Notas de las harlas introdu torias a la Computa ión Cuánti a Alejandro Díaz-Caro
diaz arof eia.unr.edu.ar Departamento de Cien ias de la Computa ión Fa ultad de Cien ias Exa tas, Ingeniería y Agrimensura Universidad Na ional de Rosario, Argentina
Junio de 2005
2007
de Alejandro Díaz-Caro
Creative Commons Attribution-NonCommer ial-ShareAlike 2.0
a Na he
iv
Prefa io Estas son las notas de un pequeño urso de uatro lases di tado en la Universidad Na ional de Rosario de introdu
ión a la Computa ión Cuánti a, realizado entre Mayo y Junio de 2005. La inten ión de estas notas es que sirvan omo una primera referen ia para matemáti os y ientistas de la omputa ión a este fa inante mundo. Bajo ninguna ir unstan ia puede onsiderarse a estas notas omo algo ompleto, sólo pretenden ayudar a dar los primeros pasos.
vi
Prefa io
Índi e general Prefa io
v
1. 1er día
1
1.1.
1.2.
1.3.
Brevísima introdu
ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1.
El porqué de la omputa ión uánti a . . . . . . . . . .
1
1.1.2.
Un po o de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Espa io de Hilbert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1.
Espa io pre-Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2.
Espa io de Hilbert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Produ tos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4.
E⊗F
. . . . . . . . . . . .
5
Ejemplo de Nota ión de Dira . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1.
Una propiedad del espa io
2. 2do día
7
2.1.
Nota ión de Dira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.
Representa ión de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3.
Qubit y qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3. 3er día
15
3.1.
Teorema de No-Clonning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2.
Estados de Bell
16
3.3.
Codi a ión Superdensa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4.
Teleporta ión Cuánti a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.5.
Paralelismo Cuánti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.5.1.
Algoritmo de Deuts h
22
3.5.2.
Algoritmo de Deuts h-Jotza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
ÍNDICE GENERAL
viii
4. 4to día 4.1.
4.2.
27
Algoritmo de Búsqueda de Grover . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1.1.
Orá ulo
27
4.1.2.
Inversión sobre el promedio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.1.3.
El algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1.4.
Cál ulo del número óptimo de itera iones . . . . . . . .
31
Apli a iones Criptográ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.1.
One-time pad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.2.
Criptosistema Cuánti o QKD-BB84 . . . . . . . . . . .
34
Capítulo 1 1er día 1.1. Brevísima introdu
ión 1.1.1.
El porqué de la omputa ión uánti a
La omputa ión uánti a es un
paradigma de omputa ión distinto al
de la omputa ión lási a. Se basa en el uso de
qubits en lugar de bits, y da lugar a nuevas puertas
lógi as que ha en posibles nuevos algoritmos. Una misma tarea puede tener
diferente omplejidad
en omputa ión
lási a y en omputa ión uánti a, lo que ha dado lugar a una gran expe ta ión, ya que algunos problemas intratables pasan a ser tratables.
1.1.2.
1936
Un po o de historia
Alan Turing inventa la MT para demostrar que existían problemas matemáti os que no eran omputables.
Ley de Moore
⇒ Disminu ión en
tamaño, mayor poder de ómputo. Sin em-
bargo, los problemas que requieren re ursos exponen iales siguen ausando problemas.
1982
Ri hard Feynman sugiere que simular sistemas uánti os ne esariamente requiere re ursos exponen iales. Sin embargo la naturaleza es apaz de simularlo de manera e iente!
2 1985
1er día David Deuts h des ribe el primer modelo para una Quantum Turing Ma hine basada en la utiliza ión de datos y ontrol uánti os.
1993
Charles Bennett y otros ientí os de IBM diseñaron el experimento de Teleporta ión.
1994
Peter Shor des ribe un algoritmo uánti o para fa torizar números que es exponen ialmente más rápido que ualquier algoritmo lási o ono ido. El poten ial de ese algoritmo atrajo mu ha inversión de entes estatales y privados.
1996
Lov K. Grover rea un algoritmo apaz de ha er búsquedas sobre datos desordenados on un orden de omplejidad
O(n),
obteniendo así una
a elera ión uadráti a para la búsqueda.
1998
Isaa Chuang dirige el grupo de Berkeley que desarrolla la primera
omputadora uánti a de 1 qubit.
2001
Un grupo de IBM desarrolla una omputadora uánti a apaz de ontrolar 7 qubits, on ella prueban el algoritmo de Shor fa torizando el número 15.
1.2. Espa io de Hilbert 1.2.1.
Espa io pre-Hilbert
De ni ión 1 sobre
E
Sea
E
un espa io lineal sobre
es una apli a ión
h, i : E × E → K
K.
Un produ to interno de nido
que veri a ser:
De nida positiva:
hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ E
y
hx, xi = 0 ⇔ x = 0E
Lineal por dere ha:
hz, λx + µyi = λhz, xi + µhz, yi, ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ K Antilineal por izquierda:
hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi, ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ K
1.2 Espa io de Hilbert
3
Hermíti a:
hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ E
De ni ión 2
Un espa io pre-Hilbert es Un espa io lineal sobre
K
on pro-
du to interno.
Nota 1pTodo espa io pre-Hilbert es un espa io lineal normado on la norma hx, xi
kxk =
1.2.2.
Espa io de Hilbert
De ni ión 3 Si
Xn una su esión de ve tores del espa io V . kXn − Xm k → 0 uando n, m → ∞, enton es la su esión Xn Sea
es una
su esión de Cau hy.
O lo que es lo mismo: si enton es la su esión
Nota 2
Xn
∀ε > 0, ∃N ∈ N
si
n, m ≥ N, kXn − Xm k < ε
es una su esión de Cau hy.
Esto quiere de ir que puedo ha er distar entre sí los términos tan
po o omo quiera.
Nota 3
Toda su esión onvergente es de Cau hy, PERO NO A LA INVER-
SA.
