Créditos
Equipo Editorial GERENTE GENERAL ADJUNTO:
Ricardo Campodonico Gómez JEFE DE OPERACIONES
Mario Mendoza Gloria SUPERVISORA ED. ACADEMIA
Mercedes Nunura Sánchez DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA
Elena Trujillo Moreno COORDINACIÓN DE MATERIALES
Elizabeth Gerónimo Ayala PRE PRENSA DIGITAL
Linda Shirley Romero Corrales Erika Cuadros Grados Robert Rayco Quiroz
© Derechos Reservados Ediciones e Impresiones Paz S.A.C. Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen Edición 2014 www.pamer.edu.pe
ACADEMIAS
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Ricardo Campodonico Gómez JEFE DE OPERACIONES
Mario Mendoza Gloria SUPERVISORA ED. ACADEMIA
Mercedes Nunura Sánchez DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA
Elena Trujillo Moreno COORDINACIÓN DE MATERIALES
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ACADEMIAS
ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
ARITMÉTICA
Índice General Aritmética • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Razones y proporciones proporciones.................... 5 Magnitudes proporcionales ............... 6 Regla de tanto tanto por por ciento ................. 7 Regla de mezclas ................. ............................. ............ 8 Regla de de interés................... .............................. ........... 10 Regla de de descuento................. ......................... ........ 11 Teoría de conjuntos conjun tos......... .................. ................ ....... 12 Numeración ................... .................................... ................. 13 Cuatro operaciones ................. ......................... ........ 15 Divisibilidad, ecuaciones diofánticas . 16 Criterios de divisibilidad, restos potenciales ................... ...................................... .......................... ....... 17 Números primos ................... ............................. .......... 18 MCD - MCM ................................ ................................... ... 19 Números racionales (Q) .................. .................... 20 Números avales ................. .............................. ............. 21 Potenciación, radicación ................. ................... 22 Estadística ................... ...................................... ................... 23 Probabilidad, variable aleatoria ........ 25
Álgebra • • • • • • • •
Resolución de ecuaciones ................ 26 Ecuaciones de segundo grado grado .......... 27 Números reales y desigualdades ...... 28 Inecuaciones ................. .................................. ................. 29 Funciones I ................... .................................... ................. 30 Funciones II .................. ................................... ................. 31 Funciones III ................. .................................. ................. 32 Función exponencial - Logarítmica -
• • • • • • • • • •
Logaritmos ................... ..................................... .................. 33 Límites ................... ...................................... ........................ ..... 34 Derivadas .................. ..................................... ..................... .. 35 Números complejos .................. ........................ ...... 36 Funciones polinomiales polinomiales................. .................... ... 37 Matrices ................. .................................... ........................ ..... 38 Determinantes ................. ................................ ............... 39 Sistemas de de ecuaciones................... 40 Sucesiones .................... ..................................... ................. 41 Series .................. ..................................... .......................... ....... 42
Geometría • • • • • • • • • • • • • • • •
Triángulos ................. .................................... ..................... .. 43 Congruencia de triángulos ............... 44 Cuadriláteros ................... .................................. ............... 45 Circunferencia I .................. .............................. ............ 46 Circunferencia II ................. ............................. ............ 48 Puntos notables ................... .............................. ........... 49 Proporcionalidad de segmentos - Semejanza de triángulos ................. ......................... ........ 51 Relaciones métricas I .................... ...................... .. 53 Relaciones métricas II ................... ..................... .. 54 Áreas de regiones regiones triangulares triangulares ......... 55 Áreas de regiones regiones cuadrangulares cuadrangulares .... 56 Áreas de regiones circulares ............ 57 Geometría del espacio I................. ................... .. 58 Geometría del espacio II ................. 59 Poliedros regulares.................. .......................... ........ 60
