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Lissane Eddine
Essaidi Ali
TD 05 Espaces préhilbertiens réels E un un espace préhilbertien réel. un espace préhilbertien réel. Montrer que (x, y ) E 2 ; (x, y ) libre est un ouvert de E 2 . Exercice 1 : E un
{
Exercice 2 :
∈
}
Caractérisation des normes euclidiennes par l’identité du parallèlogramme : Soit E un un R-espace vectoriel normé dont la norme vérifie l’identité du parallèlogramme. On considère, sur E E , l’application ϕ définie par ϕ( ϕ(x, y) = 14 x + y 2 x y 2 . ϕ (2x, x, z ). En déduire que ϕ(x, z ) + ϕ(y, z ) = ϕ( ϕ (x + y, z ). 1 : Montrer Montrer que x,y,z E , ϕ(x + y, z ) + ϕ(x y, z ) = 2ϕ(x, z ) = ϕ(2 2 : Montrer que r Q, x, y E, E , ϕ(rx,y) rx,y ) = rϕ( rϕ (x, y). 3 : En déduire que ϕ est bilinéaire. 4 : Montrer que ϕ est un produit scalaire.
× × ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
−
− −
1
Exercice 3 :
>= Polynômes de Tchebychev : Soit R[X ] muni du produit scalaire < P,Q >=
cos(nθ)). 1 : Montrer que n N, !T n R[X ], θ R, T n (cos θ ) = cos(nθ 2 : Montrer que n N, T n+2 = 2X T n+1 T n . 3 : Calculer deg T n , le coefficient dominant de T n et T n .
∀ ∈ ∃ ∈ ∀ ∈
4 : Montre Montrerr que n
∀ ∈
Schmidt.
N
,
∀ ∈ −
T 0 T 0
T T
, . . . , n n
Exercice 4 : Orthonormaliser, dans
P ( P (x)Q(x) dx. −1 1 x2
√ −
est l’orthonormalisé de la base canonique de Rn [X ] par le procédé de Gram-
R3 muni du produit scalaire usuel, la famille ((1, ((1, 1, 0), 0), (0, (0, 1, 1), 1), (1, (1, 0, 1)).
Exercice 5 :
1
>= 1 : Trouver Trouver une BON BON de R2 [X ] muni du produit scalaire < P,Q >=
d(1, H ) où H = P E, E , P (0) P (0) = 0 . 2 : Déterminer d(1, 1
3 : Déterminer : inf a,b
∈R −1
{ ∈ ∈ (x2 − ax − b)2 dx. +
∞ −
x
}
1
: inf a,b
∈R
e
(x
2
− |x|)2dx. −1 0 E , p( p(x) ≤ x. Exercice 7 : Montrer qu’un projecteur p d’un espace préhilbertien réel est orthogonal ssi ∀x ∈ E, Exercice 6 : Déterminer
2
P ( P (x)Q(x)dx )dx.
−1
− ax − b) dx et a,b,c inf ∈
R
(ax2 + bx + c
Exercice 8 : Soit E un un
espace préhilbertien réel de dimension infinie. ( en )n∈N . 1 : Montrer que E admet admet une famille orthonormale dénombrable (e (en )n∈N admet une suite extraite (e ( eϕ(n) )n∈N convergente. Posons lim eϕ(n) = e . 2 : On suppose que (e Calculer e , < eϕ(n) , eϕ(n+1) > pour tout n N et en déduire que la boule unité fermée n’est pas compacte. un espace préhilbertien réel et (e ( en )n∈N une famille orthonormale de E . Exercice 9 : Soit E un 1 : Montrer que x E,< en , x > 0 .
