Estrutura de Concreto Armado - João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

atendem à maioria dos casos da prática, tem-se d3 = 25 + 5 +20/2 = 40 mm (classe l). Considerando o arranjo de armaduras da Figura 4.10, em que a = -2, fazendo d' = 40 mm e tomando para o lado h da seção os valores 12 cm (mínimo do item 4.5.1, a seguir) e 100 cm (a título de exemplo), a distância relativa d'/h irá variar entre 4/12 = 0,30 e4/100 — 0,04. Entrando com esses valores na expressão (4.12), tem-se:

/3= II{[0,39 + 0,01 (-2)] -0,8. 0,3} = 7,69 e fl= l /{[0,39 + 0,01 (-2)] - 0,8. 0,04} = 2,96 Portanto, da Figura 4.10, das expressões (4.10) a (4.13) e do exemplo acima, pode-se concluir: a) A distância relativa d7h tem grande influência sobre o parâmetro /?. Quanto maior dVh, maior será fl e o coeficiente / , da expressão (4.10). b) Nas seções retangulares, quanto maior for o número de barras dispostas junto às bordas solicitadas pelo efeito exclusivo do momento fletor, Msd, mais alto será o valor de «(limitado a oc=6). Como esse arranjo é favorável no combate à flexão, o valor do parâmetro/ídiminui e, em consequência, o coeficiente de majoração y . No caso da seção da Figura 4.10, se considerada a flexão relativa à excentricidade na direção principal paralela ao lado b, da expressão (4.13), seria: a= (nh - l)/(nb -7) = (7-l)/(4~l) =2 e a = as=2. Para as mesmas distâncias relativas dVh anteriores, 0,3 e 0,04, a expressão (4.12) resultaria nos valores de /? = 5,88 e 2,65. c) Nas seções circulares, quadradas ou retangulares próximas à quadrada, a definição prévia da direção mais desfavorável quanto à flexão, no que tange principalmente à excentricidade acidental, pode ser complexa. Por essa razão, as expressões citadas resultam em valores mais altos do parâmetro/?e do coeficiente r' a.

139

140

João Carlos Teatíní de Souza Clímaco

Para pilares intermediários, em que não se consideram os momentos das vigas, o maior valor do coeficiente 7 é obtido para a excentricidade acidental mais desfavorável, ou seja, na direção principal paralela a b, sendo b < h. Para pilares extremos sob flexão composta plana oriunda dos momentos transmitidos pelas vigas, deve ser pesquisada a direção mais desfavorável, //ou b, que vai fornecer o maior valor do coeficiente adicional 7 , para aplicar no cálculo simplificado à compressão centrada equivalente. O exemplo do item seguinte pode ajudar a entender melhor a questão.

4.3.2 Exemplo Determinar a força normal para o cálculo simplificado à compressão centrada equivalente de um pilar intermediário curto de seção retangular 20 x 40 cm2, com armadura longitudinal constituída por 6020 (seis barras de diâmetro 20 mm), dispostas na seção transversal conforme a figura, para uma força normal N.K = 600 kN e concreto com resistência f CK, — 20 MPa. J

40cm

a) Parâmetros da seção transversal

=f,/l,4~14,3MPa;

II 20cn}

A* c ~ 20 x 40 = 800 cm2 -* área da seção de concreto; Y f—1,4 (menor dimensão da seção > 19 cm => item 4.5.1 - Dimensões .mínimas), b) Verificação do valor da força norma] reduzida (v) Q processo aproximado previsto na NBR 6118 -+ 17.2.5-1, conforme a expressão (4.9), só pode ser aplicado quando v ^ 0,7, como a seguir se verifica:

v =NSd /(A'efJ

= It4x 60000/(800x 143) = 0,73 > 0,7 => OK

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

c) Cálculo do coeficiente de majoração adicional 7 , para o cálculo simplificado Denominando b = 20 cm, a menor dimensão da seção, e h — 40 cm, a maior, o cálculo deve serfeito nas duas direções principais na seção, paralelas aos dois lados. (D Cálculo para a excentricidade na direção principal paralela à menor dimensão, b = 20 cm: Excentricidade na direção paralela ao lado b, da expressão (4.11):

e = e]b= 1,5 + 0,03 x b = 1,5 + 0,03 x 20 = 2,1 cm =>eb/b = 2,1/20 = 0,105 Observação: o enunciado não forneceu o comprimento / do pilar, necessário para se obter o valor ea~ 1/400, da expressão (4.11). Esse valor, na realidade, só vai prevalecer para pilares com pé-direito muito elevados. Por exemplo, para a menor dimensão da seção admitida pela norma, 12 cm, tem-se elb = 1,5 + 0,03 x 12 =1,86 cm', esse valor só seria superado pelo 1/400 em pilares com / > 400 x 1,86 = 7,44 m. Da expressão (4.13): a= (nh - l)/(nb -1) = (3-7)7(2-7) = 2 => ex = ay = 2. Como mostrado no item anterior, para um pilar de estrutura de edifício urbano usual, com agressividade ambiental fraca, com d' = 40 mm, tem-se:

J3 = l / [(0,39 + 0,01 x 2) - 0,8. 0,2] = l / 0,25 = 4,0

Da expressão (4.10): /j( = l +/3(e}/h ) = l + 4x 0,105 = 1,42 (D Cálculo para a excentricidade na direção principal paralela à maiordimensão,

h = 40 cm: Excentricidade na direção paralela ao lado h, da expressão (4.11):

eh = e}h = 1,5 + 0,03xh=l,5 + 0,03x40=2}7cm^e/h = 2,7/40 = 0,068 Da expressão (4.13): a= (nb- l)/(n h -7) = (2-7)7(5-7) = 0,5 => a^-2 para a < l

141

142

João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

Com d1 = 40 mmt tem-se: / ? = - / / { [ 0,39 + 0,01 x (-2)] - Q,8.(4,0 / 40)} = l / 0,29 « 3,45 Da expressão (4.10): ju = l + p(e}/h) = l 4- 3,45x0,068 = 1,23 Dos cálculos nas situações ( D e ® , vê-se que a condição mais desfavorável, como era previsto, ocorre para a excentricidade considerada na direção principal paralela à menor dimensão da seção, ou seja, para a situação ©, com a qual se obtém: / w = 1,42. d) Força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada: Nsd,eq =

/„ YfNk

= 1>42 x 1'4 x 60° = 1>" x 60° = L194 m

4.4 CÁLCULO DE PILARES À COMPRESSÃO CENTRADA 4.4.1 Hipóteses básicas As hipóteses prescritas na NBR 6118 -M 7.2.2, para elementos lineares sujeitos a solicitações normais no estado limite último, no caso de pilares à compressão centrada, são: a) A resistência máxima de cálculo do concreto à compressão é dada por f'cd = 0,85fcd, em que o fator0,#5 leva em conta a influência de efeitos de longa duração sobre o concreto, conforme a expressão (3.17), do item 3.11.2.2 do Capítulo 3. b) A resistência máxima do aço à compressão é limitada pelo encurtamento convencional de ruptura do concreto, tomado como 2 %o. A Tabela 3.3 do Capítulo 3 fornece os valores da resistência máxima à compressão para barras comprimidas,/' d, para os aços brasileiros para concreto armado utilizados atuaímente no Brasil. c) As tensões normais produzidas pela solicitação de compressão axial são supostas uniformemente distribuídas na seção transversal.

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

4.4.2 Dimensionamento O esforço normal dé;cáloulo;à-compressão centrada equivalente, Nsde , deve ser resistido solidariamente pelo concreto e pelo aço. Admite-se que as tensões em ambos os materiais são uniformes, com as correspondentes parcelas resistentes sendo obtidas da multiplicação das resistências máximas de cálculo dos materiais pelas respectivas áreas. No dimensionamento ao estado limite último, a ruptura do pilar ocorre por esmagamento do concreto, quando atingido o encurtamento específico de 2 %o ou 2 mm/m.

N Sd3eg

N (área de concreto A'c)

1'

1 1 1

--

1

\

r\ >

\ longitudinal (área A's}

\ transversal

Figura 4.11 - Cálculo simplificado de pilares à compressão centrada

A segurança do pilar à ruptura no ELU por compressão centrada estará garantida se for atendida a expressão fundamental do equilíbrio:

NSd,eq ,,

Ra

=f> ctl,A>c + Jf J

,A'

yd **- s

(4.14)

onde: Ns,

= força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada;

NRd cá

= força normal resistente de cálculo da seção de concreto armado; = resistência máxima de cálculo do concreto à compressão - 0,85f ,;

143

144

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Á'c

= área da seçao transversal de concreto comprimido;

/'id

= resistência máxima do aço à compressão [imitada pelo encurtamento de ruptura do concreto, 2 %o (Tabela 3.3 do Capítulo 3);

A*

= área da seção da armadura longitudinal comprimida (a Tabela 4.4, ao fim deste capítulo, fornece a área das bitolas padronizadas pela NBR7480:1996). Observação: da área total da seção de concreto poderia ser descontada a área de aço, o que, em geral, não é feito, por ser essa área limitada pela taxa máxima de armadura p = A' S /A' r '

C

< 8% , abordada no

item 4.5.2.1, sendo considerada tolerável a diferença resultante.

Da expressão (4.14), obtérrvse a área da seção da armadura longitudinal necessária para o equilíbrio da seção comprimida de concreto armado:

A*

/'*

4.5 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003 4.5.1 Dimensões mínimas das seções - coeficiente de segurança adicional y1 n Segundo a NBR 6118 -M 3.2.3, a seção transversal dos pilares maciços, qualquer que seja sua forma, não deve ter dimensão menor que 19 cm, O mesmo item dispõe ainda: "Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que se multipliquem as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional / , de acordo com o indicado na Tabela 13.1 e na seção 11. Em qualquer caso, não se

Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada

permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2". Essa exigência obriga que um pilar de seção retangular com a menor dimensão 12 cm tenha a outra dimensão com, no mínimo, 30cm. O valor do coeficiente adicional é dado pela expressão: 1,0 ^rn = 1,95 - 0,05 b <; 1,35

(4.16)

Sendo: b = menor dimensão da seção transversal do pilar, em centímetro. A edição anterior da norma, NB-1/78, também exigia um acréscimo de segurança para valores da menor dimensão da seção inferiores a 20 cm. No entanto, em vez do coeficiente adicionai 7 , adotava o coeficiente de majoração yf= 1,8 em lugar do valor usual 1,4. Portanto, para pilares com b < 19 cm, no dimensionamento pelo processo aproximado à compressão centrada equivalente, as forças normais solicitantes finais de cálculo são:

r' nN „.Sd,eq = 7' n r' uN~,Sd = r' n r' u 7,-íV. 'f k

(4.17) ^ '

Segundo a NBR 6118 -> 14.4.2.4, no caso da seção transversal retangular ou composta por superfícies associadas, "o elemento será considerado pilar apenas se em todas as superfícies a maior dimensão for inferior a cinco vezes a menor", ou seja, h <. 5b. Caso contrário, o cálculo deve ser feito como pilar parede ou parede estrutural, com outras exigências. Para o cálculo de pilares com seção vazada, não recomendados por razões de execução e manutenção, mas, às vezes, encontrados na prática, como nos pilares de pontes com seções transversais de grandes áreas, não há recomendações específicas na NBR 6118. É razoável adotar nesses casos as disposições anteriormente apresentadas, especialmente quanto à espessura das paredes.

145

1 46

João Carlos Teatini de Souza Climaco

4.5.2 Armadura longitudinal de pilares 4.5.2.1 Diâmetro mínimo e valores limites De acordo com a NBR 6118 -> 18.4.2.1, o diâmetro ou bitola, 0, das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior 1/8 da menor dimensão da seção transversal:

10mm< $£ b/8

(4.18)

A exigência de (imites mínimo e máximo para as taxas de armadura de peças de concreto armado visa garantir a dutilidade, preservar a validade dos modelos de cálculo adotados e evitar altas concentrações de armadura que possam comprometer o adensamento e a compactação adequados do concreto. A norma dispõe, no item 17.3.5.3, que a taxa de armadura longitudinal de pilares, referida à área da seção transversal, p = A' /Á1 , deve observares seguintes valores limites:

(4.19) Àf

•*•*

c

£ p,,,,,,. = õ,0%

\,

Das expressões (4.19) e (4.9), a taxa mínima de armadura pode ser expressa por:

p . =0,15 N~,/(f .Á' c ') = 0,15 vJf cdJf . ~ min * Sá Vi/ yd * J yd

^

(4.20) '

ATabela 4.1, a seguir, apresenta os valores de p . para resistências características do concreto entre 20 e 50 MPa e força normal reduzida de cálculo, v, de 0,1 a 1,0. As linhas sombreadas da tabela demarcam os valores da força normal reduzida de cálculo, v>_ 0,7, para os quais a NBR 6118 admite o cálculo pelo processo aproximado de compressão centrada equivalente. A tabela permite a interpolação linear para valores intermediários de v.

Capitulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada

147

Tabela 4.1 - Valores de p , (%) paraJ aço CA 50 e coeficientes'c r ~ 1,4 's e v '= 1,15 "min \ ~ '

fcd (MPa)

__^-^^

Valores de v

20

25

30

35

í

40

45

50

n tc c a v c n r c

0,1 0,2

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,3

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,4

0,400

0,400

0,400

0,400

0,400

0,444

0,493

0,5

0,400

0,400

0,400

0,431

0,493

0,554

0,616

D

r f c

0,6

0,400

0,400

0,444

0,518

0,591

0,739

ã c c

0,7

0,400 »

0,431

0,518

0,604

0^690 i*. 0,776- * 0,863

c

0,8

,

s 0;9=

-

1,0

0,665

OT400: *0,493T ff,690>»frofâíto Qojtís?í» •OfffSe veOJ554^ " Cfôtó"* ¥*ój&yfâ* *<5ã®& ásíjàt»;^ ?J,fD8 0,597

- &H&; 0,493

0,61*6

0,739-

0,862

* 0,985^

.víSfftw ? W, 232

A armadura máxima, limitada a 8% da área real da seçao, deve ser respeitada inclusive nas regiões de trespasse, em que ocorre a sobreposição e a emenda das barras longitudinais da armadura. Essa exigência da norma implica a observância de um valor bem inferior da taxa máxima nos trechos centrais do pilar, fora da região de trespasse. Caso seja necessário o trespasse de todas as barras, para garantir a ligação monolítica dos trechos superior e inferior do pilar, a taxa de armadura fora do trespasse deve ser < 4%. Para um dimensionamento económico e arranjos de armaduras que permitam uma boa concretagem, a taxa de armadura longitudinal na região central do pilar, havendo ou não emendas portrespasse, deve estar situada entre 1% e 4%. Da expressão fundamental de equilíbrio, (4.14), no limite da segurança, ou seja, NS, — NRd, a área de concreto da seção do pilar pode ser escrita em função de uma taxa genérica de armadura longitudinal, p, na forma seguinte:

c

D

f c tf

c fl

1 48

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

(4.21)

4.5.2.2 Disposição dos armaduras Conforme dispõe a NBR 6118 -> 18.4.2.2, "as armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro". Portanto, na definição do número mínimo de barras da seção transversal, o critério principal é a existência de uma barra longitudinal em cada canto de estribo poligonal, como mostra a Figura 4.12. Nas seções compostas de retângulos, todos os estribos devem estar ancorados dentro do núcleo comum a dois retângulos.

PI l_

a

n = jw

n =4

w~ u

a

n = 10

n =6

Figura 4.12 — Número mínimo de barras longitudinais em seções de pilares

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

O espaçamento livre entre as barras longitudinais de pilares, medido no plano da seção e fora da região de emendas, como mostra a Figura 4.13, não deve ultrapassar o menor dos dois valores: 400 mm e duas vezes a menor dimensão da seção. Não deve ser, também, inferior ao maior dos valores: 20 mm, o diâmetro da barra e 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado (NBR6118-+ 18.4.2.2).

3 Figura 4.13 - Espaçamento das barras longitudinais na seção transversal de pilares

Segundo a NBR 6118 -t-18.2.4- Proteção contra flambagem das barras: "Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 200

do canto, se nesse trecho de comprimento 20$f não houver mais de

duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares." Esses estribos suplementares devem ter o mesmo diâmetro do estribo, podendose utilizar barras, retas, isoladas, terminadas em, ganchos, conforme a Figura 4.14. Essaabarras, chamadas grampos, deve.m envolve^ as. barras, longjtudinajs, em seus extremos. No caso de haver mais de uma barra a ser protegida junto à extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver inclusive o estribo principal.

149

1 50

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

1

1

•

v

•

• 1

pi

1 •

•

-J, ^N

estribo

n

grampo

C

Figura 4.14 - Dispositivos para proteção contra flambagem das barras

Essa disposição deve ser indicada de modo destacado no detalhamento dos pilares, pois a flambagem das barras longitudinais é uma das causas principais de ruptura dessas peças. Esse foi o caso do Edifício Palace 2, no Rio de Janeiro, em 1998, em que o cobrimento de concreto deficiente e a ausência de grampos foram apontados entre as principais razões do colapso. Ainda do mesmo item da norma: "No caso de estribos curvilíneos, cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto, não há necessidade de estribos suplementares. Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto, cada barra longitudinal será ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal".

4.5.3 Armadura transversal de pilares De acordo com a NBR 6118 —^ 18.4.3: "A armadura transversa/ de p/lares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes". As funções dos estribos em pilares usuais são as seguintes: a) garantir o posicionamento e impedir a flambagem das barras longitudinais; b) garantir a costura das emendas de barras longitudinais.

Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada

O diâmetro
(4.22)

a) h) c) d)

200 mm menor dimensão da seção 24$ O aços CA -25 12$ & aços CA -50

1 -^ ^

-^ Seção transversal ~~~~ ^^^ armadura longitudinal (corte aã) (bitola (/)) -^^^^ cnom -

x-

a

9

*-*9

9

«

v

^\

/

/'

"- ^^ (bitola $ t)

* h

9

b • l1iiom

h Figura 4.15 — Espaçamento de estribos em pilares de concreto armado

No detalhamento, deve ser informado, em cada trecho do pilar com comprimento /, o número de estribos, n, dado por:

n = (l/st) +1

(4.23)

O comprimento total reto da barra para fabricar cada estribo deve ser informado nas plantas de armação. Para a seção retangular&x/z, da Figura 4.15, dados os valores do cobrimento nominal,' c nnm', no item seguinte 4.5.4.1, e acrescentando «

151

1 52

João Carlos Teatini de Souza Climaco

o comprimento 100 mm para prever os ganchos de fechamento do estribo nos dois extremos da barra, tem-se o comprimento reto do estribo:

c reto = 2(b + h-4cnotn )+10cm *-

(4.24)

j

4.5.4 Disposições para o detalhamento das armaduras de pilares 4.5.4.1 Espessura da camada de cobrimento de concreto Uma estrutura de concreto tem sua durabilidade fortemente condicionada pelas características do concreto, em especial a resistência à compressão e correspondente relação água-címento, e pela espessura e qualidade do concreto de cobrimento das armaduras. No primeiro aspecto, a melhoria da qualidade dos cimentos, paradoxalmente, pode ter influência negativa pelo fato de se obter concretos com resistência razoável a partir de relações água-cimento elevadas, porém com porosidade e permeabilidade elevadas. Quanto ao cobrimento de concreto, é um aspecto frequentemente negligenciado na execução deficiente, por não serem colocados os espaçadores para as barras de aço nas formas, por ocasião da concretagem, ou pelo uso de espaçadores inadequados. Para as barras mais externas da armadura, em geral os estribos, a espessura da camada do cobrimento nominal de concreto (c ). em que está embutida uma v nom' tolerância relativa à execução de l O mm, deve ser, pelo menos, igual ao diâmetro da barra. Devem ser observados os valores da Tabela 4.2, abaixo, extraída da Tabela 7.2, da N BR 6118 -> 7.4.7.6.

Tabela 4.2 - Espessura do cobrimento de concreto em pilares de concreto armado Classes de agressividade ambiental

/

//

m

W

Cobrimento nominal de concreto (cnom) mm

25

30

40

50

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

As classes de agressividade ambiental e os respectivos riscos de deterioração da estrutura são dados na Tabela 6.1 da norma. Para as estruturas usuais de edifícios urbanos, residenciais e comerciais, a classificação da norma pode ser simplificada na forma seguinte: <* Classe I - Agressividade Fraca =^> risco de deterioração insignificante: ^ ambientes internos secos: dependências de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura; ^ obras em regiões de clima seco (umidade relativa do ar<65%); partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde chove raramente. *t» Ciasse II -Agressividade Moderada => risco de deterioração pequeno: *+• ambientes internos úmidos ou com concreto aparente; ^ ambientes em atmosfera marinha: internos secos de dependências de edificações residenciais e comerciais ou com concreto revestido com argamassa e pintura; **• obras em regiões de clima úmido (umidade relativa > 65%); partes da estrutura expostas à chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde chove com frequência. <* ClasseIII -Agressividade Forte => risco de deterioração grande: ^ ambientes em atmosfera marinha: externos, internos úmidos ou com concreto aparente. <* Classe IV-Agressividade Muito Forte => risco de deterioração elevado: ^ edificações sujeitas a respingos de maré ou em ambientes quimicamente agressivos.

153

1 54

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

4.5.4.2 Comprimento de ancorasem das barras longitudinais por trespasse Segundo a NBR 611 8 -> 9.4.1 : "Todas as barras das armaduras devem serancoradas, de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos". Ainda segundo o item 9.4.1 .1 da norma, a ancoragem das barras por aderência dá-se "quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho". As barras comprimidas da armadura passiva com ancoragem reta por aderência não devem ter ganchos. Aexistência de ganchos teria uma influência negativa, podendo causar fissuras no concreto em seu entorno, além de dificultar a execução em zonas de grande concentração de armaduras. O comprimento de ancoragem básico, / , é definido pela NBR 6118, no item 9.4.2.4, como: "o comprimento reto de uma barra da armadura passiva necessário para ancorar a força limite AJ, nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a /M, conforme 9.3.2.1". Para as barras de bitola 0 da armadura longitudinal comprimida de pilares, esse comprimento de ancoragem é dado por:

I

=È.,L>L

"

4

(4.25)

fM

onde: fbd = resistência de aderência de cálculo, uniforme entre a superfície lateral da armadura e o concreto no trecho de ancoragem, dada por: od

,.

'l

7. '2

, , f r ., '3 ^J ctk, tnf

'c'

(4.26) ^ '

onde: T]I = coeficiente de conformação superficial do aço => = 1,0 para barras lisas (CA-25); = 1,4 para barras entalhadas (CA-60); = 2,25 para barras nervuradas (CA-50);

Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

ri2 = coeficiente da posição relativa das barras na concretagem (NBR 6118 -> 9.3.1) => = 1,0 para situações de boa aderência; = 0,7 para situações de má aderência; 7j3 = coeficiente da bitola da barra =^> = l, O para <&<32; =(132-$)/l 00 para 0 > 32 mm.

Conforme o item 9.3.1 da norma, as barras longitudinais dos pilares com inclinação > 45° sobre a horizontal estão situadas em zonas de boa aderência, onde se pode garantir o bom adensamento e vibração do concreto, fatores essenciais para evitar o deslizamento relativo dos materiais. Para o aço CA-50, de uso quase exclusivo na armadura longitudinal de pilares, e barras com bitola < 32 mm, as mais comuns na prática, sendo a resistência à tração do concreto dada pela expressão (3.4), do Capítulo 3 (/..,= 0,21 f,2/3) e / =1,4, de (4.26) obtém-se: f M = 0,34fck2/3 = 0,42 fc™ (MPa)

(4.27)

No dimensionamento de um 1pilar, após se calcular a área da armadura,' A' s.cal'„ ' procede-se à escolha das barras comerciais, para se obter a área efetiva da armadura, À's, yf, que, em geral, é superior à primeira. Isso permite uma redução do valor básico, lb, obtido da expressão (4.25), sendo denominado comprimento de ancoragem necessário:

Lb,nec = L(A' b ^

,/A3

s,cal

.)^l.b,mm.

s,ef'

(4.28) ^ '

O comprimento mínimo de ancoragem por aderência, da NBR 6118 —* 9.4.2.5, deve ser:

\0,3lb bfttiin

} J.U W

[l 00 mm

155

156

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

ATabela 4.3, abaixo, apresenta os valores .do comprimento básico de ancoragem reta, lb> para o aço CA-50 e concretos com resistências /Centre 20 e 50 MPa, expressos em termos da bitola 0 das barras adotadas para a área efeíiva de aço.^t' . Posteriormente, pode ser feita a redução para se obter o comprimento necessário, da expressão (4.28). Tabela 4.3 - Comprimentos de ancoragem reta (l ) por trespasse para aços CA-50

«^ Boa aderência

4.6

20

25

43$

570

fck (MPa) 30 35 330

300

40

45

50

270

25 0

240

EXEMPLOS

4.6.1 Para o exemplo do item anterior 4.3.2, verificar a segurança do pilar com os coeficientes da NBR 6118: 2003

a) Força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada

N,,Sa.eq = r' u r' ffNL k =1.194 m b) Forca normal resistente da seção de concreto armado (6020 = 18,85 cm2) f 'cd = 0,85 fcd = 0,85x14,3 = 12,2 MPa NRd=f3cdA'cJrf'^

A'=122x800 + 4.200 x 18,85=176.410 kgf= 1.764 W

c) Verificação de segurança Nsde < NM => A segurança é atendida, com um excedente aproximado de 48% da força normal resistente em relação à força solicitante (1.764/1.194). Quanto maior for essa diferença, menos económico é o dimensionamento.

Capítulo 4 - Cálculo, de pilares à compressão centrada

4.6.2 Dimensionar um pilar intermediário curto, de seção 20 x 50 cm2, com / = 20 MPa e aço CA-50, para uma carga axial de serviço N=800kN a) Parâmetros da seção, transversal f*=fjv J cd •/ ck '•

ç

=f J 1,4 ^14,3 J ck ' ' MPa

f >cd = 0,85fcd = 0,8.5 x 14,3 = 12,2 MPa f'

= 420,0 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3

Á' ~ 20x 50 = 1.000 cm2: área da seção de concreto b) Verificação do valor da força normal reduzida (v)

/ = 1,4 (menordimensão da seção > 19cm)^> Nsd = 1,4x800 =1.120 kN. Nas unidades kgfecm: v ^N^/(A1 cfcd} = 1,4x80.0007(1.000x 143) = 0,78> 0,7 => OK Portanto, pode-se aplicar o processo aproximado da NBR 6118: 2003 -> 17.2.5.1, c) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada Considerando a excentricidade, na direção crítica, paralela à menor dimensão, da expressão (4.11)tem-se: eb = et

— 1,5 + 0,03xb — 1,5 + 0,03x20

= 2,1 cm :=> eb/b= 2,1/20 = 0,105. Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adotase um valor conservador: a = 7. Admitindo a bitola 0 = 20 mm, estribos com 0=5 mm e agressividade ambiental fraca (classe l), tem-se d' = 25 -f- 5 + 20/2 = 40 mm. Da expressão (4.12) resulta:

P=l/[(0,39 + 0,01x1} - 0,8 (4,0/20)] = 1/0,24 = 4,17 Da expressão (4.10): /„

=

l +P(eb/b) = l + 4,17x 0,105 = 1,44

Portanto:^.. =y' u 7' ffN k,= 1,44 x 1,4x800 =2,02x800 = 1.616 M Sd.eq ' ' '

MPa f

d

= 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3

1 57

1 58

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

d) Cálculo da área da armadura longitudinal

1 60

João Carlos Teatiní de Souza Ctimaco

A'' — 30x 40 = 1.200 cm2: área da seção de concreto. c) Verificação do valor da força normal reduzida (v) ^1=1,4 (menor dimensão da seção > 19 cm) ^> Nsd=l,4x 1.700 = 2.380kN v=NS(}/ (A'c f J = 238.000 / (1,200 x 179) = 1,12 z 0,7 => OK É viável aplicar o processo aproximado da NBR 6118: 2003 -> 17.2.5.1. d) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada, considerando a excentricidade na dtreção crítica, paralela à menor dimensão Da expressão (4.11): e lmjn = 1,5 -f 0,03 xb = 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm => eb/b =2,4/30 = 0,08 Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adota-se o valor conservador, a = L Para a bitola $ = 20 mmt-estribos 0{ = 5 mm, e agressividade ambiental moderada (classe 11), tem-se d' = 30 H- 5 +20/2 = 45 min. Da expressão (4.12) resulta: P = l / [(0,39 + 0,01x1) - 0,8 (4,5/30)}

= 1/0,28 = 3,57

Da expressão (4.10): ya = l +fi(eb/b) = l + 3,57x 0,08 = 1,29 Com j=l}4 vem:NSdie = yurfN = L,27xl,4x 1.700=1,81 x 1.700== 3.077kN e) Cálculo da área da armadura longitudinal Da expressão (4.15), tem-se: A's=

WwfaiO/fvr

(307.700-152* 1.200) / 4200=29,83 cm2

=> p =À's/A'c = 0,0249 = 2,49% pmín = 0,15 Nsd /(fydA'c)

= 0,15x238000/(4350xl200)= 0,069 = 0,7%

=> 0,7 % < p = 2,49 % < 8 % => OK. Portanto, as dimensões do pilar permitem um dimensionamento económico, com a taxa de armadura entre 1 e 4%. Da Tabela 4,4 de barras comerciais,

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

com armadura simétrica, obtêm-se as opções: 16016" 32,1 7 cm2 ; 10020 = 31,42 cm2; 8022 = 30,41 cm2. As três são razoáveis; no entanto, a bitola de 22 mm, muito grossa, dificulta a execução. No caso de se adotar a primeira opção, a taxa efetiva de armadura será: p =A* s/A'

4.6.4

Dimensionar

c

=2,68 % .

um pilar extremo de estrutura com agres-

sividade ambiental fraca, com a seção circular de diâmetro 30 cm, sujeito a uma força axial de 1.200 kN e a momentos de 52kN.m, oriundos de vigas nele apoiadas, iguais nos dois extremos e tracionando faces opostas do pilar. Ambos, N e M, são esforços de serviço. Considerar o concreto co
a) Parâmetros da seção transversal

fc^fc^rc=fck/L4

= 17,9MPa *> f ^0,85 f^O.SSx 17,9 = 15,2 MPa

/ 'j,, = 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3 À' c = TC 302/4 = 707 cm2: área da seção de concreto b) Verificação do valor da força normal reduzida (v) Yf=l,4 (menqr dimensão da seção > 19 cm) => N sd =1,4^1.200 = 1.680kN. v

** N& f (Á \Cd > = 108.000 / (707 x J 79} = 1,32 * 0,7 => OK

É viável aplicar o processo aproximado da NBR 6118; 2003 -> 17.2.5.1, ç) Exce.ntrícjd_a.de,s de, cájculo. H* de 1 â qrdem relativa ao momento:

= 14 x 52/1.680 = 0,043 m = 4,3 cm mínima de execução,, da expressão. (4,11):

e.l mm. =1,5 + 0,03 d = 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm. ' ' ' ' '

161

1 62

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

A excentricidade da força normal será: e = e /, = 4,3 cm > e,Imm.. r ' d) Verificação quanto à fíambagem & = 4 l / d = 4 x 350/30 = 46,7 => pilar medianamente esbelto O enunciado forneceu uma situação favorável, com momentos extremos tracionando faces opostas do pilar (ver Figura 4.8). Da NBR 6118 -^ 15.8.2, alínea a), tem-se a,O = 0,4. l ' Ã} = [25 + 12,5 (elb/d)} lab « [25 + 12,5 (4,3 130)] /0,4 = 67 Ã = 46,7<ÃJ Logo, a consideração da fíambagem pode ser dispensada, por se verificar a expressão (4.5). e) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada Para seção circular, dos limites da expressão (4.13): a — - 4. Para agressividade ambiental fraca (Classe l), bitola <£ — 20 mm e estribos tí> =5 mm, tem-se d' = 25 + 5 +20/2 = 40 mm. Da expressão (4.12) resulta: /3= l / {[0,39 + 0,01 x (-4)] - 0,8 (4,0/30)}

= 4,11

Da expressão (4.10): ya = l + p(e}/d) = l + 4,11 (4,3/30) = J,59

Com / = 1,4, tem-se: Nsdieq = ru YfNk = 1,59 x 1,4 x 1.200 = 2,23 x 1.200 = 2.676 kN f) Cálculo da área da armadura longitudinal Da expressão (4.15), tem-se: A's

= (*« m ~f

p = Á1 S/Á'

'

ctÁ>yf'yd

= (267.600 - 152 x 707)/4200 « 38,13 cm2

— 0,054 = 5,4% < 8% => taxa inferior ao limite máximo da '

C

norma, mas ainda elevada, só admitida no caso de não haver trespasse das barras longitudinais.

—

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

Da Tabela 4.4, para seção circular, tem-se: 13020 = 40,84 cm2 ou 11022 = 41,81 cm2.

4.6.5

Dimensionar um pilar intermediário de seção transversal retangular, com a condição de pilar curto, com o comprimento de flambagem 2,90 m, submetido a uma força normal axial de serviço de 950 kN, sendo o aço CA-50 e fek = 20 MPa

a) Menor dimensão da seção para pilar curto (X < 35) Ã. = 3,46 le/b = 3,46x 290 /b < 35 => b > 28,7 cm Adotando-se a dimensão menor igual a 30 cm, satisfaz-se a condição do enunciado. A conveniência dessa dimensão deve ser verificada no projeto de arquitetura. b) Parâmetros da seção transversal

f ca *=fJr =f•> CKJ 1,4 = 14,3 MPa =$ f* CK ' c J

f

J

yd

=0,85f '

ca

J

ca

=0,85x 14,3 = 12,2 MPa ' '

= 420 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3

A' — 30 h', área da seção de concreto c) Cálculo da força normal equivalente para o cálculo simplificado à compressão centrada Considerando a excentricidade acidental na direção principal crítica, paralela à menor dimensão, da expressão (4.11) tem-se: eb — ej

ln

= 1,5 + 0,03 x b

= 1,5 + 0,03 x 30 = 2,4 cm => eb / b - 2,4/30 = 0,08 Como não se conhece a disposição das barras da armadura na seção, adoíase a=7,um valor conservador. Para 0 = 20 mm,
= l / 0,29 « 3,45

Da expressão (4.10): yu = l +J3(eb/b) = 1 + 3,45 x 0}08 = 1,28

163

1 64

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Com rf= 1,4, tem-se: JVJrf|(í= /„ rf N =128 x 1,4x950 =1,79x 950 = L700 kN

d) Determinação da seção de concreto Como o enunciado menciona apenas pilar curto, sem impor qualquer outra condição para a seção, é razoável adotar uma taxa de armadura de compressão na faixa económica, por exemplo, p—2%, Da expressão (4.21), obtém-se a área de concreto:

Á' c >N,ií/,ío f /(f'+pf') = 170000 /(122 + 0,02 x 4200)' = 825 cm2 *• •* ca 'J yd ' » => h = 27,5 cm Como a condição de pilar curto impõe h > 30 cm, adota-se a seção quadrada,

30 x 30 cm2. e) Cálculo da área da armadura longitudinal Da expressão (4.15), tem-se:

A's = (170.000 - 122 x 9QO) / 4200 A's = 24,3 cm2 => p = A's/A'c = 0,0258 = 1,58% =* próxima da taxa admitida. Da Tabela 4.4, para a seção quadrada, adotando-se armadura duplamente, simétrica, tem-se como opçõesr 8016 -16,09 cm2 ; 12012,5 ~ 14,73. çnf. A primeira alternativa será adotada no restante do exemplo, por ser, em princípio, a mais adequada, pois o menor número, de barras, facilita o trabalho, de armação. A disposição das barras na se.ção é dad.a. na. Figura 4,16^ a seguir. Ataxa efetiva de armadura longitudinal será.: p,=A's M'c^ 1,7$%, Apenas para fixação, verifica-se que: a = (nh - l)l(jib -1) — (3~l}/(3-l) = 1,0 => suposição OK. f) Comprimento de ancoragem por trespasse

Capitulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

Da expressão (4.27), obtém-se: fu « 0,34fck2/3 = 0,34 x 7,37 - 2,51 MPa Da expressão (4.25), o comprimento de ancoragem básico por trespasse é: lb = 69,3 cm Poderia ser obtido diretamente da Tabela 4.3: lb— 430- 43 x l,6~ 68,8 cm Sendo Â' s.cal,/A' s,ef = 14,3/16,09 = 0,89 ' ' ' De (4.28), o comprimento de ancoragem necessário: lb

= 61,7 cm

Esse valore superior aos limites (4.29) de norma: 0,3 lb = 17,4 cm; 10

= 65 cm.

g) Cálculo dos estribos (também em aço CA-50) Do item 4,5.3 => bitola: $f > 0/4 (16/4

= 4 mm) e 5 mm =$ 0 = 5,0 mm

Dos limites da expressão (4.22), o espaçamento será o menor dos valores: 20 cm; menor dimensão da seçao = 30 cm ; 120 = 19,2 cm Logo, o espaçamento será: s — 19 cm h) Detalhamento A Figura 4.16, a seguir, apresenta o detalhamento das armaduras do pilar deste exemplo, supondo um trecho de pilar situado entre os pisos dos níveis 200 e 300 (com referência ao nível O do piso mais inferior) da estrutura do edifício, sendo observadas as seguintes disposições: **- Admitindo as vigas superior e inferior, entre as quais se situa o pilar, ambas com 50 cm de altura, sendo o comprimento de flambagem de 290 cm (para pilares de edifício: distância de eixo a eixo das vigas), tem-se a altura livre do pilar:

/ = 290 - 2 x 25 = 240 cm.

165

166

João Carlos Teatini de Souza Ctimaco

Número de estribos no trecho: n ~(Io/s) -f l =13,63 O adotam-se14 estribos e o espaçamento será de, aproximadamente: st = 18,5 cm. Observação: conforme o item anterior 4.5.3, a norma exige a presença de estribos em toda a altura do pilar,"... sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes". No entanto, essa disposição parece excessivamente rigorosa em casos em que as barras longitudinais do pilar estejam fortemente confinadas no cruzamento com as vigas, com plena garantia de segurança dessas barras à flambagem. Essa consideração foi adotada no presente detaihamento.

Admitindo-se um pilar de edifício urbano em ambiente normal (cnom cada "ramo" ou "perna" do estribo tem o comprimento aproximado da respectiva dimensão da seção menos duas vezes o cobrimento. O comprimento total reto da barra de cada estribo será:

2 (b + /? - 4 c ) + 10 cm = 2 (30 + 30 - 4 x 2,5) + 10 cm = 110 cm. ^

/KJ/M'

V

'

O acréscimo de 10 cm é previsto para se dobrar os ganchos nas extremidades, para fechamento do estribo. • Conforme a Figura 4.14, sendo 200 = 10 cm, os estribos poligonais não garantem as barras longitudinais centrais contra a flambagem. São necessários grampos para evitar sua flambagem, com a mesma bitola e espaçamento dos estribos. • No detaihamento, cada barra de armadura recebe um número de ordem (N...), que identifica barras de mesma bitola, comprimento e forma. Se numa mesma planta de armação houver barras idênticas nesses três aspectos, vão receber o mesmo número (também chamado "posição").

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

167

i

r

~ trespasse ou "espera"

nível 300

'

T

1 1

L

\ viga

50

Disposição das barras na seção transversal:

'

L \

«I

G

c

in

u_

-

«^^* r •» 30

s c

•-•LJI

i

C

ít

Armadura longitudinal:

NI - 8$6

"i »o "^ i

1

| c e

^0 "-s ~%~

-

t

Esfribos : 14N2~ 5,0 c/18,5 -110

240 cm

5

S

t

5

oo

25

c ! Z -sc n

25

c /

nível 200

i i

i

.

'

T

5(9

viga

j

4

l

1

Grampos : 28N3- 5,0 c/18,5 -35

| \

P5

--

,5

\

25

i

Figura 4.16 - Detalhamento das armaduras do pilar do exemplo 4.6.5 (escalas diferentes para o corte longitudinal e detalhes da seção transversal)

fí

168

João Carlos Teatini de Souza Clímacq

4.7 AUTO-AVALIAÇÃO i

4.7.1 Enunciados 1. Um pilar intermediário curto, com seção transversal quadrada 30x 30 cm2, concreto f

= 20 MPa e armadura longitudinal 12012,5 (CA-50), recebe

uma força normal axial de serviço de 2.200 kN. Verificar a segurança do pilar pelo processo de cálculo aproximado à compressão centrada, com os coeficientes da NBR 6118: 2003. Redimensionar a seção do pilar, caso necessário. Admitir estrutura com agressividade ambiental fraca (Classe l). 2. Determinar o coeficiente de segurança global (yu x 7.) para o cálculo aproximado à compressão centrada de um pilar intermediário de seção circular, com diâmetro 35 cm, sendo: / = 3,0 m; fck= 25 MPa ; N = 2.300 kN} armadura longitudinal 11016 (CA-50); agressividade ambiental moderada. Qual a máxima força axial de serviço que poderia ser aplicada para atender à segurança mínima estabelecida pela NBR 6118: 2003? 3. Um pilar intermediário de edifício tem seção quadrada 25x 25 cm2, armadura longitudinal 12020 (CA-50, com trespasse) e concreto com fck— 30 MPa. Pede-se: a) o máximo comprimento de flambagem para poder se desprezar os efeitos de 2- ordem; b) com o comprimento do item anterior, calcular a máxima força axial de serviço do pilar. 4. Para o pilar curto de seção vazada da Figura 4.17 (a), determinará^ e Á'e para a condição de menor valor da dimensão "a", admitindo não havertrespasse das barras longitudinais. Dados: fck= 25MPa, N~ 1.500 kN, £e = 3 m e a ç o CA-50. Detalhar as barras da armadura longitudinal na seção transversal do pilar. 5. Uma ponte tem pilares de sustentação de concreto armado com seção vazada (Fíg. 4.17b).Aarmadura longitudinal é composta por 64025 de aço CA-50 e o concreto tem resistência fck= 40 MPa. Calcular a força axial resistente máxima de serviço, considerando os pilares intermediários engastados nos

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

blocos de fundação e no vigamento principal, com o comprimento 46 w, de eixo a eixo das vigas, e a agressividade ambiental Classe IV.

400cm

grampos não mostrados na figura

a) Exercício 4

b) Exercício 5

Figura 4.17 - Exercícios de auto-avaliação do Capítulo 4

6. Dimensionar um pilar intermediário curto de concreto armado de seção retangular, le = 3 m, N = 2.000 kN (força axial) e fck=- 25 MPa, situado em meio com agressividade ambiental forte, obedecendo à condição de mínimo consumo de aço (CA-50). 7. Dado um pilar extremo com l =3,0 m ,fck = 20 MPa e aço CA-50, determinar a dimensão mínima (expressar em múltiplo de 5 cm) da seção retangular de concreto para poder se desprezar no cálculo os efeitos de 2^ ordem. Esforços solicitantes de serviço: força normal axial de 1.500 kN; momentos fietores nas duas extremidades do pilar, oriundos de vigas nele apoiadas, tracionando faces opostas da seção e com valores na razão de 1/4, sendo o maior deles de 50 kN.m. Calcular a armadura longitudinal correspondente. 8. Numa estrutura em que o concreto foi executado com a resistência de dosagem 31,6 MPa (condição de preparo A, pela NBR 12655-^6.4.3.1), foi projetadoum pilar com comprimento de flambagem 2,8 m, seção transversal retangular 30x50 cm2 e armadura longitudinal com 6010 (CA-50). Verificar a máxima força axial que esse pilar suporta pelo cálculo aproximado à compressão centrada, supondo a agressividade ambiental fraca.

169

170

João Carlos Teatini .de Souza Clímaco

9. Dimensionar um pilar de seção retangular 20 x 50 cm2, submetido a uma força axial de serviço de 900 kN, /, = 4,0 m, f^- 25 MPa e aço CA-50. Considerar nas duas extremidades do pilar momentos iguais de 50 kN.m, .oriundos de vigas nele apoiadas, tracionando faces opostas da seção, na situação mais desfavorável,

4.7,2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. É indispensável, de início, testar a condição de validade do cálculo aproximado: v =7^,/(/T f .) > 0,7. Em seguida, verifica-se a taxa p = A s'/A1e òa ^ c •" c a ' u < i com relação aos limites de norma. Se for inferior à mínima, a seção de concreto é excessiva e, para se atender rigosamente à norma, deve-se tomar no cálculo da força normal resistente apenas a área de concreto estritamente necessária: A' cn ~Á' s /p~ mm .. Se.' ao contrário,' existe aço em excesso,rp > 'inax' p , o raciocíT nio é análogo, com respeito à área de aço necessária. Caso a taxa de aço esteja entre os limites, calcula-se a a força resistente de cálculo máxima, da expressão (4.14), que, dividida pelo produto /H . yf, fornece a força resistente característica ou de serviço, que, para haver segurança, deve ser superior à solicitante, 1.200 kN. 2. Com relação apenas à força normal aplicada no pilar, o coeficiente de segurança global é a razão da força resistente máxima, NRd> da expressão (4.14), pela força característica dada. Para atender à segurança mínima da norma, a máxima força axial de serviço será obtida d&NRd/yu . y,, ou seja, o coeficiente global deve ser sempre superior a y u . r.. O coeficiente de segurança absoluto do pilar é determinado da força resistente, Nxd, calculada sem reduzir a resistência do concreto, ou seja, com fck em lugar de fcd na expressão (4.14). No caso do aço, como a resistência é limitada pelo encurtamento convencional limite do concreto, 2%o, não há alteração. 3. O comprimento máximo absoluto de flambagem seria extraído da desigualdade À = 3,461 /b z 90, limite de pilar medianamente esbelto. No

Capítulo A - Cálculo de pilares à compressão centrada

exercício, as dimensões da seção e a condição de pilar intermediário impõem ab = l, resultando em A; = 26 < 35. Este último valor se impõe pela norma e irá definir o comprimento de flambagem do pilar. Deve-se, ainda, verificarp = A' /A'. Caso essa taxa extrapole um dos limites, indicando áreas de concreto ou aço excessivas, para se calcular a força normal axial resistente com obediência rigorosa à norma, deve-se tomar apenas a área estritamente necessária, de concreto ou aço, referida ao respectivo pu . Ao final, devese, ainda, testar a validade do cálculo aproximado, ou seja, se v=Nsd/(A'c fj

* 0,7.

4. No pilar de seção vazada (ver NBR 6118 -» 13.2.6.c), deve-se limitar a espessura (z/) mínima da parede. Como a norma não explicita um valor, podem ser admitidas duas hipóteses: a) u k 19 cm => y." 1,4', b) u ~ 12 cm => yn = 1,95 - 0,05 x 12 - 1,35, que vai majorar y

Da hipótese

b), com n = 12 cm, resulta a ~ 44 cm. Com esse valor, no exercício, testam-se as outras condições: pilar curto: A <, 35', validade do cálculo aproximado: v ~NSe} /(A'cfc(l}

£ 0,7', e área mínima de concreto: p~A's

/Á' < 8% (sem trespasse). Caso uma dessas condições não se verifique, ela passa então a ser determinante no cálculo da dimensão mínima "a". 5. Deve-se, de início, verificar p =Á' s/A' c com relação às taxas de armadura longitudinal máxima (com trespasse = 4%) e mínima absoluta da norma, 0,4%. A disposição das barras na seção da figura, da mesma maneira que na seção retangular bruta, é usada para se obter os parâmetros a (ver exemplo do item 4.3.2), a e fi, para calcular o coeficiente de majoração y a . Caso a taxa de aço esteja entre os limites, calcula-se a força resistente de cálculo, da expressão (4.14), e divide-se por yu. y. para se obter a força máxima de serviço. Deve-se, ainda, testar a validade do cálculo aproximado. 6. Fazendo A = 3,461 /b <, 35, obtém-se o menor lado da seção, b = 30cm, para a condição de pilar curto. Desse valor, calculam-se o coeficiente de majoração yu e a força normal equivalente, N^ . Substituindo, na expressão (4.21), a taxa p pelo valor mínimo da expressão (4.20), atendendo à condição

171

1 72

João Carlos Teatini de Souza Climaco

de mínimo consumo de armadura, calcula-se a área da seção de concreto e o lado maior. Após testar a validade do cálculo aproximado, verifica-se na expressão (4.20) se a taxa mínima de armadura é superior ao mínimo absoluto de 0,4%. Caso não seja, novamente na expressão (4.20), fazendo a taxa igual a 0,4%, calculam-se novos valores da área da seção e do lado maior. 7. Da condição dos momentos nos extremos do pilar, da alínea a) do item 4.2.4, determina-se a.b — 0,5. A excentricidade máxima de 1-ordem é a razão do maior momento pela força normal. Adimensao mínima da seção para poder desprezar os efeitos de 2- ordem é obtida iguaíando-se as expressões (4.3) e (4.5). Verificar a validade do cálculo aproximado, a excentricidade mínima e a condição /l ^ Á;. Calcular a armadura e comparar a taxa com os limites de norma. 8. O valor de fcfc é obtido do item 3.9.2.2, Capítulo 3. De início, verifica-se o valor de p = Á's/A'c. Sendo essa taxa inferior à mínima absoluta, a seção de concreto é excessiva e, para se atender à norma, o cálculo da força normal resistente deve ser feito com a área de concreto estritamente necessária:^' cn -A3 s /p"mtn.. 9. Solução análoga ao exemplo 4.6.4. A situação mais desfavorável, no caso da seção retangular, são os momentos tracionando as faces opostas de dimensão 50 cm.

Capítulo 4 - Cálculo de pilares à compressão centrada

Tabela 4.4 - Áreas das seções de armaduras passivas de aço Á (cm2) para as bitolas padronizadas pela NBR 7480:1996.

Massa Linear fios Barras kg/m® 0 (mm)

ll) P)

Número de fios ou barras

{1)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2,4

-

0,04

0,05

0,09

0,14

0,18

0,23

0,27

0,32

0,36

0,41

0,45 '

3,4

-

0,07

0,09

0,18

0,27

0,36

0,46

0,55

0,64

0,73

0,82

0,91

3,8

-

0,09

0,11

0,23

0,34

0,45

0,57

0,68

0,79

0,90

1,02

1,13

4,2

-

0,11

0,14

0,28

0,42

0,56

0,70

0,83

0,97

1,11

1,25

1,39

4,6

-

0,13

0,17

0,33

0,50

0,66

0,83

1,00

1,16

1,33

1,49

1,66

5,0

5,0

0,16

0,20

0,39

0,59

0,79

0,98

1,18

1,37

1,57

1,77

1,96

5,5

-

0,19

0,24

0,48

0,71

0,95

U9

1,43

1,67

1,90

2,14

2,38

6,0

-

0,22

0,28

0,57

0,85

1,13

1,42

1,70

1,98

2,26

2,55

2,83

-

6,3

0,24

0,31

0,62

0,94

1,25

1,56

1,87

2,18

2,49

2,81

3,12

6,4

-

0,25

0,32

0,64

0,97

1,29

1,61

11,93

2,25

2,58

2,90

3,22

7,0

-

0,30

0,39

0,77

1,16

1,54

1,93

2,31

2,70

3,08

3,47

3,85

8,0

8,0

0,40

0,50

1,00

1,50

2,01

2,51

3,02

3,52

4,02

4,52

5,03

9,5

-

0,56

0,71

1,42

2,13

2,84

2,55

4,25

4,96

5,67

6,38

7,09

10

10

0,62

0,79

1,58

2,37

3,14

3,93

4,71

5,50

6,28

7,07

7,85

-

12,5

0,97 , 1,23

2,46

3,69

4,91

6,14

7,36

8,59

9,82

11,04

12,27

-

16

1,58,

2,0 J

4,02

6,03

8,04

10,05 12,06 14,07

16,09

18,10

20,11

-

20

2,46

3,14

6,28

9,42

12,57 15,71 18,85 21,99

25,13

28,27

31,42

-

22

2,98

3,80

7,60

11,40 15,21 19,01 22,81 26,61

30,41

34,21

38,01

-

25

3,85

4,91

9,82

14,73 19,64 24,54 29,45 34,36 39,27

44,18

49,09

-

32

6,31

8,04 16,08 24,12 32,17 40,21 48,26 56,30

72,38

80,43

-

40

9,87

12,57 25,14 37,71 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 125,66

64,34

Outros diâmetros podem ser produzidos, por encomenda especifica, A massa linear (em kg/m ) referente a cada bitola é obtida pelo produto da área da : açâo nominal (em m2) por 7.850 kg/m3. vaior da massa específica do aço.