• Prisma - Cilindro ............................ ............................ 61 3 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ARITMÉTICA • Pirámide - Cono .............................. 63
Razonamiento Matemático
• Supercie esférica y esfera .............. 65
• Lógica de clases................................ 84
• Teorema de Pappus - Gulding .......... 66
• Orden de información - Lógica proposicional ............................................... 85
Trigonometría
• Sucesiones ....................................... 86
• Razones Trigonométricas de ángulos
• Test psicotécnico...............................87
agudos........................................... 67
• Planteo de ecuaciones....................... 88
• Resolución de triángulos rectángulos 68
• Operaciones matemáticas .................. 89
• Sistema de coordenadas rectangulares . 69
• Análisis combinatorio ........................ 90
• Razones trigonométricas de ángulos en
• Probabilidades .................................. 91
Posición normal .............................. 70
• Estadística ........................................ 92
• Reducción al primer cuadrante ......... 71 • Razones trigonométricas de números reales............................................. 72 • Identidades trigonométricas fundamentales ........................................ 73 • Identidades trigonométricas de arcos compuestos .................................... 74 • Identidades trigonométricas de ángulo
Física • Vectores ........................................... 93 • Cinemática I ..................................... 94 • Cinemática II.................................... 95 • Estática ............................................ 96 • Dinámica .......................................... 97 • Trabajo mecánico - Potencia .............98
doble ............................................. 75
• Energía mecánica............................ 99
• Transformaciones trigonométricas .... 76
• Cantidad de movimiento .................. 100
• Resolución de triángulos oblicuángulos 77
• Choques......................................... 102
• Funciones trigonométricas ............... 78
• Hidrostática .................................... 103
• Transformaciones Trigonométricas in-
• Calorimetría.................................... 104
versas ............................................ 80 • Ecuaciones e inecuaciones trigonomé-
• Termodinámica ............................... 105 • Electrostática I ............................... 106
tricas ............................................. 81
• Electrostática II .............................. 107
• Geometría analítica I ....................... 82
• Electrodinámica I ............................ 108
• Geometría analítica II...................... 83
• Electrodinámica II ........................... 109 4 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ARITMÉTICA • Electromagnetismo I ....................... 110
• Mezcla de gases y leyes de Gram. .... 117
• Electromagnetismo II ...................... 111
• Tipos de reacciones químicas .......... 118
Química • Teoría atómica actual - Números cuánticos - Conguración electrónica....... 112 • Tabla periódica moderna - Enlace químico .............................................. 114 • Enlace intermolecular - diagrama de
• Balance de ecuaciones .................... 119 • Estequiometría y masa equivalente .. 120 • Soluciones ...................................... 121 • Cinética química y equilibrio químico 122 • Ácido y base ................................... 123 • Electroquímica ................................ 124
fases.............................................. 115
• Química orgánica ............................ 126
• Estado gaseoso - 3 leyes / PV = nRT 116
• Compuesto cíclico ........................... 127
5 UNI 2014 – III
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9 UNI 2014 – III
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10 UNI 2014 – III
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ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS
Interés compuesto
Interés simple
M=C+I
M = C x (1 + r%)t
I = C x r% x t
r% y t en las mismas unidades con respecto al periodo de capitalización.
