EQUILIBRIO ESTÁTICO: El concepto de equilibrio, se aplica tanto para cuerpos en reposo respecto de un sistema de referencia o para cuerpos cuyo centro de masa se mueve con velocidad constante, si el cuerpo está en reposo, entonces se dice que el equilibrio es estático y si el centro de masa se mueve con velocidad constante, se habla de un equilibrio dinámico. CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTATICO: Un cuerpo que está en reposo y permanece en ese estado se dice que se encuentra en equilibrio estático, una condición necesaria para que se dé esta situación es que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo sea nula, del mismo modo, el centro de masa de un cuerpo rígido permanece en reposo si la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es cero, sin embargo, aunque su centro de masa se encuentra en reposo, el cuerpo puede girar, si esto sucede, el cuerpo no está en equilibrio estático, por lo tanto, para que se dé la condición de equilibrio estático, debe cumplirse además que el momento resultante que actúa sobre el cuerpo debe ser cero respecto de cualquier punto, por lo tanto para que el equilibrio sea estático se debe cumplir: La fuerza externa resultante que actúa sobre el cuerpo debe ser nula
El momento externo resultante respecto a un punto cualquiera debe ser nulo.
EQUILIBRIO Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas. El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes. Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva. 1.1 Ecuaciones básicas de equilibrio Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y rotación. y Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares, tres de traslación y tres de rotación. , estas tres corresponden a tres posibles formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del cuerpo y corresponden a tres grados de libertad de rotación.
En total representan seis formas de moverse, seis grados de libertad para todo cuerpo en el espacio. Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: Procedimiento grafico que consiste en aislar un cuerpo sobre e actúan las fuerzas externas, ocasionadas por tener contacto con otros cuerpo o por la atracción gravitacional.
En estos diagramas, se escoge un objeto o cuerpo y se aisla, reemplazando las cuerdas, superficies u otros elementos por fuerzas representadas por flechas que indican sus respectivas direcciones. Por supuesto, también debe representarse la fuerza de gravedad y las fuerzas de friccion. Si intervienen varios cuerpos, se hace un diagrama de cada uno de ellos, por separado.
CENTRO DE GRAVEDAD: Si se considera un cuerpo dividido en muchas partes pequeñas, que se pueden considerar como partículas, el peso de cada una de ellas es wi y el peso total del cuerpo será . Se puede imaginar este peso total concentrado en un solo punto del cuerpo, tal que si se soportara en ese punto, se encontraría en equilibrio estático, ese punto se denomina centro de gravedad, definido de modo que el momento producido por w respecto a cualquier punto es lo mismo que el producido por el peso de todas las partículas que constituyen dicho cuerpo, por lo tanto:
donde X Cg es la coordenada x del centro de gravedad relativa a cualquier origen O. Si la aceleración de gravedad no varía en los distintos puntos del cuerpo (como ocurre casi siempre, el centro de gravedad coincide con el centro de masa, es decir, cuando el campo gravitatorio es uniforme, entonces el centro de gravedad coincide con el centro de masa. CENTRO DE MASA: Es un punto que se comporta como si toda la masa del sistema estuviese concentrada en él y las fuerzas externas que actúan sobre el sistema se aplicaran exclusivamente sobre dicho punto. - La posición del centro de masa de un conjunto de partículas i m ubicadas en posiciones i r� , define como:
Definición Ampliada El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales.
Inercia La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton, que postula: “Un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”.
Inercia a la Rotación Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. La inercia de un objeto a la rotación está determinada por su Momento de Inercia, siendo ésta ‘’la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro’’.
Momento de Inercia. EjemploEl momento de inercia realiza en la rotación un papel similar al de la masa en el movimiento lineal. Por ejemplo, si con una honda se lanza una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. El momento de inercia es pues similar a la inercia, con la diferencia que es aplicable a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en linea recta a la misma velocidad. La inercia puede interpretarse como una nueva definición de masa. El momento de inercia es, pues, masa rotacional y depende de la distribución
de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.
Se calcula:
Momento de inercia de una distribución de masas puntuales Tenemos que calcular la cantidad donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de • • •
Un extremo De la segunda masa Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2 El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2 El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m. La fórmula que tenemos que aplicar es I=IC+Md2 • • • •
IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2. IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.
Momento de inercia de una distribución continua de masa Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías • •
Aplicación directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2π x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2y de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia del disco es
Haciendo el cambio de variable x=R·cosθ y=R·senθ Llegamos a la integral
Momento de inercia de una esfera Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la figura x2+z2=R2
Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es
Momento de inercia de un paralepípedo Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es
Esfuerzo
Idea y necesidad del concepto de esfuerzo Las fuerzas internas de un elemento están ubicadas dentro del material por lo que se distribuyen en toda el área; justamente se denomina esfuerzo a la fuerza por unidad de área, la cual se denota con la letra griega sigma (σ) y es un parámetro que permite comparar la resistencia de dos materiales, ya que establece una base común de referencia.
Donde: P≡ Fuerza axial; A≡ Area de la sección transversal.
Cabe destacar que la fuerza empleada en la ec. 1 debe ser perpendicular al área analizada y aplicada en el centroide del área para así tener un valor de σ constante que se distribuye uniformemente en el área aplicada. La ec. 1no es válida para los otros tipos de fuerzas internas1; existe otro tipo de ecuación que determine el esfuerzo para lasotras fuerzas, ya que los esfuerzos se distribuyen de otra forma. Unidades El esfuerzo utiliza unidades de fuerza sobre unidades de área, en el sistema internacional (SI) la fuerza es en Newton (N) y el área en metros cuadrados (m2), el esfuerzo se expresa por N/m2 o pascal (Pa). Esta unidad es pequeña por lo que se emplean múltiplos como el es el kilopascal (kPa), megapascal (MPa) o gigapascal (GPa). En el sistema americano, la fuerza es en libras y el área en pulgadas cuadradas, así el esfuerzo queda en libras sobre pulgadas cuadradas (psi). Particularmente en Venezuela la unidad más empleada es el kgf/cm2 para denotar los valores relacionados con el esfuerzo (Beer y Johnston, 1993; Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982; Timoshenko y Young, 2000).
TIPOS DE ESFUERZOS FÍSICOS
Si una fuerza actúa sobre un cuerpo tiende a deformarlo, ésta dependerá de la dirección, del sentido y punto de aplicación de dicha fuerza. Podemos encontrar 6 tipos de esfuerzos: TRACCIÓN: La fuerza alarga el objeto actuando desde la perpendicular a la superficie que lo sujeta
COMPRESIÓN: La fuerza acorta el objeto actuando perpendicularmente a la superficie que lo sujeta. Es lo contrario a la tracción
FLEXIÓN: Cuando se aplica este esfuerzo, el objeto tiende a curvarse. La fuerza es paralela a la superficie de fijación
TORSIÓN:La fuerza retuerce el objeto . Las fuerzas que actúan son paralelas a la superficie (forman un par o momento)
CORTADURA: La fuerza pasa por la superficie que se rompe
PANDEO: Similiar a la compresion
pero en objetos estrechos y largos
A menudo se realizan una serie de pruebas a los materiales (fundamentalmente metales) para ver su comportamiento, a estas prueba se les llama ensayos. A partir de estos, se puede determinar:
•
Sus características para una posible utilización
•
Los defectos de las piezas ya terminadas.
El ensayo de tracción es el más importante y el más empleado de todos. Se realiza con probetas de dimensiones normalizadas, que se someten a esfuerzos de tracción progresivamente crecientes, en dirección longitudinal, hasta producir su rotura.
El ensayo de tracción permite estudiar el alargamiento de la probeta en función de la fuerza o carga actuante. La forma del diagrama depende del material a ensayar. En
la imagen podemos ver un diagrama característico de un material dúctil y maleable, como el acero extrasuave.
Período 1. ALARGAMIENTOS ELÁSTICOS. Los alargamientos son pequeños y proporcioales a los esfuerzos. Cuando el esfuerzo cesa la probeta recupera su estado inicial. ZONA ELÁSTICA.
Período 2. ALARGAMIENTOS PERMANENTES. Los alargamientos son grandes, cuando cesa la fuerza, la deformación permanece. ZONA PLÁSTICA.
Período 3. ALARGAMIENTOS LOCALIZADOS. Cuando la carga llega a cierto valor, el alargamiento se localiza en una zona concreta (hacia el centro de la probeta) llamada ZONA DE ESTRICCIÓN. Finaliza en rotura.
Ley de Hooke: “La Fuerza que devuelve un resorte a su posición de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posición”. F = K. ∆ X Donde: F = fuerza aplicada al resorte K = constante de proporcionalidad ∆ x = variación de longitud del resorte
RIGIDEZ: Es la capacidad de un elemento estructural o de un objeto sólido para soportar esfuerzos sin deformarse o desplazarse. La cuantificación de la rigidez frente a diversas configuraciones de carga puede expresarse a través de los coeficientes de rigidez, que son magnitudes físicas. La rigidez suele calcularse a partir de la razón entre una fuerza aplicada y el desplazamiento generado por la aplicación de dicha fuerza. Se conoce como rigidez axial de una barra o una viga a la capacidad de soportar intentos de alargamiento o acortamiento por la aplicación de una fuerza según su eje. FLEXIBILIDAD: condición de un cuerpo que puede sufrir adaptaciones, es maleable, propenso a adaptarse a los cambios y volver a su estado natural.
Bibliografía: UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE - DEPARTAMENTO DE FISICA - PROGRAMA DE PERFECCIONAMIENTO FUNDAMENTAL
http://cmapspublic2.ihmc.us/rid=1HLV894ZZ-CVFX8Q-CH/estatica_marrieta.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm http://www2.ib.edu.ar/becaib/bib2007/Sanger.pdf http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/equilibrio%20y%20determinacion/cap %C3%ADtulo_2.htm
