB-1/60 foram alterados profundamente, com destaque para as exigências do cálculo de pilares à flexão composta e a consideração da deformação lenta do concreto para análise de estruturas sob ações de longa duração. Em 1994, foi publicado um texto preliminar parcial de revisão da NB-1/78. Sete anos depois, foi lançada a primeira proposta do texto completo da nova norma.
Em março de 2003, após, aproximadamente, uma década de elaboração e intensas discussões, foi aprovada a nova edição da NBR 6118, que passou a vigorar a partir de 30 de março de 2004.
Capitulo 2 - Bases da associação concreto-aço
Seguindo uma tendência mundial, a nova edição buscou unificar as normas relativas ao projeto de estruturas de concreto armado e pretendido e, segundo dispõe sua "Introdução", cabe a ela "definir os critérios gerais que regem o projeto de estruturas de concreto, sejam elas de edifícios, pontes, obras hidráulicas, portos ou aeroportos, etc. Assim, ela deve ser complementada por outras normas que fixem critérios para estruturas específicas". O "Prefácio" da NBR6118:2003-Mtem 1 resume o objetivo da norma conforme os itens transcritos abaixo, na íntegra: "1.1 Esta Norma fixa os requisitos básicos exigíveis para projeto de estruturas de concreto simples, armado e pretendido, excluídas aquelas em que se empregam concreto leve, pesado ou outros especiais. 1.2 Esta Norma aplica-se às estruturas de concretos normais, identificados por massa específica seca maior do que 2.000 kgf'/m3, não excedendo 2.800 kgf/m3, do grupo l de resistência (C10 a C50), conforme classificação da NBR 8953. Entre os concretos especiais excluídos desta Norma estão o concreto-massa e o concreto sem finos. 1.3 Esta Norma estabelece os requisitos gerais a serem atendidos pelo projeto como um todo, bem como os requisitos específicos relativos a cada uma de suas etapas. 1.4 Esta Norma não inclui os requisitos gerais a serem atendidos para evitar os estados limites gerados por certos tipos de ação, como sismos, impactos, explosões e fogo. 1.5 No caso de estruturas especiais, taís como de elementos pré-moldados, pontes e viadutos, obras hidráulicas, arcos, silos, chaminés, torres, estruturas off-shore, ou em que se utilizam técnicas construtivas não convencionais, tais como formas deslizantes, balanços sucessivos, lançamentos progressivos e concreto projetado, as condições desta Norma ainda são aplicáveis, devendo no entanto ser complementadas e eventualmente ajustadas em pontos localizados, por Normas Brasileiras específicas."
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A NBR 6118: 2003 incluiu alguns tópicos antes não abrangidos, dos quais vale citar os seguintes capítulos; 5. Requisitos gerais de qualidade da estrutura e avaliação da conformidade do projeto. 6. Diretrizes para a durabilidade das estruturas de concreto. 7. Critérios de projeto que visam à durabilidade, 25. Interfaces do projeto com a construção, utilização e manutenção. Quanto aos tópicos novos, vale lembrar que o texto do Projeto de revisão da Norma NB-1, de 2001, mencionava em seu "Prefácio" que esses tópicos foram incluídos "por exigência da modernidade" e pela necessidade da adoção de uma nova filosofia de projeto que, "além da atenção indispensável à segurança e funcionalidade da estrutura, destacasse a importância da qualidade da edificação como produto". No que diz respeito à durabilidade, declarava que "todas as normas mais recentes tratam com grande ênfase dessa questão; o estado atual de nossas estruturas atesta o quanto é necessário um enfoque mais incisivo dessa questão". O referido Projeto de revisão fazia uma consideração importante sobre o seu conteúdo, que, apesar de não constar da versão final, merece ser transcrita: "Uma norma não é um livro técnico ou um manual. Assim, esta norma deve ser usada por engenheiros com formação em estruturas e com bibliografia disponível para esclarecimento de dúvidas." O cumprimento das disposições das normas técnicas e dos códigos de edificação pertinentes tem sua obrigatoriedade regulada pela legislação, na forma resumida abaixo: a) Lei n£ 4150 (21/11/1962) Determina, para obras públicas, a aplicação obrigatória dos requisitos das Normas da ABNT.
Capitulo 1 - Bases da associação concreto-aço
b) Lei n? 8078 (11/09/1990): Código de Proteção e Defesa do Consumidor Art. 39, VIII; "É vedado ao fornecedor de produtos ou serviços: colocar, no mercado de consumo, qualquer produto ou serviço em desacordo com as normas expedidas pelos órgãos oficiais competentes ou, se normas específicas não existirem, pela ABNT ou outra entidade credenciada pelo Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial - Conmetro".
Adicionalmente, cabe mencionar que as disposições das normas brasileiras podem, às vezes, ser insuficientes, por razões diversas. Nesses casos, é aconselhável recorrer a outras normas internacionais; os documentos técnicos mais frequentemente utilizados são: / Código-Modelo e demais boletins técnicos da Federação Internacional do Concreto (FIB), entidade que resultou da fusão do Comité Euro-lnternacional do Concreto (CEB) com a Federação Internacional de Pretensão (FIP), com sede em Lausanne, Suíça. A edição hoje em vigor desse código é o Model Code 1990- Boletim de Informação n- 203. A FÍB congrega a maior parte das associações científicas e pesquisadores do mundo, em especial com base na Europa. / ACI-318M: Building code requirements for structural concrete - do American Concrete Institute (ACI), que tem base principal na América do Norte, mas influência marcante em todo o mundo, inclusive em vários países da Ásia. Dos países da América Latina, o Brasil é o único que não segue esse código. / Eurocode n- 2: Design of concrete structures - elaborado com o objetivo de ser a base da norma unificada de todos os países da Comunidade Económica Europeia. Desses documentos, o MC-90 tem um caráter mais doutrinário e teóríco-científico, enquanto o EC-2 e o ACI-318M, em especial este último, são de natureza mais prática.
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2.7 AUTO-AVALIAÇÃO 2.7.1
Enunciados
1. Citar duas propriedades indispensáveis a qualquer material estrutural, 2. Por que o concreto simples pode ser considerado uma "pedra artificial"? 3. Qual a principal deficiência do concreto simples que deu origem ao surgimento do material estrutural "concreto armado"? 4. Citar outros tipos de materiais, além do aço, que podem ser utilizados na fabricação de armaduras de peças de concreto armado. 5. Qual é a principal diferença entre o concreto armado e o pretendido? 6. Para o texto entre aspas abaixo, preencha os campos vagos, selecíonando as palavras/expressões mais adequadas da lista fornecida (em itálico), a fim de tornar o texto conceitualmentecorreto e o mais abrangente possível: "Em peças de concreto pretendido com o emprego do processo de aderência , os cabos são introduzidos dentro de estando o concreto
Após a pretensão dos cabos,
por meio de macacos hidráulicos, é feita a injeção de de cimento, sob pressão, para garantir a(o)
entre
a armadura e o concreto." fluido
solidariedade
eficiência
posterior
bainhas
resina
nata
endurecido
cordoalhas
inicial
fissurado
atrito
7. Pode existir o material estrutural concreto armado sem haver aderência entre a armadura e o concreto? E o concreto pretendido? 8. Na história da evolução do uso do concreto armado, citar três personagens e datas que podem ser considerados muito importantes pela contribuição, do ponto de vista técnico-científico. 9. Na relação de palavras/expressões abaixo, indique aquelas vantagens que podem ser consideradas inerentes ao concreto como material estrutural:
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
peso próprio
aderência
resistência a choques
durabilidade
isolamento acústico
resistência à compressão
pré-moldagem
resistência à tração
facilidade em adaptações posteriores
10.Que contribuições introduzidas nas edições de 1978 e 2003 da norma NBR 6118, para o projeto de estruturas de concreto, podem ser consideradas mais significativas?
2.7.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. As principais propriedades de um material estrutural são a resistência e a durabilidade. Há, ainda, outros fatores importantes que vão influenciaro custo, em especial a disponibilidade dos materiais, que se traduz na facilidade de obtenção dos materiais componentes. Têm também influência o grau de sofisticação do projeto de arquitetura, o nível de detalhamento do projeto e de racionalização da execução, os padrões exigidos de especialização da mãode-obra, a agressividade ambiental prevista e as respectivas características de um programa de manutenção preventiva. 2. Porque apresenta propriedades semelhantes à pedra natural, quanto à resistência e à durabilidade, com a vantagem de poder ser moldado em formas variadas. Entretanto, sabe-se, cada vez com maior precisão, que essa pedra artificial não é tão inerte quanto a natural. O concreto permite a penetração de agentes agressivos que podem reagir com os seus componentes, em diferentes graus. Nesse sentido, para garantir a durabilidade, têm grande importância: permeabilidade do concreto, qualidade do acabamento das peças, proteção adequada aos diferentes tipos de exposição e agressividade do meio, assim como manutenção preventiva. 3. A baixa resistência à tração. A resistência à tração do concreto pode ser tomada, aproximadamente, como 1/10 da resistência à compressão. Sendo assim, em uma peça fletida, as fibras tracionadas estão sujeitas à físsuração
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por fendilhamento com um nível de tensão dez vezes inferior às fibras comprimidas. É por isso que, na Antiguidade, se priorizava o uso de arcos, em que a peça pode estar toda comprimida, como solução estruturai para vencer vãos maiores e transmitir as cargas às colunas, e estas às fundações. Vale a pena observar, por exemplo, edificações como os Arcos da Lapa, no Rio de Janeiro, e as igrejas antigas, construídas em pedra e madeira. 4. Algumas fibras naturais, como o bambu e o sisal, que têm resistência elevada à tração, podem ser utilizadas como armaduras de peças de concreto armado, mas necessitam de proteção por apresentarem problemas com a ação da umídade no interior do concreto. As fibras sintéticas, como de carbono ou vidro, imersas em resinas poliméricas, principalmente o epóxi, têm tido emprego crescente, com as vantagens do peso reduzido e da imunidade à corrosão. No entanto, ainda não se superaram, completamente, os problemas com altas temperaturas e umidade, além do seu custo elevado. 5. A diferença refere-se ao papel da armadura: no concreto armado ela é passiva, enquanto no concreto pretendido a armadura é ativa, pois introduz esforços à peça estrutural, antes de as cargas previstas serem aplicadas. 6. A resposta correta é: "Em peças de concreto pretendido com o emprego do processo de aderência POSTERIOR, os cabos são introduzidos dentro de BAINHAS, estando o concreto ENDURECIDO. Após a pretensão dos cabos, por meio de macacos hidráulicos, é feita a injeção de NATA de cimento, sob pressão, para garantira SOLIDARIEDADE entre a armadura e o concreto." Comentários: /
Se você colocou cordoalhas em lugar de bainhas no segundo espaço vazio, verifique, no 2-parágrafo do item 2.3.2, que cordoalha e cabo tem o mesmo significado, indicando um conjunto de barras trançadas de aço (ou outro material).
S O concreto pretendido com aderência posterior só é possível com o concreto da peça estrutural já endurecido, sendo então capaz de fornecer reação às forças
Capítulo 2 - Bases da associação concreto-aço
introduzidas pelos macacos hidráulicos. A pretensão com aderência inicial, processo em geral utilizado na produção de peças pré-moldadas, exige dispositivos especiais de reação, acoplados às formas e externos à peça. /
No quarto espaço, pode-se usar a palavra "calda" em vez de nata de cimento.
/
No último espaço, a palavra solidariedade traduz uma propriedade inerente à aderência eficiente entre o aço e o concreto, uma condição essencial ao comportamento monolítico da peça estrutural.
7. Não, a aderência é indispensável à existência do concreto armado, para garantir que a deformação das barras seja a mesma do concreto em seu entorno. Quanto à segunda parte da pergunta, pode existir concreto pretendido sem haver aderência entre a armadura e o concreto. É o que ocorre com o sistema de cordoalhas "engraxadas", que transmitem forças externas à peça, exclusivamente, pelas extremidades de seus dispositivos de ancoragem. No entanto, esse sistema exige, também, armaduras passivas, do tipo convencional, indispensáveis para garantir uma resistência mínima aos elementos estruturais. 8. Do ponto de vista técnico-científico, entre as muitas contribuições importantes, pode-se destacar: /
Hennebique (França -1880 e 1892): primeira laje de concreto armado com armadura semelhante às atuais e vigas com armadura transversal constituída de estribos, para combate à força cortante.
/ Rabut (França-1897): primeiro curso sobre concreto armado. / Mõrsch (Alemanha -1902): primeiro livro de sua coleção sobre concreto armado. Até hoje, o cálculo das armaduras de combate ao cisalhamento na flexão e na torção tem por base a teoria denominada "Analogia da treliça de Mõrsch". Cabe ressaltar que essa escolha tem, obviamente, caráter um tanto subjetivo. Se a seleção fosse feita, por exemplo, por um construtor, talvez se escolhesse Coignet, um dos pioneiros citados no item 2.4; um engenheiro de fundações, por sua vez, dificilmente deixaria de escolher Brannon.
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9. Dos aspectos citados no enunciado, são vantagens do concreto como material estrutural: resistência à compressão, resistência a choques, durabilidade e pré~moldagem, conforme visto no item 2.5. Entre os demais, a aderência é um requisito indispensável à existência do concreto armado, não sendo correto classificá-la como vantagem. Quanto ao isolamento acústico, as peças de concreto estrutural, pela massa específica elevada, podem fornecer isolamento satisfatório desde que tenham espessura adequada. Os demais itens, peso próprio, resistência à tração e facilidade em adaptações posteriores, não podem ser classificados como vantagens. 10. Entre as inúmeras contribuições da norma brasileira para o projeto de estruturas de concreto, descritas no item 2.6, são, em geral, consideradas como as mais significativas, pela inovação em termos de filosofia de projeto: */ NBR6118:1978: introdução no dimensionamento do Método de Cálculo dos Estados Limites e de critérios mais rigorosos para controle da fissuração e estimativa de flechas de estruturas em serviço. /
NBR 6118: 2003: introdução de requisitos explícitos relativos à garantia de qualidade de projeto e de um enfoque mais incisivo sobre a questão da durabilidade, além de englobar o projeto de concreto simples, armado e protendido.
Capítulo 3 FUNDAMENTOS DO PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
3.1 3.2
Objetivos Classificação das peças estruturais
3.3
Simbologia
3.4 Análise da edificação 3.5 "Análise da estrutura 3.è Arranjo ou lançamento estrutural 3.7 Síntese estrutural 3.8 Segurança estrutural 3.9 Valores característicos 3.10 Valores de cálculo 3.11 Materiais constitutivos 3.12 Auto-avaliação
Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado 3.1 OBJETIVOS No Capítulo 1, item 1.1, foi discutida uma lacuna existente no ensino da engenharia estrutural, na transição das disciplinas da fase inicial, de conteúdo mais teórico, para aquelas da fase de projeto, necessariamente mais práticas. O presente capítulo pretende suprir essa lacuna, pelo menos em parte, no que se refere ao projeto de estruturas de concreto armado. Dessa forma, espera-se que o estudo desse conteúdo forneça ao leitor as bases para o entendimento dos seguintes pontos: a) Características e funções das peças ou elementos componentes de uma estrutura de concreto. b) Etapas relativas à disposição, arranjo ou lançamento (nome mais usado na prática) das peças que compõem uma estrutura de concreto armado de uma edificação, tendo como ponto de partida o seu projeto de arquitetura. c) Natureza dos distintos métodos de cálculo para estruturas de concreto armado. d) Grandezas e parâmetros de segurança utilizados nos métodos de cálculo previstos na norma NBR 6118:2003. e) Propriedades dos materiais constitutivos — concreto e aço -, de interesse para o projeto estrutural, bem como as exigências do controle tecnológico dos materiais. f) Requisitos para garantia de durabilidade de uma edificação, envolvendo os conceitos básicos de segurança, funcionalidade, manutenção e vida útil de estruturas de concreto armado.
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Ainda sobre a transição citada no ensino da engenharia estrutural, considera-se de grande importância para os objetivos anteriormente descritos a leitura dos capítulos 1, 2 e 4 do livro Fundamentos do projeto estrutural (Fusco, 1976), bibliografia complementar que melhor preenche a lacuna mencionada. Para o correto entendimento dos objetivos do capítulo, é de interesse estabelecer, de início, o conceito seguinte:
Projetar a estrutura de uma edificação consiste em conceber um sistema cujos elementos com finalidade resistente se combinam, de forma ordenada, para cumpriruma determinada função, que pode ser: vencer um vão, como nas pontes; definir um espaço, como nos diversos tipos de edifícios; ou conter um empuxo, como nas paredes de contenção, tanques e silos.
3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS PEÇAS ESTRUTURAIS Denomina-se estrutura o conjunto das partes consideradas resistentes de uma edificação. Para que uma estrutura tenha sua capacidade resistente assegurada, é necessário conhecer o comportamento de suas peças ou elementos estruturais. Segundo a NBR 6118, item 14.4- Elementos estruturais: "as estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais básicos, classificados e definidos de acordo com a sua forma geométrica e a sua função estrutural". É, portanto, de interesse estabelecer uma classificação das peças em conjuntos que tenham comportamento estrutural similar, cuja análise seja viável segundo modelos esquemáticos próprios, existentes na Teoria da Estruturas. Uma classificação usual na Teoria das Estruturas tem como base um critério geométrico, que define na peça três comprimentos característicos: LI, L2 e L3. O critério adota o seguinte princípio: dois comprimentos característicos que
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
estão dentro da relação 1:10 são considerados com a mesma ordem de grandeza. Isto é, se LI <10L2 e L2 <_10L1, diz-se que a ordem de grandeza dos dois comprimentos é a mesma: [LIJ ~ [L2]'. De acordo com esse critério geométrico, as peças estruturais são assim classificadas:
L3 L2 LI
a) Blocos: [L1] = [L2] = [L3] (blocos de fundação)
b) Barras; [U ] = [L2] < [L3] (vigas, pilares, tirantes, arcos) L3 L2
Placas: cargas normais ao plano médio (lajes)
LI Chapas; cargas no plano médio (vigas-parede e paredes estruturais)
LI Cascas: superfície média curva
c) Peças laminares: [LI] ~ [L2] > [L3J
Figura 3.1 - Classificação das peças estruturais por critério geométrico No caso específico de estruturas de concreto estrutural, a norma NBR 6118 -»• 14.41 classifica os elementos estruturais na forma seguinte: Elementos lineares: "são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominados barras" (item 14.4.1). Essa definição é mais abrangente que a do
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Nesta publicação, o número após a seta indica o item da NBR 6118: 2003 correspondente ao assunto abordado no texto, em que é apresentado, em geral, de forma concisa, devendo-se consultar a norma para esclarecimentos complementares.
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critério geométrico citado. Por exemplo, para uma seçao transversa! de largura 20 cm x altura 50 cm, pelo primeiro critério o elemento seria classificado como linear apenas para comprimentos acima de 5,0 m, enquanto pela NBR6118já seria elemento linear com comprimento a partir de 1,50 m. Conforme a sua função e geometria, os elementos lineares recebem designações próprias, a seguir apresentadas: -í* Vigas: elementos lineares em que a flexão é preponderante. <* Pilares: elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes. *Í* Tirantes: elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são preponderantes. *> Arcos: elementos lineares curvos em que as forças normais de compressão são preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas ações estão contidas em seu plano. Elementos de superfície: "elementos em que uma dimensão, usualmente chamada espessura, é relativamente pequena em face das demais" (item 14.4.2). Conforme a sua função estrutural, geometria e natureza das ações, recebem as designações a seguir: *t* Placas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações normais a seu plano. As placas de concreto são usualmente denominadas lajes, *> Chapas: elementos de superfície plana sujeitos principalmente a ações contidas em seu plano. Chapas de concreto em que o vão for menor que três vezes a maior dimensão da seção transversal são usualmente denominadas vigas parede. <*- Cascas: elementos de superfície não plana. *> Pilares parede: elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Para
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
que se tenha um pilar parede, em alguma dessas superfícies, a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal da peça.
3.3 SIMBOLOGIA A simbologia e as respectivas notações empregadas neste texto, para expressar as grandezas de interesse no projeto de estruturas de concreto, é aquela adotada pela NBR 6118 desde a edição de 1978, que é decorrente de um acordo internacional, firmado pelo Comité Euro-lnternacional do Concreto (CEB), a Federação Internacional da Protensão (F/P) e o Instituto Americano do Concreto (ACI), em 1972. O objetivo desse acordo foi unificar as representações das grandezas estruturais nos vários países, a fim de tornar mais acessível a literatura técnica e científica internacional, tendo predominado no acordo o idioma inglês. Conforme a NBR 6118, no item 4.1 da Seção 4, a simbologia para estruturas de concreto é constituída por símbolos-base, constituídos por uma letra principal (maiúscula ou minúscula) de mesmo tamanho e no mesmo nível do texto corrente, simbolizando uma dada grandeza ou termo, e que é acompanhada por símbolos subscritos ou índices, de identificação (em geral, letras minúsculas). Seguem alguns exemplos da notação de grandezas e/ou índices, selecionados da .lista de símbolos-base fornecida pela NBR 6118 —>• 4.2. Uma mesma letra pode ser usada em mais 'de um símbolo, desde que não haja possibilidade de confusão. Entre parênteses, apresenta-se o termo em inglês que deu origem ao símbolo. c-concreto, compressão, deformação Jenta (creep) :s -aço (sfee/), retração (shrínkage) y -escoamento '(y/e/d/ng) t - traça o
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/ - resistência de um material F- ação genérica (force) S - solicitação genérica k- característico d- projeto, cálculo (design) Na montagem da notação relativa a uma grandeza de interesse estrutural, o primeiro índice indica o material, em geral, seguido pelo tipo de esforço e sua natureza. Como exemplo, descrevem-se abaixo algumas notações utilizadas no cálculo, da NBR 6118-v 4.2: fck: resistência característica do concreto à compressão (poderia ser usado f mas não há necessidade de se duplicar o índice "c"); f[k : resistência característica do concreto à tração (poder-se-ia usar/ , mas pode-se omitir o índice "c", em razão de não haver possibilidade de confusão com a resistência à compressão); /
d:
resistência de cálculo do aço à compressão ou à tração (não há necessidade do índice "s", do aço, por ser o índice y, que indica o escoamento, uma propriedade típica do aço, que o concreto não possui);
Fd: valor de cálculo de uma ação genérica; Sk: valor característico de uma solicitação genérica; G à: deformação específica de escoamento de cálculo do aço à tração; 7 : coeficiente de majoração das ações/solicitações.
As grandezas representadas pelos símbolos da NBR 6118 devem ser expressas em unidades do Sistema Internacional (SI). Esse sistema será adotado no presente texto, de forma preferencial. No entanto, em determinadas situações,
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
outras unidades são usadas, em respeito à prática da engenharia nacional e por conveniência didátíca.
3.4 ANÁLISE DA EDIFICAÇÃO
Conceito: etapa iniciai do projeto que tem por objetivo delimitar a edificação em relação ao meio físico externo e definir as partes que vão constituir o subsistema "estrutura".
De modo geral, o projeto estrutural é inviável sem a introdução de diversas simplificações, que objetivam reduzir o problema real a um conjunto de subproblemas passíveis de solução, Por exemplo: a distinção entre partes resistentes e não resistentes da estrutura é, até certo ponto, arbitrada pelo projetista da estrutura. É o caso das alvenarias de edifícios, que, em geral, são consideradas sem finalidade estrutural. No entanto, elas colaboram, muitas vezes de modo significativo, na resistência aos esforços horizontais, como os decorrentes das ações de vento. O fato de não serem consideradas no projeto como parte da estrutura facilita o cálculo e a adoção de modificações posteriores. Outra simplificação corrente é a decomposição da estrutura, de modo que suas partes possam ser estudadas separadamente. Essa decomposição pode ser "real" ou "virtual", tendo por finalidade possibilitar o emprego de métodos conhecidos e comprovadamente eficientes para o cálculo de peças estruturais isoladas. De acordo com sua natureza, os métodos oferecem diferentes graus de precisão, o que deve ser levado em consideração na decomposição. Decomposição real A estrutura é efetivamente dividida em partes, por meio de "juntas de separação" que, além de simplificar o cálculo, contribuem na diminuição da intensidade dos
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esforços decorrentes dos estados de coação da estrutura, isto é, aqueles estados cujos esforços decorrem de deformações impostas à estrutura. Em particular, como as juntas de separação atenuam os efeitos decorrentes das variações de temperatura, essas juntas são usualmente chamadas de "juntas de dilatação". Decomposição virtual A divisão é apenas para fins de cálculo, por meio de juntas virtuais, que subdividem a estrutura em partes cujo comportamento pode ser analisado isoladamente. A condição essencial nessa decomposição é garantir a compatibilidade na transmissão dos esforços entre as partes que na realidade são monolíticas.
3.5 ANÁLISE DA ESTRUTURA
Conceito: conjunto de simplificações adicionais, após a análise inicial da edificação, que visam tornar o projeto estrutural exequível, por meio de novas decomposições virtuais, subdividindo a estrutura em grupos de elementos estruturais mais simples, que possam ser tratados separadamente por modelos esquemáticos da Teoria das Estruturas.
As simplificações não devem nunca perder de vista o comportamento real da estrutura como um todo, para numa etapa posterior comprovar a adequação e-a compatibilidade dos modelos adotados na análise da estrutura. Algumas das simplificações mais comuns nos projetos de estruturas de concreto armado são: a) Uma viga pode ser calculada como contínua, admitindo-se apoios simples nos pilares. Posteriormente, deve-se considerar a ação de pórtico nas ligações viga-pilar, cujos momentos vão induzir a solicitação deflexão composta nos pilares extremos.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
b) A massa específica do concreto armadç é suposta constante e uniforme, independentemente da resistência do concreto, da natureza e da taxa de armadura da peça estrutural. Segundo a NBR 6118 —*• 8.2.2 , se a massa específica real não for conhecida, adota-se para efeito de cálculo o valor pca=2500kg/m3. c) O peso próprio de uma laje é tomado como uma carga uniformemente distribuída, atuando na superfície da laje, e de uma viga, como uma carga distribuída em linha. Dessa forma, tem-se: <* Lajes: g ~ 25h kgf/m2, sendo h a espessura da laje em cm; *** Vigas: g- = 2500 bw- h kgf/m, sendo b
a largura e h a altura da seção
transversal da viga, com valores em metros. d) A carga que uma laje aplica sobre uma viga de bordo, que lhe fornece apoio, é admitida como uniformemente distribuída.
Segundo a NBR 6118 -^ 14.2.1: "O objetivo da análise estrutural é determinares efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura". O item 14.2.2 - Premissas necessárias à análise estrutural dispõe: "A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar de maneira clara todos os caminhos delineados pelas ações até os apoios da estrutura".
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No item 14.3-Hipóteses básicas, a norma estabelece que "as condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas" e que "as equações de equilíbrio poderão serestabeíecidas com base na geometria indeformada da estrutura (teoria de 1^-ordem), exceto nos casos em que os deslocamentos alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de 2^ ordem)". Esta última é de consideração obrigatória, por exemplo, em pilares com esbeltez elevada com respeito à flambagem, como será visto no Capítulo 4 deste texto. Na análise estrutural, é importante classificar as cargas atuantes nas estruturas, associando-as aos elementos capazes de fornecer a capacidade resistente adequada: <* Cargas concentradas: devem ser resistidas preferencialmente por barras (vigas, pilares, tirantes, arcos). Podem ocorrer situações em que a laje se apoia diretamente sobre os pilares, sendo chamada de laje plana ou cogumelo. *í* Cargas distribuídas em linha: na maioria dos casos provenientes de reações das lajes nas vigas de bordo ou de paredes, devendo ser resistidas por barras. No caso de cargas de valor secundário podem ser absorvidas diretamente pelas lajes. *> Cargas distribuídas em superfície: resistidas pelas lajes, podendo ser dispostas vigas intermediárias, com o objetivo de se reduzir a espessura das lajes.
3.6 ARRANJO OU LANÇAMENTO ESTRUTURAL
Conceito: etapa do projeto estrutural em que se define a disposição das peças da estrutura, a fim de se obter seu melhor ajuste ao projeto de arquitetura, levando-se em consideração o fator económico, as facilidades construtivas e a eficiência global da edificação.
Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
Segundo Fusco (1976), a superestrutura de uma edificação se subdivide em três categorias, conforme a finalidade e a responsabilidade na segurança global da edificação: •
Estrutura terciária: tem a finalidade de suportar a aplicação direta das cargas distribuídas em superfície, sendo usualmente composta pelas lajes.
•
Estrutura secundária: confere resistência localizada às diferentes partes da construção, recebendo cargas diretas ou apenas as reações da estrutura terciária, sendo usualmente composta pelas vigas.
•
Estrutura primária: garante a resistência global da construção, sendo usualmente composta pelos pilares.
Os esquemas estruturais mais correntes no cálculo estrutural são; •
Estruturas reticuladas: constituídas pela associação de vigas, arcos, pórticos, treliças, grelhas.
•
Estruturas de superfície: constituídas por placas, chapas, cascas.
•
Estruturas tridimensionais: constituídas por blocos.
Em vista das características particulares de cada projeto, é difícil estabelecer regras genéricas para o lançamento de estruturas. Em geral, os princípios básicos para o lançamento de estruturas de concreto armado de edifícios comuns são: © Evitar que a resistência global da estrutura dependa de um número reduzido de peças e, dessa forma, que existam peças excessivamente solicitadas em relação às demais. (D Buscar o menor trajeto possível para as cargas, desde seus pontos de aplicação até os apoios externos (fundações). O ideal seria a existência de pilares em todos os cruzamentos de vigas, o que, no entanto, é de difícil obtenção na maioria dos casos.
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(D Evitar peças excessivamente delgadas, porque causam dificuldades para a disposição das armaduras, para a concretagem e para o adensamento (vibração) do concreto. ® Evitar interligar peças delgadas e espessas, a fim de prevenirzonas de transição com tensões internas elevadas, provocadas por retração e efeitos de temperatura. (D Evitar o uso de peças muito espessas, com dimensões maiores que 80 cm nas três direções, porque o elevado calor de hidratação do concreto pode provocaro aparecimento de fissuras; quando essas peças forem imprescindíveis, cuidados especiais devem ser tomados na concretagem. © O lançamento da estrutura deve contribuir para a facilidade na execução da obra, além de permitir acesso para atividades de manutenção e eventuais reparos das peças. Além dos princípios acima, são válidas para a maioria dos edifícios comuns, residenciais ou comerciais, as seguintes diretrizes práticas para o lançamento estrutural de vigas e pilares: a) Os arranjos das vigas e dos pilares devem ser tratados simultaneamente, pois são interdependentes: a disposição dos pilares condiciona o arranjo das vigas e vice-versa. b) A escolha da estrutura de um edifício de vários andares começa, em geral, pelo pavimento tipo, repetido várias vezes no projeto de um edifício de múltiplos andares. c) O arranjo estrutural tem início com a disposição do vigamento do piso, a partir da análise da situação das paredes principais e das posições possíveis dos pilares neste e em outros pavimentos. d) Ê conveniente que a posição dos pilares seja mantida nos demais pavimentos além do pavimento tipo, mesmo em pavimentos com arranjo estrutural de lajes e vigas diferente do tipo, com vistas à economia de formas, continuidade de barras dos pilares e fluxo de cargas.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
e) Quando nenhuma das soluções encontradas para a posição dos pilares nos pavimentos superiores satisfazem ao andar térreo (pilotis, lojas, etc.), sendo necessário mudar sua posição, o vigamento do teto do andar térreo deverá fornecer apoio conveniente aos pilares superiores, funcionando como estrutura de transição. f) A disposição de vigas sob as paredes principais de alvenaria é conveniente. Em cómodos com dimensões muito pequenas (2 a 5 m), pode-se dispensar algumas das vigas, ficando as paredes apoiadas diretarnente sobre a laje. Nos casos de cómodos muito grandes (salões com vãos de 6 a 8 m), pode ser necessário projetar um vigamento intermediário, ou usar laje nervurada ou mista. g) O arranjo das vigas determina os comprimentos dos bordos das lajes. Devese buscar vãos económicos (<6m), observando as características do projeto de arquitetura. h) Em vigas que se apoiam em outras vigas, esses apoios são, na realidade, deslocáveis. No caso de edifícios usuais, os deslocamentos de apoio são desprezados ou considerados apenas de modo aproximado, desde que as flechas das vigas obedeçam aos limites da NBR6118. i) Nos apoios de vigas sobre outras vigas, ocorre torção nos apoios, que pode ser de compatibilidade (secundária) ou de equilíbrio (principal). Na escolha das dimensões das seções das vigas deve-se garantir boa rigidez à flexão (altura bem maíorque a largura), para prevenírflechas e rotações excessivas. As vigas de suporte terão, assim, baixa rigidez à torção, podendo os momentos torçores serdesprezados, e com os apoios das vigas secundárias funcionando como rótulas. j) A seção transversal das vigas e dos pilares é, quase sempre, condicionada pelo projeto de arquitetura que, frequentemente, exige que as vigas e os pilares fiquem embutidos nas paredes; nesses casos, a largura da seção é definida em função da espessura acabada das paredes onde ficarão embutidos: 8 cm para paredes de 10 cm de espessura; 10 a 12 cm para paredes de 15 cm de espessura; 20 a 22 cm para paredes de 25 cm de espessura.
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k) A padronização de dimensões das seções transversais de vigas e pilares, bem como a repetição de vãos de vigas e lajes, resulta em simplificação do cálculo estrutural, economia nas formas e maior rapidez de execução. Sempre que possível, é conveniente que as vigas externas tenham a mesma espessura das internas. I) A posição dos pilares deve permitir um bom projeto de fundações, levando em conta as áreas de circulação e o tráfego de veículos nas garagens. Se possível, os eixos dos pilares devem coincidir com os cruzamentos das vigas, para menor trajeto de cargas e para evitar excentricidades iniciais de força normal que provocam flexão composta nos pilares. m) O espaçamento dos pilares define os vãos das vigas e não deve ser inferior a 3 m nem superior a 8 m, salvo em casos especiais. n) Um fator sempre preponderante nas dimensões da seção dos pilares, em especial nos pavimentos inferiores, é a observância da taxa máxima de armadura longitudinal relativa à área de concreto, p=8,0 % , daNBR6118-> 17.3.5.3.2, inclusive na região do trespasse de armaduras longitudinais dos pilares em pavimentos consecutivos.
3.7 SÍNTESE ESTRUTURAL
Conceito: etapa do projeto em que se efetua a superposição dos esforços determinados no cálculo dos elementos estruturais isolados. A estrutura retoma o carátertridimensional, pela justaposição dos elementos estruturais considerados em sua análise. Nessa fase, deve-se verificar, com o máximo rigor, a compatibilidade das decomposições e das simplificações efetuadas.
A aplicação do princípio da superposição somente é válida se a estrutura tem geometria adequada e se as peças estruturais têm resposta linear em seu con-
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
junto, isto é, se os materiais componentes dessas peças, sob cargas de serviço, trabalham no regime elástico. Um ponto importante, frequentemente negligenciado no projeto estrutural, diz respeito à não-consíderação da possibilidade de apoio de peças da estrutura, sob ação de cargas previstas, em elementos sem finalidade estrutural. Tal fato pode implicar comprometimento da funcionalidade (fissuração, desaprumo, etc.) e até colapso desses elementos, no caso de não possuírem resistência efetiva. Pode, além disso, constituir-se em problema estrutural sério, caso esses elementos resistam, de alguma forma, aos esforços introduzidos, passando a consistir em apoios não previstos no projeto.
3.8 SEGURANÇA ESTRUTURAL 3.8.1 Conceito Na engenharia estrutural, a estrutura de uma edificação é considerada segura quando atende, simultaneamente, aos seguintes requisitos: a) Mantém durante sua vida útil as características originais do projeto, a um custo razoável de execução e manutenção. b) Em condições normais de utilização, não apresenta aparência que cause inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem falsos sinais de alarme que lancem suspeitas sobre sua segurança. c) Sob utilização indevida, deve apresentar sinais visíveis - deslocamentos e fissuras - de aviso de eventuais estados de perigo.
Cabe aqui enfatizar a importância de dois conceitos que não têm merecido tratamento adequado na engenharia estrutural: vida útil e manutenção estrutural. A NBR 6118: 2003, oportunamente, trata a questão da durabilidade da edificação de um ponto de vista mais científico, mesmo que de forma ainda um
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tanto superficial. O estágio atuai de conhecimento aponta para a necessidade de estabelecimento de critérios objetivos para a definição da vida útil de uma estrutura e os níveis adequados de manutenção para sua garantia. São obrigações do profissional competente projetar e construir edificações duradouras a custos acessíveis; é também fundamental passar a considerar no Brasil, como já ocorre em muitos países, a durabilidade e a manutenção estruturai com importância compatível à dedicada ao projeto e à execução.
3.8.2 Estados limites de desempenho
Conceito: estados que definem impropriedade para o uso da estrutura, por razões de segurança, funcionalidade ou estética, desempenho fora dos padrões especificados para sua utilização normal ou interrupção de funcionamento em razão da ruína de um ou mais de seus componentes.
Os estados limites podem se referir à estrutura toda, a elementos estruturais ou a regiões locais de elementos. De acordo com a NBR 6118 -^ 10.2, devem ser considerados os estados limites últimos e de serviço:
•*• Estado Limite Último (ELU): NBR 6118 —*• 3.2.1: "Estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura". O item 10.3 da norma prescreve que "a segurança das estruturas de concreto deve sempre ser verificada, em relação aos seguintes estados limites últimos: a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido;
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais (...) admitindo-se, em geral, as verificações separadas das solicitações normais e tangenciais; todavia, quando a interação entre elas for importante, ela estará explicitamente indicada nesta Norma; c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; e) estado limite último de colapso progressivo; f) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais".
Portanto, atingido um ELU, a estrutura esgota sua capacidade resistente, e a utilização posterior da edificação só será possível após a realização de obras de reparo, reforço ou mesmo substituição da estrutura.
*í* Estado Limite de Serviço (ELS): NBR6118-M 0,4: "Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e à boa utilização funcional das mesmas, seja em relação aos usuários, seja em relação às máquinas e aos equipamentos utilizados". Atingido um ELS, a estrutura apresenta um desempenho fora dos padrões especificados para a utilização normal da edificação e/ou comportamentos inadmissíveis para a manutenção da própria estrutura, mas sem risco iminente de ruína do sistema.. Um estado limite de serviço pode se caracterizar por flechas excessivas em lajes ou vigas, fissuração inaceitável, vibração excessiva, recalques diferenciais elevados, etc.
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Alguns ELS que podem exigir verificação em estruturas de concreto armado são: a) fissuração excessiva, afetando a aparência, a durabilidade ou a estanqueidade; b) deslocamentos (flechas) ou deformações que afetem a aparência e/ou o uso efetívo da edificação ou causem danos inaceitáveis a elementos não estruturais; c) tensões de compressão no concreto excessivas, produzindo deformações irreversíveis e microfissuras que possam levar à perda de durabilidade; d) vibrações resultando em desconforto, alarme ou perda de funcionalidade.
3.8.3 Métodos de cálculo
Dimensionar uma estrutura de concreto significa definir as dimensões das peças e as armaduras correspondentes, a fim de garantir uma margem de segurança prefixada aos estados limites últimos e um comportamento adequado aos estados limites de serviço, tendo em vista os fatores condicionantes de economia e durabilidade.
Do ponto de vista da segurança, os métodos de cálculo para dimensionamento de estruturas de concreto armado podem ser classificados segundo dois critérios complementares: a) Classificação quanto aos princípios de verificação da segurança: (D Método das tensões admissíveis: a segurança é verificada pela comparação das tensões decorrentes dos carregamentos máximos com as tensões admissíveis dos materiais empregados. (D Método dos estados limites: a segurança é verificada pela comparação das solicitações, majoradas por coeficientes de segurança, com os esforços resistentes das seções calculados considerando mineração nas resistências dos materiais.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
b) Classificação quanto aos parâmetros de segurança: © Método determinístíco: os parâmetros que introduzem a segurança (na majoração de solicitações e na mineração de resistências dos materiais) são considerados grandezas fixas. (D Método probabilístico: os parâmetros de segurança são variáveis com representação estatística ou fixados por norma técnica. O método de cálculo adotado pela NBR 6118, a partir de edição de 1978, seguiu a proposta do Código-Modelo do CEB/FIP, de 1972, sendo uma combinação dos métodos anteriormente descritos a)® e b)(D e identificado como o "Método Semiprobabilístico de Estados Limites". O termo "semiprobabilístico" se justifica pela impossibilidade de dartratamento estatístico pleno a todas as grandezas de interesse para a segurança estruturai.
3.8.4 Ações e solicitações Conforme a NBR 6118, no item M.2-Ações a considerar. "Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviço". Numa estrutura em serviço, os carregamentos se traduzem em estados de tensão nas peças estruturais; considera-se que as ações são a causa e as solicitações o efeito: •
Ação: qualquer influência ou conjunto de influências (permanentes, variáveis ou acidentais, excepcionais e deslocamentos ou deformações impostas) capaz de produzir estados de tensão na estrutura.
•
Solicitação: qualquer esforço ou conjunto de esforços (força normal ou cortante, momento fletor ou torçor) decorrente das ações que atuam na estrutura.
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A complexidade na avaliação de ações em estruturas levou as normas brasileiras a dedicar um texto exclusivo ao assunto, a NBR 8681: 2003 -Ações e segurança nas estruturas, editada em conjunto com a recente NBR 6118, De acordo com essas normas (NBR 6118 -> 11.2.2), as ações classificam-se em permanentes, variáveis e excepcionais, devendo ser respeitadas nas ações a considerar as peculiaridades de cada tipo de construção e as normas a ela aplicáveis. *> As ações permanentes: "São as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante" (NBR 6118-> 11.3). As ações permanentes classificamse em: Diretas: constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (item 11.3,2). /
Indiretas: constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos, de apoio, imperfeições geométricas e pretensão, se houver (item 11.3.3).
-<* As ações variáveis classificam-se em: / Diretas: constituídas pelas cargas acidentais previstas para q uso da construção, pela ação do vento e da água e pelas ações variáveis durante a construção, supostas nas situações mais desfavoráveis,! ressalvadas, as simplificações permitidas por normas brasileiras específicas, (item 11.4.1). i/ Indiretas: constituídas pelas variações de temperatura, uniformes ou não, pelas ações dinâmicas (item 11.4.2).
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
3.9 VALORES CARACTERÍSTICOS 3.9.1 Definição
Conceito: Valor característico de uma grandeza de interesse estrutural é um valorfixado com uma certa probabilidade de não ser ultrapassado no sentido desfavorável para a segurança.
Os valores característicos são adotados por critérios estatísticos e normativos, com a finalidade de viabilizar o cálculo estrutural, em face do caráter aleatório das ações, das solicitações e das resistências dos materiais. Os valores característicos das grandezas de interesse para o projeto de estruturas de concreto são fixados com base nas expectativas das situações mais desfavoráveis que a estrutura possa passar ao longo de sua vida útil, para garantir sua segurança e funcionalidade, mas devem também guardar uma íntima relação com o comportamento real da estrutura em serviço. Para definir os valores característicos dos materiais, deve ser considerada a dispersão dos resultados dos ensaios dos materiais empregados e as características constitutivas próprias do concreto e do aço. Para os valores característicos das ações, considera-se a incerteza na precisão de seus valores, conforme a finalidade da edificação. Para as solicitações, é considerada a incerteza nos métodos de cálculo de esforços, sempre levando em conta a possibilidade de ocorrência de situações desfavoráveis.
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3.9.2 Resistência característica dos materiais 3.9.2.1 Conceito De acordo com a NBR 6118 -^ 12.2:
"Os valores característicos f. das resistências são os que, num lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido mais desfavorável para a segurança."
Esse item ainda dispõe: "Usualmente é de interesse a resistência característica inferior,^
cujo valor é menor que a resistência média,/ , embora por vezes
haja interesse na resistência característica superior,^
, cujo valore maior que
f m. Para efeitos desta Norma,' a resistência característica inferior é admitida como
J
sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material." A norma admite a hipótese de que as resistências dos materiais obtidas dos ensaios de controle possam ser representadas por uma distribuição normal do tipo Gauss. A resistência característica inferior é determinada a partir da resistência média, com um quantil de 5% da distribuição considerada, isto é, com uma probabilidade prefixada de que apenas 5% dos resultados de ensaios tenham valores abaixo do valor característico. Dessa forma, tem-se: • fm
=
valor médio da distribuição com relação à frequência de ocorrência de resultados do lote (resistência média do material à tração ou compressão)
•
s
=
desvio-padrão dos resultados de ensaio em relação ao valor médio
• fktnf
=
resiste1"10'3 característica inferior do lote de material ensaiado
Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
A partir da adoção do quantil de 5% na distribuição normal, tem-se:
/.,=/ -1,65s k,mf m
J
J
(3.1) \
}
3.9.2.2 Resistência característica do concreto à compressão A norma NBR 12655: 1996 - Concreto: preparo, controle e recebimento, prescreve em seu item 5, Responsabilidade pela composição e propriedades do concreto: "O concreto para fins estruturais deve ter definidas todas as características e propriedades de maneira explícita, antes do início das operações de concretagem. O proprietário da obra ou o responsável técnico por ele designado deve garantir o cumprimento desta Norma e manter documentação que comprove a qualidade do concreto, conforme descrito em 5.3". O item 5.1 da mesma norma estabelece as responsabilidades do profissional responsável pelo projeto estrutural, transcritas a seguir: "a) registro da resistência característica do concreto (fck) em todos os desenhos e memórias que descrevem o projeto tecnicamente; b) especificação, quando necessário, dos valores de f,
para as etapas
construtivas, tais como: retirada de cimbramento, aplicação de pretensão ou manuseio de pré-moldados; c) especificação dos requisitos correspondentes à durabilidade da estrutura e de propriedades especiais do concreto, tais como: consumo mínimo de cimento, relação água/cimento, módulo de deformação estático mínimo na idade da desforma e outras propriedades necessárias à estabilidade e durabilidade da estrutura, durante a fase construtiva e durante sua vida útil, de acordo com a NBR6118".
Portanto, cabe ao projetista estrutural estabelecer o valor da resistência característica, f. , a partir do qual deve ser fixado o valor da resistência à compressão
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média a "j" dias, ou resistência de dosagem, f
., conforme dispõe a norma
NBR 12655 -*• 6.4.3:
fJ cj-=fJ ck* + 1>65 s d, 3
(3.2)
com: f
= resistência de dosagem ou resistência média do concreto à compressão prevista para a idade de "j" dias, em MPa (NBR 6118 -> 8.2.4: "Quando não for indicada a idade, as resistências referem-se à idade de 28 dias");
$d = desvío-padrão da dosagem, em MPa. A NBR 1 2655 -> 6.4.3.1 prescreve que, quando não se determina o valor do desvio-padrão a partir de ensaios, sejam adotados valores de acordo com três condições de preparo do concreto: a melhor (condição A) aplicável a concretos com resistência à compressão até^ = 80 MPa (classe C80) e a mais precária (condição C), aplicável apenas a concretos com f. <15 MPa (classes CIO e C15):
/CondiçãoA: sd - 4,0 MPa , resultando em: fc,=fck+ 6,6 MPa /Condição B: s d = 5,5 MPa , resultando em: fc-=fck+ 9,1 MPa /Condição C: s = 7,0 MPa , resultando em: fc. =fck + 11,6 MPa Ainda segundo a NBR 1 2655, item 5.2, cabem as seguintes responsabilidades ao profissional responsável pela execução da obra: "a) escolha da modalidade de preparo do concreto; b) quando o concreto for preparado pelo executante da obra, este deve ser responsável pelas etapas de execução do concreto e pela definição da condição de preparo; c) escolha do tipo de concreto a ser empregado e sua consistência, dimensão máxima do agregado e demais propriedades, de acordo com o projeto e com as condições de aplicação;
Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
d) atendimento a todos os requisitos de projeto, inclusive quanto à escolha do tipo de cimento Portland a ser empregado; e) aceitação do concreto (NBR 12655: item 4.4); f) cuidados requeridos pelo processo construtivo e pela retirada do escoramento, levando em consideração as peculiariedades dos materiais (em particular do cimento) e as condições de temperatura".
No início da obra, devem ser estabelecidos os procedimentos para a realização do controle tecnológico do concreto, por laboratório idóneo, visando comprovar que na execução se atende o valor de resistência^, especificado no projeto. As disposições da NBR 12655 definem os valores para a formação dos lotes de concreto para amostragem, conforme a solicitação principal dos elementos da estrutura (Tabela 2): compressão ou compressão e flexão (pilares e paredes estruturais) ou flexão simples (vigas e lajes). O item 7.2.3 da NBR 12655 define dois tipos de controle da resistência: *> Controle estatístico do concreto por amostragem parcial; *> Controle do concreto por amostragem total. Para cada tipo de controle é prevista por essa norma uma forma de cálculo do valor estimado da resistência característica, •*f. ,, dos lotes de concreto,' nos cK,esl itens 7.2.3.1 e 7.2.3.2. O controle por amostragem total é mais rigoroso, sendo aplicável a critério do responsável técnico pela obra, e a resistência característica do concreto é estimada a partir de exemplares extraídos de cada amassada do concreto. Com os resultados do controle tecnológico, o laboratório fornece ao responsável técnico a resistência característica estimada do concreto para o lote estudado (fck
). Com base no item 7.2.4 da mesma norma - Aceitação ou rejeição dos
lotes de concreto,1 tem-se a aceitação automática se Jf ck,, est > f ,. y — J ck
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Em casos de rejeição do lote, sendo fck
cabe aos responsáveis pelo
projeto e pela obra definir a(s) providência(s) a se adotar no trecho da estrutura em quesesituaolote-problema, seguindo o disposto na NBR 6118 -»• 25.3- Existência de não-conformidades em obras executadas. As providências podem ser, pela ordem de aplicação: revisão do projeto, ensaios de testemunhos do concreto extraídos do lote e provas de carga. Constatada a não-conformidade final de parte ou de toda a estrutura, no item 25.3.3, a norma prescreve: "a) determinaras restrições de uso da estrutura; b) providenciar o projeto de reforço; c) decidir pela demolição parcial ou total".
É importante ter em conta que todas as ações anteriores implicam custos adicionais, não computados no custo original da edificação.
3.9.2.3 Resistência característica do concreto à traçao As determinações experimentais da resistência à traçao indireta, fc[s , e da resistência à traçao na flexão, f ,, devem ser obtidas de ensaios realizados segundo as normas NBR 7222 e NBR 12142,2 respectivamente. Aresistência à traçao indireta é feita por meio dos ensaios de compressão diametral de corpos de prova cilíndricos, internacionalmente conhecido como "método brasileiro" (ou splittingtest). A resistência do concreto à traçao direta^ pode ser considerada igua! a 0,9fcfs
ou 0,7fclf
Na falta de ensaios para a obtenção experimental de fc[s e fc , exigida só em casos especiais, a resistência à traçao do concreto pode ser obtida da correspon-
2
NBR 7222:1994 {MB-212) - Argamassa e concreto - determinação da resistência à traçao por compressão diametral de corpos de prova cillndrícos - método de ensaio, NBR 12142: 1992 - Concreto ~ determinação da resistência à traçao na flexão em corpos de prova prismáticos - método de ensaio (desenvolvido pelo engenheiro Fernando Lobo Carneiro).
Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
dente resistência característica à compressão, pelas expressões abaixo (NBR 6118—> 8.2.5), i' com J/*ctm e Jf.ck em MPa:
/„ =0,3f L2'3 J ctm * J ck f ctk,mf L~F=Q>7f *
(3.3) =0,22f ck M
(3.4)
f ctk,sup .L =l>3f , = 0>39f * fHctm * •* í2/3 ck
(3-5)'
J
ctm
J
J
3
J
J
v
Essas expressões são empregadas em diversos procedimentos de cálculo, em especial naqueles relativos às verificações ao estado limite de fissuração.
3.9.2.4 Resistência característica do aço à compressão e à traçõo Os valores característicos da resistência de escoamento, f k, da resistência à tração^íjt e da deformação na ruptura evk devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR 6152. O valor de /
para os aços sem
patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação residual convenciona] de 0,2%. As resistências características do aço à tração (f
, ) e à compressão (f
k)
são praticamente iguais, como mostram
resultados experimentais, desde que dispositivos especiais sejam usados para prevenir a flambagem da barra no ensaio à compressão (versubitem 3.11.1.3 deste capítulo). Em razão de o controle de qualidade ser rigoroso na produção do aço e as variações de resistência reduzidas, adota-se como resistência característica a tensão mínima de escoamento,/, no caso de haver ensaios de recepção, sendo aceito o valor nominal declarado pelo fabricante, em caso contrário. Dessa forma, adota-se; f
=f
= resistência característica nominal de escoamento do aço.
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3.9.3 Ações e solicitações características Conforme a finalidade da edificação e a possibilidade de situações desfavoráveis, considera-se a incerteza na estimativa de valores das ações e nos métodos de cálculo de esforços. /Ações características No estágio atua! dos conhecimentos, mesmo para as ações que, em princípio, podem ser representadas estatisticamente, não há dados experimentais suficientes para a determinação de valores característicos, com o rigor que prevê sua definição. Por essa razão, recorre-se à quantificação das ações por seus valores representativos ou nominais, a partir da análise das condições previstas para a execução e a utilização da estrutura. No Brasil, o projeto estrutural deve observar as disposições da norma específica, NBR 6120:1980 (ou N B-5)- Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. As ações variáveis podem ter seus valores reduzidos para as verificações aos estados limites de serviço, como será visto no Capítulo 8. Solicitações características São os esforços solicitantes nas peças da estrutura, calculados por modelos apropriados da Teoria da Estruturas, a partir dos valores característicos das ações. Dessa forma, a solicitação característica para uma ação genérica, F,, é expressa por: Sk = efeito de Fk
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
3.10 VALORES DE CALCULO 3.10.1
Definição
Conceito: os valores de cálculo de uma grandeza de interesse estrutural são obtidos dos valores característicos, multiplicando-os por coeficientes de ponderação, que visam prever a possibilidade de ocorrência de valores mais desfavoráveis, seja na execução ou durante a vida útil da estrutura, sob utilização nas condições previstas em projeto.
Materiais: deve ser introduzida mineração nas resistências características, prevendo a possibilidade de ocorrerem resistências ainda inferiores àsj^, em razão de problemas executivos e deficiências nos materiais constitutivos, inerentes à própria natureza das construções de concreto, e de imperfeições no controle tecnológico. Ações/solicitações: devem ser previstas majorações, para levar em conta a possibilidade de ocorrência de valores de esforços maiores que os obtidos da análise estrutural, por fatores como a imprecisão na avaliação de cargas, hipóteses aproximadas dos métodos de cálculo, imperfeições geométricas na execução das peças, em relação às dimensões originais de projeto, e outras inevitáveis imperfeições na execução.
3.10.2 Resistências de cálculo A resistência genérica de cálculo de um material é dada por (NBR 6118 -»• 12.3.1): J d ~J k' ^ m
O coeficiente de mineração genérico,é dado por (item 12.1): Y' jrt ~ Y' m J, • Yf tn2•> * Y,' m3?
^(3.6) '
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onde: v1 ml,: considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos; Jm2: considera a diferença entre a resistência obtida no corpo de prova e na estrutura; y
: considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências.
A norma expressa as resistências de cálculo dos materiais como se segue (NBR 6118-+12.3.3):
Concreto: S à compressão: v^ à tração:
(3.7)
f cd =fJ ck/Y'c
J
J til ~* tk
* c
Aço: S à compressão ou à tração: / =f k.
(3.8)
Para cálculos no estado limite último, a norma fornece os valores seguintes: Tabela 3.1 - Valores dos coeficientes y e y (NBR 6118, item 12.4.1, Tabela 12.1) Combinações
Concreto (yc)
Aço (YS)
Normais
1,4
1,15
Especiais ou de construção
1,2
1,15
Excepcionais
1,2
1,0
No mesmo item, a norma prescreve ainda aumentos eventuais nos coeficientes
Y• r e Y• ,v :
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
"Para a execução de elementos estruturais nos quais estejam previstas condições desfavoráveis (por exemplo, más condições de transporte, ou adensamento manual, ou concretagem deficiente por concentração de armadura), o coeficiente y deveser multiplicado por 1,1. Admite-se, nas obras de pequena importância, o emprego de aço CA-25 sem a realização do controle de qualidade estabelecido na NBR 7480,3 desde que o coeficiente de segurança para o aço seja multiplicado por 1,1".
Nos casos de edificações usuais, os valores mais comuns dos coeficientes de minoração das resistências dos materiais são: y' .v = 1,15 e j> c ~ 1,4 . ' '
Em certos tipos de solicitação, como torção, cisalhamento, aderência, pressão em áreas reduzidas, estados múltiplos de tensão, etc., a norma trabalha, ainda, com os valores últimos de cálculo de forças e tensões, que consistem em limites a serem verificados para as forças e as tensões atuantes, em cada caso, obtidas das solicitações máximas de cálculo. As verificações relativas aos estados limites de serviço não exigem a minoração dos coeficientes dos materiais, tornando-se y1 m = 1,0 . Como será discutido no ' Capítulo 8 deste trabalho, a suposição de que as resistências características dos materiais são as que melhor representam a estrutura sob utilização normal baseia-se no fato de que o comportamento aos ELS depende, principalmente, das propriedades médias dos materiais, sem influência significativa das variações localizadas nas características do concreto e do aço. Tendo em vista a segurança à ruptura, as variações localizadas justificam a aplicação dos coeficientes de minoração de resistências nos cálculos relativos aos ELU.
3
NBR 7480:1996 (EB-3) - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado-especificação.
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3.10.3 Ações e solicitações de cálculo Os valores de cálculo das ações genéricas, Fd, são obtidos a partir dos correspondentes valores representativos, multiplicando-os pelos coeficientes de ponderação, y Conforme a NBR 6118 -> 11.7 e justificado na NBR 8681: 2003 -Ações e segurança nas estruturas, item 4.2.3.1, esse coeficiente de segurança j . deve ser desdobrado em coeficientes parciais, que "possam ser discriminados em função de peculiaridades dos diferentes tipos de estruturas e de materiais de construção considerados":
(3.9)
onde: y
: considera a variabilidade das ações;
y _ : considera a simultaneidade de atuação das ações, para verificações nos ELS; y
.A*
: considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas construtivos, seja por deficiência do método de cálculo.