M = C x (1 + r% x t)
r% y t en las mismas unidades
Interés continuo
M = C x e r% x t
e: base de los logaritmos neperiamos r% y t en las mismas unidades
11 UNI 2014 – III
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ARITMÉTICA
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17 UNI 2014 – III
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18 UNI 2014 – III
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19 UNI 2014 – III
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21 UNI 2014 – III
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ESQUEMA FORMULARIO -
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ESQUEMA FORMULARIO -
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ESQUEMA FORMULARIO -
ARITMÉTICA
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ÁLGEBRA
27 UNI 2014 – III
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ÁLGEBRA
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ax2 + bx + c = O siendo: x12∧ x raíces
Discriminante
Propiedades de las Raíces
xx12
=
|x12 – x | =
∆ = b 2 – 4ac
b a
x12+ x = c a
Naturaleza de las raíces b 2 – 4ac ;a>0 a
> 0 ∆→
Raíces reales y diferentes
∆ = 0 → Raíces reales e iguales ∆ < 0 → Raíces imaginarias y
conjugadas Raíces simétricas: b = 0 Raíces recíprocas: a = c 2
ax1
+ b11x + c = 0
a2 x2 + b22x + c = 0
Raíces iguales
Raíz común (a12b – b12a ) (b12c – c12b ) = (a12c – a 21c )
2
a1 a2
=
b1 b2
=
c1 c2
28 UNI 2014 – III
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ÁLGEBRA
NÚMEROS REALES Y DESIGUALDADES Números reales
Axiomas de la multiplicación ∀∈a, b, c
Axiomas distributiva
Axiomas de la adición
R
∀∈a, b, c
R
∀∈a, b, c
R
M1. ab ∈ R
A1. a + b ∈ R
a(b + c) = ab + ac
M2. ab = ba
A2. a + b = b + a
(b + c)a = ba + ca
M3. a(bc) = (ab)c A4. a + 0 = 0
M4. a(1) = a ∀∈a R – {0} M5. a . a –1 = 1
A5. a + (–a) = 0
Desigualdades
Axioma de transitividad
Axioma de tricotomía ∀∈a, b, c
R; a < b ∨ a = b ∨ a > b
Teoremas relativos a desigualdades ∀∈a, b, c
∀∈a, b, c
a < b ∧→ c>0
a
Teoremas de desigualdades entre medias
R MP ≥≥MA
a
0
R; a < b ∧→ b
ac > bc a b > c c
Si a y b tienen el mismo signo: a 1 a b
Dado: a ∧∈b k
MG ≥ MH
R +
akk + b ≥≥a + b 2
2
ab ≥
2 1
a
+
1
b
29 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ARITMÉTICA
INECUACIONES Inecuaciones polinomiales
P(x) = a0xn + ax 1
n–1
Inecuaciones fraccionarias
P(x) > < 0; Q(x) ≠ 0 Q(x)
+ ... + an > <0
Donde: a0 > 0 Aplicamos el método de los puntos de corte: • Factorizar • Encontrar los puntos de corte. • Ubica los puntos de corte en la recta numérica. • Denotar las zonas o regiones. • Sombreado
Luego:
P(x)Q(x)> <0
Aplicamos el método de los puntos de corte.
Inecuaciones con radicales
Inecuaciones con valor absoluto
2n 2n+1
≤x≤ a ↔≥a x ≥↔ a
0 ∧≤–a
x ≥∨a
x
P(x) > < Q(x)
a P(x) > < Q 2n + 1
x ≤ –a
(x)
2n Q(x) P(x) > <
P(x) ≥ 0 ... S1 Q(x) ≥ 0 ... S2 P(x) > < Q(x) ... S
3
C.S. = S12∩∩S
x > y ↔ (x + y)(x – y)> < <0 2n
S3
P(x) > < Q(x)
Teoremas: P(x) < Q(x) ↔≥P(x)
0 ∩∧Q(x) ≥ 0
P(x) ≥∧Q(x) ↔≥P(x)
0
{[Q(x) ≥∧0
P(x) < Q(2 x) P(x) ≥ Q2(x)]∪ Q(x) < 0 }
30 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
FUNCIONES I
a ∀∈
A →∃ !b ∈∈B/(a;b) f (a;b) ∈∈f ∧ (a; c) f → a = c
Dominio
Domf = {x ∈∃A/ y
∈∈ B∧
(x;y)
f }
Calculo del dominio Se halla ubicando los posibles valores que puede asumir la variable x
Rango
Ranf = {y ∈∃B/ x ∈∈A ∧ (x; y)
f}
Calculo del rango Se halla ubicando los posibles valores que puede asumir la variable y
31 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
Trazado de gráficas especiales
FUNCIONES II
Tenemos y = f(x)
Desplazamiento vertical
Desplazamiento horizontal
g(x) = f(x) + k
g(x) = f(x + k)
Si: k > 0 Arriba
Si: k > 0 Izquierda
Si: k < 0 Abajo
Reflexiones g(x) = –f(x) Reflexión sobre el eje x g(x) = f(x – ) Reflexión sobre el eje y
Si: k < 0 Derecha
Álgebra de funciones
Igualdad de funciones f = g ↔ I. Dom(f) = Dom(g) II. f(x) = g(x)
Operaciones (f ±±g)(x) = f(x)
g(x); x ∈∩Dom(f)
(f . g)(x) = f(x) g(x); x ∈∩Dom(f) f (x) = f (x) ; x ∈∩ Dom(f) g g(x)
Dom(g) Dom(g)
Dom(g) ∧ g
0
f(n x) = f(x) . f(x) . f(x) ... f(x); Dom(f)n = Dom(f) “n” veces 32 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
FUNCIONES III
Composición de funciones
(fog)(x) = f(g(x)) Dom(fog) = {x ∈∧Dom(g)
g(x) ∈ Dom(f)}
Función inyectivaF
x12≠⇒ x
f: A → B
unción suryectiva
f(x)12 ≠ f(x)
o también con x,12 x f(x)12 = (x)
Función
⇒
∈
Domf
Ran(f) = B
x12= x
Función inversa
Función biyectiva
f admite inversa si y solo si es inyectiva, la inversa de f se denota por f –1 = f *
Si y solo si es inyectiva y suryectiva a la vez.
33 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f(x) = ax; a >
0; a
≠1
LOGARÍTMICA
f = {(x; y)/x ∈∧R+ y = f(x) = Logax}
LOGARITMOS Identidad fundamental del logaritmo
Definición
y = Logxa ↔ ay = x
aLogxa = x LogN = LogN 10 LogN e = LnN
Log1a = 0 Logaa = 1 Teoremas
LogA A + LogB aa B = Loga LogA A – LogB a a = Loga B
LogA an
m
= m Loga A n Logbc Logba = Logac
34 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
LÍMITES
Teorema de unicidad del límite
LimL f(x) = im f(x) = L x → a+ x → a–
Simplificación de formas indeterminadas
Forma: F0
orma: ∞
0
∞
Si una expresión asume esta forma cuando x = a, el factor (x – a) se deberá cancelar del numerador y denominador.
Forma: ∞∞ –
Si una expresión asume esta forma se deberá dividir el numerador y denominador por la potencia de mayor exponente que representa dicha expresión.
y0.∞
Si una expresión asume alguna de estas formas, se deberá efectuar la operación indicada o realizar transformaciones convenientes con la finalidad de conseguir las formas antes estudiadas.
35 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
DERIVADAS
f'(x) = Lim h→0
Reglas para derivar funciones
Extremos de la derivada
Extremos relativos (máximo o mínimos) Dada la función: y = f{x}, se resuelve la ecuación: f'(x) = 0. Sea x0 la raíz de la ecuación anterior:
f(x + h) – f(x) h
•
y = k ⇒∈y' = 0; k
R
•
y = xnn⇒ y' = nx
•
y = f(x) + h(x) ⇒ y' = f'(x) + h'(x)
•
y = f(x) – h(x) ⇒ y' = f'(x) – h'(x)
–1
• Si f''(x 0) < 0; entonces f(x) es
• y = f(x) g(x) ⇒ y' = f'(x) g(x) + f(x)g'(x)
máximo en x = x.0 • Si f''(x)0 > 0; entonces f(x) es mínimo en x = x.0
• y=
f(x) f(x)' g(x) – f(x) g'(x) y⇒ ' = g(x) g(2 x)
• y = [f(x)]nny ⇒ ' = n [f(x)] –1 f'(x)
Hospitall - Bernoulli (Forma 0 ) 0
Lim f(x) Lim f'(x) == x → a g(x) x → a g'(x)
Lim f''(x) ... x → a g''(x)
Raíz de multiplicidad Si x0 es una raíz de P(x) cuya multiplicidad es k, se cumple: P(x)0 = 0 P'(x0) = 0 P''(x)0 = 0
Se deriva (k – 1) veces al polinomio y cada derivada se evalúa en x0 originando siempre cero.
