ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES PRÁCTICA DOMICILIARIA DE ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
PROBLEMA 7.2.5 Resolver el anterior si las tensiones normales y tanen!iales "#e a!t$an so%re el elemento A son & '(( )si * +( )si y '(( , -(( )si . en las /ire!!iones
mostra/as en la 0#ra1 y el 2n#lo es /e 3( 4 .5a!ia la i6"#ier/a 1 Solución Tensi7n Tensi7n )lana )lana .2n#lo 1
2016
500 psi σ x =7 500
σ y =−20500 psi τ xy =−4 800 800 psi ϴ
=30 °
A)li!an/o la 87rm#la
σ x 1 =
σ x + σ y σ x −σ y 2
+
2
cos cos 2 θ
+ τ xy sin sin 2 θ
σ x 1 =−3600 psi
A)li!an/o la 87rm#la τ x y = 1
1
σ x − σ y 2
cos cos 2 θ
+ τ xy cos2 θ
τ x y =−14 520 520 psi 1
1
σ y 1= σ x + σ y −σ x 1=−9340 psi
PROBLEMA 7.2. Una )la!a re!tan#lar /e /imensiones 39( )#l : '9( )#l est2 8orma/a )or /os )la!as trian#lares sol/a/as .v;ase la 0#ra19 La 0#ra est2 someti/a a #n 2
es8#er6o /e tensi7n /e '(( l%< pulg en la /ire!!i7n lara y a #n es8#er6o /e 2
!om)resi7n /e 3'( l%< pulg en la /ire!!i7n !orta9
σ x 1 =
σ x + σ y σ x −σ y 2
+
2
cos cos 2 θ
+ τ xy sin sin 2 θ
σ x 1 =−3600 psi
A)li!an/o la 87rm#la τ x y = 1
1
σ x − σ y 2
cos cos 2 θ
+ τ xy cos2 θ
τ x y =−14 520 520 psi 1
1
σ y 1= σ x + σ y −σ x 1=−9340 psi
PROBLEMA 7.2. Una )la!a re!tan#lar /e /imensiones 39( )#l : '9( )#l est2 8orma/a )or /os )la!as trian#lares sol/a/as .v;ase la 0#ra19 La 0#ra est2 someti/a a #n 2
es8#er6o /e tensi7n /e '(( l%< pulg en la /ire!!i7n lara y a #n es8#er6o /e 2
!om)resi7n /e 3'( l%< pulg en la /ire!!i7n !orta9
Determine el es8#er6o normal σ w "#e a!t$a en senti/o )er)en/i!#lar )er)en/i!#lar al !or/7n /e sol/a/#ra y el es8#er6o !ortante τ w
.s#)ona "#e el es8#er6o normal
σ w
"#e a!t$a )aralelo al !or/7n
es )ositivo !#an/o a!t$a en tensi7n
!ontra a sol/a/#ra y "#e el es8#er6o !ortante τ w es )ositivo !#an/o a!t$a en senti/o !ontrario a las mane!illas /el relo= !ontra ella1 Solución Es8#er6o %ia:ial .#ni7n sol/a/a1 σ x =500 psi 5
∈¿= tan−
1
σ y
> ?350 psi
=¿ 30.96 ° ¿ 3∈ ¿ ¿ − θ= tan ¿ .6
1
A)li!an/o la 87rm#la σ x 1 =
σ x + σ y σ x −σ y 2
+
2
cos cos 2 θ
+ τ xy sin sin 2 θ
σ x 1 =275 psi
A)li!an/o la 87rm#la τ x y = 1
1
σ x − σ y 2
τ x y =−375 1
1
cos cos 2 θ
+ τ xy cos2 θ
τ xy
>@
σ y 1= σ x + σ y −σ x 1=−125 psi
Tensiones "#e a!t$an en la sol/a/#ra
σ w =−125 psi τ w =375 psi