1 73

CALGULq:DE ELEMENTOS LINEARES À FLEXÃO PURA Coneitpsiprèliminares; Modos de ruptura a flexão pura 5.4 Dimensionamento das seções à flexão:pura no estado limiteflúítimo -Bcescri-CQ.e5-daJ ,, r-, ,,— NBR6118: 2001 f

'

f.-l

l

:3

retangulres com armadura dupla CáLcuiO-d.eLseções.em __ forma de "T"

5.8 579 "ÁTíto-avaliação . - -——*

Cálculo de elementos lineares à flexão pura 5.1 OBJETIVOS

Conceito: a flexão de um elemento estrutural linear caracteriza-se pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais na seção transversal e a sua rotação.

Conforme os esforços solicitantes que atuam na seção transversal, além do momento fletor, a flexão pode ser classificada em: <* Flexão pura: quando se considera apenas o momento fletor (AQ solicitando a seção, que fica sujeita somente a tensões normais. <* Flexão simples: quando atuam conjuntamente o momento fletor e a força cortante (M; V), produzindo tensões normais e tangenciais na seção. *> Flexão composta: quando atuam conjuntamente o momento fletor e a força normal (M; N}, produzindo tensões normais na seção. Quando o plano solicitante contém um dos eixos principais de inércia da seção transversal do elemento linear, a flexão é denominada plana, normal ou reta, caracterizada por momentos fletores que produzem rotação apenas em relação ao outro eixo principal da seção. Em caso contrário, tem-se a flexão oblíqua. Conforme a classificação da NBR6118—> 14.3.1, apresentada no item 3.2 deste texto, denominam-se vigas os elementos lineares ou barras em que a flexão é a solicitação preponderante e o comprimento longitudinal supera em, pelo menos, três vezes a maior dimensão da seção transversal.

178

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Dessa forma, observada a esbeltez ///? ^ 3, admite-se que o dimensionamento da armadura de flexão de uma viga de concreto armado seja feito considerando o efeito isolado dos momentos fletores, ou seja, como se as seções estivessem sob flexão pura. O cálculo da armadura transversal de combate ao cisalhamento causado pela força cortante é feito em etapa posterior, também em processo isolado, já conhecidas armadura de flexão. Posteriormente, as armaduras longitudinal e transversal são compatibilizadas, para levarem conta a ação conjunta momento fletor-força cortante, por meio da imposição de diversas prescrições da norma, numa etapa do processo de cálculo comumente denominada detalhamento, Pretende-se que o conteúdo deste capítulo contribua para os seguintes objetivos: a) Disposição e finalidade da armadura de flexão de vigas de concreto armado. b) Modos de ruptura à flexão de vigas de concreto armado. c) Hipóteses básicas do dimensionamento de vigas de concreto armado à flexão pura. d) Procedimentos para cálculo de vigas de seçãoretangular e T, com armaduras simples e dupla, segundo as disposições da NBR 6118. e) Prescrições da norma sobre dimensões da seção transversal de concreto, arranjo e taxas mínima e máxima da armadura longitudinal.

5.2 CONCEITOS PRELIMINARES A Figura 5.1 mostra o esquema de ensaio à flexão de uma viga de concreto armado, em que se aplicam forças iguais e simétricas em seu eixo, em estágios crescentes de carga até a ruptura da peça. Esse dispositivo de ensaio, conhecido como "ensaio de Stuttgart", tem a vantagem de permitir, simultaneamente, a observação do comportamento da viga sob flexão pura (trecho entre as cargas simétricas) e flexão simples (trecho entre a carga e o apoio, denominado "vão de cisalhamento ou de corte"):

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Macaco 7-7-7hidráitlico Jéá_,

Viga de distribuição de cargas

armadura de tração L defletômetro

Figura 5.1 - Ensaio à flexão de viga de concreto armado (ensaio de Sttutgart)

Quando uma viga de concreto armado é submetida a um ensaio como o da Figura 5.1, em cada estágio de carregamento podem ser medidas ou estimadas diversas grandezas, como as deformações absolutas e específicas no concreto e na armadura, flechas, rotações, etc. Da observação desses ensaios, à medida que o carregamento assume valores crescentes até atingir a ruptura, podem ser identificadas algumas fases bem definidas no comportamento da viga, que foram denominadas "estádios" na literatura técnica brasileira. A Figura 5.2, a seguir, mostra os três estádios característicos da flexão pura, com as respectivas distribuições de tensões normais (mostradas à direita da figura), na seção transversal de concreto armado (à esquerda da figura) retangular no exemplo e com uma área de aço à tração Á . A seção sofre rotação em virtude do momento fletorM, passando da posição indeformada a-a para a'-a\o mostra a parte central da Figura 5.2 (corte longitudinal). Admite-se que a seção permanece plana até a ruptura da peça, conhecida como hipótese de Bernouilli. O concreto comprimido sofre o encurtamento específico scc e o aço tracionado o alongamento e .

1 79

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

1í r -i í

c -i Q)

cn ro

I m C/) QÍ O.

o"

i

£/)

CD

S S'

'

i

1^ i "A ! ^ ' > >

i i i :^

'S

i

o

1 !

CD S" CD

I I

3 eu o. o w o cr ^i CD X

»-

J-í

§ 1

§1 Q S

Q.

rj

L*

-, / j A ""--^ '

aço à lra( cão no regime el

Q. ÍU

/•

—

Q

1 1

—-


N

í 1

N T*

Cí

o

v>S S.

q

c! n

5^ Co ^ >s Cl.

Q-

O

^q *^j S;^ 5.

n O

g

fO

=0

S s

o ^ fi o -t g TO

~^

g Q

o

S"

o'

§' TO

1 §•

d, Qi

õ" S

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

<* Estádio l (peça não fissurada) Corresponde à fase inicial do ensaio, para valores do momento fletor não muito elevados M-. As tensões normais em cada ponto da seção têm variação linear com sua distância à linha neutra: na zona de tração, a tensão máxima G é inferior à resistência à tração do concreto, e a tensão máxima na zona comprimida, a , está ainda longe de atingir a resistência à compressão do concreto. w- Estádio Ib (aparecimento iminente de fissuras) Com o aumento nos valores de carga, ao final do estádio l, antes do concreto esgotar sua resistência à tração e ser iminente o aparecimento da primeira fissura, o concreto sofre plastificação na zona de tração, isto é, deixa de haver resposta linear tensão - deformação no concreto tracionado. <* Estádio II (peça fissurada) Corresponde à fase de cargas em que o concreto esgota sua resistência à tração, passando as tensões normais de tração a ser absorvidas apenas pela armadura longitudinal. O momento fletor MB é resistido pelo binário constituído pelas resultantes de tensões de compressão no concreto, R , e de tração no aço, RS/. Apesar de a peça já estar fissurada, o aço tracionado, com &s Estádio III (iminência de ruptura por flexão) Para haver aproveitamento integral da capacidade resistente dos materiais, a ruptura da peça, ao atingir o estado limite último, deve ocorrer com o esmagamento do concreto á compressão e o escoamento do aço à tração. Dimensionar uma peça à flexão no ELU significa estabelecer uma margem

181

1.8 2.

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

.adequada de 'Segurança para que .a viga não atinja esse estádio. Isto é, o momento último de ruptura (também chamado momento de .cálculo pu .de projeto) deve ser igual ao momento característico (ou de serviço) majorado por um coeficiente jdg rnajoracãp preestabelecido: MI}, ^ Md — 7fM.k.

5.3 MODOS DE RUPTURA À FLEXÃO PURA A ruptura de um elemento linear de concreto armado à flexão pura depende, basicamente, da área da armadura longitudinal de tração, das dimensões da seção e das resistências do concreto e do aço, podendo ocorrer num dos modos seguintes: *> Ruptura balanceada Ruptura da peça com o esmagamento do concreto à compressão e o escoamento do açotracionado. Segundo a NBR6118, item 17.2.2-Figura 17.1, a seção que rompe desse modo é denominada "subarmada". Deve-se atentar que esse termo não significa ser a armadura insuficiente, pois os dois materiais alcançam o limite de suas resistências convencionais de cálculo, à compressão e à tração, e a peça apresenta, antes da ruptura, sinais de aviso de situações de risco-fissuras e flechas excessivas. Se a ruptura ocorrer com o aço à tração exatamente no início do patamar de escoamento do diagrama a - e e com o esmagamento do concreto, é comum no Brasil a denominação seção "normalmente armada", que a literatura em idioma inglês classifica como seção "balanceada". Neste texto, o termo "ruptura balanceada" será usado para designar a ruptura das seções sub e normalmente armadas. <* Ruptura frágil à compressão Ruptura da peça por esmagamento do concreto à compressão sem o escoamento do açotracionado. Segundo a NBR6118, item 17.2.2-Figura 17.1, a

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

seção com esse modo de ruptura é denominada "superarmada". Sendo a armadura de tração excessiva, estando o aço ainda na fase elástica, a peça rompe com o concreto atingindo o encurtamento limite de 3,5%o. É uma ruptura em que a peça não apresenta sinais prévios de aviso, por serem reduzidos os deslocamentos, o número, o comprimento e a abertura das fissuras. *> Ruptura frágil à tração Ruptura prematura da peça, brusca e sem aviso, quando a armadura de tração é insuficiente sequer para absorver as tensões de tração transferidas do concreto após a fissuração. O aço escoa e rapidamente ultrapassa o alongamento máximo convencional de 10%o, podendo mesmo romper. No presente texto, a seção com esse modo de ruptura é denominada "fracamente armada", para identificar os casos em que não se observa a armadura mínima de tração da norma, dada no item seguinte 5.5.3. ANBR 6118 não apresenta uma terminologia específica para esse tipo de seção. A edição anterior da norma (NB-1/78) explicitava, no seu item 5.1, como critério básico de segurança que "as peças fletidas serão dimensionadas pretendendose que, se levadas à ruína, esta ocorra quando atingido o momento fletor de ruptura, sem que haja antes ruptura por cisalhamento, por escorregamento da armadura ou por deficiência daancoragem desta". Apesar de a NBR6118:2003 não estabelecer esse critério com a mesma ênfase, no dimensionamento das peças estruturais fletidas de concreto, é um principio fundamental de segurança que a ruptura por flexão ocorra antes de qualquer outro tipo de ruptura. Deve ficar claro que, apesar de os cálculos das armaduras longitudinal de flexão e transversal da força cortante das peças de concreto armado serem feitos com os esforços isolados, é essencial levar em conta a ação conjunta momento fletor-força cortante, por meio de um detalhamento que considere as disposições de compatibilização, vistas no Capítulo 8.

183

1 84

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

5.4 DIMENSIONAMENTO DAS SEÇÕES A FLEXÃO PURA NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

5.4.1 Hipóteses básicas O dimensionamento de uma peça à flexão consiste, necessariamente, de duas etapas: *t* Estabelecimento das dimensões da seção transversal da peça e da área das armaduras, de forma que garanta uma margem preestabelecida de segurança ao estado limite último, que deve ocorrer para um momento fletorde ruptura ou de cálculo: Msd = 7f-Mk. *> Verificação do comportamento adequado da peça aos estados limites de serviço (flechas e fissuração inaceitáveis) para o momento fletor característico ou de serviço: Mk. Segundo a NBR6118-»-17.2.2, as hipóteses básicas de cálculo para elementos sujeitos a solicitações normais no estado limite último (ELU) são as seguintes: a) As seções transversais permanecem planas após as deformações de flexão, até à ruptura da peça. Essa hipótese, conhecida como de Bernouilii, é plenamente válida quando se despreza o efeito do empenamento da seção, proveniente das tensões tangenciais originadas da força cortante. b) A deformação das barras da armadura passiva, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno. c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, são desprezadas, obrigatoriamente, no ELU. d) A distribuição de tensões de compressão no concreto faz-se pelo diagrama paràbola-retângulo,6a Figura 3.5(b), do item 3.11.2.2 - Capítulo 3. Esse diagrama pode sersubstituído pelo diagrama retangularsimplificado, com altura y = 0,8 x , mostrado à direita na Figura 5.3. Essa substituição tem por base duas constatações, de demonstração simples pela Mecânica dos Sólidos; as

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

resultantes de compressão, R , obtidas dos dois diagramas são iguais; a posição da resultante é virtualmente a mesma, o que garante o mesmo braço de alavanca, z, essencial para se obter o mesmo binário resistente nos dois diagramas. Seção transversal

Corte longitudinal

W

\

i

1

i

"X

'

1

'1 x 77*^

V'

,

linha lenira

AS

' / eixo nenfro

/"-

A

^

V=fl#YT

?—*

i'

a

Rrr

Z

•?•

/

u

O" /= 0 85f

>

n

/ °'

Diagrama Retangular

n o ff

/

2%-" J5-^7

"t

r-1

,

Parábola retângiilo

C

•Kj/

ò sd

a

Figura 5.3 - Diagramas de tensões na seção de concreto armado na ruptura por flexão

e) A tensão nas armaduras de aço deve ser obtida a partir dos diagramas de cálculo a- £ (ver Figura 3.4, no item 3.11.1.4). f) O alongamento máximo do aço da armadura de tração é de 10%o, para evitar deformações plásticas excessivas da peça no ELU. g) O encurtamento de ruptura do concreto é de 2%o, na compressão simples, e de 3,5%o, na flexão simples, como mostra o diagrama parábola-retângulo da Figura 3.5 (b). Na Figura 5.3, adota-se a seguinte simbologia, que segue a convenção internacional: • h :

altura total da seção = distância da fibra mais comprimida à mais tracionada;

• d:

altura útil = distância do centro de gravidade da armadura de tração à fibra mais comprimida;

Rst

185

186

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

dl : distância do CG da armadura de tração à fibra mais tracionada: h = x :

distância (ou profundidade) da linha neutra da seção à fibra mais comprimida. A linha neutra é o lugar geométrico dos pontos de tensão nula da seção transversal;

y = 0} 8 x : altura do diagrama retangular simplificado, que define a linha neutra "fictícia", abaixo da qual as tensões de compressão do concreto são nulas; R

: resultante das tensões de compressão no concreto;

R

: resultante das tensões de tração na armadura;

z :

braço de alavanca das resultantes de tração e compressão;

e ,; a , :

encurtamento e tensão máximos de compressão no concreto, no ELU deflexão;

& ,; a ,: alongamento e tensão de tração máximos do aço na ruptura da peça. Na Figura 5.3, ao se adotar o diagrama retangular simplificado, a tensão máxima de compressão no concreto pode assumir dois diferentes valores, conforme a variação da largura da zona comprimida de concreto da seção transversal, como mostra a Figura 5.4, a seguir.

seçoes de largura constante ou crescente na zona comprimida:

' seçoes de largura decrescente na zona comprimida:

a)

Figura 5.4 - Valores máximos da tensão de compressão no concreto nos ELU de flexão

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

5.4.2

Domínios de deformações das seções no estado limite último

Conceito: denomina-se domínio de deformações a um intervalo convencional que compreende todas as possíveis situações de ruptura da seção transversal plana de um elemento linear de concreto armado, para uma determinada solicitação normal.

Cada domínio de deformações de um elemento linear sob solicitações normais (que produzem tensões normais na seção) é Identificado com um modo de ruptura, por sua vez associado ao tipo de solicitação, às dimensões da seção e à taxa e disposição das armaduras de aço. Segundo a NBR 6118 -> 17.2.2, um ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencera um dos cinco domínios, definidos a seguir e mostrados em conjunto na Figura 5.5, admitindo-se que as seções permaneçam planas após a deformação. <* Domínio 1 Ruptura da peça portração não uniforme, sem compressão. O primeiro limite é a reta at da Figura 5.5, da ruptura por uma força de tração no eixo da peça, normal à seção, que sofre apenas translação. Desprezada a resistência à tração do concreto, admite-se que a peça rompe quando o aço alcança o alongamento de 10%o, limite convencional de deformação plástica excessiva. As tensões são apenas de tração, se a resultante de forças está aplicada dentro do núcleo central de inércia da seção (região em que, sendo uma força normal aplicada no seu interior, todas as tensões têm o mesmo sinal da força -tração ou compressão). A reta c, da Figura 5.5, representa uma ruptura em que a resultante de tração é aplicada no limite inferior do núcleo central, com tração máxima na fibra extrema mais próxima e compressão nula na extremidade oposta. A ruptura no domínio 1 é denominada "tração com pequena excentricidade".

187

188

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

alongamento

encurtamento

2%o 3,5%o

Secão transversal

~r

,....& w

aço

Unha neutra

JL

aço 10%o

Figura 5.5 — Domínios de deformação das seções no estado limite último

Domínio2 Ruptura da peça com o escoamento do aço atingindo o alongamento máximo convencional de 10%o, sem esmagamento do concreto. Nesse domínio, em que a flexão predomina, deve-se prevenir a ruptura frágil da peça na zona tracionada, característica das seções fracamente armadas, providenciando uma armadura mínima de tração. A retadda Figura 5.5 representa um limite da ruptura por flexão no domínio 2, tendo o aço o alongamento máximo e o concreto esmagando ao atingir o encurtamento máximo convencionai de 3,5%o. DomínioS Ruptura da peça por flexão com o escoamento da armadura ocorrendo simultaneamente ao esmagamento do concreto à compressão. Ruptura característica de seções balanceadas ("subarmadas" na literatura brasileira; denominação pouco apropriada por dar ideia de armadura insuficiente), com a peça apresentando sinais visíveis do risco de ruptura: fissuras de grande abertura e flechas acentuadas. A reta e da Figura 5.5 representa um limite da ruptura da peça porflexão no domínio 3, com o aço no início do seu escoamento, com o alongamento e ., e o concreto esmagando com o encurtamento máximo de

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

<* Domínio 4 Ruptura por flexão, ocorrendo o esmagamento do concreto sem o escoamento do aço. Ruptura característica de seções superarmadas. Procura-se evitar o dimensionamento nesse domínio, para prevenir o risco de ruptura sem aviso, visto que o esmagamento do concreto ocorre de forma brusca. A reta/da Figura 5.5 representa um limite hipotético da ruptura da peça por flexão no domínio 4, tendo o aço alongamento zero e o concreto esmagando com o encurtamento de 3,5%o. Esse limite, na prática, só ocorre na flexão composta. w- Domínio 4 a: ruptura por compressão excêntrica, estando toda a seção e as armaduras comprimidas, com exceção de uma pequena região tracionada, nas fibras abaixo da armadura. *> DomínioS Ruptura por compressão não uniforme, sem tração. A resultante das tensões de compressão está situada, portanto, dentro do núcleo central de inércia da seção. Areta g da Figura 5.5 representa a ruptura da peça com a resultante de compressão aplicada no limite do núcleo central, provocando o encurtamento máximo de 3}5%o na fibra extrema mais próxima e tração nula na extremidade oposta. A reta b da figura representa uma ruptura por compressão uniforme ou axial, com a seção sofrendo apenas translação e rompendo o concreto com o encurtamento máximo de 2,0%o. A ruptura de seções no domínio 5 é proveniente da "compressão com pequena excentricidade". No dimensionamento de vigas à flexão pura, só têm significado os domínios 2, 3 e 4, cuja associação às deformações específicas correspondentes do aço e do concreto, mostradas na Figura 5.5, pode ser expressa na forma seguinte: - Limite 1-2: £ca =0

e £sa = 10%o;

e esa = 10%o

189

1 90

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

(seções fracamente armadas => caracteriza dimensões

excessivas da

seção de concreto. No dimensionamento, deve-se prevenir o risco de ruptura frágil, verificando-se a necessidade de uma armadura mínima de tração)

Limite 2-3:

e , — 3,5%o e e . = 1096o (dimensionamento mais racional, com ambos os materiais alcançando os [imites convencionais máximos da norma)

domínio 3 : £ ,= 3,5%o e & ,< e ,< 1096o cá ' yd sã

-

(seções balanceadas; dimensionamento recomendável, com os materiais esgotando sua capacidade; no Brasil, têm a denominação usual de seções subarmadas)

t Limite 3-4:

£cd = 3}5%o e esd = £td (seções normalmente armadas)

$ domínio 4 : £cc! = 3J5%o e O < £sd < B . (seções superarmadas - risco de ruptura sem aviso)

Limite 4~4a; £ cd,= 3,5%o e £ sd, = O '

Capítulo -5 -.Cálculo de elementos lineares à flexão pura

5.4.3 .Seções retangular.es com armadura simples no .estado limite .último :5.4-3f1 Princípios

Conceito; diz-se que ujna seção cie concreto armado é dimensionada com armadura simples quando p .cálculo à flexão mostra a necessidade .apenas de Armadura na zona de tração.

Na zona de compressão, somente o concreto é suficiente para constituir o binário interno resistente junto com uma armadura de tração (A ), cujo momento (M^) deve equilibrar p momento solicitante proveniente das ações (Msf}). O dimensionamento da seção transversal é feito por expressões obtidas de duas vias: *> compatibilidade de deformações: tendo por base a hipótese das seções planas; <* equilíbrio da seção: impondo a condição de o momento solicitante de cálculo ser igual ou inferior ao binário resistente (M^ < MRd). Junto à borda mais comprimida, é necessário colocar duas barras longitudinais, como armadura de montagem, com o diâmetro no mínimo igual ao do estribo, denominadas porta-estribos. Apesar de não serem consideradas no cálculo, essas barras estão comprimidas e colaboram com o concreto à compressão. A Figura 5.6, a seguir, mostra à esquerda os detalhes da seção transversal, retangular apenas para fins de ilustração. No centro, é visto um corte longitudinal, que contém o eixo neutro da peça, em que se representam as deformações específicas da seção, suposta plana até a ruptura. À direita da figura, são representadas as tensões normais na seção e as resultantes de compressão no concreto e de tração no aço, que constituem o binário resistente: M_, = R cc . z = R st,. z . Rd

191

192

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

bw .

,

D TJ J~

•o

í~>

h d

u

i

y

J Alinha neutra fictícia

Msd

r

í

/

,i

,

porta-estribos

x

y— í/, o x 1

•

eixo neutro real

À scc

a°d

w^

/ \ — d- 0,4 x

•

T-

V^ / armadura de tração

3

l

acrf

K c^f

r_

—J-t —— l dl Â.

•'!

a''\

R.

a

= CT

j Á

Figura 5.6 - Seção retangular com armadura simples no estado limite último

5.4.3.2 Compatibilidade de deformações do aço e do concreto A seção transversal plana e indeformada a-a, submetida ao momento fletor último Msd, sofre rotação e assume a posição a'~a't permanecendo plana. Por semelhança de triângulos, da Figura 5,6, as deformações específicas do aço e do concreto podem ser expressas:

l-x/d x/d

d- x

cd

É de interesse para a formulação definiro coeficiente adimensional k

~x/d,

chamado altura ou profundidade relativa da linha neutra, com o qual se obtêm as expressões:

Ir K

'sd

cd

/c,. -

d

"-

(5.1)

•cd

(5.2)

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Entrando na expressão (5.2) com os valores limites das deformações máximas do aço e do concreto, expostas noitem 5.4.2, podem ser definidos os seguintes intervalos para os valores do coeficiente kx nos domínios de flexão simples: • Limite entre os domínios 7-2:

kv — O

*

domínio 2 í

• Limite entre os domínios 2-3:

kx = 0,259 }

$ domínio 3

í • Limite entre os domínios 3-4:

k x = k xhm ,. = 3.5%o / \(5.5%o + yd/ e ,) '

í domínio 4

í • Limite entre os domínios 4-4a:

kx = l

Portanto, com o coeficiente kx variando no intervalo O < k < l, podem ser definidas todas as situações possíveis do dimensionamento de secões de concreto à flexão simples. Na realidade, nos domínios 2 e 4 de flexão simples não são atingidos os (imites k = O ou l, que só ocorrem na flexão composta. O coeficiente no limite dos domínios 3 e 4, denominado k

é importante, pois

acima desse valor a seção será superarmada, com pouca dutilidade e risco de ruptura sem aviso. Afigura a seguir ilustra como os domínios de deformações das secões nos ELU da flexão simples se associam aos diagramas tensão x deformação dos dois materiais.

193

o

CD X O»

CU

3

CL CD

CD

CL

3

O. O

O W

CD

Q. O

D

Ol

3

(Q C

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Para o dimensionamento nos domínios 2 e 3, as seguintes situações peculiares devem ser ressaltadas; a) Domínio 2-variação da tensão de compressão no concreto: Nesse domínio, o aço atinge o alongamento convencional limite de 10%ot sem que haja esmagamento do concreto. Deve-se verificar a necessidade de armadura mínima para prevenir o risco de ruptura frágil por tração, seguindo a prescrições do item 5.6.2, à frente. Em função do valor assumido pelo encurtamento máximo do concreto (e ) no ELU.' conforme o diagrama N c,max' a

r

a - £ da Figura 3.5 (b), do Capítulo 3, e a respectiva expressão (3.16), esse domínio pode ser subdividido em: domínio 2 a: se 2%o < e c, tnax < 3,5%o ;' e Domínio 2b: se O < e c, max < ' 2%o. A distribuição de tensões de compressão no concreto, como descreve o item 5.4.1, alínea d), e mostra a Figura 5.3, é expressa pelo diagrama parábola-retângulo, que pode ser substituído pelo diagrama retangular simplificado, com a altura y = 0,8xe atensão de compressão no concreto a ca, = 0,85 ^f

.. No entanto, nos dois intervalos de encurtamento do

ca

concreto em que se subdivide o domínio 2, é necessário fazer uma correção na tensão do concreto do diagrama retangular, a ,~ 0,85 p f

, , para que

possa se manter a mesma altura y = 0,8x e resultante de compressão, Rcc, nos diagramas parábola-retângulo e retangular. Estabelecendo como base a equivalência dos valores das resultantes R

dos dois diagramas, o

coeficiente p de correção da tensão de compressão no concreto pode ser obtido a partir da compatibilidade de deformações na zona comprimida de concreto e de princípios básicos da Mecânica dos Sólidos, O braço de alavanca, z, das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço, rigorosamente, sofre uma ligeira alteração no domínio 2, ao se adotar o diagrama retangular em lugar do parábola-retângulo. Entretanto, nesse domínio, a profundidade da linha neutra, x, é muito reduzida em relação à altura da peça, resultando em um erro desprezível, além de a favor da

195

196

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

segurança. Dessa forma, as expressões para o coeficiente /? de correção da tensão de compressão no concreto, no domínio 2, são: ^ Domínio 2 a:

2%o í e

cmax <,

3,5%o & 0 f= 1,25i [l -\. 0,67/e ' }

(96o)] cmax v

/J

(5.3)*

'

^ Domínio 2 b:

O <. e cmax < 2%o ^> 8' = 0,59 [e **

(%o)} m v /J

rmax

b) Domínio 3-garantia de boas condições de dutilidade da peça: Segundo a NBR 6118-* 17.2.3, é necessário garantir uma boa dutilidade das peças fletidas, principalmente nas zonas de apoio, adotando, se necessário, armaduras de compressão. A dutilidade e a capacidade de rotação dos elementos estruturais dependem da posição da linha neutra no ELU,1 com valores muito elevados do coeficiente k x =x/d resultando em menor dutilidade da peça. Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, o item 14.6.4.3 da norma exige que a posição da linha neutra observe os limites seguintes:

kx = — £ 0,50 para concretos com fck ^ 35 MPa

(5.4) JC

A'v - — £ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa

Nos termos dos itens citados da norma, a observância de limites para k ê obrigatória apenas nas regiões de apoio ou de ligação das vigas com outros elementos, nas quais ocorrem cargas concentradas. Sendo assim, para os momentos positivos de vãos sem cargas concentradas, depreende-se que o limite da expressão (5.3) não é obrigatório.

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

5:4:3.3 Equilíbrio de esforços Da distribuição de tensões na seção transversal de um elemento sujeito ao momento solicitante de cálculo Msd, mostrada na Figura 5.6, pode-se escrever o binário interno resistente para o concreto à compressão e o aço à tração, nas formas seguintes: a) Concreto à compressão

Msd = Rccz = (ocdbw y) (d - 0,4x) = (acd bw. 0,8x) (l - 0,4 ~) d d Msd=0,8kx(l-0,4kx)bwd2acd Para simplificar a formulação de cálculo, é de interesse definir dois coeficientes; *> coeficiente do momento fletor de cálculo,' k ma,:

Msd W*Sd

~ kmã^wd" fcd

OU

kmd

b d-T—f

~ ~

v-*"0/

(5 5)

»:* coeficiente do braço de alavanca (ou braço de alavanca relativo) das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço; A; = z/d = l - 0,4 k. O coeficiente do momento de cálculo, kmd, é associado às grandezas referentes ao concreto: largura (b J e altura útil (d) da seção transversal e resistência de cálculo do concreto à compressão (fcd). É, em geral, o primeiro coeficiente a ser obtido no cálculo, com as dimensões sendo definidas a partir do projeto dearquítetura. Nos domínios 3 e 4, a ruptura ocorre com o esmagamento do concreto, o que, no caso mais geral da Figura 5.4a), corresponde à tensão de compressão máxima acd = 0,85fcd. Da expressão (5.5) e do equilíbrio do binário resistente, nesses domínios tem-se:

197

198

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

k

ma

=0,68 k x *(l-034k ) = 0,68 kx kz ' * x' 3

(5.6)'

v

Da expressão (5.6), nos domínios 3 e 4, a profundidade relativa da linha neutra é dada por:

kx = l,25-l,917 V 0,425 -kmd

(5-7)

No ELU do domínio 2, o aço atinge o limite convencional de 10%o sem esmagamento do concreto. Conforme explica a alínea a) do item anterior 5.4.3.2, para manter a consistência da substituição do diagrama parábolaretângulo de compressão no concreto pelo diagrama retangular simplificado, a tensão máxima assume a forma acã — 0,85 fifcí{. O coeficiente p é dado pelas expressões (5.3), em função do encurtamento máximo do concreto, que, pela segunda das expressões (5.1), também depende de kx, como: ec, max - 10%ok x Al~ kx '). Do equilíbrio do binário resistente no domínio 2, ^ ' tem~se então kma, = 0,68 8 k (l~Q,4k \, ' " x *• ' xJ

conhecido o coefi '

kmd da expressão (5.5) e com ^em função de k , pode-se obter este último, numa formulação mais complexa que a expressão (5.7). b) Aço à tração Da Figura 5.6, sendo a resultante de tração no aço Rsf = As asd , a equação de equilíbrio que limita o momento fletor solicitante de cálculo ao binário interno resistente à tração será:

donde se obtém a área de aço necessária ao equilíbrio:

A... —

M, 'sd kz
(5.8)

A tensão de tração no aço da armadura, asd, no estado limite último, é dada por: ^ Para cálculo nos domínios 2 ou 3: cr = f . sd J yd

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Para cálculo no domínio 4: a sã, — E s Bsã,. Nesse domínio,' õ aço não escoa * na ruptura da peça e a deformação no ELU, esd, é obtida da primeira das expressões (5.1) com o encurtamento do concreto assumindo o limite convencional Ecd =3,596o. '

5.4.4 Considerações práticas sobre o dimensionamento a) Os coeficientes adimensionais kx, kmd e kz são interdependentes e identificam o domínio de deformações no ELU para o dimensionamento à flexão. Conhecido um dos coeficientes, pode-se determinar os demais. Como antes mencionado, em geral, o primeiro termo obtido no dimensionamento é o coeficiente do momento de cálculo kmà. Pela ordem, traçam-se os diagramas de momentos fletores solicitantes, a partir de modelos da Teoria das Estruturas, definem-se a resistência característica do concreto e as dimensões das peças, conforme o projeto de arquitetura, para então se obter o coeficiente k à, da expressão (5.5). b) Além desses coeficientes, da expressão 5.5 pode-se definir o coeficiente da altura útil kd como:

d - k

(5.9) \f

cd

Na nomenclatura técnica do Brasil, é comum atribuir o nome "altura útil mínima" da seção ao valor da altura útil para o qual a seção seria normalmente armada com .armadura simples, ou seja, fosse dimensionada no limite dos domínios 3 e 4: A
(5.10)

'ctl

Conhecida a altura útil da seção e calculando d mm., rpode ocorrer uma das s situações:

199

200

João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

^ d- dmin O seção normalmente armada (limite dos domínios 3 e 4) **• d> d mm. o seção subarmada ou fracamente armada x(domínios 2 ou 3) y ' ^ d
Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

5.5 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003

5.5.1 Largura mínima da seção transversal Segundo a NBR 6118 -v 13.2.2: "A seção transversal das vigas não deverá apresentar largura menor que 12 cm, e das vigas parede, menor que 15 cm. Esses limites podem ser reduzidos, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições: a) alojamento das armaduras e suas interferências com armaduras de outros elementos estruturais respeitando os espaçamentos e as coberturas estabelecidos nesta Norma; b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a NBR 14931".1 Portanto, em qualquer caso, a largura das vigas de seção retangular deve observar: bw^10 cm

(5.11)

5.5.2 Disposição das armaduras na largura da viga A Tabela 5.3 apresenta as áreas de seção das armaduras, com as bitolas padronizadas pela NBR 7480: 1996, e a largura mínima da viga, medida internamente aos estribos, b , para se acomodar o número correspondente de barras. Tendo os estribos a bitola 0 e sendo o cobrimento nominal exigido de concreto cno/n', deve-se adicionar à largura interna aos estribos,' bs' , da tabela, a ' o valor 2(cnom + #,), específico para cada cálculo, donde se obtém a largura mínima da viga,' b HWÍf/J . ,' necessária para se acomodar a armadura escolhida. a

r

Se esse valor é inferior à largura Z? , da seção transversal, uma situação favorável ao cálculo e à execução, tem-se a disposição de barras longitudinais da armadura em uma camada.

NBR 14931: 2003 - Execução de estruturas de concreto - procedimento.

201

202

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Os valores mínimos da espessura da camada do cobrimento nominal de concreto (c

) dependem da classe de agressividade ambiental da estrutura. Para as

armaduras positivas, os cobrimentos são os mesmos anteriormente dados na Tabela 4.2 do item 4.5.4.1 do Capítulo 4, extraída da NBR 6118 -v 7.4.7.2. Para as armaduras negativas, a norma permite que se adote o cobrimento nominal > 15 mm, nos casos de haver argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos (tipo carpete e madeira), argamassa de revestimento e acabamento com pisos de elevado desempenho, cerâmicos, asfálticos e outros. Para armadura em uma camada, a distância do centro de gravidade da armadura de tração à fibra mais tracionada, dl, da Figura 5.5, é dada por:

dl=h-d^c iiom +&+ 0/2 í

(5.12) ^ '

No início do dimensionamento, em geral, é conhecida a altura total da viga, h, e não a altura útil, d, usada no cálculo. Antes de ser calculada a armadura, não se tem a bitola das barras longitudinais, 0, nem a dos estribos. É necessário, então, um valor inicial como tentativa, por exemplo, dl = 40 mm, suficiente para os valores do cobrimento até c nem =25 mm, bitola da armadura 'principal 0 ' = 20 mm e diâmetro dos estribos, { = 5 mm. Esses valores cobrem boa parte dos casos de estruturas usuais, para peças em condições normais de exposição. Em certos casos, sendo a largura da viga insuficiente para acomodar a área de aço calculada, deve-se dispor a armadura em mais de uma camada. Nesse caso, busca-se dispor o maior número de barras na 1- camada, mais próxima da face da viga, e as demais, conforme a necessidade, igualmente espaçadas da primeira na altura da viga. Isso acarreta mudança no valor iniciai de dl, sendo necessário calcular o novo valor para o número de camadas adotado. Caso a diferença encontrada do valor inicial seja apreciável, deve-se recalcular a altura útil de a área da armadura, que irá aumentar em virtude da redução da altura útil da viga. Trata-se, na realidade, de um processo iterativo, que pode ser otimizado se, no início do processo, se consideram corretamente as

Capítulo 5 - Cálculo ífé -elementos lineares ã'flexão pura

condições de exposição da peça,-ã resistência do concreto e as dimensões da seção transversal com relação aos momentos fletores atuafites. Para a armadura em duas camadas, tem-se:

•dl = h - d = c nom +0+0+0/2 t onde: a = espaçamento vertical entre duas barras, igual ao maior dos dois valores 2 cm e 0. A disposição da armadura em mais de uma camada é possível, desde que se verifique á condição a seguir, imposta pela norma no item 17.2.4.1, para que as tensões de tração na armadura possam ser consideradas concentradas em seu centro de gravidade. Para cada camada adicional, deve ser atendido:

Aí 20% h

(5.13)

onde: A - distância do centro de gravidade da armadura ao ponto de sua seção mais afastado da linha neutra, medida normalmente a esta. Para a armadura de tração em duas camadas de bitola 0, aproxima m ente, tem-se: A — 0 + a/2. Para três camadas: A = l,50+a. Caso não seja atendida a condição anterior para nenhuma bitola comercial, a alternativa é aumentar a altura ou a largura da viga.

5.5.3 Armadura longitudinal mínima Muitas vezes, por condições exigidas pelo projeto de arquitetura, podem ocorrer dimensões excessivas da seção transversal de concreto, em algumas vigas ou em algumas seções da mesma viga, que terão seu cálculo no domínio 2. Nesse domínio, no caso de ocorrerem valores do coeficiente da profundidade da linha

203

204

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

neutra kx < 0,167 (ou kmd < 0,088 ), da Tabela 5.2, o concreto comprimido teria encurtamento último ecd<2,Q%Q. Para prevenir ruptura frágil portração na seção, devem ser tomadas precauções especiais que evitem deformações excessivas da armadura tracionada. O critério para se obter a armadura longitudinal de tração mínima de qualquer elemento fletido é que a área de aço deve resistir a um momento igual ou superior ao de ruptura da seção sem armadura, sem considerar a resistência à tração do concreto. Com base nesse princípio, a NBR 6118 —*• 17.3.5.2.1 fornece uma expressão do momento fletor mínimo para se determinar a armadura mínima de tração, que, para seções retangulares, assume a forma:

M,a, mm. =0,052 b w h2f ckL 3

2/3

(5.14)

J

O dimensionamento da armadura rpara atender a M,ti, min. rpode ser considerado atendido se forem respeitados os valores da Tabela 5.1, obtida do item 17.375.2.1 da norma, que disponibilíza as taxas geométricas mínimas de armadura de flexão, pmln =As/(bh)l respeitada a taxa mínima absoluta de armadura de 0,15%. ATabela 5.1 atende a valores da resistência característica do concreto entre 20 e SOMPa e diferentes formas da seção transversal, para o aço CA-50 e os coeficientes de minoração do concreto e do aço, respectivamente, /c = 1,4 e ys = 1,15. Tabela 5.1-Valores de pm/rt (%) (NBR 6118: 2003)

fck(MPa)

Forma da seção 20

25

30

35

40

45

50

Retangular

0,150

0,150

0,173

0,201

0,230

0,259

0,288

T (mesa comprimida)

0,150

0,150

0,150

0,150

0,158

0,177

0,197

T (mesa tracionada)

0,150

0,150

0,153

0,178

0,204

0,229

0,255

0,230

0,288

0,345

0,403

0,460

0,518

0,575

Circular

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Portanto, para as seções no ELU do Domínio 2 com valores de k < 0,167, calcula-se a área de armadura da expressão (5,8), com os respectivos coeficientes k da Tabela 5.2, verificando se é superior à mínima. Para seções retangulares com k < 0,05 (ou kmd < 0,014), pode-se adotar, diretamente, a armadura mínima de tracão, com área Á s = p"mm . (b h). * ' *• w '

5.5.4 Armadura longitudinal máxima É necessário impor também valores máximos para as armaduras de peças de concreto armado, a fim de garantir a validade dos modelos de cálculo adotados e a dutilidade da estrutura e evitar altas concentrações de ferragem, que podem comprometer o bom adensamento e a compactação do concreto. Segundo a NBR 6118 -> 17.3.5.2.4, a soma das armaduras de tracão e de compressão, ou seja, a armadura total da seção,.^

, deve observar:

A s,ftfot=A s +A> s <,4%(b ^ wh)•*

(5.15) \

5.6 CALCULO DE SEÇÕES RETANGULARES COM ARMADURA DUPLA 5.6.1 Fundamentos de cálculo No cálculo de uma viga de concreto armado com armadura simples, quando se obtém o coeficiente do momento k ma, > k malim ... v(o mesmo que k x > k xhm ,. ou ^ d< d . ), esse cálculo teria de ser feito no domínio 4, o que não é conveniente, pois o dimensionamento resultaria em uma peça superarmada. Uma primeira alternativa seria aumentar a altura da viga, para situar o cálculo nos domínios 3 ou 2, como seção subarmada. Caso a altura da viga não possa ser aumentada, por restrições do projeto de arquitetura, pode-se adotar a opção de reforçar a zona comprimida de concreto, com a colocação de uma armadura de compressão. Nesse caso, diz-se que a peça será dimensionada com "armadura dupla", ou seja, armaduras de tracão e

20 5

206

João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

de compressão. Para o cálculo da seção, o momento fletor de cálculo, Msd, é dividido em duas parcelas:

Â'

a f'

é ^| $?.

Msd ^/ V

,

armadura comprimida

A^

,.i.. v- -V».

i

,L

X 1

p-

<

1

a.1

h

bw

/

•

armadura tracionada

'

/ 1-

'

11 ^""^

X
- -] ~ ~ ~

% \

a

N\

/-/7

^

=

\ \ Âsl

*o *

+

^J

Figura 5.8 - Seção reíangular com armadura dupla no estado limite último

a) Mdl: momento máximo resistido pelo concreto à compressão e por uma parcela da armadura tracionada, As], por meio da imposição de duas condições, conforme seja considerada uma seção do apoio ou do vão: ^ Secão do vão com momento positivo (sem carga concentrada ou ligação com outros elementos estruturais): toma-se o momento máximo da seção com armadura simples, ou seja, no limite entre os domínios 3-4, isto é:

M,=k dj

fll,

ntdlun

b w d2f icd J

(5.16)

Seção do apoio com momento negativo (ou seções de momento positivo em vãos com carga concentrada ou ligação com outros elementos estruturais): deve-se ter, no máximo, a seção com armadura simples com o momento calculado com o valor kmd = 0,272, correspondente a kx = 0,500, para concretos comfck£ 35MPa, ouknid= 0,228, correspondente a k = 0,400, para fck > 35 MPa. Esse limite é imposto pela norma, no item 14.6.4.3, conforme descrito no item anterior 5.4.4, alínea d), visando

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

melhorar a dutilidade, especialmente nas regiões de apoio das vigas ou de ligação entre elementos. Dessa forma, para^ < 35 MPa, tem-se:

M ' dl =0,272 b w d2Jf ca, J

(5.17) '

^

b) Md2 : excesso do momento fletor Md, que deve ser resistido pelo binário da armadura de compressão A1 -armadura tracão adicional Âs2, dado por:

Md2=MSd-Md,

(5.18)

Dessa forma, a armadura total de tracão será a soma das parcelas calculadas com os momentos fletores parciais Mdl e Md2 , ou seja, AS =As} + A T A armadura correspondente ao momento MdJ é dada pelas expressões (5.19), conforme sejam os momentos positivos (expressão à esquerda) ou negativos (à direita, se^ < 35 MPa):

Av, = •-——• ou vAv! = Kzlímdfyil " » 0,800 d f yil

-

Para a segunda parcela do momento fletor, Md2 , a ser resistido pelo binário das armaduras de compressão (A ' ) e de tracão (A 2), tem-se:

(5'20) A's =

d, /f

'

(5.21)

A tensão no aço da armadura tracionada, para ambas as parcelas, AS} e A 2, é igual à de escoamento, f

id

, pelas condições impostas para a obtenção do

momento Mdl , ou seja, no limite 3-4 ou no domínio 3, conforme as expressões (5.16) ou (5.17).

207

208

João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

Adeformação do aço da armadura comprimida, e' d% é obtida da compatibilidade de deformações nas armaduras de compressão e tração, pela hipótese das seções planas da Figura 5.8. Nas expressões (5.22), para seções com momento positivo, adota-se a expressão com k{l; com momento negativo efck ^ 35 MPa, adotase kx = 0,500. Do diagrama a - £ do aço empregado (Figura 3.4), calcula-se a tensão de compressão a* d.

x - d, x

t, r __ _ 2 3 c Q/ stl ~ '- .J, J 700

8

(x/d) - (d, /d) x/d

r*\ —. ' * 2 'Q *•> Ssd - •-—- .3,

xlim

Para

k = 0,500

O

0,500 -cL /d

e'd=— -2-—•.3,5%o sd 0,500

5.6.2 Limite para emprego de armadura dupla Apesar de a NBR 6118 não explicitar nenhuma limitação para o dimensionamento de vigas com armadura dupla, é razoável a adoção de algum tipo de limite, para se evitar peças com altura muito reduzida. Algumas publicações brasileiras (MORAES, M. C., 1982; PFEIL, 1985) sugerem um limite da norma russa que, possivelmente, tem relação com a expressão (5.5):

MSàíQ,425bwd*fcd

(5.23)

A expressão (5.23) indica que não se deve usar armadura dupla quando o cálculo da seção com armadura simples cair no domínio 4, com valores de kmd > 0,425. Para o aço CA-50, isto corresponderia a, aproximadamente, Md2 = Md}/3. Quando esse fato ocorrer, deve-se buscar outra alternativa, como o dimensionamento como seção T ou o aumento da altura da viga. Para se conseguir a menor alteração possível na altura da peça, deve-se impor kmd= 0,4,25 e calcular uma nova altura

Capitulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

útil da expressão (5.9), com kd= 1,534, dimensionando então a seção com armadura dupla.

5.7 CÁLCULO DE SEÇÕES EM FORMA DE "T" 5.7.1 Introdução Nas estruturas de concreto armado, com o concreto moldado no local, na maioria dos casos as lajes e as vigas que as suportam estão fisicamente interligadas, isto é, trabalham solidárias. Quando a laje trabalha solidariamemte com a viga e é também comprimida pelo momento fletor, como na Figura 5.9, tem-se um aumento significativo na zona de compressão de concreto, que pode ser aproveitado para o cálculo da armadura. Apesar de ser uma solução que, em geral, resulta em grande economia de aço e concreto, parte dos projetistas só lança mão da alternativa de considerar no cálculo a seção transversal em T em vigas de altura muito reduzida, quando a seção retangular se mostra inviável mesmo com armadura dupla. Segundo a N BR 6118 -+14.6.2.2: "Aconsideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma mais realista".

1

hfl

laje

linha -• neutra

viga

viga

S//////X

n

Y//////;

ííw

4

-T

h

yM

^

viga

Figura 5.9 - Laje solidária com a viga aumentando a zona comprimida de concreto Nos casos em que a lajefortracionada pelo momento fletor, a capacidade resistente não pode ser aumentada, pois a resistência à tração do concreto é desprezada no cálculo.

209

210

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

5.7.2 Largura da laje colaborante ou mesa A largura da mesa da viga de seção T , b fí ou seja, a parte da laje que pode ser considerada no cálculo colaborando com a viga (Figura 5.10), é definida como a soma da largura da nervura, b ,, com as distâncias das extremidades da mesa às faces respectivas da nervura: bjt do lado interno em que existe uma viga adjacente, e b3 do lado externo, no caso de haver bordo sem viga, válido também para a viga T isolada, comum em caso de peças pré-moldadas.

lordo ivre

mesa

__

b3

-^

///J alma ou nervura

laje

01

Figura 5.10 - Largura da mesa ou laje colaborante de seções T

Conforme o item 14.6.2.2 da NBR 6118;

0,1a 0,5 b.

0}la b.

(5.24)

onde: b = distância entre as faces de duas nervuras sucessivas; a =

distância entre pontos de momento nulo, medida ao longo do eixo da viga, em cada tramo, podendo ser obtida diretamente do diagrama de momentos fletores, ou pelos seguintes valores, dados pela norma: • viga simplesmente apoiada

& a —Q

• viga com momento em uma só extremidade

*>

a = 0,75 Q

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

- tramo com momento nas duas extremidades

£>

a = 0,60 $

• tramo em balanço

& a=2ô

Conforme a posição relativa das vigas, as seguintes situações podem ser encontradas: • b, — bw + b]es + bldlr ^> seção T com duas vigas adjacentes - bf= b

+ b j + b3

& seção T com uma viga adjacente e um bordo livre

• bff~ b w + 2b,3

^> seção T isolada *

- bf- bw + b}

o viga extrema (o cálculo como seção T ainda é viável, pois, em virtude da rigidez relativa, a laje ainda colabora com a viga)

Nas vigas contínuas, podem ocorrer diferentes valores para a largura bf da mesa da seção T, nos vários tramos da viga, conforme a disposição relativa das demais vigas em um determinado piso. Segundo a NBR 6118: "No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima".

5.7.3 Altura útil de comparação Conceito: a altura útil de comparação (d ) de uma seção T é definida como o valor da altura para o qual a linha neutra fictícia é tangente à face inferior da mesa, ficando a mesa da seção completamente comprimida, ou seja, y — hf.

A altura útil de comparação é, na realidade, um valor teórico, obtido como um recurso para se estimar a posição da linha neutra da seção T e, dessa forma, definir em cada caso as situações de cálculo.

211

212

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

V

0.

=

linha neutra fictícia

0,85fcdbfhf

R st

Figura 5.11 -Seção T com a linha neutra fictícia tangente à mesa (d = áo]

Na Figura 5.11, o equilíbrio do momento fletor solicitante de cálculo Md é garantido por um binário resistente em que a resultante de compressão é fornecida pela mesa comprimida de concreto, que compreende toda a espessura da laje, hf. Dessa forma, pode-se obter a expressão para cálculo da altura útil de comparação:

O

d

=

Obtido o valor da altura útil de comparação, d

*Sd

0,85fcdbfhf t

2

(5.25)

sendo d a altura real da viga,

predefinida em função do projeto de arquitetura, pode-se verificar a posição da linha neutra fictícia comparando esses dois valores, podendo ocorrer as situações seguintes: - Se d = d Q

•*•

y = hf: linha neutra fictícia tangente à mesa

•Se

d> d o

•*

S

•Se

d< d o

•*•

y
Jy > h,: f linha neutra fictícia dentro da nervura

Nas duas primeiras situações, a zona comprimida da seção será retangular, enquanto, na terceira, a linha neutra fictícia estará situada dentro da nervura, com a zona comprimida assumindo a forma de T.

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

5.7.4 Dimensionamento 1e caso: d^ d

et

* y <>h J

J_

Figura 5.12 - Viga de seção T com a linha neutra fictícia dentro da mesa ( d k d o }

Com a linha neutra fictícia no interior da mesa, ou, no limite, tangente à face inferior da mesa, a zona comprimida da seção é retangular. Dessa forma, o cálculo pode ser feito como uma seção retangular de largura b. e altura h, visto que na zonadetração, abaixo da linha neutra, apenas a armadura deve ser considerada para fins de cálculo, uma vez que é desprezada a resistência do concreto à tração. Dessa forma, serão usadas no cálculo as expressões seguintes, originadas das anteriores (5.5) e (5.8);

M,Sd

(5.26)

*f«

d2 fcll

22 caso: d
y>hf: bf-

[y>»f

^%%^

-vFigura 5.13 - Viga de seção T com a linha neutra fictícia dentro da nervura (d
213

21 4

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Nesse caso, estando a linha neutra fictícia dentro da nervura, a zona comprimida de concreto tem a forma de T, como mostra a Figura 5. 13. 0 cálculo da armadura será feito, então, dividindo-se o momento fletor de cálculo, Md, em duas parcelas, como se segue: a) Mdf '.

momento fletor equilibrado na zona de compressão pelas áreas laterais da mesa, com largura b .- b , e na zona tracionada por uma parte da armadura de tração ^4 ..

h/2

O

M,,f « _ L _

b) Mdw = Md - Mdf : resistido pela seção retangular bw h, constituída pelo concreto da nervura e garantindo o equilíbrio com uma segunda parcela da armadura de tração, A .