P(k–1 x)0 = 0
36 UNI 2014 – III
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ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS Definición
Z = (x; y); x, y R ∈ Re(z) = x; parte real Im(z) = y; parte imaginaria Unidad imaginaria i = –1 Potencias de i 4
i =1 4+24
i
= -1
i
4+1
i
Forma Cartesiana o binómica
Forma polar o trigonométrica
Z = x + yi
Z = |z|(Cosθθ+ iSen )
Forma exponencial
Tipos de números complejos
Z = |z|= eiθ
* Real ⇒ Im(z) = 0 * Imaginario puro ⇒ Re(z) = 0 * Nulo ⇒ z = 0 + 0i
Operaciones
=i
+3
= -i Dado:
Dados Z = |z| Cisθα w = |w| Cis zw =|z||w| Cis (θα+ ) z = |z| Cis (θα– ) w |w|
z = |z| Cisθ n
n
z = |z| Cis 2kπ + θ n
k = 0, 1, 2, ......., n – 1
θ ) |z|nn = |z| Cis (n
Operaciones
Adición
Multiplicación
z1 + z= i() + x+ y2i) 21 (x+ y12
z12+ z=1 (x+1 y i() x+ y2i) 2
z12+ z=1 (x+2 x ) + (y12+ y) i
z12+ z=1 (xx 2 – yy ) + (x12y+2 x y)1 i 12 División 2
2
2
2
i
37 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
FUNCIONES POLINOMIALES
P(x) = anxn + an-1xn-1 +..... + a1x + a0 Con: an ≠ 0 Donde: x1, x2, x3 ....., xn son raíces Paridad de raíces
Regla de signos de Descartes
• Si un polinomio P(x) con coeficientes
• El número de raíces posi-
reales tiene como raíz el número imaginario Z, entonces Z también es raíz de P(x). • Si un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raíz a + b, donde b es irracional, a y b son racionales, entonces a – b también es raíz de P(x).
Teorema de Cardano - Viette a x1 + x2 + x3 ..... + xn = – n–1 an
x1x2 + ..... + xn–1 xn =
an–2 an
tivas de un polinomio entero de coeficientes reales es igual al número de variaciones de signos de los coeficientes de P(x) o menor en un número par. • El número de raíces negativas de un polinomio de coeficientes reales es igual al número de variaciones de signos de los coeficientes de P(–x) o menor en un número par. • El
x1x2 ..... xn = (–1)n a0 an
número de raíces imaginarias es igual al grado del polinomio menos el número de raíces positivas y negativas.
Teorema de Bolzano
Si P(x) es continua en el intervalo [a; b], tal que P(a), P(b)< 0, entonces existe un número real C (o una cantidad impar de estos números) en el intervalo .
38 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
39 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
Es una función que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar.
DETERMINANTE
Teoremas
2. A = At
3. Un determinante en el que los elementos de dos columnas (o filas) son proporcionales es igual a cero.
4. Cuando se permutan dos
5. Un determinante en el cual
columnas (o filas) el determinante cambia de signo.
todos los elementos de una fila o columna son ceros, es igual a cero.
6. Si se multiplican todos los
7. El determinante no varía si a
1. AB = A B
elementos de una fila (o columna) del determinante por un escalar, el mismo determinante queda multiplicado por dicho escalar.
todos los elementos de una fila de sus filas (o columnas) se le añade el múltiplo de otra fila (o columna).
8. El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. Matriz de orden uno
A = (a11) ⇒ a = a11
Matriz de orden tres
(egla de Sarrus)
Matriz de orden dos
A = a11 a12 ⇒ A = a11 a22 – a12 a21 a21 a22
40 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
SISTEMAS DE ECUACIONES Forma general
.. .
.. .
.. .
am+11+ x+ am2 x2m+ a
.. .
.. .
x + ... + amn xnn= b
33
C.S. = {(x12; x ; x3n; ... ; x )}
Si: b,12 b , b,3n ... , b = 0. El sistema recibe e l nombre de sistema lineal homogéneo si admite soluciones a parte de la trivial, el determinante del sistema deberá ser nulo.
Resolución • M étodo de sustitución • M étodo de reducción • M étodo de igualación • M étodo matricial • M étodo de Cramer
Análisis de las soluciones del sistema
I. El sistema tiene solución única si y solo si ∆s
0
41 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
SUCESIONES Definición Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos y su rango cualquier subconjunto de los números reales. Convergencia
Si la sucesión {a}n tiene límite, se d ice que es c onvergente y converge a dicho límite.
Divergencia
Si: Lim an = +∞ n→∞ Lim an = –∞ n→∞ Lim an = – n→∞
Criterios de convergencia
E
Diremos que la sucesión es divergente. De la razón: Son {xn} una sucesión real: Lim
xn+1 < 1 ⇒ Lim {x}n = 0 xn n→∞
La sucesión converge a cero.
