INGENIERÍA MECATRÓNICA
ESTÁTICA Mtro. Ángel de Jesús Castro Romero Email:
[email protected]
UNIDAD III: CENTROIDES 3.1 El centro de gravedad 3.2 Teoremas de Pappus-Guldin 3.3 Centroides Centroides de áreas y líneas por integrac integración ión 3.4 Centroide Centroidess de áreas y líneas líneas compuestas compuestas 3.5 Centroide Centroide de volúmenes volúmenes compu compuestos estos 3.6 Momentos de inercia de áreas compuestas 3.7 Teoremas de los ejes paralelos 3.8 Radios de giro y momento polar de inercia
UNIDAD III: CENTROIDES 3.1 El centro de gravedad 3.2 Teoremas de Pappus-Guldin 3.3 Centroides Centroides de áreas y líneas por integrac integración ión 3.4 Centroide Centroidess de áreas y líneas líneas compuestas compuestas 3.5 Centroide Centroide de volúmenes volúmenes compu compuestos estos 3.6 Momentos de inercia de áreas compuestas 3.7 Teoremas de los ejes paralelos 3.8 Radios de giro y momento polar de inercia
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD El centro de gravedad es el punto de aplicación de la ressul re ulta tant ntee de to toda dass la lass fu fuer erza zass de gr grav aved edaad qu quee actúan sobre las distintas porciones porciones materiales de un cuer cu erpo po,, de ta tall fo form rmaa que el mo mom men entto res esppec ectto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho cuerpo. En ot otra rass pa pala labbra rass, el ce cent ntrro de gra ravved edaad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD El c.g. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el c.g. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo. En física, además del centro de gravedad aparecen los conceptos de centro de masa y de centro geométrico o centroide que, aunque pueden coincidir con co n el ce cent ntrro de gra ravved edad ad,, son con once cept ptua uallme ment ntee diferentes. El centroide es un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema; el centro de masas depende de la distribución de mate terria, mientras que el centro de gravedad depende también del campo gravitatorio.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD Consideremos un cuerpo material: Para que el centroide del cuerpo coincida con el cent ce ntrro de ma masa sa,, el cu cuer erppo de debe be ten eneer den ensi sida dadd uniforme o una distribución de materia que presente ciertas propiedades, tales como la simetría. Para que un centro de masa del cuerpo coincida con el centro de gravedad, el cuerpo debe estar bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Considere una placa plana horizontal, la cual puede dividirse en n elementos pequeños.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional Para un alambre, el centro de gravedad puede estar ubicado fuera del objeto.
3.1 EL CENTRO DE GRAVEDAD Centroides de áreas y líneas
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Centroides de áreas comunes
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Centroides de áreas comunes
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Centroides de áreas comunes
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Para una placa dividida en diferentes secciones geométricas, se tiene
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejemplo:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejemplo:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejemplo:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejercicios: Localice el centroide del área plana mostrada en cada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejercicios: Localice el centroide del área plana mostrada en cada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejercicios: Localice el centroide del área plana mostrada en cada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejercicios: Localice el centroide del área plana mostrada en cada figura
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejercicios:
3.4 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS COMPUESTOS Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
El centroide de un área limitada por curvas analíticas generalmente se determina evaluando las integrales siguientes
xA x dA
yA y dA
El primer momento del área total con respecto a cada uno de los ejes coordenados se puede expresar mediante las coordenadas del centroide del área en consideración a través de la siguiente relación
Q x xA xel dA
Qy yA yel dA
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Cuando una línea está definida por una ecuación algebraica, su centroide puede determinarse al evaluar las siguientes integrales
xL x dL
yL y dL
El diferencial de longitud dL debe reemplazarse por una de las siguientes expresiones, dependiendo de cual coordenada de selecciones como variable independiente.
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Ejemplo:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Ejemplo:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.3 CENTROIDES DE ÁREAS Y LÍNEAS POR INTEGRACIÓN
Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Estos teoremas se refieren a superficies y cuerpos en revolución. Una superficie en revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con respecto a un eje fijo.
Una cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana con respecto a un eje fijo.
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Teorema I: El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al momento de generar la superficie.
2 y dL 2 yL
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Teorema II: El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el cuerpo.
V
2
y dA 2 yA
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Ejemplo:
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Ejemplo:
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Ejercicios:
3.2 TEOREMAS DE P APPUS-GULDINUS Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS Ejemplo:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS Ejemplo:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS Ejercicios:
3.5 CENTROIDE DE VOLÚMENES COMPUESTOS Ejercicios: