1.- REDONDEE LOS SIGUIENTES NÚMEROS A TRES CIFRAS SIGNIFICATIVAS: 9.755 = 9.76
7.555x10 -3 = 7.56x10 -3
0.269124x10 2 = 26.9
0.999500 = 1.00
6 325.0002 = 633
789.436 = 789
Redondear significa reemplazar una cantidad por otra que tiene una menor cantidad de cifras, según ciertas reglas establecidas: 1.- El último dígito (o cifra) que se conserva es aumenta en una unidad si el primer dígito descartado es mayor que 5. De otra manera se deja igual. 2.- Si el primer dígito descartado es 5 o es 5 seguidos de ceros, entonces el último dígito que se conserva se incrementa en 1 solo si es impar. 2.- DETERMINAR LA CANTIDAD DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS PARA LOS SIGUIENTES NÚMEROS APROXIMADOS. 79.275 ± 0.035 = 3 cifras sig.
1.2785 ± 0.0007 = 3 cifras sig.
m=1
m = 0
n = 2 0.035 ≤ 0.5x 10 10 1-2+1= 0.5
n = 2 0.0007 ≤ 0.5x 10 10 0-2+1= 0.05
n=3
n=3
0.035 ≤ 0.5x 10 10 1-3+1= 0.05
n = 4 0.035 ≤ 0.5x 10 10 1-4+1= 0.005
0.0007 ≤ 0.5x 10 10 0-3+1= 0.005
n = 4 0.0007 ≤ 0.5x 10 10 0-4+1= 0.0005
263.3 ± 0.1 = 3cifras sig.
0.045 ± 0.0003 = 2 cifras sig.
m = 2
m = -2
n = 2 0.1 ≤ 0.5x 10 10 2-2+1= 5
n=1
n=3
n = 2 0.0003 ≤ 0.5x 10 10 -2-2+1= 0.0005
0.1 ≤ 0.5x 10 10 2-3+1= 0.5
n = 4 0.1 ≤ 0.5x 10 10 2-4+1= 0.05
n=3
0.0003 ≤ 0.5x 10 10 -2-1+1= 0.005 0.0003 ≤ 0.5x 10 10 -2-3+1= 0.00005
93.17 ± 0.0065 = 4 cifras sig.
0.0087 ± 0.0005 = 1 cifra sig. m = -3
m=1
n=3
0.0005 ≤ 0.5x 10 10 -3-3+1= 0.005
n = 4 0.0065 ≤ 0.5x 10 10 1-4+1= 0.005
n=1
0.0005 ≤ 0.5x 10 10 -3-1+1= 0.0005
n = 5 0.0065 ≤ 0.5x 10 10 1-5+1= 0.0005
n = 2 0.0005 ≤ 0.5x 10 10 -3-2+1= 0.00005
n=3
0.0065 ≤ 0.5x 10 10 1-3+1= 0.05
Cifras significativas de un número son número son aquellas cifras que le dan confiabilidad a un valor numérico (son todas sus cifras a excepción de los ceros puestos a la izquierda de la primera cifra distinta de cero). Se cumple: – a | ≤ 0.5x10 m-n+1 | A – a
n = numero de cifras significativas m= cantidad de cifras que existe entre la 1era cantidad y el punto. 3.- CALCULE EL ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO EN LAS APROXIMACIONES DE A POR A: A = π ; a = 22/7
∆a = | A – a | ∆a = | π – π – 22/7 | ∆a = | 0.001264 |
δa = (∆a / a)*100% δa = ( 1.26x10 1.26x10 -3 /(22/7))*100% δa = 0.04%
∆a = 1.26x10 -3
A = e ; a = 2.718 :
∆a = | A – a | ∆a = | e – 2.718 | ∆a = 2.82 x10 -4
A = e 10 ; a = 22000 :
∆a = | A – a | ∆a = | e 10 – 2200 |
δa = (∆a / a)*100% δa = ( 2.82 2.82 x10 -4 /2.718)*100% δa = 0.01% δa = (∆a / a)*100% δa = (26.466/22000)*100% δa = 0.12%
∆a = 26.466
A = 2 ; a = 1.414 :
∆a = | A – a | ∆a = |
2 – 1.414 |
∆a = 2.14 x10 -4
δa = (∆a / a)*100% δa = ( 2.14 2.14 x10 -4 /1.414)*100% δa = 0.015%
A = 10 π ; a = 1400 :
∆a = | A – a | ∆a = | 10
π –
1400 |
∆a = 14.544268
A = 8! ; a = 39900 :
∆a = | A – a | ∆a = | 8! – 39900 | ∆a = 420
δa = (∆a / a)*100% δa = (14.544268/1400)*100% δa = 1.0 39% 39%
δa = (∆a / a)*100% δa = (420/39900)*100% δa = 1.053%
Forma cualitativa de expresar el error. ∆a = | A – a |
A = Valor exacto;
a = Valor aproximado
a < A Error Error por defecto a > A Error Error por exceso A = a ± ∆a
Forma cuantitativa de expresar el error. δa = | (A – a) | / a = ∆a / a
A = a (1 ± δa) 4.- ENCUENTRE EL INTERVALO MÁS GRANDE EN QUE DEBE ENCONTRARSE A PARA QUE SE APROXIME A CON UN ERROR RELATIVO MÁXIMO DE 10 -4 PARA CADA VALOR DE A. A = π
A = a*(1 ± δa) a = A / (1 ± δa) = π / (1 ±10 -4 ) a = π / (1 + 10 -4 ) = 3.138454 a = π / (1 - 10 -4 ) = 3.144737 ≤ π ≤ ≤ 3.144737 3.13845 4 ≤ π
A=e
a = A / (1 ± δa) = e / (1 ± 10 -4 ) a = e / (1 + 10 -4 ) = 2.715566 a = e / (1 - 10 -4 ) = 2.721003 2.715566 ≤ e ≤ 2.721003
A = 2 :
a = A / (1 ± δa) = 2 / (1 ± 10 -4 ) a = 2 / (1 + 10 -4 ) = 1.412801 a = 2 / (1 - 10 -4 ) = 1.415629 801 ≤ 2 ≤ 1.415629 1.412 801
A = 3 7 :
a = A / (1 ± δa) = 3 7 / (1 ±10 -4 ) a = 3 7 / (1 + 10 -4 ) = 1.911020 a = 3 7 / (1 - 10 -4 ) = 1.914846 1. 911020 ≤ 3 7 ≤ 1.914846
5.- CALCULAR LOS ERRORES DE LAS L AS SIGUIENTES EXPRESIONES:
X
A3 5 BC 2 D 4 E
, donde A = 7.48 ± 0.02 ; B = 65.84 ± 0.03 ; C = 215.37 ± 0.02 ; D = 3.48 ± 0.01 ;
E = 82.65 ± 0.01 A 3 = (7.48) 3 = 418.5090 5
x
418.5090 2.310546384.2369 146.6618 9.0912
x
418.5090 107168.8031 146.6618 9.0912
B = (65.84) 1/5 = 2.3105
C 2 = (215.37) 2 = 46 384.2369 D 4 = (3.48) 4 = 146.6618 E = (82.65) 1/2 = 9.0912
x
107587.3121 137.5706
x 782.0517
1) A 3 δ A = 3
(0.02) 7.48
0.008021
∆ A = (418.5090)(0.008021)=3.35702
2) 5 B C 2 δ BC BC = =
(0.03) 5(65.84)
2
(0.02) (215 215 .37)
0.000277
∆BC = (107168.8031)(0.000277)=29.6704 ∆ ABC =∆ A + ∆BC = 3.35702 + 29.6704 = 33.0274
δ ABC =
33.0274 107587.3121
0.000307
3) D 4 (0.01)
δ D D = 4
3.48
0.011494
∆D = (146.6618 ) (0.011494) = 1 .68577
4) E δ E E =
(0.01) 2(82.65)
0.000060496
∆E = (9.0912 ) (0.000060496) = 0.00055 ∆DE =∆D + ∆E = 1 .68577 + 0.00055 = 1.68632
δ DE DE =
1.68632 137.5706
0.012258
δ ABCDE = δ ABC + δ DE DE = 0.000307 + 0.012258 = 0.012565 ∆ ABCDE = (782.0517)(0.012565)=9.8263 (782.0517)(0.012565)=9.8263
X
A 2 B C 3 4 D E 4 3 F
, donde A = 1.73± 0.001 ; B = 745 ± 0.002 0.002 ; C = 3.21 ± 0.001 ; D = 892 ±
0.002 ; E = 1.89 ± 0.001; F = 617 ± 0.002 A 2 = (1.73) 2 = 2.9929
x
2.992927.2947 33.07625.4650 12.75998.5132
x
81.6903 180.7617 108.6281
B = (745) 1/2 = 27.2947
C 3 = (3.21) 3 = 33.0762 4
D = (892) 1/4 = 5.4650
E 4 = (1.89) 4 = 12.7599 3
x
F = (617) 1/3=8.5132
262.452 108.6281
x 2.4161
1) A 2 B δ AB = 2
(0.001 001) 1.73
0.002 002 2(745 745 )
0.001157
∆ AB = (81.6903)(0.001157)=0.094549
2) C 3 4 D δ CD CD = = 3
(0.001 001 ) (3.21)
(0.002 002 ) 4(892 892 )
0.000935
∆CD = (180.7617)(0.000935)= 0.169037 ∆ ABC D =∆ =∆ AB + ∆CD = 0.094549+ 0.169037= 0.263587
δ ABCD =
0.263587 262.4520
0.001004
3) E 4 3 F δ EF EF = 4
(0.001 001) 1.89
(0.002 002 ) 3(617 617 )
0.002117
∆EF = (108.6281) (0.002117) = 0.230018 δ ABCDEF = δ ABCD + δ EF EF = 0.001004 + 0.230018 = 0.231022 ∆ ABCDEF = (2.4161)(0.231022) = 0.5582
