PRIMER PARCIAL DE FUNDAMENTOS DE CONTROL SISTEMA DE CONTROL DE PRESIÓN
JUAN MANUEL GARCÍA FRAGOZO Ingeniería de Control
CARLOS EDUARDO AGUIRRE EDEL Ingeniería de Petróleos
JUAN DAVID OCHOA Ingeniería Química
PRESENTADO A: LINA MARIA GOMEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE MINAS ESCUELA DE MECATRÓNICA NOVIEMBRE DE 2012
1. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO
El proceso se compone de un tanque contenedor de aire, donde los flujos de aire de entrada y salida presentan una presión, temperatura y densidad (
) y (
) respectivamente y cuya descarga se hace a presión atmosférica. Este tanque es de forma cilíndrica y posee una capacidad de 60 litros. El objetivo del proceso es el de observar la dinámica de la presión en la planta, la cual se constituye como una variable de estado. El flujo de aire de entrada y de salida presenta un comportamiento, debido a las válvulas que permiten su paso a través del tanque. Estas válvulas son de
⁄
tipo aguja normalmente abierta, con actuador neumático y vástago
deslizable, en donde una es usada como actuador para efectos de control y la otra con fines didácticos para realizar la perturbación al sistema [2]. El sistema de control contiene un indicador de presión con rango de medida de 0-30 psig, a través del cual el operador del proceso puede corroborar el estado del mismo [2]. Como el tanque opera en el rango de 3-15 psig, se emplea un transductor de presión a corriente (3-15 psig a 4-20 mA) para llevar la medición de la señal de salida al controlador (PLC), donde se realiza el cálculo de la acción de control, luego esta señal es enviada al proceso y como el elemento final de control es un actuador neumático, la señal es nuevamente convertida a presión por medio del transductor de corriente a presión (4-20 mA a 3-15 psig) [2]. Ver figura 1.
Figura1. Sistema de control de presión.
2. MODELO FENOMENOLÓGICO EL modelo fenomenológico del proceso se obtiene partiendo de un balance de masa aplicado al tanque, no se considera el balance de energía ya que los cambios de presión que se manejan en el tanque, no ocasionan grandes cambios de temperatura del aire [2]. Por lo tanto se hacen varias suposiciones dadas las condiciones físicas del proceso:
SUPOSICIONES
Temperatura constante,
Comportamiento del aire como gas ideal.
Balance de masa:
̇ ̇
Asumiendo el comportamiento de gas ideal:
Mediante un balance de energía mecánica (ecuación de Bernuolli), se encuentra una relación en términos del coeficiente de apertura de la válvula (Cv), una función del desplazamiento del vástago ( ), las presiones de entrada y de salida, además la densidad del fluido a la entrada de la válvula [1].
La función
depende del desplazamiento total del vástago, que a su vez es dependiente
de la presión aplicada al diafragma de la válvula [1].
Sabiendo que la fracción de desplazamiento total del vástago en la válvula considera el span propio del protocolo neumático (3 – 15 psi), se tiene que [1]:
Finalmente se obtiene el modelo completo, al reemplazar (8) en (5), (9) en (6) y (5) y (6) en (4).
⁄ ⁄
El coeficiente de dimensionamiento de la válvula relación:
donde
se obtiene a partir de la siguiente ,
y la caída de
presión a través de la válvula debe ser el 50% de la caída de presión en todo el sistema, ∆
.
Escogiendo un factor de sobre diseño igual a 2, se tiene que:
= 2*
[1].
TABLA DE PARÁMETROS
Símbolo
2.1
Valor 2.62 2.6 1.2051 298.15 6 29 0.2425 1.1 12.3740
Unidades
Descripción
g/L Densidad de flujo de entrada g/L Densidad de flujo de salida L*Psi/mol*K Constante universal de los gases K Temperatura de los flujos de aire L Volumen total del tanque g/mol Peso molecular del aire -1/2 [L/s] *[Psi ] Coeficiente de apertura de la válvula adimensional Coeficiente empírico Psi Presión atmosférica en Medellín Tabla 1. Parámetros del modelo.