Ejemplo 1 Sea
F
Una su esión de Cau hy no onvergente
el espa io ve torial de fun iones reales
de nido omo:
hf, gi =
Z
C[0, 1]
on produ to interno
1
f (x)g(x)dx
0
{fn } on 1 1 − (x − 21 )n fn (x) = 0
Y sea la su esión
{fn }
si si si
0 ≤ x ≤ 12 1 < x < 12 + n1 2 1 + n1 ≤ x ≤ 1 2
es una su esión de Cau hy, ya que
kfn − fm k2 = hfn − fm , fn − fm i =
4
1er día = Pero
Z
1 0
2
| (fn − fm )(x) | dx =
{fn }
Z
1 1 1 +max{ n ,m} 2 1 2
no onverge, ya que uando
fun ión dis ontinua (y el espa io
F
| (fn − fm )(x) |2 dx ≤ ε
n → ∞,
esta su esión tiende a una
es el espa io de fun iones ontinuas en
[0, 1]).
De ni ión 4 V
es ompleto para la norma
Cau hy onverge.
De ni ión 5
k · k,
si y sólo si toda su esión de
Un espa io pre-Hilbert ompleto en su norma se denomina es-
pa io de Hilbert.
1.3. Produ tos tensoriales De ni ión 6 de orden
El produ to tensorial de dos matri es,
k × l,
orden
k × 1,
Ejemplo 2
de orden
se de ne omo la matriz
De ni ión 7
P
P ⊗Q=
.. .
P
de orden
obtengo el produ to tensorial entre ve tores.
q11
p11 ... q1k .. P ⊗Q= . q11 p .. 1m . q1k
Q
Q
de
pn1 Q . . . pnm Q
En parti ular, tomando las matri es
y
p11 Q . . . p1m Q .. .
n×m
n×1
y
1.4 Ejemplo de Nota ión de Dira De ni ión 8
5
El produ to tensorial de espa ios ve toriales se de ne omo
sigue. Sea B1 = {ei }, i = 1, . . . , dim(E) una base de E , y B2 = {fj }, j = 1, . . . , dim(F ) una base de F , enton es, el produ to tensorial de B1 y B2 es una nueva base, y el espa io generado por ella es el espa io E ⊗ F . En símbolos: B1 ⊗ B2 = B3 y L{B3 } = E ⊗ F . por ejemplo: B1 = {v1 , v2 }, B2 = {u1 , u1 } enton es B3 = {v1 ⊗ u1 , v1 ⊗ u2 , v2 ⊗ u1 , v2 ⊗ u2 }
1.3.1.
Una propiedad del espa io
Existen ve tores de y uno de
F
Ejemplo 3
E⊗F
que no son produ to tensorial entre uno de
α 0 v= 0 β
Demostra ión:
E⊗F
on
E
α, β 6= 0
Supongamos que existen dos ve tores, tales que el produ to tensorial es igual a
v,
enton es:
α ac ad 0 c a = ⊗ bc = 0 d b β bd
y este es un sistema que no tiene solu ión.
ac = α ad = 0 ⇒ bc = 0 bd = β
1.4. Ejemplo de Nota ión de Dira De namos
|0i =
1 0
|1i =
0 1
6
1er día Y ahora podemos onsiderar las ombina iones lineales de
siguiente manera:
α |0i + β |1i = α
1 0
+β
0 1
=
α β
|0i
y
|1i
de la
Enton es, podemos es ribir ualquier ve tor olumna de dos dimensiones
omo una ombina ión lineal de
|0i
y
|1i
En general, puedo de nir osas omo
|+i =
√1 (|0i 2
+ |1i) =
√1 2 √1 2
!
|−i =
√1 (|0i 2
− |1i) =
√1 2 − √12
!
y omo estos son dos ve tores ortogonales (por ende, forman una base), ahora puedo es ribir ualquier ve tor omo ombina ión lineal de Por ejemplo:
α β
|+i
1 1 = α |0i + β |1i = √ (α + β) |+i + √ (α − β) |−i 2 2
y
|−i.
Capítulo 2 2do día 2.1. Nota ión de Dira Nota 4
Consideraremos de aquí en más, ex epto que se indique lo ontrario,
el espa io omplejo de dimensión
De ni ión 9
N , CN .
Llamamos Ket a un ve tor de la forma
|ψi =
α1 .. .
αN
y Bra a un ve tor de la forma
∗ hψ| = (α1∗ , . . . , αN )
donde
Nota 5
αi ∈ C
Además,
y
αi∗
denota el onjugado de
αi .
|λ1 ψ1 + λ2 ψ2 i = λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i.
A partir de esta de ni ión, podemos llamar braket a la siguiente opera ión
∗ hψ|φi = (α1∗ , . . . , αN )
β1 . ..
βN
=a∈C
8
2do día
Proposi ión 1 de Hilbert
C
La opera ión braket de ne un produ to interno en el espa io
N
Demostra ión: De nida positiva:
hψ|ψi = Lineal por dere ha:
N X i=1
|αi |2 ≥ 0
hψ|λ1 φ1 + λ2 φ2 i = λ1 hψ|φ1 i + λ2 hψ|φ2i Antilineal por izquierda:
hλ1 ψ1 + λ2 ψ2 |φi = λ∗1 hψ1 |φi + λ∗2 hψ2 |φi Hermíti a:
hψ|φi = hφ|ψi∗
De ni ión 10 ortonormal de
B = {|ui i}N ,
Dado un onjunto
CN
sii
se di e que
B
es una base
hui |uj i = δij Enton es, todo Ket
|ψi
se puede expresar omo
|ψi = además, puedo de ir que
N X j=1
aj |uj i =
La base ortonormal
di ión de lausura
i=1
ai |ui i
ai = hui|ψi ∈ C
hui|ψi = hui|
De ni ión 11
N X
N X i=1
ya que
N X j=1
aj hui|uj i = ai | {z }
B = {|ui i}N
|uii hui | = I
δij
umple on la siguiente on-
2.2 Representa ión de Operadores
9
ya que N X i=1
!
N X
|ui i hui | |ψi = =
N X
i,j=1 además, a todo Bra
i=1
|ui i hui |
aj |ui i hui |uj i = | {z }
hφ|
δij
N X i=1
!
N X j=1
aj |ui i
!
ai |uii = |ψi
lo puedo es ribir omo
hφ| =
N X i=1
b∗i hui|
b∗i = hφ|uii ∈ C ya que " N # N X X hφ|uii hui| ⇒ b∗i = hφ|uii hφ| = hφ| |uii hui | =
y se puede ver que
i=1
| i=1 {z
}
I
De aquí en más, nos referiremos sólo a los ve tores normalizados ( on N norma 1) de C , esto es
1 = kψk2 = hψ|ψi = N X
i,j=1
N X j=1
a∗j huj |
a∗j ai huj |ui i = | {z } δij
N X i=1
!
N X i=1
ai |uii
|ai |2 = 1
2.2. Representa ión de Operadores Un operador
A
es una matriz de la forma
N N X X |uj i huj | |ui i hui| A A= = j=1 i=1 {z } | | {z } I
I
!
=
10
2do día |−i
N z }| { X αij |uii huj | |uii hui | A |uj i huj | = | {z }
N X
i,j=1
i,j=1
αij
A son (αij )N . el operador A a un Ket |ψi ualquiera ! ! N N X X ak |uk i = αij |uii huj |
enton es, los elementos de matriz de Veamos esto apli ando
A |ψi = N X
i,j,k=1
i,j=1
k=1
αij ak |ui i huj |uk i = | {z } δij
enton es, las omponentes del ve tor
bi =
N X
N X
i,j=1
A |ψi
αij aj |ui i
son
αij aj
j=1
Viendo esto on la nota ión matri ial (en base anóni a) tendremos:
De ni ión 12
α11 .. .
α1N .. .
αN 1 · · · αN N
. . .
aN j=1 α1j aj .. . PN j=1 αN j aj PN
El adjunto de un operador
la siguiente manera
Nota 6
···
a1
A
se nota por
αij = hui | A |uj i
las omponentes de
∗ αji = huj | A |uii∗ = hui | A† |uj i
A† = (A∗ )T .
y se de ne de
hφ| A |ψi∗ = hψ| A† |φi
Re ordando que
O sea:
A†
A†
son
2.2 Representa ión de Operadores Propiedades 1
Sean
A
y
B
11
operadores de
CN , λ ∈ C
|φi ∈ CN
y
†
(A† ) = A (A + B)† = A† + B † (λA)† = λ∗ A† (AB)† = B † A† hAφ| = hφ| A†
De ni ión 13
Al operador
ye ta ortogonalmente un Ket Veamos:
P ≡ |φi hφ| se |ψi ualquiera
le llama proye tor ya que prosobre el Ket
|φi.
P |ψi = |φi hφ|ψi = cj |φi | {z } cj ∈C
De ni ión 14 Nota 7
El operador
A
de di e hermíti o si y sólo si
Si es hermíti o, su diagonal debe ser real, ya que
αii∗
De ni ión 15
o lo que es lo mismo
Propiedades 2 U
U se † A = A−1
El operador
∗ αij = αji ⇒ αii =
di e unitario si y sólo si
Para ualquier operador
U
A = A†
U † U = UU † = I ,
unitario vale:
preserva el produ to interno, esto es † hUφ|Uψi = hφ| U U |ψi = hφ|ψi |{z} I
U −1 Si
es unitario.
{|ψi i}N
es base ortonormal, enton es
{U |ψi i}N
también lo es.
12
2do día
De ni ión 16
Un onjunto de matri es
de medi ión si satisfa e k X
{Mi }k
se di e que es un operador
Mi Mi † = I
i=1
Un sistema representado por un Ket
|ψi puede evolu ionar de dos maneras:
Por la apli a ión de un operador unitario y hermíti o
|φi
U
U |ψi −→
|ψi = U |φi Por la apli a ión de un operador de medi ión de la siguiente manera:
|φi
{Mi }k |ψi −→
Mi |φi |ψi = q hφ| Mi † Mi |φi
No puedo saber qué
Mi
para algún
1≤i≤k
se va a apli ar, sólo su probabilidad que viene
dada por la siguiente ley:
p(i) = hφ| Mi † Mi |φi donde
Ejemplo 4
p(i)
denota la probabilidad que se aplique la matriz
Sea el siguiente operador medi ión:
M0 = |0i h0| =
1 0 0 0
M1 = |1i h1| =
M0 M0 † + M1 M1 † = M0 + M1 = I ∴ |ψi = α |0i + β |1i, aplique M0 es Sea
Mi
0 0 0 1
es un operador de medi ión.
enton es, la probabilidad de que en la medi ión se
p(0) = hψ| M0 † M0 |ψi = (α∗ h0| + β ∗ |1i)M0 (α |0i + β |1i)
2.3 Qubit y qubits
13 h0|
|0i
|0i
0
z }| { z }| { z }| { z }| { = |α|2 h0| M0 |0i +α∗ β h0| M0 |1i +αβ ∗ h1| M0 |0i +|β|2 h1| M0 |1i = |α|2 | {z } | {z } | {z } | {z } 1
0
0
0
análogamente
p(1) = hψ| M1 † M1 |ψi = |β|2
Notemos que dado que el ve tor está normalizado:
1 = |α|2 + |β|2 = p(0) + p(1) Ahora veamos a qué evolu iona el sistema. Si se apli ó
M0
obtenemos el
sistema en el siguiente estado:
q
M0 |ψi
α M0 |ψi = = p |0i |α| † p(0) hψ| M0 M0 |ψi
Notemos que este estado nal está normalizado, dado que
Análogamente si se apli ó
2 2 α = |α| = 1 |α| |α|2 M1
obtenemos
β M1 |ψi p = |1i |β| p(1)
2.3. Qubit y qubits De ni ión 17 de Hilbert
Un qubit o bit uánti o es un ve tor normalizado del espa io
C2
Si onsidero la base
{|0i , |1i}
de
C2 ,
ualquier qubit puede es ribirse
|ψi = α |0i + β |1i
on
|α|2 + |β|2 = 1.
De ni ión 18
Un sistema de N-qubits será un ve tor del espa io
NN
i=1
C2
14
2do día
Nota 8
La base anóni a del espa io
|1 . . . 11i} = {|ii}i=0,...,2N −1
NN
i=1
C2
es
{|0 . . . 00i , |0 . . . 01i , . . . ,
Un algoritmo uánti o onsiste en la evolu ión de un sistema representado por N-qubits. A los operadores unitarios hermíti os se les llama ompuertas uánti as. Las más importantes, por su utilidad en el diseño de algoritmos, son las siguientes: La transforma ión
H |0i = H |1i = La identidad
H
de Hadamard:
√1 (|0i 2 √1 (|0i 2
+ |1i) − |1i)
1 1 1 −1
I=
donde:
1 0 0 1
X: X |0i = |1i X |1i = |0i
El ambio de fase
donde:
X=
0 1 1 0
Z=
1 0 0 −1
CNOT =
Z:
Z |0i = |0i Z |1i = − |1i La Controlled-Not
donde:
CNOT :
CNOT |0xi = |0xi CNOT |1xi = |1i ⊗ X |xi En parti ular, las matri es Pauli
I: I |0i = |0i I |1i = |1i
La nega ión
H=
donde:
√1 2
donde:
I , X , iXZ
y
Z
I 0 0 X
son las llamadas matri es de
Capítulo 3 3er día 3.1. Teorema de No-Clonning Teorema 1 |ϕi ∈ CN
y
No existe
∀ |ψi ∈ CN
U,
operador unitario y hermíti o, tal que para algún
se umpla
U |ψϕi = |ψψi Antes de pro eder a demostrar este teorema, veamos una pequeña propiedad del produ to interno "Bra-Ket".
hab|cdi =
N X
a∗i ci
i=1
N X b∗j dj = ha|cihb|di ∀a, b, c, d ∈ CN j=1
Ahora si estamos en ondi ión de ha er la demostra ión.
U de la ual |ψi , |φi ∈ CN tengo
Supongamos que existe la opera ión enton es, dados ualesquiera
U |ψϕi = |ψψi y
U |φϕi = |φφi esto signi a que
se habla en el teorema,
16
3er día hUψϕ|Uφϕi = hψψ|φφi | {z } | {z } (1)
Veamos
(2)
(1) = hψϕ| U † U |φϕi = hψϕ|φϕi = hψ|φi hϕ|ϕi = hψ|φi | {z } 1
por otro lado
(2) = hψψ|φφi = hψ|φihψ|φi = hψ|φi2
∴ hψ|φi = hψ|φi2 ⇒ hψ|φi = 0 óhψ|φi = 1
No puede ser que son iguales.
0 ya que |ψi y |φi son dos Kets ualesquiera y si es 1 signi a
3.2. Estados de Bell Sea el siguiente ir uito uánti o
|xi |yi
H
•
βxy
Veamos qué su ede on ada posible entrada.
|00i |00i
|01i |01i
H(1) 1 1 √ (|0i + |1i) |0i = √ (|00i + |10i) −→ 2 2 CNOT (1, 2) 1 √ (|00i + |11i) = β00 −→ 2 H(1) 1 1 √ (|0i + |1i) |1i = √ (|01i + |11i) −→ 2 2 CNOT (1, 2) 1 √ (|01i + |10i) = β01 −→ 2
3.2 Estados de Bell |10i |10i
|11i |11i
17 H(1) 1 1 √ (|0i − |1i) |0i = √ (|00i − |10i) −→ 2 2 CNOT (1, 2) 1 √ (|00i − |11i) = β10 −→ 2 1 H(1) 1 √ (|0i − |1i) |1i = √ (|01i − |11i) −→ 2 2 CNOT (1, 2) 1 √ (|01i − |10i) = β11 −→ 2
A estos uatro estados se les llama Estados de Bell, los uales son estados C4 .
entangled de
A los estados entangled también se les llama estados EPR debido a la paradoja planteada por Einstein, Podolsky y Rosen[4℄ la ual di e que si tengo un par entangled, por más lejano que tenga un qubit del otro, al efe tuar una medi ión sobre uno de ellos, el otro qubit también olapsará. Esto se puede apre iar mejor on un pequeño ejemplo.
Ejemplo 5
Sea el onjunto de matri es
M = {M0 , M1 }
donde
M0 = |0i h0| M1 = |1i h1| por la ondi ión de lausura de las bases (tomando en uenta la base anóni a de
C2 ),
se umple 1 X
Mi † Mi =
i=0
∴
el onjunto
M
1 X
Mi = I
i=0
es un operador de medi ión.
Apliquemos este operador al primer qubit del estado sultados posibles. Si se apli a se aplique será
M0
M0
β00
y veamos los re-
(el ual lo expresamos omo
M0 ⊗ I
para que
al primer qubit y la identidad al segundo), el estado resultante
(M0 ⊗ I)β00 p p(0)
18
3er día =q
(|00i h00| + |01i h01|) √12 (|00i + |11i) √1 (h00| 2
+ h11|)(|00i h00| + |01i h01|) √12 (|00i + |11i) √1 (|00i h00|00i) 2
=q
Análogamente, si se apli a
Nota 9
Notemos que
1 h00|00ih00|00i 2
M1
= |00i
al primer qubit obtendré
|11i
β00 = (X ⊗ I)β01 = (Z ⊗ I)β10 = (XZ ⊗ I)β11
3.3. Codi a ión Superdensa El objetivo de esta té ni a es transmitir 2 bits lási os enviando tan sólo 1 qubit. Los pasos a seguir por el emisor (a quien llamaremos Ali e) y el re eptor (a quien llamaremos Bob) son los siguientes.
Paso 1. Ali e y Bob preparan un estado β00 . Paso 2. Ali e se queda on el primer qubit del par y Bob se lleva el segundo. Paso 3. Ali e apli a una transforma ión a su qubit, de a uerdo a los bits que quiere enviar, siguiendo la siguiente tabla
Bits a enviar
Compuerta a apli ar
00 01 10 11
I X Z ZX
Paso 4. Ali e envía su qubit a Bob. Paso 5. Bob apli a CNOT a los dos elementos del par. Paso 6. Bob Apli a Hadamard al primer qubit. Paso 7. Bob realiza una medi ión.
3.4 Teleporta ión Cuánti a
19
El ir uito ompleto queda de la siguiente manera
Z b1 X b2
|
•
H
NM
|b1 i
NM
|b2 i
|
β00
|
Ejemplo 6
Supongamos que queremos enviar los bits
(ZX ⊗ I)
β00
a
11,
enton es apli amos
(ZX ⊗ I)β00 = (Z ⊗ I) ((X ⊗ I)β00 ) 1 = (Z ⊗ I) (X ⊗ I) √ (|00i + |11i) 2 = (Z ⊗ I)
1 √ (|10i + |01i) 2
1 = √ (− |10i + |01i) = β11 2
El resto del ir uito (a partir de la línea punteada verti al) es el ir uito inverso al de Bell, por lo tanto, al nal de la medi ión obtendré el estado
|11i.
Para enviar ualquier otro par de bits se realiza un desarrollo análogo. Notar que la apli a ión de la ompuerta
Z b1 X b2
ambia el estado
β00
a
βb1 b2 .
3.4. Teleporta ión Cuánti a El objetivo de esta té ni a es transmitir un qubit mediante el envío de dos bits lási os. Los pasos a seguir por Ali e y Bob son los siguientes.
Paso 1. Ali e y Bob preparan un estado β00 . Paso 2. Ali e se queda on el primer qubit del par y Bob se lleva el segundo. Paso 3. Ali e apli a CNOT entre el qubit a transmitir y el primero del par β00 .
20
3er día
Paso 4.
Ali e apli a Hadamard al primero de sus dos qubits, luego realiza
una medi ión sobre ambos y envío el resultado de la medi ión (2 bits
lási os) a Bob.
Paso 5. Bob apli a una transforma ión sobre su qubit, de a uerdo a los bits re ibidos, basándose en la siguiente tabla
Bits re ibidos
Compuerta a apli ar
00 01 10 11
I X Z ZX
El ir uito ompleto queda de la siguiente manera
|ψi
•
H
NM
NM
β00 Z b1 X b2 donde
|ψi
|ψi
es el qubit a teleportar.
Veamos, sea
|ψi = α |0i + β |1i,
enton es
|ψi ⊗ β00 = (α |0i + β |1i)
1 √ (|00i + |11i) 2
1 = √ (α |0i (|00i + |11i) + β |1i (|00i + |11i)) 2 CNOT (1, 2) 1 √ (α |0i (|00i + |11i) + β |1i (|10i + |01i)) −→ 2 H(1) 1 √ −→ 2
1 1 α √ (|0i + |1i)(|00i + |11i) + β √ (|0i − |1i)(|10i + |01i) 2 2
3.5 Paralelismo Cuánti o =
21
1 [|00i (α |0i + β |1i) 2 + |01i (α |1i + β |0i) + |10i (α |0i − β |1i) + |11i (α |1i − β |0i)] 1
1 X = |b1 b2 i (X b2 Z b1 ) |ψi 2 b b =0 1 2
Por lo tanto, apli ando
Nota 10
Z b1 X b2
Si a la ompuerta
puertas, debo ha erlo omo matriz
X
b2
y luego
Z
b1
Bob obtendrá el estado original
Z b1 X b2 X
b2
Z
|ψi.
quiero es ribirla omo dos omb1
, ya que primero se apli ará la
.
3.5. Paralelismo Cuánti o Consideremos una fun ión
f : {0, 1} → {0, 1}. Si en una omputadora lá-
si a quiero evaluar esta fun ión. debo ha er el ál ulo para todas las entradas posibles (f (0) y
f (1),
en este aso).
Consideremos ahora una ompuerta uánti a
Uf
de
C4
tal que
Uf |x, yi = |x, y ⊕ f (x)i donde
⊕
simboliza la suma módulo
2.
Por la de ni ión anterior tenemos que
Uf |x, 0i = |x, f (x)i Ahora onsideremos el siguiente ir uito
|0i |0i
H Uf
|ψi =
|0,f (x)i+|1,f (1)i √ 2
22
3er día Veamos
|00i
1 H(1) 1 √ (|0i + |1i) |0i = √ (|00i + |10i) −→ 2 2 Uf 1 √ (|0, f (0)i + |1, f (1)i) −→ 2
La salida de este ir uito me da un estado que es superposi ión de todos los resultados posibles de la apli a ión de la fun ión
f.
En prin ipio esta no
sería una idea muy prá ti a, ya que no puedo saber un valor parti ular de
3.5.1.
f.
Algoritmo de Deuts h
El objetivo de este algoritmo es saber si una fun ión es onstante. Representamos el algoritmo on el siguiente ir uito
|01i
|0i
H
|1i
H
H Uf
NM
H(1, 2) 1 1 1 √ (|0i + |1i) √ (|0i − |1i) = |xi √ (|0i − |1i) −→ 2 2 2
√1 (|0i + |1i). 2 Veamos qué su ede on la apli a ión de la ompuerta
donde
|xi =
Uf
para ada una de
las posibilidades
1 Uf |x, 0i = √ (|0, f (0)i + |1, f (1)i) 2 1 Uf |x, 1i = √ (|0, 1 ⊕ f (0)i + |1, 1 ⊕ f (1)i) 2 por lo tanto
Uf |xi
|0i − |1i √ 2
1 1 = √ Uf (|x, 0i − |x, 1i) = √ (Uf |x, 0i − Uf |x, 1i) 2 2
3.5 Paralelismo Cuánti o 1 =√ 2
23
1 1 √ (|0, f (0)i + |1, f (1)i) − √ (|0, 1 ⊕ f (0)i + |1, 1 ⊕ f (1)i) 2 2
=
1 (|0, f (0)i + |1, f (1)i − |0, 1 ⊕ f (0)i − |1, 1 ⊕ f (1)i) 2
Enton es, si
f (0) 6= f (1)
|0i − |1i |0i − |1i 1 √ √ = ± (|00i + |11i − |01i − |10i) = ± 2 2 2 y si
f (0) = f (1) 1 |0i + |1i |0i − |1i √ √ = ± (|00i + |10i − |01i − |11i) = ± 2 2 2
Luego, apli o la última ompuerta Hadamard y obtengo
H(1) |0i − |1i √ Si f (0) = f (1) ± |0i −→ 2 H(1) |0i − |1i √ Si f (0) 6= f (1) ± |1i −→ 2 Por lo tanto, uniendo las salidas posibles tengo
|0i − |1i √ ± |f (0) ⊕ f (1)i 2
Enton es, midiendo el primer qubit puedo saber si los valores de
f
son
iguales o distintos entre sí. Hasta aquí no obtuve demasiada ganan ia on respe to a un algoritmo
lási o, ya que lási amente me bastaba on 3 opera iones (evaluar la fun ión en las 2 entradas posibles y ompararlas). Veamos una modi a ión a este algoritmo que nos dará la verdadera ganan ia on respe to a su ontrapartida lási a.
24
3er día
3.5.2.
Algoritmo de Deuts h-Jotza
Este algoritmo es una generaliza ión del anterior. Supongamos que tengo
f que toma n bits y devuelve 0 ó 1 y quiero saber si es onstante devuelve 0 para la mitad de las entradas posibles y 1 para la otra mitad.
una fun ión o si
Consideremos el siguiente ir uito
|0i
H
|0i
H
H H Uf
. ..
|1i
NM
NM
. ..
H
La entrada de este algoritmo es
|0i⊗n |1i = |0 . . . 01i.
Apli ando las
n+1
ompuertas Hadamard sobre la entrada, obtengo
|0i + |1i √ 2
⊗n
Aquí la ompuerta
Uf
|0i − |1i √ 2
=
X
x∈{0,1}n
|xi |0i − |1i √ √ 2n 2
será una generaliza ión del aso anterior y se om-
portará de la siguiente manera
Uf |x, yi = |x, y ⊕ f (x)i enton es
Uf |x, 0i = |x, f (x)i y
Uf |x, 1i = |x, 1 ⊕ f (x)i Por lo tanto
Uf
X
x∈{0,1}n
|xi |0i − |1i √ √ = 2n 2
3.5 Paralelismo Cuánti o X
x∈{0,1}n
=
X
√
x∈{0,1}n
X
√
x∈{0,1}n
=
X
x∈{0,1}n
25 1 |0i − |1i √ Uf |xi √ 2n 2 1
2n+1
1 2n+1
(Uf |x, 0i − Uf |x, 1i) =
(|x, f (x)i − |x, 1 ⊕ f (x)i)
1 √ |xi 2n
|f (x)i − |1 ⊕ f (x)i √ 2
Notemos que
H |0i = H |1i =
√1 (|0i 2 √1 (|0i 2
+ |1i) − |1i)
)
1 X ⇒ H |yi = √ (−1)yz |zi 2 z∈{0,1}
por lo tanto
H ⊗n |xi = H ⊗n |x1 . . . xn i
X X 1 1 = √ (−1)x1 z1 |z1 i · · · √ (−1)xn zn |zn i 2 z ∈{0,1} 2 z ∈{0,1} n
1
1 =√ 2n
X
z∈{0,1}n
(−1)x·z |zi
x · z = x1 z1 + . . . + xn zn . n ompuertas Hadamard restantes X X 1 1 |f (x)i − |1 ⊕ f (x)i H(1, . . . , n) x·z √ √ √ (−1) |zi −→ 2n 2n z∈{0,1}n 2 x∈{0,1}n
donde
Ahora sí, apliquemos las
26
3er día =
X (−1)x·z |zi |f (x)i − |1 ⊕ f (x)i √ 2n 2 n
X
x∈{0,1}n z∈{0,1}
Anali emos este resultado. Si
f
es onstante
=±
X (−1)x·z |zi |0i − |1i √ 2n 2 n
X
x∈{0,1}n z∈{0,1}
Y en los términos en que
±
X
x∈{0,1}n
z = 0,
los primeros
n
qubits son
2n ⊗n |0i⊗n = ± |0i = ± |0i⊗n 2n 2n
por lo tanto los términos en que
z 6= 0 se deberán anular por la ondi ión
de normalidad, quedando el resultado
± |0i
⊗n
|0i − |1i √ 2
lo que nos di e que si medimos los primeros Si
f
n qubits obtendremos |0i⊗n .
no es onstante (50 % de las ve es devuelve
enton es para
0
y
=
50 %
devuelve
1),
z=0 X
x∈{0,1}n
X
|0i⊗n 2n
x∈{0,1}n
|f (x)i − |1 ⊕ f (x)i √ 2
|0i⊗n (−1)x n 2
|0i − |1i √ 2
=0
por lo tanto al realizar la medi ión de los primeros ⊗n algo distinto de |0i . Con lusión: Si obtengo
|0i⊗n
n
qubits obtendré
a la salida de la medi ión, la fun ión es ons-
tante, en otro aso la fun ión es balan eada.
Capítulo 4 4to día 4.1. Algoritmo de Búsqueda de Grover 4.1.1.
Orá ulo
Consideremos la ompuerta
Uf ,
Uf |x, bi = |x, b ⊕ f (x)i Si tomamos
b=
√1 (|0i 2
− |1i),
enton es
1 1 Uf |x, bi = Uf |xi √ (|0i − |1i) = √ [Uf |x, 0i − Uf |x, 1i] 2 2 1 1 = √ (|x, f (x)i − |x, 1 ⊕ f (x)i) = |xi √ (|x, f (x)i − |x, 1 ⊕ f (x)i) 2 2 = (−1)f (x) |x, bi Notemos que
Uf
no modi a el estado
b,
por lo tanto podemos omitirlo y
referirnos a esta transforma ión omo
U |xi = (−1)f (x) |xi a la ual se le llama Orá ulo.
28
4to día
4.1.2.
Inversión sobre el promedio
Sea el estado
|φi =
√1 2n
sobre el promedio omo
P
|xi.
x∈{0,1}n
De nimos la transforma ión Inversión
G = 2 |φi hφ| − I . 1
Enton es
√
G = 2 |φi hφ| − I = 2
=
Veamos ómo a túa
|ψi =
P
x∈{0,1}n
ax |xi,
2 2n
−1
2 2n
2 2n . . . 2 2n
2n .. . √1 2n
2 2n
2n
2 2n
. . . 2 2n
···
x∈{0,1}n
···
ax |xi
2n ×2n
2 2n
G −→
X
es el promedio de los
ax .
.. .
a2n −1
x∈{0,1}n
P
x∈{0,1}n
2ax 2n . ..
2ax 2n
!
!
− a0
− a2n −1
X 2ay − ax |xi n 2 n n
x∈{0,1}
X
a0
P
−1
2 2n . ..
x∈{0,1}n
A
−1
= donde
−I
G sobre un estado ualquiera. Consideremos el estado
O sea,
X
2n
2 2n 2 2n . . . 2 2n
enton es
−1 ···
. .. 2 2n
1 1 √ ··· √ 2n 2n
··· −1 ···
G |ψi
y∈{0,1}
(2A − ax ) |xi
4.1 Algoritmo de Búsqueda de Grover 4.1.3.
29
El algoritmo
Partimos de una lista de tamaño N . Supondremos, in rementando la lista n si es ne esario, que N = 2 para algún n. Trabajaremos on los índi es de los n elementos de la lista, es de ir on x = 0 . . . 2 − 1 y queremos lo alizar el x0 tal que
f (x0 ) = 1
para ierta fun ión booleana ⊗n . El input de nuestro ir uito será |0i
f.
Paso 1: Apli amos H ⊗n |0i⊗n
H ⊗n 1 √ −→ 2n
X
x∈{0,1}n
|xi = |ψ1 i
Aquí tenemos todos los registros de la lista representados. La idea es subir la probabilidad de que al medir este estado, obtengamos el elemento
Paso 2: Apli amos el orá ulo |ψ1 i
U 1 √ −→ 2n
X
x∈{0,1}n
(−1)f (x) |xi = |ψ2 i
Paso 3: Ha emos una inversión sobre el promedio X (−1)f (x) G √ |ψ2 i = |xi n −→ 2 x∈{0,1}n | {z } ax
X
x∈{0,1}n
(2A − ax ) |xi
f (x) X (−1)f (y) (−1) |xi 2 √ − √ = n n n 2 2 2 y∈{0,1}n x∈{0,1}n X
=
X X (−1)f (y) 2(−1)f (x) (−1)f (x) √ + √ − √ 2 |xi 2n 2n 2n 2n 2n y∈{0,1}n x∈{0,1}n y6=x
x0 .
30
4to día
=
X X (−1)f (y) 2 − 2n √ + √ (−1)f (x) |xi 2 n n n n 2 2 2 2 y∈{0,1}n x∈{0,1}n y6=x
Anali emos este resultado, el término donde
X 2
y∈{0,1}n y6=x0
y los términos
2n
1 √
x = x0 (f (x) = 1)
queda
2n − 2 2 2n − 2 n + n √ n |x0 i = n √ n (2 − 1) + n √ n |x0 i 2n 2 2 2 2 2 2
2n+1 + 2n − 4 √ = |x0 i 2n 2n donde x 6= x0 quedan 2 − 2n 1 2(−1) X √ + √ + √ |x0 i 2 2n 2n 2n 2n 2n 2n y∈{0,1}n y6=x0 ,y6=x
2n+1 − 2n − 4 √ = |x0 i 2n 2n
Como se puede apre iar, el pro eso ha ambiado las amplitudes del estado, pasando de todas las amplitudes iguales a un estado donde el resultado que nos interesa tiene mayor amplitud que el resto. Repitiendo este pro eso (pasos 2 y 3) voy levantando la amplitud del estado que queremos obtener tras la medi ión. Pasado ierto número de repeti iones, esa amplitud vuelve a de re er (más adelante veremos ómo al ular el número óptimo de repeti iones). Cuando la amplitud de medi ión, obteniendo el estado
x0
x0
es máxima realizamos una
on la máxima probabilidad.
Ejemplo 16 elementos, de los x0 , veri a la propiedad f (x0 ) = 1. ⊗4 ⊗4 estado |0i y apli amos H obteniendo, 1 X |xi 4 4
Supongamos que tenemos una lista de al ual denominaremos Construimos el
x∈{0,1}
que sólo uno,
4.1 Algoritmo de Búsqueda de Grover
31
Ini ialmente todas las amplitudes son iguales a obtenemos
1 . Apli amos el orá ulo y 4
1 X (−1)f (x) |xi 4 4 x∈{0,1}
Luego, ha emos la inversión de promedio y la nueva amplitud de
x0
será
25 + 24 − 4 11 √ = 0,6875 = 4 4 16 2 2 y para el resto de los
x
la amplitud será
25 − 24 − 4 3 √ = = 0,1875 16 24 24 Si repetimos el pro eso obtenemos Repeti ión
x0
Amplitud de
Amplitud de
x 6= x0
Prob. de error
1
0.6875
0.1875
2
0.953125
0.078125
0.527 0.092
3
0.98046875
-0.05078125
0.039
Si seguimos iterando empieza a subir la probabilidad de error, por lo tanto el número óptimo de itera iones es
3
y tengo una probabilidad de error de
0,039. 4.1.4.
Cál ulo del número óptimo de itera iones
k itera iones x0 tendrá una amplitud bk amplitud mk . Podemos es ribir esto de la forma X bk |x0 i + mk |xi
Luego de una
y el resto tendrán todos
x∈{0,1}n x6=x0
En ada itera ión se apli a
U , el ual ambia el signo de bk , y luego G, por
lo tanto se umplen las siguientes e ua iones re ursivas
1 m0 = b0 = √ 2n
32
4to día mk+1 = 2Ak − mk bk+1 = 2Ak + bk
donde
Ak =
(2n − 1)mk − bk 2n
Se puede demostrar por indu
ión que las fórmulas erradas para estas re ursiones son
mk = √
1 2n − 1
cos((2k + 1)γ)
bk = sen((2k + 1)γ) donde
r
2n − 1 2n r 1 sen(γ) = 2n
cos(γ) =
Para onseguir la mínima probabilidad de error, debo minimizar
mk = 0 ⇔ (2k + 1)γ = Como
k
π 1 π ⇔k= − 2 4γ 2
debe ser entero, tomamos
k˜ =
Notemos que
|
|mk |.
˜ ≤ |k − k|
1 , 2
π 4γ
enton es
π ˜ ≤γ − (2k˜ + 1)γ| = |(2k + 1)γ − (2k˜ + 1)γ| = |2γ(k − k)| 2
esto nos servirá para al ular una ota de la probabilidad de error. La probabilidad de error luego de
k˜
itera iones es
(2n − 1)(mk )2 = cos2 ((2k˜ + 1)γ) = sen2 (
π 1 − (2k˜ + 1)γ) ≤ sen2 (γ) = n 2 2
Y
4.2 Apli a iones Criptográ as
33
∴ La probabilidad obtener un resultado erroneo luego de k˜ itera iones será 1 menor a . 2n En el ejemplo anterior
˜ k=
π 4asen(
0,039 ≤
y la probabilidad de error es
q
1 ) 16
=3
1 = 0,0625. 24
4.2. Apli a iones Criptográ as 4.2.1.
One-time pad
Este es un método de riptografía lási a[5℄ que onsiste en ompartir una se uen ia de bits ( lave) del largo del mensaje a transmitir y apli ar la opera ión (reversible)
XOR
para ifrar y des ifrar. (Ver gura 4.1)
Figura 4.1: One-Time pad Las laves deben ser
100 %
se retas y no deben ser reutilizadas.
34
4to día El úni o problema es la predistribu ión de laves por anales inseguros.
Para esto se usa el Criptosistema Cuánti o de QKD-BB84 (Quantum Key Distribution - Bennett, Brassard, 1984[6℄).
4.2.2.
Criptosistema Cuánti o QKD-BB84
La idea es transmitir una lave binaria por un anal inseguro.
0,
Para transmitir el bit
Ali e (el emisor) puede elegir al azar la base
{|0i , |1i} (a la que llamaremos esquema +) y onsiderar 0 ≡ |0i, o la base {|−i , |+i} (a la que llamaremos esquema ×) y onsiderar 0 ≡ |−i. Análogamente al bit 1 lo odi amos omo |1i en el esquema + o omo |+i en el esquema ×. Bob realizará una medi ión sobre el estado re ibido eligiendo al azar entre
el esquema
+
y el esquema
×.
(ver gura 4.2)
Figura 4.2: Ejemplo: (1) Ali e transmite un
1
odi ado mediante el esquema
+ y Bob elije al azar el esquema + obteniendo un 1 (2) si Bob elige el esquema × obtiene 0 ó 1 on la misma probabilidad. Veamos paso a paso ómo se realiza el pro eso ompleto de inter ambio de
laves.
Paso 1:
Ali e omienza a transmitir una se uen ia aleatoria de
nando los esquemas
Paso 2:
y
×
0
y
1
alter-
en forma aleatoria.
Bob re ibe la se uen ia y va alternando las medi iones entre los
esquemas
Paso 3:
+
+
y
×
al azar.
Ali e le transmite a Bob la su esión de esquemas empleadas.
4.2 Apli a iones Criptográ as
35
Paso 4:
Bob le informa a Ali e en qué asos adivinó el esquema de origen.
Paso 5:
Usando solamente los bits de los esquemas idénti os a dos puntas,
ambos han de nido una su esión aleatoria de bits que servirá omo onetime pad de en ripta ión para transmisiones futuras por ualquier anal. (ver tabla 4.1)
Paso nal:
Ali e y Bob inter ambian hashes de las laves (en bloques) para
a eptarla o des artarla.
Cuadro 4.1: De ni ión de la lave a partir de los esquemas utilizados. Esquemas de Ali e Valores de Ali e Esquemas de Bob Valores de Bob Coin iden ias
× + + × |−i |0i |0i |+i + × + × |0i |+i |0i |+i √ √
Clave
0
× + × |−i |0i |−i + + × |1i |0i |−i √ √
1
0
+ |1i × |−i
0
Este proto olo es absolutamente inviolable. Supongamos que Cli espía el
anal de omuni a ión entre Ali e y Bob e intenta re uperar la lave. Cli está en la misma situa ión que Bob y no ono e uál esquema es el orre to,
+
o
×.
Por lo tanto elige al azar y se equivo ará, en promedio, la mitad de
las ve es. En el paso 5 Ali e y Bob se ponen de a uerdo en uáles valores tomar en
uenta (las oin iden ias de la se uen ia de esquemas). Esta informa ión no le sirve de nada a Cli porque sólo en la mitad de las ve es habrá usado el dete tor orre to, de manera que mal interpretará sus valores nales. Además el QKD brinda el método para que Ali e y Bob puedan dete tar el poten ial espionaje de Cli: Imaginemos que Ali e envío un quema
×
+
y mide
0
on el esquema
forzando al qubit a de nirse omo
|−i
|0i
ó
× (|−i),
|1i.
Cli usa el es-
Si Bob usa el esquema
oin ide on lo enviado por Ali e, pero si mide
|+i
Ali e y Bob
des ubrirán esa dis repan ia durante el inter ambio de hashes, por lo tanto
36
4to día
des artarán el bloque.
Nota: Este método es usado a tualmente mediante la polariza ión de fotones.
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