Estado General de Esfuerzos y Deformaciones-Ejemplos

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES MECÁNICA DE SÓLIDOS I

2016

201

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES


ESCUELA PROFESIONAL:

Ingeniería Civil

CURSO: Mecánica de Solidos I

DOCENTE: Ing. Mauro Centurión

TEMA: Práctica Domiciliaria de Estado de Esfuerzos Y Deformaciones

INTEGRANTES:      

Chavarría Paredes, Carlos Rafael Bautista, Abel Rebaza Castrejón, William John Saldaña Saldaña, Rossgri Vásquez Abanto, Juan Villegas Chuquilín, Alex

CICLO: 2015-0

MECÁNICA DE SÓLIDOS I

2


Contenido PROBLEMA 7.2.5........................................................................................................ 4 Solución.................................................................................................................. 4 PROBLEMA 7.2.11...................................................................................................... 5 Solución.................................................................................................................. 5 PROBLEMA 7.3.9........................................................................................................ 6 Solución.................................................................................................................. 6 PROBLEMA 7.3.20...................................................................................................... 9 Solución.................................................................................................................. 9 PROBLEMA 7.4.15.................................................................................................... 12 Solución................................................................................................................ 12 PROBLEMA 7.5.9...................................................................................................... 13 Solución................................................................................................................ 14 PROBLEMA 7.5.11.................................................................................................... 15 Solución................................................................................................................ 15 PROBLEMA 7.6.3...................................................................................................... 16 Solución................................................................................................................ 16 PROBLEMA 7.6.9...................................................................................................... 17 Solución................................................................................................................ 17 PROBLEMA 7.4.9...................................................................................................... 18 Solución................................................................................................................ 18


3


PRÁCTICA DOMICILIARIA DE ESTADO DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PROBLEMA 7.2.5 Resolver el anterior si las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre el elemento A son 7 500 psi , 20 psi y 500 4 800 psi ( en las direcciones mostradas en la

figura) y el ángulo es de 30 ° (hacia la izquierda )

Solución Tensión plana (ángulo �)

σ x =7 500 psi σ y =−20 500 psi τ xy =−4 800 psi ϴ=30 ° Aplicando la fórmula


4


σ x1 =

σ x +σ y σ x −σ y + cos 2θ+ τ xy sin 2 θ 2 2

σ x1 =−3 600 psi Aplicando la fórmula

τx y = 1

1

σ x −σ y cos 2 θ+ τ xy cos 2 θ 2

τ x y =−14 520 psi 1

1

σ y1=σ x +σ y −σ x 1=−9340 psi

PROBLEMA 7.2.11 Una placa rectangular de dimensiones 3.0 pulg x 5.0 pulg está formada por dos placas triangulares soldadas (véase la figura). La figura está sometida a un esfuerzo 2

de tensión de 500 lb/ pulg 2

350 lb/ pulg

en la dirección larga y a un esfuerzo de compresión de

en la dirección corta.

Determine el esfuerzo normal

σw

soldadura y el esfuerzo cortante

esfuerzo normal esfuerzo cortante

que actúa en sentido perpendicular al cordón de

τw

que actúa paralelo al cordón (suponga que el

σ w es positivo cuando actúa en tensión contra a soldadura y que el τ w es positivo cuando actúa en sentido contrario a las manecillas

del reloj contra ella)


5

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES Solución Esfuerzo biaxial (unión soldada)

σ x =500 psi

σ y = -350 psi

τ xy =?

5∈¿=tan−1 .6=¿ 30.96 ° 3∈ ¿ ¿ ¿ θ=tan −1 ¿ Aplicando la fórmula

σ x1 =

σ x +σ y σ x −σ y + cos 2θ+ τ xy sin 2 θ 2 2

σ x1 =275 psi Aplicando la fórmula

τx y = 1

1

σ x −σ y cos 2 θ+ τ xy cos 2 θ 2

τ x y =−375 1

1

σ y1=σ x +σ y −σ x 1=−125 psi Tensiones que actúan en la soldadura

σ w =−125 psi τ w =375 psi


6


PROBLEMA 7.3.9 Un muro de cortante en un edificio de concreto reforzado está sometido a una carga vertical uniforme de intensidad q y a una fuerza horizontal H. como se muestra en la primera parte de la figura, (la fuerza H representa a los esfuerzos del viento y a las cargas por sismo) como consecuencia de estas cargas, los esfuerzos en el punto A sobre la superficie del muro tienen los valores mostrados en la segunda parte dela figura (esfuerzo de compresión de 1100 lb/pulg 2 y esfuerzo cortante igual a 480lb/pulg2). a) Determinar los esfuerzos principales y muéstrelos sobre un diagrama de un elemento orientado de manera apropiada. b) Determinar los esfuerzos cortantes máximos y los esfuerzos normales asociados y muéstrelos sobre un diagrama de un elemento orientado apropiadamente.