PROBLEMA 7.!." Un m#ro /e !ortante en #n e/i0!io /e !on!reto re8or6a/o est2 someti/o a #na !ara verti!al #ni8orme /e intensi/a/ # y a #na 8#er6a 5ori6ontal $9 !omo se m#estra en la )rimera )arte /e la 0#ra* .la 8#er6a $ re)resenta a los es8#er6os /el viento y a las !aras )or sismo1 !omo !onse!#en!ia /e estas !aras* los es8#er6os en el )#nto A so%re la s#)er0!ie /el m#ro tienen los valores mostra/os en la se#n/a )arte /ela 0#ra .es8#er6o /e !om)resi7n /e (( l%<)#l+ y es8#er6o !ortante i#al a ,-(l%<)#l +19 a Determinar los es8#er6os )rin!i)ales y m#;strelos so%re #n /iarama /e #n elemento orienta/o /e manera a)ro)ia/a9 % Determinar los es8#er6os !ortantes m2:imos y los es8#er6os normales aso!ia/os y m#;strelos so%re #n /iarama /e #n elemento orienta/o a)ro)ia/amente9
q
1100 lb/pul^2
H
480 lb/pulg^2
A A
Solución Datos /e )ro%lemaB δ x
=0
= −1100 psi
δ y
τ xy
1 psi =
= −480 psi
E"#ivalen!iaB
a Es8#er6o )rin!i)al9 De0ni!i7n /e 8orm#la9 2τ xy
tan 2θ p
=
tan2θ p
=
tan 2θ p
= −0.87273
δ x − δ y 2(−480 psi ) 0 − (−1100 psi )
2θ p
= −41.11
o
⇒ θ p = −20.56
Por 2n#lo !om)lementario se tiene "#eB 2θ p
= 138.89
o
⇒ θ p = 69.44
De0ni!i7n /e 8orm#la9
o
o
lb pu lg 2
δ x1
=
δ x + δ y 2
2θ p
+
δx − δy cos 2θ + τ xy s e n 2θ 2
= −41.11
o
Para
se tieneB 0 psi + (−1100 psi )
=
δ x
= −550 psi + 414.3968 psi + 315.6032 psi
δ x
= 180 psi
1
1
2
2θ p
+
0 psi − (− 1100 psi )
δ x
1
2
cos(− 41.11 ) + (− 480 psi ) s e n(− 41.11 ) o
o
= 138.89
o
Para
se tieneB 0 psi + (−1100 psi )
=
δ x2
= −550 psi + 550 psi cos(138.89 ) + (−480psi )se n(138.89 )
δ x
= −550 psi − 414.3968 psi − 315.6032 psi
δ x2
= −1280 psi
2
2
2
+
0 psi − (− 1100 psi )
δ x
2 o
Por lo tantoB δ x
1
= 180 psi
θ p1
= −20.56
o
y δ x
2
= 1280 psi
θ p2
= 69.44
o
y Diarama /e orienta!i7n a)ro)ia/a9
cos(138.89 ) + (− 480 psi ) se n(138.89 ) o
o
o
Y 180psi 1280 psi
69.44°
X
% Es8#er6os !ortantes m2:imos9 De0ni!i7n /e 87rm#laB 2 2 δ x − δ y τ max = τ + ( ) ÷ xy 2
2
0 − ( −1100 psi) + ( −480 psi ) 2 τ max = ÷ 2 2
1100 psi + ( 480 psi ) 2 τ max = ÷ 2 τ max
=
302500 psi 2 + 230400 psi 2
τ max
= 730 psi
Es8#er6os normales aso!ia/os9 θ s1
= θ p − 45 1
θ s
1
= −20.56 − 45
θ s
1
= −65.56
o
τ = 730 psi
y θ s
2
= θ p − 45 2
θ s
1
= −20.56 + 45
θ s1
= 24.44
o
τ = −730 psi
y
δ p
=
δ x
+ δ y 2
δ p
=
0 + (− 1100 psi )
δ p
2
=−
1100 psi 2
δ p
= −550 psi
Diarama /e orienta!i7n a)ro)ia/a9
Y
550psi 550psi
24.44°
X
730psi
PROBLEMA 7.!.2% Un elemento en el es8#er6o )lano est2 someti/o a los es8#er6os :>?-9' MPa y :y>39+ MPa .v;ase la 0#ra19 Se sa%e "#e #no /e los es8#er6os )rin!i)ales es i#al a +93MPa en tensi7n9 a Determinar el es8#er6o y9 % Determinar el otro es8#er6o )rin!i)al y la orienta!i7n /e los )lanos )rin!i)alesB m#estre l#eo los es8#er6os )rin!i)ales en #n /iarama /e #n elemento %ien orienta/o9
Y
39.2 MPa
68.5 MPa X
O
Solución δ y
a Determina!i7n /el δ x
= −68.5MPa
τ xy
= 39.2MPa
δ y
=?
