Elementos de la mecánica cuántica. Saxon

ELEMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA David S. Saxon Universidad de California, Los Angeles

SEGUNDA EDICIÓN

EDITORIAL EASO, S. A. MÉXICO

vi

PREFACIO

Se presentan ciento cincuenta problemas que son muy importantes pedagógicamente. Los problemas no son exclusivamente del tipo ilustrativo del material presentado en el texto; también sirven para ampliarlo. Un número importante sirve para ampliar el curso, señalando nuevos tópicos y nuevos puntos de vista. Muchos problemas son demasiado difíciles para que el estudiante los domine al primer intento. Se le aconseja que vuelva a intentarlos a medida que vaya entendiendo la teoría. Finalmente podrá resolver cualquiera de ellos. En el Apéndice III, se exponen respuestas y soluciones completas a cin:uenta problemas representativos. Alrededor de cuarenta ejercicios se sncuentran distribuidos en el libro. En general se refieren a ciertos Jetalles del texto, pero no todos son triviales. En UCLA, el material del texto se presenta en una secuencia de Jos trimestres, pero el curso también se puede usar en un curso de un ¡emestre; cualquiera de las secciones marcadas con asterisco en la talla del contenido pueden omitirse sin afectar el desarrollo lógico del •esto. Si se desea, también puede usarse el texto para un curso de un iflo, pero complementado con otro material. Las representaciones de íeisenberg y de interacción y, en general, la teoría de transformación, ion tópicos que surgen a la mente de inmediato. Respecto a las apli¡aciones, los efectos Zeeman y Stark, las ondas de Bloch, los métolos de Hartree-Fock y Fermi-Thomas, moléculas simples y espín isoópico, son temas adecuados para escoger. El autor se ha beneficiado de numerosas críticas y sugerencias de ;olegas y estudiantes. A todos ellos expresa su gratitud profunda y ¡specialmente al Dr. Ronald Blum por su cuidadosa lectura de la edi:ión preliminar y del manuscrito final. El autor también agradecerá ¡omentarios adicionales así como el señalar las erratas y los errores. David S. Saxon Noviembre, 1967

contenido I. LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

El fracaso de la física clásica Conceptos cuánticos El aspecto ondulatorio de las partículas Magnitudes numéricas y dominio cuántico El aspecto corpuscular de las ondas Complementareidad El principio de correspondencia

1 3 5 13 14 17 17

II. FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN

1. La idea de función de estado; superposición de estados 19 2. Valores de expectación 25 3. Comparación entre las descripciones cuántica y clásica de un estado; paquetes de onda 27 III. MOMENTO LINEAL

1. Funciones de estado que corresponden a un momento lineal definido 2. Construcción de paquetes de onda por superposición . 3. Transformadas de Fourier; la función delta de Dirac. . 4.» Espacios de configuración y de momento lineal 5. Operadores de posición y de momento lineal 6. Relaciones de conmutación 7. El principio de incertidumbre

30 32 36 39 40 47 49

„*,„••,„

VIH

CONTENIDO

CONTENIDO

IV. MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE 1. Movimiento de un paquete de ondas; velocidad de grupo 59 2. El requisito del principio de correspondencia 62 3. Popagación del paquete de ondas de una partícula libre en el espacio de configuración 64 4. Propagación del paquete de ondas de una partícula libre en el espacio de momentos; el operador de energía... 66 5. Evolución en el tiempo de un paquete de ondas gausiano 68 6. Ecuación de Schródinger para la partícula libre 70 7. Conservación de la probabilidad 72 8. Notación de Dirac 76 9. Estados estacionarios 78 10. Partícula en una caja 80 11. Resumen . 83 V. ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 8. *9. 10.

El requisito de la conservación de la probabilidad . . . . 90 Operadores hermitianos 91 El requisito del principio de correspondencia 98 Ecuación de Schródinger en el espacio de configuración y en el espacio de momentos 101 Estados estacionarios 104 Autofunciones y autovalores de operadores hermitianos 108 Observables simultáneos y conjuntos completos de operadores 111 El principio de incertidumbre 113 Movimiento de paquetes de onda 118 Resumen: los postulados de la mecánica cuántica.... 119

f l . ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN 1. Características generales 124 2. Clasificación por simetría: el operador de paridad. . . .127 3. Estados ligados en un pozo cuadrado 130 Para un curso de un semestre cualquiera de las secciones con asterisco puede omitirse sin erjudicar el desarrollo lógico (ver el prefacio).

ÍX

4. El oscilador armónico 135 *5. La representación del operador de creación 147 *6. Movimiento de un paquete de ondas en el potencial del oscilador armónico 154 7. Estados continuos en un pozo de potencial cuadrado 158 8. Estados del continuo; el flujo de probabilidad 163 *9. Paso de un paquete de ondas a través de un potencial 166 s 10. Solución numérica de la ecuación de Schródinger.... 169 VII. MÉTODOS APROXIMADOS 1. 2. 3. 4. 5. 6.

La aproximación WKB La aproximación de Rayleigh-Ritz Teoría de perturbación para estados estacionarios. . . Matrices Estados vecinos o degenerados Teoría de perturbación dependiente del tiempo

186 196 .202 215 218 222

Vffl. SISTEMAS DE PARTÍCULAS EN UNA DIMENSIÓN 1. Formulación 242 2. Dos partículas: coordenadas del centro de masa 245 3. Interacción de partículas en presencia de fuerzas externas uniformes 249 *4. Osciladores armónicos acoplados 251 5. Interacción débil de partículas en presencia de fuerzas externas 254 6. Partículas idénticas y degeneración de intercambio. . .257 7. Sistema de dos partículas idénticas 259 8,. Sistemas de muchas partículas, sinietrización y el principio de exlusión de Pauli 261 *9. Sistemas de tres partículas idénticas 266 10. Partículas idénticas interaccionando débilmente en presencia de fuerzas externas 272 K. MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES 1. Formulación: movimiento de una partícula libre . . . .279

CONTENIDO

*2. 3. 4. 5.

Potenciales separables en coordenadas rectangulares. .283 Potenciales centrales; estados de momento angular. . .286 Algunos ejemplos 297 El átomo de hidrógeno 304

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN 1. Operadores del momento angular orbital y relaciones de conmutación 2. Autofunciones y autovalores del momento angular.. *3. Operadores de rotación y de translación 4. Espín; los operadores de Pauli *5. Adición del momento angular

318 .322 334 337 348

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES * 1. El átomo de helio; la tabla periódica *2. Teoría de la dispersión *3. Funciones de Green para la dispersión; la aproximación de Born *4. Movimiento en un campo electromagnético * 5. Teoría del electrón de Dirac *6. Estados mixtos y matriz de densidad

366 374 383 396 401 411

APÉNDICES I. Cálculo de integrales de funciones gausianas 423 II. Referencias seleccionadas 426 III. Respuestas y soluciones a problemas seleccionados. . .429

"Y ahora lector, afánate, porque siempre te ayudaremos en las dificultades, ya que no esperamos, como otros, que uses al arte de la adivinanza para descubrir nuestro significado, pero no seremos indulgentes con tu holgazanería cuando lo único que se te exija sea tu atención; estarías muy equivocado al imaginar que empezamos esta gran tarea para no dejar nada a tu sagacidad o al ejercicio de tu talento recorriendo estas páginas sin beneficio ni placer. Henry Fielding

I La naturaleza dual de la materia y la radiación 1.- EL FRACASO DE LA FÍSICA CLASICA * A finales del siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban que se había completado la descripción de la naturaleza y que solamente faltaba por desarrollar algunos detalles. Esta creencia se basaba en los logros espectaculares de la mecánica de Newton que, junto con la ley de gravitación y la electrodinámica de Maxwell, describían y predecían las propiedades de sistemas macroscópicos cuyas dimensiones variaban desde el tamaño de un laboratorio al tamaño del cosmos. Sin embargo, al desarrollarse las técnicas experimentales para estudiar sistemas atómicos, surgieron dificultades que no podían explicarse con las leyes de la física clásica ni con sus conceptos. Las nuevas leyes y los nuevos conceptos que fueron necesarios desarrollar durante la primera cuarta parte del siglo XX fueron los de la mecánica cuántica. Las dificultades que se encontraron fueron de diferentes tipos. En primer lugar se encontraron contradicciones con algunas de las predicciones del teorema de equipartición de la energía. La aplicación directa de este teorema conduce a resultados absurdos para el espectro de radiación del cuerpo negro y a conclusiones erróneas para los calores específicos de sistemas materiales. En ambos casos, el resultado empírico predice que sólo algunos de los grados de libertad del sistema participan en los intercambios de energía que llevan al equilibrio estadístico. En segundo lugar, se encontraron dificultades para explicar la es* Una discusión detallada de las bases históricas y experimentales de la mecánica cuántica, se encuentran en las referencias del [ 1] al [5], en el apéndice II.

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LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

tructura y la existencia misma de los átomos, tomados como sistemas de partículas cargadas. Para tales sistemas, el equilibrio estático es imposible bajo fuerzas exclusivamente electromagnéticas, siendo también imposible el equilibrio dinámico, por ejemplo en forma de un sistema solar en miniatura. Partículas en equilibrio dinámico están aceleradas y, clásicamente, cargas aceleradas radian energía, lo cual provoca el colapso de las órbitas independientemente de su naturaleza. Pero, aunque se acepte la existencia de los átomos, subsiste el problema de explicar el espectro atómico, es decir, determinar las características de la radiación causada por la aceleración de las cargas de un átomo al perturbar su configuración de equilibrio. Clásicamente se esperaría que dicho espectro consistiera de los armónicos correspondientes a ciertas frecuencias fundamentales. Pero el espectro observado satisface la ley de combinación de Ritz, la cual establece que las frecuencias del espectro se obtienen como diferencias de ciertas frecuencias fundamentales y no como múltiplos. Una tercera clase de dificultades proviene del efecto fotoeléctrico. La fotoemisión de electrones de superficies iluminadas no puede explicarse clásicamente. La dificultad esencial es la siguiente: el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz incidente y por lo tanto a la energía electromagnética que incide sobre la superficie, pero la energía transferida a los fotoelectrones no depende de la intensidad de la iluminación. Esta energía depende de la frecuencia de la luz, creciendo linealmente con ella a partir de cierto valor de umbral, característico de la superficie del material. Para frecuencias menores que la del umbral no se emite ningún fotoelectrón aunque sea grande la energía electromagnética transmitida a la superficie metálica. Por otra parte, para frecuencias mayores que la del umbral, aunque la fuente de luz sea débil, siempre se emiten fotoelectrones y siempre con la energía total apropiada a la frecuencia. Las explicaciones a estas dificultades comenzaron en 1901 cuando Planck supuso la existencia del cuanto de energía para poder obtener la modificación necesaria del teorema de equipartición. La consecuencia de que la radiación electromagnética es de naturaleza corpuscular fue afirmada por Einstein en 1905 al explicar en forma directa y simple las características de la emisión fotoeléctrica. También fue Einstein, dos años más tarde, el primero en explicar el comportamiento del calor específico de los sólidos a bajas temperaturas, cuan tizando los modos de vibración del sólido de acuerdo con las reglas de Planck. La primera explicación del espectro y estructura atómicos se dio en 1913 cuando Bohr introdujo la idea revolucionaria de estado estacionario y estableció las condiciones cuánticas para su determinación. Más tarde, estas condiciones fueron generalizadas por Sommer-

CONCEPTOS CUÁNTICOS

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feld y Wilson, y la teoría resultante explicó casi perfectamente el espectro y estructura atómicos del hidrógeno. Sin embargo, la teoría de Bohr tropezó con dificultades muy serias al intentar estudiar problemas más complejos. Por ejemplo, el átomo de helio fue imposible tratarlo con esta teoría. La primera indicación para resolver estos problemas fue dada en 1924 cuando de Broglie sugirió que las partículas podrían exhibir un comportamiento ondulatorio, así como las ondas exhibían un comportamiento corpuscular. Siguiendo estas sugerencias, Schródinger estableció su famosa ecuación de onda en 1926. Heisenberg, poco antes, partiendo de un punto de vista diferente había llegado a establecer resultados matemáticos equivalentes. Aproximadamente al mismo tiempo, Uhlenbeck y Goudsmit introdujeron la idea de espín o giro del electrón, Pauli enunció su principio de exclusión, y así, esencialmente, se había completado la formulación de la mecánica cuántica no relativista.

2. CONCEPTOS CUÁNTICOS Las leyes de la mecánica cuántica no pueden demostrarse, análogamente a lo que sucede con las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, se espera que estas leyes puedan deducirse, más o menos directamente, como consecuencias lógicas de ciertos experimentos seleccionados. Pero la descripción cuántica de la naturaleza es demasiado abstracta para que esto sea posible: los conceptos básicos de la teoría cuántica están fuera del alcance de la experiencia diaria. Estos conceptos son los siguientes: Funciones de Estado. La descripción de un sistema se hace mediante la especificación de una función especial, llamada función de estado del sistema, la cual no puede observarse directamente. La información contenida en la función de estado es esencialmente estadística o probabilística. Observables. La especificación o determinación de una función de estado es consecuencia de un conjunto de observaciones y mediciones de las propiedades físicas o atributos del sistema estudiado. Propiedades que pueden medirse, tales como energía, momento lineal, momento angular y otras variables dinámicas, se llaman observables. Observaciones u observables se representan por objetos matemáticos abstractos llamados operadores. El proceso de observación exige que haya cierta interacción entre el instrumento de medida y el sistema observado. Clásicamente pueden suponerse estas interacciones tan pequeñas como se quiera. Ge-


EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

eralmente se toman como infinitesimales, en cuyo caso el sistema 0 se perturba por la observación. Pero, a escala cuántica, la interación tiene características discretas y no puede disminuir indefinidamente sino hasta cierto límite. El acto de observar provoca en el sissma ciertas perturbaciones incontrolables e irreducibles. La observalón de la propiedad A provocará cambios incontrolables en otro obsrvable B relacionado con A. La existencia de un límite absoluto paa una interacción o perturbación, permite dar a la idea de tamaño un [gnificado absoluto. Un sistema puede considerarse grande o pequeo, y tratarlo clásica o cuánticamente, dependiendo de que la interación dada pueda considerarse pequeña o no. La noción de que la observación precisa de una propiedad provoca ue una segunda propiedad (llamada complementaria de la primera) sa inobservable, es un concepto exclusivamente cuántico sin analoía en la física clásica. Las características de ser onda o partícula nos roporciona un ejemplo de un par de propiedades complementarias. ,a dualidad partícula-onda de sistemas cuánticos, es una afirmación el hecho de que tales sistemas pueden exhibir cualquiera de las dos aracterísticas dependiendo de las observaciones realizadas sobre el ístema. Las variables dinámicas, posición y momento lineal, son un jemplo más cuantitativo de una pareja de observables compleméntalos. Al observar la posición de una partícula, por ejemplo iluminánola, necesariamente se provocará una perturbación en su momento neal. Este resultado es consecuencia de la naturaleza corpuscular de 1 luz; la medida de la posición de una partícula exige que, por lo meos, un fotón choque con la partícula, siendo esta colisión la que rovoca la perturbación. Consecuencia inmediata de esta relación enre medición y perturbación es que trayectorias precisas de partículas 0 pueden definirse cuánticamente. La existencia de una trayectoria ,efinida implica el conocimiento de la posición y del momento lineal e la partícula en el mismo instante. Pero el conocimiento simultáeo de ambas propiedades no es posible, si la medición de una de lias provoca una perturbación incontrolable y apreciable en la otra, orno es el caso de sistemas cuánticos. Estas perturbaciones mutuas 1 incertidumbres no son debidas a la técnica experimental; son conscuencias inevitables de la medición u observación. La existencia levitable de estos efectos para una pareja de variables compleméntalas fue enunciada por Heisenberg en su famoso principio de incerti'umbre. Más adelante se estudiarán estos hechos, pero ahora es conveniente mpezar el desarrollo de las leyes de la mecánica cuántica. El enfoque [ue se va a seguir no es el histórico y se llevará a cabo en la forma siuiente. En el resto del capítulo se intentará hacer plausible algunas

de las ideas de la mecánica cuántica, en particular las ideas de incertidumbre y complementareidad. Se hará considerando algunos experimentos y observaciones, que resaltan la naturaleza dual de la materia y de la cual se concluye inmediatamente que las trayectorias precisas de partículas, como en la mecánica de Newton, no existen. Como consecuencia se presenta el problema de cómo caracterizar el estado de movimiento de un sistema cuántico y de cómo describirlo. En el Capítulo II se resolverá este problema introduciendo la función de estado de un sistema, discutiendo su interpretación probabilística. En el Capítulo III se considerarán las propiedades generales de observables y de variables dinámicas en mecánica cuántica y se obtendrán reglas para encontrar sus representaciones abstractas como operadores. En los Capítulos IV y V se completará la primera etapa de esta formulación al introducir la ecuación de Schródinger, que gobierna el desenvolvimiento en el tiempo de sistemas cuánticos. Métodos para resolver la ecuación de Schródinger para el sistema más simple, el movimiento de una partícula en una dimensión, se discutirán en los Capítulos VI y VIL Únicamente hasta los cuatro capítulos finales se podrá tratar el problema general de sistemas de partículas interaccionando en tres dimensiones, y así, encontrar la relación con el mundo real. En todo el desarrollo, siempre se usará el principio de que las predicciones cuánticas deben de corresponder a las predicciones de la física clásica en el límite adecuado. Este principio de correspondencia jugará un papel muy importante al determinar la forma de las ecuaciones en la mecánica cuántica. Se recalcarán las propiedades cuánticas de sistemas materiales. Debido a su complejidad, no se presentará ningún desarrollo sistemático de las propiedades cuánticas de campos electromagnéticos, aunque se harán plausibles algunas de sus propiedades cuánticas. '

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3. EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS El experimento que mejor revela los elementos básicos de la descripción cuántica de la naturaleza es la dispersión de un haz de electrones por un cristal metálico, realizado por primera vez por Davisson y Germer en 1927. Este experimento fue diseñado principalmente para comprobar la predicción de de Broglie, según la cual, en analo1 En la Sección 5 de este capítulo se recurre a la naturaleza corpuscular de la luz para explicar la radiación del cuerpo negro y la dispersión de Cpmpton. No será sino hasta la Sección 6, Capítulo VII, en que se discutirá otra vez la radiación, cuando su emisión y absorción se presenten en forma eurística y semiclásica. Finalmente, en la Sección 4, Capitulo XI, se discutirá brevemente el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético clásico.

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gía a las propiedades corpusculares de la luz, perfectamente establecidas, también puede asociarse a una partícula de momento lineal p una onda X que se llama longitud de onda de de Broglie expresada como,

Reuniendo dichas relaciones en una sola expresión, finalmente, se tiene que,

X = h/p.

La hipótesis de de Broglie y el experimento de Davisson y Germer están en conflicto con la física clásica, porque se asignan a la misma entidad ambas propiedades, la de partícula y la de onda. La naturaleza y las implicaciones de este conflicto pueden aclararse imaginando que el experimento se realiza con un haz de electrones tan débil que un solo electrón se dispersa por el cristal y se registra en cierto instante de tiempo. En este evento, no se obtiene inicialmente un patrón de difracción; el electrón será dispersado en cierta dirección, aparentemente al azar. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, el número de electrones dispersados aumenta a miles y a millones, observándose que mayor número de electrones se dispersan en ciertas direcciones preferentes, y así, se va formando el patrón de difracción. De los resultados experimentales de Davisson y Germer pueden obtenerse las conclusiones siguientes: (a) Los electrones poseen propiedades de partícula y de onda. La relación cuantitativa entre ellas está expresada por la relación de de Broglie; ecuación (1). (b) No puede predecirse exactamente el comportamiento de un electrón sino únicamente su comportamiento probable. (c) En mecánica cuántica no existen trayectorias definidas. (d) La probabilidad de observar a un electrón en una región dada, es proporcional a la intensidad de su campo ondulatorio asociado. (e) El principio de superposición se aplica a las ondas de de Broglie, tal como se aplica a las ondas electromagnéticas. Las conclusiones (a) y (b) no necesitan comentarios. La conclusión (c) se sigue de (b), debido a que, clásicamente, para condiciones iniciales dadas, una partícula se mueve en una trayectoria única bajo la influencia de fuerzas especificadas. La conclusión (d) se obtiene del paralelismo entre los patrones de difracción para rayos-X y para electrones, producidos por un determinado cristal. Por último, la conclusión (e) se obtiene de que el patrón de difracción se produce por interferencia de ondas secundarias, generadas en cada átomo del cristal, o sea, por combinación lineal o superposición de estas ondas. Estas, conclusiones forman el punto de partida de todo el desarrollo de la mecánica cuántica. Se ha llegado a ellas sin hacer referencia al tipo de interacción entre los electrones (o rayos-X) y los átomos del cristal, y sin estudiar las particularidades del patrón de difracción formado como resultado de esta interacción. Este argumento se basa

La constante h es la constante universal de Planck o el cuanto de acción. La hipótesis anterior fue consecuencia de que de Broglie tratara de acomodar un número entero de semilongitudes de onda en una órbita de Bohr para entender la condición de cuantización de Bohr, aparentemente arbitraria. Pero Davisson y Germer observaron que electrones de momento lineal p, dispersados por un cristal, se distribuían en un patrón de difracción, exactamente como lo harían rayos-X de la misma longitud de onda dispersados por el mismo cristal. Por lo tanto, se verificó cuantitativamente y directamente la hipótesis de de Broglie. El cuanto de acción tiene dimensiones de momento lineal por longitud o lo que es lo mismo, de energía por tiempo, siendo su valor numérico. h = 6.625 X 10-" erg-sec.

En la mayoría de las aplicaciones cuánticas resulta más conveniente usar la cantidad h/2tr, que se abreviará h y será denominada "/z barra". Su valor numérico es, h = h¡lTT = 1.054 x 10~27 erg-sec. En términos de t í , la relación de de Broglie puede escribirse como X = X/27T = hlp,

donde se ha introducido la longitud de onda reducida X (lambda barra), que, físicamente, caracteriza mejor a la onda que la propia longitud de onda. También es conveniente definir el número de onda k (más bien el número de onda reducido), como el recíproco de X . Entonces, se puede escribir la relación de de Broglie como,

p = h¡\ = 277-fc/X = ft/X = hk.

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(1)

8



totalmente en el comportamiento de un cristal como una red de difracción tridimensional, calibrada por la observación de sus efectos sobre rayos -X de propiedades conocidas. Sin embargo, es poco satisfactorio, al menos pedagógicamente, llegar a dichas conclusiones sin explorar todos los detalles. Pero el entender estos detalles requiere conocer la interacción de un electrón con los átomos de un sólido cristalino, cuya interacción no puede comprenderse sin antes haber entendido la mecánica cuántica. Por esta razón, se considerará a continuación dos experimentos "cruciales", aunque idealizados, de los cuales se obtienen los mismos resultados en forma más o menos inmediata. Estos experimentos son versiones en una dimensión de la difracción y de la dispersión, interviniendo en ellos los sistemas más simples. Sin embargo, los experimentos se realizan sólo en principio y no en la práctica. El primer experimento se muestra en la Figura l(a). Una partícula de carga positiva e y masa m se lanza con momento lineal p a lo largo del eje de un tubo, cuyas paredes se encuentran a potencial cero. Separado infinitesimalmente y alineado con él, se encuentra un segundo tubo a un potencial mayor VQ .

Se supone que la energía de la partícula es EI = pi?/2m y es menos que eVo, como se muestra en la Fig. 1 (b). Clásicamente, la partícula se reflejará en la interfase regresando a lo largo del eje del primer tubo sin cambiar la magnitud de su momento lineal. Si se incrementa la energía hasta alcanzar el valor E2 , mayor que eVo, como también se muestra en la Fig. l(b), clásicamente se predice que el electrón se desacelera en la interfase y pasa al segundo tubo con momento lineal p tal que,

I

Para el caso en que la energía es E± , los resultados de este experimento concuerdan con la predicción clásica, pero no en el caso en que la energía es EI . Para EI mayor que eV$ , la partícula no siempre se transmite sino que algunas veces se refleja. Sin embargo, cuando EI crece, la reflexión decrece, hasta que, prácticamente, la partícula nunca se refleja coincidiendo con la predicción clásica. Si se define el coeficiente de transmisión T como el número relativo de veces que la i.o

Primer tubo

Segundo tubo

y=o

v=va (a)

E...

(b)

Figura 1. (a) El sistema de tubos, (b) la energía potencial U como función de la distancia a lo largo del eje del sistema de tubos. Por facilidad se ha supuesto que U varía discontinuamente. Una partícula clásica se refleja si su energía es E± y se transmite si su energía es EI .

R

E

eVa

E

Figura 2. Coeficientes de transmisión y reflexión como funciones de la energía en el sistema de tubos. Las líneas punteadas se refieren a las predicciones clásicas.

partícula se transmite y el coeficiente de reflexioné como el número relativo de veces que la partícula se refleja, entonces, R + T = 1 y los resultados se muestran en la Figura 2. La predicción clásica está representada por la línea punteada y el resultado experimental por la curva continua, la cual no puede explicarse clásicamente. Hay que recalcar que, en el intervalo de energía donde puede ocurrir la transmisión o la reflexión, no hay forma de predecir el comportamiento preciso de la partícula o asociarle una trayectoria bien definida. Lo único que se puede decir es que la partícula se refleja con probabilidad R, o bien, que se transmite con probabilidades T = 1 — R. Otro experimento ideal pero más revelador de las conclusiones anteriores se logra al alinear, con el segundo tubo, un tercer tubo a potencial cero. El potencial U se muestra en la Figura 3. La longitud del tubo intermedio es 2a y el origen se ha colocado a la mitad de este

H^tek, j^^ÉP^**' DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN U^^^ LA LANATURALEZA NATURAL


11

U

T

1 O -•

Resultado experimental Predicción clásica

eVH

y=o

2a Figura 3. Barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

tubo. Un potencial como el de la Figura 3 se llama potencial cuadrado repulsivo; si VQ fuera negativo, sería atractivo. La teoría clásica predice que la partícula se refleja si su energía E\ es menor que eVq y se transmite por encima de la barrera si su energía es EI excede a eVo, como se muestra en la Figura 3. En ambos casos la Interpretación es errónea si la barrera es lo suficientemente estrecha. Sin importar el signo de E — e V0, siempre que esta diferencia no sea muy grande, una fracción de las partículas se transmite y una fracción se refleja. Definiendo los coeficientes de reflexión y transmisión como antes, el coeficiente de transmisión experimental como función de la energía se muestra en la Figura 4. La predicción clásica también se muestra en la figura. Estos resultados son sorprendentes. Particularmente notable es el hecho de que la partícula pueda transmitirse a través de la barrera cuando su energía no es suficiente para que la sobrepase, o sea, que la energía cinética sería negativa al encontrarse la partícula en el interior de la barrera. Clásicamente no se puede asociar un significado físico a una energía cinética negativa, y el movimiento en tal región resulta imposible. Por lo tanto, se tiene la paradoja de que la partícula atraviesa dicha región prohibida y aparece del otro lado de la barrera. Este resultado se conoce como efecto túnel ya que la partícula tiene que atravesar la barrera de potencial. Por el momento sólo se recalcará que la idea de trayectoria clásica pierde su significado cuando los efectos cuánticos son importantes.

Figura 4. Coeficiente de transmisión para la barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

Es importante estudiar las oscilaciones del coeficiente de transmisión. Si el primer máximo ocurre a una energía e por encima de la altura de la barrera, el segundo máximo se observará a 4 e, el tercero a 9 e, etc. Al repetir el experimento variando la anchura de la barrera, se encuentra que el valor de e es inversamente proporcional al cuadrado de la anchura de la barrera. Entonces, se concluye que la energía En del máximo n-ésimo es tal que,"^,,- eVo es proporcional a nja. Si llamamos p al momento lineal de la partícula al pasar por encima de la barrera, el momento lineal pn del máximo n-ésimo satisface la relación n h 2a = = • — 2 pn

donde la constante de proporcionalidad resulta ser la constante de Planck. Dicho de otra manera, cuando la anchura de la barrera, 2a, es un múltiplo semientero de h/p, la transmisión alcanza su valor máximo de uno y el coeficiente de reflexión es cero resultando que la barra es perfectamente transparente únicamente para estos valores particulares. Este comportamiento es exactamente análogo al de la transmisión de la luz a través de una placa delgada de dieléctrico o de una película, cuando el coeficiente de reflexión se anula porque el espesor de la película es igual a un número entero de semilongitudes de onda. Por consiguiente lo que se observa es un fenómeno ondulatorio y explí-

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MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO


13

4. MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO

citamente, existe una onda de longitud de onda X asociada a una partícula de momento lineal p, lo cual concuerda con la predicción de de Broglie y los resultados experimentales de Davisson y Germer. La explicación de las observaciones anteriores sería como sigue. A la partícula incidente en el primer tubo se le asocia una onda que se llamará onda de de Broglie y expresada como, (2)

Cuando esta onda choca con la primera cara de la barrera de potencial, parte se transmite al interior de la barrera y parte se refleja. La onda transmitida al interior de la barrera tiene la forma

Es ilustrativo examinar las magnitudes de las ondas de de Broglie para algunos casos representativos: (a) Un electrón de energía E (en electrón voltios) P

VlmE

10-" E-"2 cm

(b) Un protón de energía E (en electrón voltios) X - 5 x 10-10 E~112 cm

(c) Una masa de un gramo moviéndose a una velocidad de un centímetro por segundo

i/, = eifxlh.

X = 10-27 cm.

Parte de esta onda se transmite fuera de la barrera y parte se refleja en la segunda interfase. La onda reflejada llega a la primera interfase donde parte se transmite y parte se refleja, volviéndose a repetir el mismo proceso con la onda reflejada en la segunda interfase y así sucesivamente. Por lo tanto, la onda transmitida hacia la derecha será una superposición de ondas múltiplemente reflejadas. La condición para que estas ondas interfieran constructivamente para dar un máximo en la transmisión es que la anchura de la barrera sea un múltiplo entero de semilongitudes de ondas. En esta explicación se encuentra implícita la idea de que las intensidades de las ondas transmitidas y reflejadas deben de asociarse con las probabilidades de transmisión y reflexión de la partícula. En esta interpretación no es esencial que la energía cinética sea negativa o que el momento lineal sea imaginario. Para un momento lineal imaginario la longitud de onda de de Broglie también es imaginaria, y por lo tanto, las ondas correspondientes son ondas atenuadas y no ondas que se propagan. Estas ondas existen y pueden explicarse satisfactoriamente. El efecto túnel podría explicarse cualitativamente con estos argumentos. La onda que se transmite hacia el interior de la barrera resulta ser una onda atenuada. Llega a la segunda interfase con menor amplitud, pero después de transmitirse se convierte de nuevo en una onda que se propaga. Si la barrera es ancha, la atenuación es grande y la transmisión cae exponencialmente a cero, lo cual concuerda con la observación, *

Estos números nos revelan por qué los efectos cuánticos sólo se manifiestan a nivel atómico. A nivel macroscópico todas las dimensiones son enormes comparadas con las longitudes de onda de de Broglie, por lo cual, las características ondulatorias no son détectables. En el dominio atómico y subatómico las dimensiones son comparables con las longitudes de onda de de Broglie y, por lo tanto, las características ondulatorias predominan. Estos números también aclaran las dificultades para realizar en el laboratorio el experimento ideal con los tubos antes mencionados. Para simplificar se supuso que los potenciales cambiaban discontinuamente, aunque, en realidad cambian a lo largo de una distancia, por ejemplo b, lo cual complica el análisis pero no cambian las características cualitativas de los resultados. Sin embargo, la magnitud de los efectos cuánticos dependen crucialmente del tamaño de b. Los efectos serán apreciables solamente si b es menor que la longitud de onda o comparable con ella. Considerando el caso más favorable, el del electrón, se concluye que el espacio entre los tubos debe ser de unos cuantos anstroms, es decir, de unos cuantos diámetros atómicos. A escala atómica existen experimentos análogos a los mencionados anteriormente. La emisión de electrones de un metal correspondería al primer experimento y el decaimiento nuclear de partículas, considerado como efecto túnel, correspondería al segundo. El paso de un electrón externo a través de un átomo correspondería al segundo experimento. Se observan resonancias en la transmisión, las cuales se conocen como efecto Ramsauer. En todos estos experimentos intervienen sistemas físicos muy complejos cuyas propiedades no

1

Un tratamiento detallado se presenta en la Sección 7 del Capítulo VI.


edén entenderse sin antes haber comprendido perfectamente la tánica cuántica. EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS Anteriormente se ha demostrado que las partículas clásicas tienen turaleza dual por exhibir propiedades ondulatorias. A continua>n, se describirán algunos experimentos que demuestran cómo las das electromagnéticas exhiben propiedades corpusculares. Laprimeindicación de este hecho provino de las propiedades espectrales de radiación de un absorbedor perfecto o cuerpo negro. Una buena roximación de él se puede obtener en la forma siguiente. Se toma recipiente construido de paredes opacas a la radiación electromagtica y que tenga un agujero infinitesimal en la superficie. La radiain que entra por el agujero tiene una probabilidad grande de no say así, el agujero se comporta como un cuerpo negro. El campo de Ilación en el interior del recipiente en equilibrio térmico con éste a nperatura T, se puede considerar como la radiación de cuerpo ne>. Puede estudiarse experimentalmente examinando la radiación e escapa por el agujero infinitesimal. Su distribución espectral y isidad de volumen dependen solamente de la temperatura y no de propiedades particulares de las paredes o de alguna otra causa. Deio a esta independencia, resulta que la radiación del cuerpo negro un fenómeno muy importante para entender el intercambio de ;rgía entre la materia y la radiación cuando se encuentran en equino térmico. La física clásica no explica satisfactoriamente el especde esta radiación. El argumento es como sigue. El campo electromagnético en el interior de una cavidad puede scribirse completamente como una superposición de modos caracisticos de vibraciones armónicas del campo en la cavidad. La amtud de cada modo es independiente y, en principio, puede ser asigda arbitrariamente. Cada modo representa un grado de libertad del upo de radiación y estos grados de libertad son de tipo vibracional. i acuerdo al teorema de equipartición de la mecánica estadística .sica, cada grado de libertad vibracional tiene la misma energía proídio kT en el equilibrio térmico. No es difícil demostrar que el nú¡ro de modos en el intervalo de frecuencia entre v y (v + dv) es rr/c 3 )Kv2c?v, donde V es el volumen de la cavidad. Entonces, se tiene el resultado paradójico de que el espectro de la densidad de srgía para el cuerpo negro es (Sir/c^^kTv^dv, lo cual significa e la densidad de radiación con frecuencia entre v y v + dv crece infinidamente con el cuadrado de la frecuencia y que, por lo tanto, ínergía electromagnética total en la cavidad es infinita.

EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS

15

Ejercicio 1. Considerar una caja cúbica de volumen V con paredes perfectamente conductoras. (a) Demostrar que el número de modos de vibración con frecuencias entre v y v + dv está dado por (Sw/c3) Vv2 dv (referencia [3]). (b) ¿Se comportará esta caja como cuerpo negro a todas las frecuencias si tiene una partícula de polvo en su interior? ¿Cuales serán sus propiedades a frecuencias muy bajas? Este resultado clásico, conocido como la ley de Rayleigh-Jeans, no es totalmente incorrecto; esta ley predice exactamente la parte del espectro correspondiente a bajas frecuencias. Para altas frecuencias el espectro observado es menos intenso que el predicho clásicamente y eventualmente tiende a cero exponencialmente. Se podría expresarlo de otra manera diciendo que no todos los grados de libertad asociados con las frecuencias altas participan en el reparto de energía y que los correspondientes a las más altas no participan. El misterio de que algunos grados de libertad no participen fue explicado por primera vez por Planck cuando propuso que la energía de un modo vibracional de frecuencia v podía tomar únicamente valores discretos y no podía variar continuamente como en mecánica clásica.3 Supuso que la energía, partiendo de cero, podía crecer sólo por saltos iguales de magnitud proporcional a la frecuencia. La constante de proporcionalidad es precisamente la constante de Plank y la energía de un cuanto de frecuencia v, o frecuencia angular

(3)

y entonces, la energía de un oscilador tendrá solamente los valores permitidos O, ^w, 2ftw, . . . . Es fácil ver que, por lo menos cualitativamente, la idea de Planck es correcta. Para modos de frecuencia suficientemente baja, los saltos de energía son muy pequeños comparados con las energías térmicas y, por lo tanto, el teorema de equipartición clásico no se modifica. Para modos cuyas frecuencias son suficientemente altas, los saltos de energía son grandes comparados con las energías térmicas, por lo cual estos modos no participan en el reparto de energía. Entonces, resulta que la energía promedio de un grado de libertad vibracional de frecuencia v a temperatura T es, 3 Se está presentando el argumento desde un punto de vista moderno. Planck asoció características cuánticas únicamente a osciladores materiales, los cuales introdujo para representar las propiedades de las paredes de la caja, y no a los modos de vibración del campo electromagnético. Einstein fue el primero que se dio cuenta de que el campo de radiación también debía de estar cuantizado.

16

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN j? —

^

hv

ahtflkT €

iI

_

ho>

COMPLEMENTAREIDAD - EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

(4)

¿tñoill c

que recobra el valor clásico kT cuando fua/kT <* 1 y es exponencial para h 1. La densidad de energía de la radiación del cuerpo negro para frecuencias entre v y v •+ dv será entonces, hv3 C3

ehvlkT

_ J

dv,

(5)

que es la ley de radiación de Planck. Concuerda perfectamente con el experimento y resulta ser, históricamente, el primer método para determinar con mucha exactitud el valor de h. Ejercicio 2. (Verlareferencia [3]). (a) Obtener la ecuación (4) y la ley de radiación de Planck, ecuación (5). (b) Llamando X m a la longitud de onda correspondiente al máximo del espectro del cuerpo negro, demostrar que \mT = constante (ley de desplazamiento de Wien). (c) Demostrar que la energía total radiada por un cuerpo negro a temperatura T es proporcional a T* (ley de Stefan). Aunque Planck dio una solución completamente satisfactoria a las dificultades de la radiación del cuerpo negro, su trabajo atrajo poca atención.4 Fue tomada seriamente en 1905 cuando Einstein aplicó la idea cuántica al fenómeno de la emisión fotoeléctrica, introduciendo explícitamente las propiedades corpusculares de la radiación electromagnética. Estas propiedades corpusculares se observan mejor ín el efecto Compton. Cuando rayos-X de frecuencia dada se dispersan por electrones libres en reposo, la frecuencia de los rayos-X dispersados decrece al crecer el ángulo de dispersión. Este efecto se describe con precisión considerando a los rayos-X como partículas relaivistas de energía ña> y momento lineal ñu/c y aplicando, a la coliión, las leyes usuales de conservación de energía y momento lineal. Ejercicio 3. Demostrar que en la dispersión de Compton

onde A.c = h/mc es la llamada longitud de onda de Compton, m es la nasa del electrón, A es la longitud de onda de los rayos-X inciden tes y E. U. Condón, en Physlcs Today. Vol. 15, No. 10, p. 37, Oct. 1962.

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X' es la longitud de onda de los rayos-X dispersados a un ángulo 0. La longitud de onda de Compton puede tomarse como una longitud fundamental asociada con una partícula de masa m. ¿Cuál es su valor numérico aproximado para un electrón, para un protón, para un mesón ir y para una bola de billar? (Ver la referencia [3]). 6. COMPLEMENTAREIDAD Como resultado de las consideraciones anteriores se ha establecido que, en la naturaleza, existe cierta simetría entre partículas y ondas, de la cual carece totalmente la física clásica, en donde cierta entidad tiene exclusivamente una de estas características. Estas conclusiones llevan a grandes dificultades conceptuales. De alguna manera se tienen que reconciliar los conceptos clásicos de partícula y onda. En esta reconciliación interviene un principio que se conoce como principio de complementareidad, enunciado por primera vez por Bohr. La dualidad partícula-onda es uno de los muchos ejemplos de la complementareidad. La idea es la siguiente; los objetos en la naturaleza no son partículas ni son ondas; un experimento o medición que resalte una de estas propiedades, lo hace necesariamente a expensas de la otra. Un experimento diseñado para aislar o describir las propiedades de partícula, tales como la dispersión Compton o la observación de trayectorias, no proporciona información sobre los aspectos ondulatorios. Por otra parte, un experimento diseñado para aislar las propiedades ondulatorias, por ejemplo la difracción, no proporciona información acerca de las propiedades corpusculares. Este conflicto se resuelve estableciendo que estos aspectos irreconciliables no pueden, en principio, observarse simultáneamente. Otros ejemplos de complementareidad pueden ser, la posición y el momento lineal de una partícula, la energía de un estado y el tiempo que dura dicho estado, la orientación angular de un sistema y su momento angular, etc. Ahora se puede establecer en forma general el principio de complementareidad. La descripción cuántica de las propiedades de un sistema físico se expresa en términos de parejas de variables mutuamente complementarias. La precisión en la determinación de una de estas variables, necesariamente implica una imprecisión en la determinación de la otra. 7. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Hasta aquí la atención se ha concentrado en experimentos que no pueden explicarse mediante la mecánica clásica y que al mismo tiempo ponen de manifiesto ciertos aspectos de la mecánica cuántica. Sin

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embargo, no hay que olvidar que existe un dominio enorme, el dominio macroscópico, para el cual es válida la mecánica clásica. Entonces, se tiene un requisito obvio que la mecánica cuántica debe satisfacer; en el límite clásico apropiado la mecánica cuántica debe llegar a las mismas conclusiones a que llega la mecánica clásica. Matemáticamente, este límite es aquél para el cual h puede considerarse pequeña. Por ejemplo, para el campo electromagnético significa que el número de cuantos en el campo es muy grande. Para partículas, significa que la longitud de onda de de Broglie es muy pequeña comparada con todas las otras dimensiones importantes del problema. Naturalmente que los resultados de la mecánica cuántica son probabilísticos por naturaleza, mientras que los resultados de la mecánica clásica son completamente determinísticos. Por ello, en el límite clásico, las probabilidades cuánticas deben de convertirse en certidumbres; las fluctuaciones resultan despreciables. Este principio, o sea que en el límite clásico las predicciones de las leyes cuánticas deben de estar en correspondencia de uno a uno con las predicciones clásicas, se llama el principio de correspondencia. Sus requisitos son suficientemente rigurosos para que, partiendo de la idea de ondas de de Broglie y su interpretación probabilística, las leyes de la mecánica cuántica puedan determinarse del principio de correspondencia, como se demostrará más adelante. Problema 1. Calcular, con dos cifras significativas, las longitudes de onda de de Broglie siguientes: (a) Un electrón moviéndose a 107 cm/seg. (b) Un neutrón térmico a temperatura ambiente, es decir, un neutrón en equilibrio térmico a 300°K moviéndose con la energía térmica promedio. (c) Un protón de SQMeV. (d) Una pelota de golf de lOOgm. moviéndose a 30 metros/seg. Problema 2. Considerar un electrón y un protón con la misma energía cinética T. Calcular la longitud de onda de de Broglie para cada uno, con una cifra significativa en los casos siguientes: (a) T=30í?F. (b) T=3 (c) T=3 (d) T= 30 GeV= 30,000MeV. Nota: Con bastante exactitud, la energía en reposo de un electrón es 0.5 MeV, y la de un protón es de 1 GeV. La relación entre energía cinética, momento lineal y masa en reposo puede expresarse como E = T + me2 = V(mc 2 ) 2 + (pe)2.

II

Funciones de estado y su interpretación

1. LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

Las consideraciones que se han hecho en el capítulo anterior han conducido a la idea de que la descripción de cierto tipo de comportamiento de las partículas, requiere la introducción de las ondas de de Broglie. Estas ondas exhiben propiedades de interferencia y la intensidad en una región dada está asociada con la probabilidad de encontrar a la partícula en esa región. A continuación se intentarán generalizar estas ideas y al mismo tiempo definirlas mejor. Para simplificar las características matemáticas, se considerará el caso del movimiento de una partícula en una sola dimensión bajo la influencia de una fuerza externa determinada. Como primer paso se describirá el estado de movimiento en un instante de tiempo. En mecánica clásica, dicha descripción se establece especificando la posición y el momento lineal de la partícula en el instante de tiempo considerado. Las leyes de Newton suministran la receta para determinar la evolución del tiempo. Pero se ha recalcado que tal descripción no es válida en la mecánica cuántica, ya que las trayectorias de las partículas no están definidas con exactitud. Para poder empezar el estudio de la mecánica cuántica se hará la hipótesis mínima de que el estado de una partícula al tiempo t se describe completamente, o por lo menos tan completamente como sea posible, mediante una función i|» que se llamará la función de estado de la partícula o del sistema.

20

21

FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN

LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

Entonces, se deben de contestar las preguntas siguientes: (1 ) ¿Cómo se especifica «/» ? ¿O sea, cuáles son las variables de las que depende? (2) ¿Cómo se interpreta en el tiempo? Es decir, determinar la ecuación de movimiento del sistema. A la primera pregunta se podría contestar suponiendo la hipótesis más sencilla posible, o sea que la función de estado de una partícula sin estructura ' en una dimensión y en un instante dado t, puede expresarse como función de las coordenadas espaciales únicamente i// = ^ t ( x ) , donde el índice t se refiere al instante en el cual es válida la descripción. Usando una notación más conveniente, se puede escribir

donde i//* es el complejo conjugado de i/>. Se puede convertir la expresión anterior a probabilidades absolutas p(x, t) dx escribiendo,

= fy(x, t ) ,

(1)

siendo t, en este caso, un parámetro. La suposición de que sea grande y pequeña cuando
dx p(x,t) dx = f P(x,t) P ( x , t ) dx

(2)

o bien, p(x,t) =•

donde la integral se extiende a todo el espacio. El hecho de que pdx sea una probabilidad absoluta se sigue de que

í pdx= 1. lo cual significa que la probabilidad de encontrar a una partícula en algún lugar del espacio tiene el valor uno. La cantidad p se llama la densidad de probabilidad. Si la densidad de probabilidad tiene algún significado, la integral en el denominador tiene que ser acotada. Por lo tanto, todas las funciones físicamente aceptables deben de cumplir la condición de ser cuadráticamente integrables.2 De acuerdo con (2), p no cambia si fy se multiplica por un factor arbitrario independiente de las coordenadas, o sea, por un factor c(f) que podría ser complejo y en este sentido i/» está indeterminada por este factor. Es conveniente escoger este factor en tal forma que

/ i// * i|» <¿v = 1,

(3)

que siempre se cumple para funciones de estado físicamente aceptables. Esta condición se llama condición de normalización y las funciones de estado que la satisfacen se llaman normalizadas. Para funciones de estado normalizadas i|/*i|/será la densidad de probabilidad, P(JC,/) = t|/*(jc, í)i//(jc,/),

(4)

y i/» puede interpretarse como la amplitud de probabilidad. El procedimiento para normalizar es el siguiente: sea i// una función de estado físicamente aceptable. Se calcula / \\i*fydx, llamando al resultado M, que es un número real. Entonces, 1

Aunque esta condición es correcta, los físicos encuentran muy frecuentemente que es conveniente trabajar con funciones de estado idealizadas que satisfacen condiciones más débiles o equivalentes como, J
22


define la normalización de la función de estado »//' para 8 arbitraria. Es necesario recalcar el hecho de que se normaliza por conveniencia y que no puede atribuirse ningún significado físico a la magnitud numérica absoluta de una función de estado. Sólo magnitudes relativas son importantes. Dicho de otra manera, si una función de estado se incrementa en todas partes por un orden de magnitud, permanece inalterada físicamente. Este resultado está en contraposición con la física clásica. Por ejemplo, un incremento de la misma magnitud en la presión de una onda acústica, altera totalmente las condiciones físicas para cualquier observador. Es importante entender con precisión la naturaleza de las cantidades probabilísticas que se han introducido. Se está considerando un sistema que consiste de una partícula moviéndose en una dimensión bajo la influencia de alguna fuerza externa prescrita. A continuación, se supone un conjunto de tales sistemas, idénticos entre sí y que satisfacen condiciones iniciales idénticas. Además, se supone que en algún instante t se han Añedido las coordenadas de la partícula de cada sistema del conjunto. Los valores medidos no serán siempre los mismos, como lo serían clásicamente, sino que se distribuirán en cierto intervalo de valores. La cantidad p(x,t) dx será la fracción de sistemas en el conjunto para los cuales los valores medidos de las coordenadas se encuentran entre x y x + dx. Es necesario recalcar una propiedad importante de las funciones de estado, o sea, la existencia de interferencia. La observación de esta propiedad dio lugar a la asociación de propiedades ondulatorias a las partículas, lo cual implica que si i//, describe un estado posible del sistema y t/>2 describe un segundo estado posible, entonces también describe un estado posible del sistema, donde at y a2 son arbitrarias. Generalizando, se concluye que una superposición arbitraria de cualquier conjunto de funciones de estado posibles, también es una función de estado posible. Este resultado se llama el principio de superposición. La aplicación de este principio es una de las hipótesis básicas de la mecánica cuántica marcando perfectamente la diferencia entre sus aspectos probabilísticos y los de la mecánica estadística clásica. Para aclarar la relación entre interferencia y principio de superposición se podría calcular, por ejemplo, la densidad de probabilidad que corresponde a la superposición particular i/»3, definida anteriormente. Se tiene,

LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS

23

Los dos primeros términos son precisamente la suma de las probabilidades individuales para cada estado, multiplicado por un factor de peso indicando la proporción presente de cada estado en la superposición, exactamente como en el caso clásico. Los dos últimos términos son los términos de interferencia. Estos términos no se expresan sólo en función de las probabilidades individuales asociadas con cada estado, sino que son propiedades de ambos estados simultáneamente. Sus signos están determinados por la fase relativa de al^l y a2i|/2 pudiendo ser positivos o negativos, lo cual corresponde a interferencia positiva o negativa en las probabilidades. Este resultado no debe pasarse por alto, pues significa que un conjunto de estados, cada uno de los cuales describe independientemente algún evento con probabilidad finita, pueden combinarse en tal forma que el evento dado no pueda ocurrir. Un ejemplo interesante es el famoso experimento de la rendija doble, en el cual se estudia el patrón de interferencia registrado en una pantalla opaca producido por un haz de partículas que incide sobre las rendijas. El experimento se muestra esquemáticamente en la Figura l(a). La primera pantalla contiene rendijas idénticas en^l y en B, pudiendo estar abiertas o cerradas cualquiera de ellas. Todo electrón que pase por el sistema de rendijas se registra en la pantalla C. En la Figura l(b) se muestra a la izquierda la distribución de partículas cuando está abierta la rendija A o la B, y en la derecha se muestra x --0

haz incidente de partículas

partículas transmitidas

pantalla con rendijas A y B

pantalla de registro C (a)

rendija A o rendija B abiertas

rendijas A y B abiertas (b)

Figura 1. El experimento de la rendija doble, (a) Esquema del dispositivo experimental, (b) Distribución de las partículas registrada en la pantalla C.

24

DEBITADO Y SU INTERPRETACIÓN

el resultado cuando están abiertas ambas rendijas, A y B. En el primer caso, se tiene el patrón típico de Fraunhofer y en el segundo, este patrón está modulado por la interferencia y claramente no es la superposición de las probabilidades individuales de transmisión a través de cada rendija. Para relacionarlo con el principio de superposición, sea $A\& función de estado de un electrón cuando A está abierta y B cerrada, ifB cuando B está abierta y A cerrada y
VALORES DE EXPECTACIÓN

25

introducir un detector adicional que determine a través de cual de las dos rendijas pasa el electrón. Al hacerlo, se observa que cada electrón pasa con seguridad a través de una de las rendijas. Pero el acto de observar, necesariamente provoca una interacción entre el aparato de medición y el electrón, lo cual acarrea una perturbación incontrolable que destruye la relación de fase necesaria para la interferencia. Se puede decir que al observar a través de cuál de las rendijas pasa el electrón, se le está obligando a actuar como partícula, la interferencia desparece y emerge el resultado clásico correspondiente. 2.- VALORES DE EXPECTACIÓN

de donde se obtiene que PAB ^ \AB\2

\B\

Ya que pA = PB, en contraste con el resultado clásico PAB = PA + PB - 2pA se tiene que, PAB= ZpAÍl +COS 8 ( x ) ] ,

Dada la interpretación probabilística de la función de estado
(x) = S x p ( x , t) dx,

(5)

donde 8(x) es la fase de i/»B relativa a tyA,

El factor de fase 5 crece linealmente con la distancia al origen O a lo largo de la pantalla opaca C y los mínimos de interferencia ocurren cuando 8 es un múltiplo impar de ir. Aquí se observa explícitamente cómo la superposición produce la interferencia. En particular, cuando ambas rendijas están abiertas, la probabilidad de que un electrón llegue a la pantalla en un mínimo de interferencia es cero, aunque la probabilidad de llegar al mismo punto de la pantalla sea finita cuando una sola rendija está abierta. Merece comentarse otro aspecto de este experimento. La naturaleza corpuscular del electrón se manifiesta en el hecho de que un electrón es una entidad que puede localizarse. Cuando se detecta o se registra, en la forma que sea, siempre se observa como tal y nunca se observa parte de un electrón. Por lo tanto, un electrón que pasa por la primera pantalla, pasa por una de las dos rendijas. Si pasa por la rendija A, ¿cómo puede conocer la existencia de la rendija B y ajustar su comportamiento para dar el resultado experimental correcto? La respuesta es que, en este aspecto, el electrón no está localizado; también tiene atributos que están distribuidos en el espacio a semejanza de una onda. O sea, exhibe ambas propiedades; partícula y onda. Los aspectos complementarios de esta dualidad se recalcan al

donde la integral cubre todo el espacio. Es preciso recalcar que esto se concluye porque p(x, t) dx es la fracción de los valores medidos de la posición que se encuentran entre x y x + dx. Pero si se trata de alguna función de la posición de la partícula como/(x), entonces p(x, t) dx es la fracción del número de veces que el valor medido de f(x) se encuentra entre /(x) y f(x + dx). Entonces, usando la misma notación, se tiene que el promedio o valor de expectación es =

íf(x)P(x,t)dx.

(6)

Por ejemplo, si una partícula se mueve en un potencial V(x) y su densidad de probabilidad es p(x, t), entonces, su energía puede calcularse según (6) usando/(x) = V(x). Los valores de expectación se pueden expresar en términos de la función de estado \{j(x, t) obteniendo que, (7)

y si la función de estado está normalizada, ,O

(8)

26


Naturalmente que el orden de los factores en el integrando de (8) es irrelevante. Se podría escribir/i|»*i|/ o bien ifj*\¡>f que son expresiones más sencillas que el insertar / entre ^* y «/». Pero se ha escogido esta última forma por razones de conveniencia que se aclararán más adelante. Hasta aquí se ha visto cómo calcular el análogo cuántico de la posición de una partícula o de cualquier función de la posición. Queda por examinar en una dimensión la variable correspondiente al momento lineal. Una forma de proceder es como sigue. Como (x, t), en general, el valor de expectación de x es una función del tiempo (x) =/(/), entonces, la cantidad md(x)/dt puede calcularse si se conoce \l> como función del tiempo. Esta cantidad corresponderá al momento lineal, al menos en el límite clásico, aunque existen dos dificultades. La primera es fundamental pues se refiere al momento lineal como variable dinámica. Clásicamente, la existencia de una trayectoria asocia un significado preciso a la operación matemática de calcular m dx/dt. En mecánica cuántica, no existen trayectorias definidas y la cantidad dx/dt resulta indefinida y, por lo tanto, no tiene sentido hablar de p si está definida como m dx/dt, o sea, como una cantidad exclusivamente cinemática. Sin embargo,/? debe tener un significado físico independiente de las trayectorias. Si se la considera como variable dinámica, en analogía con la variable de posición, es preciso dar un significado a su valor de expectación (p), siendo éste el siguiente objetivo.3 La segunda dificultad es más bien de tipo práctico. Para calcular una cantidad como d(x)/dt, se necesita contestar a la pregunta ¿cómo evoluciona i/> en el tiempo? Todavía no se puede contestar a esta pregunta. Una vez que se entienda el momento lineal como variable dinámica cuántica, se hará uso de los requisitos del principio de corresponden cía . , _md(x)

-~dT~

d(p) dt

=

ldV(x)\ \ dx /

para establecer la dependencia en el tiempo de la función de estado. 3 Clásicamente, la descripción que considera la posición y el momento lineal como variables dinámicas del mismo tipo, es la descripción hamiltoniana. Puede anticiparse que la función Hamiltoniana resultará muy importante en la formulación de las leyes cuánticas.

COMPARACIÓN ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUÁNTICA Y CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA

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3. COMPARACIÓN ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUÁNTICA Y Y CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA La discusión anterior se ha alejado mucho de la física clásica, en la cual se determina con precisión la posición y la velocidad de una partícula en un instante dado y no una distribucón de probabilidad, y mucho menos una amplitud de probabilidad inobservable. Ya que la mecánica cuántica pretende ser más general que la mecánica clásica, a la cual incluye como caso particular, es preciso establecer cómo se puede recobrar la descripción clásica partiendo del concepto de una función de estado cuántica. Esta meta no es difícil. Una trayectoria clásica no es mas que cierta curva en el espacio que evoluciona de cierta manera en el tiempo. La función de estado cuántica tiene como dominio todo el espacio y el tiempo. Aunque sea una entidad esencialmente no localizable, puede usarse para describir una trayectoria si se escoge una función particular y localizada, por ejemplo, una que se anule en todas partes excepto en una vecindad infinitesimal de la trayectoria. Estas funciones de estado localizadas se llaman paquetes de onda. Juegan un papel muy importante en la explicación de muchos efectos físicos y, naturalmente, en entender la relación entre la mecánica clásica y la cuántica. Un ejemplo de un paquete de ondas en un instante determinado sería la función gausiana, ty = A exp[-U-* 0 ) 2 /2L 2 ].

(9)

La distribución de probabilidad relativa sería,

(10) de la cual se concluye que se tiene un estado localizado en la vecindad del punto x = x0 y de dimensión L. Si L decrece, la función de estado está más localizada; el límite clásico de precisión absoluta corresponde al límite en el cual L tiende a cero. La especificación de la función de estado en un cierto instante es análoga a la especificación clásica de la posición inicial de una partícula. Si una parece más vaga y misteriosa que la otra se debe a que, en el campo clásico, se fijan las condiciones iniciales a través de un contacto más directo y personal, por lo menos en la imaginación, como en el caso de tirar un objeto o poner a funcionar el mecanismo que dispara un'satélite. En ambos puntos de vista la forma de establecer las condiciones iniciales es irrelevante para la evolución posterior; únicamente se necesita conocer las condiciones iniciales. Aunque todavía no se puede discutir cómo se puede preparar inicialmen-

28

29

PROBLEMAS


te un estado cuántico bien definido, esto no es una dificultad pues únicamente se necesita conocer el estado inicial y no su origen. Dado un estado inicial, su evolución en el tiempo se determina mediante las ecuaciones de movimiento, ya sean clásicas o cuánticas 4 Si se supone que después de integrar las ecuaciones de movimiento se obtiene la trayectoria x=f(t).

1

pecto a intervalos de tiempo cosmológicos y, por lo tanto, la ecuación (11) no se devía apreciablemente del resultado correcto por lo que las apreciaciones intuitivas anteriores pueden considerarse correctas. En el Capítulo IV se volverá a tratar este tema. Problema 1. Considerar que una partícula está descrita por el paquete gausiano, $ = A exp[-U-Jc 0 ) 2 /2íí 2 ].

es tentador suponer que la forma adecuada que corresponda a la función de probabilidad cuántica en el límite clásico sea,

(a) Calcular A si i// está normalizada. (b) Calcular . (c) Calcular la desviación cuadrada media en la posición de la partícula, <(x — (x) )2). (d) Suponer que la partícula se mueve en un potencial V(x). Calcular (V) para V = mgx; para V = ifoc2. Ver Apéndice I para el cálculo de integrales gausianas.

,/,* = M I 2 ex P {-[*-/(f)] 2 /L 2 }

con L suficientemente pequeña. Esta expresión representa un paquete de ondas de anchura L, moviéndose a lo largo de la trayectoria cía- • sica y de acuerdo a las ecuaciones de movimiento clásicas. Esta suposición intuitiva puede verificarse en el caso especial del movimiento de una partícula libre. Para una partícula de masa m, partiendo del origen con momento lineal p0, clásicamente se tiene que, x = p0í/m,

Problema 2. (a) Lo mismo que en el Problema 1 , pero con la función de estado, i/»,=/l exp[/U - x0)la] exp[-(jc - x())'2l2a2] .

y por lo tanto, se supone que la distribución de probabilidad cuántica podría estar dada por el movimiento del paquete de ondas,

(b) Considerar la superposición de estados

(U)

El resultado correcto, obtenido en el Capítulo IV (ecuación FV-22), al integrar las ecuaciones de movimiento cuánticas, coincide con éste, excepto que la constante L queda reemplazada por la función en el tiempo

donde i// es el paquete de ondas del Problema 1 , y *l>t el paquete anterior. Calcular c±. Graficar y comparar la densidad de probabilidad para los cuatro casos, \íf*t¡i, i|/i*iK, »K*+ y
L(t) =

Entonces, el resultado correcto revela que el tamaño del paquete crece en el tiempo a partir de su valor inicial L. Pero, para partículas macroscópicas, el segundo término del radicando es despreciable res4

La posición y el momento lineal deben especificarse ambas en el caso clásico. ^ En mecánica cuántica, ambas no pueden especificarse con precisión arbitraria. La información respecto al momento lineal está implícitamente contenida en la función de estado. Cómo obtener esta información será el objeto del capi'tulo siguiente.

3

Esta conclusión se obtiene debido a que A es pequeña desde el punto de vista macroscópico.

FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO

III Momento lineal

1. FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO Una vez entendidas algunas de las propiedades de las funciones de estado, es necesario comprender el momento lineal como variable dinámica cuántica. La solución la suministra la descripción dada por de Broglie para una partícula libre con momento lineal definido p. Se ha argüido que, de alguna manera, se asocia a la partícula una onda de longitud de onda reducida 4. = h/p. Esta relación indefinida se puede concretar explícitamente suponiendo que, precisamente, la onda de de Broglie es la función de estado de la partícula. Por lo tanto se puede escribir que,

31

fundamentada una vez entendida y aceptada la ecuación (1). Excepto por el espín y el principio de exclusión, todo lo demás se obtiene del principio de correspondencia. La importancia de este resultado merece comentarse con algún detalle. Para empezar, hay que hacer notar que se ha escogido «//p como una función exponencial compleja. Hay que elaborar esta selección con más detalle pues una onda viajera representada por una función trigonométrica, también puede representarse satisfactoriamente por una función exponencial. De hecho, todos los campos clásicos se representan por funciones reales, aunque se usa la notación compleja por conveniencia. Este hecho es esencial en la mecánica cuántica y puede justificarse de la siguiente forma: para una partícula libre todos los puntos del espacio son físicamente equivalentes y la selección del origen es irrelevante ya que el sistema no puede depender de esta lelección. Se puede suponer que el origen se desplaza hacia la izquierda una distancia arbitraria b, o sea, que se substituye* por* + b. De la ecuación (1), <|»P queda multiplicada por un factor de fase que es constante y físicamente indetectable e*6"1. Por lo tanto, el estado le describe sin hacer ninguna referencia física al origen. Este no sería el caso si se usara una función trigonométrica para representar a »J>pSi se usara la forma de la onda viajera más general posible dada por, i/» = A eos (px/h — tai) + B sin (px/h —
y se impusiera a i/r el requisito de convertirse en un múltiplo de sí misma bajo una translación arbitraria, el resultado obtenido sería la forma exponencial de la ecuación (1).'

\}i(x, t) = exp[/(*M) - iüit}

Ejercicio 1. Demostrar la última afirmación.

o bien, escribiendo A. en función de p, \¡ip(x, t) = e\p[i(pxlh) - ,

(1)

donde se ha puesto el índice p en $ para especificar que esta función de estado describe a una partícula que se mueve con momento lineal p definido y fijo. La frecuencia w de las ondas de de Broglie, todavía no recibe atención especial y al escribir la ecuación (1) se considera a w como una función característica de p, aunque desconocida por ahora. La asociación de la función de estado anterior con una partícula de momento lineal bien definido, es un paso crucial en el presente método de desarrollo que es una deducción directa del experimento de Davisson y Germer recalcando que la mecánica cuántica queda

Merece comentarse otra propiedad de «/»P. Esta función de estado corresponde a la falta total de localización en el espacio. La densidad de probabilidad relativa es lo cual significa que la partícula puede encontrarse en cualquier elemento de volumen. Como consecuencia inmediata, la función de estado i/»P no, es físicamente aceptable excepto en el sentido dado en U nota que sigue a la ecuación (II-3). Sin embargo, como «J»p sí co1 Elta afirmación puede Juitiflcaiie con el argumento más convencional y quizál mal claro d« exigir que la probabilidad de encontrar a la partícula en algún lugar del espado debe ter uno en todo momento. Eite tema N volverá a tratar en la lección 7 del Capitulo IV.

32

33

MOMENTO LINEAL

CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICIÓN

rresponde a un valor preciso del momento lineal p, esta función de estado es una idealización útil como se demuestra a continuación.

siendo c una constante arbitraria. Esto significa que el momento lineal del estado considerado no tiene valor numérico preciso sino que está distribuido uniformemente en una banda de anchura 2Ap centrada en pc, como se ilustra en la Figura 1.

2. CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICIÓN

A continuación se dará un ejemplo importante y muy instructivo de la utilidad de estos estados idealizados, combinándolos para formar un paquete de ondas, la más intuitiva y física de las funciones de estado. Este resultado se obtiene construyendo una superposición de estados de momento lineal
, t) =

dp

(2)

donde el factor l/V2_irft aparece por razones de conveniencia. En esta superposición, la amplitud de la función de estado de i/»P que corresponde al momento lineal p se escribe como <£(p). Por el momento no se tomará en cuenta la dependencia en el tiempo de la función de estado o la relación entre
1

ípxl

* dp,

(3)

Figura 1 . Distribución de momentos de la ecuación (4).

Al escoger <£(p) de esta manera, (3) se convierte en, I

f Po+Ap

*U) = 7/= c e*** dp V ¿irnj PO-AP

y factorizando el término eivtxlñ resulta

donde

(5)

Ahora, podría ser útil dar un ejemplo, aunque sea puramente matemático, para mostrar cómo se puede obtener un estado normalizado y físicamente aceptable \l>(x) por superposición de estados del momento lineal, inaceptables e idealizados exp [ipx/h].Para particularizar a un caso muy simple, sea (p) constante en un intervalo de anchura A¿> a cada lado del momento lineal fijo p0 e idénticamente cero fuera de este intervalo. Se escoge (p) como la distribución cuadrada. \P - Pol « A/? \p - pol > A/?,

Este ejemplo proporciona una función de estado que es una onda de de Broglie correspondiente al momento lineal p0 modulada por el factor (1/x) sen (Apx/h). Este factor convierte a
= P iíi, '

J_oo

y cambiando a la nueva variable u = &px/h se obtiene que, (4)

|c| = 1/V2A7,

(6)

34

CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICIÓN

MOMENTO LINEAL

donde se ha hecho uso del resultado,

p(p) dp = -^

35

f

dp

J -o

(7)

= 7T.

Para resumir, se puede decir que la distribución particular (4) proporciona, por superposición, el paquete normalizado de la ecuación (5) si c satisface la ecuación (6). En el límite, cuando Ap tiende a cero, se recobra una onda de de Broglie pura de momento lineal p0, o sea que, lim \¡i(x) =

Ap-O

ip xm

°

La aparición del factor VA/? significa que la amplitud de (p) que aparece en la superposición integral de la ecuación (3). Como caso particular se puede tomar la superposición únicamente de dos funciones de estado del momento lineal, o sea,

Claramente, esta combinación corresponde a un estado en el cual el momento lineal sería p¡ o p 2 , con amplitudes de probabilidad relativas ai y a-i respectivamente. El estado más general (3), es un estado en el cual todos los momentos lineales están presentes con probabilidad determinada por <^(p). Es natural suponer que (p) es proporcional a la amplitud de probabilidad del momento lineal o a la amplitud de probabilidad en el espacio de momentos. Si p(p) es la densidad de probabilidad correspondiente, la probabilidad de que la partícula tenga un momento lineal entre p y p + dp será

donde, como se indica, la integral se extiende a todo el espacio de momentos. Si 4>(p) está normalizada, *(p)(p)

dp=l,

y por lo tanto (9)

p(p) =

donde 4>(p) es directamente la amplitud de probabilidad. Al aceptar esta interpretación se puede considerar al momento licomo variable dinámica. Si (p) es conocida, análogamente al yprocedimiento seguido en el espacio-* o espacio de configuración, se tiene que, = / Pp(p) dp,

Interpretando a (p ) como el momento lineal promedio sobre un con| Junto de sistemas igualmente preparados. En general, para una fun• CÍÓn/(p) del momento lineal, se tiene que Como ejemplo particular, el valor de expectación de la energía cinética es,

Entonces el momento lineal p se trata en forma análoga a la coordenada x. Sin embargo, quedan todavía algunas preguntas por contestar. Si se fija <¿>(¿>), i//(x) está determinada por la ecuación (3). Pero también puede presentarse el problema inverso, fijar iK*) y determinar (p). Además, la relación única entre 00?) y ijj(x) dada por (3), significa que si una de estas funciones está normalizada, no queda libertad para normalizar la otra. Por lo tanto, como una comprobación de la consistencia e interpretación de esta formulación, ie debe exigir que al estar normalizada (/?) también debe de estarlo i|/(x) y viceversa. En el ejemplo dado por las ecuaciones (4) y (5), se puede verificar que este requisito se cumple. Recordando que está normalizada si |c| = I/V2A/?, de (4) se obtiene que,

36

MOMENTO LINEAL f

I

ri>0 + ±P

U** dp = r-M dp=\ J 2Ap JP..-AP

y también está normalizada. Naturalmente, es necesario demostrarlo en general y no únicamente para ejemplos particulares. Para contestar a estas preguntas y a otras semejantes se hará, a continuación, una breve digresión matemática sobre las propiedades de las integrales de Fourier, que así se llaman las integrales que tienen la forma de la ecuación (3).

TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

Reuniendo estas expresiones se tiene que, f(x) =

g(nbk) ein*k* = Vl/(27r)

f(6) =

/!„ e™,

donde

e-"'» de Substituyendo 0 por ^x/L se obtiene, An ein™/

f(x) = A

* = rT

g(nM) ein

g(nbk) = Vl/(2ir) T /(A) f-''"^^ ^ J-;,

y haciendo que L -»°°, tal que A A: —* O y «A A: -»/: se obtiene que, 1

3. TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC 2

Una función /(0) que sea celularmente continua en el intervalo —ir =s e « TÍ-, puede representarse por una serie de Fourier. Al escribir esta serie en forma exponencial se tiene que,

37

/:

"ITT Jg(k)=

g(k) eikx dk (U) ik

V2-ir J-

f ( x ) e~ *

utilizando la definición elemental de integral como el límite de una suma. La pareja de funciones /(x) y g(k), relacionadas simétricamente por dichas expresiones, se llaman transformadas de Fourier una de otra y las expresiones (11) se llaman representaciones integrales de Fourier. La ecuación (11) especifica cómo calcular /(x) si se conoce g(k) y viceversa. Como aspecto interesante de dichas relaciones puede considerarse una función arbitraria /(x) suponiendo queg(fc) puede calcularse de la segunda ecuación de (1 1). Substituyendo la expresión de g(k) en términos de/00 en la primera ecuación, se obtiene que

/M e-tn"XIL dx.

¿L- J-l.

il próximo paso será considerar el límite de estas expresiones cuando L tiende a infinito. Para ello se escribe, kn = AA: = k,,+l - kn = ir/L

dk eík*

f ( x ) =~ ¿Tt

f ( x ' ) e-'"*' dx' ,

J-oo

donde x ' es una variable muda de integración en la representación integral de g(k). Suponiendo válido el intercambio en el orden de integración, el resultado se pude escribir como,

' por lo tanto, kn = nA/t.

'ambién se escribe, A,, =

/(*)= f

dx'f(x')d(x-x'),

(12)

J -00

donde se ha introducido la abreviación, n) = (l//.)

Ver las referencias del [6] al [ 13] en la lista dada en el Apéndice II.

S(x-x')--^- f" e^-^dk. ¿ir J_oo

(13)

Í8

ESPACIOS DE CONFIGURACIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

MOMENTO LINEAL

La función 8(x — x') la introdujo Dirac por primera vez y se llama la r unción delta de Dirac.3 Ya que /(x:) es arbitraria en un intervalo nuy amplio, la función delta tendrá propiedades muy particulares, üstas propiedades se obtienen de la ecuación (12); al integrar a todo 5! espacio el producto de una función / por la función 8, se obtiene ;omo resultado el valor de / en el punto donde el argumento de la 'unción 8 se anula. Dicho de otra manera, 8(z) selecciona en la integración únicamente el valor de f(z) en el punto z — 0. El comportaniento de/(z) es irrelevante fuera de dicho punto, por lo cual se confuye que 8(z) se anula en todas partes excepto en el punto z = 0. En : = O resulta muy grande pero de tal forma que permanece integrable. Este último resultado se concluye explícitamente al escoger f(x) cono constante, por lo cual, de la ecuación (12) se obtiene que,

r

(14)

8(x-x') dx' = 1,

;s decir, que la integral de una función 8 está normalizada a la uniiad. 4 Resumiendo, las propiedades básicas de la función 8 de Dirac están definidas por las ecuaciones (14) y (12), siendo (13) su representación integral de Fourier. Algunas propiedades útiles son las siguientes: (15) »(-*) = 8(jr)

-fl2)= - [8(jr - a) 2a 3

(16)

a>0

a8(±ax)=8(x),

a)]

d8(x-a) dx

8(2) = Esta expresión significa que, por ejemplo, en analogía con la ecuación (13) se tiene que,

X

=

_df\ dx\r=n

(18)

La demostración se dejará para los problemas. Finalmente, es útil mencionar el teorema de convolución. Si f\ (x) y f2(x)son funciones arbitrarias, con transformadas de Fourier y g2(k) respectivamente, este teorema establece que, f,(x)ft(x)

f

dx=

gí(k')g2(k-k')

dk'.

(19)

J —

La demostración no es difícil y resulta ser un ejercicio instructivo en la manipulación de integrales de Fourier. Si se substituye f¡(x) y f-¿(x) por sus representaciones integrales de Fourier, resulta que dx e~ik* ft(x)ft(x)

=¿ f dx e-ik* f dk' x

gí(k')

eík'*

dk" g2(k") e*"*.

Como en el miembro derecho la dependencia de x es explícita, intercambiando el orden de integración y calculando primero la integral sobre x se obtiene que, dx e'** fiWMx) = 11^ dk' dk"

gl(k')gí(k")

x -í- f dx *«*•+*•-«*.

(17)

Cambiando x - x' por z y k por y, la definición de la delta puede escribirse como,

,

39

ZTT J

El último factor es 8(k" — k + k') de acuerdo con (13). Finalmente, calculando la integral sobre A:" se obtiene el resultado. Como caso particular se tiene que, í

f*(x)f(x)dx=

g*(k)g(k)dk.

(20)

J —

8 ( * - / f c ' ) = J - í" e"*-*'* dx . 2.1T

J -00

Ejercicio 2. Demostraría ecuación (20). 4

Una versión diferente puede construirse como sigue. Considérese la ecuación (12) para x fija, por ejemplo, x = b y que/(jr)se altere por una cantidad arbitraria *)(*) en la vecindad infinitesimal de un punto cualquiera a * b. El miembro izquierdo de la ecuación (12) no cambia, permaneciendo igual a/(¿) y, por lo tanto, la contribución adicional del miembro derecho debe de ser cero. Esto implica que 8(0 - fr)= O, b ¥= a, lo cual concuerda con las conclusiones anteriores. Podría ayudar al lector a visualizar las propiedades de la función-8 si se la considera como el límite de una función de buen comportamiento con un máximo bien definido como por ejemplo una función gausianá, que se discute en los problemas.

4. ESPACIOS DE CONFIGURACIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

Ahora, es posible establecer una relación precisa entre funciones de onda en el espacio de configuración fy(x) y funciones 4>(p) en el espacio de momentos. De la ecuación (3) se tiene que,

40

MOMENTO LINEAL

OPERADORES DE POSICIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

e™'1* p

< P > = ¿ / / / dpdxdx'

=-7=f í" \2trn )-

mientras que de la ecuación ( 1 1 ) se tiene que,

(21)

es su transformada, siendo p/h = 2v /x = k donde k es el número de onda reducido. Con esta identificación, y haciendo /= i|< y g = de la ecuación (20) se obtiene que,

-ipxlñ — _

5. OPERADORES DE POSICIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

Dada una función de estado »/»(x), ya se conoce cómo calcular valores de expectación de cualquier función de la posición o de cualquier función de momento lineal. En el último caso, es necesario calcular la función de estado en el espacio de momentos, es decir, hacer la transformación al espacio de momentos. Claramente, el procedimiento es ineficiente y largo, por lo cual convendría desarrollar un método para poder calcular valores de expectación del momento lineal directamente de i//(x). La técnica establecida hasta ahora no permite calcular valores de expectación de funciones mixtas de la posición y del momento lineal, como por ejemplo el momento angular. Para resolver este problema se parte de la ecuación, (p) = f 4>*(p)p(p) dp. Usando la ecuación (21) se expresa (p) y *(p) en términos de i|/(x) y
(23)

i dx

como se puede verificar fácilmente haciendo la diferenciación indicada en el miembro derecho. Substituyendo este resultado en la ecuación (22), se obtiene que, (p) =

y se satisface la condición de que fy y sean normalizables simultáneamente. Hasta aquí se han establecido dos representaciones equivalentes, o bien, dos formas de escribir una función de estado, una en el espacio de configuración y otra en el espacio de momentos. Ninguna de ellas contiene más información que la otra ni ninguna distinción especial. Juntas, permiten tratar la posición y el momento lineal sin ninguna preferencia como variables dinámicas.

(22)

Como la dependencia de p es explícita se puede hacer primero la integración sobre p. La integración resulta muy simple si se elimina el factor p en el integrando. Para ello se usa el hecho de que,

Únicamente en un sistema de unidades en el cual h = 1 , es la transformada de Fourier de «/».. En general, = Vñ

41

dp dx dx' <¡i*(x') É-""'

* / 4dx

A continuación se integra por partes respecto a x. El término integrado es proporcional al valor de i/»(jc) en infinito y por lo tanto es cero para funciones de estado físicamente aceptables porque tales funciones se anulan en infinito. Entonces, el resultado de la integración por partes resulta ser, ~ ¿irn ÍSÍ

dpdxdx'

/

dx

Ahora, es fácil integrar respecto a p obteniéndose que, dx'

8(x' - x)

de donde se obtiene finalmente que, f

También se puede calcular el valor de expectación de p" arbitraria. Usando la misma técnica, *(p)pn(p) dp = T^T ///

dp dx' dx ijj*(x') eipx'lñ p" ^,(x) e~

(24)

para n

42


MOMENTO LINEAL

o bien,

~

dp dx> dx

e tpxlñ

~

(25)

serie de potencias, este último procedimiento es el único método a seguir. Por ahora, el tratamiento será más formal que práctico. La ecuación (28) se puede escribir en la forma siguiente,

donde, en el último paso, se ha usado la siguiente generalización de la ecuación (23):

-i-?)' ^íF1- -<*> La integración por partes de la ecuación (25) respecto ax, repetida n veces, da como resultado (pn) = =

///

43

<

= í" r J -00

(29)

entendiéndose que el momento lineal p en el integrando debe de reemplazarse por el operador diferencial (h/i)d/dx que opera sobre la función
dp dx' dx (30)

ya que el término integrado siempre se anula. De la integración sobre p resulta el factor 2M S(x '- x ) y de la integración sobrex 'se obtiene el resultado final,

lo cual significa que, (31)

(27) Para generalizar este resultado se considera una función / (p) que pueda desarrollarse en serie de potencias de p. Obviamente, al generalizar el argumento anterior, se puede escribir que, )> = / **(*)/(* ¿

(28)

De este resultado se pretende obtener una conclusión importante y fundamental, y por esta razón es necesario aclarar perfectamente su significado. Por hipótesis, /(p) puede expresarse en serie de potencias de p como Entonces la ecuación (28) puede expresarse como, = 2 a» ">, n

donde cada término puede calcularse usando (27). Este procedimiento no es útil o práctico al tratar con funciones complicadas del momento; sería mucho más sencillo transformar al espacio de momentos. Además, en el caso de funciones que no puedan desarrollarse en

y en general,

- (75)'

(32)

Este argumento parece establecer que la interpretación del momento lineal como operador diferencial en el espacio de configuración es válida únicamente cuando se refiere al cálculo de valores de expectación, es decir, nada más en expresiones tales como (29). Esta interpretación puede extenderse aceptando la ecuación (30) como una afirmación general, cuyo contenido operacional expresado por (31) y (32) es independiente del cálculo de valores de expectación. Esta generalización es conceptual pero muy útil, aunque es necesario recalcar que no implica ninguna suposición física adicional. Este hecho se concluye debido a que todo observable o consecuencia medible de la mecánica cuántica, se expresan en términos de integrales sobre funcionales cuadráticas de la función de estado, ilustrado por (29). Hasta ahora la atención se ha restringido a las propiedades del momento lineal en el espacio de configuración. Pero, ¿qué se puede decir acerca de las propiedades de la posición en el espacio de momentos? Calcando los argumentos expuestos anteriormente, se puede

44

MOMENTO LINEAL


demostrar que la posición puede representarse en el espacio de momentos por el operador de diferenciación en dicho espacio multiplicado por (—ft/z), o sea, x—

h d . . • i dp

(33)

Ejercicio 3. Partiendo de, <*> = / **(x)x*( y usando la ecuación (3) para expresar ducir la ecuación (33).

Posición

Momento lineal

hd_ i dx

Espacio de posición

hd_ i dp

TABLA I. Representación de los operadores de posición y momento lineal.

dx

en función de <í>(p), de-

Este resultado significa que, en completa analogía con el espacio de configuración, se puede escribir

Para la caracterización de las variables dinámicas bajo el punto de vista cuántico ha sido necesario introducir el concepto de operador. Estas entidades se encontrarán con mayor frecuencia en el desarrollo posterior de la teoría. Antes de proseguir es conveniente resumir sus propiedades más importantes. Cualquier regla o receta por la cual se cambia una función en otra, se llama una operación y la representación abstracta de este proceso se define como un operador. Simbólicamente se escribe como,

(34) y en general,

^w-(-*£)%„,

Variable Dinámica

Representación

Espacio de momentos

45

(35)

y, por lo tanto, en el espacio de momentos,

(36) En forma general, se pueden establecer estos resultados diciendo que en mecánica cuántica las variables dinámicas no son números sino que están representados por operadores que se aplican a funciones de estado. La forma particular de los operadores depende de la representación. En el espacio de configuración, la variable de posición es precisamente el número x, y la variable de momento lineal es el operador diferencial (30). Recíprocamente, la variable de posición en el espacio del momento lineal es el operador diferencial (33) y la variable del momento lineal es un número. Estos resultados se resumen en la Tabla I.

Af(x)=g(x),

(37)

donde el operador A está definido sobre cierta clase de funciones si g está determinada para toda/en esa clase. Puede parecer complicado pero no es más que una formalización de lo que se acostumbra a hacer. Quizás se aclare con los ejemplos de la Tabla II. Operación

Ecuación (37)

Multiplicación por 2 Multiplicación por e'*'*' Diferenciación Elevar al cuadrado Conjugación compleja

Af=2f Af= e»f Af=df/dx Af=fl Af=f*

Representación simbólica

A =2 A =
TABLA u. Ejemplos de operaciones y operadores.

El miembro izquierdo de la ecuación (37) se parece a un producto aunque no lo es, pues sería un producto si A fuera un número o una función de x, real o compleja. Además existen operadores perfectamente bien definidos aunque no tengan una representación convencional o simbólica, como los dos últimos ejemplos de la Tabla II. Los operadores de la mecánica cuántica son operadores lineales, o sea, operadores tales que,

46

MOMENTO LINEAL

RELACIONES DE CONMUTACIÓN

(38) Todos los operadores de la Tabla II son lineales excepto el de elevar al cuadrado. Que el operador de elevar al cuadrado no sea lineal se sigue del hecho de que, = tf + 2/,/2

El orden de los operadores en un producto determina el orden en el cual estos operadores deben de operar. En general, el resultado dependerá de este orden, o sea que, AB * BA

por lo que el álgebra de operadores es no conmutativa, contrastando con el álgebra de los números ordinarios que sí lo es. Para los operadores anteriores A y B,

que es diferente de la operación, Frecuentemente se tendrá que tratar con secuencias de operaciones, las cuales operan una después de la otra. Por ejemplo, se encontrarán casos en los cuales un operador B opera sobre una función y sobre el resultado opera el operador A. El resultado neto define el nuevo operador C. Entonces, se puede escribir que, CfÂ(Bf).

47

(39)

Se acostumbra omitir el paréntesis de la derecha y expresar esta relación en la forma,

Cf=-ABf, que implica la relación entre operadores

que es diferente de ABf. Análogamente, si C es el operador de conjugación compleja, entonces, pero, CAf=e-'*f*(x).

Por otra parte, para los operadores B y C definidos anteriormente, se concluye fácilmente que el orden de los operadores es indiferente y por lo tanto,

C = AB,

BC = CB,

donde a C se le llama el producto de A y B, recalcando que el significado de este producto está expresado por la ecuación (39). El cuadrado de un operador es un caso especial del producto. Productos de más de dos operadores o potencias de operadores, se definen por la aplicación sucesiva de la regla del producto. Por ejemplo,

Entonces, se dice que estos operadores conmutan entre sí o son mutuamente conmutativos.

— Sl\Sl% A A . . • Ân

es el resultado de operar primero con An, después con /4 n _i y así sucesivamente hasta llegar a operar con A i . Para dar algunos ejemplos concretos, sea A la multiplicación por e«*u) y /? la diferenciación respecto a x. Entonces, ABf=eWx)^f, dx Oi(x>

dx1 '

_£_ r „*<*<*> ¿Y»-M

6. RELACIONES DE CONMUTACIÓN

Un aspecto importante al considerar las variables dinámicas como operadores, es el hecho de que variables dinámicas indistinguibles clasicamente, pueden ser totalmente diferentes en la física cuántica. Un ejemplo importante son los productos xp y px. Clásicamente estos productos son idénticos, pero no lo son en la mecánica cuántica, lo cual se comprueba al operar cada producto sobre una función de estado. En el espacio de configuración se tendría que, = r

h d

h d' i/í = — fi v —ti cli(>

MOMENTO LINEAL

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

ionde se obtiene que, (40)

Es fácil generalizar la relación (40) a funciones de variables dinámicas. Por ejemplo, se puede considerar [p, f(x}] para f(x) arbitraria. Se obtiene que,

que i^ es arbitraria se concluye que la diferencia entre px y xp es >perador numérico h/i, (px-xp)

a diferencia se llama el conmutador y se ha introducido una notai para representarlo. De modo que si A y B son operadores arbiios su conmutador se define como, (A,B) = AB-BA=-(B,A).

