Estrategias de Pivoteo

Universidad Autónoma del Estado de México/Facultad México/Facultad de Ingeniería/Coordinación Ingeniería/Coordinación de Materia Propedéutica/

CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS

ESTRATEGIAS DE PIVOTEO Introducción

En el tema del método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, se estudió que era necesario llevar a cabo la eliminación del término que contiene la primera variable, x1 (siempre que la primera ecuación pivote tuviese ese primer término) desde la segunda ecuación y hasta la n-ésima. En caso de que la primera ecuación no tuviese el término de la primera variable, sería necesario realizar intercambios intercambios de renglones. Para efectos de este tema, asumimos que puede darse esa posibilidad, ya que cuando se realiza una división entre un número en [-1,1], se obtiene un número relativamente grande (ya sea positivo o negativo), lo cual para efectos de resolver un sistema de ecuaciones lineales, esto provocará un error en los cálculos, y por ende los valores de las variables se verían afectadas; debido a esto, se propone una estrategia de pivoteo para resolver un sistema de ecuaciones lineales (SEL), y para presentar lo que se comenta, se propone el sistema de ecuaciones lineales siguiente: E1: 0.003 x1  59.140 x2

 59.170 E2: 5.291 x1  6.130 x2  46.780 Ahora bien, si se resuelve este SEL aplicando el método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás y usando la aritmética de co rtando a dos dígitos, se tiene:

m2 

5.2910 0.0030

 1763.66

Ahora bien al realizar la operación m 2E1 + E2, se obtiene: m2E1: -5.290X1 – 104302.85X2 = -104355.62 + E2: 5.291X1 – 6.130X2 = 46.780 - 104308.98X2 = - 104308.84 El resultado de realizar la suma de est as ecuaciones, la denotamos como E2’. Por tanto, el SEL equivalente por re nglones al SEL original es: E1: 0.003 x1  59.140 x2 E2’:

 59.170 04308 8.98 .98 x2  104308 4308.8 .84 4 10430

Por lo que al despejar de E2’ a X2, se obtiene:

x2  0.99

(1)

Ahora bien, al sustituir (1) en E 1, se obtiene:

59.17  59.14 59.14(0. (0.99) 99)   59.17  0.0030 

x1  

x1  207.13 Ahora bien, si se resuelve este SEL, mediante el uso de la hoja de cálculo y con el criterio de la matriz inversa, es decir: Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.

Email: [email protected]

Página 1

Universidad Autónoma del Estado de México/Facultad de Ingeniería/Coordinación de Materia Propedéutica/

CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS 1

x A b,

Se obtiene: A

x

1

 0.019589 0.188989     0.016908 0.00009 

10    1

En Matlab hay tres formas de resolver el SEL mediante la sintaxis. 1. X =inv(A)*b 2. A\b 3. linsolve(A,b) Aplicando la primera sintaxis, tenemos: >> A=[0.003 59.14;5.291 -6.13]; >> b=[59.17;46.78]; >> x=inv(A)*b Matlab devuelve: x= 10.0000 1.0000 Aplicando la segunda sintaxis, tenemos: >> A=[0.003 59.14;5.291 -6.13]; >> b=[59.17;46.78]; >> x=A\b Matlab devuelve: x= ans = 10 1 Aplicando la tercera sintaxis, tenemos: >> A=[0.003 59.14;5.291 -6.13]; >> b=[59.17;46.78]; >> linsolve(A,b) Matlab devuelve: ans = 10 1 Ahora bien, supóngase que se desea realizar la gráfica del SEL en Matlab, y para tal efecto, se lleva a cabo el procedimiento siguiente: 1. Hacer x1 =x 2. Hacer en la primer ecuación x2=y1 3. Hacer en la primer ecuación x2=y2 Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.


Página 2


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS 4. 5. 6. 7.