De0ni!i7n /e 8orm#la δ1 =
δ x + δ y 2
2 2 δ x − δ y + + ( τ xy ) ÷ 2
Reem)la6an/o /atos en la 8orm#la anterior tieneB 26.3 MPa =
26.3 MPa =
26.3 MPa +
−68.5 MPa + δ y 2
−68.5 MPa + δ y 2
68.5 MPa − δ y 2
52.6 MPa + 68.5MPa − δ y 2
2
−68.5MPa − δ y + + ( 39.2MPa ) 2 ÷ 2 2
68.5 MPa + δ y + + ( 39.2 MPa ) 2 ÷ 2 2
68.5MPa + δ y = + ( 39.2 MPa ) 2 ÷ 2
=
1 2
2
( 68.5 MPa ) + 2 ( 68.5MPa ) ( δ y ) + 4 ( 39.2MPa )
2
52.6 MPa + 68.5MPa − δ y
121.1 − δ y
=
4692.25 + 137δ y
( 121.1 − δ ) = ( 2
y
+ δ y 2 + 6146.56
10838.81 + 137δ y
14665.21 − 242.2 ( δ y )
δ y
= ( 68.5MPa ) 2 + 2 ( 68.5MPa ) ( δ y ) + 4( 39.2MPa ) 2
+ δ y
2
)
2
= 10838.81 + 137 ( δ y )
= 10.09MPa
% Determina!i7n /el es8#er6o )rin!i)al De0ni!i7n /e 8orm#la 2τ xy
tan2θ p
=
tan2θ p
=
tan2θ p
=
tan 2θ p
= −0.9975
2θ p
δ x − δ y 2(39.2 MPa )
−68.5 MPa − 10.9 MPa 78.4 MPa
−78.59 MPa
= −44.9283
θ p
= −22.4641
Por 2n#lo !om)lementario se tieneB 2θ p
= 135.0717
Por 8orm#la
θ p
= 67.5359
δ x1
=
δ x + δ y 2 2θ p
+
δx − δy cos 2θ + τ xy s e n 2θ 2
= −44.93
Para
se tieneB δ x + δ y
− δy
=
δ x1
=
δ x
= −28.8MPa − 39.7MPa cos(− 44.93) + (39.2MPa ) s e n(− 44.93)
δ x
= −28.8MPa − 28.1064MPa − 27.6847MPa
δ x1
= −84.5911MPa
1
1
2
+
δx
δ x1
2
cos 2θ + τ xy s e n 2θ
−68.5 MPa + 10.9 MPa −68.5MPa −10.9 MPa cos( 44.93) (39.2 MPa)s e n( 44.93) + − + − 2
2θ p
2
= 135.7
Para
se tieneB δ x + δ y
=
δ x1
=
δ x
= − 28.8MPa − 39.7MPa cos(135.7) + (39.2MPa ) s e n(135.7)
δ x
= −28.8MPa + 28.1064MPa + 27.6847MPa
δ x
= 26.9914MPa
1
1
1
2
+
δx + δy cos 2θ + τ xy s e n 2θ 2
δ x1
−68.5 MPa + 10.9 MPa −68.5MPa −10.9 MPa cos(135.7) (39.2 MPa)s e n(135.7) + + 2
2
Por lo tantoB δ x
1
= 26.9914MPa
θ p
1
= 67.5359
θ p
2
= −22.4641
y δ x
2
= −84.5911MPa y
Diarama /el elemento %ien orienta/o9
Y
26.3MPa
84.7 MPa
67.54°
X O
PROBLEMA 7.&.5 Un elemento en el es8#er6o )lano est2 someti/o a los es8#er6os σ x , σ y y τ xy .o%serve la 0#ra19 Utili6an/o el !ir!#lo /e Mo5r* /etermine los es8#er6os "#e a!t$an so%re #n elemento "#e 8orma #n 2n#lo θ !on res)e!to al e=e :9 M#estre estos es8#er6os en #n /iarama /e #n elemento orienta/o !on #n 2n#lo
θ 9 .NotaB
el 2n#lo es )ositivo en senti/o !ontrario a las mane!illas /el relo= y neativo en el senti/o o)#esto19 2
2
2
σ x =−5750 lb / pul g , σ y =750 lb / pul g y τ xy =−2100 lb / pul g ,θ =75 °
Solución Diarama /e es8#er6os .an#lo
θ 1
σ x =−5750 psi , σ y =750 psi y τ xy =−2100 psi,θ =75 °
.To/os los es8#er6os en
R= √ 3250 + 2100 = 3869 psi 2
α =arctan