q

1100 lb/pul^2

H

480 lb/pulg^2

A A

Solución Datos de problema:

x  0

 y  1100 psi

1 psi 

 xy  480 psi

lb pu lg 2

Equivalencia: a) Esfuerzo principal. Definición de formula.

tan 2 p 

tan 2 p 

2 xy

x y 2(480 psi) 0  (1100 psi)


7

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES tan 2 p  0.87273

2 p  41.11o

  p  20.56o

Por ángulo complementario se tiene que:

2 p  138.89o

  p  69.44o

Definición de formula.

 x1 

x y x  y  cos 2   xy s e n 2 2 2 2 p  41.11o

Para

 x1 

se tiene:

0 psi  (1100 psi ) 0 psi  (1100 psi)  cos(41.11o)  (480 psi )s e n( 41.11o) 2 2

 x1  550 psi  414.3968 psi  315.6032 psi

 x1  180 psi 2 p  138.89o Para

 x2 

se tiene:

0 psi  (1100 psi) 0 psi  (1100 psi)  cos(138.89o)  ( 480 psi ) s e n(138.89o) 2 2

 x2  550 psi  550 psi cos(138.89o)  (480 psi) s e n(138.89o)  x2  550 psi  414.3968 psi  315.6032 psi  x2  1280 psi Por lo tanto:

 p1  20.56o

 x1  180 psi y

 p2  69.44o

 x2  1280 psi y


8

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES Diagrama de orientación apropiada.

Y 180 psi 1280 psi

69.44°

X

b) Esfuerzos cortantes máximos. Definición de fórmula: 2

 max

2   x   y       xy  2  

 max

2  0  (1100 psi )      480 psi  2  

2

2

2  1100 psi    480 psi  2  

 max  

 max  302500 psi 2  230400 psi 2

 max  730 psi Esfuerzos normales asociados.

 s1   p1  45

 s1  20.56  45

 s1  65.56o

  730 psi y

 s2   p2  45

 s1  20.56  45

 s1  24.44o

  730 psi y


9


p 

x  y 2

p 

0  (1100 psi ) 2

p 

1100 psi 2

 p  550 psi

Diagrama de orientación apropiada.

Y 550 psi 550 psi

24.44°

X

730 psi

PROBLEMA 7.3.20 Un elemento en el esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos δx=-68.5 MPa y τxy=39.2 MPa (véase la figura). Se sabe que uno de los esfuerzos principales es igual a 26.3MPa en tensión. a) Determinar el esfuerzo δy. b) Determinar el otro esfuerzo principal y la orientación de los planos principales: muestre luego los esfuerzos principales en un diagrama de un elemento bien orientado.

Y

39.2 MPa

O


68.5 MPa X

10

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES Solución

y a) Determinación del

y  ?

 xy  39.2MPa

 x  68.5MPa

Definición de formula 2

  y 2   x   y 1  x       xy  2 2   Reemplazando datos en la formula anterior tiene:

26.3MPa 

26.3MPa 

26.3MPa 

68.5 MPa   y 2

68.5 MPa   y 2

68.5 MPa   y 2

52.6 MPa  68.5MPa   y 2

2

 68.5MPa   y 2      39.2 MPa  2   2

 68.5MPa   y 2      39.2 MPa  2   2

 68.5MPa   y 2      39.2 MPa  2  



52.6 MPa  68.5MPa   y 

1 2

 68.5MPa 

 68.5MPa 

2

2

 2  68.5MPa    y   4  39.2 MPa 

 2  68.5MPa    y   4  39.2 MPa 

2

2

121.1   y  4692.25  137 y   y 2  6146.56

 121.1    y

2





10838.81  137 y   y 2



2

14665.21  242.2   y   10838.81  137   y 

 y  10.09 MPa


11


b) Determinación del esfuerzo principal Definición de formula

tan 2 p 

2 xy

x y

tan 2 p 

2(39.2 MPa) 68.5MPa  10.9 MPa

tan 2 p 

78.4 MPa 78.59 MPa

tan 2 p  0.9975

2 p  44.9283

 p  22.4641

Por ángulo complementario se tiene:

2 p  135.0717

 p  67.5359

Por formula

 x1 

x  y x  y  cos 2   xy s e n 2 2 2 2 p  44.93

Para

se tiene:

 x1 

x  y x  y  cos 2   xy s e n 2 2 2

 x1 

68.5MPa  10.9 MPa 68.5MPa  10.9 MPa  cos(44.93)  (39.2 MPa) s e n(44.93) 2 2

 x1  28.8MPa  39.7 MPa cos(44.93)  (39.2 MPa ) s e n(44.93)


12

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES  x1  28.8MPa  28.1064MPa  27.6847 MPa  x1  84.5911MPa 2 p  135.7 Para

se tiene:

 x1 

x y x  y  cos 2   xy s e n 2 2 2

 x1 

68.5MPa  10.9 MPa 68.5MPa  10.9MPa  cos(135.7)  (39.2 MPa ) s e n(135.7) 2 2

 x1  28.8MPa  39.7 MPa cos(135.7)  (39.2 MPa )s e n(135.7)

 x1  28.8MPa  28.1064 MPa  27.6847 MPa  x1  26.9914MPa Por lo tanto:

 p1  67.5359

 x1  26.9914 MPa y

 p2  22.4641

 x2  84.5911MPa y

Diagrama del elemento bien orientado.


13


Y

26.3 MPa 84.7 MPa 67.54°

O

X

PROBLEMA 7.4.15 Un elemento en el esfuerzo plano está sometido a los esfuerzos

σ x , σ y y τ xy

(observe

la figura). Utilizando el circulo de Mohr, determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento que forma un ángulo

θ

con respecto al eje x. Muestre estos esfuerzos en un

diagrama de un elemento orientado con un ángulo

θ . (Nota: el ángulo es positivo

en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido opuesto).

σ x =−5750lb / pul g2 , σ y =750 lb / pul g2 y τ xy =−2100 lb / pul g2 ,θ=75 °

Solución Diagrama de esfuerzos (angulo

θ )

σ x =−5750 psi , σ y =750 psi y τ xy =−2100 psi, θ=75° (Todos los esfuerzos en psi)


14


R= √32502 +21002=3869 psi α =arctan

2100 =32.87 ° 3250

β=α +30°=62.87 ° Punto D ( θ=75 ° ):

σ x1 =−2500+ R cos β=−735 psi τ x1 y 1=R sin β=3444 psi Punto D’ ( θ=−15 ° ):

σ x1 =−2500−R cos β=−4265 psi τ x1 y 1=−R sin β=−3444 psi

PROBLEMA 7.5.9 6

2

Un cubo de concreto ( E=3.0∗10 lb/ pul g , v=0.1 ¿

de 4.0 pulg por lado, esta

comprimido en esfuerzo biaxial por medio de un marco de pruebas cargado como se ve en la figura. Suponga que cada carga F es de 20 Klb y determine el cambio

∆V

en el volumen

del cubo y la energía de deformación U almacenada en el cubo.


15


Solución Esfuerzo Biaxial-cubo de concreto

Unión A:

P=F √2=28.28 kips σ x =σ y =

−P =−1768 psi b2

Cambio de volumen: Eq. (7-47):

e=

1−2 v ( σ x +σ y )=−0.0009429 E

4∈¿ ¿ ¿ V 0=b 3=¿ ∆ V =eV 0=−0.0603∈.

3

(Disminuye el volumen)

Energía de deformación


16


Eq. (7-50):

u=

1 σ 2x +σ 2y −2 v σ x σ y ) =0.9377 psi ( 2E

U=u V 0 =60.0∈−lb


17


PROBLEMA 7.5.11 Una placa cuadrada de ancho b y espesor t está cargada por fuerzas normales y

PY

y por fuerzas cortantes V,

PX

como se muestra en la figura. Estas fuerzas

producen esfuerzos uniformemente distribuidos que actúan sobre las caras laterales de la placa. Calcule el cambio �V en el volumen de la placa y la energía de deformación U almacenada en la placa si sus dimensiones son b = 12 pulg y t = 1.0 pulg. E = 10600 2

klb/ pulg

, v = 0.33,

PX

= 90 klb,

Py

= 20 klb y V = 15 klb.

Solución Plato cuadrado en tensión plana b = 12 pulg t = 1.0 pulg 2

E = 10600 klb/ pulg v = 0.33

PX

Py

= 90 klb

= 20 klb

V = 15 klb.

τ xy =

σ x=

PX =7500 psi bt

σ y=

Py =1667 psi bt

Py =1250 psi bt

CAMBIO EN VOLUMEN Eq. (7-47):


18

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 2

3

v 0 =b t=144 ¿

∇v=e v 0 =0.0423 ¿3 ← Energía de deformación Eq. (7-50):

e=

τ xy 2 1 2 2 σ + σ −2 v σ σ + ( y x y) 2E x 2G

G=

E =3985 ksi 2(1+v )

Reemplazando valores numéricos

u=2.591 psi

U=u V 0 =373∈−lb

←

PROBLEMA 7.6.3 Un cubo de hierro fundido con lados de longitud a=4.0 pulg. (Véase la figura) se ensaya en un laboratorio sometiéndolo al estado triaxial de esfuerzos. Los extensómetros montados en la máquina de ensayo muestran que las deformaciones de compresión en el material son: Ԑx=-225x10-6 y Ԑy=Ԑz=-37.5x10-6. Determine las siguientes cantidades: a) Los esfuerzos normales σx , σy y σz que actúan sobre las caras x ,y y z del cubo. b) El esfuerzo cortante máximo τmax en el material. c) El cambio ∆V del volumen del cubo. d) La energía de deformación U almacenada en el cubo (suponga E=14500 klb/pulg2 υ=0.25).


19


Solución Ԑx=-225x10-6 υ=0.25.

Ԑy=-37.5x10-6

Ԑz=-37.5x10-6

a=4.0 pulg

E=14000 klb/pulg2

a) Esfuerzo normal:

σ x=

E [( 1+υ ) Ԑx +υ ( Ԑ y +Ԑz ) ] (1+υ)(1−2 υ)

σ x=−4200 lb/ pulg 2 De igual forma tenemos:

σ y=−2100 lb/ pulg 2

σ z=−2100lb / pulg2 b) Máximo esfuerzo cortante:

τ max=

σ y−σ z =1050lb / pulg 2 2

c) Cambio de volumen.

e=Ԑ x+ Ԑ y + Ԑ z=−0.0003

V =a3 3

∆ V =e a =−0.0192 pulg

3

(Decrece)

d) Energía de deformación:

1 u= (σ x Ԑx+ σ y Ԑ y +σ z Ԑz ) 2


20


u=0.55125

lb 2 pulg

3

U=u a =35.3 pulg−lb

PROBLEMA 7.6.9 Una bola esférica solida de latón (E=15*106 lb/pulg2; υ=0.34) se sumerge en el océano a una profundidad de 10 000 pies. El diámetro de la bola es de 11.0 pulg. Determine el decremento ∆d de diámetro, el decremento ∆V de volumen y la energía de deformación U de la bola.

Solución E=15*106 lb/pulg2

υ=0.34

Altura h=10000 pies Diámetro d=11 pulg Peso específico del agua de mar: ϒ=63.8 lb/pulg 3 Presión: σ0= ϒh=638000 lb/pie2 =4431 lb/pulg2  Decrecimiento del diámetro.

Ԑ0=

σ0 (1−2 υ ) =94.53∗10−6 E

∆ d =Ԑ0 d=1.04∗10−3 pulg

(Decrece)

 Decrecimiento del volumen:

e=3 Ԑ0=283.6∗10−6 3

3

4 4 11 V 0= πr = π ( ) =696.9 pulg 3 3 3 2 ∆ V =e V 0=0.198 pulg 3  Energía de deformación

σx = σy =σz= σ0


21

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 2

3 ( 1−2 υ ) σo lb u= =0.6283 2 pulg2 U=u V 0 =438 pulg−lb

PROBLEMA 7.4.9 Un elemento en estado de cortante puro está sometido a los esfuerzos 2

4000lb/ pulg

τ xy

=

, como se muestra en la figura. Utilizando el círculo de Mohr,

determine: a) Los esfuerzos que actúan sobre un elemento colocado sobre una pendiente de 3/4 (observe la figura) b) Los esfuerzos principales. Muestre todos los resultados en diagramas de elementos orientados de manera adecuada.

Solución σx = 0

τ xy = 4000 psi

σy = 0

3 =¿36.870 ° 4 −1 θ=tan ¿ 2 θ

= 73.740°

θ

= 36.870°

R = 4000 psi


22


Punto D:

σ x1 =R cos 16.26 °=3840 τ x y =R sen 16.26 °=1120 1

τ x y =−R sen 16.26° =−1120

Punto

P1 :

1

2θ p 1 = 90°

θp1

psi

σ x1 =−R cos 16.26 ° =−3840

Punto D':

1

1

psi

psi

psi

= 45°

σ 1 = R = 4000 psi Punto

P2 :

2θ p 2 = -90°


θp2

= -45°

23

Estado General de Esfuerzos y Deformaciones-Ejemplos

Recommend Documents