De máquinás de Turing á Computácion Cuánticá Ensayo Teoría de la computación Oscar Alvarez Arriaga M12CE059 Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Maestría En Ciencias de la Computación
Cuernavaca Morelos, a 11 de diciembre de 2012
Contenido Introducción ........................................................................................................................................ 3 1.1 Orígenes de la teoría de la computación .................................................................................. 4 The Church-Turing thesis .................................................................................................................... 8 2.1 church + turing .......................................................................................................................... 8 2.2 Church-Turing ........................................................................................................................... 8 Cuestiones relacionadas con ............................................................................................................. 11 3.1 Física y cálculos ....................................................................................................................... 11 3.2 Tesis de Turing tiempo polinomial .......................................................................................... 11 3.3 Recursion ................................................................................................................................. 12 Formalización de algoritmos secuenciales ........................................................................................ 13 4.1 Algoritmos de pasos pequeños ............................................................................................... 14 4.2 Postulado de estado abstracto................................................................................................ 15 Formalización de algoritmos paralelos ............................................................................................. 17 5.1 ¿que es un algoritmo paralelo?............................................................................................... 17 5.2 unas pocas palabras sobre algoritmo de paso ancho ............................................................. 17 Hacia la formalización de algoritmos distribuidos ............................................................................ 18 Computadoras cuanticas ................................................................................................................... 18 7.1 Historia de la computación cuántica ....................................................................................... 18 7.2 Computación cuántica............................................................................................................. 19 7.3 Fundamentos de la computación cuántica ............................................................................. 20 7.3 Elementos básico de la computación cuántica ....................................................................... 22 7.3.1 El bit cuántico "qubit" ...................................................................................................... 22 7.3.2 Compuertas cuánticas ...................................................................................................... 23 7.4 "Entanglement" ....................................................................................................................... 24 7.5 Tele transportación cuántica................................................................................................... 24 7.6 El paralelismo cuántico ........................................................................................................... 25 7.7 Criptografía cuántica ............................................................................................................... 25 COMPUTADORA CUANTICA .............................................................................................................. 27 8.1 Requerimientos de implementación ....................................................................................... 27 8.2 IBM logra una nueva meta histórica con su computadora cuántica....................................... 27 8.3 La Computación Cuántica y sus consecuencias en la Criptografía actual ............................... 29
8.4 La computación cuántica se acerca a la electrónica tradicional ............................................. 31
Introducción A través de la historia el ser humano ha usado diversos materiales y utilizado múltiples mecanismos en el diseño, construcción y operación de máquinas que agilicen y automaticen la realización de cálculos y el procesamiento de información. Antiguamente, los primeros modelos fueron manuales, estos se remontan aproximadamente hasta 500 A. C., cuando los/las egipcios/as inventaron un artefacto que consistía en una serie de esferas atravesadas por varillas; este artefacto fue cambiado y perfeccionado por los chinos; y posteriormente en el siglo XIII D. C. Es cuando toma la forma clásica que conocemos; el ÁBACO está compuesto por 10 líneas con 7 esferas cada una, una línea corta todas las líneas en dos partes una más grande que la otra, ubicándose 2 esferas en la parte superior y cinco en la parte inferior. Mucho tiempo después, se desarrollaron modelos mecánicos y eléctricos, es así que, Blaise Pascal, en 1649, fabricó la PASCALINA, una máquina que hacía operaciones de 8 dígitos. En 1820, Charles Babbage con la ayuda de la Condesa Ada Byron, construyó dos equipos totalmente mecánicos, usaban ejes, engranajes y poleas para realizar cálculos. Konraz Suze, ingeniero alemán, en 1942, construyó la primera computadora digital (electromecánica binaria) programable. Entre 1937 y 1942 Atanasoff y Berry, construyeron un prototipo compuesto de tubos al vacío, capacitores y un tambor de rotatorio para el manejo de los elementos de la memoria. En 1941 Turing construyó la COLLOSUS, una computadora que usaba miles de válvulas, 2400 bombas de vidrio al vacío, y un escáner con capacidad de leer 5000 caracteres por cinta de papel. En 1944 IBM (International Business Machines) construye la MARK I en cooperación con la Universidad de Harvard, media 15 metros de largo, 2.40 metros de altura y pesaba cinco toneladas. La ENIAC contaba con 17468 tubos de vidrio al vacío, fue construida en 1946. No hace mucho tiempo, se inició la era digital, con modelos electrónicos basados inicialmente en tubos de vacío y luego en transistores. La EDVAC fue la primera computadora electrónica digital, su memoria consistía en líneas de mercurio dentro de un tubo de vidrio al vacío, donde se podía almacenar ceros y unos. El transistor, es el invento que más ha influenciado en la evolución de las computadoras, este fue concebido en 1948, por tres científicos en los laboratorios de Bell. Este contiene un material semiconductor que funciona como un interruptor. En 1958 Kilby y Noycea, de la Texas Instrument, inventaron los circuitos integrados, haciendo que las computadoras fuesen cada vez más pequeñas. En Intel, en 1971, Hoff desarrollo un microprocesador de 4 bits que contenía 23000 transistores que procesaban 108 kHz o 0.06 MIPS, tenía 46
instrucciones y 4 kilobytes de espacio de almacenamiento. En 1974 Intel presentó una CPU compuesto por el microchip 8080, este contenía 4500 transistores y podía almacenar 64 kilobytes de memoria RAM, tenía un bus de datos de 8 bits. A comienzos de la década de los 80 IBM empezó a desarrollar las computadoras personales con PC-DOS como sistema operativo, empezando así una nueva era, donde las computadoras estaban al alcance de todos. Las computadoras portátiles, las computadoras vestibles, y los modelos no comerciales que son tan pequeños como una moneda de un centavo. Actualmente, las computadoras portátiles, los asistentes personales digitales PDA (Personal Digital Assistant por sus siglas en inglés) y los teléfonos celulares, se caracterizan por su reducido tamaño y portabilidad; y. En el futuro, las computadoras usables ("Body wearable computers" en inglés), integradas en el espacio personal del usuario o de la usuaria, reemplazarán a todos los dispositivos mencionados en el párrafo anterior, y serán tan o aún mas populares. Estas computadoras requieren componentes aún más pequeños que los actuales. La constante miniaturización de los componentes de hardware ha logrado la realización de nano circuitos. Pronto no será posible reducir más los circuitos, debido a que muy pronto la miniaturización será tal que las leyes de la física clásica ya no sean validas, entonces se entrará en los dominios del mundo subatómico, donde las leyes de la física de la mecánica cuántica tienen validez. El cambio en los componentes fundamentales de las computadoras, hace necesario redefinir muchos elementos de la computación actual, la arquitectura, los algoritmos, y los componentes de hardware. Es así como nace la computación cuántica y con ella los algoritmos cuánticos. La aplicabilidad de la computación cuántica depende de la posibilidad de desarrollar una computadora cuántica. Un ejemplo del inmenso poder de las computadoras cuánticas es el algoritmo cuántico para determinar si un número es primo. Una computadora actual se tardaría miles a millones de años (dependiendo de cuan grande sea el número) en ejecutar tal algoritmo; a diferencia de una computadora cuántica le tomaría tan solo unos cuantos segundos el completar la tarea.
1.1 Orígenes de la teoría de la computación El desarrollo formal de la teoría de la computación se originó casi cincuenta años antes de que apareciera el primer ordenador digital, el ENIAC (1945) diseñado por John Eckert yJohn Mauchly (con objeto de calcular trayectorias balísticas). Sus raíces se encuentran en los trabajos de Hilbert, Gödel, Rosser, Kleene, Church, Turing y Post, sobre la potencia del razonamiento matemático con respecto a un
problema computacional, propuesto por el alemán David Hilbert, hace más de 90 años. Este problema, llamado el Problema de Decisión (Entscheidungsproblem), se puede establecer de una manera informal: Dada una representación formal de una afirmación (enunciado) matemática, diseñar un algoritmo (programa) que determine si la afirmación es verdadera (teorema) o falsa (no válida lógicamente). Si tal programa existe, cualquier conjetura se puede probar o refutar expresándola formalmente y construyendo mecánicamente una demostración, de manera que todo el razonamiento matemático se basa en un fundamento lógico, donde todos los enunciados (afirmaciones) ciertos son demostrables (al igual que los falsos) y cada afirmación es verdadera o falsa. Así cualquier teoría matemática estaría formada por un conjunto de axiomas y un conjunto de reglas de inferencia que permiten generar enunciados válidos adicionales a partir de enunciados válidos dados. La verdad de cada axioma se admite a priori. Dicho programa se puede escribir si se puede encontrar un conjunto de axiomas que: sean lo suficientemente potentes para permitir que se pueda probar cualquier enunciado verdadero, y que no admitan contradicciones, es decir, que una afirmación y su negación no puedan ser ciertas al mismo tiempo. En 1931, el matemático austriaco Kurt Gödel publica su famoso teorema de incompletitud que establece que no puede existir un conjunto de axiomas con las dos propiedades anteriores y, por lo tanto, el programa anterior no se podrá escribir. Más concretamente: "Ningún sistema de razonamiento matemático es lo suficientemente potente para ser capaz de probar toda afirmación cierta acerca de las propiedades de los números naturales". La Teoría de la Computabilidad se ocupa de construir un formalismo matemático para razonar sobre la existencia o no existencia de algoritmos efectivos para problemas particulares. Los resultados que se prueben dentro de esta teoría deben ser aplicables a todas las arquitecturas de ordenadores, independientemente de sus parámetros, como pueden ser la velocidad del procesador o el tamaño de la memoria. Para ello tiene como base el concepto de modelo de computación. Ejemplos de modelos de computación son las máquinas de Turing, las máquinas RAM, las máquinas de Post y los algoritmos de Markov. Por lo tanto, necesitamos saber qué entendemos por algoritmo efectivo y por problema. Aunque el desarrollo formal de la teoría de la computabilidad se realiza
en el siglo XX, sin embargo la búsqueda de algoritmos efectivos para resolver ciertos problemas se viene realizando desde hace más de 2000 años. Los matemáticos griegos, como se comprueba en los trabajos de Euclides y Pitágoras, pusieron gran énfasis en las técnicas constructivas. Así, en geometría se plantearon algunos problemas que dejaron sin resolver y que han constituido materia de investigación durante mucho tiempo, como: El problema de la cuadratura del circulo: "Dado un circulo, construir un cuadrado con la misma área utilizando regla y compás" El problema de la trisección de un ángulo: "Dividir un ángulo dado en tres partes iguales mediante regla y un compás". El problema de la duplicación del cubo: "Dado un cubo, construir otro con exactamente el doble de volumen que el original, utilizando regla y compás". En este contexto, un algoritmo efectivo será aquel que emplee en sus pasos de computación sólo regla y compás. Sin embargo, hoy se sabe que ninguno de estos problemas tiene solución. Por lo tanto, no existe un método de construcción apropiado y así no pueden existir tales algoritmos. En un programa de ordenador se genera una salida utilizando la entrada leída. Así, cualquier programa se puede considerar como un evaluador de una función, f, que aplica algún dominio de valores de entrada, I, en algún rango de valores de salida, O. Por ejemplo, con un compilador de un lenguaje de programación de alto nivel, I={ficheros de caracteres} y O={ficheros binarios}. La cuestión que surge ahora es: ¿Qué problemas se pueden resolver con programas de ordenador? También se puede formular de forma equivalente: ¿Qué funciones se pueden computar? Vamos a recordar algunos modelos clásicos (máquinas) de computación, como las máquinas de Turing (determinística y no determinísticas) y los autómatas celulares que conducen a diferentes formalizaciones del concepto de algoritmo, todas ellas equivalentes (equivalentes también a otras formalizaciones ideadas por Kleene, Church, Post, etc.). Esta equivalencia refuerza la Tesis de Church-Turing que afirma:
“la clase de problemas que se pueden resolver utilizando el sistema de programación de Turing es exactamente el mismo que los que se pueden resolver utilizando cualquier sistema de programación razonable” En 1936, Alonzo Church publicó una conjetura audaz que sólo las funciones recursivas son computables [10]. Unos meses más tarde, independientemente de Church, Alan Turing publicó una prueba poderosa de una conjetura especulativa similar: cada número real computable es computable por la máquina de Turing [54]. Kurt Godel encontró que la tesis de Church era “completamente insatisfactoria", pero después fue convencido por el argumento de Turing. Más tarde, sin embargo, preocupado por una posible falla en el argumento de Turing. Por ahora, no hay pruebas abrumadoras experimentales en favor de la tesis Church-Turing. Además, a menudo se supone que la tesis de Church-Turing ha resuelto el problema de ¿Qué es un algoritmo? Eso no es así. La tesis clarifica la noción de función computable. Y hay más, mucho más que un algoritmo que la función que es computada. La tesis fue un gran paso hacia la comprensión de algoritmos, pero no se ha solucionado el problema de qué es un algoritmo. Un mayor progreso en los cimientos de los algoritmos se logró por Kolmogorov y su alumno Uspensky en la década de 1950 [39, 40]. La máquina de Kolmogorov con su “cinta” reconfigurable tiene una cierta ventaja sobre la máquina de Turing. La noción de la máquina de puntero fue una mejora de la noción de máquina de Kolmogorov. En 1991, el segundo autor publicó la definición de estado abstracto secuencial máquinas (ASMs, llamado álgebra de evolución en el tiempo) [23]. En 2000, publicó una definición de algoritmos secuenciales derivados de primeros principios [27]. En el mismo documento prueba que cada algoritmo secuencial A es equivalente a su comportamiento en alguno ASM secuencial B. En particular, B simula a A paso a paso. En 1995, el segundo autor publicó la definición de máquinas de estado abstracto paralelo y distribuido [25]. Los fundamentos del grupo de Ingeniería de Software en Microsoft Research desarrolla una potencia industrial especificación del lenguaje ASML que permite escribir y ejecutar máquinas de estado abstracto paralelo y distribuidos [2]. En 2001, los autores publicaron una definición de algoritmos paralelos derivada de los primeros principios, así como una prueba de que cada algoritmo paralelo es equivalente a una ASM paralelo [7]. Finalmente, notemos que los estudios fundacionales ir más allá de satisfacer nuestra curiosidad.
Máquinas de Turing con su recuento honesto de operaciones permitieron a la teoría de complejidad computacional. Máquinas kolmogorov máquinas de puntero habilitaron mejores medidas de complejidad. Las máquinas de estado abstracto permiten especificaciones precisas ejecutables de sistemas de software, aunque esta historia apenas comienza a desarrollarse [1, 2, 9].
The Church-Turing thesis 2.1 church + turing La célebre tesis de Church-Turing [10, 54] capturó la noción de función computable. Cada función computable a partir de los números naturales a los números naturales es recursiva y computable, en principio, por la máquina de Turing. La tesis suntuosamente ha confirmada en la práctica. Hablando en 1946 en la Conferencia Bicentenaria de Princeton, Godel dijo esto [19, artículo 1946]: Tarski ha destacado en su discurso (y creo que con razón) la gran importancia del concepto de recursividad general (o la computabilidad de Turing). Me parece que esta importancia se debe principalmente al hecho de que con este concepto he conseguido por primera vez dar una definición absoluta de una idea epistemológica interesante, es decir, no en función del formalismo elegido. En todos los demás casos tratados previamente, tales como demostrabilidad y definibilidad, nadie ha sido capaz de definir sólo en relación con la lengua dada, y para cada idioma, es evidente que el resultado obtenido no es el buscado. Por el concepto de computabilidad, sin embargo, a pesar de que no es más que un tipo especial de demostrabilidad o decidibilidad, la situación es diferente. Por una especie de milagro que no es necesario distinguir las órdenes, y en sentido cruzado no conduce fuera de la noción definida.
2.2 Church-Turing Se hizo común hablar de la tesis de Church-Turing. De hecho las contribuciones de Church y Turing son diferentes, y es la diferencia entre ellas de importancia para nosotros. La tesis de Church fue una audaz hipótesis sobre el conjunto de funciones computables. Turing analizó lo que puede suceder durante un cálculo y así llegó a su tesis. Tesis de Church. La noción de una función efectivamente calculable de los números naturales Church tenía en mente funciones totales [10]. Más tarde Kleene mejoró la tesis Church haciéndola extensiva a las funciones parciales [32].
Originalmente la hipótesis Church era que cada función efectivamente calculable a partir de los números naturales a los números naturales es definible en su cálculo lambda. Godel no compró eso. En 1935, Church escribió a Kleene en su conversación con Gödel [14, Página 9]. En la discusión de [sic] con él de la noción de lambda-definible, resultó que no había buena definición de la calculabilidad efectiva. Mi propuesta de que lambdadefinible deber tomarse como una definición de lo que él consideraba como completamente insatisfactoria. Yo le respondí que si él propondría cualquier definición de calculabilidad efectiva que parecía aun parcialmente satisfactorio que se encargaría de demostrar que estaba incluido en lambda-definible. Su única idea en ese momento era de que podría ser posible, en términos de calculabilidad efectiva como un concepto indefinido, para indicar un conjunto de axiomas que encarnan las propiedades de aceptación general de esta noción, y de hacer algo sobre esta base. Church continuo: Evidentemente se le ocurrió más tarde que la definición de Herbrand de recursividad, que no tiene en cuenta a la calculabilidad efectiva, podría ser modificada en el sentido de calculabilidad efectiva, y él hizo esta propuesta en sus conferencias. En ese momento él se abordan directamente la cuestión de la relación entre la recursividad en este nuevo sentido y calculabilidad efectiva, pero dijo que no creía que las dos ideas podrían ser satisfactoriamente identificado "excepto heurísticamente". Las conferencias de Godel mencionadas por Church fueron dadas en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton desde febrero hasta mayo de 1934. En una carta de 15 de febrero 1965, con Martin Davis, Gödel escribió [14, página 8]: Sin embargo, estaba, en el momento de estas conferencias [1934], no del todo convencido que mi concepto de recursividad comprende todas las posibles recurrencias. Poco después de las clases de Gödel, Church y Kleene demostró que la noción Herbrand-Gödel de recursividad general es equivalente a lambda-definible(en lo que se refiere a las funciones totales), y Church empezó a estar convencido de la exactitud de su tesis para publicarlo. Pero Godel no quedó convencido. En efecto, ¿por qué debería creer que lambda definible captura la noción de computabilidad? El hecho de que lambda definible es equivalente a la recursividad general, y para diversas otras formalizaciones de computabilidad que rápidamente
siguieron en el artículo de Church, sólo demuestra que la noción lambda definible de Church es muy robusto. Para ver una definición matemática que explica la noción de computabilidad, una necesita un análisis de este último. Esto es lo que Turing previó para justificar su tesis. Tesis de Turing Permite que ∑ sea un alfabeto finito. Una función parcial de cadenas sobre ∑ a cadenas sobre ∑ es efectivamente calculable si y sólo si es computable por una máquina de Turing.
Observación 2.1 Turing diseñó su máquina para calcular los números reales, pero la versión de la máquina de Turing que empezó a ser popular en trabajos sobre las cadenas de un alfabeto fijo. De aqui formulación de la tesis de Turing. Turing analizó un cálculo realizado por un humano. Hizo un número de supuestos simples sin pérdida de generalidad. Éstos son algunos de ellos. El ordenador escribe en un papel cuadriculado y, además, el papel de gráfico habitual puede ser sustituido por una cinta dividida en cuadrados. El equipo utiliza sólo un número finito de símbolos, un símbolo único en un cuadrado. "El comportamiento de la computadora en cualquier momento se determina por los símbolos que se está observando, y su estado “de memoria" en ese momento". Existe un límite en el número de símbolos observados en un momento dado. “También vamos a suponer que el número de estados de memoria que deben tenerse en cuenta es finito. . . Si admitimos una infinidad de estados de la memoria, algunos de ellos serán “arbitrariamente cerrados” y pueden ser confusos. Termina con una máquina de Turing que simula el cálculo original. Esencialmente Turing derivó su tesis más o menos de los primeros principios obvios aunque él no hizo el estado de aquellos primeros principios cuidadosamente. "Parece que sólo después de que la formulación de Turing apareció", escribe Kleene en [33,Página 61], "Gödel aceptó la tesis de Church, que se había convertido entonces la tesis de Church-Turing” . "Los argumentos de Turing ", agregados en [34, Página 48], eventualmente lo persuadieron.” Lambda cálculo de Church estaba destinado a jugar un papel importante en la teoría de programación. La matemáticamente elegante noción Herbrand-GödelKleene de las funciones recursivas parciales sirvió de trampolín para muchos desarrollos en la teoría de la recursividad. La máquina de Turing dió un conteo de pasos honestos y se convirtió, finalmente, el fundamento de la teoría de la complejidad.
Cuestiones relacionadas con 3.1 Física y cálculos ¿Qué tipo de cálculos se puede llevar a cabo en nuestro universo físico? no hablamos de lo que son las funciones computables. La cuestión es qué algoritmos son físicamente ejecutables. No esperamos una respuesta definitiva pronto, o nunca. Es importante, sin embargo, para poner las cosas en perspectiva. Muchas de las preocupaciones de las ciencias de la computación están por encima del nivel de la física. Sería genial si la física cuántica nos permite factorizar números rápido, pero esto probablemente no va a influir en gran medida la teoría de los lenguajes de programación. Aquí hay algunas referencias interesantes:
Robin Gandy intentó derivar tesis de Turing de una serie de "principios para mecanismos" [17]. Wilfried Sieg sigue esta línea de investigación [52]. David Deutsch [15] diseñó un ordenador cuántico universal, que se supone es capaz de simular el comportamiento de cualquier sistema físico finito. Charles H. Bennett y Landauer Rolf plantean en [3] problemas importantes relacionados con los límites físicos fundamentales de la computación. Marian Boykan Pour-El y Richards Ian [45] investigan en qué medida la computabilidad es preservada por las construcciones fundamentales de análisis, como los que se usan en las teorías clásica y cuántica de la física.
3.2 Tesis de Turing tiempo polinomial Hay varias versiones de la tesis Turing y tiempo polinomial discutidos en ciencias de la computación teórica. Por simplicidad, se restringe la atención a los problemas de decisión. Para justificar el interés de la clase de problemas P resolubles en tiempo polinómico por una máquina de Turing, a menudo se declara que un problema es factible (= prácticamente solucionables) si y sólo si es P. La teoría de complejidad dice que hay problemas P insolubles en el tiempo n1000. Una tesis más razonable es que un “problema natural” es factible si y sólo si es P. En la Reunión Anual de 1991 de la Asociación de la lógica simbólica, Steve Cook argumenta a favor de esa tesis, y el segundo autor argumenta en contra. Algunos de los argumentos se pueden encontrar en [11] y [24], respectivamente. Una versión relacionada pero diferente de la tesis de Turing de tiempo polinómico es un problema que está en P si se puede resolver en tiempo polinómico en absoluto, por cualquier medio. La razón es que cualquier presunto cómputo de
tiempo polinomial puede llevar mucho tiempo polinómico simulado por una máquina de Turing (de modo que el tiempo de cálculo de la máquina de Turing está delimitada por un tiempo polinómico de cálculo dado un dispositivo de cómputo). De hecho, la mayoría de los modelos "razonables" de computación son conocidos por ser polinomiales en tiempo equivalente a la máquina de Turing. "En cuanto a la objeción de que las máquinas de Turing son anteriores a todos estos modelos", dice Steve Cook [12]: "Yo respondería que los modelos basados en RAMs se inspiran en las computadoras reales, y no las máquinas de Turing ". Los modelos de computadora cuántica pueden factorizar enteros arbitrarios en tiempo polinomial [50], y no se cree que los ordenadores cuánticos puede ser simulado por máquinas de Turing de tiempo polinómico. Para los creyentes en los ordenadores cuánticos, es más natural hablar acerca de las máquinas de Turing probabilística. Citamos de [4]. Al igual que la teoría de la computabilidad tiene sus cimientos en la tesis de Church-Turing, la teoría de la complejidad computacional se basa en un moderno fortalecimiento de esta tesis, que afirma que cualquier modelo "razonable" de cálculo puede ser simulado en una forma eficiente por una máquina de Turing probabilística (una simulación eficiente es aquel cuyo funcionamiento está limitado en tiempo por algún polinomio en el tiempo de funcionamiento de la máquina simulada). En el sentido de tomar medidas razonables en principio físicamente realizable. El análisis de Turing no justifica de forma automática cualquiera de estas tesis nuevas. (Tampoco lo justifica, por ejemplo, la tesis de máquinas de Turing de tiempo polinomico interactivo que capturan algoritmos de tiempo polinomico interactivos.) ¿Alguna de las tesis se discutió anteriormente derivados de los primeros principios? Se puede analizar la justificación original de la Tesis Turing y ver si todas las reducciones de Turing son utilizados por las reducciones de tiempo polinomial. Pero uno tiene que preocuparse también de algoritmos no cubiertos directamente por el análisis de Turing.
3.3 Recursion De acuerdo con Yiannis Moschovakis, un algoritmo es un "recursor", un operador monótono de las funciones parciales al punto fijo que incluye (como un componente) la función que algoritmo calcula [44]. Él propone un lenguaje particular para definir recursores. Una definición puede usar varias bases: funciones o recursores. Moschovakis da algunos ejemplos y todos ellos son pequeños. El enfoque no parece escalar a los algoritmos que interactúan con un entorno desconocido. El
enfoque posterior se aplica a las clases bien conocidas de los algoritmos. Consideremos, por ejemplo maquinas de estado abstracto secuenciales o paralelas no interactivas (ASMs). ASM tiene un programa para hacer un solo paso. Hay un bucle de iteración implícita: repita el paso hasta que, si alguna vez, el cómputo termina. Considérese un operador tal que, dado un segmento inicial de un cálculo, que aumenta otro paso (a menos que el cálculo ha terminado). Este operador puede ser visto como un recursor. Por supuesto, los defensores de recursividad no les gusta tal recursor porque prefieren formas sin estados anteriores. No se tiene conocimiento de ningún modo deducir de los principios básicos de la tesis de que los algoritmos son recursores.
Formalización de algoritmos secuenciales ¿Es posible formalizar algoritmos secuenciales en sus niveles naturales de abstracción? Por otra parte, ¿hay un modelo de máquina que captura todos los algoritmos secuenciales en sus niveles naturales de abstracción? Según [27], la respuesta a ambas preguntas es sí. Se plantea el método de [27] y se presenta una pequeña pero útil generalización. Como un ejemplo de ejecución de un algoritmo secuencial, se utiliza una versión del algoritmo Euc de Euclides que, dados dos números naturales, calcular su máximo común divisor d. 1. Establecer a=Entrada 1, b=Entrada2 2. Si a=0 Entonces establecer d=b e ir a 1 Sino establecer a,b =b mod a, respectivamente e ir a 2 Inicialmente Euc espera a que el usuario proporcione números naturales Entrada1 y Entrada 2. La asignación en la última línea es simultánea. Si, por ejemplo, a = b = 6 y 9 en el estado actual, entonces a = 3 y b = 6 en el siguiente estado. 3.4.1 Postulado de tiempo secuencial Un algoritmo secuencial se puede ver como un autómata de estado finito o infinito. Postulado 1 (tiempo secuencial) un algoritmo secuencial A se asocia con
un conjunto no vacío S(A), cuyos miembros se llaman estados de A, un subconjunto no vacío I(A) de S (A), cuyos miembros se llaman estados iniciales de A, y un mapa TA: S (A) S(A) denominada la transformación de un paso de A
El postulado ignora estados finales [27, sección 3.3.2]. Estamos interesados en corridas donde los pasos del algoritmo se intercalan con las etapas de la ambiente. Un paso del medio ambiente consiste en cambiar el estado actual del algoritmo a cualquier otro estado. En particular, se puede cambiar el estado "final" a un estado no-final. Para hacer la transformación total de un solo paso, se supone que el algoritmo realiza una etapa de inactividad en los "estados finales". Claramente Euc es un algoritmo de tiempo secuencial. El entorno de Euc incluye a usuario que proporciona los números de entrada (y se espera que tome nota de las respuestas). Este postulado de tiempo secuencial comportamiento de equivalencia.
permite definir una buena noción de
Definicion 3.4.1 Dos algoritmos de tiempo secuencial son conductualmente equivalentes si tienen los mismos estados, los mismos estados iniciales y la misma transformación de un solo paso. El comportamiento equivalencia es demasiado bueno para muchos propósitos, pero es necesario para el siguiente. Corolario 3.4.2 Si los algoritmos A y B tienen comportamiento equivalente, entonces la etapa B paso-por-paso simula A en cualquier entorno. El caracter paso por paso de simulación es importante. Considere un sistema típico distribuido. Los agentes son secuenciales en tiempo, pero el sistema no lo es. El sistema garantiza la atomicidad de cualquier paso de cualquier agente, pero no de una secuencia de pasos de agente. Sea A el algoritmo ejecutado por uno de los agentes. Si el algoritmo simulado B realiza dos pasos para simular un paso de A, otro agente puede colarse entre los dos pasos de B y echar a perder la simulación.
4.1 Algoritmos de pasos pequeños Un objeto que satisface el postulado de tiempo secuencial no tiene por qué ser un algoritmo. Además se debe exigir que hay un programa para la transformación de un solo paso. Este requisito es difícil de captar directamente. Seguirá de otros requisitos en el enfoque de [27]. Además, un algoritmo de tiempo secuencial no es necesariamente un algoritmo secuencial. La propiedad que distingue algoritmos secuenciales entre todos los algoritmos de tiempo secuenciales es que los pasos son de una complejidad limitada. Los algoritmos analizados por Turing en [54] fueron secuenciales:
El comportamiento de la computadora en cualquier momento se determina por los símbolos que se está observando y su estado de memoria en ese momento. Se puede suponer que hay un B enlazado con el número de símbolos o cuadrados que el ordenador puede observar, en un momento. Si desea observar más, debe utilizar las observaciones sucesivas. También vamos a suponer que el número de estados de memoria que necesitan ser tomados en cuenta es finito. Los algoritmos analizados por Kolmogorov en [39] también son secuenciales: "Un proceso algorítmico se divide en etapas separadas de complejidad limitada." En estos días, hay una tendencia a utilizar el término "algoritmo secuencial" en el sentido más amplio de lo contrario de la noción de un algoritmo distribuido. Es decir, "secuencial" a menudo significa lo que hemos llamado "tiempo secuencial". Por eso, utilizamos el término "algoritmo de pequeño paso" como sinónimo de la expresión "algoritmos secuenciales" en su sentido tradicional.
4.2 Postulado de estado abstracto ¿Cómo se puede capturar la restricción de que los pasos de un algoritmo de paso pequeño son de complejidad limitada? ¿Cómo se puede medir la complejidad de computación de un solo paso? En realidad nosotros preferimos pensar en un trabajo limitado en lugar de complejidad limitada. El trabajo que un algoritmo de paso pequeño lleva a cabo en cualquier etapa única es limitada, y el enlazado depende sólo en el algoritmo y no depende de la entrada. Esta reformulación complejidad- trabajo no hace que el problema más fácil por supuesto. ¿Cómo se puede medir el trabajo que el algoritmo hace durante un paso? El algoritmo es un autómata de estado este punto de vista es demasiado simplista para hacer frente a la problema. Necesitamos saber más sobre lo que son los estados. Afortunadamente, esta pregunta puede ser respondida. Postulado 2 (Estado abstracto)
Estados de un algoritmo secuencial A son estructuras de primer orden. Todos los estado de A tienen el mismo vocabulario La transformación de una paso TA no cambia el conjunto base de cualquier estado. S(A) e I(A) son cerrados bajo isomorfismo. Además, cualquier isomorfismo de un estado X en un Estado Y también es un isomorfismo de TA(X) en TA(Y).
La noción de estructuras primer orden es bien conocida en la lógica matemática [49]. Utilizamos las siguientes convenciones:
Cada vocabulario contiene los símbolos lógicos siguientes: el signo de igualdad, los símbolos relación nularidad verdaderos y falsos, y los conectores booleanos habituales. Cada vocabulario contiene el símbolo de función nularidad undef. Algunos símbolos del vocabulario puede ser marcados como estáticos. Los símbolos restantes se marcan externo o dinámico, o ambos. Todos los símbolos lógicos son estáticos. En cada estructura, true es distinta de la false y undef, el signo de igualdad tiene su significado estándar, y las conectivas booleanas tienen sus significados convencionales sobre los argumentos booleanos.
Los símbolos true y false nos permiten tratar símbolos de relación como símbolos de función especiales. El símbolo undef nos permite tratar con funciones parciales; recordar que las estructuras de primer orden sólo tienen funciones totales. Las funciones estáticas (es decir, las interpretaciones de los símbolos de función estáticas) no cambia durante el cálculo. El algoritmo puede cambiar sólo las funciones dinámicas. El medio ambiente puede cambiar sólo las funciones externas.
Es fácil ver que las estructuras de orden superior son también estructuras de primer orden (aunque lógicas de orden superior son más ricos que lógica de primer orden). Nos referimos a [27] para justificar el postulado de estad-abstracto. Que nos acaba de señalar que la experiencia de la comunidad ASM confirma que las estructuras de primer orden son suficientes para describir cualquier situación estática matemática [1]. A menudo se dice que el estado está dado por los valores de sus variables. Nos tomamos esto literalmente. Cualquier estado de un algoritmo secuencial debe ser determinado de manera única (en el espacio de todos los estados del algoritmo) por las interpretaciones de los símbolos de función dinámicas y externos. ¿Cuál es el vocabulario (de los estados) de EUC? Además de los símbolos lógicos, que contiene los símbolos de función nularidad 0, a, b, d, INPUT1, INPUT2 y el símbolo de función binaria mod. Pero ¿qué pasa con las etiquetas 1 y 2? Euc tiene un implícito contador de programa. Tenemos cierta libertad para hacerlo explícito. Una posibilidad es introducir una variable booleana, que es un símbolo de relación nularidad, initialize toma el valor true exactamente en aquellos estados donde Euc consume entradas. Sólo los símbolos dinámicos son a, b, d, initialize y los símbolos externos son solamente INPUT1, INPUT2.
Formalización de algoritmos paralelos Animados por el éxito en la captura de la noción de algoritmos secuenciales en [27], "atacamos" algoritmos paralelos en [7]. El ataque tuvo éxito. Dimos una definición axiomática de algoritmos paralelos y comprobamos que el modelo de algoritmo paralelo más conocido (para nosotros) satisface los axiomas. Hemos definido con precisión una versión de máquinas de estados paralelos abstractos, una variante de la noción de ASMs paralelas de [25], y hemos comprobado que nuestros ASMs paralelas satisfacen las definiciones de algoritmos paralelos. Y hemos demostrado el teorema de caracterización de los algoritmos paralelos: Cada algoritmo paralelo es equivalente a un comportamiento paralelo ASM.
5.1 ¿que es un algoritmo paralelo? El término "algoritmo paralelo" se utiliza para un número de diferentes nociones en la literatura. Tenemos en mente tiempo secuencial de algoritmos que pueden exhibir paralelismo ilimitado, pero sólo secuencialidad delimitada dentro de un solo paso. Secuencialidad delimitada significa que hay una priori un límite en la longitud de las secuencias de eventos dentro de cualquier paso del algoritmo que debe producirse en un orden especificado. Para distinguir esta noción de algoritmos paralelos, llamamos estos algoritmos paralelos gran paso. Intuitivamente el ancho es la cantidad de paralelismo. El "paso" en el "gran paso" alude al tiempo secuencial. Observación 6,1 algoritmos de paso ancho son de profundidad limitada donde la profundidad es intuitivamente la cantidad de secuencialidad en un solo paso, lo que da lugar a un posible nombre alternativo a algoritmos de paso superficial para la gama paso algoritmos. Tenga en cuenta que el nombre de "paralelo", subraya el potencial en lugar de restricciones.
5.2 unas pocas palabras sobre algoritmo de paso ancho Adaptar el postulado de tiempo secuencial, la definición de comportamiento de equivalencia y el postulado de estado abstracto en algoritmos paralelos es simplemente mediante la sustitución de "secuencial" con "paralelo". El postulado exploración acotada, por otro lado, específicamente describe los algoritmos secuenciales. El trabajo que realiza un algoritmo paralelo en un solo paso puede ser ilimitado. Debemos abandonar el postulado exploración limitada y asumir, en su lugar, un axioma o axiomas específicamente diseñado para el paralelismo. Una observación clave es que un cálculo en paralelo consta de un número de procesos en funcionamiento (como es lógico) en paralelo. Los procesos integrados pueden ser paralelas también. Pero si analizamos el cálculo lo suficientemente
lejos entonces llegamos a los procesos, que llamamos proclets, que satisfacen el postulado exploración limitada. Varios postulados describen cómo los proclets se comunican unos con otros y cómo producir cambios. Y hay un postulado que requiere alguna unida d (dependiendo sólo en el algoritmo) para la cantidad de secuencialidad en el programa. La duración de cualquier secuencia de eventos que deben ocurrir en un orden especificado dentro de cualquier paso del algoritmo es a lo sumo d. Hay varios modelos de cálculo para algoritmos de paso ancho en la literatura. Los dos modelos más conocidos son circuitos booleanos y PARMs [35]. (PRAM es "Máquinas Paralelas de acceso aleatorio").
Hacia la formalización de algoritmos distribuidos Las maquinas de estado abstracto distribuidos se define en [25]. Son ampliamente utilizados por la comunidad ASM [1], pero el problema de la captura de algoritmos distribuidos es abierta. Aquí nos concentramos en un aspecto de este problema importante: la interacción entre un agente de tiempo secuencial y el resto del sistema como se ve por el agente. Uno puede tener la impresión de que este aspecto ha sido cubierto debido a lo largo de carreras donde se estudió los algoritmos de pasos se intercalan con los pasos realizados por el medio ambiente. Pero este modo de entrelazado no es lo suficientemente general.
Computadoras cuanticas 7.1 Historia de la computación cuántica Cuando teóricos tales como Richard Feynmann, del California Institute of Technology, de Pasadena (California); Paul Benioff, de Argonne National Laboratory, en Illinois; David Deutsch, de la Universidad de Oxford, en Inglaterra, y Charles Bennett, del T.J. Watson Research Center de IBM en Yorktown Heights (Nueva York), propusieron por primera vez el concepto de las computadoras cuánticas en las décadas de 1970 y 1980, muchos científicos dudaron que alguna vez ese tipo de computadora pudiera resultar práctica. Pero en 1994, Peter Shor, de AT and T Research, describió un algoritmo cuántico específicamente diseñado
para factorizar números grandes y exponencialmente más rápido que las computadoras convencionales, lo suficientemente rápido como para birlar la seguridad de muchos criptosistemas de clave pública. El potencial del algoritmo de Shor alentó a muchos científicos a tratar de explotar las capacidades de las computadoras cuánticas. En los últimos años, varios grupos de investigación de todo el mundo han alcanzado progresos significativos en este campo. Mientras estuvo en IBM, Chuang amplió su reputación como uno de los experimentalistas en computación cuántica más importantes del mundo. Dirigió el grupo que demostró la primera computadora cuántica de 1 qubit (en 1998 en la Universidad de California en Berkeley). En IBM Almaden, Chuang y sus colegas fueron los primeros en demostrar los importantes algoritmos cuánticos, el algoritmo de Grover concebido en 1999 para hacer búsquedas en bases de datos con ayuda de una computadora cuántica de 3 qubits, y la búsqueda de pedidos ideada el año pasado (agosto del 2000) con una computadora cuántica de 5 qubits. La factorización con el algoritmo de Shor anunciada hoy es el algoritmo más complejo que se haya demostrado hasta ahora usando una computadora cuántica. Además de su ambicioso programa experimental, la División de Investigación de IBM Research es conocida también por sus muchas contribuciones teóricas en el emergente campo de la información cuántica. Los científicos de IBM fueron pioneros en criptografía cuántica, en comunicaciones cuánticas (incluso el concepto de teleporte cuántico) y en metodologías eficientes para corregir errores. David DiVincenzo, miembro del cuerpo de investigadores del laboratorio Watson de IBM, ha promulgado los cinco criterios necesarios para construir una computadora cuántica práctica: 1) un sistema físico de escala flexible con qubits bien caracterizados; 2) capacidad de inicializar el estado de un qubit; 3) tiempos de descoherencia más largos que el tiempo de operación de la puerta cuántica; 4) un conjunto universal de puertas cuánticas; y 5) la capacidad de medir qubits específicos.
7.2 Computación cuántica En la computación cuántica, a diferencia de la computación actual donde cada bit puede estar en un estado discreto y alternativo a la vez, la unidad fundamental de almacenamiento es el bit cuántico, donde cada bit cuántico puede tener múltiples estados simultáneamente en un instante determinado, así reduciendo el tiempo de ejecución de algunos algoritmos de miles de años a segundos. La computación cuántica está basada en las interacciones del mundo atómico, y tiene elementos como el bit cuántico, las compuertas cuánticas, los estados confusos, la tele transportación cuántica, el paralelismo cuántico, y la criptografía
cuántica. Una arquitectura cuántica, muy aceptada entre los investigadores y orientada a ser compatible con las actuales arquitecturas, cuenta con memoria y una unidad de procesamiento aritmético/lógico, y con elementos cuánticos como la tele transportadora de código y el planificador dinámico. Su avance teórico ha sido muy exitoso, aún así, su realización depende de la futura implementación de una computadora cuántica, sin embargo ya se está desarrollando tecnología comercial basada en esta teoría. En este trabajo se desarrollan los fundamentos y los elementos básicos que conforman la computación cuántica. También se presenta una arquitectura cuántica muy aceptada entre los investigadores que desde un principio han orientado sus investigaciones hacia lograr una arquitectura compatible con las actuales, de ahí que esta tiene muchas semejanza con las arquitecturas existentes, con elementos propios de la computación cuántica. La comunidad científica dedicada a investigar tópicos en el ámbito de la computación cuántica, ha logrado enormes avances teóricos, al demostrar que es posible reducir drásticamente los recursos computacionales requeridos en la ejecución de algoritmos. Algunos de esos algoritmos requieren un inmenso poder de cómputo aún en las computadoras más avanzadas de la actualidad. Algunos algoritmos matemáticos como la búsqueda de los factores de números primos, algoritmos de manejo de información como la búsqueda en bases de datos no ordenadas; han sido teóricamente desarrollados con mucho éxito, utilizando los fundamentos de la computación cuántica. La teoría de la computación cuántica esta basada en las interacciones del mundo atómico y en futuras implementaciones de las computadoras cuánticas. Estas aún están en los laboratorios de investigación pero ya se tienen resultados alentadores, como el desarrollo de la computadora cuántica de cinco qubits desarrollado por Steffen.
7.3 Fundamentos de la computación cuántica Este, definitivamente es uno de los métodos que se deberían desarrollar más (a mi punto de vista), pues son de los que ofrecen una gama de prestaciones enormes; imaginarse que los dispositivos de almacenamiento más avanzados hasta ahora se duplicaran, suena bastante interesante, pues los qubits pueden representar cuatro números a la vez, siendo que la lógica binaria sólo permite un 1 ó un 0 para un solo bit. Esto definitivamente implica una duplicación, por así decirlo de la capacidad de procesamiento no sólo de las memorias o dispositivos de almacenamiento secundario; sino además en todos los demás componentes de un sistema informático como pueden ser: microprocesadores, tarjetas de video, de sonido, etc.
Además, lógicamente estos descubrimientos aumentarían notablemente la velocidad de los micros y de todos sus demás componentes. Bueno, empezaré entonces con la explicación del principio de la computación cuántica. En la computación tradicional, un bit es la mínima unidad de información pero, para representarlo, se utiliza la ausencia o la presencia de miles de millones de electrones en un diminuto transistor de silicio. La computación cuántica pretende utilizar un principio básico de la mecánica cuántica por el cual todas las partículas subatómicas (protones, neutrones, electrones, etc.) tienen una propiedad asociada llamada spin. El spin se asocia con el movimiento de rotación de la partícula alrededor de un eje. Esta rotación puede ser realizada en un sentido, o el opuesto. Si por ejemplo tomamos como bit al spin de un protón, podemos usar una dirección como 1 y otra como 0. Estos bits, tomados a partir del spin de las partículas han recibido el nombre de qubits. Sin embargo, en mecánica cuántica el estado de una partícula se determina a través de la asignación de una probabilidad, no podemos hablar de un estado 1 ó 0 claramente determinado. Esta aparente ambigüedad tiene una ventaja que convierte a la computación cuántica en un desarrollo revolucionario: La lógica de un bit es uno u otro , mientras que un qubit (nombre dado al bit cuántico) entraña el concepto ambos a la vez. Si tomamos por ejemplo dos bits, sus estados posibles son cuatro: 00, 01, 10, 11. Son necesario cuatro pares de bits para representar la misma información que un solo par de qubits con comportamiento ambiguo. Los qubits pueden representar en este caso cuatro números a la vez, cuatro respuestas posibles a la vez. Procesamiento paralelo real, la Meca de la computación. Sus aplicaciones principales entran en el campo de la criptografía y teoría de numero, y en el análisis de gigantescos volúmenes de información. No todos los problemas pueden ser resueltos por este tipo de lógica. Sin embargo, una computadora cuántica podría resolver los que sí pueden, a una velocidad varias veces superior a la de los microprocesadores conocidos hasta hoy, esta también se considera una tecnología hipotética, pues aún sólo se ha quedado en la investigación sin llegar a desarrollar un sistema completo utilizando esta lógica, pero aún así, si se logra implantar algún día será definitivamente demasiado cara debido a las características necesarias para su buen funcionamiento. Señalan en la Universidaed de Michigan que se esta a punto de entrar a la nueva era de la computación puesto que se elevará la velocidad en el procesamineto de la información de manera sorprendente ¿cómo, bueno indican que mediante la utilización de Circuitos que combinan la mecánica cuántica con los principios de la computación.
Señalan los investigadores que los nuevos ordenadores realizaran los cálculos más complejos en mucho menor tiempo. En un artículo publicado en Physical Review Letters, se realiza una propuesta de un circuito realizable de forma experimental contemplando de esta manera una forma de implementar una computación cuántica escalable. Se cree que esta tecnología proporcionará sistemas en los que participarán muchos qubits, lo que hará posible construir un ordenador cuántico. Bajo esta linease ha escrito en la Universidad de Michigan el artículo titulado "Scalable quantum computing with Josephson charge qubits". La información se procesará mediante átomos individuales o partículas subatómicas llamadas qubits. Pero la tarea no resulta nada sencilla puesto que para poder utilizar esta tecnología será estrictamente necesario manipular preparar, y medir el frágil estado cuántico de un sistema. Asimismo dentro de las mayores dificultades que se presentan son que es necesario manejar muchos qubits, y controlar la conectividad entre ellos. La computación cuántica esta basada en las propiedades de la interacción cuántica entre las partículas subatómicas, como la superposición simultanea de dos estados en una sola partícula subatómica. La superposición cuántica, propiedad fundamental de la interacción cuántica, es ampliamente aprovechada para el desarrollo teórico de los algoritmos cuánticos, logrando una capacidad de procesamiento exponencial. La superposición cuántica permite mantener simultáneamente múltiples estados en un bit cuántico, es decir "0" y "1" a la vez; a diferencia del bit – elemento fundamental en la computación actual – que únicamente es capaz de mantener un estado discreto, alternativo, a la vez, el "0" o "1" lógico. La computación cuántica, aprovecha la superposición cuántica, para lograr el paralelismo cuántico y el paralelismo cuántico masivo. Cualquier interacción con el mundo subatómico, producirá un cambio en este, es decir, cualquier medición o lectura traerá indefectiblemente un cambio. Este fenómeno cuántico es aprovechado en la tele transportación cuántica para la transmisión de qubits, y asimismo es utilizada como mecanismo de seguridad en la criptografía cuántica.
7.3 Elementos básico de la computación cuántica 7.3.1 El bit cuántico "qubit" El elemento básico de la computación cuántica es el bit cuántico o qubit (quantum bit por sus siglas en inglés), un qubit representa ambos estados simultáneamente, un "0" y un "1" lógico, dos estados ortogonales de una sub partícula atómica,
como es representada en la figura 1. El estado de un qubit se puede escribir como { ½ 0ñ , ½ 1ñ } , describiendo su múltiple estado simultaneo. Un vector de dos qubits, representa simultáneamente, los estados 00, 01, 10 y 11; un vector de tres qubits, representa simultáneamente, los estados 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, y 111; y así sucesivamente. Es decir un vector de n qubits, representa a la vez 2n estados.
Figura 1. Representación de cuatro estados diferentes de un qubit. [Steffen01] Cualquier sistema cuántico con dos estados discretos distintos puede servir como qubit, un espín de electrón que apunta arriba o abajo, o un espín de fotón con polarización horizontal o vertical. En la figura 1 se tiene una representación pictórica de cuatro diferentes estados basado en el espín de un núcleo atómico, por lo que puede ser usado como un qubit. Un qubit no puede ser clonado, no puede ser copiado, y no puede ser enviado de un lugar a otro. 7.3.2 Compuertas cuánticas Las compuertas lógicas son operaciones unarias sobre qubits. La compuerta puede ser escrita como P(q )=½ 0ñ á 0½ + exp(iq ) + ½ 1ñ á 1½ , donde q = w t. Aquí algunas compuertas cuánticas elementales: [Steane97] I º ½ 0ñ á 0½ + ½ 1ñ á 1½ = identidad X º ½ 0ñ á 1½ + ½ 1ñ á 0½ = NOT Z º P(p ) Y º XZ Hº Donde I es la identidad, X es el análogo al clásico NOT, Z cambia el signo a la amplitud, y H es la transformación de Hadamard. Esas compuertas forman uno de los más pequeños grupos de la computación cuántica. La tecnología de la física cuántica puede implementar esas compuertas
eficientemente. Todos excepto el CNOT operan en un simple qubit; la compuerta CNOT opera en dos qubits. Una compuerta de dos qubits en especial interesante, es la conocida como "U controlada", [Steane97] ½ 0ñ á 0½ Ä I +½ 1ñ á 1½ Ä U son operadores actuando sobre dos qubits, donde I es la operación de identidad sobre un qubit, y U es una compuerta. El estado del qubit U es controlado mediante el estado del qubit I. Por ejemplo el NOT controlado (CNOT) es: ½ 00ñ à ½ 00ñ ; ½ 01ñ à ½ 01ñ ; ½ 10ñ à ½ 11ñ ; ½ 11ñ à ½ 10ñ
7.4 "Entanglement" La capacidad computacional de procesamiento paralelo de la computación cuántica, es enormemente incrementada por el procesamiento masivamente en paralelo, debido a una interacción que ocurre durante algunas millonésimas de segundo. Este fenómeno de la mecánica cuántica es llamado "entanglement". Debido al "entanglement", dos partículas subatómicas, permanecen indefectiblemente relacionadas entre si, si han sido generadas en un mismo proceso. Por ejemplo la desintegración en un positrón y un electrón. Estas partículas forman subsistemas que no pueden describirse separadamente. Cuando una de las dos partículas sufre un cambio de estado, repercute en la otra. Esta característica se desencadena cuando se realiza una medición sobre una de las partículas. [White00]
7.5 Tele transportación cuántica La tele transportación cuántica es descrita por Stean [Steane97] como la posibilidad de "transmitir qubits sin enviar qubits". En la computación tradicional para transmitir bits, estos son clonados o copiados y luego enviados a través de diferentes medios como el cobre, fibra óptica, ondas de radio y otros. En la computación cuántica no es posible clonar, copiar, o enviar qubits de un lugar a otro como se hacen con los bits. Si enviamos un qubit ½ Æ ñ donde Æ es un estado desconocido, el receptor no podrá leer su estado con certidumbre, cualquier intento de medida podría modificar el estado del qubit, por lo tanto se perdería su estado, imposibilitando su recuperación. La tele transportación cuántica, resuelve este problema, esta se basa en el "entanglement" para poder transmitir un qubit sin necesidad de enviarlo. El emisor y el receptor poseen un par de qubits "enredados" (entangled). Entonces el qubit es transmitido desde el emisor, desaparece del emisor y el receptor tiene el qubit tele transportado. Este fenómeno es posible debido a un mecanismo conocido como el efecto EPR. En la tele transportación cuántica primero dos qubits E y R son "enredados" y luego separados (entangled), el qubit
R es ubicado en el receptor y el qubit E es ubicado en el emisor junto al qubit original Q a ser transmitido, al realizar la lectura del estado de los dos qubits Q y E, estos cambian su estado a uno aleatorio debido a la interacción. La información leída es enviada al receptor, donde esta información es utilizada para un tratamiento que es aplicado al qubit R, siendo ahora R una réplica exacta del qubit Q.
7.6 El paralelismo cuántico La superposición cuántica permite un paralelismo exponencial o paralelismo cuántico en el cálculo, mediante el uso de las compuertas lógicas de qubits. [Steffen01] Los qubits, a diferencia de los bits, pueden existir en un estado de superposición, representado por a½ 0ñ + b½ 1ñ , donde a y b son números complejos que satisfacen la relación ½ a½ 2 + ½ b½ 2 = 1. Dada una compuerta lógica de un qubit f, que transforma el estado ½ a½ en el estado ½ f(x)½ , cuando el qubit de entrada tiene en el estado [Steffen01] una superposición igual de ½ 0ñ y ½ 1ñ . Por linealidad de los mecánica cuántica, la compuerta lógica f transforma el estado del qubit a
. [Steffen01]
El estado resultante es la superposición de los 2 valores de salida, siendo f evaluado para los 2 valores de entrada en paralelo. Para una compuerta lógica g de 2 qubits, que tienen dos qubits de entrada en superposición de ½ 0ñ y ½ 1ñ , tendríamos una superposición de 4 estados La
compuerta
. [Steffen01] lógica g transforma
el
estado
de
entrada
a
[Steffen01] así g es evaluado en un solo paso para 4 valores de entrada. En una compuerta lógica h de 3 qubits, se tienen 3 qubits de entrada en superposición de ½ 0ñ y ½ 1ñ , juntos hacen una superposición de 8 estados, que son evaluados en paralelo. Por cada qubits adicional la cantidad de estados se duplica.
7.7 Criptografía cuántica Criptografía, es la ciencia matemática de las comunicaciones secretas, tiene una larga y distinguida historia de uso militar y diplomático que se remonta a los antiguos Griegos. Fue un elemento importante y decisivo durante la segunda guerra mundial. Hoy en día su uso es muy común y necesario, para brindar
seguridad en las transacciones comerciales, comunicaciones, y privacidad; que se llevan a cabo mediante Internet. [Bennett98] Dado M y f, donde M es un mensaje y f una función de encriptación, tenemos C = f(M), C entonces es el mensaje encriptado. C es enviado al receptor mediante un canal público, este obtiene el mensaje original con f-1, haciendo M = f-1(C). Si f1 es conocido y C es interceptado en el canal público, entonces se puede obtener M. La seguridad de f depende de la dificultad con que pueda obtenerse f1. El factorizar es un aspecto muy importante en la criptografía moderna, debido a que, la seguridad del mecanismo de criptografía RSA de clave pública, se basa en la dificultad de factorizar número grandes. El mejor algoritmo para hallar los factores aún sigue siendo el de las divisiones sucesivas. Dado M, R1 y R2, mediante el mecanismo de RSA se define una función p, tal que C1 = p(Q1, P1, M1) y C2 = p(Q2, P2, M2), donde P1 y P2 son claves públicas generadas en base a Q1 y Q2 que son claves privadas pertenecientes a A y B respectivamente. A y B comparten sus respectivas claves públicas P1y P2, y ambos pueden obtener y descifrar sus mensajes mediante p-1, de tal modo que M1 = p-1(Q1, P1, M1) y M2 = p-1(Q2, P2, M2). El tiempo que requeriría el realizar la factorización se estima en aproximadamente 4x1016 años. Sin embargo en 1994 se logró desarrollar un algoritmo, usando recursos en redes, donde la factorización únicamente tomo 8 meses, el equivalente a 4,000 MIPS-años. [Hughes94]. Los algoritmos cuánticos de factorización, se estima que realizarían este cálculo en segundos. Utilizando claves privadas, es posible – al menos en teoría – tener un algoritmo de encriptación imposible de romper. El emisor cada vez que envía un mensaje M, genera aleatoria mente una diferente clave privada P, mediante una función de encriptación E se codifica el mensaje de tal modo que C = E( P, M ). El receptor necesita la clave privada P para poder realizar el proceso inverso M = E-1( P, C ). Actualmente este mecanismo es utópico, debido a la gran dificultad que surge en la distribución de la clave privada P, debido a que necesita un canal muy seguro para su entrega. La criptografía cuántica hace posible la distribución de la clave privada P. P es transmitida mediante un canal cuántico. Cualquier intento de medir P será notado, debido a que es imposible observar un qubit sin dejar rastro. [Bennett98] La distribución cuántica de claves es posible con la tecnología existente. En 1997 Zbinden et al [Zbinden98] lograron distribuir cuánticamente una clave a través de 23 Km. de fibra bajo el lago Génova.
COMPUTADORA CUANTICA Una definición acerca de las computadoras cuánticas ampliamente aceptada por los investigadores, es la expuesta por Beth [Beth00]. El la concibe como un sistema de circuitos cuánticos, actuando en un espacio de estados, que es un espacio complejo 2n-dimensional de Hilbert. El circuito es una secuencia de transformaciones unitarias Ut SU(2n) seguido por una medición. Esas transformaciones, son llamadas compuertas cuánticas, y son controladas por una computadora clásica. El espacio de estados de una computadora cuántica tiene la estructura de un espacio de un vector Hermitian. Así esto permite la superposición simultanea de estados básicos ortogonales (correspondientes a estados clásicos "0" y "1") con la posibilidad de interferencia constructiva y destructiva entre las diferentes rutas de computación. Este principio permite el uso de los estados confusos (entangled states).
8.1 Requerimientos de implementación Para la implementación de una computadora cuántica, se deben cumplir al menos cinco requisitos. Primero, se necesita un sistema de qubits. Segundo, los qubits deben ser individualmente direccionables y deben interactuar con otros para conformar compuertas lógicas de propósito general. Tercero, debe ser posible la inicialización de las compuertas. Cuarto, se debe tener la posibilidad de extraer los resultados computacionales. Y Quinto, es la necesidad de un tiempo de coherencia duradero.
8.2 IBM logra una nueva meta histórica con su computadora cuántica Científicos del Laboratorio de Investigación de IBM en Almaden, San José, California, llevaron a cabo el cálculo más complicado que se haya completado hasta la fecha en una computadora cuántica. En el experimento, los científicos hicieron que un trillón de moléculas diseñadas a la medida y contenidas en una probeta se transformaran en una computadora cuántica de siete qubits para resolver una versión sencilla del problema matemático que se encuentra en el corazón de muchos de los sistemas criptográficos actuales destinados a la seguridad de datos. "Este resultado refuerza la conciencia creciente de que las computadoras cuánticas pueden resolver algún día problemas tan complejos que incluso las supercomputadoras más poderosas son incapaces de responder así trabajaran durante millones de años", manifestó Nabil Amer, gerente y estratega del grupo de física de la información del Departamento de Investigación de IBM. En la revista científica Nature, un grupo integrado por científicos de IBM y por estudiantes de
segundo ciclo de la Universidad de Stanford informan la primera demostración del "Algoritmo de Shor", un método desarrollado en 1994 por Peter Shor, científico de AT and T, para que una computadora cuántica futurista encontrara los factores de un número, es decir, los números que multiplicados entre sí dan el número original. Hoy, descomponer en factores un número grande es un problema tan difícil para las computadoras convencionales (aunque sea algo tan sencillo de verificar) que la descomposición en factores es un elemento utilizado en muchos métodos criptográficos para proteger los datos. Una computadora cuántica deriva su potencia de ciertas propiedades cuánticas de los átomos o núcleos que les permiten funcionar como bits cuánticos, o "qubits", y servir simultáneamente de procesador y memoria en la computadora. Dirigiendo interacciones entre qubits aisladas del entorno externo, los científicos pueden hacer que una computadora cuántica realice ciertos cálculos (por ejemplo factorizar) en forma exponencialmente más rápida que las computadoras convencionales. Cuando en una computadora convencional se factorizan números grandes, cada dígito añadido duplica aproximadamente el tiempo requerido para encontrar los factores. En una computadora cuántica, en cambio, el tiempo de factorización es un incremento constante con cada dígito adicional. El ejemplo significativo más sencillo del Algoritmo de Shor es el de encontrar los factores del número 15, una operación que requiere una computadora cuántica de siete qubits. Los químicos de IBM diseñaron y elaboraron una nueva molécula que tiene siete spins nucleares -los núcleos de cinco átomos de flúor y de dos de carbono- que pueden interactuar como qubits, programarse mediante pulsos de radio frecuencias y detectarse con instrumentos de resonancia magnética nuclear (Nuclear Magnetic Resonance--NMR) similares a los actualmente utilizados en hospitales y laboratorios químicos. En un tubo, los científicos de IBM controlaron un trillón de esas moléculas para ejecutar el algoritmo de Shor, e identificaron correctamente 3 y 5 como los factores de 15. "Aunque la respuesta puede parecer trivial, el control sin precedentes de los siete spins durante el cálculo hizo de éste el cómputo cuántico más complejo realizado a la fecha", señaló Amer. "Ahora tenemos el desafío de convertir la computación cuántica en una realidad de la ingeniería", indicó Isaac Chuang, líder del grupo de investigación y ahora profesor adjunto en MIT. "Si podemos realizar este cálculo en escalas mucho mayores -digamos miles de qubits para factorizar números muy grandes- se necesitarían hacer cambios fundamentales en las implementaciones criptográficas".
Aún cuando el potencial de la computación cuántica es enorme y los progresos alcanzados recientemente son alentadores, las computadoras cuánticas comerciales están a muchos años de distancia. Las computadoras cuánticas basadas en NMR son todavía experimentos de laboratorio y las primeras aplicaciones de la computación cuántica tomarían probablemente la forma de coprocesadores para llevar a cabo funciones específicas, por ejemplo resolver problemas matemáticos difíciles, sistemas de modelaje cuántico y búsquedas no estructuradas. Los procesadores de texto o las tareas que requieren resolver problemas sencillos se manejan más fácilmente con ayuda de las computadoras actuales. La demostración de IBM del algoritmo de Shor muestra también el valor de los experimentos en la computación cuántica usando NMR, un enfoque introducido independientemente a mediados de la década de 1990 por Chuang y Neil Gershenfeld de MIT, y por David Cory y colegas, también de MIT. "Nuestros experimentos con NMR nos estimularon a desarrollar herramientas fundamentales para tipos futuros de computadora cuántica", comentó Chuang. "La más importante de esas herramientas fue una manera de simular y predecir la degradación de la señal causada por la des coherencia -fluctuaciones cuánticas no deliberadas. Esta herramienta nos permitió minimizar los errores de des coherencia en nuestro experimento de 7 qubits". Y aún cuando NMR seguirá siendo un banco de pruebas para desarrollar herramientas y técnicas de computación cuántica, será difícil desarrollar y sintetizar moléculas dotadas de más de siete qubits. En consecuencia, nuevos experimentos de IBM y de otros se proponen desarrollar nuevos sistemas de cómputo cuántico capaces de aumentar de escala más fácilmente para alcanzar el número grande de qubits requerido en las aplicaciones prácticas. Entre los candidatos principales se cuentan hoy los spins electrónicos confinados en nanoestructuras de semiconductores (llamados a menudo puntos cuánticos), spins nucleares asociados con impurezas de un solo átomo en un semiconductor, y el flujo electrónico o magnético por superconductores. Se están evaluando también implementaciones atómicas y ópticas.
8.3 La Computación Cuántica y sus consecuencias en la Criptografía actual En el año de 1982 aparecen las primeras ideas de lo que hoy se conoce como computación cuántica, Feyman observa que ciertos efectos de la mecánica cuántica (leyes de la física a nivel de particular elementales) no pueden ser simulados por una computadora digital, e insinúa que la computación en general puede ser eficientemente mejorada aprovechando esos efectos de la mecánica cuántica. No es hasta 1985 cuando Deutsch describe un modelo de una computadora cuántica, de alguna manera similar como en 1936 fue propuesto el
modelo de la máquina de Turing que sirvió como preámbulo de las actuales computadoras. Un principio de la máquina de Turing es afirmar que puede simular cualquier dispositivo físico, cosa que parece no ser cierta cuando se considera fenómenos de la física cuántica. Sin embargo los modelos de computación cuántica que se han propuesto deben de tener como un caso particular el modelo de la computación actual. Una computadora cuántica es hipotéticamente una máquina que usa los principios de la mecánica cuántica para realizar sus operaciones básicas. A partir de Deutsch ha existido una gran cantidad de aportaciones a sus ideas, una nueva aportación que puede aparecer en la computación cuántica es una forma diferente de realizar los algoritmos como lo muestra el propuesto por Shor en 1994 para resolver el problema del Logaritmo Discreto y el Problema de Factorización. En términos básicos la computación tradicional se basa en el manejo de bits, es decir la unidad de información más básica con lo que construye los puente lógicos y así un lenguaje formal con lo que operan todas las computadoras, en el caso de la computación cuántica se considera el qubits que se basa en una propiedad cuántica de la superposición, es decir que un mismo registro almacena al mismo tiempo el valor binario 0 y el 1. Esto permite que un registro de 2 qubits almacena los valores 00, 01, 10 y 11, así también un registro con 3 qubits almacena entonces los valores 000. 001, 010, 011, 100, 101, 110 y 111, en general un registro de n qubits almacena al mismo tiempo 2n valores. Esto quiere decir de forma general que las operaciones que requieren tiempo exponencial se pueden reducir a un tiempo completamente lineal n, lo que naturalmente tendría un impacto en la criptografía actual como lo mostró Shor. Una forma de construir un qupuente es usar la transformada de Hadamard, se puede ver que las entradas a la transformada de Hadamard (|0>, | 0>,... |0>) de un registro de un n-qubits se transforman en cualquier estado del tipo (|a1>, |a2>,..., |an>) donde la |ai> es cualquier suposición del 0 o 1, esto constituye una qufunción booleana y así poder construir el qu-XOR, qu-AND, etc., lo que permitiría efectuar al menos las mismas operaciones de una computadora digital. En 1997 se ha mostrado que la Resonancia Magnética Nuclear puede ser adaptada para lograr los requerimientos de una computadora cuántica. En agosto pasado se dio la noticia que en los laboratorios de la IBM se había podido construir una computadora cuántica con 3 qubits, sin embargo es necesario primero construir computadoras de cientos o miles de qubits para que
se considere una buena computadora cuántica además de resolver las dificultades de poder construirla. Recientemente el equipo de Chaung ha podido construir una computadora cuántica de 5 qubits, generalizando el algoritmo de Shor para generar el orden de una permutación, el corazón de esto es usar la transformada de Furier cuántica que permite determinar más eficientemente la periodicidad desconocida de una función que no se sabe nada de ella. En el experimento se usa una molécula con 5 spins sujeto a un campo magnético estático, que funciona como un qubits. Estos qubits fueron manipulados usando resonancia magnética nuclear. En este caso se resolvió el problema de "ordenfinding" que simplemente significa encontrar un número mínimo de aplicaciones de una función f, hasta regresar a su estado inicial, algo similar a encontrar el orden de un elemento en un grupo finito. Cuando se colocan en un campo magnético estático cada spin tiene dos valores propios de energía discreta spin-up |0> y spindown |1>, descritos por un Hamiltoniano. Todo esto constituye un 5-qubits en donde se pudo construir el puente lógico que efectúa eficientemente el algoritmo que resuelve el problema de "orden-finding" controlando en este caso el problema de "coherent" o de múltiple correspondencia, que es uno de los problemas más complicados para poder construir computadoras cuánticas de varios qubits. Obviamente existen tanto tendencias pesimistas que afirman que las computadoras cuánticas nunca se podrán construir, como afirmaciones que predicen que es solo cuestión de años, es naturalmente difícil predecir cuándo se podrá tener una computadora cuántica, pero conforme pasa el tiempo se ve más claramente cual es el siguiente escalón en el desarrollo de la tecnología, desde el proceso manual, el mecánico, el electrónico, el digital y ahora el cuántico. Quizá sean entre 20 y 30 años los que tengan que pasar para ver materializada una computadora cuántica.
8.4 La computación cuántica se acerca a la electrónica tradicional (ScienceDaily) Investigadores de la Universidad de California, en Santa Barbara (UCSB), y de la Universidad de Pittsburgh ofrecieron pruebas de que la información del spin cuántico puede ser manejada localmente usando circuitos eléctricos de alta velocidad. Así lo anunciaron en el abstract de un trabajo presentado del 23 de enero en el website de "Science Express": el portal rápido de la revista Science para publicaciones de hallazgos científicos importantes que aparecerán luego en la publicación impresa. Los hallazgos son importantes porque muestran una compuerta lógica cuántica de estado sólido (por ejemplo: un mecanismo de control) que trabaja con tecnologías de activación de la electrónica de hoy en día, en computadoras actuales.
La investigación fue llevada a cabo por una asociación entre David Awschalom, profesor de Física, Electricidad e Ingeniería de Computación en la UCSB y director del Center for Spintronics and Quantum Computation (parte del California NanoSystems Institute [CNSI]), y Jeremy Levy, profesor asociado de Física en la Universidad de Pittsburgh y director del Center for Oxide-Semiconductor Materials for Quantum Computation. Hace un año, en un programa de Quantum Information del Kavli Institute for Theoretical Physics en la UCSB, los dos físicos se metieron en una conversación que los llevó a descubrir cómo los spins de los electrones en semiconductores podían ser manipulados en las tres dimensiones. El problema es viejo. Las técnicas de resonancia de spin, usadas extensamente para obtener imágenes por resonancia magnética e identificación química, manipulan los spins del electrón y del núcleo en tres dimensiones, usando una varación rápida de campos magnéticos. Pero estos campos son difíciles de generar y controlar a una escala local. Por otra parte, el control local de los campos eléctricos forma la base de todo lo que hay en electrónica, desde CPUs a teléfonos celulares. El desafío era imaginar cómo controlar los spins de los electrones usando campos eléctricos. Awschalom y Levy encontraron la forma de transformar campos eléctricos en efectivos campos magnéticos que permitieran manipular el spin del electrón. El resultado final es resonancia de spin de electrón (ESR, por sus siglas en inglés) en un chip. Esta nanoestructura permite que usando una señal de bajo voltaje en compuertas tradicionales para operar sobre el spin del electrón en cualquiera de las tres direcciones en que puede apuntar el eje, con un ancho de banda del orden del GigaHertz, y sin requerir campos magnéticos variables en el tiempo. "El experimento muestra que es posible construir un conjunto muy escalable de compuertas cuánticas usando semiconductores de una forma relativamente directa", explicó Awschalom. Los fondos para esta investigación fueron provistos por la Defense Research Project Agency (DARPA) de los Estados Unidos.
Referencias [1] Andreas Blass, Yuri Gurevich. “algorithms: A quest for absolute definitions” Bulletin of European Association for Theoretical Computer Science 81, 2003 [2] The AsmL webpage, http://research.microsoft.com/foundations/AsmL/. [3] Charles H. Bennett and Rolf Landauer, “Fundamental physical limits of computation", Scientific American 253:1 (July 1985) [4] Ethan Bernstein and Umesh Vazirani, “Quantum complexity theory", SIAM Journal on Computing 26 (1997) [5] Nasser Darwish. Computación Cuantica. Universidad de la laguna [10] Alonzo Church, “An unsolvable problem of elementary number theory", American Journal of Mathematics 58 (1936), [11] Stephen A. Cook, “Computational complexity of higher type functions", Proceedings of 1990 International Congress of Mathematicians, Kyoto, Japan, Springer Verlag [12] Stephen A. Cook, Private communication, 2003. [14] Martin Davis, “Why Godel didn't have Church's thesis", Information and Control 54 (1982), [17] Robin Gandy, “Church's thesis and principles for mechanisms", In J. Barwise, H. J. Keisler, and K. Kunen, Eds., The Kleene Symposium, NorthHolland, 1980
