CPGE Lissane Eddine - Laayoune
Essaidi Ali
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Espaces monogènes, endomorphismes cycliques Définitions et notations Dans tout le problème, K = R ou C, E un un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ et u ∈ L (E ). P (u)(x )(x)/P ∈ K[X ]} et on dit que u est cyclique si ∃x ∈ E tel Pour tout x ∈ E on on note E u (x) = {P ( tel que E u (x) = E .
Première partie Espaces monogènes 1: Soit x ∈ E . Montrer que E u (x) est le plus petit sous-espace de E qui contient x et stable par u . E u (x) s’appelle le sousespace u-monogène engendré par x. /P (u)(x )(x) = 0}. 2: Soit x ∈ E \ \ { 0} et I x = { P ∈ K[X ]/P ( 2 - 1: Montrer que ∃µx ∈ K[X ] unitaire tel que I x = µ x K[X ]. 2 - 2: Donner une condition nécessaire et suffisante sur x pour que deg µx = 1. 2 - 3: Montrer que µx |πu et déduire que l’ensemble { µx /x ∈ E \ \ { 0}} est fini. 2 - 4: Montrer que ∃e ∈ E \ = ker µe (u). \ { 0} tel que E = 2 - 5: En déduire que µ e = π u . 3: Soient x, y ∈ E \ x + y y = 0 et µx+y = µ x µy . \ { 0} tels que µx ∧ µy = 1. Montrer que x + α α 4: Soit π u = P 1 · · · P r la décomposition de π u en facteurs unitaires et irréductibles. α (QP iα −1 )(u )(u)(x )(xi ) = 0. 4 - 1: Soit i ∈ {1, . . . , r} et Q ∈ K[X ] tel que π u = QP i . Montrer Montrer que ∃xi ∈ E tel tel que (QP α 4 - 2: Soit y i = Q( Q (u)(x )(xi ). Montrer que yi = 0 et µy = P i . 4 - 3: Retrouver le résultat de la question 2-5. 5: Soit x ∈ E \{ 0}, ux l’endomorphism l’endomorphismee de E u (x) induit induit par u et k = deg µx . On pose pose µx = X = X k − ak−1 X k−1 − · · · −a1 X − a0 . k− 5 - 1: Montrer que B x = (x, u(x), . . . , u 1 (x)) est une base de E u (x). En déduire la dimension de E u (x). 5 - 2: Déterminer la matrice de ux dans la base B x . 5 - 3: Montrer que le polynôme minimale de ux est µx . 1
r
i
i
i
i
Deuxième partie Endomorphismes cycliques On suppose, dans cette partie, que u est cyclique. p(u), dim E λ (u) = 1 . Montrer que ∀λ ∈ S p( n 2: Montrer que u est cyclique si, et seulement si deg πu = n ⇐⇒ χu = (−1) πu . n−1 ) est libre. 3: Montrer que u est cyclique si, et seulement si la famille (idE , u , . . . , u 1:
Troisième partie Endomorphismes cycliques diagonalisables, endomorphismes cycliques nilpotents Montrer que si u est diagonalisable alors u est cyclique si, et seulement si, u admet n valeurs propres deux à deux distinctes. On suppose que u admet n valeurs propres deux à deux distinctes. Trouver un vecteur e ∈ E tel que E (e) = E . 3: On suppose que u est nilpotent. Montrer que u est cyclique si, et seulement si, l’indice de nilpotence de u est n. 4: On suppose que u est nilpotent d’indice de nilpotence n. Trouver un vecteur e ∈ E tel tel que E (e) = E . 1: 2:
Quatrième partie Commutant d’un endomorphisme cyclique /uv = v vu u}. On suppose, dans cette partie, que u est cyclique. Soit e ∈ E \ \ { 0} tel que E = E (e) et C (u) = { v ∈ L (E )/uv = Montrer que ∀x ∈ E, E , ∃P ∈ K[X ] tel que x = x = P P ((u)(e )(e). v (e) = P ( P (u)(e )(e). Montrer que v = v = P P ((u). En déduire que C (u) = K[u]. 2: Soit v ∈ C (u) et P ∈ K[X ] tels que v( ]) définies par ∀P ∈ Kn [X ], f ( f (P ) P ) = P et g( g (P ) P ) = P ( P (X + + 1). 3: Application : Soit f, g ∈ L (Kn [X ]) +1) = a = a 0 P + Montrer Montrer que f est est cyclique, cyclique, g ∈ C (f ) déduir iree que que ∃a0 , . . . , an ∈ K, ∀P ∈ Kn [X ], P ( f ) et en dédu P (X +1) P +a1 P +· · ·+an P (n) . 4: On admet que ∀v ∈ L (E ), dim C (v ) ≥ n . Montrer que ∀v ∈ L (E ), v est cyclique ⇐⇒ C (v ) = K[v ]. 1:
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Fin du problème