2100 3250
2
=32.87 °
β =α + 30 ° =62.87 °
P#nto D . θ=75 ° 1B σ x 1 =−2500 + R cos β =−735 psi τ x 1 y 1= R sin β =3444 psi
P#nto DG . θ=−15 ° 1B
)si1
σ x 1 =−2500 − R cos β =−4265 psi τ x 1 y 1=− R sin β =−3444 psi
PROBLEMA 7.5." 6
2
Un !#%o /e !on!reto . E=3.0∗10 lb / pul g , v =0.1 ¿ /e ,9( )#l )or la/o* esta !om)rimi/o en es8#er6o %ia:ial )or me/io /e #n mar!o /e )r#e%as !ara/o !omo se ve en la 0#ra9 S#)ona "#e !a/a !ara F es /e +( Hl% y /etermine el !am%io
∆ V en el
vol#men /el !#%o y la enera /e /e8orma!i7n U alma!ena/a en el !#%o9
Solución Es8#er6o Jia:ial?!#%o /e !on!reto
Uni7n AB
P= F √ 2= 28.28 kips σ x =σ y =
− P b
2
=−1768 psi
Cam%io /e vol#menB E"9 .&?,&1B
e=
1
−2 v E
( σ x +σ y )=−0.0009429
∈¿ ¿ ¿ V =b =¿ 4
3
0
3
∆ V = eV 0=−0.0603 ∈ .
.Dismin#ye el vol#men1
Enera /e /e8orma!i7n 1
E"9 .&?'(1B u= 2 E ( σ x + σ y −2 v σ x σ y ) =0.9377 psi U =u V 0 =60.0 ∈−lb
2
2
PROBLEMA 7.5. Una )la!a !#a/ra/a /e an!5o % y es)esor t est2 !ara/a )or 8#er6as normales P X
y PY y )or 8#er6as !ortantes K* !omo se m#estra en la 0#ra9 Estas
8#er6as )ro/#!en es8#er6os #ni8ormemente /istri%#i/os "#e a!t$an so%re las !aras laterales /e la )la!a9 Cal!#le el !am%io K en el vol#men /e la )la!a y la enera /e /e8orma!i7n U alma!ena/a en la )la!a si s#s /imensiones son % > + )#l y t > 9( )#l9 E > 2
((( l%< pulg * v > (933* P X
> ( l%* P y > +( l% y K > ' l%9
Solución Plato !#a/ra/o en tensi7n )lana % > + )#l t > 9( )#l 2
E > ((( l%< pulg v > (933 P X
P y
P X σ x = = 7500 psi bt
> ( l%
P y σ y = = 1667 psi bt
> +( l%
K > ' l%9
τ xy =
CAMJIO EN KOLUMEN E"9 .&?,&1B
P y
= 1250 psi
bt
2
3
v 0 =b t =144 ¿
3
∇v = e v 0 =0.0423 ¿
Enera /e /e8orma!i7n E"9 .&?'(1B 2
τ xy e = (σ x + σ y −2 v σ x σ y ) + 2 E 2! 1
!=
2
E
( +v )
2 1
2
=3985 ksi
Reem)la6an/o valores n#m;ri!os u=2.591 psi U =u V 0 =373 ∈−lb
PROBLEMA 7.'.! Un !#%o /e 5ierro 8#n/i/o !on la/os /e lonit#/ a>,9( )#l9 .K;ase la 0#ra1 se ensaya en #n la%oratorio someti;n/olo al esta/o tria:ial /e es8#er6os9 Los e:tens7metros monta/os en la m2"#ina /e ensayo m#estran "#e las /e8orma!iones /e !om)resi7n en el material sonB :>?++':(? y y>6>? 3&9':(?9 Determine las si#ientes !anti/a/esB a Los es8#er6os normales : * y y 6 "#e a!t$an so%re las !aras : *y y 6 /el !#%o9 % El es8#er6o !ortante m2:imo ma: en el material9 ! El !am%io K /el vol#men /el !#%o9 / La enera /e /e8orma!i7n U alma!ena/a en el !#%o .s#)ona E>,'(( l%<)#l+ >(9+'19
Solución :>?++':( ? >(9+'9
y>?3&9':(?
6>?3&9':(? a>,9( )#l
a Es8#er6o normalB σ x=
E
(1 + " )( 1 −2 ")
[( 1 + " ) Ԑ x + " ( Ԑ y + Ԑ # ) ]
σ x =−4200 lb / pulg 2
De i#al 8orma tenemosB σ y =−2100 lb / pulg 2 σ # =−2100 lb / pulg 2
% M2:imo es8#er6o !ortanteB τ $%x =
σ y −σ # 2
=1050 lb / pulg 2
! Cam%io /e vol#men9 e = Ԑ x + Ԑ y + Ԑ # =−0.0003 3
V = %
3
∆ V = e % =−0.0192 pulg
/ Enera /e /e8orma!i7nB
3
.De!re!e1
E>,((( l%<)#l +
1
u= ( σ x Ԑ x + σ y Ԑ y + σ # Ԑ # ) 2
u= 0.55125
lb 2
pulg
3
U =u % =35.3 pulg −lb
PROBLEMA 7.'." Una %ola es8;ri!a soli/a /e lat7n .E>'Q( l%<)#l+ >(93,1 se s#mere en el o!;ano a #na )ro8#n/i/a/ /e ( ((( )ies9 El /i2metro /e la %ola es /e 9( )#l9 Determine el /e!remento / /e /i2metro* el /e!remento K /e vol#men y la enera /e /e8orma!i7n U /e la %ola9
Solución E>'Q( l%<)#l+
>(93,
Alt#ra 5>(((( )ies Di2metro /> )#l Peso es)e!8i!o /el a#a /e marB >39- l%<)#l 3 Presi7nB (> 5>3-((( l%<)ie + >,,3 l%<)#l+ De!re!imiento /el /i2metro9 Ԑ 0=
σ 0 E
(1 −2 " ) =94.53∗10− −3
∆ & =Ԑ 0 & =1.04∗10 pulg
De!re!imiento /el vol#menB −6
e =3 Ԑ 0=283.6∗10 V 0=
4 3
3
'( =
4 3
' (
11 2
3
) =696.9 pulg
3
6
.De!re!e1
∆ V = e V 0= 0.198 pulg
3
Enera /e /e8orma!i7n
: > y >6> ( u=
( −2 " ) σ)
3 1
2
2
= 0.6283
lb 2 pulg
U =u V 0 =438 pulg −lb
PROBLEMA 7.&." Un elemento en esta/o /e !ortante )#ro est2 someti/o a los es8#er6os
τ xy
>
2
,(((l%< pulg * !omo se m#estra en la 0#ra9 Utili6an/o el !r!#lo /e Mo5r* /etermineB a1 Los es8#er6os "#e a!t$an so%re #n elemento !olo!a/o so%re #na )en/iente /e 3<, .o%serve la 0#ra1 %1 Los es8#er6os )rin!i)ales9 M#estre to/os los res#lta/os en /iaramas /e elementos orienta/os /e manera a/e!#a/a9
Solución σ x
>(
τ xy
> ,((( )si
σ y
>(
3 4
= ¿ 36.870 ° −1
θ= tan ¿
+ θ > &39&,(4
θ >
39-&(4
R > ,((( )si
P#nto DB
σ x 1 = R cos16.26 ° =3840
)si
τ x y = R se* 16.26 ° =1120 1
τ x y =− R se* 16.26 ° =−1120
P#nto P B 1
1
2 θ p 1
σ 1
P#nto P B 2
2 θ p 2
> (4
θ p 1
)si
> ,'4
> R > ,((( )si > ?(4
θ p 2
)si
σ x 1 =− R cos16.26 ° =−3840
P#nto DB 1
1
> ?,'4
)si
TEORIAS DE FALLA La 8alla /e #n elemento se re0ere a la );r/i/a /e s# 8#n!ionali/a/* es /e!ir !#an/o #na )ie6a o #na m2"#ina /e=an /e ser $tiles9 Esta 8alta /e 8#n!ionali/a/ se /ar )orB
• • • •
Rot#ra Distorsi7n Permanente Dera/a!i7n Et!9
La rot#ra o la /era/a!i7n )ermanente se /e%en a "#e los es8#er6os so)orta/os son mayores "#e la resisten!ia /el material /e 8a%ri!a!i7n9
