EMALCA-PERÚ Curso Básico de Teoría de la Medida.pdf

Contenido Introducci´ on on

1

1 Longitud y Medida

3

1.1

Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Medida Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Conjuntos Medibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Medi Medida da:: Definic Definici´ i´ on, Uso y Propiedades

23

2.1

σ -´ algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Medidas y sus Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3

Funciones Medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4

Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.5 Conver Convergenci genciaa Mon´ otona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3 Funciones Integrables

43

3.1

Teoremas de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2

Otros Modo odos de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1

4 Descom Descomposic posici´ i´ on de Medidas y el Teorema de Rad´ onNiko dym 55 4.1

Medidas con Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.2

El Teorema de Radon-Nikody odym . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

5 Me Medidas Pro ducto y el Teorema de Fubini

63

5.1

Espacios Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2

Medidas Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.3

El Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

A De Abiertos, Abiertos, Cerrados Cerrados y Aproximaci´ Aproximaci´ on de Conjuntos Medon ib l e s 73 A.1 Aproximac Aproximaci´ i´ on por Abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

A.2 Aproximac Aproximaci´ i´ on por Cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

A.3 Aproximac Aproximaci´ i´ on por Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

A.4 Aproximac Aproximaci´ i´ on por por Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Introducci´ on on El presente librito se preparó para servir como notas del curso Teor´ eor´ıa de la Medida que se dictó en el IMCA como parte de la Escuela EMALCA realizada en Lima entre el 18 y 29 de Febrero del 2008. En el primer cap´ cap´ıtulo de este libro se desarrolla la medida de Lebesgue en la recta. recta. La noci´ noción on de medida en general está relacionada con la comparaci´ on con algo que se tiene a bien llamar unidad. Desde hace mucho ya on sabemos medir intervalos por su longitud, que es equivalente a comparar un intervalo dado con el intervalo unitario [0, [0 , 1]. La medida de Lebesgue es una generalización on de este concepto, en el sentido que nos enseña na la manera mas conveniente de “aplicar” esta manera de medir a subconjuntos de la recta recta que no sean intervalos. intervalos. Lamentable Lamentablemen mente te no todos los subconjunt subconjuntos os de la recta están an en esta esta clase. clase. Los conjun conjuntos tos medible medibless seg´ un un Lebesgue ser´ an la mayor clase de subconjuntos que se puedan medir conservando las an propiedade propiedadess de la medida de interv intervalos. alos. trata trata el concepto concepto que se tiene tiene de medida A partir del segundo cap´ cap´ıtulo desarrollamos la noción on de medida como un concepto más as general que puede ser aplicado en una diversidad de situaciones. Se verá en el Cap´ Cap´ıtulo 2 que la propiedad de ser contablemente aditiva es el ingrediente principal en la definición on de medida y en las propiedades de la integración on a la que estamos acostumbrados desde el Cálcu a lculo lo.. En el Cap´ Cap´ıtulo 3 veremos cómo omo la noción on de medida e integración on introducen nuevos modos de decir como una sucesión on de funciones se acerca a otra. Los teoremas desarrollados en este cap´ cap´ıtulo son resultados que se usan y aplican en probabilidad y en an´ alisis alisis funcional. En el Cap´ıtulo ıtulo 4 veremos algunas relaciones que pueden existir entre medidas definidas en el mismo

2

ń introducci on o

espacio. espacio. Aqu´ Aqu´ı se desarrolla desarrolla el importante importante Teorem Teoremaa de Rad´ on-Nikodym on-Nikodym que es fundamental en Teor´ eor´ıa Erg´ odica y para otros resultados como el odica Teorema de Representación on de Riesz. En el Cap´ Cap´ıtulo 5 damos un modo de construir medidas producto en espacios producto. pro ducto. Aqu´ Aqu´ı el modelo es R R y el resultado principal es el que se refiere a integrales iteradas en espacios productos. Este resultado es conocido como el Teorema de Fubini.

×

Asumimos que el lector ya está familiarizado con las nociones y terminolog´ nolog´ıa de conjuntos. Es decir, las operaciones op eraciones de unión on (“ ”), intersección on (“ ”) y diferencia (“ ”) de conjuntos y con la definición on de complemento de un conjunto (“c ”). Eventualmente usaremos u saremos el s´ımbolo ımbolo para enfatizar que la uni´ on on realizada se está haciendo entre conjuntos dos a dos disjuntos.

∩

∪

\



En el desarrollo de este trabajo usamos las notaciones más comunes posibles. En m´ as as de una ocasión on será necesario considerar los reales exten¯ didos R = R , en los cuales se define las operaciones de suma y multiplicaci´ on de la siguiente forma: on

∪{−∞ ∞}

a

± ∞ = ±∞ para todo a ∈ R ±∞ · 0 = 0

, , a

±∞±∞ = ±∞ · ∞ = ∞ si a > 0.

Y el resto resto de las operaciones operaciones se hace de forma usual, como lo har´ har´ıamos si fuesen elementos de R. No están an definidas definidas las operaciones + .

±∞ ∓∞

Un hecho hecho que simplifica simplifica las cosas cosas en los reales reales extendido extendidoss es que ah´ ah´ı, cualquier sucesión on mon´ otona otona es convergen convergente, te, pues puede conver convergir gir a un n´ umero umero a R, a + o´ a .

∈

∞

−∞

Finalizo agradeciendo la confianza recibida por parte del Prof. Marcelo Viana y el Comité Cient´ Cient´ıfico de UMALCA para la realizaci´ realizac ión on de este curso.

Roger Metzger Alván an Lima, Febrero 2008

Cap´ıtulo 1

Longitud y Medida 1.1 1.1

Longi ongitu tud d

La medida de un intervalo se denomina usualmente longitud. Está claro lo que ser´ ser´ıa la longitud de un intervalo intervalo acotado cualquiera, comenzamos pues longitud ud de un interv intervalo alo con extremos escribiendo esta definición. o n. La longit a, b es el n´ umero umero (I ) = b a.

−

Con esto esto ya sabemos sabemos medir medir inter interv valo alos, s, y entre entre ellos a los inter interv valo aloss abiertos. Ahora, ¿cuál al es la manera más as razonable de definir la longitud de la uni´ on de dos intervalos abiertos disjuntos y acotados?. Es decir ¿cuál es on la longitud de G = (a, b) (c, d) donde b < c?. Naturalmen Naturalmente te se debe tener que (G) = b a + d c.

−

−

∪

La definici´ on anterior sirve para el caso de unión on on de dos intervalos abiertos disjuntos, pero ¿cómo omo deber´ıa ıa ser la definici´ definici ón on cuando se trate de abiertos en general? Se puede mostrar que un conjunto abierto y acotado de R se descompone de manera unica u ´ nica en una unión on disjunta, a lo más as numerable, de intervalos abiertos, vea el Lema A.0.1. Por lo tanto definimos para cualquier conjunto abierto G R, la longitud de G como

⊂

∞

(G) =



n=1

3

(J n ) ,

(1.1)

4

cap´ ıtulo ıtulo 1. Longitud Longitud y Medida

donde G = n∞=1 J n es la descomposición on (´ unica) unica) de G como uni´ on on de una colecci´ on on disjunta, a lo más as numerable de intervalos abiertos.

∪

Una observación on importante es que si G es un conjunto abierto acotado entonces (G) < y por lo tanto la suma en (1.1) es una serie absolutamente convergente.

∞

En la siguiente proposición on tenemos la propiedad principal de esta manera de definir longitud de abiertos. Proposici´ on on 1.1.1 Dados dos conjuntos abiertos G1 y G2 acotados y dis juntos, se tiene que (G1

 G2) = (G1) + (G2) .

Demostraci´ on. on. Como los conjuntos G1 = n∞=1 I n y G2 = n∞=1 J n son acotados y disjuntos, entonces si definimos K 2n = I n y K 2n−1 = J n tendremos que K n n∞=1 es una unión on numerable de intervalos acotados disjuntos dos ∞ a dos y además as G1 G2 = n=1 K n de modo que

∪

{ }





(G1

∪

∞

 G2) =



(K n ) ,

n=1

y como la suma su ma es absolutamente absol utamente convergente, p odemos odem os reordenar reorden ar términos erminos y obtenemos (G1

 G2 ) =

∞

∞





n=1

que es lo que quer´ıamos ıamos demostrar. demostra r.

(I n ) +

(J n ) ,

n=1



Observaci´ on on 1.1.1 Otras propiedades importantes de la longitud de un abierto acotado son las siguientes: 1. El vac´ vac´ıo es considerado como el intervalo abierto ( a, a). Por lo tanto la longitud l ongitud del conjunto vac´ vac´ıo es cero. 2. Si G1 y G2 son dos conjunto abierto y acotados, y G1 (G1 ) (G2 ).

≤

∈

⊂ G2, se tiene

3. Si G es un conjunto abierto y acotado y x0 R, se tiene que G es un conjunto abierto y acotado, y (G x0 ) = (G).

⊕

⊕ x0

5

´ n 1.1. longitud seccion o longitud

Para la longitud de un conjunto abierto cualquiera G (no necesariamente necesariamente acotado), escoja una sucesión on de intervalos abiertos y acotados I n n∞=1 tal ∞ que I n I n+1 y n=1 I n = R. Esta ultima u ´ltima condición on se escribe como R o en palabras, que la sucesi´ I n on on I n crece hasta R.



{ }



⊂

Definimos entonces la longitud de G como (G) = lim lim (G n→∞

∩ I ) . n

El siguiente lema nos dice que la definición on anterior no depende de la sucesi´ on on de intervalos intervalos escogida. Y tambi´ también en que la longitud de un intervalo abierto existe como n´ umero umero real extendido.

{ }∞=1 y {J }∞=1 dos ⊂ J +1, I ⊂ I +1

Lema 1.1.1 Sean G un subconjunto abierto de R y I n sucesiones de intervalos abiertos acotados, tales que J n para todo n N, y

∈

∞

∞





J n = R =

n=1

En este caso se tiene

lim (G

n→∞

n n

n

n

n

n

I n .

n=1

∩ J ) = n

⊂

lim lim (G

n→∞

∩ I ) . n

Demostraci´ on. on. Como J n J n+1 son conjuntos abiertos, se tiene que (G J n ) (G J n+1 ) para todo n N de modo que limn→∞ (G J n ) existe como número umero real extendido y lo mismo vale para limn→∞ (G I n ).

∩

≤

∩

∈

∈ ∩ ⊂ ∩

∩ ∩

∩

Como para cada n N el conjunto G J n es abierto y acotado, existe K N tal que G J n G I k para todo k > K pues los conjuntos I k son intervalos cada vez más as grandes (crecen hasta R).

∈

∩ J ) ≤ (G ∩ I ) para todo k > K , por lo tanto (G ∩ J ) ≤ lim (G ∩ I ) →∞ y como esta ultima u ´ ltima desigualdad vale para todo n ∈ N tenemos que lim (G ∩ J ) ≤ lim (G ∩ I ) . →∞ =1 Tenemos entonces (G

n

k

n

n

k

k

n

n

n

De igual manera se obtiene la desigualdad contraria y el lema está probado. 

6


Observaci´ on o n 1.1.2 1.1.2 Algunas Algunas propiedade propiedadess que vienen vienen directame directamente nte del Lema 1.1.1 y de la definición on son: 1. Si G es un conjunto abierto acotado, las dos definiciones de longitud para abiertos que hemos visto coinciden. coinciden. 2. Si G1

⊂ G2 son dos conjuntos abiertos entonces (G1) ≤ (G2). ∞

3. Un intervalo intervalo no acotado G puede tener medida infinita ( ((G) = ), como en el caso en que G = (0, (0, ); o puede puede tener medida medida finita 1 ∞ ((G) < ), como en el caso en que G = n=1 (n 2n2 , n + 2n1 2 ) que tiene longitud (G) = n∞=1 n12 < .

∞

∞ ∞



4. Si G es un conjunto abierto de R y x0 Lema 1.1.2 Si el conjunto G acotado, tenemos que: (G

∪

−

∈ R entonces (G ⊕ x0) = (G).

⊂ R es abierto e I es un intervalo abierto y

∪ I ) ≤ (G) + (I ) . ∈

R y a < b. Supo Demostraci´ on. on. Denotemos I = (a, b), con a, b Suponngamos primero que G es abiert abiertoo y acot acotad ado. o. En ese caso tenem tenemos os que ∞ G = n=1 (an , bn ), con an , bn R y an < bn para todo n N.



∩

∅

∪ I ) =



∈

Ahora bien, si G I = , entonces G que por la definición on de longitud se tiene

∪ I =



∈

∞ n=1 (an , bn )

 I , de modo

∞

(G

(bn

n=1

−a

n)

+b

− a = (G) + (I ),

y en este caso el lema está probado. probado. Si G I o I G, es obvio que (G I ) (G) + (I ). ). Por Por lo tanto tanto solo queda hacer la demostración on para el caso en que G I = I G, y G I .

⊂

⊂

∪ ≤

⊂

Supongamos entonces que existe n0 I (an0 , bn0 ).

⊂

Hay tres casos casos posibles: posibles:

(i) an0

≤ a< b

n0

< b.

∩  ∅ ⊂

(a ∈ N tal que (a

n0 , bn0 )

∩ I = ∅,

7


(ii) a < a n0 < bn0 (iii) a < a n0 < b

≤ b.

≤b

n0 .

Demostraremos solamente el primer caso, pues los demás as son similares y se deja como ejercicio al lector.

{ ∈ ∅

∩ ∅  }

≤

∪ I =

 

Considere B = n N : (an , bn ) I = , n = n0 . Enton Entonces ces para para cada n B se tiene que bn0 an en cualquier otro caso se tendr´ tendr´ıa que (an , bn ) (an0 , bn0 ) = .

∈ ∩

Luego, si B = , entonces

∅

∞

G

(an , bn )

n= 1



 (a

n0 , b),

 n0 n=

que es una unión on a lo sumo numerable de conjuntos dos a dos disjuntos. Luego, por definici´ on on se tiene que: ∞

(G

∪ I )



=

(bn

−a

+b

(bn

−a

+ (b (b

n= 1

n)

−a ≤ n0

 n0 n= ∞

≤



n= 1

n)

− a) + (b(b − a n0

n0 )

 n0 n= ∞

≤



(bn

n=1

∅ ∪{ }

−a

n)

{

+ (b (b

Si B = , haga c = sup[ bn : n B1 = B n0 , se tiene:

− a) = (G) + (I ).

∈ B} ∪ {b}].

∞

G

∪ I =

 

n= 1

n

∈  B1

(an , bn )



∪ (a

Ahora, Ahora, si denotam denotamos os

n0 , c),

8


que tambi´ en en es una uni´ on o n disjunta y a lo más as numerable numerable de interv intervalos alos abiertos, y por lo tanto: ∞

(G



∪ I ) =

(bn

n= 1

−a

n)

+c

−a

n0 ,

 n0 n=

y similarmente al proceso anterior es fácil ver que

∪ I ) ≤ (G) + (I ) .

(G

{ }∞=1

Finalmente para el caso en que G sea un abierto no acotado sea J n una sucesión on de intervalos abiertos y acotados que crece a R. Luego

n

∪ I ) ∩ J ) = ((G ((G ∩ J ) ∪ (I ∩ J )) ≤ ((G ((G ∩ J )) + ((I ((I ∩ J )) pues G∩J es un conjunto abierto y acotado y cae en el caso ya desarrollado, puesto que I ∩ J también en es un u n intervalo abierto abie rto y acotado. aco tado. El lema queda (G

n

n

n

n

n

n

n

demostrado demostrad o tomando toman do l´ımites ımites y usando usand o la definici´ definici on oń de longitud de conjuntos abiertos en este caso.  Corolario 1.1.1 Sean n N y I k abiertos y acotados. Entonces

∈

n



n k

{ } =1 una familia finita de intervalos n

   ≤ I k

k=1

(I k ) .

k =1

El resultado del lema anterior puede ser generalizado para una unión on cualquiera de conjuntos abiertos.

{ }∞=1 una sucesi´ on de conjuntos abiertos de R.

Teorema 1.1.1 Sean Gn Entonces 

n

∞

∞

   ≤ Gn

n=1

(Gn ) .

n=1

Demostraci´ on. on. Sin p´ erdida erdida de generalidad po demos suponer sup oner que todos ∞ los Gn son no vac´ıos. ıos. Haga G = n=1 Gn y supongamos que G sea acotado. Para el caso de G no acotado se concluye como en el teorema anterior.



9


Entonces Entonces tenemos tenemos que G es abierto y acotado y por lo tanto G = donde J n n∞=1 es una sucesión on de intervalos disjuntos abiertos y acotados. Similarmente para cada n, Gn = n∞=1 I rn , con los I rn intervalos abiertos disjuntos y acotados.



∞ n=1 J n

{ }

 

Tome ε > 0. Como Como (G) < tanto, existe un N N tal que

∈

∞ sigue que

∞



∞ n=1

(J n ) <

∞ y por lo

(J n ) < ε/2 ε/2 .

(1.2)

n=N +1

¯n sea comPara cada J n tome K n un intervalo cerrado (esto hace que K ε pacto) tal que (J n ) < (K n ) on o n a (1.2) 2N y si juntamos esta relaci´ tenemos N N ε (G) < (J n ) + < (K n ) + ε . (1.3) 2 n=1 n=1

−



 

¯ Como los I rn son abiertos y cubren N n=1 K n que es compacto, existe n1 ns un conjunto finito I r1 , . . . , I r s que lo sigue cubriendo y por lo tanto tamb ta mbi´ ién en a N n=1 K n , es decir

{ }



{

}

N

N



 ⊂

K n

n=1

Tenemos entonces que

n=1

¯n K

n1 r1

N



ns rs .

(1.4)

(I rnjj ),

(1.5)

⊂ I ∪ · · · ∪ I s

(K n )

n=1

≤

(I rn11

∪···∪

I rnss )

 ≤ j =1

donde la ultima u ´ltima desigualdad se obtiene por el corolario del teorema anterior. ∞ De ah´ı N n=1 (K n ) n=1 (Gn ) que junto con (1.3) nos da



≤



(G) <

∞

N



(K n ) + ε

n=1

 ≤

(Gn ) + ε .

(1.6)

n=1

Como esta ecuación on vale para todo ε > 0 el teorema está probado.



Teorema 1.1.2 Sean G1 y G2 dos subconjuntos abiertos de R. En est este e caso (G1 ) + (G2 ) = (G1 G2 ) + (G1 G2 ) . (1.7)

∪

∩

10


Demostraci´ on. on. Como primer paso haremos la demostración on del teorema en el caso en que G1 es un intervalo acotado y G2 es acotado y unión on de un n´ umero finito de intervalos (abiertos acotados y disjuntos). umero Estamos afirmando entonces que si G1 = (a, ( a, b) y G2 = ni=1 I i entonces (1.7) vale para cualquier colección on finita de intervalos I i ni=1 disjuntos dos a dos.

{ }



Demostraremos esta afirmación on por inducción o n en n. Para ara n = 1, es decir si G1 = (a, b) y G2 = (c, d), el result resultado ado es obvio obvio.. Suponga Suponga que la afirmaci´ on on vale para n, mostraremos ahora que vale para n + 1. Se tiene entonces que G2 = Si I G2 =

∩



n+1 i=1 I i

y hacemos I = (a, ( a, b) = G1 .

on de longitud, se tiene ∅ entonces, de la definición n+1

∪

(I G2 ) = (I ) +



I i = (I ) + (G2 )

i=1

∩ ∅



∪



Si I G2 = , escribimos primero G2 = I 1 G2 , donde G2 = modo que (I ) + (G2 ) + (I 1 ) = (I ) + (G2 ) . 



n+1 i=2 ,

de

(1.8)

Sin p´ erdida erdida de generalidad se puede sup oner que I intersecta a I 1 . (De no ser as´ as´ı se re-enumeran los I i de modo que I 1 sea un intervalo tal que I I j = .)

∩ ∅ Si I ∩ I 1  = ∅ se tiene que I ∪ I 1 es un intervalo abierto y acotado, y por

la hip´ otesis otesis de inducción on 



(I ) + (G2 ) + (I 1 ) = (I I 1 ) + (I I 1 ) + (G2 )

∪ ∩ = (I ∪ I 1 ∪ G2 ) + ((I ((I ∪ I 1 ) ∩ G2 ) + (I ∩ I 1 ) = (I ∪ G2 ) + (I ∩ G2 ) + (I ∩ I 1 ) (1.9) +1 u ´ ltimos dos sumandos de la ecuación on =1 (I ∩ I ), los ultimos 





Pero como G2 I = ni i (1.9) nos dan (G2 I ), ), de modo que obtenemos

∩



∩



∪

(I ) + (G2 ) = (I ) + (G2 ) + (I 1 ) = (I G2 ) + (G2

∩ I )

con lo que hemos demostrado el teorema en el caso en que G1 = I y G2 = ni=1 I i para cualquier n N.

 

∈

De aqu´ aqu´ı es fácil acil ver que el teorema teorema tambi´ tambi´ en en vale en el caso en que 1 2 G1 = jn=1 J j y G2 = ni=1 I i para cualesquiera n1 , n2 N.



∈

11




Mostremos ahora que el teorema vale para G1 = ∞ i=1 I i , conjuntos abiertos arbitrarios pero acotados. Para cada ε > 0 existe N ∞



j =N +1



˜1 = Defina G N ˆ2 = ∞ I i , G



i=1



N j =1

∈ N tal que

ε (J j ) < , y 2

ˆ1 = J j , G

i=N +1 I i .



∞



(I i ) <

i=N +1

∞

j =N +1 J j ,



∞ j =1

J j , y G2 =

ε . 2

˜2 = y de la misma manera G

Entonces para i = 1, 1 , 2 se tiene

˜ i ) + (G ˆ i ), y (G ˆ i ) < ε/2 (Gi ) = (G ε/2.

De la primera parte tenemos que ˜ 1 ) + (G ˜ 2 ) = (G ˜1 (G

∪ G˜ 2) + (G˜ 1 ∩ G˜ 2) ˜1 ∪ G ˜ 2 ⊂ G1 ∪ G2 y G ˜1 ∩ G ˜ 2 ⊂ G1 ∩ G2 la igualdad anterior se y como G

convierte en

(G1 ) + (G2 )

≤ (G1 ∪

G2 ) + (G1

∩ G2 ) .

(1.10)

Por otro lado se cumple que ˜ 1 ) + (G ˜ 2 ) + (G ˆ 1 ) + (G ˆ 2 ) < 2ε (G1 ) + (G2 ) = (G para todo ε > 0, que junto con (1.10) nos da (G1 ) + (G2 )

≤ (G1 ∪ G2) + (G1 ∩ G2) .

Tamb Tambi´ ién G1

∩ G2 = (G˜ 1 ∪ Gˆ 2)

de modo que (G1



˜2 (G

∪ Gˆ 2) ⊂ (G˜ 1 ∩ G˜ 2)



ˆ1 (G

∪ Gˆ 2).

2ε, ∩ G2) ≤ ((G˜ 1 ∩ G˜ 2) ∪ Gˆ 1 ∪ Gˆ 2) ≤ (G˜ 1 ∩ G˜ 2) + 2ε,

y por lo tanto tenemos (G1 ) + (G2 )

≥ ≥ ≥ ≥

˜ 1 ) + (G ˜2) (G ˜1 G ˜ 1 ) + (G ˜1 G ˜2) (G ˜1 G ˜ 2 ) + ( (G ( (G1 G2 ) ((G1 G2 ) 2ε) + ( ( (G1

∪ ∪ ∪

−

∩ ∪

− 2ε) ∪ G2) − 2ε)

12


y como estas desigualdades valen para todo ε > 0 tenemos (G1 ) + (G2 )

≥ (G1 ∪ G2) + (G1 ∪ G2)

y que junto con (1.10) nos da la igualdad (1.7) para G1 y G2 abiertos acotados. Para el caso cuando G1 y G2 son abiertos no acotados se usa la definición on  de longitud en este caso.

1.2 1.2

Medi Medida da Exte Exteri rior or

A continuación on definimos la función on m∗ : (R) [0, [0, exterior y estudiaremos algunas de sus propiedades.

P → ∞], llamada medida

Sea E P ( P (R). La medida ) , se define por el medida exterior exterior de E , m∗ (E ), n´ umero umero real extendido:

⊂

m∗ (E ) = inf (G) : G

{

⊂ R es abierto y E ⊂ G} .

Nuevamente, Nuevamente, ésta esta no es la medida buscada, pero de ella se sacarán an la mayor parte de las propiedades que queremos, solo habrá que pedir una propiedad m´ as para que se convierta en la medida que estamos buscando. as Observaci´ on on 1.2.1 Presentamos Presentamos algunas propiedades no muy dif´ dif´ıciles de demostrar de la medida exterior.

∈ P (R) es acotado, entonces m∗(E ) < ∞. 2. Si E 1 y E 2 ∈ P ( P (R) y E 1 ⊂ E 2, entonces m∗ (E 1 ) ≤ m∗ (E 2 ). 3. Si E ∈ P ( P (R) es abierto, entonces m∗ (E ) = (E ). ). 4. Si E ∈ P ( P (R) y x0 ∈ E , entonces m∗ (E ⊕ x0 ) = m∗ (E ). ). 1. Es inmediato inmediato que, si E

Proposici´ on on 1.2.1 Si E 1 y E 2 son subconjuntos de R, se tiene, m∗ (E 1 ) + m∗ (E 2 )

≥ m∗(E 1 ∪ E 2) + m∗(E 1 ∩ E 2) .

(1.11)

Demostraci´ on. on. Si m(E 1 ) = o m(E 2 ) = , la proposición on se satisface trivialmen trivialmente. te. Suponga entonces entonces,, que tanto tanto E 1 como E 2 tienen tienen medida medida finita.

∞

∞

13

´ n 1.3. conjunto seccion o conjuntos s medibles medibles

Dado ε > 0, por la definición on de medida exterior, exterior, existen existen conjunto conjuntoss abiertos G1 y G2 con E 1 G1 y E 2 G2 y tal que

⊂

⊂

m∗ (E i ) +

ε > (Gi ) 2

para i = 1, 2.

Sumando estas desigualdades tenemos m∗ (E 1 ) + m∗ (E 2 ) + ε > (G1 ) + (G2 ) = (G1

∩ G2) + (G1 ∪ G2).

Pero E 1 E 2 G1 G2 y E 1 E 2 G1 G2 , de modo que por las propiedades (2) y (3) de la medida exterior tenemos

∪

⊂

∪

∩

⊂

m∗ (E 1 ) + m∗ (E 2 ) + ε > m∗ (G1

∩

∩ G2) + m∗(G1 ∪ G2)

que vale para todo ε > 0 y por lo tanto implica la ecuación on 1.11.



{ }∞=1 una sucesi´ on de subconjuntos de R. En-

Proposici´ on on 1.2.2 Sea E n tonces:

n

∞

∗

m (



∞

E n )

n=1

 ≤

m∗ (E n ) .

n=1

Demostraci´ on. on. Si para alg´ un un n , la proposición o n se N, m∗ (E n ) = N, E n tiene cumple cumple trivialment trivialmente. e. Suponga entonces entonces que para todo n medida finita.

∈

∞

∈

Por lo tanto dado ε > 0 podemos obtener, para cada n abierto Gn con E n Gn y m∗ (E n ) < (  (Gn ) 2εn .

⊂    ≤ ⊂ ∞ n=1 E n ∗

∞ n=1 Gn

−

∈ N, un conjunto

Como tenemos, tenemos, usando usando el Teorema eorema 1.1.1, 1.1.1, que ∞ ∞ ∞ m ( n=1 E n ) m ( n=1 Gn ) = ( n=1 Gn ), donde la ultima u ´ ltima igualdad igualdad se da debido a que la unión on de los Gn es un conjunto abierto.  ∗

1.3 1.3



Conj Conjun unto toss Medi Medibl bles es

La medida exterior tiene la ventaja de estar definida para cualquier subcon junto de R, pero no satisface m∗ (A B ) = m∗ (A) + m∗ (B ) para conjuntos A y B disjuntos, lo que ser´ ser´ıa deseable para una “medida”como ya hemos mencionado mencionado antes. antes. Es por eso que para obtener obtener la propiedad propiedad que estamos buscando restringiremos la función on m∗ a una familia de subconjuntos

∪

L

14


de R que satisfagan lo que deseamos, más as a´ un un la funci´ on on as´ı obtenid obte nidaa ser´ s erá contablemente aditiva. Se dice que una función on definida sobre subconjuntos de R es contablemente aditiva si para toda sucesión on E n n∞=1 de con∞ ∞ ∗ juntos dos a dos disjuntos se tiene que m ( n=1 E n ) = n=1 m∗ (E n ), que es precisamente la propiedad que hace funcionar la teor´ teor´ıa de la integración, on, como se podrá percibir posteriormente.

{



}

Sea m∗ la medida exterior definida en los subconjuntos de R. Un conon on de Caratheodo Caratheodory ry si se verifica la junto E R satisface la condici´ igualdad siguiente

⊂

m∗ (A) = m∗ (A para todo A

∩ E ) + m∗(A ∩ E ) c

(1.12)

⊂ R.

Los conjuntos que satisfacen la condición on de Caratheodory Caratheo dory también en son llamados medibles, y a la clase conjuntos Lebesgue medibles la denotaremos por = E R : E es Lebesgue Lebesgue medible medible .

L { ⊂

}

Lema 1.3.1 Un conjunto E es medible si y solamente si para todo A con m∗ (A) < se tiene

∞

m∗ (A)

≥ m∗(A ∩ E ) + m+(A ∩ E ) c

(1.13)

Demostraci´ on. on. Que cuando E es medible se implica la condición on (1.13) es obvio. Para la segunda implicación, on, como A E y A E c son disjuntos y c (A E ) (A E ) = A, siempre se tiene que m∗ (A) m∗ (A E ) + m∗ (A E c ). La cond condic ici´ i´ on de Caratheodory es trivial en el caso m∗ (A) = on y ∗ ∗ para que se cumpla solo falta ver que m (A) < implica que m (A) ∗ ∗ c m (A E ) + m (A E ), que es la condición on que se pide en (1.13). 

∩

∩ ∪ ∩ ∩

∩

Teorema 1.3.1 La colecci´ on

∩ ≤ ∞

∩ ∞ ≥

L (de subconjuntos medibles de R) satisface:

(i)

∅ ∈ L, y R ∈ L. (ii) Si E ∈ L entonces E ∈ L. (iii) Si {E } son subconjuntos de L entonces ∪E ∈ L. c

n

∩

n

15


Demostraci´ on. on. La parte (i) es fácil acil puesto que se cumple la siguiente igualdad para todo A R

⊂ m∗ (A) = m∗ (A ∩ ∅) + m∗ (A ∩ ∅ ) = m∗ (A ∩ R) + m∗ (A ∩ X ) . c

c

Para la parte (ii) basta observar que la condición (1.12) es simétrica etrica con c respecto respecto a E y E . Para Para la parte parte (iii) (iii) lo haremo haremoss por partes partes como anter anterior iormen mente. te. Primer Primeroo mostraremos que si A y B están an en entonces E F están an en .

L

Sean, entonces dos conjuntos medibles E y F . F . m∗ (A) = m∗ (A

∩

L

∩ E ) + m+(A ∩ E ) para todo A ∈ L c

y de ah´ı m∗ (A

∩ E ) = m∗(A ∩ E ∩ F ) F ) + m∗ (A ∩ E ∩ F ) para todo A ∈ L usando A ∩ E en el lugar de A en la ecuación on anterior. Es decir m∗ (A) = m∗ (A ∩ E ∩ F ) F ) + m∗ (A ∩ E ) + m∗ (A ∩ E ∩ F ), c

c

c

y usando otra vez que E es medible m∗ ( A

c

∩ (E ∩ F ) F ) )

=

m∗ (A

c

∩ (E ∩ F ) F ) ∩ E ) + + m∗ (A ∩ (E ∩ F ) F ) ∩ E ) ∗ ∗ m (A ∩ F ∩ E ) + m (A ∩ E ) . c

=

c

c

c

Esta ultima u ´ ltima relación on se puede usar en la anterior y se obtiene m∗ (A) = m∗ (A

F ) + m∗ (A ∩ E ) + ∩ E ∩ F ) + m∗ (A ∩ (E ∩ F ) F ) ) − m∗ (A ∩ E ) m∗ (A ∩ (E ∩ F )) F )) + m∗ (A ∩ (E ∩ F ) F ) ) . c

c

=

c

c

Hemos mostrado entonces que la intersección on de dos conjuntos medibles es medible. A su vez, esto implica que la unión on de dos conjuntos medibles cualesquiera es medible, usando la parte (ii) sobre los complementos. También en se tiene, tien e, tomando toma ndo E y F medibles disjuntos, que m∗ (A

∩ (A ∪ F )) F ))

= m∗ (A

∩ (E ∪ F ) F ) ∩ E ) + ∗ + m (A ∩ (E ∪ F ) F ) ∩ E ) ∗ ∗ m (A ∩ E ) + m (A ∩ F ) F ) c

=

16


y por inducción on que m∗ (A E 1 son conjuntos dos a dos disjuntos.

∩ ∩ · · · ∩ E ) = n



n i=1

m∗ (A

∩ E ) si los A i

i

Ahora bien, dada una familia numerable de conjuntos E n medibles, se puede formar una nueva sucesión on de conjuntos dos a dos disjuntos, de la siguiente manera

{ }

F 1 = E 1 , F i = E i E i−1 para todo i > 1

\

de modo que los F i son conjuntos dos a dos disjuntos, Entonces para probar la parte (iii) basta mostrarla para una familia de conjun conjuntos tos dos a dos disjun disjuntos tos.. Sea, Sea, pues, pues, E n una tal sucesión o n y haga E = n

∞

n





E k y F n =

k =1

{ }

E k . Ya vimos que los los F n son medibles para todo

k =1

as si A ⊂ R ∈ N y además

m∗ (A) = m∗ (A

∩ F ) + m∗(A ∩ F ) A ∩ E ) + m∗ (A ∩ F ) c n

n

n

∗

= m (



c n

k

k =1 n

=



m∗ ( A

k=1

como F n

∩ E ) + m∗(A ∩ F ) c n

k

c n

c

⊂ E se tiene que A ∩ F ⊃ A ∩ E

por lo tanto

n

∗

m (A)

 ≥

m∗ (A

k =1

∩ E ) + m∗(A ∩ E ) k

y como esta desigualdad vale para todo n ∞ ∗

m (A)

 ≥

m∗ (A

k=1

en se tiene tien e ∈ N, también

∩ E ) + m∗(A ∩ E ) .

(1.14)

k

Pero por la subaditividad de m∗ tamb ta mbi´ ién en vale val e ∞ ∗

m (A

∗

∩ E ) = m (



k=1

es decir

m∗ (A)

∞

A

∩ E ) k

 ≥

m∗ (A

k=1

≥ m∗(A ∩ E ) + m∗(A ∩ E )

con lo que queda mostrado la parte (iii).

∩ E ) k

(1.15)

c



17


Teorema 1.3.2 La restricci´ on de m∗ a

L satisface

(i) m∗ ( ) = 0

∅

≤ m∗(E ) ≤ ∞ para todo E ∈ L. (iii) Si {E }∞=1 es una familia numerable de subconjuntos de L dos a dos (ii) 0

n n

disjuntos, entonces

∗

m (

∞

∞





n=1

E n ) =

m∗ (E n ) .

n=1

Demostraci´ on. on. Las partes (i) y (iii) son propiedades de m∗ ya vistas, y en la demostración on del teorema anterior se mostró las desigualdades (1.14) ∞ y (1.15), para todo A R. Las usamos entonces con A = E = k=1 E k de donde obtenemos



⊂

∞ ∗

m (E )

 ≥

∞ ∗

∗

m (E k ) y m (E )

k =1

 ≤

m∗ (E k )

k=1

y el teorema está probado. probado.



En general, a las clases de conjuntos que tengan propiedades como las de (i), (ii) y (iii) en el Teorema 1.3.1 se les llama σ -´ algebra, alge bra, y espec´ esp ec´ıficament ıfic amentee al conjunto (que proviene del modo de medir intervalos) se le llama σ álgebra de Lebesgue y a los conjuntos en se les llama Lebesgue medibles. algebra A funciones de conjunto con las propiedades (i), (ii) y (iii) del Teorema 1.3.2 se les llama medida, espec´ espec´ıficamente a la función on m|∗ : [0, [0, ] se ∗ le llama medida de Lebesgue de R y la denotamos m| = m. En el e l Cap Ca p´ıtulo ıtul o 2 veremos estas definiciones en general.

L

L

L

L→ ∞

L

Teorema 1.3.3 Si I es un intervalo en R, acotado, entonces I es medible, y por lo tanto m(I ) = (I ). Demostraci´ on. on. Como ya mencionamos antes, basta ver que se satisface (1.13), para todo A R con m∗ (A) < .

∈

⊂

∞

− ⊃ ∩  ∩

N e I n un intervalo contenido en I con (I n ) > (I ) Sea n 1/n. /n. Entonces limn→∞ m∗ (I I n ) = 0. Note tambi´ ta mbién en que qu e A (A I n ) (A I c ),

\

18


de modo que m∗ (A)

≤ m∗((A ((A ∩ I )  (A ∩ I )) ≤ m∗(A ∩ I ) + m∗(A ∩ I ) Tamb Tambi´ ién A ∩ I = (A ( A ∩ I )  (A ∩ (I ∩ I ). Y de ah´ı, ı, m∗ (A ∩ I ) ≤ m∗ (A ∩ I ) ≤ m∗ (A ∩ I ) + m∗ (I \ I ) Tomando l´ımites ımi tes tenemos tene mos m∗ (A ∩ I ) = lim →∞ m∗ (A ∩ I ) de modo que  m∗ (A) ≥ m∗ (A ∩ I ) + m∗ (A \ I ) y por lo tanto I es medible. c

n

c

n

c n

n

n

n

n

n

n

Como se tiene que m(I ) = (I ) para interv intervalos alos m se considera una extensi´ on de la longitud de intervalos y es la que estábamos on abamos buscando. La pregunta ahora es ¿existen otras extensiones de ?. La respuesta es no. Es decir si tenemos otra función on µ definida definida en satisfaciendo las condiciones (i), (ii) y (iii) del Teorema 1.3.1 tal que µ(I ) = (I ) en intervalos, se debe tener que µ = m.

L

Teorema 1.3.4 Si µ es una medida medida definid definida a en (i.e. µ( ) = 0 y ∞ ∞ µ( k=1 E k ) = k=1 µ(E k )) tal que µ(I ) = m(I ) para todo los intervalos abiertos I R, entonces µ = m.



⊂

L



Demostraci´ on. on. Primero mostraremos para E

⊂ I

n

∅

−

= ( n, n).

{ }∞=1 un cubrimiento de E por interv intervalos alos abiertos, abiertos, en-

Considere J k tonces

k

µ(E )

∞

≤ µ(



k=1

∞

J k )

≤



∞

µ(J k ) =

k=1



(J k ),

k =1

tomando tomando ´ınfimo sobre todos los cubrimien cubrimientos tos de E tenemos µ(E ) ∗ m (E ) = m(E ). ).

≤

También en se s e tienen ti enen las igualdades igualda des siguientes µ(E ) + µ(I n E ) = µ(I n ) = m(I n ) = m(E ) + m(I n E ). ). Como todos los términos erminos son finitos y además as µ(E ) m(E ) y µ(I n E ) m(I n E ) s´ olo olo se puede tener µ(E ) = m(E ). ).

≤

\

\ ≤

\

\

Para E arbitrario defina E 1 = E I 1 , E i = E (I i I i−1 ), de ∞ modo que E = j =1 E j . Y com comoo µ(E n ) = m(E n ) tenemos entonces que ∞ ∞ µ(E ) = n=1 µ(E n ) = n=1 m(E n ) = m(E ) pues tanto µ como m son medidas. 

∈L

  

∩

∩ \

19


⊂

Teorema 1.3.5 Si E, F son medibles y si E F entonces m(E ) y si adem´ as m(E ) < se tiene m(F E ) = m(F ) F ) m(E ).