(41)

contraste con la multiplicación ordinaria, la multiplicación de varié dinámicas en la mecánica cuántica es no conmutativa. is instructivo examinar el conmutador de p y x en el espacio de mentos. Se tiene que, h . i

= — —
dx

,

(42)

que se comprueba fácilmente en el espacio de configuración. Análogamente,

= (p,x) = y

I / \ " " xp(p)=-r Tp

49

h d r p -ji dp

/

dp

(43)

que se comprueba fácilmente en el espacio de momentos. Por otra parte, [?,/(/>)] = U,/(*)] = O

(44)

de donde se concluye que, sif(x, p } es un operador bien definido,5 , /U, ,)] =

/

dx

(45)

y que, (46)

h 'd

Estas últimas expresiones son equivalentes a

donde

(47)

ñ i

en el espacio de configuración y a (48)

que <¿> es arbitraria también se concluye que, (p, x) = ñ¡i.

lunque las expresiones para p y x dependen de la representación, conmutador es independiente de ella. La relación de conmutación I) puede tomarse como la relación fundamental entre las propieles de las variables dinámicas que representan a la posición y jal mentó lineal en la mecánica cuántica. La constante h interviene no la medida cuantitativa de la no conmutatividad. En el límite sico h podría tomarse como cero, recobrándose entonces la contatividad.

en el espacio de momentos. 7. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

La propiedad no conmutativa de los operadores en mecánica cuántica, de la cual se h'an estudiado algunos ejemplos, tiene un signifíca5 Por operador bien definido se entiende un operador para el cual el orden de los elementos no anmutativos en su desarrollo en serie de potencias están especificados sin ambigüedad para cada término.

50

do preciso en función de observaciones y mediciones. La especificación de una función de estado particular, implica que el sistema estudiado ha sido preparado mediante una secuencia de observaciones. Medir el valor de una variable dinámica es equivalente a operar sobre la función de estado con el operador que representa a esta variable. En general, bajo el punto de vista cuántico, una medición provoca perturbaciones en el sistema observado. Por lo tanto, la medición de la propiedad A no proporciona necesariamente el mismo resultado si se lleva a cabo después de medir la propiedad B o se realiza previamente a ésta, ya que la perturbación provocada al medir B puede causar cambios en el valor de A. En este caso, A y B no conmutarían, pero sí conmutarían si no hubiera interferencia. El principio de incertidumbre se refiere precisamente a la interferencia provocada por la observación. Más adelante se establecerá una relación general entre la incertidumbre mutua de parejas de observables y su conmutador. Por ahora, se discutirá cualitativamente este principio al estudiar la determinación simultánea de las variables de posición y momento lineal. Al comienzo de este capítulo se aclaró que la función de estado ^definida por (1), que describe a una partícula con momento lineal definido, no contiene información acerca de la localización de la partícula. Para describir a una partícula localizada fue necesario construir un paquete de ondas. De la forma de la ecuación (3), la cual representa dicho paquete, se deduce que el momento lineal no está definido con precisión sino que está distribuido en un intervalo de valores fijado por la estructura de $(p). Este comportamiento, en el cual una de las variables (p o x) está poco definida a cambio de que lo esté la otra, es un resultado general que se estudiará brevemente. Como ejemplos, se discutirán dos casos particulares de paquetes de ondas. (a) Paquete de Ondas Cuadrado. Como primer ejemplo seconsidederará el paquete de ondas cuadrado y normalizado definido por, |x| ^ L

, =0

,

o bien,

que es parte de una onda plana correspondiente al momento lineal Pe, de longitud 2L y centrada en el origen. De acuerdo a la ecuación (21) se obtiene que,

(50)

Po- P

y además de que, , = A sen2 [(p0-p) L/h] irL (p0-p)-

(51)

cuya gráfica se muestra en la Figura 2. Como se indica en la figura, la

p»

P

Figura 2. Distribución de momentos de un paquete de ondas cuadrado.

altura del máximo principal, centrado en p0, es proporcional a L y la anchura es inversamente proporcional a L.6 El área bajo la curva es independiente de L y a proximadamente igual a uno. Entonces, un paquete de ondas que localiza a una partícula en un intervalo A* = 2L localiza al momento lineal en un intervalo Ap - hrr/L. Por lo tanto AxA p es del orden de h y es independiente de L. Para L grande, el momento lineal resulta estar bien definido y la localización espacial es muy pobre, y viceversa para L pequeña, pero de tal manera que la incertidumbre en x por la incertidumbre en p es siempre del orden de h. (b) Paquete de Ondas Gausiano. Como segundo ejemplo se considerará el paquete de ondas gausiano, exp

(49)

\x\>L,

j,UPO-P)Xlfl

51


MOMENTO LINEAL

(52)

que está normalizado y describe a una partícula localizada en torno al origen en un intervalo de longitud L y con momento lineal promedio p0. Usando las técnicas del Apéndice I, resulta que este paquete está dado por, (¡>(p) =VL/ft\/í ex P [-(/>-po) 2 £W], 6

(53)

La altura del máximo principal se obtiene tomando el límite de (51) cuando (/> - p<¡) tiende a cero. La anchura se obtiene localizando el primer cero de la función seno que se encuentra al tomar su argumento el valor de TT.

52

MOMENTO LINEAL


que también es gausiano, de anchura inversamente a L. Además, el momento lineal se encuentra localizado en un intervalo de longitud h/L centrado en p 0 . De nuevo, el producto de las incertidumbres es del orden de h. Ejercicio 4. Calcular (x) y (p) en el espacio de configuración y el de momentos para el paquete de ondas cuadrado (ecuaciones (49) y (50)) y para el paquete de ondas gausiano (ecuaciones (52) y (53)). Se ha demostrado que la relación entre las anchuras de un paquete de ondas en el espacio de configuración y en el espacio de momentos son aproximadamente las mismas para los paquetes de onda cuadrado y gausiano. A continuación se comprobará que este resultado es general, examinando un paquete de ondas general que puede escribirse como, (54)

=f(x)

Se supone que / (x) es real y que es una función de x sin variaciones bruscas, de anchura L, centrada en el origen. También se supone que ^ está normalizada, es decir que, f * ( x ) dx=\. o

Se verifica fácilmente que para este paquete el valor de expectación del momento es />„. Ejercicio 5. Verificar que (p) = pa para el paquete de ondas de la ecuación (54). De acuerdo a la ecuación (21), la función de estado en el espacio de momentos para este paquete de ondas es, f(x)

1

" dx.

Por hipótesis, / (x) es una función sin cambios bruscos, centrada en el origen en donde tiene su máximo y cuya anchura es L . Esto significa que la contribución principal a la integral proviene del dominio

53

|*| =£ L . Entonces, si (Po - p) Llh < 1 ,

el argumento de la exponencial es despreciable en el dominio de integración y (p) será aproximadamente constante y proporcional al área bajo la curva /(x). Al crecer (pa — p), la exponencial comienza a oscilar, llegando a oscilar rápidamente en el dominio efectivo de integración, resultando que la integral y por lo tanto (p) son muy pequeñas. La frontera entre los dos comportamientos está fijada por,

que determina cuándo empieza la oscilación. En otras palabras, cuando se satisface la condición anterior,
Pero la anchura en el espacio de configuración Ax es igual a L y por lo tanto, ApA* = h,

(55)

si/(x) es una función sin cambios bruscos. También puede suponerse que /(x) tiene cierta estructura, o sea, que tiene ciertos cambios bruscos. Entonces, (p0 — p) tiene que ser mayor que antes para que la exponencial oscile rápidamente dentro de la distancia que caracterice a dicha estructura y (p) comience a decrecer. Por lo tanto, la anchura Ap del paquete de ondas en el espacio de momentos resulta mayor y la ecuación (55) representa el mejor resultado que se puede obtener, o sea que en general >

ft.

(56)

Más adelante se definirá con precisión lo que se entiende por Ax y Ap y se obtendrá una desigualdad precisa. Por ahora, se considerarán dichas cantidades como una medición razonable de las anchuras de un paquete de ondas en ambos espacios. La interpretación física de esta relación matemática trivial es la siguiente. Si una partícula se encuentra localizada en cierta región Ax sin importar el significado, entonces, su momento lineal se encuen-

54

MOMENTO LINEAL EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

55

tra localizado en Ap, y viceversa. En otras palabras, la posición y el momento lineal de una partícula no pueden conocerse (determinarse o medirse) simultáneamente con precisión arbitraria, sino dentro de los límites fijados por (56), siendo ésta una versión matemática no muy precisa del principio de incertidumbre, enunciado por Heisenberg. Este principio demuestra que las trayectorias clásicas no tienen un significado preciso en el dominio de la mecánica cuántica. En general, la relación de incertidumbre se cumple entre parejas de variables dinámicas canónicamente conjugadas o complementarias. Como segundo ejemplo podría tomarse el siguiente: si se mide la energía de un sistema con incertidumbre A£, el tiempo al cual se refiere esta medición tendrá una incertidumbre Ai tal que, AEAf > h.

(57)

Para medir la energía de un sistema con mayor precisión se emplea un tiempo mayor. Un aspecto importante de este resultado es la información que suministra acerca del decaimiento de estados excitados. En particular, la vida media y la anchura en energía de estos estados están relacionados por la ecuación (57). Para un ejemplo, ver la Sección 3 del Capítulo VIL De la discusión anterior se concluye que las relaciones de incertidumbres se obtienen automáticamente en mecánica cuántica. Interpretándolas como mediciones, estas relaciones son consecuencia de la transferencia incontrolable de energía y momento lineal que inevitablemente ocurre durante el proceso de observación entre al aparato de medición y el sistema cuyas propiedades se miden. Como ejemplo puede considerarse la determinación de la coordenada y de una partícula mediante una rendija (Figura 3). Si la rendija tiene abertura L, A/y = L, el patrón de difracción obtenido tendrá anchura angular 6 - X/Z = h/p0L — h/p0ky. La incertidumbre en la componente y del momento lineal es Ap u = pa sin 0 — p09. Por lo tanto ApyAy — h, de acuerdo con el principio de incertidumbre. Un segundo ejemplo consistiría en la localización de una partícula mediante un microscopio. Para localizar una partícula en una distancia A*, la longitud de onda de la luz usada en la observación tiene que ser del orden de X < Aje. Entonces, el momento del fotón sería del orden de p > ft/Ax. La partícula se ve debido a que dispersa o absorbe el fotón y el momento lineal transferido en el proceso de dispersión es del orden ft/Ax, según lo exige el principio de incertidumbre.7 7

Para una discusión detallada de éste y otros ejemplos, véase la Referencia [ 18].

Figura 3. Localización de una partícula mediante una rendija.

Como se hizo notar anteriormente, es importante reconocer que el principio de incertidumbre es parte importante de la mecánica cuántica, así como consecuencia de ella. La violación a este principio nunca se presenta en mecánica cuántica, y si ésta es correcta en su forma actual, el principio de incertidumbre es una consecuencia necesaria. Este principio es muy útil para entender las propiedades cuánticas de un sistema. Para sistemas muy complicados, cuya solución exacta o completa no es posible obtener, el principio de incertidumbre permite decidir si ciertos efectos existen o no. Como ejemplo se puede considerar el caso de una partícula confinada por un potencial atractivo V(r) en una región de radio a. Para cada una de sus coordenadas, la incertidumbre en la posición es del orden de a y, por lo tanto, Ap = hfa. Como el momento promedio es cero, este resultado es del orden del momento lineal y, por lo tanto, la energía cinética promedio de la partícula { T)no puede ser menor que ñ2/2ma2. La energía potencial promedio (V} es del orden de V(a). Entonces, la energía total E está dada aproximadamente por, E(a) =

(V)

=*

2ma2

(58)

Se observa en esta ecuación una competencia muy clara entre la energía cinética y la energía potencial, cuyo origen es cuántico. Si a decrece, la energía potencial decrece para interacciones atractivas, pero la energía cinética siempre crece. Una estimación vaga de la energía mínima posible del sistema o energía del estado base, se obtiene dife-

56

MOMENTO LINEAL


rendando la ecuación (58) respecto a a e igualando el resultado a cero. Como caso particular, se puede considerar el átomo de hidrógeno donde el potencial de confinamiento es el potencial culombiano (— e2/r). Entonces, la energía total es,

escoge apropiadamente, A(x) se comporta como 8(x) cuando b -»0. (d) Demostrar lo siguiente:

2

E(a) =

h 2ma2

£_ a

Se encuentra fácilmente que esta expresión tiene su valor mínimo en a = h2/me2 que es precisamente el radio de Bohr y la energía mínima será (—me4/2fi2) que corresponde al valor correcto de la energía del estado.8 La sola existencia de un estado base explica la razón de que los átomos no sufran un colapso, como lo predeciría la mecánica clásica. Debido a que la energía tiene un valor mínimo absoluto, el átomo no puede perder energía por radiación o por otros mecanismos y el sistema es estable. Este ejemplo es muy instructivo. Se ha usado el principio de incertidumbre para explicar la existencia de un estado base, estableciendo la existencia y estabilidad de los átomos, con lo cual se tiene un método sencillo para estimar su energía, al menos para el átomo de hidrógeno. Entonces, se puede concluir que con el principio de incertidumbre es posible identificar las características esenciales de un sistema complejo, lo suficientemente complejo como para no poder siquiera formular el problema y menos resolverlo, sino hasta el Capítulo IX.

(1)

A(JC) =r í e i/cx í/A:. 2vr J_¿

Calcular la integral y demostrar que A(x) tiene las propiedades de 800 cuando L -»°°. (b) Considerar la función, A W = - J _ e ikx-a\k\ dk.

Demostrar que A(x) se comporta como 8(x) en el límite a —*0. (c) Considerar la función A 00 = Ae~x*")1- Demostrar que si A se ' La selección aparentemente casual de los factores numéricos al estimar y (V), los cuales están determinados por un factor de dos o más, han sido escogidos para obtener las respuestas correctas para el átomo de hidrógeno. Esta pequeña trampa no afecta para nada la naturaleza de los resultados.

8(-x)=d(x).

(2) a8(±ax)=8(x), a > 0. 2 2 (3) S(X -a )=\[8(x-a)+8(x+a)]~. (4)

/-«/WS'U-a) dx = -f'(a),

donde el acento denota la diferenciación. Problema 2. Encontrar la representación en seríes de Fourier de las funciones siguientes en el intervalo — L < x < L: (a) /(*)' = *.

(b) f(x) = \x\. (c) /W = l.

(d) f(x) = e-™. En el caso (d) comparar el comportamiento de las amplitudes de la serie de Fourier en el límite aL > 1 con el comportamiento de la transformada de Fourier de e~" lxl . Problema 3. Encontrar las transformadas de Fourier de las siguientes funciones: /r.\

Problema 1. (a) Considerar la función definida por, A(x)

57

/Y--\

I •*

*

\X\

<

(b) (c) /W = { ¿ ~ W ' |*'< Problema 4. Considerar el paquete de ondas, = A exp[-(|jt|/L) (a) Normalizar i//. (b) Calcular (p) y comprobar que está normalizada. (c) Examinar la anchura de los paquetes de ondas en el espacio de configuración y en el espacio de momentos, y comprobar que se cumplen las relaciones de incertidumbre. Problema 5. Usando la representación más conveniente, calcular los conmutadores siguientes:

58

MOMENTO LINEAL

(a) (b) (c) (d)

(P3,x). (P2,*2).

Problema 6. Los operadores A¡, A¡,...^.K actúan sobre una función arbitraria i/r(x) en la forma siguiente; A¡ multiplica i|/(x) por x2, A-¿ eleva t|/ al cuadrado, A3 promedia i/»(x) en un intervalo 2L centrado entorno ax,A4 subtituyex por* +a, y4 5 subtituy ex por — x, y Ae diferencia i/; dos veces. (a) Escribir una expresión para ¿¡^(x) en cada caso. (b) Determinar cuáles son lineales. (c) Determinar las parejas de operadores que conmuten. Problema 7. Usar el principio de incertidumbre para estimar la energía del estado base de los sistemas siguientes: (a) Una partícula en una caja de longitud L. (b) Un oscilador armónico de frecuencia clásica w . (c) Una partícula colocada sobre una mesa sometida a la gravedad.

IV Movimiento de una partícula libre

1. MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS; VELOCIDAD DE GRUPO

Problema 8. xc y p0 representan los valores de expectación de x y p para el estado
Hasta ahora se ha estudiado la función de estado de un sistema a un tiempo t fijo, pero a continuación se discutirá la forma en que estos paquetes varían como funciones del tiempo. En este capítulo se considerará el problema más sencillo, o sea, el movimiento de una partícula libre de influencias externas. Como punto de partida se recurre a la ecuación (2) del Capítulo III que establece una descripción general del paquete de ondas de una partícula libre como,

Demostrar que (x >y (p ) se anulan para este estado. ¿Viola este resulíado al principio de incertidumbre? Explicar.

(1)

Problema 9. Una|partícula de masa m moviéndose en un potencial V(x) se encuentra en su estado base dado por ^»0 (x). Suponer cono;ida i/»o aunque no esté normalizada. (a) Dar una expresión para la probabilidad de que la medición iel momento de la partícula tenga un valor entre p y p -4- dp. (b) Dar una expresión para la probabilidad de que la medición le la energía cinética T de la partícula tenga un valor entre Ty T + dT. Problema 10. Considerar una función de estado real, *(x). (a) Demostrar que {p) = 0. ¿Qué valores tienen (p2 ) y ( x ) 1 (b) ¿Bajo qué condiciones sobre i|/(x) la función (p) es real y ;uál sería el valor de ( x )?

donde w(p) todavía es desconocida. Se supone que i// es conocida en at t = O, cuyo valor inicial
(2) Entonces, dada tKC*) el problema será calcular \¡i(x, t). Como paso preliminar se considerará el ejemplo de la propagación sin dispersión (como la propagación de la luz en el vacío), donde o> es proporcional pfh. La constante de proporcionalidad tiene dimensiones de velocidad y se simbolizará por c. Por lo tanto, en este ejemplo, — 277T/A

60

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS; VELOCIDAD DE GRUPO

y la ecuación (1) resulta ser,

61

d
\'a — tn —.

*(*,/) = Comparándola con la ecuación (2) se concluye que iHx, O como función de (x — ct) tiene la misma forma que i//0 como función de x. Es decir que,

Introduciendo la variable s = como,

- pa, se puede escribir la ecuación (1)

i¡i(x,t) =i|»,,U-fí),

y el paquete de ondas se desplaza hacia la derecha con velocidad c, sin distorsión, independientemente de su forma inicial.1 Volviendo al caso general de w(p) desconocida, no se podría calcular; nada si w(p) fuera arbitraria y se tuviera un paquete de ondas completamente arbitrario, aunque no se necesita particularizar mucho para obtener propiedades esenciales. La primera suposición que puede hacerse es que <£(p) sea un paquete de ondas sin variaciones bruscas, definido en el espacio de momentos, centrado enp u y de anchura Ap. Para recalcar este comportamiento se escribe <¿>(p) en la forma

donde / (x, t) es la envolvente del paquete de ondas dada por, /U, /) = ^7= I" ds g(s) exp[| (jr - vat) - Ias2t + • • • \. _ (3) Entonces, la ecuación (2) resulta ser •M*) =/o'U) « donde /„ (x) será la envolvente inicial dada por, /„(*)=/(*, r = 0) =

donde g es una función sin variaciones bruscas, que cae rápidamente a cero cuando su argumento excede en magnitud a Ap. Esto significa que la contribución principal a la integral de la ecuación (1) proviene de una región de anchura Ap en torno al punto p 0 . En segundo lugar, se supone que w(p) es una función dep, sin variaciones bruscas. Por esta razón, w se puede desarrollar en serie de Taylor en torno a p0,

1

ds g(s)

(4)

La contribución principal a estas integrales proviene de que s es menor en magnitud que Ap debido al comportamiento que se ha supuesto para g (s). Entonces, si t es lo suficientemente pequeño para que a(Ap)' 2 /^ 1, puede despreciarse el término cuadrático en s en la exponencial de la ecuación (3), quedando la función envolvente,

co(p) = co(p 0 )

f ( x , t ) = ~= T ds g(s) VZTTft •/-«=

2

= ODO + (p - Po) -f + (p - p») « + • • - ,

Comparándola con la ecuación (4) se nota que, con esta aproximación, f ( x , t) es la misma función de (x — vat) quef0 lo es de x, o sea,

donde (Ü0 = 1

El tratamiento de este problema como propagación óptica se ha simplificado considerablemente. También se debe de considerar el caso cuando
f ( x , t ) =f0(x- vat).

(5)

Por lo tanto, se ha demostrado que para t < t0, donde / =

0

1_ ^

a(Ap) 2

2

(6)

62


EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

el paquete de ondas viaja sin distorsión con velocidad v9 , donde (7)

La cantidad vg se llama la velocidad de grupo de las ondas y representa la velocidad de propagación de un grupo de ondas, o sea, las que forman el paquete de ondas. Esta velocidad debe de compararse con la velocidad de fase, que es la velocidad con la que avanza la fase de una onda armónica pura y dada por vp — hta/p0. Para propagación sin dispersión, w es proporcional a p y las dos velocidades son iguales aunque en general son totalmente diferentes. Es necesario recalcar que este resultado es válido sólo para tiempos pequeños comparados con f 0 definido por la ecuación (6). Cuando t excede a ta, la exponencial comienza a oscilar rápidamente para s menor que Ap. Cuando esto sucede, el dominio efectivo de integración en p se reduce en tamaño, produciendo un incremento correspondiente en la anchura del paquete de ondas en el espacio de configuración. Este resultado significa que, en general, un paquete de ondas viaja inicialmente sin distorsión con la velocidad de grupo vg, que finalmente comienza a desparramarse en el espacio. Más adelante se darán algunos ejemplos. 2. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Para obtener la forma cuántica de w(p) se usará el argumento siguiente. Un paquete de ondas bien definido en el espacio de configuración se desplaza con la velocidad de grupo, va, por lo menos durante tiempos cortos. En el límite clásico, esta limitación sobre el tiempo no es importante, o sea, ta tiene que resultar muy grande comparado con los demás tiempos importantes. Suponiendo que se cumple esta condición se exige que, v V9D = V class¡cal

63

clon de Planck como consecuencia de toda la formulación anterior y de su interpretación.2 Se observa que la ecuación (8) es arbitraria hasta una constante de Integración, la cual se ha tomado como cero. Está relacionado con el hecho de que se tiene la libertad de escoger el cero de la energía implicando una libertad análoga en la selección de la frecuencia cuántica. Únicamente tienen sentido físico diferencias en energía y por lo tanto también en frecuencias.3 A continuación se examinará el tiempo /0 para el cual un paquete de ondas cuántico empieza a desparramarse apreciablemente. De las ecuaciones (6) y (8) se tiene que, Imh °

(9)

Una forma instructiva de escribir esta expresión es hacer uso de la relación de incertidumbre expresando Ap como ft/Ax, donde Ax es la extensión inicial del paquete de ondas. Entonces, 0

^ 2m(A;c) 2 h

Para una partícula macroscópica, por ejemplo para una masa de un gramo, cuya posición está definida en 10~4 cms (1 miera), se tiene que, /o = 1019 sec. La edad del universo es aproximadamente de 3 x 1010 años o bien de 1018 seg. Por lo tanto, el paquete de ondas de una partícula macroscópica no se desparrama durante un período comparable a la edad del universo. Este resultado establece que las trayectorias clásicas para sistemas macroscópicos no están en conflicto con la mecánica cuántica. Pero, por otra parte, para un electrón cuya posición está definida en 10~8 cm.,

m

y la descripción clásica carece de sentido.

Entonces, de la ecuación (7), , da> _p0 n — ¡— — — . m

2 Este argumento demuestra que la ecuación (8) tiene que cumplirse en el dominio clásico. A nivel cuántico, se puede suponer que además intervienen términos adicionales si su contribución es despreciable en el límite clásico. Sin embargo, no es difícil demostrar por argumentos dimensionales que para partículas libres no existen estos términos y que la ecuación (8) es única, excepto por una constante aditiva.

Integrando y suprimiendo el índice en p0, se obtiene, (8)

que es la relación de Planck. En cierta forma se ha deducido la rela-

3

Anteriormente se vio que la amplitud absoluta de las ondas cuánticas no tiene significado físico y ahora se concluye que la frecuencia absoluta tampoco lo tiene. El contraste con las ondas clásicas es sorprendente y total.

•1 64

PROPAGACIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBRE EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN


Es posible dar una interpretación física simple del tiempo ta. La velocidad de grupo para la propagación de una onda de de Broglie es p/m. En un tiempo t, dos segmentos de un paquete de ondas que difieran en momento lineal poruña cantidad Ap/2, diferirán en distancia recorrida por una cantidad de Apí/2m. Cuando esta distancia sea comparable con la anchura Ax del paquete inicial, la anchura de éste empezará a crecer apreciablemente. Por lo tanto, los paquetes empiezan a desparramarse cuando el tiempo toma el valor ta definido por, 2m

AJC-

que es la ecuación (9). Este argumento implica que cuando un paquete de ondas empieza a desparramarse, lo hace con una rapidez lineal en el tiempo. Más adelante se comprobará este resultado. 3. PROPAGACIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBRE EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN

Al identificar w(p) como se hizo anteriormente, la ecuación (1) se puede escribir como, f"

+(x,t)=

ti

J-

-

dp,

(10)

que es una representación general de la función de estado dependiente del tiempo para la partícula libre. Si *l>0(x) = «K*, 0) está determinada, también lo estará (p) de acuerdo con (IH-21), o sea, mediante,

donde K está dada por,

Esta integral se puede calcular usando los métodos del Apéndice I, obteniendo que K(x',x; t) = \/m/(2mñl) exp [i(x - x')2m/2ñt].

Í7TÍ í" «fc>( vZTm J-oo

Ahora, se puede expresar >//(*, i) en términos de su valor inicial substituyendo la expresión anterior en (10), dando como resultado que,

* Como la dependencia en p es explícita, al invertir el orden de integración se puede escribir como, K ( x ' , x ; t ) dx',

(11)

(13)

La ecuación (11) establece un resultado muy importante, cuyo análisis se hará con cierto detalle. La función de estado inicial $(x', 0) especifica la amplitud de probabilidad de que la medición de la posición de la partícula resulte x' at / = 0. La función de estado t//(x, t) especifica la amplitud correspondiente en x al tiempo t. La ecuación (11) establece cómo se encuentra esta última a partir de la función de estado inicial, mediante la función intermedia K. Esto implica que K puede interpretarse como la amplitud de probabilidad de que la partícula se propague al punto x durante el intervalo t, cuando originalmente se encontraba en x'. La función K se llama el propagador, y para este caso particular se llama el propagador de la partícula libre. Con esta interpretación, todo el proceso puede describirse de la siguiente manera: la amplitud inicial para encontrar la partícula x', multiplicada por la amplitud de propagación de x' a x en el intervalo t y sumada sobre todas las x', dará como resultado la amplitud para encontrar a la partícula en x. Este es el significado físico de la ecuación (11). Las propiedades generales del propagador de la partícula libre no son difíciles de establecer. De (12) o de (13) se deduce que, K(x',x;0)

=

65

=8(x-x'),

lo cual significa que, para intervalos de tiempo infinitesimales, la amplitud de propagación a cualquier punto je es despreciable excepto para puntos en la vecindad de x. Al pasar el tiempo, K se desparrama y las contribuciones provienen de intervalos (x — x O cada vez mayores. 4 Las ecuaciones (11) y (13) establecen una solución completa, general y explícita del problema del movimiento cuántico de una partícula libre. Es análoga al problema clásico correspondiente, x = x0 + 4 Hay que hacer notar que la amplitud es finita para puntos lejanos, aunque pequeña, aún para intervalos de tiempo cortos. Esto refleja el carácter no relativista del tratamiento. El propagador relativista se anula fuera del cono de luz.


PROPAGACIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBRE EN EL ESPACIO DE MOMENTOS; EL OPERADOR DE ENERGÍA

Si el único interés fuera el estudio de la partícula libre, no habría nada más que decir. Sin embargo, la intención es establecer el camino para generalizaciones posteriores como el movimiento de una partícula sometida a influencias externas. Cuánticamente, todavía falta dar el paso de la primera ley de Newton a la segunda.

movimiento en la mecánica cuántica, y así ha resultado. Se ha recalcado que el valor de expectación de cualquier función del momento es sencillo para la partícula libre. Como ejemplo particular y muy importante, se puede tomar la energía E, o sea p*/2m. Entonces,

66

4. PROPAGACIÓN EN EL ESPACIO DE MOMENTOS DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBRE; EL OPERADOR DE ENERGÍA

A continuación, se discutirá en el espacio de momentos la evolución en el tiempo del paquete de ondas de la partícula libre. Para este propósito, se define la dependencia temporal de las funciones de estado en el espacio de momentos (p, t) escribiendo la generalización

^_ 67

,O

De la ecuación ( 1 6) se obtiene que,

y, por lo tanto, esta expresión puede escribirse como,

t =P°

h

L* ^-'U"/ ar- J*JL*I

.\ \

d4>(P>')~\

j

Además, para cualquier función / í^), si el argumento anterior se generaliza, se puede escribir que, Naturalmente t juega el papel de un parámetro, el cual se tomó como cero en la discusión anterior. Dicho de otra manera, (p} es sencillamente (p, t = 0). Entonces, por el teorema integral de Fourier se tiene que, ,O =

(P,

ipxlñ

dp.

(15)

/

(f(E)

)=

3L

*(p, í ) / -

t

\

4>(p, t) dp.

Ya que 0 (p,t) es una función de estado arbitraria para la partícula libre, se puede concluir que en el espacio de momentos la energía E puede representarse por el operador de diferenciación respecto al tiempo multiplicado por (—*//), o sea que,

Comparando esta expresión con (10) se concluye que, i

(p, t = 0) e-*™

(16)

y, p(p, t) = \4>(p, í)| 2 - \4>\p)I2 = p(p, t = 0).

En otras palabras, únicamente cambia en el tiempo la fase del paquete de ondas de la partícula libre en el espacio de momentos. La densidad de probabilidad es independiente del tiempo o estacionaria y, por lo tanto, el valor de expectación de cualquier función del momento es también independiente del tiempo, resultado que no es sorprendente. Se están considerando estados de una partícula libre y, en este caso, clásicamente, el momento lineal es una constante de movimiento. Debido al principio de correspondencia, el momento lineal de una partícula libre también debe de ser una constante de

(17)

dt'

(18)

¿Cuál sería la representación de E en el espacio de configuración? Ya que t participa sólo como parámetro respecto a la transformación entre los dos espacios, es claro que E tendrá la misma representación en ambos espacios. Este resultado se obtiene al expresar (p,t) y * (p,t) de la ecuación (17) en términos de i// y i/»* usando la ecuación (14) y calculando la integral sobre p. Se obtiene inmediatamente que, =£ **<*•'>/(-? !

Ejercicio 1. Deducir la ecuación (19) en la forma indicada.

(19)

68


EVOLUCION EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO

5. EVOLUCIÓN EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO

quete de ondas no está distorsionado, pero empieza a desparramarse apreciablemente cuando ftt/mL2 es del orden de la unidad, que está de acuerdo con la ecuación (9). Además, cuando t resulta muy grande, la anchura del paquete crece linealmente con la rapidez

Antes de continuar con la discusión general, es útil examinar en detalle un ejemplo. Como caso particular se puede tomar un paquete de ondas que inicialmente tenga forma gausiana. En particular, se considerará el paquete de ondas dado por la ecuación (111-52):

C, o) =

(20)

que describe a una partícula localizada inicialmente en torno al origen, dentro de una distancia L y cuyo momento lineal tiene un valor de expectación igual a p 0 - Usando (11) y (13), y calculando la integral según los métodos del Apéndice I, se obtiene,

h mL

69

m

resultado también predicho. El comportamiento de p(x,t) para un paquete de ondas gausiano se esboza en la Figura 1 . Naturalmente que el área bajo la curva permanece constante.

L(—x2/2L2 + ipoX/h — ipo tl2mh)

L + ihtlmL

(21)

siendo la densidad de probabilidad,

exp r L

2 2

2 2

i

Figura 1. Paquete de ondas gausiano desparramándose en el tiempo

2 2

L + fi t lm L J

Ejercicio 2. Considerar inicialmente el paquete de ondas gausiano definido en (20). (a) Obtener (21) (b) Obtener (22) de (21) (c) Escribir $ (p, í) (d) Calcular {E) y su fluctuación ((E- < E » 2 > . Comparando la ecuación (22) con la expresión

se observa que en p(x, t) sólo hay dos cambios. En primer lugar, el centro del paquete de ondas se mueve con la velocidad de grupo p0/m y en segundo lugar, la anchura del paquete crece con el tiempo. Llamando a esta anchura L (t), se tiene que, L(t) =

Este resultado está completamente de acuerdo con las predicciones respecto a la propagación de paquetes de onda. Inicialmente, el pa-

Este ejemplo se presta fácilmente para discutir el límite clásico. Los efectos cuánticos tienen que desaparecer al tomar h -* 0. En el presente ejemplo este resultado se obtiene inmediatamente, ya que en este límite la ecuación (22) se reduce a O=

exp [-(x -

que describe el movimiento clásico de una partícula libre, cuyo momento inicial es precisamente pa pero cuya posición está distribuida en torno al origen de acuerdo a una gausiana de anchura I. La condición inicial clásica, para la cual posición y momento lineal están definidas con precisión, se logra tomando Z -»0, con lo cual p(x, t) = 8(x-p0t/m),

que resulta ser la trayectoria clásica al expresar ésta en el lenguaje de densidades de probabilidad. Esta última expresión sencillamente establece que la probabilidad de encontrar a la partícula en cualquier punto es cero, excepto a lo largo de la trayectoria clásica, tal y como debe de ser. Es necesario añadir dos comentarios. El primero se refiere a los dos procesos de tomar el límite de la expresión (22) para recobrar el

71


ECUACIÓN DE SCHRODINGER PARA LA PARTÍCULA LIBRE

resultado clásico, siendo crucial el orden en que se ha procedido.5 En este ejemplo y en general, es importante obtener el límite clásico haciendo tender h a cero, antes de fijar las condiciones iniciales de la descripción clásica. En segundo lugar, es necesario observar que el hacer tender h a cero, tiene significado para la densidad de probabilidad, pero no lo tiene para la función de estado, o por lo menos su significado no es muy claro por ahora. Dicho de otra manera, la amplitud de la función de estado está bien definida en el límite clásico, aunque por ahora, la fase no lo está. Este resultado no es sorprendente puesto que sólo la primera se observa directamente. En el Capítulo VII, Sección 1, se presentará un análisis más sistemático del límite clásico y su significado para la fase, así como para la amplitud de la función de estado.

quier función i/»(x, O definida por (10), y por lo tanto cualquier función de estado de partícula libre, satisface la ecuación diferencial parcial,

70

6. ECUACIÓN DE SCHRODINGER PARA LA PARTÍCULA LIBRE

Al estudiar la evolución en el tiempo de la función de estado de una partícula libre, se obtuvieron varias representaciones integrales equivalentes para <¡>(x, t), pero ahora también se quiere obtener una representación diferencial que está motivada por la siguiente consideración. Una representación integral es una caracterización global; necesita la especificación de una función, el estado inicial, en todo el espacio en un instante dado. Con esta información se puede calcular la solución a un tiempo posterior. Es más común dar una caracterización local, en la cual la información de las propiedades del sistema en una vecindad infinitesimal del espacio-tiempo es suficiente para definir la solución. Esta descripción local se logra mediante ecuaciones diferenciales. Se prefiere esta última descripción no sólo por costumbre sino porque las ecuaciones diferenciales dan un punto de vista poderoso e independiente que es indispensable al tratar problemas más complicados que la partícula libre. La caracterización local que se busca se obtiene más fácilmente de la ecuación (10). Derivando bajo el símbolo de integración, se obtiene que,

La ecuación (10) es sencillamente una forma de escribir la solución general de (23), que es la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración para una partícula libre en una dimensión. La ecuación es compleja explícitamente y de primer orden en el tiempo, no de segundo orden como en óptica. 6 La interpretación de esta ecuación es muy sencilla y directa si se recuerda que en el espacio de configuración el operador del momento lineal es,

h a 7^' según la ecuación (111-30), y que el operador de energía es, p=

según (18). Entonces, la ecuación de Schródinger será la ecuación de operadores,

(24)

¿m

Clásicamente, para una partícula libre, E = p2/2m,

y la ecuación cuántica correspondiente exige que al operar con el operador de energía E sobre la función de estado de una partícula libre, se obtenga el mismo resultado que operando con el operador de energía cinética p2/2m. Esta condición asegura que el valor de expectación de cualquier función de la energía total sea el mismo que el valor de exceptación de la misma función de la energía cinética,
El mismo resultado se obtiene al calcular -(ft.2/2m)d2\li/dx2 por diferenciación dentro del símbolo de integración. Se concluye que cual3

El estudiante encontrará instructivo si invierte este orden, haciendo tender a cero, primero L y después h.

(23)

2m dx2

(f(p2/2m)),

lo que al mismo tiempo asegura que las condiciones del principio de correspondencia se satisfagan. 6

Estos aspectos se discutirán en la sección siguiente.

72

73


CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD

La ecuación de Schródinger también puede escribirse en el espacio de momentos como,

tan condicionadas por la ecuación de Schródinger. Entonces, al imponer esta condición en un cierto instante, la misma condición se satisfará en el transcurso del tiempo. Al interpretar i/» como la amplitud de probabilidad, la condición de normalización establece que la probabilidad de encontrar una partícula en algún lugar es la unidad. Es necesario comprobar que esta probabilidad permanece igual a uno al pasar el tiempo, es decir, la probabilidad se conserva. La demostración es inmediata. Al escribir, f" •/»*(*, /)i//(jc,/) dx, P(t) = j—<

h d<í> (25) "/ a/' que es más sencilla que la ecuación (24) porque p es un operador numérico en esta ecuación. Ya que las ecuaciones (24) y (25) tienen exactamente la misma forma, no es necesario identificar la representación y pueden escribirse simbólicamente, p2

(26)

2w

donde se intenta dar la idea de que la representación no se especifica. En el espacio de configuración ty=i|»(x, t) y en el espacio de momentos ^ = (p, t). La solución de la ecuación (25) es trivial e inmediata. La ecuación puede escribirse como,

se quiere demostrar que dP/dt es cero para cualquier solución arbitraria de la ecuación de Schródinger. Se obtiene que dP

=

di

J-r

*•

De acuerdo con la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración, ecuación (23), se tiene que,

y por lo tanto,

_

donde (p, t0) es arbitraria. Esta solución se reconoce como una generalización obvia del resultado anterior aunque para tiempos arbitrarios iniciales t0. La solución de la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración, donde es una ecuación diferencial parcial y no una ecuación diferencial ordinaria, es más complicada. Este problema se estudiará más adelante.

•dt ~ 2m dx2

y conjugándola se obtiene, 2m

Entonces, 4J- = J*

7. CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD

En el proceso de obtener las leyes de la mecánica cuántica se ha identificado a i//*i/» como la densidad de probabilidad, suponiendo que t|/ es normalizable. En particular se supone que, a un tiempo t escogido arbitrariamente, se puede escoger \fj tal que, dx=\,

y análogamente para el espacio de momentos. La dependencia en el tiempo de las funciones de estado que aparecen en el integrando es-

2«

dt

=

¿['

dx

Debido a que ty es normalizable, se anula en ±« t y por lo tanto el miembro derecho se anula, de lo cual resulta que dP/dt es cero. Este hecho es crucial en toda la interpretación y es necesario recalcar que la demostración fallaría si la ecuación de Schródinger no fue-

74


CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD

ra de primer orden en la derivada respecto al tiempo. Este resultado se hace más patente en el espacio de momentos, donde

se definieron estados de momento como exponenciales complejas y no como funciones trigonométricas reales, apropiadas a campos clásicos. Al rastrear los argumentos, dicha definición lleva primero a la identificación de los operadores de energía y momento, y después a la ecuación de Schródinger como una ecuación diferencial de primer orden y explícitamente compleja. El hecho de que en la mecánica cuántica intervengan números complejos en forma tan esencial, se interpreta a menudo como una manifestación misteriosa de la diferencia entre las descripciones clásica y cuántica. Sin embargo, quizás merezca la pena recalcar que, tanto en la mecánica clásica como en la mecánica cuántica, el uso de números complejos es más bien por razones de economía y conveniencia que por necesidad. La mecánica cuántica podría formularse únicamente en términos de funciones reales en la forma siguiente. Sea i/»i la parte real de fy y 2 su parte imaginaria, o sea,

roo

P(t) =

4>*(p,t)
dp

J -ac.

dP_

dt

-/[

1L 2m

ih -2ÍnP

dp

= 0.

Si en lugar de la ecuación (25), la ecuación de Schródinger fuera,

75

la demostración fallaría. Ejercicio 3. Si <|/*i/f se interpreta como la densidad de probabilidad, demostrar que la probabilidad no se conserva necesariamente para la ecuación del tipo,

donde «/>, y i//2 son reales. Con esta expresión para i/>, después de separar la parte real y la parte imaginaria en la ecuación de Schródinger (23), ésta queda como,

,=

2m dx2 ~

Obtener la causa de esta dificultad teniendo en cuenta que toda solución de la ecuación de Schródinger también es solución de la ecuación anterior.

_

2

2m dx2

Se ha recalcado mucho la importancia de la conservación de la probabilidad que es consecuencia de la forma particular de la ecuación de Schródinger. Cuando se generalice el caso de la partícula libre pasando al caso de una partícula bajo la influencia de fuerzas externas, se invertirá el argumento, partiendo del requisito de que la generalización de la ecuación de Schródinger tiene que ser construida de tal manera que se garantice la conservación de la probabilidad. Como se verá, ésta es una condición muy estricta y, por lo tanto, muy útil. Desde este punto de vista se podría preguntar cuál ha sido la razón de que al establecer las ecuaciones de la partícula libre, se haya llegado al resultado correcto. ¿Dónde estuvo el paso esencial? La respuesta, como se hizo notar al principio, se encuentra en el hecho de que

»2 dt

di '

que son un par de ecuaciones acopladas en ^¡ y i/»2 Claramente, toda relación obtenida y usada hasta ahora, puede desdoblarse en la misma forma. Como condición de normalización se obtiene,

y como valor de expectación del momento,

'

<„-*/(£+.-*£)*.

y así sucesivamente. Resumiendo, se puede decir que la mecánica

77

NOTACIÓN DE DIRAC

76 cuántica puede eiOftMm m il tonguije de estados reales de dos componentes. '

Una descomposición semejante de cualquier campo clásico, en su parte real y su parte imaginaria, conduce a un par de ecuaciones diferenciales idénticas no acopladas, una para cada parte. Las partes real e imaginaria de campos clásicos son equivalentes y cualquiera puede utilizarse para caracterizar completamente al campo. En contraste, la mecánica cuántica requiere para su especificación de dos funciones relacionadas. Este es el contenido esencial al establecer que la ecuación de Schródinger es compleja intrínsecamente.

En primer lugar, se establece una forma de escribir el valor de expectación independientemente de la representación. Sea ¥ una función de estado arbitraria, definida en cualquier representación, y A un operador arbitrario. El valor de excectación de A en el estado V se escribe como la expresión entre paréntesis. (A) = En la representación de posición será, = / ifr*'(jt,

dx.

y en la representación de momentos,

8. NOTACIÓN DE DIRAC

Hasta aquí, la formulación de la mecánica cuántica se ha desarrollado consistentemente en el espacio de configuración y en el de momentos, intentando presentar las leyes básicas en tal forma que sean independientes de la representación. Ahora, se introducirá una notación debida a Dirac que permita escribir las ecuaciones independientemente de la representación. La notación de Dirac es bastante más general de lo que se necesita por ahora, y de lo que el lector está preparado para entender. Se introducirán una o dos definiciones, generalizándolas posteriormente y añadiendo otras según se necesiten.

Si el operador A se toma como el operador unidad, se establece como segunda definición,

En el espacio de configuración se tiene que,

7

Aquellos que estén familiarizados con la notación matricial podían darse cuenta que esta descripción no es tan inconveniente ni engorrosa como parece. La introducción de matiices hilera y matices columnas,

y análogamente para el espacio de momentos. En la notación presente, la condición de normalización se escribe simplemente como,

(*').

WJ y de la matriz dos-por-dos,

o permite transcribir inmediatamente todos los resultados según la regla siguiente: sustituir i por y en donde aparezca. Específicamente, p = -W (3/fljc) x = hy \dldp)

no alterándose la forma operacional de la ecuación de Schródinger. Nada de esto es sorprendente pues se verifica fácilmente que, y únicamente se ha dado una alternativa para la designación convencional de V^ como número imaginario. Es instructivo comparar esta teoría de dos componentes con la teoría de dos componentes de Pauli para el espm que se presenta en el Capítulo X.

Si se desea, o bien se necesita,-especificar en esta notación la representación, se logra fácilmente escribiendo explícitamente el argumento de la función de estado. Así, en la representación de posición se puede escribir < t/»(x, t) /A/tyfr, í) >. Sin embargo, hay que notar que como factor a la izquierda se escribe * y no ¥*. La operación de conjugación compleja está implícita en la notación de Dirac. De esta manera, al escribir el valor de expectación como una integral, siempre hay que usar el complejo conjugado de la función de estado que se encuentra a la izquierda en el paréntesis.

78


ESTADOS ESTACIONARIOS

9. ESTADOS ESTACIONARIOS Volviendo al problema de resolver la ecuación de Schródinger (23) en el espacio de configuración, se usará el método convencional de separación de variables. Se busca una solución particular en forma de producto tal como, \li(*,t) = \li(x)T(t).

(28)

Substituyendo en la ecuación (23) se obtiene que, 11 d^ ~2m dx'2

. = _k i

dT_ dt

o sea, .*! I 2 2m \jt dx'

dT i T dt '

El miembro izquierdo depende únicamente de x, el miembro derecho depende únicamente de t, pero los dos tienen que ser iguales para toda x y t. Por lo tanto, cada uno debe de ser igual a una constante d, que se conoce como constante de separación, ñ \_ dT_ 'i T dt

(29)

79

Análogamente, para cualquier función de la energía / (E) que pueda desarrollarse en serie de potencias, <^ Q |/(£)|0 Q )=/(«),

lo que significa que «ta es un estado cuya energía f (E) tiene un valor preciso y numérico igual a a'.8 Para recordar este hecho, se sustituirá a por el número E, que es el valor numérico de la energía para el estado considerado. Se puede comparar esta notación con la definida anteriormente para los estados •//„, recordando que estos son estados en los cuales el momento tiene el valor numérico p. De todas maneras, esta notación es desafortunada, ya que el símbolo usado par el valor numérico es el mismo que el usado para el operador en otros contextos. Sin embargo, es común hacerlo y la literatura no podría leerse si no se tuviera en cuenta esta ambigüedad. El lector no puede proceder a ciegas, sino que del texto debe de saber distinguir cuál es el caso. Afortunadamente es fácil hacerlo. Ahora, se puede escribir la solución como,

(32) y la ecuación (30) como, (33)

y también, h'2 1 , = a. 2m t// dx'2

(30)

La solución a la ecuación (29) es inmediata;

Por lo tanto, de la ecuación (28),

(31) donde
La ecuación (33), que ya no contiene el tiempo, se llama ecuación de Schródinger independiente del tiempo, en este caso para la partícula libre. Los estados i/»£(x, t) tienen una propiedad muy importante. El valor de expectación de cualquier operador A es independiente del tiempo, si A no depende explícitamente del tiempo. Por ejemplo, sí A = f(p, x), entonces/ 0£/^4/!/»£>no cambia en el tiempo. Por esta razón, los estados fe se llaman estados estacionarios. Estos estados son soluciones de la ecuación de Schródinger independiente del tiempo; son estados de energía definida. Cuánticamente, son estados bastante! sencillos, aunque desde el punto de vista'clásico seaniestados complicados, o por lo menos inapropiados. Esto es debido a que los valores de expectación de x y p son independientes del tiempo, y por lo tan8 Naturalmente, ésta es una condición suficiente sobre ita, pero también puede demostrarse que es condición necesaria de la forma siguiente: cualquier distribución estadística se describe en forma única con un conjunto completo. Los presentes tienen la propiedad de que <£") = a" = <£)"ijara toda n. Todas las fluctuaciones de E en torno a a = (£) se anulan y se sigue la conclusión.


80

PARTÍCULA EN UNA CAJA

81

9

to no hay ninguna liga con algún estado de movimiento clásico. Los estados clásicos serán, necesariamente, superposiciones de muchos estados estacionarios. Finalmente, para completar la discusión, se exhibirán las soluciones de la ecuación (33). Como se puede verificar fácilmente, se obtiene que,

paredes. Al fijar las paredes en x = O y x = L, se buscan soluciones de la ecuación de Schródinger para la partícula libre, ecuación (33), tales que, fe(* = 0) = fe(;c = L) =0.

(34)

Anteriormente se obtuvo que, para una energía fija E,

Por lo tanto,

La solución más general para una energía dada E, será la combinación lineal, ^JE = 4 ei\¡2mE ílti _|_ ft ^

Notar que E tiene que ser positiva para que fe no crezca exponencialmente en un sentido o en otro. Pero ya que

l' fifi

Aplicando las condiciones a la frontera (34), se obtiene que, A + B =0 Llh _ Q

donde p es el valor numérico del momento correspondiente a la energía E, se puede escribir

obteniendo de la primera,

- e x p [ ± '£-

donde los dos signos en el exponente exhiben los dos valores posibles del momento que corresponden a la energía E. Esta es una solución de la ecuación de Schródinger (23) para cualquier valor positivo de E o, lo que es lo mismo, para cualquier valor de p, positivo o negativo. La solución general de la ecuación (23) es una superposición de estos estados estacionarios con amplitudes arbitrarias. La representación original (10) se reconoce como tal superposición. Por lo tanto, se ha demostrado que la ecuación (10) es una representación de la solución general de la ecuación (23). 10.

= -A

y de la segunda, sen V2mE L/ñ = 0. Esta última condición no se satisface para valores arbitrarios de E, sino únicamente para los valores discretos de En tales que,

o bien, £„ =


Como ejemplo del uso de la ecuación de Schródinger se estudiarán los estados estacionarios de una partícula, restringida a moverse libremente dentro de una caja (en una dimensión). Esta restricción significa que, fuera de la caja, la probabilidad de encontrar a la partícula es cero y, por lo tanto, \\i debe de anularse. Si $ es continua, su comportamiento en el interior de la caja debe ser tal que se anule en las

9

ri2TT2h2

2mL2 '

(35)

Ahora se puede demostrar que <¡> tiene que ser continua. El problema bajo consideración en realidad no e,s un problema de partícula libre, pues las paredes de la caja ejercen fuerzas impulsivas sobre la partícula. En los siguientes dos capítulos se discutirá el movimiento de una partícula bajo la influencia de fuerzas externas. El caso de una partícula en una caja, puede considerarse como el caso límite del movimiento en un pozo de potencial cuadrado' cuando el potencial se hace intinitamente profundo. Al considerar este caso, la continuidad y las condiciones a la frontera pueden verificarse.

82



Las funciones de estado estacionarias que corresponden a estos valores, una vez normalizadas, son

83

E

(36) Entonces, se concluye que se obtienen soluciones únicamente si un número semientero de longitudes de onda de de Broglie, caben exactamente en la caja. Para « = O la función de estado se anula y, por lo tanto, el estado de energía más bajo será para n = 1,

E, 2

2mL En término de E¡ , se puede escribir £„ como, Por lo tanto, se ha encontrado que, en contraste con la física clásica, una partícula en una caja puede existir únicamente en un conjunto discreto de estados I0 Además, no existe un estado con energía cero, de acuerdo con los requisitos del principio de incertidumbre. Una partícula en una caja no puede estar en reposo, siempre poseerá, por lo menos, un estado de movimiento mínimo. El espectro de energías permitido y sus funciones de onda correspondientes, se muestran en la Figura 2. A pesar de que la separación entre estos niveles de energía crece con n, esta separación es infinitesimal para todas las energías alcanzables de una partícula macroscópica. Por ejemplo, para una partícula de un gramo en una caja de un centímetro de longitud, la energía del estado base es 5 x 10~54 ergios, aproximadamente. Para n — 1030, la energía de este estado es de 107 ergios = un yulio (joule) y para el estado n — 103:! su energía será aproximadamente de un millón de yulios. La distancia entre estados vecinos es de 10~24 ergios aproximadamente en el primer caso y de 10~21 ergios en el último. Ambos son mucho mayores que el espaciado de 10-53 ergios en la vecindad del estado base, pero muy pequeños e indetectables en la escala de energía macroscópica. Por otra parte, para un electrón en una caja de 2 x 10"12 centímetros, E\ -10-" ergios = 6 eV, que es aproximadamente igual a la separación observada en átomos. 10

Resulta que el espectro de estados es discreto cuando el movimiento de una partícula está acotado, esto es, cuando está restringido a una región fija. Esencialmente, la razón es la misma que en el presente ejemplo, o sea, la necesidad de acomodar un número apropiado de longitudes de onda de de Broglie en la región tratada.

Figura 2. Espectro de energía y funciones de estado para una partícula en un pozo cuadrado. Al exhibir las funciones de estado, se usará la siguiente convención aquí y en todo lo que sigue. El eje espacial * para el n-ésimo estado se dibuja a una altura que represente a la energía E,,. La ordenada, medida desde el eje x representa la amplitud de probabilidad „.

El capítulo se concluirá con una discusión de las propiedades de un paquete de ondas (estado dependiente del tiempo), para una partícula en una caja. El estado más general, es una superposición arbitraria de un conjunto discreto de estados estacionarios, ,j-IE,,tltl

donde En y to,

n

están dadas por las ecuaciones (35) y (36). Por lo tan-

(37) que describe un estado en el cual, la energía de la partícula no está definida con precisión, pero puede tomar cualquiera de los valores En con cierta probabüidad, determinada por la participación del n-ésimo estado en la superposición. Dicho de otra manera, si ty(x, t) está normalizada, una medición de la energía dará En con una probabilidad que será justamente /An/*. Este resultado es muy importante y, a continuación, se demostrará que es correcto. Las funciones de estado estacionarias
(38)

84



Por brevedad se ha introducido el símbolo 8 m n , la delta de Kronecker, que se define como la unidad cuando m es igual a n y cero cuando m es diferente de n. Cualquier conjunto de funciones que satisfaga una ecuación del tipo (38), esto es, que cada función en el conjunto esté normalizada y funciones diferentes en el conjunto sean ortogonales entre sí, se llama un conjunto ortonormal. Suponiendo que i//(x, t) esté normalizada, ifi*(x, t ) $ ( x , t) dx= 1, y de la ecuación (37) se obtiene que,

™»»

dx=\,

usando n como índice de suma para <|>*(x, t) y m en la expresión para »»>« {" <¡>*En(xHEm(x)

85

y utilizando el mismo argumento, se concluye que para toda s, //> =

Effls A*

y, por lo tanto, para cualquier función /(£"),

Ya que /(£") es arbitraria se concluye que, como se afirmó anteriormente, es un estado en el cual una medición de la energía dará el valor Émcon probabilidad /Am/2. Dicho de otra manera, Am es la amplitud de probabilidad y /Am/'2 la probabilidad de que el sistema se encuentre en su m-ésimo estado estacionario con energía Ema\ observarlo. Ahora, se supone que la función de estado de una partícula en una caja se fija en un cierto instante de tiempo que, por simplicidad, se tomará como t = 0. Llamando iM*) a este estado, se tiene que,

dx=\.

Usando la condición de ortonormalización (38) esta expresión se reduce a,

donde se supone conocida «M*). El comportamiento del sistema se puede ahora determinar, por lo menos formalmente. De la ecuación (37), para t = O, se tiene que,

y, finalmente, la condición de normalización requiere que,

Multiplicando esta expresión poiÊm(x) e integrando sobre toda la caja, se obtiene que,

•> O

m,n

(39) A continuación se calculará el valor de expectación de la energía. Se obtiene que

= Ân \\ „ JJ

Debido a la ortogonalidad de ên, miembro el derecho se reduce a un solo término ^4mdado por, dx =

y usando (37), = i" (S/W.M eÍEn^\(yjAmEmÊm(x) JO

\ fi

/ \

*-«W'*) dx. /

Volviendo a usar la condición de ortonormalidad de
(40)

dx.

(42)

Para el estado inicial dado «M*), la ecuación (42) resulta ser la amplitud de probabilidad de que el sistema se encuentre en el w-ésimo estado estacionario. La evolución del sistema en el tiempo puede estudiarse de la siguiente forma. 'La ecuación (42) se sustituye en (37) resultando que,

86


(X,t)

=

Í%0U'

x',x; t) cix',

(43)

Jo

dónde K, que es el propagador para una partícula en una caja resulta ser (44)

K(x',x;t) =

Estos resultados deben de compararse con los resultados (1 1) y (12) para la partícula libre. La forma explícita de K es de cierto interés. De las ecuaciones (35) y (36) se obtiene que, ft i \ K(x,x;t)= L

¿ l|=1

87

PROBLEMAS

usando x 'para indicar la variable muda de integración en la expresión para las amplitudes An. Este resultado se puede escribir como,

¡- . ., .,,. ,_ , ,-. mrx' nrrx exp [ — inzir-nt/2mL2] . sin L L

En el límite de L -» =c , la suma puede sustituirse por una integral y el parecido del resultado con el de la partícula libre no es difícil de apreciar. Lamentablemente, no es posible obtener K en forma cerrada para una partícula en una caja. Sin embargo, en el límite clásico, es posible demostrar que un paquete de ondas se propaga sin distorsión y, como debe de ser, rebota sucesivamente en las paredes de la caja. Pero el álgebra es bastante tediosa y por ello no se explicará en detalle.

tre éstos, destaca en importancia la identificación del operador de energía y la comprensión que se ha logrado de la importancia que tiene la conservación de la probabilidad y el principio de correspondencia al fijar la forma de las ecuaciones cuánticas. En el curso del análisis se ha llegado a la noción de estado estacionario, la función de estado cuántica más sencilla. Finalmente, se ha obtenido que para una partícula ligada, los estados estacionarios forman un conjunto discreto y ortonormal. Problema 1. (a) En aguas profundas, la velocidad de fase es vv = VgA/2'77- para ondas de longitud de onda \. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas? (b) La velocidad de fase de una onda electromagnética típica que se propaga en una guía de onda tiene la forma ""

donde c es la velocidad de la luz en el vacio y w0 es cierta frecuencia característica. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas? Notar que la velocidad de fase es mayor que c. ¿Viola esto la relatividad especial? ¿Cuál es la velocidad de grupo? Problema 2. Considerar que un paquete de ondas a t = O tiene la forma,

11. RESUMEN Un resumen del progreso realizado hasta aquí puede ser útil, porque se ha estado trabajando simultáneamente en dos niveles conceptualmente distintos. Superficialmente, el interés principal se ha referido al comportamiento de la partícula libre. Así, se ha formulado la ecuación de movimiento, o sea la ecuación de Schródinger, para esta partícula dando su solución general en términos del propagador de la partícula libre. El resultado se usó para aclarar las relaciones entre las soluciones clásica y cuántica. Se introdujo la técnica de separación de variables aplicándola al movimiento de una partícula en una caja. De nuevo se obtuvo una solución general. Sin embargo, el interés fundamental ha consistido en entender las características generales de la descripción cuántica de la naturaleza, a las cuales se recurrirá repetidamente en desarrollos posteriores. En-

Vi - (ü>o/«) 2 '

t/»U, 0) = A eipaxiri

MIL

e~

.

(a) Normalizar ty(x, 0). (b) Calcular (p, 0) y (p, t). Comprobar que están normaliza-

das. (c) Calcular ( p ) , discutir su dependencia en el tiempo. Hacerlo mismo para(p, í)l 2 contra p, suponiendo que L §> ñ/p0 y que L < h/po. Explicar la diferencia entre los dos casos usando el principio de incertidumbre. (e) Calcular ( A r ) a í = 0ya cualquier tiempo t > 0. (Sugerencia: hacerlo en el espacio de momentos). Problema 3. Una partícula está confinada en una caja de longitud L. (a) Calcular

88


PROBLEMAS

EL

2m

Discutir los resultados en cada caso. (b) El movimiento de una partícula en una caja es periódico con período T = 2L/v, siendo v la velocidad de la partícula. El movimiento cuántico no exhibe esta periodicidad. Explicar cómo se obtiene el movimiento periódico clásico yendo al límite apropiado. (Este no es un problema trivial. Su solución exige, más que álgebra, razonamiento).

Problema 7. Demostrar que en el caso de una partícula libre, para un paquete de ondas arbitrario, se cumple que m

de acuerdo con el principio de correspondencia. Hacerlo, (a) en el espacio de momentos, usando la ecuación (16) y (b) en el espacio de configuración, usando las ecuaciones (11) y (12), o bien, usando (11) y (13).

Problema 4. Una partícula se encuentra en su estado base en una caja de longitud L. La pared de la caja que se encuentra en x = L, cambia repentinamente a, (a) x = 2L (b)x = 101 (c) x = 100¿ En cada caso, calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado base al crecer la caja. En cada caso, encontrar el estado más probable que ocupará la partícula al crecer la caja. Explicar. (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado de la partícula en cada caso?). Problema 5. Una partícula se encuentra en su estado base en una caja de longitud L. Las paredes de la caja desaparecen repe unamente y la partícula puede moverse libremente. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el momento de la partícula se encuentre entre p y p + dp al desaparecer las paredes? (b) Graficar la densidad de probabilidad del momento en contra de p y discutir cualitativamente el resultado. ¿Qué se esperaría clásicamente? (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado inicial de la partícula? (c) Calcular (x) a t = O y a t > 0. (Sugerencia: hacerlo en el espacio de momentos). (d) Calcular lo mismo suponiendo que inicialm ente la partícula se encuentra en su centesimo estado. Problema 6. Una partícula en una caja se encuentra en el estado =

,

i

,

89

,

donde es el estado base normalizado y
I i,i,.«iíin-,

OPERADORES HERMITIANOS

91

tica p2!2m. También se supone que H es lineal para conservar el principio de superposición. Para una función de estado \¡i físicamente aceptable que satisfaga la ecuación (1), la conservación de la probabilidad exige que,

Diferenciando se obtiene que

V

4L dt

=/:(

y usando (1) para eliminar•la: las derivadas respecto al tiempo se reduce a

Ecuación de Schrodinger

dP

L

El paréntesis en el primer término se usa para indicar que el operador H*, el complejo conjugado de H, opera sólo sobre la función »//* y no sobre t//. Si esta expresión se anula, se tiene que, En el capítulo anterior se obtuvieron las ecuaciones de movimiento cuánticas para una partícula libre. Estos resultados se generalizarán al caso de una partícula moviéndose bajo la influencia de agentes externos. Únicamente se considerarán fuerzas conservativas y por lo tanto se pueden obtener de una función potencial V(x). Se demostrará que los requisitos impuestos por la conservación de la probabilidad y el principio de correspondencia, esencialmente determinan la solución. Para empezar se considerará la conservación de la probabilidad. 1. EL REQUISITO DE LA CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD En el análisis del movimiento de una partícula libre, se recalcó que la derivada a primer orden respecto al tiempo en la ecuación de Schrodinger es esencial para la conservación de la probabilidad. Entonces, en la ecuación general que se busca, se supone que la derivada respecto al tiempo sea a primer orden. Por lo tanto, en el espacio de configuración, se supone que la ecuación de Schrodinger tiene la forma,

»«*.«>--?-£.

(1)

donde H todavía es un operador desconocido. Naturalmente que, si se tiene una partícula libre, H resulta ser el operador de energía ciné-

roo J-«

o bien,

*

í°°

r

J-oo

(2)

J-oo

Ya que esta ecuación se cumple para todo tiempo, también tiene que cumplirse para ^ arbitraria aunque aceptable, lo cual impone una restricción sobre el operador H. Esta condición se llama condición de hermiticidad y cualquier operador que la satisfaga se llama operador hermitiano (llamado así en honor al matemático Hermite). Entonces, se ha demostrado que H tiene que ser hermitiano. 2


Antes de seguir adelante es conveniente discutir brevemente las propiedades hermitianas y dar algunos ejemplos. Sea A un operador hermitiano,. Si A representa una cantidad física observable, su valor de expectación siempre debe ser real. Se tiene que,

(A)

-r

J-o

dx

92

ECUACIÓN DE SCHR<3DINGER


y además,

Si (A ) es real, estas dos expresiones tien ^ que ser igljales,que es precisamente la definición de hemi¡ticidad . * Entonces se ^demostrado que cualquier operador que represen te ' abktíene que ser un obse'rf hermitiano. La definición de hermiticidad se generalizaidemostrando que si A es hermitiano, y si ^ y ^ sori. tables, no necesariamente iguales, entorxces dx.

(3)

93

donde ai y a2 son arbitrarias y, en particular, su fase relativa es arbitraria. Esta igualdad se cumple independientemente de la fase relativa, por lo cual puede concluirse que cada expresión entre paréntesis se anula.2 Esto completa la demostración. Por lo tanto, la ecuación (3) será la definición general de hermiticidad. La ecuación (3) puede escribirse en la notación de Dirac. La notación se puede generalizar escribiendo,

Como AÎ! y A t|/2 son a su vez funciones de estado, usando la misma notación, =¡

La demostración parte de laf unc ió n de Astado ^^ aî +

que es una superposición arbitraria de ción de hermiticidad se tiene qU6;

v

ií»

Pebiio a la definiEntonces, si A es hermitiano, de la ecuación (3) se obtiene que,

j (**)** dx =

(4)

y substituyendo i|/ se obtiene, 2

*
ro Ya que A es un operador herrnitiano, ^j primer r ereíl10 y anál a izquierdo es igual al primer término de^ miembro c^ ' °g mente para los segundos. POr lo tanto^ ia QKnKSi&n aiteríor se redu ce a

como definición de hermiticidad en la notación de paréntesis de Dirac. Es necesario recalcar que al pasar de la notación de Dirac al lenguaje de integrales siempre hay que tomar el complejo conjugado de la función de la izquierda. Es importante el hecho de que únicamente operadores hermitianos tengan valores de expectación reales. Significa que el operador que representa a cualquier variab le dinámica observable físicamente tiene que ser hermitiana. Es fácil comprobar que el momento y la posición de una partícula satisfacen este requisito. El primero es un número real en el espacio de momentos y el segundo lo es en el espacio de configuración y los números reales son hermitianos. Ejercicio 1.

1

El lector debe tener cuidado de no confundir (A > *yVvIA*\ mente. Por definición, el segundo es, " '•

que en general es totalmente diferente.

i1
^

anterior-

(a) Demostrar que p y x son hermitianos. En ambos casos demostrarlo en el espacio de configuración y en el espacio de momentos. (Sugerencia: integrar por partes en los casos no triviales). } Dicho de otra manera, el miembro derecho es el complejo conjugado del miembro izquierdo, aunque la fase de cada miembro sea arbitraria ya que a\ y a 2 son arbitrarias. Por lo tanto, la igualdad se cumple, si y sólo si cada miembro es igual a cero.

94

ECUACIÓN DE SCHRODINGER


(b) Demostrar en la forma más sencilla posible que cualquier función de p únicamente, real y arbitraria, es hermitiana y lo mismo paraje. (c) ¿Son hermitianos px, xp, (p,x) y (px + xp)l Basándose en los resultados, determinar el operador que represente al producto de la posición por el momento lineal. Las variables dinámicas que interesan por ahora son funciones de los operadores hermitianos, posición y momento. ¿Qué se puede decir acerca de las propiedades de estas funciones de operadores hermitianos? Para estudiar el problema se examinarán algunos ejemplos. De la definición de hermiticidad se sigue que la suma de operadores hermitianos es hermitiana, aunque si se considera el caso más general de una combinación arbitraría de operadores hermitianos A y B, C = aA + pB ,

C sena hermitiano si a y /3 son números reales. Para concluir esto, se nota que

95

Al operar con B sobre i/»2 se obtiene una nueva función que se designará temporalmente como<£2. Entonces, En el último paso se ha usado la propiedad de que A es hermitiano. Expresando 02 como Bfy2, se obtiene que, y tomando A ^, como una nueva función 0,, se puede escribir donde se ha usado el hecho de que B también es hermitiano. Finalmente, expresando ^ como A^y juntando todo se obtiene que, <«Í»,|D«ÍÍ Z ) = < l |»,|y4fl l fc> =
(9)

), (10) y por lo tanto D es hermitiano si A y B conmutan. Estos resultados aparentemente disconexos, pueden sistematizarse introduciendo el concepto de operador adjunto o hermitiano conjugado. Sea E un operador, no necesariamente hermitiano y Et el operador "adjunto de E" o ÍIE daga", definido por

mientras que,

(Ha) (7)

diferente a la anterior. La última ecuación se sigue de

o bien por, para funciones arbitrarias i/>, y
debido a que A es hermitiano. Un resultado análogo se obtiene para el término en B. Como segundo ejemplo se puede tomar el producto AB de dos operadores hermitianos, D = AB

Se puede demostrar fácilmente que las ecuaciones (1 la) y (1 Ib) son equivalentes, escribiéndolas explícitamente en el espacio de configuración o en el espacio de momentos. La ecuación ( l i a ) tendría la forma

(8)

mientras que la ecuación (1 Ib) sería y se tiene

/ <í»,*Et/r 2 dx = / (Et«/í,)*i/» 2 dx,

y análogamente en el espacio de momentos. La segunda expresión no es más que el complejo conjugado de la primera, si las funciones

'Wp1

96



arbitrarias «//i y 2 se vuelven a etiquetar. Dicho de otra manera, el adjunto de un operador que actúa sobre una función en un paréntesis de Dirac, es equivalente al mismo operador actuando sobre la otra función. En el lenguaje de integrales, la definición es una generalización del concepto de integración por partes, en la cual, el símbolo de adjunto en un operador significa que el complejo conjugado del operador se transfiere de una función a la otra. El hecho de que las ecuaciones (1 la) y (1 Ib) se cumplan para funciones arbitrarias
(12)

si A es hermitiano. Por esta razón los operadores hermitianos suelen llamarse autoadjuntos o autoconjugados. Si se toma un operador como el operador C de la ecuación (5), de anierdo con la definición = <«h| y de la ecuación (7) se concluye que,

Ct = <**/! + B*B, o sea que

(aA + BB)-t = a*A + B*B.

En general, si Ai es un conjunto de operadores hermitianos y a, un conjunto de números, (2aí^()t = 2afXí.

(13)

Como caso particular, el adjunto de un operador numérico será su complejo conjugado, «t = a * ,

de modo que la conjugación hermitiana puede considerarse el análogo de la conjugación compleja, pero para el caso de operadores.

97

Como ejemplo de esta idea se nota que R + R t es hermitiano y también lo es (R — R^ )//. Por ello, un operador arbitrario R siempre puede expresarse como la suma de dos operadores hermitianos escribiendo, que es análogo a la forma usual de escribir números complejos en términos de dos números reales. Finalmente, considerando productos de operadores, la ecuación (9) muestra que, Dt = BA.

o lo que es lo mismo, (AB)J( = BA.

En general, el adjunto de un producto de cualquier número de operadores hermitianos será sencillamente el producto escrito en orden inverso, (ABC • • • QR)í = RQ • • • CBA.

(15)

Las ecuaciones (13) y (15) son las reglas que se buscaban. Establecen cómo construir adjuntos de sumas y productos de operadores y así de funciones arbitrarias de operadores que pueden expresarse en forma de series de potencias. Ejercicio 2. Suponer que A, B, C,..., R son operadores arbitrarios no necesariamente hermitianos. (a) Demostrar que (ABC...QR)* = R f Qt...Ct5t^t (b) Demostrar que (aA + /3fl)t = a*/!t + /3*fit. (c) Demostrar que si A y B son hermitianas, también lo son i(A£\AB + BAyABA. (d) Demostrar que si A es hermitiano, también lo es A". Con esta regla para construir adjuntos de operadores, la ecuación ( l l b ) significa que y pueden tomarse como dos expresiones completamente equivalentes de la misma cantidad. Para expresar esta equivalencia, se introduce el símbolo simétrico del paréntesis (i|/,M|i//2 ) para simbolizar a ambos, definiéndolo como, <<¿»,|/4|
EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

reglas de las ecuaciones (13) y (15). Esencialmente, el símbolo (\lii\A\fa) no condiciona sobre cuál de las dos funciones se opera. Al evaluar esta expresión se tiene que hacer alguna elección pero se tiene la libertad de escogerla según convenga.

Escrita en esta forma, la integral se reconoce como el valor de expectación del conmutador as H y A, obteniendo en esta forma el importante resultado de que, I

~h 3. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA Volviendo al problema principal de determinar el operador hermitiano H de la ecuación (1), el principio de correspondencia exige que, (17)

y que, dV_ dx

(18)

donde es cualquier solución de la ecuación (1). La primera ecuación expresa la relación clásica entre el momento lineal y la velocidad mientras que la segunda es precisamente la segunda ley de Newton. Como paso preliminar se examinará la expresión d/dt (ty\A (
=^r +< dt )_x

(x, t)A (p, x,

p r di)>* ~j^[ dt =

, t)

dA

Como consecuencia de la hermiticidad de H, resulta que el primer término en la integral es, f(Hty)*A4i dx = f ^ y por lo tanto,

M dt

Vale la pena señalar que si^4 no depende explícitamente del tiempo, el primer término se anula y la variación en el tiempo está únicamente determinada por el conmutador de H y A. El primer término determina la variación del operador ,4 en el tiempo; el segundo término está generado exclusivamente por el cambio de la función de estado con el tiempo. Se ha recalcado que en estas condiciones es fundamental la dependencia explícita en el tiempo del operador./!. Se acostumbra pensar que las variables dinámicas tales como posición y momento, son funciones del tiempo porque así se consideran en el dominio clásico. Sin embargo, en el caso cuántico los símbolos x y p se refieren a operadores que no varían en el tiempo; son operadores independientes del tiempo. Esto significa que, explícitamente,

y,

y análogamente para cualquier operador en cuya determinación no intervenga el tiempo explícitamente.3 En la aplicación de la ecuación (19) intervienen estos operadores de posición y momento independientes del tiempo. Considerando primero aje se obtiene que,

(20)

n J_

dt

(19)

= 0,

Separando el término intermedio, que resulta ser el valor de expectación de dA/dt, y usando la ecuación (1) para eliminar las derivadas temporales en el resto de los términos, se obtiene

M

99

dx.

3 En esta presentación de la mecánica cuántica la dependencia en el tiempo de los observables representados por operadores, está contenida en la función de estado. Fue introducida por Schródinger y se llama representación de Schrodinger. Una alternativa fuéîntroducida por Heisenberg y es la llamada representación de Heisenberg. En ella, la función de estado es independiente del tiempo y toda la dependencia en el tiempo recae en los operadores dinámicos a través de las ecuaciones de movimiento. Esta presentación se parece a la descripción clásica. También son posibles versiones intermedias. Todas son equivalentes y cada una tiene su intervalo de simplicidad y utilidad. Se ha escogido la representación de Schrodinger porque es la más sencilla de manejar a nivel elemental.

100

ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS


El miembro derecho puede escribirse de otra manera si se hace uso de las relaciones de conmutación obtenidas en el Capítulo III. Recordando que, / f \ " OJ\X)P) (/,*)=—: ,

dH dx

dV dx

lo cual implica la ecuación de operadores,

/TTT A £i \ (111-46)

dx

donde / es cualquier operador función de x y p, y por lo tanto la ecuación (20) se reduce a

a//

dp

(21)

a//

m

Pero i// es una función de estado totalmente arbitraria, aunque aceptable, y por lo tanto este resultado implica la ecuación de operadores siguiente: E- — d" m dp

dV dx'

(25)

Por lo tanto, las ecuaciones (22) y (25) expresan condiciones sobre H que tienen que cumplirse en el límite clásico. Se comprueba que estas condiciones sobre H, se satisfacen cuando,

(26)

En esta forma, toda referencia a h ha desaparecido y el paso al límite clásico es inmediato. Al comparar con el requisito impuesto por el principio de correspondencia expresado en la ecuación (17) se demuestra que, por lo menos en el límite clásico, se tiene J^

101

(22)

Respecto al operador de momento p la ecuación (19) da como resultado que,

(23)

El operador H es la energía total del sistema expresado en términos de las variables de posición y momento, reconociéndose como la función hamiltoniana y las ecuaciones (21) y (24) como las ecuaciones de movimiento en forma hamiltoniana.4 Entonces, se concluye que el principio de correspondencia se satisface si el operador cuántico H como función de las variables cuánticas p y x, es el mismo que el hamiltoniano clásico como función de las correspondientes variables clásicas. El operador H es hermitiano y se reduce a pz/2m para la partícula libre. Naturalmente que este argumento no impide la posibilidad de que H pueda contener términos que se anulen en el límite clásico, pues sus efectos serían apreciables sólo a nivel cuántico. Pero estos términos no aparecen en la ecuación (26), por lo cual.// tiene su forma más simple consistente con el principio de correspondencia.5 4. ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

Usando la relación de conmutación, (III-45) se obtiene que dH dx

Se ha demostrado que en una dimensión la función de estado satisface la ecuación de Schródinger (1), donde el operador hamiltoniano H se expresa por la ecuación (26). En el espacio de configuración esta ecuación toma la forma, 2m dx2

(24)

El requisito impuesto por el principio de correspondencia expresado en la ecuación (18) demuestra que, por lo menos en el límite clásico, el resultado es,

4 5

i dt

(27)

Ver cualquiera de las Referencias [14]-[17],

La ecuación (26) es correcta únicamente para partículas sin espín. Para partículas con espin se necesitan ciertas modificaciones que se verán más adelante.


ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

¿Qué forma tiene esta ecuación en el espacio de momentos? Si V (x) puede desarrollarse en serie de potencias en x, de acuerdo a la receta general se tiene que,

que fue obtenida anteriormente, sigue siendo válida para una partícula que no sea libre. Evidentemente,

102

(28)

dt

Pero, en general, V (x) contiene términos de todo orden en x, lo cual equivale a una ecuación diferencial de orden infinito que no es muy útil. Un camino más adecuado consistiría en partir de la ecuación (27) y transformarla directamente al espacio de momentos y usar el teorema de convolución para calcular la transformada del producto V(x) 4» (x, t). De esta manera se obtiene la ecuación integral )+—L= i VZTrn J

dt

(29)

siendo W la transformada de V (x) dada por W(p') =

1

f"

.-— V(x) e-'"'*"1 dx. V2-nh J-°°

103

(30)

Por lo tanto, usando la ecuación (1), (E) = f t//*//>M* = ¡ J

J

Ejercicio 3. Verificar la equivalencia de las ecuaciones (28) y (29) en la forma sugerida.

oí

donde ^ es cualquier solución aceptable de la ecuación de Schródinger y análogamente para cualquier función de E, lo cual comprueba la afirmación anterior. El requisito de que la energía es una constante de movimiento si el tiempo no interviene, se satisface automáticamente. Esto se concluye si el operador A de la ecuación (19) se substituye por una función arbitraria de H. Se obtiene inmediatamente que, d(f(H)) dt

La relación entre las ecuaciones (28) y (29) se puede encontrar si se desarrolla (p — p', t) en serie de potencias en p' y se identifica el coeficiente de la derivada w-ésima de
l

= 0,

ya que [//,/(//)] = O para/arbitraria. La ecuación de Schródinger (1) se puede escribir como, //
(32) donde el operador hamiltoniano H es el hamiltoniano clásico función de las variables dinámicas p y x, pero tomándolas como operadores cuánticos y donde E es el operador (31). Clásicamente, =

y por lo tanto, la ecuación de Schródinger exige que la función de estado tenga la propiedad de que al operar sobre ella con el operador hamiltoniano H se obtenga el mismo resultado que al operar con el operador de la energía total E. Este hecho asegura que el valor de expectación de cualquier función de la energía total es exactamente el mismo que el valor de expectación de la misma función del hamiltoniano, requisito impuesto por el principio de correspondencia. Explícitamente,

Es fácil concluir que la identificación,

(31)

donde t// es cualquier solución de la ecuación de Schródinger. La formulación de la mecánica cuántica es ahora más o menos completa, pero es necesario generalizarla a tres dimensiones y a siste-

104

105



mad de partículas. Ninguna de estas generalizaciones es difícil de lograr, pero se pospondrá su realización. También se introducirá la idea de espín. El procedimiento particular que se ha seguido en la presente exposición es una de las muchas posibilidades para hacerlo. En este momento puede ser instructivo esbozar un procedimiento más directo que pueda considerarse como una aproximación burda al desarrollo histórico. Partiendo de las relaciones de Planck y de de Broglie, la ecuación de Schródinger para la partícula libre, puede escribirse rápidamente como

todo de separación de variables para aislar la dependencia en el tiempo. En esta forma, es posible obtener el conjunto de estados estacionarios,

_ "

° V — _lí_

2m dx

2

—

(/, = J— ,/,

2m \ \ /

2m

(que es la ecuación para una onda de de Broglie exp [2mx/X]). Para una partícula que se mueva en un potencial F(x), £?-=E-V(x), 2m se puede argüir que, en general, h2 d2^ 2m dx2

Pero de acuerdo con la relación de Planck, la dependencia temporal está dada por ?-'*'"* de donde, finalmente, la dependencia en el tiempo se puede escribir como, _ h2 d2^ . 2m dx2

que no es mas que la ecuación de Schródinger (27) en el espacio de configuración. Este resultado se puede usar para examinar la dependencia temporal de los valores de expectación y entonces tender al límite clásico. En este esquema o presentación se requiere una demostración de que se cumple el principio de correspondencia. Tal demostración fue dada por primera vez por Ehrenfest y se conoce como teorema de Ehrenfest. En esta presentación se ha invertido la forma de razonamiento en mayor o menor grado. 5. ESTADOS ESTACIONARIOS

Como en el caso de la partícula libre, se puede construir un conjunto básico de soluciones de la ecuación de Schródinger usando el mé-

a~iEtlfl

es solución de la ecuación de Schródinger independiente del tiempo

para la energía E. La solución general de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo es una superposición arbitraria de estados estacionarios. Estos estados pueden existir sólo para un conjunto discreto de energías, para un conjunto continuo o bien una mezcla de ambos, según sea la forma de V (x). Sin embargo, esta superposición se puede escribir como,

, r) =

,-iEÍ/ft

(34)

pero aceptando que la ecuación (34) es simbólica. Si el espectro de los valores de la energía es continuo, la suma debe de substituirse por una integral. Si el espectro consiste de estados continuos y discretos, la superposición general consiste de una suma sobre los estados discretos y una integral sobre los estados continuos. No existe ninguna dificultad conceptual en este desarrollo, pero estos aspectos se pueden entender mejor si se consideran ejemplos particulares como se verá más adelante. Por ahora, la superposición general se tratará como si consistiera sólo de una suma de términos, porque es más sencillo manejarla algebraicamente. Para el estado general descrito por la ecuación (34), la energía del sistema no está definida con precisión pero puede tomar cualquiera de los valores E con una probabilidad determinada por la amplitud CE, del ^-ésimo estado en la superposición. Precisando más, si \l> (x, t) está normalizada, al medir la energía se obtiene E con probabilidad \CE\2, donde |Q|2 es la probabilidad de que una medición de la energía del sistema revele que éste se encuentre en el estado Enésimo. Una demostración más general de estas afirmaciones se dará más adelante. Ahora, se puede hacer la hipótesis fundamental de que cualquiera que sea la característica del espectro de energía, representa la totalidad de las energías físicamente posibles para el sistema estudiado. Esta hipótesis significa que el conjunto de funciones
106



físicamente realizable debe de expresarse como una superposición de estados estacionarios. Es conveniente escoger estados estacionarios normalizados, y en general se escogerán de esta manera, o sea que,

( f e l f e ) = / fe* U) fe W dx=\.

< f e ' l f e > = /' faÊ dx = donde 8 ÍA , es el símbolo de Kronecker, SKS-' =

(35)

1, E= E'

), E ¥= E'

La demostración es la siguiente. Se tiene que, //fe = £fe multiplicando por t|/¿-* e integrando, resulta que

/ fe,* //fe dx = E i fe,*t|/£- dx. Análogamente, ya que

y de la ecuación de Schródinger, E/'í;>

de lo cual se concluye que,
Se demostrará a continuación que estos estados también son ortogonales, o sea que fe forma un conjunto completo y ortonormal, ,

(36)

1 07

E1* E.

Puede suceder, y sucede en tres dimensiones, que existan más de un estado estacionario correspondientes a la misma energía E. Estos estados se llaman degenerados. Sean W,
//fe. = £'fe< o bien que, (A/«M * = £'**•* que multiplicada por fe e integrada resulta que

Debido a que // es hermitiano, esta expresión puede escribirse como, /fe,*//fe = =

donde los coeficientes son desconocidos hasta ahora. Estos coeficientes se determinan sucesivamente exigiendo que el conjunto fe sea ortonormal. Entonces, se empieza por exigir que, |fe<»> = 0 y estas dos ecuaciones determinan a¡ y a2y por lo tanto fe;'2 '. A continuación se exige que, > = < = 0

de donde resultan tres ecuaciones para determinar /?,, í>2 y £>». Este procedimiento se continúa hasta encontrar todas las funciones. Debido a que el orden inicial de los estados degenerados es arbitrario, el conjunto de estados ortogonalizados no es único. De hecho, 6 La notación recalca el hecho de que se trata de un grupo de estados, cuyos miembros tienen la misma energía E. En este grupo de estados degenerados, cada miembro está especificado por los índices (1), (2), y asi sucesivamente.

108


AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DE OPERADORES HERMITIANOS 109

existen muchos estados posibles aún en el caso más simple. En la práctica se usa este hecho para escoger el conjunto más conveniente para el problema estudiado. En lo futuro se supondrá que si existen estados degenerados, éstos han sido ortogonalizados de alguna manera. Existe otra propiedad muy importante de los estados estacionarios. Se llama la propiedad de cerradura. La cerradura es una propiedad matemática que determina si el conjunto es completo. Si ty es una función arbitraria y aceptable puede desarrollarse en términos del conjunto completo \\>K como ty(x) = ^ CE$E(X) •

(37)

E

De la ecuación (35), (•*•=/
(38)

Substituyendo esta expresión en la ecuación (37), después de intercambiar el orden de suma e integración, se obtiene que

tiplicarla pora, o sea que, A i//,, = «i//,,.

(41)

Claramente es una condición suficiente para que la ecuación (40) se satisfaga; también puede demostrarse que es una condición necesaria. La cantidad a se llama el autovalor del operador A y i¿»« la autofunción de A correspondiente al autovalor a. La ecuación (41) se llama ecuación de autovalores. En este lenguaje la función de estado estacionaría i¡>K(x) es la autofunción del operador hamiltoniano correspondiente al autovalor de energía E. Los autovalores de A representan los valores posibles del observable representado por A. Cualquiera que sea la característica del espectro de autovalores de un observable dado, se supondrá que contiene la totalidad de los valores físicamente realizables del observable considerado. Enunciándolo matemáticamente, se supondrá que «ta forma un conjunto completo. Repitiendo el argumento de la última sección, reemplazando A por H y i|/E por
(42)

Ya que t//(.v) es arbitraria, se concluye que,

(39) que es el resultado deseado. Cualquier conjunto completo de funciones satisface la condición (39). Recíprocamente, cualquier conjunto de funciones que satisfaga la condición de cerradura, es completo. 6. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DE OPERADORES HERMITIANOS

y la ecuación correspondiente a (39) es, '*>•

De hecho, las ecuaciones (35) y (39) pueden considerarse como casos particulares de las ecuaciones (42) y (43). Conforme a las suposiciones anteriores, cualquier función de estado arbitraria ty(x) que sea aceptable, puede expresarse en términos de $a por la superposición general, //,,U)

Los estados estacionarios son estados cuyas energías tienen valores precisos. También es de gran interés e importancia discutir estados para los cuales otras cantidades físicamente observables tienen valores precisos como son el momento lineal o el momento angular. Si el observable estudiado está representado por el operador hermitiano A y <|»a es el estado normalizado para el cual el valor preciso (real) del observable es a, significa que para cualquier n,

dx=

(45) Las ecuaciones (44) y (45) pueden considerarse generalizaciones de las series (o integrales) de Fourier. El significado físico de los coeficientes ca del desarrollo, puede determinarse como sigue. Si (x) está normalizada, se tiene que, C«= f

o bien que, para toda n, dx = 0,

(40)

lo cual significa que el operador con A sobre t|/f, es equivalente a mul-

(44)

donde

=a

/ i¡,,*(x)[A"-a"]ijj,,(x)

(43)

2 a, a'

r

o'*t'n (
110


y por lo tanto, usando la condición de ortonormalidad (42),

2lc a |*=i. El valor de expectación de A será,

($\A\ty)= £ c n ,*c n <«|vMI a, tí'

y como i//,, es una autofunción de A con autovalor a,

OBSERVABLES SIMULTÁNEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES 111

tivo 1 l\flTth se ha escogido para conservar la propiedad de cerradura (43), que resulta ser = S(x-x')

o bien J_ 2-trh

í e1**'*'™1 dp = S(x-x').

La condición de ortonormalidad (42) es, Volviendo a usar la condición de ortonormalidad, finalmente se obtiene que,

í gHp-P'^m dx

Y, usando exactamente los mismos argumentos, en general se tiene que,

donde la 8 de Kronecker se ha sustituido por la función 8 de Dirac por ser p continuo. El desarrollo de una función de onda arbitraria como superposición de autofunciones de momento, se expresa como una integral y la ecuación (44) se escribe como,

Por lo tanto, se concluye que (CoJ 2 es la probabilidad de que en el estado $ el observable representado por el operador A tenga el valor numérico a. Esta es la demostración y generalización de las afirmaciones anteriores acerca de los coeficientes que se obtienen cuando Una función de estado arbitraria se expresa como una superposición de estados estacionarios. Como ejemplo particular, sea A el operador de momento

donde los coeficientes del desarrollo cp se consideran ahora como funciones continuas de p. Escribiendo cv = 4>(p) para hacerlo explícito y sustituyendo la forma explícita de (//„ se obtiene el resultado familiar,

h AA

y la ecuación (45) también resulta ser la expresión familiar, ) =

/

1

f • I e~lvxl* i//(;c) dx.

La ecuación (41) queda como,

y por lo tanto,

de acuerdo con la discusión anterior acerca de las funciones de estado que corresponden a un momento p definido. Ya que estos estados existen para todos los valores reales de p, el espectro es continuo y la superposición resulta una integral en lugar de una suma. Las autofunciones de los momentos no están normalizadas y el factor multiplica-

Finalmente ¡4>(p)l2 se interpreta como la densidad de probabilidad de que el momento tenga el valor p para un sistema en el estado i//. De esta manera, otra vez se han obtenido las características de las representaciones en el espacio de momentos, hablando físicamente, o de las transformadas de Fourier, hablando matemáticamente, partiendo de este punto de vista general. 7. OBSERVABLES SIMULTÁNEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES

Cuando se realiza la observación de algún sistema se obtiene un resultado preciso únicamente si el sistema se encuentra en un estado es-

112



pecial, es decir, si se encuentra en un autoestado del observable estudiado. Si el operador que representa al observable se simboliza por A, entonces, el autoestado
Evidentemente, se tiene que, AB\fial> = ab\\iab

113

y por lo tanto, (A,B)
Si el conjunto âb es completo, entonces cualauier estado arbitrario ^ puede expresarse como superposición de
8. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Los observables toman valores precisos y definidos únicamente en sus autoestados. Para estados más generales, la observación proporciona valores'que fluctúan respecto al promedio o valores de expectación, de una medición a la siguiente. Para un estado aceptable t/» y un observable dado A, se define la incertidumbre A/4 como la medida cuantitativa de estas fluctuaciones. La incertidumbre está definida

114



como la raíz cuadrada media de la desviación de los valores observados de A respecto al valor de expectación. Se escribe 7 (bA)2=((A-(A))2)

= (A2)-(A)*,

(48)

donde todos los valores de expectación se toman respecto al estado \¡t, que se supone normalizado por conveniencia. Sean A y B dos operadores hemitianos que representan a un par de observables. Si A y B conmutan, existen estados para los cuales cada uno tiene valores definidos debido a que las observaciones no interfieren. Pero si A y B no conmutan, de modo que la medición de uno provoca una perturbación en la medición del otro, entonces, no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria. Esta incertidumbre mutua no es una cuestión de técnica experimental sino de principio, el principio de incertidumbre. Como enunciado preciso del principio, se demostrará que para cualquier estado aceptable
2

2

(A,4) (Afl) &i|<(/l,B)>| ,

(49)

Debido a que el integrando nunca puede ser negativo, la igualdad se cumple sólo si el integrando es idénticamente cero, es decir si,

f = cg, (53) donde c es una constante arbitraria. Elevando al cuadrado el integrando de la ecuación (52) y combinando los términos, después de algo de álgrebra se obtiene que, / f f * d x f gg*

/ fg* dx f f*gdx, (54) que es la famosa desigualdad de Schwartz, en donde se substituyen/ por F \¡> y g por G i/> dadas por, F = AG=B-

Ya que A y B son hermitianos y por ello tienen valores de expectación reales, F y G también son hermitianos. Por lo tanto, teniendo en cuenta la ecuación (48), la ecuación (54) resulta

donde todos los valores de expectación se toman respecto a i|/. Además, se demostrará que la igualdad en la ecuación (49), indicando la incertidumbre mínima posible se cumple sólo para estados tales que,

(50)

( A ) ] ) = Q.

(51)

Para demostrar la afirmación anterior se consideran un par de funciones arbitrarias / y g, las cuales cumplen la relación

(52)

r /( r gg* dx) - g( r \ J-oo

/

\J-00

7 La equivalencia de las dos expresiones dadas en (48) se logra elevando al cuadrado la primera. Entonces,

((A - (A » 2 > = ((A*-2A (A) + ( A ) 2 ) > . A es algún número y al valor de expectación de cualquier número es el número mismo. Entonces, para toda n.

/ O " ) > = (A > " . Procediendo término a término, ((A- (

= {A*)-2(A)Í = (A*) - ( A ) * ,

que era lo que se quería demostrar.

dx

dx dx

o sea que, (A/l) 2 (Afl) 2 &> | / ^*FG.|» dx\* =

donde c es una constante, y al mismo tiempo,

J-oo

115

+ {A)2

La cantidad (î/FG/î) es compleja porque FG no es hermitiana. Para separarla en su parte real y parte imaginaria, se introduce la identidad,8

y se obtiene \(F,

)| 2 .

(56)

Debido a que el primer término de la derecha en la ecuación (56) es real y el segundo es imaginario, el miembro derecho resulta ser la suma de los cuadrados, obteniéndose, (A/l) 2 (Afi) 2 * i \W\FG + GF\*)\2 + i |<*| [F, G] \* )| 2 . (57) En el primer término aparece el valor de expectación del análogo cuántico de la variable dinámica clásica siendo el producto de A y B. ' Ver la Sección 2, en especial la ecuación (14) y también el Ejercicio 2, parte (c).

.líní*,

116


EL PRINCIPIO DE4NCERTIDUMBRE

117

Este valor de expectación depende del estado y es posible anularlo. El segundo miembro, en el cual interviene el conmutador, con mucha frecuencia puede ser independiente del estado porque, como ya se ha visto, el conmutador de operadores que representan a variables dinámicas, en ciertos casos, es un número. Por lo tanto, el contenido esencial de la ecuación (57) es que existe una limitación fundamental para la determinación simultánea de A y B fuera de nuestro control, porque siempre se tiene que cumplir que

este estado se parte de la ecuación (59) que es equivalente a

(A/I)2(AB)2 y usando la ecuación (55),

Respecto a la ecuación (60), la forma más sencilla sería la de considerar la relación de conmutación entre p y x que permite escribir

(58)

h dty l~dx y por lo tanto,

;A/1) 2 (A£0 2 & i $<1>\(A,B)$\2

(p-Po)(x~X0)

que es la ecuación (49). Además, la igualdad se cumple si y sólo si el primer término de la ecuación (57) se anula, que se reconoce como la ecuación (51), y si la ecuación (53) también se satisface simultáneamente. Recordando que f y g son F \¡> y G t// respectivamente, esta condición será

= -r + (x - X0) (p - p0) ,

y la ecuación (60) resulta ser =0.

Usando la expresión (59), esta expresión puede escribirse como que se reconoce como la ecuación (50). Como caso particular se puede tomar la posición y el momento, B = x.

h por lo cual

De la ecuación (49) se obtiene

._'* 2

>^&

4'

que es precisamente la desigualdad prometida e,i la discusión de la Sección 7 del Capítulo III. Además, (Ap) 2 (Ax) i toma su valor mínimo ñ'2/4 únicamente si el estado i// es tal que

De donde se concluye que c es un número positivo e imaginario puro. Se puede escribir como, c = ih/L2, y finalmente se obtiene que

(59)

12

-i J (x ~ XQ) e J

y también que, < i M ( p - p o ) U - * o ) + ( x - x 0 ) ( p - p 0 ) \ i ¡ i ) = Q, donde se han usado las abreviaciones,

2c(,/,|(;t-jc 0 ) 2 | 1 J,>=0,

(60)

=*„ La función de estado definida por las ecuaciones (59) y (60) es el llamado paquete de ondas de incertidumbre mínima. Para determinar

e

x xo

°

dx

¿jx

que se satisface para toda L. Por lo tanto, el paquete de ondas mínimo es una gausiana,

que puede normalizarse escogiendo A apropiadamente.

irt nnÜniifirt'iiiiiiif 'i ií

i18

>.

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA


MOVIMIENTO DE PAQUETES DE ONDA

Se ha supuesto que las autofunciones de cualquier operador hermiiano A forman un conjunto completo que siempre pueden escogerse n tal forma que sean ortonormales. Esto significa que cualquier fun:ión de estado arbitraria ifi(x, t) puede expresarse como la superposi;ión londe •//„ son las autofunciones de^4 con autovalora y donde |ca(t)|2 is la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado a al iempo t. Si i//(x, t) se especifica para algún instante inicial ta, enton:es, debido a la ortonormalidad de
i ca(t) se puede conocer inicialmente. ¿Cómo cambia ca en el tiem30? Este cambio está determinado por la ecuación de Schródinger, )ero no puede darse una receta general. Solamente si A =H y a=E a descripción es sencilla. En este caso, c E ( t ) = CE , /o) dX,

por lo tanto, cE(t) =*-««-'•"* / «f Al substituirla en la superposición

y como generalización de los resultados anteriores para la partícula libre, se obtiene que, j i ( x , t ) = / \li(x',t0)K(x',x; í - / 0 ) dx',

(61)

donde el propagador K es ' K(x',x;t-t0) = 2 fe* U')

í-'*»-"»*.

(62)

E

Como antes, se tiene que, K(x',x;0) =8(x-x'),

donde, inicialmente, K se encuentra muy localizada pero al pasar el tiempo se va ensanchando.

119

Las ecuaciones (61) y (62) establecen una solución formal para el problema del movimiento de una partícula libre bajo la influencia de fuerzas externas que se expresa en términos de un conjunto completo de autofunciones del hamiltoniano. Es necesario recalcar que la solución es formal porque, aunque estas funciones sean conocidas, la suma infinita de (62) no se puede evaluar en forma cerrada excepto en casos especiales. En esta forma ha sido posible encontrar el propagador para la partícula libre, ecuación (IV-13), y más adelante se obtendrá K para una partícula acelerada uniformemente y para el oscilador armónico.' Estos casos especiales por lo menos indican un camino hacia las características generales de los propagadores. Como se esperaba, K se puede obtener y es muy útil en el límite clásico. 10. RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Se puede dar un breve resumen en la forma de una lista de postulados básicos que son los siguientes: ( 1 ) Todo estado de movimiento de un sistema físicamente realizable, está descrito por una función de estado i/». Las funciones de estado físicamente aceptables son normalizables y univaluadas. Cualquier superposición de funciones de estado es una función de estado. (2) Las variables dinámicas se representan por operadores hermitianos que actúan sobre funciones de estado. El espectro de autovalores de un operador, consiste en la totalidad de valores físicamente realizables del observable mencionado. Las autofunciones simultáneas de un conjunto completo de operadores que conmuten entre sí, es un conjunto único y completo de funciones de estado. Para una partícula sin estructura en una dimensión, la variable de posición es por sí misma un conjunto completo, y análogamente con el momento. Estos dos operadores se caracterizan por la relación de conmutación (p,x)= h/i. (3) La dependencia en el tiempo de una función de estado está regida por la ecuación de Schródinger, Hfy = Efy, donde H = p 2 /2w + V(x) es el operador hamiltoniano y donde, ~

i dt

es el operador de energía. (4) El valor de expectación de cualquier variable dinámica A, cuando el sistema se encuentra en un estado t//, es(i/»|/í|«/»>. El valor ' Para el primero, ver el Problema VI-8; el último se obtiene en el Capítulo VI, Sección 6.

1 *

120

121



de expectación se interpreta como el promedio de una serie de mediciones de A, realizadas sobre un conjunto de sistemas idénticos, cada uno de los cuales se encuentra en el mismo estado t//.

intervalo son ortogonales sen mc/x0 y sen 2nx/x0 , sen irx/x,a y exp [ÍITX/XO] y sen TTX/XO y sen irx/2x0.

Problema 1. Considerar un operador A y sus auto funciones i/»a, definidas en el intervalo O =s x « L y con las condiciones a la frontera iKi(x = 0) =
w^-s(b) A = i -j- + k, donde k es real, positivo y fijo. (c) A = operador integral definido por Aty = i

Cx

Jo

^(y) dy.

En cada caso, demostrar si A es hermitiana o no y si el conjunto i//a es completo. Problema 2. Considerar la ecuación de autovalores, definida en el intervalo -L =s x =s ¿ y bajo a las condiciones a la frontera, (a) Si A = (d/dx)n, determinar los valores de n para los cuales A es hermitiana. (b) Encontrar las autofunciones de A que corresponden para a = O en los casos n = 3,4,5. Si existe degeneración para una n dada, usar el procedimiento de Schmidt para ortogonalizar los estados degenerados.

Problema 5. Sea $„ los estados estacionarios ortonormales de un sistema con energía En. Al tiempo t = O la función de estado normalizada del sistema es ^=2 cnn. Suponiendo O, (b) calcular la probabilidad de que una medición de la energía al tiempo / dé el valor En (c) calcular el valor de expectación de la energía al tiempo t. Problema 6. A y B son dos operadores hermitianos. De los siguientes operadores, (i) AB, (ii) A2, (¡ii) AB - BA, (iv) AB + BA, (v) ABA determinar cuáles (a) son hermitianos (b) tienen valores de expectación reales no-negativos, (c) tienen valores de expectación imaginarios puros, (d) son operadores numéricos. Problema 7. (a) A y B son operadores hermitianos, tales que A2 = B2 — 2; obtener los autovalores de cada uno. (b) Sean \¡ib las autofunciones de B que corresponden a los autovalores b . Suponer que A es tal que, ( fa \A \ i/»fc ) = 0. De la definición de incertidumbre, calcular la incertidumbre en A para un estado con B definido. (c) Usar este resultado y al principio de incertidumbre para obtener el valor de < ifel (A, B}\tyb}- Verificar la respuesta por cálculo directo del valor de expectación del conmutador. Problema 8. (a) Si A, B y C son operadores arbitrarios, demostrar que (A,BC) = (A,B)C + B(A,C).

(b) Usar este resultado para obtener que,

Problema 3. Expresar la dependencia en el tiempo de la función de estado para, (a) un sistema que es un autoestado de su hamiltoniano con autovalor /8, (b) un sistema que es una mezcla no determinada de un conjunto de autoestados de su hamiltoniano con autovalor /3 y n veces degenerado.

Problema 9. Para un sistema descrito por el hamiltoniano H = p2/2m + V(x), obtener una expresión para d/(ps/2m)/dt. Discutir la relación entre este resultado y el teorema clásico del trabajo-energía.

Problema 4. Encontrar el intervalo más pequeño de x en el cual sen TTX/xn y eos -rrx/xn son ortogonales. Determinar si en este mismo

Problema 10. Se ha afirmado que la relación de conmutación (p, x) = h/i es fundamental. En el espacio de configuración, donde x es un

~- (AB) = <

B) + (A ~

. ((H,A)B) +

(A(H,B) ).

122



operador numérico, se ha representado p como el operador diferencial, h d

(i) posición (x) (ii) energía cinética, (p2/2m) (ni) energía potencial

(iv) hamiltoniano (v) impulso ( —

123

H dx

(d) Lo mismo que en (c) cuando el sistema se encuentra en uno de sus estados estacionarios fe .

que es consistente con la relación de conmutación. En forma general, también se podría escribir

Problema 13. Sea C el operador que cambia a una función en su compleja conjugada,

h d

C> = «//*.

sin violar la relación de conmutación y donde /(x) es arbitraria. Si esto se hace, (a) encontrar las nuevas autofunciones del momento i//p, (b) expresar una función de estado arbitraria i/»(x) como superposición de estas autofunciones de momento, (c) verificar que ninguna propiedad físicamente observable del sistema depende de /(x) y, por lo tanto, /(x) = O siempre es posible. Problema 11. Considerar el propagador K de la ecuación (62). (a) Demostrar que K satisface la ecuación integral K(x',x\t-t0) = / K(x',x",í-t,)K(x'^x\tl~t0)

dx".

(b) Interpretar esta ecuación como la variación en el tiempo de una función de estado de t0 a t¡ y después de tl a ti. (c) La ecuación (61) se obtuvo de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo y es equivalente a ella. Verificar este resultado obteniendo la ecuación de Schródinger de la ecuación (61). Suponer que fe(x) son soluciones conocidas de H-Ê.(X) = E$E(x) con// conocida. Problema 12. Sean iK(x) los estados estacionarios ortonormales de un sistema con energía E. Sea i/»(x, 0) la función de estado normalizada del sistema al tiempo t = O y tal que una medición de la energía del sistema resulte E, con probabilidad ?, E2 con probabilidad j y E3, con probabilidad i. (a) Escribir la expresión más general posible para (x, 0) en términos de (x) y consistente con los datos. (b) Escribir una expresión para la función de estado i/»(x, t) al tiempo t > 0. (c) Determinar cuál de las siguientes cantidades tienen valor de expectación que son independientes del tiempo cuando el sistema se entuentra en el estado i/»(x, í) de la parte (6):

(a) Determinar si C es hermitiano o no. (b) Encontrar los autovalores de C. (c) Determinar si las autofunciones de C forman un conjunto completo y si son ortogonales. Explicar brevemente las respuestas. Problema 14. Demostrar que si el potencial F(x) cambia en una constante en todas partes, las funciones de estado estacionarias permanecen inalterables. ¿Qué se puede decir de los autovalores de energía? Problema 15. Demostrar que el valor de expectación del cuadrado de un operador hermitiano nunca puede ser negativo. Problema 16.

(a) Usando el resultado dado en el problema 8, parte (b), encontrar una expresión para d/dt (i///px/t//) y, considerando un estado estacionario fe, demostrar el llamado teorema del virial =i(fe

dV dx fe

(b) Encontrar el teorema del virial para la mecánica clásica transcribiendo la demostración al lenguaje clásico. Problema 17.

(a) Encontrar una expresión para (Ax) 2 (Ar) 2 donde T = p*/2m es el operador de energía cinética. (b) Encontrar una expresión para (A/>) 2 (A//) 2 ; for (A.r) 2 (A//) 2 . (c) ¿Porqué estos resultados son mucho menos interesantes y útiles que los obtenidos en el texto para las incertidumbres mutuas en x y p?

CARACTERÍSTICAS GENERALES

125

VI Estados de una partícula

Figura 1. Funciones de estado en un potencial V(x) para varias energías.

en una dimensión

1. CARACTERÍSTICAS GENERALES

Los estados que se van a considerar corresponden a los estados estacionarios $E(X) de una partícula moviéndose en una dimensión. Estos estados son soluciones de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo H <í»e(x) =E ÎE(X) que, escrita en el espacio de configuración, resulta ser la ecuación diferencial de segundo orden. 2m dx*

(1)

Antes de estudiar las soluciones de esta ecuación para potenciales particulares, es conveniente discutir las características generales de éstas para un potencial de tipo general cuya forma se esboza en la Figura 1. Al dibujar la figura, el cero de la energía se ha escogido en tal forma que V(x) se anule paraje ->—». Al crecer x se supone que K(x) crece negativamente hasta algún valor mínimo F z , después del cual crece y alcanza el valor V¡ cuando jc->+00. Este potencial es suficientemente general para los propósitos mencionados. Las propiedades de los estados de movimiento, clásicas y cuánticas, están completamente determinadas por la energía. Se pueden distinguir cuatro regiones en la forma siguiente:

(1) E > V¡, por ejemplo, E, en la figura. (2) O < E < Vi, por ejemplo E2 en la figura. (3) F2 < E < O, por ejemplo E3 en la figura. (4) E < V.2, por ejemplo E4 en la figura. A continuación se examinan en este mismo orden. (1) E > Fi. En esta región la energía cinética E - V(x) siempre es positiva. Clásicamente existen dos estados de movimiento independientes. En uno de ellos, la partícula se mueve hacia la derecha y en el otro la partícula se mueve hacia la izquierda. Cuánticamente también existen dos estados de movimiento independientes, aunque más complicados, y corresponden a las dos soluciones independientes de la ecuación diferencial de segundo orden (1). Como la energía cinética es positiva en todas partes, se concluye de la ecuación (1) que dÊ¡dx2 y il/E tienen signos opuestos en todas partes. Por lo tanto, tfe siempre es cóncava hacia el eje x, es decir, oscilatoria. Por consiguiente, \IIE está acotada pero se extiende a infinito por ambos lados.1 Comparte estas propiedades con las autofunciones de momento P y, como ellas, no son estrictamente aceptables físicamente. Estos estados, como
En la Figura 1 la solución i|/£l ilustra este comportamiento.

126

ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN

(2) O < E < Vi . En esta región la energía cinética es positiva a la izquierda de la intersección de E y V(x), y negativa a la derecha. El punto de intersección, donde E = V(x) y la energía cinética se anula, es el punto de vuelta clásico del movimiento. Clásicamente, una partícula moviéndose hacia la derecha se refleja en el punto de vuelta y regresa hacia la izquierda; éste es el único tipo de movimiento. Cuánticamente existen dos soluciones independientes de la ecuación de Schródinger, pero sólo una es aceptable (aún como estado ideal). A la izquierda del punto de vuelta clásico, las soluciones de la ecuación (1) son oscilatorias. Pero a la derecha, donde c?2fe/<¿x2 tiene el mismo signo que fe, las soluciones son convexas respecto al eje x, por lo cual,Acrecen sin límite o decrecen rápidamente a cero cuando x crece. La solución general de la ecuación (1) contiene una superposición arbitraria de estos dos tipos de soluciones, pero sólo la solución que decrece a cero está permitida por los requisitos físicos. Una de estas soluciones, fe2, se ilustra en la Fig. 1. Así, se puede concluir que el espectro es continuo y no degenerado en esta región. Las soluciones se parecen a las soluciones clásicas en el sentido de que una partícula siempre se refleja. (3) V2 < E < 0. En esta región existen dos puntos de vuelta clásicos y entre ellos la energía cinética es positiva, siendo negativa en todo el resto. Clásicamente, el movimiento es periódico, con período determinado por la energía. Entonces, existe sólo un tipo de movimiento para una energía dada. Cuánticamente el movimiento es posible únicamente si la energía tiene exactamente el valor apropiado que corresponde a uno del conjunto de valores propios que constituyen un espectro discreto no degenerado. El argumento es el siguiente: la solución general de la ecuación (1) contiene términos crecientes y decrecientes en la región a la derecha del punto de vuelta derecho y en la región a la izquierda del punto de vuelta izquierdo. Una solución físicamente aceptable tiene que decrecer a cero en ambas regiones. Se escoge aquella solución que tiene las propiedades deseadas a la derecha, llamándola .fe derecha, especificada en forma única. Pero a la izquierda, se escoge la solución que decrece a cero fe ,izqui. También es única. Ambas soluciones, fe, der y fe.izq oscilan en la región entre los puntos de vuelta, pero en general no coincidirán suavemente en la región común de existencia. Al variar E, la curvatura de estas funciones se altera y la rapidez de oscilación varía, y por lo tanto, si E tiene exactamente el valor correcto, fe,izq y '¿'E,der pueden unirse suavemente. Podría decirse que este hecho corresponde a escoger E en tal forma que un miembro determinado de las ondas de de Broglie cabe exactamente entre los puntos de vuelta. (Ver la solución fe3 de la Figura 1). Los valores discretos de E para los cuales se

CLASIFICACIÓN POR SIMETRÍA: EL OPERADOR DE PARIDAD

127

cumple lo anterior, son las energías permitidas. Debido a que la partícula está confinada en una región finita, estos estados se llaman estados ligados. Entonces, se puede concluir que el espectro de estados ligados en una dimensión es discreto y no degenerado. (4) E < Vt. En esta región, la energía cinética es negativa en dondequiera y ningún movimiento clásico es posible. Tampoco pueden existir estados cuánticos debido a que las soluciones de la ecuación (1) son convexas respecto al eje x en dondequiera y, por lo tanto, crecen sin límite en un sentido o en otro. 2. CLASIFICACIÓN POR SIMETRÍA: EL OPERADOR DE PARIDAD

La mayor parte de los potenciales de interés en el dominio microscópico describen interacciones entre parejas de partículas. Estos potenciales son generalmente funciones simétricas de la posición y esta característica permite una simplificación considerable en el análisis. Por ejemplo, se puede considerar el caso particular para el cual V(x) sea simétrico, V(x) = V(-x). (2) La simplificación mencionada es una consecuencia del hecho de que cuando V es simétrico también lo es el hamiltoniano H. Entonces, cuando H opera sobre cualquier función no cambia las propiedades de simetría de la función. Esto significa que la ecuación de Schródinger puede separarse en dos ecuaciones independientes, una que contiene funciones de estado simétricas y otra que contiene funciones de estado antisimétricas solamente. Este resultado se demostrará a continuación. Para este propósito se introduce un nuevo operador P, llamado operador de paridad, definido por, Pf(x)=f(-x), (3) donde /(x) es arbitraria. Entonces, el operador de paridad simplemente cambia el signo de las coordenadas espaciales de la función sobre la cual opera. El operador P es hermitiano, ya que para funciones aceptables fe y fe se tiene que,

ir fe, < j-«

• = ir i/•»,'< J-oo

= fV J-oo

128


donde se ha cambiado la variable de integración de x a -x al pasar a la segunda línea. Para encontrar los autovalores y las autofunciones de este operador hermitiano, se buscan soluciones de la ecuación />./»„ = «.fc.

CLASIFICACIÓN POR SIMETRÍA: EL OPERADOR DE PARIDAD

129

Las cantidades P+ =

1 ±P

(5)

Operando sobre esta ecuación con P se tiene que se llama operadores de proyección: P+ proyecta la parte simétrica o par de un estado general, y P- proyecta la parte antisimétrica o impar. Además,

pero, para cualquier función /(x) x) = f(x) . 2

Comparando las dos ecuaciones, a = 1 y, por lo tanto, los autovalores del operador de paridad son mas o menos uno. Llamando «/,_ =-!/í_, (4) o lo que es lo mismo,

(6)

que establece las propiedades generales de estos operadores de proyección. En forma sucinta se tiene que, P*f(x)=f±(x).

(7)

donde *!>+ es cualquier función par y
Ejercicio 1. Verificar las expresiones de (6) por substitución de la ecuación (5).

ionde /+ está definida por

Además P± conmuta con H y, por lo tanto, al operar sobre la ecuación de Schródinger con P± se obtienen el par de ecuaciones independientes

/+(*) y claramente es simétrica, mientras que/- definida por, /(*) -/(/-U) 2 es obviamente antisimétrica. Una forma interesante de escribir estas expresiones es la de substituir f(-x) por Pf(x). Se obtiene,

Para concluir, lo único que se necesita recalcar es que P conmuta con el hamiltoniano si V(x) es simétrico porque,

(8)

Este resultado establece que los estados estacionarios en un potencial simétrico se pueden clasificar de acuerdo a su paridad, es decir, siempre se pueden escoger con simetría definida sin que por esto se pierda generalidad. Aún más, ya que los estados ligados en una dimensión no están degenerados, cada estado ligado en un potencial simétrico tiene que ser par o impar.

130

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO


Como ejemplo se estudiarán los estados ligados en uno de los potenciales más sencillos, el pozo cuadrado. Este potencial se define como, —a < x < a \x\ > a ,

(9)

y se muestra en la Figura 2. Como V(x) es simétrico los estados ligados tienen simetría definida, lo cual simplifica mucho el álgebra. I

Regic> n l l

Región III x = —a

(14)

,/, _ — /"... «VZm? xlfi

3. ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

apareciendo únicamente la exponencial positiva, ya que en caso contrario \l> crecería sin límite cuando x tendiera a menos infinito. Finalmente, en la región central entre x — — ayx = a, la región II, donde V(x) = — V0, la ecuación (11) resulta ser 2w ,,. dx2 ' h2 v °

, , "™

,. "'

En esta región fe es oscilatoria y la solución general se expresa en la forma, ü = c,,(+) eos (V2/w(K 0 — e)x/h) + C n ( ~ ) sin(V2m(K 0 — e)xlh).

Región I x == a

131

(15)

En la región a la derecha de x = a, llamada región I (ver Figura 2), V(x) se anula y la ecuanción (11) se reduce a

Entonces, la función de estado fe tiene forma diferente en cada región. Ya que V(x) es discontinua al pasar de una región a otra, la ecuación (11) establece que la segunda derivada de fe también es discontinua, pero fe y su pendiente son continuas. Por lo tanto, se tienen dos condiciones de continuidad que tienen que satisfacerse en la frontera entre las regiones, lo que proporciona cuatro ecuaciones lineales y homogéneas para los coeficientes C\,C\í\C^y C\\\ . Si estas ecuaciones tienen solución el determinante formado por los coeficientes tiene que anularse. Esta condición determina los valores permitidos de e. Para reducir el álgebra se hace uso del hecho de que los estados ligados en un potencial simétrico tienen simetría definida; son pares o impares. A continuación se examinan estas dos posibilidades. Estados Pares:fe(x) = fe (- x). Para los estados pares se obtiene que C ni = Ci y C,/"1 = 0 en la ecuación (15). Además, cualquier condición de continuidad impuesta en x = a se satisface automáticamente en x= -a debido a la simetría. Solamente se necesitan aplicar estas condiciones en x = a. Al hacerlo, se obtiene: continuidad de «/»

2me

C¡ e-vzss-a'ft = c,,(+) eos (V2m(F 0 -e) a/ti)

V =0

V - -V,

Figura 2. El pozo de potencial cuadrado.

Como se buscan estados ligados, la energía E tiene que ser negativa y es conveniente introducir la energía de ligadura e definida por € = -£,

(10)

por lo cual la ecuación de Schródinger resulta ser K(jc)fe = -efe. ¿./íl

(11)

U-l

(12)

continuidad de difi/dx cuyas soluciones generales son fe ~
(13)

Análogamente, en la región a la izquierda de x = -a, la región III fe también satisface la ecuación (12) y tiene la forma

(+) s¡n ( V 2 m(K,-e)

o/ft).

Tomando el cociente de la segunda ecuación entre la primera se obtiene que, Ve = VV0-e tan (V2w(^ 0 -e) a¡K) ,

(16)

EN UNA DIMENSIÓN

espectro de energía de los estados pares. tflICCndente y sus raices no pueden determinarse alUn procedimiento gráfico bastante sencillo y que una caracterización simple, sería el de granear el miembro derecho y el miembro izquierdo de la ecuación (16) como función de c; las raices serán los puntos de intersección de las dos curvas. Este procedimiento se ilustra en la Figura 3. Ya que el miembro izquierdo resulta imaginario para e negativa y el miembro derecho es real, las raices existen solamente para e positiva. Este resultado es consistente con lo que se esperaba, ya que e negativa o energía de ligadura negativa, significa que el estado no está ligado. Por otra parte, el miembro derecho resulta negativo para e > V0 y permanece así, como se muestra en la figura y, por lo tanto, no existen estados con energía de ligadura que sobrepasen la profundidad del pozo V0, de acuerdo con lo esperado. Estas dos limitaciones significan que las energías de los estados ligados están restringidas al intervalo 0=s e< V0.

133

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

más ligado es e, y la energía del otro estado es e3- La razón de escoger los índices de esta manera se aclarará más adelante. Al decrecer Vo, la curva que representa el miembro derecho de la ecuación (16) se desplaza hacia la izquierda, y cuando V0 < ir*tíí/2ma2, existe un cero y un estado ligado solamente. Análogamente, al crecer V0, la curva se desplaza hacia la derecha y cuando V0 » (27r)2ñ2/2ma2, existen tres ceros y tres estados ligados, y así sucesivamente. Resumiendo, cuando,

(17)

(mr)2h2/2ma2 « V0 < [ ( n

existen n + 1 estados ligados pares. Es necesario recalcar que si Vü es positiva siempre existirá, por lo menos, un estado ligado. Estados Impares:
que también se resuelve gráficamente como se ilustra en la Figura 4. Se ha usado el mismo valor de K0 que en la Figura 3, y resulta que se tienen también dos estados ligados, cuyas energías se denominan e2 y

Figura 3. Solución gráfica de la ecuación (16), para las energías permitidas de los estados pares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua representa el miembro derecho de la ecuación (16) y la curva discontinua el miembro izquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. Para el valor escogido de Vn existen dos energías. La energía del estado base e, y la del siguiente estado más alto e3.

De la figura se observa que el número de raíces y, por lo tanto, el número de estados ligados pares, dependen del número de ceros del miembro derecho de la ecuación (16) cuando e & 0. Los ceros del miembro derecho ocurren cuando, e = V0- (nir)2fi2/2ma2,

n = 0,1,2,

o sea, cuando e = V0, e = F0 —ir2fi,2/2ma2, etc. En la figura se ilustran dos ceros y, por lo tanto, existen dos estados. La energía del estado

2ma'

é = V0

2ma* Figura 4. Solución gráfica de la ecuación (18) para las energías permitidas de los estados impares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua representa el miembro derecho de la ecuación (18) y la curva discontinua el miembro izquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. La energía del estado impar más bajo es e* y la del siguiente estado impar es e 4 .

134

135


EL OSCILADOR ARMÓNICO

e 4 . Al comparar con la Figura 3 resulta que ci > e2 > e3 > e4.Usando los mismos argumentos anteriores, se concluye que el número de estados ligados impares es igual al número de ceros del miembro derecho de la ecuación (18) para e 2* O, y que existen exactamente (n + 1) estados ligados impares cuando « V0< [(n (19) Sin embargo, no existen estados ligados impares si

zo más estrecho, también salen sucesivamente los estados más altos. Hay que notar que las funciones de estado se extienden más allá de las paredes del pozo, en lo que es la región prohibida clásicamente. De acuerdo con las ecuaciones (13) y (14), las funciones de onda decaen exponencialmente en esta región como e-v^"SuiM . Por lo tanto, la distancia que penetran las funciones de estado está dada aproximadamente por ¿

b—

2

h 2ma2'

(20)

Este resultado es muy importante y se examinará al discutir problemas tridimensionales. Los resultados se pueden resumir en la siguiente forma. Al crecer V0 desde cero, al principio sólo existe un estado ligado que es un estado par. Al llegar al valor

'-(i)' aparece el primer estado impar. Cuando 0

v2H2 ImcF

que es la distancia necesaria para que la exponencial decrezca a I/e. Para los estados más bajos, donde e es grande, esta distancia es muy bequeña y la función de estado también es muy pequeña en la frontera. En el límite de un potencial infinitamente profundo, estos estados se anulan en las fronteras y sus energías, medidas respecto al fondo del pozo, crecen como n2 de acuerdo con el análisis previo de los estados de una partícula libre en una caja. Por otra parte, cuando e es pequeña, como por ejemplo e4 en la Figura 5, la distancia b resulta muy grande y la partícula no se puede considerar totalmente confinada al interior del potencial, como se requiere clásicamente.

v =o

x = —a

x =a

aparece el segundo estado par. Cuando, Vo^llr

2ma2'

aparece el segundo estado impar, y así sucesivamente. Para K0 dada, el espectro consiste de estados pares e impares alternados, siendo par el estado más bajo o estado base, el siguiente es impar, y así sucesivamente, dependiendo el número total de estados de la magnitud de V0. En la Figura 5 se esboza el espectro y las funciones de estado para el caso particular ilustrado en las Figuras 3 y 4, donde V0 tiene dos estados pares y dos estados impares. De la figura se puede adivinar que cuando V0 decrece, o sea que el pozo se hace menos profundo, el estado más alto e4, es empujado hacia fuera, después el siguiente estado y así sucesivamente, coincidiendo con el análisis indicado. Sin embargo, las ecuaciones (17), (19) y (20) son restricciones sobre V0 a2 y no sobre F0 solamente, como se ha supuesto en la discusión por simplicidad. Un decrecimiento en a2, en sus efectos sobre la energía (pero no sobre la función de estado), es indistinguible de un decrecimiento en K 0 . Si a2 decrece gradualmente haciendo el po-

y- -y, Figura 5. Energías de los estados ligados y funciones de onda en un pozo cuadrado. Cada estado de energía más alto tiene un nodo más que el estado precedente. 4. EL OSCILADOR ARMÓNICO

A continuación se considerará el problema más importante de la mecánica cuántica, el oscilador armónico. Relacionado a esta importancia está su simplicidad: es uno de los dos o tres ejemplos no triviales que se pueden resolver explícitamente con toda generalidad. Se le dedicará la atención que merece.

136



La energía potencial de un oscilador armónico de frecuencia co puede escribirse en la forma, V(x) = \ mo>2x2, y la ecuación de Schródinger independiente del tiempo será, 2

h ~— 2m dx

. „. ~ m
Substituyendo en la ecuación (24) se obtiene que, \ 2s(2s - 1) a^2'*-1' + V (^- - \ - 4s] a,y2s = 0. ¿¿ ¿¿ / x o o \no)

Substituyendo s por s + 1 en la primera suma, esta expresión stí puede escribir como, (21)

oo

r

2 | 2 ( j + l ) ( 2 i + l as+1

De la discusión general de la Sección 1, se deduce que los estados del oscilador armónico tienen energía positiva, son discretos y no degenerados. Estos estados se encontrarán mediante dos métodos diferentes. El primero, es el método de las series de potencias y el segundo, es el método de fautorización. El Método de Serie de Potencias. Si se introduce la variable sin dimensiones y definida por y = Vmw/ft ;c, la ecuación de Schródinger resulta ser,

(22)

El coeficiente de cada potencia de y tiene que anularse por separado y, por lo tanto, se obtiene la relación de recurrencia

Dado el coeficiente aa, todos los coeficientes en el desarrollo pueden determinarse sucesivamente.2 Entonces,

E;2£

Cuando y tiende a infinito, el término en E es despreciable comparado con el término en y2 y se verifica fácilmente que feO) se comporta como e±um, multiplicado por algún factor algebraico. La solución físicamente aceptable contiene solamente el signo menos y, sin pérdida de generalidad, se puede escribir (23)
2E

du

du

,^

(24)

Esta ecuación se resolverá desarrollando u en serie de potencias en y. Ya que el potencial del oscilador armónico es simétrico, los estados tienen paridad definida. Se considerarán por separado los estasos pares y los impares. Estados Pares: u(y) = u(-y). Se busca una solución en la forma de una serie de potencias. Ya que u es simétrica, únicamente potencias pares de y intervendrán y se puede escribir 2

u(y) = yasy *.

(25)

2£

y se obtiene una representación en serie para la solución simétrica de la ecuación (24). La forma de esta solución para y grande está determinada por el comportamiento de as para s grande. De la ecuación (26) se tiene que

Substituyendo en la ecuación de Schródinger, después de ciertas simplificaciones, se obtiene que

^-2y¿- + (--

(26)

U-

2E

2

1 Jf

a a

1 s

s+í = —íü s

s —> o°.

Esta razón es exactamente la misma que la razón de los coeficientes en el desarrollo en serie de potencias de la función exponencial. Entonces, cuando y2 tiende a infinito, u(y) diverge como e"*, de donde, por la ecuación (23), «fe (y) diverge como e"*12. Esto no es una sorpresa, ya que se argüyó que la solución general de la ecuación de Schródinger se comporta como £>±1/2'2para y grande. Como la solución general debe de contener términos de ambos signos, necesariamente 2

La importancia esencial de la transformación de la ecuación (23) puede aclararse ahora. El lector puede verificar que si (//e, pero no u, se desarrolla en serie de potencias, la fórmula de recurrencia que se obtenga relaciona tres coeficientes y no dos, como en la ecuación (26). Estas relaciones entre tres términos son, en general, muy difíciles de resolver.

138

139



domina la exponencial positiva. Esta catástrofe puede evitarse si la serie termina después de r términos. De la ecuación (26) se concluye que esta condición se cumple si y sólo si E tiene uno de los valores discretos,

energía 3ftco/2, el siguiente es par con energía 5ftw/2, y así sucesivamente. Entonces, el espectro completo se expresa como,

ya que ar+í, y todas las as siguientes se anulan. Entonces, se han obtenido un con/unto infinito de soluciones, una para cada valor del entero r. Estos estados simétricos, todavía no normalizados, están dados explícitamente por 112

r = O,

E = ftw/2,

fe = fl0 e'"

r=\,

E = 5ha>¡2,

fe = a 0 (l - 2y 2 ) e-"2'2

r=2,

E = 9ho)/2,

2

(2?) 12

fe = a 0 (l - 4y + ¿ y") e'"' .

Antes de discutir estas soluciones, es conveniente considerar primero los estados impares. Estados Impares: u(y) = — u(— y). Para este caso se expresa u corno una serie en potencias impares de y,

Substituyendo en la ecuación (24) y haciendo las mismas operaciones que antes, se obtiene la relación de recurrencia, 3 - 2E/hiti

£ „ = ( « +1) fto>; « = 0 , 1 , 2 . . . ,

y los estados son pares o impares según que n sea par o impar. Este es precisamente el espectro propuesto por Planck excepto por la constante aditiva fto>/2. La necesidad de este término en el espectro, la energía del punto cero, es obvia si se toma en cuenta el principio de incertidumbre. Ejercicio 2. Usar el principio de incertidumbre para obtener el orden de magnitud de la energía del punto cero. La forma más conveniente y usual de escribir las funciones de estado es la siguiente.3 Llamando fe al estado con energía En, se escribe

(30) n

fe

= a0y e'"'12

r=l,

E=7ftco/2,

fe

= a 0 y(l-|y 2 ) e~"'12.

Las funciones hn(y) son polinomios de grado n en potencias pares o impares de y según que n sea par o impar. Estos polinomios se llaman polinomios de Hermite, y los primeros son,4 h4 = 16y4 - 48y2 5

Mv)=4y -2

(28)

12

(31)

3

/z5 = 32y - 160y + 120y.

Los primeros cuatro estados del oscilador armónico se muestran en la Figura 6. Como es usual, se nota que el número de nodos de la función de onda aumenta por uno al pasar de un nivel de energía al inmediato superior. Una característica curiosa del oscilador armónico es su simetría completa respecto al espacio de configuración y al de momentos. Ya que el operador hamiltoniano es H =

Reuniendo todos estos resultados se concluye que el estado más bajo es par y su energía es ftw/2, el siguiente estado es impar con

1

}

ni

2

y las soluciones correspondientes sin normalizar son, E = 3ha>/2,

1

' " I

a,.

r = O,

= I

hí(y)=2y

La solución también diverge excepto si la serie termina después de r términos y, por lo tanto, E sólo puede tomar los valores discretos,

(29)

,2

1

• + - m
3

La normalización de las funciones de estado se discutirá en la Sección 4 y 5.

4

Ver la Referencia (7) para una lista más extensa.

(32)

140


141 Para referencia futura, a y a t se expresan en términos de la variable sin dimensiones y de la ecuación (30) como, EL OSCILADOR ARMÓNICO

(36)

y análogamente, en el espacio de momentos por Figura 6. Estados de energía y funciones de onda para el oscilador armónico.

(31)

a ecuación de Schrodinger', en el espacio de momentos es idéntica i la del espacio de configuración si m se sustituye por 1/mw 2 . En;onces, es fácil comprobar que las funciones de estado en el espacio le momentos son,

escrito en términos de la variable q de la ecuación (33). Además, como se puede verificar fácilmente,

= (33) VVwiCüftTT rt !/

!>a gráfica de estas funciones superpuesta sobre una gráfica de la ¡nergía cinética p2/2m, tiene exactamente el mismo aspecto que la 7 igura 6. El Método de Factorización. El segundo método, que se presen:ará a continuación, es un método exclusivamente operacional para >btener los autoestados del oscilador armónico. Este procedimien:o, introducido por Dirac, se llama el método de factorización. Se introducen dos nuevos operadores que se definen en la siguiente brma. El primero llamado a, se expresa en la forma a = Vma)/2fi x + i Vl/2mwft p,

(34)

i el segundo se define como el adjunto del primero. Es el análogo leí complejo conjugado para operadores. De acuerdo con la ecua:ión (V-13) se expresa como i

at = V/n
(35)

londe, como en el Capítulo V, se ha usado la daga para simbolizar el idjunto.

«resultado obtenido al usar las ecuaciones (34) y (35) para expresar el miembro izquierdo en términos de x y p y llevando a cabo la multiplicación indicada. Reconociendo el término entre paréntesis como el hamiltoniano y evaluando el conmutador se obtiene que,

J_

^

ha)

2'

(38)

donde H es el operador hamiltoniano.3 En la misma forma se encuentra que,

(39)

fíen

Restando la ecuación (39) de la ecuación (38), se obtiene que a y a t satisfacen la regla de conmutación (a,flt) = l, mientras que sumando las dos ecuaciones resulta que, 2 „

(40)

(41)

5 El método lleva su nombre debido al hecho de que, excepto por una constante aditiva, el hamiltoniano ha sido factorizado en un producto de dos nuevos operadores a flt.

142



La ecuación de Schródinger puede entonces escribirse de tres maneras completamente equivalentes, las que corresponden a las ecuaciones (38), (39) y (40): íl«t — X

• = T~Ê

(42a) (42b)

2E + ato) "ta=T~" T~"

(42c)

Como paso esencial para resolver la ecuación de Schródinger, se demostrará que si se conoce fe para alguna E, a partir de ésta se puede construir sucesivamente un conjunto infinito de soluciones. Para hacerlo se opera sobre la ecuación (42a) por la izquierda con at, o sea,

E atfe at (/ aat — •=1\\ fe = j— o bien / 1 ( «ta-2

y sumando a cada miembro atfe

se obtiene que

Comparando con la ecuación (42b) resulta que atfe también es solución de la ecuación de Schródinger, pero con el autovalor de energía E + ha), o sea que, (43)

Donde C+ es una constante. Repitiendo este procedimiento, se puede generar a partir de un estado dado una cadena infinita de estados igualmente espaciados con energías E + fto>, E + 2ftw, E + 3/ww, y así sucesivamente. Ya que el operar con at aumenta la energía por un paso, at se llama el operador de ascenso o más comúnmente el operador de creación. También se puede demostrar que al dar fe se pueden construir sucesivamente estados de energía menor. Para hacerlo, se opera con a sobre la ecuación de Schródinger (42b) encontrándose E-ha> (44)

143

por lo cual se puede escribir que,

(45)

«fe = C_fe_ ft(U .

Por razones obvias el operador a se llama el operador de descenso, o bien, operador de aniquilación. La operación repetida con a extiende la cadena hacia abajo a partir de E en saltos de fita. Pero la energía de un oscilador armónico nunca puede ser negativa,6 por lo cual, la cadena termina, llamando E0 a la energía del estado más bajo y fe al autoestado correspondiente. Para E = E0 la ecuación (44) resulta íaat "2) «fe =

E0 —

«fe.

Excepto si flfe se anula, esta ecuación establece que a fe es un autoestado con autovalor E0 — h
Cn e 4 - \ n /

(Arl\

donde c» es una constante de normalización y, como antes, se tiene que Para construir explícitamente fe en el espacio de configuración, se hace uso de la ecuación (36) y escribir la ecuación (46) en la forma forma

4 Esto es claro de la discusión de la Sección 1. Este resultado también se concluye del hecho de que el hamiltoniano del oscilador armónico es positivo definido y asi debe de ser su valor de expectación para cualquier estado.

1 44

145



que se resuelve fácilmente para dar

de acuerdo con el resultado ya establecido. Usando otra vez la ecuación (36), la ecuación (47) resulta dy

(48)

Como se demostrará posteriormente, resulta que cn es la misma constante de normalización de la ecuación (30). Comparando este resultado con aquella ecuación se encuentra que,

(49) siendo una representación muy compacta y conveniente de los polinomios de Hermite. Más adelante se dará una representación aún más sencilla y conveniente. Las ecuaciones (43) y (45) son muy útiles en muchas aplicaciones, pero es necesario calcular las constantes de proporcionalidad que aparecen en estas relaciones. De la ecuación (48) se tiene que,

Como a aniquila a i/>0, el primer término no da contribución y se obtiene que, c

t>

CM-I

-

de donde, finalmente, usando la ecuación (30), fl«K = Vi •/,„_,.

(53)

El segundo método es menos directo. Se parte de la ecuación (42a) para el (n — l)-ésimo estado, o sea para £ = (« —\) ftw. Arreglando los términos, Pero, de la ecuación (51) attK,-, = Vñ
y usando la expresión explícita para cn dada por la ecuación (30),

Ahora se puede considerar el caso más difícil de actuar con el operador de aniquilación a sobre i// n . Se obtendrá el resultado de dos formas diferentes para ilustrar cómo se hace uso de estos operadores. La primera manera es inmediata y parte de la ecuación (47), de la cual se obtiene, al operar sobre ella con a, — c o

De la relación de conmutación fundamental, ecuación (40), se obtiene que, " = at"a +

Ejercicio 3. Demostrar este resultado usando la relación de conmutación de la ecuación (40). (Hay que señalar que la demostración también puede llevarse a cabo, trivialmente, con los métodos de la próxima sección).

(52)

Ahora, el lector podría estar tentado en considerar que las técnicas algebraicas operacionales del método de factorización, son una forma de evitar el método de solución, poco elegante, de las series de potencias. Hay que reconocer que este método establece una solución para el problema del oscilador armónico que es completa e independiente de la representación. No sólo es completa sino que es mucho más conveniente que la representación en el espacio de configuración en la cual participan los polinomios de Hermite. Claramente las funciones de estado son expresiones muy sencillas al escribirlas en términos de a y a t , y también lo son las variables dinámicas según las ecuaciones (34) y (35). Por esto, los valores de expectación pueden calcularse fácilmente en el lenguaje de estos operadores. Como ejemplo, se discutirá brevemente la normalización de las autofunciones del oscila-

146


LA REPRESENTACIÓN DEL OPERADOR DE CREACIÓN

147

2

Al operar a sobre •/»„ se obtiene el estado i/»B-2 , anulándose el término correspondiente porque los estados forman un conjunto ortonormal. Análogamente, al operar at2 sobre ^n se obtiene ^B+2 y tampoco hay contribución. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen son,

dor armónico. Para n arbitraria,

Pasando at" del segundo factor al primero y usando la definición de adjunto se obtiene que,

T

c_ (<íla\^n) =

Co De acuerdo con la ecuación (52) y debido a que <"/»»= O,

que es un medio del valor de expectación del hamiltoniano de acuerdo con la ecuación (42c). Entonces,

Análogamente, usando este resultado se encuentra que, de acuerdo con la relación clásica entre la energía cinética promedio y la energía total de un oscilador. Aunque no se reconozca como el hamiltoniano la combinación particular de operadores expuesta anteriormente, se puede hacer el cálculo fácilmente usando las ecuaciones (51) y (53). Se tiene que

aWtyo = naar-1^ = n(n y repitiendo el proceso n veces, de donde

= Vñ at

= i* n\

y que,

«-0

Por lo tanto, si i/»0 de que,

es

tá normalizada también lo está
\f i 2

kj-JfJ-. de acuerdo con la ecuación (30). Como segundo ejemplo se calculará el valor de expectación de la energía cinética para el n-ésimo estado. Invirtiendo las ecuaciones (34) y (35) se obtiene que,

= í/i

de donde se sigue el resultado inmediatamente.7 Estos ejemplos ilustran el tipo de manipulaciones que se deben de llevar a cabo con los operadores de creación y aniquilación para calcular cantidades físicas de interés. En la próxima sección se desarrollará una nueva representación cuya álgebra resultará trivial. 5. LA REPRESENTACIÓN DEL OPERADOR DE CREACIÓN

En la sección anterior se ha introducido una transformación de las variables dinámicas p y x a un nuevo conjunto de variables dinámicas a y a t que satisfacen la relación de conmutación (40). Se introducirá ahora una nueva representación, la representación del operador de creación, en la cual a t es un operador numérico y a es el operador

y por lo tanto,

z

2 1

= —— (tyn\a — aat — ata + at !

7 El lector puede apreciar mejor la simplicidad sorprendente de este método de operadores si intentara obtener la ecuación (49), o bien, las ecuaciones (30) y (31) en la representación del espacio de configuración.

mlrlíí

149



de diferenciación en el espacio a t . " Naturalmente que a y a t son variables dinámicas clásicas muy especiales ya que son complejas y aunque surgen algunas complicaciones, éstas no resultan muy serias. Para establecer la representación que se busca, primero se buscan las autofunciones del operador de creación i/»at en el espacio de configuración. Usando la variable sin dimensiones y y la ecuación (36), se buscan las soluciones de,

usar la trayectoria de integración más conveniente en el plano complejo ai. Se escoge a lo largo del eje imaginario y se escribe,

148

1 V2V

2/2

^k= I /(at) exP l l> / V ¿TT J—ia>

~ ^2 yai + aÍ2/2] dai . (56)

Para aclarar el significado de esta expresión, se introduce una nueva variable real a al escribir, ai = /<¡a,

(54)

dy

por lo cual «/»(>) toma la forma

donde a t es un número complejo. Los estados a t son estados para los cuales el operador de creación tiene el valor numérico ai. Estos estados no son físicos porque ai no es un observable físico, pero se pueden usar para construir estados físicos. La solución de la ecuación (54) es, J¡

=

t(y)

El estado i/>0t es una función divergente de y y claramente no es normalizable. Esta solución se puede multiplicar por un factor arbitrario, independiente de y, resultando que es conveniente hacerlo. Se multiplica por el factor eat2'2, por lo cual la solución a la ecuación (54) se escribe como, •Aatíy) = exp [y2/2 - V2 yai + ai2¡2].

=

i '

/•« I

[/(«) Í>~ a2/2 l f-ívíí/a

da,

(57)

que es una representación de la integral de Fourier de i/»(y e -"*12 en función de /(a) e-"2'2. Esta relación puede invertirse para dar, /(a) e-"*12 = ~

dy

v 77" J —

(58)

e introduciendo ai .

Entonces, el operador de aniquilación a toma su forma más simple en el espacio at que es consistente con la relación de conmutación (40), y dada por dar

o bien, 12/2

~ £¡/2/2-V2 «ílt

a=

v -. f(a) exp Íy2/2 ~ iVIya "a

(55)

que se demostrará en breve.' Una función de estado
/(at) =77= í «Ky) exp [-y/2 + V2yai - aÍ2/2] dy. v 7T J —oo

(59)

Debido a las propiedades conocidas de la integral de Fourier, estas expresiones demuestran que las autofunciones de ai forman un conjunto completo. El par de funciones ty(y) y/(at) son descripciones completamente equivalentes de cualquier estado del oscilador armónico, la primera en el espacio de configuración y la segunda en el espacio del operador de creación. De acuerdo con las ecuaciones (56) y (59) cada una está definida si la otra lo está, y cada una de ellas contiene la misma información. Por esto, se puede hablar de /(a i ) como la representación en el espacio de creación de una función de estado. Pero la normalización en el espacio de configuración no lleva a la normalización en el espacio de creación, en el sentido usual, como se puede concluir de las ecuaciones (57) y (58) con la ayuda del teorema de convolución, ecuación (111-19). De hecho, no se puede asociar un significado directo a las integrales de normalización de la forma usual en el espacio de de creación. Esta característica, que es una consecuencia del ca-

150


rácter no físico de ese espacio, no causa dificultades si todas las cuestiones sobre la normalización se pasan al espacio de configuración, y esto es lo que se hará.1" Ahora se puede verificar que en el espacio de creación el operador de aniquilación es el operador de diferenciación dado por la ecuación (55). Para hacerlo, se recuerda que de acuerdo con la ecuación (36) se tiene que,


151

donde cn son constantes de normalización y i¡i0(y) es tal que, a«My) =0. Entonces, en el espacio at ,

donde / n («t)es la representación de i/>n(» en el espacio creación y donde /<> (at) es tal que,

Por lo tanto, diferenciando bajo el signo integral la ecuación (56) se obtiene que, =—=

/(at)(V2>>-at) exp[//2-

a/o(at) = 0.

Debido a que a es el operador de diferenciación respecto a at, /0 es una constante c0 y la función de estado del oscilador armónico en el espacio de creación correspondiente a la energía

/'V27T J-¡*

EH= (n + \) ho>,

/2 - V2yat + «t*/2]

iv ¿TT J-i

Integrando por partes y debido a que el término integrado se anula, se obtiene que exp

En otras palabras, se establece que si/(at) en el espacio de creación es equivalente a i/»(y) en el espacio de configuración, entonces, dflda'í es equivalente a aty. Es decir, la representación de a\!>(y) en el espacio de creación resulta ser d/(at)/dat. Análogamente se puede obtener que la representación de g(a) $(y) en el espacio de creación es g(d/dai) /(at). Finalmente, se concluye que en el espacio de creación, el operador a está representado por ¿/dat, como se quería demostrar. Las autofunciones en el espacio at, se pueden construir trivialmente. De acuerdo a la ecuación (47), se pueden expresar en términos del estado base *l>0 (y) por £

Co 10

Las integrales de normalización se pueden definir introduciendo un segundo conjunto de funciones i(ia, las autofunciones del operador de aniquilación a. Se puede demostrar que •Aot y <íia forman lo que se llama conjunto de funciones biortogonales. Las propiedades matemáticas de los conjuntos bi-ortogonales son muy conocidas y solamente son un poco más complicadas que las propiedades familiares de los conjuntos ortonormales ordinarios.

es el monomio = c»at"

(60)

que es mucho más simple que la gausiana multiplicada por los polinomios de Hermite como se encontró en el espacio de configuración (o de momentos). Usando la ecuación (56) se puede obtener una representación muy útil y elegante para las autofunciones del oscilador armónico. Esta representación es 0=:77== i'" flt" exp [y/2 - V2yat + at 2 /2]
(61)

Como primera demostración de la utilidad de estos resultados, se puede calcular la constante de normalización cn y como ejercicio se puede verificar que las i/»n son ortogonales entre sí. Según la discusión anterior, es necesario normalizar en el espacio de configuración, por lo cual se considera, l = £j£$ ¡ c

í J

l ol

J

Recordando que at" operando sobre la primera función bajo el signo de la conjugación compleja puede sustituirse por an operando sobre la segunda función, según la definición de adjunto, se obtiene que, f

J

dy = C-f~f f ô*amat>o dy . l c ol J

152


m

Expresando el factor a í/t"
í

que claramente se anula para m > n. Por otra parte, si w < n. se obtiene el mismo resultado procediendo a la inversa, o sea transfiriendo at que opera sobre la segunda función en el integrando, a operar sobre la primera función como a. Se observa que el integrando se anula para m = n y que las funciones n son ortogonales. Finalmente si m = n al efectuar las diferenciaciones fl"at"^0(y) = -7= c0 f IV ¿TT

J-¡»

exp [y 2 /2 - V2 yat + at 2 /2]


que coincide con la ecuación (30). Como segundo ejemplo de la utilidad de la representación integral (61), se puede construir la llamada función generadora de los polinomios de Hermite hn(y). De la ecuación (30), se tiene que,

y de la ecuación (61) se obtiene la representación integral, hn(y) = —£= r (V2 flt)" exp [y2 - V2 aty + at2/2] drf. (62) /V27T J-*»

Multiplicando esta expresión por su/n y sumando sobre n se obtiene que, y Á

y por lo tanto, f *»**. ¿y = -N? /i ! J-o, f W í «'. |Co|

153

íB = n

-

y iV^n^Li

exp [y 2 - V2aty + at2/2]

n}

Intercambiando el orden de la suma y la integral, la suma puede llevarse a cabo obteniéndose

J

Entonces, si las funciones *//„ están normalizadas, se encuentra que,

2

nfí

at 2 /2]

s = n! " " = /V27J-J-,

Para calcular la integral, se sustituye at por z'a y después de completar el cuadrado en el exponente, se tiene que como antes. Falta por determinar c0 para lo cual se necesita normalizar en el espacio x, /
Á

hn( «!

i V^^

exp [-^[o - i V2(* - y)] 2 ]

y, finalmente, al calcular la integral gausiana, g-f+20, = V n=0

Tomando en cuenta la ecuación (48) con n = O, se tiene que, ^0=c0e-^, Calculando la integral se encuentra que,

M?) sn n

(63)

'

La cantidad a la izquierda se llama la función generadora de los polinomios de Hermite porque estos polinomios se generan como coeficientes en el desarrollo de la función en potencias de s, o sea,

c 0 = (mw/ftvr)" 4 y, finalmente,

Ejercicio 5. Para n = 0,1,2,3, verificar que hn(y), dada por la ecuación (31), se obtiene de la ecuación (62); de la ecuación (63); de la ecuación (49).

¿ME

154

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL DEL OSCILADOR ARMÓNICO


6. MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL DEL OSCILADOR ARMÓNICO

155

y sumando sobre n se tiene que, /•-;=,

Ahora se va a considerar el movimiento de un paquete de ondas arbitrario moviéndose en el potencial del oscilador armónico. Para obtener la solución general es necesario calcular el propagador de la ecuación (V-61). K(x', x; t - /„) =

(fot I

¿7T

J

daY

¡oo

X e x p [ - V 2 ( v a t + v'at') + («t2 + «t' 2 )/2 (67)

Sustituyendo at por una nueva variable ia y at'por -z/3, resulta que las integrales son del tipo gausiano. Usando los resultados del Apéndice I y expresando y y y 'en términos de je y x ' , se obtiene que

ifo*(*')«MJf) e-™'-™* ,

en términos del cual Too

=l

-t0) dx' .

(64)

2i sin

K(x',x;r) =

- 2xx 'l

exp

2 sin WT

(68)

En particular, para el oscilador armónico es necesario encontrar, (65) n

donde, por brevedad, se ha introducido el tiempo transcurrido T definido como, T = t-

(66)

Í0 .

J'

Antes de pasar adelante, es necesario recalcar una propiedad sorprendente que, entre todos los sistemas cuánticos, solamente la posee el oscilador armónico. Debido a que los estados de energía están igualmente espaciados, el movimiento de un paquete de ondas es periódico. Para \l> el período es el doble del período clásico y es exactamente el período clásico para |i//| 2 . Por esto, no importando las condiciones iniciales, los paquetes de onda no se desparraman indefinidamente sino que aumentan y se reducen alternativamente. Este comportamiento se ilustrará más adelante. La expresión (65) para el propagador no es muy difícil de calcular en forma cerrada si se usa la representación del operador de creación. De la ecuación (61), en el espacio y, se tiene que,

que es el resultado deseado." En esta expresión, el factor multiplicativo (2z sen wi-)-"2 se interpreta como, (2/ senwr)-" 2 = e~™n (1 - e'*™)-1'* , para que K exhiba la periodicidad mencionada. Como era obvio, de la ecuación (65) se observa que, (69)

Además, de la ecuación (65) también se obtiene que, K(X',X;T+

( 2 > w 1 )

(70)

que este resultado también se obtiene de la ecuación (65) se puede concluir directamente. Se tiene que, K(X',X;T + (2m+ ex

P [-'(«

(2m+

K(y',y,T)=a-¡(n+l/2)wT fi»

sí

n J-'<*

¡»

da

, (fltat')"

n! 2

11

2

x exp [-V2(yat + y'at') + («t + at' )/2]. Identificando,

El álgebra se puede verificar examinando la forma que toma el propagador para ¡a -» O, ya que en este límite el oscilador armónico se convierte en la partícula libre. Se obtiene K(X',X;T) =

/

*

de acuerdo con la ecuación (IV-13).

m

/ ¿TTlflT

exp [im(x - jc') 2 /

1 56

MOVIMIENTO DE UN. PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL DEL OSCILADOR ARMÓNICO


Recordando que *lin(x) es par para n par e impar para n impar,

157

exp [-x-/2L2 + ipnxlfi].

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (64) y calculando las integrales gausianas, se encuentra que,

se puede escribir K(x',x;r + (2m+

[—[.v — (p0lm
de acuerdo con la ecuación (70). El significado de las ecuaciones (69) y (70) se puede entender de la siguiente forma. Usando la ecuación (64), de la ecuación (69) se obtiene que, , /o),

(71)

mientras que de la ecuación (70) resulta que, i¡>(x,t0 + (2/n+ DTT/W) = (-l) 2 m

(72)

Ahora, supóngase que i//(x, t0) describe una partícula centrada en x0 y moviéndose con momento promedio p0. Un ejemplo de tal paquete de ondas es la expresión, Mr, /„) = *"*"*/(*-*.),

donde / es real y alcanza su valor máximo cuando su argumento es cero. Después de un intervalo de tiempo TT/CO, igual a un medio del período clásico, la ecuación (72) resulta ser ifr(jr, to +

f(X

L(T) = V¿2 eos2 a>r + (h/mwL)'2 sin 2 wr.

(74)

De acuerdo a las predicciones anteriores, la partícula oscila precisamente como lo haría una partícula clásica que partiera del origen con momento inicial pu- La anchura del paquete de ondas L(r) también oscila, pero con el doble de la frecuencia clásica w. Oscila entre sus dos valores extremos, L en el origen y h/muL en el punto de vuelta clásico. Si la anchura inicial del paquete L es mayor que Vrhjma>, el paquete de ondas disminuye en tamaño al alejarse de su posición inicial. Naturalmente no existe violación al principio de incertidumbre ya que la anchura del paquete de ondas en el espacio de momentos siempre cambia de tal manera que el cambio de la anchura del paquete de ondas en el espacio de configuración queda exactamente compensado. El paquete de ondas en este ejemplo siempre es gausiano y, por lo tanto, siempre es un paquete de ondas de incertidumbre mínima. Quizás sea más sorprendente el hecho de que si el paquete gausiano inicial es tal que, L = Vñ/ma>

o sea que el paquete de ondas está centrado en x = — jc0, no cambia su forma y se mueve con su momento promedio — p0 . Después de un período 2 TT/W , la ecuación (71) muestra que, C, ¡O

(73)

donde T= t — t0 y

- x0) ,

f(-x

(or]21L'z(T)],

-

de modo que el paquete de ondas ha vuelto a su posición original, sin cambiar de forma y con su momento promedio original p0 . Entonces, el movimiento continúa indefinidamente y bajo este punto de vista el paquete 12de ondas se mueve exactamente como lo haría una partícula clásica. Como ejemplo especial se puede considerar un paquete de ondas gausiano inicialmente centrado en el origen y con un momento lineal promedio p0, "Estas conclusiones no dependen de la forma particular escogida para <¡i(x, /„); se aplican a un paquete de ondas arbitrario.

i,.»™ i

entonces, de acuerdo con la ecuación (74), L ( r ) = L = V/i/ma>

es constante. En otras palabras, la forma de este paquete de ondas es independiente del tiempo. Con esta selección de L, la forma del paquete de ondas coincide con la autofunción del estado base. De hecho, si a una partícula en el estado base de un oscilador armónico se le puede comunicar un momento inicial p0, oscilará indefinidamente con la amplitud y la frecuencia clásicas, y la forma de su función de estado permanecerá inalterable en el tiempo. Ejercicio 6.

(a) Obtener la ecuación (68) de la ecuación (67) (b) Derivar la ecuación (73)

•MUÍ

118

ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO


7. ESTADOS CONTINUOS DE UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO Hasta aquí sólo se han considerado estados ligados, primero en un pozo cuadrado y después en un oscilador armónico. En el oscilador armónico los estados ligados forman todo el espectro. Pero para el pozo de potencial cuadrado también existe un conjunto continuo de estados con energía positiva que se examinará a continuación. Usando la misma notación que en la Sección 3 y con referencia a la Figura 2, se buscan soluciones de

E > O,

(75)

otras se refleja. En la región III, x < —a, aparecerá un paquete de ondas viajando hacia la izquierda además del paquete de ondas que viaja hacia la derecha. Pero, en la región I, x > a, únicamente se encuentra un paquete de ondas viajando hacia la derecha. Si se supone que la anchura del paquete de ondas inicial crece, como consecuencia, su anchura en el espacio de momentos y la extensión en energía se reducen. De hecho, si la anchura del paquete de ondas crece lo suficiente, la incertidumbre en la energía resulta infinitesimal. Además, el tiempo requerido para que el paquete de ondas incidente complete su interacción con el potencial resulta cada vez mayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas muy ancho, la descripción se reduce al de un estado estacionario, para el cual coexisten al mismo tiempo las ondas incidente, reflejada y transmitida. En el ejemplo discutido, se tiene que,

donde,

Región I I I , x < a: feW =/l -V0, O ,

V(x)

-a< x < a Ijcl >a.

Región I, x > a :

El pozo de potencial cuadrado tiene estados ligados únicamente para V0 > O (potenciales atractivos), pero existen estados continuos para V0 < O (potenciales repulsivos), y se considerarán ambos casos. No existe ninguna dificultad en construir las soluciones buscadas, pero sí existe una dificultad en interpretarlas. La naturaleza de esta dificultad es la que se explica a continuación. Para |jc| > a, en las regiones I y III de la Figura 2, la ecuación (75) toma la forma 2mE dx'

fe = 0,

(76)

y por lo tanto las soluciones son oscilatorias. Pueden expresarse como combinaciones lineales de las ondas de de Broglie exp [±iV2mE x/ñ]. Estas soluciones se extienden hasta infinito y no son normalizables, por lo cual, los estados estacionarios no son físicamente aceptables. Para obtener un estado físico verdadero es necesario construir un paquete de ondas como superposición de estos estados. Como ejemplo se considerará un paquete de ondas centrado en algún valor negativo de x que sea grande y viajando hacia el potencial con momento promedio p = V2mE. Este paquete de ondas viajará casi como el paquete de ondas de una partícula libre hasta que llega a la región del potencial. Como resultado de la interacción con el potencial, una fracción del paquete de ondas se transmitirá a través de las paredes del potencial y otra fracción se reflejará. En otras palabras, una partícula que incide sobre un potencial unas veces se transmite y

159

13

fe

+ B e~i

(77)

= C

donde A, B y C son las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y transmitida respectivamente. Al escribir, R=\B¡A\*

(78)

el coeficiente de reflexión R es la probabilidad de que la partícula incidente se refleje, y el coeficiente de transmisión T es la probabilidad de que la partícula se transmita.14 El cálculo de la función de onda del estado estacionario es un cálculo tedioso que se efectúa como sigue. En la región II, -a < x < a, que es la región en la cual el potencial es distinto de cero, la ecuación de Schródinger (75) resulta ser, t/2fe 2m ( E + K ) f e = 0 ~dx*~ T2 y, por lo tanto, la solución general en esta región es, fe = ¿>, exp [/V2m(£+ K 0 ) x/ñ] + b2 exp [-/V2/n(E + V0) x¡h]. (79) 13

Ver la Sección 10, en particular las Figuras 8-13, para la descripción de la solución numérica del problema d? un paquete de ondas incidiendo sobre un pozo de potencial cuadrado.

14

Un conjunto de paquetes de ondas incidentes es equivalente a un haz de partículas incidentes. Por esto, el siguiente lenguaje se usa para describir el estado caracterizado por la ecuación (77): un haz de intensidad relativa o flujo \A\'¡ incide sobre un potencial. El haz refleja2 2 do es de intensidad |fl| = R\A\ y el haz transmitido es de intensidad |C|2 = T]A\*.


ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO

Como en el problema del estado ligado, fa y su pendiente son continuos e n j c = a y e n ^ c = — a. Entonces, para x = a se obtiene que,

Llamando p =B/A a la amplitud del coeficiente de reflexión, después de cierta álgebra se obtiene que,

160

C

iktt e

= b¡ eÍKa + b.2 e~ÍK"

_ ,,-2tV2mE fl/ft

ikC eíka = iK(b, eiKa - b2 e~iKa)

(80)

£ + KQ

sen ( 2 V 2 m ( E + K 0 ) a¡h

P ='

eos (2V2m(£+ ^ 0 ) a/A) - ¡-

y para x = -a,

161

E

° ) sen (2V2m(£-

4, r/ ' ' O

(84)

A e~lka + B elka = b, e~iKa + b,¿ eÍKa ik(A e~ika - B eika) = iK(b, e~'lKa - b2 e+ÍKa),

(81)

en donde se han introducido los dos números de onda

Considerando primero el caso de potenciales atractivos, K0 > O , resulta que, =

i i» =

K0) q/ [^» 2 /4£(£+ô (85) ¿ 2 [V0 /4E(E+ K 0 )]sen ( 2 V 2 w ( E + V 0 ) ei/h)

k =

(82)

V2m(£+K0). ~ h

1

De la ecuación (80), bt y b2 se pueden expresar en términos de C como,

1 + [K 0 2 /4£(£+ í/oJJsen 2 ( 2 V 2 m ( £ + K 0 ) a//l) en donde se ha usado el resultado de que,

=4

T= 1.

\¡:( 1 + ~] eitk-2l0a + \( \ - -|) ei(k+'2KW \ |_2\ KI ¿\ A/ J

Llamando r = C/A a la amplitud del coeficiente de transmisión, se obtiene que 2e-!ka

_C_

_JL_A 2K

2k

eos 2 Ka - ~ (^ + -r } sen 2 Ka ¿VA.

K

y finalmente, (83)

,,-2iV2mr a/fl

sen (2V2/w(£+ K 0 ) a/¡

(87)

de acuerdo a la interpretación dada. También, si T = 1 y R = O, se obtienen resonancias cuando,

k(A e'íka - B eíka =K\±l I + • ? - . ] eiík-2K>a - ¿M - -£ I e™™» \ C.

eos ( 2V2m(£+ !/„) o/ft ) - - í

E(E +

para simplificar las expresiones de los coeficientes de transmisión y reflexión. Como se puede comprobar

y la ecuación (81) resulta ser A e'ika + B eika =

, (86)

2V2m(E+ yH) ci/ñ = mr. El momento lineal de la partícula en el interior del potencial es, p= V2m(E+ VH). Entonces, las resonancias tienen lugar cuando la anchura 2a del potencial es un múltiplo semientero de la longitud de onda de de Broglie h/p en el interior del potencial, resultado que se estableció intuitivamente en el Capítulo I. De las ecuaciones (85) y (86) se puede concluir que cuando E es suficientemente grande comparado con Vü, el coeficiente de reflexión tiendfe a cero y el de transmisión tiende a uno, resultado que se espera en el límite clásico. La aproximación a este límite es sorprendentemente lenta. Si E es de igual magnitud que V0, la probabilidad de que una partícula incidente sea reflejada puede sobrepasar 10 por

162

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD


ciento. Sin embargo, hay que mencionar que para potenciales más realistas que el pozo cuadrado con sus discontinuidades poco físicas, la tendencia al resultado clásico es mucho más rápida.

v= v £--

V =O

Figura 7. Efecto túnel o penetración de una barrera.

Ahora se puede considerar el caso más interesante de potenciales repulsivos Vü < O . Si E +K 0 > O, los resultados anteriores dados por las ecuaciones (85) y (86) siguen siendo válidos. Pero siE + V0 < O, escribiendo F0 = — V, donde V representa la altura de la barrera de potencial, el caso bajo consideración es para E < Fcomo se ilustra en la Figura 7. De las ecuaciones (83) y (84) se encuentra que, R=\ i, = ÍP|

[F 2 /4£(K-£)]senh 2 (2V2m(V-E) a/ft) 1 + [V'2I4E(V- £)]senh 2 (2\f2m(V- E) a¡h)

exp [-

163 (90)

de modo que la desviación del resultado clásico resulta despreciable. Dicho de otra manera, solamente si la barrera de potencial es muy estrecha y la energía potencial apenas negativa, el efecto túnel a través de la barrera resultará significativo. Hay que añadir una observación final. Se ha obtenido una solución de la ecuación de Schródinger que corresponde "a una partícula que incide sobre el potencial desde la izquierda. Se podría haber hecho exactamente lo mismo si la partícula hubiera incidido por la derecha. Esta libertad es el resultado de que existen dos soluciones linealmente independientes para la ecuación de Schródinger de segundo orden de acuerdo con la predicción anterior de que existe una degeneración doble para los estados del continuo que se acaban de discutir. 8. ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD Los potenciales más importantes a nivel microscópico describen la interacción entre partículas y tienen la propiedad de

(88)

1

(89)

1 + [K 2 /4E(F-E)]senh 2

y, naturalmente, la ecuación (87) sigue cumpliéndose. Aquí se tiene un ejemplo del efecto túnel discutido en el Capítulo I. Existe una probabilidad finita de que la partícula se transmita a través de la región prohibida clásicamente, es decir, donde la energía cinética es negativa. Hay que hacer notar que si la barrera es lo suficientemente ancha o la energía cinética muy negativa, se tiene

Es de interés discutir los estados en el continuo para tales potenciales. Por simplicidad, la discusión se restringirá al caso en que V(x) tiende a cero más rápidamente que x~l cuando \x\ tiende a infinito.15 Bajo estas circunstancias no es difícil darse cuenta de que, para \x\ suficientemente grande, la función de estado se puede expresar como combinación lineal de las ondas de de Broglie exp [±A/2m£ x/h], como en el caso del pozo cuadrado. Además, se puede tomar sin alteraciones la interpretación que se ha dado de las soluciones y se puede escribir x -> -o

=A

p e~

r/ft)

(91)

2 V 2 m ( K - E ) a/h > 1.

",

Entonces, como buena aproximación senh ( 2 V 2 m ( K - E ) a/h) ^

(92)

donde se han introducido explícitamente los coeficientes p y r. El conocimiento exacto de la forma de p y de T depende de las caracte-

exp [ 2 V 2 w ( K - E ) a/ft] .

15

En este caso el coeficiente de transmisión es la cantidad pequeña

i , ,r»»,,i i

El caso en que V(x) decae exactamente como l/jc es de mucha importancia, pero requiere un tratamiento especial que por ahora está fuera del presente objetivo.

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD

UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN

fíttfcll dtí pOtendll, pero R = IH 2 representa la probabilidad de que uní partícula se refleje cuando llega al potencial desde infinito y T m |T|" representa la probabilidad de que se transmita. Si esta interpretación es correcta también se exige que se cumpla la ecuación (87), R + T — 1, sin tener en cuenta la forma del potencial. A continuación se comprobará que éste es el caso. Para hacerlo, es necesario volver a la descripción de paquetes de onda, de la cual las soluciones estacionarias son el caso límite. Se designa t// (x, t) a la función de estado y se considera la probabilidad de encontrar a la partícula en una región fija del espacio pero arbitraria entre x = x, y x = x.2a un tiempo t, escogiendo x¡ < x-2. Esta probabilidad es, P(xí,x.2; t)= \

dx

i|

dx

165 (95)

La interpretación de este resultado es la siguiente. El cambio por unidad de tiempo de la probabilidad de encontrar a la partícula en el intervalo entre x, y x 2 , d P / d t , es la diferencia entre la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula entre en Xi, i(xt,t), y emerja en xz, 7'(x2, t). Por lo tanto, / (x, t) tiene el significado de un flujo de probabilidad o corriente, dirigido hacia x positivas.16 La ecuación (94) establece la conservación de la probabilidad, aplicada a una región finita más que a todo el espacio. La aplicación particular que se intenta se refiere a un estado estacionario como límite de un paquete de ondas. En este límite, se tiene que

(93)

J x\

y, como se indica, es una función del tiempo. Específicamente, a medida que el paquete de ondas recorre la región del espacio bajo consideración, se espera queP(x,, x.2; Acrezca desde un valor inicial despreciable hasta un valor cercano a la unidad y posteriormente decrecer prácticamente hasta cero. Se tiene

x-+-<»,jo=\A\*v(i-\p\*) = M I M í - / ? )

-~L r

3 P ( x l , x 2 ; t) dt

y, por lo tanto, se concluye de la definición (93) que P(x,,x-2; t) es independiente del tiempo. Entonces, el miembro izquierdo de la ecuación (94) se anula y se concluye que, para x¡ y x.2 arbitrarias, /(Xi) = /(x2) por lo cual/(x) es una constante, /<>. Para \x\ -> », i//£(x) viene dada por (91) o (92) y se verifica fácilmente que, , 70= M I 2 v M 2 = \A\2vT donde v = V2/nf//i es la velocidad clásica de la partícula. Ya que éstas tienen que ser iguales se concluye que R+T—l. La forma de j0 en cada región es la esperada, como lo demuestra el siguiente argumento. Para la región donde x —» w ^f está dada por (92) y

dt

o bien, ya que i/» es una solución de la ecuación de Schródinger

se obtiene que, donde p(x) es la densidad de probabilidad. Entonces, el flujo de probabilidad / es pv, como en hidrodinámica. Análogamente, para x -* — oo . El flujo de probabilidad resultante es la diferencia entre el flujo hacia la derecha \A \2¡v y el flujo independiente hacia la izquierda \A\*vR.

d~t =

+

ñ

= A fJ2

d2\¡j dx-

~ 2m J.,

Jh_ 2m

, a«í» dx

^ dx

dx

16

Es útil comparar este resultado y su interpretación con el de la conservación de la carga. Sea Q(x¡ , x.¿ ; / ) la carga neta entre los puntos x, y x., de un alambre muy largo y sea I(x, t) la corriente eléctrica que fluye por el alambre calculada en x, tomando la dirección del flujo hacia las x positivas. Entonces, en un intervalo de tiempo 8 1 , la carga neta que entra al alambre en x.\ es I(x, , t) 8 1, y el que sale por x.2 es I(x-¿, t) St. Por lo tanto, el incremento neto en la carga, 8(3, is [ l ( x , , t ) — / ( . v 2 , / ) ] St, o sea

dx.

Siendo el miembro derecho una diferencial exacta se obtiene,

dp(xldí,x.2-n= j\( donde

0

.(

}

(94) que tiene la misma forma que la ecuación (94) y afirma la interpretación de / como una corriente (probabilidad).

^1

166


PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVÉS DE UN POTENCIAL

Se observa que los términos de interferencia entre las ondas incidentes y reflejadas se han cancelado completamente (¿por qué?).

do. En primer lugar se observa que al despreciar el segundo término de la ecuación (97), se tiene que,

9. PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVÉS DE UN POTENCIAL

Hasta aquí se han considerado las soluciones estacionarias no físicas como el límite de paquetes de ondas muy anchos. Los argumentos de este proceso límite fueron cruciales en la interpretación de las soluciones, pero son irrelevantes respecto a las propiedades matemáticas de las soluciones. Independientemente de esta interpretación se tiene la libertad de considerar los estados estacionarios como estados idealizados a partir de los cuales se pueden construir, por superposición, estados físicos. La forma de hacerlo se exhibe a continuación. Ya que fe forma un conjunto completo, una solución de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo se puede escribir como, *, O = /

e-iE"*f(E)

dE,

(96)

donde la integral se extiende a los estados del continuo y también debe de incluir a los estados discretos, si es que existen. El paquete de ondas que se quiere construir está centrado en x grande y negativa a t=0, por ejemplo en x= —x0,y se mueve hacia la derecha con momento promedio Po = V2m£0 • Para je grande y negativa, fe está dado por la ecuación (91). Absorbiendo la amplitud arbitraria yl en/(£), cuando x —» — oo se tiene que, i//(jc, /) =

r/ft + p(E) É.

1 67

o bien que, , 0) = / g(E - E0)

¿E

donde h(x + x0) es la envolvente del paquete inicial, centrado en x = —x0. Puede simplificarse de la forma siguiente. Ya que g (E— £„) tiene su máximo principal E =£„ , se introduce una variable nueva r¡ , escribiendo E = E o + 17 . y al desarrollar en serie de Taylor se obtiene que, VlmE = ~ Po + — Po

+

Entonces, al despreciar el término de orden superior se obtiene que, h(x + x0) - / #(17) exp [/(W/P O )T) (x + x0)lñ] di).

(99)

Para obtener el paquete de ondas transmitido cuando x —»+oo, se usa la ecuación (92), obteniendo que, fy(x, t) = //(£)T(£) exp \i\J2mEx\h — iEt/h] dE = exp [/ [p0(x + x0) -*- E0t]/h] S g(i?M£0 + 17) X exp [i[mlpo (x + *0) - í] rj/ft] dr¡. Recordando que \r\2 —T, se escribe que,

Si se escoge f(E) como, = g(E - E0)

(98)

donde g es máximo en E = £„, se habrá construido el paquete de ondas deseado ya que estas expresiones se reconocen como equivalentes a las representaciones en el espacio de momentos de un paquete de ondas. El primer término en la ecuación (97) representa el paquete de ondas inicial, partiendo de x= —x0 y moviéndose hacia la derecha. El segundo término inicialmente es despreciable, pero después de transcurrir el tiempo necesario para que el paquete se refleje, o sea, después de un tiempo del orden de (*0 + *i) m/Po , se obtiene un paquete de ondas reflejado en x = xv. Esto se puede verificar directamente, pero está garantizado por el principio de correspondencia y se demostrará cómo usarlo para el paquete de ondas transmiti-

T(£ O + rj) = V7(£ 0 + T,) eME^\

y se supone que T(E) es una función de E que varía lentamente, pero que 8 (E) no varía necesariamente de esta manera. En otras palabras, se hace la suposición de que la magnitud del coeficiente de transmisión no cambia mucho cuando E varía poco, pero su fase cambia significativamente. Con esta superposición, T(£ O + T)) = V7(£ 0 ) exp [/S(£ 0 ) + /TJ dS/dEo] = T(£ O ) e , t) = T(£ O ) exp [i[p0(x + x0) - £„/]/*]/ g ( n ) X exp [i[mlp0(x + xa) —t + hd8ldE0]r)/h]

drj.

1 68


SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHR6DINGER

Al comparar con la ecuación (99) se encuentra que, para x —> +00, T(£O)

-f(t-fi

169

10. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRODEVGER

d8/dE0)

X exp [i[p0(x + x0) - E0t]/h] .

(100)

Con esta aproximación, el paquete transmitido no se distorsiona pero su amplitud se reduce en T(£O) , el coeficiente de transmisión. El paquete aparece en la posición x al tiempo t dado por, m

= — i(x Po

El primer término se reconoce como el tiempo empleado por una partícula libre de momento p0 para viajar de -x0 a x. El segundo término es el incremento en el tiempo introducido por las fuerzas que actúan sobre la partícula durante su paso a través del potencial. Llamando a este incremento A/ se tiene que,

—I-

(101)

Convendría recalcar que estos últimos resultados únicamente son aproximados en la naturaleza. Para obtener las ecuaciones (100) y (101) se han hecho dos suposiciones muy diferentes. La primera se refiere a que en los desarrollos de Taylor en torno a E0 los términos cuadráticos en 17 y de origen superior se han despreciado. Estos términos provocan que el paquete de ondas se desparrame análogamente al paquete de ondas de una partícula libre. La discusión del Capítulo IV muestra que el aumento en la anchura es despreciable si el paquete de ondas es suficientemente ancho. La segunda suposición se refiere a que la magnitud del coeficiente de transmisión r no cambia significativamente sobre la anchura en energía del paquete de ondas. Los términos que se desprecian en este caso, conducen a una distorsión del paquete de ondas, pero es despreciable si los paquetes de ondas son suficientemente anchos. Aunque los paquetes de onda se desparramen algo y sufran alguna distorsión, las características cualitativas de los resultados no resultan muy afectadas. Un paquete de ondas transmitido sí aparecerá y su retraso en el tiempo estará expresado por la dependencia de 8 de la energía. Estas características forman el contenido esencial de las ecuaciones (100) y (101).

.rtMÉIÉM.!

Hasta aquí, todo el esfuerzo ha estado dirigido a encontrar soluciones de la ecuación de Schródinger por métodos analíticos. Pero, como actualmente se dispone de computadoras modernas y rápidas, se ha vuelto relativamente fácil y rutinario obtener estas soluciones numéricamente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias que definen los estados estacionarios, pueden integrarse numéricamente en cuestión de segundos o fracciones de segundos, para los estados ligados y los estados continuos, y también para funciones potenciales complicadas. Sin embargo, la ecuación diferencial parcial de Schródinger dependiente del tiempo, es bastante más complicada y su solución, aunque posible, resulta ser un esfuerzo significativo aún para las computadoras más rápidad y mayores. Como resultado, la dependencia en el tiempo del movimiento de paquetes de onda todavía no se ha estudiado extensamente por métodos numéricos y el conocimiento de los detalles de su comportamiento es semicuantitativo. La discusión de la última sección es típica a este respecto. Esta situación ha mejorado mucho últimamente debido a la construcción de soluciones numéricas exactas para un paquete de ondas gausiano que incide sobre un pozo de potencial cuadrado.17 Los resultados se muestran para diferentes circunstancias de la Figura 8 a la 13.18 En las figuras 8, 9 y 10, un paquete de ondas incide sobre un potencial atractivo con profundidad y anchura fijas, cuyo comportamiento se estudia variando la energía promedio del paquete de ondas. Las figuras se explican por sí solas, consistiendo de una secuencia de instantáneas que muestran el paquete aproximándose al pozo, interaccionando con él y generando paquetes reflejados y transmitidos. En la Figura 8 la energía promedio del paquete es la mitad de la profundidad del potencial atractivo; en la Figura 9 esta energía es igual a la profundidad del pozo y en la Figura 10 es el doble de la profundidad del pozo. De acuerdo con lo esperado, el paquete reflejado decrece rápidamente en magnitud al crecer la energía 17

A. Goldberg, H.M. Schey y J. L. Schwartz, "Computer-Generated Motion Pictures of OneDimensional. Quantum Mechanical Transmissión and Reflection Phenomena", American Journal ofPhysics, 35, 177(1967).

18

*

En estas figuras, la envolvente de los paquetes de ondas está dibujada en una escala arbitraria para la densidad de probabilidad, mientras que el potencial está dibujado en una escala independiente de la energía. La altura del paquete respecto a la magnitud del potencial no tiene ningún significado. El pozo podría dibujarse un décimo más corto o diez veces mal largo, sin afectar el comportamiento exhibido del paquete de ondas.

"™'"""'''fHÍ»||^^^^^B

170


SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHR5DINGER

y para la energía más alta se alcanza el límite clásico de reflexión. Las Figuras 11, 12 y 13 muestran el comportamiento de los paquetes para el mismo conjunto de energías, pero incidiendo sobre un

potencial repulsivo o barrera. En estos casos, se pasa de una reflexión casi total para energías bajas a una transmisión casi total a energías altas, de acuerdo con el comportamiento clásico. El caso de energías intermedias, en el cual se forman paquetes transmitidos y reflejados, es interesante porque inesperadamente queda atrapado den-

200

0

240

A u Au

A

300

A/ \

/

A

J

U 440

350

/

\

, V

360

280

0

u

520

J

680

U

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v

600

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f

J"^ \V

^T~ ~TT~^T~

640

V

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500

i '¡

u

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U

400

171

A J V

700

800

950

A /

U

Figura 8. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La energía promedio es la mitad de la profundidad del pozo. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

^é V

[¡

r

J

1

v

U

Figura 9. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La energía promedio es igual a la profundidad del pozo. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

172

ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRoDINGER

tro del potencial una parte de los paquetes de ondas, como lo muestra la Figura 12(b). Estos resultados exactos demuestran clara y explícitamente las afirmaciones anteriores respecto al comportamiento cualitativo de paquetes de ondas. Claramente es visible la formación de los paquetes reflejados y transmitidos, y que el paquete de ondas se desparra-

0

480

560

720

880

960

1040

1200

1520

173

ma gradualmente al transcurrir el tiempo. Como se esperaba, este último hecho es menos notorio para paquetes con energía alta que para paquetes con energía baja (¿por qué?). Sin embargo, los paquetes sufren un distorsión despreciable, por lo menos visualmente. Esto es bastante sorprendente al considerar la estructura fácilmente visible y muy complicada que se genera durante el período de interacción

O

200

240

280

320

440

480

560

800

U

A Figura 10. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La energía promedio es dos veces la profundidad del pozo. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

Figura 11. Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. La energía promedio es la mitad de la altura de la barrera. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

174

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER

, tÍÍIHiillPPMHIIttU EN UNA DIMENSIÓN

entre el ptqitt^ <^<%l)fOtendal. El incremento en tiempo asociado con el plMldll paquete I través del potencial, aunque está presente, es demasiado pequeflo para que aparezca en la escala de tiempo de las figuras. Este capítulo se puede concluir con algunas observaciones sobre los métodos más usados para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales, tales como la de Schrodinger.19 En primer lugar se considerarán estados estacionarios, para los cuales se quiere resolver la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, que se escribe en la forma ¿+/(*)!/» = O

ma se puede resolver construyendo un par de ecuaciones de diferencias para estas cantidades. Se considera la expresión

o

400

300

A

O

(102)

donde el punto sobre un símbolo significa diferenciación respecto a x y donde, /(je) =~ (E- V).

(103)

1 75

600

650

700

800

1050

1450

Se supone que /Ce) es una función conocida. Una solución numérica de la ecuación (102) significa el conjunto de valores de i|» y i|» con exactitud prevista y dados en un conjunto discreto de puntos xn, llamados puntos reticulares o puntos de la malla.20 Estos puntos se toman equidistantes entre ellos, con espaciado e, escribiendo (104) « = 0,±1,±2,. Como se busca la solución de una ecuación diferencial de segundo orden, es necesario fijar dos constantes de integración para especificar la solución, tomándolas como los valores de «/> y i¿) en algún punto fijo que se escogerá por conveniencia el origen. El problema puede establecerse en la forma siguiente: dadas <|» (0) y \¡i (0), construir !//(*„) y «¿ (xn) en los puntos reticulares que sean de interés.21 Este proble19

Para una discusión general, ver la referencia [7] Capítulo 13 y la referencia [9], Capítulo 10. Para la aplicación a la ecuación de Schrodinger en el caso de estados ligados, ver R. S. Casvell. "Improved Fortran Program for Single Particle Energy Levéis and Wavefunctions in Nuclear Structure Calculations". National Bureau of Standards Technical Note 410, Superintenden of Documents, U. S. Coverment Printíng Office (1966). Para estados continuos ver M. A. Melkanoff, J. S. Nodvik, D. Cantor and D. S. Saxon, A Fortran Program for Elastic Scattering Analyses with the Nuclear Óptica! Model. University of California Press (1961), especialmente ver pp. 24-29, y M. A. Melkanoff, T. Sawada y J. Raynal, "Nuclear Optical Model Calculations", en Methods of Computational Physics, Vol. 6, Academic Press (1966). Este último hace una relación bastante completa y al día.

"° Solamente i|i y i¿ necesitan considerarse porque todas las demás derivadas superiores se expresan en términos de estas dos usando la ecuación (102). " Si la normalización de la función de estado es arbitraria, solamente la razón de i¿i(0) a i/<(0) necesita especificarse.

\ Figura 12(a) • Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. La energía promedio es igual a la altura de la barrera. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias. Notar el efecto de resonancia, para el cual una parte de la distribución de probabilidad permanece durante un tiempo largo en la región del potencial.

• i,,i¡

176


SOLUCION NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHR6DINGER

y se desarrolla en serie de Taylor el miembro derecho, obteniéndose ,) = •/,(*„) + €
*(*») + 0(e 3 ),

1600

A

2100

177

tos reticulares. Evidentemente el error mínimo en i/» es de orden €3 y 2 en «¿ de orden de e . Este esquema es lo bastante simple para que la idea básica quede clara, pero es demasiado crudo para ser útil. El método generalmente usado, llamado de Runge-Kutta, usa la regla de Simpson para la in-

A

,—,

2450

Figura 12(b) Detalles del decaimiento del estado resonante que se ve en la Figura 12(a).

y usando la ecuación (102) se tiene que, *(*„) + 0(e 3 ) .

(105)

Esta ecuación permite calcular
= *(*„)-

/(*)*(*)
de donde i-€/(*„)•//(*„)+0(e 2 ). (106) Esto completa el formalismo, porque al dar «/» (0) y ^ (0), se usan (105) y (106) para calcular i / r ( e ) y « / » ( e ) . El resultado permite calcular i/> ( 2e ) y i/» ( 2e ), recorriendo de esta manera el conjunto de pun-

Figura 13. Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. La energía promedio es dos veces la altura de la barrera. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

178

tegración numérica que lleve a las ecuaciones (105) y (106).22 Las expresiones que resultan son demadiado complicadas como para escribirlas, pero son apropiadas para el cálculo de máquina y permiten el uso de valores mucho mayores que las expresiones dadas anteriormente para e. La construcción de soluciones numéricas para estados ligados y estados continuos, siguen procedimientos diferentes y se tratan a continuación. Estados Ligados.23 En este caso, los autovalores desconocidos que se tienen que determinar son los valores discretos de la energía. Se procede en la siguiente forma. Se suponen autovalores de la energía en orden creciente En, para n = O, 1, 2, 3,... La solución matemática de la ecuación de Schródinger tiene la propiedad de que si E < E0, $ no tiene nodos; si £0 < E < E,, i/> tiene un nodo, y así sucesivamente. Entonces, los autovalores surgen por la aparición (desaparición) de un nodo para valores infinitos de x, que a su vez están señalados por el cambio de signo de la forma en que
Caswell, op. cit.

" Melkanoff, et al, op. cit. 25

119


Goldberg, Schey y Schwartz, op. cit.

E. > Ec

Figura 14. Comportamiento esquemático de la solución de Schródinger para varios valores de prueba de E en la vecindad de la energía del estado base E9. El comportamiento de estas soluciones muestran que Eb < £„ < Et.

cir una malla o retícula en la coordenada temporal tanto como en la coordenada espacial. Entonces, el problema numérico es el siguienteDada i/< en cada punto reticular espacial para el tiempo /„ , calcular \¡i en cada punto reticular espacial t n +i , partiendo del valor inicial de i/> en t = 0. Hay que notar que en este caso se tiene que especifi" car una función completa para definir una solución, en contraste cofl el caso independiente del tiempo donde sólo se necesitan dos números i/» (0) y ,jf (0). El problema todavía se complica porque es necesario evitar inestabilidades26 numéricas y asegurar la conservación de la probabilidad. Las ecuaciones que resultan, son ecuaciones en diferencias de segundo orden en la coordenada espacial y de primer orden en el tiempo, pero son largas y complejas, por lo cual no se escribirán explícitamente. Problema 1. Obtener el espectro de energías y los autoestados de una partícula en una caja, partiendo de los resultados para una partícula en un pozo de potencial cuadrado de profundidad V0 al pasaf al límite V0 -» <». Verificar que los resultados son los mismos qu« los obtenidos directamente en el Capítulo IV. Sugerencia: Medir todas las energías desde el fondo del pozo antes de proceder al límite. Problema 2. Si
(a) <*»| (b>' <• acumulan de tal manera que la solución numérica diverge de la solución verdadera en form* incontrolable.

180

181


PROBLEMAS

(d) (4 (e) (4 (f) <
Problema 5. Considerando los botes de una pelota de masa m, suponer, (1) que el movimiento es exactamente vertical, (2) que las colisiones con el piso son perfectamente elásticas y (3) que la fuerza de gravedad es uniforme. (a) Esbozar el potencial en el cual se mueve la pelota. Establecer la ecuación de Schródinger y dar las condiciones a la frontera satisfechas por i|». (b) Demostrar que los estados estacionarios del sistema pueden expresarse como funciones Bessel de orden un tercio. (c) Encontrar la ecuación trascendente que determina las energías permitidas.

Problema 3. Un oscilador armónico simple de frecuencia «0 se encuentra en su estado base. A t = O la fuerza constante disminuye repentinamente hasta un valor tal que la frecuencia resulta,(l) o* = o*0/2; (2) o> = 0*0/10. Para ambos casos: (a) Calcular \(i(x, t = 0). (b) Calcular \ji (x,t). Dibujar el comportamiento de |«//|2 durante un período. (c) Si el momento de la partícula se mide al tiempo t > O, calcular la probabilidad de que se encuentre entre pyp+dp. (d) Si se mide la energía de la partícula, calcular la probabilidad de que tenga el valor En = (n + 1 /2)fto>. (Usar la representación integral de la ecuación (61) para resolverlo). Calcular el valor de n para el cual esta probabilidad sea máxima. Discutir los resultados brevemente. Problema 4. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de anchura 2a y profundidad F0. Considerar el límite en el cual 2a tiende a cero y K0. a infinito, en tal forma que su producto se aproxime al valor finito g. Considerando las soluciones del pozo cuadrado discutidas en el texto, demostrar que este potencial tiene exactamente un estado ligado y que, (a) su energía de ligadura es e = g'2m/2h'2. (b) su autoestado normalizado es (2/ne/A 2 ) 1 ' 4 íf-v'5'"«l*"ft. A continuación considerar los estados continuos. De las soluciones dadas en el texto, (c) encontrar la amplitud de los coeficientes de reflexión y transmisión y comprobar que la probabilidad se conserva. (d) Finalmente, ya que este potencial puede expresarse como una función delta, V(x) = — g8(x) (¿porqué?), intentar deducir que la pendiente de Atiene que ser discontinua al cruzar este potencial. En particular, demostrar que i/» es tal que, ~ 2mg ft2 dx dx Usar este resultado para obtener directamente las respuestas a las partes (a), (b) y (c).

Problema 6. Una partícula de masa m se mueve en un potencial atractivo V(x) = ~V0e-MIL. (a) Haciendo la substitución z —e~XIZL demostrar que los estados estacionarios pueden expresarse en términos de funciones Bessel. (b) Como los estados estacionarios pueden clasificarse de acuerdo a sus paridades, encontrar la ecuación trascendente que determina la energía de los estados ligados del sistema. (c) Considerar los estados continuos E > 0. Encontrar expresiones para las amplitudes de los coeficientes de reflexión y de transmisión. Verificar que la probabilidad se conserva. (d) Encontrar una expresión para el incremento en el tiempo Ai asociado con el paso de, un paquete de ondas a través del potencial;. Comparar los resultados con el que se esperaría clásicamente. Problema 7. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de profundidad V0 y anchura 2a. Considerar únicamente estados continuos en el límite E > F0 y usar las soluciones obtenidas en el texto: (a) Demostrar que la amplitud del coeficiente de transmisión r está dado por, T(£) = exp[íK 0 Vm/2E 2a/ft] y calcular el incremento en el tiempo al pasar un paquete de ondas a través del potencial. Explicar los resultados. (b) Demostrar que para las ondas reflejadas, ]- exp[2i VlmEa/h]]. (c) Usando el mismo método que el usado para obtener las ecuaciones (100) y (101), demostrar que existen dos contribuciones al pa-

182

183


PROBLEMAS

quete de ondas reflejado y calcular el tiempo de llegada a x = — xt. Explicar los resultados.

pació de momentos. ¿Cuáles son las propiedades explícitas del operador de paridad en el espacio de momentos?

Problema 8. Una partícula se mueve en un campo de fuerzas uniforme F. (a) Escribir la ecuación de Schródinger en el espacio de momentos. (b) Encontrar los estados estacionarios E(p) (c) Dado un paquete de ondas inicial (j>(p,t=Q), encontrar $09,0Hacerlo, construyendo primero el propagador en el espacio de momentos K(p,p;t\ (d) Usar los resultados para obtener una representación integral para ty(x,t), si se da
Problema 14. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuencia clásica w se encuentra en su estado base en un campo eléctrico uniforme. Al tiempo t= O, el campo eléctrico repentinamente desaparece. (a) Usando las propiedades conocidas del propagador, encontrar una expresión cerrada y exacta para el estado del sistema a cualquier tiempo t > 0. Comparar los resultados con los del oscilador clásico. (b) Si las mediciones se hacen al tiempo t >0, calcular la probabilidad de que el oscilador se encuentre en su n-ésimo estado. Sugerencia: Introducir un desplazamiento del origen para encontrar el estado inicial exacto.

Problema 9. Un oscilador armónico se encuentra en el estado

Problema 15.

donde t|/0 y fyl son estados normalizados del oscilador armónico correspondiente al estado base y al primer estado excitado. Calcular (E), (x) y { p ) y discutir la dependencia en el tiempo para cada uno. Problema 10. Calcular el flujo de probabilidad/ (jc.f) para cada estado del problema 9. Problema 11.

(a) Demostrar que las funciones de onda de los estados estacionarios ligados siempre se pueden escoger como funciones reales sin perder generalidad. (b) Demostrar que la corriente de probabilidad / (x,t) es cero para cualquier estado estacionario ligado. Problema 12. Una partícula de 10 gm. realiza un movimiento armónico simple con frecuencia de 2 ciclos por segundo. Si se encuentra en el estado más bajo, calcular la incertidumbre en su posición y en su momento. Si la partícula efectúa el movimiento con una amplitud de 10 cm., calcular su energía y el orden de magnitud de los números cuánticos correspondientes a los estados de esta energía. Problema 13. Demostrar que una función de estado con paridad definida en el espacio de configuración, tiene la misma pandad en el es-

(a) Una partícula se mueve en un potencial F(x). Los estados estacionarios <|/E del sistema tienen las propiedades siguientes: ( i) El espectro es discreto para E < O, y continuo para E *= 0. ( ii) Existe un número infinito numerable de estados ligados. (iii) Para cada estado ligado y para cada entero q,

Esbozar un potencial V (x) simple y suave que sea consistente con estas propiedades. Explicar brevemente los razonamientos. (b) Hacer lo mismo, pero en lugar de (ii) tomar un número (pequeño) finito de estados ligados. (c) Lo mismo que en (c), pero cambiando la propiedad (iii) por; (iiia) el valor de expectación de x es cero para el estado base, pero crece monotónicamente con la energía de excitación (solamente estados ligados). (d) Supóngase que en el caso (b) la energía del estado base del sistema es £"„= - 2 eV y que (Eo\x2\Êo) = 4 X 1Q-'8 cm 2 . Si la masa de la partícula es de 10~27 gm, estimar la intensidad de V(x) en electrón voltios y su extensión en angstroms, o sea, dar una escala numérica aproximada para dibujar la parte (b). Sugerencia: usar el principio de incertidumbre para hacer las estimaciones. Problema 16. El hamiltoniano de una partícula puede expresarse en la forma, // = €, a+a + €2(a + a+),

(a,a+) = l,

184

185


PROBLEMAS

donde e¡ y e 2 son constantes. (a) Encontrar las energías de los estados estacionarios. (No se necesitan encontrar las funciones de estado correspondientes). (b) Lo mismo, excepto que el conmutador de a y a+ es,

(b) Resolver el problema del oscilador clásico usando como varia* bles dinámicas clásicas a y at en lugar de x y p.

donde q es un número. Sugerencia: Teniendo en cuenta el oscilador armónico, introducir nuevos operadores de aniquilación y creación b y b+ mediante, y escoger las constantes « y @ acertadamente. Problema 17. Tomar 0(x,í) como una función de estado arbitraria correspondiente al oscilador armónico dependiente del tiempo. Demostrar que, { x ) ( = { x > 0 costo t +

(p)t

=

Problema 19. Usando la regla dada por las ecuaciones (105) y (106) para la integración numérica, integrar la ecuación diferencial,

desde x = cero hasta uno para los siguientes dos casos; (a) 0(0)= O, 0(0) = 1 (b) 0(0) = 1, 0(0) = 0. En ambos casos usar un tamaño reticular e = 0.2. Comparar los resultados con las soluciones exactas.

sinw /

(p)o costo t — m
en correspondencia completa con las ecuaciones clásicas. Hacerlo en las dos formas siguientes: (a) Encontrando expresiones para d(p}¡dt y d(x)¡dt e integrando las ecuaciones acopladas que resultan. (b) Por cálculo directo de ( x ) t y ( p ) t , usando el propagador oscilador armónico para expresar \¡i(x, t) en términos de 0(x,/)Problema 18. (a) Sea 0(x,í) una función de estado arbitraria correspondiente a un oscilador armónico dependiente del tiempo. Demostrar que, (a)t=(a)0e-t»t,

< a t > , = . *tof.

Hacerlo en las tres formas siguientes: i) Encontrando expresiones para d(a)¡dt y d(af)/dt e integrando las ecuaciones que resulten. ii) Calculando directamente ( a ) , y < a t ) , , usando el propagador dado en la ecuación (68) para expresar 0(x,f) en términos de
I„

LA APROXIMACIÓN WKB

\ 37

cas en la mitad del siglo diecinueve. Estas técnicas fueron redescubiertas por Wentzel, Kramers y Brillouin y también, independientemente, por Jeffríes. Por ello, el método algunas veces se llama la aproximación WKBJ. Para seguir adelante, se considera una partícula moviéndose en un potencial F(x), por lo cual la ecuación de Schrodinger para estados estacionarios tiene la forma usual,

VII Métodos aproximados

~2^^^K

Wt//i W = tt//£ W

'

'

'

U)

y se quiere estudiar el límite para el cual h tienda a cero. Sin embargo, no se puede proceder directamente con la ecuación (1) tal como está escrita, ya que t//E oscila tan rápidamente en este límite que el primer término da una contribución finita y no cero, como se esperaría. Para mostrar explícitamente este comportamiento se escribe <|»£ en la forma, i¡iE(x)=A(x)

1. LA APROXIMACIÓN WKB En el capítulo anterior se estudiaron las soluciones de la ecuación de Schródinger para el oscilador armónico y para el pozo de potencial cuadrado. Son dos ejemplos de potenciales muy importantes para los cuales se pueden obtener soluciones exactas de las ecuaciones cuánticas. Aunque existen muchos potenciales de este tipo en una dimensión, en general se tratará con potenciales para los cuales no se pueden encontrar soluciones exactas1 Para poder tratar este tipo de problemas se estudiarán diferentes métodos de aproximación, cada uno con su dominio de validez. Para empezar se discutirá un método para tratar potenciales que cambien muy lentamente en una longitud de onda de de Broglie. Para sistemas clásicos la longitud de onda se aproxima a cero, restricción que siempre se satisface para potenciales que se pueden realizar físicamente. Principalmente, este método lleva al límite clásico y, por ello, frecuentemente se llama la aproximación semiclásica. Sin embargo, más a menudo se llama la aproximación WKB, debido a Wentzel, Kramers y Brillouin, que fueron los primeros que aplicaron el método a problemas cuánticos. Este tema es muy viejo para los matemáticos que lo estudiaron como soluciones asintóticas de las ecuaciones diferenciales y se origina en Stokes que inició estas técni1 Se presenta más comunmente en tres dimensiones y en el estudio de sistemas de partículas en interacción. Como se verá más adelante, en ambos casos, el número de problemas que se pueden resolver en forma exacta es muy limitado.

(2)

que es un tipo de onda de de Broglie generalizada, con amplitud A(x) y fase S(x), que son funciones de la posición, todavía desconocidasi.2 Al diferenciar dos veces, la ecuación (2) resulta ser, dx2

=\d*A--l.',-4d.dS.i_. ¿jS_^ ídSYl [ dx2 •*• ¿l dx dx + hA dx2 h2 \dx) J

y substituyendo en la ecuación de Schrodinger, cancelando el factor común eisih y reagrupando los términos, resulta la ecuación exacta no lineal. J 1 (dS\*

... ,

_]

ih \^dAdS

A\—[-r-] + V(x) —E — r— 2 -7- ~r [_2m\dx) ' J 2m\_ dx dx

dx2 J

n — - -- — = Q. 2m dx*

Considerando a ft como parámetro de pequenez, el primer término es del orden de la unidad, el segundo término es del orden de h y el último del orden de h2 . Provisionalmente se desprecia el término en ft*. y se hacen cero por separado los otros dos términos, determinando de esta manera S y A. Del primero se obtiene,

2 Esta forma puede parecer muy especial, pero no se pierde generalidad al usarla. Se han introducido dos funciones desconocidas en lugar de una sola. Más adelante se usará como ventaja esta redundancia escogiendo S y A en forma particular y muy conveniente.

188

MÉTODOS APROXIMADOS


o bien,

2-n e.

dx.

(4)

Si la longitud de onda no es constante, pero cambia con la posición, entonces, la acumulación del desfasamiento para un avance finito es,

Usando este resultado el segundo término resulta3 ,

= \ y- dx= f p dx/ñ,

J

o bien, multiplicando por A y combinando los términos,

d , ., ,

(5)

De la ecuación (2), Ê*Ê — A2, para A y S reales. Entonces, esta última ecuación meramente establece la conservación de la probabilidad, ya que es equivalente a dj/dx=Q, donde el flujo de probabilidad /, en la aproximación que se está considerando, se expresa como j = pv = \I>E*¡!IE P/m = A 2p/m.

de acuerdo con el resultado anterior, aunque este argumento se basa en la noción de una longitud de onda dependiente de la posición. Pero el concepto de longitud de onda pierde su significado si la longitud de onda no es prácticamente constante en una distancia del orden de la longitud de onda reducida. Por lo tanto, se espera que la presente aproximación sea válida si la longitud de onda cambia por una fracción muy pequeña sobre la distancia anterior. Esto es, se espera que i l , donde 8A. = (d\/dx)k, y que d*. dx

De la ecuación (5) se obtiene, A=c¡Vp,

donde c es una constante arbitraria y, por lo tanto, la solución aproximada tiene la forma

1

(7)

para que la aproximación WKB sea válida. Expresando A en términos de p, la desigualdad es equivalente a dx

dx

(8)

y expresando p en términos de E y F,

donde =

1 a _

V2m[É-V(x)].

(E - y)312 dx I

Esta solución está expresada en términos de una integral indefinida. Puede expresarse en términos de una integral definida si se toma el valor de «M*) en algún punto fijo jc0. Al hacerlo se obtiene que, */=(*) =

exp[±/£p dx¡h\.

(6)

La estructura del resultado WKB es fácil de entender. Ya se vio que la función de amplitud está determinada por el requisito de que la probabilidad se conserve. El factor de fase se interpreta de la siguiente forma. El cambio de fase &P de una onda de de Broglie de longitud de onda X al avanzar una distancia 8x es 9

189

La ecuación (4) se reconoce fácilmente por el lector que esté familiarizado con la formulación de la mecánica clásica de Hamilton-Jacobi (Referencia (14) ).

(9)

La ecuación (8) establece que el cambio fraccional del momento lineal debe de ser pequeño en una longitud de onda, pero la ecuación (9) establece que, en una longitud de onda, el cambio de la energía potencial debe de ser pequeño respecto a la energía cinética. Otra forma de establecer estas condiciones sería exigir que la longitud de onda sea pequeña comparada con la distancia sobre la que el momento lineal cambia apreciablemente, o bien, sobre la cual el potencial cambia apreciablemente. Naturalmente, las ecuaciones (7), (8) y (9) son equivalentes y son diferentes formas de establecer la misma condición. Aunque se han seguido argumentos clásicos para obtener la aproximación WKB, de la ecuación (9) se observa que, como beneficio adicional, la aproximación también es válida en regiones prohibidas clásicamente donde la energía cinética es negativa, a condición de que

190



esta energía negativa sea suficientemente grande y cambie lentamente. Por otra parte, en la vecindad de un punto de vuelta clásico donde E = V, p=0 y ft. = °°, la aproximación falla completamente. (Estos dos temas se volverán a tratar más adelante). Todavía faltaría establecer con mayor precisión la condición para la validez de la aproximación WKB. Para hacerlo, es conveniente volver a la ecuación exacta (3) que fue el punto de partida y tomar en consideración el término despreciado4 en ñ2 . Al incluir este término, la función de fase S se determina mediante la ecuación, + V(x)

_ * i ^ d2 = 0 2m dx

o bien, por

A primera aproximación, el efecto del término pequeño en tiene desarrollando la raíz cuadrada,

dS

Por lo tanto, se concluye que la aproximación WKB es válida cuando ~

dxp~112

AS

_ _ , . . . h2 d2A

1,

(10)

dx\J2p-ll-/dx2

h

se ob-

(d2p-ll2/dx2)

que es la condición precisa que se buscaba. Es necesario hacer notar que esta condición contiene algo más que el comportamiento local de p(x); toma en cuenta el error acumulado en la función de fase S en todo el intervalo, desde el punto de referencia x0 hasta el punto x donde se calcula la función de estado. Debido a que la ecuación (10) es complicada y difícil de interpretar, se establecerá una cota superior aproximada para AS/ft que es más fácil de entender. Por inspección se tiene que,

h2 d2A A dx2

dS

191

donde pmm es el valor mínimo dep sobre el dominio de integración. Si por simplicidad se supone que d2p~ll2ldx'2 es monótona en el intervalo de x0 a x, la integración se puede realizar inmediatamente y se obtiene que,

AS

aunque A, a este orden, todavía puede tomarse como proporcional a p~112-. Entonces, se tiene que

2Vp min

dx

dx

Ya que, = ± [p

dp~w dx

e integrando

donde \dp V2/dx\max es el valor máximo que alcanza \dp~l/2/dx\ en el intervalo de x0 a x, y se encuentra que

S =±

donde fi2 fx AS - ^ dx

(d2p~wldx2).

Al escoger los límites de integración de esta manera, en lugar de la ecuación (6) se tiene que, exp

-u:

p dx¡h + AS/ft

AS h

dpdx

Pero si se supone que (d2p ir¿/dx'2)no es monótona sino que cambia de signo q veces dentro del intervalo de integración, la contribución a |AS/ft| en cada subintervalo en el cual d2p~1/2/dx2 es monotónica, está acotada por el doble del valor máximo alcanzado por \dp~mjdx\ y, por lo tanto, ya que existen q + 1 de estos subintervalos

4

El término en tt" se considera como un término de corrección en la expresión para S. También puede considerarse como un término correctivo en A. Se ha escogido el primero porque simplifica el análisis posterior, pero el resultado final es independiente de la selección que se haga.

AS

h

dpdx

192


193


ll2

m

donde \dp~ ldx\ma* | todavía significa el valor mayor de \dp~ /dx\ sobre todo el dominio de integración. Ya que 1

dpdx

\_ dp

1

1

n Pmin

El punto de referencia x0 se fijará a la izquierda en infinito; esta selección permite fijar inmediatamente la forma de la onda incidente. En vista del comportamiento supuesto del potencial en infinito, F"(•*•<>) es despreciable si A-O se encuentra lo suficientemente lejano y el momento toma el valor constante,

dp dx

se obtiene finalmente que, dp

M h

dx

y, por lo tanto, la aproximación WKB está garantizada a condición de que se cumpla que dp

dx

1.

exp

(8a)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, esta^xpresión es la misma que la ecuación (8), y en la cual deben de usarse los valores adecuados para el valor mínimo de p y el valor máximo de (dp/dx) en el intervalo adecuado. Hay que hacer notar que si el intervalo es suficientemente pequeño, resulta que esta distinción no es importante y la ecuación (8) es, esencialmente, la condición local correcta. A continuación se estudiarán algunos ejemplos de la aplicación de la aproximación WKB. En primer lugar se discutirá el caso de estados continuos y después el caso más interesante de estados discretos. En este último, se obtendrán las reglas de cuantización de Bohr. En el tratamiento de los estados continuos la atención se restringirá al caso en el que el potencial se anule en infinito por lo menos tan rápidamente como x'1. También se supondrá que la partícula tiene una energía E que supera al potencial en todas partes, por lo cual no existen puntos de vuelta clásicos. En este caso, las dos soluciones independientes de la ecuación de Schródinger están dadas por la ecuación (6), y corresponden a una partícula que viaje hacia la izquierda o hacia la derecha, sin reflexión. Esta última característica es una consecuencia de la suposición de que el potencial cambia muy lentamente. En general, el coeficiente de reflexión será tanto más pequeño cuanto más lentamente cambie el potencial y en el límite WKB la reflexión resultará despreciable, coincidiendo con el comportamiento clásico. Entonces, la amplitud del coeficiente de transmisión tiene magnitud uno, pero contiene un factor de fase 8 que se relaciona con el incremento en el tiempo asociado con el paso de una partícula a través del potencial. A continuación se obtendrán expresiones explícitas para ^ y para el incremento en el tiempo. Considerando que la partícula se mueve hacia la derecha, de la ecuación (6) se obtiene que,

p(x0) = V2mE. La función de estado en esta región es una onda pura de de Broglie y se tiene que, donde f(E) es la amplitud (arbitraria) de la onda incidente. La expresión para Ê(x) puede escribirse en la forma exp

( J* pdx+

Para pasar al límite se observa que, ._

(x

._

p dx = \/2mE x +

V2mE x0+ I Jxo

[x

.

_

(p - V2mE) dx. J-ro

Debido a que, (p — V2mE) se anula más rápidamente que x0~l} se puede tomar el límite y se obtiene para la función de estado WKB la expresión, exp

=/(£)

/

fx

J J[p -

Finalmente, haciendo tender x a infinito por la derecha, se tiene que

exp * T (p - V2^£) dx/h\ donde, como ya se anticipó, el coeficiente de transmisión T tiene la forma

con, 8(£)

=,f <,-

/

2mE) dx/h =

V2¿

j —oo

Es necesario recordar que, de acuerdo con la ecuación (VI-101), el incremento en el tiempo Ar asociado con el paso de una partícula a través de un potencial está dado por

194


Ai = h dd/dE

des de onda de de Broglie, o sea, anulando en cada punto de vuelta la función senoidal de la ecuación (11). Pero, ya que la función de onda verdadera penetra un poco en la región prohibida, se encuentra que entre los puntos de vuelta se deben de colocar un número ligeramente menor que un número entero de semilongitudes de onda. Específicamente, en cada extremo resulta que la función de onda se comporta como si se anulara a 1/8 de longitud de onda en la región prohibida. Entonces, resulta que la condición para un estado ligado es que haya un número entero de semilongitudes de onda disminuida en 1/4 de una longitud de onda o en 1/2 de una semilongitud de onda. Ya que el número de semilongitudes de onda en el intervalo entre x¡ y x2 es

por lo cual, en la aproximación WKB, después de efectuar la diferenciación indicada se obtiene que

donde v(x) = V2(E - V)lm es la velocidad clásica de una partícula con energía total E en un potencial F(x) y donde v0 = V2Ejm es la velocidad de una partícula libre con la misma energía. Entonces, se ha obtenido exactamente el mismo resultado clásico para la diferencia entre el tiempo de llegada de una partícula libre de energía E y una partícula de la misma energía después de atravesar un potencial V. A continuación se considerarán los estados ligados de una partícula en un potencial V(x). Se supone que para una energía dada E los puntos de vuelta clásicos se encuentran en x, y x2, tomando x¡ < x.¿. En el interior del potencial, no muy cerca de los puntos de vuelta, la aproximación WKB para las soluciones puede escribirse como una combinación lineal de ondas que viajan hacia la izquierda y hacia la derecha. Es conveniente escoger esta combinación lineal como

dx_ X/2

sin

di)

Ya que i/»¿ contiene dos constantes arbitrarias c y 5 , esta expresión es totalmente general. A la derecha de x.¿, pero no muy cerca, la solución puede encontrarse con la aproximación WKB y es una función exponencial amortiguada; análogamente a la izquierda de x\. Ninguna de estas soluciones WKB son válidas cerca de los puntos de vuelta, siendo el problema matemático básico el de unir las soluciones de un lado del punto de vuelta con las soluciones del otro lado. Este problema puede resolverse de varias formas y se puede dar una respuesta general. La respuest es fácil de entender, aunque los detalles de la derivación son complicados y por ello se omitirán5. Para entender la respuesta es necesario recalcar que si la región prohibida clásicamente también lo fuera cuánticamente, la función de onda tendría que anularse en cada punto de vuelta y esto podría lograrse colocando entre los puntos de vuelta exactamente un número semientero de longituEl procedimiento común es el siguiente; se supone que la solución WKB es válida excepto en un intervalo de longitud L en tomo al punto de vuelta. Si el potencial cambia con suficiente lentitud, se le puede considerar como lineal en ese intervalo y la ecuación de Schrodinger se puede resolver en términos de funciones Bessel de orden un tercio. Esta solución puede unirse suavemente a la forma WKB en los extremos del intervalo. Para una discusión detallada ver la Referencia [ 19].

P dx,

se tiene que, 2 m _i = l f p dx,

2

p dx = 1 I

J JTl

/w = 1,2,3,

h)tl

o bien, sustituyendo m por n +1, r p-z / J

5

195


A

p dx = I n + -rm,

(12)

\

donde la integral de la izquierda es la integral convencional sobre un período del movimiento clásico y, por lo tanto, es dos veces la integral entre los puntos de vuelta 6 . Este resultado se reconoce como la versión modificada de la condición de cuantización de Bohr, modificada por la inclusión de la energía del punto cero que proviene del término adicional /i/2 en el miembro derecho. Es un progreso sobre la regla de Bohr y, además, se puede hacer una estimación sobre su dominio de aplicación. Ya que la aproximación WKB exige que la longitud de onda sea corta comparada con la distancia sobre la cual el potencial cambia apreciablemente, la ecuación (12) se aplica con mejores resultados si el número cuántico n crece y la longitud de onda correspondiente decrece. Al aplicar la ecuación (12) se tiene que, p = v'2m(E- y) =p(E,x),

donde los puntos de vuelta también dependen de la energía desconocida E. .Entonces, el miembro izquierdo es una función de E y las soluciones de la ecuación (12) son las energías permitidas en la aproximación WKB. " La ecuación (12) está expresada en términos de A y no de h.

196

LA APROXIMACIÓN DE RAYLEIGH-RITZ


Como ejemplo, se pueden encontrar los autovalores de energía del oscilador armónico, para el cual resulta que la ecuación (12) suministra los valores exactos para todos los estados. Se tiene que, p = \/2m(E- ma)2x2/2), y los puntos de vuelta ocurren en,

19?

La ecuación de Schródinger independiente del tiempo es H$K = EtyK

(13)

para un sistema descrito por un hamiltoniano H. Multiplicando por i/V;* e integrando a todo el espacio el resultado se puede escribir como,

x = ±\/2E¡mü)2.

(14)

Entonces la ecuación (12) resulta f V2¿/mwü

2 2 _ V2 w(£-ww JC /2) í/;c=

J-V2£7mw 2

Introduciendo la nueva variable e mediante x = V2E/mw 2 eos 6 se obtiene que,

(

donde es conveniente suponer que iK no está noramali/ada. Para autofunciones correctas de H, esta ecuación resulta una identidad, pero para los estados ligados que se están considerando E y \$IK son desconocidas. Sin embargo, se puede suponer una función aproximada 4> para t//f; que substituida en (14) da para E un valor aproximado E' . En otras palabras, para
1\ 4F f 77 = —\ sin 2 6 d0= 2/ w Jo

, _ J *¡i*Hili dx / (£»*(/» dx '

n + ¿\h

donde

de acuerdo con el resultado correcto para toda n. Aunque de la aproximación WKB se obtiene la energía correcta, no se obtiene de ella la funpión de onda correcta. Para una comparación entre las funciones de estado correctas del oscilador armónico y las que se obtienen de la aproximación WKB ver el problema VII-17.

(15)

Evidentemente E' se puede interpretar como el valor de expectación del hamiltoniano para el estado aproximado y ,

2. LA APROXIMACIÓN DE RAYLEIGH-RITZ

Existe una diferencia significativa en el problema de obtener soluciones aproximadas de la ecuación de Schródinger para estados ligados y para estados continuos. En el último caso, el problema consiste en encontrar funciones de estado estacionarias para valores de la energía en el continuo. En el primer caso, las energías discretas permitidas también tienen que ser determinadas. A continuación se presentará un método variacional que optimiza la determinación aproximada de las energías permitidas para los estados discretos, por lo menos para los estados más bajos. Esta técnica la iniciaron Rayleigh y Ritz a principios del siglo diecinueve y se originó en problemas clásicos de valores a la frontera.

que simplemente expresa a como la desviación de ^ del valor verdadero •//£. El parámetro a sirve como medida de esta desviación. Análogamente se escribe donde /3 = a * y

= ,h *

Sin embargo, se puede señalar que las propiedades estacionarias se cumplen aunque i//* no sea el complejo conjugado de i//, sino una función escogida en forma independiente. La ecuación (15) se puede escribir en la forma, £'(a,/8)

dx dx,

(16)

198

199



donde, naturalmente, E'(a = O, P= 0) =E. Diferenciando respecto a /3 y naciendo a = /3 = O, se obtiene que

se hace E' estacionaria diferenciándola respecto a cada parámetro e igualando a cero el resultado. Un valor aproximado para la energía se obtiene al encontrar la solución del conjunto de ecuaciones simultáneas que resultan para los parámetros desconocidos. Este valor es el mejor que se puede obtener con la función de prueba escogida inicialmente. Más adelante se dará un ejemplo. La utilidad práctica de este esquema es debido al hecho de que la energía del estado base calculada de esta manera es una cota superior a la energía verdadera del estado base. Aunque la ecuación (15) proporciona un principio variacional para cualquier autoestado del hamiltoniano, proporciona un principio mínimo para el estado base. La demostración es sencilla. Cualquier función de prueba $ puede expresarse como una superposición del conjunto completo de autoestados de H. Entonces, se puede escribir

•\ e*1 —

S i},E**E dx + E ! X*E dx = /

dx

" a, 0=0

o bien, dE' a, 0=0

Finalmente, ya que i//£ satisface la ecuación (13) por definición, se obtiene que,

=0

dE'

w

a, 0=0

-

(17)

Análogamente, usando el carácter hermitiano de //, se encuentra que = 0.

(18)

y substituyendo en la ecuación (15) resulta que,

0=0

Las ecuaciones (17) y (18) significan que E' tiene la forma E'(a,/3) = E + términos cuadráticos y superiores en a y en /3 y, por lo tanto, como se afirmó, los errores en la energía aproximada son de segundo orden respecto a los errores en la función de onda aproximada, si la energía se calcula usando la ecuación (15). Ejercicio 1. Obtener la ecuación (18). Recíprocamente, si se parte de la ecuación (15) y se exige que t/> y i^*sean tales que £' resulte estacionaria respecto a variaciones independientes en estas funciones, se puede demostrar que i/» y i|/* tienen que ser autofunciones de H. En otras palabras, la ecuación (15) considerada como una expresión estacionaria es enteramente equivalente a la ecuación de Schródinger, o bien, en el lenguaje del cálculo de variaciones, la ecuación de Schródinger es la ecuación de Euler del problema variacional. Para usar estos resultados como un método aproximado, el procedimiento más simple es el de suponer una función físicamente razonable i/» como función de prueba. Entonces, el cálculo de E'da como resultado una estimación óptima de la energía correcta E. Procediendo sistemáticamente, se supone una función de prueba que depende explícitamente de un conjunto de parámetros, se calcula E' como función de estos parámetros usando la ecuación (15) y, finalmente,

, _ £ E\cE E' =

Si En es la energía del estado base, entonces, para cada término en la suma, resulta que E ^ E0 y, por lo tanto, E' ^ £0. Además, la igualdad se cumple solamente para i|» = \¡iKa, suponiendo que el estado base no es degenerado. Obviamente el principio del mínimo no es válido para estados más altos excepto si la función de prueba es ortogonal a todos los estados exactos más bajos. Para comprobar esta conclusión, se toma el estado n-ésimo con energía exacta Eay se supone «í» ortogonal a todas las fo para E < En. Entonces, si
CE+E

£»£„

y, por lo tanto, c '_ En

~

Esta condición de ortogonalidad, en general, es difícil de lograr poi> que se necesita conocer todas las funciones de estado exactas para

200

201



E < En . Afortunadamente, en la práctica se pueden usar propiedades de simetría para asegurar esta ortogonalidad entre los estados más bajos. Por ejemplo, en un potencial simétrico los estados pares y los estados impares automáticamente son ortogonales entre sí. Por lo tanto, el estado par más bajo y el estado impar más bajo satisfacen un principio mínimo. En general, el mejor resultado que se puede obtener es lograr que la función de prueba sea ortogonal a los estados conocidos más bajos aunque sean aproximados, pero el método pierde su validez a medida que crece el número cuántico de los estados. Ya que el método WKB da mejores resultados para números cuánticos grandes, los métodos variacional y WKB se complementan en cierta forma. El método variacional exige que se introduzca alguna función como función de prueba y se ha sugerido que dicha función sea físicamente razonable. ¿Cómo se escoge esta función y qué significa "físicamente razonable"? Es difícil dar una respuesta precisa, pero quizás las siguientes observaciones sean de alguna ayuda. Para ello se considera el estado base de una partícula en un potencial simétrico. La función de onda del estado base no tiene nodos y, como todas las funciones de estados base, se anulan rápidamente a grandes distancias. La función de prueba más simple es una función suave, centrada en el origen porque tiene que ser simétrica y que prácticamente se anule en una distancia característica. Esta distancia puede tratarse como un parámetro que se determina por variación. Un ejemplo que se utiliza con mucha frecuencia sería una gausiana,

La localización de los nodos en x = ±b puede tratarse por variaciones considerando a b como parámetro variacional. En resumen, se construyen funciones de prueba que se puedan usar con cierta facilidad y que contengan todas las características generales y específicas de las funciones exactas, o por lo menos tantas como sea posible. Como ejemplo, se usará el método variacional para estimar la energía del estado base para el oscilador armónico. El uso de una gausiana daría el resultado correcto puesto que el estado base exacto es una gausiana. Por esto, sobre la región \x\ =£ a se usará un polinomio con la forma general correcta y que se anule suavemente en los extremos. Para \x > a , se hará igual a cero la función de prueba y, naturalmente, se determinará a por variaciones. En particular, se escoge la función

\i> = (u2 — x-y¿,

\x\ =s «, (19)

|*| » a.

= 0,

Recordando que el hamiltoniano del oscilador armónico es, ¿m la ecuación (15) resulta ser ft2

— -—

f

£ , U ; 2 ) = _2mJ

L

, * -^ <*** dx , + _u -' /ñorí f x¿2w*ib , * , dx I u;* d^_ 2 J

I t//*i// dx

Otros ejemplos con propiedades semejantes son, csch x/a, (x2 + a2}-"1, etc. Se pueden construir funciones más generales multiplicando por polinomios cualquiera de estas funciones y determinando los coeficientes por variación. Excepto en el caso en que se pueda usar una computadora, se usan funciones para las cuales se pueden calcular fácilmente las integrales, pero con las características generales indicadas en los ejemplos anteriores. Para los estados excitados, también se introducen en la función de prueba el número correcto (y conocido), de nodos, la simetría correcta y el comportamiento general esperado. Para el primer estado excitado en un potencial simétrico, que es impar y tiene un nodo en el origen, cualquiera de las funciones citadas anteriormente multiplicada por x sería una función de prueba adecuada. Para el segundo estado excitado, que es par y tiene dos nodos, cualquiera de las funciones anteriores podría usarse si se multiplica por el polinomio (fe 2 — x 2 ) .

Calculando la integral del denominador se obtiene í" * J-i,

-

En la misma forma, el término correspondiente a la energía potencial resulta ser x2 t//*i|» dx =

256a" 11-9-7-5'

El término correspondiente a la energía cinética se calcula como sigue: f2 *fa i|>* ,, r -7-5* P d í ,* * -j- } dx — \ -j— -j- dx

J_a

dx

J-adxy

dx J

y ya que el primer término se anula,

J-a dx

dx

202


a 2 ) ] 2 dx = -

256a7 7-5-3'

Reuniendo estos resultados se obtiene que h2 256a7 . 1 , 256a1 r— _ . + •= mor 77 2w 7 • 5 • 3 2 11 • 9 - 7 - 5 E'(a 2 )256a9/9 - 7 - 5

3

Se observa que la energía cinética y la energía potencial rivalizan en importancia, hecho que se mencionó en la discusión cualitativa acerca de las características de los estados ligados, usando el principio de incertidumbre. Si a2 disminuye, la energía potencial decrece, pero la energía cinética se hace mayor debido al incremento en la localización de la función de onda. El procedimiento variacional presenta explícitamente esta rivalidad en el presente caso. Si se diferencia ^'respecto al parámetro variacional a2 y se iguala a cero el resultado, se obtiene, dE' da2

= Q=

203 se presentan muy a menudo, como se verá en las aplicaciones y debido a este hecho el método deriva su importancia práctica. En esta sección se discutirá el caso más simple, o sea, el caso en el cual los estados son no degenerados, estacionarios y discretos. Se empieza por expresar el hamiltoniano perturbado H en términos del no perturbado H0 escribiendo, sin perder generalidad, que // = //„ + A / / ' . (20) TEORÍA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

_3 _*!_ + _!_ 2 ma* 22

en donde, a2 = V33 ñ/ma

La cantidad H' se llama el término de perturbación en el hamiltoniano. El parámetro sin dimensiones X , que es redundante, puede tomarse como uno para el problema físico. Se introduce por conveniencia como un parámetro visible de pequenez y que también permite pasar gradualmente del problema físico al problema no perturbado, en forma bien definida, sencillamente haciendo tender X a cero. Se buscan las autofunciones y autovalores de H definidos por, Enfyn

=

H\l>n = ( // 0 + X H ') l|»,,.

(21)

Los autovalores y autofunciones no perturbados son conocidos y están definidos en forma análoga, H 00M = &„<{>„. (22) Se supone que „ y i//n no son degenerados. Ahora, se puede hacer la suposición fundamental de que cuando X tiende a cero, el conjuntq de energías EH tiende hacia alguna <£„ en particular, y esta correspondencia uno a uno se puede establecer explícitamente etiquetando los estados de tal forma que para cada n Km En = &n ,

lirn

(23)

Un error del 5 por ciento solamente y mayor que la verdadera energía del estado base, como se esperaba. Otros ejemplos se dejan para los problemas.

Además, los estados perturbados desconocidos i//,, se expresan como una superposición del conjunto completo de estados no perturbados. Entonces, se tiene que

3. TEORÍA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

(24)

Ahora, se estudiará el método más importante para obtener soluciones aproximadas de la ecuación de Schródinger, un método basado en la teoría de las perturbaciones. Este método se aplica a cualquier caso en el cual el hamiltoniano H que describa al sistema estudiado no difíera mucho de un hamiltoniano // O que describa a un sistema parecido pero más simple y cuyo conjunto de autofunciones y autovalores se conozcan exactamente. Estas circunstancias parecen demasiado especiales para tener alguna consecuencia, pero de hecho

y como consecuencia de la ecuación (23),

(25) Sustituyendo la superposición (24) en la ecuación (21) resulta que En £ Ct,4n = (//« + A / / ' ) V Cin4n = Vcin&ii+ X V Cft,//'^, t t i l

Multiplicando por^j*, integrando y usando la ortonormalidad


204

TEORIA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

se obtiene, para cada valor de j, (26)

cin,

donde los números H'jt, llamados elementos de matriz de//', se definen como, //;,. = / 0 , * / / ' £ , d* = < ¿ j | / / ' | 0 , > .

(27)

Notar que //j, = H'u*, ya que//'es hermitiano. Para una n dada, se necesita resolver el conjunto de ecuaciones exactas (26), una para cada j donde8>¡, H'jty X son desconocidas. Si este conjunto infinito de ecuaciones homogéneas tuviera solución, su determinante debería de anularse, de donde se obtendrían las autofunciones y autovalores exactos del problema. En la práctica no es posible llevar a cabo este procedimiento y se busca una solución aproximada para X pequeña. Las ecuaciones (23) y (25) establecen que, cuando X se aproxima a cero, En~* &n, cnn ~* 1 y todas las c¡n se acercan a cero. Separando los términos dominantes se puede escribir la ecuación (26) como j = n: cnn(En -&„) = \cnaHan' + X^' H'ni c,,, i

j * n: c¡n(En-S>¡) = KcnnH ¡ñ + X ^' H'a Q», !

donde el acento en el símbolo de suma significa que el término i = n se omite, ya que este término se ha separado explícitamente. Dividiendo entre cnn, se obtiene que j=

(28)

H'm

A

V1

—

fí,,¿j

//'

'" ,

" r.,,.'

(29)

Si la función de estado perturbada se normaliza, a estas ecuaciones se añade la condición S|c,J2 =1, o bien, 1 (30) De la ecuación (29) se obtiene que c¡Jcnn es del orden de X y, por lo tanto, en las tres ecuaciones (28), (29) y (30), los términos de la suma contribuyen a orden X2 y superior. Entonces, se puede escribir una serie de potencias en X para los autovalores En y para las funcio-

205

nes de estado i/>,, , usando un esquema de aproximaciones sucesivas en la forma siguiente. A orden cero, X == O, se obtiene la solución no perturbada En — & „, cín ~ 8 jn y naturalmente
X//' JH

(32)

y usando estas expresiones para los coeficientes del desarrollo, se obtiene de la ecuación (24) la función de estado a primer orden. (33)

Se observa que la expresión a primer orden para£,, depende únicamente de la función de onda a orden cero ya que //'„„ = { ,,\ H ' |<£n ) . Este resultado se entiende fácilmente a partir del principio variacional, porque la ecuación (31) es la aproximación de Rayleigh-Ritz para En con la función de prueba „ = <£„. De la ecuación (32), se deduce que una condición necesaria para poder aplicar el método perturbativo para el estado H-ésimo es que para todos los valores de j ^ n , es decir, que la diferencia entre las energías no perturbadas tiene que ser mucho mayor que el correspondiente elemento de matriz del término perturbativo en el hamiltoniano. Si se quiere continuar con el procedimiento, la aproximación a segundo orden se puede obtener substituyendo los resultados a primor orden de las ecuaciones (31) y (32) en los miembros derechos de (27), (28) y (29). Únicamente se escribirá explícitamente la aproximación a segundo orden para la energía, la cual viene dada por

£„ =

X //'„„+ x2

in

(34)

Debido a que// 'es hermitiano //'„, = H'in* , el resultado se puede escribir en la forma, (35)

207


TEORÍA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

donde la energía es real, como tiene que serlo. Notar que únicamente la aproximación a primer orden de cin y, por lo tanto, de tyn, se necesita para calcular esta expresión a segundo orden para la energía. Este resultado es una característica general; el conocimiento de la función de onda a un cierto orden permite el cálculo de la energía a un orden superior.7 Continuando con este procedimiento, se pueden obtener correcciones a orden superior, pero el álgebra resulta tediosa y los resultados resultan difíciles de calcular. El método perturbativo es útil cuando converge rápidamente, de tal manera que los términos superiores al segundo orden sean despreciables. En la práctica, se omite generalmente el término a segundo orden a menos que el primer orden se anule idénticamente.8 Una descripción física de las correcciones perturbativas es la siguiente; el término perturbativo en el hamiltoniano está generado por fuerzas que actúan sobre el sistema no perturbado y tienden a desviarlo de su configuración no perturbada. Debido a que se usa la función de estado no perturbada para calcular la energía a primer orden, se ha ignorado esta desviación y el sistema se trata como si fuera rígido. El cálculo es análogo al cálculo clásico de la energía de interacción con un campo eléctrico externo de una distribución de carga determinada de antemano, o bien el de una distribución de masa dada en un campo gravitatorio externo. Ya que se utilizan funciones de estado perturbadas, el cálculo a segundo orden toma en cuenta la distorsión del sistema debido a las fuerzas perturbativas, por lo menos a primera aproximación. Los elementos de matriz H'}n miden la intensidad de las fuerzas de distorsión, y la energía en el denominador,^,, — &¡, mide la resistencia a la distorsión, o rigidez del sistema. Estas distorsiones son análogas a la polarización de una distribución de carga en un campo eléctrico externo y a la deformación producida sobre un cuerpo por un campo gravitatorio externo. Los signos algebraicos en el desarrollo perturbativo para la energía, determinan si la energía del sistema crece o decrece como resultado de la perturbación. La corrección a primer orden puede tener cualquier signo, dependiendo únicamente del carácter atractivo o repulsivo, en promedio, del término perturbativo; es negativo en el primer caso y positivo en el segundo. Respecto a los términos a segundo orden se acaba de argüir que surgen debido a los efectos de distorsión

o sea, debido al ajuste del sistema a la influencia de las fuerzas de perturbación. Pero, cualquier sistema responde a una fuerza perturbatíva deformándose a expensas de esta fuerza y, por lo tanto, decreciendo la energía potencial de interacción. Como consecuencia, se espera que la corrección a segundo orden baje la energía, comparada con su valor a primer orden. Sin embargo, no es posible especificar en general las condiciones bajo las cuales se realizan estas conclusiones, excepto para el caso especial del estado base. Para este caso, la corrección a segundo orden siempre baja la energía, sin importar la característica de la perturbación, lo cual se concluye inmediatamente de la ecuación (35). La energía del estado base 3>ü es menor que<9j para toda j T¿ O, por lo cual todo término de la suma, y por lo tanto el término X2 en la ecuación, es negativo. Resumiendo, bajo argumentos físicos se espera que la corrección a segundo orden baje la energía, aunque se ha demostrado este resultado nada más para el estado base. El comportamiento de los elementos de matriz que aprecen en la ecuación (35) dependen demasiado de los detalles del problema como para poder hacer generalizaciones muy amplias. Sin embargo, las propiedades de simetría del sistema sí tienen una influencia muy profunda que es bastante fácil de determinar. Si el hamitoniano no perturbado fí0 es simétrico, como en general lo es, y el término perturbativo H' tiene simetría definida, par o impar, es fácil concluir que la mitad de los elementos de matriz de//'son cero. El argumento se basa en el hecho de que los estados no perturbados tienen simetría definida cuando el hamiltoniano no perturbado es simétrico. Si// 'es par, todos los elementos de matriz entre estados de paridad opuesta se anulan automáticamente,

206

7

El resultado se concluye más fácilmente de la ecuación (28). Ya qûe h multiplica la suma, se concluye inmediatamente que si c¡Jcnn es de orden Xa, la energía será de orden X4+1. 8 Para establecerlo en forma general, se puede decir que las correcciones de la teoría de perturbaciones se calculan al orden más bajo diferente de cero. Es muy raro que se anulen el primer orden y el segundo, y se necesiten términos a orden superior.

pai ) = O,

(36)

Análogamente, si H' es impar, todos los elementos de matriz entre estados de la misma paridad se anulan automáticamente, («¿•par l#'i

— O-

(37)

Estas reglas tan generales son casos especiales de las llamadas reglas de selección en espectroscopia. Hay que observar que las reglas de selección para H' impar tienen como consecuencia que la corrección a primer orden para la energía se anula para todo estado.9 La importancia de este resultado se puede juzgar partiendo del ejemplo de un sistema atódende j el campo eléctrico aplicado, lo que significa que tales sistemas no poseen un momento dipolar eléctrico que sea permanente. Esto explica el resultado observado de que átomos y núcleos no posean momentos dipolares eléctricos. Para una discusión más detallada ver la Sección 3 del Capítulo VIII.

208



Esta discusión se puede concluir con algunas observaciones sobre la convergencia de los resultados perturbativos. Ya se puntualizó que, para un estado dado n, el método falla excepto si KH'jn<&n—&¡ para todos los valores deyVn, lo cual es una condición necesaria para la convergencia pero no suficiente en vista de las sumas infinitas que aparecen en las ecuaciones (33) y (34). Sin embargo, se puede establecer una condición suficiente para la convergencia, aunque no muy rigurosa, encontrando una cota superior para la magnitud de la corrección a segundo orden. Se parte de la ecuación (35) escribiendo una desigualdad que se obtiene sustituyendo cada término en la suma por su valor absoluto.

I

I U'

I

\tt nil

(38)

Se introduce la expresión b.8>n , que es la diferencia entre<9ny su vecino más cercano, y sustituyendo cada denominador de la ecuación (38) por) A^n|, lo cual aumenta la desigualdad, se obtiene que,

2í

\H\

I//',

La suma de la derecha se puede calcular en la forma siguiente. De la definición de los elementos de matriz se tiene que,

dx' i 4n*(x)H'(x)4>*(x) dx. i

Sumando sobre í y usando la propiedad de cerradura de t se obtiene -*') H'(x) n*(x) dxdx',

e integrando sobre x ' se encuentra que1

Finalmente usando \Hnn'\2 = (<£ n |//'|<£ n ) 2 , se obtiene 10

Para una derivación de este resultado usando los métodos del álgebra de matrices, ver la sección siguiente, ecuación (47) con X =B.

(39)

I A 5,1

es decir que la corrección a segundo orden de la energía de un estado dado es menor en magnitud que la razón de la desviación cuadrada media del hamiltoniano perturbado, respecto a su promedio para el estado en cuestión, entre la energía de separación de ese estado y su vecino más próximo. Hay que aceptar que este resultado no es muy exacto, pero es simple y útil, como se verá más adelante. Como primer ejemplo del uso de la teoría de perturbación, se puede considerar el caso de un oscilador armónico con un fondo plano, provocado por una perturbación gausiana. Específicamente se escribe, H=

ma>2x2

y con X = 1, H' = y e-ax

1

donde se ha tomado explícitamente la convención de que un acento sobre el símbolo de suma significa que el término i — n se omite. Sumando y restando este término omitido, se obtiene que,

209

La corrección a primer orden para la energía del estado base, que es el valor de expectación de //'para el estado base, se calcula fácilmente dando como resultado, i mulh V'2 \a + mai/ti ) Hay que notar que para a < mtalñ, o sea cuando el término perturbativo es prácticamente constante en el dominio del estado base, la energía crece por la cantidad V que es precisamente lo que debe de pasar cuando se suma al hamiltoniano un potencial constante de esa magnitud. También hay que observar que cuando « > mullí , o sea que la gausiana es estrecha, la corrección es pequeña aunque V sea comparable en magnitud a Ato. Por lo tanto, el resultado a primer orden parece satisfactorio en los límites de a grande y pequeña, para valores de V que no son pequeños necesariamente y también parece satisfactorio para todos los valores de a. Una forma de comprobar estas conjeturas sería la de calcular las correcciones a segundo orden, pero resultaría muy difícil de llevarlo a cabo y resulta más sencillo usar la cota superior a estas correcciones que proporciona la ecuación (39). Ya que se está tratando con el estado base, el término a segundo orden tiene que ser negativo (¿por qué?) y, por lo tanto, después de un cálculo elemental se puede escribir el resultado en la forma ftúj

I l/ ( racu/ft -Q = -^-+V\ —; TT 2 \a +• wco/ft/

/.

v

( 1 — e)

210



ionde e, la razón de la corrección de segundo orden a la corrección ie primer orden, se puede expresar como

cualquier secuencia, se obtiene el estado 4>n+4-2Q • Debido a la ortogonalidad de las funciones „ la contribución diferente de cero al elemento de matriz proviene de q = 2. En otras palabras, en x4 solamente contribuyen aquellos términos que contiene al operador a dos veces y al operador at también dos veces. Explícitamente,

/ mo>/ft \ 1 / 2 1 \ a + m(a/h] }

+

Cuando a es pequeña, como es el caso de un potencial aproximadamente constante, el miembro derecho es del orden de a 2 F/ftw y por lo tanto despreciable, aunque se tengan valores apreciables de V¡ ftcu. Por otra parte, cuando a > mu/ti, el miembro derecho es del orden V¡h
(40)

+ términos que no contribuyen] . Considerando un término típico, por ejemplo el primero, se tiene que, c

o

donde se ha usado el hecho de que, en la representación del operador de creación a = ci/cftzt, o sea que el efecto de operar con a es equivalente a diferenciar respecto a at. Por lo tanto, usando la misma técnica con el resto de los términos, se obtiene inmediatamente que, l)2+n(n+

El hamiltoniano no perturbado se escribe como, n(n+

por lo cual, con X = 1,

211

- 1)]

Finalmente, ya que I meo2

£„ = &n+ <

Para obtener la energía a primer orden se tiene que calcular (n\x*\$n ), donde «í> „ es la función de estado w-ésima del oscilador armónico, la cual, de la ecuación VI-47 viene dada por,

se obtiene que (41)

De las ecuaciones (VI-34) y (VI-35), se puede escribir que, x= Vfc/2mctí (a + at), y je es función de los operadores de aniquilación y creación. Recordando que ot operando sobre un estado del oscilador armónico produce el siguiente estado más alto y a el siguiente estado más bajo, se concluye que al operar q veces sobre <£„ con a y4-qveces con at, en 4

La validez de esta aproximación requiere que el término de corrección sea pequeño comparado con la distancia entre estados, es decir que, 2n(n+ 1)]

Por esto, el resultado es válido para b suficientemente grande, pero aunque b sea grande, la aproximación resulta peor a medida que n

^1

212



crece. Este resultado es de esperarse porque los estados altos se extienden a valores grandes de x y, para valores de x lo suficientemente grandes, la perturbación resulta enorme aunque b sea grande. Aunque la ecuación (41) proporciona una relación entre el término perturbativo del hamiltoniano y las correcciones a los estados de energía, la detección experimental de la presencia de estos términos anarmónicos es posible debido al término cuadrático en n2. Se podría ver con mayor claridad escribiendo el resultado en la forma equivalente, donde 8o> = 3h/4Trrnb2.

Por lo tanto, la perturbación anarmónica tiene dos efectos diferentes: primero, aumenta la frecuencia en 8«>,u, y segundo, aumenta la distancia entre los niveles al aumentar la energía. Los espectrocopistas observan este espaciado entre los niveles y este crecimiento sistemático refleja que se trata de un oscilador anarmónico. Para el experimentalista, el problema de descifrar los datos es más complicado de lo que se ha indicado debido a que una perturbación cúbica produce exactamente el mismo comportamiento cualitativo que la cuarta potencia. Es necesario recalcar que una perturbación cúbica contribuye solamente a segundo orden; la contribución a primer orden es cero (¿por qué?).12 También resulta que esta corrección siempre es negativa para todos los estados, lo cual ya se explicó por argumentos físicos. Ahora se puede estudiar el caso más interesante, en el cual, la perturbación cuadrática tiene signo negativo. Se podrían usar todos los resultados anteriores sustituyendo b2 por su negativo y, por ejemplo, la ecuación (42) resultaría Sin embargo, es necesario aclarar en qué sentido los resultados perturbativos anteriores se pueden aplicar, y son éstas las consideraciones que producen las características sorprendentes del problema. En la Figura 1 se gráfica la energía potencial, K = -r

2 í 1 _:^_

(43)

11

Este corrimiento en frecuencia no tiene nada que ver con la alteración del periodo clásico del oscilador dependiente de la amplitud, como se observa claramente ^por la presencia de h en la expresión para 8o>. Se puede demostrar que el periodo clásico esta relacionado a la distancia entre niveles, pero no se continuará con este tema.

12

Para una discusión de anarmonicidades cúbicas y cuárticas, ver la página 136 de la Referencia [24].

213

y se observa inmediatamente que el espectro de energía exacto es continuo, el espectro no está acotado en ninguna dirección y que, por lo tanto, el sistema no tiene estado base. Estas observaciones son válidas sin importar lo pequeña que sea la perturbación en la vecindad del origen. Entre otras cosas, esto significa que se ha violado la hipótesis fundamental de que los estados exactos y no perturbados se pueden poner en correspondencia uno a uno y que estos estados se aproximan cuando la perturbación tiende a cero. Es claro que este resultado no es cierto para E < O y para E >Vm, donde Vm es el valor máximo alcanzado por el potencial, como se muestra en la Figura 1. En el caso en O =s E < Vm existen dos tipos diferentes de estados: (1) Estados continuos para los cuales la partícula se encuentra casi exclusivamente fuera del pozo de potencial, por lo cual no se puede poner en correspondencia uno a uno con los estados no perturbados.

Figura 1. La función de energía potencial F(x) para el oscilador armónico de la ecuación (43). El valor máximo del potencial se denota por Vm.

(2) Estados en los cuales la partícula se encuentra casi exclusivamente dentro del pozo de potencial. Son éstos los estados que corresponden a los estados discretos no perturbados y únicamente para estos estados es válida la aproximación perturbativa. Estos estados se llamarán estados metastables o quasi-acotados. Clásicamente, estos dos tipos de estados son totalmente diferentes, pero cuánticamente no lo son. Debido al efecto túnel, una partícula que se encuentre fuera del pozo tiene una parte muy pequeña de su función de onda dentro del pozo. Recíprocamente, la función de estado estacionaria de una partícula que se encuentra dentro del pozo, tiene una parte muy pequeña de amplitud diferente de cero que se extiende fuera del pozo. Esto significa que la probabilidad de encontrar a la partícula en esta región es finita. Por lo tanto, si se tiene un

214

215


MATRICES

conjunto numeroso de tales partículas, o se espera un tiempo suficientemente largo, se observarán partículas que emergen de la región interna. Lo que se tiene en este caso es una analogía del proceso de la radiactividad a . Aunque la descripción del sistema anterior mediante estados estacionarios revela sus principales características, es instructivo volverlo a examinar en términos de estados dependientes del tiempo. Para ello, se considera un paquete de ondas muy particular, aquél que se construye por superposición de los estados que se encuentran en la vecindad de uno de los estados quasi-ligados y que se construye de tal manera que la partícula se encuentre en el interior del pozo con absoluta certeza. Esta superposición de estados continuos se necesita para cancelar el final del estado quasi-ligado, que sin ello se extendería a la región exterior. Esta superposición tiene una anchura característica AE y la rapidez con la que el paquete de ondas, debido al efecto túnel, emerge del interior y está gobernada por esta anchura. Dicho con mayor precisión, se observa que en un tiempo T tal que rAE/ftes del orden de la unidad, las relaciones de fase que se han puesto en el paquete inicial se alteran radicalmente y el paquete comienza a emerger de la región central. El tiempo T resulta ser la vida media del estado y está dada por

chura de ese estado es pequeña. En este sentido se puede decir que el análisis de la teoría perturbativa se aplica sin modificación y la ecuación (41) se aplica con b2 negativa. 4.

MATRICES

En el desarrollo de la teoría de perturbación los elementos de matriz del término perturbativo en el hamiltoniano juegan un papel muy importante. A continuación se discutirá brevemente la representación de operadores por matrices y se expondrá los elementos del álgebra de matrices. Para iniciar este desarrollo se considera un operador A que opera sobre un conjunto completo de funciones <£„ ortonormales. El resultado de esta operación será una nueva función que puede expresarse como superposición del conjunto completo, es decir, que m

donde la notación intenta exhibir el hecho de que el coeficiente de<£m en la superposición depende del operador A y del estado <£„ sobre el cual opera. Debido a la ortonormalidad de<¿>mse tiene que Amn = / $m* Atj)n dx = (m\A \n).

Esta relación entre vida media y anchura en energía de un paquete de ondas es muy general; como se ha establecido anteriormente no es más que otra manifestación del principio de incertidumbre. La característica por la cual el presente caso resulta tan especial, a diferencia de la situación en el espacio libre, es la presencia del pozo de potencial que hace posible construir un paquete de ondas confinado a un dominio muy pequeño y, por lo tanto, bien localizado en el espacio, además de que simultáneamente la energía se desparrama poquísimo. Desde este punto de vista, un estado estacionario verdaderamente ligado es el caso límite para el cual el dominio espacial es pequeño y la cantidad que se desparrama la energía es exactamente cero. Cualquiera de estos estados tiene una vida media infinita. Notar que en estos paquetes de onda la cantidad que se desparrama el momento lineal siempre es muy grande debido a la presencia del potencial, por lo que no existe ninguna violación a la relación de incertidumbre entre la posición y el momento. Finalmente, volviendo a la validez de la aplicación de la teoría perturbativa, se ve que solamente para los estados quasi-ligados y quasiestacionarios se puede usar la teoría. Si la corrección para algún estado no perturbado es pequeña, entonces, está garantizada que la an-

(45)

Este arreglo de números se llama matriz, y cualquier número en particular se llama elemento de la matriz o elemento de matriz. Este arreglo es totalmente equivalente al operador A en el sentido de que estos números definen completamente el efecto de operar con A sobre cualquier función arbitraria. Esto se sigue de que tal función siempre puede desarrollarse en términos del conjunto completo « y y la ecuación (44) describe el resultado de operar sobre cada <£„.. Por lo tanto, la matriz con elementos Amn es una realización o representación del operador A. Una forma conveniente de visualizar este arreglo es colocar los números en hileras y columnas con^4 mn como el número en la hilera m-ésima y en la columna n-ésima. Por esto, se puede escribir (A n AIZ ... Aln .. A= (46)

216

Es necesario puntualizar que cualquier representación por matrices de un operador depende del conjunto de funciones 4>n , o funciones base, que se usan para construir el conjunto de números A mn. Si se usa un conjunto diferente, por ejemplo i|» n , se obtiene un nuevo conjunto de elementos de matriz, pero la nueva matriz sigue representando al mismo operador. Las transformaciones de una representación a otra, forman un tema importante de estudio en mecánica cuántica.13 También se puede considerar el producto C de dos operadores A

(ABC •••R)mn=

AmiBlkCkí

R

(48)

s

Usando la representación de matrices se ve claramente que la multiplicación de operadores no es conmutativa, ya que de la regla general se tiene que,

(A + B)mn = (B + A)mn = Amn + Bmn

Se tiene que, dx= f

£ i.k.l

claramente diferente de (AB)mn si se compara con la ecuación (47). De las definiciones, se obtiene trivialmente que

C = AB. Cmn =

217

MATRICES


y, además, si dos matrices son iguales, entonces, cada elemento de la primera es igual al elemento correspondiente de la segunda. Entonces, se puede concluir que todas las relaciones que se cumplen entre operadores también se cumplen entre las matrices de la representación. Por ejemplo, si

<{>m*ABn dX-

Pero, Bn —

(A,B) = AB<(>n =

entonces,

BsnAs = s,k

(A,B)mm~ (AB)mn- (BA)mn = Cmn,

por lo cual se tiene que, Cmn = / 4> m * ^ Ak*B*n$k s,k

y, finalmente, ya que las funciones $m son ortonormales, *- mn == \Atf ) mn = y A ms"sn-

(47)

Esta regla para multiplicar matrices es fácil de recordar. Los elementos de matriz se escriben en el mismo orden que los operadores, donde el primer índice del primer factor y el segundo del último factor marcan el elemento de matriz del producto y la suma se toma sobre el índice intermedio que es común. Dicho de otra manera, el elemento de matriz mn del producto se obtiene multiplicando la hilera w-ésima de la primera matriz por la columna n-ésima de la segunda, elemento por elemento. Notar que la multiplicación está definida únicamente si el número de elementos en las hileras de la primera matriz es igual al número de elementos de las columnas en la segunda matriz. La generalización a un producto de más de dos matrices es trivial. Aplicando sucesivamente la ecuación (47) se obtiene inmediatamente que, 13

Ver Referencia [19] o cualquiera de las Referencias [22]-[28].

por lo que las matrices que representan a operadores que conmuten también conmutan. La representación por matrices del adjunto de un operador es fácil relacionarla con la representación por matrices del operador. Recordando la definición de adjunto, ecuaciones (V-l la, 1 Ib), se concluye inmediatamente que, * = Am*. (49) Introduciendo el símbolo Á para la matriz transpuesta (A)mn

=

Anm,

se concluye que la ecuación (49) puede escribirse como que es independiente de la representación. Ejercicio 2.t Deducir la ecuación (49). Se observa que para un operador hermitiano A—A ^, de la ecuación (49) se obtiene el resultado encontrado anteriormente para el opera-

,„»

218

219


ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS

Á — A * . St mn — s*nm

De la última de estas ecuaciones se concluye que el miembro derecho de las dos primeras ecuaciones es del orden de X2 y, por lo tanto, puede despreciarse a primer orden. Con esta aproximación se tiene que,

dor hamiltoniano, Por esto, los elementos diagonales Ann, de una matriz hermitiana son reales. Este resultado no es una sorpresa porque Ann es el valor de expectación de A en el estado „. Una representación particularmente simple de un operador se obtiene cuando se usa su conjunto completo de autofunciones como base. Entonces, si <#>„ son las autofunciones de A, se tiene inmediatamente que, Amn = am8mn.

(50;

O sea que, en la base formada por sus autofunciones, la representación por matrices de un operador es diagonal y sus elementos de matriz son precisamente los autovalores del operador. Desde este punto de vista, el problema de encontrar los autovalores y autofunciones de un operador es equivalente al de transformar a una base en la cual la representación por matrices es diagonal.

) cnn-XH'alcln = 0

donde el determinante de este par de ecuaciones homogéneas en las incógnitas cnn y cln tiene que anularse, (En - <9.-X//', B ) (£„-#,- A//',,) -A* //',.//',„ = 0. y resolviendo esta ecuación se obtiene que,

an

~&l+l(H'nn~H'"]] + ^H'lnH'nl, (53)

mientras que de la ecuación (43) resulta \H'l '•n~ &l~ X//'//

5. ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS El método aproximado de la teoría de perturbación que se ha desarrollado en la Sección 3 necesita para su aplicación que el elemento de matriz //' nj que conecta los estados «-ésimo y/-ésimo sea pequeño comparado con la separación de energía 8>n — 8>¡ entre los estados, para todos los valores de /. Ahora, se puede discutir la modificación que es necesaria hacer cuando esta condición no se cumple para algún estado, como por ejemplo el /-ésimo. Un caso de mucha importancia es aquél para el cual los estados «-ésimo y /-ésimo son degenerados, <3>n = <3>i. Si(3 n —c5, no es grande comparado con//' n í , no se puede suponer con seguridad que la amplitud cín del estado /-ésimo sea pequeña y al analizar la ecuación (26), que es exacta, se tienen que tratar cnn y Cin con la misma importancia. Los coeficientes cjn que quedan pueden considerarse pequeños y se puede escribir la ecuación (26) como, j=n: (En-&n -X//' n n ) cnn-\H'nl cln =X Y H'nl cin , cnn+ (En — &i — X//' ( i ) c í n = X ^ H'itcin

j*l,n: (En- &¡) c¡n = KH'jncnn+\H'¡lclH+\ Y H'H cin.

(54)

Se han obtenido dos energías de perturbación y dos estados que corresponden a los signos más y menos en la ecuación (53). Este resultado es debido a que se han tratado dos estados no perturbados, el /-ésimo y el n-ésimo, con la misma importancia y se ha determinado simultáneamente la energía a primer orden para cada uno. Suponiendo que los estados no están degenerados, para poder determinar si esta interpretación es correcta se puede tomar X casi cero, por lo cual, el término en X2 bajo el radical en la ecuación (53) se puede considerar pequeño. Entonces, usando el signo más de la ecuación (53) se obtiene que,

y usando el signo menos (51)

X//' ní

220

221


ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS

Por lo tanto, la primera expresión es el resultado a primer orden de la teoría de perturbación para el estado «-ésimo y la última lo mismo para el estado /-ésimo. Las características cualitativas de la ecuación (53) pueden aclararse más si se escribe la ecuación en la forma siguiente. En primer lugar se introduce el promedio de las energías a primer orden de los dos niveles,

A continuación se va a tratar la situación en la cual los estados no perturbados tienen una degeneración exacta 3>n = &t . En este caso las ecuaciones (53) y (54) resultan,

V/'»' (55)

A continuación, se introduce la separación relativa de las energías a primer orden,

Y la ecuación (53) se puede expresar como, En±IE = 1 ± V(A2/4)

la cual muestra que los niveles están igualmente espaciados respecto al promedio a primer orden. Hay que notar que los términos a segundo orden siempre incrementan la separación relativa de los niveles y esta cantidad es mayor cuanto mayor sea la degeneración a primer orden, es decir, cuanto más pequeño sea A. Esta tendencia general de los niveles vecinos a repelerse se ilustra en la Figura 2, donde se gráfica En±/E como función de A. Se observa que la contribución a segundo orden proviene de la degeneración exacta y así resulta imposible que niveles vecinos se crucen cuando la intensidad de la perturbación se altera.

1'nn~ H U .

(56)

Hay que notar que la relación entre las amplitudes ya no depende de X . Este resultado es consecuencia de la arbitrariedad inherente en cualquier especificación de un conjunto de estados degenerados. Debido a esta arbitrariedad, si no se tiene más información, no es posible establecer a priori una relación única entre estados perturbados y no perturbados. La ecuación (56) establece cuáles son las combinaciones lineales de los estados degenerados no perturbados que se tienen que poner en correspondencia uno a uno con los estados perturbados y la respuesta depende del carácter de la perturbación. Como ejemplo específico se puede considerar el caso en que H'nn — //'« — O

(57)

En este caso se obtiene el resultado (58)

.-- o

Figura 2. Energía a segundo orden de un par de estados degenerados vecinos como función de la separación relativa a primer orden A. La magnitud de la corrección a segundo orden es la distancia entre las curvas continuas y las curvas punteadas. Por lo tanto, estas últimas son la energías obtenidas al despreciar correcciones a primer orden.

Los estados degenerados originales están totalmente mezclados ya que |c,n| = |cnn| . Este caso ocurre para una perturbación antisimétrica que actúa sobre estados degenerados de paridad definida aunque opuesta. Por otra parte, si los estados /-ésimo y «-ésimo tienen la misma paridad, es fácil concluir que//¡'n es cero si la perturbación es antisimétrica y los estados permanecen degenerados a primer orden. En este caso, se necesita un cálculo a segundo orden para encontrar el desdoblamiento de los niveles debido a la perturbación. Como segundo ejemplo, se puede considerar el caso en el cual, »

H'ln = //'„/* = O,

por lo que los estados no están conectados a primer orden. En este caso, los dos estados están descritos por

222


£„= &„+ \H'nn,

TEORÍA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO

y

cnn - 1

h dt|/ i dt c,n - 1

En=

ti „ dcn i ¿-1 dt

n

"

' ¿i "

por lo que la ecuación de Schródinger resulta ser,

y la degeneración no interviene en el análisis. Ejemplos de este tipo se presentan cuando la perturbación conmuta con el conjunto de operadores usados para definir los estados no perturbados. Dicho de otra manera, el análisis se reduce al de la teoría de perturbación convencional cuando los estados no perturbados pueden especificarse mediante un conjunto de operadores en forma única, cada uno de los cuales conmuta con el término perturbativo. 6. TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO Finalmente, se puede considerar el caso de un sistema en algún estado inicial definido, sujeto a alguna fuerza externa dependiente del tiempo. Como ejemplo, se puede tomar el caso de un átomo sobre el cual se ejerce una fuerza oscilatoria debido a una onda de luz que pasa a través de él. Se supondrá que la fuerza externa es lo suficientemente débil para que se pueda aplicar un método perturbativo. El hamiltoniano se escribe en la forma, H = H0 + H'(t),

(59)

sin introducir el parámetro A. . Ahora se buscan soluciones aproximadas de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo,

Multiplicando por m* e integrando, se obtiene que para cada m

Este conjunto simultáneo de ecuaciones diferenciales de primer orden y acopladas es exacto, y es completamente equivalente a la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo. Naturalmente, las condiciones iniciales tienen que especificarse. Se considerará únicamente el caso en el cual ,/,(/ = 0) = ° sea> el sistema se encuentra en el estado inicial k no perturbado. Entonces, se tiene que, rt.

Se supondrá que la perturbación es tan pequeña o los tiempos lo suficientemente cortos, como para considerar que todos los coeficientes cn son pequeños, excepto ct Entonces, a primer orden se tiene que

m

Llamando $„ y &n a las autofunciones y autovalores del hamiltoniano no perturbado, se puede expresar i// como la superposición, «!»(*, f) = £ a. (t) n(x), n

donde los coeficientes del desarrollo se toman como funciones del tiempo. Si H' fuero cero, los coeficientes an serían proporcionales a e-¡ontiñ ^ sjn pér(jida de generalidad, es conveniente escribir por lo cual,

(60)

«/,(*,') = 2 c n ( f ) <£„( Por lo tanto, se tiene que (//„ + H'W= 2 c n ( t ) &n<}>ne-

223

c n ( í ) e-^»

k:S£*-_¡ H „, dt ~ 1I

donde se ha conservado solamente el término fc-ésimo en la suma de la derecha de la ecuación (61). De la primera de estas ecuaciones resulta que, ck = exp

[-' f "'**(/) Jo

dt.

dt/ti] -

Despreciando la desviación de ck respecto de la unidad, ya que esta desviación contribuye con términos de orden superior al primero, de la segunda ecuación resulta que m

H'mk(t)

dt .

(62)

Como primer ejemplo se supondrá que //"es independiente del tiempo, excepto desde f = 0cuando la perturbación aparece repentinamen-

224

225


TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO

hasta cuando desaparece al tiempo t también repentinamente. Entonces, se obtiene que

ecuaciones acopladas que resultan son fáciles de resolver, pero los detalles se dejan para los problemas. Un aspecto de la ecuación (63) que es bastante sorprendente es el resultado de que \cm\2 inicialmente crece como t2. Se esperaría que la probabilidad de transición creciera linealmente con el tiempo, o sea, que el efecto de la perturbación se describiera en términos de la rapidez a la cual se inducen las transiciones. Claramente no es éste el caso de transiciones a un solo estado final degenerado, sino a un grupo denso de estados finales, como el continuo. Para entender la importancia de este caso, se considera la probabilidad de transición P a un grupo de estos estados,

Cfc

=«?-<«'**«'*,

que corresponde a un corrimiento H'kk en la energía, en concordancia con el resultado de la teoría de perturbación estacionaria a primer orden. Para las cm se tiene que,

cm(t) = H' mk

e-u

& k- & ,„»/» _

o bien, (63)

Para estados no degenerados, si H'mk es bastante pequeño, entonces \cm | 2 permanece pequeño para todo tiempo t. Sin embargo, siH'mk es grande, la aproximación es válida solamente para t pequeño. En ambos casos, la interpretación del resultado es la siguiente. La cantidad ícm(í)|2 es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado n-ésimo no perturbado después de que ha ocurrido la perturbación si el sistema se encontraba inicialmente en el fc-ésimo estado no perturbado. Desde este punto de vista, al actuar la perturbación durante el intervalo de tiempo de O a t, provoca transiciones entre estados no perturbados. A continuación se puede considerar el caso de estados degenerados o aproximadamente degenerados. Para 3>m — 8>k se tiene que \fj>

\n

mk\

\2f2lt2

t ¡n ,

(64)

y, por lo tanto, la probabilidad de transición crece rápidamente con el tiempo y finalmente resulta del orden de la unidad. Este resultado es válido sin importar lo pequeño que sea H'mk en tanto que no sea idénticamente igual a cero y la razón es fácil de entender partiendo de los resultados previos de la teoría de perturbación estacionaria. Como ya se estableció, cuando los estados £-ésimo y m-ésimo están degenerados y H' mk es diferente de cero, los estados perturbados son combinaciones lineales de los estados degenerados no perturbados con amplitudes relativas del orden de la unidad. El crecimiento de \cm |2 refleja el intento decidido (pero sin éxito) del sistema de alcanzar la combinación lineal correcta como respuesta a la perturbación y, como cm finalmente resulta comparable con efe, la aproximación es válida sólo para tiempos pequeños. Sin embargo, resultados válidos para tiempos arbitrarios se pueden obtener tratando cn y ck simultáneamente en la ecuación (61) y en igualdad de condiciones. Las

p

=

'=2

sn

-
(&k-

(65)

La estructura de esta suma es muy interesante. Para t grande y fija, se puede considerar que el elemento de matriz H'mk varía muy lentamente de término a término comparado con el resto del factor. Entonces, la cantidad |cm. | 2 como función de 8>m tiene un máximo muy bien definido en el punto &m = &k, como se muestra en la Figura 3. De la figura se observa claramente que, cuando t tiende a infinito, las transiciones ocurren con probabilidad apreciadle dentro de una banda de estados cada vez más estrecha, con energía E centrada respecto a la energía del estado inicial &k. Este resultado expresa la conservación de la energía, ya que los estados finales que se pueblan apreciablemente son los estados cuya energía difiere de la energía del estado final por una cantidad infinitesimal. Los efectos no conservativos de poner y quitar la interacción resultan despreciables si el tiempo empleado entre los mismos es lo suficientemente grande. De la figura se nota que la anchura del máximo en la curva para la probabilidad de transición es inversamente proporcional a /, y la altura de la curva es proporcional a t2. Entonces P, que es proporcional

Figura 3. Probabilidad de transición contra la energía.

226



al área bajo la curva, crece linealmente con t. Para ver este resultado explícitamente y recordando que se supuso que los estados finales son densos, la suma de la ecuación (65) se convierte en una integral sobre un intervalo AE rodeando a &k, expresando el número de estados en el intervalo de energía entre E y E + dE como p(E} dE. Entonces p(E) es la densidad de estado en E y se obtiene que ,„, , 2 sin 2 [(¿? f c - E)t/2h] P — P(E) donde H'mk significa el elemento de matriz entre el estado inicial y un estado final típico en el intervalo AE. Despreciando la variación de p(E) y de ¡H'mk |2 en este intervalo, se obtiene que, dE.

P = 4p(£) \H'mk\ Haciendo* = (E — &k)t¡2h resulta que, „

sirr

2t

dx.

Para í —»°° , se puede demostrar que la integral es igual a ir y por lo tanto, P^~p(E)\H'mk2t,

(66)

donde P es proporcional a f, como se esperaba. Introduciendo la rapidez de transición como W = dP/dt, se encuentra que, 2ff

'~ \H'mk\z.

(67)

Este es un resultado muy importante y útil. Debido a Fermi se acostumbra llamarlo la regla de oro de la mecánica cuántica. En palabras, este resultado establece lo siguiente: el número de transiciones por unidad de tiempo de un estado inicial a un grupo denso de estados finales, que conservan la energía es 2ir/ft veces la densidad de estados finales multiplicado por el cuadrado del valor absoluto del elemento de matriz que conecta el estado inicial con los estados finales. El dominio de validez de este resultado se determina mediante las siguientes consideraciones. En primer lugar, la probabilidad total P de que el sistema sufra alguna transición del estado inicial tiene que ser pequeña, P < 1. Por lo tanto, de la ecuación (66) se tiene que, ^p(E) \H'mk\2t^ 1,

y designándola por e, se tiene que et/2fi = 1.

(69) También hay que recordar que el cálculo de la suma sobre los estados finales en la ecuación (64) supone que f es tan pequeña como para considerar que la densidad de estados y los elementos de matriz son constantes. Si e(l es una medida de la anchura máxima en la cual se justifica esta suposición, entonces, se tiene que

e(>t/2ñ a l .

(70)

La única forma que, en general, las ecuaciones (68) y (70) se pueden satisfacer simultáneamente, es que H'mk sea pequeña. Entonces, resumiendo, no es sorprendente concluir que la regla de oro se aplique sólo a perturbaciones débiles. Merece comentarse otro aspecto de la ecuación (69). La cantidad e mide la incertidumbre en la energía de los estados finales a los cuales llega el sistema debido a la perturbación. El producto de esta incertidumbre por el tiempo durante el cual actúa la perturbación es del orden de h , en concordancia con el principio de incertidumbre. Hasta aquí se han considerado perturbaciones independientes del tiempo, excepto mientras se pone o se quita. A continuación se generalizará al caso de una dependencia armónica en el tiempo, considerando una perturbación de la forma H'(x,t) = H'(x)e±i (71) que es del tipo que describe los efectos del campo de radiación electromagnético.14 De la ecuación (53) se concluye inmediatamente que todos los resultados son válidos si &k — &m se substituye por &k — &,„ + fto>. La ecuación (63) resulta

(72) Para que la notación quede clara, es necesario puntualizar que el signo superior en la ecuación (72) corresponde al signo superior en el exponente de la ecuación (71), y análogamente para los signos inferiores. Las transiciones del estado A>ésimo al estado m-ésimo suceden con probabilidad apreciable solamente cuando,

(68)

que sirve para restringir el intervalo de tiempo en el cual se aplica el resultado. Por otra parte, de los detalles de la derivación es claro que el intervalo de tiempo no puede ser muy corto. Recordando que la anchura es inversamente proporcional a t como se ve en la Figura 3,

227

&„,= &k + Uto, 14

(73)

En forma estricta, la dependencia armónica en el tiempo es trigonométrica, o sea COI (oí/ + 8). Como consecuencia, tiene lugar una interferencia entre las componentes de frecuiDOlt positiva y negativa de la perturbación, pero su contribución es despreciable para lll Intuiciones con probabilidad apreciable, es decir, cerca de la resonancia.

228


lo cual significa que las transiciones se inducen de preferencia en sistemas que absorben o emiten un cuanto de energía ha> . En el primer caso se llama absorción de resonancia y en el segundo emisión estimulada o inducida. Si w es tal que se satisface la ecuación (73), y si k y m se refieren a estados discretos no degenerados, la probabilidad de transición que viene dada por la ecuación (64) crece duadráticamente con el tiempo como antes. El resultado es válido para tiempos suficientemente cortos, sin importar lo débil de la perturbación. Sin embargo, como en el caso de la perturbación independiente del tiempo, se pueden obtener resultados válidos para tiempos arbitrarios si se tratan. cm y ck con la misma importancia en la ecuación (61). Las ecuaciones que resultan son fáciles de resolver, pero los detalles del cálculo se dejan para los problemas. Si se consideran transiciones a un (o de un) conjunto denso de estados degenerados en el continuo, la derivación de la ecuación (67) permanece inalterable, pero las energías de los estados inicial y final están relacionados por la ecuación (73). Todavía se puede hablar de conservación de energía en el proceso si se entiende que se refiere a la energía total del sistema, la parte material más el campo de radiación. Por esto, en la absorción, el sistema material absorbe un cuanto ftw a expensas del campo de radiación. En el proceso de emisión, el campo de radiación gana un cuanto a expensas del sistema material.15 Entendiéndolo así, la regla de oro y su interpretación quedan sin modificación. Es necesario puntualizar que, en este desarrollo, se ha considerado el campo electromagnético como una entidad estrictamente clásica. El hecho de que la emisión y la absorción estén cuantizadas es una consecuencia automática de las propiedades cuánticas del sistema material; no está directamente relacionado con las propiedades cuánticas del campo, pero sí es consistente con esas propiedades. Si esto último se quiere tomar en cuenta, las amplitudes del campo deben de considerarse como operadores que actúan sobre la función de estado que describe el campo. Estas amplitudes se pueden expresar en términos de variables de oscilador armónico para cada modo, y el estado del campo se puede caracterizar por el número de cuantos en cada uno. La energía del punto cero de estos osciladores armónicos juega un papel crucial en la interacción de sistemas materiales con el campo electromagnético. Estas fluctuaciones del vacío, como se les llama, son responsables de la emisión espontánea, es decir, la emisión de radiación por un sistema cuando no existe ningún campo de radiación externo presente. El tratamiento clásico, válido únicamente para nú-


meros cuánticos altos, no contiene ninguna referencia a las fluctuaciones del vacío y, por ello, no puede tratar la emisión espontánea.14 Se puede añadir, aunque sin demostrarlo, que la regla de oro también se aplica a la descripción de transiciones inducidas a un estado final discreto y definido, partiendo de un estado inicial que es una mezcla densa de estados degenerados en el continuo. Este proceso es el inverso del proceso descrito anteriormente. Como ejemplo particular de la aplicación de la regla de oro se puede considerar el caso de una partícula de carga e en su estado base \(i0 en un potencial V(x) , que recibe luz de frecuencia w , por lo cual salta al continuo. Esencialmente, este proceso es el defoto-ionización. Para llevar a cabo los cálculos se harán dos suposiciones. La primera de éstas se refiere a que se tomará la longitud de onda de la luz muy grande comparada con la dimensión del sistema. Esta es una suposición muy común y generalmente válida ya que, excepto en la región de rayos-X y menor, la longitud de onda es mucho mayor que las dimensiones atómicas. Con esta suposición, el campo eléctrico 8> que actúa sobre la partícula puede tomarse como uniforme en el espacio, aunque armónico en el tiempo, y por esto la perturbación toma la forma, H'(x,t) = H ' ( x ) e~iu" =-e 3>x e~iult,

Procesos de absorción y emisión múltiples, donde intervienen dos o más fotones, se describen por cálculos de teoría de perturbación de segundo orden y orden superior.

(74)

que es precisamente la energía potencial instantánea de la partícula en ese campo17. La segunda suposición se refiere a tomar la frecuencia w grande para que la energía del estado final E sea muy grande comparada con V(x). Esta última suposición permite tratar el estado final de la partícula como un estado de partícula libre, es decir, como un estado de momento y energía bien definidos. Las únicas dificultades que se presentan en este cálculo provienen de calcular la densidad de estados finales puesto que se encuentran en el continuo, y de normalizar correctamente estos estados. Ambas se pueden resolver usando el truco de encerrar al sistema en una caja de longitud L muy grande y al final hacer tender L a infinito. Cuando el sistema se encuentra en esta caja, se puede obtener fácilmente un conjunto de estados discretos y normalizables, imponiendo condiciones a la frontera apropiadas. Por ejemplo, para una caja real, la función de onda tiene que anularse en las paredes. Sin embargo, las funciones de estado definidas de esta manera no son estados de momento lineal definido, aún en el límite de L -»oo, debido a que estados 9

16 17

15

229

Para una discusión semiclásica de la emisión espontánea ver la Referencia [23].

Se han despreciado fuerzas magnéticas debido a que son del orden v/c menores que las fuerzas eléctricas, donde v es la velocidad de la partícula. También se ha omitido el termino de frecuencia positiva porque solamente interesa la absorción.

230



nunca se anulan. Por esto, se recurre a una argucia puramente matemática y no física, que es la condición peródica t//(*0 + L) = iM*o), donde se supone que las paredes están en x0 y en x.0+ L. Por razones obvias, este requisito se llama condición a la frontera periódica. Ya que las autofunciones simultáneas de momento y energía para la partícula libre son ondas puras de de Broglie e1^"®*1* , se exige que L)/ñ] =

exp

y por lo tanto \/2mE L¡h = 2mr,

231

pero, por definición AN = p(E) AE y por lo tanto, (77)

Falta escribir el elemento de matriz de la perturbación //'(*) definida por la ecuación (74), y para expresar explícitamente que está tomado entre el estado inicial y el final, se escribe H ' i f . El estado inicial del problema es el estado base normalizado <|/0(;c) con energía E0 = —€, donde « es la energía de ligadura. El estado final será el estado normalizado de partícula libre definido por la ecuación (75), con energía Ef dada por

« = O, ± 1 , ± 2 ,

Ef — E0 + h(¡) = ha — e .

(78)

Entonces, el elemento de matriz será,

Los estados normalizados serán xlfí

(75)

dx

y usando las ecuaciones (74) y (75),

donde

dx. '2mE = p =

2mrh

n = 0,±l,'±2,:

(76)

A medida que L crece, el espaciado del espectro resulta cada vez menor y, en el límite, los estados resultantes son los estados continuos de partícula libre con momento definido. Este es precisamente el hecho que motiva y justifica la introducción de las condiciones a la frontera periódicas. Para calcular la densidad de estados p(E) hay que recordar que esta densidad se define como el número de estados con energía entre E y E + A E. De la ecuación (76), el número total de estados N (E) con energía menor o igual que E es 2n + 1, y expresando n en términos de E resulta que,

Por lo tanto, N(E+ AE) =

V 2 m ( E + A E ) + 1 = N(E)

Entonces, despreciando términos de orden superior, L AN = N(E+

AE) - N(E) =

2-rrh

2-rrh

El factor que multiplica la intensidad del campo eléctrico & es el elemento de matriz del momento dipolar ex y H'\f resulta ser el promedio cuántico de la energía de un dipolo en un campo uniforme S>. Entonces, la probabilidad de transición por unidad de tiempo resulta ser W = ^p(Ef)

//', e'2&'¿\

(79)

Como se esperaba, la longitud de normalización L no interviene en el resultado final. La densidad de estados es proporcional a L pero, debido a la normalización de los estados continuos, el cuadrado del elemento de matriz es inversamente proporcional a L y el producto de ambos es independiente de la longitud de normalización. Por lo tanto, la ecuación (61) tal y como aparece es el límite alcanzado cuando L resulta infinito. Es de cierto interés calcular el elemento de matriz para un ejemplo, como sería el de una partícula en su estado base en un pozo de potencial cuadrado. Para simplificar el cálculo, se supondrá que la anchura del potencial es tan estrecha como para considerar que el estado base es el único estado ligado y, además, tan poco ligado que la función de estado se extienda muy lejos de las paredes del poten-

232



cial. Se tomará el límite para el cual la función de onda dentro del pozo cuadrado no contribuye en forma apreciable a la ecuación (6 1) y puede ignorarse. Extrapolando la función de onda exterior hasta el origen, se puede escribir que, (80)

donde e es la energía de ligadura. Esta función, que está normalizada, se ilustra en la Figura 4, y se compara esquemáticamente con la verdadera función de onda del estado base para un potencial estrecho.18 ecuación (80) función de onda verdadera

Figura 4. La función de onda de la ecuación (80) comparada con la función de onda verdadera, para el estado base ligado débilmente en un pozo de potencial cuadrado muy estrecho.

Con esta simplificación final se tiene que, dx V'4

/:

~

~

dx dx

| I x exp [—V2m

+ í° x exp [V2w(Ve + / =

/2meV

\ h2 )

/4

J

dx

—00

_ft*_

2m I (Vé -i VE,)2

(Ve + /VE,)2

Entonces, la ecuación (79) resulta ser m

(E,2 + e 2 ) 2 '

'" La función de onda de la ecuación (80) se puede obtener haciendo tender 2a a cero y ô a infinito, pero en tal forma que 2a Vo se aproxime a una constante, por ejemplo g, es decir, el límite para el cual el pozo de potencial cuadrado se aproxime a g 8 (x). La energía de ligadura se expresa en términos de g como f = mg '¿./2 ti*, que se puede verificar al tomar el límite de la ecuación (VI-16). Ver también el Problema 4 del Capítulo VI.

233

donde E [ = fto> — € .

Ya que se supuso que tua > e , esta expresión se reduce a

w=

w

(81)

Sujeto a todas las simplificaciones que se han hecho, este resultado significa que si una onda electromagnética de frecuencia w y vector eléctrico & irradia un conjunto de N partículas, cada una de carga e y masa m en su estado base con energía de ligadura e que se encuentra en un pozo de potencial cuadrado, entonces, el número de fotoelectrones producido por segundo con energía fuá — t esNW, donde W viene dada por la expresión anterior. El ejemplo que se acaba de estudiar es totalmente análogo al cálculo de la foto-ionización de átomos o de la fotodesintegración (eléctrica) de núcleos. El cálculo, aunque no es trivial, se ha hecho en una dimensión, pero el cálculo en tres dimensiones es ligeramente más difícil. Las diferencias entre tres dimensiones y una, estriba en la densidad de estados. Pueden surgir otras diferencias si la estructura de la función de onda del estado base es diferente. La fotodesintegración (eléctrica) del deuterón aisla los efectos del cambio en la densidad de estados, ya que la función de onda del estado base del deuterón es la que, esencialmente, se ha usado en el cálculo. Entonces, resulta que la probabilidad de transición por segundo es proporcional a e1/2/co5'2 a energías altas en lugar de e 3/2 /w 7 ' 2 . Por otra parte, la fotoionización del átomo de hidrógeno provoca un cambio en la función de onda del estado base que es la que corresponde a un potencial culombiano más que a un pozo cuadrado, con el resultado de que la probabilidad de transición decae mucho más rápidamente con la frecuencia, siendo proporcional a e 5/2 /w 9 ' 2 . Como observación final, es necesario puntualizar la costumbre de escribir que es costumbre describir estos procesos en términos de la probabilidad de desintegración o ionización por fotón incidente más bien que en términos de probabilidad por unidad del tiempo. El número de fotones por cm2 por segundo en un haz de luz de intensidad / es proporcional a //ft&>, donde / es proporcional al cuadrado del campo eléctrico &. Entonces, la probabilidad por fotón incidente por cm2, es decir la sección eficaz o sección, es proporcional a e1/2/<ü3'2 para la fotodesintegración del deuterón, y proporcional a e5/2/o>7/2para la fotoionización del átomo de hidrógeno.

134


Problema 1. Si la pared de un potencial infinito se considera como el junto de vuelta clásico, la función de onda se anula en el punto de /uelta; no se extiende un octavo de longitud de onda más allá del junto de vuelta. Entonces, la condición (12) se tiene que modificar. (a) ¿Cuál es la condición cuántica correcta para una partícula ;n una caja (paredes infinitas)? (b) Usar la aproximación WKB para encontrar los estados estañonarios y comparar con los resultados clásicos. Explicar. 'roblema 2. Considerar el movimiento de una pelota botando. Tonar el movimiento como si fuera perfectamente vertical y las colisioles de la pelota con el suelo como si fueran perfectamente elásticas, il potencial se muestra en la Figura 5. (a) ¿Cuáles son las condiciones cuánticas correctas? (b) Usar la aproximación WKB para encontrar las energías de os estados estacionarios. (c) ¿Cuál es el orden de magnitud del número cuántico apropíalo al estado estacionario de una pelota de masa lOOgm. que cae de ma altura de un metro? y =

y = mgx

Figura 5. Energía potencial de una pelota botando.

'roblema 3. Aplicar el método variacional de Rayleigh-Ritz al osciador armónico para encontrar: (a) La energía del estado base si se usa como función de prueba ma gausiana cuya anchura varía. (b) La energía del primer estado excitado si se usa como fun;ión de onda de prueba, v

_

,,

O,

235

PROBLEMAS

(b) La energía del estado base usando un polinomio de cuarto grado. (c) La energía del primer estado excitado usando el polinomio apropiado más simple como función de prueba. Nota: En cada caso escoger la función de prueba de tal manera que satisfaga las condiciones a la frontera correctas en las paredes. Problema 5. En física nuclear, con frecuencia se usa un potencial armónico cortado en x = ± b , o sea V(x) =

b b.

O,

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar las energías del estado base y del primer estado excitado. Como funciones de prueba usar el polinomio de la ecuación (19) del texto y el polinomio del Problema 3(b), considerando en cada caso a1 como parámetro de variación. Escoger b tal que b > a. (b) Hacer lo mismo para el caso b < a. (c) Estimar las energías de los mismos dos estados usando la aproximación WKB (condición de cuantización de Bohr modificada). (d) De los resultados variacionales y de los resultados del método WKB, estimar el valor máximo de b para el cual el potencial contiene sólo un estado ligado. (e) Comparar los resultados WKB y variacionales de los casos anteriores y decidir cuál de ellos es el más confiable. Explicar. Problema 6. Una partícula se describe con el hamiltoniano//=//0-F^ donde //„ es el hamiltoniano del oscilador armónico. Por lo tanto, se trata de un oscilador armónico en un campo gravitatorio uniforme (F = - mg) o en un campo eléctrico uniforme (F = - e&\ (a) Demostrar que a primer orden en la energía no cambian los autovalores. (b) Demostrar que,

|jc| & a.

2

:on a como parámetro de variación. ¿Se aplica el principio del mílimo? Explicar. 'roblema 4. Aplicar el princio variacional de Rayleigh-Ritz a una >artícula en una caja de anchura L para encontrar: (a) La energía del estado base usando un polinomio de segundo ¡rado como función de prueba.

hj2m
(c) Calcular los autovalores de energía a segundo orden. (d) Encontrar la solución exacta al problema. Sugerencia: introducir un corrimiento del origen. Comparar con los resultados de la parte (c).

236


Problema 7.

(a) ¿Cuál es la matriz que representa a la operación de multiplicar por la unidad? Esta matriz se llama matriz unidad. ¿Qué se puede decir de la multiplicación por un constante c? (b) Por las reglas de multiplicación de matrices, verificar que al multiplicar la matriz unidad por cualquier matriz, se obtiene el resultado esperado. (c) Dadas las matrices dos-por-dos

-U I)encontrar A\ B , A+B,AByBA. 2

Problema 8.

(a) Los elementos de matriz xnm de x para el oscilador armónico se obtuvieron en el Problema 6(b). Usando las reglas de la multiplicación de matrices, encontrar los elementos de matriz de x2. Verificar el resultado calculando directamente x2,,,,, . (Ver Problema 2(b) del Capítulo VI). (b) Hacer lo mismo para p y p2. (Ver Problema 2(c) del Capítulo VI). (c) Usar los resultados obtenidos para verificar que
(c) Discutir la relación de estos resultados con los obtenidos en la teoría de perturbación estacionaria. Problema 11. Una partícula de masa m se coloca en una caja de una dimensión, centrada en el origen, de anchura 2L y colocada en presencia de un campo gravitatorio uniforme. El hamiltoniano del sistema será, mgx,

L.

Estimar las energías permitidas del sistema usando: (a) La aproximación WKB. (b) Teoría de perturbación a segundo orden (¿por qué no a primer orden?). (c) El método Rayleigh-Ritz (únicamente estado base). Usar la función de prueba (1 — ax) eos irx/2L. Explicar por qué ésta es una función de prueba razonable. ¿Por qué cualquier función de simetría definida es inferior a la función sugerida? Problema 12. Una partícula de masa m está confinada al interior del potencial triangular mostrado en la Figura 6. Por lo tanto, el hamiltoniano es/í = (p'2/2m) + V(x), donde V(x) =0°,

Problema 9. Una partícula con energía E se mueve en un potencial i/ ytw x\ =-—i-ü cosh2 x/b (a) Suponiendo que E > I Fol encontrar, con la mayor precisión que sea posible, las condiciones sobre F0 y b para que la aproximación WKB sea válida. (b) Bajo las condiciones obtenidas en (a), calcular el coeficiente de transmisiónr(E)y el incremento en tiempo asociado con el paso de una partícula de energía E a través del potencial. Problema 10. Considerar una perturbación H' independiente del tiempo excepto al ponerla a t = O y al quitarla al tiempo t. Suponer que los estados no perturbados n-ésimo y m-ésimo están degenerados exactamente 8>m= 8>n. (a) Suponiendo que inicialmente el sistema se encuentra en el estado no perturbado n-ésimo, encontrar su comportamiento posterior. Partir de la ecuación (61) y despreciar todos los estados excepto el par degenerado, pero tratar éstos sin ninguna aproximación. (b) Determinar bajo qué condiciones iniciales se encontrará el sistema en un estado estacionario sin que la perturbación induzca transiciones de primer orden.

237

PROBLEMAS

= kx,

x 0.

o Figura 6. Pozo de potencial triangular.

(a) Estimar la energía del estado base usando el principio de incertidumbre. (b) Estimar la energía del estado base usando el método variacional de Rayleigh-Ritz. Como función de prueba escoger f O , = "U2 (x*-a*), [ O ,

O x a,

238

"^ 239


PROBLEMAS

y considerar a como parámetro de variación. (c) Sugerir una función de prueba adecuada para los primeros estados excitados pero no llevar a cabo ningún cálculo. Justificar brevemente esta selección. ¿Satisface el primer estado excitado un principio mínimo? ¿Por qué?

Problema 16. Sean t/» , y ty.2 un par de estados orton orinales y degenerados correspondientes a algún sistema. Al tiempo t = O se pone una perturbación H' y se quita al tiempo t = T. Suponer que el sistema se encuentra inicialmente en el estado <¡>l . (a) Encontrar T y encontrar la probabilidad de que ocurra una transición de t//, a t/»2 . Despreciar todos los demás estados excepto el par degenerado. Por sencillez suponer que,

Problema 13. La energía del estado base de un sistema se estima con el método de Rayleigh-Ritz y con la teoría de perturbación a segundo orden. El resultado de Rayleigh-Ritz es de —27.1 eV.y el de la teoría de perturbación es de —26.0 eV. ¿Cuál es el más cercano a la verdadera energía del estado base? Suponer que los números se han intercambiado. ¿Sería posible decidir cuál estimación es la mejor? Explicar el razonamiento hecho. Problema 14. Una partícula de masa m se mueve en un potencial V(x) = V0(x/L)2", donde s es un entero positivo. (Se tendría un oscilador armónico para s = 1 y un pozo cuadrado para .s —»oo.) (a) Estimar la magnitud de la energía del estado base usando el principio de incertidumbre. (b) Estimar la energía del estado base usando el método de Rayleigh-Ritz utilizando las funciones de prueba (i)

\¡i= exp [-x-¡2u-}

(u)

icos TTX¡2a t// = \ n [ U ,

x =£ a ^ x > a.

Considerar a como parámetro de variación en ambos casos. ¿Cuál es la función de prueba que da mejores resultados para diferentes valores de s? Discutir los resultados. (c) Demostrar que, en la aproximación WKB, la energía del n-ésimo estado se puede expresar en la forma

donde k(s) es una cantidad sin dimensiones del orden de magnitud de la unidad para toda s. Encontrar una expresión explícita para k(s). Problema 15. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuencia oí se encuentra en su estado base. (a) Un campo uniforme & se pone a t = O y se quita a t = T. Usando la teoría de perturbación dependiente del tiempo a primer orden, estimar la probabilidad de que el sistema se excite al estado n-ésimo. (b) Calcular lo mismo pero para un campo eléctrico que oscile senoidalmente, & — &ü sen &>„/.

(b) Comparar la probabilidad de transición obtenida con el resultado que se obtendría al usar la teoría perturbativa dependiente del tiempo a primer orden y encontrar las condiciones precisas para la validez de esta última. Problema 1 7. El oscilador armónico se reduce al caso de la partícula libre cuando la frecuencia tiende a cero. Se comprueba fácilmente que el oscilador armónico resulta el de la partícula libre en este límite. Sin embargo, no es fácil demostrar que las funciones de estado del oscilador armónico se reducen a las funciones de estado de la partícula libre. (a) Hacer tender w -» O y n —> oo en tal forma que £ „ = ( « + i) ñ
y estudiar la función de estado del oscilador i/» „ en este límite. (Sugerencia: usar la representación integral de la ecuación (VI-61) y calcular la integral por el método del punto silla). (b) Considerar la aproximación WKB para las funciones de estado del oscilador armónico (no muy cerca de los puntos de vuelta). Demostrar que, para n grande, la función de estado difiere poco de un estado de partícula libre en la región central. (c) Demostrar que los estados WKB se reducen a estados correctos de la partícula libre en el límite de frecuencia cero descrito en la parte (a). Notar que los puntos de vuelta en este límite resultan infinitamente remotos. Problema 18. Un sistema con autoestados no perturbados y energías ,,y £ n> respectivamente, está sujeto a la perturbación dependiente del tiempo H'(Í) =

a-PIr*

240


donde A es un operador independiente del tiempo. (a) Si el sistema se encuentra inicialmente (t = — oo ) en su estado base
PROBLEMAS

Problema 19. Sean ¡1> „ los estados estacionarios cuya energía es E,,, escogiendo las funciones 4, cía (ver Problema VI-11). (a) Demostrar que,

donde (b) El límite r\Eí — E0)2/4ñ.2 9> 1 se llama el límite adiabático. Discutir el comportamiento del sistema en el límite adiabático cuando pasa de menos a más infinito. ¿Por qué todas las probabilidades de transición tienden a cero en este límite? (c) Considerar el límite de una perturbación impulsiva T = 0. Demostrar que la probabilidad P de que el sistema, estando en el estado base, sufra cualquier transición es

24

Demostrar que esta solución se reduce al resultado perturbación a primer orden si la perturbación es lo débil. (f) Verificar que S|c m | 2 = 1.

la teoría di

A

"" S1S P°r convenien-

(i//,,

(b) Demostrar que,

2 «*

(c) Usando los resultados de (a) y (b) Yvbs i metodos -. j del de matrices, demostrar que, ' Sugerencia: Encontrar la probabilidad de transición alestadom-ésimo y sumar a todos los estados excitados usando los métodos del álgebra de matrices. (d) Demostrar que la perturbación impulsiva de la parte (c) es equivalente a H'(t)=A8(t). (e) Integrar la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo en un intervalo infinitesimal en torno a t = O y demostrar que i//(x, í) es discontinua en t = 0. En particular, demostrar que 1!)

y por lo tanto, que la solución exacta de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo es, t < 0:

^ = <(>0 e-iE°'/fl

[Este resultado es un ejemplo muy importa A i una regla de suma. Su importancia proviene í/h I ue la habilidad para una transición dipolar éntrelo, í ?° Pro' 08 e mo simo es proporcional a |XnQ |«. Por lo tanto j!**, ^ f / tríz son cantidades que se pueden medir dire'ctl t T ] (d) Verificar la regla de suma para el oscflT Cllador ai lando directamente la suma. ™mco, calcyProblema 20. En el Capítulo VI se demostrñ atractivo tiene por lo menos un estodc™£ del potencial. Usar el método variacional de bar que es una propiedad general de cualquk mente atractivo. Para hacerlo, usar la funci n y demostrar que a siempre se puede escoger tal va. ' (¿Por qué constituye una demostración^)

' Si B es un operador, su inverso B~' se define, en caso de existir, como B ~ ' B = BB-' = 1.

° Pf QU6 SCa PUr8 °"

'

T-/ * ( } SCa "

243

FORMULACIÓN

es la energía potencial de interacción entre la partícula z-ésima en je( y la /-ésima en x¡. Como lo muestra la notación, esta interacción depende solamente de la diferencia*, — x/. La energía total de interacción se obtiene sumando sobre todos los pares de partículas, y una forma explícita de escribir este término sería, pairs

VIII

i< j

Al sumar sobre i y /, la condición de que / sea siempre menor que / asegura que cada pareja se cuenta una sola vez. Respecto a la descripción cuántica de estos sistemas, se pueden hacer las siguientes suposiciones que son, en mayor o menor grado, generalizaciones obvias de la descripción de una sola partícula. (a) En el espacio de configuración, la función de estado del sistema depende de la coordenada de cada partícula y del tiempo,

Sistemas de partículas en una dimensión

z,.

. .,xA,t).

(b) Suponiendo que fy esté normalizada, / dxdx.2- • • dxA\4>\2 = 1 1. FORMULACIÓN

Ahora ya se puede hacer la primera generalización importante en la formulación de las leyes de la mecánica cuántica. Los requisitos impuestos por el principio de correspondencia, llevaron a considerar al hamiltoniano como el operador que determina el desarrollo en el tiempo de un sistema que consiste de una sola partícula moviéndose en un campo de fuerzas externo. Por argumentos análogos, se puede concluir que el operador hamiltoniano de un sistema de partículas, juega exactamente el mismo papel. Este resultado se demostrará a continuación. Si se considera un sistema de A partículas en interacción, cada una de las cuales puede también considerarse bajo la influencia de una fuerza externa, su hamiltoniano clásico será , PA, * i , . •

2

Va(Xt-X¡), (1)

2

donde p, /2mi es la energía cinética de la partícula z-ésima de masa i y Vt(xt) podría ser cualquier potencial externo (como la gravedad) en el cual se moviera la partícula. Finalmente,

(2)

la densidad de probabilidad absoluta en el espacio de configuración es | 0 f 2 . Explícitamente, |t/»| 2 dxt dx2... dxA es la probabilidad de que la partícula uno se encuentre entre x, y Xj + c?xu la partícula dos entre xz y x 2 + dxz y así sucesivamente, para todas las partículas A. Entonces, se concluye que, p ( x ¡ ) = í dx2

dxA\t¡>(x1,x2,. . .,XA

(3)

es la densidad de probabilidad para la partícula uno solamente e independiente del comportamiento de las demás partículas. Por esto, P(XI) tiene el mismo significado y las mismas propiedades que la densidad de probabilidad de una sola partícula; también tienen que satisfacerse las leyes de conservación de la probabilidad. (c) Las variables dinámicas de cada partícula son operadores que satisfacen la ley normal de conmutación. Pero, ya que las variables dinámicas de partículas diferentes representan grados de libertad totalmente diferentes y, por lo tanto, observables que no interfieren, las variables dinámicas de partículas diferentes conmutan entre sí. Entonces, se puede escribir que

m

i, P¡\ =

=0

ft

-- y 8«u .

(4)

245

SISTEMAS DE PARTÍCULAS EN UNA DIMENSIÓN

DOS PARTÍCULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

Específicamente, en el espacio de configuración las coordenadas xt son números y los momentos vienen dados por,

Asociando valores de expectación con variables clásicas según el principio de correspondencia, se concluye que estas ecuaciones son las ecuaciones clásicas de movimiento en su forma hamiltoniana, si H en la ecuación (7) es el operador hamiltoniano, es decir, que el hamiltoniano de la ecuación (1) se puede tomar como una función de las variables dinámicas cuánticas definidas por (4), (5) y (6).

244

Pi =

(5)

7a7'

Y en el espacio de momentos, los momentos pt son números y las coordenadas vienen expresadas por, *1 = - - — •

(6)

/ dpi

De estas suposiciones se concluye que la función de estado en el espacio de momentos
d

TÍ

o

2. DOS PARTÍCULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

Como primera aplicación de esta formulación general se consideran dos partículas de masas m, y m2 , que interaccionan entre sí mediante un potencial V(xl — x2) en ausencia de fuerzas externas. El hamiltoniano del sistema viene dado por, •+

2m¡ y la ecuación de Schródinger tiene la forma general, i dt

donde H es algún operador lineal y hemitiano. Se necesita, como antes, que la ecuación sea de primer orden en el tiempo para que se cumpla la conservación de la probabilidad. Usando las ecuaciones (4), (5) y (6) se obtiene que Oí,

=h

df_

V(Xl-x2),

2m2

(8)

y la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración resulta ser, _ 2mldxí*

= -717' (9)

La forma de V sugiere que se use como una nueva coordenada la distancia entre las partículas y, por lo tanto, se introduce la transformación x = *! — x2

=

hdf_

y, por argumentos análogos a los usados en el caso de una sola partícula (ver Sección 3 del Capítulo V), se encuentra que d

1

X — axj + /3jc2,

donde a y p son parámetros. Naturalmente que X resultará ser la coordenada del centro de masa y resulta instructivo ver cómo se obtiene. Se tiene que, _d_ = dx_ d_

dX_ _d_ = d_

a*,

dxídx

dxl dX~ dx

dx2

dx

_d_

dX

Específicamente, esto significa que y <¡i están relacionadas por = (2irfí)-AI2 / dp¡ • • • dpA(pt, • • • ,P, 4 )exp [i(pt

por lo cual,

y = (2vft)~AI2 ¡ d x ¡ - • • dxÁ^(x¡,. . . , X A ) e\f

m2 dx22

n Bx2

\mí

m

dX2

\m¡

m

. -dxdX' _


246

DOS PARTÍCULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

donde y, es la masa reducida del sistema y está expresada por — + m-i — l¿ = m¡

(10)

+ m2

coordenadas definidas por las ecuaciones (11) y (12). El hamiltoniano clásico de la ecuación (8), puede escribirse inmediatamente en las coordenadas del centro de masa en la forma familiar2

Para eliminar el término cruzado, se escoge /3 como

(14)

donde

w,

P^MdX=

y por lo tanto, d2 + J_

1

n dx

d_^ dt

dt

JÜ_2 = ! a22 «2

m2 dx2

dx

dX2'

mt

La selección de a todavía es arbitraria; únicamente sirve para fijar la escala de la coordenada X. La selección más conveniente es claramente aquella para la cual

También se pueden obtener los operadores cuánticos que corresponden a estos nuevos momentos y nuevas coordenadas. Se tiene que,

-*'> + £ ^ =7

/ / dx.dx,^ í í dxdX, lo cual exige que el jacobiano de la transformación sea la unidad. Entonces, \ dx

dx

\dX

dX

247

y es fácil demostrar que,

1= a

La transformación de p i, x „ p2, x 2 a p, x, P, X deja las reglas de conmutación inalteradas; tal transformación se llama transformación canónica ? Partiendo de estas reglas de -conmutación, se puede escribir en el espacio de configuración que,

m

y por lo tanto, M'

h d_ i dx'

donde M=m,+ m2 es la masa total. Finalmente, X — X\

A°21

-^ ~

(11)

M

de donde se obtiene que Xv I

— AY +-í-

~

2

M X >v

Ji

(12)

y la ecuación de Schródinger resulta ser, / dt

(13)

Se puede dar otro método para obtener la ecuación de Schródinger en el sistema de coordenadas del centro de masa, como se llaman las

h d

(15)

y la ecuación de Schródinger en la forma de la ecuación (13) se obtiene inmediatamente de la forma del hamiltoniano en las coordenadas del centro de masa, ecuación (14). El momento/' del centro de masa conmuta con H y, por lo tanto, es una constante de movimiento. Como en física clásica, el momento lineal total de un sistema aislado se conserva. Claramente, la ecuación de Schródinger en las coordenadas del centro de masa es separable, lo cual es el objetivo principal de la trans»

2

Ver las Referencias [ 14] a la [ 17].

3 Esta transformación es el análogo cuántico de una transformación canónica clásica, o se», una transformación que deja invariable la forma de las ecuaciones de Hamilton. Ver, por ejemplo, la Referencia [ 14].

248

INTERACCIÓN DE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS UNIFORMES


formación. Entonces, escribiendo V(x,X,t)=x(X,í)ili(x,t) se tiene que,

(16)

2MdX2

at

dt

La constante de separación no es más que una constante aditiva en la energía total y puede hacerse igual a cero sin pérdida de generalidad, 4 por lo cual, la función de estado del centro de masa del sistema satisface la ecuación de Schródinger de una partícula libre, _ 2M dX2

dt'

(17)

y puede tomarse como el paquete de ondas de una partícula libre en reposo o en movimiento uniforme; también puede considerarse como un autoestado del momento total, según las circunstancias. Ejercicio 1. De las ecuaciones (14)y(16) verificar que, (¿•total) = (Ecm) + {Erel)i

donde Ecm y £Vei se refieren a la energía del centro de masa y a la energía del movimiento relativo. El movimiento relativo satisface la ecuación de Schródinger equivalente a una sola partícula, --

(18)

cuyas soluciones han sido completamente investigadas. Por ejemplo, para una interacción cuadrática V(x) = fi
En general, la "constante" de separación puede considerarse como una función arbitraria del tiempo. Este hecho refleja ln la invariancia de la función de onda total <¡i (x, X, T) respecto a la transformación tf( r por •/< e " y de x P° X e~'""i. Ningún resultado físico depende de/y no se pierde generalidad al escogerla como cero.

249

embargo, aún bajo el punto de vista clásico, la impenetrabilidad implica un potencial de interacción que resulta definitivamente repulsivo a distancias de separación pequeñas. Para tales potenciales, se anula el coeficiente de transmisión cuántico, lo que concuerda con el resultado clásico. Hasta aquí, la discusión se ha restringido a considerar una pareja de partículas en interacción. Pero, ¿qué pasa con sistemas aislados de tres o más partículas? Es fácil demostrar que, como en mecánica clásica, es posible separar el movimiento del centro de masa y que este movimiento satisface las ecuaciones de movimiento de una partícula libre. Como en mecánica clásica, el movimiento interno es muy complicado. Aunque se usara la aproximación más tosca, no sería útil en este momento continuar con este tema pues las técnicas usadas para analizar tales sistemas son demasiado complicadas. 3. INTERACCIÓN DE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS UNIFORMES

A continuación se generalizarán las consideraciones anteriores al caso en que se encuentren presentes fuerzas externas. Bajo estas circunstancias, la transformación a coordenadas del centro de masa no garantiza la simplificación del problema. Naturalmente que el movimiento del centro de masa está determinado por la fuerza externa neta sobre el sistema, tanto cuánticamente como clásicamente, pero esta fuerza neta depende, en general, de la configuración del sistema. Entonces, el movimiento del centro de masa y el movimiento interno están acoplados o bien, para decirlo de otra manera, la ecuación de Schródinger no es separable en presencia de fuerzas externas arbitrarias. Sin embargo, debido a los argumentos anteriores, existe una situación excepcional para la cual la separación siempre es posible. Esta situación se presenta cuando las fuerzas externas son uniformes, porque entonces, la fuerza neta es independiente de la configuración. A continuación se estudiará este caso especial. Se consideran dos partículas, cada una sometida a una fuerza externa constante Fj y F2 respectivamente e interaccionando con un potencial V(x! - x2).El hamiltoniano del sistema será, , - x2) -

- F2x2.

Transformando a las coordenadas del centro de masa y usando la ecuación (12) se obtiene inmediatamente que,

] + [S¡-

«

250

251


OSCILADORES ARMÓNICOS ACOPLADOS

y se observa que la ecuación de Schródinger se puede separar fácilmente, obteniéndose para el movimiento del centro de masa la ecuación,

ga igual y opuesta, de magnitud e, entonces F, = — e8> and F2 = e A Entonces, la fuerza externa neta se anula ya que la molécula no tiene carga neta, y el movimiento del centro de masa resulta ser el de una partícula libre. El término adicional en la ecuación (20) es<5ex, que es precisamente la energía de un dipolo eléctrico de momento ex en un campo uniforme &. Recordando que el corrimiento en la energía es cuadrático en la fuerza externa, la energía del estado base de la molécula diatómica es de la forma

*<*•'>-- * fí y para el movimiento interno,

U . ' ) — 7 i?" (2°) Como se esperaba, la ecuación (19) es la ecuación que rige el movimiento del centro de masa bajo la influencia sólo de la fuerza externa. Sus soluciones son bastante complicadas, pero únicamente son la transcripción cuántica del movimiento bajo aceleración uniforme.5 El término adicional que aparece en la ecuación (20) representa el efecto de la fuerza externa sobre el movimiento relativo entre las dos partículas. Si este término es pequeño comparado con el potencial de interacción, puede tratarse como perturbación en la forma usual. Por ejemplo, a primer orden, la energía se desplaza por una cantidad igual al valor de expectación de la fuerza externa. Pero, si V(x) es simétrico, los estados no perturbados tienen paridad definida por lo cual el valor de expectación se anula y el corrimiento en la energía es de segundo orden, o sea, proporcional al cuadrado de las fuerzas externas efectivas. El caso especial de un potencial V(x) cuadrático enx es muy simple, ya que el término perturbativo se puede hacer desaparecer mediante un cambio de origen (ver Capítulo VII, Problema 6). Entonces, se tienen estados de oscilador armónico en los cuales el mínimo de la energía potencial se desplaza del origen y la energía de cada estado decrece en una cantidad constante, proporcional al cuadrado de la fuerza externa efectiva. Para dar a este ejemplo un significado físico se le puede considerar como una molécula diatómica. Además, las fuerzas externas se podrían particularizar al caso en que la molécula se encuentre en un campo gravitatorio uniforme. En este caso, FI =- m1g,F2 = — m2g y el término correspondiente a la fuerza externa en la ecuación (20) se anula, mientras que en la ecuación (19) resulta ser (m¡ + m2) g = MgX. Por lo tanto, el movimiento interno no resulta afectado por el campo gravitatorio y el centro de masa resulta acelerado en la forma esperada. A continuación se considerará el caso de una fuerza externa producida por un campo eléctrico uniforme^. Si las partículas tienen car5

Ver Problema VI-8.

£ = £0-5«<52,

(21)

donde a se expresa en términos de los parámetros del potencial del oscilador armónico. Este corrimiento en la energía es el de un dipolo inducido, de momento a & en el campo & ; la cantidad a se llama la polarizabilidad eléctrica de la molécula. Pero, si el estado base del sistema no tuviera paridad definida, entonces, el corrimiento en la energía sería lineal en 8> y no cuadrático. La energía del estado base tendría la forma E = E0 - fíe &,

que es la energía de un dipolo eléctrico permanente, de momento i¿e en un campo externo. De este ejemplo se concluye que si el estado base de un sistema tiene paridad definida, no tiene momento dipolar eléctrico permanente. Este es, con mucho, el caso más común en la naturaleza. Para tales sistemas, la acción de un campo eléctrico externo distorsiona el sistema produciendo una separación de la carga proporcional a la intensidad del campo eléctrico que se expresa en término de la polarizabilidad. Es necesario aclarar que la polarizabilidad es una cantidad que se puede medir directamente, ya que la susceptibilidad eléctrica de un gas se puede expresar en términos de la polarizabilidad eléctrica de las moléculas que lo constituyen. 4. OSCILADORES ARMÓNICOS ACOPLADOS

Antes de seguir adelante, se estudiará un segundo ejemplo que se puede resolver exactamente, como es el de un par de osciladores armónicos acoplados. En particular, se puede considerar un hamiltoniano de dos partículas de la forma6 (22) 8 Por simplicidad se ha escogido el caso particular en que los osciladores desacoplados tengan la misma frecuencia.

252


Se verifica fácilmente que las coordenadas normales para este problema son precisamente las coordenadas relativas y del centro de masa de la ecuación (II). 7 Al usar estas coordenadas, el hamiltoniano se transforma a la forma separable, H — //cm + //re|,

donde

P2

1

2M

2

253

OSCILADORES ARMÓNICOS ACOPLADOS

(23)

Nn

Nn

03 12 21 30

n = 3 JV = O, 1, 2 .

02 11 20

n = 2 N= 0,1,2.

(24)

(25)

y donde la frecuencia & se define como, (26)

Se observa que si el término de interacción es atractivo, k > O s> > «, y para interacciones repulsivas k < O se tiene que & < N(X) y $n(x) a las autofunciones de oscilador armónico de //cm y //«.i respectivamente, con las energías (N + ?) ftw y (n + ?) h<á , se obtiene para los estados estacionarios exactos que, , « = 0,1,2,.

(27)

con energías,

n = 1 N = O, 1, 2.

ifi(a —

n = O N= O, 1, 2.

00 (a)

ENn= (N

(28)

El espectro, que no es degenerado si w y w no son conmesurables, es una simple composición de dos espectros de oscilador armónico. Sin embargo, depende de la magnitud relativa de t<> 2 , o sea, cuando domina el término de interacción. En este caso el espectro consiste de un conjunto infinito de estados muy cer7

01 10

Estos detalles se dejan para los problemas.

(b)

Figura 1. (a) Espectro del oscilador acoplado para fuerzas atractivas débiles. Todos los estados cercanos tienen el espaciado común h (&> —
canos que se superponen, cuyo primer conjunto empieza en el estado base, el siguiente en el estado n = 1, el que sigue comienza en n = 2, y así sucesivamente. Aunque la función de estado es una función simple de las coordenadas normales, es una función complicada como función de las coordenadas x¡ y x2 de las partículas, excepto para el estado base, el cual, correctamente normalizado resulta ser

X exp -

fj.(ü)

2h

— O))

2h

(*.-.

•

(29)

254

INTERACCIÓN DÉBIL DE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS


Entonces, los estados excitados consisten del mismo factor gausiano multiplicado por polinomios de grado (« + AT) en xt y x2. El problema del oscilador acoplado tiene cierto interés intrínseco. Por ejemplo, el límite de interacción fuerte es un modelo muy crudo de los estados de una molécula diatómica fuertemente ligada en un cristal. Sin embargo, su principal interés resultaría ser una guía para aplicar métodos aproximados al estudio de las propiedades de un sistema de partículas (Problema 9). A este respecto, se puede aclarar que la utilidad del problema del oscilador acoplado no está limitado al sistema de dos partículas que se ha estado analizando. Se pueden encontrar soluciones exactas para cualquier número de partículas8 y más adelante se discutirá el caso de tres partículas. 5. INTERACCIÓN DÉBIL ENTRE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

Ahora, se puede volver al caso general y considerar fuerzas externas no uniformes donde, como ya se puntualizó anteriormente, el movimiento del centro de masa no puede separarse. Aún para el caso de un sistema de dos partículas, este problema es muy difícil y se restringirá al caso en el cual las fuerzas externas dominan sobre las fuerzas internas, por lo que éstas se pueden considerar como una perturbación. Por lo tanto, el problema se inicia discutiendo los estados no perturbados, que son los de un conjunto de partículas sin interacción moviéndose en un campo de fuerzas externas. Se considerará en detalle solamente sistemas de dos partículas, pero también se mencionarán brevemente sistemas de muchas partículas. Se parte del hamiltoniano de dos partículas,

255

Los estados estacionarios del sistema resultan ser el producto de los estados con energía tLín '

donde «|»tn y «|»2m son las autofunciones ortonormales de //, y H2 con autovalores Eín y E2m. Un estado general arbitrario puede construirse como superposición de estos estados de partícula independiente. En particular, soluciones de la forma del producto (32) se pueden obtener como producto de una superposición arbitraria de los estados de la partícula uno y de una superposición análoga de estados de la partícula dos. Para este producto, de la ecuación (32) se tiene que, por lo cual las partículas no están correlacionadas y el desenvolvimiento en el tiempo se realiza independientemente, como en el caso clásico. Sin embargo, hay que notar que es posible tener estados para los cuales no se cumple esta independencia completa. Para ello se considera inicialmente la función de estado arbitraria ¡Ii(x1,x1,t = 0). La función de estado más general se puede expresar como V(x!,x2,t) = 1, cmnt¡jln(xl)^2m(x2) exp [~i(Eln + E2a)r/ñ],

y por lo tanto, ya que (/»,„ y ^2m son ortonormales, al invertir y tomar t = O se tiene que, cnm= fSV(xi,x2, f = 0) !|/ln* U,)
H=

Para este sistema, las coordenadas del centro de masa son claramente irrelevantes, pues clásicamente consiste en dos partículas moviéndose independientemente. Al escribir,

(32) la ecuación de Schrodinger resulta separable y se obtienen las dos ecuaciones de una sola partícula cada una, " Para el caso clásico ver las Referencias [ 14] a [ 17]. Para el caso cuántico ver I. Bloch y Y. Hsieh, Physical Review 96, 382 (1954); 101, 205 (1956).

Si el estado inicial tiene la forma i//i ( x, ) t//2 (x2 ) , entonces, cnm se puede expresar como el producto c,,,c2ra, y la función de estado permanece no correlacionada para todo tiempo. Pero si el estado inicial está correlacionado, por la razón que sea, entonces, estas correlaciones sin analogía clásica, persisten en la función de estado para todo tiempo. Estas correlaciones juegan un papel muy importante al determinar las propiedades de sistemas de partículas idénticas, como se verá más adelante. Ahora, ya se pueden considerar los efectos de las interacciones sobre los estados estacionarios, suponiendo que estos efectos son débiles comparados con las fuerzas externas. Llamando V(xl — x2) al término de interacción, el hamiltoniano tendrá la forma,

256


2m2

PARTÍCULAS IDÉNTICAS Y DEGENERACIÓN DE INTERCAMBIO

V(Xl - xt) .

Tomando F(JC, — x2) como una perturbación, los estados no perturbados son el producto de los estados t/»nm = i n Ui)t/» 2 mU2) con energía &nm = Em + E2m . Entonces, a primer orden se tiene que, (33)

Enm -

y a segundo orden, E t-nm = & 6> nm

(34)

donde los elementos de matriz están dados por ) = / / dx, dx2 .!;,„* (Jt,)«f< 2 m * (XÍ)V(XÍ

- X2) «//„ (xt ) fe. (xt) .

La generalización al caso de más de dos partículas es inmediata. Para un sistema de tres partículas los estados no perturbados son productos de tres estados de partícula independiente y, como antes, para estos tres estados se tiene que,

257

Para A partículas se tienen productos de A estados de partícula independiente y las correcciones perturbativas tendrán la forma de una suma de contribuciones de dos partículas. 6. PARTÍCULAS IDÉNTICAS Y DEGENERACIÓN DE INTERCAMBIO Ahora se puede considerar el caso extremadamente importante de un sistema de partículas idénticas. Partículas idénticas siempre significará que las partículas son completamente y absolutamente indistinguibles. No se asocia ningún significado físico a la etiqueta de estas partículas. Por esta razón, las coordenadas de todas las partículas idénticas intervienen en el hamiltoniano exactamente en la misma forma. Como ejemplo particular y simple, se puede considerar el caso de dos partículas idénticas sin interacción y bajo la influencia de alguna fuerza externa. Cada partícula siente exactamente el mismo potencial y, por lo tanto, el hamiltoniano tiene la forma (35)

Entonces, las soluciones estacionarias son (36)

Si la interacción mutua se puede escribir como, V = Vl2(x¡ - JC 2 ) + K 13 (x, - x3) + V23(x2 - x3) ,

con energía

entonces, a primer orden resulta que, Enmi= 8>nml+ (tyn

El último término en esta expresión se reduce a una suma de términos como los de la ecuación (33). Para demostrarlo, se puede considerar como ejemplo V,2(x\ ~~ x2). Se tiene que,

donde i/»s (x) es una autofunción del hamiltoniano común de una partícula

con autovalor Es. Pero si q y n son diferentes, este estado está degenerado respecto al intercambio de las partículas, es decir, que el estado dxt dx2

La integración sobre x3 se puede calcular inmediatamente y, como i|/3( está normalizada, el resultado será <«/»» m | V \Z\tynml) = («/»»inl' / 12|l/»iim).

que como se esperaba es independiente de /. En forma análoga, los otros dos términos dan como resultado únicamente contribuciones de dos partículas.

•lv = »M*i) «M*2)

(37)

tiene la misma energía que i/*,,, . Esta degeneración se llama degeneración de intercambio, que es una consecuencia de la invariancla 6VÍdente del hamiltoniano de la ecuación (35) respecto a un intercambio de las coordenadas de las dos partículas. Este resultado se puede generalizar demostrando que la degeneración de intercambio es una propiedad de las soluciones de la ecuación de Schródinger para cualquier sistema de partículas idénticas, sin ilfr

258

SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS IDÉNTICAS


portar sus interacciones mutuas ni qué tipo de fuerzas externas actúan sobre las partículas, y tampoco cuántas partículas forman el sistema. Para este propósito es conveniente introducir el llamado operador de intercambio P¡2 = P2l , el cual intercambia las coordenadas de las partículas uno y dos cuando opera sobre cualquier función de estas coordenadas.9 P¡2 se define por \2 f(x\,x2,x3,. . . , X A ) — f(x2,Xi,x3,. . .,

(38)

para / arbitraria. Análogamente, Pi} intercambia las coordenadas de las partículas/ e /. Como ejemplos se tiene que Pl3f(Xi,X2,X3,.

. .,XA) = /(X^X^X^.

7. SISTEMAS DE DOS PARTÍCULAS IDÉNTICAS

Para un estado de dos partículas, solamente se necesita tomar en cuenta el operador de intercambio PÍ2 . Evidentemente, el valor P^ es la unidad y por lo tanto, al igual que el operador de paridad, los autovalores de PÍ2 son ± 1, que corresponden a los estados simétricos o antisimétricos respecto al intercambio. Entonces, los estados de dos partículas siempre se pueden clasificar de acuerdo a su simetría respecto al intercambio. Como ejemplo particular, para los estados de partícula independiente de la ecuación (36) se obtienen los estados correlacionados (normalizados),

• -,XA) q(x2)

'12* 1

259

— P12 / (x3, x2, x¡ , . . . , XA)

= f(x3,x1,x2,. . . , X A ) ,

y así sucesivamente. Es necesario subrayar que, como lo demuestran estos ejemplos, el índice de una coordenada etiqueta a la partícula que se refiere a esa coordenada, y no el orden en el cual aparece una coordenada en la función de estado. El operador Ptj conmuta con el hamiltoniano debido a la definición de indistinguible. Entonces, si Ê(X¡, x2, . . . , XN) es una auto función de H con autovalor E, también lo es /%
±

(39)

y, como se puede verificar fácilmente Pn >K
260

SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI


verdaderos tienen simetría definida y, automáticamente, resultan estar simetrizados. 10 La discusión de las propiedades de los estados de dos partículas independientes se puede aclarar considerando los siguientes ejemplos que se pueden resolver exactamente y que se trataron en las Secciones 3 y 4 para el caso de partículas distinguibles. (a) Fuerzas externas uniformes. En este caso las partículas pueden interaccionar arbitrariamente, pero las fuerzas externas están restringidas a ser uniformes. El hamiltoniano tiene la forma, H =

X, + X2

2

Ejercicio 2. Efectuar los detalles de los argumentos que conducen a la conclusión anterior. (b) Osciladores armónicos acoplados. Este caso es más interesante y se hará con cierto detalle. Para partículas idénticas, el hamiltoniano de la ecuación (22) para osciladores acoplados resulta ser

X

Xi

X2,

(42)

y bajo esta transformación el hamiltoniano H resulta ser 2

H=

1

o2

1

1 MrfX1 + %- + ± i¿s>2x2 2 2fí 2

(43)

precisamente como antes, con M = 2m and n = m/2. También, como antes 32 =
+ y(Xí - xt) + FXl + Fx2

Como las partículas son idénticas, la fuerza externa F que actúa sobre cada partícula es la misma. Además, el potencial de interacción es necesariamente una función simétrica de su argumento (¿por qué?). Como consecuencia, de la ecuación (20) con m¡ = m2 = m y FI = F2 = F , los estados correspondientes al movimiento relativo tienen simetría definida respecto a la coordenada relativa x = x¡ — x2 . Ya que los estados correspondientes al centro de masa son necesariamente simétricos respecto al intercambio (¿por qué?), los estados del sistema están automáticamente simetrizados, de acuerdo con lo que se esperaba.

'•

261

Los estados estacionarios son

./,„„ = *„(*)„(*) (44)

donde P^Nn = .(-1 )"**.,

(45)

y, por lo tanto, estos estados están automáticamente simetrizados, como se esperaba. El espectro para interacciones débiles es el de la Figura 1 (a) y para interacciones fuertes dominantes se tiene la Figura Hasta ahora podría parecer que, a pesar de lo que se esperaba, no resulta ninguna complicación cuando se consideran partículas idénticas. Al contrario, la descripción se simplifica debido a las propiedades de simetría. Esta conclusión es válida para sistemas de dos partículas. Surgen complicaciones importantes solamente para sistemas de tres o más partículas, como se mostrarán a continuación. 8. SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI

La transformación al centro de masa toma la forma simple, 10

Este argumento es muy parecido a la discusión del Capítulo VI respecto a la paridad de los estados en un potencial simétrico. En aquél caso se pudo demostrar que el espectro de estados ligados es siempre no degenerado y, por lo tanto, los estados ligados siempre se pueden clasificar de acuerdo a su simetría respecto a la paridad. En este caso, el argumento es necesariamente cualitativo. De hecho la degeneración se presenta en casi todos los estados para el caso de la partícula independiente, o bien accidentalmente para el caso más real de partículas interaccionando. Es necesario puntualizar que para el caso real no se ha dado ninguna demostración, sino únicamente se han presentado argumentos plausibles.

Volviendo al estudio de las propiedades de un sistema A partículas idénticas, su hamiltoniano será

(46) pairs

donde V(x) es el potencial externo común en donde se mueven las partículas y V(xt — x } ) = V(x¡ - xt) es el potencial de interacción pa-

262

SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI .


ra cada par de partículas. Para determinar las características de simetría de los estados de este sistema es necesario examinar las propiedades de los operadores de intercambio Pu. Como se dijo anteriormente, P¡_J necesariamente conmuta con H para todo par de partículas y, por lo tanto, los estados del sistema pueden tener una degeneración A\ respecto al intercambio, que corresponde &A\ permutaciones del orden en el cual se pueden caracterizar las A partículas al escribirlas en la función de estado. La clasificación de estos estados es complicada debido a que los operadores PU y Pi^no conmutan. La simetría de la función de estado respecto al intercambio de las partículas i y/, y de las partículas / y k no pueden especificarse arbitraria y simultáneamente. Entonces, se llega a la conclusión importante de que, en general, las soluciones de la ecuación de Schródinger para un sistema de tres o más partículas idénticas no tienen simetría definida respecto al intercambio entre cada par de partículas. Sin embargo, existen dos estados excepcionales, ambos de importancia primordial en lo que sigue, que sí tienen simetría definida. Uno de estos estados es simétrico respecto al intercambio de cada par de partículas y se llama estado totalmente simétrico. El otro estado es antisimétrico respecto al intercambio y se llama totalmente antisimétrico. Ambos estados se construyen muy sencillamente a partir de los estados no simetrizados Ê(x\,x2, • - -,XA). Llamando al primero WE+ y al segundo VE~"> se pueden escribir simbólicamente como, (47) permutaciones

(48) permutaciones

En cada caso la suma corre sobre el conjunto completo de permutaciones. Cualquier intercambio adicional únicamente revuelve estas permutaciones pero deja el estado simétrico inalterable. El índice r sobre el factor ( — 1Y en el estado antisimétrico es el número de intercambios entre pares de partículas para llegar a una permutación dada. Es importante señalar que el signo de cada término en la suma depende de que el número de intercambio sea par o impar. Al intercambiar cualquier par de partículas en la función de estado totalmente antisimétrica, cambia r par a r impar y viceversa y, por lo tanto, cambia el signo de VE~ como debe de ser. La propiedad fundamental de simetría de estos dos estados se puede resumir diciendo que, para todo par de partículas z y /, se tiene PÍJ i|»£± = ± tl/E*.

(49)

263

Esta discusión de las propiedades de simetría de sistemas de muchas paitículas ha demostrado que los estados degenerados debido al intercambio, que pueden tener una degeneración de A\, no poseen simetría definida con excepción del caso especial en que los estados estén totalmente simetrizados o antisimetrizados.11 Afortunadamente, la naturaleza ha simplificado enormemente el problema pues no todas las A \ soluciones de la ecuación de Schródinger se pueden realizar físicamente. Esta característica es de importancia primordial en la estructura de la materia y del mismo universo. Para establecer las condiciones de restricción impuestas por la naturaleza, se necesita mencionar que las partículas elementales poseen cierta estructura y necesitan de ciertas coordenadas internas para su especificación completa. La coordenada interna más importante en esta discusión es el momento angular interno, el espín o giro de una partícula, que se denotará por s. Más adelante se tratará este tema con cierto detalle; por ahora, únicamente se señalará que el momento angular de espín tiene una magnitud definida para cada tipo de partícula. Estas magnitudes están cuantizadas y, en unidades de ñ , solamente pueden tomar valores enteros o semienteros. Por ejemplo, los electrones, protones y neutrones tienen espín un medio, el fotón tiene espín uno y el mesón ir tiene espín cero. Pero, si ahora se establece que el intercambio de coordenadas significa intercambio de coordenadas internas (espín) y coordenadas externas, entonces, todos los argumentos acerca de la degeneración por intercambio permanecen inalterables por la presencia del espín, y la degeneración .4/ todavía puede ocurrir. Entonces, la simplificación de la naturaleza establece que para un tipo dado de partícula solamente se observa uno solo de estos A! estados. Específicamente, la función de estado dt un sistema de partículas de espín entero siempre tiene que ser totalmente simétrica, y la función de estado de un sistema de partículas de espín semientero siempre tiene que ser totalmente antisimétrica, La primera está descrita por el estado particular de la ecuación (47) y la segunda por la ecuación (48). El postulado de que la función de estado para partículas de espín semientero es totalmente antisimétrica no es más que una versión precisa y general del famoso principio de exclusión de Pauli, como se verá a continuación. Estas partículas satisfacen la estadística de Fermi-Dirac y actualmente reciben el nombre defermiones, y las partículas de espín entero satisfacen la estadística de Bose-Einstein y se les llama bosones. Estas relaciones entre espín y estadística, y los "En contraste con el caso de dos partículas, estos estados simetrizados totalmente no aparecen automáticamente. Tienen que ser construidos de acuerdo con las ecuaciones (47) y (48).

264

SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI


mismos postulados de simetría, se descubrieron empíricamente, pero ya se han deducido como consecuencia necesaria de las restricciones impuestas a las leyes cuánticas por los requisitos de invariancia relativista. Una comprensión mejor de la estructura de las funciones de estado de las ecuaciones (47) y (48) se pueden obtener observando que, para sistemas sin interacción, una solución estacionaria del sistema de A partículas es sencillamente el producto de A funciones de estado de una sola partícula. Se observa que el estado totalmente antisimétrico se puede expresar como un determinante de estas funciones de una sola partícula que se llama determinante de Slater. El estado antisimétrico normalizado es,

(50)

donde el argumento de las funciones de una sola partícula es (xtSi) para indicar que intervienen tanto las coordenadas espaciales como las coordenadas de espín. El producto de los elementos diagonales es el estado original no simetrizado y los otros términos generan el conjunto completo de permutaciones, cada una con su signo correcto. En este caso de partícula independiente se observa que una función de onda antisimetrizada se anula si dos partículas se encuentran en el mismo estado espacial y de espín, ya que entonces dos hileras del determinante serían iguales. Por lo tanto, la versión elemental del principio de Pauli al establecer que dos partículas no pueden encontrarse en el mismo estado cuántico, es un caso especial del requisito general de antisimetrización. El estado simétrico no se puede escribir en forma tan elegante, pero se puede describir como una función de onda del tipo anterior en el cual el signo de todos los términos se toma positivo. Hay que notar que las funciones de onda simetrizadas, como las de la ecuación (50), son estados correlacionados, aunque se hayan formado de productos no correlacionados. Por ello, la probabilidad de que dos partículas tengan idénticas coordenadas espaciales y de espín es cero en un estado antisimétrico. Estas correlaciones producen efectos importantes y son responsables, por ejemplo, del fenómeno del ferromagnetismo. La reducción de A! a un solo estado, es el final de la historia para partículas sin espín. Para dar un ejemplo particular y simple, se pue-

265

de considerar el sistema de dos partículas descrito por el hamiltoniano del oscilador acoplado de la ecuación (41). Para partículas sin espín, la función de estado es simétrica bajo intercambio y, de acuerdo con la ecuación (45), sólo estados con n par se logran físicamente. Esta conclusión significa que solamente la mitad de las soluciones matemáticas de la ecuación de Schrodinger son soluciones físicas, por lo cual aparecen en el espectro de la Figura l(a) o de la Figura l(b). Para sistemas de tres o más partículas, la reducción en el número de estados es mucho mayor. El análisis de sistemas de muchas partículas es mucho más difícil debido a que los estados no están simetrizados automáticamente, lo cual se ilustrará en breve para el caso de tres partículas. Para partículas con espín un medio, como los electrones, la situación es todavía mucho más difícil. La naturaleza de estas complicaciones adicionales, son debidas a que, excepto para efectos relativistas, el hamiltoniano es independiente de las coordenadas de espín. Por ello, el espín de cada partícula conmuta con H y, por lo tanto, cada espín por separado es una constante de movimiento. Este resultado introduce en las funciones de estado una nueva degeneración, la cual puede expresarse por el hecho de que cualquier solución de la ecuación de Schrodinger independiente del espín, sigue siendo una solución al multiplicarla por una función arbitraria de las coordenadas de espín. Los requisitos de simetría son condiciones sobre la función de onda total y no sobre las coordenadas espaciales o de espín exclusivamente. Por lo tanto, existen muchas formas de lograr la simetrización. En el caso más simple, el de un sistema de dos electrones, se puede construir una función de estado totalmente antisimétrica, de dos maneras; como el producto de una función espacial simétrica y una función de espín antisimétrica, o bien, como el producto de una función espacial antisimétrica por una función de espín simétrica. Como se discutirá en el capítulo X, el primero es un estado de espín total cero, y el segundo, de espín total uno.I! Usando otra vez como ejemplo el oscilador acoplado, significa que para partículas de espín semientero todos los estados se logran físicamente y el espectro es el de la Figura l(a) (o Figura (b)), en su totalidad. Elti* dos con n par son estados de espín cero (antisimétrico en los espinel), y los de n impar son estados de espín uno (simétrico en los espinel). Si se considera un sistema de tres electrones, se encuentra que exilien tres formas de construir una función de estado totalmente antitimétrica. *La primera es bastante simple. Es un estado de espín totll 3/2, simétrico en los espines y antisimétrico en las coordenadas eiplcíales. Los otros dos, son estados de espín 1/2, ninguno de loi CUllll " Los estados atómicos del helio son de este tipo. Ver el Capítulo XI.

'ÜÉÉlMfct ,IIÍWiítl ,

266


SISTEMAS DE TRES PARTÍCULAS IDÉNTICAS

267

tiene simetría definida respecto al intercambio espacial o al intercambio de espín. Para resumir, se han estudiado los estados de un sistema de A partículas idénticas y se ha encontrado que las soluciones estacionarias más generales de la ecuación de Schródinger están degeneradas A! veces. Sin mebargo, dependiendo del espín de la partícula, únicamente se presentan ciertas combinaciones de estos estados. Para partículas sin espín, los estados deben de ser totalmente simétricos respecto al intercambio de cualquier par de partículas. Para partículas con espín un medio, la función de estado tiene que ser totalmente antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas espaciales y de espín, para cualquier par de partículas.

Llamando „ a las autofunciones de 7/sp y E,, a los autovalores correspondientes, los estados estacionarios se pueden expresar como el producto

9. SISTEMAS DE TRES PARTÍCULAS IDÉNTICAS

Si ahora se considera un estado de intercambio que es degenerado como P12 *l>nqgs& tiene que

Hasta aquí, la discusión del comportamiento de partículas idénticas se ha limitado, por motivos ilustrativos, al caso de sistemas de dos partículas. Sin embargo, el caso de dos partículas es demasiado simple, pues aparecen los estados correctamente simetrizados en las coordenadas. Para ilustrar las nuevas características que aparecen cuando se considera más de dos partículas, a continuación se discutirán las propiedades de sistemas de muchas partículas. La pregunta esencial es la siguiente: ¿cómo se pueden identificar los estados realizables físicamente de un sistema de muchas partículas? Esto se lleva a cabo, por lo menos en principio, encontrando las soluciones de la ecuación de Schródinger sin tener en cuenta la simetría y, posteriormente, simetrizando el resultado de acuerdo con la ecuación (47) para partículas de espín cero y de acuerdo con la ecuación (48) para partículas de espín un medio. Se mostrará este procedimiento para un sistema de tres partículas idénticas que, por simplicidad se considerarán sin espín. Pero, el sistema de tres partículas es suficientemente general como para exhibir las características importantes de sistemas de muchas partículas y lo suficientemente sencillo como para permitir que se obtengan explícitamente los detalles. Se empezará por considerar el sistema de tres partículas más simple, o sea el sistema en el cual las partículas no interaccionan entre sí.13 El hamiltoniano viene expresado por la ecuación (46) con V = O Se pueden expresar en forma de partícula independiente como // =

//, p (x 1 ),

donde el hamiltoniano común de una partícula es 2 sp

(52)

2m

(53)

con energía £..

y análogamente para todos los demás. Debido a la forma de la función de estado, una permutación de las coordenadas de las partículas únicamente permuta los índices de la función de estado. Por simplicidad en la escritura, se omitirá el argumento de los estados cuando éste se tome en el orden normal x¡,x2, x3 Los 3 ! = 6 estados de intercambio degenerados se expresan como ^nqs, S9n. Estos estados serán linealmente independientes o no, según que n, q y s se refieran a estados de una sola partícula o no. Para completar la descripción, se distinguirán tres casos. (a) n=q=s. La función de estado es simétrica automáticamente y los estados físicamente realizables son, (55)

con energía El estado base de sistema se encuentra necesariamente incluido en esta clase. (b) n = q it s. De los seis estados permutados solamente tres son diferentes. Los estados totalmente simetrizados y, por lo tanto, los únicos estados físicamente realizables, son

(51)

" Este es el caso más importante porque sirve como punto de partida para cálculos perturbativos. Ver Sección 10.

(54)

(56)

con energía E.

268



El primer estado excitado del sistema está incluido necesariamente en esta clase. (c) n 5¿ q ^ s. En este caso interviene el conjunto degenerado de seis estados de intercambio. Los estados normalizados totalmente simetrizados, o sea, el único estado físicamente realizable, es

De nuevo se distinguirán tres casos. (a) n = q = s. Debido a que a, b y c no pueden ser todos diferentes, necesariamente dos renglones del determinante son iguales y el determinante se anula. Entonces, no existe ningún estado físico realizable de este tipo en el espectro, en concordancia con el principio de Pauli. (b) n =q =¿s. Si el determinante no se anula, se tiene que 6 = —a, y un estado típicamente realizable se obtiene desarrollando el determinando para obtener que,

(57)

con energía ^n ' E.

269

'

)- = 777 [*»«+-+- *«»++-

Hay que observar que en los tres casos, el orden de los índices para los estados simetrizados no tiene importancia, es decir que,

— i// Vnns

y análogamente para otra permutación. También hay que observar que la degeneración de los estados físicos depende sólo de la estructura del espectro de una sola partícula. Si más de una combinación (n,q,s) diferente da como resultado la misma energía, el estado está degenerado y en caso contrario no lo está. Esto completa la descripción para partículas sin espín. ¿Qué modificaciones aparecen para espín un medio? Se presenta una degeneración adicional debido a que existen dos orientaciones posibles del espín de la partícula. Llamando x¡ a la coordenada de espín y espacial, y ,r a los dos estados posibles del espín14si el hamiltoniano es independiente del espín, los estados 4>n+ y <¿>«~tienen la misma energía £„. Las soluciones de la ecuación de Schródinger que corresponden a la energía &nqs se pueden expresar en la forma

+ i/; Vsnn

(60)

con energía El estado base del sistema está incluido en esta calse de estados, cada uno de los cuales está doblemente degenerado. Estos estados no tienen simetría definida respecto al intercambio espacial solamente o al espín únicamente; son antisimétricos respecto al intercambio simultáneo de ambos. (c) n ?¿ q jt s. En este caso, existen estados físicamente alcanzables para cualquier combinación de a, b y c. Estos estados tienen degeneración óctuple que corresponde a las ocho asignaciones posibles de (a, b, c) ,15 El estado más simple de este tipo es totalmente simétrico en los espines y antisimétrico en las coordenadas espaciales. Un ejemplo es,

(58)

donde a, b y c son símbolos que pueden tomar los valores más o menos. El hecho de que a, b y c no pueden ser todos diferentes, tiene consecuencias profundas para el sistema, como se demostrará a continuación. La función de estado totalmente antisimétrica se puede expresar como el determinante de Slater, ecuación (50), ahc\- —

V6 14

(61)

Ejercicio 3. Encontrar el estado degenerado companero del estado dado en la ecuación (60).

(59)

Se puede suponer que corresponden al espín hacia arriba o hacia abajo respecto a cierto eje de referencia, como se discute en el Capítulo X.

Como segundo ejemplo, se puede considerar un sistema de tres partículas con interacciones, que se puede resolver exactamente. 15

Esta degeneración se reduce si el hamiltoniano tiene términos que dependen del espín. Específicamente, el estado con degeneración óctuple se divide en un estado cuádruple y dos dobles.

270


Específicamente, se discutirá un sistema de tres osciladores acoplados, descrito por el hamiltoniano.

y donde los nuevos momentos lineales vienen dados por, P

H

=

¿=í

2m

271


= Pl + P2 + P3

í5 &2

(68) Py =

Se comprueba rápidamente que el siguiente conjunto de coordenadas 16 , constituye un conjunto de coordenadas normales para este problema.

No es difícil demostrar que las relaciones de conmutación canónicas se satisfacen, y las soluciones exactas de la ecuación de Schródinger son productos de estados de la forma

X = i (jr, + x2 + x3)

X V

x = xl-x2

- X.¿)

(63)

~t~ X

'

*

(69)

con energías e inversamente,

(nx

(64)

El significado físico de las coordenadas normales es claro; X es la coordenada del centro de masa, x es la coordenada relativa entre las partículas uno y dos, y y es la coordenada relativa de la partícula tres respecto al centro de masa de las partículas uno y dos. La introducción de estas coordenadas transforma el hamiltoniano en la' forma separable, H =

'-,

(65)

donde

(70)

Las funciones 4>, v (X),
m

(66)

üJ2 = o>2 + 3 -,

(67)

Ejercicio 4. Verificar las afirmaciones anteriores. Esta sección se puede concluir con algunas observaciones respecto a las propiedades generales de sistemas de tres partículas. Sea 17

6

Los detalles subsecuentes se dejan para los problemas.

Sin embargo, existen degeneraciones adicionales debido a que los modos normales x y y tienen la misma frecuencia.

272


x2, xa) una autofunción con energía E perteneciente a un hamiltoniano de tres partículas. El número máximo posible de estados linealmente independientes, degenerados respecto al intercambio, es 3! =6, aunque este número se reduce muy a menudo. Esta reducción está relacionada a propiedades de simetría que aparecen en i/»£ desde el principio. En particular, si un autoestado es simétrico respecto al intercambio de un par de partículas, solamente exhibirá una degeneración triple respecto al intercambio. Además, si un estado tiene simetría definida respecto a dos pares de partículas, automáticamente es un estado simetrizado totalmente y no exhibirá ninguna degeneración de intercambio. Ejercicio 5. Demostrar las afirmaciones anteriores.

PARTÍCULAS IDÉNTICAS INTERACCIONANDO DÉBILMENTE EN PRESENCIA „_. DE FUERZAS EXTERNAS 273

Naturalmente que se tiene que tomar en cuenta la posible degeneración de los estados no perturbados. Como ya se demostró, es fácil de obtenerlo en el caso de dos partículas porque los estados se pueden clasificar por su simetría respecto al intercambio. Se pueden distinguir dos casos. (a) Perturbación de un estado no degenerado. En este caso se considera el efecto de la interacción sobre un estado no degenerado y no perturbado, o sea, sobre un estado en el cual ambas partículas están en el mismo estado, como por ejemplo el estado base. La función de estado no perturbado tiene la forma

(72) y es simétrica automáticamente. A primer orden se tiene, Enn= &nn +<«/»„„! V\*m) .

10.

PARTÍCULAS IDÉNTICAS INTERACCIONANDO DÉBILMENTE EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

La discusión sobre sistemas de partículas idénticas se concentró en los requisitos de simetrización y en las consecuencias para los estados del sistema. Al hacerlo, se ha supuesto conocida la solución de la ecuación de Schródinger para muchas partículas. A continuación se tratarán de construir estas soluciones para partículas en interacción en presencia de fuerzas externas, por lo menos aproximadamente. Naturalmente que el problema es muy difícil, pero se restringirá a la situación sencilla para la cual las fuerzas externas dominan sobre las fuerzas internas, para que estas últimas puedan tratarse como una perturbación. También se restringirá el problema a tratar sistemas de dos partículas. Entonces, se considera el hamiltoniano H = H0+V(Xl-x2), (71) donde el hamiltoniano no perturbado tiene la forma de la ecuación (35) para partícula independiente,

y las soluciones no perturbadas de la ecuación (36), son que corresponden a las energías no perturbadas,

(73)

(b) Perturbación de un estado degenerado. En este caso se considera un estado perturbado que consiste en dos estados de una partícula que son distintos. Se escogen las combinaciones simetrizadas, :

(74)

V!

(75) V2 siendo simétrica la primera y antisimétrica la segunda. El elemento de matriz de la perturbación que relaciona estos estados necesariamente se anula, debido a que la interacción perturbativa conmuta con PÍ2 . Entonces, se pueden usar los métodos de la teoría de perturbación no degenerada, obteniéndose para el estado simétrico, :

+ /•/, <+> I\V\ili ~ XV'nm ' iVn

(76)

-i~

(77)

y para el estado antisimétrico, Los elementos de matriz de las ecuaciones (76) y (77) generalmente son muy diferentes, y los estados se desdoblan debido a la interacción. Como t/fnm'"1 es cero en xt = x2, y la interacción es más fuerte cuando las partículas están cercanas, el elemento de matriz para el estado antisimétrico es numéricamente menor que para el estado simétrico._ Naturalmente que el signo del elemento de matriz depende de que V sea atractiva o repulsiva. Es muy instructivo examinar la estructura de los elementos de matriz en las ecuaciones (76) y (77). Sustituyendo las funciones no

274


PROBLEMAS

perturbadas de las ecuaciones (74) y (75), se obtiene, (78)

£nm(-' = &nm+Jnm- Knm ,

(79)

donde Jnm que es la llamada energía de interacción directa viene expresada por, Jnm= í // dx dxll dx dx22 ^^nn*(x *(x11)^ )^mm*(x *(x22)V(x )V(x11-x -x22)^ )^nn(x (xíí)i¡i )i¡imm(x (x22)) (80) (80) y Knm que es la energía de interacción de intercambio, está expresada por, Knm= f

(81)

y donde se ha supuesto que las fases de m(x2) y m (*i)iM*2), lo que se dejará como ejercicio. Ejercicio 6. Partiendo de los estados no perturbados ^n(xi)^>m(x2) y <í'm(-*i)
275

espacialmente simétrico está asociado con un estado de espín antisimétrico (espín cero resulta de que los espines de las partículas son opuestos), y el estado especialmente antisimétrico está asociado con un estado espín simétrico (espín uno resulta de que los espines de las partículas estén alineados). Los estados atómicos del helio son un ejemplo excelente de un sistema de este tipo. Problema 1. Si P(j es el operador de intercambio para las partículas z-ésima y/'-ésima, verificar cada una de las afirmaciones siguientes: (a) Ptí es hermitiano Cb)/V= 1. (c) El operador de proyección P¡r para el intercambio es,

y tiene las propiedades,

= /V /V = o (d) Pu y pkl conmutan si (i, /) y (k, 1 ) se refieren a dos pares de partículas diferentes, pero PfJ y pü no conmutan para/ ^ / Problema 2. (a) Considerar un sistema de A = 2N partículas idénticas. Demostrar que existen N(2N - 1 ) operadores de intercambio independientes pero solamente TV de ellos conmutan entre sí. Exhibir un conjunto completo de estos operadores que conmutan. (b) Suponer A = 2N + 1 . ¿Cuántos operadores de intercambio independiente existen y cuántos conmutan entre sí? Problema 3. (a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas de masas 0.98m y 1.02/n sin interaccionar. Dibujar un diagrama de niveles de energía mostrando la primera media docena de los estados del sistema. (b) Suponer que las partículas interaccionan débil y atractivamente. Mostrar cualitativamente qué sucede con los estados del sistema.

276

277


PROBLEMAS

Problema 4. (a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas idénticas de masa m que no interaccionan. Dibujar un diagrama de niveles de energía (a la misma escala que en el Problema 3), mostrando la primera media docena de estados del sistema. Para cada nivel indicar la degeneración de intercambio en caso de existir. (b) Lo mismo que la parte (b) del Problema 3. (c) ¿Qué estados se observarán para partículas de espín cero y para partículas de espín un medio?

Problema 8. Considerar el hamiltoniano de oscilador armónico acoplado de la ecuación (41) para dos partículas idénticas. (a) Demostrar que una transformación a las coordenadas del centro de masa lleva a la ecuación (43) y, por lo tanto, a las soluciones dadas en la ecuación (44). (b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir los modos normales en los casos límite de interacción débil y fuerte. (c) Para partículas sin espín, esbozar el espectro correspondiente a la Figura l(a) y a la Figura l(b).

Problema 5. Un sistema consiste de una partícula neutra y de una partícula de carga e. La interacción entre las partículas se describe por el potencial,

Problema 9. Un sistema de dos partículas sin espín está descrito por el hamiltoniano de oscilador acoplado de la ecuación (41). (a) Considerando pequeño el término de interacción, usar teoría de perturbación a primer orden para estimar la energía del estado base y del primer estado excitado. (b) Lo mismo, pero tratando el hamiltoniano como sigue: elevar al cuadrado el término de interacción y reunir términos semejantes. El hamiltoniano resulta.

V(XÍ

~X2) = 1 /JLW2(X¡

-X2)'2,

donde ¿t. es la masa reducida. (a) Encontrar la energía del estado base del sistema si se encuentra en un campo eléctrico uniforme^, dirigido a lo largo del eje x. (b) ¿Cuál es la polarizabilidad del sistema? (c) Describir el movimiento del centro de masa del sistema. Problema 6. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamiltoniano, H = P
1

(a) Considerando el término gausiano de interacción como perturbación, obtener la energía del estado base y del primer estado excitado a primer orden. (b) Lo mismo, pero transformar primero a las coordenadas del centro de masa. (c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden de la energía del estado base. Usar el resultado para determinar las condiciones bajo las cuales el resultado a primer orden es válido. (d) Suponer que el término de interacción es lo bastante fuerte como para dominar sobre los términos oscilatorios, por lo menos para los estados bajos. Discutir el comportamiento del sistema con tanto detalle como sea posible. Problema 7. Lo mismo que el Problema 6, pero para partículas idénticas sin espín.

2m

2m

donde 9

i

= oír H

*

m

.

Tomar ahora el término (—/br,.¡t2) como término perturbativo. (c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden del resultado a primer orden del estado base. Hacerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte (b) según el que parezca más fácil. (d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía del estado base, usando como función de prueba un producto de gausianas con anchura variable. En todos los casos, comparar los resultados con el resultado exacto dado en el texto. Problema 10. Considerar tres partículas idénticas descritas por el hamiltoniano de oscilador armónico acoplado a la ecuación (62). (a) Demostrar que la transformación a las coordenadas normales de la ecuación (63) da como resultado el hamiltoniano de la ecuación (65). (b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir los modos normales en los límites de interacción fuerte y débil.

278


(c) Demostrar que los momentos de la ecuación (68) y las coordenadas de la ecuación (63) satisfacen las relaciones canónicas de conmutación. (d) Esbozar el espectro de energía para los límites de interacción fuerte y débil, sin tener en cuenta la simetrización. Dar las degeneraciones de los primeros estados. (e) ¿Cuáles de estos estados se pueden alcanzar físicamente para partículas sin espín? Problema 11. Un sistema de tres partículas idénticas sin espín está descrito por el hamiltoniano de oscilador armónico de la ecuación (62). (a) Considerando pequeño el término de interacción, estimar la energía del estado base y del primer estado excitado. (b) Hacer lo mismo, pero elevando al cuadrado los términos de interacción, reuniendo términos semejantes y tratando la cantidad (— k) (xiX2 + x2x3 + x¡x3) como el término perturbativo. (Ver el Problema 9(b)). (c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden del resultado a primer orden. Hacerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte (b), según el que parezca más fácil. (d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía del estado base, usando como función de prueba un producto de gausianas de anchura variable. En todos los casos, comparar los resultados con los resultados exactos dados en el texto. Problema 12. Cuatro partículas idénticas están descritas por el hamiltoniano,

(*),

1=1

donde n

SP — T

2m

'

2T

(a) Encontrar las autofunciones y energías del sistema, sin tener en cuenta la simetrización. (b) Dar la degeneración de los cuatro estados más bajos, incluyendo la degeneración de intercambio. (c) Lo mismo, pero para los estados físicamente realizables de partículas sin espín. (d) ¿Cuál es el estado base para partículas de espín un medio y cuál su degeneración?

IX Movimiento en tres dimensiones

1. FORMULACIÓN: MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

Hasta aquí se ha considerado únicamente por sencillez el movimiento en una dimensión. A continuación se generalizará el tratamiento a tres dimensiones. No surge ninguna dificultad conceptual, pero los aspectos matemáticos son bastante más complicados. Al considerar el movimiento de una partícula de masa m en un potencial externo V(r),donde r es la posición de la partícula respecto a un origen conveniente, el hamiltoniano para este sistema es, H=

2m

. V(r),

(1)

donde p es el vector de momento lineal de la partícula. Introduciendo un conjunto de vectores unitarios éx, éy y
(2)

A menudo es conveniente usar índices numéricos para identificar las componentes de los vectores, y en adelante también se escribirá

«MEÉ

280

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

FORMULACIÓN: MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

la ecuación (2) en la forma equivalente

281

o bien, usando (5),

r = *!
(8)

(3)

donde los índices 1, 2 y 3 representarán a las componentes x, y y z respectivamente. Diferentes componentes espaciales del movimiento representan grados de libertad diferentes, por lo cual conmutan. Las relaciones generales de conmutación se pueden escribir en forma compacta como, =0 (4)

t, Xj) = y 80.

En particular, en el espacio de configuración, las coordenadas son números y h d *~ i d y '

Px

p

~ i a*'

3». dy

(5)

3-r '

se escribe brevemente que, (6)

La función de estado i/»(r, f) = ty(x, y, z, t) de Schrodinger dependiente del tiempo,

*-*"*, (10) y se obtiene inmediatamente la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, (11)

e introduciendo el operador -r 3v

Las soluciones estacionarias se escriben como,

Xi

h d " ~ i dz'

V == ¿ JL _L .sy JL + á2 JL

El operador V 2 se llama operador laplaciano o simplemente el laplaciano, y la ecuación de Schrodinger en el espacio de configuración se escribe como,

satisface la ecuación (7)

donde

El hecho de que se obtenga una ecuación diferencial parcial y no una ecuación diferencial ordinaria como en una dimensión, refleja el aumento en la complejidad matemática para el problema en tres dimensiones. Antes de pasar a considerar las soluciones de la ecuación (11), es necesario observar que para funciones de estado normalizadas, >/»*i/» es la densidad de probabilidad en el espacio ordinario tridimensional y los valores de expectación se definen como, donde el símbolo d3r representa al elemento de volumen tridimensional. El flujo de probabilidad o densidad de corriente se define como

(12)

y donde, en el espacio de configuración, el operador hamiltoniano viene dado por

d¿ 2 /+ F(r) ^ (\OA:' ^! + Jdy2¥2 + ^L) = _2m

que es una generalización obvia de la ecuación (VI-95). No es difícil comprobar que la probabilidad se conserva. Finalmente, es conveniente recalcar que las anteriores ecuacionM no sólo se aplican al movimiento de una partícula en un potenoill externo, sino también al movimiento relativo de un par de partículu aisladas en interacción (después de separar el movimiento del centfO de masa). En el último caso, la coordenada r es la distancia entN lil partículas, K(r) es el potencial de interacción, p su momento y m la masa reducida.

282


POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

283

En general, las soluciones de la ecuación (11) son muy complicadas y únicamente se pueden obtener exacta y explícitamente en unos pocos casos. El caso más simple de todos es el de una partícula libre, cuando F(r) es cero. Las soluciones para la partícula libre son precisamente las ondas de de Broglie viajando en alguna dirección y se puede verificar fácilmente que son

Este resultado constituye la solución completa en el espacio de momentos al problema del movimiento de un paquete de ondas de partícula libre arbitrario. La solución correspondiente en el espacio de configuración se expresa en términos del propagador tridimensional de la partícula libre, que es una generalización inmediata de la expresión en una dimensión, dada por la ecuación (IV-13). Los detalles se dejan para los problemas.

= *"*"* = exp [i(Pxx + pyy + p¿)IK\ (13)

= p2/2m,

donde, como lo indica la notación, son estados con el vector de momento lineal p definido. Estos estados tienen una degeneración infinita porque existen un número infinito de orientaciones posibles del vector momento para una energía fija E. Los estados de momento lineal forman un conjunto completo, y por lo tanto cualquier función de estado puede expresarse como una superposición de estas funciones. Entonces, se tiene la representación de Fourier en tres dimensiones. •Mr,/)

/ 1 V \2TTh

exp [ i ( p x x + pay + p , z ) l h ]

S I / dpx dpy dp,

2. POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

El problema tridimensional más simple es aquél en el cual el potencial tiene la forma particular ya que en este caso la ecuación de Schródinger es separable en coordenadas rectangulares, como se demuestra a continuación. La ecuación estacionaria de Schródinger para este potencial tiene la forma

o bien, brevemente (14)

En esta expresión (p, O representa la amplitud de probabilidad en el espacio de momentos, y puede expresarse en función de i//(r, í) por la inversión

1

3/2

(15)

Entonces, las ecuaciones (14) y (15) son las generalizaciones a tres dimensiones de los resultados en una dimensión. Como en el caso de una dimensión discutido en el Capítulo IV, la ecuación de Schródinger para la partícula libre se resuelve trivialmente en el espacio de momentos. La función de estado ') satisface la ecuación diferencial ordinaria. ñ.

con la solución general, 2

exp[-¡> (/-/ 0 )/2m¿].

y, escribiendo, iM*,y,z) = <]>Eí (x) fe (y) 4>E3 U) = •M^ se obtiene para cada factor que £ a¿7 + Vi(Xi) ]

feíUí) = EÍ E (XÍ

*>

E = E1 + £2 + E,3.

Entonces, los estados se pueden expresar corno una simple combinación de estados de una dimensión.1 Como primer ejemplo se tomarán los estados que se obtienen en una caja rectangular de lados Z.,, L2 y L3 respectivamente. Tomando el origen eri una esquina de la caja, para que fe se anule en las paredes, El movimiento de una partícula libre puede considerarse como el caso particular en el cual los potenciales V¡ son cero. Observar que los estados estacionarios para la partícula libre de la ecuación (13) son precisamente esta composición de estados para una dimensión.

,,,'Ííl

284


POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

las soluciones estacionarias serían,

Energía

/i¡ = 1, 2, 3 . . .,

289

Números cuánticos (n^n,) Degeneración

6£0 17£./3

411,414,144 322,232,223

14£0/3

321,312,231,213,123,132

6

4£0 11 £o/3

222 311,131,113

1 3

3£0

221,212,122

3

2£0

211,121,112

3

donde V=LtL2L3es el volumen de la caja y ín27r\2

Entonces, el espectro es bastante complicado y no tiene regularidades especiales para L,,L2y L3 generales. Para una caja cúbica de lado L el resultado es más simple, ya que en este caso F nín

3 —

^" ~

™2 ( n

2

-4- n

2

- l -nM

2

^

' s>-

El estado más bajo se presenta para n t = n2 = na = 1 , y su energía es EO = 3ñ'2TT-/2mL2 . El siguiente estado ocurre cuando una de las n¡ es igual a dos y las demás son iguales. Este estado está degenerado tres veces y su energía es 6h2ir2/2mL2 = 2E0 . El tercer estado ocurre cuando dos de las n¡ son iguales a dos y la que queda es igual a uno. También está degenerado tres veces y su energía es 3E0. Esta regularidad se rompe con el cuatro estado, que ocurre cuando una de las «, es igual a tres y las otras dos igual a la unidad. Este estado tiene energía 1 lñ2TT2/2mL2= \\E0/3 , y posee degeneración triple. El quinto estado tiene energía 4E0 y no está degenerado; ocurre para n t = n2 = « 3 = 2. El sexto estado tiene energía 14£0/3 , su degeneración es séxtuple y corresponde a las permutaciones de los números cuánticos 1, 2 y 3. Continuando de esta manera, el espectro que se obtiene se muestra en la Figura 1. También tiene interés el considerar condiciones a la frontera periódicas para la caja cúbica, es decir, que i/»c tiene que tomar el mismo valor sobre cualquier par de paredes opuestas de la caja. Para este caso, —7= exp

O L

Figura 1. Energías, números cuánticos y degeneraciones de los estados de una partícula en una caja cúbica de lado L. La energía E0 del estado base es 3ft 2 w 2 / 2mL2.

ma forma que se procedió para una dimensión. No es difícul demostrar que, (18)

que es un resultado muy simple y muy importante. Ejercicio 1. (a) Obtener la ecuación (18). (b) Construir una figura análoga a la Figura 1 para los estados déla ecuación (17).

n2y + n3z)/L] ,

Como segundo ejemplo se considerará el oscilador armónico tridimensional e isotrópico que se describe por el potencial

donde, . = 0,±1,±2,

(17)

Calculando el número total de estados N(E) con energía menor o igual a E, se puede encontrar la densidad de estados p(E) en la mis-

V(r) = i wo>2r2 = \ ma>2(x2 + y2 + z2).

Este potencial tiene la forma de la ecuación (16) y las soluciones estacionarias de la ecuación de Schródinger se pueden expresar como,

286


POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

(19)

\,z

«¡ = 0, 1,2, . . .,

' P(x, y, z) = P(r, B, 0)

donde y la degeneración es séxtuple una «¡ puede ser dos y las otras pueden tomar el valor dos, o bien, dos pueden valer uno y la que queda valer cero. Se puede demostrar que el estado de energía (n + 3/2) A tu está degenerado [(n + 1) (n + 2)/2] veces, o sea el número de veces que n se puede expresar corno la suma de tres enteros no negativos. Ejercicio 2. Demostrar que el estado del oscilador armónico tridimensional con energía (« + 3/2)ftw tiene degeneración [(« + 1) (« + 2)/2]-

FIGURE 2. Spherical coordínate system. De la Figura 2 se obtienen las relaciones entre las coordenadas rectangulares de P y sus coordenadas esféricas. El resultado es,

3. POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR A continuación se considerará el caso importante del movimiento en un potencial esféricamente simétrico, como es el caso del potencial culombiano entre cargas puntuales o del potencial gravitatorio entre masas puntuales. Estos potenciales dependen únicamente de la magnitud del radiovector a un punto fijo, el cual se tomará como origen. Para describir el movimiento en un potencial de este tipo, es conveniente introducir coordenadas enfáticas r, 6 , <¿> , que se definen como sigue. Si se considera un punto P de coordenadas x, y, z en un sistema rectangular derecho, el vector de desplazamiento de este punto P respecto al origen es r=

+ éay +

donde éx, éu y é, son vectores unitarios a lo largo de los ejesx, y, z respectivamente. Como se ilustra en la Figura 2, O se define como el ángulo entre r y el eje z, y $ se define como el ángulo formado por la proyección del vector r en el plano x-y y el eje x midiendo este ángulo en el sentido de las manecillas de un reloj si se mira hacia la parte positiva del eje z. El ángulo varía de cero a 2ir y 6 de cero a TT . La coordenada radial r es la magnitud de r y varía de cero a infinito.

x = r sentí eos

r = V;c2 + y2 + .

y = r sen 9 sin <

tan = y/x

z = r eos B

eos 6 = z/Vx2^

(20)

El sistema de coordenadas definido de esta manera es ortogonal, y se puede demostrar que el elemento de volumen es, J:1r= r'2 drsenO de d.

El elemento de área sobre la esfera unidad o ángulo sólido, simbolizado por díl , será . díl = sene d& d,

(21)

d:ír=r2drdü.

(22)

por lo cual, Y la ecuación de Schródinger

(23) se pue.de escribir en coordenadas esféricas, expresando el operador !•• placiano V 2 en estas coordenadas. De la ecuación (20) U obtiMW que, i , , t _ § _ _ 3 r d_ r)^ a^r ar

50 _d_ dx SO

díj) d _ £ _ d _ , xz _3 _V_ dx d$ r dr r3 sen 6 d6 x*

- ., J K k , ,jj ' í|

288


POTENCIALES CENTRALES ; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

, 3 eos <¿> — ^

eos 0 eos 0 _3 sen rf> a r d r sen ^6 5 , y expresiones análogas para d/dy y para d/dz,. Recordando que, d*2

dy2

dz 2 '

y sustituyendo las expresiones anteriores, la ecuación (23) resulta ser 2mr2 dr\

dr

SQn0

d6\sm9~de')+f¡ sen2 0 d02 + yfyE = f^ E )

(24)

2

que es la ecuación de Schródinger en coordenadas esféricas. A pesar de su apariencia complicada, esta ecuación es separable como se demostrará a continuación. Se empieza por separar las coordenadas radial y rectangular escribiendo >l,E(r,0,)=R(r)Y(0,). 2

(25)

potencial V(r) y de la energía E. Entonces, las funciones angulares son funciones universales que aparecerán para cualquier potencial central y resulta que, como se demostrará en un momento, la ecuación (26) define estados de momento angular definido. Aceptando temporalmente esta afirmación y recordando que el momento angular es una constante de movimiento para un potencial central, este resultado no es sorprendente. Únicamente expresa el hecho de que los estados en un potencial central dependen de un conjunto universal de funciones que caracterizan a los estados de momento angular del sistema. Como se afirmó, se demostrará que la ecuación (26) define estados de momento angular definido. Hay que recordar que, respecto a algún punto fijo que se tomará como origen, el momento angular clásico L se define como, L = rxp. (30) Cuánticamente, L se considera como la misma función de las variables dinámicas cuánticas y, por lo tanto, es un operador vectorial. En el espacio de configuración sus componentes rectangulares son,

Lx =

2

Se multiplica por- 2mr /ñ y se obtiene,

Y [señé» 30

' sen2 0

289

•~ zpy)\ = 7"• i y, J L _

' 3z

z

A\ dy)

(31)

(26) (32) h / d d , = (xpa - ypx = y \ x^7.-y^:

donde /3 es la constante de separación. De estas ecuaciones, se puede separar la primera si se escribe,

(33)

No es difícil demostrar que en coordenadas esféricas estas componentes rectangulares resultan ser =~

y se multiplica por sen2 0, obteniéndose,

í \

sen <¿, 3o

+ ctn

e eos 0 o

(34)

(28)

(35)

(29) y por lo tanto, 2

donde a es la segunda constante de separación. Es necesario recalcar el hecho de que las ecuaciones angulares son independientes del

— ^ J.

1 Para la obtención de expresiones del operador laplaciano en sistemas de coordenadas curvilíneas, ver la Referencia [7].

Entonces, la ecuación (26) es equivalente a

290



191

(38)

conmutan. Al escoger el orden ABCD resulta la ecuación vectOfk (r x p)2 = L2 que se puede escribir como

y, como se quería demostrar, Y define un estado cuya magnitud del momento angular tiene un valor definido, precisamente V/3fi. La discusión detallada del momento angular y de sus propiedades se pospondrá hasta el Capítulo X. Sin embargo, antes de seguir adelante, es conveniente examinar brevemente la orientación del vector de momento angular. Ya que Lz = (h/i)d/d, la ecuación (28) es equivalente a

donde los términos de la derecha se han escrito en componentes rec tangulares manteniendo el orden. Usando la relación de conmutación -r 8 U ,

de la primera suma se obtiene Este resultado significa que Y = 6 también es una autofunción de Lz con autovalor ah. Entonces, los estados Y de momento angular son estados para los cuales la magnitud del vector del momento angular y su proyección sobre el eje z están fijas, determinando /3 la magnitud y a la proyección.3 Debido al análisis anterior, la forma del laplaciano en coordenadas esféricas, y como consecuencia la del operador de la energía cinética, resulta ser

£l = 1m

2m

2m

r2 dr

--}] 8r)\

2mr2

8¡j

i

y de la segunda •—r«p U

--rfp = (r • p) 2 + -r- r • p.

Entonces, (44

que difiere del resultado clásico únicamente por el término cional a h. Como paso final se observa que,

,¡

(42)

2

Al multiplicar por (l/2mr ) se obtiene una expresión parecida a la ecuación (40). La ecuación (42) también se puede aplicar a la mecánica cuántica, si se mantiene el orden de los operadores r y p que no 3

i

(41)

que se comprueba fácilmente escribiendo los cuatro vectores en componentes rectangulares y expresando cada lado explícitamente. En esta identidad vectorial se hace la identificación A = C = r, B = D=p. y para el caso clásico resulta que,

+ 7 E XÍP'

I • = r9¿p•>¿ + — r • p,

(40)

donde L2 tiene la forma (37). Se puede dar una derivación directa e instructiva de este resultado, derivación en la cual el momento angular aparece desde el principio y no hasta el final en forma misteriosa. Para ello se parte de la identidad vectorial (A X B) • (C X D) = (A • C) (B • D) - (A • D) (B • C ) ,

i.i

Como se verá más adelante resulta que la orientación del vector del momento angular no se puede especificar con mayor precisión cuánticamente, y esta falta de precisión no es mas que una manifestación del principio de incertidumbre.

Por consiguiente, al multiplicar la ecuación (44) por la izquierda pe 1/r2 y despejar p 2 se obtiene la expresión

+ 7Í-

(4'

que se reconoce como la ecuación (40) excepto por el factor comú l/2m. El primer término en la ecuación (45) se reconoce como i

294



da (£)> momento angular (/) y componente z del momento angular (m). Antes de considerar las soluciones de la ecuación (49) para potenciales particulares, es necesario señalar algunas propiedades generales de los estados estacionarios. La primera observación se refiere a la degeneración de los estados. La función RE¡ depende de / pero no de m. Entonces, para cada valor permitido de m para una / dada, se obtiene una autofunción que corresponde a la misma energía. Ya que m puede tomar valores enteros de -/ a /, existen(2/ + l)valores de m y, por lo tanto, tos estados en un potencial central están degenerados (21+ 1 ) veces. El número m mide la proyección de L sobre el eje z y está determinado principalmente por la orientación del vector de momento angular. La degeneración en cuestión es consecuencia del hecho de que el hamiltoniano es independiente de esta orientación cuando el potencial es esféricamente simétrico. La segunda observación se refiere a la paridad de los estados. Como se recordará, el operador de paridad cambia el signo de todas las coordenadas. Entonces, por definición, para / arbitraria, Pf(x,y,x)=f(-x,-y,-Z).

Recurriendo a la ecuación (20) o a la Figura 1 , se obtiene que en coordenadas esféricas, r, 0 , 0 ) =/(r, 7i—0,0 ± Í T ) . y en particular Ptslm(r, 6, 0) = Ra(r)

Yr(* - 0, 0 ± TT) .

19$

parte radial de la función onda REl se escribe en la forma <. 11 „,(r\

(53)

que sustituida en la ecuación (49) da como resultado h2 d*ua.\ví , . ft2/(/+ 1) " " ( r ) + 2mr*

(54)

Esta expresión es más simple que la ecuación (49) y, lo que es más importante, es idéntica en la forma a la ecuación estacionaria de Schródinger en una dimensión para el movimiento en el potencial efectivo y. Sin embargo, la ecuación (54) tiene significado únicamente para valores positivos de la coordenada r y, además si REi(r) está acostada en el origen, entonces, de acuerdo con la ecuación (53) se tiene que « H (r = 0 ) = 0 .

(55)

De este resultado se concluye que las soluciones de la ecuación radial son las mismas que las soluciones para estados impares del problema en una dimensión en el potencial simétrico V—V(\x\) + h*l (l+l)/x2, ya que estos estados impares se anulan en el origen. En una dimensión, los estados pares no satisfacen la ecuación (55) y por lo tanto no aparecen en el espectro. En consecuencia, todas las técnicas que se usaron en una dimensión, se pueden aplicar al movimiento en tres dimensiones. Además, para una / dada, los estados radiales son únicos; existe una y sólo una autofunción radial

m

Recordando que P, (0) es una función par o impar de eos 0 según que (/ — \m\) sea par o impar, sem concluye que P¡m(6) mtiene paridad (_ i)í-imi y e j factor eimi> en Yt , tiene paridad (- l) . Entonces,

e, 0) = (-

r, e, 0) ,

(51)

y los estados tienen paridad definida. La paridad es par o impar, según que / sea par o impar, y no depende en absoluto de m. Finalmente, se puede señalar la relación entre la ecuación radial (49) y la ecuanción para estados estacionarios en una dimensión. Si se toma la combinación del potencial V(r) más el término centrífugo /(/ + l)ñ.2/2mr2 como equivalente al potencial efectivo V(r) = V(r)

1(1

2mr2

(52)

entonces, la ecuación radial tiene un parecido muy estrecho con el movimiento en una dimensión. Este parecido es más estrecho si la

V = V(r) + 1(1 + \WI2mr1

Figura 3. Gráfica del potencial radial efectivo K = V(r) + 1(1+ 1)ft 2 /2mr a para los primeros valores de I, en el caso de un potencial repulsivo. Sólo aparecen estados continuos de energía positiva E. Para E dada, ocurre uno de estos estados para cada valor de /.

296

20?


ALGUNOS EJEMPLOS

simultánea de E y / para estados continuos como para estados ligados. Sin embargo, siempre se pueden encontrar en el continuo autoestados de cualquier energía para todo valor de /, por lo cual, los estados continuos en tres dimensiones tienen degeneración infinita que corresponde al conjunto infinito de valores de /. Además, puede ocurrir que en la parte discreta del espectro, estados de / diferente tengan la misma energía. La degeneración introducida de esta manera, que se suma a la degeneración intrínseca de (21 + 1) discutida anteriormente para cada estado de / dada, se llama generalmente degeneración accidental. Esta nomenclatura en ocasiones es inapropiada, ya que este tipo de degeneración no siempre es accidental sino consecuencia de simetrías adicionales en el hamiltoniano que se añaden a la simetría esférica que se ha supuesto para V(r). Más adelante se presentarán algunos ejemplos que ilustren este comportamiento. Las observaciones anteriores se pueden aclarar observando las figuras. La Figura 3 muestra el efecto del potencial centrífugo cuando KOO es repulsivo en todas partes. Cuando / crece, el potencial efecti- • vo se vuelve más repulsivo y el espectro consiste exclusivamente de estados continuos con energía positiva. Para cualquier energía positiva dada, existe un estado radial para cada valor de /. En la Figura 4

se presenta el caso más complicado e interesante de un potencill atractivo. Para energías positivas la situación es la misma que para potenciales repulsivos; el espectro es continuo para todo valor de /, El espectro de los estados ligados con energía negativa y discreta dependen, naturalmente, del comportamiento detallado del potencial V(r). En el ejemplo ilustrado estos estados pueden existir para valores de / iguales a O, 1 y 2, pero para / ^ 3 no existen estados ligados debido a que V es repulsivo para tales estados. El estado ligado más bajo para una / dada, no tiene nodos radiales, el primer estado excitado tiene uno y así sucesivamente. Este comportamiento se ilustra en la Figura 5, mostrando el espectro para / = O y / = 1. En el ejemplo escogido, el cual corresponde a un potencial de corto alcance y poco profundo, resulta que existen tres estados con / = O y dos con / = 1. Cuando el potencial es profundo y de alcance largo, como el potencial culombiano, resulta que para cada 1 existe un número infinito de estados ligados discretos. Este problema se estudiará más adelante.

foo

Figura 5. Estados discretos para / = 0y/ = l e n e l potencial atractivo de la W« gura 4. En el ejemplo mostrado existen tres estados ligados para / = O y doi pata / = 1. La función radial UE¡ = rRE¡ también se muestra para cada estado. Si UM de las energías permitidas En¡ para / = 1 coincide con una de las energías para / = O, se tendría un ejemplo de degeneración accidental. Como se señaló en el texto, estas degeneraciones se presentan como consecuencia de las propiedadei de simetría del hamiltoniano.

4. ALGUNOS EJEMPLOS Figura 4. Gráfica del potencial radial efectivo V = V(r) + 1(1 + l)ft 2 /2/n/- 2 para los primeros valores de 7, en el caso de un potencial atractivo. Para energías positivas como E,, el espectro es continuo para toda /. El espectro es discreto para valores de / que corresponden a estados ligados de energía negativa, tales como

E,.

Para ilustrar el movimiento en potenciales esféricamente simétricos se pueden considerar algunos ejemplos. (a) Estados esféricamente simétricos (I = 0). Para estados esféricamente simétricos, o sea, estados con / = O y por lo tanto con momento angular cero, la ecuación (54) se reduce a

298

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES >2

W2

TI

Q.

U Ff)

.

i r /

_

\

1— _ _

2m dr* ' ' v" "fc° --*0' donde « £0 (O satisface la condición a la frontera, tÍFQ

/

f\\

f\

lf

VJI

V/ .

Este problema es exactamente equivalente al de encontrar los estados impares que caracterizan al movimiento en una dimensión correspondiente al potencial simétrico La situación es simple debido a la ausencia de complicaciones asociadas con el potencial centrífugo. Como primer ejemplo se puede considerar el caso de un pozo de potencial esférico. Este ejemplo es muy importante porque proporciona una descripción bastante buena de la interacción de corto alcance entre el neutrón y el protón en el deuterón. Este potencial se describe como y(r)=-y0,

râ

y(r)=Q

r>a.

,

Y el potencial correspondiente en una dimensión es V(x)=-V0,

V(x) = O

,

\x\ > a,

o sea un pozo cuadrado simétrico de anchura 2a. En el Capítulo VI se consideró este problema en detalle y, entre otros resultados, se encontró que se presentan estados ligados cuando

Resulta que el deuterón tiene sólo un estado ligado y está débilmente ligado. Entonces, K0 excede a este valor por una cantidad muy paqueña. Se sabe que el alcance de las fuerzas nucleares es de 1.9 x 10~13 aproximadamente. Si se acepta este valor para a, la profundidad del potencial se puede estimar y resulta ser alrededor de 40 Mev. Es interesante hacer notar que un ejemplo tan simple proporciona el primer valor confiable para la intensidad de las fuerzas nucleares. (b) Oscilador armónico. Como segundo ejemplo se considerará el oscilador tridimensional isotrópico. Este problema se estudió en coordenadas rectangulares pero es instructivo volver a examinar el

ALGUNOS EJEMPLOS

problema en coordenadas esféricas. Los estados / = O son los estadCU impares del oscilador armónico en una dimensión y tienen energíll 3h/2 , y así sucesivamente. También se encontró que el espectro completo del oscilador tridimensional se podía expresar como, £„= (n + 3/2)h, 9/2 fteo ,...; para / = 2, las energías permitidas son 7 ft&>/2, 1 1 ttta/2,.. ;y así sucesivamente. En general, para un momento angular /, las energías permitidas son, (/+3/2)ftw (7+2+3/2) ñw,(l + 4 + 3/2) ftw,... Dicho de otra manera, los miembros que pertenecen al estado de energía n-ésimo son los estados de momento angular / = n, n — 2, n—4,..., hasta / = O para n par y hasta / = 1 para n impar. El espectro, clasificado de acuerdo al momento angular, se muestra en la Figura 6. La degeneración de cada estado en este esquema se puede obtener notando que un estado de momento angular / está degenerado (21 + 1 ) veces. Así, el estado base con / = O no está degenerado, el primer estado excitado con / = 1 está degenerado tres veces, el segundo estado excitado que contiene a un estado no degenerado con / = O y a un estado con / = 2 degenerado cinco veces, en total, está degenerado seis veces, y así se prosigue. La presencia constante de estas degeneraciones entre estados de diferentes valores de / es un ejemplo excelente de "degeneración accidental" que no es accidental. Estas degeneraciones se presentan debido a la estructura particular del potencial para el oscilador armónico isotrópico, por lo cual la ecuación de Schrbdinger resulta separable en coordenadas rectangulares y esféricas. Ejercicio 3. Verificar que los estados del oscilador que corresponden a la energía Et = 5ñ<ú/2 son estados con / = 1. Hacerlo, demostrando que

donde «^«.n,», (x, y,z)w define en la ecuación ( 1 9). Identificar f(r) y

300


por sustitución verificar que satisface la ecuación de Schródinger radial.

Degeneración Et = 11/2 «w

15

£3 = 9/2 fiu

10

E, = 7/2 fiu

6

E, = 5/2 fio,

3

£„ = 3/2 /ío,

1

/ =O

/= 1

/= 2

/ = 3

301

ALGUNOS EJEMPLOS

y por lo tanto,

Para / diferente de cero la situación es más complicada, pero resulta que las soluciones de la ecuación (56) son un conjunto de funciones muy bien estudiadas que se pueden definir como sigue: senkr kr

• (-)'

(59)

La función j{(kr) se llama función de Bessel esférica de orden /. En términos de estas funciones excepto por una constante multiplicativa, los estados radiales de la partícula libre son

/ = 4

Figura 6. Estados del oscilador armónico tridimensional clasificados de acuerdo con el momento angular. También se indica la degeneración de cada estado.

(c) Movimiento de una partícula libre. Los estados de una partícula libre en coordenadas rectangulares ya se discutieron anteriormente encontrándose que son autofunciones simultáneas del hamiltoniano y del momento lineal. Sin embargo, en coordenadas esféricas se obtuvieron estados que son autofunciones simultáneas de H y del momento angular, es decir, tienen valores definidos de E, I y m. Las funciones radiales son soluciones de la ecuación (49) con V(r) igual a cero. Satisfacen la ecuación

(60)

= Ji(kr),

que claramente se reduce a la solución correcta para / = O . No es difícil demostrar que las funciones definidas por la ecuación (59) son soluciones de la ecuación (46) para valores generales de I.5 5 Se puede construir una demostración simple por inducción en la forma siguiente. La ecuación (59) es totalmente equivalente a la relación de recurrencia

(59a)

que expresa jM en términos de j¡. La equivalencia se establece partiendo de la expresión conocida para J0 Y aplicando la relación de recurrencia / veces. Para demostrar que la ecuación (59) define las soluciones de la ecuación (56), es suficiente demostrar que si j¡, es una solución para / = /0, entonces, el miembro derecho de la ecuación (59a) necesariamente es una solución para / = /„ + 1. Para este propósito se define

donde (57)

Estas soluciones también pueden obtenerse de la ecuación (54) que, para una partícula libre, pueden escribirse en la forma

S,(kr)

en términos del cual la ecuación (59a) resulta ser dr

(58)

donde uBl — rREl

Para el caso / = O y recordando que um (r) tiene que anularse en el origen, de la ecuación (58) se obtiene que

MEO ~ sen kr

.

(59b)

Entonces, se ha demostrado que el miembro derecho de la ecuación (59b) satisface la misma ecuación diferencial que el miembro izquierdo, de donde se sigue el resultado. Como orientación, se puede señalar que la ecuación (56) es una forma de la ecuación de Bessel. Se puede demostrar que Ji (kr) = -y/^: J>+™ ( * r >' donde Jv(kr) es una función de Bessel ordinaria (cilindrica) de orden v. Para una discusión de las funciones Bessel ver las Referencias [1] a [5].

, ¡ni*

302

De la ecuación (59), las primeras funciones de Bessel esféricas son, senjfcr Jo(kr)=- kr J\(kr) =

senkr

eos kr kr

(61)

= [(¿p - ¿] sen kr -

p = hknp,

y son suficientes para ilustrar la estructura general de estas funciones como polinomios en (l/kr) multiplicando funciones trigonométricas. De la ecuación (59) es fácil obtener explícitamente el comportamiento de ji(kr) cuando r es muy pequeño y también cuando r es muy grande. En el primer caso, desarrollando (sen kr)/kr en serie de potencias en kr, el primer término que contribuye en esta serie es (kr)2' y por lo tanto, (2/+1)!

(kr) .

(62)

En el último caso, el término dominante es el término inversamente proporcional a r, y se encuentra que, . ,. , Ji(kr)

— lir¡2) - -— •

(63)

Entonces, las soluciones a distancias grandes del origen son ondas esféricas. Sin embargo, cerca del origen la barrera centrífuga domina y la función de onda disminuye cuando / crece. Ejercicio 4. Obtener las ecuaciones (62) y (63) de la ecuación (59). Como ejemplo de estados de una partícula libre con momento angular definido, se pueden considerar los estados de una partícula confinada en una caja esférica de radio a. La función de onda tiene que anularse en las paredes de la esfera, por lo cual, el espectro de las energías permitidas se determina por las ecuaciones trascendentes j,(ka)=Q,

Evidentemente, las ecuaciones resultan cada vez más complicadas al crecer /, y no se discutirán en este texto. Falta por discutir un aspecto muy interesante e importante de estos resultados. En la Sección 1 se encontró que los estados estacionarios de una partícula libre se pueden escribir como ondas de de Broglie expresadas por la ecuación (13) con vector de momento p , orientado arbitrariamente pero definido. Al escribir

eos kr,

1

*>3

ALGUNOS EJEMPLOS


donde ñp es un vector unitario a lo largo de p, la ecuación (13) resulta ser, i/»p = etknv*. (64) Sin embargo, se acaba de demostrar que para cualquier lym, *Eim=Ji(kr)Yr(e,4>)

es también una función de estado para la partícula libre con la misma energía. Estas dos representaciones son complementarias; la primera describe estados estacionarios con momento lineal bien definido pero momento angular mal definido y la segunda, describe estados con momento angular bien definido pero con momento lineal mal definido. Clásicamente ambos estados de la partícula libre están definidos con precisión. En mecánica cuántica el resultado se presenta en forma diferente como consecuencia directa de la no conmutatividad de los operadores del momento lineal y angular. Las representaciones de las ecuaciones (64) y (65) son completas en el sentido de que un estado arbitrario de la partícula libre con energía E se puede expresar como una superposición de cualquiera de ellas. Entonces, cada una se puede expresar en términos de la otra. Usando las propiedades comunes de los armónicos esféricos y de las funciones de Bessel, se puede demostrar6 que

(66)

r, 0,

donde 0P y p definen la orientación angular de p de la misma manera que e y definen la orientación de r . En vista de la ortonormalidad de los armónicos esféricos, también se puede obtener, dílp

/ = 0,1,2,....

Para / = O, de la ecuación (61) se obtiene que esta expresión se reduce a sen ka = O, lo que significa que ka es un múltiplo entero de TT. Para / = 1 la situación no es tan simple pues se tiene que resolver numéricamente la ecuación tan ka = ka.

(65)

(67)

donde dflv — sen'0 p p es el elemento de ángulo sólido en torno al vector unitario np que define la dirección de p. Para una energía 6 Para la obtención de la ecuación (66) se puede consultar, por ejemplo, la Referencia (22), Capitulo IX, Sección 9.

*í«títfc#i*« I

301


EL ÁTOMO DE HIDROGENO

determinada, la ecuación (66) expresa un estado de momento lineal p como superposición de todos los estados de momento angular, y la ecuación (67) expresa un estado de momento angular definido como la superposición de todas las orientaciones del momento lineal. Un caso especial y muy importante de la ecuación (66) se presenta cuando ñ p se encuentra a lo largo del eje z, el eje polar del sistema de coordenadas esféricas, o sea 8V = O . Ya que,

Para un estado de momento angular / es necesario resolver la ecuación radial,

304

2

2m dr

' \

r

'

= <-""-cose ==

«'(2/ + 1 ) Mkr) Pt (eos 0) ,

(68)

(=0

(69)

En esta expresión m es la masa reducida del sistema dada por me

substituyendo las formas explícitas de i//p y de i/»£ím se obtiene que

l)ft 2 ] Eu 2mrr2 J "El~ El-

/(/+

mn

donde me es la masa del electrón y mn la masa del núcleo. La masa m difiere de la masa me en menos de una parte por mil, y las mediciones del espectro atómico son tan precisas que pueden detectar el efecto de la masa reducida. Es conveniente usar una coordenada sin dimensiones y y una energía de ligadura sin dimensiones W escribiendo,

donde se ha hecho uso de la ecuación (47),

2/TT

me* (70)

(eos 6),

con PI (eos 6) el polinomio de Legendre ordinario. Debido a que se ha escogido el momento lineal a lo largo del eje z, la componente z del momento angular es cero y se obtiene que la superposición de la ecuación (51) contiene solamente estados con m igual a cero. 5. EL ÁTOMO DE HIDROGENO En lo que queda del capítulo se obtendrán los estados estacionarios de un sistema que consiste de un solo electrón y un núcleo atómico solamente con la interacción electrostática. Llamando e ala carga electrónica y considerando un núcleo de número atómico Z y por lo tanto de carga Ze, el potencial electrostático será,

y la ecuación (52) toma la forma más sencilla, d2uEl dy2

2Z

-+ w

y

(71)

siendo ésta la ecuación que se resolverá por el método de series de potencias. Se observa que para valores suficientemente grandes de y, el paréntesis en la ecuación (71) difiere ligeramente de W. Entoncei, el comportamiento asintótico de UE, está dominado por el factor exponencial e±VWa. Físicamente sólo es válido el signo negativo, por lo cual,

(72) Substituyendo en la ecuación (71) se obtiene, -

y

Para Z = 1 este sistema es el átomo de hidrógeno, para Z = 2 es el helio ionizado una vez, para Z = 3 es el litio ionizado dos veces, y así sucesivamente. Estos sistemas se llaman hidrogénicos debido a su similitud con el átomo de hidrógeno. Es necesario señalar que se ha escrito el potencial culombiano correspondiente a un núcleo puntual de carga, siendo una aproximación excelente en la escala de distancias atómicas.

y J Ahora, se necesita determinar el comportamiento de VE¡ cerca del origen. Con este propósito se escribe,

VEI ~ ysy substituyendo en la ecuación (73) se obtiene que, s(s - 1 )y*-2 - 2 Vw sy*-1 -1(1+1 )y*-2 + 2Zy"-' = O

I

,>iiiíífii',ÍI,í.il",l!l,,1ll,,í

306



o bien,

307

Cq+\ __ Ca

s(s-l) -1(1+ l) + 2y(Z-Vw)=Q.

El último término es despreciable cuando y es pequeña, por lo cual s es tal que, s(s- 1) = / ( / + 1)

o bien, Ya que vEi tiene que estar acotada en el origen, únicamente está permitido el primero y se tiene que, Por lo tanto, se busca una solución en serie de potencias de la forma, VEI = yl+í 2 c « v '-

Esta razón es la misma que la obtenida para los términos sucesivos en el desarrollo de la función exponencial y, por lo tanto, para y -> eo, V'« está dominada por el factor exponencial e2"Mv. Significa que UBI = vwe~viri'. diverge en infinito como e'JWv y la solución general no es admisible físicamente. Este comportamiento no resulta ser una sorpresa ya que, como se demostró anteriormente, UE¡ se comporta en infinito como e±"/w". Entonces, cualquier solución general consiste de una combinación lineal de exponenciales crecientes y decrecientes y, necesariamente, la exponencial creciente domina como ya se ha encontrado. Esta dificultad se puede eliminar si la serie se trunca, lo cual significa que £„• y todos los coeficientes c, siguientes se anulan. Se obtendrá este resultado si W es tal que,

(74>

«=o

que al sustituir en la ecuación (73) resulta

o sea, que la energía de ligadura del átomo es tal que, W „= " n'l

9=0

7Z i ..i

i

i\2*

n' " = 1 '»2 * • >3• ' » • • • »

(76)

i+f

9=0

y reuniendo términos se puede escribir que, cQq[q+ (2/ Igualando los coeficientes de las mismas potencias de y, se obtiene inmediatamente que, *•

el cual define el espectro de los estados ligados discretos. El número n 'no puede tomar el valor cero ya que la función de onda es idénticamente cero si c0 se anula. Para valores dados de n 'y /, según la ecuación (74), VB¡ es un polinomio de grado n ' — 1 multiplicado por el factor y l+1 . Estos polinomios se conocen como los polinomios asociados de Laguerre7 y M simbolizan por Lk"(z) . Para poderlos escribir en forma compacta M introduce primero el polinomio de Laguerre ordinario Lk(z) , definido por Mz) = e*

(75)

Esta fórmula de recurrencia permite la determinación sucesiva de todos los coeficientes del desarrollo en términos c0 , que es una constante multiplicativa arbitraria, y proporciona una solución de la ecuación de Schrbdinger como serie de potencias. Además, el comportamiento correcto de esta solución en el origen está garantizado, pero todavía se tiene que examinar su comportamiento en infinito, el cual está determinado por las propiedades de la serie para q grande. De la ecuación (75) se obtiene que,

(zke-*) .

(77)

Entonces, el polinomio asociado de Laguerre se expresa como, Mz).

(78)

De estas expresiones se observa que Lk(z) es un polinomio de grado k en z y Lk" un polinomio de grado k-qtnz. Se puede obtener otra 7

Las piopiedadei de los polinomios se discuten en las Referencias [ 1 ] a [5 ].

308

expresión para estos polinomios en términos de una función generadora apropiada; se puede demostrar que, , -ZS/d-S)

309



conveniente y usual introducir ahora el número cuántico principal n definido por (86)

00

en términos del cual, E=En =

y por la ecuación (78), \« ,,-z»/(l-»)

(- r h J V r t

(79)

Finalmente, se puede demostrar que, ¡'e-'*»1

Jo

[Lk"(z)]2dz=(2k+l-l

(87)

que es la fórmula familiar de Bohr.8 La función de estado también puede expresarse en términos del número cuántico principal obteniéndose, ,nlm . =

(80)

\

donde

En términos de estos polinomios, resulta que,

(89)

\ «o / L2«u« + ')!jM y no es difícil verificar, por sustitución directa, que esta expresión es una solución de la ecuación (68). De la ecuación (72) la función de onda radial se puede expresar como,

(81)

Es importante recordar que, de acuerdo con la ecuación (68), para una / dada, n puede tomar únicamente los valores I + 1, / 4- 2,..., y para una n dada / únicamente puede tomar los valores n — 1, n — 2,.., 0. Las primeras funciones de estado normalizadas se escriben a continuación; / 7 \3I2

y usando (80), los estados estacionarios normalizados son,

=2 ^ \«o/ /

(82) (

7 \3/2 /

— i

\

-\2aJ

'

Z

donde _ r2Z(n' + / ) f

~L

««

2

J

f

L2(«' + /)[(T' + 2/)!

fe22= 0.53 X 10-8cm.

me

(

(84)

>'

U =0,1,2,. .

?2e2

ZV

-Zr/2aa

aj

Zr

l_

4

~Zr/2«o V * 1

E. = -

(90)

2fl02

La degeneración de los estados se puede encontrar en la forma siguiente. Para un número cuántico principal n y para una energía de ligadura En, I puede tomar todos los valores desde cero hasta n — 1. Para cada valor de / existe una degeneración (21 + 1 ) y por lo tanto N, el número total de estados con energía En, es A? = 2 ( 2 / + O = « 2

Según las ecuaciones (70) y (76), la energía de estos estados es ZV 1 2fl0 («'

7r\

I 2 ~> — — \

(«'-D!

y donde, al expresar y en términos de r, se ha introducido el radio de Bohr a0, definido por,

E=

E, = -

í=0

(85)

Se observa que la energía depende solamente de la suma del número cuántico radial n' y del número cuántico / del momento angular. Es

8

Hay que observar que la energía es proporcional a Z2 aunque la intensidad de la interacción sea proporcional a Z. Este resultado es debido a que el radio promedio del_ átomo pata un estado de n dada es inversamente proporcional a la intensidad de la interacción y por lo tanto inversamente proporcional a Z. Debido a que la energía, de origen electrostático, es proporcional a la Intensidad dividida entre el radio, se concluye la dependencia Z2.

'MRNTO EN TRES DIMENSIONES

De nuevo se tiene aquí un ejemplo de degeneración "accidental" que no es accidental. Aparece debido a que la ecuación de Schródinger para un potencial culombiano es separable tanto en coordenadas parabólicas como en coordenadas esféricas. El espectro de un átomo hidrogénico se muestra en la Figura 7. La nomenclatura, que se remonta a los primeros días de la espectroscopia, establece que los estados con / = O se llaman estados-í con / = 1 estados-p, con / = 2 estad os-d, con 1 = 3 estados-/, con / = 4 estados-^ y así sucesivamente en orden alfabético para estados de / más alto. En la figura se observa cómo se juntan los estados cuando E se aproxima a cero, en contraste con el comportamiento de los estados para un pozo cuadrado. Este resultado es consecuencia del alcance

E = 0-

/ =O

P / = 1

d /= 2

PROBLEMAS

311

2

de Bohr n a0/Z. Estos estados exhiben el comportamiento predicho por la teoría de Bohr, en el sentido de que están centrados respecto a las órbitas circulares de esa teoría y con bastante precisión para números cuánticos suficientemente grandes. Ejercicio 5. Verificarlas afirmaciones anteriores para el estado lf' e-2/2¿2

/= 3

n = 3

n = 2

n = 1

Encontraré si el paquete de ondas está normalizado. (c) Demostrar que i/»(r, t = 0) es un paquete de ondas de incertidumbre mínima. (d) Encontrar t//(r, /). (e) Encontrar 0(p, t = 0), 0(p, t). (f) Encontrar {*) en t = O y para cualquier t > 0. (g) Encontrar(p),
0. Nota: Todas las integrales se pueden escribir como productos de las integrales en una dimensión que ya se han tratado en el texto. Sin embargo, el problema puede resolverse más fácilmente en tres dimensiones directamente. Cualquier procedimiento es aceptable.

Figura 7. El espectro hidrogénico.

grande de la interacción culombiana que provoca que existan infinitos estados discretos para cada valor de /. Entonces, se ha obtenido una solución exacta y completa para los estados ligados de un átomo hidrogénico (no relativista). Sin embargo, estos estados resultan demasiado complicados en general y sus comportamientos cualitativos no son fáciles de ver. Para una n dada, los estados más simples son los de momento angular máximo y los de máxima componente z, esto es, los estados fyn,i=n-\,m=n-\. Omitiendo los factores de normalización, las funciones de estado en este caso tienen la forma, «/'»,»-!,n-i =

r n-l

,,-Zrlnao

sin"-1 B.

Para números cuánticos grandes n, estos estados están bien localizados en ángulo y en radio. En particular, la función de onda tiene un máximo bastante definido en el plano ecuatorial y en torno al radio

Problema 2. Usando los resultados del Capítulo VI para un oscilador en una dimensión, (a) Encontrar el propagador para el oscilador tridimensional. (b) Discutir el movimiento de un paquete de ondas arbitrario en un oscilador tridimensional. Problema 3. (a) Calcular la polarizabilidad de un oscilador armónico tridimensional que es isotrópico. (b) ¿Cuál es la degeneración de los estados para un oscilador tridimensional colocado en un campo externo uniforme E = & e,? Problema 4. Como buena aproximación, el núcleo puede considerar* se como una esfera de radio R0^ a0 cargada uniformemente. (a) ¿Cuál es el potencial electrostático entre un electrón y lt núcleo?

•MfÉÉMltr.

312

313


PROBLEMAS

(b) Obtener una expresión para la corrección a primer orden ala energía del estado base de un átomo hidrogénico considerando finito el tamaño del núcleo. ¿Cuál es el orden de magnitud de esta corrección, suponiendo que/? 0 = (2Z)1'3 x 10~13 cm? ¿Cómo depende de Z? (c) Hacer lo mismo para un átomo mesónico /¿, o sea, para un sistema que consiste de un núcleo y un mesón negativo /*. (La masa de un mesón i¿ es de 207 masas electrónicas aproximadamente). ¿Para qué valores de Z, si es que existe, resulta inadecuada la teoría de perturbación a primer orden? (Las primeras estimaciones de tamaños nucleares se obtuvieron del análisis espectral de un átomo mesónico

fricción nula y despreciar la gravedad. El hamiltoniano del sistema es H = L//2MR2 . Ya que Lz = (h/i) (d/d) , la ecuación de SchrOdinger es, ft 32i/» h d
Problema 5. Considerar un oscilador armónico anisotrópico descrito por el potencial, V(x,

2

2

2

2 2

=± meo, (x + y ) + 1 m
(a) Encontrar los estados estacionarios usando coordenadas rectangulares. ¿Cuál es la degeneración de los estados suponiendo que wi Y 6>2 son inconmensurables? (b) ¿Pueden ser los estados estacionarios autoestados de Z,2? ¿Pueden serlo de Lz? Explicar en cada caso.

donde es la coordenada angular de la partícula como se muestra en la Figura 8. (a) Resolver la ecuación de Schródinger para encontrar las energías permitidas á>m y los autoestados de energía .

Considerando el término gravitatorio como perturbación, demostrar que la corrección a primer orden a las &m se anula. Calcular la corrección a segundo orden a la energía. (c) Suponer que el término gravitatorio es demasiado grande para tratarlo como perturbación. (¿Para qué valores de los parámetros sería esto cierto?). Estimar la energía del estado base usando el método de Rayleigh-Ritz y la aproximación WKB. (d) Dicutir la transición entre estados ligados en , usando la aproximación WKB. ¿Para qué estados, en caso de existir, se pueden aplicar los resultados perturbativos de la parte (b)? Problema 7. Suponer que dos partículas idénticas sin espín se mué; ven sobre la trayectoria del problema anterior. Despreciar la gravedad^ (a) Suponiendo que las partículas no interaccionan entre sí, resolver la ecuación de Schródinger para encontrar las energías permitidas y los autoestados de energía. En caso de existir, ¿cuáles son lai degeneraciones de estos estados? (b) Suponer que las partículas interaccionan débilmente mediante el potencial V(fa, 2) = V0 [1 + cos(, — 4> 2 )]- Usar teoría de perturbación para encontrar las correcciones a la energía no perturbada del estado base.

Figura 8. Movimiento de una partícula en una trayectoria circular.

Problema 6. Una partícula de masaM está restringida a moverse por un alambre circular de radio R colocado verticalmente. Suponer la

Problema 8. Una partícula de masa M está restringida a moverse libremente sobre la superficie de una esfera de radio R. (a) Resolver la ecuación de Schródinger para las energías permitidas y para los autoestados de energía.


PROBLEMAS

(b) Clásicamente, la órbita de esta partícula se encuentra en un plano y, cinemáticamente, es equivalente al movimiento en la trayectoria circular del Problema 6, parte (a). Demostrar que, aproximadamente, esta equivalencia también se logra cuánticamente al considerar estados de /^.máximo para números cuánticos grandes.

Problema 12. El campo gravitatorio es muy débil comparado con Itl interacciones electrostáticas. Este hecho se ilustra dramáticamente ti considerar un sistema de neutrones bajo la sola influencia de su atrioción gravitatoria. ,> (a) Obtener expresiones para las energías de los estados ligado! y para el "radio de Bohr" de este sistema. , (b) Estimar, a la potencia más cercana de diez, el valor numérico de la energía del estado base (en electrón voltios) y del radio de Bohr (en cm., en años luz).

314

Problema 9. Un átomo de hidrógeno se coloca en un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje z. Despreciando el espín, el movimiento relativo del electrón y el protón se describe por el hamiltoniano n2

e2

H =£---+e&z. 2m r

(a) ¿Es L2 una constante de movimiento? ¿Lo es L^. ¿Tienen paridad definida los estados? Explicar brevemente. (b) Considerando el término del campo eléctrico como una perturbación, obtener una expresión para la corrección a segundo orden de la energía del estado base (¿por qué a segundo orden?). Incluir en la respuesta únicamente elementos de matriz diferentes de cero, sin calcular las integrales ni realizar las sumas. (c) Sugerir alguna función de prueba para hacer un cálculo variacional tomando en cuenta, lo mejor que sea posible, la distorsión del átomo causada por el campo eléctrico, sin efectuar ningún cálculo pero justificando la función de prueba escogida. Problema 10. Considerar los estados ligados de una partícula en un potencial esféricamente simétrico. Demostrar que si no existen degeneraciones "accidentales" (x) y (p) se anulan para cualquier estado estacionario. ¿Por qué falla la demostración si existen degeneraciones accidentales? (Sugerencia: ¿qué se puede decir acerca de la paridad de los estados estacionarios?). Problema 11. El núcleo de H3 (tritón) que consiste de un protón y dos neutrones es inestable. Por emisión beta decae a He3 que consiste de dos protones y un neutrón. Suponer que cuando este proceso tiene lugar, sucede instantáneamente. Entonces, la interacción culombiana entre el elctrón atómico y el núcleo se dobla repentinamente cuando el tritio (átomo de H 3 ) decae por emisión beta en He+ (He 3 una vez ionizado). Si el átomo de tritio se encuentra en su estado base al decaer, calcular la probabilidad de que el ion de He+ se encuentre en su estado base inmediatamente después del decaimiento. Hacer el mismo cálculo si en el estado final el ion se encuentra en el estado 2s, en el estado 2p o en cualquier otro estado s.

Problema 13. Tres partículas idénticas sin interaccionar se describen por el hamitoniano siguiente (r) =

(a) Encontrar las autofunciones y las energías del sistema, sin ten er en cu en ta la sim etrización . (b) Dar la degeneración de los tres estados más bajos incluyendo la degeneración de intercambio. (c) Hacer lo mismo con partículas sin espín para estados realizables físicamente. (d) ¿Cuál es la energía del estado base para partículas con espín un medio? ¿Cuál es la degeneración del estado base? •' . )

Problema 14. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamitoniano _ ,

—

2m2

r ~r fritvu i\

2

i - inwv '2

2

' 'Q "

'

, .t^

Hiíf

Considerar la interacción gausiana como perturbación y a las coordenadas del centro de masa. ¡^ (a) Encontrar la energía del estado base y del primer estado fjP citado a primer orden. (b) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior a la corrección a primer orden para la energía del estado base. (c) Usar una gausiana de anchura variable como función de prueba para el método de Rayleigh-Ritz estimando la energía del estado base. Problema 15. Lo mismo que en el Problema 14 pero para partículai idénticas sin espín. Problema 16. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamiltoniano

316

iii) Pozo cuadrado: H

=

2 WV 2

2/71] + 2m~2 + 2 "

'

' +

2

*

2

(a) Encontrar las soluciones exactas transformando a las coordenadas del centro de masa. (b) Esbozar el espectro en los límites de acoplamiento débil y fuerte k < púa2 y k > pwo2, respectivamente, donde ¿i es la masa reducida. (c) Hacer lo mismo para partículas idénticas sin espín. Problema 17. Considerar el átomo de hidrógeno en el estado base. Suponer que por alguna causa la interacción culombiana se elimina a ¿ = O y que el electrón se convierte en una partícula libre. Por simplicidad, tratar al protón como partícula con masa infinita. (a) Encontrar la probabilidad p(p, t)d3p de que una medición del momento del electrón a cualquier tiempo t > O , da como resultado un valor en el volumen elemental O dé como resultado un valor en el elemento de volumen d3r en r. (Sugerencia: Usar el propagador de la partícula libre). Demostrar cualitativamente cómo cambia esta probabilidad con el tiempo, partiendo de t = 0. Explicar brevemente. (d) En contraste con las distribuciones de las partes (a), (b) y (c), una medición del momento angular del electrón siempre da un valor preciso y único. ¿Cuál es este único valor?

317

PROBLEMAS


-v0, o,

r R.

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para encontrar una expresión para la energía de ligadura e del estado base en los tres casos anteriores. Usar e~r'2R como función de prueba.9 (b) Tomando e = 2.2 MeV y R = 2x10"13 cm, encontrar F0 en cada caso. Dibujar las tres interacciones en la misma gráfica. (c) Como comprobación de la exactitud del método RayleighRitz, resolver exactamente el caso del pozo cuadrado, usando métodos gráficos para encontrar e para el caso particular del valor de V0 encontrado en la parte (b).

Problema 18. Obtener una expresión para d\dt <«/»|p • r|i/>> y, considerando el estado estacionario fe , demostrar el teorema del virial

donde T es la energía cinética y V la energía potencial. Usar el teorema del virial para demostrar que E = 2 < fe| K|fe ) para el oscilador armónico y E = |< fe| F|fe ) para el átomo de hidrógeno. Problema 19. El neutrón y el protón interaccionan con una fuerza de alcance corto y fuerte. Aproximaciones razonables de estas fuerzas son: i) Tipo Yukawa: 'rlR V(r) = ii)

Exponencial:

V(r) = — K0 e~rlR

9 Se puede llegar a un resultado mejor si se considera una función de prueba que contiene un parámetro de variación, tal como e~arllR. Sin embargo, las ecuaciones que resultan son complicadas y en los tres casos es necesario resolverlas numéricamente. Hay que señalar que el caso (ii) puede resolverse exactamente en términos de las funciones Bessel. Ver las referencias [29], pp.218-220. También se discute en estas páginas el método vanacional.

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACIÓN

3lf

(Lx , La) = ( [ypt - zpv] , [zpx - xp,} )

= (m, zpx) - (ypz, xpz) - (zpy, zpx) + (zpu, xpt) . Si se considera el primer término

, zpx) = ypzzpx - zpxypz.

X

y debido a que y y p.x conmutan entre sí y con z y p,, este término resulta ser

yp*(pz, z) = ~ypx-

Momento angular y espín

Análogamente, el último término resulta ser, (Zpa,xpz)

1. OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACIÓN Si en algún instante de tiempo una partícula sin estructura pasa, con momento lineal p , por un punto cuya posición respecto a un origen arbitrariamente escogido es r, entonces, su momento angular L respecto al origen es

L= r xp

(1)

= xpu(z, Pz) = --r

Pero como y, x y p, conmutan entre sí, el segundo término se anula, y como z, pv y px también conmutan entre sí, el tercer término se anula. Entonces, se obtiene (Lx, Lu) = ik(xpy-ypx)

y reconociendo que el término entre paréntesis es L,. se obtiene que, (Lx,Lu) = ihLz. (3) De la estructura de L, el resto de las relaciones de conmutación se obtienen inmediatamente por permutación cíclica de las coordenadas, y se tiene que

y en componentes,

(Ly,L!!)=ihLx

(4)

(L,,Lx) = ihLy.

(5)

y ZPx~xPz

(2)

xpy-ypx.

Las variables dinámicas cuánticas que les corresponde y que se llaman operadores del momento angular orbital se encuentran usando estas relaciones pero interpretando a r y a p como variables dinámicas cuánticas. Ya que el conmutador de x¡ y p¡ se anula para / ^ j , se comprueba fácilmente que L es hermitiano. Ejercicio 1. Demostrar que L es hermitiano. Las relaciones de conmutación entre las componentes rectangulares de L se obtienen de la siguiente manera. Por ejemplo se tiene que,

Estas tres relaciones son equivalentes a la sola relación vectorial de conmutación

L x L = /ftL,

(6)

que se puede verificar fácilmente escribiendo explícitamente las componentes rectangulares. La naturaleza del operador L se expresa explícitamente por la ecuación (6), ya que el producto vectorial de un vector numérico por sí mismo se anula. Recordando que existen autofunciones simultáneas de una colección de operadores únicamente si los operadores conmutan, entonces, como las componentes rectangulares del vector de momento angular no conmutan, se puede concluir que no se puede definir un conjunto completo de estados cuyas componentes del vector de momento angular tengan un valor definido y preciso. Únicamente una

320

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACIÓN

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

321

sola componente de L se puede definir con precisión: las dos componentes perpendiculares que quedan son inciertas necesariamente.' Sin embargo, como se puede escoger la orientación del sistema de coordenadas, se pueden seleccionar estados del momento angular de tal manera que la proyección de L sobre un eje arbitrario tenga un valor definido. Generalmente, a este eje se le llama eje de cuantización (para el momento angular) y se toma como el eje z en cuyo caso Lz tiene un valor definido, pero no lo tienen Lx y Lv. Aunque se ha demostrado que la orientación del vector de momento angular no puede especificarse completamente a nivel cuántico, no se ha dicho nada acerca de su magnitud. A continuación se discutirá este tema. Para hacerlo se parte del cuadrado del operador del momento angular, L2=L»L = LX2 + LV2 + L2. (7) 2 y se examinan las propiedades de conmutación de L respecto a sus componentes rectangulares. Primero, se considerará (Lx, L2) .Ya que el conmutador de Lx consigo mismo se anula, se tiene que

conmutan para la especificación de estados de momento angular. Etr tos estados se caracterizan por la magnitud del momento angular y su proyección sobre un eje z orientado arbitrariamente, pero ambos tienen valores definidos. Antes de pasar a construir explícitamente las autofunciones del momento angular, se consideran brevemente las propiedades del momento angular para un sistema de partículas. Para este sistema el momento angular es,

( L X , L 2 ) = (LX,LU2) + ( L X , L Z 2 ) . Desarrollando ambos lados se puede verificar fácilmente que,

de donde se obtiene que,

\L-IX,

L,y

)

\LX,

Lly)

Ly -t~ Lly\Llx,

Ly)

y, por lo tanto, de la ecuación (3), Análogamente, usando la ecuación (5), (Lx, L2) = (Lx, LZ)LZ + LZ(LX, Lz) = -iñ (LVLZ + LZLU).

Combinando estos resultados se obtiene que, (L X ,L 2 ) = 0. De la misma forma se encuentra inmediatamente que, (Lu, L2) = (L,, L2) = O

0 bien, brevemente, (L, L 2 ) = 0 . (8) 2 Entonces, se concluye que L y cualquiera de sus componentes rectangulares, por ejemplo Lz, se pueden especificar simultáneamente y, además, L2 y Lz forman un conjunto completo de operadores que 1

Sin embargo, los estados con momento angular idénticamente cero no están descartados a pesar de que las tres componentes de L tengan un valor definido para estos estados. No se violan las relaciones de conmutación porque cada lado de la ecuación (6) se anula cuando se opera sobre un estado de momento angular cero.

L=

L

"

(9)

donde L¡ es el momento angular de la partícula z'-ésima dada por L¡ = r¡ x p¡.

Evidentemente, ya que las variables dinámicas que se refieren a diferentes partículas conmutan, se tiene que

(L,, Lj) = 0,

L X L = /h L ,

lo mismo que para una sola partícula. Las conclusiones respecto al carácter general de los estados de momento angular de una sola partícula, se aplican sin modificación al momento angular de un sistema de partículas. Ejercicio 2. Para el momento angular total de un sistema de partículas, verificar la relación de conmutación vectorial. Característica importante de los sistemas de muchas partículas es el momento angular asociado con el movimiento del centro de masa que no es el momento angular total del sistema. Este resultado contrasta con el del momento lineal: el momento lineal total de un sistema y el momento lineal de su centro de masa son idénticos. Como ejemplo, se considerará el caso más simple, como es el de un sistema de dos partículas. Transformando a las coordenadas relativas y del centro de masa, el momento angular del centro de masa es Lcm=RXP,

(10)

y el momento angular del movimiento relativo, L r = r x p,

(11)

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR

322

321


(14)

donde

(15)

r = r, — r 2 , R=

2

m2r2

Por substitución directa se puede verificar fácilmente que el momento angular total del sistema es la suma de los vectores de momento angular del movimiento relativo y el del centro de masa. Además, debido a que las coordenadas del centro de masa y relativa satisfacen las reglas de conmutación usuales (canónicas), se obtiene inmediatamente que,

Lr X Lr = i

2

Como L — L/ = Lx + Ly y por lo tanto es un operador no negativo se tiene que , a2=s/3. (16)

P=p,

M

2

Pero Lx y LU conmutan con L2 y, por lo tanto, también lo hacen L+ y L_ . Entonces, es decir, que si Yf es una autofunción de L2 con autovalor fi2/3 , también lo son las nuevas funciones L± YBa. Si ahora se considera el conmutador entre L± y ¿, se tiene que,

(12)

= -ihLa±i(ihLx)

L r , L c m ) = U.

= + hL±

Como consecuencia, los estados de un sistema de dos partículas se pueden clasificar simultáneamente respecto al momento angular de su centro de masa y al de su movimiento relativo, siendo cada uno formalmente idénticos a los estados de momento angular de una sola partícula.

Para construir las autofunciones simultáneas y los autovalores correspondientes de L 2 y Lz se usará el método de factorización que utiliza únicamente las propiedades algebraicas de los operadores. El análisis es análogo al que se utilizó para el oscilador armónico aunque es un poco más complicado. Los operadores que juegan un papel análogo a los operadores a yat, resultan ser •

(18)

Al operar sobre Yffa

con esta ecuación de operadores se tiene que,

y usando la ecuanción (15),

2. AUTOFUNCIONES Y AUTO VALORES DEL MOMENTO ANGULAR

L,-\-

o bien,

(13)

= Lx —

como se demostrará en un momento.2 Llamando ft2/? al autovalor de L2 y ha al de L,, y llamando JV, a las autofunciones simultáneas sin normalizar, se obtiene que 2 Por razones que se aclararán en seguida, L+ se llama el operador de ascenso para el momento angular y í._ se llama el operador de descenso. Notar que L- = (L + ) t ;

Las ecuaciones (17) y (19) establecen que L±YBa es una autofunción simultánea de L2 y L, con autovalores h2p y h(a ± 1). Por lo tué to, de acuerdo a la notación, se puede escribir,

en donde la normalización se ha dejado sin especificar. Partiendo de un estado determinado Ypa que es un autoestado de LZ con autovalor ft« , se observa que al operar repetidamente con ¿+ se pueden construir sucesivamente autoestados de Lz con autovaloreí h(a + 1), h(a + 2) y así sucesivamente, los cuales son también autoestados de L2 con autovalor h2/3. Análogamente, por operación repetida con L - se pueden construir una sucesión de autoestados de L, con autovalores h(a — 1), h(a — 2), y así sucesivamente, siendo cada estado un autoestado de ¿2 con el mismo autovalor fc2/3. Pero, ya que

324



L — L es un operador no negativo esta sucesión de estados no puede continuar indefinidamente en cualquier sentido sino que tiene que terminar. Llamando kal al autovalor más alto y (—ha 2 ) al autovalor más bajo, de la ecuación (16) se tiene que,

En la misma forma, operando sobre Y0~ai con L2 como en la ecuación (24), se encuentra que,

2

2

325

(27)

1),

de donde «i(«i + 1) = « 2 (a 2 + 1). La única solución de esta ecuación que es consistente con la ecuación (21) es a, = a2, y por lo tanto Además, ya que esta sucesión de estados necesariamente contiene un número entero de intervalos n, se tiene que,

ai + a2 = n ;

n = O, 1, 2,. . ..

(21)

En el extremo más alto se cumple que, L + íV» = 0

«i = «2 =

i v ~«z — —«n5

/"Tj"\

L'- f (3

\¿-->)

Estas condiciones se pueden usar para determinar los valores permitidos de «i, «2V/?. Para hacerlo se expresa L2 en términos de L+, L_ y L¿ •

/3 = / ( / + 1),

(29)

y los autovalores de Lz varían de hl a —hl por saltos enteros de h . Llamando hm a los autovalores de Lz en lugar de ha ,m será entero o semientero dependiendo de / y toma todos los valores desde / a -/ por incrementos enteros como se muestra en la Figura 1. Es fácil concluir que existen (21+ 1) autoestados de Lz para un valor dado de/.

L+L_ = (Lx -f /LJ (Lx - iLtt) = Lx2 + L/ - i(Lx, Lu) 2

(28)

donde / es entero o semientero, dependiendo de que n sea par o impar. En los dos casos,

(22)

y en el extremo más bajo se tiene que,

=

•m = /

2

•m = I

• m = /-

= Lx + Lv + hL,,

-m = I

y por lo tanto, r 2 _ / 2 _ l _ / 2 _ l _ / 2 _ / f — lí*/ + / 2 L, — í^x T^ I_,y i L*tz — Lj±L*i~ *-'z ' *-^x •

(24)

Análogamente,

• m = 2

• m = 3/2

•m = 1

de donde se obtiene la expresión equivalente,

• m = 1/2

• m = O

(25)

• m = -1/2

•m = -1

2

Con L en la forma dada por la ecuación (25) se opera sobreiy obteniéndose,

w = -3/2

•m = -2

2 1 f z Jyôí = i v Qai +1 itif — / I-i—Lj+I \lli-iz + n^ II-v^1 'y»" & l

i-,

El primer término de la derecha se anula de acuerdo con la ecuación (22) y Yem es una autofunción simultánea de L2 y de Lt con autovalores ñ2P y hai según las ecuaciones (14) y (15). Entonces, cancelando el factor común ft2, se tiene que

-!)•

(26)

m = -/ + 1 •m = -/+

1

m = -I

•m = -/

I entero

/ semientero

Figura 1. Valores de m para estados de momento angular /.

326



De aquí en adelante Ytm será un autoestado del momento angular con autovalores simultáneos hzl(l + 1) y hm , y donde sus ecuaciones de autovalores son,

(30) Por brevedad, estos estados se llaman estados de momento angular / con componente z igual a m. Estos estados se pueden construir fácilmente partiendo del estado más alto Yf y operando sucesivamente con el operador de descenso L_. Entonces, se puede escribir, (31)

c,

donde c¡m son constantes de normalización y, como se recordará YI' se define por ¿+y,' = 0. (32) Los estados de momento angular también pueden obtenerse partiendo del estado más bajo Y¡~' y operando sucesivamente con L+ . En ambos casos, usando las propiedades de los operadores de ascenso y descenso, se pueden construir explícitamente los estados y se pueden determinar sus propiedades principales. Dejando los detalles para el Ejercicio 3, los resultados serían:3 v m _ f.m-1 Yl

~h

I

(.' '

m

> •

V(2/) ! ( / - « ) !

(j

\l-mvl

(L }

-

Yl

(33a) Yl ym m_ _J t - m - l

~

/

(I

V (2/) !

.

m) !

,.

£+my_(

( +

(33b)

Ejercicio 3. (a) Demostrar que la ecuación (33b) se obtiene de la ecuación (33a) y, por lo tanto, estas dos ecuaciones son equivalentes. (b) Derivar la ecuación (33b) calculando directamente (L±Ytm\ m L±Yi ), suponiendo que Y¡m está normalizada. Sugerencia: demostrar primero que 3

Para una presentación completa y detallada ver la Referencia [22], especialmente el Capítulo XIII y el Apéndice B.

327

y usar las ecuaciones (24) y (25). (c) Demostrar que las funciones Y¡" son ortogonales. Es importante señalar que todos los resultados obtenidos hasta aquí se han obtenido como consecuencia de la relación de conmutación del momento angular dada por la ecuadión (6). Se ha usado la realización específica de L como la variable dinámica que corresponde al momento angular orbital, definida por la ecuación (1), solamente al establecer esta relación de conmutación. Los resultados son válidos para cualquier operador que satisfaga la ecuación (6), representen o no a un momento angular orbital. A pesar de esta generalización, se presenta en los resultados una característica inesperada; la aparición en el espectro de estados con momento angular semientero. Es necesario recordar que en el tratamiento de los estados de momento angular orbital para una partícula que se mueve en un potencial central, se dedujo que estos estados deberían de tener momento angular entero para que pudieran cumplir la condición de ser funciones de estado univaluadas. Sin embargo, este requisito se aplicó con demasiado rigor, pues únicamente tienen que ser univaluadas las cantidades físicas observadas, pero estas cantidades siempre se expresan en términos de los valores de expectación y son funcionales de segundo grado de la función de estado del sistema. Por ello, no puede existir una objeción a priori a una función de estado únicamente porque puede tomar dos signos diferentes en un punto del espacio, pues el cuadrado de esta función es univaluada. Expresado de otra manera, se puede decir que no existe ningún significado físico relacionado con el signo absoluto de la función de estado. También hay que recordar que el problema de que la función de estado sea univaluada, se presentó en relación con las autofunciones eim* de Lz y con el hecho de que = O y = 2ir representan el mismo punto en el espacio. Entonces, el momento angular semientero y, por lo tanto, valores semienteros de m corresponden a la ambigüedad en el signo que se ignoró anteriormente. Sin embargo, el signo relativo entre dos funciones tiene significado físico, ya que los términos de interferencia dependen de la fase relativa. Como consecuencia, el requisito de ser univaluada se violaría si algunas de las funciones de estado de un sistema tuvieran momento angular entero y otras semientero. Para aclarar lo anterior, se puede tomar i/»i como un estado con momento angular entero y i/»2 un estado con momento angular semientero, y considerar la superposición de ambos para tener el estado, r, 6,

r, 6,

r, 0,

328



Es necesario recalcar que todos los operadores de momento angular satisfacen las mismas relaciones vectoriales de conmutación dadas por la ecuación (6) para L,

Entonces, r, 6, 0 + 27r) = 0,(r, 6, 0) - «fe(r, 0, 0) 2

donde \*l>\ no es univaluada, por lo cual estas combinaciones están prohibidas. Basándose en esta discusión general y puramente formal, se puede concluir que, en principio, los estados de un sistema dado pueden tener momento angular entero o semientero, pero únicamente uno u otro exclusivamente y nunca una mezcla de los dos. Este resultado significa que, aunque los estados de momento angular orbital pueden tener momento angular entero como ya se ha supuesto, existe la posibilidad de que se presente el momento angular semientero, lo cual debe de examinarse. Para esta prueba puede usarse el átomo de hidrógeno, pero resulta que el suponer valores semienteros para el momento angular orbital no concuerda con el experimento. Entonces, valores semienteros del momento angular orbital tienen que ser eliminados.* Como se verá en breve, no es éste el caso para el momento angular intrínseco o espín de una partícula. Ambas posibilidades para el espín se presentan en la naturaleza. Como se va a tratar con más de una clase de momentos angulares es conveniente introducir una notación apropiada que permita distinguirlos. Se continuará simbolizando por L al momento angular orbital y a sus autoestados por Y¡m . El momento angular espinorial se simbolizará por S y sus autoestados por \sm , o sea que xsm está definido por (34)

Finalmente, se usará el símbolo J como símbolo genérico para el operador del momento angular, ya sea que se refiera al momento angular orbital o al espinorial. Sus autoestados, estarán simbolizados por Y¡m, donde \)Y¡

329

(36)

= ,7zj.

(37)

para S y, para j , Sin embargo, existen ciertas diferencias entre el momento angular orbital y espinorial, ya que únicamente este último puede tomar valores semienteros. Se usará J para escribir las relaciones generales que sean válidas para todos, o sea, todas las expresiones escritas en términos de J son válidas por igual para el momento angular orbital y espinorial. Por otra parte, expresiones escritas en términos de L y S según el contexto, serán casos particulares de las relaciones generales o se referirán a propiedades especiales de una de ellas. Un ejemplo de esto último sería la representación del momento angular orbital en términos de armónicos esféricos; esta representación no existe para el espín. Las ecuaciones (6) y (36) son ejemplos del primer caso; ambos son casos particulares de la regla general de conmutación para el momento angular dada por la ecuación (37). Debido a que, en general, se estudiará el momento angular total de sistemas compuestos, el momento angular total tendrá contribuciones orbitales y espinoriales y, por lo tanto, exhibirá únicamente las propiedades compartidas por ambos. Precisamente para exhibir estas propiedades comunes se introduce J y el momento angular total de un sistema general se simbolizará por J. Como ya se ha recalcado, todos los resultados obtenidos hasta aquí se han derivado usando únicamente la relación vectorial de conmutación para el momento angular y, por lo tanto, son válidas para cualquier tipo de momento angular. Para referencia futura y para establecer explícitamente su generalidad, se pueden escribir los resultados principales en términos de J :

(35) JV« = ñ

Para facilitar la escritura, en los tres casos se ha usado m como el número cuántico asociado con la componente z del momento angular. Cuando sea necesario distinguirlos, sencillamente se usarán índices, escribiendo m,, ms o bien m¡ dependiendo de las circunstancias. * Para eliminar el momento angular orbital semientero se pueden dar argumentos diferentes al argumento empírico que se ha dado en el texto. En particular, surgen dificultades con él flujo de probabilidad para tales estados según J. M. Blatt y V. F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physcs, Wiley (152), Apéndice A.

S x S = ih S

_ (?/)! (y - « ) ! U ~

j^r = h

(J (J

->

(38a)

m

> •

+ 1) -m(m± 1) Y¡m±t,

(38b)

donde, +=JX± iJu

(39a)

330



331

y la segunda es,

y 2

2

J-J+ =J - hJ, - J

(39b)

Una característica interesante del operador del momento angular es que su proyección sobre el eje z siempre es menor que su magnitud; entonces, como se mencionó anteriormente, su orientación no está definida con precisión. Es ilustrativo discutir este comportamiento en términos del principio de incertidumbre. De acuerdo con la ecuación (V-49), para cualquier pareja de operadores hermitianos A y B, se tiene que, Esta relación se usa para examinar los efectos de la no conmutatividad de las componentes rectangulares de J . Sin embargo, para cualquier estado Yjm , y como Jx y Ju son combinaciones lineales de J+ y J- ,

Comparando estas expresiones se obtiene que, y

(J2)

tiene que ser siempre mayor que (Jz2) . Por lo tanto,

y, para un estado de y2 dada, como es H2j(j + 1) , se tiene que, De aquí se concluye que el valor máximo posible de ( J 2 ) eshjy no h y/(j+ 1) como lo sería si el momento angular estuviera orientado a lo largo del eje z. A estas características cuánticas del momento angular se les puede dar una interpretación geométrica muy simplificada. Para el estado Y¡m , el momento angular J se puede visualizar como un vector de longitud Vj(j+ 1) ñ. sobre la superficie de un cono de altura mh en torno al eje z, como se ilustra en la Figura 2. Todas las orienta-

Por lo tanto, para dicho estado,

de donde

(Ay x ) 2 + (AJJ 2 = { jx2 + y/) = < J2 - j * ) . Además, de acuerdo con el principio de incertidumbre,

La orientación de los ejes x y y es arbitraria, por lo cual se concluye que, de donde la primera relación resulta ser,

Figura 2. Interpretación geométrica de las propiedades del momento angular para el estado Y¡m.

cienes de J sobre la superficie del cono son igualmente probables. Entonces, <7 X > = <-/„> = (). Además, por el teorema de Pitágoras,

•"-'""aBâb- •

332



333

que es el resultado correcto como se demostró anteriormente. Para una / dada, estados de diferente m corresponden a conos de diferente altitud y abertura angular. El cono de momento angular nunca puede cerrarse completamente, siendo su apertura más pequeña para m = j que corresponde a una abertura angular de cos~l(j/\/j(j + 1)). La orientación precisa de los vectores del momento angular clásico se recupera en el límite clásico de j *> 1, como debe de ser. Estas características se ilustran en la Figura 3, donde los conos de momento angular se dibujan a escala para los estados particulares de momento angular j — 1 y j = 2. Falta exhibir los estados de momento angular orbital en el espacio de configuración y establecer la relación entre estos resultados y los

obtenidos en el Capítulo IX. Se parte de la ecuación (32). Recor* dando las ecuaciones (34) y (35) del Capítulo IX, se concluye que en el espacio de configuración,

Escribiendo y/(0, <}>) =/,(0) e"* la ecuación (32) resulta ser, f =(/ctní)/,.

m=1

de donde se verifica fácilmente que, /,(0) ~ (sene)',

m =O

y, por lo tanto, '"" l

m = -1

También se concluye que Yr tiene exactamente la misma forma. Evaluando la integral de normalización se obtiene finalmente el resultado,

(a) j - 1

m=2

m =1

m =O

_ -

, /(2/+l)!sen'0 V

La fase de la constante de normalización no está determinada por la condición de normalización. La selección de esta fase arbitraria, que es la de la mayoría de los autores, se encuentra implícita en las ecuaciones (33). Para una discusión más amplia ver la referencia [22]. Ejercicio 4. Calculando la integración angular, verificar que Yfl mo se expresa arriba, está normalizada a la unidad.

m= -2

Estados con m ¥=• ±1 se pueden obtener por operación sucesiva con + sobre Yf' y los resultados pueden resumirse en la forma 0

Figura 3 Representación geométrica de los estados de momento angular; = 2 y / = 2.

co-

47r(2/)! (/-

¿(eos 0)'-m x (1 -cos'0)'

334


OPERADORES DE ROTACIÓN Y DE TRANSLACIÓN

o bien,

V

CJl 4- \\ \ I. fim^cQnm f) dl+m \¿i T i) .I (1 (i —m m) e ¡>cii p d(cos 0)l+m 4ir(2/)!(/+«)! 2'/!

x (1 -cos 2 0)'. Ejercicio 5. Llevando a cabo las diferenciaciones indicadas, encontrar y,0, y,*1, y2±2, Y2±l, y2° y comparar con la Tabla I, Capítulo IX.

que establece una relación profunda y fundamental entre las rotado» nes espaciales y los operadores de momento angular. Este resultado se puede usar para generar una rotación por un ángulo finito ft en torno al eje z, que se puede obtener operando repetidamente con 8R „ . Al operador que corresponde a una rotación finita se le puede llamar Rz({i), y su acción sobre una función escalar arbitraria/se define como, Pero,

3. OPERADORES DE ROTACIÓN Y DE TRANSLACIÓN Una relación interesante e informativa se puede establecer entre las transformaciones de rotación de las coordenadas espaciales y el operador del momento angular orbital. Se puede considerar una rotación infinitesimal de las coordenadas por un ángulo 8$ alrededor del eje z, y llamar 8/?z al operador que induce esta transformación. El operador 8/?z actuando sobre cualquier función escalar f ( r , 0, 0) , está definido por, dRJ(r, 6, 0) = f(r, 0, 0 + 80) .

(40)

Como 80 es infinitesimal, se puede desarrollar el miembro derecho en serie de Taylor f ( r , 6,

=/(r, 0, 0) + 8

d0

y conservando los términos a primer orden se obtiene que, /(r, 0, 0 + 80) = (l + 80 j^)f(r, 0, 0).

(41)

y escribiendo «80 = /3 se tiene que, / Z « ( j 8 ) = lim

8*- o

Si se procede al límite, de la definición de la función exponencial se obtiene que,

R,W = ^» - 5; £ Se puede verificar que este resultado es correcto si se opera con R2((3) en la forma de serie de potencias sobre una función arbitraria f(r, 10, 0) y se compara el resultado con la representación en serie de Taylor de f ( r , 0, 0 + /3) . En general, el operador #ü(|3) que induce una rotación por un ángulo /3 alrededor de una eje orientado a lo largo de un vector unitario n , resulta ser /? R ()3) = e itó - L ' ft ,

(43)

y el operador de rotación infinitesimal correspondiente 8/?ü sería, Comparando las ecuaciones (40) y (41) se obtiene que,

8/?ü= 1 +/80ñ • L/ft.

d O I\ y

==

1 "T" Ou)

"

OÍD

Pero, h d

y por lo tanto, (42)

De estos resultados se puede concluir que si el hamiltoniano H de un sistema conmuta con el operador L del momento angular, entonces, H necesariamente es invariante respecto a una rotación arbitraria de los ejes de coordenadas. Por lo tanto, desde este punto de vista, la conservación del momento angular como consecuencia de la conmutatividad de L y H, implica que no existe un sistema de coordenadas preferido para el sistema, y el requisito dinámico de que el momento angular total se conserva para un sistema aislado, es equivalente al requisito puramente geométrico y más profundo de que el espacio es intrínsecamente isótropo.

336

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI


La relación entre rotaciones espaciales y momento angular también proporciona la interpretación geométrica de que diferentes componentes del momento angular no conmutan. Esta propiedad es una consecuencia directa e inmediata de que las rotaciones finitas alrededor de ejes diferentes no conmutan. Por ejemplo, se verifica fácilmente que una rotación alrededor del eje x seguida por una rotación alrededor del ejejy da un resultado diferente al que se obtendría si estas dos rotaciones se llevan a cabo invirtiendo el orden. Otro resultado importante que se deduce de estas consideraciones es una comprensión mejor de la degeneración (21 + 1) de los estados de momento angular / en un potencial central. Esta degeneración se presenta cuando el hamiltoniano es un invariante rotacional y es una consecuencia del hecho de que la selección del eje z es totalmente arbitraria, por lo cual no se asocia ningún significado físico a los autovalores de L z . Hay que señalar que si la isotropía del espacio se destruye de alguna manera para el sistema estudiado, la degeneración desaparece. Un ejemplo importante es el desdoblamiento Zeeman de los estados atómicos en presencia de un campo magnético externo. La dirección del campo magnético selecciona un eje espacial particular y el desdoblamiento es producido por la interacción del campo externo con los momentos magnéticos generados por el movimiento orbital de las cargas del sistema atómico y con cualquier momento magnético intrínseco que puedan poseer los elementos del sistema. A estas observaciones se puede añadir un hecho interesante. Si el espacio además de ser isotrópico es homogéneo, es decir, que no existe un origen de coordenadas preferido, entonces, se espera que el sistema sea invariante frenta a una translación de coordenadas. Para estudiar este resultado se define el operador de translación infinitesimal TSr definido como 7W(r) =

(44)

donde T6r translada las coordenadas una cantidad 8r . Ya que 8r es infinitesimal, se desarrolla /(r '+• 8r) en serie de Taylor 8r)=/(r)+Sr-V/(r)

y usando p = /(r + 8r) = (1 + iSr • pM)/(r) .

(45)

Comparando (44) y (45) se obtiene que, 78r = 1 +
(46)

que relaciona las translaciones espaciales al momento lineal. Por argumentos análogos a los que se usaron para las rotaciones, el opera-

dor Ta que induce una translación por una cantidad finita a está dado por T

«a

__ ,,«¡a • p/ft _ '

1

t

(47)

El requisito de que el momento lineal total de un sistema aislado se conserve, es equivalente al requisito geométrico de que el espacio es intrínsecamente homogéneo. Además, la conmutatividad de las diferentes componentes del momento lineal es consecuencia de que los resultados finales son independientes del orden de los desplazamientos. Una translación neta siempre se puede expresar como la suma de sus componentes tomadas en cualquier orden. 4. ESPIN: LOS OPERADORES DE PAULI Hasta ahora se ha tratado principalmente con las propiedades del momento angular orbital, o sea, con el momento angular que depende únicamente del estado de movimiento de una partícula y no con las características particulares de la partícula. A continuación se estudiará una segunda clase de momento angular que se presenta en la naturaleza y que es un atributo intrínseco de ciertas partículas elementales. Este momento angular intrínseco o espín, como se le llama, satisface las reglas de conmutación usuales para el momento angular, pero difiere del momento angular en la forma siguiente: (a) El espín es una propiedad específica de ciertos tipos de partículas y es independiente del estado de movimiento. El espín de una partícula se puede considerar como un grado de libertad interno que, de alguna manera, está asociado con la estructura interna de lai partículas. ' '] (b) El momento angular de espín puede tomar valores enteros^ semienteros, pero exclusivamente uno de ellos para una partículf j cierto tipo. (c) Para un tipo de partícula determinada, el espín tiertfj magnitud fija e inmutable. Por ejemplo, las partículas que C( yen la materia, el electrón, el neutrón y el protón, todas tieheh'1 un medio en unidades de h , e igual lo tienen los neutrino! * muones, así como las antipartículas correspondientes. Loi tienen espín uno. Algunas partículas, como los piones y lot no tienen momento angular intrínseco, o sea, tienen espín cero, - (d) El espín es una cantidad cuántica exclusivamente. En 6ÜÉP tido del principio de correspondencia, no existe límite clásico plfl ll espín. Dicho de otra manera, no se puede dar una descripción i para los grados de libertad asociados con el espín.

338

339



Aunque el espín es una propiedad interna de las partículas elementales, tiene que acoplarse de alguna manera al mundo externo para que tenga significado físico. Este acoplamiento se presenta a varios niveles. Las interacciones fuertes, que son las que predominan en física nuclear, dependen principalmente del espín. También lo son las interacciones débiles que describen los procesos de decaimiento beta. En el nivel familiar de las interacciones electromagnéticas, cualquier partícula cargada que posea espín tiene asociado un momento magnético proporcional al vector de espín. Sin importar la naturaleza de estos acoplamientos, existen ciertas consecuencias generales debido a la existencia del espín. En primer lugar, la conexión entre espín y estadística discutida en el Capítulo VIII tiene importancia dominante en las propiedades termodinámicaestadísticas de la materia. En segundo lugar, a nivel cuántico, el momento angular de espín interviene crucialmente en el significado de las leyes de conservación del momento angular, tan crucialmente como interviene el momento angular orbital. Sin embargo, históricamente, la existencia del espín no se obtuvo de estas características generales, sino de efectos especiales del momento magnético del electrón en los estados atómicos. El más simple de estos efectos se refiere al desdoblamiento de los estados atómicos en un campo magnético externo. Ya que la degeneración de un estado de momento angular total / e s (2j + 1), se obtiene que el valor de/' para un estado dado está determinado por el número de estados en los cuales se desdobla. El análisis sistemático y detallado de estos desdoblamientos Zeeman, como se les llama, llevaron a Goudsmit y a Uhlenbeck en 1925 a la conclusión de que el electrón posee un momento angular intrínseco de magnitud fija igual a un medio en unidades de ft , que debe de añadirse al momento angular orbital para dar el momento angular total;'. Por ejemplo, un estado s (1 = 0) de un átomo de hidrógeno se desdobla en dos componentes ya que j= 1/2 para dicho estado. Un estado p (I = 1) se puede combinar de dos maneras con el espín. En una de ellas, el momento angular orbital y espinorial son paralelos (j = 3/2) y en la otra son antiparalelos O' =1/2). El primero se desdobla en cuatro componentes y el segundo en dos, dando un total de seis componentes en lugar de tres, como se obtendría si el electrón no tuviera espín. Así se continúa para estados de momento angular más alto; para una / dada se presentan dos estados, / = / + 1/2 y / = /— 1/2 , y el número total de estados en el espectro se dobla. Este análisis se refiere únicamente al átomo de hidrógeno, ya que para átomos que contienen más de un electrón, la descripción es bastante

más complicada. A continuación se intentará desarrollar un formalismo para tratar con el espín, restringiendo la atención al caso más importante, el de espín un medio. Como ya se estableció, la existencia del espín del electrón produce que los estados electrónicos de una sola partícula se doblen lo que corresponde a dos orientaciones posibles, y sólo dos, respecto a un eje escogido arbitrariamente. Este eje se escogerá como el eje z, y se establecerá una expresión general para una función de onda arbitraria de una sola partícula dependiente del espín t|/(r, espín). Esta función de onda será una combinación lineal de dos estados posibles de espín; un estado para el cual la componente z del espín es -l-ft/2 y otro en el cual esta componente es —ft/2. Entonces, la superposición se escribe como, (48)

r, spin) =

donde <|»±(r) se refiere a la dependencia de la función de estado y X+ y X- son las autofunciones del momento angular espinorial que corresponden a espín hacia arriba y hacia abajo respectivamente.5 Estas funciones contienen toda la información acerca del espín. La densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r con espín hacia arriba es «K* (r) //_ (r) de donde la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r , independiente de su espín será (//+*«K+
<»Mr)| ,

(49)

donde cada término de la derecha tiene su significado convencional como integral en el espacio de configuración. La ecuación (49) se obtiene de la ecuación (48) si se entiende que (50)

y que las x± son ortonormales,

Puede ser de alguna ayuda el comparar esta forma de escribir la función de estado con la forma en la que se escribe un vector ordinario A en términos de sus componentes, A = Axéx +

+ A2é¡,

5 En la notación de la ecuación (34) estas funciones son Xm"z / Xi/2~"2respectivamente. Pala ahorrar escritura, se han abreviado en una forma que es común en la literatura.

•'fitBI'mtíif«,,,í,

'If

340



donde éx, éB y éz son vectores unitarios ortonormales. En correspondencia con la ecuación (49) se tiene que, Una función de estado dependiente del espín puede considerarse como una función de dos componentes, una componente por cada orientación del espín y con los estados espinoriales x± como vectores unitarios. El siguiente paso será encontrar las propiedades de los estados espinoriales y del operador del momento angular espinorial S que actúa sobre estos estados. Naturalmente que S tiene que satisfacer las reglas de conmutación usuales para el momento angular de la ecuación (36), S x S = ihS,

y X+ y X - , definidos como los autoestados correspondientes a las componentes z del espín + h/2 y -h/2, deben de satisfacer las relaciones,

S

que claramente es consistente con la ecuación (53). < Las ecuaciones (53) y (54) significan que para el momento angulai espinorial no existe ninguna caracterización diferencial del operadoi en ninguna representación. Esta conclusión no entraña ningún problema, pues un operador está completamente definido por los restó fados que se obtienen cuando opera sobre un estado arbitrario. E» tos resultados se han dado para S2 y S, y falta especificarlos para Sx y Sv . En lugar de tratar con estos últimos operadores, es mal conveniente tratar con los operadores de ascenso y descenso 5+ y S-¡ definidos por, 5± = 5 X ±/5 V . (55) Aplicando la relación general completa, ecuación (38b), se obtiene inmediatamente para el caso bajo consideración y = | y /M = ±

(56) e invirtiendo la ecuación (55),

== 2*-

(52)

o A SzX- = ~2X--

ift

(57)

Además, como ambos son estados de espín total h/2 se tiene que, C2-y

_ X

(í -4- 1 A £ 2v

3_ ¿ 2

De la Ecuación (48), para una función de estado perfectamente arbitraria !/»(/-, espín) se tiene que, S2i¡t(r, espín) = | h2t¡j(r, espín),

o sea, en contraste con el caso de un momento angular orbital, S2 es un operador exclusivamente numérico, S2 = |¿ 2 .

(53)

También,

y, por lo tanto, S2 también es un operador exclusivamente numérico lo que se deduce por el mismo argumento. Pero Sx2, Sv2 y Sz2 son variables dinámicas totalmente equivalentes y deben de compartir esta propiedad, por lo cual h2 Sx 2 — °O 2 — C 2—— " (54) 4 J

Se comprueba fácilmente queS x 2 y S/ son operadores numéricos quí satisfacen la ecuación (54) y las relaciones de conmutación correctáli

f Ejercicio 6. -o! (a) Obtener la ecuación (57) partiendo de la ecuación (38b)./i! (b) Tomando Sx, Sa y S ¿definidas por las ecuaciones (52) y (5*1$ demostrar que se satisfacen la ecuación (54) y la relación de coniQU1 tación vectorial (36). Demostrarlo permitiendo que los operad oroi espinoriales actúen sobre el estado espinorial arbitrario de la ecuación (48).

El álgebra de los operadores de espín un medio es poco usual, como ya se ha visto, principalmente como consecuencia de la ecuación (54J). Esta álgebra puede desarrollarse todavía un poco más. De U ecuación (56) se obtiene inmediatamente que S±2 = 0 . Entonces, usando la ecuación (55), - Su2 ± i(SfS, + SUSX) O = (S, ± ÍJ,)1 =

342



o bien, ya que Sx* = SJ = ft2/4,

En la primera línea se ha sustituido S2SV por ( — ih/2)Sx, en la segunda Sx2 por ft2/4 y en la tercera SXSU por (//¿/2)S Z .

*J x*J y '

— "•

La misma relación se cumple entre cualquier par de componentes diferentes, ya que todas las componentes de S son dinámicamente equivalentes. Este tipo de expresión, que es análogo al conmutador excepto por el signo más en lugar del signo menos, se conoce como anticonmutador. El anticonmutador para cualquier pareja de operadores se define como, (A,B)

+

=

= (B,A)

(58)

Sustituyendo las variables x, y y z de las componentes de S por índices numéricos, las relaciones de anticonmutación para espín un medio se pueden escribir como, -r-

(S¡,

(59)

Usando este resultado importante, se pueden simplificar las relaciones de conmutación. Con i, j y k en orden cíclico se tiene que, y como S( y Sj anticonmutan, -ÜL c ~ *' Si5j5fc = S k 5 i 5 J =M 3 /8,

16

j I

¿X

I f i l

32

En la primera línea se ha sustituido SZSXSU por /ft3/8 según la ecuación (61) y en la segunda S,2 por ft2/4 . Ya que cualquier potencia de los operadores de espín se puede reducir como se ha indicado, se concluye que el operador espinorial^ más general, se puede expresar como una función lineal del espín, esto es, A=

(62)

donde los A¡ son operadores arbitrarios independientes del espín del tipo que se han estado tratando. También se puede demostrar que el operador espinorial está completamente especificado por las ecuaciones (52) y (57). Se puede hacer calculando el resultado de operar con el operador arbitrario A, ecuación (62), sobre un estado arbitrario i/> , ecuación (48). Se obtiene que,

+ -A3(\jj+x+-^(61)

donde, para recalcar, /, / y k se toman en orden cíclico. La ecuación (60) es útil debido a las siguientes razones. Considérese un operador totalmente arbitrario pero dependiente del espín y que contiene un término en las componentes de S a la «-ésima potencia. Las ecuaciones (54) y (60) aseguran que este término siempre puede reducirse a un término independiente del espín o a un término lineal en el espín. Para aclarar este resultado se pueden dar los ejemplos siguientes: SXSUSXS1SII — SXSUS I

(2)

(60)

o bien, multiplicando por Sk por la izquierda o por la derecha,

(1)

343

y, reuniendo términos,

(63) Por ejemplo, el valor de expectación de A es,

(64)

Algunas aplicaciones específicas de estos resultados se dan a continuación. (1) El operador^ de la ecuación (62) podría ser,

'^B

fl

344



341

A=n • S,

donde ri es un vector unitario arbitrario con componentes regulares «x, «u y «z. Entonces, de acuerdo con la ecuación (64), el valor de expectación del momento angular espinorial a lo largo del eje íi es

+

2

<.

(65)

El último término es el complejo conjugado del segundo, por lo cual el resultado es real. En el caso especial en el cual + o «/»_ sea cero, que corresponde a un estado i/» con espín hacia arriba o hacia abajo, respecto al eje z, el resultado sería, (2) Como ejemplo similar, pero más importante y más complicado, se puede tomar

+ /lz(|a|2-|/3|2)}-

(69)

Otras aplicaciones se dejan para los problemas. Es útil tener una realización explícita de los operadores espinoriales aunque, como lo demuestran los ejemplos anteriores, no es necesario hacerlo. Se puede hacer usando una representación matricial y notando que, debido a que se tienen sólo dos estados de espín, únicamente se necesitan matrices dos por dos. De la definición de los elementos de matriz de un operador, la componente z'-ésima de S se puede escribir como, c

=

'

/

V

\

(x~\st\x-))

Los elementos de matriz se calculan fácilmente usando las ecuaciones (52) y (5 7). Por ejemplo,

A = L • S,

donde L es el operador del momento angular orbital. Se obtiene que,

| <«ML,I
<,J,_|L+|«K>+<.

y análogamente para £„ y S, ; entonces, (66)

5 A

*

=

2\l

M O]

Si i/»+ es un estado cuya componente z del momento angular orbital es mh, los últimos dos términos contribuyen solamente si
(67)

Usando las reglas de la multiplicación de matrices, es fácil comprobar que las componentes de S satisfacen las relaciones que se obtuvieron anteriormente.

Para el operador general A se obtiene que, Ejercicio 7. Usar las reglas de multiplicación de matrices para demostrar que Sx, Sv y S ^ , definidas por la ecuación (70), satisfacen las ecuaciones (54), (59) y (60). (68)

Y para el operador del primer ejemplo A = n • S se obtiene el resultado,

Aunque en todo el análisis anterior se ha usado S , es conveniente eliminar todos los factores ft/2 que aparecen en este análisis. Para

.•Mal

34f»



ello se introduce un operador sin dimensiones llamado operador de Pauli definido por cr —
de acuerdo con la definición general de adjunto de una matriz, ecuación (VII-49), y de acuerdo con las reglas usuales de la multiplica» ción de matrices,

346

(71) Usando todos los resultados anteriores se obtiene que,

o-2 = 3 o-x2

Se observa que estas relaciones son precisamente equivalentes a las expresiones definidas en la ecuación (51) como paréntesis de Dirac. Comparando se obtiene que,

= «•„* = oy* = 1

a X cr = 2/cr

(72) = Í0>

y la representación matricial de a será

O 1\ OJ

/O ~// \ OJ

/I 0\ ^ U -i]

Se concluye fácilmente que o-*, o-,,, o-z y la matriz unidad forman un conjunto completo de matrices dos por dos en el sentido de que cualquier matriz dos por dos se puede expresar en términos de ellas (¿por qué?). Esta afirmación es una versión más clara que la anterior, en la cual se afirmaba que un operador arbitrario dependiente del espín siempre puede expresarse como una función lineal del espín. ( ¿Por qué son equivalentes estas dos afirmaciones?). Esta representación matricial de los operadores espinoriales sugiere una representación similar para las funciones de estado de dos componentes en la teoría. En particular, las funciones espinoriales X+ y X- se pueden representar por matrices columna6 definidas por por

Estas definiciones son consistentes, pues se puede verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecuaciones entre matrices. Los detalles se dejan para los ejercicios. También se introducen los adjuntos de estas matrices que son las matrices renglón. X+t=(l 6

0),

x -t=(0

1),

A estas matrices columna también se les llama vectores columna o simplemente vectores.

= x±tx±De esta manera se ha establecido una visualización de los paréntesis de Dirac para estados espinoriales que faltaba en la definición anterior, pero que es muy útil y conveniente aunque no contenga información nueva. Ahora, una matriz columna general se define como una combinación lineal arbitraria de x + y de x- , por lo cual, el estado general dependiente del espín dado por la ecuación (48) se puede expresar en lenguaje matricial como, t//(r, spin) = t//+ (r)\+ + ^ - ( r ) X -

=

Sin embargo, a las expresiones en términos de paréntesis de Dirac en las que intervienen funciones espaciales y espinoriales, falta darles el significado de la ecuación (5O).7 Ejercicio 8. Verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecuaciones entre matrices. Es conveniente hacer algunas observaciones finales. Se ha introducido el espín en forma ad hoc como una necesidad empírica, más o menos como se hizo históricamente. La teoría de dos componentes de Pauli se originó a partir de estas bases empíricas. Sin embargo, se puede mencionar que todas estas características, sin ninguna suposición ad hoc, fueron obtenidas por Dirac en 1930. Partiendo de un electrón sin estructura, Dirac construyó una versión relativista de la ecuación de Schródinger de la cual se obtuvieron las propiedades es7 Estas ideas se pueden aplicar con la misma facilidad a la representación de funciones de estado convencionales se puede considerar como una superposición de algún conjunto completo de funciones base ortonormales m. Los coeficientes de esta superposición, por ejemplo cm, definen completamente a 1/1, la cual se puede representar como una matriz columna de dimensión infinita con c m como el elemento m-ésimo. Al expresar operadores como matrices en la misma base, cualquier relación que se cumpla en la descripción convencional también te cumple cuando se considera como relaciones matriciales.

348


ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

pinoriales del electrón como una de sus consecuencias. También predijo la existencia del positrón. En el próximo capítulo se discutirá la ecuación de Dirac y cómo se obtuvieron estos resultados. Se ha discutido ampliamente el espín un medio y la forma de tratar partículas sin espín, pero no se ha dicho nada acerca de otros espines como por ejemplo, el espín uno. Ya que para espín uno existen tres orientaciones, la función de estado que describe a una partícula de espín uno tendrá tres componentes. El álgebra correspondiente, aunque inmediata resulta más complicada y no se intentará desarrollarla.

apropiado de estados no perturbados, estados de momento angullfr definido para cada subsistema y de momento angular total para todo el conjunto. El proceso clásico de combinar momentos angulares el completamente trivial; simplemente se toma la suma vectorial en U forma usual. Sin embargo, cuánticamente, este proceso es complicado debido a que ninguno de los vectores de momento angular está orientado con precisión. De hecho, se tienen que sumar vectores que se encuentran sobre conos, como se ilustra en las Figuras 2 y 3 , con abertura angular, alturas y orientaciones variables, y formar una resultante que se encuentra sobre dicho cono. No se intentará dar una respuesta completa, sino únicamente enumerar los estados de momento angular total que se pueden lograr al componer estados de momento angular definido. No se intentará construir estos estados en forma explícita, excepto por uno o dos casos especiales.8 El problema de enumerar los estados de momento angular que se pueden tener, tan simple para sistemas clásicos, no es trivial en mecánica cuántica. Como se verá más adelante, la respuesta, que se llama teorema de la adición vectorial del momento angular es la siguiente: cuando un sistema de momento angular j1 se combina con un sistema de momento angular j2 , el momento angular total / tiene un valor máximo de j \ + j 2 _ y mínimo de \ j i — j z \ . Los otros valores posibles de / se encuentran entre estos dos extremos, distinguiéndose entre ellos por pasos enteros de uno a otro. El conjunto completo de estas posibilidades será (/ 1 + 7 2 )> O'i+ iz - 1), O'i+ h - 2),..., \J\ — Jz\- Además para cada valor de / el estado con componente z definida es único. Pero estos estados únicos son tales que, en general, las componentes de 7, y j2 no tienen valor definidos por separado. Este resultado es consecuencia directa de la incertidumbre cuántica en la orientación de los vectores del momento angular y de aquí resulta la complicación para construir estos estados. Para confirmar estas afirmaciones, se puede considerar un sistema compuesto de dos subsistemas sin interacción. Llamando Ji y J 2 a los momentos angulares de los susbsistemas y hmi y \jtm a los estados de momento angular de cada subsistema, de acuerdo a las definiciones se tiene que,

5. ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

Considérese un sistema de muchas partículas que está aislado. Su momento angular total se puede expresar como J = 2(L, + S,),

(74)

i

donde L¡ es el momento angular orbital y S¡ es el momento angular espinorial de la partícula z'-ésima, en caso de existir. Como el momento angular de un sistema aislado se conserva, los estados de tal sistema siempre se pueden escribir como autofunciones simultáneas de y 2 y Jz con autovalores j(j+ I ) f t 2 y mñ . Pero frecuentemente sucede que el sistema se puede descomponer en subsistemas que no interaccionan entre sí, dentro de cierta aproximación. En esta aproximación, se puede discutir el sistema en términos del momento angular de sus partes, ideas que son muy familiares en física clásica. Así, el momento angular del sistema solar puede considerarse como compuesto de un número de elementos diferentes; el momento angular orbital de cada planeta en su movimiento en tomo al Sol, el momento angular de las diferentes lunas en torno a los planetas correspondientes y, finalmente, el momento angular de todos estos objetos y del Sol, debido al movimiento giratorio de cada uno en torno a su eje. A primera aproximación, todos ellos están desacoplados y se conservan por separado, lo cual proporciona una descripción adecuada para el comportamiento a corto plazo del sistema solar. El comportamiento a largo plazo requiere un tratamiento más preciso que tome en cuenta las interacciones mutuas entre los diferentes momentos angulares. Los momentos angulares individuales ya no se conservan por separado, sino únicamente el total para todo el sistema. Lo importante es encontrar una descripción cuántica del momento angular total de un sistema como composición de los momentos angulares de los subsistemas. Se supone que éstos interaccionan débilmente para que los efectos de las interacciones se puedan tratar por los métodos de la teoría perturbativa. Entonces, se busca un conjunto

8 Para una discusión completa ver la Referencia [22]. Para un tratamiento más breve ver las Referencias [¿4] y [25]. 9

Brevemente,

\ji-ji\>

en analogía con la regla del triángulo para vectores clásicos A y B. A + B »\\ + B\»\A-B\.

350



y Ja2Xi*mí=J2(J2+ 1)

(76)

Los estados del sistema completo se pueden expresar como productos de estas funciones. Se buscan estados compuestos que son autofunciones simultáneas de J2 =( J, + J 2 ) 2 y de J, y también de Jf y /z 2 o sea, se buscan estados cuyos momentos angulares i\y h se suman para dar un estado de momento angular; y componente z igual a m. Llamando ^jmju, a esta función de estado compuesta, se tiene que, nti i tnt

que es la superposición más general de funciones producto que a su vez es autofunción simultánea de /i2 y de /z2. Las constantes C ¡mmtmi se llaman coeficientes de Clebsch-Gordan y pueden determinarse por la condición de que t/»jmj,j 2 sea autofunción simultánea de/ 2 y de/*. Para verificar el teorema de adición vectorial se enumerarán los valores permitidos de / y de m. Respecto a m la respuesta es inmediata porque J, = JÍ2 + J2z y operando con J, sobre la ecuación (77) se tiene que, m = nii + m2.

(78)

lo cual significa que la suma doble de (77) se reduce inmediatamente a una sola suma. También establece que el valor máximo posible de m es ji +j2 que se alcanza cuando mi y m2 tengan sus valores máximos de ji y j2 respectivamente,10 y además que el valor máximo de / es y'max = /i + /2. Considérese un sistema en el cual m es ji +j2 — l. Este estado se puede formar de dos maneras linealmente independientes; una, en la que m, es igual a ji y m2 es j2 — 1, y la otra en la cual m, es j\ — l y m2 es igual a j2.n, Una de estas combinaciones tiene que pertenecer al estado jmax =jt +j2 que ya fue identificado, pero una segunda combinación (ortogonal) también existe y tie10

Debido a que hay un solo estado de este tipo en la superposición (77), este estado se determina inmediatamente como (79)

y también el estado con m = — (_/, +j¡), (80)

Estos estados son los únicos que siempre se pueden construir inmediatamente. 11

Estos dos estado linealmente independientes son $¡¡.¡,-1 Xj.j, y i,.i, Xji.ji-i •

ne que estar asociada con el estado/ =j¡ + j2 — 1. Pasando a estadoi con m =jt +j2 — 2, existirán tres estados linealmente independiéis tes. Dos de ellos tienen que estar asociados con los estados de mo* mentó angular total identificados anteriormente, y el tercero estará asociado a un estado con momento angular /' =j\ +j2 — 2. Se continúa de esta manera decreciendo / por pasos enteros hasta que se han cubierto todas las combinaciones y / alcanza su valor mínimo Jmin

==

\Ji

Jz\-

No es difícil comprobar que en esta enumeración se han incluido todos los estados posibles. El argumento es el siguiente. La degeneración del primer subsistema es (2j\ + 1), la del segundo es (2j2 + 1) yt por lo tanto, deben de existir (2ji + I)(2j2 + 1) estados linealmente independientes en cualquier representación. Se puede calcular a continuación el número total de estados en la representación (y, m). La degeneración de un estado con momento angular/ es 2j + 1 y, por lo tanto, suponiendo que j¡ ^ j2 se tiene que, UJi + O (2A + 1 ) = J ~ 2 + J Z (2.7+1). j = jl-J2

Se puede calcular la suma escribiéndola en orden inverso, sumándola a la original y dividiendo entre dos. El primer término de cada sumando es 2 (2j¡ + 1) que también lo es para cada par de términos. Como existen (2j2 + 1) términos en total, se obtiene el resultado deseado. Entonces, se han verificado las reglas establecidas anteriormente para la adición de momentos angulares. Estas reglas son equivalentes a las de los vectores ordinarios pero suplementadas por las condiciones cuánticas usuales para los estados de momento angular. Las mismas reglas se pueden aplicar para sumar más de dos momentos angulares. Para hacerlo, se suman dos de ellos y al resultado se le suma el tercero y así sucesivamente. Existen muchos ejemplos importantes de la adición de momentos angulares. En uno de estos el hamiltoniano es, aproximadamente, independiente del espín, por lo cual el momento angular orbital total de todas las partículas y el momento angular espinorial total forman dos sistemas independientes. El primero se describe en términos de estados de un momento angular L y el segundo por estados de un momento angular S . Estos dos momentos angulares se acoplan por fuerzas débiles dependientes del espín para formar estados de momento angular total definido. Este esquema se llama acoplamiento Russell-Saunders o L-S y se aplica a estados atómicos en la primera parte de la tabla periódica. En el otro extremo se encuentra la clase de problemas para los que la interacción entre partículas individuales

(52

353



Hieden despreciarse pero no las fuerzas dependientes del espín. En 5ste caso, cada partícula se describe por un estado de momento anguar total / y el sistema, como conjunto, se describe por la suma de es:os estados individuales. Este esquema se llama acomplamiento j-j y te aplica a los estados atómicos en la última parte de la tabla periódi;a y también a estados nucleares en la aproximación del modelo de ;apas. Ahora se puede dar un ejemplo de la adición del momento angular. Je encontrarán los estados de espín total para dos partículas con es)ín un medio. Este ejemplo es el más sencillo posible, pero de modo lúe todos los detalles se puedan presentar. Sea Si el operador de es)ín para la primera partícula y S2 el de la segunda partícula. Sea xi± f X2± los estados de espín correspondientes. De acuerdo con la ecua;ión (77), el estado espinorial más general posible de un sistema de los partículas *l>smll, se puede escribir como la superposición de [2 • 1 + 1) (2 • I + 1) = 4 estados espinoriales compuestos,

medio se pueden combinar para dar solamente espín uno y espín c^ ro. Los estados de momento angular máximo y\m máximo siempre se pueden construir en forma trivial, y están dados por las ecuaciones (79) y (80). Para este caso, son los estados con s= l,m = ±l, por lo cual se obtiene inmediatamente que,

•kmii = Csm++Xl+X2+ + Csm+-Xl+X2- + Csm-+Xl-X2+

+

Xi+X2+ Xi-X2--

(85)

Los dos estados que faltan, ambos con m = O, son combinaciones lineales de Xi+X2- y de Xi-Xz+. ¿Qué combinación lineal de dos estados corresponde a s = 1, m = O el miembro que falta del conjunto de tres subestados 5 = 1 ? Observando que cada estado de s = 1 identificado por la ecuación (85) es simétrico respecto al intercambio de los espines de las partículas uno y dos, se sigue que el estado buscado también debe de ser simétrico. Entonces, debidamente normalizado, el estado es

C,m—Xl-X2-

(86) (81)

= Xs

?omo se está hablando de estados puros de espín, los autovalores del nomento angular espinorial se han llamado s en lugar de / y los estalos compuestos espinoriales se han abreviado como Xsm. También, >or conveniencia, los índices m^ y m2 en la suma (77) se han sustjtuilo por los signos más y menos. Finalmente, la suma se ha escrito ex>lícitamente porque contiene sólo cuatro términos. Ahora se buscan las cuatro combinaciones lineales particulares que on autoestados simultáneos del espín total y de su componente z. U operador del espín total es S = St + S2 = -

+ CT2) - ¿ O " ,

(82)

r los estados que se buscan son aquellos para los cuales, (83)

Evidentemente, el estado faltan te que tiene y y m = Oes una combinación lineal análoga pero ortogonal al de la ecuación (86) y, por lo tanto, es el estado antisimétrico 1 (87)

Ejercicio 9. Verificar la afirmación de que el estado / = 1 , m = O tiene que ser simétrico porque los estados j = 1 ,m = ± 1 lo son. Hacerlo considerando una rotación del eje de cuantización y demostrando que el operador de rotación apropiado es simétrico en los espines de las partículas. No es difícil comprobar que los estados que se acaban de encontrar son autofunciones simultáneas de S2 y S2 o de o-2 y o-2) . De acuerdo con la ecuación (84) se tiene que demostrar que para los estados s = 1 ,

> bien, en términos de los operadores de Pauli,

m= 1 , 0 , -1

(88)

l)Xsm

-

(84)

istos estados se identifican fácilmente con la ayuda del teorema de a adición. De acuerdo con este teorema, dos partículas de espín un

y para los estados 5 = 0, o- 2 Xoo = O 0"zXoo = 0.

(89)

354



3Sf

Las ecuaciones en
Se expresan en términos de las autofunciones

2

cr = 6 + 2(7 j •
Comparándolas con las ecuaciones (88) y (89) se obtiene que o-, • o-2 da la unidad cuando opera sobre un estado con s = 1 y menos tres cuando opera sobre un estado de s = O . Este resultado se obtiene fácilmente, pero se dejarán los detalles para los problemas. Recapitulando, con la ayuda del teorema de la adición vectorial se ha construido explícitamente el estado espinorial llamado triplete con s = 1 y m = 1, O, — l , y e l estado singulete con s =m = 0. Se encontró que el primero es simétrico respecto al intercambio de espines y el segundo es antisimétrico.12 Las funciones de estado normalizadas y sus propiedades se resumen en la Tabla I. Triplete O"2 =

8,

CTj • CT2 =

Singulete 1

i = 0 : Xi.o = y¿ (Xi+Xz- + Xi-Xz+)

1

= O, CTj •
= 0 : xo.o = 7=- (Xi+Xs- - Xi-Xz+)

1

1

[V7 + m + 1
-=

V2/*+ l

[VI-m *lmX + + Vl + m+l

H

respecto al intercambio

Xo.o es antisimétrica respecto al intercambio

Tabla I. Estados espinoriales normalizados para dos partículas de espín un medio.

Como segundo ejemplo, muy importante, se puede considerar la adición del momento angular orbital y espinorial para el caso de espín un medio. Únicamente se darán los resultados, dejando los detalles para el Ejercicio 10. Para un momento angular orbital / ^ O , hay dos estados con momento angular total/ = / ± i, de acuerdo con el teorema de la adición vectorial. Estos estados, a los cuales se les llamará ^jmj¡, se definen como, 11

Esta conclusión comprueba la afirmación del Capítulo VIII de que los estados antisimétricos de dos partículas pueden clasificarse como el producto de un estado espinorial antisimétrico (singulete) por un estado espacial simétrico, o bien, como el producto de un estado espinorial simétrico (triplete) por un estado espacial antisimétrico.

(91)

En la ecuación (90), m toma todos los valores enteros entre — (/ + !) y /, y en la ecuación (91) toma los valores enteros entre —ly 1 — 1. La importancia de este ejemplo proviene de la existencia de la llamada fuerza espín-órbita. Para un electrón que se mueve en un potencial central V ( r } , esta interacción está representada en el hamiltoniano por el término,

> = -! :Xi.-i = X.-Xi-

Xi.m es simétrica

(90)

1 2m

1 dV L c r dr

2 2

S,

(92)

donde L es el operador de momento angular del electrón y S su operador espinorial. Este término, cuyo origen es relativista, es consecuencia del hecho de que el campo magnético producido por una partícula cargada en movimiento interacciona con su momento magnético espinorial. Un hamiltoniano que contenga este término conmuta con 72, Jz y L2 pero no con L¿. Entonces, los estados de momento angular son precisamente los de las ecuaciones (90) y (91). Esta relación se puede hacer explícita observando que

J2= (L + S) 2 = L2 + 2L • S + 52, de donde se obtiene que para una partícula de espín un medio,

356


PROBLEMAS

y por lo tanto las autofunciones simultáneas de J2 y L? son también autofunciones deL • S, es decir, (L • S) «fcm,, = ¿ [./(./ + 1) - / ( / + 1) -|] 2

Para j=l + ?,L • S tiene autovalor lh /2, y para autovalor-(/+ 1) h2/2.

h**¡n¡l.

j = /- i

AE = -:

tiene

Ejercicio 10. Obviamente, las funciones i// jmjí de las ecuaciones (90) y (91) son autofunciones de L2 y J:. Usar la ecuación (66) para verificar que son autofunciones simultáneas de L • S y por lo tanto de J2. Ahora, se puede tomar un sistema, como el átomo de hidrógeno, descrito por el hamiltoniano, =

P2

"spin-orblt •

Este hamiltoniano es separable en un producto de funciones radial y angular de la forma, i//(r, spin) = Rjt <¡tjmjl

Usando los resultados obtenidos anteriormente para los autovalores de L-S,la función de onda radial RH satisface la ecuación h2 d_ 2mr2 dr

w

V(r}

1(1+ 2mr2

A E = (<£ell"spin-orbttl4

' )_í!_i»:v,

-/ — 1J 4m2c2r dr J

(93)

donde la línea superior dentro de los paréntesis se refiere al estado / = / +i, y la inferior al estado / = / — ? . Naturalmente, que el término espín-órbita está ausente para estados s (1 = 0) , por lo cual la ecuación (93), que es exacta, se aplica solamente para / ^ O . La perturbación provocada por este término es responsable de la estructura fina de los estados atómicos, y en el dominio nuclear la existencia de una interacción espín-órbita fuerte es esencial para la explicación de las estructuras de los núcleos en el modelo de capas. En el caso atómico donde este término generalmente es pequeño, se puede tomar como buena aproximación la teoría de perturbación a primer orden para la contribución a la energía. Un estado de un electrón con / dada se desdobla en un doblete, cuyo corrimiento en la energía es,

,r d r / ^ '

\~ ~fo

'"

Entonces, la energía de separación de los dos estados es A ¿ TV'+D. 4mc^ \r dr / ,, La separación de las famosas líneas D del sodio, es un ejemplo del desdoblamiento producido por la interacción espín-órbita. Problema 1. (a) Calcular la energía del estado base del átomo de hidrógeno suponiendo momento angular semientero. Comparar la energía de ionización con el valor experimental. (b) ¿Cuáles son las autofunciones del estado base? Problema 2. Para el oscilador armónico isotrópico en tres dimensiones, encontrar la energía del estado base y la autofunción corresportdiente, suponiendo momento angular orbital semientero. Problema 3. Econtrar las relaciones de conmutación de Lx, Lu, Lt, L* con px, py, Pz,p'¿, y con x, y, z, r2. Problema 4. Considerar el movimiento de una partícula en un campo central V(r). Sea fymm(r) la autofunción del hamiltoniano que corresponde al momento angular total / y componente z en unidades de h. Demostrar que, •J/' = e!(3n-L"í fem (r)

es una autofunción de H que corresponde a la misma energía £ y al mismo momento angular total /, sin importar el valor de 0 ni la orientación de ñ . ¿También es i//' una autofunción de Lz ? Explicar. Problema 5. (a) Suponer que n e s u n vector unitario orientado arbitrariamente. Llamar l,m,n a los cosenos directores respecto a los ejes x,y,z, .respectivamente. Demostrar que, -n

358

359


PROBLEMAS

donde cr es el operador (vector) de Pauli. Verificar que (ñ • cr) 2 = 1, sin importar la orientación de n. (b) El estado de espín un medio más general es la superposición,

Problema 8. Considerar un sistema de dos partículas idénticas sin espín. Demostrar que el momento angular orbital del movimiento relativo sólo puede ser par ( / = 0, 2, 4, . . . ) . Problema 9. Demostrar por cálculo directo que los estados triplete del espín de dos partículas de espín un medio son,

donde X± son las autofunciones de trz con autovalores ± 1. Usar el resultado de la parte (a) para encontrar los valores de a+ y a_ si x es la autofunción de ñ • cr. (Sugerencia: los autovalores de (n • cr)son ±1. ¿Porqué?). (c) El resultado de la parte (b) proporciona los estados espinorales referidos a un eje arbitrario y no al eje z. Suponer un electrón que tiene su espín orientado a lo largo del eje x positivo. ¿Cuál es su función de espín? ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la componente z del espín dé el valor + 1/2? Problema 6. 2ir, (A<¿>) 2 es (a) Debido a que (L,,) = h/i y ya que O finita necesariamente para cualquier estado, explicar cómo es posible tener estados de L¡ = mh definida sin violar el principio de incertidumbre de la ecuación (V-49). (Sugerencia: la ecuación (V-49) se cumple para operadores hermitianos únicamente. ¿Para qué clase de funciones «() , L2 es hermitiano?). (b) Considerar el paquete de ondas,

Demostrar que para cualquier función periódica f() ,

r

Jo

=r J-

(c) ¿Cuál es la probabilidad pm de que una medición de Z,z para el paquete de ondas «() dé como resultado mhl (d) Graneando |«(0)| 2 contra y Lz . Problema 7. Sea Ta el operador de translación, /?¿(/3) el operador de rotación, P el operador de paridad y Pu el operador de intercambio. Determinar cuáles son las parejas que conmutan: (i) T a , r b ; (ii) / ? a ( j 8 ) , / ? A ( y ) ; (iü) RA(p) , R&, (p) ; (iv) P, Ta; (v) P, Pti. ¿Cuál debe de ser la relación entre n y a si Ta y R*n(p) conmutan?

w = l , 0 , — 1,

fi • o-2 x,

y para el estado singulete, Xoo =

Problema 10. Encontrar y 2 hm, y Xj 2 m 2 se dañen las ecuaciones (75) y (76) y donde J = Ji + J 2 - Sugerencia: J 2 = J 1 2 +J 2 2 + 2J1 J 2 Jl

J 2 = 2 ( J l+J 2- "r J l~Jz+ )

i J \¿J 2z-

Problema 11. La función de estado de un electrón es

(a) Demostrar directamente que la componente z del momento angular total del electrón es 1/2 y que el electrón tiene momento angular orbital igual a uno. (b) ¿Cuál es la densidad de probabilidad de encontrar al electrón con espín hacia arriba en r, e, ? ¿Cuál será la probabilidad de encontrarlo con espín hacia abajo? (c) Demostrar que la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en r, O, 0, , independientemente del espín es esféricamente simétrica, o sea, independiente de 6 y de <¿>. Problema 12. Escribir la función de estado más general en el espacio de configuración consistente con las condiciones: (a) Una partícula en una dimensión con momento lineal p definido. (b) Una partícula en una dimensión con momento lineal p de signo no especificado. (cj Una partícula en tres dimensiones con momento lineal vectorial p definido. (d) Una partícula en tres dimensiones con momento lineal de magnitud p sin especificar dirección.


PROBLEMAS

(e) Una partícula con momento angular definido / y m como componente z. (f) Una partícula con momento angular definido / pero con componente z no especificada. (g) Una partícula con momento angular total no definido pero con componente z definida m.

Problema 17. Como el inverso de un operador A se define de la Si! guiente manera,

360

Problema 13. Escribir las constantes de movimiento para cada uno de los casos siguientes (considerar únicamente las variables dinámicas: energía, componentes del momento lineal, componentes del momento angular, el cuadrado del momento angular y paridad): (a) Una partícula libre. (b) Una partícula en un campo central. (c) Una partícula en una caja cúbica. (d) Una partícula en una caja esférica, (e) Una partícula en una caja cilindrica cuyo eje está orientado a lo largo del eje z. (f) Una partícula en una caja de forma irregular. (g) Una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme en la dirección z. (h) Una partícula cargada en un campo eléctrico variable en el tiempo pero espacialmente uniforme y en la dirección z. Problema 14. (a) Demostrar que un operador A que conmute con Lx y Lv también conmuta con L2. (b) Suponer que A conmute con Lx2 y conLy2 . ¿Se puede llegar a conclusiones análogas respecto a su conmutador con L 2 ?

reducir a formas lineales las expresiones siguientes: (a) o-x-' (b) (2 +
r y r' sólo son diferentes etiquetas de coordenadas para el mismo punto físico en el espacio como se muestra en la Figura 4. Sea «/<(r, t) la función de estado en S y
Problema 15. (a) Sea A un operador vectorial independiente del espín. Demostrar que, (a- • \)2 = A2 + i
(b) Tomando ñ como un vector unitario arbitrario y
sn

Problema 16. El operador más general dependiente del espín un medio es lineal en el espín. Convertir los siguientes operadores a funciones lineales (a) ( l + o - x ) " 2 (b) ( l + o - x + (d) ( l + < r x ) « (c) (
Figura 4. Transformación de coordenadas que corresponde a un cambio de origen. Las coordenadas de P son, r en S y r 'en 5".

362


PROBLEMAS

transformación puede inducirse por el operador de translación Ta de la ecuación (47) de acuerdo con

blema 19 y, por lo tanto, es indiferente que se translade el sistema físico respecto al origen o que se translade el origen (en sentido opuesto) respecto al sistema físico.

y que, como debe de ser (¿por qué?),

Problema 21. Demostrar que el operador que induce una translación Po en el espacio de momentos es

(«Mr, í)M«Mr, í) } = <«K(r', t) |r' + a|^'(r', /) ). Además, demostrar que p' = p y que |4>'( P , / ) | 2 = | < H P , /)| 2 . ( ¿por qué?). ¿Es $ ' (p, O =
r=r

a.

Como se ilustra en la Figura 5, en contraste con el cambio de origen discutido en el Problema 19, cada punto en el espacio retiene su eti-

7PO = i-'»"/».

(94) 13

Problema 22. Considerar una transformación de Galilea entre el sistema S y el sistema de coordenadas S' que se mueven con velocidad relativa constante v. Clásicamente, r'=r-v/ (95a) p = p- m\,

(95b)

y la forma de las ecuaciones de movimiento clásicas es exactamente la misma al expresarlas en cualquier de las coordenadas. Ningún sistema de coordenadas tiene preferencia y, por lo tanto, el concepto de reposo absoluto no tiene significado en un sistema que cumple con la mecánica de Newton. El mismo resultado es válido en la mecánica cuántica (¿por qué?). ¿Cómo se puede demostrar este hecho? Sea t/»(r, /) la función de estado en S y sea i//'(r', t) la función de estado correspondiente en 5 ' . Entonces, si ty es una solución de la ecuación de Schródinger

se tienen que satisfacer las condiciones siguientes: (i) i//' (/•' , t) es solución de la ecuación, -£-Vr'2+K(r' + vOU'

=

c — ~l Tdt +

, (9'6)

en donde se ha permitido la posibilidad de que haya una constante aditiva en la energía c, que no puede eliminarse porque es indetectable y, por lo tanto, no tiene consecuencias físicas. (ii) El valor de expectación de cualquier función de las coordenadas se tiene que transformar según la ecuación (95a), Figura 5. Transformación de r'a r, para un sistema físico aislado que corresponde a una translación uniforme a respecto a su origen fijo.

queta en esta transformación. Sea t/»' (r', t) la función de estado antes de aplicarse la translación y i//(r, t) la función después de la transformación. Demostrar que se cumplen todas las conclusiones del Pro-

, OI/(r)| = (97) (iii)' El valor de expectación de cualquier función del momento se tiene que transformar según la ecuación (95b), n

Un tratamiento detallado, desde un punto de vista diferente al desarrollado aquí, se encuentra en la Referencia [29], pp. 174-177. Ver también las Referencias [21], [22] y [28].

364

PROBLEMAS

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN r',f)>.

(98)

365

(A ,B) es un número a , entonces exp [/I + Bl = exp A exp B exp (— i a). Usando este resultado demostrar que,

(a) Debido a la ecuación (95a), se podría escribir i/»' (r', í) = exp -

Sin embargo, demostrar que esta expresión no satisface ninguna de las condiciones (i) o (iii), ecuaciones (96) y (98). (b) Para saber cuál es el error en la ecuación (99), hay que observar que corresponde a la expresión,
o sea que
(100)

Demostrar que esta expresión sí satisface las tres condiciones y calcular la constante aditiva en la energía. (c) Las translaciones en el espacio de momentos y en el espacio de configuración no conmutan. Demostrar que si el par de transformaciones que llevan a la ecuación (100) se aplican en orden inverso, la nueva función satisface las tres condiciones, pero se altera la constante en la energía. (d) Ni (b) ni (c) son totalmente satisfactorias, pues cada una impone un orden arbitrario y antinatural de las dos translaciones simultáneas e inseparables que forman la translación de Galileo de la ecuación (95). Para resolver este problema se considera la transformación total formada por una secuencia de transformaciones infinitesimales generadas por incrementos en la velocidad Sv. Demostrar que transformaciones infinitesimales en el espacio de configuración y en el de momentos son conmutativas. Integrando estas transformaciones infinitesimales combinadas, demostrar que se obtiene la transformación combinada simultánea y simétrica =

e-«v.(»r.-pí,«^(r,tf)-

(101)

(e) Para calcular (101) usar el siguiente teorema que se enuncia sin demostración.14 Si A y B son dos operadores y su conmutador 14

La demostración se encuentra en la Referencia (29), p. 145.

(r' + *'< O , (102)

y que la constante aditiva en la energía es cero. (f) Demostrar que, para un sistema de partículas, la transformación de Galileo será la que se ha encontrado con m sustituida por la masa total del sistema y r y p sustituidas por las variables dinámicas del centro de masa R y P . (g) En un sistema aislado, cuyo centro de masa se mueve como partícula libre, examinar la forma particular que toma la función de estado para las transformaciones discutidas anteriormente. Problema 23. Un átomo de hidrógeno en su estado base se mueve con velocidad v a lo largo del eje z en el sistema de coordenadas del laboratorio. Si repentinamente el protón se deja en reposo por algún tipo de colisión, calcular la probabilidad de que el átomo de hidrógeno permanezca en su estado base. (Por sencillez, tomar la masa del electrón despreciable respecto a la masa del' protón). Usar los resultados del Problema 22 para obtener el estado inicial del sistema.

367

EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA

—e

XI

Figura 1. Sistema de coordenadas para un átomo tipo helio.

Algunas aplicaciones y otras generalizaciones

perturbación y más adelante se usará el método variacional de Rayleigh-Ritz para obtener un resultado mejor. Al despreciar la interacción electrón-electrón, el hamiltoniano no perturbado es separable y, por lo tanto, la función de onda del estado base es el producto de funciones de onda hidrogénicas. Entonces, se tiene que, (2) donde, (3)

1. EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA El estudio de átomos del tipo helio, proporciona un ejemplo excelente de la aplicación de las técnicas y de las ideas de la mecánica cuántica. Un átomo del tipo helio es un sistema que consiste de dos electrones interaccionando con un núcleo de carga Ze. Para simplificar, se despreciará el movimiento del núcleo, o sea se considera al núcleo como si tuviera masa infinita. Para empezar, también se despreciarán todas las interacciones que dependan del espín. Entonces, el sistema se reduce a un par de electrones moviéndose en el potencial culombiano del núcleo e interaccionando electrostáticamente entre sí. Suponiendo el núcleo en el origen, el hamiltoniano será, 1m

2m

(1)

donde r, y r2 son las coordenadas de los dos electrones, como se indica en la Figura 1, y PI y p2 son los momentos respectivos. El último término en la expresión para H, que describe la interacción electrón-electrón, es el responsable por las complicaciones del problema. Aunque los efectos de este término decrecen al crecer Z, en general, no es pequeño. Sin embargo, se comenzará por tratarlo como una

con a0 el radio de Bohr. La energía no perturbada del estado base es el doble de la energía hidrogénica del estado base, &0 = ~2

ZV

(4)

¿•"O

y la corrección a primer orden de la energía, AE0 > será, - r2

(5)

Esta expresión se reconoce como la energía de interacción de dos distribuciones de carga superpuestas, esféricamente simétricas y cuya densidad de carga es P = e i
368

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

369


El valor del factor numérico en la expresión para A£0 se puede obtener usando técnicas electrostáticas elementales. Un procedimiento más general sería hacer uso de un desarrollo muy familiar en la teoría del potencial y que no se demostrará aquí. Este desarrollo es,

que, naturalmente, se reduce a la ecuación (7) para Z' qué?). Haciendo dE0/dZ' igual a cero se obtiene que,

= Z (¿por (9)

Z' = Z-5/16, donde

0),

í=o '

_5_y e^_ 16J fl0'

(6)

y—'V

e),

donde e es el ángulo entre r, y r2 : contribuye únicamente el término esféricamente simétrico (/ = 0) debido a la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, y la integral que resulta no es difícil de calcular. Por cualquier método la energía será,

(10)

que es más bajo que el resultado de la teoría de perturbación a primer orden, ecuación (7), y por consiguiente más exacto. Este resultado es exactamente el resultado que se obtendría si cada electrón se moviera independientemente en el campo de un núcleo de carga (Z — 5/16)e. Los resultados variacionales también aparecen en la Tabla I y son muy cercanos a los valores observados. Energías del estado base (eV)

de modo que el factor numérico por el cual hay que multiplicar la estimación anterior es 5/8. La expresión a primer orden para la energía será, 2

Z V | 5 Ze On 8 an

^

e,-Z'rlat,

« '>=-£( 2zz '- z ' 2 - 5 -f)'

+

++

Be B +++ c ++++

No perturbado

Primer orden

Variacional

Experimental

108.24

74.42

77.09

78.62

243.54

192.80

195.47

197.14

432.96

365.31

367.98

369.96

676.50

591.94

594.6

594.6

974.16

872.69

875.4

876.2

Tabla I. Energías de ligadura observadas y calculadas para átomos tipo helio (según Pauling y Wilson, Referencia [20]).

Ahora se presenta el problema mucho más difícil de tratar los estados excitados de los átomos tipo helio, que se discutirá solamente con la teoría de perturbación. Del resultado no perturbado se concluye que, excepto para estados excitados muy altos, nada más se necesita considerar el caso en el cual un electrón permanece en su estado más bajo (¿por qué?). Un estado no perturbado, simetrizado y no muy excitado tiene la forma ?nlm (r,,r 2 )

= =

(11)

(8)

y análogamente para el segundo. Después de un cálculo largo pero directo, se obtiene

£ (z

He Li

(7)

Este resultado y la energía no perturbada se dan en la Tabla I para los elementos desde el helio (Z = 2) hasta el carbono (Z = 6) cuatro veces ionizado. Las energías observadas también se encuentran en la Tabla I, de lo cual se concluye que los resultados son muy buenos considerando las aproximaciones hechas. • Este cálculo se puede mejorar mucho si se usa el método variacional. Un error fundamental en el cálculo de la teoría de perturbación a primer orden es debido a que ninguno de los electrones se mueve en el campo del núcleo exclusivamente, sino que cada uno está escudado en cierta forma por el otro. Este hecho se puede tomar en cuenta aproximadamente suponiendo como función de prueba para cada electrón una función de onda hidrogénica apropiada a un núcleo de carga Z' e en lugar de Ze, y determinando Z'por variaciones. Entonces, se tiene que para el primer electrón, «Ptrial = 77= V 7T

Elemento

donde se etiquetan los estados por los números cuánticos sólo del electrón, ya que son los únicos que cambian de un estado a otro. Como el estado base del electrón no tiene momento angular orbital, el momento angular orbital del estado n;m es / y su componente z es m. Para el harniltoniano independiente del espín que se está conside-

370



rando, el momento angular orbital total y su componente z, son constantes de movimiento exactas. Entonces, la clasificación de los estados será exacta dentro de esta aproximación independiente del espín, aunque las estimaciones de las energías sean poco exactas. Como los estados áe I y m diferentes no están acoplados por la perturbación, la corrección a primer orden de la energía de los estados de la ecuación (11) se pueden calcular usando la teoría de perturbación no degenerada. De los resultados del Capítulo VIII se sabe que, a este orden, las energías perturbadas tienen la forma

por la simetría, presentándose de esta manera a condición de que Jf tenga el mismo signo que /. Entonces, los estados triplete se encuen* tran más abajo que los estados singulete correspondientes, lo cual el un ejemplo de una regla general conocida como regla de Hund, (¡U€ dice que los estados de espín más alto son los estados que se encutntran más bajos. Juntando todas estas conclusiones, se pueden exhibir las características principales del espectro de helio. Esquemáticamente se exhiben en la Figura 2. En esta figura, se tiene la configuración no perturbada con la designación espectroscópica común de los estados 2S+1 Lj y la configuración electrónica.

(12)

En¡=

independientes de m y donde el signo positivo se refiere a estados simétricos y el signo negativo a estados antisimétricos. La energía de Coulomb Jnl es \s2p\s2s-

r, — r»

i— \ ¡ J J

''So =

y Knl , la energía de intercambio está expresada como, rí d3r2.

Estas integrales no se calcularán aquí. Evidentemente cada una es precisamente la cantidad familiar Ze 2 /a 0 , excepto por factores numéricos que decrecen al crecer n. Finalmente, para completar la descripción es necesario incluir el espín. Ya que los electrones son partículas idénticas de espín un medio, satisfacen el principio de exclusión. Entonces, los estados espaciales simétricos deben de estar multiplicados por estados espinoriales antisimétricos o singuletes, y los estados espaciales antisimétricos multiplicados por estados espinoriales simétricos o tripletes. Como consecuencia, el espín de cualquiera de los electrones puede alterarse, invirtiéndose al ocurrir una transición entre cualquier estado de la serie singulete y cualquiera de la serie triplete, llamándoseles de esta manera a este conjunto de estados. Casi nunca se presenta este tipo de transición bajo condiciones normales, por lo cual estas series son prácticamente independientes. Históricamente tuvieron origen diferente, por lo cual tuvieron nombres diferentes, llamando para-helio a los estados singulete y orto-helio a los estados triplete. Aunque no se ha intentado calcular las integrales J y K, se nota que / es claramente positiva y K también tiene que ser positiva. Esto último se sigue de que la interacción electrostática media de los electrones en el estado espacial antisimétrico, tiene que ser menor que en los estados espaciales simétricos debido a las correlaciones impuestas

\s2p\s2s-

V

Eti = £21 + Ji\ — 'Al.=

v= ^20

S20 + -^20

~99§

=

'S, S20 ~t~ «*20 — ^2Í

Estados triplete (ortohelio)

Estados singulete (parahelio) Figura 2. Espectro del helio.

'

La diferencia en el signo de la contribución a la energía de intercambio Kní para los estados triplete y singulete, se pueden expresa* en una forma interesante y sugestiva. Recordando que crt •
porque el factor entre paréntesis es +1 para los estados triplete y -1 para los estados singulete. En este sentido, la energía depende explícitamente de los espines relativos de los electrones aunque el haníiltoniano no contenga el espín. Debido a que los electrones tienen un momento magnético alineado con el espín, se tienen aquí las bases del ferromagnetismo, incluyendo la naturaleza exclusivamente electrostática de las fuerzas responsables de él.

372


Hasta ahora se han despreciado todas las interacciones dependientes del espín, en particular la interacción espín-órbita que es la dominante. Cuando se incluye este término en el hamiltoniano, resultan las modificaciones siguientes: (1) L?,LZ,S2, S,. ya no son constantes de movimiento exactas, aunque J2 y Jz sí lo son. Entonces, los estados no sólo son estados singulete y triplete exclusivamente, sino que ocurren transiciones débiles (aproximadamente) entre la serie "singulete" y "triplete". Se llaman líneas de intercombinación. (2) Para una / dada, los estados "triplete" se desdoblan en tres componentes j—l+ 1, /, / — 1. Aunque esta clasificación de estados es aproximada, la interacción espín-órbita es débil, el desdoblamiento es pequeño y la aproximación es buena. Esta sección se puede concluir con algunas observaciones breves acerca de la tabla periódica.1 Se considerará la descripción de un átomo en la aproximación de partícula independiente, donde se supone que cada electrón se mueve en el potencial culombiano del núcleo y en el campo electrostático promedio de los demás electrones. Además se supone que este campo promedio es esféricamente simétrico. Si se desprecian las fuerzas de espín-órbita, se puede asignar a cada electrón un número cuántico principal n y números cuánticos de momento angular / y m, en analogía con los estados hidrogénicos. Naturalmente que la energía no depende de m, pero cada nivel caracterizado por una /, tiene degeneración (21 + 1). Además, si se toman en cuenta las dos orientaciones posibles del espín del electrón, la degeneración total es 2(21 + 1). Para estados hidrogénicos, la energía depende solamente de n y no de /, siendo una consecuencia de las propiedades especiales del potencial culombiano. Pero la interacción electrostática promedio entre los electrones altera la dependencia radial de la energía potencial en la cual se mueve cada electrón, e introduce una dependencia de /. Específicamente, los estados de menor I para una cierta n tienen la energía más baja. Esta conclusión se obtiene de que al disminuir el momento angular, la barrera centrífuga es menos efectiva y aumenta la probabilidad de encontrar al electrón cerca del núcleo donde el potencial nuclear culombiano es fuerte además de ser atractivo. La energía de los estados para una n y / dadas depende de la carga nuclear Ze, y gradualmente disminuyen cuando Z crece de un elemento al siguiente. El estado base de un elemento es aquél en el cual los Z electrones ocupan el conjunto de estados de partícula independiente más bajo 1 Para un tratamiento detallado ver J. C. Slater, Quantum Theory of Atomic Structure, Vols. 1 y 2, McGraw-Hill (1960). Para una discusión elemental ver, G. P. Harnwell y W. E. Stephens, AtomicPhysíes, McGraw-Hill (1955).


3?|

posible que sea consistente con el principio de exclusión de Pauli. En general, los estados se ocupan en orden creciente de n y en orden erecíente de / para cada n. Un estado de n y / dadas, contiene 2(21 + I ) electrones, cada uno con la misma energía. Estos estados se llaman capas y los electrones en la misma capa se llaman electrones equivalentes. Las configuraciones de los estados base de los átomos, se pueden obtener en gran medida del ordenamiento de estas capas según la energía. Si se usa la notación espectroscópica común, en la cual el número cuántico principal tiene su valor numérico y / se denota por una letra, el orden de los estados observados empíricamente será ls, 2s, 2p, 3s p, [4s, 3d] , 4p, [5s , 4d] , 5p, [6s,4f,5d],6p,

[ls,5f,6d].

Ya se ha mencionado que estos estados aparecen en orden creciente de n y /. Sin embargo, para valores más grandes de /, el incremento de la energía con / es más pequeño que el incremento con n, y los estados aparecen en orden inverso. Por ejemplo, las capas 5s(n = 5, / = 0) y 5p(n = 5,1 = 1) tienen energías más bajas que la capa 4f (n =4,1 = 3). Análogamente, las capas 6s y 6p tienen energías menores que 5/. Los paréntesis encierran capas donde esta compensación es casi exacta, de modo que dos o más capas tienen casi la misma energía. La forma de ocupar estos estados es bastante complicada pues hay que tomar en cuenta la importancia relativa de las capas. La ocupación de la capa 3d es responsable por los primeros elementos de transición, o sea, el grupo del hierro, y la ocupación de la capa 4d produce el grupo del paladio. Al ocupar los catorce estados 4/se obtienen las tierras raras y la de los estados 5/ el grupo del actinio. La configuración electrónica del estado base de un átomo se especifica por el número de electrones en cada capa que, convencionalmente, se pone como índice superior en la designación de la capa. Entonces, usando el orden de las capas mencionado, se pueden escribir los ejemplos siguientes: Z=l,

H : Is

Z = 2,

He: lí 2

Z = 3,

Li : \s22s

Z = 4,

Be : Is 2 2í 2

Z = 5,

B : Is22s22p

374


Z=ll,

Na:

Z = 36,

Kr :

Para el último ejemplo se tendría que Kr tiene dos electrones en su capa Is, dos en su capa 2s, 6 en su capa 2p, y así hasta tener 6 en su capa 4p. Esta notación es redundante puesto que la ocupación de las capas no se necesita escribir explícitamente; únicamente se necesita aclarar la ocupación parcial en la última capa para especificar la configuración. Por ello se usa la abreviación 3s para el Na, 4p6 para el Kr, 5d10 para el Hg (Z = 80), 5s4d8 para el Rh (Z = 45) o 5s°4d10 para el Pd (Z = 46) . Este último ejemplo ilustra la naturaleza complicada y la importancia relativa entre los estados 5s y 4d en el grupo del Pd. Las propiedades químicas de los átomos están determinadas principalmente por los electrones menos ligados o electrones de valencia. Los factores dominantes son el número de estos electrones y el intervalo de energía a la siguiente capa no ocupada. Esta periodicidad en la aparición de las capas produce una repetición de las propiedades químicas y por lo tanto es responsable por el carácter periódico de la tabla de los elementos. 2. TEORÍA DE LA DISPERSIÓN En la discusión de los estados estacionarios que caracterizan al movimiento de un par de partículas interaccionando mediante un potencial y ( r ) , únicamente se mencionaron estados discretos y ligados. A continuación se considerarán estados en el continuo, para lo cual se supondrá que F(r) se anula en infinito con suficiente rapidez para que se cumpla que l i m r F ( r ) = 0,

I»'

TEORÍA DE LA DISPERSIÓN

(14)

Ambas intervienen en la descripción de los estados que se buscan si estos estados tienen significado físico. Para poder entender el significado físico del problema, es necesario volver por un momento a una descripción independiente del tiempo. Se toma un paquete de ondas en el cual las partículas se encuentran muy separadas inicialmente, y se aproximan con momento relativo promedio p. Al transcurrir el tiempo, las partículas se aproximan, interaccionan y se separan en diferentes direcciones pero con la misma magnitud del momento relativo promedio, si la energía se conserva. Si el paquete resulta lo suficientemente ancho, la extensión en energía puede hacerse infinitesimal. Además, el tiempo necesario para que el paquete de ondas complete su interacción con el potencial resulta mayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas infinitamente ancho, el momento y la energía se pueden definir con precisión y los paquetes de onda incidente y dispersado coexisten en el tiempo. En este límite, que corresponde a una descripción estacionaria, la onda incidente <í»¡nc resulta ser un autoestado del momento lineal, ifrtac = *"""* = «""', 03) donde se ha usado el vector de onda k = p/ft . Por otra parte, la onda dispersada i/>sc, que sale de la vecindad del origen, en donde ha ocurrido la interacción que la produce, tendrá la forma de una onda esférica viajera saliente. Entonces, a grandes distancias, cuando r tiende a infinito a lo largo de una dirección ñ, se tiene que p iprlft

p ikr

(16)

donde ñ es un vector unitario a lo largo de la dirección del radio vector r. Juntando las ecuaciones (15) y (16), el campo completo para r grande tiene la forma, pikr

con lo cual existirán estados continuos para todas las energías, E =* 0. Hay que notar que la condición (14) elimina el potencial culombiano. Más adelante se examinará este caso especial. Como consecuencia inmediata de la ecuación (14) se obtiene que para valores grandes de r el potencial F(r) resulta despreciable y la ecuación de Schródinger se reduce a la de una partícula libre. Entonces, la función de estado para r grande se compone de estados de partícula libre. En el Capítulo IX se obtuvieron dos descripciones de estos estados, una en términos de autofunciones del momento lineal y otra, en términos de autofunciones del momento angular orbital.

•Mñ,r) ~el*"r+f(h) —-

(17)

Las coordenadas usadas en esta expresión se muestran en la Figura 3, que también exhibe la onda plana incidente y la onda esférica dispersada. El lenguaje del análisis subsecuente se simplificará considerablemente si se supone que una de las partículas tiene masa infinita y se encuentra en reposo. A esta partícula se le llama la partícula blanco. Entonces, los estados describen a una sola partícula incidiendo sobre una partícula blanco y dispersada por ésta. Se supondrá que el problema se presenta de esta manera.

376


Onda incidente


como daldíl, se llama sección eficaz diferencial, o bien, simplemente sección diferencial.2 i La razón para llamar a estas probabilidades relativas "seccionei eficaces" o simplemente "secciones" es la siguiente. Si se piensa en el flujo de probabilidad uniforme jlnc de la onda incidente, entonces d
~\ Región de interacción^

x: Onda dispersada

Figura 3. Las ondas incidente y dispersada de la ecuación (17)

La cantidad /(ñ) se llama amplitud de dispersión. Es la amplitud de probabilidad de que la partícula incidente emerja a lo largo de la dirección ñ como resultado de la colisión. Para expresar esta idea en forma más cuantitativa, se nota que el flujo de probabilidad de la onda incidente normalizado a la unidad es, = --

Usando la misma normalización, el flujo de probabilidad de la onda esférica saliente es, m

m

Pero, la probabilidad por segundo de que la partícula atraviese el elemento de superficie dS después de la colisión es jsc' dS • Si dS se encuentra a una distancia r del origen, entonces js

ya que ñ • dS = r2d£l, donde díl es el ángulo sólido subtendido en el origen por dS. Finalmente, la probabilidad da- relativa de que la partícula emerja en el ángulo sólido dti será dS IJinc

(18)

La cantidad da tiene dimensiones de área y se llama la sección eficaz diferencial para la dispersión en el elemento de ángulo sólido dfl en n. La cantidad |/(ñ)| 2 , que simbólicamente se puede escribir

= JN\f(ñ)\2díl,

(19)

de donde cada partícula blanco tiene un área efectiva da- para interceptar una partícula incidente y dispersarla en dfl . La cantidad dN es una cantidad que se observa experimentalmente y la observación de secciones y su dependencia de la energía y dirección es la principal fuente de información sobre las interacciones entre partículas elementales. No es mucha la información pues lo que se puede concluir acerca de las interacciones se obtiene a partir de las secciones observadas. En la mayor parte de la discusión anterior se ha tratado la partícula blanco como si tuviera masa infinita, pero no se presentan dificultades serias si la masa de la partícula blanco se toma en cuenta. Se pueden aplicar todos los resultados obtenidos hasta ahora pero teniendo en cuanta que las ecuaciones se refieren a las coordenadas del centro de masa y no a las coordenadas del laboratorio. Falta proporcionar un método para calcular amplitudes de dispersión y secciones, pero restringiendo la atención a potenciales esféricamente simétricos y considerando estados de momento angular defini2 Es instructivo comparar esta descripción cuántica de las ondas de probabilidad incidentes y dispersadas, con la descripción clásica en términos de trayectorias. Hay que recordar que U sección clásica se define como el número de partículas desviadas en dfl por unidad de tiempo y por unidad de flujo incidente, en completa analogía con la definición cuántica. También se puede recordar que para un potencial esféricamente simétrico, el ángulo de desviación de una partícula clasica de energía dada depende solamente de\rparámetro de impacto y por lo>tanto, únicamente de su momento angular. Entonces; el análisis clásico se hace tomando estados de momento angular definido. Como se vera en un momento, el análisis cuántico de tales potenciales también se trata de la misma manera aunque se pierde la relación precisa y directa entre el momento angular y los ángulos de desviación. Una presentación detallada de la teoría de la dispersión clásica se encuentra en la Referencia [ 15]; el tema también se trata más brebemente en la Referencia [14].

378



do /. Entonces, la parte radial de la función de onda R E, satisface la ecuación (IX-49),

(ver, por ejemplo Referencia [24] ). Con este resultado se que,

(20)

2m r* dr

donde

Si V(r)fuera cero, estas funciones radiales serían las funciones j,(kr) de la partícula libre que, de acuerdo con la ecuación (IX-63), parar grande toman la forma

=

I E V4ir(2/+ I) e'6' sin 8, í?(0)

(22) (21+ 1) eis' sin d,P,(e) .

Mkr)

sen(kr — /7T/2) kr

Ya que V(r) resulta despreciable para r grande, la presencia del potencial no puede alterar la forma funcional pero sí podría alterar la fase de la función senoidal. Entonces se tiene que, (21)

La cantidad 8, = 8, (E) se llama el desfasamiento de la onda parcial l-ésima. Se puede calcular resolviendo la ecuación radial para REI y examinando la forma asintótica de la solución para r grande. Una vez determinadas las 8( , el propósito final es el de expresar la amplitud de dispersión y la sección en términos de los desfasamientos. Esta expresión se logra formando la superposición de ondas parciales

Para una energía determinada E, la amplitud de dispersión depende únicamente del ángulo entre la dirección incidente y la dirección de dispersión, y está completamente determinada una vez conocidos los desfasamientos 8, . Las magnitudes de 8, están relacionadas con la intensidad del potencial de interacción en forma bastante complicada. Pero si no existe interacción, con lo cual las partículas se mueven libremente, por definición se anulan los desfasamientos y se observa que la amplitud de dispersión y la sección también se anulan. La sección diferencial da mide la probabilidad de que una partícula sea dispersada hacia un ángulo sólido infinitesimal dfl . También es de interés considerar la sección total a , que mide la probabilidad de que una partícula sea dispersada en cualquier elemento de ángulo sólido. De la definición se obtiene que, - = J ^ dfl =

\f(0) |2 díl =

\f(0) |2 sin 6 de d<¡>

(23)

y haciendo uso de la primera forma de la ecuación (22) y de la ortonormalidad de Y¡ (e) se obtiene que, y escogiendo los coeficientes Clm de tal manera que tenga la forma de la ecuación (17) cuando r resulte muy grande. Si se escoge el eje z a lo largo de la dirección de incidencia, el término que corresponde a la onda plana incidente en la ecuación (17) se puede expresar en términos de ondas esféricas usando la ecuación (IX-68) como, e11" = eikr cos * = ¿ /' (21 + 1 )j t (kr) P, (eos e) , ¡=o

de donde no es muy difícil demostrar que, C,m = O = V 4 7 r ( 2 / + l ) e*',

m

*O

m=0.

477

(24) 1=0

El hecho de que exista una probabilidad definida, proporcional a la sección total o-, para que una partícula se disperse en cualquier dirección, significa que el flujo de probabilidad decrece a lo largo de la dirección de incidencia para que la probabilidad se conserve. Este decrecimiento se logra mediante la interferencia entre la función de estado incidente y la amplitud de dispersión en la dirección hacia adelante. ' Este argumento implica la existencia de una relación general entre la sección total y la amplitud de dispersión hacia adelante. Para establecer esta relación es necesario examinar la amplitud de dispersión hacia adelante f(B = 0). Recordando que para toda /,

380



de la ecuación (22) se obtiene que, (21+ 1) ei8'sen8,

0) =T

(21+ l)sen 2 8,.

cos (=0

1=0

Como el segundo término es proporcional a la sección total, la relación que se busca se puede expresar en la forma v = ~r~ Im/(0 = 0).

(25)

Entonces, se puede decir que la sección total a es iguala 4n dividido entre el número onda reducido k por la parte imaginaria de la amplitud de dispersión en la dirección hacia adelante. Este importante resultado se conoce como el teorema óptico o como el teorema de la sección. Este resultado expresa el requisito de la conservación de la probabilidad de que la amplitud de dispersión de la onda incidente se reduce en proporción a la probabilidad total de que la partícula se disperse en cualquier dirección. Es oportuno señalar que el resultado es mucho más general de lo que el método de obtención hace suponer; es válido para potenciales arbitrarios, esféricos o no, y para procesos de dispersión arbitrarios. En las expresiones que se han obtenido para la amplitud de dispersión y para la sección, intervienen sumas sobre los desfasamientos de las ondas parciales. Cuestiones sobre la convergencia de estas series infinitas merecen cierta atención en este momento. La importancia de la barrera centrífuga en mantener las partículas separadas juega el papel dominante en estas consideraciones. Para valores de / suficientemente grandes, las partículas no se aproximan lo suficiente como para interaccionar y los desfasamientos que corresponden a tales valores de / tienen que anularse. Para hacerlo algo más cuantitativo, la distancia de aproximación mínimo rc entre dos partículas con energía relativa E y momento angular relativo / es el lugar donde, aproximadamente, la altura de la barrera centrífuga es igual a la energía total E,

1(1+ Si se desprecia el uno respecto a simple,

= E.

Si el alcance efectivo de la interacción es R, se espera que 8( reiultt muy pequeña cuando / exceda apreciablemente a /max ™ kR, porque las partículas no se acercarían lo suficiente comp para que haya interacción. Entonces, el número de términos que contribuyen a la suma sobre los desfasamientos de las ondas parciales es del orden de kR, lo cual significa que para altas energías, cuando kR > 1, participan muchos desfasamientos en la sección y resulta una función que varía rápidamente con el ángulo. Sin embargo, a energías bajas kR <§ 1, solamente el desfasamiento de la onda S1 o / = O difiere apreciablemente de cero y la dispersión es isotrópica. Esta sección se concluirá con algunas observaciones sobre el caso particular del potencial culombiano que viola la ecuación (14). Por ello, los estados del continuo no se reducen a la ecuación (17) para r grande y resultan más complicados. Analizando el problema se pueden encontrar la amplitud de dispersión y la sección. Si se usan coordenadas parabólicas se puede obtener una solución completa y exacta y la amplitud de dispersión se puede escribir en forma cerrada, siendo el único caso conocidopara el cual se puede hacer. Específicamente, se encuentra que si dos partículas de masa reducida m, con cargas Z¡e y Z2e respectivamente, inciden una sobre otra con momento relativo ftfc, la amplitud para la dispersión de Coulomb por un ángulo 6 respecto a la dirección incidente es

fc (e) =

exp

~/

0I2) + 2//3]

'

(26)

donde el parámetro culombiano r\ es T) = ZlZ2e2mlh2k y donde el factor de fase /3 es tal que, La función Y se llama función gama3 y es una generalización de la función factorial, y está definida como = í" e-*x" dx. Jo Jo

Cuando v es un entero se puede comprobar fácilmente que F(v + l)=v!. El parámetro culombiano 17 se expresa frecuentemente en términos de la velocidad relativa v de las partículas,

se obtiene una expresión más 3

Por ejemplo, ver la Referencia [8] .

382


FUNCIONES DE CREEN; APROXIMACIÓN DE BORN

donde la constante de la estructura fina a que no tiene dimensiones es,

a = ir he = 1/137. Cabe señalar que la expresión que se ha dado para la amplitud de dispersión culombiana es la que corresponde a la interacción repulsiva entre dos cargas similares. Para dos cargas de signos opuestos T? cambia de signo, lo cual significa que fc se substituye por el negativo de su complejo conjutado. La sección diferencial para dispersión culombiana se obtiene en la forma usual a partir de la amplitud de dispersión y está dada por — dfl

2

4

4k sin 6¡2

4

sin 0/2

Esta expresión concuerda exactamente con el-resultado clásico para la dispersión de cargas puntuales, obtenido por Rutherford en 1911, y llamada la sección de Rutherford. No se puede dar ninguna explicación de esta correspondencia única entre la sección clásica y cuántica. Sin embergo, es importante observar que esta correspondencia ocurre debido a que la magnitud de la amplitud de dispersión no contiene a h y tampoco la contiene dcr/díl y como consecuencia asume el valor clásico. Pero la fase de la amplitud de dispersión es una cantidad cuántica exclusivamente, por lo cual cualquier proceso que dependa de esta fase exhibirá efectos cuánticos. Un ejemplo importante e interesante de este hecho es la dispersión de partículas idénticas. Si dos partículas interaccionan y una de ellas emerge a un ángulo O en el sistema de coordenadas del centro de masa, la otra emergerá a un ángulo ir — 8. Si la primera emerge a un ángulo ir — 9, la segunda emergerá a un ángulo e. Si las partículas son idénticas, estas dos posibilidades no se pueden distinguir de ninguna manera. Clásicamente,, las secciones de ambos procesos tienen que sumarse y el resultado clásico para partículas idénticas es dcr\

_ da(6) dfl

da-(ir —6) dü

Cuánticamente se tienen que combinar las amplitudes de dispersión y no las secciones, con el signo relativo determinado por la simetría de las funciones de estado. Para partículas sin espín por ejemplo, partículas (a) la función de onda total tiene que ser simétrica, por lo que las amplitudes de dispersión se suman con el mismo signo,

Para partículas de espín un medio (por ejemplo electrones o pf nes), la función de onda tiene que ser antisimétrica en las coordt das espaciales y espinoriales juntas. El estado simétrico espacial combina con el estado espinorial de singulete y el estado antisinÉ§< trico espacial se combina con el estado espinorial de triplete. El pfi¿ mero tiene peso estadístico uno y el último lo tiene igual a tres. tonces, para partículas de espín un medio no polarizadas,

T - 0)|2 +

-/(ir- 0)| 2 -

En ambos casos los resultados contienen términos de interferencia que dependen de la fase relativa de la amplitud de dispersión en 6 y en ir — 0 , y los cuales son de estructura cuántica.4 Para dispersión culombiana de partículas idénticas después de substituir fc de la ecuación (26), estas expresiones resultan ser las siguientes: espín cero 2 eos (yin tan2 0/2)1 1 eos4 0/2 sen2 0/2 eos2 0/2 J espín un medio 1 COS(T)/K tan2 0/2) 1 1 d
En la sección anterior se estableció un tratamiento formal de la teoría de la dispersión. Se introdujo la amplitud de dispersión y en términos» de ella se definió una cantidad que se puede medir experimentalmente, la sección. Para el caso especial de potenciales esféri4 Estos efectos no son pequeños. Por ejemplo, a 90° la sección da-/ d(l es dos^ veces el resultado clásico para partículas sin espín y la mitad del resultado clásico para partículas de espín un medio.

384

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACIÓN DE BORN


camente simétricos se estableció un método para calcular esta cantidad, el método de las ondas parciales. El cálculo requiere de la solución del conjunto de ecuaciones radiales (20). Estas ecuaciones son tan complicadas, aún para la interacción más simple, que no se intentó discutir sus propiedades.5 Como resultado, no se pudo presentar una descripción cualitativa del carácter general de los procesos cuánticos de dispersión. En esta sección se corregirá este defecto presentando un método de aproximación introducido por primera vez por Born. La aproximación de Born no es más que teoría de perturbación aplicada a estados continuos y está restringida a interacciones suficientemente débiles.8 A pesar de esto es una guía indispensable para la dispersión y sirve como la norma respecto a la cual todo se refiere. La aproximación de Born se obtendrá mediante dos métodos totalmente diferentes. En el primero se obtiene una ecuación integral exacta para la función de estado mediante la función de Green para la partícula libre. En el segundo método se toma el proceso de dispersión como una transición, inducida por el potencial de interacción entre estados de momentos inicial y final definidos y, así, usar los métodos de la teoría de perturbación dependiente del tiempo. (a) Método de la función de Green.7 Se busca una solución de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo que se escribe en la forma (27)

donde

donde r = ñr La ecuación integral que se obtiene para i/»(r) incorpora estas con* diciones a la frontera al usar la función de Green G (r,r' ) = G (r',r), definida como la onda saliente pura, solución de la ecuación inhomogénea (V 2 + * 2 ) G ( r , r ' ) = - 8 ( r - r ' ) .

En esta expresión 8(r - r')es la función 8 de Dirac, que se puede tomar como el producto de tres funciones 8 en una dimensión, -jc') 8(y - y') S(z-z')

8(r_r') =

y tal que, J8(r-r')dV =

Entonces, la función de Green se puede tomar como la función de onda en el punto r generada por una fuente puntual en r ' . Posponiendo la construcción de G por un momento, se observa que cualquier función ^ que satisfaga la ecuación integral *(r)=eik"-^¡ ™

s En la práctica, estas ecuaciones se resuelven casi exclusivamente por métodos numéricos con la ayuda de computadoras digitales rápidas. Ver Sección 10, Capítulo VI.

* Pero no está restringida a interacciones esféricamente simétricas. Contrasta con el método de las ondas parciales que resulta completamente intratable para interacciones no esféricas, excepto en casos muy especiales. 7

Para una discusión general de la función de Green ver la Referencias [6].a [13].

G(r,r') F(r').Mr')¿V

(29)

Jall space

en una solución de la ecuación de Schródinger (27) que satisface automáticamente las condiciones a la frontera de la ecuación (17). Se obtiene que $ es una solución al operar sobre la ecuación (29) con (^2 + ¿2) Este operador anula el primer término a la derecha y cuando opera sobre G bajo el signo de integración se obtiene la función 8 de Dirac de acuerdo con la ecuación (28). Entonces,

= 2mE/h2

siendo k el número de onda de la partícula libre para la energía E. Se supone que E > O y que rV(r) se anula en infinito de acuerdo con la ecuación (14). La solución que se busca está sujeta a las condiciones a la frontera dadas por la ecuación (17) para r grande, que se repetirán por conveniencia:

(28)

= -^r f

=

G ( r . r ' ) K ( r ' ) ifr(r')

r s ( r - r ' ) V(r')

que es la ecuación (27). La ecuación (17) se satisface porque G contiene sólo ondas salientes en r generadas por una fuente puntual en r' , por lo cual la integral a la derecha de la ecuación (29) es simplemente una superposición de estas ondas salientes y, por lo tanto, toma la forma requerida para r grande. En breve se demostrará este aspecto explícitamente.

386



El siguiente paso es la obtención de G. Se parte de la relación,

Ahora se puede encontrar una expresión para la amplitud do di** persión haciendo tender r = nr a infinito. Bajo estas condiciones, ''

(30) que es la transcripción en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales de la expresión culombiana para el potencial electrostático de una carga puntual. El potencial electrostático generado por una densidad de carga p está dado por la ecuación de Poisson El potencial de una carga puntual de intensidad unidad es l/r y su densidad de carga p es 8(r) ; inmediatamente se obtiene la ecuación (30) ." Si ahora se usa la identidad, 1 pikr £_=
gikr ~'

eik\T-T'\

eik\nr-T<\

,ikr

|r — r ' |

|ñr—r'|

r

en donde se ha desarrollado |r — r'| en una serie de Taylor según

/ i ( r - r ' ) = / i ( r ) - r ' • V/i(r)+ • • - . Entonces, después de substituir este resultado en la ecuación (32) se encuentra que para r grande, m

f e-ikñ-r' e

27rh2)

y(r') ( }

que es de la forma exigida por la ecuación (17). Además, al compararla con esta ecuación, la amplitud de dispersión resulta ser

se obtiene que,

m

aikr

"_ = £ikr

V2

r

v

/(ñ) = - 27T/Í2

i

r tlcr

= -47r8(r) e

= -47r8(r), donde al pasar a la última línea se ha usado la propiedad de la función 8, g(r)S(r) = g(0)8(r) para g(r) arbitraria. Finalmente, corriendo el origen al punto r' se obtiene que,

17^77, y comparando con la ecuación (27) resulta que, ,¡*lr-r'l

G(r,r') = Al substituir esta expresión explícita para la función de Green en la ecuación (29), se obtiene la ecuación integral exacta, m

ik\r-r'\

') dar'.

(33)

donde se ha suprimido el acento sobre las variables de integración. También esta expresión es exacta para cualquier potencial F(r). La aproximación de Born se obtiene inmediatamente si se observa que al ser V(r) lo suficientemente pequeña,19 entonces, el segundo término de la ecuación (32) es una corrección pequeña al término elk'T de la onda incidente. Entonces, se puede resolver la ecuación (32) en forma iterativa, análogamente a lo que se hizo en la teoría perturbativa. La solución a orden cero es la onda incidente, la solución a primer orden se obtiene substituyendo «// en la integral por su expresión a orden cero, la solución a segundo orden se obtiene substituyendo la solución a primer orden, y así sucesivamente. El resultado es una serie en potencias crecientes del potencial de interacción que se supondrá convergente si V es suficientemente pequeño. El proceso no se llevará a cabo más allá del primer paso. Considerando únicamente la expresión para la amplitud de dispersión que se obtiene de la ecuación (33) al substituir ifi(r) por la expresión a orden cero eikr, se encuentra que,

(32) /(A) = -

" Un análisis directo de la ecuación (30) permite evitar el recurrir a la electrostática. El laplaciano de l/r se anula para r ¥= O, lo cual se obtiene llevando a cabo las diferenciaciones directamente. Al integrar la ecuación (30) sobre un volumen infinitesimal que contenga el origen se obtiene - 4:ir para el miembro derecho y se obtiene el mismo resultado para el miembro izquierdo después de aplicar el teorema de Green (ley de Gauss). Ver la Referencia [18], en particular las pp. 543-4.

d3r,

m

(34)

donde se ha introducido la dirección de incidencia A 0 escribiendo k = A0A:. La cantidad &(n 0 — n) = Ak es el cambio en el vector del 9

Más adelante se discutirá el significado de esta condición.

388



número de onda entre la dirección incidente y la dirección de dispersión y, en esta aproximación, la amplitud de dispersión es proporcional a la transformada de Fouríer del potencial con Ak como variable de transformación. La naturaleza cuántica de este resultado es clara; a la dispersión por un ángulo dado contribuye la función potencial en todo punto del espacio y no el potencial a lo largo de una trayectoria localizada, como lo sería en el caso clásico. Es instructivo escribir la ecuación (34) en términos de los momentos en lugar del número de onda. Arreglando los términos se tiene que, /(ñ) = -

m 2-irh*

m '2-rrñ*

donde p(E) es la densidad de estados finales y Vfi es el elemento de matriz entre el estado inicial y un estado final típico.10 En este caso se está tratando con estados en el continuo, no físicos e idealizados, con momento lineal definido y adoptándose el artificio de usar condiciones a la frontera periódica en un cubo de lado L lo que permitirá normalizar correctamente estos estados y calcular su densidad. Con esta convención, los estados de momento lineal se escriben como, (37)

—-— ¿3/2

d3r

(35) V(r)\

donde se ha introducido el momento inicial p¡ y el momento final p/ escribiendo p¡ = ka0 = p0 p/ = ñkñ = pñ

y donde p = V2mE.

Entonces, /(A) es proporcional al elemento de matriz de V entre los estados de momentos inicial y final no perturbados (partícula libre). Por lo tanto la sección diferencial (36)

es proporcional al cuadrado de este elemento de matriz, por lo cual tiene la forma de una probabilidad de transición. A continuación se demostrará que este resultado se puede obtener directamente usando los métodos convencionales de la teoría de perturbación dependiente del tiempo. (b) Método de la Teoría de Perturbación. Ahora se considera el potencial de interacción como una perturbación que induce transiciones entre un estado de momento inicial definido ; p4 y un conjunto denso de estados cuya energía final se conserva, es decir, estados con momento final p, = pñ. Según la regla de oro de la teoría de perturbación dependiente del tiempo, ecuación (VII-37), la rapidez de transición será

que evidentemente están correctamente normalizadas sobre el volumen de periodicidad L3. Entonces, se obtiene inmediatamente que

(38) Si p{ varía lentamente sobre todos los estados finales que conservan energía, no es necesario que Vn varíe lentamente como se supuso al obtener la regla de oro. Dicho de otra manera, el requisito de que Vn represente el elemento de matriz a un estado final típico no tiene significado si se permite que p/ cubra todas las direcciones. Entonces, es necesario restringir p/ a un intervalo infinitesimal de orientaciones en torno a alguna dirección dada ñ , es decir, se tiene que encontrar en un ángulo sólido infinitesimal díl en torno a ñ . Significa que p (E) se interpreta como la densidad de esa fracción particular de estados con energía entre E y E + dE que tienen momento en díl. Para simbolizar este resultado, se puede llamar dp(E) a la densidad relativa y dW a la rapidez de transición, por lo cual, usando la ecuación (38) se obtiene que

dW =

dp(E).

(39)

Debido a que la distribución de los estados de momento lineal para una partícula libre es isotrópica en el espacio de momentos, dp se puede expresar fácilmente en términos de la densidad p de todos los estados; precisamente es p multiplicada por la razón díl entre 4w , o sea

10

El significado preciso de la palabra típico con referencia a los estados finales se aclárala más adelante.

390



De acuerdo con la ecuación (IX-18), (E)=

0 I-'> P\

(2m}3 2

mp 3 ' L*VÉ ^ V C, = -,_2i3L1

/t_2*3

La integración se calcula fácilmente si se escoge el eje polar a lo de (ñ 0 — ñ) como se ilustra en la Figura 4. Llamando cu al ángulo tre (ñ0 — A) y r , se tiene que,

>

**)—*£$ p */;«,.*, i;

entonces,

Por ser el integrando independiente del ángulo azimutal, la integración sobre este ángulo es 2w. La integración sobre m también se pue» de hacer fácilmente dando, m y»R y. r ~

y usando la ecuación (39) se obtiene que,

rllt

=

dü.

»*

/(«) = -

o sea la probabilidad por unidad de tiempo para una transición del estado inicial a cualquier estado final con momento orientado dentro del ángulo sólido dCl. Dicho de otra manera, dW es la probabilidad por unidad de tiempo de que ocurra una dispersión en dfl. Recordando la definición de sección diferencial da, ecuación (18), este resultado no es más que do-\jln<.\, donde \jinc\ es la magnitud del flujo de probabilidad incidente, Uncí =

|«/»in<

ñ 0 - ñ | Jo

+A:2/?2(ñfl-ñ)2/ Este resultado se puede expresar inmediatamente en términos del ángulo de dispersión 6, que es el ángulo entre ñ0 y ñ, como se muestra en la Figura 4. Se obtiene que,

' mL3'

debido a la ecuación de normalización (36). Entonces, finalmente d(T =

mU

nr

,A

A,

(n,, -n)

en concordancia con la ecuación (36). La utilidad y sencillez de la aproximación de Born se ilustra mejor con algunos ejemplos. Como primer ejemplo y debido a su importancia, se estudiará con cierto detalle el llamado potencial de Yukawa,"

V(r) = V0R

a-rIR

(40)

La constante V0 se llama la intensidad del potencial de Yukawa, y R es el llamado alcance. Substituyendo en la ecuación (34) se tiene que, _

/(«)=

mV0¡

—ñ)-r

3

d r.

Figura 4. Sistema de coordenadas para la integración de la ecuación (40). y escribiendo /(ñ) como/(0), se tiene que, 2

n

(41)

" El potencial de Yukawa es de importancia esencial en las interacciones nucleón-nucleón. También se usa frecuentemente para describir un potencial culombiano escudado (ver el Problema 8).

0/2)-',

(42)

y la sección diferencial será,

(43)

392



Finalmente, la sección total se obtiene integrando la sección diferencial sobre todo el ángulo sólido, como en la ecuación (23). Llevando a cabo la integración se encuentra que12 2mV0R-

2h2

2 2

4A:2/?2 » 1

e

ñ

u

e

JT

o

e

ir

V(r) = V0e-w Suprimiendo los detalles se obtiene que,

(48)

De nuevo se encuentra que la dispersión en la dirección hacia adelante 0 = 0 es independiente de la energía y que la sección es independiente del ángulo a bajas energías, pero al crecer la energía se forma un pico de difracción de anchura angular 6 — 1/kR. Finalmente, también se encuentra que la sección decrece inversamente con la energía a energías altas. La explicación de estos resultados generales es la siguiente: Dispersión hacia adelante. De acuerdo con (34), la amplitud de dispersión hacia adelante, ñ = ft0, es proporcional a la integral de volumen del potencial. Llamando /(O) a la amplitud de dispersión hacia adelante, se tiene que m

dar.

(49)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, según las ecuaciones (42) y (46) esta ecuación se puede expresar como,

Figura 5. Sección diferencial para el potencial de Yukawa para diferentes valores de kR, según la aproximación de Born, ecuación (43).

Todas estas características son bastante generales, distinguiéndose únicamente por los detalles al pasar de un potencial a otro. Para observar este hecho explícitamente se puede considerar como segundo ejemplo un potencial gausiano:

„

k2R2

Ejercicio 1. Obtener las ecuaciones (46), (47) y (48).

/(O) = -

o

(47)

y finalmente,

(44)

Se observa que a energías suficientemente bajas 4k R 1, la dispersión está principalmente confinada en un dominio angular pequeño 0 < 1/kR, que se llama el pico de difracción principal. Este comportamiento se ilustra en la Figura 5. Como lo muestra la figura, la dispersión hacia adelante resulta ser independiente de la energía para la aproximación de Born, mientras que la sección total decrece al crecer la energía, inversamente a la energía de acuerdo con la ecuación (44).

sin" 9/2

dajdíl =

/(O) = -

ñ2

(50)

(45)

donde K0 es la intensidad del potencial y R su alcance. Dependencia angular. A energías bajas tales como kR < 1, el factor potencial en el integrando de la ecuación (34) es del orden de uno sobre el dominio efectivo de integración, el cual es una esfera de radio ./? aproximadamente. Por lo tanto, para todos los ángulos,

(46)

de donde la sección es isotrópica a bajas energías y la sección total resulta ser,

"La integral se lleva a cabo fácilmente introduciendo la variable de integración z = (1 - eos

cr =

(51)

394

395



Al comparar con las ecuaciones (44) y (48) en el límite de energías bajas, se encuentra otra vez el resultado correcto, excepto por factores numéricos del orden de la unidad. A continuación se considerará el límite opuesto en el cual la energía es tan alta que kR > 1 . En este caso, las oscilaciones del factor exponencial en el integrando de la ecuación (34) tienen que tomarse en cuenta. Este factor oscila más rápidamente a medida que aumenta el ángulo, causando que la amplitud de dispersión disminuya bruscamente al apartarse de la dirección hacia adelante. Esta disminución se presenta para ángulos tales que,

turbación dependiente del tiempo la sección mide directamente la rapidez efectiva de las transiciones a partir del estado inicial. Esta cantidad debe de ser pequeña para que el tratamiento perturbativo sea válido. Expresándolo en forma cuantitativa, se toma esta cantidad como la razón del flujo de probabilidad dispersado sobre el flujo máximo dispersado, o sea, la incidencia sobre, la sección geométrica del dispersor, 77^?2.14Esta relación es sencillamente a/irR2, y por lo tanto la aproximación de Born es válida si esta relación es pequeña, a-1-rrR2 < 1. A energías bajas, usando la ecuación (51), la condición será

kR\A0- ñ| = 2kR sen 0/2 = 1,

debido a que para ángulos menores la exponencial se desvía poco de la unidad. Ya que W? > 1, esta relación se puede escribir como 0 = HkR,

y de esta manera se ha demostrado que la anchura de pico de difracción es del orden de \/kR. Sección total para energías altas. Este último resultado permite hacer una estimación rápida de la sección total a energías altas. Su característica esencial es que únicamente el pico de difracción principal contribuye apreciablemente a la dispersión, resultando que, r nikR ° - = j |/(0)| 2 sen0 = 277 |/(0)| 2 sen0 d0 ri/kR 277

\f(0)\*

0 ¿0 -

TT\f(0)\2lk2R2

Jo

y, finalmente, usando la ecuación (50) A: 2 /? 2 '

(52)

en concordancia con el límite a energías altas de las ecuaciones (44) y (48), excepto por los factores numéricos usuales. Esta disccusión sobre la aproximación de Born se puede concluir con ciertas observaciones acerca de su validez. La mayor parte de los tratamientos sobre este tema se basan en una consideración de la magnitud de la corrección de primer orden a la función de estado de onda plana de orden cero, pero resulta muy complicada.13 Aquí se hará un análisis mucho más simple en el cual la sección total a- juega un papel muy importante. Dentro del espíritu de la teoría de per-

\

(54)

1

y a energías altas, usando la ecuación (52), la condición se cumple cuando 1 (mV0R2\2 k2R¿ \ h2 )

1.

(55)

Se observa que la condición para energía baja es mucho más fuerte que la condición para energía alta; cuando se satisface la ecuación (54), se satisface automáticamente la ecuación (55) porque contiene el factor (kR)~2 que es pequeño a energías altas. Además, a energías suficientemente altas, la ecuación (55) siempre se puede satisfacer aunque no lo haga la ecuación (54). Por esta razón, la aproximación de Born se considera principalmente una aproximación para energías altas y complementa el método de desfasamiento que, como se recordará, resulta engorroso en el dominio de las energías altas. Las ecuaciones (54) y (55) no son condiciones rigurosas o precisas, como es evidente de la forma como se han obtenido. Sin embargo, se puede dar un argumento que quizás sirva para restaurar la confianza en su validez. Hay que recordar que la solución exacta a cualquier problema de dispersión satisface el teorema óptico de la ecuación (25),

La aproximación de Born nunca puede satisfacer este teorema ya que, como lo expresa la ecuación (49), la dispersión hacia adelante en la aproximación de Born siempre es real. Este resultado implica que 14

"Un tratamiento bastante completo se presenta en la Referencia [18].

(53)

Esta condición es máxima únicamente a energías altas. A energías bajas, el máximo es mucho mayor debido a la difracción. Como resultado, esta estimación es muy conservativa.

396


MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

la aproximación de Born no es confiable a menos que la parte imaginaria de la amplitud de dispersión hacia adelante sea despreciable respecto al valor total de la amplitud de dispersión hacia adelante. Entonces, es necesario tener una condición autoconsistente,

,rî 397

y el hamiltoniano clásico es,

(59a)

H = ^-(p2m V K

donde V es cualquier potencial adicional que pueda estar presente." No es difícil verificar que las ecuaciones de Hamilton

o bien, multiplicando por 4ir/& y usando el teorema óptico,

dxi _ dH dt ~ dpt

(59b)

dp¡ _ _ a//

Usando las estimaciones dadas por las ecuaciones (50) y (51) se obtiene que, a bajas energías,

dt

dx,

proporcionan las ecuaciones de movimiento correctas **

(56) (60)

Esta condición resulta más débil que la ecuación (54) debido a que el factor 1/kR resulta muy pequeño en el límite de energías bajas. Pero a energías altas se obtiene que, mV0R*\ 4kR\ W )

Sin embargo, de la primera ecuación (59b), m

(57)

que es la raíz cuadrada de la ecuación (55) excepto por factores numéricos, y por lo tanto es una condición algo más fuerte. Entonces, resumiendo, el requisito de autoconsistencia y el requisito de que la rapidez de transición total sean pequeñas, llevan a condiciones equivalentes para la validez de la aproximación de Born. Este resultado hace suponer que se han identificado las características fundamentales. Respecto a la aplicación de estas condiciones en la práctica, la guía más segura será la de usar la condición más restrictiva en el dominio de las energías consideradas.

dx{

' = A-vx.

(58)

(61)

y p no es el momento cinético pero sí es el momento canónico, o sea, la variable que corresponde al momento en el sentido de las ecuaciones de Hamilton. Los potenciales electromagnéticos no tienen un significado físico directo; únicamente lo tienen las intensidades de campo. Los potenciales A y no están completamente definidos por la ecuación (58). La clase de transformaciones que dejan a <3> y a 9(> invariables se llaman transformaciones de norma y están generadas por funciones escalares arbitrarias X de acuerdo con,

4. MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

Considérese una partícula de carga positiva e que se mueve en un campo electromagnético externo descrito por el vector potencial A(r, í) Y el potencial escalar $(r, r). Se recuerda que en unidades gausianas las intensidades de los campos electromagnéticos 6> y 9(> están dadas por = v *A

eA¡

~d7 =pi~~'

c dt

(62)

La selección de x determina la norma, pero ningún resultado físico depende de esta selección, o sea, de los potenciales A' y 0' se obtienen las mismas intensidades de campo, las mismas ecuaciones de movimiento, etc., que se obtendrían de A y . Hay que observar que el momento canónico depende de la norma, aunque la velocidad de la partícula no depende de ella como se puede observar de la ecuación (60),- la cual no hace referencia a ninguna cantidad dependiente de la norma. 15

Ver por ejemplo, Referencia [14], especialmente el Capítulo I, Sección 5, y Capítulo VII, Sección 3. Ver también el Problema 11.

398

399



Como de costumbre, el operador hamiltoniano se obtiene substituyendo las variables dinámicas clásicas en el hamiltoniano clásico por los operadores cuánticos correspondientes. Entonces, la ecuación de Schródinger resulta ser

que se comprueba por substitución directa. Dicho de otra manera, la transformación de norma de la ecuación (62) se genera substituyendo t/> por \¡i e"xlñe en la ecuación (63). Entonces, se concluye que la arbitrariedad en la definición de los potenciales electromagnéticos se refleja en la arbitrariedad de la fase de la función de estado, la cual está determinada solamente por una función escalar indetectable exilie, siendo éste el significado de la invariancia de norma de la ecuación Schrodinger.18 Como ejemplo ilustrativo se puede considerar una partícula cargada en un campo magnético uniforme 9(>. Para este caso, el vector potencial se puede escribir en la forma,

A pesar de la presencia del campo, la reglas de conmutación entre p y r permanecen inalterables y siguen teniendo la forma usual, -r

Entonces, en el espacio de configuración se tendría, h Se nota que, en general p y A(r, í) no conmutan y es necesario aclarar el significado del primer término en la ecuación (63). Específicamente, se tiene que entender que este término tiene la forma simetrizada, 'p

eA\»

e . --(P A + A

£_2 (64) c en cuyo caso no es difícil concluir que es hermitiano. Se ha argüido que el potencial vectorial y el potencial escalar no están completamente definidos y que pueden alterarse mediante una transformación de norma. Clásicamente esta transformación no afecta a ningún resultado físico, y la misma conclusión debe de ser válida en el caso cuántico. Para ver este resultado se parte de la transformación de norma de la ecuación (62) y se toma ty'(x, t) como la función de estado transformada, solución de la ecuación de Schródinger en la nueva norma,

, ~v) -'

Substituyendo la ecuación (62) se obtiene, --i«l-fif»'.

(65,

Comparando las ecuaciones (63) y (65) se obtiene que
(66)

Se puede verificar fácilmente que se satisface la ecuación (58). Como p conmuta con este potencial vectorial, se puede escribir A • p + p • A = 2A • p y, por lo tanto,

Pero, L,

X r) • p = SK • (r X p) =

donde L es el operador del momento angular orbital y la ecuación de Schrodinger resulta ser,

£'

L+

2

di/» .,.= _ ft « ü£

(67)

7aT El término cuadrático en % se entiende fácilmente si se considera el movimiento de una partícula libre en un campo magnético. Clásicamente, la trayectoria de este movimiento es una hélice acotada en el plano perpendicular a 9(> • El término cuadrático en 96 en la ecuación de Schrodinger es responsable por un confinamiento análogo de la función de estado respecto al movimiento,en el plano transversal. Además, es fácil demostrar que el movimiento en este plano es equivalente al movimiento armónico bidimensional.17 Entonces, el término cuadrático es esencial en la descripción de tales estados. Por otra parte, al discutir los estados ligados de una partícula en algún potencial de confinamiento V, la contribución del término cuadráti2mc

16

8mc2

Ver el Problema 10, Capítulo V, para una discusión de la indetectabilidad de un factor de fase como el mencionado.

17

Ver Referencias [19] o [24].

400

401


TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC

co generalmente es muy pequeña y casi siempre se puede despreciar. El término lineal en 96 en la ecuación de Schródinger describe la interacción con un dipolo magnético de momento magnético

mentó angular orbital.18 La existencia del momento magnético espinorial significa que el hamiltoniano tiene que ser suplementado con un término de energía magnética Msmn -9<*. Por ejemplo, para un electrón en un campo magnético uniforme, el término lineal en <•% en el hamiltoniano tiene la forma,

*"

2mc"

Si se desprecia el término cuadrático, K(r) es esféricamente simétrico y si se escoge el eje z a lo largo de 9(>, entonces, los estados estacionarios se pueden clasificar como autofunciones simultáneas de L2 y de Lt, pero la energía depende de los autovalores mth de Lz. Si se tiene un estado i/»^m, con energía Enl en ausencia de un campo magnético, entonces, en presencia del campo se tiene que,

donde J es el momento angular total. El análisis de este término, que lleva al llamado efecto Zeeman anómalo, es bastante más complicado que para el caso de una partícula sin espín y no se tratará aquí.19 5. TEORÍA DEL ELECTRON DE DIRAC

Z7

r7

-"'""

~"

en

sns

2mc~ '""

donde el estado degenerado (21 + 1) veces se desdobla en 21 + 1 estados con energía de separación iguales, eh „, 2mc~-

La cantidad eh/2mc se llama magnetón de Bohr; es el momento magnético de una partícula con momento angular orbital unidad. Al número cuántico ml se le llama frecuentemente número cuántico magnético debido al papel que juega en la fórmula anterior. Es conveniente señalar que todas las ecuaciones se han escrito para una partícula de carga positiva e. Para un electrón, e se tiene que substituir por -e en todas las expresiones. Para terminar, es conveniente mencionar los efectos del espín, aunque sea brevemente. Asociado con el espín existe un nomento magnético que se puede escribir en la forma,

.-.£«*.

(68)

La cantidad sin dimensiones g mide la razón del momento magnético en unidades de eh/2mc , al momento angular en unidades de ñ . Para el movimiento orbital g resulta ser la unidad. Para el momento magnético intrínseco del electrón, resulta que g tiene el valor dos. En cierto sentido, resulta que el momento angular espinorial es dos veces más efectivo para generar un momento magnético que el mo-

En esta sección se desarrollará una versión relativista de la ecuación de Schródinger para el movimiento del electrón. Para empezar, se considerará al electrón como partícula libre sin que haya ninguna fuerza externa actuando sobre él. Para este caso, el hamiltoniano clásico relativista es, // = V(pc) 2 + (me 2 ) 2 , donde m es la masa en reposo del electrón y p su momento lineal. Si p es el operador cuántico usual, se puede concluir que H no está bien definida debido al signo de la raíz cuadrada.20 Una forma de evitar esta dificultad fue sugerida por Klein y Cordón que consideraron la expresión

18

Es interesante mencionar valores g para otras partículas, midiendo siempre los momentos magnéticos en las unidades naturales de eft/2mc} siendo m la masa de la partícula. Para el mesón ft, g es dos también, como para el electrón. Ambos casos están de acuerdo^ con las predicciones de la teoría de Dirac. Pero el momento magnético intrínseco del protón no es un magnetón nuclear (g = 2) como se acostumbra llamarlo, sino 2.79 magnetones nucleares (g = 5. 59), y el momento magnético del neutrón no es cero (como para el neutrino) sino — 1. 91 magnetones nucleares, donde el signo negativo significa que es opuesto al espín. Estos momentos magnéticos anómalos indican claramente la existencia de algún tipo de estructura para el protón y el neutrón. Estos temas son de mucho interés en la física de las partículas elementales.

"Por ejemplo, ver la Referencia [22]. 20

En el espacio de configuración se tiene que desarrollar en serie de potencias la raiz cuadrada, por lo cual H es equivalente a un operador diferencial de orden infinito. Este hecho se puede evitar si se pasa al espacio de momentos, pero las ecuaciones que resultan son muy complicadas excepto para el caso especial de la partícula libre.

402


TEORÍA DEL ELECTRON DE DIRAC

en lugar de

403

y además, (a,, <*.,)+ = O,

Esta ecuación es una ecuación relativísticamente correcta, pero debido a la segunda derivada respecto al tiempo, la probabilidad no se conserva si $ se interpreta como una amplitud de probabilidad. Resulta que esta ecuación, llamada ecuación de Klein-Gordon, se puede interpretar dentro de la teoría cuántica de los campos pero no se puede aplicar al movimiento de una sola partícula. Este dilema fue resuelto por Dirac usando el siguiente argumento. Si i/< se considera como una amplitud de probabilidad, entonces, en la ecuación de Schrodinger sólo puede aparecer la primera derivada respecto al tiempo. Ya que relativísticamente las coordenadas espaciales y la coordenada temporal son coordenadas del mismo tipo, las coordenadas espaciales en la ecuación de Schrodinger también tienen que aparecer sólo linealmente. Entonces se escribe,

(72) Entonces, las cuatro matrices ax,aa,az y p anticonmutan entre sí y el cuadrado de cada una es igual a la unidad. El álgebra de estos operadores de Dirac es idéntico al de los operadores espinoriales de Pauli, excepto que los operadores de Dirac son cuatro. Ya que los operadores de Pauli, junto con la matriz unidad, agotan el número de matrices independientes dos por dos, los cuatro operadores de Dirac no pueden representarse por matrices dos por dos. Matrices tres por tres tampoco los representan, pero las matrices que sí sirven son matrices cuatro por cuatro. Estas matrices no están totalmente definidas por las relaciones de conmutación, pero la selección convencional es,

imponiendo que H sea lineal en el momento, //= [a • pc + /3mc2], y donde a y )8 se determinan por la condición

(69)

H2 = (pc)2+ (me2)2.

(73)

(70)

Se observa que Dirac impuso la condición de que H = \f(pc)2+.(mc2)2 fuera una función lineal de p bien definida. Es claro que a y /3 no pueden ser números si las ecuaciones (69) y (70) se satisfacen, sino que tienen que ser operadores independientes de las coordenadas. Teniendo en cuenta las caractarísticas de a y de /3 se tiene que, [a • pe + /3/nc2]2 = (pe)2 + (me2)2 y, conservando el orden de todos los factores, (oía,

2

PtPjc

- (i -?) /3a,)inc*p,c

(me2)2.

Comparando términos se concluye que a,2 = /í2 = 1 o bien,

ax2 = av2 = a,2 = p = 1

que en notación compacta se escriben como,

(71)

a= /O

U o)'

(74)

donde cada elemento es una matriz dos por dos ya- es el operador espinorial de Pauli. Los operadores de Dirac conmutan con todas las variables externas, tales como p y r , y por lo tanto deben de actuar sobre alguna clase de grados de libertad internos. Debido a la dimensionalidad de las matrices de Dirac, se debe de tomar a >/> como una función de

404



onda con cuatro componentes, llamada espinar. Esta función de cuatro componentes se escribirá como una matriz columna, o sea

Se recuerda que si dos matrices son iguales, cada elemento de U> primera matriz es igual al elemento correspondiente de la segunda matriz. Entonces, la ecuación de Dirac es una forma compacta de escribir un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales lineales para las cuatro componentes de i/» . Usando la ecuación (76), estas ecuaciones se escriben explícitamente como

(75)

=

c(px -

sobreentendiendo que cuando una matriz arbitraria A cuatro por cuatro, con elementos At¡, actúa sobre
=

_ f t dtyi i dt _ft /

(78)

c(Px -

«12

Para resolver estas ecuaciones se toma un estado estacionario con momento lineal definido p y energía E, tomando p a lo largo del eje z. Si este estado se escribe como (79)

Entonces,

donde U es un espinor con componentes constantes,

U=

(76)

la ecuación (78) se reduce a las ecuaciones algebraicas

«„
cpU3 — (E — -cpU4- (E-

(80)

cpU1-(E +

Por lo tanto, la ecuación de Dirac

—cpL/2 — (E + i dí

\' ')

se entiende como una ecuación para estas matrices columna. E representa el operador de la energía total, incluyendo la energía en reposo de la partícula.

Se verifica fácilmente que este sistema tiene solución si se cumple que, ; = ± V(pc) 2 + (me 2 ) 2 .

(81)

406



Usando cualquiera de los signos se obtiene que 2

Ul _E + me U3 pe

t/4

Esta notación significa, por ejemplo, que

pe E — me2

(82)

E +me2 pe

pe

"z

La ecuación (81) es la relación relativista correcta entre energía y momento y establece que es posible tener energía positiva y negativa. Por ahora se considerarán únicamente los estados de energía positiva, dejando para más adelante el problema de las energías negativas. De las expresiones (82) se nota que U¡ y U3 son totalmente independientes de í/2 y f/ 4 . Este resultado significa que la solución se puede expresar como una combinación lineal arbitraria de dos estados independientes. Estos estados se pueden escribir como, (83)

donde

x- =

X+ =

(84)

Los coeficientes a+ y a_ son arbitrarios y, naturalmente, Ul y U3 están relacionados entre sí por la ecuación (82), como lo están U2 y t/4. Estos resultados muestran que estados de una energía dada E y momento lineal determinado, que en el caso presente se encuentra a lo largo del eje z, no son únicos sino que están doblemente degenerados. Esto significa que H y p no forman un conjunto completo de operadores que conmutan sino que tienen que suplementarse por un operador adicional asociado con algún tipo de coordenada interna. Resulta que esta coordenada interna es el espín y el operador que falta es la componente del espín a lo largo de p , lo cual se demuestra a continuación. En primer lugar se define en cuatro componentes el análogo del operador de espín de Pauli escribiendo -

("

"'(o

(86)

E-me2

°

(85)

y análogamente para las demás componentes. Entonces, donde x± están expresadas mediante la ecuación (84). Ya que el operador de Dirac ó- tiene exactamente las mismas propiedades algebraicas que el operador cr de Pauli, se puede concluir que x+ describe un estado con el espín orientado a lo largo del eje positivo z y que X- describe un estado orientado a lo largo del eje negativo z. Como lo indica la notación, estos estados son los análogos espinoriales de los estados de dos componentes no relativistas que se discutieron en el Capítulo X. Esta relación se puede aclarar si se pasa al límite no relativista, para el cual E — me2

me

En este límite, se concluye de la ecuación (82) que Ua y U4 resultan despreciables respecto a Ui y a í/2 . Si se desprecian dichas componentes, los espinores de Dirac x± se reducen a estados de dos componentes que son precisamente las representaciones usuales de los estados espinoriales no relativistas x+ y X- , y el operador de Dirac óse reduce al operador o- de Pauli. El argumento que se ha expuesto hace plausible que ó- esté relacionado al momento angular interno del electrón pero no pretende ser una demostración. Es necesario observar que cuando los efectos relativistas son importantes, una función de estado que sea autoestado de H y p puede hacerse autoestado simultáneo de la componente de o- a lo largo de p , pero no de las componentes perpendiculares. En otras palabras, únicamente la componente paralela de
408



examinan las relaciones de conmutación entre L y H. Después de cierta álgebra se encuentra que 21 ,

la partícula libre es un continuo desde más infinito hasta la 9t en reposo de me2. Bajo esta energía hay un espacio sin ningún eltf» do que continúa hasta la energía-me2. Para energías más negativas el espectro vuelve a ser continuo y se extiende hasta menos infinita Este espectro se muestra en la Figura 6. En cierto sentido este resultado no es diferente al espectro clásico, ya que también en el caso clásico son posibles formalmente soluciones de energía negativa.

(L, H) = iñc(aXp),

de donde se concluye que el momento angular orbital no se conserva. Este resultado no es una sorpresa puesto que el hamiltoniano de Dirac no es invariante frente a rotaciones espaciales solamente. Ahora, se puede examinar el conmutador de ó- y H. Después de cierta álgebra se obtiene que, (ó-, //) = -2ic (a x p ) ,

Continuo de energía positiva No existen estados

de donde se obtiene que J = L + (h¡2}ó- es una constante de movimiento,

de partícula libre Continuo de energía negativa

Entonces, la cantidad J, que satisface el requisito de las relaciones de conmutación para momento angular, tiene que interpretarse como el momento angular total y (ft/2)ó- como el operador que representa al momento angular intrínseco. Por lo tanto, la ecuación de Dirac tiene como consecuemcia que el electrón, o cualquier otra partícula que pueda describir, tiene automáticamente un momento angular espinorial de un medio. Ya que las funciones de onda espinoriales tienen cuatro componentes, se tiene que ampliar la definición de valores de expectación y la de elementos de matriz. El significado de una expresión como

=í ¡=1 donde i|>¡ y ¡ son las z-ésimas componentes de los estados espinoriales i|» y 0. Las cantidades < î\4>i > tienen su significado usual. Así por ejemplo, en el espacio de configuración, = J>i*(r,

f)

Esta regla es todo lo que se necesita para calcular los elementos de matriz de un operador arbitrario A, en el espacio ordinario y en el espinorial, ya que siempre se puede escribir (<|»|/1|4>> = <^|') donde $ ' es el nuevo espinor obtenido al operar con A sobre . Ahora se puede regresar al problema de los estados de energía negativa. De acuerdo con la ecuación (8 1 ), el espectro de energía de " Los detalles se dejan para los problemas.

Figura 6. Espectro de las energías permitidas para una partícula libre de Dirac.

Pero, clásicamente, no existe ninguna comunicación entre las partes de energía positiva y negativa en el espectro. Una partícula no puede cambiar su estado de movimiento con energía positiva a un estado de movimiento con energía negativa, porque para hacerlo tendría que pasar por un intervalo de energía en el cual el movimiento es imposible. La existencia de estos estados no causa ninguna dificultad clásicamente; estos estados son inaccesibles y por lo tanto inobservables. Cuánticamente todo cambia; los cambios discontinuos son la regla. Es posible que ocurran transiciones de estados de energía positiva a negativa liberando una cantidad enorme de energía; mayor que 2mc2. Ya que el espectro de energía negativa se extiende hasta infinito, parecería que no se podría observar ninguna partícula de Dirac con energía positiva. Es decir, todos los electrones del Universo caerían rápidamente al "mar" de energía negativa, un mar suficientemente profundo para aceptarlos. Una forma de evitar esta dificultad sería la de eliminar los estados de energía negativa por ser inadmisibles físicamente, pero si se hace esto los estados de Dirac no formarían un conjunto completo 22 . 22

Este es un ejemplo, y muy importante, en que las matemáticas forzaron la interpretación física en lugar de ser al revés. Mediante una interpretación física se ha concluido, correctamente, que la totalidad de los estados físicamente admisibles tienen que ser completos. Pero se deja la pregunta de cómo identificar todos los estados físicamente aceptables. Anteriormente se^ tomó esta identificación como un hecho y el resultado de que sean completos se consideró una consecuencia necesaria. Pero aun cuando la intuición respecto a los estados aceptables físicamente sean inadecuada, el requisito de que sea completo obliga a aceptar los estados de energía negativa.

10

ESIADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD


irac mismo resolvió este problema postulando que en el estado norial del Universo todos los estados de energía negativa están complemente ocupados. En estas condiciones, el principio de exclusión •ohibe cualquier transición de un electrón en un estado de energía jsitiva a uno de energía negativa. Además, este conjunto vasto e innitamente denso de electrones en estados de energía negativa sería erte eléctricamente y mecánicamente, excepto por transiciones del ar negativo a estados de energía positiva. Esta transición requeriría la energía mayor que 2mc2. Esta energía enorme, no se produce ijo condiciones normales y, de acuerdo con la experiencia, no se obrva partículas con energía negativa. Sin embargo, si se suministra suficiente energía para provocar una ansición del mar negativo a un estado de energía positiva, se obseriría la aparición repentina de un electrón ordinario, que no se obseriba originalmente pues ocupaba un estado de energía negativa. Tamíén se observaría un cambio repentino en las propiedades del mar } energía negativa. Este mar ya no sería inerte eléctrica y mecánicaicnte, ni tampoco inobservable, debido a que no estaría completaente lleno; un estado estaría desocupado. Este estado agujero, co0 se le llama, está asociado con la supresión de una carga negativa ; energía negativa del estado inerte del Universo, que se podría lla,ar el vacío. La supresión de una carga negativa de energía negativa il vacío se puede interpretar como la aparición de una carga positi1 de energía positiva, llamada el positrón, totalmente equivalente al ectrón excepto porque tiene carga opuesta. Se puede concluir que esta interpretación es razonable si se consieran los efectos de una fuerza electromagnética aplicada al mar de lergía negativa cuando este mar contiene un estado agujero. Los .ectrones tenderían a moverse en el sentido de la fuerza aplicada y ! favorecerían las transiciones al estado agujero que es el único disonible en el mar. El agujero tendería a moverse en sentido opuesto los electrones, haciéndolo como si fuera un objeto aislado. La transición de un electrón de un estado de energía negativa a no de energía positiva, corresponde a la aparición repentina de un lectrón y un positrón en el mismo punto del espacio del tiempo, y ¡ requiere una energía mínima de 2mc2. Este es el famoso fenóme3 de la producción de un par. El proceso inverso también es posile, o sea cuando un electrón en estado de energía positiva pase a cupar un estado agujero. El fenómeno se conoce como la aniquilalón electrón-positrón, y la energía se manifiesta como energía elec•omagnética, generalmente como un par de fotones. Hasta aquí se ha considerado únicamente el hamiltoniano de Dirac ara la partícula libre. Pero también se puede considerar que el elec-

411

trón se mueve en un campo electromagnético externo o en otro potencial, en cuyo caso el hamiltoniano de Dirac se modifica en la forma canónica H=

(p-fA/c)]

V,

donde A y $ son los potenciales vectorial y escalar respectivamente y V es cualquiera otra interacción que puede estar presente. Si, por ejemplo, se resuelve esta ecuación para un electrón en un campo magnético uniforme, la energía de interacción magnética resulta ser la de una partícula de espín un medio con un momento magnético de un magnetón de Bohr, lo cual coincide con la observación. Como segundo ejemplo se podría calcular la solución a la ecuación de Dirac para los estados del átomo de hidrógeno, cuya concordancia con el experimento es casi perfecta, incluyendo las correcciones de la estructura fina23 . La teoría del electrón de Dirac, partiendo únicamente de la masa y de la carga de éste, obtiene todas las propiedades intrínsecas del positrón así como de su existencia y de los fenómenos de aniquilación de un par y producción de éste. La discusión se ha limitado únicamente al electrón, pero cualquier partícula de espín un medio puede describirse por la ecuación de Dirac. Por ejemplo, muones y neutrinos se describen con la misma ecuación tomando la masa en reposo apropiada. Sin embargo, los protones y los neutrones, como consecuencia de su momento magnético anómalo, se describen por un hamiltoniano de Dirac con un término adicional que se ajusta para dar el momento magnético observado. La producción de pares y su aniquilación, en la que intervienen todas estas partículas y sus antipartículas, como se les llama, han sido observadas experimentalmente y concuerdan con las predicciones de la teoría. 6. ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD En un sistema cuántico todo esto bien definido es una autofunción simultánea de un conjunto de operadores. Si se expresa en tér23

Sin embargo, la ecuación de Dirac no proporciona el llamado corrimiento Lamb. Este pequeño corrimiento está generado por las interacciones con las fluctuaciones del vacío de los campos electromagnéticos. Estas fluctuaciones del campo, a semejanza del movimiento del punto cero del oscilador armónico, son de origen estrictamente cuántico y np aparecen en ningún tratamiento en el cual el campo electromagnético se considera como clásico, como es el presente tratamiento.

AJÍ

412


ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

minos de observaciones, significa que si un estado se especifica correctamente, se tiene que hacer un conjunto de mediciones que no interfieran entre sí. Este tipo de estado se llama estado puro. La evolución en el tiempo de un estado puro está determinada por la ecuación de Schródinger y esta evolución se puede predecir perfectamente. La naturaleza estadística de la mecánica cuántica se manifiesta en las distribuciones de los valores observados que se obtienen al efectuar mediciones sobre un conjunto de sistemas preparados idénticamente, encontrándose cada uno en el mismo estado puro. Hasta ahora se han tratado únicamente estados puros. Sin embargo, con mucha frecuencia, el conocimiento de los sistemas complicados no es completo y una descripción en términos de estados puros es imposible. Esta falta de conocimiento introduce un segundo elemento estadístico que no es de origen cuántico y que es familiar en mecánica estadística clásica. A continuación se mostrará brevemente cómo se pueden tratar cuánticamente estos estados mixtos. La descripción de un estado mixto requiere de la mezcla estadística de todos los estados puros que sean consistentes con el conocimiento incompleto del problema. Se puede pensar como un conjunto de sistemas, cada uno de los cuales se encuentra en algún estado puro y suponer que un sistema del conjunto esté descrito por el estado puro i/r, y que «J» se puede expresar en términos de algún conjunto completo ortonormal,

bles estadísticas. Como A es arbitrario, el promedio de cualquiif operador físico está determinado por el conocimiento de la cantidad

n

Sea A un operador que represente algún observable arbitrario. Entonces,

donde Anm son los elementos de matriz de A, Promediando sobre el conjunto de sistemas como en mecánica estadística, se obtiene que, (A) =

CmCn*A,

(89)

donde una barra sobre una cantidad representa que se ha tomado un promedio. Los números Anm son fijos de modo que el promedio de la derecha depende únicamente de Cn que aquí representan las varia-

p m n^C m C B *;

|pmn|«l.

(90)

El operador p, con elementos pmn se llama matriz de densidad. Contiene toda la información disponible del sistema, puesto que si se conoce p , también se conoce la distribución de los valores medidos para cada medición que se haga sobre el sistema. Expresando la ecuación (89) en términos de p , se obtiene

Ya que el miembro derecho se puede interpretar como un producto de matrices, esta expresión se reduce a (91)

La suma de los elementos diagonales de una matriz se llama la traza de la matriz y se escribe como

donde (91) se puede expresar en forma independiente de la representación como, (A) = Tr(pA).

(92)

Entonces se ha logrado el principal objetivo, o sea, desarrollar una caracterización adecuada de los estados mixtos. La matriz de densidad para tales estados juega el mismo papel que la función de estado para estados puros. Toda la información disponible está contenida en ella y cada una define el estado que caracteriza. A continuación se desarrollarán algunas propiedades de la matriz de densidad. De la ecuación (90) se obtiene que p es hermitiana, pmn = Pnm*. (93) Este resultado se concluye de la independencia al promediar y de la conjugación compleja. Al igualaré a la unidad en la ecuación (92) se obtiene que, ' Tr p = 1.

(94)

o sea que los elementos de la diagonal de la matriz suman la unidad.

414


ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

Este resultado puede verificarse partiendo de la ecuación (90) ya que,

Finalmente, la evolución de p en el tiempo será,

-f 3-(».„). También se observa que los elementos de la diagonal principal pmm expresan la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado 0 m , por lo cual pmm nunca puede ser negativo sino que tiene que encontrarse entre cero y la unidad. Si se considera una representación en la cual p es diagonal, entonces, los elementos de la diagonal serán los autovalores de p y todos los autovalores de la matriz de densidad se encontrarán entre cero y la unidad por lo cual p es un operador positivo definido y acotado. Supóngase que p está determinado inicialmente. ¿Qué se puede decir acerca de su evolución en el tiempo? Sea H el hamiltoniano del sistema y supóngase que C n , dada por la ecuación (87), es una función del tiempo,

1/2

se encuentra que Cm satisface el conjunto de ecuaciones, ÍÍ "^m

i

dt

(95)

y por lo tanto, (96)

i i en donde, en el último paso, se ha usado el hecho de que H es hermitiano. Multiplicando la ecuación (95) por Cn* y la ecuación (96) por Cm y restando se obtiene que,

- | I (C m C n *) = £ (HmiCtCn* - CmC(*Hín). Como las operaciones de diferenciación respecto al tiempo y la de promediar sobre el conjunto son independientes, se obtiene que,

(97)

de donde se obtiene que p es estacionaria si conmuta con el hamiltoniano. Algunas de estas propiedades de p se pueden ilustrar con ejemplos sencillos. Como ejemplo se puede considerar un sistema que se encuentra en un estado de energía definida E y momento angular definido /, pero orientado al azar. Entonces, cada uno de los 11 + 1 estados degenerados son igualmente probables. Estos 21 + 1 estados forman un conjunto completo para el sistema, y en una representación que use estos estados, p es sencillamente la matriz unidad dividida entre (21 + 1) . Otro ejemplo podría ser el de una partícula sin polarizar, con espín un medio. En la representación para la cual crz es diagonal, P— O

Ya que
41S

°1 / 2 )}'

que describe a un estado mixto en el cual el espín tiene la misma probabilidad de encontrarse con espín hacia arriba o hacia abajo respecto a cualquier eje. En ambos casos la traza de p es la unidad y p es estacionaria. Un último ejemplo muy importante se refiere a un sistema en equilibrio térmico a la temperatura T. La probabilidad de que el sistema se encuentre en cierto estado está determinado por el factor de Boltzmann y por lo tanto, p = 1 e-n,Krt donde Z, la función de partición, se expresa como Z = Tr e-"lkT

y la traza de p es la unidad. Ya que p es función sólo de H, conmuta con H y por lo tanto es estacionaria, como tiene que serlo en el equilibrio. Todas las propiedades termodinámicas del sistema se determinan en la forma usual en términos de la función de partición. Como conclusión se puede señalar que el formalismo de la matriz de densidad se puede aplicar a la descripción de estados puros y de estados mixtos. Si un estado es puro, todqs los sistemas del conjunto se encuentran en el mismo estado y el promedio sobre el conjunto no tiene consecuencias. Entonces pmn tiene la forma producto pmn = CmCn*. (98)

416


PROBLEMAS

Precisamente esta forma es la que identifica a p como describiendo un estado puro. Para obtener una caracterización independiente de la representación, se observa que,

—e

R

= YC m C i *C i C n *,

Figura 7. Sistema de coordenadas para la molécula de hidrógeno.

y ya que la suma sobre |C,|2 es igual a la unidad,

base hidrogénico <£„ respecto a su "propio" núcleo. Basándose en esta idea, demostrar que una función de prueba correctamente simetrizada es, i/r(r,,r 2 ) = «M^Mota) ±
o sea, p2 = p para un estado puro. Como consecuencia

Tr p2 = 1,

(99) que es una condición necesaria y suficiente para que el estado sea puro 24 .

donde J y K son las integrales directas y de intercambio del hamiltoniano total H, y donde

Problema 1. Calcular la integral de la ecuación (5) para encontrar la corrección a primer orden a la energía de átomos tipo helio usando teoría de perturbación.

« = /
Al calcular las integrales, este resultado muestra que solamente el caso simétrico conduce a un estado ligado, donde E+(R) tiene un mínimo cercano al valor exacto en el valor aproximado de R. Ver la referencia [20] .

Problema 2. Usando la función de prueba de la ecuación (8) para un átomo tipo helio, obtener la ecuación (10). Problema 3. Considérese un átomo del tipo helio con Z=\ , elzon negativo del hidrógeno. Demostrar que de acuerdo con la estimación variacional de la ecuación (10), el sistema es inestable respecto a la disociación por un valor algo menor que un eV. [El sistema H~es estable, pero se requiere un cálculo bastante más refinado para demostrarlo que el que se obtiene de la ecuación (10).]

Problema 5. Dibujar la razón de la sección diferencial cuántica a la sección diferencial clásica para la dispersión culombiana de electrones por electrones para una energía de 100 electrón voltios en el centro de masa; también para partículas alfa sobre partículas alfa a 5 MeV.

Problema 4. (a) Considerando al protón como una masa infinita y despreciando los términos dependientes del espín, demostrar que el hamiltoniano para la molécula de hidrógeno es,

Problema 6. Usar la aproximación de Born para encontrar la amplitud de dispersión además de la sección total y diferencial para el potencial exponencial Comparar el comportamiento a energía alta y baja con el resultado predicho en el texto.

// = £í- + £ L _ ^ _ . Í L + £_

2m

2m

R

r, - rz - R|

e

, - R|

|r2 + R|

usando el sistema de coordenadas mostrado en laFigura 7. (b) Una función de prueba razonable para un cálculo de Rayleigh-Ritz podría ser la que supone que cada electrón es un estado

Problema 7. Lo mismo que en el problema 6 pero considerando un pozo de potencial cuadrado, i/ Í-Ô' r
" Ver la Referencia [22].

-MÜHÉMu

418

4Í9


PROBLEMAS

Problema 8. El efecto de pantalla de los electrones en un átomo neutral, modifica la interacción electrostática entre un átomo y una partícula incidente cargada. Una aproximación razonable a este efecto de pantalla del potencial culombiano es,

sin espín y despreciar los términos cuadráticos en el campo magnético. ¿Está justificado esto último?

que en la forma es el mismo que el potencial de Yukawa. En esta expresión, Z es el número atómico del átomo, ze es la carga de la partícula incidente y R es el radio atómico efectivo. (a) Demostrar que de la aproximación de Born se obtiene el resultado exacto para la sección de Rutherford en el límite de R —> °° . (b) Usando la aproximación de Born estimar el intervalo angular para el cual la sección diferencial de dispersión de un potencial culombiano de este tipo difiere de la dispersión de Rutherford en los casos siguientes: ( i) una partícula alfa de 5MeV dispersada por oro; ( ii) un protón de 1 Mev. dispersado por carbón; (iii) un electrón de 100 eV dispersado por carbón. Por facilidad tomar R = IA en todos los casos y suponer que todas las energías se toman en el sistema del centro de masa. Problema 9. (a) Para una energía de 5 MeV en el centro de masa, los desfasamientos que describen la dispersión elástica de un neutrón por un núcleo, tienen los valores siguientes: S0 = 32.5°,

8, = 8.6°,

82 = 0.4° .

Suponiendo que todos los demás son despreciables, dibujar dvldfl como función del ángulo de dispersión. ¿Cuál es la sección total a? Por sencillez, tomar la masa reducida del sistema como la masa del neutrón. (b) Hacer lo mismo en el caso de cambiar los signos de los tres desfasamientos. (c) Hacer lo mismo en el caso en que se cambia sólo el signo de 80 . (d) Usando los resultados de la parte (a), calcular el número total de neutrones dispersados por segundo de un haz de 1 010 neutrones por cm2 por seg, y área transversal de 2 cm2, que incide sobre una lámina conteniendo 1021 núcleos por cm2. ¿Cuántos neutrones se dispersan por segundo hacia un contador a 90° respecto al haz incidente que subtiende un ángulo sólido de 2 x 1 0~sesterradianes? Problema 10. Encontrar los estados del átomo de hidrógeno en un campo magnético de intensidad de 104 gaus. Considerar al electrón

Problema 11. Demostrar que el hamiltoniano clásico, ecuación (5 9a), lleva a las ecuaciones de movimiento clásicas correctas, ecuación (60). Notar que

= 7 + V(v A ) - v x oí

(Vx A)

y que, para cualquier vector B , V (B2) = 2 ( B -V )B + 2B X (V X B ) .

Problema 1 2. Para la ecuación de Dirac y para la ecuación de Schródinger, demostrar que,

donde A es un operador (espinor) arbitrario. Problema 13. Una partícula que satisface la ecuación de Dirac se encuentra en un estado arbitrario. Encontrar expresiones explícitas para

<*>, d(x) (b) dt

(a)

¿(y) ' dt

Problema 14. Demostrar por cálculo directo que J = L + ha-/2 conmuta con el hamiltoniano de Dirac. Problema 15. (a) Partiendo de la ecuación (80) obtener la ecuación (83). (b) Encontrar la función de estado de Dirac para una partícula libre de masa en reposo m moviéndose a lo largo del eje x con momento p. Problema 16. (a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de sus tres estados. La probabilidad de encontrarse en el primero es de 1/2 y de encontrarse en el segundo es de 1/3. ¿Cuál es la matriz de densidad del sistema?

421


PROBLEMAS

(b) Determinar, en caso de que exista, cuál de las siguientes matrices de densidad describe estados puros.

(a) Demostrar que el vector de polarización P (ver Problema 19) de un haz de electrones en este campo satisface la ecuación de movimiento

420

4 \-i 2

-15\2e-^ 42et*})

Problema 17. El estado de un sistema está descrito por la matriz de densidad, p=

'0.4 0.2 e» y

(b) Verificar si el sistema se encuentra en un estado puro o no. Problema 18.

(a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de dos estados. Demostrar que la matriz de densidad más general tiene la forma, a P

e* \ -a)'

?
(b) Demostrar que fi = ± Va (I — «) si el sistema se encuentra en un estado puro. (c) Demostrar que a = \ , fi = O para un haz de partículas no polarizado y de espín un medio. (d) Encontrar a y (3 (en una representación en la cual oves diagonal) para un haz de partículas polarizadas parcialmente de tal manera que el espín paralelo al eje z se presenta dos veces más a menudo que el espín antiparalelo al eje z. Problema 19. El estado de polarización de un haz de partículas de espín un medio se describe mediante el vector de polarización P definido en términos de la matriz de densidad p como sigue: P=
Problema 20. Recordando que la parte independiente del espín en el hamiltoniano de un electrón en un campo magnético 06 es, eh a2mc

dt

me

(b) Suponiendo que el campo magnético es uniforme, resolver esta ecuación de movimiento y discutir los resultados.

APÉNDICE I

Cálculo de integrales de funciones gausianas

1. LA INTEGRAL BÁSICA Se quiere calcular la integral »+«»*»

dx

Para llevar a cabo este cálculo, se toma el cuadrado de esta expresión escribiéndola en la forma del producto foo

/o2 =

e-

(a+i6)x2

r
dx

J — 00

+iw

e-*

dy

J—00

que es equivalente a la integral doble 00

V = J Idxdye-^»**1^. — 00

Si se consideran x y y como coordenadas rectangulares en un plano, la integral doble se calcula fácilmente transformando a coordenadas polares r, . Se obtiene inmediatamente que, f2ir

fao

TT (a+ib>rí = V = Jo ¿
y por lo tanto, /0 =

a + ib

En el límite de a -> O, /o = Vñfib =

-ilr'4

424

CALCULO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN FUNCIONES GAUSIANAS

APÉNDICES

Para a =0, la integral gausiana se puede tomar como este límite. 70=^<-

2. INTEGRALES GAUSIANAS Se puede generalizar el resultado anterior considerando la integral /„ = P x" e-(a+ib)x* dx. J

Este resultado también es válido para « imaginaria pura, si se considera como un límite. Si « — a + ib, a > O, el límite se obtiene cuando a -» 0. Las integrales del tipo

-00

fn = i" X" e~ax

para n entero. Se observa que

se calculan por el método de la Sección 2 y se obtienen inmediatamente las expresiones,

/ 2m+1 = 0, debido a que la integral es impar, y además

(

/

32m+l /

. xomj-i O

Jo

J \m /•<» L e~
Ta)

dX

= (-D-(¿

dam '

Entonces,

dmJ0 dam

da

Un ejemplo sería, Por ejemplo,

3. INTEGRALES GAUSIANAS GENERALIZADAS Finalmente, se puede considerar una integral de la forma 0

Jo = í" e- *'-"* dx,

'•--£'•

J*= ^

Ejercicio 1. J3 se puede calcular por la receta anterior, pero también se puede obtener de la relación

J-x

donde « y /3 pueden ser complejas, pero donde la parte real de « tiene que ser mayor que cero. Para calcular la integral se completa el cuadrado en el exponente,

Substituyendo x + (3/2a por una nueva variable, por ejemplo y, la integral se reduc'e a la forma considerada en la Sección 1 y se obtiene inmediatamente que,

Verificar que ambos métodos conducen al mismo resultado. Demostrar que, en general,

REFERENCIAS SELECCIONADAS

13. P.W. Berg y J.L. McGregor, Elementary Partial DtfferenHal Equations, Holden-Day (1966).

APÉNDICE II

Referencias seleccionadas

. BASES HISTÓRICAS Y

EXPERIMENTALES

C. MECÁNICA CLASICA

14. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley (1950). Recalca aquellos aspectos de la mecánica clásica que son importantes para la mecánica cuántica. 15. J.B. Marión, Classical Mechanics of Partióles and Systems, Academic Press (1965). 16. R.A. Becker, Introduction to Theorical Mechanics, McGrawHill (1954). 17. J.C. Slater and N.H. Frank, Mechanics, McGraw-Hill (1947).

1. G. Holton y D.H.D. Roller, Foundation of Modern Physical cience, Addison-Wesley (1958). Una introducción interesante pero xclusivamente elemental y descriptiva. 2. F.K. Richtmyer, E.H. Kennard y T. Lauritse, Introduction to lodern Physics, quinta edición, McGraw-Hill (1955). 3. R.M. Eisberg, Fundamentáis of Modern Physics, Wiley (1962). 4. M. Born, Atomic Physics, séptima edición, Blackie, Glasgow 1962). Un libro clásico sobre las bases y orígenes de la mecánica uántica. 5. R.B. Leighton, Principies of Modern Physics, McGraw-Hill 1959).

D. MECÁNICA CUÁNTICA (ELEMENTAL)

í. BASES MATEMÁTICAS

E MECÁNICA CUÁNTICA (AVANZADO)

6. E.A. Kraut, Fundamentáis of Mathematical Physics, McGraw1111(1967). 7. H. Margenau y G.M. Murphy, The Mathematics of Physics and themistry, segunda edición, Van Nostrand (1956). 8. P. Dennery y A. Krzywicki, Mathematics for Physicists, Harper ndRow(1967). 9. J.S. Sokolnicoff y R.M. Redheffer, Mathematics of Physics nd Modern Engineering, McGraw-Hill (1966). 10. D.J. Jackson, Mathematics for Quantum Mechanics, Benjamín 1962). 11. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic 'ress (1966). 12. A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics (traucido por E.G. Straus), Academic Press (1949). Un libro clásico sore ecuaciones diferenciales y tópicos afines escrito para físicos.

22. A. Messiah, Quantum Mechanics (en dos volúmenes), NorthHolland, Amsterdam (1961). Un texto de fácil lectura y cuidadosamente hecho. 23. L.I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill (1955). 24. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relativistic Theory, (traducido por J.B. Sykesy J.S. Bell), Addison-Wesley (1958). 25. A.S. Davydov, Quantum Mechanics (traducido por D. ter Haar), Addison-Wesley (1965). 26. G.L. Trigg, Quantum Mechanics, Van Nostrand (1964). 27. P.A.M. Dirac, Quantum Mechanics, cuarta edición, Oxford (1958). Un libro clásico. Ningún estudiante debe sentirse satisfecho sino lo ha leído y entendido. 28. P. Stehle, Quantum Mechanics, Holden-Day (1966).

18. D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall (1951). Tratamiento con motivación física y con énfasis sobre las relaciones entre los conceptos clásicos y cuánticos. 19. R.H. Dicke y J.P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley (1960). 20. L. Pauling y E.B. Wilson, Introduction to Quantem Mechanics, McGraw-Hill (1935). 21. D. Park, Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill (1964).

428

APÉNDICES

29. D. ter Haar, editor, Selected Problems in Quantum Mechantes, Academic Press (1964). Una colección de problemas excelentes. La mayor parte de las soluciones están hechas en detalle. 30. J.D. Bjorken y S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechantes, Me Graw-Hill(1964).

APÉNDICE III

Respuestas y soluciones a problemas seleccionados

CAPITULO I

Problema 2. Después de encontrar p en términos de(7/mc 2 )se puede escribir, donde \c = h/mc es la longitud de onda reducida de Compton de la partícula. De esta manera se encuentran, X (cm)

electrón 30 eV 30 keV 30 MeV 30 GeV

4 x 10-» 10-'° 7 X 10"13 7 x lO'16

protón 10-'° 4 x 10-12 1Q-'3 7 x 1Q-16

A energías ultrarrelativistas T §> me2, la longitud de onda de de Broglie es aproximadamente hc/T y es independiente de la masa de la partícula. CAPITULO II \A\ = Tr~m a-112;

Problema 1.

(a)

(b) (x) = x0

Problema 2.

(b) |c±| = [2(1 ± e-"4)]-"2

430

APÉNDICES

CAPITULO HI Problema 2. (a) _ 2L Y , TT

sin (nirx/L) n

(b) « v t -2 - "2 *2 "2 L ¿ a + n 77- /L

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADO!

(b) Se considera un paquete de ondas inicial, centrado en *' con momento promedio Po y descrito por Seggún las ecuaciones (IV-43) y (IV-45), la evolución en el tiempo de este estado es,

,o-

o

n =l

(2) Problema 3. (c)

in fe/2

Problema 4. (a) /4 = L-1'2

(b) <í>(p) = (2 ft3/7rL3)"2 Problema 7. Las energías del estado base son, aproximadamente, (a) hzlmL? (b) hoi

(c)

(ft'mg2)"3. CAPITULO IV

Problema 1.

(a) v0 = i x /^ = (b) v, = c Vi - (¿>0/
Pero un estado de este tipo es exactamente periódico con período 4mL2 7 ~ Trft ' aunque este período no tiene nada que ver con el período clásico UporVé) Es del orden de 10" segundos para un objeto macrosco1ns nnm-vi» límites ~*a.^ clásicos de la A continuación se van a i/uuaivivi»*• n-»» ciones (1) y (2). Para poder tener órdenes de magnitud se puede tomaina partícula de un gramo de masa en una caja de algunos centímetros de longitud. El momento inicial se toma como ^ gm-cmêg y su posición inicial se puede considerar definida por 10 cm. Este ultimo dato significa que la función de amplitud / tiene•.*L maumo centrado en x =x. para el cual su argumento es cero, y cuya anchura efde 10- Como p,/ft es del orden de 10", se tiene que elfactor exponencial en la ecuación (1) oscila alrededor de 1023 veces sobre la anchura del paquete de ondas. Por esto, para el termino n-esimo en TsÜma de êcuación (2), la contribución de la -tegraUs ¿espreciable excepto cuando n es tal que las oscilaciones de sen nirx IL estén exactamente en fase con las oscilaciones del factor «P°?™«^ ""* hacerlo explícito se usa un nuevo índice de suma 5 definido como, (3)

Problema 3. (a) |«K B >=

10"

Ahora se puede establecer fácilmente que la contribución principal Proviene dPe valores de , que son pequeños. El factor unportante en el término n-ésimo de la ecuación (2) resulta ser, sin

£l

fe

_ r , , _

-i«x'siL -

ex p

(2ip0x'lñ

432

APÉNDICES

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS

El segundo término entre paréntesis oscila tan rápidamente sobre el paquete de ondas que se obtiene una contribución despreciable para todos los valores de s. El primer término oscila s&xir/L veces sobre la anchura A* del paquete. Entonces, la región efectiva para la suma

Problema 5. Se supone, por generalidad, que la partícula se encuentra en el estado H-ésimo en la caja cuando las paredes de ésta desaparecen. Entonces, como estado inicial se tiene que

10".

\S\ <

(4)

Para establecer la periodicidad clásica del movimiento, se necesita jxaminar las consecuencias de estos resultados únicamente para el Factor dependiente del tiempo en la exponencial y para cada término le la ecuación (2). Sustituyendo la ecuación (3), este factor para el :érmino w-ésimo resulta ser

í V2/I sin mrx/L, "> ~ \ o

O « x *£ L en los demás casos

Después de que las paredes han desaparecido, se tiene que en el espacio de momentos, donde " V2ññ J-

, 0) e~ipxin dx.

La integral es elemental, y se tiene que, exp [-

= exp -

2mh

J

mL

. i i 19 _

hpj |1- (-1)" e-ipLlfí\2 •nL

Pero de acuerdo con la ecuación (4), el término cuadrático en s no upera a ht/m(Ax~)2 — 10~19 t en magnitud, y por lo tanto es despreiable en los intervalos de tiempo comparables a la edad del universo. Comparar este análisis con el que condujo a la ecuación (IV-9). Omiiendo el término cuadrático se tiene que, exp [-//i 2 7T 2 ftf/2mL 2 ] = exp

r_ P¿L 2mh

mL

Po

pn = mrh¡L = v2mEn.

Para n grande, la distribución en momento tiene un máximo definido en p = ± pn, en concordancia con el resultado clásico.

(6)

intonces, excepto por el factor de fase exp - / (p02t¡2mñ.) , que multi>lica a todo el paquete de ondas, por lo cual no tiene significado im>ortante (¿por qué?), la solución es periódica precisamente con el >eríodo clásico. r = = 2mL =

donde

2L v

le puede señalar, aunque sin demostración, que usando la ecuación 6), sumando primero y después integrando, se puede calcular la cuación (2) en forma cerrada sin hacer otra aproximación, dando orno resultado que el paquete de ondas viaja sin distorsión y rebota n las paredes en x = O y x = L. Resumiendo, el centro del paquete e ondas sin distorsión exhibe una forma periódica de diente de siera cuando se gráfica contra t, en concordancia exacta con la solución lásica. Los detalles, que no son totalmente triviales, se dejan como n ejercicio.

CAPITULO V Problema 2.

(a) A es hermitiana si y sólo si n es dos. (b) Para n = 3, i|/i = x2 - L* (no normalizada). Para n=4,\a autofunción general es una cúbica en x. Pero la autofunción identificada para n =3, llamada (J/,, automáticamente es una autofunción para n = 4. Entonces se tiene un par de autofunciones degeneradas. La autofunción cúbica se puede hacer ortogonal a i/»t determinando sus coeficientes, encontrando que el par degenerado ortogonal (no normalizado) es,

Para n = 5 la autofunción general es cuártica en x y i|>, y fa también son autofunciones. Escogiendo los coeficientes de la función cuártica .n tal forma que sea ortogonal a «I», y a i|/2, se puede identificar un

434


APÉNDICES

conjunto de tres autofunciones degeneradas tres veces y ortogonales que son

Observar que, excepto para n = 3 , estas autofunciones no son únicas. Por ejemplo, para n = 4, se puede escoger cualquier combinación lineal de i/»i y t/»2 como nueva autofunción, llamada i/i, , y usar la ortogonalización para encontrar una segunda combinación lineal independiente i/»2 . Análogamente paran = 5. Las autofunciones ortogonales particulares que se han exhibido arriba son las más fáciles de construir. Problema 6.

(a) ii, iv, v;

(c) iii;

(b) ii;

(d) ninguna

Problema 10.

(a) Las nuevas autofunciones del momento están definidas por

[7 ¿

donde ^.(x) es la función de estado en la representación convencional. Es necesario recalcar que ty y ¡J> representan el mismo estado físico, o sea la que corresponde a la función de estado del momento lineal (p). (c) En primer lugar se tiene que, debido a que el factor e~Mx)l* no interviene en el cálculo del miembro izquierdo. Además se tiene que,

porque

ff y los factores de fase en el miembro izquierdo se cancelan. Y finalmente, tomando en cuenta que no se altera la relación de conmutación, se concluye que (f(x, p)) da el mismo resultado en cualquier representación. Entonces, los valores de expectación de cualquier observable y de todos ellos son independientes de /, tal y como se quería demostrar. Problema 12.

(a)

y por lo tanto, resultan ser

a * 82

(a) i//U, 0) = ^,

0Kpx-g(xfllfí

donde 8¡ son constantes arbitrarias.

donde

l6i-iE¡t/fí

dx.

Estos estados difieren por un factor de fase de los estados de momento convencionales, que se denotan por $„ para distinguirlos claramente y expresándolos como

1

(b)

(c) iv (d) todos excepto v CAPITULO VI

oiPX/tl

Problema 2.

(b)

435

(a)

80s

(c)

cero;

mo)h[ n + ^

. / man \2 ,~ , 3 ( ——\ (2n¿

2n

436

APÉNDICES

Problema 3.

(a)

4, U, 0) =

Problema 4. (d) La ecuación de Schródinger es, \

(b) Considerando a w arbitraria se pueden tratar ambos casos simultáneamente. Se tiene que, donde el propagador K está expresado por la ecuación (68). La integral es del tipo gausiano, y después de cierta álgebra se obtiene que «!»(*, 0 = 7[eos

(út+ (/wo/cü) sin w/]1'2

Xex P {-^[

qj0 eos co/ + iü) sin tof w eos tu/ + /&>„ sin o)/

que se reduce al resultado correcto cuando ai =
I2 = ^ " [eos2 «/+ (o> 2 /cü 0 2 ) sin2

t) IU(p, VV


x exn í v

I

eos2 a»t + (w 2 /w 0 2 ) sin2
(d) de la cual se obtiene que, p M

_ 2 VcuQft) (25)! /o> 0 — g > \ 2S cü0 + w 2 2S (5!) 2 \ + w /

p 2S+1 — n «•

1

usando la representación indicada de fyn. Aunque no es un ejercicio trivial también se puede verificar que,

¿m ax'

Tomando a la función 8 como el límite de una función con un máximo muy definido, no es difícil concluir que ¡I>E es continua pero que dtyE/dx cambia dramáticamente sobre la anchura del potencial por una cantidad proporcional al área bajo el potencial. En el límite, d\l>Eldx resulta discontinua. Para exhibir esta discontinuidad cuantitativamente, se integra la ecuación de Schródinger desde un punto a la izquierda del origen (0_) hasta un punto a la derecha (0+), pero muy cercanos al origen, y después se considera el límite cuando estos puntos se aproximan al origen (cada uno se aproxima al otro desde sus dominios). Se encuentra que,

anulándose el miembro derecho ya que i//£ es continua. Entonces, la discontinuidad en la derivada de t|»£ es,

• dx

dx

0_

La regla para resolver la ecuación de Schródinger será la siguiente: a la región a la izquierda del origen x < O, se le llama región I, y a la región a la derecha del origen x > O, se le llama región II. El origen se excluye de cada región y en ambas regiones la ecuación de Schródinger resulta la de una partícula libre. Entonces, escribiendo una solución general que satisfaga las condiciones a la frontera en infinito y a la derecha, la solución a la izquierda se puede fijar al exigir que
siendo la exponencial positiva inadmisible. Análogamente, en la región I, fe1 = B exp

438

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A «O

APÉNDICES

siendo ahora inadmisible la exponencial negativa. La condición de que Ê sea continua en el origen obliga a que A = B. La condición de discontinuidad sobre dîE¡dx se puede satisfacer si e tiene el único valor, que es la energía de ligadura del único estado ligado para un potencial de función 8 , de acuerdo con el resultado mencionado en la parte (a). La función de estado normalizada para el estado ligado es la que se establece en la parte (b). (ii) Estados Continuos. E > 0. Para construir una solución que corresponda al caso convencional de una onda incidiendo solamente por la parte izquierda con amplitud A, se toman en cada región las soluciones de la partícula libre. itt

l

(b) Estados ligados. E < 0. Al escribir £«-4 es real, en donde se ha escogido arbitrariamente el signo de la raíz cuadrada para que y sea positiva (¿por qué se tiene esta libertad?). Al considerar ifiEl , se observa que para x -> oo el argumento de las funciones Bessel tiende a cero. Yaque,

para z ->• O (ver referencias [6] - - [13] ), únicamente el término Jy es admisible físicamente. Análogamente, también en la región II el único término físicamente admisible es Jy . Entonces, se tiene que

—A

•/,£< =AJ7(aexl2L)

Imponiendo las condiciones a la frontera en el origen, se obtiene inmediatamente que, 1

Son continuas en el origen ifo y dÊ/dx, por lo cual se exige que AJy(a)

=BJy(a),

y también 2

-j da

2

Como lo exige la conservación de la probabilidad |p| + \r\ = 1 . Problema 6. (a) Región I, x < 0. Haciendo z = exKL se obtiene una forma de la ecuación Bessel y, para la energía E, la solución general se puede expresar en la forma, «V = AJy(aexl2L) + BJ-y(aexl2L) ,

donde

Las soluciones serán A=B, primeras son pares y las segundas impares. Problema 8. (c)

• S(p-p'-Ft)

K(p',p;t)=

Problema 18. (a)

Escribiendo a = b — —, at = ¿»t — —, se encuentra que H = e,

et

e,¿>t¿> - e 2 2 /e,; (¿t, ¿) = 1. Al comparar con el oscilador armónico se encuentra que En = ne¡ — e 2 2 /ej, n = O, 1,2,. . . .

y = iV2mÉ (2L¡h)

a = V2/nF0 (2L/ft).

Región II, x > 0. Haciendo z = e-*121encuentra la solución general,

, en la misma forma se

CAPITULO VII Problema 3.

Condiciones a la frontera enx = 0: Tienen que ser continuas y dfa/dx .

(a) E0 = (b) Ei =

(exacto, ¿por qué? = l.óftco

440

APÉNDICES

Problema 4. h2

(a) E = 5 —^

, aproximadamente 1 % mayor que el valor co-

rrecto ~ 2 mL2 Problema 7.


441

donde /u, es la masa reducida mlm2/(m1 + m2) (b) El resultado no cambia, pero el análisis es más simple. En las coordenadas del centro de masa, el hamiltoniano resulta ser, =

v e

°~

2

(c)

A

>-/3 ~(l

y, por lo tanto, es separable. El problema se reduce al de una sola partícula, que es uno de los ejemplos discutidos en detalle en la Sección 3 del Capítulo VIL

l

\ 4J

Problema 9. (a) b$> (b) T = <

al

[2m(E - V0)]3'2 8(E) ~-

Problema 15.

(a)

2

Problema 12. (a) «íw, = <¡>P(xi)<}>v(x2)r(x3),(x4)

, donde p,q,r,s pueden tomar todos los valores enteros partiendo de cero y <£„ (x) es la n-ésima autofunción del oscilador armónico. (b) Al escribir p + q + r + s = N se obtiene que,

= 0,

Problema 16. (a) *(/) = [eos (f) *, - / sin (f) ^] e^lEtlh

CAPITULO VIII Problema 5. (a) - H<¡> — • 2

2, 2

donde m es la masa del elemento cargado.

2

(b) a = ne /m <ú

(c) aceleración uniforme bajo la fuerza e3> Problema 6. (a) AE = (io(xt)20(x2)\ H' \<¡>¡o(x1 )2t>(x2)), donde 4>10 y <¿>20 son las autofunciones del estado base para el oscilador armónico correspondiente a las partículas 1 y 1, respectivamente. Entonces, AE = exp (- | (m,*,2 + m2;c22) - (je, - * 2 ) 2 /a 2 )

yj

Entonces, la degeneración será el número de formas de combinar estos cuatro números enteros no negativos para que siempre sumen N. Se puede demostrar que este número es (N + 1) (N + 2) (N + 3)/6. Los cuatro primeros estados tienen degeneraciones 1,4,10 y 20 respectivamente. La Tabla I exhibe los números cuánticos de estos estados degenerados. (c) Para partículas sin espín únicamente se pueden realizar físicamente los estados totalmente simétricos bajo intercambio. El estado base es simétrico automáticamente. Los cuatro estados para N = 1 forman un conjunto degenerado bajo intercambio y el único estado realizable sería una combinación simétrica de ellos. Para N = 2, los estados en el grupo (a) son un conjunto degenerado bajo intercambio, como también lo son los del grupo (b). Ya que estos dos grupos de estados son independientes, para N = 1 existen dos estados que se pueden realizar físicamente, la combinación simétrica de los estados del tipo (a) y la de los estados del tipo (b). Para N = 3, por un argumento análogo, existen tres estados que se pueden realizar físicamente; las combinaciones simétricas de los estados degenerados bajo intercambio de los tipos (a), (b) y (c) respectivamente,

442


APÉNDICES

N

Degeneración 1

0000

1

4

1000, 0100, 0010, 0001

2

10

(a) 2000, 0200, 0020, 0002 fllOO, 1010, 1001, 0110 (b) {0101, 0011

20

(a) 3000, 0300, 0030, 0003 (b) 1110, 1101, 1011, 0111 Í2100, 2010, 2001, 1200, (c) 0210, 0201, 1020, 0120, 10021, 1002, 0102, 0012

3

2MR2

pqrs

0

Tabla I. Números cuánticos y degeneraciones de los cuatro estados más bajos

(d) El estado base para partículas de espín 1/2 se identifica fácilmente usando el principio de exclusión de Pauli. Es el estado N = 2 que corresponde a la combinación totalmente antisimétrica de estados de una sola partícula en la cual dos partículas con espín opuesto se encuentran en el estado base y dos con espín opuesto se concentran en el primer estado excitado. No está degenerado.

(b)

A£ m <2) = g2M3R4/(4m2 - l)h2 (c) WKB:

E0^*VglR-MgR

Problema 8. (a)

.//,„,= y,"1 (0,<¿>)

Et = ti2l(l+l)l2MR2

Problema 11. Probabilidad para el estado Is =0.70, para el estado 2s — 0.25, para cualquier otro estado que no sea un estad o s, =0. (Ver referencia [29], pp. 250-2). Problema 1 7. -rla,

(a)

[1 + btl3

p(p,') =

CAPITULO IX Problema 3. (a) a = e2/mu2 (b) el mismo resultado que si el campo fuera cero Ze2 2R0 2

Ze r (b) AE - | ZV/V/flo3 =

r

^ R0

Problema 19. (a) Yukawa:

(a) i/»m =

_y0

a2

8

(b) Exponencial: e = al mismo (¡coincidencia!)

ft2

(c) Pozo cuadrado: e = il—e~1\ y0 —

^ CAPITULO X

= 7 X 10-9 Z14'3 eV Problema 6.

= P(P)

(b)

Problema 4. (a)

413

Problema 1. (a) £ „ ( / = > ) = « £ „ ( / = ! ) (b)

i

R2

APÉNDICES


Problema 3. Algunos conmutadores típicos son los siguientes: (Lx,*)=0; ( L x , y ) = ihz; (Lx, pv) = ihp, Problema 7. Las parejas (i), (ii) y (v) conmutan; las otras no. Ta y conmutan si y sólo si ñ y a son colineales.

CAPITULO XI

444

441

Problema 3. De acuerdo con la estimación variacional de la ecuación (10), la energía de ligadura de H~ es 0

Problema 11.

121 e2 256 flo'

Este resultado tiene que compararse con la energía del sistema disociado, un átomo de hidrógeno neutro más un electrón libre en infinito. La energía del estado base del sistema disociado es precisamente la energía de ligadura del átomo de hidrógeno, —e2!2a0. Entonces, en esta aproximación, el sistema H~ es inestable a la disociación por *ra edicto o sea de 0.7 eV aproximadamente. Naturalmente que el hecho de que el sistema #~sea estable, no viola el principio del mínimo para las energías del estado base (¿por qué?)

(a) J, =

V2/3

y por lo tanto,

(b) Densidad de probabilidad para espín hacia arriba:

Problema 7. Después de calcular la integral, la amplitud de dispersión en la aproximación de Born para el pozo cuadrado se puede expresar como

Densidad de probabilidad para espín hacia abajo:

(c)

P+

+ P_ = i \R(r)\2 dy/f + 2|y,'|2) = l/í(r)l2 cos20+ sin20

l

(¿

¿

/(«) =

)

Problema 13. (a) Todas son constantes de movimiento. (b) Excepto las componentes del momento lineal, todas son constantes de movimiento. (c) La energía y la paridad. (d) Lo mismo que en (b) (e) EyL, (f) Solamente E (g) E,Lz,px.,py (h) Lt,px,pu.

Problema 22. La probabilidad de que el átomo de hidrógeno permanezca en su estado base es [1 + (mva 0 /2ft) 2 ]~ 4 . (Ver Referencia [29] , pp. 310-14).

2kR sin

donde j¡ es la función de Bessel esférica de orden uno (ver ecuación IX-61) dada por sin z eos z Ji(z) = z

Entonces, la sección diferencial do-jdCl = \f(6) |2 y la sección total es 1 sin4kR sin 2 2fefl\ 2 2 4k R 8kaR3 16/k4/?4/ Ahora se puede demostrar con relativa facilidad que el comportamiento a baja energía y a alta energía concuerda con lo esperado. (Ver Referencia [23] , pp. 168-9, para una discusión detallada). Problema 9. (a) o- = 2 x 10-25 cm2 (b) o- y da/díl no se alteran (c)
RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS APÉNDICES 446 Problema 10. Tomando el eje z a lo largo del campo magnético, la energía E\imi de un estado con número cuántico principal n, momento angular total / y componente z igual a w, es

^

e* ~'~2rf¿~0

2mc

x 10-5m,)eV. / Los estados s no se afectan y los estados con / ^ O se desdoblan en 21+1 componentes igualmente espaciadas, cuya distancia en magnitud es de 5x 10-5 eV aproximadamente. Considérese ahora el término que se despreció (cuadrático) en €>(> , que se denotará por A . De acuerdo con la ecuación (67),

Ya que r es del orden de n2a0, donde n es el número cuántico principal, se tiene que, . . . e2a0W 4 =-8^-"Comparándolo con el desdoblamiento a primer orden resulta que gflo2^ 4 ln _ 6 4 -T- — —•^— n* — 10 ' n*, c) 4hc

de donde se concluye que este término es despreciable para casi todos los números cuánticos de interés. Problema 13. (a) <*> = <«

i

i=l

fe ÍM

d
( ) -3T-;

Para una partícula libre (H, p) = O y (H, x) = -ca x de donde, como se esperaba,

447

pero, dt

Al notar que este resultado también se cumple para un electrón que no está libre sino que se mueve en un potencial estático, se concluye que c a juega el papel de un operador de velocidad en la teoría de Dirac. Debido a que los autovalores de cada componente de a son ±1, los autovalores del operador velocidad son ±c, lo que equivale a decir que una medición de la velocidad siempre da como resultado la magnitud de c. Este resultado paradójico se puede entender intuitivamente en la siguiente forma. Una medición de la velocidad instantánea implica una medición precisa y absoluta de la posición en dos intervalos de tiempo separados infinitesimalmente. Pero, cualquier determinación precisa de la posición provoca una incertidumbre total en el momento, de modo que el momento promedio de las mediciones resulta indefinidamente grande. Entonces, la medición de la velocidad da siempre el resultado c. Para otra discusión ver la Referencia [30] . Problema 18. (a) O =s a ^ 1, (d) a = 2/3

|/31 « V a ( l - a ) ~

índice Absorción de luz, 228 Adición del momento angular, 348 - 357 Adjunto de un operador, 95 - 97 Algebra de matrices, 215 - 218 Amplitud de dispersión, 376, 387 Amplitud de probabilidad, 21,119,243,281 Conservación de la, 72-75, 163-165 en el espacio de momentos, 35, 244, 282 para estados estacionarios, 84-85,105 Restricción impuesta por la, 90-91 Aniquilación y creación de pares, 410-411 Anticonmutación, Relaciones de, 342, 346, 403 Anticonmutador, 342 Arfken, G., 426 Armónicos esféricos, 292 Átomos hidrogénicos, 304 mesónicosmu, 311 tipo helio, 366-374 Autofunción radial, 293-297 Autofunciónes y autovalores, 108-111 Autovalores de energía, para osciladores acoplados,-251, 270 para partículas en una caja, 80-26, 283285 para el potencial delta 180,437 para el pozo exponencial, 181,438 para la partícula libre, 78-80 para el oscilador armónico, 138, 286 para el átomo de helio, 368 - 371 para átomos hidrogénicos, 308 - 309 en el pozo cuadrado, 130-135 en la aproximación WKB 186-196 Barrera de potencial (ver potencial de pozo cuadrado, efecto túnel) Bases, 202 - 215 Becker,R,A.,401-427 Berg, P. W., 427

Bessel, funciones de, 302 Funciones de, esféricas 300 - 302 Bjorken, J.D., 428 Bohm, D., 427 Bohr, Magnetón de, 400 Radio de, 308 - 309 Born, M., 426 Born, Aproximación de, 383 - 396 Validez de la aproximación de, 349-396 Bose-Einstein, Estadística de, 263 Bosones, 263 Campo electromagnético, Transformación de norma y, 397 Movimiento en el, 396 - 401 Canónica, Transformación, 247 Cantor, D., 174 Caswell, R, S., 178 Cerradura, 107-109 Clebsch-Gordan, Coeficientes de, 350 Configuración, Espacio de, 39-40, 243 Compton, Efecto, 16 Longitud de onda, de 16 Conjunto completo de operadores que conmutan, 111-113,119 de autofunciones, 119, 107 -109 Conjunto estadístico, Matriz de densidad para un, 411 -416 Conmutador, 48 Constantes de movimiento, 67, 102 - 103, 247-248,335 -336 Constante de estructura fina, 382 Coordenadas del centro de masa, 245 - 249 esféricas, 286 - 294 Relaciones de conmutación para el momento lineal y las, 47 - 49 Correlación en mecánica cuántica, 254-257, 264 Correspondencia, Principio de, 17-18

450

ÍNDICE de funciones de estado, (ver ecuación de Schródinger)

Efecto túnel, 11,162-163 Ehrenfest, Teorema, de, 104 Eisberg, R. M., 426 Emisión inducida de luz, 227-228 espontánea de luz, 228 Energía, Conservación de, 103 Davisson y Germer, Experimento de, 5-8 del punto cero, 139 Davydov, S. S., 427 Operador de, 195 Degeneración, 106-108,125-127 Espacio de configuración, 39-40. 243; accidental, 296, 297, 299, 310 Espacio de configuración, 39-40. 243 de intercambio, 258 de momentos, 34, 39, 243-245, 282 para el átomo de hidrógeno, 310 para el oscilador armónico, 139-141 para el campo central, 293 Propagador para aceleración uniforme en para la partícula en una caja, 284-285 el, 182 para el oscilador armónico isótropo, 285 Representación en el, 39-40, 244 de Broglie, Ondas de, 12, 281 Ecuación de Schródinger en-el, 71, 101, Longitud de onda de, 5 182 Dennary, P., 426 Espectro continuo, 125 Densidad de estados, 225, 229-230, 285 discreto, 83, 126 Desfasamiento de dispersión, 378 de energía, 83, 105, 125 en la transmisión a través de una barrera, para la partícula libre de Dirac, 409 Incremento en el tiempo asociado Espín, 337 - 348 con el, 167 y la teoría de Dirac, 406 Aproximación WKB para el, 193 y estadística, 263 Deuterón, 298 Adición de, 351-353 Dicker, R. H., 427 Espinores, 403 - 405 Dirac, P. A. M., 427 Valores de expectación para, 407 Paréntesis de, 76, 92-93, 97 Estadística de Bose-Einstein, 263 Función delta de, 37-39, 56 en tres dimensiones, 385 de Fermi-Dirac, 263 Estados antisimétricos, y principio de excluEcuación de, 401 sión, 261 -262 Dispersión, 374 Análisis del desfasamiento para la, 378- Estados base, 55 Estados continuos de la partícula libre, 30, 381 64-67,281, 300-303 Amplitud, de, 375,387 en una dimensión, 125-126, 158-165 en la aproximación de Born, 374-383 y dispersión, 374 colombiana, 381 de momento lineal, 30, 281 para partículas idénticas, 382, 383 como superposición de estados de moDesarrollo en ondas parciales de la, 380 mento angular, 303 Ecuación integral para estados de, 386 y paquetes de onda, 32-35 Solución numérica de la, 169 -179 de energía negativa de Dirac, 405, 409de paquetes de onda, 163-166, 374 411 Drell, S. D., 428 de la partícula libre en una dimensión, Ecuación de movimiento para la matriz de 59-80 estacionarios, 78-80,104-106 densidad, 414 como conjunto ortogonal completo, 106 para valores de expectación, 99, 121 para funciones de estado (ver ecuación 108 ligados, 83, 126 de Schródinger) Métodos numéricos para, 169-179 de Schródinger dependiente del tiempo, en la aproximación de Rayleigh-Ritz, (ver ecuación de Schródinger) 196-202 en tres dimensiones, 279 en la aproximación WKB, 194-196 independiente del tiempo, 79, 105 quasiligados o quasi-estacionarios, 212radial, 293 215 para la partícula libre, 7 0 - 7 2 para el movimiento en un campo electro- Evolución en el tiempo de la matriz de densidad, 414 magnético, 398 de los valores de expectación 98, 119 para un sistema de partículas, 244 Restricciones impuestas por el, 62-64, 98-101 Cuanto de acción, 5 Cuerpo negro, Radiación del, 14-16

Factorización, Método de, para el momento angular, 322-330 del oscilador armónico, 140-147 Fermión, 263 Fourier, Integrales de, 36-39 Series de, 36-37 Frank, N. H., 427 Función de onda de prueba, 199-201 de estado aceptable, 20 univaluadas, 292, 327 Funciones de estados, 3,30-31,119 asociadas de Legendre, 292-293 Naturaleza compleja de las, 31,71-76 como autofunciones, 708-Í09 como superposición de estado estacionarias, 83,105 para energía definida, 79, 81-83 de onda (ver Funciones de estado) Gauss, Integrales de funciones de, 423-425 Gausiano, Movimiento de un paquete, 68-70 Paquetes de ondas, para el oscilador armónico, 156-157 Paquetes de onda, 51 para el pozo cuadrado, 169-179 Potencial, 392 Giromagnética, Razón (ver valor g) Goldberg, A. 169n, 178n Goldstein, H,, 427 Green, Función de, 385-386 Grupo, Velocidad de, 62

Inceitldumbtt, 4, H» Principio dt,494í,l..., para el mominto inguUl, j para las coordenad»! y llff 53,116 para la energía y el tiempo, 54,116 •'" Integral de intercambio, 274, 370 Intercambio de partículas idénticas, 257 Degeneración bajo el, 258 Operadores de, 257, 275 Simetría bajo el, 259-266 Interferencia y principio de superposición, 22 Invariancia bajo rotaciones, 336 bajo translaciones, 335 de Galileo, 363-365 de norma, 397 Inverso de un operador, 240n, 361 Jackson, J. D., 427 Kennard, E. H., 426 Klein-Gordon, Ecuación de, 401-402 Kraut. E. A., 426 Kronecker, Símbolo de.la delta de, 83,106 Krzywicki, A., 426

Laguerre, Polinomios de, 307 Polinomios asociados, 306-307 Lamb, Corrimiento, 411n. Landau, L. D., 427 Lauritsen, T., 426 Legendre, Desarrollo de una onda plana en polinomio de, 303 Polinomios de, 292-293 Polinomios asociados de, 292-293 Hamiltoniano en coordenadas del centro de Leighton, R. B., 426 masa, 247-248 en un campo electromagnético externo, Límite clásico, 18, 186 Lifshitz, E. M., 427 396-398,411 Operador, 100, 244, 280-281 para sistemas de partículas idénticas, 257, Masa reducida, 246 Manético, Número cuántico, 400 261 Margenau, H., 426 relativista, 401,411 Marión, J. B., 427 HarnweU, G. P., 372n. J. L., 427 Heisenberg, Principio de incertidumbre de, McGregor, Matriz, Adjunto de una, 216-218 (ver Principio de incertidumbre) de densidad, 411-416 Representación de 99n Ecuación de movimiento para la, 415 Hermite, Polinomios de 139-144 para estados puros, 415 Función generadora de los, 153 de los operadores de espín, 343-344 Representación integral de los, 153 de espín, 345 Hidrógeno, átomo de, 304 de los espinores, 408 Autofunciones del, 309 Elementos de, 204,215 Degeneración del, 309 hermitiana, 217 Molécula de, 416 Representación de operadores como, Niveles de energía del, 309 215-216 Holton, G., 426 Traza de una, 413 Hsi h,Y.,254n

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ÍNDICE

ÍNDICE

de función delta, 180, 437-438 radial efectivo, 294-297 Potencias, Método de serie de, para el átomo de hidrógeno, 304-307 para el oscilador armónico, 135-140 Pozo cuadrado, Estados ligados en un, 130135 Estados continuos de un, 158-163 en tres dimensiones, 298 Probabilidad, Densidad de, 90-91 en el espacio de momentos, 35, 244 Conservación de la, 72-75,164-165 Restricción impuesta por la, 90-91 Flujo de, 164 Probabilística, Interpretación, 20, 22, 83-86 Producción y aniquilación de pares, 410 Propagador, 64-66, 118-119, 122 para aceleración uniforme, 182, 439 para la partícula libre, 65, 311 para el oscilador armónico, 154-155, 311 para una partícula en una caja, 85 Punto de vuelta, 125-126

Transpuesta de una, 217 hermitianos, 91-93 Medición de observables, 111 para el oscilador armónico, 140-143 Melkanoff, M. A., 174n, 178n Óptico, Teorema, 380 Método variacional (ver aproximación de Ortogonalidad de autofunciones, 108-110 Rayleigh-Ritz) Oscilador armónico, 135-157 Messiah, A., 427 Autofunciones del, en el espacio de conMetastable, Estado, 212 figuración, Molécula diatómica, 251, 254,416 en el espacio de creación, 151 Momento angular, 289-292, 318-354 de momentos, 140 Adición de, 348-354 Movimiento de un paquete de ondas en Autovalores del, 289-292, 322, 329 un potencial de, 154-157 Conservación del, 335 Propagador, del 155 intrínseco o espinorial, 336-348 (ver también oscilador anarmónico) orbital, 289-296, 318-322 Osciladores armónicos acoplados, 251-254, Operadores de, 289-290, 318-320 260-261,269-272,276-278 Paridad de los estados de, 294 Relación entre estados de momento lineal Paquetes de ondas 32, 50-53 definido y, de incertidumbre mínima, 117 Relaciones de conmutación para el, 318como superposición, 32-35 320 Dispersión de, 163-178, 375 Relaciones de incertidumbre del, 330 Ensanchamiento de, 28, 62-64 Rotaciones y, 334-336 Movimiento de, 118-119 para la partícula libre, 64-70 total, 321, 329, 348-357 Momento dipolar eléctrico, 193n, 241, 251 para el oscilador armónico, 154-157 y límite clásico 26-28, 68-70 inducido, 251 y velocidad de grupo, 59-62 magnético, 400 Movimiento relativo, 249 Paridad, 127-129 de estados de momento angular, 294 Murphy, G. M., 426 y reglas de selección, 207 Nodvik, J. S., 173n Park, D., 427 Normalización, Condición de, 21 Partículas idénticas, 257-275 y aceptación física, 21 y degeneración de intercambio, 257-258 Número cuántico principal, 309 Dispersión de, 382-383 en una caja, 80-87, 284-285, 302 Observables, 3 Espín y estadística de, 263 y simetría de funciones de estado, 259simultáneos, 111-113 Conjunto completo de, 111-112, 119 266 como operadores hermitianos, 91-93 Pauli, Operadores de, 346 Teoría de dos componentes de, 347 Observaciones, 3 Como operadores hermitianos, (ver tamPrincipio de exclusión de, 263-264 bién principio de incertidumbre), Pauling, L., 427 Ondas parciales, 303, 378-379 Penetración de barreras, (ver efecto túnel) Operador adjunto 95-97 Periódicas, Condiciones a la frontera, 120, autoadjunto, 96 229-231,285 de aniquilación y creación, 140-142 Planck, Constante de, 4-5 de proyección para la paridad, 128 Polarización, Vector y matriz de densidad el intercambio, 275 de, 420 Ecuación de movimiento para el vector de posición, 40-45, 243 Representación del, 147-153 de, 421 Operadores, Algebra de, 45-47 Polarizabilidad, 251 Autofunciones ortogonales de, 108-111 del átomo de hidrógeno, 314 como variables dinámicas, 40-45, 91-93, del oscilador isótropo, 311 Posición, Operador de, 40-45, 244 119 de ascenso y descenso para el momento Potencial culombiano escudado, 418 central, 286-297 angular, 322, 331-333 Dispersión por un, 378-381 del momento lineal, 40-45, 243, 279-280 centrífugo, (ver potencial radial efectivo) como observables, 108-111

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magnético, 398 para un sistema de partículas en tres dimensiones, 281 Schawartz, J. L., 169n, 178n. Desigualdad de, 115 Separación de variables, 78, 290 Sección diferencial, 376 de Rutherford, 382 total, 379 Teorema de la, 380 Simetría, Clasificación de estados por, 127129,259,263 Propiedades de, para partículas idénticas, 259-275 Simetrización de estados para partículas idénticas, 265-272, 278 Singulete, Estados, 354, 370-371 Slater, J. C., 372n, 427 Determínate de, 264 Sokolmikoff, A., 426 Sommerfeld, A., 426 Stehle, P., 427

Tabla periódica, 372 Ramsauer, Efecto, 13 Teoría cuántica vs. cuántica, 1-4, 8-14, 26Rayleigh-Ritz, Aproximación de, 196-202 29,69-70,381-383 y el oscilador armónico, 201-202 (ver también principio de correspondeny átomos tipo helio, 367-369 cia) y teoría de perturbación, 205 Cotas superiores en la aproximación de, Teoría de perturbación, degenerada (ver teoría de perturbación estacionaria y 199-200 teoría dependiente del tiempo) funciones de prueba para la, 200-201 a segundo orden, 205-206 Radiación del cuerpo negro, 14-16 Cota superior para la corrección a segunRaynal, S., 174n do orden en la, 208 Rapidez de transición, 226 estacionaria, 202-215, 218-222 Redheffer, R. M., 427 Interpretación física de la, 205-207 Reflexión, Coeficiente de, 8-9, 154, 163 para estados degenerados o estados veciRegla del triángulo, 349n nos, 218-222 Richtmyer, F. K., 426 para estados no degenerados, 224 Roller, D. H. D., 426 para estados no degenerados a primer orRotación, Operadores de, 334-335 den, 205 Rotaciones infinitesimales, 335 para la dispersión, 388-390 Rutherford, Sección de, 382 repentina, 239 para sistemas de partículas, 207 Saxon, D. S., 174n Regla de oro para la 226, 228 Sawada, T., 174n Validez de la, 224, 228 Schery, H. M. 169n, 178n. y reglas de selección, 207 Schiff, L. S., 427 Transformación de Galileo, 363-365 Schmidt, Método de ortogonalización de, de norma y campo electromagnético, 107, 120 397-399 Schródinger, Ecuación de, para la partícula y la ecuación de Schródinger, 399 libre, 70-72 Transformaciones como operadores, 334-337 dependiente del tiempo, (ver ecuación de 361-365 Schrodinger) Translación, Operadores de, 336 en el espacio de momentos, 67, 101 Transmisión, Coeficiente de, 9-11, 159, 163 en tres dimensiones, 281 Triplete, Estados, 354, 370-371 independiente del tiempo, 79, 105 para el movimiento en un campo electro- Trigg, G. L., 427

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ÍNDICE

Traza de una matriz, 413 Valor g, 400-401, 401n. Valor de expectación, 24-26, 119. 282 de la posición y el momento lineal, 4144 en el espacio espinorial, 343-345 de espinores, 408 Ecuaciones de movimiento para, 98, 121 Variables dinámicas como operadores, 3, 4345,67,91-93,119 Variacional, Método, (ver aproximación Rayleigh-Ritz) Vector de polarización y matris de densidad 420,

Ecuación de movimiento para el, 421 Wilson, E. B., 427 Wittlce, J. P., 427 WKB, Aproximación, 186-196 para estados ligados, 194-196 para estados continuos, 192-193 Validez de la, 189-193 Yukawa, Potencial de, 390 Zeeman, Efecto, 338, 400-401

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Elementos de la mecánica cuántica. Saxon

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