Mdw = MS(I- Mdf

O klíld = -*- O kt O Asw = -

V f cd

-

(5.28)

^ajyi

Dessa forma, a área da armadura total de tração será ^ =Âtf+Âsw.

5.7.5 Comentários sobre o cálculo como seção T a) No dimensionamento da viga como seção T, tanto no 1^ caso de cálculo como para a nervura da viga no 2^ caso, o cálculo é feito como seção retangular. Dessa forma, os limites para os coeficientes adímensionais, descritos anteriormente neste capítulo, devem ser observados. No entanto, caso ocorra k ma,> k malim' _„. , ou seja, caso esteja a seção no domínio 4 no J ' J s ELU, deve-se evitaro dimensionamento de seçÕesTcom armadura dupla, pois isso iria resultar em uma altura de viga bastante reduzida, implicando uma diminuição da segurança adicional da estrutura, além da considerada no cálculo. Nesse caso, as alternativas podem ser o aumento das dimensões da viga ou a introdução de mudanças no lançamento estrutural.

CapituloS - Cálculo de'éfemeritos lineares à flexão pura

b) É bastante comum no dimensionamento como seção T, especialmente no 12 caso de cálculo, se encontrar valores para os coeficientes adínYensiõnais abaixo do limite inferior da Tabela 5.2 (k <* 0.167 ouma k . <' 0,088). Nesse \ ' caso, aplicarn-se as mesmas disposições do item 5.5.3 deste capítulo, com as taxas geométricas mínimas da Tabela 5-.1 sendo referidas à área de concreto de toda a seção T, isto é, a alma acrescida da laje colaborante, ou seja, . —p ..Ác com A c —b w h + (b,-b J ' À smm r tmn / » )/? 7 , . Notar que a tabela distingue dois casos para o cálculo da armadura mínima: seção T com a mesa toda comprimida (linha neutra na nervura:>» > hf) e seção T com mesa tracionada (linha neutra na mesa:;; < hf). c) Algumas normas proíbem o cálculo de vigas como seção T em vãos em que exista carga concentrada. Outras permitem o cálculo desde que se reduza o valor de b , com a aplicação de umfatorde redução (l -Mp/MT), em que Mp é o momento da carga concentrada e MT o momento da carga total (MORAES, 1982).Anorma brasileira não aborda essa questão. d) Em seu item 18.3.7 -Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma, a NBR 6118 dispõe sobre a necessidade de colocação dessa armadura em seções calculadas como T, na forma seguinte: "As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. Aseção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, será de 1,5 cm2 por metro".

21 5

216

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

5.8 EXEMPLOS 5.8.1 Verificar o domínio em que pode ser efetuado o dimensionamento à flexão de uma seção retangular, com b w = 150 mm e d = 400 mm, sujeita a um momento fletor de serviço M = 50 kN.m. Admitir o concreto com resistência f ck = 20 MPa e a armadura de aço CA-50, sendo a classe de agressividade ambiental da estrutura CAA I. a) Parâmetros da seção transversal Não tendo o enunciado estabelecido nenhuma condição específica, adotamse os valores usuais para os coeficientes de ponderação: -y, = 1,4 para o momento solicitante; y c = 1,4 para o concreto e js = 1,15 para o aço. Md =rf.M= 1,4 x 50 = 70 kN.m = 7x105 kgf.cm f ca , = f CK1/7 = 14,3 MPa ' c = 20/1,4 ' ' J

J

f^ = 435 MPa -> da Tabela 3.3, do Capítulo 3, Observações *»» ATabela 5.3 apresenta as áreas de aço em cm2 e dimensões lineares em cm. As unidades kgfe cm serão utilizadas nos exercícios, por facilidade, para se obter as áreas em cm2, de uso mais frequente na prática. *»* Para o cálculo de vigas, não se aplica o aumento de y queaNBRG118: 2003 exige para pilares com a menor dimensão da seção transversal inferior a 19 cm,

b) Coeficientes adimensionais e domínio de dimensionamento Da expressão (5.5), calcula-se o coeficiente do momento o k Da expressão (5.7) ou da Tabela 5.2, obtém-se o k = 0,349 Para o aço CA-50,' tem-se: h mcllim ... = O' t320 e k xlim ,. = 0,628 3 '

d

— 0,204

Capitulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

0,158 < k ma ,
r

r

feito com armadura simples no domínio 3, sendo a seção balanceada ou subarmada. c) Cálculo da armadura

Para k x = 0,349 O k z= l - 0,4'k =x 0,860 ' ' A área de aço é obtida da expressão (5.8) o A = 4,68 cm2 Da Tabela 5.3, escolhem-se as áreas de aço mais próximas e imediatamente superiores à calculada, obtendo-se as opções 40 12,5 ~ 4,91 cm2 ou 60 10 = 4,71 cm2. Sendo a classe de agressividade ambiental CÂA /, o cobrimento mínimo de concreto rpara momentos positivos ê cnom =25 mm. ~ Para estribos de bitola 5,0 mm, a armadura em uma camada não é viável, por ser insuficiente a largura da viga, restando as seguintes opções, ambas com armadura em duas camadas:

(20+2$) 12,5 = 4,91 cm2 com bs - 4,5 cm (30+30) 10 = 4,71 cm2

com bs = 7,0 cm

Dessas duas opções, obtêm-se os valores da distância do centro de gravidade da armadura à borda mais tracionada, d}, 5,25 cm (0 = 12,5 mm) e 5,0 cm (0= 10 mm), da expressão do item 5.5.2. Portanto, a altura total da seção, h — d + dl, deve ser, no mínimo, de 45 cm.

5.8.2 No exercício anterior, verificar qual a máxima redução possível na altura útil da seção para que a peça não seja superarmada. Na expressão (5.10), entrando com o valor kd!ím = 1,768, do aço CA-50, temse a altura útil mínima d

= 31,9 cm. A redução possível é, portanto, de 8,1

cm. Para valores menores da altura útil da seção, a peça seria superarmada.

217

218

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

No entanto, se a seção estiver submetida, a momentos negativos, ou seja, situada nas zonas de apoio, para garantir boas, condições.de dutilídade das vigas, mesmo não sendo a seção superarmada, no domínio 4, deve-se observar a disposição da NBR 6118 -> 14.6.4.3, que limita o valor máximo do coeficiente dja linha neutra, Jç = 0,500. Da Tabela 5.2 obtém-se.^ ~ 1,917', resultando, da expressão 5.9, uma altura útil de 34,6 cm.

5'.,8:.3 O diagrama; de momentos, fletores de uma viga contínua, de seção retangular constante, apresenta os valores, de momentos máximos positivo e negativo de 50 kN.m e 75 kN.m, respectivamente. Sendo b}i = 15 cm; fck~ 25 MPa, dimensionar a: seção, sabendo, que, por razões de projeto, a altura total da viga não pode ultrapassar 4.0 cm. Calcular as armaduras das seções mais solicitadas, com o aço CA-50. a) Definição da altura total h Máximo momento de cálculo em módulo: M= y.M^ l,4x 75 ^ 105kN,m (negativo)

f a ~fck /rc = 25/1,4 = 17,9 MPa; fyd = 435 MPa, da Tabela 3,3. Para o aço CA-50, no caso de momento negativo, deve-se tomar Ã: < Q,5QQ} ao qual corresponde kà = 1,917. Da expressão (5.10), obtém-se, então, a altura útil mínima da seção do apoio para armadura simples, d

—37,9 cm.

Admitindo o valor dl = 4 cm, resulta h - 41,9 cm, maior que a altura máxima disponível 40 cm. Pode-se concluir, portanto, que na seção de máximo momento negativo será necessária uma armadura de compressão, ou seja, a seção do apoio deverá ser dimensionada com armadura dupla, b) Cálculo da seção de máximo momento negativo Para. h= 40 cm, com dl = 4 cm resulta d — 36 cm Da expressão (5,5) o kmd - 0,301 < 0,425 o é possível o cálculo com armadura dupla.

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Das expressões (5.17) e (5.18), obtém-se;

MáJ = 0,272 bw d2fcd

= 0,272 x 15 x 362 x 179 = 946.500 kgf.cm

Md2 = Md - Md} = 103.500

kgf.cm

Da expressão (5.19), com kz = 0,800, tem-seÁ S} — 7,55 cm2. Adotando-se para a armadura de compressão d2 — 3 cm, da expressão (5.20) obtém-se:

Ás2 = 0,72 cm2; Às = Asl -í- As2 = 8,27 cm2 o armadura de tração disposta junto à face superiordaviga. ATabela 5.3 fornece a área de aço mais próxima 3020 = 9,42 cm2 com b s = 10,0 cm '

Supondo o cobrimenío nominal de concreto cnoni -25 mm e estribos de bitola 5,0 1 ' mm, a armadura em uma camada é inviável, pela largura insuficiente da viga. Aérea mais próxima, com três barras, não é razoável em duas camadas. Podemse então adotaras seguintes opções, ambas com armadura em duas camadas:

3016 + 2072,5 = 8,48 cm2 ou (30 + 20) 16 = 10,05 cm2; ambas com bs= 8,8 cm É ainda necessário verificar a possibilidade de colocação da armadura em duas camadas, tendo em vista a exigência da norma, da expressão (5.13), de ser A £ 10% h . No caso presente, sendo A = 0 + a!2, tomando a ~2 cm e bitola longitudinal 0=16 mm, tem-se: A = 2,6 cm < 10% h = 4,0 cm, sendo a exigência atendida. Para o cálculo da armadura de compressão da expressão (5.22), com kx = 0,500, tem-se:

e' sã = 2,9296o > e. ._, O cr' sd. = /yd. = 435 MPa ' yd, SOA J

219

220

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Da expressão (5.21), tem-se Á* s~ 0,72 cm2 O 306,3 ~ 0,94 cm2 ou 20 8,0 = 1,01 cm2, barras dispostas na face inferior da viga. c) Cálculo da armadura da seção de máximo momento positivo Md = 1,4x50 = 70 kN.m Admitindo a altura da viga constante, da expressão (5.5), obtém-se: k md =0,201 < k mdlim, ... SOA „. = 0,320 ' '

O Domínio 3. Na Tabela 5.2, obtém-se '

kz = 0,864. Da expressão (5.8), obtém-se Ás = 5,l 7cm2 O 3016 = 6,03 cm2: armadura em uma camada, disposta junto à face inferior da viga. Em resumo, as armaduras no apoio e no vão serão:

Momento máximo negativo de 75 kN.m: Ás = 3016 + 2012,5 e A''s = 20 8,0 Momento máximo positivo de 50 kN.m: As = 3016 Observação: No Capítulo 7, será estudada a disposição ao longo da viga das barras longitunais da armadura de flexão, positivas e negativas, com a finalidade de cobrir o diagrama de momentos fletores e compatibilizaros cálculos à flexão e força cortante.

5.8.4 Determinar o momento fletor resistente característico máximo de uma seção transversal retangular 20 x 50 cm2, com uma armadura de flexão 40 16 (CA-50), concreto com resistência fck- 25 MPa e os coeficientes de segurança da NBR 6118. a) Equilíbrio da seção

R cc =R si, O b w'y a ca, = Â s a sã,

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

Supondo-se, inicialmente, estar a peça nos domínios 2 ou 3, a ruptura ocorreria com o esmagamento do concreto e o escoamento do aço, donde: b w , 0,8x. 0,85 f =As*f yd. ' ' J ca

O

x = v(Âf.)/(b sJ ydJ v

w

. 0,68. f ,) ' J ca J

Com os dados do exercício presente, f^— 25/1,4 = 17,9 MPa; AS = 8,04 cm2 e adotando d} = 4 cm, tem-se: x = (8,04 . 435)1(0,68 . 20 .17,9)^14,4 cm O k= x/d = 14,3/46 = 0,312 0,259 < kx < kxílm

CA_30

= 0,628 O domínio 3 o suposição confirmada

b) Determinação do momento fletor característico resistente da seção k x = 0,312 O k z = 0,875 ' ' M,= k.d f = 0,875 .46 .8,04. 4350 = 1.407.703 kgf.cm = 141 kN.m d z s •* y d ' CJ

Mk =Md /rf = 141 / IA = 101 kN.m c) Observação para o domínio 4 Caso na verificação do domínio, da alínea a) deste exercício, a seção caísse no domínio 4, ou seja, fosse encontrado k > k efetuada inicialmente não teria validade.

n

, a suposição

Em consequência, o valor

encontrado para a profundidade da linha neutra, x , não seria correto, pois a tensão o~sd>,, no ELU no domínio 4,' é inferior à resistência de escoamento do aço. Nesse caso, na mesma equação de equilíbrio estabelecida, devese entrar com a expressão genérica para a tensão do aço do trecho linear, a

d

= E

esd. A deformação do aço no ELU, exd, é relacionada com a

profundidade da linha neutra, por meio da expressão (5.1), da qual se obtém, fazendo eca,= 3,5%o, o valor do coeficiente kx ^que foi usado no ' ' dimensionamento da seção. Desse coeficiente, obtêm-se k , analiticamente ou da Tabela 5.2, e o momento resistente, como na alínea b) do exemplo anterior.

221

222

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

5.9 AUTO-AVALIAÇÃO 5.9.1 Enunciados 1. Uma viga tem seção transversal retangular 20 x 50 cm2. Considerando a estrutura na classe de agressividade ambiental fraca (CÂA I) e o concreto com resistência fck= 20 MPa, determinar as armaduras de flexão para resistir ao momento de serviço de 100 kN.m, para os aços CA-25, CA-50 e CA-60. 2. Determinar o momento fletor resistente característico de uma viga com seção 20 x 35 cm2, armadura de flexão 40 20 (CA-50), fck = 25 MPa, com os coeficientes da NBR 6118. 3. Determinar os valores da altura útil e respectivas áreas da armadura de flexão, de modo que uma seção retangular de largura b — 50 cm resista a um momento fletor de serviço de 1.500 kN.m, para concreto com fc!c~25 MPa e aço CA-50, para duas condições: a) uso mais racional dos materiais; b) seção normalmente armada. 4. Dimensionara armadura de flexão de uma viga de seção retangular, 40 x 175 cm2, concreto comf^ = 30 MPa e aço CA-50, para um momento característico M= 2.500 kN.m, supondo a classe de agressividade ambiental muito forte (CAAIV). 5. A viga de seção retangular da Figura 5.14 (a) está sujeita às cargas g=25 kN/m (permanente, incluindo peso próprio) e q = 15kN/m (variável, com comprimento qualquer). Sendo a largura bw — 30 cm, fck=25MPa e aço CA-50, considerando as situações mais desfavoráveis de carregamentos, pede-se: a) a altura útil e correspondente armadura de flexão na seção central da víga, para os limites dos domínios 2 e 3 (uso mais racional dos materiais) e dos domínios 3 e 4; b) as armaduras nas seções dos apoios para as duas alturas definidas no item anterior.

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

6. Determinar a armadura de flexão de uma viga de seção retangular, dados: M = 65 kN.m (positivo}, bw~ 12 cm, d ~ 40 cm,fck - 20 MPa, aço CA-50 e classe ambiental CAAIIL O que muda no exercício se o momento fletorfor negativo? 7. Uma viga de seção retangular tem a altura útil d = 120 cm e a armadura simples de flexão com área A — 15020(C/\-5Q). Sendo o momento fletor de serviço 1.350 kN.m, calcular a profundidade da linha neutra, a largura e a altura total da seção. Criticar o dimensionamento para o caso de ser o momento negativo no apoio. Dados: classe ambiental CAA I e fck= 30 MPa. 8. Dimensionar a armadura de flexão de uma viga de seção retangular (20x 65 cm2), submetida a um momento fletor característico negativo de 380 kN.m, sendo/ci= 40 MPa e aço CA-50. 9. Numa viga de ponte com agressividade ambiental muito forte, determinar a posição da linha neutra e a armadura de flexão de uma seção retangular 30 x 120 cm2, sob ação simultânea dos momentos fletores: M gk, = 1.000 kN.m; M qk,- - 700 * kN.m; MA = -200 kN.m (em razão, por exemplo, da possibilidade de recalque de apoio e/ou retração do concreto). Tomar o concreto com fck= 40 MPa e aço CA-50. 10.Para uma seção retangular 50x 140 cm2, sendo a classe de agressividade ambiental forte,/^= 30 MPa e a armadura de flexão As- 16020 (CA-50), determinar o máximo momento de serviço que a seção resiste. 11. Dimensionar as armaduras de flexão das seções mais solicitadas de uma viga engastada-apoiada de vão 12 jn, sujeita a uma carga total de 15 kN/rn, com as dimensões da nervura central mostrada na Figura 5.14 (b), sendo /ck = 30 MPa e aço CA-50. 12. Dimensionar a seção mais solicitada de viga engastada-apoiada, com vão de 15 me a seção da nervura central mostrada na Figura 5.14 (c), para aço CA-50 e fck = 25 MPa. Além do seu peso próprio, a viga estará sujeita às

223

224

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

cargas atuantes na laje, assim discriminadas: cargas permanentes de 140 kgf/m2, em virtude do acabamento de piso e peso de forro/luminárias, e uma carga variável de utilização de 1000 kgf/m2. 13.Uma viga biapoiada com a seção da nervura central da Figura 5.14 (d) tem vão de 6,5 m e está sujeita a uma carga total de serviço de 6,0 kN/m. Determinar a armadura de flexão para o aço CA-50, fck-25 MPa e classe ambiental CAAIII. 14. Para uma viga contínua de três vãos iguais de 5/77, com seção transversal da Figura 5.14 (e), calcular a armadura de flexão da seção central do vão central, submetida a um momento positivo de 320 kN.m. Dados: /dfc= 20 MPa e CA-50.

h f =8cm

q (comprimento variável) T _T

T w

T

T

T

T

T

2m^

Í

Í

T T Sm

Í _t

T

T

T

T T T ,„ 2m^,

(a) - Exercício 5

p

w( 300CAÍÍ

g

25

25 (c) - Exercício 12

h íf— Sem

.u:

,_

JOOcm

15 (b) - Exercício 1 1

75

h f =10cm

JOOcm

\ x x

IQQcm

25

/£s y^TT

50cm

50cm 72

75

:ir

(d ) - Exercício 13

h f =12cm

(e) - Exercício 14 25

Figura 5.14- Figuras dos exercícios de auto-avaliação do Capítulo 5

72

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

5.9.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Ver o roteiro do exemplo 5.8.1. Lembrar que o aço CA-60 só é fornecido em bitolas até 10 mm, 2. Ver exemplo 5.8.4. 3. Na condição a), a altura útil é obtida da expressão (5.9), tomando o coeficiente kd = 2,517, no limite dos domínios 2-3 do ELU, da Tabela 5.2. A condição b) implica o dimensionamento no limite dos domínios 3-4, com kállm —1,768, do aço CA-50. 4. Pelo valor elevado do momento, mesmo com a seção de concreto tendo dimensões compatíveis, é provável que a armadura de tração exija a disposição das barras em mais de uma camada. Nadasse CAAIV, com o cobrimento de concreto de 50 mm (Tabela 4.2 - Capítulo 4) e supondo duas camadas de barras longitudinais de bitola até 25 mm e estribos até 10 mm, é razoável tomar, de início, dl = 10 cm. Calcula-se a área da armadura como no exemplo 5.8.1, determinam-se o número e a bitola das barras da Tabela 5.3 e verifica-se o número de camadas, conforme o item anterior 5.5.2. 5. Na pergunta a), o carregamento mais desfavorável para a seção central da viga ocorre com a carga variável aplicada apenas no vão central de 8,0 m e, obviamente, a carga permanente em toda a sua extensão. Para cálculo das duas alturas e respectivas armaduras, o uso mais racional dos materiais corresponde aos coeficientes no limite dos domínios 2 e 3 e a seção normalmente armada ao limite dos domínios 3 e 4. Na pergunta b), o carregamento mais desfavorável para os apoios vai ocorrer com a carga variável aplicada somente nos balanços de 2,0 m, com a carga permanente em toda a viga. 6. A classe CAA 111 exige o cobrimento mínimo de concreto de 40 mm (Tabela 4.2 - Capítulo 4), de cada lado da viga. Considerando estribos de bitola 5 mm, com b — 12 cm, a largura interna disponível para acomodar as barras de tração é

225

2.26

João Carlos Teatini de Souza Climaco

de apenas 3 cm, insuficiente para permitir o espaçamento mínimo de norma entre duas barras, de 2 cm. Portanto, a primeira ação é aumentar a largura para 15 cm, para permitir o uso de bitolas longitudinais de até 20 mm. O cobrimento de 40 mm vai exigir dl > 5,5 cm para uma das camadas de barras longitudinais de bitola até 20 mm e estribos 5 777777. Por ser a altura reduzida, no cálculo da armadura pode ser necessário o emprego de armadura dupla. Para o momento fletor negativo, o limite do coeficiente do momento, k

d

, passa a ser de, no máximo, 0272, para garantir a dutiiidade da peça, conforme a alínea e) do item 5.4.4. No caso de armadura dupla, o mesmo valor é exigido na parcela do momento resistido pelo concreto à compressão. Conforme descreve o segundo parágrafo do item 5.5.2, a norma permite um cobrimento de 1 5 mm para as armaduras negativas, se houver argamassa de contrapiso e revestimento final seco. Para a armadura em uma camada nas condições acima, resultaria d} = 3, 0 cm, com um valor da altura útil mais favorável, na situação em que isso é mais necessário. 7. Supondo a seção em um dos domínios 2 ou 3, calcula-se o coeficiente kz pelo equilíbrio de momentos fletores na seção com o binário à tração. Da Tabela 5.2, verifica-se a validade da suposição e obtêm-se k , k

d

e a profundidade da

linha neutra, x = kx . d. Calcula-se a largura bw do equilíbrio de momentos fletores com o binário à compressão. Com essa largura, determina-se a altura total da seção, h, após verificar o número de camadas para as barras da armadura dada. 8. Não sendo explicitado no enunciado, supor a classe de agressividade fraca, CAA 1. Sendo o momento negativo e a resistência do concreto superior a 55 MPa, conforme o exposto na alínea e), do item 5.4.4, a norma impõe o limite kmd = 0,228, para garantir a dutiiidade da seção com armadura simples; caso não seja atendido, deve-se efetuar o cálculo com armadura dupla. 9. Obter os momentos de cálculo da expressão (3.10), do Capítulo 3. 0 coeficiente Ygo da Tabela 3. 2 'pode assumir os valores 1,4 e 1,0. Com'r q =1,4 e 'rE =1,2 ' ' ' resultam momentos de sinais contrários, para os quais devem ser calculadas

Capítulo 5 - Cálculo de elementos lineares à flexão pura

armaduras distintas. A seção deve resistir ao momento isolado da carga permanente, 10, Ver exemplo 5,8,4. Analisar o número de camadas da armadura de flexão para determinar aalturaútjl, 1-1. Obter os momentos fletores máximos, negativo e positivo, do diagrama respectivo da Tabela 8,5 - Capítulo 8. No dimensionamento, deve-se analisar primeiro a seção do momento negativo, de valor superior ao positivo, lembrando que não se aplica a opção do cálculo como seção T, pois a laje superior será tracionada pelo momento. A seção do máximo momento positivo pode ser calculada como T; com a altura da viga constante, haverá folga nessa seção, devendo ser verificada a armadura mínima, da Tabela 5.1. 12.A viga central recebe as cargas das lajes a partir da metade da distância entre nervuras, ou seja, a 1,50 m de cada face lateral; portanto, a largura de influência sobre o eixo da viga, de 3,2$ w, multiplicada pelas parcelas dadas, permanente e variável, forne. çe a. ga.rgg uniforme por unidade de comprimento da viga. Para estimar o pesg próprio por metro na viga central, maltiplica-se pelo peso específico do concreto g soma. das áreas laterais, 3,0 mx 0,10 mt com a área da viga., ftJ5 77? x 0,9$ w. Para o cálculo como seção T, a largura da laje çolaborante, b, =? b w -H 2b}, é obtida da primeira desigualdade da expressão (5.24), com b j - QJa - 0,1, (0,75 x 1530) = 1,13 m (momento em uma só extremidade), que prevalece sobre 0,5 b2 = 0,5 x 3,0 ~ 1,5 m. 13.Da mesma forma que no exercício 6, a largura dada é insuficiente para a classe CAA III, que exige o cobrimento mínimo de 40 mm. Portanto, devese aumentar a largura para 15 cm, no mínimo. Feito o cálculo como seção T, se for necessária mais de uma camada para a armadura de tração, pode haver problema com o limite da expressão (5.13), por insuficiência na altura da viga. A largura da laje colaborante é obtida como no exercício 12, prevalecendo o menor dos limites na expressão (5.24): b, = 0,5b2 = 25cm.

227

228

João Carlos Teatinf de Souza Clímaco

14.A largura da laje colaborante, bf = bw + 2bj,è semelhante ao exercício 12, prevalecendo na primeira desigualdade da expressão (5.24) o termo 6 = 0,1a 0,1.(0,6 x 5,0) = 0,30 m (tramo com momento nas duas extremidades), sobre 0,5 b2- 0,5x10,0 = 5,0 m. O restante é similar ao exercício 13.

-J

O) .Q

_

o O

0)

"o IP=

QJ

"c

CD

£2 'ra

m CL

(•=

0)

O iro x

"^ °0 "O t^- °O 03

i,H

-^

ti vs

CS C5 r\ l*-, O\3 rn *-i O\x ><-| "t cri fi-j r>i
ÍNJ- rsi

rsi r^i r>) rsj r^ csj (NI c\) tN* r>i (NI c^i tNJ

fn (n fn o-i

ao >. CS \ ~~. "0 r-i C; fN) (T, rr, rr, -H O) fn > ^ *Q tx Co O\, Cs CJ r - i r ^ c s i r v i c s i t ^ r ^ t N i r ^ t N i r-i tN) r^ r-i n-( n-] v~i rn frj frj fn rr,

££

fi n ntNt ifNCN'~~i'~->"-~i'~-iCs o\, >o ^ ÍN "-•

es —•( —•1 *-H

CS CS CS d "^1 «O *O •*•)

—«

C3\ \ CS \ <^(N CS tx «o (N

g

CÍ CS

o" d" d" cí

O" CÍ CÍ Cí

rr) CN CS O, tx tx N. >Q

•y- o *o -,

"0 OQ "o cs "o rs] Cs
cí o"

RS

co c*

cí d* o" o" es es" es" cT cí o* c? Cs" ci" tí" es o" Cs" CS~ Cs" CÍ Cs" C5~ O" O* CS* Cs" CJ CS* C3 d" cj~ Cs Cs cí ci" cT es* cT ci" cí es" cí es" o" cí es"

í r C í í í ^ ^ l S ' ^ 0 ^ 0 ^ 1 " ^ i-, cn > ^ ^- CQ

cT os cí o" cj1 cí1 es" c"1 ci" cí cí c? Ca" Cs" Ci" es" d" es o" es Cs" Cs" Cs ci

•íf CQ CM "O CS V3 O\Q CQ tx IN, *O C Q C o C o C o C o C o C o C o C o C Q C Q O Õ C Õ ^ C Q C o C o C o O o O o C Q C o C o O O C^, tx tx tv tx t>, cT es" ci1 cí1 o1 cí es cT cí es Cs" CÍ O" CÍ CÍ CÍ

rnOd^o^or^cotí-o^Q {Noo-^ovoíNCQ^csVafNCo^ca vorNoo-^csVsrvícotj-d r r , r \ i r - i r ^ - ~ , - ^ , c i C s C s o \oC N C Q C Q C o N - t x ^ o ^ v o í ^ i ^ - í i - X h M - r í - ) f ^ ( N r - ) t M - > - ^ C 3 C S C J

O Cb O d Q C2 C x C s c s c s C i o t ^ i c s C s O í O C s C 3 C s C s C 5 C s C 5 Q C S C i C j C i C 2 O O C s C S C S d C j C i C l C S Vi CS "O CS "O Io "O K O\t rn Ir-, * O O d O , C l —H f N r r t X t - l o i í i t ^ O o C N C S - ^ r ^ r n - í J - l r i X o t x C O O s C i

CS C? CÍ CÍ CS* O

oi o\\\, es

Q fNl >}- *o CQ O GO tX Vi <-~i ^í- >»

cT o" cT es es* d" C? Cs" CS Cs" CÍ1 Cs* Cs" Cs Ci" Cs* es cT es" es cí es* o" c" es* o" es* ci" es" d" c? cT Cs Cs" cí" 0" es cT Cs* cí CÍ CÍ Cs* 0" CÍ Cs cí cí cí o" o" cí

es Q o o qa o

^ ÍN

•o

.s .S

o Cl

S tí •o

3 3

§

g M

O

Q

t ^ ^ f n ^ C i r n ^ ^ - c o i x —H r v i V , C i t ^ . v O V 3 t x C 3 l ^ l C S v C l > ^ - f ^ l • - - , ~ - , r \ l " s } - ^ O O \ f n N . r v j N . *O ^O CQ Cl r-l r>] -^ CO \ CQ ro Ci s \ t s . ^ O " ' l - r n —, rn Cs co VQ V S C Q ^ O ^ V Q t S . O x C N i O —i t x f n C ^ V o r v j O i ^ o r n - ^ C Q V o r r i - -, O \r Nr. Wr- , c r j - -, O l^ N, ^O ^Q d O O C j O x C N O v C ^ O v O s DO co co 03 OQ CQ t>i--HC5OvCOC-s,\3vOlO'n fri" fí-J1 crj cvi" (xf (NÍ" ^ f^í t^r (N 1

> > "O tx d io C o O ^ l X ^ f N í C S C o V i C Y i C i o ^ J - O v V C S ^ C s V - j C S ^ C S ^ O i ^ T - C Q c t - j C o r M t x —i ^ C S ^ - o o f N coO\C5~-ir\irriro>T-i^iU-i v O v Q K O Q O o O \ O \ O C S 1 ~ - i - ~ n 1 — . f N r s i f n f n ^ ^ ^ ^ ^ o ^ o ^ t N . —t cvi rn ^ \ t-,

ro VQ CS ^o

t^ 0\, f^, \ >

^ 06" \cT >o \ V tr)

C}

-a

-i-

"S f

C S C S ^ - l C l V S C N C ^ V o r r j C S C s C s C s C s C s d C l C S C s O O C s C i C i C s C s C s C s C s C a C i C s C j C i Cs Cs Ca O Cs d CS CS C b C N J f n ^ ^ O C o O v 1 —H f r j U i l ^ l r j v ^ l j ^ l r j ^ l / ^ l ^ j ^ v ^ l j - j l i ^ l í - j l j - )
^,~^^^^,^^^^,^

Q Q

.o -S g

cT

C i C 5 C i C ) C i O C S O C 5 C 5 ^ Q C S l X t X ^ 1 ^ —l O ^ Q r ^ ^ Q —HlN.".-) -tj-fn^í-^oo-i^o^^T-ci C 5 Q C 3 O C i C S C S O C i C 3 ^ S - c s v - j —, t x . ^ j . —1 f N . " o r v t O v t x . - ^ í - r ^ C i C O v C j ^ í - t ^ l - - i O \ t X ( O l ^ ) o ^ o \ c o o o ' t < ' t x v ) x ' 1 o v o ^ o ' o i n ' < ^ í 1 ' n l*-j\ir - ^--qr - ri- < íftrici-irrirrí

CÍ O" C5* C? C? Cs" CS CÍ" Cs" —<

cí1 «~í —s --i f^f cxf of CNf f\í* rs" r^i rn~ rr$ rrí

rn "O O\ O\O "O Cs. o\N *»• t^

Ci CS O Q CJ O

ci" d" ^ c?

o1

«. =?

o' O C^ O O Ci O

^ o" Q~ cí o tí d"

o Q

OQ tN) N. V3 •—, ^ f N i p o c r i i í ^ ^ r n Q l o ^ d fN( --, 0o Io tN) 03 r n v O O \ " - i r r > i 4 - 1 t N , e o O \ C i -çj. l^ V-, \ O, tX oocoooo\o\o,o\o\Ovei

=o cT

CO

s

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

230

3 O > rf J

»

João Carlos Teatini de Souza Climaco

'-1

00

Cx

-

•o

-Cl

x
x

O

CN'

3 •o Cl

°°..

co* —l

CS

-o "->

d \o"

d S)

1s

"i >*

^J

V

00

fN

—*

d

PN*

"0

PN ^ Cl

>

vi

—T1

vo PO*

Cl

-~~ CS

cí O

co"

•n Cs" PO PO_ PO

^ CS

d

%

«o

V

CS •—H

CS

PO

d co

PO

PO

M-

CO*

PO PO

^ d

d

—1 CS

PO

d PN"

d

•o tx"

—H

•n ^

í •o

oo d"

d" co

> •0

s d

d t? tx «0

d *o -H PO

d

—H

d vo* PO

tf

d V

d CQ"

"0

VO

PN

c°-

d CO*

PO

«0

d

d*

tN PO

d" r\

PO

d •— i vo ^

•n

V

d *-<

ÍN

^

d*

oo co"

oo*

•o

^

PO

3

tx" PO

PO*

PO PO oC PO

d* d

d" PO «0

s

vo tN*

Vj

d f" "o

co"

V

PN "í

Vo

Vj

•o tN

Os"

«0 EN' •o PN «n

tx"

o,"

«n ^

K"

«n

—^ VO

vi

O

V

CM"

O

co"

o"

O

oT

oo

V3

d

PO"

CN

S O

d PO"

CM

d oo

O O" CM

oo

'

tx"
oC CS

00

PN

co_

d

oo"

CN

d

d ÍN

"0*

d d* PO

oo*

> c?

—H

CQ"

d

d vi

tx

"-? ~-<

M"o N1

d

>"

d

—-1

•o

d CS

^í-

fN"

d d"

O

^

co co*

—T

•v--

s oC

s

vo"

d

"•f

10

10

PN

CS

PO

PO co" co

ÍN

ã
PO"
V

00*

o\

VO

d •n" "n

PO

•—H

l

tN"

tx1

M*

^ CS

Si PO" Q,

PO"

tx tx' pó

^ M-

d"

c\ v-

sv O

$ o"

to" t-

•-*

V

CS

PO_

d rC

tí1

3 ^

PO

—*

d ví

•o

co d"

rN

Q

IX

•—H

IN'

d

tN

5>

VD •—«

3

o"

PO

tx -H

N" Cl •—H

^

'—t

>

tx

^!

PO

co

PO"

PO

*-í -M

00

•n

«0

•0

Cl

00

CO*

CS Cl

S-

PO PO*

d"

0\0

5

oo"

CJ*

•0

•o

d" PO

d Sí

•—H

PO Cs"

co"

PO*

CS

—Í"

co

•o

^ •C)

^ •Cj

^ -CS

^ -?

x -C3

X

•C;

X

o

1 10"

^ S

-^

--5,

-

.••*

1

1

Tabela 5.3 - Área da seção da armadura As (cm2} e largura interna entre estribos bs (cm)

to CD -Q 0)

y 0) J §

*.

„ "^-

é;

a = espaçamento entre barras longitudinais ( a >, 2cm e
u 3 t 5 3 1 j

3 J

3

3

ã. u 3 /l 3 j Õ 3 3

5

3 3

3 3 U J

5 j u j ^i •a 3 3 J

.CD S

S

c = cobrimento iiommal de concreto $t = diâmetro do esfribo

n

i

n

to -Q

-o

i

T

CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE

Objetivos Distribuição das tensões tangenciais na seção Dimensionamento à força cortante pelo modelo da treliça de Mõrsch Prescrições da NBR 6118: 2003 Compatibilização dos cálculos à flexão e à força cortante Exemplos"""" """ — - - -

Auto-avaliação

Cálculo de elementos lineares à força cortante 6.1 OBJETIVOS

Conceito: dá-se o nome "císalhamento na flexão" à solicitação originada da atuação conjunta de forças cortantes e momentos fletores, para a qual deve serdimensionada uma armadura específica, transversal ao eixo do elemento estrutural. Conforme descrito no item 5.1, do Capítulo 5, o dimensionamento da armadura de flexão para vigas de concreto armado com esbeltez l/h > 3 é realizado considerando o efeito isolado dos momentos fletores, ou seja, como flexão pura. Neste capítulo, vai ser abordado o cálculo da armadura transversal para o combate ao cisalhamento associado à força cortante, considerando seu efeito isolado, após conhecida a armadura de flexão. As disposições de detalhamento da norma NBR 6118: 2003, para compatibilização das armaduras longitudinal e transversal e para resistir à ação conjunta momento fletor-força cortante, são também apresentadas. Pretende-se que este capítulo contribua para os seguintes objetivos: a) Entendimento da finalidade e das formas de disposição da armadura transversal em vigas de concreto armado. b) Modos de ruptura ao cisalhamento na flexão. c) Procedimentos para o cálculo da armadura transversal. d) Prescrições da NBR 6118: 2003 sobre dimensões da seção transversal, espaçamento e taxas da armadura transversal constituída por estribos.

234

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

e) Disposições do detalhamento para compatibilizar as armaduras longitudinal e transversal.

6.2 DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES TANGENCIAIS NA SEÇÃO

6.2.1 Peça de concreto não fissurada Em uma peça estrutural submetida à carga distribuída qt contida em seu plano médio, o equilíbrio de um elemento longitudinal de comprimento dx (Figura 6.1 , a seguir), limitado por duas seções transversais paralelas, com a atuação conjunta de momentos fletores (M) e forças cortantes (V), é estabelecido pelas expressões seguintes:

Z7 = O =>

V- qdx - ( K + dV) = O *> q=- dV/ch

£M0=0 O M+ V(dx/2) = (M -t- dM) - (7+ dV} dx / 2 = O O

r\

'

'

Ti

M+dM

F« dM/dx

q - - dV/dx

(6.1)

V = dM/dx

(6.2)

0 '

i /•

dx

V+dV

Figura 6.1 - Equilíbrio de um elemento submetido à flexão simples As expressões (6.1) e (6.2) relacionam, em cada seção, a ordenada de carga com o momento fletor e a força cortante. Elas são indispensáveis à construção dos diagramas desses esforços: nas seções de momento fletor máximo, a força cortante é nula, e nas seções sob carga concentrada, o diagrama de momentos fletores apresenta duas inclinações diferentes, ou seja, um ponto anguloso, e o de forçass cortantes, cortantes uma u a descontinuidade.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Em se tratando de uma peça de concreto armado ainda não fissurada, no regime elástico, ou seja, no estádio l, definido no item 5.2 do Capítulo 5, as tensões normais (O) e tangenciais ou de cisalhamento (T) em cada seção são dadas pelas expressões (6,3), da mecânica dos sólidos:

,My I

r =

(6.3)

bl

onde: J : momento de inércia da seção total em relação à linha neutra; b : largura da seção na ordenada "y" em relação à linha neutra; S,: momento estático em relação à linha neutra da área acima de "y. A Figura 6.2 mostra as trajetórías das tensões principais de uma viga biapoiada, na fase elástica, com cargas concentradas simétricas. As trajetórias são linhas em que as tangentes em cada um de seus pontos fornecem as direções das tensões principais de compressão e de tração nesse ponto. À direita da figura, são representadas as distribuições das tensões normais (
Tensões na seção Seção Nonnals Tangenciais transversal O" T "

-

"

a

ã

[—7

Figura 6.2 -Trajetória das tensões principais em peça não fissurada sob flexão simples Para uma seção transversal retangularè;*:/?, as tensões máximas assumem os valores:

M/7/2 M M _ ~, a = - = - = — O nas noras extremas b h3/ 12 b h2/ 6 W nalínhaneutra

bl

b.W/12

2bh

23 5

236

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

6.2.2 Peça de concreto armado no estado limite último Com a peça de concreto armado passando ao estádio II, jáfissuradamascom o concreto comprimido na fase elástica, a resistência do concreto à tração é desprezada, admitindo-se que todas as tensões de tração sejam absorvidas peio aço. Com o aumento de cargas, atingindo-se o ELU em qualquer ponto entre a linha neutra e a armadura tracionada^ , na obtenção da tensão tangencial só se considera o momento estático da armadura, tomada como uma área de concreto equivalente, por meio dos módulos de elasticidade (E /E ) A . Admitindo constante a largura da seção transversal, a tensão tangencial da expressão (6.3) é também constante entre a linha neutra e a armadura, sem considerar a região tracionada de concreto.

b

.

i

,—i——i

d

ú

*d

J

i

Rrr

i* e

,.

z

'

Vsd \y_~ft_ =JÍ/ T—*~/ , 1.

^cd

a

MS*^

1 1

Corte longitudinal

*' ri

Te nsões tan^ ^enciai

TsnsÕes n armais

Se çao transversal

•

armadura de fração

a

n

Rst

Figura 6.3 — Distribuições de tensões normais e tangenciais na seção no ELU

Considerando um elemento longitudinal de uma peça de concreto armado de largura b e comprimento infinitesimal dx, compreendido entre duas seções paralelas aã e a'a'e submetido a momento fletor e força cortante, a distribuição de tensões normais no estado limite último é mostrada na Figura 6.4. Estando a peça em equilíbrio, destacando-se um trecho desse elemento dx por um piano paralelo ao eixo longitudinal, ele deve estar também em equilíbrio.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

R

°cd a

dx

M?,

-

—;

^3

c

J? -

à

MS* R

VSd+dVsd 1

^7/Z^7Á\^ dx

~áp/ívtcb(ftfffi/fufâ/f' /// //////.

Figura 6.4 - Equilíbrio de um elemento de peça sob flexão simples no ELU O equilíbrio do elemento vai ser garantido pelas tensões tangenciais, id, contidas no plano de corte e distribuídas na largura b

e cuja resultante Tdb dx deve ser

igual à diferença das resultantes das tensões normais Rs e Rs+dRs nas faces aã e a 'a', respectivamente:

ZX =

O dRs =rdbwdx

T =

Admitindo ser o braço de alavanca z constante em toda a extensão da peça, no ELU, o que é bem próximo da realidade em elementos de altura constante, da expressão (6,2) tem-se:

dRs _ d(MSd/z) dx.

_ dMsd i _ Vsd z dx z

Assim, com b ~ constante, a tensão tangencial máxima na seção, da Figura 6.3, será também constante na zona tracionada, abaixo da linha neutra. Para maior simplicidade de cálculo e a favor da segurança, pode-se considerar essa tensão máxima constante na altura de seção, que, das duas expressões anteriores, será dada por:

ilmax

(6.4)

237

2.38

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

É uma simplificação corrente e prática para as formulações de cálculo, adotada em normas de vários países, tomar para o braço de alavanca das resultantes de compressão no concreto e de tração no aço na seção um valor constante no ELU, tomado como a média aproximada dos coeficientes k da Tabela 5.1, do Capítulo 5, na forma seguinte:

z = 0,9 d

(6.5)

6.2.3 Peças com altura variável Seja um elemento linear de concreto armado, submetido à flexão simples e com a altura variável, de um ângulo p, acompanhando o aumento do diagrama de momentos fletores, como mostra a Figura 6.5. A resultante das tensões de tração na armadura, Rs, pode ser projetada na horizontal, Rsh, dando origem a uma componente vertical, R , que se opõe à força cortante K^e vai resultarem uma redução nessa força, Vsdreá,

Figura 6.5 - Equilíbrio da seção de peça de altura variável sob flexão símpfes A força cortante total na seção, Vsdioi, pode ser então obtida na forma seguinte:

^Sd

y r

Sa,tot

=y

.«/

-

'Sd

;P

(6.6)

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Da análise da expressão (6.6), conforme seja estabelecida a variação da altura da peça com relação ao diagrama de momentos fletores, pode-se deduzir que: a) Se o momento fletor MScl e a altura útil d forem ambos crescentes ou decrescentes no mesmo sentido, em valor absoluto, como no exemplo da Figura 6.5 e na expressão (6.6), tem-se uma redução favorável na força cortante com a variação da altura. É o caso das vigas com as formas da Figura 6.6 (a). b) Se Msd é crescente e d é decrescente, em valores absolutos, ou vice-versa, o sinal será positivo na expressão (6.6) É um efeito prejudicial, porque resulta em aumento da força cortante com a variação da altura, como na viga da Figura 6.6 (b). No entanto, em viga com mesma.forma e biengastada, em vez de biapoiada, a variação de altura seria positiva.

b)

Figura 6.6 - Vigas de altura variável

6.2.4 Dimensionamento de peças de concreto armado ao cisalhamento na flexão Para vigas com largura constante ou de secãoT com nervura de largura constante, situações mais comuns na prática, as tensões principais de tração e de compressão têm as trajetórias mostradas na Figura 6.2, na fase elástica. Em cada ponto, essas tensões são perpendiculares entre si e com inclinação variável em relação ao eixo da peça. Caso não haja armadura disposta de forma conveniente, podem surgir fissuras no concreto, na direção perpendicular às tensões principais de tração, ao ser atingida a resistência à tração do material.

23:9

240

João Carlos Teatini de Souza Clírnaco

Dessa forma, as eventuais fissuras de cortante-flexão em peças de concreto vão ter a direção aproximada da trajetória das tensões de compressão, ou seja, as linhas tracejadas da Figura 6.2. Conforme descrito no item 6.2.3, com a largura constante da seção e desprezando a resistência do concreto na região tracionada, após a fissuração, a tensão tangencial é constante entre a linha neutra e a armadura longitudinal de tração, assumindo o valor da expressão (6.4). Caso a seção tenha variação de largura, a distribuição de tensões tangenciais também varia, como mostra a Figura 6.7 (a), para uma seção em forma de T. O estado de tensões no eixo neutro da peça, considerando um elemento infinitesimal com as faces paralelas e perpendiculares ao eixo, mostrado na Figura 6.7 (b), caracteriza-se pela presença apenas de tensões tangenciais nessas faces, o que é denominado "estado de cisalhamento puro". As tensões principais de tração, a , e de compressão, <72, em módulo, são:
~~

,

d

-^

L

_L

,

\y

rrf

Fissuras de cisalhamento na flexão

*••

bw

a) Distribuição de tensões tangenciais na seção T

cr2 =-i b) Estado de cisalhamento puro

Figura 6.7 - Distribuição de tensões tangenciais na seção T e fissuras da força cortante

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Dessa forma, o dimensionamento de uma peça de concreto à força cortante envolve, sempre, duas etapas: <* Verificação das "diagonais" ou "bielas" comprimidas quanto ao esmagamento do concreto pela ação das tensões de compressão
241

242.

João Carlos Teatiní' de SoUza'Clímaco

estribos com espaçamento excessivo

nptura por compressão diagonal: tírm adura transversal ele vá da

armadura transversal insuficiente: escoamento dos estribos

riiptitrapor esmagamento de biela: armadura transversal excessiva e/ou seção de concreto insuficiente

a) Ruptura porcísaíhamehto-tração ou tração diagonal

b') 'Rupturas por ci$'a:lhametito'co'mpressão ou compressão diagonal

Figura 6.8 - Modos de ruptura por cisalhamento na flexão em vigas de concreto armado

6.3 DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE PELO MODELO DA TRELIÇA DE MÕRSCH

6.3.1

Introdução

Os pesquisadores alemães Rittèr e Mõrsch idealizaram um modelo para explicar a resistência de uma viga de concreto armado, após a fissuráção, no qual a viga tem um funcionamento análogo a uma treliça, sendo o banzo superior constituído pelo concreto comprimido na flexão, o banzo inferior peia armadura longitudinal de tração, as diagonais tracionadas pela armadura transversal e as diagonais comprimidas por bielas de concreto inclinadas. Esse modelo, mostrado na Figura 6.9, foi exaustivamente testado por Mõrsch, no início do século XX, sendo considerado uma das maiores contribuições ao estudo das estruturas de concreto. Ainda hoje, com algumas adaptações, é a base para dimensionamento ao cisalhamento na flexão de peças de concreto armado.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Diagonal comprimida de concreto (biela) \ da biela:

Banzo de concreto

comprímldo / rf /

a-zsenQ(cot6 + cota) Diagonal (racionada

Banzo de aço (racionado ' e = z (cota -i- cot9) ' Figura 6.9 - Modelo de funcionamento de uma viga de concreto segundo a trelíça de Mõrsch

Os elementos do modelo da treliça de Mõrsch podem ser assim descritos: a) D/agoA?a/s frac/onadas (armadura transversal) São constituídas por barras de aço transversais ao eixo da peça, a 90° ou inclinadas. Para fins do modelo, todas as barras compreendidas en.tre dois nós consecutivos da íreliça são supostas concentradas e.m uma diagonal. Na Figura 6.9, tem-se: ^ CC= ângulo de inclinação das barras com o eixo da peça: 45° <, a<, 90° »/ para estribos a 90°: a= 90° *^ para barras da armadura principal, dobradas para combater a força cortante, o ângulo mais usual é a= 45° w- e —z (cotO.+ cota) = distância entre dois nós consecutivos da treliça. b) D/ago/?a/s comprimidas (bielas de compressão de concreto) Na proposta original da treliça de Mõrsch, as diagonais comprimidas teriam a inclinação de 45°com o eixo da peça, no nível da linha neutra, coerentemente com a trajetória,das tensões principais de compressão daFigura 6.2. Entretanto, resultados de ensaios mostram que as armaduras transversais calculadas segundo essa hipótese resultam superdimensionadas, isto é, a adoção de

243

244

João Cactos Teatini de Souza Clímaco

diagonais comprimidas inclinadas de um ângulo inferior a 45° produz maior economia na armadura transversal de tração. Na Figura 6.9, tem-se: *•• 9 = ângulo de inclinação das diagonais comprimidas em relação ao eixo longitudinal; w- a = zsenO(cot9 + cota) = largura cja diagonal pprnprjrnjda.; ^ b .a = área comprimida da diagonal na seção retangular. A norma NBR 6118: 2003, item 17.4, admite para os elementos lineares dois modelos de cálculo "que pressupõem a analogia com modelo em treliça, de banzos paralelos, associado a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural e traduzidos por uma componente adicional Yc". Essa componente é definida pela norma, no item 17.1, como a "parcelada força cortante resistida por mecanismos complementares ao modelo em treliça". Trata-se, então, de uma parcela de correção que vem reduzir a armadura transversal, visto que o cálculo pela proposta de Mõrsch, com o ângulo 6 = 45°, resulta conservador. Os dois modelos de cálculo da norma são (itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3): <*

Modelo l : diagonais comprimidas com inclinação @.= 45°.

*>

Modelo II: diagonais comprimidas com inclinação 30°< 9< 45°.

As normas internacionais adotam procedimentos similares. O Código Modelo MC-90 da Federação Internacional do Concreto (FIB) é um pouco mais arrojado com relação à inclinação das diagonais comprimidas, ao estabelecer o limite e z J8°. Nesta publicação, é apresentado somente o Modelo II, em que o ângulo #da diagonal de compressão com o eixo longitudinal do elemento varia livremente no intervalo 30°^ O < 45°. Esse modelo é mais geral e compatível com a tendência internacional das normas. Inclinações menores reduzem a armadura transversal e aumentam a compressão na biela, com a parcela V sendo reduzida em função do aumento da força cortante solicitante de cálculo, V ,.