∞

\

≤ m(F ) F )

− Demostraci´ on. on. Como m es aditivo en L y F = E  (F \ E ) vale m(F ) F ) = m(E ) + m(F \ E ), ), de donde m(E ) ≤ m(F ) F ) y si m(E ) < ∞ se puede restar m(E ) en ambos miembros y queda m(F ) F ) − m(E ) = m(F \ E ). ).  Teorema 1.3.6 (i) Si {E } es tal que E ⊂ E +1 entonces n

k

k

∞

m(



E k ) = lim lim m(E k ). k→∞

k =1

{ }

⊂ F

(ii) Si F n es tal que F k+1

k

entonces

∞

m(



F k ) = lim lim m(F k ). k→∞

k=1

Demostraci´ on. on. Parte (i). Si mk0 = mucho que mostrar.

∞ para algún un k0 ∈ N entonces no hay

Supongamos entonces que m(E k ) < para todo k Haga gamo moss N. Ha ∞ A1 = E 1 y Ak = E k E k−1 , de modo que los Aj j =1 forman una colección on numerable numerable de conjunto conjuntoss medibles medibles disjunto disjuntos, s, con m(Aj ) < para todo k ∞ ∞ ∞ j N y además as k=1 E k = j =1 Aj , E k = j =1 Aj , k=1 E k = Ak .

∞

\



∈



∈

{ }



∞





Siendo as´ı, ı, la parte (i) queda probada con la siguiente cadena de igualdades. m(

∞

∞



   

E k ) = m(

k =1

∞

Ak ) =

k=1

m(Ak )

k =1

n

=

li m

n→∞

m(Ak )

k=1

n

= E 1 + lim

n→∞

=

m(E k )

k=2

− m(E −1) k

lim m(E n )

n→∞

\

La parte parte (ii) es similar similar.. Definim Definimos os E k = F 1 F k , de modo que E k es creciente y por la parte (i) tenemos ∞

m(



k =1

E k ) = lim lim m(E k ) = lim lim m(F 1 ) k→∞

k →∞

− m(F ) = m(F 1) − k

lim m(F k )

k →∞

20


pero como



∞ k=1

\ ∩∞=1F ) se tiene también en que

E k = F 1 ( m(

k

k

∞

∞





E k ) = m(F 1 )

k=1

− m(

F k )

k =1

que junto a la ecuación on anterior nos da ∞

m(



F k ) = lim lim m(F k ) k →∞

k =1



Ejercicios 1.1 Si m∗ (A) = 0 entonces A es medible. 1.2 Diga si es verdader verdaderoo o falso y justifique justifique su respuesta. respuesta. (a) Uni´ Unión on arbitraria arbitraria de conjunto conjuntoss medibles medibles es medible. medible. (b) Si E es un subconjunto de R tal que m∗ (E ) < m∗ (E ) < .

∞

∞ entonces

(c) Si F es un conjunto cerrado de R y (F ) F ) = 0 entonces F = .

∅

1.3 Sea E 1 y E 2 dos subconj subconjun untos tos medibl medibles es de [0, [0, 1]. 1]. Prue Pruebe be que que si m(E 1 ) = 1 entonces m(E 1 E 2 ) = m(E 2 ).

∩

1.4 Sea E el Cantor com´ un en un intervalo (retirando los tercios medios). un Muestre que m(E ) = 0. 1.5 Demuestre que hay subconjuntos subconjuntos cerrados E itiva que no contienen intervalos.

⊂ [0, [0, 1] con medida pos-

1.6 Sean I un intervalo finito y J n n∞=1 una sucesi´ on on de subintervalos de I dos a dos disjuntos. Demuestre que

{ }

∞



n=1

(J n )

≤ (I ) .

21

⊂ R y a ∈ R. Pruebe que: m∗ (E ∩ {a}) = m∗ (E ) . 1.8 Si a ∈ R entonces m∗ ({a}) = 0. Concluya Concluya que el conjunto conjunto Q de los 1.7 eran eran E

irracionales es medible y tiene medida cero.

22


Cap´ıtulo 2

Medida Medida:: Definic Definici´ i´ on, o n, Uso y Propiedades En este cap´ cap´ıtulo generaliza generalizaremos remos lo que desarrolla desarrollamos mos en el capitulo capitulo anterior para intervalos de modo que se pueda usar el concepto de medida en cosas más as generale generaless y a la vez famili familiare aress com comoo pesar, pesar, medir medir (áreas, areas, vol´ umenes, umenes, etc.) y tambi´ ta mbién en contar. c ontar.

2.1

σ

-´ algebra

La medida, como se vio en el caso de la recta, asigna a cada conjunto un valor real no negativo que es llamada su medida que dependiendo del problema problema puede significar significar peso, area, a´rea, longitud, o cantidad de elementos de dicho conjunto. Pero debido a las propiedades requeridas para una medida no siempre es posible asignar dicho número umero a todos los conjunto conjuntos. s. Por esta raz´ on es importante especificar la clase de conjuntos que se puede medir. on

A ⊂ P

Dado entonces un espacio Ω consideramos la clase (Ω) (Ω) de subconjuntos de Ω con las siguientes propiedades: la clase contiene al espacio completo, a los complementos de cada elemento y a uniones numerables de sus elemento elementos. s. Una clase con estas propiedades propiedades es llamada llamada σ-´ algebra algebra de conjuntos conjuntos de Ω. Dicho Dicho de otro modo modo (Ω) (Ω) es una σ -´ algebra algebra de conjuntos de Ω si cumple las siguientes propiedades.

A ⊂ P

23

24

cap´ ıtulo ıtulo 2. Medida Medida

I. Ω está en

A.

II. Para todo A III. Si A =



n∈N

c

∈ A se tiene A ∈ A. A y A ∈ A para todo n ∈ N entonces A ∈ A. n

n

Siguiendo la tradición, on, llamaremos llamaremos medibles a los conjuntos pertencientes a la σ -´ algebra de la cual estemos hablando. algebra Ponemos a consideración on del lector las siguientes clases de conjuntos que afirmamos son σ -´ algebras: algebras: 1. Si Ω es cualquier conjunt conjuntoo tome = (Ω). (Ω). Esto es, la clase formada por todos los subconjuntos de Ω siempre es una σ -´ algebra. algebra.

A P

2. Tambi´ Tamb ién, en ,

algebra para cualquier conjunto Ω. A = {Ω, ∅} es una σ-álgebra 3. Considere Ω = {1, 2, . . .} = N el conjunto de los naturales. Podemos tomar como σ -´ algebra algebra a la clase A = {∅, {1, 3, 5, . . .}, {2, 4, 6, . . .}, Ω}. 4. Sea Ω un conjunto conjunto no numerable numerable.. La clase A de los conjuntos numerables o que tienen complemento numerable es una σ -´ algebra. algebra.

5. Sea Ω = R. En este conjunto además as de las σ -´ algebras algebras como en 1, 2 y 4 arriba, se puede considerar la σ-álgebra algebra = formada por los conjuntos medibles (los subconjuntos de R que satisfacen la condición on de Caratheodory) como en la definición on del cap´ cap´ıtulo anterior. Precisame cisament nte, e, la ultima u ´ ltima parte del cap´ cap´ıtulo anterior estuvo dedicada a demostrar que la clase de los conjuntos medibles es una σ -´ algebra algebra

A L

2.2 2.2

Medi Medida dass y sus sus Pro Propi pied edad ades es

Como mencionamos al inicio de este cap´ cap´ıtulo, una medida es una función on que asigna a cada subconjunto de una σ -´ algebra algebra un n´ umero. umero. Pero Pero esta esta asignaci´ on no puede ser arbitraria pues deseamos imitar las propiedades de on medir peso, area, volumen, longitud, longitud, cantidad cantidad de elemento elementos, s, etc. Por eso se le debe requerir a dicha función on algunas propiedades que modelan las propiedades que deseamos.

A→

∞

En este sentido llamaremos medida a una funci´ on on µ : [0, [0, + ] definida en una σ -´ algebra algebra que satisfaga las siguientes propiedades:

A

25

´ n 2.2. propied seccion o propiedades ades

∅

I. La medida del conjunto vac´ vac´ıo es cero. µ( ) = 0. II. La funci´ on on µ es contablemente aditiva (σ ( σ-aditiva) esto es: µ(

∞

∞





Ai ) =

i=1

A

µ(Ai ) .

i=1

A

Una terna (Ω, (Ω, , µ) donde Ω es un conjunto, es una σ -´ algebra algebra y µ espacio o de medida medida. El pa es una medida sobre se llama espaci par (Ω (Ω, ) se espacio medible medible. Un espaci espacio de le llama espacio espacio o de medida medida se llama espacio en que µ es una medida finita. En el medida finito si µ(Ω) < , o también caso particular en que µ(Ω) = 1 el espacio de medida es llamado espacio de probabilid probabilidad ad . Observe que en el caso de un espacio de medida finito las medidas de todos los demás as conjuntos medibles tienen que estar entre 0 y µ(Ω), i.e. 0 µ(A) µ(Ω) para todo conjunto medible A.

A

A

∞

≤

≤

A continuación on enumeramos propiedades de los espacios de medida. Proposici´ on on 2.2.1 Sea (Ω, (Ω, , µ) un espacio de medida, se cumple lo siguiente:

A

1. Sean A, B conjuntos conjuntos medibles, con A µ(B A) = µ(B ) µ(A).

\

−

⊂ B y µ(B) < ∞ entonces



2. Si A Si An A, i.e. si A si An es una sucesi´ on de conjuntos conjuntos medibles que crece crece hacia A hacia A, entonces A es un conjunto medible y µ(A) = limn→∞ µ(An ). 3. Si An A, i.e. i.e. si A si An es una sucesi´ on de conjuntos medibles que decrece hacia A, y existe n0 N tal que µ(An0 < entonces A es un conjunto medible y µ(A) = limn→∞ µ(An ).



∈

∞

4. Si Ai son conjuntos medibles para todo i ∞ i=1 µ(Ai ).

  

∈ N entonces µ(



∞ i=1

Ai )

≤

5. Para Para cualquier cualquier sucesi´ sucesi´ on An de conju onjunt ntos os medi medibl bles es se tien tienee que que N tal µ(lim (lim inf n∈N An ) lim lim inf inf n∈N µ(An ) y si exis existe te n0 tal que que ∞ µ( i=n0 Ai ) < entonces lim lim sup supn∈N µ(An ) µ(lim (lim supn∈N An ). En particul particular ar si (Ω, (Ω, , P ) P ) es un espacio espacio de prob probabilid abilidad ad An A implica que P ( P (An ) P ( P (A). 6. Si

≤ ∞ A → ∞ (lim sup ∈ =1 µ(A ) < ∞ entonces µ(lim

i

i

n N

≤

An ) = 0.

∈

→

26


Las afirmaciones 2 y 3 son las mismas afirmaciones hechas en el Teorema 1.3.6 y las demostraciones son esencialmente las mismas. Demostraci´ on. on. 1. No Note te que que B = A (B A) de modo que µ(B ) = µ(A) + µ(B A) y de ah´ı, ı, µ(B ) µ(A) = µ(B A).

\

 \ \

−

2. En el caso caso en que exist exista a un An con µ(An ) = y considerando que la sucesión on es crecient crecientee entonces entonces la propiedad propiedad se cumple. Sólo olo queda por demostrar en el caso en que µ(An ) < para todo n N. En esta esta caso caso escribimos la sucesión on An como

∞

∞

∈

∞

A = A1 +



(Ai Ai−1 )

\

i=2

de modo que la propiedad II de la definición on de medida implica ∞

µ(A) = µ(A1 ) +

 

\

µ(Ai Ai−1 )

i=1

∞

= µ(A1 ) +

(µ(Ai )

i=1

= =

− µ(A −1)) i

n

lim µ(A1 ) +

n→∞



(µ(Ai )

i=1

lim µ(Aj )

− µ(A −1)) i

j →∞

3. La demostración on se hace de modo análogo alogo a la parte 2 considerando que en este caso A se puede escribir como ∞

A = An0

 \

(An0 Ai ) .

\

i=n0

4. En este caso podemos escribir ∞

∞





Ai = A1 +

i=1

de modo que

(An

n=2

\ ∪ =1−1 A ) , n i

i

∞

µ(A) = µ(A1 ) +



n=2

µ(An

\ ∪ =1−1 A ) n i

i

27

´ n 2.2. propied seccion o propiedades ades

≤

µ(A1 ) +

∞

∞





µ(An ) =

n=2

5. De la definición o n lim inf inf A An =

n=1

∪∞=1 ∩∞= n

µ(An )

i n

Ai . As´ı,

∞

  Ai

i=n

n∈N

es una sucesión on crecien creciente te de conjun conjuntos tos.. Con lo que, que, usando usando la parte parte 2, tenemos ∞

µ(lim (lim inf A inf An ) =

lim µ(

n→∞

 

Ai )

i=n

∞

= lim inf µ f µ(

Ai )

i=n

≤

lim lim inf inf µ µ(An )

donde la ultima u ´ ltima desigualdad sigue del hecho que

i i n nftyAi

∩=

⊂A

n.

El caso caso del del l´ımit ımitee supe superi rior or es an´ análog a logoo pero pero nece necesi sita tamo moss que que ∞ µ( i=n0 Ai ) < en alg´ un un n0 para poder usar la parte 3.



∞

Si tenemos un espacio de probabilidad la condición on anterior se cumple siempre con lo que tendremos que An

→ A =⇒

6. De la parte 4 se tiene que µ(

lim P ( P (An ) = P (lim P (lim An ) . ∞



i=n

Ai )

∞

     ≤

i=n

∞

µ(lim (lim sup An ) = µ(

µ(Ai ) <

∞, de modo que

∞

Ai )

n=1 i=n

∞

= li m µ (

Ai )

i=n

∞

≤ puesto que



∞ n=1

µ(An ) <

lim

n→∞

µ(Ai ) = 0

i=n

∞ implica lim →∞ n

∞ i=n

µ(Ai ) = 0.



28


L

Ejemplo 1. El Cap´ Cap´ıtulo 1 estuvo dedicado a demostrar que (R, , m) es un espacio de medida. Ejemplo 2. Para el espacio Ω = a, b podemos definir la σ -´ algebra algebra = , Ω, a , b . En este ejemplo podemos dar una medida µ de la siguiente manera manera.. Tome p, q R y defina µ( a ) = p, µ( b ) = q , µ( ) = 0 y µ(Ω) = p + q . De este modo µ es una medida finita y será una medida de probabilidad si p + q = 1.

{∅ { } { }}

{ } {}

∈

A

{}

∅

Ejemplo 3. En un espacio medible (Ω, (Ω, ) siempre es posible definir una medida de la siguiente manera:

A

µ(A) =



#A

si A es finito en cualquier otro caso, caso ,

∞

donde #A #A significa la cantidad de elementos del conjunto A. Esta medida medida de conteo conteo. es llamada usualmente medida Ejemplo Ejemplo 4. Consideremos el espacio medible (Ω, (Ω, ) donde el conjunto p sea medible, en este caso se puede definir la siguiente medida:

A

µ(A) =



1 0

si p si p

{}

∈A ∈ A

Con esta propiedad la medida se dice que esta medida está concentrada en p. p. Esta medida es usualmente llamada δ -Dirac -Dirac en p y denotada δ p .

2.3 2.3

Funci uncion ones es Medi Medibl bles es

En esta sección on estaremos hablando de un espacio de medida (Ω, (Ω , , µ). R una funci´ Sean A Ω un conjunto medible y f : A on. on. Se dice dice que medible si x A f ( f es medible f (x) > α es medible para todo α R.

⊂

{ ∈ |

}

−→

A

∈

Con esta definición on estamos tomando preimágenes agenes de intervalos del tipo (α, ) o (α, ( α, ] si estamos trabajando en la recta extendida. Como veremos posteriormente esta definición on es equivalente a pedir que la preimagen de cualquier cualquier intervalo intervalo abierto sea medible. medible. Naturalme Naturalmente nte debemos definir lo que es abierto en la recta extendida, no lo haremos aqu´ aqu´ı pero p ero mencionamos que en el libro [1] se puede encontrar una exposición sobre la topolog topol og´´ıa de la recta extendida.

∞

∞

29

´ n 2.3. funciones seccion o funciones medibles medibles

⊂

Proposici´ on on 2.3.1 Sean A Ω medible y f : A tonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

→ R una funci´ on, en-

(i) f es medible. (ii) f −1 ([α, ([α,

∞)) es medible para todo α ∈ R. (iii) f −1 ((−∞, α)) es medible para todo α ∈ R. (iv) f −1 ((−∞, α]) es medible para todo α ∈ R. ⇒ (ii) pues si tomamos β

Demostraci´ on. on. (i) entonces −1

f ([α, ([α,

n

−1

∞)) = f

(

una sucesión on creciente a α

∞

∞





(β n ,

n=1

que es medible (pues f −1 ((β ((β n , medible).

∞)) =

f −1 ((β ((β n ,

n=1

∞))

∞)) es medible de la definición o n de f ser

⇒ (iii) pues f −1((−∞, α)) = R \ f −1([α, ([α, ∞)) = f −1 (R \ [α, ∞). (iii)⇒ (iv) (iv) pues pues f −1 ((−∞, α]) = ∩(f −1 (−∞, α )) = f −1 (∩(−∞, α)) (ii)

n

tomando una sucesión on αn decreciente a α.

((α, ∞)) = R \ f −1 ((−∞, α]). ⇒ (i) pues f −1((α,  Sea A ⊂ Ω un conjunto medible y f, g : A → R dos funciones, diremos

(iv)

casi toda toda part parte e (o casi casi todo todo punto punto) y escribiremos que f es igual g en casi f = g c.t.p. c.t.p. si el conjunto conjunto de puntos donde f no es igual a g tiene medida cero esto es m( x A f ( f (x) = g (x) ) = 0.

{ ∈ |

 } Proposici´ on on 2.3.2 Sea A ⊂ Ω medible, f : A → R medible y g : A → R

una funci´ on tal que f = g c.t.p. , entonces g es medible.

{ ∈



}

Demostraci´ on. on. Defina E = x A : f ( f (x) = g(x) , de las hipótesis otesis se tiene que E es medible y m(E ) = 0, y además as que cualquier subconjunto de E es medible y tiene medida cero. De modo que g−1 ((α, ((α,

∞))

= =

{x ∈ A | g(x) > α } ({x ∈ A | f ( f (x) > α} \ E ) {x ∈ E | g(x) > α}



30


que es unión on de conjuntos medibles.

⊂



→

∈

Sean A Ω, f, g : A R funciones y c R. Definimos Definimos las funciones, funciones, f + c,cf,f + c,cf,f + g , f g : A R de la siguiente manera:

→

• (f + c)(x )(x) = f ( f (x) + c, • (cf )( cf )(x x) = c f ( f (x), • (f + g)(x )(x) = f ( f (x) + g (x), • (f g)(x )(x) = f ( f (x)g (x). Para la función on f · f usaremos la notación on f 2 . ⊂

→

R funciones medibles y Teorema 2.3.1 Sea A Ω medible y f, g : A 2 R. Entonc R son c Entonces es las funcio funciones nes f + c, cf, f , f + g , f g : A medibles.

∈

Demostraci´ on. on. Para f + f + c note que (f (f + + c)−1 ((α, ((α,

→

∞)) = f −1((α ((α − c, ∞)).

Para la función on cf , en el caso c = 0 se tiene cf = 0 y por lo tanto − 1 (cf ) cf ) (α, ) = si α 0 y (cf ) cf )−1 (α, ) = R si α < 0.

∞ ∅

≥

∞

En el caso c > 0, se tiene que (cf ( cf )−1 (α, caso c < 0 como ejercicio. ejercicio.

α c

∞) = f −1( , ∞). Dejamo Dejamoss el

Considere ahora el conjunto Q = rn n N que es una enumeración on de los irracionales, y sea α R cualquiera y x A,

∈

{ | ∈ } ∈

Ahora, f ( f (x) + g(x) > α es equivalente a que exista rn tal que f ( f (x) > rn > α g (x), es decir

−

(f + g )−1 ((α, ((α,

∞)) = {a ∈ A | f ( f (x) + g (x) > α} ∞ = ({x ∈ A | f ( f (x) > r } ∩ {x ∈ A | r

 

n

n

n=1

∞

=

[f −1 ((r ((rn ,

n=1

y por lo tanto f + g es medible.

∞)) ∩ g−1((α ((α − r , ∞))] n

> g (x)

− α})

31


Ahora (f (f 2 )−1 (α, ) = a A (f ( f (x))2 > α = A si α < 0. Si α entonces α y α están an en R y

} ≥0 √ −√ ∞ { ∈ | √ √ (f 2 )−1 (α, ∞) = {x ∈ A | f ( f (x) > α} {x ∈ A | f ( f (x) < − α}



y por lo tanto f 2 es medible.

Similarmente f g es medible pues siendo f + f + g , f 2 y g2 medibles, se tiene que f g = 12 ((f ((f + g )2 f 2 g2 es medible. 

− −

El siguiente teorema es importante pues en el estarán basados la mayor parte de las demostraciones sucesivas de esta sección as´ı com comoo de la teor teo r´ıa de integración. on. Teorema 2.3.2 Sean a R, un conjunto medible y f n n∞=1 una sucesi´ on de funciones medibles de A en R, tal que para todo x A, f n (x) n∞=1 es una sucesi´ on acotada de n´ umeros umeros reales. reales. En este caso, las funciones funciones R definidas por K, k : A

⊂

{ } ∈

{

}

→

K (x) = sup f n (x) : n k (x) =

{ ∈ N} inf { f (x) : n ∈ N}

y

n

son medibles.

∈ R y observe que si x ∈ A, entonces ⇐⇒ existe n ∈ N tal que f (x) < α , k(x) < α por lo tanto k−1 ((−∞, α)) = ∞=1 f −1 ((−∞, α)) es medible. Similarmente ∞ −1 obtenemos K −1 ((α, ((α, ∞)) = ((α, ∞)), es medible.  =1 f ((α,

Demostraci´ on. on. Sea α

n



n

n

n

n

Corolario 2.3.1 El m´ aximo y el m´ınimo entre dos funciones medibles, es medible. Sea A Ω medible, f : A on on y f n n∞=1 una sucesión on R una funci´ converge a f en c.t.p. R. Dire de funciones f n : A Diremo moss que que f n converge (y escribimos limn→∞ f n = f c.t.p. c.t.p. ) si existe existe un subconjunt subconjuntoo E A de medida cero (m (m(E ) = 0) tal que para todo x que no está en E se tiene que limn→∞ f n (x) = f ( f (x).

⊂

→

→

{ }

{ }

⊂

32


≤

Si f n es una sucesión on mon´ otona no decreciente (i.e. si f n (x) f n+1 (x) otona para todo x) y si es acotada se tendrá que existe el l´ımite ımite pues en este caso

{

∈ N}

{

∈ N}

lim f n (x) = f ( f (x) = sup f n (x) : n

n→∞

y obtenemos lim f n (x) = f ( f (x) = inf f n (x) : n

n→∞

si la sucesión on es monótona otona no creciente y acotada. Para todo n

∈ N definimos las funciones K y k como K (x) = sup{f (x) | r ≥ n} para todo x ∈ A k (x) = inf { f (x) | r ≥ n} para todo x ∈ A n

n

n

r

n

r

Notemos que K n es una sucesión on mon´ otona otona no creciente y kn es una ∞ sucesi´ on on mon´ otona no decreciente. Si f n n=1 es acotad otona ac otado, o, tambi´ t ambién en lo l o ser´ se rán an las funciones K n y kn , de modo que podemos definir

{ }

S (x) = inf K n (x) n s(x) = sup kn (x) n

{ {

| ∈ N} | ∈ N},

y

Es decir limn→∞ K n = S y limn→∞ kn = s.

→

→

ımite ımite Rys:A R se llaman respectivamente Las funciones S : A respectivamente l´ ∞ on on f n n=1 , y se denotan por superior y l´ ımite ımite inferior inferior de la sucesi´

{ }

S = lim sup sup f n s = lim lim inf f inf f n . Proposici´ on on 2.3.3 Se tiene que f n converge a f (i.e. f n (x) converge a f ( f (x) para todo x A) si, y solamente si lim supf sup f n = lim lim inf f inf f n .

∈

Demostraci´ on. on. La demostración on de esta proposición on queda a cargo del lector en el ejercicio 2.4. Teorema 2.3.3 Si f n n∞=1 es una sucesi´ on de funciones medibles y acotadas entonces lim inf f inf f n y limsup f n son medibles.

{ }

33


Demostraci´ on. on. Observemos que K n es medible para todo n, por lo tanto lim supf sup f n es igual a inf K inf K n que es medible. Un argumento argumento similar se usa para para lim inf f inf f n .  En el teorema anterior la condición on de que las funciones sean acotadas es debido a que estamos tomando funciones en R si estuviésemos esemos trabajando traba jando en los reales extendidos esta condición on no n o ser´ıa ıa necesaria n ecesaria,, ver [1, 2]. 2 ]. Corolario 2.3.2 Si f n n∞=1 es una sucesi´ on de funciones medibles, entonces limn→∞ f n = f es medible.

{ }

Proposici´ on on 2.3.4 Si f n n∞=1 es una sucesi´ on de funciones medibles tal que lim f n = f c.t.p. f c.t.p. , entonces f es medible.

{ }

Demostraci´ on. on. Como f n converge converge c.t.p. a f , f , existe E con m(E ) = 0 tal R como que para todo x A E , f n (x) converge a f ( f (x). Defina gn : A gn (x) = f n (x) cuando x A E y como gn (x) = 0 si x E . Enton Entonces ces R, adem´ lim gn = g : A as as g (x) = f ( f (x) cuando x A E , y g (x) = 0 en E .

∈ \ ∈ \ →

∈ \

∈

→

Con esta construcción on tenemos que gn = f n c.t.p. c.t.p. y por lo tanto tanto los gn son medibles, de modo que lim gn = g es medible y como g = f c.t.p. tenemos que f es medible.  on on caracter´ caracter´ ıstica ıstica de E Considere E A Ω, definimos la funci´ R tal que como la función on χE : A

⊂ ⊂ →



1 0

si x E si x A E .

∈ ∈ \ on on simple simple Asimismo, diremos que una funci´ on on h : A → R es una funci´ χE (x) =

si la imagen de h es un conjunto finito.

⊂

→

R una funci´ Proposici´ on on 2.3.5 Sea A Ω medible y h : A on simple con h(A) = α1 , . . . , αn , entonc entonces es h es medible medible si, y solame solamente nte si los −1 conjuntos Ai = h (αi ) son conjuntos medibles.

{

}

La demostración on de esta proposición o n se deja a cargo del lector en el ejercicio ejercicio 2.5. Observe Observe que los conjuntos conjuntos Ai de la proposición on anterior son n disjuntos y tales que i=1 Ai = A, y que la funci´ on on h puede escribirse como h = ni=1 χAi . (Ejercicio 2.6.)





34


⊂

Teorema 2.3.4 (Aproximaci´ on) on) Sea A Ω un conjunto medible y f : A [0, [0, ) una funci´ on medible medible (positiva). (positiva). Entonce Entoncess existe existe una sucesi´ sucesi´ on de funciones simples medibles hn tal que:

→ ∞

{ } (i) h −1 ≤ h ≤ h +1 , {h } es una sucesi´ on mon´ otona creciente. n

n

n

n

(ii) (ii) limn→∞ hn = f . f . Demostraci´ on. on. Para cada n N dividamos el intervalo [0, [0 , n) en intervali−n tos de tama˜ no no 2 es decir. Los intervalitos son de la forma I i = [ i2−n1 , 2in ), con i = 1, . . . , n2 n2n .

∈

Para cada intervalo intervalo I i definamos el conjunto E ni = f −1 (I i ). Y con esto, para cada n, podemos definir la función on simple n2n

hn =

− i

1

2n

i=1

χE ni .

Tenemos entonces que siendo f medible, los E ni son conjuntos medibles y por la Proposición on 2.3.5 las funciones hn también en son funciones funcion es (simples) (simple s) medibles. Ahora, para x A y n N, si f ( f (x) n +1 definimos hn (x) = hn+1 (x), si f ( f (x) [n, n + 1) se tiene que hn (x) = 0 y hn+1 (x) 0.

∈

∈

∈

≥

∈

Si f ( f (x) [0, [0, n), entonces existe i de modo que hn (x) = i2−n1 .

≥

∈ {1, . . . , n2 n2 } tal que f ( f (x) ∈ [ 2−1 , 2 n

i

i

n

n

)

Si consideramos ahora n + 1 estaremos subdividiendo los intervalitos por la mitad, de modo que ahora existirá j 2i 1, 2i tal que f ( f (x) j −1 j [ 2n+1 , 2n+1 ), por consiguiente

∈{ −

hn+1 (x) =

}

∈

− ≥ i−1 = h 2

j 1 2n+1

n (x)

n

y as´ı hn es una sucesión on creciente. Se tiene tien e tambi´ t ambién en que hn f , f , para todo n que hn (x) converge a f ( f (x) para todo x A.

≤

N . S´ olo olo faltar´ fal tar´ıa ıa demos d emostrar trar ∈ N .

∈ En efecto, sea x ∈ A entonces f ( f (x) ∈ [0, [0, ∞), de modo que existe n0 tal que f ( f (x) ∈ [0, [0, n0 ). Ahora si n ∈ N con n ≥ n0 tenemos que h (x) ≥ f ( f (x) − 2− , es decir  0 ≤ f ( f (x) − h (x) ≤ 2 , y el teorema está probado. probado. n

n

n

n

35

´ n 2.4. integral seccion o integral de lebesgue

2.4 2.4

Inte Integr gral al de Lebes Lebesgu gue e

Sean A Ω medible y s : A on simple, medible tal que on R una funci´ s(x) > 0 para todo x A. Si s(A) = α1 , . . . , αn y Ai = x A s(x) = integral de s sobre A, denotada por A sdm, αi , definimos la integral sdm, como (el n´ umero umero real extendido)

⊂

→

∈

}



{

sdm =

−



·





αi m(Ai ) .

i=1

Ejemplo 5. Sea A = [ 1, 1], s : A

De modo que

{ ∈ |

n

A

s(x) =

}

 

5 0 2

→ R, tal que , x ∈ [−1, −1/2] , x ∈ (−1/2] , x ∈ (1/ (1/2, 1] .

− −

·

−

·

s dm = 5 m([ 1, 1/2)) + 0 m(( 1/2, 1/2] + 2 m((1/ ((1/2, 1])

[−1,1]

= 7/2 .

⊂

→

R Proposici´ on 2.4.1 (Linealidad) Sean A on Ω medible, s1 , s2 : A funciones simples, medibles, tales que si (x) > 0 para todo x A, i = 1, 2, y α R, α > 0. Entonces:

∈

∈

(i) (ii)

 

αsi dm = α A



si dm

A

(s + s2 )dm = A 1



s dm + A 1

 A

s2 dm. dm.

{

} } { ∈

Demostraci´ on. on. (i) Haremos para s1 . Tenemos que s1 (A) = α1 , . . . , α n , luego, αs1 (A) = αα1 , . . . , α αn , y A1 = x A s1 (x) = α1 = x A αs1 (x) = αα1 . Por consiguiente

{ }

|



A

αs1 =

}



ααi m(Ai ) = α

{ ∈ |



αi m(Ai ) = α



s1 dm .

A

(ii) Podemos escribir las funciones simples de la siguiente manera s1 =

n

m





i=1

αi χAi ,

s2 =

j =1

β j χBj

36


{

}

{



}

con s1 (A) = α1 , . . . , αn , s2 = β 1 , . . . , βm y Y también en la suma p

s1 + s2 =



n i=1

Ai =



n j =1

Bj = A.

γ k χC k ,

k=1

{

}

con (s (s1 + s2 )(A )(A) = γ 1 . . . , γ p y



n k=1

C k = A.

Ahora bien, para todo k definimos el conjunto

{

J k = (i, j )

∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m}

}

: αi + β j = γ k ,

p

de modo que



k =1

{

} × {1, . . . , m} y C

J k = 1, . . . , n

k



=

Ai

(i,j )∈J k

{ ∩ } ∩

∩B . j

Observe que cada sucesión on conjuntos Ai Bk (i,j )∈J k es finita y disjunta por lo tanto m(C k ) = m(Ai Bk ) ,



(i,j )∈J k

que junto con la definición on de integral de una función on simple nos da



p

(s1 + s2 )d m =

A

p

    ∩  ∩  ∩   ∩  ∩   γ k m(C k ) =

k =1

γ k

k=1

m(Ai

(i,j )∈J k

∩B ) j

p

=

(αi + β j )m(Ai

Bj )

k =1 (i,j )∈J k n

=

m

(αi + β j )m(Ai

Bj )

i=1 j =1 n

=

m

m

αi m(Ai

Bj ) +

i=1 j =1

αi m(Ai

A) +

j

β j m(A

Bj )

j =1

s1 d m +

A

∩B )

m

i=1

=

β j m(Ai

j =1 i=1

n

=

n

s2 d m

A



⊂

→

R es Sean A y B conjuntos medibles de Ω con B A. Si f : A medible, entonces (vea ejercicio 27) f B : B en en es medible. medibl e. Por R tambi´

|

→

37

´ n 2.4. integral seccion o integral de lebesgue

⊂ |

→

R es una funci´ lo tanto, si B A, es un conjunto medible, y s : A on on simple, medible, no negativa, podemos definir la integral integral sobre sobre B como sdm = B s B dm. dm. B





Proposici´ on on 2.4.2 Sean A y B subconjuntos de Ω, con B A, s1 , s2 : R dos funciones simples, medibles y no negativas, entonces: A

⊂

→

(i) s1 (ii) (iii)

 

B

A



≤ s2 implica s1dm ≤ s1 dm ≤ s1 dm. dm. A

 A



s2 dm. dm.

A

s1 dm = 0 si, y solamente si s1 (x) = 0 c.t.p. c.t.p. .



(iv) m(A) = 0 implica

A

s1 dm = 0

La demostración on de estas propiedades se dejan a cargo del lector.

⊂

→

R una funci´ Considere A Ω medible y f : A on medible no negativa. on Definimos la integral dm, como integral de Lebesgue Lebesgue de f sobre A, A f dm,



 {

f dm = sup

A



| ∈ S }

sdm s

A

donde S es el conjunto de todas las funciones simples no negativas tal que s f . f .

≤

Observe que, con esta definición, on, habr´ habr´ıa dos modos de calcular la integral de una función on simple, sin embargo estas dos definiciones coinciden en este caso. Mencionamos tambi´ en en que, similarmente al caso anterior, para B A se puede definir B f dm = B f B dm. dm.



⊂

 |

Para la integración on concreta damos a continuación on algunas propiedades que nos ayudan a hallar integrales de funciones en general.

⊂

Proposici´ on on 2.4.3 Sean A y B subconjuntos medibles de Ω, con B A, f 1 , f 2 : A R funciones medibles no negativas, α R, α 0.Entonces:

→ (i) f 1 ≤ f 2 implica f 1 dm ≤ (ii) f 1 dm ≤ f 1 dm. dm.

     A

  

B

(iii) (iv)

∈

A

f 2 dm. dm.

A

A

αf i dm = α

A

f 1 dm = 0 si, y solamente si, f 1 (x) = 0 c.t.p. c.t.p. .

A

f i dm. dm.

(v) m(A) = 0 implica

A

f 1 dm = 0

≥

38

2.5 2.5


Con Converge ergenc ncia ia Mon´ Mon´ otona otona

Teorema 2.5.1 (Lebesgue) Sea A Ω medible, f n n∞=1 una sucesi´ on de funciones no negativas, f n : A on. Suponga R y f : A R una funci´ que

→

⊂

→

{ }

≤ f +1(x), para todo x ∈ A, n ∈ N. (ii) (ii) lim →∞ f (x) = f ( f (x) para todo x ∈ A. (i) f n (x)

n

n

n

entonces



f dm = lim lim

n→∞

A



f n dm .

A

Demostraci´ on. on. Como el l´ımite de funciones medibles es medible, se tiene que f es medible, y como los f n son no negativos, f tambi´ tam bién en lo ser´ ser á. a. Luego, f dm est´ a bien definida, defini da, y como vale (i), se tiene tambi´ tambi ´ en e n f dm A A n ∞ f dm, dm, de modo que A f n dm n=1 es una sucesión on mon´ otona otona creA n+1 ciente, y por lo tanto converge a algún un α [0, [0, ]. Observe que (i) también en implica que A f n dm f dm para todo n N, de modo que A

 



≤ 

{

}

α

 ≤



∈ ∞ ∈

≤

(2.1)

fdm.

A

≥ 0 una función on simple tal que s(x) ≤ f ( f (x) para todo (0, 1) y para todo n ∈ N definimos el conjunto ∈ ∈ (0, E = {a ∈ A | f (x) ≥ c s(x)}. que es medible para todo n. Se cumple cu mple también en que q ue E 1 ⊂ E 2 ⊂ · · · ⊂ E ⊂

Tome ahora s x A. Fijamos c

n

n

n

E n+1 . Ahora, como f n (x) converge a f ( f (x) para todo x debemos tener ∞



E n = A

n=1

de modo que c



A

sdm =



A

csdm = lim lim

n→∞



E n

(cs) cs)dm .

39

´ n 2.5. converge ´ tona seccion o convergencia ncia monotona o

Ahora bien, para n



∈N

f n dm

A

 ≥

dm

E n

 ≥

csdm = c

E n



edm



sdm.

E n

y por lo tanto lim

n→∞



f n dm

A

≥

lim c

n→∞



sdm = c

E n

A

Como esta ultima u ´ ltima relación on vale para todo c lim

n→∞



f n dm

A

∈ (0, (0, 1), se cumple que

 ≥

sdm.

A

y como hemos tomado un s arbitrario, usamos la definición on de integral y obtenemos α = lim lim

n→∞



A

f n dm

 ≥

fdm,

A

que junto con la desigualdad (2.1) nos da la igualdad que buscamos.



Si juntamos este teorema con el de aproximación on de funciones medibles por funciones simples tenemos que siempre es posible para todo f medible exhibir una sucesión on de funciones simples sn tal que sn sn+1 , sn f y limn→∞ A sn dm = A sdm.



≤



→

Conviene también en observar observar que esto nos permite calcular (por aproximaci´ on) on) la integral de funciones. En vista de este teorema también en podepo demos mencionar mencionar aqu´ aqu´ı una diferencia diferencia entre la integral integral de Riemann Riemann y la de Lebesgue. Lebesgue. La integral integral de Riemann Riemann se calcula calcula subdividiendo subdividiendo el dominio dominio de definici´ on on de la funci´ on (en general un intervalo) calculando máximos on aximos y m´ınimos de la función on en estos intervalitos, de modo que se puede formar una aproximación on por arriba y otra por abajo de la integral de Riemann. En el caso de la integral de Lebesgue se subdivide el rango de la función on en intervalitos y se mide la preimagen de estos intervalos para aproximar el área area multiplicando la medida de la base por la altura (ya fijada) del conjunto. Ejemplo Ejemplo 6. Sea (Ω, (Ω, , µ) donde Ω = [0, [0, 1], y consideramos el el σ álgebra de los Lebesgue medibles y µ = m la medida algebra medida de Lebesgu Lebesgue. e. ConConsidere f : A Para todo todo n N definimos sn : A R, x R f ( f (x) = x. Para

→

A →

A

∈

→

40


de la siguiente manera 2n

sn =



j

− 1χ

( j2−n1 , 2jn ] .

2n

j =1

Vemos que lim sn = f y que



2n

sn dm =

A

cuyo l´ımite ımi te nos da

 j =1

1 2

j

1 2n (2n + 1) = 2n 22n 2



−1 1

2n

−2

n



.

Para concluir demostramos la propiedad de linealidad de la integral que hemos definido. Teorema 2.5.2 Sea A un conjunto medible y f 1 , f 2 : A medibles no negativas. Entonces



f 1 + f 2 dm =

A



f 1 dm +

A



→ R funciones

f 2 dm .

A

Demostraci´ on. on. Tome sn una sucesión on creciente de funciones que convergen a f 1 , por el Teorema 2.3.4, y tn la correspondiente a f 2 . Tenemos enemos entonces que sn + tn es una sucesión on creciente de funciones simples que converge a f 1 + f 2 y por lo tanto A sn + tn dm f + f 2 dm, dm, pero pe ro tambi´ tam bién en A 1 se tiene que A sn + tn dm = A sn dm + A tn dm por la Proposición on 2.4.2 y por lo tanto





f 1 + f 2 d m = lim

A

  

  →

sn + tn d m = lim lim

A

=



f 1 d m +

A



A



sn d m +



tn d m

A

f 2 d m .

A



Ejempl Ejemplo o 7. Considere el espacio (N, (N), µ) donde µ es la medida de R. Como el σ -´ conteo. Tome cualquier función on f : N algebra algebra considerado incluye a todos los subconjuntos de N entonces f es medible. medible. Si hacemos hacemos αn = f ( f (n) podemos escribir

P →

n

f ( f (x) = lim lim

n→∞

 j =1

αj χ{j } (x) .

41 para todo x

∈ N. De modo que



n

f dµ = lim lim

n→∞

 

n

αj χ{j } dµ = lim lim

n→∞

j =1



αj µ( j )

j =1

{}

{}

y como µ es la medida de conteo µ( j ) = 1 para para todo j . Es decir



∞

f dµ =



αj .

j =1

Ejemplo 8. En el caso en que tengamos una medida concentrada en p y f : Ω f ( p) p)χ{ p} c.t.p. c.t.p. . De modo modo que R, tenemos que f = f (

→



f dδ p = f ( f ( p) p).

Ejercicios 2.1 La función on f es medible si, y solamente si la preimagen por f de cualquier abierto en R es medible. 2.2 La funci´ on on f es medible medible si, y solame solament ntee si, la ima imagen gen invers inversaa de cualquier intervalo es medible. 2.3 Probar Probar que una funci´ on on continua es medible. 2.4 Demuestre Proposición on 2.3.3 2.5 Demuestr Demuestree la Proposici´ Proposici´ on on 2.3.5

→

R se puede 2.6 Una funci´ funci´ on on simple simple h : A puede expres expresar ar com comoo h = n m A, y se pueden escoger los Ai de modo i=1 αi χAi con i=1 Ai que sean disjuntos disjuntos dos a dos. Rec´ Rec´ıprocament ıprocamente, e, cualquier cualquier funci´ on on m m R de la forma g = g : A A es una j =1 χBi con i=1 Bi funci´ on on simple. simple.



→



⊂





⊂

⊂

2.7 Sean Sean A y B conjuntos medibles de R con B A. Si f : A medible, entonces f B : B en es medible med ible.. R también

|

→

2.8 Demuestr Demuestree la Proposici´ Proposici´ on on 2.4.2. 2.9 Demuestr Demuestree la Proposici´ Proposici´ on on 2.4.3

→ R es

42


Cap´ıtulo 3

Funciones Integrables En este cap´ cap´ıtulo definiremos definirem os la integral de d e una función on cualquiera. Debdido a que trataremos de función on que pueden tomar valores positivos o negativos, necesitamos las siguientes definiciones. Dada una función on f : A

• La parte parte

→ R definimos:

positiva positiva de f , f , como la función on f + : A

→ R tal que

f + = max f, 0 .

{ }

• La parte parte

→ R tal que f − = {max{−f, 0} = − min{f, 0}, . • El valor absoluto absoluto de f como la funci´ on on |f | : A → R tal que |f |(x) = |f ( f (x)| . negativa negativa de f como la funci´ on on f − : A

Observe que las funciones arriba definidas son todas no negativas y adem´ as as f = f + + f − y f = f + f − , y de ah´ı fácilmente acilmente se deduce que si f es medible también en son medibles medible s f , f + y f − .

||

−

||

→

R una funci´ Sea A un conjunto medible y f : A on on medible. Decimos on on Lebesgue Lebesgue integrable integrable (o simplemente integrable) que f es una funci´ si f dm <

 | |

∞

A

43

44

cap´ ıtulo ıtulo 3. Funciones Funciones Integrables Integrables

y en este caso se define la integral de f como



f dm =

A



f + dm

A

 −

f − dm .

(3.1)

A

Es f´ acil acil ver que si f : A f obliga R es integrable el hecho que f ± a que A f ± dm f dm < y por lo tanto finito de modo que la A diferencia está bien definida y además as A dm < , i.e. A f dm es finito.



→

≤  | |

≤| |

∞

|





| ∞

Teorema 3.0.3 Sea A un conjunto medible y f 1 , f 2 : A integrables y α R. Entonces:

∈

(i) f 1 + f 2 : A (ii) αf 1 : A

→ R es integrable y

→ R es integrable y



A



f + f 2 dm = A 1

αf 1 dm = α

 A

→ R funciones



f dm + A 1

f 1 dm. dm.

Demostraci´ on. on. Usando la desigualdad triangular f 1 + f 2 obtenemos A f 1 + f 2 dm f + A f 2 . A 1

 |

|

≤  | |  | −

|

|

 A

f 2 dm. dm.

| ≤ |f 1| + |f 2|

−

Podemos Podemos escribir escribir f 1 + f 2 = f 1+ f 1− + f 2+ f 2− y también en que 1+ 2+ f 1 + f 2 = g+ g− , donde g+ y g− son la parte positiva y la parte negativa de la función on f 1 + f 2 . Juntan Juntando do estas dos iguald igualdade adess y transpo transponie niendo ndo t´ erminos erminos podemos po demos escribir

−

g+ + f 1− + f 2− = g− + f 1+ 1+ + f 2+ 2+ y usando esta igualdad tenemos la siguiente sucesión de igualdades que demuestran la parte (i) del Teorema.

 

(g+ + f 1− + f 2− ) dm =

A



g+ dm +

A

 

(g− + f 1+ 1+ + f 2+ 2+ ) dm

A

f 1− dm +

A



f 2− dm =

A

g− dm +

A



f 1+ 1+ dm +

A

+



f 2+ 2+ dm

A



A

g+ dm

 −

g− dm =

A



f 1+ 1+ dm

A

 −

+



f 2+ 2+ dm

A



A

(f 1 + f 2 ) dm =



A

g dm =



A

f 1− dm +

A

f 1 dm

 −

A

 −

A

f 2 dm

f 2− dm

45

´ n 3.1. teoremas seccion o teoremas de converge convergencia ncia

Para la parte (ii) tenemos que si α = 0 la afirmaci´ on on se cumple trivialmen ialmente. te. Si α > 0 tenemos que (αf (αf 1 ) = αf 1± y si α < 0 entonces (αf 1 )± = αf 1∓ . 

±

−

3.1

Teorema eoremass de Conv Convergenc ergencia ia

Los siguientes son resultandos muy importante en la teor´ teor´ıa de la medida. El primero de ellos lo enunciamos como teorema, por su importancia, pero es conocido usualmente como Lema de Fatou. Teorema 3.1.1 (Lema de Fatou) Sea A Sea A un conjunto medible y f n n∞=1 una sucesi´ on de funciones reales no negativas definidas en A, entonces

{ }



(lim (lim inf f inf f n )dm

A

≤ liminf



f n dm .

A

Demostraci´ on. on. Defina kn = inf f r (x) r n para cada x A, con esta definici´ on on se ve fácilmente acilmente que lim kn (x) = lim inf inf f f n (x) y además as kn (x) > 0 para todo x A (pues sucede lo mismo con f n (x)). De aqu´ı, ı, por p or el teorema de la convergencia monótona, otona, se tiene A liminf f liminf f n dm = lim A kn dm, dm, pero como kn < f n tenemos A kn dm f dm para todo n N y por lo tanto A n

{

∈

lim

n→∞





kn dm =

A

≤



| ≥ }

 

∈

∈

liminf f liminf f n dm

A



≤ lim lim inf inf



f n dm .

A



Teorema 3.1.2 (Convergencia Dominada) Sea A Sea A un conjunto conjunto medible ∞ y f n n=1 funciones reales medibles definidas en A, tal que limn→∞ f n (x) existe para todo x A. Si exist existee una funci funci´ on ´ g : A R integrable tal que para todo n N se tiene f n (x) g(x) para todo x A, entonces la funci´ on

{ }

∈

∈

|

→ ∈

|≤

f = lim lim f n es integrable, n→∞

lim

 |

f n

A

y lim

n→∞

 A

f n dm =



A

fdm.

− f |dm = 0

46


Demostraci´ on. on. Como f es l´ımite ımite de d e funciones func iones integrables i ntegrables es integrable, integra ble, y como g es integrable tenemos, de la condición on sobre g , que para todo n N f n es integrable, y por la misma desigualdad, tomando l´ımite, ımite, obtenemos f g , lo que implica que f es integrable.

∈

| |≤

Ahora bien, 2g 2g



on medible no negativa y satisface − |f − f | es una función n

lim lim inf(2 inf(2gg

− |f − f |) dm = n

A



liminf 2g 2g dm

A

{ − |f − f |} satisfacen

y por el Lema de Fatou las funciones 2g



≤

2g dm

A

≤ ≤



lim lim inf inf

 

A

− |f − f | dm n

2g dm + lim lim inf( inf(

A

2g

A

f n

 − |

f n

A

 |

− limsup

 | − |  − 

y por lo tanto tanto lim sup

2g

A

n

f dm

f n

A

− f | dm) dm)

− f | dm



≤ 0 de donde |f − f | dm = 0. A

n

Para mostrar la última ultima afirmación on del teorema observemos que (f n

f ) f ) dm

A

y por lo tanto 0

≤

lim

de donde limn→∞

3.2 3.2

 −   −

n→∞

A

(f n

f n

f dm

A

f ) f ) dm

A

(f n

 ≤  | − |   ≤  | − |    lim

n→∞

f ) f ) dm = 0 y

A

f n

f dm = 0,

A

f dm d m = limn→∞

A

f n dm. dm.



Otro Otross Modos Modos de de Con Conv verge ergenc ncia ia

A

A continuación on estaremos trabajando en un espacio medible (Ω, (Ω , , µ), con funciones f : Ω Para funcion funciones es definida definidass en A Ω, A medible, R. Para ˜ podemos definir en todo Ω una nueva función on f con la propiedad que

→

⊂

 Ω

f˜dµ =



A

f dµ

47

´ n 3.2. otros seccion o otros modos de converge convergencia ncia

del modo siguiente f ˜ : Ω si x A.

∈

→ R, con f ( f ˜(x) = f ( f (x) cuando x ∈ A y f ( f ˜(x) = 0

En la sección on anterior vimos teoremas que dicen cuándo ando el l´ımite de funciones integrables es integrable y si el l´ımite de las integrales es la integral del l´ımite. Pero al hacer esto lo hicimos para el caso particular en que la convergencia de las funciones se da en todo punto. convergencia cia en casi todo Una primera generalización on es definir la convergen c.t.p. p. ). Dire Diremo moss que la suce sucesi si´ón on f n : Ω punto ( c.t. R converge c.t.p. R si existe un subconjunto A a la función on f : Ω Ω medible tal que µ(Ω A) = 0 y la sucesión on f n converge en todo punto x A. Esta definición on y el hecho de que la integral de un conjunto de medida cero es cero hace que podamos f´ acilmente adaptar las demostraciones de los teoremas anteriores acilmente para el caso en que las sucesiones solo converjan en casi todo punto.

→ ⊂ ∈

→

\

Damos a continuación on la definición on de otros tipos de convergencia de funciones:

→

∈

R, n N, converge uniformemente a la 1. Decimos que f n : Ω funci´ on on f : Ω para todo todo ε > 0 existe existe n0 > 0 tal que R si para supx∈Ω f n (x) f ( f (x) < ε para todo n n0 .

|

−

→

2. Decimos que f n R si f : Ω

→

| ≥ converge en media media a la funci´ : Ω → R, n ∈ N, converge on on lim

 |

f n

Ω

− f |dµ = 0 .

La convergencia convergencia en media tambi´ también en se denomina convergencia convergencia en L1 .

→ ∈ { ∈ |

converge ge en medida medida a f : Ω R, n N, conver 3. Decimos Decimos que que f n : Ω si lim µ( x Ω : f n (x) f ( f (x) α )= 0 n→∞

−

→R

|≥ }

para todo α > 0. 4. Decimos que f n : Ω converge casi uniformeme uniformemente nte a R, n N, converge R si para cada δ > 0 existe un conjunto E δ f : Ω Ω medible con µ(E δ ) < δ y tal que f n Ω \ E δ converge uniformemente a f Ω \ E δ .

→

→

∈

|

⊂

|

A continuación on daremos algunos teoremas que relacionan estos diversos modos de conver convergenc gencia. ia. No todas las posibles relaciones relaciones están an incluidas y

48


algunas han sido adaptadas para que se ajusten al carácter acter básico asico de este librito. Es evidente de las definiciones que convergencia uniforme implica que converge en todo punto y por lo tanto en casi todo punto. La convergencia casi todo punto no implica la convergencia en media. Sin embargo en el caso en que la sucesión on sea s ea dominada d ominada s´ı, como vimos en la sección on anterior (Teorema 3.1.2). Para el caso en que la medida del espacio es finita, como en el caso de los espacios de probabilidad, tenemos

∞

Proposici´ on on 3.2.1 Suponga que µ(Ω) < y que f n es una sucesi´ on que converge uniformemente a f en Ω, entonces f es integrable y f n converge e f en media. Demostraci´ on. on. De la convergencia uniforme, dado ε > 0 existe n(ε) tal que n > n( n (ε) implica f n (x) f ( f (x) < ε para todo x Ω , por lo tanto

|

 |

f n

Ω

−

|

∈

εµ(Ω) − f |dµ < εµ(Ω)

que es lo mismo que decir lim

 | Ω

f n

para para todo todo n > n(ε)

− f |dµ = 0.



La convergencia en medida no implica la convergencia casi todo punto pero si la existencia de una subsucesión on que lo hace. Proposici´ on on 3.2.2 Si la sucesi´ on f n converge en medida a f entonces existe una subsucesi´ on que converge casi todo punto a f . f .

{ }

Demostraci´ on. on. La definici´ on de convergencia en medida es equivalente a on que para todo α > 0 y todo ε > 0 se puede hallar N > 0 tal que si n > N se tiene que el conjunto E = x Ω : f n (x) f ( f (x) α es tal que µ(E ) < ε, esm decir, es peque˜ no no en medida.

{ ∈

|

−

|≥ }

Por lo tanto, para cada k N si tomo α = 2 −k y ε = 2 −k podemos hallar un n(k ) suficientemente grande tal que E k = x Ω : f n(k) (x) f ( f (x) −k −k 2 tiene medida µ(E k ) < 2 .

∈

}

∪∞=∞E

Tomando F k = As´ı, ı, el conjunto conj unto F =

|

−

|≥

tenemos F k Ω medible y µ(F k ) < 2 2−k . k=1 F k tiene medida nula.

j k



{ ∈

k

⊂

·

49


∈ F entonces

Solo falta mostrar entonces que si x

lim f n(k) (x) = f ( f (x) .

k →∞

En efecto, como x F entonces x F k para ning´ un un k . Esto Esto es, es, existe existe −k0 k0 > k tal que x E k0 es decir f n(k) (x) f ( f (x) < 2 . Luego si x F , F , k − dado ε > podemos tomar k suficientemente grande como para que 2 < ε y as´ as´ı tenemos que existe k0 tal que f n(k) (x) f ( f (x) < 2−k0 < ε. Lo que que  demuestra demue stra el l´ımite ımi te que quer´ıamos. ıam os.

∈

∈

∈

|

−

|

|

∈

−

|

{ }

Corolario 3.2.1 Si la sucesi sucesi´ on ´ f n conver converge ge en medida medida a f entonces existe una subsucesi´ on que converge casi uniformemente a f . f . Demostraci´ on. on. Este corolario viene de la demostración on del teorema anterior, pues la subsucesión on mostrada satisface que para todo δ puedo escoger el conjunto F k0 con µ(F k0 ) < δ , bastando para ello tomar k0 suficientemente mente grande. grande. Una vez vez fijado el k0 grande debemos mostrar que en el conjunto Ω F k0 la subsucesion converge uniformemente.

\

∈

∈

En efecto, observe que si x F k0 entonces x E j para todo j > k0 , esto es f n(j ) (x) f ( f (x) < 2−j para todo j > k0 . Lueg Luegoo dado dado ε > 0 tome j0 suficientemente grande (y mayor que k0) como para que 2−j0 < ε. Escogi Escogiend endo o de esa manera manera podemos podemos ver que supx∈Ω \ F k0 f n(k) (x)  f ( f (x) < ε para todo k > j 0 > k0 , lo que demuestra la afirmación. on.

|

−

|

{|

|}

−

Para el siguiente teorema necesitamos la siguiente definición: on: Decimos Decimos on o n de Cauc Cauchy hy en medi media a si para todo ε > 0 existe que f n es una sucesi´ N > 0 tal que si n,m > N entonces

{ }

 |

f n

Ω

− f |dµ < ε. m

{ }

Teorema 3.2.1 Si la sucesi sucesi´ on ´ f n es de Cauchy Cauchy en media media,, entonc entonces es existe una funci´ on f integrable tal que f n f en media.

→

{ } { }

|

|

− g |,

∈

N Demostraci´ on. on. Como la sucesión on f n es de Cauchy, para cada k k − podemos escoger una subsucesi´ subsucesi´ on on f nk tal que f nk+1 f nk < 2 . Para simplificar la no tación on haremos gk = f nk . Ahora construyamos la siguiente sucesi´ on on n

|

|

hn = g1 (x) +

gk+1 (x)

k=1

− |

k

50


y usamos el Lema de Fatou para afirmar que se cumple.



n

 |

≤ lim lim inf inf

liminf h liminf hn dµ

|

|

g1 (x) +

gk+1 (x)

k=1



−g | k

dµ

(3.2)

Observe que el lado derecho de la ecuación on (3.2) es acotado pues la sumatoria es finita ( 1), debido a la forma como se escogieron los gn .

≤

Por otro lado, como (h ( hn ) es una sucesión on mon´ otona otona creciente de funciones ciones no negati negativ vas, se tiene tiene que lim inf h inf hn (x) = lim hn (x) = h(x) considerando h(x) puede ser finito o + .

∞

En conclusión, on,



hdµ

 ≤ |

g1 (x) dµ + 1, 1,

|

{ ∈ \

como g1 es integrable entonces h es integrable y por lo tanto E = x Ω : h(x) < tiene complemento con medida nula, esto es, µ(Ω E ) = 0. Esto es la serie que define h conver converge ge c.t.p. c.t.p. . Es decir decir podemos definir definir

∞}

f ( f (x) =

  g1 (x)

n k=1

{g +1(x) − g } k

si x

k

0

si

∈ E x∈ E.

Con esta definición on y con lo mostrado anteriormente tenemos que f es k −1 integrabl integ rable. e. También, en, gk g1 + j =1 gj +1 gj h y gk f c.t.p. c.t.p. , lo que nos permite usar el Teorema de la Convergencia Dominada para decir que f es integrable gk f en media.



| |≤| | →

|

− |≤

→

S´ olo falta ver que efectivamente f n converge a f en media. olo De la definiicón on de sucesión on de Cauchy, dado ε > 0 y tomando m > N ( N (ε) y k suficientemente grandes tenemos

 |

f m

− g |dµ ≤ ε . k

Aplicando el Lema de Fatou para la sucesión on en k vemos que

 |

f n

para tod m

 |

− f |dµ ≤ lim→∞inf k

f m

≥ N ( N (ε). Lo que prueba que f

n

− g |dµ ≤ ε , k

converge a f en media.



51


Proposici´ on on 3.2.3 Si una sucesi´ on converge en media entonces converge en medida. Demostraci´ on. on. Para cada α > 0 hacemos

{ ∈ Ω : |f (x) − f ( f (x)| ≥ α},

E n (α) = x

n

entonces

 |

f n

Ω

Como

− f |dµ

 ≥

 |

f n

|f − f |dµ ≥ αµ( αµ(E (α)). )). n

E n (α)

n

− f |dµ → 0 esto implica que µ(E (α)) → 0, pues α > 0.  Proposici´ on on 3.2.4 Sea {f } una sucesi´ sucesi´ on de funciones funciones integr integrables ables que converge en medida a f y sea g integrable tal que |f (x)| < g (x) c.t.p. c.t.p. . n

n

n

Entonces f es integrable y f n converge a f en media.

Demostraci´ on. on. Suponga que f n no converja a f en media. media. Entonces Entonces se puede conseguir una subsucesión on (gk ) de f n tal que

{ }

 |

gk

− f |dµ > ε

para todo k . Como gk es una subsucesión on de f n entonces también en converge en medida a f , f , luego, existe una subsucesión on hr (de gk ) tal que hr converge a f c.t.p. c.t.p. , y tam amb bién hr (Ω) < g(x). De aqu´ı, ı, y usando el Teorema de la Convergencia Dominada se tiene que hr converge a f en media, pero esto no deber´ deber´ıa ocurrir pues hr es un subsucesión on de gk . 

|

|

La conve converge rgenci nciaa casi casi unifor uniforme me implic implicaa la conve converge rgenci nciaa en casi casi todo punto. Proposici´ on on 3.2.5 Si f n c.t.p. .

→

f casi uniformeme uniformemente nte entonce entonces s f n

→

f

Demostraci´ on. on. Como la convergencia es casi uniforme podemos tomar deltas tan pequeños nos como queramos, queramos, digamos δ k = 2−k y obtener para

52


cada uno de ellos un conjunto medible E k Ω con µ(E k ) < 2−k y tal que f n converge uniformemente a f cuando los restringimos a Ω E k .

⊂

  ≤

\

∞ i=k

Considere los conjuntos F k = E i , los cuales forman una sucesión on ∞ decreciente con k . Tome F = i=1 F k , que es medible, y como ∞

µ(F k )

µ(E k ) < 2−(k−1)

i=k

para todo k tenemos que µ(F ) F ) = 0 pues pues µ(F ) F ) = limk→∞ µ(F k ) = 0. Como f n f uniformemente en Ω E k y como E k F k tenemos f n f uniformemente en Ω F k y por lo tanto f n (x) f ( f (x) en todo x F k . Podemos asegurar entonces que si x F k para todo k , f n (x) f ( f (x) y por lo tanto f n f c.t.p. c.t.p. . 

→

\

\

∈

→

→

⊂

∈

→

→

Proposici´ on on 3.2.6 Si una sucesi´ on converge casi uniformemente a f entonces converge en medida. Demostraci´ on. on. Como f n f casi uniformemen uniformemente te dado ε > 0 existe E ε Ω con µ(E ε ) < ε y f n f uniformemente en Ω E ε . Por Por lo tanto tanto para todo α > 0 si n suficientemente grande

⊂

→ →

E n (α) = x

\

f (x)| ≥ α} { ∈ Ω : |f (x) − f ( n

est´ a contenido en E ε . Lueg Luegoo µ(E n (α)) < µ(E ε ) < ε, y as´ı f n medida.

→ f en 

El ultimo u ´ ltimo teorema de esta sección on es el Teorema de Egoroff, el cual a˜ nadir´ nadir´ a mas relaciones entre los diferentes tipos de convergencia cuando se trata de espacios de medida finita, como el caso muy usado de las medidas de probabilidad.

∞

{ }

Teorema 3.2.2 (Egoroff) Suponga Suponga que µ(Ω) < y que f n es una sucesi´ on de funciones medibles, reales que convergen casi todo punto a la funci´ on f medible medible y real. real. Entonce Entoncess existe la sucesi´ sucesion ´ converge casi uni formemente y en medida a f . f . Demostraci´ on. on. Observe que debido a la proposición on anterior solo es necesario mostrar que la f k converge casi uniformemente a f . f .

53 Suponga que f n Si m, n N defina

∈

→ f en todo punto del conjunto Ω \ R con µ(R) = 0. ∞

E n (m) =

 ∈ x

|

Ω : f k (x)

k =n

− f ( f (x)| ≥

Tenemos que los E n (m) son medibles y E n+1 f ( f (x) para todo x R, entonces

∈

1 m



.

⊂ E (m) y como f (x) → n

n

∞



E n (m)

n=1

Luego, como µ(Ω) <

⊂ R.

∞, se tiene ∞

lim µ(E n (m)) = µ

n→∞



E n (m)

n=1



= 0; para todo m

∈ N.

Por lo tanto dado δ > 0 se puede escoger para cada m un km de modo ∞ que µ(E km (m)) < 2δm . As´ As´ı, tomando E δ = m =1 E km (m) tendremos que µ(E δ ) < δ .

∪

1 Ahora, si x E δ se tiene que x E km luego f k (x) f ( f (x) < m para todo k > km , demostrando demostran do as´ as´ı que f k es uniformemente convergente en Ω E δ . 

∈

∈

|

−

|

\

Ejercicios 3.1 Demuestr Demuestree la desigualdad desigualdad

 

A

3.2 Sean Sean f, g : Ω tos

{x ∈ Ω

(f n

 ≤  | 

− f ) f ) dm

f n

A

− f | dm .

→ [−∞, ∞] funciones medibles, pruebe que los conjun-

: f ( f (x) < g (x)

son medibles.

}

y

{x ∈ Ω

}

: f ( f (x) = g (x)

54


3.3 Sean A y B dos subconjuntos medibles de R y f : A integrabl integrablee Lebesgue. Lebesgue. Pruebe Pruebe que



f dm =

B



→ R una función on

(χB f ) f )dm.

A

3.4 Considere Considere la funci´ funci´ on on f : [0, [0, 1] f (x) = sen x. Pruebe R definida por f ( que f no es integrable sobre [0, [0 , ]

→

∈

∞

→

R, β > 0 y defina f : [0, R como f (0) 3.5 Sean α, β [0, 1] f (0) = 0 y α β f ( f (x) = x sen (x (x ) cuando x [0, [0, 1]. ¿Para qué valores valor es de α resulta f ser integrable Lebesgue sobre [0, [0 , 1].

∈

3.6 Diga si las afirmaciones afirmaciones siguientes siguientes son verdaderas verdaderas y justifique justifique su respuesta. (a) Existen Existen funciones funciones de R en R que no son medibles. (b) Si la suma de dos funciones es una función on medible, entonces cada una de ellas es medible.

Cap´ıtulo 4

Descomposici´ on o n de Medidas y el Teorema de Rad´ on-Nikodym on-Nikodym Dado un espacio medible (Ω, (Ω, ) el conjunto de medidas que se pueden definir en él es vasto. Es por p or eso importante ver las relaciones que pueden ocurrir entre medidas diferentes diferentes en el mismo espacio medible.

A

Decimos que una medida λ en Ω es absolutamente continua respecto de µ en si para todo conjunto conjunto medible medible E Ω con µ(E ) = 0 se tiene que λ(E ) = 0. En este caso escribimos λ << µ. µ.

A

⊂

Como Como ejempl ejemploo podemos podemos anotar anotar lo siguie siguient nte: e: Si tenemo tenemoss una medida medida µ definida en y una funci´ on on f positiva e integrable con respecto a la medida µ, es fácil acil ver que definiendo λ(A) = A f dµ obtenemos una medida λ definida en la misma σ-álgebra algebra que µ y por las propiedades de la integral se tiene que si A satisface µ(A) = 0 entonces λ(A) = 0 con lo que λ << µ. µ. En un caso como éste este se dice que la función on f representa a la medida µ.

A



En el otro extremo tenemos la noción on de medidas medidas singulares. singulares. Diremos Diremos dos medidas λ y µ en Ω son mutuamente singulares si existen conjunto medibles A, B Ω tales que Ω = A B y λ(A) = µ(B ) = 0. En este caso escribimos λ µ. Aunque claramente la definición on es sim´ si métrica etr ica tambi´ tam bién en es usual decir que λ es singular respecto de µ.

⊂ ⊥

∪

55

56

´ n de Medidas cap´ ıtulo ıtulo 4. Descomposi Descomposici cion o Medidas

Como ejemplo de esta situación on podemos dar la medida de Lebesgue m en el intervalo I = [0, [0, 1] y la medida δ concentrada λ en el punto p = 12 . Recordemos que λ(E ) = 0 si p A y λ(E ) = 1 si p E . Tenemos enemos que δ m pues podemos tomar A = I p y B = p y tenemos δ (A) = m(B ) = 0.

∈

⊥

\{ }

{}

∈

Nuestro Nuestro objetivo objetivo sera probar versione versioness simplificad simplificadas as del Teorema eorema de Radon-Nikodym y del Teorema de descomposición on de Lebesg Lebesgue. ue. Una de las simplificaciones consiste en que nos restringiremos a medidas finitas, pero los teoremas valen para espacios de medida σ -finitos. -finitos. Un espacio espacio de medida (Ω, (Ω, , µ) es σ -finito si Ω es unión on numerable de conjuntos con medida finita.

A

4.1 4.1

Medi Medida dass con con Sign Signo o

A

A→

Dado un espacio medible (Ω, (Ω , ), decimos que la función on µ : R es una ta mbi´ ién en medida medida real (o tamb medida con signo signo), si µ( ) = 0 y es contablemente aditiva, esto es

∅

∞

µ

∞

   E k

=

k =1

µ(E k )

(4.1)

k=1

para cualquier colección on disjunta de conjuntos medibles E k en Ω.

∞

∞

Observe que de la definición on se tiene que µ(Ω) < , más as a´ un, un, µ(E ) < para cualquier conjunto medible E . Esto Esto implica implica que la serie serie en el lado derecho de la ecuación on 4.1 es absolutamente convergente. Un subconjunto P de Ω es denominado conjunto positivo de la medida real µ si para todo conjunto medible E se tiene µ(E P ) P ) 0. Similarmente un conjunto N de Ω se denomina negativo si µ(E N ) N ) 0 para todo E medible.

∩ ≥ ∩ ≤

Teorema 4.1.1 (Descomposici´ on on de Hahn) Si λ es una medida real, entonces existen conjuntos P y N en Ω tal que Ω = P N , N , P N = , y tal que P es positivo y N es negativo respecto de λ.

∪

P

∩

∅

Demostraci´ on. on. Considere la clase de todos los conjuntos positivos, esta clase es no vac´ vac´ıa pues el conjunto est´ a en ella. Tome α = sup λ(A) : A

∅

{

∈

57

´ n 4.1. medidas seccion o medidas con signo

P } y una sucesión on {A } de conjuntos en P que aproxime este supremo, i.e. ∞ n



lim λ(An ) = α. Podemos Podemos definir ahora ahora P = n=1 An y como la uni´ on on de dos conjuntos positivos es positivo, podemos tomar la sucesión on An como una sucesión on creciente de modo que

∩

λ(E P ) P ) = λ(E

∞

∞

 ∩



An ) = λ(

n=1

n=1

∩

∩

E An ) = lim λ(E An )

≥0

lo que demuestra que P es un conjunto positivo y además as con la propiedad que lim λ(An ) = µ(P ) P ) = α < .

∞

\

S´ olo queda por demostrar que el conjunto N = Ω P es un conjunto olo negativo negativo.. Si no lo fuera, existe un subconjunto subconjunto E de N con λ(E ) > 0. El conjunto E no puede ser positivo pues si hacemos P E obtend obt endrr´ıam ıamos os un un conjunto positivo con medida estrictamente mayor que α, lo que contradice la definición on de α. Por lo tanto E contiene un conjunto E 1 medible tal que λ(E 1 ) 1/n1 .

∪

≤−

Como λ(E ) = λ(E 1

∪ E \ E 1) = λ(E 1) + λ(E \ E 1) tenemos que λ(E \ E 1 ) = λ(E ) − λ(E 1 ) > λ(E ) > 0 .

\

Otra vez, E E 1 no puede ser positivo por un argumento análogo alogo al mencionado para E . Por lo lo que que E E 1 contiene conjuntos con λ-medida negativa. Tome n2 el menor numero natural tal que E E 1 contiene un con junto E 2 con medida λ(E 2 ) 1/n2 . Como antes E (E 1 E 2 ) no puede ser positivo y se tomamos n3 el menor entero tal que E (E 1 E 2 ) contiene un conjunto E 3 con λ(E 3 ) 1/n3 . Repitiendo este argumento obtenemos un sucesi´ sucesi´ on on (E k ) de conjuntos medibles tales que λ(E k ) 1/nk .

\

\ \

≤− ≤−

Ahora hacemos F =



∞ k=1

λ(F ) F ) =

E k de modo que

∞



k=1

∞

λ(E k )

 ≤−

k=1

1 nk

∪ \ ∪ ≤−

≤0

→

lo que nos da que necesariamente 1/n 1 /nk 0. Si G es un subconjunt subconjuntoo medible de E F con λ(G) < 0, entonces existe un nk de modo que λ(G) < 1/(nk 1) para un k suficientemente suficientemente grande. Pero como G E (E 1 E k ) tenemos una contradicción on pues nk deber´ıa ıa ser el menor natural tal que E (E 1 E k ) contiene un conjunto con medida menor que 1/nk .

− − ···∪ \ −

\

⊂ \

∪···∪

∪

58


\

≥ −

De este modo, todo subconjunto G de E F debe satisfacer λ(G) 0, lo que indica ind icarr´ıa que E F es positivo para λ. Como λ(E F ) F ) = λ(E ) λ(F ), F ), tendr´ ten dr´ıamos ıa mos que qu e P (E F ) F ) es un conjunto positivo y con medida mayor que α, lo cual es una contradicción. on.

\  \

\

Sigue que el conjunto N = Ω P es negativo para λ y ya tenemos la descomposici´ on on requerida. 

\

on o n de Hahn Hahn de Los conjuntos P y N se denominan una descomposici´ Ω con respecto a la medida real λ. En general dicha descomposición on no es u unica, ´ nica, pero esto no causa mayor inconveniente pues se puede demostrar que los diferentes descomposiciones difieren por conjuntos con medida nula.

4.2 4.2

El Teo Teore rema ma de de Rado Radonn-Ni Nik kodym odym

Diremos que la función on integrable f representa a la medida λ si λ(E ) =



∈ A,

f dµ,

E

E

(4.2)

Teorema 4.2.1 (Radon-Nikodym) Sean λ y µ medidas finitas en el espacio medible (Ω, (Ω, ) y suponga que λ << µ. µ. Entonc Entonces existe una funci´ on integrable positiva definida en Ω tal que f que f representa a λ. M´ as a´ un Si existe otra funci´ on g que representa a λ se tiene que f = g en casi todo punto.

A

Demostraci´ on. on. Dado c > 0 denotemos por P ( P (c) y N ( N (c) la descomposición on de Hahn de la medida real λ cµ. cµ. Si k N, consideremos los conjuntos medibles

−

∈

k

A1 = N ( N (c),

Ak+1 = N (( N ((k k + 1)c 1)c)

 \ 

Aj .

j =1

k j =1

 \

Observe que los Ak son disjuntos y que

N ( N ( jc) jc ) =

k j =1

Aj .

k −1 −1 Se tiene entonces que Ak = N ( N (kc) kc ) N ( jc) jc ) = N ( N (kc) kc ) jk=1 P ( P ( jc). jc ). j =1 N ( y por consiguiente, si E es un conjunto medible de Ak , entonces E N ( N (kc) kc ) y E P (( P ((k k 1)c 1)c) con lo que

⊂

−

λ(E )

kcµ(E ) ≤ 0 − kcµ(

y λ(E )

1)cµ((E ) ≥ 0 . − (k − 1)cµ



⊂

59

´ n 4.2. teorem ´ n-nikodym seccion o teorema a de radon-nikodym o

Por lo tanto (k

− 1)cµ 1)cµ((E ) ≤ λ(E ) ≤ kcµ( kcµ(E ).

∞ Defina ahora B = Ω j =1 Aj = para todo k. Esto implica

\

0





i j =1

(4.3)

nftyP ( jc), jc ), de modo que B

kcµ(B ) ≤ λ(B ) ≤ λ(Ω) < ∞, ≤ kcµ(

para todo k

⊂ P ( P (kc) kc)

∈ N.

Sien Si endo do as´ı µ(B ) tiene que tener medida nula, y como λ << µ tamb ta mbi´ ién en se tiene λ(B ) = 0. Observe también en que B es disjunto de todos los Ak y que ∞ B k=1 Ak = Ω.

∪



Ahora estamos en condiciones de comenzar a buscar la función integrable f solicitada en el teorema. Para cada c > 0 de la construcción on anterior anterior podemos definir definir f c (x) =



(k 0

− 1)c 1)c

si x si x

∈A ∈ B. k

Ahora, si E es un conjunto medible cualquiera puede ser escrito como unión on disjunta de conjuntos del tipo E B y E Ak , k N, de modo que usando la ecuación on 4.3 tenemos

∩



f c dµ

E

≤ λ(E )

 ≤

∩

∈

(f c + c)dµ

E

 ≤

f c dµ + cµ(Ω) cµ(Ω)..

E

Ahora formamos una sucesión on de funciones tomando c = 2−n para n y las denotamos f n . Siendo as´ as´ı, las l as funciones f unciones f n satisfacen



f n dµ

≤ λ(E )

E

para todo n



 ≤

f n dµ + 2−n µ(Ω)

∈ N, (4.4)

E

∈ N. Dicho de otro modo, se cumple que

E

f n dµ

≤ λ(E )

y

λ(E )

f m dµ + 2−m µ(Ω)

E

para cualquier cualquier medible medible E y todo m, n suponiendo suponiendo que m n, es fácil acil ver que

≥

 

 ≤

(f n

E

− f

∈

 ≤

m )dµ

N.

Con Con esta esta inform informac aci´ i´ on, o n, y

2−n µ(Ω)

60


+ para cualquier medible E . Escogi Escogiend endo o en cada caso caso E n,m = x Ω : − (f n (x) f m (x)) 0 y E n,m = x Ω : (f n (x) f m (x)) < 0 , obtenemos

−

≥ }

   

+

(f n

E n,m

{ ∈

− f

− E n,m

(f n

De modo que

     

m )dµ

Donde, como antes, (f (f n Similarmente

=

− f

(f n

m)

Ω

− f

m)

+

− f

=

(f n

Ω

 |

f n

+

dµ

}

≤ 2−

n

µ(Ω)

denota la función on parte positiva de f n

m )dµ

Ω

−

{ ∈

−

− f

m)

− f |dµ ≤ 2 · 2−

n

m

dµ

≤ 2−

n

− f

m.

µ(Ω). (Ω).

µ(Ω)

Esto significa que la sucesión on f n es de Cauchy en media, y por lo tanto converge en media a una función on positiva f . f . Tambi´ Tamb ién, en ,

{ }

 

f n dµ

E

para todo n

    − ≤ |  f dµ

f n

E

E

− f |dµ

 ≤ |

f n

− f |dµ,

on 4.4 quiere decir que ∈ N, que junto con la ecuación λ(E ) = lim

f n dµ =

E



fdµ,

E

para todo E medible, y por lo tanto f es la función on buscada. Supongamos ahora que existen dos funciones f y g que representan a λ respecto de µ, esto es λ(E ) =



f dµ =

E



gdµ,

E

para todo E medible. medible. Podemos Podemos escoger escoger entonce entoncess E 1 = x Ω : f ( f (x) > g (x) y E 2 = x Ω : g (x) > f ( f (x) y aplicando la Proposición on 2.4.3  obtenemos f = g c.t.p. c.t.p. .

}

{ ∈

}

{ ∈

Teorema 4.2.2 (Descomposici´ on on de Lebesgue) Sean λ y µ medidas finitas en un σ -´ algebra . Entonc Entonces existe una medida medida λ1 que es singular respecto de µ y una medida λ2 que es absolutamente continua respecto de µ y tal que λ = λ1 + λ2 . Mas a´ un, las medidas λ1 y λ2 son unicas. ´

A

61

´ n 4.2. teorem ´ n-nikodym seccion o teorema a de radon-nikodym o

Demostraci´ on. on. Defina ν = λ + µ de modo que ν también en es una u na medida med ida finita. De esta definición on tambi´ ta mbién en se s e tiene tie ne que q ue tanto ta nto λ como µ son absolutamente continuas respecto de ν de modo que el Teorema de Radón-Nikodym on-Nikodym implica que existen funciones positivas f y g tales que representan a λ y µ respecto de ν , esto es: λ(E ) =



f dν,

µ(E ) =

E



gdν

E

para todo medible E . Sean Sean A = x Ω : g (x) = 0 , y B = x g (x) > 0 de tal forma que A B = , y Ω = A B .

{ ∈ ∩ ∅

}

∪

{ ∈Ω

}

:

Definamos Definamos ahora dos medidas medidas λ1 y λ2 de la siguiente forma

∩

∩

λ1 (E ) = λ(E A)

λ2 (E ) = λ(E B ) ,

para todo E medible. Queda claro entonces que λ = λ1 + λ2 .

⊥



Veamos que λ1 µ. En efecto, tenemos que µ(A) = A gdν = 0 pues g es idénticament entic amentee nula nu la en A y λ1 (B ) = λ(B A) = 0 pues A B = .

∩

∩



∅

Veamos ahora que λ2 << µ. Si µ(E ) = 0 se tiene que E gdν = 0, de modo que g (x) = 0 para ν c.t.p. x E . Entonces Entonces,, ν (E B ) = 0 lo que implica λ(E B ) = 0 pues λ << ν . Esto Esto ultimo u´ltimo es lo mismo que λ2 (E ) = λ(E B ) = 0, implicando que λ2 << µ. µ.

−

∩

∩

∈

∩

Ahora sólo olo falta la unicidad de esta descomposición. on. Vamo amoss a usar usar el hecho de que si α es una medida satisfaciendo α << µ y α µ entonces α = 0. La prueba de esta afirmación on la dejamos como ejercicio.

⊥

Ahora bien, suponga que existan dos descomposiciones para λ = λ1 + λ2 = γ 1 + γ 2 , donde λi y γ i , i = 1, 2, son medidas satisfaciendo λ1 µ, λ2 << µ, µ , γ 1 µ y γ 2 << µ.

⊥

⊥

Tenemos que λ1 γ 1 = γ 2 λ2 es una medida con signo y consideramos P y N la descomposición on de Hahn de esa medida medida.. Defina Defina h+ (E ) = (λ1 γ 1 )(E )(E P ) P ) = (γ ( γ 2 λ2 )(E )(E P ), P ), de modo que h+ es una medida positiva (vea el Ejercicio 4.2) y tal que h+ µ y h+ << µ, de modo que h+ (E ) = 0 para todo E medible. medible. Similarmen Similarmente, te, si definimos definimos h− (E ) = (λ1 γ 1 )(E )(E N ) = − (γ 2 λ2 )(E )(E N ), N ), obtenemos que h (E ) = 0 para todo E medible.

∩

−

−

−

−

∩

⊥

∩

−

−

Juntando Juntando estas relaciones relaciones tenemos que para todo E medible 0 = h+ (E ) + h− (E ) = (λ1 = (λ1 γ 1 )(E )(E )

−

)(E ∩ P ) P ) + (λ ( λ1 − γ 1 )(E )(E ∩ N ) − γ 1)(E

∩

62


= (γ 2 = (γ 2

− λ2)(E )(E ) − λ2)(E )(E ∩ P ) P ) + (γ ( γ 2 − λ2 )(E )(E ∩ N ) N ) = h+ (E ) + h− (E ) = 0 ,

lo que indica que λ1 = γ 1 y γ 2 = λ2 .



Ejercicios 4.1 Si P 1 and P 2 son conjuntos positivos para una medida con signo λ entonces P 1 P 2 tambi´ en en es un conjunto positivo p ositivo para la misma medida.

∪

4.2 Si P es un conjunto positivo de la medida real ν entonces ν + (E ) = ν (E P ) P )

∩

define ν + como una medida (positiva) sobre la misma σ -´ algebra. algebra. 4.3 Demuest Demuestre re que si λ1 << µ y λ2 << µ entonces λ1 + λ2 << µ. µ. 4.4 Demuest Demuestre re que si λ1 << µ y λ2 4.5 Demuest Demuestre re que si λ << µ y λ

⊥ µ entonces λ1 ⊥ λ2.

⊥ µ entonces λ = 0.

4.6 Sean λ y µ medidas σ -finitas en en el espacio medible (Ω, (Ω , ), y tales que λ < < µ. µ. Si f es la función o n dada por el teorema de RadónonNikodym, entonces pra toda función on no negativa definida en Ω, se tiene gdλ = gfdµ.

A

 

4.7 Demostrar Demostrar que si tenemos dos medidas, µ y λ, satisfaciendo µ << λ y λ << µ entonces existe una función on g tal que si E = x Ω : g(x) = 0 se tiene

{ ∈

 }

µ(A) =



A∩E

para todo A medible.

gdλ

y

λ(A) =

1 dµ, A∩E g



Cap´ıtulo 5

Medidas Producto y el Teorema de Fubini El ob jetivo principal de este cap´ cap´ıtulo es demostrar el Teorema de Fubini, el cual es de suma importancia para la evaluación on de integrales de funciones definidas en espacios medibles generados por el producto de espacios medibles. El modelo que uno debe tener presente es una construcción del espacio medible R R. Es por eso necesario dar las definiciones y algunos resultados de los espacios producto.

×

5.1 5.1

Espa Espaci cios os Produ Product cto o

Si tenemos dos espacios medibles (Ω 1 , 1 ) y (Ω2 , 2 ) al producto cartesiano angulo angulo medible medible de A1 A2 con Ai i , i = 1, 2, le llamaremos un rect´ del espacio producto Ω = Ω1 Ω2 . La Lass unio unione ness finit finitas as de rect rect´ angulos ángulos medibles será denotada por 0 y es usualmente llamada la clase de los conjuntos elementales.

×

A

∈A

A

A

×

Definimos como 1 algebra algebra en Ω1 2 como la menor σ -´ contiene todos los rectángulos angulos medibles.

A ×A

× Ω2 que

M es una colección on de conjuntos tales que • Si E ∈ M, E ⊂ E +1 para todo i ∈ N entonces A = ∞=1 E ∈ M.

clase mon´ otona otona Una clase i

i

i

63



i

i

64


• Si E ∈ M, E ⊃ E +1 para todo i ∈ N entonces A = ∞=1 E ∈ M. Dado un conjunto E ⊂ Ω1 × Ω2 y puntos x ∈ Ω1 e y ∈ Ω2 , definimos la secci´ on on x como E = {y ∈ Ω2 : (x, y ) ∈ E } la secci´ on on y como E = {x ∈ Ω1 : (x, y ) ∈ E }. Es evidente evidente de la definici´ on on que E ∈ Ω2 y E ⊂ Ω1 . Proposici´ on on 5.1.1 Si E ∈ A1 × A2 entonces E ∈ A2 y E ∈ A1 , para todo x ∈ Ω1 e y ∈ Ω2 . i

i



i

i

i

x

y

x

y

x

y

Demostraci´ on. on. Consider la clase de conjuntos siguiente

B = {E ∈ A1 × A2 : E ∈ A2 para todo x ∈ Ω1}. Si E = A1 × A2 , es fácil acil ver que E = B cuando x ∈ A1 y E = ∅ si x∈ Esto es, es, B es una clase de conjuntos que  A1, y por lo tanto E ∈ B. Esto x

x

x

contiene a los rectángulos angulos elementa elementales. les. Adem´ as, as, no es dif´ dif´ıcil mostrar que se satisfacen las siguientes propiedades:

× Ω2 ∈ B . (b) Si E ∈ B entonces (E (E ) = (E ) ∈ A2 para todo x ∈ Ω1 y por lo tanto E ∈ B . ∞ (c) Si E ∈ B, y E = ∞ =1 entonces E = =1 (E ) ∈ A2 para todo x y por lo tanto E ∈ B . Con estas tres propiedades la clase B es una σ -´ algebra algebra y contiene a los rect´ angulos medibles, por lo tanto B = A1 × A2 . Es deci angulos decirr para para todo E (a) Ω1

c

x

x

c

c

i



x

i



i

i x

medible se tiene que E x es medible. Un procedimien procedimiento to similar demuestra demuestra la propiedad para la sección on E y . 

A ×A

Teorema 5.1.1 La σ -´ algebra 1 onica que 2 es la menor clase monot´ contiene a todos los conjuntos elementales.

B

Demostraci´ on. on. Llamemos a la menor clase monotónica onica que contiene a onica onica tal que 0 , los conjuntos elementales, esto es la menor clase monot´ . Para Para probar probar el teorema teorema debemos debemos probar probar que = 1 A2 . 0 Para esto, observe que como 1 tambi´ tambi ´ en e n es una clase monot´ onica onica 2

A A ⊂B

A ×A

B

A ×

65

B⊂A ×

que contiene los elementales entonces A2 . Para Para demostrar demostrar que 1 bastar´ a mostrar que es un σ -´ algebra pues ya contiene a los algebra 1 2 rect´ angulos angulos medibles.

A ×A ⊂ B

B

Dejamos al lector el ejercicio de demostrar que la intersección on de dos rect´ angulos angulos es un rectángulo angulo y que la diferencia de rectángulos angulos es la unión on 1 disjunta de una cantidad finita de rectángulos angulos . Por consiguiente si P y Q son conjuntos elementales, entonces también en son elementales los conjuntos P Q y P Q y como P Q = (P Q) Q también en tenemos tene mos que P Q es elemental.

∩

\

∪

\ ∪

∪

Defina para cualquier conjunto P

P ) como ∈ Ω1 × Ω2 el conjunto H(P ) H(P ) P ) = {Q ⊂ Ω1 × Ω2 : P \ Q ∈ B , Q \ P ∈ B , P ∪ Q ∈ B} Nuestro primer afirmación on es que si Q ∈ B entonces B ⊂ H(Q). Para esto describamos primero dos propiedades simples de H(P ). P ). (a) Q ∈ H(P ) P ) si y solamente si P ∈ H(Q). (b) Como B es una clase monotónica, onica, H(P ) P ) también en lo es. Ahora, fije P ∈ A0 un conjunto conjunto elemental. elemental. De las propiedades propiedades de los conjuntos elementales es fácil acil ver que Q ∈ H (P ) P ) para todo Q elemental. Esto es A0 ⊂ H(P ) P ) si P es elemental y como H(P ) P ) es una clase monotónica onica se tiene que B ⊂ H (P ) P ) para todo P ∈ A0 . Pero Pero si fijamos fijamos Q ∈ B lo que probamos es que Q ∈ H(P ) P ) para todo P elemental, lo que por la propiedad (a) dice que P ∈ H(Q) para todo P elementa elemental. l. Nuevamen Nuevamente, te, entonces entonces,, A0 ⊂ H(Q) y as´ı B ⊂ H(Q) para todo Q ∈ B, demostrando la afirmación. on. Usando Usando la afirmaci´ afirmaci´ on precedente tenemos que si P y Q están on a n en B entonces P \ Q y P ∪ Q están an en B. Ahora Aho ra s´ı veamos veamo s que B es una σ -´ algebra. algebra. • Se tiene que A1 × A2 ∈ A0 y por lo tanto A1 × A2 ∈ B. • Si Q ∈ B entonces Q = A1 × A2 \ Q ∈ B. • Si P ∈ B y P = ∞=1, entonces Q = =1 P está en B y de esta manera P = Q ∈ B de la definición on de clase monótona. otona. c

i

  n

1

i

n



n i

i

Observe que una afirmaci´ on similar cumplen los intervalos en la recta. on

66


B

Concluyendo, como es una σ-álgebra algebra que contiene a los elementales entonces 1 y como ta mbi´én en es 2 1 2 , pues 1 2 tambi una clase monótona otona que contiene a los elementales, tenemos finalmente,  que 1 = . 2

A ×A ⊂ B A ×A B

B ⊂ A ×A

× →

A ×A

∈

→

R y cada x A1 definimos f x : A2 R Para cada función on f : A1 A2 tal que f x (y ) = f ( f (x, y). De modo simila similarr f y es la funci´ on on definida en A2 tal que f y (x) = f ( f (x, y).

Teorema 5.1.2 Sea f Sea f una funci´ on

∈ Ω1, f (ii) Para todo y ∈ Ω2 , f (i) Para todo x

x y

A1 × A2-medible en Ω1 × Ω2 entonces:

A2-medible. es A1-medible.

es

Demostraci´ on. on. De la definición o n de que f es medible se tiene que para todo abierto abierto V R el conjunto Q = (x, y ) : f ( f (x, y ) V = f −1 (V ) V ) es medible. Usando la Proposición on 5.1.1 se tiene que

⊂

Qx

= =

{

{y {y

∈ }

: (x, y ) : f x (y )

f (x, y ) ∈ V } = ∈ Q} = {y : f ( −1 V ) ∈ V } = (f ) (V ) es medible y por consiguiente f es una función on A2 -medible. -medible. Usando Usando un argumento similar se demuestra que f es una función on A1 -medible.  x

x

y

5.2 5.2

Medi Medida dass Produ Product cto o

El teorema siguiente es la base para la definición on de medida producto, como se podrá apreci apreciar ar posterior posteriormen mente. te. Lo que dice dice es que dada dada una funci´ funci´ on on caracter´ caracter´ıstica medible en un espacio producto, pro ducto, podemos p odemos cambiar el orden de integración on y obtendremos el mismo resultado.

A

Teorema 5.2.1 Sean (Ω1 , 1 , µ) y Ω2 , finito. Dado Q 1 2 defina

∈A ×A

A2, λ) dos espacios de medida σ-

ϕ(x) = λ(Qx ) y ψ (y) = µ(Qy ),

∈

para cada x Ω1 e y 2 -medible y

A

∈ Ω2.

En estas condic condiciones iones ϕ es



Ω1

ϕdµ =



Ω2

ψdλ.

(5.1)

A1-medible, ψ es (5.2)

67

A

∈A ×A

Demostraci´ on. on. Sea clase de conjuntos Q 1 2 para los cuales la conclusión on del teorema teorema se cumple. cumple. Queremos Queremos mostrar mostrar que la conclusi´ conclusión on del teorema vale para todos lo medibles, es decir queremos mostrar que = 1 Para esto primero veamos veamos que se cumplen cumplen las siguientes siguientes 2 . Para propiedades.

A A ×A

(a) Todo rect´ angulo angulo medible está en

⊂

A.

⊂ ··· , y si cada Q A.

(b) Si Q1 Q2 Q = Qi está en

∪

i

está en A entonces el conjunto

(c) Si (Q (Qi ) es una colección on disjunta numerable de conjuntos de tonces el conjunto Q = Qi está en .

A en-

∪ A (d) Si µ(A) < ∞, λ(B ) < ∞, y A × B ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ ·· ·, con todos los Q en A entonces el conjunto Q = ∩Q está en A. angulo medible, entonces angulo parte (a) Si Q = A × B es un rect´ i

i

λ(Qx ) = λ(B )ξ A (x) y µ(Qy ) = µ(A)ξ B (x) y as´ı las integrales en (5.2) (5.2 ) son ambas a mbas iguales igua les a µ(A)λ(B ), lo que demuestra la parte (a). (b) Sean ϕi y ψi las funciones asociadas (como en el enunciado del teorema) a Qi . La propiedad de las medidas µ y λ muestra que

parte

lim ϕi (x) = ϕ(x),

lim ψi (y ) = ψ (y )

siendo la convergencia monótona otona creciente en cada punto. Del Teorema de la Convergencia Monónota, onota, tenemos que



ψdλ = lim



ψi dλ = lim



ϕi dµ =



ϕdµ.

(c) Para unión on finita disjunta desde Q1 hasta QN es fácil acil de demostrar pues χQ1 Q2 ···Qn = χQ1 + χQ2 + χQN de modo que parte

···



 

dµ( dµ(x)

Ω1

χQ1 Q2 ···Qn dλ( dλ(y ) =

Ω2

=

(ϕ1 + ϕ2 +



dµ( dµ(x)

Ω1

··· + ϕ

dµ(x) N )dµ(

=



(χQ1 +

Ω2



(ψ1 + ψ2 +

· · ·+χ

dλ(y) QN )dλ(

··· + ψ

dλ(y ) N )dλ(

=

68


=

  dλ

Ω2

χQ1 Q2 ···Qn dµ( dµ(x)

Ω1

˜ N = N Qi . Siendo Por lo tanto se cumple para la sucesión on creciente Q Siendo i=1 as´ as´ı, podemos usar la parte parte (b) para ver que tambi´ tambi´ en en se cumple cumple para el ∞ ∞ ˜ conjunto Q = i=1 Qi = N =1 QN .







(d) Es similar a la parte (b) sólo olo que esta vez debemos usar el Teorema de la Convergencia Dominada, lo cual es posible debido a que µ(A) < y λ(B ) < .

parte

∞

∞

Siguiendo con la demostración on del teorema. teorema. Como los espacios espacios de me∞ dida son σ-finitos tenemos que Ω1 = i=1 E i , donde los conjuntos E i forman una colección on eneumerable disjunta de conjuntos medibles con medida ∞ finita y Ω2 = j =1 F j , donde los conjuntos F j , son conjuntos disjuntos, medibles, con medida finita.





∩

× ∈A

∈

M

Defina Qm,n = Q (E m F n ) para cada m, n N y la clase de los Q para todo m, n. Tenemos lo siguiente: 1 2 tales que Qm,n

∈ A ×A • Las afirmac afirmacion iones es (b) y (d) ante anterio riores res,,

dicen dicen que

mon´ otona. otona.

M es una clase clase

• las afirmaciones (a) y (c) dicen que los conjuntos elementales están an en M. De la definición on tenemos que M ⊂ A1 × A2 y como los hechos anteriores junto con el Teorema 5.1.1 implican que M ⊃ A1 × A2 obtenemos que M = A1 × A2. Hasta aqu´ aqu´ı, hemos demostrado que para todo Q ∈ A× A2 los conjuntos Q están a n en A. A partir partir de aqu´ aqu´ı, y consideran considerando do que Q es unión o n de conjunto conjuntoss disjuntos, disjuntos, todos en A, usamos la parte (c) para concluir que Q ∈ A, lo que completa la prueba.  m,n

medida en el espaci espacio o A la luz de este teorema podemos definir la medida producto (Ω1 Ω2 , 1 2 ) como

× A ×A (µ × λ)(Q )(Q) =



λ(Qx )dµ( dµ(x) =

Ω1



µ(Qy )dλ( dλ(y ) .

Ω2

A µ λ le llamamos el producto de de las medida µ y λ. El hecho de que µ λ es una medida viene de las propiedades básicas asicas de la integración on y observe que también en la medida µ λ es σ -finita.

×

×

×

69

5.3 5.3

El Teore eorema ma de Fubin ubinii

Teorema 5.3.1 Sean (Ω1 , finitos, y f una funci´ on 1

espacios A1, µ) y (Ω2, A2, λ) espacios A × A2-medible en Ω1 × Ω2.

(a) Si 0

de medida medida σ-

≤ f ≤ ∞, y si

ϕ(x) =



f x dλ,

ψ(y ) =

Ω2



f y dµ,

(x

Ω1

entonces ϕ es

A1-medible, ψ es A2-medible y ϕdµ = f d(µ × λ) =





Ω1

Ω1 ×Ω2

∈ Ω1, y ∈ Ω2).



ψdλ

(5.3)

(5.4)

Ω2

× Ω2-integrable -integrable entonces entonces es λ-integrable para µ-casi todo x ∈ Ω1 , es µ-integrable para λ-casi todo y ∈ Ω2 ,

(b) Si f es una funci´ on real Ω1

• f • f • ϕ, que est´ a definida µ- c.t.p. , es µ-integrable, • ψ, que est´ a definida λ- c.t.p. , es λ-integrable. x

y

M´ as a´ un, se cumple la ecuaci´ on (5.4). (5.4). Demostraci´ on. on. El teorema anterior implica que la parte (a) vale cuando f = χQ es una función on caracter´ caracter´ıstica medible. Por linealidad de la integral también en vale para par a funciones funcion es simples. simple s. Ahora, si f es un funci´ on on no negativ negativa, a, entonces entonces existe una sucesi´ sucesión on mon´ otona de funciones simples que tales que sn otona f entonces por el Teorema de la Convergencia Monótona, otona, se tiene que





ϕn dµ =

Ω1



sn d(µ

Ω1 ×Ω2

× λ) =



ψn dλ

Ω2

vale para todo n y por lo tanto también en en el l´ımite, i.e.



Ω1

ϕdµ =



Ω1 ×Ω2

f d(µ

× λ) =



ψdλ,

Ω2

donde ϕn y ψn est´ an an asociados a sn del mismo modo en que ϕ y ψ están an asociados asociados a f . f . Lo que demuestra la parte (a).

70


Para probar la parte (b) descomponga f en su parte positiva y su parte negativa, esto es f = f + f − , de modo que f = f + + f − . Asociem Asociemos os + ϕ1 a f del mismo modo en que ϕ est´ a asociados a f . f . De modo modo similar similar definimos ϕ2 .