X
A2 B C 3 4 D E 4 3 F
G 2 H I 5 3 J K 4 4 L
A = 65,63 ± 0,001
B=526,8 ± 0,02
C = 3,451 ± 0,001
D = 1875,2 ± 0,03
E = 2,481 ± 0,002
F = 825,7 ± 0,02
G= 10,36 ± 0,001
H = 37,42 ± 0,001
I = 1,534 ± 0,002
J = 475,21 ± 0,003
K = 2,932 ± 0,001
L = 1796,1 ± 0,02
2
2
A = (65,63) = 4307,2969 1/2
B = (526,8) 3
= 22,9521
3
C = (3,451) = 41,0993
D = (1875,2)1/4 = 6,5805
4
4
4
E = (2,481) = 37,8885 3
1/3
F = (825,7) =9,3815 2
2
G = (10,36) = 107,3296
H = (37,42)1/2 = 6,1172 5
5
I = (1,534) = 8,4943 3
J = (475,21)1/3 = 7,8036 3
3
K = (2,932) = 25,2053 4
L = (1796,1) 1/4 = 6,5100
X
4307,296922,9521 107,32966,1172 8,49437,8036 41,09936,5805 37,88859,3815 25,20536,5100
X
98861,6129 656,5554 66,2860 270,4561 355,4522 164,0871
X
98861,6129 722,8415 625,9083 164,0871
X 157,9490 - 4,4052
X 153,5438
1) A 2 B δAB =
2
(0.001 001) 65,63
0.02 2(526 526 ,8)
4,94564E - 05
1) C3 4 D (0.001 001)
δ CD CD = 3
3,451 451
0.03 4(1875 ,2)
0,00087331
∆CD = ( 270,4561 270,4561 )( 0,00087331 ) = 0,23619278 43
2) E
F
δ EF EF = 4
(0.002 002 ) 2,481 481
0.02 3(825 825 ,7)
0,00323258
∆EF = ( 355,4522 355,4522 )( 0,00323258 ) = 1,1490276 ∆CDEF = ∆CD + ∆EF = 0,23619278 + 1,1490276=1,38522038 1,38522038 δ CDEF 0,00221314 = CDEF = 625,9083
δ ABCDEF = = 4,94564E- 05 + 0,00221314 = 0,00226259 ∆ ABCDEF = ( 0,00226259)( 0,00226259)( 157,9490) = 0,35737439
1) G2 H δGH =
2
(0.001 001 ) 10,36
0.001 001 2(37,42)
0,00020641
∆GH = ( 656,5554 656,5554 )( 0,00020641 ) = 0,13552094
2) I5 3 J δIJ =
5
(0.002 002 ) 1,534 534
0.003 003 3(475 475 ,21)
0,00652101
∆IJ = ( 66,2860 66,2860 )( 0,00652101 ) = 0,43225179 ∆GHIJ = =0,13552094+0,43225179 ,13552094+0,43225179 = 0,56777273 0 0,56777273 δ GHIJ = 0,00078547 GHIJ = 722,8415
1) K3 4 L δ KL KL = 3
(0.001 001) 2,932 932
0.02 4(1796 ,1)
0,00102598
δ GHIJKL = 0,00078547+ 0,00102598 = 0,00181145 GHIJKL = ∆GHIJKL = ( 4,4052)( 4,4052)( 0,00181145) = 0,00797985
∆ ABCDEF GHIJKL GHIJKL = ∆ ABCDEF + ∆GHIJKL = 0,35737439 + 0,00797985 = 0,36535424 153,5438 0,3654
5.2)
Determine las raíces reales de f(x) = -2+7x-5x 2 +6x 3: a) Gráficamente b) Utilizando el método de la bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores iniciales x 1 = 0 y x u u = 1 iterando hasta que el error estimado ε a a se encuentre debajo de ε s s = 10%.
a)
-0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
-9,296 -5,984 -3,648 -2 -0,752 0,384 1,696 3,472 6 9,568
La raíz esta en el intervalo entre 0,2 y 0,4
b) Método de la bisección
1 2 3 4 5 6 7
0 0 0,25 0,25 0,3125 0,3125 0,328125
-2 -2 -0,46875 -0,46875 -0,11767578 -0,11767578 -0,02948761
1 0,5 0,5 0,375 0,375 0,34375 0,34375
0,5 0,25 0,375 0,3125 0,34375 0,328125 0,3359375
1 -0,46875 0,23828125 -0,11767578 0,05914307 -0,02948761 0,01476383
-2 0,9375 -0,11169434 0,05516052 -0,00695971 0,00346998 -0,00043535
5.4 Calcule las raíces reales de f(x) = -11-22x+17x 2 -2.5x 3: a) Gráficamente tilizando el método de la falsa posición con un valor de ε s s correspondiente a tres cifras b) U tilizando significativas para determinar la raíz más pequeña.
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
275,5 189,3125 121 68,6875 30,5 4,5625 -11 -18,0625 -18,5 -14,1875 -7 1,1875 8,5 13,0625 13 6,4375 -8,5
La raíz r 1 esta en el intervalo entre -0,5 y 0; la r 2 2 esta entre 2 y 2,5; la r 3 esta entre 4,5 y 5
Para la primera raíz x a a= -0,5 x b b=0 = 0
1 2 3 4 5 6
- 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,5
4,562 5 4,562 5 4,562 5 4,562 5 4,562 5 4,562 5
0
-11 - 0,99122452 - 0,06327185 - 0,00394264 - 0,00024531 -1,5261E- 05
- 0,35341365 - 0,37957627 - 0,38122344 - 0,38132599 - 0,38133237 - 0,38133277
- 0,99122452 - 0,06327185 - 0,00394264 - 0,00024531 -1,5261E- 05 -9,4943E- 07
- 0,35341365 - 0,37957627 - 0,38122344 - 0,38132599 - 0,38133237
-1,6124498 - 1,73181675 - 1,73933196 - 1,73979985 - 1,73982896 - 1,73983077
1,1875
2,42748092
0,00987994
-16,9923664
Para la segunda raíz x a a=2 = 2 x b b=2,5 = 2,5 1
2
-7
2,5
2 3 4 5 6
2 2 2 2 2
-7 -7 -7 -7 -7
2,42748092 2,42687841 2,42687628 2,42687627 2,42687627
0,00987994 3,4953E-05 1,2228E-07 4,2775E-10 1,4921E-12
2,42687841 2,42687628 2,42687627 2,42687627 2,42687627
3,4953E-05 1,2228E-07 4,2775E-10 1,4921E-12 0
-16,9881489 -16,988134 -16,9881339 -16,9881339 -16,9881339
Para la tercera raíz x a a=4,5 = 4,5 x b b=5 = 5 1 2 3 4 5 6 x -3 -2 -1,5 -1 1
4,5 4,71548117 4,74903853 4,75371416 4,75435501 4,75444265
6,4375 1,13657915 0,16136889 0,02217511 0,00303353 0,00041473
5 5 5 5 5 5
-8,5 -8,5 -8,5 -8,5 -8,5 -8,5
4,71548117 4,74903853 4,75371416 4,75435501 4,75444265 4,75445463
1,13657915 0,16136889 0,02217511 0,00303353 0,00041473 5,6694E-05
30,35591 5,39765818 0,76710156 0,10542833 0,01442274 0,0019718
5,6694E-05
5
-8,5
4,75445627
7,7502E-06
0,00026955
y 1,49722458 0,68629436 0,11093022 -0,7 -0,7
7
4,75445463
5.6 Determine la raíz real de ln x 2 = 0.7: a) gráficamente b) Empleando tres iteraciones en el método de la bisección con los valores iniciales x 1= 0.5 y x u u = 2. c) Usando tres iteraciones del método de la falsa posición, con los mismos valores iniciales de b).
1,5
0,11093022
2 3
0,68629436 1,49722458
La raíz esta en el intervalo entre 1 y 1,5
Método de la bisección.
1 2 3
0,5 1,25 1,25
-2,08629436 -0,2537129 -0,2537129
2 2 1,625
1,25 1,625 1,4375
0,6862943 6 0,2755734 5
1,6287074 5 1,4970143
-0,2537129 0,27101563 0,02581099
0,52931979 -0,06876016 -0,00654858
Método de la regla falsa
1 2
0, 5 0, 5
- 2,08629436 - 2,08629436
2 1,6287074 5
0,2755734 5 0,1069453 2
- 3,39796317 -3,1232125
3
0, 5
- 2,08629436
1,4970143
0,1069453 2
1,4483985 4
0,0409169 9
- 3,02178571
alcule la raíz cuadrada positiva de 15 usando el método de la falsa posición con ε s s = 0.5%. Use los 5.8 C alcule valores iniciales x 1 = 3 y x u u = 4.