Para )o/er /eterminar )ara "#; !anti/a/ /e es8#er6o a)li!a/o se )ro/#!ir2 #na 8alla* se #tili6an al#nas teoras /e 8alla9 To/as las teoras /e 8alla se %asan en la !om)ara!i7n /el es8#er6o a!t#ante !ontra el res#ltante a)li!a/o en #na )r#e%a #nia:ial /e tensi7n o !om)resi7n9
. TEOR(A DE FALLA POR ESFUERZO NORMAL M)*IMO
La 8alla o!#rrir2 en la )arte /i !#al"#iera /e los es8#er6os normales )rin!i)ales e:!e/e el es8#er6o normal )rin!i)al "#e /a l#ar a la 8alla en la )r#e%a #nia:ial sim)le9
SiB
S > Es8#er6o Prin!i)al
σy! >
Es8#er6o /e #en!ia a !om)resi7n
S+ > Es8#er6o Prin!i)al +
σyt >
Es8#er6o /e #en!ia a tensi7n9
S3 > Es8#er6o Prin!i)al 39
Se /e%e !#m)lir "#eB
σ yc σ yc σ yc
≥ S 1 ≤ σ yt ≥ S 2 ≤ σ yt ≥ S 3 ≤ σ yt .1
Si se a)li!a #n 8a!tor /e /iseVo se !onsi#en las e!#a!iones /e /iseVoB σ yc n d
σ yc n d
σ yc n d
≥ S 1 ≤ ≥ S 2 ≤ ≥ S 3 ≤
σ yt n d
σ yt nd
σ yt nd
.+1
Para materiales 8r2iles σy! o σyt es el es8#er6o /e #en!ia9
2 TEORIA DE FALLA POR ESFUERZO CORTANTE M)*IMO+ Para materiales /$!tilesB
La 8alla o!#rre en #na )arte si !#al"#iera /e los es8#er6os !ortantes )rin!i)ales e:!e/e el es8#er6o !ortante )rin!i)al "#e /a l#ar a la 8alla en la )r#e%a #nia:ial sim)le9
P#esto "#eB
τ 1−2
=
τ 1−3
=
τ 2−3
=
σ 1 − σ 2 2
σ 1 − σ 3 2 σ 2 − σ 3
τ flu encia
2
= σ
.31
La teora /e 8alla esB
σ yc σ yc σ yc
≤ ( σ 1 − σ 2 ) ≤ σ yt ≤ ( σ 2 − σ 3 ) ≤ σ yt ≤ ( σ 1 − σ 3 ) ≤ σ yt .,1
Si se intro/#!e #n 8a!tor /e /iseVo se tiene la res)e!tiva e!#a!i7n /e /iseVoB
σ yc n d
≤ (σ 1 − σ 2 ) ≤
σ yt nd
.'1
Esta teora )re/i!e "#e si se )resenta #n esta/o /e es8#er6os 5i/rost2ti!os no se )ro/#!e #en!ia* as estos es8#er6os sean mayores "#e σyB
Si se /es!om)onen !a/a es8#er6o )rin!i)al normal en #na !om)onente 5i/rost2ti!a mas otra !#al"#iera se o%tieneB
= σ '1 +σ ' '1 σ 2 = σ ' 2 +σ ' ' 2 σ 3 = σ '3 +σ ' '3 σ 1
.1
en /on/eB
σGB
Se !#m)le "#eB
Si en al$n !asoB
Com)onente Wi/rost2ti!a9
σ1 = σ2 = σ3
σG1 = σG+ > σG3 >
(* Se ten/ra "#e
σ1 = σGG et!9
No 5a%ra !ortanteX
Por esta ra67n se !re7 la teora /e 8alla /e la enera /e /istorsi7n y /e8orma!i7n9
! TEORIA DE FALLA POR ENERG(A DE DEFORMACI,N M)*IMA+ La 8alla o!#rre en #na )arte !#an/o la enera /e /e8orma!i7n )or vol#men #nitario e:!e/a la /e #na )r#e%a /e tensi7n #nia:ial en la 8alla9