LINEALIZACIÓN
El modelo fenomenológico que describe la dinámica de la presión en el tanque es un modelo altamente no lineal, puesto que presenta funciones exponenciales y funciones de potenciación que a su vez están en función de la variable de estado y las variables de entrada. Para llevar a cabo el diseño y sintonía del controlador para este proceso es necesario aproximar el modelo no lineal a un modelo lineal entorno a un punto de operación o también llamado estado estacionario. Ver tabla 2.
TABLA DE VARIABLES Y PUNTO DE OPERACIÓN
VARIABLES
PUNTO DE OPERACIÓN
UNIDADES
DESCRIPCIÓN
P
17.9837 3 22.6960 4
Psi - absoluta Psi- manométrica Psi - absoluta Psi- manométrica
Presión en el tanque Presión en la válvula de control Presión en flujo de entrada Presión en la válvula de perturbación
Tabla 2. Punto de operación.
Para llevar a cabo la linealización se identifica la variable de estado y las variables de entrada en el proceso.
Variable de estado: “P” siendo esta la salida del proceso “ y(t) = P(t)” Variables de entrada: , y
Este grupo de variables de entrada se encuentra la acción de control y las perturbaciones. o o o
Acción de control: Perturbación de entrada: Perturbación de salida:
Definiendo así: La variable de estado
y el vector de entradas
La linealización se desarrolla por expansión en series de Taylor alrededor del punto de operación o de estado estacionario del modelo no lineal.
( ) [ ] Obteniendo así, el modelo linealizado en variables de desviación:
Donde,
Es necesario realizar una comparación entre el modelo linealizado y el modelo no lineal para validar que tan aproximado es el modelo linealizado alrededor del punto operación establecido. COMPARACION DE LOS MODELOS LINEALIZADO Y NO LINEAL 18.7 18.6 18.5 18.4
Modelo no lineal Modelo linealizado
a t s 18.3 e u p s e 18.2 R
18.1 18 17.9 17.8
0
50
100
150 200 250 Tiempo [segundos]
300
350
400
Figura 2. Comparación de los modelos.
En la figura 2, se ve como el modelo linealizado se aproxima al modelo no lineal, siendo aceptable su cercanía en el comportamiento dinámico. Se realizaron variaciones en los
valores del nominales de operación de las entradas del proceso en el orden del 10% para la
y
y del 5% para
.
Las funciones de transferencia obtenidas luego de aplicar transformada de Laplace y el principio de superposición son las siguientes:
Es importante resaltar la relación que existe entre las variables se ha considerado a Considerando a
aun cuando
como una variable de perturbación en la entrada del proceso. como la acción de control, es decir la variable que podemos
manipular se establece cierta relación directa con la presión que lleva el flujo de entrada . Si al enviar una acción de control
entrada se infiere que
cambiamos directamente la presión de
es una variable manipulable a lazo abierto y manipulada a lazo
cerrado. De manera que, basados en el modelo analítico la función de transferencia a analizar sería la de la ecuación (16), puesto que, se tiene analíticamente la facilidad de controlar la variable manipulable real del proceso.
2.2 ANALISIS A LAZO ABIERTO – MODELO FENOMENOLÓGICO La forma canónica de la función de transferencia que representa la planta es:
Con τ = 9.6922 seg de
= 48.4610 seg.
y
K=
⁄
Teniendo un tiempo de establecimiento
La planta es estable dado que presenta un polo con parte real negativa, { Re} < 0,
S = -0.1032.
RESULTADOS DE SIMULACIÓN Step Response 0 -0.05 -0.1 -0.15 e -0.2 d u t i l p m -0.25 A
-0.3 -0.35 -0.4 -0.45
0
10
20
30
40
50
60
Time ( seconds)
Figura 3. Respuesta al escalón de la planta.
En la figura 3, se aprecia la respuesta al escalón de la función de transferencia que representa a la planta, relacionando la salida
con la entrada manipulable
. Esta
relación es inversa, dado que, ante un aumento o decremento en la presión de control la presión en el tanque disminuye o aumenta respectivamente. La sensibilidad expresada para esta relación de variables es de sistema de primer orden.