1 2 3
3 3,87298335 3,87298335
0,87298335 0 0
4 4 4
-0,12701665 -0,12701665 -0,12701665
3,87298335 3,87298335 3,87298335
0 0 0
3,38104996 0 0
5.10 Calcule la raíz real positiva de f(x) = x 4 -8x 3-36x 2 +462x-1 010 utilizando el método de la falsa posición. ce el cálculo con ε s s = 1.0%. Use una gráfica para escoger el valor inicial y reali ce
x a a=3,5 = 3,5 x b b=4,5 = 4,5
1 2 3 4 5 6 7 8
3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5
-26,9375 -26,9375 -26,9375 -26,9375 -26,9375 -26,9375 -26,9375 -26,9375
4,5 4,06119792 3,92440842 3,8908393 3,8831672 3,88144356 3,88105783 3,88097159
21,0625 8,68212511 2,31365744 0,5393655 0,12172294 0,02726781 0,00609827 0,00136333
4,06119792 3,92440842 3,8908393 3,8831672 3,88144356 3,88105783 3,88097159 3,88095231
8,68212511 2,31365744 0,5393655 0,5393655 0,12172294 0,02726781 0,00609827 0,00136333 0,00030476
-109,398519 -105,713752 -104,809484 -104,602816 -104,556386 -104,545995 -104,543672 -104,543153
5.12 La velocidad v de caída de un paracaidista esta dada por v = gm/c (1-e -(c/m)t ) , donde g = 9.8. Para el e l paracaidista con un coeficiente de arrastre c= 14 kg/s, calcule la masa m de éste de tal forma que la velocidad sea de 35 m/s en t = 7s. Con el método de la falsa posición determine m a un nivel de de ε s s 0.1%. Datos: g = 9.8m/s 2 c= 14 kg/s v=35 m/s t = 7s. 35 = (9,8)m/14 (1-e -(14/m)7 ) f(m)= (9,8)m/14 (1-e -(14/m)7 )-35
1
60
1,2016576 4
65
63,69279 2
63,64918 1
- 0,4253736 7 - 0,4253736 7 0,0001629 4
2
63,6927 92
65
3
63,6927 92
4
63,6927 92
- 0,0137331 1 - 0,0137331 1 - 0,0137331 1
63,64918 1
- 0,0137331 1 0,0001629 4
63,64969 24
-6,1592E- 08
63,64969 24
-6,1592E- 08
63,64969 22
2,3277E- 11
76,536930 1 - 0,8741013 6 - 0,8741083 9 - 0,8741083 8
6.2)
Utilice a) la iteración de punto fijo y b) el método de Newton-Rapsón para determinar la raíz de f(x) = -0.9x 2 +1.7x + 2.5 usando x o o = 5. Efectué el calculo hasta que ε a a sea menor que ε s = 0.01%.
f(x) = -0.9x 2 +1.7x + 2.5
i 0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
5 3,42465753 2,924357 2,86114698 2,86010469 2,86010441
-11,5 -2,2335335 -0,22527057 -0,00359596 -9,7773E-07 -7,1942E-14
-7,3 -4,46438356 -3,56384259 -3,45006456 -3,44818844 -3,44818793
3,42465753 2,924357 2,86114698 2,86010469 2,86010441 2,86010441
-2,2335335 -0,22527057 -0,00359596 -9,7773E-07 -7,1942E-14 0
f(x) = -0.9x 2 +1.7x + 2.5 g(x) = ( ( 1.7x+2.5)/0,9) 0.5 y 1 = x y 2 2 = ( ( 1.7x+2.5)/0,9) 0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 3,49602949 3,06290533 2,9263058 2,88188207 2,86728666 2,8624751 2,86088713 2,86036286 2,86018975 2,86013259 2,86011371 2,86010748
3,49602949 3,06290533 2,9263058 2,88188207 2,86728666 2,8624751 2,86088713 2,86036286 2,86018975 2,86013259 2,86011371 2,86010748 2,86010542
f(g(X)) -2,55674986 -0,73631108 -0,2322192 -0,07552033 -0,0248122 -0,00817966 -0,00269954 -0,00089126 -0,00029429 -9,7176E-05 -3,2089E-05 -1,0596E-05 -3,499E-06
–Rapson apson para determinar la raíz real de f(x) = -2.0+6x-4x 2 +0.5x 3, usando 6.4) Emplee el método de Newton – R valores iniciales de a) 4.2 y b) 4.43
Preferimos el uso de otro metodo. Metodo de la secante 0 1 2 3 4 5 6
5 6,5 5,96202532 6,13175034 6,1582867 6,1563065 6,15632516
-9,5 5,3125 -2,4485132 -0,33106175 0,0266967 -0,00025398 -1,9164E-07
6,5 5,96202532 6,13175034 6,1582867 6,1563065 6,15632516 6,15632517
5,3125 -2,4485132 -0,33106175 0,0266967 -0,00025398 -1,9164E-07 1,3927E-12
5,96202532 6,13175034 6,1582867 6,1563065 6,15632516 6,15632517 6,15632517
-2,4485132 -0,33106175 0,0266967 -0,00025398 -1,9164E-07 1,3927E-12 0
0 1 2 3
1,5 2 1,40740741 1,40740741 1,3811545
-0,3125 -2 -0,08484479 -0,02608731
2 1,40740741 1,3811545 1,36949866
-2 -0,08484479 -0,02608731 -0,0008488
1,40740741 1,3811545 1,36949866 1,36910667
-0,08484479 -0,02608731 -0,0008488 -9,1626E-06
4 5 6
1,36949866 1,36949866 1,36910667 1,36910239
-0,0008488 -9,1626E-06 -3,299E-09
1,36910667 1,36910239 1,36910239
-9,1626E-06 -3,299E-09 -1,3101E-14
1,36910239 1,36910239 1,36910239
-3,299E-09 -1,3101E-14 0
0 1 2 3 4 5 6
0,5 1 0,42857143 0,54205607 0,47868751 0,47418116 0,47418116 0,47457453 0,47457453
0,0625 0,5 -0,12390671 0,15667205 0,01040178 -0,00099485 5,317E-06
1 0,5 0,42857143 -0,12390671 0,54205607 0,15667205 0,47868751 0,01040178 0,47418116 -0,00099485 0,47457453 0,47457453 5,317E-06 0,47457244 0,47457244 2,6907E-09
0,42857143 0,54205607 0,47868751 0,47418116 0,47457453 0,47457244 0,47457244 0,47457244
-0,12390671 0,15667205 0,01040178 -0,00099485 5,317E-06 2,6907E-09 -7,1887E-15
6.6) Localice la primera raíz positiva de f(x) = sen x + cos(1+x 2 ) -1 Donde x está en radianes. Use cuatro iteraciones con el método de la secante con valores iniciales de a) x i-1 = 1.0 y x i i =2, y b) x i-1 i-1 = 1.8y x i i =2, para localizar la raíz. c) use el método gráfico para verificar los resultados.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 1,74863119 1,94067761
-0,57467585 0,19295961 -0,62467479 -0,01381514
2 1,74863119 1,94067761 1,94502091
0,19295961 -0,62467479 -0,01381514 0,00144979
1,74863119 1,94067761 1,94502091 1,9446084
-0,62467479 -0,01381514 0,00144979 -7,2811E-08
1 2 3 4
1 2 3 4
1,8 2 1,94275273 1,94462448
-0,4811673 0,19295961 -0,00652222 5,6429E-05
2 1,94275273 1,94462448 1,94460842
0,19295961 -0,00652222 5,6429E-05 -8,4043E-10
1,94275273 1,94462448 1,94460842 1,94460843
-0,00652222 5,6429E-05 -8,4043E-10 0
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
-0,57467585 -0,83177612 -0,99810758 -0,9141636 -0,4811673 0,19295961 0,71188673 0,56392451 -0,39065528 -1,49884653 -1,69795152
La raíz esta en el intervalo entre 1,8 y 2
6.8 Determine la mayor raíz real de f(x) = x 3-6x 2 +11x-6.1: a) gráficamente b) con el método de Newton-Rapsón (tres iteraciones, x i i =3.5) c) utilizando el método de la secante (tres iteraciones x i-1 i-1 = 2.5 y x i i =3.5).
d) usando el método de la secante modificado (tres iteraciones, x i i =3.5, δ= 0.02)
a) x -0,5
f(x) -13,225
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
-6,1 -1,975 -0,1 0,275 -0,1 -0,475 -0,1 1,775 5,9 13,025 23,9 39,275
b) i
La mayor raíz real esta en el intervalo entre 3 y 3,5
0 1 2
1 2 3
3,5 3,19130435 3,06869882
1,775 0,39940199 0,05188045
5,75 3,25761815 2,42635151
3,19130435 3,06869882 3,04731674
0,39940199 0,05188045 0,00145603
2,7111111 1 2,8710905
- 0,45151715 - 0,31010819 0,50252668
c) i 1
1
2,5
-0,475
3,5
1,775
2
2
3,5
1,775
3
3
2,7111111 1
- 0,45151715
2,7111111 1 2,8710905
- 0,45151715 - 0,31010819
0
1
3,5
1,775
5,75
9
1
2
2
3
2,9027066 6 3,0119054 6
- 0,26710968 - 0,07576217
1,4446379 3 2,0718579 8
5,4162399 4 6,0714327 6
3,2219234 5
d) i 2,9027066 6 3,0119054 6 3,0449335 1
- 0,26710968 - 0,07576217 -0,0039852
6.10 La función x 3+2x 2 -3 tiene una raíz doble en x = 1. Use a) el método estándar de Newton-Rapsón, b) el método de la secante modificada para resolver la raíz en x=1. Compare y analice la velocidad de convergencia usando x o o=0.2. = 0.2.
i 0 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8
0,2 3,36521739 2,14756178 1,42837779 1,09081726 1,00538729 1,00002062 1
-2,912 57,7594135 16,1286444 3,9947927 0,67770873 0,03785633 0,00014432 2,1251E-09
0,92 47,4349338 22,4263119 11,8343005 7,93291592 7,05396001 7,00020617 7
3,36521739 2,14756178 1,42837779 1,09081726 1,00538729 1,00002062 1 1
57,7594135 16,1286444 3,9947927 0,67770873 0,03785633 0,00014432 2,1251E-09 0
i 0
1
0,2
-2,912
0,92
5,2
1
2
2
3
0,3675572 9 0,6170349
- 2,68014689 - 2,00361088
1,8755242 4 3,6103358 2
6,2053437 4 7,7022094 1
0,3675572 9 0,6170349 0,8711456 4
- 2,68014689 - 2,00361088 - 0,82110273
3
4
4
5
5
6
6
7
0,8711456 4 0,9871813 7 0,9998816 8 0,9999999 9
- 0,82110273 - 0,08891092 - 0,00082814 -6,9998E- 08
5,7612667 2 6,8723066 6 6,9988168 9 6,9999999
9,2268738 3 9,9230882 3 9,9992901 1 9,9999999 4
0,9871813 7 0,9998816 8 0,9999999 9 1
- 0,08891092 - 0,00082814 -6,9998E- 08 0
6.12 determine las raíces de las ecuaciones simultáneas no lineales (x-4) 2 + (y-4) 2 = 4 x 2 +y 2 =16 Utilice una aproximación gráfica para obtener los valores iniciales. Determine una mejor aproximación con el método de Newton-Rapsón.
PRIMERA RAIZ
x (
k 1)
3,3 1,8
J ( x
J ( x
( k 1)
( k 1)
F ( x
( k 1)
2( x 4) 2( y 4) - 1,4 - 4,4 2 y 6,6 3,6 2 x
)
0,183333 0,15 ) 1 - 0,275 - 0,058333
1,33 - 1,87
)
x = 3,44333271 y = 2,05666729
3,44333271 2,05666729
x ( k 1)
2( x 4) 2( y 4) - 1,11333458 - 3,88666542 6,88666542 4,11333458 2 x 2 y
J ( x (
k 1)
)
J ( x (
k 1)
) 1
0,1853969
0,1751804
- 0,3103969 - 0,0501804
0,08642049 F ( x ( k 1) ) 0,08642049
x = 3,41217144 y = 2,08782856
3,41217144 x ( k 1) 2,08782856
2( x 4) 2( y 4) - 1,17565712 - 3,82434288 2 y 6,82434288 4,17565712 2 x
J ( x ( k 1) )
J ( x (
k 1)
F ( x (
k 1)
0,1970627
) 1
0,180483
- 0,3220627 - 0,055483
0,00194204 ) 0,00194204
x = 3,41143823 y = 2,08856177
1,9 x ( k 1) 3,3 J ( x (
k 1)
2( x 4) 2( y 4) - 4,2 - 1,4 3,8 6,6 2 x 2 y
)
- 0,2946429 - 0,0625 0,1696429 0,1875
J ( x ( k 1) ) 1
0,9 - 1,5
F ( x ( k 1) )
x = 2,07142861 y = 3,42857139
x (
k 1)
2,07142861 3,42857139
2( x 4) 2( y 4) - 3,85714278 - 1,14285722 2 y 4,14285722 6,85714278 2 x
J ( x ( k 1) )
J ( x (
k 1)
F ( x (
k 1)
- 0,3157895 - 0,0526316 0,1907895 0,1776316
) 1
0,04591826 ) 0,04591826
x = 2,08834587 y = 3,41165413
2,08834587 3,41165413
x ( k 1)
2( x 4) 2( y 4) - 3,82330827 - 1,17669173 4,17669173 6,82330827 2 x 2 y
J ( x (
k 1)
)
J ( x (
k 1)
) 1
- 0,3222656 - 0,0555753 0,1972656 0,1805753
0,00057238 F ( x ( k 1) ) 0,00057238
x = 2,08856214 y = 3,41143786
6.14 el balance de masa para un contaminante bien mezclado en un lago se escribe así V dc/dt = W – Qc – kV c Dados los valores de los parámetros V = 1 x 10 6 m 3, W = 1 x 10 6 m 3 /año y k = 0.2 m 0.5 /g 0.5 /año, use el método de la secante modificado para determinar la concentración en estado estacionario. Emplee como
valores iniciales c = 4 g/m 3 y δ=0.5. Realice dos iteraciones y determine el error relativo porcentual después de la segunda iteración. DATOS V = 1 x 10 6 m 3 W = 1 x 10 6 m 3 /año k = 0.2 m 0.5 /g 0.5 /año c = 4 g/m 3 δ=0.5
Q=1 x 10 6 dc dt
0
kV c Qc W 0
0,21 x106
6 6 c 1 x10 c 1 x10 0
f (c) 0,2 c c 1 f ' (c) 0,2
c
1 / 2
2
1 0,1c 1 / 2 1
c 3 / 2 0,05c 3 / 2 f ' ' (c) 0,1 2
i 0 1
1 2
0,819003
4 0,82313682
- 0,823137
0,819003
3,4 0,00459059
1,05 1,11022091
-0,00625 -0,06695175
100 0,5% x100
7.2 Divida el polinomio f(x) = x 4 -5x 3+5x 2 +5x-6 entre el factor monomial (x-2)
Primera Iteración
0,823137 0,819003
0,00459059 5,7089E-07
a5
1 -6 1 -7 -7 12
a4 a3 a2 a1 a0
r s2
b5
b4
b3
b2
b1
b0
1
-4
-5
-25
-67
-172
c5
c4
c3
c2
c1
1
-2
-7
-43
-167
r
-2,466176471 5,577941176
s
r1
-0,466176471 7,577941176
s2
er
Segunda Iteración r1
529,022082 % 73,60760722 %
es
-0,466176471 7,577941176
s2
b5
b4
b3
b2
b1
b0
1
-6,466176471
11,5923205
-61,40437199
109,4711963
-504,3516148
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,932352941
22,40196151
-124,3806021
337,2152529
r
0,292768361
s
-3,261164933 er
r2
-0,17340811
s2
4,316776243
es
-168,8319887 % -75,54630467 %
Tercera Iteración r2
-0,17340811 4,316776243
s2
b5
b4
b3
b2
b1
b0
1
-6,17340811
6,387295276
-34,75683027
26,59964075
-142,6500526
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,34681622
11,80466092
-64,20163969
88,69080559
r
0,007741767 -2,21121189
s
er es
r3
-4,673108116 % -105,0175402 %
-0,165666343 2,105564353
s3
Cuarta Iteración r3
-0,165666343 2,105564353
s3
b5
b4
b3
b2
b1
b0
1
-6,165666343
4,127007746
-20,66591354
5,11332671
-32,36051702
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,331332685
7,281460829
-35,20323494
26,27690225
r s
-0,053081798 -0,958870465 er
r4
es
-0,218748141 1,146693888
s4
24,26617119 -83,62043911
Quinta Iteración r4
-0,218748141 1,146693888
s4
b5
b4
b3
b2
b1
b0
1
-6,218748141
3,507033484
-14,89815754
0,28043813
-5,144971522
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,437496282
6,061917717
-23,60602842
12,39537696
r
-0,050960626 -0,244710698
s
er es r5
18,89468651 % -27,13029474 %
-0,269708767 0,90198319
s5
Sexta Iteración r5
-0,269708767 0,90198319
s5
b5
1
b4
b3
b2
b1
-6,269708767 3,592978612 -13,62422975 -0,084619481 -0,266003599
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,539417534
6,258700043
-21,21070071
11,28133469
A r
-0,009121515 -0,01739247
A s
er es
r6
b0
3,271350304 % -1,966160069 %
-0,278830282 0,884590721
s6
Séptima Iteración r6
-0,278830282 0,884590721
s6
b5
1
r s
b4
b3
b2
b1
b0
-6,278830282 3,635318741 -13,56783196 -0,001108358 -0,001669207
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,557660565
6,348383809
-21,13879929
11,50875043
-9,10308E-05 -0,000128525
r7
-0,278921313
r7
0,884462196
er es
0,032636749 % -0,0145314 %
Octava Iteración r7
-0,278921313 0,884462196
r7
b5
b4
1
b3
b2
c5
c4
c3
c2
c1
1
-6,557842626
6,349371448
-21,13870598
11,51181458
-6,30113E-09 -1,03131E-08
s
er r8
-0,27892132
s8
0,884462186
es
Encontramos Encontramos las primeras raíces
( x 2 028 x 0.88)( x3 6.27 x 2 3.63 x 13.57)
x
b0
-6,278921313 3,635787174 -13,56756707 -6,77162E-08 -1,45467E-07
r
x
b1
0.28 (0.28)2 4(0.88) 2 0.28 1.90 1.90 0.28 2
x1 0.81 x2 1.09
2,2591E-06 -1,16603E-06
( x3 6.27 x 2 3.63 x 13.57) Primera Iteración a3
1 -6,27 3,63 -13,57
a2 a1 a0
r s
-0,28 0,88
b3
b2
b1
b0
1
-6,55
6,344
-21,11032
c3
c2
c1
1
-6,83
9,1364
r
0,592314562 -2,298491543
s
r1
0,312314562 -1,418491543
s1
er
189,6532004 % 162,0377333 %
es
Segunda Iteración r1
0,312314562 -1,418491543
s1
r s
b3
b2
b1
b0
1
-5,957685438
0,35083654
-5,009502231
c3
c2
c1
1
-5,645370876
-2,830786534
-0,087285667 -0,843596505
r2
0,225028894 -2,262088048
s2
er
-38,78864872 % 37,29282358 %
es
Tercera Iteración r2
0,225028894 -2,262088048
s2
b3
b2
b1
b0
1
-6,044971106
0,007618788
0,105971333
c3
c2
c1
1
-5,819942211
-3,564124421
Ar
0,004015195 0,015749414
As
r3
0,229044089 -2,246338634
s3
er
1,753022664 % -0,701114859 %
es
Cuarta Iteración r3
0,229044089 -2,246338634
s3
b3
b2
b1
b0
1
-6,040955911
1,61218E-05
3,63386E-05
c3
c2
c1
1
-5,811911822
-3,577506562
r s
r4 s4
3,48104E-06 4,1097E-06 0,22904757 -2,246334524
er
0,001519788 -0,000182951
es
Quinta Iteración r4
0,22904757 -2,246334524
s4
b3
b2
b1
b0
1
-6,04095243
1,21179E-11
-3,9039E-11
c3
c2
c1
1
-5,811904859
-3,577537211
r
8,40268E-13 -7,2343E-12
s
r5 s5
0,22904757 -2,246334524
er es
3,66853E-10 3,22049E-10
( x 2 0.229 x 2.246)( x 6.04)
x3 6.04 x
0.229 (0.229) 2 4(2. (2.246)
x4 1.73 x5 1.39
2
7.4 Utilice el método de Muller para determinar las raíces reales y complejas de a) f(x) = x 3-x 2 +2x-2
f( ) 0,8 0,9 1,1 -0,67155751 0,99444328
-0,528 -0,281 0,321 -4,09696987 -0,01660857
0,9 1,1 -0,67155751 0,99444328 0,99970591
f( )
-0,281 0,321 -4,09696987 -0,01660857 -0,00088211
1,1 -0,67155751 0,99444328 0,99970591 1,00000091
2,47
3,01
1,8
1,8
-0,59
-1,208
3,01
2,4938337 3 2,4491953
0,32844249
2,35311501
0,42288578
2,9883309
0,32259168
0,3284424 9 0,4228857 8 0,3225916
- 2,664841931 - 2,734608437 -
2,4938337 3 2,4491953
2,3126515 2,34503503
0,321 -4,09696987 -0,01660857 -0,00088211 2,7406E-06
- 0,67155751 0,99444328 0,99970591 1,00000091
2,9883309 8
8 2,9994137 3
1,9941501
8 1,9941501
2,667629448 - 1,005848268
- 0,98830184
1
b) f(x) = 2x 4 +6x 2 -8
f( ) 0,8 0,9 1,1 -0,21621225
15,13
-3,3408 -1,8278 2,1882 -7,71514287
20,08
0,9 1,1 -0,21621225 -0,78172508
16,5
-1,8278 2,1882 -7,71514287 -3,5865634
16,5
f( ) 1,1 -0,21621225 -0,78172508 0,97030435
-12,92
-3,5648
2,1882 -7,71514287 -3,5865634 -0,5782479
-0,21621225
20,08 7,52412298 -7,30059386
7,52412298 -7,30059386 1,71704621 1,71704621
11,2486465 7,87825863 7,60009596
11,2486465 7,87825863 7,60009596
-2,41729293 0,56141454 0,28382563
-8,763640001 -7,962048937 -8,009063586
-0,78172508 0,97030435 1,0080502
7.10 Determine la raíz real de x 3.3 = 79 con la herramienta Goal SEC (buscar objetivo) de Excel.
i 1
1
3,5
2
2
4
3
3
4
4
5
5
3,7395842 5 3,7573538 4 3,7587152 9
- 16,5655132 18,0058603 - 1,31861453 - 0,09383873 0,00055141
4
18,0058603
3,7395842 5 3,7573538 4 3,7587152 9 3,7587073 4
- 1,31861453 - 0,09383873 0,00055141 -2,2841E- 07
3,7395842 5 3,7573538 4 3,7587152 9 3,7587073 4 3,7587073 4
- 1,31861453 - 0,09383873 0,00055141 -2,2841E- 07 -4,9738E- 13
7.12 Determine las raíces del sistema de ecuaciones simultáneas no lineales y = -x 2 +x+0.5 y+5xy = x 2 Emplee los valores iniciales de x = y= 1.2 y use la herramienta solver de Excel.
y +x 2 -x-0.5=0 y+5xy-x 2 =0
x = y= 1.2
x 1,2 0,5 1,2 0,707107 y
x y
1,2 2 1,2 5(1,2)
0,04
0,707107 0,5 0,04 1,080327 0,7071072 0,04 5(0,707107)
0,130108
x 1,080327 0,5 0,130108 1,204251 y
1,0803272 0,130108 5(1,080327)
0,191979
x 1,204251 0,5 0,191979 1,229745 y
1,2042512 0,191979 5(1,204251)
0,208967
x 1,229745 0,5 0,208967 1,233198 y
1,2297452 0,208967 5(1,229745)
0,212263
x 1,233198 0,5 0,212263 1,233383 y
1,2331982 0,212263 5(1,233198)
0,212263
x 1,233383 0,5 0,212263 1,233337 y
1,2333832 0,212263 51,233383
0,212257
x 1,233337 0,5 0,212257 1,233321 y
1,2333372 0,212257 5(1,233337)
0,212247
x 1,233321 0,5 0,212247 1,233318 y
1,2333212 0,212247 5(1,233321)
0,212245
y +x 2 -x-0.5=0 y+5xy-x 2 =0
0,212245 1,2333182 1,233318 0,5 0 5,5917E - 07 0 0,212245 51,2333180,212245 1,233318 0 2
1,6586E - 06 0
y x x 0,5 2
y +x 2 -x-0.5=0 y+5xy-x 2 =0
x y 2
x
5 y
x = y= 1.2
2 y (1,2) 1,2 0,5 3,14
x
1,2 2 1,2 5(1,2)
0,04
y (0,04) 0,04 0,5 0,541600 2
x
0,04 2 3,14 5(3,14)
0,199898
y (0,199898) (0,199898) 0,5 0,340061 2
x
0,1998982 0,541600 5(0,541600)
0,185244
2 y (0,185244) (0,185244) 0,5 0,349071
x
(0,185244) 2 0,340061 5(0,340061)
0,179818
y (0,179818) (0,179818) 0,5 0,352516 2
x
(0,179818) 2 0,349071 5(0,349071)
0,181474
2 y (0,181474) (0,181474) 0,5 0,351459
x
(0,181474) 2 0,352516 5(0,352516)
0,181316
y (0,181316) (0,181316) 0,5 0,351560 2
x
(0,181316) 2 0,351459 5(0,351459)
0,181302
y (0,181302) (0,181302) 0,5 0,351575 2
x
(0,181302) 2 (0,351560) 5(0,351560)
0,181302
y (0,181302) (0,181302) 0,5 0,351568 2
x
(0,181302) 2 0,351575 5(0,351575)
0,181301
y +x 2 -x-0.5=0 y+5xy-x 2 =0
0,351568 0,1813012 0,181301 0,5 0 0,065739253 0 0,351568 5 0,1813010,351568 0,181301 0 2
- 1,3385E - 07 0
En ingeniería química, los reactores de flujo tipo tapón (es decir, aquellos en que el fluido va de un extremo al otro con una mezcla mínima a lo largo del eje longitudinal) se usan para convertir reactantes en productos. Se han determinado que la eficiencia de la conversión algunas veces se mejora recirculando una porción de la corriente del producto, de tal forma f orma que regrese a la entrada para un paso adicional a través del reactor (figura P8.2). La razón de recirculando se define como R
Volumen de fluido que regresa a la entrada Volumen que asle del sistema
Suponga que se esta procesando una sustancia A para generar un producto B. Para el caso en que A forma a B de acuerdo con una reacción autocatalítica (es decir, el la cual unos de los productos actúa como catalizador o estimulante en la reacción), es posible demostrar que una razón óptima de recirculación debe satisfacer
ln
1 R(1 X M ) R(1 X M )
R 1 R1 R(1 X M )
donde X M M es la fracción del reactante A que se convierte en el producto B. La razón óptima de recirculación corresponde a un reactor de tamaño mínimo necesario para alcanzar el nivel deseado de conversión. Utilice un método numérico para determinar la razón de recirculación necesaria, de manera que se mide el tamaño del reactor para una conversión fraccional de X M M = 0.9
4 3 2
) R ( f
1 0
-4
-2
0
2
4
6
-1 -2 R
1
-2
2
0
- 1,026856449 1
3
-0,9867497
0,118590251
4
- 1,11951304 - 1,10386015 - 1,10407462
- 0,015850673 0,000220199
5 6
4,03075E-07
0
1
- 0,986749704 - 1,119513036 - 1,103860152 - 1,104074624 - 1,104075017
0,11859025 - 0,01585067 0,0002202 4,0308E-07 -1,0269E- 11
- 0,986749704 - 1,119513036 - 1,103860152 - 1,104074624 - 1,104075017 - 1,104075017
0,11859025 - 0,01585067 0,0002202 4,0308E-07 -1,0269E- 11 0
La siguiente ecuación permite calcular la concentración de un químico en un reactor donde se tiene una mezcla completa
( 1 c c ent e en t
0.04 t
) c0 e
.0.04 t
Si la concentración inicial es c 0 0 = 4 y la concentración de entrada es c ent ent = 10, calcule el tiempo requerido para que c sea el 93% de c ent ent
f (t ) 10 (1 e
0.04t
) 4e .0.04t 9.3
1 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
-1 -2 -3 -4 -5
i 1
1
53
2
2
54
3
3
53,714959 4
- 0,02018977 0,00804927 0,00011477
54
0,00804927
53,714959 4 53,710836 6
0,00011477 -6,6502E- 07
Las siguientes reacciones químicas se llevan a cabo en un sistema cerrado 2 A B C A D C
En equilibrio estas pueden caracterizarse por K 1
K 2
C c 2
C a C b C c C a C d
53,714959 4 53,710836 6 53,710860 3
0,00011477 -6,6502E- 07 5,4522E-11
Donde la nomenclatura C n n representa la concentración del componente N. Si x 1 y x 2 2 son el numero de moles de C que se producen debido a la primera y segunda reacciones, respectivamente, emplee un método similar al del problema 8.5 paras reformular las relaciones de equilibrio en términos de las concentraciones iniciales de los componentes. Después, use el método de Newton-Raphson para resolver el par de ecuaciones simultaneas no lineales para x 1 y x 2 2 si K 1 = 4 x 10 -4 , K 2 2 =3.7 x 10 -2 , C a,0 a,0 = 50, C b,0 b,0 = 20, C c,0 c,0 = 5 y C d,0 d,0 = 10. Utilice un método grafico para proponer los valores iniciales.