Capítulo 6 - Cátcuto de elementos lineares à força cortante

6;3.2 Verificação das bielas comprimidas de concreto quanto ao esmagamento A análise datreliça da Figura 6.9 pode ser feita pelo método de Ritter, tomandose uma seçãoSque corte uma diagonal comprimida, como na Figura 6.10.

/ \

\

\

\

/

Fc

r

A/

/

/

/

\ \ \

Msd z

T 1

Ax>

Stf

K

RS

Figura 6.10- Equilíbrio da treliça de Mõrsch com uma seção que corte uma diagonal comprimida Do equilíbrio na direção vertical da Figura 6.10, tomando a biela com largura a dada na Figura 6.9 e o braço de alavanca z das resultantes nos banzos comprimido e tracionado, da expressão (6.5), tem-se:

F =

com F c = b w a a ca,

acd=VSí}/(bwasen9) ~ Vsd/\b wsen6. zsen9(cot9 + cota)] Sd

0,9 bwd

Sen26(cotO+cota)

(6.7)

Da expressão (6.7), a tensão de compressão de cálculo na biela de concreto depende do ângulo arda armadura transversal com o eixo longitudinal da peça. Para estribos a 90° com o eixo, a tensão de compressão na diagonal de concreto é o dobro daquela para estribos inclinados a 45°, como se pode ver dos valores abaixo, referidos ao ângulo de inclinação da biela de concreto comprimida Q— 45° e à tensão tangencial T , da expressão (6.4):

245

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

• Armadura transversal composta apenas por estribos a 90°:

(a = 90°) O cr ca =2 T, ^ a J

• Armadura transversal composta apenas por estribos a 45°:

(a = 45') O acd=*d A tensão máxima de compressão na biela é limitada pelo valor 0,60 f c(}, pois comprova-se de resultados experimentais que, estando fissurado, o concreto da diagonal comprimida, o esmagamento ocorre para tensões de compressão inferiores ao limite 0,85 f^ adotado como limite do banzo comprimido pela flexão. A NBR 6118: 2003, como outras normas, prescreve um processo simplificado de verificação. A seguir, é apresentado o Modelo II da norma, mais geral. <* Verificação da compressão diagonal do concreto pelo Modelo II da NBR 6118:2003 A resistência do elemento estrutural quanto à diagonal comprimida do concreto, pela NBR 6118, item 17.4.2.3, é considerada satisfatória numa determinada seção transversal quando se verifica a seguinte condição: Vsd * VM2

(6.8)

onde: Vsd = força cortante solicitante de cálculo '(Vsd = 7, F^); VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por esmagamento das diagonais comprimidas de concreto, dada por;

k, =0,54a 7f,b Rd2 * v2 ca J

w

d sen2 è (cot a + cot 8) ^ y

(é.S)'

*

com av2 dado pela expressão (6.9) é tabela 6.1, ã seguir: av2

= ti -fck/25°}

e

/«k

em MPa

. ( G - 1 °)

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

247

Tabela 6.1 - Valores do coeficiente a ^ para verificação das diagonais de concreto

/ 0-v2

f*(MPa) n

20

25

30

35

40

45

50

0,92

0,90

0,88

0,86

0,84

0,82

0,80

c c & (/

Pode-se notar que a expressão (6.9), a menos do coeficiente av2 , é obtida da expressão (6.7) fazendo a tensão máxima de compressão na biela igual a 0,60 fc(!, A justificativa desse coeficiente é uma precaução adicional quanto ao risco de ruptura por esmagamento da biela, particularmente desastrosa, no caso de concretos de resistência mais elevada. Para estribos a 90°, caso mais comum na prática, tem-se da expressão (6.9):

= °^7a v2J ca,bw dsén2Q J

(6.11)

^

J

J

6.3.3 Cálculo da armadura transversal 6.3.3.1 Cálculo peia iréliça de Mõrsch Na Figura 6.11 , para a seção "S" cortando uma diagonal tracionada da treliça, as barras transversais, bom espaçamento s, resistem a uma força por unidade de comprimento do eixo da peça igual a (Á

A)a ^. A resultante das forças de

tração nas barras no trecho entre dois nós consecutivos será (Á^a^e/s, que deve equilibrar a componente vertical da força cortante Vsd\

Pt = Vsd/sena =

T/-

/

'(cot O + cot a) S -. - L

onde: A

/s = área por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça de todas as barras dá armadura transversal (ramos de estribos ou barras dobradas) que cortam o plano neutro;

248

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

crJ1TO = tensão de tração de cálculo na armadura transversal no estado limite y

último.

e — z (cota + coto)

JR.

Figura 6.11 — Equilíbrio da treliça de Mõrsch com uma seção cortando uma diagonal tracionada

Da expressão anterior, a área da armadura transversal por unidade de comprimento do eixo da peça será: Sd

l

J

,^ sen a (cot9 + cota)

Q,9d

a^ seno. (cotQ + cota)

Essa expressão é genérica para o dimensionamento da armadura transversal. ANBR6118: 2003 optou por apresentar dois modelos de cálculo, introduzindo a parcela F, que considera a contribuição na força cortante resistente de mecanismos complementares à treliça de Mõrsch, entre eles: a resistência ao deslizamento nas duas faces de uma fissura inclinada fornecida pelo engrenamento e pelo atrito dos agregados (aggregate interlock) e o efeito de pino ou rebite da armadura longitudinal de flexão que cruza essa fissura (dowel action}. Neste trabalho (item seguinte), decidiu-se por apresentar apenas o Modelo de Cálculo II, mais genérico. Na realidade, o Modelo l pode ser considerado um caso particulardo II, fazendo 9-45°. Para valores de Vsd£ Vc do Modelo l, as armaduras calculadas pelos dois modelos são iguais.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Ó..3.3..2 Cálculo da armadura transversal pelo Modelo de Cálculo l! da NBR 6118: 2003

Pela norma, em caráter geral, para elementos lineares, a armadura transversal de combate à força cortante deve atender: ^ NBR 6118-*-17.4.1.1.3: "A armadura transversal (A ) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais, envolvendo a armadura longitudinal) ou pela composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura". ^ NBR 6118-* 17.4.1.1.5: "O ângulo de inclinação, das armaduras transversais em relação ao eixo longitudinal, dp elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° < a< 90°". De. acordo, com Q Modelo N da NBR 6118: 2003 (item 17.4.2.3), a resistência do elemento estrutural quanto à armadura transversal é considerada satisfatória, se verificada a seguinte condição:

V.,Z V=V + Fsw Sá Ra3 c

(6.13)

\

ou: Vsw z V,,Vc Sá

(6.14)'

*

onde: VRd3 = força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína portração diagonal; V

- parcela da força cortante absorvida pela armadura transversal, dada por:

Vsw =(A /s) 0,9 d fywa ,^(cot a + cot 0) sen a ^ sw * ' J

J

(6.15) '

*

com Jf y\d , = tensão na armadura transversal,' limitada ao valor/, no caso de -J yd estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435

249

250

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

V = parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares à treliça, sendo: V —Vc}:

na flexão simples e na flexotração com a linha neutra cortando a seção, com:

na expressão (6.16), a seguir; ^ ^cj

=

O

quando Vsd = VKd2, interpolan,do-se

linearmente para valores intermediários ^> 7^2 das expressões (6.9) e (6.11). Em outros casos, tem-se: 7c = 0 : elementos estruturais tracionados com a linha neutra situada fora da

seção; 7 c = Vcl. (1+ M. /M w . c] ) < 2V , : na flexocompressão. \ Sd,max' r

Segundo esse modelo, a variação da parcela complementar da força cortante na flexão simples, 7c = 7

;1 pode ser representada graficamente pela

figura seguinte:

Figura 6.12-Variação da parcela V com a força cortante de cálculo

Capítulo "6- Cálculo de •erémejífoy lineares à Torça cortante

A norma define (item 17.1) a força VcQ como-o valorde refèrência~de F para 9= 45°', dado, no item 17.4.2.2.(b), em função da resistência à traça o do concreto: V eun = °> ,„*>w d ' 6 Jf cia

(6-16)

\

Corifórrríê a ríormã, tomando a resistência à tração caractêlfstica inferior do concreto, dà;"éxp'ress"ãò (3.4) ~ Capítulo 3 e o coeficiente de mineração do concreto mais usual yc- l,4ta expressão (6.16) assume a forma seguinte:

V = 0,09fL2/3b CO

'

J

CK

W

d

(6.17)

\

A área da armadura transversal por unidade de comprimento do eixo da peça, das expressões (6.14) e (6.15), será genericamente dada por:

s

0,9 d fy
(6.18)

6.3.3.3 Armadura transversal constituída apenas por estribos a 90° Fazendo em (6.16), a = 90° e /^ =?/^ , tem-se:

A

V

V

-V

OJdfya

(6.19)

onde; À sw,yO nn = área por unidade de comprimento de estribos a 90° com o eixo ' ' da peça. Observação: Deve-se atentar que as expressões (6.18) e (6.19) fornecem a área da armadura transversal por unidade de comprimento, ou seja, nas unidades mm2/mm ou cm2/cm, conforme sejam as unidades de entrada. Por exemplo, se adotado o sistema internacional de unidades, deve-se entrar com as unidades JVe mm. No entanto, no Brasil, é prática comum se trabalhar com as áreas de armadura por unidade de comprimento em cm2/m; pára se obter a área diretamente nessa

25 T

252

João Carlos Teatíni de Souza Clímaco

unidade, e obter bitolas e espaçamentos da Tabela 6.4, recomenda-se, por comodidade, entrar com a força cortante em kgf, a altura útil d em metros e a tensão de escoamento do aço, f

d

, em kgf/cm2

6.3.3.4 Considerações sobre o dimensionamento ao cisalhamento na flexão a) Armadura transversal apenas com estribos a 45° com o eixo da peça Fazendo oc— 45° na expressão (6.18), tem-se:

Amlt j*

V

b) Armadura transversal de estribos a 90° e barras da armadura principal dobradas a 45° com o eixo da peça Conforme antes exposto, a norma dispõe que as barras da armadura principal dobradas para combater a força cortante devem ter a tensão máxima limitada emfywd

™ 0>7f
e não devem

suportar mais do que 60% da força cortante

total resistida pela armadura. Impondo essas duas condições e tomando a inclinação das bielas a 45°, apenas por facilidade, da expressão (6.1 8) temse, aproximadamente:

sw

(6.21) Vi?

UJyd

onde: A

,= área da seção de todas as barras dobradas da armadura principal, por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça.

Cabe enfatizar que, em geral, é mais conveniente combater a força cortante apenas com estribos, preferencialmente a 90° com o eixo longitudinal da peça, restringindose o emprego das barras dobradas da armadura de flexão apenas aos casos em

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

que for realmente necessário aumentar o espaçamento dos estribos. As razões que tornam desfavorável o uso de barras dobradas para combate à força cortante são as seguintes: © Se a armadura transversal pudesse ser constituída apenas por barras da armadura principal dobradas a 45°, a área de aço seria menor que aquela do uso exclusivo de estribos a 90°, para a mesma força; por outro lado, essas barras têm comprimento maior, o que resulta em um volume aproximadamente igual de consumo de aço. (D A tensão de cálculo do aço das barras dobradas é limitada por norma a 0,7 / irf, para prevenir o fendilhamento do concreto interno à dobra. Além disso, a norma impõe que no máximo 60% da força cortante seja absorvido pelas barras dobradas. CD ANBR 6118-^ 18.3.3.3.1 exige que as barras dobradas para combater a força cortante tenham ao final do trecho inclinado um comprimento de ancoragem no mínimo igual a lb

, dado pela expressão (6.30) do item

6.4.2 deste capítulo, o que exige um aumento adicional no comprimento dessas barras. © O uso de barras dobradas aumenta o custo da mão-de-obra na execução de armações. c) Emprego da Tabela 6.4 (ao final deste capítulo) A tabela fornece valores das áreas de armadura transversal por unidade de comprimento do eixo longitudinal da peça, Anv/s, na unidade cm2/m, para dois ramos de estribos cortando o plano neutro, para as bitolas padronizadas pela norma NBR 7480:1996.

253

254

João Carlos Teatíní de Souza Ctímaco

6.4 PRESCRIÇÕES DA NBR 6118: 2003

6.4.1 Força cortante em regiões próximas aos apoios

Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoios diretos, isto é, em que a carga e a reação de apoio são aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o, a NBR 6118 -> 17.4.1.2.1 permite que se reduza a força cortante nas regiões próximas aos apoios, pelas prescrições seguintes, mostradas na Figura 6.13: "a) A força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio, constante e igual à desta seção" (Figura 6.13.a).

P

V ^

A

(b)

Figura 6.13 - Redução da força cortante em regiões próximas aos apoios

"b) A força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a<,2d 6o eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a pora/(2dy (Figura 6.13.b). As reduções indicadas vaiem apenas para o cálculo da armadura transversal, não se aplicando à verificação da resistência à compressão das diagonais do

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

concreto, da expressão (6.8), e ao caso de apoios indiretos. As-duas reduções, a) e b), podem ser aplicadas no mesmo elemento, cada uma sobre a parcela respectiva da força cortante.

6.4.2 Disposições sobre estribos em vigas 6.4.2.1 Área mínima de estribos A exigência de uma armadura transversal mínima visa (imitar a abertura das fissuras inclinadas de cisalhamento na flexão, nas faces laterais das vigas, nos estados limites de utilização. A NBR 6118 -> 17.4.1.1.1 estabelece que todos os elementos lineares submetidos à força cortante devem conter armadura transversal mínima constituída por estribos, com a taxa geométrica:

Ps» =

(6.22)

bs. sen a

A taxa geométrica mínima de estribos a 90°com o eixo longitudinal da peça, compreendendo todos os ramos que cortam o plano neutro da peça, é dada por:

0,06

sw,90

f*

2/3

(6.23)

fywk

A tabela seguinte fornece os valores das taxas mínimas de estribos a 90° por unidade de comprimento, para diversas resistências do concreto, fck, assumindo o coeficiente usual de mineração do concreto, yc = 1,4, para o aço CA-50: Tabela 6.2 - Valores da taxa ageométrica mínima de estribos a 90° x( p , „„ ) ~ s\vmín,9Q '

20

0,089

25 0,702

30

0,776

35 0,729

40

0,747

45 0,752

50 0,763

255

256

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

Conforme o item anterior 6.3.3.3 - Observação, para se obter a área mínima por unidade de comprimento de estribos a 90°com o eixo longitudinal da peça, Â jiwmn.PO . ...1 na unidade mais comum,' cm2/m, basta multiplicar o valor obtido da r Tabela 6.2 pela largura da seção retangular, b^ em centímetros. Por exemplo, para uma viga com b = 25 cm e concreto com fck = 30 MPa , a área mínima será Â swmm,9Q . nn = 0,116x25 =2.9 cm2/m. Da Tabela 6.4,> têm-se as opções de ' ' ry estribos: bitola 5 mm e espaçamento 13 cm, cuja notação é 0 5,0c/13, ou 0 6,3c/2L

6.4.2.2 Forço cortante resistido peta área mínima de estribos É de interesse obter, logo no início do processo de cálculo, o valor da força cortante de serviço resistida pela área mínima de estribos a 90°, VRm!n90, o que permite verificar de antemão os trechos do diagrama de forças cortantes que serão cobertos por essa área, dispensando o cálculo de estribos nesses trechos. Caso o valor obtido para V

9Q

seja superior à força cortante máxima de serviço

de todo o diagrama da viga (com as reduções descritas no item anterior 6.4.1), pode-se adotar a armadura mínima em toda a viga. Da expressão (6.19), com o coeficiente de majoração das ações, y = 1,4, a força cortante resistida peia área mínima de estribos a 90° com o eixo longitudnal da peça é dada pela expressão seguinte: VJ

A parcela complementar da força cortante, Ve , é calculada pela formulação da Figura 6.12, com o emprego das expressões (6.16), para se obter V , e (6.11), Para Quando se têm trechos do diagrama com V>YRmíii90 , é conveniente, para facilitar a execução e o detalhamento, adotar a armadura transversal em trechos com espaçamento uniforme de estribos ao longo da viga. O número de trechos vai

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

depender do diagrama de forças cortantes e do comprimento da viga; na maioria dos casos de estruturas de edificações usuais, adotam-se três trechos: um com a armadura mínima (cortante V.Rmlii.yO' , nn) e dois outros com os estribos calculados x

para combateras respectivas forças cortantes que excedem o mínimo.

6.4.2.3 Diâmetro das barras e espaçamento de estribos Segundo a NBR 6118 -> 18.3.3.2- Elementos estruturais armados com estribos: "Os estribos para forças cortantes devem ser fechados através de um ramo horizontal, envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração, e ancorados na face oposta. Quando essa face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo horizontal nessa região, ou complementado por meio de barra adicional". O diâmetro das barras dos estribos deve estar entre os limites: 5,0 mm £ <*>,<: bw/10

(6.25)

Quando a barra que constitui o estribo for lisa, seu diâmetro não pode ser superior a 12 mm. No caso de estribos formados portelas soldadas, o diâmetro mínimo pode ser reduzido para 4,2 mm, desde que sejam tomadas precauções contra a corrosão dessa armadura. O espaçamento mínimo entre estribos, medido no eixo longitudinal do elemento, deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador, garantindo, assim, um bom adensamento do concreto. Em estruturas usuais, recomenda-se o mínimo de 8,0 cm.

O espaçamento máximo entre estribos deve atender às seguintes condições: *• se V-.í Q,67 VRd2 M O s max = 0,6 d < 300 mm Sa ' J

^ se V>0,67V Rin O s max= 0,3 d <200 mm Sa ' Jtd2 '

(6.26)'

^

(6.27)'

x

257

258

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Nota-se nessas expressões a preocupação da norma quanto ao esmagamento da diagonal comprimida, o que faz diminuir o espaçamento dos estribos quando Vsd se aproxima de YM2.

6.5 COMPATIB1LIZAÇÃO DOS CÁLCULOS À FLEXÃO E À FORÇA CORTANTE 6.5.1

Deslocamento do diagrama de momentos fletores

O dimensionamento da armadura longitudinal de flexão de uma viga de concreto armado, conforme apresentado no Capítulo 5, é feito com base na compatibilidade de deformações e equilíbrio de esforços da seção transversal de um modelo de barra fletída, da Mecânica dos Sólidos. O dimensionamento da armadura transversal resistente à força cortante, por outro lado, é feito com base no modelo da treliça de Mõrsch, descrito neste capítulo. As diferenças de concepção entre esses modelos tornam necessária uma compatibilização dos cálculos, no que se refere ao detalhamento da armadura de tração, descrito a seguir e mostrado na Figura 6.14. <* Modelo de barra fletida A resultante das tensões de tração na armadura de flexão de uma seção transversal qualquer é dada por R — Msd/z. Para peças de altura constante, e supondo também constante o braço de alavanca das resultantes de tração e compressão, z, a lei de variação de Rgl ao longo da viga tem o mesmo aspecto do diagrama de momentos fletores, como no exemplo da Figura 6.11. Nesse exemplo, a resultante de tração na armadura é nula no apoio, assim como o momento. <* Modelo de treliça A força normal em cada barra da treliça é constante, de tração ou compressão. A resultante no banzo tracionado, R , no modelo de treliça, apresenta

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

descontinuidades nos nós de ligação de duas barras tracionadas adjacentes, fazendo que numa mesma seção, fora de um nó, a resultante seja superior àquela calculada peio modelo de viga. Dessa forma, por esse modelo, a resultante de tração na armadura que chega ao apoio não é nula, como no modelo de viga.

diagonais comprimidas

Modelo Trdica

t , banzo comprimido

diagonais {racionadas

Modelo viga: diagrama = Msd /z envoltória âeforças de tração na armadura

ai

Modelo treliça: diagrama Rst

Figura 6.14 - Compatibílização dos modelos de barra (viga) e de treliça

Para compatibilizar os modelos resistentes de viga e treliça, deve-se adotar a situação mais desfavorável, tomando-se a envoltória do diagrama das resultantes de tração nas barras da armadura do modelo de treliça, representada pela linha traço-ponto da Figura 6.14. Essa linha é obtida pelo deslocamento de um

259

260

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

comprimento af do diagrama Rs = M^/z, por meio de uma translação paralela ao eixo da peça, no sentido mais desfavorável. A Figura 6.15 mostra o deslocamento do diagrama de momentos fletores no vão extremo de uma viga contínua.

Diagrama corrigido de momentos e da resultante de traçõo Rst

Diagrama dos momentos Msd e da resultante de traçao Rst Figura 6.15 — Deslocamento (decalagem) do diagrama de momentos fletores

O valor do deslocamento al, comumente denominado "decalagem", do diagrama de momentos fletores, de acordo com o Modelo de Cálculo II da NBR 6118 -* 17.4.1.1.3, é dado por: a{ = 0,5 d (cot 6- cot a)

(6.28)

Devem ser observados os limites: a^ 0,5 d o estribos a 90° (caso mais geral) a f k 0,2 d o estribos a 45°

(6.29)

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

6.5.2 Detalhamento da armadura longitudinal de tração na flexão simples Após o cálculo da área da armadura de flexão, em que são definidos a bitola e o número de barras, o comprimento das barras longitudinais é determinado com base no diagrama deslocado de momentos fletores, como na Figura 6.15. Na extremidade de cada barra tem início o trecho considerado como "ancoragem", a partirda seção teórica ao fim do deslocamento, em que a tensão na barra começa a diminuir e a força de tração na armadura deve ser transferida para o concreto. Esse trecho, de comprimento lb, deve se prolongar, pelo menos, 10 0 além do ponto teórico em que a tensão se torna nula, não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento necessário / ,b nec ,' estipulado na r

t

r

expressão (4.29), do Capítulo 4. Determinam-se, assim, com base no diagrama de momentos, os pontos de interrupção das barras, em que podemos retirá-las de serviço e a partir dos quais elas devem ser ancoradas. As barras podem, ainda, a partir desses pontos de interrupção, ser utilizadas no combate à força cortante, por dobramento. No detalhamento da armadura longitudinal de tração na flexão simples, podese adotara regra prática detalhada a seguir e expressa na Figura 6.16. a) Deslocar o diagrama de momentos fletores, no sentido mais desfavorável, do comprimento a., da expressão (6.28). b) Dividir as ordenadas dos momentos fletores máximos (positivos ou negativos) pelo número de barras da respectiva armadura escolhida. Dos pontos dessa divisão, traçam-se retas paralelas ao eixo da viga (no exemplo da Figura 6.16, admitiu-se a armadura negativa de flexão constituída por quatro barras e a positiva por três).

26 1

262

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

opção de armadura negativa com quatro barras iguais armadura do momento máximo negativo no apoio: 4 barras

-ti

armadura do l momento máximo í positivo no vão: J 3 barras

Alternativas fie ancoragem das barras: - reta sem gancho - inclinada sem combater a força cortante - inclinada combatendo a força cortante

Figura 6.16 - Detalhamento das barras da armadura longitudinal de tração

Capitulo 6 - Cálculo de elementos lineares â força cortante

c) Os pontos de interseção das paralelas com o diagrama deslocado de momentos (para os momentos positivos:^, B e C\a os negativos:^', B', C' e D') definem as seções em que a força de tração é transferida para o concreto e as barras são dispensadas do combate à flexão. A partir desses pontos elas devem serãncoradas com o comprimento/^.Aúltima barra a ser interrompida, positiva ou negativa, corresponde ao próprio eixo da viga. Na parte superior da figura, mostra-se uma opção prática e económica, em muitos casos, com todas as barras negativas com comprimentos iguais e ancoragem suficiente. d) Em vigas simples ou contínuas, a NBR 6118 -»-18.3.2.4 exige que se prolongue até cada apoio uma parte da armadura principal de tração (^4

) da seção de

momento máximo positivo no tramo (M _ ) . Essas barras devem ser ancoradas \ r

convenientemente, a partir da face do apoio, de modo que se tenham as áreas mínimas de: ^ 1/3 Àí, vão.

o

se o momento no apoio, ~ ' Mapoio'., for nulo ou negativo. ° ' com o valor absoluto M apoio. ^ 0,5 M vão' .; '

*+* 1/4 A s.vão ,

o

se M apoio. for negativo, 3 ' com o valor absoluto

M apoio, > 0,5 M vão.. Nos apoios intermediários, as barras da armadura devem penetrar um comprimento mínimo de 100, a partir da face do apoio. e) O comprimento necessário de ancoragem por aderência das barras tracionadas retas, sem gancho, da NBR 6118 -* 9.4.2.5, será:

,

_ ,

b,nec ~

f Jyd

A AStCa,

\

°>3li>

b'

100 mm

onde: A s, cal,= área calculada da armadura;

263

264

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Á s,y. fbd

área existente da armadura em bitolas comerciais;

= resistência de aderência de cálculo entre o aço e o concreto, dada pela expressão (4.28), para zonas de boa aderência.

Conforme descrito no item 4.5.4.2 do Capítulo 4, de acordo com a posição das barras na concretagem, a NBR 6118 -»• 9.3.1 define as "zonas de boa aderência", em que se pode garantir o bom adensamento e a vibração do concreto, como segue: ^ com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; ^ horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, desde que: - para elementos estruturais com h < 60 cm , localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima; - para elementos estruturais com h > 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima. Os trechos das barras em outras posições devem ser considerados em má situação quanto à aderência e, nesse caso, a resistência de aderência de cálculo, fbd> da expressão (4.28) deve ser multiplicada por 0,7, com o comprimento de ancoragem aumentando de 43%. O comprimento de ancoragem reto pode ser reduzido com a utilização de ganchos nas extremidades das barras tracionadas, que propiciam um aumento na resistência mecânica da ancoragem. Os tipos de ganchos e reduções permitidas são dados pela NBR 6118 -> 9.4.2.3. O item 9.4.2.5 permite uma redução de até 30% no comprimento de ancoragem da expressão (6.30), desde que a espessura do cobrimento de concreto no plano normal ao do gancho seja > 30.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

ATabela 6.5, ao final deste capítulo, fornece diretamente os comprimentos de ancoragem reta (Ib) por trespasse, para o aço CA-50, para diferentes resistências características do concreto (f

entre 20 e 50 MPa), em função

da bitola <£das barras da armadura. Em zonas de má aderência, o comprimento de ancoragem básico deve ser 1,43 vezes o comprimento respectivo da zona de boa aderência.

6.6 EXEMPLOS

6.6.1 Dimensionar as armaduras de flexão e cisalhamento de uma viga de seção retanguiar 20 x 60 cm2, com vão teórico de 6,0 m (de centro a centro dos apoios), suposta biapoiada em pilares de largura 60 cm na direção do eixo da viga e submetida a uma carga distribuída total de 20 kN/m. Considerar concreto comfck=20MPa, aço CA-50 para ambas as armaduras e a classe ambiental CAA l.

a) Esforços solicitantes máximos

Mmax = 20 x 6 2/S = 90 kN.m

O

Vmax = 20x6/2 = 60kN

O

Msd = 1,4 x 90 = 126 kN.m Vsd = 1,4 x 60 = 84 kN

b) Armadura de flexão

Adotando-se dl - 4 cm & d = 60 - 4 = 56 cm — 560 mm fCà = fck /Tc = 20/ 1,4 = 14,3 MPa = 14,3 N/mm2 fyd = 435 MPa, da Tabela 3.3 - Capítulo 3; Da expressão (5.5) e Tabela 5.2 ^ kmd = 0,140 O kx = 0,234 (domínio 2) O ks = 0,907 Da expressão (5.8) vem: A —5,70 cm2

265

2'66:

João Carlos Teatini de Souza Climaco

Da Tabela 5.3.' admitindo o;cobrimento-de--concreto-cliom = 2.5' mm \A (classe I) e estribos-de bitola 5, 3016 = 6,03cm2 (bs= 8,8 cm) Tãxa7geométriGa;-daiacm'adUra5efètÍvaídejflfexã.0í p.—fr,03S(2J)x60) — O,SÓ % c) Verificação do concreto da:biela^comprimida_ Da-Tabela_6.1, para fck ~20 MPa- <=í> a-v2 ~ 0,92 Para estribos a;90° e adotando' aã bielas de.compressãp;com-a. inclinação mínima da NBR 6118, Q- 30°, da expressão (6.11) tem-se: ¥&- 84 kN £VfííJ3t90= 0,27: 0,9-21 If4}3. 2W. 560, sen 6'0° =• 344,547 N = 345 kN Estando o concreto, portanto, com uma ampla folga, de mais dê.quatro vezes, na diagonal comprimida. Pode-se verificar que caso se adotassem as bielas com a inclinação máxima, 9 = 45°, seria VRd290 ~ 398 kN, com folga ainda maior. d) Armadura transversal mínima

Da expressão (6.23) e Tabela 6.2 o Aswmín9Q - 0,089x20 = 1,78 cm2/m Da Tabela 6.4 O &5,0c.22 =2,79cm2/m O espaçamento máximo de estribos da expressão (6.26) será:

P,. =84kN < 0,67 F... = 231 kN O smox = 0,6 d « 336 mm > 300mm Sei ' Rd2 ' <=$ adota-se:

s rnox = 300 mm O s = 22 cm: OK e) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima

Da expressão (6.17): VcQ = 0,09. 202/3. 200. 560 = 74.344 N= 74,3 M

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Da Figura 6.12:

Vc = Vcl = 74,3. [(345 - 84)1(345 - 74,3)] = 71,6 kN

Da expressão (6.24), vem: v*min.9Q =

(0^0179 x 0,9 x 56 x 4350 cot 30° + 7160yi,4 = 9969 kgf = 99,7 kN > Vmax = 60 kN GJ '

Conclui-se que o valor de VR

{ 9Q

é superior ao cortante máximo de serviço

na viga, mesmo sem levar em conta a redução da força no apoio, conforme a Figura 6.13.a, possível pela largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga. Dessa forma, a obtenção de VRltllll90 antes do cálculo dos estribos pode poupar tempo. Aarmadura mínima, 05,0 c. 22 cm pode ser adotada ao longo de toda a viga, como mostra o detalhamento, na Figura 6.17. O número total de estribos será: 600/22 + l = 28,3 = 29 estribos. Com uma maior precisão, o espaçamento de estribos é reduzido para 21,5 cm. f) Comprimento de ancoragem por trespasse da armadura longitudinal Estando a armadura principal positiva em zona de boa aderência, obtémse da Tabela 6.5: /,b = 430 = 43 x 16 = 688 mm. Sendo Á s,cal,/ A s,ef,= 5,70/6,03 = 0,945, o comprimento de ancoragem necessário, da expressão (6.30), será: lbnec- 650 mm, superior aos limites da Norma: 0,3 l b — 206

mm; 100 = 160 mm e 100 mm. No diagrama deslocado de momentos, a barra central da armadura principal, denominada N1 no desenho, pode ser dispensada nos pontos A, a partir de onde se inicia o comprimento de ancoragem. As duas barras laterais, denominadas N2, podem ser dispensadas em B e C, pontos que caem dentro da largura dos apoios; nesse caso, a ancoragem tem início na face dos pilares respectivos. Em geral, o diagrama não consta da planta de armaduras.

267

II

*-*

I

Kj

\

^ GO

t— KJ Os

H

^

Os

KJ

Co

*J

Os

KJ.

Co

3' o

EB" ^ Co

CU

o

CO

o Co

o> S1

Z!

QJ

0)

O)

aS

^^

Q)

C O

2

cn

O)

CD

x 3 -o_ o

X Qíi

CD

o

Q) Q.

to"

C

Q.

3 tu

m

ít>

•D Q. Qi O)

ON C

í>&

"2. Q) o 3

S e 3

o» aj

CL O O D Q.

D

&s ÒQ- 3

O)

Os

&>

ta' c

>/

XI

KJ

N4

-ON

4£ ;»—

fce §:

N4~29
h

7 "S Si;

-^

l"a<—a

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

CD

3

QJ

3" 5=

O CD

A ti

00

o

S)

Capitulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

b) Armadura de flexão Por precaução, prevendo armadura em duas camadas:

dl — 5 cm ^>

d — 55 cm — 550 mm

Da expressão (5.5) e Tabela 5.2 O k ^ = 0,305 O kx = 0,585 (domínio 3)

•=> Ãrz = 0,766 Da expressão (5,8) vem: Ás = 14,44 cm2 Da Tabela 5.3, para o cobrimento c = 25 mm (classe CAA l) e estribos 0 = 5,0 mm, tem-se a armadura em duas camadas, (30+20)20 = 15,71cm2i com b s ~ 10 cm. atendendo ao limitei - 0 + a/2 = 2 + 2/2 = 3cm < 10% ' h- 6 cm. Com duas camadas, muda a distância dl = 6 cm e a altura útil d = 54 cm = 540 mm, com um acréscimo na armadura de flexão. Os coeficientes da flexão ficam: kmd = 0,317 O kx = 0,620 (domínio 3) O k = 0, 752, e a nova área de aço será A =14,44cm2, coberta pela armadura adoíada. Taxa geométrica da armadura efetiva de flexão p = 15,71/(20x 60} = 1,31%

c) Verificação do concreto da biela comprimida Para estribos a 90° e bielas com inclinação, 6— 30°, da expressão (6.11), tem-se: V sd = 7764 kN £ V Rd2i90 = 0,27. 0,92. 14,3. 200. 540. sen 60° = 332.233

N = 332 kN Portanto, o concreto da diagonal comprimida continua com folga, agora menor.

269

270

João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

d) Armadura transversal mínima Continuam valendo:

Á swm.mi90 = 0,089 x 20 = l, 78 cm2/m O 0 5,0 c.22 = l, 79 cm3/m e 7Sd = 176,4 kN < 0,67 V»„ = 222 kN O s mox = 300 mm. ' ' Rd2 Portanto, prevalece s —22 cm. e) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima Da expressão (6.17), prevalece: VcQ = 71,6 kN Da Figura 6.12: Vc= Vcl = 71,6[(332 - 176,4)/(332 - 71,6)] = 42,8 kN. Da expressão (6.24):

VRmini9Q = (0,0179 x 0,9 x 54 x 4350 cot 30° + 4280)11,4 = 7738 kgf = 77 kN < V ntax = 126 kN Conclui-se que o valor de VRmm,9Q 0 . nn é inferior à força cortante máxima de serviço n r y na viga. Nesse caso, vale a pena levar em conta a redução da força cortante no apoio, em virtude da largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga, f) Redução da força cortante na região dos apoios Conforme a Figura 6.13.a), do item 6.4.1, pode-se adotar para o cálculo das armaduras transversais o valor da força cortante à distância d/2 da face do apoio. A Figura 6.18, a seguir, mostra essa redução, tomando V constante a partir da seção a (30 + 27,5) cm = 57,5 cm do centro do apoio ou 300 - 57,5 = 242,5 cm do centro do vão:

V. = 102 kN > V,Rmin.yQ . Qn = 77 kN red = 126 x 2,425/3,0 ' ' Dessa forma, a armadura mínima, 05,0 c.22 cm, pode ser adotada np trecho central da viga, a partir de uma distância do centro igual a: 300 (77/126) = 183 cm.

Capítulo 6 - Cálculo, de elementos lineares à força cortante

g) Cálculo da armadura transversal para a força cortante máxima Na expressão (6.19), com os valores da força cortante complementar, V' ~ 42,8 kN, e da solicitante, Vsd = 176,4 kN, em kgf, a altura úti| tf em. metros e a resistência de escoamento do aço, / rf) em kgf/cm2, obtém~se a área de estribos a 90° por unidade de comprimento do eixo da peça, diretamente na unidade cm2/m:

Vsd.red ~ ^c • tg3Q , yno - — 1,4*10.200. - 4.280 n CV7 73 4-A ni,Qn = ^H- 4tgvG = —' : 0,577 = -2,73 cm2/ /m "*** OJdfyt* Q,9dfyd & 0,9x0,54x4350 ••••••.-< Sendo s

= 300 mm, da Tabela 6.4, as opções seguintes são possíveis:

& 0 5,0 c. 14 = 2,81 cm2/m ou 0 6,3 c. 21 = 2,83 cm2/m. h) Detalhamento da armadura transversal na viga A Figura 6.18, a seguir, apresenta p detalharnepto dos estribos. Para major clareza do desenho, não foi traçado o diagrama de mofnentps, com os pontos de dispensa das barras de flexão e início de ancoragem, como no exemplo anterior 6.6.1. Na parte inferior da figura, no corte longitudinal da viga, a disposição das barras da armadura c|e flexão é apenas ilustrativa. Os estribos têm os ramos horizontais e verticais com comprimentos obtidos das dimensões respectivas, descontando o cobrimento de cada face (CAA I: ç, = 25 rnm) e a bitola do estribo (5 mm). Dessa forma, tem~se; f •

ramo horizontal -20-^2 (2,5 + 0,5) = 14 cm ramo vertical = 60-2 (2,5 + 0,5) = 54 cm

O comprimento total ,da barra .do estribo é igual a 2 (56 + 16) 4-10 cm = 154 cm. O aumento de 10 cm é para preyisão dos ganchos de fechamento dos estribos. O número total de estribos, com espaçamentos de 22 cm np trecho central de 366 cm e de 14 cm pás laterais de 117 cm, ê dado por 366/22 + 2 . 117/14 + l = 34,4 = 35 estribos.

271

272

João Carlos Teatiní de Souza Climaco

Vred = 102kN

126W

183 cm

183 cm = 300 (77/126)

Diagrama V solicitante

77 kN= VRmin,9Q

57,5

SOOcm

77kN

102kN .

102kN

Diagrama V resistente 183cm

117cm

117cm

183cm 77kN

30 [27,5

102M\ 5,0 c. 22cm

242,5 cm

(j)5,0 c. 14

4)5,00.14 E——

117cm

2
s/escala

126W

117cm 14 54 «n"

pilar

Figura 6.18 - Detalhamento das armaduras da viga do exemplo 6.6,2, com redução da força cortante à distância d/2 do centro do apoio

6.6.3 Dimensionar as armaduras de cisalhamento na flexão da viga do exemplo 6.6.2, apenas com estribos a 90°, adotando para as diagonais de compressão de concreto a inclinação 0= 45°. Os itens a), b) e d) do exemplo anterior permanecem os mesmos.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

c) Verificação do concreto da biela comprimida Para estribos a 90° e bielas com inclinação 6- 45°, da expressão (6.11) tem-se: Vsd = 176,4 kN < VRd2i9Q = 0,27. 0,92. 14,3. 200. 540. sen 90° = 384 kN O concreto da diagonal comprimida apresenta agora uma folga maior. d) Força cortante de serviço resistida pela armadura transversal mínima Da expressão (6.17) prevalece: VcQ = 71,6 kN

Da Figura 6.12: Ve = Vcl = 71,6. [(384 - 176,4)1(384 - 71,6)] = 47,6 kN. Da expressão (6.24) vem:

VRmitii9Q = (0,0179 x 0,9 x 54 x 4350 cot 30° + 4760)11,4 = 6103 kgf = 61,0 kN > V <-" '

= 126 kN

O valor de VKniin 0 . diminuiu de 26% em relação ao cálculo com bielas com J inclinação 6 = 30°, sendo ainda bem inferior ao cortante máximo de serviço. Vale também considerar a redução da força cortante no apoio, em razão da largura elevada do pilar, 60 cm, na direção do eixo da viga. Tem-se o mesmo valor Vred,= 104 kN > V Rmm D . - 61 kN, com a armadura mínima, 05,0 c,22 ' ' cm, adotada num trecho central menor, à distância do centro da viga, para cada lado, igual a: 300 (61/126} = 145 cm. e) Cálculo da armadura transversal para a força cortante máxima Na expressão (6.19), com os valores da força cortante complementar, V'c = 47,6 kN, e solicitante, VS(} - 176,4kN, em kgf, altura útil d = 0,54m e a resistência de escoamento/^ = 4350 kgf/cm2, a área por unidade de comprimento de estribos a 90° será:

0,9 d fy,

t fí= •& * / A^ 280 " 4-760 i n A sn1,0 =2/4,50 cm /m tgtí tg45 14 ~ -0}9dfyd & 0,9x0,54x4.350

273

274

João Carlos Téatini de Souza Ctímaco

Portanto, um aumento substancial de 65% na área de estribos com relação às bielas com Q- 30°. Da Tabela 6.4, as opções são:

05 ,0 c.8 = 4,91 cm2/m\ 6,3 c.13 = 4,80 cm 2/m ou 0 8,0 c.22 = 4,57 cm2/m O detalhamento segue as regras dos exemplos anteriores.

6.6.4

Sérri fazer a redução da força cortante em função da largura dó pilar, comparar os "dimensionamentos da viga do exemplo 6.6.2, apenas com estribos a 90°, pelas disposições da NBR 6118: 2003 e NB-1/78, no tocante à compressão na diagonal de concreto e às áreas de armadura transversal. Para a NBR 6118: 2003, utilizar os dois modelos de cálculo, l e II, este último com as diagonais comprimidas com as inclinações extremas de 30° e 45°.

a) NBR 6118:2003 - Modelo de Cálculo II Os cálculos segundo esse modelo, para diagonais comprimidas com inclinações de 30° e 45°, foram mostrados nos exemplos dos itens 6.6.2 e 6.6.3, respectivamente. A tabela a seguir apresenta os resultados desses cálculos, com as áreas unitárias de estribos a 90° de, respectivamente, 3,65 e 6,10 cm2/m, obtidas com o Valor da força cortante sem redução:

Vmax = 126 M O FSá,max = 1,4 x 126 = 176,4 kN. ' b) NBR 6118: 2003 - Modelo de Cálculo l No cálculo por esse modelo, a verificação da biela comprimida é igual à do Modelo II com diagonais inclinadas de 45°, como na alínea c) do exemplo 6.6.3. Aforça cortante complementar, calculada como na alínea e) do exemplo 6.6.2, assume o valor VC = V CU n-71.6kN. ' Da expressão (6.19), com os valores acima das forças cortantes de cálculo e complementar, obtém-se a área de estribos a 90°: Á sw,90 = 4,96 cm2/m. ~ ' '

,

Gapjtuto-6,-:- Cá

' norma trabalha com -tensões-tangenciaisem.vez da força qortante, mostradas na última coluna da direita da tabela,

Twd,max - , =-V Sd.max „, /(bd} = tensão tangencial convencionai- máxima de cálculo: ^ w '' a • ' r-ivw =. 0,25 '.=: tensão limite rpara verificação do concreto da. diagonal, ' • • Jf ca, y o , ,1 comprimida; r = tensão tangencial complementar para correção do cálculo com bielas a

45°; Td = 1,25 Tnvt.-T c = tensão' tangencial.de Qálculo; ' ....... a— •*• - - - - - - -i J d) Comparação dos processos de cálculo, Como mostra a Tabela 6.3, a diagonal comprimida apresenta folga menor no Modelo II, com diagonais inclinadas de 30°. Nos Modelos l e II com as diagonais a 45°, obtém-se a resistência limite da diagonal, 2,18 vezes a força cortante máxima de cálculo; esse valor é muito próximo da verificação da NB-1/78:

T IITÍ = 2,25 T HtJ.mox , . * A parcela da força cortante absorvida pelos mecanismos complementares à trefíça, V , é maior no Modelo l, igual a 41% da força cortante máxima, reduzindo-se para 24% no caso do Modelo II com diagonais a 30°. Atensão complementar da NB-1/78 é cerca de 40% da tensão tangencial máxima de cálculo. A armadura transversal mínima é bastante superior na NB-1/78, e a força cortante de serviço resistida pela armadura mínima é praticamente a mesma no Modelo l e no Modelo II com diagonais a 30°, muito próxima também da NB-1/78. Quanto às áreas da armadura transversal com estribos a 90°, para a força cortante máxima, o valor obtido pelo Modelo I é muito próximo da média das

276

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

áreas calculadas pelo Modelo II, com inclinações de 30° e 45°. O valor obtido pela NB-1/78 é elevado, mas um pouco inferior ao do Modelo II da NBR6118: 2003 com diagonais a 45°. Da comparação efetuada, conclui-se que o dimensionamento mais económico foi o do Modelo II com diagonais inclinadas de 30°, que forneceu também uma verificação satisfatória para o concreto da diagonal comprimida. Caso houvesse problema com essa verificação, seria mais conveniente adotar o Modelo l, o que viria aumentar a área de estribos. No presente exemplo, o acréscimo foi 36% sobre a área de estribos do Modelo II com diagonais inclinadas a 30°.

Tabela 6.3 - Comparação dos dimensionamentos à força cortante pelas edições da norma NBR6118: 2003 e NB-1/78

\l comprimid NBR 6118: 2003 (Vsd = 176,4 kN )

Modelo 1

Vc (complementar)

Vjui2 = 384®f 7'1,6 kN

^(estribos a 90°) YRmln,9Q Â A

semin,90

Á se,90

Modelo 11 6= 30°

Modelo li B = 45 °

VM2 = 332kN VRd2 = 384kN

NB-1/78 wd,max

l,6MPa

Tmi = 3,6MPa

42,8 kN

47,5 kN

rc = 0}63MPa

104,8 kN

133,6 kN

128,9 kN

Td=l,2MPa

80 kN

77 kN

61 kN

83 kN

1, 79 cm2 /m

1, 79 cm' '/m

1, 79 cm2 /m

2, 80 cm2 /m

4,96 cm*7m

3, 65 cnr/m

6,10 cm2 /m

5, 74 cm2 /m

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

6.7 AUTO-AVALIAÇAÒ

:

6.7.1 Enunciados 1. Para a viga da Figura 6.19 (a), com seção transversal de largura constante, pede-se: a) esboçar os diagramas de momentos fletores e de forças cortantes; b) esboçar os diagramas de tensões normais e tangenciais nas seçõesA-A' e B-B', no estádio 1, com as expressões correspondentes; c) a direção e a natureza das tensões principais nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5; d) esboçar a tipología de eventuais fissuras de flexão e cisalhamento na viga. 2. Quais são os tipos possíveis de ruptura associadas a ação da força cortante em uma peça de concreto armado? É possível ocorrer a "ruptura por cisalhamento" do típo "corte", em peças fletidas de concreto? 3. Qual a justificativa do uso da parcela complementar Veno dimensionamento da armadura transversal pelos modelos de cálculo da NBR 6118: 2003? É correto chamá-la "contribuição do concreto" na resistência ao cortante? 4. Dimensionar as armaduras de flexão e força cortante.da viga da Figura 6.19(b), de seção transversal retangular (bw = 15 cm; h = 60 cm), sendo/V^ 20 MPa, aço CA-50 e a classe ambiental CAAI. Calcular a armadura transversal com a condição de máxima economia de aço, para estribos a 90° com o eixo da viga e até três trechos de igual espaçamento no vão AB. Detalhar as barras da armadura longitudinal ao longo da viga. 5. No exercício anterior, calcular a armadura transversal da viga sob a condição de minimizar as tensões de compressão na diagonal de concreto, em duas situações: estribos a 90° e a 45°com o eixo da viga. 6. Dada uma viga na classe de agressividade ambiental CAA li, da Figura 6.19 (c), com seção transversal retangular (bw= 20 cm; h - 40 cm), calcular as

277

278

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

armaduras de flexão (GA-50) e de cisalhamentp na flexão, para estribos a 90° .com o eíxp-da viga, de ,05}Ç mm e aço-CA-6Q; concreto,cpm fck = 25J$P_,a, 7. Na viga,da.Figura;6.-19.(d),,de s.eção rqtangular:(bw = 15,cm;h =.8Ç,cm) e classe ambiental CAA II, a.armadura transversal:é constituída apenas.por estribos.a 90°, 08,0c/20ci^, acp.CA-50, em toda a extensão^.,? viga."§endp fck - 30 MPa, calculara máxima carga -distribuída uniforme q para haver segurança à força cortante, aplicando todas as reduções permitidas pela.norma.

P

a l'

P

4

'

11 1 21 A1

*

a

20 kN/m

u u u u ,1.1 .u n

^ 4\ °3 5*9

7m

A

B

(b)

B1

2m

(o)

100 W

i i i i i i i n ,• H 2m

i i i i .. i i'i i

30 kN

20 kN/m

. A

2. 5m

10 kN/m

H J 2,5 m

30r T

h

(c)

3m

3m

130

(d) Figura 6.19 - Figuras dos exercícios do Capítulo 6

6.7.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Para as questões b) e c), ver Figura 6.2; para a questão d), ver Figura 6.7. 2. Ver o final do item 6.2.4.

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

3. Ver o final do item 6.3.3.1. 4. Esboçar os diagramas de momentos fletòres e forças cortantes. Calcula? as" armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, positivo e negativo. Para a armadura transversal, seguir o roteiro das alíneas c) a g) do exemplo 6.6.2, a menos da alínea f), por não ter sido dada a largura dos apoios. Para o detalhamento das barras longitudinais, vero roteiro do item 6.4.2 e a Figura 6.16. 5. Para a primeira situação, vero exemplo 6.6.3.As tensões mínimas absolutas na diagonal comprimida de concreto ocorrem na segunda situação, fazendo 0= a = 45° nas expressões (6.11) e (6.20). 6. Esboçar os diagramas de momentos fletores e forças cortantes. Calcular as armaduras longitudinais para os momentos fletores máximos, positivo e negativo. Para a armadura transversal, como o enunciado não impõe nenhuma condição, toma-se, de início, 0=30°, para maior economia de estribos. Caso atendidas a expressão (6.11), de verificação do concreto da biela comprimida, e a expressão (6.26), para se obter um espaçamento económico de estribos, o cálculo segue a rotina dos exemplos 6.6.1 ou 6.6.2, conforme os valores de K5 (característico) e V^. 7. Esboçar o diagrama de forças cortantes de serviço, em termos da carga distribuída q, fazendo a redução permitida nos apoios, conforme a Figura 6.13(a). Na expressão genérica (6.12), a força cortante de cálculo, Vsd, é maximizada com 9 = 30°. Com as dimensões da seção e a área de estribos a 90°, das expressões da Figura 6.12 (e 6.19) podem-se calcular as duas incógnitas: Vsd e a parcela complementar da força cortante, Vc. Deve-se, ainda, verificar a diagonal comprimida de concreto, da expressão (6.11). Caso V sd > VRd2, este último valor se impõe como limite para a força cortante e daí se obtém um novo valor da carga.

279

t--.

CO

CO CO

-te. •te.

KJ Kj

0,

-ÍX

<^,

•te, Oo

^ Vi

v— ^ XI On

10

<5

Oo

í-4

>— K)

X)

ON

xi

-te

Cs

Oo

Vj

Co

XI

S

>— ^ )-— *—1 •te. Co

s

xi

Vj

-te

§

X]

•te. •te,

KJ

Or> Oo

Kj

00

xi

^

v-* >--! »-w KJ ON Vj

tn

CO

0.)

Xl

M-

XJ

Co

••te.

^O X|

Oo

S

On

fc

u,

x}

Ui

W Oo

Co

Oo

,K>

Oi

Uj Oo 0,

^ 0,

Ki

Oo U,

K>

v—

Í5> KJ

X|

5

0,

K> •te.

Oo

0

*-*

(D

ft

-Xl

Kj KJ ^ Vj d "iCv >-~i ON KJ ^ :íter o,

M

K) 0,

XI

X)

S

-te

•te.

Oo

V: 0,

^

^

•s

* £'

.p

Ki >lsi Cs K, Co

K) X)

Oo

CO

K)

ro

CO

^

~$r

o,

Co

•te <

K) Kj

^

K)

0!

Ki

"°

-te.

§

VN

Co Kj

O-i

S

Oo

^

Oo

K>

Oj ^

O

Ki

ON -te.

V>

Co

:O

o

•^

vo

b;

ON

Vj

^

°

•te. ON

K)

Isi XI

^

-1

.cn

Co Oo

0,

Oo

-te

-^ >--

Ki

X|

ro

z

-te.

XI

^

-te

Cn Oo

Kl

Vj

^ \^

CO

^

Ki -te

^

-te.

t^, Oo

K>

00

0

u, ON

^

^ Oo

Ki

ON \ ON

Kj

Oi

Ki

Co

-te

XI

ON

Ki Cn

Co

Ki

Co

^

-te. Oo KJ ^ ^ -te. K) ^ Oo 55

Vi

-te.

o>

Co X)

Oi

-te

K)

"

t-— -te. o^

"te.

K-

•X]

Cn

Ox

OA

o,

Oo

Oo

Kj

Ki

Cj

-te

CO

.^

.•^

Ki

X]

O

Oo

Oo

>-ON

K!

í?

Kj

XI

Kj

On

KJ

o,

K) xi Kj

'Kl

Co

«s-t

'

Ki U) Vj - ^*— Vi -te

Kj

0,

>-~-

Vj

>-*

s

£l

Co

-te

X]

-te

uo

K)

Oo

XI

ON

Ui *-^. Kj

Q

K,

(D

^ \

-í"

SÊ^

t.

to

^ S fe

X]

Vj

Ki

Cn X}

ro ro ro ro ro ro ro ro

r-3""1' ,,

Vj Cs

Ui

-te

K)

O)

Oi -te Vi

U) -te.

Ki Ki

Oo

2

Cn

ON

0,

0)

ON o,

Ki Oi

t

*

Cn XI

•te Vi K)

Ki Os On

ON

XI

-te.

>--*

X)

0,

^

•te

-o\J

Ki

1

Cl

Ui

Oo

>--,

Kl

Oo ^ -te.

S

KJ •^

5r

Vi

Vi

KJ 53 s Oo

0,

0,

-te

Oi

0)

t—

K) Oo

^

Oi

•—4

Co

Kl

CO

Cn Co

-te -te

KJ

X|

Cn

Kl

Oo

X|

"KJ KJ

Co

X]

-te -te o,

Cn t--

K)

_*.

Oo Oo

Cn

-te

Oj

Vj

1^)

Oi

Co Co

Co

Co

Kj

^ 2

^

-^ Cn

Oo t^-j Kj

CO

Oi

-

Oo

, '-

°

ON

0)

o,

Oo

Ki

o, Kj

Oo

-te

XI

T4

Oo

Kj

o>

Oo

-te.

XJ

os V. Oo

ON

Oo

-fc,

CD

Oo

Co

Kj

Kj •^

>—

Cn

ON Vi

Oo

-te. ^ Ci -te

-te. xt

Kj

Kj Kj Kj

Co

Kj

-te

Vi

X)

0

^

X|

0, o, KJ JX)

^

O-i

Oi 0)

Kj Cs -te.

Cn Oo Co

Cs

U K>

X]

KJ o, vo

Oi

ro

Co On -ÍX

X)

Ki

Q;

t

Co

Oo

-te.

0, X)

Kj

Vj

XI

Vi

-te

00

XI

Co Vj

-te

^ -%j

Cl ON

Oo

-te.

KJ

Oo ON

On Vi i--

"

ON

-

ro o

—k Cf)

ro 01

o

_^

00

o>

cn

,3

1

Q) W

CD

O

(D 3

0)

3 3

O

•D

w

m

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

Q)

-O

00

& Q

ro o o 3

CL

3 CD

^ _ O) T3

-J. O CD V)

o l

73 Q^ O

Z

O- O Q) Co

Q- Co 03 g-

2 %• N' " 03 CD

M

%°

OJ

e. Q.

CT)

0)

Capítulo 6 - Cálculo de elementos lineares à força cortante

Tabela 6.5 - Comprimento básico de ancoragem reta (/ô) em função da bitola (0), para o aço CA-50, j —1,15 e ye = 1,4

fck(MPa) 20

Zonas de boa aderência Zonas de má aderência

25

430 37 530

30

35

40

45

50

330 300 270 250 240 470 430

390 360 340

28 1

CAllCULO DE LAJES MACIÇAS RETANGULARES Objetivos / " " " ' " ~"^ 7,2 í Considerações--prèliminares f ^— í r %/i . • ,, ;^3'; Avaliafão^de-cargas ^:
7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

v

^

'- ^--Ç

nas lajes Cálculo de esforços em lajes retangulares Cargas das lajes nas ,^3C vigas L : a^. , Dimetjsjonamento de lajes retangLitajes DetalKarne"rítio Exemploj; Auto-avaliacão

Cálculo de lajes maciças retangulares 7.1 OBJETIVOS

Conceito: lajes são elementos estruturais laminares, submetidos a cargas predominantemeníe normais à sua superfície média, que têm a função de resistirás cargas de utilização atuantes na estrutura. As lajes são classificadas como elementos integrantes da estrutura terciária da superestrutura de uma edificação, tendo a finalidade de suportar a aplicação direta das cargas distribuídas em superfície (item 3.5 - Capítulo 3). Conforme a natureza de seus apoios, as lajes podem ser classificadas (Figura 7.1):

iais_

bordo livre

viga l

" viga

viga

l a) Laje apoiada em vigas

r capa

TP 1

. , principal

DDD DDD

anã aaa naa anã anã nan

tijolos ou blocos de enchimento

nervtiraf nef w"as

c) Laje mista

b) Laje nervurada 1

laíe

**

liar

de concreto

pilar

'' capitei pilar

d) Laje cogumelo ou lisa (apoiada diretamente em pilares) Figura 7.1 -Tipos mais comuns de lajes

pilar

r

286

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

<* Lajes apoiadas sobre vigas São sustentadas por vigas nos bordos, usualmente executadas em um processo único de moldagem. Um bordo eventualmente sem viga de sustentação denomína-se "bordo livre". *> Lajes nervuradas Podem sercompletamente moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas; nestas últimas, uma "capa de concreto" moldada no local trabalha à compressão e a resistência à tração é fornecida pelas nervuras. No caso de ser colocado algum material inerte entre as nervuras, tijolos ou blocos, para fornecer o teto liso, são denominadas "lajes mistas". *í* Lajes lisas e cogumelo Apoiadas diretamente em pilares. São chamadas de lajes-cogumelo caso haja alargamento, chamado capitel, na transição pilar-laje; caso contrário, são denominadas lajes lisas. O presente capítulo tem por objetivo apresentar os procedimentos para o cálculo de lajes maciças retangulares de edificações usuais, apoiadas continuamente em seu contorno em elementos lineares, que são as vigas de bordo. Os procedimentos apresentados podem ser estendidos, com as devidas adaptações, a outros tipos de lajes. Os objetivos deste capítulo são: a) Hipóteses básicas de cálculo de lajes maciças retangulares de concreto armado. b) Avaliação das cargas nas lajes de estruturas de edifícios. c) Avaliação das cargas transmitidas peias lajes às vigas de bordo. d) Cálculo de esforços e dimensionamento de lajes retangulares.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

e) Prescrições da NBR 6118: 2003 sobre as dimensões das lajes e disposição das armaduras-taxas e detalhamento.

7-2 .CONSIDERAÇÕES 'PRELIMINARES 7.;2.1 Hipóteses simplificadpras a) O peso próprio da.laje é tomado.como uma carga-uoifprmemente distribuída em toda a área da laje. b) A sobrecarga de utilização ou carga acidental é suposta uniformemente distribuída na .área de laje. Os valores mínimos a serem.adotados no cálculo para essas cargas, de acordo com a finalidade do edifício e com as características de utilização, são estabelecidos pela norma NBR 6120:1978 Cargas para cálculo de estruturas de edificações-procedimento (NB-5). Essa norma fornece ainda os pesos específicos dos materiais de construção usuais e dos materiais de armazenamento. c) As lajes são calculadas como peças laminares isoladas, por meio de uma decomposição virtual que as separa de suas vigas de bordo, a fim de aproveitar as teorias de cálculo próprias para as lajes (teoria das placas). A consideração correta dos vínculos nos bordos das lajes é fundamental para o cálculo. d) As vigas de bordo das lajes são consideradas apoios indeslocáveis. Essa hipótese exige verificação rigorosa dos deslocamentos das vigas de apoio, cujos valores máximos devem obedecer aos limites impostos pela NBR 6118: 2003-> 13.3. Afigura a seguir mostra, esquematicamente, as plantas de um painel de quatro lajes maciças (L1 al_4), apoiadas em vigas (V1 a V7), por sua vez sustentadas pelos pilares P1 a P7. As letras que acompanham as notações das vigas indicam os vãos de uma viga contínua. Por exemplo, a viga contínua V7 tem dois vãos, V7a e V7b, e está apoiada nos pilares P7, P5 e P3. Por sua vez,

287

288

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

a viga V5 apóia-se em V2 e P2, e V6 apenas nas vigas V3 e V2. Na planta de lajes, à direita da figura, os traços cheios representam os eixos longitudinais das vigas e os pontos cheios os pilares de apoio. Essa planta pode ser utilizada como planilha de cálculo, como será visto no exemplo 7.8, neste capítulo.

PI

1

Via

P2

Vlb

L2

LI

-Q

ry

P4 /i

72 C!

P3

L3

g

LI

L2

.TJ

L4

L3

14

V3 Figura 7.2 - Planta de formas e planta de lajes de um pavimento

e) As cargas transmitidas pelas lajes às vigas (reações de apoio nos bordos das lajes) são admitidas como uniformemente distribuídas, por unidade de comprimento das vigas. f) Em duas lajes de mesmo nível adjacentes, apoiadas de forma contínua sobre uma viga com a qual são moldadas monoliticamente, esse bordo é admitido para o cálculo como um engastamento perfeito para ambas as lajes. Na Figura 7.2, é o caso de L1-L2, apoiadas em V5, e L1-L3, L2-L3 e L2-L4, em V2. Caso não haja continuidade sobre um bordo, pela ausência de laje adjacente ou ocorrências de vazios de comprimento considerável, a laje é considerada no cálculo como simplesmente apoiada nesse bordo.

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

g) Da NBR 611 8 -M 4.7.2.2; "Quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical", considera-se como vão efetivo ou teórico da laje, numa dada direção, o valor obtido da expressão:

Os valores de a}ea2, em cada extremidade do vão, dependem da largura da viga de bordo respectiva, t e t2 , e da espessura da laje, h, da Figura 7.3, sendo o menor dos dois valores: a . < (0,5 t.; 0,3 h)

laje

laje

pi

\-\\

ti

t2

viga 'Xfrema

viga intermediária

Figura 7.3 -Vão efetivo de lajes

Para as estruturas de edificações usuais, na prática, é comum considerar o vão teórico como a distância de centro a centro dos apoios, ou seja, de eixo a eixo das vigas de bordo.

7.2.2 Classificação de lajes retangulares apoiadas em todo o contorno Para fins de cálculo, as lajes retangulares são classificadas em: a) Lajes em cruz (ou calculadas nas duas direções) ^» quando a relação entre os vãos teóricos é menor ou igual a 2. w- os momentos fletores na laje são calculados segundo as duas direções, para quaisquer condições de apoio nos bordos- engaste ou apoio simples.

28 9

290

João Carlos Teatíni dê Souza CÍímàco

apoios

3) laje em cruz

apoios

B) laje erri uma-sõ díreçaò

Figura 7.4 - Classificação de lajes retanguiares maciças apoiadas erri" todo d contorno

b) Lajes calculadas erh uma só direção ^ quando a relação dos vãos efetivòs é superiora 2. *•* apenas os bordos maiores são considerados como apoios pãra:fins de cálculo. Os momentos fietores são calculados apenas na direção paralela ao menor vão, dos quais se obtém a correspondente armadura principal. A armadura na direção paralela ao vão maior não é calculada, sendo denominada "armadura de distribuição" e fixada como uma parcela da principal. Esse tipo de laje é comumente chamada de "armada em uma só direção", denominação imprecisa, pois existem armaduras nas duas direções, mesmo que seja calculada apenas a paralela à menor direção.

7.2.3 Espessura das lajes A NBR 6118 -* 13.2.4.1 estabelece os seguintes limites mínimos para as espessuras de lajes maciças de edifícios: a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) J O cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

291

d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN\) 15 cm para lajes com pretensão;

f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. A espessura deve serfixada de início do projeto, pois é necessária à obtenção do peso próprio da laje. No pré-dimensionamento de um painel de lajes, tomam-se aquelas mais desfavoráveis, quanto aos vãos, cargas e condições de apoio, e fixa-se um valor da espessura igual ou superior ao mínimo de norma. Com esse valor, determina-se o peso próprio da laje, calculam-se os momentos mais desfavoráveis e impõe-se a condição de o dimensionamento da laje ser feito com armadura simples e subarmada. O uso de armadura dupla em lajes deve ser evitado, pois a espessura reduzida causa dificuldades na execução, especialmente para se manter a posição das barras, o que afeta a posição da linha neutra, pela pouca altura da laje. Atendida a condição citada, calculam-se as flechas (Capítulo 8), que devem atender aos limites de norma. Assim, por um processo iterativo, define-se a espessura definitiva da laje. A altura útil de uma laje, d, é definida como a distância da fibra mais comprimida ao centro de gravidade da armadura de maior área (principal). É, assim, função da espessura total da laje, h, da espessura da camada de cobrimento nominal de concreto, c nom ,' e da bitola das barras da armadura principal, r r i 0.i conforme a 1

Figura 7.5:

d = Jl - C»an<~
armadura principal

(bitola (/))

armadura secundária

Cnom = cobrimento nominal de concreto

(menor área)

Figura 7.5 -Armaduras principal e secundária e altura útil (d] de lajes maciças

292

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

ANBR 6118 -»• 7.4.7 estabelece os valores mínimos para a espessura nominal da camada de cobrímento de concreto. Segundo a Tabela 6.1, da NBR 6118 -* 7.4.7, as classes de agressividade ambiental são classificadas como CAA l a CAAIV (fraca, moderada, forte e muito forte). Para as lajes de concreto armado, devem ser observados os valores da Tabela 7.1, a seguir, extraída da Tabela 7.2 da norma. Tabela 7.1 - Espessura do cobrimento de concreto v(cnom'} em lajes de concreto armado r '

Classes de agressividade ambiental

/

//

///

IV

Cobrimento nominal de concreto (cmm) mm

20

25

30

45

ANBR 6118 -*• 7.4.7.5 permite para as armaduras da "face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento com pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, asfálticos e outros tantos" que as exigências dessa tabela sejam reduzidas, respeitado o cobrimento nominal > 15 mm. Com o aumento significativo dos cobrimentos em relação à NB-1/78, essa redução é importante para o dimensionamento, visto que, no cálculo por métodos elásticos, em geral, a espessura da laje é imposta pelos momentos negativos nas seções dos apoios, mais elevados que os positivos nos vãos. Dessa forma, para as armaduras negativas de lajes revestidas no interior de edifícios, nas condições citadas, o cobrimento mínimo é de 15 mm, nas quatro classes. Para bitolas da armadura até 10 mm e classe ambiental CAA l, podem ser adotados os valores da altura útil da laje (distância do centro de gravidade da armadura principal até a fibra mais comprimida); armaduras negativas: d~h -2yO cm armaduras positivas:

d = h -2,5 cm

(7.1)

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

Para outras classes ambientais, a altura útil pode diminuir muito. Na classe IV, por exemplo, para uma laje revestida de espessura 12 cm, têm-se para armaduras negativas d = 10 cm e positivas d = 7 cm.

7.3 AVALIAÇÃO DE CARGAS NAS LAJES 7.3.1 Cargas permanentes 7.3.1.1 Peso próprio Tomando o valor da espessura da laje, h, em centímetros, obtém-se a carga permanente por área de laje maciça, admitida como uniformemente distribuída, pela expressão;

g = 25h (kgf/m*)

(7.2)

7.3.1.2 Peso dos revestimentos inferior e superior Nos casos usuais de piso com tacos de madeira, argamassa de contrapiso e revestimento inferior da laje com argamassa de a\.é2,0cjn de espessura, é comum se adotar uma carga permanente adicional com o va\or 100kgf/m2. Uma execução deficiente, em especial quanto a formas e escoramentos, pode conduzir a valores bem superiores, pela necessidade de uma maior espessura da argamassa de contrapiso e de nivelamento do piso. Nos casos especiais de pisos de materiais mais pesados, como, por exemplo, mármore ou granito, a carga por área pode ser obtida da tabela de pesos específicos dos materiais de construção, da norma NBR 6120: 1978 (NB-5).

7.3.1.3 Peso do enchimento em lajes rebaixadas Por exigência do projeto de arquitetura, pode haver em um pavimento alguma(s) laje(s) em nível abaixo das demais, denominadas "rebaixadas". Em edificações

293

294

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

mais antigas, era uma medida comum para se embutir tubulações. Atualmente, é uma solução superada, pois, para maior rapidez e economia nas formas e facilidade de reparo das tubulações, as instalações hidráulico-sanitárias são localizadas sob a laje, embutidas em forros de fácil remoção e peso reduzido. Nas lajes rebaixadas, se houver algum tipo de enchimento, para nivelar o piso, deve ser ainda acrescida a carga adicional respectiva. Nesses casos, pode-se tomar como peso específico do material de enchimento (em geral, entulho de obra) o valor L 000 kgf/m3.

laje • • •

viga ' :

laje rebaixada

^ \ viga de tubulações

bordo

Figura 7. 6 -Laje rebaixada em relação ao nível do piso

7.3.1 .4 Cargas de paredes apoiadas diretamente sobre as lajes No lançamento estrutural, é conveniente dispor as vigas alinhadas sob as paredes principais, para receber sua carga. Entretanto, isso nem sempre é possível, sendo frequente haver paredes assentadas diretamente sobre as lajes. A Tabela 7.2, a seguir, apresenta valores do peso por m2 da parede "acabada", isto é, revestida dos dois lados, com argamassa de espessura até 2,5 cm, para as espessuras usuais. Para blocos de argamassa ou concreto, existe grande variedade de dimensões e os valores da tabela são' apenas indicativos, devendo ser consultadas as especificações do fabricante. Com o uso de tecnologias modernas e métodos racionais de execução, a espessura de paredes e o peso do seu revestimento podem ser reduzidos de forma significativa.

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

Os valores da tabela são obtidos com os pesos específicos da norma NBR 6120: • Tijolo cerâmico furado:

y = 1.300 kgf/m3

• Tijolo cerâmico maciço:

/ = 1.800 kgf/m3

• Bloco de argamassa:

y = 2.200 kgf/m3

- Argamassa de cimento e areia:

/ = 2.100 kgf/m3

No caso de tijolo cerâmico furado de dimensões 10x20x20 cm, os pesos por área de parede acabada, p', da Tabela 7.2, são calculados como se segue (aproximação em múltiplos de 10): w>

parede de 15 cm O

g = 1300 x 0,10 + 2100 x 0,05 = 240 kgf/m2

^

parede de 25 cm O

g = 1300 x 0,20 + 2100 x 0,05 = 370 kgf/m2

Tabela 7.2 — Valores do peso unitário de parede acabada (p}: kgf/m2)

Tijolo cerâmico furado Blocos de concreto celular blocos de Espessura da parede acabada 10 x 20 x 20 cm (dimensões em cm ) argamassa 12 cm 15 cm 25 cm

200 (bloco de 8x20x40) 230 (bloco de 12x20x40) 310 (bloco de 20x20x40)

240 370

A determinação da carga proveniente de paredes apoiadas diretamente sobre as lajes é feita em função do valor da relação de vãos das lajes, na forma seguinte; a) Cargas de paredes apoiadas sobre lajes em cruz O peso da parede (g

, ) é tomado como uma carga distribuída

uniformemente em toda a área da laje. No exemplo da Figura 7.7 (a), sendo p' o peso unitário das paredes, da Tabela 7.2, e Ha sua altura (pé direito), com os comprimentos a e b , tem-se:

„ (a + b )Hpr oparede l 2

(7.3)

260 330 550

295

296

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

h/2

L

>• R

U U U U UA/

Á

aliiiiiiiiiA

^A

P + g par

P.

A

Lajes em cruz: / ; /1 2 £ 2

G

UUUiii

b) Lajes em uma díreção: l} /12 > 2

Figura 7.7 - Cargas de paredes diretameníe apoiadas sobre lajes retangulares maciças b) Cargas de paredes apoiadas sobre lajes em uma dlreção Conforme mostra a Figura 7.7 (b), duas posições podem ser consideradas para avaliar a carga da parede sobre a laje: parede paralela ou perpendicular ao menor vão. No primeiro caso, a parede transmitirá à laje uma carga distribuída e, no segundo, concentrada: ^ 1^ caso - parede paralela ao menor vão: a carga da parede pode ser considerada uniformemente distribuída na região de influência B e acrescida à carga total da laje, p. A largura da região B pode ser tomada como a metade do vão menor. Sendo a extensão da parede / g

arede

é dada pela primeira das expressões (7.4).

Q

, a carga por área

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

2^ caso - parede perpendicular ao menor vão: a carga da parede, G, é considerada concentrada, em uma faixa de largura unitária na região B de influência (p': Tabela 7.2):

Q

, = ¥-1

& parede

' P°reiíe -

7/7/91 12{12/1)

p

'

' Pare(le

, -> 12

(7.4) G = p'.H.lm

(kgf)

Observações: •

Nos dois casos de lajes em uma direção, em termos exclusivos de consumo de aço, o mais económico seria calcular armaduras distintas para as regiões com e sem influência da parede, B e A da Figura 7.7 (b), respectivamente. Entretanto, tal procedimento, além de aumentar o trabalho de cálculo e desenho, dificulta e introduz maior risco de erro no trabalho de armação. Por isso, é prática comum calcular apenas as armaduras para as situações mais desfavoráveis e repeti-las em toda a extensão da laje,

•

No cálculo da carga de paredes, em geral, não se descontam os vãos de portas e janelas. É a favor da segurança e pode cobrir eventuais modificações posteriores.

•

No caso de haver divisórias sem posição definida sobre a laje, a NBR 6120 determina que se considere um acréscimo na carga de, no mínimo, 100 kgf/m2.

7.3.2 Cargas acidentais As cargas variáveis de utilização da edificação, também chamadas "acidentais, sobrecargas de utilização ou cargas de serviço", são definidas na Tabela 2 da NBR 6120, quefornece os valores mínimos de carga uniforme por m2 de laje, para edificações de várias naturezas e seus respectivos tipos de espaço. Em situações

297

298

João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

especiais, outros tipos de carga devem ser considerados, exigindo-se atenção às disposições dos itens seguintes da norma: •

item 2.1.2

o

paredes divisórias sobre as lajes

•

item 2.2.1.3 o

•

item 2.2.1.5 o cargas em parapeitos e balcões

•

item 2.2.1.6 cí> cargas em lajes de garagens

armazenagem de materiais de construção e outros materiais

7.4 CÁLCULO DE ESFORÇOS EM LAJES RETANGULARES 7.4.1 Introdução Os métodos de cálculo de esforços são classificados, quanto à sua natureza, em elásticos ou plásticos. Os primeiros calculam os esforços da estrutura na fase elástica, com base na sua geometria indeformada, sob cargas de serviço. Os métodos plásticos admitem a laje em regime de ruptura, obtendo-se daí as configurações de equilíbrio para o cálculo dos esforços últimos. A seguir, descrevem-se, sucintamente, esses métodos. a) Cálculo no regime elástico O cálculo de esforços e deslocamentos em lajes maciças baseia-se na solução de uma equação diferencial, denominada equação de Lagrange, estabelecida pela teoria das placas. Para materiais elásticos e uniformes, a equação relaciona o deslocamento elástico z de um ponto de coordenadas x e y (Figura 7.8) com a carga unitária por área p, uniforme e normal à superfície média da placa, na forma seguinte:

p (cargo/área) _ + - -t- — — = __ e9x4 ax~.av^ av -L*

j

\

h (espessura)

Figura 7.8 - Placa de material elástico e uniforme

(7.5)

Capítulo' 7 - Calculo" de lajes rnãcíças retângCiláVéà

A rigidez à flexão da placa elástica êdada por:

E h3

_

12 (J

(7-6)

oTíde: h -espessura'da'rJlacá E = módulo" de elasticidade do material v - coeficiente de Pôisson do material. As condições de contorno para solução da equação diferenciai (7.5) são: ^flecha nula:

z —O

(em todos os bordos apoiados)

^•momentonulo:

d2 z/ dx

^ rotação nula:

az / â x = O

2

—O

(Bordbs simplesmente apoiados) (bordos engastados)

Da expressão (7.5), deduzem-se as expressões (7.7) é (7.8), para cálculo dos momentos fletores em duas direções ortogonais na laje: **• M = momento por unidade de comprimento de laje na direção paralela ao eixo "y" ^ M = momento por unidade de comprimento de laje na direção paralela ao

1 Mv = -

-3,2

;j2

-£-L + v —

â x2

â y2

\7 7^

dy*\

â x2

No regime elástico, o cálculo dos momentos nas lajes pode ser feito por diferentes métodos, que variam em grau de aproximação, conforme as ferramentas disponíveis:

300

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

a.1) Métodos clássicos Dos métodos clássicos, o mais antigo é a Teoria das Grelhas ou dos Quinhões de Carga, que consiste na divisão da laje retangular em faixas ortogonais de largura unitária, nas direções x ey, paralelas aos bordos. A carga total por área da laje (p) é também dividida em duas parcelas, chamadas "quinhões de carga", p

x

-f p

y

—p, nas faixas ortogonais.

Cada faixa é então calculada como uma viga submetida à respectiva parcela da carga total. O método é conservador quanto aos esforços produzidos, pois despreza a ligação lateral entre as faixas na mesma direção, obviamente existente na peça monolítica. a.2) Métodos baseados na teoria da elasticidade Têm como base a solução da equação de Lagrange, por técnicas numéricas com diferentes fundamentos e graus de precisão: ^ Integração por séries trigonométricas: métodos de Kalmanok, Czérni e Bares. ^ Integração numérica conduzindo a sistemas de equações lineares: métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos. a.3) Métodos mistos São métodos de caráter prático, que corrigem os momentos obtidos da teoria das grelhas por meio de coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange pela teoria da elasticidade. Desses métodos, o mais tradicional e mais utilizado na prática é o método de Marcus, apresentado neste texto, no item 7.4.3.1. b) Cálculo no regime rígido-plástico Baseia-se na configuração de equilíbrio da laje imediatamente antes da ruptura, após a plastificação dos materiais, considerando atingidos o esmagamento do concreto e o escoamento do aço. Sob a ação das cargas últimas, confirma-

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

se experimentalmente que a laje se divide em painéis rígidos, que giram em torno de rótulas, denominadas "linhas de ruptura, charneiras ou rótulas plásticas", que têm a direção das fissuras na laje, conforme a Figura 7.9, que mostra a configuração provável de ruptura de uma laje retangular engastada nos quatro bordos, sujeita a carga distribuída uniforme em toda a área. Segundo essa configuração, ao se aproximar a ruptura, a laje se divide em triângulos e trapézios, com as linhas cheias no interior da laje representando as fissuras ou rótulas plásticas que se formam na sua face inferior e as linhas tracejadas seriam as fissuras na região vizinha às vigas de apoio, sobre a face superior.

laje em planta fissuras na face inferior da laje fissuras na face superior da laje

Figura 7.9 - Configuração de ruptura em laje retangular engastada nos quatro bordos

Do exposto, com base nos doís métodos descritos - elástico e rígido-plástico -, existem duas alternativas para o cálculo dos esforços nas lajes de concreto armado: (D Calcular os momentos fletores de serviço na laje, Mk, por um método elástico e com eles obter os momentos últimos de cálculo (ruptura da laje), com a majoração: M.a.elasl ,., = 'fy,M,. O dimensionamento das armaduras efeito com J s k os momentos Mdel^ e as verificações aos estados limites de serviço flechas e fissuração, com Mk . É o processo mais simples e a favor da segurança, principalmente no que se refere aos momentos negativos. Em geral, algum balanceamento posterior dos momentos positivos e negativos é conveniente.

301

302

João Carlos Teatini de Souza Climaco

(D Calcular os momentos de ruptura na laje, M,a.plasf ,.,,' ~pelo método das linhas de . ' . •. : r' J ' ruptura, a partir de uma .relação prefixada entre .95 mon^entos,negativos e positivos, em geral tomando-os cqm va|or igual. Das condições de equilíbrio correspondentes, obtêm~se os mqrneptos-últimos, ,que pode.rn ser.diferentes .dos M, ,. ...e^dimensionam-se as armaduras. .O-emprego de algum, método • a.eíasl'- - * < V ! ;- ••..•:•.- • ;•.* , •: >i •• . • • . ' . ; ! • ; ' i \'.>\*' ;. ' - ' ' ; . • - . , • ' , 'i • • ' . • " • • . . '

-- -•

,elástico, é ainda necessário.para se obter os momentos de siervjço, ,Mk, par.a a verificação aos ELS. Na maioria das vezes, essa alternativa é mais económica, pelo balanceamento prévio dos momentos positivos e/.^negatiyos^.rTras-.exige dois procedimentos de cálculo. As normas admitem os dois processos e o projetista pode escolher a opção mais económica, com a segurança adequada aos ELU e funçi.pnalidade aos- ELS flecha e fissuração. A tendência moderna, com a disponibilidade de ferramentas computacionais, é dimensionar as armaduras pela alternativa (D e verificar as flechas nas lajes pela alternativa (D.

7.4.2

Cálculo de momentos nas lajes em uma só direção

7.4.2.1 Lajes isoladas Os momentos fletores são calculados considerando as faixas de largura unitária, paralelas à menor direção, como vigas apoiadas nos bordos maiores. As diversas condições de apoio nesses bordos podem ser vistas na Figura 7.10 (a), a seguir. A armadura principal é calculada apenas para os momentos calculados no vão menor, positivos e negativos. Quanto à direção maior, é exigida uma armadura de "distribuição", obtida como uma fração da armadura principal, como será visto no item 7.6.3.3.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

L

L

In

p

T

•í^^i

U p!2/S

K

p!2/2

p!2/8 a) Lajes isoladas em uma direção

Momentos fletores:

i;

Positivos

L4

L2

p l"; j /3 = JJ vão extremo

M,- = lm

B

fí=J5

vão interno

Negativos

X,j = 2 vãos : /? — á"

H l t u t t TTt l l H U I

"L

f j3 = 8 primeiro e mais de j último apoios 2 vãos 1 i i, f} = 9 demais

"

jV/2

b) Lajes contínuas em uma direção

Figura 7.10 — Momentos fletores em lajes calculadas em uma só direção

303

304

João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

7.4.2.2 Lajes contínuas A edição anterior da norma, a NB-1/78, no item 3.3.2.6, apresentava um processo aproximado, de interesse prático, para o cálculo de uma faixa de largura unitária, paralela à menor direção da laje, tomada como uma viga contínua, como mostra a Figura 7.10 (b). A condição de uso é que os vãos mínimo e máximo nessa direção observem a relação / ruiu . ^.0,81 . Quando essa relação de vãos não é 1 •* ' max s obedecida ou existem cargas concentradas nas lajes, deve ser usado outro método para o cálculo como viga contínua. Pelo método, os momentos fletores máximos (positivo ou negativo), em cada faixa de largura 1 metro, são dados pela expressão abaixo, sendo o coeficiente fi definido na Figura 7.10 (b). Mmax = (g + q)l*//1=pl2//}

(7.9)

Para o cálculo dos momentos negativos, o vão / é tomado como a média dos vãos adjacentes ao apoio considerado, sendo /? igual a 8, para os apoios extremos, e igual a 9 para os apoios internos, quando houver mais de dois vãos, Tomando como exemplo a laje de quatro vãos da Figura 7. 10 (b), os momentos positivos e negativos pelo método da NB-1/78 seriam: =pl*/ll

M2 = pl22/15

=P [d,+l2)/2]2/8

7.4.3

M3 =p 132/15

X23 = p [(l2+l$)/2J2/9

M4 =p 142/11 X34 =p

[fl3+l4)/2]2/8

Cálculo de momentos nas lajes em cruz

7.4.3.1 Lajes isoladas - método de Marcus Para o cálculo dos momentos fletores nas lajes em cruz, ou seja, com relação de vãos < 2, o o método de Marcus é, provavelmente, o mais utilizado no Brasil. Conforme exposto no item anterior 7.4.1 - alínea a.3), é um método elástico misto, que fornece valores satisfatórios para os momentos da laje nos estados limites de serviço, isto é, sob as cargas previstas de uso.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

Em geral, os momentos negativos de cálculo obtidos pela simples majoração Md = yMfrSão conservadores com relação aos momentos de ruptura do cálculo plástico. Dessa forma, pode ser conveniente reduzir os momentos negativos por meio de uma redistribuição em que, para manter o equilíbrio, se aumentem os momentos positivos. O processo de redistribuição de momentos é previsto na NBR 6188 -> 14.7.3.2, por meio de um coeficiente â, relacionado com a altura relativa da linha neutra, x/d, dado por: "a)

õ > 0,44 + 1,25 x/d para concretos com fck < 35 MPa ou

b)

Õ > 0,56 + 1,25 x/d para concretos com fck > 35 MPa"

Os momentos negativos teriam seu valor reduzido para 5M e os positivos aumentados na mesma proporção. Pela Norma, o coeficiente de redistribuição deve observar o limite Õ > 0,75, que impõe que a máxima redução permitida dos momentos negativos seja de 25%, atendidas as condições acima. Para as lajes retangulares apoiadas em todo o seu contorno, o método de Marcus prevê seis casos de cálculo, em função da natureza dos vínculos nos bordos apoio simples ou engaste. Em cada caso, o parâmetro de entrada é o coeficiente /l = / / lx . A condição fundamental para o emprego do método é a definição do vão / das lajes, como mostra a Figura 7.11, a seguir. / : vãos na direção da normal ao maior número de bordos engastados. Havendo igualdade nessa primeira condição, lx será o menor vão. Dessa forma, têmse para o parâmetro Ide entrada nas tabelas 7.6, ao final deste capítulo, as seguintes situações: Casos 1 , 3 e 6 O 1,0 ^ Ã ^ 2,0 Casos 2, 4 e 5 O 0,5 £ À, £ 2,0

305

306

João Carlos Teatíni de Souza Clímaco

Figura 7.11 - Definição dos seis casos de lajes retangulares em cruz peio método de Marcus

Os momentos fietores positivos e negativos em cada direção da laje, por unidade de comprimento, são calculados peias expressões (7.10) e (7.11), a partir dos coeficientes m , m , n ,ni9 obtidos das tabelas 7.6 (a) a (f), ao finai deste capítulo, para os seis casos da Figura 7.11, entrando com o parâmetro A.

momentos positivos o

momentos negativos o

(7.10)

AT =

(7.11)

As tabelas fornecem ainda um coeficiente k , com o qual se obtém o "quinhão" da carga total por área (p) nas direções ortogonais x e y: p p

= kxp e

= (1-k^p. Esses quinhões podem ser usados para cálculo de flechas em

faixas isoladas, com resultados muito conservadores.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

7.4.3.2 Lajes contínuas O cálculo é efetuado como lajes isoladas, por meio de uma decomposição virtual, em que se consideram engastadas entre si as lajes em que haja continuidade sobre o bordo comum. Nos bordos onde não houver continuidade, consideram-se apoios simples. Nas lajes calculadas como peças isoladas, obtêm-se dois valores para o momento negativo no bordo comum com continuidade, que podem ser diferentes, em função dos vãos e das cargas das lajes. Entretanto, na estrutura monolítica, o momento negativo no bordo deve ter um valor único, o que exige a uniformização dos momentos diferentes obtidos naquele bordo. A Figura 7.12, a seguir, apresenta um critério simplificado e a expressão genérica para o cálculo do momento uniformizado, X..ij.nnif.f, ao longo ° de um bordo. Quando as lajes adjacentes apresentam grandes diferenças de vãos, é necessário corrigir, também, os momentos positivos calculados nas lajes isoladas. Tal correção pode apontar diferenças significativas quando a diferença dos vãos contíguos ultrapassa 25%.

Separação para fins de cálculo:

Planta de lajes:

L3

L4

L2

LI

L2

LI

X J3,unif

X.24'

J3

^24,unÍf

• V2

Xij + Xji

L3

L4 X 34

^ij.iinif^

X 43

0,8 (maior deXy e Xj[ Figura 7.12 — Decomposição virtual para cálculo de lajes continuas

307

308

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

7.4.4 Considerações especiais sobre continuidade entre lajes Havendo continuidade entre lajes adjacentes, considera-se para o cálculo haver engastamento perfeito entre elas sobre o bordo comum. Caso contrário, o bordo é tomado como um apoio simples. Vale destacar os casos seguintes, de caráter prático: a) Se no bordo de uma laje não existe continuidade completa, para fins de cálculo considera-se a continuidade (engaste) em todo o bordo se houver continuidade em 2/3 ou mais de seu comprimento; caso contrário, toma-se todo o bordo como apoio simples. A Figura 7.13 mostra os dois casos para a laje L1. O bordo ÂB dessa laje pode ser considerado todo engastado ou simplesmente apoiado, dependendo da razão do trecho contínuo AC para o comprimento ÁB do bordo todo. Em qualquer das situações obtidas, a laje L2 será engastada em L1, pois existe continuidade em toda a extensão de seu bordo AC. Deve-se fazer o equilíbrio do momento J^^ (momento negativo na laje L2 pela continuidade com L1)comXiW:2, nocasodeser^C> 2/3 AB, ou com zero, se AC < 2/3 ÂB. Para fins de cálculo:

seAC<2/3AB:

se AC 2 2/3 AB: flama de lajes

s

A

í:

~ À

s. s.

Í7

L2

/

LI

s

í ot/ í:

C

x v,

*,-

x1 s.

LI

>

N. ri

s vazio s

Ax x x x x

B

x x x

Z2

Í^!^^M e/» ambos os casos

\$ Figura 7.13 - Considerações sobre os apoios em bordos sem continuidade completa

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

b) Não se considera a continuidade entre lajes de níveis diferentes. Na Figura 7.14, sendo a laje L2 rebaixada, as lajes L1, 13 e L4 serão calculadas considerando os bordos comuns a L2 como apoios simples. Para fins de cálculo: Planta de lajes rebaixada de 20cm, em relação ao nível de \

Figura 7.14 - Decomposição de painéis de lajes com níveis diferentes

7.5 CARGAS DAS LAJES NAS VIGAS Para avaliaras reações de apoio nas vigas de bordo de lajes maciças retangulares com carga uniforme, a NBR 6118 -> 14.7.6.1 adota um processo baseado numa análise rígido-plástica, segundo a qual a laje no estado limite último se divide em painéis rígidos, que giram em torno de "charneiras ou rótulas plásticas". Nessa configuração de ruptura, a laje fica dividida em trapézios e triângulos, por linhas de ruptura partindo dos seus vértices, conforme mostram os exemplos da Figura 7,15. O processo admite que toda a carga referente a cada um desses painéis é transmitida como uniformemente distribuída por unidade de comprimento à viga de bordo que é a base dos trapézios/triângulos. Procede-se como se a laje fosse dividida em áreas de influência, por retas inclinadas a partir dos vértices, com os ângulos seguintes: **- 45° — entre dois apoios do mesmo tipo (ambos engastes ou apoio simples); ^ 60° - a partir do apoio engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; ^ 90° - a partir do apoio, quando o bordo vizinho for livre.

309

310

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

p = carga unitária por área nas lajes /

60C

S s" S s* S

V3

_.-\45°

V2

45°f-..

Carga na viga Vi = p.(área i) /li

"s

xN

-* s s ss ^ s-

VI

S" S"

£ S

'')•;

V]

60° """--.,., 3

7

V3 /"'

2

/\45°

bordo livre

V2

Carga na viga V3 — p.(área 3) /h

Figura 7.15-Cargas nas vigas de bordo de lajes retangulares (Método da NBR 6118) A Tabela 7.7, ao final deste capítulo, apresenta expressões para o cálculo aproximado das reações nas vigas de bordo em lajes maciças retangulares com carga uniforme, pelo processo da áreas de influência, para os casos 1 a 6 do método de Marcus (ver Figura 7.11).

7.6 DIMENSIONAMENTO DE LAJES RETANGULARES 7.6.1 Verificação da espessura da laje As lajes maciças apoiadas em vigas no contorno são armadas com armadura simples, em uma só camada, na grande maioria dos casos da prática, pelas razões expostas no item anterior 7.2.3. Deve ainda ser atendido o limite imposto à profundidade relativa da linha neutra, x/â, pela NBR 6118 -> 14.6.4.3, para melhorar a dutilidade nas regiões de apoio sobre as vigas, conforme descrito nos itens 5.4.3.2, alínea b),-e 5.4.4, alínea e), do Capítulo 5. A espessura das lajes de um painel deve ser verificada, portanto, no início do cálculo, para duas condições: dutilidade adequada aos momentos negativos (k ici < 0,272 ou 0,228, conforme a resistência do concreto) e viabilidade de cálculo com armadura simples para momentos positivos (k ,
Capítulo 7 - Cálculo de-lajes maciças retaogulares

3-1 1

painel. Da expressão (5.5), para faixas de |aje delargura unitária como vigas de b = 1,0 m, devem-se verificar as expressões seguintes: ..{y .momentos fletores negativos nos apoios

Sá/ J ck, ^ 35MPfl • •

.•

o 'M-, i Sd.ttiax- ~rM'~ 'fmax &0&72.d?f ?\- cá .

v

(7.12) >

Se / ck, > 35 M?a o M Sa,inaxw = />Af 'max ^ 0£28-'d*f ca. . 'f J

J

J

^-.m.qmentQsfletqres.positivos MJa, w max =?Vtf* ,. d J2 /ca. 'f max ^ A r -maitm

»(7.13) /

.onde.: ^m« = momentafletor máximo (positivo ou n.egatívo), em módulo, para faixas de largura unitária em lajes de mesma espessura h\ ... mdlim

= coeficiente adimensional do momento fletor, n

'

3e4daflexão, com um valor para cada aço (Tabela 5.2 -Capítulo 5); d-h~c- 0/2 = altura útil da laje, sendo c a espessura do cobrimento nominal de concreto e 0 o diâmetro das barrras da armadura principal (ver Figura 7.5); bw = l metro

=

para o cálculo como viga de largura um metro.

Para obter momentos em kgf.m, em faixas de largura unitária, adota-se; d o cm;/^ o kgf/cm2.

7.6.2

Cálculo das armaduras

As armaduras de uma laje, positivas e negativas, são calculadas, em cada direção, como uma viga de largura bw = l m. Conhecida a espessura da laje e o momento fletor de cálculo por metro.de largura de laje, em cada direção, procede-se como no cálculo de armadura de vigas, exposto no Capítulo 5:

312

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

k

=

J»fM

(7-14)

mã

com: Msd O em kgf.m; d O em cm;fcd O em kgf/cm 2. Calculado o coeficiente kmd , obtém-se o valor de k (da Tabela 5.2), com o qual se determina a armadura por metro de laje, em uma dada direção:

A =_^_

(cm2/m)

(7.15)

com: Msd O em kgf.m; d O em metros; f ^ O em kgf/cm 2. Obtidas as áreas de armaduras rpositivas (Á ^ sx* ,À '

(A sy+)' e negativas ° ^ sx~,Á ' sy~\em /'

cm 2/m, a Tabela 7.5 fornece as bitolas das barras e espaçamentos, com as seguintes observações; a) É recomendável adotar espaçamentos s >10 cm, visando obter um bom lançamento e adensamento do concreto. b) O uso do aço CA-60 em lajes resulta em economia, pelo maior valor da tensão de escoamento f

d

e pela disponibilidade de bitolas mais finas que 5 mm.

Especial atenção deve ser dada às precauções quanto ao cálculo no domínio 2, situação muito comum em lajes, em especial para os momentos positivos, para prevenir a ruptura frágil e deformações excessivas das armaduras. As disposições para armadura mínima, do item 7.6.3.1, a seguir, devem ser atendidas. Para valores de k x <> 0,05 (ou kma, < 0,014), pode-se adotar ' ^ ' Jjrdiretamente^4 = Á

..

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

7.6.3

Prescrições da NBR 6118: 2003

7.6.3.1 Armadura mínima em iaj es Conforme dispõe a NBR 6118 -*• 9.3.3.1: "Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras máximas e mínimas são os dados no item 17.3.5.1. Como as lajes armadas nas duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dados para elementos estruturais lineares". Quanto às armaduras mínimas, estabelece: "Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 19.1. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou portelas soldadas", ATabela7.3, a seguir, extraída daTabeia 19.1 da norma, apresenta as taxas de armadura mínima para as lajes de concreto armado. Como esclarece a norma, as lajes em cruzou calculadas nas duas direções dispõem de mecanismos resistentes adicionais ao elementos lineares, pelo funcionamento como placa, e, por isso, valores menores são admitidos para as armaduras positivas mínimas. Tabela 7.3 - Taxas de armadura mínima para lajes de concreto armado

// p,=A,/(bvh)

Armaduras Negativas

Ps* P min

Armaduras Positivas Lajes em uma direção Lajes em cruz Principal Secundária Principal: p szQ,67pmln Secundária:^ s è 0}2ASipt,ínc

PsZPmto

ps2Q,5pmín As > 0,2ASiprinc As è 0,9 cm2/ m

As taxas p da Tabela 7.3 são referidas aos valores de 'p mm. , da Tabela 7.4, "s também extraída da norma. Para se obter as armaduras mínimas da laje, positivas e negativas, em cm2/m , entra-se com h em. cm e bw = 100 cm na expressão:

313

31-4

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Tabela 7.4-Valores de p . (NBR 61f8 ^M7.3;5:2.1) " min ^ J

45

50

0,259

0,288

.25

0,1.5

0,15

0,173

0,23

0,201

7.6.3.2 Bitola das barras da armadura Não é definido um .limite inferior para-a;bitola;,entretanto, não devem ser utilizadas barras com bitola inferior,a 3,4 mm, a menos de telas soldadas. AMBK 6118 -»• 20.1 determina a bitola máxima da armadura em função da.espessura da laje: h/8 (h = espessura da laje)

(7.17)

7.6.3.3 Armadura de distribuição em lajes em uma só direção A armadura de distribuição de lajes em uma só direção é paralela ao maior vão, sendo fixada como 1/5 da armadura principal, calculada, como indicado na última coluna à direita da Tabela 7.3, na forma seguinte:

A s,aist ,,. =A s,pnnc . /S k 0,5p . k 0,9 cm2/m * min }

J

(7.18)

7.6.3.4 Espaçamento das barras da armadura Segundo a NBR 6118-* 20.1: "As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores. A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm.

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

315

A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal". Com a prescrição do espaçamento máximo de 33 cm, a norma impõe o mínimo de três barras por metro para as armaduras de lajes. Pode-se concluirtambém das disposições da norma que a área mínima absoluta para as armaduras positivas e negativas é 0,9 cm2/m. As alternativas seguintes podem ser adotadas peio projetista para o detaihamento das armaduras, condicionando os espaçamentos e o comprimento das barras: a) Armadura corrida (D Barras retas de mesmo comprimento em cada direção, de face a face (externas) das vigas de bordo. Espaçamentos: armadura principal o s < 2h ou 20 cm\a o s' < 33 cm. (D Barras retas com dois comprimentos em cada direção: metade das barras de face a face (externas) das vigas de bordo e a outra metade concentrada na região central, à distância 0,21 do centros das vigas, sendo / o vão menor. Espaçamentos: armaduras principal e secundária O s < 16,5 cm (Figura 7.16 a). b) Armadura alternada Barras retas alternadas, a partir da face externa de cada viga de bordo, de mesmo comprimento em cada direção, igual ao respectivo vão teórico menos 0,21 , sendo / o vão menor. Espaçamentos: armaduras principal e secundária O s < 16,5 cm (Figura 7.16 b).

f

s*

3 16

João Carlos Teatíní de Souza Clímaco

_J

L

Q,2L

0.5A* 0,5A,y

0,2

0,2l l^ly

armadura principal: s

2h

niO,2lx

0,21*

r

armadura secundária: s' ^ 33cm

Figura 7.16 -Arranjo de barras das armaduras positivas em lajes apoiadas em quatro vigas

7.7 DETALHAMENTO

7.7.1 Recomendações básicas O desenho das armaduras das lajes é feito díretamente sobre a planta de formas da estrutura do pavimento. A Figura 7.17 mostra um exemplo de detalhamento de armaduras positivas, com o desenho feito sobre um trecho da planta de formas. As seguintes regras básicas devem ser observadas: a) Na planta de armadura de lajes, desenham-se em cada laje, no máximo, duas barras representativas da armadura de cada direção, positiva ou negativa. Ao longo dessas barras, anotam-se as informações seguintes: número de barras iguais naquela direção, bitola, espaçamento entre barras e comprimento unitário. b) Uma convenção comum nos desenhos de ferragens de lajes adotava a representação das barras da armadura positiva por linhas cheias e da negativa por linhas tracejadas. Com o advento do cálculo informatizado, essa prática caiu em desuso.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

317

c) Não devem ser superpostos os desenhos de armaduras positivas e negativas, quando houver possibilidade de confusão na planta. Em estruturas com simetria em planta, podem-se desenhar as armaduras positivas de um lado e as negativas do outro. d) Todas as barras da planta com mesma bitola, comprimento e formato recebem um número de ordem ou posição, com que serão identificadas no quadro analítico de ferros. e) Na planta de armaduras de lajes devem constar as informações: resistência característica do concreto, f

' a(s) classe(s) de aço empregada(s) e os

respectivos quadros de armadura "analítico" e "resumo", descritos no item 7.7.3.

1 —\J

0,50]

0,80

5-(415e2-

R"

=5

-s

"T.

24$ 5.0 ci'16-435 245,Qc/]6-(515e355)

ar

0,50 1

o,so

4.

~4-

* O,2x4m

0,80

7.7.2 Arranjo de armaduras negativas As barras da armadura principal de tração sobre os apoios, denominada "negativa", situadas na face superior da laje, devem se estender para cada lado, a partir do eixo da viga de apoio, de acordo com um diagrama triangular de momentos (Já deslocado), com o espaçamento das barras não excedendo 20 cm ou 2 h.

0,80\a 7.17 — Detalhamen

318

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Em lajes retangulares contínuas de edifícios sob carga distribuída uniforme, com a sobrecarga e a carga permanente observando a relação q <> g, não é necessário determinar o diagrama exato dos momentos negativos. Conforme dispõe a publicação Prática recomendada Ibracon ~ comentários técnicos NB~1 (2003), na ausência de determinação das distribuições de momentos, desde que as vigas de apoio sejam suficientemente rígidas (ou seja, deve-se ter cuidado especial no caso das chamadas "vigas chatas") e não seja necessário considerara alternância de cargas, as armaduras negativas podem ser dispostas conforme os arranjos seguintes, representados sinteticamente na Figura 7.18, a seguir. <* Em bordos simplesmente apoiados, portanto sem continuidade, em se tratando de lajes com valores de cargas e vãos elevados (ern geral, superiores a 6,0 m), devem-se prever armaduras específicas junto às faces superiores, para prevenir fissuras paralelas às vigas na região próxima a esses bordos. As barras são normais ao bordo, com espaçamento uniforme, sendo sua área uma fração (0,25) da armadura positiva da laje paralela ao bordo, como mostra a Figura 7.18. <* Nos cantos sem continuidade, é necessária ainda uma armadura em ambas as faces, para se combater os "momentos volventes", originados de uma tendência de elevação dos cantos da placa, com a inversão das reações nesses cantos, de cima para baixo, nos extremos das vigas de apoio. Elas têm por objetivo evitar fissuras diagonais nos cantos, que surgem na face superior, quando há restrição ao deslocamento vertical da borda, e na inferior, em caso contrário. Essa armadura é estabelecida como uma fração (0,75) da maior armadura positiva na laje, com barras nas duas direções, dispostas nas faces superior e inferior. Na face inferior, a área dessa armadura adicional incorpora as barras positivas existentes.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

Para momento volvente: ambas as faces da laje A ^n n'*À .

face superior Á,^0,25Á^i Ixi

/

y

^^

1x2^1x1

;

-*! i^ i

T

I

m

°'21"

L' 0,251,2

__ Q 2I,j r

i

^i

^

@

©

•JX

Jft í

0,251,

i

V

ly > L,

ft2 Jf

face superior _L J.