∈
∀ ∈ →+∞ < en, x >2 alors (e (en)n∈ E , x2 = 2 : Montrer que si ∀x ∈ E,
N
est une base hilbertienne de E .
n=0
+
3 : On suppose que (e (en )n∈N est une base hilbertienne de E . Montrer que un Exercice 10 : Soit E un
∞ ∀x, y ∈ E,< x,y >= >= < e , x >< >< e , y > n
n
.
n=0
espace préhilbertien réel et A E . 1 : Montrer que si A est dense dans E alors alors A⊥ = 0 . ¯⊥ . 2 : Montrer que A⊥ est fermé et A⊥ = A Exercice 11 : Soit E est est un espace préhilbertien réel, F un sous-espace vectoriel de E et et x E . F ) = x y . 1 : On suppose que y F, d(x, F ) 1 - a : Soit z F et on pose t R, zt = y = y + tz. En développant x zt 2 , montrer que t R, z 1 - b : En déduire que x y F ⊥ et y est unique. (yn ) F N tel que d( d(x, yn ) d( d (x, F ) F ). 2 : On suppose que F est complet et soit (y
∈
∃ ∈ ∀ ∈ − ∈
⊂ { }
∈ ∀ ∈ 2t2 − 2 < x − y,z > t ≥ 0.
−
− ∈ → 2 2 2 - a : Montrer que ∀n, m ∈ N, yn − ym = 2 x − yn + x − ym 2 − 4 x − y +2y ⊥ F ) = x − y , F ⊕ F ⊥ = E = E et F ⊥⊥ = F = F . 2 - b : En déduire que ∃!y ∈ F, d(x, F ) n
m
2
.
est complet. 3 : On suppose que E est ¯. 3 - a : Montrer que F ⊥⊥ = F 3 - b : En déduire que F est dense dans E si, si, et seulement si, F ⊥ = 0 . Exercice 12 : Soit E un un espace euclidien de dimension n N. Un endomorphisme u de E est est dit anti-symétrique si u∗ =
1 : Soit u 2 : Soit u 3 : Soit u
∈
{ }
⊥
∈ L (E ) anti-symétrique. Montrer que E = = Imu Imu ⊕ ker u et que le rang de u est pair. u(x), x >= 0. ∈ L (E ). Montrer que u est anti-symétrique∗ si et seulement si, ∀x ∈ E,< u( = λu alors a est soit symétrique, soit anti-symétrique. ∈ L (E ). Montrer que si ∃λ ∈ R tel que u = λu
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−u.
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+
Exercice 13 : Soient n
>= ∈ N et Rn[X ] muni du produit scalaire < P,Q >=
∞ − e
2
x
P ( P (x)Q(x)dx )dx.
2
−∞
f (P ) P ) = P . Déterminer l’adjoint de l’endomorphisme f ( Exercice 14 : Sous-espaces stables : Soient E un un espace euclidien et u L (E ). 1 : Soit F un sous-espace vectoriel de E . Montrer que F est stable par u si, et seulment si, F ⊥ est stable par u ∗ .
∈
∈ L (R3) canoniquement associé à la matrice Exercice 15 : Adjoints d’un projecteur et d’une symétrie : Soient E un un espace euclidien et u ∈ L (E ). ∗ ⊥ ∗ ⊥ 2 : Déterminer les sous-espaces stables par l’endomorphisme u
1 1 0
−1 0 1
1 0 . 0
(Imu) et Imu Imu = (ker u) . 1 : Montrer que ker u = (Imu 2 : Déterminer les adjoints d’un projecteur et d’une symétrie non forcément orthogonaux. Exercice 16 : Soient E un un espace euclidien et u L (E ). 1 : Montrer que u = u = 0 uu∗ = 0. Im u∗ u = (ker u)⊥ et rg(u rg( u∗ u) = rg(uu rg(uu∗ ) = rgu rgu. 2 : Montrer que ker u∗ u = ker u, Imu ∗ ∗ 2 ker(u + u) = ker u ker u. 3 : On suppose que u = 0. Montrer que ker(u Exercice 17 : Endomorphismes normaux : Soit E un espace euclidien non nul. Un endomorphisme u de E est dit normal si uu∗ = u = u ∗ u. (u∗ u)(x )(x) = 0. En déduire qu’un endomorphisme nilpotent est normal 1 : Montrer Montrer que u L (E ), x E , u(x) = 0 s’il est nul. 2 : Soit p un projecteur normal de E et et g = g = (IdE p) p) p∗ . Montrer que g = g = 0 et en déduire que p est un projecteur orthogonal. p(u) R. 3 : Soit u L (E ) normal tel que p( p( p(u), E λ (u) = E λ (u∗ ). 3 - a : Montrer que λ p( p(u) distincts, E λ (u) E µ (u). 3 - b : Montrer que λ, µ u 3 - c : Montrer que est diagonalisable dans une base orthonormale de E . Exercice 18 : Projecteurs orthogonaux : Soient p, q deux deux projecteurs orthogonaux. 1 : Montrer que : est un projecteur orthogonal p + q est x E,< p( p(x), q (x) >= >= 0 pq = = 0 x, y E,< p( p(x), q (y ) >= > = 0 . Im( p + q ) = Im p Imq Imq et ker( p + q ). 2 : On suppose que p + q est est un projecteur orthogonal. Montrer que Im( p et déterminer ker( p N∗ , A (n) et on considère n (R) muni du produit scalaire < A, A, B >= >= tr(tAB) AB ). Exercice 19 : Soit n
∈
⇐⇒
∩
∀ ∈
∈
∀ ∈
⇐⇒ −
S ⊂
∀ ∈ S ∀ ∈ S
⊥
⇐⇒ ∀ ∈
∈
⇐⇒
∈O M a ≤ n |a | ≤ n√ n n
Calculer A et montre montrerr que
⇐⇒ ∀ ∈ ⊕
n
et
ij
i,j =1
ij
n
(Remarquer (Remarquer que
i,j =1
a
ij
= tCAC où
i,j =1
1 C = = ∈ M .. .
n1 (R)).
1
∗ exp(A) ∈ On (R). Exercice 20 : Soient n ∈ N et A ∈ Mn (R). Montrer que si A est antisymétrique alors exp(A Exercice 21 : Soit n
∈ N. Montrer que O( O (n) et O + (n) sont compacts.
Exercice 22 : Déterminer
les endomorphismes à la fois orthogonaux et diagonalisables. Quelles sont les matrices à la fois orthogonales et et triangulaires supérieures ? E tel que x, y E,< f (x), f ( f (y ) >= > =< x, x, y >. Exercice 23 : Soit f : E Montrer que f transforme une BON en une BON. En déduire que f est linéaire. Conclure. >= 0 < f ( f (x), f ( f (y ) >= > = 0 ). Exercice 24 : Soit f L (E ) qui conserve l’orthogonalité. (i.e x, y E,< x,y >= 1 : Montrer que f transforme une BON en une une famille orthogonale de vecteurs de même norme. 2 : En déduire que f est la composée d’une homothétie et d’un endomorphisme orthogonal. E tel que f (0) f (0) = 0 et x, y E, E , f ( f (x) f ( f (y ) = x y . Montrer que f (E ). Exercice 25 : Soit f : E
→ →
∀ ∈
∈ ∈
∀ ∈
→ →
∀ ∈
⇒
−
− ∈ ∈ O ⊥ Im(u − IdE ) ⊕ ker(u ker(u − IdE ) = E . Exercice 26 : Soit E un un espace euclidien et u ∈ O(E ). Montrer que Im(u Exercice 27 : Soit E un ∈ R \ {0} pour un espace euclidien. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a ∈ E \ {0} et α, β ∈ que f soit orthogonal dans les cas suivants (Pour les cas 2,3 et 4, E est est orienté de dimension 3) :
1)f 1)f ((x) = x + α(a.x) a.x)a 3)f 3)f ((x) = αx + a x
∧
2)f 2)f ((x) = (a.x ( a.x))a + a x 4)f 4)f ((x) = αx + β (a.x) a.x)a + β (a
∧
∧ x)
Exercice 28 : Soit E un un
espace euclidien non nul. u(x) = y . Montrer que x, y E tels que x = y il existe une réflexion u de E telle telle que u( ∗ N . Montrer que toute matrice A GLn (R) se décompose de façon unique sous la Exercice 29 : Factorisation QR : Soit n A = QR QR avec Q (n) et R triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. forme A = − (E ). Montrer que uvu = + (E ) v uvu = v v et vuv = u = u −1 . Exercice 30 : Soient E un un plan euclidien, u et Exercice 31 : Déterminer, dans chaque cas, la nature et les caractéristiques de l’endomorphisme orthogonal définie par sa matrice dans une base orhonormée directe :
∀ ∈
∈ O
1) 15
3 −4 4
3
Exercice 32 :
2) 15
∈
3 4 4
−3
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∈
∈ O
1 2
3) √
∈ O
1 −1 0 1 0 1 1
1
4)
−1
0
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5)
1 0
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1 : Montrer que + (2) et − (2) sont compacts et connexes par arcs. 2 : En déduire que (2) est compact et admet deux composantes connexes par arcs. Exercice 33 : Sous-grou Sous-groupes pes finis de (E ) : Soient E un un plan euclidien orienté et G un sous-groupe fini de (E ). + (E ). Montrer que G est cyclique engendré par la rotation ρ d’angle 2π où n est l’ordre de G . En 1 : On suppose suppose que G n particulier G est unique. + (E ) et soit τ G + (E ). 2 : On suppose que G ∗ + (E ) = Id, Id, ρ , . . . , ρn−1 où ρ est la rotation d’angle 2nπ . 2 - a : Montrer que n N tel que G G = IdE , ρ , . . . , ρn−1 , τ , ρ τ , . . . , ρn−1 τ . 2 - b : Montrer que G = GL(E ) : Soient E un GL(E ) Exercice 34 : Sous-groupes finis de GL(E un plan vectoriel et G = g0 , . . . , g n−1 un sous-groupe fini de GL(E d’ordre n 2.
O
O
O
O
⊂ O ⊂ O ∃ ∈ {
≥
O
∈ ∈ \ O ∩O {
}
}
{
}
n 1
1 : Montrer Montrer que l’applicati l’application on :
− ϕ( ϕ(x, y) = < g (x), g (y ) > k
k
définit un produit scalaire sur E .
k=0
2 : Montrer que g0 , . . . , g n−1 sont orthogonaux pour le produit scalaire ϕ. 3 : En déduir déduiree que G est cyclique d’ordre n ou diédral d’ordre 2n (i.e G = d’ordre n, v d’ordre 2 et (uv (uv))2 = IdE ). Exercice 35 : Déterminer les réels a, b et c pour que : 2
a ab + c ac
−
{ IdE , u , . . . , un−1, v , u v , . . . , un−1v} avec u
∈ SO (3)
ab c ac + b b2 bc a b bc + a c2
−
−
Exercice 36 : Soit E est est
un espace euclidien orienté de dimension 3 et soit f L (E ). Montrer que f est une rotation ssi x, y E, E , f ( f (x y ) = f ( f (x) f ( f (y ). Exercice 37 : Montrer que O + (3)(R) est connexe par arcs. un espace euclidien orienté de dimension 3, e E unitaire, unitaire, θ Exercice 38 : Formule de Rodriguès : Soient E un E , r(x) =< e,x > e + cos(θ cos(θ )(x )(x < e,x > e) e) + sin(θ sin(θ )e x (Formule de Rodriguès). 1 : Montrer que x E, r = IdE + sin(θ sin(θ√ )ϕe + cos(θ))ϕ ))ϕe2 . 2 : Soit ϕ e : x E e x. Montrer que r = √ (1 cos(θ
∀ ∈
∧
∈ ∈
∧
∀ ∈ − ∧ ∈ → ∧ − 2 2 e ( 2 , 2 , 0) et θ ≡ 23π [2π [2π ]. 3 : Application : Déterminer la matrice de r dans le cas e( 2sin(θ )ϕe et en déduire la matrice de r − r ∗ lorsque e( e(a,b,c) a,b,c). 4 : Montrer que r − r∗ = 2sin(θ
∈
∈ R et r = r = r e,θ .
2 2 1 1 1 2 2 . R = 3 5 : Application : Déterminer les caractéristiques de r dans le cas où sa matrice est R = 2 1 2 e,u,v ) soit une base orthonrmée directe de E . Déterminer mat(ϕ mat(ϕe , B ) et en déduire que 6 : Soient Soient u, v E tels que B = (e,u,v) r = exp(θϕ exp(θϕe ).