−

||

Usando la parte (a)

 

ϕ1 dµ =

Ω1

 

+

f d(µ

× λ)

f − d(µ

× λ)

Ω1 ×Ω2

ϕ2 dµ =

Ω1

Ω1 ×Ω2

 ≤ ||  ≤ ||

f <

∞

f <

∞

Como la función on ϕ1 es no negativas, se tiene que ϕ1 es µ-integrables. M´ as as a´ un, un,



ϕ1 (x)dµ( dµ(x) <

Ω1

∞

lo que que impl implic icaa que que ϕ1 x) < para µ- c.t.p. c.t.p. x Ω1 . Pero ϕ1 (x) = + + dλ(y) es decir f x es λ-integrable en los mismos x donde ϕ(x) Ω2 f x (y )dλ( es finita. Un razonamien razonamiento to an´ alogo alogo demuestra que (f (f y )+ es µ-integrable en los y donde ϕ2 (y) es finito, esto es λ- c.t.p. c.t.p. y Ω2 .



∞

∈

∈

Como f x = (f + )x (f − )x y f x = (f ( f + )x + (f − )x tendremos que f x es λ-integrable para los x donde tanto ϕ1 (x) como ϕ2 (x) son finitos. Lo que sucede µ- c.t.p. c.t.p. x Ω1 , pues ϕ1 y ϕ2 son integrables. integr ables. Observe también en que ϕ(x) = ϕ1 (x) ϕ(x) lo que implica que ϕ es µ-integrable.

−

| |

∈ −

Una vez comprobados estos hechos para ϕ, la mitad de la ecuación on 5.4 ya está probada



ϕdµ =

Ω1



f d(µ

Ω1 ×Ω2

× λ)

La otra mitad sigue de un razonamiento análogo alogo al anterior para la función on ψ , concluyendo la prueba de la parte (b).  Observe que la ecuación on 5.4 tambi´ en en se escribe en la forma



Ω1

dµ( dµ(x)



Ω2

f ( f (x, y )dλ( dλ(y)

  ×   =

f d(µ

λ) =

Ω1 ×Ω2

=

dλ

Ω2

f ( f (x, y )dµ( dµ(x)

Ω1

que es una forma un poco más as familiar del Teorema de Fubini.



,

71

Ejercicios 5.1 Sean (Ω1 , 1 ) y (Ω2 , 2 ) dos espacios espacios medibles. medibles. SI Aj 1 , . . . , n, n, entonces el conjunto 2 para j = 1,

A

A

A

∈ A1 y B ∈ j

n



(Aj , Bj )

×

j =1

pued puedee ser ser escr escrit itoo como como uni´ uni´ on o n disj disjun unta ta de una una cant cantid idaa finit finitaa de rect´ angulos angulos en Ω1 Ω2 .

× 5.2 Sea A ⊂ Ω1 y B ⊂ Ω2 , j = 1, 2. entonces (A1 × B1 ) \ (A2 × B2 ) = [(A [(A1 ∩ A2 ) × (B1 \ B2 )] ∪ [(A [(A1 \ A2 ) × B1 ] j

j

y tamb ta mbi´ ién en (A1

× B1) ∩ (B1 × B2) = (A1 ∩ A2) × (B1 ∩ B2). 5.3 Dada una función on f : R → R, medibl mediblee con respecto respecto a la medida de Lebesgu Lebesgue, e, enton entonces ces la funci´ funci´ on on F : R × R → R definida como F ( F (x, y) = f ( f (x − y ) tambi´ t ambién en es medible. medi ble. 5.4 Considere Considere Ω1 = Ω2 = [0, [0, 1], y en ambos espacios la σ -´ algebra algebra de los Lebesgue Lebesgue medibles. medibles. Sea µ la medida de de Lebesgue en el intervalo (para Ω1 ) y ν la medida de conteo en Ω 2 . Si D = (x, y) : x = y , muestre que D es medible con respecto a la σ -´ algebra algebra producto, pero que

{



5.5 Si anm

 

µ(Dx )dµ( dµ(x) =

}

µ(Dy )dν (y ) .

≥ 0 para m, n ∈ N, entonces ∞

∞



∞

amn =

m=1 n=1

∞



amn

n=1 m=1

∈ 

(

≤ ∞).

N del siguient 5.6 Sea amn definida definida para m, n siguientee modo: ann = 1, an,n+1 = 1, y amn = 0 si m = n o m = n + 1. Muestre que

−

∞

∞



m=1 n=1



∞

amn = 0

∞



n=1 m=1

amn = 1. 1.

72


Ap´ endice A

De Abiertos, Cerrados y Aproximaci´ on on de Conjuntos Medibles Aqu´ Aqu´ı trataremo trataremoss de dar una idea de cu´ an grande puede ser la colección an on de los conjuntos medibles según un Lebesgu Leb esguee (véase ease Cap´ıtulo ıtu lo 1) a través es de teoremas de aproximación on de conjunto conjuntos. s. La proximidad proximidad de dos conjuntos conjuntos ser´ a establecida por la medida de la diferencia entre ellos. Lema A.0.1 Todo odo conjun conjunto to abierto abierto de R es la uni´ on de una cole colecc cci´ i´ on contable de intervalos abiertos. Demostraci´ on. on. Es claro que el conjunto Q de los racionales es numerable, y escoja zn n∈N una enumeración on de Q. Si G R es abierto, para todo z G Q considere el intervalo C (z, n1z ) con centro z y de tama˜ no no n1z , donde nz es el menos natural tal que C (z, n1z ) G.

∈ ∩

{ }

Considere el conjunto G0 = y tamb ta mbi´ ién en G0 G.

⊂



z ∈G∩Q

C (z,

1 nz

⊂ ⊂

) de modo que G0 es abierto

Por lo tanto para probar el lema solo falta mostrar que G

⊂ G0.

En efecto, sea y G y como G es abierto, abierto, existe existe C (y, n1z ), tal que C (y, n1z ) G para alg´ un un nz suficient suficientemen emente te grande. Considere Considere el cubo

⊂

∈

73

74

´ ´ n de conjunto apendice endice A. aproximaci aproximacion o conjuntos s medibles medibles

C (y, 2n1 z ), con la mitad mitad del radio radio que el anter anterior ior.. Como Como Q es denso en 1 R existen infinitos puntos racionales en G C (y, 2n ). Sea Sea ω el primero z (considerando el orden de la enumeración on de Q). Luego

∩

ω

∈ G ∩ C (y, 21

nz

) lo que implica que C (ω, y

⊂ C (y,

1 nz

) y además as

∈ C (ω, n1 ) ⊂ C (ω, n1 ) ⊂ G0 z

lo que implica que G

1 2nz )

ω

⊂ G0 y el lema esta probado.



Teorema A.0.2 Todo abierto y todo cerrado de R es Lebesgue medible. Demostraci´ on. on. Todo abierto es medible pues es unión on numerable de intervalos abiertos, que son medibles. Todo cerrado es complemento de abiertos y por lo tanto medible.  Un subconjunto E

⊂ R con m∗(E ) = 0 se llama conjunto con medida

(de Lebesgue) Lebesgue) nula .

⊂

Proposici´ on on A.0.1 Si Z R es de medida nula entonces Z es medible. M´ as a´ un, cualquier subconjunto de Z es medible con medida nula. Demostraci´ on. on. De la definición on de medida exterior y de la definición on de conjunto medible.  Aunque se incline a pensar que los conjuntos con medida nula, o son puntos, o un conjunto conju nto numerable, también en existen exist en conjuntos conju ntos no numerables numerab les con medida nula. Ejemplo, el conjunto de Cantor tercios (vea [5]). Teorema A.0.3 Si E R es medible y x es medible con la misma medida, i.e.

⊂

m(x

∈ R entonces la traslaci´ on x ⊕ E

⊕ E ) = m(E ) .

Demostraci´ on. on. Dados dos conjuntos arbitrarios A y B contenidos en R, y z R, se comprueba fácilmente acilmente que

∈

(z

⊕ A) ∩ B = z ⊕ (A ∩ ((−z) ⊕ B)) .

75

´ n A.1. aproxima ´ n por abiertos seccion o aproximaci cion o abiertos

y tamb ta mbi´ ién en c

x

c

⊕ B = (x ⊕ B) . Si tenemos x, z con x = −z , entonces de la invariancia de m∗ resulta m∗ ((z ((z ⊕ A) ∩ B ) = m∗ (A ∩ (x ⊕ B )) . Sea E un conjunto medible, usando los resultados anteriores con B = E y B = E c obtenemos m∗ (A) = m∗ (z A) = m∗ ((z ((z A) E ) + m∗ ((z ((z = m∗ (A (x E )) )) + m∗ (A (x B c )) = m∗ (A (x E )) )) + m∗ (A (x E )c ).

⊕ ∩ ⊕ ∩ ⊕

⊕ ∩ ∩ ⊕ ∩ ⊕

c

⊕ A) ∩ E )

Las ecuaciones anteriores valen para todo A medible, por lo tanto x E es medible, y como m∗ (x E ) = m∗ (E ), ), tenemos que m(x E ) = m(E ). ). 

⊕

A.1 A.1

⊕

⊕

Apro Aproxi xima maci ci´ on ´ on por Abiertos

Veamos primero que todo subconjunto de R se puede aproximar por un conjunto que es intersección on de abiertos y que tiene la misma medida exterior.

⊂ ≤

⊂

Lema A.1.1 (i) Si A Si A R y ε > 0, entonces existe un abierto G R tal que A G y m(G) m∗ (A) + ε, y por lo tanto m∗ (A) = inf m(G) : A G, G abierto .

⊂

⊂

}

{

(ii) Si A entoncess existe un conjunto onjunto H que es intersec intersecci´ ci´ on de R, entonce ∗ ∗ abiertos y tal que A H con m (A) = m (H ).

⊂

⊂

Demostraci´ on. on. Prue Prueba ba de (i). Asum Asumim imos os que m∗ (A) < , pues pues el caso caso contra contrario rio es obvio obvio.. Enton Entonces ces,, existe existen n celdas celdas I k abiert abiertas as tal que ∞ A k =1 I k , con

∞

⊂



∞

   ≤

(I k )

k =1

∞

Definimos G como G =

k =1 I k .

≤ m∗(A) + ε, .

Vemos que G es abierto y además as

∞

m(G)

∞ ∗

m (I k ) =

k=1



k=1

(I k )

≤ m∗(A) + ε ,

76


que junto con la definición on de ´ınfimo ınfimo prueba esta parte del lema.

∈

Prueba Prueba de (ii). (ii). Para Para cada n N llamamos Gn al abierto obtenido usando la parte (i) del lema con ε = 1/n, /n, es decir m(Gn )

≤ m∗(A) + n1 .

Definimos el conjunto H como ∞

H =



Gn

n=1

de modo que A

para todo n

⊂ H ⊂ G

∈ N, lo que implica que 1 m∗ (A) ≤ m∗ (H ) ≤ m∗ (A) + n n

para todo n

∈ N y por lo tanto m∗(A) = m∗(H ).).



De aqu´ aqu´ı es inmediato el siguiente corolario. Corolario A.1.1 Todo conjunto de medida nula es una subconjunto de un conjunto que es intersecci´ on de abiertos y que tiene medida nula Demostraci´ on. on. Si Z es un conjunto de medida nula, entonces existe H tal que Z H tal que m∗ (Z ) = m∗ (H ) = 0, con H intersecci´ on on de abiertos por el lema anterior. 

⊂

Observe que aun cuando conseguimos para cualquier conjunto A un conjunto H , que sabemos medible, con la misma medida exterior, el con junto H A no tiene necesariamente medida pequeña na o nula. Este caso se da s´ olo olo cuando el conjunto A es medible, como veremos en lo que sigue.

\

Teorema A.1.1 Un conjunto E de R es medible si, y solamente si, para todo ε > 0 existe un abierto G tal que E G y

⊂

m∗ (G E ) < ε .

\

∞

Demostraci´ on. on. Si E es medible y m(E ) < , entonces entonces existe G con E G tal que m(G) < m(E ) + ε. De la defini definici´ ci´ on on de que E es medible tambi´ tam bién en tenem ten emos os

⊂

m(G) = m(G

∩ E ) + m(G \ E ) = m(E ) + m(G \ E ) ,

77

´ n A.1. aproxima ´ n por abiertos seccion o aproximaci cion o abiertos

∞ se tiene m(G \ E ) = m(G) − m(E ) < ε. Ahora, si m(E ) = ∞ definimos E 1 = E ∩ {x : ||x|| ≤ 1}, E = E ∩ {x : n − 1 < ||x|| ≤ n}, y E = E . De modo que para todo n ∈ N podemos tomar G abierto con E ⊂ G ∞ y tal que m(G \ E ) < 2 . Si definimos G = =1 G , tendremos que G es abierto, E ⊂ G y G \ E ⊂ ∞=1 (G \ E ) y por lo tanto ε m(G \ E ) ≤ m(G \ E ) ≤ = ε. 2 y como m(E ) <

n



N

n

n

ε

n

n

 

n

n

n

n

n

n

n

n

 

n

n

Supongamos ahora que para todo ε > 0 podemos hallar un abierto G tal que E G y m∗ (G E ) < ε, es decir, podemos construir una sucesión on de abiertos Gn todos contenidos en E y con m∗ (Gn E ) < n1 .

⊂

\

\

Sea H = n∞=1 Gn , este conjunto es medible pues es intersección de N. Enton abiertos. Se tiene también en que H Gn para todo n Entonces ces se se cumple cumple que H E Gn E y



\ ⊂

\

⊂

∈

\ ≤ m∗(G \ E ) < n1 , para todo n ∈ N, y por lo tanto m∗ (H \ E ) = 0, lo que, por la Proposición on A.0.1, quiere decir que H \ E es medible y entonces E = H \ (H \ E ) es m∗ (H E )

n

medible.



Corolario A.1.2 Si E R es medible entonces para todo ε > 0 existe un abierto G, que contiene a E , con m(G) m(E ) + ε. M´ as a´ un, se tiene

⊂

≤

{

m(E ) = inf m(G) : G es abierto y G

⊃ E } .

Demostraci´ on. on. Es claro, hágalo. agalo.



Corolario A.1.3 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) El conjunto E

⊂ R es Lebesgue medible.

(ii) Existe un conjunto H que es intersecci´ on de abiertos, con E ∗ que m (H E ) = 0.

\

⊂ H tal

(iii) Existe un conjunto H que es intersecci´ on de abiertos, y un conjunto Z de medida nula tal que E H , Z H y E = H Z .

⊂

⊂

\

78


A.2 A.2

Apro Aproxi xima maci ci´ on ´ on por Cerrados

⊂

Teorema A.2.1 Un conjunto E R es Lebesgue medible si, y solamente si, para cada ε > 0, existe un conjunto F cerrado, con F E y

⊂

m∗ (E F ) F ) < ε .

\

Demostraci´ on. on. Si E es medible, medible, E c tambi´ tambi´ en en lo es. Entonces Entonces por el teorema teorema anterior anterior existe un conjunto conjunto G abiert abiertoo tal que E c G y con m(G E c ) < ε. Sea F = Gc , y por lo tanto F es cerrado, con F E , c y adem´ as as E F = E G = G (E ), de modo que

\

⊂

\

∩

∩

⊂

m(E F ) F ) = m(G E c ) < ε .

\

\

Supon Suponga gamo moss ahor ahoraa que que para para todo todo n E con N existe F n ∞ 1 m (E F n ) < n . Sea K = n=1 F n , y por lo tanto es medible pues es uni´ on on de cerrados y como F n K tenemos E K E F n , lo que implica ∗

∈ \ ⊂ \



\

⊂

\

m(E K )

⊂

≤ m∗(E \ F ) < n1 , n

para todo n N, y por lo tanto m∗ (E K ) = 0, y as´ as´ı el conjunto E K es medible, con lo que el conjunto E = K (E K ) es medible . 

∈

\ ∪ \

⊂

\

Corolario A.2.1 Si E R es Lebesgue medible, entonces para todo ε > 0 existe un conjunto F , F , cerrado, con F E , y m(E ) m(F ) F ) + ε. M´ as a´ un,

⊂

≤

m(E ) = sup m(F ) F ) : F es cerrado, F

{

⊂ E } .

Corolario A.2.2 Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) El conjunto E

⊂ R es Lebesgue medible.

(ii) Existe un conjunto K que es uni´ on de cerrados, con K ∗ m (E K ) = 0. 0.

\

⊂ E tal que

(iii) Existe un conjunto K que es uni´ on de cerrados, y un conjunto Z de medida nula tal que K E , Z E y E = K Z .

⊂

⊂

∪

79

´ n A.3. aproxima ´ n por compactos seccion o aproximaci cion o compactos

A.3 A.3

Apro Aproxi xima maci ci´ on ´ on por Compactos

Recordamos el hecho básico asico de que un compacto tiene medida finita pues esta contenido en una intervalo suficientemente grande. Teorema A.3.1 Un conjunto E R con m con m∗ (E ) < es Lebesgue medible si, y solamente si, para todo ε > 0 existe un conjunto C , compacto tal que C E y

⊂

⊂

∞

m∗ (E G) < ε .

\

∈

Demostraci´ on. on. Sea E un conjunto medible. Para cada n N consideramos E n el conjunto definido por E n = E x : x n . Como la sucesión on E n crece monótonamente otonamente a E , entonces m(E n ) converge monótonamente otonamente a m(E ) . Luego, existe n0 N tal que m(E ) < m(E n0 ) + ε2 . Pero como E n0 es medible, existe un cerrado C contenido en E n0 y con m(E n0 C ) < ε/2. ε/2. De la definición on de conjunto medible

∩{

≤∞

| |≤ }

∈

\

m(E ) = m(E E n0 ) + m(E n0 )

\

y como m(E ) <

∞, tenemos \

m(E E n0 ) = m(E ) y adem´ as as como E C = E E n0

− m(E

n0 )

<

ε , 2

∪ (E \ C ),), obtenemos m(E \ C ) = m(E \ E ) + m(E \ C ) = ε , \

\

n0

n0

n0

con C cerrado, limitado y por lo tanto compacto en R.

∈

Supongamos ahora que para todo n N existe un conjunto C n compacto, contenido en E , tal que m∗ (E C n ) < n1 . Considere Considere el conjunto conjunto C ∞ definido como C = n=1 C n . Entonces C es medible, y E C E C n , y as´ı 1 m∗ (E C ) m∗ (E C n ) < . n



\

\ para todo n ∈ N y por lo tanto m∗ (E \ C ) = (E \ C ) ∪ C es medible.

\ ⊂ \

\ ≤

0, impl implic ican ando do que E =

80

A.4 A.4


Apro Aproxi xima maci ci´ on ´ on por Intervalos

Teorema A.4.1 Si E es Lebesgue medible con medida finita y ε > 0, entonces existen intervalos abiertos (limitados) I i ni=1 tal que si K = ni=1 I i entonces m(E K ) < ε .

{ }

∪



Demostraci´ on. on. Existe un conjunto G abierto que cubre E , i.e. E G con m(G) m(E ) + 2ε , y sabemos tambi´ en en que este conjunto abierto es ∞ uni´ on de un conjunto numerable de intervalos, es decir G = i=1 I i . on

⊂

≤



También en existe un compacto C E tal que m(E C ) < 2ε . Como Como E n también en esta e sta contenid conte nidoo en G, existe un n´ umero umero finito de I i i=1 que siguen cubriendo C . Defina Defina el conjun conjunto to K como K = ni=1 I i , de modo que se tiene c K G y C E G, y por lo tanto

⊂

⊂ ⊂

⊂ ⊂ m(E K )

\



{ }

= m(E K ) + m(K E ) m(E C ) + m(G E )

≤ ≤

ε

\ \

\ \



Hacemos notar que el mismo teorema se puede demostrar reemplazando los I i por intervalos cerrados, semiabiertos, o dos a dos disjuntos, y que los teoremas en este es te cap´ıtulo ıtulo pueden ser demostrad d emostrados os con co n poqu´ p oqu´ısimas ısimas modifimodi fi p caciones caciones para medidas medidas de Lebesgue Lebesgue y conjunto conjuntoss en R donde consideramos el σ -´ algebra algebra producto.

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EMALCA-PERÚ Curso Básico de Teoría de la Medida.pdf

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