Despejar de la primera ecuación a y1. Despejar de la segunda ecuación a y2. Definir un rango para la variable x. Aplicar la sintaxis siguiente: plot(x,y1,’--‘,x,y2,’-‘)

Al aplicar el procedimiento de arriba, se tiene: >> x=-5:0.1:20; >> y1 =(59.17-0.003*x)/59.14; >> y2=(46.78-5.291*x)/(-6.13); >> plot(x,y1,'--',x,y2,'-') Matlab devuelve: Gráfica del SEL definido por:0.003X+59.14Y=59.17; 5.29X-6.13Y=46.78 10

5

0 Y e j E

-5

-10

-15 -5

0

5

10

15

20

Eje X

Por otro lado, si se lleva a cabo un intercambio de renglones (ecuaciones), el SEL queda como: E1’: 5.291 x1  6.130 x2

 46.780 E2’: 0.003 x1  59.140 x2  59.170 Ahora bien, si se resuelve este SEL aplicando el método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás y usando la aritmética de cortando a cinco dígitos, se tiene:

m2 

0.003 5.291

 0.00056

Ahora bien al realizar la operación m 2E1 + E2, se obtiene:

Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.


Página 3


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS m2E1’: -0.00296X1 + 0.00343X2 = - 0.02619 + E2’: 0.00300X1 + 59.14000X2 = 59.17000 59.14343X2 = 59.14381 El resultado de realizar la suma de est as ecuaciones, la denotamos como E2’’. Por tanto, el SEL equivalente por r englones al SEL original es: E1’: 5.291 x1  6.130 x2 E2’’:

 46.78

59.14343 x2  59.14381

Por lo que al despejar de E2’ a X2, se obtiene:

x2  1.00000

(1)

Ahora bien, al sustituir (1) en E 1, se obtiene:

 46.78  6.13(1.00000)   5.291 

x1   x1  10.00000

Lo cual coincide con el resultado obtenido al usar la hoja de cálculo. Por tanto, se puede concluir que efectivamente para efectos de los cálculos numéricos, se ven afectados los resultados (valores de las variables), en la forma de presentar el SEL. Es decir, dado el SEL original, aquí no aplicamos ningún intercambio de renglones; y después de aplicar el método de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás, encontramos un valor de la variable X1 demasiado grandes, o sea un error absoluto muy grande, mientras que cuando aplicamos un intercambio de renglones e incrementamos al número de dígitos en los cálculos (por razones requeridas), se pudo observar que los valores de las variables coincidían con el valor obtenido con la hoja de cálculo. Por tal motivo, se requiere aplicar una estrategia de pivoteo; algunas de ellas son: a. Eliminación Gaussiana con pivoteo máximo de columna. b. Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial re-escalado de columna.

ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON PIVOTEO MÁXIMO DE COLUMNA Introducción En el método de eliminación Gaussiana con pivoteo máximo de columna los cálculos involucrados en la eliminación se podrán efectuar en una computadora o en una calculadora con longitud de palabra finita, y los resultados serán “exactos”. Sin embargo, no es posible, dado que las computadoras sólo pueden representar y operar un número finito de dígitos; por lo que los resultados serán aproximados debido a los inevitables errores de r edondeo.

Una forma de minimizar los errores de redondeo en el método de eliminación Gaussiana es emplear precisiones más altas; es decir, usar un mayor número de dígitos en los cálculos. Otra forma sería empleando alguna técnica de pivoteo. Una de las estrategias de pivoteo más simple y efectiva, es la de pivoteo parcial o pivoteo máximo de columna; esto es debido a que en cada paso se escoge como renglón pivote al elemento de mayor valor absoluto de entre los candidatos, ubicados en y debajo de la diagonal principal. Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.


Página 4


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS Antes de iniciar con la descripción del algoritmo, suponga que se tiene el sistema de ecuaciones lineales (SEL) siguiente:

E1 : a11x1  a11x2  ....  a1n xn  a1(n1) E2 : a21x1  a21x2  ....  a2n xn  a2(n1) . . .

. . .

. . .

En : an1x1  an1x2  ....  ann xn  an ( n1) Así que, las entradas requeridas para aplicar el algoritmo son: Número de variables  Número de ecuaciones  

Matriz aumentada A  (aij ) , donde 1  i  n y 1  j  (n  1)

El algoritmo de eliminación Gaussiana con pivoteo máximo de columna se describe en los pasos que se mencionan abajo.