− − −
∈
Exercice 39 : Diagonaliser
A =
3 1 1
3
,
B =
1 4
orthogonalement les matrices :
√ 3 − 5 −√ 3 7 ,
C =
1 3
5 0 2
,
0 2 7 2 2 6
1 D = 1
1 1 1 1 1 1 1
1
>= P ( P (t)Q(t) 1 − t2 dt. ∈ N. On considère Rn[X ] muni du produit scalaire < P,Q >= −1 Montrer que l’endomorphisme u( u(P ) P ) = (1 − X 2 )P − 3X P de Rn [X ] est symétrique. 1 ∗ >= P ( P (t)Q(t)dt )dt. Exercice 41 : Soit n ∈ N et on considère Rn [X ] muni du produit scalaire < P,Q >= −1 u(P ) P ) = 2X P + (X ( X 2 − 1)P 1)P de Rn [X ] est diagonalisable. Montrer que l’endomorphisme u( ∗ p Exercice 42 : Soit u ∈ S (E ) telle que ∃ p ∈ N , u = id E . Montrer que u 2 = id E . n λ2 (les valeurs propres sont comptées avec leurs 2 ∗ = Exercice 43 : Soient n ∈ N et A ∈ S (n). Montrer que aij Exercice 40 : Soit n
i,j
λ
∈S p p(A)
ordres de multiplicités). Exercice 44 : Soit E un un
⊕⊥
(E ). Montrer que ker u Imu Imu = E = E . espace euclidien et u Exercice 45 : Soit E un un espace euclidien et u L (E ). Montrer qu’il existe une base orthonormée de E dont dont l’image par u est une famille orthogonale. un espace euclidien et p, q deux deux projecteurs orthogonaux. Exercice 46 : Produit de deux projecteurs orthogonaux : Soient E un 1 : Montrer que pqp est symétrique.
∈ S ∈
⊕⊥
⊕⊥
2 : Montrer que E = = Im p (ker p (ker p ker q ) (ker p (ker p Imq Imq ). 3 : En déduire que pq est est diagonalisable. un espace euclidien non nul et on rappelle que u = Exercice 47 : Soit E un
∩
∩
p(u∗ u)}. ∀ ∈ L (E ), u = u∗ = max{√ λ/λ ∈ S p(
Montrer que u
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sup x E/ x =1
∈
u(x) est une norme sur L (E ).
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Matrice Matrice de Gram, inégalité inégalité de Hadamard Hadamard : Soit E un espace euclidie non nul et B = (ε1 , . . . , εn ) une base orthonormale de E . Si x1 , . . . , x p E , on appelle appelle : ( < x i , xj >)1≤i,j ≤n . On la note G(x G(x1 , . . . , x p ). – Matrice Matrice de Gram des vecteu vecteurs rs x1 , . . . , x p E la la matrice (< – Déterminant de Gram Gram des vecteurs vecteurs x1 , . . . , x p E le nombre det det G(x G(x1 , . . . , x p ). On le note Γ(x Γ(x1 , . . . , x p ). G(x1 , . . . , x p ) = tAA et en dédu rg(G(x1 , . . . , x p )) = 1 : Soient x1 , . . . , x p E et et A = matB (x1 , . . . , x p ). Mont Montre rerr que que G(x déduir iree que que rg(G(x rg(x rg(x1 , . . . , x p ) et (x (x1 , . . . , x p ) est libre si, et seulement si G(x G(x1 , . . . , x p ) est inversible. ( e1 , . . . , en ) une base de E . Montrer que Γ(u Γ(u(e1 ), . . . , u( u(en )) = (det u)2 Γ(e Γ(e1 , . . . , e n ). 2 : Soit u L (E ) et (e ∗ ( e1 , . . . , en ) une base de F et x E . Montrer que N , (e 3 : Soit F est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p Γ(e ,...,e ,a) 2 d (a, F ) F ) = Γ(e ,...,e ) . Application : Calculer d(x, d(x, F ) F ) où F = F = Vect (1, (1, 1, 0), 0), (0, (0, 1, 1) et x = x = (1, (1, 1, 1).
