DETERMINACIÓN DE LA ESTABILIDAD
El método más simple para determinar la estabilidad de un sistema de tiempo discreto dado su función de transferencia z es encontrando los polos del sistema. Esto se puede lograr utilizando un algoritmo numérico adecuado basado en el método de Newton. MATLAB Las raíces de un polinomio se obtienen utilizando uno de los comandos de MATLAB 1 >>roots(dent) >>zpk(g) Donde den es un vector de coeficientes polinomiales de denominador. El comando zpk factoriza el numerador y el denominador de la función de transferencia g y lo muestra. Los polos de la función de transferencia se pueden obtener con el polo de comando y luego se ordenan con el comando dsort en orden de magnitud decreciente. Alternativamente, uno puede usar el comando ddamp, que produce el polo ubicaciones (valores propios), la relación de amortiguación y la frecuencia natural no amortiguada. Por ejemplo, dado un período de muestreo de 0.1s y el denominador polinomial con coeficientes. >>den = (1.0,0.2,0.0,0.4) El comando es >>ddamp(den,0.1) El comando produce la salida.
Eigenvalue
Magnitud
Equiv.
Equiv. Freq. (rad / seg)
Amortiguación 0.230610.7428I 0.230610.7428I
1
0.7778
0.1941
12.9441
Matlab: (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de
software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado.
0.230620.7428I
0.7778
0.1941
12.9441
-0.6612
0.6612
0.1306
31.6871
El comando MATLAB >>T = feedback(g,gf, ±1) calcula la función de transferencia T de bucle cerrado utilizando la función de transferencia directa g y la función de transferencia de retroalimentación gf. Para comentarios negativos, el tercer argumento tiene 21 o se omite. Para comentarios unitarios, reemplazamos el argumento gf por 1. Nosotros puede resolver para los polos de la función de transferencia de lazo cerrado como antes usando zpk o ddamp. CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ El criterio de Routh-Hurwitz determina las condiciones para el polinomio del semiplano izquierdo (LHP) raíces y no se puede utilizar directamente para investigar la estabilidad del tiempo discreto sistemas. La transformación bilineal
()
transforma el interior del círculo unitario al LHP Para verificar esta propiedad, considere los tres casos que se muestran en la Figura . Ellos representan el mapeo de un punto en el LHP, un punto en el RHP y un punto en el eje jw. El ángulo de w después de la transformación bilineal es ()
Para un punto dentro del círculo unitario, el ángulo de w es de una magnitud mayor que 90º, que corresponde a puntos en el LHP. Por un punto en el círculo unitario, el ángulo es ±90º, que corresponde a puntos en el eje imaginario, y para los puntos fuera del círculo unitario, la magnitud del ángulo es inferior a 90º, que corresponde a los puntos en el RHP.
Figura Nº Ángulos asociados con la transformación bilineal.
La transformación bilineal 2 permite el uso del criterio de Routh-Hurwitz para la investigación de la estabilidad del sistema en tiempo discreto. Para el z-polinomio general,
tenemos
los
pares
de
transformaciones
()
El enfoque de Routh-Hurwitz se vuelve progresivamente más difícil ya que orden del z polinomio aumenta. Pero para polinomios de bajo orden, da fácilmente condiciones de estabilidad. Para polinomios de alto orden, un paquete de manipulación simbólica se puede usar para realizar las manipulaciones algebraicas necesarias. (Jury, 1964) TEST DE JURY Es posible investigar la estabilidad de polinomios del dominio z directamente utilizando el Prueba de jurado para coeficientes reales o la prueba de Schur-Cohn para coeficientes complejos. Estas pruebas implican evaluaciones determinantes como en la prueba de
2
transformación bilineal: (también conocida con el nombre de Método de Tustin) es usada
habitualmente en el campo del procesamiento digital de señales y en la Teoría de control de señales discretas
Routh-Hurwitz para s-domain polinomios pero consumen más tiempo. La prueba del jurado
se
da
a
continuación.
Para ()
Donde: tabla Nº1
Tabla de Jury
las raíces del polinomio están dentro del círculo unitario si y solo si
()
el
polinomio:
donde los términos en las condiciones n+1 se calculan a partir del TABLA Nº1. Las entradas de la tabla se calculan de la siguiente manera:
() Con base en la tabla del jurado y las condiciones de estabilidad del jurado, hacemos lo siguiente observaciones: 1. La primera fila de la tabla de Jury es una lista de los coeficientes del polinomio F(z) en orden de potencia creciente de z. 2. El número de filas de la tabla 2 n-3 siempre es impar, y los coeficientes de cada fila incluso es la misma que la fila impar directamente encima de ella con el orden de los coeficientes invertidos. 3. Hay n+1 condiciones en (4.22) que corresponden a los coeficientes n+1 de F(z). 4. Las condiciones 3 mediante n+1 de (4.22) se calculan utilizando el coeficiente del primera columna de la tabla de Jury junto con el último coeficiente del fila anterior. El coeficiente medio de la última fila nunca se usa y no es necesario calcular. 5. Las condiciones 1 y 2 de (4.22) se calculan a partir de F (z) directamente. Si uno de las dos primeras condiciones se violan, concluimos que F (z) tiene raíces en o fuera el círculo unitario sin la necesidad de construir la tabla de Jury o probar la condiciones restantes. 6. La condición 3 de (4.22), con an=1, requiere el término constante del polinomio para ser menos que la unidad en magnitud. El término constante es simplemente el producto
de las raíces y debe ser más pequeño que la unidad para que todas las raíces sean dentro del círculo unitario. 7. Las condiciones (4.22) se reducen a las condiciones (4.19) y (4.20) para el primero y sistemas de segundo orden, respectivamente, donde la tabla de Jury es simplemente una fila. 8. Para sistemas de orden superior, aplicar el test de Jury a mano es laborioso, y es preferible para probar la estabilidad de un polinomio F (z) usando un equipo asistido por computadora paquete de diseño (CAD). 9. Si los coeficientes del polinomio son funciones de los parámetros del sistema, el test de Jury se puede usar para obtener los rangos estables de los parámetros del sistema. (Jury E. I., 1961)
CRITERIO DE NYQUIST El criterio de Nyquist es un método gráfico analítico que determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, al investigar las propiedades de la traza de Nyquist en el dominio de la frecuencia de la función de transferencia del lazo L(s). Específicamente, la traza de Nyquist de L(s) es una gráfica de L(jw) en coordenadas polares, o sea, Im[L(jw)] en función de Re[L(jw)] cuando la frecuencia w varia desde infinito a cero. Este es otro ejemplo de la utilización de las propiedades de la función de transferencia del lazo para encontrar el desempeño del sistema en lazo cerrado. El criterio de Nyquist tiene las características siguientes que lo hacen un método alternativo atractivo para el análisis y diseño de los sistemas de control. 1. Además de proveer la estabilidad absoluta, como el criterio de Routh-Hurwitz, también de información sobre la estabilidad relativa de un sistema estable y el grado de inestabilidad de un sistema inestable. También da una indicación de cómo se puede mejorar la estabilidad del sistema, si es necesario. 2. La traza de Nyquist de L(s) es muy fácil de obtener, específicamente utilizando una computadora, o a falta de ella con la ayuda de un bosquejo del diagrama de Bode de L(jw), sobre todo de la fase.
3. La traza de Nyquist de L(jw) de información tales como, máximo de resonancia MR, frecuencia de resonancia WR, ancho de banda WA-B y otras, del sistema en lazo cerrado, con mucha facilidad. 4. La traza de Nyquist es útil para sistemas con retardos de transporte que no se pueden tratar con el criterio de Routh, y que son difíciles de analizar por cualquier otro método, como por ejemplo con la técnica del lugar de las raíces de la ecuación característica. (Kuo, 1992) Problema de Estabilidad :
El criterio de Nyquist representa un método para determinar la
localización de las raíces de la ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s. A diferencia del método del lugar de las raíces, el criterio de Nyquist no da la localización exacta de dichas raíces.