Para /eterminar la enera /e /e8orma!i7n )or vol#men #nitarioB
Sea el %lo"#e /e /imensiones /i8eren!iales /e la 0#ra * so%re el !#al a!t$an los es8#er6os normales )rin!i)alesB
Fi#ra 9 Jlo"#e !on es8#er6os #nitarios9
La enera /e /e8orma!i7n es el tra%a=o reali6a/o )or estas 8#er6as al /es)la6ar el !#%o #na /istan!ia δl9
La enera /e /e8orma!i7n U es i#al al tra%a=o ne!esario )ara /e8ormar el !#%oB
∫
U = W = F .δ l
.&1
Para !a#sar esta /e8orma!i7n* la 8#er6a !a#sa/a )or !a/a es8#er6o σ esB
F x final = σ 1 d y d z F y final = σ 2 d x d z F z final = σ 3 d x d y º
.-1
P#esto "#e el estiramiento /e)en/e linealmente /e la 8#er6a a)li!a/a* este !om)ortamiento se )#e/e mostrar !omo en la r20!a 39
Fi#ra +9 !om)ortamiento lineal /e 8#er6a )or /es)la6amiento
W =
F .δ l 2
Por lo tantoB U deformación
=
F X final .δ x 2
+
.1 F y final .δ y 2
+
F z final 2
.(1
A/em2s !omoB ε 1
ε =
∆l l
=
ε 2
=
ε 3
=
x δ dx y δ dy
x δ
=
ε 1 .dx
z δ
y δ
=
ε 2 .dx
dz
z δ
l#eo
=
E 1
.( σ 1 − νσ 2 − νσ 3 )
.( σ 2 − νσ 1 − νσ 2 ) E 1 ε 3 = .(σ 3 − νσ 1 − νσ 3 ) E
ε 2
=
1
ε 3 .dx
.1
Por la ley /e Wooe se tiene "#eB
ε 1
=
.+1
Por lo tantoB
σ 1 dy dz dx
U =
2E dy dz dx
U =
(σ 1 − νσ 2 − νσ 3 ) +
2E
( σ 2 − νσ 1 − νσ 3 ) +
σ 3 dx dy dz 2E
( σ 3 − νσ 1 − νσ 2 )
(σ + σ + σ − 2ν (σ σ + σ σ + σ σ ) ) 2
2
1
2E
σ 2 dx dz dy
2
2
3
1
2
1
3
2
3
.31 Como es )or vol#men #nitario* se /ivi/e )or dx dy dz:
µ =
1
(σ + σ + σ − 2ν (σ σ + σ σ + σ σ ) ) 2
2E
2
1
2
2
3
1
2
1
3
2
3
.,1
Por ra6onamiento similar la enera /e /e8orma!i7n )or vol#men #nitario en la )r#e%a /e tensi7n esB
µ fy
=
1
σ yp 2 E
2
.'1
Y 0nalmente se tiene )ara /iseVarB
2
σ 1
2
+ σ 2 + σ 3 2
2
σ − 2ν ( σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 ) ≤ yp ← "a!a disea! N fs
.1
TEORIA DE FALLA POR ENERGIA DE DISTORSI,N M)*IMA -M/01il0 D3c/il04
La enera /e /e8orma!i7n se !om)one /e la enera /e /e8orma!i7n .!am%io /e vol#men1 y /e la /istorsi7n9
µ = µ v + µ d
( µ #ol$men + µ disto!sion)
.&1
La 8alla o!#rre si la enera /e /istorsi7n )or vol#men #nitario e:!e/e la !orres)on/en!ia a #na )r#e%a /e tensi7n #nitaria en la 8alla9
Los es8#er6os )rin!i)ales se !om)onen /e es8#er6os "#e )ro/#!en !am%io /e vol#men y !am%io /e /istorsi7n9
= σ 1' + σ 1v ' σ 2 = σ 2 + σ 2 v ' σ 3 = σ 3 + σ 3v σ 1
= σ &$e ca$sa disto!sin . ' σ i = σ &$e ca$sa cam%io de #ol$men.