Exercice 48 :
∈
∈
∈
∈
∈
1
∈
n
1
n
2
{
2
∈
}
E . Montrer que Γ(x Γ( x1 , . . . , xk ) x1 xk avec égalité si (x ( x1 , . . . , x k ) est orthogonal (Utiliser 4 : Soit x 1 , . . . , xk Gram-schmidt). C 1 C n où C 1 , . . . , Cn sont les colonnes de A et étudier 5 : Montrer l’inégalité de Hadamard, A n (R), det A le cas d’égalité. Exercice 49 : Endomorph N∗ , Endomorphismes ismes symétriques symétriques positifs, positifs, définis positifs positifs : Soit E un espace euclidien de dimension n u (E ) et A (n). On dit que : u(x), x > 0 (resp. < u(x), x >> >> 0 ). – u est positif (resp. défini positif) si x E,< u( t t > 0 ). – A est positive (resp. définie positive) si X n1 (R), XAX 0 (resp. XAX > 0 On note : – + (E ) (resp. ++(E )) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. définis positifs). ++ (n)) l’ensemble des matrices symétriques positives (resp. définies positives). – + (n) (resp. ++ + (E )(resp. + (n)(resp. M = mat(u, mat(u, B ). Montrer que u )(resp. ++ (E )) )) M )(resp. ++(n)). 1 : Soit B une BON de E et et M = p( p(u), λ 0 (resp. λ > 0 ). 2 : Montrer que u est positif (resp. défini positif) si, et seulement si λ + (E ) et que si u est inversible alors uu ∗ , u∗ u ++ ++ (E ) 3 : Montrer que uu∗ , u∗ u + (n) 1, . . . , n , aii 0, 0 , 2 aij a ii + ajj . 4 : On suppose que A . Montrer que i, j t ++ + + (n). Montrer que < X, Y >= XAY est un produit scalaire sur 5 : On suppos supposee que A n1 (R) et en déduire que 1 i, j n, aij aii ajj . ++ + + 6 : Montrer que (n) est dense dans + (n). Exercice 50 : + (n). Montrer que !S + (E ), S 2 = A et que S est est un polynôme en A. 1 : Soit A (n) avec A positive. Montrer que AB est diagonalisable. 2 : Soient A, B + (n) tr(AB)) 0 . 3 : Soient A, B . Montrer que tr(AB + (n). Montrer que 4 : Soient A, B det A n1 tr(A tr(A). En déduire que det(AB det(AB)) n1 tr(AB tr(AB)). ++ (n), !S (n), A = OS = OS (Décomposition polaire). 5 : Montrer que A GLn (R), !O ++ + + 6 : Soit A (n). Montrer que A se décompose de façon unique sous la forme A = A = tT T avec T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs (Factorisation de Cholesky). + (n), 0 det A a 11 ann . 7 : En déduire que A Exercice 51 : Décomposition polaire : Soit E un un espace euclidien non nul. ++ ++ (E ), !v (E ), v 2 = u. Montrer que v est un polynôme en u. 1 : Montrer que u ++ ++ (E ), u = os 2 : Montrer que u GL(E GL( E ), !o (E ), !s = os (Décomposition polaire). + ++ (n) (n) et B Exercice 52 : Réduction simultanée Soient A . B = t P P et A = A = t P DP . 1 : Montrer que P GL n (R, D R diagonal tels que B = det(A + B ) det A et A + iB GL n (C). 2 : Montrer que det(A [0 , 1], 1], det(tA det(tA + (1 t)B ) (det A)t (det B )1−t . 3 : Montrer que t [0, ∗ det(A + B ) det A + det B . 4 : Montrer que n N , det(A
∈
∀ ∈ M
∈ S
S S
≤ ··· | | ≤ ···
∈
∈ S
∀ ∈ ∀ ∈ ∈ M
≥
S S
≥ ≥
∈ S
S ∀ ∈ S ≥ ∈ S } ≥ | | ≤
∈ S ∈ S ∀ ∈ { ∈ S √ ∀ ≤ ≤ | | ≤ S S ∈ S ∃ ∈ ∈ S ∈ S ∈ S √ ≥≤ ∈ S ∀ ∈ ∃ ∈ O ∃ ∈ ∈ S ∈ S ∀ ∈ S ≤ ≤ · · · ∀ ∈ S ∃ ∈ S ∀ ∈ ∃ ∈ O ∃ ∈ S ∈ S ∈ S ∃ ∈ ∈ ∃ ∈ ≥ ∈ ∀ ∈ − √ ≥ √ ∀ ∈ ≥ n
n
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n
n
⇐⇒ ∈ ∈ S
S
M
≤
n
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