Para cálculos no estado limite último, segundo o item citado da norma NBR 8681: , que assume os valores
2003, adota-se o coeficiente de segurança y , da tabela seguinte:
Tabela 3.2 - Valores do coeficiente ff-yfl- Jfl (NBR 6118, Tabela 11.1 - modificada)
Combinações de ações
Permanentes
Variáveis
\i(Yg/)
(Y,)
Recalques de apoio e retração
D®
F
G
T
D
F
Normais
1,4
1,0
1,4
1,2
1,2
0
Especiais ou de construção
1,3
1,0
1,2
1,0
1,2
0
Excepcionais
1,2
1,0
1,0
0
0
0
Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária í1' Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moídadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
Ainda pela NBR 8681: 2003, item 4.2.3.1: "o índice do coeficiente y. pode ser alterado para identificara ação considerada, resultando os símbolos y , y , y , y , respectivamente, para as ações permanentes, para as ações diretas variáveis, para a pretensão e para os efeitos de deformações impostas (ações indiretas)". A NBR 611 8 -> 11.8.1 determina que "um carregamento é definido pela combinação das ações que têm possibilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido". Para os ELU, o subitem 11.8.2.4 apresenta, na Tabela 11.3, expressões gerais para as combinações últimas usuais das ações. Considerando as estruturas de concreto armado de edificações comuns, a combinação última oriunda da tabela citada pode ser escrita na seguinte forma simplificada: d
'g
L.
gfc
'q
,
qk
'e
i
£K
(3-10) \
onde: F
k
= ações permanentes diretas (peso próprio, equipamentos fixos);
F
k
= ações variáveis diretas (sobrecargas de utilização);
F
k
= ações indiretas em razão de deformações impostas à estrutura (variações de temperatura, retração, recalques de apoio, etc.).
y , y , JE ~ coeficientes de ponderação da ação considerada, da Tabela 3.2, anterior.
Na expressão (3.10), buscam-se as situações mais desfavoráveis, que conduzam a valores máximos das solicitações de cálculo das seções. É o caso de o peso próprio ser uma ação com efeito favorável à segurança da estrutura, em que se deve tomar o coeficiente y =1,0.
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*t* Solicitações de cálculo Segundo a NBR 8681: 2003- Ações e segurança nas estruturas, item 5.1.2.1, sendo o cálculo dos esforços feito em regime elástico linear, uma determinada solicitação de cálculo produzida por uma ação característica genérica, Fk, è expressa por:
Sd = yfSk - y (esforço devido a F^
(3.11)
Para cálculos no estado limite último de estruturas comuns de concreto armado, em geral, os esforços de cálculo são obtidos diretamente da multiplicação dos esforços característicos das ações permanentes e variáveis pelo coeficiente yf— 1,4, e expressos na forma seguinte:
(3.12)
Admite-se, dessa forma, que a passagem da estrutura ao ELU ocorra em um regime linear, com um acréscimo de 40% nos esforços solicitantes de serviço. Para as verificações aos estados limites de serviço, não é exigida a majoração das solicitações, ou seja, toma-se j = 1,0, pelas razões descritas no final do item anterior 3.9. Como será visto no Capítulo 8, os valores de cálculo das solicitações para os estados limites de serviço são os característicos, podendo até se tomar valores inferiores, para solicitações causadas por ações variáveis de diferentes origens e probabilidade reduzida de ocorrência simultânea.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
3.11 MATERIAIS CONSTITUTIVOS 3.11.1 Aços para concreto armado 3.11.1.1 Características principais
O item 8.3.1 da NBR 6118 estabelece: "Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 7480, com o valor característico da resistência de escoamento nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60". A norma citada (NBR 7480:1996 - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado-especificação) apresenta a seguinte classificação quanto ao processo de fabricação e o valor característico da resistência de escoamento ( f.):
Barras produtos de diâmetro nominal ou bitola > 5, #777772, obtidos exclusivamente por laminação a quente. As propriedades físicas são introduzidas no processo de laminação, em decorrência da composição química (teor de ferro e carbono). São denominados aços de dureza natural ou ctoces e considerados de alta ductilídade. >• Categorias CA-25 (f
= 250 MPa) e CA-50 (f
= 500 MPa).
<* Fios produtos de diâmetro nominal < 10 mm, obtidos por trefílaçao ou processo equivalente. As propriedades físicas são resultantes do processo de laminação do aço e de sua composição química e de um posterior tratamento mecânico, a baixas temperaturas (torção, trefilação, etc.). São denominados aços encruados e de ductilidade normal. > Categoria CA-60 (f
= 600 MPa).
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Na notação brasileira, o prefixo CA abrevia apôs para Concreto Armado, com o número na sequência indicando a resistência característica de escoamento,/ ou /, em kgf/mm2. Quanto às propriedades mecânicas de tração, a NBR 7480 estabelece que a resistência característica de escoamento das barras de aço é obtida do diagrama tensão-deformação (cr - e) dos ensaios à tração, tomada como a tensão correspondente ao patamar de escoamento. Para os aços sem patamar de escoamento, a resistência de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação residual ou permanente de 0,2 %. Nas edições anteriores à norma NBR 7480/96 e da NBR 6118, os aços com e sem patamar de escoamento eram classificados como classes Ae B, respectivamente, notação que prevaleceu por muito tempo no Brasil. A NBR 7480:1996 não usa mais as letras A ou B para a categoria do aço. A utilização do aço classificado como CA-50B era bastante frequente e, dessa forma, deve-se ter atenção nas] verificações do cálculo de estruturas existentes construídas com esse tipo aço, pois o diagrama de cálculo (cr- e) apresentava peculiariedades que afeíavar o cálculo, em especial das peças fletidas. A seguir apresentam-se algumas considerações práticas sobre os aços fabricados no Brasil, extraídas da NBR 7480 e NBR 6118 -> 8.3: a) O aço da categoria CA-50 é usado em todos os tipos de armadura, longitudinal ou estribos. O aço CA-60 é empregado apenas na armadura longitudinal de lajes e nos estribos de vigas e pilares, sendo que, no caso de estribos, como será visto adiante, não resulta em economia, apesar de sua maior resistência característica. O aço CA-25 é de emprego limitado apenas a pequenas obras. b) Os aços CA-25 e CA-50 são fornecidos em bitolas de 5 mm a 40 mm (barras). O CA-25 é produzido em barras com superfície iisa e o CA-50 em barras com saliências na superfície, denominadas "mossas", que têm a finalidade de melhorar, mecanicamente, a aderência aço-concreto, necessária pela maior resistência desse aço.
Capitulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
c) Os aços CA-60 são fornecidos na forma de fios com entalhes na superfície e bitolas de 2,4 mm a /#/77m(verTabela 4.1, ao final do Capítulo 4, que apresenta as bitolas padronizadas da norma NBR 7480). d) As barras comerciais são fornecidas em feixes ou em rolos, com comprimentos de até 11 m, com tolerância de 9%. Sob encomenda, podem ser fornecidas barras de até 26 m de comprimento, com aumento médio de preço de 15%, bem como diâmetros nominais diferentes podem ser produzidos a pedido do consumidor, e) A NBR 7480 exige a identificação obrigatória das barras com bitola CP> 10 mm, feita porlaminação em relevo ao longo da superfície, com espaçamento não inferior a 2 m, indicando o fabricante e a classe do aço. A identificação de barras com bitola 0 < 10 mm ê feita pela pintura de suas extremidades, de acordo com um código de cores da norma (por exemplo: CA-60, cor azul, CA50, branca). f) Os aços encruados por processo a frio não devem sofrer emendas por solda, pois o aquecimento das barras pode provocar a perda das propriedades mecânicas obtidas com o tratamento mecânico a baixas temperaturas. g) Permite-se o emprego simultâneo de diferentes categorias de aço em uma mesma peça, desde que uma delas seja usada na armadura principal e outra apenas nas armaduras secundárias. h) O valor da massa específica do aço de armadura passiva (qualquer categoria) pode ser admitido igual a 7850 kg/m3. Í) O valor do coeficiente de dilatação térmica do aço pode ser admitido igual a 10~5 °C~l, para intervalos de temperatura entre 20 e 150 °C. j) O valor do módulo de elasticidade do aço, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa.
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3,11.1.2 Áços com patamar de escoamento definido (CA-25 e CA-50) Os aços classificados como de dureza natural devem apresentar no diagrama tensão x deformação (a x e), obtido de ensaios de barras à tração ou compressão, um patamar de escoamento bem definido, como mostrado na Figura 3.2, a seguir. A inclinação da reta na origem é aproximadamente constante para os três tipos de aço normatizados. A tangente do ângulo a é denominada módulo de elasticidade ou de Young, tendo o seu valor estabelecido pela NBR 6118 -*• 8.3.5: £ = 2,lxlQ5 MPa = 210 GPa.
diagrama característico fyk
diagrama de cálculo f yd
-T
-y-d=2,lxl05 MPa
V
v
10 %o
Figura 3.2 - Diagrama tensão x deformação de aços CA-25 e CA-50 (dureza natural)
As deformações específicas do aço por unidade de comprimento são números adimensionais, expressos na notação mm/m ou simplesmente %o, por questão de comodidade para se tratar com números muito pequenos. Por exemplo, a deformação específica de escoamento de cálculo, s „ do aço CA-50 é igual a 0,00207 e é expressa como 2,07 %o. Isto significa que uma barra desse aço
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
com comprimento de 1,0 metro deve escoar quando for atingida uma deformação de 2,07 mm. A deformação específica do aço é limitada, ao final do patamar de escoamento, pelo valor convencional máximo 10 %o, para evitara ocorrência de deformações plásticas excessivas de armaduras tracionadas no estado limite último. Os aços brasileiros para concreto armado têm, no entanto, deformações de ruptura muito superiores ao valor convencional. O aço CA-50, por exemplo, pode ultrapassar 100 %o (ou 10%) de deformação específica de ruptura, com variação substancial no valor máximo atingido, em função do diâmetro da barra. É importante destacar que na maior parte dos ensaios à tração de amostras de aço, realizados no Laboratório de Ensaios de Materiais do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da UnB, constatou-se que as barras de aços classificados como CA-50 com diâmetro (Cp) inferior a 12,5 mm não apresentam, em geral, patamar de escoamento definido no diagrama a - e, fato também observado em ensaios em outros centros de pesquisa no Brasil. Esse patamar, na realidade, apresenta-se, deforma nítida, apenas nas barras com 0>10mm.
3.11.1.3 Aços sem patamar de escoamento definido (CÁ-60) Para os aços sujeitos ao processo de encruamento a frio, as propriedades físicas são alteradas e o diagrama tensão x deformação, obtido de ensaios de barras à tração, não apresenta patamar de escoamento definido. Após um trecho inicial linear, que se estende até um valor da tensão chamado de limite de proporcionalidade, o diagrama torna-se uma curva, como mostra a Figura 3.3. O alongamento máximo é também limitado ao valor 10 %0, para evitar deformações plásticas excessivas na ruptura.
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1 00
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diagrama de ensaio à tração fyk J fy*
296o
10%0
Figura 3.3 - Diagrama tensão x deformação de aços CA-60 (encruados)
Para os aços sem um patamar de escoamento definido, a NBR 6118: 2003, no item 8.3.6, estabelece a tensão de escoamento convencional,/^, como a ordenada correspondente ao ponto de cruzamento da curva a-e com uma reta paralela à reta de origem, traçada a partirdaabcissadeO,2% (ou2%o). Esse valor é a deformação específica residual ou permanente medida no ensaio de uma barra à tração em que a carga aplicada volta a zero.
3.11.1.4 Diagrama simplificado de cálculo para aços CA-25, CA-5Q e CA-60 A NBR 6118 -+ 8,3.6 apresenta para cálculos nos estados limites de serviço e último um diagrama simplificado de cálculo tensão x deformação, mostrado na Figura 3.4, a seguir, válido para os aços com ousem patamar de escoamento, no intervalo de temperatura entre 20 e 150 °C, e que pode ser aplicado para ambos os tipos de tensões, tração e compressão. Pelo disposto no diagrama simplificado de cálculo da norma, para todos os aços brasileiros para concreto armado, valem as expressões a seguir:
cr s = E c . 8s *para O—< es —< syd , cr s =/J
yd
,
para eyd,<£ < l O %c — s—
f
(3.13)
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
diagrama característico diagrama de. cálculo
fana = E =
yd
~ 2,lxl05MPa = 2.100 GPa
10 96o
v
Figura 3.4 - Diagrama cr - e simplificado de cálculo para aços CA-25, CA-50 e CA-60
A Tabela 3.3 apresenta os valores das grandezas relativas às propriedades de interesse no projeto estrutural, em que foi utilizado o coeficiente de minoração fs ~ A •/j.
Tabela 3.3 - Propriedades mecânicas dos aços para concreto armado
Aço
ffiWPa)
/ , = /y;,;5 J
yd
-1 yk
'
B,,,
f'yd (MPa)
(%«)
CA-25
250
217
1,035
217
CA-50
500
435
2,070
420
CA-60
600
522
2,484
420
A última coluna da direita da tabela mostra valores da tensão /'
rrfl
que representa
a resistência máxima de cálculo de armaduras de aço comprimidas em peças de concreto armado. Esses valores correspondem à deformação específica de esmagamento do concreto à compressão axial, fixada por norma em 2%o. Essa
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limitação é indispensável, pois as barras de aço, isoladamente, não garantem a capacidade resistente da peça de concreto armado, no caso de o concreto entrar em processo de esmagamento por compressão. É uma disposição que se impõe, por exemplo, no cálculo da armadura longitudinal comprimida de pilares, como será visto no Capítulo 4. A Tabela 3.3 foi construída com o valor usual do coeficiente de minoração da resistência do aço, y =1,15, Para valores diferentes, as resistências e as deformações das tabelas deverão ser recalculadas. É o caso, por exemplo, do emprego de aço CA-25 sem a realização do controle de qualidade, em obras de pequena importância, em que se exige que o coeficiente de minoração do aço seja multiplicado por l,l, como prescreve a NBR 6118, item 12.4.1.
3.11.2 Concreto 3.11.2.1 Características Os dispositivos da norma NBR 6118 (item 8.2.1) se aplicam a concretos compreendidos nas classes de resistência até C50 (/ = 50 MPa), do grupo l da norma NBR 8953: 1992 - Concreto para fins estruturais: classificação por grupos de resistência. A seguir apresentam-se algumas considerações práticas sobre o concreto utilizado no Brasil, extraídas da NBR 6118 -^ 8.2: a) O valor mínimo da resistência característica à compressão para concretos apenas com armadura passiva, isto é, para estruturas de concreto armado, éfck = 20 MPa (classe C20). Essa resistência mínima adotada a partir da NBR 6118: 2003 é um avanço com relação aos baixos valores tradicionalmente usados nas obras no Brasil. O uso de concretos com resistências mais elevadas é uma tendência irreversível, pois, além de representar economia nos volumes de concreto e aço, significa maior durabilidade da estrutura.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
b) Para concretos com armadura ativa, estruturas de concreto protendido, o valor mínimo é 25 MPa(C\asse C25). A Classe Cl 5 pode ser usada apenas em fundações e em obras provisórias. c) A norma aplica-se a concretos de massa específica normal, isto é, concretos que, depois de secos em estufa, apresentam uma massa específica (p) entre 2000 kg/m3 e 2800 kg/m3. d) Em casos de não serem realizados ensaios, para efeito de cálculo, pode-se adotar para o concreto simples p = 2400 kg/m3 e para o concreto armado p = 2500 kg/m3. e) A norma estabelece, de forma implícita, parâmetros para a taxa volumétrica das armaduras de aço em estruturas de concreto armado, ao declarar: "Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se considerar para valor da massa específica do concreto armado aquela do concreto simples acrescida de 100 a 150 kg/m3". f) O valor do coeficiente de dilatação térmica do concreto pode ser admitido igual a IO'5 °C~}, para efeito de análise estrutural.
3.11.2.2 Diagrama tensão-deformaçÕo do concreto à compressão O diagrama a - 8 obtido de ensaios à compressão de corpos de prova cilíndricos de concreto não apresenta trecho linear, conforme mostra a Figura 3.5 (a), a seguir. Os concretos de resistência mais alta apresentam uma inclinação mais acentuada no início da curva, mas verifica-se experimentalmente ser aproximadamente constante o valor da deformação específica correspondente à tensão máxima, em torno de 2 mm/m (2%o), que é adotado como o encurtamento de ruptura do concreto sob compressão uniaxial.
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ruptura à compressão axial
ruptura à flexão
simples
0,85 f.cd
0,3 f
2 %o = 2 mm/m a) Diagrama de ensaios à compressão
2%0
3,5%
b) Diagrama a - 6 idealizado
Figura 3.5 - Diagramas tensão x deformação do concreto à compressão
A Figura 3.5 (b) mostra o diagrama tensão-deformação "idealizado"Kçrevisto peia norma, para análises no estado limite último. Para o cálculo de elementos de concreto armado no regime elástico, é necessário estabelecer o conceito de módulo de elasticidade ou de deformação do concreto, mesmo não havendo trecho perfeitamente linear no diagramaCT- s. Segundo a NBR 6118 -* 8.2.10.1: "Para tensões de compressão menores que 0,5 fc, pode se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão constante em 8.2.8". A determinação experimental do módulo de deformação do concreto é prevista em norma específica, a NBR 8522:1994 : Concreto-Determinação do módulo de deformação estática e diagrama tensão-deformação — Método de ensaio. Segundo essa norma, considera-se para o concreto o "módulo de deformação tangente inicial corda! a 30%fc, ou outra tensão especificada em projeto". Na falta de determinação experimental e não existindo dados precisos sobre a resistência do concreto a 28 dias, as normas internacionais apresentam
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
expressões, de caráter empírico, para estimativa do módulo de elasticidade do concreto, em função da resistência à compressão. Pela NBR 6118 -> 8.2.8, o módulo de elasticidade tangente inicial do concreto é estimado pela expressão seguinte, com / e E
{
na unidade MPa:
E 4 = 5600 f a" MPa
(3.14)
Para fins de análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e para a verificação dos estados limites de serviço, pode ser adotado o chamado módulo de elasticidade secante, à compressão e à tração, multiplicando por 0,85 o módulo tangente da expressão (3.14). Esse módulo secante é considerado, portanto, um valor representativo para as tensões atuantes em serviço, na maioria das estruturas;
E = 0,85 E . - 4760 f . J/2 MPa CS
'
C!
J CK
(3.15) \
No diagrama idealizado tensão-deformação de cálculo do concreto à compressão, mostrado na Figura 3.5 (b), usualmente chamado diagrama parábola-retângulo, o valor de uma tensão genérica de compressão no concreto, < j , no trecho parabólico do diagrama é estipulado na NBR 6118 -> 8.2.10.1 pela expressão:
a c = 0,85 f^ [l-(l- ee/0,002)'J
(3.16)
O coeficiente de redução 0,85, aplicado sobre a resistência à compressão de cálculo, f ,, na expressão (3.16) visa estabelecer a tensão máxima de compressão do concreto que leve em conta as ações de longa duração atuando na estrutura. O coeficiente 0,85 considera três fatores: a) A diminuição de resistência do concreto quando sujeito à ação de cargas de longa duração. Ensaios com cargas aplicadas de forma lenta mostram que, em média, as resistências obtidas são 25% menores que às dos ensaios usuais, de curta duração.
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b) O aumento da resistência do concreto após os 28 dias, prazo*em que se considera ter sido atingida a resistência máxima do concreto. Entretanto, na realidade, a resistência continua crescendo, podendo alcançar valores até 20% superiores, em média, após um ano. c) Diferenças nas propriedades do concreto da estrutura com relação ao moldado nos corpos de prova. Ensaios demonstram que corpos de prova mais esbeltos que os cilíndricos usuais, de dimensões 15 x 30 cm, apresentam uma diminuição média de 5% nas resistências à compressão. O coeficiente resultante da influência dos três fatores citados, que ficou conhecida como efeito Rusch, pesquisador alemão que a enunciou, é obtido pelo produto de três fatores:
0,85 = 0,75 x 1,20x0,95
(3.17)
3.11.2.3 Deformações do concreto As deformações do concreto estrutural, desde o momento de sua moldagem e após solicitação, podem ser classificadas em dois grupos: / Próprias ou autógenas: ocorrem mesmo antes da retirada do escoramento da estrutura e de sua entrada em carga, em virtude das características de porosidade e permeabilidade do material. É o caso das deformações de retração e térmicas. S Deformações sob carga: produzidas após a retirada do escoramento da estrutura e sua entrada em carga, compreendendo as deformações imediata e lenta. Esta última ocorre ao longo do tempo, sendo também denominada "fluência".
A seguir, serão apresentadas algumas considerações sucintas sobre essas deformações, cujo estudo é bastante complexo, apenas como informação de carater inicial:
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
a) Retração
Conceito: fenómeno de variação espontânea de volume das peças de concreto, em razão da estrutura interna porosa e da ação de forças capilares. É um processo acentuado nas primeiras idades, tendendo a se estabilizar após meses ou mesmo anos, em função defatores diversos-ambientais, de execução e dimensionais.
Nas peças com cura do concreto ao ar livre, a retração pode ter três causas distintas: <* Retração química, de secagem ou primária: Resulta da contração das partículas do gel, camada que se forma em torno dos grãos de cimento, na reação com a água durante o processo de hidratação. A reação é exotérmica, podendo a temperatura no interior do concreto ser superior à externa, fato marcante em obras de concreto massa, comum em barragens de concreto. <* Retração de evaporação: Decorre da evaporação, por capilaridade, da parte da água de amassamento excedente àquela para hidratação do cimento, necessária para dar trabalhabilidade ao concreto. <* Retração de carbonatação ou secundária: Ocorre em ambientes com alto teor de dióxido de carbono (CO2), como garagens e estacionamentos, em presença de umidade, com a carbonatação dos produtos decorrentes da hidratação do cimento.
A retração é analisada pela NBR6118->8.2.11, cuja Tabela 8.1 fornece valores para a deformação específica de retração do concreto, s (t , t ), em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2A /u, onde A
é a área da
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seção transversal e ti é o perímetro dessa seção em contato com a atmosfera. Os termos (t , t ) representam, respectivamente, a idade do concreto com a retração já estabilizada, em tempo infinito, e à época de introdução do primeiro carregamento. Segundo a norma: "Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 e 20°C, admitindo-se, entretanto, temperaturas entre O e 40°C".
£=2
r\ . vA
P
/ . v•
a •
L*
- nf
t
M
" 17
i
. v• V
es oo
a
^
A
' V
- L-
*
' £7
tempo t tempo a
&,
. v-
o
Diagrama de evolução da retração do concreto com a idade
tempo t~°° (l a 3 anos)
Figura 3.6 - Deformação do concreto por retração (o índice "s" refere-se ao termo em inglês: shrínkage]
Da Tabela 8.1, e como expressa o diagrama da Figura 3.6 (b), os valores do encurtamento específico de retração, após a estabilização no tempo °°, a serem considerados nas peças estruturais de concreto armado, variam entre os extremos: e
= -0,08 %o => umídade = 90%; espessura equivalente = 20 cm, to = 20 dias
8
= -0,44 %Q sumidade = 40%; espessura equivalente -20cm', to = 5 dias.
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
Os fatores principais que influenciam a retraçao são: consumo de cimento; finura do cimento; fator água/cimento; adensamento e cura do concreto; dimensões da peça; disposição das armaduras; gradiente de temperatura interna externa; umidade relativa do ar; variações de temperatura; intensidade do vento.
As fissuras no concreto em virtude da retraçao têm como características: •
Pouca profundidade, uniforme em toda a sua extensão.
-
Estabilizam-se rapidamente quando não associadas a outros fatores.
-
Em peças laminares, as fissuras apresentam o aspecto de uma malha ou mapa, cortando-se em ângulos de aproximadamente 90°.
•
Em peças alongadas, ou barras, as fissuras têm espaçamento aproximadamente uniforme ao longo da peça.
b) Deformações térmicas As variações de temperatura atuam de forma permanente nas estruturas, provocando nas peças: encurtamentos - com as diminuições de temperatura - e alongamentos, com os aumentos. Se as deformações térmicas são restringidas pelos vínculos existentes na estrutura, nela são introduzidas: tensões de tração, se encurtamentos são restringidos, e tensões de compressão, para alongamentos restringidos. A consideração dos efeitos de temperatura nas estruturas de concreto é complexa, envolvendo muitos fatores, tais como a variação não uniforme de temperatura, a vinculação efetiva entre as peças, diferenças nos vãos e seções transversais, etc. Uma vantagem essencial da associação concreto-aço é o fato de os materiais apresentarem valores bastante próximos para o coeficiente de dilatação térmica linear (10 ~5oC~J*), o que vem minimizar as tensões térmicas internas entre os materiais.
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A NBR 6118 -» 11.4.2.1 admite que "a variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões das peças que a compõem," No caso mais geral para estruturas usuais, para peças cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, a norma dispõe que deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de ±10 a 15°C. Aedição de 1978 da NBR 6118, em seu item 3.1.14, apresentava uma disposição que dispensava o cálculo de esforços em razão das variações de temperatura em estruturas cuja dimensão máxima em planta não superasse 30 m e em estruturas permanentemente envolvidas por terra ou água. Tal disposição não consta da nova edição, no item 11.4.2.1, que prescreve apenas: "Em edifícios de vários andares devem ser respeitadas as exigências construtivas prescritas por esta Norma para que sejam minimizados os efeitos das variações de temperatura sobre a estrutura da construção". A dimensão máxima de 30 m era questionada por especialistas, como, por exemplo, J.C. Sussekind, no livro Curso de concreto, vol.1 (1980): "É excessivamente simplista (e errado) afirmar-se que, limitada a 30 m a distância entre juntas de dilatação de uma estrutura, a mesma estará livre de esforços elevados oriundos de deformações impostas". A crítica é pertinente e indica que o espaçamento das juntas de dilatação exige uma análise mais acurada pelo projetista no lançamento estrutural, para seu correio posicionamento. Em estruturas hiperestáticas, mesmo obedecidas as exigências de norma, se o "núcleo rígido" da estrutura, cuja inércia pode ser considerada infinita (composto, em geral, por caixas de escadas e poços de elevadores), não coincide com o centro de dilatação da estrutura, elevados deslocamentos podem ser impostos à estrutura, principalmente aos pilares periféricos. Dessa forma, é recomendável, nesses casos, posicionar o núcleo rígido o mais próximo possível do centro do prédio, em planta, a fim de reduzir as deformações impostas por variações de temperatura. Vale ainda acrescentar que as deformações de retração se superpõem
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
111
às de temperatura. No caso de se considerar o encurtamento máximo de retração da norma antes descrito, eCS,oo = 0,44%o ~ 44 x 10~3, ele equivale a uma '
diminuição uniforme de temperatura de 44°C \s deformações absolutas oriundas das variações de temperat
determinantes para o espaçamento das juntas de dilatação, podem ser estimadas pela expressão: A/«etí/
(3.18)
onde: / = distância do centro de dilatação da estrutura à seção considerada; e = a At = deformação específica axial em virtude de uma variação uniforme de temperatura de At °C, sendo o coeficiente de dilatação térmica linear do concreto armado tomado como a.^,—10' 5 °C~i. CA
As tensões de origem térmica, se restringidas, podem provocar fissuração prematura do concreto. No caso, por exemplo, de uma viga biengastada de concreto armado, com a resistência do concreto fck = 20 MPa, submetida a uma redução uniforme de temperatura de 10°C, o encurtamento do concreto em virtude da variação de temperatura seria:
e cí = a At = IO'5 . 10 = IO'4 = 0,1%*. Da expressão (3.15), calcula-se Ec~21300 MPa, com o qual se obtém a tensão de tração no concreto em virtude da variação de temperatura, admitindo a estrutura em regime elástico, na forma seguinte: ac/ =Ec. ecl — 2,13 MPa. Da expressão (3.4), obtém-se resistência à tração do concreto: A =/ ,*• ,= 0,22 f t2/3 = 1,55 MPa J ik J ctk,mf ' J ck '
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João Carlos Teatini de Souza Climaco
Sendo a tensão de tração a superior à resistência característica do concreto à tração, podem aparecer fissuras na peça. Isso vai depender, também, de outros aspectos do dimensionamento, como a rigidez relativa das peças, a disposição de armaduras e a qualidade da execução. c) Deformação lenta ou fluência Ao se retirar o escoramento, a estrutura entra em carga e ocorre uma deformação imediata inicial das peças, de natureza elástica. Com o aumento da idade, as deformações no concreto continuam a crescer, mesmo sob um estado de cargas constante. Esse fenómeno é conhecido como deformação lenta ou fluência, associado à natureza do material, com uma elevada presença de vazios no interior do concreto. A deformação final da peça será, portanto, a soma das deformações imediata, e , e lenta da fluência, ecc, que tende a se estabilizar após um período de alguns anos, num valor 6CC,
CO
, conforme mostra a Figura 3.7 (o índice "c"
refere-se ao termo fluência em inglês: creep).
P \
/\
D
S
A
. •4 ,
P
Q
D
^
-4
b- '
tempo moldagem
p
CO
x^
' -4 ,
S
•
cc \
Tfc
f
•
1=1
•
J7
Q
D
Coo
'
fc- '
a • .
•4
CO
D
tempo
t- '
fc- '
t = to retirada do escoramento
tempo t> to
(=00 to t Diagrama de deformações imediata e lenta (fluência) do concreto com a idade
Figura 3.7 - Deformação imediata e fluência do concreto
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
Os principais fatores de maior influência no valor da deformação lenta são: a idade do concreto quando da aplicação da carga, a umidade relativa do ar e as dimensões relativas das peças. Afluência é também abordada pela NBR6118 no item 8.2.11, com a Tabela 8.1 fornecendo valores para o coeficiente de fluência (p (t
, t^), em função da umidade ambiente e da espessura equiva-
lente 2Ae/n, onde Ác é a área da seção transversal e w é o seu perímetro em coníato com a atmosfera. A consideração da fluência no cálculo de flechas é obrigatória, obtendo-se por processo aproximado a denominada "flecha diferida", decorrente das cargas de longa duração (item 17.3.2.1.2) associadas às ações permanentes na estrutura. A flecha diferida da fluência é obtida multiplicando-se a flecha imediata do cálculo elástico por um coeficiente que leva em conta o aumento do encurtamento do concreto com o tempo e a consequente alteração na curvatura das peças fletidas. ATabela 17.1 do item citado indica para concretos com idade igual ou superior a 70 meses (5, 8 anos) um fator multiplicador da flecha imediata igual a 2,0. A consideração incorreta desse efeito é, muitas vezes, responsável por sérios problemas estruturais e de funcionalidade da edificação, como, por exemplo, o apoio de elementos estruturais em peças não resistentes, tema que será visto no Capítulo 8.
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3.12 AUTO-AVALIAÇÃO 3.12.1 Enunciados 1. Para os valores da deformação específica e = 1,5 mm/m e 2,1 mm/m, determinaras tensões correspondentes para barras de aços CA-25, CA-50 e CA-60, a partir dos respectivos diagramas idealizados de cálculo da NBR 6118, e verificar a situação dessas barras quanto ao escoamento. 2. Para os valores da tensão a s =400; 500 e 600 MPa, determinaras valores das deformações específicas correspondentes, a partir dos diagramas idealizados de cálculo dos aços CA-50 e CA-60. 3. Para uma barra de aço com bitola 0 = 20 mm, submetida a uma força de tração de 100 kN, determinar a deformação específica correspondente para os aços CA-50, CA-60 e CA-25. 4. Para uma barra de aço com bitola 0 = 12,5 mm, submetida a uma força de tração de 25 kN,determinar a deformação específica correspondente para o aço CA-25, usado em obra de pequena importância, sem a realização do controle de qualidade. 5. Repetir o exercício 3, tomando as barras de aço com bitolas 0 (mm) = 10; 12,5; 16; 22; 25; 32 e 40, para o aço CA-50. 6. O projeto estrutural de uma obra especificou o concreto da classe C-20. Durante a concretagem de um pavimento constatou-se uma alteração significativa na umidade dos agregados, sendo obtido o valor ^fckesi = 17 MPa. Que providências devem ser tomadas em relação à parte já concretada? 7. Numa obra projetada com fck ~ 25 MPa, foram ensaiados os corpos de prova dos exemplares de um lote de 50 m3 de concreto, sendo obtidos os seguintes resultados individuais da resistência à compressão do concreto (em MPa): 30; 25; 25; 27; 22,5; 28; 26; 28; 29; 32; 33; 24 e 29.
Determinar o valor de f.
esí
segundo o controle estatístico por amostragem
parcial da NBR 12655: 1996,
Capítulo 3 - Fundamentos do projeto de estruturas de concreto armado
8. Segundo dados do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da UnB, para um volume de concreto estrutural de 97.000 m3/mês lançado nas obras no Distrito Federal, no ano de 2004, foram ensaiados 8.900 corpos de prova, pelos laboratórios de controle tecnológico em atividade. Calcular a percentagem do concreto estrutural que passou porefetivo controle de aceitação naquele ano, segundo o controle estatístico por amostragem total da norma NBR12655:1996.
3.12.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Para cada categoria de aço, enquadrar as deformações dadas em um dos trechos, linear elástico ou patamar de escoamento, do diagrama de cálculo a s - es da Figura 3.4,' conforme os valores da Tabela 3.3. Obter as tensões ^ no aço de uma das expressões (3.13). 2. Enquadrar as tensões dadas em um dos trechos do diagrama de cálculo da Figura 3.4, conforme o aço e os respectivos valores da Tabela 3.3. Observar que os aços podem não conseguir atingir alguns dos valores da tensão. Obter as deformações específicas a partir de uma das expressões (3.13). 3. Calcular, inicialmente, a tensão na barra. Se o valor for inferior ao da tensão de escoamento de cálculo do aço, da Tabela 3.3, obter a deformação específica da primeira das expressões (3.13). Se a tensão for superior, significa que o aço não alcança a força aplicada para a bitola dada, 4. Similar ao exercício 3. No caso do CA-25 em obra de pequena importância e sem controle de qualidade, do último parágrafo do item 3.11.1.4-Capítulo 3, fazer a alteração do coeficiente de mineração da resistência do aço, y , e as consequentes mudanças nos valores da tensão e da deformação de escoamento de cálculo do aço da Tabela 3.3. 5. Calcular as tensões correspondentes a cada bitola. A área da seção de cada bitola pode ser obtida diretamente da Tabela 4.4 - Capítulo 4. Determinar as deformações específicas como no exercício 3.
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6. Ver o item 3.11.2, alínea a) e a parte final do item 3.9.2.2 - Capítulo 3, .
referente à Aceitação ou rejeição dos lotes de concreto.
7. Ver o item 3.9.2.2 - Capítulo 3 e a norma NBR 12655: 1996- Concreto: preparo, controle e recebimento, item 7.2.3, no que se refere ao controle da resistência do concreto. 8. Vero item 7.2.3 da NBR 12655. Supor todo o concreto produzido por centrais (do volume mensal do DF, cerca de 2/3 vêm de centrais de concreto, sendo o restante moldado nas próprias obras, em geral de pequeno porte. A preferência pelo concreto usinado é um fato recente, em virtude do custo acessível-pela forte concorrência no setor-, da melhor qualidade do material e das áreas reduzidas dos canteiros de obras). O controle por amostragem total (100%) prevê o ensaio de exemplares de cada amassada, no caso um caminhão betoneira, com capacidade usual de 8,0 m3. Em geral, moldam-se quatro corpos de prova (CPs) por caminhão, sendo dois rompidos aos sete e dois aos 28 dias.
•^SWSíSBHI
Capítulo 4 CALCULO DE PILARES • ; -À COMPRESSÃO CENTRADA H.1 4.2 4.3
4.4 4.5
^PPWP^
4.6 4.7
Objetivos f; x Conceitos preliminares Pilares curtos e medianamente esbeltos: processo aproximado Cálculo de pilares à compressão centrada Prescrições da NBR 6118: 2003 Exemplos Auto-avaliação
Cálculo de pilares à compressão centrada 4.1 OBJETIVOS
Conceito: pilares são elementos lineares de eixo reto, em geral verticais, em que as forças normais de compressão são preponderantes e que têm a função de transmitir às fundações as ações atuantes na estrutura.
Conforme descrito no item 3.6 do Capítulo 3, os pilares são classificados como parte da estrutura primária da superestrutura de uma edificação, essencial à sua segurança global. Nos pilares usuais de edifícios, predominam a força normal e o momento fletor, denominados "solicitações normais" por induzirem tensões normais à seção transversal da peça. De acordo com a consideração, ou não, do momento fletor no cálculo, tem-se a classificação: *> Compressão centrada, axial ou simples: quando apenas forças normais paralelas ao eixo longitudinal - solicitam o pilar, podendo ser desprezados os momentos fletores. *> Flexão composta: quando a força normal e o momento fletor atuam conjuntamente. De acordo com a natureza das tensões normais na seção, pode ser denominada flexocompressão ou flexotração. Considerando, ainda, os momentos fletores atuantes em relação aos eixos principais de inércia da seção transversal, a flexão composta pode ser classificada em: ^ Flexão composta plana, normal ou reta: os momentos fletores atuam segundo apenas um dos eixos principais da seção.
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Flexão composta oblíqua: os momentos fletores atuam nos dois eixos principais.
y traço do plano solicitante
Figura 4.1 - Seção retangular sob flexão composta oblíqua
No caso geral de pilares de edifícios, se levadas em conta todas as simplificações e os desvios associados ao projeto e à execução, a flexão composta predomina de forma absoluta. Com o refinamento dos métodos de cálculo e maior arrojo das edificações, as normas internacionais passaram a exigir que o cálculo de pilares fosse sempre feito à flexão composta, com a consideração, em peças mais esbeltas, dos chamados "efeitos de 2^ ordem", em que o equilíbrio é analisado a partir da configuração deformada das peças estruturais. A norma brasileira NBR 6118, a partir da edição de 1978, passou também a adotar esse procedimento. No entanto, em face da grande complexidade do problema, que em certos casos exige, ainda, a consideração da fluência do concreto, as normas permitem que, sob condições estabelecidas, possam ser adotadas determinadas simplificações de cálculo. Entre essas destacam-se: não-consideração dos efeitos de 2- ordem em situações mais favoráveis; decomposição da flexão composta oblíqua em duas flexões compostas planas relativas aos eixos principais da seção; cálculo da seção considerando uma única flexão composta plana e cálculo simplificado do pilar à compressão centrada. A alternativa do cálculo simplificado à compressão centrada, como será discutido no presente capítulo, é de rara ocorrência na prática e permitida apenas em
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
situações bastante favoráveis. No entanto, seu estudo é de interesse para introduzir as disposições de norma sobre o cálculo de pilares, além de ser um procedimento previsto em várias normas como método para a determinação do limite inferior da área da armadura longitudinal de pilares. Do conteúdo deste capítulo, espera-se que o leitor adquira um entendimento satisfatório sobre os seguintes pontos: a) Disposição e finalidade das armaduras longitudinal e transversal em pilares de concreto armado. b) Características principais dos pilares das estruturas de edifícios. c) Noções básicas do fenómeno da flambagem de pilares de concreto armado. d) Visão geral das diversas situações de cálculo de pilares de concreto armado. e) Procedimentos para o cálculo simplificado de pilares à compressão centrada: situações possíveis e disposições da NBR 6118. f) Prescrições da norma sobre dimensões da seção transversal de concreto, arranjo das armaduras longitudinal e transversal, taxas mínima e máxima de armadura em pilares simples e principais disposições construtivas visando à durabilidade.
4.2 CONCEITOS PRELIMINARES 4.2.1 Disposição e finalidade das armaduras Nos pilares de concreto armado, as armaduras são dispostas nas direções longitudinal e transversal ao seu eixo, com diferentes finalidades. A Figura 4.2, a seguir, mostra a disposição das armaduras de um pilar de concreto armado, no trecho entre dois pisos, em um corte longitudinal e na seção transversal, sendo: A' : área das seções das barras da armadura longitudinal comprimida; A' : área comprimida de concreto. Na prática, salvo casos especiais, é tomada igual à área da seção transversal do pilar, sem descontar a área da armadura A' .
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trespasse com ancoragem reta
laje m viga
armadura longitudinal: • 6 barras retas de diâmetro
a v-
- armadura fransversal de estribos: diâmetro e espaçamento s. Seção . transversal (corte aã)
Corte longitudinal Figura 4.2 -Armaduras em pilares de concreto armado
<* Armadura longitudinal (principal) Constituída por barras de aço retas, paralelas ao eixo longitudinal do pilar, tem a função de resistirás tensões de compressão, em colaboração com o concreto, permitindo, com isso, a redução das dimensões da seção transversal, em virtude da maior resistência do aço. Para o aço CA-50, de uso mais comum, a resistência de escoamento, / = 500 MPa, é cerca de 25 vezes a resistência mínima à compressão do concreto, f. = 20 MPa, estabe/ec/da
para
estruturas de concreto armado pela NBR6118: 2003. Nos pilares sob flexão composta, a armadura longitudinal pode trabalhar toda comprimida ou uma parte comprimida e outra tracionada. As barras retas estendem-se em todo o comprimento do pilar, sendo prolongadas acima da face superior da viga/laje que sustenta, trecho chamado de espera ou arranque, necessário para fazer a emenda por trespasse à barra correspondente do pilar superior, a fim de garantir o caráter monolítico da peça (ver Figura 4.2).
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
<* Armadura transversal (estribos) - Gònstituíba pof barrás'transversaís ao eixo do pilar, dobradas na forma de estribos fechados, com a função de evitar a flambagem das barras longitudinais e manter sua posição durante a concretagem. A versão anterior da norma (NB-1/78) continha também disposições sobre os chamados pilares cintados, nos quais o espaçamento reduzido entre os estribos da armadura transversal (s < 8 cm) aumenta a capacidade resistente da peça à força normal, efeito decorrente do confinamento ou da restrição das deformações laterais do concreto do núcleo do pilar. Entretanto, a consideração desse efeito não está mais prevista na edição 2003 da norma, o que, em princípio, deveria implicar a sua não-utílização. No entanto, o cintamento é um recurso ainda bastante utilizado no reforço de pilares com resistência deficiente. Na técnica de reforço estrutural com mantas flexíveis de polímero reforçado com fibras (FRP), inclusive, o processo de cálculo da capacidade resistente de pilares reforçados tem por base o cintamento do concreto do núcleo, pela restrição às deformações laterais fornecida pelas mantas de reforço.
4.2.2 Pilares de estruturas usuais de edifícios O item 14.6.7 da NBR 6118 - Estruturas usuais de edifícios-aproxímações permitidas admite o estudo das cargas verticais utilizando o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, com a exigência das seguintes correções adicionais: a) Nos vãos das vigas, os momentos positivos não podem ser menores que os obtidos do cálculo supondo engastamento perfeito da viga nos apoios internos. b) Para uma viga solidária com o pilar intermediário, se a largura do apoio medida na direção do eixo da viga for maior que 1/4 da altura do pilar, o valor absoluto do momento negativo não pode ser menor que o de engastamento perfeito nesse apoio.
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João Carlos Teatini de Souza Ctímaco
c) Quando não se fizer o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, do efeito de pórtico, deverão ser considerados nos apoios extremos - na viga e nos iramos superior e inferior do pilar — valores de momentos fletores obtidos multiplicando o momento de engastamento perfeito do vão extremo da viga, suposto biengastado, pelas expressões a seguir. Os coeficientes multiplicadores visam equilibrar os três momentos no apoio, por meio de uma ponderação das rigidezes (/-, = /,/£,) das três barras que constituem o nó do pórtico. Sendo no vão extremo da viga o momento de engastamento perfeito M
, tem-se:
>• Momento na viga: M vig. —M eng.(r..+ r sup )/( r . + r.tnf.+ r sup)/ a ^ mf ' ^ vig >~ Momento no tramo superior do rpilar: Msup ~Meng .r sup / ^~(r vig, +r.,+ rsup J) r tnf >• Momento no tramo inferior do1 pilar: M. ,=M mj eng
, mj r.,/(/'. + mj r., + sup r ^- vig
J
Da alínea c) das correções previstas pela norma, fica claro que é exigida apenas nos pilares extremos a consideração obrigatória dos momentos fletores, calculados por processo aproximado com o auxílio das expressões acima. Dessa forma, pode-se entender, também, como uma outra aproximação permitida em estruturas usuais de edifícios a não-obrigatoriedade da consideração dos momentos fletores transmitidos pela vigas aos pilares intermediários. Essa mesma disposição era expressa, só que de maneira direta, na norma NB-1/78, item 3.2.3: "Os pilares intermediários poderão ser calculados sem consideração de momentos fletores a eles transmitidos pelas vigas". A Figura 4.3, a seguir, mostra uma planta de quatro lajes (L1 a L4). As linhas cheias representam os eixos das vigas (V1 a V6), todas elas contínuas de dois vãos (a e b). Nos cruzamentos das vigas, os pontos cheios representam os eixos dos pilares de apoio (P1 a P9).
)
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
Pilar intermediário (P5): - -1
s
T/; Via
r
v; VlbA
V2b
\
\N
n
iT
Compressão
\
axial, ou centrada
'^do g ©
^
pilar Pilares extremos - direção x (P4eP6):
V2a
>
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P/Í
W --4^: A|>M
y
/"~\ (H)
^
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Í
^
H
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V3a
V3b
to- T
composta plana
Pilares extremos - direção y /P7 o PJÇlFlexão composta plana ^
Pilares de canto (PI, P3, P7, P9):FlexSo composta oblíqua (momentos Mc e My) Figura 4.3 - Situações para cálculo de pilares de estruturas usuais de edifícios
Supondo cada pilar da Figura 4.3 com o eixo alinhado no cruzamento dos eixos das vigas que suporta e conforme sua posição relativa, os pilares podem ser classificados em: *> Pilar intermediário: o cálculo pode ser feito sem considerar os momentos fletores transmitidos pelas vigas. *> Pilar extremo: é obrigatório considerar o momento transmitido pelo vão extremo da viga nele apoiada. O cálculo à flexão composta plana pode ser substituído pelo processo simplificado à compressão centrada, atendidas certas condições. <* Pilar de canto: cálculo à flexão composta oblíqua.
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No presente capítulo, será abordado apenas o cálculo simplificado de pilares à compressão centrada da NBR 6118, possível sob condições específicas. No exemplo da Figura 4.3, esse tipo de cálculo seria permitido para o pilar intermediário, P5, e pilares extremos, P2, P4, P6 e P8. Para os pilares de canto, P1, P3, P7 e P9, é obrigatório o cálculo à flexão composta oblíqua. Conforme comentado, o cálculo à compressão centrada é um caso raro na prática, mas de interesse didático, para se introduzir o estudo de pilares de concreto armado. Esse cálculo é previsto em algumas normas para se estabelecer o limite inferior da armadura longitudinal de pilares.
4.2.3 Noções básicas de flambagem Conceito: flambagem é um fenómeno de instabilidade de equilíbrio, que pode provocar a ruptura de uma peça com a compressão predominante, antes de se esgotar a sua capacidade resistente à compressão.
Aflambagem de um pilaré um efeito de 2^ ordem, que, segundo a NBR 6118-> 15.2: "são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada." 0 parâmetro adotado como referência para a consideração dos efeitos da flambagem é o índice de esbeltez, Ã, definido na forma seguinte:
! = / / / com i = (I/A)1/2 onde: /
= comprimento de flambagem do pilar;
1
= raio de giração da seção em relação a um eixo baricêntrico;
(4.1)
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
/
= momento de inércia da seção em relação ao mesmo eixo;
A = areada seção transversal.
Comprimento de flambagem ou comprimento equivalente (/J Segundo a NBR 6118 -> 15.4.2: "As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos, e, por decorrência, os efeitos globais de 2- ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1- ordem). Aiém disso, no item 15.6, a norma dispõe: "Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1^ ordem". Segundo essa teoria, o equilíbrio da estrutura é estudado a partir da configuração geométrica inicial, isto é, sem considerar a deformação das peças sob carga. O comprimento de flambagem, 1QÍ de um pilar vinculado nas extremidades deve ser o menor dos seguintes valores (ver Figura 4.4):
(4'2) onde: /
= distância entre as faces internas dos elementos vinculados ao pilar;
h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; /
= distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.
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r
viga
-i-Corte longitudinal
-í 3<
Figura 4.4 - Comprimento de flambagem de pilar vinculado nas extremidades
Para outras condições de vínculos nas extremidades de pilares de concreto armado, sendo / a distância de centro a centro das vigas entre as quais se situa o pilar, o comprimento de flambagem pode assumir outros valores, conforme mostra a Figura 4.5, a seguir. A opção no cálculo por uma das quatro alternativas mostra-
das na figura deve se justificada de forma consistente, conforme a rigidez relativa
*9
do pilar e das vigas de extremidade.
te
/
Figura 4.5 - Comprimentos de flambagem para várias condições de apoio
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
<* Raio de giração O maior risco de flambagem de um pilar está associado à rotação da seção transversal em relação ao eixo de momento de inércia mínimo, isto é, o eixo para o qual se obtém o valor de A
. Denomina-se "direção de maior esbeltez"
da seção do pilar a direção perpendicular ao eixo que fornece o valor/ .; o eixo 1, no caso da Figura 4.6. Dá-se o nome "plano de flambagem" ao plano que contém o eixo longitudinal reto do pilar e o mesmo eixo curvo após flambagem; é o plano perpendicular à seção da Figura 4.6 e contém o eixo 1.
eixo dapeça indeformada ( eixo de inércia mínima: /l max 2 \ máximo de flambagem em l torno deste eixo
...
rã comprimida
No caso particular de pilares de seção retangular, sendo b e h as dimensões menoremaiorda seção, respectivamente, o índice de esbeltez À
é dado pela
expressão (4.3):
(4.3)
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1 30
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Quando um pilar está submetido apenas a uma força normal axial N, de valor crescente, sem restrições aos deslocamentos transversais, o fenómeno da instabilidade de equilíbrio por "flambagem" ocorre quando a força atinge um valor crítico, conhecido como "força ou carga de Euler", dada pela expressão (4.4). Denomina-se Teoria de 2^ Ordem â análise estrutural que considera o efeito das deformações de flambagem, que causam a ampliação dos momentos fletores solicitantes, calculados a partir da configuração indeformada da peça.
N N-,Euler =7i2EI/l
a,
(4.4) ^ '
a Força Normal x Deslocamento
N Figura 4.7 - Flambagem de pilar sob força normal axial
A edição anterior da norma, NB-1/78, dispunha, entre seus critérios de segurança (item 5,1), que: "Quando for determinada díretamente a solicitação de flambagem, admite-se que há segurança se essa solicitação não é inferior a 3 vezes a solicitação correspondente à ação característica". Portanto, por esse critério, deve ser: N
p , Euler
> 3 N,. Essa disposição não consta da NBR 6118: 2003,' k r y
provavelmente em virtude do maior rigor da nova versão na análise dos efeitos de 2- ordem. No entanto, trata-se de uma informação relevante e de interesse prático.
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
4.2.4 Considerações sobre a flambagem de pilares de concreto armado
Os pilares de concreto armado, mesmo aqueles com elevados índices de esbeltez, Á, não estão sujeitos à flambagem propriamente dita, como ocorre com os pilares metálicos. Os momentos atuantes nos extremos dos pilares, causados pelas diversas excentricidades existentes (acidental ou de execução; inicial da força normal excêntrica; transmitida pelas vigas; oriundas de efeitos de 2a ordem e da fluência do concreto), bem como das restrições nas ligações fazem com que prevaleça a ruptura por flexão composta, com o esmagamento do concreto e/ou escoamento do aço. Assim, nos pilares de concreto armado, o essencial é garantir a dutilidade da peça para evitar ruptura frágil. Apesar de inadequada, a expressão "verificação à flambagem" será utilizada neste texto, pelo uso comum na prática. Segundo NBR 6118 ~> 15.8.2, os esforços locais de 2^-ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez, Ã, calculado da expressão (4.1), for menor que um valor limite À j , dado pela expressão (4.5). Esse índice limite Aydepende da excentricidade relativa de bordem, expressa no termo e;//7, da vinculação dos extremos da coluna isolada e do diagrama de momentos de Bordem no pilar, traçado a partir das equações de equilíbrio com a geometria indeformada da estrutura, expressos no termo ab. A consideração da flambagem em pilares de concreto armado pode ser dispensada quando;
25 + 12,5 e, /h à *Ãj =
com
—-i ab
35 í l, ^ 90
O termo a, é dado pela NBR 6118 -> 15.8.2, alíneas a) a d), como segue:
(4.5)
131
132
João Carlos Teàtihi de Souza Clímaco
a) Para pilares biapoiados sem cargas transversais: ^ l, O > ab=0,60+0,40MB/MÁ >0,40^> momentos de 1^ ordem nos extremos do pilar: MAéo maior dos dois momentos em valor absoluto; MB: positivo se traciona a mesma face de MA e negativo caso contrário (ver Figura 4.8). b) Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:
*+ ab = 1,0 c) Para pilares em balanço: ^ 1,0 >ab = 0,80 + 0,20MC/MA > 0,85 => MÃ: momento de is ordem no engaste; MC: momento de bordem no meio do pilarem balanço. d) Para pilares biapoiados com momentos menores que o momento mínimo de 1* ordem, da NBR 6118 -> 11.3.3.4.3:
^ ccô = 1,0, sendo h a dimensão da seção na direção da excentricidade e} da força normal N, o momento mínimo da norma é dado por:
M,, . = TV,d (0,015 + 0,03h) dl,mm * J - s \( h em metros) J l
U-
& 'i
MA
i l i l i l
• 1
MA eMB ; tracionam j a mesma '. face
\Ã i eMB
t
r> ^_
M~
\ tracionam i faces l opostas i i/ MT>
\
(4.6)
Influência dos sentidos dos momentos fletores de l"ordem nos extremos depilares biapoiados: caso a) situação mais desfavorável quanto à flambagem: ambos os momentos tracionam a mesma face do pilar; caso b) situação mais favorável: momentos tracionam faces opostas do pilar, com menores deslocamentos da seção cenfral.
b)
Figura 4.8 - Efeito dos momentos nos extremos do pilar
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
4.2.5
Disposições para o cálculo de pilares desprezando os efeitos de 2- ordem (flambagem)
© Pilares intermediários de edifícios Não é obrigatório considerar os momentos fletores transmitidos pelas vigas. Tem-se, portanto, a situação da alínea d) da NBR 6118 -> 15.8.2, descrita anteriormente, com o^ = 1,0. Assim, da expressão (4.5), tem-se:
35 < (À,l = 25 + 12,5e1/h) £ 90
(4.7)
No caso de haver momentos causados por excentricidades iniciais de força normal deslocada em relação ao eixo do pilar, a análise deve ser feita considerando a alínea a) do item 1 5,8.2 da norma. Pilares extremos de edifícios É obrigatória a consideração dos momentos transmitidos pelas vigas, valendo, então, as alíneas a) a c) do item 15.8.2. No caso de haver momentos causados por excentricidades iniciais de forças normais, eles vão se sobrepor aos momentos das vigas. A excentricidade mínima de 1$ ordem da força normal, e
, proveniente de
imperfeições geométricas do eixo do pilar na estrutura descarregada, produzidas por desvios de execução, é obtida da Expressão (4.6), na forma;
c . = 1,5 + õ,03h (h em centímetros)
(4.8)
Os pilares intermediários e extremos que se enquadram na desigualdade da expressão (4.5) são classificados como curtos (A<35) ou medianamente esbeltos (35 < À < 90} e podem ser calculados sem considerar as deformações provenientes da flambagem. Portanto, no cálculo de pilares de concreto armado, os seguintes limites devem ser observados conforme o índicedeesbeltez(NBR6118-> 15.8.1 a 15.8.3):
133
1 34
João Carlos Teatini de Souza Climaco
a) À < 35
=> Pilares curtos: pode-se desprezar no cálculo o efeito das deformações de 2^ ordem, ou seja, a possibilidade de flambagem;
b) 35 < A < 90 => Pilares medianamente esbeltos: as deformações de 2^ ordem podem ou não ser desprezadas, dependendo da desigualdade À < À' c) 90 < Ã < 200 => Pilares esbeltos: consideração obrigatória do efeito das deformações de 2- ordem e da fluência do concreto. *+*
A > 90
=> consideração obrigatória da fluência
^ Ã > 140 => obrigatório o método não-linear geral, com a consideração da relação momento-curvatura real em cada seção. Nos casos a) e b), o pilar pode ser dimensionado apenas com os momentos de is ordem, ou seja, com os diagramas da estrutura indeformada. Esse cálculo pode ser substituído, conforme a NBR 6118 -*• 17.2.5.1, por um processo aproximado de compressão centrada equivalente, para seções retangulares ou circulares com armadura simétrica, como será visto adiante.
4.2.6 Comentários gerais sobre o cálculo de pilares de concreto armado a) Na maioria dos edifícios usuais, sendo o concreto moldado in loco, podese considerar as estruturas como constituídas por pórticos índeslocáveis, ou seja, com nós fixos. Nas construções pré-moldadas, é comum ser necessário considerar os pórticos deslocáveis. b) Na maioria dos casos de estruturas usuais, os pilares são medianamente esbeltos. O uso de pilares esbeltos conduz a excesso de armação, sendo antieconômicos e de concretagem difícil. Os pilares esbeltos ocorrem, principalmente, por exigência de pé-direito maior, em edifícios industriais ou em projetos especiais de arquítetura.
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
c) A estabilidade horizontal das estruturas de edifícios é garantida pelo contraventamento, que consiste em sub-estruturas que, pela sua grande rigidez a ações horizontais, restringem os deslocamentos provocados por essas ações na estrutura. O contraventamento de estruturas usuais é fornecido por lajes, caixas de elevadores e escadas, paredes estruturais e alvenarias. Os elementos que não contribuem para o contraventamento são ditos "contraventados". Nas estruturas recentes, com a tendência de redução do número de vigas, aumento dos vãos dos painéis de lajes e substituição de paredes de alvenaria por esquadrias ou divisórias, cresce a importância da verificação da estabilidade horizontal.
4.3
PILARES CURTOS E MEDIANAMENTE ESBELTOS: PROCESSO APROXIMADO
4.3.1 Disposições da NBR 6118 Conforme antes mencionado, a NBR 611 8 -> 17.2. 5.1 admite um processo aproximado à compressão centrada equivalente, como uma opção ao cálculo à flexão composta, para pilares curtos e medianamente esbeltos com seções retangularés ou circulares e armadura simétrica que se enquadrem na expressão (4.5), desde que a força normal reduzida de cálculo, v, obedeça ao limite seguinte:
fcd)^0,7
(4.9)
onde: NSd = força normal solicitante de cálculo na seção; A3 /
= área da seção transversal de concreto comprimido; , = resistência de cálculo do concreto à compressão.
A força normal característica, Nk(ou simplesmente N), soma das reações das vigas no pilar, obtidas do cálculo estático da estrutura e acumuladas dos pavimentos superiores, é majorada para se obter a força de cálculo, Nsd = /, Nk. No cálculo simplificado à compressão centrada equivalente, Nsd é majorada adicionalmente,
135
136
João Carlos Teatini de Souza CEimaco
por um coeficiente simbolizado neste texto como 7 , com o qual se obtém a força normal equivalente:N_, = r' u N~. = 'ru 'Y fN. y ^ Sd,eq Sd f k
Planta de Formas (trechos):
Situações de cálculo:
1 laje
laje
pilar intermediário vfg7. '// laje
normal: $6
J
fz
h
laje
viga
essão 1L N& 11
>
b) Compressão centrada equivalente:
\ laje
pilar extremo viga
'
//
/%
gZ
Figura 4.9 - Processo aproximado para cálculo de pilares à compressão centrada equivalente
O coeficiente de majoração / é função da excentricidade de 1- ordem, e}, medida na mesma direção da dimensão h da seção, e do parâmetro P relacionado à disposição das armaduras na seção transversal, pela expressão seguinte:
y,
=l+P(es/h)
(4.10)
Para pilares intermediários de edifícios, conforme o item 4.2.2, no cálculo de y não é obrigatório consideraras excentricidades associadas aos momentos transmitidos pelas vigas. No entanto, mesmo com a força normal axial, devem ser consideradas as imperfeições geométricas da execução da estrutura, conforme o item 11.3.3.4 da norma, exigindo que na "verificação de um lance de pilar, deve ser
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar". Essa excentricidade, usualmente denominada "acidental", desse item da norma e da expressão (4.8), é dada por:
ea = 1/400 > elm.n = 1,5 + 0,03h (em centímetros)
(4.11)
Para pilares extremos, é obrigatória a consideração da excentricidade de 12. ordem da força normal, oriunda do momento transmitido pela viga, Msd, e dada por el — MSd/Nsd, Na edição anterior da norma, NB-1/78, o cálculo era mais conservador, com a soma da excentricidade acidentai, tomada no sentido mais desfavorável, à de 1^ ordem. A excentricidade total da força normal seria: e = e + e . Essa exigência não prevaleceu na NBR 6118: 2003. O parâmetro/?da expressão (4.10) relaciona-se à posição das barras longitudinais na seção transversal, majorando a excentricidade relativa e/h e sendo dado pela NBR 6118-M7.2.5.1 na forma seguinte: B=
(0,39 -f- 0}01 a) - 0,8d7h
(4.12)
onde: d' = distância do centro de gravidade da armadura à borda paralela mais próxima; a - parâmetro que depende do arranjo das barras longitudinais simétricas na seção, como mostra o exemplo da Figura 4.10. É definido a partir da razão a do número de barras dispostas nas bordas paralelas aos lados b e h da seção, pela expressão (4.13). Essa expressão foi ligeiramente modificada em sua forma, com relação à do item 17.2.5.1 da norma, para um melhor entendimento. Q numerador indica o número de barras que efetivamente contribuem no combate ao momento Msd, relativo à excentricidade e}jí na direção principal paralela ao lado h.
137
138
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
***• para seçoes transversais retangulares: => a = -l/a
s
se a
n b — número de barras da área A1s nas bordas paralelas ao lado b
QM u l
S —
0
=> a= as
^ a= 6
se as > l
se as > 6
h
*t* para seçoes circulares: => a~-4
A
{^ O
t W
&
^ ÍV ® f
•^Yyrf
3/ /
U
\v
\* ^\ ^^^
®^
3| G J e — ~* /y D \j\fv, Q /,
5
x
ex
/
~*
(j}}
à'] ~~ e> o r o G -cmm
nft ~ número de
barras da área Á1s nas bordas paralelas ao lado h
H—
Figura 4.10 -Arranjo das armaduras na seção transversal, que define o parâmetro a O objetívo dos parâmetros a e d'/h é condicionar um arranjo de barras longitudinais na seção mais adequado aos efeitos da solicitação de flexão. No entanto, esses parâmetros não são conhecidos no início do cálculo, pois o arranjo das barras na seção só pode ser definido após o cálculo da área de aço. A disposição das barras deve ser compatível com os valores pressupostos, inicialmente, para a e d', para evitar que se altere o /? inicial e se tenha de refazer o cálculo. No caso da disposição de barras do exemplo da Figura 4.10, obtém-se, da expressão (4.13), o valor: a = (n b - l)/(n
h
-1) = (4-7)7(7-7) = 0,5.
Dos limites impostos após a expressão (4.13) resulta, então, a = -2 para as< L A distância d' = c nom + 0 t + 0/2 depende da espessura do cobrimento nominal ' r de concreto das armaduras, dos diâmetros dos estribos,
Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
atendem à maioria dos casos da prática, tem-se d3 = 25 + 5 +20/2 = 40 mm (classe l). Considerando o arranjo de armaduras da Figura 4.10, em que a = -2, fazendo d' = 40 mm e tomando para o lado h da seção os valores 12 cm (mínimo do item 4.5.1, a seguir) e 100 cm (a título de exemplo), a distância relativa d'/h irá variar entre 4/12 = 0,30 e4/100 — 0,04. Entrando com esses valores na expressão (4.12), tem-se:
/3= II{[0,39 + 0,01 (-2)] -0,8. 0,3} = 7,69 e fl= l /{[0,39 + 0,01 (-2)] - 0,8. 0,04} = 2,96 Portanto, da Figura 4.10, das expressões (4.10) a (4.13) e do exemplo acima, pode-se concluir: a) A distância relativa d7h tem grande influência sobre o parâmetro /?. Quanto maior dVh, maior será fl e o coeficiente / , da expressão (4.10). b) Nas seções retangulares, quanto maior for o número de barras dispostas junto às bordas solicitadas pelo efeito exclusivo do momento fletor, Msd, mais alto será o valor de «(limitado a oc=6). Como esse arranjo é favorável no combate à flexão, o valor do parâmetro/ídiminui e, em consequência, o coeficiente de majoração y . No caso da seção da Figura 4.10, se considerada a flexão relativa à excentricidade na direção principal paralela ao lado b, da expressão (4.13), seria: a= (nh - l)/(nb -7) = (7-l)/(4~l) =2 e a = as=2. Para as mesmas distâncias relativas dVh anteriores, 0,3 e 0,04, a expressão (4.12) resultaria nos valores de /? = 5,88 e 2,65. c) Nas seções circulares, quadradas ou retangulares próximas à quadrada, a definição prévia da direção mais desfavorável quanto à flexão, no que tange principalmente à excentricidade acidental, pode ser complexa. Por essa razão, as expressões citadas resultam em valores mais altos do parâmetro/?e do coeficiente r' a.
139
140
João Carlos Teatíní de Souza Clímaco
Para pilares intermediários, em que não se consideram os momentos das vigas, o maior valor do coeficiente 7 é obtido para a excentricidade acidental mais desfavorável, ou seja, na direção principal paralela a b, sendo b < h. Para pilares extremos sob flexão composta plana oriunda dos momentos transmitidos pelas vigas, deve ser pesquisada a direção mais desfavorável, //ou b, que vai fornecer o maior valor do coeficiente adicional 7 , para aplicar no cálculo simplificado à compressão centrada equivalente. O exemplo do item seguinte pode ajudar a entender melhor a questão.
4.3.2 Exemplo Determinar a força normal para o cálculo simplificado à compressão centrada equivalente de um pilar intermediário curto de seção retangular 20 x 40 cm2, com armadura longitudinal constituída por 6020 (seis barras de diâmetro 20 mm), dispostas na seção transversal conforme a figura, para uma força normal N.K = 600 kN e concreto com resistência f CK, — 20 MPa. J
40cm
a) Parâmetros da seção transversal
=f,/l,4~14,3MPa;
II 20cn}
A* c ~ 20 x 40 = 800 cm2 -* área da seção de concreto; Y f—1,4 (menor dimensão da seção > 19 cm => item 4.5.1 - Dimensões .mínimas), b) Verificação do valor da força norma] reduzida (v) Q processo aproximado previsto na NBR 6118 -+ 17.2.5-1, conforme a expressão (4.9), só pode ser aplicado quando v ^ 0,7, como a seguir se verifica:
v =NSd /(A'efJ
= It4x 60000/(800x 143) = 0,73 > 0,7 => OK
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
c) Cálculo do coeficiente de majoração adicional 7 , para o cálculo simplificado Denominando b = 20 cm, a menor dimensão da seção, e h — 40 cm, a maior, o cálculo deve serfeito nas duas direções principais na seção, paralelas aos dois lados. (D Cálculo para a excentricidade na direção principal paralela à menor dimensão, b = 20 cm: Excentricidade na direção paralela ao lado b, da expressão (4.11):
e = e]b= 1,5 + 0,03 x b = 1,5 + 0,03 x 20 = 2,1 cm =>eb/b = 2,1/20 = 0,105 Observação: o enunciado não forneceu o comprimento / do pilar, necessário para se obter o valor ea~ 1/400, da expressão (4.11). Esse valor, na realidade, só vai prevalecer para pilares com pé-direito muito elevados. Por exemplo, para a menor dimensão da seção admitida pela norma, 12 cm, tem-se elb = 1,5 + 0,03 x 12 =1,86 cm', esse valor só seria superado pelo 1/400 em pilares com / > 400 x 1,86 = 7,44 m. Da expressão (4.13): a= (nh - l)/(nb -1) = (3-7)7(2-7) = 2 => ex = ay = 2. Como mostrado no item anterior, para um pilar de estrutura de edifício urbano usual, com agressividade ambiental fraca, com d' = 40 mm, tem-se:
J3 = l / [(0,39 + 0,01 x 2) - 0,8. 0,2] = l / 0,25 = 4,0
Da expressão (4.10): /j( = l +/3(e}/h ) = l + 4x 0,105 = 1,42 (D Cálculo para a excentricidade na direção principal paralela à maiordimensão,
h = 40 cm: Excentricidade na direção paralela ao lado h, da expressão (4.11):
eh = e}h = 1,5 + 0,03xh=l,5 + 0,03x40=2}7cm^e/h = 2,7/40 = 0,068 Da expressão (4.13): a= (nb- l)/(n h -7) = (2-7)7(5-7) = 0,5 => a^-2 para a < l
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João Carlos Teatini de Souza Ctímaco
Com d1 = 40 mmt tem-se: / ? = - / / { [ 0,39 + 0,01 x (-2)] - Q,8.(4,0 / 40)} = l / 0,29 « 3,45 Da expressão (4.10): ju = l + p(e}/h) = l 4- 3,45x0,068 = 1,23 Dos cálculos nas situações ( D e ® , vê-se que a condição mais desfavorável, como era previsto, ocorre para a excentricidade considerada na direção principal paralela à menor dimensão da seção, ou seja, para a situação ©, com a qual se obtém: / w = 1,42. d) Força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada: Nsd,eq =
/„ YfNk
= 1>42 x 1'4 x 60° = 1>" x 60° = L194 m
4.4 CÁLCULO DE PILARES À COMPRESSÃO CENTRADA 4.4.1 Hipóteses básicas As hipóteses prescritas na NBR 6118 -M 7.2.2, para elementos lineares sujeitos a solicitações normais no estado limite último, no caso de pilares à compressão centrada, são: a) A resistência máxima de cálculo do concreto à compressão é dada por f'cd = 0,85fcd, em que o fator0,#5 leva em conta a influência de efeitos de longa duração sobre o concreto, conforme a expressão (3.17), do item 3.11.2.2 do Capítulo 3. b) A resistência máxima do aço à compressão é limitada pelo encurtamento convencional de ruptura do concreto, tomado como 2 %o. A Tabela 3.3 do Capítulo 3 fornece os valores da resistência máxima à compressão para barras comprimidas,/' d, para os aços brasileiros para concreto armado utilizados atuaímente no Brasil. c) As tensões normais produzidas pela solicitação de compressão axial são supostas uniformemente distribuídas na seção transversal.
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
4.4.2 Dimensionamento O esforço normal dé;cáloulo;à-compressão centrada equivalente, Nsde , deve ser resistido solidariamente pelo concreto e pelo aço. Admite-se que as tensões em ambos os materiais são uniformes, com as correspondentes parcelas resistentes sendo obtidas da multiplicação das resistências máximas de cálculo dos materiais pelas respectivas áreas. No dimensionamento ao estado limite último, a ruptura do pilar ocorre por esmagamento do concreto, quando atingido o encurtamento específico de 2 %o ou 2 mm/m.
N Sd3eg
N (área de concreto A'c)
1'
1 1 1
--
1
\
r\ >
\ longitudinal (área A's}
\ transversal
Figura 4.11 - Cálculo simplificado de pilares à compressão centrada
A segurança do pilar à ruptura no ELU por compressão centrada estará garantida se for atendida a expressão fundamental do equilíbrio:
NSd,eq ,,
Ra
=f> ctl,A>c + Jf J
,A'
yd **- s
(4.14)
onde: Ns,
= força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada;
NRd cá
= força normal resistente de cálculo da seção de concreto armado; = resistência máxima de cálculo do concreto à compressão - 0,85f ,;
143
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Á'c
= área da seçao transversal de concreto comprimido;
/'id
= resistência máxima do aço à compressão [imitada pelo encurtamento de ruptura do concreto, 2 %o (Tabela 3.3 do Capítulo 3);
A*
= área da seção da armadura longitudinal comprimida (a Tabela 4.4, ao fim deste capítulo, fornece a área das bitolas padronizadas pela NBR7480:1996). Observação: da área total da seção de concreto poderia ser descontada a área de aço, o que, em geral, não é feito, por ser essa área limitada pela taxa máxima de armadura p = A' S /A' r '
C
< 8% , abordada no
item 4.5.2.1, sendo considerada tolerável a diferença resultante.
Da expressão (4.14), obtérrvse a área da seção da armadura longitudinal necessária para o equilíbrio da seção comprimida de concreto armado:
A*
/'*
4.5 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003 4.5.1 Dimensões mínimas das seções - coeficiente de segurança adicional y1 n Segundo a NBR 6118 -M 3.2.3, a seção transversal dos pilares maciços, qualquer que seja sua forma, não deve ter dimensão menor que 19 cm, O mesmo item dispõe ainda: "Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional / , de acordo com o indicado na Tabela 13.1 e na seção 11. Em qualquer caso, não se
Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada
permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2". Essa exigência obriga que um pilar de seção retangular com a menor dimensão 12 cm tenha a outra dimensão com, no mínimo, 30cm. O valor do coeficiente adicional é dado pela expressão: 1,0 ^rn = 1,95 - 0,05 b <; 1,35
(4.16)
Sendo: b = menor dimensão da seção transversal do pilar, em centímetro. A edição anterior da norma, NB-1/78, também exigia um acréscimo de segurança para valores da menor dimensão da seção inferiores a 20 cm. No entanto, em vez do coeficiente adicionai 7 , adotava o coeficiente de majoração yf= 1,8 em lugar do valor usual 1,4. Portanto, para pilares com b < 19 cm, no dimensionamento pelo processo aproximado à compressão centrada equivalente, as forças normais solicitantes finais de cálculo são:
r' nN „.Sd,eq = 7' n r' uN~,Sd = r' n r' u 7,-íV. 'f k
(4.17) ^ '
Segundo a NBR 6118 -> 14.4.2.4, no caso da seção transversal retangular ou composta por superfícies associadas, "o elemento será considerado pilar apenas se em todas as superfícies a maior dimensão for inferior a cinco vezes a menor", ou seja, h <. 5b. Caso contrário, o cálculo deve ser feito como pilar parede ou parede estrutural, com outras exigências. Para o cálculo de pilares com seção vazada, não recomendados por razões de execução e manutenção, mas, às vezes, encontrados na prática, como nos pilares de pontes com seções transversais de grandes áreas, não há recomendações específicas na NBR 6118. É razoável adotar nesses casos as disposições anteriormente apresentadas, especialmente quanto à espessura das paredes.
145
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João Carlos Teatini de Souza Climaco
4.5.2 Armadura longitudinal de pilares 4.5.2.1 Diâmetro mínimo e valores limites De acordo com a NBR 6118 -> 18.4.2.1, o diâmetro ou bitola, 0, das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão da seção transversal:
10mm< $£ b/8
(4.18)
A exigência de (imites mínimo e máximo para as taxas de armadura de peças de concreto armado visa garantir a dutilidade, preservar a validade dos modelos de cálculo adotados e evitar altas concentrações de armadura que possam comprometer o adensamento e a compactação adequados do concreto. A norma dispõe, no item 17.3.5.3, que a taxa de armadura longitudinal de pilares, referida à área da seção transversal, p = A' /Á1 , deve observares seguintes valores limites:
(4.19) Àf
•*•*
c
£ p,,,,,,. = õ,0%
\,
Das expressões (4.19) e (4.9), a taxa mínima de armadura pode ser expressa por:
p . =0,15 N~,/(f .Á' c ') = 0,15 vJf cdJf . ~ min * Sá Vi/ yd * J yd
^
(4.20) '
ATabela 4.1, a seguir, apresenta os valores de p . para resistências características do concreto entre 20 e 50 MPa e força normal reduzida de cálculo, v, de 0,1 a 1,0. As linhas sombreadas da tabela demarcam os valores da força normal reduzida de cálculo, v>_ 0,7, para os quais a NBR 6118 admite o cálculo pelo processo aproximado de compressão centrada equivalente. A tabela permite a interpolação linear para valores intermediários de v.
Capitulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada
147
Tabela 4.1 - Valores de p , (%) paraJ aço CA 50 e coeficientes'c r ~ 1,4 's e v '= 1,15 "min \ ~ '
fcd (MPa)
__^-^^
Valores de v
20
25
30
35
í
40
45
50
n tc c a v c n r c
0,1 0,2
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,3
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,4
0,400
0,400
0,400
0,400
0,400
0,444
0,493
0,5
0,400
0,400
0,400
0,431
0,493
0,554
0,616
D
r f c
0,6
0,400
0,400
0,444
0,518
0,591
0,739
ã c c
0,7
0,400 »
0,431
0,518
0,604
0^690 i*. 0,776- * 0,863
c
0,8
,
s 0;9=
-
1,0
0,665
OT400: *0,493T ff,690>»frofâíto Qojtís?í» •OfffSe veOJ554^ " Cfôtó"* ¥*ój&yfâ* *<5ã®& ásíjàt»;^ ?J,fD8 0,597
- &H&; 0,493
0,61*6
0,739-
0,862
* 0,985^
.víSfftw ? W, 232
A armadura máxima, limitada a 8% da área real da seçao, deve ser respeitada inclusive nas regiões de trespasse, em que ocorre a sobreposição e a emenda das barras longitudinais da armadura. Essa exigência da norma implica a observância de um valor bem inferior da taxa máxima nos trechos centrais do pilar, fora da região de trespasse. Caso seja necessário o trespasse de todas as barras, para garantir a ligação monolítica dos trechos superior e inferior do pilar, a taxa de armadura fora do trespasse deve ser < 4%. Para um dimensionamento económico e arranjos de armaduras que permitam uma boa concretagem, a taxa de armadura longitudinal na região central do pilar, havendo ou não emendas portrespasse, deve estar situada entre 1% e 4%. Da expressão fundamental de equilíbrio, (4.14), no limite da segurança, ou seja, NS, — NRd, a área de concreto da seção do pilar pode ser escrita em função de uma taxa genérica de armadura longitudinal, p, na forma seguinte:
c
D
f c tf
c fl
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(4.21)
4.5.2.2 Disposição dos armaduras Conforme dispõe a NBR 6118 -> 18.4.2.2, "as armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro". Portanto, na definição do número mínimo de barras da seção transversal, o critério principal é a existência de uma barra longitudinal em cada canto de estribo poligonal, como mostra a Figura 4.12. Nas seções compostas de retângulos, todos os estribos devem estar ancorados dentro do núcleo comum a dois retângulos.
PI l_
a
n = jw
n =4
w~ u
a
n = 10
n =6
Figura 4.12 — Número mínimo de barras longitudinais em seções de pilares
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
O espaçamento livre entre as barras longitudinais de pilares, medido no plano da seção e fora da região de emendas, como mostra a Figura 4.13, não deve ultrapassar o menor dos dois valores: 400 mm e duas vezes a menor dimensão da seção. Não deve ser, também, inferior ao maior dos valores: 20 mm, o diâmetro da barra e 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado (NBR6118-+ 18.4.2.2).
3 Figura 4.13 - Espaçamento das barras longitudinais na seção transversal de pilares
Segundo a NBR 6118 -t-18.2.4- Proteção contra flambagem das barras: "Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 200
do canto, se nesse trecho de comprimento 20$f não houver mais de
duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares." Esses estribos suplementares devem ter o mesmo diâmetro do estribo, podendose utilizar barras, retas, isoladas, terminadas em, ganchos, conforme a Figura 4.14. Essaabarras, chamadas grampos, deve.m envolve^ as. barras, longjtudinajs, em seus extremos. No caso de haver mais de uma barra a ser protegida junto à extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver inclusive o estribo principal.
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1 50
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1
1
•
v
•
• 1
pi
1 •
•
-J, ^N
estribo
n
grampo
C
Figura 4.14 - Dispositivos para proteção contra flambagem das barras
Essa disposição deve ser indicada de modo destacado no detalhamento dos pilares, pois a flambagem das barras longitudinais é uma das causas principais de ruptura dessas peças. Esse foi o caso do Edifício Palace 2, no Rio de Janeiro, em 1998, em que o cobrimento de concreto deficiente e a ausência de grampos foram apontados entre as principais razões do colapso. Ainda do mesmo item da norma: "No caso de estribos curvilíneos, cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal será ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal".
4.5.3 Armadura transversal de pilares De acordo com a NBR 6118 —^ 18.4.3: "A armadura transversa/ de p/lares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes". As funções dos estribos em pilares usuais são as seguintes: a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais.
Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada
O diâmetro
(4.22)
a) h) c) d)
200 mm menor dimensão da seção 24$ O aços CA -25 12$ & aços CA -50
1 -^ ^
-^ Seção transversal ~~~~ ^^^ armadura longitudinal (corte aã) (bitola (/)) -^^^^ cnom -
x-
a
9
*-*9
9
«
v
^\
/
/'
"- ^^ (bitola $ t)
* h
9
b • l1iiom
h Figura 4.15 — Espaçamento de estribos em pilares de concreto armado
No detalhamento, deve ser informado, em cada trecho do pilar com comprimento /, o número de estribos, n, dado por:
n = (l/st) +1
(4.23)
O comprimento total reto da barra para fabricar cada estribo deve ser informado nas plantas de armação. Para a seção retangular&x/z, da Figura 4.15, dados os valores do cobrimento nominal,' c nnm', no item seguinte 4.5.4.1, e acrescentando «
151
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João Carlos Teatini de Souza Climaco
o comprimento 100 mm para prever os ganchos de fechamento do estribo nos dois extremos da barra, tem-se o comprimento reto do estribo:
c reto = 2(b + h-4cnotn )+10cm *-
(4.24)
j
4.5.4 Disposições para o detalhamento das armaduras de pilares 4.5.4.1 Espessura da camada de cobrimento de concreto Uma estrutura de concreto tem sua durabilidade fortemente condicionada pelas características do concreto, em especial a resistência à compressão e correspondente relação água-címento, e pela espessura e qualidade do concreto de cobrimento das armaduras. No primeiro aspecto, a melhoria da qualidade dos cimentos, paradoxalmente, pode ter influência negativa pelo fato de se obter concretos com resistência razoável a partir de relações água-cimento elevadas, porém com porosidade e permeabilidade elevadas. Quanto ao cobrimento de concreto, é um aspecto frequentemente negligenciado na execução deficiente, por não serem colocados os espaçadores para as barras de aço nas formas, por ocasião da concretagem, ou pelo uso de espaçadores inadequados. Para as barras mais externas da armadura, em geral os estribos, a espessura da camada do cobrimento nominal de concreto (c ). em que está embutida uma v nom' tolerância relativa à execução de l O mm, deve ser, pelo menos, igual ao diâmetro da barra. Devem ser observados os valores da Tabela 4.2, abaixo, extraída da Tabela 7.2, da N BR 6118 -> 7.4.7.6.
Tabela 4.2 - Espessura do cobrimento de concreto em pilares de concreto armado Classes de agressividade ambiental
/
//
m
W
Cobrimento nominal de concreto (cnom) mm
25
30
40
50
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
As classes de agressividade ambiental e os respectivos riscos de deterioração da estrutura são dados na Tabela 6.1 da norma. Para as estruturas usuais de edifícios urbanos, residenciais e comerciais, a classificação da norma pode ser simplificada na forma seguinte: <* Classe I - Agressividade Fraca =^> risco de deterioração insignificante: ^ ambientes internos secos: dependências de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura; ^ obras em regiões de clima seco (umidade relativa do ar<65%); partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde chove raramente. *t» Ciasse II -Agressividade Moderada => risco de deterioração pequeno: *+• ambientes internos úmidos ou com concreto aparente; ^ ambientes em atmosfera marinha: internos secos de dependências de edificações residenciais e comerciais ou com concreto revestido com argamassa e pintura; **• obras em regiões de clima úmido (umidade relativa > 65%); partes da estrutura expostas à chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde chove com frequência. <* ClasseIII -Agressividade Forte => risco de deterioração grande: ^ ambientes em atmosfera marinha: externos, internos úmidos ou com concreto aparente. <* Classe IV-Agressividade Muito Forte => risco de deterioração elevado: ^ edificações sujeitas a respingos de maré ou em ambientes quimicamente agressivos.
153
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4.5.4.2 Comprimento de ancorasem das barras longitudinais por trespasse Segundo a NBR 611 8 -> 9.4.1 : "Todas as barras das armaduras devem serancoradas, de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos". Ainda segundo o item 9.4.1 .1 da norma, a ancoragem das barras por aderência dá-se "quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho". As barras comprimidas da armadura passiva com ancoragem reta por aderência não devem ter ganchos. Aexistência de ganchos teria uma influência negativa, podendo causar fissuras no concreto em seu entorno, além de dificultar a execução em zonas de grande concentração de armaduras. O comprimento de ancoragem básico, / , é definido pela NBR 6118, no item 9.4.2.4, como: "o comprimento reto de uma barra da armadura passiva necessário para ancorar a força limite AJ, nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a /M, conforme 9.3.2.1". Para as barras de bitola 0 da armadura longitudinal comprimida de pilares, esse comprimento de ancoragem é dado por:
I
=È.,L>L
"
4
(4.25)
fM
onde: fbd = resistência de aderência de cálculo, uniforme entre a superfície lateral da armadura e o concreto no trecho de ancoragem, dada por: od
,.
'l
7. '2
, , f r ., '3 ^J ctk, tnf
'c'
(4.26) ^ '
onde: T]I = coeficiente de conformação superficial do aço => = 1,0 para barras lisas (CA-25); = 1,4 para barras entalhadas (CA-60); = 2,25 para barras nervuradas (CA-50);
Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
ri2 = coeficiente da posição relativa das barras na concretagem (NBR 6118 -> 9.3.1) => = 1,0 para situações de boa aderência; = 0,7 para situações de má aderência; 7j3 = coeficiente da bitola da barra =^> = l, O para <&<32; =(132-$)/l 00 para 0 > 32 mm.
Conforme o item 9.3.1 da norma, as barras longitudinais dos pilares com inclinação > 45° sobre a horizontal estão situadas em zonas de boa aderência, onde se pode garantir o bom adensamento e vibração do concreto, fatores essenciais para evitar o deslizamento relativo dos materiais. Para o aço CA-50, de uso quase exclusivo na armadura longitudinal de pilares, e barras com bitola < 32 mm, as mais comuns na prática, sendo a resistência à tração do concreto dada pela expressão (3.4), do Capítulo 3 (/..,= 0,21 f,2/3) e / =1,4, de (4.26) obtém-se: f M = 0,34fck2/3 = 0,42 fc™ (MPa)
(4.27)
No dimensionamento de um 1pilar, após se calcular a área da armadura,' A' s.cal'„ ' procede-se à escolha das barras comerciais, para se obter a área efetiva da armadura, À's, yf, que, em geral, é superior à primeira. Isso permite uma redução do valor básico, lb, obtido da expressão (4.25), sendo denominado comprimento de ancoragem necessário:
Lb,nec = L(A' b ^
,/A3
s,cal
.)^l.b,mm.
s,ef'
(4.28) ^ '
O comprimento mínimo de ancoragem por aderência, da NBR 6118 —* 9.4.2.5, deve ser:
\0,3lb bfttiin
} J.U W
[l 00 mm
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ATabela 4.3, abaixo, apresenta os valores .do comprimento básico de ancoragem reta, lb> para o aço CA-50 e concretos com resistências /Centre 20 e 50 MPa, expressos em termos da bitola 0 das barras adotadas para a área efeíiva de aço.^t' . Posteriormente, pode ser feita a redução para se obter o comprimento necessário, da expressão (4.28). Tabela 4.3 - Comprimentos de ancoragem reta (l ) por trespasse para aços CA-50
«^ Boa aderência
4.6
20
25
43$
570
fck (MPa) 30 35 330
300
40
45
50
270
25 0
240
EXEMPLOS
4.6.1 Para o exemplo do item anterior 4.3.2, verificar a segurança do pilar com os coeficientes da NBR 6118: 2003
a) Força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada
N,,Sa.eq = r' u r' ffNL k =1.194 m b) Forca normal resistente da seção de concreto armado (6020 = 18,85 cm2) f 'cd = 0,85 fcd = 0,85x14,3 = 12,2 MPa NRd=f3cdA'cJrf'^
A'=122x800 + 4.200 x 18,85=176.410 kgf= 1.764 W
c) Verificação de segurança Nsde < NM => A segurança é atendida, com um excedente aproximado de 48% da força normal resistente em relação à força solicitante (1.764/1.194). Quanto maior for essa diferença, menos económico é o dimensionamento.
Capítulo 4 - Cálculo, de pilares à compressão centrada
4.6.2 Dimensionar um pilar intermediário curto, de seção 20 x 50 cm2, com / = 20 MPa e aço CA-50, para uma carga axial de serviço N=800kN a) Parâmetros da seção, transversal f*=fjv J cd •/ ck '•
ç
=f J 1,4 ^14,3 J ck ' ' MPa
f >cd = 0,85fcd = 0,8.5 x 14,3 = 12,2 MPa f'
= 420,0 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3
Á' ~ 20x 50 = 1.000 cm2: área da seção de concreto b) Verificação do valor da força normal reduzida (v)
/ = 1,4 (menordimensão da seção > 19cm)^> Nsd = 1,4x800 =1.120 kN. Nas unidades kgfecm: v ^N^/(A1 cfcd} = 1,4x80.0007(1.000x 143) = 0,78> 0,7 => OK Portanto, pode-se aplicar o processo aproximado da NBR 6118: 2003 -> 17.2.5.1, c) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada Considerando a excentricidade, na direção crítica, paralela à menor dimensão, da expressão (4.11)tem-se: eb = et
— 1,5 + 0,03xb — 1,5 + 0,03x20
= 2,1 cm :=> eb/b= 2,1/20 = 0,105. Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adotase um valor conservador: a = 7. Admitindo a bitola 0 = 20 mm, estribos com 0=5 mm e agressividade ambiental fraca (classe l), tem-se d' = 25 -f- 5 + 20/2 = 40 mm. Da expressão (4.12) resulta:
P=l/[(0,39 + 0,01x1} - 0,8 (4,0/20)] = 1/0,24 = 4,17 Da expressão (4.10): /„
=
l +P(eb/b) = l + 4,17x 0,105 = 1,44
Portanto:^.. =y' u 7' ffN k,= 1,44 x 1,4x800 =2,02x800 = 1.616 M Sd.eq ' ' '
MPa f
d
= 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3
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d) Cálculo da área da armadura longitudinal
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A'' — 30x 40 = 1.200 cm2: área da seção de concreto. c) Verificação do valor da força normal reduzida (v) ^1=1,4 (menor dimensão da seção > 19 cm) ^> Nsd=l,4x 1.700 = 2.380kN v=NS(}/ (A'c f J = 238.000 / (1,200 x 179) = 1,12 z 0,7 => OK É viável aplicar o processo aproximado da NBR 6118: 2003 -> 17.2.5.1. d) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada, considerando a excentricidade na dtreção crítica, paralela à menor dimensão Da expressão (4.11): e lmjn = 1,5 -f 0,03 xb = 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm => eb/b =2,4/30 = 0,08 Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adota-se o valor conservador, a = L Para a bitola $ = 20 mmt-estribos 0{ = 5 mm, e agressividade ambiental moderada (classe 11), tem-se d' = 30 H- 5 +20/2 = 45 min. Da expressão (4.12) resulta: P = l / [(0,39 + 0,01x1) - 0,8 (4,5/30)}
= 1/0,28 = 3,57
Da expressão (4.10): ya = l +fi(eb/b) = l + 3,57x 0,08 = 1,29 Com j=l}4 vem:NSdie = yurfN = L,27xl,4x 1.700=1,81 x 1.700== 3.077kN e) Cálculo da área da armadura longitudinal Da expressão (4.15), tem-se: A's=
WwfaiO/fvr
(307.700-152* 1.200) / 4200=29,83 cm2
=> p =À's/A'c = 0,0249 = 2,49% pmín = 0,15 Nsd /(fydA'c)
= 0,15x238000/(4350xl200)= 0,069 = 0,7%
=> 0,7 % < p = 2,49 % < 8 % => OK. Portanto, as dimensões do pilar permitem um dimensionamento económico, com a taxa de armadura entre 1 e 4%. Da Tabela 4,4 de barras comerciais,
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
com armadura simétrica, obtêm-se as opções: 16016" 32,1 7 cm2 ; 10020 = 31,42 cm2; 8022 = 30,41 cm2. As três são razoáveis; no entanto, a bitola de 22 mm, muito grossa, dificulta a execução. No caso de se adotar a primeira opção, a taxa efetiva de armadura será: p =A* s/A'
4.6.4
Dimensionar
c
=2,68 % .
um pilar extremo de estrutura com agres-
sividade ambiental fraca, com a seção circular de diâmetro 30 cm, sujeito a uma força axial de 1.200 kN e a momentos de 52kN.m, oriundos de vigas nele apoiadas, iguais nos dois extremos e tracionando faces opostas do pilar. Ambos, N e M, são esforços de serviço. Considerar o concreto co
a) Parâmetros da seção transversal
fc^fc^rc=fck/L4
= 17,9MPa *> f ^0,85 f^O.SSx 17,9 = 15,2 MPa
/ 'j,, = 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3 À' c = TC 302/4 = 707 cm2: área da seção de concreto b) Verificação do valor da força normal reduzida (v) Yf=l,4 (menqr dimensão da seção > 19 cm) => N sd =1,4^1.200 = 1.680kN. v
** N& f (Á \Cd > = 108.000 / (707 x J 79} = 1,32 * 0,7 => OK
É viável aplicar o processo aproximado da NBR 6118; 2003 -> 17.2.5.1, ç) Exce.ntrícjd_a.de,s de, cájculo. H* de 1 â qrdem relativa ao momento:
= 14 x 52/1.680 = 0,043 m = 4,3 cm mínima de execução,, da expressão. (4,11):
e.l mm. =1,5 + 0,03 d = 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm. ' ' ' ' '
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A excentricidade da força normal será: e = e /, = 4,3 cm > e,Imm.. r ' d) Verificação quanto à fíambagem & = 4 l / d = 4 x 350/30 = 46,7 => pilar medianamente esbelto O enunciado forneceu uma situação favorável, com momentos extremos tracionando faces opostas do pilar (ver Figura 4.8). Da NBR 6118 -^ 15.8.2, alínea a), tem-se a,O = 0,4. l ' Ã} = [25 + 12,5 (elb/d)} lab « [25 + 12,5 (4,3 130)] /0,4 = 67 Ã = 46,7<ÃJ Logo, a consideração da fíambagem pode ser dispensada, por se verificar a expressão (4.5). e) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada Para seção circular, dos limites da expressão (4.13): a — - 4. Para agressividade ambiental fraca (Classe l), bitola <£ — 20 mm e estribos tí> =5 mm, tem-se d' = 25 + 5 +20/2 = 40 mm. Da expressão (4.12) resulta: /3= l / {[0,39 + 0,01 x (-4)] - 0,8 (4,0/30)}
= 4,11
Da expressão (4.10): ya = l + p(e}/d) = l + 4,11 (4,3/30) = J,59
Com / = 1,4, tem-se: Nsdieq = ru YfNk = 1,59 x 1,4 x 1.200 = 2,23 x 1.200 = 2.676 kN f) Cálculo da área da armadura longitudinal Da expressão (4.15), tem-se: A's
= (*« m ~f
p = Á1 S/Á'
'
ctÁ>yf'yd
= (267.600 - 152 x 707)/4200 « 38,13 cm2
— 0,054 = 5,4% < 8% => taxa inferior ao limite máximo da '
C
norma, mas ainda elevada, só admitida no caso de não haver trespasse das barras longitudinais.
—
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
Da Tabela 4.4, para seção circular, tem-se: 13020 = 40,84 cm2 ou 11022 = 41,81 cm2.
4.6.5
Dimensionar um pilar intermediário de seção transversal retangular, com a condição de pilar curto, com o comprimento de flambagem 2,90 m, submetido a uma força normal axial de serviço de 950 kN, sendo o aço CA-50 e fek = 20 MPa
a) Menor dimensão da seção para pilar curto (X < 35) Ã. = 3,46 le/b = 3,46x 290 /b < 35 => b > 28,7 cm Adotando-se a dimensão menor igual a 30 cm, satisfaz-se a condição do enunciado. A conveniência dessa dimensão deve ser verificada no projeto de arquitetura. b) Parâmetros da seção transversal
f ca *=fJr =f•> CKJ 1,4 = 14,3 MPa =$ f* CK ' c J
f
J
yd
=0,85f '
ca
J
ca
=0,85x 14,3 = 12,2 MPa ' '
= 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3
A' — 30 h', área da seção de concreto c) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada Considerando a excentricidade acidental na direção principal crítica, paralela à menor dimensão, da expressão (4.11) tem-se: eb — ej
ln
= 1,5 + 0,03 x b
= 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm => eb / b - 2,4/30 = 0,08 Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adoíase a=7,um valor conservador. Para 0 = 20 mm,
= l / 0,29 « 3,45
Da expressão (4.10): yu = l +J3(eb/b) = 1 + 3,45 x 0}08 = 1,28
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Com rf= 1,4, tem-se: JVJrf|(í= /„ rf N =128 x 1,4x950 =1,79x 950 = L700 kN
d) Determinação da seção de concreto Como o enunciado menciona apenas pilar curto, sem impor qualquer outra condição para a seção, é razoável adotar uma taxa de armadura de compressão na faixa económica, por exemplo, p—2%, Da expressão (4.21), obtém-se a área de concreto:
Á' c >N,ií/,ío f /(f'+pf') = 170000 /(122 + 0,02 x 4200)' = 825 cm2 *• •* ca 'J yd ' » => h = 27,5 cm Como a condição de pilar curto impõe h > 30 cm, adota-se a seção quadrada,
30 x 30 cm2. e) Cálculo da área da armadura longitudinal Da expressão (4.15), tem-se:
A's = (170.000 - 122 x 9QO) / 4200 A's = 24,3 cm2 => p = A's/A'c = 0,0258 = 1,58% =* próxima da taxa admitida. Da Tabela 4.4, para a seção quadrada, adotando-se armadura duplamente, simétrica, tem-se como opçõesr 8016 -16,09 cm2 ; 12012,5 ~ 14,73. çnf. A primeira alternativa será adotada no restante do exemplo, por ser, em princípio, a mais adequada, pois o menor número, de barras, facilita o trabalho, de armação. A disposição das barras na se.ção é dad.a. na. Figura 4,16^ a seguir. Ataxa efetiva de armadura longitudinal será.: p,=A's M'c^ 1,7$%, Apenas para fixação, verifica-se que: a = (nh - l)l(jib -1) — (3~l}/(3-l) = 1,0 => suposição OK. f) Comprimento de ancoragem por trespasse
Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
Da expressão (4.27), obtém-se: fu « 0,34fck2/3 = 0,34 x 7,37 - 2,51 MPa Da expressão (4.25), o comprimento de ancoragem básico por trespasse é: lb = 69,3 cm Poderia ser obtido diretamente da Tabela 4.3: lb— 430- 43 x l,6~ 68,8 cm Sendo Â' s.cal,/A' s,ef = 14,3/16,09 = 0,89 ' ' ' De (4.28), o comprimento de ancoragem necessário: lb
= 61,7 cm
Esse valore superior aos limites (4.29) de norma: 0,3 lb = 17,4 cm; 10
= 65 cm.
g) Cálculo dos estribos (também em aço CA-50) Do item 4,5.3 => bitola: $f > 0/4 (16/4
= 4 mm) e 5 mm =$ 0 = 5,0 mm
Dos limites da expressão (4.22), o espaçamento será o menor dos valores: 20 cm; menor dimensão da seçao = 30 cm ; 120 = 19,2 cm Logo, o espaçamento será: s — 19 cm h) Detalhamento A Figura 4.16, a seguir, apresenta o detalhamento das armaduras do pilar deste exemplo, supondo um trecho de pilar situado entre os pisos dos níveis 200 e 300 (com referência ao nível O do piso mais inferior) da estrutura do edifício, sendo observadas as seguintes disposições: **- Admitindo as vigas superior e inferior, entre as quais se situa o pilar, ambas com 50 cm de altura, sendo o comprimento de flambagem de 290 cm (para pilares de edifício: distância de eixo a eixo das vigas), tem-se a altura livre do pilar:
/ = 290 - 2 x 25 = 240 cm.
165
166
João Carlos Teatini de Souza Ctimaco
Número de estribos no trecho: n ~(Io/s) -f l =13,63 O adotam-se14 estribos e o espaçamento será de, aproximadamente: st = 18,5 cm. Observação: conforme o item anterior 4.5.3, a norma exige a presença de estribos em toda a altura do pilar,"... sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes". No entanto, essa disposição parece excessivamente rigorosa em casos em que as barras longitudinais do pilar estejam fortemente confinadas no cruzamento com as vigas, com plena garantia de segurança dessas barras à flambagem. Essa consideração foi adotada no presente detaihamento.
Admitindo-se um pilar de edifício urbano em ambiente normal (cnom cada "ramo" ou "perna" do estribo tem o comprimento aproximado da respectiva dimensão da seção menos duas vezes o cobrimento. O comprimento total reto da barra de cada estribo será:
2 (b + /? - 4 c ) + 10 cm = 2 (30 + 30 - 4 x 2,5) + 10 cm = 110 cm. ^
/KJ/M'
V
'
O acréscimo de 10 cm é previsto para se dobrar os ganchos nas extremidades, para fechamento do estribo. • Conforme a Figura 4.14, sendo 200 = 10 cm, os estribos poligonais não garantem as barras longitudinais centrais contra a flambagem. São necessários grampos para evitar sua flambagem, com a mesma bitola e espaçamento dos estribos. • No detaihamento, cada barra de armadura recebe um número de ordem (N...), que identifica barras de mesma bitola, comprimento e forma. Se numa mesma planta de armação houver barras idênticas nesses três aspectos, vão receber o mesmo número (também chamado "posição").
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
167
i
r
~ trespasse ou "espera"
nível 300
'
T
1 1
L
\ viga
50
Disposição das barras na seção transversal:
'
L \
«I
G
c
in
u_
-
«^^* r •» 30
s c
•-•LJI
i
C
ít
Armadura longitudinal:
NI - 8$6
"i »o "^ i
1
| c e
^0 "-s ~%~
-
t
Esfribos : 14N2~> 5,0 c/18,5 -110
240 cm
5
S
t
5
oo
25
c ! Z -sc n
25
c /
nível 200
i i
i
.
'
T
5(9
viga
j
4
l
1
Grampos : 28N3-
5,0 c/18,5 -35
| \
P5
--
,5
\
25
i
Figura 4.16 - Detalhamento das armaduras do pilar do exemplo 4.6.5 (escalas diferentes para o corte longitudinal e detalhes da seção transversal)
fí
168
João Carlos Teatini de Souza Clímacq
4.7 AUTO-AVALIAÇÃO i
4.7.1 Enunciados 1. Um pilar intermediário curto, com seção transversal quadrada 30x 30 cm2, concreto f
= 20 MPa e armadura longitudinal 12012,5 (CA-50), recebe
uma força normal axial de serviço de 2.200 kN. Verificar a segurança do pilar pelo processo de cálculo aproximado à compressão centrada, com os coeficientes da NBR 6118: 2003. Redimensionar a seção do pilar, caso necessário. Admitir estrutura com agressividade ambiental fraca (Classe l). 2. Determinar o coeficiente de segurança global (yu x 7.) para o cálculo aproximado à compressão centrada de um pilar intermediário de seção circular, com diâmetro 35 cm, sendo: / = 3,0 m; fck= 25 MPa ; N = 2.300 kN} armadura longitudinal 11016 (CA-50); agressividade ambiental moderada. Qual a máxima força axial de serviço que poderia ser aplicada para atender à segurança mínima estabelecida pela NBR 6118: 2003? 3. Um pilar intermediário de edifício tem seção quadrada 25x 25 cm2, armadura longitudinal 12020 (CA-50, com trespasse) e concreto com fck— 30 MPa. Pede-se: a) o máximo comprimento de flambagem para poder se desprezar os efeitos de 2- ordem; b) com o comprimento do item anterior, calcular a máxima força axial de serviço do pilar. 4. Para o pilar curto de seção vazada da Figura 4.17 (a), determinará^ e Á'e para a condição de menor valor da dimensão "a", admitindo não havertrespasse das barras longitudinais. Dados: fck= 25MPa, N~ 1.500 kN, £e = 3 m e a ç o CA-50. Detalhar as barras da armadura longitudinal na seção transversal do pilar. 5. Uma ponte tem pilares de sustentação de concreto armado com seção vazada (Fíg. 4.17b).Aarmadura longitudinal é composta por 64025 de aço CA-50 e o concreto tem resistência fck= 40 MPa. Calcular a força axial resistente máxima de serviço, considerando os pilares intermediários engastados nos
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
blocos de fundação e no vigamento principal, com o comprimento 46 w, de eixo a eixo das vigas, e a agressividade ambiental Classe IV.
400cm
grampos não mostrados na figura
a) Exercício 4
b) Exercício 5
Figura 4.17 - Exercícios de auto-avaliação do Capítulo 4
6. Dimensionar um pilar intermediário curto de concreto armado de seção retangular, le = 3 m, N = 2.000 kN (força axial) e fck=- 25 MPa, situado em meio com agressividade ambiental forte, obedecendo à condição de mínimo consumo de aço (CA-50). 7. Dado um pilar extremo com l =3,0 m ,fck = 20 MPa e aço CA-50, determinar a dimensão mínima (expressar em múltiplo de 5 cm) da seção retangular de concreto para poder se desprezar no cálculo os efeitos de 2^ ordem. Esforços solicitantes de serviço: força normal axial de 1.500 kN; momentos fietores nas duas extremidades do pilar, oriundos de vigas nele apoiadas, tracionando faces opostas da seção e com valores na razão de 1/4, sendo o maior deles de 50 kN.m. Calcular a armadura longitudinal correspondente. 8. Numa estrutura em que o concreto foi executado com a resistência de dosagem 31,6 MPa (condição de preparo A, pela NBR 12655-^6.4.3.1), foi projetadoum pilar com comprimento de flambagem 2,8 m, seção transversal retangular 30x50 cm2 e armadura longitudinal com 6010 (CA-50). Verificar a máxima força axial que esse pilar suporta pelo cálculo aproximado à compressão centrada, supondo a agressividade ambiental fraca.
169
170
João Carlos Teatini .de Souza Clímaco
9. Dimensionar um pilar de seção retangular 20 x 50 cm2, submetido a uma força axial de serviço de 900 kN, /, = 4,0 m, f^- 25 MPa e aço CA-50. Considerar nas duas extremidades do pilar momentos iguais de 50 kN.m, .oriundos de vigas nele apoiadas, tracionando faces opostas da seção, na situação mais desfavorável,
4.7,2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. É indispensável, de início, testar a condição de validade do cálculo aproximado: v =7^,/(/T f .) > 0,7. Em seguida, verifica-se a taxa p = A s'/A1e òa ^ c •" c a ' u < i com relação aos limites de norma. Se for inferior à mínima, a seção de concreto é excessiva e, para se atender rigosamente à norma, deve-se tomar no cálculo da força normal resistente apenas a área de concreto estritamente necessária: A' cn ~Á' s /p~ mm .. Se.' ao contrário,' existe aço em excesso,rp > 'inax' p , o raciocíT nio é análogo, com respeito à área de aço necessária. Caso a taxa de aço esteja entre os limites, calcula-se a a força resistente de cálculo máxima, da expressão (4.14), que, dividida pelo produto /H . yf, fornece a força resistente característica ou de serviço, que, para haver segurança, deve ser superior à solicitante, 1.200 kN. 2. Com relação apenas à força normal aplicada no pilar, o coeficiente de segurança global é a razão da força resistente máxima, NRd> da expressão (4.14), pela força característica dada. Para atender à segurança mínima da norma, a máxima força axial de serviço será obtida d&NRd/yu . y,, ou seja, o coeficiente global deve ser sempre superior a y u . r.. O coeficiente de segurança absoluto do pilar é determinado da força resistente, Nxd, calculada sem reduzir a resistência do concreto, ou seja, com fck em lugar de fcd na expressão (4.14). No caso do aço, como a resistência é limitada pelo encurtamento convencional limite do concreto, 2%o, não há alteração. 3. O comprimento máximo absoluto de flambagem seria extraído da desigualdade À = 3,461 /b z 90, limite de pilar medianamente esbelto. No
Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada
exercício, as dimensões da seção e a condição de pilar intermediário impõem ab = l, resultando em A; = 26 < 35. Este último valor se impõe pela norma e irá definir o comprimento de flambagem do pilar. Deve-se, ainda, verificarp = A' /A'. Caso essa taxa extrapole um dos limites, indicando áreas de concreto ou aço excessivas, para se calcular a força normal axial resistente com obediência rigorosa à norma, deve-se tomar apenas a área estritamente necessária, de concreto ou aço, referida ao respectivo pu . Ao final, devese, ainda, testar a validade do cálculo aproximado, ou seja, se v=Nsd/(A'c fj
* 0,7.
4. No pilar de seção vazada (ver NBR 6118 -» 13.2.6.c), deve-se limitar a espessura (z/) mínima da parede. Como a norma não explicita um valor, podem ser admitidas duas hipóteses: a) u k 19 cm => y." 1,4', b) u ~ 12 cm => yn = 1,95 - 0,05 x 12 - 1,35, que vai majorar y
Da hipótese
b), com n = 12 cm, resulta a ~ 44 cm. Com esse valor, no exercício, testam-se as outras condições: pilar curto: A <, 35', validade do cálculo aproximado: v ~NSe} /(A'cfc(l}
£ 0,7', e área mínima de concreto: p~A's
/Á' < 8% (sem trespasse). Caso uma dessas condições não se verifique, ela passa então a ser determinante no cálculo da dimensão mínima "a". 5. Deve-se, de início, verificar p =Á' s/A' c com relação às taxas de armadura longitudinal máxima (com trespasse = 4%) e mínima absoluta da norma, 0,4%. A disposição das barras na seção da figura, da mesma maneira que na seção retangular bruta, é usada para se obter os parâmetros a (ver exemplo do item 4.3.2), a e fi, para calcular o coeficiente de majoração y a . Caso a taxa de aço esteja entre os limites, calcula-se a força resistente de cálculo, da expressão (4.14), e divide-se por yu. y. para se obter a força máxima de serviço. Deve-se, ainda, testar a validade do cálculo aproximado. 6. Fazendo A = 3,461 /b <, 35, obtém-se o menor lado da seção, b = 30cm, para a condição de pilar curto. Desse valor, calculam-se o coeficiente de majoração yu e a força normal equivalente, N^ . Substituindo, na expressão (4.21), a taxa p pelo valor mínimo da expressão (4.20), atendendo à condição
171
1 72
João Carlos Teatini de Souza Climaco
de mínimo consumo de armadura, calcula-se a área da seção de concreto e o lado maior. Após testar a validade do cálculo aproximado, verifica-se na expressão (4.20) se a taxa mínima de armadura é superior ao mínimo absoluto de 0,4%. Caso não seja, novamente na expressão (4.20), fazendo a taxa igual a 0,4%, calculam-se novos valores da área da seção e do lado maior. 7. Da condição dos momentos nos extremos do pilar, da alínea a) do item 4.2.4, determina-se a.b — 0,5. A excentricidade máxima de 1-ordem é a razão do maior momento pela força normal. Adimensao mínima da seção para poder desprezar os efeitos de 2- ordem é obtida iguaíando-se as expressões (4.3) e (4.5). Verificar a validade do cálculo aproximado, a excentricidade mínima e a condição /l ^ Á;. Calcular a armadura e comparar a taxa com os limites de norma. 8. O valor de fcfc é obtido do item 3.9.2.2, Capítulo 3. De início, verifica-se o valor de p = Á's/A'c. Sendo essa taxa inferior à mínima absoluta, a seção de concreto é excessiva e, para se atender à norma, o cálculo da força normal resistente deve ser feito com a área de concreto estritamente necessária:^' cn -A3 s /p"mtn.. 9. Solução análoga ao exemplo 4.6.4. A situação mais desfavorável, no caso da seção retangular, são os momentos tracionando as faces opostas de dimensão 50 cm.
Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada
Tabela 4.4 - Áreas das seções de armaduras passivas de aço Á (cm2) para as bitolas padronizadas pela NBR 7480:1996.
Massa Linear fios Barras kg/m® 0 (mm)
ll) P)
Número de fios ou barras
{1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,4
-
0,04
0,05
0,09
0,14
0,18
0,23
0,27
0,32
0,36
0,41
0,45 '
3,4
-
0,07
0,09
0,18
0,27
0,36
0,46
0,55
0,64
0,73
0,82
0,91
3,8
-
0,09
0,11
0,23
0,34
0,45
0,57
0,68
0,79
0,90
1,02
1,13
4,2
-
0,11
0,14
0,28
0,42
0,56
0,70
0,83
0,97
1,11
1,25
1,39
4,6
-
0,13
0,17
0,33
0,50
0,66
0,83
1,00
1,16
1,33
1,49
1,66
5,0
5,0
0,16
0,20
0,39
0,59
0,79
0,98
1,18
1,37
1,57
1,77
1,96
5,5
-
0,19
0,24
0,48
0,71
0,95
U9
1,43
1,67
1,90
2,14
2,38
6,0
-
0,22
0,28
0,57
0,85
1,13
1,42
1,70
1,98
2,26
2,55
2,83
-
6,3
0,24
0,31
0,62
0,94
1,25
1,56
1,87
2,18
2,49
2,81
3,12
6,4
-
0,25
0,32
0,64
0,97
1,29
1,61
11,93
2,25
2,58
2,90
3,22
7,0
-
0,30
0,39
0,77
1,16
1,54
1,93
2,31
2,70
3,08
3,47
3,85
8,0
8,0
0,40
0,50
1,00
1,50
2,01
2,51
3,02
3,52
4,02
4,52
5,03
9,5
-
0,56
0,71
1,42
2,13
2,84
2,55
4,25
4,96
5,67
6,38
7,09
10
10
0,62
0,79
1,58
2,37
3,14
3,93
4,71
5,50
6,28
7,07
7,85
-
12,5
0,97 , 1,23
2,46
3,69
4,91
6,14
7,36
8,59
9,82
11,04
12,27
-
16
1,58,
2,0 J
4,02
6,03
8,04
10,05 12,06 14,07
16,09
18,10
20,11
-
20
2,46
3,14
6,28
9,42
12,57 15,71 18,85 21,99
25,13
28,27
31,42
-
22
2,98
3,80
7,60
11,40 15,21 19,01 22,81 26,61
30,41
34,21
38,01
-
25
3,85
4,91
9,82
14,73 19,64 24,54 29,45 34,36 39,27
44,18
49,09
-
32
6,31
8,04 16,08 24,12 32,17 40,21 48,26 56,30
72,38
80,43
-
40
9,87
12,57 25,14 37,71 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66
64,34
Outros diâmetros podem ser produzidos, por encomenda especifica, A massa linear (em kg/m ) referente a cada bitola é obtida pelo produto da área da : açâo nominal (em m2) por 7.850 kg/m3. vaior da massa específica do aço.
1 73
CALGULq:DE ELEMENTOS LINEARES À FLEXÃO PURA Coneitpsiprèliminares; Modos de ruptura a flexão pura 5.4 Dimensionamento das seções à flexão:pura no estado limiteflúítimo -Bcescri-CQ.e5-daJ ,, r-, ,,— NBR6118: 2001 f
'
f.-l
l
:3
retangulres com armadura dupla CáLcuiO-d.eLseções.em __ forma de "T"
5.8 579 "ÁTíto-avaliação . - -——*
Cálculo de elementos lineares à flexão pura 5.1 OBJETIVOS
Conceito: a flexão de um elemento estrutural linear caracteriza-se pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais na seção transversal e a sua rotação.
Conforme os esforços solicitantes que atuam na seção transversal, além do momento fletor, a flexão pode ser classificada em: <* Flexão pura: quando se considera apenas o momento fletor (AQ solicitando a seção, que fica sujeita somente a tensões normais. <* Flexão simples: quando atuam conjuntamente o momento fletor e a força cortante (M; V), produzindo tensões normais e tangenciais na seção. *> Flexão composta: quando atuam conjuntamente o momento fletor e a força normal (M; N}, produzindo tensões normais na seção. Quando o plano solicitante contém um dos eixos principais de inércia da seção transversal do elemento linear, a flexão é denominada plana, normal ou reta, caracterizada por momentos fletores que produzem rotação apenas em relação ao outro eixo principal da seção. Em caso contrário, tem-se a flexão oblíqua. Conforme a classificação da NBR6118—> 14.3.1, apresentada no item 3.2 deste texto, denominam-se vigas os elementos lineares ou barras em que a flexão é a solicitação preponderante e o comprimento longitudinal supera em, pelo menos, três vezes a maior dimensão da seção transversal.
178
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Dessa forma, observada a esbeltez ///? ^ 3, admite-se que o dimensionamento da armadura de flexão de uma viga de concreto armado seja feito considerando o efeito isolado dos momentos fletores, ou seja, como se as seções estivessem sob flexão pura. O cálculo da armadura transversal de combate ao cisalhamento causado pela força cortante é feito em etapa posterior, também em processo isolado, já conhecidas armadura de flexão. Posteriormente, as armaduras longitudinal e transversal são compatibilizadas, para levarem conta a ação conjunta momento fletor-força cortante, por meio da imposição de diversas prescrições da norma, numa etapa do processo de cálculo comumente denominada detalhamento, Pretende-se que o conteúdo deste capítulo contribua para os seguintes objetivos: a) Disposição e finalidade da armadura de flexão de vigas de concreto armado. b) Modos de ruptura à flexão de vigas de concreto armado. c) Hipóteses básicas do dimensionamento de vigas de concreto armado à flexão pura. d) Procedimentos para cálculo de vigas de seçãoretangular e T, com armaduras simples e dupla, segundo as disposições da NBR 6118. e) Prescrições da norma sobre dimensões da seção transversal de concreto, arranjo e taxas mínima e máxima da armadura longitudinal.
5.2 CONCEITOS PRELIMINARES A Figura 5.1 mostra o esquema de ensaio à flexão de uma viga de concreto armado, em que se aplicam forças iguais e simétricas em seu eixo, em estágios crescentes de carga até a ruptura da peça. Esse dispositivo de ensaio, conhecido como "ensaio de Stuttgart", tem a vantagem de permitir, simultaneamente, a observação do comportamento da viga sob flexão pura (trecho entre as cargas simétricas) e flexão simples (trecho entre a carga e o apoio, denominado "vão de cisalhamento ou de corte"):
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Macaco 7-7-7hidráitlico Jéá_,
Viga de distribuição de cargas
armadura de tração L defletômetro
Figura 5.1 - Ensaio à flexão de viga de concreto armado (ensaio de Sttutgart)
Quando uma viga de concreto armado é submetida a um ensaio como o da Figura 5.1, em cada estágio de carregamento podem ser medidas ou estimadas diversas grandezas, como as deformações absolutas e específicas no concreto e na armadura, flechas, rotações, etc. Da observação desses ensaios, à medida que o carregamento assume valores crescentes até atingir a ruptura, podem ser identificadas algumas fases bem definidas no comportamento da viga, que foram denominadas "estádios" na literatura técnica brasileira. A Figura 5.2, a seguir, mostra os três estádios característicos da flexão pura, com as respectivas distribuições de tensões normais (mostradas à direita da figura), na seção transversal de concreto armado (à esquerda da figura) retangular no exemplo e com uma área de aço à tração Á . A seção sofre rotação em virtude do momento fletorM, passando da posição indeformada a-a para a'-a\o mostra a parte central da Figura 5.2 (corte longitudinal). Admite-se que a seção permanece plana até a ruptura da peça, conhecida como hipótese de Bernouilli. O concreto comprimido sofre o encurtamento específico scc e o aço tracionado o alongamento e .
1 79
Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação
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Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
<* Estádio l (peça não fissurada) Corresponde à fase inicial do ensaio, para valores do momento fletor não muito elevados M-. As tensões normais em cada ponto da seção têm variação linear com sua distância à linha neutra: na zona de tração, a tensão máxima G é inferior à resistência à tração do concreto, e a tensão máxima na zona comprimida, a , está ainda longe de atingir a resistência à compressão do concreto. w- Estádio Ib (aparecimento iminente de fissuras) Com o aumento nos valores de carga, ao final do estádio l, antes do concreto esgotar sua resistência à tração e ser iminente o aparecimento da primeira fissura, o concreto sofre plastificação na zona de tração, isto é, deixa de haver resposta linear tensão - deformação no concreto tracionado. <* Estádio II (peça fissurada) Corresponde à fase de cargas em que o concreto esgota sua resistência à tração, passando as tensões normais de tração a ser absorvidas apenas pela armadura longitudinal. O momento fletor MB é resistido pelo binário constituído pelas resultantes de tensões de compressão no concreto, R , e de tração no aço, RS/. Apesar de a peça já estar fissurada, o aço tracionado, com &s Estádio III (iminência de ruptura por flexão) Para haver aproveitamento integral da capacidade resistente dos materiais, a ruptura da peça, ao atingir o estado limite último, deve ocorrer com o esmagamento do concreto á compressão e o escoamento do aço à tração. Dimensionar uma peça à flexão no ELU significa estabelecer uma margem
181
1.8 2.
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
.adequada de 'Segurança para que .a viga não atinja esse estádio. Isto é, o momento último de ruptura (também chamado momento de .cálculo pu .de projeto) deve ser igual ao momento característico (ou de serviço) majorado por um coeficiente jdg rnajoracãp preestabelecido: MI}, ^ Md — 7fM.k.
5.3 MODOS DE RUPTURA À FLEXÃO PURA A ruptura de um elemento linear de concreto armado à flexão pura depende, basicamente, da área da armadura longitudinal de tração, das dimensões da seção e das resistências do concreto e do aço, podendo ocorrer num dos modos seguintes: *> Ruptura balanceada Ruptura da peça com o esmagamento do concreto à compressão e o escoamento do açotracionado. Segundo a NBR6118, item 17.2.2-Figura 17.1, a seção que rompe desse modo é denominada "subarmada". Deve-se atentar que esse termo não significa ser a armadura insuficiente, pois os dois materiais alcançam o limite de suas resistências convencionais de cálculo, à compressão e à tração, e a peça apresenta, antes da ruptura, sinais de aviso de situações de risco-fissuras e flechas excessivas. Se a ruptura ocorrer com o aço à tração exatamente no início do patamar de escoamento do diagrama a - e e com o esmagamento do concreto, é comum no Brasil a denominação seção "normalmente armada", que a literatura em idioma inglês classifica como seção "balanceada". Neste texto, o termo "ruptura balanceada" será usado para designar a ruptura das seções sub e normalmente armadas. <* Ruptura frágil à compressão Ruptura da peça por esmagamento do concreto à compressão sem o escoamento do açotracionado. Segundo a NBR6118, item 17.2.2-Figura 17.1, a
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
seção com esse modo de ruptura é denominada "superarmada". Sendo a armadura de tração excessiva, estando o aço ainda na fase elástica, a peça rompe com o concreto atingindo o encurtamento limite de 3,5%o. É uma ruptura em que a peça não apresenta sinais prévios de aviso, por serem reduzidos os deslocamentos, o número, o comprimento e a abertura das fissuras. *> Ruptura frágil à tração Ruptura prematura da peça, brusca e sem aviso, quando a armadura de tração é insuficiente sequer para absorver as tensões de tração transferidas do concreto após a fissuração. O aço escoa e rapidamente ultrapassa o alongamento máximo convencional de 10%o, podendo mesmo romper. No presente texto, a seção com esse modo de ruptura é denominada "fracamente armada", para identificar os casos em que não se observa a armadura mínima de tração da norma, dada no item seguinte 5.5.3. ANBR 6118 não apresenta uma terminologia específica para esse tipo de seção. A edição anterior da norma (NB-1/78) explicitava, no seu item 5.1, como critério básico de segurança que "as peças fletidas serão dimensionadas pretendendose que, se levadas à ruína, esta ocorra quando atingido o momento fletor de ruptura, sem que haja antes ruptura por cisalhamento, por escorregamento da armadura ou por deficiência daancoragem desta". Apesar de a NBR6118:2003 não estabelecer esse critério com a mesma ênfase, no dimensionamento das peças estruturais fletidas de concreto, é um principio fundamental de segurança que a ruptura por flexão ocorra antes de qualquer outro tipo de ruptura. Deve ficar claro que, apesar de os cálculos das armaduras longitudinal de flexão e transversal da força cortante das peças de concreto armado serem feitos com os esforços isolados, é essencial levar em conta a ação conjunta momento fletor-força cortante, por meio de um detalhamento que considere as disposições de compatibilização, vistas no Capítulo 8.
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5.4 DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES A FLEXÃO PURA NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO
5.4.1 Hipóteses básicas O dimensionamento de uma peça à flexão consiste, necessariamente, de duas etapas: *t* Estabelecimento das dimensões da seção transversal da peça e da área das armaduras, de forma que garanta uma margem preestabelecida de segurança ao estado limite último, que deve ocorrer para um momento fletorde ruptura ou de cálculo: Msd = 7f-Mk. *> Verificação do comportamento adequado da peça aos estados limites de serviço (flechas e fissuração inaceitáveis) para o momento fletor característico ou de serviço: Mk. Segundo a NBR6118-»-17.2.2, as hipóteses básicas de cálculo para elementos sujeitos a solicitações normais no estado limite último (ELU) são as seguintes: a) As seções transversais permanecem planas após as deformações de flexão, até à ruptura da peça. Essa hipótese, conhecida como de Bernouilii, é plenamente válida quando se despreza o efeito do empenamento da seção, proveniente das tensões tangenciais originadas da força cortante. b) A deformação das barras da armadura passiva, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno. c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, são desprezadas, obrigatoriamente, no ELU. d) A distribuição de tensões de compressão no concreto faz-se pelo diagrama paràbola-retângulo,6a Figura 3.5(b), do item 3.11.2.2 - Capítulo 3. Esse diagrama pode sersubstituído pelo diagrama retangularsimplificado, com altura y = 0,8 x , mostrado à direita na Figura 5.3. Essa substituição tem por base duas constatações, de demonstração simples pela Mecânica dos Sólidos; as
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
resultantes de compressão, R , obtidas dos dois diagramas são iguais; a posição da resultante é virtualmente a mesma, o que garante o mesmo braço de alavanca, z, essencial para se obter o mesmo binário resistente nos dois diagramas. Seção transversal
Corte longitudinal
W
\
i
1
i
"X
'
1
'1 x 77*^
V'
,
linha lenira
AS
' / eixo nenfro
/"-
A
^
V=fl#YT
?—*
i'
a
Rrr
Z
•?•
/
u
O" /= 0 85f
>
n
/ °'
Diagrama Retangular
n o ff
/
2%-" J5-^7
"t
r-1
,
Parábola retângiilo
C
•Kj/
ò sd
a
Figura 5.3 - Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão
e) A tensão nas armaduras de aço deve ser obtida a partir dos diagramas de cálculo a- £ (ver Figura 3.4, no item 3.11.1.4). f) O alongamento máximo do aço da armadura de tração é de 10%o, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no ELU. g) O encurtamento de ruptura do concreto é de 2%o, na compressão simples, e de 3,5%o, na flexão simples, como mostra o diagrama parábola-retângulo da Figura 3.5 (b). Na Figura 5.3, adota-se a seguinte simbologia, que segue a convenção internacional: • h :
altura total da seção = distância da fibra mais comprimida à mais tracionada;
• d:
altura útil = distância do centro de gravidade da armadura de tração à fibra mais comprimida;
Rst
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dl : distância do CG da armadura de tração à fibra mais tracionada: h = x :
distância (ou profundidade) da linha neutra da seção à fibra mais comprimida. A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos de tensão nula da seção transversal;
y = 0} 8 x : altura do diagrama retangular simplificado, que define a linha neutra "fictícia", abaixo da qual as tensões de compressão do concreto são nulas; R
: resultante das tensões de compressão no concreto;
R
: resultante das tensões de tração na armadura;
z :
braço de alavanca das resultantes de tração e compressão;
e ,; a , :
encurtamento e tensão máximos de compressão no concreto, no ELU deflexão;
& ,; a ,: alongamento e tensão de tração máximos do aço na ruptura da peça. Na Figura 5.3, ao se adotar o diagrama retangular simplificado, a tensão máxima de compressão no concreto pode assumir dois diferentes valores, conforme a variação da largura da zona comprimida de concreto da seção transversal, como mostra a Figura 5.4, a seguir.
seçoes de largura constante ou crescente na zona comprimida:
' seçoes de largura decrescente na zona comprimida:
a)
Figura 5.4 - Valores máximos da tensão de compressão no concreto nos ELU de flexão
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
5.4.2
Domínios de deformações das seções no estado limite último
Conceito: denomina-se domínio de deformações a um intervalo convencional que compreende todas as possíveis situações de ruptura da seção transversal plana de um elemento linear de concreto armado, para uma determinada solicitação normal.
Cada domínio de deformações de um elemento linear sob solicitações normais (que produzem tensões normais na seção) é Identificado com um modo de ruptura, por sua vez associado ao tipo de solicitação, às dimensões da seção e à taxa e disposição das armaduras de aço. Segundo a NBR 6118 -> 17.2.2, um ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencera um dos cinco domínios, definidos a seguir e mostrados em conjunto na Figura 5.5, admitindo-se que as seções permaneçam planas após a deformação. <* Domínio 1 Ruptura da peça portração não uniforme, sem compressão. O primeiro limite é a reta at da Figura 5.5, da ruptura por uma força de tração no eixo da peça, normal à seção, que sofre apenas translação. Desprezada a resistência à tração do concreto, admite-se que a peça rompe quando o aço alcança o alongamento de 10%o, limite convencional de deformação plástica excessiva. As tensões são apenas de tração, se a resultante de forças está aplicada dentro do núcleo central de inércia da seção (região em que, sendo uma força normal aplicada no seu interior, todas as tensões têm o mesmo sinal da força -tração ou compressão). A reta c, da Figura 5.5, representa uma ruptura em que a resultante de tração é aplicada no limite inferior do núcleo central, com tração máxima na fibra extrema mais próxima e compressão nula na extremidade oposta. A ruptura no domínio 1 é denominada "tração com pequena excentricidade".
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alongamento
encurtamento
2%o 3,5%o
Secão transversal
~r
,....& w
aço
Unha neutra
JL
aço 10%o
Figura 5.5 — Domínios de deformação das seções no estado limite último
Domínio2 Ruptura da peça com o escoamento do aço atingindo o alongamento máximo convencional de 10%o, sem esmagamento do concreto. Nesse domínio, em que a flexão predomina, deve-se prevenir a ruptura frágil da peça na zona tracionada, característica das seções fracamente armadas, providenciando uma armadura mínima de tração. A retadda Figura 5.5 representa um limite da ruptura por flexão no domínio 2, tendo o aço o alongamento máximo e o concreto esmagando ao atingir o encurtamento máximo convencionai de 3,5%o. DomínioS Ruptura da peça por flexão com o escoamento da armadura ocorrendo simultaneamente ao esmagamento do concreto à compressão. Ruptura característica de seções balanceadas ("subarmadas" na literatura brasileira; denominação pouco apropriada por dar ideia de armadura insuficiente), com a peça apresentando sinais visíveis do risco de ruptura: fissuras de grande abertura e flechas acentuadas. A reta e da Figura 5.5 representa um limite da ruptura da peça porflexão no domínio 3, com o aço no início do seu escoamento, com o alongamento e ., e o concreto esmagando com o encurtamento máximo de
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
<* Domínio 4 Ruptura por flexão, ocorrendo o esmagamento do concreto sem o escoamento do aço. Ruptura característica de seções superarmadas. Procura-se evitar o dimensionamento nesse domínio, para prevenir o risco de ruptura sem aviso, visto que o esmagamento do concreto ocorre de forma brusca. A reta/da Figura 5.5 representa um limite hipotético da ruptura da peça por flexão no domínio 4, tendo o aço alongamento zero e o concreto esmagando com o encurtamento de 3,5%o. Esse limite, na prática, só ocorre na flexão composta. w- Domínio 4 a: ruptura por compressão excêntrica, estando toda a seção e as armaduras comprimidas, com exceção de uma pequena região tracionada, nas fibras abaixo da armadura. *> DomínioS Ruptura por compressão não uniforme, sem tração. A resultante das tensões de compressão está situada, portanto, dentro do núcleo central de inércia da seção. Areta g da Figura 5.5 representa a ruptura da peça com a resultante de compressão aplicada no limite do núcleo central, provocando o encurtamento máximo de 3}5%o na fibra extrema mais próxima e tração nula na extremidade oposta. A reta b da figura representa uma ruptura por compressão uniforme ou axial, com a seção sofrendo apenas translação e rompendo o concreto com o encurtamento máximo de 2,0%o. A ruptura de seções no domínio 5 é proveniente da "compressão com pequena excentricidade". No dimensionamento de vigas à flexão pura, só têm significado os domínios 2, 3 e 4, cuja associação às deformações específicas correspondentes do aço e do concreto, mostradas na Figura 5.5, pode ser expressa na forma seguinte: - Limite 1-2: £ca =0
e £sa = 10%o;
e esa = 10%o
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1 90
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(seções fracamente armadas => caracteriza dimensões
excessivas da
seção de concreto. No dimensionamento, deve-se prevenir o risco de ruptura frágil, verificando-se a necessidade de uma armadura mínima de tração)
Limite 2-3:
e , — 3,5%o e e . = 1096o (dimensionamento mais racional, com ambos os materiais alcançando os [imites convencionais máximos da norma)
domínio 3 : £ ,= 3,5%o e & ,< e ,< 1096o cá ' yd sã
-
(seções balanceadas; dimensionamento recomendável, com os materiais esgotando sua capacidade; no Brasil, têm a denominação usual de seções subarmadas)
t Limite 3-4:
£cd = 3}5%o e esd = £td (seções normalmente armadas)
$ domínio 4 : £cc! = 3J5%o e O < £sd < B . (seções superarmadas - risco de ruptura sem aviso)
Limite 4~4a; £ cd,= 3,5%o e £ sd, = O '
Capítulo -5 -.Cálculo de elementos lineares à flexão pura
5.4.3 .Seções retangular.es com armadura simples no .estado limite .último :5.4-3f1 Princípios
Conceito; diz-se que ujna seção cie concreto armado é dimensionada com armadura simples quando p .cálculo à flexão mostra a necessidade .apenas de Armadura na zona de tração.
Na zona de compressão, somente o concreto é suficiente para constituir o binário interno resistente junto com uma armadura de tração (A ), cujo momento (M^) deve equilibrar p momento solicitante proveniente das ações (Msf}). O dimensionamento da seção transversal é feito por expressões obtidas de duas vias: *> compatibilidade de deformações: tendo por base a hipótese das seções planas; <* equilíbrio da seção: impondo a condição de o momento solicitante de cálculo ser igual ou inferior ao binário resistente (M^ < MRd). Junto à borda mais comprimida, é necessário colocar duas barras longitudinais, como armadura de montagem, com o diâmetro no mínimo igual ao do estribo, denominadas porta-estribos. Apesar de não serem consideradas no cálculo, essas barras estão comprimidas e colaboram com o concreto à compressão. A Figura 5.6, a seguir, mostra à esquerda os detalhes da seção transversal, retangular apenas para fins de ilustração. No centro, é visto um corte longitudinal, que contém o eixo neutro da peça, em que se representam as deformações específicas da seção, suposta plana até a ruptura. À direita da figura, são representadas as tensões normais na seção e as resultantes de compressão no concreto e de tração no aço, que constituem o binário resistente: M_, = R cc . z = R st,. z . Rd
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bw .
,
D TJ J~
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h d
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i
y
J Alinha neutra fictícia
Msd
r
í
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,i
,
porta-estribos
x
y— í/, o x 1
•
eixo neutro real
À scc
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/ \ — d- 0,4 x
•
T-
V^ / armadura de tração
3
l
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R.
a
= CT
j Á
Figura 5.6 - Seção retangular com armadura simples no estado limite último
5.4.3.2 Compatibilidade de deformações do aço e do concreto A seção transversal plana e indeformada a-a, submetida ao momento fletor último Msd, sofre rotação e assume a posição a'~a't permanecendo plana. Por semelhança de triângulos, da Figura 5,6, as deformações específicas do aço e do concreto podem ser expressas:
l-x/d x/d
d- x
cd
É de interesse para a formulação definiro coeficiente adimensional k
~x/d,
chamado altura ou profundidade relativa da linha neutra, com o qual se obtêm as expressões:
Ir K
'sd
cd
/c,. -
d
"-
(5.1)
•cd
(5.2)
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Entrando na expressão (5.2) com os valores limites das deformações máximas do aço e do concreto, expostas noitem 5.4.2, podem ser definidos os seguintes intervalos para os valores do coeficiente kx nos domínios de flexão simples: • Limite entre os domínios 7-2:
kv — O
*
domínio 2 í
• Limite entre os domínios 2-3:
kx = 0,259 }
$ domínio 3
í • Limite entre os domínios 3-4:
k x = k xhm ,. = 3.5%o / \(5.5%o + yd/ e ,) '
í domínio 4
í • Limite entre os domínios 4-4a:
kx = l
Portanto, com o coeficiente kx variando no intervalo O < k < l, podem ser definidas todas as situações possíveis do dimensionamento de secões de concreto à flexão simples. Na realidade, nos domínios 2 e 4 de flexão simples não são atingidos os (imites k = O ou l, que só ocorrem na flexão composta. O coeficiente no limite dos domínios 3 e 4, denominado k
é importante, pois
acima desse valor a seção será superarmada, com pouca dutilidade e risco de ruptura sem aviso. Afigura a seguir ilustra como os domínios de deformações das secões nos ELU da flexão simples se associam aos diagramas tensão x deformação dos dois materiais.
193
o
CD X O»
CU
3
CL CD
CD
CL
3
O. O
O W
CD
Q. O
D
Ol
3
(Q C
Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Para o dimensionamento nos domínios 2 e 3, as seguintes situações peculiares devem ser ressaltadas; a) Domínio 2-variação da tensão de compressão no concreto: Nesse domínio, o aço atinge o alongamento convencional limite de 10%ot sem que haja esmagamento do concreto. Deve-se verificar a necessidade de armadura mínima para prevenir o risco de ruptura frágil por tração, seguindo a prescrições do item 5.6.2, à frente. Em função do valor assumido pelo encurtamento máximo do concreto (e ) no ELU.' conforme o diagrama N c,max' a
r
a - £ da Figura 3.5 (b), do Capítulo 3, e a respectiva expressão (3.16), esse domínio pode ser subdividido em: domínio 2 a: se 2%o < e c, tnax < 3,5%o ;' e Domínio 2b: se O < e c, max < ' 2%o. A distribuição de tensões de compressão no concreto, como descreve o item 5.4.1, alínea d), e mostra a Figura 5.3, é expressa pelo diagrama parábola-retângulo, que pode ser substituído pelo diagrama retangular simplificado, com a altura y = 0,8xe atensão de compressão no concreto a ca, = 0,85 ^f
.. No entanto, nos dois intervalos de encurtamento do
ca
concreto em que se subdivide o domínio 2, é necessário fazer uma correção na tensão do concreto do diagrama retangular, a ,~ 0,85 p f
, , para que
possa se manter a mesma altura y = 0,8x e resultante de compressão, Rcc, nos diagramas parábola-retângulo e retangular. Estabelecendo como base a equivalência dos valores das resultantes R
dos dois diagramas, o
coeficiente p de correção da tensão de compressão no concreto pode ser obtido a partir da compatibilidade de deformações na zona comprimida de concreto e de princípios básicos da Mecânica dos Sólidos, O braço de alavanca, z, das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço, rigorosamente, sofre uma ligeira alteração no domínio 2, ao se adotar o diagrama retangular em lugar do parábola-retângulo. Entretanto, nesse domínio, a profundidade da linha neutra, x, é muito reduzida em relação à altura da peça, resultando em um erro desprezível, além de a favor da
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segurança. Dessa forma, as expressões para o coeficiente /? de correção da tensão de compressão no concreto, no domínio 2, são: ^ Domínio 2 a:
2%o í e
cmax <,
3,5%o & 0 f= 1,25i [l -\. 0,67/e ' }
(96o)] cmax v
/J
(5.3)*
'
^ Domínio 2 b:
O <. e cmax < 2%o ^> 8' = 0,59 [e **
(%o)} m v /J
rmax
b) Domínio 3-garantia de boas condições de dutilidade da peça: Segundo a NBR 6118-* 17.2.3, é necessário garantir uma boa dutilidade das peças fletidas, principalmente nas zonas de apoio, adotando, se necessário, armaduras de compressão. A dutilidade e a capacidade de rotação dos elementos estruturais dependem da posição da linha neutra no ELU,1 com valores muito elevados do coeficiente k x =x/d resultando em menor dutilidade da peça. Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, o item 14.6.4.3 da norma exige que a posição da linha neutra observe os limites seguintes:
kx = — £ 0,50 para concretos com fck ^ 35 MPa
(5.4) JC
A'v - — £ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa
Nos termos dos itens citados da norma, a observância de limites para k ê obrigatória apenas nas regiões de apoio ou de ligação das vigas com outros elementos, nas quais ocorrem cargas concentradas. Sendo assim, para os momentos positivos de vãos sem cargas concentradas, depreende-se que o limite da expressão (5.3) não é obrigatório.
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
5:4:3.3 Equilíbrio de esforços Da distribuição de tensões na seção transversal de um elemento sujeito ao momento solicitante de cálculo Msd, mostrada na Figura 5.6, pode-se escrever o binário interno resistente para o concreto à compressão e o aço à tração, nas formas seguintes: a) Concreto à compressão
Msd = Rccz = (ocdbw y) (d - 0,4x) = (acd bw. 0,8x) (l - 0,4 ~) d d Msd=0,8kx(l-0,4kx)bwd2acd Para simplificar a formulação de cálculo, é de interesse definir dois coeficientes; *> coeficiente do momento fletor de cálculo,' k ma,:
Msd W*Sd
~ kmã^wd" fcd
OU
kmd
b d-T—f
~ ~
v-*"0/
(5 5)
»:* coeficiente do braço de alavanca (ou braço de alavanca relativo) das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço; A; = z/d = l - 0,4 k. O coeficiente do momento de cálculo, kmd, é associado às grandezas referentes ao concreto: largura (b J e altura útil (d) da seção transversal e resistência de cálculo do concreto à compressão (fcd). É, em geral, o primeiro coeficiente a ser obtido no cálculo, com as dimensões sendo definidas a partir do projeto dearquítetura. Nos domínios 3 e 4, a ruptura ocorre com o esmagamento do concreto, o que, no caso mais geral da Figura 5.4a), corresponde à tensão de compressão máxima acd = 0,85fcd. Da expressão (5.5) e do equilíbrio do binário resistente, nesses domínios tem-se:
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k
ma
=0,68 k x *(l-034k ) = 0,68 kx kz ' * x' 3
(5.6)'
v
Da expressão (5.6), nos domínios 3 e 4, a profundidade relativa da linha neutra é dada por:
kx = l,25-l,917 V 0,425 -kmd
(5-7)
No ELU do domínio 2, o aço atinge o limite convencional de 10%o sem esmagamento do concreto. Conforme explica a alínea a) do item anterior 5.4.3.2, para manter a consistência da substituição do diagrama parábolaretângulo de compressão no concreto pelo diagrama retangular simplificado, a tensão máxima assume a forma acã — 0,85 fifcí{. O coeficiente p é dado pelas expressões (5.3), em função do encurtamento máximo do concreto, que, pela segunda das expressões (5.1), também depende de kx, como: ec, max - 10%ok x Al~ kx '). Do equilíbrio do binário resistente no domínio 2, ^ ' tem~se então kma, = 0,68 8 k (l~Q,4k \, ' " x *• ' xJ
conhecido o coefi '
kmd da expressão (5.5) e com ^em função de k , pode-se obter este último, numa formulação mais complexa que a expressão (5.7). b) Aço à tração Da Figura 5.6, sendo a resultante de tração no aço Rsf = As asd , a equação de equilíbrio que limita o momento fletor solicitante de cálculo ao binário interno resistente à tração será:
donde se obtém a área de aço necessária ao equilíbrio:
A... —
M, 'sd kz
(5.8)
A tensão de tração no aço da armadura, asd, no estado limite último, é dada por: ^ Para cálculo nos domínios 2 ou 3: cr = f . sd J yd
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Para cálculo no domínio 4: a sã, — E s Bsã,. Nesse domínio,' õ aço não escoa * na ruptura da peça e a deformação no ELU, esd, é obtida da primeira das expressões (5.1) com o encurtamento do concreto assumindo o limite convencional Ecd =3,596o. '
5.4.4 Considerações práticas sobre o dimensionamento a) Os coeficientes adimensionais kx, kmd e kz são interdependentes e identificam o domínio de deformações no ELU para o dimensionamento à flexão. Conhecido um dos coeficientes, pode-se determinar os demais. Como antes mencionado, em geral, o primeiro termo obtido no dimensionamento é o coeficiente do momento de cálculo kmà. Pela ordem, traçam-se os diagramas de momentos fletores solicitantes, a partir de modelos da Teoria das Estruturas, definem-se a resistência característica do concreto e as dimensões das peças, conforme o projeto de arquitetura, para então se obter o coeficiente k à, da expressão (5.5). b) Além desses coeficientes, da expressão 5.5 pode-se definir o coeficiente da altura útil kd como:
d - k
(5.9) \f
cd
Na nomenclatura técnica do Brasil, é comum atribuir o nome "altura útil mínima" da seção ao valor da altura útil para o qual a seção seria normalmente armada com .armadura simples, ou seja, fosse dimensionada no limite dos domínios 3 e 4: A
(5.10)
'ctl
Conhecida a altura útil da seção e calculando d mm., rpode ocorrer uma das s situações:
199
200
João Carlos Teatiní de Souza Clímaco
^ d- dmin O seção normalmente armada (limite dos domínios 3 e 4) **• d> d mm. o seção subarmada ou fracamente armada x(domínios 2 ou 3) y ' ^ d
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
5.5 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003
5.5.1 Largura mínima da seção transversal Segundo a NBR 6118 -v 13.2.2: "A seção transversal das vigas não deverá apresentar largura menor que 12 cm, e das vigas parede, menor que 15 cm. Esses limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: a) alojamento das armaduras e suas interferências com armaduras de outros elementos estruturais respeitando os espaçamentos e as coberturas estabelecidos nesta Norma; b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931".1 Portanto, em qualquer caso, a largura das vigas de seção retangular deve observar: bw^10 cm
(5.11)
5.5.2 Disposição das armaduras na largura da viga A Tabela 5.3 apresenta as áreas de seção das armaduras, com as bitolas padronizadas pela NBR 7480: 1996, e a largura mínima da viga, medida internamente aos estribos, b , para se acomodar o número correspondente de barras. Tendo os estribos a bitola 0 e sendo o cobrimento nominal exigido de concreto cno/n', deve-se adicionar à largura interna aos estribos,' bs' , da tabela, a ' o valor 2(cnom + #,), específico para cada cálculo, donde se obtém a largura mínima da viga,' b HWÍf/J . ,' necessária para se acomodar a armadura escolhida. a
r
Se esse valor é inferior à largura Z? , da seção transversal, uma situação favorável ao cálculo e à execução, tem-se a disposição de barras longitudinais da armadura em uma camada.
NBR 14931: 2003 - Execução de estruturas de concreto - procedimento.
201
202
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Os valores mínimos da espessura da camada do cobrimento nominal de concreto (c
) dependem da classe de agressividade ambiental da estrutura. Para as
armaduras positivas, os cobrimentos são os mesmos anteriormente dados na Tabela 4.2 do item 4.5.4.1 do Capítulo 4, extraída da NBR 6118 -v 7.4.7.2. Para as armaduras negativas, a norma permite que se adote o cobrimento nominal > 15 mm, nos casos de haver argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos (tipo carpete e madeira), argamassa de revestimento e acabamento com pisos de elevado desempenho, cerâmicos, asfálticos e outros. Para armadura em uma camada, a distância do centro de gravidade da armadura de tração à fibra mais tracionada, dl, da Figura 5.5, é dada por:
dl=h-d^c iiom +&+ 0/2 í
(5.12) ^ '
No início do dimensionamento, em geral, é conhecida a altura total da viga, h, e não a altura útil, d, usada no cálculo. Antes de ser calculada a armadura, não se tem a bitola das barras longitudinais, 0, nem a dos estribos. É necessário, então, um valor inicial como tentativa, por exemplo, dl = 40 mm, suficiente para os valores do cobrimento até c nem =25 mm, bitola da armadura 'principal 0 ' = 20 mm e diâmetro dos estribos, { = 5 mm. Esses valores cobrem boa parte dos casos de estruturas usuais, para peças em condições normais de exposição. Em certos casos, sendo a largura da viga insuficiente para acomodar a área de aço calculada, deve-se dispor a armadura em mais de uma camada. Nesse caso, busca-se dispor o maior número de barras na 1- camada, mais próxima da face da viga, e as demais, conforme a necessidade, igualmente espaçadas da primeira na altura da viga. Isso acarreta mudança no valor iniciai de dl, sendo necessário calcular o novo valor para o número de camadas adotado. Caso a diferença encontrada do valor inicial seja apreciável, deve-se recalcular a altura útil de a área da armadura, que irá aumentar em virtude da redução da altura útil da viga. Trata-se, na realidade, de um processo iterativo, que pode ser otimizado se, no início do processo, se consideram corretamente as
Capítulo 5 - Cálculo ífé -elementos lineares ã'flexão pura
condições de exposição da peça,-ã resistência do concreto e as dimensões da seção transversal com relação aos momentos fletores atuafites. Para a armadura em duas camadas, tem-se:
•dl = h - d = c nom +0+0+0/2 t onde: a = espaçamento vertical entre duas barras, igual ao maior dos dois valores 2 cm e 0. A disposição da armadura em mais de uma camada é possível, desde que se verifique á condição a seguir, imposta pela norma no item 17.2.4.1, para que as tensões de tração na armadura possam ser consideradas concentradas em seu centro de gravidade. Para cada camada adicional, deve ser atendido:
Aí 20% h
(5.13)
onde: A - distância do centro de gravidade da armadura ao ponto de sua seção mais afastado da linha neutra, medida normalmente a esta. Para a armadura de tração em duas camadas de bitola 0, aproxima m ente, tem-se: A — 0 + a/2. Para três camadas: A = l,50+a. Caso não seja atendida a condição anterior para nenhuma bitola comercial, a alternativa é aumentar a altura ou a largura da viga.
5.5.3 Armadura longitudinal mínima Muitas vezes, por condições exigidas pelo projeto de arquitetura, podem ocorrer dimensões excessivas da seção transversal de concreto, em algumas vigas ou em algumas seções da mesma viga, que terão seu cálculo no domínio 2. Nesse domínio, no caso de ocorrerem valores do coeficiente da profundidade da linha
203
204
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
neutra kx < 0,167 (ou kmd < 0,088 ), da Tabela 5.2, o concreto comprimido teria encurtamento último ecd<2,Q%Q. Para prevenir ruptura frágil portração na seção, devem ser tomadas precauções especiais que evitem deformações excessivas da armadura tracionada. O critério para se obter a armadura longitudinal de tração mínima de qualquer elemento fletido é que a área de aço deve resistir a um momento igual ou superior ao de ruptura da seção sem armadura, sem considerar a resistência à tração do concreto. Com base nesse princípio, a NBR 6118 —*• 17.3.5.2.1 fornece uma expressão do momento fletor mínimo para se determinar a armadura mínima de tração, que, para seções retangulares, assume a forma:
M,a, mm. =0,052 b w h2f ckL 3
2/3
(5.14)
J
O dimensionamento da armadura rpara atender a M,ti, min. rpode ser considerado atendido se forem respeitados os valores da Tabela 5.1, obtida do item 17.375.2.1 da norma, que disponibilíza as taxas geométricas mínimas de armadura de flexão, pmln =As/(bh)l respeitada a taxa mínima absoluta de armadura de 0,15%. ATabela 5.1 atende a valores da resistência característica do concreto entre 20 e SOMPa e diferentes formas da seção transversal, para o aço CA-50 e os coeficientes de minoração do concreto e do aço, respectivamente, /c = 1,4 e ys = 1,15. Tabela 5.1-Valores de pm/rt (%) (NBR 6118: 2003)
fck(MPa)
Forma da seção 20
25
30
35
40
45
50
Retangular
0,150
0,150
0,173
0,201
0,230
0,259
0,288
T (mesa comprimida)
0,150
0,150
0,150
0,150
0,158
0,177
0,197
T (mesa tracionada)
0,150
0,150
0,153
0,178
0,204
0,229
0,255
0,230
0,288
0,345
0,403
0,460
0,518
0,575
Circular
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Portanto, para as seções no ELU do Domínio 2 com valores de k < 0,167, calcula-se a área de armadura da expressão (5,8), com os respectivos coeficientes k da Tabela 5.2, verificando se é superior à mínima. Para seções retangulares com k < 0,05 (ou kmd < 0,014), pode-se adotar, diretamente, a armadura mínima de tracão, com área Á s = p"mm . (b h). * ' *• w '
5.5.4 Armadura longitudinal máxima É necessário impor também valores máximos para as armaduras de peças de concreto armado, a fim de garantir a validade dos modelos de cálculo adotados e a dutilidade da estrutura e evitar altas concentrações de ferragem, que podem comprometer o bom adensamento e a compactação do concreto. Segundo a NBR 6118 -> 17.3.5.2.4, a soma das armaduras de tracão e de compressão, ou seja, a armadura total da seção,.^
, deve observar:
A s,ftfot=A s +A> s <,4%(b ^ wh)•*
(5.15) \
5.6 CALCULO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA 5.6.1 Fundamentos de cálculo No cálculo de uma viga de concreto armado com armadura simples, quando se obtém o coeficiente do momento k ma, > k malim ... v(o mesmo que k x > k xhm ,. ou ^ d< d . ), esse cálculo teria de ser feito no domínio 4, o que não é conveniente, pois o dimensionamento resultaria em uma peça superarmada. Uma primeira alternativa seria aumentar a altura da viga, para situar o cálculo nos domínios 3 ou 2, como seção subarmada. Caso a altura da viga não possa ser aumentada, por restrições do projeto de arquitetura, pode-se adotar a opção de reforçar a zona comprimida de concreto, com a colocação de uma armadura de compressão. Nesse caso, diz-se que a peça será dimensionada com "armadura dupla", ou seja, armaduras de tracão e
20 5
206
João Carlos Teatiní de Souza Clímaco
de compressão. Para o cálculo da seção, o momento fletor de cálculo, Msd, é dividido em duas parcelas:
Â'
a f'
é ^| $?.
Msd ^/ V
,
armadura comprimida
A^
,.i.. v- -V».
i
,L
X 1
p-
<
1
a.1
h
bw
/
•
armadura tracionada
'
/ 1-
'
11 ^""^
X
- -] ~ ~ ~
% \
a
N\
/-/7
^
=
\ \ Âsl
*o *
+
^J
Figura 5.8 - Seção reíangular com armadura dupla no estado limite último
a) Mdl: momento máximo resistido pelo concreto à compressão e por uma parcela da armadura tracionada, As], por meio da imposição de duas condições, conforme seja considerada uma seção do apoio ou do vão: ^ Secão do vão com momento positivo (sem carga concentrada ou ligação com outros elementos estruturais): toma-se o momento máximo da seção com armadura simples, ou seja, no limite entre os domínios 3-4, isto é:
M,=k dj
fll,
ntdlun
b w d2f icd J
(5.16)
Seção do apoio com momento negativo (ou seções de momento positivo em vãos com carga concentrada ou ligação com outros elementos estruturais): deve-se ter, no máximo, a seção com armadura simples com o momento calculado com o valor kmd = 0,272, correspondente a kx = 0,500, para concretos comfck£ 35MPa, ouknid= 0,228, correspondente a k = 0,400, para fck > 35 MPa. Esse limite é imposto pela norma, no item 14.6.4.3, conforme descrito no item anterior 5.4.4, alínea d), visando
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
melhorar a dutilidade, especialmente nas regiões de apoio das vigas ou de ligação entre elementos. Dessa forma, para^ < 35 MPa, tem-se:
M ' dl =0,272 b w d2Jf ca, J
(5.17) '
^
b) Md2 : excesso do momento fletor Md, que deve ser resistido pelo binário da armadura de compressão A1 -armadura tracão adicional Âs2, dado por:
Md2=MSd-Md,
(5.18)
Dessa forma, a armadura total de tracão será a soma das parcelas calculadas com os momentos fletores parciais Mdl e Md2 , ou seja, AS =As} + A T A armadura correspondente ao momento MdJ é dada pelas expressões (5.19), conforme sejam os momentos positivos (expressão à esquerda) ou negativos (à direita, se^ < 35 MPa):
Av, = •-——• ou vAv! = Kzlímdfyil " » 0,800 d f yil
-
Para a segunda parcela do momento fletor, Md2 , a ser resistido pelo binário das armaduras de compressão (A ' ) e de tracão (A 2), tem-se:
(5'20) A's =
d, /f
'
(5.21)
A tensão no aço da armadura tracionada, para ambas as parcelas, AS} e A 2, é igual à de escoamento, f
id
, pelas condições impostas para a obtenção do
momento Mdl , ou seja, no limite 3-4 ou no domínio 3, conforme as expressões (5.16) ou (5.17).
207
208
João Carlos Teatini de Souza Ctímaco
Adeformação do aço da armadura comprimida, e' d% é obtida da compatibilidade de deformações nas armaduras de compressão e tração, pela hipótese das seções planas da Figura 5.8. Nas expressões (5.22), para seções com momento positivo, adota-se a expressão com k{l; com momento negativo efck ^ 35 MPa, adotase kx = 0,500. Do diagrama a - £ do aço empregado (Figura 3.4), calcula-se a tensão de compressão a* d.
x - d, x
t, r __ _ 2 3 c Q/ stl ~ '- .J, J 700
8
(x/d) - (d, /d) x/d
r*\ —. ' * 2 'Q *•> Ssd - •-—- .3,
xlim
Para
k = 0,500
O
0,500 -cL /d
e'd=— -2-—•.3,5%o sd 0,500
5.6.2 Limite para emprego de armadura dupla Apesar de a NBR 6118 não explicitar nenhuma limitação para o dimensionamento de vigas com armadura dupla, é razoável a adoção de algum tipo de limite, para se evitar peças com altura muito reduzida. Algumas publicações brasileiras (MORAES, M. C., 1982; PFEIL, 1985) sugerem um limite da norma russa que, possivelmente, tem relação com a expressão (5.5):
MSàíQ,425bwd*fcd
(5.23)
A expressão (5.23) indica que não se deve usar armadura dupla quando o cálculo da seção com armadura simples cair no domínio 4, com valores de kmd > 0,425. Para o aço CA-50, isto corresponderia a, aproximadamente, Md2 = Md}/3. Quando esse fato ocorrer, deve-se buscar outra alternativa, como o dimensionamento como seção T ou o aumento da altura da viga. Para se conseguir a menor alteração possível na altura da peça, deve-se impor kmd= 0,4,25 e calcular uma nova altura
Capitulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
útil da expressão (5.9), com kd= 1,534, dimensionando então a seção com armadura dupla.
5.7 CÁLCULO DE SEÇÕES EM FORMA DE "T" 5.7.1 Introdução Nas estruturas de concreto armado, com o concreto moldado no local, na maioria dos casos as lajes e as vigas que as suportam estão fisicamente interligadas, isto é, trabalham solidárias. Quando a laje trabalha solidariamemte com a viga e é também comprimida pelo momento fletor, como na Figura 5.9, tem-se um aumento significativo na zona de compressão de concreto, que pode ser aproveitado para o cálculo da armadura. Apesar de ser uma solução que, em geral, resulta em grande economia de aço e concreto, parte dos projetistas só lança mão da alternativa de considerar no cálculo a seção transversal em T em vigas de altura muito reduzida, quando a seção retangular se mostra inviável mesmo com armadura dupla. Segundo a N BR 6118 -+14.6.2.2: "Aconsideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista".
1
hfl
laje
linha -• neutra
viga
viga
S//////X
n
Y//////;
ííw
4
-T
h
yM
^
viga
Figura 5.9 - Laje solidária com a viga aumentando a zona comprimida de concreto Nos casos em que a lajefortracionada pelo momento fletor, a capacidade resistente não pode ser aumentada, pois a resistência à tração do concreto é desprezada no cálculo.
209
210
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
5.7.2 Largura da laje colaborante ou mesa A largura da mesa da viga de seção T , b fí ou seja, a parte da laje que pode ser considerada no cálculo colaborando com a viga (Figura 5.10), é definida como a soma da largura da nervura, b ,, com as distâncias das extremidades da mesa às faces respectivas da nervura: bjt do lado interno em que existe uma viga adjacente, e b3 do lado externo, no caso de haver bordo sem viga, válido também para a viga T isolada, comum em caso de peças pré-moldadas.
lordo ivre
mesa
__
b3
-^
///J alma ou nervura
laje
01
Figura 5.10 - Largura da mesa ou laje colaborante de seções T
Conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118;
0,1a 0,5 b.
0}la b.
(5.24)
onde: b = distância entre as faces de duas nervuras sucessivas; a =
distância entre pontos de momento nulo, medida ao longo do eixo da viga, em cada tramo, podendo ser obtida diretamente do diagrama de momentos fletores, ou pelos seguintes valores, dados pela norma: • viga simplesmente apoiada
& a —Q
• viga com momento em uma só extremidade
*>
a = 0,75 Q
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
- tramo com momento nas duas extremidades
£>
a = 0,60 $
• tramo em balanço
& a=2ô
Conforme a posição relativa das vigas, as seguintes situações podem ser encontradas: • b, — bw + b]es + bldlr ^> seção T com duas vigas adjacentes - bf= b
+ b j + b3
& seção T com uma viga adjacente e um bordo livre
• bff~ b w + 2b,3
^> seção T isolada *
- bf- bw + b}
o viga extrema (o cálculo como seção T ainda é viável, pois, em virtude da rigidez relativa, a laje ainda colabora com a viga)
Nas vigas contínuas, podem ocorrer diferentes valores para a largura bf da mesa da seção T, nos vários tramos da viga, conforme a disposição relativa das demais vigas em um determinado piso. Segundo a NBR 6118: "No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima".
5.7.3 Altura útil de comparação Conceito: a altura útil de comparação (d ) de uma seção T é definida como o valor da altura para o qual a linha neutra fictícia é tangente à face inferior da mesa, ficando a mesa da seção completamente comprimida, ou seja, y — hf.
A altura útil de comparação é, na realidade, um valor teórico, obtido como um recurso para se estimar a posição da linha neutra da seção T e, dessa forma, definir em cada caso as situações de cálculo.
211
212
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
V
0.
=
linha neutra fictícia
0,85fcdbfhf
R st
Figura 5.11 -Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa (d = áo]
Na Figura 5.11, o equilíbrio do momento fletor solicitante de cálculo Md é garantido por um binário resistente em que a resultante de compressão é fornecida pela mesa comprimida de concreto, que compreende toda a espessura da laje, hf. Dessa forma, pode-se obter a expressão para cálculo da altura útil de comparação:
O
d
=
Obtido o valor da altura útil de comparação, d
*Sd
0,85fcdbfhf t
2
(5.25)
sendo d a altura real da viga,
predefinida em função do projeto de arquitetura, pode-se verificar a posição da linha neutra fictícia comparando esses dois valores, podendo ocorrer as situações seguintes: - Se d = d Q
•*•
y = hf: linha neutra fictícia tangente à mesa
•Se
d> d o
•*
S
•Se
d< d o
•*•
y
Jy > h,: f linha neutra fictícia dentro da nervura
Nas duas primeiras situações, a zona comprimida da seção será retangular, enquanto, na terceira, a linha neutra fictícia estará situada dentro da nervura, com a zona comprimida assumindo a forma de T.
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
5.7.4 Dimensionamento 1e caso: d^ d
et
* y <>h J
J_
Figura 5.12 - Viga de seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa ( d k d o }
Com a linha neutra fictícia no interior da mesa, ou, no limite, tangente à face inferior da mesa, a zona comprimida da seção é retangular. Dessa forma, o cálculo pode ser feito como uma seção retangular de largura b. e altura h, visto que na zonadetração, abaixo da linha neutra, apenas a armadura deve ser considerada para fins de cálculo, uma vez que é desprezada a resistência do concreto à tração. Dessa forma, serão usadas no cálculo as expressões seguintes, originadas das anteriores (5.5) e (5.8);
M,Sd
(5.26)
*f«
d2 fcll
22 caso: d
y>hf: bf-
[y>»f
^%%^
-vFigura 5.13 - Viga de seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura (d
213
21 4
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Nesse caso, estando a linha neutra fictícia dentro da nervura, a zona comprimida de concreto tem a forma de T, como mostra a Figura 5. 13. 0 cálculo da armadura será feito, então, dividindo-se o momento fletor de cálculo, Md, em duas parcelas, como se segue: a) Mdf '.
momento fletor equilibrado na zona de compressão pelas áreas laterais da mesa, com largura b .- b , e na zona tracionada por uma parte da armadura de tração ^4 ..
h/2
O
M,,f « _ L _
b) Mdw = Md - Mdf : resistido pela seção retangular bw h, constituída pelo concreto da nervura e garantindo o equilíbrio com uma segunda parcela da armadura de tração, A .
Mdw = MS(I- Mdf
O klíld = -*- O kt O Asw = -
V f cd
-
(5.28)
^ajyi
Dessa forma, a área da armadura total de tração será ^ =Âtf+Âsw.
5.7.5 Comentários sobre o cálculo como seção T a) No dimensionamento da viga como seção T, tanto no 1^ caso de cálculo como para a nervura da viga no 2^ caso, o cálculo é feito como seção retangular. Dessa forma, os limites para os coeficientes adímensionais, descritos anteriormente neste capítulo, devem ser observados. No entanto, caso ocorra k ma,> k malim' _„. , ou seja, caso esteja a seção no domínio 4 no J ' J s ELU, deve-se evitaro dimensionamento de seçÕesTcom armadura dupla, pois isso iria resultar em uma altura de viga bastante reduzida, implicando uma diminuição da segurança adicional da estrutura, além da considerada no cálculo. Nesse caso, as alternativas podem ser o aumento das dimensões da viga ou a introdução de mudanças no lançamento estrutural.
CapituloS - Cálculo de'éfemeritos lineares à flexão pura
b) É bastante comum no dimensionamento como seção T, especialmente no 12 caso de cálculo, se encontrar valores para os coeficientes adínYensiõnais abaixo do limite inferior da Tabela 5.2 (k <* 0.167 ouma k . <' 0,088). Nesse \ ' caso, aplicarn-se as mesmas disposições do item 5.5.3 deste capítulo, com as taxas geométricas mínimas da Tabela 5-.1 sendo referidas à área de concreto de toda a seção T, isto é, a alma acrescida da laje colaborante, ou seja, . —p ..Ác com A c —b w h + (b,-b J ' À smm r tmn / » )/? 7 , . Notar que a tabela distingue dois casos para o cálculo da armadura mínima: seção T com a mesa toda comprimida (linha neutra na nervura:>» > hf) e seção T com mesa tracionada (linha neutra na mesa:;; < hf). c) Algumas normas proíbem o cálculo de vigas como seção T em vãos em que exista carga concentrada. Outras permitem o cálculo desde que se reduza o valor de b , com a aplicação de umfatorde redução (l -Mp/MT), em que Mp é o momento da carga concentrada e MT o momento da carga total (MORAES, 1982).Anorma brasileira não aborda essa questão. d) Em seu item 18.3.7 -Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma, a NBR 6118 dispõe sobre a necessidade de colocação dessa armadura em seções calculadas como T, na forma seguinte: "As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. Aseção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, será de 1,5 cm2 por metro".
21 5
216
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
5.8 EXEMPLOS 5.8.1 Verificar o domínio em que pode ser efetuado o dimensionamento à flexão de uma seção retangular, com b w = 150 mm e d = 400 mm, sujeita a um momento fletor de serviço M = 50 kN.m. Admitir o concreto com resistência f ck = 20 MPa e a armadura de aço CA-50, sendo a classe de agressividade ambiental da estrutura CAA I. a) Parâmetros da seção transversal Não tendo o enunciado estabelecido nenhuma condição específica, adotamse os valores usuais para os coeficientes de ponderação: -y, = 1,4 para o momento solicitante; y c = 1,4 para o concreto e js = 1,15 para o aço. Md =rf.M= 1,4 x 50 = 70 kN.m = 7x105 kgf.cm f ca , = f CK1/7 = 14,3 MPa ' c = 20/1,4 ' ' J
J
f^ = 435 MPa -> da Tabela 3.3, do Capítulo 3, Observações *»» ATabela 5.3 apresenta as áreas de aço em cm2 e dimensões lineares em cm. As unidades kgfe cm serão utilizadas nos exercícios, por facilidade, para se obter as áreas em cm2, de uso mais frequente na prática. *»* Para o cálculo de vigas, não se aplica o aumento de y queaNBRG118: 2003 exige para pilares com a menor dimensão da seção transversal inferior a 19 cm,
b) Coeficientes adimensionais e domínio de dimensionamento Da expressão (5.5), calcula-se o coeficiente do momento o k Da expressão (5.7) ou da Tabela 5.2, obtém-se o k = 0,349 Para o aço CA-50,' tem-se: h mcllim ... = O' t320 e k xlim ,. = 0,628 3 '
d
— 0,204
Capitulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
0,158 < k ma ,
r
r
feito com armadura simples no domínio 3, sendo a seção balanceada ou subarmada. c) Cálculo da armadura
Para k x = 0,349 O k z= l - 0,4'k =x 0,860 ' ' A área de aço é obtida da expressão (5.8) o A = 4,68 cm2 Da Tabela 5.3, escolhem-se as áreas de aço mais próximas e imediatamente superiores à calculada, obtendo-se as opções 40 12,5 ~ 4,91 cm2 ou 60 10 = 4,71 cm2. Sendo a classe de agressividade ambiental CÂA /, o cobrimento mínimo de concreto rpara momentos positivos ê cnom =25 mm. ~ Para estribos de bitola 5,0 mm, a armadura em uma camada não é viável, por ser insuficiente a largura da viga, restando as seguintes opções, ambas com armadura em duas camadas:
(20+2$) 12,5 = 4,91 cm2 com bs - 4,5 cm (30+30) 10 = 4,71 cm2
com bs = 7,0 cm
Dessas duas opções, obtêm-se os valores da distância do centro de gravidade da armadura à borda mais tracionada, d}, 5,25 cm (0 = 12,5 mm) e 5,0 cm (0= 10 mm), da expressão do item 5.5.2. Portanto, a altura total da seção, h — d + dl, deve ser, no mínimo, de 45 cm.
5.8.2 No exercício anterior, verificar qual a máxima redução possível na altura útil da seção para que a peça não seja superarmada. Na expressão (5.10), entrando com o valor kd!ím = 1,768, do aço CA-50, temse a altura útil mínima d
= 31,9 cm. A redução possível é, portanto, de 8,1
cm. Para valores menores da altura útil da seção, a peça seria superarmada.
217
218
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
No entanto, se a seção estiver submetida, a momentos negativos, ou seja, situada nas zonas de apoio, para garantir boas, condições.de dutilídade das vigas, mesmo não sendo a seção superarmada, no domínio 4, deve-se observar a disposição da NBR 6118 -> 14.6.4.3, que limita o valor máximo do coeficiente dja linha neutra, Jç = 0,500. Da Tabela 5.2 obtém-se.^ ~ 1,917', resultando, da expressão 5.9, uma altura útil de 34,6 cm.
5'.,8:.3 O diagrama; de momentos, fletores de uma viga contínua, de seção retangular constante, apresenta os valores, de momentos máximos positivo e negativo de 50 kN.m e 75 kN.m, respectivamente. Sendo b}i = 15 cm; fck~ 25 MPa, dimensionar a: seção, sabendo, que, por razões de projeto, a altura total da viga não pode ultrapassar 4.0 cm. Calcular as armaduras das seções mais solicitadas, com o aço CA-50. a) Definição da altura total h Máximo momento de cálculo em módulo: M= y.M^ l,4x 75 ^ 105kN,m (negativo)
f a ~fck /rc = 25/1,4 = 17,9 MPa; fyd = 435 MPa, da Tabela 3,3. Para o aço CA-50, no caso de momento negativo, deve-se tomar Ã: < Q,5QQ} ao qual corresponde kà = 1,917. Da expressão (5.10), obtém-se, então, a altura útil mínima da seção do apoio para armadura simples, d
—37,9 cm.
Admitindo o valor dl = 4 cm, resulta h - 41,9 cm, maior que a altura máxima disponível 40 cm. Pode-se concluir, portanto, que na seção de máximo momento negativo será necessária uma armadura de compressão, ou seja, a seção do apoio deverá ser dimensionada com armadura dupla, b) Cálculo da seção de máximo momento negativo Para. h= 40 cm, com dl = 4 cm resulta d — 36 cm Da expressão (5,5) o kmd - 0,301 < 0,425 o é possível o cálculo com armadura dupla.
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Das expressões (5.17) e (5.18), obtém-se;
MáJ = 0,272 bw d2fcd
= 0,272 x 15 x 362 x 179 = 946.500 kgf.cm
Md2 = Md - Md} = 103.500
kgf.cm
Da expressão (5.19), com kz = 0,800, tem-seÁ S} — 7,55 cm2. Adotando-se para a armadura de compressão d2 — 3 cm, da expressão (5.20) obtém-se:
Ás2 = 0,72 cm2; Às = Asl -í- As2 = 8,27 cm2 o armadura de tração disposta junto à face superiordaviga. ATabela 5.3 fornece a área de aço mais próxima 3020 = 9,42 cm2 com b s = 10,0 cm '
Supondo o cobrimenío nominal de concreto cnoni -25 mm e estribos de bitola 5,0 1 ' mm, a armadura em uma camada é inviável, pela largura insuficiente da viga. Aérea mais próxima, com três barras, não é razoável em duas camadas. Podemse então adotaras seguintes opções, ambas com armadura em duas camadas:
3016 + 2072,5 = 8,48 cm2 ou (30 + 20) 16 = 10,05 cm2; ambas com bs= 8,8 cm É ainda necessário verificar a possibilidade de colocação da armadura em duas camadas, tendo em vista a exigência da norma, da expressão (5.13), de ser A £ 10% h . No caso presente, sendo A = 0 + a!2, tomando a ~2 cm e bitola longitudinal 0=16 mm, tem-se: A = 2,6 cm < 10% h = 4,0 cm, sendo a exigência atendida. Para o cálculo da armadura de compressão da expressão (5.22), com kx = 0,500, tem-se:
e' sã = 2,9296o > e. ._, O cr' sd. = /yd. = 435 MPa ' yd, SOA J
219
220
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Da expressão (5.21), tem-se Á* s~ 0,72 cm2 O 306,3 ~ 0,94 cm2 ou 20 8,0 = 1,01 cm2, barras dispostas na face inferior da viga. c) Cálculo da armadura da seção de máximo momento positivo Md = 1,4x50 = 70 kN.m Admitindo a altura da viga constante, da expressão (5.5), obtém-se: k md =0,201 < k mdlim, ... SOA „. = 0,320 ' '
O Domínio 3. Na Tabela 5.2, obtém-se '
kz = 0,864. Da expressão (5.8), obtém-se Ás = 5,l 7cm2 O 3016 = 6,03 cm2: armadura em uma camada, disposta junto à face inferior da viga. Em resumo, as armaduras no apoio e no vão serão:
Momento máximo negativo de 75 kN.m: Ás = 3016 + 2012,5 e A''s = 20 8,0 Momento máximo positivo de 50 kN.m: As = 3016 Observação: No Capítulo 7, será estudada a disposição ao longo da viga das barras longitunais da armadura de flexão, positivas e negativas, com a finalidade de cobrir o diagrama de momentos fletores e compatibilizaros cálculos à flexão e força cortante.
5.8.4 Determinar o momento fletor resistente característico máximo de uma seção transversal retangular 20 x 50 cm2, com uma armadura de flexão 40 16 (CA-50), concreto com resistência fck- 25 MPa e os coeficientes de segurança da NBR 6118. a) Equilíbrio da seção
R cc =R si, O b w'y a ca, = Â s a sã,
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
Supondo-se, inicialmente, estar a peça nos domínios 2 ou 3, a ruptura ocorreria com o esmagamento do concreto e o escoamento do aço, donde: b w , 0,8x. 0,85 f =As*f yd. ' ' J ca
O
x = v(Âf.)/(b sJ ydJ v
w
. 0,68. f ,) ' J ca J
Com os dados do exercício presente, f^— 25/1,4 = 17,9 MPa; AS = 8,04 cm2 e adotando d} = 4 cm, tem-se: x = (8,04 . 435)1(0,68 . 20 .17,9)^14,4 cm O k= x/d = 14,3/46 = 0,312 0,259 < kx < kxílm
CA_30
= 0,628 O domínio 3 o suposição confirmada
b) Determinação do momento fletor característico resistente da seção k x = 0,312 O k z = 0,875 ' ' M,= k.d f = 0,875 .46 .8,04. 4350 = 1.407.703 kgf.cm = 141 kN.m d z s •* y d ' CJ
Mk =Md /rf = 141 / IA = 101 kN.m c) Observação para o domínio 4 Caso na verificação do domínio, da alínea a) deste exercício, a seção caísse no domínio 4, ou seja, fosse encontrado k > k efetuada inicialmente não teria validade.
n
, a suposição
Em consequência, o valor
encontrado para a profundidade da linha neutra, x , não seria correto, pois a tensão o~sd>,, no ELU no domínio 4,' é inferior à resistência de escoamento do aço. Nesse caso, na mesma equação de equilíbrio estabelecida, devese entrar com a expressão genérica para a tensão do aço do trecho linear, a
d
= E
esd. A deformação do aço no ELU, exd, é relacionada com a
profundidade da linha neutra, por meio da expressão (5.1), da qual se obtém, fazendo eca,= 3,5%o, o valor do coeficiente kx ^que foi usado no ' ' dimensionamento da seção. Desse coeficiente, obtêm-se k , analiticamente ou da Tabela 5.2, e o momento resistente, como na alínea b) do exemplo anterior.
221
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
5.9 AUTO-AVALIAÇÃO 5.9.1 Enunciados 1. Uma viga tem seção transversal retangular 20 x 50 cm2. Considerando a estrutura na classe de agressividade ambiental fraca (CÂA I) e o concreto com resistência fck= 20 MPa, determinar as armaduras de flexão para resistir ao momento de serviço de 100 kN.m, para os aços CA-25, CA-50 e CA-60. 2. Determinar o momento fletor resistente característico de uma viga com seção 20 x 35 cm2, armadura de flexão 40 20 (CA-50), fck = 25 MPa, com os coeficientes da NBR 6118. 3. Determinar os valores da altura útil e respectivas áreas da armadura de flexão, de modo que uma seção retangular de largura b — 50 cm resista a um momento fletor de serviço de 1.500 kN.m, para concreto com fc!c~25 MPa e aço CA-50, para duas condições: a) uso mais racional dos materiais; b) seção normalmente armada. 4. Dimensionara armadura de flexão de uma viga de seção retangular, 40 x 175 cm2, concreto comf^ = 30 MPa e aço CA-50, para um momento característico M= 2.500 kN.m, supondo a classe de agressividade ambiental muito forte (CAAIV). 5. A viga de seção retangular da Figura 5.14 (a) está sujeita às cargas g=25 kN/m (permanente, incluindo peso próprio) e q = 15kN/m (variável, com comprimento qualquer). Sendo a largura bw — 30 cm, fck=25MPa e aço CA-50, considerando as situações mais desfavoráveis de carregamentos, pede-se: a) a altura útil e correspondente armadura de flexão na seção central da víga, para os limites dos domínios 2 e 3 (uso mais racional dos materiais) e dos domínios 3 e 4; b) as armaduras nas seções dos apoios para as duas alturas definidas no item anterior.
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
6. Determinar a armadura de flexão de uma viga de seção retangular, dados: M = 65 kN.m (positivo}, bw~ 12 cm, d ~ 40 cm,fck - 20 MPa, aço CA-50 e classe ambiental CAAIIL O que muda no exercício se o momento fletorfor negativo? 7. Uma viga de seção retangular tem a altura útil d = 120 cm e a armadura simples de flexão com área A — 15020(C/\-5Q). Sendo o momento fletor de serviço 1.350 kN.m, calcular a profundidade da linha neutra, a largura e a altura total da seção. Criticar o dimensionamento para o caso de ser o momento negativo no apoio. Dados: classe ambiental CAA I e fck= 30 MPa. 8. Dimensionar a armadura de flexão de uma viga de seção retangular (20x 65 cm2), submetida a um momento fletor característico negativo de 380 kN.m, sendo/ci= 40 MPa e aço CA-50. 9. Numa viga de ponte com agressividade ambiental muito forte, determinar a posição da linha neutra e a armadura de flexão de uma seção retangular 30 x 120 cm2, sob ação simultânea dos momentos fletores: M gk, = 1.000 kN.m; M qk,- - 700 * kN.m; MA = -200 kN.m (em razão, por exemplo, da possibilidade de recalque de apoio e/ou retração do concreto). Tomar o concreto com fck= 40 MPa e aço CA-50. 10.Para uma seção retangular 50x 140 cm2, sendo a classe de agressividade ambiental forte,/^= 30 MPa e a armadura de flexão As- 16020 (CA-50), determinar o máximo momento de serviço que a seção resiste. 11. Dimensionar as armaduras de flexão das seções mais solicitadas de uma viga engastada-apoiada de vão 12 jn, sujeita a uma carga total de 15 kN/rn, com as dimensões da nervura central mostrada na Figura 5.14 (b), sendo /ck = 30 MPa e aço CA-50. 12. Dimensionar a seção mais solicitada de viga engastada-apoiada, com vão de 15 me a seção da nervura central mostrada na Figura 5.14 (c), para aço CA-50 e fck = 25 MPa. Além do seu peso próprio, a viga estará sujeita às
223
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cargas atuantes na laje, assim discriminadas: cargas permanentes de 140 kgf/m2, em virtude do acabamento de piso e peso de forro/luminárias, e uma carga variável de utilização de 1000 kgf/m2. 13.Uma viga biapoiada com a seção da nervura central da Figura 5.14 (d) tem vão de 6,5 m e está sujeita a uma carga total de serviço de 6,0 kN/m. Determinar a armadura de flexão para o aço CA-50, fck-25 MPa e classe ambiental CAAIII. 14. Para uma viga contínua de três vãos iguais de 5/77, com seção transversal da Figura 5.14 (e), calcular a armadura de flexão da seção central do vão central, submetida a um momento positivo de 320 kN.m. Dados: /dfc= 20 MPa e CA-50.
h f =8cm
q (comprimento variável) T _T
T w
T
T
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T
2m^
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T T T ,„ 2m^,
(a) - Exercício 5
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25 (c) - Exercício 12
h íf— Sem
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JOOcm
15 (b) - Exercício 1 1
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h f =10cm
JOOcm
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IQQcm
25
/£s y^TT
50cm
50cm 72
75
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(d ) - Exercício 13
h f =12cm
(e) - Exercício 14 25
Figura 5.14- Figuras dos exercícios de auto-avaliação do Capítulo 5
72
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
5.9.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Ver o roteiro do exemplo 5.8.1. Lembrar que o aço CA-60 só é fornecido em bitolas até 10 mm, 2. Ver exemplo 5.8.4. 3. Na condição a), a altura útil é obtida da expressão (5.9), tomando o coeficiente kd = 2,517, no limite dos domínios 2-3 do ELU, da Tabela 5.2. A condição b) implica o dimensionamento no limite dos domínios 3-4, com kállm —1,768, do aço CA-50. 4. Pelo valor elevado do momento, mesmo com a seção de concreto tendo dimensões compatíveis, é provável que a armadura de tração exija a disposição das barras em mais de uma camada. Nadasse CAAIV, com o cobrimento de concreto de 50 mm (Tabela 4.2 - Capítulo 4) e supondo duas camadas de barras longitudinais de bitola até 25 mm e estribos até 10 mm, é razoável tomar, de início, dl = 10 cm. Calcula-se a área da armadura como no exemplo 5.8.1, determinam-se o número e a bitola das barras da Tabela 5.3 e verifica-se o número de camadas, conforme o item anterior 5.5.2. 5. Na pergunta a), o carregamento mais desfavorável para a seção central da viga ocorre com a carga variável aplicada apenas no vão central de 8,0 m e, obviamente, a carga permanente em toda a sua extensão. Para cálculo das duas alturas e respectivas armaduras, o uso mais racional dos materiais corresponde aos coeficientes no limite dos domínios 2 e 3 e a seção normalmente armada ao limite dos domínios 3 e 4. Na pergunta b), o carregamento mais desfavorável para os apoios vai ocorrer com a carga variável aplicada somente nos balanços de 2,0 m, com a carga permanente em toda a viga. 6. A classe CAA 111 exige o cobrimento mínimo de concreto de 40 mm (Tabela 4.2 - Capítulo 4), de cada lado da viga. Considerando estribos de bitola 5 mm, com b — 12 cm, a largura interna disponível para acomodar as barras de tração é
225
2.26
João Carlos Teatini de Souza Climaco
de apenas 3 cm, insuficiente para permitir o espaçamento mínimo de norma entre duas barras, de 2 cm. Portanto, a primeira ação é aumentar a largura para 15 cm, para permitir o uso de bitolas longitudinais de até 20 mm. O cobrimento de 40 mm vai exigir dl > 5,5 cm para uma das camadas de barras longitudinais de bitola até 20 mm e estribos 5 777777. Por ser a altura reduzida, no cálculo da armadura pode ser necessário o emprego de armadura dupla. Para o momento fletor negativo, o limite do coeficiente do momento, k
d
, passa a ser de, no máximo, 0272, para garantir a dutiiidade da peça, conforme a alínea e) do item 5.4.4. No caso de armadura dupla, o mesmo valor é exigido na parcela do momento resistido pelo concreto à compressão. Conforme descreve o segundo parágrafo do item 5.5.2, a norma permite um cobrimento de 1 5 mm para as armaduras negativas, se houver argamassa de contrapiso e revestimento final seco. Para a armadura em uma camada nas condições acima, resultaria d} = 3, 0 cm, com um valor da altura útil mais favorável, na situação em que isso é mais necessário. 7. Supondo a seção em um dos domínios 2 ou 3, calcula-se o coeficiente kz pelo equilíbrio de momentos fletores na seção com o binário à tração. Da Tabela 5.2, verifica-se a validade da suposição e obtêm-se k , k
d
e a profundidade da
linha neutra, x = kx . d. Calcula-se a largura bw do equilíbrio de momentos fletores com o binário à compressão. Com essa largura, determina-se a altura total da seção, h, após verificar o número de camadas para as barras da armadura dada. 8. Não sendo explicitado no enunciado, supor a classe de agressividade fraca, CAA 1. Sendo o momento negativo e a resistência do concreto superior a 55 MPa, conforme o exposto na alínea e), do item 5.4.4, a norma impõe o limite kmd = 0,228, para garantir a dutiiidade da seção com armadura simples; caso não seja atendido, deve-se efetuar o cálculo com armadura dupla. 9. Obter os momentos de cálculo da expressão (3.10), do Capítulo 3. 0 coeficiente Ygo da Tabela 3. 2 'pode assumir os valores 1,4 e 1,0. Com'r q =1,4 e 'rE =1,2 ' ' ' resultam momentos de sinais contrários, para os quais devem ser calculadas
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura
armaduras distintas. A seção deve resistir ao momento isolado da carga permanente, 10, Ver exemplo 5,8,4. Analisar o número de camadas da armadura de flexão para determinar aalturaútjl, 1-1. Obter os momentos fletores máximos, negativo e positivo, do diagrama respectivo da Tabela 8,5 - Capítulo 8. No dimensionamento, deve-se analisar primeiro a seção do momento negativo, de valor superior ao positivo, lembrando que não se aplica a opção do cálculo como seção T, pois a laje superior será tracionada pelo momento. A seção do máximo momento positivo pode ser calculada como T; com a altura da viga constante, haverá folga nessa seção, devendo ser verificada a armadura mínima, da Tabela 5.1. 12.A viga central recebe as cargas das lajes a partir da metade da distância entre nervuras, ou seja, a 1,50 m de cada face lateral; portanto, a largura de influência sobre o eixo da viga, de 3,2$ w, multiplicada pelas parcelas dadas, permanente e variável, forne. çe a. ga.rgg uniforme por unidade de comprimento da viga. Para estimar o pesg próprio por metro na viga central, maltiplica-se pelo peso específico do concreto g soma. das áreas laterais, 3,0 mx 0,10 mt com a área da viga., ftJ5 77? x 0,9$ w. Para o cálculo como seção T, a largura da laje çolaborante, b, =? b w -H 2b}, é obtida da primeira desigualdade da expressão (5.24), com b j - QJa - 0,1, (0,75 x 1530) = 1,13 m (momento em uma só extremidade), que prevalece sobre 0,5 b2 = 0,5 x 3,0 ~ 1,5 m. 13.Da mesma forma que no exercício 6, a largura dada é insuficiente para a classe CAA III, que exige o cobrimento mínimo de 40 mm. Portanto, devese aumentar a largura para 15 cm, no mínimo. Feito o cálculo como seção T, se for necessária mais de uma camada para a armadura de tração, pode haver problema com o limite da expressão (5.13), por insuficiência na altura da viga. A largura da laje colaborante é obtida como no exercício 12, prevalecendo o menor dos limites na expressão (5.24): b, = 0,5b2 = 25cm.
227
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João Carlos Teatinf de Souza Clímaco
14.A largura da laje colaborante, bf = bw + 2bj,è semelhante ao exercício 12, prevalecendo na primeira desigualdade da expressão (5.24) o termo 6 = 0,1a 0,1.(0,6 x 5,0) = 0,30 m (tramo com momento nas duas extremidades), sobre 0,5 b2- 0,5x10,0 = 5,0 m. O restante é similar ao exercício 13.
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Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação
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1
1
Tabela 5.3 - Área da seção da armadura As (cm2} e largura interna entre estribos bs (cm)
to CD -Q 0)
y 0) J §
*.
„ "^-
é;
a = espaçamento entre barras longitudinais ( a >, 2cm e
u 3 t 5 3 1 j
3 J
3
3
ã. u 3 /l 3 j Õ 3 3
5
3 3
3 3 U J
5 j u j ^i •a 3 3 J
.CD S
S
c = cobrimento iiommal de concreto $t = diâmetro do esfribo
n
i
n
to -Q
-o
i
T
CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE
Objetivos Distribuição das tensões tangenciais na seção Dimensionamento à força cortante pelo modelo da treliça de Mõrsch Prescrições da NBR 6118: 2003 Compatibilização dos cálculos à flexão e à força cortante Exemplos"""" """ — - - -
Auto-avaliação
Cálculo de elementos lineares à força cortante 6.1 OBJETIVOS
Conceito: dá-se o nome "císalhamento na flexão" à solicitação originada da atuação conjunta de forças cortantes e momentos fletores, para a qual deve serdimensionada uma armadura específica, transversal ao eixo do elemento estrutural. Conforme descrito no item 5.1, do Capítulo 5, o dimensionamento da armadura de flexão para vigas de concreto armado com esbeltez l/h > 3 é realizado considerando o efeito isolado dos momentos fletores, ou seja, como flexão pura. Neste capítulo, vai ser abordado o cálculo da armadura transversal para o combate ao cisalhamento associado à força cortante, considerando seu efeito isolado, após conhecida a armadura de flexão. As disposições de detalhamento da norma NBR 6118: 2003, para compatibilização das armaduras longitudinal e transversal e para resistir à ação conjunta momento fletor-força cortante, são também apresentadas. Pretende-se que este capítulo contribua para os seguintes objetivos: a) Entendimento da finalidade e das formas de disposição da armadura transversal em vigas de concreto armado. b) Modos de ruptura ao cisalhamento na flexão. c) Procedimentos para o cálculo da armadura transversal. d) Prescrições da NBR 6118: 2003 sobre dimensões da seção transversal, espaçamento e taxas da armadura transversal constituída por estribos.
234
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
e) Disposições do detalhamento para compatibilizar as armaduras longitudinal e transversal.
6.2 DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS NA SEÇÃO
6.2.1 Peça de concreto não fissurada Em uma peça estrutural submetida à carga distribuída qt contida em seu plano médio, o equilíbrio de um elemento longitudinal de comprimento dx (Figura 6.1 , a seguir), limitado por duas seções transversais paralelas, com a atuação conjunta de momentos fletores (M) e forças cortantes (V), é estabelecido pelas expressões seguintes:
Z7 = O =>
V- qdx - ( K + dV) = O *> q=- dV/ch
£M0=0 O M+ V(dx/2) = (M -t- dM) - (7+ dV} dx / 2 = O O
r\
'
'
Ti
M+dM
F« dM/dx
q - - dV/dx
(6.1)
V = dM/dx
(6.2)
0 '
i /•
dx
V+dV
Figura 6.1 - Equilíbrio de um elemento submetido à flexão simples As expressões (6.1) e (6.2) relacionam, em cada seção, a ordenada de carga com o momento fletor e a força cortante. Elas são indispensáveis à construção dos diagramas desses esforços: nas seções de momento fletor máximo, a força cortante é nula, e nas seções sob carga concentrada, o diagrama de momentos fletores apresenta duas inclinações diferentes, ou seja, um ponto anguloso, e o de forçass cortantes, cortantes uma u a descontinuidade.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Em se tratando de uma peça de concreto armado ainda não fissurada, no regime elástico, ou seja, no estádio l, definido no item 5.2 do Capítulo 5, as tensões normais (O) e tangenciais ou de cisalhamento (T) em cada seção são dadas pelas expressões (6,3), da mecânica dos sólidos:
,My I
r =
(6.3)
bl
onde: J : momento de inércia da seção total em relação à linha neutra; b : largura da seção na ordenada "y" em relação à linha neutra; S,: momento estático em relação à linha neutra da área acima de "y. A Figura 6.2 mostra as trajetórías das tensões principais de uma viga biapoiada, na fase elástica, com cargas concentradas simétricas. As trajetórias são linhas em que as tangentes em cada um de seus pontos fornecem as direções das tensões principais de compressão e de tração nesse ponto. À direita da figura, são representadas as distribuições das tensões normais (
Tensões na seção Seção Nonnals Tangenciais transversal O" T "
-
"
a
ã
[—7
Figura 6.2 -Trajetória das tensões principais em peça não fissurada sob flexão simples Para uma seção transversal retangularè;*:/?, as tensões máximas assumem os valores:
M/7/2 M M _ ~, a = - = - = — O nas noras extremas b h3/ 12 b h2/ 6 W nalínhaneutra
bl
b.W/12
2bh
23 5
236
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
6.2.2 Peça de concreto armado no estado limite último Com a peça de concreto armado passando ao estádio II, jáfissuradamascom o concreto comprimido na fase elástica, a resistência do concreto à tração é desprezada, admitindo-se que todas as tensões de tração sejam absorvidas peio aço. Com o aumento de cargas, atingindo-se o ELU em qualquer ponto entre a linha neutra e a armadura tracionada^ , na obtenção da tensão tangencial só se considera o momento estático da armadura, tomada como uma área de concreto equivalente, por meio dos módulos de elasticidade (E /E ) A . Admitindo constante a largura da seção transversal, a tensão tangencial da expressão (6.3) é também constante entre a linha neutra e a armadura, sem considerar a região tracionada de concreto.
b
.
i
,—i——i
d
ú
*d
J
i
Rrr
i* e
,.
z
'
Vsd \y_~ft_ =JÍ/ T—*~/ , 1.
^cd
a
MS*^
1 1
Corte longitudinal
*' ri
Te nsões tan^ ^enciai
TsnsÕes n armais
Se çao transversal
•
armadura de fração
a
n
Rst
Figura 6.3 — Distribuições de tensões normais e tangenciais na seção no ELU
Considerando um elemento longitudinal de uma peça de concreto armado de largura b e comprimento infinitesimal dx, compreendido entre duas seções paralelas aã e a'a'e submetido a momento fletor e força cortante, a distribuição de tensões normais no estado limite último é mostrada na Figura 6.4. Estando a peça em equilíbrio, destacando-se um trecho desse elemento dx por um piano paralelo ao eixo longitudinal, ele deve estar também em equilíbrio.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
R
°cd a
dx
M?,
-
—;
^3
c
J? -
à
MS* R
VSd+dVsd 1
^7/Z^7Á\^ dx
~áp/ívtcb(ftfffi/fufâ/f' /// //////.
Figura 6.4 - Equilíbrio de um elemento de peça sob flexão simples no ELU O equilíbrio do elemento vai ser garantido pelas tensões tangenciais, id, contidas no plano de corte e distribuídas na largura b
e cuja resultante Tdb dx deve ser
igual à diferença das resultantes das tensões normais Rs e Rs+dRs nas faces aã e a 'a', respectivamente:
ZX =
O dRs =rdbwdx
T =
Admitindo ser o braço de alavanca z constante em toda a extensão da peça, no ELU, o que é bem próximo da realidade em elementos de altura constante, da expressão (6,2) tem-se:
dRs _ d(MSd/z) dx.
_ dMsd i _ Vsd z dx z
Assim, com b ~ constante, a tensão tangencial máxima na seção, da Figura 6.3, será também constante na zona tracionada, abaixo da linha neutra. Para maior simplicidade de cálculo e a favor da segurança, pode-se considerar essa tensão máxima constante na altura de seção, que, das duas expressões anteriores, será dada por:
ilmax
(6.4)
237
2.38
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
É uma simplificação corrente e prática para as formulações de cálculo, adotada em normas de vários países, tomar para o braço de alavanca das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço na seção um valor constante no ELU, tomado como a média aproximada dos coeficientes k da Tabela 5.1, do Capítulo 5, na forma seguinte:
z = 0,9 d
(6.5)
6.2.3 Peças com altura variável Seja um elemento linear de concreto armado, submetido à flexão simples e com a altura variável, de um ângulo p, acompanhando o aumento do diagrama de momentos fletores, como mostra a Figura 6.5. A resultante das tensões de tração na armadura, Rs, pode ser projetada na horizontal, Rsh, dando origem a uma componente vertical, R , que se opõe à força cortante K^e vai resultarem uma redução nessa força, Vsdreá,
Figura 6.5 - Equilíbrio da seção de peça de altura variável sob flexão símpfes A força cortante total na seção, Vsdioi, pode ser então obtida na forma seguinte:
^Sd
y r
Sa,tot
=y
.«/
-
'Sd
;P
(6.6)
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Da análise da expressão (6.6), conforme seja estabelecida a variação da altura da peça com relação ao diagrama de momentos fletores, pode-se deduzir que: a) Se o momento fletor MScl e a altura útil d forem ambos crescentes ou decrescentes no mesmo sentido, em valor absoluto, como no exemplo da Figura 6.5 e na expressão (6.6), tem-se uma redução favorável na força cortante com a variação da altura. É o caso das vigas com as formas da Figura 6.6 (a). b) Se Msd é crescente e d é decrescente, em valores absolutos, ou vice-versa, o sinal será positivo na expressão (6.6) É um efeito prejudicial, porque resulta em aumento da força cortante com a variação da altura, como na viga da Figura 6.6 (b). No entanto, em viga com mesma.forma e biengastada, em vez de biapoiada, a variação de altura seria positiva.
b)
Figura 6.6 - Vigas de altura variável
6.2.4 Dimensionamento de peças de concreto armado ao cisalhamento na flexão Para vigas com largura constante ou de secãoT com nervura de largura constante, situações mais comuns na prática, as tensões principais de tração e de compressão têm as trajetórias mostradas na Figura 6.2, na fase elástica. Em cada ponto, essas tensões são perpendiculares entre si e com inclinação variável em relação ao eixo da peça. Caso não haja armadura disposta de forma conveniente, podem surgir fissuras no concreto, na direção perpendicular às tensões principais de tração, ao ser atingida a resistência à tração do material.
23:9
240
João Carlos Teatini de Souza Clírnaco
Dessa forma, as eventuais fissuras de cortante-flexão em peças de concreto vão ter a direção aproximada da trajetória das tensões de compressão, ou seja, as linhas tracejadas da Figura 6.2. Conforme descrito no item 6.2.3, com a largura constante da seção e desprezando a resistência do concreto na região tracionada, após a fissuração, a tensão tangencial é constante entre a linha neutra e a armadura longitudinal de tração, assumindo o valor da expressão (6.4). Caso a seção tenha variação de largura, a distribuição de tensões tangenciais também varia, como mostra a Figura 6.7 (a), para uma seção em forma de T. O estado de tensões no eixo neutro da peça, considerando um elemento infinitesimal com as faces paralelas e perpendiculares ao eixo, mostrado na Figura 6.7 (b), caracteriza-se pela presença apenas de tensões tangenciais nessas faces, o que é denominado "estado de cisalhamento puro". As tensões principais de tração, a , e de compressão, <72, em módulo, são:
~~
,
d
-^
L
_L
,
\y
rrf
Fissuras de cisalhamento na flexão
*••
bw
a) Distribuição de tensões tangenciais na seção T
cr2 =-i b) Estado de cisalhamento puro
Figura 6.7 - Distribuição de tensões tangenciais na seção T e fissuras da força cortante
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Dessa forma, o dimensionamento de uma peça de concreto à força cortante envolve, sempre, duas etapas: <* Verificação das "diagonais" ou "bielas" comprimidas quanto ao esmagamento do concreto pela ação das tensões de compressão
241
242.
João Carlos Teatiní' de SoUza'Clímaco
estribos com espaçamento excessivo
nptura por compressão diagonal: tírm adura transversal ele vá da
armadura transversal insuficiente: escoamento dos estribos
riiptitrapor esmagamento de biela: armadura transversal excessiva e/ou seção de concreto insuficiente
a) Ruptura porcísaíhamehto-tração ou tração diagonal
b') 'Rupturas por ci$'a:lhametito'co'mpressão ou compressão diagonal
Figura 6.8 - Modos de ruptura por cisalhamento na flexão em vigas de concreto armado
6.3 DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE PELO MODELO DA TRELIÇA DE MÕRSCH
6.3.1
Introdução
Os pesquisadores alemães Rittèr e Mõrsch idealizaram um modelo para explicar a resistência de uma viga de concreto armado, após a fissuráção, no qual a viga tem um funcionamento análogo a uma treliça, sendo o banzo superior constituído pelo concreto comprimido na flexão, o banzo inferior peia armadura longitudinal de tração, as diagonais tracionadas pela armadura transversal e as diagonais comprimidas por bielas de concreto inclinadas. Esse modelo, mostrado na Figura 6.9, foi exaustivamente testado por Mõrsch, no início do século XX, sendo considerado uma das maiores contribuições ao estudo das estruturas de concreto. Ainda hoje, com algumas adaptações, é a base para dimensionamento ao cisalhamento na flexão de peças de concreto armado.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Diagonal comprimida de concreto (biela) \ da biela:
Banzo de concreto
comprímldo / rf /
a-zsenQ(cot6 + cota) Diagonal (racionada
Banzo de aço (racionado ' e = z (cota -i- cot9) ' Figura 6.9 - Modelo de funcionamento de uma viga de concreto segundo a trelíça de Mõrsch
Os elementos do modelo da treliça de Mõrsch podem ser assim descritos: a) D/agoA?a/s frac/onadas (armadura transversal) São constituídas por barras de aço transversais ao eixo da peça, a 90° ou inclinadas. Para fins do modelo, todas as barras compreendidas en.tre dois nós consecutivos da íreliça são supostas concentradas e.m uma diagonal. Na Figura 6.9, tem-se: ^ CC= ângulo de inclinação das barras com o eixo da peça: 45° <, a<, 90° »/ para estribos a 90°: a= 90° *^ para barras da armadura principal, dobradas para combater a força cortante, o ângulo mais usual é a= 45° w- e —z (cotO.+ cota) = distância entre dois nós consecutivos da treliça. b) D/ago/?a/s comprimidas (bielas de compressão de concreto) Na proposta original da treliça de Mõrsch, as diagonais comprimidas teriam a inclinação de 45°com o eixo da peça, no nível da linha neutra, coerentemente com a trajetória,das tensões principais de compressão daFigura 6.2. Entretanto, resultados de ensaios mostram que as armaduras transversais calculadas segundo essa hipótese resultam superdimensionadas, isto é, a adoção de
243
244
João Cactos Teatini de Souza Clímaco
diagonais comprimidas inclinadas de um ângulo inferior a 45° produz maior economia na armadura transversal de tração. Na Figura 6.9, tem-se: *•• 9 = ângulo de inclinação das diagonais comprimidas em relação ao eixo longitudinal; w- a = zsenO(cot9 + cota) = largura cja diagonal pprnprjrnjda.; ^ b .a = área comprimida da diagonal na seção retangular. A norma NBR 6118: 2003, item 17.4, admite para os elementos lineares dois modelos de cálculo "que pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Yc". Essa componente é definida pela norma, no item 17.1, como a "parcelada força cortante resistida por mecanismos complementares ao modelo em treliça". Trata-se, então, de uma parcela de correção que vem reduzir a armadura transversal, visto que o cálculo pela proposta de Mõrsch, com o ângulo 6 = 45°, resulta conservador. Os dois modelos de cálculo da norma são (itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3): <*
Modelo l : diagonais comprimidas com inclinação @.= 45°.
*>
Modelo II: diagonais comprimidas com inclinação 30°< 9< 45°.
As normas internacionais adotam procedimentos similares. O Código Modelo MC-90 da Federação Internacional do Concreto (FIB) é um pouco mais arrojado com relação à inclinação das diagonais comprimidas, ao estabelecer o limite e z J8°. Nesta publicação, é apresentado somente o Modelo II, em que o ângulo #da diagonal de compressão com o eixo longitudinal do elemento varia livremente no intervalo 30°^ O < 45°. Esse modelo é mais geral e compatível com a tendência internacional das normas. Inclinações menores reduzem a armadura transversal e aumentam a compressão na biela, com a parcela V sendo reduzida em função do aumento da força cortante solicitante de cálculo, V ,.
Capítulo 6 - Cátcuto de elementos lineares à força cortante
6;3.2 Verificação das bielas comprimidas de concreto quanto ao esmagamento A análise datreliça da Figura 6.9 pode ser feita pelo método de Ritter, tomandose uma seçãoSque corte uma diagonal comprimida, como na Figura 6.10.
/ \
\
\
\
/
Fc
r
A/
/
/
/
\ \ \
Msd z
T 1
Ax>
Stf
K
RS
Figura 6.10- Equilíbrio da treliça de Mõrsch com uma seção que corte uma diagonal comprimida Do equilíbrio na direção vertical da Figura 6.10, tomando a biela com largura a dada na Figura 6.9 e o braço de alavanca z das resultantes nos banzos comprimido e tracionado, da expressão (6.5), tem-se:
F =
com F c = b w a a ca,
acd=VSí}/(bwasen9) ~ Vsd/\b wsen6. zsen9(cot9 + cota)] Sd
0,9 bwd
Sen26(cotO+cota)
(6.7)
Da expressão (6.7), a tensão de compressão de cálculo na biela de concreto depende do ângulo arda armadura transversal com o eixo longitudinal da peça. Para estribos a 90° com o eixo, a tensão de compressão na diagonal de concreto é o dobro daquela para estribos inclinados a 45°, como se pode ver dos valores abaixo, referidos ao ângulo de inclinação da biela de concreto comprimida Q— 45° e à tensão tangencial T , da expressão (6.4):
245
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
• Armadura transversal composta apenas por estribos a 90°:
(a = 90°) O cr ca =2 T, ^ a J
• Armadura transversal composta apenas por estribos a 45°:
(a = 45') O acd=*d A tensão máxima de compressão na biela é limitada pelo valor 0,60 f c(}, pois comprova-se de resultados experimentais que, estando fissurado, o concreto da diagonal comprimida, o esmagamento ocorre para tensões de compressão inferiores ao limite 0,85 f^ adotado como limite do banzo comprimido pela flexão. A NBR 6118: 2003, como outras normas, prescreve um processo simplificado de verificação. A seguir, é apresentado o Modelo II da norma, mais geral. <* Verificação da compressão diagonal do concreto pelo Modelo II da NBR 6118:2003 A resistência do elemento estrutural quanto à diagonal comprimida do concreto, pela NBR 6118, item 17.4.2.3, é considerada satisfatória numa determinada seção transversal quando se verifica a seguinte condição: Vsd * VM2
(6.8)
onde: Vsd = força cortante solicitante de cálculo '(Vsd = 7, F^); VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por esmagamento das diagonais comprimidas de concreto, dada por;
k, =0,54a 7f,b Rd2 * v2 ca J
w
d sen2 è (cot a + cot 8) ^ y
(é.S)'
*
com av2 dado pela expressão (6.9) é tabela 6.1, ã seguir: av2
= ti -fck/25°}
e
/«k
em MPa
. ( G - 1 °)
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
247
Tabela 6.1 - Valores do coeficiente a ^ para verificação das diagonais de concreto
/ 0-v2
f*(MPa) n
20
25
30
35
40
45
50
0,92
0,90
0,88
0,86
0,84
0,82
0,80
c c & (/
Pode-se notar que a expressão (6.9), a menos do coeficiente av2 , é obtida da expressão (6.7) fazendo a tensão máxima de compressão na biela igual a 0,60 fc(!, A justificativa desse coeficiente é uma precaução adicional quanto ao risco de ruptura por esmagamento da biela, particularmente desastrosa, no caso de concretos de resistência mais elevada. Para estribos a 90°, caso mais comum na prática, tem-se da expressão (6.9):
= °^7a v2J ca,bw dsén2Q J
(6.11)
^
J
J
6.3.3 Cálculo da armadura transversal 6.3.3.1 Cálculo peia iréliça de Mõrsch Na Figura 6.11 , para a seção "S" cortando uma diagonal tracionada da treliça, as barras transversais, bom espaçamento s, resistem a uma força por unidade de comprimento do eixo da peça igual a (Á
A)a ^. A resultante das forças de
tração nas barras no trecho entre dois nós consecutivos será (Á^a^e/s, que deve equilibrar a componente vertical da força cortante Vsd\
Pt = Vsd/sena =
T/-
/
'(cot O + cot a) S -. - L
onde: A
/s = área por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça de todas as barras dá armadura transversal (ramos de estribos ou barras dobradas) que cortam o plano neutro;
248
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
crJ1TO = tensão de tração de cálculo na armadura transversal no estado limite y
último.
e — z (cota + coto)
JR.
Figura 6.11 — Equilíbrio da treliça de Mõrsch com uma seção cortando uma diagonal tracionada
Da expressão anterior, a área da armadura transversal por unidade de comprimento do eixo da peça será: Sd
l
J
,^ sen a (cot9 + cota)
Q,9d
a^ seno. (cotQ + cota)
Essa expressão é genérica para o dimensionamento da armadura transversal. ANBR6118: 2003 optou por apresentar dois modelos de cálculo, introduzindo a parcela F, que considera a contribuição na força cortante resistente de mecanismos complementares à treliça de Mõrsch, entre eles: a resistência ao deslizamento nas duas faces de uma fissura inclinada fornecida pelo engrenamento e pelo atrito dos agregados (aggregate interlock) e o efeito de pino ou rebite da armadura longitudinal de flexão que cruza essa fissura (dowel action}. Neste trabalho (item seguinte), decidiu-se por apresentar apenas o Modelo de Cálculo II, mais genérico. Na realidade, o Modelo l pode ser considerado um caso particulardo II, fazendo 9-45°. Para valores de Vsd£ Vc do Modelo l, as armaduras calculadas pelos dois modelos são iguais.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Ó..3.3..2 Cálculo da armadura transversal pelo Modelo de Cálculo l! da NBR 6118: 2003
Pela norma, em caráter geral, para elementos lineares, a armadura transversal de combate à força cortante deve atender: ^ NBR 6118-*-17.4.1.1.3: "A armadura transversal (A ) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura". ^ NBR 6118-* 17.4.1.1.5: "O ângulo de inclinação, das armaduras transversais em relação ao eixo longitudinal, dp elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° < a< 90°". De. acordo, com Q Modelo N da NBR 6118: 2003 (item 17.4.2.3), a resistência do elemento estrutural quanto à armadura transversal é considerada satisfatória, se verificada a seguinte condição:
V.,Z V=V + Fsw Sá Ra3 c
(6.13)
\
ou: Vsw z V,,Vc Sá
(6.14)'
*
onde: VRd3 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína portração diagonal; V
- parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal, dada por:
Vsw =(A /s) 0,9 d fywa ,^(cot a + cot 0) sen a ^ sw * ' J
J
(6.15) '
*
com Jf y\d , = tensão na armadura transversal,' limitada ao valor/, no caso de -J yd estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435
249
250
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
V = parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares à treliça, sendo: V —Vc}:
na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção, com:
na expressão (6.16), a seguir; ^ ^cj
=
O
quando Vsd = VKd2, interpolan,do-se
linearmente para valores intermediários ^> 7^2 das expressões (6.9) e (6.11). Em outros casos, tem-se: 7c = 0 : elementos estruturais tracionados com a linha neutra situada fora da
seção; 7 c = Vcl. (1+ M. /M w . c] ) < 2V , : na flexocompressão. \ Sd,max' r
Segundo esse modelo, a variação da parcela complementar da força cortante na flexão simples, 7c = 7
;1 pode ser representada graficamente pela
figura seguinte:
Figura 6.12-Variação da parcela V com a força cortante de cálculo
Capítulo "6- Cálculo de •erémejífoy lineares à Torça cortante
A norma define (item 17.1) a força VcQ como-o valorde refèrência~de F para 9= 45°', dado, no item 17.4.2.2.(b), em função da resistência à traça o do concreto: V eun = °> ,„*>w d ' 6 Jf cia
(6-16)
\
Corifórrríê a ríormã, tomando a resistência à tração caractêlfstica inferior do concreto, dà;"éxp'ress"ãò (3.4) ~ Capítulo 3 e o coeficiente de mineração do concreto mais usual yc- l,4ta expressão (6.16) assume a forma seguinte:
V = 0,09fL2/3b CO
'
J
CK
W
d
(6.17)
\
A área da armadura transversal por unidade de comprimento do eixo da peça, das expressões (6.14) e (6.15), será genericamente dada por:
s
0,9 d fy
(6.18)
6.3.3.3 Armadura transversal constituída apenas por estribos a 90° Fazendo em (6.16), a = 90° e /^ =?/^ , tem-se:
A
V
V
-V
OJdfya
(6.19)
onde; À sw,yO nn = área por unidade de comprimento de estribos a 90° com o eixo ' ' da peça. Observação: Deve-se atentar que as expressões (6.18) e (6.19) fornecem a área da armadura transversal por unidade de comprimento, ou seja, nas unidades mm2/mm ou cm2/cm, conforme sejam as unidades de entrada. Por exemplo, se adotado o sistema internacional de unidades, deve-se entrar com as unidades JVe mm. No entanto, no Brasil, é prática comum se trabalhar com as áreas de armadura por unidade de comprimento em cm2/m; pára se obter a área diretamente nessa
25 T
252
João Carlos Teatíni de Souza Clímaco
unidade, e obter bitolas e espaçamentos da Tabela 6.4, recomenda-se, por comodidade, entrar com a força cortante em kgf, a altura útil d em metros e a tensão de escoamento do aço, f
d
, em kgf/cm2
6.3.3.4 Considerações sobre o dimensionamento ao cisalhamento na flexão a) Armadura transversal apenas com estribos a 45° com o eixo da peça Fazendo oc— 45° na expressão (6.18), tem-se:
Amlt j*
V
b) Armadura transversal de estribos a 90° e barras da armadura principal dobradas a 45° com o eixo da peça Conforme antes exposto, a norma dispõe que as barras da armadura principal dobradas para combater a força cortante devem ter a tensão máxima limitada emfywd
™ 0>7f
e não devem
suportar mais do que 60% da força cortante
total resistida pela armadura. Impondo essas duas condições e tomando a inclinação das bielas a 45°, apenas por facilidade, da expressão (6.1 8) temse, aproximadamente:
sw
(6.21) Vi?
UJyd
onde: A
,= área da seção de todas as barras dobradas da armadura principal, por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça.
Cabe enfatizar que, em geral, é mais conveniente combater a força cortante apenas com estribos, preferencialmente a 90° com o eixo longitudinal da peça, restringindose o emprego das barras dobradas da armadura de flexão apenas aos casos em
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
que for realmente necessário aumentar o espaçamento dos estribos. As razões que tornam desfavorável o uso de barras dobradas para combate à força cortante são as seguintes: © Se a armadura transversal pudesse ser constituída apenas por barras da armadura principal dobradas a 45°, a área de aço seria menor que aquela do uso exclusivo de estribos a 90°, para a mesma força; por outro lado, essas barras têm comprimento maior, o que resulta em um volume aproximadamente igual de consumo de aço. (D A tensão de cálculo do aço das barras dobradas é limitada por norma a 0,7 / irf, para prevenir o fendilhamento do concreto interno à dobra. Além disso, a norma impõe que no máximo 60% da força cortante seja absorvido pelas barras dobradas. CD ANBR 6118-^ 18.3.3.3.1 exige que as barras dobradas para combater a força cortante tenham ao final do trecho inclinado um comprimento de ancoragem no mínimo igual a lb
, dado pela expressão (6.30) do item
6.4.2 deste capítulo, o que exige um aumento adicional no comprimento dessas barras. © O uso de barras dobradas aumenta o custo da mão-de-obra na execução de armações. c) Emprego da Tabela 6.4 (ao final deste capítulo) A tabela fornece valores das áreas de armadura transversal por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça, Anv/s, na unidade cm2/m, para dois ramos de estribos cortando o plano neutro, para as bitolas padronizadas pela norma NBR 7480:1996.
253
254
João Carlos Teatíní de Souza Ctímaco
6.4 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003
6.4.1 Força cortante em regiões próximas aos apoios
Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoios diretos, isto é, em que a carga e a reação de apoio são aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o, a NBR 6118 -> 17.4.1.2.1 permite que se reduza a força cortante nas regiões próximas aos apoios, pelas prescrições seguintes, mostradas na Figura 6.13: "a) A força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio, constante e igual à desta seção" (Figura 6.13.a).
P
V ^
A
(b)
Figura 6.13 - Redução da força cortante em regiões próximas aos apoios
"b) A força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a<,2d 6o eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a pora/(2dy (Figura 6.13.b). As reduções indicadas vaiem apenas para o cálculo da armadura transversal, não se aplicando à verificação da resistência à compressão das diagonais do
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
concreto, da expressão (6.8), e ao caso de apoios indiretos. As-duas reduções, a) e b), podem ser aplicadas no mesmo elemento, cada uma sobre a parcela respectiva da força cortante.
6.4.2 Disposições sobre estribos em vigas 6.4.2.1 Área mínima de estribos A exigência de uma armadura transversal mínima visa (imitar a abertura das fissuras inclinadas de cisalhamento na flexão, nas faces laterais das vigas, nos estados limites de utilização. A NBR 6118 -> 17.4.1.1.1 estabelece que todos os elementos lineares submetidos à força cortante devem conter armadura transversal mínima constituída por estribos, com a taxa geométrica:
Ps» =
(6.22)
bs. sen a
A taxa geométrica mínima de estribos a 90°com o eixo longitudinal da peça, compreendendo todos os ramos que cortam o plano neutro da peça, é dada por:
0,06
sw,90
f*
2/3
(6.23)
fywk
A tabela seguinte fornece os valores das taxas mínimas de estribos a 90° por unidade de comprimento, para diversas resistências do concreto, fck, assumindo o coeficiente usual de mineração do concreto, yc = 1,4, para o aço CA-50: Tabela 6.2 - Valores da taxa ageométrica mínima de estribos a 90° x( p , „„ ) ~ s\vmín,9Q '
20
0,089
25 0,702
30
0,776
35 0,729
40
0,747
45 0,752
50 0,763
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Conforme o item anterior 6.3.3.3 - Observação, para se obter a área mínima por unidade de comprimento de estribos a 90°com o eixo longitudinal da peça, Â jiwmn.PO . ...1 na unidade mais comum,' cm2/m, basta multiplicar o valor obtido da r Tabela 6.2 pela largura da seção retangular, b^ em centímetros. Por exemplo, para uma viga com b = 25 cm e concreto com fck = 30 MPa , a área mínima será Â swmm,9Q . nn = 0,116x25 =2.9 cm2/m. Da Tabela 6.4,> têm-se as opções de ' ' ry estribos: bitola 5 mm e espaçamento 13 cm, cuja notação é 0 5,0c/13, ou 0 6,3c/2L
6.4.2.2 Forço cortante resistido peta área mínima de estribos É de interesse obter, logo no início do processo de cálculo, o valor da força cortante de serviço resistida pela área mínima de estribos a 90°, VRm!n90, o que permite verificar de antemão os trechos do diagrama de forças cortantes que serão cobertos por essa área, dispensando o cálculo de estribos nesses trechos. Caso o valor obtido para V
9Q
seja superior à força cortante máxima de serviço
de todo o diagrama da viga (com as reduções descritas no item anterior 6.4.1), pode-se adotar a armadura mínima em toda a viga. Da expressão (6.19), com o coeficiente de majoração das ações, y = 1,4, a força cortante resistida peia área mínima de estribos a 90° com o eixo longitudnal da peça é dada pela expressão seguinte: VJ
A parcela complementar da força cortante, Ve , é calculada pela formulação da Figura 6.12, com o emprego das expressões (6.16), para se obter V , e (6.11), Para Quando se têm trechos do diagrama com V>YRmíii90 , é conveniente, para facilitar a execução e o detalhamento, adotar a armadura transversal em trechos com espaçamento uniforme de estribos ao longo da viga. O número de trechos vai
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
depender do diagrama de forças cortantes e do comprimento da viga; na maioria dos casos de estruturas de edificações usuais, adotam-se três trechos: um com a armadura mínima (cortante V.Rmlii.yO' , nn) e dois outros com os estribos calculados x
para combateras respectivas forças cortantes que excedem o mínimo.
6.4.2.3 Diâmetro das barras e espaçamento de estribos Segundo a NBR 6118 -> 18.3.3.2- Elementos estruturais armados com estribos: "Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal nessa região, ou complementado por meio de barra adicional". O diâmetro das barras dos estribos deve estar entre os limites: 5,0 mm £ <*>,<: bw/10
(6.25)
Quando a barra que constitui o estribo for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm. No caso de estribos formados portelas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4,2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura. O espaçamento mínimo entre estribos, medido no eixo longitudinal do elemento, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo, assim, um bom adensamento do concreto. Em estruturas usuais, recomenda-se o mínimo de 8,0 cm.
O espaçamento máximo entre estribos deve atender às seguintes condições: *• se V-.í Q,67 VRd2 M O s max = 0,6 d < 300 mm Sa ' J
^ se V>0,67V Rin O s max= 0,3 d <200 mm Sa ' Jtd2 '
(6.26)'
^
(6.27)'
x
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Nota-se nessas expressões a preocupação da norma quanto ao esmagamento da diagonal comprimida, o que faz diminuir o espaçamento dos estribos quando Vsd se aproxima de YM2.
6.5 COMPATIB1LIZAÇÃO DOS CÁLCULOS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE 6.5.1
Deslocamento do diagrama de momentos fletores
O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão de uma viga de concreto armado, conforme apresentado no Capítulo 5, é feito com base na compatibilidade de deformações e equilíbrio de esforços da seção transversal de um modelo de barra fletída, da Mecânica dos Sólidos. O dimensionamento da armadura transversal resistente à força cortante, por outro lado, é feito com base no modelo da treliça de Mõrsch, descrito neste capítulo. As diferenças de concepção entre esses modelos tornam necessária uma compatibilização dos cálculos, no que se refere ao detalhamento da armadura de tração, descrito a seguir e mostrado na Figura 6.14. <* Modelo de barra fletida A resultante das tensões de tração na armadura de flexão de uma seção transversal qualquer é dada por R — Msd/z. Para peças de altura constante, e supondo também constante o braço de alavanca das resultantes de tração e compressão, z, a lei de variação de Rgl ao longo da viga tem o mesmo aspecto do diagrama de momentos fletores, como no exemplo da Figura 6.11. Nesse exemplo, a resultante de tração na armadura é nula no apoio, assim como o momento. <* Modelo de treliça A força normal em cada barra da treliça é constante, de tração ou compressão. A resultante no banzo tracionado, R , no modelo de treliça, apresenta
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
descontinuidades nos nós de ligação de duas barras tracionadas adjacentes, fazendo que numa mesma seção, fora de um nó, a resultante seja superior àquela calculada peio modelo de viga. Dessa forma, por esse modelo, a resultante de tração na armadura que chega ao apoio não é nula, como no modelo de viga.
diagonais comprimidas
Modelo Trdica
t , banzo comprimido
diagonais {racionadas
Modelo viga: diagrama = Msd /z envoltória âeforças de tração na armadura
ai
Modelo treliça: diagrama Rst
Figura 6.14 - Compatibílização dos modelos de barra (viga) e de treliça
Para compatibilizar os modelos resistentes de viga e treliça, deve-se adotar a situação mais desfavorável, tomando-se a envoltória do diagrama das resultantes de tração nas barras da armadura do modelo de treliça, representada pela linha traço-ponto da Figura 6.14. Essa linha é obtida pelo deslocamento de um
259
260
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
comprimento af do diagrama Rs = M^/z, por meio de uma translação paralela ao eixo da peça, no sentido mais desfavorável. A Figura 6.15 mostra o deslocamento do diagrama de momentos fletores no vão extremo de uma viga contínua.
Diagrama corrigido de momentos e da resultante de traçõo Rst
Diagrama dos momentos Msd e da resultante de traçao Rst Figura 6.15 — Deslocamento (decalagem) do diagrama de momentos fletores
O valor do deslocamento al, comumente denominado "decalagem", do diagrama de momentos fletores, de acordo com o Modelo de Cálculo II da NBR 6118 -* 17.4.1.1.3, é dado por: a{ = 0,5 d (cot 6- cot a)
(6.28)
Devem ser observados os limites: a^ 0,5 d o estribos a 90° (caso mais geral) a f k 0,2 d o estribos a 45°
(6.29)
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
6.5.2 Detalhamento da armadura longitudinal de tração na flexão simples Após o cálculo da área da armadura de flexão, em que são definidos a bitola e o número de barras, o comprimento das barras longitudinais é determinado com base no diagrama deslocado de momentos fletores, como na Figura 6.15. Na extremidade de cada barra tem início o trecho considerado como "ancoragem", a partirda seção teórica ao fim do deslocamento, em que a tensão na barra começa a diminuir e a força de tração na armadura deve ser transferida para o concreto. Esse trecho, de comprimento lb, deve se prolongar, pelo menos, 10 0 além do ponto teórico em que a tensão se torna nula, não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento necessário / ,b nec ,' estipulado na r
t
r
expressão (4.29), do Capítulo 4. Determinam-se, assim, com base no diagrama de momentos, os pontos de interrupção das barras, em que podemos retirá-las de serviço e a partir dos quais elas devem ser ancoradas. As barras podem, ainda, a partir desses pontos de interrupção, ser utilizadas no combate à força cortante, por dobramento. No detalhamento da armadura longitudinal de tração na flexão simples, podese adotara regra prática detalhada a seguir e expressa na Figura 6.16. a) Deslocar o diagrama de momentos fletores, no sentido mais desfavorável, do comprimento a., da expressão (6.28). b) Dividir as ordenadas dos momentos fletores máximos (positivos ou negativos) pelo número de barras da respectiva armadura escolhida. Dos pontos dessa divisão, traçam-se retas paralelas ao eixo da viga (no exemplo da Figura 6.16, admitiu-se a armadura negativa de flexão constituída por quatro barras e a positiva por três).
26 1
262
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
opção de armadura negativa com quatro barras iguais armadura do momento máximo negativo no apoio: 4 barras
-ti
armadura do l momento máximo í positivo no vão: J 3 barras
Alternativas fie ancoragem das barras: - reta sem gancho - inclinada sem combater a força cortante - inclinada combatendo a força cortante
Figura 6.16 - Detalhamento das barras da armadura longitudinal de tração
Capitulo 6 - Cálculo de elementos lineares â força cortante
c) Os pontos de interseção das paralelas com o diagrama deslocado de momentos (para os momentos positivos:^, B e C\a os negativos:^', B', C' e D') definem as seções em que a força de tração é transferida para o concreto e as barras são dispensadas do combate à flexão. A partir desses pontos elas devem serãncoradas com o comprimento/^.Aúltima barra a ser interrompida, positiva ou negativa, corresponde ao próprio eixo da viga. Na parte superior da figura, mostra-se uma opção prática e económica, em muitos casos, com todas as barras negativas com comprimentos iguais e ancoragem suficiente. d) Em vigas simples ou contínuas, a NBR 6118 -»-18.3.2.4 exige que se prolongue até cada apoio uma parte da armadura principal de tração (^4
) da seção de
momento máximo positivo no tramo (M _ ) . Essas barras devem ser ancoradas \ r
convenientemente, a partir da face do apoio, de modo que se tenham as áreas mínimas de: ^ 1/3 Àí, vão.
o
se o momento no apoio, ~ ' Mapoio'., for nulo ou negativo. ° ' com o valor absoluto M apoio. ^ 0,5 M vão' .; '
*+* 1/4 A s.vão ,
o
se M apoio. for negativo, 3 ' com o valor absoluto
M apoio, > 0,5 M vão.. Nos apoios intermediários, as barras da armadura devem penetrar um comprimento mínimo de 100, a partir da face do apoio. e) O comprimento necessário de ancoragem por aderência das barras tracionadas retas, sem gancho, da NBR 6118 -* 9.4.2.5, será:
,
_ ,
b,nec ~
f Jyd
A AStCa,
\
°>3li>
b'
100 mm
onde: A s, cal,= área calculada da armadura;
263
264
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Á s,y. fbd
área existente da armadura em bitolas comerciais;
= resistência de aderência de cálculo entre o aço e o concreto, dada pela expressão (4.28), para zonas de boa aderência.
Conforme descrito no item 4.5.4.2 do Capítulo 4, de acordo com a posição das barras na concretagem, a NBR 6118 -»• 9.3.1 define as "zonas de boa aderência", em que se pode garantir o bom adensamento e a vibração do concreto, como segue: ^ com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; ^ horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que: - para elementos estruturais com h < 60 cm , localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; - para elementos estruturais com h > 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. Os trechos das barras em outras posições devem ser considerados em má situação quanto à aderência e, nesse caso, a resistência de aderência de cálculo, fbd> da expressão (4.28) deve ser multiplicada por 0,7, com o comprimento de ancoragem aumentando de 43%. O comprimento de ancoragem reto pode ser reduzido com a utilização de ganchos nas extremidades das barras tracionadas, que propiciam um aumento na resistência mecânica da ancoragem. Os tipos de ganchos e reduções permitidas são dados pela NBR 6118 -> 9.4.2.3. O item 9.4.2.5 permite uma redução de até 30% no comprimento de ancoragem da expressão (6.30), desde que a espessura do cobrimento de concreto no plano normal ao do gancho seja > 30.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
ATabela 6.5, ao final deste capítulo, fornece diretamente os comprimentos de ancoragem reta (Ib) por trespasse, para o aço CA-50, para diferentes resistências características do concreto (f
entre 20 e 50 MPa), em função
da bitola <£das barras da armadura. Em zonas de má aderência, o comprimento de ancoragem básico deve ser 1,43 vezes o comprimento respectivo da zona de boa aderência.
6.6 EXEMPLOS
6.6.1 Dimensionar as armaduras de flexão e cisalhamento de uma viga de seção retanguiar 20 x 60 cm2, com vão teórico de 6,0 m (de centro a centro dos apoios), suposta biapoiada em pilares de largura 60 cm na direção do eixo da viga e submetida a uma carga distribuída total de 20 kN/m. Considerar concreto comfck=20MPa, aço CA-50 para ambas as armaduras e a classe ambiental CAA l.
a) Esforços solicitantes máximos
Mmax = 20 x 6 2/S = 90 kN.m
O
Vmax = 20x6/2 = 60kN
O
Msd = 1,4 x 90 = 126 kN.m Vsd = 1,4 x 60 = 84 kN
b) Armadura de flexão
Adotando-se dl - 4 cm & d = 60 - 4 = 56 cm — 560 mm fCà = fck /Tc = 20/ 1,4 = 14,3 MPa = 14,3 N/mm2 fyd = 435 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3; Da expressão (5.5) e Tabela 5.2 ^ kmd = 0,140 O kx = 0,234 (domínio 2) O ks = 0,907 Da expressão (5.8) vem: A —5,70 cm2
265
2'66:
João Carlos Teatini de Souza Climaco
Da Tabela 5.3.' admitindo o;cobrimento-de--concreto-cliom = 2.5' mm \A (classe I) e estribos-de bitola 5, 3016 = 6,03cm2 (bs= 8,8 cm) Tãxa7geométriGa;-daiacm'adUra5efètÍvaídejflfexã.0í p.—fr,03S(2J)x60) — O,SÓ % c) Verificação do concreto da:biela^comprimida_ Da-Tabela_6.1, para fck ~20 MPa- <=í> a-v2 ~ 0,92 Para estribos a;90° e adotando' aã bielas de.compressãp;com-a. inclinação mínima da NBR 6118, Q- 30°, da expressão (6.11) tem-se: ¥&- 84 kN £VfííJ3t90= 0,27: 0,9-21 If4}3. 2W. 560, sen 6'0° =• 344,547 N = 345 kN Estando o concreto, portanto, com uma ampla folga, de mais dê.quatro vezes, na diagonal comprimida. Pode-se verificar que caso se adotassem as bielas com a inclinação máxima, 9 = 45°, seria VRd290 ~ 398 kN, com folga ainda maior. d) Armadura transversal mínima
Da expressão (6.23) e Tabela 6.2 o Aswmín9Q - 0,089x20 = 1,78 cm2/m Da Tabela 6.4 O &5,0c.22 =2,79cm2/m O espaçamento máximo de estribos da expressão (6.26) será:
P,. =84kN < 0,67 F... = 231 kN O smox = 0,6 d « 336 mm > 300mm Sei ' Rd2 ' <=$ adota-se:
s rnox = 300 mm O s = 22 cm: OK e) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima
Da expressão (6.17): VcQ = 0,09. 202/3. 200. 560 = 74.344 N= 74,3 M
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Da Figura 6.12:
Vc = Vcl = 74,3. [(345 - 84)1(345 - 74,3)] = 71,6 kN
Da expressão (6.24), vem: v*min.9Q =
(0^0179 x 0,9 x 56 x 4350 cot 30° + 7160yi,4 = 9969 kgf = 99,7 kN > Vmax = 60 kN GJ '
Conclui-se que o valor de VR
{ 9Q
é superior ao cortante máximo de serviço
na viga, mesmo sem levar em conta a redução da força no apoio, conforme a Figura 6.13.a, possível pela largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga. Dessa forma, a obtenção de VRltllll90 antes do cálculo dos estribos pode poupar tempo. Aarmadura mínima, 05,0 c. 22 cm pode ser adotada ao longo de toda a viga, como mostra o detalhamento, na Figura 6.17. O número total de estribos será: 600/22 + l = 28,3 = 29 estribos. Com uma maior precisão, o espaçamento de estribos é reduzido para 21,5 cm. f) Comprimento de ancoragem por trespasse da armadura longitudinal Estando a armadura principal positiva em zona de boa aderência, obtémse da Tabela 6.5: /,b = 430 = 43 x 16 = 688 mm. Sendo Á s,cal,/ A s,ef,= 5,70/6,03 = 0,945, o comprimento de ancoragem necessário, da expressão (6.30), será: lbnec- 650 mm, superior aos limites da Norma: 0,3 l b — 206
mm; 100 = 160 mm e 100 mm. No diagrama deslocado de momentos, a barra central da armadura principal, denominada N1 no desenho, pode ser dispensada nos pontos A, a partir de onde se inicia o comprimento de ancoragem. As duas barras laterais, denominadas N2, podem ser dispensadas em B e C, pontos que caem dentro da largura dos apoios; nesse caso, a ancoragem tem início na face dos pilares respectivos. Em geral, o diagrama não consta da planta de armaduras.
267
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Capitulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
b) Armadura de flexão Por precaução, prevendo armadura em duas camadas:
dl — 5 cm ^>
d — 55 cm — 550 mm
Da expressão (5.5) e Tabela 5.2 O k ^ = 0,305 O kx = 0,585 (domínio 3)
•=> Ãrz = 0,766 Da expressão (5,8) vem: Ás = 14,44 cm2 Da Tabela 5.3, para o cobrimento c = 25 mm (classe CAA l) e estribos 0 = 5,0 mm, tem-se a armadura em duas camadas, (30+20)20 = 15,71cm2i com b s ~ 10 cm. atendendo ao limitei - 0 + a/2 = 2 + 2/2 = 3cm < 10% ' h- 6 cm. Com duas camadas, muda a distância dl = 6 cm e a altura útil d = 54 cm = 540 mm, com um acréscimo na armadura de flexão. Os coeficientes da flexão ficam: kmd = 0,317 O kx = 0,620 (domínio 3) O k = 0, 752, e a nova área de aço será A =14,44cm2, coberta pela armadura adoíada. Taxa geométrica da armadura efetiva de flexão p = 15,71/(20x 60} = 1,31%
c) Verificação do concreto da biela comprimida Para estribos a 90° e bielas com inclinação, 6— 30°, da expressão (6.11), tem-se: V sd = 7764 kN £ V Rd2i90 = 0,27. 0,92. 14,3. 200. 540. sen 60° = 332.233
N = 332 kN Portanto, o concreto da diagonal comprimida continua com folga, agora menor.
269
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João Carlos Teatiní de Souza Clímaco
d) Armadura transversal mínima Continuam valendo:
Á swm.mi90 = 0,089 x 20 = l, 78 cm2/m O 0 5,0 c.22 = l, 79 cm3/m e 7Sd = 176,4 kN < 0,67 V»„ = 222 kN O s mox = 300 mm. ' ' Rd2 Portanto, prevalece s —22 cm. e) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima Da expressão (6.17), prevalece: VcQ = 71,6 kN Da Figura 6.12: Vc= Vcl = 71,6[(332 - 176,4)/(332 - 71,6)] = 42,8 kN. Da expressão (6.24):
VRmini9Q = (0,0179 x 0,9 x 54 x 4350 cot 30° + 4280)11,4 = 7738 kgf = 77 kN < V ntax = 126 kN Conclui-se que o valor de VRmm,9Q 0 . nn é inferior à força cortante máxima de serviço n r y na viga. Nesse caso, vale a pena levar em conta a redução da força cortante no apoio, em virtude da largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga, f) Redução da força cortante na região dos apoios Conforme a Figura 6.13.a), do item 6.4.1, pode-se adotar para o cálculo das armaduras transversais o valor da força cortante à distância d/2 da face do apoio. A Figura 6.18, a seguir, mostra essa redução, tomando V constante a partir da seção a (30 + 27,5) cm = 57,5 cm do centro do apoio ou 300 - 57,5 = 242,5 cm do centro do vão:
V. = 102 kN > V,Rmin.yQ . Qn = 77 kN red = 126 x 2,425/3,0 ' ' Dessa forma, a armadura mínima, 05,0 c.22 cm, pode ser adotada np trecho central da viga, a partir de uma distância do centro igual a: 300 (77/126) = 183 cm.
Capítulo 6 - Cálculo, de elementos lineares à força cortante
g) Cálculo da armadura transversal para a força cortante máxima Na expressão (6.19), com os valores da força cortante complementar, V' ~ 42,8 kN, e da solicitante, Vsd = 176,4 kN, em kgf, a altura úti| tf em. metros e a resistência de escoamento do aço, / rf) em kgf/cm2, obtém~se a área de estribos a 90° por unidade de comprimento do eixo da peça, diretamente na unidade cm2/m:
Vsd.red ~ ^c • tg3Q , yno - — 1,4*10.200. - 4.280 n CV7 73 4-A ni,Qn = ^H- 4tgvG = —' : 0,577 = -2,73 cm2/ /m "*** OJdfyt* Q,9dfyd & 0,9x0,54x4350 ••••••.-< Sendo s
= 300 mm, da Tabela 6.4, as opções seguintes são possíveis:
& 0 5,0 c. 14 = 2,81 cm2/m ou 0 6,3 c. 21 = 2,83 cm2/m. h) Detalhamento da armadura transversal na viga A Figura 6.18, a seguir, apresenta p detalharnepto dos estribos. Para major clareza do desenho, não foi traçado o diagrama de mofnentps, com os pontos de dispensa das barras de flexão e início de ancoragem, como no exemplo anterior 6.6.1. Na parte inferior da figura, no corte longitudinal da viga, a disposição das barras da armadura c|e flexão é apenas ilustrativa. Os estribos têm os ramos horizontais e verticais com comprimentos obtidos das dimensões respectivas, descontando o cobrimento de cada face (CAA I: ç, = 25 rnm) e a bitola do estribo (5 mm). Dessa forma, tem~se; f •
ramo horizontal -20-^2 (2,5 + 0,5) = 14 cm ramo vertical = 60-2 (2,5 + 0,5) = 54 cm
O comprimento total ,da barra .do estribo é igual a 2 (56 + 16) 4-10 cm = 154 cm. O aumento de 10 cm é para preyisão dos ganchos de fechamento dos estribos. O número total de estribos, com espaçamentos de 22 cm np trecho central de 366 cm e de 14 cm pás laterais de 117 cm, ê dado por 366/22 + 2 . 117/14 + l = 34,4 = 35 estribos.
271
272
João Carlos Teatiní de Souza Climaco
Vred = 102kN
126W
183 cm
183 cm = 300 (77/126)
Diagrama V solicitante
77 kN= VRmin,9Q
57,5
SOOcm
77kN
102kN .
102kN
Diagrama V resistente 183cm
117cm
117cm
183cm 77kN
30 [27,5
102M\ 5,0 c. 22cm
242,5 cm
(j)5,0 c. 14
4)5,00.14 E——
117cm
2
s/escala
126W
117cm 14 54 «n"
pilar
Figura 6.18 - Detalhamento das armaduras da viga do exemplo 6.6,2, com redução da força cortante à distância d/2 do centro do apoio
6.6.3 Dimensionar as armaduras de cisalhamento na flexão da viga do exemplo 6.6.2, apenas com estribos a 90°, adotando para as diagonais de compressão de concreto a inclinação 0= 45°. Os itens a), b) e d) do exemplo anterior permanecem os mesmos.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
c) Verificação do concreto da biela comprimida Para estribos a 90° e bielas com inclinação 6- 45°, da expressão (6.11) tem-se: Vsd = 176,4 kN < VRd2i9Q = 0,27. 0,92. 14,3. 200. 540. sen 90° = 384 kN O concreto da diagonal comprimida apresenta agora uma folga maior. d) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima Da expressão (6.17) prevalece: VcQ = 71,6 kN
Da Figura 6.12: Ve = Vcl = 71,6. [(384 - 176,4)1(384 - 71,6)] = 47,6 kN. Da expressão (6.24) vem:
VRmitii9Q = (0,0179 x 0,9 x 54 x 4350 cot 30° + 4760)11,4 = 6103 kgf = 61,0 kN > V <-" '
= 126 kN
O valor de VKniin 0 . diminuiu de 26% em relação ao cálculo com bielas com J inclinação 6 = 30°, sendo ainda bem inferior ao cortante máximo de serviço. Vale também considerar a redução da força cortante no apoio, em razão da largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga. Tem-se o mesmo valor Vred,= 104 kN > V Rmm D . - 61 kN, com a armadura mínima, 05,0 c,22 ' ' cm, adotada num trecho central menor, à distância do centro da viga, para cada lado, igual a: 300 (61/126} = 145 cm. e) Cálculo da armadura transversal para a força cortante máxima Na expressão (6.19), com os valores da força cortante complementar, V'c = 47,6 kN, e solicitante, VS(} - 176,4kN, em kgf, altura útil d = 0,54m e a resistência de escoamento/^ = 4350 kgf/cm2, a área por unidade de comprimento de estribos a 90° será:
0,9 d fy,
t fí= •& * / A^ 280 " 4-760 i n A sn1,0 =2/4,50 cm /m tgtí tg45 14 ~ -0}9dfyd & 0,9x0,54x4.350
273
274
João Carlos Téatini de Souza Ctímaco
Portanto, um aumento substancial de 65% na área de estribos com relação às bielas com Q- 30°. Da Tabela 6.4, as opções são:
05 ,0 c.8 = 4,91 cm2/m\ 6,3 c.13 = 4,80 cm 2/m ou 0 8,0 c.22 = 4,57 cm2/m O detalhamento segue as regras dos exemplos anteriores.
6.6.4
Sérri fazer a redução da força cortante em função da largura dó pilar, comparar os "dimensionamentos da viga do exemplo 6.6.2, apenas com estribos a 90°, pelas disposições da NBR 6118: 2003 e NB-1/78, no tocante à compressão na diagonal de concreto e às áreas de armadura transversal. Para a NBR 6118: 2003, utilizar os dois modelos de cálculo, l e II, este último com as diagonais comprimidas com as inclinações extremas de 30° e 45°.
a) NBR 6118:2003 - Modelo de Cálculo II Os cálculos segundo esse modelo, para diagonais comprimidas com inclinações de 30° e 45°, foram mostrados nos exemplos dos itens 6.6.2 e 6.6.3, respectivamente. A tabela a seguir apresenta os resultados desses cálculos, com as áreas unitárias de estribos a 90° de, respectivamente, 3,65 e 6,10 cm2/m, obtidas com o Valor da força cortante sem redução:
Vmax = 126 M O FSá,max = 1,4 x 126 = 176,4 kN. ' b) NBR 6118: 2003 - Modelo de Cálculo l No cálculo por esse modelo, a verificação da biela comprimida é igual à do Modelo II com diagonais inclinadas de 45°, como na alínea c) do exemplo 6.6.3. Aforça cortante complementar, calculada como na alínea e) do exemplo 6.6.2, assume o valor VC = V CU n-71.6kN. ' Da expressão (6.19), com os valores acima das forças cortantes de cálculo e complementar, obtém-se a área de estribos a 90°: Á sw,90 = 4,96 cm2/m. ~ ' '
,
Gapjtuto-6,-:- Cá
' norma trabalha com -tensões-tangenciaisem.vez da força qortante, mostradas na última coluna da direita da tabela,
Twd,max - , =-V Sd.max „, /(bd} = tensão tangencial convencionai- máxima de cálculo: ^ w '' a • ' r-ivw =. 0,25 '.=: tensão limite rpara verificação do concreto da. diagonal, ' • • Jf ca, y o , ,1 comprimida; r = tensão tangencial complementar para correção do cálculo com bielas a
45°; Td = 1,25 Tnvt.-T c = tensão' tangencial.de Qálculo; ' ....... a— •*• - - - - - - -i J d) Comparação dos processos de cálculo, Como mostra a Tabela 6.3, a diagonal comprimida apresenta folga menor no Modelo II, com diagonais inclinadas de 30°. Nos Modelos l e II com as diagonais a 45°, obtém-se a resistência limite da diagonal, 2,18 vezes a força cortante máxima de cálculo; esse valor é muito próximo da verificação da NB-1/78:
T IITÍ = 2,25 T HtJ.mox , . * A parcela da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares à trefíça, V , é maior no Modelo l, igual a 41% da força cortante máxima, reduzindo-se para 24% no caso do Modelo II com diagonais a 30°. Atensão complementar da NB-1/78 é cerca de 40% da tensão tangencial máxima de cálculo. A armadura transversal mínima é bastante superior na NB-1/78, e a força cortante de serviço resistida pela armadura mínima é praticamente a mesma no Modelo l e no Modelo II com diagonais a 30°, muito próxima também da NB-1/78. Quanto às áreas da armadura transversal com estribos a 90°, para a força cortante máxima, o valor obtido pelo Modelo I é muito próximo da média das
276
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
áreas calculadas pelo Modelo II, com inclinações de 30° e 45°. O valor obtido pela NB-1/78 é elevado, mas um pouco inferior ao do Modelo II da NBR6118: 2003 com diagonais a 45°. Da comparação efetuada, conclui-se que o dimensionamento mais económico foi o do Modelo II com diagonais inclinadas de 30°, que forneceu também uma verificação satisfatória para o concreto da diagonal comprimida. Caso houvesse problema com essa verificação, seria mais conveniente adotar o Modelo l, o que viria aumentar a área de estribos. No presente exemplo, o acréscimo foi 36% sobre a área de estribos do Modelo II com diagonais inclinadas a 30°.
Tabela 6.3 - Comparação dos dimensionamentos à força cortante pelas edições da norma NBR6118: 2003 e NB-1/78
\l comprimid NBR 6118: 2003 (Vsd = 176,4 kN )
Modelo 1
Vc (complementar)
Vjui2 = 384®f 7'1,6 kN
^(estribos a 90°) YRmln,9Q Â A
semin,90
Á se,90
Modelo 11 6= 30°
Modelo li B = 45 °
VM2 = 332kN VRd2 = 384kN
NB-1/78 wd,max
l,6MPa
Tmi = 3,6MPa
42,8 kN
47,5 kN
rc = 0}63MPa
104,8 kN
133,6 kN
128,9 kN
Td=l,2MPa
80 kN
77 kN
61 kN
83 kN
1, 79 cm2 /m
1, 79 cm' '/m
1, 79 cm2 /m
2, 80 cm2 /m
4,96 cm*7m
3, 65 cnr/m
6,10 cm2 /m
5, 74 cm2 /m
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
6.7 AUTO-AVALIAÇAÒ
:
6.7.1 Enunciados 1. Para a viga da Figura 6.19 (a), com seção transversal de largura constante, pede-se: a) esboçar os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes; b) esboçar os diagramas de tensões normais e tangenciais nas seçõesA-A' e B-B', no estádio 1, com as expressões correspondentes; c) a direção e a natureza das tensões principais nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5; d) esboçar a tipología de eventuais fissuras de flexão e cisalhamento na viga. 2. Quais são os tipos possíveis de ruptura associadas a ação da força cortante em uma peça de concreto armado? É possível ocorrer a "ruptura por cisalhamento" do típo "corte", em peças fletidas de concreto? 3. Qual a justificativa do uso da parcela complementar Veno dimensionamento da armadura transversal pelos modelos de cálculo da NBR 6118: 2003? É correto chamá-la "contribuição do concreto" na resistência ao cortante? 4. Dimensionar as armaduras de flexão e força cortante.da viga da Figura 6.19(b), de seção transversal retangular (bw = 15 cm; h = 60 cm), sendo/V^ 20 MPa, aço CA-50 e a classe ambiental CAAI. Calcular a armadura transversal com a condição de máxima economia de aço, para estribos a 90° com o eixo da viga e até três trechos de igual espaçamento no vão AB. Detalhar as barras da armadura longitudinal ao longo da viga. 5. No exercício anterior, calcular a armadura transversal da viga sob a condição de minimizar as tensões de compressão na diagonal de concreto, em duas situações: estribos a 90° e a 45°com o eixo da viga. 6. Dada uma viga na classe de agressividade ambiental CAA li, da Figura 6.19 (c), com seção transversal retangular (bw= 20 cm; h - 40 cm), calcular as
277
278
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
armaduras de flexão (GA-50) e de cisalhamentp na flexão, para estribos a 90° .com o eíxp-da viga, de ,05}Ç mm e aço-CA-6Q; concreto,cpm fck = 25J$P_,a, 7. Na viga,da.Figura;6.-19.(d),,de s.eção rqtangular:(bw = 15,cm;h =.8Ç,cm) e classe ambiental CAA II, a.armadura transversal:é constituída apenas.por estribos.a 90°, 08,0c/20ci^, acp.CA-50, em toda a extensão^.,? viga."§endp fck - 30 MPa, calculara máxima carga -distribuída uniforme q para haver segurança à força cortante, aplicando todas as reduções permitidas pela.norma.
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a l'
P
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u u u u ,1.1 .u n
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A
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20 kN/m
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2. 5m
10 kN/m
H J 2,5 m
30r T
h
(c)
3m
3m
130
(d) Figura 6.19 - Figuras dos exercícios do Capítulo 6
6.7.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Para as questões b) e c), ver Figura 6.2; para a questão d), ver Figura 6.7. 2. Ver o final do item 6.2.4.
Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
3. Ver o final do item 6.3.3.1. 4. Esboçar os diagramas de momentos fletòres e forças cortantes. Calcula? as" armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, positivo e negativo. Para a armadura transversal, seguir o roteiro das alíneas c) a g) do exemplo 6.6.2, a menos da alínea f), por não ter sido dada a largura dos apoios. Para o detalhamento das barras longitudinais, vero roteiro do item 6.4.2 e a Figura 6.16. 5. Para a primeira situação, vero exemplo 6.6.3.As tensões mínimas absolutas na diagonal comprimida de concreto ocorrem na segunda situação, fazendo 0= a = 45° nas expressões (6.11) e (6.20). 6. Esboçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes. Calcular as armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, positivo e negativo. Para a armadura transversal, como o enunciado não impõe nenhuma condição, toma-se, de início, 0=30°, para maior economia de estribos. Caso atendidas a expressão (6.11), de verificação do concreto da biela comprimida, e a expressão (6.26), para se obter um espaçamento económico de estribos, o cálculo segue a rotina dos exemplos 6.6.1 ou 6.6.2, conforme os valores de K5 (característico) e V^. 7. Esboçar o diagrama de forças cortantes de serviço, em termos da carga distribuída q, fazendo a redução permitida nos apoios, conforme a Figura 6.13(a). Na expressão genérica (6.12), a força cortante de cálculo, Vsd, é maximizada com 9 = 30°. Com as dimensões da seção e a área de estribos a 90°, das expressões da Figura 6.12 (e 6.19) podem-se calcular as duas incógnitas: Vsd e a parcela complementar da força cortante, Vc. Deve-se, ainda, verificar a diagonal comprimida de concreto, da expressão (6.11). Caso V sd > VRd2, este último valor se impõe como limite para a força cortante e daí se obtém um novo valor da carga.
279
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Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação
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Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante
Tabela 6.5 - Comprimento básico de ancoragem reta (/ô) em função da bitola (0), para o aço CA-50, j —1,15 e ye = 1,4
fck(MPa) 20
Zonas de boa aderência Zonas de má aderência
25
430 37 530
30
35
40
45
50
330 300 270 250 240 470 430
390 360 340
28 1
CAllCULO DE LAJES MACIÇAS RETANGULARES Objetivos / " " " ' " ~"^ 7,2 í Considerações--prèliminares f ^— í r %/i . • ,, ;^3'; Avaliafão^de-cargas ^:.^ l ;
7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9
v
^
'- ^--Ç
nas lajes Cálculo de esforços em lajes retangulares Cargas das lajes nas ,^3C vigas L : a^. , Dimetjsjonamento de lajes retangLitajes DetalKarne"rítio Exemploj; Auto-avaliacão
Cálculo de lajes maciças retangulares 7.1 OBJETIVOS
Conceito: lajes são elementos estruturais laminares, submetidos a cargas predominantemeníe normais à sua superfície média, que têm a função de resistirás cargas de utilização atuantes na estrutura. As lajes são classificadas como elementos integrantes da estrutura terciária da superestrutura de uma edificação, tendo a finalidade de suportar a aplicação direta das cargas distribuídas em superfície (item 3.5 - Capítulo 3). Conforme a natureza de seus apoios, as lajes podem ser classificadas (Figura 7.1):
iais_
bordo livre
viga l
" viga
viga
l a) Laje apoiada em vigas
r capa
TP 1
. , principal
DDD DDD
anã aaa naa anã anã nan
tijolos ou blocos de enchimento
nervtiraf nef w"as
c) Laje mista
b) Laje nervurada 1
laíe
**
liar
de concreto
pilar
'' capitei pilar
d) Laje cogumelo ou lisa (apoiada diretamente em pilares) Figura 7.1 -Tipos mais comuns de lajes
pilar
r
286
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
<* Lajes apoiadas sobre vigas São sustentadas por vigas nos bordos, usualmente executadas em um processo único de moldagem. Um bordo eventualmente sem viga de sustentação denomína-se "bordo livre". *> Lajes nervuradas Podem sercompletamente moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas; nestas últimas, uma "capa de concreto" moldada no local trabalha à compressão e a resistência à tração é fornecida pelas nervuras. No caso de ser colocado algum material inerte entre as nervuras, tijolos ou blocos, para fornecer o teto liso, são denominadas "lajes mistas". *í* Lajes lisas e cogumelo Apoiadas diretamente em pilares. São chamadas de lajes-cogumelo caso haja alargamento, chamado capitel, na transição pilar-laje; caso contrário, são denominadas lajes lisas. O presente capítulo tem por objetivo apresentar os procedimentos para o cálculo de lajes maciças retangulares de edificações usuais, apoiadas continuamente em seu contorno em elementos lineares, que são as vigas de bordo. Os procedimentos apresentados podem ser estendidos, com as devidas adaptações, a outros tipos de lajes. Os objetivos deste capítulo são: a) Hipóteses básicas de cálculo de lajes maciças retangulares de concreto armado. b) Avaliação das cargas nas lajes de estruturas de edifícios. c) Avaliação das cargas transmitidas peias lajes às vigas de bordo. d) Cálculo de esforços e dimensionamento de lajes retangulares.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
e) Prescrições da NBR 6118: 2003 sobre as dimensões das lajes e disposição das armaduras-taxas e detalhamento.
7-2 .CONSIDERAÇÕES 'PRELIMINARES 7.;2.1 Hipóteses simplificadpras a) O peso próprio da.laje é tomado.como uma carga-uoifprmemente distribuída em toda a área da laje. b) A sobrecarga de utilização ou carga acidental é suposta uniformemente distribuída na .área de laje. Os valores mínimos a serem.adotados no cálculo para essas cargas, de acordo com a finalidade do edifício e com as características de utilização, são estabelecidos pela norma NBR 6120:1978 Cargas para cálculo de estruturas de edificações-procedimento (NB-5). Essa norma fornece ainda os pesos específicos dos materiais de construção usuais e dos materiais de armazenamento. c) As lajes são calculadas como peças laminares isoladas, por meio de uma decomposição virtual que as separa de suas vigas de bordo, a fim de aproveitar as teorias de cálculo próprias para as lajes (teoria das placas). A consideração correta dos vínculos nos bordos das lajes é fundamental para o cálculo. d) As vigas de bordo das lajes são consideradas apoios indeslocáveis. Essa hipótese exige verificação rigorosa dos deslocamentos das vigas de apoio, cujos valores máximos devem obedecer aos limites impostos pela NBR 6118: 2003-> 13.3. Afigura a seguir mostra, esquematicamente, as plantas de um painel de quatro lajes maciças (L1 al_4), apoiadas em vigas (V1 a V7), por sua vez sustentadas pelos pilares P1 a P7. As letras que acompanham as notações das vigas indicam os vãos de uma viga contínua. Por exemplo, a viga contínua V7 tem dois vãos, V7a e V7b, e está apoiada nos pilares P7, P5 e P3. Por sua vez,
287
288
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
a viga V5 apóia-se em V2 e P2, e V6 apenas nas vigas V3 e V2. Na planta de lajes, à direita da figura, os traços cheios representam os eixos longitudinais das vigas e os pontos cheios os pilares de apoio. Essa planta pode ser utilizada como planilha de cálculo, como será visto no exemplo 7.8, neste capítulo.
PI
1
Via
P2
Vlb
L2
LI
-Q
ry
P4 /i
72 C!
P3
L3
g
LI
L2
.TJ
L4
L3
14
V3 Figura 7.2 - Planta de formas e planta de lajes de um pavimento
e) As cargas transmitidas pelas lajes às vigas (reações de apoio nos bordos das lajes) são admitidas como uniformemente distribuídas, por unidade de comprimento das vigas. f) Em duas lajes de mesmo nível adjacentes, apoiadas de forma contínua sobre uma viga com a qual são moldadas monoliticamente, esse bordo é admitido para o cálculo como um engastamento perfeito para ambas as lajes. Na Figura 7.2, é o caso de L1-L2, apoiadas em V5, e L1-L3, L2-L3 e L2-L4, em V2. Caso não haja continuidade sobre um bordo, pela ausência de laje adjacente ou ocorrências de vazios de comprimento considerável, a laje é considerada no cálculo como simplesmente apoiada nesse bordo.
Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
g) Da NBR 611 8 -M 4.7.2.2; "Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical", considera-se como vão efetivo ou teórico da laje, numa dada direção, o valor obtido da expressão:
Os valores de a}ea2, em cada extremidade do vão, dependem da largura da viga de bordo respectiva, t e t2 , e da espessura da laje, h, da Figura 7.3, sendo o menor dos dois valores: a . < (0,5 t.; 0,3 h)
laje
laje
pi
\-\\
ti
t2
viga 'Xfrema
viga intermediária
Figura 7.3 -Vão efetivo de lajes
Para as estruturas de edificações usuais, na prática, é comum considerar o vão teórico como a distância de centro a centro dos apoios, ou seja, de eixo a eixo das vigas de bordo.
7.2.2 Classificação de lajes retangulares apoiadas em todo o contorno Para fins de cálculo, as lajes retangulares são classificadas em: a) Lajes em cruz (ou calculadas nas duas direções) ^» quando a relação entre os vãos teóricos é menor ou igual a 2. w- os momentos fletores na laje são calculados segundo as duas direções, para quaisquer condições de apoio nos bordos- engaste ou apoio simples.
28 9
290
João Carlos Teatíni dê Souza CÍímàco
apoios
3) laje em cruz
apoios
B) laje erri uma-sõ díreçaò
Figura 7.4 - Classificação de lajes retanguiares maciças apoiadas erri" todo d contorno
b) Lajes calculadas erh uma só direção ^ quando a relação dos vãos efetivòs é superiora 2. *•* apenas os bordos maiores são considerados como apoios pãra:fins de cálculo. Os momentos fietores são calculados apenas na direção paralela ao menor vão, dos quais se obtém a correspondente armadura principal. A armadura na direção paralela ao vão maior não é calculada, sendo denominada "armadura de distribuição" e fixada como uma parcela da principal. Esse tipo de laje é comumente chamada de "armada em uma só direção", denominação imprecisa, pois existem armaduras nas duas direções, mesmo que seja calculada apenas a paralela à menor direção.
7.2.3 Espessura das lajes A NBR 6118 -* 13.2.4.1 estabelece os seguintes limites mínimos para as espessuras de lajes maciças de edifícios: a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) J O cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
291
d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN\) 15 cm para lajes com pretensão;
f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. A espessura deve serfixada de início do projeto, pois é necessária à obtenção do peso próprio da laje. No pré-dimensionamento de um painel de lajes, tomam-se aquelas mais desfavoráveis, quanto aos vãos, cargas e condições de apoio, e fixa-se um valor da espessura igual ou superior ao mínimo de norma. Com esse valor, determina-se o peso próprio da laje, calculam-se os momentos mais desfavoráveis e impõe-se a condição de o dimensionamento da laje ser feito com armadura simples e subarmada. O uso de armadura dupla em lajes deve ser evitado, pois a espessura reduzida causa dificuldades na execução, especialmente para se manter a posição das barras, o que afeta a posição da linha neutra, pela pouca altura da laje. Atendida a condição citada, calculam-se as flechas (Capítulo 8), que devem atender aos limites de norma. Assim, por um processo iterativo, define-se a espessura definitiva da laje. A altura útil de uma laje, d, é definida como a distância da fibra mais comprimida ao centro de gravidade da armadura de maior área (principal). É, assim, função da espessura total da laje, h, da espessura da camada de cobrimento nominal de concreto, c nom ,' e da bitola das barras da armadura principal, r r i 0.i conforme a 1
Figura 7.5:
d = Jl - C»an<~
armadura principal
(bitola (/))
armadura secundária
Cnom = cobrimento nominal de concreto
(menor área)
Figura 7.5 -Armaduras principal e secundária e altura útil (d] de lajes maciças
292
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
ANBR 6118 -»• 7.4.7 estabelece os valores mínimos para a espessura nominal da camada de cobrímento de concreto. Segundo a Tabela 6.1, da NBR 6118 -* 7.4.7, as classes de agressividade ambiental são classificadas como CAA l a CAAIV (fraca, moderada, forte e muito forte). Para as lajes de concreto armado, devem ser observados os valores da Tabela 7.1, a seguir, extraída da Tabela 7.2 da norma. Tabela 7.1 - Espessura do cobrimento de concreto v(cnom'} em lajes de concreto armado r '
Classes de agressividade ambiental
/
//
///
IV
Cobrimento nominal de concreto (cmm) mm
20
25
30
45
ANBR 6118 -*• 7.4.7.5 permite para as armaduras da "face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento com pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, asfálticos e outros tantos" que as exigências dessa tabela sejam reduzidas, respeitado o cobrimento nominal > 15 mm. Com o aumento significativo dos cobrimentos em relação à NB-1/78, essa redução é importante para o dimensionamento, visto que, no cálculo por métodos elásticos, em geral, a espessura da laje é imposta pelos momentos negativos nas seções dos apoios, mais elevados que os positivos nos vãos. Dessa forma, para as armaduras negativas de lajes revestidas no interior de edifícios, nas condições citadas, o cobrimento mínimo é de 15 mm, nas quatro classes. Para bitolas da armadura até 10 mm e classe ambiental CAA l, podem ser adotados os valores da altura útil da laje (distância do centro de gravidade da armadura principal até a fibra mais comprimida); armaduras negativas: d~h -2yO cm armaduras positivas:
d = h -2,5 cm
(7.1)
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
Para outras classes ambientais, a altura útil pode diminuir muito. Na classe IV, por exemplo, para uma laje revestida de espessura 12 cm, têm-se para armaduras negativas d = 10 cm e positivas d = 7 cm.
7.3 AVALIAÇÃO DE CARGAS NAS LAJES 7.3.1 Cargas permanentes 7.3.1.1 Peso próprio Tomando o valor da espessura da laje, h, em centímetros, obtém-se a carga permanente por área de laje maciça, admitida como uniformemente distribuída, pela expressão;
g = 25h (kgf/m*)
(7.2)
7.3.1.2 Peso dos revestimentos inferior e superior Nos casos usuais de piso com tacos de madeira, argamassa de contrapiso e revestimento inferior da laje com argamassa de a\.é2,0cjn de espessura, é comum se adotar uma carga permanente adicional com o va\or 100kgf/m2. Uma execução deficiente, em especial quanto a formas e escoramentos, pode conduzir a valores bem superiores, pela necessidade de uma maior espessura da argamassa de contrapiso e de nivelamento do piso. Nos casos especiais de pisos de materiais mais pesados, como, por exemplo, mármore ou granito, a carga por área pode ser obtida da tabela de pesos específicos dos materiais de construção, da norma NBR 6120: 1978 (NB-5).
7.3.1.3 Peso do enchimento em lajes rebaixadas Por exigência do projeto de arquitetura, pode haver em um pavimento alguma(s) laje(s) em nível abaixo das demais, denominadas "rebaixadas". Em edificações
293
294
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
mais antigas, era uma medida comum para se embutir tubulações. Atualmente, é uma solução superada, pois, para maior rapidez e economia nas formas e facilidade de reparo das tubulações, as instalações hidráulico-sanitárias são localizadas sob a laje, embutidas em forros de fácil remoção e peso reduzido. Nas lajes rebaixadas, se houver algum tipo de enchimento, para nivelar o piso, deve ser ainda acrescida a carga adicional respectiva. Nesses casos, pode-se tomar como peso específico do material de enchimento (em geral, entulho de obra) o valor L 000 kgf/m3.
laje • • •
viga ' :
laje rebaixada
^ \ viga de tubulações
bordo
Figura 7. 6 -Laje rebaixada em relação ao nível do piso
7.3.1 .4 Cargas de paredes apoiadas diretamente sobre as lajes No lançamento estrutural, é conveniente dispor as vigas alinhadas sob as paredes principais, para receber sua carga. Entretanto, isso nem sempre é possível, sendo frequente haver paredes assentadas diretamente sobre as lajes. A Tabela 7.2, a seguir, apresenta valores do peso por m2 da parede "acabada", isto é, revestida dos dois lados, com argamassa de espessura até 2,5 cm, para as espessuras usuais. Para blocos de argamassa ou concreto, existe grande variedade de dimensões e os valores da tabela são' apenas indicativos, devendo ser consultadas as especificações do fabricante. Com o uso de tecnologias modernas e métodos racionais de execução, a espessura de paredes e o peso do seu revestimento podem ser reduzidos de forma significativa.
Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
Os valores da tabela são obtidos com os pesos específicos da norma NBR 6120: • Tijolo cerâmico furado:
y = 1.300 kgf/m3
• Tijolo cerâmico maciço:
/ = 1.800 kgf/m3
• Bloco de argamassa:
y = 2.200 kgf/m3
- Argamassa de cimento e areia:
/ = 2.100 kgf/m3
No caso de tijolo cerâmico furado de dimensões 10x20x20 cm, os pesos por área de parede acabada, p', da Tabela 7.2, são calculados como se segue (aproximação em múltiplos de 10): w>
parede de 15 cm O
g = 1300 x 0,10 + 2100 x 0,05 = 240 kgf/m2
^
parede de 25 cm O
g = 1300 x 0,20 + 2100 x 0,05 = 370 kgf/m2
Tabela 7.2 — Valores do peso unitário de parede acabada (p}: kgf/m2)
Tijolo cerâmico furado Blocos de concreto celular blocos de Espessura da parede acabada 10 x 20 x 20 cm (dimensões em cm ) argamassa 12 cm 15 cm 25 cm
200 (bloco de 8x20x40) 230 (bloco de 12x20x40) 310 (bloco de 20x20x40)
240 370
A determinação da carga proveniente de paredes apoiadas diretamente sobre as lajes é feita em função do valor da relação de vãos das lajes, na forma seguinte; a) Cargas de paredes apoiadas sobre lajes em cruz O peso da parede (g
, ) é tomado como uma carga distribuída
uniformemente em toda a área da laje. No exemplo da Figura 7.7 (a), sendo p' o peso unitário das paredes, da Tabela 7.2, e Ha sua altura (pé direito), com os comprimentos a e b , tem-se:
„ (a + b )Hpr oparede l 2
(7.3)
260 330 550
295
296
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
h/2
L
>• R
U U U U UA/
Á
aliiiiiiiiiA
^A
P + g par
P.
A
Lajes em cruz: / ; /1 2 £ 2
G
UUUiii
b) Lajes em uma díreção: l} /12 > 2
Figura 7.7 - Cargas de paredes diretameníe apoiadas sobre lajes retangulares maciças b) Cargas de paredes apoiadas sobre lajes em uma dlreção Conforme mostra a Figura 7.7 (b), duas posições podem ser consideradas para avaliar a carga da parede sobre a laje: parede paralela ou perpendicular ao menor vão. No primeiro caso, a parede transmitirá à laje uma carga distribuída e, no segundo, concentrada: ^ 1^ caso - parede paralela ao menor vão: a carga da parede pode ser considerada uniformemente distribuída na região de influência B e acrescida à carga total da laje, p. A largura da região B pode ser tomada como a metade do vão menor. Sendo a extensão da parede / g
arede
é dada pela primeira das expressões (7.4).
Q
, a carga por área
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
2^ caso - parede perpendicular ao menor vão: a carga da parede, G, é considerada concentrada, em uma faixa de largura unitária na região B de influência (p': Tabela 7.2):
Q
, = ¥-1
& parede
' P°reiíe -
7/7/91 12{12/1)
p
'
' Pare(le
, -> 12
(7.4) G = p'.H.lm
(kgf)
Observações: •
Nos dois casos de lajes em uma direção, em termos exclusivos de consumo de aço, o mais económico seria calcular armaduras distintas para as regiões com e sem influência da parede, B e A da Figura 7.7 (b), respectivamente. Entretanto, tal procedimento, além de aumentar o trabalho de cálculo e desenho, dificulta e introduz maior risco de erro no trabalho de armação. Por isso, é prática comum calcular apenas as armaduras para as situações mais desfavoráveis e repeti-las em toda a extensão da laje,
•
No cálculo da carga de paredes, em geral, não se descontam os vãos de portas e janelas. É a favor da segurança e pode cobrir eventuais modificações posteriores.
•
No caso de haver divisórias sem posição definida sobre a laje, a NBR 6120 determina que se considere um acréscimo na carga de, no mínimo, 100 kgf/m2.
7.3.2 Cargas acidentais As cargas variáveis de utilização da edificação, também chamadas "acidentais, sobrecargas de utilização ou cargas de serviço", são definidas na Tabela 2 da NBR 6120, quefornece os valores mínimos de carga uniforme por m2 de laje, para edificações de várias naturezas e seus respectivos tipos de espaço. Em situações
297
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João Carlos Teatiní de Souza Clímaco
especiais, outros tipos de carga devem ser considerados, exigindo-se atenção às disposições dos itens seguintes da norma: •
item 2.1.2
o
paredes divisórias sobre as lajes
•
item 2.2.1.3 o
•
item 2.2.1.5 o cargas em parapeitos e balcões
•
item 2.2.1.6 cí> cargas em lajes de garagens
armazenagem de materiais de construção e outros materiais
7.4 CÁLCULO DE ESFORÇOS EM LAJES RETANGULARES 7.4.1 Introdução Os métodos de cálculo de esforços são classificados, quanto à sua natureza, em elásticos ou plásticos. Os primeiros calculam os esforços da estrutura na fase elástica, com base na sua geometria indeformada, sob cargas de serviço. Os métodos plásticos admitem a laje em regime de ruptura, obtendo-se daí as configurações de equilíbrio para o cálculo dos esforços últimos. A seguir, descrevem-se, sucintamente, esses métodos. a) Cálculo no regime elástico O cálculo de esforços e deslocamentos em lajes maciças baseia-se na solução de uma equação diferencial, denominada equação de Lagrange, estabelecida pela teoria das placas. Para materiais elásticos e uniformes, a equação relaciona o deslocamento elástico z de um ponto de coordenadas x e y (Figura 7.8) com a carga unitária por área p, uniforme e normal à superfície média da placa, na forma seguinte:
p (cargo/área) _ + - -t- — — = __ e9x4 ax~.av^ av -L*
j
\
h (espessura)
Figura 7.8 - Placa de material elástico e uniforme
(7.5)
Capítulo' 7 - Calculo" de lajes rnãcíças retângCiláVéà
A rigidez à flexão da placa elástica êdada por:
E h3
_
12 (J
(7-6)
oTíde: h -espessura'da'rJlacá E = módulo" de elasticidade do material v - coeficiente de Pôisson do material. As condições de contorno para solução da equação diferenciai (7.5) são: ^flecha nula:
z —O
(em todos os bordos apoiados)
^•momentonulo:
d2 z/ dx
^ rotação nula:
az / â x = O
2
—O
(Bordbs simplesmente apoiados) (bordos engastados)
Da expressão (7.5), deduzem-se as expressões (7.7) é (7.8), para cálculo dos momentos fletores em duas direções ortogonais na laje: **• M = momento por unidade de comprimento de laje na direção paralela ao eixo "y" ^ M = momento por unidade de comprimento de laje na direção paralela ao
1 Mv = -
-3,2
;j2
-£-L + v —
â x2
â y2
\7 7^
dy*\
â x2
No regime elástico, o cálculo dos momentos nas lajes pode ser feito por diferentes métodos, que variam em grau de aproximação, conforme as ferramentas disponíveis:
300
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
a.1) Métodos clássicos Dos métodos clássicos, o mais antigo é a Teoria das Grelhas ou dos Quinhões de Carga, que consiste na divisão da laje retangular em faixas ortogonais de largura unitária, nas direções x ey, paralelas aos bordos. A carga total por área da laje (p) é também dividida em duas parcelas, chamadas "quinhões de carga", p
x
-f p
y
—p, nas faixas ortogonais.
Cada faixa é então calculada como uma viga submetida à respectiva parcela da carga total. O método é conservador quanto aos esforços produzidos, pois despreza a ligação lateral entre as faixas na mesma direção, obviamente existente na peça monolítica. a.2) Métodos baseados na teoria da elasticidade Têm como base a solução da equação de Lagrange, por técnicas numéricas com diferentes fundamentos e graus de precisão: ^ Integração por séries trigonométricas: métodos de Kalmanok, Czérni e Bares. ^ Integração numérica conduzindo a sistemas de equações lineares: métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos. a.3) Métodos mistos São métodos de caráter prático, que corrigem os momentos obtidos da teoria das grelhas por meio de coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange pela teoria da elasticidade. Desses métodos, o mais tradicional e mais utilizado na prática é o método de Marcus, apresentado neste texto, no item 7.4.3.1. b) Cálculo no regime rígido-plástico Baseia-se na configuração de equilíbrio da laje imediatamente antes da ruptura, após a plastificação dos materiais, considerando atingidos o esmagamento do concreto e o escoamento do aço. Sob a ação das cargas últimas, confirma-
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
se experimentalmente que a laje se divide em painéis rígidos, que giram em torno de rótulas, denominadas "linhas de ruptura, charneiras ou rótulas plásticas", que têm a direção das fissuras na laje, conforme a Figura 7.9, que mostra a configuração provável de ruptura de uma laje retangular engastada nos quatro bordos, sujeita a carga distribuída uniforme em toda a área. Segundo essa configuração, ao se aproximar a ruptura, a laje se divide em triângulos e trapézios, com as linhas cheias no interior da laje representando as fissuras ou rótulas plásticas que se formam na sua face inferior e as linhas tracejadas seriam as fissuras na região vizinha às vigas de apoio, sobre a face superior.
laje em planta fissuras na face inferior da laje fissuras na face superior da laje
Figura 7.9 - Configuração de ruptura em laje retangular engastada nos quatro bordos
Do exposto, com base nos doís métodos descritos - elástico e rígido-plástico -, existem duas alternativas para o cálculo dos esforços nas lajes de concreto armado: (D Calcular os momentos fletores de serviço na laje, Mk, por um método elástico e com eles obter os momentos últimos de cálculo (ruptura da laje), com a majoração: M.a.elasl ,., = 'fy,M,. O dimensionamento das armaduras efeito com J s k os momentos Mdel^ e as verificações aos estados limites de serviço flechas e fissuração, com Mk . É o processo mais simples e a favor da segurança, principalmente no que se refere aos momentos negativos. Em geral, algum balanceamento posterior dos momentos positivos e negativos é conveniente.
301
302
João Carlos Teatini de Souza Climaco
(D Calcular os momentos de ruptura na laje, M,a.plasf ,.,,' ~pelo método das linhas de . ' . •. : r' J ' ruptura, a partir de uma .relação prefixada entre .95 mon^entos,negativos e positivos, em geral tomando-os cqm va|or igual. Das condições de equilíbrio correspondentes, obtêm~se os mqrneptos-últimos, ,que pode.rn ser.diferentes .dos M, ,. ...e^dimensionam-se as armaduras. .O-emprego de algum, método • a.eíasl'- - * < V ! ;- ••..•:•.- • ;•.* , •: >i •• . • • . ' . ; ! • ; ' i \'.>\*' ;. ' - ' ' ; . • - . , • ' , 'i • • ' . • " • • . . '
-- -•
,elástico, é ainda necessário.para se obter os momentos de siervjço, ,Mk, par.a a verificação aos ELS. Na maioria das vezes, essa alternativa é mais económica, pelo balanceamento prévio dos momentos positivos e/.^negatiyos^.rTras-.exige dois procedimentos de cálculo. As normas admitem os dois processos e o projetista pode escolher a opção mais económica, com a segurança adequada aos ELU e funçi.pnalidade aos- ELS flecha e fissuração. A tendência moderna, com a disponibilidade de ferramentas computacionais, é dimensionar as armaduras pela alternativa (D e verificar as flechas nas lajes pela alternativa (D.
7.4.2
Cálculo de momentos nas lajes em uma só direção
7.4.2.1 Lajes isoladas Os momentos fletores são calculados considerando as faixas de largura unitária, paralelas à menor direção, como vigas apoiadas nos bordos maiores. As diversas condições de apoio nesses bordos podem ser vistas na Figura 7.10 (a), a seguir. A armadura principal é calculada apenas para os momentos calculados no vão menor, positivos e negativos. Quanto à direção maior, é exigida uma armadura de "distribuição", obtida como uma fração da armadura principal, como será visto no item 7.6.3.3.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
L
L
In
p
T
•í^^i
U p!2/S
K
p!2/2
p!2/8 a) Lajes isoladas em uma direção
Momentos fletores:
i;
Positivos
L4
L2
p l"; j /3 = JJ vão extremo
M,- = lm
B
fí=J5
vão interno
Negativos
X,j = 2 vãos : /? — á"
H l t u t t TTt l l H U I
"L
f j3 = 8 primeiro e mais de j último apoios 2 vãos 1 i i, f} = 9 demais
"
jV/2
b) Lajes contínuas em uma direção
Figura 7.10 — Momentos fletores em lajes calculadas em uma só direção
303
304
João Carlos Teatini de Souza Ctímaco
7.4.2.2 Lajes contínuas A edição anterior da norma, a NB-1/78, no item 3.3.2.6, apresentava um processo aproximado, de interesse prático, para o cálculo de uma faixa de largura unitária, paralela à menor direção da laje, tomada como uma viga contínua, como mostra a Figura 7.10 (b). A condição de uso é que os vãos mínimo e máximo nessa direção observem a relação / ruiu . ^.0,81 . Quando essa relação de vãos não é 1 •* ' max s obedecida ou existem cargas concentradas nas lajes, deve ser usado outro método para o cálculo como viga contínua. Pelo método, os momentos fletores máximos (positivo ou negativo), em cada faixa de largura 1 metro, são dados pela expressão abaixo, sendo o coeficiente fi definido na Figura 7.10 (b). Mmax = (g + q)l*//1=pl2//}
(7.9)
Para o cálculo dos momentos negativos, o vão / é tomado como a média dos vãos adjacentes ao apoio considerado, sendo /? igual a 8, para os apoios extremos, e igual a 9 para os apoios internos, quando houver mais de dois vãos, Tomando como exemplo a laje de quatro vãos da Figura 7. 10 (b), os momentos positivos e negativos pelo método da NB-1/78 seriam: =pl*/ll
M2 = pl22/15
=P [d,+l2)/2]2/8
7.4.3
M3 =p 132/15
X23 = p [(l2+l$)/2J2/9
M4 =p 142/11 X34 =p
[fl3+l4)/2]2/8
Cálculo de momentos nas lajes em cruz
7.4.3.1 Lajes isoladas - método de Marcus Para o cálculo dos momentos fletores nas lajes em cruz, ou seja, com relação de vãos < 2, o o método de Marcus é, provavelmente, o mais utilizado no Brasil. Conforme exposto no item anterior 7.4.1 - alínea a.3), é um método elástico misto, que fornece valores satisfatórios para os momentos da laje nos estados limites de serviço, isto é, sob as cargas previstas de uso.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
Em geral, os momentos negativos de cálculo obtidos pela simples majoração Md = yMfrSão conservadores com relação aos momentos de ruptura do cálculo plástico. Dessa forma, pode ser conveniente reduzir os momentos negativos por meio de uma redistribuição em que, para manter o equilíbrio, se aumentem os momentos positivos. O processo de redistribuição de momentos é previsto na NBR 6188 -> 14.7.3.2, por meio de um coeficiente â, relacionado com a altura relativa da linha neutra, x/d, dado por: "a)
õ > 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck < 35 MPa ou
b)
Õ > 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa"
Os momentos negativos teriam seu valor reduzido para 5M e os positivos aumentados na mesma proporção. Pela Norma, o coeficiente de redistribuição deve observar o limite Õ > 0,75, que impõe que a máxima redução permitida dos momentos negativos seja de 25%, atendidas as condições acima. Para as lajes retangulares apoiadas em todo o seu contorno, o método de Marcus prevê seis casos de cálculo, em função da natureza dos vínculos nos bordos apoio simples ou engaste. Em cada caso, o parâmetro de entrada é o coeficiente /l = / / lx . A condição fundamental para o emprego do método é a definição do vão / das lajes, como mostra a Figura 7.11, a seguir. / : vãos na direção da normal ao maior número de bordos engastados. Havendo igualdade nessa primeira condição, lx será o menor vão. Dessa forma, têmse para o parâmetro Ide entrada nas tabelas 7.6, ao final deste capítulo, as seguintes situações: Casos 1 , 3 e 6 O 1,0 ^ Ã ^ 2,0 Casos 2, 4 e 5 O 0,5 £ À, £ 2,0
305
306
João Carlos Teatíni de Souza Clímaco
Figura 7.11 - Definição dos seis casos de lajes retangulares em cruz peio método de Marcus
Os momentos fietores positivos e negativos em cada direção da laje, por unidade de comprimento, são calculados peias expressões (7.10) e (7.11), a partir dos coeficientes m , m , n ,ni9 obtidos das tabelas 7.6 (a) a (f), ao finai deste capítulo, para os seis casos da Figura 7.11, entrando com o parâmetro A.
momentos positivos o
momentos negativos o
(7.10)
AT =
(7.11)
As tabelas fornecem ainda um coeficiente k , com o qual se obtém o "quinhão" da carga total por área (p) nas direções ortogonais x e y: p p
= kxp e
= (1-k^p. Esses quinhões podem ser usados para cálculo de flechas em
faixas isoladas, com resultados muito conservadores.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
7.4.3.2 Lajes contínuas O cálculo é efetuado como lajes isoladas, por meio de uma decomposição virtual, em que se consideram engastadas entre si as lajes em que haja continuidade sobre o bordo comum. Nos bordos onde não houver continuidade, consideram-se apoios simples. Nas lajes calculadas como peças isoladas, obtêm-se dois valores para o momento negativo no bordo comum com continuidade, que podem ser diferentes, em função dos vãos e das cargas das lajes. Entretanto, na estrutura monolítica, o momento negativo no bordo deve ter um valor único, o que exige a uniformização dos momentos diferentes obtidos naquele bordo. A Figura 7.12, a seguir, apresenta um critério simplificado e a expressão genérica para o cálculo do momento uniformizado, X..ij.nnif.f, ao longo ° de um bordo. Quando as lajes adjacentes apresentam grandes diferenças de vãos, é necessário corrigir, também, os momentos positivos calculados nas lajes isoladas. Tal correção pode apontar diferenças significativas quando a diferença dos vãos contíguos ultrapassa 25%.
Separação para fins de cálculo:
Planta de lajes:
L3
L4
L2
LI
L2
LI
X J3,unif
X.24'
J3
^24,unÍf
• V2
Xij + Xji
L3
L4 X 34
^ij.iinif^
X 43
0,8 (maior deXy e Xj[ Figura 7.12 — Decomposição virtual para cálculo de lajes continuas
307
308
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
7.4.4 Considerações especiais sobre continuidade entre lajes Havendo continuidade entre lajes adjacentes, considera-se para o cálculo haver engastamento perfeito entre elas sobre o bordo comum. Caso contrário, o bordo é tomado como um apoio simples. Vale destacar os casos seguintes, de caráter prático: a) Se no bordo de uma laje não existe continuidade completa, para fins de cálculo considera-se a continuidade (engaste) em todo o bordo se houver continuidade em 2/3 ou mais de seu comprimento; caso contrário, toma-se todo o bordo como apoio simples. A Figura 7.13 mostra os dois casos para a laje L1. O bordo ÂB dessa laje pode ser considerado todo engastado ou simplesmente apoiado, dependendo da razão do trecho contínuo AC para o comprimento ÁB do bordo todo. Em qualquer das situações obtidas, a laje L2 será engastada em L1, pois existe continuidade em toda a extensão de seu bordo AC. Deve-se fazer o equilíbrio do momento J^^ (momento negativo na laje L2 pela continuidade com L1)comXiW:2, nocasodeser^C> 2/3 AB, ou com zero, se AC < 2/3 ÂB. Para fins de cálculo:
seAC<2/3AB:
se AC 2 2/3 AB: flama de lajes
s
A
í:
~ À
s. s.
Í7
L2
/
LI
s
í ot/ í:
C
x v,
*,-
x1 s.
LI
>
N. ri
s vazio s
Ax x x x x
B
x x x
Z2
Í^!^^M e/» ambos os casos
\$ Figura 7.13 - Considerações sobre os apoios em bordos sem continuidade completa
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
b) Não se considera a continuidade entre lajes de níveis diferentes. Na Figura 7.14, sendo a laje L2 rebaixada, as lajes L1, 13 e L4 serão calculadas considerando os bordos comuns a L2 como apoios simples. Para fins de cálculo: Planta de lajes rebaixada de 20cm, em relação ao nível de \
Figura 7.14 - Decomposição de painéis de lajes com níveis diferentes
7.5 CARGAS DAS LAJES NAS VIGAS Para avaliaras reações de apoio nas vigas de bordo de lajes maciças retangulares com carga uniforme, a NBR 6118 -> 14.7.6.1 adota um processo baseado numa análise rígido-plástica, segundo a qual a laje no estado limite último se divide em painéis rígidos, que giram em torno de "charneiras ou rótulas plásticas". Nessa configuração de ruptura, a laje fica dividida em trapézios e triângulos, por linhas de ruptura partindo dos seus vértices, conforme mostram os exemplos da Figura 7,15. O processo admite que toda a carga referente a cada um desses painéis é transmitida como uniformemente distribuída por unidade de comprimento à viga de bordo que é a base dos trapézios/triângulos. Procede-se como se a laje fosse dividida em áreas de influência, por retas inclinadas a partir dos vértices, com os ângulos seguintes: **- 45° — entre dois apoios do mesmo tipo (ambos engastes ou apoio simples); ^ 60° - a partir do apoio engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; ^ 90° - a partir do apoio, quando o bordo vizinho for livre.
