Estática Estructural. Análisis de Estructuras Método de Los Nodos

AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos

Unidad de Aprendizaje N°4: Análisis de Estructuras. Aprendizajes Esperados 1. Analizar a través del método de los nodos las fuerzas transmitidas transmitidas en cada elemento que componen una armadura de una construcción.

1.

OBJETIVOS.

El objetivo de esta actividad es: -

2.

Determinar las fuerzas en los miembros de una estructura usando el método de nodos. Analizar las fuerzas que actúan actúan en los miembros de de armazones y bastidores compuestos compuestos de miembros conectados.

ANTECEDENTES GENERALES.

La definición literal de la palabra estructura está asociada a la disposición y orden de las partes dentro de un todo. En la construcción una estructura se define como un conjunto de elementos estructurales previamente dispuestos y unidos entre sí para soportar las cargas. Las cargas son todas aquellas acciones que afectan a las estructuras, produciendo tensiones, deformaciones y desplazamientos, que incluso pueden llegar a la ruptura.

Elementos de Unión o de Apoyo. Se denomina apoyo a todo dispositivo destinado a unir una estructura al medio de suste ntación. Los apoyos cumplen las dobles funciones de impedir o limitar los movimientos de las estructuras y de trasmitir las cargas que estas soportan al medio de sustentación. Dado que una sección de una pieza de plano medio tiene tres grados de libertad, dos tr aslaciones independientes en el plano medio y un giro perpendicular a e ste, existen varios apoyos, según limiten uno, dos o los tres grados de libertad de la sección de apoyo. Por cada grado de libertad limitado el apoyo transmite a la estructura una reacción que impide el movimiento. Estas reacciones son, naturalmente, iguales y de sentidos opuestos a las fuerzas que la estructura trasmite al medio de sustentación.

Apoyos simples o articulados móviles Dirección de Construcción Construcci ón

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos Este tipo de apoyos solo limita el movimiento de la sección de apoyo en una dirección, permitiendo la traslación en la dirección perpendicular y el giro de la sección de apoyo.

La reacción que produce es una fuerza perpendicular a la dirección de rodadura, o se a, al movimiento permitido. Asociada a un apoyo simple se introduce, por tanto, una sola incógnita, e l módulo de la reacción, ya que su posición y dirección son conocidas.

Apoyos fijos o articulación Este tipo de apoyo impide totalmente el movimiento de traslación de la sección de apoyo, pero permite el giro.

La reacción que produce es una fuerza de dirección y modulo desconocidos, se introducen, pues, dos incógnitas: las componentes de la reacción respecto a dos ejes perpendiculares cualesquiera.

Empotramiento Este tipo de apoyo impide todo movimiento de la sección de apoyo, tanto tanto de traslación como de giro.

La reacción que se produce es una fuerza de posición, dirección y modulo desconocido. Se introducen, pues tres incógnitas: dos componentes de la dirección y el momento sobre la sección de apoyo.

Uniones. Se llama unión o nudo a todo dispositivo destinado a unir entre sí las diferentes piezas que forman una estructura. Las uniones cumplen la doble función de impedir o limitar los movimientos

Dirección de Construcción Construcci ón

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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos relativos de unas piezas respecto a otras, y de transmitir las cargas que unas soportan a las demás. Por cada grado de libertad cortado a la sección de enlace, este transmite a las piezas concurrentes una reacción interna. Estas reacciones son iguales y de sentidos opuestos e n las dos piezas que se unen en la sección de enlace.

Unión deslizante Este enlace solo limita el movimiento relativo en una dirección, permitiendo la traslación en la dirección perpendicular y el giro de la sección de enlace. La reacción que produce es un par de fuerzas, iguales y opuestas, perpendiculares al movimiento permitido. Se introduce, por t anto, una sola incógnita: el módulo de las reacciones.

Articulación o nudo articulado Este tipo de unión impide totalmente la traslación relativa de la sección de enlace, pero permite el giro relativo de la misma.

La reacción que produce es un par de fuerzas de dirección y modulo desconocidos. En una articulación interna se introducen, pues, dos incógnitas: las componentes de la reac ción respecto a dos ejes perpendiculares cualesquiera. El momento flector es nece sariamente nulo en una articulación.

Empotramiento o nudo rígido Este tipo de unión impide todo movimiento de la sección de e nlace, tanto de traslación como de giro. La reacción que produce es un par de fuerzas de posición, dirección y modulo desconocido.