Paso 1: Para i  1,..., n tomar NROW(i) = (i). (Iniciar el indicador del renglón). Paso 2: Para i  1,...,( n  1) seguir los pasos 3-6 (Proceso de e liminación). Paso 3: Sea p el menor entero con i  p  n y a( NROW ( p), i)  max a( NROW ( j), i) i  jn

(Notación: a( NROW (i ), j )  a NROWi, j )

Paso 4: Si aNROW ( p ), j )  0 , entonces SALIDA (‘No existe solución única para el SEL’) PARAR

Paso 5: Si NROW (i)  NROW ( p) , entonces tomar NCOPY  NROW (i) ; NROW (i)  NROW ( p); NROW ( p)  NCOPY (Intercambio de renglones simulados).

Paso 6: Para j  i  1,..., n seguir los pasos 7 y 8 Paso 7: Tomar m( NROW ( j ), i)  a( NROW ( j ), i ) / a (NROW (i ), i ) Paso 8: Realizar ( E NROW ( j )  m( NROW ( j ), i) ENROW ( i) )  a(E NROW( j ) ) Paso 9: Si a( NROW (n ), n)  0 , entonces SALIDA (‘No existe solución única para el SEL ’) PARAR

Paso 10: Tomar xn  a( NROW (n), n  1) / a( NROW (n), n) . (Empezar la sustitución hacia atrás). Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.


Página 5



Paso 11: Para i  (n  1),...,1 a( NROW (i), n  1)  Tomar xi

n

 a( NROW (i), j) x

j

j i 1



a( NROW (i ), i)

Paso 12: SALIDA ( x1, x2 ,..., xn ) (Procedimiento terminado con éxito) PARAR Este algoritmo garantiza que cada multiplicador m ji tiene una magnitud que no excede de uno. Aún cuando la estrategia de pivoteo máximo de columna es suficiente para la mayoría de los SEL, se presenta en ocasiones en las que ésta estrategia resulta inadecuada.

EJEMPLO Aplique el método de eliminación Gaussiana con pivoteo máximo de columna para el SEL mostrado a continuación. E1: x1  3x2  2 x3

7 E2: 4 x1  x2  3x3  10 E3: 5 x1  2 x2  3 x3  7 SOLUCIÓN



Primero se elije el renglón pivote, según el criterio siguiente: max 1 , 4 , 5

5

Así que el SEL equivalente por re nglones al SEL original es:

5 x1  2 x2  3 x3  7 ’ E2 : 4 x1  x2  3x3  10 ’ E3 : x1  3x2  2 x3  7 ’

E1 :

(1)

A partir de aquí se aplica la eliminación Gaussiana, con la finalidad de eliminar la variable x1 de E2

’

’

y de E3 . Ahora bien, si se realiza esto en la hoja de cálculo, se obtendría: m1 =

0.8000

m1xE1':

-4.0000

1.6000

2.4000

5.6000

E2’:

4.0000

-1.0000

3.0000

10.0000

m1xE1'+E2’:

0.0000

0.6000

5.4000

15.6000

m2 =

0.2000

m2xE1':

-1.0000

0.4000

0.6000

1.4000

E3':

1.0000

3.0000

-2.0000

7.0000

m2xE1'+E3':

0.0000

3.4000

-1.4000

8.4000



Página 6


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS De este modo, el nuevo SEL equivalente por renglones al SEL (1) queda:

5.0000 x1  2.0000x2  3.0000 x3  7.0000 E2’’: 0.0000 x1  0.6000 x2  5.4000 x3  15.6000 E3’’: 0.0000 x1  3.4000 x2 1.4000 x3 8.4000 ’

E1 :



Nuevamente se vuelve aplicar el mismo criterio, max 0.6000 , 3.4000

  3.4000 ; es decir, el

renglón pivote de las ecuaciones E2’’ y E3’’, lo cual proporciona otro SEL equivalente por renglones, según como se muestra abajo.

5.0000 x1  2.0000x2  3.0000 x3  7.0000 E2’’’: 0.0000 x1  3.4000 x2  1.4000 x3  8.4000 E3’’’: 0.0000 x1  0.6000 x2  5.4000 x3  15.6000 ’

E1 :

(2)

Ahora se trata de eliminar de E3’’’ la variable x2 , y si esto se lleva a cabo en la hoja de cálculo se obtiene: 0.17647059

m1 = m1xE2''':

0.0000

-0.6000

0.2471

-1.4824

E3''':

0.0000

0.6000

5.4000

15.6000

m1xE2'''+E3''':

0.0000

0.0000

5.6471

14.1176

De este modo, el nuevo SEL equivalente por renglones al SEL (2) queda:

5.0000 x1  2.0000x2  3.0000 x3  7.0000 E2’’’: 0.0000 x1  3.4000 x2  1.4000 x3  8.4000 E3iv: 0.0000 x1  0.0000 x2  5.6471x3  14.1176 ’

E1 :

(3)

iv

Ahora bien, dado que en E3 de (3) se tiene una ecuación en la única variable x3 , entonces se puede despejar dicha variable para obtener su valor, e l cual es:

x3  2.5000 Que mediante la sustitución hacia atrás de E 2’’’ obtener el valor de la variable x2 , cuyo valor es:

x2  3.5000 Del mismo modo, mediante la sustitución hacia atrás y despejando la variable x1 , se obtiene:

x1  1.5000 A continuación se presenta la solución exacta obtenida con la hoja de cálculo, mediante el criterio de la inversa. La inversa de la matriz de coeficientes del SEL original es: Prof. M. en I. Gaston Vertiz C.


Página 7


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS -0.072916667

0.135416667

0.09375

0.114583333

0.072916667

0.28125

0.135416667

0.177083333

-0.03125 1

Y mediante la aplicación de la expresión: x  A b , se obtiene:

X=

1.5000 3.5000 2.5000

Que es precisamente la misma solución. Por otro lado, si se usa Matlab me diante la aplicación de la sintaxis: >> A=[1 3 -2;4 -1 3;-5 2 3]; >> b=[7;10;7]; >> C=inv(A) C= 0.0938 0.1354 -0.0729 0.2813 0.0729 0.1146 -0.0313 0.1771 0.1354 >> x=C*b x= 1.5000 3.5000 2.5000

TAREA Aplique el método de eliminación Gaussiana con pivoteo máximo de columna para el SEL mostrado a continuación. E1: 3.330 x1  15920 x2  10.333x3

 15913 E2: 2.2220 x1  16.7100 x2  9.6120 x3  28.5440 E3: 1.5611 x1  5.1791x2  1.6852 x3  8.4254

Para tal efecto, use la hoja de cálculo y realice su comprobación usando Matlab.



Página 8



ELIMINACIÓN GAUSSIANA CON PIVOTEO PARCIAL RE-ESCALADO DE COLUMNA Introducción En el método de eliminación Gaussiana con pivoteo escalado de columna los cálculos involucrados en la eliminación también se podrán efectuar en una computadora o en una calculadora con longitud de palabra finita, y los resultados serán “exactos”. Sin embargo, no es posible, dado que las computadoras sólo pueden representar y operar un número finito de dígitos; por lo que los resultados serán aproximados debido a los inevitables errores de r edondeo.

Una forma de minimizar los errores de redondeo en el método de eliminación Gaussiana es emplear precisiones más altas; es decir, usar un mayor número de dígitos en los cálculos. Otra forma sería empleando alguna técnica de pivoteo. Una de las estrategias de pivoteo más simple y efectiva, es la de pivoteo parcial re-escalado de columna; esto es debido a que en cada paso se escoge como renglón pivote al elemento de mayor cociente de valor absoluto de entre los candidatos de cada renglón; es decir, el cociente de cada renglón se obtiene usando el criterio siguiente: El divisor de cada renglón es el máximo valor absoluto de cada coeficiente de la variable  de ese renglón. El numerador es el coeficiente del renglón de cada variable.  Posteriormente para saber en qué orden se tiene que jerarquizar las ecuaciones, sólo basta saber que cociente tiene mayor valor, luego se sigue ordenando de forma descendente. Antes de iniciar con la descripción del algoritmo, suponga que se tiene el sistema de ecuaciones lineales (SEL) siguiente:

E1 : a11x1  a11x2  ....  a1n xn  a1(n1) E2 : a21x1  a21x2  ....  a2n xn  a2(n1) . . .

. . .

. . .

En : an1x1  an1x2  ....  ann xn  an ( n1) Así que, las entradas requeridas para aplicar el algoritmo son: Número de variables  Número de ecuaciones  

Matriz aumentada A  (aij ) , donde 1  i  n y 1  j  (n  1)

El algoritmo de eliminación Gaussiana con pivoteo parcial re-escalado de columna se describe en los pasos que se mencionan abajo.

Paso 1: Para i  1,..., n tomar si  max aij ; 1 j n



Página 9


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS Si s1

 0 , entonces SALIDA (‘No existe solución única’)

PARAR Tomar NROW(i) = i Paso 2: Para i  1,...,( n  1) seguir los pasos 3-6 (Proceso de e liminación).

Paso 3: Sea p el menor entero con i  p  n y a( NROW ( p), i) s( NROW ( p))

 max i  j n

a( NROW ( j), i) s( NROW ( j))

(Notación: a( NROW (i ), j )  a NROWi, j )

Paso 4: Si aNROW ( p ), j )  0 , entonces SALIDA (‘No existe solución única para el SEL’) PARAR

Paso 5: Si NROW (i)  NROW ( p) , entonces tomar NCOPY  NROW (i) ; NROW (i)  NROW ( p); NROW ( p)  NCOPY (Intercambio de renglones simulados).

Paso 6: Para j  i  1,..., n seguir los pasos 7 y 8 Paso 7: Tomar m( NROW ( j ), i)  a( NROW ( j ), i ) / a (NROW (i ), i ) Paso 8: Realizar ( E NROW ( j )  m( NROW ( j ), i) ENROW ( i) )  a(E NROW( j ) ) Paso 9: Si a( NROW (n ), n)  0 , entonces SALIDA (‘No existe solución única para el SEL ’) PARAR

Paso 10: Tomar xn  a( NROW (n), n  1) / a( NROW (n), n) . (Empezar la sustitución hacia atrás). Paso 11: Para i  (n  1),...,1 a( NROW (i), n  1)  Tomar xi

n

 a( NROW (i), j) x

j

j i 1



a( NROW (i ), i)

Paso 12: SALIDA ( x1, x2 ,..., xn ) (Procedimiento terminado con éxito) PARAR Los cálculos adicionales requeridos para el pivoteo escalado de columna resultan primero de la determinación de los factores de escala, (n  1) comparaciones para cada uno de los n renglones, que da un total de:

n(n  1) comparaciones



Página 10


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS Para determinar el primer intercambio correcto, se realizar n divisiones y se hacen (n  1) comparaciones. La determinación del primer intercambio, añade un total de: n(n  1)  (n  1) comparaciones y divisiones Como los factores de escala se calculan sólo una vez, el segundo, paso requiere solamente de (n  2) comparaciones y de (n  1) divisiones. Procediendo de manera similar, el procedimiento de pivoteo escalado de columna agrega un total de: n(n  1) 

n

 (k 1) 

3 2

n(n 1) comparaciones

k 2

n

Y de:

 k 

n ( n1) 2

 1 divisiones

k 2

Al procedimiento de eliminación Gaussiana.