f ( x) 4 10
4
5 x (50 2 x) 2 (20 x)
0,0004 0,0002 0 -0,0002
0
2
4
6
8
10
12 12
) -0,0004 x ( f -0,0006 -0,0008 -0,001 -0,0012 -0,0014 x
1 2 3 4 5 6
4 6 4,72030118 4,82836573 4,84725963 4,84694813
8,1122E-05 -0,00014412 1,3293E-05 1,9783E-06 -3,3162E-08 8,1052E-11
6 4,720301176 4,828365729 4,847259626 4,846948127 4,846948886
-0,00014412 1,3293E-05 1,9783E-06 -3,3162E-08 8,1052E-11 3,3109E-15
4,72030118 4,82836573 4,84725963 4,84694813 4,84694889 4,84694889
1,3293E-05 1,9783E-06 -3,3162E-08 8,1052E-11 3,3109E-15 0
8.8 El volumen V de un liquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r y longitud L esta relacionado con la profundidad del liquido h por
r h 2 r h 2rh h r
V r 2 c os1
L
Determine h para r = 2m, L = 5m 3 y V = 8m 3. Observe que si usted utiliza un lenguaje de programación o herramienta d software, el arco coseno se puede calcular como
c os1 x
x tan 1 2 2 1 x
h = ? r = 2m L = 5m 3 V = 8 m 3
2 h 2 h 22h h 2 5 2 1 2 h 1,6 4 c os 2 h 4h h 2 2 h f (h) 2,5 c os1 1 1,25 0,625h 4h h 2 2 1
8 2 c os 2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
-1,25 -0,0134605 0,65875277 1,27410421 1,86823805 2,45052563 3,02297141 3,58465278 4,13318781 4,665294 5,17699082
La raíz esta en el intervalo entre 0,2 y 0,4
6 5 4 3
) h ( f 2 1 0 -1 0
0, 5
1
1, 5
2
2, 5
-2 h
1 2 3 4
1 2 3 4
0,2 0,4 0,20400483 0,203647
-0,0134605 0,65875277 0,0012005 -0,00010629
0,4 0,20400483 0,203647 0,2036761
0,65875277 0,20400483 0,0012005 0,203647 -0,00010629 0,2036761 2,2943E-08
0,0012005 -0,00010629 2,2943E-08 4,3851E-13
8.10 Para el tanque esférico del problema 8.9, es posible desarrollar las siguientes formulas para el método de punto fijo: h (3V / ) 3
h
3r
y
h 3 3 rh 2
V
Si r = 1m y V = 0.5m 3, determine si cualquiera de las dos alturas es estable, y el rango de valores iniciales para los que si son estables.
60 50 40 30
) h ( F
20 10 0 -4
-2
-10
0
2
4
6
-20 -30 h
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 0,39894228 0,42464042 0,42974247 0,43082443 0,43105685 0,43110691 0,4311177 0,43112003 0,43112053 0,43112064 0,43112066
0,39894228 0,424640422 0,429742471 0,430824428 0,431056847 0,43110691 0,4311177 0,431120026 0,431120527 0,431120635 0,431120659 0,431120664
0,477464829 0,063493636 0,013077308 0,00279329 0,000600954 0,000129488 2,79099E-05 6,01615E-06 1,29684E-06 2,79547E-07 6,02591E-08 1,29895E-08
1
2,5
2,63390194
-2,647535171
2
2,63390194
2,729482719
-2,062318288
3
2,72948272
2,796627014
-1,537909451
4
2,79662701
2,843285853
-1,113140236
h
h3 3V /
3r
5
2,84328585
2,875471217
-0,789455346
6
2,87547122
2,897561935
-0,552180833
7
2,89756194
2,912672669
-0,382591351
8
2,91267267
2,922985055
-0,263390733
9
2,92298506
2,930011768
-0,180538662
10
2,93001177
2,934794576
-0,123381974
11
2,93479458
2,938047695
-0,084150739
12
2,9380477
2,940259281
-0,057315164
13
2,94025928
2,941762294
-0,039001135
14
2,94176229
2,942783523
-0,026522266
15
2,94278352
2,943477296
-0,01802842
16
2,9434773
2,943948562
-0,012251186
17
2,94394856
2,944268661
-0,008323628
18
2,94426866
2,944486071
-0,00565443
19
2,94448607
2,944633732
-0,003840833
20
2,94463373
2,944734017
-0,002608765
21
2,94473402
2,944802125
-0,001771847
22
2,94480213
2,944848381
-0,001203387
23
2,94484838
2,944879795
-0,000817289
24
2,9448798
2,94490113
-0,000555061
25
2,94490113
2,944915619
-0,000376965
26
2,94491562
2,944925458
-0,000256011
27
2,94492546
2,944932141
-0,000173866
28
2,94493214
2,944936679
-0,000118079
29
2,94493668
2,944939762
-8,0191E-05
30
2,94493976
2,944941855
-5,44602E-05
2 h 3 3 rh
V
8.14.- La operación de un reactor de flujo tipo tapón con densidad constante, para la producción de una sustancia, mediante una reacción enzimática se describe con la ecuación dada abajo, donde V es el volumen del reactor, F la velocidad de flujo del reactivo C, C ent ent y C sal sal son respectivamente, las concentraciones del reactivo que entran y que salen del reactor, K, K max max son constantes para un reactor de 100 L, con una concentración de entrada C ent ent = 0.1 M, y una velocidad de flujo de -3 -1 entrada de 80 L/s, K max max = 10 s y K=0.1M; Determine la concentración C a la salida del reactor. V F
C sal
K
C ent
K max C
1
K max
dC
10
8
6
4
2
0 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
-2
0 1 2 3 4 5 6 7
0,1 0,2 0,10407361 0,10773839 0,12507539 0,1146647 0,1162957 0,11667537
-1,25 29,4352819 -1,16921496 -0,9651889 1,4507402 -0,26950317 -0,05089031 0,00284273
0,2 0,10407361 0,10773839 0,12507539 0,1146647 0,1162957 0,11667537 0,11665529
29,4352819 -1,16921496 -0,9651889 1,4507402 -0,26950317 -0,05089031 0,00284273 -2,659E-05
0,10407361 0,10773839 0,12507539 0,1146647 0,1162957 0,11667537 0,11665529 0,11665547
-1,16921496 -0,9651889 1,4507402 -0,26950317 -0,05089031 0,00284273 -2,659E-05 -1,3609E-08
La concentración de salida del reactor es: 0.11665547 M 8.16
La fórmula que define la fuerza por unidad de área, P/A que causa un máximo esfuerzo σ m m en una
columna que tiene una relación de esbeltez L e e /r es: P A
m
1 ec / r sec[0.5 P / EA Le / r 2
Si E = 200 000 kPa, ec/r 2 =0.2 y σ m m =250 kPa, calcule P/A para L e e /r = 100. Recuerde que sec x = 1/cos x. E = 200 000 ec/r 2 =0.2 σ m m =250 kPa
P/A = ? L e e /r = 100
P A
250
P P A A
f
P
200000 A
1 0,2 sec 0.5
-102,460024 -71,5626245 -37,26762 2,26148236 50,4716553 114,680937 213,632876 414,06707 1257,63723
250
1 0,2 sec 50
80 100 120 140 160 180 200 220 240
100
P 200000 A 1
La raíz esta en el intervalo entre 120 y 140
1 2 3 4
8.18
1 2 3 4
120 140 138,855789 138,944483
-37,26762 2,26148236 -0,19003092 -0,00096384
140 138,855789 138,944483 138,944935
2,26148236 -0,19003092 -0,00096384 4,1109E-07
138,855789 138,944483 138,944935 138,944935
-0,19003092 -0,00096384 4,1109E-07 -7,9581E-13
En la figura figura P8.18a se muestra una viga uniforme sujeta a una carga distribuida creciente linealmente. La ecuación para calcular la curva elástica resultante es (véase la figura P8.18b) y
W 0
120 EIL EI L
x
5
2 L2 x 3 L4 x
(P8.18)
Utilice el método de la bisección para determinar el punto de máxima deflexión (es decir, el valor de x donde dy/dx = 0). Después, sustituya este valor en la ecuación (P8.18) para determinar el valor valor de máxima deflexión. Use los siguientes valores de los parámetros en sus cálculos: L = 450cm, E = 50 000 kN/cm 2 , I = 30 000 cm 4 y w o o = 1.75 kN/cm.
0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0 -10-0,0002 0 0
10 0
200
f(xa) -0,00035 -8,77701E-06 -8,77701E-06 -8,77701E-06 -8,77701E-06 -8,77701E-06
xb
300
400
500
600
-0,0004 -0,0006 -0,0008 -0,001 -0,0012
Iteracion
xa 1 2 3 4 5 6
150 200 200 200 200 200
xc 250 250 225 212,5 206,25 203,125
200 225 212,5 206,25 203,125 201,5625
f(xc) -8,777E-06 0,00016611 7,9142E-05 3,5234E-05 1,3234E-05 2,2285E-06
f(xa)f(xc) 3,07195E-09 -1,45798E-09 -6,94633E-10 -3,09253E-10 -1,16151E-10 -1,95593E-11
8.20
La concentración de baterías contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación c 70e 1.5t 25e 0.075t
Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 usando a) el método gráfico y b) el método de la secante
f (t ) 70e
1.5t
25e 0.075t 9
i 1
1
12
1,16424256
15
-0,8836883
13,705491
2
2
15
13,705491
3
3
13,705491
- 0,05616911 0,00296543
4
4
5
5
13,617624 3 13,622030 5
- 0,883688304 - 0,056169113 0,002965434
13,617624 3 13,622030 5 13,622016 8 13,622016 8
-9,29032E- 06
13,617624 3 13,622030 5 13,622016 8
-9,2903E- 06 -1,5302E- 09
- 0,05616911 0,00296543 -9,2903E- 06 -1,5302E- 09 0
8.22
Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $20 000 al contado y en pagos de $4 000 al año durante 6 años, ¿Qué tasa de interés se esta pagando? La fórmula que relaciona el valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la tasa de interés es A P
f (i ) 20000
i (1 i) 6
(1 i ) 6 1
i(1 i) n
(1 i ) n 1
4000
300 200 100 0 0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
-100 -200 -300 -400 -500 -600
0 1 2 3 4
0,05 0,06 0,05470048 0,05471786 0,05471793
-59,6506378 67,2525695 -0,22125612 -0,00081302 9,9312E-09
La tasa de interés es 0.05471793 anual
0,06 0,05470048 0,05471786 0,05471793 0,05471793
67,2525695 -0,22125612 -0,00081302 9,9312E-09 0
0,05470048 0,05471786 0,05471793 0,05471793 0,05471793
-0,22125612 -0,00081302 9,9312E-09 0 0
8.28
Realice el mismo calculo que en la sección 8.3, pero ahora para determinar el valor de L que se se ado R = 280 Ω y requiere en el circuito de manera que disipe el 1% de su valor original en t=0.05 s, d ado -4 C = 10 F f ( L) e
i 1 2 3
8.30
1 2 3
2080*0.05
2*l
0,09 0,12 0,08999997
* c os ((1 / 10 L 280 / 2 L * 0.05 0.01 4
2
7,4564E-25 8,0241E-19 7,4563E-25
0,12 0,08999997 0,08999994
8,0241E-19 7,4563E-25 7,4561E-25
0,08999997 0,08999994 0,08837996
7,4563E-25 7,4561E-25 2,6932E-25
La resistividad ρ de un silicón revestido depende de la carga q en un electrón, la densidad del electrón n y la movilidad del electrón μ . La densidad del electrón está dada en términos de la densidad de revestimiento N y la densidad portadora intrínseca n i i. La movilidad del electrón esta definida está definida por la temperatura T, la temperatura de referencia T 0 y la movilidad de la referencia μ o o. Las ecuaciones necesarias para calcular la resistividad son
1
qn
donde
n
N 2
1
N 2 4ni2
T 0 T 0
y
2.42
Determine N, dados T 0 = 300 K, T = 1000 K, μ o o = 1330 cm 3 (Vs) -1, q = 1.6 x10 -19 C, n i i = 6.21 x 10 9 cm -3, y la resistividad deseada ρ = 6 x 10 6 V s cm/C. Use los métodos a) de bisección y b) de la secante
N=? T 0 = 300 K T = 1000 K μ o o = 1330 cm 3 (Vs) -1,
q = 1.6 x10 -19 C n i i = 6.21 x 10 9 cm -3
1
T 1 2 2 q N N 4ni 0 2 T 0
6 x 106
1 -19
1,6x10 2
N
1000 300
2.42
2 9 2 N 4(6,21 x10 ) 1330
2.42 1,6x10-19 1000 2 9 2 f(N) 6x10 N N 4(6,21 x10 ) 1330 1 2 300 6
ρ = 6 x 10 6 V s cm/C
2.42
f ( N ) 3,46518411431 x10
11
N
N 1,542564 x10 2
20
1
Método de la bisección
1 2 3 4 5 6 7 8
1000000000 0 1000000000 0 1125000000 0 1125000000 0 1156250000 0 1171875000 0 1171875000 0 1171875000 0
- 0,100943448 - 0,100943448 - 0,029483293 - 0,029483293 - 0,011330131 - 0,002213234 - 0,002213234 - 0,002213234
1500000000 0 1250000000 0 1250000000 0 1187500000 0 1187500000 0 1187500000 0 1179687500 0 1175781250 0
1250000000 0 1125000000 0 1187500000 0 1156250000 0 1171875000 0 1179687500 0 1175781250 0 1173828125 0
0,043754753
- 0,00441676 - 0,00297615 0,029483293 0,006929873 - 0,00020432 - 0,00033405 0,011330131 - 2,5076E-05 0,002213234 0,002355074 -5,2123E- 06 7,01047E-05 -1,5516E- 07 - 2,3721E-06 0,001071769
9 10 11 12
1173828125 - 0 0,001071769 1174804687 - 5 0,000500883 1175292968 - 8 0,000215402 1175537109 -7,26519E- 4 05
1175781250 0 1175781250 0 1175781250 0 1175781250 0
1174804687 - 5 0,000500883 1175292968 - 8 0,000215402 1175537109 -7,26519E- 4 05 1175659179 -1,2744E-06 7
5,3683E-07 1,0789E-07 1,5649E-08 9,2587E-11
Método de la secante
i 1
1
1000000000 - 1500000000 0 0,10094345 0
0,19460512
1,1708E+1 0
2
2
1500000000 0,19460512 0
1,1755E+1 0
3
3
4
4
5
5
1170773029 - 1175536611 0 0,00285708 0 1175536611 -7,2943E- 1175661415 0 05 0 1175661415 3,26646E- 1175661359 0 08 1
- 0,00285707 9 -7,29433E- 05 3,26646E- 08 -3,72147E- 13
1170773029 0
1,1757E+1 0 1,1757E+1 0 1,1757E+1 0
- 0,0028570 8 -7,2943E- 05 3,2665E- 08 -3,7215E- 13 0
En la figura P8.32 se muestra un circuito con un resistor, un inductor y un capacitor en paralelo. Las reglas de Kirchhoff sirven para expresar la impedancia resultante sea de 100 Í2, usando los métodos métodos de la bisección y de la falsa posición con valores iniciales de 1 y 1 000 para los siguientes parámetros: R = 225 Q, C =06*E-6F y L=0.5H
1 / Z 1 / R2 C 1 / L
Z = 100 Ω
2 1 / 2
1 6 0 , 6 10 W x 2 100 225 W 0,5 1
R = 225 Ω
1
2
C = 0,6 x 10 -6 L = 0,5 H Valores Iniciales 1 y 1000
1 1 2 100 225 2
1 W 0,6 x106 0 , 5 W
W = ?