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos En un nudo rígido se introducen, por tanto, tres incógnitas: dos componentes de la reacción y el momento de la sección de enlace.

Estructuras Simples. Una estructura simple está compuesta de elementos delgados unidos entre sí por sus extremos. Ejemplo la estructura de techumbre mostrada en la figura A. Este es un tipo de estructuras estr ucturas planas, que se emplea para el soporte de techumbres y puentes. La carga del techo se transmite a la estructura por una serie de tirantes o largueros (costaneras).

Figura A. Estructura de Techumbre. Las armaduras planas se sitúan en un solo plano y como las car gas de la armadura actúan en el mismo plano el análisis de las fuerzas desarrolladas en los elementos de la armadura será bidimensional.


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos Supuestos para el diseño. Para diseñar los elementos y las conexiones de una armadura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada elemento cuando la armadura est á sometida a una carga dada. Para esto, haremos dos supuestos importantes: -

Todas las cargas se aplican en los nodos. En la mayoría de las situaciones, como en armaduras de puentes y de techos, e ste supuesto se cumple. A menudo se pasa por alto el peso de los elementos, ya que Ia fuerza soportada por cada elemento suele ser mucho más grande que su peso. Sin embargo, si el peso debe ser incluido en el análisis, por lo general es satisfactorio aplicarlo como una fuerza vertical con la mitad de su magnitud aplicada a cada extremo del elemento,

-

Los elementos están unidos entre sí mediante pasadores lisos . Por lo general, las conexiones de los nodos se forman empernando o soldando los extremos de los elementos a una placa común, llama da placa de unión, como se muestra en la figura B, o simplemente pasando un perno o pasador largo a través de cada uno de los elementos, figura C. Podemos suponer que estas conexiones actúan como pasadores siempre que las líneas centrales de los elementos unidos sean concurrentes.

Figura B.

Figura C.

Debido a estos dos supuestos, cada elemento de la armadura actuará como un elemento de dos fuerzas, y por lo tanto, la fuerza que actúe en cada extremo extre mo del elemento debe estar dirigida a lo largo del eje del elemento. Si la fuerza tiende a alargar alar gar el elemento, es una fuerza de tensión (Tracción), mientras que si tiende a acortar el e lemento, es una fuerza de compresión (C). En el diseño real de una armadura es importante establecer si la naturaleza de Ia fuerza es de tensión o de compresión. A menudo, los elementos a compresión deben ser más gruesos que los elementos a te nsión debido al efecto de pandeo o de columna que ocurre cuando un elemento está en c ompresión.


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Armadura simple. Si tres elementos se conectan entre sí mediante pasadores en sus extremos, forman una armadura triangular que será rígida. Al unir dos elementos más y conectar estos elementos a una nueva junta D se forma una armadura más grande. Este procedimiento puede repetirse todas las veces veces que se desee para formar una arm adura aún más grande. Si una armadura se puede construir expandiendo de este modo la armadura triangular básica, se denomina una armadura simple.

Método de los Nodos. Para analizar o diseñar una armadura, es necesar io determinar la fuerza en cada uno de sus elementos. Una forma de hacer esto consiste en emplear el método de nodos. Este método se basa en el hecho de que toda la armadura está en equilibrio, entonces cada uno de sus nodos también está en equilibrio. Por lo tanto, si se traza el diagrama de cuerpo libre en cada nodo, se pueden usar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas para o btener las fuerzas de los elementos que actúan sobre cada nodo. Como los elementos de una armadura plana son elementos rectos dc dos


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos fuerzas que se encuentran en el mismo plano, cada nodo está sometido a un sistema de fuer zas que es coplanar y concurrente. En consecuencia, sólo es necesario satisfacer las ecuaciones

∑  = 0  ∑  = 0 para garantizar

cl equilibrio.

Ejemplo Considerar el pasador situado situado en el nodo B, de la armadura que que aparece en la figura.

Sobre el pasador actúan tres fuerzas, a saber, la fuerza de 500 N y las fuerzas ejercidas por los elementos BA y BC. El diagrama de cuerpo libre se muestra que

, esta traccionando el pasador, lo que significa que

el elemento BA está en tracción; mientras que esta “empujando” el pasador, y en consecuencia, consecuenci a, el elemento BC está en compresión.

Estos efectos se demuestran claramente al aislar el nodo con pequeños segmentos del elemento conectado al pasador. El jalón o el empujón sobre e sos pequeños segmentos indican el efecto del elemento que está en compresión o e n tensión.

Cuando se usa el método de los nodos, siempre se debe comenzar en un nodo que tenga por lo menos una tuerza conocida y cuando mucho dos fuerzas desconocidas. De esta maner a, la


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos aplicación de

∑  = 0  ∑  = 0 resulta en dos ecuaciones algebraicas de las c uales se pueden

despejar las dos incógnitas. AI aplicar esas ecuaciones, el sentido correcto de una fuerza de elemento desconocida puede determinarse con uno de dos posibles métodos. El sentido correcto de la direcc ión de una fuerza desconocida de un elemento puede determinarse en muchos casos, “por inspección”. inspección”.

 , en la figura, debe empujar sobre el pasador (compresión) ya que su componente horizontal,  sen 45°, debe equilibrar la fuerza de 500 N (∑  = 0). De la misma manera, FBA es una fuerza de tensión ya que equilibra a la componente vertical,  cos 45 (∑  = 0).

Por ejemplo.

En casos más complicados, el sentido de la fuerza desconocida de un elemento puede suponerse luego, después de aplicar las ecuaciones de e quilibrio, el sentido supuesto puede verificarse a partir de los resultados numéricos. Una respuesta positiva indica que el sentido es correcto, mientras que una respuesta negativa indica que el sentido mostrado en el diagrama de cuerpo libre se debe invertir. Suponga siempre que las fuerzas desconocidas en los elementos que ac túan en el diagrama de cuerpo libre libre del nodo están en tensión; es decir, las fuerzas “jalan” el pasador. Si se hace así, entonces la solución numérica de las ecuaciones de equilibrio darán escalares positivos para elementos en tensión y escalares negativos para e lementos en compresión. Una vez que se encuentre la fuerza fuer za desconocida de un elemento, aplique su magnitud y su sentido correctos (T o C) en los subsecuentes diagramas de cuerpo libre de los nodos.

Procedimiento proporciona un medio para analizar una armadura con el método de nodos. -

Trazar el diagrama de cuerpo libre de un nodo que tenga por lo menos una fuer za conocida y cuando mucho dos fuerzas des conocidas. (Si este nodo está en uno de los soportes, entonces puede ser necesario calcular las reacciones externas en los soportes de la armadura).

-

Use uno de los dos métodos descritos antes para establecer el sentido de una fuerza desconocida.

Procedimiento para el análisis -

Oriente los ejes x e y de manera que Ias fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes x y y, y luego aplique Ias dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas

∑  = 0  ∑  = 0 .

-

Despeje Ias dos fuerzas de eleme nto desconocidas y verifique su sentido correcto.

-

Con los resultados obtenidos, continúe con el análisis de cada uno de los otros nodos.


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos -

Recuerde que un elemento en compresión “empuja” el nodo y un elemento en tensión

-

“jala” el nodo. Además, asegúrese de seleccionar un nodo que tenga cuando mucho dos incógnitas y por lo menos una fuerza conocida.

Ejemplo de Cálculo. Determine la fuerza sobre cada miembro de la estructura e indique si los miembros están en tensión o compresión.

Solución. Como no debemos tener más de dos incógnitas en el nodo y por lo menos contar c on una fuerza conocida actuando ahí, comenzamos el análisis por el nodo B.

Nodo B. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el nodo B, obtenemos.

  = 0 500   ( sin45º) sin45º) = 0  = 707,1  ( (ó) ó)   = 0 ( sin45º) sin45º)   = 0  = 500  ( (ó ó) ) Una vez calculada la fuerza en el elemento BC, es posible calcular la fuerza en el elemento CA, mediante el análisis del nodo C.


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  = 0   + 707,1 cos45º os45º  = 0  = 500  ( (ó ó))   = 0   707, 707,1 sin sin 45º 45º  = 0  = 500 500  Aunque no es necesario, es posible determinar las componentes de las reacciones del soporte en el nodo A, a partir de l diagrama de cuerpo libre.

Nodo A.

  = 0 500    = 0   = 0 500    = 0

 = 500   = 500 500 

El diagrama de cuerpo libre DCL, m uestra los efectos de todos los miembros conectados y todas las fuerzas externas aplicadas a cada unión, el DCL de cada miembro muestra solo el efecto de las uniones en cada miembro.


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos Ejemplo. La siguiente armadura, está compuesta de barras de 2 metros de longitud y soporta car gas en B y D. Determinar las reacciones.

Al identificar los apoyos, determinamos: -

Apoyo articulado fijo.(dos reacciones)

-

Apoyo articulado móvil (rodillo)( una reacción)

Dibujamos el diagrama de cuerpo libre.


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos Aplicamos las ecuaciones de equilibrio en el Nodo A. Si desarrollamos una sumatoria de momentos igual a cero en el Nodo A, podemos obtener la reacción Ey.

  = 0 400  ∙ (1 ) )  800  ∙ (2+1) 2+1) + [ ∙ (2+2) 2+2)] = 0 ) + 800  ∙ (2+1) 2+1) = 700   = 400  ∙ (1 ) 4 De la misma forma podemos realizar la misma operación e n E, para determinar la reacción reacc ión Ay.

  = 0 400  ∙ (2  + 1) + 800  ∙ (1) 1)  [   ∙ (2+2) 2+2)] = 0 ) + 800  ∙ (1) 1) = 500   = 400  ∙ (3 ) 4 Para simplificar los cálculos consideraremos:

  60º 60º = √ 23

cos60º= 12

El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. Aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC r espectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial.

Las ecuaciones de equilibrio en A serán.

 =  =  2 1 √ 3 Conociendo Ay (500N), podemos determinar     = √ 3∙ 2 = 500√ 3 ∙ 2 = 577,35  ( (ó) ó) Dirección de Construcción Construcci ón

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 = √ 3∙ 1 = 500√ 3 ∙ 1 = 288,67 288,67  (ó (ó) ) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD.

sin60º=   =  ∙sin60º  =577,35  ∙ √  = 500 

De igual forma:

√ 3 =   2    =  ∙ 12

Sumatoria de fuerzas en y, en el punto B.

∑  = 0   400     = 0   = 500   400  = 100   = 115,47   = √ ⁄ =  √ ⁄ 




cos60º=   =  ∙cos60º  =577,35  ∙  = 288,67  1 =   2    =  ∙ √ 23 ∑  = 0 -   +  +   = 0   =  ∙  = 57,73   = 339, 339,4   =  +    = 288, 288,67  + 57,7 57,733  = 346,4  Página 13

AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE. De las ecuaciones de equilibrio para la junta D.

Desarrollando equilibrio de fuerzas en D.

Por lo que obtenemos:

  = 0     +   = 0 Ya sabemos que  =346,4 N (Compresión)

     = 346,4 N

Si desarrollamos:

  = 0 800 800  +   +   = 0   +   = 800  Pero:

  =  ∙ 12   =  ∙ 12

Entonces:

 ∙    ∙  = 346,4 N  ∙ √ 23 +  ∙ √ 23 = 800 


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos Estableciendo una resolución de ecuaciones. Multiplicando la primera ecuación por

 ∙ √    ∙ √  = 600 N  ∙ √ 23 +  ∙ √ 23 = 800 

√ 3.

Sumando las ecuaciones:

Obtenemos:

2 ∙ 

√  = 1400 N 

 ∙2 = 808,23   = 1400 2 ∙ √ 3

  √ 23 +  √ 23 = 800    =  −√ ⁄ √ ⁄ =  − , = 115,47 N

Ahora obtenemos



Para comprobar verificamos que

3.

 =  = 11 115,5,47 47 

DESARROLLO

Ejercicios Propuestos. 1.

Determinar las fuerzas axiales en los eleme ntos estructurales de la siguiente armadura, indicando cuales están en tracción y cuales e n compresión.


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AREA CONSTRUCCIÓN Asignatura: Estática Estructural Código: CBES01/G03/Análisis de Estructuras. Método de los Nodos 2.

Empleando el Método de los nodos, determine las fuerzas en cada elemento de la estructura, especificando su estado de solicitación (Tracción o compresión).

3.



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4.


5.

Empleando el Método de los nodos, determine las fuerzas e n cada elemento de la estructura, especificando su estado de solicitación (Tracción o compresión).


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INSUMOS

5.

6.

Materiales.

Unidad.

Cantidad.

# Alumnos.

Papel Bond

resma

0,25

20

EQUIPAMIENTO

Equipos.

CANTIDAD

N° MAX ALUMNOS

Data Show.

1

20

Computador

1

20

BIBLIOGRAFÍA. -

www.portaleso.com

-

Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática 10 edición. R. C. Hibbeler.

-

Física Tomo I, SERWAY, Cuarta Edición. McGRAW – McGRAW – HILL HILL

-

Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Beer Johnston.

-

Problemas de Estática. Martín J.

-

Mecánica para Ingeniería. Estática. Bedford F.


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Estática Estructural. Análisis de Estructuras Método de Los Nodos

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