. Esta planta presenta la dinámica de un
Step Response 0.7
0.6
0.5
e 0.4 d u t i l p m A 0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
Time (s econds)
Figura 4. Respuesta al escalón de la planta para la
60
.
En la figura 4, se relaciona la salida con la variable de perturbación
mediante la
respuesta a un escalón. Su respuesta además de ser la de un sistema de primer orden también demuestra la relación directa existente entre estas variables del proceso, donde
un cambio en la presión del flujo de entrada provoca un cambio en el mismo sentido a la
presión en el interior del tanque, es decir, un aumento en la la presión de salida entrada.
, en el orden de
resulta en un aumento en
por unidad de cambio en la magnitud de
Step Response 0.45 0.4 0.35 0.3 e 0.25 d u t i l p m 0.2 A
0.15 0.1 0.05 0
0
10
20
30
40
50
Time (seconds)
Figura 5. Respuesta al escalón de la planta para En la figura 5, se observa la relación de la salida
60
.
con la variable de perturbación
.
Esta representa los cambios en la presión del flujo de salida de la planta y su influencia en la presión en el interior del tanque, siendo esta la salida del proceso. Esta presenta una relación directa siendo evidente que ante un cambio ya sea en aumento o en decremento de la presión del flujo de salida, la presión en el interior del tanque se comporta de igual
manera alterando así las condiciones nominales en el proceso. Esta relación presenta la
misma sensibilidad que la demostrada por la salida magnitud
con la variable
con la
por el hecho de que ambas son la fuente de energía para las válvulas
que son usadas para efectos de control y para la perturbación de salida.
3. IDENTIFICACIÓN EXPERIMENTAL DE LA PLANTA Para aproximar un modelo experimental que explique el comportamiento de la planta, se lleva a cabo un proceso de identificación a través del método de curva de reacción. Este método exige fijar primero un punto de operación sobre el cual se hará la prueba al escalón con la entrada manipulable del proceso. Para efectos de comparar el modelo fenomenológico y el modelo experimental se establece el mismo punto de operación para ambos, esto es:
[ ]
Este punto de operación resulta del modelo fenomenológico, donde al fijar una presión en el flujo de entrada del tanque
, en el flujo de salida
.
y la de control
se obtiene la
Ahora bien, para el modelo experimental se fijan las mismas presiones, teniendo en cuenta que la de control
esta implícita en la de entrada
. Es claro que para el
lazo abierto no hay acceso directo a la presión de control, pero de cierta manera entre esta presión y la presión de entrada existe una relación, puesto que, por medio de una se manipula la otra. Para este trabajo se definió que la válvula de control iniciaría totalmente abierta, permitiendo adaptar el modelo fenomenológico a las condiciones del experimento a lazo abierto. El punto de operación para el modelo experimental resultante de la prueba a lazo abierto es:
La diferencia entre estos dos puntos de operación (19) y (20) radica en varias razones: 1. Dado que el modelo fenomenológico es una aproximación al comportamiento real del proceso existe una incertidumbre paramétrica. 2. Los valores tomados del experimento a lazo abierto presentan una incertidumbre ligada a la medición del transductor presión/corriente el cual se encuentra des calibrado. 3. Los valores de presión del flujo de entrada y de presión del flujo de salida presentaban variaciones, puesto que, el compresor que alimenta a la planta es compartido entre varios laboratorios incluido el de operaciones unitarias. Esta
razón justifica la poca estabilidad en los valores del punto de operación y la poca precisión de los escalones realizados para observar el comportamiento de la planta. Con el punto de operación obtenido (20), se obtuvo la siguiente respuesta al escalón:
Salida en lazo abierto - Curva de reaccion 0.7
0.6
0.5 ] i s P [ n o i s e r
P
a t l e d
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15 20 25 Tiempo [ segundos]
30
35
40
Figura 6. Respuesta al escalón de la planta-experimental. Obteniendo la función de transferencia en su forma canónica:
Esta función relaciona la salida
con la entrada manipulable
. Anteriormente se
había dicho que no era posible obtener esta relación en la prueba experimental a lazo abierto, pero en vista de que las válvulas neumáticas que son empleadas para efectos de
control y de perturbación de salida son las mismas, se tiene que, la variable de entrada de perturbación
y la variable de entrada
presentan la misma sensibilidad y por
tanto la misma función de transferencia, con la diferencia de que una presenta ganancia positiva y la otra negativa. No se obtuvo la función de transferencia que relaciona salida
con la entrada
porque
dadas las condiciones inestables de la fuente de aire (compresor) no se logró un respuesta aceptable en las pruebas realizadas.