σ i
'
.-1
Y )ara "#e no 5alla !am%io /e vol#men )or los !om)onentes /e /istorsi7n se /e%e !#m)lir "#eB
ε '1 +ε ' 2 +ε '3 = 0
.1
A/em2s se tiene "#e )or la ley /e WooeB
ε '1
1 =
1
ε ' 2
=
ε ' 3
=
E
1 E
( σ '
.
E
1
( σ '
.
( σ '
.
ν .σ 2 (−ν .σ ' 3
)
ν .σ 1 (−ν .σ ' 3
)
ν .σ 1 (−ν .σ ' 2
)
−
2
3
−
−
.+(1
Como se /e%e !#m)lir la e!#a!i7n
1 E
( σ '1 −ν .σ 2 −ν .σ '3 +σ ' 2 −ν .σ 1−ν .σ '3 +σ '3 −ν .σ 1−ν .σ ' 2 ) = 0 .+1
Por lo tanto
σ '1 +σ ' 2 +σ ' 3 −2ν .(σ 1+σ 2 +σ '3 )
=0 .++1
Y )#esto "#e ν no es !ero* se !#m)le "#e
.( σ 1+σ 2 +σ '3 )
=0 .+31
De otra )arte si se s#man las e!#a!iones -
σ 1 + σ 2
+ σ 3 = σ v + σ v + σ v + σ 1+σ 2 +σ ' 3 = 0
σ v
1
= .( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 3
.+,1
La e!#a!i7n +, se )#e/e #sar )ara en!ontrar los es8#er6os )rin!i)ales /e /istorsi7n en 8#n!i7n /e los es8#er6os normales )rin!i)ales9
Como se tiene la !on/i!i7n /e las e!#a!iones - sa%ien/o "#e )ara los tres es8#er6osB
1
σ 1= σ 1 − .(σ 1 + σ 2 3
3
σ 1=
2
σ 2 =
2
σ 3 =
. σ 1 −
σ 2 2
−
+ σ 3 )
σ 1=
2 3
1
σ 1 − σ 2 3
−
1 3
σ 3
σ 3 2
− σ 1 − σ 3 3 2 2 . σ 2
.+'1
− σ 1 − σ 2 3 2 2 2
. σ 3
La enera /e /e8orma!i7n )or !am%io /e vol#men ser2B
U v
=
3σ v ε v 2 (26)
σv es
el mismo
En este !aso se )#e/e #sar la ley /e Wooe !omoB
ε v
=
1 E
− ν .σ v − ν .σ v ) =
.( σ v
σ v (1 − 2ν ) E
.+&1
Por lo tanto
U v
=
3 2
σ v .
σ v (1 − 2ν ) 2 (28)
Y tenien/o en !#enta la rela!i7n +,
U v
=
1 − 2ν 3 6 E
( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) 2 (29)
Y !omo U/ > U ? Uv
.3(1
Y "#e
U v
=
1 2 E
[σ + σ + σ − 2ν (σ σ + σ σ + σ σ ) ] 2
2
1
2
2
3
1
2
1
3
2
3
.31
Se tiene /e + 3( y 3 "#e
U d
=
1 − ν 3 E
[σ + σ + σ − σ σ − σ σ − σ σ ] 2
1
2
2
2
3
1
2
1
3
2
3
.3+1
An2loamente )ara #na )r#e%a #nia:ial* la enera /e /istorsi7n ser2B
