Funda Fun dame ment ntos os de In Inge geni nier er´´ıa El´ectr ectric icaa Tema 2: Element Elementos os de la teor teor´´ıa de circui circuitos tos
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Contenidos
Eleme Element ntos os b´asico asi coss Ley de Ohm Resistencias en serie. Divisor de tensi´on on Resistencias en paralelo. Divisor de intensidad Fuentes ideales
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Elementos b´asicos iptq
Resistencia (R)
`
v ptq
´ iptq
Bobina (L)
`
v ptq ´
v ptq “ Riptq diptq dt
v ptq “ L
iptq
Condensador (C )
`
dv ptq dt
´
iptq “ C
iptq
v ptq conocida iptq inc´ ognita
v ptq ´`
Fuente tensi´ on
v ptq iptq
Fuente intensidad
v ptq inc´ ognita iptq conocida
`
´
v ptq 3/33
Resistencia. Ley de Ohm La resistencia (R) se mide en Ohmios (Ω “ V {A) La conductancia (G) es la inversa de la resistencia ( G “ 1{R) y se mide en Siemens (S “ 1{Ω) La ley de Ohm depende del criterio!!!
`
v ptq
v ptq “ Riptq
iptq
iptq
´
`
iptq “ Gvptq
v ptq
v ptq “ ´Riptq
´
iptq “ ´Gv ptq
pptq “ v ptqiptq “ Ri2 ptq
pptq “ v ptqiptq “ ´Ri2 ptq
v 2 ptq pptq “ v ptqiptq “ R
v 2 ptq pptq “ v ptqiptq “ ´ R
Una resistencia siempre consume potencia (Efecto Joule) e representa R “ 8? ¿Y R “ 0? ¿Qu´ 4/33
Resistencia. Ley de Ohm (cont)
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Ejercicio 2-1
Dado el circuito de la figura, calcula: a) La intensidad i [A] b) La potencia consumida por la resistencia [W] `
v
R
´
i
Datos: v “ 10 ¨ α ` β [V], R “ γ [Ω]
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Soluci´on 2-1
Calcula la intensidad i y la potencia consumida por la resistencia ` 95V
8Ω
´
i
v 95 a) i “ “ “ 11,88 A R 8 b) p “ Ri2 “ 8 ¨ 11 ,882 “ 1129,08 W
7/33
Ejercicio 2-2
Dado el circuito de la figura, calcula: a) La tensi´on v [V] b) La intensidad i1 [A] c) La potencia total consumida por las dos resistencias [W] i2
`
v
´
R
G i1
Datos: i2 “ 10 ¨ δ ` [A], G “ η [S], R “ θ [Ω]
8/33
Soluci´on 2-2
12A
`
v
7S
3Ω
´
a) v “ b) i1 “ c) P “
i1
´12
“ ´1,71 V
7 ´1,71 3 1 7
12
2
“ ´0,57 A
` 3 ¨ 0 ,572 “ 21,55 W
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Ejercicio 2-3 Dado el circuito de la figura, calcula: a) La tensi´on v [V] b) La intensidad i [A] c) La potencia total consumida por las cuatro resistencias [W] i `
v
´
`
G2 R1
R3
v4
R4
´
Datos: R1 “ λrΩs, G2 “ κ [S], R3 “ αrΩs, R4 “ δ rΩs, v4 “ 10 ¨ β [V]
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Resistencias en serie Dos resistencias est´an en serie si est´an atravesadas por la misma intensidad R1
A `
R2
i1
´
v1
`
i1 “ i2
i2 B
v1 “ R 1 i1
´
v2
v2 “ R 2 i2
¿Cu´al es el valor de Req que hace que la relaci´on entre la tensi´o n y la intensidad vista desde lo terminales A y B sea la misma en ambos casos? i “ i1 “ i2
Req
A `
B
i
v “ v1 ` v2
´
v
v “ Req i
Req i “ v “ v1 ` v2 “ R 1 i1 ` R2 i2 “ pR1 ` R2 qi ùñ Req “ R1 ` R2 11/33
Divisor de tensi´on Determina v1 y v2 en funci´on de v , R1 and R2 R1
A `
´
v1
`
i1 “ i2 “
R2
i1 `
v
v2
i2 B
´ ´
v R1 ` R2
v1 “ R 1 i1 “ R1
v
R1
“ v R1 ` R2 R1 ` R2 v R2 v2 “ R 2 i2 “ R2 “ v R1 ` R2 R1 ` R2
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Resistencias en paralelo Dos resistencias est´an en paralelo si est´an sometidas a la misma tensi´on R1 `
A
i1
´
v1
B
R2 `
v1 “ v 2 v1 “ R 1 i1 v2 “ R 2 i2
i2
´
v2
¿Cu´al es el valor de Req que hace que la relaci´on entre la tensi´o n y la intensidad vista desde lo terminales A y B sea la misma en ambos casos? v “ v1 “ v2
Req
A `
B
i
i “ i1 ` i2
´
v
v v1 v2 “ i “ i 1 ` i2 “ ` “v Req R1 R2
ˆ
v “ Req i 1
R1
`
1
R2
˙
ùñ
1
Req
“
1
R1
`
1
R2 13/33
Divisor de intensidad Determina i1 y i2 en funci´on de i, R1 and R2 R1 `
v1
i1
´
A
i B R2 `
v2
i2
´
R1 R 2 i R1 ` R2 v1 R2 i1 “ i “ R1 R1 ` R2 v2 R1 i2 “ “ i R2 R1 ` R2 v1 “ v2 “
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Serie, paralelo y el m´as all´a R3
B
R1
R2
R5
R7
R4
A
Serie R2 R6 R4 R3
R6
y y y y
Paralelo
Otro
R5 R7 R5 R6
Serie R1 R3 R5 R1
y y y y
Paralelo
Otro
R2 R4 R7 R7
Contesta en https://goo.gl/Kpj5Va 15/33
Ejercicio 2-4
Calcula la resistencia equivalente vista desde los terminales A y B R3
B R1
A
R2 R4
R6
R5
R7
Datos: R1 “ αrΩs, R2 “ β rΩs, R3 “ γ rΩs, R4 “ δ rΩs, R5 “ rΩs, R6 “ η rΩs, R7 “ θ rΩs
16/33
Soluci´on 2-4 8Ω
B 9Ω
5Ω
8Ω
3,21Ω
3Ω
8Ω
B
2Ω
3,21Ω
10Ω
1Ω
A
2Ω
1Ω
A
B
7Ω
1,67Ω
1Ω
A
17/33
Soluci´on 2-4 (cont)
B
B 3,21Ω
10,67Ω
A
2,47Ω
A RAB “ 2,47Ω
18/33
Ejercicio 2-5 Calcula la resistencia equivalente vista desde los terminales A y B
R4
R2
B
R7 R6
R1
R3
R5
A Datos: R1 “ αrΩs, R2 “ β rΩs, R3 “ γ rΩs, R4 “ δ rΩs, R5 “ rΩs, R6 “ η rΩs, R7 “ θ rΩs 19/33
Fuente de tensi´on ideal Tensi´ on v conocida e intensidad i inc´ ognita del circuito v ´`
i
Asociaci´on en serie v1
v2
v3
v1 ` v2 ` v3
´`
´`
´`
´`
i
i
Asociaci´on en paralelo
v1
` ´
v2
` ´
v3
` ´
Solo tiene sentido si v1 “ v2 “ v 3
20/33
Fuente de intensidad ideal Intensidad i conocida y tensi´on v inc´ ognita del circuito i ´
v
`
Asociaci´on en serie i1
i2
i3
Solo tiene sentido si i1 “ i2 “ i3 Asociaci´on en paralelo
i1
i2
i1 ` i2 ` i3
i3
21/33
Ejercicio 2-6 Para el circuito de la figura, calcula: a) b) c) d)
v1 [V] v2 [V] v3 [V] i1 [A]
e) f) g) h)
i2 [A] i3 [A] P R1 [W,con] P R2 [W,con] R1
`
vg
` ´
v1
i) P R3 [W,con] j) P vg [W,gen]
i1
´
`
v2
`
R2
´ i2
v3
R3
´ i3
Datos: vg “ 10 ¨ λ ` κ[V], R1 “ θrΩs, R2 “ ηrΩs, R3 “ rΩs 22/33
Soluci´on 2-6 3Ω
` 64V
v1
i1
´
` ´
`
`
v2
7Ω
v3
´ i2
2Ω
´ i3
En primer lugar transformamos el circuito 3Ω
` 64V
` ´
v1
i1
´
i1 “
`
v2
64 3 ` 1 ,56
“ 14,04 A
v1 “ 3 ¨ 14 ,04 “
1,56Ω
42,11
V
v2 “ v3 “ 1,56 ¨ 14 ,04 “
´
21,89
V 23/33
Soluci´on 2-6 (cont) Las intensidades por la rama en paralelo las podemos calcular haciendo v2 i2 “ “ R2 v3 i3 “ “ R3
21,89 7 21,89 2
“ 3,13 A “ 10,95 A
Las potencias consumidas por las resistencias son: P R1 “ R1 i21 “ 3 ¨ 14 ,042 “ 591,36 W P R2 “ R2 i22 “ 7 ¨ 3 ,132 “ 68,58 W P R3 “ R3 i23 “ 2 ¨ 10 ,952 “ 239,81 W
La potencia generada por la fuente de tensi´on es: P vg “ 64 ¨ i1 “ 64 ¨ 14 ,04 “
898,56
W
La suma de las potencias consumidas por la resistencias es igual a la generada por la fuente de tensi´on (balance de potencias ok) 24/33
Ejercicio 2-7 Pare el circuito de la figura, calcula: a) v [V] b) i [A] c) P R [W] (con)
d) P g1 [W] (gen) e) P g2 [W] (gen) R `
v
i
´
` ´
vg 1
` vg 2 ´
Datos: vg 1 “ 10 ¨ λ ` κ[V], vg 2 “ θ [V], R “ ηrΩs
25/33
Soluci´on 2-7 7Ω
` 64V
64 “
i “
v
i
´
` ´
` ´
3V
v ` 3 ùñ v “ 61 V
61 7
“ 8,71 A
P 7Ω “ 7 ¨ 8 ,712 “ 531,05 W (consumida) P 64V “ 64 ¨ 8 ,71 “ P 3V “ 3 ¨ 8 ,71 “
557,44 W
26,13 W
(generada)
(consumida)
Las fuentes de tensi´on e intensidad pueden generar o consumir potencia 26/33
Ejercicio 2-8 Para el circuito de la figura, calcula: a) b) c) d)
i1 [A] i2 [A] i3 [A] v1 [V]
e) f) g) h)
v2 [V] v3 [V] P R1 [W,con] P R2 [W,con]
i) P R3 [W,con] j) P ig [W,gen]
R2 `
i1 ´ v1
R1
v2
i2
´
`
v3
9A
R3
´ i3
`
Datos: ig “ α [A], R1 “ β rΩs, R2 “ γ rΩs, R3 “ δ rΩs 27/33
Soluci´on 2-8 8Ω
`
i1 ´ v1
5Ω
´
`
v3
9A
1Ω
´ i3
`
i1 “
v2
i2
v1 5
i2 “ i3 “
´v1 8 ` 1
i1 ` 9 “ i 2 ùñ
v1 5
` 9 “
´v1 9
ùñ v1 “ ´28,93 V 28/33
Soluci´on 2-8 (cont)
´28,93
i1 “
5
i2 “ i 3 “
“ ´5,79 A
28,93 9
“ 3,21 A
v2 “ 8 ¨ i2 “ 8 ¨ 3 ,21 “
25,68
V
v3 “ 1 ¨ i3 “ 1 ¨ 3 ,21 “ 3,21 V P 9A “ 28,93 ¨ 9 “
260,37 W,gen
P 5Ω “ ´28,93 ¨ ´5,79 “ P 8Ω “ 25,68 ¨ 3 ,21 “ P 2Ω “ 3,21 ¨ 3 ,21 “
167,50 W,con
82,43 W,con
10,30 W,con
29/33
Ejercicio 2-9
Para el circuito de la figura, calcula: a) i1 [A]
b) i2 [A]
i1 R1
c) i3 [A]
vg 1
vg 2
´`
` ´
R2 i2
R3 i3
Datos: vg 1 “ 10 ¨ η [V], vg2 “ 10 ¨ β [V], R1 “ αrΩs, R2 “ rΩs, R3 “ δ rΩs
30/33
Ejercicio 2-10 Para el circuito de la figura, calcula: a) i1 [A]
b) i2 [A]
c) i4 [A] R1
i1 R2
ig 1
i2
ig 2
R4
R3
i4
` ´
vg
Datos: ig1 “ 10 ¨ η [A], ig 2 “ β [A], vg “ 10 ¨ θ[V], R1 “ αrΩs, R2 “ rΩs, R3 “ δ rΩs, R4 “ γ rΩs 31/33
Ejercicio 2-11 Para el circuito de la figura, calcula: a) i1 [A]
c) i3 [A]
e) P vg [W,gen]
b) i2 [A]
d) i4 [A]
f) P ig [W,gen] R2
R1
vg
` ´
i1
i2
R3
ig
i3
R4 i4
Datos: ig “ 10 ¨ β [A], vg “ 10 ¨ η [V], R1 “ αrΩs, R2 “ rΩs, R3 “ δ rΩs, R4 “ γ rΩs 32/33
Ejercicio 2-12 Para el circuito de la figura, calcula: a) b) c) d)
i1 i2 i3 i4
[A] [A] [A] [A]
e) f) g) h) R1
vg
` ´
ig
P vg [W,gen] P ig [W,gen] P R1 [W,con] P R2 [W,con]
i) P R3 [W,con] j) P R4 [W,con]
R3
i1
R2 i2
i3
R4 i4
Datos: ig “ 10 ¨ β [A], vg “ 10 ¨ η [V], R1 “ αrΩs, R2 “ rΩs, R3 “ δ rΩs, R4 “ γ rΩs 33/33