1

tttt

tr l

j

ft2'"[[

^í

Figura 7.18 -Armaduras negativas para duas lajes apoiadas em vigas

*> No caso de cruzamentos de vigas, mostrados em planta na Figura 7.19, a norma não estabelece um procedimento específico para detalhamento de armaduras negativas. Nesses cruzamentos pode ocorrer uma concentração excessiva de ferragem que dificulta o lançamento e o adensamento do concreto. Um critério prático que pode ser adotado, quando apenas um apoio é interrompido, como mostra o esquema em planta à esquerda da figura, consiste em interromper a ferragem negativa sobre ele, entre as lajes L2 e I_3, no exemplo. Quando duas vigas se cruzam no mesmo nível, como no esquema à direita, mantém-se a continuidade da armadura de maior área, representada na figura pelas barras negativas entre L1-L3 e L2-L4, interrompendo-se as demais. Esses critérios, mostrados na Figura 7.19, são recomendados no livro Curso prático de concreto armado, vòl.1, do prof. Aderson M. Rocha, a publicação mais usada por projetistas de concreto no Brasil, nas décadas de 1960-1980. No entanto, como não constam da norma, seu emprego deve ser bem avaliado em casos de lajes com grandes vãos e/ou cargas.

319

3 20

João Carlos Teatini de Souza Climaco

_J

L

L

_J — ••

3 O

n j

1—

w

; u

- •~ • --

LI

3

1 1

J D

5

1

l_l L l l L 1 1

u 3

L)

3 1

3 u

=

i i

1

.

-J.JL- __!..-.

2

Í IJ

i i i i 1 i i i i i i

L2

-- I I — -

/--

_

-L

—

T

L2

,.

-

.J.. 14 L-L

L3

LB

interrompe-se a armadura sobre a viga que termina

r i

--_ — - — -,

/-interrompem-se as armaduras de menor área

Figura 7.19 - Interrupção de armaduras negativas de lajes sobre o cruzamento de vigas

Nas lajes em balanço, como os momentos fletores diminuem no sentido do engaste para a borda livre, a armadura negativa não é necessária em toda a sua extensão. Dessa forma, pode-se adotar o arranjo da Figura 7.20, conforme dispõe a Prática recomendada Ibracon — comentários técnicos NB-1 (2003). A metade das barras da armadura negativa total deve ser disposta na face superior em toda a extensão do balanço, sendo ancoradas na laje interna com o mesmo comprimento reto. Para a segunda metade, as barras são intercaladas com as da primeira, estendendo-se até a metade do balanço e ancoradas com o mesmo comprimento na laje interna.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

.—__—.^_^_^_.

na face superior •±

0,5ÁS 0,5ÁS

' (W*

—i

1

0,5lx

LI

L2 laje em balanço

Figura 7.20 -Arranjo de armaduras negativas de lajes em balanço

7.7.3 Quadros de armadura Em todas as plantas de armadura de estruturas de concreto armado, devem constar dois quadros de armaduras, Analítico e Resumo. Para cada painel de lajes, o Quadro Analítico apresenta a quantidade total de barras de mesma posição ou número de ordem N, que identifica barras de mesma bitola, comprimento e desenho, para as diferentes bitolas utilizadas, com os respectivos comprimentos unitário e total. Esse quadro é utilizado para o corte e a montagem das armaduras. No exemplo simplificado a seguir, as posições N1, N2 e N3 indicam barras retas de mesma bitola (5 mm] mas com comprimentos unitários diferentes. Essas barras podem ser usadas em diferentes lajes do painel, mesmo que os espaçamentos sejam diferentes nas lajes. Em geral, as posições são ordenadas com as bitolas crescentes, como no exemplo.

321

322

João Carlos Teatini de Souza Climaco

Quadro Analítico (exemplo) N° de ordem (Posição)

^ (mm)

Quantidade 200

N2

5,0 5,0

N3

5,0

N4 N5

NI

Comprimento (m) Unitário

Total 300

100

1,50 2,00 4,00

6,3

100

3,00

300

6,3

50

4,00

200

150

300 400

A partir do Quadro Analítico, elabora-se o Quadro Resumo, usado na elaboração de orçamentos e compra de armaduras. O peso total das barras correspondentes a cada bitola é obtido multiplicando-se o comprimento total referente a cada bitola, do Quadro Analítico, pelo peso por metro linear, fornecido na Tabela 4.4. Deve-se prever, ainda, um acréscimo no peso total, da ordem de 5 a 10%, para prevenir perdas inevitáveis com o corte de barras na obra. Quadro Resumo (exemplo) Bitola O

Comprimento total (m)

Peso (kgf)

5,0 6,3

1000 500

160 120

Total:

2.120

7.8 EXEMPLOS Para o painel de lajes da Figura 7.21, todas de mesma espessura 9 cm, calcular os momentos fletores e dimensionar as armaduras, positivas e negativas, para uma sobrecarga de utilização de 2,5 kN/m3, sendo a carga

Capítulo 7 -GálGUlo-de'.lajes maciças retangulares

correspondente aos revestimentos .superior e inferionda laje de 1,0 kN/m2, •concreto com •*f CK, — 20 MPa e aço GA-60. *

2,50

Cs

N'

LI

0,9

3,50m

2,50

"^

\ /

L2

\{

L3 ""1

*

L4

/ x f

h = 9cm

L5

C3


s

Figura 7.21 - Planta de lajes do exemplo 7.8 a) Definição dos apoios das lajes l_1 o

calculada nas duas direções ou em cruz (2,5/2,0 = 1,25); engastada em L2 e L4; caso 3 do processo de Marcus;

L2 O

calculada em uma direção (2,0/0,9 =2,22); biengastada, em L1 e L3 (momentos no vão / = 0,9 m O M = pP/24; X = p

L3 O

laje em cruz (5, 5 / 3,5 = 7,57), engastada no bordo comum com L2 e L4 e apoio simples com L5, pois 2,0 < (2/3} 5,5 = 3,67', caso 2 do processo de Marcus;

L4 o

laje em cruz (3, V3, 4 = 1,03}, engastada em L3 e no bordo comum a L1 e L2 (alguns autores não consideram continuidade em bordos de comprimento inferior a l, O m] mesmo se aplicado esse critério, ainda seria considerado engaste pois no trecho contínuo tem-se 2,5 > (2/3) 3,4 = 2,28; caso 3 do processo de Marcus;

.323

324

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

L5 O laje em cruz (2,5/2,0 = 1,25), engastada em L3; caso 2 de Marcus. b) Avaliação das cargas nas lajes

/ Peso próprio da laje:

..g = 25,h = 225 kgf/m2

= 2,25 kN/m2

/Revestimento:

100 kgf/m2

= 1,00 kN/m2

S Sobrecarga (q):

250 kgf/m2

= 2,50 kN/m2

/Cargatotal:

575 kgf/m2

= 5,75 kN/m2

É prática comum se adotar múltiplos de 50 kgf/m2 para a carga total de lajes. Dessa forma, para todas as lajes do exercício, será adotada a carga O p = 600 kgf/m2 = 6,0 M/m2. c) Cálculo dos momentos A Figura 7.22 apresenta a planta de lajes do exemplo, que é utilizada como planilha para o cálculo dos momentos nas lajes pelo processo de Marcus, por meio das expressões (7.10) e (7.11). Em cada uma das lajes em cruz da planta, escrevem-se os valores da relação de vãos à = / / / , parâmetro de entrada das seis tabelas de Marcus (Tabelas 7.6 a~f), com os respectivos coeficientes obtidos para os momentos mx ,m y ,n x ,n y . No cruzamento dos eixos, anota-se o valor da carga total de cada laje, p = 600 kgf/m2. Os momentos positivos são escritos ao longo dos eixos:c ey e os negativos junto ao bordo comum a duas lajes. Em um retângulo junto a cada bordo, registrase o momento negativo uniformizado, obtido da expressão apresentada no item 7.4.3.2. No bordo entre as lajes L1, l_2 e L4, por exemplo; o momento negativo de L4,431 kgf.m, é uniformizado, separadamente, com os momentos 272 kgf.m e zero, resultando no momento único neste bordo de 345 kgf.m, igual a 0,8 vezes o maior momento no bordo, 43 J kgf.m. No bordo de L3 com L2 e L4, a uniformização de 865 kgf.m com 459 kgf.m e 41 kgf.m resulta no momento negativo de 692 kgf.m. Entre L3 eL5,entreOe237Â:g/?m, prevalece também 0,8 do maior momento = 190 kgf.m.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

(LI) * \ X

f

,

à =1,25 /J/j. —2jtj

nx=ll,3 í

o.

1„„

600

cá

^v_X

'

1

y> [ r-i

=0

--t

à =1,03 mx =3 '5,1 nx =15,1 m =37,2 ny, =16,1

,

*.

. 20 :

y voí *-i 50 * "í 12 : 'u 1 1 1 n \345\'" -431 ny~

\.

; 1 (B ':

j_

*

*

•%

•

•'

i/ £T

\ •^ i ,

i ii

D. C (1

/' *\

r c r

^=A57

^

/

mx =7
Y^

/ *\.

397

'-.

\.

^/^

'-f

o," • "o

600

/

'•

/

—i JC

/

--i;

1 s—' (T~~A\

•-

*.

y\^

^

^

196

à =0,80 mxo\ =44,7 nx =13,8 my=34,3

ín 1

5

600

84

Figura 7.22 - Planta de lajes com momentos calculados pelo método de Marcus

d) Verificação da espessura das lajes É uma etapa que precede o dimensionamento das armaduras, tomando-se o momento máximo, positivo ou negativo, em valor absoluto, de todo o painel. No exemplo, trata-se do momento negativo uniformizado entre as lajes L3 e L4, 692 kgf.m, do qual se obtém:

MSa.inox w - 1,4 Mmax =1,4 x 692 = 969 kgf.m ' ' *-" Supondo a classe de agressividade ambiental fraca, CAA l, e adotando a mesma altura útil para cálculo das armaduras positiva e negativa, a favor da segurança, das expressões (7.1) tem-se: á~h-2,5 cm = 6,5 cm. Da expressão (7,12), com a resistência de cálculo do concreto fc(j= 200/1,4 = 143 kgf/cm2, é atendido o momento resistente limite para garantir a dutilidade da laje nos

c • c 0

n

x-T

(L5)

^

c a

c

X

^

apoios: MM = 0,272 x 6,52 x 143 = 1.643 kgf.m.

325

c •^ t c

326

João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

Sendo Ms^inax < MRd, da expressão (7.13), a espessura da laje é suficiente para ter todas as lajes com armaduras simples, podendo até ser reduzida, dependendo da verificação de flechas, apresentada no Capítulo 8, Todas as , - , ' ' • ' V ~. •

• . . •-• •• -r -'

'•£•_- 'i V; H , V , s

» ,

, ., _ ; : f v- '

'• :,•

•• •

• ". 'ri

'-•-

lajes ppderãa então, ser^ar.rnadas com Armadura sjmples. e) Cálculo das armaduras As planilhas seguintes apresentam as áreas calculadas de armaduras positivas e negativas, (barras corridas). Os .coeficientes kmd vê.rryda expressão .(7,14), com o mesmo denominador para as lajes de mes.ma espessura; 6,52xl43 — 6.042. Os coeficientes kz são obtidos da Tabela 5.2, as armaduras da expressão (7.15) e as bitolas e espaçamentos da Tabela 7.5. Conforme o final do item 7.6.2, para cálculo no domínio 2, sendo k

d

ú 0,014,

adota-se diretamente a armadura mínima. Da expressão (7.16) e Tabelas 7.3 e 7.4, tem-se: ^ armadura negativa mínima entre todas as lajes e positiva principal da laje L2, em uma só direção: A

t

= 0,0015 x 100 x 9 = 1,35 cm2/m

O 0 5,0 c.14 cm = 1,4 cm 2/m. ^ armaduras 'positivas nas lajes em cruz: A s.niin. = 0,67 x J,35 cm2/m = J ' 0,9 c/77 Vm O
Para valores de kind > 0,014, calcula-se a armadura da expressão (7.15) e, caso inferior à área mínima, esta será adotada. Observadas as prescrições do item 7.6.3, na escolha das bitolas e espaçamento das barras, optando pelo detalhamento com armadura corrida (item 7.6.3.3, alínea a-®), procura-se adotar

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangutares

o menor número de bitolas diferentes, para maior economia. O espaçamento máximo da armadura principal positiva e armaduras negativas é imposto pelo limite 2h = 18 cm < 20 cm. A seguir, são apresentadas as planilhas de cálculo das armaduras positivas e negativas, em barras corridas, com a última coluna à direita mostrando as bitolas das barras adotadas e respectivos espaçamentos.

Armaduras positivas das lajes (armadura corrida)

Laje L1 L2 L3 L4 L5

Direção

M (kgf.m) Md (kgf.m)

k>nd

kz

Á s (cm 2/m)

As($, esp.)

x

93 60

130 84

0,021 0,974 0,014 0,980

0,90 0,90

$5,0c.l8 05,0c.21

principal distribuição

20

28

0,005

1,40 0,90

$5,QcJ4 $5,0c.21

x

397 124

556 174

0,092 0,931 0,029 0,968

1,76 0,90

$5,0c.ll $5,0c.21

x

196 186

274 260

0,045 0}955 0,043 0,954

0,90 0,90

$5,0c.l8 $5,0c.21

x

84 109

118 153

0,020 0,974 0,025 0,972

0,90 0,90

05tOc.21 $5,0c.28

y

y y

y

min

327

3 28

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Armaduras negativas das lajes

3

•n .> •o j u >

u

Entre lajes X(kgf.m)

r

í.

As(0,esp.)

1,4

$5,0c.l4

345

483

0,080 0,937

1,82


L2-L3 L3-L4

692

967

OJ60 0,894

3,19

$8,0c.l4

L3-L5

190

266

0,044 0,958

1,4

3>5,0c.l4

L2-L4

O D

A s (cm 2/m)

0,025 0,972

L1 -L4

3

^z

153

Í 3 1 J

lK-md

109

L1 -L2

3

•a

Xd(kgf,m)

Capitulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangutares

7.9 AUTO-AVALIAÇÃO 7.9..1 Enunciados 1. Para a planta de lajes da Figura 7.23 a), de pavimento destinado a escritórios, todas com mesma espessura 10 cm, calcular as armaduras positivas e negativas das lajes. Adotar o concreto com fek = 20MPa, classe de agressividade ambiental fraca e aço CA-60. 2. Dimensionar as armaduras da laje L da Figura 7.23 b), destinada a garagem de edificação residencial. Determinar as cargas unitárias transmitidas às vigas de bordo. Piso com lajotas cerâmicas de espessura l, O cm, assentadas com argamassa de cimento e areia de espessura 1,5 cm e revestimento inferior da laje com argamassa de cal, cimento e areia de espessura 0,5 cm. Concreto com fck — 30 MPa; classe de agressividade ambiental forte e aço CA-50. 3. Para a laje L da Figura 7.23 c), destinada a depósito de papel, calcular a espessura mínima (valor inteiro em cm) e a correspondente carga máxima por m2, para o dimensionamento como normalmente armada com armadura simples. Calcular as armaduras da laje para o concreto com fck = 25 MPa, classe de agressividade ambiental moderada e aço CA-50. 4. Dimensionaras armaduras das lajes da planta da Figura 7.23 d), com espessura O, l O m, sobrecarga de serviço de 2,0 kN/m2, revestimentos superior e inferior com l,O kN/m2, fck = 25 MPa e aço CA-60. Determinar o carregamento da viga V2, admitindo todas as vigas da planta com seção 15 x 45 cm2. Sobre todas as vigas, supor que sejam assentadas paredes de tijolo cerâmico furado, com espessura acabada de 15 cm e pé direito 2,40 m. 5. Para as lajes da planta da Figura 7.23 e), todas de mesma espessura h = 8 cm, sobrecarga de uso de 3,0 kN/m2, fck = 20 MPa e aço CA-50, calcular as armaduras positivas e negativas.

329

330

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

P2

P3

m

6,00m

VI

-Q

S

>± Ji '

LI

t,

4

L

x /-*.^ x x xl

P4

3

1

P5

K2a

12

TV

V3a

4,20

/ / t i

Q

t * /

PS

V2b

P6

V2 b) Exercício 2

$ ^

L3

73b

'

P9

5,20

\ sobre as lajes de tijolo cerâmico furado: j pé-direito: 2,50m; espessura: QJ5m a) Exercício 1 c) Exercício 3

^ 2,00m o

5,00m PI

m

-rn

Vla

LI P4

3Mn

V2a

S P5

;,5m 2,0m 1,0 2,5m * } 1; 1;

12 V2b

g

L2

Pó

\.

1V Cs d

v

pó

L4

L3

L4

£

£

L5

.'•' K3fl

p,? d) Exercício 4

K3è

-^ e) Exercício 5

Figura 7.23 — Plantas de lajes dos exercícios de auto-avaliaçao do Capítulo 5 (escalas diversas)

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

7.9.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. A laje L1 tem a relação de vãos maior que dois, sendo calculada em uma só direção, paralela ao vão menor, como engastada em L2 e L3 e simplesmente apoiada no bordo oposto. Têm-se todas as três situações de cálculo da Figura 7.7 b): um trecho à esquerda de 2,0 m, com a carga concentrada da parede perpendicular ao menor vão; um trecho de 1,60 m, adjacente a L3, com a carga distribuída da parede paralela ao menor vão; e dois trechos, ao centro e à direita, apenas com a carga permanente e sobrecarga. Os momentos fletores são obtidos dos diagramas respectivos da Figura 7.10 a). Para a armadura positiva principal de L1, paralela ao vão menor de 3,20 m, pode-se adotar em toda a extensão da laje a armadura calculada com o maior dos momentos positivos dos dois trechos de carregamento com paredes, a favor da segurança, mas facilitando a execução. As lajes L2 e L3 são em cruz. A carga da parede em L2 é dada pela expressão (7.3). Para a armadura negativa entre as lajes L1-L2, adotar o momento negativo do trecho com carga concentrada, equilibrado com o de L2. Analogamente, entre L113, adotar o momento negativo do trecho com carga distribuída, equNjb.rado com o correspondente, de L3. 2. Adotar a espessura mínima de laje do item 7.2.3, alínea c). Na NBR 6120, figuram os pesos específícqs dos materiais de construção (Tabela 1) e o valor mínimo da carga acidental (Ta,bela 2). Caso necessário, fazer a redistribuição dos momentos do segundo parágrafo do item 7.4.3.1 deste capítulo. Para obter as cargas por unidade de comprimento das vigas, verificar na Tabela 7.7, no caso 2, em qual dos dois tipos a laje se enquadra. 3. Para a sobrecarga de utilização, fazer um desconto de 20% na área total da laje, para fins de circulação, tomando o y o ej = 15 kN/m3, da NBR 6120. Nas expressões (7.2) e (7.10), o peso próprio e os momentos fletores característicos podem ser expressos em função da espessura h. Para cálculo como^ normalmente armada, tomam-se os coeficientes no, limite dos domínios 3-4,

331

332

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

ou seja, o momento máximo resistente da expressão (7.13), em função da altura útil dt relacionada à espessura pela expressão (7.1). 4. Conforme explica o item 4.2.2, do Capítulo 4, pode-se considerar a viga V2 como contínua, simplesmente apoiada nos pilares P4, P5 e P6. As vigas V5, V6 e V7 transmitem cargas concentradas em V2, podendo ser admitidas como biapoiadas. Para as cargas em V2, V6 e V5 das lajes L1 e L3, em uma direção, na Tabela 7.7, adotam-se os casos 2 (2^ tipo) e 3, respectivamente. Em razão do trecho vazio entre as vigas V7 e V8a, o bordo V7para a laje L4, sem continuidade, é considerado apoio simples. Para L2, o trecho contínuo em V2b é menor que 2/3(3 ni)\ esse bordo também é um apoio simples. 5. Atenção às condições de apoio da laje L4, no bordo comum a L5, e 15, no bordo comum a L3, em função da descontinuidade parcial nesses bordos, adjacentes ao vazio.

Capítulo 7 - Cálculo de lajes maciças retangulares

Tabela 7.5 - Área da seção de barras da armadura passiva por unidade de comprimento (cm2/m) em bitolas padronizadas da NBR 7480: 1996 (EB-3)

Bitolas 0 (mm)

Espaçamento

(cm)

3,4 (1)

4,2<1>

5

6,3

8

10

12,5

16

7,0

1,30

1,98

2,81

4,45

7,18

11,22

17,53

28,72

7,5

1,21

1,85

2,62

4,16

6,70

10,47

16,36

26,81

8,0

1,13

1,73

3,90

6,28

9,82

1,07

1,63

3,67

5,91

9,24

9,0

1,01

1,54

2,18

3,46

5,59

8,73

9,5

0,96

1,46

2,07

3,28

5,29

8,27

15,34 14,44 13,64 12,92

25,13

8,5

2,45 2,31

10,0

0,91

1,39

1,96

3,12

5,03

7,85

12,27

20,11

11,0

0,83

1,26

1,79

2,83

4,57

7,14

12,0

0,76

1,15

2,60

4,19

6,55

11,16 10,23

16,76

2,40

13,0

0,70

1,07

1,64 1,51

14,0

0,65

0,99

1,40

2,23

3,87 3,59

15,0

0,61

0,92

1,31

2,08

3,35

16,0

0,57

0,87

1,23

1,95

3,14

16,5

0,55

0,84

1,19

1,89

17,0

0,53

0,81

1,16

1,83

18,0

0,50

0,77

1,09

1,73

23,65 22,34 21,16 18,28

6,04

9,44

15,47

5,61 5,24

8,77

14,36

8,18

13,40

7,67

12,57

3,05

4,91 4,76

7,44

12,19

2,96

4,62

7,22

11,83

2,79

6,82

11,17

19,0

0,48

0,73

1,03

1,64

2,65

4,36 4,13

6,46

10,58

20,0

0,45

0,69

0,98

1,56

2,51

3,93

6,14

10,05

21,0

0,43

0,66

0,94

1,48

2,39

3,74

5,84

9,57

22,0

0,63

0,89

1,42

2,28

9,14

0,60

0,85

1,36

2,19

3,57 3,41

5,58

23,0

0,41 0,39

5,34

8,74

24,0

0,38

0,58

0,82

1,30

2,09

3,27

5,11

8,38

25,0

0,36

0,55

0,79

1,25

2,01

3,14

4,91

8,04

26,0

0,35

0,53

0,76

1,20

1,93

3,02

4,72

7,73

27,0

0,34

0,51

0,73

1,15

1,86

2,91

4,55

7,45

28,0

0,32

0,49

0,70

1,11

1,80

2,81

4,38

7,18

29,0

0,31

0,48

0,68

1,07

1,73

2,71

4,23

6,93

30,0

0,30

0,46

0,65

1,04

2,62

4,09

6,70

31,0

0,29

0,45

0,63

1,01

1,68 1,62

2,53

3,96

6,49

32,0

0,28

0,43

0,61

0,97

1,57

2,45

3,83

6,28

33,0

0,28

0,42

0,60

0,94

1,52

2,38

3,72

6,09

apenas para o aço CA-60

333

otoco~-jO)Oi-d.toro-i

•SitAjCoCototoCOCjCjCo

tONDK)KJN)toroMMfO - A O O O O O O O O O O OíOCo-vICTlOi-ti.UjK)-*, OtOCD--JO)Ol-í4,tOKi~i OtQOa--JO)tíi
rf1*-

oooooooooo cocacococnCQCDCococo i •~j~JO)ajaicncnui-ti--íi.

^^>.^.4>.^4>-^.ji,^U C J W W É O w c O C J W C O W W W W O J O i C O W C J C J W C O C O C O U U U C O C O O J W C O C O t O O J W C O f j W W O J [ O W - i . —i - i O O O O C O t D C D C D C Q t » C O C O - J - - J —J - J O J c n m a i O i c n m a i u i 4 i - C i . J v 4 v - t v O J C O C O W W N 3 K > r o f o r o i - o ; z j . - i - i w o Vi tu To "co "ai V -i oo O ) O J - i - C O O 5 t O - i O 3 O l C O - Í C D O I J X Í O O —j o i a i - i to Vi "iji "to li CD ~j"cji"oj-i "CD Vi cji .t- to o "CQ Vi 01 "-í»

,

- i - J . j . j . - i . - i j . j . - v N ) _M KJ _tO js3 W M NJ j\ JO M NJ K) _CJ _W (J CO CO W W W , p O p p p p p p p O O) "O) -J Vi 'M ~co "oo 'co "(D "to O O ^-i "^A "tO N3 W "W ~OJ 4v "cn "01 "m ai *-j Vj "co ^o "CD "o "-i l* "tO W V jv "01 O) Vi "co "CD "(D "o ^* Io co Tu Vi cn ca

O O O O O O C 3 O O O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o (O(DCDU2CD
i

^i

H*

^

H

v^

í" II

tororoiON)K)roro(oro roNJMfOtotorotoioioK) 5! O o "(D "to c o c n V i V i a i o ia i a ) t J i u i O i t n o i - í i - - í i . j v ^ ,

Q3 Co Co CO O ( n i £ > t o t o t o < a c a t o < o toO VODJ CCOO -CDS OCol tCO -NjCTioioioiOíOioioicn oitnoiCflOiOiOiOitJiOi ít-txtOÍO-i. O
oooooooooo

V,. H

c j i o i u i t n t j i c n c n a j c n o - ~ J - 4 - J - - 4 - - J C O C o C O C O t D I D t O O O O - i —>. -* tO ÍO f o c o w ^ - - í ' - N m t J i O j a i ' - j 5í f O 4 * . c n - ~ J ( D - ^ N ) ^ - a i c o O N > - £ « . - j < a - i - t . . a j c o r o en Vi o "w Vi o w -J o V c o r o o i o t n t o * - ( D J i . ( O ^ . K

WGJCOGiWtOtOOJCJW roioforotowN)rot-oro MNJroiororois3N)roro -'•-"•OOOOOOOO CD(D(DtDtDtDCD(DCÚCO cococococacococococo N J - i l O C o O U l C J f O - ^ O C O - ~ 4 O ) t n j i . W — " - O C D t D C O - J O í O l ^ v C J W N J —i -*

W^.4vJi.-U^.4>--ts--ti-Ol CDO-^.fs3-í*OlO)C»CO-i

COO5COO3COCOCOOPO3CO -UGJWMIOM-^-iOO

oooooooooo oooooooooo OOOOOOOOOO oooooooooo O O O O O O O O O O O :^ Vj Vi Vj V] V] Vj -j V] V] V í V i V j V j V j V j V j V j ai 01 o a i c D O T O j o i C J J c n o c n c n c n t n o i u i u i c n o i u i u i m t o ( o c o c o - - j —j c n r o t j i m - t v - í i . W M N ) - ^ O O ( D C O c o - j a i a i ^ - t ^ w w - v o t D c o a > ~ j a i a i ^ i . t o i o - i - o

OtOCo~^O)Oi-tkOJM-k

tn-^.-d.-tk4i.-í\-ti.-ti.-ti,-tv

>~II

,

Estruturas de concreto armado; fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

o

o CU C7)

n>

Q.

o

2-' o" Q.

"õT

Ol

cr

O)

-Q

G).

T) " "

•o o'

(D

o

CJ

'

.

r-,i«wi^-r--(^.r->^.r— c o c o

<-t-r-i-T-cncotOr-cn r-iocoT-oicocDinncM inioi-Tri-DconncM CMr-JCNCMi-T-T-T-T-T-

Ov-OJCD^lOtON-COOlQ

T-EMf)\r-iotoN.cocno

Ò". O O O-O O O"-(D CD O O o" tD O* o" o" o" o" D" o" o"

o" o" o" o" o" o" o" o" o" o o o* o" o" o" o" o" o" o" o o" o" o" o o" o" o" o" o" o"

1-intoh-cocJOT-cJtnm tor-toov-c-JTintoco OiOtMco^rtor-cocoT- oJf3i-cDr-cooiOT-cM cOTriotor~-cooiOT-^t - - T - T - i - - r ^ t - , f s J | N C N r J C M N. °i ^ m. n. m. rt. °. ^i 'T. o ^ ^ s r - ç r T r - ^ ^ - í r - ^ u í i o _ i r ^ i o i o i o t o i o c o t o t o (O CO CO (D tD^ CO_ tQ_ f-^ f^ N;

?.?í ÇÍÍT?:° S m S S S

P. °. ^ °, °- ^ ^ in T- o co CO_ tO m_ Nj v^ (O_ CO_ r-_ i-^ T-^ CO tO_ O^ 11 O^ tD M C3 CO_ f- 'R. "1 'P, ^i ^ w °, w. ^ f^i T— - V f - - t — W O ^ O ^ ^ O ^ t- co in m n r-
ÇMcQCOCDtOOlOCOCOI-r- T-r--cox--a)OJO)OT-co tooicnr-T-tDT-r-tMco O J l O i - C O U l C O O C O t D - 5 - C M T - O J C O N - l n i - C O C O C M T - O O J O l C O C O f — N-tOtOlO

'

nncococ^cneocoMco rorocococQtocotomn rocococococncofococo tot-ococoncotncocoro

l-TTV-^-l-TtTStOCOCQ

•í"

tocMcoincNjoiN-Lncoi- O)tON-tOlO^TT-!r-!Í-1- •^-T-ífiniotor— c o m o C M C O l O C O C O O x - c O m c O

T-T-N>rtDOl(NCDO
m i- co rJ r- o-o o> a> co ca N. r- (O-to (o m to m m m T f x r - ^ T r T r ^ t r - ^ r T r T r •(ftr^r-irTr-^-^r-íftrio' l o i o i o i o i n c o c o t D c o c o

'

(N^j-toroooj^tocoo OJTÍ-tOCOOCN-^tOCOO CM^tOCOQCvj-^-CQCOO CNJVJ-(OCOO C S ( C N J C M C M P 3 C O t » ) C n C O ^ •^-•^•^••^-loiouitoioto tO(OCOlON,N.N.N.N.co Q 3 O 3 C O C O O ) O ) O ) O l C T i O

o" o" o" o o o d o" o" o o o o o o o o o o o" o" o" o" o" o" o" o" o" o o o o o o o o o o o

"í

Á.

JL

*

T-CMn-^lOQ t~Nn^io
r>

^

_H

.~

*•<

mtOtOf— CDCOOJOOr-

o" o" O O~ O~ O; o" o" O" O* o"

eví-^ftOtDOCM^íOOaO l Q.OOOt-.-T^T~-r-T-C\

f

\I

,>í

"

í

o r - j - ^ f - o r r c o c o c o p í ôiioi-oo-^r^-cotocoo COtD1-CMOCOr--lO'J-CM T-omN-tami-corvícM T-ocncoeaN-cDcDioio C M C N C M T - - T - T - O O O O o i a i c n c n o i c o c o c o c o c o ccr^NTr-rr-rt^KN^t-^i^ h - r - - ( D t D C O C D l D C D C Q t O

(OlO(DN-OlOT-OJCO-ír T-cMCMtMtrjron-yi-i- tntnioioiotototocoto i r— r-r-~í--f— c o . o o c o c o c o c o c o c o c o Q D o o c o m c n O ) c n o j a i o i o i o i c n c n o í c n c n o c n c n o i o i o i c n a i a ) o i o i c n c D o i c n c n c o c T i o i

i > A*1 . 1 j

i-cNcNjcsítoi-iotocom T - c o c u c o t - n h - o n r — T-i-aicot-^-cMr-r-if-co

o, r- in -r <>L °. cn to r- 10 •«*• -«í n N i- •*- o c o m c o c o N - r - N - t o c o t o i o t o i n t O T ^ - s r ^ - ^ ^ t n c o r o c í n t o t o c o r J C M o í M o j £ ° ° ° ° ° cn ea cn" 01O í o m o i o j o i o i c o e o c o c o c o c o c o t o c o c o a a c o c o C O C O C O C O C O C O C O C O D D C O C O C O C O C O C O C O C O C O C D C a

í =í •' a), co" r-" to" to" tri" -tr -^ ro" co"

*í

C M N > N f - C O O > C O C M C n C O ií-1-CnoOOlO-Q-tOtMCM

;' N? N"
j

^ •

""•

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

A.

W otoco-saiUi-íxCoto-i

JxCoCoCoWWtOCOtOOJ O«3 C D - ^ J O ) O l 4 v t O f O - V Q ( O Q l - - g O ) O i - í x C O P O - - i .

coroNjrofoWNjr^iofo -J-OOOOOOOOOO otocn-^joiai-u.coM-j.o

-i-i-fOWtJ*.OlO)Ol-J

cocoo-i.rowji.oiO)-w

_ l _ J . _ V _ l , _ k _ l _ i _ i J , _ i ,

CDO-VCiJ.U.a)-JtD-».O)

ui-jto-^wcncD-^^-Jo

_ l . _ l , _ l , _ i , _ A _ l J . ^ i , - A _l^i

_i.O)-i-JMO)ji.j'-jj*ro

H-

^

N J W M t O W W f O t O W M wrowiororoi-ofoojco W W O J C O W W W W W W W M t O W N J M W W W W C O JS.Ji.^Ji,(JlOlOlOlOlO) • ~ 4 - J - M C O C O C B t D U D O O - i - - i . N j r O C O W - U O l O l O 5 - J HJ - i O l O l —J C D - ^ C J U l - J t D | v J ^ . - J C D f O O l O Í - » . J i - - J O J * . - 4 - > - O 1 ( D W - - J N ) O )

*^"

lí"*"

*T* •^

>" II

tototototocococococo OOCOCO-J-4--J-J-J^-4 cooij^w-i-oco-jtnji. o3-iocD-~ia>aiji.tjjfo

• M O ) O l O i O > C T ) C 3 ) O l O ) C T l OlCJiCJiCIitJiOlCJiOiCJiOl l O«)CÍ)-vlOjOl-íi,tOtS3--*. O < O C O - s J O ) U l J X U ) f O - J .

COCDCOCDCDCOCOCDCOCD O ) O > 0 ) - J - ^ - J - J - W —J C D

COCOCDOÍODCOroCBCOCD

"uiuiuioicjiooioiaioi

O1-4CO(DCDO-*N3CJJ>-

CDCDtDtDCDCOCDtOCDCO

ío w w w '-u "-u "-N cn tn cn '

oioi-jcocDO-^ro^-cn

^

A

. Jiá.

,i

a

A

^

í*.

,4

jt

A_

k_

a.

4

l

'i

jt

rorotorororo-rororow towcotorototoroto-' , a)^.roocoo)-£s.-i.ocD

i À

tOWWN3WN3l\3MMM OlOlOlOlOl*.Ji.4i4i.tJ t O - J - U M O —J O l W O O )

.-A

( J W W U C O W t d W O J W w t o w u w t o f o t o r o w tofOfOfotoMtowroM ScjjCiiwtoroMW-i-i. - A O O O O t O C D t D C O O D a3O3-j-j~J~-icncncno) o Vi tu -i "í» cn w o Vi tu.-k a> ín w oVitn ro"toVj - U - > - t D C ) 4 > . - i . t D O l - U - i

CD tu o "ín "w "ôo tu "o ~o> íjj

o i a ) O > ° ) o o i o i o c n a > O l O l Q l O l O l O l O l O l O l O l o i t n o i t n u i u i c n c n o i u i oitnoiuiuioioicjioioi -U-U-UJi.-UJi.^JwJi.J' - j - J C n a ) U l _ U l _ - í v . £ v W C O _ W j O - ^ j J . j 3 o O t D IDOS C D ~ J - J O ) O 5 C J l t J l O l J i . i . C d W O l M _M _-A ^ _.-* O O ( D t O t D O 3 C D C » - - J ~ J ~ J O ) , "CD A "to V "to tfc. "co to "CD V "to jv "to tu "to cn "o "ín -1 "01 li, Vj "co "co 1u "(D "til J. V) M "to "cn To 'co tu- li Vi tu ^> Vi

COCOCDCDCDCBCDCOO3CD tOtOtO(OtD(DCDtD(OCO CDCOOTCDCBtOCOCOCOCO OOQO-J--i--*-itON3

j^tnoioioi-j-joaooto oo-J.-^toww.uoiai

OO-^-i-^NMWCO^

_i_j,_j,_k_».rotofON3ro

*

5 •^

«-

n"4

k .4

>?*•

\™

J*^1

||

>^>

"^•-JO)O)O)O1O)O)O)O) O1O)O)OÍO)O)0)O3O5O1O) 3 - i O C D 0 3 - J 0 1 O ) O l . U J i . W N ) W N ) - J - - J - - 1 . O O O O •í

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O COCDCO(OCOCO(O(DtO(O UJtOtOtDtDtOCOtOtDtD CDO3CDCOCDCDO3COCOCD _ i _ j , _ * . _ i . _ x o O O O O ( D ( D C Q ( D C O O J C O C O - - J - - J -J-JO)OJO)U1U1U1-S.£

^4iji.£-^.-txtoajDJw o j c i j w t o w w w w r o w

O O O O O O O O O O (OtQlOtptptOtQCDtDtQ

o t o t o t o t o t a t D t a t Q t o ÍOCDCOCDCntaCDCOCOCO CO-^-M-^J-M-vJ-^^-vI-^ o < o a > - s o > O i * . c o r o ~ A oiot»-^iO)Oi-R,coro--i. O(oco~-jaitJi^*,ttiro-».

-i-i-i-iOOOOOtO OlJi.tOOCOO)CJlW-J-(D

J i - J s - ^ J ^ A - t i . - ^ ^ . - ^ ^ . ^.^,Ji.^,*.J.4i.4i^.4i. 4 ^ ^ . J k ^ í i W W O ) O ) U O 3 W O J W W W C O O J C O C O W W W W W W W C O W C j J W oioimcfloii.-N-h.wa> OJtOMMMM-i-i--»>-*- O O O O O t D t D t D C D l D C o a > C » C O O 3 C D O 3 - - J - ^ - - J J i _ i - ^ J i , _ x c o C J l N 3 t O O ) J i . - J . O J O l W O C O C J l W - i - O O O l J i . f O O C D O J i . t O - i - « J - J O l J X W N J O t O C O - J o i o i o i J i . w w t o f O f o w r J •c

o) CD ~--j Vi OD DD "to "to -Q -o

m a> to o ro w "bi ai co o

loroi-ororofoiororoio fowiororoisíwroioro O O O —i -i -l -l -». -i w

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O o o o o o o o o o a O O O O O O O O O O o o o o o o o o o o o ~ c » C D c o c o o j c o c o Q 3 C Q c o V i V / V i V i V i - s i " ^ - ^ - ^ - ^ - ~ j - ~ J - J - J - 4 - J ~ J - J c n o ) o i o i o i o i g i o i o j o i o i a i ciuiuitnuioioicjioioioi -uídcororoNJ-i-i-oo totocsoj-J^oioicnoi -U^-CiJMtO-iOOtOCa co-joiaii-i-coro-io (DtOOa-JOlUI-ti-WM-^O

Q(OCD-slOjtJi4i.tON>~*,

cíitu.VW .&, W

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

ik

JL

CO

o

a. CD

Q. O

o

U"

2. tu

A

i

-t

l

à..

CO

S-

o> TJ o -o o

í*

*

í

*

i

*-<

II

O)(Of--tOCOtDCOf--COO

O C J O Q Y - T - T - T - T — tSl

CN^-COCOOOJ-^tOCOO O J C S J W Í N C O C ^ n O l C O - ^ - Tt--íj-M-tI-lOlOtO>OlO«3

CN^f-cacoocN^tococs CM^COCOOCNJ-M-
mto(Dtococor-r--N-No)O)oio)cncno)ci){ncn oooooooooo

(N-tj-cococir-jM-cocoo «ICOCOCOKN.KN.N.CO

C-I^J-tQCQOCM^toCOO (DCOCOCOOlOíOiOlOiO

r--h~r^-cococooococ»co cococococncnaioiaia) ajoiojoaioiocnajo) aiaicnoiffloioojaiO) o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

r-OM-r-iNh-cMr-cna) mCMOCDlOt-ODÍOM-CM o m t o m c o c M O c n c o c o in-írncMT-ocncnoor^- totom^-^-concM-r-rto" CD" m -sf TT cn~ cn~ r-T oa v- r - r - O O O O O ) O ) O ) 0 1 o c o c o c o c o c o e o r - r - r - t ^ t — ^ h - r ^ - N - c o t o c o c o t O ( D C O C O ( O C D ( D C a C O t O n c n c o c o c o n c n n n n m c o n n n n c M C N t N C N CMCMCNOJCMCNCNMCMCM (NNr-JCMCMCMCNOÍCMOJ r-ICMCMCNOJCNCMCNCMOÍ

mircMt-ocor-coiniinuiiomin^-t-írT-ír

t-

i

í

à.

â.

i

JL.

à.

±

í

L

A.

L.

o" o" o* o" Q" o" o" o" o" o"

í.

o v - c N i n - n - i o c o t ^ t j c D O v-CNcni'í-io(oN.cQa>ci loioio^fiioioioiowio
T-CMCOM-lOtON-CDOlO N-N.N-N.N-N.N.N-KCO

1.

Ã

A

i.

T - cc o ~cvoivio
i-mr--coot-coin(Dcoa) v-n-^-CDl^-oiorjrom CDr-cnoT-cn-^incor- tDOlOi-CMnM-lOCDr- r-majooi-r-JcMcoco ( N J C N C N C N j n c o c o c o n c o n -ii-'j--^-i^--*-tmioinLn l O l O l O C D t D C O C D t a t O C O t a c o r - h - h - r - r ^ - N - f - r - - h - N - t - - ( O C O C O C O C D C O C O o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o" o" o" o" o" o" o" o" o" o* o o o o o o o o o o

0 JQ m i o c o r - i c o i n T - ^ m f - o-fl-aiinojcnr-inin-^- T - i n c o r a o N i n c o v - i n a)rot--cMr-cMcocoa)ir) •^ ^- QO~ co" cf r- cn rC m" ro C N O C O r - C Q - ^ C O C M t - O a i m r — C D C D i n - ^ m c o c M v - T - O O O ) O J C O a D t - - l ^ « £ £ i r í : ° ° c n c n c n m c o t o r - f — h - r - c o c o t o c D tocominuiininininin rrTr-íí-^fNr-^-^-ír-íi- - ^ • • ^ • • ^ • • ^ • c o t o t o r o c o c o

r- T- r-_ C0_ --Í 'f Q0_ yj ^

Tinco-
-J1 \^

^

H

H C

g

fc

1

0) 0 (M W í*". °. tro- N- «l T - N - C M C O M - T - c O l O C O v -

- ,,-- te,- m- o n m N- o CN uf r-T o" of m" ai" o" co" to" aí t - i í - N - o c o c D c n o J i n a ) o í m S c n ° ° ° ° ^ í : T - T - C M O J r - Í C N C O C O C O C O -^•^-'í-ioioiniocDcoco

coCDinininin-^--^--^-* - í - c o c o c o c o c o n c o c N r j NrJC-JCNtMCMCMcMCMCN) COnncMCMCNJtMCNCMCM CMrMtMCMOJCMOJCMCMCM OJOJCMOJOJCNCNCMCNIN C-ICNOJCMCMCMCMCNCNW

-^•lOCDf~-03CnOlOT-T- cMc-icocoTr-^r^-inLoin i eoascocococococnojo) O)O)O)O)O)O)cncio)Oi o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

1

(Nv-otocom-^-MCJoj -f" ^r" co" n" co co" co" n~ to" cn

v-ooa)cocof--f-r--cQ

ocor-t-uDT-r~íOO)iD coT-oaDr-cDíocof-r-cM-j-mr-cnt-coinf-o) r-r-r^i-f^cococDasco

r^1 co~ oT T- of ^ tn" K aí o" inminCD(D«D(O(D(Dh~

> c n - t - t j - r - T - c D v - r - ^ o c o C D - ^ - C M i - O O O O O - r - cN)nioí--cnT-ncDoicM ineQCMcoo-^-car)r--cM r-cMi^-oJco-írcnio-r-t-cn" cn" co" t^T r-I1 to" CD" m" irí" irí" -íf 3:3:3:3:3:2^3:'^:'^ t - t ^ - ^ - ^ m i n i n i n t a tá (o ^ i~^ m co co af aí" o" o" T- i- r-T CN" n" cn" •«£ m" in • ^ • ^ • ^ • ^ • ^ • • ^ • « í - ^ T - t r T r - T ' r - T - ^ r ' t ' í - - T - 4 - - ^ - - t j - ^••^••^••^••^••^••^••^•T--^- •
-^ II "í

"^ s.

-VR

ft

K

1

1

Estruturas de concreto armado: f u n d a m e n t o s de projeto, dimensionamento e verificação

O O O O Q ,O ,O _O .O ,O ,Q .O .O O ,O ,O ,O .O .O .O

O Q O O O O D O O O

O ,O 0 0

O O ,O D O O p

O«3CO-v]OlUi-ti,tOK>--i

O«3CO-JOlOl4i.COIO~i.O

- - j c n a > Q > a > Q i o > O } O > o > 01 c n O i O i O i O i O i O i O i O i C n

ú ^

>** II

J ^ J X - t v ^ v ^ ^ - J ^ . ^ . ^ . ^ . jvJ^Jxji.Jj,4>.^.4i.Oiai COCOO3O3(DtD
-JxJi.CJlOl(DrOOl-^O3Ol-b.'

T:

K)~V--i.'-i.--l,-J.OQQO ClCDCl^,fOOCOO-tiK3

i

'

|]

jr

H

""•N.

4^C7iCAtnaiO)OiO)-^-j , (O-iCOOlO3-J-JvCO-iOl

WCOtOt04X4i.-^-Iv-U^ Ol~-IOOU3O~1-WJi-tJ1-J

jS

,i

.1

_i^~

i- , jt

%

^.

A

i

l

't

COCOtOCOCJCOCOCONJK) rotoroMfotototoforo c n j i - w w r o - ^ - ^ o t D t D O 3 C O - .j - j a > o i c n c n - t » - & . , o c o o i o J N J O c o —J t n j ^ . c o r o - i - ^ o o o o o o - ^ r o t o c o - u m - j c D o r o 4 i . - j ( o t o c n c o - i - u c o K ) ai o c n o b i o cri -*• Vj w

OlOlOlOlOi^.^^).^»-^. J > . ^ . 4 v J * J i . C O W C O W C O ( D J 1 . W M - J O O 3 —J O J O l - f c - O J t O - ^ O t O G J - J O l O l - f e . W N 3 - i O C O C O — J - - J O )

oioocntnooitJiOioi

MN)fO-i--J--J.-^OOO

o o f S Í S ^ t o ^ ^ c o c o C003COCO-J-4-J--J-J-sl ~sicioiO)Oio>O), cnocn t n c n o i c n c n c n c n c n o i c n g i f t o a j o ^ f o o t D - J c n í v N ) O ( o - - J c n ^ . W - 1 ' O t D — J O ) U i - £ « . r O - i O t £ ) co-jcnoi-^.-n.coro-1-i- , ^ x i s i o t a o 3 - - J - - j o i O ) - - j ~-j~a) ' o c ^ T o t o oibs o w - J o - e - a > r o M M - - J w c o t n - i - c o o i c o o t o - J c n o i L n o i c n - ^ i c o o r o c n c o - i -

rorororoioroioíororo W f O M W r o N J W M N J W t O W W t O C O W O J W O i C O ^ ^ • ^ • A - f - m c n u i c n a i ~O)O)Oi~-j"--jVja3 cobaio t o o o - ^ - » . r - j c J O J j i - o i

a>GlO)a>OOT--J--J--J--l

roNirororoiorororoio

k

3-

" ^

•"

r-~.

W I O f O M f O W t O f O N j r O t O M r o r o r o r o N J w o J t o COCOCOOiCOOJCOCOCOtO COCOCOCOCOCOCOJi.-ti.^ '^j -J--i-J-J--]coO3CocGca C O C O t O C D t D t D t O O O O -i_i-AtO[-orOCOCO-ti.4x cncno-JcoCQ. t o o - ^ r o , H u i c n - J c o c o c o o - ^ t o w jx bi O) Vi co o —* c o V o i - j c o - j - w a i - a t a i - o - i v - j o c o V i o ^ - b a r o V j w V j C O t D C n C O O C D - 4 - ^ C O ( O

o o o o o o o o o o oooooooooo o o o o o o o o o o O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O C D t a C Q C D C O l O C D t O C D C D t D ( D t D t D C O C O C D t D ( £ > £ O C O t O C O t D C O C O t O l D t D C Q CO CO. C Q C Q C Q C O C Q C O C O C O C O C O ~ - J - - J - < J - J - J - J - J C f ) -j-j^j-j-viaiaioíoio) oicnoimoi^.-fi.Ji.>-OJ C J c o t o r o ~ i . - * - i - o o ( D t o c o - j - j c n c j i 4 > . t » i w r o - > . o c o - j Q i u i t o r o a a )

-tiOjCoCoCoCororoMK)

O>OiOiOtOiOi-íi,-ti,4i.-íi. OCDCI)-ti,K3OCOO)-ti,fO OCOO)-lvMCiCDO)-lvM

cn-vj-v]-x]-NMOjo>o)O) oajOi4i.i-oocooi-ti.ro

QtOtOCOCQlDCoCDCoCQ QCQOl-ti.t-OOCoai-liro

,>-

N i i o f o w N s r o i - o r o r o r o K í t O f O M C j J C O W C O W t O t O ^_ t o K ) r o c o o J t o c o t o c o w 4v^i.ji.cncjiC7icnoí-si-^j c o c o t D í D o - ^ r o c j c o j i - a i [ O . K - O O C J —] - i c n o c n O O l M C D C J I C O - i O t D I D O •«

[-OI-O[-ON3MK)MrOIOfO MISil-OfONlWrOMMNI MfOI-OrorOMNJI-OfON) COCO-J-J-JOIOIOJ-J-J -JCDtDO-i-l\3JvC71-J(D

.£«.COGJtOtOCOCOCOtOrO

o co Vj b) V co ro j. o to

rororofororoi-ororoNJ

OOO(DtD(D(O(OCOCO

-JCOtDO-i-tO-tvOl-JtO-i'

t n o i c n c n c j i C J i O i c n t n c n y i t n c n a i O ) C ) O i a i a ) O ) - - J '^.

-j. j. -^-iM[sjwoj^^.oicn ai-wcocoo-^row^-oi -jcoo-iwoi-JOMcn co-^oicoto-^rocojvgg - ^ • a i o o i o o i - j . c n c i ) t o - j . K r o - i . o o o —>> w cn o t n - i C o c T i c n c o - i o i c o w a i o c D o o i a j o - i - X j o ' ^

cococococoacQCococo o-j--irofoco-ti.ji.uioi t n c o o o 3 O > - ( * . M o c a - j a i o i j i . w w r o r o K ) c > J C J ^-cn--]osoi-ooico-i.tji ( D c o c o c o c D c n W ( D - J O i

moiOijx-ji.^.jxj>.^.-Ci.

COCOO3COCQ(OtDOOO OWOlCO-i^v-gojvCO

-^-J^^.^.-íi.J^-ti.-IvOlOl

i_i_v_ij._i_i.fororoN) CnOlUlUlOlOiOlOJOlO) a)ai~J-J-J-4-Jcococo g S Í S o o ^ ^ F o f o w _ coj>-cno)-JCO(OO-iCojv -fc--fc.cn0i-j--jcncoo-i. w w j v c n ^ J c o t o - j . t o - U a)O3oro^.a)tD-i--ti.--j P r ^ r ^ - i u i o c n o c n w C O O l C O - J - O O - i t O O l O O ) - «3 "^ "^ "** O) 00 b) - J - l f c - O - ^ o > - ~ J ^ . c o t D c a - v i o i c n c D ^ i .