Del encaje: Sean las sucesiones {ann}, {b} y {c} n , tales que: ann≥≥b cn Para todo n ≤ N y además: Lim a = Lim c = L, además: Lim b = L n nn n→∞ n→∞ n→∞
Sea la sucesión convergente {ann}, ≥1 si: Lim {an} = a → Lim a12+ a + ... + an =a n→∞ n→∞ n Sea la sucesión convergente {ann}, ≥1 si: Lim {an} = a → Lim n a1 . a23.. a n→∞ n→∞
..
an
=a
42 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
ÁLGEBRA
SERIES Definición Sea {}an
una sucesión de números reales, entonces a la expresión: a12+ a + ... + an ... se le denomina serie infinita de números reales. n ≥ 1;
Propiedad telescópica
Criterios
∞
Σ[f(i) – f(i – 1)] = f(n) – f(0) i=1
Comparación directa ∞
Series especiales
Si la serie infinita Σ b
n,
es una
serie de términos positivos y es
Serie armónica ∞
convergente y además: ∞
1 1 1 Σ n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... n=1 1
ab n ≤ n , ∀n >N
i=1
es convergente
Serie - p ∞
1
Σ np =
n=1
Criterio de la razón
1 1 1 + + + ... 1p 2p 3p
∞
Sea Σb,n una serie infinita con n=1
an ≥∀0,
Si p > 1 Converge
n (de términos posi-
tivos) y convengamos que: an + 1 = k < 1 converge. Lim a n
Si p ≤ 1 Diverge
Serie geométrica ∞
Σ arn – 12=a + ar + ar + ... n=1
n→∞
si | r | < 1 ∞
Σ arn – 1 =
si | r | ≥ 1 a 1–r
∞
Σ arn – 1 Diverge n=1
43 UNI 2014 – III
ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
GEOMETRÍA
44 UNI 2014 – III
ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
GEOMETRÍA
45 UNI 2014 – III
ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
GEOMETRÍA
46 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
47 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
48 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
49 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
50 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
51 UNI 2014 – III
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52 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
53 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
54 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
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GEOMETRÍA
56 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
58 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
60 UNI 2014 – III
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GEOMETRÍA
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GEOMETRÍA
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GEOMETRÍA
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GEOMETRÍA
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GEOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
69 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
71 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
72 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
73 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
75 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
77 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
78 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
TRIGONOMETRÍA
Función
Ecuación
Pares ordenados
trigonométrica
Y = rt(x)
(x; rt(x))
Seno
y = Senx
Coseno
Dominio
Rango
(x; Senx)
[-1; 1]
y = Cosx
(x; Cosx)
[-1; 1]
Tangente
y = Tanx
(x; Tanx)
Cotangente
y = Cotx
(x; Cotx)
Secante
y = Secx
(x; Secx)
Cosecante
y = Cscx
(x; Cscx)
−
{(2k
−
−
π
2
}
{kπ}
{(2k
−
+ 1)
+ 1)
{kπ}
π
2
}
− −1; 1
− −1; 1
79 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
80 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOMETRÍA
83 UNI 2014 – III
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TRIGONOMETRÍA
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ESQUEMA FORMULARIO -
RAZ. MATEMÁTICO
85 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
RAZ. MATEMÁTICO
86 UNI 2014 – III
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RAZ. MATEMÁTICO
87 UNI 2014 – III
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RAZ. MATEMÁTICO
88 UNI 2014 – III
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RAZ. MATEMÁTICO
89 UNI 2014 – III
ESQUEMA FORMULARIO -
RAZ. MATEMÁTICO
90 UNI 2014 – III
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RAZ. MATEMÁTICO
91 UNI 2014 – III
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RAZ. MATEMÁTICO
92 UNI 2014 – III
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RAZ. MATEMÁTICO
93 UNI 2014 – III
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FÍSICA
94 UNI 2014 – III
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FÍSICA
95 UNI 2014 – III
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FÍSICA
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FÍSICA
97 UNI 2014 – III
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FÍSICA
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ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
FÍSICA
99 UNI 2014 – III
ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
FÍSICA
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ESQUEMA FO FORM RMU ULARI RIO O -
FÍSICA
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FÍSICA
102 UNI 2014 – III
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104 UNI 2014 – III
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FÍSICA
111 UNI 2014 – III
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FÍSICA
112 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
113 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
Orden
C.E.