309
310
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
p = carga unitária por área nas lajes /
60C
S s" S s* S
V3
_.-\45°
V2
45°f-..
Carga na viga Vi = p.(área i) /li
"s
xN
-* s s ss ^ s-
VI
S" S"
£ S
'')•;
V]
60° """--.,., 3
7
V3 /"'
2
/\45°
bordo livre
V2
Carga na viga V3 — p.(área 3) /h
Figura 7.15-Cargas nas vigas de bordo de lajes retangulares (Método da NBR 6118) A Tabela 7.7, ao final deste capítulo, apresenta expressões para o cálculo aproximado das reações nas vigas de bordo em lajes maciças retangulares com carga uniforme, pelo processo da áreas de influência, para os casos 1 a 6 do método de Marcus (ver Figura 7.11).
7.6 DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES 7.6.1 Verificação da espessura da laje As lajes maciças apoiadas em vigas no contorno são armadas com armadura simples, em uma só camada, na grande maioria dos casos da prática, pelas razões expostas no item anterior 7.2.3. Deve ainda ser atendido o limite imposto à profundidade relativa da linha neutra, x/â, pela NBR 6118 -> 14.6.4.3, para melhorar a dutilidade nas regiões de apoio sobre as vigas, conforme descrito nos itens 5.4.3.2, alínea b),-e 5.4.4, alínea e), do Capítulo 5. A espessura das lajes de um painel deve ser verificada, portanto, no início do cálculo, para duas condições: dutilidade adequada aos momentos negativos (k ici < 0,272 ou 0,228, conforme a resistência do concreto) e viabilidade de cálculo com armadura simples para momentos positivos (k ,
Capítulo 7 - Cálculo de-lajes maciças retaogulares
3-1 1
painel. Da expressão (5.5), para faixas de |aje delargura unitária como vigas de b = 1,0 m, devem-se verificar as expressões seguintes: ..{y .momentos fletores negativos nos apoios
Sá/ J ck, ^ 35MPfl • •
.•
o 'M-, i Sd.ttiax- ~rM'~ 'fmax &0&72.d?f ?\- cá .
v
(7.12) >
Se / ck, > 35 M?a o M Sa,inaxw = />Af 'max ^ 0£28-'d*f ca. . 'f J
J
J
^-.m.qmentQsfletqres.positivos MJa, w max =?Vtf* ,. d J2 /ca. 'f max ^ A r -maitm
»(7.13) /
.onde.: ^m« = momentafletor máximo (positivo ou n.egatívo), em módulo, para faixas de largura unitária em lajes de mesma espessura h\ ... mdlim
= coeficiente adimensional do momento fletor, n
'
3e4daflexão, com um valor para cada aço (Tabela 5.2 -Capítulo 5); d-h~c- 0/2 = altura útil da laje, sendo c a espessura do cobrimento nominal de concreto e 0 o diâmetro das barrras da armadura principal (ver Figura 7.5); bw = l metro
=
para o cálculo como viga de largura um metro.
Para obter momentos em kgf.m, em faixas de largura unitária, adota-se; d o cm;/^ o kgf/cm2.
7.6.2
Cálculo das armaduras
As armaduras de uma laje, positivas e negativas, são calculadas, em cada direção, como uma viga de largura bw = l m. Conhecida a espessura da laje e o momento fletor de cálculo por metro.de largura de laje, em cada direção, procede-se como no cálculo de armadura de vigas, exposto no Capítulo 5:
312
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
k
=
J»fM
(7-14)
mã
com: Msd O em kgf.m; d O em cm;fcd O em kgf/cm 2. Calculado o coeficiente kmd , obtém-se o valor de k (da Tabela 5.2), com o qual se determina a armadura por metro de laje, em uma dada direção:
A =_^_
(cm2/m)
(7.15)
com: Msd O em kgf.m; d O em metros; f ^ O em kgf/cm 2. Obtidas as áreas de armaduras rpositivas (Á ^ sx* ,À '
(A sy+)' e negativas ° ^ sx~,Á ' sy~\em /'
cm 2/m, a Tabela 7.5 fornece as bitolas das barras e espaçamentos, com as seguintes observações; a) É recomendável adotar espaçamentos s >10 cm, visando obter um bom lançamento e adensamento do concreto. b) O uso do aço CA-60 em lajes resulta em economia, pelo maior valor da tensão de escoamento f
d
e pela disponibilidade de bitolas mais finas que 5 mm.
Especial atenção deve ser dada às precauções quanto ao cálculo no domínio 2, situação muito comum em lajes, em especial para os momentos positivos, para prevenir a ruptura frágil e deformações excessivas das armaduras. As disposições para armadura mínima, do item 7.6.3.1, a seguir, devem ser atendidas. Para valores de k x <> 0,05 (ou kma, < 0,014), pode-se adotar ' ^ ' Jjrdiretamente^4 = Á
..
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
7.6.3
Prescrições da NBR 6118: 2003
7.6.3.1 Armadura mínima em iaj es Conforme dispõe a NBR 6118 -*• 9.3.3.1: "Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados no item 17.3.5.1. Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dados para elementos estruturais lineares". Quanto às armaduras mínimas, estabelece: "Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 19.1. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou portelas soldadas", ATabela7.3, a seguir, extraída daTabeia 19.1 da norma, apresenta as taxas de armadura mínima para as lajes de concreto armado. Como esclarece a norma, as lajes em cruzou calculadas nas duas direções dispõem de mecanismos resistentes adicionais ao elementos lineares, pelo funcionamento como placa, e, por isso, valores menores são admitidos para as armaduras positivas mínimas. Tabela 7.3 - Taxas de armadura mínima para lajes de concreto armado
// p,=A,/(bvh)
Armaduras Negativas
Ps* P min
Armaduras Positivas Lajes em uma direção Lajes em cruz Principal Secundária Principal: p szQ,67pmln Secundária:^ s è 0}2ASipt,ínc
PsZPmto
ps2Q,5pmín As > 0,2ASiprinc As è 0,9 cm2/ m
As taxas p da Tabela 7.3 são referidas aos valores de 'p mm. , da Tabela 7.4, "s também extraída da norma. Para se obter as armaduras mínimas da laje, positivas e negativas, em cm2/m , entra-se com h em. cm e bw = 100 cm na expressão:
313
31-4
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Tabela 7.4-Valores de p . (NBR 61f8 ^M7.3;5:2.1) " min ^ J
45
50
0,259
0,288
.25
0,1.5
0,15
0,173
0,23
0,201
7.6.3.2 Bitola das barras da armadura Não é definido um .limite inferior para-a;bitola;,entretanto, não devem ser utilizadas barras com bitola inferior,a 3,4 mm, a menos de telas soldadas. AMBK 6118 -»• 20.1 determina a bitola máxima da armadura em função da.espessura da laje: h/8 (h = espessura da laje)
(7.17)
7.6.3.3 Armadura de distribuição em lajes em uma só direção A armadura de distribuição de lajes em uma só direção é paralela ao maior vão, sendo fixada como 1/5 da armadura principal, calculada, como indicado na última coluna à direita da Tabela 7.3, na forma seguinte:
A s,aist ,,. =A s,pnnc . /S k 0,5p . k 0,9 cm2/m * min }
J
(7.18)
7.6.3.4 Espaçamento das barras da armadura Segundo a NBR 6118-* 20.1: "As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm.
Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
315
A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal". Com a prescrição do espaçamento máximo de 33 cm, a norma impõe o mínimo de três barras por metro para as armaduras de lajes. Pode-se concluirtambém das disposições da norma que a área mínima absoluta para as armaduras positivas e negativas é 0,9 cm2/m. As alternativas seguintes podem ser adotadas peio projetista para o detaihamento das armaduras, condicionando os espaçamentos e o comprimento das barras: a) Armadura corrida (D Barras retas de mesmo comprimento em cada direção, de face a face (externas) das vigas de bordo. Espaçamentos: armadura principal o s < 2h ou 20 cm\a o s' < 33 cm. (D Barras retas com dois comprimentos em cada direção: metade das barras de face a face (externas) das vigas de bordo e a outra metade concentrada na região central, à distância 0,21 do centros das vigas, sendo / o vão menor. Espaçamentos: armaduras principal e secundária O s < 16,5 cm (Figura 7.16 a). b) Armadura alternada Barras retas alternadas, a partir da face externa de cada viga de bordo, de mesmo comprimento em cada direção, igual ao respectivo vão teórico menos 0,21 , sendo / o vão menor. Espaçamentos: armaduras principal e secundária O s < 16,5 cm (Figura 7.16 b).
f
s*
3 16
João Carlos Teatíní de Souza Clímaco
_J
L
Q,2L
0.5A* 0,5A,y
0,2
0,2l l^ly
armadura principal: s
2h
niO,2lx
0,21*
r
armadura secundária: s' ^ 33cm
Figura 7.16 -Arranjo de barras das armaduras positivas em lajes apoiadas em quatro vigas
7.7 DETALHAMENTO
7.7.1 Recomendações básicas O desenho das armaduras das lajes é feito díretamente sobre a planta de formas da estrutura do pavimento. A Figura 7.17 mostra um exemplo de detalhamento de armaduras positivas, com o desenho feito sobre um trecho da planta de formas. As seguintes regras básicas devem ser observadas: a) Na planta de armadura de lajes, desenham-se em cada laje, no máximo, duas barras representativas da armadura de cada direção, positiva ou negativa. Ao longo dessas barras, anotam-se as informações seguintes: número de barras iguais naquela direção, bitola, espaçamento entre barras e comprimento unitário. b) Uma convenção comum nos desenhos de ferragens de lajes adotava a representação das barras da armadura positiva por linhas cheias e da negativa por linhas tracejadas. Com o advento do cálculo informatizado, essa prática caiu em desuso.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
317
c) Não devem ser superpostos os desenhos de armaduras positivas e negativas, quando houver possibilidade de confusão na planta. Em estruturas com simetria em planta, podem-se desenhar as armaduras positivas de um lado e as negativas do outro. d) Todas as barras da planta com mesma bitola, comprimento e formato recebem um número de ordem ou posição, com que serão identificadas no quadro analítico de ferros. e) Na planta de armaduras de lajes devem constar as informações: resistência característica do concreto, f
' a(s) classe(s) de aço empregada(s) e os
respectivos quadros de armadura "analítico" e "resumo", descritos no item 7.7.3.
1 —\J
0,50]
0,80
5-(415e2-
R"
=5
-s
"T.
24$ 5.0 ci'16-435 245,Qc/]6-(515e355)
ar
0,50 1
o,so
4.
~4-
* O,2x4m
0,80
7.7.2 Arranjo de armaduras negativas As barras da armadura principal de tração sobre os apoios, denominada "negativa", situadas na face superior da laje, devem se estender para cada lado, a partir do eixo da viga de apoio, de acordo com um diagrama triangular de momentos (Já deslocado), com o espaçamento das barras não excedendo 20 cm ou 2 h.
0,80\a 7.17 — Detalhamen
318
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Em lajes retangulares contínuas de edifícios sob carga distribuída uniforme, com a sobrecarga e a carga permanente observando a relação q <> g, não é necessário determinar o diagrama exato dos momentos negativos. Conforme dispõe a publicação Prática recomendada Ibracon ~ comentários técnicos NB~1 (2003), na ausência de determinação das distribuições de momentos, desde que as vigas de apoio sejam suficientemente rígidas (ou seja, deve-se ter cuidado especial no caso das chamadas "vigas chatas") e não seja necessário considerara alternância de cargas, as armaduras negativas podem ser dispostas conforme os arranjos seguintes, representados sinteticamente na Figura 7.18, a seguir. <* Em bordos simplesmente apoiados, portanto sem continuidade, em se tratando de lajes com valores de cargas e vãos elevados (ern geral, superiores a 6,0 m), devem-se prever armaduras específicas junto às faces superiores, para prevenir fissuras paralelas às vigas na região próxima a esses bordos. As barras são normais ao bordo, com espaçamento uniforme, sendo sua área uma fração (0,25) da armadura positiva da laje paralela ao bordo, como mostra a Figura 7.18. <* Nos cantos sem continuidade, é necessária ainda uma armadura em ambas as faces, para se combater os "momentos volventes", originados de uma tendência de elevação dos cantos da placa, com a inversão das reações nesses cantos, de cima para baixo, nos extremos das vigas de apoio. Elas têm por objetivo evitar fissuras diagonais nos cantos, que surgem na face superior, quando há restrição ao deslocamento vertical da borda, e na inferior, em caso contrário. Essa armadura é estabelecida como uma fração (0,75) da maior armadura positiva na laje, com barras nas duas direções, dispostas nas faces superior e inferior. Na face inferior, a área dessa armadura adicional incorpora as barras positivas existentes.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
Para momento volvente: ambas as faces da laje A ^n n'*À .
face superior Á,^0,25Á^i Ixi
/
y
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1x2^1x1
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Figura 7.18 -Armaduras negativas para duas lajes apoiadas em vigas
*> No caso de cruzamentos de vigas, mostrados em planta na Figura 7.19, a norma não estabelece um procedimento específico para detalhamento de armaduras negativas. Nesses cruzamentos pode ocorrer uma concentração excessiva de ferragem que dificulta o lançamento e o adensamento do concreto. Um critério prático que pode ser adotado, quando apenas um apoio é interrompido, como mostra o esquema em planta à esquerda da figura, consiste em interromper a ferragem negativa sobre ele, entre as lajes L2 e I_3, no exemplo. Quando duas vigas se cruzam no mesmo nível, como no esquema à direita, mantém-se a continuidade da armadura de maior área, representada na figura pelas barras negativas entre L1-L3 e L2-L4, interrompendo-se as demais. Esses critérios, mostrados na Figura 7.19, são recomendados no livro Curso prático de concreto armado, vòl.1, do prof. Aderson M. Rocha, a publicação mais usada por projetistas de concreto no Brasil, nas décadas de 1960-1980. No entanto, como não constam da norma, seu emprego deve ser bem avaliado em casos de lajes com grandes vãos e/ou cargas.
319
3 20
João Carlos Teatini de Souza Climaco
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.J.. 14 L-L
L3
LB
interrompe-se a armadura sobre a viga que termina
r i
--_ — - — -,
/-interrompem-se as armaduras de menor área
Figura 7.19 - Interrupção de armaduras negativas de lajes sobre o cruzamento de vigas
Nas lajes em balanço, como os momentos fletores diminuem no sentido do engaste para a borda livre, a armadura negativa não é necessária em toda a sua extensão. Dessa forma, pode-se adotar o arranjo da Figura 7.20, conforme dispõe a Prática recomendada Ibracon — comentários técnicos NB-1 (2003). A metade das barras da armadura negativa total deve ser disposta na face superior em toda a extensão do balanço, sendo ancoradas na laje interna com o mesmo comprimento reto. Para a segunda metade, as barras são intercaladas com as da primeira, estendendo-se até a metade do balanço e ancoradas com o mesmo comprimento na laje interna.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
.—__—.^_^_^_.
na face superior •±
0,5ÁS 0,5ÁS
' (W*
—i
1
0,5lx
LI
L2 laje em balanço
Figura 7.20 -Arranjo de armaduras negativas de lajes em balanço
7.7.3 Quadros de armadura Em todas as plantas de armadura de estruturas de concreto armado, devem constar dois quadros de armaduras, Analítico e Resumo. Para cada painel de lajes, o Quadro Analítico apresenta a quantidade total de barras de mesma posição ou número de ordem N, que identifica barras de mesma bitola, comprimento e desenho, para as diferentes bitolas utilizadas, com os respectivos comprimentos unitário e total. Esse quadro é utilizado para o corte e a montagem das armaduras. No exemplo simplificado a seguir, as posições N1, N2 e N3 indicam barras retas de mesma bitola (5 mm] mas com comprimentos unitários diferentes. Essas barras podem ser usadas em diferentes lajes do painel, mesmo que os espaçamentos sejam diferentes nas lajes. Em geral, as posições são ordenadas com as bitolas crescentes, como no exemplo.
321
322
João Carlos Teatini de Souza Climaco
Quadro Analítico (exemplo) N° de ordem (Posição)
^ (mm)
Quantidade 200
N2
5,0 5,0
N3
5,0
N4 N5
NI
Comprimento (m) Unitário
Total 300
100
1,50 2,00 4,00
6,3
100
3,00
300
6,3
50
4,00
200
150
300 400
A partir do Quadro Analítico, elabora-se o Quadro Resumo, usado na elaboração de orçamentos e compra de armaduras. O peso total das barras correspondentes a cada bitola é obtido multiplicando-se o comprimento total referente a cada bitola, do Quadro Analítico, pelo peso por metro linear, fornecido na Tabela 4.4. Deve-se prever, ainda, um acréscimo no peso total, da ordem de 5 a 10%, para prevenir perdas inevitáveis com o corte de barras na obra. Quadro Resumo (exemplo) Bitola O
Comprimento total (m)
Peso (kgf)
5,0 6,3
1000 500
160 120
Total:
2.120
7.8 EXEMPLOS Para o painel de lajes da Figura 7.21, todas de mesma espessura 9 cm, calcular os momentos fletores e dimensionar as armaduras, positivas e negativas, para uma sobrecarga de utilização de 2,5 kN/m3, sendo a carga
Capítulo 7 -GálGUlo-de'.lajes maciças retangulares
correspondente aos revestimentos .superior e inferionda laje de 1,0 kN/m2, •concreto com •*f CK, — 20 MPa e aço GA-60. *
2,50
Cs
N'
LI
0,9
3,50m
2,50
"^
\ /
L2
\{
L3 ""1
*
L4
/ x f
h = 9cm
L5
C3
s
Figura 7.21 - Planta de lajes do exemplo 7.8 a) Definição dos apoios das lajes l_1 o
calculada nas duas direções ou em cruz (2,5/2,0 = 1,25); engastada em L2 e L4; caso 3 do processo de Marcus;
L2 O
calculada em uma direção (2,0/0,9 =2,22); biengastada, em L1 e L3 (momentos no vão / = 0,9 m O M = pP/24; X = p
L3 O
laje em cruz (5, 5 / 3,5 = 7,57), engastada no bordo comum com L2 e L4 e apoio simples com L5, pois 2,0 < (2/3} 5,5 = 3,67', caso 2 do processo de Marcus;
L4 o
laje em cruz (3, V3, 4 = 1,03}, engastada em L3 e no bordo comum a L1 e L2 (alguns autores não consideram continuidade em bordos de comprimento inferior a l, O m] mesmo se aplicado esse critério, ainda seria considerado engaste pois no trecho contínuo tem-se 2,5 > (2/3) 3,4 = 2,28; caso 3 do processo de Marcus;
.323
324
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
L5 O laje em cruz (2,5/2,0 = 1,25), engastada em L3; caso 2 de Marcus. b) Avaliação das cargas nas lajes
/ Peso próprio da laje:
..g = 25,h = 225 kgf/m2
= 2,25 kN/m2
/Revestimento:
100 kgf/m2
= 1,00 kN/m2
S Sobrecarga (q):
250 kgf/m2
= 2,50 kN/m2
/Cargatotal:
575 kgf/m2
= 5,75 kN/m2
É prática comum se adotar múltiplos de 50 kgf/m2 para a carga total de lajes. Dessa forma, para todas as lajes do exercício, será adotada a carga O p = 600 kgf/m2 = 6,0 M/m2. c) Cálculo dos momentos A Figura 7.22 apresenta a planta de lajes do exemplo, que é utilizada como planilha para o cálculo dos momentos nas lajes pelo processo de Marcus, por meio das expressões (7.10) e (7.11). Em cada uma das lajes em cruz da planta, escrevem-se os valores da relação de vãos à = / / / , parâmetro de entrada das seis tabelas de Marcus (Tabelas 7.6 a~f), com os respectivos coeficientes obtidos para os momentos mx ,m y ,n x ,n y . No cruzamento dos eixos, anota-se o valor da carga total de cada laje, p = 600 kgf/m2. Os momentos positivos são escritos ao longo dos eixos:c ey e os negativos junto ao bordo comum a duas lajes. Em um retângulo junto a cada bordo, registrase o momento negativo uniformizado, obtido da expressão apresentada no item 7.4.3.2. No bordo entre as lajes L1, l_2 e L4, por exemplo; o momento negativo de L4,431 kgf.m, é uniformizado, separadamente, com os momentos 272 kgf.m e zero, resultando no momento único neste bordo de 345 kgf.m, igual a 0,8 vezes o maior momento no bordo, 43 J kgf.m. No bordo de L3 com L2 e L4, a uniformização de 865 kgf.m com 459 kgf.m e 41 kgf.m resulta no momento negativo de 692 kgf.m. Entre L3 eL5,entreOe237Â:g/?m, prevalece também 0,8 do maior momento = 190 kgf.m.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
(LI) * \ X
f
,
à =1,25 /J/j. —2jtj
nx=ll,3 í
o.
1„„
600
cá
^v_X
'
1
y> [ r-i
=0
--t
à =1,03 mx =3 '5,1 nx =15,1 m =37,2 ny, =16,1
,
*.
. 20 :
y voí *-i 50 * "í 12 : 'u 1 1 1 n \345\'" -431 ny~
\.
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\ •^ i ,
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397
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'-f
o," • "o
600
/
'•
/
—i JC
/
--i;
1 s—' (T~~A\
•-
*.
y\^
^
^
196
à =0,80 mxo\ =44,7 nx =13,8 my=34,3
ín 1
5
600
84
Figura 7.22 - Planta de lajes com momentos calculados pelo método de Marcus
d) Verificação da espessura das lajes É uma etapa que precede o dimensionamento das armaduras, tomando-se o momento máximo, positivo ou negativo, em valor absoluto, de todo o painel. No exemplo, trata-se do momento negativo uniformizado entre as lajes L3 e L4, 692 kgf.m, do qual se obtém:
MSa.inox w - 1,4 Mmax =1,4 x 692 = 969 kgf.m ' ' *-" Supondo a classe de agressividade ambiental fraca, CAA l, e adotando a mesma altura útil para cálculo das armaduras positiva e negativa, a favor da segurança, das expressões (7.1) tem-se: á~h-2,5 cm = 6,5 cm. Da expressão (7,12), com a resistência de cálculo do concreto fc(j= 200/1,4 = 143 kgf/cm2, é atendido o momento resistente limite para garantir a dutilidade da laje nos
c • c 0
n
x-T
(L5)
^
c a
c
X
^
apoios: MM = 0,272 x 6,52 x 143 = 1.643 kgf.m.
325
c •^ t c
326
João Carlos Teatini de Souza Ctímaco
Sendo Ms^inax < MRd, da expressão (7.13), a espessura da laje é suficiente para ter todas as lajes com armaduras simples, podendo até ser reduzida, dependendo da verificação de flechas, apresentada no Capítulo 8, Todas as , - , ' ' • ' V ~. •
• . . •-• •• -r -'
'•£•_- 'i V; H , V , s
» ,
, ., _ ; : f v- '
'• :,•
•• •
• ". 'ri
'-•-
lajes ppderãa então, ser^ar.rnadas com Armadura sjmples. e) Cálculo das armaduras As planilhas seguintes apresentam as áreas calculadas de armaduras positivas e negativas, (barras corridas). Os .coeficientes kmd vê.rryda expressão .(7,14), com o mesmo denominador para as lajes de mes.ma espessura; 6,52xl43 — 6.042. Os coeficientes kz são obtidos da Tabela 5.2, as armaduras da expressão (7.15) e as bitolas e espaçamentos da Tabela 7.5. Conforme o final do item 7.6.2, para cálculo no domínio 2, sendo k
d
ú 0,014,
adota-se diretamente a armadura mínima. Da expressão (7.16) e Tabelas 7.3 e 7.4, tem-se: ^ armadura negativa mínima entre todas as lajes e positiva principal da laje L2, em uma só direção: A
t
= 0,0015 x 100 x 9 = 1,35 cm2/m
O 0 5,0 c.14 cm = 1,4 cm 2/m. ^ armaduras 'positivas nas lajes em cruz: A s.niin. = 0,67 x J,35 cm2/m = J ' 0,9 c/77 Vm O
Para valores de kind > 0,014, calcula-se a armadura da expressão (7.15) e, caso inferior à área mínima, esta será adotada. Observadas as prescrições do item 7.6.3, na escolha das bitolas e espaçamento das barras, optando pelo detalhamento com armadura corrida (item 7.6.3.3, alínea a-®), procura-se adotar
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangutares
o menor número de bitolas diferentes, para maior economia. O espaçamento máximo da armadura principal positiva e armaduras negativas é imposto pelo limite 2h = 18 cm < 20 cm. A seguir, são apresentadas as planilhas de cálculo das armaduras positivas e negativas, em barras corridas, com a última coluna à direita mostrando as bitolas das barras adotadas e respectivos espaçamentos.
Armaduras positivas das lajes (armadura corrida)
Laje L1 L2 L3 L4 L5
Direção
M (kgf.m) Md (kgf.m)
k>nd
kz
Á s (cm 2/m)
As($, esp.)
x
93 60
130 84
0,021 0,974 0,014 0,980
0,90 0,90
$5,0c.l8 05,0c.21
principal distribuição
20
28
0,005
1,40 0,90
$5,QcJ4 $5,0c.21
x
397 124
556 174
0,092 0,931 0,029 0,968
1,76 0,90
$5,0c.ll $5,0c.21
x
196 186
274 260
0,045 0}955 0,043 0,954
0,90 0,90
$5,0c.l8 $5,0c.21
x
84 109
118 153
0,020 0,974 0,025 0,972
0,90 0,90
05tOc.21 $5,0c.28
y
y y
y
min
327
3 28
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Armaduras negativas das lajes
3
•n .> •o j u >
u
Entre lajes X(kgf.m)
r
í.
As(0,esp.)
1,4
$5,0c.l4
345
483
0,080 0,937
1,82
L2-L3 L3-L4
692
967
OJ60 0,894
3,19
$8,0c.l4
L3-L5
190
266
0,044 0,958
1,4
3>5,0c.l4
L2-L4
O D
A s (cm 2/m)
0,025 0,972
L1 -L4
3
^z
153
Í 3 1 J
lK-md
109
L1 -L2
3
•a
Xd(kgf,m)
Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangutares
7.9 AUTO-AVALIAÇÃO 7.9..1 Enunciados 1. Para a planta de lajes da Figura 7.23 a), de pavimento destinado a escritórios, todas com mesma espessura 10 cm, calcular as armaduras positivas e negativas das lajes. Adotar o concreto com fek = 20MPa, classe de agressividade ambiental fraca e aço CA-60. 2. Dimensionar as armaduras da laje L da Figura 7.23 b), destinada a garagem de edificação residencial. Determinar as cargas unitárias transmitidas às vigas de bordo. Piso com lajotas cerâmicas de espessura l, O cm, assentadas com argamassa de cimento e areia de espessura 1,5 cm e revestimento inferior da laje com argamassa de cal, cimento e areia de espessura 0,5 cm. Concreto com fck — 30 MPa; classe de agressividade ambiental forte e aço CA-50. 3. Para a laje L da Figura 7.23 c), destinada a depósito de papel, calcular a espessura mínima (valor inteiro em cm) e a correspondente carga máxima por m2, para o dimensionamento como normalmente armada com armadura simples. Calcular as armaduras da laje para o concreto com fck = 25 MPa, classe de agressividade ambiental moderada e aço CA-50. 4. Dimensionaras armaduras das lajes da planta da Figura 7.23 d), com espessura O, l O m, sobrecarga de serviço de 2,0 kN/m2, revestimentos superior e inferior com l,O kN/m2, fck = 25 MPa e aço CA-60. Determinar o carregamento da viga V2, admitindo todas as vigas da planta com seção 15 x 45 cm2. Sobre todas as vigas, supor que sejam assentadas paredes de tijolo cerâmico furado, com espessura acabada de 15 cm e pé direito 2,40 m. 5. Para as lajes da planta da Figura 7.23 e), todas de mesma espessura h = 8 cm, sobrecarga de uso de 3,0 kN/m2, fck = 20 MPa e aço CA-50, calcular as armaduras positivas e negativas.
329
330
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
P2
P3
m
6,00m
VI
-Q
S
>± Ji '
LI
t,
4
L
x /-*.^ x x xl
P4
3
1
P5
K2a
12
TV
V3a
4,20
/ / t i
Q
t * /
PS
V2b
P6
V2 b) Exercício 2
$ ^
L3
73b
'
P9
5,20
\ sobre as lajes de tijolo cerâmico furado: j pé-direito: 2,50m; espessura: QJ5m a) Exercício 1 c) Exercício 3
^ 2,00m o
5,00m PI
m
-rn
Vla
LI P4
3Mn
V2a
S P5
;,5m 2,0m 1,0 2,5m * } 1; 1;
12 V2b
g
L2
Pó
\.
1V Cs d
v
pó
L4
L3
L4
£
£
L5
.'•' K3fl
p,? d) Exercício 4
K3è
-^ e) Exercício 5
Figura 7.23 — Plantas de lajes dos exercícios de auto-avaliaçao do Capítulo 5 (escalas diversas)
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
7.9.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. A laje L1 tem a relação de vãos maior que dois, sendo calculada em uma só direção, paralela ao vão menor, como engastada em L2 e L3 e simplesmente apoiada no bordo oposto. Têm-se todas as três situações de cálculo da Figura 7.7 b): um trecho à esquerda de 2,0 m, com a carga concentrada da parede perpendicular ao menor vão; um trecho de 1,60 m, adjacente a L3, com a carga distribuída da parede paralela ao menor vão; e dois trechos, ao centro e à direita, apenas com a carga permanente e sobrecarga. Os momentos fletores são obtidos dos diagramas respectivos da Figura 7.10 a). Para a armadura positiva principal de L1, paralela ao vão menor de 3,20 m, pode-se adotar em toda a extensão da laje a armadura calculada com o maior dos momentos positivos dos dois trechos de carregamento com paredes, a favor da segurança, mas facilitando a execução. As lajes L2 e L3 são em cruz. A carga da parede em L2 é dada pela expressão (7.3). Para a armadura negativa entre as lajes L1-L2, adotar o momento negativo do trecho com carga concentrada, equilibrado com o de L2. Analogamente, entre L113, adotar o momento negativo do trecho com carga distribuída, equNjb.rado com o correspondente, de L3. 2. Adotar a espessura mínima de laje do item 7.2.3, alínea c). Na NBR 6120, figuram os pesos específícqs dos materiais de construção (Tabela 1) e o valor mínimo da carga acidental (Ta,bela 2). Caso necessário, fazer a redistribuição dos momentos do segundo parágrafo do item 7.4.3.1 deste capítulo. Para obter as cargas por unidade de comprimento das vigas, verificar na Tabela 7.7, no caso 2, em qual dos dois tipos a laje se enquadra. 3. Para a sobrecarga de utilização, fazer um desconto de 20% na área total da laje, para fins de circulação, tomando o y o ej = 15 kN/m3, da NBR 6120. Nas expressões (7.2) e (7.10), o peso próprio e os momentos fletores característicos podem ser expressos em função da espessura h. Para cálculo como^ normalmente armada, tomam-se os coeficientes no, limite dos domínios 3-4,
331
332
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
ou seja, o momento máximo resistente da expressão (7.13), em função da altura útil dt relacionada à espessura pela expressão (7.1). 4. Conforme explica o item 4.2.2, do Capítulo 4, pode-se considerar a viga V2 como contínua, simplesmente apoiada nos pilares P4, P5 e P6. As vigas V5, V6 e V7 transmitem cargas concentradas em V2, podendo ser admitidas como biapoiadas. Para as cargas em V2, V6 e V5 das lajes L1 e L3, em uma direção, na Tabela 7.7, adotam-se os casos 2 (2^ tipo) e 3, respectivamente. Em razão do trecho vazio entre as vigas V7 e V8a, o bordo V7para a laje L4, sem continuidade, é considerado apoio simples. Para L2, o trecho contínuo em V2b é menor que 2/3(3 ni)\ esse bordo também é um apoio simples. 5. Atenção às condições de apoio da laje L4, no bordo comum a L5, e 15, no bordo comum a L3, em função da descontinuidade parcial nesses bordos, adjacentes ao vazio.
Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares
Tabela 7.5 - Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de comprimento (cm2/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480: 1996 (EB-3)
Bitolas 0 (mm)
Espaçamento
(cm)
3,4 (1)
4,2<1>
5
6,3
8
10
12,5
16
7,0
1,30
1,98
2,81
4,45
7,18
11,22
17,53
28,72
7,5
1,21
1,85
2,62
4,16
6,70
10,47
16,36
26,81
8,0
1,13
1,73
3,90
6,28
9,82
1,07
1,63
3,67
5,91
9,24
9,0
1,01
1,54
2,18
3,46
5,59
8,73
9,5
0,96
1,46
2,07
3,28
5,29
8,27
15,34 14,44 13,64 12,92
25,13
8,5
2,45 2,31
10,0
0,91
1,39
1,96
3,12
5,03
7,85
12,27
20,11
11,0
0,83
1,26
1,79
2,83
4,57
7,14
12,0
0,76
1,15
2,60
4,19
6,55
11,16 10,23
16,76
2,40
13,0
0,70
1,07
1,64 1,51
14,0
0,65
0,99
1,40
2,23
3,87 3,59
15,0
0,61
0,92
1,31
2,08
3,35
16,0
0,57
0,87
1,23
1,95
3,14
16,5
0,55
0,84
1,19
1,89
17,0
0,53
0,81
1,16
1,83
18,0
0,50
0,77
1,09
1,73
23,65 22,34 21,16 18,28
6,04
9,44
15,47
5,61 5,24
8,77
14,36
8,18
13,40
7,67
12,57
3,05
4,91 4,76
7,44
12,19
2,96
4,62
7,22
11,83
2,79
6,82
11,17
19,0
0,48
0,73
1,03
1,64
2,65
4,36 4,13
6,46
10,58
20,0
0,45
0,69
0,98
1,56
2,51
3,93
6,14
10,05
21,0
0,43
0,66
0,94
1,48
2,39
3,74
5,84
9,57
22,0
0,63
0,89
1,42
2,28
9,14
0,60
0,85
1,36
2,19
3,57 3,41
5,58
23,0
0,41 0,39
5,34
8,74
24,0
0,38
0,58
0,82
1,30
2,09
3,27
5,11
8,38
25,0
0,36
0,55
0,79
1,25
2,01
3,14
4,91
8,04
26,0
0,35
0,53
0,76
1,20
1,93
3,02
4,72
7,73
27,0
0,34
0,51
0,73
1,15
1,86
2,91
4,55
7,45
28,0
0,32
0,49
0,70
1,11
1,80
2,81
4,38
7,18
29,0
0,31
0,48
0,68
1,07
1,73
2,71
4,23
6,93
30,0
0,30
0,46
0,65
1,04
2,62
4,09
6,70
31,0
0,29
0,45
0,63
1,01
1,68 1,62
2,53
3,96
6,49
32,0
0,28
0,43
0,61
0,97
1,57
2,45
3,83
6,28
33,0
0,28
0,42
0,60
0,94
1,52
2,38
3,72
6,09
apenas para o aço CA-60
333
otoco~-jO)Oi-d.toro-i
•SitAjCoCototoCOCjCjCo
tONDK)KJN)toroMMfO - A O O O O O O O O O O OíOCo-vICTlOi-ti.UjK)-*, OtOCD--JO)Ol-í4,tOKi~i OtQOa--JO)tíi
rf1*-
oooooooooo cocacococnCQCDCococo i •~j~JO)ajaicncnui-ti--íi.
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Estruturas de concreto armado: f u n d a m e n t o s de projeto, dimensionamento e verificação
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Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação
340
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
Tabela 7.7 - Reações de apoio uniformemente distribuídas nos bordos de lajes retangulares maciças apoiadas em todo o contorno (NBR 6118, item 14.7.6.1)
1— (
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O
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r2 = 0,25 (2-a/b) pá
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r3 = 0,34(1 ,46-a/b)pa
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a /b £1,37
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^
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12 pá
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a/b *2,73
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1°TÍPO a/b ^0,79 ri = 0,32 pá r3 = 0,40(l,58-a/b)pa
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(*) casos do método de Marcus p: carga uniforme por área da laje ri, r2, r3, r4 = reações uniformes nas vigas de bordo, por unidade de comprimento
'; í 6; ;
60' "*•, ,-*" 60"
«° ,-' *V5° >" r/ '<" '
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Verificações aos estados limites de serviço 8.1 OBJETIVOS
Conceito: Estados Limites de Serviço são aqueles relacionados à durabilidade da estrutura e à boa utilização, funcionalidade e aparência da edificação, seja em relação ao conforto do usuário, seja quanto às máquinas e aos equipamentos utilizados.
A noção intuitiva de segurança está ligada à ideia de sobrevivência e, dessa forma, uma estrutura poderia serconsiderada segura se houvesse alguma garantia de que durante sua vida útil não seriam atingidos estados de desempenho patológico. Entretanto, esse conceito intuitivo deve ser mais bem estabelecido tecnicamente, em função do respeito à vida humana e às condições psicológicas e económicas dos usuários das construções, que são, em geral, leigos e não obrigados a entender o funcionamento das estruturas. Segundo o conceito de segurança estrutural apresentado no item 3.8.1 - Capítulo 3, entende-se que uma estrutura é segura quando atende aos três requisitos seguintes: a) Mantém durante sua vida útil as características originais do projeto, a um custo razoável de execução e manutenção. b) Em condições normais de utilização, não apresente aparência que cause inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem apresente falsos sinais de alarme que lancem suspeitas sobre a sua segurança. Em outras palavras, uma estrutura segura deve ter aparência que transmita segurança.
344
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
c) Sob utilização indevida deve apresentar sinais visíveis-flechas, deformações e fissuras - de advertência quanto a eventuais estados de perigo. Isto é, qualquer possibilidade de ruptura sem aviso ou de colapso progressivo deve ser prevenida. Portanto, um conceito amplo de segurança está intimamente relacionado ao comportamento da estrutura com a utilização prevista em projeto, para o qual se definem os Estados Limites de Serviço (ELS). Considera-se que esses estados são atingidos quando a estrutura não mais atende aos requisitos específicos da edificação, sob condições normais de uso e ambientais. No entanto, os ELS não estão associados a risco iminente de colapso da estrutura. Os ELS que são objeto de verificação comum no projeto de estruturas de concreto armado das edificações usuais são: •
fissuração excessiva que afete de forma adversa a aparência, a durabilidade ou as condições de estanqueidade;
•
deslocamentos que causem prejuízo à aparência ou ao uso efetivo da edificação (incluindo mau funcionamento de máquinas ou serviços), ou danos inaceitáveis em outros elementos, estruturais ou não, da construção;
•
tensões de compressão no concreto excessivas, produzindo deformações irreversíveis e microfissuras que possam levar à perda de durabilidade;
•
vibrações resultando em desconforto, alarme ou perda de funcionalidade.
No que se refere aos ELS, deve-se considerar, ainda na fase de projeío: •
As sobrecargas de utilização podem mudar com o decorrer do íempo (por exemplo, edifícios residenciais que passam a ser usados como escritórios).
•
Cabe ao projetista definir as classes de agressividade ambiental da estrutura e suas partes, segundo as exigências específicas de proteção e durabilidade, conforme a Tabela 6.1, da NBR 6118-> 7.4.7. As classes são classificadas como CAA l a CAAIV (fraca, moderada, forte e muito forte), com os respectivos valores mínimos da espessura nominal da camada de cobrimento das peças de concreto fornecidos na Tabela 7.1 da norma.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
•
O projetista deve verificar se as flechas calculadas, mesmo quando inferiores aos limites da norma, não resultarão em danos a elementos da construção situados sobre ou sob o elemento estrutural, prevendo-se, caso necessário, dispositivos adequados ou contraflechas para evitar consequências indesejáveis.
•
O projeto da superestrutura deve considerar as características do solo onde as fundações serão assentadas, a fim de analisar a probabilidade de ocorrência de recalques dos pilares, para, caso necessário, considerá-los no cálculo de esforços das peças estruturais.
Portanto, o dimensionamento das estruturas de concreto armado deve garantir a segurança necessária em face da ruptura (Estados Limites Últimos - ELU) e, além disso, o comportamento aceitável nas condições normais de utilização (Estados Limites de Serviço - ELS). Dessa forma, são os seguintes os objetivos desta unidade: a) Identificar os ELS típicos a serem considerados nas estruturas de concreto armado de edificações usuais, b) Apresentar os critérios de projeto para a verificação ao Estado Limite de Deformações Excessivas (ÊLS-DEF) de elementos lineares sujeitos a solicitações normais, visando à comparação das estimativas de flechas com os limites estabelecidos pela NBR 6118: 2003. c) Idem quanto ao Estado Limite de Abertura de Fissuras (ELS-W). d) Verificação de lajes retangulares maciças de concreto armado ao Estado Limite de Deformações Excessivas.
8.2 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Em razão de serem os ELS relacionados ao comportamento da estrutura em utilização normal, a sua verificação busca considerar os valores mais
3-45
346
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
representativos das ações/solicitações e das resistências dos materiais, nas situações de uso previstas no projeto. Em serviço, as resistências características dos materiais não devem ser ultrapassadas, e o comportamento global da estrutura não é substancialmente afetado por variações localizadas das propriedades do concreto e do aço, que justificam a aplicação dos coeficientes de mineração de resistências no cálculo aos ELU.
As verificações de projeto devem levar em conta as combinações de ações representativas das situações reais de serviço, sendo, por isso, admitidas reduções nas ações/solicitações provenientes das ações variáveis. ANBR6118-»-11.8 (Tabelas 11.2 e 11.4) e o documento Prática recomendada Ibracon - comentários técnicos NB-1 (2003) apresentam para os ELS típicos de estruturas de concreto armado de edificações usuais, definidos pela NBR 6118 -> 3.2, as combinações mais prováveis das solicitações F
k
, associadas às
cargas permanentes, e F k, às cargas acidentais ou variáveis, como segue: *> Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): H- estado em que as deformações atingem os limites para utilização normal dados pela norma, item 13.4.2, com as estimativas segundo as disposições do item 17.3.2. ^ considerar as "combinações quase-permanentes" de serviço das ações variáveis: F,d^er = F. gk + ur T 2 7F. qk sendo: para edifícios residenciais:
\jf2= 0,3
para edifícios comerciais:
\f/2 = 0,4
para bibliotecas, arquivos, oficinas, garagens: y2 = 0,6
\(8.1)
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
<* Estado Limite de" Abertura de Fissuras (ÈLS-W): ^ estado dm que às fissuras apresentam aberturas iguais aos máximos especificados pela norma, no item 13.4.2, com as estimativas segundo as disposições do item 17.3.3. ^ consideraras ''combinações frequentes" de serviço das ações variáveis: Fáfljier = F.+ ys,F . i'A Tl qk
(8.2)
\
sendo: para edifícios' residenciais: ys}= 0,4 para edifícios comerciais:
\}S} = 0,6
para bibliotecas, arquivos, oficinas, garagens: \js} = 0,7 Os valores recomendados pela norma pararas coeficientes redutores, ^ e í/r levam em conta a probabilidade reduzida de atuação conjunta das ações acidentais com seus valores máximos em situações de 'Serviço, Essa consideração é necessária para se obter estimativas realistas para os efeitos previsíveis em projeto. Sob solicitações normais, os elementos lineares de concreto armado nos ELS trabalham parcialmente no estádio I (peça não fissurada) e no estádio II (peça fissurada em regime global elástico), conforme a definição desses "estádios ou fases" de carregamento, no item 5.2 do Capítulo 5. A separação das partes do elemento num ou noutro estádio é definida pelo momento de físsuração, dado pela expressão aproximada da NBR6118-* 17.3.1:
(8.3)
sendo: a = parâmetro que relaciona as resistências do concreto à tração na flexão e direta a = 1 ,2 cc> seções T ou duplo T a = 1,5 £> seções retangulares
34 7
348
João Carlos Teatiní de Souza Clímaco
y = distância do centro de gravidade da seção transversal à fibra mais tracíonada / = momento de inércia da seção bruta de concreto (não fissurada) / = resistência à tração direta do concreto (NBR 6118 -> 8.2.5).
Conforme o item 17.3.1 da norma, para os dois estados limites de serviço típicos de estruturas usuais de concreto armado, o momento de fissuração de seções retanguiares é determinado como segue:
^ ELS-DEF: ^ELS-W:
/c,,m - 0,30 f*30 (MPa)
O Mr = 0,075 bw h2 f J*
f4.w~0.21f*2* (MPa)
O Mr - 0,053 bw h2//J
(8.4)
8.3 ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FISSURAS (ELS-W) 8.3.1 Limites para fissuração A classe de agressividade ambiental da estrutura e a abertura das fissuras são fatores determinantes para a durabilidade e a vida útil. A NBR 6118, nos itens 13.4.1 e 17.3.3, aborda a verificação quanto afissuração levando em conta os aspectos seguintes: ^ A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, em razão da grande variabilidade e da baixa resistência do concreto à tração. Valores críticos de tensões de tração podem ser atingidos mesmo sob as ações de serviço (utilização). w- o controle da abertura das fissuras visa obter um bom desempenho na proteção das armaduras, tendo em vista a corrosão e a aceitabilidade sensorial dos usuários.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
^*- A presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites de norma, em estruturas de concreto armado bem projetadas, construídaste submetidas às cargas permanentes e sobrecargas previstas, não deve causar perda de funcionalidade, durabilidade ou segurança quanto aos estados limites últimos. ^ As fissuras em elementos de concreto podem ainda ocorrer por outras causas, como a retração plástica térmica ou as reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, que podem ser evitadas ou limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente no que tange à definição do traço e à cura adequada do concreto. A NBR 6118 -> 13.4 estabelece os limites para fissuração e proteção das armaduras quanto à durabilidade, na forma seguinte: ^ A abertura máxima característica das fissuras, wk, da ordem de 0,3 a 0,4 mmt sob ação das combinações frequentes, não tem importância significativa na corrosão das armaduras passivas em elementos de concreto armado. ^ Em virtude do estágio atual dos conhecimentos e da alta variabilidade das grandezas envolvidas, os limites da abertura de fissuras devem ser vistos apenas como critérios para um projeto adequado de estruturas. *+- As estimativas de abertura de fissuras devem respeitar os limites de w mas não se deve esperar que as aberturas reais correspondam estritamente às estimativas. Isto é, as fissuras reais podem, eventualmente, ultrapassar os limites, sem que o fato, isoladamente, seja motivo de alarme. ATabela 8.1 a seguir, extraída da NBR 6118 -> 13.4, no que se refere a elementos de concreto armado, apresenta os limites para a abertura de fissuras, em função da classe de agressividade ambiental.
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João CarlosTeatini de Souza Ctímaco
Tabela 8.1 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e proteção da armadura (NBR 6118 -> Tabela 13.3 - modificada) Tipo de concreto estrutural
Classes de agressividade ambiental e tipo de proteção
Exigências relativas à fissuração
Combinação de ações em serviço a utilizar
Concreto armado
CAAI
ELS-W:wk*0,4mm
Combinação frequente
CAA li a CAA IV
£LQ-\N\wkzQt3nim
Combinação frequente
Quanto ao controle da fissuração de elementos estruturais lineares de concreto armado, a norma, no item 17.3.3, fornece dois critérios, apresentados a seguir: a) Controle da fissuração pela limitação da abertura estimada das fissuras
Nesse controle, apresentado no item 8.3.2, a seguir, a norma expressa o cuidado em fixar o entendimento de que as estimativas para abertura de fissuras não podem ser encaradas como técnica e cientificamente èJCátás e destaca dois aspectos: ^* A influência de restrições existentes às variações volumétricas da estrutura, que são de difícil consideração no projeto estrutural. As condições de execução da estrutura também têm influência óbvia na abertura das fissuras. ^ Os critérios das normas para estimar a abertura de fissuras devem ser encarados como avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento estrutural, mas não garantem a avaliação precisa da abertura de uma fissura específica. b) Controle da fissuração sem a verificação da abertura dê fissuras
É um controle expedito (item 8.3.3, a seguir), em que se dispensa a avaliação da abertura de fissuras, desde que respeitados a bitola e o espaçamento máximos das barras da armadura. Em geral, é a primeira verificação após o cálculo de armaduras e a definição das bitolas das barras. Caso não atendido, passa-se à verificação pelo item 8.3.2, mais rigorosa.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
8.3.2 Contrple da fissuração por meio da limitação da abertura estimada Observados os limites da Tabela 8.1 e sob as combinações frequentes de serviço das ações variáveis, segundo a NBR 6118 -> 17.3.3.2, a grandeza da abertura de fissuras, wk, deve ser determinada para cada região de envolvimento da armadura pelo concreto, sendo o menor dentre os valores obtidos pelas expressões seguintes:
:
+ 4s\- Es \
(8-5)
onde: 0
= diâmetro da barra longitudinal para cada área de envolvimento em exame
(mm); f dm ~ 0>30fck/3 (MPa) = resistência à tração média do concreto; 77
= coeficiente de aderência ao concreto do aço empregado. Para os aços CA-50 e 60, a norma indica: rj. = 2,25 (CA-50); 77 = 1,4 (CA-60);
cr. = tensão nas barras da armadura em exame, sob solicitações de serviço, que podem ser reduzidas, em vista das combinações frequentes das ações acidentais em estruturas de edifícios, conforme a expressão (8.2). No caso mais geral da seção retangular com armadura simples, no estádio II, sendo Mk o momento fletor máximo de serviço, Ás a área da armadura de tração, bwa largura e d a altura útil da seção, tem-se:
(8.6)
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João CarlosTeatini de Souza Clímaco
No estádio 11, a profundidade da [inha neutra da seção, x , é dada por: /
S
>
v
73
~\- II
—
ae As K •>
*=
bw
N
1 +
7 +
(
N
2bwd
r* ->\
w
<**A,
J
a e ~Es /E c - razão dos módulos de elasticidade do aço e do concreto.i y com o módulo secante do concreto da expressão (3.15), do Capítulo 3:
= 4.760fckJ/2
MPa
(8.8)
Observação: O código ACI-318, do American Concrete Institute, permite adotar a tensão no aço em serviço por uma expressão equivalente a as =f,d/Jf> em que f
d
é a tensão de escoamento do aço e j.= 1,4. Em geral, a simplificação é a
favor da segurança. p , = A s IA crí, = taxa de armadura de íração relativa à área À cri'..doconcreto "cri y de envolvimento e proteção contra a fissuração da barra 0.. A norma define como a área do "retângulo cujos lados não distam mais de 7,5
linha neutro da seção
•
Para seções retangulares ou T, com i
zona tracionada
•^~ de pele (racionada
•
• estribo
í
1
J>
bitola (£i ^1
^l
Cnom
7, 5?},'
7í*l
// / /
/da barra i /
V^
S. hrt ^\ ^
Figura 8.1 - Área Á . do concreto de envolvimento
armadura de tração em uma camada e barras de diâmetro 0. , tem-se:
(8.9)
A
Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
Como as expressões (8.5) são semi-empíricas, baseadas em resultados de ensaios, nãosãoexatas. Dessa forma, pode-se admitir uma margem de tolerância, de até 10%, com relação às desigualdades. Se o resultado do controle da fissuração pela limitação da abertura estimada não for satisfatório, a opção mais simples é adotar barras mais finas para a armadura, ou seja, diminuirá bitola 0. Experiências demonstram que peças estruturais com barras de menor bitola apresentam maior número de fissuras, porém, com menor abertura, o que diminui a área exposta das armaduras e, consequentemente, reduz o risco de corrosão.
8.3.3 Controle da fissuração sem verificação da abertura de fissuras Neste critério, a avaliação da abertura de fissuras pode ser dispensada, sendo considerado atendido o estado (imite de fissuração em elementos de concreto armado (wkmax< 0,3mm], se forem respeitados valores máximos para a bitola, 0 max ', e o espaçamento smax ' , das barras da armadura, além das disposições r J ' ~ 3 sobre o cobrimento e a armadura mínima. A dispensa é dada conforme a tabela a seguir, extraída da norma, em função do valor da tensão no aço cr, calculada no estádio II, pela expressão (8.6): Tabela 8.2 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência (NBR 6118 -»• Tabela 17.2 - modificada)
Tensão no aço
Valores máximos Concreto sem armaduras ativas
0, (MPa) 160 200 240 280 320 360
<2Vv(mm)
•?,„„* (cm)
32 25 16
30
12,5 10
8
25 20 15 10 6
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8.3.4 Considerações práticas sobre ô controle da fissuração
No estado atual de conhecimento, não se deve esperar grande precisão quantitativa dessas verificações de fissuração, em especial do controle sem verificação da abertura de fissuras. As informações têm um caráter qualitativo, cujo maior valor reside nas orientações que ministram ao projetista. Do ponto de vista do controle da fissuração no projeto e na execução de estruturas de concreto armado, devemse observar as seguintes recomendações: a) Diâmetro das barras Sua diminuição melhora as condições de fissuração, conduzindo a um maior número de fissuras, porém de menor abertura. Essa redução não deve ser levada a extremos, especialmente em peças pouco armadas e ambientes agressivos, porque, a partir de certo valor, a diminuição da bitola não tem efeito na abertura e distância entre fissuras, além de que barras muito finas são mais afetadas pela corrosão. b) Espessura da camada de cobrímento de concreto A obediência às exigências da norma deve ser rigorosa; os valores nominais da NBR 6118: 2003 são bem mais elevados que os da anterior NB-1/78, em consonância com a tendência das normas internacionais. c) Garantia da qualidade do concreto Na execução, é essencial assegurara baixa permeabilidade e a resistência adequada à compressão e abrasão. Para isso, especial atenção deve ser dada aos quatro "Cs" que garantem um bom concreto: constituintes da mistura, cobrimento, compactação e cura. d) Armadura de pele Em vigas de altura superior a 60 cm, tensões elevadas de tração podem provocar fissuras nas faces laterais. Para limitar aberturas, a NBR 6118, itens 17.3.5.2,3
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
e 18.3.5, prescreve a colocação de uma "armadura de pele", composta por barras laterais longitudinais de alta aderência (77. > 2,25 O CA-50), com espaçamento não maior que d/3 ou 20 cm. Essa armadura deve ter área mínima de 0,10%À
[ma,
em cada face da alma da viga.
8.4 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS (ELS-DEF) 8.4.1 Limites para deformações A norma NBR 6118, nos itens 13.3 e 17.3.2, aborda a verificação de flechas na forma seguinte: ^ Para verificação aos [imites de deformação, os elementos estruturais são analisados isoladamente, sob as combinações quase-permanentes das ações variáveis, devendo a análise ser realizada por modelos que considerem a rigidez efetiva das seções, a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto e as deformações diferidas no tempo, ou seja, a ação prejudicial da fluência do concreto. ^ A deformação real da estrutura depende, em grande parte, do processo construtivo, das propriedades dos materiais, principalmente, do módulo de elasticidade e da resistência à tração, na idade da solicitação efetiva. Dessa forma, a variabilidade das estimativas é grande com relação às deformações reais, não se podendo esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos pelos processos analíticos prescritos. Na verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas de uma estrutura de concreto armado, adotam-se valores práticos para os deslocamentos limites, classificados em quatro grupos básicos, segundo a NBR 6118 -*• 13.3: "a) aceitabilidade sensorial: caracterizado porvibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23;
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João CarlosTeatini de Souza Clímaco
b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados; d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporandoas ao modelo estrutural adotado". Cabe também aqui ressaltar o maior rigor introduzido pela NBR 6118: 2003, com os limites
de deslocamentos sendo compatibilizados com as normas
internacionais e sendo fornecidas ao projetista amplas condições para proceder à verificação, pela Tabela 8.3, a seguir. Por outro lado, deve-se ressaltar que a amplitude de limites fornecidos pela tabela aumenta a responsabilidade do projeto estrutural, no que se refere aos diversos tipos de estimativas dos deslocamentos das peças estruturais.
Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
357
Tabela 8.3 - Limites para deslocamentos (NBR 6118 -> Tabela 13.2 - modificada) Tipo de deslocamento
Razão da limitação Visual
Aceitabilidade sensória!
Estrutura em serviço
Outro Superfícies que devem drenar água Pavimentos que devem permanecer planos Elementos que suportam equipamentos sensíveis
Exemplo
Deslocamentos visíveis Total em elementos estruturais Vibrações sentidas no Devidos a cargas piso acidentais Coberturas e varandas
Ginásios e pistas de boliche
Laboratórios
Alvenaria, caixilhos e revestimentos
Paredes
Divisórias leves e caixilhos telescópicos Movimento lateral de edifícios
Efeitos em elementos não estruturais
Movimentos térmicos verticais Movimentos térmicos horizontais Forros
Revestimentos colados Revestimentos pendurados ou com juntas
Desallnhamento de Ponte rolante trilhos Efeitos em elementos estruturais
Afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas
Deslocamento a considerar
Total Total
Ocorrido após a construção do piso
Deslocamento limite í/250
í/350
n v r C C
í/250
& v
1J
f/350 + contraflecha 2) í/600
De acordo com Ocorrido após recomendação do nivelamento do fabricante do equipamento equipamento í/5003) ou Após a construção da 10 mm ou parede 9=0,001 7 rã d4' í/2503) ou Ocorrido após a instalação da divisória 25 mm Provocado pela ação do H/1700 ou vento para combinação HÍ/85051 entre frequente (v/,=0,30) pavimentos6* í/4007) ou Provocado por diferença de temperatura 15 mm Provocado por diferença HÍ/500 de temperatura Ocorrido após í/350 construção do forro Deslocamento ocorrido í/175 " após construção do forro Deslocamento provocado pelas ações H/400 decorrentes da frenação
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, Incorporando-as ao modelo estrutural adotado.
1) As superfícies devem sersuficlentemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado porcontraflechas, de modo a não . se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflBchas. Entretanto, a atuação isolada da contra flecha não pode ocasionar umdesvlo do plano maior que t /350. 3) O vão i deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 5) H é a altura total do edifício e Hto desnível entre dois pavimentos vizinhos. 6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido á atuação de ações horizontais. Não devem ser Incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando H{ representa o comprimento do lintel. 7) O valor £ refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. NOTAS: 1. Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão í suportados em ambas as extremidades por apoios que não semovem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. 2. Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideramque o vatorí é o menorvão, exceto emcasos de verificação de paredes e divisórias, onde Interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valora duas vezeso vão menor. 3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes de acompanhamento definidos na seção 11. 4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados porcontrafiechas.
C
n r c r r c n ã c c c c Q H
C ij C
(1 T; c t j: r ir C Q ( C
n i
r
D
•r
D C
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João Carlos Teatíni de Souza Clímaco
8.4.2 Avaliação aproximada da flecha imediata causada por ações de curta duração 8.4.2.1 Vigas de concreto armado A flecha imediata elástica máxima pode ser calculada a partir da curvatura máxima da barra fletida, por uma expressão do tipo:
(8.10)
a
= coeficiente que depende do esquema estático da viga e do carregamento. ATabela 8.5, ao final desta unidade, apresenta valores de a para alguns casos típicos;
Ma
- momento característico máximo no vão; '
l
= vão efetivo ou teórico;
(El)
~ rigidez equivalente da seção transversal, dada pela fórmula de Branson, utilizada por diversas normas internacionais, que faz um balanço dos trechos no estádio l (peça não fissurada) e no estádio II (peça fissurada em regime global elástico):
lJ (EDa*Ea\\-í\c
l—
(8.11)
E
= módulo de elasticidade secante do concreto, dado pela expressão (8.8);
Es
- 2,1 x IO5 MPa = módulo de elasticidade do aço;
Ma
= momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços;
Capitulo 8 - Verificações aos estados [imites de serviço
M
- momento dê-físsurãção da elemento estrutural, dado pela expressão (8.3);
/
= momento de inércia da seção bruta de concreto;
/
= momento de inércia da seção fissurada no estádio II, Para a seção retangularcom armadura simples, é dada por:
AMz(d-x) tínde: A
(8.12)
= areada armadura traCionada;
z
= braço de alavanca das resultantes de tração e compressão;
x
= profundidade da linha neutra na seção, da expressão (8.7).
Cabe notar que, em se tratando de um método não linear, em casos de carregamentos mais complexos, a flecha calculada não é igual à soma das flechas obtidas dos casos individuais de carga. Na falta de cálculo mais preciso, ã superposição pode ser adotada, sendo, no entanto, recomendável uma comparação com a flecha calculada com o valor de a do caso mais similar tabelado, adotando-se os momentos fíetores do diagrama total. Nesses casos, é prudente adotar alguma majoração adicional da flecha calculada. Para o momento de inércia da seção de concreto fissurada, x é dado pela expressão (8.7), e o braço de alavanca, considerando a distribuição linear de tensões no concreto da zona comprimida no estádio II, é dado por:
Z = d- x/ 3
(8.13)
No estádio li, é usual a simplificação de tomar o valor médio do braço de alavanca:
z = 0,9 d
(8.14)
Donde resulta, da expressão (8.1 3):
x = 0,3 d
(8.15)
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Na estimativa das flechas, deve-se ainda considerar que a avaliação da rigidez equivalente com a inércia calculada da expressão (8.12), válida para seções retangulares fissuradas com armadura simples, é conservadora, pois não leva em conta as contribuições seguintes, favoráveis à redução de flechas em vigas de concreto armado: ^ existência de armadura comprimida, como porta-estribos ou calculada, no caso de seção com armadura dupla, o que aumenta a inércia da seção; ^ a laje solidária com a viga, funcionando à compressão como mesa de vigas de seção T. Para a seção transversal retangular, não considerando a presença da armadura, o momento de inércia da seção bruta de concreto, no estádio l, é dada por:
/ -ô h3/12 C
W
(8.16) \
8.4.2.2 Lajes de concreto armado A norma permite o cálculo de flechas no estádio l, admitindo o momento de inércia da seção geométrica de concreto sem fissuras. Isso se justifica, pois os painéis de lajes usuais de edifícios têm, na maioria dos casos, espessura uniforme, definida a partir do máximo momento fletor de todo o painel, em valor absoluto, que no cálculo elástico são, em geral, os momentos negativos. Desse fato resulta, para a maioria das lajes usuais, uma capacidade resistente à flexão bastante satisfatória quanto à fissuração sob cargas de serviço, pois, adicionalmente, as armaduras das lajes são constituídas por barras de bitola reduzida. Para as lajes calculadas em uma só direção (relação de vãos > 2,0), pode-se fazer o cálculo de flechas considerando faixas de largura unitária, paralelas ao menor vão, como vigas com bw — 100 cm e altura igual à espessura da laje, com a inércia obtida da expressão (8.16). Para as lajes maciças retangulares em cruz (relação de vãos < 2,0 e momentos calculados nas duas direções), apoiadas em todo o contorno, é recomendável
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
determinar as flechas imediatas por um processo mais preciso, que considere a rigidez como placa. Neste trabalho, é apresentado o método de cálculo elástico de A.S. Kalmanok (Manualpara cálculo de placas), que resolve a equação diferencial de Lagrange para placas fletidas, da expressão (7.5) - Capítulo 7, por meio de séries trigonométricas simples. A Tabela 8.6, ao final desta unidade, foi construída a partir do trabalho de Kalmanok e permite obter o coeficiente CO, para seis diferentes casos de condições de apoio, em função da relação de vãos. Os vãos a e 6 são definidos da mesma forma que os vãos / x e / y do método de Marcus, respectivamente, como apresentado no Capítulo 7 - item 7.4.3.1. A flecha elástica imediata é dada por:
r -m P^ D
com
D=
E h3 12 (l -v3)
onde: p
= carga uniformemente distribuída por área na laje;
/
= menorvão da laje;
D
= rigidez à flexão da laje;
E
= módulo de elasticidade secante do concreto, dado pela expressão (8.8);
h
= espessura da laje;
v
= coeficiente de Poisson do concreto. A NBR 6118, item 8.2.9, recomenda v = 0,2. No entanto, Kalmanok destaca que a hipótese mais adequada para lajes de concreto armado seria v = 0. Esse valor resulta em flechas da ordem de 4% superiores àquelas obtidas com o valor da norma.
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8.4.3 Avaliação aproximada da flecha final das ações de longa duração Segundo a NBR 6118 -^ 17.3.2.1.2, deve-se avaliar a flecha diferida causada por cargas de longa duração, em razão da fluência do concreto. Essa flecha pode ser calculada de forma aproximada como o produto da flecha imediata por um fator a , função da idade da estrutura para a qual se deseja calcular a flecha (t) e da idade na aplicação das cargas de longa duração (t0), além da taxa da armadura de compressão na seção.Aflecha total será a soma da imediata com a diferida, como segue: fdif
~
(8.18)
°'ffi
(8.19)
f» =f,+f
(8.20)
af =
l + 50p' sendo: p '—A' /bd= taxa da armadura de compressão na seção crítica do vão considerado; AC— Ç (f) - Ç (t0) = coeficiente de fluência diferida, em função do tempo t. Afluência é função de vários fatores (item 3.11.2.3, alínea c-Capítulo 3): idade do concreto da peça estruturai, especialmente na aplicação das cargas de longa duração (retirada do escoramento, implantação de paredes e elementos fixos), umidade do ambiente, dimensões da peça, composição do concreto e desenvolvimento da retração e fluência com o tempo. A norma prescreve esse coeficiente pela tabela: Tabela 8.4 - Valores do coeficiente Ç(t] (NBR 6118 -*• Tabela 17.1)
Tempo (t) meses Coeficiente gft)
1
2
3
4
5
10
20
40
0
0,5
0
0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89
i 70
2
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
É prevista na NBR6118 -> 17.3.2.1.2 uma ponderação das diferentes idades de aplicação das parcelas da carga de longa duração, tQÍ o que pode ser interessante no sentido de se reduzir o valor do coeficiente adicional da flecha diferida, af. No cálculo da flecha diferida, vale ressaltar que não é necessário considerar a totalidade das cargas, mas apenas aquelas que tenham caráter permanente, ou seja, de longa duração. Essa observação, aparentemente óbvia, pode ser importante quando se obtêm valores muito elevados da flecha total, pela expressão (8.19). Um cálculo mais apurado, e realista, poderia separar as flechas imediatas produzidas pelas solicitações permanentes (/ ) e pelas acidentais (f ), obtendose a flecha total de longa duração pela aplicação do fator de fluência, afí apenas sobre a flecha das cargas permanentes, isto é: (l + af*)ff +/, -
8,4.4 Considerações sobre os valores limites das flechas Não existe concordância absoluta na literatura especializada sobre os valores limites a observar para as flechas. Na maioria das normas, os limites são estabelecidos em função de /, vão efetivo das vigas ou o menor vão para as lajes. As solicitações para o cálculo de flechas no ELS-DEF são obtidas da expressão (8.1), com as combinações quase-permanentes de serviço das ações variáveis, o que permite reduzir as solicitações por um coeficiente \J/2, que varia conforme a natureza da edificação. Os limites de deslocamentos, da NBR 6118 -> Tabela 13.2, estão transcritos na Tabela 8.3. Para vigas e lajes de estruturas usuais, o primeiro limite da flecha total é o da aceitabilidade sensorial, ou seja, os deslocamentos não devem ser visualmente incómodos ao usuário:
f«*/*. = l/250
( 8 - 21 )
Outros limites devem ser obedecidos, conforme a natureza da estrutura, pela Tabela 8.3. Alguns se aplicam a todas as ações, permanentes e acidentais
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(S "*" #)' quando se considera o efeito da fluência, e outros são aplicáveis apenas às cargas variáveis. Por exemplo, se houver necessidade de estimar os efeitos em paredes de alvenaria, caixilhos e revestimentos - elementos não estruturais, a flecha após a construção da parede é limitada a 1/500 ou 10 mm. Diversas outras considerações podem ser feitas para uma verificação mais apurada. Por exemplo, os elementos não estruturais passíveis de danos (divisórias, esquadrias, etc.), em geral, são instalados alguns meses após a retirada do escoramento da estrutura, já tendo, portanto, ocorrido as flechas imediatas das cargas permanentes. Dessa forma, pode-se verificar a interferência da estrutura com esses elementos, tomando, em vez da flecha para todas as cargas, a soma da flecha diferencial somente das cargas permanentes (/„) com a flecha imediata em função das sobrecargas (/ ).
8.4.5 Considerações práticas Levando-se em conta que a estimativa de flechas não pode ser feita de forma muito precisa, especialmente no que se refere às flechas produzidas pelas ações de longa duração, pelas dificuldades de avaliação da influência no fenómeno de fatores como a retração, a fluência, a razão sobrecarga/carga permanente e os efeitos de temperatura e umidade, é recomendável, na verificação de flechas, observar os seguintes aspectos: •
evitar a utilização de elementos demasiadamente esbeltos;
•
evitar taxas de armadura de tração muito baixas;
•
utilizar armaduras de compressão;
•
efetuar cura adequada do concreto;
•
retardar o mais possível a aplicação das cargas permanentes na estrutura, t*
evitando a retirada prematura dos escoramentos.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
Deve-se ressaltar que o módulo de elasticidade do concreto, E
, cresce com a
idade, mas em proporção menor que o crescimento da resistência. Assim, a prática comum de se retirarem os escoramentos antes dos prazos prescritos por norma, ao ser alcançado o valor dq^nos ensaios de corpos de prova à compressão, pode ser prejudicial quanto aos deslocamentos da estrutura, a longo prazo. Em estruturas esbeltas, deve-se verificar adequadamente as flechas imediatas e diferidas, causadas não só pelas ações de longa duração mas também pela transição paulatina do estádio l ao estádio II, nas seções mais solicitadas da peça. Essa verificação pode prevenir os vários tipos de danos que podem comprometer uma edificação, especialmente no que se refere à funcionalidade e à estética. A Figura 8,2, a seguir, mostra alguns tipos de danos comuns em edificações usuais com estrutura de concreto armado, sucintamente comentados na sequência: a) Fissuras em paredes de material frágil (divisórias constituídas por materiais como placas de gesso ou arenito calcáreo), assentadas sobre lajes de piso de vãos elevados (> 5,0 m) e vigas muito esbeltas (h < 1/15) (ver Figura 8.2 a). b) Risco de ruptura por flexocompressão de paredes ou pilares esbeltos, em virtude da rotação causada por flechas excessivas das lajes ou vigas de piso, ligadas rigidamente aos elementos de apoio (Figura 8.2 b). c) Flechas elevadas em lajes e vigas de piso, causando danos às fachadas próximas, constituídas por paredes não estruturais ou esquadrias, acima e/ou abaixo das vigas, podendo mesmo prejudicar a movimentação de esquadrias, no caso de grandes painéis (Figura 8.2 c). d) Fissuras horizontais em paredes externas de alvenaria, ao longo do bordo inferior da laje maciça esbelta nela apoiada, em virtude da rotação no apoio provocada por flecha excessiva da laje, frequentemente acompanhada por fissura interna horizontal ao longo do pé da parede. Esse tipo de fissura é responsável, em grande parte, por problemas de infiltração de água nas fachadas expostas (Figura 8.2 d).
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João CarlosTeatini de Souza Clímaco
e) Flechas imediatas elevadas em lajes de piso, por deficiência na execução de formas/escoramento durante a construção, exigindo revestimento adicional para nivelamento, o que acarreta um acréscimo de carga, com aumento posterior de flechas, f) Flechas excessivas em balanços, especialmente em lajes de cobertura e marquises, causando inversão na inclinação prevista e consequente acúmulo de detritos e água de chuva, no caso de haver parapeito. Deve-se ainda ressaltar que, em havendo qualquer possibilidade de ocorrência futura de danos à edificação, estruturais ou não, cabe ao projetista notificar, por escrito, as flechas estimadas ao responsável técnico pela obra, para que sejam levadas em conta nos acabamentos e nas fachadas. Além disso, as "contraflechas" eventualmente necessárias em lajes e vigas, abordadas no item seguinte (8.4.6), devem ser indicadas nas plantas de forma e, quando necessário, o responsável pela obra deve ser instruído sobre o tempo de cura, prazo e formas de retirada do escoramento de lajes e vigas, de modo que as hipóteses admitidas na estimativa de flechas sejam satisfeitas. Os casos mostrados na Figura 8.2, de forma bastante sintética, têm caráter ilustrativo de uma variedade muito grande de danos associados à movimentação da estrutura. A consideração de efeitos de temperatura, umidade ambiente, retração e fluência do concreto é bastante complexa, fato que, associado à esbeltez das peças, vãos elevados e rapidez da execução recomenda uma atenção compatível no projeto estrutural.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
{ £ S_£_£. / S\ S ^f _/ J J -J T 7
(a) Danos em parede devido a flecha excessiva de laje de piso esbelta
a Risco deflambagem de pilares ou paredes esbeltas flrtl»!
/f/f/fft
(b) Risco de flambagem de apoios devido à rotação causada por flecha excessiva Parede de alvenaria
fissuras devido a flecha excessiva de vigas e lajes sob a parede
f
Esquadriat marco ou verga
Fissuras de deformação da esquadria abertura (c) Fissuras em peças não estruturais devido às flechas excessivas de vigas ^ fissura interna fissura externa^
l l ^^^^/
laje maciça
(d) Fissuras em paredes devido à rotação causada por flecha excessiva da laje
Figura 8.2 - Danos causados por flechas excessivas a elementos da edificação
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João Carlos Teatini de Souza Climaco
8.4.6 Critérios para a adoção de contraflechas A contraflecha consiste na execução das formas de lajes e vigas com uma curvatura contrária àquela produzida pelas flechas imediata e total, de modo que a estrutura sob carga reproduza a geometria prevista em projeto. A NBR 6118: 2003 é sucinta no assunto e a maioria da bibliografia especializada é também bastante vaga. Do exposto em itens anteriores, pode-se concluir que a contraflecha deve ser estudada em cada caso, tendo em vista a possibilidade de ocorrência de danos à estrutura e seus componentes, Um critério prático bastante comum, quando houver dúvidas se as flechas diferidas poderão causar danos a outros elementos da edificação, estruturais ou não, é adotar uma contraflecha igual ao dobro da flecha imediata estimada apenas para as cargas permanentes. Cabe, entretanto, lembrar que uma contraflecha muito elevada pode ser tão prejudicial quanto uma flecha excessiva. Por essa razão, a Tabela 13.2 da norma prescreve que a atuação isolada da contraflecha incorporada às formas das vigas e lajes "não pode ocasionar um desvio do plano maior que 1/350". Os renomados autores alemães Leonhardte Monnig (Construções de concretovol. 4, 1978)
apresentam recomendações relevantes para a adoção de
contraflecha, valendo ressaltar dois casos específicos: a) Vigas e lajes de um só vão Na execução, incorporar às formas uma contraflecha calculada com base apenas nas cargas permanentes. Os autores sugerem que logo após a retirada do escoramento deva permanecer uma contraflecha da ordem def/2 , de modo que após um tempo infinito as deflexões não vão superar a metade da flecha imediata da carga permanente somada àquela das sobrecargas, isto ®> U/2 (f. ) +f. ]. Dessa forma, a contraflecha recomendada seria:
cf = 1,5 f*
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de sen/iço
b) Lajes em balanço Antecipando uma possível inversão da inclinação prevista para o balanço e sabendo que medidas corretivas posteriores são difíceis, os autores recomendam prever na execução uma contraflecha mais elevada, na extremidade do balanço, da ordem de: cf=2,3fíg
(8.23)
8.5 EXEMPLOS 8.5.1 Exemplo de verificação ao estado limite de fissuração Verificar quanto à fissuração uma viga de concreto armado na classe ambiental CAA II (agressividade moderada - risco de deterioração pequeno), sujeita ao momento fletor característico máximo de 300 kN.m, sendo as dimensões da seção retangular: bw = 25 cm, h = 80 cm, d ~ 75 cm\a de flexão Ás = 5020,i aço CA-50; = 25hfPa. y ' concreto comj /, cff a) Parâmetros de entrada M= 300 x J O6 N.mm
Ás = 15,75 cm2 = 1.575 mm2; 7jb = 2,25 (CÁ-50) fctm = 0,3 f ^ = 2,56 MPa
O da expressão (8.4)
À cri =b w (c =487,5 cm2 O da ^ nom + 0+80) í •> =25 (3,0 \ ' + 0,5 + 8x2,0) * J > expressão (8.9), para seção retangular com armadura de tração em uma camada. pcr[ = As/Acrí = 75,75 / 457,5 = 0,032 E^ = 4.760f ^ ** = 2,38 x IO4 MPa, da expressão (8.8); Et = 2,1 x IO5 MPa a =E / E
= 2JO.OOO/ 23.800 = 8,82
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João Carlos Teatini de Souza Climaco
b) Profundidade da linha neutra e tensão na armadura em serviço As expressões (8.7) e (8.6) fornecem:
= 8,82.15,75 _L-'.—
x
25
n
* -._
7
\ j
, Al 2.25. 75 „ « = 23,8 cm -i + + •-
00'10"
1.575
=284 MPa
750 -
3 )
l
c) Controle da fissuraçao sem a verificação da abertura de fissuras Com o valor da tensão de tração de serviço no aço cr. = 284 MPa, da Tabela 8.2 obtém-se 0 max = 12,5 mm esmax =15 cm. De acordo com esse ' critério, a armadura de flexão composta por barras com CP = 20 mm não passa no critério da bitola máxima. Cabe, então, fazer a verificação pelo controle da abertura de fissuras, mais rigoroso e, talvez, com resultado mais satisfatório. d) Controle da fissuraçao pela limitação da abertura estimada Aplicando as expressões (8.5) da NBR 6118 -* 17.3.3.2, para estimativa em projeto da abertura de fissuras, com a espessura do cobrimento de concreto c nom =30 mm da classe CAA II, tem-se :
. 12,5ní
-w =
. Es fctm
$ ,_^1 M —. 4 + 45\ ^ . 12,5n. Es l pcr[ l
20 12,5x2,25
20
284 .±(2841 = 0,32 > 0,3 mm 210.000 2,56
.
12,5 x 2,25
284
4
*- nu + 45> / \< )0,16mx < 0,3 mm
210.000 ( 0,032
j
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
Portanto, a menor das aberturas, da segunda expressão anterior, é inferior à abertura máxima de fissuras da classe CAA II, de 0,3 mm, indicando comportamento satisfatório quanto ao estado limite de fissuração, o que não se verificou pelo critério da bitola máxima. e) Comentários (D Usando a simplificação do AGI, cr = f,d/7f -435/1,4 = 311 MPa, as expressões ficariam 0,38>Q,3 e 0,18 < 0,3 , resultado ainda satisfatório quanto ao controle da fissuração pela abertura estimada. (D Caso se adotasse o valor aproximado da profundidade da linha neutra, da expressão (8.15), x - 0,3 d = 22,5 cm, seria obtido cr. = 282 MPa, uma excelente aproximação quanto ao valor calculado, a = 284 MPa. (D Supondo que o momento de serviço de 300 kN.m seja decomposto em duas parcelas, M
k
= 220 kN.m (das cargas permanentes) e Mk = 80
kN.m (da carga acidental), e admitindo se tratar de estrutura de edifício comercial, o momento para verificação da fissuração, da expressão (8.2), pode ser reduzido com as combinações frequentes de serviço das ações variáveis. A redução é feita multiplicando a parcela M. do momento pelo 9* fator \|// = 0,6, resultando em Mdjer = 220 + 0,6 x 80 = 268 kN.m. Dessa redução, tem-se a tensão em serviço cr. = 254 MPa, mais favorável para controle da fissuração.
8.5.2 Exemplo de verificação ao estado limite de deformações excessivas Verificara viga do exemplo anterior, suposta biapoiada com o vão teórico I = 8 m, quanto ao estado limite de deformações excessivas, admitindo a carga de longa duração distribuída uniformemente na viga, aplicada na estrutura com a idade de
um mês.
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a) Cálculo da flecha imediata Do exemplo anterior tem-se: Es = 2,1 x IO5 MPa; Ea = 4760 f ^ m = 2,38 x JO4 MPa
a e =E s /E
es
= 8,82 '
x = 23,8 cm Da expressão (8.13), tem-se o braço de alavanca das resultantes de tração e compressão no ELS: z = d-x/ 3 = 67,0 cm. Aplicando o valor na expressão (8.12) resulta:
I =
As.z(d- x) = 8,82 x 15,75 x 67 (75 - 23,8) = 476.534 cm4
= 476,5 x IO7 mm4
E es I~L134xlQ uN.inm2 n Da expressão (8.16), tem-se: I C -=b
»'
h3 112 = 25 x 803 = 1.066.667 cm4 = 1.067x1 07 mm4
Momenío de fissuração do elemento estrutural com seção retangular, da expressão (8.4): M r = 0,075 bw h2J/.ck 2* « 0,075.250.800 2.252/3 = 103x10 6 N.mm ' Com o momento máximo no vão M a ~ 300 x IO6 N.mm e os momentos de inércia anteriores, a rigidez equivalente da peça será:
*2,38xW4\—\7 + 300)
j. 300
= 2,38x5QO,4xWn
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
Pode-se notar que a rigidez equivalente é muito próxima da rigidez calculada com a peça fissurada, Ea . In = 1.134 x 10 n N.rnm2, o que indica uma probabilidade alta de existência na viga de fissuras sob as cargas de serviço. Isso ocorre por ser o momento de fissuração muito reduzido para as características da peça - geometria, vínculos e carregamento. O aumento desse momento pode ser obtido por acréscimos nas dimensões da seção e/ ou na resistência do concreto à compressão. Da fórmula de Branson, nota-se que, no limite, fazendo M. = Mg, a rigidez equivalente seria igual à da seção bruta de concreto, ou seja, da peça sem fissuras. Da Tabela 8.5, para viga biapoiada, tem~se a = 5/48 , obtendo-se a flecha elástica imediata com a expressão (8.4), com as unidades Newton e milímetros:
, f; - a
Mkl2
5 300.106x8.0002 = —•. =17 mm 48 L191xlOn
(EI)eq
b) Flechas diferida e total produzidas porações de longa duração Sendo a carga de longa duração, com a retirada do escoramento, aplicada à estrutura com a idade de um mês, considerando-se para a estimativa da flecha diferida a idade de 70 meses e a ausência de armadura resistente de cálculo à compressão, da Tabela 8.4 e expressão (8.20), tem-se:
af=ÁÇ/(l + 50p") = 1,32 fdíf = af.f, = 1,32 x 17,0 = 22,4 mm flol -/, +/.V = (^ + «/)/, = 2,32 x 17,0 = 39 mm Comparando com o limite para deslocamento total da Tabela 8.3, vem: /•>
lol
= 39 mm >/,. = J/250 « 8.000/250 = 32 mm lim J
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Portanto, a flecha estimada não atende à limitação da norma quanto ao aspecto de sua percepção visual, com um excesso da ordem de 22%. A seguir, são .analisadas algumas alternativas para superar o problema. c) Verificação da flecha com redução do momento fletor da carga acidental Supõe-se, como no item (D da alínea e) do exemplo anterior, que o momento de serviço de 300 kN.m seja decomposto em duas parcelas, M k = 220 kN.m (das cargas permanentes) e M £ = 50 kN.m (da carga acidental). Para as combinações quase-permanentes de serviço, o momento para a verificação da flecha, da expressão (8.1 ), para edifício comercial, pode ser reduzido pela multiplicação do momento M k pelo fator \[T2 = 0,4, o que vai resultar em
M,a,ser = 220 + 0,4 ' x 80 « 252 Com esse valor do momento, a rigidez equivalente da peça ficaria: (ET)
eq
= 1.230 x 10 n < 2.539 x 10n N.mm 2
As flechas imediata e total mudam para:
/, = 14,0 mm O fioi = (l + a/)fi = 2,32 x 14,0 = 32,5 mm Nesse caso, pode-se considerar, pela diferença muito reduzida de 0,5 mm, a ser realizada no prazo de 70 meses, que a flecha estimada atende à limitação da norma quanto ao aspecto de sua percepção visual. Deve, ainda, ser analisado em projeto se essa flecha não poderá causar danos a outros elementos, estruturais ou não, ligados à viga, verificando os outros limites para deslocamentos da Tabela 8.2. Caso seja previsto algum risco de dano, a flecha pode ser parcialmente compensada pela especificação de contraflecha, em valor limitado a 1/350 = 23 mm. Esse valor da contraflecha deve ser explicitado na planta de formas. d) Comentários (D Se na verificação ainda persistisse o não-atendimento ao limite de flechas da norma, poderia ser analisada a possibilidade de colocação de uma
Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
armadura de compressão. Por exemplo, para uma taxa p — 0,5%, que corresponde à área de aço comprimida de Á's = 9,4 cm2, o coeficiente de fluência cai para a.- 1,06 e a flecha total diminui para 29 mm. > Caso fossem usados os valores aproximados x = 0,3 d = 22,5 cm e z = 0,9 d — 67,5 cm, resultaria na inércia de peça fissurada Iu = 492,3x 107mm4, com um erro de apenas 3%, no entanto contrário à segurança. > É interessante comparar a versão da NBR 6118:2003 com a anterior NB-1/ 1978 na estimativa de flechas. Aplicando as disposições desta última ao exemplo presente, adotando o mesmo momento de inércia da seção fissurada/7/, a flecha imediata assumiria o valor/J =17,4mm, muito próximo do obtido na alínea a) do exemplo 8.5.2. Isso mostra que o uso da rigidez equivalente, com a correção pela razão dos momentos M / Ma, só é significativo para valores elevados de M . No entanto, a NBR 6118:2003 mostra-se bem mais rigorosa na consideração da flecha diferida das ações de longa duração: o coeficiente de acréscimo da flecha imediata obtido pelas disposições da NB-1/78 teria o valor aproximado de 1,6 contra 2,32 da nova versão. Em vista disso, a ponderação das diferentes idades de aplicação das parcelas da carga de longa duração, tQ, prevista na NBR 6118-*• 17,3.2.1.1, pode ser interessante para reduzir o valor do coeficiente adicional da flecha diferida, a.. 1
A verificação de flechas pode ser ainda mais refinada, pelo cálculo em separado das flechas das parcelas de momento das cargas permanentes, M k, e da sobrecarga, M k, este reduzido pelofator \|/2 = 0,4.0 coeficiente adicional da flecha diferida, af , poderia, então, ser aplicado apenas sobre a parcela da flecha imediata /; , do momento Mk. No exemplo presente, esse critério implica uma flecha total com uma folga ligeiramente maior em relação ao limite:
f
•> lot
=22,2 x 2,32 + 1,8 = 30,1 mm
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Cabe aqui relembrar a importante observação da NBR6118—> 17.3.2, de que, em face da grande variabilidade dos parâmetros envolvidos e, portanto, das deformações reais, não se pode esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos.
8 . 5 . 3 Exemplo de verificação de laje ao estado limite de deformações excessivas Para uma laje retangular maciça de edifício, com vãos teóricos 5 777 e 6 m, verificar o estado limite de deformações excessivas, admitindo-se engastamento perfeito em um dos bordos de 5 777 e os demais como apoios simples. Considerar a espessura da laje 10 cm, a carga total (peso próprio, revestimento e sobrecarga) de 6'}O kN/m2 e concreto com J/. = 20 MPa. CK a) Módulo de rigidez â flexão da laje Das expressões (8,8) e (8.17), adotando-se para o coeficiente de Poisson do concreto valor igual a 0,2, conforme a NBR6118, item 8.2.9, tem-se:
£ra = 4.760fck!/2 =2,13 x IO4 MPa D =
Ecsh3
12(1 - v2)
- 2J.300xl003 = 1 850xW6 12(1 - 0,22) '
N mm
=j
S50
wm
b) Flecha elástica ou imediata Entrando na Tabela 8.6 do método de Kalmanok com a relação de vãos b/a = 5/6 ~ 0} 83, na coluna do caso 2, obtém-se o coeficiente ú) = 0,00465, e de (8.17): nl4
-r
-,
f. = co -£-!— = 0,00465 ox:> = 9,4x10 "3 m = 9,4 mm ' D 1.850
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
c) Flecha de longa duração Para as ações de longa duração aplicadas logo após o término da construção, da soma das flechas inicial com a diferida, das expressões (8.19) e (8.20), obtém-se a flecha total na laje, a ser comparada com a flecha limite para a carga total, da expressão (8.21):
/,= U \ /+ J i&,)/. i = 2,32 ' x 9,4' = 21,8 mm J Imj >L = 1/250 = 5.000/250 = 20mm J tol
A diferença muito pequena entre a flecha total e a limite, inferior a 2 mm (10%), em princípio, não significa que haverá problemas de deformações excessivas na laje, a longo prazo, pois, conforme o item anterior 8.41, a NBR 6118 destaca que "a variabilidade das estimativas é grande com relação às deformações reais, não se podendo esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos pelos processos analíticos prescritos". No entanto, sendo a flecha total superior ao dobro do limite 1/500 = 10 mm, da Tabela 8.3, a possibilidade dê dano a elementos estruturais ou não ligados à laje é real, devendo-se analisar a necessidade de adoíar uma contraflechá na execução ou indicações específicas no projeto quanto aos elementos passíveis de danos.Pode-se ainda refinar ã verificação de flechas, com o recurso de dividir a carga de serviço ria laje nas parcelas da carga permanente e da sobrecarga, aplicando ã esta í3Ífim'á" õ' fafor reéftitory = 0,4. Admitindo-se, por exemplo', ser a carga péíffiáfiêhíé 4,-Ô kN/lrf e a sobrecarga 2S0 kft/m*, a carga dê serviço páYa verificação da flecha pocfè sêf reduzida para 4 + 0/4 x 2 ~ 4,8 kN/m2.- Gom1 esse Vátôf, as ffêêftãs iriíóláf ê1 íoíal aSsiffffêfrf os válôíês 7f§ fiiftf- é 17,4 mm,. fêsp'é'ótivãrnêhfè,- mais favoráveis quanto aos limites da nõ'fm'á.
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8.6 AUTO-AVALIAÇÃO 8.6.1
Enunciados
Para a planta de lajes da Figura 8.3, a seguir, todas de mesma espessura h =10 cm, tem-se a sobrecarga 2,5kN/m2 e o peso dos revestimentos superior e inferior da laje de l,OW/m2. Admitindo a estrutura na classe de agressividade fraca, concreto com resistência^=25 MPa, aço das armaduras das lajes CA-60 e vigas CA-50 (longitudinal e transversal); vigas V6, V7 e V8 com dimensões da seção transversal 20x 70 cm2 e as demais com 15x 40 cm2, resolver as questões a seguir: 1. Dimensionar as armaduras das lajes da planta. 2. Verificar as lajes mais desfavoráveis quanto ao estado limite de fissuração, segundo as disposições da NBR 6118. 3. Verificar as lajes mais desfavoráveis da planta quanto ao estado limite de deformações excessivas, pelo método de Kalmanok. 4. Verificar a alteração nas flechas da laje L1, supondo sobre ela uma carga adicional referente a uma parede de espessura acabada 15 cm, de tijolo furado, comprimento 6m e pé-direito 2,6m, paralela à viga V6, admitindo que possa haver sob a laje divisórias de material frágil. 5. Dimensionar as armaduras de flexão e de cisalhamento da viga V6 e verificála quanto aos estados de fissuração e deformações excessivas. Considerar sobre essa viga uma parede de tijolo cerâmico furado, com espessura acabada 15 cm e altura 2,6 m. 6. Dimensionar as armaduras de flexão e de cisalhamento da viga V8 e verificála quanto aos estados de fissuração e deformações excessivas.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
,0m VI
3t5m
CQ
V
P4
í P5
V3
V4
V?
Figura 8.3 - Planta de lajes do item 8.6 -Auto-avaliação
8.6.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Em virtude das dimensões relativas das lajes L1 e L4, a hipótese mais razoável é a laje menor L4 engastada em L1, sobre a viga de bordo V4; no entanto, considerar 1_1 engastada em L4 não é razoável, em virtude da grande diferença de vãos: 8,0 m e 1,5 m. Dessa forma, toma-se no cálculo a laje 1_1 como simplesmente apoiada no bordo V4 e engastada em L2/L3, pois o trecho contínuo de L1 nesse bordo tem 6m> (2/3)8,0 = 5,34 mt conforme o item 7.4.4a); portanto, a laje em cruz L1 estará no caso 2 do método de Marcus. As lajes em cruz L2 e L3 caem no caso 3 (dois bordos engastados adjacentes)
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e a laje L4, em uma direção, tem na direção principal, de 1,5 m, um bordo engastado e o outro livre, o primeiro caso à direita da Figura 7.10 a). 2. Com a mesma carga em todas as lajes e tendo a laje L1 apenas um bordo engastado, ela será a mais desfavorável quanto à fissuracão.Averificação deve serfeita para a armadura calculada para o momento negativo equilibrado entre L1 e L2 ou l_3, com certeza o momento máximo do painel. 3. A laje LI é também a mais desfavorável quanto a deformações excessivas, sendo o restante do exercício similar ao exemplo 8.5.3. 4. Acargada parede na laje se obtém do item 7. 3. 1.4 e Tabela 7.2. O limite da flecha total deve ser 1/500 = 10 mm, pela possibilidade de dano a elementos não estruturais ligados à laje. Caso necessário, determinar a còntraflecha necessária à execução da forma da laje, segundo as recomendações do item 8.4.6. 5. Avaliar a carga transmitida pela laje L4 à viga V6 pelo processo do item 7.5 - Capítulo 7, dada na Tabela 7.7 péla reáçãõ ri do dasõ 2 ^ 2^ tipo.  ví§a V6 pode ser considerada como biapoiada em P1 e P5, com um balanço de 1,5 m-. No dimensionamento ã flexão da armadura pára ô momento' positivo máximo da viga V6 pode-se considerar ã seçãô córriõ T, pJélô fato dê a laje L1 funcionar como mesa de compressão e manter a linha neutra dê V6 hofizontalj pela restrição às deformações da viga; Dessa forma, podem sêf utilizadáê as disposições para cálculo como Viga T, dó iteríi 5:7-6â'p1tu1ò5. 6, Notar que a viga V3 está apoiada hò 'pilar P4 ê na vítjã V/8,. onde, apiifía Uma carga Concentrada. Para" õbtêrífão dos èêfófps' sSlÍõitãhíêsy momento íièiõf e fófçá cortante, todos os apoios das vigas* sêjâêrh pilares cití em outras vigas, podem ser tomados como simples, simplificação' aceitável para os objetivos desta publicação.
Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço
Tabela 8.5- Coeficientes a para cálculo da flecha elástica = Ot
(Ml2/El)
Tabela 8.5 : Valores do coeficientes oc para cálculo da flecha elástica = a (Ml2/El) Esquema estrutural e momentos
a
Esquema estrutural e momentos
5/48
ft
4
l l l l l l l l l l J-
pi2/24
1/16
1/24
J/12 PI/8 3 - 4(a/l}2 24
2ab 3 (3a+b)2
Pab2/!2
2Pa2b2/r \P
P
\
n i ,i i rnjji KT
= 1/10 a
•» a —»— a
«••
PP/8
p
a
^//3
pl2/14,2 3P//16
sl/17 Pab/l ab
1/16 Pab3(a+2l)/2l3
6l2(a+2l) (sob a carga)
pP/2 1/8
Ml
M2
Mm Ml
(M! c M2 em módulo)
A/2
K Mm
J_(l - M1±M1) 48 lOMm
_]_(!- M1+ M2) 12 4 Mm
M l l l TTT-M-I l l l l i
1/4
1/3
381
55
55
55
55 55
55
55 55
55
55
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Apêndice A.1
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Roteiro p_ara o cálculo de pilares pelo processo aproximado da compressão centrada-equivalente
,;. A.2 Roteiro parado cálculo de !^-v'j|-M_-::elementos lineares à f'-'HáUfiflexão pura : ^
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Roteiro para o calculo de elementos lineares à força cortante-
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d-aPjes réjtangUlares
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Apêndice A . 1 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE PILARES PELO PROCESSO APROXIMADO DA COMPRESSÃO CENTRADA EQUIVALENTE
1 Alternativa ao cálculo à flexão composta, válido nas condições: a) Força normal reduzida de cálculo:
Nsd = YfNk~ força normal solicitante de cálculo, no centro de gravidade da seção; Á ' c - área da seção transversal de concreto comprimido; fcd - resistência de cálculo do concreto à compressão. b) SecÕes transversais retangulares ou circulares e armadura simétrica c) Cálculo da seção nas duas direções principais, com o valor respectivo do coeficiente y1 u: Para pilares intermediários sob compressão centrada, sem considerar os momentos das vigas, basta o cálculo na direção principal mais desfavorável (direção paralela ao lado menor b, para seçpes retangulares), quefornece o maiorvalorde /u.As expressões seguintes já foram escritas para esse caso. d) Pilares curtos ( A £ 55) e medianamente esbeltos (35 < À. <, 90):
A = / e / Z á r ^ / f sendo: 35 <; Ã l = [25 -f- 12,5 (eb/b)] /ab z 90
394
João CarlosTeatini de Souza Climaco
*•> eb = Msd/NScl - excentricidade de 1^ ordem da força normal, na direção de b,' com o valor mínimo; e I,min , = 1/400 ^ 7,5 + 0,03b
(em c/n); ^ ab = 1,0 O Pilares biapoiados com momentos fietores menores que o mínimo de 1^ ordem (caso de pilares intermediários com carga centrada); w ]tO > ab = 0,60 + 0,40 MB/MÃ >. 0,40 O Pilares biapoiados sem cargas transversais, com momentos extremos, em módulo, M'A >. MB (caso geral de pilares extremos)
2 Força normal equivalente para cálculo simplificado à compressão centrada
N... r NSáv. ~Y Sd,eq = 'u ' a ' frrN, k <* Coeficiente de majoração do processo aproximado: yv =1 +fi(eb/b) w Parâmetro dependente do arranjo das barras longitudinais na seção tran versai:
P=1/[(Q,39 + 0,01á)-0,8d'/b] /
d' = distância à borda da seção mais próxima do centro de gravidade da armadura longitudinal disposta na borda paralela ao lado h
/
para seções circulares O a = -4
/ para seções transversais retangulares:
a = -l/as se
as < l
a= as
se
as > l
a— 6
se
a >6
com: as = ^(n,h - 7) / ^(n,o - 1}J J
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
nh— número de barras longitudinais da área de aço Á' s nas bordas paralelas ao lado h (barras que combatem o momento Msddevido à excentricidade eb da força normal N^, na direção principal paralela ao lado b); n = número de barras da área Â' s nas bordas paralelas ao lado b.
3 Área da armadura longitudinal comprimida
A' s z (N,, -/'.A' c') / f cyd . Sd,eq •'ca l
J
A's= área das barras de aço de armadura comprimida, nas bitolas padronizadas pela NBR 7480:1996 (Tabela 4.4 - Capítulo 4); A' = área da seção transversal de concreto comprimido; f cd ~ ®'85fcc}
=
resistência máxima de cálculo do concreto à compressão;
f'yd= resistência máxima do aço à compressão, limitada pelo encurtamento máximo de ruptura do concreto = 2 %o (Tabela 3.3 - Capítulo 3).
4 Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Bitolas mínima e máxima das barras da armadura longitudinal: 10 mm < 0< b /8
b) Taxas mínima e máxima da armadura longitudinal (p = A's/A'c): p . =0,15 N,./(f ,.A') > 0,4 %;' rpmax =8% \^(incluindo regiões de " mm ' Sd v J yd c/ ' trespasse). c) Dimensão mínima da seção transversal: *• pilares maciços de qualquer forma: menor dimensão z 19 cm
395
396
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
^ ,permite-se 12 cm £ b < 19 cm,' fazendo N Sa.eq „, = 'r n r' u r r. N. e r 'f k
sendo 1,0 <,yn~ 1,95 - 0,051 £ 1,35 ^ Em qualquer caso, a seção transversal do pilar deve ter área: Â'c> 360 cm2
d) Espaçamento das barras longitudinais na seção transversal:
20 mm ' agreg.
400 mm 2b
e) Proteção contra flambagem das barras longitudinais:
m
. • 200 f
fc> • ! •
•
m
-
grampo estribo duplo
f) Espaçamento de estribos no eixo .da peça: st = o menor dos valores seguintes: 200 mm; menor dimensão da seção; 120(Ch-5Q e 60); 120 (CA-25) g) Espessura da camada de cobrimento do concreto: Tabela 4.2-Capítulo 4 h) Comprimento de ancoragem reta por trespasse: lb O Tabela 4.3 - Capítulo 4.
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
397
A. 2 ROTEIRO PARA O CALCULO DE ELEMENTOS LINEARES A FLEXÃO PURA
1 Traçar o diagrama de momentos fletores o determinar as secões de momentos máximos - positivos e negativos.
2 Obter nas secões críticas os momentos solicitantes de cálculo c">
M
1VJ-sd
= y
ff
?(/f
JUk
3 Dimensionamento de secões retangulares em T a) Obterá altura útil da seção (largura bw) e os coeficientes adimensionais da flexão: d= altura útil = distância da fibra mais comprimida ao CG da armadura *> Armadura de tracão em uma camada: d = h - (c
+ <2> + 0/2}\
<* Armadura de tracão em duas camadas; d=h-(c + 0,t + 0 + a/2) y ^ nom ' ^*- Espaçamento entre duas camadas de barras O a > (2cm e 0) *•• Espessura do cobrimento de concreto o
cnoni : Tabela 4.2 -
Capítulo 4 *+ Para armaduras negativas, permite-se cnom =15 mm no caso de 0 *~ argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos, argamassas de revestimento e acabamento e pisos de elevado desempenho, cerâmicos, asfálticos, etc. *t* Bitola das barras longitudinais = &} bitola dos estribos = <£; b) Coeficientes adimensionais interdependentes (Tabela 5.2 - Capítulo 5):
>• nom
398
João CarlosTeatini de Souza Clímaco
kx = £ca, / (^ £ca, + ssd-,); kz = l - 0,4 ' n
Domínios 3 e 4: kma. ~ 0,68 kx kz ' Domínios 2: kma = '0.0,68 kx k: '\ , =cd8.0,85 f ^ cd ' " ' J
c) Cálculo da armadura simples de tração:
<* Tabela 5.2 - Capítulo 5: coeficientes adimensionais da flexão simples: k ma.0 kz O As =M,/(k d ^
z
d •>f yd. Y-" d=k,[M ./(b /.)]'* d sd ^ »'•' cd •'L
1
w- Domínios 2 e 3; a, — •> f, sd yd
w- Domínio 4: asd. = Es esd. com e,sd = 0,0035 ^(l - kx'V k.r 3
^ Domínio 2; quando ^< 0,167 O verificar armadura mínima. *> Tabela 5.3 - Capítulo 5: áreas de aço, Â , e largura interna aos estribos,' b smm, . <* Tabela 5.1 -Capítulo 5: taxa mínima de armadura
O 'mm p . = Á smm . /(b h) ^ w ' **• Taxa mínima absoluta de armadura de tração: 0,15% ^ Taxa máxima absoluta de armadura longitudinal: 4,0 %. d) Cálculo da armadura dupla de flexão (As: tração; A ' : compressão): <* Alternativa de cálculo para evitar a seção superarmada e garantir a dutilidade o não usar se k ma. > 0,425. ' d. 1 )
Momentos positivos:
usar para kmd, > k mahm ... ou d < d min. O MSáw = M.,dl + M,. d2 1
o As =Àsi, +As2.
cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
Momento limite da nervura: kmd - kmdtim (impõe: kx - kxlim e k: = kzj
Asl d. 2)
dim
dfyd
Momentos negativos:
kmaA > 0,272 se J/. < 35 MPa ou CK
k ma . > 0,228 se •*/. > 35 MPa CK **• Momento limite da nervura:
/ se /. < 35 MPa C kma, - 0,272 O M., - 0,272 b \ d2•' fcd , ck aí ' J
O A si, = M,,/(0,800df ,) dl ^- ' J yd'
/ se /. > 35 MPa O kma =0,228 O Mdl = 0,228 bw d•'2cdf, ck ' ' J
d. 3)
Para ambos os momentos, positivos ou negativos: M
=M
-M
com
d 2 = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura de compressão ^> em uma
camada: d 2 = cnom + &l + 0/2. e) Cálculo como seção T: *> Alternativa quando a laje de concreto (mesa colaborante) é comprimida: mesa colaborante: espessura hf e largura ^(ver Fig. 5.1 0 -Capítulo 5):
399
30
João Carlos Teatíní de Souza Clímaco
^ aba interna da mesa: b, <í 0,1a; 0,5b2; aba externa: b3 í 0,1a; b4 ^ viga T isolada (laterais da mesa: bordos livres) O b = b + 2b '
f
w
^ viga T com duas vigas adjacentes o bf~ b + b "* + b
3
dir
^ viga T com uma viga adjacente e um bordo livre o b = bw + b} + b3 Altura útil de comparação: do = [Ms(i/(0,85fcc!bf A )] + A /2 ^ do = altura útil para ;> = A Caso 1: ;:/> c?o (ou 3? < /?.) o Linha neutra fictícia dentro da mesa ^ cálculo como seção retangular de largura ò- com:
kmi/ = Msã. / (^&f , < / *J /cd' / ) ° ^ s ^^«/(^^/J Sá ^ z J ya' Caso 2: rf < c/o (ou y > /i .) O Linha neutra fictícia na nervura o w cálculo como com o momento em duas parcelas: MM « M^ -í- M^: resistido pela armadura de tração: Âs = Âtf + A^v
O
s
Ad sM f d/[(d-h/2}f}
<+ Em ambos os casos, se ytx< 0,^7 o verificar armadura mínima
4
Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Limites para armaduras de flexão: w- mínima de tração: pmin = Ás/Ác O Tabela 5.1 - Capítulo 5
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
Seção retangular: Asmm. = "m!n p , '(bw 'li) ~ a
Seção T: Á snnn. = p' min . L[b w h + v.(b/f~ b w)j /?,] T /-J **• máxima na seção: A J,/fl/ , , = A J + A' í á 4% (b /?) V J r
w
b) Largura mínima da seção retangular ou da nervura de seção T: b w >. 10 cm
c) Limite para armaduras de flexão em mais de uma camada:
A < 10% h A = distância do ponto mais afastado da armadura ao seu centro de gravidade. Para barras de bitola 0 e espaçamento entre camadas: a > (2 cm e 0) ^ duas camadas de armadura: A ~ 0+ a/2 **• três camadas de armadura: A = 1,50+ a. d) Precauções no cálculo como seção T: **• não usar se 1para o momento na nervura,' M,í/H'1, ocorrer: kma,> k nidjim ,,. *+- ern vãos com carga concentrada: reduzira largura da mesa, bfi multiplicando pelo fator l - MP/M(, função da razão dos momentos da carga concentrada e total.
401
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João Carlos Teatini de Souza Clímaco
A. 3 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE Formulação para o Modelo II da NBR 6118 (ângulo das diagonais de concreto com 0 eixo longitudinal do elemento: 30° £ 0< 45°) e estri*- s a 90° com o eixo.
1 Traçar o diagrama de forças cortantes
2 Obter nas seções críticas as forças solicitantes de cálculo
VSd = rf f V * 1
**• altura útil (d} obtida da disposição da armadura efetiva de tração,^.
3 Dimensionamento (unidades sugeridas apenas para maior simplicidade) a) Ângulo de inclinação da diagonal de concreto comprimida: w- 0=30° o Armadura transversal mais económica, máxima compressão no concreto da diagonal comprimida. w* 0=45° O maior segurança ao esmagamento do concreto da diagonal comprimida. ^ segurança máxima ao esmagamento: estribos com a - 45° com o eixo da peça. b) Verificação do esmagamento do concreto da diagonal comprimida: K,
av2 = l - (fck/250)
O Tabela 6.1 - Capítulo 6
O fcd e fck: MPa; bw& d: mm; VRd2i90: Newtons (N)
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
c) Espaçamento máximo dos estribos (s):
,£ 0,677»., ' Rd2 vsd >
°>67yRd2
O
s tflox. = 0,6d í 300 mm '
^
SMÓC = ®3d * 200 mm O neste caso, pode ser
mais económico adotar um valor maior de d.' rpara aumentar VRd2 0 ,. e s . mox d) Área de estribos mínima: Á swmm,9Q . on - P •m^ ' vrmin.yO
w
°P • '• Tabela 6.2 - Capítulo 6 r w,mm r
O b w : cm;' A M\min,90 . •. cm2/m O Bitolas-espaçamentos: Tabela 6.4 -Capítulo 6 e) Força cortante resistente de serviço referente à área mínima de estribos: 7Rmm,9Q R . Qn = (A . wQ,9df , cote + Vc / )/r'ff l nvtntn,9Q ' J ywd ^» unidades coerentes (por ex.);
O 7Rmm,9Q 0 . nn e V : Newtons; A . ' mm 2 /mm;' d: mm;' /ywd. ^ 435 MPa c ' swmln.yQ J
Vc~ força cortante absorvida pelos mecanismos complementares à treliça *> Na flexão simples e flexotração com a linha neutra cortando a seção; VcQ = valor de referência de Vc . Para 0=45°e y^lA (Figura 6.12- Capítulo 6)
^ se Vsd * VcQ o 70 = VcQ - 0,09 f*3* bw d
O /, : MPa;' bw ', d\; K n :' N eu ck J
* se r > y * v- r V - v /v
- vca
<* verificar no diagrama de cortantes os trechos cobertos pela área mínima de estribos
403
404
João Carlos Teatiní de Souza Ctímaco
*> nos trechos onde V> VRmm,90 D . nnO calcular as áreas necessárias de estribos. t) Armadura transversal de estribos a 90° por unidade de comprimento do eixo:
O /;W: kgf/cm2; VScí e Vc: kgf; d: m; /í^: cm2/m
4 Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Reduções da força cortante nas regiões próximas aos apoios diretos apoio direto: a carga e a reação aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o: ^ carga distribuída: no trecho entre o apoio e a seção a d/2 da face do apoio, pode-se tomar a força cortante V
d
constante e igual ao valor
do cortante nesta seção. ^ carga concentrada: à distância a <> 2d do eixo do apoio O tomar nesse trecho a força Vred constante e igual ao valor ( a/2á)V'. ^ reduções válidas apenas para cálculo das armaduras transversais o não devem ser usadas na verificação das diagonais comprimidas. b) Diâmetro mínimo e máximo da barra dos estribos: 5,0 mm í 0t < bw/10 .
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
A . 4 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS
1 Determinar os vãos efetivos (ou teóricos) das lajes /,= /o +a,l + a,2 ef
*I* lo = distância de face a face das vigas de bordo, de largura t ; ai á 0,5t.
ou 0,3h
2 Classificar as lajes do painel conforme a relação de vãos efetivos Com Ijèl2: Lajes em cruz: l}/12 £2,0; Lajes em uma só direção: l /12> 2,0
3 Definir a espessura das lajes do painel (h) Limites mínimos da norma o item 7.2.3-Capítulo 7
4 Qbteqção dQs carregamentos a) Peso próprio: g = 25h o h em cm; g em kgf/m 2 b) Revestimento superior e inferior, adotar 100 kgf/m2: *•* pisos de madeira + argamassas de conírapiso e d.e rebatimento jnferjor da laje ç) Cargas, de paredes (revestidas nas duas faces): Parede: extensão a, altura ou pé direito H e peso p' por m2 o Tabela 7.2 -Capítulo 7
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406
João Carlos Teatini de Souza Clímaco
^ lajes em cruz (vãos l s /2): carga uniforme em toda a areada laje g , = a.H.p=/(l,JJ *-> parede * " i 2' *+- lajes em uma só direção: influência das paredes nas faixas de largura unitária, paralelas ao vão menor I2. /
parede paralela ao menor vão: carga uniforme O <->g parede j ~2a.H.p'/L 2 •* 2
/
parede perpendicular ao menor vão: carga concentrada O G=p'.H.2m
d) Cargas acidentais, sobrecargas de utilização ou cargas de serviço (g): ^ Tabela2-NBR6120:1980 e) Carga total por área na laje: P — g + q + revestimento + paredes (se houver) (l kN/in2 = 100 kgf/ir?)
5 Cálculo dos momentos em lajes retangulares maciças a) Lajes em uma só direção: Faixas de laje de largura l m paralelas ao vão menor calculadas como vigas apoiadas nos bordos maiores: <* Lajes isoladas O Figura 7.10a —Capítulo? <* Lajes contínuas O Figura7.10b-Capítulo7. b) Lajes em cruz (método de Marcus: vãos / x e /,): y <* lx ~ vão na direção normal ao maior número de bordos engastados ou o menor vão no caso de igualdade na primeira condição.
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
<* Conforme a natureza dos apoios (simples ou engaste): casos 1 a 6 *+- Tabelas 7.6 (a) a (f) - Capítulo 7 o parâmetro de entrada:
A =1/1 y x ^ Obtêm-se coeficientes para cálculo dos momentos fletores por faixa de laje de largura unitária, em cada díreção: 777 , m >} n ,nt momentos positivos: Mx-plx2/mx
; M
=plx2/m
momentos negativos: X x —vi z> f x2/n x ': X y =fpí x 2/n y
6 Condição de continuidade entre lajes com bordo comum <* continuidade completa entre lajes: engastamento no bordo; do contrário, apoio simples; *> continuidade parcial entre lajes: considera-se engastamento em todo o bordo se houver continuidade em 2/3 ou mais; do contrário, apoio simples em todo o bordo; *** não se considera continuidade entre lajes de níveis diferentes.
7 Compatibilização dos momentos negativos em um bordo *t* Adota-se o maior dos dois valores: (X+X)/2
ou 0,8 (maior entre X e X)
8 Dimensionamento <* Obter os momentos positivos e negativos de cálculo, em cada direção:
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<* Verificar a espessura das lajes, /?, para o momento máximo do painel, em módulo: ^ Para momento negativo:
/ se •>/ ck. <£ 35 MPa: M,, = J' fM Sd.mox /
neg.wax
<, 0,272 d2 Jf ca, '
se •>/. > 35 MPa: MSd.max w = 7, Mpos.max <> 0,228 d2f-J ca, ck 'f '
^ Para momento positivo:
/ M,, ... d2f•* eu, Sd, mox = y.M 'f pos,mox í k mdlim <* Obter coeficientes da flexão simples (unidades sugeridas para maior simplicidade):
*-•> determinar kma,-M sd,/(d 2f•* ca,} ^ J
O Msd: kgf.m; d: cm; fcí}: kgf/cm2 *> Calcular armaduras positivas e negativas em cadadireção: *- Tabela 5.2 -Capítulo 5: kz O Âs = Md/(kzdfy(}) O Msd: kgf.m; d: metros; fc(]: kgf/cm2; À s: cm 2/m ^ Domínio 2: se Â:ma,< 0.088 O verificar armadura mínima ^ Armadura secundária de em ' • -- .lajes J • cruz: área =A
, /5 s,princ
^ 0,9 cirf/m '
"^ Armadura de distribuição de lajes em uma só direçãp (paralela ao maior vão): área = A
. 15 k 0,5 p , t 0,9 cm 2/m ' "mín ' • '
s.prmc
Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003
9 Carga das lajes nas vigas *t* Processo da NBR 6118, baseado no método das linhas de ruptura: w- dividir a laje com retas a partir dos vértices O inclinadas de 60° a partir de bordos engastados e de 45° dos apoios simples. *+ reações por unidade de comprimento da viga de bordo o Tabela 7.7 - Capítulo 7
10 Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Armadura mínima: Ás.min. =100 p 's h O h em cm p
= taxa em % (Tabela 7.3 - Capítulo 7) O função depmfn (Tabela 7.4- Capítulo 7)
b) Bitola máxima das barras: 0 ^ h/8 c) Espaçamento máximo das barras: w- armadura corrida (de face a face das vigas de bordo da laje): /" principal: s £ 2 h ou 20 cm (o menor dos dois valores) / secundária: s £ 33 cm w- armadura alternada (espaçamento de barras na região central da laje): /
principal: s < 2 h ou 16,5 cm
/
secundária: s < 16,5 cm
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d) Espaçamento mínimo das barras: **• não prescrito pela norma. Recomendável ^10 cm. e) Detalhamento de armaduras: Figuras 7.16 a 7.20 - Capítulo 7.
1
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