1 6 0 , 6 10 W x 2 2 W 0,5 100 225 1
1
2
2 13 6 f (W ) W 0,6 x10 W 162000
-200 -100 1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
1,7367E-05 0,00031736 3,99991735 0,00031736 1,7367E-05 -3,817E-05 -5,7589E-05 -6,6557E-05 -7,1406E-05 -7,4307E-05 -7,6167E-05 -7,7417E-05 -7,8287E-05 -7,8906E-05 -7,9351E-05
La raíz esta en el intervalo entre 200 y 300
2
2
2
4,5 4 3,5 3 2,5
) W ( f
2 1,5 1 0,5 0
-400
-200-0,5 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
W
1
1
2
1
3
1
4
125,875
5
188,3125
6
219,53125
7
219,53125
8
219,53125
9
219,53125
10
219,53125
11
219,53125
12
220,01904
3,99991735 3 3,99991735 3 3,99991735 3 0,00016981 2 3,01639E- 05 3,68372E- 07 3,68372E- 07 3,68372E- 07 3,68372E- 07 3,68372E- 07 3,68372E- 07 8,36129E-
1000
500,5
125,875
-6,65887E- 05 -1,90066E- 05 0,000169812
- 0,000266349 -7,60247E- 05 0,000679234
500,5
250,75
250,75 250,75
188,3125
3,01639E-05
5,1222E-09 5,1222E-09
250,75
219,53125
3,68372E-07
1,11115E-11
250,75
235,140625
235,14062 5 227,33593 8 223,43359 4 221,48242 2 220,50683 6 220,50683
227,335937 5 223,433593 8 221,482421 9 220,506835 9 220,019043
-1,02827E- 05 -5,23137E- 06 -2,50486E- 06 -1,08723E- 06 -3,64263E- 07 8,36129E-10
-3,78784E- 12 -1,92709E- 12 -9,22721E- 13 -4,00507E- 13 -1,34184E- 13 3,08006E-16
220,262939
-1,82017E-
-1,52189E-
13 14 15 16 17 18 19 20
1 2 3 4 5 6 7 8
200 231,271608 231,271608 231,271608 231,271608 231,271608 231,271608 231,271608
3 220,01904 3 220,01904 3 220,01904 3 220,01904 3 220,01904 3 220,01904 3 220,01904 3 220,01904 3
10 8,36129E- 10 8,36129E- 10 8,36129E- 10 8,36129E- 10 8,36129E- 10 8,36129E- 10 8,36129E- 10 8,36129E- 10
1,73675E-05 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06 -7,84251E-06
6 220,26293 9 220,14099 1 220,08001 7 220,04953 220,03428 6 220,02666 5 220,02285 4 220,02094 8
300 300 213,498888 220,522056 219,98131 220,023162 220,019924 220,020174
5 220,140991 2 220,080017 1 220,04953 220,034286 5 220,026664 7 220,022853 9 220,020948 4 220,019995 7
-3,81701E-05 -3,81701E-05 5,12387E-06 -3,75615E-07 -3,75615E-07 2,91797E-08 -2,25688E-09 -2,25688E-09 1,74616E-10 -1,35098E-11
07 -9,06662E- 08 -4,4934E-08 -2,20537E- 08 -1,061E-08 -4,88722E- 09 -2,02562E- 09 -5,94766E- 10 1,20677E-10
231,2716076 213,4988879 220,5220556 219,9813097 220,0231618 220,0199239 220,0201744 220,020155
16 -7,58086E- 17 -3,75706E- 17 -1,84397E- 17 -8,87131E- 18 -4,08635E- 18 -1,69368E- 18 -4,973E-19 1,00901E-19
-7,84251E-06 5,12387E-06 -3,75615E-07 2,91797E-08 -2,25688E-09 1,74616E-10 -1,35098E-11 1,04524E-12
0,00401661 -0,00167437 -0,00172945 -0,00172521 -0,00172553 -0,00172551 -0,00172551 -0,00172551
Los sistemas mecánicos reales llegan a involucrar la deflexión de resortes no lineales. En la figura P8.34, una masa m se suelta desde una distancia h sobre un resorte no lineal. La fuerza de resistencia F del resorte está dada por 8
F K 1d K 2d Con la conservación de la energía se demuestra que
3 / 2
3 / 2
0
K 2 d
5
0.5K 1d 2 mgd mdh
Encuentre d, dados los siguientes valores de los parámetros: k, = 40 000 g/s2, K2 = 40 g/(s2 m5), m = 95 g, g = 9.8 m/s2 y h = 0.43 m. 350000 300000 250000 200000
) d ( f 150000 100000 50000 0 -50000
0
1
2
3
4
5
d
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 1 0,02097616 0,04205079 1,26749023 0,05803391 0,07314862 0,28657139 0,13081857 0,15504184 0,16835807 0,16655225 0,16662434 0,16662478 0,16662478
-400,33 18684,67 -411,0578 -411,0578 -404,108106 30579,2054 -386,987897 -361,393806 976,038651 -179,753087 -63,7630938 10,0035324 -0,41596729 -0,0025013 6,3302E-07 -1,0232E-12
1 0,02097616 0,04205079 1,26749023 0,05803391 0,07314862 0,28657139 0,13081857 0,15504184 0,16835807 0,16655225 0,16662434 0,16662478 0,16662478 0,16662478
18684,67 -411,0578 -404,108106 30579,2054 -386,987897 -361,393806 976,038651 -179,753087 -63,7630938 10,0035324 -0,41596729 -0,0025013 6,3302E-07 -1,0232E-12 -5,6843E-14
0,02097616 0,04205079 1,26749023 0,05803391 0,07314862 0,28657139 0,13081857 0,15504184 0,16835807 0,16655225 0,16662434 0,16662478 0,16662478 0,16662478 0,16662478
-411,0578 -404,108106 30579,2054 -386,987897 -361,393806 976,038651 -179,753087 -63,7630938 10,0035324 -0,41596729 -0,0025013 6,3302E-07 -1,0232E-12 -5,6843E-14 -5,6843E-14
150 100 50 0 ) θ ( f
-4
-2
-50 0
2
4
6
8
10
12
-100
Los ingenieros -150 en aeronáutica -200 suelen -250 calcular las -300 trayectorias θ de proyectiles como los cohetes. Un problema relacionado con dicho tema es la descripción de la trayectoria de una pelota. La trayectoria de una pelota lanzada por un jugador que se encuentra en el jardín derecho está definida por las coordenadas (x, y), como se presenta en la figura P8.36. La trayectoria t rayectoria se puede modelar como y tan X
g 2
2V 0 cos co s 0
2
2 X 1.8
Encuentre el ángulo inicial apropiado 90 si v0 = 20 m/s y la distancia a la segunda base es de 40 m. Considere que la pelota sale de la mano del jugador a una altura de 1.8 m y que el jugador de segunda base recibe la pelota a una altura de un metro. f ( ) 40 tan 0
1 2 3 4 5
9.8 2(20) 2 cos 2 0
2 4 3,29298126 3,61576489 4,33426315
1
-86,4723309 1,28985192 -1,08356337 -0,74767304 0,96144883
4 3,29298126 3,61576489 4,33426315 3,93007939
47,2841796 -1,08356337 -0,74767304 0,96144883 -0,21436433
3,29298126 3,61576489 4,33426315 3,93007939 4,00376676
7,0896987 -0,74767304 0,96144883 -0,21436433 1,04305185
6 7 8 9 10 11 12 13
3,93007939 4,00376676 3,94264161 3,96617126 3,93665888 3,93215793 3,92367518 3,92278704
-0,21436433 1,04305185 -0,65280786 -3,22025187 -0,42613308 -0,27840899 -0,02638659 -0,00090345
4,00376676 3,94264161 3,96617126 3,93665888 3,93215793 3,92367518 3,92278704 3,92275555
1,04305185 -0,65280786 -3,22025187 -0,42613308 -0,27840899 -0,02638659 -0,00090345 -8,9362E-07
3,94264161 3,96617126 3,93665888 3,93215793 3,92367518 3,92278704 3,92275555 3,92275552
-0,65280786 -3,22025187 -0,42613308 -0,27840899 -0,02638659 -0,00090345 -8,9362E-07 -2,3206E-11
En la sección 8.4 el ángulo de fase 0 entre la vibración forzada causada por el camino accidentado y el movimiento del carro está dado por tan
2c / c0 * / p 1 ( / p )
Como ingeniero mecánico, a usted le gustaría saber si hay casos donde 0 = wf2 + 1. Use los otros parámetros de la sección para establecer la ecuación como un problema de raíces y encuentre W f ( w)
2(0.1221 )( w / 34.12) 1 ( w / 34.12)
w tan 1 2 10 5
) w -5 ( f
0 0
5
10
-5 -10 -15 w
15
20
1 2 3 4 5 6 7 8
0 5 2,99885741 5,39906216 3,60334905 3,55553117 3,59690703 3,59491867
-0,92621604 0,61806552 3,7174254 -11,0430469 -0,28643677 1,83972919 -0,09287326 -0,03544718
5 2,99885741 5,39906216 3,60334905 3,55553117 3,59690703 3,59491867 3,59369132
0,61806552 3,7174254 -11,0430469 -0,28643677 1,83972919 -0,09287326 -0,03544718 -0,00022412
2,99885741 5,39906216 3,60334905 3,55553117 3,59690703 3,59491867 3,59369132 3,59368351
3,7174254 -11,0430469 -0,28643677 1,83972919 -0,09287326 -0,03544718 -0,00022412 -3,0047E-07
Un compresor está operando con una razón de comprensión, Rc, de 3.0 (la presión del gas que sale es 3 veces mayor que la presión del gas que entra). Los requerimientos de potencia del compresor, Hp, se determina mediante la ecuación dada abajo. a bajo. Suponiendo que los requerimientos de potencia del compresor son exactamente igual a zRT¡/MW, encuentre la eficiencia politrópica, n, del compresor, z es la compresibilidad del gas bajo las condiciones de operación operación del compresor, R es la constante constante de los gases, Tí es la temperatura del gas a la entrada del compresor y MW es el peso molecular del gas. n 1 n n 3 1 MW MW n 1
zRT 1
zRT 1
n 1 n n f (n) 3 1 1 n 1
n i-1 i-1=0,7 n i i=1,1 = 1,1 i 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0,7 1,1 0,87738972 0,84741522 0,85187767 0,85180172
-0,12378978 0,15534654 0,01843513 -0,00322459 5,5827E-05 1,6582E-07
1,1 0,87738972 0,84741522 0,85187767 0,85180172 0,8518015
0,15534654 0,01843513 -0,00322459 5,5827E-05 1,6582E-07 -8,5567E-12
0,87738972 0,84741522 0,85187767 0,85180172 0,8518015 0,8518015
0,01843513 -0,00322459 5,5827E-05 1,6582E-07 -8,5567E-12 0
En el termo que se muestra en la figura P8.42, el compartimiento interior está separado del compartimiento intermedio por vacío. Alrededor del termo hay una última capa, que está separada de la capa intermedia por una delgada capa de aire. La parte exterior de la última capa está en contacto con el medio ambiente. La transferencia de calor del compartimiento interior a la siguiente capa,
q1 109 T 0 273 T 1 273 4
4
q2 4T 1 T 2
q3 1.3 21 T 3
4 / 3
0
f (T 2 ) 1.3(T 2 25) 4 / 3 10 9 3.57 x1011 T 2 0.325(T 2 25) 4 / 3 273
4
2000 1000 0 0 -1000 -2000 -3000 -4000
50
100
150
200
250
1 2 3 4 5 6 7 8
150 200 171,486507 174,990397 175,642959 175,625113 175,625188 175,625188
T 2 175.625188 T 1 434
-1220,605067 1619,793902 -226,9359823 -35,62890541 1,001778689 -0,004251597 -5,04306E-07 2,95586E-12
200 171,486507 174,990397 175,642959 175,625113 175,625188 175,625188 175,625188
1619,793902 -226,9359823 -35,62890541 1,001778689 -0,004251597 -5,04306E-07 2,95586E-12 -5,00222E-12
171,486507 174,990397 175,642959 175,625113 175,625188 175,625188 175,625188 175,625188
-226,935982 -35,6289054 1,00177869 -0,0042516 -5,0431E-07 2,9559E-12 -5,0022E-12 -5,0022E-12