O O Q O O O O O O O o o o o o _o _o o o o o o o o o o o o o o O O O O O O O O O O o o o o o o o o o o o >v tp. V "i» >- w "co "w "w CJ "co "co w "to "ro M 7o 7o "ro Io "row-'-'-'-'^-'^-'^'^-»''^'^''^ •^ bí "o b) *cn o) 01 bi bi bi bi "ui ~o\i "oi bi bi bi *- > A ~ - l O l O i - £ » W t O - i O t D C O •-«JOlCJltJJN-^CDÍOCWOí Ol.t>.CO-J.O(DO3OlUl-C. N3-J-O(D03O)Ul-£>-COrO -"-oco-J.aiaíOi.&.ww-1'

Qtoco^-jaiOi-ii.coro-*

O ( O ( O ( Q < O C O C O t O C O ( o < O Q 3 C o C D C Q C o O 3 C o Q j C o CU--J-^-4-.4--l-vl-J-Nl--4 atOOíNOlOi-tiCoro-i, O«DCD-StJJOi-íi.WM-*.

,-i ,O ,O ,O O .O ,O _O _Q SO

U.

Estruturas de concreto armado: f u n d a m e n t o s de projeto, dimensionamento e verificação

4.

AJ

O C U)

Já

CL O Q. CD

"íÕ"

O)

eu

cr 2.

O) ,Q

TD

0) •o o

oJCDOcor— orrcotMto OJOlOlOOt-T-T-CNCM

C-JCMDJCMCMCMCNCJ04CS1

CQCOCOrOCOCOCOMNCM

r-JCMC-ÍCMC-ICMCMCMCNCM

v-CMPi^lOÍON-COOiO N.N-KKN.KI^N.N.CQ

r-lOJCMCNCMCMCJCNCMCN

O)(D-íJ-v-O){D-iJ-cNOeO OOJOlOlCOCOtOCOiXlf--.

o i o i — r— n c n i o c M c o m c N -tí-rOCO
T-CMCOM-IOtON-tOOiC) COCQCOCOO3CDCOIOD3O)

CMCOCOTTfintntDÍD CO(DtOtOtOtOtO(DlOtO

O)CNjCDOVnO)-<-COCQCO

Oír-ÍCMCMC-JtMíNCMtMOJ

CQcocoootocn-^-omTr-r-cocoo>a)o^--r-tM (OU5tDtotDtDr-f--r-r-

CNCOCOCOCOCOCOCOCOCO

T-Csjcrj-tí-lOtQN-íOOiO OlO>O)CÍiOíO)OíClC3)O

(D--í-o]T-a)CDtomcocM r-ocor-CDin"í-picMT- o o o í c o r — totom^j--^r— r - r - - r ~ - C D C D C Q t o ( o c D í D t D i o m m i o i o i n i n i o i n t o - t í - ^ - ^ - ^ í - - ^ - ^ » - - ^ - ^ 1

f-rococooiOv-cMcoT-ío OSOlT-TTCOCOT-MCDO) c-imco-t-incooJCDOT mininioioíotocototocD totDN-r— r-r-cocococo O ) C n O l O O O r - ^ - C M C M lommmuíTjmtnminio loiomintnmminmm (nmmtoíotDtDtDtDtD

CMCMCNCMOJCsJCNtMCNCMCN

x-CNJCO-tf-tOÍON-COOiO V-OJ«rí-lOtON.COOiO lOlOlOlOlOlOlOlOtQtO (ata(Qiã<òto
O O O O O T - - r - - r - - i - T - t M C M r j c M r j o J O J c o c o í O eocococo-c-1^-1^--^--^--^COCOCOCOCOCOCOCQCOca OOtDCOCOCOCOCOCOCOCO oicncna>a)cr)O5CT)O?O) oio>O)cno)o>oiocnoi o>a)O)O)a)O)O)O)cno> o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

Tr-Tininintototor-f- r--t~-cocococoaiaiajo)

T— r- i - r - T - T - O O O O

c n r - - i o T O i f - c n c o r - - ' n - s r n c N o a j c o r - t D m ^ a - C O C M - r - O O l C O a 3 r ~ - ( D l O - ^ • - t í - c o c M C M - r - o o c n c o C O f - r — ÍD U) W "^ ^ tO CO o o o o m m a i t D O J O i oimcnaico.cDcocococo c o r o c o c o c o c o c o c o c o c o COmfJCOtNCMlNCMCMCM CNCMCJCNCMCNCNCMCNC-I CNCMC-JCNCMOJCJCMPJCM c M N c - J w o J c M w r o r J c M

oicnoieocococoooooco

T - T - i - O O O O O O l O )

OOOOi-T-OICMcO-T-cNnioto COCli-tO-^-CDCOOCN-^- tD03Or-]tOr-O)N-tí-CD aiv--^-h-aííNtocQoco TT-IÍ-II---^--^^--^-^-^-*- •^-^TTr^-^-ioiniotnin i n m t D t D t D t D t a r - r - - r - i - - r - - c o c o c o c o c o o j c n o ) O ) O O O O - r - - r - v - N C M

l

1

1

T-moiTroocMr-t-coo r o r n c o - í j - x i - i n i n i n t o t o r-T fC r^1 co" oo oi" 01" o" o" tO-^CQCNCDO^COCMtD

r-^ co_ co_ tr o_ t^ co o>_ in w co_ m_ T-_ oo_ 10 cj cn_ uí CN o_ r-_ -^r i- o)_ ÍD_ co T^ cn_ UD T 0] O CO CO_ •* CW O_ 00_ tO_ m. c o c ^ o ^ o ^ r ^ ^ i o - ^ c M tCM ro" co" V ui m" (Q CD" r-T co eo" oi" o" o" i- rj t\ c
h- T- -^- f— T- T

CO V - I O 0 3

COOlCMinCOr-TfCOT-l-

r-f w" cí ro" co Tf ir V m" m" m ( D t o t c r - - - r - r - o a t o o 3

C O C J C M T - T - O O O O ) C O oor-r-t~-tDtamiom-^r 1-^j-concncocMCNCMT' TJ-" rr TT -"T ^ -
1

1

"í

O O O O O O O D O O - r -

\IO T ~ t N n ^ - I O < O N - C D O ) O

___n

o o o o o o o o o o o

-V* l o u j i n m i n m m i n i o i o m

O-r-CMcOTiníOt^-COO)O>

i-OJPJ-^-lOtON-COOlO

O - r - C M r O - í T ^ r i n C D f — 03 tOCD(D(DCO(Õ(D(O
i

i

A M

T-C-tr^-^-lO^OK-tOOiO OJCMÍNJCMCMCMCMtNWn

Í.

coP3[¥}Pit*)cT)cncncn-'í-

T-C-JP-jT-lOtOf-tOOlO

l

•<}--ít---^-lO

'v-csiro^io^of^cooiO

cocnoo-r-tNr-JcDi-^r ir)iD(O(or--[---tocoo)a) O O T - i - C J C M O J c O c O r l t o c o r - r - r — h-r— f - ~ p - r - r - r — í ^ - r - - , f - r ~ f - - . r - r - r ~ - C O C O C O C O O 3 C O O O C O C O C O o o o o o o o o o o o~ o o" o" o" o" o" o" o" o" o"o"c5'o""o'o o o o o

i n i n m m i n m ^ - - ^ - t r - í r - v xi--^r'i-Tr-ír^--írxr-í-xr • ^ • • ^ r n t o p í n c o t o f o n c o c o c o c o r o c o n n c o c o c o c o r o c o c o c o c o c o c o r o

^n r— r— t o c D r - c o c n T - c o m c o T^ -^ co v^ io_ o_ -*r cn_ -^r 01 "^ °. "1 Tl f"i <*! °i ^ tH °i (O CO_ 0)_ f- •-*• T- CO tO_ fO_ t-^ c o t o - ^ - c M O c o t o ^ r - J o ifi" -^ CQ" c-i" -i-7 o" m" o>" CD t^ to CD" 10 -tf -^r ro" co oT T- T- o" o" o* m" oí" co" co" r-T r-^" t-^ to" to" to" 10 m" irí m" TT TT rr -^ co" to." co" co" d c\ oí oj r-i" CNJ

=-

.

~-

•x

^* \I

-v*

^ ""-

^ 5

c

Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e verificação

340

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Tabela 7.7 - Reações de apoio uniformemente distribuídas nos bordos de lajes retangulares maciças apoiadas em todo o contorno (NBR 6118, item 14.7.6.1)

1— (

o «a

O C§

O

yi

|| v- - ri = 0,25 pá

iVv x-

r2 = 0,25 (2-a/b) pá

1°TÍPO a/h £0,73 ri = 0,43 pó

í->'•-., ^

„') _ n T C _.,

. í

r3 = 0,34(1 ,46-a/b)pa

J í ?^''

ô ^

20 Tip0

,<1

a /b £1,37

M0,.-'''

A .

Vtfí)°

ri =0,1 8 pá

^

^

tf(?oy

\ = Q,13(2,73-a/b)pa

60

12 pá

«

©í r2

_,-'

-<1

,'V5°

\J

12 (2-a/b) pá r 4 = 0, j'8 (2-a/b) pá 2° Tipo

a/b *2,73

o ri = 0,1 44 pá O r2 = 0,./4 (3,46-a/b)pa

\\y\M\\\-^\\

Y

1°TÍPO a/b ^0,79 ri = 0,32 pá r3 = 0,40(l,58-a/b)pa

r-

a /b £0,57

j ©

«)

4

r J = 0,43 pá r2 = 0,43(l,15-ci/b)pa

b

\^\\\\\\\\\\\\° Tipo

o cd U

r3

*'\f-

1°Tipo

ST"

\

r3

t§>-. ^ í ° *'-.

o t» O

^

^ . ^ \ = 0,23 (1,58-a/b) pá í /•-/ ,-'"' '%-, r7 í \ pá 5>-:' r3 y?5

a/b £1,27 ® /V = 0,25 pá r2 = 0,144 pá r3 = 0,20 (2,54-a/b) pá

(*) casos do método de Marcus p: carga uniforme por área da laje ri, r2, r3, r4 = reações uniformes nas vigas de bordo, por unidade de comprimento

'; í 6; ;

60' "*•, ,-*" 60"

«° ,-' *V5° >" r/ '<" '

-,

.©

^

Verificações aos estados limites de serviço 8.1 OBJETIVOS

Conceito: Estados Limites de Serviço são aqueles relacionados à durabilidade da estrutura e à boa utilização, funcionalidade e aparência da edificação, seja em relação ao conforto do usuário, seja quanto às máquinas e aos equipamentos utilizados.

A noção intuitiva de segurança está ligada à ideia de sobrevivência e, dessa forma, uma estrutura poderia serconsiderada segura se houvesse alguma garantia de que durante sua vida útil não seriam atingidos estados de desempenho patológico. Entretanto, esse conceito intuitivo deve ser mais bem estabelecido tecnicamente, em função do respeito à vida humana e às condições psicológicas e económicas dos usuários das construções, que são, em geral, leigos e não obrigados a entender o funcionamento das estruturas. Segundo o conceito de segurança estrutural apresentado no item 3.8.1 - Capítulo 3, entende-se que uma estrutura é segura quando atende aos três requisitos seguintes: a) Mantém durante sua vida útil as características originais do projeto, a um custo razoável de execução e manutenção. b) Em condições normais de utilização, não apresente aparência que cause inquietação aos usuários ou ao público em geral, nem apresente falsos sinais de alarme que lancem suspeitas sobre a sua segurança. Em outras palavras, uma estrutura segura deve ter aparência que transmita segurança.

344

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

c) Sob utilização indevida deve apresentar sinais visíveis-flechas, deformações e fissuras - de advertência quanto a eventuais estados de perigo. Isto é, qualquer possibilidade de ruptura sem aviso ou de colapso progressivo deve ser prevenida. Portanto, um conceito amplo de segurança está intimamente relacionado ao comportamento da estrutura com a utilização prevista em projeto, para o qual se definem os Estados Limites de Serviço (ELS). Considera-se que esses estados são atingidos quando a estrutura não mais atende aos requisitos específicos da edificação, sob condições normais de uso e ambientais. No entanto, os ELS não estão associados a risco iminente de colapso da estrutura. Os ELS que são objeto de verificação comum no projeto de estruturas de concreto armado das edificações usuais são: •

fissuração excessiva que afete de forma adversa a aparência, a durabilidade ou as condições de estanqueidade;

•

deslocamentos que causem prejuízo à aparência ou ao uso efetivo da edificação (incluindo mau funcionamento de máquinas ou serviços), ou danos inaceitáveis em outros elementos, estruturais ou não, da construção;

•

tensões de compressão no concreto excessivas, produzindo deformações irreversíveis e microfissuras que possam levar à perda de durabilidade;

•

vibrações resultando em desconforto, alarme ou perda de funcionalidade.

No que se refere aos ELS, deve-se considerar, ainda na fase de projeío: •

As sobrecargas de utilização podem mudar com o decorrer do íempo (por exemplo, edifícios residenciais que passam a ser usados como escritórios).

•

Cabe ao projetista definir as classes de agressividade ambiental da estrutura e suas partes, segundo as exigências específicas de proteção e durabilidade, conforme a Tabela 6.1, da NBR 6118-> 7.4.7. As classes são classificadas como CAA l a CAAIV (fraca, moderada, forte e muito forte), com os respectivos valores mínimos da espessura nominal da camada de cobrimento das peças de concreto fornecidos na Tabela 7.1 da norma.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

•

O projetista deve verificar se as flechas calculadas, mesmo quando inferiores aos limites da norma, não resultarão em danos a elementos da construção situados sobre ou sob o elemento estrutural, prevendo-se, caso necessário, dispositivos adequados ou contraflechas para evitar consequências indesejáveis.

•

O projeto da superestrutura deve considerar as características do solo onde as fundações serão assentadas, a fim de analisar a probabilidade de ocorrência de recalques dos pilares, para, caso necessário, considerá-los no cálculo de esforços das peças estruturais.

Portanto, o dimensionamento das estruturas de concreto armado deve garantir a segurança necessária em face da ruptura (Estados Limites Últimos - ELU) e, além disso, o comportamento aceitável nas condições normais de utilização (Estados Limites de Serviço - ELS). Dessa forma, são os seguintes os objetivos desta unidade: a) Identificar os ELS típicos a serem considerados nas estruturas de concreto armado de edificações usuais, b) Apresentar os critérios de projeto para a verificação ao Estado Limite de Deformações Excessivas (ÊLS-DEF) de elementos lineares sujeitos a solicitações normais, visando à comparação das estimativas de flechas com os limites estabelecidos pela NBR 6118: 2003. c) Idem quanto ao Estado Limite de Abertura de Fissuras (ELS-W). d) Verificação de lajes retangulares maciças de concreto armado ao Estado Limite de Deformações Excessivas.

8.2 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Em razão de serem os ELS relacionados ao comportamento da estrutura em utilização normal, a sua verificação busca considerar os valores mais

3-45

346

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

representativos das ações/solicitações e das resistências dos materiais, nas situações de uso previstas no projeto. Em serviço, as resistências características dos materiais não devem ser ultrapassadas, e o comportamento global da estrutura não é substancialmente afetado por variações localizadas das propriedades do concreto e do aço, que justificam a aplicação dos coeficientes de mineração de resistências no cálculo aos ELU.

As verificações de projeto devem levar em conta as combinações de ações representativas das situações reais de serviço, sendo, por isso, admitidas reduções nas ações/solicitações provenientes das ações variáveis. ANBR6118-»-11.8 (Tabelas 11.2 e 11.4) e o documento Prática recomendada Ibracon - comentários técnicos NB-1 (2003) apresentam para os ELS típicos de estruturas de concreto armado de edificações usuais, definidos pela NBR 6118 -> 3.2, as combinações mais prováveis das solicitações F

k

, associadas às

cargas permanentes, e F k, às cargas acidentais ou variáveis, como segue: *> Estado Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF): H- estado em que as deformações atingem os limites para utilização normal dados pela norma, item 13.4.2, com as estimativas segundo as disposições do item 17.3.2. ^ considerar as "combinações quase-permanentes" de serviço das ações variáveis: F,d^er = F. gk + ur T 2 7F. qk sendo: para edifícios residenciais:

\jf2= 0,3

para edifícios comerciais:

\f/2 = 0,4

para bibliotecas, arquivos, oficinas, garagens: y2 = 0,6

\(8.1)

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

<* Estado Limite de" Abertura de Fissuras (ÈLS-W): ^ estado dm que às fissuras apresentam aberturas iguais aos máximos especificados pela norma, no item 13.4.2, com as estimativas segundo as disposições do item 17.3.3. ^ consideraras ''combinações frequentes" de serviço das ações variáveis: Fáfljier = F.+ ys,F . i'A Tl qk

(8.2)

\

sendo: para edifícios' residenciais: ys}= 0,4 para edifícios comerciais:

\}S} = 0,6

para bibliotecas, arquivos, oficinas, garagens: \js} = 0,7 Os valores recomendados pela norma pararas coeficientes redutores, ^ e í/r levam em conta a probabilidade reduzida de atuação conjunta das ações acidentais com seus valores máximos em situações de 'Serviço, Essa consideração é necessária para se obter estimativas realistas para os efeitos previsíveis em projeto. Sob solicitações normais, os elementos lineares de concreto armado nos ELS trabalham parcialmente no estádio I (peça não fissurada) e no estádio II (peça fissurada em regime global elástico), conforme a definição desses "estádios ou fases" de carregamento, no item 5.2 do Capítulo 5. A separação das partes do elemento num ou noutro estádio é definida pelo momento de físsuração, dado pela expressão aproximada da NBR6118-* 17.3.1:

(8.3)

sendo: a = parâmetro que relaciona as resistências do concreto à tração na flexão e direta a = 1 ,2 cc> seções T ou duplo T a = 1,5 £> seções retangulares

34 7

348

João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

y = distância do centro de gravidade da seção transversal à fibra mais tracíonada / = momento de inércia da seção bruta de concreto (não fissurada) / = resistência à tração direta do concreto (NBR 6118 -> 8.2.5).

Conforme o item 17.3.1 da norma, para os dois estados limites de serviço típicos de estruturas usuais de concreto armado, o momento de fissuração de seções retanguiares é determinado como segue:

^ ELS-DEF: ^ELS-W:

/c,,m - 0,30 f*30 (MPa)

O Mr = 0,075 bw h2 f J*

f4.w~0.21f*2* (MPa)

O Mr - 0,053 bw h2//J

(8.4)

8.3 ESTADO LIMITE DE ABERTURA DE FISSURAS (ELS-W) 8.3.1 Limites para fissuração A classe de agressividade ambiental da estrutura e a abertura das fissuras são fatores determinantes para a durabilidade e a vida útil. A NBR 6118, nos itens 13.4.1 e 17.3.3, aborda a verificação quanto afissuração levando em conta os aspectos seguintes: ^ A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, em razão da grande variabilidade e da baixa resistência do concreto à tração. Valores críticos de tensões de tração podem ser atingidos mesmo sob as ações de serviço (utilização). w- o controle da abertura das fissuras visa obter um bom desempenho na proteção das armaduras, tendo em vista a corrosão e a aceitabilidade sensorial dos usuários.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

^*- A presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites de norma, em estruturas de concreto armado bem projetadas, construídaste submetidas às cargas permanentes e sobrecargas previstas, não deve causar perda de funcionalidade, durabilidade ou segurança quanto aos estados limites últimos. ^ As fissuras em elementos de concreto podem ainda ocorrer por outras causas, como a retração plástica térmica ou as reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, que podem ser evitadas ou limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente no que tange à definição do traço e à cura adequada do concreto. A NBR 6118 -> 13.4 estabelece os limites para fissuração e proteção das armaduras quanto à durabilidade, na forma seguinte: ^ A abertura máxima característica das fissuras, wk, da ordem de 0,3 a 0,4 mmt sob ação das combinações frequentes, não tem importância significativa na corrosão das armaduras passivas em elementos de concreto armado. ^ Em virtude do estágio atual dos conhecimentos e da alta variabilidade das grandezas envolvidas, os limites da abertura de fissuras devem ser vistos apenas como critérios para um projeto adequado de estruturas. *+- As estimativas de abertura de fissuras devem respeitar os limites de w mas não se deve esperar que as aberturas reais correspondam estritamente às estimativas. Isto é, as fissuras reais podem, eventualmente, ultrapassar os limites, sem que o fato, isoladamente, seja motivo de alarme. ATabela 8.1 a seguir, extraída da NBR 6118 -> 13.4, no que se refere a elementos de concreto armado, apresenta os limites para a abertura de fissuras, em função da classe de agressividade ambiental.

349

350

João CarlosTeatini de Souza Ctímaco

Tabela 8.1 - Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e proteção da armadura (NBR 6118 -> Tabela 13.3 - modificada) Tipo de concreto estrutural

Classes de agressividade ambiental e tipo de proteção

Exigências relativas à fissuração

Combinação de ações em serviço a utilizar

Concreto armado

CAAI

ELS-W:wk*0,4mm

Combinação frequente

CAA li a CAA IV

£LQ-\N\wkzQt3nim

Combinação frequente

Quanto ao controle da fissuração de elementos estruturais lineares de concreto armado, a norma, no item 17.3.3, fornece dois critérios, apresentados a seguir: a) Controle da fissuração pela limitação da abertura estimada das fissuras

Nesse controle, apresentado no item 8.3.2, a seguir, a norma expressa o cuidado em fixar o entendimento de que as estimativas para abertura de fissuras não podem ser encaradas como técnica e cientificamente èJCátás e destaca dois aspectos: ^* A influência de restrições existentes às variações volumétricas da estrutura, que são de difícil consideração no projeto estrutural. As condições de execução da estrutura também têm influência óbvia na abertura das fissuras. ^ Os critérios das normas para estimar a abertura de fissuras devem ser encarados como avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento estrutural, mas não garantem a avaliação precisa da abertura de uma fissura específica. b) Controle da fissuração sem a verificação da abertura dê fissuras

É um controle expedito (item 8.3.3, a seguir), em que se dispensa a avaliação da abertura de fissuras, desde que respeitados a bitola e o espaçamento máximos das barras da armadura. Em geral, é a primeira verificação após o cálculo de armaduras e a definição das bitolas das barras. Caso não atendido, passa-se à verificação pelo item 8.3.2, mais rigorosa.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

8.3.2 Contrple da fissuração por meio da limitação da abertura estimada Observados os limites da Tabela 8.1 e sob as combinações frequentes de serviço das ações variáveis, segundo a NBR 6118 -> 17.3.3.2, a grandeza da abertura de fissuras, wk, deve ser determinada para cada região de envolvimento da armadura pelo concreto, sendo o menor dentre os valores obtidos pelas expressões seguintes:

:

+ 4s\- Es \

(8-5)

onde: 0

= diâmetro da barra longitudinal para cada área de envolvimento em exame

(mm); f dm ~ 0>30fck/3 (MPa) = resistência à tração média do concreto; 77

= coeficiente de aderência ao concreto do aço empregado. Para os aços CA-50 e 60, a norma indica: rj. = 2,25 (CA-50); 77 = 1,4 (CA-60);

cr. = tensão nas barras da armadura em exame, sob solicitações de serviço, que podem ser reduzidas, em vista das combinações frequentes das ações acidentais em estruturas de edifícios, conforme a expressão (8.2). No caso mais geral da seção retangular com armadura simples, no estádio II, sendo Mk o momento fletor máximo de serviço, Ás a área da armadura de tração, bwa largura e d a altura útil da seção, tem-se:

(8.6)

351

352

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

No estádio 11, a profundidade da [inha neutra da seção, x , é dada por: /

S

>

v

73

~\- II

—

ae As K •>

*=

bw

N

1 +

7 +

(

N

2bwd

r* ->\

w

<**A,

J

a e ~Es /E c - razão dos módulos de elasticidade do aço e do concreto.i y com o módulo secante do concreto da expressão (3.15), do Capítulo 3:

= 4.760fckJ/2

MPa

(8.8)

Observação: O código ACI-318, do American Concrete Institute, permite adotar a tensão no aço em serviço por uma expressão equivalente a as =f,d/Jf> em que f

d

é a tensão de escoamento do aço e j.= 1,4. Em geral, a simplificação é a

favor da segurança. p , = A s IA crí, = taxa de armadura de íração relativa à área À cri'..doconcreto "cri y de envolvimento e proteção contra a fissuração da barra 0.. A norma define como a área do "retângulo cujos lados não distam mais de 7,5
linha neutro da seção

•

Para seções retangulares ou T, com i

zona tracionada

•^~ de pele (racionada

•

• estribo
í

1

J>

bitola (£i ^1

^l

Cnom

7, 5?},'

7í*l

// / /

/da barra i /

V^

S. hrt ^\ ^

Figura 8.1 - Área Á . do concreto de envolvimento

armadura de tração em uma camada e barras de diâmetro 0. , tem-se:

(8.9)

A

Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

Como as expressões (8.5) são semi-empíricas, baseadas em resultados de ensaios, nãosãoexatas. Dessa forma, pode-se admitir uma margem de tolerância, de até 10%, com relação às desigualdades. Se o resultado do controle da fissuração pela limitação da abertura estimada não for satisfatório, a opção mais simples é adotar barras mais finas para a armadura, ou seja, diminuirá bitola 0. Experiências demonstram que peças estruturais com barras de menor bitola apresentam maior número de fissuras, porém, com menor abertura, o que diminui a área exposta das armaduras e, consequentemente, reduz o risco de corrosão.

8.3.3 Controle da fissuração sem verificação da abertura de fissuras Neste critério, a avaliação da abertura de fissuras pode ser dispensada, sendo considerado atendido o estado (imite de fissuração em elementos de concreto armado (wkmax< 0,3mm], se forem respeitados valores máximos para a bitola, 0 max ', e o espaçamento smax ' , das barras da armadura, além das disposições r J ' ~ 3 sobre o cobrimento e a armadura mínima. A dispensa é dada conforme a tabela a seguir, extraída da norma, em função do valor da tensão no aço cr, calculada no estádio II, pela expressão (8.6): Tabela 8.2 - Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência (NBR 6118 -»• Tabela 17.2 - modificada)

Tensão no aço

Valores máximos Concreto sem armaduras ativas

0, (MPa) 160 200 240 280 320 360

<2Vv(mm)

•?,„„* (cm)

32 25 16

30

12,5 10

8

25 20 15 10 6

353

354

João Carlos Teatiní de Souza Clímaco

8.3.4 Considerações práticas sobre ô controle da fissuração

No estado atual de conhecimento, não se deve esperar grande precisão quantitativa dessas verificações de fissuração, em especial do controle sem verificação da abertura de fissuras. As informações têm um caráter qualitativo, cujo maior valor reside nas orientações que ministram ao projetista. Do ponto de vista do controle da fissuração no projeto e na execução de estruturas de concreto armado, devemse observar as seguintes recomendações: a) Diâmetro das barras Sua diminuição melhora as condições de fissuração, conduzindo a um maior número de fissuras, porém de menor abertura. Essa redução não deve ser levada a extremos, especialmente em peças pouco armadas e ambientes agressivos, porque, a partir de certo valor, a diminuição da bitola não tem efeito na abertura e distância entre fissuras, além de que barras muito finas são mais afetadas pela corrosão. b) Espessura da camada de cobrímento de concreto A obediência às exigências da norma deve ser rigorosa; os valores nominais da NBR 6118: 2003 são bem mais elevados que os da anterior NB-1/78, em consonância com a tendência das normas internacionais. c) Garantia da qualidade do concreto Na execução, é essencial assegurara baixa permeabilidade e a resistência adequada à compressão e abrasão. Para isso, especial atenção deve ser dada aos quatro "Cs" que garantem um bom concreto: constituintes da mistura, cobrimento, compactação e cura. d) Armadura de pele Em vigas de altura superior a 60 cm, tensões elevadas de tração podem provocar fissuras nas faces laterais. Para limitar aberturas, a NBR 6118, itens 17.3.5.2,3

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

e 18.3.5, prescreve a colocação de uma "armadura de pele", composta por barras laterais longitudinais de alta aderência (77. > 2,25 O CA-50), com espaçamento não maior que d/3 ou 20 cm. Essa armadura deve ter área mínima de 0,10%À

[ma,

em cada face da alma da viga.

8.4 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS (ELS-DEF) 8.4.1 Limites para deformações A norma NBR 6118, nos itens 13.3 e 17.3.2, aborda a verificação de flechas na forma seguinte: ^ Para verificação aos [imites de deformação, os elementos estruturais são analisados isoladamente, sob as combinações quase-permanentes das ações variáveis, devendo a análise ser realizada por modelos que considerem a rigidez efetiva das seções, a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto e as deformações diferidas no tempo, ou seja, a ação prejudicial da fluência do concreto. ^ A deformação real da estrutura depende, em grande parte, do processo construtivo, das propriedades dos materiais, principalmente, do módulo de elasticidade e da resistência à tração, na idade da solicitação efetiva. Dessa forma, a variabilidade das estimativas é grande com relação às deformações reais, não se podendo esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos pelos processos analíticos prescritos. Na verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas de uma estrutura de concreto armado, adotam-se valores práticos para os deslocamentos limites, classificados em quatro grupos básicos, segundo a NBR 6118 -*• 13.3: "a) aceitabilidade sensorial: caracterizado porvibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23;

355

356

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados; d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporandoas ao modelo estrutural adotado". Cabe também aqui ressaltar o maior rigor introduzido pela NBR 6118: 2003, com os limites

de deslocamentos sendo compatibilizados com as normas

internacionais e sendo fornecidas ao projetista amplas condições para proceder à verificação, pela Tabela 8.3, a seguir. Por outro lado, deve-se ressaltar que a amplitude de limites fornecidos pela tabela aumenta a responsabilidade do projeto estrutural, no que se refere aos diversos tipos de estimativas dos deslocamentos das peças estruturais.

Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

357

Tabela 8.3 - Limites para deslocamentos (NBR 6118 -> Tabela 13.2 - modificada) Tipo de deslocamento

Razão da limitação Visual

Aceitabilidade sensória!

Estrutura em serviço

Outro Superfícies que devem drenar água Pavimentos que devem permanecer planos Elementos que suportam equipamentos sensíveis

Exemplo

Deslocamentos visíveis Total em elementos estruturais Vibrações sentidas no Devidos a cargas piso acidentais Coberturas e varandas

Ginásios e pistas de boliche

Laboratórios

Alvenaria, caixilhos e revestimentos

Paredes

Divisórias leves e caixilhos telescópicos Movimento lateral de edifícios

Efeitos em elementos não estruturais

Movimentos térmicos verticais Movimentos térmicos horizontais Forros

Revestimentos colados Revestimentos pendurados ou com juntas

Desallnhamento de Ponte rolante trilhos Efeitos em elementos estruturais

Afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas

Deslocamento a considerar

Total Total

Ocorrido após a construção do piso

Deslocamento limite í/250

í/350

n v r C C

í/250

& v

1J

f/350 + contraflecha 2) í/600

De acordo com Ocorrido após recomendação do nivelamento do fabricante do equipamento equipamento í/5003) ou Após a construção da 10 mm ou parede 9=0,001 7 rã d4' í/2503) ou Ocorrido após a instalação da divisória 25 mm Provocado pela ação do H/1700 ou vento para combinação HÍ/85051 entre frequente (v/,=0,30) pavimentos6* í/4007) ou Provocado por diferença de temperatura 15 mm Provocado por diferença HÍ/500 de temperatura Ocorrido após í/350 construção do forro Deslocamento ocorrido í/175 " após construção do forro Deslocamento provocado pelas ações H/400 decorrentes da frenação

Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, Incorporando-as ao modelo estrutural adotado.

1) As superfícies devem sersuficlentemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado porcontraflechas, de modo a não . se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflBchas. Entretanto, a atuação isolada da contra flecha não pode ocasionar umdesvlo do plano maior que t /350. 3) O vão i deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 4) Rotação nos elementos que suportam paredes. 5) H é a altura total do edifício e Hto desnível entre dois pavimentos vizinhos. 6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos devido á atuação de ações horizontais. Não devem ser Incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de contraventamento, quando H{ representa o comprimento do lintel. 7) O valor £ refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. NOTAS: 1. Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão í suportados em ambas as extremidades por apoios que não semovem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. 2. Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideramque o vatorí é o menorvão, exceto emcasos de verificação de paredes e divisórias, onde Interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valora duas vezeso vão menor. 3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes de acompanhamento definidos na seção 11. 4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados porcontrafiechas.

C

n r c r r c n ã c c c c Q H

C ij C

(1 T; c t j: r ir C Q ( C

n i

r

D

•r

D C

358

João Carlos Teatíni de Souza Clímaco

8.4.2 Avaliação aproximada da flecha imediata causada por ações de curta duração 8.4.2.1 Vigas de concreto armado A flecha imediata elástica máxima pode ser calculada a partir da curvatura máxima da barra fletida, por uma expressão do tipo:

(8.10)

a

= coeficiente que depende do esquema estático da viga e do carregamento. ATabela 8.5, ao final desta unidade, apresenta valores de a para alguns casos típicos;

Ma

- momento característico máximo no vão; '

l

= vão efetivo ou teórico;

(El)

~ rigidez equivalente da seção transversal, dada pela fórmula de Branson, utilizada por diversas normas internacionais, que faz um balanço dos trechos no estádio l (peça não fissurada) e no estádio II (peça fissurada em regime global elástico):

lJ (EDa*Ea\\-í\c

l—

(8.11)

E

= módulo de elasticidade secante do concreto, dado pela expressão (8.8);

Es

- 2,1 x IO5 MPa = módulo de elasticidade do aço;

Ma

= momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços;

Capitulo 8 - Verificações aos estados [imites de serviço

M

- momento dê-físsurãção da elemento estrutural, dado pela expressão (8.3);

/

= momento de inércia da seção bruta de concreto;

/

= momento de inércia da seção fissurada no estádio II, Para a seção retangularcom armadura simples, é dada por:

AMz(d-x) tínde: A

(8.12)

= areada armadura traCionada;

z

= braço de alavanca das resultantes de tração e compressão;

x

= profundidade da linha neutra na seção, da expressão (8.7).

Cabe notar que, em se tratando de um método não linear, em casos de carregamentos mais complexos, a flecha calculada não é igual à soma das flechas obtidas dos casos individuais de carga. Na falta de cálculo mais preciso, ã superposição pode ser adotada, sendo, no entanto, recomendável uma comparação com a flecha calculada com o valor de a do caso mais similar tabelado, adotando-se os momentos fíetores do diagrama total. Nesses casos, é prudente adotar alguma majoração adicional da flecha calculada. Para o momento de inércia da seção de concreto fissurada, x é dado pela expressão (8.7), e o braço de alavanca, considerando a distribuição linear de tensões no concreto da zona comprimida no estádio II, é dado por:

Z = d- x/ 3

(8.13)

No estádio li, é usual a simplificação de tomar o valor médio do braço de alavanca:

z = 0,9 d

(8.14)

Donde resulta, da expressão (8.1 3):

x = 0,3 d

(8.15)

359

360

João Carlos Teatíni de Souza Clímaco

Na estimativa das flechas, deve-se ainda considerar que a avaliação da rigidez equivalente com a inércia calculada da expressão (8.12), válida para seções retangulares fissuradas com armadura simples, é conservadora, pois não leva em conta as contribuições seguintes, favoráveis à redução de flechas em vigas de concreto armado: ^ existência de armadura comprimida, como porta-estribos ou calculada, no caso de seção com armadura dupla, o que aumenta a inércia da seção; ^ a laje solidária com a viga, funcionando à compressão como mesa de vigas de seção T. Para a seção transversal retangular, não considerando a presença da armadura, o momento de inércia da seção bruta de concreto, no estádio l, é dada por:

/ -ô h3/12 C

W

(8.16) \

8.4.2.2 Lajes de concreto armado A norma permite o cálculo de flechas no estádio l, admitindo o momento de inércia da seção geométrica de concreto sem fissuras. Isso se justifica, pois os painéis de lajes usuais de edifícios têm, na maioria dos casos, espessura uniforme, definida a partir do máximo momento fletor de todo o painel, em valor absoluto, que no cálculo elástico são, em geral, os momentos negativos. Desse fato resulta, para a maioria das lajes usuais, uma capacidade resistente à flexão bastante satisfatória quanto à fissuração sob cargas de serviço, pois, adicionalmente, as armaduras das lajes são constituídas por barras de bitola reduzida. Para as lajes calculadas em uma só direção (relação de vãos > 2,0), pode-se fazer o cálculo de flechas considerando faixas de largura unitária, paralelas ao menor vão, como vigas com bw — 100 cm e altura igual à espessura da laje, com a inércia obtida da expressão (8.16). Para as lajes maciças retangulares em cruz (relação de vãos < 2,0 e momentos calculados nas duas direções), apoiadas em todo o contorno, é recomendável

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

determinar as flechas imediatas por um processo mais preciso, que considere a rigidez como placa. Neste trabalho, é apresentado o método de cálculo elástico de A.S. Kalmanok (Manualpara cálculo de placas), que resolve a equação diferencial de Lagrange para placas fletidas, da expressão (7.5) - Capítulo 7, por meio de séries trigonométricas simples. A Tabela 8.6, ao final desta unidade, foi construída a partir do trabalho de Kalmanok e permite obter o coeficiente CO, para seis diferentes casos de condições de apoio, em função da relação de vãos. Os vãos a e 6 são definidos da mesma forma que os vãos / x e / y do método de Marcus, respectivamente, como apresentado no Capítulo 7 - item 7.4.3.1. A flecha elástica imediata é dada por:

r -m P^ D

com

D=

E h3 12 (l -v3)

onde: p

= carga uniformemente distribuída por área na laje;

/

= menorvão da laje;

D

= rigidez à flexão da laje;

E

= módulo de elasticidade secante do concreto, dado pela expressão (8.8);

h

= espessura da laje;

v

= coeficiente de Poisson do concreto. A NBR 6118, item 8.2.9, recomenda v = 0,2. No entanto, Kalmanok destaca que a hipótese mais adequada para lajes de concreto armado seria v = 0. Esse valor resulta em flechas da ordem de 4% superiores àquelas obtidas com o valor da norma.

361

362

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

8.4.3 Avaliação aproximada da flecha final das ações de longa duração Segundo a NBR 6118 -^ 17.3.2.1.2, deve-se avaliar a flecha diferida causada por cargas de longa duração, em razão da fluência do concreto. Essa flecha pode ser calculada de forma aproximada como o produto da flecha imediata por um fator a , função da idade da estrutura para a qual se deseja calcular a flecha (t) e da idade na aplicação das cargas de longa duração (t0), além da taxa da armadura de compressão na seção.Aflecha total será a soma da imediata com a diferida, como segue: fdif

~

(8.18)

°'ffi

(8.19)

f» =f,+f
(8.20)

af =

l + 50p' sendo: p '—A' /bd= taxa da armadura de compressão na seção crítica do vão considerado; AC— Ç (f) - Ç (t0) = coeficiente de fluência diferida, em função do tempo t. Afluência é função de vários fatores (item 3.11.2.3, alínea c-Capítulo 3): idade do concreto da peça estruturai, especialmente na aplicação das cargas de longa duração (retirada do escoramento, implantação de paredes e elementos fixos), umidade do ambiente, dimensões da peça, composição do concreto e desenvolvimento da retração e fluência com o tempo. A norma prescreve esse coeficiente pela tabela: Tabela 8.4 - Valores do coeficiente Ç(t] (NBR 6118 -*• Tabela 17.1)

Tempo (t) meses Coeficiente gft)

1

2

3

4

5

10

20

40

0

0,5

0

0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89

i 70

2

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

É prevista na NBR6118 -> 17.3.2.1.2 uma ponderação das diferentes idades de aplicação das parcelas da carga de longa duração, tQÍ o que pode ser interessante no sentido de se reduzir o valor do coeficiente adicional da flecha diferida, af. No cálculo da flecha diferida, vale ressaltar que não é necessário considerar a totalidade das cargas, mas apenas aquelas que tenham caráter permanente, ou seja, de longa duração. Essa observação, aparentemente óbvia, pode ser importante quando se obtêm valores muito elevados da flecha total, pela expressão (8.19). Um cálculo mais apurado, e realista, poderia separar as flechas imediatas produzidas pelas solicitações permanentes (/ ) e pelas acidentais (f ), obtendose a flecha total de longa duração pela aplicação do fator de fluência, afí apenas sobre a flecha das cargas permanentes, isto é: (l + af*)ff +/, -

8,4.4 Considerações sobre os valores limites das flechas Não existe concordância absoluta na literatura especializada sobre os valores limites a observar para as flechas. Na maioria das normas, os limites são estabelecidos em função de /, vão efetivo das vigas ou o menor vão para as lajes. As solicitações para o cálculo de flechas no ELS-DEF são obtidas da expressão (8.1), com as combinações quase-permanentes de serviço das ações variáveis, o que permite reduzir as solicitações por um coeficiente \J/2, que varia conforme a natureza da edificação. Os limites de deslocamentos, da NBR 6118 -> Tabela 13.2, estão transcritos na Tabela 8.3. Para vigas e lajes de estruturas usuais, o primeiro limite da flecha total é o da aceitabilidade sensorial, ou seja, os deslocamentos não devem ser visualmente incómodos ao usuário:

f«*/*. = l/250

( 8 - 21 )

Outros limites devem ser obedecidos, conforme a natureza da estrutura, pela Tabela 8.3. Alguns se aplicam a todas as ações, permanentes e acidentais

363

364

João Carlos Teatíni de Souza Clímaco

(S "*" #)' quando se considera o efeito da fluência, e outros são aplicáveis apenas às cargas variáveis. Por exemplo, se houver necessidade de estimar os efeitos em paredes de alvenaria, caixilhos e revestimentos - elementos não estruturais, a flecha após a construção da parede é limitada a 1/500 ou 10 mm. Diversas outras considerações podem ser feitas para uma verificação mais apurada. Por exemplo, os elementos não estruturais passíveis de danos (divisórias, esquadrias, etc.), em geral, são instalados alguns meses após a retirada do escoramento da estrutura, já tendo, portanto, ocorrido as flechas imediatas das cargas permanentes. Dessa forma, pode-se verificar a interferência da estrutura com esses elementos, tomando, em vez da flecha para todas as cargas, a soma da flecha diferencial somente das cargas permanentes (/„) com a flecha imediata em função das sobrecargas (/ ).

8.4.5 Considerações práticas Levando-se em conta que a estimativa de flechas não pode ser feita de forma muito precisa, especialmente no que se refere às flechas produzidas pelas ações de longa duração, pelas dificuldades de avaliação da influência no fenómeno de fatores como a retração, a fluência, a razão sobrecarga/carga permanente e os efeitos de temperatura e umidade, é recomendável, na verificação de flechas, observar os seguintes aspectos: •

evitar a utilização de elementos demasiadamente esbeltos;

•

evitar taxas de armadura de tração muito baixas;

•

utilizar armaduras de compressão;

•

efetuar cura adequada do concreto;

•

retardar o mais possível a aplicação das cargas permanentes na estrutura, t*

evitando a retirada prematura dos escoramentos.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

Deve-se ressaltar que o módulo de elasticidade do concreto, E

, cresce com a

idade, mas em proporção menor que o crescimento da resistência. Assim, a prática comum de se retirarem os escoramentos antes dos prazos prescritos por norma, ao ser alcançado o valor dq^nos ensaios de corpos de prova à compressão, pode ser prejudicial quanto aos deslocamentos da estrutura, a longo prazo. Em estruturas esbeltas, deve-se verificar adequadamente as flechas imediatas e diferidas, causadas não só pelas ações de longa duração mas também pela transição paulatina do estádio l ao estádio II, nas seções mais solicitadas da peça. Essa verificação pode prevenir os vários tipos de danos que podem comprometer uma edificação, especialmente no que se refere à funcionalidade e à estética. A Figura 8,2, a seguir, mostra alguns tipos de danos comuns em edificações usuais com estrutura de concreto armado, sucintamente comentados na sequência: a) Fissuras em paredes de material frágil (divisórias constituídas por materiais como placas de gesso ou arenito calcáreo), assentadas sobre lajes de piso de vãos elevados (> 5,0 m) e vigas muito esbeltas (h < 1/15) (ver Figura 8.2 a). b) Risco de ruptura por flexocompressão de paredes ou pilares esbeltos, em virtude da rotação causada por flechas excessivas das lajes ou vigas de piso, ligadas rigidamente aos elementos de apoio (Figura 8.2 b). c) Flechas elevadas em lajes e vigas de piso, causando danos às fachadas próximas, constituídas por paredes não estruturais ou esquadrias, acima e/ou abaixo das vigas, podendo mesmo prejudicar a movimentação de esquadrias, no caso de grandes painéis (Figura 8.2 c). d) Fissuras horizontais em paredes externas de alvenaria, ao longo do bordo inferior da laje maciça esbelta nela apoiada, em virtude da rotação no apoio provocada por flecha excessiva da laje, frequentemente acompanhada por fissura interna horizontal ao longo do pé da parede. Esse tipo de fissura é responsável, em grande parte, por problemas de infiltração de água nas fachadas expostas (Figura 8.2 d).

365

366

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

e) Flechas imediatas elevadas em lajes de piso, por deficiência na execução de formas/escoramento durante a construção, exigindo revestimento adicional para nivelamento, o que acarreta um acréscimo de carga, com aumento posterior de flechas, f) Flechas excessivas em balanços, especialmente em lajes de cobertura e marquises, causando inversão na inclinação prevista e consequente acúmulo de detritos e água de chuva, no caso de haver parapeito. Deve-se ainda ressaltar que, em havendo qualquer possibilidade de ocorrência futura de danos à edificação, estruturais ou não, cabe ao projetista notificar, por escrito, as flechas estimadas ao responsável técnico pela obra, para que sejam levadas em conta nos acabamentos e nas fachadas. Além disso, as "contraflechas" eventualmente necessárias em lajes e vigas, abordadas no item seguinte (8.4.6), devem ser indicadas nas plantas de forma e, quando necessário, o responsável pela obra deve ser instruído sobre o tempo de cura, prazo e formas de retirada do escoramento de lajes e vigas, de modo que as hipóteses admitidas na estimativa de flechas sejam satisfeitas. Os casos mostrados na Figura 8.2, de forma bastante sintética, têm caráter ilustrativo de uma variedade muito grande de danos associados à movimentação da estrutura. A consideração de efeitos de temperatura, umidade ambiente, retração e fluência do concreto é bastante complexa, fato que, associado à esbeltez das peças, vãos elevados e rapidez da execução recomenda uma atenção compatível no projeto estrutural.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

{ £ S_£_£. / S\ S ^f _/ J J -J T 7

(a) Danos em parede devido a flecha excessiva de laje de piso esbelta

a Risco deflambagem de pilares ou paredes esbeltas flrtl»!

/f/f/fft

(b) Risco de flambagem de apoios devido à rotação causada por flecha excessiva Parede de alvenaria

fissuras devido a flecha excessiva de vigas e lajes sob a parede

f

Esquadriat marco ou verga

Fissuras de deformação da esquadria abertura (c) Fissuras em peças não estruturais devido às flechas excessivas de vigas ^ fissura interna fissura externa^

l l ^^^^/

laje maciça

(d) Fissuras em paredes devido à rotação causada por flecha excessiva da laje

Figura 8.2 - Danos causados por flechas excessivas a elementos da edificação

367

368

João Carlos Teatini de Souza Climaco

8.4.6 Critérios para a adoção de contraflechas A contraflecha consiste na execução das formas de lajes e vigas com uma curvatura contrária àquela produzida pelas flechas imediata e total, de modo que a estrutura sob carga reproduza a geometria prevista em projeto. A NBR 6118: 2003 é sucinta no assunto e a maioria da bibliografia especializada é também bastante vaga. Do exposto em itens anteriores, pode-se concluir que a contraflecha deve ser estudada em cada caso, tendo em vista a possibilidade de ocorrência de danos à estrutura e seus componentes, Um critério prático bastante comum, quando houver dúvidas se as flechas diferidas poderão causar danos a outros elementos da edificação, estruturais ou não, é adotar uma contraflecha igual ao dobro da flecha imediata estimada apenas para as cargas permanentes. Cabe, entretanto, lembrar que uma contraflecha muito elevada pode ser tão prejudicial quanto uma flecha excessiva. Por essa razão, a Tabela 13.2 da norma prescreve que a atuação isolada da contraflecha incorporada às formas das vigas e lajes "não pode ocasionar um desvio do plano maior que 1/350". Os renomados autores alemães Leonhardte Monnig (Construções de concretovol. 4, 1978)

apresentam recomendações relevantes para a adoção de

contraflecha, valendo ressaltar dois casos específicos: a) Vigas e lajes de um só vão Na execução, incorporar às formas uma contraflecha calculada com base apenas nas cargas permanentes. Os autores sugerem que logo após a retirada do escoramento deva permanecer uma contraflecha da ordem def/2 , de modo que após um tempo infinito as deflexões não vão superar a metade da flecha imediata da carga permanente somada àquela das sobrecargas, isto ®> U/2 (f. ) +f. ]. Dessa forma, a contraflecha recomendada seria:

cf = 1,5 f*

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de sen/iço

b) Lajes em balanço Antecipando uma possível inversão da inclinação prevista para o balanço e sabendo que medidas corretivas posteriores são difíceis, os autores recomendam prever na execução uma contraflecha mais elevada, na extremidade do balanço, da ordem de: cf=2,3fíg

(8.23)

8.5 EXEMPLOS 8.5.1 Exemplo de verificação ao estado limite de fissuração Verificar quanto à fissuração uma viga de concreto armado na classe ambiental CAA II (agressividade moderada - risco de deterioração pequeno), sujeita ao momento fletor característico máximo de 300 kN.m, sendo as dimensões da seção retangular: bw = 25 cm, h = 80 cm, d ~ 75 cm\a de flexão Ás = 5020,i aço CA-50; = 25hfPa. y ' concreto comj /, cff a) Parâmetros de entrada M= 300 x J O6 N.mm

Ás = 15,75 cm2 = 1.575 mm2; 7jb = 2,25 (CÁ-50) fctm = 0,3 f ^ = 2,56 MPa

O da expressão (8.4)

À cri =b w (c =487,5 cm2 O da ^ nom + 0+80) í •> =25 (3,0 \ ' + 0,5 + 8x2,0) * J > expressão (8.9), para seção retangular com armadura de tração em uma camada. pcr[ = As/Acrí = 75,75 / 457,5 = 0,032 E^ = 4.760f ^ ** = 2,38 x IO4 MPa, da expressão (8.8); Et = 2,1 x IO5 MPa a =E / E

= 2JO.OOO/ 23.800 = 8,82

369

370

João Carlos Teatini de Souza Climaco

b) Profundidade da linha neutra e tensão na armadura em serviço As expressões (8.7) e (8.6) fornecem:

= 8,82.15,75 _L-'.—

x

25

n

* -._

7

\ j

, Al 2.25. 75 „ « = 23,8 cm -i + + •-

00'10"

1.575

=284 MPa

750 -

3 )

l

c) Controle da fissuraçao sem a verificação da abertura de fissuras Com o valor da tensão de tração de serviço no aço cr. = 284 MPa, da Tabela 8.2 obtém-se 0 max = 12,5 mm esmax =15 cm. De acordo com esse ' critério, a armadura de flexão composta por barras com CP = 20 mm não passa no critério da bitola máxima. Cabe, então, fazer a verificação pelo controle da abertura de fissuras, mais rigoroso e, talvez, com resultado mais satisfatório. d) Controle da fissuraçao pela limitação da abertura estimada Aplicando as expressões (8.5) da NBR 6118 -* 17.3.3.2, para estimativa em projeto da abertura de fissuras, com a espessura do cobrimento de concreto c nom =30 mm da classe CAA II, tem-se :

. 12,5ní

-w =

. Es fctm

$ ,_^1 M —. 4 + 45\ ^ . 12,5n. Es l pcr[ l

20 12,5x2,25

20

284 .±(2841 = 0,32 > 0,3 mm 210.000 2,56

.

