Estadística Inferencial I
Unidad 5 Tema 5.2 Prueba para la diferencia entre dos proporciones
Inferencias estadísticas para dos proporciones poblacionales, p1- p2
A veces un investigador desea hacer inferencias sobre la diferencia entre dos proporciones poblacionales. Este tipo de análisis tiene numerosas aplicaciones en los negocios; por ejemplo, comparar la participación de mercado de un producto para dos mercados diferentes, estudiar la diferencia entre la proporción de clientes mujeres en dos regiones geográficas diferentes, o comparar la proporción de productos defectuosos de un periodo a otro. Al hacer inferencias acerca de la diferencia entre dos proporciones poblacionales, el estadístico que normalmente se usa es la diferencia entre proporciones de la muestra esta estadística se calcula al tomar muestras aleatorias y determinar para cada muestra y una característica dada para calcular la diferencia de estas proporciones de la muestra.1
̂ ̂ ̂
Cuando deseamos probar la hipótesis de que las proporciones de dos poblaciones no son diferentes, las dos proporciones muéstrales se combinan como base para determinar el error estándar de la diferencia entre proporciones. La estimación combinada de la proporción de la población, con base en las proporciones obtenidas de dos muestras independientes. 2
Formula:
= − = − = ( )
1
Estadistica en los negocios. Ken Black. 2005 Estadística Aplicada a la Economía. Leonard J. Kazmier. 2008
2
Prueba de diferencia de dos proporciones DATOS:
= Proporción de la muestra 1 = Proporción de la muestra 2
= Tamaño de la muestra 1 = Tamaño de la muestra 2
1̅ 1̅
= Proporción muestral de fracaso 1 = = Proporción muestra de fracaso 2 =
Ejemplo 1:
Suponga que con fines de impuestos, el gobierno de una ciudad ha utilizado dos métodos para registrar las propiedades. El primero requiere que el dueño de la propiedad se presente para proporcionar la información; el segundo método permite que el dueño de la propiedad envie por correo una forma fiscal con la información requerida. El alcalde de la ciudad piensa que el método que requiere la presencia de la persona produce menos errores que el otro. Autoriza un estudio de 50 listas hechas con el primer método y de 75 listas tomadas de los datos enviados de correo. De modo que 10 % de las formas llenadas ante el representante fiscal tiene errores; 13% de las formas enviadas por correo tiene errores. El alcalde desea probar, con un nivel de significancia del 0.15. Datos:
Los resultados del muestreo pueden reunirse de la siguiente manera:
p =0.10 q =10.10= 0.90 n =50 p = 0.133
q =0.867 n =75 ∝=0.15%
Paso 1: Establecer hipótesis, tipo de prueba y nivel de significancia .
Paso 2: Escoja la distribución apropiada y encontrar el valor crítico .
H:p =p H:p
∝=0.15%
Se utiliza la distribución normal estándar y la tabla 1 del apéndice para determinar el valor critico de z para 0.35 del área bajo la curva (0.50-0.15). Este valor, 1.04 es el límite de la regio de aceptación.
Paso 3: Calcule el error estándar y estandarice la estadística de la muestra.
= . = = . =. − =
− = .. .. = . . √ .=. =
3
Paso 4: Bosqueje la distribución y señale el valor de la muestra y el valor crítico.
= − = .. . =. Paso 5: Interprete el resultado.
La diferencia entre las proporciones de las muestra se encuentra muy adentro de la región de aceptación y el alcalde de la ciudad debe aceptar la hipótesis nula de que no existe diferencia entre los métodos de recabar información. Así que el método d de envió por correo es considerablemente menos caro que el otro, el alcalde deberá pensar en aumentar su uso.
3
Estadística para la administración y economía. Levin .Rubin (2010)
Ejemplo 2:
Dos áreas diferentes de una gran ciudad del este de Estados Unidos se estudian como sitios para abrir guarderías. De 200 casas encuestadas en una sección, la proporción de ellas en las que la madre trabaja tiempo completo es 0.52 .En otra sección, 40% de las 15º casas del estudio tiene madres que trabajan tiempo completo. Para un nivel de significancia de 0.04 ¿Existe una diferencia significativa en las proporciones de madres que trabajan de tiempo completo en las dos áreas de la ciudad? DATOS:
=200 =0.52 =150 ̅ =0.40
Paso 1: Establecer hipótesis, tipo de prueba y nivel de significancia
: =
: ≠ +−2.05
=0. 0 4
Paso 2: Escoger la distribución apropiada y encontrar el valor critico
Los límites de la región de aceptación son z=
Paso 3 Calcular
el error estándar y estandarizar el estadístico de la muestra.
521500.40 =0.4686 ̂ = ̅ ̅ = 2000.200150
− = ̅− ̅ = ̂(1 1)= 0.46860.53142001 1501 =0.539 Paso 4 Bosquejar
la distribución y señalar el valor de la muestra y el valor critico
Los límites de la región de aceptación son z=
+−2.05, o
̅ =0− = +−2.050.0539 = +−0.1105 = − = ..−. =2.23>2.05 ̅ =0. 1 2>
Como el valor observado
0.1105,
Paso 5 Interpretar
el resultado.
.
Se rechaza Las proporciones de madres que trabajan en las dos áreas difieren de manera significativa. 4
Ejemplo 3:
Una cadena de hoteles grandes intenta decidir si debe convertir más de sus cuartos en habitaciones de no fumar. Él año pasado, en una muestra aleatoria de 400 huéspedes, 166 pidieron cuartos de no fumar. Este año 205 huéspedes en una muestra de 380 prefirieron que no se fumara en su habitación. ¿Recomendaría que la cadena hotelera convirtiera más habitaciones en lugares de no fumar? Apoye su recomendación con la hipótesis adecuada a un nivel de significancia de 0.01.
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Estadística para la administración y economía. Levin .Rubin (2010)
DATOS:
=400 =0.415 =380 ̅ =0.5395 : =
Paso 1: Establecer hipótesis, tipo de prueba y nivel de significancia
: ≠
=0. 0 1
Paso 2: Escoger la distribución apropiada y encontrar el valor critico
El límite inferior de la región de aceptación es z=-2.33
Paso 3 Calcular
el error estándar y estandarizar el estadístico de la muestra.
3800.5395 =0.4757 ̂ = ̅ ̅ = 4000.415400380
̅− ̅ = ̂(1 1)= 0.47570.52434001 3801 =0.0358 Paso 4 Bosquejar
la distribución y señalar el valor de la muestra y el valor critico
El límite inferior de la región de aceptación es z=-2.33, o
̅ =0− =2.330.0358=0.0834 = − = .−. . =3.48 <2.33 ̅ =0.1245<0.0834,
Como el valor observado
Paso 5 Interpretar
el resultado.
Se rechaza .La cadena de hoteles debe convertir más cuartos en habitaciones de no fumar puesto que hay un incremento significativo en la proporción de huéspedes que piden estos cuartos respecto al año pasado. 5
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Estadística para la administración y economía. Levin .Rubin (2010)
Bibliografía:
