Epistemología de las ciencias formales
Miguel Ángel Pérez Jiménez
MÓDULO
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COORDINACIÓN NACIONAL DE LOS PROGRAMAS DE FILOSOFÍA
Índice
Introducción 1. La dificultad que enfrentamos.............................................................................................. 5 2. El objetivo y la estructura del libro ........................................................................................ 7 3. El enfoque que asumimos: horizonte y límites..................................................................... 8 Unidad 1. Naturaleza y características de las ciencias formales Capítulo 1 Hacia una idea de ciencia formal y su epistemología ...................................12 1. Ciencias naturales, sociales y formales.............................................................................. 13 2. El lenguaje: topos de las ciencias formales....................................................................... 17 3. Lenguajes naturales y artificiales ........................................................................................ 23 4. La idea de lenguaje formal ................................................................................................. 27 5. El valor de los signos en los lenguajes formales ................................................................ 31 6. Los mecanismos deductivos y la idea de sistema formal ............................................... 36 7. Entre matemática y filosofía: tres problemas de un sistema formal .............................. 41 7.1 La completud............................................................................................................... 44 7.2 La consistencia ............................................................................................................ 45 7.3 La decidibilidad ........................................................................................................... 46 Unidad 2. Problemas epistemológicos específicos de una ciencia formal Capítulo 2. Problemas selectos de los lenguajes formales. El caso de la lógica ............49 1. Lógica formal: lenguaje y pensamiento............................................................................ 50 2. El lenguaje formal de la lógica proposicional .................................................................. 56 3. Lo variable de las variables ................................................................................................. 61 4. La interpretación de las variables proposicionales .......................................................... 63 4.1 Proposiciones y lenguajes naturales ......................................................................... 64 4.2 El debate sobre los portadores de verdad .............................................................. 66 4.3 La naturaleza de las proposiciones........................................................................... 69 4.3.1 Interpretación idealista......................................................................................... 69 4.3.2 Interpretación psicologista................................................................................... 70 4.3.3 Interpretación referencialista............................................................................... 73 5. El problema de las constantes lógicas .............................................................................. 79 Capítulo 3. Problemas selectos de los mecanismos deductivos. El caso de la matemática ...............................................................................................................................................91 1. Argumentación deductiva y deducción .......................................................................... 92 1.2 Argumentación deductiva e inductiva.................................................................... 92 1.2 Deducción, inducción, validez y fuerza ................................................................... 93 1.3 Mecanismo deductivo, deducción y demostración.............................................. 94 2. La demostración como paradigma del conocimiento matemático ........................... 95
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2.1 Un caso de demostración matemática................................................................... 97 2.2 Demostración matemática y filosofía..................................................................... 101 3. Los problemas de la demostración .................................................................................. 102 3.1 El logicismo y las paradojas de la demostración .................................................. 104 3.2 El intuicionismo y la insuficiencia matemática de la demostración................... 112 3.2 El formalismo y sus limitaciones internas ................................................................. 118 Apéndice ............................................................................................................................... 127 Apéndice A ............................................................................................................................. 128 Un problema en la demarcación de las ciencias formales.............................................. 128 1. Las nuevas ciencias formales ............................................................................................ 128 2. Cuatro conceptos básicos de las nuevas ciencias formales ....................................... 135 2.1 Computación............................................................................................................. 136 2.2 Complejidad .............................................................................................................. 137 2.3 Sistema ........................................................................................................................ 139 2.4 Información ................................................................................................................ 141 Glosario Bibliografía 1. Libros cortos y sencillos de contextualización histórica y sistemática ......................... 150 2. Historias completas de la lógica y la matemática......................................................... 151 3. Introducciones a las ciencias formales............................................................................ 151 4. Introducciones a la epistemología de las ciencias formales........................................ 151 5. Textos clásicos ..................................................................................................................... 152 6. Antologías ............................................................................................................................ 154 7. Textos de referencia ........................................................................................................... 155 8. Recursos en línea ................................................................................................................ 158 8.1 Sobre filosofía de la lógica y la matemática ............................................................ 158 8.2 Sobre filosofía de la computación y los sistemas de información .......................... 158 8.3 Diccionarios y páginas de información general sobre temas filosóficos............... 159 8.4 Organizaciones.............................................................................................................. 159
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Introducción
Este libro tiene como objetivo introducir al lector al apasionante mundo de la epistemología de las ciencias formales. Aunque el nombre suena rimbombante e incluso ajeno para muchos, los fenómenos que ocupan a las ciencias formales son de lo más cotidiano. Por eso el libro está dirigido a todos los interesados en comprender algunos interesantes detalles de estas ciencias, o simplemente a todo aquel cuya curiosidad le haya hecho llegar a él, aún sin saber exactamente dónde se adentra. La epistemología de las ciencias formales es una disciplina de segundo orden; es decir, no es un saber sobre fenómenos de la vida corriente o sobre hechos del mundo, sino un saber sobre otro saber. Como toda disciplina de su estilo, la epistemología de las ciencias formales presupone entonces un conocimiento básico de las ciencias en cuestión. Sin embargo, en Colombia el conocimiento científico en general no está muy difundido, y entre sus variedades unas son mejor conocidas que otras. Para nuestro pesar, las ciencias formales son las más desconocidas de todas, no porque no tengamos contacto con ellas sino porque no nos resulta fácil comprender su naturaleza y su valor. Las dos ciencias formales clásicas son la lógica y la matemática. Al decirlo tenemos que prevenir al lector para que aparte de su mente ese montón de imaginarios asociados a ellas: extrema dificultad, complejidad, inaxesibilidad e incluso inutilidad. Estos y otros prejuicios han hecho a las ciencias formales merecedoras del último lugar en la lista de los intereses
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del común de la gente. No nos aproximamos a la matemática o a la lógica sino para utilizarlas en ocasionales instantes de la vida cotidiana o, más cruelmente, para tratar de que ellas no se vuelvan nuestra condena. Ahí esta la principal motivación del libro: más allá de los imaginarios que circundan las disciplinas de nuestro interés, tratamos de comprender su origen y algunas de sus nefastas consecuencias. Pero vayamos un poco más despacio para precisar mejor de qué hablamos.
1. La dificultad que enfrentamos En la escuela, lógica y matemática se van convirtiendo en lo más lejano y hostil, pues el problema con ellas no es sólo de entendimiento sino también de voluntad. Además de que no las entendemos cuando el profesor las explica, poco a poco les vamos cogiendo mala fe, como se dice popularmente, y terminan siendo el coco, como dicen los estudiantes. Pero ahí no termina el problema, apenas comienza. Aunque muchas personas, quizá la mayoría, encuentran complicada y aburrida la tarea de matemáticas o de lógica, no todos comparten esa opinión. Lejos de ser algo grato en nuestro contexto, esta particularidad es el mayor argumento para que las ciencias formales no merezcan la más mínima atención de la gente: se han convertido en fuente de exclusión y marginación. Los que pueden con ellas, se dice, son los buenos; los que no, son los malos. Las ciencias formales parecen ajenas al común de las personas. Muchos les tememos y son la causa de que varios de nosotros hayamos sido tratados alguna vez como incompetentes, lentos o inútiles. En nuestra sociedad no está permitido errar en un cálculo complejo, pero tampoco en uno simple. El que no puede realizar una resta es tan mal visto como el que no puede entender un argumento. Lógica y matemáticas son entonces la fuente de graves problemas de nuestra sociedad, pero no en sí mismas, pues difícilmente podríamos decir que hoy por hoy sabemos cuál es la naturaleza de estas disciplinas, sino por las prácticas de marginación que conllevan. ¿Cómo es posible que se dé este indeseable fenómeno? La respuesta supone contemplar diversos aspectos, y no es este el lugar para enfrentarlos. Por ahora basta decir que una de las causas es la apariencia
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de pulcritud, impecabilidad y perfección con que se enseñan las ciencias formales. Enseñar es mostrar algo, y la enseñanza es el contexto donde tenemos el primer contacto con los saberes formales. Contar y argumentar se hacen desde siempre, pero matemática y lógica, las ciencias, sólo se conocen en el contexto escolar, y es ahí donde cobran su malévola apariencia. Los maestros solemos presentar los rudimentos de la lógica y de la matemática como paradigmas de precisión y exactitud. No es mala voluntad lo que nos mueve a hacerlo así, sino muchas veces ignorancia. Sí, es paradójico. Aunque puede suponerse que sólo el que conoce bien la matemática o la lógica puede presentarlas con pulcritud y perfección, en realidad sólo el que ignora su naturaleza lo logra. El que las maneja instrumentalmente, como un recurso, como un hacer por hacer o como un requisito, las ve implacables y perfectas. 2 + 2 = 4 y punto, pero ¿por qué?, porque sí, porque eso es así, porque así se ha dicho, porque está escrito o porque así dice en el libro. Respuestas inútiles de efecto devastador. No podemos entender la matemática razonando es lo que se infiere de esto. Si eso es así porque sí, y uno no entiende, no tiene modo de llegar a comprenderlo luego. Naturalmente los que sí entienden deben tener algún don, son mejores que nosotros o al menos más capaces. El síndrome continúa, llega hasta la vida profesional y alcanza las ciencias mismas. Los oficios que exigen alto rendimiento matemático son mejor reputados que los demás. Ingenieros, contadores, programadores de computador, economistas o analistas financieros parecen merecer mejor trato que los profesores, enfermeros o teólogos. Más allá todavía, están los científicos duros, los genios, los físicos y los matemáticos que son gente de verdad inteligente, y los otros, los que escogieron su área de formación para que no tuviera que ver con números: los científicos sociales o los humanistas. Literatos, filósofos, psicólogos e historiadores son profesionales de segunda mano, pues sus ciencias, si es que así podemos llamarlas, son débiles, carecen del rigor, la exactitud y la precisión de los números y las operaciones. El panorama general que hemos descrito nos deja ver entonces dos grandes falencias en nuestro conocimiento de las ciencias formales: no sabemos bien cuál es su naturaleza, pues estamos demasiado preocupados con su aplicación, y por eso tenemos una imagen inmaculada de ellas en la que se basan prácticas de exclusión social. De aquí se sigue que aunque en algún sentido para hacer epistemología de
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las ciencias formales no podemos presuponer ningún conocimiento de matemáticas ni de lógica, sería un error creer que no sabemos nada de ellas. Al contrario, sabemos mucho, pues, para bien o para mal, las hemos tenido a la mano y han sido la fuente de muchos eventos de nuestra vida en la escuela, e incluso después de ella.
2. El objetivo y la estructura del libro El objetivo del libro es empezar a cubrir los dos vacíos que hemos detectado. Para dar este modesto paso la empresa que se impone es ir presentando de un modo muy básico e introductorio qué son las ciencias formales con todo lo oscuras, problemáticas y polémicas que son. Lo único que buscamos es ayudar a que cada vez nos hagamos más conscientes de algunos problemas generales característicos de las disciplinas formales, y de algunos otros específicos propios de la lógica y la matemática, de modo que podamos desmitificarlas y así procurar que sean cada vez un menor motivo de marginación. De cara a este objetivo, y puesto que no presuponemos mayor conocimiento temático de las ciencias formales por parte del lector, aunque sí su interés y atenta lectura, hemos organizado el texto en dos sencillas unidades. La justificación de esta organización deberá esperar unas líneas más, pero por ahora podemos indicar algo. En la primera exponemos la idea de ciencia formal y examinamos en general qué sería la epistemología de las ciencias formales. En la segunda abordamos problemas seleccionados de ciencias formales específicas: la lógica y la matemática. Cada unidad está dividida en capítulos, y cada uno de ellos está organizado de modo que los conceptos y las tesis centrales se introducen gradualmente con base en múltiples explicaciones y sencillos ejemplos. Con esto buscamos que el lector encuentre amena y poco difícil su lectura. Sin embargo, dada la usual falta de familiaridad con el abordaje teórico de los asuntos que nos ocupan, hemos incluido un glosario al final del libro donde el lector puede encontrar una definición corta, sencilla y precisa de los distintos conceptos expuestos y desarrollados. También allí encontrará una bibliografía básica de apoyo que incluye distintos tipos de materiales que el lector puede consultar cuando desee aclarar, precisar, complementar o profundizar cualquiera de los temas tratados.
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3. El enfoque que asumimos: horizonte y límites Los problemas de las ciencias formales pueden ser enfocados en dos perspectivas diferentes pero complementarias: una estrictamente formal y una informal. Las perspectivas formales suponen un alto manejo técnico y suelen ser las que generan mayor repulsión al no iniciado. Es inevitable pensar con cuanta frecuencia un estudiante abre un libro y, al ver que está lleno de signos extraños y garabatos, lo cierra sin siquiera detenerse a pensar si está a su alcance comprenderlo o si podrá tratar de algún asunto interesante. Puesto que esta es la situación que nos interesa ayudar a disminuir, nuestro libro tiene un enfoque abiertamente informal, aunque esto no excluye que de vez en cuando nos sirvamos de algunos formalismos. Puesto que los mayores inconvenientes que hemos encontrado en la comprensión de las ciencias formales tienen como punto de referencia su desconexión del habla ordinaria, lo que las hace incomprensibles, pero también blindadas a cualquier crítica, la mejor estrategia que podemos asumir es examinarlas y cuestionarlas desde lo más conocido para nosotros: el lenguaje común y corriente de la vida cotidiana. En este sentido el enfoque del libro es explorar, desde el lenguaje natural, las dificultades epistemológicas de las ciencias formales entendidas como lenguajes, pero lenguajes artificiales. Los lenguajes artificiales se caracterizan por un nivel de precisión y generalidad que les permite establecer, con la ayuda de mecanismos deductivos, procedimientos de prueba rigurosa. Por eso asumimos una definición clásica de las ciencias formales como ciencias de los sistemas formales. Esta definición nos abre un horizonte de trabajo, pero también nos hace presa de sus límites. El horizonte es el estudio y cuestionamiento de los sistemas formales. El límite es que las disciplinas formales que no puedan entenderse exactamente como sistemas formales quedarán excluidas, lo mismo que todos los elementos propios de la actividad científica formal que no quedan incluidos en las formalizaciones. De cara a esta situación la estructura temática del libro es la siguiente. Dicho esto podemos justificar la organización del libro. En la primera unidad exponemos la idea de una ciencia formal como ciencia de los sistemas formales. Un sistema formal está compuesto por tres elementos:
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1. Un conjunto de símbolos primitivos. 2. Unas reglas de formación o combinación de los símbolos primitivos. 3. Un mecanismo deductivo que permita transformar unas combinaciones de signos en otras diferentes de un modo preciso. Los dos primeros elementos conforman un lenguaje formal, de modo que un sistema formal puede definirse como la suma de un lenguaje formal y un mecanismo deductivo. Así pues, si se trata de examinar e interrogar las ciencias formales, y ellas son las ciencias de los sistemas formales, entonces debemos indagar las ideas de lenguaje formal y de mecanismo deductivo. Esta es la empresa que adelantamos en la segunda unidad. Una de las dificultades del estudio de los lenguajes formales y de los mecanismos deductivos es que no puede hacerse en abstracto. Es preciso escoger un lenguaje formal concreto y un mecanismo deductivo específico para poder estudiarlos y explorar sus dificultades. De este modo, en el capítulo dos abordamos la idea de lenguaje formal mediante el estudio del sencillo y familiar lenguaje de la lógica proposicional. Por la naturaleza misma del asunto, en este capítulo el lector encontrará diversas alusiones a los problemas propios de la filosofía del lenguaje. El trabajo de este capítulo es sistemático antes que histórico. En el capítulo tres estudiamos los problemas propios de los mecanismos deductivos en el caso de las ciencias matemáticas. A diferencia de la lógica proposicional, conocida por cualquier persona en el campo de la filosofía, la matemática no es bien conocida por una persona promedio con formación filosófica básica. Por esta razón la estrategia expositiva de este capítulo es un poco diferente a la del anterior. Aquí trabajamos de un modo más histórico que sistemático, pues esto nos permite cumplir tanto un propósito informativo como uno crítico. El capítulo tres está dedicado entonces a una exposición crítica de la idea de mecanismo deductivo en el caso de la matemática a partir de la idea de demostración. Con esto cubrimos el horizonte de trabajo abierto por nuestro enfoque. Resta entonces enfrentar de algún modo los límites que el mismo enfoque nos impone. Para ello introducimos dos breves apéndices en los que, por un lado, volvemos problemática la definición de ciencia formal que asumimos a lo largo del trabajo, apéndice 1, y, por otro lado, apéndice 2, exponemos muy brevemente una de las ciencias formales que quedaron excluidas por el enfoque asumido: la ciencia de la computación.
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Puesto que nuestro interés es la exposición básica e informativa, procuramos plantear los problemas a un nivel en el que pueda comprenderse con claridad en qué consisten y cuál es su naturaleza, pero sin adentrarnos en toda la complejidad formal y filosófica de los mismos. Esto hace que el texto sea, en general, de carácter propedéutico. En todo caso recomendamos al lector no apresurarse a trabajar todo el libro con rapidez, sino que vaya poco a poco apropiándose de los conceptos y las tesis, repasando cuantas veces sea necesario una unidad, un capítulo o una sección. Más importante es comprender bien que terminar pronto. Muchas personas colaboraron de distintas maneras en la producción de este módulo. Entre ellos están Luis Eduardo Suárez y Alfonso Flórez, mis maestros; Juan Carlos Moreno, Carlos Arturo López y Jorge Figueroa, con quienes discutí muchas de las ideas, y mi amigo Schumann Andrade, que redactó varias secciones del capítulo 3, estuvo pendiente de los detalles de edición del texto y con su inteligente y documentada conversación ayudó a darle la orientación definitiva. A todos mi reconocimiento y sincero agradecimiento. En todo caso ninguno de ellos es responsable de los errores que incluya el texto final. Agradezco también a Ana de Pérez, Rosaura Jiménez, Eduva Pérez, Isaac García y Patricia Lemes su compañía y el soporte para darle la forma final al documento.
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UNIDAD 1 Naturaleza y características de las ciencias formales
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Capítulo 1 Hacia una idea de ciencia formal y su epistemología
Como su nombre lo indica, la epistemología de las ciencias formales se ocupa de problemas relacionados con ese tipo de conocimiento que son las ciencias formales. Esto quiere decir que no se ocupa del conocimiento en general, lo que llamamos estrictamente epistemología, o ni siquiera del conocimiento científico en particular, lo que ocuparía en parte a una filosofía de la ciencia. La epistemología de las ciencias formales se ocupa de un tipo especial de conocimiento científico de orden formal. La primera tarea que debemos plantearnos entonces es averiguar qué sería lo propio de las ciencias formales. Desde los orígenes de la filosofía de la ciencia uno de los problemas más agudos ha sido la dificultad de diferenciar los conocimientos propiamente científicos de los que no lo son. Karl Popper llamó a esta dificultad el problema de la demarcación. En nuestro caso, la tarea que se impone es tratar de demarcar cuál es ese tipo de conocimiento que podríamos denominar formal, por contraste frente a otras variedades de conocimiento científico. Sin lugar a dudas las ciencias formales son poco conocidas entre nosotros. Mucho más familiares nos resultan las ciencias naturales, como la biología o la ecología, y las ciencias sociales como la historia. Por esa razón puede ser útil comenzar nuestra indagación de las ciencias formales examinando qué tanto se parecen o se diferencian de aquellas. Para realizar nuestro sencillo ejercicio necesitamos establecer algún criterio de comparación. Si tenemos en cuenta que dos características básicas de una ciencia son (1) la delimitación de su objeto de estudio y (2) el establecimiento, selección y desarrollo de diversos métodos que le permitan estudiar su objeto; entonces podemos aceptar tomar objeto y método como criterios para demarcar una ciencia o al menos un tipo de
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ciencia. Objeto y método son buenos criterios para demarcar, pues, aunque no son las únicas características de las ciencias, son condiciones necesarias de ellas; es decir que si falta alguno de los dos o los dos, no puede haber ciencia.
1. Ciencias naturales, sociales y formales Las ciencias naturales se caracterizan porque sus objetos de estudio son fenómenos del mundo natural. De ahí que sus métodos sean empíricos, al menos en parte. Las ciencias naturales estudian los fenómenos del mundo natural como la lluvia o la caída de los cuerpos en general mediante observación, experimentación, comparación y otras estrategias empíricas. Ahora bien, puesto que la empresa científica tiene como uno de sus objetivos esenciales la formulación de leyes que permitan explicar los fenómenos estudiados y predecir fenómenos futuros, es preciso emplear métodos inductivos y estadísticos lo mismo que métodos deductivos. Esto significa que las ciencias naturales no son disciplinas exclusivamente empíricas, sino que encierran un alto componente técnico analítico, regularmente tomado de las matemáticas o la lógica. Por eso las ciencias naturales suelen llamarse ciencias empírico-analíticas. Las ciencias humanas y sociales toman como objeto de estudio los fenómenos sociales y los típicamente humanos como la formación de las naciones o la manera como los grupos sociales se relacionan entre sí mediante el comercio, la guerra o la diplomacia. Por la condición misma de estos objetos, tanto sus métodos como sus objetivos son un poco diferentes a los de las ciencias naturales. Mientras que las últimas pueden emplear métodos empíricos de investigación, y aprovechar la experimentación, en muchos casos las ciencias sociales ni pueden indagar empíricamente ni experimentar con sus objetos. No tenemos forma de hacer pruebas de laboratorio para saber las motivaciones políticas de la batalla de Boyacá, y no podemos reproducir experimentalmente las negociaciones en la venta del canal de Panamá; además sería indeseable reproducir varias veces acontecimientos sociales como la masacre de Bojayá. Los fenómenos naturales pueden repetirse casi a voluntad del investigador, los fenómenos sociales no. Por esta razón antes que ciencias empíricas que buscan explicar recurriendo a leyes, las ciencias humanas y sociales son más bien ciencias de la comprensión o de la discusión. Un científico social
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no establece leyes sociales o leyes humanas, como un científico natural trata de establecer las leyes de la naturaleza, sino que explica contextualmente, tratando de ganar comprensión de sus objetos de estudio, si bien no siempre con el fin de predecir eventos futuros. Algunas ciencias sociales y humanas, al igual que las naturales, también emplean recursos matemáticos para establecer leyes o para sacar conclusiones. Los principales recursos matemáticos empleados por este tipo de ciencias son los de muestra y estadística, aunque también algunos estrictamente deductivos. No sobra decir que la lógica desempeña un importante papel en las disciplinas humanísticas porque si bien no siempre es posible establecer una comprobación empírica de una tesis, sí resulta aceptable y plausible ofrecer una demostración o al menos una buena argumentación para soportarla. De aquí se sigue que tanto las ciencias humanas como las naturales se sirven de recursos matemáticos y lógicos a la hora de formular leyes, analizar resultados, predecir eventos futuros o explicar los eventos presentes o pasados. Curiosamente, tanto las matemáticas como la lógica son vistas como herramientas empleadas por la ciencia, antes que como saberes independientes o ciencias en cuanto tales. Esta manera de entender la matemática y la lógica supone que haya un trabajo independiente de desarrollo de estas herramientas, que se realice al margen de tal o cual investigación natural o social. Las ciencias naturales y sociales o bien plantean dificultades que un tipo de personas llamadas matemáticos o lógicos tratan de solucionar, o bien aprovechan los logros que esas personas consiguen. La concepción instrumental de la matemática y de la lógica presupone entonces un trabajo especializado en estas últimas disciplinas. En este contexto aparecen entonces algunas inquietudes: ¿es también ciencia lo que hacen los matemáticos y los lógicos?, ¿son los matemáticos y los lógicos también un tipo de científicos?, en últimas, ¿son la lógica y la matemática también ciencias? Esta pregunta genera indudables sospechas, pues en algún sentido es evidente para cualquier persona que los matemáticos son científicos y que la matemática es una ciencia, y algo análogo valdría para los lógicos y la lógica. ¿De dónde puede provenir la descabellada sospecha de que lógica y matemática no son ciencias? La respuesta es sencilla: precisamente de su concepción instrumental, pues si una y otra son
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herramientas para la ciencia, natural o social, entonces ellas mismas no son ciencias, sólo instrumentos de la ciencia. Si esto fuera cierto, ese trabajo independiente que presuponen las ciencias naturales y sociales no sería un trabajo científico. Pero si fuera falso, tendríamos al menos oportunidad de pensar que tanto las matemáticas como la lógica son también ciencias. Si nos arriesgamos a pensar que esas dos valiosas herramientas son ciencias, quizás tendríamos que tratar de averiguar si acaso son ciencias naturales, o más bien humanas y sociales. Veamos. A diferencia de las ciencias naturales y sociales, la matemática y la lógica no trabajan con realidades empíricas, por decirlo así. Los números, las variables, los conectivos y las operaciones no son objetos ni hechos del mundo natural. En matemáticas resulta interesante saber que el área de un cuadrado se puede calcular multiplicando por sí misma la magnitud de un lado. Así, si un lado es de magnitud 2, el cuadrado construido con base en él, tendrá un área de 4, puesto que 2X2=4. Este esquema matemático puede ser útil en los negocios cuando, por ejemplo, tratamos de comprar un terreno cuadrado que mide dos hectáreas de frente, pues si el terreno es cuadrado, basta con saber la longitud de este lado para calcular su área total: 4 hectáreas. Sin embargo, aunque hay un enorme parecido en los dos ejemplos planteados, hay una diferencia importante. El segundo caso, el del terreno que mide dos hectáreas de frente, es un ejemplo del mundo de los negocios, o de alguna suerte de disciplina, como la geodesia, que calcule la extensión de los terrenos, pero no de la matemática. El primer caso, por su parte, sí pertenece a ésta ciencia. ¿En dónde está la diferencia? Dejemos la pregunta en espera y antes de responder consideremos un par de ejemplos de la lógica. Si un niño pregunta a su papá por qué murió su perro Lucas, el papá puede contestarle lo siguiente: “mira hijo. Yo sé que tú perro era casi un héroe para ti. Pero Lucas era un perro, y los perros son simplemente animales que, como cualquier animal, algún día moriría”. La respuesta del papá al niño es un argumento que podemos cifrar esquemáticamente así: “Puesto que todos los perros son animales, y los animales son mortales, entonces los perros son mortales”. Esta esquemática versión del argumento puede variarse para muchos casos como este: “Puesto que todos los A son B, y todos los B son C, entonces todos los A son
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C”. En esta abstracta formulación del argumento podemos reconocer tanto la famosa ley de transitividad, como la forma general de un silogismo. Tanto la transitividad como la estructura del silogismo son propios de la lógica, mientras que el argumento del papá al niño pertenece a la vida cotidiana; de un modo análogo a como el cálculo de un área pertenece a la matemática, pero el cálculo del área de un terreno no. Al examinar los cuatro ejemplos en su conjunto, notamos que lo propio de la lógica y la matemática es que no contemplan contenidos específicos, sino más bien lo que podríamos llamar las estructuras vacías de los mismos, su forma. La aplicación de las herramientas matemáticas y lógicas, tanto en ciencia como en la vida cotidiana, pasa por dotar de contenidos las formas vacías o abstractas de las que se ocupan estas ciencias. Así pues, la diferencia básica que hay entre los ejemplos que sí pertenecen a la matemática y a la lógica y los que no, está en su carácter formal. La ley de transitividad se usa en economía, en argumentación cotidiana y también en física. Estas aplicaciones consisten en darle algún contenido a esa ley abstracta y formal. Lo mismo ocurre con la fórmula mediante la cual calculamos el área de una superficie cuadrada. Ella se puede aplicar a medir terrenos, a contar cuántos huevos hay una cubeta y en otra infinidad de casos, y todos ellos consisten en dar algún contenido a las formas. Como conclusión tendríamos que decir que si la lógica y la matemática son ciencias, no son ciencias naturales ni humanas o sociales, puesto que no tienen, por decirlo así, ningún contenido en especial, sino que son ciencias de lo puramente abstracto y formal. Lógica y matemática serían entonces ciencias de la forma. La forma sería el objeto de estudio de estas ciencias1. Retomando nuestra inquietud inicial, ¿qué es la epistemología de las ciencias formales?, ahora podemos decir que es la epistemología de la lógica y la matemática. Pero esto no es todo, pues, por razones que exploraremos más adelante, recientemente se ha incluido una nueva disciplina en el conjunto de las ciencias formales: la ciencia de la 1
Aunque esta definición es circular en alguna medida, es la mejor que podemos dar por ahora. Como se verá más adelante, la definición misma de lo que es una ciencia formal trae consigo serias dificultades y esta discusión ya hace parte del problema epistemológico de las ciencias formales.
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computación. Así pues, una epistemología de las ciencias formales debe decir algo también de esta “nueva ciencia formal”2. Ahora bien, aunque hemos dicho que las ciencias formales se ocupan de, o tienen por objeto, “la forma”, y hemos caracterizado la forma como aquello que puede llenarse de contenidos específicos en las diferentes ciencias, tenemos la grave dificultad de determinar cómo estudian esas ciencias su objeto, cómo logran asirlo y trabajar con él. Estrictamente hablando, hasta que no definamos de un modo preciso la idea misma de ‘forma’ no habremos dicho nada. Para enfrentar esta dificultad vale la pena contextualizar, aunque sea de un modo muy general, el lugar de trabajo de las disciplinas que nos ocupan: su tópico. Al hacer esto ya estamos de lleno en nuestro tema.
2. El lenguaje: topos de las ciencias formales Intuitivamente hemos dicho que las ciencias formales se ocupan de “la forma”, que a su vez hemos caracterizado como aquello que puede llenarse de contenidos específicos en diferentes aplicaciones. Si queremos saber cómo estudian esas ciencias la forma, cómo logran asirla y trabajar con ella, lo más indicado puede ser examinar dónde está, cuál es su lugar, su tópico. Una clasificación de los saberes análoga a la que hemos establecido en la sección 1 se encuentra en la monumental obra de John Locke Ensayo sobre el entendimiento humano. Lo llamativo del tratamiento que allí se hace de los tópicos que nos ocupan es que se delimita con claridad un lugar de trabajo, si se nos permite la expresión, para los estudios que no son naturales ni sociales. Veamos cómo describe nuestro problema el propio Locke. Puesto que todo lo que puede caer dentro del ámbito del entendimiento humano es, primero, o la naturaleza de las cosas como son en sí mismas, sus relaciones y sus maneras de operación; o, segundo, aquello que el hombre mismo debe hacer, en cuanto agente racional 2
Estrictamente hablando no existe sólo una nueva ciencia formal. La dificultad radica en que en la medida que no es posible ofrecer una definición precisa de lo que es una ciencia formal tampoco es posible determinar con exactitud si una ciencia cualquiera es o no una ciencia de este estilo. Esta es una consecuencia obligada de la dificultad indicada en la nota anterior y también se examinará con cierto detalle más adelante.
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y dotado de voluntad; o, tercero, las maneras y medios por los cuales se adquiere y se comunica el conocimiento de esas cosas, me parece que la ciencia puede dividirse con propiedad en las clases siguientes [física, práctica y semiótica](Locke, 2000, p. 727). A continuación el autor explica qué entiende por esas tres clases de ciencia, física, práctica y semiótica. Guardadas las proporciones, física y práctica se corresponden en el vocabulario del autor con lo que nosotros hemos llamado saberes naturales y sociales; así pues, ellas no serían buena guía si queremos saber algo más de las ciencias formales. Esto no vale, sin embargo, para la semiótica, pues ella sí resulta novedosa en nuestro contexto. Veamos qué se dice de ella. La tercer rama puede llamarse semiótica o Doctrina de los signos, y, como las palabras constituyen la parte más útil, también puede llamarse con suficiente propiedad, Lógica. El asunto de esta ciencia consiste en que considera la naturaleza de los signos de que se vale la mente para entender las cosas, o para comunicar sus conocimientos a otros. […] Los signos que los hombres han encontrado más convenientes, y, por lo tanto, aquellos de que se valen más comúnmente son los sonidos articulados. Por eso, la consideración de las ideas y de las palabras, en cuanto que son los grandes instrumentos del conocimiento, constituye una parte nada despreciable de la contemplación de quienes pretendan ver en toda su extensión el humano conocimiento (Locke, 2000, p. 728). Estas ideas nos ayudan a dirigir nuestra mirada a un terreno poco frecuentado, el de los signos. Además de los saberes sobre los hechos, naturales o sociales, Locke sugiere la posibilidad de un saber sobre el lenguaje, sobre los signos que empleamos los hombres para comprender el mundo y a nosotros mismos. Curiosamente, el recorrido que hemos adelantado hasta este momento nos ha puesto en camino de buscar un terreno diferente al de los hechos sociales y naturales para descubrir dónde reposa la forma pura y cristalina que se llena de contenidos al entrar en contacto con el terreno áspero de la vida cotidiana. Así pues, parece que si hubiera un lugar propio para la investigación de la forma fuera el lenguaje. Digamos entonces que las ciencias formales se ocupan
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de la forma, de lo más abstracto; sin embargo, digamos también que realizan su estudio en el reino de los signos, en el lenguaje. Pero si bien es cierto que la palabra es el lugar más adecuado para estudiar lo formal, hoy no podemos aceptar con Locke que los signos articulados de nuestro lenguaje corriente sean definitivamente los mejores para el estudio de la forma, aunque de hecho sigan siendo los más comúnmente usados en la vida cotidiana. Al respecto Wittgenstein, uno de los más grandes lógicos del siglo XX, dice: El lenguaje humano disfraza el pensamiento. Y de un modo tal, en efecto, que de la forma externa del ropaje no puede deducirse la forma del pensamiento disfrazado; porque la forma externa del ropaje está construida de cara a objetivos totalmente distintos que el de permitir reconocer la forma del cuerpo (Wittgenstein, 1993, 4.002). Las palabras de Wittgenstein sugieren que el lenguaje ordinario es una común y efectiva herramienta para realizar infinidad de actividades humanas. Sin embargo, sería una enorme injusticia pedirle que fuera una herramienta excelente para cualquier propósito. De hecho las herramientas suelen tener usos muy variados, pero de ahí no se sigue que cualquier herramienta sirva para cualquier propósito. Es fácil martillar un clavo con un martillo, un alicate o incluso con una piedra, pero es más difícil hacerlo con un rollo de cinta pegante, aunque ésta última también sea una valiosa herramienta en otros casos. Del mismo modo podemos decir que el lenguaje cotidiano sirve para muchas cosas, pero no tiene por qué servir para todo. En efecto, cuando los intereses teóricos de los seres humanos se vuelcan sobre la forma misma del lenguaje, éste se oscurece y engendra dificultades. No resulta del todo fácil aceptar esta idea, y mucho menos cuando es evidente que desde muy niños prácticamente todos sabemos usar bastante bien las palabras. Por eso un ejemplo puede ilustrar bien lo que decimos. Hace parte de las rutinas de algunas personas ir cada noche a una tienda cercana para comprar una bolsa de lecha y un poco de pan. En esta situación se oye a la gente discutir con alguna frecuencia por el mismo problema: “Señor, me vende una bolsa con leche, por favor”; y el tendero
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contesta “con gusto sumercé, ahí tiene su bolsa de leche”. La clienta insiste, “se dice ‘una bolsa con leche’, don Pablo, no de leche”, etc. Este eterno dilema parece irresoluble; pero tenemos derecho a preguntar si en realidad es un dilema. Comparemos las siguientes expresiones: 1. 2. 3. 4. 5.
Unos aretes de oro Una ensalada de atún Una caja de fósforos Una cubeta de huevos Una bolsa de leche
Un primer vistazo a estas frases nos hace verlas de un modo muy semejante. Todas incluyen un sujeto relacionado con un predicado mediante la misma palabra: ‘de’. Así pues, es probable que las cinco frases tengan un significado más o menos parecido. A lo mejor no podría ser de otro modo: todas están articuladas por la misma palabra: ‘de’. Pues bien, aunque el lenguaje tiene esta apariencia homogénea en la superficie, quizá su funcionamiento real no sea tan homogéneo. Veamos. Cuando vamos a una joyería y pedimos “unos aretes de oro”, ¿qué estamos haciendo? En este caso la expresión se usa para decir que buscamos unos aretes que sean hechos de oro. La expresión se usa para hacer referencia al material de los aretes que buscamos. Sin embargo habría que ser más precisos, pues, como sucede con alguna frecuencia, se nos ofrecen aretes de oro que en realidad sólo son bañados en oro. Nuestro ejemplo no hace alusión al oro de cualquier manera, sino de un modo que encierra exclusividad: buscamos aretes de oro, no bañados en oro, o con apariencia de oro. La expresión alude al material del que estaría hecho el objeto que buscamos y lo hace con exclusividad. Veamos qué sucede en el segundo ejemplo. Cuando pedimos “una ensalada de atún”, ¿qué estamos haciendo? Si el empleo de la expresión fuera semejante al del caso anterior, estaríamos pidiendo una ensalada hecha de atún y exclusivamente de atún. Sin embargo, esto es un absurdo. Cuando pedimos una ensalada de atún la expresión no encierra exclusividad y, estrictamente hablando, no se refiere al material de la ensalada, sino a uno de los “ingredientes” de la misma. Cuando pedimos una ensalada de atún, esperamos que el atún sea sólo un ingrediente de la ensalada, y además tenemos claro que es un ingrediente accesorio de la misma, pues esa ensalada podría ser de pollo o de pavo.
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Así, en este segundo caso, la expresión también parece hacer referencia al material del que está hecha la ensalada, pero quizá más bien lo llamaríamos ingrediente, de modo que hacemos explícito que no pensamos exclusivamente en el atún, sino que decimos que uno de los ingredientes de la ensalada sea el atún, pero que éste no sea el único. Caso diferente al de los aretes de oro, en el que esperamos que el oro sea el único material del que están hechos los aretes. Examinemos un tercer caso. Vamos a la tienda y pedimos “una caja de fósforos”. Este caso marca una diferencia con los dos anteriores, pues aunque es posible construir cajas con fósforos, es decir, que su material de construcción sean fósforos; cuando vamos a la tienda y pedimos “una caja de fósforos” no estamos pidiendo una caja que esté hecha de un material que son fósforos, sino una caja que contenga fósforos. La expresión se refiere al contenido de eso que mentamos como sujeto de la oración, no al material o a uno de los ingredientes de que está hecho lo que pedimos. Sin embargo, al pedir una caja de fósforos nuestra solicitud es bastante curiosa pues parece que no nos importa exactamente la cantidad de fósforos que hay en la caja. No contamos los fósforos de la caja como contamos las vueltas o el cambio al salir de la tienda. Nuestra solicitud se refiere a un contenido contable en una caja, los fósforos, aunque sea indeterminado el número de elementos contenidos en la caja. En este tercer caso, la expresión no alude al material sino al contenido contable de la caja, pero de un modo abiertamente indeterminado. Exploremos ahora qué sucede en el caso de “una cubeta de huevos”. Ahora la situación es diferente a la anterior, pues no nos da lo mismo que falte un huevo en la cubeta a que estén completos los huevos de la misma, como nos daba lo mismo que faltara un fósforo en la caja. La expresión en este caso se refiere al contenido de la cubeta y no al material del que está hecha pero, a diferencia del caso de la caja de fósforos, no es indiferente la cantidad exacta del contenido. En este caso la expresión también se usa para hacer referencia al contenido, pero de un modo en el que la cantidad es relevante, ¡no pueden faltar huevos! Ahora bien, ¿qué pasa cuando pedimos “una bolsa de leche”? ¿Se parece esta petición más a la de los aretes de oro, a la de la ensalada de atún, a la de la caja de fósforos o a la de la cubeta de huevos? Podemos
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pensar en otros casos: “Déme una colombiana dos litros, por favor”, “déme una libra de arroz”, “déme un metro de tela”. La expresión “una bolsa de leche” está, sin lugar a dudas, más cercana a las últimas que colocamos que a los ejemplos que examinamos inicialmente. En este caso la expresión ‘de’ que aparece en la frase no hace referencia ni al material, ni a los ingredientes, ni a una cantidad numerable pero indeterminada, o incluso determinada, sino a un volumen. Pedir un litro de colombiana, es pedir gaseosa colombiana en cantidad de un litro. Pedir un metro de tela es pedir tela en cantidad de un metro. Así, pedir una bolsa de leche es pedir leche en cantidad de una bolsa, pero esta cantidad es perfectamente determinada. Cuando pedimos una bolsa de leche no pedimos cualquier bolsa llena de leche, como si fuéramos a tolerar que nos trajeran una bolsa del éxito con leche adentro; en nuestra petición hay un requerimiento de precisión en la medida. Sin embargo, tal requerimiento es diferente al que tenemos cuando pedimos la cubeta de huevos. Los huevos son contables, la leche no; podemos pedir una docena de huevos, pero no una docena de leche, por eso la solicitud de precisión en este último caso es de un tipo diferente, que supone introducir una condición paramétrica. El parámetro que introducimos es una unidad de medida que nos permite cuantificar sobre objetos no contables. Ejemplos de estos parámetros son el metro, el litro, la libra etc. Estas unidades paramétricas funcionan tanto para términos contables como para términos no contables, pero sólo reciben un uso contable específico en el segundo caso. En el caso de los contables, son útiles, en el de los no contables son necesarias. Por eso es correcto pedir una bolsa de leche, porque para hacer referencia a la cantidad de leche que necesitamos es indispensable introducir un parámetro, y en este caso el parámetro es la bolsa. “Déme una bolsa de leche” significa algo así como déme leche en cantidad de una bolsa. El caso de la bolsa con leche también es correcto, sólo que su significado es completamente dispar al anterior. Ahora lo que decimos es que queremos una bolsa que contenga leche. Este es el caso que tenía en mente la señora que fue a la tienda de don Pablo. Lo interesante de este estudio del significado de sencillas expresiones es que ayuda a ver lo proclives que somos los seres humanos a simplificar el funcionamiento del lenguaje. Parece que ‘de’ significara siempre el
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material del objeto al que nos referimos. Sin embargo, hemos mostrado que aunque esta referencia al material es correcta, no siempre debe entenderse de la misma manera; y no es exclusiva. También hay usos de la expresión ‘de’ cuyo significado es otro, el de cantidad, en el que también podemos establecer importantes matices de significado. Aunque los hombres vivimos en el lenguaje, es abrumadoramente difícil para nosotros captar eso que está más a la mano, es decir, las formas de vida que aprendemos y tenemos en la interacción comunicativa con los otros. La vida humana es oscura para los propios seres humanos y parte de esta oscuridad se la debemos a la engañosa apariencia del lenguaje. Después de este sencillo análisis en el que hemos visto cómo el lenguaje oscurece su comprensión ocultándose tras uniformes apariencias, podemos insistir en lo necesario que se hace idear recursos para capturar eso que se esconde pero que es decisivo en el lenguaje: la forma. Por esta y otras razones se hizo necesario construir un tipo especial de lenguaje que hiciera más fácil y manejable el estudio de las formas. Esto es precisamente lo que se conoce como un lenguaje formal.
3. Lenguajes naturales y artificiales Un lenguaje formal es algo bastante diferente a nuestro lenguaje corriente. No podemos esperar de él que tenga toda la riqueza expresiva y la potencia de servir para innumerables propósitos. Por eso es preciso explorar inicialmente qué comparten y en qué se diferencian estos dos tipos de lenguaje y para ello Wittgenstein resulta esclarecedor. Nuestro lenguaje puede verse como una vieja ciudad: una maraña de callejas y plazas, de viejas y nuevas casas, y de casas con anexos de distintos períodos; y esto rodeado de un conjunto de barrios nuevos con calles rectas y regulares y con casas uniformes (Wittgenstein, 1988, § 18). En esta preciosa imagen se muestra que el lenguaje natural nos precede, ya desde nuestro nacimiento estamos inmersos en una forma específica de usar los signos que hace parte de las formas de vida de nuestros padres y allegados. Si somos niños se nos habla de ciertas formas, si somos niñas se nos habla de otro modo. Los colores con los que nos identifican y una serie
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de signos distintivos como el uso de aretes, moños y lo largo del cabello son recursos sígnicos para establecer quiénes somos, y ni hablar del bautizo y el uso del nombre propio. Ese lenguaje natural marca nuestra pertenencia a una comunidad específica y forja nuestra vinculación a su forma de vida. Así pues, aprender un lenguaje es entrar a formar parte de una comunidad o una forma de vida. Cuando somos diestros en su uso empezamos a jugar con él, hacemos chistes, inventamos cuentos, lo retorcemos para manipular a los demás y sabemos cómo hacer con él lo mejor y lo peor, como sucede en el cuento árabe. Una mañana un sultán manda al mercado a su favorita —mujer bella e inteligente— a comprar lo mejor que encuentre en él. La mujer regresa al palacio con una lengua. El sultán le pregunta por qué es lo mejor y ella responde: “Gracias a la lengua nos entendemos, nos informamos, nos comunicamos. Los enamorados expresan su amor. Los poetas cantan. Se arreglan litigios. Se produce y se trasmite el conocimiento. Gracias a ella se consuela, se busca la paz, el entendimiento. Es por ella que podemos pronunciar dulces palabras, rezar, enseñar lo bueno y transmitir nuestros deseos de paz, solidaridad y cordialidad”. Convencido de que era lo mejor del mercado, el sultán mando a la mujer al otro día a que consiga lo peor del mercado. Para su sorpresa, su favorita volvió a traer una lengua. “¡Otra vez lengua”!, exclamó el sultán. “¿Por qué”? Y la mujer respondió: “Por culpa de la lengua hay malos entendidos, los hombres se pelean, reina la discordia. Con ella se difama, se injuria, se ofende, se miente, se engaña, se anuncian guerras, muertes, desgracias. Es lo peor que hay”.
El lenguaje natural no está hecho de cara a un propósito específico ni podemos decir que está cerrado y concluido. Los seres humanos lo utilizamos para realizar diversas acciones y podemos siempre modificarlo y ampliarlo cuando nuestras necesidades lo requieran. Por eso se parece mucho a una ciudad. Lo que antes era la avenida Caracas en Bogotá, ahora se llama Transmilenio. Las esquinas por las que solíamos doblar ya no
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lo permiten, y muchos lugares por los que nunca habríamos cruzado antes ahora son parques y centros de descanso de Medellín, por ejemplo. La ciudad se transforma tomando las necesidades reales de los ciudadanos como gozne. Pero no solo hay transformación en el lenguaje natural, también hay invención. Los centros de comercio y negocios son secciones nuevas de la ciudad que, a diferencia de los barrios populares, crecen según un plan determinado que les da su carácter uniforme. Las necesidades humanas no son todas del mismo tipo y por eso su satisfacción tampoco puede darse de una manera estándar. Los lenguajes artificiales se parecen a estas construcciones planificadas y uniformes hechas de cara a un propósito específico, más que a los barrios populares en donde las calles aparecen de un modo casi espontáneo y pueden usarse para muchas cosas diferentes. Lo que estamos llamando laxamente ‘lenguajes artificiales’ son por lo general lenguajes de precisión, medios artificiosos de expresión construidos por los científicos a fin de poder formular con mayor justeza las relaciones entre los objetos estudiados por sus ciencias respectivas (Deaño, 1996, p. 29). Los lenguajes en general son el objeto de estudio de diferentes disciplinas como la lingüística, la psicología del lenguaje y la filología, entre otras. Sin embargo, estas disciplinas no serían la mejor guía en nuestro estudio porque consideran el lenguaje desde puntos de vista sociológicos, culturales, históricos o psicológicos y no como sistemas de signos, que es lo que nos interesa aquí. La más general de todas esas disciplinas, como dijimos, es la semiótica y ella sí estudia el lenguaje en el sentido que nosotros buscamos así que ella será una buena guía en nuestra investigación. La semiótica es la ciencia que estudia los signos o los lenguajes en cuanto sistemas de signos. Clásicamente esta disciplina se divide en tres ramas: sintaxis, semántica y pragmática. La sintaxis es el estudio de las relaciones que pueden establecerse entre los signos en sí mismos, con independencia de sus significados y de los usos que se hagan de ellos. Algunas veces se ha definido la sintaxis como “la teoría de la construcción e identificación de las secuencias de signos bien
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formadas” (Deaño, 1996, p. 28). Para comprender esta técnica definición será útil considerar un ejemplo: veamos la siguiente “frase”: “en vale Más mano pájaro” Ciertamente no se trata de una expresión bien formada en el lenguaje español, la manera como están organizados los signos en ella es completamente errada en nuestro idioma. En cambio la expresión: “Más vale pájaro en mano” sí está bien formada en español desde un punto de vista sintáctico, en ella los signos sí están dispuestos de una manera adecuada a nuestro idioma. La primera expresión no podría llamarse bien formada, pero la segunda sí. La semántica es el estudio de los signos en relación con lo que significan, en relación con sus significados. Cuando hacemos semántica nos preguntamos por el significado de las expresiones, sean ellas nombres, oraciones o discursos completos. Por ejemplo, cuando el papá pide al niño que le pase el gato para despinchar el carro y el niño le acerca su mascota, el papá le puede decir que él se refería al gato hidráulico, no al animalito. Esa es una observación semántica, una observación sobre el significado de lo que uno dice. Lo mismo sucede cuando en los noticieros se hacen rectificaciones por que el personaje dice haber sido malentendido por el periodista. El noticiero dijo que tal y tal, pero en realidad el personaje quería decir que tal y cual. La pragmática es el estudio de los signos en relación son sus usos y sus usuarios. En este caso el lenguaje se entiende como una forma de conducta o como medio de comunicación que utilizan sujetos específicos. Un análisis pragmático es, por ejemplo, el que se hace para establecer que la misma expresión se usa para diferentes cosas. “¿Te parece bien?” es una de esas expresiones que admiten usos muy diferentes. Veamos algunos casos. Un profesor después de negociar con sus estudiantes cuántos ejercicios de matemáticas deben hacer, puede preguntar al representante “¿te parece bien?”, y en este caso la expresión funciona como una pregunta genuina, y así el estudiante puede decir que sí le parece o que no. Pero cuando la mamá regaña al niño por haber golpeado a su amigo y le pregunta “¿te parece bien?” no está preguntando realmente, está insinuando que lo
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hecho no está bien. Finalmente, cuando el capitán le dice al soldado “vaya y haga este trabajito, ¿le parece bien?”, no está ni preguntando ni haciendo una insinuación sino dando una orden. Esta diversidad de usos de una expresión es lo que estudia la pragmática. Así pues, cuando estamos haciendo pragmática nos interesamos por el lenguaje en cuanto forma de conducta, en cuanto actividad de un sujeto o un grupo de sujetos. En semántica, sin embargo, hacemos abstracción del hablante, y nos limitamos a examinar la relación entablada entre los signos que componen un lenguaje y aquellas entidades a las que esos signos, precisamente por serlo, apuntan. […] En sintaxis, por último, hacemos abstracción de todo aquello que no sea la pura materialidad de los signos, a fin de poder estudiar las nudas relaciones entre ellos: prescindimos del sujeto hablante, prescindimos también de la referencia de las expresiones a algo ajeno a ellas; nos limitamos a considerar aisladamente la estructura de las cadenas de signos (Deaño, 1996, p. 28). Seguramente los lenguajes naturales necesitan algunos recursos más para poder ser comprendidos en toda su riqueza y magnitud. A lo mejor además de semiótica se requiera una teoría de la interpretación, una hermenéutica, o hasta una simbólica para poder apreciarlos justamente. Sin embargo, con las herramientas semióticas ya disponemos de una buena y amplia base para estudiar los lenguajes en general. Si los lenguajes artificiales son realmente lenguajes entonces deben admitir un análisis semiótico, es decir, debe poder reconocerse en ellos una dimensión sintáctica, una semántica y una pragmática. Sin embargo, los lenguajes formales se caracterizan por su sintaxis; su semántica y su pragmática son posteriores, y pueden ser variables. En los lenguajes naturales, en cambio, la pragmática es lo primero y de ella depende la semántica y la sintaxis. Así pues, para entrar en materia con los lenguajes formales el camino es la sintaxis.
4. La idea de lenguaje formal
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La sintaxis de un lenguaje formal está dada por dos componentes básicos: un conjunto de símbolos primitivos y unas reglas de construcción de fórmulas bien formadas para ese lenguaje llamadas reglas de formación (Cf. Falguera et al., 1999, p. 58ss). Dicho brevemente, los lenguajes formales son como juegos en los que hay piezas y reglas para jugar. Los símbolos primitivos son las fichas y las reglas de formación son los principios que rigen el juego. En un juego como el fútbol el balón y la cancha serían elementos primitivos, mientras que el fuera de lugar y el saque lateral serían reglas de formación. De este modo, aunque físicamente se pueden cambiar las fichas, la función debe ser la misma, como cuando al jugar parqués utilizamos una piedrita o un fríjol para reemplazar una ficha que hemos extraviado. La materialidad no es esencial, la función sí. Con las reglas el asunto es muy distinto, pues no podemos cambiarlas a voluntad, quien irrespeta las reglas o las cambia, daña el juego, lo cambia o simplemente está por fuera del juego, como cuando en el parqués alguien avanza seis cuadros habiendo sacado tres en los dados. Análogamente, los lenguajes formales se construyen simbólicamente, pero cuáles sean los símbolos que empleamos es inesencial, lo que importa es la función que desempeñan. Las reglas por su parte son esenciales, cambio de reglas es cambio de juego, alterar las reglas es modificar el lenguaje. Los dos elementos que hemos reseñado constituyen la sintaxis del lenguaje formal, y con ella basta para que quede completamente definido. Sin embargo, a todo lenguaje formal se le puede dar una interpretación y esta constituye su semántica y su pragmática. De aquí se desprende que, estrictamente hablando, los lenguajes formales no son lenguajes, pero que pueden serlo cuando se los interpreta. La conjunción de estos dos componentes, símbolos primitivos y reglas de formación, se puede resumir en el concepto de fórmula bien formada (fbf). Una fbf es una concatenación de signos de acuerdo a una sintaxis. Esto quiere decir que sólo puede ser una fbf aquella combinación de signos que se ajusta a las reglas sintácticas definidas. No cualquier conjunto de signos pegados de cualquier manera es una fbf. Además, una construcción que emplee signos diferentes a los estipulados como símbolos primitivos tampoco puede ser una fbf. Veamos un sencillo ejemplo.
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Definamos, en primer lugar, un conjunto de símbolos primitivos. Recordemos que cuál sea el signo que escojamos no es esencial, podríamos seleccionar muñecos, letras del alfabeto latino o del alfabeto griego etc. I. Símbolos primitivos: A) B)
♀, ♀!, ♀!!, ♀!!!, etc. ♂, ♂!, ♂!!, ♂!!!, etc. admiración] C) D) =☺ E) = F) =
[Femenino con cualquier cantidad de signos de admiración] [Masculino con cualquier cantidad de signos de [Reloj] [Igual con carita feliz] [Igual con carita triste] [Igual con carita indiferente]
Definamos ahora unas reglas para combinar estos signos. Estas reglas son arbitrarias, no hay que olvidarlo, simplemente estamos construyendo un ejemplo cualquiera. II. Reglas de formación (RF) RF1: RF2: RF3:
RF4:
RF5: RF6:
Un signo femenino solo o con cualquier número de signos de admiración es una fbf del lenguaje. Un signo masculino solo o con cualquier número de signos de admiración es una fbf del lenguaje. Cualquier fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo A seguido del símbolo tipo C, y seguido de un símbolo cualquiera de tipo B es una fbf del lenguaje. Cualquier fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo B seguido del símbolo tipo C, y seguido de un símbolo cualquiera de tipo A es una fbf del lenguaje. Cualquier fórmula construida según las reglas RF1-4 seguida de uno de los símbolos de tipo D, E o F es una fbf del lenguaje. Solamente las expresiones formadas según las RF 1-5 son fbfs del lenguaje, y ninguna otra lo es.
Con nuestros símbolos primitivos y nuestras reglas de formación ya tenemos definida la sintaxis del lenguaje formal. Es decir, con ello ya podemos determinar cuándo una formula hace parte de ese lenguaje y cuándo no o, en otras palabras, cuáles son las fbfs de ese lenguaje. Esto se conoce como el problema de la decisión. En un lenguaje formal la principal tarea
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es poder decidir si una fórmula dada, cualquiera que ella sea, pertenece o no al lenguaje. En nuestro caso podemos enfrentarnos ya a tratar de fijarnos cómo se hace esto. La tarea es tan simple como responder la siguiente pregunta: del siguiente conjunto de fórmulas, ¿cuáles pertenecen a nuestro lenguaje?
♂♀
♂♀
♂
Recordemos, para responder debemos recurrir a la definición de los símbolos primitivos y las reglas de formación. Esto quiere decir que sólo lo que esté conforme a unos y otras hace parte del lenguaje, y que todo lo que no lo esté no hace parte del mismo. Con base en esto, podemos responder así: Fórmula
♂♀ ♂♀ ♂
¿Pertenece a nuestro ¿Por qué? lenguaje? No No está en los símbolos primitivos ni en las RF. No No está en los símbolos primitivos ni en las RF. No Los símbolos están en el vocabulario, pero la fórmula no se sigue de ninguna RF. No No está en los símbolos primitivos ni en las RF. No No está en los símbolos primitivos ni en las RF. Sí Se sigue de RF 4 No No está en los símbolos primitivos ni en las RF. No Los símbolos están en el vocabulario, pero la fórmula no se sigue de ninguna RF. No No está en los símbolos primitivos ni en las RF. No El símbolo está en el vocabulario, pero la fórmula no se sigue de ninguna RF.
Este es un sencillo ejemplo de cómo funciona el problema de la decisión para un lenguaje formal. Definimos unos símbolos primitivos y unas reglas de formación. Estos dos componentes permiten establecer un conjunto de fbfs que constituyen el lenguaje en cuestión. La principal tarea a realizar de cara a un lenguaje formal es poder decidir si una fórmula cualquiera dada hace parte o no de nuestro lenguaje, y esto se decide recurriendo a los símbolos primitivos y a las reglas de formación. Como se ve, el trabajo con lenguajes formales no es nada complicado ni misterioso; antes bien, puede parecernos trivial. ¿Qué sentido tiene vivir operando con símbolos arbitrarios y garabatos extravagantes?, ¿se trata solo de jugar por jugar? Es cierto que los lenguajes formales parecen juegos
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de signos y esta es una buena forma de entenderlos, pero vale la pena recordar que ellos también se construyen de cara a necesidades humanas específicas y no sólo por el gusto de jugar. Organizar y manipular signos no es solo un pasatiempo como los que se encuentran en la revistas, aunque también puede serlo, ordinariamente es una tarea que hacemos para enfrentar problemas que de otro modo se hacen más dispendiosos. Es cierto, el uso de signos y fórmulas tiene propósitos didácticos y económicos, trata de hacernos más sencillas y reducidas las cosas, antes que complicarlas, a pesar de lo que comúnmente vemos cuando entramos en contacto con él. Cuando los signos aparecen, por ejemplo en el álgebra o el cálculo, las cosas parecen volverse tremendamente complicadas. Por eso es preciso que reflexionemos un poco sobre el papel que juegan y el valor que tienen los signos en los lenguajes formales.
5. El valor de los signos en los lenguajes formales Los lenguajes formales tienen una utilidad especial ya que permiten tanto una manipulación más sencilla y económica de los asuntos estudiados como hacerlo de una manera más precisa. Generalidad y precisión son entonces las mayores virtudes que tienen los lenguajes formales. Aunque parece que el manejo de los simbolismos matemáticos y lógicos dificulta enormemente la comprensión de estas ciencias, curiosamente en ellos reposa la fuerza teórica y la desbordante aplicabilidad de las mismas. He aquí un reflejo de esta paradójica situación: La persona que desea familiarizarse con las idas matemáticas se ve inmediatamente enfrentada con a, b, c, x, y y z. Se encuentra además con que el honrado alfabeto de todos los días parece insuficiente al matemático para colmar su sed de símbolos: emplea letras griegas con entusiasmo, antiguos caracteres góticos que añaden variedad a las páginas, e incluso recientemente se ha introducido el empleo de letras hebreas como símbolos matemáticos. Cuando necesita más símbolos, el matemático toma letras del alfabeto, de todos conocidas, y las imprime al revés, echadas sobre su espalda o durmiendo sobre el estómago. A estas letras añade otras más pequeñas colocadas más
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arriba o más abajo, a la derecha o a la izquierda. Esto resulta muy divertido para el iniciado, pero para el profano es ininteligible y acostumbra a desanimarle en su futuro interés por esta clase de estudios (Brodetsky, 1952, p.32). A pesar de esto, aquí, la situación es comparable a la que se consiguió con el reemplazo de los números romanos por la notación arábiga. Todos nosotros sabemos que los numerales arábigos son más claros y fáciles de comprender que los viejos números romanos a los que desplazaron. Pero la superioridad real de los números arábigos se revela solamente en el cálculo. Cualquier estudiante puede fácilmente multiplicar 113 por 9. Pero multiplicar CXIII por IX es una labor más difícil y la dificultad se incrementa a medida que se consideran números más grandes (Copi et al., 2002, p. 322). Un ejemplo de lo económico y general que resulta el empleo de simbolismos lo encontramos en la vida cotidiana de una fina cualquiera. Si en la finca cultivamos fresas y papas, regularmente tendríamos que preguntarnos: ¿cuántos bultos de papa han cargado en el camión?, o ¿cuántas libras de fresa quiere usted llevar? Supongamos que se han cargado diez bultos de papa, cinco un carguero y cinco otro carguero; y que una señora quiere llevar diez libras de fresa, cinco para ella y cinco para su hermana. Si nos orientamos por el contenido, tenemos que decir que cinco bultos de papa son muy diferentes a cinco libras de fresa. Los primeros deben transportarse en un camión, las segundas caben en una bolsa mediana. Los primeros sólo pueden ser consumidos por un grupo grande de personas en varios días, mientras que una familia pequeña puede consumir completamente las segundas en una tarde. Según esto, alguien podría decir que la papa y la fresa no se deben contar de la misma manera. Imaginemos que le pedimos al administrador de la finca que nos dé un informe de lo vendido y él tuviera que hacer esta cuenta: cinco bultos de papa, y otros cinco bultos de papa; cinco libras de fresa y otras cinco libras de fresa. Si el administrador creyera que contar bultos de papa es tan
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diferente a contar libras de fresa, probablemente pediría que le diéramos una calculadora de papas y una calculadora de fresas. Pero esto no es el caso, simplemente podemos usar este signo ‘5’, este otro signo ‘+’ y este otro ‘=’, y con eso tenemos. “5+5=10”. El resultado es igual para los bultos de papa, para las libras de fresa o para el número de cabezas de ganado que tengamos en un corral. Los signos que hemos utilizado nos facilitan la tarea de hacer las cuentas economizando el trabajo de pensar que para cada producto de la finca debemos utilizar una estrategia de suma diferente. “5+5=10” sintetiza cualquier operación que se le adecue, independientemente de los contenidos que se le asignen, así que utilizar estos signos es una estrategia muy económica, si tenemos en cuenta que con esa fórmula podríamos calcular cualquier transacción equivalente, por ejemplo, en una tienda con 200 productos diferentes. Entre utilizar una sola fórmula, y 200, claramente es más económica la primera. La precisión y generalidad que aporta el simbolismo se debe, como hemos dicho, a su carácter formal. De este modo, las ciencias formales son las más precisas y aplicables de todas, precisamente porque no se restringen a ningún ámbito específico. Sin embargo, esto no debe hacernos pensar que la lógica y la matemática hablan de cualquier cosa. Guárdese el lector de la tentación de creer que una letra como a, o b, o c, o x o y, usada en álgebra, puede significar cualquier cosa. No sería un cumplido para las matemáticas (llamadas ciencias exactas) el atribuirles el uso de símbolos que representan cualquier cosa. Un símbolo tiene que significar algo, no cualquier cosa. El álgebra no consiste en una serie de vaguedades inútiles (Brodetsky, 1952, p.33s). Este carácter abstracto pero útil, indeterminado pero no vago, de los simbolismos de la lógica y la matemática se sintetiza en el concepto de variable. Estrictamente hablando no podemos decir que una variable es lo mismo en lógica y en matemáticas, ni mucho menos que existe un único tipo de variables; sin embargo una caracterización general de ellas es la siguiente:
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Variable: signo que sirve para referirse indistintamente a objetos cualesquiera de un cierto dominio (su dominio de variabilidad) (Mosterín et al., 2002, p. 596). Lo que varía en matemáticas y en lógica es precisamente el dominio de objetos al que se aplican las variables. Lógica y matemática no se ocupan de los mismos objetos. En todo caso, el uso de variables es lo que hace posible que las ciencias formales tengan un rango tan amplio de aplicación y lo que caracteriza su generalidad. La precisión y exactitud de las ciencias formales se debe, por otro lado, a la definición de sus constantes. Un lenguaje formal puede interpretarse de diversas maneras. Lo que varía en las diversas interpretaciones es el modo como se interpretan las variables y los parámetros. Sin embargo, hay ciertos símbolos del alfabeto que son invariantes respecto a cambios de interpretación, pues siempre se interpretan de la misma manera: son las constantes (Mosterín et al., 2002, p. 127s). Al igual que las variables, las constantes no son todas del mismo tipo ni funcionan de la misma manera. Una constante puede ser una cifra, un operador e incluso un signo auxiliar como un paréntesis. Sin embargo, nuestro interés no es entrar en todas estas especificidades, sino señalar la diferencia que hay entre constantes y variables, e indicar que en ese par de conceptos se pueden cifrar dos características esenciales de las ciencias formales: su precisión y generalidad. Sin embargo, una ciencia formal no muestra su potencia real por el simple hecho de definir con exactitud sus constantes y sus variables, y por formalizar difíciles problemas de las ciencias particulares como la economía o la física. En realidad la fuerza de las ciencias formales está en la manera como aprovechan su potencial simbólico para fortalecer lo que en principio son conjeturas. La matemática y la lógica, además de construir lenguajes formales, diseñan aparatos demostrativos y con ellos logran mostrar con total precisión si una conjetura es plausible dados ciertos supuestos, si una conclusión se infiere realmente de ciertas razones ofrecidas o si tales o
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cuales hipótesis efectivamente pueden arrojar los resultados esperados. Por esa razón introducir la idea de mecanismo deductivo es tan importante para las ciencias formales como la idea misma de lenguaje formal.
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6. Los mecanismos deductivos y la idea de sistema formal Un mecanismo deductivo no es una entidad completamente novedosa que tengamos que introducir al lenguaje formal. Simplemente es un tercer elemento que le podemos añadir. Si un lenguaje formal se define por sus símbolos primitivos y por sus reglas de formación, el sistema deductivo lo único que añade es un nuevo sistema de reglas llamadas reglas de transformación. El mecanismo deductivo se sirve de las fórmulas bien formadas de un lenguaje formal para determinar los axiomas, y mediante el empleo de unas reglas de transformación permite mostrar cómo convertir unas fórmulas en otras de una manera no arbitraria. Al conjunto de tres elementos: símbolos primitivos, reglas de formación y reglas de transformación lo llamamos un sistema formal. Ahora bien, puesto que los dos primeros elementos son lo que conocemos como un lenguaje formal, y el tercer elemento es lo que se llama un mecanismo deductivo, también podemos definir un sistema formal como la suma de un lenguaje formal y un sistema deductivo (Cf. Falguera et al., 1999, p. 61). Hoy en día las ciencias formales son las ciencias de los sistemas formales. Esto no ha sido siempre así, y no podemos esperar que esto pueda tomarse como una definición ya que ciencias no formales, como la lingüística, también utilizan sistemas formales. La idea de sistema formal se debe a Gottlob Frege y desde entonces refinar y desarrollar esta noción ha sido el trabajo de muchos lógicos y matemáticos. Uno de los más importantes desarrollos de esta idea es haber diferenciado los sistemas de deducción natural y los sistemas axiomáticos. Veamos brevemente en qué consiste cada uno de ellos. [Podemos] diferenciar entre dos tipos de sistemas formales: aquellos cuyo mecanismo deductivo se especifica mediante axiomas y reglas de transformación que denominamos SISTEMAS AXIOMÁTICOS, y aquellos cuyo mecanismo deductivo se especifica exclusivamente mediante reglas de transformación que denominamos SISTEMAS DE DEDUCCIÓN NATURAL (Falguera et al., 1999, p. 62). En los sistemas axiomáticos las fórmulas que se seleccionan como primitivas se denominan axiomas, y su característica básica es que son indiscutibles e
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indemostrables. Se toman como las verdades evidentes del sistema. Las demás fórmulas que se pueden deducir en el sistema se denominan teoremas. El empleo del mecanismo deductivo en este tipo de sistemas, puesto que se sirve de los axiomas tiene nombre propio también: demostración. En este contexto hay que recordar siempre lo dicho por Hilbert: La elección de las fórmulas elementales del sistema axiomático y de las reglas de deducción de nuevas fórmulas es en gran medida arbitraria: no existe una solución unívoca. De todas maneras plantearemos ciertas exigencias a las fórmulas elementales y a las reglas de deducción, tales como que no sean demasiado complicadas y que tengamos el menor número posible de axiomas y reglas (Hilbert et al. 1975, p. 37). Con esto se señala no un carácter completamente arbitrario de la construcción de sistemas formales, sino que ellos siempre pueden ser modificados. Esto ya es un aporte magnífico, pues destierra de entrada la posibilidad de idolatrar un único modelo lógico o matemático como el único posible o correcto. Está abierta la puerta a lo que hoy conocemos como pluralismo lógico. En los sistemas de deducción natural no se utilizan axiomas sino sólo reglas de transformación. Sin embargo, en ellas se reconocen las reglas básicas, que son las que permiten la introducción o eliminación de las constantes del sistema; y las reglas derivadas, que son todo el conjunto de reglas de deducción que ayudan a ir de una fórmula a otra, y que a su vez pueden ser demostradas mediante las reglas básicas. Con esta esquemática presentación queda definida la idea de sistema formal y sus dos posibles versiones. Estas nociones pueden precisarse y complementarse mucho más, pero para nuestros intereses con lo dicho hasta aquí es suficiente. Veamos ahora un ejemplo de lenguaje formal y cómo le podemos asignar una interpretación. Recordemos, no hay que temerle a los símbolos, pues esto es solo un juego, ¡un juego muy sencillo!
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Para empezar retomemos el lenguaje formal que construimos más arriba. En él teníamos seis tipos de símbolos: I. Símbolos primitivos: A) B)
♀, ♀!, ♀!!, ♀!!!, etc. ♂, ♂!, ♂!!, ♂!!!, etc. admiración] C) D) =☺ E) = F) =
[Femenino con cualquier cantidad de signos de admiración] [Masculino con cualquier cantidad de signos de [Reloj] [Igual con carita feliz] [Igual con carita triste] [Igual con carita indiferente]
II. Reglas de formación (RF) RF1: RF2: RF3:
RF4:
RF5: RF6:
Un signo femenino solo o con cualquier número de signos de admiración es una fbf del lenguaje. Un signo masculino solo o con cualquier número de signos de admiración es una fbf del lenguaje. Cualquier fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo A seguido del símbolo tipo C, y seguido de un símbolo cualquiera de tipo B es una fbf del lenguaje. Cualquier fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo B seguido del símbolo tipo C, y seguido de un símbolo cualquiera de tipo A es una fbf del lenguaje. Cualquier fórmula construida según las reglas RF1, RF2, RF3 y RF4 seguida de uno de los símbolos D, E o F es una fbf del lenguaje. Solamente las expresiones formadas según las RF 1-5 son fbfs del lenguaje, y ninguna otra lo es.
Ahora podemos añadir nuestro mecanismo deductivo. Para no complicar nuestro ejemplo no determinaremos axiomas ni teoremas, simplemente daremos algunas sencillas reglas de transformación. Veamos. III. Reglas de transformación (RT) RT1:
Dada una fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo A, seguido del signo de tipo C y un símbolo cualquiera de tipo B; podemos pasar a otra fórmula compuesta por el mismo símbolo de
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RT2:
RT3:
RT4:
RT5:
RT6:
tipo A, seguida del símbolo tipo C y otro signo de tipo A diferente al primero añadiéndole un símbolo tipo F. Dada una fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo B, seguido del signo de tipo C y un símbolo cualquiera de tipo A; podemos pasar a otra fórmula compuesta por el mismo símbolo de tipo B, seguida del símbolo tipo C y otro signo de tipo B diferente al primero añadiéndole un símbolo tipo F. Dada una fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo A, seguida del símbolo tipo C y un símbolo cualquiera de tipo B; podemos pasar a una fórmula compuesta por el mismo signo de tipo A, seguido del símbolo tipo C y de otro símbolo cualquiera de tipo B diferente al primero añadiéndole un símbolo tipo D. Dada una fórmula compuesta por un símbolo cualquiera de tipo B, seguida del símbolo tipo C y un símbolo cualquiera de tipo A; podemos pasar a una fórmula compuesta por el mismo signo de tipo B, seguido del símbolo tipo C y de otro símbolo cualquiera de tipo A diferente al primero añadiéndole un símbolo tipo D. Dada una fórmula cualquiera de tipo A, seguida de un símbolo tipo C y un símbolo cualquiera de tipo B; podemos pasar a esa misma fórmula de tipo A sola, añadiéndole un signo de tipo E. Dada una fórmula cualquiera de tipo B, seguida de un símbolo tipo C y un símbolo cualquiera de tipo A; podemos pasar a esa misma fórmula de tipo B sola, añadiéndole un signo de tipo E.
Para ilustrar estas transformaciones veamos los siguientes ejemplos: Fórmula inicial ♀♂ ♂♀! ♀♂ ♂!♀!! ♀!!♂!! ♂!♀!!
Regla de transformación empleada RT1 RT2 RT3 RT4 RT5 RT6
Fórmula resultante ♀♀!= ♂♂!= ♀♂!=☺ ♂!♀!=☺ ♀!!= ♂!=
Hasta este momento podemos decir que hemos estipulado simplemente las reglas de un juego que permite combinar símbolos y nada más. Sin embargo, podemos pensar en darle alguna interpretación. Por ejemplo, si dijéramos que nuestro sistema formal es la descripción del tipo de comportamientos que exhiben los jóvenes de nuestra provincia cuando están en grupos de dos, ¿qué significaría ello?
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Interpretemos el signo femenino representando a las señoritas de nuestra provincia y el signo masculino representando a los muchachos. Ahora interpretemos que el reloj significa la relación “pasa el tiempo con” y que los signos de igual con carita, sea esta feliz, triste o indiferente expresa las preferencias de los muchachos y las señoritas en cuestión. Según esta clave interpretativa y orientándonos por los ejemplos de la tabla podemos decir lo siguiente: 1. La regla RT1 indica que cuando las señoritas están pasando su tiempo con un muchacho, si él se va a ellas les es indiferente quedarse hablando con otra señorita. La RT2 indica algo semejante pero para el caso de los muchachos. 2. La regla RT3 muestra que a las señoritas les agrada que cuando están pasando el tiempo con un muchacho, si él se va, que venga otro muchacho diferente. La regla RT4 indica lo mismo para el caso de los muchachos respecto a las señoritas. 3. Las reglas RT5 y RT6 dejan ver que ni a las señoritas ni a los muchachos les agrada quedarse solos cuando han estado compartiendo su tempo con alguien del otro sexo. En general, en nuestra sociedad tanto a las jovencitas como a los muchachos les es indiferente cambiar de compañía cuando se trata de personas de su mismo sexo, les encanta cambiar de compañía cuando se trata de personas del otro sexo y no les agrada terminar solas o solos cuando han estado pasando el tiempo con alguien del otro sexo. Esta interpretación de nuestro sistema deductivo puede enriquecerse todavía más si en lugar de hablar en general asignamos a cada variable una interpretación exacta de una persona. Así, por ejemplo, podemos llamar a ♀ Milena, a ♀! Martha y a ♀!! Liliana; y a ♂ Carlos, ♂! Camilo y a ♂!! Sergio. De este modo podemos decir que:
Fórmula inicial ♀♂
RT empleada RT1
Fórmula resultante ♀♀!=
♂♀!
RT2
♂♂!=
♀♂
RT3
♀♂!=☺
♂!♀!!
RT4
♂!♀!=☺
♀!!♂!!
RT5
♀!!=
Interpretación Si Milena está con Carlos, le es indiferente estar luego con Martha Si Carlos está con Martha, le es indiferente estar luego con Camilo Si Milena está con Carlos, le encantará estar luego con Camilo Si Camilo está con Martha, le encantará estar luego con Liliana Si Liliana está con Sergio lamentará quedarse sola
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♂!♀!!
RT6
♂!=
Si Camilo está con Liliana, lamentará luego estar solo
Este par de sencillos ejemplos muestran cómo una construcción arbitraria en la que simplemente se estipulan signos, formas de combinación entre esos signos y caprichosas maneras de transformar unos signos en otros puede llegar a ser una herramienta para organizar, sintetizar y comprender complejos eventos de la vida corriente como las preferencias de género de un grupo de individuos o las relaciones de acompañamiento de un grupo de amigos. Como conclusión de lo dicho también vale la pena señalar que los signos de femenino ♀ y masculino ♂ cambiaron su dominio de variabilidad en la interpretación, primero significaban cualquier señorita o muchacho de la provincia y luego representaron señoritas y muchachos concretos, siendo ellos las variables del sistema. Por su parte, el signo del reloj permaneció con un significado idéntico cuando las variables cambiaron su dominio: “pasar el tiempo con”, de modo que él es una de las constantes del sistema. Por supuesto, así como en estos casos hemos elegido pocos tipos de símbolos primitivos y hemos construido pocas reglas de formación y transformación, así mismo los resultados no son de gran envergadura. Sin embargo, sistemas formales más complejos permiten comprender y representar simbólicamente fenómenos también más complejos. Lo único que hemos hecho hasta ahora es ofrecer un pequeño ejemplo de construcción de sistema formal y mostrar cómo al darle una interpretación, es decir, al asignarle un contenido, él va mostrando su potencial explicativo. Para terminar este capítulo señalaremos tres problemas básicos de un sistema formal.
7. Entre matemática y filosofía: tres problemas de un sistema formal Uno de los principales exponentes de la idea de sistema formal como sistema de signos fue el matemático de Königsberg, la tierra de Kant, David Hilbert (1862-1943). Aunque Hilbert era matemático de formación sus estudios superiores fueron en filosofía. Desde que era estudiante en la escuela primaria Hilbert mostró grandes dotes matemáticas, llegando a ayudarle a sus maestros a entender problemas que para ellos eran difíciles. Sus estudios terminaron en 1884 y entonces empezó una carrera como
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profesor de matemáticas en escuela elemental y en la universidad. Su trabajo como matemático le valió un gran nombre y fue invitado especial al Segundo Congreso Internacional de Matemáticas que se llevó a cabo en París en agosto de 1900. En el umbral del nuevo siglo, Hilbert decidió sugerir direcciones para la investigación matemática y proponer problemas hacia cuya resolución deberían los matemáticos dirigir sus esfuerzos. Tardó tanto tiempo en preparar su discurso que el programa hubo de imprimirse sin poder incluirlo. Cuando posteriormente estuvo concluido, tenía el modestísimo nombre de Problemas matemáticos. Sería difícil encarecer demasiado su influencia sobre el desarrollo de las matemáticas durante el presente siglo [siglo XX]. La sección que abría el discurso era una digresión general sobre la importancia de los problemas y las vías por las que habían conducido a fructíferas áreas de investigación. Después venía una lista de veintitrés problemas que aún estaban sin resolver (Ashurst, 1982, p. 166). Algunos de los problemas planteados en aquella magistral conferencia son muy técnicos y requieren alto conocimiento matemático sólo para poder entenderlos. Otros, aunque más fácilmente comprensibles, demandaban también complejas soluciones. Varios de esos problemas ya han sido resueltos y de otros se ha podido demostrar que no tienen solución. En todo caso, la conferencia de Hilbert marcó buena parte de los derroteros de la investigación matemática en el siglo XX. Pero Hilbert no sólo impactó la investigación matemática. También planteó problemas que con los años demandarían profundos análisis filosóficos para su solución, y muchos filósofos efectivamente trabajaron en ellos. Durante la primera mitad del siglo XX, varios de los más importantes filósofos tenían también alguna formación matemática o física, y para ellos entonces los problemas formales no eran un obstáculo sino más bien algo estimulante (Cf. Jacquette, 2002, p. 1), y esto no sólo por la influencia de Hilbert (Cf. Shanker, 1996, pp. 1ss) En 1900 muchos de los mejores filósofos del mundo se encontraron para el Tercer Congreso Internacional de
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Filosofía del 1 al 5 de agosto en París. Después del congreso, un número significativo de ellos permaneció en la ciudad para el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas, que se realizaría inmediatamente después, del 6 al 12 de agosto (Irwin, 1996, p. 16). Los congresos internacionales de matemáticas y filosofía de 1900 fueron entonces un presagio de esa serie de encuentros y desencuentros entre filósofos, lógicos y matemáticos que a lo largo del siglo XX, especialmente la primera mitad, desarrollaron las ciencias formales llevándolas al lugar que hoy ocupan en el contexto general de la ciencia y de la vida humana. Como ha notado Irwin, aunque no por influencia directa de su conferencia de 1900, el segundo problema planteado por Hilbert vino a constituirse en una fuente de trabajo intelectual y un reto para el pensamiento que, puesto en conjunción con desarrollos y teorías provenientes de otros campos, puede dar una visión de conjunto de lo que fue el desarrollo de la filosofía de las ciencias formales en el siglo pasado, y que aún en muchos aspectos marca las investigaciones presentes (Cf. Irwin, 1996, pp. 18ss). Oigamos del propio Hilbert en qué consiste el problema. [37] Cuando estamos comprometidos en la investigación de los fundamentos de una ciencia, debemos establecer un sistema de axiomas que contenga una descripción exacta y completa de las relaciones que hay entre las ideas elementales de esa ciencia. Los axiomas así dispuestos son al mismo tiempo las definiciones de esas ideas elementales; y ninguna afirmación dentro del campo de esa ciencia cuyo fundamento estamos examinando puede aceptarse como correcta a menos que pueda derivarse de los axiomas mediante un número finito de pasos lógicos. Desde una aproximación cuidadosa aparece entonces la cuestión: si, de algún modo, ciertas afirmaciones de axiomas simples depende de otra, y si los axiomas entonces no deben contener ciertas partes en común, ¿qué debe separarse si uno desea llegar a un sistema de axiomas que deben ser todos independientes unos de otros?
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[38] Pero sobre todo quiero llamar a la siguiente la más importante entre las numerosas cuestiones que pueden plantearse en consideración de los axiomas: probar que no son contradictorios, esto es, que un número finito de pasos lógicos basado en ellos nunca conducirá a resultados contradictorios (Hilbert, 1996, p. 1104). Estrictamente hablando, el problema de Hilbert son tres problemas relacionados pero en todo caso diferentes: completud, consistencia y decidibilidad. 7.1 La completud Cuando construimos un sistema formal esperamos que de él puedan deducirse todas las fbfs de nuestro interés. A fin de cuentas para eso construimos los sistemas formales. Un sistema formal en el que pueden construirse y derivarse todas las fbfs se llama un sistema completo. Hablando con rigor, cuando buscamos que un sistema formal sea completo buscamos que de él puedan derivarse todas las proposiciones que consideramos verdaderas, es decir, que todas ellas puedan demostrarse recurriendo exclusivamente a los elementos del sistema mediante un número finito de pasos. La dificultad de la completud, lo que constituye su carácter problemático, es que a partir de un vocabulario finito, y con la ayuda de un conjunto finito de reglas de formación y transformación, podemos producir infinitas fbfs. Así las cosas, determinar si un sistema formal es completo se vuelve una tarea interminable, pues no podemos contar lo infinito, nunca terminaríamos sabiendo cuándo acabamos, cuándo el sistema está completo o si acaso lo es. Así pues, determinar si un sistema formal es completo es la primera tarea que se impone a los análisis formales. La dimensión filosófica del problema salta a la vista: ¿realmente podemos construir un sistema en el que podamos demostrar que todo lo que creemos verdadero realmente lo es?, ¿podemos construir un sistema en el que no excluyamos ninguna verdad? Para solucionar estas cuestiones no basta una buena intuición filosófica, es preciso siempre un arduo trabajo técnico en matemáticas. Sin embargo, la
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técnica matemática en sí misma no podría plantearse un horizonte problemático a resolver sin ayuda del planteamiento filosófico de la cuestión.
7.2 La consistencia Uno de los imperativos filosóficos que se imponen al problema de la completud es la consistencia. Sobre ella llama la atención el párrafo final de la cita de Hilbert. La cuestión es tan simple como que esperamos que de un sistema formal no podamos sólo derivar todas las verdades, sino que, además, de él no podamos derivar la negación de dichas verdades, pues en tal caso tendríamos un sistema que se contradice. La consistencia es una propiedad de los sistemas formales según la cual del sistema no pueden derivarse contradicciones. Un sistema formal del que no es posible derivar contradicciones se llama un sistema formal consistente, y de aquel en el que sí, se llama inconsistente. La consistencia es una propiedad derivada del fundamental principio lógico de identidad. Pero no solo por respeto es ella deseable. Si examinamos con cuidado un argumento cualquiera, bien en ciencia, en política o en la vida diaria, es evidente que para los seres humanos no es indiferente la contradicción. A quien se contradice constantemente le perdemos la credibilidad o en el peor de los casos le perdemos la estimación. Cuando una persona afirma algo y al momento lo niega no sabemos qué pensar de ella. A lo sumo le pedimos que explique por qué se contradice, o que defina su posición, pero de todas formas, salvo en casos excepcionales, no aceptamos la contradicción sin más. En el terreno de los sistemas formales la consistencia se vuelve problemática de la siguiente manera. Cuando definimos un sistema formal, esperamos poder decidir cuándo una fórmula pertenece a él y cuándo no. Dicho de otra forma, esperamos poder saber cuáles son todas las fórmulas del sistema, es decir, su completud. Para obtener todas estas fórmulas contamos con nuestras reglas de formación y de transformación. La tarea consiste en construir todas las fórmulas posibles y sus derivaciones a partir de aquellas reglas. La dificultad es que en un sistema formal con un número finito de símbolos primitivos es posible mediante las reglas construir
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un número infinito de fórmulas, como dijimos. Esto quiere decir que probablemente no podemos terminar nunca nuestra tarea. Pero, si no podemos acabar de construir las fbfs del sistema, ¿cómo sabemos si acaso no podremos construir también una fórmula que contradiga alguna de las que ya tenemos? Aquí aparece el problema de la consistencia. Si logramos probar que el sistema es completo, es decir, que contiene todas las fbfs, ¿cómo podemos determinar si en él no habrá una contradicción? Aquí se aprecia con toda claridad el reto matemático: construir un sistema formal que contenga todas las verdades lógicas y que no incurra en contradicción. Técnicamente diríamos que la tarea es construir un sistema formal completo y consistente. En realidad este problema es casi trivial dado el infinito número de fbfs que pueden derivarse de un sistema formal. Si es cierto que podemos construir infinitos teoremas, puesto que es imposible construirlos todos, entonces lo mejor que podemos hacer es abandonar este problema. Sin embargo, habría al menos una manera de encontrar el camino. 7.3 La decidibilidad La decidibilidad es también, como la consistencia y la completud, una propiedad de los sistemas formales. Según ella, un sistema formal es decidible si podemos construir una prueba para cada una de las fbfs del mismo, es decir, si podemos demostrar mediante el uso de reglas de formación y transformación que una fórmula pertenece o no al sistema. La decidibilidad entonces es un recurso que tenemos para solventar el problema de la consistencia y la completud de los sistemas formales. Tendríamos que definir cuáles son las verdades lógicas que nos interesa demostrar, definir también cuáles son nuestros axiomas y cuáles nuestras reglas de formación y transformación. Puesto que todos estos elementos son finitos, si nos restringimos a ellos la tarea puede realizarse. Visto con cuidado, en realidad el problema es solamente si podemos decidir que todas las verdades son fbfs del sistema y si todas sus negaciones no son fbfs del mismo. Satisfecha esta tarea, habremos probado la completud y consistencia del sistema en cuestión.
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Con esto terminamos nuestra sencilla presentación de la idea de ciencia formal como ciencia de los sistemas formales. Además de construir esta definición, hemos expuesto la idea misma de sistema formal y sus tres problemas básicos. La tarea que se impone ahora es hacer que todo lo que hasta el momento se ha visto claro se torne problemático. Emprendamos pues nuestra empresa crítica.
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Unidad 2 Problemas epistemológicos específicos de una ciencia formal
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Capítulo 2 Problemas selectos de los lenguajes formales. El caso de la lógica
Hemos definido las ciencias formales como las ciencias de los sistemas formales. A su vez hemos caracterizado este tipo de sistemas como un conjunto de tres elementos: (1) unos símbolos primitivos que constituyen su vocabulario, (2) un conjunto de reglas de formación que constituyen su sintaxis, y (3) un mecanismo deductivo. Vocabulario y reglas de formación conforman lo que se conoce como un lenguaje formal. De aquí se sigue que, como dijimos, un sistema formal sea la sumatoria de un lenguaje formal y un mecanismo deductivo. En nuestra empresa de indagar las ciencias formales dedicaremos este capítulo a explorar algunas particularidades propias de los lenguajes formales, reservando el siguiente para el examen crítico de los mecanismos deductivos. Esto quiere decir que por ahora nos ocuparemos de examinar problemas relacionados con las idea de ‘vocabulario’, o conjunto de símbolos primitivos del lenguaje formal, y su ‘sintaxis’. Esta empresa es norme y de entrada parece absurdo acometerla, porque tanto el vocabulario como las reglas de formación no son entes abstractos sino elementos de lenguajes formales específicos. En una frase, no es posible explorar los problemas del vocabulario y las reglas de formación en general, sino sólo al interior de un lenguaje formal concreto. Por esta razón estudiaremos los problemas de los lenguajes formales en los sistemas formales de lógica, y en particular en un sistema lógico sencillo y conocido: la lógica proposicional3. 3
No podemos realizar aquí una presentación completa de la lógica proposicional. Esa tarea corresponde al curso de lógica. Sin embargo el lector interesado o que desee repasar o introducirse en la lógica proposicional puede consultar la sencilla presentación de Copi et al. 2002. Una buena presentación de este mismo tema, ya desde una perspectiva de los sistemas formales que aquí estamos considerando es la de Falguera, J. et al. (1999).
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Los sistemas formales son lenguajes artificiales construidos para enfrentar de un modo general y preciso, amplio pero no vago, problemas concretos para los que el lenguaje natural no es la mejor vía. Con frecuencia los problemas que requieren de estudios mediante sistemas formales son los problemas del lenguaje mismo, como señalamos. Si entendemos la lógica como un sistema formal tenemos que decir entonces que ella se enfrenta a ese tipo de problemas del lenguaje que representan los argumentos. La pretensión de que un sistema formal sea un sistema de lógica depende de que posea una interpretación según la cual pueda considerarse que aspira a incorporar cánones del argumento válido (Haack, 1991, p. 23). Sin embargo, no es fácil aceptar de primera mano esta definición porque estamos acostumbrados a entender la lógica como una estructura de pensamiento o como cierto tipo de actividad mental. Puesto que nuestra tarea es explorar dificultades, empecemos por examinar en qué sentido la lógica es un problema de lenguaje más que de pensamiento antes de entrar propiamente en los problemas del lenguaje formal.
1. Lógica formal: lenguaje y pensamiento El común de la gente conoce la lógica como la ciencia que estudia los principios y los métodos que permiten establecer cuándo un razonamiento ha sido bien elaborado y cuándo no. Al primero de estos casos los lógicos lo llaman un argumento válido, y al segundo un argumento inválido. Otra manera de presentar esta misma definición es decir que la lógica es la ciencia de los principios de la inferencia. Desde un punto de vista epistemológico esta definición plantea algunos problemas relevantes: ¿acaso existe un canon del razonamiento y la lógica es la encargada de descubrirlo?, ¿qué significaría razonar desobedeciendo ese canon?, ¿es la lógica la prueba de que en el fondo todos razonamos de la misma manera?, ¿es siquiera posible el pensamiento no lógico? La principal dificultad que esta serie de interrogantes plantea para nuestro estudio es que parecen estar referida al ámbito de lo mental o de lo
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psicológico y no al del lenguaje. Si esto es así, estamos en serios problemas, pues una de las ideas básicas que tenemos es que la lógica es una ciencia formal y entonces su campo de trabajo es el lenguaje, no el entendimiento. Con frecuencia se piensa que la lógica es la ciencia de las leyes del pensamiento porque se entiende que la argumentación es una actividad mental. En estos casos pensamos que argumentar es lo mismo que razonar, es decir, un ejercicio de la razón y, por supuesto asociamos la razón con lo mental y lo psicológico. Aunque esta posición tiene acogida teórica y no solo práctica, encierra algunas confusiones. Para poder precisar en qué sentido la lógica es una ciencia formal del lenguaje debemos hacer entonces algunas precisiones. Una de las razones por las cuales no logramos ver la dimensión lenguájica de la lógica es nuestra incontenible tendencia a simplificar el mundo en que vivimos. Como vimos desde el capítulo 1, para orientar nuestra mirada al lenguaje debemos realizar un arduo trabajo ya que el lenguaje mismo nos engaña lanzándonos a la caza de quimeras, para utilizar la feliz expresión de Wittgenstein. Si preguntáramos a una persona cualquiera cuántos mundos cree que hay, respondería que uno sólo, nuestro mundo; pero si la indagamos con detenimiento a lo mejor llegue a conceder que hay al menos dos mundos: el mundo externo y el mundo interno. Aunque casi espontáneamente aceptamos que esto es así y que entonces todo lo real es o bien un componente del mundo externo o bien un componente del mundo interno, cuando tratamos de caracterizar suficientemente bien esta ontología a partir de sus rasgos fundamentales nos topamos con algunas consecuencias interesantes4. Para empezar, podemos tratar de precisar las características de los objetos externos, como por ejemplo un sartén: 1. Los objetos externos se pueden percibir por los sentidos. 2. Los objetos externos están fuera de la conciencia de las personas, es decir, no dependen de que alguien los perciba para existir.
4
Seguimos en esta presentación el argumento de Frege, Gottlob, (1998), “El pensamiento. Una investigación lógica”, en Ensayos de semántica y filosofía de la lógica, trad. Luis Manuel Valdés, Tecnos, Madrid, pp. 196225.
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3. Los objetos externos no necesitan un portador, existen independientemente. 4. Los objetos externos son públicos, todos podemos acceder por igual a ellos. Claramente un sartén es perceptible por los sentidos de distintas maneras. Podemos sujetarlo, sentir su olor, ver su color y escuchar su sonido característico cuando cae al piso. Además, el sartén no está metido en el interior de nuestra conciencia, no podemos tomar ese trozo de aluminio e incrustárnoslo en el alma. En tanto objeto externo, el sartén está por fuera de nuestra conciencia, y existe con independencia de ella. Finalmente, es claro que el sartén es un objeto público, al menos en la medida en que varios de los habitantes de nuestra casa pueden hacer uso de él. Tratemos ahora de exponer algunas características básicas de los objetos internos, o de las representaciones, como las llama Frege: 1. Los objetos internos no se pueden percibir por los sentidos, simplemente se tienen. 2. Los objetos internos se tienen en la mente, en la conciencia, existen en el mundo interno de cada persona. Cada persona tiene sus propias representaciones. 3. Los objetos no pueden existir independientemente de las personas, una representación subjetiva sólo existe cuando alguien la tiene porque está en su conciencia, las representaciones internas necesitan un portador. 4. Cada objeto interno, cada representación, tiene sólo un único portador. Yo tengo mis representaciones, y tú las tuyas. Para ilustrar estas características podemos tomar como ejemplo el dolor. A diferencia del sartén, el dolor no es perceptible por los sentidos. En realidad, lo que decimos es que tenemos un dolor de cabeza, por ejemplo, y esa es una diferencia importante: puedes tocar la cabeza que te duele o mirar el brazo que te has herido, pero lo que tocas y ves no es el dolor mismo; no puedes ver, tocar, oler o escuchar tu dolor, simplemente lo tienes. Además el dolor es tu dolor, y si tú no existieras tu dolor desaparecería, depende de ti para existir, pues habita en tu conciencia. Finalmente, a diferencia del sartén, el dolor no puede ser sujetado por varias personas a la vez. Cada uno siente su dolor, pero no hay dolores públicos. Esquemáticamente podemos presentar las diferencias así:
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Se perciben por Existen en el mundo No necesitan Son públicos Objetos los sentidos externo portador, Su externos existencia es independiente de los sujetos Objetos Son Existen en el mundo Necesitan un Son privados internos imperceptibles interno, en la mente, portador, su sensorialmente en la conciencia existencia depende que haya sujetos
La pregunta de Frege es si no habrá en el mundo objetos que no encuadren en esta clasificación. Para responderla nosotros podemos hacer un sencillo ejercicio: comparar las casillas del cuadro. Tomemos pues cada casilla de la fila de arriba y comparémosla con cada una de las casillas de la fila de abajo. Si comparamos la primera casilla de la fila superior con las casillas de la fila inferior tenemos lo siguiente. Evidentemente no hay objetos que sean perceptibles e imperceptibles al mismo tiempo. Tampoco hay objetos que existan en el mundo interno que se puedan percibir por los sentidos. Tampoco hay objetos perceptibles por los sentidos que necesiten portador, todos ellos son independientes. Finalmente tampoco hay objetos tangibles que sean privados, excepto si hablamos de propiedad privada en sentido económico. Al comparar la segunda casilla de la fila de arriba con las casillas de la fila de abajo tenemos que plantearnos, para empezar, la siguiente pregunta: ¿acaso hay objetos que existan en el mundo externo que sean imperceptibles por los sentidos? En este caso algunos afirmarían que efectivamente los hay, esos objetos serían los fantasmas, los espíritus, las auras etc. Evidentemente no puede haber objetos que sean externos e internos a la vez; de la misma manera que no puede haber objetos externos que necesiten portador. El caso de los objetos externos privados ya lo mencionamos en el punto anterior. Al comparar la tercera casilla superior con las inferiores encontramos el siguiente interrogante: ¿acaso habrá objetos que no necesitan portador y que son intangibles? Sería el mismo caso de los fantasmas, los espíritus etc., sin embargo, no hay objetos independientes que existan en un mundo interior, como tampoco hay objetos independientes y dependientes al
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mismo tiempo. Finalmente aparece nuevamente el caso de los objetos independientes privados. Por último, al comparar la cuarta casilla de arriba con las de abajo, hay que considerar ese tipo de objetos que sean públicos pero intangibles. Es aquí donde Frege descubre un nivel intermedio de realidad que no es interna ni externa sino que es a la vez intangible y pública: se trata de la realidad social y en ella su elemento constituyente fundamental: el lenguaje. La realidad social es lo que Frege llama el tercer reino, el reino de los pensamientos públicamente compartidos. A ese reino pertenecen la historia, la literatura, las tradiciones, la cultura etc. Ninguna de estas cosas es propiedad privada de nadie, todas son de domino y acceso público; sin embargo, ninguna de ellas se puede percibir por los sentidos. Frege considera que la posibilidad de que esta realidad exista es el lenguaje. La realidad social se construye en el uso del lenguaje, la manera como accedemos a las diferentes culturas y tradiciones es cuando captamos el sentido del lenguaje en que esa tradición o esa cultura se expresa. La forma en que una cultura usa el lenguaje nos permite captar la manera como ve el mundo. Por esta razón el lenguaje no se refiere directamente a la realidad, sino a través de una mediación, de un intermediario. Ese intermediario que hay entre el lenguaje y la realidad, ya sea interna o externa, es el pensamiento. El pensamiento, tal como aquí lo entendemos, no es la misma representación subjetiva, el objeto interno, la idea que alguien se hace de algo; sino una idea compartida por una comunidad de hablantes: el pensamiento se caracteriza por ser público, no privado. Así pues, se descubre la existencia de un tercer nivel de realidad: el reino del pensamiento, que no es un tercer tipo de objetos, sino un intermediario entre los objetos externos y nuestras representaciones subjetivas: nuestras representaciones subjetivas no se forman directamente por la contemplación del mundo externo sino que se forman al contemplar el mundo externo a través de ese intermediario que es el pensamiento públicamente compartido; nuestras tradiciones y nuestra cultura. Como se ve, Frege nos ayuda a construir un concepto de pensamiento que no está relacionado con la vida mental. Lo que este segundo padre
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de la lógica denomina ‘pensamiento’ se diferencia claramente de los objetos internos, mentales o psicológicos, y guarda una estrecha dependencia del lenguaje de modo que atendiendo con su ayuda podemos empezar a comprender en qué sentido la lógica no es una rama de la psicología sino de los estudios del lenguaje. Dicho esto, Ahora tenemos que precisar qué sería un argumento, ya que si no es el resultado de una operación mental no resulta fácil saber qué otra cosa pueda ser. Por supuesto no se trata de desterrar los componentes mentales de la lógica, pues “la práctica inferencial, tal como la identificamos paradigmáticamente, parece suponer, además de ciertas condiciones histórico-sociales, algún lenguaje natural y, desde luego, algún proceso psíquico” (Moretti et al., 2004. p.11). Digamos en calidad de hipótesis de trabajo que un argumento es una estructura conceptual en la que se establece una relación de consecuencia lógica entre dos conjuntos de proposiciones: las premisas y la conclusión. Esta definición es muy esquemática y general, y por eso resulta muy útil. Lo único que se enuncia en ella es que un argumento tiene tres componentes: un conjunto de datos de los que se parte, que se llaman premisas, un conjunto de datos a los que se llega, que se llaman conclusiones, y una relación entre esos conjuntos de datos que se llama la relación de consecuencia lógica. Para ilustrar esto veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente argumento: “Puesto que los hombres son buenos o malos, en el fondo nadie es malo, entonces todos somos buenos”. Este es un argumento sencillo en el que se pueden ver los tres elementos mencionados: los datos de los que se parte, las premisas, son las siguientes: 1. Los hombres son buenos o son malos. 2. Ningún hombre es malo. Los datos de llegada, la conclusión, son: 3. Todos los hombres son buenos La relación de consecuencia lógica se puede ver al constatar que si las premisas son verdaderas, es imposible que la conclusión no lo sea.
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Podemos considerar este ejemplo como un argumento cuando nos aproximamos a él visto como una pieza completa, es decir, cuando lo vemos como una estructura en la que se conjugan los tres componentes mencionados. Esta no es la única manera de verlo, por supuesto, también puede entendérselo como un proceso verbal o como un proceso psicológico. En el primer caso, lo llamamos un ejercicio de argumentación, en el segundo un razonamiento. Así pues, cuando vemos el ejemplo como actividad mental, lo llamamos razonamiento o inferencia. Cuando lo vemos como una acción verbal, como lo que una persona le dice a otra, lo llamamos una argumentación, y cuando lo vemos como un todo conceptual estructurado lo llamamos argumento. Estrictamente hablando, la lógica no se ocupa de las inferencias ni de las argumentaciones sino de los argumentos. La lógica formal se interesa por la estructura de los argumentos, no por los procesos de argumentación o de raciocinio mediante los cuales confeccionamos los argumentos. Esto significa que la lógica es el estudio de los argumentos que busca determinar si en ellos la relación de consecuencia lógica está bien o mal establecida. Cuando la relación es correcta, los argumentos se llaman válidos, y cuando no, se llaman inválidos. Hecha esta segunda precisión conceptual y de términos, podemos retomar nuestra indagación sobre la lógica como lenguaje formal.
2. El lenguaje formal de la lógica proposicional En realidad no podemos decir que la lógica es un lenguaje formal, sino más bien un conjunto de lenguajes formales. No hay una única lógica, por el contrario hay diversos lenguajes lógicos5. Como mencionamos, para nuestro estudio consideraremos algunos elementos del sencillo lenguaje que se conoce como cálculo proposicional o lógica proposicional. Puesto que un lenguaje formal consta de símbolos primitivos y reglas de formación, lo primero que debemos estipular es cuáles son ellos. Dentro de los símbolos primitivos es posible reconocer también algunas variedades, por ejemplo: variables, constantes y símbolos auxiliares. En el caso de la lógica proposicional las variables se denominan variables proposicionales, 55
Presentaciones útiles y completas de estos temas son, por ejemplo, la de Carlos Alcohurrón, Gladys Palau y Lorenzo Peña.
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porque se supone que se usan para simbolizar proposiciones, y las constantes se conocen como conectores o conectivos lógicos, puesto que su tarea es simbolizar las conexiones que pueden establecerse entre enunciados. Los símbolos auxiliares se usan para poder apreciar con claridad suficiente las estructuras simbolizadas. Todo esto se puede entender fácilmente con un ejemplo. Definamos, para empezar, los símbolos que vamos a utilizar: Como variables proposicionales suelen utilizarse las letras del abecedario que van desde la p en adelante y máximo hasta v. Con estas letras se representan entonces los enunciados del lenguaje natural. Como conectivos lógicos se definen en algunos sistemas de lógica proposicional dos básicos y tres derivados. Los básicos son la negación y la disyunción, y los derivados son la conjunción, el condicional y el bicondicional. Respectivamente los símbolos son los siguientes: Tipo
Conectivo
Básico
Negación Disyunción
Derivado
Conjunción Condicional Bicondicional
Símbolo ¬ ∨ ∧ → ↔
Estos conectivos suelen tener correspondencias en el español, y las más usuales son: Tipo Básico
Conectivo Negación Disyunción
Derivado
Conjunción Condicional Bicondicional
Símbolo ¬ ∨ ∧ → ↔
Español No O Y Si…, entonces… Si y sólo si…, entonces…
Los símbolos auxiliares que emplearemos son los más comunes de todos: paréntesis, corchetes y llaves: (, ), [, ], {, }. Así pues, nuestro vocabulario básico es:
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Símbolos primitivos: Variables proposicionales: p, q, r… Constantes o conectivos lógicos: Negación: ¬ (básico) Disyunción: ∨ (básico) Conjunción: ∧ (derivado) Condicional: → (derivado) Bicondicional: ↔ (derivado) Símbolos auxiliares: Paréntesis: ( ) Corchetes: [ ] Llaves: {} Ahora tenemos que definir las reglas de formación que nos permitan determinar cuando una secuencia de signos es una fbf del sistema. Ellas son: RF1: RF2: RF3: RF4:
Una variable enunciativa es una fbf Si A es una fbf, entonces ¬A también es una fbf Si A y B son fbfs, entonces A∨B es una fbf Ninguna cadena de signos arbitraria es una fbf si no es en virtud de las reglas RF1, RF2 o RF3. Exceptuando las que se forman al introducir símbolos auxiliares para evitar ambigüedades.
Estas reglas de formación ayudan a estipular cómo se usan los conectivos lógicos básicos. Ahora, con base en ellas podemos introducir la definición de los conectivos lógicos derivados6: Conjunción: ∧. A ∧ B=def ¬(¬A ∨¬B) Condicional: →. A → B=def ¬A ∨ B) Bicondicional: ↔. A ↔ B=def ¬[¬(¬A ∨ B) ∨ ¬(¬B ∨ A)] Con esto ya tenemos todo lo que necesitamos para nuestro lenguaje formal: símbolos primitivos y reglas de formación. La pregunta es, ¿cómo se usa esto? La respuesta es técnicamente sencilla pero detrás de la 6
Empleamos el signo =def para indicar que se está estableciendo la igualdad entre dos signos mediante definición.
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apariencia de la técnica está el problema epistemológico que nos interesa. Veamos en qué consiste la sencillez de la técnica. Un lenguaje formal de la lógica se usa para hacer más fácil y económica la evaluación de los argumentos del lenguaje natural. El lenguaje que hemos construido de lógica proposicional sirve para ayudar a evaluar muchos argumentos cuya validez depende de la manera como están conectadas las premisas entre sí, y ellas con la conclusión. Esto es poco, ya que muchos argumentos válidos lo son en virtud de la estructura interna de las proposiciones que intervienen en ellos, pero es mucho porque infinidad de argumentos de la vida cotidiana dependen sólo de la manera como conectamos nuestras proposiciones. La principal tarea a realizar para poder utilizar un lenguaje formal como el que hemos construido consiste en expresar en términos del lenguaje formal los argumentos del lenguaje natural. A esta tarea se le llama formalización. Veamos un ejemplo. Si retomamos dos viejos argumentos del capítulo anterior tenemos lo siguiente: Argumento 1: Si todos los perros son animales, y todos los animales son mortales, entonces los perros son mortales. Argumento 2: Si los hombres son buenos o malos; puesto que los hombres no son malos, entonces los hombres son buenos. Si tomamos estos sencillos argumentos y tratamos de expresarlos con nuestro lenguaje formal encontramos lo siguiente. Primero tenemos que identificar cuáles son las proposiciones que intervienen en ellos y reemplazarlas por variables proposicionales. Segundo, reemplazamos las conectivas lógicas del español por sus respectivos símbolos. Tercero, en caso de ser necesario colocamos símbolos auxiliares para evitar las ambigüedades. Hagámoslo. En el argumento 1 las proposiciones son: 1. Los perros son animales 2. Los animales son mortales
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3. Los perros son mortales Reemplacemos cada una de ellas por una letra así: 1. Los perros son animales = p 2. Los animales son mortales = q 3. Los perros son mortales = r Las constantes son: si, entonces, e y; que debemos reemplazar por sus respectivos símbolos: →, e ∧. El argumento formalizado es:
( p ∧ q) → r El segundo argumento tiene como proposiciones: Los hombres son buenos = p Los hombres son malos = q Los conectivos que intervienen en él son: si, entonces, o, e y, que se simbolizan con →, ∨, ∧ respectivamente. El argumento formalizado es:
[( p ∨ q ) ∧ ¬q ] → p Como se ve, esta tarea es muy sencilla. Se trata simplemente de cambiar proposiciones del español por unos signos, y las conectivas en español también por sus respectivos símbolos. Aunque esto es cierto, cuando se lo mira detenidamente encierra importantes dificultades que hacen desaparecer la impecable imagen de primera mano. Hasta el momento hemos hablado desprevenidamente de las proposiciones y de las conectivas, y hemos dicho que unas y otras se pueden reemplazar por sencillos símbolos. Pero ¿qué es en realidad lo que simbolizamos? O, dicho con mayor generalidad, ¿qué relaciones hay entre este lenguaje proposicional y nuestro lenguaje natural? Esta pregunta no puede responderse uniformemente. Es preciso explorar con algún detenimiento qué pueden significar los elementos de nuestro lenguaje formal: las variables y las constantes, es decir, las variables proposicionales y los conectivos lógicos. Veamos pues lo problemático de unas y otros.
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3. Lo variable de las variables Cuando introdujimos el concepto de ‘variable’ en el capítulo 1 hicimos referencia a algo llamado dominio de variabiliadad. Dijimos en ese momento que una variable es el “signo que sirve para referirse indistintamente a objetos cualesquiera de un cierto dominio (su dominio de variabilidad)”(Mosterín et al., 2002, p. 596). ¿Qué es este dominio de variabilidad?, ¿qué tipo de objetos son estos sobre los cuales varían las variables? Para empezar tenemos que reconocer que estrictamente lo que puede referirse a cierto dominio de variabilidad son esos signos que hemos empleado como la p, la q o la r, que hemos llamado variables proposicionales. No es cuestión de alarmarse, pues, como dijimos, qué signos se escojan es inesencial, aunque no así la definición de su función dentro del lenguaje formal. Lo importante por ahora es tener presente que en la lógica proposicional esos signos que llamamos variables se refieren a un dominio de variabilidad que son las proposiciones. La dificultad aparece cuando consideramos una proposición como “la palma de cera es el árbol nacional de Colombia” e indagamos cuál es su naturaleza. Como dijimos al comenzar el capítulo pasado, esa proposición no hace parte de la lógica. Además, si construyéramos un argumento en el que ella apareciera como: “dado que el árbol más común y propio que se encuentra en Colombia es la palma de cera, entonces la palma de cera es el árbol nacional de Colombia”, este argumento tampoco haría parte de la lógica. Lo que sí hace parte de la lógica, y de la lógica formal para ser exactos, son el esquema proposicional y el esquema argumental de esa proposición y de ese argumento. Recordemos que en la lógica se emplea un recurso para poder conservar la dimensión formal de las proposiciones y de los argumentos aislándolos, por así decirlo, de su contenido específico. Para hacerlo, los lógicos emplean signos que hacen las veces de los contenidos, pero que sólo exhiben sus propiedades formales. El procedimiento por el cual se expresa simbólicamente la estructura formal de una proposición o de un argumento se conoce como formalización.
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No sería correcto decir que para cada proposición y para cada argumento existe una única formalización posible, dado que existen diferentes sistemas lógicos cada uno con sus respectivas especificidades simbólicas. Sin embargo, hay algunos simbolismos más o menos estandarizados que cualquier lógico maneja en su trabajo ordinario. Estos símbolos son los del cálculo proposicional, que ya vimos, los del cálculo de predicados y los de la teoría elemental de conjuntos. Veamos un ejemplo. Si consideramos la proposición “Algunos paisas no son de Medellín” tenemos varias posibilidades de formalización. Sistema lógico Lenguaje ordinario Lógica aristotélica Lógica proposicional
Proposición formalizada Algunos paisas no son de Medellín PoM
Lógica de predicados
p (∃x)( Px ∧ ¬Mx)
Lo curioso es que esta misma formalización vale para las siguientes proposiciones: 1. Algunos perros no muerden 2. Hay personas no maliciosas 3. No todos los plátanos son maduros Esta enigmática situación nos obliga a cuestionarnos acerca de aquello que simbolizamos, indagando su naturaleza misma. La cuestión es por qué una misma proposición puede representarse mediante una sola letra (lógica proposicional), o mediante dos letras (Lógica aristotélica) o mediante una cantidad amplia de recursos sígnicos como cuantificadores, símbolos auxiliares y conectores (lógica de predicados). Una manera de plantear la cuestión es ¿qué es eso sobre lo que varían las variables?, en nuestro contexto la pregunta sería ¿qué es lo representado por esos signos que llamamos variables proposicionales?, en últimas, ¿qué es una proposición? La respuesta de estas cuestiones ha sido polémica en la historia del pensamiento. Nosotros trataremos de presentar algunos importantes apartes de este debate acerca de la interpretación de las variables7.
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Sin duda otro gran problema relacionado con este es el de cuándo una simbolización es adecuada o más precisa, o incluso si acaso existe una simbolización correcta por oposición a simbolizaciones incorrectas. Wittgenstein es uno de los filósofos que más se preocupó de estos asuntos en su Tractatus LogicoPhilosophicus. Nosotros no entraremos en este problema por razones de extensión y porque sólo estamos considerando el caso de la lógica proposicional.
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4. La interpretación de las variables proposicionales Un argumento correcto es aquel en donde la conclusión es consecuencia lógica de las premisas, o en el que las premisas implican lógicamente la conclusión. En esta definición se puede ver el concepto de implicación en términos de premisas y conclusiones. Estos dos conceptos son a su vez esenciales para caracterizar un argumento. Las conclusiones de un argumento son aquellas afirmaciones que defendemos o sustentamos, en tanto que las premisas son las afirmaciones que usamos para sustentar o fundamentar nuestras conclusiones. Ahora bien, si nos preguntamos qué son las premisas y las conclusiones llegaremos al concepto de proposición. Hasta ahora nos hemos referido a las conclusiones y a las premisas como afirmaciones. Este modo de hablar resulta ligeramente confuso, pues, estrictamente hablando, tanto las premisas como las conclusiones son proposiciones. Las premisas son las proposiciones que se utilizan para fundamentar conclusiones, en tanto que éstas son las proposiciones que se fundamentan con base en las premisas. Ser premisa o ser conclusión es una función que cumplen las proposiciones. Veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente argumento: El maíz es un alimento nutritivo. Las arepas que venden en la esquina son de maíz. Por lo tanto las arepas que venden en la esquina son nutritivas. Este sencillo argumento se ha construido a partir de las siguientes afirmaciones: 1. El maíz es un alimento nutritivo 2. Las arepas que venden en la esquina son de maíz 3. Las arepas que venden en la esquina son nutritivas Las dos primeras afirmaciones son las premisas del argumento, y la tercera su conclusión. Esto quiere decir que las tres son proposiciones. Es interesante notar que una misma proposición puede cumplir a veces el papel de premisa y a veces el papel de conclusión. Por ejemplo, la proposición “las arepas que venden en la esquina son de maíz” cumplía el papel de premisa en el ejemplo anterior. Pero veamos el siguiente argumento: 1. Las arepas que vende el señor Rodríguez son de maíz 2. Las arepas que venden en la esquina se las compraron al señor Rodríguez
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3. Las arepas que venden en la esquina son de maíz. Al igual que en el ejemplo pasado, en este caso las dos primeras proposiciones son premisas y la tercera es la conclusión. Sin embargo, ahora la proposición “las arepas que venden en la esquina son de maíz” es la conclusión del argumento, y no una premisa como en el primer caso. Por eso insistimos en que una proposición puede cumplir a veces el papel de premisa y a veces el papel de conclusión. Ahora bien, si una proposición puede ser tanto premisa como conclusión esto quiere decir que no es una buena estrategia definir lo que es una proposición en términos de premisas o conclusiones. Es preciso buscar y tratar de determinar qué es lo que hace que una proposición sea una proposición. Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso. Esta es la forma más común de definirla. Sin embargo, no por común es satisfactoria. Hay dos problemas básicos aquí. 4.1 Proposiciones y lenguajes naturales Cuando afirmamos que una proposición es un enunciado estamos claramente ante una serie de dificultades propias de la filosofía del lenguaje. La pregunta básica es ¿qué es un enunciado? La respuesta a esta cuestión nos remite a lo que es una oración. Una oración es una construcción gramatical con sentido completo. Un enunciado sería la utilización de una oración en un caso concreto. Así, por ejemplo, “Andrés es filósofo” es una oración bien construida desde un punto de vista gramatical que se puede usar de distintas maneras. Veamos. En una conferencia el anfitrión podría presentar al conferencista diciendo “Andrés es filósofo”. Esta misma oración podría utilizarse también en una clase de historia para indicar como dato biográfico del personaje que “Andrés es filósofo”. Incluso quizá una persona que admira a su amigo por la profundidad y agudeza de su pensamiento podría decir “Andrés es filósofo”. Más desconcertante puede resultar el hecho de que incluso en un salón de clase para burlarse de un compañero después de que ha dado su opinión acerca de un tema en un debate unos muchachos podrían pasarse un papelito que dice “Andrés es un filósofo”, y luego reírse.
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Los ejemplos anteriores ilustran que una misma oración puede utilizarse de distintas maneras. Cada uno de estos distintos usos de la oración es un enunciado. Si esto es así, podemos destacar algunos rasgos adicionales de unas y otros. Resulta casi evidente, pero no por ello claro, que las oraciones pertenecen a idiomas concretos. “Andrés es filósofo” o “Las arepas de maíz son nutritivas” son oraciones del español, están bien construidas gramaticalmente, pero sólo en el español; ni en el ruso ni en el hebreo cuentan como oraciones. Por extensión, si los enunciados son oraciones en uso, entonces también harían parte de los idiomas, pero de los idiomas en uso. Todo enunciado depende de un idioma, no hay modo de realizar uno por fuera de idioma alguno. Éste sería un punto en común que tendrían los enunciados con las oraciones. La diferencia básica que habría entre unos y otras es que las oraciones son, por decirlo así, prototipos de construcciones de un idioma, en tanto que los enunciados son los usos concretos que se hacen de esos prototipos. Una manera de establecer esta diferencia es diciendo que los enunciados son contables en tanto que las oraciones no. Podemos decir que la oración se ha enunciado una, dos, tres cuatro veces, mientras que carece de sentido decir que hay una, dos tres o cuatro oraciones que son la misma. En este sentido podemos preguntarnos qué tan aceptable es definir la proposición como enunciado, si éste es el uso de una oración en particular. Como vimos, una misma proposición se puede usar varias veces, y esa es una característica que tienen las oraciones pero no los enunciados. Esto quiere decir que probablemente una proposición es más bien una oración con sentido completo, antes que un enunciado. Aunque la anterior conclusión es plausible, tampoco está exenta de problemas. ¿En realidad las proposiciones son oraciones? Si así lo fuera, entonces las proposiciones dependerían de los idiomas, puesto que es característico de las oraciones ser parte de los idiomas. La consecuencia de ello salta a la vista: si las proposiciones son el material con el que construimos los argumentos, y las proposiciones dependen de los idiomas, entonces todo argumento dependería de un idioma, y casi con plena seguridad no podríamos formular el mismo argumento en otro idioma.
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Esta consecuencia puede ser indeseable, o incluso absurda. Por ejemplo, cuándo digo que dos es mayor que uno y que tres es mayor que dos, y de ahí concluyo que tres es mayor que uno, ¿estoy dando un argumento que sólo vale en el español?, ¿no es este argumento válido también en inglés, francés o alemán? Estos interrogantes nos ponen de cara al mayor problema que presenta la definición de proposición: aunque las proposiciones son el material básico con el que se construyen los argumentos, las que determinan el contenido de los argumentos, y los argumentos son una manera de usar el lenguaje, las proposiciones mismas parecen estar por fuera de cualquier lenguaje, incluso de cualquier lenguaje en uso, en la medida en que no son enunciados ni oraciones. Las proposiciones viven la paradójica condición de ser esenciales en el uso del lenguaje, aunque estén por fuera de cualquier lenguaje en particular. 4.2 El debate sobre los portadores de verdad Cuando dijimos más arriba que una proposición era un enunciado que podía ser verdadero o falso, señalamos que esta definición tiene dos problemas básicos. El primero de ellos es la paradójica conclusión a la que acabamos de llegar. El segundo es el nexo que se establece entre proposición y valor de verdad. Hablando de un modo escueto cualquier cosa puede ser verdadera o falsa. Con frecuencia incluso se dice que sólo algunas personas dicen la verdad: curiosamente los niños, los locos y los borrachos. También se dice en algunos contextos que Dios es la verdad, o que las ciencias dicen lo que es verdad, que hay verdad en el arte o que hay verdades del corazón que la razón no entiende. En nuestro contexto no podemos dar cuenta de tantos significados diversos de la palabra ‘verdad’. Estrictamente hablando, lo que puede ser verdadero no son las cosas, los hechos o el mundo, sino lo que decimos acerca de ellas y ellos. La verdad es una propiedad que tiene lo que decimos, pero sólo en algunos casos. Por eso con frecuencia se dice que la verdad o la falsedad son propiedades de las oraciones, los enunciados o las proposiciones que a su vez son llamados “portadores de verdad”. Si nos detenemos a examinar qué son estos portadores de verdad, llegaríamos a las conclusiones recién obtenidas; en especial nos
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encontraríamos con las siguientes dificultades: si nos concentramos en las proposiciones, llegamos a una paradoja generada por la oscuridad de su naturaleza, problema del que nos ocuparemos líneas más adelante; si nos concentramos en los enunciados, la tarea se vuelve inmanejable porque los enunciados son potencialmente infinitos. Por estas razones el estudio de las oraciones como portadores de verdad es la mejor guía que tenemos, aunque no es óptima. Como dijimos, las oraciones son algo así como prototipos de construcciones gramaticales bien hechas en un idioma específico, a diferencia de los enunciados que son las realizaciones concretas o usos específicos que hacemos de esos prototipos. Los enunciados son potencialmente infinitos porque una misma oración puede usarse de innumerables maneras diferentes, como mostramos más arriba. Las oraciones son entonces un recurso más económico y práctico. La razón de ello es que no hay innumerables tipos de oraciones, como innumerables enunciados. Existen por ejemplo las oraciones exclamativas, las interrogativas, las compromisivas y las enunciativas o descriptivas. Al decir que una oración es verdadera o falsa, ¿nos estamos refiriendo a cualquiera de estos tipos de oraciones? Veamos algunos ejemplos para responder esta pregunta. Tipo de oración Exclamativa Interrogativa Compromisiva Enunciativa
Ejemplo ¡Te amo con todas las fuerzas de mi corazón ¿Qué horas son? Me comprometo a no volver a llegar tarde El lápiz está sobre la mesa
Estrictamente hablando, las exclamaciones no pueden ser verdaderas ni falsas. ‘Verdadero’ o ‘falso’ no son palabras adecuadas para hablar de lo que decimos de nosotros mismos en el campo emotivo. Cuando manifestamos nuestros sentimientos y expresamos lo que llevamos dentro, es más adecuado referirnos a ello diciendo que lo hacemos sincera o insinceramente. Cuando preguntamos tampoco resulta muy adecuado hablar de verdad o falsedad. Imaginemos un diálogo en el que alguien preguntara: “¿qué horas son?”, y el otro dijera “es verdad lo que dices, o ¿es más bien falso?”. Claramente la respuesta carece de sentido. Así como para juzgar una
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expresión la sinceridad es un buen criterio, para juzgar una pregunta la pertinencia, claridad, agudeza o concisión son buenos criterios, pero no la verdad o la falsedad. En el caso de los compromisos sucede algo semejante. Cuando uno se compromete a dejar de fumar o a no volver a llegar tarde a las citas, es inadecuado juzgar esos compromisos como verdaderos o falsos. Un compromiso se cumple o no se cumple, pero no es verdadero o falso. A diferencia de estos casos, las oraciones enunciativas o descriptivas sí se adecuan a ser juzgadas en términos de verdad o falsedad. Cuando decimos que el lápiz está sobre la mesa, que un carro es veloz, que el pasto es verde o, en general, que las cosas están así o asá, todo ello puede ser juzgado como verdadero o falso. Las descripciones pueden ser correctas o no, en cuyo caso decimos que son verdaderas o falsas respectivamente. Así pues, podemos completar nuestro cuadro de ejemplos de la siguiente manera: Tipo de oración Exclamativa Interrogativa Compromisiva Enunciativa
Ejemplo ¡Te amo con todas las fuerzas de mi corazón ¿Qué horas son? Me comprometo a no volver a llegar tarde El lápiz está sobre la mesa
Criterio para evaluarlo Sinceridad o insinceridad Pertinencia, agudeza, claridad o concisión Cumplimiento o incumplimiento Verdad o falsedad
Así pues, no resulta satisfactorio definir proposición como enunciado que puede ser verdadero o falso, puesto que no es enunciado si no más bien, y con reservas, oración, pero tampoco es cualquier oración sino sólo oración descriptiva o enunciativa. Por estas razones a veces resulta más aceptable definir una proposición como el contenido significativo de una oración enunciativa, o el contenido significativo de una oración del cual podemos preguntar con sentido si es verdadero o falso. Esta nueva definición de proposición es más precisa y ya está casi exenta de problemas. Sin embargo, esto no es más que apariencia. En realidad aún están por plantearse los problemas más difíciles: los relativos a la naturaleza de las proposiciones.
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4.3 La naturaleza de las proposiciones Al tratar de definir una proposición nos enfrentamos a una paradoja: aunque desempeñan un papel decisivo en las argumentaciones de la vida cotidiana pues son las premisas y las conclusiones que utilizamos en el lenguaje natural, no podemos decir que su esencia sea que son partes del lenguaje. La mayor utilidad de las proposiciones es su uso en el lenguaje, pero ellas mismas parecen no hacer parte del lenguaje ya que no se pueden identificar con los enunciados ni con las oraciones. Lo único que más o menos está claro es que una proposición es un portador de verdad cuya expresión en el lenguaje son las oraciones descriptivas y los enunciados construidos con base en este tipo de oraciones. El problema al que nos enfrentamos ahora es explorar qué son las proposiciones, cuál es su naturaleza, ya que, aunque ella se nos ha mostrado como fundamental para el lenguaje, no es en sí misma lenguájica. El único rastro que tenemos de las proposiciones son las oraciones y los enunciados del lenguaje natural, así que no hay otra manera de estudiarlas si no es en el lenguaje mismo. Hay que tratar de ir más allá del lenguaje partiendo del lenguaje mismo. Escuetamente digamos entonces que las proposiciones son entidades abstractas que tienen la propiedad de portar verdad. ¿En qué consiste este carácter abstracto de los portadores de verdad?
4.3.1 Interpretación idealista Una de las tentativas más osadas y frecuentes para responder al problema metafísico de las proposiciones es el idealismo. Según esta posición, las proposiciones son entidades abstractas que tiene su propio estatus ontológico. No son realidades empíricas, tampoco realidades mentales sino realidades “ideales” o “conceptuales” que tienen características propias8. Esta caracterización de las proposiciones parece ponernos en presencia de las idas de Platón acerca de la existencia de estos objetos ideales que tienen su propio mundo, una especie de reino de los conceptos, mundo de las ideas o planeta de las proposiciones. Lo que hace difícil aceptar esta posición es que no sabemos qué razones nos motivan a creer que es 8
Un partidario de esta tesis es Alexius von Meinong.
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cierta. ¿Qué podríamos alegar a favor de la aceptación de que existe un universo independiente y abstracto en el que reposan las proposiciones y al que por una extraña facultad del intelecto podemos conectarnos y así captar esas misteriosas entidades? Algunos alegan que el idealismo es una buena explicación del carácter independiente del lenguaje que exhiben las proposiciones, o al menos una mejor explicación que las otras que más adelante veremos. Sin embargo, aunque efectivamente el idealismo explica algo, no estamos obligados a aceptarlo. El hecho de que ofrezca una explicación no es suficiente para aceptarlo como explicación. En especial el idealismo tiene un grave problema: no puede ofrecernos criterios de identidad para sus objetos abstractos, es decir, no puede decir cómo hace uno para saber cuándo se encuentra ante una misma entidad abstracta y cuándo ante una diferente. El idealismo nos fuerza a aceptar que existen diversos tipos de entidades abstractas, pero no puede ofrecer criterios para identificarlas. De este modo nos vemos sumergidos en una jungla llena de curiosas entidades. Pero ¿por qué aceptar un mundo habitado por tantas y curiosas criaturas como proposiciones, cuadrados redondos, montañas de oro y cosas por el estilo? A lo mejor también sería deseable tratar de no multiplicar los entes a menos que sea estrictamente necesario, aunque esto signifique que ya no vivamos en una jungla sino en un paisaje desértico. Las dificultades propias del idealismo no siempre han conducido a plantear las mismas alternativas. Entre las más destacadas que podemos reseñar se encuentran el psicologismo, el convencionalismo y el empirismo. Veamos brevemente en qué consisten cada una de ellas.
4.3.2 Interpretación psicologista La tesis psicologista respecto a la naturaleza de las proposiciones es muy sencilla y común: las proposiciones son contenidos mentales. Si bien no podemos identificar las proposiciones con partes de los lenguajes naturales, ni con entidades abstractas ideales, es plausible quizá que eso con lo cual elaboramos razonamientos, discutimos propuestas y
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defendemos iniciativas sean nuestras ideas, lo que tenemos en la cabeza, eso que nosotros pensamos9. Una de las razones que le da cierta plausibilidad al psicologismo viene de consideraciones estrictamente semánticas. Cuando definimos una proposición como el contenido significativo de una oración enunciativa, fácilmente podríamos haber dicho que la proposición es el significado de dicha oración. El contenido o significado de nuestros usos del lenguaje serían las proposiciones. Esto se puede ver fácilmente con estos ejemplos: Si decimos “¡huy, qué frío!”, ciertamente afirmamos que está haciendo frío, y está es una proposición: “hace frío”. Pero cuando decimos que hace frío, ¡realmente estamos pensando en que hace frío!, eso es lo que queremos decir, ese es el significado de nuestra afirmación. Lo mismo ocurre con innumerables frases corrientes, como “ahí viene el bus”, “me tengo que ir”, “no quiero seguir hablando” o “se nos hace tarde”. En todos estos casos es sencillo y claro decir que el significado es lo que tenemos en mente, lo que estamos pensando o lo que queremos decir. Prueba de ello es que podemos traducir todas estas oraciones a una forma corriente que conjuga verbos psicológicos y proposiciones que Russell llamó actitudes proposicionales. Veamos. El significado de la expresión “¡huy, qué frío”, dicha por Juan, puede expresarse diciendo que “Juan cree que hace frío”. Del mismo modo, el significado de la expresión “ahí viene el bus” dicha por Martha puede expresarse diciendo: “Martha cree que ahí viene el bus”, y así sucesivamente. Enunciado Expresión
Significado del enunciado Verbo psicológico Contenido proposicional
¡Huy, qué frío Ahí viene el bus Me tengo que ir No quiero seguir hablando de esto Se nos hace tarde
Creo que Creo que Creo que Deseo que
Hace frío Viene el bus Tengo que partir Yo no siga hablando de esto
Creo que
Es tarde
En general, los significados de nuestros enunciados pueden expresarse por medio de este tipo de construcciones, las actitudes proposicionales, y en
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Una versión clásica de esta tesis es la de San Agustín en su famoso diálogo Del Maestro.
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ellas se puede ver con claridad que las proposiciones son los contenidos de ciertos estados mentales, generalmente de creencias y deseos. Este es un argumento fuerte para sostener que las proposiciones son contenidos mentales. Si todo enunciado puede traducirse a una actitud proposicional entonces podremos afirmar que efectivamente las proposiciones son contenidos mentales. Aunque este argumento es plausible, también podemos examinarlo con un poco más de detalle. Por ejemplo, si tenemos en cuenta que una de las características más importantes de nuestra vida mental es su privacidad, entonces podemos preguntarnos: si una característica notable de las proposiciones es que se pueden decir de diversas maneras y por distintas personas, ¿cómo podemos aceptar que son privadas como la mayoría de los contenidos mentales? Esta primera dificultad se puede poner abiertamente así: las proposiciones se caracterizan por ser públicas, los contenidos mentales se caracterizan por ser privados. ¿Cómo conciliamos esta oposición para decir que las proposiciones son contenidos mentales? Otra objeción fuerte al psicologismo como propuesta para definir la naturaleza de las proposiciones es su esterilidad. A muchos filósofos y lógicos les ha parecido que remitir los contenidos significativos del lenguaje al terreno de la mente es un truco simpático análogo al de inventarse el mundo de las ideas. ¿Qué tan distinta es esa entidad que llamamos mente al mundo de las ideas?, ¿no será simplemente un mundo de las ideas, pero metido en la cabeza? De ser así, las mismas objeciones del idealismo se plantean para el psicologismo. ¿Cómo identificamos un contenido mental? En este caso la respuesta parece más fácil de dar que en el caso del idealismo. Yo conozco mis contenidos mentales de un modo muy claro, lo sé cuando reviso en mi interior. Esta respuesta se conoce como la doctrina del acceso privilegiado a lo mental, y el método por el cual accedemos a estos contenidos mentales se conoce como introspección. Lo curioso de la respuesta es que parece que no contesta nada. Lo primero que objetamos al psicologismo es que no puede dar cuenta del carácter público del significado, y ahora se responde que los contenidos mentales son internos, privados, pero que sí los puede conocer su portador, la persona que los tiene. ¿Soluciona esto la objeción? Tal vez no, lo único
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que se ha hecho con la respuesta es reiterar el carácter interno y privado de los contenidos, no decir cómo podemos acceder intersubjetivamente a ellos. Si aceptamos la tesis psicologista perdemos la dimensión pública del significado. Estas objeciones, entre otras, nos hacen sospechar del psicologismo como una buena explicación de la naturaleza de las proposiciones. Su falta de criterios de identidad y la pérdida de la dimensión pública del significado no nos permiten aceptarlo. Algunos de estos inconvenientes, sin embargo, parecen fácilmente solucionables si sacamos los significados de la cabeza, si abandonamos el internalismo, y adoptamos un externalismo. Esta tentativa se conoce como la teoría de la referencia. 4.3.3 Interpretación referencialista La teoría de la referencia sostiene que las proposiciones, el significado de los enunciados, son los hechos del mundo externo que describen. Así, por ejemplo, cuando Milena dice “las llaves están sobre la mesa” el significado de esa expresión es el hecho de que precisamente las llaves están sobre la mesa, por supuesto, siempre y cuando su expresión sea verdadera. El hecho de que las llaves están sobre la mesa se llama la referencia de la expresión10. Esta modesta tentativa resulta plausible porque supera los graves inconvenientes del psicologismo y además da cuenta de aspectos desatendidos por esta doctrina pero sí aprovechados por el idealismo. En suma, la teoría de la referencia parece aprovechar lo mejor del idealismo y del psicologismo, evitando los males de estas dos teorías, razón por la cual no debe extrañarnos que haya sido una tesis ampliamente aceptada e influyente durante más de la mitad del siglo XX y todavía hoy se la tenga como una de las más importantes teorías del significado. Una de las ventajas del idealismo es que permite comprender por qué varias personas pueden compartir significados, por qué varios podemos “decir lo mismo” en un mismo idioma o en varios idiomas distintos. El problema era que nos comprometía con una ontología exuberante y una epistemología un poco metafísica. Por el lado del psicologismo teníamos la desventaja de que además de conservar la ontología extravagante asumíamos una especie de encierro psicológico con el cual perdíamos la 10
Versiones de esta teoría se encuentran en “La filosofía del atomismo lógico” de Bertrand Russell, o el Tractatus Logico-Philosophicus de Wittgenstein.
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intersubjetividad del significado. En pocas palabras, el reto era conservar la identidad intersubjetiva del significado, sin tener que recurrir a extravagancias ontológicas. La teoría de la referencia logra conservar la identidad intersubjetiva del significado ya que sostiene que la referencia de las expresiones son hechos del mundo externo que todos compartimos. Así pues, para conocer el significado de una expresión sólo tenemos que mirar al mundo que compartimos y así lo sabemos. Si el hecho descrito en la expresión efectivamente se da, entonces la expresión es verdadera, si no, es falsa. La exuberancia ontológica se resuelve de un modo relativamente sencillo también. Simplemente tenemos que asumir un compromiso empirista, es decir, aceptar que podemos conocer la realidad empírica, física, y que ella es tal como se nos aparece en la experiencia sensible cotidiana. Así pues, la única ontología que tenemos que aceptar es que hay un mundo externo en el que pasan cosas, en el que hay hechos. Ninguna de las presuposiciones de la teoría de la referencia parece tan grave como para no aceptarla. ¿Por qué no aceptar que el mundo externo existe y que lo conocemos a través de la experiencia sensible? En la vida práctica nadie sospecha que el mundo no exista, todos salimos a realizar nuestras labores cotidianas caminando sin temor alguno de que el piso desaparezca en cualquier momento o de que al levantarnos de la cama nos encontraremos suspendidos en el vacío. Además, todos sabemos que el agua moja y que el fuego quema, y eso se aprende fácilmente cuando uno entra en contacto empírico con una y otro. Parece que la única manera de rechazar las presuposiciones de la teoría de la referencia es acudir a una extravagancia filosófica como imaginarse que todo lo que nos muestran los sentidos es dudoso e incierto y que a lo mejor haya un omnipotente malhechor que quiera que vivamos engañados en todo lo que pensamos y creemos como más cierto. Estas razones, sin embargo, tienen algunos problemas fácilmente detectables sin tener que recurrir a extraños trucos argumentativos. Pensemos por ejemplo qué sucede cuando escuchamos relatos como los de La llorona y El mohan, o cuando atendemos a los diálogos que ocurren en los programas de televisión. Se cuenta en ellos que por las noches se aparece una señora llorando y clamando a gritos por sus hijos. En las novelas la gente habla y se dicen cosas como “en el pasado fui una mujer fea y poco querida por los hombres”.
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Si la teoría de la referencia fuera cierta, tendríamos que aceptar que si la leyenda de la llorona tiene significado, entonces hay que cuidarse de que no le salga esa señora al paso a uno, pues ella efectivamente existe, es un hecho que la llorona existe. Lo mismo vale para la telenovela. Aunque la historia es ficticia, si lo que la protagonista dice tiene significado entonces efectivamente ella fue fea en el pasado y ningún hombre la quiso, aunque todos sepamos que ella, el personaje, nunca existió antes de que empezara la novela, y que la actriz ha sido toda la vida catalogada como una mujer muy hermosa, por ejemplo. Al contemplar lo absurdo de estos casos, descubrimos que la teoría de la referencia tiene más presuposiciones de las que uno se imagina. Estrictamente hablando, si aceptamos el compromiso empirista quedamos atados al presente, no podemos dar cuenta del significado de las proposiciones que se refieren al pasado o a lo posible. Además, en cualquier caso resulta que la teoría de la referencia no puede explicar el significado de las fantasías, las creaciones literarias o las manifestaciones culturales de los pueblos que aparecen en los cuentos populares. Alguien podría decir que podemos aceptar un compromiso empirista menos radical y así aceptar que los hechos posibles en general son las referencias del lenguaje, y no sólo los hechos efectivos. Así pues, sería razonable establecer una diferencia entre el significado de una expresión y su valor de verdad. Una expresión puede tener significado y nosotros podemos entenderla, aunque sea falsa. Ese sería el caso de los diálogos de las novelas, o de las historias que la gente inventa. Podemos entenderlas porque describen hechos posibles que no ocurren. Como se refieren a hechos posibles, tienen significado, pero como esos hechos son posibles pero no existen realmente, son falsas. Así las cosas, parece que la teoría de la referencia se hace todavía más plausible. Sólo resta una dificultad ya planteada: ¿cómo justificamos que un hecho es posible y otro imposible? Supongamos que alguien inventa una historia parecida a la de la conversión de un ateo en creyente, pero con cuadrados y círculos. En su relato, en lugar de hablar de un hombre que se vuelve piadoso, habla de un cuadrado que se va volviendo círculo y lo llaman el cuadrado redondo. ¿Cómo hacemos para establecer la diferencia entre el hombre converso, que es una criatura posible, y el cuadrado redondo que es una entidad imposible?
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Una tentativa muy reconocida de solución de este problema es la célebre teoría de las descripciones definidas ideada por Bertrand Russell. Según este autor tenemos que cuidarnos de la apariencia que tienen nuestras formas comunes de expresión pues a veces conducen a error. Fijémonos, por ejemplo, en este par de expresiones: El libertador de Colombia es gordo El libertador de Colombia y Bogotá es delgado El marciano de mi amigo es amable Estas tres proposiciones tienen una apariencia muy semejante. Todas describen hechos, y lo hacen de la misma manera: atribuyendo una cualidad a un sujeto, al libertador de Colombia se le atribuye gordura, al libertador de Colombia y Bogotá se le atribuye estar delgado y al marciano de mi amigo se le atribuye amabilidad. Un aspecto común adicional es que las tres proposiciones son falsas. Según una teoría clásica de la verdad, una proposición es falsa cuando a un sujeto se le atribuye una propiedad que en realidad no tiene. Por ejemplo, cuando decimos que Luis Carlos Galán es calvo decimos algo falso, porque atribuimos a un sujeto, L.C. Galán, una propiedad que no tiene, la calvicie. La verdad sería la adecuación entre sujeto y predicado, y la falsedad sería la inadecuación de sujeto y predicado. ¿Sería útil esta teoría para explicar por qué son falsas las tres proposiciones anteriores? Veamos. Si le atribuimos a al libertador de Colombia el ser gordo, decimos algo falso porque él en realidad era delgado. En este caso parece que la teoría funciona. Ahora bien, si decimos que el libertador de Colombia y Bogotá es delgado, decimos algo falso. ¿Se debe esto a que en realidad no era delgado? No. Se debe a que el libertador de Colombia es uno y a que no es el mismo libertador de Bogotá, porque de hecho Bogotá no fue liberada por nadie. Así, en el segundo caso, la teoría no explica bien la falsedad de la proposición. En el tercer ejemplo, al marciano de mi amigo se le atribuye amabilidad y la proposición es falsa también. Pero no porque el marciano sea antipático, sino porque de hecho no existen los marcianos. Así, en este tercer caso la teoría tampoco funciona. Esto quiere decir que aunque los tres ejemplos tienen una apariencia muy semejante y algunas características comunes, en realidad son bastante
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diferentes. La teoría de las descripciones es una manera de enfrentar este tipo de expresiones de un modo que se supere la confusa apariencia. El análisis de Russell parte de la siguiente consideración. Cuando decimos que el libertador de Colombia es gordo, no sólo estamos afirmando una cosa. En realidad decimos tres cosas bien diferenciadas: 1) que hay un libertador de Colombia; 2) que ese libertador es único; y que ese libertador es gordo. De este modo, la proposición “el libertador de Colombia es gordo” significa que “hay un individuo que libertó a Colombia, que cualquier otro libertador de Colombia es ese mismo individuo, y que ese individuo es gordo”. Si atribuimos algunos símbolos comunes a los contenidos de esta proposición diríamos lo siguiente: hay un individuo X que es libertador de Colombia, cualquier otro individuo, llamémoslo y que haya libertado a Colombia es el mismo x, y ese individuo y es gordo. Si ahora reemplazamos los contenidos restantes por predicados, la expresión queda: hay un x tal que Lx y si cualquier otro Ly entonces y es idéntico a x, y Gy. Finalmente, si reemplazamos el resto del vocabulario por los símbolos lógicos conocidos tenemos que nuestra expresión puede formularse así:
(∃X )[ Lx ∧ (∀Y )( Ly → y ≡ x) ∧ Gy] Aunque esta nueva forma de presentar la proposición parece un refinamiento innecesario, realmente es muy útil, pues en ella se aprecia bien que para poder determinar si esta expresión es verdadera o falsa tenemos que considerar muchos más elementos que la simple concordancia entre sujeto y predicado, como aparece en la formulación original de la proposición. Así pues, ahora que hemos formalizado completamente nuestra proposición sabemos que se trata de una proposición existencial en la que debemos evaluar tres aspectos. Si en alguno de ellos las cosas no van bien, entonces toda la proposición se volverá falsa. En este primer ejemplo, lo que no va bien es la parte final, en la que se dice que el individuo es gordo. Con ello basta para determinar que toda la proposición es falsa. Veamos cómo funciona esto en lo dos ejemplos restantes. En el segundo, lo que falla es que aunque hay un individuo que liberó a Colombia, no es el mismo que liberó a Bogotá, por que de hecho nadie liberó a Bogotá, así que falla la segunda parte de la proposición. En el tercer caso Lo que falla es que los marcianos no existen y entonces no hay un individuo que sea el marciano, y falla entonces la primera parte.
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Como se ve, todas las proposiciones del ejemplo fallan, pero por razones muy diferentes. Y lo mismo sucede con el caso del cuadrado redondo. Aunque podemos construir frases como “el cuadrado redondo es hermoso”, o “el marciano de mi amigo es amable”, no por ello tenemos que aceptar que tales objetos existan. No por decir que son falsas aceptamos que sean posibles, eso es precisamente lo que excluimos con el cuantificador existencial y con la cláusula de identidad. De este modo, la teoría de la referencia se fortalece, deja la ingenuidad que la rodeaba y se erige como una de las mejores alternativas que tenemos para dar cuenta de la naturaleza de las proposiciones. Sin embargo, esto no es completamente cierto, pues aun quedan bastantes dificultades que la teoría debe solventar. Veamos algunas de ellas. Un caso corriente del uso del lenguaje en la vida cotidiana es que nos refiramos al mismo hecho en distintos sentidos. Por ejemplo, cuando decimos que García Márquez es el autor de 100 años de soledad y que García Márquez nació en Aracataca nos referimos al mismo individuo pero decimos cosas diferentes de él. Este tipo de enunciados, llamados enunciados de identidad, nos colocan ante una situación paradójica, pues resulta que si García Márquez realmente es el autor de 100 años de soledad, entonces esa frase no dice nada en absoluto, pues si reemplazamos ‘el autor de 100 años de soledad’ por ‘García Márquez’, resulta el enunciado García Márquez es García Márquez, que es absolutamente vacío. Está paradoja ocurre precisamente porque pensamos que la expresión ‘el autor de 100 años de soledad’ se refiere a García Márquez exactamente del mismo modo que como lo hace las expresiones ‘García Márquez’ o ‘el único premio Nóbel de Colombia’, o ‘el hombre que ganó el Nóbel de literatura en 1981’. La teoría de la referencia supone que todas esas expresiones tienen la misma referencia, y puesto que el significado de una expresión es su referencia, entonces todas ellas tienen el mismo significado, cosa que resulta absurda. Esta absurda situación a la que nos lleva la teoría de la referencia directa se debe a que en ella se establece una relación directa y unívoca entre la referencia y la expresión misma. Cada proposición tiene un único significado que debe ser completamente distinto a todos los demás. Si esto es así, entonces o los enunciados de identidad son imposibles o son
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vacuos. Cualquiera de las dos respuestas es trivialmente falsa. En la vida ordinaria efectivamente utilizamos enunciados de identidad y lo hacemos de un modo significativo. La salida a esta incómoda situación puede ser simplemente reconocer que las expresiones no se refieren directamente a los hechos sino que lo hacen mediadamente, a través de un intermediario o una mediación. Esta idea fue propuesta y desarrollada por Gottlob Frege en uno de los artículos más importantes de la lógica y la filosofía contemporánea. La idea es tan sencilla como brillante: jamás hablamos de las cosas de un modo directo y unívoco, siempre lo hacemos en un sentido determinado. Así, Frege introducía una importante distinción entre el sentido (Sinn) de una expresión y su referencia (Bedeutung). Con esta distinción los problemas reseñados de los enunciados de identidad desaparecen, pues ahora decimos que los anunciados de identidad no son vacíos en la medida que establecen identidad entre dos sentidos de la misma referencia, y precisamente por eso no son imposibles. Esta versión de la teoría de la referencia se conoce como teoría de la referencia mediada mientras que la anterior se conoce como teoría de la referencia directa. Como se ve, las deficiencias de la teoría de la referencia van contribuyendo al fortalecimiento de la misma a medida que van siendo superadas11.
5. El problema de las constantes lógicas Los problemas de interpretación de las variables proposicionales y de la naturaleza de las proposiciones nos han mostrado un conjunto de importantes debates. Podríamos pensar que eso era natural, precisamente porque al estar hablando de variables sería muy sencillo encontrar divergencias acerca de lo variable en las variables. Si esto fuera así, el caso de las constantes no representaría menores inconvenientes. Pero no es así. En el terreno de las constantes lógicas también hay importantes cuestiones, aunque varias de ellas ya se han ido tocando al problematizar las variables. Para empezar la discusión, recordemos lo que dijimos de las constantes en el capítulo anterior. 11
La teoría de la referencia tiene algunas otras dificultades muy difíciles de superar que, dado el carácter introductorio de nuestra presentación, no podemos desarrollar. Algunas de las críticas más importantes al respecto pueden consultarse en Quine, “Dos dogmas del empirismo” y Hempel, “Problemas y cambios en el criterio empirista del significado”.
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Un lenguaje formal puede interpretarse de diversas maneras. Lo que varía en las diversas interpretaciones es el modo como se interpretan las variables y los parámetros. Sin embargo, hay ciertos símbolos del alfabeto que son invariantes respecto a cambios de interpretación, pues siempre se interpretan de la misma manera: son las constantes (Mosterín et al., 2002, p. 127s). Aunque no es la única manera de hacerlo, nuestro estudio de las constantes de la lógica proposicional tendrá un enfoque abiertamente informal12. Ahora bien, dado que en el lenguaje de lógica proposicional que hemos construido las constantes lógicas no son todas del mismo tipo, forzosamente no podremos tratarlas de la misma manera. Empecemos pues, examinando algunos problemas propios de las constantes lógicas en general. Cuando formalizamos un argumento buscamos generalidad y precisión. La generalidad está dada por las variables, la precisión está dada por las constantes. Así pues, la función que cumple este tipo de signos es ayudarnos a establecer con exactitud las relaciones lógicas que hay entre las proposiciones que representamos mediante las variables proposicionales. A diferencia de las variables, las constantes no son potencialmente infinitas. Una letra como p puede representar un número potencialmente infinito de proposiciones; pero un signo como ∨ no. Las constantes lógicas parecen tener un significado preciso, unívoco y bien definido. En el fondo esperamos que sea así, pues en caso contrario perderíamos la posibilidad de realizar los análisis de argumentos de un modo estricto. El problema real, es ¿cuál es el significado de estas constantes?, ¿es acaso ∨ simplemente un reemplazo de la “o” que usamos permanentemente en nuestro lenguaje coloquial? Es innegable que a la base de toda formalización lógica hay cierta pretensión de capturar lo que intuitivamente consideramos como un argumento válido y excluir lo que no. Por eso podemos esperar que las constantes efectivamente signifiquen estrictamente sus contrapartidas en 12
Una presentación de los problemas formales que plantean los conectivos lógicos se encuentra en Haack, Susan, (1991). Filosofía de las lógicas, Madrid, Cátedra, 48ss.
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el español. Sin embargo, al construir los sistemas formales como lenguajes artificiales suele perderse de vista esta pretensión fundamental de la lógica. A decir verdad, el ansia de precisión formal hace que muchas veces los lógicos definan de un modo extremadamente arbitrario sus constantes y que los sistemas formales de lógica terminen bastante desconectados de la argumentación cotidiana. La idea es tan simple como que la riqueza del lenguaje natural es un obstáculo para la precisión lógica. Nuestro lenguaje de todos los días está lleno de vaguedades e imprecisiones que hacen parte de su amplitud funcional. El lógico, que está concentrado en el uso argumentativo del lenguaje cuidando de la validez, debe hacer a un lado los elementos ajenos a ella. Lo que quede al realizar esta depuración es lo que se formaliza como una constante lógica. Como alguna vez señaló Aristóteles, esta puede ser la mayor dificultad de la lógica. Aprender a moverse entre la generalidad del principio y la singularidad del caso. No sabe lógica quien estando en el principio no logra ir al caso, ni quien estando en el caso no logra ir al principio. Cuando el lógico entresaca la dimensión formal de la argumentación cotidiana y trata de sistematizarla para definir las constantes debe apelar a un recurso que carezca de la vaguedad característica del habla ordinaria. Precisamente en esos contextos utiliza el signo =def para indicar que está ideando o construyendo una definición y que entonces no pretende capturar exactamente el significado corriente de la expresión en cuestión. En el caso de la lógica proposicional existen estrategias sintácticas y semánticas para definir las constantes lógicas. Así pues, un conectivo puede definirse en términos de otros conectivos, como en el caso de los conectivos derivados, y también puede definirse como una función de verdad. En éste caso el conectivo es interpretado como una especie de operación que da un resultado. La operación se denomina función, y el resultado se llama valor de valor. Veamos algunos ejemplos sencillos. Tomemos un conectivo básico como la disyunción y uno derivado como la conjunción. Tanto la conjunción como la disyunción son conectivos que ponen en relación dos fbfs del sistema. Dicho coloquialmente, la “y” y la “o” relacionan dos proposiciones. Así, por ejemplo, tomemos las proposiciones
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María sabe inglés = p María sabe francés = q Estas proposiciones pueden negarse con ayuda del conectivo de negación: ¬ María no sabe inglés = ¬p María no sabe francés = ¬q Con base en este par de proposiciones y negaciones podemos definir semánticamente la disyunción así: supongamos que en le periódico aparece un anuncio en el que dice “importante empresa busca secretaria que sepa inglés o francés”. Ahora imaginemos que María se presenta. ¿Qué posibilidades tendría de ser aceptada para este cargo? La respuesta es sencilla: La solicitud de la empresa puede formalizarse así: la secretaría debe saber inglés o debe saber francés. La solicitud es una disyunción, y ello quiere decir que si María desea ser aceptada debe cumplir alguno de los requisitos o los dos, pero debe cumplir al menos uno de ellos. Tenemos cuatro posibilidades: que María cumpla los dos requisitos, que cumpla uno de los dos, o que no cumpla ninguno. Sólo en este último caso, no será admitida en el trabajo, pero en los tres primeros sí. Caso por caso, el asunto sería este: 1. María sabe inglés y también sabe francés: por lo tanto será admitida. 2. María sabe inglés, pero no sabe francés: será admitida. 3. María no sabe inglés pero sí sabe francés: será admitida. 4. María no sabe inglés y tampoco sabe francés: no será admitida. Si aprovechamos nuestro simbolismo podemos presentar la situación así: “María tiene que saber inglés o francés para ser admitida” = p ∨ q. Ahora indiquemos con las letras V y F los cuatro casos en que las proposiciones p y q son verdaderas o falsas, respectivamente. Nuestras cuatro posibilidades son:
p q
p∨q
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1 2 3 4
V F V F
V V F F
V V V F
El caso 1: Es verdad que p y es verdad que q. María sabe inglés y también francés. Como debe saber lo uno o lo otro y en este caso sabe ambas, es admitida; es verdad que p ∨ q. El caso 2: es verdad que q. María sólo sabe francés, pero como debe saber inglés o francés, una de las dos, entonces es aceptada; es verdad que p ∨ q. El caso 3: es verdad que p. María sólo sabe inglés, pero como debe saber inglés o francés, una de las dos, entonces es aceptada; es verdad que p ∨ q. El caso 4: es falso que p y también es falso que q. María no sabe inglés ni francés, pero tenía que saber al menos uno de los dos, por lo tanto no es admitida; es falso que p ∨ q. Así pues, la sencilla tabla que construimos resume perfectamente el significado de la disyunción: sólo será inadmisible cuando las dos proposiciones disyuntas sean falsas. En los restantes casos será admitida, es decir, bastará con que una de las proposiciones disyuntas sea verdadera para que sea admitida. Claro ejemplo de cómo el simbolismo economiza y precisa. Esta definición de la disyunción es semántica puesto que, además de los signos, recurre a los valores de verdad de las proposiciones que disyunta. Para saber lo que es la disyunción, tenemos que apelar al valor de verdad de las proposiciones. Veamos ahora el caso de un conectivo definido por sintaxis y no por semántica como la conjunción. Más arriba dijimos que: Conjunción: ∧.
A ∧ B=def ¬(¬A ∨¬B)
En este caso el conectivo se define apelando a otros conectivos: la disyunción y la negación. Por supuesto, esta definición supone a su vez que hemos podido definir semánticamente los conectivos básicos. Sólo si
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sabemos qué significan la disyunción y la negación, podemos entender qué significa la conjunción. Supuesto esto, es claro que también en algún sentido las definiciones sintácticas tratan de dar cuenta del significado coloquial de los conectivos lógicos. Lo curioso es que los sistemas formales son aparatos esencialmente sintácticos, y entonces no deja de sorprendernos que la definición de sus elementos deba darse por semántica. Ante esta impactante situación, en ocasiones se prefiere decir que la definición de los conectivos es una cuestión de simple utilización de reglas. Por eso se dice que al definir los conectivos se establecen las reglas de formación del lenguaje formal en cuestión. La definición de las constantes en términos de las reglas de su aplicación configura el conjunto de reglas de formación del lenguaje en cuestión. Así pues, para un lenguaje formal bastaría con definir los símbolos primitivos, variables, constantes y auxiliares, pues al definir los segundos quedarían dadas de una vez las reglas de formación del lenguaje. La pregunta que aparece es ¿con qué criterio construimos las reglas? Esta es la mayor dificultad con que nos encontramos en la conformación del lenguaje formal, pues la respuesta o bien nos conduce a la máxima arbitrariedad: construimos las reglas caprichosamente; o nos coloca de frente al problema de la definición semántica de lo sintáctico que ya vimos13. Para terminar reseñaremos brevemente algunas dificultades propias de la definición de cada uno de los conectivos del lenguaje lógico que hemos presentado. La negación, ¬. Este conectivo se utiliza para formalizar la expresión española “no”; sin embargo, la riqueza de nuestro idioma permite negar utilizando diversas expresiones en las que no interviene esta partícula. A todas ellas suele representárselas con el signo ¬. El operador lógico de negación se aplica sólo a una proposición a la vez, y se ha definido de la siguiente manera:
1 13
p
¬p
V
F
Una presentación de los problemas propios de la definición exclusivamente sintáctica de las constantes y de su posible arbitrariedad se encuentra en Haack, 1991, pp. 50ss.
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2
F
V
Así entendida la negación, su función es cambiar el valor de verdad de una proposición. Aunque parece que esto funciona bien para el español, pues, por ejemplo, si digo que “está lloviendo” es verdad, entonces es falso que “no está lloviendo”, hay casos que nos hacen sospechar. El primer caso difícil es el de las dobles negaciones. En la lógica proposicional negar dos veces es lo mismos que afirmar. Doble negación es afirmación, ¬(¬p)=p. Pero en el español esto no siempre sucede. Muchas veces nuestras dobles negaciones en lugar de afirmar enfatizan nuestra negación. Por ejemplo, cuando decimos “no he visto a nadie”, esto significa que no se ha visto a persona alguna. Pero si interpretamos la frase según la definición de la negación de la lógica proposicional, su significado es que se ha visto a alguien, que es lo contrario de su significado normal en español. De esto modo, resulta claro que la sencilla definición de la negación no corresponde del todo bien a las negaciones de nuestro lenguaje ordinario. Otros de los problemas de la negación, en especial de la negación de la lógica proposicional, es que no puede captar fenómenos del lenguaje tan elementales como la negación de los predicados. Es usual en español negar partes de la proposición y no sólo la proposición en su totalidad. Este caso es de utilidad, para el estudio de las proposiciones carentes de sentido como “la virtud es triangular”. Esta proposición no es cierta ni falsa, simplemente carece de sentido, lo mismo que su negación: “la virtud no es triangular”. En este caso la negación no cambia el valor de verdad, porque no es posible ni siquiera atribuir un valor de verdad a la proposición. Curiosamente, al formalizar estas proposiciones tenemos lo siguiente: 2. La virtud es triangular=p 3. La virtud no es triangular=¬p Ninguno de estas dos formalizaciones tiene sentido. Pero si leemos ¬p como “no es el caso que la virtud es triangular”, nos encontramos ante una proposición con pleno sentido y que además es verdadera. Esta es la diferencia entre las negaciones interna y externa. Lamentablemente la negación de la lógica de proposiciones no permite captar este matiz de la negación interna, razón por la cual podemos sospechar de que sea una buena candidata para la formalización de nuestros argumentos cotidianos.
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La disyunción, ∨. Este conectivo se utiliza para reasentar la expresión española “o”. Como vimos, en la lógica proposicional la disyunción se define de la siguiente manera: p q 1 2 3 4
V F V F
V V F F
p∨q V V V F
Esta manera de entender la disyunción significa, recordemos, que una proposición disyuntiva sólo es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones que la componen es verdadera. Ordinariamente se ha dicho que esta es una disyunción inclusiva porque es muy amplia y permite que la proposición sea verdadera cuando los dos componentes son verdaderos. Aunque muchas situaciones de habla del español tienen esta propiedad inclusiva de la disyunción no todas la tienen. Por eso a este caso suele oponerse un tipo de disyunción que algunos catalogan como “exclusiva”. Se trata del caso en que decimos “o es blanco o es negro”. Por supuesto, en un caso así no podemos aceptar que los dos componentes de la disyunción sean verdaderos. No puede ser que es blanco y también negro, sólo puede ser esto o aquello, pero no los dos a la vez. Así pues, aunque la disyunción de la lógica proposicional capta bien algunos matices de las disyunciones del español corriente, no logra dar cuenta satisfactoria de toda su riqueza. La conjunción, ∧. Este conectivo se utiliza para simbolizar la expresión “y”, y también otras como “pero” e incluso algunos signos de puntuación. En lógica proposicional la conjunción se define por semántica de la siguiente manera: p q 1 2 3 4
V F V F
V V F F
p∧q V F F F
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Esto quiere decir que una proposición como “La secretaria debe saber inglés y francés” sólo se satisface cuando las dos proposiciones elementales que la componen son verdaderas y en ningún otro caso. No sirve que la secretaria sepa uno de los dos idiomas o que no sepa ninguno. Puesto que en esta interpretación la conjunción es muy estricta y excluye la mayoría de las posibilidades, 3 de 4, sólo admitiendo aquella en la que los componentes son ambos verdaderos, es fácil aceptar que da lo mismo conjuntar, por ejemplo, p ∧ q que q ∧ p. En nuestro ejemplo diríamos que da lo mismo “sabe inglés y francés”, p ∧ q, que “sabe francés e inglés”, q ∧ p. por eso se ha dicho que la conjunción de la lógica proposicional tiene la propiedad conmutativa, el orden de los constituyentes no altera el valor de la función proposicional. A pesar de ellos, en español uno de los usos más frecuentes de la conjunción o de la “y” está representado en casos como este: “Comí y me dio indigestión”. Simbólicamente podríamos representarlo como p ∧ q. Si le aplicamos la conmutación y obtenemos q ∧ p, la interpretación en español sería “me dio indigestión y comí”. El problema es que esta última proposición carece de sentido. La indigestión viene después de la comida, no antes. De este modo, parece que muchas de nuestras conjunciones en español responden a un orden temporal que, por supuesto no permite conmutación, pues según él un evento debe ocurrir antes que el otro y el orden de esta sucesión no es irrelevante. Nos encontramos entonces, una vez más, ante uno de esos casos en los que las formalizaciones de la lógica proposicional parecen descuidar importantes matices de nuestras formas comunes de hablar. El condicional, →. A diferencia de los conectivos anteriores, el condicional aparece unívocamente ligado a la expresión española “si…, entonces…”. Muchas veces la palabra entonces no aparece y sólo encontramos la expresión “si…, ….”, más cercana al lenguaje ordinario y a nuestras formas usuales de decir las cosas. La definición semántica del condicional es: p q 1 2 3 4
V F V F
V V F F
p→q V V F V
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El condicional es el conectivo lógico más importante pero el más problemático de todos. En su tabla de verdad encontramos tanto la formulación de la relación lógica fundamental, la implicación o consecuencia lógica, como la paradoja más fuerte de la lógica proposicional. El condicional toma su nombre de la relación que expresa, según la cual la parte de atrás de la flecha, que se llama el antecedente, es la condición que debe satisfacerse para que suceda la parte de delante de la flecha, que se denomina consecuente. Así, por ejemplo, en la proposición condicional: “si estas en el cielo entonces fuiste un buen hombre” se establece la condición de que si estás en el cielo, entonces saber eso es suficiente para saber que fuste un buen hombre. Podríamos decir, si como antecedente sabemos que estas en el cielo, en consecuencia podemos afirmar que fuiste un buen hombre. Así pues, al examinar los cuatro casos que se presentan en la tabla de verdad encontramos dos conjuntos diferentes de posibilidades: que el antecedente sea verdadero o que el antecedente sea falso. Cuando el antecedente es verdadero, casos 1 y 3, se abren dos posibilidades, que el consecuente sea verdadero o que el consecuente sea falso. De estas dos combinaciones sólo la primera está admitida, y por eso sólo debajo de ella colocamos el signo V. La otra, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, no está permitida. La conjunción de estos dos casos expresa la esencia misma de la lógica: la preservación de la verdad. Acepamos que partiendo de datos verdaderos lleguemos a datos verdaderos, pero si partiendo de lo verdadero llegamos a lo falso hay algún error en la argumentación y el argumento es inválido, inaceptable. Esta es la definición de la relación de consecuencia lógica. Los dos casos restantes no carecen de interés. Antes bien, son una de las mayores fuentes de problemas. Los casos 2 y 4 son aquellos en los que el antecedente es falso. Al igual que en los dos primeros, también aquí encontramos dos posibles combinaciones: que el antecedente sea falso y que el consecuente sea verdadero o que el antecedente sea falso y el consecuente también. Lo curioso de estas posibilidades es que ambas están permitidas lógicamente. Cuando tenemos un antecedente falso es admitido que obtengamos conclusiones verdaderas o conclusiones falsas. Este resultado no ha sido visto con buenos ojos por todos los lógicos y se conocen como las paradojas de la implicación material, como suele
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llamarse al condicional que hemos presentado. Esta es una de las mayores dificultades que encierra la lógica, como hemos dicho, pues una lógica que acepte obtener la verdad a partir de la falsedad parece dejar por fuera nuestras más fieles creencias acerca de la naturaleza del conocimiento y la ciencia. Por estas razones se han construido distintas variedades del condicional, como la subjuntiva, estricta y contrafáctica, intentando aliviar los graves inconvenientes de la implicación material. Es probable que al final sólo estemos tratando de capturar diversas formas de implicación propias del lenguaje natural y que el debate no deba concentrarse sólo en tratar de definir un tipo correcto de condicional, sino en explorar las distintas maneras de implicar propias del habla ordinaria14. Terminaremos diciendo que aunque la lógica proposicional presenta graves dificultades cuando la apreciamos desde nuestro lenguaje ordinario, es sorprendente el hecho de que muchos de nuestros argumentos puedan ser comprendidos y explicados según este sencillo lenguaje. Nuestra tarea ha sido destacar algunos problemas propios de la comprensión de la relación o relaciones que pueden establecerse entre los lenguajes formales y los lenguajes naturales, pero de ello no debe deducirse que estamos dirigiendo un ataque a la lógica. Antes bien, buscamos simplemente orientar nuestra mirada a los aspectos que, una vez estudiados, pueden ayudarnos a tener una mejor comprensión de ella. Así pues, nos adherimos a la idea de Susan Haack cuando dice: Se admitirá, entonces, que un fracaso por parte de un sistema formal en representar todos los entresijos de los argumentos informales que sistematiza no es necesariamente objetable. Por otra parte, se debe tener cuidado con suponer que todos los ajustes son aceptables; es necesario preguntarse si los aumentos de simplicidad y generalidad compensan la discrepancia (Haack, 1991, p. 54). Más allá de plantear un debate sobre los alcances y límites de la lógica, y sobre la adecuación de los recursos formales para los problemas de la argumentación cotidiana, el interés de comprensión de la naturaleza de la 14
Un caso de especial interés es la lógica de la conversación desarrollada por Paul Grice, que ha propuesto incluso ampliar nuestro vocabulario lógico de modo que demos cabida al término ‘implicatura’, y no sólo al de implicación, con el fin de captar fenómenos propios de la conversación cotidiana. Cf. Grice 2004.
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lógica no reviste sólo una importancia interna. En realidad lo que busca es un enriquecimiento del quehacer filosófico mismo, pues como bien ha dicho Grayling: Una caracterización del método filosófico contemporáneo debería reflejar cierto balance entre estos polos. Como se quiera, la filosofía está gobernada en todo momento por la necesidad de precisión, claridad y consistencia, y aunque quizá todos podríamos estar de acuerdo con la observación de Kripke de que ‘no hay sustituto matemático para la filosofía’, la lógica es, consecuentemente, de la mayor importancia para la filosofía (Grayling, 2001, p. 7). Hasta este punto hemos mostrado ciertos problemas de la idea de lenguaje formal explorando aspectos polémicos de los símbolos primitivos y de las reglas de formación del lenguaje de la lógica proposicional. Esta es la mitad de la tarea, pues los sistemas formales están formados no sólo por lenguajes formales sino también por mecanismos deductivos. Pasemos entonces al examen crítico de los mecanismos deductivos.
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Capítulo 3 Problemas selectos de los mecanismos deductivos. El caso de la matemática
En el capítulo 1 definimos las ciencias formales como ciencias de los sistemas formales. Dijimos entonces que un sistema formal está compuesto por dos elementos: (1) un lenguaje formal, a su vez compuesto por un vocabulario y unas reglas de formación, y (2) un mecanismo deductivo. En el capítulo 2 repasamos algunos de los más importantes problemas epistemológicos de los lenguajes formales; en especial rondamos distintos aspectos de lo que se conoce como formalización de un lenguaje natural, es decir, el modo como se establecen las relaciones entre los lenguajes lógicos y los lenguajes naturales. Puesto que nuestra finalidad es cuestionar las ciencias formales y ya hemos hecho la tarea de reseñar algunas dificultades de los lenguajes formales, tenemos ahora la tarea de repasar algunos aspectos polémicos de los mecanismos deductivos. Al igual que los lenguajes formales, los mecanismos deductivos son una rama muy amplia de estudio. Por esta razón nos concentraremos en un campo del saber en el que la deducción cumple un papel esencial: la matemática. A diferencia de la lógica, la matemática no es un tema específico y propio de la filosofía. Por eso en nuestro contexto su examen crítico debe realizarse de un modo diferente. Pero no sólo por eso. Una de las características más intimidantes de la matemática es que parece un saber completo y perfecto. Para algunos es casi ridículo estudiar historia de la matemática porque ella desde su nacimiento es una y la misma. Esto nos hace pensar que una buena manera de hacer patentes ciertos problemas de la idea de mecanismo deductivo en matemática es ir recorriendo un poco de su historia. Antes de empezar con este trabajo repasemos brevemente las ideas de deducción y mecanismo deductivo.
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1. Argumentación deductiva y deducción Desde antiguo se reconocen dos métodos básicos de argumentación: la deducción y la inducción. Luego se incluyeron también la abducción y la transducción. En la segunda mitad del siglo XX florecieron los estudios de la argumentación en general. Actualmente se reconocen muchos tipos distintos de argumentos y no hay un número definido de ellos. La mayoría de estos tipos de argumentos no se basan tanto en la forma como en su contenido. Por eso no los examinaremos en este texto15. Veamos entonces en qué consiste la argumentación deductiva y en qué la inductiva. 1.2 Argumentación deductiva e inductiva Clásicamente la argumentación se ha definido como una manera de usar el lenguaje cuyo propósito es justificar una afirmación con base en otras afirmaciones. Así, recordando un ejemplo anterior, cuando alguien dijera que “todos somos buenos” y le pidiéramos que argumentara lo que dijo o, lo que es lo mismo, que justificara su afirmación, ella podría decir lo siguiente: en este mundo “la gente es buena o es mala” y si tenemos en cuenta que en el fondo “nadie es malo”, entonces lógicamente “todos somos buenos”. En este ejemplo, hay una afirmación que se quiere justificar: “todos somos buenos”; pero además hay dos afirmaciones que se realizan para justificar la primera: “la gente es buena o mala” y “nadie es malo”. Este tipo de argumento tiene una característica muy especial: si las afirmaciones que se dan como justificación son verdaderas, es imposible que lo justificado sea falso. Un argumento que tiene esta característica es un argumento deductivo. Un argumento deductivo es entonces aquel en el que si sus premisas son verdaderas, entonces la conclusión obligatoriamente lo es. Como dijimos más arriba, no todos los argumentos son del mismo tipo, y por eso no podemos afirmar que todos los argumentos son deductivos. Veamos el siguiente ejemplo. Una señorita después de haber tenido un fracaso sentimental, afirma que “todos los hombres son iguales”. Su amiga le dice que es un poco apresurado decir que “todos los hombres son iguales”, cuando apenas se conoce uno. Seguramente después de haber tenido bastantes fracasos amorosos la señorita podrá afirmar que “todos
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Buenas introducciones a las distintas tipologías argumentales son las de Toulmin o Plantin.
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los hombres son iguales”, sin embargo, siempre podremos dudar de si acaso el próximo hombre que ella conozca no irá a ser su príncipe azul. El argumento en este caso se construye mediante la acumulación de evidencias. No basta haber fracasado con un hombre para sostener que todos son iguales. Quizá sea preciso fracasar dos, tres o más veces para poder afirmarlo. Sin embargo podemos preguntarnos: ¿a partir de cuántos fracasos amorosos femeninos podemos afirmar que obligatoriamente “todos los hombres son iguales”? La señorita podría haber tenido diez fracasos, su amiga pudo haber tenido unos cinco y entre todas sus amigas sumar alrededor de veinte fracasos. ¿Son estos veinte casos evidencia suficiente para afirmar que “todos los hombres son iguales”? Supongamos aún más radicalmente que todas las mujeres vivas cuentan todos sus fracasos amorosos. ¿Es esa cifra una razón suficiente para pensar que el siguiente hombre que nazca será igual que los anteriores, o que algunos hombres ya muertos no fueron distintos? La respuesta es negativa. Este ejemplo deja ver con claridad que una enumeración da casos no puede conducir a afirmaciones concluyentes u obligatoriamente verdaderas. Este tipo de argumento a lo sumo puede llevarnos a afirmar que probablemente el próximo caso será igual, pero no que obligatoriamente lo será. Este es lo que se conoce como un argumento inductivo. Un argumento inductivo es aquel en el que si las razones que se ofrecen son verdaderas la afirmación que se quiere defender será probablemente verdadera, no obligatoriamente verdadera. 1.2 Deducción, inducción, validez y fuerza Retornando a nuestro tema, si pensamos en los argumentos deductivos e inductivos como métodos de razonamiento, encontramos lo siguiente. La deducción será el método por el cual procuramos conservar la verdad de las premisas en la conclusión. El método inductivo será aquel en el que tratamos de establecer la verdad de una conclusión a partir de la verdad de las premisas. En realidad, la única manera definitiva para que la argumentación deductiva sea posible es cuando la conclusión está ya de algún modo contenida en las premisas. Por eso muchas veces se ha dicho que en los argumentos deductivos las premisas son generales y la conclusión es
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particular, de modo que deducir es sacar lo particular a partir de lo general. El método inductivo de la argumentación funciona al contrario. Como en el ejemplo de los fracasos amorosos, el punto de partida de la argumentación es un conjunto de casos particulares, en tanto que la conclusión sí es general. La argumentación inductiva será entonces aquella que parta de lo particular buscando alcanzar lo general. Dadas estas importantes diferencias entre la deducción y la inducción, en los últimos años se ha decidido reservar el término ‘validez’ para los argumentos deductivos, mientras que se prefiere hablar de ‘fuerza’ en el caso de los argumentos inductivos. De este modo un argumento deductivo realizado correctamente se llama un argumento deductivo válido, mientras que un argumento inductivo bien elaborado se llama un argumento inductivo fuerte. Estas denominaciones muestran que en el caso de los argumentos deductivos la cuestión es extrema: son válidos o no; mientras que en el caso de los argumentos inductivos la cuestión es más suave: el argumento puede ser fuerte, o un poco más fuerte, o mucho más fuerte, o débil, o muy débil etc. 1.3 Mecanismo deductivo, deducción y demostración En un sistema formal no tenemos deducciones sino mecanismos deductivos. La diferencia no es mucha pero es importante. Un mecanismo deductivo, recordemos, es un conjunto de reglas que permiten transformar fórmulas bien formadas del sistema en otras. Esas reglas se denominan reglas de transformación. Los sistemas deductivos pueden ser de dos tipos: axiomáticos o de deducción natural. Los primeros se caracterizan por establecer algunas fbfs del sistema como básicas y autoevidentes, denominadas axiomas, además de las reglas. Los segundos simplemente establecen las reglas de transformación. La deducción es un procedimiento, una actividad, mediante la cual a partir de una fbf se llega a otra utilizando el mecanismo deductivo. Éste es un conjunto de reglas, aquella una manera de usar esas reglas. Cuando trabajamos con sistemas axiomáticos nuestro punto de partida siempre son los axiomas y, puesto que ellos se consideran autoevidentes e incuestionablemente verdaderos, la deducción consiste en tratar de conservar la verdad de los axiomas en otras fbfs del sistema. El mecanismo deductivo se diseña para garantizar esto, de modo que al usarlo infaliblemente construimos fbfs verdaderas dentro del sistema formal. Así
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pues, el uso del mecanismo deductivo es la garantía de la verdad de los resultados que logramos. Como vimos más arriba, la deducción no es la única manera de obtener una conclusión, para ello también son útiles la inducción, la abducción y la transducción, por ejemplo. Sin embargo algunos de estos métodos suponen trabajo empírico o intuitivo, y ninguno de ellos es bien recibido en matemáticas. Si uno desea mostrar que es verdad que la suma de dos números naturales es también un número natural no tiene recursos empíricos para hacerlo, puesto que los números no son realidades empíricas, y tampoco se viene bien acudir en estos casos a nuestras intuiciones intelectuales para ello, porque, como vimos en el capítulo anterior, los estados y procesos mentales no se pueden examinar intersubjetivamente, y no hay modo de comprobarlos. La deducción es entonces una herramienta muy útil en el trabajo matemático porque, al establecer unas reglas que todos pueden comprender y discutir, y cuya aplicación está bien definida, ofrece un valioso recurso para determinar la validez con la que han sido obtenidos los resultados en la investigación. Aunque el trabajo en matemáticas no es exclusivamente deductivo, dado el enorme impacto que la deducción axiomática tiene en ellas, se ha convertido en su marca y se conoce como el trabajo demostrativo o la demostración. En adelante nos referiremos al uso de los mecanismos deductivos axiomáticos en matemáticas bajo esta denominación. 2. La demostración como paradigma del conocimiento matemático
Con el paso del tiempo se ha llegado a un acuerdo en cuanto a la definición de la matemática como ciencia que estudia la coherencia entre entes abstractos. Parece una definición poco familiar y ajena a lo que el sentido común nos dice acerca de ella debido a que desde pequeños pensamos que la matemática consiste simplemente en contar objetos: ¿cuántas vacas hay en el potrero?; medir áreas: ¿cuánto mide el terreno que va desde el árbol hasta la casa?; y resolver problemas prácticos de la vida: te pagué con un billete de 10.000 pesos y la gaseosa vale 1.000, ¿cuánto me tienes que devolver? Así vista, la matemática tiene como único fin su aplicación, resolver problemas cotidianos. Esto nos plantea una situación muy interesante. Cuando requerimos de la matemática para solucionar problemas, parece
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natural sumar, restar, multiplicar y dividir; además parece evidente que el resultado de una operación como la suma de 1+1 sea igual a 2. Sin embargo, explicar su funcionamiento y en especial sus fundamentos es extremadamente difícil. Cuando lo intentamos cae sobre nuestros ojos un velo de misterio, surgen muchos problemas que parecen sobrepasar nuestro intelecto de un modo semejante a lo que sucede cuando estudiamos el lenguaje natural. Arriba se ha enunciado una definición general de la matemática; sin embargo, cuando la gente piensa en matemáticas tiene en mente dos cosas: la ciencia de la cantidad, la aritmética; y la ciencia del espacio, la geometría. Aquella tiene por objeto el número, y ésta las figuras y sus propiedades. La aritmética es considerada una de las ciencias más antiguas. Surgió de la necesidad humana de agrupar los objetos de la naturaleza en conjuntos haciendo abstracción de ciertas propiedades con el fin de intercambiarlos y establecer relaciones entre ellos. El hombre agrupaba el conjunto de las vacas con independencia de si ellas eran grandes o pequeñas, y establecía proporciones: tantas vacas se cambian por tantos caballos. De este modo nacieron los primeros sistemas numéricos y de cálculo. Los dedos de la mano le indicaban cuántos objetos podía agrupar, a cada dedo le correspondía un objeto, si tengo cinco dedos puedo agrupar cinco objetos cualquiera; sin embargo, este sistema era muy limitado, pues sólo se podían representar diez objetos, lo que llevó a representar por medio de granos de fríjol o nudos en las cuerdas para agrupar mayores cantidades y así realizar cálculos más complejos. Entre las culturas antiguas los egipcios constituyen una de las primeras en el uso de signos para representar cantidades, ya que elaboraron un sistema numerado en el que tenían un signo para representar cada unidad. Los árabes también tuvieron una gran influencia en el desarrollo de los sistemas matemáticos, las reglas para la solución de raíces y el algebra. Otras culturas destacadas en este campo fueron los fenicios, los griegos y los hebreos que empleaban signos como las letras del alfabeto; no obstante, las figuras más representativas de la matemática en la antigüedad son Pitágoras y su escuela: los pitagóricos. Parte de la importancia de esta escuela radica en que fueron los creadores de la aritmética tal como hoy la conocemos, pues desarrollaron un conjunto de operaciones y relaciones entre números como las progresiones aritméticas, las proporciones y la suma de los cuadrados. Filosóficamente hablando, su contribución más
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importante a las matemáticas consistió en pensar que ella era una ciencia y que los números eran la esencia del mundo. De otra parte, cuando se piensa en la geometría recordamos a Euclides de Alejandría que vivió en el año 365 A.C., y del cual no conocemos exactamente su lugar de nacimiento. Se supone que estudio en Atenas con los discípulos de Platón y que fundó una escuela de matemáticas en Alejandría y de allí su nombre. Se le atribuye a Euclides haber sistematizado la matemática y la geometría de su época en trece libros que se conocen como los Elementos, tal vez el texto de matemáticas más influyente de todas las épocas. La obra de Euclides está compuesta por teoremas geométricos desarrollados por los pitagóricos Arquitias de Tarento (siglo IV a.c), Teeteto de Atenas (siglo IV a.c) y Eudoxio de Cnido (408-355 a.c.) entre otros, que le permitieron organizar los conocimientos matemáticos en una estructura unitaria. La importancia de esta obra no solo es anecdótica, su valor reside en el dominio conceptual que mantuvo por mucho tiempo, lo que bien podemos llamar el mito de Euclides. 2.1 Un caso de demostración matemática En geometría y en aritmética la estructura fundamental de axiomas y demostraciones no ha sido alterada y se presenta como un modelo del razonamiento deductivo, esto significa que aceptamos algunas afirmaciones iniciales, llamadas axiomas y deducimos de estas otras afirmaciones que llamamos teoremas16. En este sentido, el aporte de Euclides a la matemática es más que un conjunto de proposiciones ordenadas, ya que desarrolló un método que le dio a la matemática la seguridad y validez con que fue reconocida durante la mayor parte de su historia. Desde esos lejanos tiempos la demostración axiomática se convirtió en el signo distintivo de la matemática. Para comprender mejor en qué consiste una demostración veamos el sencillo ejemplo del primer teorema del libro I de los Elementos proposición 1. Para empezar necesitamos un punto de partida, expresiones que consideramos evidentes en sí mismas y por ello las aceptamos: los axiomas. Euclides acepta cinco: 1
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Un segmento de recta cualquiera puede prolongarse de manera indefinida en línea recta.
Cf. La idea de sistema axiomático expuesta en el capítulo 1.
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Es posible trazar una circunferencia con cualquier punto como centro y con cualquier segmento de recta como radio. Todos los ángulos rectos son iguales. Por un punto exterior a una recta es posible trazar una única paralela a la recta.
En segundo lugar, necesitamos un punto de llegada o teorema, la expresión que se sigue de los axiomas: Teorema 1: Dado un segmento de recta, lo podemos dividir en dos partes exactamente iguales. Aunque este teorema parece evidente por sí mismo, para el matemático esto no basta, es preciso demostrar que es verdadero, ¿cómo podemos realizar esta prueba de su verdad? Respuesta: necesitamos realizar una demostración. Demostrar consiste en realizar una serie de pasos, cada uno justificado en virtud de los axiomas y por lo tanto permitido, que nos conduzcan al teorema. ¿Qué significa “permitido” en este contexto? Por ahora, digamos que está permitido en una demostración todo aquello que no viole o esté en contra de alguno de los axiomas. Pero sobre ello volveremos más adelante. El tercer paso es realizar la demostración. Ejecutamos los diferentes pasos para confirmar si efectivamente el teorema se sigue de los axiomas. Veamos como se realiza: Para dividir el segmento AB en dos partes iguales usamos el tercer axioma; tomamos el punto A como centro y AB como radio para trazar una circunferencia; luego, con el mismo radio y con centro B, trazamos otra circunferencia como se muestra en la figura 1:
Figura 1
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Ahora unimos los puntos de intersección entre las circunferencias, y construimos un segmento que divide a AB en dos partes iguales llamado CD como lo presenta la figura 2:
Figura 2 Hasta el momento no se ha demostrado nada, pues solo se ha dividido el segmento AB en dos, y nuestra tarea era probar que las dos mitades eran iguales ¿cómo sabemos que está dividido exactamente por la mitad? Continuemos. Si unimos el punto de intersección C con A, A con D, D con B y B con C obtenemos varios triángulos, entre ellos CAD y CBC, como se ilustra en la figura 3:
Figura 3 Tenemos que las líneas AB y AC son radios de la primera circunferencia trazada y, por lo tanto, son iguales, y por la misma razón AB y BC también lo son. De acuerdo a una noción común, si dos cosas son iguales a una tercera, éstas son iguales entre sí, en consecuencia AC es igual a BC. Del mismo modo podemos decir que AD es igual a BD, y como comparten el segmento CD decimos que los triángulos CAD y CBD son iguales, porque si los tres lados de un triángulo son iguales con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son iguales.
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Figura 4 Los ángulos CAD y CBD son iguales porque son partes correspondientes de triángulos iguales. Como ya sabemos que el segmento AC es igual al segmentos BC, entonces si construimos dos triángulos con el punto medio del segmento AB llamado X entonces sabemos que los triángulos ACX y CBX son iguales en dos lados y el ángulo comprendido entre esos lados, por lo que los dos triángulos son iguales de lo cual se sigue que el segmento AX es igual a BX, entonces queda demostrado que la recta quedó dividida exactamente por la mitad, o en dos segmentos iguales.
Figura 5 ¿Qué ocurrió en el proceso? El procedimiento que seguimos no estaba basado en un una medición del segmento. El reto para Euclides era realizar la demostración recurriendo sólo a dos herramientas: regla y el compás. No interesa cuál es la mitad aritmética del segmento sino la posibilidad de construir la mitad del segmento; para tal efecto debíamos cumplir con todos los axiomas y mostrar que cada uno de los pasos se seguía del anterior sin realizar saltos o introduciendo axiomas que no estaban inicialmente. De este modo, la verdad del teorema no depende de los pensamientos de quien hace la demostración o del estado de ánimo, sino del modo consecuente como se dan cada uno de los pasos, por ello es famoso el pasaje en que Sócrates logra que un niño demuestre el teorema de Pitágoras, porque el niño como la figura de la ingenuidad y la ignorancia logra llegar a la conclusión. Durante mucho tiempo la matemática fue geométrica debido al poderoso influjo que la demostración ejerció en ella. Hay que recordar que esta idea
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fue alimentada por las dificultades aritméticas de los griegos ante la imposibilidad de representar la raíz de dos como un entero o como una fracción. Pero tal vez la importancia que desde la antigüedad se le dio a la matemática como modelo de conocimiento se debió a la neutralidad de la demostración. 2.2 Demostración matemática y filosofía Platón, el célebre filósofo griego fue muy importante en la historia de las matemáticas porque le concedió un valor notable a la demostración. Fue él quien reconoció en la demostración un modelo de conocimiento porque era distante del mundo cambiante de lo sensible y el verdadero conocimiento se obtenía de las verdades eternas y necesarias alejadas del velo de la opinión y de las sensaciones. La leyenda cuenta que en la puerta de entrada a la academia decía «No entre aquí nadie que ignore la matemática». Aquella imagen de la matemática como un modelo de conocimiento se mantuvo a lo largo de la historia hasta la época moderna, el único cambio notable fue el de su aplicación a la física. En ese entonces las matemáticas por sí mismas no eran nada y el progreso de la física llevó a que nuestra ciencia se transformara en una herramienta, en la esclava de la física. De ahí que el origen de la idea según la cual la naturaleza está escrita en el lenguaje de la matemática tenía sentido para los conceptos de armonía y regularidad que son propiedades del movimiento de los cuerpos celestes mas no de la matemática, y la correspondencia entre la armonía de la naturaleza y la exactitud matemática era una cuestión de hecho porque la matemática era perfecta por principio. Desde el punto de vista filosófico, lo anterior constituía el modo en que funcionaba la razón, el modo como pensamos. No en vano Kant observa en la matemática una ciencia de la exactitud y un modelo del conocimiento humano, por ello el filósofo alemán no elabora una filosofía de la matemática, más bien observa que la matemática tiene algunas características, entre ellas la demostración, que le permitieron transformarse en ciencia: La matemática ha tomado el camino seguro de la ciencia desde los primeros tiempos a los que alcanza la razón humana, en el admirable pueblo griego. Pero no se piense que le ha sido tan fácil como a la lógica en
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hallar, o más bien, el abrir por sí misma ese camino real. Creo, por el contrario, que ha permanecido mucho tiempo andando a tientas (Kant, 1998, BXI). Como vemos, Kant cree en la matemática como ciencia pero también nos muestra que no ha estado siempre fundamentada en conceptos sólidos, por ello le interesa estudiar las razones que hicieron del pensamiento matemático una disciplina sólida y segura. Parece que Kant se pregunta ¿qué pasó en la matemática para que ahora sea una ciencia segura? Según el filósofo alemán la seguridad de la matemática depende de las propiedades que poseen sus juicios pues son sintéticos a priori, es decir, no dependen de la experiencia para ser verdaderos, son a priori, y siempre aumentan nuestro conocimiento, son sintéticos. Esto se debe a que las proposiciones de la matemática describen el espacio y el tiempo que son las condiciones de posibilidad de nuestro conocimiento. Por esta razón, del mismo modo que Euclides dominó conceptualmente la matemática, Kant ejerció una gran influencia en la epistemología de la matemática. El denominado mito de Euclides, es decir, la indubitabilidad de la demostración era mucho más que un conjunto de axiomas y teoremas, incluso era mucho más que un modelo de conocimiento, constituía El Modelo del conocimiento humano. La historia de la matemática ha sido dominada por el mito de Euclides, el mecanismo de la demostración fue el garante de la exactitud y la seguridad matemática, «si quieres que algo sea verdad demuéstralo como en las matemáticas» se decía. Todo lo anterior quiere decir que el fundamento de la matemática y la definición de matemática sólo se limitaban a la cuestión de la demostración; sin embargo, cabe preguntarnos si ¿podemos aceptar eso hoy?
3. Los problemas de la demostración No es el propósito de este trabajo realizar un estudio detallado de la historia de la matemática, pero es importante resaltar que esta disciplina ha evolucionado a lo largo de los años y por tanto no es una ciencia completa. En adelante nuestro estudio se centrará en los avances de la matemática de los siglos XIX y XX, pues en ellos encontramos un interesantísimo desarrollo de nuestra ciencia que desvirtúa la creencia según la cual la verdad y el razonamiento matemático están
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fundamentados sobre bases más seguras que la verdad y el razonamiento de otras disciplinas. Entrado el siglo XIX las cosas cambiaron de forma radical respecto al panorama anterior de la matemática ilustrado por Kant. La demostración entró en crisis provocando el planteamiento de problemas hasta el momento desconocidos, y haciendo temblar el mundo matemático ante la falta de fundamento. Pero, ¿qué ocurrió para que tantos años de verdad se derrumbaran de esa forma, si las propiedades y los objetos matemáticos eran evidentes al intelecto? El acontecimiento decisivo fue que a finales del siglo XIX aparecieron las geometrías no-euclidianas, un conjunto de teorías internamente coherentes pero mutuamente excluyentes: la ciencia del espacio tenía más de un espacio. Todo aquel que se preguntaba filosóficamente por este suceso llegaba a la conclusión de que la razón humana era altamente productiva lo que a su vez llevaba a cuestionar la teoría kantiana del conocimiento17. Con la aparición de las geometrías no-euclidianas la matemática y la teoría del conocimiento de corte kantiano entraron en crisis, de inmediato la pregunta kantiana por el conocimiento y su respuesta perdieron sentido. Kant creía que existía una única verdad, es decir, había una visión del mundo y la matemática como lenguaje de la naturaleza quedaba en deuda porque las leyes, de carácter universal y necesario dejaban de decirnos algo del mundo, de lo real y nos colocaban ante la pregunta por la potencia del hombre para construir mundos o realidades. Todo lo que considerábamos seguro se diluía ante nuestros ojos, ¿qué hacer? En suma, el panorama que tenemos de la epistemología de la matemática hasta el siglo XIX esquemáticamente puede cifrarse así: el fundamento de la matemática hasta la época moderna era la demostración en términos de Euclides. Sin embargo, muy pocos se preguntaban por este fundamento, y si lo hacían era con el fin de obtener elementos para una teoría del conocimiento más que de cara a un desarrollo de los fundamentos.
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Hay que notar que la crisis del modelo kantiano no se debió solo a la aparición de las geometrías noeuclidianas sino también porque sus otros dos pilares, la lógica de Aristóteles y la mecánica de Newton, también estaban en crisis, aquella por la aparición de la nueva lógica, y esta por la insuficiencia para predecir eventos celestes, por ejemplo el problema de los tres cuerpos.
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Desde finales del siglo XIX las cosas cambiaron. La pregunta por los fundamentos se hizo inaplazable, como hemos mostrado, y, con ella, el método demostrativo será ampliamente cuestionado. Las nuevas corrientes de la matemática buscaban solucionar de tajo el problema, necesitaban elaborar una nueva teoría del conocimiento, una nueva noción de verdad, una nueva matemática; es decir, cualquier intento debía tener pretensiones fundacionales. Este es el caso de las tres grandes escuelas o ‘ismos’ de la filosofía de la matemática: logicismo, intuicionismo y formalismo. De la mano de estos tres grandes proyectos fundacionales presentaremos tres graves problemas de los métodos demostrativos. 3.1 El logicismo y las paradojas de la demostración El logicismo es la idea según la cual las matemáticas son reducibles a la lógica, no son más que un capítulo de la gran lógica. Ahora bien, para que el proyecto logicista cumpliera su proyecto debía recurrir a un simbolismo adecuado (Boole), un método consistente (Peano) y unos conceptos claros (Cantor). Veamos un poco de esta historia. Durante siglos las matemáticas de la Grecia antigua eran aceptadas como modelo, vimos que la matemática estaba dominada por la geometría porque con la aparición de los números irracionales la aritmética se vio estancada y sólo con la introducción del algebra por parte de los árabes se pensó en una teoría del número; sin embargo, dicha teoría era muy simple y no permitía resolver los problemas que había en el siglo XIX, un ejemplo es el cálculo ya que, a pesar de su efectividad, no se sabía por qué funcionaba, ni cuál era su fundamento. En este contexto el quehacer matemático dio paso para que los matemáticos de tendencia lógica discutieran la naturaleza del número, el estatuto de la noción de clase y el papel de la lógica. En la segunda mitad del siglo XIX existió un desarrollo extraordinario de la lógica simbólica, la lógica proposicional y la lógica de relaciones. Como antecedente del logicismo contemporáneo resulta ejemplar el trabajo de George Boole, nacido en 1815, que dio un impulso a la matemática y la lógica. La vida de Boole estuvo marcada por el éxito, a la edad de dieciséis años fue nombrado profesor asistente, publicó su primer artículo en la revista Cambridge Mathematical Journal en 1840 sobre la idea del invariante
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matemático; en 1844 publicó en la revista de la Royal Society y se hizo merecedor de la medalla de oro de esta institución. Uno de los logros de Boole fue el desarrollo de un método para la resolución de ecuaciones diferenciales, pero su mayor descubrimiento se dio en el campo de la lógica simbólica. Influido por las ideas de Augusto de Morgan y William Hamilton, para Boole la lógica debía estudiar la noción de cualidad y podía basarse en un sistema de relaciones que pertenecen a la mente, por ello la lógica estaba en la capacidad de representar cierto tipo de cualidades de algunos individuos. Para Boole las letras x, y, z, eran conjuntos o clases. Por ejemplo, el conjunto de las personas de pelo negro se representaba mediante la x y el conjunto de los hombres se representa con la letra y, por tanto, para representar los hombres de pelo negro sólo había que colocar xy. Ahora bien, si se quería representar los hombres de pelo negro mayores de 30 años bastaba con representar el conjunto de las personas mayores de 30 años con la letra z y agregarla a xy, por lo tanto, los hombres de pelo negro mayores de 30 años seria xyz. Para representar los hombres tienen pelo negro o son mayores de 30 años se agregaba un signo ‘+’ el resultado era x+y. Todo lo anterior significa que por medio de letras se pueden simbolizar las cualidades de los individuos y si nuestros individuos son los números podemos representar cualidades tales como la propiedad conmutativa, por ejemplo, 2+3=5 es igual a 3+2=5 en el lenguaje de Boole x+y=y+x. Esta línea de investigación obtuvo un desarrollo posterior a la muerte del matemático con personajes como De Morgan, Jevons, Schröder y Pierce. Dentro de los antecedentes del logicismo es de vital importancia nombrar también al matemático de San Petersburgo y creador de la teoría de conjuntos Georg Cantor. La introducción del término ‘conjunto’ en matemáticas fue muy importante porque permitió delimitar el alcance de un concepto o de una proposición. En otras palabras, la teoría de conjuntos mostró el alcance de una definición, en este caso el significado de ‘número’. ‘Conjunto’ fue definido por Cantor como “una colección M, de un todo de objetos determinados y distintos m, de nuestra intuición o de nuestro entendimiento, objetos que son llamados los elementos del conjunto”18, esta definición puede parecer simple y elemental pero dista de nuestra experiencia inmediata más de lo que parece.
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Bajo esta definición es posible pensar conjuntos de hojas o de casas, o un conjunto de números. Los objetos están determinados por el concepto y ello implica la existencia de un criterio para saber cuándo el objeto m es miembro del conjunto M. Por ejemplo, tenemos el conjunto de las aves A y sus elementos son: gallina, pato, ganso, tucán, canario, pelicano, etc. Sabemos que existe el conjunto A={gallina, pato, ganso, tucán, canario, pelicano…} en virtud de que tenemos un criterio para saber si un individuo dado pertenece al conjunto A, como tener pico o poner huevos, por ejemplo. El aporte de Cantor fue llevar el modo como agrupamos objetos a la teoría de números realizando un esfuerzo por clarificar los criterios que determinan el conjunto de los números naturales. Tenemos el conjunto de los números naturales N y sus elementos son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, etc. Por tanto, existe el conjunto N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…} ya que el criterio para saber si pertenece al conjunto N es la sucesión de sus elementos y podemos decir que el conjunto U=[1, 2, 3, 3, 8, 7, 5] no es un conjunto en absoluto porque no hay sucesión en sus elementos. Cantor mostró la importancia de definir conceptualmente un grupo de objetos para saber si se los puede reunir en un conjunto. De otra parte, la matemática encontraría en Peano la contribución más importante en el campo de lógica de cara a aclarar sus fundamentos, el cual consistía en nueve axiomas que permitían desarrollar los conjuntos de números. Aquí solo mencionaremos cinco de ellos: 1 2 3 4 5
1 es un número natural; 1 pertenece al conjunto de los números naturales. Todo número natural a tiene un sucesor, a+1. Dos números naturales a y b son iguales si sus sucesores son también iguales. El uno no es sucesor de ningún número natural. Si un conjunto de números naturales K incluye el 1, y si K contiene un número x cualquiera contiene también a su sucesor, entonces el conjunto K contiene a todos los números naturales.
Si vemos con cuidado, estos axiomas son la definición de los números naturales mediante el mecanismo de construcción denominado sucesión. Los números 2, 3, 4, 5, etc., se construían a partir del número anterior así, 2=1+1, 3=2+1, 4=3+1, 5=4+1 y como vemos se pueden construir todos y cada uno de los números que constituyen el conjunto de los números
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naturales. Peano, después de publicar este sistema en el año de 1889 bajo el título Arimetices principia, nova método exposita (nuevo método de exposición de los principios de la aritmética) modificó el axioma 1, introduciendo el cero como número natural. Este sistema fue de mucha utilidad porque permitió a los matemáticos definir cualquier conjunto de números a partir de unas definiciones o conceptos claros, además se veía en los sistemas axiomáticos como el de Peano una gran potencia, pues era posible obtener un altísimo poder productivo a partir de un conjunto pequeño de definiciones. No es difícil entender que el punto de partida del logicismo comprende la culminación de proyectos matemáticos y lógicos que llevaron poco a poco al proyecto de elaborar un gran sistema lógico a partir del cual todos los conceptos matemáticos quedaran fundamentados. A finales del siglo XIX y principios del XX el logicismo encuentra sus más grandes exponentes: Frege, Russell y Whitehead, que discuten sobre todo con aquella idea kantiana de que la intuición juega un papel fundamental en matemática. Por ello podemos sostener que el trabajo de estos lógicos se centraba en proporcionar un fundamento definitivo a la matemática en términos de la lógica formal escapando o rechazando cualquier expresión psicológica como la intuición. Esto no quiere decir que el logicismo fuera una idea nueva, ya Leibniz había expresado algún tipo de logicismo al postular la diferencia entre verdades de razón y verdades de hecho. Para él juzgamos como falso aquello que encierra una contradicción y como verdadero lo que se opone a lo falso; en este sentido los conceptos de la matemática y las demostraciones matemáticas están subordinadas al principio de no contradicción. Russell señala al respecto: La doctrina general de que toda la matemática es deducción por principios lógicos a partir de principios lógicos, fue ardientemente defendida por Leibniz, quien argüía constantemente que los axiomas deben probarse y que todo debe definirse excepto unas pocas nociones fundamentales (Russell, 1977, p. 29). Leibniz imaginó un tipo de matemáticas universales en que el cálculo de razonamiento se expresara en un simbolismo eficaz sujeto a reglas claras de combinación que cuidaran a la razón en el proceso. Sin embargo, para
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el logicismo el problema fundamental consistía en el valor que le damos al conocimiento intuitivo de ciertos conceptos. Frege, destacado matemático y fundador de la lógica contemporánea, entre los años 1873 y 1874 discutía el fundamento de las leyes de la aritmética, su preocupación estaba guiada por la construcción de definiciones claras y rigurosas y no en creencias basadas en la intuición, como quien cree en dragones o sirenas. Para Frege las leyes de la aritmética no están fundamentadas en la intuición sino en la razón, en la pura deducción lógica, en este sentido deben estar conectadas íntimamente con las leyes del pensamiento, esto es, con las leyes de la lógica. Frege defendía que los objetos de las matemáticas son abstractos, eternos e independientes de nuestra mente, él pensaba que tenemos acceso a esos objetos a través de la lógica. El espíritu de Frege se expresa en el prefacio de su Conceptografía: “para impedir que cualquier cosa intuitiva penetrase aquí desapercibida, tuve que poner todo mi esfuerzo en mantener la cadena de inferencias libre de huecos” (Frege, 1972, prefacio). El programa de Frege se vio condenado al fracaso por dos motivos: primero, su teoría se ayudaba de un simbolismo muy difícil de comprender y, segundo, durante toda su vida fue catedrático de la Universidad de Jena, una universidad menor que nunca le reconoció el verdadero valor a su obra. Ésta, de hecho, permaneció en la sombra hasta que fue recuperada por Russell. Russell retoma la idea central y simple del logicismo: la matemática es solo un desarrollo de la lógica. En su monumental obra de 1903, Los Principios de la Matemática, afirma: La filosofía de la Matemática ha sido hasta el presente tan discutida, oscura y estacionaria como las otras ramas de la filosofía. […] Pero mientras persistiera esta duda apenas se podría decir que la matemática llegaría a lograr algún conocimiento cierto y exacto. De acuerdo con esto encontramos que los idealistas tendían más y más a considerar que toda la matemática trabajaba con meras apariencias, mientras que los empíricos sostenían que todo lo matemático era una aproximación a cierta verdad exacta sobre lo que nada tenía que decirnos. Debemos confesar que este
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estado de cosas era completamente ingrato. La filosofía preguntaba a la matemática: ¿Qué quiere decir? En el pasado, la matemática no podía contestar, y la filosofía respondía introduciendo la noción completamente desacertada de mente. Pero en la actualidad, la matemática puede contestar por lo menos hasta el punto de reducir todas sus proposiciones a ciertas nociones fundamentales de lógica. En este punto la discusión deber ser retomada por la filosofía. Procuraré indicar cuáles son las nociones fundamentales involucradas, probar detalladamente que no figuran otras en matemática, y señalar brevemente las dificultades filosóficas involucradas en el análisis de estas nociones (Russell, 1977, p. 28). Esto quiere decir que el proyecto logicista debía cumplir con una exigencia, a saber, la lógica debía expresar en un lenguaje unificado los conceptos más abstractos y complejos de la matemática, consistía en definir y justificar del modo más preciso posible nociones tales como la de naturaleza del número, del infinito, del espacio, del tiempo y el movimiento, y la misma inferencia matemática, la demostración, para proporcionar una definición general de matemática. Al respecto Russell sostiene: De lo dicho hasta ahora, el lector podrá apreciar que el trabajo presente debe cumplir con dos fines: primero, demostrar que toda la Matemática de deduce de la Lógica simbólica, y segundo, descubrir, mientras ello sea posible, cuáles son los principios de la lógica misma (Russell, 1977, p.34). La obra de Russell y Whitehead estaba constituida por diez premisas y diez principios de deducción lógica de los cuales la matemática podía deducirse formalmente. El programa consistía en brindar todos y cada uno de los pasos que se seguían desde las proposiciones iniciales hasta los teoremas de la aritmética con el cuidado de no utilizar supuestos que no estuvieran en los postulados iniciales o que no se siguieran necesariamente de uno de estos. Para cumplir con este objetivo Russell adoptó la representación simbólica de Boole y para expresar con claridad el programa tomó la lógica de clases de Cantor. Por ejemplo, representar la
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suma 1+1=2 se expresa en lógica del siguiente modo “Si x es uno y y es uno y x difiere de y, entonces x y y son dos” (Russell, 1977, p. 30). Para Russell este era uno de los más grandes descubrimientos del siglo XX: El hecho de que toda la Matemática sea Lógica simbólica es uno de los descubrimientos más importantes de nuestro tiempo; y una vez establecido este hecho, lo que queda de los principios de la Matemática consiste en el análisis de la propia Lógica simbólica (Russell, 1977, p. 29). El logicismo puede resumirse del siguiente modo, el lógico debe enumerar las leyes lógicas fundamentales que pueden admitirse como premisas del sistema y debe definir todos los métodos de inferencia; por tanto, en una inferencia se deben representar todos los pasos mediante la transformación de una expresión simbólica en otra y los pasos de inferencia deben estar justificados mediante reglas claramente formuladas. Esta es precisamente la idea de mecanismo deductivo y sistema axiomático. Como dijimos, tales ideas empezaron a cobrar fuerza con el trabajo de Frege que en muchos aspectos Russell compartía. En su obra de 1903 Los principios de la matemática Russell termina reconociendo el monumental trabajo de Frege y señalando lo necesario que sería un mejor conocimiento del mismo. Como contribución a esta empresa, en el apéndice A el propio Russell realiza una exposición de los logros teóricos del alemán. La obra de Frege, que parece ser mucho menos conocida de lo que merece, contiene muchas de las doctrinas expuestas en las partes I y II de este trabajo, y allí donde se difiere de las opiniones por mí defendidas, las diferencias exigen discusión. El trabajo de Frege abunda en distinciones sutiles, y evita los usuales sofismas que persiguen a los escritores de lógica. Su simbolismo, aunque desgraciadamente tan engorroso que resulta difícil su empleo en la práctica, se basa en un análisis de nociones lógicas mucho más profundo que el de Peano y, filosóficamente, muy superior al de su más conveniente rival (Russell, 1977, p. 567).
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Sin embargo, fiel a su espíritu de filósofo, Russell no sólo expone a Frege sino que reseña las fuertes críticas que Kerry le había hecho, según las cuales “una teoría lógica de la aritmética es imposible” (Russell, 1977, p. 590). Russell argumenta que las críticas de Kerry se basan muchas veces en malas comprensiones de los conceptos o de las tesis de Frege. Sin embargo, él mismo, en el capítulo X de su obra había indicado una paradoja que se desprendía de los postulados fregeanos: la paradoja de Russell. Según los postulados de Frege, es posible construir un conjunto tal que para ser miembro de él, el individuo debe ser un conjunto que no pertenece a sí mismo. Russell descubrió que si tal conjunto es construible, podemos obtener conclusiones absurdas de la siguiente manera: Si tenemos que A es el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, entonces si A pertenece a sí mismo, entonces debe satisfacer la condición para pertenecer a A: no debe pertenecer a sí mismo. Es decir, si A pertenece a sí mismo, entonces no pertenece a sí mismo. Esto es absurdo. Pero si, de otra parte, A no pertenece a sí mismo, entonces satisface la condición para pertenecer al conjunto, y entonces pertenece a sí mismo. Es decir, si A no pertenece a sí mismo, entonces A pertenece a sí mismo, lo que también es absurdo. Un ejemplo coloquial de esta paradoja es la llamada paradoja del barbero. Si el barbero afeita todos los hombres que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita él a sí mismo? Si se afeita, entonces él no sólo afeita a los hombres que no se afeitan a sí mismos. Si no se afeita, entonces no afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. La conclusión es desastrosa. El sistema de Frege permite derivar contradicciones, es decir, recordando la terminología del primer capítulo, es inconsistente. Pero en un sistema inconsistente puede demostrarse lógicamente cualquier cosa, y entonces todas las demostraciones lógicas de las matemáticas en las que presuntamente se fundamenta esa ciencia, en opinión de los logicistas, son inútiles, porque también habría forma de demostrar todas las proposiciones opuestas. Si hay una contradicción, entonces el sistema de Frege permite tanto demostrar las proposiciones matemáticas como sus contradictorias. Esa sería la consecuencia más
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indeseable de todas, pues echaría por tierra todo el trabajo de los logicistas. Afortunadamente para ellos, fue el propio Russell quien descubrió la paradoja y él mismo emprendió importantes trabajos teóricos con el fin de eliminarla. La historia sin embargo habría de mostrarle que la teoría de los tipos, el principal desarrollo hecho como intento de solución de la paradoja, también incluía sus propias contradicciones. Así pues, la paradoja de Russell fue la emblemática puesta en evidencia del temprano ocaso del proyecto logicista. [Frege] recibió una carta de Russell informándole del descubrimiento de la contradicción [… y] realizó con premura un debilitamiento de su axioma intuitivo de comprensión, lo cual impedía la abierta derivación de la paradoja de Russell y lo insertó como apéndice. Después de la muerte de Frege, Stanislaw Lesniewski probó que aún el axioma modificado llevaba a una contradicción. […] Para 1923 [Frege] estaba convencido de que todo el proyecto de fundamentar la aritmética en la lógica era un error, y que la teoría de las clases constituía el meollo de este error: la teoría de los conjuntos era una aberración intelectual que lo había llevado a él, y a otros, por mal camino (Dummett, 1990, p. 162). Como vemos, a pesar de lo prometedor que resultó el proyecto logicista, pues no debemos olvidar que de él se derivaron algunas de las obras más importantes de la matemática del siglo XX, se enfrentó a serias dificultades que tanto a sus detractores como a sus partidarios les parecieron razones suficientes para abandonarlo. Sin embargo, no eran las paradojas lo que más inquietaba a los detractores del logicismo. Lo que más perturbaba a los no-logicistas era el papel del matemático. El logicismo menospreciaba el espíritu creador del matemático ya que su trabajo se limitaba a realizar demostraciones a partir de axiomas y parece que el trabajo matemático es mucho más amplio. 3.2 El intuicionismo y la insuficiencia matemática de la demostración La matemática siempre ha mostrado ser una ciencia deductiva, sin embargo su historia ha mostrado que asumir una posición axiomática
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conduce a un conjunto de antinomias y paradojas que muestran que en ella ocurren procesos que no pueden ser explicados y mucho menos se pueden reducir a esquemas formales. Lo anterior obliga a las matemáticas a buscar nuevos procesos, fundamentalmente heurísticos o productivos, lo que lleva a revaluar el estatus de los modelos axiomáticos y formales porque se toman como una expresión lingüística entre muchas. Este hecho hace que los matemáticos vean su disciplina con un espíritu muy diferente de aquellos que la ven como una disciplina exclusivamente deductiva como era el caso de Russell o Hilbert. Además, el carácter deductivo de la ciencia no es el factor de desarrollo de la misma, ni es la fuente de conocimiento y, por tanto, el aumento cognoscitivo se encuentra en otros sitios pero no en la lógica o la aritmética. Si no es el esquema deductivo el fundamento de la matemática, ¿qué otro modelo existe? Debe entonces coexistir un razonamiento especial que podemos llamar intuitivo o constructivo, en otras palabras, el matemático debe ser un creador que coloca toda su potencia creadora en una facultad que llamamos intuición, parafraseando el celebre matemático francés y precursor del intuicionismo Henry Poincaré, «la intuición inventa lo que la lógica demuestra». A continuación se expondrán las líneas generales del intuicionismo y su importancia para la matemática. El intuicionismo sostiene que los entes de las matemáticas son construcciones mentales y las construcciones formales solo son posibles si se tiene un previo conocimiento de los teoremas que las van a componer. Poincaré sostuvo que el razonamiento matemático tiene en sí mismo una especie de virtud creadora, por ejemplo, la inducción matemática como proceso en la creación de los números naturales se fundamenta en la posibilidad reiterativa, uniforme, e ilimitada del hombre para realizar procesos, consideran esta potencia de la mente la fuente de la creación y el soporte de la noción de sucesión. Poincaré muestra la naturaleza de este razonamiento matemático del siguiente modo: porque no es más que la afirmación de una propiedad del espíritu mismo […] no es más que la afirmación de la potencia del espíritu
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que se sabe capaz de concebir la repetición indefinida de un mismo acto, desde que ese acto es posible una vez (Poincaré, 1907, cap. I). Para el matemático y físico francés, nacido en Paris en el año de 1854, las expresiones de la matemática son necesarias porque se encuentran fundamentadas en el espíritu mismo. Más adelante en el mismo texto sostiene que “el espíritu tiene, de esa potencia, una intuición directa” (Poincaré, 1907, cap. I). Por tanto, el individuo adquiere conciencia de los procesos matemáticos por una intuición directa, lo capta de inmediato en el mismo sentido en que no tenemos que preguntarnos si el espacio existe o si los cuerpos están el espacio. Esto hace de la intuición un principio que construye y elabora conceptos, en este caso construye el concepto de sucesión a partir de la repetición. Poincaré señala el valor de la intuición pero no niega el papel que juega el razonamiento formal y la lógica: “en matemáticas, la certeza no es todo, más sin ella no hay nada; una demostración que no sea rigurosa es nada” (Poincaré, 1952, cap. I). La intuición es la herramienta de la invención y decide qué caminos se deben tomar, la lógica sólo muestra las combinaciones correctas entre proposiciones. Haciendo referencia a Hilbert y específicamente a los fundamentos de la geometría Poincaré sostiene: no le reprocho a Hilbert este carácter formal de su geometría, pues a eso debería tender, dados los términos del problema planteado. Hilbert quería reducir al mínimo el número de axiomas fundamentales de la geometría y hacer una enumeración completa de ellos; pues bien, en los razonamientos en que nuestro pensamiento permanece activo, en aquellos razonamientos vivos por decirlo así, en que la intuición presenta también un papel, no es difícil introducir un axioma o postulado que pase inadvertido, y por consiguiente, sólo después de haber referido los razonamientos a una forma puramente mecánica es cuando ha podido estar seguro de haber logrado su intento y completar su obra (Poincaré, 1908, p. 114s).
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Poincaré reitera el hecho de que la lógica se aplica solo cuando la matemática ya ha sido creada, así la intuición es una potencia de la mente; sin embargo, un último elemento completa la potencia de la intuición, la experiencia. El hombre para poner en marcha la mente necesita de la experiencia porque le permite mostrar que la facultad creadora está activa; en otras palabras, la experiencia le permite tomar conciencia de la operación mental. En síntesis, la intuición nos indica el poder creador que tenemos y la experiencia confirma la potencia creadora; por ejemplo, sabemos que tenemos la potencia para hacer repeticiones pero sólo en la acción de caminar se devela el concepto de sucesión, si repetimos una misma acción, dar pasos, siempre un pie está delante del otro y por tanto un paso es anterior al otro, lo mismo ocurre con los números naturales. Poincaré abre una puerta al intuicionismo después del fracaso de los sistemas deductivos. Muestra que los otros intentos fundacionales de la matemática han fracasado porque hay algo más que el razonamiento deductivo, la intuición. Si bien su postura no es radical porque no niega el papel del formalismo, ni de la lógica, sí es un crítico de estos proyectos. Poincaré cree firmemente en la figura del matemático creador que tiene la matemática en la mente y si no la tiene está facultado para inventar los objetos matemáticos. Cree en matemáticos como Arquímedes y la famosa eureka. Los intuicionistas más radicales creen que los hombres nacen con una intuición original, la sucesión de objetos por adiciones sucesivas, el matemático holandés Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), graduado en la Universidad de Ámsterdam fue quien más desarrolló este proyecto. Sus trabajos se ocuparon de la topología y es conocido por formular el teorema que lleva su apellido. Funda el intuicionismo matemático, como respuesta al formalismo matemático de su época. Sus ideas principales fueron expuestas en el libro Prueba del teorema de Jordan para N dimensiones de 1912. Brouwer invirtió mucho tiempo buscando la "teoría Intuitiva para los números reales", a los cuales llamó especies. Rechazó el principio del tercero excluido lo que reduce en gran medida lo que constituyen las matemáticas porque una gran cantidad de demostraciones en matemáticas dependen de la aceptación este principio. Brower niega este principio porque aceptarlo implica aceptar simultáneamente la
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existencia de unos valores sobre una clase infinita sin un método que lo demuestre en un número finito de pasos; el ejemplo clásico consiste en que la afirmación ‘la sucesión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 se representa en algún sitio de la representación decimal de π= 3.1415926’ no es ni verdadera, ni falsa porque no tenemos ningún método para demostrar y admitir de inmediato por qué tiene que ser verdadera o falsa. El intuicionismo acepta la existencia de los objetos matemáticos sólo si existe una construcción previa a partir de la noción de sucesión. Lo anterior quiere decir que Brouwer sostiene una vieja postura kantiana en la que se defiende la intuición, aunque lo negó y repudio enfáticamente. Weyl y Brouwer intentan formular la piedra angular del intuicionismo con el fin de mostrar el papel ineludible de la intuición de la práctica matemática, si bien las matematicas son independientes del mundo material, estas solo existen porque son construidas por la intuición. Lo anterior quiere decir que la matemática está constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matemático, sobre los que se seguirán construyendo otros mediante un sistema operacional claro, preciso y fecundo, en este sentido la geometría es un modelo ya que las figuras no tienen ningún tipo de referente empírico dado que están en la mente del geómetra, es decir, él los usa como un referente a la vez que como el apoyo para sus demostraciones. Veamos el conocido teorema de Pitágoras: El teorema dice: En los triángulos rectángulos el cuadrado sobre el ángulo opuesto al ángulo recto es equivalente a los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo recto. La demostración es la siguiente: Sobre CB constrúyase el cuadrado CNMB, y sobre CA y AB los cuadrados CDEA y AQPB respectivamente; trazamos el segmento A’, y este es paralelo a alguna de las rectas CN o BM, además trazamos los segmentos DB y AN. Como cada uno de los ángulos CAB y CAE es recto entonces la línea recta CA, en el punto A de ella y las dos rectas AB y AE no yacentes del mismo lado de CA forman ángulos contiguos iguales a los ángulos rectos de CAB
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y CAE; por lo tanto AB está en línea recta con AE. Por esta misma razón CN se encuentra en línea recta con AQ. Por otra parte el ángulo NCB es igual al ángulo DCA pues cada uno es un ángulo recto. Si a cada uno de estos ángulos le sumamos el ángulo formado por CAB, los ángulos NCA y DCB serán también iguales. Como CN es igual CB y DC a CA los dos lados CA y CN son respectivamente iguales a los lados DC y CB, y el ángulo ACN es igual al ángulo DCB; así pues, la base AN es igual a la base DB, y el triángulo ACN es igual al triángulo DCB. Ahora el paralelogramo CA es doble del triángulo ACN porque tienen la misma base NA’ y están entre las paralelas, CN y AA’. El cuadrado EC es doble del triángulo DCB porque tienen la misma base DC y están entre las mismas paralelas DC y EB. Las tesis intuicionistas afirman que los objetos de la matemática se captan inmediatamente en la mente, son independientes de la experiencia y no tienen existencia independiente de la mente. Lo anterior parece un acto de iluminación divina que sólo es justificable por la fe o por un innatismo; sin embargo, niegan que sea una clase de misticismo y lo presentan en dos actos de la mente a partir de los cuales tratamos por separado ciertos conceptos y las consecuencias que normalmente asociamos a la manera como razonamos, por ello la matemática es una actividad y no una doctrina, el matemático no descubre sino que crea en dos momentos. El primer acto se caracteriza porque la matemática se debe separar del lenguaje matemático y en general de cualquier lenguaje. La matemática es una actividad en la mente sin lenguaje que tiene su origen en la percepción de un movimiento en el tiempo. Para Brouwer la intuición matemática es distinta de la percepción sensible y de la percepción de conexiones lógicas. Las construcciones matemáticas no deben confundirse con su comunicación o descripción lingüística y por ello la actividad matemática no depende de construcciones lingüísticas. En este sentido la matemática es independiente de la lógica ya que la lógica se utiliza para comunicar y describir los conceptos de la matemática pero no en la construcción de la misma. Lo anterior lleva a que, según Brouwer, debemos distinguir entre dos actividades: la construcción de la matemática y la expresión de la construcción matemática o actividad lingüística. Por ejemplo, las
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proposiciones son expresiones de la matemática que no tienen relación con la actividad matemática. Parece entonces que la pregunta que el intuicionista se debe hacer es si la actividad corresponde adecuadamente con la construcción mental y si la actividad lingüística puede aportarle algo a la construcción matemática. El segundo acto del intuicionismo reconoce la posibilidad de engendrar nuevas entidades matemáticas, ello quiere decir que el matemático construye los objetos matemáticos y sólo por esa razón tienen existencia. El matemático no debe perder tiempo demostrando la existencia de los objetos matemáticos porque no tiene el propósito de mostrar la legitimidad de tales construcciones, son legítimas en sí mismas y autoevidentes, lo que lleva a que no hay que construir ningún tipo de herramienta que legitime su existencia. Para el intuicionismo desarrollar mecanismos deductivos o criterios de validez como la demostración es una tarea vaga. 3.2 El formalismo y sus limitaciones internas El programa formalista de Hilbert está motivado por el estado de la matemática de la época: la fuerte influencia del intuicionismo y el fracaso del logicismo debido al conjunto de paradojas del sistema. El punto de partida del proyecto formalista considera que la matemática es un hecho y por tanto el filósofo que se ocupa de ella debe buscar sus condiciones de posibilidad de. Este proyecto, al igual que el intuicionismo, retomaba algunas ideas kantianas al considerar los axiomas y los teoremas de la matemática como proposiciones descriptivas ya que expresan la estructura del tiempo y del espacio. En este sentido, la construcción de los números y el algebra se basan en experimentos mentales de composición y descomposición de cifras y por ello hay un conocimiento intuitivo, es decir, concreto, en este caso de los números. Por eso el programa formalista se ha descrito como un intento por asegurar la consistencia de la matemática clásica mediante la formalización de sus diversas teorías y la prueba metamatemática de que dichas teorías formales son consistentes, usando para ello métodos finitarios intuicionistamente aceptables. (Mosterín et al., 2002, p. 245.) No es difícil entender por qué la aritmética se convierte en un modelo para Hilbert y por qué el formalismo debía probar todas las ramas de la
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matemática a través de ésta. Pero a diferencia del proyecto logicista, donde los signos tienen significado o extensión, Hilbert considera que los signos están vacíos y por tanto el formalista sólo manipula símbolos. De acuerdo al formalismo, el objeto de estudio de las matemáticas lo constituyen los mecanismos o sistemas deductivos, que no son más que símbolos y reglas para su manipulación. Para Hilbert las matemáticas no son más que un juego de deducciones, son la ciencia de la demostración rigurosa. Toda demostración tiene un punto de partida, términos no definidos y enunciados no demostrados, los primeros son postulados y los segundos axiomas. Por ejemplo, en geometría, punto y recta son términos no definidos y el enunciado «dados dos puntos distintos existe una recta que los contiene» es un axioma. Podría preguntarse ¿Qué es un punto? y ¿qué es una recta?, y por tanto cuestionar la verdad y la falsedad de los términos y los enunciados; sin embargo, el formalista considera este problema irrelevante porque sólo le interesan las deducciones lógicas que se obtienen de los términos iniciales o axiomas. En resumen, para los formalistas la matemática consiste en conocer qué teoremas son consecuencia lógica de los axiomas, y por ello la matemática es la ciencia de las deducciones o el proceso que va de los axiomas a los teoremas. Parece que hay una evidente similitud con el mito de Euclides. Pero, ¿qué diferencia a Euclides de Hilbert? Los trabajos de Hilbert se inician con la axiomatización de la geometría con el propósito de esclarecer el método axiomático seguido por Euclides y unirlo con la formalización. No se trata ya de probar teoremas usando regla y compás.
Desde 1922 David Hilbert había estado formulando el programa que lleva su nombre: para asegurar la consistencia de la matemática de una vez por todas había que (1) axiomatizar de un modo completo todas las teorías matemáticas y (2) probar –por medios finitarios indudables- que todas las teorías matemáticas así axiomatizadas son consistentes. La aplicación del programa empezaría por la teoría más básica de todas, la aritmética elemental, y se iría extendiendo a otras teorías más potentes o avanzadas. La mayoría de los matemáticos interesados por los fundamentos creían en
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la viabilidad de ese programa. (Mosterín et al., 2002, p. 549). Hilbert tenía el propósito de trabajar con objetos concretos como los números, pero la matemática también está compuesta por sistemas infinitos, por ejemplo el conjunto de los números naturales, por lo tanto, parece que el programa formalista se ve limitado y poco productivo. En este contexto Hilbert postula la necesidad de diseñar un método que abandone la exigencia de la evidencia intuitiva y el método de elementos ideales; sin embargo no estaba muy seguro, porque aunque la admisión de proposiciones ideales amplia el horizonte de análisis de la matemática, parece que hace desaparecer la seguridad que la caracteriza. Por ello, si quería que su programa se llevara a feliz término, debía ser consistente, es decir, debía conciliar nociones concretas con nociones ideales. ¿Cómo saber si el sistema es consistente? La teoría necesitaba de una prueba. Para demostrar que el sistema era consistente había que probar que no hay dos proposiciones una de las cuales es negación de la otra. Sin embargo, lo anterior tenía una exigencia, se suponía que el sistema era completo, es decir, está completamente delimitado y por tanto es susceptible de ser examinado. Para verificar la consistencia de un sistema contamos con al menos dos métodos, uno directo y otro indirecto. Los métodos directos consisten en demostraciones que se hacen mediante procedimientos combinatorios con el fin de identificar los objetos ideales de la teoría con objetos concretos, e identificar los postulados que describen las propiedades y las relaciones de todos y cada uno de los objetos del sistema. El último propósito de este método consiste en demostrar que una inferencia en el interior del sistema no conduce más que a descripciones exactas; la dificultad del mismo consiste en que en matemáticas los conceptos de tipo infinito no se pueden identificar con objetos concretos o perceptibles y por ello este método resulta restringido a sólo algunas de sus partes. En consecuencia, en toda teoría matemática que indaga con infinitos, la congruencia sólo se puede verificar por el método infinito. Éste método consiste en un procedimiento que establece una correspondencia entre los postulados de la teoría inicial y los postulados de una teoría concreta de la cual ya hemos comprobado su consistencia. El modo más común de hacerlo se conoce como la aritmetización o representación de objetos por
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medio de números reales. Sin embargo, todavía no sabemos con exactitud si la aritmética es un sistema consistente, ¿qué hacer? La solución de Hilbert es simple. El matemático se ocupa de objetos concretos y por ello puede basarse en métodos finitos. Sus inquietudes son satisfechas si los conceptos usados son susceptibles de adquirir realidad en la percepción, con enunciados en que esos conceptos están completamente aplicados que nos llevan a enunciados también finitos. Esta sencilla respuesta de Hilbert resulta epistemológicamente insatisfactoria. En realidad, dentro delble adoptar una salida epistemológica simple donde debería poder suministrarse una prueba formal rigurosa. Sin embargo, hay que reconocer que la dificultad a que se vio conducido el formalismo era tan fuerte que para algunos debió resultar incluso insoluble. Esta condición no recibió luz hasta el trabajo de Kurt Gödel. Sin embargo, aunque fue él quien logró probar por primera vez la completud del sistema aritmético de Hilbert, también mostró la imposibilidad del proyecto formalista. Terminaremos esta sección entonces repasando brevemente algunas de las conclusiones de Gödel, pues con ellas ya la idea de plena seguridad de los mecanismos deductivos propia del formalismo cae a tierra definitivamente. Gödel mostró las limitaciones internas de los formalismos, para emplear la feliz expresión de Ladriere. Para empezar vale la pena recordar la manera com Hilbert había planteado el problema del sistema formal axiomático para la aritmética en su conferencia de 1900. [37] Cuando estamos comprometidos en la investigación de los fundamentos de una ciencia, debemos establecer un sistema de axiomas que contenga una descripción exacta y completa de las relaciones que hay entre las ideas elementales de esa ciencia. Los axiomas así dispuestos son al mismo tiempo las definiciones de esas ideas elementales; y ninguna afirmación dentro del campo de esa ciencia cuyo fundamento estamos examinando puede aceptarse como correcta a menos que pueda derivarse de los axiomas mediante un número finito de pasos lógicos. Desde una aproximación cuidadosa aparece entonces
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la cuestión: si, de algún modo, ciertas afirmaciones de axiomas simples depende de otra, y si los axiomas entonces no deben contener ciertas partes en común, ¿qué debe separarse si uno desea llegar a un sistema de axiomas que deben ser todos independientes unos de otros? [38] Pero sobre todo quiero llamar a la siguiente la más importante entre las numerosas cuestiones que pueden plantearse en consideración de los axiomas: probar que no son contradictorios, esto es, que un número finito de pasos lógicos basado en ellos nunca conducirá a resultados contradictorios. (Hilbert, 1996, p. 1104) En el primer capítulo, esta referencia nos había servido para indicar tres problemas básicos que puede tener un sistema formal: completud, consistencia y decidibilidad. Ahora nos plantea la dificultad real que Hilbert veía. Aunque la mayoría de los matemáticos apoyaban el programa de Hilbert, el problema de demostrar que el sistema axiomático de la aritmética era completo y consistente aún estaba sin resolver. Por ello cayó como una bomba la demostración de Gödel (1931) de que la aritmética no puede axiomatizarse de un modo consistente y completo (primer teorema de incompletud) y de que la consistencia de una teoría aritmética no puede probarse con sus propios medios (segundo teorema de incompletud) (Mosterín et al., 2002, p. 549). El programa de Hilbert estaba condenado desde el principio. Se planteaba cuestiones irresolubles, y Gödel logró demostrarlo. Los resultados de su investigación aparecieron publicados en 1931 bajo el título Sobre proposiciones indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines. En ese artículo, que pasaría a convertirse en el más importante de la matemática y la lógica del siglo XX, Gödel exponía 11 teoremas. De ellos sólo nos interesan dos; aquellos cuya conjunción muestra que aunque ser axiomatizable, consistente y completa son propiedades deseables de una teoría; las tres no pueden darse a la vez para un sistema formal.
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El primer teorema de incompletud sostiene que si una teoría aritmética cualquiera es axiomatizable y consistente, es incompleta. Esto quiere decir que hay al menos un teorema de esa teoría que es indemostrable mediante una secuencia finita de pasos. La teoría aritmética en cuestión será axiomatizable y en esta axiomatización será imposible derivar fórmulas contradictorias, pero al precio de tener que dejar por fuera al menos un teorema verdadero del sistema. ¿Cómo llegó Gödel a esta conclusión? Aunque el camino es un poco técnico, con la ayuda de Mosterín y Torretti (2002) podemos recorrerlo. Gödel llevó a cabo su demostración para un sistema formal P que venía a ser la unión de la lógica de los Principia Matemática de Whitehead y Russell con los axiomas aritméticos de Peano y resolvió el problema metamatemático dentro de la aritmética, es decir, recurriendo exclusivamente a razonamientos aritméticos elementales. (p. 550) Las características del trabajo de Gödel son entonces que construye un sistema formal para la aritmética y enfrenta el problema de un modo metamatemático, es decir, refiriéndose a ese sistema desde otro sistema de orden superior, desde un metasistema. En este sistema metamatemático Gödel opera con sencillos razonamientos aritméticos. Veamos ahora el procedimiento. Por un ingenioso procedimiento (ahora conocido como gödelización) asignó números naturales a las secuencias de signos, estableciendo un homomorfismo del lenguaje formal en el sistema de números naturales. Moviéndose con habilidad entre las fórmulas y los números que las representan, logró construir una sentencia ω que, naturalmente interpretada, dice de sí misma que no es deducible en el sistema P y tal que, si P es consistente ni ϕ ni ¬ϕ son deducibles en P, por lo que es verdadera. Por tanto, la teoría formal P es incompleta. (p. 550) La estrategia de Gödel es sencilla en el fondo. Como hemos visto, la dificultad de probar la consistencia y la completud de un sistema formal reposa en que en un sistema formal cualquiera es posible derivar potencialmente infinitas fbfs. Esta dificultad es inmanejable con ciertos
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simbolismos, pero si tratamos de representar cada fórmula con un símbolo que nos sea más fácilmente manejable, como los números naturales, entonces nos será más fácil controlar las fórmulas que tengamos que manejar. Este procedimiento de aritmetizar un sistema formal es lo que se conoce como gödelización: representar cada fbf de un sistema con un número natural. Después de la aritmetización, Gödel prueba que en el sistema axiomático para la aritmética que él está estudiando es posible derivar una fórmula que representa mediante la letra griega ω (omega). A esta fórmula se le asigna una interpretación que en el lenguaje natural dice: “ω no es deducible de este sistema”. De este modo si ω es deducible en el sistema, entonces ω será verdadera, y si el sistema es completo entonces debe poder construirse una demostración de ω por medio de pasos finitos. Finalmente, Gödel muestra que en el sistema del que se ocupa no es posible derivar la fórmula ϕ ni su negación ¬ϕ. Con esto se prueba al mismo tiempo que el sistema es consistente, no permite derivar contradicciones, y que ω es verdadera, precisamente por la consistencia del sistema. El problema es que si la verdad de ω está garantizada por la consistencia del sistema, y el sistema es consistente, entonces llegamos a la terrible conseuencia de que ω es verdadera, es decir que es verdad que “ω no es deducible de este sistema”, y por lo tanto es incompleto. Veamos ahora el segundo teorema. En 1931 Gödel probó también su segundo teorema: si una teoría aritmética T es consistente, entonces la consistencia de T no puede probarse en T, es decir, es imposible demostrar la consistencia de una teoría o sistema formal que incluya la aritmética elemental con los propios recursos de la teoría. Desde luego, sigue siendo posible probar su consistencia desde otra teoría distinta y más potente, pero ello sería de dudosa utilidad. Con este segundo teorema Gödel muestra que una teoría aritmética axiomatizada no puede probar ella misma con sus propios recursos que es consistente. El procedimiento es el siguiente.
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Gödel había probado que si la teoría P es consistente, entonces la sentencia que antes habíamos llamado ϕ es verdadera en la interpretación natural. Sea σ la fórmula que en esa interpretación dice que P es consistente. Los razonamientos aritméticos usados por Gödel pueden formalizarse en P. por tanto, en el sistema P puede deducirse la fórmula (σ ⇒ ϕ), que en la interpretación natural dice que si P es consistente, entonces ϕ es verdad. Ahora bien, si pudiéramos deducir la fórmula σ, también podríamos deducir ϕ. Pero habíamos probado que si la teoría P es consistente, entonces ϕ no es deducible. Por tanto, si P es consistente, tampoco será deducible σ, es decir, no será demostrable en P que P es consistente. Si la teoría P es contradictoria, entonces podemos deducir en ella cualquier cosa, tanto que es consistente como que no lo es. Pero si es consistente, no podemos deducir en ella que lo es. (pp. 550 y 551) El procedimiento en este caso también es sencillo. Para demostrar el segundo teorema Gödel parte de algunos resultados obtenidos en la demostración del primer teorema. El primer paso es recuperar la fórmula ϕ obtenida en el sistema anterior. Recordemos que del sistema no se puede derivar ϕ ni su negación, y precisamente por eso es incompleto. El segundo paso es definir una fórmula σ que en interpretación natural dice que “el sistema es consistente”. Después de ello, Gödel prueba formalmente que en el sistema que está estudiando puede derivarse la fórmula σ ⇒ ϕ según la cual ϕ es una consecuencia lógica de σ. La relación de consecuencia lógica expresada en esta fórmula tiene dos características básicas. En una fórmula σ ⇒ ϕ, σ se denomina el antecedente y ϕ se denomina el consecuente. La relación de consecuencia lógica se caracteriza porque la afirmación del antecedente conduce a la afirmación del consecuente, mientras que la negación del consecuente conduce a la negación del antecedente. Con base en ello, Gödel simplemente saca las conclusiones del caso. Si σ fuera verdad, entonces tendríamos que inferir ϕ, si aplicamos el principio de que al afirmar el antecedente afirmamos el consecuente. Pero el primer teorema había mostrado que en el sistema estudiado es imposible derivar
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ϕ, es decir que no hay tal ϕ. Si esto es así, y seguimos el principio de que la negación del consecuente conduce a la negación del antecedente, entonces resulta que tenemos que negar σ. En interpretación natural esto quiere decir que “Este sistema no es consistente”. En definitiva, y uniendo los dos teoremas de incompletud, podemos concluir que una teoría aritmética (o cualquiera de sus extensiones) que sea axiomatizable y consistente no puede ser completa y tampoco puede probar su propia consistencia. Con ello, las esperanzas expresadas en el programa de Hilbert quedaban enterradas, al tiempo que el método metamatemático, también impulsado por Hilbert, entraba en una fase de fecunda madurez (p.551). Así pues, los teoremas de incompletud de Gödel mostraron las limitaciones internas de los formalismos. Las ilusiones de realizar una axiomatización completa y consistente de la aritmética quedaron enterradas, y con ellas la confianza en los mecanismos deductivos. La perfección de un sistema formal es una quimera, y por lo tanto la precisión, exactitud e impecabilidad de las ciencias formales es algo que no puede darse por aceptado sin más. Esto no quiere decir que la lógica o la matemática no sean precisas, generales y útiles. Simplemente es un llamado de atención a que estas hermosas virtudes de las ciencias formales no son una razón para erigirlas como modelos de conocimiento o como paradigmas de las prácticas y formas de vida humanas.
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Apéndice
Hasta el capítulo anterior conservamos la idea de que las ciencias formales eran las ciencias de los sistemas formales. Puesto que entendíamos estos como la conjunción de un lenguaje formal con un mecanismo deductivo, dedicamos un capítulo completo a indagar cada uno de estos componentes. Así, en el capítulo dos sondeamos algunos problemas propios de los lenguajes formales considerando en especial el caso del lenguaje de la lógica proposicional; mientras que en el capítulo tres exploramos algunos problemas propios de los mecanismos deductivos prestando especial atención al caso de las matemáticas. Aunque con esto nuestra tarea estaría concluida, no queremos terminar sin cuestionar nuestros propios criterios. ¿Acaso todo es oscuro y lo único claro es que las ciencias formales son las ciencias de los sistemas formales? No. En realidad, aunque esta definición ha sido operativamente valiosa, tampoco está exenta de dificultades. Así pues, en este apéndice problematizaremos la definición de ciencia formal establecida hasta ahora y presentaremos algunas alternativas. Como resultado de ello se apreciará que esto nos obliga a aceptar la existencia de un conjunto amplio de nuevas ciencias formales además de la matemática y la lógica. Por eso terminaremos examinando brevemente el caso de una de ellas: la ciencia de la computación.
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Apéndice A Un problema en la demarcación de las ciencias formales
De un modo muy general hemos definido las ciencias formales como las ciencias de los sistemas formales. Esta definición clásica no es unánimemente aceptada, como dijimos, e incluso no puede tomarse estrictamente como una definición puesto que termina incluyendo demasiado, es decir, incluyendo ciencias no formales19. Sin embargo, no tenemos un mejor modo de definir lo que es una ciencia formal. Podríamos afirmar entonces que la primera tarea epistemológica para las ciencias formales es tratar de definirse a sí mismas. Esta tarea se hace cada vez más difícil porque hoy en día contamos con una diversidad de nuevos campos de investigación y desarrollo que, sin ser exactamente matemáticos, tienen una dimensión formal basta y honda y que, en la medida en que reclaman un estatuto de cientificidad, y lo merecen, no pueden catalogarse de otro modo que como nuevas ciencias formales.
1. Las nuevas ciencias formales Un modo de caracterizar las disciplinas a que nos hemos venido refiriendo es, nuevamente, por oposición a las ciencias naturales y sociales. Se trata simplemente de llamar la atención a ciertas actividades que consisten en usar algo, o a objetos cuya marca distintiva es ser productos o artefactos. Entre este tipo de acciones podemos contar la manipulación del fuego, el pulimento de rocas para hacer herramientas cortantes, el empleo de los metales en la fabricación de armas y el uso de impulsos eléctricos para comunicarnos. Entre los objetos que podemos contar están la rueda, la pólvora, la imprenta, los televisores, los teléfonos celulares y el Internet.
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Una exposición de esta definición y una precisión de en qué sentido puede aceptarse se puede consultar en Ducase 1941, Philosophy as a Science, capítulo 9. www.
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Este tipo de acciones y objetos se diferencian claramente de las actividades y objetos propios de las ciencias naturales y sociales por su carácter artificial. De este modo una definición alternativa de las ciencias formales es la de ciencias de lo artificial20. Tras esta definición es posible empezar a incluir algunas disciplinas recientes cuyo trabajo es establecer relaciones formales entre variables y constantes. La más común y aplicada de ellas apareció durante la segunda guerra mundial y se conoce como la Investigación de operaciones. Durante la segunda guerra mundial se consolidaron prácticas de planeamiento estratégico militar, como cuántos camiones deben emplearse para transportar un número determinado de soldados, incluida toda su dotación y raciones de alimento para un tiempo fijado. Realizar este cálculo supone considerar aspectos constantes como el número de soldados que caben en cierto modelo de camión, y aspectos variables como las condiciones climáticas, el peso promedio de los soldados y el tamaño de las raciones que se deben empacar. Aunque un trabajo como este puede hacerse con base en operaciones matemáticas sencillas y se parece mucho a los problemas de algebra que todos tenemos que resolver en el colegio, cuando las situaciones analizadas aumentan su nivel de complejidad, también los modelos para estudiarlas se hacen más complicados y requieren bastante trabajo formal de alto nivel. En este contexto resulta decisivo reconocer nuestra situación en el manejo de información. Si los cálculos algebraicos sencillos permiten manejar situaciones en las que interviene un número pequeño de variables, es decir, en las que tenemos que manipular poca y bien definida información; para bien o para mal esa no es nuestra situación en el mundo contemporáneo. La cantidad de información que tenemos disponible hoy nos plantea retos muy diferentes. Acumular 12 exabytes de datos ha tomado toda la historia de la humanidad. Colocados en disquetes darían más o menos 24 millones de millas de alto [38’616.000 kilómetros aproximadamente]. A la tasa de 20
En esta presentación nos ha sido de gran utilidad el texto de James Franklin, “The formal Sciences Discover the Philosophers Stone”. www.maths.unsw.edu.au/∼jim.
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crecimiento calculada en 1999, la humanidad ha creado 12 exabytes más en 2004. (Floridi, 2004, p. xii) En la llamada sociedad de la información, de las comunicaciones y de la producción, cada cinco años producimos tanta información como la que se produjo durante toda la historia de la humanidad antes de nosotros. Pero esto no es todo, pues las tasas de crecimiento en la producción de información siguen aumentando, y el uso de computadores digitales es una de las causas de este aumento, pues la mayoría de esta información se produce y publica digitalmente. Así, a medida que aumenta el número de computadores en uso es probable que aumente el ritmo de la producción de información. Para hacernos una idea demos un vistazo a las cifras. Se estima que en 2001 había 600 millones de computadores personales en todo el mundo. ¡Para 2007 se calcula que habrá 1.15 billones! (http://www.c-i-a.com/pr0302.htm) En Colombia las cifras más recientes de que disponemos son de 2003 y son las siguientes: La investigación sobre las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones en Colombia arrojó que existen 1.728.593 computadoras, de las cuales 727.770 tienen acceso a Internet, equivalente, al 42 por ciento. Del total de equipos computacionales en uso, el 54 por ciento están instalados en los hogares de las 13 principales ciudades del país. Esto es 933.454 computadoras. La investigación reveló que 116.437 computadoras se encuentran en desuso, es decir, el 6.7 por ciento del total de equipos existentes. (http://www.dane.gov.co/files/prensa/comunicados/C P_TICs_Enero27_03.pdf) Aunque según estas cifras en nuestro país el número de computadores no es muy grande, puede esperarse que en consonancia con el crecimiento internacional, también crezca, y el diagnóstico para lo que nos ocupa es el mismo: el problema inmediato es el manejo de la información. Manejar información supone al menos tres tareas básicas: recolección de información, organización de información y empleo de la información. Con este horizonte las dificultades saltan a la vista. ¿Cómo vamos a conseguir y
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recoger tanta información?, ¿dónde la vamos a guardar? Y, la más grave de todas, ¿cómo vamos a hacer para utilizarla cuando la necesitemos? Para conseguir la información tenemos que servirnos de medios de comunicación alrededor del mundo, pues ella se produce por doquier. Para almacenar la información recopilada en todas partes necesitaríamos una gran bodega muy bien organizada en la que debería caber todo y muchísimo más, pues las cifras siguen creciendo. Finalmente, esa bodega debería estar ubicada en un sitio de fácil acceso para todo el mundo, y organizada con tanta claridad que cualquiera pueda ubicarse sin dificultad para acceder a lo que necesite. A decir verdad, parece imposible satisfacer todas estas exigencias al mismo tiempo. Lo que hace tan difícil pensar una alternativa viable a las necesidades que el aumento de información produce es el modo como lo estamos pensando. Si pensamos la información como un montón de escritos o de papel impreso, o incluso almacenada en disquetes, la que tenemos actualmente ya casi no cabe en la tierra, no hay donde guardarla, no hay cómo organizarla ni forma alguna para acceder a toda ella. Es preciso entonces pensar una manera diferente de manejar la información. Una brillante alternativa propuesta para ello surgió al tomar prestado un problema matemático. Pensemos, tenemos muchísima información, muy poco espacio para guardarla y muy poco tiempo para aprovecharla. Si planteamos este problema de un modo muy general podemos decir que tenemos potencialmente infinita información y finitos medios efectivos para manejarla. El asunto es cómo manejar lo infinito a partir de lo finito. Un ejemplo de este problema, ya lo vimos, lo planteó Hilbert en su famosa conferencia de 1900. ¿Cómo podemos decidir mediante recursos finitos para cualquier proposición dada si pertenece o no al infinito conjunto de las proposiciones de la aritmética? En aquel entonces la gran alternativa propuesta por el matemático de Königsberg fue la axiomatización. Establecer unos principios organizadores básicos finitos, los más pocos que podamos, a partir de los cuales sea posible deducir todo el conjunto de información verdadera restante con la ayuda de unas reglas claramente definidas. Esta alternativa tiene sus problemas, ya lo hemos dicho, pero es innegable que representa una buena alternativa para enfrentar el problema que tenemos, es un valioso recurso para aproximarnos a lo potencialmente infinito desde lo finito.
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La alternativa de Hilbert inspiró a que brillantes matemáticos como Alan Turing, Alonso Church y John von Neumann intentaran crear y desarrollar este tipo de procedimientos o secuencias finitas de pasos bien definidas que permitieran manejar grandes cantidades de datos. Un paso decisivo en el desarrollo de estas ideas fue la intuición de que si un problema podía resolverse aplicando una secuencia ordenada de operaciones definidas simples, seguramente una máquina podría resolverlo. Ahí está el origen de los computadores digitales que hoy conocemos y que, desde ese momento cambiarían la historia de las ciencias formales. Más interesante resulta por ahora pensar que los computadores se utilizan para muy diversas actividades en campos específicos de la vida humana, y entonces los exabytes de información que se producen suelen estar vinculados a intereses concretos. Si los sistemas formales entendidos en sentido amplio son una herramienta útil para enfrentar estos casos, entonces lo más consecuente es que se estén desarrollando precisamente al interior de actividades específicas. Como señalamos, uno de los campos más fructíferos al respecto ha sido la investigación de operaciones. Aquí están algunos ejemplos. Operaciones como la organización de los sistemas de toma de decisiones en una empresa, en especial cuando se buscan varias finalidades al mismo tiempo, suponen un trabajo de investigación de operaciones. Algo semejante ocurre cuando tratamos de diseñar una red de acueducto para un pueblo entero, sabiendo que debemos contar con la variabilidad del volumen de uso, las horas pico de consumo de agua y los tiempos en que el sistema está prácticamente inutilizado. Quizá uno de los ejemplos más notables de esas tareas que suponen la investigación de operaciones es el diseño de una red de semáforos para una ciudad. En este caso deben cuidarse las duraciones de cada una de las luces del semáforo en orden al volumen de tráfico por hora, al tipo de vehículos que transitan por las diferentes vías, los sectores donde están ubicados los semáforos y las frecuencias de los semáforos más próximos. El descuido de cualquiera de estas variables acarreará serios problemas de movilidad en una ciudad. Pero si queremos complejizar el asunto, y verlo desde el punto de vista de la empresa encargada de la instalación y mantenimiento de los semáforos, debemos incluir otra serie de variables como los costos de regulación de las frecuencias, el consumo de energía eléctrica, los costos por deterioro y
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daño de los aparatos, entre otros. Si la empresa tiene como objetivo prestar un buen servicio al público, y además ser económicamente sostenible, todas estas variables deben ponerse a jugar para establecer cuáles son las operaciones más adecuadas que deben adelantarse, en qué orden deben ejecutarse y de qué modo deben hacerse. Asociadas a la investigación de operaciones encontramos un amplio grupo de disciplinas nacientes de alto impacto y fuerte desarrollo que también se caracterizan por su trabajo eminentemente formal. Entre ellas se encuentran la estadística descriptiva, que se ocupa de la búsqueda y establecimiento de patrones en grandes cantidades de información. Los resultados de este trabajo estadístico presuponen el desarrollo de disciplinas formales como el reconocimiento de patrones, el procesamiento de señales o el análisis de grupos. En el mundo de hoy mucha de la información con que contamos para realizar nuestras tareas está dispuesta en audio, video y fotografía. Por esa razón se han ido desarrollando variedades de investigación formal referida directamente a este tipo de datos que son: el análisis de escenas, el procesamiento de imágenes y señales y el análisis de series temporales. Muchas de estas nacientes ciencias formales tienen su mayor rango aplicación y desarrollo en el contexto de las telecomunicaciones y la informática. Pero También resultan de interés en disciplinas como geología o la climatología que ahora emplean muchas herramientas digitales para conseguir, organizar y aprovechar sus datos. Un caso interesante de este tipo de trabajo es el del flujo de aviones en un aeropuerto cuando se realiza un estudio sobre los niveles de ruido que se producen a diferentes horas. Un trabajo como este supone tener en cuenta el número de vuelos, el tipo de aviones que circulan, la frecuencia de salidas y llegadas, el numero de vehículos auxiliares que se usan a las diferentes horas del día, el volumen de pasajeros que se mueve en las distintas terminales, etc. Para recoger la información relevante en estos casos es indispensable hacer uso de tecnologías de video, de audio y reportes escritos. Éstos últimos son los más fáciles de manejar y los más cómodos. El procesamiento de información digital y de audio es bastante complejo. Por eso en el estudio de un caso como este deben establecerse distintos órdenes para el procesamiento de la información. Algunos datos se procesan inmediatamente, por decirlo así, mientras que otros deben esperar. Como siempre, a media que aumenta la complejidad de las informaciones y de los tipos de datos, más se complejiza su organización y
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procesamiento. Por eso se ha abierto una disciplina específica denominada la teoría de las colas, o de los turnos de espera, y también una denominada teoría de la compresión de datos. Las dos están orientadas a hacer más fácil y eficiente la organización, almacenamiento y procesamiento de informaciones. Cuando nos enfrentamos al manejo de una cantidad tan grande información, naturalmente ella se vuelve útil para distintos propósitos. En ciertas ocasiones esto conduce a resultados contrarios y a situaciones en las que nos vemos forzados a tener que decidir entre cursos posibles de acción. La disciplina que estudia estos casos de toma de decisiones en condiciones de riesgo o incertidumbre se conoce como la teoría de juegos. Como hemos dicho, muchas de las disciplinas mencionadas y descritas en esquema hacen uso amplio de los computadores. No es de extrañar entonces que existan estudios específicos sobre los programas de computador, y sobre los modelos de diseño y programación de computadores digitales. En este contexto están ciencias como la inteligencia artificial, la simulación por computador, la verificación de programas, la complejidad computacional y la ciencia teórica de los computadores. Finalmente podríamos reseñar un tercer ámbito de trabajo en el que las ciencias formales están ganando terreno: el de las ciencias de la vida. Recientemente se realizan estudios acerca de organismos enfermos, saludables y con altas posibilidades de supervivencia. En el estudio de estos seres se emplean estrategias semejantes a las vistas en casos anteriores. Ahora, el problema es determinar y diseñar modelos para predecir, mediante simulación, crecimiento y decrecimiento en la población de seres vivos; o modelos de expansión y multiplicación de células cancerígenas. También se incluyen aquí estudios sobre la invasión de bacterias a tejidos sanos y sobre la cantidad de energía que debe consumir un sistema para atacar una infección. Entre estas disciplinas se encuentran la teoría de los sistemas auto-organizados, la teoría de los autómatas celulares, la vida artificial y la ecología matemática. Todas estas nuevas ciencias formales, al igual que las dos clásicas, lógica y matemática, también han nacido y encontrado sus campos de desarrollo y aplicación en las necesidades humanas. Ciertamente este florecimiento de los saberes formales en el mundo contemporáneo se debe a la manera
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como a tecnología misma nos ha abierto horizontes y nos ha planteado nuevos retos. Lo esencial es entender que aunque el nacimiento y desarrollo de estas nuevas ciencias formales está vinculado a la tecnología y a aplicaciones específicas en problemas especiales, ellas mismas son campos de estudio independientes. Las ciencias formales no son sus aplicaciones sino los estudios que se realizan desde una dimensión teórica de los problemas. Una cosa es programar computadores para analizar y establecer patrones en archivos digitales de video, y otra diferente estudiar cómo convertir información analógica, como la de las imágenes, en información digital, como la que manejan los computadores. De la misma manera, una cuestión es el diseño de un robot para explorar tuberías que sirva para detectar escapes de agua en lugares de difícil acceso para los seres humanos, y otra diferente es el estudio de los algoritmos que, al ser implementados en un robot, hacen que este pueda reconocer rutas difíciles y moverse ágilmente por ellas. Una cosa, insistimos, son las ciencias formales y otra su aplicación a problemas concretos.
2. Cuatro conceptos básicos de las nuevas ciencias formales En este conjunto no exhaustivo de nuevas ciencias formales es posible reconocer algunos rasgos comunes que, aunque no están presentes en todas y cada una de ellas en la misma medida, sí caracterizan este nuevo conjunto de saberes. Uno de los rasgos definitorios de las ciencias de las que hemos hablado es que en su mayoría se ocupan de procesos, flujos o situaciones sometidas a variaciones a lo largo del tiempo. Otra de las características que tienen es que para comprender estos fenómenos fluídos, por llamarlos de alguna manera, todas los entienden como sistemas, es decir, como cuerpos organizados de operaciones que al recibir datos de llegada y realizar tareas de procesamiento, logran emitir algunos datos de salida. Las ciencias formales nacientes comprenden sus fenómenos desde una perspectiva sistémica para la cual la información es una categoría central. La idea es tan simple como que los datos que llegan y son procesados y que, a su vez, después del procesamiento generan nuevos datos, se denominan información. De aquí se sigue también que para estas ciencias es esencial poder establecer las rutinas de procesamiento de información de un sistema y a ello lo llaman computación. Finalmente, y esto es lo
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decisivo, las nuevas ciencias formales se ocupan de problemas que a pequeña escala no son complicados, pero que cuando se complejizan requieren de un tratamiento autónomo propio, por eso es característico de las ciencias formales el concepto de complejidad. Así pues, computación, sistema, información y complejidad son cuatro conceptos básicos para entender estas nuevas ciencias formales. Todos ellos, se ve con claridad, son resultado abierto de la llegada de los computadores a las ciencias. ¿Quiere decir esto que nuestros conceptos clásicos de sistema y lenguaje formal, reglas de formación, vocabulario y mecanismo deductivo son obsoletos e inoperantes? No, y tampoco significa que la lógica y la matemática no ocupen ningún lugar en el trabajo científico formal actual. Al contrario, debemos entender que estos cuatro conceptos deben incorporarse en el nuevo panorama de las ciencias formales y que estas novedades han enriquecido y potenciado el estudio y la innovación de las ciencias formales clásicas. Prueba de ello es el florecimiento de las lógicas fluida, difusa y cuántica, y de los desarrollos de la matemática en sistemas expertos, teoría de modelos y programación21. Terminaremos pues nuestro apéndice exponiendo brevemente estos cuatro conceptos básicos de las nuevas ciencias formales22. 2.1 Computación La computación es ese tipo de actividad que se lleva a cabo mediante el seguimiento de secuencias ordenadas de pasos definidas que llamamos algoritmos. Así pues, realizar cómputos es algo que podemos realizar los humanos y también algunas máquinas. Cuando un niño resuelve un problema siguiendo instrucciones o cuando una calculadora efectúa una multiplicación ambos están realizando cómputos. El concepto de computación refiere entonces a una actividad que supone el establecimiento diferenciado de unos procesos definidos y de una información que se procesa. Por eso podemos decir que realizar cómputos es tomar una información dada como entrada, procesarla y emitir una 21
Para profundizar en estos temas Cf. Palau 2002; Peña 1993 y Alchourrón 1995. Presentaciones detallas de estos asuntos en Floridi 2004. También la página web de este autor ofrece valiosos recursos para continuar con estos estudios. Confóntese la bibliografía de páginas web al final de este libro. 22
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información final como salida. Usualmente se emplea un vocabulario del inglés para referirse a ella: se dice que hay inputs o entradas, procesamiento, y outputs o salidas. La computación es el procesamiento, pero puesto que siempre que se procesa algo es procesado, entonces los conceptos de información de entrada e información de salida son esenciales para definir la computación. Todo procesamiento de información supone, además, algunos recursos para realizarse. Por ejemplo, si estamos tratando de resolver un problema sencillo como el de cuántas plantas de cebolla cabezona tenemos que sembrar si queremos cosechar cinco bultos, cada uno de los cuales contiene aproximadamente 50 cebollas y cada planta produce tres cebollas, necesitamos un par de minutos y a lo mejor una calculadora, o una hoja de papel y un lápiz. En este ejemplo los recursos son fáciles de conseguir, puesto que nuestra tarea es sencilla e involucra un número finito y pequeño de pasos a seguir para encontrar la respuesta. Pero si pensamos en el contexto que hemos colocado, la tarea es cómo computar potencialmente infinitos datos. Ahora la cuestión no se ve tan fácil. ¿Cuánto tiempo, cuántas hojas de papel y cuántos lápices necesitas para calcular infinitos pasos? La respuesta es evidente: infinitos recursos. Pero ¿dónde podemos conseguir infinitos recursos? En ninguna parte, por eso la definición de las tareas de cómputo es tan importante, porque en ella está la cave de la economización de los recursos. 2.2 Complejidad La idea más común de la complejidad es un tipo de estudios interdisciplinarios que incluye el trabajo en sistemas dinámicos, teoría del caos, vida artificial y otras áreas. En este sentido un fenómeno complejo se define como aquel cuya comprensión supone este tipo de trabajo interdisciplinar. En nuestro contexto, sin embargo, no nos referiremos a esta teoría de la complejidad sino a lo que se conoce como complejidad computacional. El concepto de complejidad computacional se refiere a la cantidad de recursos que un computador necesita para realizar una tarea o resolver un problema. Los principales recursos son el espacio y el tiempo. Al igual que en el caso considerado de realizar una multiplicación simple, lo que necesitamos para realizar un cómputo es papel y tiempo para ejecutar la
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tarea. Cuando estamos trabajando con problemas que incluyen un alto número de variables y operaciones, papel, lápiz y unos minutos no son suficientes, e incluso las categorías que usamos empiezan a ser deficientes. ¿Qué tan útil sería decir que para solucionar un problema cualquiera necesitamos 80 resmas de papel y 6.43 meses? Para estimar la complejidad de un problema en el caso de los computadores digitales comprendemos el espacio en términos de capacidad de almacenamiento de información (memoria), y el tiempo en términos del algoritmo que sería necesario ejecutar para solucionarlo (número de pasos que requeriría la solución). (Cf. Urquhart, 2004, p. 19ss) Un algoritmo se considera eficiente cuando el tiempo que toma ejecutarlo puede medirse mediante un polinomio. Decimos, por ejemplo, que un algoritmo que se ejecuta en un tiempo 10n, donde n es la cantidad de símbolos procesados es muy eficiente. Sin embargo no todos los algoritmos son así; algunos requieren un tiempo que debe medirse exponencialmente así cn2. Este tipo de algoritmos requieren mucho más tiempo para ser ejecutados y entonces se consideran menos eficientes que los polinómicos. El caso extremo es cuando el algoritmo requiere un tiempo exponencial para ser ejecutado, en un caso así el algoritmo se considera completamente ineficiente. Para ilustrar el punto consideremos un computador actual. La velocidad de estas máquinas suele medirse en el número de operaciones realizadas por segundo. […] Supongamos que tenemos una máquina que ejecuta un millón de operaciones por segundo, lenta para los estándares actuales de las computadoras. Entonces un algoritmo que requiera n2 operaciones para un input n, tomaría un cuarto de segundo para un input de 500. Incluso si el tiempo de ejecución fuera n3, un input de 500 tomaría máximo 2 minutos y 5 segundos. De otra parte, un algoritmo que corra a 2n podría tomar en el peor de los casos cerca de 35 años para procesar un input de 50. (Urquhart, 2004, p. 19) En este sentido puede establecerse una clasificación de cuatro tipos de problemas: aquellos que son temporalmente polinómicos y los que son exponenciales, y los que son espacialmente polinómicos y los que son exponenciales.
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Terminemos diciendo que el problema de la complejidad computacional ha recibido un importante cambio desde que se empezaron a idear teórica y experimentalmente modelos de procesamiento no serial. No podría ser de otro modo, pues en estos casos la máquina puede realizar operaciones simultáneamente y entonces lo tiempos de ejecución de un algoritmo cambian. Así, los problemas que en otro tiempo pudieron parecer insolubles por su complejidad computacional, probablemente reciban próximamente una solución. 2.3 Sistema Un sistema es cualquier suceso que pueda ser descrito por los siguientes rasgos específicos: entradas (inputs), estados, procesos y salidas (outputs). En este sentido prácticamente cualquier objeto o evento puede ser un sistema; desde una roca erosionándose a lo largo de miles de años, hasta el complejo de redes neuronales del cerebro humano, pasando por el sistema solar. Los sistemas pueden estudiarse en condiciones ideales, sin variaciones y en movimientos continuos, pero los hechos interesantes del mundo que ordinariamente estudiamos exigen que los contemplemos dinámicamente. Por eso el concepto más usual de sistema es el de sistema dinámico. Un tipo de sistema así, se caracteriza, por su dependencia temporal además de los cuatro elementos reseñados. Así pues, podemos considerar una piedra erosionándose como un sistema porque podemos identificar en ella un estado inicial, como estar expuesta a la intemperie, la entrada de unos datos, como que el sol la seca y la lluvia la humedece, una manera específica que tiene la piedra de tratar estas entradas, como ir adquiriendo la forma de las rutas más frecuentes que el agua recorre sobre ella, de modo que al procesar esos datos, con el paso del tiempo la piedra ha cambiado su estado inicial y se encuentra en nuevo estado, que, a su vez, sufrirá nuevas entradas y así sucesivamente. En general se dice que un sistema dinámico es aquel que pasa de un estado E1 a un estado E2 cuando ha procesado unos inputs en un tiempo determinado t. Esta manera de definir los sistemas dinámicos nos hacen pensar que tanto los fenómenos del mundo social como los del mundo natural pueden comprenderse como sistemas dinámicos. Tanto a nivel microscópico como
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al de los objetos de tamaño medio las explicaciones sistémicas funcionan. El comportamiento de las moléculas en un gas, lo mismo que los grupos sociales, pueden describirse como organismos complejos que pasan de un estado a otro dependiendo de los estímulos que reciban como datos de entrada. Esta característica hace que en todo sistema dinámico pueda encontrarse un conjunto de sub-sistemas. Así, es fácil pensar que incluso la totalidad del universo es un gran sistema cuyo funcionamiento depende del funcionamiento de una gran cantidad de sub-sistemas. En el ámbito de las ciencias de la computación los sistemas dinámicos se denominan “máquinas de procesamiento de información” (Mainzer, 2004, p. 36). Por supuesto ‘máquina’ no se refiere exclusivamente a los artefactos físicos sino a los conjuntos ordenados de instrucciones que permiten ejecutar una tarea, a los algoritmos. En este sentido, los sistemas involucran tanto los aparatos de procesamiento, hardware, como los programas que ejecutamos en ellos, software. Esta notable característica conlleva importantes aportes al pensamiento humano en la medida en que nos permite entender cómo ocurre el procesamiento de información tanto a un nivel físico como a un nivel formal sin que ello implique pensar que hay dos entidades diferentes procesando al mismo tiempo. Puesto que el concepto de sistema nos ayuda a pensar en distintos niveles de descripción, entonces podemos pensar el procesamiento de información y el de realización física de ese procesamiento como dos descripciones diferentes del mismo proceso. Cuando pensamos esta conclusión desde el punto de vista de la psicología, encontramos una sugerente respuesta al clásico problema filosófico de las relaciones del alma con el cuerpo. Un aspecto adicional de los sistemas dinámicos es que han ayudado a pensar el desarrollo conjunto de hardware y software. Así, a medida que los sistemas dinámicos formales ofrecen mayores posibilidades de utilización en campos más diferentes de la vida humana, se ha precisado ir desarrollando nuevas tecnologías de aparatos digitales. Claro ejemplo de ello son los usos domésticos del Internet y la aparición de los dispositivos de procesamiento inalámbrico (wireless computing devices), o de tecnologías como el Bluetooth.
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2.4 Información El concepto de información goza hoy en día de una formulación precisa en una de sus acepciones. La información se define como contenido semántico objetivo. Esta breve definición supone varias cuestiones. En primer lugar, la información es contenido. Esto quiere decir que está siempre vinculada a un recipiente, o contenedor que el es sistema que la procesa. En segundo lugar, que es un contenido significativo. Esto quiere decir que la información en el sistema dice algo, se trata de algo y no es simplemente formal. En tercer lugar, se dice que este contenido significativo es objetivo, y con ello se afirma que participa de cierto tipo de independencia de las mentes humanas o de codificaciones específicas. La misma información puede codificarse de distintas maneras, pero ella misma no es ninguna de sus codificaciones posibles. Una característica adicional de la información es que se puede fragmentar y descomponer. Por eso la información se trata como un conjunto de casos o contenidos concretos llamados datos. Según Luciano Floridi (2004) los datos pueden ser de cuatro tipos distintos: Datos primarios: son aquellos datos de interés directo para el usuario y que, por eso mismo, reciben una posición de privilegio en las bases de datos. Metadatos: son aquellos datos que se refieren a datos primarios. Son esa información que nos dice dónde se encuentran los datos primarios, cómo acceder a ellos y cómo trabajar sobre ellos. Datos operacionales: son los datos del sistema mismo y su uso. Pueden ser las operaciones del sistema y su desempeño. Datos derivados: son los datos que se pueden extraer del conjunto de los tres anteriores y que se usan para establecer patrones, o evidencia inferencial para análisis comparativos y cuantitativos posteriores. Computación, complejidad, sistema e información son entonces cuatro nuevas categorías que nos ayudan a entender las ciencias formales que florecieron después de la llegada de los computadores a la investigación científica. Sin embargo, como ha notado Franklin, es altamente probable que una vez incorporados estos conceptos y, las nuevas ciencias formales, la filosofía misma reciba un gran aporte.
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Es una pena que los filósofos se hayan informado poco de estas ciencias, ya que ellas proveen oportunidades excepcionales para el ejercicio de las artes filosóficas en particular. En primer lugar, su naturaleza formal podría orientarlos a la consideración de las matemáticas y la lógica. Siendo formales, pueden apelar al platonismo latente en muchos filósofos… Pero no solo eso. El conocimiento en las ciencias formales, con sus demostraciones acerca de flujos de información en redes, pruebas de corrección de programas de computador y cosas por el estilo, da toda la apariencia de haber encontrado la piedra filosofal: un método para convertir la opinión sobre los entes contingentes de este mundo en conocimiento necesario de la razón pura. […] De otra parte, el aspecto de la filosofía orientado a la palabra entra en consideración. Si uno se propone estudiar filosofía para volverse capaz de hablar con plausibilidad sobre todas las cosas, como dice Descartes, entonces las ciencias formales son de gran utilidad. Ellas nos ofrecen un número de conceptos, como ‘realimentación’ [sistema, información, computación y complejidad] que permiten en principio discurrir explicando complejos fenómenos, sin exigir demasiada atención a los detalles técnicos. […] Las ciencias formales podrían interpelar también a los que sienten que los filósofos de la ciencia no han hecho más que discutir suficientemente entre sí sobre el cambio teórico, el realismo, la inducción, la sociología y temas afines, mientras que la ciencia real ha estado produciendo un cuerpo de conocimiento grande e importante para el cual todo eso es completamente irrelevante. (www.maths.unsw.edu.au/∼jim/philosophersstone.pdf).
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Glosario
En este pequeño glosario el lector encontrará referencias breves y sencillas de los conceptos técnicos más usados a lo largo del libro. En todo caso recomendamos siempre las excelentes obras de Mosterín y Torreti 2002, y Detlefsen, McCarthy y Bacon 1999 para profundizar en lo que aquí simplemente enunciamos, o para consultar conceptos no incluidos en este glosario. Ellas mismas nos han sido de enorme utilidad en la elaboración de esta sección.
Abducción: tipo de argumentación en el que la conclusión se infiere a partir de dos premisas, una de las cuales es evidente y la otra sólo probable. Argumentación: forma de usar el lenguaje por la cual trata de justificarse una afirmación llamada conclusión con base en otras afirmaciones llamadas premisas. En la argumentación intervienen aspectos formales y no formales. Argumento: estructura formal en la cual es posible reconocer un conjunto de premisas, un conjunto de conclusiones y una relación de implicación entre las premisas y la conclusión. Puede ser inductivo o deductivo. Aritmética: ciencia del tiempo y del número. Parte de la matemática que estudia los números y las operaciones hechas con ellos. RAE, 2001, 204. Ciencias de la computación: ciencias formales que estudian los sistemas formales aplicados a diversos problemas prácticos que admiten una solución mediante la realización de un número finito de pasos ordenados llamada algoritmo. El proceso de seguimiento de los pasos se denomina cómputo.
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Ciencia formal: ciencia de los sistemas formales. Ciencia que se ocupa de la forma y no de contenidos específicos. Ésta es la definición asumida en el libro. Para definiciones alternativas consúltese el apéndice A. Complejidad (computacional): se refiere a la cantidad de recursos que requiere un determinado cómputo. Se calcula en términos de memoria (espacio) y número de pasos a ser ejecutados (tiempo). La complejidad computacional de u sistema puede ser polinómica o exponencial, tanto espacial como temporalmente. Un sistema polinómicamente complejo es eficiente, mientras que un sistema exponencialmente complejo es ineficiente. Completud: propiedad de un sistema formal según la cual de él es posible derivar todas las fórmulas bien formadas mediante una secuencia finita de pasos definidos. Computación: proceso por el cual mediante una secuencia finita de pasos ordenados llamada algoritmo se resuelve un problema o se ejecuta una tarea. Consistencia: propiedad de un sistema formal según la cual de él es imposible derivar una fórmula bien formada y su negación o, lo que es lo mismo, o según la cual de él es imposible derivar una contradicción. Constante: tipo de signo de un lenguaje formal. “Aquellos elementos del lenguaje formal que no varían su significado tras una interpretación”. (Detlefsen et al., 1999, p. 26). Constantes lógicas: tipo de signos del vocabulario de un sistema formal de lógica. Son aquellos símbolos cuyo significado no varía al cambiar la interpretación del sistema. En la lógica proposicional son la negación ¬, la disyunción ∨, la conjunción ∧ y el condicional →. Convencionalismo: teoría sobre la naturaleza de las proposiciones según la cual una proposición no es un contenido mental ni un hecho del mundo, sino la concreción de las convenciones lingüísticas de una comunidad de habla. Decidibilidad: propiedad de un sistema formal según la cual para cualquier fórmula dada es posible decidir mediante una secuencia finita de pasos definidos si ella es una fbf del sistema.
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Deducción: procedimiento por el cual se obtiene una conclusión mediante un procedimiento con base en reglas definidas en un número finito de pasos. Procedimiento de ir lo general a lo particular. Un argumento es deductivo cuando siendo las premisas verdaderas es imposible que la conclusión sea falsa. Los argumentos deductivos son válidos o inválidos. Formalismo: corriente de la filosofía de la matemática que pretende asegurar la consistencia de la matemática clásica mediante la formalización de sus diversas teorías y la prueba metamatemática de que dichas teorías formales son consistentes, usando para ello métodos finitarios intuicionistamente aceptables. (Mosterín et al., 2002, p. 245). Su máximo exponente es David Hilbert. Fórmula bien formada (fbf): secuencia ordenada de signos construida a partir de un conjunto de símbolos primitivos definidos, llamados vocabulario del lenguaje formal, y a partir de unas reglas de formación definidas de ese mismo lenguaje formal. El conjunto de fbfs de un lenguaje formal son el lenguaje formal. Geometría: parte de la matemática. Ciencia del espacio y las figuras. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras. (RAE, 2001, p. 1132). Inducción: procedimiento por el cual a partir de un número finito de casos se obtiene una conclusión general. Procedimiento de ir de lo particular a lo general. Un argumento es inductivo cuando a partir de la verdad de sus premisas es posible inferir la verdad de la conclusión de un modo probable. Los argumentos inductivos pueden ser fuertes o débiles. Información: contenido semántico objetivo en términos de datos y significado. Se dice que es un contenido objetivo porque goza de cierta independencia de los códigos que se utilicen para procesarla, aunque siempre es contenido de un procesamiento determinado. Se dice que es semántico porque se presupone que ella siempre versa sobre algo. La información se caracteriza porque se puede fragmentar. Las unidades mínimas de contenido objetivo significativo se llaman datos. Inteligencia artificial débil: concepción de la inteligencia artificial según la cual ella simula y trata de diseñar procesos semejantes a los pensamiento humano. Las máquinas construidas por los sistemas de inteligencia artificial
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son modelos útiles para ayudarnos a comprender la naturaleza del pensamiento humano, pero no piensan en el mismo sentido que los seres humanos. Inteligencia artificial fuerte: concepción de la inteligencia artificial según la cual ella reconstruye efectivamente los procesos del pensamiento humano. Las máquinas construidas por los sistemas de inteligencia artificial serían seres pensantes en el mismo sentido que los seres humanos. Interpretación: conjunto no vacío de entidades que se asignan a los elementos variables del lenguaje formal en cuestión. Proceso mediante el cual se atribuye significado a un lenguaje formal. Intuicionismo: corriente de la filosofía de la matemática. Sólo acepta la existencia de aquellos objetos matemáticos que puedan ser construidos paso a paso por el pensamiento del matemático individual y sólo les atribuye propiedades que puedan ser inmediatamente captadas por su intuición intelectual. Concibe la matemática como una actividad introspectiva que se realiza sin palabras ni símbolos, por mera intuición. Su principal representante es Brouwer. (Mosterín et al., 2002, p. 306). Lenguaje formal: lenguaje artificial diseñado para establecer con generalidad y precisión las características de una situación dada. Está formado por dos componentes: unos símbolos primitivos, su vocabulario, y unas reglas de formación, su sintaxis. Su significado es optativo y debe darse mediante interpretación de sus componentes. Lógica: disciplina que estudia los principios y métodos que permiten establecer cuando un argumento es correcto o incorrecto. Como ciencia formal es la ciencia de los sistemas formales cuya pretensión es formalizar los patrones de los argumentos válidos del lenguaje natural. Logicismo: corriente de la filosofía de la matemática cuyo principal objetivo era reducir la matemática a la lógica. Sus principales representantes son Gottlob Frege, Bertrand Russell. Matemática: Ciencia de del espacio y el tiempo, de las figuras y los números. Como ciencia formal es la que ciencia de los sistemas formales cuya pretensión es formalizar axiomáticamente la aritmética y la geometría.
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Mecanismo deductivo: conjunto de reglas que permiten transformar una fórmula bien formada de un sistema formal en otra de un modo bien definido. En el contexto de los sistemas axiomáticos su uso se denomina demostración y además de las reglas de transformación supone establecer como axiomas unas fórmulas bien formadas del sistema. En el contexto de los sistemas de deducción natural su uso se denomina deducción y no requiere nada más que las reglas de transformación. Oración: construcción sintáctica con sentido completo. Toda oración se construye conforme a las reglas de una sintaxis y hace parte de un idioma específico. Hay diversos tipos de oraciones: asertiva, interrogativa, compromisiva y exclamativa, entre otras. Pragmática: disciplina de la semiótica. Se ocupa de estudiar las relaciones de los signos con sus usuarios y sus usos. Proposición: contenido significativo de una oración declarativa susceptible de ser juzgado como verdadero o como falso. Portador de verdad. Una discusión de esta y otras definiciones se encuentra en el capítulo 2. Psicologismo: teoría sobre la naturaleza de las proposiciones y de la lógica en general según la cual unas y otra no son más que contenidos o procesos y estructuras mentales respectivamente. Razonamiento: inferencia. Proceso mental por el cual a partir de unas premisas se infiere una conclusión. Cuando se lo verbaliza se llama argumentación, y cuando se lo examina desde un punto de vista formal en su conjunto se llama argumento. Referencialismo: teoría semántica sobre la naturaleza de las proposiciones según la cual el significado de una proposición es un hecho del mundo, sea este fáctico o posible. Las teorías de la referencia se dividen en teorías de la referencia directa y teorías de la referencia medida. Reglas de formación: segundo componente de un lenguaje formal. Es el conjunto de reglas que permiten indican las combinaciones de signos permitidas en el sistema. Una fórmula construida de acuerdo a las reglas de formación de un sistema se denomina una Fórmula bien formada (fbf) del sistema. Sólo las fbfs del sistema hacen parte del sistema.
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Reglas de transformación: constituyen los mecanismos deductivos. Son el conjunto de reglas que permiten transformar una fbf de un lenguaje formal en otra fbf de ese mismo lenguaje. Semántica: disciplina de la semiótica. Se encarga del estudio de las relaciones que se establecen entre los signos y sus significados, prescindiendo de su uso. Semiótica: disciplina encargada de estudiar los sistemas de signos y todo tipo de representaciones simbólicas. Ciencia de los signos. Símbolos primitivos: primer componente de un lenguaje formal. Es el conjunto de signos seleccionado como vocabulario del lenguaje formal. Los símbolos primitivos pueden ser de tres tipos: variables, constantes o auxiliares. El significado de los símbolos primitivos puede darse por estipulación semántica o mediante reglas. Los símbolos primitivos definidos semánticamente se llaman básicos, y los definidos mediante reglas de combinación de símbolos básicos se denominan derivados. Sintaxis: disciplina que hace parte de la semiótica. Se encarga del estudio de las relaciones que se establecen entre los signos, prescindiendo de su significado y de su uso. Sistema: cualquier fenómeno que pueda ser descrito en términos de entradas, estados, procesamiento y salidas es un sistema. Cuando el procesamiento y cambio de estados del sistema depende del tiempo se denomina sistema dinámico. Sistema axiomático: tipo de sistema formal que se caracteriza por que su mecanismo deductivo establecer unas fórmulas bien formadas como básicas, autoevidentes e indemostrables llamadas axiomas. A partir de ellos deben deducirse mediante una secuencia finita de pasos acordes a las reglas de transformación todas las demás formulas bien formadas del sistema que se llaman teoremas. Es el más usado en el contexto de la demostración matemática. Sistema de deducción natural: tipo de sistema formal que se caracteriza por que su mecanismo deductivo se basa exclusivamente en reglas de transformación. Es el más frecuentemente usado para representar los argumentos del lenguaje ordinario.
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Sistema formal: sistema diseñado para realizar pruebas de un modo preciso. Se compone de un lenguaje formal y un mecanismo deductivo. Existen sistemas formales axiomáticos y sistemas formales de deducción natural. Transducción: tipo de argumento en el cual la conclusión se obtiene mediante una transformación de los signos empleados en las premisas. Variable: tipo de signo primitivo de un lenguaje formal. Aquellos elementos del lenguaje formal que varían su significado tras una interpretación. “Signo que sirve para referirse indistintamente a objetos cualesquiera de un cierto dominio (su dominio de variabilidad)”. (Mosterín et al., 2002, p. 596). Variable proposicional: tipo de signo del lenguaje de la lógica. Son aquellos signos cuyo significado cambia cuando varía la interpretación del lenguaje formal. Se considera que su dominio de variabilidad son las proposiciones. En la lógica proposicional se representan mediante letras minúsculas de la p en adelante. Verdad: propiedad semántica de una proposición. Una proposición es verdadera sólo bajo una interpretación determinada.
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Bibliografía
Esta sección bibliográfica está construida con el propósito específico de no intimidar al lector. Usualmente las secciones bibliográficas de los libros introductorios como este presentan un volumen tan extenso de referencias que no consiguen más que mostrarle al lector cuán lejos se encuentra de comprender los asuntos que le ocupan. Además, muchas veces estas referencias incluyen textos en idiomas extranjeros, incluso de textos con traducción española, que ahuyentan rápidamente al estudiante. Convencidos de que contamos con buenas obras en español sobre la filosofía y la epistemología de las ciencias formales, procuraremos no presentar textos en lengua extranjera excepto cuando sea estrictamente necesario, y de los textos referidos en español sólo señalaremos los más importantes y fundamentales en los que el lector encontrará extensas referencias a fuentes de apoyo para su investigación posterior. Las referencias principales están acompañadas de un breve comentario sobre el texto referido.
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2. Historias completas de la lógica y la matemática Bochenski, I. M. (1985). Historia de la lógica formal, (Millán Bravo Lozano trad.). Madrid: Gredos. Boyer, C. (1986). Historia de la matemática, (Mariano Martínez trad.). Madrid: Alianza.
3. Introducciones a las ciencias formales Copi, I. et al. (2002). Introducción a la lógica, (Edgar Antonio González Ruiz trad.). México: Limusa. Courant, R. et al. (2002). ¿Qué es la matemática? (Martín Manrique Mansour trad.). México: Fondo de Cultura Económica. Deaño, A. (1996). Introducción a la lógica formal, Madrid: Alianza. Falguera, J. et al. (1999). Lógica clásica de primer orden, Madrid: Trotta. Floridi, L. (1999). Philosophy and Computing. An Introduction, Londres: Routledge. Seiffert, H. (1978). Introducción a la matemática, (Diorki Traductores trad.) Barcelona: Herder.
4. Introducciones a la epistemología de las ciencias formales Estany, A. (ed.) (2005). Filosofía de las ciencias naturales, sociales y matemáticas. Enciclopedia iberoamericana de filosofía. vol. 28. Madrid: Trotta. Haack, S. (1991). Filosofía de las lógicas, (Amador Antón trad.). Madrid: Cátedra.
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7. Textos de referencia Agazzi, E. y Darvas, G. (Eds.). (1997). Philosophy of Mathematics Today, Kluwer: Dordrecht. Alchourron, Carlos et al. (Eds.). (1995). Lógica, iberoamericana de filosofía, vol. 7. Madrid: Trotta.
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8. Recursos en línea 8.1 Sobre filosofía de la lógica y la matemática http://ciencia.astroseti.org/matematicas/lista.php Historia de los personajes de este libro y temas afines http://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert Información completa sobre Hilbert http://personales.ya.com/casanchi/matematica.htm Artículos diversos sobre temas fines http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/Libros/Matematica%20y%20Filosofia/ Estudio amplio sobre los temas de la matemática y la filosofía http://hss.fullerton.edu/philosophy/TNAWS/ http://gandalf.aksis.uib.no/wab/ http://www.helsinki.fi/~tuschano/lw/links/ Páginas sobre Wittgenstein 8.2 Sobre filosofía de la computación y los sistemas de información www.wolfson.ox.ac.uk/floridi/ Página de Luciano Floridi. Incluye numerosos enlaces e información actualizada de interés http://www.abelard.org/turpap2/tp2-ie.asp
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Página especializada en Turing. Incluye artículos y enlaces http://consc.net/chalmers/ Página de David Chalmers. Incluye abundantes artículos para descargar de especialistas sobre inteligencia artificial, vida artificial, ciencia cognitiva y filosofía de la mente en general. 8.3 Diccionarios y páginas de información general sobre temas filosóficos http://pespmc1.vub.ac.be/:/ASC/IndexASC.html Diccionario de cibernética y sistemas (En ingles) http://wombat.doc.ic.ac.uk/foldoc/ Diccionario de computación FOLDOP (En ingles) http://lgxserver.uniba.it/lei/foldop/ Diccionario de filosofía FOLDOP (En ingles) http://liinwww.ira.uka.de/bibliography/index.html Compendio de bibliografía sobre ciencias de la computación (En inglés) http://plato.stanford.edu/ Diccionario Web de filosofía (En inglés) http://club.telepolis.com/ohcop/iadex.html Glosario enciclopédico sobre temas relacionados 8.4 Organizaciones http://www.apa.udel.edu/apa/governance/committees/computers/ Comite de la American Psychological Association (APA) para la filosofía y la computación (En inglés) http://iacap.org/index.htm IACAP – Asociación internacional para la computación y la filosofía (En inglés) http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/research/areas/ieg/ IEG – Grupo de investigación sobre ética de la información de la universidad de Oxford (En inglés)
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http://icie.zkm.de/ ICIE – Centro internacional para la ética de la información (En inglés) http://www.spt.org/ SPT – Sociedad para la filosofía y la tecnología (En inglés)