12,5 x 2,25

284

4

*- nu + 45> / \< )0,16mx < 0,3 mm

210.000 ( 0,032

j

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

Portanto, a menor das aberturas, da segunda expressão anterior, é inferior à abertura máxima de fissuras da classe CAA II, de 0,3 mm, indicando comportamento satisfatório quanto ao estado limite de fissuração, o que não se verificou pelo critério da bitola máxima. e) Comentários (D Usando a simplificação do AGI, cr = f,d/7f -435/1,4 = 311 MPa, as expressões ficariam 0,38>Q,3 e 0,18 < 0,3 , resultado ainda satisfatório quanto ao controle da fissuração pela abertura estimada. (D Caso se adotasse o valor aproximado da profundidade da linha neutra, da expressão (8.15), x - 0,3 d = 22,5 cm, seria obtido cr. = 282 MPa, uma excelente aproximação quanto ao valor calculado, a = 284 MPa. (D Supondo que o momento de serviço de 300 kN.m seja decomposto em duas parcelas, M

k

= 220 kN.m (das cargas permanentes) e Mk = 80

kN.m (da carga acidental), e admitindo se tratar de estrutura de edifício comercial, o momento para verificação da fissuração, da expressão (8.2), pode ser reduzido com as combinações frequentes de serviço das ações variáveis. A redução é feita multiplicando a parcela M. do momento pelo 9* fator \|// = 0,6, resultando em Mdjer = 220 + 0,6 x 80 = 268 kN.m. Dessa redução, tem-se a tensão em serviço cr. = 254 MPa, mais favorável para controle da fissuração.

8.5.2 Exemplo de verificação ao estado limite de deformações excessivas Verificara viga do exemplo anterior, suposta biapoiada com o vão teórico I = 8 m, quanto ao estado limite de deformações excessivas, admitindo a carga de longa duração distribuída uniformemente na viga, aplicada na estrutura com a idade de

um mês.

371

372

João Carlos Teatiní de Souza Climaco

a) Cálculo da flecha imediata Do exemplo anterior tem-se: Es = 2,1 x IO5 MPa; Ea = 4760 f ^ m = 2,38 x JO4 MPa

a e =E s /E

es

= 8,82 '

x = 23,8 cm Da expressão (8.13), tem-se o braço de alavanca das resultantes de tração e compressão no ELS: z = d-x/ 3 = 67,0 cm. Aplicando o valor na expressão (8.12) resulta:

I =

As.z(d- x) = 8,82 x 15,75 x 67 (75 - 23,8) = 476.534 cm4

= 476,5 x IO7 mm4

E es I~L134xlQ uN.inm2 n Da expressão (8.16), tem-se: I C -=b

»'

h3 112 = 25 x 803 = 1.066.667 cm4 = 1.067x1 07 mm4

Momenío de fissuração do elemento estrutural com seção retangular, da expressão (8.4): M r = 0,075 bw h2J/.ck 2* « 0,075.250.800 2.252/3 = 103x10 6 N.mm ' Com o momento máximo no vão M a ~ 300 x IO6 N.mm e os momentos de inércia anteriores, a rigidez equivalente da peça será:

*2,38xW4\—\7 + 300)

j. 300

= 2,38x5QO,4xWn

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

Pode-se notar que a rigidez equivalente é muito próxima da rigidez calculada com a peça fissurada, Ea . In = 1.134 x 10 n N.rnm2, o que indica uma probabilidade alta de existência na viga de fissuras sob as cargas de serviço. Isso ocorre por ser o momento de fissuração muito reduzido para as características da peça - geometria, vínculos e carregamento. O aumento desse momento pode ser obtido por acréscimos nas dimensões da seção e/ ou na resistência do concreto à compressão. Da fórmula de Branson, nota-se que, no limite, fazendo M. = Mg, a rigidez equivalente seria igual à da seção bruta de concreto, ou seja, da peça sem fissuras. Da Tabela 8.5, para viga biapoiada, tem~se a = 5/48 , obtendo-se a flecha elástica imediata com a expressão (8.4), com as unidades Newton e milímetros:

, f; - a

Mkl2

5 300.106x8.0002 = —•. =17 mm 48 L191xlOn

(EI)eq

b) Flechas diferida e total produzidas porações de longa duração Sendo a carga de longa duração, com a retirada do escoramento, aplicada à estrutura com a idade de um mês, considerando-se para a estimativa da flecha diferida a idade de 70 meses e a ausência de armadura resistente de cálculo à compressão, da Tabela 8.4 e expressão (8.20), tem-se:

af=ÁÇ/(l + 50p") = 1,32 fdíf = af.f, = 1,32 x 17,0 = 22,4 mm flol -/, +/.V = (^ + «/)/, = 2,32 x 17,0 = 39 mm Comparando com o limite para deslocamento total da Tabela 8.3, vem: /•>

lol

= 39 mm >/,. = J/250 « 8.000/250 = 32 mm lim J

373

374

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Portanto, a flecha estimada não atende à limitação da norma quanto ao aspecto de sua percepção visual, com um excesso da ordem de 22%. A seguir, são .analisadas algumas alternativas para superar o problema. c) Verificação da flecha com redução do momento fletor da carga acidental Supõe-se, como no item (D da alínea e) do exemplo anterior, que o momento de serviço de 300 kN.m seja decomposto em duas parcelas, M k = 220 kN.m (das cargas permanentes) e M £ = 50 kN.m (da carga acidental). Para as combinações quase-permanentes de serviço, o momento para a verificação da flecha, da expressão (8.1 ), para edifício comercial, pode ser reduzido pela multiplicação do momento M k pelo fator \[T2 = 0,4, o que vai resultar em

M,a,ser = 220 + 0,4 ' x 80 « 252 Com esse valor do momento, a rigidez equivalente da peça ficaria: (ET)

eq

= 1.230 x 10 n < 2.539 x 10n N.mm 2

As flechas imediata e total mudam para:

/, = 14,0 mm O fioi = (l + a/)fi = 2,32 x 14,0 = 32,5 mm Nesse caso, pode-se considerar, pela diferença muito reduzida de 0,5 mm, a ser realizada no prazo de 70 meses, que a flecha estimada atende à limitação da norma quanto ao aspecto de sua percepção visual. Deve, ainda, ser analisado em projeto se essa flecha não poderá causar danos a outros elementos, estruturais ou não, ligados à viga, verificando os outros limites para deslocamentos da Tabela 8.2. Caso seja previsto algum risco de dano, a flecha pode ser parcialmente compensada pela especificação de contraflecha, em valor limitado a 1/350 = 23 mm. Esse valor da contraflecha deve ser explicitado na planta de formas. d) Comentários (D Se na verificação ainda persistisse o não-atendimento ao limite de flechas da norma, poderia ser analisada a possibilidade de colocação de uma

Capitulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

armadura de compressão. Por exemplo, para uma taxa p — 0,5%, que corresponde à área de aço comprimida de Á's = 9,4 cm2, o coeficiente de fluência cai para a.- 1,06 e a flecha total diminui para 29 mm. > Caso fossem usados os valores aproximados x = 0,3 d = 22,5 cm e z = 0,9 d — 67,5 cm, resultaria na inércia de peça fissurada Iu = 492,3x 107mm4, com um erro de apenas 3%, no entanto contrário à segurança. > É interessante comparar a versão da NBR 6118:2003 com a anterior NB-1/ 1978 na estimativa de flechas. Aplicando as disposições desta última ao exemplo presente, adotando o mesmo momento de inércia da seção fissurada/7/, a flecha imediata assumiria o valor/J =17,4mm, muito próximo do obtido na alínea a) do exemplo 8.5.2. Isso mostra que o uso da rigidez equivalente, com a correção pela razão dos momentos M / Ma, só é significativo para valores elevados de M . No entanto, a NBR 6118:2003 mostra-se bem mais rigorosa na consideração da flecha diferida das ações de longa duração: o coeficiente de acréscimo da flecha imediata obtido pelas disposições da NB-1/78 teria o valor aproximado de 1,6 contra 2,32 da nova versão. Em vista disso, a ponderação das diferentes idades de aplicação das parcelas da carga de longa duração, tQ, prevista na NBR 6118-*• 17,3.2.1.1, pode ser interessante para reduzir o valor do coeficiente adicional da flecha diferida, a.. 1

A verificação de flechas pode ser ainda mais refinada, pelo cálculo em separado das flechas das parcelas de momento das cargas permanentes, M k, e da sobrecarga, M k, este reduzido pelofator \|/2 = 0,4.0 coeficiente adicional da flecha diferida, af , poderia, então, ser aplicado apenas sobre a parcela da flecha imediata /; , do momento Mk. No exemplo presente, esse critério implica uma flecha total com uma folga ligeiramente maior em relação ao limite:

f

•> lot

=22,2 x 2,32 + 1,8 = 30,1 mm
375

3 76

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

Cabe aqui relembrar a importante observação da NBR6118—> 17.3.2, de que, em face da grande variabilidade dos parâmetros envolvidos e, portanto, das deformações reais, não se pode esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos dadas pelos processos analíticos prescritos.

8 . 5 . 3 Exemplo de verificação de laje ao estado limite de deformações excessivas Para uma laje retangular maciça de edifício, com vãos teóricos 5 777 e 6 m, verificar o estado limite de deformações excessivas, admitindo-se engastamento perfeito em um dos bordos de 5 777 e os demais como apoios simples. Considerar a espessura da laje 10 cm, a carga total (peso próprio, revestimento e sobrecarga) de 6'}O kN/m2 e concreto com J/. = 20 MPa. CK a) Módulo de rigidez â flexão da laje Das expressões (8,8) e (8.17), adotando-se para o coeficiente de Poisson do concreto valor igual a 0,2, conforme a NBR6118, item 8.2.9, tem-se:

£ra = 4.760fck!/2 =2,13 x IO4 MPa D =

Ecsh3

12(1 - v2)

- 2J.300xl003 = 1 850xW6 12(1 - 0,22) '

N mm

=j

S50

wm

b) Flecha elástica ou imediata Entrando na Tabela 8.6 do método de Kalmanok com a relação de vãos b/a = 5/6 ~ 0} 83, na coluna do caso 2, obtém-se o coeficiente ú) = 0,00465, e de (8.17): nl4

-r

-,

f. = co -£-!— = 0,00465 ox:> = 9,4x10 "3 m = 9,4 mm ' D 1.850

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

c) Flecha de longa duração Para as ações de longa duração aplicadas logo após o término da construção, da soma das flechas inicial com a diferida, das expressões (8.19) e (8.20), obtém-se a flecha total na laje, a ser comparada com a flecha limite para a carga total, da expressão (8.21):

/,= U \ /+ J i&,)/. i = 2,32 ' x 9,4' = 21,8 mm J Imj >L = 1/250 = 5.000/250 = 20mm J tol

A diferença muito pequena entre a flecha total e a limite, inferior a 2 mm (10%), em princípio, não significa que haverá problemas de deformações excessivas na laje, a longo prazo, pois, conforme o item anterior 8.41, a NBR 6118 destaca que "a variabilidade das estimativas é grande com relação às deformações reais, não se podendo esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos pelos processos analíticos prescritos". No entanto, sendo a flecha total superior ao dobro do limite 1/500 = 10 mm, da Tabela 8.3, a possibilidade dê dano a elementos estruturais ou não ligados à laje é real, devendo-se analisar a necessidade de adoíar uma contraflechá na execução ou indicações específicas no projeto quanto aos elementos passíveis de danos.Pode-se ainda refinar ã verificação de flechas, com o recurso de dividir a carga de serviço ria laje nas parcelas da carga permanente e da sobrecarga, aplicando ã esta í3Ífim'á" õ' fafor reéftitory = 0,4. Admitindo-se, por exemplo', ser a carga péíffiáfiêhíé 4,-Ô kN/lrf e a sobrecarga 2S0 kft/m*, a carga dê serviço páYa verificação da flecha pocfè sêf reduzida para 4 + 0/4 x 2 ~ 4,8 kN/m2.- Gom1 esse Vátôf, as ffêêftãs iriíóláf ê1 íoíal aSsiffffêfrf os válôíês 7f§ fiiftf- é 17,4 mm,. fêsp'é'ótivãrnêhfè,- mais favoráveis quanto aos limites da nõ'fm'á.

377

378

João Carlos Teatini de Souza Ctímaco

8.6 AUTO-AVALIAÇÃO 8.6.1

Enunciados

Para a planta de lajes da Figura 8.3, a seguir, todas de mesma espessura h =10 cm, tem-se a sobrecarga 2,5kN/m2 e o peso dos revestimentos superior e inferior da laje de l,OW/m2. Admitindo a estrutura na classe de agressividade fraca, concreto com resistência^=25 MPa, aço das armaduras das lajes CA-60 e vigas CA-50 (longitudinal e transversal); vigas V6, V7 e V8 com dimensões da seção transversal 20x 70 cm2 e as demais com 15x 40 cm2, resolver as questões a seguir: 1. Dimensionar as armaduras das lajes da planta. 2. Verificar as lajes mais desfavoráveis quanto ao estado limite de fissuração, segundo as disposições da NBR 6118. 3. Verificar as lajes mais desfavoráveis da planta quanto ao estado limite de deformações excessivas, pelo método de Kalmanok. 4. Verificar a alteração nas flechas da laje L1, supondo sobre ela uma carga adicional referente a uma parede de espessura acabada 15 cm, de tijolo furado, comprimento 6m e pé-direito 2,6m, paralela à viga V6, admitindo que possa haver sob a laje divisórias de material frágil. 5. Dimensionar as armaduras de flexão e de cisalhamento da viga V6 e verificála quanto aos estados de fissuração e deformações excessivas. Considerar sobre essa viga uma parede de tijolo cerâmico furado, com espessura acabada 15 cm e altura 2,6 m. 6. Dimensionar as armaduras de flexão e de cisalhamento da viga V8 e verificála quanto aos estados de fissuração e deformações excessivas.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

,0m VI

3t5m

CQ

V

P4

í P5

V3

V4

V?

Figura 8.3 - Planta de lajes do item 8.6 -Auto-avaliação

8.6.2 Comentários e sugestões para resolução dos exercícios propostos 1. Em virtude das dimensões relativas das lajes L1 e L4, a hipótese mais razoável é a laje menor L4 engastada em L1, sobre a viga de bordo V4; no entanto, considerar 1_1 engastada em L4 não é razoável, em virtude da grande diferença de vãos: 8,0 m e 1,5 m. Dessa forma, toma-se no cálculo a laje 1_1 como simplesmente apoiada no bordo V4 e engastada em L2/L3, pois o trecho contínuo de L1 nesse bordo tem 6m> (2/3)8,0 = 5,34 mt conforme o item 7.4.4a); portanto, a laje em cruz L1 estará no caso 2 do método de Marcus. As lajes em cruz L2 e L3 caem no caso 3 (dois bordos engastados adjacentes)

379

380

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

e a laje L4, em uma direção, tem na direção principal, de 1,5 m, um bordo engastado e o outro livre, o primeiro caso à direita da Figura 7.10 a). 2. Com a mesma carga em todas as lajes e tendo a laje L1 apenas um bordo engastado, ela será a mais desfavorável quanto à fissuracão.Averificação deve serfeita para a armadura calculada para o momento negativo equilibrado entre L1 e L2 ou l_3, com certeza o momento máximo do painel. 3. A laje LI é também a mais desfavorável quanto a deformações excessivas, sendo o restante do exercício similar ao exemplo 8.5.3. 4. Acargada parede na laje se obtém do item 7. 3. 1.4 e Tabela 7.2. O limite da flecha total deve ser 1/500 = 10 mm, pela possibilidade de dano a elementos não estruturais ligados à laje. Caso necessário, determinar a còntraflecha necessária à execução da forma da laje, segundo as recomendações do item 8.4.6. 5. Avaliar a carga transmitida pela laje L4 à viga V6 pelo processo do item 7.5 - Capítulo 7, dada na Tabela 7.7 péla reáçãõ ri do dasõ 2 ^ 2^ tipo.  ví§a V6 pode ser considerada como biapoiada em P1 e P5, com um balanço de 1,5 m-. No dimensionamento ã flexão da armadura pára ô momento' positivo máximo da viga V6 pode-se considerar ã seçãô córriõ T, pJélô fato dê a laje L1 funcionar como mesa de compressão e manter a linha neutra dê V6 hofizontalj pela restrição às deformações da viga; Dessa forma, podem sêf utilizadáê as disposições para cálculo como Viga T, dó iteríi 5:7-6â'p1tu1ò5. 6, Notar que a viga V3 está apoiada hò 'pilar P4 ê na vítjã V/8,. onde, apiifía Uma carga Concentrada. Para" õbtêrífão dos èêfófps' sSlÍõitãhíêsy momento íièiõf e fófçá cortante, todos os apoios das vigas* sêjâêrh pilares cití em outras vigas, podem ser tomados como simples, simplificação' aceitável para os objetivos desta publicação.

Capítulo 8 - Verificações aos estados limites de serviço

Tabela 8.5- Coeficientes a para cálculo da flecha elástica = Ot

(Ml2/El)

Tabela 8.5 : Valores do coeficientes oc para cálculo da flecha elástica = a (Ml2/El) Esquema estrutural e momentos

a

Esquema estrutural e momentos

5/48

ft

4

l l l l l l l l l l J-

pi2/24

1/16

1/24

J/12 PI/8 3 - 4(a/l}2 24

2ab 3 (3a+b)2

Pab2/!2

2Pa2b2/r \P

P

\

n i ,i i rnjji KT

= 1/10 a

•» a —»— a

«••

PP/8

p

a

^//3

pl2/14,2 3P//16

sl/17 Pab/l ab

1/16 Pab3(a+2l)/2l3

6l2(a+2l) (sob a carga)

pP/2 1/8

Ml

M2

Mm Ml

(M! c M2 em módulo)

A/2

K Mm

J_(l - M1±M1) 48 lOMm

_]_(!- M1+ M2) 12 4 Mm

M l l l TTT-M-I l l l l i

1/4

1/3

381

55

55

55

55 55

55

55 55

55

55

55

^ C j Q O O C M K j M K j O ) ^ w U j • - . O ^

55

55

5b

^

55 55

55 5^

55

55

55

5&

^ Q ^ Q > - ^ v o C o o v j

55

55

55

55

55

55

O O O Q C 3 ~ ^ ' - - i > - v o O , ^ Q O i

55 55

55

55

55

O p )

55 55

O O ) O t x - K \ p o - j O ,

55 55 d Ç K . O o -

55

C 5 5 Q f c v - t e C o C

55

O ^ U

55

55

55

55

55

55

55

55

55

55

55

d O C j p p p C j K j M - í x t - n <

55

55

^ O O O O Q ) C 5 C í C O ^ O O O O C 3 Ç 5 C - ^ k - ~ 4 > - ~ 4 1 - - . > - - - 1 - - - . K j K & . K ) - ^ , O i - x i O o v O O K j U M X j K j C N O - K ^ l ^ D Kj

55 55

A

.i

s O C 5 l p O p ) U j K j K j ) - f e , O , O1 O» >•—

Á

^

Cr

^ g O

Cr-

•^ g O

Cr

^

^í O

^

*~~ O* C5 ^S "P 0, §.§»

^

^•ã^

Q

Cl

G

8

13

03

.i

^

55

D

»!

Q)

A

O

Q

-s j

Cr-

1»

a

CD W

C_

2D OD

3 CL O CD Cl °>a SjO CD W 55 O 55 ji

Cr

s- § 7\>

0

II

CD;

° g-

f^ 1

8 st D P ?§

« °

0 °

8-3

O

r* "d

" ff ie

Q)

03 2. Q. CD

^ ro 9.. =ft

Q)

'•Õ CL Q) o « °

03 CD O V)

í 3 o

cn 1

CD CU 00

—i *? cr

C5

O

a Ci 3 -^ g j O \l>^^OoC5U)OiOitsj'-nWUjKjCl^-txC3

55 O C 5 C K j K - ^ O

O O C i C 5 C S O C 5 C 5 O C 5 C 5 C 5 Q O C 5 C l C l C j p - j t - ~ . > - ~ - > - ~ . K j K j K j K j l s j l x j K > < ] O 3 v O C 5 ) - - - K j U) -fe< •**. Oi ^ O U j - t v O ! O i - * < U ) K j ^ O - t \5

55 jis

55

O O O O O 1 < l O o V ^ p ^ U j i , O , C o

5 C i O C 5 C ) C 5 C 5 C i p O C s p Q s C i O o K j O j U j U j O o - t x - f c < - í \ o O U j O s \ O b - - - f c . O s C ^ U j C j C 5 C o - í x C o

55

55

C 5 C 5 C l p Ç ) C ) U i - í ^ O o C s t s j , C A X ]

55 p U \ O

c 5 C í C i ( Í 5 C ) C ) C s O Q Q Q O C S c a p Q C b p O a j U j t N j K j ^ K j b s j K j M l o K O \ K i v o C i ' - - - K > K í U i - í v

O O C i O O O Q 5 ^ Q Q O O C > ^ C ^ o U j t v j K j K j K j 1 — S ^ O o ' - ^ t - o O C o ^ " O X l C x - x j Q - í x C i

t ^ O i O O K j k ^ s ^ K ) C 5 \ O í M V

Q ) O O U j O o ^ K - Í X

5^

C l C ^ O O O • Í V - Í X L ^ i ^ C Q j - x l

5b

55 5b

55

55

55 O C i ' " c 5 ' 5 O O C } i - n - í ^ - í ^ o > - - - ^ C 3

55

5^

55

O O C 5 U j U > 4 x , O K j - K

55 i

5 O O O O C i O O ^ Q C i O C ^ O O ^ O Q C s e i Ç i O C i - f c . O o O o O j U o t v j K j K j K j I s j b ^ V 5 O \ U 3 C 3 C « O , U ) f ^ ^ O i C o C i O U ) C o U j C t t ^ ^ ^ C o U )

O O C ^ O O C i C O o x j C x ^ 4 x ^ ^ O

55

55 55 55

55 55 55

^ O C Q O C - K - t x . C N ^ > C ^ ^ C

55

55

C S O O C s ^ C l C j C i C ^ C ^ C í C í O O O Q O ^ O C i o ^ 3 a \ < - f , O 1 - k , - t x U ) U ) t \ ) U j t ^ O \ ^ O K j C 3 \ * ^ ^ t ^ ^ C i t v O O C o - t i . C ^ O i ) — I s j C o C o O

S

55

O C O O I O O K > ^ ^ ^ O

5^

O O O O O O O C > \ ; < ) - V O C N N j j N o C > i - t

55555555555555555555

o ^ O ^ ^ O O O O O C s ^ O O O - - 4 O O O O O O C 5 O O O O O O ^ O o ^ \ 3 O \ ^ 0 , ^ v - t ^ * ^ - * X : í x O i a \ - . U j O \ \ O K j O \ O - t X \ 5 0 , < 5 > ^ V o - t j C o O , ^ O ^ K j U i C t o O o > ^ C > \ ^ C Q C Q U

5555555555535555555551 " > O > U

55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 V5 Oo p \ 0 \ J - n O , 0 , ^00 0 1C o0 X) 0 , X]0 0 , 0 0 , 0

^ Cr

55 5^ o 55 55 55 5^ 5^ 55 5^ >< X ^ X / i C X C N V l X l O o C o ^ O ^ Ç i C i O , ç 3 o , ç : > I - ' l c 5 0 1 o o , ç 5

&• j$"

tstrucuras oe concreto armaao: l u n a e m e n t u i UK piujci.u, u n u c u a i u n a u i c u L u

Qi

O ,

. .Á—"

• • , ÉÊffiiBHiUiiftL:*:i -^r--^_—v>

1

<'*}r*%f** .

**•-•*• "'l

/•• ; ., i ^t* -'*# f

n? :•*•••'

Apêndice A.1

'VI

B2*'>3RKíí

r' -^^^VíT-^iíair-Jtf // %jáiâfi^^OÉaEÍi

yli;

Roteiro p_ara o cálculo de pilares pelo processo aproximado da compressão centrada-equivalente

,;. A.2 Roteiro parado cálculo de !^-v'j|-M_-::elementos lineares à f'-'HáUfiflexão pura : ^

--OU:,

••

'

Roteiro para o calculo de elementos lineares à força cortante-

?A^ríáRòteiro oara o.cálculo"l>de; ' / liSrtt íi, '-! " ':- -1 r

d-aPjes réjtangUlares

-

Apêndice A . 1 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE PILARES PELO PROCESSO APROXIMADO DA COMPRESSÃO CENTRADA EQUIVALENTE

1 Alternativa ao cálculo à flexão composta, válido nas condições: a) Força normal reduzida de cálculo:

Nsd = YfNk~ força normal solicitante de cálculo, no centro de gravidade da seção; Á ' c - área da seção transversal de concreto comprimido; fcd - resistência de cálculo do concreto à compressão. b) SecÕes transversais retangulares ou circulares e armadura simétrica c) Cálculo da seção nas duas direções principais, com o valor respectivo do coeficiente y1 u: Para pilares intermediários sob compressão centrada, sem considerar os momentos das vigas, basta o cálculo na direção principal mais desfavorável (direção paralela ao lado menor b, para seçpes retangulares), quefornece o maiorvalorde /u.As expressões seguintes já foram escritas para esse caso. d) Pilares curtos ( A £ 55) e medianamente esbeltos (35 < À. <, 90):

A = / e / Z á r ^ / f sendo: 35 <; Ã l = [25 -f- 12,5 (eb/b)] /ab z 90

394

João CarlosTeatini de Souza Climaco

*•> eb = Msd/NScl - excentricidade de 1^ ordem da força normal, na direção de b,' com o valor mínimo; e I,min , = 1/400 ^ 7,5 + 0,03b

(em c/n); ^ ab = 1,0 O Pilares biapoiados com momentos fietores menores que o mínimo de 1^ ordem (caso de pilares intermediários com carga centrada); w ]tO > ab = 0,60 + 0,40 MB/MÃ >. 0,40 O Pilares biapoiados sem cargas transversais, com momentos extremos, em módulo, M'A >. MB (caso geral de pilares extremos)

2 Força normal equivalente para cálculo simplificado à compressão centrada

N... r NSáv. ~Y Sd,eq = 'u ' a ' frrN, k <* Coeficiente de majoração do processo aproximado: yv =1 +fi(eb/b) w Parâmetro dependente do arranjo das barras longitudinais na seção tran versai:

P=1/[(Q,39 + 0,01á)-0,8d'/b] /

d' = distância à borda da seção mais próxima do centro de gravidade da armadura longitudinal disposta na borda paralela ao lado h

/

para seções circulares O a = -4

/ para seções transversais retangulares:

a = -l/as se

as < l

a= as

se

as > l

a— 6

se

a >6

com: as = ^(n,h - 7) / ^(n,o - 1}J J

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

nh— número de barras longitudinais da área de aço Á' s nas bordas paralelas ao lado h (barras que combatem o momento Msddevido à excentricidade eb da força normal N^, na direção principal paralela ao lado b); n = número de barras da área Â' s nas bordas paralelas ao lado b.

3 Área da armadura longitudinal comprimida

A' s z (N,, -/'.A' c') / f cyd . Sd,eq •'ca l

J

A's= área das barras de aço de armadura comprimida, nas bitolas padronizadas pela NBR 7480:1996 (Tabela 4.4 - Capítulo 4); A' = área da seção transversal de concreto comprimido; f cd ~ ®'85fcc}

=

resistência máxima de cálculo do concreto à compressão;

f'yd= resistência máxima do aço à compressão, limitada pelo encurtamento máximo de ruptura do concreto = 2 %o (Tabela 3.3 - Capítulo 3).

4 Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Bitolas mínima e máxima das barras da armadura longitudinal: 10 mm < 0< b /8

b) Taxas mínima e máxima da armadura longitudinal (p = A's/A'c): p . =0,15 N,./(f ,.A') > 0,4 %;' rpmax =8% \^(incluindo regiões de " mm ' Sd v J yd c/ ' trespasse). c) Dimensão mínima da seção transversal: *• pilares maciços de qualquer forma: menor dimensão z 19 cm

395

396

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

^ ,permite-se 12 cm £ b < 19 cm,' fazendo N Sa.eq „, = 'r n r' u r r. N. e r 'f k

sendo 1,0 <,yn~ 1,95 - 0,051 £ 1,35 ^ Em qualquer caso, a seção transversal do pilar deve ter área: Â'c> 360 cm2

d) Espaçamento das barras longitudinais na seção transversal:

20 mm ' agreg.

400 mm 2b

e) Proteção contra flambagem das barras longitudinais:

m

. • 200 f

fc> • ! •

•

m

-

grampo estribo duplo

f) Espaçamento de estribos no eixo .da peça: st = o menor dos valores seguintes: 200 mm; menor dimensão da seção; 120(Ch-5Q e 60); 120 (CA-25) g) Espessura da camada de cobrimento do concreto: Tabela 4.2-Capítulo 4 h) Comprimento de ancoragem reta por trespasse: lb O Tabela 4.3 - Capítulo 4.

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

397

A. 2 ROTEIRO PARA O CALCULO DE ELEMENTOS LINEARES A FLEXÃO PURA

1 Traçar o diagrama de momentos fletores o determinar as secões de momentos máximos - positivos e negativos.

2 Obter nas secões críticas os momentos solicitantes de cálculo c">

M

1VJ-sd

= y

ff

?(/f

JUk

3 Dimensionamento de secões retangulares em T a) Obterá altura útil da seção (largura bw) e os coeficientes adimensionais da flexão: d= altura útil = distância da fibra mais comprimida ao CG da armadura *> Armadura de tracão em uma camada: d = h - (c

+ <2> + 0/2}\

<* Armadura de tracão em duas camadas; d=h-(c + 0,t + 0 + a/2) y ^ nom ' ^*- Espaçamento entre duas camadas de barras O a > (2cm e 0) *•• Espessura do cobrimento de concreto o

cnoni : Tabela 4.2 -

Capítulo 4 *+ Para armaduras negativas, permite-se cnom =15 mm no caso de 0 *~ argamassa de contrapiso, revestimentos finais secos, argamassas de revestimento e acabamento e pisos de elevado desempenho, cerâmicos, asfálticos, etc. *t* Bitola das barras longitudinais = &} bitola dos estribos = <£; b) Coeficientes adimensionais interdependentes (Tabela 5.2 - Capítulo 5):

>• nom

398

João CarlosTeatini de Souza Clímaco

kx = £ca, / (^ £ca, + ssd-,); kz = l - 0,4 ' n

Domínios 3 e 4: kma. ~ 0,68 kx kz ' Domínios 2: kma = '0.0,68 kx k: '\ , =cd8.0,85 f ^ cd ' " ' J

c) Cálculo da armadura simples de tração:

<* Tabela 5.2 - Capítulo 5: coeficientes adimensionais da flexão simples: k ma.0 kz O As =M,/(k d ^

z

d •>f yd. Y-" d=k,[M ./(b /.)]'* d sd ^ »'•' cd •'L

1

w- Domínios 2 e 3; a, — •> f, sd yd

w- Domínio 4: asd. = Es esd. com e,sd = 0,0035 ^(l - kx'V k.r 3

^ Domínio 2; quando ^< 0,167 O verificar armadura mínima. *> Tabela 5.3 - Capítulo 5: áreas de aço, Â , e largura interna aos estribos,' b smm, . <* Tabela 5.1 -Capítulo 5: taxa mínima de armadura

O 'mm p . = Á smm . /(b h) ^ w ' **• Taxa mínima absoluta de armadura de tração: 0,15% ^ Taxa máxima absoluta de armadura longitudinal: 4,0 %. d) Cálculo da armadura dupla de flexão (As: tração; A ' : compressão): <* Alternativa de cálculo para evitar a seção superarmada e garantir a dutilidade o não usar se k ma. > 0,425. ' d. 1 )

Momentos positivos:

usar para kmd, > k mahm ... ou d < d min. O MSáw = M.,dl + M,. d2 1

o As =Àsi, +As2.

cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

Momento limite da nervura: kmd - kmdtim (impõe: kx - kxlim e k: = kzj

Asl d. 2)

dim

dfyd

Momentos negativos:

kmaA > 0,272 se J/. < 35 MPa ou CK

k ma . > 0,228 se •*/. > 35 MPa CK **• Momento limite da nervura:

/ se /. < 35 MPa C kma, - 0,272 O M., - 0,272 b \ d2•' fcd , ck aí ' J

O A si, = M,,/(0,800df ,) dl ^- ' J yd'

/ se /. > 35 MPa O kma =0,228 O Mdl = 0,228 bw d•'2cdf, ck ' ' J

d. 3)

Para ambos os momentos, positivos ou negativos: M

=M

-M

com

d 2 = distância da borda mais comprimida ao centro de gravidade da armadura de compressão ^> em uma

camada: d 2 = cnom + &l + 0/2. e) Cálculo como seção T: *> Alternativa quando a laje de concreto (mesa colaborante) é comprimida: mesa colaborante: espessura hf e largura ^(ver Fig. 5.1 0 -Capítulo 5):

399

30

João Carlos Teatíní de Souza Clímaco

^ aba interna da mesa: b, <í 0,1a; 0,5b2; aba externa: b3 í 0,1a; b4 ^ viga T isolada (laterais da mesa: bordos livres) O b = b + 2b '

f

w

^ viga T com duas vigas adjacentes o bf~ b + b "* + b

3

dir

^ viga T com uma viga adjacente e um bordo livre o b = bw + b} + b3 Altura útil de comparação: do = [Ms(i/(0,85fcc!bf A )] + A /2 ^ do = altura útil para ;> = A Caso 1: ;:/> c?o (ou 3? < /?.) o Linha neutra fictícia dentro da mesa ^ cálculo como seção retangular de largura ò- com:

kmi/ = Msã. / (^&f , < / *J /cd' / ) ° ^ s ^^«/(^^/J Sá ^ z J ya' Caso 2: rf < c/o (ou y > /i .) O Linha neutra fictícia na nervura o w cálculo como com o momento em duas parcelas: MM « M^ -í- M^: resistido pela armadura de tração: Âs = Âtf + A^v

O

s

Ad sM f d/[(d-h/2}f}

<+ Em ambos os casos, se ytx< 0,^7 o verificar armadura mínima

4

Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Limites para armaduras de flexão: w- mínima de tração: pmin = Ás/Ác O Tabela 5.1 - Capítulo 5

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

Seção retangular: Asmm. = "m!n p , '(bw 'li) ~ a

Seção T: Á snnn. = p' min . L[b w h + v.(b/f~ b w)j /?,] T /-J **• máxima na seção: A J,/fl/ , , = A J + A' í á 4% (b /?) V J r

w

b) Largura mínima da seção retangular ou da nervura de seção T: b w >. 10 cm

c) Limite para armaduras de flexão em mais de uma camada:

A < 10% h A = distância do ponto mais afastado da armadura ao seu centro de gravidade. Para barras de bitola 0 e espaçamento entre camadas: a > (2 cm e 0) ^ duas camadas de armadura: A ~ 0+ a/2 **• três camadas de armadura: A = 1,50+ a. d) Precauções no cálculo como seção T: **• não usar se 1para o momento na nervura,' M,í/H'1, ocorrer: kma,> k nidjim ,,. *+- ern vãos com carga concentrada: reduzira largura da mesa, bfi multiplicando pelo fator l - MP/M(, função da razão dos momentos da carga concentrada e total.

401

402

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

A. 3 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE ELEMENTOS LINEARES À FORÇA CORTANTE Formulação para o Modelo II da NBR 6118 (ângulo das diagonais de concreto com 0 eixo longitudinal do elemento: 30° £ 0< 45°) e estri*- s a 90° com o eixo.

1 Traçar o diagrama de forças cortantes

2 Obter nas seções críticas as forças solicitantes de cálculo

VSd = rf f V * 1

**• altura útil (d} obtida da disposição da armadura efetiva de tração,^.

3 Dimensionamento (unidades sugeridas apenas para maior simplicidade) a) Ângulo de inclinação da diagonal de concreto comprimida: w- 0=30° o Armadura transversal mais económica, máxima compressão no concreto da diagonal comprimida. w* 0=45° O maior segurança ao esmagamento do concreto da diagonal comprimida. ^ segurança máxima ao esmagamento: estribos com a - 45° com o eixo da peça. b) Verificação do esmagamento do concreto da diagonal comprimida: K,
av2 = l - (fck/250)

O Tabela 6.1 - Capítulo 6

O fcd e fck: MPa; bw& d: mm; VRd2i90: Newtons (N)

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

c) Espaçamento máximo dos estribos (s):

,£ 0,677»., ' Rd2 vsd >

°>67yRd2

O

s tflox. = 0,6d í 300 mm '

^

SMÓC = ®3d * 200 mm O neste caso, pode ser

mais económico adotar um valor maior de d.' rpara aumentar VRd2 0 ,. e s . mox d) Área de estribos mínima: Á swmm,9Q . on - P •m^ ' vrmin.yO

w

°P • '• Tabela 6.2 - Capítulo 6 r w,mm r

O b w : cm;' A M\min,90 . •. cm2/m O Bitolas-espaçamentos: Tabela 6.4 -Capítulo 6 e) Força cortante resistente de serviço referente à área mínima de estribos: 7Rmm,9Q R . Qn = (A . wQ,9df , cote + Vc / )/r'ff l nvtntn,9Q ' J ywd ^» unidades coerentes (por ex.);

O 7Rmm,9Q 0 . nn e V : Newtons; A . ' mm 2 /mm;' d: mm;' /ywd. ^ 435 MPa c ' swmln.yQ J

Vc~ força cortante absorvida pelos mecanismos complementares à treliça *> Na flexão simples e flexotração com a linha neutra cortando a seção; VcQ = valor de referência de Vc . Para 0=45°e y^lA (Figura 6.12- Capítulo 6)

^ se Vsd * VcQ o 70 = VcQ - 0,09 f*3* bw d

O /, : MPa;' bw ', d\; K n :' N eu ck J

* se r > y * v- r V - v /v

- vca

<* verificar no diagrama de cortantes os trechos cobertos pela área mínima de estribos

403

404

João Carlos Teatiní de Souza Ctímaco

*> nos trechos onde V> VRmm,90 D . nnO calcular as áreas necessárias de estribos. t) Armadura transversal de estribos a 90° por unidade de comprimento do eixo:

O /;W: kgf/cm2; VScí e Vc: kgf; d: m; /í^: cm2/m

4 Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Reduções da força cortante nas regiões próximas aos apoios diretos apoio direto: a carga e a reação aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o: ^ carga distribuída: no trecho entre o apoio e a seção a d/2 da face do apoio, pode-se tomar a força cortante V

d

constante e igual ao valor

do cortante nesta seção. ^ carga concentrada: à distância a <> 2d do eixo do apoio O tomar nesse trecho a força Vred constante e igual ao valor ( a/2á)V'. ^ reduções válidas apenas para cálculo das armaduras transversais o não devem ser usadas na verificação das diagonais comprimidas. b) Diâmetro mínimo e máximo da barra dos estribos: 5,0 mm í 0t < bw/10 .

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

A . 4 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DE LAJES RETANGULARES MACIÇAS

1 Determinar os vãos efetivos (ou teóricos) das lajes /,= /o +a,l + a,2 ef

*I* lo = distância de face a face das vigas de bordo, de largura t ; ai á 0,5t.

ou 0,3h

2 Classificar as lajes do painel conforme a relação de vãos efetivos Com Ijèl2: Lajes em cruz: l}/12 £2,0; Lajes em uma só direção: l /12> 2,0

3 Definir a espessura das lajes do painel (h) Limites mínimos da norma o item 7.2.3-Capítulo 7

4 Qbteqção dQs carregamentos a) Peso próprio: g = 25h o h em cm; g em kgf/m 2 b) Revestimento superior e inferior, adotar 100 kgf/m2: *•* pisos de madeira + argamassas de conírapiso e d.e rebatimento jnferjor da laje ç) Cargas, de paredes (revestidas nas duas faces): Parede: extensão a, altura ou pé direito H e peso p' por m2 o Tabela 7.2 -Capítulo 7

405

406

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

^ lajes em cruz (vãos l s /2): carga uniforme em toda a areada laje g , = a.H.p=/(l,JJ *-> parede * " i 2' *+- lajes em uma só direção: influência das paredes nas faixas de largura unitária, paralelas ao vão menor I2. /

parede paralela ao menor vão: carga uniforme O <->g parede j ~2a.H.p'/L 2 •* 2

/

parede perpendicular ao menor vão: carga concentrada O G=p'.H.2m

d) Cargas acidentais, sobrecargas de utilização ou cargas de serviço (g): ^ Tabela2-NBR6120:1980 e) Carga total por área na laje: P — g + q + revestimento + paredes (se houver) (l kN/in2 = 100 kgf/ir?)

5 Cálculo dos momentos em lajes retangulares maciças a) Lajes em uma só direção: Faixas de laje de largura l m paralelas ao vão menor calculadas como vigas apoiadas nos bordos maiores: <* Lajes isoladas O Figura 7.10a —Capítulo? <* Lajes contínuas O Figura7.10b-Capítulo7. b) Lajes em cruz (método de Marcus: vãos / x e /,): y <* lx ~ vão na direção normal ao maior número de bordos engastados ou o menor vão no caso de igualdade na primeira condição.

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

<* Conforme a natureza dos apoios (simples ou engaste): casos 1 a 6 *+- Tabelas 7.6 (a) a (f) - Capítulo 7 o parâmetro de entrada:

A =1/1 y x ^ Obtêm-se coeficientes para cálculo dos momentos fletores por faixa de laje de largura unitária, em cada díreção: 777 , m >} n ,nt momentos positivos: Mx-plx2/mx

; M

=plx2/m

momentos negativos: X x —vi z> f x2/n x ': X y =fpí x 2/n y

6 Condição de continuidade entre lajes com bordo comum <* continuidade completa entre lajes: engastamento no bordo; do contrário, apoio simples; *> continuidade parcial entre lajes: considera-se engastamento em todo o bordo se houver continuidade em 2/3 ou mais; do contrário, apoio simples em todo o bordo; *** não se considera continuidade entre lajes de níveis diferentes.

7 Compatibilização dos momentos negativos em um bordo *t* Adota-se o maior dos dois valores: (X+X)/2

ou 0,8 (maior entre X e X)

8 Dimensionamento <* Obter os momentos positivos e negativos de cálculo, em cada direção:

407

408

João Carlos Teatini de Souza Clímaco

<* Verificar a espessura das lajes, /?, para o momento máximo do painel, em módulo: ^ Para momento negativo:

/ se •>/ ck. <£ 35 MPa: M,, = J' fM Sd.mox /

neg.wax

<, 0,272 d2 Jf ca, '

se •>/. > 35 MPa: MSd.max w = 7, Mpos.max <> 0,228 d2f-J ca, ck 'f '

^ Para momento positivo:

/ M,, ... d2f•* eu, Sd, mox = y.M 'f pos,mox í k mdlim <* Obter coeficientes da flexão simples (unidades sugeridas para maior simplicidade):

*-•> determinar kma,-M sd,/(d 2f•* ca,} ^ J

O Msd: kgf.m; d: cm; fcí}: kgf/cm2 *> Calcular armaduras positivas e negativas em cadadireção: *- Tabela 5.2 -Capítulo 5: kz O Âs = Md/(kzdfy(}) O Msd: kgf.m; d: metros; fc(]: kgf/cm2; À s: cm 2/m ^ Domínio 2: se Â:ma,< 0.088 O verificar armadura mínima ^ Armadura secundária de em ' • -- .lajes J • cruz: área =A

, /5 s,princ

^ 0,9 cirf/m '

"^ Armadura de distribuição de lajes em uma só direçãp (paralela ao maior vão): área = A

. 15 k 0,5 p , t 0,9 cm 2/m ' "mín ' • '

s.prmc

Apêndice - Roteiros para cálculo de elementos estruturais de concreto armado, segundo a norma NBR 6118: 2003

9 Carga das lajes nas vigas *t* Processo da NBR 6118, baseado no método das linhas de ruptura: w- dividir a laje com retas a partir dos vértices O inclinadas de 60° a partir de bordos engastados e de 45° dos apoios simples. *+ reações por unidade de comprimento da viga de bordo o Tabela 7.7 - Capítulo 7

10 Prescrições da NBR 6118: 2003 a) Armadura mínima: Ás.min. =100 p 's h O h em cm p

= taxa em % (Tabela 7.3 - Capítulo 7) O função depmfn (Tabela 7.4- Capítulo 7)

b) Bitola máxima das barras: 0 ^ h/8 c) Espaçamento máximo das barras: w- armadura corrida (de face a face das vigas de bordo da laje): /" principal: s £ 2 h ou 20 cm (o menor dos dois valores) / secundária: s £ 33 cm w- armadura alternada (espaçamento de barras na região central da laje): /

principal: s < 2 h ou 16,5 cm

/

secundária: s < 16,5 cm

409

410

João Carlos Teatfni de Souza Cíímaco

d) Espaçamento mínimo das barras: **• não prescrito pela norma. Recomendável ^10 cm. e) Detalhamento de armaduras: Figuras 7.16 a 7.20 - Capítulo 7.

1

Referências 1.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto-procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

2.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NB 1: Projeto e execução de obras de concreto armado — procedimento (NBR-6118). Rio de Janeiro, 1978 e 1980.

3.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edifícios - procedimento (NB 5), Rio de Janeiro, 1978.

4.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480: Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado - especificação (EB-3). Rio de Janeiro, 1996.

5.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681:Ações e segurança nas estruturas-procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

6.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8953: Concreto para fins estruturais: Classificação por grupos de resistência - classificação (CB-130). Rio de Janeiro, 1992.

7.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 12655: Preparo, controle e recebimento de concreto - procedimento (NB-1418). Rio de Janeiro, 1996.

8.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14931: Execução de estruturas de concreto - procedimento. Rio de Janeiro, 2003.

9.

AMERICAN CONCRETINSTITUTE.^C/3í8-eu//d/rj6'cocyereqi;/rementó/br structural concrete. Michigan, 2002.

386

João CarlosTeatini de Souza Ctimaco

10. ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. Rio Grande: Dunas, 2003. Vols. l

a IV. 11.

. Projeto estrutural de edifícios de concreto armado. Rio Grande: Dunas, 2004.

12. BAYKOV, V. N; SIGALOV, E. E. Estructuras de hormigón armado. Moscou: Editorial MIR, 1980. 13. BOTELHO, M. H. C.; MARCHETTI, O. Concreto armado: eu te amo. São Paulo: Edgard Blucher, 2003 e 2004. Vols. l e II. 14. BRITISH STANDARD INSTITUTION. BS 8110- Structural use ofconcrete. Part 1: Code ofpractice fordesign and construction. Londres, 1997. 15. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado. São Carlos: Editora UFSCar, 2001. 16. COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DO CONCRETO (CEB) e FEDERAÇÃO INTERNACIONAL DE PROTENDIDO(FIP). MC 90-Modei Code forconcrete structures. Lausanne, 1991. 17. COMITÉEUROPÉENDENORMAUSATION(CEN).Eurocode2-Des;gr/o/7 concrete structures. Part 1: General rules and mies for buildings. Bruxelas, 2002. 18. CUEVAS, O. M. G.; ROBLES F. F. V.; CASILLAS, J. G. L; DIAZ DE COSSIO, R. Aspectos fundamentales de! concreto reforzado. México: Editorial Limusa,

1975. 19. FRANZ, G. Tratado de! hormigón armado. Barcelona: Gustavo Gilií, 1971. Vols. I e II. 20. FUSCO, P. B. Conceitos estatísticos associados à segurança das estruturas. São Paulo: Grémio Politécnico, 1975. 21.

. Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: Editora McGrawHill.1976.

Bibliografia

22.

. Estruturas de concreto - solicitações normais. Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois, 1981.

23.

. Técnicas de armar as estruturas de concreto. São Paulo: Pini,

1995. 24. GIONGO, J. S. Concreto armado: projeto estrutural de edifício. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 2003. 25. INSTITUTO BRASILEIRO DE CONCRETO (IBRACON). Prática Recomendada Ibracon- Comentários Técnicos NB-1. São Paulo, 2003. 26. INSTITUTO BRASILEIRO DE CONCRETO (IBRACON). Prática Recomendada Ibracon para estruturas de edifícios de nível 1 - estruturas de pequeno porte. São Paulo, 2003. 27. INSTITUCIONES COLEGIALES PARALACALIDAD EN LAEDIFICACIÓN. EHE~ Instrucción de hormigón estructural. Madri: Leynfor Siglo XXI, 1999. 28. KALMANOK.A. S. Manual para calculo de placas. Montevidéu: InterCiencia, 1961.

29. LANGENDONCK, T. V. Cálculo de concreto armado- Comentários à norma brasileira NB-1. São Paulo: ABCP, 1962. 30. LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construções de concreto. Rio de Janeiro: Interciências, 1978. Vols. l a IV. 31. MACGREGOR, J. G. Reinforcedconcrete — mechanics &design. NewJersey: PrenticeHall, 1992. 32. MARTIN, L. H.; CROXTON, P. C. L.; PURKISS, J. A. Concreta design to BS 8110. Londres: EdwardArnoId, 1989. 33. MESEGUER, A. G. Estructuras-hormigón armado. Madri: Fundación Escuela de Ia Edificación/Uned,1988 e 1994. Vols. I a III. 34. MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. Concreto - estrutura, propriedades e materiais. São Paulo: Pini, 1994.

387

388

João CarlosTeatini de Souza Ctimaco

35. MELLO, E. L. Concreto armado: resistência limite à flexão composta normal e oblíqua. Brasília; Editora Universidade de Brasília/Finatec, 2003. 36. MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A. G; CABRÉ, F. M. Hormigón armado. 13. ed. Barcelona: Gustavo Gilli, 1991. 37. MORAES, M. C. Concreto armado. São Paulo: Editora McGraw Hill do Brasil, 1982. 38. NEVILLE, A. M.; BROOKS, J. J. Concrete technology. Londres: Longman Scientific&Technical, 1990. 39. PFEIL, W. Concreto armado. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1985. Vol. L 40. POLILLO, A. Dimensionamento de concreto armado. São Paulo: Nobel, 1980 e198l.VoIs.Iell, 41. PROMON. Tabelas para dimensionamento de concreto armado. São Paulo: Editora McGraw Hil! do Brasil, 1976. 42. ROCHA, A. M. Curso prático de concreto armado. Rio de Janeiro/São Paulo: Científica/ Nobel, 1981 e 1987. Vols. l e II. 43. RdSCH, H. Concreto armado e pretendido ~ propriedades dos materiais e dimensionamento. São Paulo: Campus, 1981. 44. SANTOS, L. M. Curso de concreto armado. São Paulo: Edgard Blucher/ LMS, 1977 e 1981. Vols. l e II. 45. SOUZA, V. C. M.; CUNHA, A. J. P, Lajes em concreto armado e pretendido. Niterói: Editora U FF, 1994. 46. SUSSEKIND, J. C. Curso de concreto. P. Alegre: Globo, 1980 e 1984. Vols. l e U. 47. TORRI, F. M.; ALEJO, L. R.; RUANO, M. B. Hormigón armado. Havana: Editorial Pueblo y Educación, 1979. Vols. l a IV. 48. UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. Unidades didácticas y guias didácticas — orientadones para su elaboración. Madri: IUED/Uned,1997.

Bibliografia

49. VASCONCELOS, A. C. Estruturas arquitetônicas - apreciação intuitiva de formas estruturais. São Paulo: Studio Nobel, 1991. 50.

. O concreto no Brasil: recordes, realizações, história. São Paulo: Pini,1992.

51.

. Estruturas da natureza — um estudo da interface entre biologia e engenharia. São Paulo: Studio Nobel, 2000.

389