Abreviación
Continúa la capa (n)
1ro
1s2
[H e] 2
2
2do
1s22s262p
[N e] 10
3
3ro
1s2......... 2p6
[A r] 18
4
4to
1s2......... 4p6
r] [K 36
5
5to
1s2......... 5p6
e] [X 54
6
6to
1s2......... 6p6
[R n] 86
7
114 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
ENLACE QUÍMICO
Enlace covalente
Enlace iónico
Metal
No metal
IA - IIA
VIA-VIIA
EN ∆≥
1,7
Normal
Coordinado
Polar
0 < ∆EN < 1,7 (átomos diferentes)
Apolar
∆ EN
=0
(átomos iguales)
115 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
116 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
117 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
118 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
TIPO DE REACCIONES QUÍMICAS Clasificación
Ecuación química
a, b coeficientes de los reactantes c, d coeficientes de los productos
Una molécula de metano
CH4 1C 4H
Dos moléculas de oxígeno
Una molécula de dióxido de carbono
Dos moléculas de agua
2O2
CO2
2H2O
(4 O)
1C 2O
2O 4H
++
119 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
BALANCE DE ECUACIONES
Por tanteo
Se balancea al ojo
Por el número de oxidación
Por el ión electrón
Se usa el número de oxidación de cada elemento.
Se usan cargas iónicas y electrones.
120 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
121 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
SOLUCIONES Por el tipo de solvetación
Por la cantidad de soluto
DiluidaC Saturada
oncentrada
Iónico
Sobresaturada
Molecular
Unidades de concentración
Físicas
% masa
% volumen
ppm
fracción molar
Químicas
Molaridadn
ormalidad
molalidad
122 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
CINÉTICA QUÍMICA Y EQUILIBRIO QUÍMICO
La velocidad de reacción
Factores que influyen en la velocidad de reacción
Naturaleza de los reactantes
Concentración de los reactantes
Grado de división de los reactantes
Temperatura
Catalizador
123 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
ÁCIDO Y BASE Definición ácido - base
Definición
Base
Ácido
Arrhenius (medio acuoso) BrönstedLowry
Lewis
- Libera iones H+.
- Libera iones OH –.
- Incrementa [H+].
– - Incrementa [OH]
- Dona protón H+. - Par conjugado ácido-base
- Acepta protón H+. - Par conjugado
- Acepta uno o más pares de electrones.
- Aporta un par de electrones (nucleofílico).
.
base-ácido
Escala de pH pH = – log [H+] pH + pOH = 14
MUESTRA pH
pH
–
pOH = – log [OH] (25º C, 1 ATM)
MUESTRA pH
pH
HC 1 M
0,0
Sangre
7,4
Jugo gástrico
1,0
Levadura
8,4
Jugo de limón
2,3
Disolución de bórax
9,2
Vinagre
2,9
Pasta de dientes
9,9
Vino
3,5
Leche de magnesia
Café
5,0
Orina
6,0
Agua pura7
Amoniaco NaOH 1,0 M
10,5 11,9 14,0
,0 124 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
ELECTROQUÍMICA Celda electrolítica • Transforma la energía eléctrica continua externa en energía química. • Sus reacciones de redox son no espontáneas. • Los e– circulan del ánodo (+) hacia el cátodo (–). • La sustancia que reacciona en el cátodo gana e–, es decir, se
reduce; es agente oxidante. • La sustancia que reacciona en el ánodo pierde e–, es decir, se oxida;
es agente reductor. • 1F = 1Eq(sust) = 96 500 C = 1 mol e– • W (sust) =
P – Eq . q 96 500 W
• #Eq(sust) =
= N . V() = l
P – Eq
=n.θ
q 96 500
125 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
126 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
QUÍMICA ORGÁNICA Carbono
Puro
Natural
Artificial Nanotubo Fullereno Grafeno
Grafito Diamante
Impuro
Natural • Antracita • Hulla • Lignito • Turba
Articial • Carbón de madera • Carbón animal • Carbón activado
• Hollín • Coque • Carbón de retorta
127 UNI 2014 – III
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QUÍMICA
128 UNI 2014 – III