EJEMPLO Aplique el método de eliminación Gaussiana con pivoteo escalado de columna para el SEL mostrado a continuación. E1: x1  3x2  2 x3

7 E2: 4 x1  x2  3x3  10 E3: 5 x1  2 x2  3 x3  7

(4)

SOLUCIÓN s1  max 1 , 3 , 2   3 s2  max  4 , 1 , 3   4 s3  max  5 , 2 , 3   5 El siguiente paso es calcular cocientes, siendo estos: Para primer renglón:

a11 s1

Para segundo renglón:

Para tercer renglón:



a21 s2

a31 s3



1 3

 0.3333



4

5

 1.0000

5

4

 1.0000

Por tanto el SEL equivalente por re nglones a (4) queda:



Página 11


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS E1’: 4 x1  x2  3x3

 10 E2’: 5 x1  2 x2  3 x3  7 E3’: x1  3x2  2 x3  7 A partir de aquí se aplica la eliminación Gaussiana, con la finalidad de eliminar la variable x1 de E2

’

’

y de E3 . Ahora bien, si se realiza esto en la hoja de cálculo, se obtendría: m1 =

1.2500

m1xE1':

5.0000

-1.2500

3.7500

12.5000

E2':

-5.0000

2.0000

3.0000

7.0000

m1xE1'+E2':

0.0000

0.7500

6.7500

19.5000

m2 =

-0.2500

m2xE1':

-1.0000

0.2500

-0.7500

-2.5000

E3':

1.0000

3.0000

-2.0000

7.0000

m2xE1'+E3':

0.0000

3.2500

-2.7500

4.5000

De este modo, el nuevo SEL equivalente por renglones al SEL (1) queda: E1':

4.0000

-1.0000

3.0000

10.0000

E2''':

0.0000

3.2500

-2.7500

4.5000

E3''':

0.0000

0.7500

6.7500

19.5000 ’’’

’’’

Nuevamente se vuelve aplicar el mismo criterio de pivoteo para E2 y E3 , que es:

s1  max  3.25 , 2.75   3.25 s2  max  0.75 , 6.75   6.75 a22 s1 a32 s2



3.25



0.7500

3.25

 1.0000

6.75

 0.1111

Por lo anterior, se observa que el SEL que resulta de aplicar el pivoteo escalado es el mismo que se presentó arriba; es decir: E1’: 4.0000 x1  1.0000 x2  3.0000 x3

 10.0000 E2’’’: 0.0000 x1  3.2500 x2  2.7500 x3  4.5000 E3’’’: 0.0000 x1  0.75000 x2  6.7500 x3  19.5000



(5)

Página 12


CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS Ahora se trata de eliminar de E3’’’ la variable x2 , y si esto se lleva a cabo en la hoja de cálculo se obtiene: 0.23076923

m1 = m1xE2''':

0.0000

-0.7500

0.6346

-1.0385

E3''':

0.0000

0.7500

6.7500

19.5000

m1xE2'''+E3''':

0.0000

0.0000

7.3846

18.4615

E1':

4.0000

-1.0000

3.0000

10.0000

E2''':

0.0000

3.2500

-2.7500

4.5000

(iv)

0.0000

0.0000

7.3846

18.4615

E3 :

De este modo, el nuevo SEL equivalente por renglones al SEL (5) queda: E1 : 4.0000 x1  1.0000 x2  3.0000 x3

 10.0000 E2’’’: 0.0000 x1  3.2500 x2  2.7500 x3  4.5000 iv E3 : 0.0000 x1  0.0000 x2  7.3846 x3  18.4615 ’

(6)

iv

Ahora bien, dado que en E3 de (6) se tiene una ecuación en la única variable x3 , entonces se puede despejar dicha variable para obtener su valor, e l cual es:

x3  2.5000 Que mediante la sustitución hacia atrás de E 2’’’ obtener el valor de la variable x2 , cuyo valor es:

x2  3.5000 Del mismo modo, mediante la sustitución hacia atrás y despejando la variable x1 , se obtiene:

x1  1.5000 Lo cual proporciona la misma solución al aplicar el método de eliminación Gaussiana con pivoteo máximo de columna.

TAREA Aplique el método de eliminación Gaussiana con pivoteo parcial re-escalado de columna para el SEL del método anterior.



Página 13

Estrategias de Pivoteo

Recommend Documents