55
] n a p s l e d e j a t n e c r o p [ e u q n a t l e d n o i s e r P
50
delta U= -3 delta U= 2
45
40
35
30
25
20
0
5
10
15 20 25 Tiempo [segundos]
30
35
40
Figura 7. Respuesta al escalón de la planta- experimental Pe En la figura 7, se aprecia como la ganancia varia para cambios en la misma entrada K1 = 8.5 (para la curva azul) y K2 = 5.3 (para la curva roja). Además se observa como varia el tiempo de establecimiento para ambos casos y por consiguiente la constante de tiempo ‘’τ’’.
Finalmente, la función de transferencia empleada para el diseño del controlador es la vista
⁄
en la ecuación (21), la cual presenta las siguientes características: Una constante de tiempo
τ
= 11.4 seg
y
K=
Teniendo un tiempo de
= 57 seg. La planta es estable dado que presenta un polo con parte real negativa, {Re} < 0, S = - 0.0877. establecimiento de
Salida en lazo abierto - Curva de reaccion 0 Salida experimental salida fenomenologica
-0.1
-0.2 ] i s P [ n o i s e r
P
a t l e d
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
0
10
20
30
40
50
60
Tiempo [s egundos] (sec onds)
Figura 8. Comparación de las respuestas de ambos modelos
4. DISEÑO DEL CONTROLADOR POR UBICACIÓN DE POLOS El diseño del controlador PI se basó en la asignación de polos. Este método se basa en conseguir un comportamiento deseado del proceso según las especificaciones en tiempo de establecimiento y sobre nivel porcentual. Para este proceso se decidió tener un tiempo de establecimiento de 30 segundos y un sobre nivel porcentual menor al 1%. En vista de que hay dos modelos uno experimental y uno fenomenológico, con constante de tiempo y ganancias distintas, es necesario sintonizar un controlador PI para cada modelo y analizar sus desempeños.
Función de transferencia del controlador PI:
Donde
con
Con
: constante proporcional
: tiempo integral
La ecuación característica de lazo cerrado del sistema se denomina ecuación diophantine. Esta ecuación contiene la dinámica impuesta en la planta a través del controlador en lazo cerrado.
√ Donde:
: Denominador de la función de transferencia del controlador PI. : Numerador de la función de transferencia del controlador PI.
: Denominador de la función de transferencia de la planta. : Numerador de la función de transferencia de la planta.
Y la ecuación que representa el polinomio que contiene la dinámica deseada es
El cual se obtiene con las especificaciones mencionadas anteriormente: y
:
Obteniendo
(frecuencia de amortiguamiento)
y
(frecuencia natural del sistema) estos parámetros son representativos en los sistemas de segundo orden para caracterizar su dinámica, la cual será impuesta en la planta por medio del lazo de control.
Estableciendo la igualdad entre
y
resulta la siguiente
ecuación que se plantea para el diseño del controlador para los modelos fenomenológico y experimental.
Resolviendo la ecuación (27), para cada caso obtenemos los siguientes parámetros del controlador PI:
TABLA DE PARÁMETROS DE SINTONÍA CONTROLADOR PI MODELO FENOMENOLÓGICO
= -3.7124 = 6.2757
MODELO EXPERIMENTAL
= -3.4000 = 6.8691
Tabla 3. Parámetros de sintonía del controlador PI. Funciones de transferencia de los controladores:
RESULTADOS DE SIMULACIÓN En las siguientes figuras se observa la respuesta del sistema para cada modelo y el desempeño de cada controlador diseñado, tanto para seguir referencias como para rechazar perturbaciones.
SISTEMA EN LAZO CERRADO- MODELO EN SIMULINK
Figura 9. Sistema a lazo cerrado – modelo fenomenológico.
Salida del sistema controlada - modelo fenomenologico 18 salida referencia 17.8
a d 17.6 a l o r t n o c a 17.4 t s e u p s e R 17.2
17
16.8
0
50
100
150 200 Tiempo [segundos]
250
300
350
Figura 10. Respuesta del sistema ante cambios en la referencia y perturbaciones.
7.5 7 6.5
l o r t n o c e d n o i c c a
6 5.5 5 4.5 4 3.5 3
0
50
100
150 200 Tiempo [segundos]
250
300
350
Figura 11. Acción de control. En la figura 10, se detalla el modelo no lineal de la planta bajo un lazo de control con la finalidad de controlar la presión en el tanque. Además se puede observar que el controlador esta trabajando sobre el modelo no lineal, siendo más preciso en cuanto a los resultados en el desempeño que son vistos en l as figuras 12 y 13. En la figura 10, se observa el comportamiento del sistema de control cuando se hace un cambio de referencia en 1 psi con un tiempo de establecimiento menor al provisto, dado que, el establecimiento se da cuando ya se obtenido una respuesta sobre un margen del 2% de su valor de estado estacionario. Para este caso se logra un tiempo de establecimiento inferior a 30 segundos que fue la especificación de diseño y un sobre nivel porcentual menor al 1%. Este controlador solo admite cambios de referencia inferiores al del punto de operación y en pasos no mayores a 2 psi. Además se observa como rechaza satisfactoriamente las perturbaciones de salida, en este caso fue de un 10% del valor nominal de la presión del flujo de salida. Es importante resaltar que la acción de control no satura el actuador que va de 3 a 15 psi en los cambios de referencia y rechazo a la perturbación, ver figura 10. En las figuras siguientes se observan las mismas respuestas y comportamientos analizados anteriormente, pero para el lazo de control con el modelo experimental y el controlador PI diseñado para este caso. Es necesario resaltar que este controlador solo esta viendo como planta un modelo ya linealizado, el cual puede no recoger todas las dinámicas
naturales del modelo no lineal. En términos generales el lazo de control presenta resultados similares al obtenido con el modelo fenomenológico.
SISTEMA EN LAZO CERRADO- MODELO EN SIMULINK
Figura 12. Sistema a lazo cerrado – modelo experimental.
Salida del sistema c ontrolada 21.2 salida referencia 21
a d 20.8 a l o r t n o c 20.6 a t s e u p s e R 20.4
20.2
20
0
50
100
150 200 Tiempo [segundos]
250
300
350
Figura 13. Respuesta del sistema ante cambios en la referencia y perturbaciones.
7 6.5 6 l o r t n o c e d n o i c c a
5.5 5 4.5 4 3.5 3
0
50
100
150 200 Tiempo [segundos]
250
300
350
Figura 14. Acción de control.
CONCLUSIONES
Los parámetros y el desempeño de los controladores PI diseñados, difieren muy poco a razón de las diferencias de los modelos encontrados por el camino fenomenológico y experimental.
Aunque los controladores tienen muy poco campo de acción para hacer cambios de referencia, esto es resuelto cambiando el punto de operación y consignando estos valores en las líneas de código realizada para este trabajo ( modelado_
sistema_de_presión.m) el cual arrojará las constantes Kp y Ti.
Existe muchas incertidumbres en ambos modelos, donde las paramétricas del modelo fenomenológico pueden ser resueltas por la realimentación, esto mismo no es solucionable para el experimental, puesto que, no hubo mucha fiabilidad en las curvas de reacción, tomadas del experimento a lazo abierto.
REFERENCIAS 1. Luisa Paulina Gutiérrez González. (s.f.). Modelo de la válvula de flujo . (inf. téc). Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín. 2. Natalia Velásquez Obando, Diego Alejandro Muñoz Durango. (2004). Manual de Operaciones para el control de los procesos existentes en el laboratorio de Operaciones unitarias . (PAE). Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín.